(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.5

คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 241 แบบฝก หัด 3.2.2 ( )1. 1) จาก Sn = a1 1 − rn 1− r จะได 3(1− 24 ) S4 = 1− 2 3(24 −1) = 2 −1 = 45 ดงั น้นั ผลบวก 4 พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ 45 ( )2) จาก Sn = a1 1 − rn 1− r จะได 5(1− 47 ) S7 = 1− 4 5(47 −1) = 4 −1 = 5 (47 −1) 3 ดังน้ัน ผลบวก 7 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ (5 47 −1) 3 ( )3) จาก Sn = a1 1 − rn 1− r จะได S9 = (−3)(1− 59 ) 1−5 (−3)(59 −1) = 5 −1 ( )= − 3 59 −1 4 ดงั นัน้ ผลบวก 9 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ (− 3 59 −1) 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

242 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 ( )4) จาก Sn = a1 1 − rn 1− r ( )จะได S11 = (−7) 1− 311 1−3 ( )(−7) 311 −1 = 3−1 ( )= − 7 311 −1 2 ดงั นน้ั ผลบวก 11 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ (− 7 311 −1) 2 ( )5) จาก Sn = a1 1 − rn 1− r ( )จะได S14 = (−5) 1− (−2)14 1− (−2) ( )= 5 214 −1 3 ดังนน้ั ผลบวก 14 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คอื (5 214 −1) 3 2. 1) อนุกรมเรขาคณติ ท่ีกําหนดใหมี a1 = 2 และ r = 3 แทน n ดว ย 9 ใน Sn = ( )a1 1− rn จะได 1− r 2(1− 39 ) S9 = 1− 3 (2 39 −1) = 3−1 = 39 −1 ดังนั้น ผลบวก 9 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ 39 −1 2) อนุกรมเรขาคณิตที่กําหนดใหมี a1 = 9 และ =r 1=2 4 9 3 แทน n ดว ย 8 ใน Sn = ( )a1 1− rn จะได 1− r สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 243 9  −  4 8  1  3   S8 = 1− 4 3 9   4 8    3  − 1 = 4 −1 3 =   4 8  9   3  − 1 1 3 = 27   4 8 −    3  1 ดังนั้น ผลบวก 8 พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ นี้ คือ 27   4 8    3  − 1 3) อนุกรมเรขาคณิตที่กาํ หนดใหมี a1 = 2 และ r= 2 3 3 แทน n ดว ย 10 ใน Sn = ( )a1 1− rn จะได 1− r 2  −  2 10  3 1  3   = S10 1− 2 3 = 2  −  2 10  1  3   ดงั นั้น ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ 2  −  2 10  1  3   สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

244 คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 3. 1) อนุกรมท่ีกําหนดใหม ี a1 = 9, r = 3 และ an = 729 จาก an = a1rn−1 จะได ( )729 = 9 3n−1 81 = 3n−1 34 = 3n−1 น่ันคือ n −1 = 4 n =5 แทน n ดว ย 5 ใน Sn = ( )a1 1− rn จะได 1− r 9(1− 35 ) S5 = 1− 3 9(35 −1) = 3−1 = 9 (243 −1) 2 = 1,089 ดงั น้ัน ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ 1,089 2) อนุกรมท่ีกําหนดใหมี a1 = 4, r=1 และ an = 1 2 512 จาก an = a1rn−1 จะได 1  1 n −1 512  2  = 4 1 =  1 n−1 211  2   1 11 =  1 n−1  2   2  น่นั คอื n −1 = 11 n = 12 แทน n ดว ย 12 ใน Sn = ( )a1 1− rn จะได 1− r สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 245 4  −  1 12  1  2   S12 = = 1− 1 2  −  1 12  81  2   ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ 8  −  1 12  1  2   3) อนกุ รมทีก่ าํ หนดใหมี a1 =1, r = −2 และ an = 256 จาก an = a1rn−1 จะได 256 = 1(−2)n−1 (−2)8 = (−2)n−1 นน่ั คือ n −1 = 8 n=9 แทน n ดว ย 9 ใน Sn = ( )a1 1− rn จะได 1− r ( )1 1− (−2)9 S9 = 1− (−2) = 1 (1+ 512) 3 = 171 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ นี้ คือ 171 4. จํานวนเงนิ ท่ีมงั กรต้ังใจจะออมในแตล ะวัน เขียนเปน ลําดับเรขาคณติ ดังนี้ 1, 2, 4, 8,  จากลาํ ดบั เรขาคณติ ทไ่ี ดมี a1 =1 และ r = 2 หาจํานวนเงนิ ท้ังหมดท่ีมงั กรออมไว 15 วนั ได โดยแทน n ดวย 15 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r ( )จะได 1 1 − 215 S15 = 1 − 2 ( )1 215 −1 = 2 −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

246 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 S15 = 215 −1 = 32,767 ดงั นัน้ เมือ่ ครบ 15 วัน มังกรจะมเี งินออมท้งั หมด 32,767 บาท 5. เมือ่ ครบไตรมาสที่ 2 เขาจะทํายอดขายได 300,000 + 300,000(0.03) = 300,000(1+ 0.03) = 300,000(1.03) บาท เมอ่ื ครบไตรมาสท่ี 3 เขาจะทํายอดขายได 300,000(1.03) + 300,000(1.03)(0.03) = 300,000(1.03)(1+ 0.03) = 300,000(1.03)2 บาท จะเห็นวา ยอดขายท่ีผจู ัดการคนน้ตี ้ังใจทจ่ี ะทาํ ในทกุ ๆ ไตรมาส เปน ลําดบั เรขาคณิต 300000, 300000(1.03), 300000(1.03)2 , ที่มี a1 = 300,000 และ r = 1.03 จากพจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณติ คือ an = a1rn−1 จะได an = 300,000(1.03)n−1 = 300,000(1.03)n−1 ดังนัน้ พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ an = 300,000(1.03)n−1 1) ในทีน่ ้ี n = 9 จะได a9 = 300,000(1.03)8 ≈ 380,031.02 ดงั นน้ั ไตรมาสแรกของปท ี่ 3 เขาควรจะทํายอดขายไดป ระมาณ 380,031.02 บาท 2) หาจํานวนยอดขายรวมเมื่อครบสองป โดยการแทน n ดว ย 8 ใน ( )a1 1− rn Sn = 1− r ( )จะได 300000 1−1.038 S8 = 1 − 1.03 ( )300000 1.038 −1 = 1.03 −1 ≈ 2,667,700.81 ดงั นัน้ เมอื่ ครบสองป เขาควรจะทาํ ยอดขายรวมจากวันท่ีเขาวางแผนไดป ระมาณ 2,667,700.81 บาท สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 247 6. วธิ ที ่ี 1 เรมิ่ ตนถังใบหนึ่งมนี ํ้า 5,832 ลิตร เมอื่ ครบวนั ท่ี 1 จะเหลอื น้ําในถัง 5,832 − 1 (5,832) 3 = 5,832 1 − 1  3  = 5, 832  2  ลิตร  3  เม่ือครบวนั ท่ี 2 จะเหลือนาํ้ ในถัง (5, 832)  2  − 1 ( 5, 832 )  2  3  3 3  = ( 5,832)  2  1 − 1   3  3  = (5,832)  2 2 ลิตร  3  เม่ือครบวนั ที่ 3 จะเหลือนาํ้ ในถงั (5,832)  2 2 − 1 ( 5, 832 )  2 2  3  3 3  = ( 5, 832)  2 2 1 − 1   3  3  = ( 5, 832)  2 3 ลติ ร  3  พจิ ารณาลําดับ 5832  2  , 5832  2 2 , 5832  2 3 ,  พบวา ลําดับดงั กลา ว 3   3   3  เปน ลาํ ดับเรขาคณิตทีม่ ี a1 = 5,832  2  และ r = 2  3  3 แทน n ดวย 6 ใน an = a1rn−1 จะได a6 = 5, 832  2   2 6−1  3   3  = 5, 832  2 6  3  = 512 ดงั นน้ั เม่ือครบ 6 วัน จะมนี ํ้าเหลอื อยใู นถงั 512 ลิตร สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

248 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 วธิ ที ่ี 2 พิจารณาลําดบั 1 ( 5832 ) , 1 ( 5832 )  2  , 1 ( 5832)  2 2 ซึ่งแทนนํา้ ทีใ่ ชไ ป 3 3  3  3  3  เมอ่ื ครบวันที่ 1, 2 และ 3 ตามลําดับ ลาํ ดบั ดังกลา วเปน ลําดบั เรขาคณติ ทม่ี ี a1 = 1 (5,832) และ r = 2 3 3 แทน n ดวย 6 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r 1 (5, 832 )  −  2 6  3 1  3   จะได S6 = = 5,320 1− 2 3 นนั่ คือ เมื่อครบ 6 วนั ใชน้าํ ไปท้ังหมด 5,320 ลิตร ดงั นัน้ เม่อื ครบ 6 วนั จะมีนา้ํ เหลอื อยูใ นถงั 5,832 − 5,320 =512 ลติ ร 7. เมอื่ ครบ 1 ป รถยนตค นั นจ้ี ะมมี ลู คา ลดลง 20 (1,000,000) = 200,000 บาท 100 นั่นคอื มลู คารถยนตจะเหลือ 800,000 บาท เมือ่ ครบ 2 ป รถยนตค ันนจ้ี ะมีมลู คา ลดลง 20 (800,000) =160,000 บาท 100 นั่นคือ มลู คารถยนตจ ะเหลือ 640,000 บาท เมอื่ ครบ 3 ป รถยนตค ันน้จี ะมมี ูลคา ลดลง 20 (640,000) =128,000 บาท 100 นั่นคือ มูลคารถยนตจ ะเหลอื 512,000 บาท จะเห็นวา มูลคารถยนตที่ลดลงในปท ่ี 1, 2, 3, เปนลาํ ดบั เรขาคณิตที่มี a1 = 200,000 และ r = 4 5 น่ันคอื มลู คา รถยนตทีล่ ดลงเม่อื เวลาผา นไป 5 ป คือ S5 ( )Sn แทน n ดว ย 5 ใน = a1 1− rn 1− r 200, 000  −  4 5  1  5   จะได S5 = = 672,320 1− 4 5 ดังนั้น เม่อื ครบหา ปรถยนตคันนีจ้ ะมมี ูลคา 1,000,000 − 672,320 =327,680 บาท สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 249 แบบฝก หดั 3.3 1. 1) ในท่นี ี้ =P 100000,=k 1,=n 10 และ r = 0.04 จะไดจ ํานวนเงนิ รวม คือ 100,000(1+ 0.04)10 หรอื ประมาณ 148,024.43 บาท ดังน้ัน เม่อื ฝากเงนิ ครบ 10 ป จะมีเงินรวมประมาณ 148,024.43 บาท 2) ใหจํานวนเงินรวมเพม่ิ ขนึ้ เปน สามเทา ของเงนิ ตน จะได 300,000 = 100,000(1+ 0.04)n (1.04)n = 3 เนอ่ื งจาก (1.04)28 ≈ 2.9987 และ (1.04)29 ≈ 3.1187 จะไดวา ตองฝากครบ 29 ป จะทาํ ใหมเี งินเพมิ่ ขึน้ เปนอยา งนอยสามเทาของเงนิ ตน 2. 1) ถา ธนาคารคิดดอกเบยี้ ใหค รงั้ สดุ ทายครง้ั เดยี ว จะได จํานวนเงินในบัญชี เม่ือครบปท ่ี n คือ 100,000 + 3 (100,000) n =100,000 + 3,000n บาท 100 2) ถา ธนาคารนําดอกเบีย้ เขา บญั ชีเงินฝากทุก ๆ ป จะได จาํ นวนเงินบญั ชีเมื่อครบปท ่ี n คือ 100,000(1+ 0.03)n =100,000(1.03)n บาท 3. ในที่น้ี=P 100000=, k 4=, n 10 และ r = 0.04 จะไดจํานวนเงนิ รวม คือ 100, 000 1 + 0.04 40 หรือประมาณ 148,886.37 บาท 4  ดังนั้น เมื่อฝากครบ 10 ป จะมีเงินรวมประมาณ 148,886.37 บาท 4. =ในที่นี้ P 1=00000, k 1 และ n =10 และมเี งนิ รวม 141,060 บาท จะได 100,000(1+ r )10 = 141,060 (1+ r )10 = 1.4106 1 + r = 10 1.4106 r = 10 1.4106 −1 r ≈ 0.035 ดงั นั้น ธนาคารแหงนีใ้ หอัตราดอกเบ้ยี ประมาณ 3.5% ตอป สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

250 คมู อื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 5. 01 2 เม่ือฝากเงนิ ครบ 15 ป เงนิ ฝากในคร้งั แรกจะมมี ลู คา ในอนาคตเทากบั 100,000(1.03)15 บาท เงินฝากในคร้งั ที่สองจะมีมลู คาในอนาคตเทากบั 100,000(1.03)14 บาท เงนิ ฝากในครง้ั ทีส่ ามจะมีมลู คาในอนาคตเทา กบั 100,000(1.03)13 บาท  และเงนิ ฝากในครงั้ สดุ ทาย จะมีมลู คา ในอนาคตเทา กบั 100,000(1.03) บาท ดงั น้นั เม่อื สนิ้ ปท ี่ 15 จะไดรับเงินรวม 100,000(1.03)15 +100,000(1.03)14 +100,000(1.03)13 + +100,000(1.03) หรอื 100,000(10.3) +100,000(1.03)2 + +100,000(1.03)15 ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 15 พจน พจนแรก คือ 100,000(1.03) และอัตราสว นรว ม คือ 1.03 จะได เงนิ รวม คือ 100, 000 (1.03) 1 − (1.03)15  หรือประมาณ 1,915,688.13 บาท  1 − 1.03 ดงั นั้น เมอ่ื ฝากเงินครบ 15 ป จะมีเงินรวมประมาณ 1,915,688.13 บาท 6. 1) ใน=ทนี่ ี้ S 10000=00, r 0=.04, n 20 และ k = 1 จะได มลู คาปจจุบนั ของเงนิ รวม 1,000,000 บาท คือ P = 1000000(1+ 0.04)−20 = 456,386.95 บาท ดงั น้ัน ราตรีตอ งฝากเงินตน ไวอ ยา งนอย 456,386.95 บาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 251 2) ให P เปน เงินฝาก เม่ือครบ 1 ป จะมีเงินรวม P + P(0.04) =P(1.04) บาท และฝากเงินเพิม่ อีก 2,000 บาท นน่ั คอื จะมเี งนิ รวม 2,000 + P(1.04) บาท เมื่อครบ 2 ป จะมีเงนิ รวม 2,000 + P(1.04) + (2,000 + P(1.04))(0.04) = 2,000(1.04) + P (1.04)2 และฝากเงินเพ่ิมอีก 2,000 บาท นน่ั คือ จะมีเงินรวม 2,000 + 2,000(1.04) + P(1.04)2 บาท เม่ือครบ 3 ป จะมีเงินรวม ( )2,000 + 2,000(1.04) + P(1.04)2 + 2,000 + 2,000(1.04) + P(1.04)2 (0.04) = 2,000(1.04) + 2,000(1.04)2 + P(1.04)3 บาท น่ันคือ เม่ือสิน้ ปท ี่ 20 จะมีเงนิ รวม 2,000(1.04) + 2,000(1.04)2 + + 2,000(1.04)19 + P (1.04)20 บาท พจิ ารณาอนกุ รม 2,000(1.04) + 2,000(1.04)2 + + 2,000(1.04)19 ซึ่งเปนอนุกรม เรขาคณติ ทีม่ ี 19 พจน พจนแ รก คอื 2,000(1.04) และอัตราสว นรว ม คือ 1.04 ( )จะได ผลบวกของอนุกรมน้ี เทากับ 2,000(1.04) 1− (1.04)19 1 −1.04 ( )น่ันคอื เม่ือสนิ้ ปท ่ี 20 มีเงนิ รวม 2,000(1.04) 1− (1.04)19 + P(1.04)20 บาท 1 −1.04 ( )จะได 1,000,000 = 2,000(1.04) 1− (1.04)19 + P (1.04)20 1 −1.04 P = 430,119.07 บาท ดังนั้น ราตรตี องฝากเงินตน ไวอยา งนอย 430,119.07 บาท 7. เนือ่ งจากอนนั ตมกี ําหนดชาํ ระหนี้ 2 งวด ดงั นน้ั จะตองหามลู คาปจจุบนั ของเงนิ แตล ะงวด แลว จงึ นาํ มารวมกนั งวดที่ 1 ในทน่ี =้ี S 12682.42=, k 4=, n 3 และ r = 0.08 จะได มลู คาปจจบุ ันของเงิน 12,682.42 บาท คอื 0.08 −12 12, 682.42 1 + 4  หรอื ประมาณ 10,000 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

252 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 งวดที่ 2 ในทนี่ ้ี =S 26115.36=, k 4=, n 7 และ r = 0.08 จะได มลู คาปจจุบนั ของเงิน 26,115.36 บาท คอื 0.08 −28 26,115.36 1 + 4  หรอื ประมาณ 15,000 บาท 8. ดังนน้ั อนันตก ูเงินจากวเิ ชยี รประมาณ 10,000 +15,000 =25,000 บาท 01… สดุ าฝากเงินตอนตน งวดทุกเดือนเปน เวลา 5 ป ในทน่ี ี้ =R 2000,=i 3= 0.25, =n 60 แล=ะ r 0=.25 0.0025 12 100 ดงั นัน้ เม่ือสิ้นปที่ 5 เงินรวมของสุดา คือ 2,000(1.0025) + 2,000(1.0025)2 + + 2,000(1.0025)60 ซึง่ เปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มี 60 พจน พจนแ รก คอื 2,000(1.0025) และอัตราสวนรวม คือ 1.0025 จะได เงินรวม คือ ( ) ( )2,000(1.0025) 1− (1.0025)60 2,000(1.0025) (1.0025)60 −1 หรอื = 1 −1.0025 1.0025 −1 ประมาณ 129,616.66 บาท ดังนัน้ เม่อื สนิ้ ปท ี่ 5 สดุ าจะไดเงนิ รวมประมาณ 129,616.66 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 253 9. 0 1… ทอแสงฝากเงนิ ตอนสิน้ งวดทุกเดือนเปนเวลา 4 ป ในท่นี ี้ R= 3000, =i 6= 1.5, n= 16 และ=r 1=.5 0.015 4 100 ดังนน้ั เม่อื สน้ิ ปที่ 4 เงินรวมของทอแสง คือ 3,000 + 3,000(1.015) + 3,000(1.015)2 + + 3,000(1.015)15 ซง่ึ เปนอนุกรมเรขาคณิตทีม่ ี 16 พจน พจนแรก คือ 3,000 และอตั ราสว นรวม 1.015 ( ) ( )จะได เงนิ รวม คือ 3,000 1 − (1.015)16 3,000 (1.015)16 −1 หรอื = 1 −1.015 1.015 −1 ประมาณ 53,797.11 บาท ดงั น้นั เม่อื สิน้ ปท ี่ 4 ทอแสงจะไดเ งนิ รวมประมาณ 53,797.11 บาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

254 คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 3 … 59 60 10. 012 ให R แทนคา งวดท่ีใบเตยตองผอ นชําระทุกสิน้ เดือน ในที่น้ี =i 3= 0.25 และ=r 0=.25 0.0025 12 100 เน่อื งจากใบเตยจา ยเงินดาวน 200,000 บาท ทาํ ใหเ หลอื เงินทีต่ องชาํ ระอีก 500,000 บาท โดยใบเตยจะผอ นชําระทุกเดือนเปนเวลา 60 เดือน จะตองหามูลคา ปจ จุบนั ของเงินผอน แตล ะงวด แลว จึงนํามารวมกัน เนอ่ื งจาก มูลคาปจจบุ นั ของเงินผอนงวดที่ 1, 2, …, 60 คือ R (1.0025)−1 , R (1.0025)−2 ,, R (1.0025)−60 ผลรวมของมูลคา ปจ จบุ ันของเงนิ ผอนแตล ะงวด คือ R (1.0025)−1 + R (1.0025)−2 + + R (1.0025)−60 ซึ่งเปนอนุกรมเรขาคณติ ทมี่ ี 60 พจน พจนแ รก คือ R(1.0025)−1 และอตั ราสวนรวม คือ (1.0025)−1 ( )จะได ผลรวมของมูลคาปจจบุ นั ของเงนิ ผอนทั้งหกสิบงวด คือ R (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60 1 − (1.0025)−1 เน่ืองจากใบเตยเหลอื เงนิ ทตี่ องชําระอีก 500,000 บาท จะไดว า สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 255 500,000 = ( )R (1.0025)−1 1− (1.0025)−60 1 − (1.0025)−1 ( )500,000 1− (1.0025)−1 ( )R = (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60 ≈ 8,984.35 ดังนั้น ใบเตยจะตองผอนชําระเดอื นละประมาณ 8,984.35 บาท 11. วัชระฝากเงนิ ตอนตน งวดทกุ เดือนเปน เวลา 4 ป ในที่น้ี =R 10000=, i 3=.6 0.3,=n 48 และ=r 0=.3 0.003 12 100 ดงั นัน้ เม่อื สิ้นปท่ี 4 เงินรวมของวัชระ คือ 10,000(1.003) +10,000(1.003)2 + +10,000(1.003)48 ซ่งึ เปน อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 48 พจน พจนแ รก คือ 10,000(1.003) และอตั ราสว นรว ม คอื 1.003 ( ) ( )จะได เงินรวม คือ 10,000(1.003) 1− (1.003)48 1 −1.003 10,000(1.003) (1.003)48 −1 = 1.003 −1 หรอื ประมาณ 516,996.95 บาท ดงั นนั้ เม่ือส้ินปท ่ี 4 วัชระจะไดเงนิ รวมประมาณ 516,996.95 บาท แบบฝกหดั ทา ยบท 1. 1) จาก a1 = − 4 และ d = −5 จะได a8 = − 4 + (8 −1)(−5) = − 4 − 35 = −39 2) จาก a1 = −5 และ d = 2 จะได a9 = −5 + (9 −1)(2) = −5 +16 = 11 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

256 คูม อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 3) จาก a1 = −1 และ d = −2 2 จะได a15 = − 1 + (15 −1)(−2) 2 = − 1 − 28 2 = − 57 2 4) จาก a1 = 4 และ d = 1 3 3 จะได a15 = 4 + (15 − 1)  1  3  3  = 4 + 14 33 =6 2. 1) จากลําดับ −2, 4, 10,  จะได d = 4 − (−2) = 6 และ a1 = −2 เนือ่ งจากพจนท่ัวไปของลําดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = −2 + (n −1)(6) = −2 + 6n − 6 = 6n − 8 ดังนน้ั พจนท ่วั ไปของลําดบั เลขคณติ นี้ คอื 6n −8 2) จากลําดบั − 1 , 1 , 1 ,  662 จะได d= 1 −  − 1  = 2= 1 และ a1 = −1 6  6  6 3 6 เน่ืองจากพจนทัว่ ไปของลําดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = − 1 + (n − 1)  1  6 3  = −1+1n−1 63 3 = 1n−1 32 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 257 ดังน้ัน พจนท ว่ั ไปของลาํ ดบั เลขคณติ นี้ คือ 1 n − 1 32 3) จากลําดบั 11, 27 , 16,  2 จะได d= 27 −11 = 5 และ a1 = 11 2 2 เน่ืองจากพจนท ่วั ไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 11 + ( n − 1)  5  2  = 11+ 5 n − 5 22 = 5 n + 17 22 ดงั น้นั พจนทั่วไปของลําดับเลขคณติ น้ี คอื 5 n + 17 22 4) จากลําดบั 19.74, 22.54, 25.34,  จะได d = 22.54 −19.74 = 2.8 และ a1 = 19.74 เนอ่ื งจากพจนท ่วั ไปของลําดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 19.74 + (n −1)(2.8) = 19.74 + 2.8n − 2.8 = 2.8n +16.94 ดังนนั้ พจนท ว่ั ไปของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ 2.8n +16.94 5) จากลาํ ดับ x, x + 2, x + 4, จะได d = ( x + 2) − x = 2 และ a1 = x เนอื่ งจากพจนท่วั ไปของลําดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = x + (n −1)(2) = x + 2n − 2 = 2n + x − 2 ดงั น้นั พจนท ่วั ไปของลาํ ดับเลขคณิตน้ี คือ 2n + x − 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

258 คมู ือครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 6) จากลําดับ 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b, จะได d =(2a + 4b) − (3a + 2b) =−a + 2b และ a=1 3a + 2b เนอ่ื งจากพจนทั่วไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 3a + 2b + (n −1)(−a + 2b) = 3a + 2b + (−a + 2b) n + a − 2b = 4a + (−a + 2b) n ดังนน้ั พจนท ่วั ไปของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คือ 4a + (−a + 2b)n 3. จาก an = a1 + (n −1) d --------- (1) จะได 5 = a1 + (7 −1)d --------- (2) และ 10 = a1 + (12 −1) d จาก (1) และ (2) จะได d =1 และ a1 = −1 ดงั นนั้ a100 = −1+ (100 −1)(1) = −1 + 99 = 98 ดงั น้นั พจนท ่ี 100 ของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 98 4. จาก p, 5p, 6 p + 9 เปน สามพจนในลาํ ดับเลขคณติ จะไดวา 5p − p = (6p + 9) − 5p 4p = p+9 p =3 นัน่ คือ สามพจนน้ี คือ 3, 15, 27 ซ่ึงมี d =12 และถา ให 3, 15 และ 27 เปนสามพจนแ รกของลาํ ดับน้ี จะไดส่ีพจนถ ดั ไป คือ a4 = a3 + d = 27 + 12 = 39 a5 = a4 + d = 39 + 12 = 51 a6 = a5 + d = 51 + 12 = 63 a7 = a6 + d = 63 + 12 = 75 ดงั นัน้ p = 3 และสี่พจนถดั ไปของลําดบั น้คี อื 39, 51, 63 และ 75 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 259 5. จากสามพจนแรกของลําดับเลขคณิต คือ 20, 16 และ 12 จะได a1 = 20 และ d =16 − 20 =− 4 จากพจนท ี่ n ของลําดับเลขคณิต คอื an = a1 + (n −1)d จะได −96 = 20 + (n −1)(− 4) −96 = 20 − 4n + 4 4n = 120 n = 30 ดังนั้น −96 เปนพจนท่ี 30 ของลําดับน้ี 6. ให a1 = 5 และ a7 = 29 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 29 = 5 + (7 −1)d น่นั คือ 29 = 5 + 6d d =4 ดงั นั้น a, b, c, d และ e คอื 9, 13, 17, 21 และ 25 ตามลาํ ดับ 7. วธิ ีท่ี 1 ให a1, a1 + d, a1 + 2d เปน สามพจนแ รกของลาํ ดับเลขคณิต จะได a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) = 12 3a1 + 3d = 12 --------- (1) a1 + d = 4 และ a13 + (a1 + d )3 + (a1 + 2d )3 = 408 จาก (1) จะได (4 − d )3 + 43 + (4 + d )3 = 408 ( ( ) ) ( ( ) )64 − 3 42 d + 3(4)d 2 − d 3 + 43 + 64 + 3 42 d + 3(4)d 2 + d 3 = 408 วิธที ี่ 2 64 +12d 2 + 64 + 64 +12d 2 = 408 24d 2 = 216 d2 = 9 นัน่ คอื d = 3 และ d = −3 จาก (1) ถา d = 3 จะได a1 =1 จะไดพจนท่วั ไปของลําดับนี้ คือ an =1+ (n −1)(3) =3n − 2 ถา d = −3 จะได a1 = 7 จะไดพจนทว่ั ไปของลําดบั นี้ คือ an =7 + (n −1)(−3) =−3n +10 ให a − d, a, a + d เปน สามพจนแ รกของลําดับเลขคณติ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

260 คมู ือครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 จะได (a − d ) + a + (a + d ) = 12 = 408 3a = 12 a =4 และ (a − d )3 + a3 + (a + d )3 = 408 นน่ั คอื (4 − d )3 + 43 + (4 + d )3 = 408 ( ( ) ) ( ( ) )64 − 3 42 d + 3(4)d 2 − d 3 + 43 + 64 + 3 42 d + 3(4)d 2 + d 3 64 +12d 2 + 64 + 64 +12d 2 = 408 24d 2 = 216 d2 = 9 นน่ั คือ d = 3 และ d = −3 ถา d = 3 จะได a1 = a − d = 4 − 3 = 1 จะไดพจนทว่ั ไปของลําดับน้ี คือ an =1+ (n −1)(3) =3n − 2 ถา d = −3 จะได a1 = a − d = 4 − (−3) = 7 จะไดพจนท ั่วไปของลําดับน้ี คือ an =7 + (n −1)(−3) =−3n +10 8. เนอ่ื งจากจํานวนแผน ไมที่อยูชั้นบนจะนอยกวาจาํ นวนแผนไมทอ่ี ยูชั้นลางในลําดับตดิ กนั อยู 1 แผน นั่นคือ ลาํ ดบั ของจํานวนแผน ไมในแตล ะช้ัน คือ ลาํ ดับเลขคณิต 52, 51, 50, , 7 ท่ีม=ี a1 5=2, an 7 และ d = −1 จะได 7 = 52 + (n −1)(−1) 7 = 52 − n +1 n = 46 นั่นคือ กองไมก องนี้มี 46 ช้นั ดงั นน้ั กองไมน ้สี ูง 46×3 =138 เซนติเมตร หรือ 1.38 เมตร 9. 1) จากลาํ ดับเรขาคณิต −3, − 6, −12, จะได a1 = −3 และ=r −=6 2 −3 จากพจนท ่ี n ของลําดบั เรขาคณติ คอื an = a1rn−1 จะได an = −3( )2 n−1 = − 3 (2n ) 2 ดงั นน้ั พจนท ่ี n ของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ − 3 (2n ) 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 261 2) จากลาํ ดับเรขาคณติ 10, − 5, 5 , 2 จะได a1 = 10 และ r = −5 = −1 10 2 จากพจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณติ คือ an = a1r n−1 จะได an = 10  − 1 n−1  2  ดังนั้น พจนท ่ี n ของลําดับเรขาคณติ นี้ คือ 10  − 1 n−1  2  3) จากลําดับเรขาคณิต 1 , 5 , 25 , 44 4 5 จะได a1 = 1 และ =r 4= 5 4 1 4 จากพจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณิต คอื an = a1r n−1 จะได an = ( )1 5n−1 4 ดังนน้ั พจนท ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คือ ( )1 5n−1 4 4) จากลําดับเรขาคณติ 5 , 5 , 10 , 63 3 5 จะได a1 = 5 และ =r 53= 2 6 6 จากพจนท ่ี n ของลําดับเรขาคณิต คอื an = a1rn−1 จะได an = ( )5 2n−1 6 ดังนน้ั พจนท่ี n ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ ( )5 2n−1 6 5) จากลําดบั เรขาคณิต − 2 , 1 , − 1 , 9 12 32 1 จะได a1 = −2 และ r= 12 = −3 9 −2 8 9 จากพจนท ี่ n ของลาํ ดับเรขาคณิต คอื an = a1rn−1 จะได an = − 2  − 3 n−1 9  8  สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

262 คมู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 ดงั น้ัน พจนท ่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิตนี้ คือ − 2  − 3 n−1 9  8  6) จากลําดับเรขาคณิต ab3, a2b2, a3b, เมอื่ a ≠ 0 และ b ≠ 0 จะได a1 = ab3 แล=ะ r a=2b2 a ab3 b จากพจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณิต คือ an = a1rn−1 จะได an = ab3  a n−1 = anb4−n  b  ดงั นนั้ พจนท่ี n ของลําดบั เรขาคณิตน้ี คือ anb4−n จาก10. an = a1rn−1 จากลาํ ดับเรขาคณิต −162, 54, −18, 6, จะได a1 = −162 และ r= 54 = −1 −162 3 จะได a12 = −162  − 1 12−1  3  = −162  − 1 11  3  =2 2,187 ดังน้ัน พจนท่ี 12 ของลาํ ดบั เรขาคณิตนี้ คอื 2 2,187 จาก11. an = a1rn−1 จากลาํ ดับเรขาคณติ 1, a , a2 , a3 , เมอื่ a ≠ 0 24 8 a จะได a1 = 1 และ =r 2= a 1 2 จะได a10 = 1 a 10−1 2  =  a 9  2  = a9 512 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 263 ดงั นน้ั พจนท ี่ 10 ของลาํ ดับเรขาคณติ นี้ คอื a9 512 12. วิธีที่ 1 จาก a2 = 8 3 จะได 8 = a1r 2−1 -------- (1) 3 -------- (2) และจาก a5 = 64 81 จะได 64 = a1r 5−1 81 จาก (1) และ (2) จะได 8 = r3 27 r =2 3 ดงั นนั้ อัตราสวนรว มของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 2 3 วธิ ที ี่ 2 จาก a5 = a1r 4 = (a1r ) r3 = a2r3 จะได 64 =  8  r 3 81  3  น่นั คือ r3 = 8 27 r =2 3 ดังนัน้ อัตราสวนรว มของลําดับเรขาคณิตน้ี คอื 2 3 13. จากลําดับเรขาคณิต 7, − 21, 63, −189,  จะได a1 = 7 และ r = − 21 = −3 7 จาก an = a1rn−1 จะได 5,103 = 7(−3)n−1 729 = ( )−3 n−1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

264 คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 (−3)6 = ( )−3 n−1 นัน่ คือ n −1 = 6 n =7 ดงั นน้ั 5,103 เปน พจนที่ 7 ของลําดบั เรขาคณติ น้ี จาก14. 1) an = a1r n−1 จะได −1, 215 = −15r5−1 r4 = 81 น่ันคือ r = 3 และ r = −3 ดงั นน้ั เม่ืออตั ราสวนรวมเปน 3 จะได a, b และ c คือ −45, −135 และ −405 ตามลําดบั และเม่ืออัตราสวนรว มเปน −3 จะได a, b และ c คือ 45, −135 และ 405 ตามลาํ ดบั จาก2) an = a1rn−1 จะได 27 = 4 r5−1 64 3 r4 = 81 256 น่นั คอื r = 3 และ r = − 3 44 ดงั น้ัน เม่ืออตั ราสวนรวมเปน 3 จะได a, b และ c คอื 1, 3 และ 9 ตามลาํ ดบั 4 4 16 และเมื่ออตั ราสว นรวมเปน − 3 จะได a, b และ c คอื −1, 3 และ − 9 ตามลําดบั 4 4 16 15. ให a เปน จํานวนทต่ี องการ จะได 5 + a, 22 + a และ 107 + a เปนลําดับเรขาคณิต น่ันคือ 22 + a = 107 + a 5 + a 22 + a (22 + a)(22 + a) = (107 + a)(5 + a) 484 + 44a + a2 = 535 +112a + a2 68a = −51 a = − 51 68 ดงั นนั้ จาํ นวนทต่ี องการ คือ − 51 68 16. วิธที ่ี 1 ให a1, a1r และ a1r2 เปนสามพจนแ รกของลําดับเรขาคณติ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 265 จะไดว า a1 + a1r + a1r2 = −3 --------- (1) --------- (2) และ ( )(a1 )(a1r ) a1r2 = 8 จาก (2) จะได a13r3 = 8 a1r = 2 จาก (1) จะได a1 + 2 + a1r 2 = −3 −5 a1 + a1r 2 = −5 2 +  2  r 2 = r  r  −5r 0 2 + 2r2 = 0 2r2 + 5r + 2 = (2r +1)(r + 2) = นั่นคอื r = − 1 หรอื r = −2 2 ถา r= −1 จะได a1 = −4 และพจนทวั่ ไปของลาํ ดับน้ี คอื 2  1 n −1  2  an = −4 − = −  − 1 −2  − 1 n−1  2   2  = −  − 1 n−3  2  ถา r = −2 จะได a1 = −1 และพจนท วั่ ไปของลําดับน้ี คือ an = −1( )−2 n−1 = −(−2)n−1 วธิ ีท่ี 2 ให a , a, ar เปน สามพจนแ รกของลําดับเรขาคณิต r จะไดวา a + a + ar = −3 -------- (1) r และ  a  ( a ) ( ar ) = 8 --------- (2)  r  จาก (2) จะได a3 = 8 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

266 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 นน่ั คอื a = 2 แทน a ดวย 2 ใน (1) จะได 2 + 2 + 2r = −3 r 2 + 2r + 2r2 = −3r 2r2 + 5r + 2 = 0 (2r +1)(r + 2) = 0 นั่นคือ r = − 1 หรือ r = −2 2 ถา r= −1 จะได a1 = a= 2 = −4 และพจนทว่ั ไปของลําดับนี้ คือ 2 r −1 2 an = −4  − 1 n−1  2   1 −2  1 n −1  2   2  = − − − = −  − 1 n−3  2  ถา r = −2 จะได a1 = a= 2= −1 และพจนท ั่วไปของลําดบั นี้ คือ r −2 an = −1(−2)n−1 = −( )−2 n−1 17. เน่อื งจากปท่เี ร่มิ ตนการรณรงคมจี ํานวนถงุ พลาสตกิ ที่ใชแลว 100,000 ถงุ ในปท่ี 1 จํานวนถงุ พลาสติกที่ใชแลว จะลดลง 5% จะมีจํานวนถุงพลาสติกที่ใชแ ลว 100,000 − 5 (100,000) =95 (100,000) ถงุ 100 100 ในปที่ 2 จํานวนถงุ พลาสติกที่ใชแลวจะลดลง 5% จะมีจํานวนถุงพลาสติกทใ่ี ชแ ลว 95 (100, 000) − 5  95 (100, 000)  =  95 2 (100, 000 ) ถุง 100 100  100   100  ในปท่ี 3 จาํ นวนถุงพลาสติกท่ีใชแลวจะลดลง 5% จะมจี ํานวนถุงพลาสติกที่ใชแลว  95 2 (100, 000) − 5   95 2 (100, 000 )  =  95 3 (100, 000 ) ถงุ  100  100   100    100  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 267 จะเห็นวา จาํ นวนถงุ พลาสติกท่ใี ชแ ลว ในปท ี่ 1, 2, 3, …, n คือลําดับเรขาคณติ 95 (100000) ,  95 2 (100000 ) ,  95 2 (100000 ) , , an ท่ีมี a1 = 95 (100000) 100  100   100  100 และ r = 95 100 จาก an = a1rn−1 ให an แทนจาํ นวนถุงพลาสติกท่ีใชใ นปท ี่ n จะได an = 95 (100, 000)  95 n−1 100  100  = (100, 000)  95 n  100  และ a10 = (100, 000)  95 10 หรือประมาณ 59,873.69  100  ดงั นั้น สูตรการคาํ นวณจาํ นวนถงุ พลาสติกที่ใชแ ลว ในแตล ะป คอื an = (100, 000 )  95 n  100  และจํานวนถงุ พลาสติกท่ีใชแลว ในปที่ 10 มีประมาณ 59,874 ถุง 18. 1) เปนลาํ ดบั เลขคณิต ท่ีมีผลตางรว มเปน 2 2) เปนลําดบั เรขาคณิต ท่มี ีอัตราสว นรวมเปน −1 3) เปนลําดับเลขคณิต ท่ีมผี ลตางรว มเปน −2 4) เปนลําดับเรขาคณิต ทมี่ ีอตั ราสว นรว มเปน 1 3 5) ไมเปนทั้งลําดับเลขคณติ และลาํ ดบั เรขาคณิต 19. 1) เน่ืองจาก d = 27 −11 = 16 − 27 = 5 2 22 ดงั นน้ั ลาํ ดับนีเ้ ปน ลําดบั เลขคณติ ทมี่ ี a1 = 11 และ d = 5 2 จะได a4 = a3 + d = 16 + 5 = 37 2 2 a5 = a4 + d = 37 + 5 = 21 22 a6 = a5 + d = 21 + 5 47 2 = 2 ดงั นัน้ พจนท ่ขี าดหายไป คือ 37 , 21 และ 47 ตามลาํ ดับ 22 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

268 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 27 เนื่องจาก 2 = 27 และ 16 = 32 ซง่ึ 27 ≠ 32 11 22 27 27 22 27 2 ดงั น้ัน ลําดบั นไ้ี มเ ปน ลาํ ดบั เรขาคณิต 2) เนอื่ งจาก 11 − 7 =72 7 11 77 ถาลําดับนเี้ ปน ลาํ ดับเลขคณติ จะตองไดว า a4 = 265 77 จาก an = a1 + (n −1) d จะไดว า a4 = 7 + ( 4 − 1)  72  11 77  = 7 + 216 11 77 = 265 77 ดงั นนั้ ลาํ ดับนี้เปนลาํ ดับเลขคณติ ท่ีมี a1 =7 และ d = 72 11 77 จะได a3 = a2 + d = 11 + 72 = 193 7 77 77 a5 = a4 + d = 265 + 72 = 337 77 77 77 a6 = a5 + d = 337 + 72 = 409 77 77 77 ดังนัน้ พจนท ี่ขาดหายไป คอื 193, 337 และ 409 ตามลาํ ดบั 77 77 77 11 ถา ลําดับนเี้ ปน ลาํ ดบั เรขาคณิต จะตองไดวา =r =77 121 และ a4 = 265 49 77 11 จาก an = a1rn−1 7  121 4−1 จะไดวา a4 = 11 49  a4 = 7  11 6 11 7  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 269 =  11 5  7  น่ันคือ a4 ≠ 265 77 ดงั น้นั ลําดับน้ีไมเปนลาํ ดับเรขาคณิต 8 3) เน่ืองจาก r= 4= 3= 2 643 ดังน้นั ลาํ ดบั นเี้ ปน ลาํ ดบั เรขาคณติ ท่มี ี a1 =6 และ r = 2 3 จะได a4 = a3r = 8 2 = 16  3  3  9 a5 = a4r =  16  2  = 32  9  3  27 a6 = a5r =  32  2  = 64  27  3  81 ดังน้นั พจนท ่ขี าดหายไป คือ 16 , 32 และ 64 ตามลาํ ดับ 9 27 81 เน่อื งจาก 4 − 6 =− 2 แต 8 − 4 =− 4 33 ดงั น้นั ลําดบั น้ีไมเ ปนลําดับเลขคณิต 4) เน่ืองจาก −5 = −2 3 5 6 ถา ลาํ ดบั น้ีเปน ลําดับเรขาคณิต จะตอ งไดว า a4 = − 20 3 จาก an = a1rn−1 จะไดว า a4 = 5 ( )−2 4−1 6 = 5 (−8) 6 a4 = − 20 3 ดงั น้ัน ลําดับน้เี ปนลําดบั เรขาคณิต ท่มี ี a1 = 5 และ r = −2 6 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

270 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 จะได a3 = a2r = − 5 (−2) = 10 33 a5 = a4r = − 20 (−2) = 40 33 a6 = a5r = 40 (−2) = − 80 33 ดงั นั้น พจนที่ขาดหายไป คือ 10 , 40 และ − 80 ตามลําดบั 33 3 ถาลําดบั น้ีเปนลาํ ดบั เลขคณติ จะตองไดวา d =− 5 − 5 =− 5 36 2 และไดว า a3 =a2 +d =− 5 − 5 =− 25 32 6 a4 =a3 + d =− 25 − 5 =− 20 6 2 3 a5 =a4 +d =− 20 − 5 =− 55 3 2 6 a6 =a5 + d =− 55 − 5 =− 35 6 2 3 ดังน้ัน พจนท ขี่ าดหายไป คอื − 25 , − 55 และ − 35 ตามลาํ ดบั 66 3 20. ใหส ามพจนแ รกของลําดบั เลขคณิตเปน 10,10 + d และ 10 + 2d และสามพจนแ รกของลาํ ดับเรขาคณติ เปน 10,10r และ 10r2 เนื่องจากสองลําดบั นี้มีพจนที่สองเทากนั จะไดว า 10 + d = 10r d = 10r −10 -------- (1) และเน่ืองจากพจนท่สี ามของลาํ ดับเรขาคณิตมากกวาพจนทีส่ ามของลําดบั เลขคณิตอยู 2.5 จะไดว า 10r2 − (10 + 2d ) = 2.5 จาก (1) จะไดวา 10r2 − (10 + 2(10r −10)) = 2.5 10r2 − (10 + 20r − 20) = 2.5 10r2 − 20r +10 = 2.5 10r2 − 20r + 15 = 0 2 4r2 − 8r + 3 = 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 271 (2r − 3)(2r −1) = 0 จะไดวา r = 3 และ r = 1 22 ถา r = 3 จะได d = 5 2 พจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ 10 + (n −1)(5) หรอื 5n + 5 พจนท ว่ั ไปของลําดับเรขาคณิต คือ  3 n −1  2  10 ถา r = 1 จะได d = −5 2 พจนท ่วั ไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ 10 + (n −1)(−5) หรือ −5n +15 พจนท ั่วไปของลําดับเรขาคณิต คือ  1 n −1  2  10 21. 1) พิจารณาบริษทั A เนื่องจากบริษทั A ใหเงินเดือนเร่ิมตน 20,000 บาท และแตล ะปจ ะข้ึนเงนิ เดือน ให 1,500 บาท จะไดลาํ ดับของเงนิ เดอื น คือ 20000, 21500, 23000, ซงึ่ เปน ลาํ ดบั เลขคณติ ท่ีมี a1 = 20,000 และ d =1,500 จาก an = a1 + (n −1)d จะได an = 20,000 + (n −1)(1,500) = 1,500n +18,500 พจิ ารณาบริษัท B เนอ่ื งจากบริษทั B ใหเงินเดือนเรม่ิ ตน 20,000 บาท และแตล ะปจ ะขึน้ เงนิ เดือน ให 5% จะไดลาํ ดบั ของเงนิ เดือน คอื 20000, 21000, 22050, ซ่งึ เปนลําดับ เรขาคณิตทม่ี ี a1 = 20,000 และ r =1.05 จาก an = a1rn−1 จะได an = 20,000(1.05)n−1 ดังน้ัน ลําดับแทนเงินเดือนตาํ แหนง เจาหนาที่ฝา ยทรัพยากรบคุ คลของบรษิ ัท A และบริษัท B คอื 1,500n +18,500 และ 20,000(1.05)n−1 ตามลําดบั 2) เงนิ เดอื นในปท่ี 10 คือพจนท ่ี 10 ของลําดบั ในบรษิ ทั A จะได a10 = 1,500(10) +18,500 = 33,500 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

272 คูม อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 ในบริษทั B จะได a10 = 20,000(1.05)10−1 = 20,000(1.05)9 ≈ 31,026 ดังนั้น ผลตา งของเงนิ เดือนในปท ่ี 10 ของเจาหนา ทฝี่ า ยทรัพยากรบุคคลของท้ัง สองบรษิ ทั ประมาณ 33,500 − 31,026 =2,474 บาท 22. จากอนุกรมเลขคณิต 19 + 23 + 27 + + 999 จะได=a1 1=9, d 4 และ an = 999 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 999 = 19 + (n −1)(4) 999 = 19 + 4n − 4 n = 246 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 น่ันคือ S246 = 246 (19 + 999) 2 = 125,214 ดังน้ัน 19 + 23 + 27 + + 999 = 125,214 23. 1) จากลําดบั เลขคณิต 2, 6,10,14, จะได a1 = 2 และ d = 4 จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S40 = 40 (2(2) + (40 −1)(4)) 2 = 3,200 ดังนน้ั ผลบวก 40 พจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 3,200 2) จากลาํ ดบั เลขคณติ 20,17,14,11, จะได a1 = 20 และ d = −3 จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S70 = 70 (2(20) + (70 −1)(−3)) 2 = −5,845 ดังน้ัน ผลบวก 70 พจนแรกของลําดับเลขคณติ นี้ คือ −5,845 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 273 3) จากลําดับเลขคณติ − 1 , 1 ,1, 5 , 33 3 จะได a1 = −1 และ d = 2 3 3 จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S100 = 100  2  − 1  + (100 − 1)  2   2  3   3     = 9,800 3 ดังน้นั ผลบวก 100 พจนแรกของลําดบั เลขคณิตนี้ คือ 9,800 3 24. ลาํ ดบั ของจํานวนท่ีหารดว ย 7 ลงตัว ตัง้ แต 9 ถงึ 357 คอื 14, 21, 28,, 357 ซ่ึงเปนลาํ ดับ เลขคณติ ที่ม=ี a1 1=4, d 7 และ an = 357 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 357 = 14 + (n −1)(7) 357 = 14 + 7n − 7 n = 50 จาก =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได S50 = 50 (14 + 357) 2 = 9,275 ดังน้ัน ผลบวกของจํานวนที่ 7 หารลงตัว ตงั้ แต 9 ถงึ 357 คอื 9,275 25. จาก a4 = 11 และ a9 = − 4 จะได 11 = a1 + (4 −1)d -------- (1) − 4 = a1 + (9 −1) d -------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d = −3 และ a1 = 20 จาก a12 + a13 +  + a25 = S25 − S11 และ S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S25 = 25 (2(20) + (25 −1)(−3)) 2 = − 400 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คูม ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 และ S11 = 11(2(20) + (11−1)(−3)) 2 = 55 นน่ั คือ S25 − S11 =− 400 − 55 =− 455 ดงั นนั้ ผลบวกของพจนท่ี 12 ถงึ พจนท ี่ 25 คือ −455 26. จาก a4 = 20 และ a9 = 10 จะได 20 = a1 + (4 −1)d -------- (1) 10 = a1 + (9 −1) d -------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d = −2 และ a1 = 26 จาก a7 + a8 + + a17 = S17 − S6 จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S17 = 17 (2(26) + (17 −1)(−2)) 2 = 170 และ S6 = 6 (2(26) + (6 −1)(−2)) 2 = 126 น่ันคอื S17 − S6 = 170 −126 = 44 ดงั นัน้ ผลบวกของพจนท่ี 7 ถงึ พจนท ี่ 17 คือ 44 27. ลําดบั ของเงินเดอื นของยงยทุ ธในแตล ะป คือ ลําดับเลขคณิต 17500,18700,19900, =ท่ีมี a1 1=7500, d 1200 ดังนนั้ เงนิ เดือนของยงยทุ ธใน พ.ศ. 2590 คือ a31 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a31 = 17,500 + (31−1)(1, 200) = 53,500 และเงนิ รวมท้งั หมดทเ่ี ขาไดร ับ คือ 12(S31) จาก =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได 12( S31 ) = 12  31 (17, 500 + 53, 500 )   2 = 13,206,000 ดงั นั้น เงนิ เดือนของยงยุทธใน พ.ศ. 2590 คือ 53,500 บาท และเงนิ รวมทงั้ หมดที่เขา สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 275 ไดรับคือ 13,206,000 บาท 28. 1) ลาํ ดับของจาํ นวนเกา อี้แตละแถวในโรงละคร คือ ลาํ ดับเลขคณติ 12,14,16, ทม่ี =ี a1 1=2, d 2 ดงั นั้น จํานวนเกาอ้ีท้ังหมดใน 20 แถว ของโรงละคร คือ S20 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S20 = 20 (2(12) + (20 −1)(2)) 2 = 620 ดงั น้นั ถาตอ งการจดั เกา อี้ไวท ้ังหมด 20 แถว จะมเี กา อ้ีท้งั หมด 620 ตัว 2) จากขอ 1) ถา จดั เกา อี้ 20 แถว จะมีเกาอีท้ ง้ั หมด 620 ตวั แตต อ งการจัดเกาอ้ีเพียง 600 ตวั ดงั นนั้ จะพจิ ารณาวา ถามเี กาอ้ี 19 แถว จะมีเกา อี้ทงั้ หมด S19 ตัว จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S19 = 19 (2(12) + (19 −1)(2)) 2 = 570 น่นั คือ ตองเพ่ิมเกา อใ้ี นแถวสุดถายอีก 30 ตวั จงึ จะมเี กา อี้ครบ 600 ตัว ดังนน้ั จะตอ งจดั เกาอ้ที ั้งหมด 20 แถว และในแถวสดุ ทา ยมีเกา อ้ี 30 ตวั 29. 1) ระยะหางในการนาํ ลูกปงปองจากจุดวางตะกราไปใสใ นชามใบท่ี 1 เทา กับ 5 เมตร 2) ระยะหางในการนาํ ลูกปงปองจากจุดวางตะกรา ไปใสใ นชามใบที่ 2 เทา กับ 5 + 3 =8 เมตร 3) ระยะหา งในการนาํ ลูกปง ปองจากจุดวางตะกรา ไปใสในชามใบที่ 3 เทา กับ 5 + 3 + 3 =11 เมตร 4) เนื่องจากระยะหา งในการนําลูกปงปองจากจดุ วางตะกราไปใสใ นชามใบที่ 1, 2, 3, … เปนลําดบั เลขคณิตทมี่ ี a1 = 5 และ d = 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได an = 5 + (n −1)(3) an = 5 + 3n − 3 = 3n + 2 ดังน้นั ระยะหางในการนําลูกปงปองจากจดุ วางตะกรา ไปใสในชามใบท่ี n เทา กับ 3n + 2 เมตร 5) ใหก ารแขงขนั นี้มีชาม n ใบ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

276 คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 จากขอ 4) จะไดวา 23 = 3n + 2 n=7 ดังน้ัน จาํ นวนชามทง้ั หมด เทากับ 7 ใบ 6) 6.1) ถาผูเ ขา แขงขันไมทําลูกปง ปองตกเลย จะไดร ะยะทางจากจุดเร่ิมตนจนส้ินสดุ การแขง ขัน คือ 2S7 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S7 = 7 (2(5) + (7 −1)(3)) 2 = 98 ดังนน้ั ถาผูเขาแขงขันไมทาํ ลูกปง ปองตกเลย จะได ระยะทางจาก จดุ เร่มิ ตนจนส้ินสุดการแขงขัน คือ 2(98) =196 เมตร 6.2) ถาผเู ขา แขงขนั ทําลกู ปง ปองตกระหวางทีน่ ําลูกปงปองไปใสในชามใบที่ 4 โดย ทําตกหา งจากตะกรา 3 เมตร จะไดวา ระยะทางที่เพ่ิมข้ึนเปน 3 + 3 =6 เมตร ดังน้ัน ถา ผูเ ขา แขง ขันทําลกู ปงปองตกระหวา งทีน่ ําลกู ปง ปองไปใสใ น ชามใบที่ 4 โดยทําตกหา งจากตะกรา 3 เมตร จะไดระยะทางทง้ั หมด คือ 196 + 6 =202 เมตร 30. ปรมิ าตรของอิฐชน้ั ลา งสุดท่ีมีความสูงเทากับบันไดขัน้ ท่ี 1 คือ 1× 0.25× (0.35×15) =1.3125 ลกู บาศกเ มตร ปรมิ าตรของอฐิ ชั้นท่สี องทมี่ ีความสูงเทา กบั บันไดขนั้ ที่ 2 คือ 1× 0.25× (0.35×14) =1.225 ลกู บาศกเ มตร ปริมาตรของอิฐช้ันท่สี ามท่ีมีความสงู เทากบั บันไดขนั้ ที่ 3 คอื 1× 0.25× (0.35×13) =1.1375 ลูกบาศกเ มตร จะเห็นวา ลําดับของปริมาตรอิฐท่ีใชส รางบนั ไดน้ี คือ ลาํ ดบั เลขคณิต 1.3125,1.225,1.1375,, 0.0875 ท่ีมี a1 = 1.3125, d = −0.0875 และ n = 15 นัน่ คอื ปรมิ าตรของอฐิ ท่ีใชสรา งบนั ไดน้ี คือ S15 จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S15 = 15 (2(1.3125) + (15 −1)(−0.0875)) 2 = 10.5 ดงั น้นั ปริมาตรของอฐิ ทใ่ี ชส รางบันไดแหง น้ี คือ 10.5 ลกู บาศกเมตร สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 277 31. จากอนุกรมเรขาคณติ 6 +18 + 54 + +1,458 จะได =a1 6=, r 3 และ an =1,458 จาก an = a1rn−1 จะได 1,458 = 6(3)n−1 243 = ( )3 n−1 35 = ( )3 n−1 นน่ั คือ n −1 = 5 จะได n = 6 ( )Sn แทน n ดว ย 6 ใน = a1 1− rn 1− r จะได 6(1− 36 ) S6 = 1− 3 6(36 −1) = 3−1 = 2,184 ดงั นนั้ 6 +18 + 54 + +1,458 =2,184 32. 1) จากลําดับเรขาคณิต 1, 4,16, 64, จะได a1 =1 และ r = 4 แทน n ดว ย 30 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r ( )จะได 1 1 − 430 S30 = 1 − 4 ( )1 430 −1 = 4 −1 ( )= 1 430 −1 3 2) จากลาํ ดับเรขาคณิต − 3 , 3 , − 3 , 3 , 32 16 8 4 จะได a1 = −3 และ r = −2 32 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

278 คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 แทน n ดว ย 43 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r − 3 1 − (−2)43 ( )จะได S43 = 32 1− (−2) (−2)43 −1 = 32 3) จากลําดบั เรขาคณติ 27 , 9 , 3, 1 , 32 16 8 4 จะได a1 = 27 และ r=2 32 3 แทน n ดว ย 28 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r 27  −  2 28  32 1  3   จะได S28 = 1− 2 3 = 81  −  2 28  32 1  3   33. จาก − 4 = a1r5−1 --------- (1) และ 1 = a1r8−1 --------- (2) 2 จาก (1) และ (2) จะได r = −1 และ a1 = − 64 2 เนอ่ื งจาก a2 + a3 + a4 + + a9 = S9 − S1 = S9 − a1 − 64  −  − 1 9  1  2   จาก S9 =  1  1 −  − 2  = −171 4 จะได S9 − a1 = −171 − (−64) = 85 4 4 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 279 ดงั นน้ั ผลบวกของพจนท ี่ 2 ถึงพจนที่ 9 คือ 85 4 34. จาก 6 = a1r3−1 --------- (1) และ 24 = a1r7−1 --------- (2) จาก (1) และ (2) จะได r = 2 หรอื r = − 2 และ a1 = 3 1) เนื่องจาก a7 + a8 + + a17 = S17 − S6 31 − 2 17  = 3 2 17 −1 1− 2 2 −1 ถา r = 2 จะได ( ) ( )S17 = 31 − 2 6  = 3 2 6 −1 1− 2 2 −1 ( ) ( )และ S6 = S17 − S6 = 3 2 17 −1 − 3 2 6 −1 2 −1 2 −1 ( ) ( )จะได ( )= 3 2 17 −1− (8 −1) 2 −1 ( )= 3 2 17 − 8 2 −1 31 − − 2 17  = 31 + 2 17  (( )) ( )ถา r = − 2 จะได 2 S17 = 1− − 2 1+ 31− − 2 6  = 31 − 2 6  1− − 2 1+ 2 (( )) ( )และ S6 = 31 + 2 17  − 31 − 2 6  1+ 2 1+ 2 ( ) ( )จะได S17 − S6 = S17 − S6 ( )= 31+ 2 17 − (1− 8) 1+ 2 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

280 คูม อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 ( )= 3 2 17 + 8 1+ 2 ดังนน้ั ถา r = 2 แลว ผลบวกของพจนที่ 7 ถงึ พจนท่ี 17 คอื (3 )2 17 − 8 2 −1 ถา r = − 2 แลว ผลบวกของพจนท่ี 7 ถงึ พจนที่ 17 คอื (3 )2 17 + 8 1+ 2 ( )( ) ( )2) จาก a3a4 a26 = a1r 2 a1r3  a1r 25 ( )= a124 r 2+3++25 = a124  r 24 ( 2 + 25)   2  ( )= a124 r324 ถา r = 2 จะได ( ) ( )a124 r324 324 = 324 2 = 2162324 ถา r = − 2 จะได ( ) ( )a124 r324= 324 − 324 2 ( )( )= 324 −1 324 324 2 = 2162324 ดงั นน้ั ผลคูณของพจนท่ี 3 ถึง พจนท ี่ 26 คอื 2162324 35. วิธที ่ี 1 วนั แรก วิทยาจะเหลือเงนิ 6, 561 − 1 (6,561) =6,561 32  บาท 3 วันทส่ี อง วิทยาจะเหลือเงิน 6, 561 2  − 1  6, 561 2   =6,561 32 2 บาท 3  3  3   วันที่สาม วิทยาจะเหลือเงิน 6, 561 2 2 − 1  6, 561 2 2  =6,561 23 3 บาท 3  3  3   จะเหน็ วา ลาํ ดับของจาํ นวนเงินทเี่ หลือในแตละวัน คอื ลําดับเรขาคณิต สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 281 6561 2  , 6561 2 2 , 6561 2 3 , , a8 ท่มี ี a1 = 6, 561 2  และ r= 2 3  3  3  3  3 นนั่ คอื จํานวนเงินที่เหลือในวันที่ 8 คอื a8 จาก an = a1rn−1 จะได a8 = 6, 561 2   2 8−1 = 256 3   3  ดังนัน้ เมอื่ ครบ 8 วนั วิทยาจะเหลือเงิน 256 บาท วธิ ีท่ี 2 ลําดบั ของจาํ นวนเงนิ ที่วิทยาใชไ ปในแตล ะวนั คือ ลําดบั เรขาคณติ 1 ( 6, 561) , 1  ( 6, 561)  2   , 1  ( 6, 561)  2 2  ,  ท่มี ี a1 = 1 (6,561) และ r = 2 3 3   3   3   3   3   3 นั่นคอื ผลรวมของจาํ นวนเงนิ ทวี่ ทิ ยาใชไ ปเม่ือครบ 8 วัน คอื S8 ( )จาก Sn = a1 1− rn 1− r 1 ( 6, 561)  −  2 8  3 1  3   จะได S8 = = 6,305 1− 2 3 นนั่ คือ วทิ ยาใชเงินไป 6,305 บาท ดงั นั้น เม่ือครบ 8 วัน วทิ ยาจะมีเงนิ เหลือ 6,561− 6,305 =256 บาท 36. เงนิ เดอื นของวบิ ลู ยในแตล ะป คอื 21000, (21000)(1.09), (21000)(1.09)2 ,, a6 เปน ลาํ ดบั เรขาคณิตทมี่ ี a1 = 21000 และ r =1.09 น่ันคือ เงนิ เดือนของวบิ ูลย เม่ือขน้ึ ปที่ 6 คือ a6 จาก an = a1rn−1 จะได a6 = 21,000(1.09)6−1 ≈ 32,311.10 และ เงินรวมทว่ี ิบลู ยไ ดรบั เมื่อทํางานครบ 15 ป คอื 12× S15 ( )จากSn = a1 1− rn 1− r ( )จะได S15 = 21,000 1 − (1.09)15 1 −1.09 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

282 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 ( )21,000 (1.09)15 −1 = 1.09 −1 ≈ 616,579.24 นน่ั คือ เมื่อทาํ งานครบ 15 ป วิบูลยไ ดร ับเงนิ รวม 12× 616,579.24 = 7,398,950.88 บาท ดงั นั้น เมอ่ื ขึน้ ปท่ี 6 วิบูลยไดรบั เงนิ เดือน 32,311.10 บาท และเมื่อทํางานครบ 15 ป เงินรวมท่วี บิ ลู ยไดรบั ประมาณ 7,398,950.88 บาท 37. 1) ลาํ ดับของจาํ นวนคใู นการแขงขนั แตละรอบ คือ ลาํ ดบั เรขาคณติ 16, 8, 4,,an ทมี่ ี a1 =16 และ r=1 2 จ=ะได an 1=6 12 n−1 32  1 n  2  ดังนนั้ ในรอบที่ n มีผูเ ขาแขงขัน 32  1 n คู  2  2) เนื่องจากรอบสุดทา ยทจ่ี ะไดผ ูชนะ จะมกี ารแขง ขนั เพยี ง 1 คู นนั่ คือ หา n ที่ทาํ ให an =1 จะไดวา 1 = 32  1 n  2  1 =  1 n 32  2   1 5 =  1 n  2   2  นั่นคือ n = 5 ดงั นนั้ รายการลกู ทุงเสียงทองมีการแขง ขันทั้งหมด 5 รอบ 3) จาํ นวนคใู นการแขงขันทงั้ หมด คือ S5 ( )จาก Sn = a1 1− rn 1− r 16  −  1 5  1  2   จะได S5 = = 31 1− 1 2 ดงั น้นั รายการลูกทุงเสียงทองมกี ารแขงขนั ทั้งหมด 31 คู สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 283 38. 1) เนื่องจากอตั ราการลดลงของจาํ นวนแมลงสาบเปน 17% ตอวัน 2) 3) ดังนั้น จํานวนแมลงสาบท่ีถูกกําจัดในวนั ทีเ่ ร่ิมโครงการ เทากบั 17 (6,000) =1,020 ตัว 4) 100 จํานวนแมลงสาบทเี่ หลอื อยหู ลังจากดําเนนิ โครงการไปแลว 1 วนั เทา กับ 6,000 − 17 (6,000) = 6, 000  83  = 4, 980 ตัว 100  100 ลาํ ดับของจาํ นวนแมลงสาบท่ีถูกกําจัดในแตล ะวัน คือ ลาํ ดับเรขาคณิต 6000  17  , 6000  17   83  , 6000  17   83 2 ,  ทีม่ ี a1 = 6000  17   100   100   100   100   100   100  และ r = 83 100 น่นั คือ จํานวนแมลงสาบท้งั หมดทถ่ี ูกกําจัดหลังจากดาํ เนนิ โครงการไปแลว 7 วนั คือ S7 ( )จาก Sn = a1 1− rn 1− r 6, 000  17   −  83 7   100  1  100   จะได S7 = ≈ 4,372 ตวั 1− 83 100 ดงั นน้ั จาํ นวนแมลงสาบท้ังหมดท่ีถูกกาํ จัดหลังจากดาํ เนินโครงการไปแลว 7 วนั ประมาณ 4,372 ตัว วธิ ที ี่ 1 จากขอ 3) จํานวนแมลงสาบทเี่ หลืออยหู ลังจากดําเนินโครงการไปแลว 7 วัน ประมาณ 6,000 − 4,372 =1,628 ตัว วธิ ที ่ี 2 ลาํ ดับของจาํ นวนแมลงสาบทเ่ี หลอื อยู คือ ลําดับเรขาคณิต 2 3 6000  83  , 6000  83  , 6000  83  ,  ท่ีมี a1 = 6000  83   100   100  100 100  และ r = 83 100 น่ันคือ จํานวนแมลงสาบท่ีเหลืออยหู ลังจากดําเนนิ โครงการไปแลว 7 วัน คือ a7 จาก an = a1rn−1 จะได a7 = 6, 000  83   83 7−1  100   100  ≈ 1,628 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

284 คูม อื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 ดังน้นั จาํ นวนแมลงสาบท่เี หลืออยูห ลังจากดําเนินโครงการไปแลว 7 วนั ประมาณ 1,628 ตัว 39. 1) พิจารณาจํานวนวนั ในการปฏิบัตภิ ารกิจ 25 วัน แบบท่ี 1 จะเสยี คาตอบแทน 25× 50,000 =1,250,000 บาท แบบที่ 2 ลําดบั ของจาํ นวนเงินท่ีตองจายในแตล ะวนั หนว ยเปน สตางค คือ ลําดับเรขาคณติ 5,10, 20, ทีม่ ี a1 = 5 และ r = 2 น่ันคือ จาํ นวนเงินท่ีตองจายในการปฏิบตั ภารกิจ 25 วัน คอื S25 ( )จาก Sn = a1 1− rn 1− r ( )จะได 5 1 − 225 S25 = 1 − 2 ( )5 225 −1 = 2 −1 = 167,772,155 นนั่ คือ ตอ งเสียเงิน 167,772,155 สตางค หรอื 1,677,721.55 บาท จะเห็นวา ถา จาํ นวนวันมากกวา 25 วัน คาใชจา ยแบบท่ี 2 จะมากกวา แบบที่ 1 เสมอ ดังน้นั เศรษฐคี วรเลอื กจายคาตอบแทนแบบที่ 1 จงึ จะประหยัดเงนิ ทสี่ ดุ 2) ถาใชเ วลาปฏบิ ตั ิภารกจิ 30 วนั แบบท่ี 1 จะเสียคา ตอบแทน 30× 50,000 =1,500,000 บาท ( )5 1− 230 = (5 230 −1) หรือเทากบั แบบท่ี 2 จะเสียคา ตอบแทน S30 = 1− 2 2−1 5,368,709,115 สตางค หรือ 53,687,091.15 บาท ดงั น้นั ถา เลือกจา ยคาตอบแทนแบบท่ี 1 จะประหยัดเงินกวาการจา ยคา ตอบแทน แบบที่ 2 เปน จาํ นวนเงนิ 52,187,091.15 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 285 3) พจิ ารณาจํานวนวนั ในการปฏิบตั ิภารกิจ 24 วนั 40. 1) แบบที่ 1 จะเสยี คา ตอบแทน 24× 50,000 =1,200,000 บาท ( )5 1− 224 = (5 224 −1) หรอื เทากับ 2) แบบที่ 2 จะเสยี คาตอบแทน S24 = 2 −1 1− 2 83,886,075 สตางค หรอื 838,860.75 บาท ดงั นนั้ ถาใชเวลาปฏบิ ตั ภิ ารกจิ ไมถงึ 25 วนั การจายคาตอบแทนแบบที่ 1 จะไมป ระหยัด กวา แบบท่ี 2 2 + 8 + 32 + + 8,192 เปน อนกุ รมเรขาคณิต ท่ีมี =a1 2=, r 4 และ an = 8,192 จาก an = a1rn−1 จะได 8,192 = 2(4)n−1 4,096 = 4n−1 46 = 4n−1 นัน่ คอื n −1 = 6 n =7 ( )Sn แทน n ดวย 7 ใน = a1 1− rn 1− r จะได 2(1− 47 ) S7 = 1− 4 2(47 −1) = 4 −1 = 10,922 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมน้ี คือ 10,922 7 +14 + 21+ + 98 เปน อนกุ รมเลขคณิต ที่มี=a1 7=, d 7 และ an = 98 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 98 = 7 + (n −1)(7) 98 = 7 + 7n − 7 n = 14 แทน n ดวย 14 ใน =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได S14 = 14 (7 + 98) = 735 2 ดังนน้ั ผลบวกของอนกุ รมนี้ คือ 735 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

286 คูม ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 3) 1 +1+ 3 + + 30 เปน อนุกรมเลขคณติ ท่ีม=ี a1 1=, d 1 และ an = 30 2 2 2 2 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 30 = 1 + ( n − 1)  1  2  2  30 = 1 + 1 n − 1 22 2 n = 60 แทน n ดวย 60 ใน =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได S60 = 60  1 + 30  2  2  = 915 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมนี้ คือ 915 4) 16 + 8 + 4 + + 1 เปนอนกุ รมเรขาคณิต ทีม่ =ี a1 1=6, r 1 และ an =1 32 2 32 จาก an = a1rn−1 จะได 1 = 16  1 n−1 32  2  1 =  1 n−1 512  2   1 9 =  1 n−1  2   2  นน่ั คือ n −1 = 9 n = 10 ( )Sn แทน n ดวย 10 ใน = a1 1− rn 1− r 16  −  1 10  1  2   จะได S10 = 1− 1 2 = 1,023 32 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 287 ดงั นน้ั ผลบวกของอนกุ รมนี้ คือ 1,023 32 5) (−1) + 3 + (−9) + + (−729) เปน อนุกรมเรขาคณิต ท่มี ี a1 =−1, r =−3 และ an = −729 จาก an = a1rn−1 จะได −729 = (−1)(−3)n−1 729 = ( )−3 n−1 (−3)6 = ( )−3 n−1 นน่ั คอื n −1 = 6 n =7 ( )Sn แทน n ดว ย 7 ใน = a1 1− rn 1− r ( )จะได (−1) 1− (−3)7 = −547 S7 = 1− (−3) ดังนนั้ ผลบวกของอนกุ รมน้ี คือ −547 6) −10 − 6 − 2 + + 90 เปน อนกุ รมเลขคณิต ทมี่ ี a1 =−10, d =4 และ an = 90 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 90 = −10 + (n −1)(4) 90 = −10 + 4n − 4 n = 26 แทน n ดว ย 26 ใน =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได S26 = 26 (−10 + 90) = 1,040 2 ดงั นนั้ ผลบวกของอนุกรมนี้ คือ 1,040 41. ในท่ีนี้ =P 5000=, k 4=, n 3 และ=r 1=.5 0.015 100 จะไดจ าํ นวนเงินรวม คือ 5, 000 1 + 0.015 12 หรอื ประมาณ 5,229.70 บาท 4  ดงั น้ัน เมื่อฝากเงนิ ครบ 3 ป จะมเี งินในบัญชี 5,229.70 บาท สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

288 คมู ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 42. ในท่นี ้ี =P 18600=, k 2=, n 15 และ=r =4 0.04 100 จะไดจ ํานวนเงินรวม คือ 18, 600 1 + 0.04 30 หรอื ประมาณ 33,691.33 บาท 2  ดังนน้ั เมือ่ ฝากเงนิ ครบ 15 ป จะมเี งนิ ในบัญชปี ระมาณ 33,691.33 บาท 43. พิจารณา ธนาคาร A ในที่น=้ี P 1000000=0, k 1=2, n 10 และ=r 1=2 0.12 100 จะไดจ าํ นวนเงินรวม คือ 10, 000, 000 1 + 0.12 120 หรือประมาณ 33,003,868.95 บาท 12  พิจารณา ธนาคาร B ในทน่ี ี้ =P 10000000,=k 1,=n 10 และ=r 1=2.5 0.125 100 จะไดจ ํานวนเงินรวม คือ 10,000,000(1+ 0.125)10 หรอื ประมาณ 32,473,210.25 บาท ดังน้นั แมข องสทุ ัศนค วรเลือกฝากเงนิ กบั ธนาคาร A จงึ จะไดเ งินรวมมากทส่ี ดุ และเม่ือสน้ิ ปท่ี 10 จะไดเงนิ รวมประมาณ 33,003,868.95 บาท 44. =ในท่นี ี้ P 1=00000, k 2 และ n =10 จะได 148,595 = 100, 000 1 + r 20 2  1.48595 = 1 + r 20 2  น่นั คอื 1 + r = 20 1.48595 2 ( )r = 2 20 1.48595 −1 r ≈ 0.04 ดังน้ัน ธนาคารแหงนี้กําหนดอัตราดอกเบีย้ ประมาณ 4% ตอ ป 45. ตนตระการจะตองชาํ ระดอกเบีย้ ใหวทิ วัสเปน เงิน 5,000×52× 2 =520,000 บาท นัน่ คอื เมื่อครบ 2 ป ตน ตระการจะตองจายเงนิ ใหวทิ วสั ทง้ั หมด 720,000 บาท =ในท่นี ้ี P 2=00000, k 52 และ n = 2 จะได 720,000 = 200, 000 1 + r 104 52  สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 289 3.6 = 1 + r 104 52  น่นั คอื 1 + r = 104 3.6 52 ( )r = 52 104 36 −1 r ≈ 1.82 ดังนั้น ดอกเบี้ยท่วี ทิ วสั เรยี กเกบ็ สามารถคดิ เปนอัตราดอกเบย้ี รอยละ 182 ซง่ึ อัตราดอกเบยี้ ดังกลาวไมเ ปนไปตามที่กฎหมายกําหนด 46. ในทนี่ ้ี =S 250000,=k 1,=n 10 และ=r =5 0.05 100 จะได มลู คาปจ จุบันของเงินรวม 250,000 บาท คือ P = 250,000(1+ 0.05)−10 ≈ 153,478.31 บาท ดงั นัน้ วิชยั ตอ งฝากเงนิ ตนไวอ ยางนอย 153,479 บาท 47. ในที่นี้ =S 122079.42=, k 4=, n 10 และ=r =2 0.02 100 จะได มูลคาปจจุบนั ของเงินรวม 122,079.42 บาท คือ 0.02 −40 P = 122, 079.42 1 + 4  ≈ 100,000 บาท ดังนน้ั ธีระตอ งฝากเงินไวป ระมาณ 100,000 บาท 48. ฝากเงนิ ตอนตน งวดทกุ เดอื นเปน เงิน 1,000 บาท ในทน่ี ้ี =R 1000=, i 2=.4 0.2 และ=r 0=.2 0.002 12 100 ดงั นั้น เงินรวมหลังจากการฝากครั้งท่ี n คือ 1,000(1.002) +1,000(1.002)2 + +1,000(1.002)n ซึง่ เปนอนุกรมเรขาคณิตทีม่ ี n พจน พจนแ รกคือ 1,000(1.002) และอัตราสว นรวม คอื 1.002 ( ) ( )จะไดเงนิ รวม คือ 1,000(1.002) 1− (1.002)n หรอื 501,000 (1.002)n −1 บาท 1 −1.002 ดังนั้น เงนิ รวมหลังจากฝากครั้งที่ n คือ (501,000 (1.002)n −1) บาท 49. หมากฝากเงินตอนสน้ิ งวดทุกเดือนท้งั หมด 24 ครง้ั ในท่นี ี้ =R 2000,=i 3= 0.25, =n 24 และ=r 0=.25 0.0025 12 100 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

290 คูมือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 24 0 1… ดังนน้ั เม่ือฝากครบ 24 ครั้ง เงินรวมของหมาก คือ 2,000 + 2,000(1.0025) + 2,000(1.0025)2 + + 2,000(1.0025)23 ซึ่งเปน อนุกรม เรขาคณติ ทม่ี ี 24 พจน พจนแ รกคอื 2,000 และอตั ราสว นรว ม คือ 1.0025 ( )จะได เงินรวม คอื 2,000 1− (1.0025)24 หรือประมาณ 49,405.64 บาท 1 −1.0025 ดงั นัน้ เมอ่ื ฝากครบ 24 ครงั้ หมากจะมเี งินรวมประมาณ 49,405.64 บาท 50. มะปรางฝากเงนิ ตอนสน้ิ งวดทุกเดือนเปน เวลา 2 ป เน่อื งจากมะปรางมีรายรับเดือนละ 20,000 บาท และจะออมเงินเดอื นละ 10% ของรายรบั จะไดวา มะปรางออมเงนิ เดือนละ 10 (20,000) = 2,000 บาท 100 ในที่นี้ =R 2000,=i 1=2 1, =n 24 และ=r =1 0.01 12 100 0 1… 24 ดงั นัน้ เมื่อเวลาผานไป 2 ป เงินออมของมะปราง คือ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี