(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.1

250 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 มุมเทคโนโลยี หนา้ 179 (กิจกรรม : สำ�รวจการสะทอ้ นขา้ มเสน้ ตรง y = x) ipst.me/9064 คำ�ถาม 1 จากพกิ ัดของจุด A ท่ีกำ�หนดให้ จงเติมพิกัดของจุด A′ ลงในตารางให้สมบูรณ์ พิกดั ของจดุ A (-2, 5) (-3, -4) (0, 5) (2, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) พกิ ดั ของจุด A′ (8, 0) (4, -3) ตอบ (-2, 5) (-3, -4) (0, 5) (2, 1) (5, -3) (0, 8) (-3, 4) พิกดั ของจดุ A พิกดั ของจุด A′ (5, -2) (-4, -3) (5, 0) (1, 2) (-3, 5) คำ�ถาม 2 ใหน้ กั เรยี นเขยี นขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั ความสมั พนั ธข์ องพกิ ดั ทห่ี นง่ึ (x) และพกิ ดั ทส่ี อง (y) ของจดุ A และ A′ ตอบ พกิ ัดทีห่ นง่ึ (x) ของจุด A′ = พิกดั ท่ีสอง (y) ของจุด A พิกดั ท่ีสอง (y) ของจดุ A′ = พิกดั ท่หี น่ึง (x) ของจดุ A มมุ เทคโนโลยี หน้า 189 (กิจกรรม : สำ�รวจการสะทอ้ นข้ามเส้นขนานสองเส้น) ipst.me/9065 การสะทอ้ นทง้ั สองครงั้ ท�ำ ใหร้ ปู ตน้ แบบเปลยี่ นต�ำ แหนง่ ไปยงั ภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นครง้ั ทสี่ อง คดิ วา่ การแปลงใด ที่กระทำ�เพียงคร้ังเดียวก็สามารถให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกันนี้ได้ (ถ้ายังไม่ม่ันใจให้ข้ามไปทำ�ข้อต่อไปก่อน แล้วจึง คำ�ถาม 1 ยอ้ นกลบั มาตอบค�ำ ถามขอ้ นี้อีกครง้ั ) ตอบ การเลอ่ื นขนาน ค�ำ ถาม 2 ลากเส้นสะทอ้ นเสน้ หนึ่งเส้นใดแล้วเปรยี บเทียบ ระยะ AAʺ กบั HI ท่วี ดั ไว้ และหาว่ามีความสมั พันธ์กันอยา่ งไร ตอบ ระยะ AAʺ ยาวเปน็ สองเทา่ ของระยะ HI ค�ำ ถาม 3 เพราะเหตใุ ด HI จงึ เป็นระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ สะทอ้ นทง้ั สอง ตอบ HAʹ และ IAʹ เปน็ ส่วนของเส้นตรงท่ีขนานกนั และผ่านจุด Aʹ ด้วยกนั ดงั น้ัน HI จงึ เป็นระยะห่างระหว่างเส้นตรงท้งั สอง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 251 คำ�ถาม 4 ให้อธิบายผลลัพธ์ที่ได้จากข้อ 10 และหาการแปลงท่ีกระทำ�เพียงครั้งเดียวแต่ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการสะท้อน ท้ังสองคร้งั ขา้ มเสน้ สะท้อนสองเส้นทีข่ นานกนั ตอบ ภาพท่ีได้จากการเลื่อนขนานรูปต้นแบบด้วยเวกเตอร์ AAʺ จะไปอยู่ท่ีตำ�แหน่งเดียวกับภาพท่ีได้จากการสะท้อน คร้งั ทสี่ อง และทับกนั สนทิ ดังนน้ั การสะท้อนรปู สองครง้ั ขา้ มเส้นสะทอ้ นสองเสน้ ที่ขนานกัน จะให้ผลเหมอื นกับ การเล่ือนขนานรูปหนึ่งคร้ังด้วยเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานที่ตั้งฉากกับเส้นขนานทั้งสองเส้นและมีความยาวเป็น สองเท่าของระยะห่างระหวา่ งเส้นขนานสองเสน้ นนั้ ค�ำ ถาม 5 ใหอ้ ธบิ ายเหตผุ ลท่ี AAʺ และ HI มคี วามสัมพันธ์กนั ดังทเ่ี ปน็ อยู่ โดยตอบค�ำ ถามต่อไปนี้ ก)_ ใหเ้ ปรยี บเทยี บ AH กบั HA′ เพราะ ข)_ ให้เปรยี บเทียบ A′I กบั IAʺ เพราะ ค)_ AA′ + A′Aʺ = AAʺ = เพราะ ตอบ ก) AH = HA′ เพราะ �EF แบง่ ครึ่งและตั้งฉากกับ AA′ ที่จุด H ข) A′I = IAʺ เพราะ �GI แบ่งครงึ่ และตงั้ ฉากกับ A′Aʺ ที่จดุ I ค) AA′ + A′Aʺ = AAʺ = 2HI เพราะ AH = HA′ ดังน้นั AA′ = 2HA′ และ A′I = IAʺ ดังน้นั A′Aʺ = 2A′I นอกจากนร้ี ะยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ขนานทง้ั สองคอื HI = HA′ + A′I และจากการแทนคา่ ในสมการขา้ งตน้ จะได้ AAʺ = 2HA′ + 2A′I = 2HI สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

252 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 แบบฝึกหดั 4.2 เฉลยแบบฝกึ หัด 1. 1) 2) 3) 4) 2. 1) ก�ำ หนดให้ �DE เป็นเสน้ สะท้อน I H Iʹ G E F Fʹ C Cʹ D AB Bʹ Aʹ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 253 2) กำ�หนดให้ �KL เปน็ เสน้ สะทอ้ น P R Q O Qʹ N Pʹ M Oʹ L Mʹ Nʹ K 3) ก�ำ หนดให้แกน Y เปน็ เสน้ สะทอ้ น Y ECNALUBMA AMBULANCE -5 O X 5 3. 1) แกน X Y 2) แกน Y Y Pʹ(2, 5) 4 4 P(-2, 5) P(-2, 5) 22 -4 -2 O X -4 -2 O X -2 24 -2 24 Pʹ(-2, -5) -4 -4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

254 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คูม่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 3) เส้นตรง y = x 4) เส้นตรง x = -2 P(-2, 5) Y Y 4 Pʹ P(-2, 5) 4 2 y=x 2 -4 -2 O 24 X -4 -2 O 24 X -2 -2 -4 Pʹ(5, -2) x = -2 -4 4. 1) จากสมบตั ขิ องการสะท้อน จดุ ท่สี มนยั กนั แตล่ ะคู่จะอยู่ห่างจากแกน X เท่ากนั Y A(2, 5) 4 B(-1, 2) 2 Cʹ(4, 1) -2 O 24 X Bʹ(-1, -2) -2 C(4, -1) -4 Aʹ(2, -5) จากรปู จุด A มพี ิกัดเปน็ (2, 5) จดุ B มีพิกดั เป็น (-1, 2) และจดุ C มีพิกดั เป็น (4, -1) จะได ้ จุด A′ มีพกิ ัดเปน็ (2, -5) จุด B′ มีพกิ ดั เป็น (-1, -2) และจุด C′ มพี ิกดั เป็น (4, 1) 2) ลาก A′B′, B′C′ และ C′A′ จะได้ ∆A′B′C′ เป็นภาพทไี่ ด้จากการสะท้อน ∆ABC ด้วยแกน X สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 255 5. จากสมบัตขิ องการสะทอ้ น จดุ ที่สมนยั กันแต่ละคู่จะอยู่หา่ งจากเส้นตรง เทา่ กัน 1) Y 2) Y Aʹ(-3, 4) A(-1, 4) B(1, 3) 4 A(-3, 2) 2 C(2, 1) (-5, B1ʹ) (-3, 1D) 2 -4 -2 D(-O1, 0) 2 X 4 -6 (D-1ʹ , 1) (B1, 1) Dʹ(-1, -2-)2 -4 -2 O 2 X Cʹ(-3, -1) C(-1, -1) Cʹ(2, -3) -2 Aʹ(-3, -4) -4 Bʹ(1, -5) จะได้ A′B′C′D′ เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น ABCD จะได้ A′B′C′D′ เป็นภาพทีไ่ ด้จากการสะท้อน ABCD และมพี ิกดั ของจุดยอดดงั น้ี และมีพิกัดของจุดยอดดงั นี้ A′(-3, 4), B′(-5, 1), C′(-3, -1) และ D′(-1, 1) A′(-3, -4), B′(1, -5), C′(2, -3) และ D′(-1, -2) 3) Y 4) Y D(-3, 3) C(0, 3) 2 C(-2, 1) Cʹ(1, 2) A(-4, 1) -4 -2 2 -4 Bʹ(3, 1) Cʹ(3, 0) X X -2 O 24 O 24 B(-2, -1) B(-3, -1) -2 Dʹ(2, -1) D(-1, -2) -2 Aʹ(4, -2) Bʹ(-1, -2) Dʹ(3, -3) A(-2, -4) -4 Aʹ(1, -4) -4 จะได้ A′B′C′D′ เป็นภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ น ABCD จะได้ A′B′C′D′ เป็นภาพท่ไี ด้จากการสะท้อน ABCD และมีพิกดั ของจดุ ยอดดงั นี้ และมีพิกดั ของจุดยอดดังนี้ A′(1, -4), B′(-1, -2), C′(3, 0) และ D′(3, -3) A′(4, -2), B′(3, 1), C′(1, 2) และ D′(2, -1) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

256 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 6. 1) จากสมบัตขิ องการสะทอ้ น จุดที่สมนัยกนั แตล่ ะคู่จะอยู่หา่ งจากเส้นตรง เทา่ กนั C(-3, 3) Y Cʹ Bʹ(0, 2) 2 B(-2, 0) O 2 A(3, 1) -4 -2 X 4 -2 y = -x Aʹ(-1, -3) -4 จากรปู จดุ A, B และ C มพี ิกัดเป็น (3, 1), (-2, 0) และ (-3, 3) ตามลำ�ดบั ซง่ึ มสี มการ จะได้ จดุ A′, B′ และ C′ มีพกิ ดั เป็น (-1, -3), (0, 2) และ (-3, 3) ตามลำ�ดบั 2) ลาก A′B′, B′C′ และ C′A′ จะได้ ∆A′B′C′ เป็นภาพทไ่ี ด้จากการสะท้อน ∆ABC ด้วยเสน้ ตรง เป็น y = -x 7. สง่ิ ทพ่ี ลบอกกับกรณน์ ั้นถกู ต้อง Bʹ Cʹ m P B Q Bʹʹ C S Cʹʹ T A R Aʹ U Aʹʹ จากรปู ∆ABC สะท้อนขา้ มเส้นตรง ได้ ∆A′B′C′ แล้ว ∆A′B′C′ สะทอ้ นข้ามเสน้ ตรง m ได้ ∆A″B″C″ ∆ABC และ ∆A″B″C″ ทับกันสนิทโดยไม่ต้องพลิกรูป เพราะจาก ∆ABC ไปยัง ∆A′B′C′ และ ∆A′B′C′ ไปยัง ∆A″B″C″ มกี ารพลิกรปู สองครั้ง จึงได้รปู สดุ ท้ายเหมือนรปู แรก เนือ่ งจาก BB″ = BP + PB′ + B′S + SB″ และ BP = PB′ และ B′S = SB″ (จดุ ท่ีสมนัยกันแต่ละคจู่ ะอย่หู ่างจากเส้นสะท้อนเท่ากัน) จะได ้ BB″ = 2PB′ + 2B′S = 2(PB′ + B′S) แต ่ PB′ + B′S คอื ระยะห่างระหว่างเส้นสะทอ้ น และ m ที่ขนานกนั ดังน้ัน BB″ เท่ากบั 2 เท่าของระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ สะท้อน และ m ที่ขนานกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 257 ในท�ำ นองเดยี วกนั จะไดว้ า่ AA″ และ CC″ ตา่ งกเ็ ทา่ กบั 2 เทา่ ของระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ สะทอ้ น และ m ทข่ี นานกนั ดว้ ย เนอื่ งจาก BB″, CC″ และ AA″ ขนานกนั (จากค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม ตอนท่ี 2 ขอ้ 3 ใน “กจิ กรรม : ส�ำ รวจการสะทอ้ น”) จะไดว้ า่ สว่ นของเส้นตรงทเ่ี ชอ่ื มระหว่างจดุ ทีส่ มนัยกันของ ∆ABC และ ∆A″B″C″ ขนานกันและยาวเท่ากัน ดงั นน้ั ∆A″B″C″ จงึ เป็นภาพที่ได้จากการเลอื่ นขนาน ∆ABC ด้วยเวกเตอร์ AA″ (เพราะเป็นไปตามสมบตั ขิ องการ เลอ่ื นขนาน) นนั่ คอื การสะทอ้ นรปู ตน้ แบบขา้ มเสน้ สะทอ้ น 2 เสน้ ทข่ี นานกนั โดยใหร้ ปู ตน้ แบบสะทอ้ นขา้ มเสน้ สะทอ้ นเสน้ แรกกอ่ น แล้วสะท้อนภาพท่ีได้ข้ามเส้นสะท้อนเส้นที่ 2 ภาพท่ีได้จากการสะท้อนคร้ังที่สอง จะให้ผลเหมือนกับการเลื่อนขนาน รปู ต้นแบบเพียงคร้งั เดยี ว ด้วยเวกเตอร์ทมี่ ีขนาดเท่ากับสองเท่าของระยะห่างระหว่างเส้นขนานทัง้ สอง 8. m xx 5–x 5–x 5 1) ลกั ษณะของภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นครงั้ ท่ี 2 เทยี บกบั รปู ตน้ แบบ มรี ปู รา่ งเหมอื นกนั ขนาดเทา่ กนั และหนั หนา้ ไป ในทศิ ทางเดียวกัน 2) จากรปู ขาหนา้ ของลกู ช้างในภาพท่ีไดจ้ ากการสะท้อนคร้ังท่ี 1 และขาหน้าของลกู ช้างในภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น ครั้งท่ี 2 หา่ งกัน (5 – x) + (5 – x) เทา่ กบั 10 – 2x หนว่ ย 3) จากรูป ระยะระหว่างตาของลูกช้างในรูปต้นแบบกับตาของลูกช้างในภาพท่ีได้จากการสะท้อนคร้ังที่ 2 ห่างกัน ประมาณ a + 5 + (5 – a) เท่ากับ 10 หน่วย เมอ่ื a เปน็ ระยะหา่ งระหว่างตาของลกู ชา้ งกบั เสน้ ตรง 4) จากรูป ถ้าสะท้อนรูปลูกช้างข้ามเส้นตรง m เพียงคร้ังเดียว ระยะห่างของขาหน้าของลูกช้างในรูปต้นแบบกับ ขาหน้าของลกู ช้างในภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนจะเป็น x + 5 + (x + 5) เทา่ กบั 2x + 10 หน่วย m x5 x+5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

258 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คูม่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 9. Bʹ สถานรี ถไฟ C S M A B ตำบลบางไทร ตำบลบางปลา ให้เส้นตรง แทนแนวข้างทางรถไฟและเป็นเสน้ สะทอ้ น สะท้อนจุด B ซง่ึ เป็นตำ�แหนง่ ทตี่ ั้งของตำ�บลบางปลา ข้ามเส้นตรง ได้จดุ B′ สรา้ ง B′A ตดั เส้นตรง ท่จี ุด S จะได้ BS + SA = B′S + SA เปน็ ระยะทางนอ้ ยทีส่ ดุ ตามขอ้ ก�ำ หนด นน่ั คือ จดุ S ควรเป็นต�ำ แหนง่ ทีจ่ ะสร้างสถานีรถไฟ เพ่ือให้ไดผ้ ลรวมของระยะทางนอ้ ยท่ีสดุ ตามข้อกำ�หนด แสดงวา่ ต�ำ แหนง่ C ยงั เปน็ ต�ำ แหนง่ ทไี่ มเ่ หมาะสมส�ำ หรบั สรา้ งสถานรี ถไฟตามขอ้ ก�ำ หนด ต�ำ แหนง่ ทเ่ี หมาะสมตอ้ ง อยู่ทจี่ ุด S ซึ่งอยู่ทางขวาของจดุ C ดงั รปู สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 259 10. Aʹ C A ท�ุงหญา� E m B FD แมน� ้ำ Bʹ ให้เสน้ ตรง แทนขอบของแนวทุง่ หญ้าและเป็นเส้นสะท้อนเสน้ หนึ่ง สะทอ้ นจุด A ซ่งึ เปน็ ต�ำ แหน่งเริม่ ตน้ ขา้ มเส้นตรง ไดจ้ ุด A′ ให้เสน้ ตรง m แทนริมฝ่งั แมน่ �ำ้ และเป็นเสน้ สะทอ้ นอีกเสน้ หนึง่ สะท้อนจุด B ซ่งึ เป็นต�ำ แหน่งของคอกมา้ ขา้ มเส้นตรง m ได้จุด B′ สร้าง A′B′ ตัดเสน้ ตรง ท่จี ุด E และตดั เส้นตรง m ที่จุด F จะได้ AE + EF + FB = A′E + EF + FB′ เป็นระยะน้อยทีส่ ุดตามเง่อื นไข นั่นคือ จุด E และ จุด F จะเปน็ ตำ�แหน่งท่ีเขาควรหยดุ พกั บริเวณทุ่งหญ้าและแมน่ ำ�้ ตามลำ�ดับ เพื่อให้เส้นทางใน การเดนิ ทางสนั้ ทสี่ ดุ 11. Hʹ CF H หลมุ B E ลูกกอล�ฟ G Bʹ จะต้องตลี ูกกอล์ฟให้กระทบกบั ก�ำ แพงอย่างนอ้ ยทีส่ ดุ 2 ครงั้ ลูกกอลฟ์ จึงจะลงหลมุ ให้แนวกำ�แพงด้านขวาเป็นเสน้ สะทอ้ นเส้นแรก สะทอ้ นจดุ B (ซ่งึ เป็นลูกกอล์ฟ) ขา้ มแนวก�ำ แพงดา้ นขวา ไดจ้ ดุ B′ ใหแ้ นวกำ�แพงดา้ นบนเป็นเสน้ สะทอ้ นเสน้ ทสี่ อง สะท้อนจดุ H (ซึ่งเป็นหลุมกอลฟ์ ) ขา้ มแนวกำ�แพงดา้ นบน ได้จดุ H′ สรา้ ง B′H′ ตดั แนวก�ำ แพงดา้ นขวาที่จุด E และแนวก�ำ แพงด้านบน ท่จี ุด F จะได้ จุด E และจุด F เป็นต�ำ แหนง่ ที่ลูกกอล์ฟจะกระทบกับกำ�แพงแล้วลกู กอลฟ์ จึงจะลงหลุม ดังรูป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

260 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 12. ถ้าให้แต่ละหลุมของโต๊ะบิลเลียดเป็นจุดแต่ละจุด และใช้ขอบในของโต๊ะบิลเลียดแต่ละด้านเป็นเส้นสะท้อน จะพบว่า ภาพท่ีได้จากการสะท้อนหลุม ➍ คือหลุม ➍′ อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกับลูกสีขาวและลูกสีน้ำ�เงิน (ดังรูปที่ 1) และ ภาพที่ได้จากการสะท้อนหลุม ➏ คือหลุม ➏′ อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกับลูกสีขาว และลูกสีดำ� (ดังรูปที่ 2) ดังน้ัน ลูกสีนำ้�เงินจะมีโอกาสลงหลุม ➍ เมื่อแทงลูกสีขาวมากระทบในแนวตรง และลูกสีดำ�จะมีโอกาสลงหลุม ➏ เมื่อแทง ลกู สีขาวมากระทบในแนวตรง ➏ ➎5 ➍ ➊ ➋➌ รปู ที่ 1 ➍ʹ ➏ ➎➍ ➊ ➋ ➌ รูปท่ี 2 ➏ʹ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 261 13. 1) 9 โตะ๊ เพราะจากการสะทอ้ นส่ิงที่อยู่ภายในหอ้ งอาหารทัง้ หมดด้วยกระจกเงาราบ จะพบว่าสายตาของผจู้ ดั การไม่ สามารถมองเห็นโต๊ะหมายเลข 10 ไดเ้ น่อื งจากมีผนังทบึ มาบังท้งั ผนังจริงและผนังสะทอ้ น ดังรูป 10 94 31 8 7 5 2 6 กระจกเงาราบ 76 2 8 5 9 31 10 4 ผนงั ทึบ โตะ� พนกั งานเกบ็ เงนิ ผูจ� ดั การ 2) ตำ�แหน่งมุมซ้ายด้านหน้าโต๊ะพนักงานเก็บเงิน เป็นตำ�แหน่งที่เหมาะสมท่ีผู้จัดการจะยืนเพ่ือดูแลลูกค้าและ การบรกิ ารของพนักงาน เพราะสามารถมองเห็นโต๊ะอาหารและผ้รู บั ประทานอาหารไดม้ ากท่ีสุด ดงั แสดงในรูป 10 94 31 8 7 5 2 6 กระจกเงาราบ 76 2 8 5 9 31 10 4 ผนงั ทบึ โต�ะพนักงานเกบ็ เงิน ผู�จดั การ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

262 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คูม่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 4.3 การหมนุ (4 ชวั่ โมง) จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัตขิ องการหมุนบนระนาบ 2. หาภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ รปู ตน้ แบบ 3. หาจุดหมุน ขนาดของมมุ ทีเ่ กดิ จากการหมนุ ทิศทางการหมุนเม่อื ก�ำ หนดรูปตน้ แบบ และภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ 4. บอกพกิ ัดของจุดบนภาพทไี่ ด้จากการหมนุ รปู ตน้ แบบทก่ี �ำ หนดให้ 5. บอกไดว้ ่ารปู คใู่ ดเปน็ รูปต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ เมอ่ื ก�ำ หนดรูปเรขาคณิตท่เี ท่ากันทกุ ประการให้ 6. ใช้ความรเู้ ก่ียวกับการหมุนในการแกป้ ัญหา ความเขา้ ใจท่ีคลาดเคลอ่ื น - สือ่ ท่ีแนะนำ�ใหใ้ ช้ในขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : ส�ำ รวจพิกดั ในการหมนุ ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ น้ี เปน็ เรอื่ งเกย่ี วกบั การหมนุ ทมี่ งุ่ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจความหมายและสมบตั ขิ องการหมนุ บนระนาบ ซง่ึ เปน็ การแปลง เร่อื งที่สามทน่ี กั เรียนได้เรียน นกั เรยี นควรท่จี ะสามารถหาภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ หาจดุ หมุน ขนาดของมมุ ท่เี กิดจากการหมุนได้ และสามารถบอกได้วา่ รูปคใู่ ดเปน็ รูปตน้ แบบและภาพที่ได้จากการหมุน รวมทงั้ ใชค้ วามรู้เกี่ยวกับการหมนุ ในการแก้ปญั หา เพ่ือ ให้เขา้ ใจเรือ่ งการหมุน แนวการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้อาจทำ�ได้ดงั น้ี 1. ครนู �ำ เขา้ สบู่ ทเรยี นดว้ ยการสนทนาเกยี่ วกบั สง่ิ ตา่ ง ๆ ในชวี ติ จรงิ ทแ่ี สดงการหมนุ โดยใหน้ กั เรยี นชว่ ยกนั ยกตวั อยา่ ง กอ่ นให้ความหมายของการหมุนรปู เรขาคณิตบนระนาบ การหมุนในหัวข้อน้จี ะไม่กลา่ วถึงการหมุนท่ีมีขนาดของ มมุ เทา่ กบั 0 องศา และ 360 องศา 2. ครใู ห้นักเรียนท�ำ “กิจกรรม : สำ�รวจการหมนุ ” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 193–196 โดยให้นกั เรยี นลงมอื ปฏิบัติและ สำ�รวจ เพอ่ื หาความสมั พันธ์ของรูปตน้ แบบและภาพทไี่ ด้จากการหมุน สรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ โดยอาศัยค�ำ ตอบ จากค�ำ ถามท้ายกจิ กรรม จากน้ันครูและนักเรียนรว่ มกนั อภิปราย เพือ่ ให้ไดข้ อ้ สรปุ วา่ ข้อความคาดการณ์ทไ่ี ดเ้ ป็นไปตามสมบัตขิ อง การหมุน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 263 3. ครคู วรใหน้ ักเรียนชว่ ยกันวเิ คราะห์วา่ ในการหาภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ เมอ่ื ก�ำ หนดจดุ หมนุ ขนาดของมมุ ทใ่ี ชใ้ นการ หมนุ และทศิ ทางการหมุนให้ จะต้องทำ�อะไรก่อน มีขั้นตอนอะไรบ้างและควรใช้อุปกรณ์ใดมาช่วยในการหาภาพ เม่ือนักเรียนหาภาพที่ได้จากการหมุนได้แล้ว จึงใช้คำ�ถามเพื่อให้ได้ข้อสรุปว่า จุดท่ีสมนัยกันจะอยู่บนวงกลม เดยี วกัน และวงกลมแต่ละวงที่ผ่านจุดคู่ทสี่ มนัยกนั แต่ละคู่ ไม่จ�ำ เปน็ ต้องมีรศั มยี าวเท่ากัน แตต่ อ้ งมีจดุ หมุนจุด เดยี วกนั ซงึ่ เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทกุ วง ครอู าจใชค้ �ำ ถามตอ่ วา่ ถา้ ตอ้ งการหาภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ รปู ตน้ แบบ วิธที ท่ี �ำ ได้ง่าย ควรสรา้ งอะไรก่อน 4. ในการวิเคราะห์หาจุดหมุนเม่อื โจทย์กำ�หนดรูปต้นแบบและภาพท่ไี ด้จากการหมุนให้ ครูอาจให้นักเรียนช่วยกัน วเิ คราะหแ์ ละหาวธิ ที �ำ กอ่ น เพอ่ื ใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ วา่ การหาจดุ หมนุ โดยทว่ั ไปท�ำ ไดโ้ ดยสรา้ งเสน้ ตรงสองเสน้ ซง่ึ แตล่ ะเสน้ แบง่ ครง่ึ และตง้ั ฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มระหวา่ งจดุ ทส่ี มนยั กนั จดุ ตดั ของเสน้ ตรงทง้ั สองนน้ั จะเปน็ จดุ หมนุ 5. ครอู าจใชช้ วนคดิ 4.11 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 198 อภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี น เพอ่ื ใหเ้ หน็ วา่ การแปลงทางเรขาคณติ ทเ่ี ปน็ การหมนุ บางรปู มลี กั ษณะพเิ ศษทส่ี ามารถมองเหน็ ชดั เจนวา่ ภาพทไ่ี ดท้ กุ รปู เหมอื นรปู ตน้ แบบ ไมก่ ลบั ทศิ ทาง ใหด้ สู บั สนเหมอื นการหมนุ อน่ื ๆ ทง้ั นเ้ี พราะขนาดของมมุ ทใ่ี ชใ้ นการหมนุ หาร 360 ไดล้ งตวั ท�ำ ใหก้ ารหมนุ ครบรอบ จงึ ไดภ้ าพทเ่ี กดิ จากการหมนุ ทบั กบั รปู ตน้ แบบสนทิ ส�ำ หรบั การหมนุ ทก่ี �ำ หนดรปู ตน้ แบบบนระนาบในระบบพกิ ดั ฉาก ในบทนจ้ี ะกลา่ วเฉพาะการหมนุ ทก่ี �ำ หนด ใหจ้ ดุ ก�ำ เนดิ (0, 0) เปน็ จดุ หมุน ขนาดของมุมที่ใชใ้ นการหมุนเป็น 90°, 180° และ 270° และจดุ ยอดของ รปู ตน้ แบบมพี กิ ดั ทมี่ สี มาชกิ เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ทงั้ นี้ เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นสามารถหาพกิ ดั ของภาพทไี่ ดจ้ ากการหมนุ ทสี่ มาชกิ ของพิกดั เป็นจ�ำ นวนเต็มดว้ ย 6. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ส�ำ รวจพิกดั ในการหมุน” ในคู่มอื ครู หนา้ 267 เพ่อื ให้นกั เรยี นได้ข้อสรปุ เกย่ี ว กบั ความสมั พันธร์ ะหว่างพกิ ัดท่หี น่ึงและพกิ ดั ทสี่ องของรูปตน้ แบบ และภาพท่ไี ด้จากการหมนุ ดว้ ยมุม 90°, 180° และ 270° 7. ในการท�ำ แบบฝกึ หดั 4.3 ขอ้ 8 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 211 ครอู าจใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจการสะทอ้ นขา้ มเสน้ ตรงสองเสน้ ทต่ี ดั กนั เพม่ิ เตมิ โดยครสู ามารถดาวนโ์ หลดเอกสารเพอ่ื ใช้ GSP สรา้ งแบบจ�ำ ลองไดจ้ ากมมุ เทคโนโลยี 8. หลงั จากทน่ี กั เรยี นไดท้ �ำ แบบฝกึ หดั 4.3 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 208–211 แลว้ ครอู าจตงั้ ค�ำ ถามเพมิ่ เตมิ ส�ำ หรบั การ หมนุ รปู ต้นแบบดว้ ยมุม 180° ดงั น้ี ถา้ ΔA′B′C′ เปน็ ภาพท่ไี ดจ้ ากการหมนุ ΔABC ท่กี �ำ หนดให้ รอบจุดกำ�เนิด O ทวนเขม็ นาฬิกาดว้ ยมมุ 180° จงหา 1) พิกัดของจดุ A′, B′ และ C′ 2) ΔA′B′C′ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

264 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ ค่มู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 Y C 4 B A2 X -2 O 24 -2 -4 คำ�ตอบของคำ�ถามเพมิ่ เติมเป็นดงั นี้ 1) จากรูป ∆ABC มจี ดุ ยอดเป็น A(-1, 2), B(4, 1) และ C(3, 4) เม่อื หมนุ รอบจุดกำ�เนดิ O ทวนเข็ม นาฬิกา ด้วยมุม 180° หาพกิ ัดของจุด A′, B′ และ C′ ได้ดังนี้ Y 4 C(3, 4) A(-1, 2) 2 -4 -2 O B(4, 1) -2 Bʹ(-4, -1) X 24 Aʹ(1, -2) -4 Cʹ(-3, -4) 1. สรา้ ง �AO 2. ใช้ O เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมี OA เขียนสว่ นโค้งตดั �AO ได้จดุ A′(1, -2) หาจดุ B′ และ C′ ในทำ�นองเดยี วกนั กบั การหาจดุ A′ จะได้ จดุ B′(-4, -1) และ จุด C′(-3, -4) นั่นคอื จุด A′, B′ และ C′ มีพิกดั เปน็ (1, -2), (-4, -1) และ (-3, -4) ตามลำ�ดบั 2) ลาก A′B′, B′C′ และ C′A′ จะได้ ∆A′B′C′ เปน็ ภาพท่ไี ด้จากหมนุ ∆ABC รอบจดุ กำ�เนดิ O ทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุม 180° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 265 กจิ กรรม : สำ�รวจการหมนุ กิจกรรมน้ี เป็นกจิ กรรมทต่ี ้องการให้นกั เรียนสำ�รวจการหมุนรูปสามเหล่ียมผ่านการปฏบิ ตั ิจรงิ แลว้ รว่ มกนั สงั เกตผลทไ่ี ด้ จากการท�ำ กจิ กรรม แลกเปลย่ี นความคดิ เหน็ เกยี่ วกบั ขอ้ สงั เกตทไี่ ด้ โดยมคี รเู ปน็ ผชู้ แี้ นะในระหวา่ งการท�ำ กจิ กรรม เพอื่ ใหน้ กั เรยี น สามารถสรปุ สมบัติของการหมุนได้ โดยมสี ่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดังน้ี ส่อื /อปุ กรณ์ 1. อปุ กรณข์ องกิจกรรม : สำ�รวจการหมนุ ในหนงั สือเรยี น หน้า 193 2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad ขั้นตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม 1. ครใู หน้ ักเรียนจับคูก่ ันทำ� “กจิ กรรม : สำ�รวจการหมนุ ” ในหนงั สือเรยี น หน้า 193–196 ตามข้ันตอนการท�ำ กจิ กรรม ตอนที่ 1 ขอ้ 1–2 โดยครูอาจแนะน�ำ การหมุนกระดาษแขง็ รปู ธงวา่ แตล่ ะคู่อาจใชม้ มุ ทมี่ ีขนาดไมเ่ ทา่ กนั ก็ได้ แต่ถา้ มุมทใ่ี ชใ้ นการหมุนเป็นมุมแหลมอาจพจิ ารณารูปต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการหมุนไดง้ า่ ยขน้ึ 2. ให้นักเรยี นแต่ละคู่ช่วยกนั ตอบค�ำ ถามท้ายกิจกรรมตอนท่ี 1 3. ใหน้ ักเรยี นทำ�กิจกรรมตอนที่ 2 ข้อ 3–4 และตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมตอนท่ี 2 4. ให้นักเรยี นท�ำ กิจกรรมตอนที่ 3 ขอ้ 5 และตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมตอนท่ี 3 5. ให้นักเรียนท�ำ กจิ กรรมตอนท่ี 4 ข้อ 6 และตอบค�ำ ถามท้ายกจิ กรรมตอนท่ี 4 6. ครแู ละนกั เรยี นชว่ ยกนั สรปุ และอภปิ รายค�ำ ตอบทไี่ ดจ้ ากการส�ำ รวจซงึ่ จะไดข้ อ้ สรปุ ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมบตั ขิ องการหมนุ ทั้งน้ีครูอาจใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad จำ�ลองการหมุนตาม “กิจกรรม : สำ�รวจการหมุน” น้ี เพ่อื ท�ำ ความเข้าใจเพิ่มเตมิ กบั นักเรยี นท้งั ชั้นเรยี น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

266 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม : สำ�รวจการหมนุ เฉลยค�ำ ถามท้ายกิจกรรม ตอนท่ี 1 มโี อกาสทบั กนั สนิท เพราะรปู สามเหลยี่ มทงั้ สองรูปสรา้ งมาจากรปู สามเหล่ยี มรูปเดยี วกัน เฉลยคำ�ถามท้ายกิจกรรม ตอนที่ 2 1. OA = OA′, OB = OB′ และ OC = OC′ 2. ทกุ มมุ มขี นาดเทา่ กัน 3. วงกลมที่มรี ศั ม ี OA ผ่านจดุ A และ A′ เพราะ อย่หู า่ งจากจดุ O เท่ากนั วงกลมที่มีรศั มี OB ผ่านจดุ B และ B′ เพราะ อยู่ห่างจากจดุ O เท่ากนั วงกลมท่มี ีรศั มี OC ผ่านจุด C และ C′ เพราะ อยหู่ ่างจากจดุ O เทา่ กนั 4. ตัวอย่างค�ำ ตอบ วงกลมทีผ่ ่านจุดทส่ี มนัยกนั ซงึ่ เกิดจากการหมนุ แต่ละวงมีจดุ ศูนยก์ ลางรว่ มกัน แตร่ ศั มีไมจ่ �ำ เป็นตอ้ งยาวเทา่ กนั เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม ตอนท่ี 3 1. ยาวไม่เทา่ กนั 2. ค�ำ ถามน้ีตอ้ งการกระตุ้นให้นกั เรียนคดิ คาดการณ์ ค�ำ ตอบของนกั เรยี นจงึ มไี ด้ต่าง ๆ กัน ครูยงั ไมค่ วรตดั สินว่าถกู หรือ ผิด เพราะหลังจากทำ�กจิ กรรมตอนที่ 4 นักเรียนจะทราบไดเ้ องวา่ ถูกหรอื ผิด เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม ตอนท่ี 4 จากกิจกรรมพบว่า เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและต้ังฉากกับส่วนของเส้นตรงท่ีเช่ือมระหว่างจุดท่ีสมนัยกันจะตัดกันที่จุด O จึงสร้างข้อความคาดการณ์ได้ว่า เส้นตรงท่ีแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดท่ีสมนัยกันจะตัดกัน ที่จดุ ศนู ย์กลางของการหมนุ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 267 กิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : ส�ำ รวจพิกัดในการหมุน กจิ กรรมนเ้ี ปน็ กจิ กรรมทมี่ งุ่ ใหน้ กั เรยี นขยายความรเู้ กยี่ วกบั การหมนุ ทเ่ี กดิ ขน้ึ บนระนาบในระบบพกิ ดั ฉาก เพอื่ ใหน้ กั เรยี น ศกึ ษาความเปลยี่ นแปลงทเ่ี กดิ ขน้ึ ระหวา่ งพกิ ดั ของจดุ บนรปู ตน้ แบบกบั พกิ ดั ของจดุ บนภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ ดว้ ยมมุ 90°, 180° และ 270° ทวนเขม็ นาฬิกา โดยมีสื่อ/อุปกรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดังนี้ สือ่ /อปุ กรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : ส�ำ รวจพกิ ดั ในการหมุน ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนพิจารณาการหมุนจุด P รอบจุดกำ�เนิด O จากใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : สำ�รวจพิกัดในการหมุน เมื่อจุด P เปลีย่ นตำ�แหน่งไปตามทีก่ �ำ หนด แลว้ เติมคำ�ตอบลงในตาราง 2. ครูให้นักเรียนสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดท่ีหนึ่งและพิกัดที่สองของจุด P กับมุมของการหมุน ตอบคำ�ถาม ทา้ ยกจิ กรรมแลว้ รว่ มกนั อภิปรายขัอสงั เกตท่ไี ด้ 3. ครูอาจให้นักเรียนดาวน์โหลดเอกสารสำ�หรับใช้ GSP เพ่ือสร้างแบบจำ�ลองสำ�หรับกิจกรรม ได้ท่ีมุมเทคโนโลยี ในคมู่ อื ครู หนา้ 268 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

268 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ส�ำ รวจพิกัดในการหมนุ เมอื่ ก�ำ หนดพกิ ดั ของจดุ P ให้ ดงั ตาราง จงเตมิ พกิ ดั ของจดุ Pʹ ทไ่ี ดจ้ าก มุมเทคโนโลยี การหมุนจดุ P รอบจุดกำ�เนดิ O ด้วยมมุ ทก่ี ำ�หนด ในแตล่ ะตารางใหส้ มบูรณ์ นกั เรยี นสามารถดาวนโ์ หลดเอกสาร เพอื่ ใช้ GSP สรา้ งแบบจ�ำ ลอง ในการ ส�ำ รวจพกิ ดั ในการหมนุ ไดท้ ี่ ipst.me/10017 หมุนจุด P รอบจดุ ก�ำ เนิด O ด้วยมุม 90° ทวนเข็มนาฬกิ า จุด P พิกดั ที่หนึ่ง (x) 1 5 -4 -3 3 0 พกิ ัดท่สี อง (y) 0 2 3 -1 -1 -6 จดุ P′ พกิ ัดทีห่ นงึ่ (x) พิกัดที่สอง (y) หมุนจดุ P รอบจุดก�ำ เนิด O ดว้ ยมมุ 180° ทวนเข็มนาฬิกา จุด P พกิ ดั ที่หนงึ่ (x) 1 5 -4 -3 3 0 พกิ ดั ที่สอง (y) 0 2 3 -1 -1 -6 จดุ P′ พิกดั ทห่ี น่งึ (x) พิกดั ทีส่ อง (y) หมุนจดุ P รอบจดุ ก�ำ เนดิ O ด้วยมมุ 270° ทวนเข็มนาฬกิ า จดุ P พิกดั ท่ีหนง่ึ ( x) 1 5 -4 -3 3 0 พิกัดทส่ี อง (y) 0 2 3 -1 -1 -6 จุด P′ พิกัดทหี่ น่ึง ( x) พกิ ดั ท่สี อง (y) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 269 ค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม 1. ถา้ จุด A มพี ิกัดเป็น (a, b) เมอื่ หมุนรอบจุดกำ�เนดิ O ด้วยมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกา แล้วจุด A′ จะมี พิกัดเปน็ อะไร 2. ถ้าจดุ A มีพกิ ัดเปน็ (a, b) เม่ือหมุนรอบจดุ กำ�เนิด O ด้วยมุม 180° ทวนเขม็ นาฬกิ า แล้วจุด A′ จะมี พิกดั เปน็ อะไร 3. ถา้ จุด A มีพกิ ดั เปน็ (a, b) เมอื่ หมุนรอบจดุ ก�ำ เนิด O ด้วยมมุ 270° ทวนเขม็ นาฬิกา แล้วจุด A′ จะมี พกิ ดั เป็นอะไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

270 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : สำ�รวจพกิ ดั ในการหมนุ หมุนจดุ P รอบจดุ ก�ำ เนดิ O ดว้ ยมมุ 90° ทวนเข็มนาฬกิ า จุด P พกิ ดั ทหี่ นง่ึ (x) 1 5 -4 -3 3 0 พกิ ัดที่สอง (y) 0 2 3 -1 -1 -6 จุด P′ พิกัดทีห่ นึง่ (x) 0 -2 -3 1 1 6 พกิ ัดท่ีสอง (y) 1 5 -4 -3 3 0 หมนุ จุด P รอบจดุ ก�ำ เนดิ O ด้วยมมุ 180° ทวนเขม็ นาฬกิ า จุด P พิกัดที่หนงึ่ (x) 1 5 -4 -3 3 0 พกิ ัดที่สอง (y) 0 2 3 -1 -1 -6 จุด P′ พิกัดทห่ี นึ่ง (x) -1 -5 4 3 -3 0 พิกดั ทส่ี อง (y) 0 -2 -3 1 1 6 หมุนจุด P รอบจดุ กำ�เนิด O ดว้ ยมุม 270° ทวนเข็มนาฬิกา จุด P พกิ ดั ทห่ี นึ่ง (x) 1 5 -4 -3 3 0 พกิ ดั ท่สี อง (y) 0 2 3 -1 -1 -6 จุด P′ พิกัดทีห่ นงึ่ (x) 0 2 3 -1 -1 -6 พกิ ัดที่สอง (y) -1 -5 4 3 -3 0 เฉลยคำ�ถามทา้ ยกจิ กรรม 1. A′(-b, a) 2. A′(-a, -b) 3. A′(b, -a) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 271 เฉลยชวนคดิ ชวนคิด 4.11 รปู ที่ 1 60°, 120°, 180°, 240° และ 300° ipst .me/ 100 28 รูปท่ี 2 120° และ 240° รปู ที่ 3 90°, 180° และ 270° ชวนคิด 4.12 รปู เรขาคณิตน้นั ไดแ้ ก่ สว่ นของเสน้ ตรงทมี่ จี ดุ หมุนอยบู่ นแนวของส่วนของเสน้ ตรงนนั้ หรือวงกลมทีห่ มุนรอบ ipst.me/10029 จุดหมนุ ใด ๆ จะไมส่ ามารถหาจดุ หมนุ โดยใชว้ ธิ ีการดงั กล่าวได้ ชวนคดิ 4.13 ให้พกิ ัดของจุด A บนรูปต้นแบบเป็น (a, b) ipst .me/ 100 30 ถา้ หมนุ รปู ต้นแบบรอบจดุ กำ�เนดิ O ด้วยมมุ 90° ตามเขม็ นาฬิกา พกิ ดั ของจดุ Aʹ จะเปน็ (b, -a) แตถ่ ้าหมนุ ด้วยมมุ 90° ทวนเขม็ นาฬกิ า พิกัดของจดุ Aʹ จะเป็น (-b, a) ถา้ หมนุ รปู ตน้ แบบรอบจุดก�ำ เนิด O ด้วยมมุ 180° ตามเขม็ นาฬิกา พกิ ดั ของจุด Aʹ จะเปน็ (-a, -b) ซ่งึ เหมอื น กบั การหมนุ ดว้ ยมุม 180° ทวนเข็มนาฬิกา ถ้าหมุนรปู ตน้ แบบรอบจุดกำ�เนดิ O ด้วยมมุ 270° ตามเขม็ นาฬิกา พกิ ดั ของจุด Aʹ จะเป็น (-b, a) แต่ถา้ หมุน ดว้ ยมมุ 270° ทวนเข็มนาฬิกา พกิ ัดของจดุ Aʹ จะเป็น (b, -a) หมายเหต ุ ครูอาจให้นักเรียนพิจารณาเพิ่มเติมถึงความสัมพันธ์ระหว่างผลของการหมุนรูปต้นแบบด้วยมุม 90° ตามเข็มนาฬิกา กบั การหมนุ รปู ต้นแบบดว้ ยมมุ 270° ทวนเขม็ นาฬกิ า ชวนคดิ 4.14 ค�ำ ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เชน่ ipst .me/ 100 31 ✤ วงลอ้ รถจกั รยาน จุดหมนุ คือ ดมุ ✤ บนั ไดรถจักรยาน จุดหมุน คือ กะโหลก ✤ จานหน้ารถจกั รยาน จุดหมุน คอื กะโหลก ✤ เฟือง จุดหมนุ คือ จุดท่ีอยู่บนแกนเฟือง (หรอื แกนหมนุ ) ✤ สวา่ นมือ จุดหมุน คอื จุดศนู ยก์ ลางของมือหมุน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

272 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 มือหมุน เฟอื ง ดา้ ม จุดหมุน กระโหลก แกนหมนุ จานหน้า บันได ชวนคิด 4.15 เม่ือจินตนาการดู จะเห็นว่ารอยเท้าข้างซ้าย จะเกิดจากการเลื่อนขนานรอยเท้าข้างขวาไป แล้วต่อด้วย ipst.me/10032 การสะทอ้ น ดังรปู บน หรอื เกิดจากการสะทอ้ นก่อนแล้วตอ่ ด้วยการเลอ่ื นขนาน ดงั รปู ล่าง รูปตน� แบบ P Q หรอื PQ รปู ต�นแบบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 273 เฉลยมมุ เทคโนโลยี มุมเทคโนโลยี หนา้ 211 ipst.me/9068 การสะทอ้ นทง้ั สองครงั้ ท�ำ ใหร้ ปู ตน้ แบบเปลยี่ นต�ำ แหนง่ ไปยงั ภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นครง้ั ทส่ี อง คดิ วา่ การแปลงใด ทก่ี ระท�ำ เพยี งครง้ั เดยี วกส็ ามารถใหผ้ ลลพั ธเ์ ชน่ เดยี วกนั นไี้ ด้ (ถา้ ยงั ไมม่ น่ั ใจ ใหข้ า้ มไปท�ำ ขอ้ ตอ่ ไปกอ่ น แลว้ จงึ ยอ้ น คำ�ถาม 1 กลับมาตอบค�ำ ถามขอ้ น้ีอีกคร้ัง) ตอบ การหมนุ ค�ำ ถาม 2 เปรยี บเทียบขนาดของมมุ ทง้ั สองท่ีวดั ได้ แลว้ หาว่ามุมท้ังสองมคี วามสมั พนั ธ์กนั อยา่ งไร ตอบ AF̂ Aʺ = 2CˆFE คำ�ถาม 3 อธิบายผลทีไ่ ดจ้ ากข้อ 10 และหาการแปลงทีก่ ระท�ำ เพยี งคร้งั เดยี วแต่ให้ผลลพั ธ์เชน่ เดยี วกับการสะทอ้ นสองคร้งั ขา้ มเส้นสะทอ้ นสองเส้นทีต่ ัดกนั ตอบ ภาพทไี่ ดจ้ ากการหมนุ จะทบั สนทิ กบั ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ นครง้ั ทสี่ อง ดงั นนั้ การหมนุ รปู หนง่ึ ครง้ั รอบจดุ ตดั ของ เส้นตรงสองเส้นด้วยมุมท่ีมีขนาดเป็นสองเท่าของมุม ๆ หนึ่งที่เกิดจากการตัดกันของเส้นตรงดังกล่าว จะให้ ผลเหมอื นกบั การสะทอ้ นสองครง้ั ขา้ มเส้นสะทอ้ นสองเสน้ ที่ตดั กนั นัน้ ค�ำ ถาม 4 ให้อธบิ ายเหตุผลที่ AF̂ Aʺ และ CˆFE มีความสมั พนั ธ์กันดังทเ่ี ปน็ อยู่ โดยตอบคำ�ถามตอ่ ไปน้ี ก) ให้เปรียบเทียบ CˆFAʹ กบั AˆFAʹ ข) ให้เปรยี บเทียบ AʹˆFE กบั AʹˆFAʺ ค) AˆFAʹ + AʹˆFAʺ = ง) CˆFE = AˆFAʺ ตอบ ก) CˆFAʹ = –21AˆFAʹ หรอื AˆFAʹ = 2CˆFAʹ ข) AʹˆFE = –21AʹˆFAʺ หรอื AʹˆFAʺ = 2AʹˆFE ค) AˆFAʹ + AʹˆFAʺ = AˆFAʺ ง) CˆFE = –21AˆFAʺ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

274 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝกึ หัด 4.3 1. แนวคิด ใช้โพรแทรกเตอร์เป็นเครื่องมือในการวัดขนาดของมุมในทิศทางท่ีกำ�หนด หรือใช้วงเวียนและสันตรงใน การสร้างมมุ ท่มี ีขนาดตามทีก่ �ำ หนด 1) 90° ตามเข็มนาฬกิ า 2) 45° ทวนเขม็ นาฬกิ า P 3) 180° ตามเขม็ นาฬิกา 45° P 180° 4) 60° ทวนเขม็ นาฬิกา P P 60° 2. พกิ ดั ของจดุ ต่าง ๆ เป็นดังน้ี Aʹ(-2, 4), Bʹ(-3, -3), Cʹ(4, -2) และ Dʹ(3, 1) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 275 3. 1) 90° ตามเขม็ นาฬิกา Y จากรปู จะได้ AʹBʹCʹDʹ เป็นภาพทีไ่ ด้ จากการหมุน ABCD และมพี กิ ัดดงั น้ี Aʹ(-1, -1), Bʹ(-2, -2 ), Cʹ(-1, -4) และ D'(1, -2) 2 D 4C X O 2 -4 A -2Aʹ Bʹ -2 Dʹ B Cʹ -4 2) 90° ทวนเข็มนาฬิกา Y จากรูปจะได้ AʹBʹCʹDʹ เป็นภาพท่ีได้ จากการหมุน ABCD และมีพิกดั ดังนี้ 4 Cʹ Aʹ(1, 1), Bʹ(2, 2 ), Cʹ(1, 4) และ Dʹ(-1, 2) Bʹ Dʹ 2 Aʹ D -4 -2 O 2 X 4 A C -2 B -4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

276 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 3) 270° ตามเข็มนาฬกิ า จากรปู จะได้ AʹBʹCʹDʹ เปน็ ภาพทีไ่ ด้ จากการหมนุ ABCD และมพี ิกดั ดังน้ี Y Aʹ(1, 1), Bʹ(2, 2 ), Cʹ(1, 4) และ Dʹ(-1, 2) 4 Cʹ Bʹ Dʹ 2 Aʹ D -4 -2 O 2 X 4 A C -2 B -4 4. 2) จุด F เป็นจดุ หมุน ดังรปู 1) จดุ G เปน็ จดุ หมนุ ดงั รูป Y Y Aʹ Aʹ X G Bʹ Cʹ B X B O Cʹ Bʹ F O C C A A สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 277 3) จุด B เปน็ จดุ หมนุ ดังรปู Cʹ 4) จุด K เป็นจุดหมุน ดงั รูป C Y Y X Aʹ Cʹ Bʹ O Bʹ X A B K C A O Aʹ B 5. 1) Y Bʹ Cʹ C Aʹ(3, 2) X E O B D A(x, -3) ลาก OA และ OAʹ จากจดุ A ลากสว่ นของเสน้ ตรงมาตั้งฉากกบั แกน Y ท่ีจุด D จะได้ ∆ODA เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้ OA2 = DA2 + 32 จากจุด Aʹ ลากสว่ นของเส้นตรงมาตง้ั ฉากกับแกน X ทีจ่ ุด E จะได้ ∆OEAʹ เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได ้ OAʹ2 = 32 + 22 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

278 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 จากสมบัตขิ องการหมนุ จดุ ที่สมนัยกนั จะอยูห่ า่ งจากจุดหมนุ เทา่ กัน จะได ้ OA = OAʹ ดงั น้ัน OA2 = OAʹ2 DA2 + 32 = 32 + 22 DA2 = 22 จะได ้ DA = 2 เน่อื งจาก จดุ (x, -3) อย่ใู นจตภุ าคท่ี 4 ดังน้ัน x = 2 2) C(-4, 2) Y E Cʹ(X, 4) A D Bʹ O X Aʹ B ลาก OC และ OCʹ จากจุด C ลากส่วนของเส้นตรงมาต้ังฉากกบั แกน X ท่ีจดุ D จะได้ ∆ODC เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได ้ OC2 = 42 + 22 จากจุด Cʹ ลากสว่ นของเส้นตรงมาตัง้ ฉากกบั แกน Y ท่จี ดุ E จะได้ ∆OECʹ เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ OCʹ2 = CʹE2 + 42 จากสมบตั ขิ องการหมนุ จุดทส่ี มนยั กันจะอยู่ห่างจากจดุ หมนุ เทา่ กัน จะได ้ OCʹ = OC ดงั นั้น OCʹ2 = OC2 CʹE2 + 42 = 42 + 22 CʹE2 = 22 จะได ้ CʹE = 2 เนอ่ื งจาก จุด (x, 4) อยูใ่ นจตุภาคท่ี 1 ดงั นน้ั x = 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 279 6. ไม่เป็น เพราะไม่สามารถหมุนตัวอักษร F ท่ีอยู่ทางซ้ายของจุด O ไปทับตัวอักษร F ที่อยู่ทางขวาของจุด O ได้สนิท โดยไมต่ อ้ งพลิกรปู 7. ตวั อยา่ งแนวคิด 1) 8 ตารางหนว่ ย 2) 1 ตารางหนว่ ย 3) 4 ตารางหนว่ ย 4) 5 ตารางหน่วย 8. 1 m O 3 2 1) ใช้การแปลงแบบการหมุน โดยใช้จุด O เป็นจุดหมุน หมุนรูป 1 ด้วยมุม 180° ในทิศทวนเข็มนาฬิกาหรือ ตามเขม็ นาฬกิ า สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

280 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2) คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น ✤ จดุ O และจดุ ทัง้ สองจะอย่ใู นแนวเส้นตรงเดยี วกนั ✤ จุด O อยู่ตรงกลางของจดุ ทัง้ สองจดุ ✤ จุด O อยู่ห่างจุดท้ังสองเทา่ กนั ✤ เมอ่ื ลากเสน้ เชอ่ื มจุดทง้ั สอง จะผา่ นจดุ O 9. เน่ืองจาก AB ตง้ั ฉากกบั เส้นตรง เมือ่ หมนุ เสน้ ตรง รอบจุด A ด้วยมุม 50° จะได้ ABʹ ตัง้ ฉากกบั เส้นตรง ʹ และ BˆABʹ = 50° ดว้ ย ʹ B Cx Bʹ 50° A ˆ จากรูป ABCBʹ มี BˆABʹ = 50° และ AˆBC = ABʹC = 90° BˆCBʹ = 360 – (50 + 90 + 90) = 130° จะได้ เนื่องจาก มุมที่มขี นาด x องศา และ BˆCBʹ รวมกันเป็นมมุ ตรง x + BˆCBʹ = 180 ดังน้ัน x + 130 = 180 x = 50 นนั่ คือ x เท่ากบั 50 องศา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 281 กิจกรรมท้ายบท : เทสเซลเลชนั กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ให้นักเรียนสร้างงานศิลปะโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตแบบการหมุน และใช้รูปสามเหล่ียม ดา้ นเท่าในการสรา้ งเทสเซลเลชนั แบบเอสเชอร์ นกั เรยี นอาจใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) หรือกระดาษ ลอกลายในการสร้างกไ็ ด้ ข้นึ อยกู่ บั บรบิ ทของโรงเรยี น โดยมีสือ่ /อุปกรณ์ และข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี ส่ือ/อปุ กรณ์ 1. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) หรอื 2. กระดาษลอกลาย กระดาษ A4 ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครแู นะน�ำ ความรเู้ กย่ี วกบั การน�ำ รปู ปดิ มาปดิ พน้ื ทท่ี ต่ี อ้ งการ โดยไมใ่ หเ้ กดิ ชอ่ งวา่ งและไมใ่ หม้ กี ารซอ้ นทบั กนั ทเ่ี รยี กวา่ เทสเซลเลชัน (tessellation) และเทสเซลเลชันปรกติ (regular tessellation) ตามรายละเอียดในหนังสือเรียน หน้า 216 2. ครูแนะน�ำ เทสเซลเลชันแบบเอสเชอร์ แลว้ ให้นักเรยี นใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad หรือกระดาษ ลอกลาย สร้างเทสเซลเลชันแบบเอสเชอรต์ ามข้นั ตอนที่ 1–4 ในหนังสือเรยี น หน้า 218–219 3. ให้นักเรียนตอบคำ�ถามทา้ ยกจิ กรรม 4. ครูนำ�คำ�ตอบท้ายกิจกรรมของนักเรียนมาอภิปรายเช่ือมโยงตำ�แหน่งของจุดหมุน และขนาดของมุมท่ีใช้ในการหมุน กบั รูปเรขาคณติ ทใี่ ช้เรม่ิ ตน้ ในการสร้างเทสเซลเลชนั 5. ให้นักเรียนศกึ ษาเทสเซลเลชนั แบบเอสเชอรแ์ บบอ่ืน ๆ ทส่ี ร้างด้วย GSP เพ่ิมเตมิ จากอินเทอร์เน็ต สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

282 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกิจกรรมท้ายบท : เทสเซลเลชนั 1. 1) ส�ำ หรบั นก จุดหมนุ อย่ทู ี่ปากและปลายปีกท้งั สองขา้ ง สว่ นปลา จดุ หมุนอย่ทู ี่หางและปลายครบี ทัง้ สองข้าง 2) 120 องศา 2. ไมไ่ ด้ เพราะหวั ปลาและกน้ นกไม่ได้อยู่ทจ่ี ดุ ยอดของรปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่า สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 283 เฉลยแบบฝกึ หัดท้ายบท 1. คำ�ตอบมีได้หลากหลาย ขนึ้ อยู่กบั วธิ ีคิดและการก�ำ หนดรปู ต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการแปลง ตวั อย่างคำ�ตอบ 1) รูป B ได้จากการเลือ่ นขนานรปู A ไปทางขวาตามแนวแกน X 5 หนว่ ย 2) รปู C ไดจ้ ากการสะท้อนรปู B โดยมีแกน Y เป็นเสน้ สะท้อน แล้วเลื่อนขนานรปู ที่ได้ไปทางขวาตามแนวแกน X 5 หนว่ ย 3) รปู F ได้จากการหมนุ รปู A โดยมีจดุ O เป็นจุดหมุน ดว้ ยมมุ 180° ตามเข็มนาฬิกา 4) รปู E ไดจ้ ากการสะท้อนรูป B โดยมแี กน X เปน็ เสน้ สะทอ้ น แลว้ เลอ่ื นขนานรูปท่ไี ด้ไปทางขวาตามแนวแกน X 5 หนว่ ย 5) รูป B ไดจ้ ากการเลอื่ นขนานรูป F ไปทางซ้ายตามแนวแกน X 5 หน่วย แลว้ หมุนรปู ทีไ่ ด้ โดยมจี ุด O เปน็ จดุ หมนุ ดว้ ยมมุ 180° ทวนเขม็ นาฬกิ า 6) รูป E ไดจ้ ากการเลอ่ื นขนานรปู D ไปทางขวาตามแนวแกน X 5 หนว่ ย 2. การสะท้อน โดยมีแกน X เปน็ เส้นสะทอ้ น 3. แนวคดิ เนื่องจากจุด Aʹ(x – 7, y + 2) เป็นภาพท่ีได้จากการเล่ือนขนานจุด A(x, y) ไปทางซา้ ยตามแนวแกน X 7 หนว่ ย และเลอื่ นขน้ึ ไปตามแนวแกน Y 2 หน่วย จึงตอบค�ำ ถามไดด้ ังนี้ 1) Kʹ(-3, 0), Lʹ(-2, 3) และ Mʹ(-5, 4) 2) Y Mʹ(-5, 4) 4 Lʹ(-2, 3) M(2, 2) 2 24 -4 Kʹ -2 O L(5, 1) (-3, 0) -2 X K(4, -2) 4. Rʹ(1, -2), Sʹ(2, 2) และ Tʹ(4, 0) 5. 90° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

284 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 6. (-3, 2) 7. Dʹ(-4, -1), Eʹ(-2, -2) และ Fʹ(-1, 1) Y F4 D 2P Q E Fʹ -4 -2 O X 24 Dʹ R Eʹ -2 -4 S 8. Aʹ(-3, 0), Bʹ(1, 2) และ Cʹ(-1, -1) Y 4 C A 2 Bʹ m -4 Aʹ -2 O B2 X 4 Cʹ -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 285 9. 1) Sʹ(1, 5), Mʹ(-3, 1) และ Eʹ(-2, 4) Y 2) Sʹ(1, 5) Eʹ(-2, 4) 4 M(1, 3) 2 E(4, 2) Mʹ(-3, 1) O 2 4X -4 -2 S(5, -1) -2 -4 10. 1) Aʹ(1, -2), Tʹ(2, 2) และ Mʹ(-1, 3) 2) Y 4 Mʹ(-1, 3) 2 Tʹ(2, 2) M(-3, 1) -4 -2 O A(2, -1) X 2 4 T(-2, -2-)2 Aʹ(1, -2) y = -x -4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

286 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 11. B Bʹ C O Cʹ 12. m n xx x + 15 15 1) 2x + 30 หน่วย 2) 30 หน่วย 13. 2 14. ถา้ การแปลงดงั กลา่ วเปน็ การเลือ่ นขนาน จะเห็นวา่ จุด B’ จะเกดิ จากการเล่อื นจดุ B ลงข้างลา่ ง 4 หนว่ ย แลว้ ไปทางซา้ ย 2 หนว่ ย 1) Sʹ(2, -7), Tʹ(3, -5) และ Mʹ(0, -6) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 287 2) Y 4 B 2 -4 -2 O 2 4X -2 Bʹ M T(5, -1) (2, -2) S(4, -3) -4 Tʹ(3, -5) Mʹ (0, -6) Sʹ(2, -7) 15. 9.5 ตารางหนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

288 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 16. เอฟควรจะแทงลูกสขี าวใหก้ ระทบขอบโต๊ะบลิ เลียดแลว้ สะท้อนไปกระทบลูกดำ� ดงั รูป 6 54 123 17. O Oʹ แม� ้นำสาย 1 เกาะกลางนำ้ M G A BD H แม�นPำ้ ʹสาย 2 C N P สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 289 หาต�ำ แหนง่ ทจ่ี ะสร้างถนนและสะพานแตล่ ะแหง่ ได้ดังนี้ 1) เลอื่ นขนานจุด O ดว้ ย �AB ซึ่งมขี นาดเท่ากับความกวา้ งของแม่น้�ำ สาย 1 จะได้จดุ Oʹ ดังรปู 2) เล่ือนขนานจุด P ด้วย �CD ซง่ึ มีขนาดเท่ากับความกว้างของแมน่ ำ�้ สาย 2 จะได้จุด Pʹ ดังรปู 3) ลาก OʹPʹ ตดั รมิ ฝัง่ แม่น้ำ�สาย 1 และรมิ ฝงั่ แมน่ �้ำ สาย 2 ดา้ นทมี่ ีเกาะกลางน�้ำ ที่จดุ G และจุด H ตามลำ�ดบั 4) สรา้ ง GM ตั้งฉากกับรมิ ฝัง่ แมน่ ้�ำ สาย 1 ดา้ นจุด O ทจ่ี ดุ M 5) สรา้ ง HN ตั้งฉากกบั ริมฝัง่ แม่นำ�้ สาย 2 ด้านจดุ P ทจ่ี ดุ N จะได้ จดุ O และ จดุ M เป็นต�ำ แหนง่ ทส่ี ร้างถนนจากจุด O ถงึ ต้นสะพานข้ามแมน่ ำ้�สาย 1 จุด M และ จุด G เป็นต�ำ แหนง่ ที่สร้างสะพานข้ามแมน่ ำ�้ สาย 1 จุด G และ จุด H เปน็ ตำ�แหน่งทีส่ ร้างถนนเชอ่ื มระหว่างสะพานทงั้ สอง จุด H และ จดุ N เป็นตำ�แหนง่ ท่ีสรา้ งสะพานขา้ มแมน่ ้�ำ สาย 2 จดุ N และ จุด P เป็นตำ�แหน่งทีส่ รา้ งถนนจากจดุ N (ปลายสะพานข้ามแม่น�ำ้ สาย 2) ถึงจดุ P ตามต้องการ ต�ำ แหน่งทส่ี ร้างถนนและสะพานทั้งสองน้ที ำ�ให้ได้เสน้ ทางรวมสนั้ ทส่ี ดุ เพราะว่า OM = OʹG และ NP = HPʹ ซึ่ง OʹG, GH และ HPʹ อยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกัน ทำ�ให้ OM + MG + GH + HN + NP นอ้ ยทส่ี ุด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

290 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ตัวอย่างแบบทดสอบทา้ ยบท 1. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปน้ีถูกหรือผิดแล้วทำ�เคร่ืองหมาย  หรือ  ไว้หน้าข้อนั้น และในกรณีท่ีผิดให้แก้ไข ขอ้ ความนน้ั ให้ถกู ตอ้ ง (8 คะแนน) 1) ขนาดของมุมของรูปส่ีเหลี่ยมที่เป็นรูปต้นแบบกับขนาดมุมที่สมนัยกันของรูปส่ีเหล่ียมท่ีเป็นภาพที่ได้จาก การแปลงทางเรขาคณติ (การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน) จะเทา่ กนั เสมอ แก้ไขเปน็ 2) รปู ต้นแบบกบั ภาพทีไ่ ด้จากการสะทอ้ นไมเ่ ท่ากันทุกประการ แกไ้ ขเปน็ 3) เม่ือสะทอ้ นจุด (8, -7) โดยใชแ้ กน Y เปน็ เส้นสะท้อน จะได้จุด (8, 7) แก้ไขเปน็ 4) เมอ่ื เล่อื นจุด (4, 2) ไปทางซ้ายมือในแนวนอน 10 หนว่ ย จะได้จดุ (-6, -8) แก้ไขเปน็ 5) เมอ่ื หมุนจดุ (5, 5) ตามเขม็ นาฬิกา โดยใชจ้ ุดก�ำ เนิดเป็นจดุ หมนุ ดว้ ยมมุ ขนาด 90 องศา จะไดจ้ ุด (5, -5) แก้ไขเปน็ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 291 2. จงระบวุ า่ สถานการณห์ รือสิง่ ของต่อไปนสี้ ัมพันธ์กับการแปลงแบบใด (6 คะแนน) 1) เด็กกำ�ลังเล่นกระดานหก 2) คนก�ำ ลังลงบนั ไดเลื่อน ก. การเล่ือนขนาน 3) ลอ้ รถ ข. การสะทอ้ น 4) เงาของตน้ ไมใ้ นน้ำ�ในบึง ค. การหมุน 5) รถไฟก�ำ ลงั แล่นไปบนราง 6) เขม็ วินาทขี องนาฬกิ า 3. ขอ้ ใดกลา่ วไมถ่ ูกตอ้ งเก่ยี วกับการแปลงทางเรขาคณติ (1 คะแนน) ก. ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นจะเหมือนกับรูปต้นแบบและเทา่ กนั ทุกประการเสมอ ข. การสะท้อนรูปต้นแบบ 2 คร้งั ผา่ นเส้นตรงสองเสน้ ทต่ี ัดกนั ท�ำ ให้ภาพทไี่ ด้มีลกั ษณะเหมอื นกบั การหมนุ ค. การสะท้อนรูปต้นแบบ 2 คร้งั ผ่านเสน้ ตรงสองเส้นท่ีขนานกัน ทำ�ใหภ้ าพทีไ่ ดม้ ีลกั ษณะเหมอื นกบั การเลือ่ นขนาน ง. ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ บนรปู ตน้ แบบกบั เสน้ สะทอ้ น จะมากกวา่ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ สะทอ้ นกบั จดุ ทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ น จดุ น้ัน 4. เมือ่ พบั ครึง่ กระดาษรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากดังภาพ แลว้ ตดั กระดาษดงั กลา่ วเปน็ รูปส่ีเหลีย่ มผืนผา้ ตามแนวเสน้ ประ จงวาดรูปกระดาษช้นิ เลก็ ท่ตี ดั ได้ พร้อมระบุขนาด (1 คะแนน) 4 ซม. 2 ซม. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

292 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 5. Y C ก�ำ หนดรูปสเ่ี หลีย่ ม ABCD ดงั รปู B 4D จงหาพกิ ดั ของจดุ ยอดของรปู สเี่ หลี่ยม AʹBʹCʹDʹ 3 ทไี่ ดจ้ ากการหมนุ รูปส่เี หล่ยี ม ABCD ทวนเข็มนาฬกิ า 2 เป็นมุม 90 องศา รอบจุด O (2 คะแนน) 1A -4 -3 -2 -1 O 1234 X -1 -2 6. จากรปู Y A C 4 1234 X B -3 -2 D3 -5 -4 2 1 -1 O -1 -2 ข้อใดเป็นภาพทไี่ ด้จากการสะทอ้ นรปู ส่เี หลีย่ ม ABCD โดยใชแ้ กน Y เปน็ เสน้ สะทอ้ น (1 คะแนน) ก. Y ข. Y 1 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1234 X -5 -4 -3 -2 -1 O 1234 X Bʹ Cʹ -1 Aʹ Dʹ -1 Aʹ Bʹ -2 -2 Dʹ -3 Cʹ -3 -4 -4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 293 ค. ง. Y Y 4 Dʹ 4 Aʹ 3 Aʹ 3 Dʹ 2 2 1 Bʹ Cʹ 1 Cʹ Bʹ -4 -3 -2 -1 O 12345 X -4 -3 -2 -1 O 12345 X -1 -1 -2 -2 7. รูปส่เี หลี่ยม ABCD มจี ุดยอดเปน็ A(-3, -1), B(1, 2), C(-2, 4) และ D(-4, 2) ถ้ารปู ส่เี หลยี่ ม AʹBʹCʹDʹ เกดิ จาก การหมนุ รปู ส่เี หลยี่ ม ABCD ด้วยมุม 180 องศา โดยมีจดุ (0, 0) เป็นจุดหมนุ จงบอกพิกัดของจดุ Aʹ, Bʹ, Cʹ และ Dʹ ตอบ (2 คะแนน) 8. จงอธิบายว่า รูปส่เี หลย่ี ม AʹBʹCʹDʹ เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการแปลงทางเรขาคณิตของรปู สีเ่ หลย่ี ม ABCD ไดอ้ ย่างไร (2 คะแนน) Y 5C B Cʹ D 5 X -5 O A Bʹ Dʹ Aʹ -5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

294 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 9. จงเขียนภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ นรปู ตน้ แบบต่อไปนโี้ ดยใชเ้ สน้ ตรงที่กำ�หนดใหเ้ ป็นเส้นสะท้อน D C A E B พรอ้ มท้งั ตอบคำ�ถามต่อไปน ้ี (10 คะแนน) 1) ถา้ จดุ A มพี กิ ดั เปน็ (-4, 0) และจดุ E มีพิกดั เป็น (0, 2) จงหาพิกดั ของจุด Bʹ, Cʹ, Dʹ และ Eʹ ของภาพทไี่ ด้ จากการสะทอ้ นรูปต้นแบบโดยมีเส้นตรง เป็นเสน้ สะทอ้ น (2) ถ้าจดุ A มีพกิ ดั เปน็ (-1, 3) และจดุ E มพี ิกัดเป็น (3, 5) จงหาพกิ ัดของจุด Bʹ, Cʹ, Dʹ และ Eʹ ของภาพทไ่ี ด้ จากการสะท้อนรปู ต้นแบบโดยมีเส้นตรง เปน็ เส้นสะท้อน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 295 10. จงเขยี นภาพที่ได้จากการหมุนรปู ต้นแบบต่อไปนี้ โดยใชจ้ ดุ A เปน็ จดุ หมนุ และหมนุ ดว้ ยมมุ 90 องศา ทวนเข็มนาฬกิ า T U VR S Q P A พรอ้ มทง้ั ตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน ี้ (10 คะแนน) 1) ถ้าจดุ A มพี กิ ดั เปน็ (0, 0) และ จดุ P มีพกิ ดั เปน็ (-1, 2) จงหาพิกดั ของจุดยอดทุกจุดของภาพท่ไี ด้จากการหมุน รูปตน้ แบบ 2) ถา้ จุด A มีพิกดั เป็น (3, 1) และ จุด P มีพกิ ัดเป็น (2, 3) จงหาพิกัดของจดุ ยอดทุกจุดของภาพท่ีไดจ้ ากการหมุน รปู ต้นแบบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

296 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 11. นกั เดนิ ทางคนหนง่ึ สงั เกตเหน็ เรอื ใบล�ำ หนง่ึ ก�ำ ลงั แลน่ อยใู่ นทะเล โดยแลน่ ขนานกบั ชายหาดไปทางขวามอื มองเหน็ ไดช้ ดั เจน บนเส้นขอบฟ้า จึงบนั ทกึ ไว้ในสมดุ บันทกึ โดยใชเ้ ส้นตรงเส้นหน่งึ แทนแนวเส้นขอบฟา้ ถา้ เมอื่ เรมิ่ สงั เกต เรอื ใบล�ำ นอ้ี ยู่ ณ ต�ำ แหนง่ ดงั ภาพ และก�ำ ลงั แลน่ ไปทางขวาดว้ ยอตั ราเรว็ เฉลย่ี 12 ไมลท์ ะเลตอ่ ชว่ั โมง ให้นักเรียนช่วยนักเดินทางเขียนภาพของเรือใบ ณ ตำ�แหน่งท่ีเรือใบแล่นไปแล้ว 1 ช่ัวโมง 30 นาที ลงในสมุดบันทึก ข้างลา่ งนี้ (3 คะแนน) 12. ถา้ วางรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ ัส ABCD และรปู สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั PQRS ซอ้ นกัน โดยมจี ดุ R เปน็ จุดก่ึงกลางของเส้นทแยงมุมของ รปู สี่เหลี่ยม ABCD ดังรูป จงหาพน้ื ท่ีของสว่ นท่ีแรเงา พรอ้ มแสดงแนวคดิ (5 คะแนน) Q P AB 10 R S D 10 C สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 297 เฉลยแบบทดสอบทา้ ยบท 1. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดแล้วทำ�เคร่ืองหมาย  หรือ  ไว้หน้าข้อนั้น และในกรณีท่ีผิดให้แก้ไข ข้อความนน้ั ให้ถกู ต้อง (8 คะแนน)  (1) ขนาดของมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นรูปต้นแบบกับขนาดมุมท่ีสมนัยกันของรูปสี่เหล่ียมท่ีเป็นภาพที่ได้จาก การแปลงทางเรขาคณติ (การเลือ่ นขนาน การสะท้อน และการหมุน) จะเทา่ กนั เสมอ แก้ไขเป็น  (2) รูปต้นแบบกบั ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะท้อนไม่เทา่ กนั ทุกประการ แก้ไขเป็น รูปตน้ แบบกบั ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนเท่ากนั ทุกประการ  (3) เมอ่ื สะทอ้ นจุด (8, -7) โดยใชแ้ กน Y เปน็ เส้นสะทอ้ น จะไดจ้ ุด (8, 7) แก้ไขเปน็ คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น ✤ เมอ่ื สะทอ้ นจดุ (8, -7) โดยใชแ้ กน Y เปน็ เสน้ สะทอ้ น จะได้จดุ (-8, -7) ✤ จดุ (-6, -8) ไดจ้ ากการเลอ่ื นจดุ (4, 2) ไปทางซา้ ยมอื ในแนวนอน 10 หนว่ ย แลว้ เลอ่ื นลงขา้ งลา่ ง 10 หนว่ ย  (4) เมอ่ื เลือ่ นจุด (4, 2) ไปทางซา้ ยมือในแนวนอน 10 หนว่ ย จะได้จุด (-6, -8) แกไ้ ขเปน็ คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น ✤ เมอ่ื เล่ือนจดุ (4, 2) ไปทางซ้ายมอื ในแนวนอน 10 หนว่ ย จะไดจ้ ดุ (-6, 2) ✤ เมื่อเลือ่ นจดุ (-6, -8) ไปทางขวามอื ในแนวนอน 10 หน่วย จะได้จดุ (4, -8)  (5) เม่อื หมุนจดุ (5, 5) โดยใช้จุดกำ�เนิดเป็นจดุ หมุนดว้ ยมุมขนาด 90 องศา ตามเข็มนาฬกิ า จะได้จดุ (5, -5) แก้ไขเป็น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

298 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต ค่มู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นกั เรียนสามารถอธิบายผลท่ีเกดิ จากการเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมุนรูปตน้ แบบบนระนาบ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน ทำ�เคร่ืองหมาย  หรอื  ไดถ้ ูกตอ้ ง ไดข้ ้อละ 1 คะแนน แก้ไขขอ้ ทผ่ี ดิ ไดถ้ กู ต้อง ได้ข้อละ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้องหรือไม่ตอบ ได้ข้อละ 0 คะแนน 2. จงระบวุ ่าสถานการณ์หรอื ส่ิงของตอ่ ไปนี้สัมพันธก์ บั การแปลงแบบใด (6 คะแนน) ค (1) เดก็ กำ�ลงั เลน่ กระดานหก ก. การเลอื่ นขนาน ก (2) คนก�ำ ลังลงบนั ไดเล่ือน ข. การสะท้อน ค (3) ล้อรถ ค. การหมุน ข (4) เงาของตน้ ไมใ้ นน�ำ้ ในบงึ ก (5) รถไฟก�ำ ลังแลน่ ไปบนราง ค (6) เขม็ วนิ าทีของนาฬิกา ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน ข้อ 2 นักเรียนสามารถอธิบายสิ่งท่ีเกิดข้ึนหรือภาพที่ได้จากการแปลงว่าเกิดจากการเลื่อนขนาน การสะท้อน หรอื การหมนุ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 6 คะแนน ตอบถกู ต้อง ได้ข้อละ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกตอ้ งหรือไม่ตอบ ไดข้ ้อละ 0 คะแนน 3. ข้อใดกลา่ วไมถ่ กู ตอ้ งเกีย่ วกบั การแปลงทางเรขาคณติ (1 คะแนน) ก. ภาพทีไ่ ด้จากการสะท้อนจะเหมอื นกบั รปู ต้นแบบและเทา่ กนั ทุกประการเสมอ ข. การสะทอ้ นรปู ตน้ แบบ 2 ครงั้ ผา่ นเส้นตรงสองเส้นที่ตดั กนั ท�ำ ให้ภาพท่ไี ดม้ ลี กั ษณะเหมือนกบั การหมนุ ค. การสะทอ้ นรปู ตน้ แบบ 2 คร้งั ผา่ นเสน้ ตรงสองเส้นที่ขนานกัน ท�ำ ใหภ้ าพทีไ่ ด้มีลกั ษณะเหมอื นกบั การเลื่อนขนาน ง. ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ บนรปู ตน้ แบบกบั เสน้ สะทอ้ น จะมากกวา่ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ สะทอ้ นกบั จดุ ทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ น จุดน้นั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 299 ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นักเรียนสามารถอธบิ ายผลทเ่ี กดิ จากการเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุนรปู ต้นแบบบนระนาบ ขอ้ 2 นักเรียนสามารถอธิบายส่ิงที่เกิดขึ้นหรือภาพที่ได้จากการแปลงว่าเกิดจากการเล่ือนขนาน การสะท้อน หรอื การหมนุ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ตอ้ งหรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 4. เมอ่ื พับครึง่ กระดาษรปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉากดังภาพ แล้วตัดกระดาษดงั กลา่ วเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ตามแนวเส้นประ จงวาดรูปกระดาษช้นิ เลก็ ทต่ี ดั ได้ พร้อมระบขุ นาด (1 คะแนน) 4 ซม. 2 ซม. ตอบ 4 ซม. 4 ซม. ความสอดคล้องกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถอธบิ ายผลท่ีเกิดจากการเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมุนรปู ตน้ แบบบนระนาบ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน วาดรูป และระบุขนาดไดถ้ กู ต้อง ได้ 1 คะแนน วาดรปู แต่ไม่ได้ระบขุ นาด หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี