(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4

คูม อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 139 4) A และ C มีสมาชิกรว มกัน คอื 4 และ 6 ดังนัน้ A ∩ C ={ 4, 6} 5) สมาชกิ ท่ีอยูใน U แตไมอยูใน C คอื 0, 1, 2, 7 และ 8 ดงั นั้น C′ = { 0, 1, 2, 7, 8} 6) C′ และ A มสี มาชกิ รว มกนั คอื 0, 2 และ 8 ดงั นั้น C′∩ A ={ 0, 2, 8} 7) C′ และ B มีสมาชิกรวมกัน คือ 1 และ 7 ดงั น้นั C′∩ B ={1, 7 } 8) A ∩ B เปนเซตวาง B มีสมาชกิ คือ 1, 3, 5 และ 7 ดงั นั้น ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 } วธิ ที ่ี 2 A และ B ไมมสี มาชิกรว มกนั A และ C มีสมาชกิ รวมกนั คือ 4 และ 6 B และ C มสี มาชกิ รวมกนั คือ 3 และ 5 เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดดงั น้ี จากแผนภาพ จะได 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 } 1) A ∩ B =∅ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

140 คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 4) A ∩ C ={ 4, 6 } 6) C′∩ A ={ 0, 2, 8} 3) B ∩ C ={ 3, 5} 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 } 5) C′ = { 0, 1, 2, 7, 8} 7) C′∩ B ={1, 7 } 2) B′ d 3. 1) A′ 3) A′∩ B′ 4) ( A ∪ B)′ s 5) A′∪ B′ 6) ( A ∩ B)′ s สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

7) A − B คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 141 4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 8) A ∩ B′ d 2) A ∪ ( B ∪ C ) d 3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s 5) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

142 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 2) C ∪ B′ 5. 1) A ∩ C ก 2) A 3) B − A ก 4) U 6. 1) ∅ ก 6) ∅ 3) ∅ ก 8) ∅ 5) U ก 7) A′ ก แบบฝกหดั 1.3 1. เขยี นแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดด งั น้ี จากแผนภาพ จะไดจ าํ นวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ดังตอไปนี้ เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′ จาํ นวนสมาชกิ 34 19 59 60 75 41 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 143 2. เขยี นแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดดงั นี้ จากแผนภาพ จะได 1) n( A ∪ B) = 12 +13 +17 = 42 2) n( A − B) =12 ก 3) n( A′∩ B′) =8 ป 3. เขยี นแผนภาพเพือ่ แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดดงั น้ี จากแผนภาพ จะได 1) n( A ∪ C ) =3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 =40 2) n( A ∪ B ∪ C ) = 3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 + 3 = 43 ก 3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก 4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก 5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

144 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 4. ให A และ B เปนเซตจํากัด โดย=ที่ n( A) 1=8, n(B) 25 และ n( A ∪ B) =37 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) จะได 37 = 18 + 25 − n( A ∩ B) n( A ∩ B) = 18 + 25 − 37 =6 ดงั น้ัน n( A ∩ B) =6 5. จาก n( A − B) =20 และ n( A ∪ B) =80 เขยี นแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดดังนี้ จากแผนภาพ จะได n(B) = n(A∪ B)−n(A− B) = 80 − 20 = 60 ดังนัน้ n(B) = 60 6. ให U แทนเซตของพนักงานบริษทั แหงหน่งึ ท่ีไดร ับการสอบถาม A แทนเซตของพนกั งานทช่ี อบด่ืมชา B แทนเซตของพนกั งานที่ชอบดื่มกาแฟ A ∪ B แทนเซตของพนักงานที่ชอบด่ืมชาหรอื กาแฟ A ∩ B แทนเซตของพนกั งานทช่ี อบด่ืมท้งั ชาและกาแฟ จะได n( A ∪ B) = 120 n( A) = 60 n( B) = 70 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 145 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) จะได 120 = 60 + 70 − n( A ∩ B) นั่นคือ n( A ∩ B) = 60 + 70 – 120 n( A ∩ B) = 10 ดงั น้ัน มีพนักงานท่ชี อบดืม่ ทั้งชาและกาแฟ 10 คน 7. ให U แทนเซตของผปู ว ยทเ่ี ขา รว มการสาํ รวจ A แทนเซตของผปู วยที่สบู บหุ ร่ี B แทนเซตของผปู วยที่เปนมะเร็งปอด A′∩ B′ แทนเซตของผปู ว ยท่ีไมส บู บุหรแ่ี ละไมเปนมะเร็งปอด A ∩ B แทนเซตของผูปวยท่สี บู บุหรแี่ ละเปน มะเร็งปอด จะได n(U ) = 1,000 n( A) = 312 n( B) = 180 n( A′∩ B′) = 660 วธิ ที ี่ 1 เนื่องจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′ ดังน้นั n( A′∩ B′) = n( A ∪ B)′ จะได n( A ∪ B) = n(U ) − n( A ∪ B)′ = n(U ) − n( A′∩ B′) = 1,000 − 660 = 340 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) จะได 340 = 312 +180 − n( A ∩ B) นัน่ คอื n( A ∩ B) = 312 + 180 – 340 n( A ∩ B) = 152 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

146 คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 ดงั นัน้ มีผูป วยท่ีสบู บุหร่แี ละเปน มะเร็งปอด 152 คน คิดเปน รอยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจํานวนผูส ูบบุหรท่ี ัง้ หมด 312 วธิ ีที่ 2 ให x แทนจาํ นวนผูป ว ยทีส่ บู บุหรีแ่ ละเปนมะเรง็ ปอด นัน่ คือ=x n( A ∩ B) เขียนแผนภาพเพอื่ แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดดังนี้ เนื่องจาก โรงพยาบาลแหงนท้ี ําการสํารวจขอมลู จากผูปวยทั้งหมด 1,000 คน จะได 1,000 = (312 − x) + x + (180 − x) + 660 นน่ั คือ 1,000 = (492 − x) + 660 x = 492 + 660 −1, 000 x = 152 ดงั นน้ั มผี ูปว ยทีส่ ูบบุหร่แี ละเปน มะเร็งปอด 152 คน 8. ให คดิ เปนรอ ยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจํานวนผูส บู บหุ รที่ งั้ หมด 312 U แทนเซตของนักเรียนชัน้ มธั ยมศึกษาตอนปลายหอ งหน่งึ A แทนเซตของนักเรยี นทส่ี อบผา นวชิ าคณติ ศาสตร B แทนเซตของนักเรียนทส่ี อบผา นวิชาสงั คมศึกษา C แทนเซตของนักเรียนที่สอบผา นวิชาภาษาไทย A∩ B แทนเซตของนักเรยี นท่ีสอบผา นวชิ าคณิตศาสตรและสงั คมศึกษา B ∩C แทนเซตของนักเรียนที่สอบผานวิชาสงั คมศึกษาและภาษาไทย A∩C แทนเซตของนักเรียนทสี่ อบผา นวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทย สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 147 A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนทีส่ อบผา นทงั้ สามวชิ า จะได n( A) = 37 n( B) = 48 n(C ) = 45 n( A ∩ B) = 15 n( B ∩ C ) = 13 n(A∩C) = 7 n(A∩ B∩C) = 5 วธิ ีท่ี 1 เขยี นแผนภาพเพื่อแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซตไดด ังน้ี วิธีที่ 2 จากแผนภาพ จะไดว ามนี ักเรียนท่สี อบผานอยางนอยหนึง่ วิชา เทา กบั 20 +10 + 25 + 2 + 5 + 8 + 30 =100 คน เนอื่ งจากนักเรยี นท่สี อบผานอยางนอ ยหนึ่งวิชา คือ นักเรียนท่ีสอบผา น วชิ าคณติ ศาสตร หรอื สอบผา นวิชาสงั คมศกึ ษา หรือสอบผานวชิ าภาษาไทย ซ่งึ คอื A ∪ B ∪ C จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) = 37 + 48 + 45 −15 − 7 −13 + 5 = 100 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

148 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 ดังน้นั มนี ักเรยี นที่สอบผานอยา งนอ ยหนงึ่ วิชา 100 คน 9. ให U แทนเซตของผถู ือหนุ ในตลาดหลักทรัพยแ หงประเทศไทยท่ีรว มการสาํ รวจ A แทนเซตของผูถือหนุ บริษัท ก B แทนเซตของผูถือหนุ บรษิ ัท ข C แทนเซตของผถู ือหนุ บริษัท ค A∩ B แทนเซตของผูถือหนุ บรษิ ัท ก และ ข B ∩ C แทนเซตของผถู ือหุนบรษิ ัท ข และ ค A∩ C แทนเซตของผถู ือหุนบรษิ ัท ก และ ค A ∩ B ∩ C แทนเซตของผถู ือหนุ ทั้งสามบรษิ ทั จะได n(U ) = 3,000 n( A) = 200 n( B) = 250 n(C ) = 300 n( A ∩ B) = 50 n( B ∩ C ) = 40 n( A ∩ C ) = 30 n(A∩ B∩C) = 0 วธิ ีที่ 1 เขยี นแผนภาพเพ่อื แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดด งั น้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 149 จากแผนภาพ จะไดวามีผูท ่ีถือหนุ บริษัทอ่ืน ๆ ที่ไมใชหุนของสามบริษทั น้ี 2,370 คน วิธที ่ี 2 ให A ∪ B ∪ C แทนเซตของผถู ือหุน บรษิ ัท ก หรือ ข หรอื ค ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผถู ือหุนบริษัทอ่ืน ๆ ทไี่ มใชหุนของสามบริษทั น้ี จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) = 200 + 250 + 300 − 50 − 30 − 40 + 0 = 630 จะได n( A ∪ B ∪ C )′ = n(U ) − n( A ∪ B ∪ C ) = 3,000 – 630 น่ันคือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 2,370 ดงั นัน้ มีผูที่ถือหนุ บริษัทอื่น ๆ ท่ไี มใชห ุนของสามบริษัทน้ี 2,370 คน แบบฝก หดั ทายบท 1. 1) { 48} ด 2) ∅ 3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 } 5) {1, 2, 3,  , 10 } ด 2. 1) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x | =x 3n − 2 เมื่อ n∈ และ 1 ≤ n≤ 5} 2) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 } 3) ตัวอยา งคําตอบ { x |=x 4n +1 เมอื่ n∈} } 4) ตวั อยางคําตอบ { x | x = n3 เม่อื n∈} } สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

150 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนันต 3) เซตจํากัด 4) เซตจาํ กัด 5) เซตอนันต 4. 1) เปน จริง 2) เปนจริง 3) เปน เทจ็ 4) เปนจรงิ 5) เปนจริง 6) เปน เท็จ 5. 1) A จ 2) ∅ 3) U จ 4) A 5) A จ 6) U 6. 1) เนอ่ื งจาก A ∪ ( B − A) = A ∪ ( B ∩ A′ ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ A′ ) = (A∪ B)∩U = A∪B ดงั นั้น A ∪ B = A ∪ (B − A) 2) เนื่องจาก A − ( A ∩ B) = A ∩ ( A ∩ B)′ = A ∩ ( A′ ∪ B′ ) = ( A ∩ A′ ) ∪ ( A ∩ B′ ) = ∅ ∪ ( A ∩ B′ ) = A ∩ B′ ดงั น้ัน A ∩ B′ = A − ( A ∩ B) 3) เน่อื งจาก U − ( A ∪ B) = U ∩ ( A ∪ B)′ = U ∩ ( A′∩ B′ ) = A′∩ B′ ดังน้นั A′∩ B′ = U − ( A ∪ B) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

7. 1) A′∩ B ก คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 151 จ 2) ( A ∩ B′ )′ 3) ( A ∪ B′ )′ ก 8. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C 3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

152 คูมือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 6) A′∩ (C′∩ B) 5) ( A∩ B′) ∪ C ก 7) A ∪ (C′∩ B)′ ก 9. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15} 3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 } 5) {1, 4, 12 } จ 6) { 4, 7, 12 } 7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15} 10. เนอ่ื งจาก A ∩ B =∅ ดงั นัน้ เขยี นแผนภาพแสดงเซตไดดงั นี้ 1) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 153 จากแผนภาพ จะเห็นวา A ⊂ B′ ดงั นน้ั ขอความ “ A ⊂ B′ ” เปน จรงิ 2) จากแผนภาพ จะเห็นวา B ⊂ A′ ดงั นน้ั ขอความ “ B ⊂ A′ ” เปน จริง 3) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A′∪ B′ =U ดังนนั้ ขอความ “ A′∪ B′ =U ” เปนจริง 11. เนื่องจาก A ⊂ B ดังนน้ั เขียนแผนภาพแสดงเซตไดด งั นี้ 1) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∪ B =B ดังนัน้ ขอความ “ A ∪ B =B ” เปน จริง A∪B สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

154 คูมือครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 2) จากแผนภาพ จะเห็นวา A ∩ B =A ดังน้ัน ขอความ “ A ∩ B =A ” เปนจรงิ A∩B 3) B′ A′ จากแผนภาพ จะเหน็ วา B′ ⊂ A′ ดังน้นั ขอความ “ B′ ⊂ A′ ” เปน จริง 4) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∩ B′=∅ ดังนั้น ขอ ความ “ A ∩ B′=∅ ” เปน จริง A ∩ B′ 5) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A′∪ B =U ดงั นนั้ ขอความ “ A′∪ B =U ” เปนจริง A′ ∪ B สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 155 12. ให A และ B เปน เซตที่มจี ํานวนสมาชกิ เทากัน คอื x ตัว นัน่ คอื n=( A) n=(B) x จากโจทย n( A ∩ B) =101 และ n( A ∪ B) =233 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได 233 = x + x −101 นั่นคอื 2x = 233 + 101 x = 167 ดังน้นั n( A) = 167 13.ดให U แทนเซตของผูปวยทเี่ ขารวมการสาํ รวจ A แทนเซตของผปู วยทเ่ี ปนโรคตา B แทนเซตของผูปว ยที่เปนโรคฟน A∩ B แทนเซตของผูปวยท่เี ปนท้ังสองโรค A′ ∩ B′ แทนเซตของผปู ว ยท่ีไมเ ปนโรคตาและไมเปน โรคฟน จะได n(U ) = 100 n( A) = 40 n( B) = 20 n(A∩ B) = 5 วธิ ที ่ี 1 นาํ ขอ มูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้ จากแผนภาพ จะไดวามีผูปว ยท่ีไมเ ปน โรคตาและไมเ ปนโรคฟน 45% สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

156 คมู ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 วธิ ที ่ี 2 เนื่องจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′ น่นั คอื เซตของผูปว ยที่ไมเปน โรคตาและไมเปน โรคฟน คอื ( A∪ B)′ จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได n( A ∪ B) = 40 + 20 − 5 = 55 จาก n( A ∪ B)′ = n(U ) − n( A ∪ B) จะได = 100 − 55 14. ให = 45 จะได ดังนัน้ มีผปู วยทไี่ มเ ปนโรคตาและไมเ ปนโรคฟน 45% U แทนเซตของลกู คาทเ่ี ขารวมการสาํ รวจ A แทนเซตของลูกคาที่ใชพ ดั ลมชนิดตั้งโตะ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดแขวนเพดาน A∩ B แทนเซตของลกู คา ที่ใชพ ดั ลมท้ังสองชนิด n(U ) = 100 n( A) = 60 n( B) = 45 n( A ∩ B) = 15 วธิ ที ี่ 1 นําขอ มูลทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพไดด ังนี้ จากแผนภาพ จะไดว า สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 157 1) มีลูกคา ที่ไมใชพดั ลมทงั้ สองชนิดนี้ 10% 2) มีลกู คา ท่ีใชพัดลมเพยี งชนดิ เดียวเทากบั 45% + 30% = 75% วธิ ที ่ี 2 จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B) จะได n( A ∪ B) = 60 + 45 −15 = 90 1) มลี กู คา ที่ไมใชพดั ลมทั้งสองชนิดนเ้ี ทากับ 100% – 90% = 10% 2) มลี ูกคาท่ีใชพัดลมชนดิ เดียวเทากบั 90% – 15% = 75% 15. ให U แทนเซตของรถที่เขามาซอมท่ีอขู องแดน A แทนเซตของรถที่ตองซอมเบรก B แทนเซตของรถทตี่ องซอมระบบทอไอเสีย A∪ B แทนเซตของรถทต่ี องซอมเบรกหรือระบบทอไอเสีย ( A ∪ B)′ แทนเซตของรถท่มี สี ภาพปกติ A∩ B แทนเซตของรถทีต่ องซอมท้ังเบรกและระบบทอไอเสีย จะได n(U ) = 50 n( A) = 23 n( B) = 34 n( A ∪ B)′ = 6 น่ันคือ n( A ∪ B) = 50 − 6 = 44 วธิ ที ี่ 1 ให x แทนจาํ นวนรถทต่ี อ งซอมทั้งเบรกและระบบทอ ไอเสีย นัน่ คอื n( A ∩ B) =x นาํ ขอ มูลทั้งหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

158 คูมือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 1) จากแผนภาพ จะไดว า 44 = (23 − x) + x + (34 − x) 44 = 57 − x จะได x = 13 ดังน้ัน มีรถที่ตองซอมท้ังเบรกและระบบทอไอเสีย 13 คัน 2) จากแผนภาพ จะไดว ามรี ถท่ตี องซอมเบรกแตไมตองซอมระบบทอไอเสีย เทากบั 23 – 13 = 10 คัน วธิ ีท่ี 2 1) จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B) จะได 44 = 23 + 34 − n( A ∩ B) น่ันคือ n( A ∩ B) = 23 + 34 − 44 n( A ∩ B) = 13 ดังนัน้ มีรถทต่ี องซอมท้ังเบรกและระบบทอ ไอเสีย 13 คนั 2) มรี ถท่ตี องซอมเบรกแตไมต องซอ มระบบทอไอเสยี เทา กบั 23 – 13 = 10 คนั 16. ให U แทนเซตของผใู ชบริการขนสง ทเี่ ขารว มการสํารวจ A แทนเซตของผูใชบ รกิ ารขนสงทางรถไฟ B แทนเซตของผใู ชบ ริการขนสงทางรถยนต C แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสงทางเรอื A∩ B แทนเซตของผูใชบรกิ ารขนสง ทางรถไฟและรถยนต สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 159 B ∩C แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสงทางรถยนตและเรอื A∩C แทนเซตของผูใ ชบ ริการขนสง ทางรถไฟและเรอื A ∩ B ∩ C แทนเซตของผใู ชบริการขนสง ทัง้ ทางรถไฟ รถยนต และเรือ ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผูใชบ ริการขนสง อ่นื ๆ ทไี่ มใ ชท างรถไฟ รถยนต หรอื เรือ A ∪ B ∪ C แทนเซตของผูใ ชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต หรือเรอื จะได n( A) = 100 n( B) = 150 n(C ) = 200 n( A ∩ B) = 50 n( B ∩ C ) = 25 n(A∩C) = 0 n(A∩ B∩C) = 0 n( A ∪ B ∪ C )′ = 30 วิธีท่ี 1 นาํ ขอมูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดด ังน้ี จากแผนภาพ จะไดว า มผี ูใชบ ริการขนสง ท่ีเขารว มการสํารวจทั้งหมด เทากบั 50 + 50 + 75 + 25 +175 + 30 =405 คน วธิ ีท่ี 2 จาก n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

160 คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 100 +150 + 200 − 50 − 0 − 25 + 0 = 375 จาก n( A ∪ B ∪ C )′ = 30 จะได n(U ) = n( A ∪ B ∪ C ) + n( A ∪ B ∪ C )′ = 375 + 30 = 405 ดังนัน้ มผี ใู ชบ ริการขนสงที่เขารวมการสาํ รวจท้ังหมด 405 คน 17. ให U แทนเซตของคนทาํ งานทเ่ี ขารวมการสํารวจ A แทนเซตของคนทาํ งานที่ชอบการเดินปา B แทนเซตของคนทํางานทช่ี อบการไปทะเล C แทนเซตของคนทาํ งานทีช่ อบการเลนสวนนํ้า A∩ B แทนเซตของคนทํางานที่ชอบการเดนิ ปา และการไปทะเล A∩C แทนเซตของคนทํางานทชี่ อบการเดินปาและการเลน สวนนํ้า B ∩C แทนเซตของคนทํางานท่ีชอบการไปทะเลและการเลนสวนนํา้ A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทาํ งานท่ชี อบท้งั การเดินปา การไปทะเล และการเลน สวนน้าํ จะได n( A) = 35 n( B) = 57 n(C ) = 20 n(A∩ B) = 8 n( A ∩ C ) = 15 n(B∩C) = 5 n(A∩ B∩C) = 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 161 นาํ ขอ มลู ท้งั หมดไปเขยี นแผนภาพไดด งั นี้ จากแผนภาพ จะไดว า 1) มีคนทีช่ อบการไปทะเลหรอื ชอบการเลน สวนนํา้ เทา กบั 5% + 47% +12% + 3% + 2% + 3% =72% 2) มีคนที่ชอบการเดินปา หรือชอบการไปทะเล เทา กับ 15% + 5% + 47% +12% + 3% + 2% =84% 3) มคี นท่ชี อบทํากจิ กรรมเพียงอยา งเดยี ว เทา กบั 15% + 47% + 3% =65% 4) มีคนที่ไมชอบการเดนิ ปา หรือไปทะเล หรอื เลน สวนนาํ้ 13% 18. ให U แทนเซตของประชาชนท่ีเขา รวมการสํารวจ A แทนเซตของคนท่ชี อบทเุ รยี น B แทนเซตของคนทชี่ อบมงั คดุ C แทนเซตของคนทีช่ อบมะมว ง A∩ B แทนเซตของคนทชี่ อบทุเรยี นและมังคดุ B ∩ C แทนเซตของคนทีช่ อบมงั คุดและมะมว ง A∩C แทนเซตของคนท่ีชอบทุเรียนและมะมวง A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทชี่ อบผลไมท ้ังสามชนดิ น้ี จะได n( A) = 720 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

162 คูม ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 n( B) = 605 n(C ) = 586 n( A ∩ B) = 483 n( B ∩ C ) = 470 n( A ∩ C ) = 494 n( A ∩ B ∩ C ) = 400 นาํ ขอมลู ทงั้ หมดไปเขียนแผนภาพไดดงั นี้ จากแผนภาพ จะไดวา 1) มคี นทชี่ อบมงั คุดอยางเดยี ว 52 คน 2) มคี นท่ีชอบผลไมอยางนอ ยหน่ึงชนิดในสามชนิดนี้ เทากับ 143 + 83 + 52 + 94 + 400 + 70 + 22 =864 คน 3) มคี นที่ไมชอบผลไมชนดิ ใดเลยในสามชนดิ น้ี 136 คน 19. ให U แทนเซตของนักเรียนท่ีเขา รว มการสาํ รวจ A แทนเซตของนักเรียนท่ชี อบวิชาคณติ ศาสตร B แทนเซตของนักเรียนท่ีชอบวิชาฟสกิ ส C แทนเซตของนักเรียนทช่ี อบวิชาภาษาไทย ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของนักเรยี นท่ีไมช อบวิชาใดเลยในสามวชิ าน้ี จะได n( A) = 56 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 163 n( B) = 47 n(C ) = 82 นั่นคือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 4 n( A ∪ B ∪ C ) = 100 − 4 = 96 ให x แทนจาํ นวนนักเรียนทช่ี อบวชิ าคณิตศาสตรแ ละฟส กิ ส แตไมชอบวชิ าภาษาไทย y แทนจํานวนนกั เรียนท่ีชอบวิชาคณติ ศาสตรและภาษาไทย แตไมช อบวิชาฟส ิกส z แทนจํานวนนักเรยี นทช่ี อบวชิ าฟส ิกสแ ละภาษาไทย แตไมช อบวิชาคณติ ศาสตร k แทนจํานวนนักเรยี นทีช่ อบทั้งสามวชิ า วิธที ี่ 1 นาํ ขอ มลู ทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพไดดังนี้ จากแผนภาพ จะไดวา 96 = (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k ) + x + y + z + k 96 = 185 − x − y − z − 2k 89 = ( x + y + z) + 2k เนื่องจาก มีนกั เรียนที่ชอบเพียง 2 วชิ าเทานั้น จํานวน 71% นัน่ คอื x + y + z =71 จะได 89 = 71+ 2k 2k = 18 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

164 คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 วิธีท่ี 2 ดงั นั้น k = 9 จะไดว า (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k ) = 185 − 2x − 2 y − 2z − 3k = 185 − 2( x + y + z) − 3k = 185 − 2(71) − 3(9) = 185 −142 − 27 = 16 ดงั น้นั มนี ักเรยี นทช่ี อบเพียงวชิ าเดียวเทาน้ัน จาํ นวน 16 % นาํ ขอ มูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้ เนื่องจาก มนี ักเรียนทชี่ อบเพียง 2 วิชาเทาน้ัน จาํ นวน 71% น่นั คือ x + y + z =71 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได 96 = 56 + 47 + 82 − ( x + k ) − ( y + k ) − ( z + k ) + k x + y + z + 2k = 89 71+ 2k = 89 2k = 18 k =9 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 165 ดงั นัน้ มีนกั เรยี นที่ชอบเพยี งวิชาเดยี วเทานนั้ เทากับ 96% – 9% – 71% = 16 % 20. ให U แทนเซตของคนกลุมนี้ A แทนเซตของคนทม่ี ีแอนตเิ จน A B แทนเซตของคนทีม่ ีแอนติเจน B Rh แทนเซตของคนทีม่ ีแอนตเิ จน Rh+ A ∩ B แทนเซตของคนทม่ี หี มเู ลือด AB A − B แทนเซตของคนที่มีหมูเ ลอื ด A B − A แทนเซตของคนท่มี ีหมูเลอื ด B ( A ∩ Rh) − B แทนเซตของคนที่มีหมเู ลือด A+ (B ∩ Rh) − A แทนเซตของคนที่มหี มเู ลอื ด B+ A ∩ B ∩ Rh แทนเซตของคนทมี่ ีหมเู ลือด AB+ จะได n( A) = n( A+ ) + n( A− ) + n( AB) = 29 n(B) = n(B+ ) + n(B− ) + n( AB) = 39 n( A ∩ B) = n( AB) = 9 n(( A ∩ Rh) − B) = n( A+ ) = 18 n(( B ∩ Rh) − A) = n(B+ ) = 29 n( A ∩ B ∩ Rh) = n( AB+ ) = 8 n(Rh − ( A ∪ B)) = n(O+ ) = 40 จากแผนภาพท่ีกําหนดให นาํ ขอ มูลทั้งหมดไปเขียนแผนภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดด ังนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

166 คูม ือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 จากแผนภาพ จะไดวา มีคนกลุมน้ี 1% ท่มี ีเลอื ดหมู O− สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 167 บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบ้ืองตน แบบฝก หัด 2.1 1. 1) เปนประพจน ทมี่ คี า ความจรงิ เปน เทจ็ 2) เปน ประพจน ท่มี ีคาความจริงเปน จริง 3) เปน ประพจน ที่มคี า ความจริงเปน เท็จ 4) ไมเ ปนประพจน 5) ไมเ ปนประพจน 6) เปน ประพจน ทม่ี คี าความจรงิ เปน จรงิ 7) เปน ประพจน ที่มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 8) เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปนเท็จ 9) ไมเ ปน ประพจน 10) เปนประพจน ทม่ี ีคาความจรงิ เปนจรงิ 11) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปน เทจ็ 12) เปน ประพจน ที่มคี า ความจรงิ เปน จรงิ 13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเ ปนประพจน 15) เปนประพจน ที่มคี า ความจริงเปนเทจ็ 16) ไมเปนประพจน 17) ไมเปนประพจน 18) เปน ประพจน ที่มีคาความจริงเปน จริง 2. ตวั อยา งคําตอบ 2 > 3 เปน ประพจน ท่มี คี า ความจริงเปนเท็จ ∅ ∈ {1, 2, 3} เปนประพจน ท่ีมีคาความจริงเปน เท็จ หน่งึ ปม ีสิบสองเดือน เปนประพจน ที่มีคาความจริงเปน จริง 4 เปนจาํ นวนอตรรกยะ เปน ประพจน ทีม่ ีคา ความจริงเปน เท็จ เดือนมกราคม มี 31 วัน เปน ประพจน ท่ีมคี าความจรงิ เปนจริง สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

168 คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 แบบฝก หัด 2.2 1. 1) นเิ สธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คอื 4 + 9 ≠10 + 3 มีคาความจรงิ เปน เท็จ 2) นเิ สธของประพจน −6 </ 7 คอื −6 < 7 มคี าความจรงิ เปนจริง 3) นิเสธของประพจน 100 ไมเปน จํานวนเตม็ คอื 100 เปนจาํ นวนเต็ม มคี า ความจรงิ เปนจริง 4) นเิ สธของประพจน 2 ⊄ {2} คอื 2 ⊂ {2} มีคาความจรงิ เปนเทจ็ 2. 1) เนอ่ื งจาก p เปนจริง จะได  p เปน เท็จ ดังนน้ั  p มคี าความจรงิ เปนเท็จ 2) เนอ่ื งจาก q เปนเทจ็ จะได  q เปนจรงิ ดงั นน้ั  q มคี า ความจรงิ เปนจริง 3) เนื่องจาก p เปน จริง และ q เปนเท็จ จะได p ∧ q เปน เท็จ ดังนน้ั p ∧ q มคี าความจริงเปนเท็จ 4) เนือ่ งจาก p เปนจรงิ และ q เปน เท็จ จะได p ∨ q เปนจริง ดงั นั้น p ∨ q มคี า ความจริงเปนจริง 5) เนอ่ื งจาก p เปน จริง และ q เปน เท็จ จะได p → q เปนเทจ็ ดงั นั้น p → q มคี า ความจริงเปนเท็จ 6) เนื่องจาก p เปนจรงิ และ q เปนเท็จ จะได p ↔ q เปนเท็จ ดังนน้ั p ↔ q มคี า ความจริงเปนเท็จ 7) เนอ่ื งจาก p เปน จรงิ และ  q เปน จรงิ จะได p∧  q เปน จริง ดังนั้น p∧  q มคี า ความจริงเปนจรงิ 8) เน่ืองจาก  p เปนเท็จ และ q เปนเทจ็ จะได  p ∨ q เปนเท็จ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 169 ดงั นั้น  p ∨ q มีคา ความจรงิ เปนเท็จ 9) เนอ่ื งจาก  p เปน เท็จ และ  q เปนจริง จะได  p∧  q เปนเท็จ ดังนั้น  p∧  q มคี าความจริงเปนเท็จ 10) เน่อื งจาก p∧  q เปนจริง จะได  ( p∧  q) เปน เท็จ ดงั นน้ั  ( p∧  q) มคี า ความจรงิ เปนเท็จ 11) เน่ืองจาก q เปนเท็จ และ p เปนจรงิ จะได q → p เปน จริง จาก p เปนจรงิ และ q → p เปนจริง จะได p ↔ (q → p) เปนจริง ดังนนั้ p ↔ (q → p) มคี าความจริงเปนจรงิ 12) เนือ่ งจาก  p ∨ q เปนเท็จ และ p∧  q เปน จรงิ จะได ( p ∨ q) → ( p∧  q) เปนจรงิ ดังนั้น ( p ∨ q) → ( p∧  q) มคี า ความจริงเปนจริง 3. 1) ให p แทน งูเหา เปน สตั วม พี ิษ q แทน งูจงอางเปนสัตวม ีพิษ ประพจนที่กําหนดใหอยใู นรปู p ∧ q เนอื่ งจาก p เปน จรงิ และ q เปน จรงิ จะได p ∧ q เปน จรงิ ดงั นน้ั ประพจน “งเู หา และงูจงอางเปนสัตวม ีพษิ ” มีคาความจรงิ เปนจรงิ 2) ให p แทน โลมาเปนสตั วเลย้ี งลูกดวยน้ํานม q แทน คนเปนสตั วเ ล้ยี งลกู ดวยนํา้ นม ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรูป p ∨ q เนอ่ื งจาก p เปนจริง และ q เปน จรงิ จะได p ∨ q เปน จริง ดงั นัน้ ประพจน “โลมาหรือคนเปน สตั วเ ลี้ยงลูกดวยน้ํานม” มีคาความจรงิ เปน จริง สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

170 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 3) ให p แทน ดวงอาทิตยขน้ึ ทางทศิ ตะวนั ออก ประพจนที่กําหนดใหอยูในรปู  p เน่อื งจาก p เปน จรงิ จะได  p เปน เทจ็ ดงั นัน้ ประพจน “ดวงอาทติ ยไ มไดขึ้นทางทิศตะวนั ออก” มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 4) ให p แทน มา มปี ก q แทน คนบนิ ได ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรปู p ↔ q เนอ่ื งจาก p เปนเท็จ และ q เปนเท็จ จะได p ↔ q เปนจรงิ ดังนน้ั ประพจน “มา มปี ก ก็ตอเมื่อคนบนิ ได” มคี าความจริงเปนจรงิ 5) ให p แทน 13เปน จํานวนเฉพาะ q แทน 13 มตี วั ประกอบคือ 1 กับ 13 เทา นัน้ ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรูป p ↔ q เนอ่ื งจาก p เปน จริง และ q เปนจริง จะได p ↔ q เปนจรงิ ดังน้ัน ประพจน “13เปน จาํ นวนเฉพาะ ก็ตอเม่ือ 13 มีตวั ประกอบคือ 1 กับ 13 เทา น้นั ” มีคาความจริงเปนจริง 6) ให p แทน 3 เปนจาํ นวนคี่ q แทน 32 เปนจาํ นวนคี่ ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยูในรปู p → q เนอ่ื งจาก p เปน จรงิ และ q เปน จริง จะได p → q เปน จรงิ ดงั น้นั ประพจน “ถา 3 เปนจาํ นวนคี่ แลว 32 เปน จาํ นวนคี่” มคี า ความจริงเปน จริง 7) ให p แทน 1∉{1, 2} q แทน 1 ⊂ {1, 2} สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 171 ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยูในรปู p ∧ q เนอ่ื งจาก p เปนเท็จ และ q เปนเท็จ จะได p ∧ q เปน เท็จ ดังนน้ั ประพจน “1∉{1,2} และ 1⊂ {1,2} ” มีคาความจริงเปน เท็จ 8) ให p แทน 9 ไมเทากับ 10 q แทน 10 ไมนอ ยกวา 9 ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q เนือ่ งจาก p เปนจรงิ และ q เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จริง ดงั นน้ั ประพจน “9 ไมเทา กับ 10 หรอื 10 ไมน อยกวา 9 ” มคี า ความจริงเปน จริง แบบฝกหัดทายบท 1. 1) ไมเปนประพจน 2) เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปน จรงิ 3) เปน ประพจน ที่มคี า ความจรงิ เปน จริง 4) เปนประพจน ทีม่ ีคา ความจริงเปน เท็จ 5) ไมเ ปนประพจน 6) เปนประพจน ท่ีมีคาความจริงเปน เทจ็ 7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเ ปนประพจน 9) เปน ประพจน ท่มี คี า ความจริงเปน จริง 10) เปน ประพจน ทม่ี ีคาความจริงเปนจริง 2. 1) ให p แทน นทไี ปโรงเรยี นโดยรถประจาํ ทาง q แทน นทไี ปโรงเรียนโดยจกั รยานยนตร บั จาง ดงั นั้น ขอความทก่ี าํ หนดใหอ ยใู นรูป p ∨ q 2) ให p แทน บุคคลตองรบั ผดิ ในทางอาญา q แทน บคุ คลไดกระทําโดยเจตนา ดังนั้น ขอความทก่ี ําหนดใหอ ยูใ นรปู p ↔ q สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

172 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 3) ให p แทน สาครมีเงิน q แทน สาครมีเพ่ือนรายลอม r แทน สาครมคี วามสุข ดงั น้ัน ขอ ความทก่ี าํ หนดใหอยูในรูป p ∧ q∧  r 4) ให p แทน ออมสอบชงิ ทนุ ไปเรยี นตอ ตางประเทศได q แทน ออมเรียนจบดวยคะแนนเกียรตนิ ิยม r แทน พอ ของออมซ้ือรถยนตใหเ ปน รางวัล ดังนั้น ขอ ความท่กี าํ หนดใหอยูในรปู ( p ∧ q) → r 5) ให p แทน จาํ เลยในคดีเปนผูวิกลจริต q แทน จาํ เลยในคดีถกู สอบสวน r แทน จาํ เลยในคดีรับโทษ ดงั นน้ั ขอความทก่ี ําหนดใหอยใู นรูป p → ( q∨  r) 6) ให p แทน ตน ปลอมธนบัตร q แทน ตน แปลงธนบตั ร r แทน ตน ไดรับโทษจําคุก 20 ป s แทน ตน ไดรับโทษปรับไมเกิน 40,000 บาท ดงั น้นั ขอความท่ีกําหนดใหอ ยูในรปู ( p ∨ q) → (r ∨ s ∨ (r ∧ s)) 3. 1) นเิ สธของประพจน −20 + 5 > −17 คอื −20 + 5 ≤ −17 มคี า ความจริงเปนเท็จ 2) นเิ สธของประพจน 37 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ คือ 37 เปน จาํ นวนเฉพาะ มีคาความจรงิ เปน จริง 3) นเิ สธของประพจน 2 ∈ คอื 2 ∉ มคี าความจรงิ เปน จรงิ 4) นเิ สธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มคี า ความจริงเปนเท็จ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 173 4. ตัวอยา งคําตอบ π ไมเปน จํานวนตรรกยะ นิดาและนัดดาเปนนักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 รปู สเ่ี หลี่ยมอาจเปน รูปส่เี หลีย่ มมุมฉากหรือรูปสเ่ี หลี่ยมดานขนานก็ได รูปสามเหล่ียม ABC เปนรูปสามเหล่ียมดานเทาก็ตอเมื่อรูปสามเหลี่ยม ABC มดี า นยาวเทา กนั ทุกดา น 5. 1) จาก p เปนจริง และ q เปนจริง จะได p ∧ q เปนจริง จาก p ∧ q เปน จรงิ และ r เปนเท็จ จะได ( p ∧ q) ∨ r เปน จรงิ ดังนั้น ( p ∧ q) ∨ r มคี าความจริงเปน จริง 2) จาก q เปน จรงิ จะได  q เปนเทจ็ จาก  q เปน เทจ็ และ r เปนเท็จ จะได  q ∨ r เปน เท็จ จาก  q ∨ r เปน เทจ็ และ p เปน จรงิ จะได ( q ∨ r) ∧ p เปน เท็จ ดงั น้ัน ( q ∨ r) ∧ p มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 3) จาก p เปนจรงิ จะได  p เปนเทจ็ และจาก r เปนเท็จ จะได r ↔  p เปน จริง ดังนัน้ r ↔  p มีคา ความจรงิ เปนจริง 4) จาก p เปนจริง จะได  p เปนเท็จ จาก r เปน เทจ็ จะได  r เปน จริง จะได  p∨  r เปน จรงิ ดงั นน้ั  p∨  r มีคาความจริงเปนจริง 5) จาก p เปน จริง และ q เปนจรงิ จะได p ∧ q เปนจริง จาก q เปนจรงิ และ r เปนเท็จ จะได q ∧ r เปน เทจ็ จาก p ∧ q เปน จริง และ q ∧ r เปน เท็จ จะได ( p ∧ q) → (q ∧ r) เปน เท็จ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 ดงั นน้ั ( p ∧ q) → (q ∧ r) มคี า ความจรงิ เปนเท็จ 6. 1) ให p แทนประพจน 4 เปน จํานวนเฉพาะ q แทนประพจน 4 เปนจาํ นวนค่ี ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยใู นรูป p → q เนือ่ งจาก p เปน เทจ็ จะได p → q เปนจรงิ ดังน้ัน ประพจน “ถา 4 เปนจาํ นวนเฉพาะ แลว 4 เปน จาํ นวนค”ี่ มคี าความจริง เปนจริง 2) ให p แทนประพจน 3 ≥ 2 q แทนประพจน −2 ≥ −3 ประพจนท ่ีกําหนดใหอยใู นรปู p ∧ q เนอ่ื งจาก p เปนจริง และ q เปน จริง จะได p ∧ q เปนจรงิ ดงั นัน้ ประพจน “ 3 ≥ 2 และ −2 ≥ −3” มคี า ความจรงิ เปนจรงิ 3) ให p แทนประพจน 100 กิโลกรัม เทา กับ 1 ตัน q แทนประพจน 10 ขีด เทากับ 1 กโิ ลกรมั ประพจนท ่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q เนอื่ งจาก q เปนจริง จะได p ∨ q เปน จริง ดงั นัน้ ประพจน “100 กโิ ลกรมั เทากบั 1 ตนั หรือ 10 ขีดเทากบั 1 กิโลกรมั ” มคี า ความจริงเปน จรงิ 4) ให p แทนประพจน {x∈} | 3 < x < 4} เปน เซตวาง q แทนประพจน {x∈} | x2 =1} ไมเ ปนเซตวา ง ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรปู p ∨ q เนือ่ งจาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จริง สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 175 ดังนนั้ ประพจน “{x∈} | 3 < x < 4} เปนเซตวาง หรอื {x∈} | x2 =1} ไมเ ปนเซตวา ง” มีคาความจริงเปนจรงิ 5) ให p แทนประพจน A ∪ A =A q แทนประพจน A − ∅ =U ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q เน่ืองจาก q เปนเทจ็ จะได p ∧ q เปน เทจ็ ดังนนั้ ประพจน “ A ∪ A =A และ A − ∅ =U ” มีคาความจริงเปน เท็จ 7. 1) จาก q ∧ r มคี า ความจริงเปนจรงิ จะได ประพจน q มีคาความจริงเปน จริง และประพจน r มีคาความจรงิ เปน จริง 2) จาก r → q มคี าความจรงิ เปนเทจ็ จะได ประพจน r มคี าความจริงเปนจริง และประพจน q มคี าความจริงเปน เทจ็ 3) จาก p ∨ q มีคาความจรงิ เปน เทจ็ จะได p เปน เท็จ และ q เปน เท็จ หาคาความจริงของ ( p∧  q) → r จาก p เปนเท็จ จะได p∧  q เปนเท็จ จาก p∧  q เปน เท็จ จะได ( p∧  q) → r เปนจริง ดังน้ัน ( p∧  q) → r มคี า ความจริงเปน จริง 4) จาก p → r มคี าความจรงิ เปนเท็จ จะได p เปน จรงิ และ r เปน เทจ็ หาคา ความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ r จาก r เปนเทจ็ จะได ( p ∨ q) ∧ r เปน เท็จ ดังนั้น ( p ∨ q) ∧ r มคี า ความจรงิ เปน เท็จ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

176 คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 8. แสดงคุณสมบัติของพนักงานกับเงอ่ื นไขของการเลื่อนตาํ แหนงดังตารางตอไปนี้ เงอ่ื นไข อายุไมตํ่ากวา จบปริญญา ทํางานบริษทั นี้อยางนอ ย 3 ป โทข้นึ ไป หรอื ทาํ งานดานคอมพวิ เตอร ช่ือพนกั งาน 30 ป  อยา งนอย 7 ป ฟาใส     รงุ นภา   ธนา   จากตารางจะเห็นวา ฟาใส เปนพนักงานคนเดียวท่ีมีคุณสมบัตสิ อดคลองกบั เงือ่ นไข ของการเลือ่ นตาํ แหนงทั้ง 3 ขอ ดงั น้นั ฟา ใสมีสทิ ธิ์ไดเ ลอ่ื นตําแหนง 9. แสดงคุณสมบัตขิ องพนักงานกบั เงอ่ื นไขของการไดรับเงินรางวลั ดงั ตารางตอไปนี้ เงื่อนไข ทํายอดขายใน 1 ป ทาํ ยอดขายใน 1 ป ทาํ ยอดขายใน 1 ป ไดเ กนิ 3,000,000 ไดเกิน 5,000,000 ไดเกนิ 10,000,000 ชอื่ พนักงาน บาท และไมล ากิจ บาท ไมลาพกั ผอน สรุ ิยา บาท เมฆา  และไมล ากจิ กมล   ทวิ า          เน่ืองจากพนักงานแตละคนจะสามารถรบั เงินรางวลั ทีด่ ีท่สี ุดไดเพยี งรางวลั เดียว ดงั นั้น สรุ ยิ าจะไดรบั เงินรางวัล 30,000 × 1.5 =45,000 บาท สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 177 เมฆาจะไมไดร บั เงนิ รางวัล กมลจะไดรับเงินรางวลั 70,000 × 2 =140,000 บาท และทวิ าจะไดร บั เงินรางวลั 200,000 × 4 =800,000 บาท 10. แสดงคณุ สมบัตขิ องผูก ูกับเงื่อนไขของการกูเ งนิ ดังตารางตอไปน้ี เงือ่ นไข ผกู ูตอ งมี ถาผกู มู คี สู มรส ผูกตู อ งมีเงนิ เหลือ ช่อื ผกู ู เงนิ เดอื น แลว ผูก ูและคูสมรส หลงั หักคา ใชจ ายใน ไมนอ ยกวา ตองมเี งินเดือนรวมกนั 30,000 บาท ไมน อยกวา 70,000 บาท แตละเดือน มากกวา 5,000 บาท สัญญา    กวิน   มานแกว    ไมมีคสู มรส จากตารางจะเหน็ วา มานแกว เปน ผูก คู นเดยี วทม่ี ีคุณสมบตั ิสอดคลองกบั เงื่อนไขของ การกเู งินท้งั 3 ขอ ดังนนั้ มานแกว จะสามารถกูเงินกับบรษิ ทั นไ้ี ด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

178 คูม อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 บทที่ 3 หลักการนบั เบอื้ งตน แบบฝก หดั 3.1 1. จากหลกั การบวก จะมวี ธิ เี ลือกสั่งอาหารได 12 + 8 + 5 =25 วิธี 2. รูปสามเหลี่ยมดานเทาทีเ่ กดิ จากการจัดเรยี งกระเบื้องมี 3 แบบ ไดแ ก แบบท่ี 1 มีรูปสามเหล่ียมดานเทาท่ีแตละดา นยาว 1 หนว ย อยู 9 รปู แบบท่ี 2 มรี ปู สามเหล่ียมดานเทาทแ่ี ตละดานยาว 2 หนวย อยู 3 รูป แบบท่ี 3 มีรูปสามเหล่ยี มดา นเทาท่ีแตละดานยาว 3 หนว ย อยู 1 รปู จากหลกั การบวก จึงไดวา มรี ูปสามเหลย่ี มดานเทา ทั้งหมด 9 + 3 + 1 = 13 รูป 3. จากหลกั การคณู จะมวี ิธเี ลือกประตูเขาออกได 10×9 =90 วิธี 4. การจดั ระบบรหัสหนังสือของหอ งสมุดแหงนี้ มีองคป ระกอบ 4 สวน ดังนี้ สว นท่ี 1 ตัวอกั ษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั มีได 26× 26 แบบ สวนท่ี 2 เลขโดด 3 ตวั ท่ีไมเ ปนศนู ยพรอมกัน มีได 999 แบบ จาก 001 ถึง 999 สวนท่ี 3 ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตัว มไี ด 26 แบบ สวนท่ี 4 เลขโดด 2 ตวั ทไ่ี มเปน ศูนยพรอ มกนั มีได 99 แบบ จาก 01 ถงึ 99 จากหลักการคูณ จึงไดว า การจัดระบบรหสั หนังสือของหองสมดุ แหง น้จี ะมีจํานวนรหัส ท่ีเปน ไปไดท ้งั หมด 26× 26× 999× 26× 99 =1,738,283,976 ตวั สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 179 5. เขียนตารางแสดงแตม ท่ีไดจ ากการทอดลกู เตาหน่ึงลูกสองครง้ั ไดด ังน้ี คร้งั ที่ 2 12 3 4 5 6 ครั้งท่ี 1 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 1) วิธที ี่ 1 จากตาราง จะไดจาํ นวนวิธีท่แี ตม ที่ไดจากการทอดลูกเตาทง้ั สองคร้ัง เทากนั เปน 6 วิธี วธิ ที ่ี 2 ขั้นตอนที่ 1 แตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตาครัง้ ที่ 1 มไี ด 6 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เนือ่ งจากแตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตา ทัง้ สองครั้งเทา กัน จะไดวา แตมท่ีไดจากการทอดลกู เตา ครง้ั ที่ 2 มีได 1 วิธี ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ ีทแี่ ตมทีไ่ ดจ ากการทอดลกู เตา ทง้ั สองครั้งเทา กนั เปน 6×1 =6 วธิ ี 2) วธิ ีที่ 1 จากตาราง จะไดจ าํ นวนวธิ ีท่แี ตมทีไ่ ดจ ากการทอดลกู เตาทงั้ สองคร้งั ตา งกันเปน 30 วธิ ี วิธที ี่ 2 เนื่องจาก จาํ นวนวธิ ีทไ่ี ดแ ตม จากการทอดลกู เตา สองครงั้ มีได 36 วิธี แตมจี าํ นวนวิธีทีแ่ ตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาทง้ั สองคร้งั เทากัน 6 วธิ ี ดังน้ัน จาํ นวนวธิ ที ่ีแตม ทไ่ี ดจากการทอดลกู เตาทง้ั สองครั้งตางกนั เปน 36 − 6 =30 วธิ ี วธิ ที ี่ 3 ขน้ั ตอนท่ี 1 แตมที่ไดจากการทอดลกู เตาครง้ั ท่ี 1 มไี ด 6 วธิ ี สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 ข้นั ตอนที่ 2 เนือ่ งจากแตมท่ีไดจ ากการทอดลกู เตา คร้ังท่ี 2 ตา งจาก คร้งั แรก จะไดวา แตมท่ีไดจากการทอดลูกเตา ครงั้ ที่ 2 มไี ด 5 วิธี ดงั นั้น จํานวนวธิ ที ่ีแตม ทีไ่ ดจ ากการทอดลูกเตาทั้งสองครง้ั ตางกันเปน 6× 5 =30 วิธี 3) จากตาราง จะไดจ ํานวนวิธที ี่ผลรวมของแตมที่ไดจ ากการทอดลูกเตาท้ังสองครง้ั นอยกวา 10 เปน 30 วธิ ี 6. ปญ หาดงั กลาว สามารถแกไดโดยใชหลักการคณู ดงั น้ี หลักรอย หลกั สบิ หลกั หนว ย 1) ขนั้ ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั รอ ย จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 ได 9 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลักสบิ จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ได 10 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปนหลักหนวย จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ได 10 วิธี ดงั น้ัน มจี ํานวนเต็มบวกท่ีมี 3 หลัก ท้งั หมด 9×10×10 =900 จํานวน 2) ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั รอ ย จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 ได 9 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั หนว ย จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ท่ไี มซ ํ้ากับเลขโดดในหลกั รอย ได 9 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั สบิ จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ได 10 วิธี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 181 ดังนัน้ มีจํานวนเต็มบวกที่มี 3 หลัก โดยเลขโดดในหลักแรกและหลกั สดุ ทา ย ไมซา้ํ กนั ทั้งหมด 9×9×10 =810 จํานวน 3) ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปน หลักรอ ย จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 ได 9 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลักหนว ย ทท่ี ําใหผลรวมของเลขโดดใน หลกั รอยและหลักหนว ยเปน 10 ได 1 วธิ ี ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลักสิบ จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ได 10 วิธี ดังน้ัน มจี ํานวนเต็มบวกท่ีมี 3 หลกั โดยเลขโดดในหลกั แรกและหลกั สดุ ทาย รวมกันได 10 ท้งั หมด 9×1×10 =90 จาํ นวน 7. โดยความหมายของพาลินโดรม จะไดวาตวั อักษรภาษาอังกฤษตัวท่ี 1 กับตัวท่ี 4 และตัวที่ 2 กบั ตวั ที่ 3 ตองเปนตัวอกั ษรเดยี วกนั ดงั แผนภาพ ตวั ที่ 1 ตวั ที่ 2 ตัวท่ี 3 ตวั ที่ 4 ขัน้ ตอนที่ 1 ตัวที่ 1 เลือกตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 26 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 ตวั ท่ี 2 เลอื กตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 26 วิธี ข้ันตอนที่ 3 ตัวท่ี 3 เลือกตัวอักษรภาษาอังกฤษได 1 วิธี ขั้นตอนท่ี 4 ตัวท่ี 4 เลือกตวั อกั ษรภาษาอังกฤษได 1 วิธี ดังนนั้ พาลินโดรมที่ประกอบดว ยตวั อักษรภาษาองั กฤษ 4 ตวั โดยจะมคี วามหมายหรอื ไม ก็ได มีทงั้ หมด 26× 26×1×1 =676 คาํ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

182 คูมือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 8. 1) การนําผลไมใสตะกราโดยไมม ีเง่ือนไข สามารถทาํ ไดด งั น้ี ข้ันตอนท่ี 1 นําผลไมชนดิ ที่ 1 ไปใสต ะกรา ใดตะกราหนง่ึ ทาํ ได 6 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 2 นาํ ผลไมชนิดที่ 2 ไปใสตะกรา ใดตะกราหน่ึง ทําได 6 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 3 นาํ ผลไมช นดิ ที่ 3 ไปใสตะกราใดตะกราหนึ่ง ทาํ ได 6 วิธี ขั้นตอนท่ี 4 นาํ ผลไมชนิดที่ 4 ไปใสตะกราใดตะกราหน่งึ ทาํ ได 6 วิธี ดงั น้นั จํานวนวิธใี นการนําผลไมใ สต ะกราโดยไมมีเงื่อนไข มีทั้งหมด 6 × 6 × 6 × 6 =1,296 วิธี 2) การนําผลไมใสต ะกราโดยที่ตะกราแตล ะใบมีผลไมไมเกิน 1 ผล สามารถทาํ ไดดงั น้ี ขน้ั ตอนท่ี 1 นําผลไมชนิดท่ี 1 ไปใสต ะกรา ใดตะกราหนง่ึ ทําได 6 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 นําผลไมชนดิ ที่ 2 ไปใสตะกรา ใดตะกรา หนง่ึ ท่เี หลืออยู ทาํ ได 5 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 นาํ ผลไมชนิดที่ 3 ไปใสตะกรา ใดตะกราหนึง่ ที่เหลืออยู ทําได 4 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 4 นาํ ผลไมชนิดที่ 4 ไปใสต ะกรา ใดตะกรา หนง่ึ ท่ีเหลืออยู ทําได 3 วิธี ดังนั้น จาํ นวนวธิ ีทน่ี ําผลไมใ สต ะกราโดยท่ตี ะกรา แตล ะใบมีผลไมไ มเ กนิ 1 ผล มีทง้ั หมด 6× 5× 4× 3 =360 วิธี แบบฝก หดั 3.2 1. เน่อื งจากมีหนงั สอื คณติ ศาสตร 2 เลม หนังสือภาษาไทย 3 เลม หนงั สอื ภาษาอังกฤษ 4 เลม นั่นคอื มีหนงั สือท้งั หมด 9 เลม ทแ่ี ตกตา งกนั ทั้งหมด ดังนน้ั ถา นาํ หนังสอื ทงั้ 9 เลม มาวางเรยี งบนชนั้ วางหนังสอื ชัน้ หนง่ึ ทําได 9! = 9 × 8× 7 × 6 × 5× 4 × 3× 2 ×1 = 362,880 วิธี สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 183 2. 1) P8,4 = 8! (8 − 4)! 2) P10, 2 = 8! 4! = 8× 7 × 6× 5× 4! 4! = 1,680 = 10! (10 − 2)! 3) P5, 5 10! = 8! = 10 × 9 × 8! 8! = 90 = 5! (5 − 5)! 4) P7, 0 = 5! 0! = 5× 4×3× 2×1 1 = 120 = 7! (7 − 0)! = 7! 7! =1 3. วิธีท่ี 1 จากการเรียงสับเปลยี่ น จะได P4, 3 = 4! (4 − 3)! = 4! 1! = 24 ดงั นนั้ จะมวี ิธสี รา งจาํ นวนทีแ่ ตกตา งกนั ทง้ั หมด 24 จาํ นวน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

184 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 วิธีท่ี 2 การสรางจาํ นวน 3 หลัก จากเลขโดด 2, 3, 5 และ 9 ทาํ ไดดงั น้ี หลักรอ ย หลักสบิ หลกั หนวย ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตวั เปน หลักรอ ย จากเลขโดด 2, 3, 5, 9 ได 4 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปนหลักสบิ จากเลขโดด 2, 3, 5, 9 ท่ีไมซ า้ํ กบั เลขโดดในหลกั รอย ได 3 วธิ ี ขัน้ ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั หนว ย จากเลขโดด 2, 3, 5, 9 ทไ่ี มซํ้า กบั เลขโดดในหลักรอยและหลักสบิ ได 2 วิธี จากหลกั การคูณ จึงไดวา จะมีวิธีสรา งจาํ นวนท่แี ตกตางกนั ท้ังหมด 4× 3× 2 =24 วธิ ี 4. วิธีที่ 1 จากการเรยี งสบั เปล่ียน จะได P9,5 = 9! (9 − 5)! = 9! 4! = 15,120 ดงั นน้ั มีจาํ นวนวธิ กี ารนั่งเกา อี้ โดยท่เี กาอีแ้ ตละตวั จะมีคนน่งั หนง่ึ คน 15,120 วธิ ี วธิ ีที่ 2 การเลอื กเกา อ้ี 5 ตวั ท่ปี ายรถประจาํ ทางซง่ึ วางเรยี งกนั กนั เปน แถวยาวใหก บั คน 9 คน ทม่ี ารอรถที่ปา ยรถประจาํ ทางน้ี ประกอบดว ย 5 ขน้ั ตอน ดังนี้ ขนั้ ตอนที่ 1 เกาอี้ตวั ที่ 1 มวี ิธีเลือกคนมาน่ังได 9 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 2 เกาอี้ตวั ท่ี 2 มวี ธิ ีเลือกคนมาน่ังได 8 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 3 เกา อี้ตัวที่ 3 มวี ิธเี ลือกคนมานั่งได 7 วธิ ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 185 ขน้ั ตอนท่ี 4 เกาอ้ีตวั ที่ 4 มวี ิธเี ลือกคนมานั่งได 6 วิธี ขนั้ ตอนที่ 5 เกาอต้ี ัวที่ 5 มีวธิ เี ลอื กคนมานั่งได 5 วธิ ี จากหลักการคูณ จึงไดว า มจี ํานวนวธิ ีการนง่ั เกา อี้ โดยที่เกาอี้แตละตัวจะมีคนนงั่ หนึง่ คน 9×8× 7 × 6× 5 =15,120 วิธี 5. นํารูปภาพที่แตกตางกนั 5 รปู มาจัดแสดงโดยเรียงตอกนั ในแนวเสนตรง ทาํ ไดท้ังหมด 5! = 5× 4 × 3× 2×1 = 120 วิธี แบบฝก หดั 3.3 1. จาํ นวนวธิ ีในการเลือกนักเรยี น 5 คน จากนักเรยี นกลุมหนึ่งซ่งึ มี 8 คน มที ้ังหมด C=8, 5 8!= =8! 8× 7 × 6=× 5! 56 วธิ ี (8 − 5)! 5! 3! 5! (3× 2 ×1)5! 2. ขอ สอบอตั นัยชุดหนึง่ มี 6 ขอ ซงึ่ มีคาํ สัง่ ระบุวาใหเลือกทําเพียง 4 ขอ จะมจี ํานวนวิธีในการเลือกทําขอ สอบทั้งหมด C=6, 4 6!= =6! 6 × 5×=4! 15 วธิ ี (6 − 4)! 4! 2! 4! (2 ×1)× 4! 3. การเลอื กกรรมการนักเรยี น ประกอบดว ย 2 ข้ันตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนที่ 1 เลือกกรรมการนักเรียนชาย 5 คน จากผูสมัครที่เปนนักเรยี นชาย 20 คน ขั้นตอนท่ี 2 ทําได C20,5 วิธี เลือกกรรมการนักเรยี นหญิง 4 คน จากผสู มัครที่เปนนักเรียนหญิง 15 คน ทําได C15,4 วธิ ี จากหลักการคณู จงึ ไดวา มจี ํานวนวิธใี นการเลอื กกรรมการนกั เรยี นทงั้ หมด 20! × 15! = 15! 5! 11! 4! วิธีC20,5 × C15,4 = 21,162, 960 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

186 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 4. 1) เน่อื งจากในตะกรา มีเงาะ 8 ผล สม 4 ผล และมังคุด 2 ผล ดังนน้ั ตะกรา ใบน้ีมีผลไมร วมทง้ั สิน้ 14 ผล การหยิบผลไม 4 ผล จะตอ งเลือกผลไม 4 ผล จากตะกรา ท่ีมผี ลไม 14 ผล ดังนนั้ จะมีจาํ นวนวธิ ใี นการเลือกหยบิ ผลไมโดยทไี่ มมเี งื่อนไขเพมิ่ เติม =C14, 4 14=! =14! 14 ×13×12 ×11=×10! 1,001 วธิ ี (14 − 4)! 4! 10! 4! 10! (4 × 3× 2 ×1) 2) เน่ืองจากการหยบิ ผลไม 4 ผล โดยท่ีหยิบใหไ ดเงาะทง้ั 4 ผล จะตองเลือกหยิบ เงาะ 4 ผล จากเงาะในตะกราทั้งหมด 8 ผล ดังน้นั จะมีจํานวนวิธีในการเลือกหยบิ ไดเงาะทั้ง 4 ผล =C8, 4 8!= =8! 8× 7 × 6 × 5=× 4! 70 วธิ ี (8 − 4)! 4! 4! 4! 4! (4 × 3× 2 ×1) 3) เนอื่ งจากในตะกรามเี งาะ 8 ผล สม 4 ผล และมงั คดุ 2 ผล ดงั นน้ั ตะกรา ใบนมี้ ผี ลไมอ่ืน ๆ ท่ีไมใ ชสมรวมทั้งสิ้น 10 ผล การหยิบผลไม 4 ผล โดยทไ่ี มมสี ม จะตองเลอื กผลไม 4 ผล จากตะกรา ที่มีผลไมอน่ื ๆ ท่ีไมใชส ม 10 ผล ดังนัน้ จะมีจํานวนวิธีในการเลือกหยิบผลไมทไี่ มม ีสมเลย C=10, 4 10!= =10! 10 × 9 × 8 × 7=× 6! 210 วิธี (10 − 4)! 4! 6! 4! 6! (4 × 3× 2 ×1) 5. จาํ นวนวธิ กี ารหยิบลูกบอลสามารถทาํ ไดด ังน้ี ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกลกู บอลสีแดง 1 ลกู จากลกู บอลสแี ดง 5 ลูก ทําได C5,1 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กลกู บอลสขี าว 1 ลูก จากลูกบอลสีขาว 3 ลูก ทําได C3,1 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 3 เลือกลูกบอลสีนํา้ เงนิ 1 ลกู จากลูกบอลสนี ้ําเงนิ 3 ลกู ทําได C3,1 วธิ ี จากหลักการคณู จงึ ไดว า มจี ํานวนวิธใี นการหยิบลกู บอล โดยท่ีไดลกู บอลครบทุกสี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 187 ทงั้ หมด C5, 1 × C3, 1 × C3, 1 = 5! × 3! × 3! = 5× 3× 3 = 45 วิธี 4!1! 2!1! 2!1! 6. 1) การหยิบไพใบแรกไดไพส ีแดงและใบที่สองไดไ พส ีดาํ สามารถทําไดดังนี้ ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กไพส แี ดง 1 ใบ จากไพสีแดง 26 ใบ ทําได C26,1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลอื กไพสดี ํา 1 ใบ จากไพสีดํา 26 ใบ ทาํ ได C26,1 วิธี จากหลักการคณู จึงไดวา มีจํานวนวิธที ่ีหยิบไพใบแรกไดไพสแี ดงและใบที่สองไดไพส ี ดําทัง้ หมด C26, 1 × C26, 1 = 26! × 26! = 26 × 26 = 676 วิธี 25! 1! 25! 1! 2) เน่อื งจากไพห นง่ึ สาํ รบั มีไพ K 4 ใบ ดังนั้นการหยบิ ไดไพ K ท้งั สองใบ สามารถทําไดด งั นี้ ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กไพ K 1 ใบ จากไพ K 4 ใบ ทําได C4,1 วธิ ี ขัน้ ตอนที่ 2 เลอื กไพ K 1 ใบ จากไพ K 3 ใบทเี่ หลือจากข้นั ตอนท่ี 1 ทาํ ได C3,1 วธิ ี จากหลักการคูณ จึงไดวา มีจํานวนวธิ ที ่ีหยิบไดไ พ K ทงั้ สองใบทั้งหมด C4, 1 × C3, 1 = 4! × 3! = 4 × 3 = 12 วิธี 3!1! 2!1! 3) เนื่องจากไพห นงึ่ สาํ รบั มีไพ 2 โพดาํ 1 ใบ ดงั นั้น การหยบิ ไดไ พ 2 โพดํา ท้ังสองใบ สามารถทาํ ไดดังน้ี ขนั้ ตอนท่ี 1 เลือกไพ 2 โพดําใบที่หนง่ึ ได 1 วธิ ี จากไพ 2 โพดาํ 1 ใบ ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกไพ 2 โพดาํ ใบทส่ี อง ได 0 วธิ ี จากไพ 2 โพดําท่เี หลือ จากหลักการคูณ จึงไดว า มจี ํานวนวิธีทีห่ ยิบไดไพ 2 โพดํา ทัง้ สองใบ ทั้งหมด 1× 0 =0 วธิ ี น่นั คือ ไมส ามารถหยบิ ไพ 2 โพดาํ ท้งั สองใบจากไพหนึ่งสาํ รบั โดยหยิบไพทีละใบ และไมใ สค นื กอนหยิบใบที่สองได สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

188 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 แบบฝก หดั ทายบท 1. รปู สเ่ี หล่ียมผนื ผาที่เกดิ ขึ้น มีทั้งหมด 3 แบบ ไดแก แบบที่ 1 รปู ส่ีเหล่ยี มผืนผา ท่กี วา ง 1 หนว ย และยาว 2 หนว ย มี 12 รูป แบบท่ี 2 รปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผา ที่มกี วา ง 1 หนวย และยาว 3 หนวย มี 6 รูป แบบท่ี 3 รปู สีเ่ หลย่ี มผืนผา ทกี่ วา ง 2 หนว ย และยาว 3 หนวย มี 4 รปู จากหลักการบวก จะไดว า เกิดรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผาทั้งหมด 12 + 6 + 4 =22 รปู 2. เน่ืองจากทาขา มสองฝง แมน า้ํ มีเรอื ยนตขามฟากอยู 3 ลํา ขั้นตอนที่ 1 เลอื กลงเรือยนตขามฟากในเที่ยวไป ได 3 วธิ ี จากเรือ 3 ลํา ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กลงเรือยนตขามฟากในเท่ียวกลบั ได 2 วิธี จากเรือทต่ี า งจากเทีย่ วไป จากหลักการคูณ จงึ ไดวา มีจํานวนวธิ ีทผี่ ูโดยสารคนนีจ้ ะขามฟากโดยที่เที่ยวไปและเทีย่ ว กลับลงเรอื ไมซา้ํ ลาํ กันทัง้ หมด 3× 2 =6 วิธี 3. เนอ่ื งจากสนามกีฬาแหง หน่ึงกําหนดหมายเลขทน่ี ่ังโดยใชตวั เลขแสดงโซนท่ีนงั่ ตง้ั แต 1 ถึง 20 อักษรแสดงแถวที่นั่งใช A ถงึ Z และตัวเลขแสดงตําแหนง ทนี่ ั่งตง้ั แต 1 ถึง 30 การหาจํานวนที่นง่ั ทัง้ หมดสนามกีฬาแหงน้ี ประกอบดวย 3 ขั้นตอน ดังน้ี ขน้ั ตอนที่ 1 มโี ซนท่นี ัง่ ที่แตกตางกัน 20 โซน จาก ตัวเลขตง้ั แต 1 ถึง 20 ขน้ั ตอนที่ 2 มีแถวที่นงั่ ทแี่ ตกตางกนั 26 แถว จาก A ถึง Z ข้นั ตอนท่ี 3 มที นี่ ง่ั ทแ่ี ตกตางกนั 30 ที่นง่ั จากตวั เลขตั้งแต 1 ถึง 30 จากหลักการคณู จงึ ไดว า สนามกีฬาแหง นี้มีท่ีน่ังทงั้ หมด 20× 26×30 =15,600 ทีน่ ั่ง 4. การสรางคําท่ีไมคํานึงความหมาย ซง่ึ ประกอบดว ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 5 ตัว โดยที่ตวั อักษร 2 ตัว ท่ีติดกนั ตอ งแตกตางกัน สามารถทําได 5 ขั้นตอน ดงั นี้ ขน้ั ตอนท่ี 1 ตวั ท่ี 1 เลือกตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 26 วธิ ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี