(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.5

คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 191 8. 1) ให f (x=) ax + b แทนฟง กช นั แสดงราคาของคอมพวิ เตอรเ มอ่ื เวลาผานไป x ป โดยที่ a และ b เปน คา คงตัว จากโจทย f (0) = 50,000 จะได b = 50,000 และ f (5) = 5,000 จะได 5,000 = 5a + 50,000 a = −9,000 ดังน้ัน ฟงกชันแสดงราคาของคอมพวิ เตอรเม่ือเวลาผานไป x ป คือ f (x) =−9,000x + 50,000 2) ให d แทนคา เสื่อมราคาตอป จะได 50,000 − (−9,000x + 50,000) d= x 50,000 + 9,000x − 50,000 = x = 9,000 ดงั นัน้ คาเสือ่ มราคาตอปของคอมพวิ เตอรของบริษัทแหง นี้ เทากับ 9,000 บาท 3) หาราคาทนุ ของอุปกรณส าํ นักงานนี้ จากการแทน x ดวย 0 ใน g (x) จะได g (0) = 19, 200 − 3, 200(0) = 19,200 ดังน้นั ราคาทนุ ของอปุ กรณส ํานกั งานน้ี เทากับ 19,200 บาท ถาให d แทนคาเสอ่ื มราคาตอป 19, 200 − (19, 200 − 3, 200x) จะได d= x = 19, 200 −19, 200 + 3, 200x x = 3,200 ดังนัน้ คา เสือ่ มราคาตอปข องอุปกรณส าํ นักงานน้ี เทากบั 3,200 บาท 9. จากขณะท่ีนักดําน้ําอยูท่ีความลกึ 40 ฟุต เม่ือความดันนํ้าทะเลเพิ่มข้นึ 0.45 psi ทุก ๆ ความลึก หน่ึงฟุต และความดันทผี่ ิวน้ําทะเลประมาณ 14.7 psi จะได=วา a 0=.45, x 40 และ b =14.7 นั่นคอื f ( x) = 0.45(40) +14.7 = 32.7 psi ดงั นัน้ ความดันน้าํ ทะเลที่ความลกึ 40 ฟตุ เปน 32.7 psi สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

192 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 10. 1) ให f (x=) mx + b เปนฟงกช ันรายไดข องพนักงานบรษิ ัทแหง นี้ เมื่อไดคา เบยี้ เล้ยี ง และคาพาหนะ b บาท และไดคา นายหนา รอ ยละ m ของยอดขาย จากโจทย กนกและอานันท มียอดขาย 200,000 บาท และ 150,000 บาท ตามลาํ ดับ จากคานายหนา รอยละ m จะไดว า มยี อดขาย 100 บาท จะไดคานายหนา m บาท ถา กนกมยี อดขาย 200,000 บาท จะไดคา นายหนา m ⋅ 200,000 = 2,000m บาท 100 และอานนั ทม ยี อดขาย 150,000 บาท จะไดคา นายหนา m ⋅150,000 =1,500m บาท 100 จากโจทย กนกและอานันท ไดรับเงินจากบริษัท 34,000 บาท และ 28,000 บาท ตามลาํ ดับ จะไดวา 34,000 = 2,000m + b ---------- (1) 28,000 = 1,500m + b ---------- (2) จาก (1) และ (2) จะได 6,000 = 500m m = 12 ดังนัน้ บรษิ ทั จายคานายหนา ใหก บั พนักงานรอยละ 12 2) จาก 34,000 = 2,000m + b และ m = 12 จะได 34,000 = 2,000(12) + b b = 10,000 ดงั นนั้ บริษทั จา ยคาเบ้ยี เลยี้ งและคาพาหนะใหก ับกนกและอานันทเปน เงินคนละ 10,000 บาท 3) ฟงกชนั แสดงรายไดท ่ีพนักงานไดร บั แตละเดือน คอื f=(x) 12 x +10,000 100 เม่อื x คือ ยอดขายทพี่ นักงานแตล ะคนขายได 11. 1) ให s(t) เปน ระยะทางทรี่ ถไฟแลน ไดใ น t ชวั่ โมง เนอื่ งจากรถไฟสายเหนือแลนดวยอตั ราเร็วเฉล่ีย 50 กโิ ลเมตรตอชั่วโมง จะได s(t) = 50t เมือ่ t ≥ 0 และเขยี นกราฟของ s(t) ไดดังน้ี สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 193 2) ในท่นี ้ี t = 5 จะได s (5) = 50(5) = 250 ดงั นั้น ระยะทางจากสถานีรถไฟหวั ลาํ โพงถึงสถานีนครสวรรค เทา กบั 250 กโิ ลเมตร 12. 1) ให y เปน จาํ นวนชน้ิ ของขนมท่ขี ายได เม่ือ x เปน ราคาขนม (x > 35) น่นั คือ ราคาขนมเพิม่ ขึน้ x − 35 บาท จะทําใหขายขนมไดล ดลง 2(x − 35) ชิน้ จะได y = 100 − 2( x − 35) = 100 − 2x + 70 = 170 − 2x ดังนัน้ สมการแสดงความสัมพันธข องจํานวนช้ินที่ขายไดกบั ราคาขนม คือ=y 170 − 2x เม่อื y เปน จํานวนชน้ิ ของขนมท่ีขายได และ x เปนราคาขนม 2) ให f (x) แทนฟง กชันแสดงจํานวนเงนิ ทข่ี ายไดทง้ั หมด เม่ือ x เปน ราคาขนม จะได f ( x) = (170 − 2x) x = 170x − 2x2 ดังนั้น ฟงกชนั แสดงจํานวนเงินท่ีขายไดทัง้ หมด คือ f=(x) 170x − 2x2 เมอ่ื x เปน ราคาขนม สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

194 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 3) ให f ( x) = 3,000 จะได 3,000 = 170x − 2x2 2x2 −170x + 3,000 = 0 x2 − 85x +1,500 = 0 ( x − 25)( x − 60) = 0 นน่ั คอื x = 25 หรือ x = 60 เนื่องจาก x เปน ราคาขาย ซ่งึ มีคามากกวา 35 บาท จะได x = 60 ดังนนั้ ถา พิภพตอ งการใหมีรายไดจ ากการขายขนมวนั ละ 3,000 บาท เขาจะตอง ขายขนมราคาชิ้นละ 60 บาท 4) จาก f=( x) 170x − 2x2 เขยี นใหอยูในรูป a(x − h)2 + k ไดด งั นี้ f (x) = −2  x2 − 85x +  85 2  + 7, 225   2   2 = −2  x − 85 2 + 7, 225  2  2 จะได a =−2, h =85 และ k = 7,225 22 เนอ่ื งจาก a < 0 น่ันคอื กราฟของฟงกช นั f จะควํา่ ลงและมีจดุ ยอดทจ่ี ุด  85 , 7225  หรอื (42.5, 3612.5)  2 2  แตเนอ่ื งจากพอคาคนนเี้ พม่ิ ราคาขายช้นิ ละ 1 บาท จึงพิจารณาคา x ที่ 42 และ 43 ถา x = 42 จะไดวา f (42) = 3,612 และถา x = 43 จะไดว า f (43) = 3,612 ดังน้นั ตองขายขนมราคาชิ้นละ 42 หรือ 43 บาท จงึ จะมรี ายไดส งู สดุ 3,612 บาท 13. 1) ให x แทนความกวา งของรูปสี่เหลย่ี มมุมฉาก y แทนความยาวของรปู สเี่ หลี่ยมมุมฉาก และ A(x) แทนฟง กชนั แสดงพ้นื ที่ของรูปสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉาก เนือ่ งจากรว้ั ท้ังหมดยาว 120 เมตร จะได 2x + y = 120 y = 120 − 2x สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 195 พื้นท่ีของรูปสีเ่ หล่ียมมุมฉากนี้ คอื xy = x(120 − 2x) = 120x − 2x2 จะได A=( x) 120x − 2x2 ดังนน้ั ฟง กชันแสดงพ้ืนที่ของรูปส่เี หลย่ี มมมุ ฉากทีไ่ ดจ ากการลอ มรวั้ คอื A=(x) 120x − 2x2 เม่อื x แทนความกวา งของรปู สเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก 2) จาก A=( x) 120x − 2x2 เขียนใหอ ยูในรูป a(x − h)2 + k ไดด งั นี้ ( )A( x) = −2 x2 − 60x + 900 +1,800 = −2( x − 30)2 +1,800 จะได a =−2, h =30 และ k =1,800 เน่ืองจาก a < 0 นน่ั คอื กราฟของฟงกช ัน A จะควาํ่ ลงและมจี ดุ ยอดทีจ่ ดุ (30,1800) ดังนน้ั พืน้ ทที่ ่ีมากท่สี ุดทจี่ ะลอมรั้วไดเปน 1,800 ตารางเมตร 14. พื้นที่ 30 ไร เทากับ 48,000 ตารางเมตร ให x แทนความกวางของพื้นที่รูปสเี่ หลยี่ มมมุ ฉาก y แทนความยาวของพื้นท่ีรปู ส่ีเหลย่ี มุมฉาก จะได xy = 48,000 น่ันคอื y = 48,000 x คาใชจ ายในการลอมร้ัวคือ 2x(1,200) + 2y(1,000) = 2, 400x + 2,000 y = 2, 400x + 2, 000  48, 000   x  = 2, 400  x + 40, 000   x  = 2, 400  ( ) x 2 − 400 +  200 2  + 400    x     ( ) ( ) 2 x  200  +  200 2  + 400   x   x    = 2, 400  x −2  = 2, 400   x − 200 2 + 400    x   สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

196 คูม อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 ให f (x) = 2,   x − 200 2 + 400  400   x   จะได f (x) มีคา ตา่ํ สดุ เม่ือ x − 200 =0 x นั่นคอื x = 200 และ y = 240 ดงั นน้ั จะตองลอมรั้วใหมคี วามกวา ง 200 เมตร และยาว 240 เมตร จงึ จะเสีย คาใชจ า ยนอยทสี่ ดุ และคาใชจ า ยนอ ยทส่ี ุดเปน 960,000 บาท 15. 1) ให f (x) แทนฟง กช ันแสดงอุณหภูมิที่มีหนวยเปน องศาฟาเรนไฮต เม่ือ x แทนอณุ หภูมิที่มีหนวยเปน องศาเซลเซียส เนอื่ งจาก f (x) เปน ฟง กชันเชิงเสน จะได f (x=) ax + b เมอ่ื a และ b เปนคาคงตวั จากจุดเยอื กแข็งของน้าํ บริสทุ ธิ์ คอื 0°C หรอื 32°F จะได f (0) = 32 แทน x ดว ย 0 ใน f ( x=) ax + b จะได f (0) = a(0) + b = b เนอื่ งจาก f (0) = 32 จะได b = 32 ดังนัน้ f ( x=) ax + 32 จากจดุ เดือดของนํา้ บริสุทธ์ิ คือ 100°C หรอื 212°F จะได f (100) = 212 แทน x ดวย 100 ใน f ( x=) ax + 32 จะได จะได f (100) = a(100) + 32 = 100a + 32 เนื่องจาก f (100) = 212 จะได 100a + 32 =212 นัน่ คอื a = 9 5 จะไดว า f (=x) 9 x + 32 5 ดงั นั้น ฟงกชนั แสดงอุณหภูมทิ ม่ี ีหนวยเปน องศาฟาเรนไฮต เมือ่ x แทนอุณหภมู ทิ ่ี มีหนว ยเปนองศาเซลเซยี ส คือ f (=x) 9 x + 32 5 2) ให g (x) แทนฟง กช ันแสดงอุณหภูมิทห่ี นวยเปนองศาเซลเซียส เมื่อ x แทนอุณหภูมทิ ี่มหี นวยเปนองศาฟาเรนไฮต เนื่องจาก g (x) เปน ฟง กชันเชงิ เสน จะได g (x=) ax + b เมอื่ a และ b เปนคาคงตัว จากจดุ เยือกแข็งของน้ําบริสทุ ธ์ิ คือ 0°C หรอื 32°F จะได g (32) = 0 แทน x ดวย 32 ใน g ( x=) ax + b จะได สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 197 g (32) = 32a + b เนื่องจาก g (32) = 0 จะได= 0 32a + b นน่ั คอื b = −32a ดังน้นั g ( x) =ax − 32a =a( x − 32) จากจุดเดือดของน้ําบรสิ ทุ ธิ์ คือ 100°C หรอื 212°F จะได g (212) =100 แทน x ดวย 212 ใน g (=x) a( x − 32) จะได g (212) = a (212 − 32) = 180a เน่ืองจาก g (212) =100 จะได 180a =100 นนั่ คอื a = 5 9 จะไดว า g (=x) 5 ( x − 32) 9 ดังน้นั ฟงกช นั แสดงอุณหภมู ทิ ่มี ีหนวยเปนองศาเซลเซียส เมอื่ x แทนอณุ หภมู ทิ ี่ มีหนว ยเปน องศาฟาเรนไฮต คือ g (=x) 5 (x − 32) 9 3) จาก f (=x) 9 x + 32 และ g (=x) 5 ( x − 32) 59 เขียนกราฟไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

198 คูม ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 จะเห็นวา กราฟของ f และ g เปนภาพสะทอนของกันและกนั โดยมีเสนตรง y = x เปนเสน สะทอ น 4) ถา วดั อุณหภมู ิของน้ําบริสทุ ธไ์ิ ด 117°F นั่นคือ แทน x ดวย 117 ใน g (=x) 5 ( x − 32) จะได 9 g (117) = 5 (117 − 32) ≈ 47.22 9 ดังนัน้ ถา อุณหภูมิของน้าํ บรสิ ุทธิ์วัดได 117°F จะคดิ เปน 47.22°C โดยประมาณ 5) ถา วัดอณุ หภูมิของนํ้าบรสิ ทุ ธไิ์ ด 30°C นั่นคือ แทน x ดวย 30 ใน f (=x) 9 x + 32 จะได 5 f (30) = 9 (30) + 32 = 86 5 ดังนั้น ถาอุณหภูมขิ องนาํ้ บริสุทธวิ์ ัดได 30°C จะคดิ เปน 86°F 16. 1) ให x แทนความยาวดา นของรูปสีเ่ หลยี่ มจัตรุ ัสท่ีตดั ออก (น้ิว) และ V (x) แทนปริมาตรของกลอง จากกลอ งที่พับมคี วามยาว 15 − 2x นว้ิ ความกวา ง 10 − 2x นิว้ และสูง x น้วิ จะได V ( x) = (10 − 2x)(15 − 2x) x ดงั นนั้ ฟงกช ันแสดงความจุของกลอง เม่ือ x แทนความยาวดานของรปู ส่เี หล่ยี มจตั รุ สั ท่ีถกู ตัดออก คือ V ( x) =(10 − 2x)(15 − 2x) x 2) เน่ืองจาก กลอ งกวาง 10 − 2x นว้ิ และยาว 15 − 2x นวิ้ จะได 10 − 2x > 0 และ 15 − 2x > 0 นนั่ คือ x < 5 และ x < 15 2 น่ันคอื 0 < x < 5 ดงั นน้ั โดเมนของฟงกชนั V (x) คือ {x 0 < x < 5} สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 199 3) เนอ่ื งจาก โดเมนของ V (x) คือ {x 0 < x < 5} และ x เปนจาํ นวนเตม็ ดงั นั้น x ∈{1, 2, 3, 4} จะได V (1) = (10 − 2(1))(15 − 2(1))(1) = 104 V (2) = (10 − 2(2))(15 − 2(2))(2) = 132 V (3) = (10 − 2(3))(15 − 2(3))(3) = 108 V (4) = (10 − 2(4))(15 − 2(4))(4) = 56 ดังน้นั กลองจะมีความจมุ ากท่ีสุด เม่อื x เปน 2 และมคี วามจุ 132 ลกู บาศกนิว้ 4) เขียนกราฟของฟงกชนั V (x) ไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 5) ในการหาคา x ท่ที ําใหก ลองมีปริมาตรเทากับ 100 ลูกบาศกนว้ิ สามารถทําไดโ ดยเขียนเสนตรง y =100 ลงในกราฟขอ 4) จะไดจ ุดตัด ดังรปู ดังนน้ั กลองจะมีความจุ 100 ลกู บาศกนวิ้ เม่ือดา นของรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั ยาว ประมาณ 0.94 น้วิ หรอื 3.18 นวิ้ 17. เขียนฟงกชันในรปู f (x) เม่ือ x แทนระยะเวลาที่จอด และ f (x) แทนคาบรกิ าร จอดรถในสนามบนิ แหงน้ี ดงั นี้ 35 ; 0 < x ≤ 1.1 55 ;1.1 < x ≤ 2.1 75 ; 2.1 < x ≤ 3.1 f ( x) = 95 ; 3.1 < x ≤ 4.1 ; 4.1 < x ≤ 5.1 115     เขยี นกราฟไดดังนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 201 18. เขียนฟงกชนั ในรปู f (x) เมอ่ื x แทนระยะเวลาในการจอดรถท่ีอาคารจอดรถแหง นี้ ในหนว ยช่วั โมง และ f (x) แทนอัตราคาบรกิ ารจอดรถของอาคารจอดรถแหงนี้ใน หนวยบาท ดงั น้ี 0 ;0< x≤3 30 ;3< x≤4 60 ;4< x≤5  ;5< x≤6 ;6< x≤7 =f ( x) 19200 ;7< x≤8 ;8< x≤9 150 ; 9 < x ≤ 10 200 250    เขียนกราฟไดดังน้ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 19. เขยี นฟงกช ันในรูป f (x) เมอื่ x แทนระยะทาง และ f (x) แทนคา โดยสาร ดงั น้ี 35 ; 0 < x < 1.01 38 ;1.01 ≤ x < 1.11 41 ;1.11 ≤ x < 1.21 f ( x ) = 44 ;1.21 ≤ x < 1.31 ;1.31 ≤ x < 1.41 47     20. ในทนี่ ี้ x = 6 จะไดจ ํานวนประชากรใน พ.ศ. 2565 คือ 86(1.021)6 ≈ 97.42 ลา นคน 21. ในทีน่ ้ี x =12 จะไดจ ํานวนแบคทีเรยี เมื่อเวลาผา นไป 12 ชั่วโมง คือ 12 25,000(1.125)4 ≈ 40,045 เซลล 25=,000(1.125) 3 22. 1) ความสัมพนั ธร ะหวา งจํานวนสินคา ทซ่ี อื้ และคาใชจ ายทง้ั หมดมีกราฟเปนเสน ตรง เพราะสนิ คาทกุ ชน้ิ ในรานมรี าคาเทา กัน อัตราการเพิ่มของคาใชจา ยจงึ เพิ่มตาม จาํ นวนสนิ คา ท่ซี อ้ื เพ่มิ มากขึ้นเปน อัตราคงที่ 2) จากโจทย จะไดจ ุด (26, 880) และ (30, 1000) อยูบ นกราฟเสน ตรง ซึง่ จะไดก ราฟมลี ักษณะดังรูป สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 203 3) ในการหาคา ใชจา ยท้ังหมด เมื่อซื้อสินคา 10 ช้ิน สามารถทําไดโดย เขียนเสนตรง x =10 ลงในกราฟขอ 2) จะไดจ ดุ ตัดดังรูป ดงั นั้น เมื่อซ้ือสนิ คา 10 ชนิ้ จะเสยี คาใชจา ยทั้งหมด 400 บาท สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

204 คูมือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 4) เน่อื งจากซ้ือสินคา 26 ชิน้ มีคา ใชจายทัง้ หมด 880 บาท โดยมีคาสง สนิ คา 100 บาท นั่นคอื คาสนิ คา 26 ชิน้ ทไี่ มร วมคาสง เปนเงนิ 780 บาท ดงั น้ัน สินคา ราคาชน้ิ ละ 780 = 30 บาท 26 5) ให f (x) แทนฟง กชันแสดงคา ใชจา ยทั้งหมด เม่ือซ้ือสินคา x ชิน้ จากสนิ คา ราคาชิ้นละ 30 บาท และคิดคาสงสินคา แตล ะคร้ัง 100 บาท จะได f (=x) 30x +100 ดังน้นั ฟง กช ันแสดงคาใชจ ายท้ังหมด คือ f (=x) 30x +100 เม่อื ซอื้ สนิ คา x ชน้ิ 6) ถามีเงนิ 3,000 บาท แสดงวา f ( x) = 3,000 จะได 3,000 = 30x +100 x ≈ 96.67 นนั่ คือ ถามเี งนิ 3,000 บาท จะซอ้ื สนิ คาไดมากท่ีสุด 96 ชิน้ 23. 1) จากโจทย จะไดจุด (1, 500), (3, 1300) และ (6, 2500) อยูบนกราฟ ซึง่ สามารถเขยี นกราฟไดดังนี้ จะไดว าความสมั พนั ธระหวา งเวลาและระยะทางทเ่ี คร่ืองบินลาํ น้บี ินไดม ีกราฟเปน เสนตรง เพราะเคร่ืองบนิ ลํานี้บนิ ดวยอตั ราเร็วคงที่ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 205 2) ในการหาระยะทางที่เคร่ืองบินลํานบ้ี นิ ได เม่ือเวลาผานไป 2 ช่วั โมง สามารถทาํ ไดโ ดย เขียนเสนตรง x = 2 ลงในกราฟขอ 1) จะไดจดุ ตัดดังรปู ดงั น้นั เมอ่ื เครอื่ งบินบินดวยอัตราเรว็ คงทีเ่ ปน เวลา 2 ช่วั โมง จะบินไดระยะทาง 900 กิโลเมตร 3) ให f (x) แทนฟง กช ันแสดงระยะทางทเี่ คร่ืองบินลาํ นบ้ี ินได เมอื่ บนิ ดวยอัตราเร็วคงท่ี เปนเวลา x ชว่ั โมง จาก f (x) เปนฟงกชันเชิงเสน จะได f (x=) ax + b เม่อื a และ b เปน คา คงตัว จากเคร่ืองบนิ บินดวยอตั ราเร็วคงท่ีเปนเวลา 1 และ 3 ชว่ั โมง จะบินไดระยะทาง 500 และ 1,300 กิโลเมตร ตามลาํ ดับ แทน x ดวย 1 ใน f ( x) จะได f (1) = a(1) + b = a + b จาก f (1) = 500 จะได 500 = a + b --------- (1) และแทน x ดวย 3 ใน f ( x) จะได f (3) = a(3) + b = 3a + b จาก f (3) =1,300 จะได 1,300 = 3a + b --------- (2) จาก (1) และ (2) จะได a = 400 และ b =100 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

206 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 จะได f=( x) 400x +100 ดังน้นั ฟง กช นั แสดงระยะทางท่เี ครือ่ งบนิ ลํานี้บินได คอื f=(x) 400x +100 เมือ่ บินดวยอัตราเรว็ คงทเ่ี ปนเวลา x ช่ัวโมง 4) ระยะทางทัง้ หมดกอนท่ีเครอื่ งบนิ จะบินดวยอัตราเร็วคงที่ คือ 100 กิโลเมตร 24. 1) จากโจทย จะไดจุด (1, 5), (3, 15) และ (5, 25) อยูบ นกราฟ ซึง่ สามารถเขยี นกราฟไดดงั น้ี จะไดวา ความสมั พันธระหวา งเวลาและความสงู ของระดับนาํ้ ในบอ เปนกราฟเสน ตรง เพราะ ภานุเปด นํ้าใสบ อดว ยอัตราเรว็ คงที่ 2) ในการหาความสงู ของระดับน้ําในบอ เมื่อเปดนาํ้ ดว ยอตั ราเร็วคงที่ 7 นาที สามารถทําไดโ ดย เขียนเสน ตรง x = 7 ลงในกราฟขอ 1) จะไดจุดตดั ดังรปู สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 207 ดังนนั้ ถา เปด น้ําดว ยอัตราเร็วคงที่เปนเวลา 7 นาที ความสงู ของระดับนํา้ ในบอสูง 35 เซนติเมตร 3) ให f (x) แทนฟงกช ันแสดงความสงู ของระดบั น้ําในบอ เม่ือเปดนํา้ ดว ยอัตราเรว็ คงท่ี เปน เวลา x นาที จะได f ( x) = 5x ดังนน้ั ฟงกช นั แสดงความสูงของระดับนํ้าในบอ คือ f (x) = 5x เมื่อเปดนา้ํ ดวยอัตราเร็ว คงที่เปน เวลา x นาที 4) เมื่อเปด นา้ํ ดว ยอัตราเรว็ คงทเ่ี ปน เวลา 23 นาที จะได ความสงู ของระดับนาํ้ ในบอเปน 5(23) =115 เซนติเมตร ดงั นนั้ นาํ้ ไมลนบอ และระดับนาํ้ อยูตาํ่ กวาขอบบอ 15 เซนติเมตร 5) ถานา้ํ เตม็ บอ แสดงวา f (x) =130 จะได 5x = 130 x = 26 ดงั น้นั ตอ งเปดนํ้าดว ยอัตราเร็วคงทเี่ ปนเวลา 26 นาที น้าํ จงึ จะเต็มบอ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

208 คมู ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 25. 1) จากโจทย จะไดจ ุด (1, 1), (2, 3), (3, 7) และ (4, 15) อยูบนกราฟ ซงึ่ สามารถเขียนกราฟไดดังนี้ จะไดวา ความสัมพันธระหวา งเวลาทผี่ านไปและน้ําหนักทเี่ พิ่มขึน้ มีกราฟใกลเคยี ง กบั กราฟของฟงกช ันเอกซโ พเนนเชียล การเพ่ิมขึ้นในชวงแรกน้ําหนกั ทเี่ พม่ิ ขึ้นมี อัตราการเพิ่มข้ึนอยางชา ๆ แตเ ม่อื เวลาผานไปนํ้าหนกั ทเี่ พิ่มข้ึนมีอตั ราการเพม่ิ ข้นึ อยางรวดเรว็ 2) ในการหานา้ํ หนักทีเ่ พิ่มขึน้ เม่ือเวลาผา นไป 5 เดอื น สามารถทาํ ไดโดย เขยี นเสนตรง x = 5 ลงในกราฟขอ 1) จะไดจ ุดตัดดังรปู สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 209 ดังนัน้ เม่อื เวลาผา นไป 5 เดือน นํา้ หนักของเพรียวจะเพม่ิ ขึ้น 31 กโิ ลกรมั 3) ให f (x) แทนฟง กช ันแสดงนํ้าหนักที่เพม่ิ ข้นึ ของเพรียว เมอื่ เวลาผานไป x เดอื น จะไดวา f ( x=) 2x −1 ดงั นนั้ ฟงกชันแสดงน้ําหนักที่เพม่ิ ข้นึ ของเพรยี ว คือ f (x=) 2x −1 เม่ือเวลาผานไป x เดือน 4) เม่อื เวลาผา นไป 7 เดอื น นํา้ หนกั ของเพรียวจะเพ่ิมข้ึน 27 −1=127 กิโลกรัม ดงั นั้น เมอ่ื เวลาผา นไป 7 เดือน เพรียวจะหนัก 167 กโิ ลกรัม 5) น้ําหนักของเพรยี วจะมากกวา 100 กิโลกรัม เมื่อนาํ้ หนักที่เพิ่มขึน้ ของเพรยี วมากกวา 60 กโิ ลกรมั น่นั คือ f ( x) ≥ 60 จะได 2x −1 ≥ 60 2x ≥ 61 เนอ่ื งจาก 25 = 32 และ 26 = 64 ดงั น้ัน นา้ํ หนกั ของเพรียวจะมากกวา 100 กิโลกรมั เม่ือเวลาผานไป 6 เดือน 26. 1) จากโจทย จะไดจ ุด (1, 900000),(2, 810000), (3, 729000) และ (4, 656100) อยูบนกราฟ ซงึ่ สามารถเขยี นกราฟไดดงั นี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

210 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 จะไดว า ความสัมพันธระหวา งเวลาทผ่ี า นไปและราคารถยนตมีกราฟใกลเ คยี งกับ กราฟของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล เพราะ ในชว งแรกราคารถยนตล ดลงอยาง รวดเร็ว แตเมื่อเวลาผานไปราคารถยนตลดลงดว ยอัตราท่ลี ดลง 2) ในการหาเวลาทผ่ี านไป เมื่อราคาของรถยนตเหลือนอ ยกวาครึง่ หนึง่ ของราคาที่ซ้ือมา สามารถทําไดโดย เขยี นเสนตรง y = 500,000 ลงในกราฟขอ 1) จะไดจุดตัดดังรูป สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 211 ดงั นน้ั ราคาของรถยนตจ ะนอยกวา ครงึ่ หน่งึ ของราคาท่ซี ้ือมา เม่อื เวลาผานไป 7 ป 3) ให f (x) แทนฟง กช ันแสดงราคารถยนต เม่อื เวลาผานไป x ป จะได f ( x) = 1,000,000(0.9)x ดังนัน้ ฟงกช นั แสดงราคารถยนต คือ f ( x) =1,000,000(0.9)x เม่ือเวลาผานไป x ป 4) แทน x ดวย 7 ใน f ( x) =1,000,000(0.9)x ได =f (7) 1,000,000(0.9)7 ≈ 478, 296.90 ดงั นน้ั เมือ่ เวลาผา นไป 7 ป ราคารถยนตจ ะเหลือประมาณ 478,296.90 บาท 5) ถา ตอ งการใหราคาของรถยนตน อยกวา 300,000 บาท นน่ั คอื f ( x) < 300,000 จะได 1,000,000(0.9)x < 300,000 (0.9)x < 0.3 เนื่องจาก (0.9)11 ≈ 0.3138 และ (0.9)12 ≈ 0.2824 ดังนน้ั ราคาของรถยนตจะนอยกวา 300,000 บาท เม่ือเวลาผา นไป 12 ป 27. 1) ณ เวลา 07:00 น. มผี ูใ ชบ รกิ ารศนู ยออกกําลังกาย A จาํ นวน 84 คน มีผูใชบริการศูนยออกกาํ ลงกาย B จํานวน 108 คน สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

212 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 และมผี ใู ชบรกิ ารศนู ยอ อกกาํ ลังกาย C จาํ นวน 100 คน 2) ศนู ยออกกาํ ลงั กาย A และ B มีผูใชบ รกิ ารเทา กนั ในเวลา 09:00 น. และ 19:00 น. โดย ณ เวลา 09:00 น. มีผใู ชบ รกิ าร 96 คน และเวลา 19:00 น. มีผใู ชบรกิ าร 36 คน 3) ศนู ยออกกําลงั กาย B มีผใู ชบริการมากทสี่ ุด ณ เวลา 07:00 น. 4) ณ เวลา 09:00 น. ศนู ยอ อกกําลงั กาย C มีจํานวนผูใชบรกิ ารนอ ยกวาศูนย ออกกาํ ลังกาย A และ B อยู 96 − 40 =56 คน 5) ศูนยออกกาํ ลังกาย A มผี ูใชบ รกิ าร ณ เวลา 07:00 น. จาํ นวน 84 คน และเพิม่ มากขึน้ เรือ่ ย ๆ จนมากทีส่ ุด ในเวลา 11:00 น. และหลังจากน้ันผใู ชบริการมจี ํานวนลดลง จนถงึ เวลา 21:00 น. จึงไมมีผูใ ชบ ริการ ศูนยออกกําลังกาย B มีผูใชบ ริการ ณ เวลา 07:00 น. จํานวน 108 คน และจํานวน ผใู ชบรกิ ารลดลงจนถึงเวลา 21:00 น. ดวยอัตราคงที่ โดย ณ เวลา 21:00 น. มี ผใู ชบรกิ ารจํานวน 24 คน ศนู ยออกกําลังกาย C มีผใู ชบรกิ าร ณ เวลา 07:00 น. จาํ นวน 100 คน และจาํ นวน ผูใชบรกิ ารลดลงอยางรวดเร็วจนถงึ เวลา 14.00 น. และหลงั จากน้นั ผใู ชบ ริการมี จํานวนคงที่จนถงึ เวลา 21.00 น. 28. 1) เขียนกราฟของฟงกชันอุปสงค D( p) และฟงกชันอุปทาน S ( p) ไดดงั นี้ ปรมิ าณมันสาํ ปะหลัง (กโิ ลกรมั ) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 213 จากกราฟ จะเห็นวาจุดที่กราฟของฟงกชนั อปุ สงคตัดกับกราฟของฟง กชนั อุปทาน คือ จดุ ดุลยภาพ 2) เนอ่ื งจากราคาดุลยภาพจะเกิดข้นึ เมื่ออุปสงคเ ทากบั อปุ ทาน น่นั คอื D( p) = S ( p) จะได 150 − 2 p = 3p + 75 75 = 5 p p = 15 ดงั นัน้ ราคาดุลยภาพ คือ 15 บาทตอ กโิ ลกรัม 3) จากกราฟ เมอื่ พิจารณาราคาขายท่นี อ ยกวา 15 บาทตอ กโิ ลกรมั จะไดวาอปุ ทานนอยกวาอุปสงค น่นั คอื ปรมิ าณความตองการขายมันสําปะหลงั นอยกวา ปรมิ าณความตองการซ้ือ มันสาํ ปะหลงั ดังน้ัน ถา ผคู ามนั สาํ ปะหลงั ตง้ั ราคาต่าํ กวา ราคาดลุ ยภาพ จะทาํ ใหมันสาํ ปะหลงั ไมเ พียงพอตอการซ้ือ 4) จากกราฟ เม่อื พจิ ารณาราคาขายที่มากกวา 15 บาทตอกิโลกรัม จะไดว า อปุ ทานมากกวา อุปสงค นั่นคือ ปรมิ าณความตองการขายมนั สําปะหลังมากกวาปริมาณความตอ งการซื้อ ดังน้นั ถา ตง้ั ราคาขายสงู กวา ราคาดุลยภาพจะทําใหมมี นั สําปะหลงั เหลือจากการขาย สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

214 คูมอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 บทที่ 3 ลําดบั และอนุกรม แบบฝกหัด 3.1.1 1. 1) แทน n ใน a=n 2n + 5 ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได สพ่ี จนแรกของลาํ ดบั ดังนี้ a1 = 2(1) + 5 = 7 a2 = 2(2) + 5 = 9 a3 = 2(3) + 5 = 11 a4 = 2(4) + 5 = 13 ดงั นั้น สพ่ี จนแรกของลาํ ดับนี้ คอื 7, 9,11 และ 13 2) แทน n ใน an =  1 n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแรกของลําดับดังน้ี  2  a1 =  1 1 = 1  2  2 a2 =  1 2 = 1  2  4 a3 =  1 3 = 1  2  8 a4 =  1 4 = 1  2  16 ดงั น้นั สพ่ี จนแ รกของลําดับนี้ คอื 1 , 1 , 1 และ 1 2 4 8 16 3) แทน n ใน an = (−2)n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับดังนี้ a1 = (−2)1 = −2 a2 = (−2)2 = 4 a3 = (−2)3 = −8 a4 = (−2)4 = 16 ดงั นัน้ ส่พี จนแรกของลําดับนี้ คอื −2, 4, − 8 และ 16 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 215 4) แทน n ใน an = n +1 ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได สพี่ จนแ รกของลาํ ดับดังน้ี n a1 = 1+1 = 2 1 a2 = 2+1 = 3 22 a3 = 3+1 = 4 33 a4 = 4+1 = 5 44 ดงั น้ัน สี่พจนแ รกของลําดับน้ี คือ 2, 3 , 4 และ 5 23 4 5) แทน n ใน 1+ (−1)n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแ รกของลาํ ดบั ดังน้ี an = n 1+ (−1)1 1−1 =0 1 a1 = 1 = 1+ (−1)2 1+1 =1 2 a2 = 2 = 1+ (−1)3 1−1 =0 3 a3 = 3 = 1+ (−1)4 1+1 =1 4 2 a4 = 4 = ดงั น้ัน ส่พี จนแรกของลําดับนี้ คอื 0,1, 0 และ 1 2 6) แทน n ใน an = 2n ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแ รกของลาํ ดบั ดังน้ี 3n a1 = 21 = 2 31 3 a2 = 22 = 4 32 9 a3 = 23 = 8 33 27 a4 = 24 = 16 34 81 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

216 คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 ดังนน้ั ส่พี จนแรกของลาํ ดับนี้ คือ 2 , 4 , 8 และ 16 3 9 27 81 7) แทน n ใน an =(n −1)(n +1) ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได สพ่ี จนแรกของลําดบั ดังน้ี a1 = (1−1)(1+1) = 0(2) = 0 a2 = (2 −1)(2 +1) = 1(3) = 3 a3 = (3 −1)(3 +1) = 2(4) = 8 a4 = (4 −1)(4 +1) = 3(5) = 15 ดังนน้ั สพ่ี จนแรกของลาํ ดับน้ี คือ 0, 3, 8 และ 15 8) แทน n ใน an =n(n −1)(n − 2) ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแ รกของลาํ ดับดังน้ี a1 = 1(1−1)(1− 2) = 1(0)(−1) = 0 a2 = 2(2 −1)(2 − 2) = 2(1)(0) = 0 a3 = 3(3 −1)(3 − 2) = 3(2)(1) = 6 a4 = 4(4 −1)(4 − 2) = 4(3)(2) = 24 ดงั นน้ั ส่ีพจนแ รกของลําดับน้ี คือ 0, 0, 6 และ 24 2. เนื่องจากจํานวนเต็มบวกที่หารดว ย 2 และ 7 ลงตัว คอื จาํ นวนเตม็ บวกที่หารดวย 14 ลงตวั ซ่งึ เขียนเปน ลําดบั ไดด งั น้ี an =14n เมื่อ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก ดังนน้ั เจ็ดพจนแ รกของลาํ ดับของจาํ นวนเต็มบวกทีห่ ารดวย 2 และ 7 ลงตัว โดยเรยี งจาก นอยไปมาก คือ 14, 28, 42, 56, 70, 84 และ 98 แบบฝก หัด 3.1.2 1. 1) จาก a1 = 2 และ d = 4 จะได a2 = a1 + d = 2 + 4 = 6 a3 = a2 + d = 6 + 4 = 10 a4 = a3 + d = 10 + 4 = 14 ดงั นัน้ สพี่ จนแ รกของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คอื 2, 6,10 และ 14 2) จาก a1 = 3 และ d = 5 จะได a2 = a1 + d = 3 + 5 = 8 a3 = a2 + d = 8 + 5 = 13 a4 = a3 + d = 13 + 5 = 18 ดังนนั้ สี่พจนแรกของลําดับเลขคณิตน้ี คือ 3, 8,13 และ 18 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 217 3) จาก a1 = −3 และ d = 3 จะได a2 = a1 + d = −3 + 3 = 0 a3 = a2 + d = 0 + 3 = 3 a4 = a3 + d = 3 + 3 = 6 ดังน้นั สพ่ี จนแรกของลําดับเลขคณติ น้ี คอื −3, 0, 3 และ 6 4) จาก a1 = −4 และ d = 2 จะได a2 = a1 + d = −4 + 2 = −2 a3 = a2 + d = −2 + 2 = 0 a4 = a3 + d = 0 + 2 = 2 ดงั น้ัน สพ่ี จนแรกของลําดับเลขคณิตน้ี คือ −4, − 2, 0 และ 2 5) จาก a1 = 5 และ d = −2 จะได a2 = a1 + d = 5 + (−2) = 3 a3 = a2 + d = 3 + (−2) = 1 a4 = a3 + d = 1 + (−2) = −1 ดังนนั้ สพ่ี จนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ คอื 5, 3,1 และ −1 6) จาก a1 = −3 และ d = −4 จะได a2 = a1 + d = (−3) + (−4) = −7 a3 = a2 + d = (−7) + (−4) = −11 a4 = a3 + d = (−11) + (−4) = −15 ดังนัน้ สพี่ จนแรกของลําดับเลขคณิตน้ี คอื −3, − 7, −11 และ −15 7) จาก a1 = 1 และ d =1 จะได 2 2 a2 = a1 + d = 1+1 =1 22 a3 = a2 + d = 1+ 1 =3 2 2 a4 = a3 + d = 3+1 =2 22 ดงั นนั้ ส่ีพจนแ รกของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 1 ,1, 3 และ 2 22 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

218 คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 8) จาก a1 = 5 และ d = −3 จะได 2 2 a2 = a1 + d = 5 +  − 3  =1 2  2  a3 = a2 + d = 1 +  − 3  = −1  2  2 a4 = a3 + d =  − 1  +  − 3  = −2  2   2  ดงั นัน้ ส่ีพจนแ รกของลําดับเลขคณติ นี้ คือ 5 ,1, − 1 และ −2 22 2. 1) จาก a1 = 4, d = 3 และ an = a1 + (n −1)d จะได a3 = 4 + (3 −1)(3) = 4 + (2)(3) = 10 ดงั นั้น a3 =10 2) จาก a1 = 7, d = −3 และ an = a1 + (n −1)d จะได a12 = 7 + (12 −1)(−3) = 7 + (11)(−3) = −26 ดังนน้ั a12 = −26 3) จาก a1 = 4 , d= −1 และ an = a1 + (n −1)d จะได 5 a20 = 4 + (20 −1)(−1) 5 = 4 + (19)(−1) 5 = − 91 5 ดังนนั้ a20 = − 91 5 4) จาก a1 = 4, d = 1 และ an = a1 + (n −1)d จะได 2 a11 = 4 + (11 − 1)  1   2  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 219 a11 = 4 + (10)  1   2  =9 ดังนน้ั a11 = 9 3. 1) จากลาํ ดบั เลขคณติ 11,13,15,17,19, จะได d = 13 −11 = 2 และ a1 = 11 พจนท ่ี n ของลําดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 11+ (n −1)(2) = 11+ 2n − 2 = 9 + 2n ดงั นั้น พจนท ี่ n ของลําดบั เลขคณติ นี้ คือ 9 + 2n หรือ an= 9 + 2n 2) จากลําดบั เลขคณิต 7, 10, 13, 16, 19,  จะได d = 10 − 7 = 3 และ a1 = 7 พจนท ่ี n ของลาํ ดบั เลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 7 + (n −1)(3) = 7 + 3n − 3 = 4 + 3n ดงั นน้ั พจนท ่ี n ของลําดับเลขคณิตน้ี คือ 4 + 3n หรือ an= 4 + 3n 3) จากลาํ ดบั เลขคณิต 2, −1, − 4, − 7, −10,  จะได d =−1− 2 =−3 และ a1 = 2 พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 2 + (n −1)(−3) = 2 − 3n + 3 = 5 − 3n ดงั นน้ั พจนท่ี n ของลําดับเลขคณติ นี้ คือ 5 − 3n หรือ an= 5 − 3n 4) จากลาํ ดบั เลขคณิต 4, 2, 0, − 2, − 4,  จะได d =2 − 4 =−2 และ a1 = 4 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

220 คูม ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 พจนท ี่ n ของลําดบั เลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 4 + (n −1)(−2) = 4 − 2n + 2 = 6 − 2n ดงั นนั้ พจนท่ี n ของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คือ 6 − 2n หรือ an= 6 − 2n 5) จากลาํ ดบั เลขคณิต 0, 1 , 1, 3 , 2,  22 จะได d = 1 − 0 = 1 22 และ a1 = 0 พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 0 + ( n − 1)  1  2  = 0+1n−1 22 = −1+1n 22 ดังน้ัน พจนท ี่ n ของลําดบั เลขคณิตน้ี คือ −1 + 1n หรอื an =− 1 + 1n 2 2 2 2 6) จากลาํ ดับเลขคณติ 3 , 2, 5 , 3, 7 ,  222 จะได d =2 − 3 = 1 22 และ a1 = 3 2 พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เลขคณติ คอื an = a1 + (n −1)d จะได an = 3 + ( n − 1)  1  2  2  = 3+1n−1 22 2 = 1+ 1 n 2 ดังนั้น พจนท ่ี n ของลําดบั เลขคณติ นี้ คือ 1+ 1 n หรอื an = 1+ 1 n 2 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 221 4. 1) จาก a1 = 13 และ a2 = 25 จะได d = 25 −13 = 12 นัน่ คอื a3 = a2 + d = 25 +12 = 37 a4 = a3 + d = 37 + 12 = 49 a5 = a4 + d = 49 + 12 = 61 ดงั นนั้ พจนทข่ี าดหายไป คือ 37, 49 และ 61 ตามลําดบั 2) จาก a1 = 18, a3 = 11 และ an = a1 + (n −1) d จะได 11 = 18 + (3 −1)d d = −7 2 นน่ั คือ a2 = a1 + d = 18 +  − 7  = 29  2  2 a4 = a3 + d = 11 +  − 7  = 15  2  2 a5 = a4 + d = 15 +  − 7  = 4 2  2  ดังนน้ั พจนท ่ขี าดหายไป คือ 29 , 15 และ 4 ตามลําดับ 22 3) จาก a1 = 13, a5 = 33 และ an = a1 + (n −1) d จะได 33 = 13 + (5 −1)d d =5 นัน่ คือ a2 = a1 + d = 13 + 5 = 18 a3 = a2 + d = 18 + 5 = 23 a4 = a3 + d = 23 + 5 = 28 a6 = a5 + d = 33 + 5 = 38 ดังนั้น พจนท่ขี าดหายไป คอื 18, 23, 28 และ 38 ตามลําดบั 4) จาก a3 = 100, a6 = 142 และ an = a1 + (n −1)d จะได 100 = a1 + (3 −1) d ---------- (1) 142 = a1 + (6 −1) d ---------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d =14 และ a1 = 72 น่นั คือ a2 = a1 + d = 72 +14 = 86 a4 = a3 + d = 100 + 14 = 114 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คูม อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 a5 = a4 + d = 114 + 14 = 128 a7 = a6 + d = 142 + 14 = 156 ดังนน้ั พจนท ข่ี าดหายไป คอื 72, 86, 114, 128 และ 156 ตามลาํ ดบั 5. จากลาํ ดับเลขคณิต 3, 8, 13, 18, 23,  จะได d = 8 − 3 = 5 และ a1 = 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a15 = 3 + (15 −1)(5) = 3 + (14)(5) = 73 ดงั นัน้ พจนท่ี 15 ของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คอื 73 6. จากพจนที่ n คือ an =−n − 3 จะได a20 = −20 − 3 = −23 และ a50 = −50 − 3 = −53 ดงั น้นั พจนท ่ี 20 คอื −23 และพจนท่ี 50 คอื −53 7. จาก an = a1 + (n −1)d จะได 12 = a1 + (6 −1) d ---------- (1) 16 = a1 + (10 −1) d ---------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d =1 และ a1 = 7 ดังนน้ั พจนแ รกของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 7 8. จาก an = a1 + (n −1)d จะได 20 = a1 + (3 −1) d ---------- (1) 32 = a1 + (7 −1) d ---------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d = 3 และ a1 =14 นั่นคอื a25 = 14 + (25 −1)(3) = 14 + (24)(3) = 86 ดงั น้นั พจนท่ี 25 คือ 86 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 223 9. จาก an = a1 + (n −1)d จะได 16 = a1 + (2 −1) d ---------- (1) 116 = a1 + (12 −1) d ---------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d =10 และ a1 = 6 น่ันคือ an = 6 + (n −1)(10) = 6 +10n −10 = −4 +10n ดังนั้น an =−4 +10n และ d =10 10. ลาํ ดับเลขคณติ ที่กําหนดใหมี a1 = −1 และ d =−6 − (−1) =−5 จาก an = a1 + (n −1) d จะได −176 = −1+ (n −1)(−5) n = 36 ดงั นัน้ −176 เปนพจนที่ 36 ของลําดับเลขคณิตน้ี 11. ให a เปนพจนท ่ีอยูระหวาง 39 และ 51 จะได 39, a, 51 เปน ลาํ ดบั เลขคณติ นน่ั คอื a − 39 = 51− a 2a = 90 a = 45 ดงั น้นั พจนทีอ่ ยูระหวา ง 39 และ 51 คอื 45 12. จํานวนนบั ที่นอยท่ีสุดท่ีมากกวา 100 ซงึ่ หารดวย 13 ลงตวั คือ 104 เน่อื งจาก 1,000 หารดว ย 13 ไดผลหาร 76 เหลอื เศษ 12 ดงั นั้น จาํ นวนนับท่มี ากทส่ี ดุ ที่นอ ยกวา 1,000 ซ่ึงหารดว ย 13 ลงตวั คือ 1,000 −12 =988 จะไดวา ลําดับของจํานวนนบั ทอ่ี ยูระหวาง 100 ถึง 1,000 ซ่งึ หารดว ย 13 ลงตวั เปน ลาํ ดบั เลขคณิตทมี่ ีพจนแรกเปน 104 ผลตางรวมเปน 13 และพจนท่ี n เปน 988 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 988 = 104 + (n −1)(13) 988 = 91+13n 13n = 897 n = 69 ดงั นั้น จาํ นวนนับท่ีอยูระหวาง 100 ถึง 1,000 มีจํานวนที่หารดวย 13 ลงตวั ทั้งหมด 69 จาํ นวน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

224 คมู ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 13. เนือ่ งจาก a, 6a + 2, 8a +1 เปน สามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณิต จะได (6a + 2) − a = (8a +1) − (6a + 2) 5a + 2 = 2a −1 3a = −3 a = −1 นั่นคอื สามพจนแรก คอื −1, − 4, − 7 จะได a1 = −1 และ d =−4 − (−1) =−3 จาก an = a1 + (n −1)d จะได an = −1+ (n −1)(−3) = −1− 3n + 3 = 2 − 3n ดังนน้ั a = −1 และพจนทว่ั ไปคือ 2 − 3n หรอื an= 2 − 3n 14. เขยี นลาํ ดบั เลขคณติ แทนเงินเดอื นของสมศักดิ์ท่ีไดร บั ในแตละป ไดเปน 25000, 26000, 27000,, a7 ลําดบั ทีไ่ ดเ ปน ลาํ ดับเลขคณติ ท่ีมพี จนแ รกเปน 25,000 และผลตางรว มเปน 1,000 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a7 = 25,000 + (7 −1)(1,000) = 25,000 + (6)(1,000) = 31,000 ดงั นัน้ เมอื่ สมศกั ดิ์ทาํ งานได 6 ป จะไดร ับเงนิ เดือน 31,000 บาท 15. เขียนลําดับแทนราคาของรถยนตท ่ีบริษัทจะรับซื้อคืนในราคาทต่ี ่ํากวา ราคาทีซ่ ้ือจาก บริษทั ไดเ ปน 100000,170000, 240000,, a5 ลําดบั ที่ไดเปนลําดบั เลขคณิตที่มพี จนแรกเปน 100,000 และผลตางรว มเปน 70,000 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a5 = 100,000 + (5 −1)(70,000) = 100,000 + (4)(70,000) = 380,000 ดงั นนั้ เมื่อใชรถยนตไ ปแลว 5 ป บริษัทจะรับซื้อรถยนตคนื ในราคาท่ตี ํา่ กวาราคาท่ีซือ้ จากบรษิ ทั 380,000 บาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 225 แบบฝกหัด 3.1.3 1. 1) อัตราสวนรวม r= 4= 2 2 2) อตั ราสว นรว ม =r 6= 1 18 3 3) อตั ราสว นรวม =r 1=5 1 75 5 4) อตั ราสวนรว ม=r −=0.8 1 −8 10 5) อัตราสว นรว ม r = 1= −1 −1 4 6) อตั ราสวนรว ม r= 23= 2 3 1 7) อัตราสว นรวม =r x=2 1 เม่อื x ≠ 0 1 x x 5a 8) อตั ราสวนรวม =r =2 a เมอื่ a ≠ 0 52 2. 1) จากลาํ ดบั เรขาคณิต 1, 7, 49, 343, จะได a1 = 1 และ r= 7= 7 1 พจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณิต คือ an = a1rn−1 จะได a5 = a1r5−1 = 1× 74 = 74 a6 = a1r6−1 = 1× 75 = 75 a7 = a1r7−1 = 1× 76 = 76 ดังนนั้ สามพจนถัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 74, 75 และ 76 2) จากลาํ ดบั เรขาคณิต −1, 2, − 4, 8, จะได a1 = −1 และ r= 2= −2 −1 พจนท ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณติ คอื an = a1rn−1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

226 คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 จะได a5 = a1r5−1 = (−1) × (−2)4 = −16 a6 = a1r6−1 = (−1) × (−2)5 = 32 a7 = a1r7−1 = (−1) × (−2)6 = −64 ดังนน้ั สามพจนถัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คอื −16, 32 และ −64 3) จากลาํ ดบั เรขาคณติ 3, 1, 1 , 1 ,  39 จะได a1 =3 และ r =1 3 พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิต คอื an = a1rn−1 จะได a5 = a1r 5−1 = 3  1 4 = 1 =1  3  33 27 a6 = a1r 6−1 = 3  1 5 = 1 =1  3  34 81 a7 = a1r 7−1 = 3  1 6 = 1 =1  3  35 243 ดังนัน้ สามพจนถัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คอื 1 , 1 และ 1 27 81 243 3. จากลาํ ดบั เรขาคณติ 2, 4, 8,16, จะได a1 = 2 และ r= 4= 2 2 จาก an = a1rn−1 จะได a9 = 2 × (2)9−1 = 2 × 28 = 29 = 512 ดังนัน้ พจนท่ี 9 ของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ คือ 512 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 227 4. จากลาํ ดบั เรขาคณติ 2, −10, 50, − 250, จะได a1 = 2 และ r= −10 = −5 2 จาก an = a1rn−1 จะได a11 = 2 × ( )−5 11−1 = 2 × (−5)10 ( )= 2 510 ดังนน้ั พจนที่ 11 ของลําดับเรขาคณติ นี้ คอื ( )2 510 5. จากลําดับเรขาคณิต 1 , 1 , 1 , 1 , 2 6 18 54 1 จะได a1 = 1 และ =r 6= 1 2 1 3 2 จาก an = a1rn−1 จะได a8 = 1 ×  1 8−1 2  3  = 1 ×  1 7 2  3  1 = 2(37 ) ดังนั้น พจนท่ี 8 ของลาํ ดับเรขาคณติ น้ี คอื 1 2(37 ) 6. 1) จากลาํ ดับเรขาคณิต 1, 3, 9, จะได a1 = 1 และ r= 3= 3 1 พจนท ่ี n ของลําดับเรขาคณติ คือ an = a1r n−1 = 1( )3 n−1 = 3n−1 ดงั นน้ั พจนท ่ี n ของลําดับเรขาคณิตน้ี คือ 3n−1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

228 คมู ือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 2) จากลําดับเรขาคณิต 25, 5,1, จะได a1 = 25 และ =r 5= 1 25 5 พจนท่ี n ของลําดับเรขาคณติ คอื an = a1r n−1  1 n −1  5  = 25 = 52 × 51−n = 53−n ดังน้นั พจนท ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณติ นี้ คือ 53−n 3) จากลําดบั เรขาคณติ 1, −1,1, −1, จะได a1 = 1 และ r= −1 = −1 1 พจนที่ n ของลําดบั เรขาคณติ คือ an = a1r n−1 = 1( )−1 n−1 = ( )−1 n−1 ดงั นั้น พจนท ่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ (−1)n−1 4) จากลาํ ดบั เรขาคณติ −2, 4, − 8, จะได a1 = −2 และ r= 4= −2 −2 พจนท่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิต คือ an = a1r n−1 = (−2)(−2)n−1 = (−2)n ดงั นนั้ พจนที่ n ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ (−2)n 5) จากลําดับเรขาคณติ 1 , 1 , 1 , เมอื่ x≠0 x x2 x3 1 จะได a1 = 1 และ=r x=2 1 x 1 x x สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 229 พจนท่ี n ของลําดับเรขาคณติ คือ an = a1r n−1 = 1  1 n−1 x  x  =  1 n  x  =1 xn ดังนนั้ พจนท ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณติ น้ี คือ 1 เมอ่ื x≠0 xn 6) จากลําดับเรขาคณติ 1, 0.3, 0.09,0.027, จะได a1 = 1 และ=r 0=.3 0.3 1 พจนท ่ี n ของลําดบั เรขาคณติ คอื an = a1r n−1 = 1(0.3)n−1 = (0.3)n−1 ดังนั้น พจนที่ n ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ (0.3)n−1 7) จากลาํ ดบั เรขาคณติ −8, − 0.8, − 0.08, − 0.008, จะได a1 = −8 แล=ะ r −=0.8 1 −8 10 พจนท ี่ n ของลําดับเรขาคณติ คือ an = a1r n−1  1 n −1  10  = ( −8) = −80  1 n  10  ดงั น้ัน พจนท่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ −80  1 n  10  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

230 คูมอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 8) จากลาํ ดับเรขาคณติ 2, 2 3, 6, จะได a1 = 2 แล=ะ r 2=3 3 2 พจนที่ n ของลําดบั เรขาคณิต คอื an = a1r n−1 ( )n−1 =2 3 ดงั นนั้ พจนที่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ 2( )n−1 3 7. จาก an = a1rn−1 ให a=5 3=2 16 และ r = 2 จะได 2 16 = a1 (2)5−1 16 = a1 (2)4 a1 = 1 ดงั นัน้ พจนแ รกของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ 1 8. จาก a3 = 12 และ a6 = 96 จะได 12 = a1r3−1 --------- (1) --------- (2) 96 = a1r6−1 จาก (1) และ (2) จะได r3 = 8 นน่ั คอื r = 2 ดงั นั้น อัตราสว นรวมของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 2 9. จากลาํ ดบั เรขาคณิต 2, − 6,18, จะได a1 = 2 และ r= −6 = −3 2 พจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณิต คือ an = a1rn−1 จะได 162 = 2( )−3 n−1 81 = ( )−3 n−1 (−3)4 = ( )−3 n−1 n −1 = 4 n =5 ดงั นน้ั 162 เปนพจนท ่ี 5 ของลาํ ดบั เรขาคณิตนี้ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 231 10. 1) จาก a1 =4 และ a2 =1 จะได r = 1 2) 4 3) น่นั คอื a3 = a2r = 1 1  =1 4  4 a4 = a3r = 11 = 1 4  4  16 a5 = a4r = 1 1 = 1 16  4  64 ดังน้นั พจนท่ขี าดหายไป คือ 1 , 1 และ 1 ตามลําดับ 4 16 64 จาก a1 = 2, a3 =2 และพจนที่ n ของลาํ ดับเรขาคณิต คือ an = a1r n−1 9 จะได 2 = 2(r )3−1 9 2 = 2r2 9 r2 = 1 9 น่นั คอื r = 1 หรือ r = − 1 33 จะได a=2 a=1r 2 13= 2 หรอื a2 =a1r =2  − 1  =− 2 3 3  3 =a4 a=3r 2  13= 2 หรือ a4 =a3r =92  − 1  =− 2 9  27 3  27 =a5 a=4r 2  13= 2 หรือ a5 =a4r = − 2  − 1  =2 27  27   3  81 81 ดังนน้ั พจนท ่ีขาดหายไป คอื 2 , 2 และ 2 ตามลาํ ดับ 3 27 81 หรอื − 2 , − 2 และ 2 ตามลําดบั 3 27 81 จาก a1 = 3, a5 = 3 และพจนท่ี n ของลาํ ดับเรขาคณิต คือ an = a1r n−1 7 343 จะได 3 = 3 (r )5−1 343 7 3 = 3 r4 343 7 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

232 คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 r4 = 1 49 น่ันคือ r = 1 หรอื r = − 1 77 จะได a=2 a=1r 3 17= 3 หรอื a2 =a1r =73  − 1  =− 3 7  77 7  77 =a3 a=2r 3 17= 3 หรือ a3 =a2r = − 7 3  − 1  =3 7 7  49 7   7  49 =a4 a=3r 3 17= 3 หรือ a4 =a3r =439  − 1  =− 3 7 49  49 7 7  49 =a6 a=5r 3 17= 3 หรอื a6 =a5r =3433  − 1  =− 3 7 343  343 7 7  343 ดังนน้ั พจนท ีข่ าดหายไป คอื 3 , 3 , 3 และ 3 ตามลําดับ 7 7 49 49 7 343 7 หรอื − 3 , 3 ,− 3 และ −3 7 ตามลําดับ 7 7 49 49 7 343 4) จาก a3 =1 และ a6 = 8 จะได 27 1 = a1r3−1 --------- (1) 8= a1r 6−1 --------- (2) 27 จาก (1) และ (2) จะได r3 = 8 นั่นคอื r = 2 27 3 จาก (1) จะได a1 = 9 4 น่นั คอื a2 = a1r = 92 =3 4  3  2 a4 = a3r = 1 2  =2 3  3 a5 = a4r = 22 =4 3  3  9 a7 = a6r = 8 2 = 16 27  3  81 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 233 ดงั นั้น พจนท ีข่ าดหายไป คือ 9 , 3 , 2 , 4 และ 16 ตามลาํ ดบั 4239 81 11. 1) ให a เปน พจนทีอ่ ยูร ะหวา ง 5 และ 20 จะได 5, a, 20 เปน ลาํ ดับเรขาคณิต นั่นคอื a = 20 5a a2 = 100 จะได a =10 หรือ a = −10 ดงั นนั้ พจนท ี่อยูระหวาง 5 และ 20 คือ 10 หรือ −10 2) ให a เปนพจนที่อยูร ะหวา ง 8 และ 12 จะได 8, a,12 เปนลําดบั เรขาคณติ นนั่ คอื a = 12 8a a2 = 96 จะได a = 4 6 หรอื a = −4 6 ดังนั้น พจนท ่ีอยรู ะหวาง 8 และ 12 คือ 4 6 หรือ −4 6 12. จากสามพจนแรกของลาํ ดบั เรขาคณิต คอื a + 3, a + 20, a +105 จะไดว า a + 20 = a +105 a + 3 a + 20 (a + 20)(a + 20) = (a + 3)(a +105) a2 + 40a + 400 = a2 + 108a + 315 68a = 85 a=5 4 จะไดสามพจนแรกของลาํ ดบั เรขาคณติ น้ี คอื 17 , 85 และ 425 44 4 85 นน่ั คอื a1 = 17 และ=r =4 5 4 17 4 จะได พจนท่วั ไป คือ an = a1r n−1 = 17 (5)n−1 4 ดงั นน้ั a= 5 และ พจนทัว่ ไป คอื an = 17 (5)n−1 4 4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

234 คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 13. ใน พ.ศ. 2550 ประชากรในอําเภอหนึ่งมี 60,000 คน เนอื่ งจากประชากรในเมืองน้เี พ่มิ ข้ึนปละ 2% จะไดว า เม่ือครบ 1 ป จะมีประชากร = 60,000 + 60,000(0.02) = 60,000(1+ 0.02) = 60,000(1.02) คน เมื่อครบ 2 ป จะมีประชากร = 60,000(1.02) + 60,000(1.02)(0.02) = 60,000(1.02)(1+ 0.02) = 60,000(1.02)(1.02) = 60,000(1.02)2 คน จะเห็นวา จํานวนประชากรในแตละป เม่ือเขยี นเรียงลาํ ดับ จะเปน ลําดบั เรขาคณิตท่ีมี 1.02 เปนอตั ราสว นรว ม ดังนี้ 60000, 60000(1.02), 60000(1.02)2 , โดยที่ a1 = 60,000 และ r =1.02 พจนท ่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิต คอื an = a1r n−1 = 60,000(1.02)n−1 ใน พ.ศ. 2565 จะได n = 16 นั่นคือ a16 = 60,000(1.02)16−1 = 60,000(1.02)15 ≈ 80,752 ดงั นั้น สตู รทวั่ ไปของจาํ นวนประชากรในแตละป คือ 60,000(1.02)n−1 และจาํ นวน ประชากรใน พ.ศ. 2565 มีประมาณ 80,752 คน 14. ถา เริม่ ตน ลูกบอลสูงจากพนื้ 2 เมตร เมื่อลกู บอลกระทบพน้ื ครง้ั ที่ 1 แลว จะกระดอนข้นึ ไปสงู = 2 − 2(0.08) =2(1− 0.08) =2(0.92) เมตร เมอ่ื ลูกบอลกระทบพืน้ ครั้งท่ี 2 แลว จะกระดอนขน้ึ ไปสูง 2(0.92) − 2(0.92)(0.08) = 2(0.92)(1− 0.08) = 2(0.92)2 เมตร สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 235 จะเห็นวา ความสงู ของลูกบอลจากพนื้ เม่ือเขยี นเรียงเปน ลาํ ดับ จะเปน ลําดบั เรขาคณิต ทม่ี ี 0.92 เปน อัตราสว นรว ม ดงั น้ี 2(0.92), 2(0.92)2 , โดยที่ a1 = 2(0.92) และ r = 0.92 พจนท ่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิต คือ an = a1r n−1 = 2(0.92)(0.92)n−1 = 2(0.92)n ดังนั้น ฟงกชนั แสดงความสูงของลูกบอล คือ f (n) = 2(0.92)n เม่ือ n เปนจํานวนครง้ั ท่ลี ูกบอลกระทบพื้น แบบฝก หัด 3.2.1 1. 1) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S4 = 4 (2(3) + (4 −1)(2)) 2 = 24 ดังนั้น ผลบวก 4 พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คือ 24 2) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S7 = 7 (2(5) + (7 −1)(4)) 2 = 119 ดังนัน้ ผลบวก 7 พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณติ นี้ คือ 119 3) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S9 = 9 (2(−3) + (9 −1)(5)) 2 = 153 ดงั นัน้ ผลบวก 9 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 153 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

236 คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 4) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S11 = 11(2(−7) + (11−1)(3)) 2 = 88 ดงั นน้ั ผลบวก 11 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คอื 88 5) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S14 = 14 (2(−5) + (14 −1)(−2)) 2 = −252 ดังนัน้ ผลบวก 14 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −252 2. 1) อนกุ รมที่กําหนดใหมี a1 = 5 และ d = 2 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S50 = 50 (2(5) + (50 −1)(2)) 2 = 2,700 ดังนั้น ผลบวก 50 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 2,700 2) อนุกรมทกี่ าํ หนดใหม ี a1 = 0 และ d = 2 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S30 = 30 (2(0) + (30 −1)(2)) 2 = 870 ดังน้ัน ผลบวก 30 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 870 3) อนกุ รมทก่ี าํ หนดใหมี a1 = −2 และ d = 5 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S60 = 60 (2(−2) + (60 −1)(5)) 2 = 8,730 ดังนนั้ ผลบวก 60 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คอื 8,730 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 237 4) อนุกรมที่กาํ หนดใหมี a1 = 5 และ d = −3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S75 = 75 (2(5) + (75 −1)(−3)) 2 = −7,950 ดงั นัน้ ผลบวก 75 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณติ น้ี คอื −7,950 5) อนุกรมท่กี าํ หนดใหม ี a1 = 1 และ d = 1 2 2 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S50 = 50  2  1  + (50 − 1)  1   2  2   2   = 1, 275 2 ดังนั้น ผลบวก 50 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณติ นี้ คือ 1,275 2 3. 1) จาก an = a1 + (n −1) d อนุกรมทกี่ ําหนดใหมี a1 = 6, d = 3 และ an = 99 จะได 99 = 6 + (n −1)(3) 99 = 6 + 3n − 3 n = 32 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S32 = 32 (6 + 99) 2 = 1,680 ดังนน้ั ผลบวกทงั้ 32 พจนของอนุกรมเลขคณติ น้ี คือ 1,680 2) จาก an = a1 + (n −1) d อนุกรมทีก่ ําหนดใหม ี a1 = −7, d = −3 และ an = −109 จะได −109 = −7 + (n −1)(−3) −109 = −7 − 3n + 3 n = 35 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

238 คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 จะได S35 = 35 (−7 + (−109)) 2 = −2,030 ดังนั้น ผลบวกท้ัง 35 พจนของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −2,030 3) จาก an = a1 + (n −1) d อนกุ รมท่ีกาํ หนดใหม ี a1 = −7, d = 3 และ an =131 จะได 131 = −7 + (n −1)(3) 131 = −7 + 3n − 3 n = 47 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S47 = 47 (−7 +131) 2 = 2,914 ดงั น้นั ผลบวกท้งั 47 พจนของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 2,914 4. ให a1 = 6, d = 4 และ an = 26 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 26 = 6 + (n −1)(4) 26 = 6 + 4n − 4 n =6 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S6 = 6 (6 + 26) 2 = 96 ดงั นัน้ ผลบวกทงั้ 6 พจนของอนุกรมเลขคณิตน้ี คอื 96 5. ลําดับของจาํ นวนคีบ่ วก 100 จาํ นวนแรก คอื ลําดบั เลขคณิต 1, 3, 5, 7, ท่ีมี a1 = 1, d = 2 และ n = 100 ให S100 แทนผลบวกของจาํ นวนคี่บวก 100 จาํ นวนแรก จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S100 = 100 (2(1) + (100 −1)(2)) 2 = 10,000 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 239 ดังนัน้ ผลบวกของจํานวนคีบ่ วก 100 จํานวนแรก คือ 10,000 6. ลําดบั ของจาํ นวนเต็มบวกยสี่ ิบจํานวนแรกท่ีเปนพหุคูณของ 3 คอื ลําดับเลขคณติ 3, 6, 9,12, ทีม่ ี a1 = 3, d = 3 และ n = 20 ให S20 แทนผลบวกของจาํ นวนเต็มบวกย่ีสิบจํานวนแรกท่ีเปนพหุคูณของ 3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S20 = 20 (2(3) + (20 −1)(3)) 2 = 630 ดังน้ัน ผลบวกของจํานวนเตม็ บวกยีส่ บิ จํานวนแรกที่เปนพหุคูณของ 3 คือ 630 7. เน่อื งจาก 17 +19 + 21+ + 379 เปนอนกุ รมเลขคณิต ที่มี a1 =17, d = 2 และ an = 379 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 379 = 17 + (n −1)(2) 379 = 17 + 2n − 2 n = 182 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S182 = 182 (17 + 379) 2 = 36,036 -------- (1) ดังนนั้ ผลบวกของจํานวนค่ีตั้งแต 17 ถงึ 379 คือ 36,036 8. ให a10 = 20 และ a5 = 10 จะได 20 = a1 + (10 −1)d 10 = a1 + (5 −1) d -------- (2) จาก (1) และ (2) จะได d = 2 และ a1 = 2 ผลบวกของพจนท ่ี 8 ถงึ พจนท่ี 15 คือ S15 − S7 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S7 = 7 (2(2) + (7 −1)(2)) 2 = 56 และ S15 = 15 (2(2) + (15 −1)(2)) 2 = 240 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

240 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 นั่นคอื S15 − S7 = 240 − 56 = 184 ดงั น้นั ผลบวกของพจนที่ 8 ถึงพจนท ี่ 15 ของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 184 9. ลําดบั ของจาํ นวนเงนิ ออมในแตล ะวนั คอื ลําดับเลขคณติ 1, 2, 3, ท่ีมี a1 =1, d =1 และ n = 30 ให Sn แทนจาํ นวนเงนิ ออมทัง้ หมดในเวลา 30 วัน จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S30 = 30 (2(1) + (30 −1)(1)) 2 = 465 ดังนั้น ถา ทบั ทิมออมจนครบ 30 วนั ทบั ทมิ จะมีเงนิ ออมทงั้ หมด 465 บาท 10. เนื่องจากจดั วางไมชนั้ ท่ี 2 ใหแนวกึง่ กลางของไมแตละแผน ในชนั้ นี้อยตู รงกับรอยตอ ของไมแตล ะคูในช้นั แรก จะได ช้นั ท่ี 2 มีไม 29 แผน ถา ทําเชนนไ้ี ปเร่ือยๆ จะไดวา จํานวนแผนไมที่อยูช ัน้ บนจะนอยกวา จาํ นวนแผน ไมท ่ี อยูชัน้ ลา งในลาํ ดับตดิ กนั อยู 1 แผน นนั่ คอื ลําดบั ของจํานวนแผน ไมใ นแตล ะช้ัน คือ ลําดับเลขคณิต 30, 29, 28,, 5 ทมี่ ี a1 = 30, d = −1 และ an = 5 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 5 = 30 + (n −1)(−1) 5 = 30 − n +1 n = 26 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S26 = 26 (30 + 5) 2 = 455 ดงั นน้ั กองไมนี้มี 26 ชนั้ และมีจํานวนแผนไมท ั้งหมด 455 แผน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี