(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.1

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 157 บทท่ี 3 ปริซมึ และทรงกระบอก ในบทปรซิ มึ และทรงกระบอกน้ี ประกอบด้วยหวั ข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปน้ี 3.1 พ้ืนทผี่ ิวและปริมาตรของปริซึม 4 ชว่ั โมง 3.2 พื้นท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกระบอก 5 ชัว่ โมง สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ สาระท่ี 2 การวดั และเรขาคณติ มาตรฐาน ค 2.1 เขา้ ใจพืน้ ฐานเกี่ยวกับการวดั วดั และคาดคะเนขนาดของสิง่ ท่ตี อ้ งการวัด และนำ�ไปใช้ ตวั ชวี้ ดั 1. ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้เรือ่ งพื้นท่ผี วิ ของปริซมึ และทรงกระบอกในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์และปญั หาในชีวติ จริง 2. ประยกุ ตใ์ ช้ความรู้เรอ่ื งปรมิ าตรของปริซมึ และทรงกระบอกในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวติ จริง จดุ ประสงค์ของบทเรยี น นักเรียนสามารถ 1. หาพื้นท่ผี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอก 2. ประยกุ ต์ใช้ความรูเ้ กี่ยวกับพื้นทผ่ี ิวและปรมิ าตรของปริซึมและทรงกระบอกในการแก้ปัญหา ความเชื่อมโยงระหวา่ งตวั ชีว้ ดั กบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น เน่ืองจากตัวชี้วัดกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ความรู้เร่ืองพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอกในการแก้ปัญหา คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ดังน้ัน เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเรื่องปริซึมและทรงกระบอกสอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครคู วรจดั ประสบการณใ์ หน้ กั เรยี นสามารถประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ รอ่ื งพนื้ ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอก ซงึ่ สะทอ้ นได้ จากความสามารถในการอธิบายลักษณะ ส่วนต่าง ๆ และรูปคล่ีของปริซึมและทรงกระบอก การอธิบายที่มาของสูตรในการหา พ้ืนท่ีผิวของปริซึมและทรงกระบอก การเช่ือมโยงการหาปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก แล้วนำ�ส่ิงเหล่านี้ไปใช้ในการแก้ ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริงท่ีเก่ียวกับพื้นท่ีผิวของปริซึมและทรงกระบอก รวมถึงการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และ ปญั หาในชีวติ จริงท่เี กีย่ วกบั ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

158 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ 3.1 พื้นท่ีผิวและ 3.1 พน้ื ทผ่ี วิ และ ปรมิ าตรของปริซมึ ปริมาตรของปรซิ ึม ชวนคดิ 3.2 - ชวนคดิ 3.3 3.2 พน้ื ทผ่ี ิวและปริมาตร 3.2 พ้นื ที่ผิวและปรมิ าตร ของทรงกระบอก ของทรงกระบอก แบบฝก� หดั 3.2 ก : 5 - แบบฝก� หัด 3.2 ข : 10 อ่นื ๆ อ่ืน ๆ แบบฝก� หัด 3.2 ก : 5 แบบฝ�กหดั ทา� ยบท : การส่ือสารและ 1–6 การส่อื ความหมาย ทางคณิตศาสตร� การแก�ป�ญหา 3.1 พนื้ ท่ีผวิ และ การคดิ ทักษะและ 3.1 พื้นท่ีผิวและ ปริมาตรของปรซิ ึม สรา� งสรรค� กระบวนการ ปรมิ าตรของปรซิ มึ ทางคณติ ศาสตร� การเช่ือมโยง - - 3.2 พ้นื ทผ่ี วิ และปริมาตร การให�เหตผุ ล 3.2 พืน้ ท่ีผิวและปริมาตร ของทรงกระบอก ของทรงกระบอก - แบบฝ�กหดั 3.2 ข : 10 อ่นื ๆ อืน่ ๆ กิจกรรมทา� ยบท กจิ กรรมท�ายบท แบบฝ�กหดั ทา� ยบท : 4 3.1 พนื้ ท่ผี ิวและ ปรมิ าตรของปริซมึ - 3.2 พน้ื ท่ีผวิ และปรมิ าตร ของทรงกระบอก ชวนคิด 3.5 แบบฝก� หัด 3.2 ข : 10 อืน่ ๆ แบบฝก� หัดทา� ยบท : 2–6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก 159 พัฒนาการของความรู้ ความรพู ้ืนฐาน ✤ พ้นื ที่ของรูปเรขาคณติ สองมติ ิ เช่น รูปสีเ่ หลีย่ มมมุ ฉาก รปู สามเหลี่ยม ท่ีจำเปน รปู สเี่ หลยี่ มคางหมู ✤ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ✤ ปริมาตรของทรงสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก ความรูท่สี ำคัญ ✤ พื้นที่ผิวของปริซมึ คอื พ้นื ทข่ี องพน้ื ผิวทัง้ หมดของปรซิ ึม ซึ่งสามารถ ในบทเรียน หาไดจ้ ากพนื้ ท่ีของด้านขา้ งท้ังหมดรวมกับพืน้ ทขี่ องฐานทัง้ สอง ✤ ปริมาตรของปริซมึ เทา่ กบั ผลคณู ของพนื้ ทฐ่ี านกบั ความสงู ของปริซึม ซ่ึงสามารถอธิบายทมี่ าของสูตรไดจ้ ากความสัมพันธร์ ะหวา่ งปริมาตรของ ทรงสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก กบั ปริมาตรของปรซิ ึมสามเหล่ียมมมุ ฉาก และปรมิ าตรของ ปริซึมสามเหลี่ยมใด ๆ ✤ พนื้ ท่ผี ิวของทรงกระบอกเทา่ กับผลรวมของพืน้ ที่ฐานท้งั สองซึ่งเปน็ รูปวงกลมกับ พ้นื ทด่ี า้ นขา้ งซงึ่ เป็นรปู สีเ่ หล่ยี มมุมฉากทมี่ คี วามกว้างเทา่ กบั ความสูงของ ทรงกระบอก และมคี วามยาวเท่ากบั ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมท่ีเป็น ฐานของทรงกระบอก ✤ ปรมิ าตรของทรงกระบอกเทา่ กบั ผลคูณของพน้ื ท่ฐี านกบั ความสงู ของ ทรงกระบอก ซึง่ มีสูตรเช่นเดียวกับปรมิ าตรของปรซิ มึ และเทยี บเคยี งไดก้ ับ การหาปรมิ าตรของปรซิ ึมของรปู หลายเหลีย่ มดา้ นเท่ามมุ เทา่ ทีม่ ีจำ�นวนของ ด้านมาก ๆ ความรใู นอนาคต ✤ พืน้ ที่ผวิ และปรมิ าตรของพีระมิด กรวย และทรงกลม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

160 บทท่ี 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ลำ�ดับการจัดกจิ กรรมการเรียนรขู้ องบทเรยี น ส�ำ รวจลักษณะของปรซิ มึ อภิปรายความหมายของปริซมึ ในทางคณิตศาสตร์ และการเรยี กช่อื ปริซึม แนะนำ�ความหมายของพ้ืนท่ีผวิ พืน้ ทผ่ี วิ ของปริซึม และเชอื่ มโยงกบั รูปคล่ขี องปรซิ ึม อภปิ รายความหมายของปริมาตร และทบทวนการหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ท�ำ กิจกรรมตามรอยเสน้ ทแยงมุม และอภปิ รายความสัมพันธ์ระหวา่ งปรมิ าตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กบั ปรมิ าตรของปรซิ ึมสามเหล่ยี มมมุ ฉาก อภปิ รายความสัมพันธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของปรซิ ึมสามเหลยี่ มมมุ ฉาก กับปรมิ าตรของปริซมึ สามเหลี่ยมใด ๆ อภิปรายความสัมพนั ธร์ ะหว่างปรซิ มึ สามเหลยี่ มใด ๆ กบั ปรซิ ึมทมี่ ีฐานเป็นรูปหลายเหลยี่ มใด ๆ ส�ำ รวจลกั ษณะของทรงกระบอก และอภปิ รายความหมายของทรงกระบอกในทางคณติ ศาสตร์ ท�ำ กจิ กรรมตดั กระบอกและสรปุ หลักการหาพืน้ ท่ีผิวของทรงกระบอก เชอ่ื มโยงการหาปริมาตรของปริซึมหลายเหลยี่ มดา้ นเท่ามมุ เทา่ กบั ปริมาตรของทรงกระบอก สรปุ บทเรียน ทำ�กิจกรรมท้ายบทเพือ่ เตมิ เตม็ ความรทู้ ี่ได้รบั จากบทเรียน และพัฒนาทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ดว้ ยแบบฝกึ หัดท้ายบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปริซึมและทรงกระบอก 161 3.1 พนื้ ที่ผิวและปรมิ าตรของปรซิ มึ (4 ชั่วโมง) จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. จำ�แนกรูปเรขาคณิตสามมิตทิ ่ีเปน็ ปริซมึ และทไี่ ม่เป็นปริซมึ 2. อธิบายลักษณะและสมบตั ิของปริซมึ 3. หาพ้นื ทีผ่ วิ ของปรซิ มึ และน�ำ ความรู้ไปใช้ในการแก้ปัญหา 4. หาปรมิ าตรของปริซมึ และนำ�ความรู้ไปใช้ในการแก้ปญั หา 5. ตระหนกั ถงึ ความสมเหตุสมผลของค�ำ ตอบท่ีได้ ความเขา้ ใจท่ีคลาดเคล่ือน - สอ่ื ทีแ่ นะนำ�ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ส่งิ ของท่มี ลี ักษณะเป็นปรซิ ึมทงั้ ทีม่ ีดา้ นข้างเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากและรูปส่เี หลย่ี มดา้ นขนาน ขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม ซึ่งนักเรียนเคยเรียนรู้การหาปริมาตรของทรงส่ีเหล่ียมมุมฉาก หรือปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากมาแล้วจากระดับประถมศึกษา ในชั้นน้ีนักเรียนจะได้เรียนรู้เพ่ิมเติมเก่ียวกับส่วนประกอบของปริซึม ความหมายของปรซิ ึมในทางคณิตศาสตร์ การหาพ้นื ทผี่ วิ และปรมิ าตรของปริซมึ อื่น ๆ ที่นอกเหนือไปจากปริซมึ ส่เี หลยี่ มมมุ ฉาก ผ่านการทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจ เพ่ือให้นักเรียนเห็นความสัมพันธ์และท่ีมาของสูตรการหาปริมาตรของปริซึม แนวทางการจัด กิจกรรมการเรยี นรู้อาจท�ำ ได้ดังนี้ 1. ครนู �ำ นกั เรยี นสนทนาเกยี่ วกบั ความหมายของปรซิ มึ โดยอาจใชส้ ถานการณก์ ารเลอื กซอื้ ขนมในรา้ น “มดขนน�ำ้ ตาล” ในหนังสือเรียน หน้า 105 หรือใช้กล่องที่มีลักษณะเป็นปริซึมท่ีแตกต่างกัน ฝึกให้นักเรียนร่วมกันสังเกตและ อภิปรายถึงลักษณะที่คล้ายกันและแตกต่างกันของกล่อง เพื่อนำ�ไปสู่ข้อสรุปความหมายของปริซึมในทาง คณติ ศาสตร์วา่ เป็นรูปเรขาคณติ สามมิติทีม่ ฐี านทัง้ สองเป็นรปู หลายเหลี่ยมท่เี ทา่ กนั ทกุ ประการ ฐานท้ังสองอยูบ่ น ระนาบทขี่ นานกนั และดา้ นข้างแต่ละด้านเปน็ รูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน แลว้ อาจใช้ชวนคดิ 3.1 ซักถามนกั เรียนเพื่อ ตรวจสอบความเข้าใจเก่ยี วกับความหมายของปรซิ มึ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

162 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก ค่มู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2. ครูใชภ้ าพของปริซึมในหนังสอื เรียน หนา้ 106 และหน้า 107 รวมถงึ วตั ถตุ ่าง ๆ ทอ่ี ย่ใู กล้ตวั นกั เรยี นทเ่ี ปน็ ปรซิ มึ เพ่ือแนะนำ�ให้รู้จักส่วนประกอบต่าง ๆ ของปริซึมท้ังท่ีเป็นปริซึมตรงและปริซึมเอียงได้ชัดเจน พร้อมทั้งแนะนำ� การเรยี กชอ่ื ปรซิ มึ โดยพจิ ารณาจากฐานของปรซิ มึ เพอ่ื บอกความแตกตา่ ง เชน่ ปรซิ มึ สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ หมายถงึ ปรซิ มึ ทม่ี ฐี านหรอื หนา้ ตดั เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ทง้ั นเ้ี พอ่ื ประโยชนใ์ นการสอ่ื สารและสอ่ื ความหมายทต่ี รงกนั 3. ครูอาจแนะน�ำ ใหน้ ักเรียนรจู้ กั สว่ นประกอบอน่ื ๆ ของปริซมึ ได้แก่ จดุ ยอด หน้า และเสน้ ขอบของปรซิ มึ แล้วใช้ ชวนคิด 3.2 ฝึกประสบการณ์การแก้ปัญหาและการนึกภาพ รวมถึงใช้เป็นเครื่องมือหน่ึงในการตรวจสอบความ เข้าใจของนักเรียนเก่ียวกับความหมายและส่วนประกอบของปริซึม ควบคู่กับการใช้แบบฝึกหัด 3.1ก ซึ่งในแบบ ฝกึ หดั ดงั กลา่ ว เมอื่ นกั เรยี นพจิ ารณาเหน็ วา่ รปู ทก่ี �ำ หนดใหร้ ปู ใดเปน็ ปรซิ มึ ครคู วรเนน้ ใหน้ กั เรยี นระบายสฐี านของ ปรซิ ึมดว้ ย เพือ่ เปน็ เครอ่ื งมอื สำ�หรับตรวจสอบเหตผุ ลของค�ำ ตอบ 4. ครูทบทวนความเข้าใจของนักเรียนในเรื่องพื้นท่ี โดยใช้การอภิปราย ซักถาม พร้อมท้ังยกตัวอย่างสถานการณ์ใน ชีวิตจริงท่ีจำ�เป็นต้องใช้ความรู้เรื่องพื้นที่ ท้ังน้ีครูอาจใช้ตัวอย่างสถานการณ์ในหนังสือเรียน หน้า 109 แล้วให้ นักเรียนยกตัวอยา่ งสถานการณ์อนื่ ๆ ท่ใี กล้ตัวนกั เรียน เพ่อื ฝึกให้นักเรียนเชื่อมโยงและเห็นประโยชนข์ องการใช้ คณติ ศาสตรใ์ นชวี ิตจรงิ 5. ครูอภิปรายร่วมกับนักเรียนถึงความแตกต่างของการใช้คำ�ว่า “พ้ืนท่ี” กับ “พื้นที่ผิว” ในการอธิบายลักษณะบาง ประการของรปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ติ ามล�ำ ดบั และซกั ถามนกั เรยี นวา่ การหาพนื้ ทผี่ วิ ของวตั ถทุ �ำ ไดอ้ ยา่ งไร จนได้ข้อสรปุ รว่ มกันวา่ “พนื้ ท่ีผวิ ของวัตถุ คือ พื้นทข่ี องพืน้ ผิวท้ังหมดของวตั ถุ” และ “พื้นท่ผี ิวของปริซมึ ค�ำ นวณ ได้จากผลบวกของพื้นท่ีผิวด้านข้างทั้งหมดกับพ้ืนที่ของฐานทั้งสอง” นอกจากน้ีครูอาจชี้ให้นักเรียนเห็นว่าในการ หาพ้ืนที่ผิวของปริซึมนั้น การนึกภาพหรือวาดภาพรูปคล่ีของปริซึมเป็นแนวทางหน่ึงท่ีจะช่วยให้เห็นภาพของ พ้ืนผิวท้ังหมด และช่วยให้สามารถหาพ้ืนท่ีแต่ละส่วนของผิวปริซึมได้ครบถ้วน ครูอาจใช้ชวนคิด 3.3 เพื่อฝึก ประสบการณก์ ารนึกภาพให้กับนักเรียน เปิดโอกาสให้นักเรียนแลกเปลยี่ นแนวคดิ ในการหาคำ�ตอบ และอภิปราย ถงึ ความแตกตา่ งของคำ�ตอบทีเ่ กดิ ขน้ึ รวมทง้ั ตัดกระดาษตามรปู คล่ีที่นกั เรยี นคิด แล้วพับเพือ่ ตรวจสอบคำ�ตอบ 6. ครูยกตัวอย่างการหาพ้ืนท่ีผิวของปริซึม โดยใช้ตัวอย่างที่ 1 และ 2 ในหนังสือเรียน หน้า 111 และ 112 และ อภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี นถงึ แนวคดิ ในการหาค�ำ ตอบ เพอ่ื ตรวจสอบความรคู้ วามเขา้ ใจพน้ื ฐานของนกั เรยี นในเรอ่ื ง การหาพื้นทขี่ องรปู เรขาคณิตสองมติ ิและเรอื่ งการหาพื้นที่ผวิ ของปริซมึ 7. ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายความหมายของปริมาตรและความสำ�คัญของปริมาตรท่ีเกิดข้ึนในชีวิตประจำ�วัน รวมถึงแนวทางในการหาปริมาตรของวัตถุโดยการแทนที่น้ำ� และการหาปริมาตรทรงสี่เหล่ียมมุมฉากท่ีไม่ต้องใช้ การแทนทน่ี �้ำ ซง่ึ นกั เรยี นเคยเรยี นมาแลว้ เพอ่ื ตรวจสอบความรคู้ วามเขา้ ใจพน้ื ฐานในเรอื่ งปรมิ าตรและการค�ำ นวณ หาปริมาตรของทรงส่เี หล่ยี มมุมฉาก 8. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ตามรอยเสน้ ทแยงมมุ ” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 116 แลว้ ใชค้ �ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมกระตนุ้ ให้นักเรียนนึกภาพและสังเกตลักษณะของปริซึมท่ีเกิดข้ึนในแต่ละข้ันตอนของการทำ�กิจกรรม และชี้ให้นักเรียน เหน็ วา่ ความแตกตา่ งของแนวเสน้ ทแยงมมุ ในการตดั แบง่ ปรซิ มึ สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก ไมม่ ผี ลกบั ความสมั พนั ธข์ องปรมิ าตร ของปรซิ มึ ทเี่ กดิ ขน้ึ กลา่ วคอื ปรมิ าตรของปรซิ มึ สามเหลยี่ มมมุ ฉาก เทา่ กบั ครง่ึ หนงึ่ ของปรมิ าตรของปรซิ มึ สเี่ หลย่ี ม มมุ ฉาก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 163 9. ครซู กั ถามนกั เรียนถงึ แนวทางทเ่ี ป็นไปได้ในการหาปริมาตรของปริซมึ สามเหลี่ยมใด ๆ โดยการใชค้ วามร้ใู นการหา ปรมิ าตรของปรซิ มึ ทไ่ี ดเ้ รยี นมากอ่ นหนา้ น้ี เพอื่ ฝกึ ประสบการณใ์ หน้ กั เรยี นรจู้ กั เชอื่ มโยงและประยกุ ตใ์ ชค้ วามรใู้ น สถานการณท์ ม่ี เี งอ่ื นไขแตกตา่ งไปจากเดมิ จนไดข้ อ้ สรปุ รว่ มกนั วา่ ในการหาปรมิ าตรของปรซิ มึ สามเหลย่ี มใด ๆ นน้ั ทำ�ได้โดยการใช้ความรู้เรื่องการหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดข้ึนจาก “กิจกรรม : ตามรอยเส้น ทแยงมุม” กับความรู้เร่ืองการหาปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียมมุมฉาก ซ่ึงปริมาตรของปริซึมสามเหล่ียมใด ๆ จะ เทา่ กบั ผลคณู ระหว่างพนื้ ทฐี่ านกับความสูงของปรซิ ึมสามเหล่ียม 10. ครูเปดิ โอกาสใหน้ ักเรยี นเชือ่ มโยงและประยกุ ต์ใช้ความร้อู ีกครง้ั โดยการซักถามนกั เรียนถึงแนวทางที่เป็นไปได้ใน การหาปรมิ าตรของปรซิ มึ หลายเหลยี่ มใด ๆ แลว้ อภปิ รายรว่ มกนั จนไดข้ อ้ สรปุ วา่ การหาปรมิ าตรของปรซิ มึ ทมี่ ฐี าน เป็นรปู หลายเหลีย่ ม ทำ�ไดโ้ ดยการแบ่งฐานของปรซิ มึ หลายเหลีย่ มออกเปน็ รูปสามเหลี่ยมหลาย ๆ รปู ซ่งึ ในท่สี ดุ จะไดป้ รซิ มึ สามเหลย่ี มหลาย ๆ แทง่ ดงั ตวั อยา่ งในหนงั สอื เรยี น หนา้ 118 แลว้ ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรใู้ นการหาปรมิ าตร ของปริซึมสามเหล่ียมใด ๆ ก่อนหน้าน้ี เพื่อหาปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมได้ ซึ่งกล่าวได้ว่า ปริมาตรของปริซึม จะเทา่ กบั ผลคูณของพน้ื ที่ฐานกบั ความสูงของปรซิ มึ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

164 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กิจกรรม : ตามรอยเส้นทแยงมมุ กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติ เพ่ือทบทวนความรู้ความเข้าใจเก่ียวกับการหาปริมาตรของ ทรงส่ีเหล่ียมมุมฉาก พร้อมท้ังสำ�รวจและหาข้อสรุปของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียมมุมฉากกับปริซึม สามเหล่ยี มมุมฉากท่ีเกิดจากการตดั แบ่งตามแนวเสน้ ทแยงมุมของหน้าใดหน้าหนง่ึ ของปรซิ ึมสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก โดยมีสื่อ/อุปกรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังน้ี สอ่ื /อปุ กรณ์ 1. ดินน�ำ้ มนั 2. คตั เตอร์ 3. ไมบ้ รรทัด ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม 1. ครูแบง่ นกั เรียนออกเป็นกลุ่ม กลมุ่ ละ 4–5 คน ให้นกั เรียนแตล่ ะกลมุ่ ปน้ั ดินน�้ำ มันใหเ้ ป็นปรซิ ึมสี่เหล่ยี มมมุ ฉาก แลว้ ใหน้ ักเรียนหาปรมิ าตรของปรซิ มึ ดงั กลา่ ว พรอ้ มทง้ั อธิบายแนวคดิ 2. ครูให้นักเรียนตัดแบ่งปริซึมสี่เหล่ียมมุมฉากตามแนวเส้นทแยงมุมของหน้าใดหน้าหน่ึง แล้วให้นักเรียนสังเกตผล ที่เกดิ ข้นึ พรอ้ มซกั ถามถึงลักษณะและปรมิ าตรของปริซมึ ทไ่ี ด้จากการแบง่ นี้ 3. ครูให้นักเรียนนำ�เสนอคำ�ตอบและแนวคิดในการหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อชี้นำ�ให้นักเรียน เช่อื มโยงกับปรมิ าตรของปรซิ ึมส่ีเหล่ียมมุมฉาก เฉลยคำ�ถามท้ายกจิ กรรม : ตามรอยเส้นทแยงมุม 1. ปรซิ มึ สามเหล่ยี มมุมฉาก 2. ปรมิ าตรของปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉากทไ่ี ดจ้ ากการตดั แบง่ ตามแนวเสน้ ทแยงมมุ ของหนา้ ใดหนา้ หนงึ่ ของปรซิ มึ สเ่ี หลยี่ ม มมุ ฉากเป็นครงึ่ หน่งึ ของปรมิ าตรของปริซึมส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากนั้น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 165 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 3.1 แท่นรับรางวลั มีลกั ษณะเป็นปริซึม ipst.me/10011 ชวนคิด 3.2 ให้ปรซิ ึมนีม้ ีฐานเป็นรปู n เหล่ยี ม ips t.me/ 1001 2 ดงั นนั้ ปรซิ มึ นีม้ จี ดุ ยอด n + n = 2n จุด มเี สน้ ขอบ n + n + n = 3n เสน้ มหี น้า n + 2 หน้า เน่อื งจาก ปริซึมน้มี ผี ลบวกของจำ�นวนหน้า จ�ำ นวนเส้นขอบ และจ�ำ นวนจดุ ยอด เทา่ กบั 56 จะได้ n + 2 + 3n + 2n = 56 6n + 2 = 56 n = 9 ดงั นน้ั ปริซึมนีเ้ ปน็ ปรซิ มึ เกา้ เหล่ียม ชวนคดิ 3.3 กลอ่ งทรงลกู บาศก์มรี ปู คลท่ี เี่ ปน็ ไปได้ท้งั หมด 11 แบบ ดงั น้ี ipst.me/10013 123 456 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

166 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก ค่มู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 789 10 11 ชวนคิด 3.4 ipst.me/10014 ให้แตล่ ะด้านของสว่ นทีเ่ ป็นลกู บาศก์ยาว n เมตร จะได้ ปรมิ าตรของลกู บาศก์แตล่ ะลกู เท่ากับ n × n × n หรอื n3 ลูกบาศกเ์ มตร เน่ืองจากอาคารลกู เต๋าประกอบดว้ ยลูกบาศกจ์ ำ�นวน 3 ลกู และมีปริมาตรรวมโดยประมาณ 81,000 ลูกบาศก์เมตร จะได้ 3n3 ≈ 81,000 n3 ≈ 27,000 n ≈ 30 ดังนั้น แต่ละดา้ นของส่วนทีเ่ ป็นลูกบาศก์ยาวประมาณ 30 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 167 เฉลยแบบฝึกหดั แบบฝึกหดั 3.1 ก รปู ในข้อ 1, ข้อ 3 และ ข้อ 4 เปน็ รูปของปริซึม ซงึ่ สามารถระบายสฐี านของปรซิ มึ ทงั้ สามไดด้ งั น้ี 1. 3. 4. หมายเหต ุ รูปในขอ้ 3 และขอ้ 4 ถา้ นักเรยี นระบายสฐี านของปริซึมเพยี งฐานเดียวก็ถือวา่ ถูกต้อง แบบฝึกหัด 3.1 ข 1. 1) แนวคิด วาดรปู คล่ีของปริซมึ และกำ�หนดให้ x แทนความยาวของดา้ นท่ีไม่ทราบความยาว จากรูป จะได้ x2 = 152 + 82 12 = 225 + 64 1 12 – 4 = 289 12 ดังน้นั x = 17 หน่วย 12 2 15 x 3 4 12 44 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

168 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 พน้ื ทข่ี องรูปสี่เหล่ยี มจตั ุรัส รูป ① = 12 × 12 = 144 ตารางหน่วย –21 × (36 + 20) × 15 = 420 ตารางหนว่ ย พน้ื ทข่ี องรปู ส่เี หลยี่ มคางหมู รปู ② = 12 × 17 = 204 ตารางหนว่ ย พ้นื ท่ขี องรปู สี่เหลี่ยมผนื ผ้า รปู ③ = = 48 ตารางหน่วย พน้ื ท่ขี องรปู สี่เหลี่ยมผนื ผา้ รปู ④ = 4 × 12 ดังนนั้ พน้ื ทผ่ี วิ ของปริซึมเทา่ กบั 1 44 + 420 + 204 + 48 = 8 16 ตารางหนว่ ย 2) แนวคดิ วาดรปู คล่ขี องปรซิ ึมและก�ำ หนดความสงู ของรูปสามเหล่ียมรปู ① เท่ากับ h หน่วย ดังนี้ 10 10 1h 10 8 28 16 8 10 3 40 2 1 พจิ ารณา รปู ① จะได้ h2 = 102 – 82 ดงั น้นั h = 6 หน่วย ( ) พนื้ ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั รปู ① สองรูป = 2 × 2–1 × 16 × 6 = 96 ตารางหน่วย พื้นทข่ี องรูปสเ่ี หลี่ยมผนื ผ้า รูป ② สองรูป = 2 × (8 × 16) = 256 ตารางหนว่ ย พนื้ ที่ของรูปสเ่ี หลี่ยมผืนผ้า รูป ③ = (10 + 8 + 16 + 8 + 10) × 40 = 2,080 ตารางหนว่ ย ดงั นัน้ พื้นท่ผี วิ ของปริซึมเทา่ กบั 96 + 256 + 2,080 = 2,432 ตารางหนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก 169 3) แนวคดิ วาดรูปคลขี่ องปรซิ ึม และกำ�หนดให้ x แทนความยาวของดา้ นที่ไมท่ ราบความยาว 20 x 39 9 x 3 2 20 1 20 2 12 12 12 20 จากรปู ③ จะได้ x2 = 92 + 122 = 225 ดงั น้นั x = 15 หนว่ ย พ้ืนที่ของรปู สี่เหลย่ี มผืนผา้ รปู ① = 20 × (15 + 9 + 20 + 12 + 20) = 20 × 76 = 1,520 ตารางหนว่ ย พนื้ ท่ีของรูปส่ีเหลย่ี มผืนผ้า รปู ② สองรปู = 2 × (12 × 20) = 480 ตารางหนว่ ย ( ) พื้นที่ของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก รปู ③ สองรปู = 2 × 2–1 × 12 × 9 = 108 ตารางหน่วย ดงั นั้น พื้นท่ผี วิ ของปรซิ ึมเทา่ กบั 1,520 + 480 + 108 = 2,108 ตารางหน่วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

170 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 4) แนวคดิ วาดรปู คล่ขี องปริซมึ ไดด้ งั นี้ 8 2 หาพน้ื ท่ขี องฐานปรซิ มึ หกเหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เท่า 8 โดยแบง่ รปู หกเหลี่ยมดา้ นเทา่ มมุ เทา่ ออกเป็นรูปสามเหล่ยี มด้านเท่าได้ 6 รปู 1 8 88 2 8 8 = 6 × (8 × 8) = 384 ตารางหนว่ ย พน้ื ที่รูปส่เี หล่ยี มผนื ผา้ รปู ① ( )= 2 × 6 × √—43 × 8 × 8 พ นื้ ที่รูป หกเห ลย่ี มด้านเท่ามมุ เทา่ รูป ② สองรูป = 192√3 ตารางหน่วย ดังนั้น พ้ืนทีผ่ วิ ของปริซมึ เท่ากบั 384 + 192√3 ตารางหน่วย หม ายเห ตุ เ นื่องจากพน้ื ท่รี ูปสามเหลีย่ มด้านเท่า = √—43 × ความยาวของด้าน2 และพื้นท่รี ูปหกเหล่ียมด้านเท่ามมุ เทา่ = 6 × พืน้ ทีร่ ูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ ( ) ด ังนนั้ พน้ื ที่รูปหกเหลีย่ มด้านเทา่ มมุ เทา่ = 6 × √—43 × ความยาวของดา้ น2 2. แนวคดิ วาดรปู คลข่ี องกล่องกระดาษทรงสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากได้ดังนี้ 20 ซม. 5 ซม. 1 5 ซม. 20 ซม. 2 8 ซม. 5 ซม. 1 5 ซม. พื้นทีข่ องรปู สีเ่ หลย่ี มผนื ผ้า รูป ① สองรูป = 2 × (5 × 20) = 200 ตารางเซนติเมตร พืน้ ทีข่ องรูปสเี่ หลีย่ มผนื ผ้า รูป ② = 8 × (5 + 20 + 5 + 20) = 8 × 50 = 400 ตารางเซนตเิ มตร ดงั น้ัน ต้องใช้กระดาษท�ำ กล่องอยา่ งนอ้ ย 200 + 400 = 600 ตารางเซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 171 3. แนวคิด พ้ืนที่ผวิ ของลกู เตา๋ ท้งั หมด = 6 × (5 × 5) = 150 ตารางเซนติเมตร พ้นื ท่ีวงกลมทีร่ ะบายสีบอกแต้ม ≈ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × (3.14 × 0.5 × 0.5) ≈ 16.5 ตารางเซนติเมตร ดงั นัน้ พืน้ ท่ผี ิวส่วนทไี่ มไ่ ดร้ ะบายสปี ระมาณ 150 – 16.5 ≈ 133.5 ตารางเซนตเิ มตร 4. แนวคดิ 1) ชั้นท่ี 1 (ช้ันลา่ ง) มีลกู บาศก์ 4 ลูก ช้นั ที่ 2 มีลูกบาศก ์ 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12 ลูก ชั้นท่ี 3 มลี ูกบาศก์ 12 ลูก ชั้นท่ี 4 มลี ูกบาศก ์ 4 ลกู ดงั นนั้ รปู เรขาคณติ สามมิตินป้ี ระกอบขึน้ จากลูกบาศก์ทง้ั หมด 4 + 12 + 12 + 4 = 32 ลกู 2) ลูกบาศกส์ ว่ นท่ยี ่ืนออกมาแตล่ ะด้านมี 4 ลูก แต่ละลูกเห็นได ้ 3 หน้า แตล่ ะหนา้ มีพ้ืนท ่ี 1 ตารางเซนติเมตร จะได ้ พืน้ ทผ่ี ิวของส่วนท่ยี น่ื ออกมาแต่ละดา้ นเทา่ กับ (4 × 3) × 1 = 12 ตารางเซนตเิ มตร เนอ่ื งจาก ลกู บาศก์ส่วนท่ียื่นออกมานี้ มที ้ังหมด 6 ดา้ น ดังนั้น พ้ืนที่ผวิ ของรูปเรขาคณติ สามมิตนิ เ้ี ทา่ กับ 6 × 12 = 72 ตารางเซนตเิ มตร หมายเหต ุ ถา้ ค�ำ ตอบของนกั เรยี นแตกตา่ งจากน ี้ ใหน้ กั เรียนแสดงรปู ทน่ี กั เรยี นคิดประกอบ 5. แนวคดิ สระน้ำ�มีลกั ษณะเปน็ ปรซิ มึ ส่เี หลีย่ มคางหมู 30 1.5 15 3 { [ ]}พนื้ ที่ผิวข้างภายในสระ = 2 × –12 × (3 + 1.5) × 30 + (1.5 ×15) + (3 ×15) = 135 + 22.5 + 45 = 202.5 ตารางเมตร ดังน้ัน สระนี้มีพื้นท่ีผวิ ข้างภายในทง้ั หมด 202.5 ตารางเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

172 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คูม่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 แบบฝกึ หัด 3.1 ค 1. แนวคิด 1) ปริมาตรของปริซึมแปดเหลยี่ ม = พนื้ ทีฐ่ าน × ความสูง = 101.4 × 11 = 1,115.4 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร 2) ปริมาตรของปรซิ มึ สิบเหล่ยี ม = พน้ื ทีฐ่ าน × ความสงู = 98 × 8 = 784 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร 3) ปริมาตรของปริซมึ ส่เี หล่ียมมมุ ฉาก = พนื้ ท่ีฐาน × ความสงู = (3.5 × 4) × 6 = 84 ลกู บาศก์เซนติเมตร 4) ปรมิ าตรของปริซึมสามเหลย่ี ม = พ้นื ท่ีฐาน × ความสงู ( )= 1–2 × 3.3 × 1.1 × 3 = 5.445 ลูกบาศก์เซนติเมตร 5) ปริมาตรของปริซึมสเี่ หล่ียมคางหมู = พน้ื ทีฐ่ าน × ความสงู = [ ]–12 × (4 + 12) × 16 × 12 = 1,536 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร 6) ปรมิ าตรของปริซมึ หา้ เหล่ียม = พืน้ ที่ฐาน × ความสูง [( ) ( )]= –12 × 5 × 4 + 12 × 7 × 10 = 94 × 10 = 940 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 7) ปริมาตรของปริซมึ แปดเหลีย่ ม = พ้ืนทีฐ่ าน × ความสูง = {[2 × (4 × 6.5)] + (3.5 × 7)} × 6.5 = 76.5 × 6.5 = 497.25 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 173 8) ปริมาตรของปรซิ มึ หกเหลย่ี มดา้ นเท่ามุมเท่า = พื้นทฐ่ี าน × ความสูง ( ) = 6 × √—43 × 8 × 8 × 8 = 768√3 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 2. แนวคิด ความจขุ องป๊บี = พื้นท่ีฐาน × ความสงู = (30 × 30) × 55 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร 1) ป ี๊บน�้ำ มันพชื ใบนีม้ ีความจ ุ = (30 × 30) × 55 = 49.5 ลติ ร 1,000 2) น �้ำ มันพืชมปี ริมาตร (30 × 30) × 54 = 48.6 ลิตร 1,000 แ บง่ น�้ำ มนั พืชใสถ่ ุง ถงุ ละ 0.75 ลิตร จะได้น้�ำ มนั พืช 408.7.65 = 4,78560 = 64.8 ถงุ ดังน้นั จะไดน้ ำ้�มันพืชอย่างมาก 64 ถงุ 3. แนวคิด ความจุของห้อง = 2,600 × 1,680 × 550 ลกู บาศก์เซนติเมตร และอากาศ 1 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร หนัก 0.0012 กรมั ดังนั้น น้�ำ หนักของอากาศในหอ้ งน ้ี = (2,600 × 1,680 × 550) × 0.0012 = 2,882,880 กรมั หรือ 2,882.88 กโิ ลกรัม 4. แนวคิด กำ�หนดให ้ h แทนความสูงของระดบั นำ�้ จากก้นอา่ ง ปรมิ าตรของน�ำ้ ในอา่ ง = พื้นท่ฐี าน × h 1,920 = (20 × 12) × h h = 8 เมตร ดังนน้ั ระดับน้ำ�จะตอ้ งสูงจากกน้ อา่ ง 8 เมตร 5. แนวคดิ ปริมาตรของดินที่น�ำ มาถม = 18 × 21 × 0.2 ลกู บาศก์เมตร รถ 1 คัน บรรทกุ ดินได้ = 3.5 × 2 × 1 ลกู บาศกเ์ มตร จ ะตอ้ งซอ้ื ดิน 18 × 2×12××01.2 = 3.5 = 10.8 คันรถ ดงั นั้น พิชยั จะต้องซื้อดินอย่างน้อย 11 คนั รถ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

174 บทท่ี 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก ค่มู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 6. แนวคดิ กำ�หนดให้ d แทนความลึกโดยเฉล่ยี ของคลองส่งน้ำ� ปริมาตรของดนิ ทีข่ ดุ = พ้นื ท่ีฐาน × ความยาวของคลอง [ ] 160,000 = 1–2 × (3 + 5) × d × 12,000 d = 160,000 12,000 × 4 d ≈ 3.33 เมตร ดังนน้ั คลองน้ีมีความลกึ โดยเฉลย่ี ประมาณ 3.33 เมตร 7. แนวคิด ปริมาตรของดนิ ทใ่ี ชท้ �ำ ทางเดิน = ปริมาตรของดินถ้าถมบรเิ วณทงั้ หมด – ปริมาตรของดนิ ที่ถมแปลงปลกู ต้นไม้ [ ] [ ] = (4.5 + 2) × (1.8 + 2) × 1—100–0 – 4.5 × 1.8 × 1—100–0 = (6.5 × 3.8 × 0.1) – (4.5 × 1.8 × 0.1) = 1.66 ลกู บาศกเ์ มตร ดังนนั้ จะต้องใชด้ ินท�ำ ทางเดิน 1.66 ลูกบาศก์เมตร 8. แนวคิด ให้ระดบั น�ำ้ ในบ่อเลยี้ งปลาสูง h เมตร ปริมาตรของนำ�้ ในบ่อ = พ้นื ทีฐ่ าน × ความสงู จะได้ 7.5 = 6 × h h = 1.25 เมตร เน่อื งจากบอ่ ลึก 1.35 เมตร ดงั นั้น ระดับนำ�้ อยู่ต�ำ่ กวา่ ขอบบนของบอ่ = 1.35 – 1.25 = 0.1 เมตร 9. แนวคดิ ในเวลา 1 ชั่วโมง น้ำ�ไหลลงทะเล = 9 × 180 × 4,000 ลกู บาศก์เมตร จ ะได้ ในเวลา 1 วินาที จะมนี �้ำ ไหลลงทะเล = 9 × 180 × 640,000 = 1,800 ลกู บาศก์เมตร 60 × ดังนั้น ปรมิ าตรของน�ำ้ ทไี่ หลลงทะเลในเวลา 1 วินาที เท่ากบั 1,800 ลูกบาศกเ์ มตร 10. แนวคดิ เดิมเสามีปริมาตร = 20 × 20 × 150 = 60,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ส่วนทตี่ ัดออกมีปรมิ าตร = (3 × 8 × 20) + (5 × 12 × 20) = 480 + 1,200 = 1,680 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร เสาท่เี หลอื มปี รมิ าตร = 60,000 – 1,680 = 58,320 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ดงั นั้น เมื่อตัดแลว้ เสาต้นนีม้ ีปริมาตรมากทสี่ ุด 58,320 ลกู บาศก์เซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 175 3.2 พืน้ ที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก (5 ช่ัวโมง) จุดประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. อธิบายลักษณะและสมบัตขิ องทรงกระบอก 2. หาพืน้ ที่ผิวของทรงกระบอกและน�ำ ความร้ไู ปใช้ในการแกป้ ัญหา 3. หาปรมิ าตรของทรงกระบอกและนำ�ความรู้ไปใช้ในการแก้ปัญหา 4. ตระหนกั ถงึ ความสมเหตุสมผลของค�ำ ตอบที่ได้ ความเข้าใจทคี่ ลาดเคล่อื น - ส่ือท่ีแนะน�ำ ให้ใชใ้ นขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ - ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อน้ีเป็นเร่ืองเก่ียวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก ที่ต้องการให้นักเรียนรู้จักส่วนประกอบต่าง ๆ ของ ทรงกระบอก และความหมายของทรงกระบอกในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงให้นักเรียนทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจเพ่ือสร้างข้อสรุป ในการหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก และคาดการณ์ปริมาตรของทรงกระบอกผ่านการสังเกตลักษณะของปริซึมท่ีมีฐานเป็น รูปหลายเหลีย่ มด้านเท่ามมุ เท่า ท่ีมีจ�ำ นวนด้านเพม่ิ ขน้ึ เรื่อย ๆ แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้อาจท�ำ ไดด้ งั นี้ 1. ครนู �ำ นกั เรยี นสนทนาเกยี่ วกบั สงิ่ ของในชวี ติ ประจ�ำ วนั ทม่ี ลี กั ษณะเปน็ ทรงกระบอก และใหน้ กั เรยี นรว่ มกนั อภปิ ราย เพอื่ ใหไ้ ดค้ �ำ จ�ำ กดั ความของทรงกระบอก แลว้ แนะน�ำ ใหน้ กั เรยี นรจู้ กั ความหมายของทรงกระบอกในทางคณติ ศาสตร์ 2. ครแู นะน�ำ ส่วนประกอบต่าง ๆ ของทรงกระบอกโดยใชภ้ าพในหนงั สือเรียน หน้า 125 รวมถึงวตั ถุต่าง ๆ ทอี่ ยู่ใกล้ ตวั นกั เรยี นซงึ่ เปน็ ทรงกระบอก แลว้ ใหน้ ักเรยี นทำ� “กิจกรรม : ตดั กระบอก” ในหนงั สือเรยี น หน้า 126 เพื่อคน้ หา ลกั ษณะของรปู คลี่ และความยาวของสว่ นตา่ ง ๆ ในรปู คล ี่ จากนนั้ จงึ สรปุ หลกั การในการหาพนื้ ทผี่ วิ ของทรงกระบอก และอาจใช้ตัวอย่างในหนังสือเรียน หน้า 127–129 เพื่อตรวจสอบความเข้าใจและเชื่อมโยงสู่สถานการณ์ท่ีใช้ ความรู้เรอื่ งพืน้ ที่ผิวของทรงกระบอกในการแกป้ ัญหา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

176 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3. ครูอภิปรายรว่ มกบั นกั เรยี นถงึ ความแตกตา่ งของฐานของปรซิ มึ และทรงกระบอก แลว้ ชีใ้ ห้นักเรียนเห็นว่าการเพม่ิ จ�ำ นวนดา้ นของฐานซง่ึ เปน็ รปู หลายเหลยี่ มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ ไปเรอ่ื ย ๆ จะไดฐ้ านทม่ี ลี กั ษณะคลา้ ยกบั วงกลม ซง่ึ ท�ำ ให้ ได้ว่าการหาปริมาตรของทรงกระบอกทำ�ได้ในทำ�นองเดียวกับการหาปริมาตรของปริซึม จากน้ันครูและนักเรียน ร่วมกันสรปุ หลักการในการหาปรมิ าตรของทรงกระบอก ครอู าจใช้ตวั อยา่ งในหนังสอื เรยี น หนา้ 132–133 เพอื่ ตรวจสอบความเขา้ ใจและเชื่อมโยงสสู่ ถานการณ์ทีใ่ ช้ความรู้เรือ่ งปรมิ าตรของทรงกระบอกในการแกป้ ญั หา 4. ครใู ช ้ “กิจกรรมทา้ ยบท : นำ้�ค้นั กับบรรจภุ ณั ฑเ์ ก๋ ๆ” ในหนังสือเรียน หนา้ 137 เพอื่ พฒั นาความคดิ สร้างสรรค์ การแก้ปัญหา และการประยุกต์ใช้ความรู้ของนักเรียนในการออกแบบบรรจุภัณฑ์ท่ีมีลักษณะเป็นปริซึมหรือทรง กระบอก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปริซึมและทรงกระบอก 177 กจิ กรรม : ตดั กระบอก กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติ เพ่ือสำ�รวจลักษณะของทรงกระบอกโดยใช้แกนของ ม้วนกระดาษทิชชูเป็นตัวอย่าง อธิบายลักษณะของรูปด้านข้างของทรงกระบอกที่เกิดจากการตัดตามแนวแกนแล้วคลี่ออก รวมถึงหาความกว้างและความยาวของรูปท่ีเกิดข้ึนโดยเชื่อมโยงกับรูปทรงกระบอกเดิมก่อนตัด เพ่ือนำ�ไปสู่การอภิปราย หาข้อสรปุ เกยี่ วกบั การหาพื้นทผี่ วิ ของทรงกระบอก โดยมสี อ่ื /อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดังน้ี สื่อ/อปุ กรณ์ 1. แกนของม้วนกระดาษทชิ ชู 2. กรรไกร 3. เชือก 4. ไม้บรรทดั ขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครแู บง่ นกั เรยี นออกเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4–5 คน แลว้ ใหน้ กั เรยี นใชเ้ ชอื กวดั ความยาวของแกนของมว้ นกระดาษทชิ ชแู ละ ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมท่ีเปน็ ฐาน แลว้ บันทกึ ผลทไี่ ด้ 2. ครูให้นักเรยี นตดั แกนของม้วนกระดาษทชิ ชู ตามแนวแกนและคล่ีออก สงั เกตและอภิปรายรปู ท่เี กิดขึน้ 3. ครูซกั ถามนักเรยี นเพอ่ื เชอื่ มโยงข้อสังเกตทไ่ี ด้ในขอ้ 2 กับข้อมลู ทบ่ี นั ทกึ ได้ในขอ้ 1 4. ครูให้นกั เรียนตอบค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม : ตดั กระบอก 1. รูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉาก 2. ตอบตามข้อมูลทีน่ ักเรยี นวดั ได้ 3. ความกว้างของรปู คล่ีเทา่ กบั ความยาวของแกนของม้วนกระดาษทชิ ชู ซง่ึ เปน็ ความสูงของทรงกระบอก ความยาวของรูปคลเี่ ทา่ กบั ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม ซึ่งเปน็ ฐานของทรงกระบอก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

178 บทท่ี 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชวนคิด 3.5 เฉลยชวนคิด แนวคิด 4 3 ส�วนที่ 4 ipst.me/10015 2 ส�วนที่ 3 1 สว� นที่ 2 4 0 ส�วนที่ 1 3 รปู 2 2 1 0 รปู 1 จากรปู 1 เม่ือวางถังน้ำ�มันในแนวตั้งและถ้าแบ่งความสูงของถังนำ้�มันเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน จะเห็นว่าความจุของ แตล่ ะสว่ นของถงั เท่ากันและเทา่ กบั 4–1 ของถัง จากรปู 2 เมื่อวางถังนำ้�มันในแนวนอนและแบ่งถังนำ้�มันตามแนวเส้นประเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน จะเห็นว่าความจุของ แตล่ ะสว่ นของถังไม่เทา่ กนั กลา่ วคอื โโดดยยททีแแ่่ี ตตล่่ละะสสวว่่ นนจจไุไุ ดดนม้้ าอ้ กยกกวว่า่า 4–14–1 ขขอองงถถังงั ส่วนท่ี 1 และสว่ นท่ี 4 มคี วามจเุ ท่ากนั ส่วนท่ี 2 และส่วนท่ี 3 มคี วามจเุ ทา่ กนั นน่ั คอื ความจขุ องแต่ละส่วนทีเ่ ป็นสว่ นที่ 2 และสว่ นที่ 3 มากกวา่ ความจขุ องแต่ละสว่ นทเ่ี ปน็ ส่วนท่ี 1 และส่วนท่ี 4 เมอ่ื มนี ำ�้ มนั อยใู่ นถงั –21 ของถัง ปรมิ าณน�้ำ มนั จะอยูใ่ นสว่ นท่ี 1 และสว่ นท่ี 2 ดงั นัน้ ระดับของนำ�้ มนั –21 ของถงั จะอยู่ ตรงขดี บอกระดบั 2 ของรูป 2 พอดี เม่ือมีน้ำ�มนั อย่ใู นถงั 4–3 ของถัง นำ้�มนั อกี 4–1 ของถงั จะอยู่ในส่วนที่ 3 แตจ่ ะไมถ่ งึ ขีดบอกระดับ 3 ของรูป 2 ทง้ั น้เี พราะ ความจขุ องสว่ นที่ 3 มากกวา่ 4–1 ของถัง นน่ั คอื น้�ำ มนั ควรอยรู่ ะหวา่ งระดับ 2 กบั ระดบั 3 ของรูป 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 179 เฉลยแบบฝกึ หัด แบบฝึกหดั 3.2 ก 1. แนวคดิ พ้ืนทผ่ี วิ ทต่ี ้องทาสี = ความยาวของเสน้ รอบวงของหนา้ ตดั × ความยาวของสไลเดอรท์ ัง้ หมด = 2πr × 1,000 เมื่อ r แทนความยาวของรัศมีภายนอก (เมตร) ≈ (2 × 3.14 × 1.2) × 1,000 ≈ 7,536 ตารางเมตร ดงั นัน้ จะมีพื้นทีผ่ ิวทตี่ ้องทาสปี ระมาณ 7,536 ตารางเมตร = 1–2 × 2πr = πr เมอื่ r แทนรศั มีของเต็นท์ 2. แนวคิด ความยาวของโคง้ คร่งึ วงกลม = ความยาวของโค้งครง่ึ วงกลม × ความยาวของเตน็ ท์ พนื้ ท่ีของผา้ ใบ ( ) ≈ 3.14 × –25 × 10 ≈ 78.5 ตารางเมตร ดงั น้ัน จะต้องใชผ้ า้ ใบทำ�หลงั คาอย่างนอ้ ย 78.5 ตารางเมตร 3. แนวคดิ ด้านข้างของทรงกระบอกเมอ่ื คลอ่ี อกมาแล้วเปน็ รูปสเี่ หลย่ี มผืนผ้า ความกว้างของรปู ส่เี หล่ยี มผืนผ้าเท่ากับความยาวของเสน้ รอบวงของฐานของทรงกระบอก ซึง่ เท่ากับ 2πr = 2 × π × –25 = 5π ตารางเซนตเิ มตร ความยาวของรูปสเ่ี หล่ียมผนื ผ้าเทา่ กับความสงู ของทรงกระบอก ซงึ่ เทา่ กบั 15 + 2.5 = 17.5 เซนตเิ มตร ดงั น้ัน กระดาษหอ่ ของขวัญทจี่ ะใชป้ ดิ ดา้ นขา้ งของทรงกระบอกจะตอ้ งมพี น้ื ที่อยา่ งนอ้ ย = 5π × 17.5 ≈ 274.75 ตารางเซนติเมตร เน่ืองจาก สริ มิ เี ศษกระดาษห่อของขวญั ทีม่ ีพน้ื ท่ ี 270 ตารางเซนติเมตร ดงั นัน้ เศษกระดาษหอ่ ของขวญั จึงไม่เพียงพอสำ�หรบั แปะรอบทรงกระบอก 4. แนวคิด กระดาษปิดด้านข้างเม่ือคลแ่ี ล้วเปน็ รปู สเ่ี หลยี่ มผืนผา้ ซงึ่ มคี วามกว้าง 1 น้วิ และความยาวเทา่ กบั ความยาวของเสน้ รอบวงของฐาน คือ 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของปอ๋ งแป๋ง จะได้พน้ื ทข่ี องกระดาษปดิ ด้านข้าง = 2πr × 1 ≈ (2 × 3.14 × 2) × 1 ≈ 12.56 ตารางนิ้ว ดังนน้ั ถ้าต้องการใช้กระดาษปิดด้านข้างของปอ๋ งแป๋งใหด้ ูเรยี บร้อย กระดาษควรมีพ้นื ที่อยา่ งน้อย 12.56 ตารางน้วิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

180 บทท่ี 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 5. แนวคดิ เนอ่ื งจากสามารถคลมุ พลาสตกิ ได้ 2 แบบ จึงต้องพจิ ารณาทลี ะแบบ ดงั นี้ แบบที่ 1 คลมุ ตามขวางของโครงเหลก็ ดา้ นบน แปลงเพาะเห็ดยาว 5 เมตร พลาสติกมีหนา้ กว้าง 1.4 เมตร และเม่ือคลุมโครงเหล็กดา้ นบนต้องมสี ่วนทซ่ี ้อนทับกนั 0.10 เมตร ด งั นน้ั จะต้องใช้พลาสตกิ 1  .4 5– 0 . 1 ≈ 3.85 แผน่ ซ่ึงคิดเป็น 4 แผ่น พลาสติกแต่ละแผ่นต้องคลุมโครงเหล็กที่มีรูปร่างเป็นทรงกระบอกผ่าคร่ึงรัศมี 2 เมตร และมีส่วนที่อยู่บน พน้ื ดินแต่ละขา้ ง 0.30 เมตร 2π × 2 2 ด ังน้ัน พลาสติกแต่ละแผน่ ตอ้ งยา วอยา่ งน้อยเท่ากบั + (2 × 0.3) ≈ (2 × 3.14) + 0.6 ≈ 6.88 เมตร นั่นคอื จะตอ้ งใช้พลาสตกิ ยาวอย่างนอ้ ยประมาณ 4 × 6.88 หรือ 27.52 เมตร แบบท่ี 2 คลมุ ตามความยาวของโครงเหลก็ ดา้ นบน จากข้อมูลท่คี �ำ นวณไวแ้ ล้วในแบบที่ 1 ถา้ คลุมตามความยาวของโครงเหล็กดา้ นบน    6.88   จ ะต้องใช้พลาสตกิ 1.4 – 0.1 ≈ 5.29 แผน่ ซงึ่ คิดเปน็ 6 แผน่ พลาสตกิ แตล่ ะแผน่ ตอ้ งยาว 5 เมตร เทา่ กบั ความยาวของแปลงเพาะเหด็ น่นั คอื จะตอ้ งใชพ้ ลาสตกิ ยาวอยา่ งนอ้ ยประมาณ 6 × 5 หรือ 30 เมตร จากขอ้ มลู ขา้ งต้นสรปุ ได้ว่า ต้องคลุมแปลงเพาะเหด็ ด้วยแบบที่ 1 จงึ จะใช้พลาสตกิ น้อยทสี่ ดุ และใชพ้ ลาสตกิ ยาวอยา่ งนอ้ ยประมาณ 27.52 เมตร แบบฝกึ หัด 3.2 ข 1. แนวคดิ ความจขุ องแก้วนำ�้ ทรงกระบอก ≈ 3.14 × 42 × 10 ≈ 502.4 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร ดงั นน้ั แก้วนำ�้ ใบนจ้ี ะจนุ ้ำ�ไดป้ ระมาณ 502.4 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 2. แนวคดิ กำ�หนดให้ r แทนรัศมีภายในของถงั และเนอ่ื งจากเส้นรอบวงภายในถงั ยาว 3.14 เมตร จะได ้ 2πr = 3.14 2 × 3.14 × r ≈ 3.14 r = –12 เมตร เนื่องจาก ถังเกบ็ น้ำ�ฝนทรงกระบอกสูง 4 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 181 ( ) ดงั น้ัน ความจุของถงั เก็บน�้ำ ฝนทรงกระบอก ≈ 3.14 × –12 2 × 4 ลูกบาศก์เมตร นน่ั คอื ถงั ใบน้เี ก็บน้ำ�ฝนได้มากที่สุดประมาณ 3.14 ลกู บาศก์เมตร 3. แนวคิด ความจขุ องกระป๋องใบเตยี้ = ความจขุ องกระป๋องใบสงู π × 5 × 5 × h = π × –27 × –27 × 10 = –27 × –57 h h = 4.9 ดงั นั้น ความสงู ของกระปอ๋ งใบเตี้ยเป็น 4.9 เซนตเิ มตร 4. แนวคิด ปริมาตรของเค้กท้งั ก้อน ≈ 3.14 × 10.5 × 10.5 × 5 ≈ 1,730.925 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร เนอื่ งจาก มมุ รอบจดุ มขี นาด 360° และเค้กชิน้ ท่ีตดั แบง่ ออกมามีมมุ ท่ีจุดศูนยก์ ลางขนาด 60° แสดงว่าเคก้ ชิ้นทต่ี ัดแบ่งออกมามีปรมิ าตรคิดเปน็ 3—660–0 หรือ –16 ของเคก้ ท้งั ก้อน ด งั นนั้ เ คก้ ช้นิ ทีต่ ดั แบ่งออกม ามปี ริมาตร ≈ 1,7360.925 ≈ 288.4875 ลกู บาศก์เซนติเมตร 5. แนวคดิ เม่อื r1 แทนรศั มีภายนอก r2 แทนรศั มีภายในของทอ่ และ h เปน็ ความยาวของทอ่ ปรมิ าตรของวสั ดุที่ใชท้ ำ�ทอ่ ระบายน้�ำ = πr12h – πr22h = ( )πh r12 – r22 ≈ [(— ) ( ) ]3.14 × 45 × 11 2 – 2–8 2 ≈ 2 3.14 × 45 × —547 ≈ 2,013.525 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร ดังนั้น ปรมิ าตรของวัสดุทใ่ี ช้ท�ำ ทอ่ ระบายน�ำ้ ท่อนนี้ประมาณ 2,013.525 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 6. แนวคิด ใใชน้นชำ�้่วเงฉเวลลยี่ าวนั8ล8ะว นั 2–1 ต ล้อกู งเบกา็บศนก้�ำ เ์ มไวต้ใรช ไ้ ม ่น้อยกว่า 2–1 × 88 = 44 ลูกบาศกเ์ มตร ดังนน้ั ถ้าต้องการสรา้ งถังเกบ็ น้ำ�ฝนทรงกระบอกขนาดเท่ากนั 4 ใบ แตล่ ะใบควรจนุ ้ำ�ได้ 4—44 หรอื 11 ลกู บาศกเ์ มตร ถา้ ตอ้ งการใหถ้ งั เกบ็ น้ำ�มคี วามสงู 32–1 เมตร และ r แทนรศั มีภายในของถงั เก็บนำ้� สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

182 บทท่ี 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 จะได้ 3.14 × r2 × 32–1 ≈ 11 3.14 × r2 × –27 ≈ 11 r2 ≈ 1 r ≈ 1 เมตร ดงั นัน้ จะต้องสรา้ งถงั เก็บน�้ำ ให้มเี ส้นผ่านศูนยก์ ลางภายในยาวประมาณ 2 เมตร 7. แนวคดิ ถา้ ใหค้ วามสูงของนำ้�พริกขวดใบสงู เทา่ กบั h หนว่ ย และ รัศมีของปากขวดเทา่ กบั r หนว่ ย จะได้ ความสูงของนำ้�พริกขวดใบเตี้ยเทา่ กับ –2h หนว่ ย และรัศมีของปากขวดเทา่ กับ 2r หน่วย ปรมิ าตรของน้ำ�พริกขวดใบสูง = πr2h ( ) ปรมิ าตรของน�ำ้ พริกขวดใบเตี้ย = π(2r)2 –2h = π × 2r × 2r × –2h = 2πr2h นัน่ คือ นำ�้ พรกิ ขวดใบเต้ยี มปี ริมาตรเป็นสองเท่าของนำ้�พรกิ ขวดใบสงู ดังนนั้ เพ่ือใหไ้ ดน้ �้ำ พริกเผาท่ีมีปรมิ าตรเท่ากัน จะตอ้ งซือ้ นำ�้ พริกเผาขวดใบสูงสองขวดในราคา 2 × 16 = 32 บาท เนือ่ งจากนำ้�พรกิ เผาขวดใบเตี้ย ราคา 30 บาท ดังนนั้ ซ้อื น้ำ�พริกเผาขวดใบเต้ยี มรี าคาถกู กวา่ [ ( )] 8. แนวคดิ ปริมาตรของขา้ วหลาม 100 กระบอก ≈ 100 × 3.14 × –25 × –25 × –32 × 30 ≈ 39,250 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร ค ดิ เป็นข้า วเหนียวทผ่ี สมแล้วเปน็ ลติ รได ้ ≈ 319,0,20500 ลิตร เน่อื งจากใชข้ า้ วเหนียวขาวทีผ่ สมพรอ้ มแลว้ 1 ส่วน ขา้ วเหนียวด�ำ ทผี่ สมพร้อมแลว้ 4 สว่ น รวมม ี 5 ส่วน ด งั นน้ั ต้องใชข้ า้ วเหนยี วขาวท ีผ่ ส มพร อ้ มแล้วประ มาณ –51 × 319,0,20500 = 7.85 ≈ 8 ลติ ร แ ละใชข้ า้ วเหนยี วด�ำ ท ่ีผสม พร้อ มแลว้ ประม าณ –54 × 319,0,20500 = 31.4 ≈ 32 ลิตร* * หมายเหตุ : ต้องใชค้ ่าประมาณทปี่ ัดขน้ึ เพอ่ื ให้มีข้าวเหนยี วเพียงพอในการท�ำ ข้าวหลาม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก 183 9. แนวคดิ 1) ความจุของทอ่ ทหี่ นงึ่ ≈ 3.14 × 30 × 30 × 40 ≈ 113,040 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร ความจุของทอ่ ที่สอง ≈ 3.14 × 20 × 20 × 90 ≈ 113,040 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร 2) เนื่องจาก ท่อท้ังสองมีความหนาและความจุเท่ากัน จึงเป็นการเพียงพอท่ีจะพิจารณาว่าท่อชนิดใด ใชว้ สั ดนุ อ้ ยกว่าโดยพิจารณาวา่ ทอ่ ชนิดใดมพี ้นื ที่ผิวขา้ งของทอ่ นอ้ ยกว่า เน่อื งจาก พ้ืนทผ่ี วิ ขา้ งของทรงกระบอก เท่ากับ ความยาวรอบฐาน × ความสงู จะได ้ พน้ื ทผ่ี ิวข้างของทอ่ ทีห่ นึง่ ประมาณ (2 × 3.14 × 30) × 40 ≈ 7,536 ตารางเซนตเิ มตร พืน้ ที่ผวิ ข้างของทอ่ ท่ีสองประมาณ (2 × 3.14 × 20) × 90 ≈ 11,304 ตารางเซนตเิ มตร ดังน้นั ท่อที่หน่ึงใชว้ สั ดนุ อ้ ยกว่า 10. แนวคิด ใหค้ วามกวา้ งของกระดาษรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากแทนความสงู (h) ของทรงกระบอก และ ความยาวของกระดาษ รปู ส่เี หลยี่ มมมุ ฉากแทนความยาวรอบฐาน (L) ของทรงกระบอก เนอ่ื งจาก กระดาษรปู ส่เี หลยี่ มมมุ ฉากท่นี �ำ มามว้ นเปน็ ทรงกระบอกฐานเปิดท้ังสองข้างมีความยาวรอบรปู เทา่ กบั 40 นว้ิ ดังรูป h จะได้ h + L = 20 L และ L = 20 – h เนื่องจาก ความยาวรอบฐานของทรงกระบอก = 2πr เม่อื r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก L = 2πr = —2Lπ r เน่อื งจาก ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h 2 ( ) —2Lπ แทน r ด้วย —2Lπ จะได ้ ปริมาตรของทรงกระบอก = π h ( )= π —4Lπ–22 h = —h4Lπ–2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

184 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 พิจารณาความจขุ องทรงกระบอกจากความสงู (h) และความยาวรอบฐาน (L) โดยใชต้ ารางแจกแจงกรณี ดังนี้ กรณี ความสูง (h) ความยาวรอบฐาน (L) ความจโุ ดยประมาณของทรงกระบอก = —h4Lπ2 1 1 19 2 2 18 28.74 3 3 17 51.59 4 4 16 69.03 5 5 15 81.53 6 6 14 89.57 7 7 13 93.63 8 8 12 94.19 9 9 11 91.72 10 10 10 86.70 11 11 79.62 12 12 9 70.94 13 13 8 61.15 14 14 7 50.72 15 15 6 40.13 16 16 5 29.86 17 17 4 20.38 18 18 3 12.18 19 19 2 1 5.73 1.51 จากตาราง พบวา่ กรณีที่ 7 จะได้ทรงกระบอกท่มี คี วามจุมากที่สดุ ดงั นั้น กระดาษทน่ี �ำ มาสร้างทรงกระบอกฐานเปดิ ควรมีความกวา้ ง 7 น้วิ และมีความยาว 13 น้ิว จงึ จะไดท้ รงกระบอกท่ีมีความจุมากท่สี ุดและมคี วามจุประมาณ 94.19 ลกู บาศก์น้วิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 185 กจิ กรรมท้ายบท : น้ำ� คน้ั กบั บรรจุภัณฑเ์ ก๋ ๆ กจิ กรรมน้ี มงุ่ หวงั ให้นกั เรียนได้ประยุกต์ใช้ความร้คู วามเข้าใจในเร่ืองปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอก เพอ่ื ออกแบบ บรรจภุ ณั ฑใ์ หส้ ามารถบรรจสุ งิ่ ของตามปรมิ าตรทก่ี �ำ หนดให ้ ซงึ่ นกั เรยี นจะเหน็ ไดว้ า่ จากปรมิ าตรทกี่ �ำ หนดให้ สามารถสรา้ งปรซิ มึ และทรงกระบอกใหม้ ีความจดุ ังกล่าวได้อย่างหลากหลาย โดยมสี อ่ื /อุปกรณ์ และขัน้ ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดังนี้ สื่อ/อุปกรณ์ 1. กระดาษ A4 2. ดนิ สอ/ปากกา 3. ไม้บรรทดั ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4–5 คน แล้วให้นักเรียนช่วยกันร่างแบบบรรจุภัณฑ์ที่มีลักษณะเป็นปริซึม หรือทรงกระบอก สามารถบรรจุของเหลวทมี่ ปี รมิ าตร 250 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร โดยเนน้ ย้ำ�ใหน้ ักเรียนวาดรปู คลข่ี อง บรรจุภัณฑ์ ระบุขนาดของส่วนต่าง ๆ ของบรรจุภัณฑ์ด้วย พร้อมท้ังแสดงการคำ�นวณหาความจุของบรรจุภัณฑ์ท่ี นกั เรยี นออกแบบ 2. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนำ�เสนอผลงาน โดยเน้นให้นักเรียนอธิบายแนวคิดที่เกิดข้ึนในการออกแบบ และความเหมาะสมของแบบร่าง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

186 บทที่ 3 | ปริซึมและทรงกระบอก คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกจิ กรรมท้ายบท : นำ�้ คน้ั กับบรรจภุ ณั ฑเ์ ก๋ ๆ คำ�ตอบอาจมีได้หลากหลาย แต่แบบร่างบรรจุภัณฑ์ควรแสดงให้เห็นว่าบรรจุภัณฑ์สามารถบรรจุของเหลวท่ีมีปริมาตร อย่างน้อย 250 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร เฉลยแบบฝึกหัดท้ายบท 1. แนวคิด เนื่องจากบา้ นของเดชามลี กั ษณะเปน็ ลูกบาศกซ์ ง่ึ มคี วามยาวด้านละ 6 เมตร ดงั นนั้ ถ้าเดชาต้องทาสภี ายนอกบ้าน 1 รอบ จะเท่ากับทาสีผนงั ภายนอก 4 ด้าน จะไดว้ ่า พื้นทท่ี เ่ี ดชาต้องทาสภี ายนอกบ้าน 1 รอบ เท่ากบั พื้นทข่ี องรปู สี่เหลย่ี มจัตุรัส × 4 = (6 × 6) × 4 = 144 ตารางเมตร เนอื่ งจากเดชาตอ้ งการทาสีภายนอกบา้ น 2 รอบ ดังน้นั เดชาจะตอ้ งทาสีภายนอกบา้ นทั้งหมด เท่ากบั 144 × 2 = 288 ตารางเมตร เนื่องจาก ถ้าทาสบี ้าน 30 ตารางเมตร จะต้องใช้สที าบ้าน 1 กระปอ๋ ง ดงั น้ัน ถ้าทาสบี า้ น 288 ตารางเมตร จะตอ้ งใช้สที าบ้าน —2380–8 กระปอ๋ ง หรอื ประมาณ 9.6 กระป๋อง นนั่ คือ เดชาจะต้องซอ้ื สที าบ้านทงั้ หมด 10 กระปอ๋ ง 2. แนวคิด เนื่องจากแผน่ อะลมู ิเนยี มหนา 0.4 น้ิว และมีเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางยาว 6 น้วิ จะไดว้ ่า อะลูมิเนียมแผน่ น้ีมีปรมิ าตรเท่ากบั π(32) × 0.4 หรือ 3.6π ลกู บาศกน์ ิว้ กระปอ๋ งแบบท่ีหนึ่ง มีเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางภายในยาว 3.5 นว้ิ สงู 2.25 นิว้ ฐานกระปอ๋ งหนา 0.25 น้ิว สมมตุ ใิ ห้ดา้ นข้างหนา a น้วิ จะได ้ ปรมิ าตรของดา้ นข้างกระป๋องซึ่งไมร่ วมฐาน เท่ากบั [π(1.75 + a)2 × 2] – [π(1.75)2 × 2] ลูกบาศก์น้วิ และปรมิ าตรของฐานกระปอ๋ ง เทา่ กบั π(1.75 + a)2 × 0.25 ลูกบาศก์นวิ้ จะไดว้ า่ [π(1.75 + a)2 × 2] – [π(1.75)2 × 2] + [π(1.75 + a)2 × 0.25] = 3.6π (1.75 + a)2 – (1.75)2 + (1.75 + a)2(0.125) = 1.8 (1.125)(1.75 + a)2 = 1.8 + (1.75)2 = 4.8625 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 187 (1.75 + a)2 ≈ 4.322 1.75 + a ≈ 2.079 a ≈ 0.329 กระปอ๋ งแบบทีส่ อง มีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางภายในยาว 2.6 นว้ิ สูง 5 นิว้ ฐานกระปอ๋ งหนา 0.25 นวิ้ สมมตุ ิใหด้ ้านข้างหนา b นว้ิ จะได้ ปริมาตรของดา้ นข้างกระปอ๋ งซึง่ ไมร่ วมฐาน เท่ากบั [π(1.3 + b)2 × 4.75] – [π(1.3)2 × 4.75] ลกู บาศกน์ ้วิ และปรมิ าตรของฐานกระป๋อง เท่ากับ π(1.3 + b)2 × 0.25 ลูกบาศกน์ ิ้ว จะไดว้ ่า [π(1.3 + b)2 × 4.75] – [π(1.3)2 × 4.75] + [π(1.3 + b)2 × 0.25] = 3.6π (1.3 + b)2(4.75 + 0.25) = 3.6 + [(1.3)2 × 4.75] (5)(1.3 + b)2 = 11.6275 (1.3 + b)2 = 2.3255 1.3 + b ≈ 1.5250 b ≈ 0.225 นั่นคือ ดา้ นขา้ งของกระป๋องทั้งสองแบบหนาตา่ งกนั ประมาณ 0.329 – 0.225 = 0.104 นิ้ว 3. แนวคิด คุณแมม่ ีเศษเทียนไขเหลือใชอ้ ยู่ 1 กิโลกรัม คิดเป็นปริมาตรเทียนไขเหลว 1.25 ลิตร หรือ 1,250 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร คณุ แม่จะนำ�เศษเทียนไขมาหลอมใหมเ่ ปน็ เทียนหอมทรงกระบอก 3 ขนาด คอื เทียนหอมขนาดที่ 1 มีรัศมี 2.5 เซนตเิ มตร และมีความสงู 5 เซนตเิ มตร เทียนหอมขนาดที่ 2 มรี ัศม ี 2 เซนติเมตร และมีความสงู 10 เซนตเิ มตร เทียนหอมขนาดท่ี 3 มรี ัศมี 1 เซนตเิ มตร และมคี วามสงู 20 เซนติเมตร เนอ่ื งจาก ปริมาตรของทรงกระบอก = พ้นื ทฐี่ าน × ความสงู จะได ้ ปริมาตรของเทยี นหอมขนาดท่ี 1 ≈ 3.14 × 2.52 × 5 ≈ 98.125 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ปรมิ าตรของเทียนหอมขนาดท่ี 2 ≈ 3.14 × 22 × 10 ≈ 125.6 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร ปริมาตรของเทียนหอมขนาดท่ี 3 ≈ 3.14 × 12 × 20 ≈ 62.8 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร จะเห็นวา่ ปรมิ าตรของเทียนหอมขนาดที่ 2 เปน็ สองเทา่ ของปรมิ าตรของเทียนหอมขนาดที่ 3 ดังนน้ั เพ่ือความสะดวก จงึ ควรพิจารณาทุกกรณีท่ีเปน็ ไปได้ของจ�ำ นวนเทียนหอมเพียง 2 ขนาด คอื ขนาดท่ี 1 และขนาดท่ี 3 หลังจากนน้ั จงึ จะพิจารณาจำ�นวนเทียนหอมขนาดที่ 2 ดังตารางตอ่ ไปน้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

188 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 จ�ำ นวน จำ�นวน ปรมิ าตรของเทียนหอม ปริมาตรของเทียนทน่ี ำ� เทยี นหอม เทยี นหอม ท้ังหมด มาหลอมที่ยงั เหลอื อยู่ ขนาดท่ี 1 (แทง่ ) ขนาดท่ี 3 (แทง่ ) (ลบ.ซม.) (ลบ.ซม.) 1 18 1,228.525 21.475 48.95 2 16 1,201.05 13.625 41.1 3 15 1,236.375 5.775 33.25 4 13 1,208.9 60.725 25.4 5 12 1,244.225 52.875 17.55 6 10 1,216.75 45.025 7 8 1,189.275 9.7 87 1,224.6 9 5 1,197.125 10 4 1,232.45 11 2 1,204.975 12 1 1,240.3 หมายเหตุ ตวั อย่างการคำ�นวณ (บรรทดั ท่ี 5) ปริมาตรของเทียนหอมทงั้ หมด = (5 × 98.125) + (12 × 62.8) = 1,244.225 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ปรมิ าตรของเทยี นทีย่ งั เหลืออยู่ = 1,250 – 1,244.225 = 5.775 ลูกบาศก์เซนติเมตร จากตารางจะเหน็ ว่า กรณที ่ีหลอ่ เทียนหอมขนาดที่ 1 จำ�นวน 5 แทง่ และหล่อเทียนหอมขนาดที่ 3 จำ�นวน 12 แทง่ จะเหลอื เศษเทยี นไขนอ้ ยท่ีสดุ แตเ่ ราทราบแลว้ ว่า เทียนหอมขนาดท่ี 2 มีปรมิ าตรเปน็ สองเท่าของเทียนหอมขนาดที่ 3 จึงหา จ�ำ นวนเทยี นหอมขนาดต่าง ๆ ท้ังสามขนาดไดเ้ ปน็ 5 แบบดงั นี้ แบบท่ี จ�ำ นวนเทียนหอม (แท่ง) 1 ขนาดท่ี 1 ขนาดท่ี 2 ขนาดที่ 3 2 3 5 1 10 4 528 5 536 544 552 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปริซึมและทรงกระบอก 189 4. แนวคดิ พิจารณาทรงสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากท่มี ีขนาดเท่ากับ H × W × L ลูกบาศกห์ นว่ ย จะได ้ ปริมาตรของทรงสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากนเี้ ทา่ กับ HWL หรือ a ลูกบาศกห์ น่วย และ พนื้ ทีผ่ ิวของทรงสเี่ หล่ียมมมุ ฉากนี้ เท่ากับ 2WL + 2LH + 2WH หรอื a ตารางหนว่ ย เนอื่ งจากตอ้ งการหา H, W และ L ท่เี ป็นจ�ำ นวนเตม็ ซง่ึ ท�ำ ให้พน้ื ที่ผวิ เท่ากับปริมาตร นน่ั คือ 2WL + 2LH + 2WH = HWL จะได ้ HWL – 2WL – 2LH = 2WH L(HW – 2W – 2H) = 2WH ด งั นนั้ L = H  W   –22WWH –  2 H  หน่วย เพื่อความสะดวกในการพิจารณา สมมุติให้ H ≤ W ≤ L และจะพิจารณาค่าของ H ทีละกรณีตั้งแต่ 1 เป็นต้นไป ดังนี้ จะได้ L =      2W      ก รณี 1 ถา้ H = 1 W – 2W – 2 = -  W 2W–  2   = -   2W  W+2 เนือ่ งจาก W มีค่าเปน็ จ�ำ นวนบวก จะเหน็ วา่ ในกรณนี ี ้ L จะเปน็ จำ�นวนลบเสมอ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ก รณี 2 ถา้ H = 2 จะได ้ L =      4W     2W – 2W – 4 = 4-4W = -W เนอื่ งจาก W มคี ่าเป็นจ�ำ นวนบวก จะเหน็ วา่ ในกรณีนี้ L จะเป็นจำ�นวนลบเสมอ ซงึ่ เป็นไปไมไ่ ดเ้ ชน่ กัน ก รณี 3 ถ้า H = 3 จะได้ L =        6W        3W – 2W – 6 =   6W  W–6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

190 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 จะเห็นวา่ W จะตอ้ งมีคา่ ต้ังแต่ 7 ข้นึ ไป ดงั นั้น จะพจิ ารณาคา่ ทเ่ี ป็นไปได้ของ W และ L ดงั ตารางตอ่ ไปน้ี H W L = W 6–W 6 3 7 42 3 8 24 3 9 18 3 10 15 3 11 13.2 3 12 12 3 13 ≈ 11.14 จะเห็นว่า เมือ่ W มีค่ามากข้นึ L จะมคี ่าลดลง และเมอื่ W มีค่ามากกวา่ 12 L มคี า่ น้อยกว่า W ซึ่งขัดแยง้ กบั ทส่ี มมุติว่า H ≤ W ≤ L ดงั น้นั ถา้ H = 3 จะมที รงสเ่ี หล่ยี มมุมฉาก 5 ขนาด ทท่ี �ำ ใหพ้ น้ื ท่ผี ิวเท่ากับปรมิ าตร ได้แก่ ขนาด 3 × 7 × 42 ลูกบาศก์หนว่ ย ขนาด 3 × 8 × 24 ลูกบาศกห์ น่วย ขนาด 3 × 9 × 18 ลกู บาศก์หน่วย ขนาด 3 × 10 × 15 ลกู บาศก์หนว่ ย ขนาด 3 × 12 × 12 ลูกบาศก์หนว่ ย ก รณี 4 ถ้า H = 4 จะได้ L =      8W     4W – 2W – 8 =    8W    2W – 8 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก 191 จะเหน็ วา่ W จะต้องมีค่าตัง้ แต่ 5 ขึน้ ไป ดังนั้น จะพจิ ารณาค่าที่เป็นไปไดข้ อง W และ L ดังตารางตอ่ ไปน้ี H W L = 2  W 8W–   8 4 5 20 4 6 12 4 7 ≈ 9.33 488 4 9 7.2 จะเหน็ ว่า เม่อื W มคี า่ มากขน้ึ L จะมคี า่ ลดลง และเมอ่ื W มคี ่ามากกว่า 8 L มคี า่ นอ้ ยกวา่ W ซงึ่ ขัดแยง้ กับท่ีสมมุติวา่ H ≤ W ≤ L ดังนน้ั ถ้า H = 4 จะมีทรงสเี่ หลยี่ มมุมฉาก 3 ขนาด ทท่ี ำ�ให้พ้นื ท่ผี วิ เท่ากับปริมาตร ได้แก ่ ขนาด 4 × 5 × 20 ลกู บาศก์หนว่ ย ขนาด 4 × 6 × 12 ลูกบาศกห์ น่วย ขนาด 4 × 8 × 8 ลกู บาศกห์ นว่ ย ก รณี 5 ถ้า H = 5 จะได้ L =      10W     5W – 2W – 10 =    10W    3W – 10 จะเห็นว่า W ตอ้ งมคี ่าต้งั แต่ 4 ข้ึนไป แต่เน่ืองจาก H ≤ W ดังน้นั จะพิจารณาค่า W ทีม่ ีค่า ตั้งแต่ 5 ข้ึนไป ดังตาราง H W L = 3  W 10–W1   0 5 5 10 5 6 7.5 5 7 ≈ 6.36 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

192 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 จะเห็นว่า เมอ่ื W มคี า่ มากข้นึ L จะมคี า่ ลดลง และเม่อื W มคี า่ มากกว่า 6 L จะมคี ่านอ้ ยกว่า W ซ่ึงขดั แย้งกบั ทีส่ มมตวิ า่ H ≤ W ≤ L ดังนั้น ถา้ H = 5 จะมีทรงสี่เหลยี่ มมุมฉาก 1 ขนาด ที่ท�ำ ใหพ้ น้ื ที่ผวิ เทา่ กับปริมาตร ไดแ้ ก ่ ขนาด 5 × 5 × 10 ลูกบาศก์หนว่ ย ก รณี 6 ถ้า H = 6 จะได ้ L =      12W     6W – 2W – 12 =    12W    4W – 12 จะเหน็ ว่า W ต้องมคี ่าต้ังแต่ 4 ขน้ึ ไป แต่เนอื่ งจาก H ≤ W ดังนน้ั จะพจิ ารณาค่า W ทีม่ คี ่า ต้งั แต่ 6 ข้ึนไป ดงั ตาราง H W L = 4  W 12–W 1  2 66 6 67 5.25 จะเห็นวา่ เมอ่ื W มคี า่ มากข้ึน L จะมคี ่าลดลง และเมือ่ W มีค่ามากกวา่ 6 L จะมคี ่านอ้ ยกว่า W ซ่งึ ขัดแยง้ กับท่สี มมตุ ิว่า H ≤ W ≤ L ดงั นัน้ ถ้า H = 6 จะมที รงสเ่ี หล่ียมมุมฉาก 1 ขนาด ที่ทำ�ใหพ้ ้นื ท่ผี วิ เท่ากับปริมาตร ไดแ้ ก่ ขนาด 6 × 6 × 6 ลกู บาศก์หนว่ ย กรณี 7 ถา้ H มคี ่าตัง้ แต่ 7 ข้ึนไป จากแนวคดิ ในกรณี 6 จะเหน็ ว่า ไมม่ คี ่าของ W และ L ท่เี ปน็ ไปได้ ดังนน้ั จากกรณี 3 ถึงกรณี 6 สรปุ ไดว้ ่า ทรงสเี่ หลยี่ มมมุ ฉากที่มีขนาด H × W × L ลูกบาศก์หนว่ ย ซึง่ ท�ำ ใหพ้ ้ืนทีผ่ วิ เท่ากบั ปริมาตรหรือ 2WL + 2LH + 2WH เท่ากบั HWL มีทง้ั หมด 10 แบบ ไดแ้ ก่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 193 1. ขนาด 3 × 7 × 42 ลกู บาศก์หน่วย 2. ขนาด 3 × 8 × 24 ลูกบาศกห์ น่วย 3. ขนาด 3 × 9 × 18 ลูกบาศก์หนว่ ย 4. ขนาด 3 × 10 × 15 ลกู บาศก์หน่วย 5. ขนาด 3 × 12 × 12 ลกู บาศกห์ น่วย 6. ขนาด 4 × 5 × 20 ลกู บาศกห์ น่วย 7. ขนาด 4 × 6 × 12 ลูกบาศก์หนว่ ย 8. ขนาด 4 × 8 × 8 ลูกบาศก์หน่วย 9. ขนาด 5 × 5 × 10 ลกู บาศกห์ น่วย 10. ขนาด 6 × 6 × 6 ลกู บาศกห์ น่วย คา่ a ที่เป็นไปได้มที ัง้ หมด 10 คา่ เชน่ กนั คือ 216, 250, 256, 288, 400, 432, 450, 486, 576 และ 882 5. คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย แนวคดิ แตงโมทรงลกู บาศก์มีด้านยาวดา้ นละ 6 นว้ิ จะมีปริมาตรเทา่ กับ 6 × 6 × 6 = 216 ลกู บาศก์น้วิ เนื่องจาก ต้องการผลิตแตงโมที่มลี กั ษณะเปน็ ปรซิ ึมหกเหล่ยี มด้านเทา่ มุมเทา่ ทม่ี ีปริมาตร 216 ลูกบาศกน์ ิว้ จะต้องหาพืน้ ที่ของฐานปรซิ มึ หกเหลย่ี มด้านเทา่ มมุ เท่าและความสูงของแตงโมท่ตี อ้ งการผลิต หาพ้ืนท่ีของฐานปริซึมหกเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า โดยแบ่งรูปหกเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่าออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ด้านเท่าได้ 6 รูป กำ�หนดให้รูปสามเหล่ียมดา้ นเท่าแตล่ ะรปู มดี ้านยาวด้านละ a นว้ิ และสงู x น้วิ ดงั รปู x2 = a2 – –2a 2 ( )จะได ้ x = √—32–a น้วิ ดงั นั้น a x a นน่ั คือ พน้ื ที่ของฐานของแตงโมทรงปริซมึ หกเหล่ียมดา้ นเทา่ มมุ เทา่ a ( )เ ท่ากบั 6 × –21 × a × √—32–a = 3√23a2 ตารางนิว้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

194 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 กำ�หนดให้ h แทนความสูงของแตงโมทรงปรซิ มึ หกเหลย่ี มด้านเทา่ มุมเท่า เนื่องจาก ปริมาตรของปริซึม = พ้ืนทฐี่ าน × ความสูง 3√3a2 2 จ ะได ้ ป รมิ าตรของแตงโมทรงหกเหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เท่า = × h ดังนนั้ 3√23a2h = 216 หรอื a2h ≈ 83.14 พิจารณาความยาวของด้านของฐานแตงโมทรงปริซึมหกเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า (a) และความสูงโดยประมาณ (h) บางคา่ ที่เป็นไปได้ ดังตาราง 2 ตารางตอ่ ไปน้ี ตารางท่ี 1 เมอื่ ให้ความยาวของดา้ นของฐานแตงโมเป็นจ�ำ นวนเตม็ a (น้วิ ) h (นิว้ ) 1 83.14 2 20.79 3 9.24 4 5.20 5 3.33 6 2.31 7 1.70 จากตาราง จะสังเกตเห็นวา่ กรณีที่ดา้ นของฐานแตงโมทรงปริซมึ หกเหลี่ยมด้านเทา่ มุมเทา่ สัน้ หรอื ยาวเกนิ ไป จะไดค้ วามสูงทีไ่ ม่เหมาะสม ในท่นี ้ี จะเลือกความยาวของดา้ นท่ใี กลเ้ คียงกบั ความสูงของแตงโม นน่ั คอื ความยาวของ ดา้ นที่เหมาะสมมีคา่ ตัง้ แต่ 3 ถึง 5 น้ิว และความสูงที่เหมาะสมมีคา่ ประมาณตั้งแต่ 3.33 น้วิ ถงึ 9.24 น้วิ น่ันคือ 1. ถ้าฐานยาวด้านละ 3 นว้ิ แตงโมจะสงู ประมาณ 9.24 น้วิ 2. ถ้าฐานยาวด้านละ 4 นวิ้ แตงโมจะสงู ประมาณ 5.20 น้วิ 3. ถา้ ฐานยาวด้านละ 5 นิ้ว แตงโมจะสงู ประมาณ 3.33 นวิ้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 195 ตารางท่ี 2 เม่อื ให้ความสูงของแตงโมเปน็ จ�ำ นวนเตม็ h (นวิ้ ) a (นิ้ว) 1 9.12 2 6.44 3 5.26 4 4.56 5 4.08 6 3.72 7 3.45 8 3.22 9 3.04 10 2.88 11 2.75 12 2.63 จากตาราง จะสงั เกตเหน็ วา่ ถา้ ความสงู ของแตงโมนอ้ ยหรอื มากเกนิ ไป จะไดค้ วามยาวของดา้ นของฐานแตงโม ทรงปริซึมหกเหล่ียมด้านเทา่ ไม่เหมาะสม ในท่ีนจี้ ะเลอื ก ความยาวของดา้ นที่เหมาะสมมีคา่ ประมาณตัง้ แต่ 3.04 ถงึ 4.08 และความสงู ท่เี หมาะสมมี คา่ ตง้ั แต่ 3 ถงึ 9 น่ันคอื 1. ถา้ แตงโมสูง 3 น้ิว ฐานจะยาวด้านละประมาณ 5.26 นวิ้ 2. ถา้ แตงโมสงู 4 นิ้ว ฐานจะยาวดา้ นละประมาณ 4.56 นิ้ว 3. ถา้ แตงโมสูง 5 นิ้ว ฐานจะยาวด้านละประมาณ 4.08 นว้ิ 4. ถา้ แตงโมสูง 6 น้ิว ฐานจะยาวดา้ นละประมาณ 3.72 นว้ิ 5. ถา้ แตงโมสูง 7 นว้ิ ฐานจะยาวด้านละประมาณ 3.45 นวิ้ 6. ถา้ แตงโมสงู 8 นิ้ว ฐานจะยาวดา้ นละประมาณ 3.22 นิ้ว 7. ถ้าแตงโมสงู 9 นวิ้ ฐานจะยาวดา้ นละประมาณ 3.04 นิ้ว หมายเหต ุ นกั เรียนอาจเลอื กคา่ ที่เหมาะสมตา่ งไปจากนีไ้ ด้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

196 บทที่ 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 6. 1) แนวคดิ เนอ้ื ดนิ สอชนดิ A มรี ูปรา่ งเปน็ ปรึซมึ สเ่ี หลยี่ มมุมฉาก มฐี านยาว 6.3 มลิ ลิเมตร กวา้ ง 2.4 มิลลเิ มตร และดินสอยาว 178 มิลลเิ มตร เนือ่ งจาก ปริมาตรของปรซิ ึม = พื้นทฐี่ าน × ความสงู จะได้ ปรมิ าตรของเน้ือดินสอชนดิ A = (6.3 × 2.4) × 178 = 2,691.36 ลกู บาศก์มลิ ลเิ มตร เนอ้ื ดินสอชนิด B มรี ูปร่างเปน็ ทรงกระบอก มีเส้นผา่ นศูนย์กลางของฐานยาว 6.63 มลิ ลิเมตร และดนิ สอยาว 229 มิลลเิ มตร เนอื่ งจาก ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นท่ฐี าน × ความสูง จะได ้ ปริมาตรของเนอ้ื ดินสอชนิด B = π(3.315)2 × 229 ≈ 3.14 × (3.315)2 × 229 ≈ 7,901.91 ลูกบาศก์มลิ ลเิ มตร ดงั นน้ั ปริมาตรของเน้ือดินสอชนิด B มากกว่า ปรมิ าตรของเนือ้ ดนิ สอชนิด A นน่ั คือ นกั เรยี นควรจะเลอื กซอ้ื ดนิ สอชนิด B เพราะ ปริมาตรของเนือ้ ดินสอชนิด B มากกวา่ ปรมิ าตรของ เนอื้ ดินสอชนิด A 2) แนวคิด เน่ืองจาก ปริมาตรของไม้ทใ่ี ช้ท�ำ เปลอื กดนิ สอ = ปรมิ าตรของดนิ สอ – ปริมาตรของเนื้อดินสอ ดนิ สอชนดิ A มรี ปู รา่ งเปน็ ปรซิ มึ แปดเหลยี่ มทยี่ าว 178 มลิ ลเิ มตร และฐานสามารถแบง่ เปน็ รปู สเี่ หลย่ี มคางหมู 2 รปู ทม่ี ดี า้ นคขู่ นานยาว 6.3 และ 15 มลิ ลเิ มตร และสงู 6.3 – 2.4 = 1.95 มลิ ลเิ มตร กบั รปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ 2 1 รปู ท่กี ว้าง 2.4 มิลลเิ มตร และยาว 15 มลิ ลิเมตร ดังรูป 15 6.3 2.4 6.3 { [ ]} ดังนั้น พน้ื ทฐี่ านของดินสอชนดิ A เท่ากบั 2 × –21 × (15 + 6.3) × 1.95 + (2.4 × 15) = 41.535 + 36 = 77.535 ตารางมิลลิเมตร เน่ืองจาก ปรมิ าตรของปริซึม = พื้นท่ฐี าน × ความสงู สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 197 ดังน้นั ปรมิ าตรของดินสอชนดิ A = 77.535 × 178 = 13,801.23 ลกู บาศก์มลิ ลเิ มตร จะได ้ ปรมิ าตรของไม้ทใ่ี ชท้ �ำ เปลือกดนิ สอชนดิ A เท่ากบั 13,801.23 – 2,691.36 (จากขอ้ 1) ) = 11,109.87 ลกู บาศกม์ ลิ ลเิ มตร ดนิ สอชนดิ B มรี ปู รา่ งเปน็ ปรซิ มึ แปดเหลย่ี มทยี่ าว 229 มลิ ลเิ มตร และฐานสามารถแบง่ เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มคางหมู 2 รูปทีม่ ีด้านค่ขู นานยาว 6.63 และ 16 มลิ ลเิ มตร และสูง 16 –26.63 = 4.685 มิลลิเมตร กับรปู สีเ่ หลยี่ มผืนผา้ 1 รปู ทก่ี ว้าง 6.63 มลิ ลิเมตร และยาว 16 มลิ ลเิ มตร ดังรูป 16 6.63 { [ ]} ดังนนั้ พ้ืนท่ฐี านของดนิ สอชนดิ B เทา่ กบั 2 × –21 × (16 + 6.63) × 4.685 + (6.63 × 16) ≈ 106.02 + 106.08 ≈ 212.1 ตารางมิลลเิ มตร จะได ้ ปริมาตรของดินสอชนดิ B = 212.1 × 229 = 48,570.9 ลูกบาศก์มิลลเิ มตร นน่ั คือ ปริมาตรของไม้ทีใ่ ช้ท�ำ เปลือกดนิ สอชนิด B ประมาณ 48,570.9 – 7,901.91 (จากข้อ 1)) ≈ 40,668.99 ลูกบาศกม์ ิลลเิ มตร ดงั นัน้ นักเรียนควรจะเลือกผลิตดินสอชนิด A เพราะการผลิตดินสอชนิด A ใช้ไม้ท่ีทำ�เป็นเปลือกดินสอ น้อยกว่า การผลติ ดนิ สอชนิด B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

198 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 3) แนวคดิ บริเวณท่ีจะใช้สีเคลือบเปลือกดินสอชนิด A คือ บริเวณที่เป็นพื้นที่ด้านข้างของปริซึมแปดเหล่ียมท่ีสูง 178 มลิ ลิเมตร ให้ดา้ นทย่ี งั ไมท่ ราบความยาว ยาว x มิลลเิ มตร ดงั รปู 15 6.3 – 2.4 x 2 15 – 6.3 6.3 2 2.4 6.3 ( ) ( )x2 = 2 จ ะได้ 15 – 6.3 + 6.3 – 2.4 2 ≈ 22.73 ดงั นน้ั 2 2 x ≈ 4.77 จากรูป ความยาวรอบฐานของปริซมึ ประมาณ (4 × 4.77) + (2 × 2.4) + (2 × 6.3) หรือ 36.48 มลิ ลิเมตร ดงั นน้ั พนื้ ทดี่ า้ นขา้ งของปรซึ มึ นห้ี รอื ดนิ สอชนดิ A ประมาณ 36.48 × 178 หรอื 6,493.44 ตารางมลิ ลเิ มตร น่นั คือ พืน้ ทที่ ่ใี ชส้ ีเคลอื บเปลือกดนิ สอชนิด A ประมาณ 6,493.44 ตารางมิลลิเมตร บริเวณที่จะใช้สีเคลือบเปลือกดินสอชนิด B คือบริเวณท่ีเป็นพ้ืนท่ีด้านข้างของปริซึมแปดเหล่ียม ที่สูง 229 มิลลิเมตร 16 6.63 จากรูป ความยาวรอบฐานของปรซิ ึม เท่ากับ 6.63 × 8 = 53.04 มิลลเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | ปริซึมและทรงกระบอก 199 ดังนนั้ พื้นที่ดา้ นขา้ งของปรซิ ึมนีห้ รอื ดนิ สอชนดิ B เทา่ กบั 53.04 × 229 = 12,146.16 ตารางมิลลเิ มตร นั่นคอื พื้นทที่ ่ีใช้สเี คลอื บเปลือกดนิ สอชนิด B เท่ากับ 12,146.16 ตารางมลิ ลเิ มตร ดังนั้น ถา้ ตอ้ งการใชส้ ีเคลือบเปลอื กดนิ สอ ดินสอชนดิ A จะใช้สีสำ�หรบั เคลือบในปรมิ าณทน่ี ้อยกว่า ดนิ สอชนิด B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี