(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.5

บทท่ี 3 | ลําดบั และอนุกรม 95 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 3.3 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียน ทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งที่ครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของนักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 ไดนําเสนอแบบฝกหัดที่ ครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 3 ลําดับและอนุกรม ครูอาจใชแบบฝกหัด เพอื่ วดั ผลประเมินผลความรูใ นแตละเน้ือหาไดด งั นี้ เน้อื หา แบบฝก หัด การหาพจนใ นลําดบั จากพจนทั่วไปท่กี ําหนด 3.1.1 ขอ 1 – 2 การหาพจนใ นลําดับเลขคณติ และพจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณิต 3.1.2 ขอ 1 – 13 การประยกุ ตของลําดับเลขคณติ 3.1.2 ขอ 14 – 15 การหาพจนในลําดับเรขาคณิตและพจนท ั่วไปของลาํ ดบั เรขาคณิต 3.1.3 ขอ 1 – 12 การประยกุ ตของลําดบั เรขาคณติ 3.1.2 ขอ 13 – 14 การหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ 3.2.1 ขอ 1 – 8 การประยกุ ตข องการอนุกรมเลขคณติ 3.2.1 ขอ 9 – 10 การหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ 3.2.2 ขอ 1 – 3 การประยุกตของการอนกุ รมเรขาคณิต 3.2.2 ขอ 4 – 7 การประยุกตของลาํ ดบั และอนุกรมเก่ยี วกับดอกเบยี้ และมูลคา ของเงิน 3.3 ขอ 1 – 11 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 96 คูมือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 3.4 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 มีจุดมุงหมายวาเมื่อนักเรียนได เรียนจบบทที่ 3 ลาํ ดับและอนุกรม แลวนักเรยี นสามารถ 1. หาพจนตา ง ๆ ของลาํ ดบั เลขคณติ และลาํ ดับเรขาคณิต 2. หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. ใชความรูเกย่ี วกบั ลาํ ดับและอนกุ รมในการแกปญ หา 4. ใชค วามรเู ก่ียวกบั ดอกเบ้ียและมูลคา ของเงนิ ในการแกปญหา ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทายบท ท่ีประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความเขาใจ ของนักเรยี นตามจุดมุงหมาย ซง่ึ ประกอบดวยโจทยฝ ก ทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครอู าจเลอื กใชแบบฝก หดั ทายบทวัดความรคู วามเขาใจของนกั เรียนตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ ตรวจสอบวานักเรยี นมีความสามารถตามจดุ มงุ หมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรอื ไม ทั้งน้ี แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 บทที่ 3 ลาํ ดบั และอนุกรม สอดคลอ งกับจุดมุงหมายของบทเรยี น ดังนี้ จดุ มงุ หมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอ ที่ 1. หาพจนตา ง ๆ ของลาํ ดับเลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณติ 1 1) – 4) 2 1) – 6) 3 4 5 9 1) – 6) 10 11 12 13 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลําดบั และอนกุ รม 97 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 จุดมงุ หมาย แบบฝกหดั ทายบทขอที่ 1. หาพจนต าง ๆ ของลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณติ (ตอ ) 2. หาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 18 19 3. ใชค วามรูเ ก่ียวกับลาํ ดับและอนกุ รมในการแกปญหา 20 22 23 1) – 3) 24 25 26 31 32 1) – 3) 33 34 1) 40 1) – 6) 6 7 8 12 14 1) – 2) 15 16 17 21 1) – 2) 27 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 98 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 จุดมุงหมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอ ที่ 3. ใชค วามรูเก่ยี วกบั ลาํ ดบั และอนุกรมในการแกปญหา (ตอ ) 4. ใชค วามรูเก่ียวกบั ดอกเบย้ี และมูลคา ของเงนิ ในการแกปญ หา 28 1) – 2) 29 1) – 6) โจทยทา ทาย 30 34 2) 35 36 37 1) – 3) 38 1) – 4) 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 52 53 39 1) – 3) 51 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 99 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 3.5 ความรเู พมิ่ เติมสาํ หรบั ครู • นอกจากลาํ ดับเลขคณติ และลาํ ดับเรขาคณิต ซึ่งไดกลาวถึงในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 แลว ยังมีลําดับอื่น ๆ ซึ่งมีช่ือเฉพาะโดยตั้งตามช่ือนัก คณติ ศาสตรท ี่เปนผคู นพบลําดับนั้น หรือมชี อ่ื ตามลักษณะของลาํ ดบั ตัวอยา งลําดบั ทีม่ ชี ่ือเฉพาะ 1) ลําดับฮารโมนิก (Harmonic sequence) คือ ลําดับของจํานวนจริงท่ีมีสวนกลับของ จํานวนจริงเหลาน้ันเปนลําดับเลขคณิต เชน 1, 1 , 1 , , 1 ,  เปนลําดับฮารโมนิก 23 n เพราะวา 1, 2, 3, , n,  เปนลําดับเลขคณติ 2) ลําดับฟโบนักชี (Fibonacci sequence) คือ ลําดับ Fn ซึ่ง=F0 0=, F1 1 และ =Fn Fn−1 + Fn−2 เมื่อ n ≥ 2 เรียกแตละพจนของลําดับฟโบนักชีวา จํานวนฟโบนักชี (Fibonacci number) ซ่ึงไดแก 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,  3) ลําดับลูคัส (sequence of Lucas numbers) คือ ลําดับ Ln ซึ่ง=L0 2=, L1 1 และ =Ln Ln−1 + Ln−2 เมื่อ n ≥ 2 เรียกแตละพจนของลําดับลูคัสวา จํานวนลูคัส (Lucas number) ซึง่ ไดแ ก 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,  ขอ สงั เกต ลําดบั ฟโ บนกั ชีและลาํ ดับลคู ัสเปนลําดับทก่ี าํ หนดโดยใชความสัมพันธเวียนเกิด เดียวกัน กลาวคือ แตละพจนของลําดับไดจากผลบวกของสองพจนกอนหนา โดยการกําหนดสองพจนแรกของลําดับทั้งสองตางกัน ทําใหลําดับท้ังสอง แตกตา งกัน ตวั อยา งลาํ ดับท่มี ีช่อื ตามลกั ษณะของลาํ ดบั 1) ลําดับแกวงกวัด (Oscillating sequence) คือ ลําดับลูออกที่มีลักษณะของกราฟขึ้น และลงสลับกันโดยไมเ ขา ใกลจํานวนใดจาํ นวนหนึ่ง เชน 2, 1 , 2, 1 ,  22 1, −1, 1, −1, , (−1)n−1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนุกรม 100 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 2) ลําดับสลับ (Alternating sequence) คือ ลําดับซ่ึงประกอบดวยพจนท่ีเปนจํานวนบวก และจาํ นวนลบสลบั กัน เชน 1, −1, 1, −1, , ( )−1 n−1 −1, 1 , − 1 , , (−1)n ,  23 n ขอสังเกต ลําดบั สลบั เปน กรณีหน่งึ ของลําดับแกวงกวัด • นอกจากอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งไดกลาวถึงในหนังสือเรียนรายวิชา พนื้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 แลว ยงั มอี นกุ รมจํากัดอ่นื ๆ อกี เชน 1) อนุกรมโทรทรรศน (Telescopic series) สมมติวา ตอ งการหาผลบวก Sn = a1 + a2 + a3 +  + an−1 + an ถาสามารถเขยี น ai ใหอยใู นรปู =ai bi+1 − bi สาํ หรบั ทกุ i ∈{1, 2, 3, , n} เม่ือ bi เปน ลาํ ดบั ใด ๆ จะไดวา Sn = (b2 − b1 ) + (b3 − b2 ) + (b4 − b3 ) +  + (bn − bn−1 ) + (bn+1 − bn ) = bn+1 − b1 อนุกรมทม่ี สี มบตั นิ เ้ี รียกวา อนุกรมโทรทรรศน เชน 3 + 5 + 7 +  + (2n +1) ให ai = 2i +1 = i2 + 2i +1− i2 = (i +1)2 − i2 และ bi = i2 จะได 3 + 5 + 7 +  + (2n +1) ( ) ( ) ( )22 −12  ( n + 1)2  = + 32 − 22 + 42 − 32 + + − n2  = (n +1)2 −1 = bn+1 − b1 ดงั นั้น 3 + 5 + 7 +  + (2n +1) เปนอนกุ รมโทรทรรศน 2) อนกุ รมเลขคณิต–เรขาคณิต (Arithmetic–Geometric Series) อนุกรมเลขคณิต–เรขาคณติ จํากดั คอื อนกุ รมในรปู a1 + a2r + a3r 2 +  + anr n−1 เม่ือ a1, a2, , an เปนลําดับเลขคณิต และ 1, r, r2, , rn−1 เปนลําดับเรขาคณิต ตวั อยา งอนกุ รมเลขคณติ –เรขาคณิตจาํ กัด เชน 1 + 3 + 5 + + 2n −1 2 22 23 2n สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลําดับและอนกุ รม 101 คูม อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 จะเหน็ วา ลําดับดงั กลาวเขยี นไดใ นรปู 1 ⋅1+ 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ++ 2n − 1 ⋅ 1 2 2 2 2 22 2 2n−1 โดยมี 1 , 3 , 5 ,  , 2n −1 เปน ลาํ ดับเลขคณติ 222 2 และ 1, 1, 1 , , 1 เปน ลาํ ดับเรขาคณิต 2 22 2n−1 ดังนั้น 1+ 3 +5 ++ 2n −1 เปนอนกุ รมเลขคณิต–เรขาคณติ จํากดั 2 22 23 2n • นอกจากอนุกรมจํากัดซึ่งไดกลาวไวในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ัน มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 ยังมอี นุกรมอนนั ต (infinite series) ซง่ึ นยิ ามไดดังน้ี ให a1, a2, a3, , an,  เปน ลาํ ดับอนนั ต เรียกการเขยี นแสดงการบวก a1 + a2 + a3 +  + an +  วา อนุกรมอนนั ต • คา งวดที่กลา วถึงในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 ตรงกับ คําศพั ทภาษาอังกฤษทางการเงินวา annuity และ installment อยางไรก็ตามทั้งสองคําน้ีมี ความหมายแตกตางกัน สําหรับ annuity นน้ั เปน คางวดที่ชาํ ระเปนจํานวนเงินท่ีเทากันในระยะเวลาท่ีเทากัน ซ่ึงมักใชในกรณขี องการออมเงิน เงินสะสมจะเพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ ตามระยะเวลาท่ีผานไป และ จะมีการคิดดอกเบ้ียในชวงระยะเวลาที่มีการฝากเงินดวย เชน การฝากเงินเขาบัญชีเงิน ฝากของธนาคารทุกเดอื น เดือนละ 1,000 บาท เปนเวลา 6 เดือน โดยใหดอกเบ้ียในอัตรา 6% ตอ ปนั้น เงินสะสมในบัญชีจะเพม่ิ ข้ึนทกุ ๆ เดือนซึง่ เปนกําหนดชาํ ระคางวด จนกระทั่ง ครบ 6 เดือน ซงึ่ เปนระยะเวลาชําระคา งวดทั้งหมดท่กี ําหนดไว สวน installment นั้น มีความหมายใกลเคียงกับ annuity แตเปนคางวดที่ชําระเปน จํานวนเงนิ ท่ีเทา กนั ในระยะเวลาทเี่ ทากนั ซ่ึงมักใชในกรณีของการชําระหนี้ คาสินคา หรือ บริการ โดยกอนท่ีจะมีการชําระคางวดสําหรับงวดแรก ผูชําระคางวดจะมียอดเงินรวมที่ ตองชําระคืน ซ่ึงอาจมาจากผลรวมของราคาสินคาและดอกเบ้ีย แตยอดเงินรวมท่ีตอง ชําระคืนจะลดลงเรื่อย ๆ ตามระยะเวลาท่ีผานไป เชน การชําระเงินเพ่ือจายหน้ีซ่ึงมี ยอดเงนิ รวมที่ตองชําระคืน 10,000 บาท โดยชําระคืนทุกเดือน เดือนละ 2,000 บาท เปน เวลา 5 เดือนน้ัน จะเห็นวากอนที่จะเริ่มชําระเงินงวดแรก ผูชําระเงินจะมียอดหนี้รวม ท้ังหมด 10,000 บาท แตเมื่อเริ่มชําระเงินงวดท่ี 1 ยอดหน้ีจะลดลง และจะลดลงเร่ือย ๆ ในทกุ ๆ เดือนซ่ึงเปนกําหนดชําระคางวด จนกระท่ังครบ 5 เดือน ซึ่งเปนระยะเวลาชําระ คางวดทั้งหมดทก่ี าํ หนดไว สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลําดบั และอนุกรม 102 คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 3.6 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท ในสว นนจ้ี ะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 3 ลําดับและอนุกรม สําหรับรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูท่ี ตองการวดั ผลประเมนิ ผล ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. ใหส่พี จนแรกของลาํ ดับเลขคณิตลําดับหนึ่งเปน 8, a +1, b − 2 และ 23 ตามลาํ ดบั จงหา a + b 2. ให a, b และ c เปนจาํ นวนเต็มบวกสามจํานวนซึ่งเปน สามพจนแรกของลําดับเลขคณิต ถา b เปน สองเทา ของ a แลวจงพจิ ารณาวา ขอความในแตล ะขอตอไปน้ีเปนจรงิ หรือเท็จ 1) ผลตา งรว มของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ a 2) a + b + c =3b 3. ถาลําดับเลขคณติ มีพจนที่ 5 คอื 18 และพจนที่ 10 คือ 38 จงหาพจนที่ 15 4. ผลบวกของหา พจนแ รกของลําดบั เลขคณิตลําดบั หนึ่งเปน 100 ถาลาํ ดับเลขคณิตนม้ี ีพจน ท่ี 100 เปน −174 แลว จงหาผลตา งรวมของลําดับเลขคณิตน้ี 5. ให an เปนพจนหนึ่งในลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเปนจํานวนจริงลบ ถาลําดับ เรขาคณิตนี้มีพจนท่ี 6 คือ 8 และพจนที่ 8 คือ 2 แลว 1 เปนพจนที่เทาใดของลําดับ 8 เรขาคณิตน้ี 6. ลําดับเรขาคณิตลําดบั หนง่ึ มีผลคูณของสามพจนแรกเปน 27 และผลบวกของสามพจนแรก เปน 9 จงหาอตั ราสว นรวมของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ 7. จงหาวา มจี าํ นวนเตม็ บวกตง้ั แต 300 ถงึ 500 ที่หารดวย 3 ลงตัว แตหารดว ย 9 ไมล งตัว ทั้งหมดกีจ่ าํ นวน 8. ถาลําดบั เลขคณติ มพี จนท่ี 10 เปน 95 และผลบวก 10 พจนแรกเปน 500 จงหาผลตางรวม ของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี 9. ถาลําดับเลขคณิตมีพจนท่ี 3 เปน 12 พจนท่ี 30 เปน 93 และผลบวก n พจนแรกเปน 1995 แลว จงหา n สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 103 คมู ือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 10. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต ถา S5 =100 และ S10 = 500 แลว จงหา a50 11. จงหาผลบวกของจาํ นวนเตม็ ตง้ั แต 199 ถึง 399 ทหี่ ารดวย 3 ลงตวั 12. จงหาผลบวก 7 พจนแรกของอนุกรมทไ่ี ดจ ากลําดบั เรขาคณิต 4, 4⋅31, 4⋅32, , 4 ⋅36 13. โรงละครแหงหน่ึงมีพื้นเปนรูปสี่เหล่ียมคางหมู มีแถวที่นั่งเรียงลําดับตัวอักษรจากแถว A ซ่ึงอยูหลังสุดไปแถว J ซึ่งอยูหนาสุด โดยแถว A มีที่นั่งชมละคร 8 ที่นั่ง และแถวถัด ๆ ไป จะเพ่ิมจาํ นวนท่นี ั่งจากแถวกอนหนา 2 ที่นงั่ เสมอ โรงละครนีส้ ามารถจุดผชู มไดก ่ีท่ีนง่ั 14. กรซื้อรถยนตคันหน่ึงราคา 549,000 บาท โดยรานรับซ้ือรถยนตมือสองรับซื้อรถยนตรุนน้ี โดยคิดคาเส่ือมราคาในอัตรา 15% ตอป ถากรตัดสินใจจะขายรถคันน้ีในปลายปท่ี 7 เขา จะขายรถคนั นีไ้ ดใ นราคาเทาใด 15. กอยและนางวางแผนจะซ้ือของขวัญใหคุณพอและคุณแม กอยจึงเริ่มออมเงินในเดือน มกราคม 2562 เปนเงนิ 250 บาท และจะออมเงินเพิ่มข้ึนทุกเดือน เดือนละ 50 บาท สวน นางเร่ิมออมเงินในเดือนมีนาคม 2562 เปนเงิน 20 บาท และจะออมเงินเดือนถัดไปเปน สองเทาของเงนิ ท่อี อมในเดอื นกอนหนา เมื่อสิ้นเดือนธันวาคม 2562 กอยและนางจะมีเงิน ออมรวมกนั ก่บี าท 16. ก่ิงแกวฝากเงินจํานวนหนึ่งไวกับธนาคารเปนเวลา 10 ป โดยไมมีการฝากหรือถอนใน ระหวางนั้น ซ่ึงใน 5 ปแรก ธนาคารคิดดอกเบ้ียแบบทบตนในอัตรา 1% ตอป และใน 5 ป หลงั ธนาคารคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตนในอัตรา 2% ตอป ถาก่ิงแกวมีเงินในบัญชี ณ สิ้นปท่ี 10 อยู 50,000 บาท จงหาวา กง่ิ แกว เร่มิ ตนฝากเงนิ ไวเ ทา ใด 17. กุกไกซ้ือคอมพิวเตอรราคา 12,000 บาท โดยเลือกผอนชําระเปนรายเดือนทุกสิ้นเดือน เดือนละเทากันเปนเวลา 10 เดือน ถาอัตราดอกเบ้ีย 12% ตอป โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ ตนทุกเดอื นแลว 1) กกุ ไกจะตอ งผอนชําระเดือนละเทา ใด 2) ถากุกไกไดรับคาใชจายจากผูปกครองเดือนละ 5,000 บาท กุกไกจะเหลือเงินหลัง ผอนชาํ ระคาคอมพิวเตอรแ ลวเดอื นละเทาใด สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลําดับและอนุกรม 104 คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. จากสี่พจนแ รกของลําดบั เลขคณติ คือ 8, a +1, b − 2 และ 23 วธิ ที ี่ 1 จะได a1 = 8 และ d = a2 − a1 = (a +1) − 8 = a − 7 จาก an = a1 + (n −1) d จะได b − 2 = 8 + (3 −1)(a − 7) นัน่ คือ และ 2a − b = 4 ----- (1) 23 = 8 + (4 −1)(a − 7) วิธีท่ี 2 นน่ั คอื a = 12 แทน a ดว ย 12 ใน (1) จะได b = 20 ดงั นน้ั a + b = 12 + 20 = 32 จะได a1 = 8 และ d = a2 − a1 = (a +1) − 8 = a − 7 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 23 = 8 + (4 −1)d d =5 ดังนนั้ สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คอื 8, 13, 18 และ 23 จะได a +1 = 13 a = 12 และ b − 2 = 18 b = 20 ดงั น้ัน a + b = 12 + 20 = 32 วิธีท่ี 3 จะได d = a2 − a1 = (a +1) − 8 = a − 7 และ d = a4 − a3 = 23 − (b − 2) = 25 − b นน่ั คอื a − 7 = 25 − b จะได a + b = 25 + 7 = 32 2. จากสามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ คอื a, b และ c 1) เน่อื งจาก b เปนสองเทา ของ a นั่นคือ b = 2a จะได สามพจนแรกของลําดับเลขคณิตน้ี คือ a, 2a และ c สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลาํ ดับและอนกุ รม 105 คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 นนั่ คือ ผลตา งรวมของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 2a − a =a ดังน้นั ขอ ความ “ผลตางรวมของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คือ a ” เปน จริง 2) เนือ่ งจากลําดับเลขคณิตนมี้ ีผลตางรว ม คือ a จะได c = 3a จะได a + b + c = a + 2a + 3a = 6a = 3(2a) = 3b 3. จาก ดังน้ัน ขอ ความ “ a + b + c =3b ” เปนจริง an = a1 + (n −1) d จะได 18 = a1 + (5 −1)d ----- (1) และ 38 = a1 + (10 −1) d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 2 และ d = 4 ดังน้นั a15 =2 + (15 −1)(4) =58 น่ันคือ พจนท ่ี 15 ของลําดบั เลขคณติ นี้ คือ 58 4. วธิ ที ่ี 1 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d และ a5 = a1 + 4d เนื่องจาก ผลบวกของหาพจนแรกของลําดบั เลขคณติ นเี้ ปน 100 จะได 100 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 100 = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) + (a1 + 3d ) + (a1 + 4d ) 100 = 5a1 +10d นน่ั คือ 20 = a1 + 2d ----- (1) เนอื่ งจาก ลาํ ดับเลขคณติ นี้มีพจนท ี่ 100 เปน −174 จะได −174 = a1 + (100 −1)d นน่ั คอื −174 = a1 + 99d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 24 และ d = −2 ดงั น้ัน ผลตา งรวมของลําดบั เลขคณิตนี้เปน −2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดับและอนุกรม 106 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 วิธีท่ี 2 ใหห า พจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ คอื a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d เมอื่ d เปน ผลตา งรว มของลําดับเลขคณติ น้ี จะได 100 = (a − 2d ) + (a − d ) + a + (a + d ) + (a + 2d ) 5a = 100 a = 20 นนั่ คอื พจนท่ี 3 ของลําดบั เลขคณิตนี้ คอื 20 เน่อื งจาก พจนท ่ี 100 ของลาํ ดบั เลขคณติ นี้ คือ −174 และ a10=0 a1 + 99d จะได −174 = (a3 − 2d ) + 99d −174 = (20 − 2d ) + 99d 97d = −194 5. จาก d = −2 จะได และ ดงั น้นั ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้เปน −2 an = a1r n−1 8 = a1r5 ----- (1) 2 = a1r7 ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได r = 1 หรอื r = − 1 22 เนอ่ื งจาก ลาํ ดับเรขาคณิตน้มี ีอัตราสวนรว มเปน จาํ นวนจริงลบ จะได r = −1 และ a1 = −256 2 นนั่ คอื  1 n −1  2  an = −256 − จะได 1  1 n −1 8  2  = −256 −  1 n −1  1   2   × 256  − = − 8  1 n −1  1   2   ×  − = − 23 28  1 n −1  1   2   211  − = −  1 n −1  1 11  2   2  − = − สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลําดบั และอนกุ รม 107 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 นั่นคอื n −1 = 11 จะได n = 12 ดังน้ัน 1 เปน พจนท ่ี 12 ของลาํ ดับเรขาคณติ น้ี 8 6. วธิ ีที่ 1 จาก an = a1r n−1 จะได สามพจนแรกของลําดบั เรขาคณิตนี้ คอื a1, a1r และ a1r2 เนื่องจาก ลาํ ดับเรขาคณิตนมี้ ีผลคูณของสามพจนแ รกเปน 27 จะได ( )27 = a1 (a1r ) a1r2 27 = a13r3 27 = (a1r )3 a1r = 3 นั่นคือ a1 = 3 ----- (1) r เนอ่ื งจาก ลําดับเรขาคณิตนีม้ ีผลบวกของสามพจนแรกเปน 9 จะได 9 = a1 + a1r + a1r2 ( )9 = a1 1+ r + r2 นนั่ คอื a1 = 9 ----- (2) 1+ r + r2 จาก (1) และ (2) จะได a1 = 3 และ r =1 ดังนนั้ อตั ราสวนรว มของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คือ 1 วิธที ่ี 2 ใหส ามพจนแรกของลาํ ดับเรขาคณติ คือ a , a และ ar r เมือ่ r เปน อตั ราสวนรวมของลําดบั เรขาคณติ นี้ เนือ่ งจาก ผลคูณของสามพจนแ รก คือ 27 จะได 27 = a × a × ar r a3 = 27 a =3 นั่นคือ พจนที่ 2 ของลาํ ดับเรขาคณติ น้ี คือ 3 จะได สามพจนแ รกของลําดบั เรขาคณิตนี้ คือ 3, 3 และ 3r r เน่อื งจาก ผลบวกของสามพจนแรก คอื 9 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลําดับและอนกุ รม 108 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 จะได 9 = 3 + 3 + 3r r 0 = 3r − 6 + 3 r 0 = r2 − 2r +1 (r −1)2 = 0 นน่ั คือ r = 1 ดังน้ัน อตั ราสว นรว มของลําดับเรขาคณิตน้ี คือ 1 7. จํานวนเตม็ บวกต้งั แต 300 ถึง 500 ท่หี ารดว ย 3 ลงตัว ไดแก 300, 303, 306, , 498 น่นั คือ ลําดับเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกตัง้ แต 300 ถึง 500 ทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั คือ 300, 303, 306, , 498 จะ=ได a1 3=00, an 498 และ d = 303 − 300 = 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 498 = 300 + (n −1)(3) นัน่ คือ n = 67 ดงั น้ัน มีจํานวนเต็มบวกต้ังแต 300 ถงึ 500 ท่ีหารดว ย 3 ลงตัว ท้ังหมด 67 จํานวน จาํ นวนเต็มบวกตงั้ แต 300 ถึง 500 ทห่ี ารดว ย 9 ลงตวั ไดแก 306, 315, 324, , 495 นั่นคือ ลาํ ดับเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกต้งั แต 300 ถงึ 500 ที่หารดวย 9 ลงตัว คือ 306, 315, 324, , 495 จะ=ได b1 3=06, bn 495 และ d = 315 − 306 = 9 จาก bn = b1 + (n −1) d จะได 495 = 306 + (n −1)(9) นั่นคือ n = 22 ดังนัน้ มีจํานวนเต็มบวกตั้งแต 300 ถงึ 500 ทหี่ ารดว ย 9 ลงตัว ทัง้ หมด 22 จาํ นวน น่นั คือ มีจํานวนเต็มบวกต้งั แต 300 ถึง 500 ที่หารดว ย 3 ลงตวั แตหารดว ย 9 ไมล งตวั ท้ังหมด 67 − 22 =45 จํานวน 8. จาก an = a1 + (n −1) d เน่ืองจาก พจนท่ี 10 ของลําดับเลขคณติ นี้ คือ 95 จะได 95 = a1 + (10 −1)d 95 = a1 + 9d ----- (1) จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดับและอนุกรม 109 คูมอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เนอื่ งจาก ผลบวก 10 พจนแรก คอื 500 จะได 500 = 10 ( a1 + 95) 2 500 = 5(a1 + 95) 100 = a1 + 95 a1 = 5 แทน a1 ใน (1) ดว ย 5 จะได d =10 ดังนัน้ ผลตางรวมของลําดบั เลขคณิตนี้ คือ 10 9. จาก an = a1 + (n −1) d เนื่องจากพจนที่ 3 ของลาํ ดับเลขคณิตน้ี คือ 12 จะได 12 = a1 + (3 −1)d 12 = a1 + 2d ----- (1) และเนื่องจากพจนที่ 30 ของลําดบั เลขคณิตนี้ คือ 93 จะได 93 = a1 + (30 −1)d 93 = a1 + 29d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 6 และ d = 3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 เนอ่ื งจากผลบวก n พจนแรก คือ 1995 จะได 1995 = n ( 2)(6) + ( n − 1) ( 3) 2 1995 = n (9 + 3n) 2 3990 = n(9 + 3n) 0 = 3n2 + 9n − 3990 0 = n2 + 3n −1330 0 = (n − 35)(n + 38) นน่ั คือ n = 35 หรือ n = −38 เน่ืองจาก n > 0 ดังนั้น n = 35 10. จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 เน่อื งจาก S5 =100 และ S10 = 500 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 110 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 จะได 100 = 5 ( 2a1 + ( 5 − 1) d ) 2 100 = 5 ( 2a1 + 4d ) 2 40 = 2a1 + 4d ----- (1) และ 500 = 10 ( 2a1 + (10 − 1) d ) 2 500 = 5(2a1 + 9d ) 100 = 2a1 + 9d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = −4 และ d =12 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a50 = −4 + (50 −1)(12) = 584 11. จาํ นวนเตม็ บวกตงั้ แต 199 ถึง 399 ทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั ไดแก 201, 204, 207, , 399 นัน่ คือ ลาํ ดับเลขคณิตของจาํ นวนเต็มบวกตั้งแต 199 ถึง 399 ทห่ี ารดว ย 3 ลงตัว คือ 201, 204, 207, , 399 จะ=ได a1 2=01, an 399 และ d = 204 − 201 = 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 399 = 201+ (n −1)(3) นั่นคือ n = 67 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S67 = 67 (201+ 399) 2 = 20,100 ดังนัน้ ผลบวกของจํานวนเตม็ ตงั้ แต 199 ถงึ 399 ท่หี ารดว ย 3 ลงตัว คือ 20,100 ( )Sn 12. จาก = a1 1 − r n 1− r เน่ืองจากลําดับที่กําหนดใหม ี a1 = 4 และ r = 3 จะได S7 = 4(1− 37 ) 1−3 4 ( −2186 ) = −2 = 4,372 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลาํ ดับและอนุกรม 111 คูมือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 13. จาํ นวนทนี่ งั่ แตละแถวในโรงละครเรียงกันเปน ลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 8 และ d = 2 และโรงละครน้ีมีที่นัง่ ทั้งหมด 10 แถว จากแถว A ซง่ึ อยูห ลงั สดุ ไปแถว J ซง่ึ อยูหนาสดุ จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S10 = 10 (2(8) + (10 −1)(2)) 2 = 170 ดังนั้น โรงละครน้จี ผุ ูช มได 170 ท่ีนัง่ 14. กรซื้อรถยนตม าราคา 549,000 บาท เมื่อครบ 1 ป รถยนตข องกรราคา 549, 000  85  บาท  100  เมือ่ ครบ 2 ป รถยนตของกรราคา 549, 000  85 2 บาท  100  เมอ่ื ครบ 3 ป รถยนตข องกรราคา 549, 000  85 3 บาท  100  จะเห็นวาราคารถของกรเปน ลําดับเรขาคณติ ที่มี a1 = 549,000 และ r = 85 100 ดังนน้ั ราคารถยนตของกรเม่ือครบ 7 ป คอื a8 แทน n ดว ย 8 ใน an = a1rn−1 =จะได a8 54=9,000 18050 8−1 549, 000  85 7 ≈ 175,997  100  ดังนน้ั กรจะขายรถคันนี้ไดใ นราคาประมาณ 175,997 บาท 15. เนอื่ งจาก กอยเริ่มออมเงินในเดือนมกราคม 2562 เปนเงิน 250 บาท และจะออมเงินเพิ่มขึ้น ทกุ เดือน เดือนละ 50 บาท น่ันคอื เดือนที่ 1 (มกราคม) กอ ยออมเงนิ 250 บาท เดอื นท่ี 2 (กุมภาพันธ) กอ ยออมเงนิ 250 + 50 บาท เดือนที่ 3 (มีนาคม) กอยออมเงิน (250 + 50) + 50 = 250 + 2(50) บาท เดอื นท่ี 4 (เมษายน) กอ ยออมเงนิ (250 + 2(50)) + 50 = 250 + 3(50) บาท จะเห็นวา เงนิ ทีก่ อ ยออมในแตล ะเดือนเปนลําดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 250 และ d = 50 ดังนัน้ กอยจะมเี งินออมรวมเม่อื ส้นิ เดือนธันวาคม 2562 เปน เงนิ S12 แทน n ดวย 12 ใน S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลําดับและอนุกรม 112 คูมอื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 จะได= S12 12 (2(250) + (12 −=1)50) 6, 300 2 ดังนนั้ กอ ยจะมเี งินออมรวมเมือ่ สิ้นเดือนธนั วาคม 2562 เปนเงิน 6,300 บาท เน่ืองจาก นางเร่ิมออมเงนิ ในเดอื นมนี าคม 2562 เปนเงิน 20 บาท และจะออมเงินในเดือน ถัดไปเปนสองเทา ของเงนิ ออมในเดือนกอนหนา นนั่ คือ เดือนที่ 1 (มีนาคม) นางออมเงนิ 20 บาท เดือนที่ 2 (เมษายน) นางออมเงิน 20(2) บาท เดือนท่ี 3 (พฤษภาคม) นางออมเงิน 20(2)2 บาท เดอื นที่ 4 (มถิ ุนายน) นางออมเงิน 20(2)3 บาท จะเหน็ วาเงินท่นี างออมในแตล ะเดอื นเปน ลําดบั เรขาคณติ ทม่ี ี a1 = 20 และ r = 2 ดงั นั้น นางจะมีเงินออมรวมเม่ือส้นิ เดือนธนั วาคม 2562 เปน เงิน S10 แทน n ดว ย 10 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r =จะได S10 ( )20 1− 210 20, 460 = 1− 2 ดังนั้น นางจะมีเงนิ ออมรวมเมื่อสิ้นเดอื นธันวาคม 2562 เปน เงิน 20,460 บาท นนั่ คือ กอยและนางจะมีเงินออมรวมกันเมื่อสน้ิ เดือนธันวาคม 6,300 + 20,460 =26,760 บาท 16. วธิ ที ี่ 1 พจิ ารณาในชวง 5 ปแ รกที่ก่ิงแกวฝากเงิน (ปท ่ี 1 – 5) ใหก ่ิงแกวเร่มิ ฝากเงินดว ยเงนิ ตน P1 บาท ในทีน่ ี้=P P1 =, k 1=, n 5 และ=r =1 0.01 100 จากทฤษฎีบท 1 จาํ นวนเงนิ รวม คอื P1 1 + 0.01 5 หรือ P1 (1.01)5 บาท 1  พจิ ารณาในชว ง 5 ปห ลังท่กี ง่ิ แกวฝากเงนิ (ปท ่ี 6 – 10) เงนิ ตนในชว ง 5 ปหลัง คอื P1 (1.01)5 บาท ในทน่ี ้ี=P P1 (1.01)5 =, k 1=, n 5 และ=r =2 0.02 100 ( )จากทฤษฎีบท 1 จํานวนเงินรวม คอื 1 0.02 5 หรือ P1 (1.01)5 + 1  P1 (1.01)5 (1.02)5 บาท เนอ่ื งจาก ก่ิงแกว มเี งนิ ในบัญชี ณ สิน้ ปที่ 10 อยู 50,000 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ลําดบั และอนกุ รม 113 คูม อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 จะได 50,000 = P1 (1.01)5 (1.02)5 50,000 = P1 (1.0302)5 วธิ ที ่ี 2 P1 = 43,088.58939 ดังนนั้ กิ่งแกวเรมิ่ ตน ฝากเงินไวป ระมาณ 43,089 บาท พจิ ารณาในชว ง 5 ปห ลังทกี่ งิ่ แกวฝากเงนิ (ปท ่ี 6 – 10) ในทนี่ =้ี S 50000=, k 1=, n 5 และ=r =2 0.02 100 จาก P = S 1 + r  − kn k  จะได P = 50000 1 + 0.02 −5 1  = 45,286.54049 ดังนนั้ เงินตน เม่ือเรม่ิ ตน ปท ่ี 6 คอื 45,286.54049 บาท พิจารณาในชวง 5 ปแ รกที่ก่งิ แกวฝากเงนิ (ปท่ี 1 – 5) ในทีน่ =้ี S 45,286.54049=, k 1=, n 5 และ=r =1 0.01 100 จาก P = S 1 + r  − kn k  จะได P = 45, 286.54049 1 + 0.01 −5 1  = 43,088.58939 17. 1) ดังนนั้ เงินตนเมอื่ เรม่ิ ตนปท่ี 1 คือ 43,088.58939 บาท น่ันคือ กง่ิ แกวเรมิ่ ตนฝากเงนิ ไวประมาณ 43,089 บาท ให R แทนคา งวดที่กกุ ไกต องผอนชาํ ระทุกส้ินเดือน ในท่ีนี้ i = 12 และ r = 0.01 12 เนือ่ งจากคอมพิวเตอรร าคา 12,000 บาท โดยกุกไกจะผอ นชําระทุกเดือนเปนเวลา 10 เดอื น ดังนั้น ตอ งหามูลคาปจจุบันของเงนิ ผอ นแตละงวด แลวจงึ นํามารวมกัน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 114 คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RRR RRRR RR R จากแผนภาพ จะไดม ลู คา ปจจุบันของเงินผอนงวดที่ 1, 2,  , 10 คอื R (1.01)−1 , R (1.01)−2 ,  , R (1.01)−10 ตามลําดบั นน่ั คอื ผลรวมของมลู คา ปจจุบันของเงินผอ นทงั้ สบิ งวด คอื R (1.01)−1 + R (1.01)−2 +  + R (1.01)−10 ซึง่ เปนอนุกรมเรขาคณติ ท่มี ี 10 พจน โดยพจนแ รก คือ R(1.01)−1 และอตั ราสวนรวม คือ (1.01)−1 ดังน้นั ผลรวมของมลู คาปจ จุบนั ของเงนิ ผอนทั้งสบิ งวด คอื ( )R (1.01)−1 1− (1.01)−10 1 − (1.01)−1 เนื่องจากกุกไกมเี งนิ ท่ตี องผอนชําระ 12,000 บาท จะไดว า ( )R (1.01)−1 1− (1.01)−10 12,000 = 1 − (1.01)−1 ( )12,000 1− (1.01)−1 ( )R = (1.01)−1 1 − (1.01)−10 R ≈ 1,266.98 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนุกรม 115 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 ดงั นัน้ กกุ ไกจ ะตองผอ นชําระเดอื นละประมาณ 1,267 บาท 2) เน่ืองจากกุกไกไ ดร บั คาใชจ า ยจากผูปกครองเดือนละ 5,000 บาท ดังนน้ั กกุ ไกจะเหลือเงินหลงั ผอ นชาํ ระคา คอมพวิ เตอรแ ลวเดอื นละประมาณ 5,000 – 1,267 = 3,733 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

116 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เฉลยแบบฝก หัดและวิธีทําโดยละเอียด บทท่ี 1 เลขยกกาํ ลัง แบบฝก หัด 1.1 1. 1) 1100 = 1 2) ( )−1 2019 = −1 3) (−8.43)0 = 1 4)  1 −4 = 54 = 625  5  ( )3−2 ×158 0 = 3(−2)(0) ×15(8)(0) 2. 1) = 30 ×150 =1 25 −2 × 23 −1 ( ) ( ) (( ) )2) −2 23 × 4−2 × 32−2 × 8 −1 = 23 × 22 × = 23 × 2−4 × 210 × 2−3 = 23+(−4)+10+(−3) = 26 3) 22 ×103 = 22 × (5× 2)3 54 × 25 54 × 25 = 22 × 53 × 23 54 × 25 = 22+3−5 × 53−4 = 20 × 5−1 =1 5 4) 2−3 × 3−5 = 2−3−0 × 3−5−(−5) 3−5 × 20 = 2−3 × 30 = 1 23 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 117 3. 1) ( )( )x3 y−2 x−5 y3 = x3+(−5) y−2+3 2) = x−2 y 3) 4) y 5) = x2 6) ( ) ( ) x4 −2 2 xy 2 3 =  x−8  23 x3 y6  2 y−2   2−2 y4      = 23−(−2) x−8+3 y6−4 = 25 x−5 y2 = 25 y2 x5 ( )y  1  = 4 y4+2+(−8) 4  3 y 2  12 y−8 = 22 y−2 = 22 y2 ( )( ) ( )x−5 y7 x−2 y−7 z0 = x−5+(−2) y7+(−7) 1 = x−7 y0 = 1 x7  1 x−3 y 2 −4 = 1 x12 y−8  2  2−4 = 24 x12 y8 ( )( )x2 y3 xy4 −3 = ( )( )x2 y3 x−3 y−12 x2 y x2 y = x2+(−3)−2 y3+(−12)−1 = x−3 y−10 = 1 x3 y10 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

118 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 แบบฝก หดั 1.2 1. 1) เนอ่ื งจาก 82 = 64 และ (−8)2 =64 ดงั นน้ั รากที่ 2 ของ 64 คอื 8 และ −8 2) เนื่องจาก ( )2 =5 และ (− )2 5 5 =5 ดังนน้ั รากที่ 2 ของ 5 คอื 5 และ − 5 3) เน่ืองจาก (4 )4 = 4 และ (− 4 )4 =4 4 4 ดังนัน้ รากที่ 4 ของ 4 คอื 4 4 และ − 4 4 4) เนอ่ื งจาก (−7)3 =−343 ดังนน้ั รากที่ 3 ของ −343 คือ −7 5) เนือ่ งจากรากที่ 4 ของ 625 คือ 5 และ −5 และ (625)(5) > 0 แต (625)(−5) < 0 ดังนั้น คาหลักของรากที่ 4 ของ 625 คอื 5 6) เนื่องจากไมมรี ากที่ 4 ของ −1296 ในระบบจาํ นวนจรงิ ดังนั้น ไมมีคา หลกั ของรากที่ 4 ของ −1296 ในระบบจํานวนจริง 2. 1) 144 = 12 ×12 = 12 2) 4 256 = 4 4 × 4 × 4 × 4 =4 3) 3 64 = 3 4 × 4 × 4 =4 1 = 6 1×1×1×1×1×1 = 1 4) 6 222222 2 64 5) 3 = 3 = 3 = −1 3 −27 3 (−3) × (−3) × (−3) ( −3) 6) (−11)2 = 121 = 11×11 = 11 3. 1) 5= 5 2 2 5⋅ 2 = 22 10 = 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 119 2) 21 = 7 × 3 15 5× 3 = 7× 3 5× 3 =7 5 = 7⋅ 5 55 35 = 5 3) 3 = 3 20 20 = 3 ⋅ 20 20 20 = 60 20 = 2 15 20 = 15 10 4) 96 = 8×12 2 12 2 12 = 8 × 12 2 12 =8 2 = 22 2 =2 5) 3 8 = 3× 2 2 4 12 4×2 3 = 32 43 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

120 คูม ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 3 8 = 3 2⋅ 3 4 12 43 3 = 36 12 6) =6 4 4. 1) 2) 39 39 3) = 4) 5) 3 4 3 2×2 = 39 ⋅32 3 2×2 3 2 = 3 18 2 45 ⋅ 20 = 3× 3× 5 × 2 × 2 × 5 = 2×2×3×3×5×5 = 2×3×5 = 30 ( ) ( )7 5 − 3 5 + 3 2 + 2 = (7 − 3) 5 + (3 +1) 2 = 4 5+4 2 = 4( 5 + 2) (2 3 + 7 )(2 3 − 7 ) = (2 3 + ) (7 2 3 − 2 3 + 7 ) 7 = 12 + 2 21 − 2 21 − 7 =5 (2 + )2 = (2+ 3)(2+ 3) 3 = (2+ 3)(2)+(2+ 3)( 3) = 4+2 3+2 3+3 = 7+4 3 3 8 − 4 18 + 7 2 = 6 2 −12 2 + 7 2 = (6 −12 + 7) 2 =2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 121 6) 2 5 + 125 − 8 = 2 5 + 5 5 − 8 20 2 5 = 2 5+5 5 −  2 8 ⋅ 5  5 5  = 2 5+5 5−8 5 10 = 2 5+5 5−4 5 5 =  2 + 5 − 4  5  5  = 31 5 5 5. 1) เนอ่ื งจาก (−7)2 = 49 = 7 จะได (−7)2 > −7 2) เนอ่ื งจาก 5 −32 =5 (−2)5 =−2 และ −5 32 =−5 25 =−2 จะได 5 −32 =−5 32 3) เนอื่ งจาก 3 1=08 3 1=08 3=27 3 และ 3 9 3 24 = 3 9 × 24 = 3 216 = 6 34 4 ดังน้นั 3 108 < 3 9 3 24 34 4) เนื่องจาก 12 = 12 = 6 = 6 ⋅ 2 = 6 2 = 3 2 8 22 2 2 2 2 และ 18 = 3 2 ดังนนั้ 12 = 18 8 5) เน่ืองจาก 6 = 6 ⋅ 3 2 = 33 2 34 34 32 และ 3 18 3 6= 3 18 × 6= 3 22 × 33= 33 4 จะได 33 2 < 33 4 ดงั นัน้ 6 < 3 18 3 6 34 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

122 คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 แบบฝก หัด 1.3 2 2 1. 1) 27 3 (33 )3 32 2) = 32 3) 3 = 32 4) ( 0.25 ) 2 32 5) 6) =1 7) 3 ( )= 0.52 2 = (0.5)3 2 2  1 3   1 3  3  125    5   = =  1 2  5  = 1 52 2 (−3)3 3 ( )2 (−27)3 = = (−3)2 = 32 22 2+2 33 × 33 = 33 3 4 = 33 7  4 2 14  73  = 7 3 ( )( )− 4 −4 −1000 3 = ( −10 )3 3 = (−10)−4 =1 ( −10 )4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 123 ( −1000 )− 4 = 1 3 104 24 2+4 8) 53 × 53 = 53 3 6 = 53 = 52 5 −4 85 + − 4  3 3  9) 83 ×8 3 = 1 = 83 1 ( )= 23 3 =2 7 −3 7 + − 3  2 2  10) 0.52 × 0.5 2 = 0.5 4 = 0.52 = 0.52 5 −8 5 + − 8  3 3  11) 103 ×10 3 = 10 −3 = 10 3 = 10−1 =1 10 15 12) 22 × 22 1 + 5 −1 2 = 22 2 = 22 3 3 23 × 82 23 × 23 2 =1 8 23 2 ( ( ) )13) 9 = 23 × 22 3 22 3+ 9 − 3 = 2 22 = 26 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

124 คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 1 1 83 + 7 ( )23 3 + 7 14) 1= 1 ( )273 33 3 = 2+7 3 =3 22 15) 883 =  88 3  11  2 113 2 = 83 2 ( )= 23 3 = 22 22 2 2 ( )16) 23 ×123 = 23 × 22 × 3 3 1 1 ( )183 2 × 32 3 2 42 23 × 23 × 33 = 12 23 × 33 2+4−1 2−2 = 23 3 3 × 33 3 5 = 23 × 30 5 = 23 22 17) 30 3 30 3 2 2= 2 (3 × 5)3 33 × 53 2 =  30 3  15  2 = 23 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 125 52 52 18) 8× 33 × 63 = 23 × 33 × (2 × 3)3 2. 1) 35 35 2) 22 − 22 22 − 22 5 22 23 × 33 × 23 × 33 = 35 22 − 22 5 22 23 × 33 × 23 × 33 = 3 3 +1 22 − 22 5 22 23 × 33 × 23 × 33 = 3 3  22 −  22 × 2  5 22 = 23 × 33 × 23 × 33 3 22 (1− 2) 5 22 = − 23 × 33 × 23 × 33 3 22 3+ 2 − 3 5+2 = −2 3 2 × 33 3 13 7 = −2 6 × 33 1  x−4 2 = x−2   2 y3  4y6  = 1 2x2 y3  2 3  2 − − 3  3  x3   3 2     = x  −3    x2  13 3 =  x 6  13 = x2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

126 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 3) 9 x 3 ( 3x )− 1 = 32 × 3 −1 × −1 2 2 4) x2 ×3 2 x2 3. 1) 32+ −1  3 + − 1  2) 2  2 2  3) = × x 4) 5) 3 6) = 32 x  27 x6 − 2  33 x6 − 2  3  3  = ×   3  3  y 2   y 2  = 3−2 × x−4 y −1 = y 32 x4 ( )3 10 3  1 3 = 103  3 (−12)3 = 10 14 56 1 ( )= (−12)3 3 = −12 = ( 2× 7 )( )2× 2× 2× 7 3 6 × 3 36 = 2×2×2×2×7×7 50 + 32 − 18 = 2×2×7 = 28 53 4 + 23 32 − 3 108 = 3 6× 3 6×6 = 3 6×6×6 =6 = 52 × 2 + 42 × 2 − 32 × 2 = 5 2 +4 2 −3 2 = (5 + 4 − 3) 2 = 62 = 53 4 + 23 23 × 4 − 3 33 × 4 = 53 4 + 43 4 − 33 4 = (5 + 4 − 3) 3 4 = 63 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 127 7) 3 81 + 3 375 − 3 192 = 3 33 × 3 + 3 53 × 3 − 3 43 × 3 8) = 33 3 + 53 3 − 43 3 9) = (3+ 5 − 4) 3 3 10) = 43 3 11) เน่อื งจาก 3 2 + 32 − 4 64 = 3 2 + 42 × 2 − 4 24 × 22 = 3 2 + 4 2 − 24 22 1 ( )= 3 2 + 4 2 − 2 22 4  1 = 3 2 + 4 2 − 2 22  = 3 2+4 2−2 2 = (3+ 4 − 2) 2 = 52 ( )5 2 3 − 2 5 = 2 15 −10 = −10 + 2 15 ( )2 = ( 7 + 4 5)( 7 + 4 5) 7+4 5 = ( 7 +4 5)( 7)+( 7 +4 5)(4 5) = 7 + 4 35 + 4 35 + 80 = 87 + 8 35 1 ( )4 81 34 4 = ( )4 8 1 23 4 1 = 3 × 24 11 ( )23 4 24 1 = 3×24 2 = 3  1  2   24 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

128 คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 1 ( )8 1024 = 210 8 10 = 28 5 = 24  1 = 2 24  ( )และ 8 324 1 = ( )4 9 22 × 34 8 1 32 4 11 = 24 × 32 1 32 1 = 24 ดังน้นั 4 81 − 8 1024 + 8 324 = 3  1  −  1  + 1 48 49 2   2   24 24 24 =  3 − 2 + 1 1  2 24 = 1  1  2   24 1 −1 = 24 −3 = 24 1 =3 24 1 = 48 12) เนื่องจาก ( )1 1 4(9)6 = 4 32 6 1 = 4(3)3 ( )1 1 3(24)3 = 3 23 × 3 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 129 11 3(24)3 = 6(3)3  2 2 2 483  2 24 × 3 3 1 1 ( )และ = ( )1446 24 × 32 6 82 = 2× 23 ×33 21 23 × 33 1+ 8 − 2 2−1 = 2 3 3 × 33 3 1 = 23 (3)3 1 = 8(3)3  2 2  483  ดังนน้ั 1 + 1 − = 1 11 1 4(9)6 3 ( 24 ) 3 4(3)3 + 6(3)3 − 8(3)3 1446 1 = 2(3)3 4. 1) 72x3 = 62 × 2x3 2) 3) = 6x 2x 54xy4 = 32 × 6xy4 = 3y2 6x 32x4 42 × 2x4 y2 = y2 = 4 2x2 y ( )4) 4 3x2 4 = 3x2 5) x2 4x3 − 2x x5 + 9x7 = 2x3 x − 2x3 x + 3x3 x = 3x3 x ( )( ) ( )( )6) 12x3 y 27xy = 2x 3xy 3 3xy สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

130 คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 ( )( )12x3 y 27xy = 6x(3xy) = 18x2 y เน่อื งจาก 2 2 27=3 33 =3 3=2 9 ( )5.1) ( )และ 3 3 9=2 32 =2 3=3 27 ดงั นั้น 23 27 3 < 92 เนอ่ื งจาก 1  1 1  และ=3 414  3= 22 14   1 2 18 2  =2 2 =6 22  3 22  ( ) ( )2) 2 × 32 ดงั นั้น  1  1 2182  > 3 44  เนื่องจาก 22 2 2 3 18 312 3 =(18 ×12 ) 3 ( )3) =63 =62 และ 3 1 3+1 4 62 62 6=2 62 =2 6=2 ดงั นั้น 22 31 183123 = 62 62 1 3+ 1 16 1 11 7=37 5 7=5 7 5 , 4=910 72=10 75 เนือ่ งจาก ( )4) และ 16 > 1 55 ดังน้นั 11 7375 > 4910 3 3 26 , 84−2=2 22 2 (( ))เนือ่ งจาก5) 3 2 4=3 23 −=2 22−3=6 29  42 = และ 6 < 9 ดงั น้นั 3 2 < 3  42  42 8−2 6. จาก d = 3.57 h และ h = 49 จะได d = 3.57 49 = (3.57)(7) = 24.99 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 131 ดงั น้ัน ชายผนู ี้สามารถมองไดไกลสุดประมาณ 24.99 กิโลเมตร 7. จาก W 12 และ L = 32 = (0.0016) L5 จะได 12 W = (0.0016)(32) 5 12 ( )= (0.0016) 25 5 ( )= (0.2)4 212 ( )= (2 × 0.1)4 212 = 24+12 × 0.0001 = 216 × 0.0001 = 65,536 × 0.0001 ≈ 6.55 ดังนั้น วาฬท่มี ีความยาว 32 ฟุต จะมีน้าํ หนกั ประมาณ 6.55 ตนั 8. จาก=n n0 (1+ r )t ในทีน่ ้ี t =10=, r =4 0.04 และ n0 = 112,000 100 จะได n = 112,000(1+ 0.04)10 = 112,000(1.04)10 ≈ 165,787.36 ดงั น้ัน ใน พ.ศ. 2571 จงั หวัดน้ีมีประชากรประมาณ 165,787 คน 9. 1) ในทน่ี ้ี P = 50000 , n = 10 และ=r 0=.75 0.0075 100 จากทฤษฎบี ท 7 จะมีจํานวนเงินฝากเมื่อสนิ้ ปท ่ี 10 คอื 50,000(1+ 0.0075)10 ≈ 53,879.13 บาท ดงั นนั้ ถาฝากเงนิ 50,000 บาท โดยไมม ีการถอนเงิน เม่ือส้ินปท่ี 10 จะมเี งนิ ฝาก ประมาณ 53,879.13 บาท และไดรับดอกเบีย้ ทง้ั หมดประมาณ 53,879.13 − 50,000 =3,879.13 บาท 2) ในทน่ี ี้ n = 15=, r 0=.75 0.0075 100 และเงนิ รวมในบัญชีเม่ือสนิ้ ปที่ 15 เทากบั 150,000 บาท จากทฤษฎบี ท 7 จะได P (1+ 0.0075)15 = 150,000 P = 150,000(1.0075)−15 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

132 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 ≈ 134,095.88 ดงั น้ัน ถาตอ งการใหมีเงนิ ในบัญชเี มือ่ สน้ิ ปที่ 15 เปนจาํ นวนเงนิ 150,000 บาท แลว ตองฝากเงนิ อยา งนอยประมาณ 134,096 บาท 10. ในท่ีน้ี P = 20,000 และ n = 5 เงนิ รวมเมอ่ื สิน้ ปที่ 5 เทากับ 22,081.62 บาท ใหอัตราดอกเบี้ยท่ีธนาคารกําหนดคอื i % ตอป และ r = i จากทฤษฎีบท 7 จะได 100 20,000(1+ r )5 = 22,081.62 (1+ r )5 = 22,081.62 20, 000 (1+ r )5 ≈ 1.1041 1 1 + r ≈ (1.1041)5 1 + r ≈ 1.02 r ≈ 0.02 น่นั คอื i ≈ 2 ดังนัน้ อัตราดอกเบยี้ ทธ่ี นาคารกําหนดสําหรับเงนิ ฝากนปี้ ระมาณ 2% 11. จากโจทย สามารถใชแ นวคดิ เดยี วกบั การคิดดอกเบ้ยี แบบทบตน โดยใช P แทน เงินเดอื นเรม่ิ ตน สําหรับพนกั งานวุฒปิ ริญญาตรี i แทนรอยละของเงินเดือนทีเ่ พิ่มข้ึนตอป และ r = i จะได P =18,000 และ=r =7 0.07 100 100 1) ในทน่ี ้ี n = 30 − 24 = 6 จากทฤษฎบี ท 7 จะไดว า เมอื่ สายธารมอี ายุ 30 ป สายธารจะไดรับเงินเดือน ประมาณ 18,000(1+ 0.07)6 ≈ 27,013.15 บาท 2) จากโจทย ตอ งการไดเงนิ เดอื นเกิน 50,000 บาท จากทฤษฎบี ท 7 จะได 18,000(1+ 0.07)n = 50,000 (1.07)n = 50,000 18, 000 ≈ 2.7778 เนือ่ งจาก (1.07)15 ≈ 2.7590 และ (1.07)16 ≈ 2.9522 จะได 18,000(1.07)15 ≈ 49,662.57 และ 18,000(1.07)16 ≈ 53,138.95 น่นั คือ สายธารตอ งทาํ งาน 16 ป จงึ จะไดร ับเงนิ เดอื นเกิน 50,000 บาท 3) จากโจทย เงินเดือนสูงสดุ ของพนักงานทีม่ วี ุฒิปริญญาตรีจะไดรับ คือ 80,000 บาท สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 133 จากทฤษฎีบท 7 จะได 18,000(1+ 0.07)n = 80,000 (1.07)n = 80,000 18, 000 ≈ 4.4444 เนอ่ื งจาก (1.07)22 ≈ 4.4304 และ (1.07)23 ≈ 4.7405 จะได 18,000(1.07)22 ≈ 79,747.23 และ 18,000(1.07)23 ≈ 85,329.54 นัน่ คือ เม่ือสายธารทาํ งานไปแลว 22 ป เงนิ เดือนจะยงั ไมถึง 80,000 บาท แตเ มื่อสายธารทํางานไปแลว 23 ป จะไดรบั เงินเดือนในอัตราสูงสุด 80,000 บาท ดงั นั้น สายธารจะไดร บั เงินเดือนในอัตราสงู สดุ เม่ืออายุ 24 + 23 =47 ป แบบฝกหดั ทา ยบท 1. 1) 2 × 50 × 3−3 2 × 50 × 3−3 2) 3−3 × 8 = 3−3 × 23 3) = 21−3 × 50 × 3−3−(−3) 2 × 6−2 × 33 = 2−2 × 50 × 30 9−3 × 8 =1 22 2 × (2 × 3)−2 × 33 ( )= 32 −3 × 23 = 2 × 2−2 × 3−2 × 33 3−6 × 23 = 21+(−2)−3 × 3−2+3−(−6) = 2−4 × 37 = 37 24 ( )3 − 32 + 33 − 34 + 35 0 = (183)0 =1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

134 คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 4) 123 ×10−1 × 302 ( )22 × 3 3 × (2 × 5)−1 × (2 × 3× 5)2 42 ×152 × 6−2 2. 1) = 2) x2 y−3 3) x4 y2 ( )22 2 × (3× 5)2 × (2 × 3)−2 ( ) ( ) ( )26 × 33 × 2−1 × 5−1 × 22 × 32 × 52 x9 (2x)4 ( ) ( )= x3 24 × 32 × 52 × 2−2 × 3−2 ( )6x2 y−5z 2 = 26+(−1)+2−4−(−2) × 33+2−2−(−2) × 5−1+2−2 ( )2 x−2 yz 3 = 25 × 35 × 5−1 (2 × 3)5 = 5 = 65 5 = x2−4 y−3−2 = x−2 y−5 =1 x2 y5 ( )x9 24 x4 = x3 = 24 x9+4−3 = 24 x10 ( )62 x4 y−10 z2 ( )= 2 x−6 y3 z3 = 62 x4−(−6) y−10−3 z2−3 2 = 18x10 y−13 z−1 = 18x10 y13 z สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 135 ( )( ) ( )( )4) 2xy−1 xy2 −2 = 2xy−1 x−2 y−4 = 2x1+(−2) y−1+(−4) = 2x−1 y−5 =2 xy5 5)  1 −2 = 1   3−2 x−4 y6  3x2 y −3  = 32 x4 y6 6)  x−1 yz−2 −1 = xy −1 z 2   y5 z−1x8  y−5 zx−8  = x1−8 y−1−5 z2−(−1) = x−7 y−6 z3 = z3 x7 y6 3. 1) เนื่องจาก 112 =121 และ (−11)2 =121 ดังนน้ั รากที่ 2 ของ 121 คือ 11 และ −11 2) เน่ืองจาก ( )3 396 3 = 396 ดังน้นั รากที่ 3 ของ 396 คอื 3 396 3) เน่ืองจาก ไมมจี าํ นวนจรงิ y ซงึ่ y4 = −81 ดงั นั้น ไมมรี ากท่ี 4 ของ −81 ในระบบจาํ นวนจริง 4) เน่ืองจาก (−2)5 =−32 ดงั นน้ั รากที่ 5 ของ −32 คอื −2 4. 1) ( )2 2 (0.027)3 = (0.3)3 3 = (0.3)2 = 0.09 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

136 คูมอื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 3 3  9 2   3 2  2  16    4   2) = =  3 3  4  = 27 64 −1 −1 4 16 4 = ( )3) 24 = 2−1 =1 2 ( )4) 1 −1 ( −125)− 3 = ( −5)3 3 = (−5)−1 = −1 5  1 − 2   1 3 − 2  8  3   2   3 5) − = − =  − 1 −2  2  =4 33 3 6) 0.52 × 82 = (0.5 × 8)2 3 = 42 3 ( )= 22 2 = 23 =8 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 137 7  5 5 7 7)  42  = 42 7 ( )= 22 2 = 27 = 128 8) ( )2 2 123 22 × 3 3 1= 1 ( )183 2 × 32 3 42 23 × 33 = 12 23 × 33 4−1 2−2 = 23 3 × 33 3 = 21 × 30 =2 55 5 9) 53 × 23 (5× 2)3 2= 2 103 103 5 = 103 2 10 3 5−2 = 103 3 = 10 10) 22 22 53 × 323 ( )53 × 25 3 1= 1 ( )503 2 × 52 3 2 10 53 × 2 3 = 12 23 ×53 10 −1 2−2 = 2 3 3 ×53 3 = 23 × 50 =8 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

138 คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 22 22 11) 23 ×103 23 ×(2×5)3 11 = 12) 11 5. 1) 53 × 23 53 × 23 2) 2 22 23 × 23 ×53 = 11 53 × 23 2+2−1 2−1 = 23 3 3 ×53 3 1 = 21 × 53  1 = 2 53  ( ) ( )( )−3 = 2× 2×3 −3 ×3 2 2×6 2 ×3 32 −3 23 3 −3 3 2 2× 9 2 ×82 −3 −3 = 2×2 2 ×3 2 ×3 9 3−3 × 22 21+ − 3 − 9 − 3 +1−(−3) 2 2 = ×3 2 5 = 2−5 × 32 5 32 = 25 3 32 × 42 × 6 = 3 32 × 42 × (2 × 3) ( )= 3 32 × 22 2 × (2 × 3) = 3 33 × 25 = 63 4 3 81 − 3 24 + 3 375 = 33 3 − 23 3 + 53 3 = (3 − 2 + 5) 3 3 = 63 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 139 3) 20 − 45 + 2 5 = 2 5 − 3 5 + 2 5 4) วธิ ีท่ี 1 = (2 − 3+ 2) 5 วธิ ที ี่ 2 =5 5) วิธที ี่ 1 (5 2 +1)(5 2 −1) = (5 2 +1)(5 2 ) − (5 2 +1)(1) วิธีท่ี 2 = 50 + 5 2 − 5 2 −1 6) = 49 7) ( )( ) ( )5 2 +1 5 2 −1 = 5 2 2 −12 8) วิธที ่ี 1 = 50 −1 = 49 ( 6− )2 = ( 6 − 3)( 6 − 3) 3 = ( 6 − 3)( 6)−( 6 − 3)( 3) = 6 − 18 − 18 + 3 = 9 − 2 18 = 9−6 2 ( 6− )2 = ( 6)2 − 2( 6)( 3)+( )2 3 3 = 6 − 2 18 + 3 = 9 − 2 18 = 9−6 2 ( )3 5 10 + 2 5 = (3 5)( 10 ) + (3 5)(2 5) = 15 2 + 30 ( 5 − 2)(2 5 −1) = ( 5 − 2)(2 5) − ( 5 − 2)(1) = 10 − 4 5 − 5 + 2 = 12 − 5 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 3 −1 3 9 + 3 3 +1 = 3 3 −1 3 9 + 3 3 −1 3 3 + 3 3 −1 (1) = 3− 3 9 + 3 9 − 3 3 + 3 3 −1 = 3−1 =2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

140 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 วิธีที่ 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 −1 3 9 + 3 3 +1 2 (1) + (1)2  = 3 3 −1  33 33 + ( )= 3 3 3 −13 = 3−1 =2 9) (2 3 + 7 )( 3 − 3 7 ) = (2 3 + 7 )( 3) − (2 3 + 7 )(3 7 ) = 6 + 21 − 6 21 − 21 = −15 − 5 21 10) ( 98 − 18)( 8 + 50 ) = (7 2 − 3 2 )(2 2 + 5 2 ) = (4 2)(7 2) = 56 11) 3 54 = 3 54 35 5 = 3 54−1 = 3 53 =5 12) 1 1296 + 867 − 32  = 1  36 + 17 3 −4 2 2  3 4 4  2  3 2  = 1 (36 +17 − 4) 2 = 49 2 = 49 ⋅ 2 22 = 49 2 2 13) 15 − 15 + 15 = 15 − 15 + 15 3 135 6 25 9 125 33 5 3 5 3 5 =5 35 = 5 ⋅ 3 52 3 5 3 52 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี