(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4

บทที่ 1 | เซต 39 คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 3. 1) A′ 2) B′ d 3) A′∩ B′ 5) A′∪ B′ 4) ( A ∪ B)′ s 7) A − B 6) ( A ∩ B)′ s 8) A ∩ B′ d สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 2) A ∪ ( B ∪ C ) d 40 คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s 5) ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s 5. 1) A ∩ C ก 2) C ∪ B′ 3) B − A ก สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 41 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 6. 1) ∅ ก 2) A 3) ∅ ก 4) U 5) U ก 6) ∅ 7) A′ ก 8) ∅ แบบฝกหดั 1.3 1. ก เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′ จํานวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41 2. 1) n( A ∪ B) =42 2) n( A − B) =12 ก 3) n( A′∩ B′) =8 ป 3. 1) n( A ∪ C ) =40 2) n( A ∪ B ∪ C ) =43 ก 3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก 4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก 5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก 4. n( A ∩ B) =6 ก 5. n( B) = 60 ก 6. 10 คน 7. 152 คน คดิ เปน รอยละ 48.72 ของจาํ นวนผูสูบบุหรท่ี ้ังหมด 8. 100 คน 9. 2,370 คน สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 42 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 แบบฝก หัดทายบท 1. 1) { 48} ด 2) ∅ 3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 } 5) {1, 2, 3,  , 10 } ด 2. 1) ตวั อยางคําตอบ { x | =x 3n − 2 เมื่อ n∈ และ 1 ≤ n≤ 5} 2) ตัวอยางคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 } 3) ตวั อยางคาํ ตอบ { x |=x 4n +1 เมอ่ื n∈} } 4) ตัวอยางคาํ ตอบ { x | x = n3 เมื่อ n∈} } 3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนนั ต 3) เซตจํากัด 4) เซตจํากัด 5) เซตอนนั ต 4. 1) เปน จริง 2) เปน จริง 3) เปนเท็จ 4) เปนจรงิ 5) เปนจริง 6) เปน เทจ็ 5. 1) A จ 2) ∅ 3) U จ 4) A 5) A จ 6) U 6. 1) A ∪ B = A ∪ ( B − A) จ 2) A ∩ B′ = A − ( A ∩ B) 3) A′∩ B′ = U − ( A ∪ B) จ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 43 คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 7. 1) A′∩ B ก จ 2) ( A ∩ B′ )′ 3) ( A ∪ B′ )′ ก 8. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C 3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B) สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 6) A′∩ (C′∩ B) 44 คูม อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 5) ( A∩ B′) ∪ C ก 7) A ∪ (C′∩ B)′ ก 9. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15 } 3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 } 5) {1, 4, 12 } จ 6) { 4, 7, 12 } 7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15 } 10. 1) เปนจริงจ 2) เปนจรงิ 3) เปนจรงิ 2) เปน จรงิ 11. 1) เปนจรงิ 4) เปน จริง 3) เปนจรงิ จ 5) เปนจรงิ จ 12. n( A) = 167 ก 13. 45% ด สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 45 คมู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 14. 1) 10% ด 2) 75% ด 15. 1) 13 คัน 2) 10 คนั 16. 405 คน 17. 1) 72% ก 2) 84% ก 4) 13%ก 3) 65% ก 2) 864 คน 18. 1) 52 คน 3) 136 คน 19. 16%ก 20. 1% ก สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอ้ื งตน 46 คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเ บื้องตน การศึกษาเร่ืองตรรกศาสตรมีความสําคัญตอการศึกษาคณิตศาสตรเพราะคณิตศาสตรเปนวิชา ที่มีเหตุมีผล และตรรกศาสตรเปนศาสตรที่วาดวยเร่ืองของการใชเหตุและผลในชีวิตประจําวัน ซ่งึ ความสามารถในการคิดและใหเ หตุผลเปนสงิ่ มีคณุ คามากทส่ี ดุ ของมนุษย เน้ือหาเรื่องตรรกศาสตร ทนี่ าํ เสนอในหนังสอื เรยี นรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 น้ี มีเปาหมายเพื่อให นักเรียนเรียนรูเก่ียวกับตรรกศาสตรเบ้ืองตน ในการสื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร ในบทเรียนน้มี ุงใหน ักเรียนบรรลตุ ัวชีว้ ดั และจุดมงุ หมายดงั ตอไปน้ี ตัวชว้ี ดั เขาใจและใชความรูเก่ยี วกบั เซตและตรรกศาสตรเ บื้องตน ในการสื่อสารและส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร จดุ มงุ หมาย 1. จาํ แนกขอความวาเปนประพจนห รอื ไมเปน ประพจน 2. หาคาความจรงิ ของประพจนท่มี ีตัวเช่อื ม 3. ใชค วามรูเกี่ยวกับตรรกศาสตรเ บอื้ งตน ในการสอ่ื สารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 47 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ความรูกอนหนา • ความรูเ กี่ยวกับจาํ นวนและสมการในระดับมัธยมศึกษาตอนตน • เซต 2.1 เนอ้ื หาสาระ 1. ประพจน คือ ประโยคหรือขอความท่ีเปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหน่ึงเทาน้ัน ซึ่งประโยคหรือขอความดงั กลาวจะอยูในรูปบอกเลาหรือปฏิเสธก็ได ในตรรกศาสตรเรียก การเปน “จริง” หรือ “เท็จ” ของแตล ะประพจนวา “คา ความจริงของประพจน” 2. ให p และ q เปนประพจนใด ๆ เมื่อเช่ือมดวยตัวเชื่อม “และ” ( ∧ ) “หรือ” ( ∨ ) “ถา...แลว...” ( → ) และ “ก็ตอเม่ือ” ( ↔ ) จะมีขอตกลงเกี่ยวกับคาความจริงของ ประพจนท่ีไดจากการเชื่อมประพจน p และ q โดยให T และ F แทนจริงและเท็จ ตามลําดบั ดงั น้ี p q p∧q p∨q p→q p↔q TTTTTT T FFT FF FT FT T F FFFFT T ถา p เปนประพจนใด ๆ แลว นิเสธของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ  p และเขียน ตารางคา ความจริงของ  p ไดดังนี้ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 48 คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 p p TF FT 3. ให p, q และ r เปน ประพจนซงึ่ ยังไมกาํ หนดคาความจรงิ จะเรียก p, q และ r วา เปน ตัวแปรแทนประพจนใด ๆ และเรียกประพจนท ี่มตี ัวเชอื่ ม เชน  p, p ∧ q, p ∨ q, p → q, p ↔ q วา “รปู แบบของประพจน” 2.2 ขอเสนอแนะเกย่ี วกับการสอน ประพจน ประเด็นสาํ คญั เกีย่ วกับเน้ือหาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน • การจําแนกขอความวาเปนประพจนหรือไมเปนประพจน อาจไมจําเปนตองทราบ คา ความจริงที่แนนอนของประพจนน ้นั เชน มีสงิ่ มีชวี ติ อยบู นดาวอังคาร • การเลือกตัวอยางในชั้นเรียนหรือแบบทดสอบระหวางเรียนท่ีจะใหนักเรียนบอก คา ความจริงของประพจนท่ีไมใชขอความทางคณิตศาสตร ครูควรเลือกใหเหมาะสมกับ ความรูและประสบการณของนักเรียน เชน ยุงลายเปนพาหะของโรคไขเลือดออก โรคเลือดออกตามไรฟนเปนโรคที่เกิดจากการขาดวิตามินซี และหลีกเล่ียงตัวอยางขอความ ทใี่ ชความรูสกึ ในการตดั สินวาขอความนัน้ เปนจรงิ หรือเท็จ เชน นารสี วย ปกรณเ ปน คนดี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 49 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 • ในการสอนเก่ียวกับประพจน ครูไมควรยกตัวอยางขอความที่ใชสรรพนามบุรุษที่ 2 และ 3 เชน เขาซื้อขนม ลุงกับปาไปเที่ยวตางประเทศ ซึ่งอาจทําใหนักเรียนเกิดความสับสนวา ขอ ความดังกลาวเปนประพจนหรือไม เนื่องจากนักเรียนจะตองทราบบริบทของขอความ ดังกลาวจึงจะสามารถสรุปคาความจริงของขอความดังกลาวได เชน “เขา” “ลุง” “ปา” หมายถึงใคร ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกบั แบบฝกหัด แบบฝก หดั 2.1 2. จงเขียนประโยคหรือขอความที่เปนประพจนมา 5 ประพจน พรอมท้ังบอก คา ความจรงิ ของประพจนน นั้ ๆ แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ โดยอาจเปนไดท้ังขอความทางคณิตศาสตร เชน ∅∈{1, 2, 3} และไมใชขอความทางคณิตศาสตร เชน หน่ึงปมีสิบสองเดือน ควรให นกั เรยี นมีอิสระในการเขียนประโยคหรอื ขอ ความท่ีเปน ป ร ะ พ จ น ซึ่ ง คํ า ต อ บ ข อ ง นักเรียนไมจาํ เปน ตอ งตรงกับทค่ี รคู ดิ ไว การเชอื่ มประพจน การเชอื่ มประพจนด วยตวั เชอื่ ม “และ” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “และ” โดยให นกั เรยี นทาํ กิจกรรมตอไปนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 50 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 กจิ กรรม : การแตงกายของลกู ปด ให p แทนขอความ “ลูกปด ใสเส้ือสีขาว” และ q แทนขอความ “ลกู ปด ใสกางเกงสีฟา ” จะไดว า p ∧ q แทนขอ ความ “ลกู ปดใสเ สื้อสขี าวและลูกปดใสก างเกงสฟี า” หรือเขียนโดยยอ เปน “ลูกปดใสเ สื้อสีขาวและกางเกงสฟี า” ขน้ั ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครใู หน กั เรยี นเติมตารางคาความจรงิ ตอ ไปนี้ ลกู ปดใสเ สอ้ื สีขาว ลกู ปด ใสกางเกงสีฟา ลูกปด ใสเสอื้ สีขาวและกางเกงสีฟา ( p) (q) ( p ∧q) การ 2. ครใู หนกั เรียนรว มกนั อภปิ รายเกย่ี วกับตารางคาความจรงิ ท่ไี ดจากขอ 1 เม่ือจบกจิ กรรมนแ้ี ลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเชื่อมประพจนดวย “และ” มีขอตกลง วาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีที่ประพจนท่ีนํามาเช่ือมกันน้ันเปนจริงทั้งคู กรณีอื่น ๆ เปน เท็จทกุ กรณี จากน้ันครสู รุปการเขียนตารางคาความจรงิ ของ p ∧ q สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 51 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 ประเด็นสําคัญเกย่ี วกับเนอ้ื หาและส่ิงทีค่ วรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน สําหรับภาษาที่ใชในชีวิตประจําวัน อาจแทนตัวเช่ือม “และ” ดวยคําอื่นซ่ึงใหความหมาย อยางเดียวกัน เชน “แต” “นอกจากนั้นแลว” “ถึงแมวา” “ในขณะที่” ตัวอยางประโยค ที่พบไดในชีวิตประจําวัน เชน วรรณชอบวิชาคณิตศาสตรแตนุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ สมศักด์ิเปนหัวหนาหองนอกจากน้ันแลวเขายังเปนประธานนักเรียนดวย วิชัยทํางานหนัก ถึงแมว า เขาปวย นํา้ ผึ้งอานหนังสือในขณะท่นี า้ํ ฝนดโู ทรทัศน การเช่อื มประพจนด วยตวั เช่อื ม “หรอื ” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “หรือ” โดยให นกั เรียนทาํ กจิ กรรมตอ ไปน้ี กจิ กรรม : สัตวเ ลย้ี งของตน น้าํ ให p แทนขอ ความ “ตนนา้ํ เลย้ี งแมว” และ q แทนขอความ “ตน นํา้ เลย้ี งนก” จะไดว า p ∨ q แทนขอ ความ “ตน น้ําเล้ียงแมวหรอื ตนน้าํ เลีย้ งนก” หรือเขยี นโดยยอ เปน “ตนนํ้าเล้ียงแมวหรอื นก” ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครใู หนกั เรยี นเติมตารางคา ความจรงิ ตอ ไปนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 52 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 ตนนํา้ เลยี้ งแมว ตน นํา้ เล้ียงนก ตนนา้ํ เลี้ยงแมวหรอื นก ( p) (q) ( p∨ q) การ 2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภปิ รายเกี่ยวกับตารางคา ความจริงท่ีไดจากขอ 1 เม่ือจบกจิ กรรมนแ้ี ลว ครูควรใหนกั เรยี นสรุปไดว าในการเช่ือมประพจนดว ย “หรือ” มขี อตกลงวา ประพจนใ หมจ ะเปน เทจ็ ในกรณที ีป่ ระพจนท ีน่ าํ มาเช่ือมกันเปนเท็จทัง้ คู กรณีอนื่ ๆ เปนจรงิ ทกุ กรณี จากนั้นครูสรปุ การเขียนตารางคา ความจริงของ p ∨ q ประเด็นสําคญั เกยี่ วกบั เน้ือหาและสงิ่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกบั การสอน การใชตัวเชื่อม “หรือ” ในทางตรรกศาสตรจะหมายถึงการเลือกอยางใดอยางหน่ึงหรือ ทง้ั สองอยาง สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 53 คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 การเชือ่ มประพจนด ว ยตัวเช่ือม “ถา...แลว ...” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ถา...แลว...” โดยใหน ักเรยี นทาํ กิจกรรมตอไปน้ี กิจกรรม : สัญญาระหวางพอกับจิ๋ว ให p แทนขอ ความ “จิ๋วกวาดบาน” และ q แทนขอความ “พอ ใหขนม” จะไดว า p → q แทนขอ ความ “ถาจ๋ิวกวาดบา นแลวพอ จะใหขนม” การรักษาสัญญาของพอจะเทียบกบั คา ความจริงของ p → q ซึ่งในกรณีท่ี p → q เปนจริง หมายถงึ พอรกั ษาสัญญา ในกรณที ่ี p → q เปน เทจ็ หมายถึง พอไมร ักษาสญั ญา ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครูใหน กั เรียนเติมคาความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้ จว๋ิ กวาดบา น พอ ใหขนม พอรักษาสัญญา ( p) (q) ( p → q) 2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภิปรายเกี่ยวกบั ตารางคา ความจรงิ ท่ไี ดจากขอ 1 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 54 คูมือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เม่ือจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ถา...แลว...” มีขอตกลงวา ประพจนใหมจะเปนเท็จในกรณีที่เหตุเปนจริงและผลเปนเท็จเทาน้ัน กรณีอ่ืน ๆ เปน จริงทุกกรณี ครคู วรช้ีแจงเพิ่มเติมวาประพจนซ ึง่ ตามหลังคําวา ถา เรียกวา “เหตุ” สวนประพจน ซ่งึ ตามหลังคาํ วา แลว เรยี กวา “ผล” จากนน้ั ครสู รปุ การเขียนตารางคาความจรงิ ของ p → q การเชื่อมประพจนดวยตัวเช่ือม “กต็ อเม่ือ” ครูอาจนําเขาสูบ ทเรยี นเพ่อื ใหน ักเรยี นเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ก็ตอเมื่อ” โดยให นักเรยี นทํากจิ กรรมตอไปนี้ กจิ กรรม : เกรดวิชาคณิตศาสตรข องปุยนุน คาความจริงของประพจนที่มีตัวเช่ือม “ก็ตอเม่ือ” อาจพิจารณาจากสถานการณในชีวิตจริงได เชน โรงเรียนแหงหน่ึงกําหนดวา “นักเรียนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือนักเรียนได คะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร” สมมติวาปุยนุนเปนนักเรียนของ โรงเรียนแหงน้ี ให p แทนขอความ “ปยุ นุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร” และ q แทนขอความ “ปุยนุนไดคะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร” จะไดวา p ↔ q แทนขอความ “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือปุยนุน ไดค ะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเตม็ วชิ าคณิตศาสตร” การเกดิ ขน้ึ ไดของสถานการณนจ้ี ะเทียบไดกับคาความจริงของ p ↔ q ในกรณีท่ีสถานการณนี้เกดิ ข้ึนไดจริง จะไดวา p ↔ q เปน จรงิ ในกรณีทส่ี ถานการณนไ้ี มส ามารถเกิดขึน้ ได จะไดว า p ↔ q เปน เทจ็ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 55 คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 ขนั้ ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครใู หน กั เรยี นเติมตารางคา ความจริง ตอ ไปนี้ ปยุ นนุ ไดเกรด 4 วชิ า ปยุ นนุ ไดคะแนนตั้งแต การเกิดขึ้นไดของ คณิตศาสตร 80% ของคะแนนท้งั หมด สถานการณนี้ ( p) (q) ( p ↔ q) 2. ครูใหนักเรียนรวมกนั อภิปรายเกย่ี วกบั ตารางคาความจรงิ ทีไ่ ดจ ากขอ 1 การ เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ก็ตอเม่ือ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีท่ีประพจนที่นํามาเช่ือมกันนั้นเปนจริงทั้งคูหรือ เปนเท็จทั้งคูเทาน้ัน กรณีอื่น ๆ เปนเท็จเสมอ จากน้ันครูสรุปการเขียนตารางคาความจริง ของ p ↔ q ประเดน็ สําคัญเกี่ยวกับเน้ือหาและสิ่งทค่ี วรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน ตัวเช่ือม “ก็ตอเมื่อ” พบไดบอยในการศึกษาคณิตศาสตร เชน บทนิยามเก่ียวกับ รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซ่ึงกลาววา “รูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานยาว เทากันสองดาน” หมายความวา “รูปสามเหล่ียมใดจะเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วก็ตอเมื่อ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 56 คมู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 รูปสามเหลี่ยมน้ันมีดานยาวเทากันสองดาน” ซ่ึงมีความหมายเดียวกับ “ถารูปสามเหล่ียมใด เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่วแลวรูปสามเหล่ียมน้ันจะมีดานยาวเทากันสองดาน และถา รปู สามเหล่ียมใดมีดา นยาวเทา กนั สองดา นแลวรูปสามเหลี่ยมน้ันจะเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจ่ัว” นเิ สธของประพจน ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับนิเสธของประพจน โดยใหนักเรียน ทาํ กิจกรรมตอไปนี้ กิจกรรม : งานอดเิ รกของหนูดี ให p แทนขอความ “หนดู อี านหนังสือ” จะไดว า  p แทนขอความ “หนูดีไมไดอ า นหนงั สือ” จะไดตารางคา ความจริง ดังน้ี ขัน้ ตอนการปฏิบัติ 1. ครใู หน ักเรียนเติมคาความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้ หนูดีอานหนังสือ หนูดีไมไดอ านหนงั สือ ( p) p 2. ครใู หน ักเรียนรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับตารางคาความจริงทีไ่ ดจ ากขอ 1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 57 คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาคาความจริงของนิเสธจะตรงขามกับคาความจริง ของประพจนเ ดมิ เสมอ จากน้ันครสู รุปการเขยี นตารางคา ความจริงของ  p การหาคา ความจรงิ ของประพจน ประเดน็ สําคัญเกยี่ วกับเน้ือหาและสิ่งท่คี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน • ครูควรเขียนวงเล็บในตัวอยางท่ีตองการใหนักเรียนพิจารณาคาความจริงทุกครั้ง ไมควรละวงเล็บไวใหนักเรียนตัดสินใจเอง ยกเวนตัวเช่ือม “  ” ซึ่งในหนังสือเรียน ของ สสวท. ไมไดใสวงเล็บไวเชนกัน เน่ืองจากถือวาเปนตัวเช่ือมที่ตองหาคาความจริง กอ น เชน สําหรบั ประพจน p∨  p นนั้ ตองหาคา ความจริงของ  p กอน แลวจึงหา คาความจรงิ ของ p∨  p ซ่งึ มีความหมายเชนเดยี วกบั p ∨ ( p) • การหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเช่ือมสามารถทําไดหลายวิธี ทั้งนี้ครูควรให นกั เรียนฝกฝนการหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเชื่อมโดยใชแผนภาพ ซ่ึงสามารถ เขียนแสดงไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแผนภาพโดยไมจําเปน จะตอ งตรงกับทคี่ รูคดิ ไว จะเปน ประโยชนใ นการศกึ ษาหัวขอตอ ๆ ไป 2.3 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรยี น การวดั ผลระหวา งเรยี นเปน การวัดผลการเรยี นรูเ พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทาํ แบบฝก หัดเปนแนวทางหนงึ่ ท่ีครอู าจใชเ พ่อื ประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน 58 คูมือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 นกั เรยี น ซง่ึ หนังสือเรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ที่ครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน ครูอาจใช แบบฝกหัดเพ่ือวดั ผลประเมินผลความรูในแตละเนอ้ื หาไดด งั นี้ เน้ือหา แบบฝก หดั ประพจนแ ละคาความจริงของประพจน 2.1ก ขอ 1, 2 การเชอื่ มประพจนแ ละคาความจรงิ ของประพจนที่มีตัวเชือ่ ม 2.2ก ขอ 1, 2, 3 2.4 การวิเคราะหแ บบฝก หัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน ไดเ รียนจบบทที่ 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน แลว นักเรียนสามารถ 1. จาํ แนกขอ ความวา เปน ประพจนห รือไมเปน ประพจน 2. หาคา ความจริงของประพจนท ีม่ ตี วั เชอื่ ม 3. ใชความรเู กยี่ วกับตรรกศาสตรเ บ้ืองตนในการสื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร ซง่ึ หนังสอื เรียนรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 ไดนาํ เสนอแบบฝก หัดทายบท ที่ประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความเขาใจ ของนักเรียนตามจดุ มุง หมาย ซึง่ ประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบท เพือ่ ตรวจสอบวา นกั เรียนมีความสามารถตามจดุ มงุ หมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรือไม ท้ังนี้ แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน สอดคลอ งกบั จดุ มุงหมายของบทเรียน ดงั น้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 59 คูม อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 ขอ ขอ จําแนกขอ ความ จดุ มุงหมาย ใชค วามรเู ก่ียวกบั ยอย หาคา ความจรงิ ของ ตรรกศาสตรเ บ้ืองตน วา เปน ประพจน ประพจนที่มีตัวเช่ือม ในการสอ่ื สารและ หรอื ไมเ ปน ประพจน สื่อความหมายทาง โจทยฝ ก ทกั ษะ โจทยฝก ทักษะ คณิตศาสตร โจทยฝ กทกั ษะ 1. 1)  โจทยฝ กทกั ษะ 2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  2. 1) 2) 3) 4) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 60 คูม ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 ขอ ขอ จาํ แนกขอความ จดุ มุงหมาย ใชค วามรูเกี่ยวกับ ยอ ย ตรรกศาสตรเบ้ืองตน วาเปนประพจน หาคา ความจรงิ ของ ในการสอื่ สารและ หรอื ไมเ ปน ประพจน ประพจนท่ีมีตัวเชื่อม ส่ือความหมายทาง โจทยฝก ทักษะ คณติ ศาสตร โจทยฝ ก ทกั ษะ 5) 6)  3. 1)  2)  3)  4) 4. โจทยฝ ก ทักษะ 5. 1) 2)  3)  4)  5)  6. 1)  2)  3)   สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 61 คมู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ จดุ มงุ หมาย ใชความรเู กย่ี วกบั ยอ ย ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน วา เปนประพจน หาคาความจรงิ ของ ในการส่ือสารและ หรอื ไมเปน ประพจน ประพจนที่มตี วั เช่ือม สอ่ื ความหมายทาง 4)  คณิตศาสตร 7. 1)  2)  3)  4)  8.  9.  10.  สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 62 คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 2.5 ความรูเพ่ิมเติมสาํ หรับครู • เปาหมายประการหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร คือ การศึกษาทําความเขาใจธรรมชาติ หรือ ปรากฏการณตาง ๆ โดยใช “ระบบเชิงคณิตศาสตร” (mathematical system) ซึ่งระบบ เชิงคณิตศาสตรเปนแนวคิดเชิงนามธรรมที่ใชแทนธรรมชาติ หรือปรากฏการณอยางใด อยางหนึ่ง เชน “ระบบจํานวนจริง” (real number system) เปนแนวคิดท่ีใชแทนจํานวนหรือ ขนาดของส่ิงตาง ๆ หรือ “เรขาคณิตแบบยุคลิด” (Euclidean geometry) เปนแนวคิดหน่ึงที่ใช แทนวัตถตุ าง ๆ ในปริภูมิ • ระบบเชิงคณติ ศาสตรแ ตล ะระบบ มีองคประกอบดงั ตอไปน้ี 1. เอกภพสัมพัทธ (universe) คือ เซตของส่ิงท่ีจะศึกษาในระบบน้ัน เชน เซตของ จาํ นวนนับ เซตของจํานวนเตม็ เซตของจาํ นวนจริง 2. คําอนิยาม (undefined term) ไดแก คําซ่ึงเปนที่เขาใจความหมายกันโดยทั่วไป โดยไมตองอธิบาย เชน คําวา “เหมือนกัน” หรือคําวา “จุด” และ “เสน” ใน เรขาคณติ แบบยคุ ลดิ 3. คํานิยาม (defined term) คือ คําท่ีสามารถใหความหมายโดยใชคําอนิยาม หรือคํานิยาม อน่ื ท่มี มี ากอ นแลวได เชน คําวา “จาํ นวนคู” หรอื คาํ วา “รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก” 4. สัจพจน (axiom) คือ ขอความที่กําหนดใหเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตรนั้น โดยไมตองพิสูจน เชน สัจพจนเชิงพีชคณิตของระบบจํานวนจริง สัจพจนเชิงอันดับ ของระบบจํานวนจริง สจั พจนความบรบิ รู ณของระบบจํานวนจรงิ 5. ทฤษฎีบท (theorem) คือ ขอความที่พิสูจนแลววาเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตร ที่กาํ หนด โดยการพิสูจน (proof) คือ กระบวนการอางเหตุผลตามหลักตรรกศาสตร เพือ่ นําไปสขู อสรุปที่ตองการ ซึ่งมักตองนําคําอนิยาม คํานิยาม รวมทั้งสัจพจน หรือ ทฤษฎบี ททีม่ อี ยูกอนแลว มาใชในการพสิ ูจน เชน ทฤษฎีบทของพที าโกรัส สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 63 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 ในบางกรณี ขอความที่พิสูจนแลววาเปนจริง อาจไมเรียกวาทฤษฎีบทเสมอไป โดย มีคําเฉพาะที่ใชเรียกทฤษฎีบทบางประเภท เชน “บทต้ัง” (lemma) ที่ใชเรียกทฤษฎี บทซ่ึงจะนําไปใชพิสูจน ทฤษฎีบทถัดไปที่เปนทฤษฎีบทหลัก หรือทฤษฎีบทที่มี ความสาํ คัญมากกวา และ “บทแทรก” (corollary) ที่ใชเรียกทฤษฎีบทซ่ึงเปนผลอยาง งายจากทฤษฎีบทที่มีมากอนหนา นอกจากน้ี ในบางกรณี จะใชคําวา “สมบัติ” (property) แทนขอความที่เปนจริงใด ๆ ในระบบเชิงคณิตศาสตรระบบหน่ึง โดยสมบัติอาจเปนความจริงเก่ียวกับคํานิยาม สัจพจน หรือทฤษฎีบทก็ได และอาจใชคําวา “กฎ” (law) สําหรับความจริงท่ีเปน สจั พจนห รอื ทฤษฎบี ทอีกดวย ครูควรระลึกอยูเสมอวา ความรูทางคณิตศาสตรที่กําลังพิจารณาเปนองคประกอบใด ของระบบเชิงคณิตศาสตร นั่นคือ ควรทราบวาสิ่งใดเปนสัจพจน สิ่งใดเปนทฤษฎีบท เชน ไมค วรพยายามพิสจู นส จั พจนเ กีย่ วกบั จาํ นวนจรงิ ในระบบจาํ นวนจริง 2.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนน้จี ะนาํ เสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบ้ืองตน สําหรับรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ท่ีตอ งการวดั ผลประเมนิ ผล ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. จงพิจารณาประโยคหรอื ขอความตอไปนีว้ าเปน ประพจนหรือไม ถาเปนประพจน จงหาคาความจริงของประพจนน น้ั สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน 64 คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 1) งวงนอนจัง 2) เธอตอ งไปเดี๋ยวน้ี 3) π = 22 7 4) 1∉{2, 3} 5) 2 ไมใชจํานวนจริง 6) 1, 2, 3,  7) ทาํ ไม a + b = b + a 2. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ่ึง p และ q มีคาความจริงเปนจริงและเท็จ ตามลาํ ดับ จงหาคาความจริงของประพจนต อไปน้ี 1) ( p ↔ q) → r 2) ( p∧  q) ∨ r 3. กําหนดให p และ q เปนประพจนใด ๆ ถา r เปนประพจนเชิงประกอบท่ีเกิดจาก การเชอื่ มประพจน p กับ q ซ่ึงมคี าความจริงดงั ตารางตอไปน้ี pq r TT F TFT FT T FF F จงเขียนประพจน r ในรูปประพจน p กบั q สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 65 คูมอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 4. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ่ึง p → q, q → r และ r → p มีคาความจริง เปนจริง จงหาคาความจรงิ ของประพจน p ↔ r 5. จงหานิเสธของขอความ “ถา x เปน จาํ นวนนบั แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปนจาํ นวนคี่” เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท 1. 1) ไมเปนประพจน 2) ไมเ ปน ประพจน 3) เปน ประพจน มีคาความจริงเปน เท็จ 4) เปนประพจน มีคา ความจริงเปนจรงิ 5) เปน ประพจน มีคา ความจริงเปน เท็จ 6) ไมเ ปนประพจน 7) ไมเ ปน ประพจน 2. 1) จาก p เปน จริง และ q เปน เท็จ จะได p ↔ q เปน เทจ็ ดังน้นั ( p ↔ q) → r มีคา ความจรงิ เปนจริง 2) จาก q เปน เท็จ จะได  q เปนจริง จาก p เปน จริง และ  q เปน จริง จะได p∧  q เปน จรงิ ดังนั้น ( p∧  q) ∨ r มคี า ความจริงเปนจริง 3. ตัวอยางคาํ ตอบ  ( p ↔ q)  ( p → q) ∧ (q → p) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 66 คมู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 4. พิจารณาตารางคา ความจริงดังนี้ p→q q→r r→ p pq r TTT T T T TTF T F T T FT F T T T FF F T T FTT T T F FT F T F T F FT T T F FFF T T T สังเกตวาถา p → q, q → r และ r → p มคี าความจรงิ เปนจริง จะได p, q และ r ตองมีคา ความจริงเปน จรงิ ทั้งหมด หรอื เปน เทจ็ ท้ังหมด ดงั นั้น p ↔ r มคี าความจรงิ เปนจริง 5. ให p แทนประพจน “ x เปนจํานวนนบั ” q แทนประพจน “ x เปนจํานวนคู” r แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนค่ี” จะไดวา ขอ ความ “ถา x เปน จาํ นวนนับ แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปน จํานวนคี่” เขียน แทนดวยรปู แบบของประพจน p → (q ∨ r) นเิ สธของ p → (q ∨ r) คือ   p → (q ∨ r ) เน่ืองจาก   p → (q ∨ r ) ≡   p ∨ (q ∨ r ) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 67 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 ≡ p∧  (q ∨ r) ≡ p∧  q∧  r โดยท่ีรูปแบบของประพจน p∧  q∧  r แทนขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ และ x ไม เปน จํานวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนค่ี” ดังนน้ั นิเสธของขอ ความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจํานวนคี่” คอื “ถา x เปน จาํ นวนนับ และ x ไมเ ปนจาํ นวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนคี่” 2.7 เฉลยแบบฝก หดั คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนท่ี 2 เฉลยคําตอบพรอ มวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัดที่ อยใู นสวนน้เี ปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไ ดน าํ เสนอวิธีทาํ อยา งไรก็ตามครูสามารถ ศึกษาวธิ ที ําโดยละเอยี ดของแบบฝกหดั ไดใ นสว นทา ยของคูมือครเู ลม น้ี แบบฝกหัด 2.1 1. 1) เปน ประพจน ทีม่ คี าความจริงเปน เท็จ 2) เปนประพจน ที่มคี าความจรงิ เปน จริง 3) เปนประพจน ท่ีมีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 4) ไมเ ปน ประพจน 5) ไมเ ปน ประพจน 6) เปน ประพจน ที่มีคาความจรงิ เปนจรงิ 7) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจรงิ เปนเท็จ 8) เปนประพจน ทม่ี ีคา ความจรงิ เปน เท็จ 9) ไมเปนประพจน 10) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปน จริง 11) เปน ประพจน ทม่ี คี าความจริงเปนเทจ็ 12) เปน ประพจน ท่มี คี าความจรงิ เปน จรงิ 13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเ ปน ประพจน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บ้อื งตน 68 คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 15) เปน ประพจน ทมี่ คี าความจรงิ เปนเทจ็ 16) ไมเปนประพจน 17) ไมเ ปนประพจน 18) เปน ประพจน ทีม่ ีคาความจรงิ เปนจรงิ 2. ตวั อยางคําตอบ 2 > 3 เปนประพจน ทม่ี คี าความจริงเปนเทจ็ ∅ ∈ {1, 2, 3} เปน ประพจน ทม่ี ีคาความจริงเปน เท็จ หนง่ึ ปมสี ิบสองเดือน เปนประพจน ท่มี ีคาความจริงเปน จริง 4 เปนจาํ นวนอตรรกยะ เปนประพจน ท่ีมคี าความจรงิ เปน เท็จ เดือนมกราคม มี 31 วนั เปน ประพจน ท่ีมคี า ความจรงิ เปน จริง แบบฝก หดั 2.2 1. 1) นิเสธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คือ 4 + 9 ≠ 10 + 3 มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 2) นเิ สธของประพจน −6 </ 7 คอื −6 < 7 มีคา ความจรงิ เปน จรงิ 3) นิเสธของประพจน 100 ไมเปนจาํ นวนเตม็ คอื 100 เปน จํานวนเต็ม มคี าความจริงเปนจรงิ 4) นเิ สธของประพจน 2 ⊄ {2} คือ 2 ⊂ {2} มีคาความจรงิ เปน เท็จ 2. 1) มีคา ความจริงเปนเท็จ 2) มคี าความจรงิ เปน จริง 3) มคี าความจริงเปน เท็จ 4) มคี าความจรงิ เปน จริง 5) มคี า ความจริงเปน เท็จ 6) มคี าความจริงเปน เท็จ 7) มคี า ความจริงเปนจริง 8) มคี าความจริงเปน เทจ็ 9) มีคา ความจริงเปน เท็จ 10) มคี า ความจรงิ เปน เท็จ 11) มคี าความจริงเปนจรงิ 12) มีคา ความจริงเปน จรงิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 69 คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 3. 1) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมคี า ความจริงเปน จรงิ 2) ประพจนที่กําหนดใหอยูในรูป p ∨ q และมคี าความจรงิ เปน จริง 3) ประพจนที่กาํ หนดใหอยูในรปู  p และมีคา ความจริงเปนเทจ็ 4) ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรปู p ↔ q และมคี าความจรงิ เปน จรงิ 5) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ↔ q และมีคาความจรงิ เปนจรงิ 6) ประพจนที่กาํ หนดใหอยใู นรูป p → q และมคี า ความจริงเปนจริง 7) ประพจนที่กาํ หนดใหอยใู นรปู p ∧ q และมคี า ความจรงิ เปน เทจ็ 8) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q และมีคาความจรงิ เปน จริง แบบฝก หัดทายบท 1. 1) ไมเปน ประพจน 2) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปนจรงิ 3) เปน ประพจน ที่มคี าความจริงเปน จริง 4) เปนประพจน ทมี่ ีคาความจรงิ เปน เท็จ 5) ไมเ ปนประพจน 6) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปน เท็จ 7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเปนประพจน 9) เปนประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปนจริง 10) เปน ประพจน ท่ีมคี าความจริงเปน จริง 2. 1) ขอความท่ีกําหนดใหอยูในรูป p ∨ q 2) ขอความทีก่ ําหนดใหอยูในรูป p ↔ q 3) ขอ ความทกี่ าํ หนดใหอ ยูในรปู p ∧ q  r 4) ขอความท่ีกาํ หนดใหอ ยูในรปู ( p ∧ q) → r 5) ขอ ความทก่ี ําหนดใหอ ยูในรูป p → ( q∨  r) 6) ขอความทก่ี ําหนดใหอ ยูในรูป ( p ∨ q) → (r ∨ s ∨ (r ∧ s)) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอ้ื งตน 70 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 3. 1) นิเสธของประพจน −20 + 5 > −17 คอื −20 + 5 ≤ −17 มีคา ความจริงเปน เท็จ 2) นิเสธของประพจน 37 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ คือ 37 เปน จํานวนเฉพาะ มีคาความจริงเปน จริง 3) นิเสธของประพจน 2 ∈ คือ 2 ∉ มคี า ความจริงเปน จริง 4) นิเสธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มีคาความจริงเปน เทจ็ 4. ตัวอยางคาํ ตอบ • π ไมเปน จํานวนตรรกยะ • นิดาและนัดดาเปน นกั เรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 • รูปสเ่ี หล่ียมอาจเปน รูปส่ีเหล่ยี มมุมฉากหรือรูปส่ีเหลย่ี มดานขนานก็ได • รูปสามเหล่ียม ABC เปน รูปสามเหลย่ี มดานเทา กต็ อเมื่อรปู สามเหลยี่ ม ABC มดี าน ยาวเทากันทุกดา น 5. 1) มคี า ความจริงเปนจรงิ 2) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 3) มีคา ความจริงเปนจริง 4) มีคาความจรงิ เปน จรงิ 5) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 6. 1) ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรูป p → q และมคี า ความจริงเปน จรงิ 2) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมีคาความจริงเปนจริง 3) ประพจนท ่ีกําหนดใหอยูในรูป p ∨ q และมีคาความจริงเปนจริง 4) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรปู p ∨ q และมคี า ความจริงเปน จริง 5) ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยูในรูป p ∧ q และมีคา ความจริงเปนเทจ็ 7. 1) ประพจน q มีคาความจริงเปน จรงิ และประพจน r มีคา ความจริงเปน จริง 2) ประพจน r มคี า ความจริงเปน จริง และประพจน q มีคา ความจริงเปนเท็จ 3) ประพจน ( p∧  q) → r มีคาความจรงิ เปน จริง สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 71 คูม อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 4) ประพจน ( p ∨ q) ∧ r มีคาความจริงเปน เทจ็ 8. ฟา ใสมีสทิ ธ์ไิ ดเ ลือ่ นตําแหนง 9. สุริยาจะไดร ับเงนิ รางวลั 45,000 บาท เมฆาจะไมไดร บั เงนิ รางวลั กมลจะไดรบั เงนิ รางวลั 140,000 บาท และทิวาจะไดร ับเงนิ รางวัล 800,000 บาท 10. มานแกวจะสามารถกูเงนิ กับบริษัทนีไ้ ด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบ้อื งตน 72 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 บทท่ี 3 หลกั การนบั เบ้ืองตน การศึกษาเรื่องหลักการนับเบื้องตนมีความสําคัญตอการแกปญหาในชีวิตประจําวัน ซ่ึงใน ชีวิตประจําวันจะพบปญหาท่ีใชความรูเกี่ยวกับการนับอยูเสมอ เชน การวางแผนการจัดการ แขงขันกีฬา การกําหนดปายทะเบียนรถยนตน่ังสวนบุคคล การบริหารจัดการเกี่ยวกับการออกต๋ัว ชมการแสดง ซึ่งความรูเก่ียวกับหลักการนับ เชน หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู จะชวยใหสามารถนับจํานวนส่ิงของตาง ๆ ไดสะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสิ่งของน้ัน มีจํานวนมาก และมีองคประกอบที่ซับซอน เนื้อหาเรื่องหลักการนับเบ้ืองตนที่นําเสนอใน หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 นี้มีเปาหมายเพ่ือใหนักเรียน เรียนรูเกี่ยวกับหลักการนับเบื้องตนและนําไปใชในการแกปญหา สําหรับในบทเรียนน้ีมุงให นักเรยี นบรรลุตัวชว้ี ดั และจุดมงุ หมายดงั ตอไปน้ี ตัวชว้ี ดั เขาใจและใชหลกั การบวกและการคณู การเรยี งสบั เปลยี่ น และการจัดหมูในการแกป ญหา สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนับเบ้อื งตน 73 คูมือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 จดุ มงุ หมาย 1. ใชหลักการนับเบ้ืองตน ในการแกปญหา 2. ใชว ธิ ีเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เสน กรณที ี่สิ่งของแตกตา งกันทั้งหมดในการแกปญ หา 3. ใชวิธจี ดั หมกู รณที ีส่ ่งิ ของแตกตางกนั ท้ังหมดในการแกปญ หา ความรูก อนหนา • ความรเู กี่ยวกบั จาํ นวนและหลักการนับเบ้อื งตน ในระดับมัธยมศึกษาตอนตน 3.1 เนอื้ หาสาระ 1. หลกั การบวก ในการทํางานอยา งหน่ึง ถาสามารถแบง วิธที ํางานออกเปน k กรณี โดยที่ กรณที ่ี 1 สามารถทําได n1 วธิ ี กรณที ี่ 2 สามารถทาํ ได n2 วธิ ี  กรณีท่ี k สามารถทาํ ได nk วธิ ี ซ่ึงวิธีการทํางานในท้ัง k กรณีไมซํ้าซอนกันและการทํางานในแตละกรณีทําใหงานเสร็จ สมบรู ณ แลวจะสามารถทํางานนี้ไดท้งั หมด n1 + n2 ++ nk วธิ ี 2. หลักการคูณ ในการทํางานอยางหนึ่ง ถาสามารถแบงขั้นตอนการทํางานออกเปน k ขั้นตอน ซึ่งตอง ทาํ ตอเน่ืองกัน โดยที่ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 74 คูม อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 ข้ันตอนที่ 1 มีวิธีเลือกทําได n1 วิธี ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 สามารถทาํ ข้ันตอนท่ี 2 ได n2 วิธี ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 และขั้นตอนท่ี 2 สามารถทําขั้นตอนท่ี 3 ได n3 วิธี  ในแตล ะวิธขี องขั้นตอนท่ี 1 ถึงขน้ั ตอนท่ี k −1 สามารถทําขนั้ ตอนท่ี k ตอ ไปได nk วิธี แลวจะทาํ งาน k ข้ันตอน ได n1 × n2 ×× nk วิธี 3. ให n เปนจํานวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล n คือ การคูณของจํานวนเต็มบวกตั้งแต 1 ถึง n เขียนแทนดวย n! 4. การเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงเสนของสงิ่ ของท่แี ตกตา งกนั ทัง้ หมด จํานวนวิธีในการนําส่ิงของ r ช้ิน จากส่ิงของท่ีแตกตางกัน n ช้ิน มาเรียงสับเปลี่ยน เชิงเสน คือ Pn, r = n! วธิ ี (n − r)! 5. การจดั หมขู องสงิ่ ของท่แี ตกตางกนั ทง้ั หมด จาํ นวนวธิ จี ดั หมขู องส่ิงของทแ่ี ตกตางกนั n ชิน้ โดยเลอื กคราวละ r ชนิ้ คอื Cn, r = n! วธิ ี (n − r)!r! 3.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเห็นความสําคัญของหลักการนับ โดยใชกิจกรรม การนบั จํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ดังน้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 75 คมู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 กิจกรรม : หมายเลขรถยนต ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครูยกตัวอยางรูปปายทะเบียนรถยนตนั่งสวนบุคคลในกรุงเทพมหานครในปจจุบัน ซงึ่ ประกอบดวยเลขโดด 1 ตวั ทไี่ มใช 0 ตามดวยพยัญชนะไทย 2 ตวั และจํานวนเต็มบวกท่ี ไมเกนิ 4 หลัก 1 จาํ นวน ซึ่งมีลักษณะดังรปู 2. ครูใหนักเรียนบอกลักษณะท่ีสังเกตไดจากปายทะเบียน และเปรียบเทียบวามีความแตกตาง กับจังหวัดท่นี กั เรยี นอาศัยอยอู ยางไร เพราะเหตใุ ดจึงมีความแตกตางเชน นั้น 3. ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายวา ถาตองการทราบจํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ในรปู แบบนี้ จะมไี ดทงั้ หมดก่ีหมายเลขและมวี ิธกี ารนับอยางไร ในการจัดกิจกรรมนี้ ครูควรเนนใหนักเรียนเห็นวา ในการนับจํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ขางตน อาจไมส ะดวกท่จี ะนับโดยตรง เหมอื นกับการนับจาํ นวนสิง่ ของท่มี ีไมมากและไมซับซอน เชน การนับจํานวนนักเรียนในหอง จํานวนไมยืนตนในบริเวณบาน หรือจํานวนหนังสือใน กระเปานักเรยี น ดังนั้น การใชความรูเกี่ยวกับหลักการนับจะชวยใหสามารถนับจํานวนสิ่งของ ตาง ๆ ไดส ะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสง่ิ ของที่นับมจี ํานวนมาก และมอี งคประกอบที่ซบั ซอน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 76 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 หลกั การบวกและหลักการคณู ครูอาจนําเขาสูหลักการบวก โดยยกตัวอยางการเลือกบริษัทผูใหบริการสําหรับเดินทางกลับ เชยี งใหมข องบัวตองจากหนงั สือเรียน ดังนี้ ถาบัวตองจะเดนิ ทางจากกรุงเทพฯ กลบั ไปเยยี่ มบานทีเ่ ชียงใหม โดยจะเลือกเดินทาง โดยเคร่ืองบินหรือรถประจําทาง และสมมติวามีสายการบินและบริษัทรถประจําทาง ใหเลือกดงั ตาราง แลวบวั ตองจะเลือกบริษทั ผใู หบ ริการไดท ง้ั หมดก่วี ิธี วธิ ีเดินทาง บรษิ ัทผใู หบ รกิ าร เคร่อื งบนิ 1. ยม้ิ สยาม 2. การบนิ เอเชยี 3. วหิ คเหนิ ฟา 4. กรงุ เทพการบนิ 5. เชยี งใหมแอรเวย 6. ไทยการบนิ รถประจาํ ทาง 1. กรงุ เทพทวั ร 2. มาลีทัวร 3. สบายทวั ร 4. สยามทวั ร 5. ทวั รท่ัวไทย สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนับเบ้ืองตน 77 คูมอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปราย และเปดโอกาสใหนักเรียนใชวิธีที่หลากหลายในการหาคําตอบ ซ่งึ นกั เรียนอาจเขยี นแสดงโดยใชแผนภาพตน ไม หรอื เขยี นแสดงในตาราง ดังตัวอยางตอไปน้ี ตวั อยางคาํ ตอบที่ 1 แสดงโดยใชแ ผนภาพตน ไมไดดังนี้ ย้มิ สยาม เครือ่ งบิน การบินเอเชยี วหิ คเหินฟา การเดนิ ทาง กรงุ เทพการบิน เชียงใหมแอรเ วย รถประจาํ ทาง ไทยการบนิ กรงุ เทพทวั ร มาลีทวั ร สบายทวั ร สยามทวั ร ทัวรทั่วไทย สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 78 คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ตวั อยางคําตอบที่ 2 แสดงโดยแจกแจงกรณีในรูปตารางไดดงั นี้ วิธีที่ วิธีเดินทาง บรษิ ทั ผูใหบ ริการ บริษทั ผูใหบ ริการ เครือ่ งบิน รถประจําทาง เครื่องบิน รถประจําทาง 1 2 3 4 5 6 12345 1  2 3  4  5  6 7  8  9 10  11     ครูและนักเรียนรวมกันสรุปจากตัวอยาง ซ่ึงจะพบวาในการแกปญหาขางตนไดใชการนับ โดยแบงวิธีที่เปนไปไดออกเปน 2 กรณี ไดแก กรณีท่ีเดินทางโดยเครื่องบิน และกรณีเดินทาง โดยรถประจําทาง ซึ่งบริษัทผูใหบริการในท้ังสองกรณีไมซ้ําซอนกัน จากน้ันจึงนําจํานวนบริษัท ผใู หบรกิ ารทัง้ สองกรณีมาบวกกัน ครูอาจใชตัวอยางนําเขาสูหลักการคูณ โดยยกตัวอยางการเลือกเสนทางขับรถยนตของบัวตอง เพื่อเดินทางไปเย่ียมบานที่เชียงใหมของบัวตองโดยระหวางทางจะตองแวะเยี่ยมญาติท่ี นครสวรรค จากหนังสอื เรียน ดังนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 79 คูม ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 สมมติวาบัวตองจะขับรถยนตจากกรุงเทพฯ กลับไปเยี่ยมบานที่เชียงใหม โดยระหวาง ทางจะตองแวะเย่ียมญาติท่ีนครสวรรคดวย ถาเสนทางจากกรุงเทพฯ ไปนครสวรรค มี 2 เสนทาง และเสนทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม มี 3 เสนทาง แลวบัวตอง จะขับรถจากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหมไ ดทงั้ หมดกี่เสน ทาง โดยใหนักเรียนรวมกันอภิปราย และเปดโอกาสใหนักเรียนใชวิธีท่ีหลากหลายในการหาคําตอบ ซึ่งนกั เรยี นอาจเขยี นแสดงโดยใชแผนภาพ หรือเขียนแสดงในตาราง ดังตวั อยางตอไปนี้ ตัวอยา งคําตอบท่ี 1 แสดงโดยใชแ ผนภาพ กรุงเทพฯ นครสวรรค เชียงใหม ตัวอยา งคาํ ตอบที่ 2 แสดงโดยใชแผนภาพตน ไม ขนั้ ตอนที่ 2 นครสวรรค – เชียงใหม ขั้นตอนที่ 1 กรงุ เทพฯ – นครสวรรค เสนทางท่ี 1 เสนทางท่ี 2 เสน ทางที่ 1 เสนทางที่ 3 การเดนิ ทาง เสน ทางท่ี 1 เสน ทางท่ี 2 เสนทางท่ี 2 เสน ทางที่ 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้อื งตน 80 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 ตวั อยางคาํ ตอบที่ 3 แสดงโดยแจกแจงกรณใี นรปู ตารางไดด ังน้ี กรุงเทพฯ – นครสวรรค นครสวรรค – เชียงใหม วิธีที่ เสนทางท่ี 1 เสน ทางท่ี 2 เสนทางท่ี 3 เสนทางที่ 1 เสนทางท่ี 2 1  2  3  4  5  6  ประเด็นสําคัญเกี่ยวกับเน้ือหาและสงิ่ ท่ีควรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน • จากสถานการณเก่ียวกับการเดินทางของบัวตองท้ังสองปญหาขางตน จะเห็นวามี ความแตกตางกัน โดยสถานการณแรกใชหลักการบวกในการหาจํานวนวิธีเดินทาง ของบัวตองน้ัน ซึ่งจะเห็นวาการเดินทางแตละวิธี ไมวาจะโดยเครื่องบินหรือ โดยรถประจําทางสามารถทําใหการเดินทางนั้นสมบูรณได แตในสถานการณท่ี 2 ใชหลักการคูณในการหาจํานวนเสนทางในการเดินทาง ซึ่งจะเห็นวาการเดินทาง ตองมี 2 ข้ันตอน นั่นคือ ขั้นตอนที่ 1 เปนการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปนครสวรรค ซ่ึงมี 2 เสนทาง และขั้นตอนที่ 2 เปนการเดินทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม ซง่ึ มี 3 เสนทาง โดยการเดินทางจะสมบูรณเมอ่ื มคี รบท้ัง 2 ข้ันตอน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 81 คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 • ตัวอยางที่ 5 รานอาหารแหงหนึ่งมีอาหารคาว 4 อยาง และขนม 3 อยาง ถาลูกคาตองการ อาหารคาวหน่งึ อยา งและขนมหนึง่ อยาง เขาจะมวี ิธเี ลือกส่ังอาหารไดกว่ี ิธี ตัวอยางนี้ นําเสนอขั้นตอนการเลือกส่ังอาหารคาวกอนการเลือกส่ังขนม อยางไรก็ตาม อาจจะพิจารณาข้ันตอนการเลือกส่ังขนมกอนการเลือกสั่งอาหารคาวก็ได เพียงแต ตอ งพิจารณาใหครบทุกขั้นตอนเทาน้ัน นั่นคือ ในบางสถานการณที่ใชหลักการคูณใน การแกปญหา อาจสลบั ขนั้ ตอนได • ในการสอนเน้อื หาเรือ่ งนี้ ครูควรเรม่ิ จากการพิจารณาโจทยวาโจทยกําหนดสิ่งใด ตองการให หาสิ่งใด จะหาส่ิงน้ันตองทราบอะไรบาง จําเปนตองมีขั้นตอนใดบาง ข้ันตอนเหลาน้ันเปน อสิ ระตอกันหรือไม การทํางานตามข้ันตอนเหลา นั้นตองใชหลกั การบวกหรือหลักการคูณ • การแกป ญหาเกีย่ วกบั หลักการนบั สามารถทําไดหลายวิธี ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียน ไดล องคิดหาคําตอบดวยตนเอง ประเด็นสําคญั เกีย่ วกับแบบฝก หัด แบบฝกหัด 3.1 5. ลูกเตาแตละลูกประกอบดวยหนา 6 หนา โดยมีแตม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ปรากฏอยู แตมละหนึ่งหนา ถาทอดลูกเตาหนึ่งลกู สองครั้ง จงหา สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 82 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 1) จํานวนวิธที ีแ่ ตมทไี่ ดจากการทอดลูกเตาท้งั สองครัง้ เทา กนั 2) จาํ นวนวิธที ี่แตม ทไ่ี ดจากการทอดลกู เตา ทัง้ สองครั้งตา งกนั 3) จาํ นวนวธิ ที ่ผี ลรวมของแตมทไ่ี ดจากการทอดลกู เตาท้งั สองคร้งั นอยกวา 10 แบบฝกหัดนี้สามารถหาคําตอบไดโดยการเขียนแจกแจงกรณีในรูปตาราง ซ่ึงเปนวิธีที่นักเรียน คุนเคยในระดับมัธยมศึกษาตอนตน ครูควรกระตุนใหนักเรียนเช่ือมโยงการเขียนแจกแจงกรณี ไปสกู ารใชห ลักการนบั เบ้อื งตน การเรยี งสับเปล่ียนเชงิ เสน ของส่ิงของทีแ่ ตกตา งกนั ทง้ั หมด ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของ สงิ่ ของทแ่ี ตกตางกนั ทง้ั หมด โดยใชกิจกรรมการถายรปู ดังน้ี กจิ กรรม : การถา ยรูป ขั้นตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครูเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คน ออกมาหนาช้ันโดยกําหนดตําแหนงที่ 1, 2 และ 3 เรียงกัน เพ่ือถายรปู 2. ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายและรวมกันเขียนแจงกรณีเพ่ือแสดงการยืนเรียงสลับที่กัน ของตัวแทนทงั้ สาม เพ่อื พจิ ารณาวาจะไดวิธีการยืนเรยี งทแี่ ตกตางกนั ท้งั หมดก่ีวิธี 3. ครูใหนักเรียนใชหลักการคูณที่ไดศึกษามาแลวในการหาจํานวนวิธีการยืนเรียงกัน เพื่อถา ยรูปท่แี ตกตางกันของตัวแทนนกั เรียนท้ังสามคน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 83 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 ครูสามารถเชื่อมโยงวิธีการหาจํานวนวิธีการยืนเรียงกันเพ่ือถายรูปในกิจกรรมน้ีกับเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งของท่ีแตกตางกันทั้งหมด โดยเช่ือมโยงกับหลักการคูณ และ สตู ร Pn, r ประเด็นสําคญั เก่ียวกับเน้ือหาและสิ่งทีค่ วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน ให n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวา n! = n×(n −1)×(n − 2)×...×1 และกําหนดให 0! = 1 การจัดหมสู ่ิงของท่แี ตกตา งกันทง้ั หมด ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพ่ือใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเกี่ยวกับการจัดหมูสิ่งของท่ีแตกตางกัน ท้ังหมด โดยใชก จิ กรรมเลือกตัวแทนนักเรยี น ดงั นี้ กิจกรรม : เลอื กตวั แทนนักเรียน ข้นั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครเู ลือกตัวแทนนักเรียน 4 คน ออกมาหนา ชนั้ เรยี น 2. ครูใหน กั เรียนรว มกันอภิปรายและรว มกันเขยี นแจงกรณีเพ่ือแสดงการเลือกนักเรียน 2 คน จากตัวแทนนักเรียนทง้ั 4 คนน้ี เพ่ือพิจารณาวาจะไดวิธกี ารเลอื กนักเรียนที่แตกตางกัน ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 84 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 3. ครูใหนักเรียนพิจารณาจากการเขียนแจงกรณีที่ไดในขอ 2 โดยสังเกตวาในการเลือก ตัวแทนนักเรียนสองคนออกมาโดยไมสนใจลําดับนั้น จะถือวาการเรียงสับเปล่ียนของ นักเรียนสองคนนี้เปน แบบเดยี วกัน 4. ครูใหน กั เรยี นหาวิธีการเลอื กตัวแทนนักเรียนจากขอสงั เกตในขอ 3 ครสู ามารถเช่อื มโยงวิธกี ารหาจาํ นวนวิธีเลือกตัวแทนนักเรียนในกิจกรรมน้ีกับเร่ืองการจัดหมูของ สงิ่ ของท่ีแตกตางกันท้งั หมด โดยเชื่อมโยงกับสตู ร Cn, r ประเด็นสําคญั เกยี่ วกับแบบฝก หัด แบบฝกหัดทายบท 9. ในการทอดลกู เตา หนึง่ ลกู สองคร้งั จงหา 1) จํานวนวิธีที่ผลรวมของแตมเทา กับเจ็ด 2) จํานวนวธิ ีท่ีผลรวมของแตม ไมเ ทากบั เจ็ด แบบฝก หดั น้ีมวี ิธกี ารแกป ญหาทีห่ ลากหลาย โดยในบางวิธจี ะชวยลดความซบั ซอ นข อ ง ก า ร แกปญหาได ครคู วรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแสดงวิธีการแกปญหา โดยไมจําเปนตองตรง กบั ทค่ี รคู ิดไว สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบื้องตน 85 คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 3.3 แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น กิจกรรม : บทพากยเอราวัณ บทพากยเอราวัณ จากพระราชนิพนธเรื่องรามเกียรต์ิ ในพระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหลา นภาลัย เปนกาพยฉบัง 16 ซึ่งบรรยายลักษณะของชางเอราวัณ พาหนะของพระอินทร ซึ่งชางในบทพากยน้ีเกิดจากการเนรมิตของอินทรชิต เพ่ือหลอกลอกองทัพของพระราม โดยสว นหน่ึงของบทพากยเ ปน ดังนี้ ชางนมิ ติ ฤทธแิ รงแขง็ ขนั เผอื กผองผิวพรรณ สสี ังขสะอาดโอฬาร สามสบิ สามเศยี รโสภา เศียรหนง่ึ เจ็ดงา ดั่งเพชรรัตนรจู ี งาหนง่ึ เจ็ดโบกขรณี สระหนึ่งยอ มมี เจ็ดกออบุ ลบนั ดาล กอหน่ึงเจด็ ดอกดวงมาลย ดอกหนึ่งเบงบาน มกี ลีบไดเจด็ กลีบผกา กลีบหน่ึงมีเทพธดิ า เจ็ดองคโ สภา แนง นอ ยลาํ เพานงพาล นางหน่ึงยอมมีบรวิ าร อกี เจด็ เยาวมาลย ลวนรปู นริ มิตมายา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน 86 คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 ใหนกั เรียนตอบคาํ ถามตอไปนี้ โดยใชข อ มูลจากบทพากยขางตน 1. ชา งเอราวณั มกี ีเ่ ศียร 2. เศยี รชางเอราวัณแตล ะเศียรมีงากี่กง่ิ และชา งเอราวณั มงี ารวมท้งั หมดกี่กง่ิ 3. งาแตล ะก่ิงมีสระบัวก่ีสระ และชา งเอราวัณมสี ระบวั รวมท้งั หมดก่สี ระ 4. สระบัวแตละสระมีกอบวั กีก่ อ และชางเอราวัณมกี อบวั รวมทง้ั หมดก่กี อ 5. กอบัวแตล ะกอมีดอกบวั กด่ี อก และชางเอราวัณมดี อกบวั รวมทงั้ หมดกด่ี อก 6. ดอกบัวแตล ะดอกมกี ีก่ ลบี และชา งเอราวณั มกี ลบี ดอกบวั รวมทัง้ หมดกก่ี ลีบ 7. กลบี ดอกบัวแตละกลีบมีเทพธดิ ากอี่ งค และชา งเอราวัณมเี ทพธดิ ารวมทงั้ หมดกี่องค 8. เทพธิดาแตละองคมีบริวารกี่นาง และชางเอราวณั มบี รวิ ารรวมทงั้ หมดกน่ี าง 9. ชางเอราวัณมีเทพธิดาและบรวิ ารรวมทง้ั หมดก่ีนาง เฉลยกจิ กรรม : บทพากยเอราวณั 1. 33 เศียร 2. เศยี รชางแตล ะเศยี รมงี า 7 กิง่ และชางเอราวณั มีงารวมท้ังหมด 33× 7 กง่ิ 3. งาแตล ะกงิ่ มสี ระบัว 7 สระ และชางเอราวัณมสี ระบัวรวมทั้งหมด 33× 72 สระ 4. สระบวั แตล ะสระมกี อบัว 7 กอ และชา งเอราวณั มีกอบวั รวมทงั้ หมด 33× 73 กอ 5. กอบวั แตละกอมีดอกบัว 7 ดอก และชางเอราวณั มีดอกบัวรวมทั้งหมด 33× 74 ดอก 6. ดอกบวั แตล ะดอกมี 7 กลบี และชางเอราวัณมีกลีบบัวรวมทัง้ หมด 33× 75 กลบี 7. กลบี บัวแตละกลีบมีเทพธดิ า 7 องค และชา งเอราวัณมีเทพธิดารวมท้ังหมด 33× 76 องค 8. เทพธิดาแตล ะองคม บี รวิ าร 7 นาง และชางเอราวัณมีบรวิ ารรวมทง้ั หมด 33× 77 นาง 9. ชา งเอราวัณมีเทพธดิ าและบริวารรวมทั้งหมด 33× 76 + 33× 77 = 264× 76 นาง สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนับเบื้องตน 87 คูม อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 แนวทางการจัดกจิ กรรม : บทพากยเอราวัณ เวลาในการจัดกจิ กรรม 30 นาที กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนฝกฝนการใชความรู เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณ เพ่ือแกป ญ หา โดยกิจกรรมนี้มสี ่อื /แหลง การเรยี นรู และขน้ั ตอนการดําเนนิ กิจกรรม ดงั นี้ สื่อ/แหลง การเรยี นรู 1. ใบกิจกรรม “บทพากยเอราวัณ” 2. รูปชางเอราวณั จากสารานุกรมไทยสําหรบั เยาวชน ขน้ั ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม 1. ครูนาํ เขา สูกจิ กรรมโดยเปดสื่อวดี ิทัศนห รือเลา เรอื่ งราวสั้น ๆ เก่ยี วกับชางเอราวณั 2. ครูแจกใบกิจกรรม “บทพากยเอราวัณ” ใหกับนักเรียนทุกคนและแบงกลุมนักเรียน แบบคละความสามารถ กลมุ ละ 3 – 4 คน 3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาใบกิจกรรมบทพากยเอราวัณ จากนั้นชวยกันตอบคําถาม ขอ 1 – 9 ในใบกิจกรรม ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชแนวทางที่หลากหลายในการ หาคําตอบ และอนุญาตใหนักเรียนเขียนแสดงคําตอบในรูปของเลขยกกําลังได โดยใน ระหวางทีน่ ักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหท่ัวถึงทุกกลุม และคอยช้ีแนะเม่ือ นักเรยี นพบปญหา 4. ครูสุมเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือตอบคําถาม และใหนักเรียนกลุมอ่ืน ๆ รวมกันอภิปราย เกย่ี วกบั คําตอบ รวมท้ังกระตนุ ใหนกั เรียนใหเ หตุผลประกอบคําตอบ 5. ครแู สดงภาพตวั อยา งของชางเอราวัณ จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเพื่อสรุป เก่ียวกับบทพากยเอราวัณที่นักเรียนไดอาน ซึ่งเปนบทประพันธที่แสดงถึงจินตนาการ ของกวที ีพ่ รรณนาความยิ่งใหญของชางเอราวัณ โดยนกั เรียนสามารถใชความรูคณิตศาสตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบ้อื งตน 88 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เรื่อง หลักการนับเบ้ืองตน เพ่ือทําความเขาใจเก่ียวกับความยิ่งใหญของชางเอราวัณ ไดอ ีกดว ย 3.4 การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวดั ผลระหวา งเรียนเปนการวดั ผลการเรียนรูเ พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นกั เรยี นทาํ แบบฝก หัดเปน แนวทางหน่ึงทค่ี รอู าจใชเพอ่ื ประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นกั เรยี น ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ท่ีครอบคลุมเน้ือหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 3 หลักการนับเบ้ืองตน ครูอาจใช แบบฝก หัดเพื่อวดั ผลประเมนิ ผลความรูในแตล ะเนอื้ หาไดดังน้ี เนื้อหา แบบฝก หัด หลักการบวก 3.1 ขอ 1, 2 หลักการคณู 3.1 ขอ 4 – 8 การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน ของส่ิงของทแี่ ตกตางกนั ทัง้ หมด 3.2 ขอ 1 – 5 การจัดหมูของสิ่งของทแี่ ตกตางกนั ทงั้ หมด 3.3 ขอ 1 – 6 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี