(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.1

200 บทท่ี 3 | ปริซึมและทรงกระบอก คูม่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ตวั อยา่ งแบบทดสอบท้ายบท 1. แทนใจ ไทเกอร ์ เมอรเ์ มด และเขตแดน ได้รับมอบหมายให้ออกแบบกล่องบรรจุลูกกวาด จึงคน้ หารปู แบบของกล่องขนม ตา่ ง ๆ จากอนิ เทอร์เนต็ แลว้ ร่างแบบท่ีต้องการ ดังนี้ แทนใจ ไทเกอร์ 12.5 10 6 10 4 16 เมอร์เมด 4 เขตแดน 4 6 4 4 6 8 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 201 ถ้าลูกกวาดมีปริมาตรประมาณ 450 ลูกบาศก์เซนติเมตร และต้องการประหยัดกระดาษที่ใช้ในการทำ�กล่องบรรจุ ลูกกวาดให้ไดม้ ากท่ีสุด นักเรียนควรจะเลอื กแบบร่างของใคร เพราะเหตใุ ด พรอ้ มทง้ั แสดงแนวคิด (10 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

202 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2. เบเกอรอ์ อกแบบเคก้ ใหล้ กู คา้ สามแบบ ทกุ แบบจะแตง่ เคก้ ดว้ ยครมี ทมี่ คี วามหนาเทา่ กนั เคก้ ของลกู คา้ คนใดทไี่ ดเ้ นอ้ื เคก้ และ ครมี แต่งเค้กมากที่สดุ จงแสดงแนวคิด (ก�ำ หนด π ≈ 3.14) (8 คะแนน) ข้อมลู เก่ียวกบั เนอ้ื เคก้ ท่ลี กู ค้าส่งั เป็นดงั น้ี คณุ เป้ คณุ ออ้ น คณุ โจ ความยาวรอบวง = 70 ซม. เส้นผ่านศูนย์กลาง = 30 ซม. 16 ซม. r 2r ความสูง = 14 ซม. 20 ซม. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก 203 3. กุ้งกง้ั ตอ้ งการท�ำ ตปู้ ลาเพอ่ื ตกแต่งมมุ ของหอ้ งรบั แขกท่บี ้าน จงึ รา่ งแบบตู้ปลาที่มีลักษณะเป็นปริซมึ ขน้ึ ดงั รูป (4 คะแนน) 68 ซม. 60 ซม. 1.2 ม. ถา้ กุ้งกงั้ ต้องการใสน่ ้ำ�เพยี ง 75% ของความจุของตปู้ ลา กงุ้ ก้งั ตอ้ งเตรยี มน้ำ�ไวเ้ พื่อใสต่ ู้ปลากล่ี ิตร 4. ท่ีนอนลูกระนาด ปัจจุบนั ชาวต�ำ บลศรีฐาน อำ�เภอปา่ ตวิ้ จงั หวดั ยโสธร ไดแ้ ปรรูปยางพาราท�ำ ไสห้ มอนขดิ และที่นอนลูกระนาด โดย ใช้ทอ่ พวี ซี ีเปน็ แมพ่ ิมพ์ ยางพาราท่ีผ่านกรรมวธิ ีตา่ ง ๆ จะมลี กั ษณะเหนียวนุ่มและทนทาน สามารถใชแ้ ทนนุน่ ที่หายากได้ นอกจากน้ยี างพารามีความคงทน ยดื หยุน่ รักษาง่าย ไมม่ ฝี ่นุ และทำ�ความสะอาดได้งา่ ย ในการท�ำ ที่นอนลูกระนาด 1 หลงั ซึง่ กวา้ งประมาณ 150 เซนตเิ มตร ยาว 180 เซนตเิ มตร จะใชท้ อ่ พีวีซีเสน้ ผา่ น ศูนยก์ ลางยาว 2 น้วิ (2 น้วิ ยาวประมาณ 5 เซนตเิ มตร) สำ�หรบั เป็นแม่พิมพ์เพื่อทำ�ลอนลกู ระนาด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

204 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 จากขอ้ มูลข้างตน้ จงตอบค�ำ ถามต่อไปนี้ 1) ถ้าตอ้ งการทำ�ที่นอนลกู ระนาด 1 หลัง จะตอ้ งใช้ทอ่ พวี ซี ียาวเท่าใด และตอ้ งทำ�ไส้ยางพาราอย่างมากกีท่ อ่ น (2 คะแนน) 2) การท�ำ ลอนลกู ระนาด 1 ลกู ใชย้ างพาราก่ีลกู บาศกเ์ ซนติเมตรหรือประมาณกล่ี ติ ร (กำ�หนด p ≈ 3.14) (1 คะแนน) 3) ท่ีนอนลกู ระนาด 1 หลัง ใช้ยางพาราประมาณกี่ลิตร ถา้ ยางพารา 3 ลติ ร เมือ่ น�ำ มาแปรรูปจะมนี ้�ำ หนักประมาณ 1 กโิ ลกรมั และยางพารา 1 กโิ ลกรมั ราคา 80 บาท ดงั นน้ั ทนี่ อนลกู ระนาด 1 หลงั จะมคี า่ ตน้ ทนุ เฉพาะยางพารา คิดเปน็ เงนิ กีบ่ าท (3 คะแนน) 5. ใบไหนจุมากกวา่ มีแก้วนำ้�สองใบ ดังภาพ แก้วใบที่หนึ่งวัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 6 เซนติเมตร วัดความสูงภายในแก้วได้ 16 เซนตเิ มตร สว่ นแก้วใบทส่ี องวดั เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางภายในได ้ 8 เซนตเิ มตร วัดความสงู ภายในแก้วได ้ 9 เซนตเิ มตร แกว้ ท้ังสองใบมคี วามหนา 2 มลิ ลเิ มตรเทา่ กัน และก้นแก้วท้งั สองหนา 1 เซนติเมตรเทา่ กัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 205 จากสถานการณข์ ้างต้น จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ (3 คะแนน) 1) แกว้ ทงั้ สองใบมีความจุต่างกนั หรือไม่ อยา่ งไร (3 คะแนน) 2) แก้วใบใดจะใช้วัสดุในการท�ำ แกว้ มากกว่า 3) ถา้ แก้วแตล่ ะใบมนี �ำ้ อยู่ 4 ใน 5 สว่ นของความสูงภายในแก้ว แกว้ ใบใดจะมีนำ้�มากกว่า (3 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

206 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบท้ายบท 1. แทนใจ ไทเกอร ์ เมอรเ์ มด และเขตแดน ไดร้ บั มอบหมายใหอ้ อกแบบกล่องบรรจลุ กู กวาด จงึ ค้นหารูปแบบของกล่องขนม ต่าง ๆ จากอนิ เทอรเ์ นต็ แลว้ ร่างแบบทตี่ อ้ งการ ดังน้ี แทนใจ ไทเกอร์ 12.5 10 6 10 4 16 เมอร์เมด 4 เขตแดน 4 6 4 4 6 8 ถ้าลูกกวาดมีปริมาตรประมาณ 450 ลูกบาศก์เซนติเมตร และต้องการประหยัดกระดาษที่ใช้ในการทำ�กล่องบรรจุ ลกู กวาดใหไ้ ด้มากท่ีสุด นักเรียนควรจะเลอื กแบบร่างของใคร เพราะเหตุใด พร้อมทั้งแสดงแนวคดิ (10 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก 207 แนวคิด เนอ่ื งจากลกู กวาดมปี ริมาตรประมาณ 450 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังน้ัน กลอ่ งสำ�หรับบรรจลุ กู กวาดจะต้องมคี วามจุอย่างน้อย 450 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร พจิ ารณาความจุของกล่องจากแบบรา่ งของแทนใจ ไทเกอร ์ เมอรเ์ มด และเขตแดน ชอ่ื นักเรยี น ความจขุ องกลอ่ ง (ลกู บาศก์เซนตเิ มตร) แทนใจ ( )–21 × 16 × 10 × 6 = 480 ไทเกอร์ เมอรเ์ มด ( ) 6 × √–4–3 × 4 × 4 × 10 ≈ 415.69 เขตแดน [(4 × 4 ) + (4 × 10 )] × 8 = 448 [(4 × 4 ) × 5] × 6 = 480 จะเห็นว่ามเี พยี งกล่องของแทนใจและเขตแดนเท่านน้ั ที่มคี วามจุอย่างนอ้ ย 450 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร พจิ ารณาวา่ กลอ่ งของแทนใจหรอื กลอ่ งของเขตแดนจะใชก้ ระดาษนอ้ ยกวา่ กนั โดยค�ำ นวณหาพน้ื ทผ่ี วิ ของกลอ่ งแตล่ ะแบบ พิจารณาฐานกล่องของแทนใจ A จากรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABD จะได้ x2 = 12.52 – 102 = 56.25 x = 7.5 12. 5 10 z เนือ่ งจาก x + y = 16 จะได้ 7.5 + y = 16 y = 8.5 จากรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ACD D จะได้ z2 = 102 + 8.52 B x 16 y C = 172.25 z ≈ 13.12 พนื้ ทีผ่ ิวของกล่องของแทนใจ [ ( )] ประมาณ 2× 1–2 × 16 × 10 + [(12.5 + 13.12 + 16) × 6] ≈ 160 + 249.72 ≈ 409.72 ตารางเซนติเมตร พน้ื ท่ผี วิ ของกล่องของเขตแดนเท่ากับ [2 × (4 × 4 × 5)] + [12 × (4 × 6)] = 160 + 288 = 448 ตารางเซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

208 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ดังน้นั กล่องของแทนใจมีพ้ืนทผ่ี ิวนอ้ ยกว่ากล่องของเขตแดน นัน่ คอื ควรเลือกแบบร่างของแทนใจมาทำ�กล่องบรรจุลกู กวาด เพราะมคี วามจุเพียงพอกบั ปริมาตรของลกู กวาดทีม่ ี รวมทงั้ มีพน้ื ท่ผี วิ น้อยกว่าซ่ึงจะทำ�ใหป้ ระหยดั กระดาษที่ใชใ้ นการท�ำ กล่องบรรจลุ กู กวาดได้มากทส่ี ดุ ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 1 นักเรียนสามารถหาพน้ื ที่ผวิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอก ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั พน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอกในการแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน โดยแบ่งออกเปน็ สว่ น ๆ ดังนี้ ✤ หาความจขุ องกล่องจากแบบร่างถูกตอ้ ง ไดแ้ บบรา่ งละ 1 คะแนน (รวม 4 คะแนน) ✤ เลอื กและใหเ้ หตุผลไดว้ า่ กลอ่ งของแทนใจกับเขตแดน เพยี งพอสำ�หรบั การบรรจุลูกกวาด ได้ 1 คะแนน ✤ หาพื้นที่ผวิ ของกล่องจากแบบรา่ งของแทนใจถกู ตอ้ ง ได้ 3 คะแนน ✤ หาพ้ืนท่ผี ิวของกลอ่ งจากแบบร่างของเขตแดนถกู ต้อง ได ้ 1 คะแนน ✤ เลอื กและใหเ้ หตุผลได้ว่ากล่องของแทนใจเพยี งพอกับการบรรจุ ลูกกวาดและประหยดั กระดาษในการทำ�กลอ่ งมากท่สี ดุ ได ้ 1 คะแนน 2. เบเกอรอ์ อกแบบเคก้ ใหล้ กู คา้ สามแบบ ทกุ แบบจะแตง่ เคก้ ดว้ ยครมี ทม่ี คี วามหนาเทา่ กนั เคก้ ของลกู คา้ คนใดทไี่ ดเ้ นอ้ื เคก้ และ ครมี แตง่ เคก้ มากที่สุด จงแสดงแนวคิด (กำ�หนด π ≈ 3.14) (8 คะแนน) ข้อมลู เกย่ี วกับเนอ้ื เคก้ ทล่ี กู คา้ สั่งเปน็ ดงั น้ี คณุ เป้ คุณอ้อน คุณโจ 16 ซม. ความยาวรอบวง = 70 ซม. เสน้ ผา่ นศูนย์กลาง = 30 ซม. ความสงู = 14 ซม. 20 ซม. r 2r สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก 209 แนวคิด หาปรมิ าตรของเน้ือเคก้ และปรมิ าตรของครีมแต่งเคก้ ของลกู ค้าแตล่ ะคน โดยปริมาตรของครมี แตง่ เค้กพจิ ารณา จากพืน้ ที่ผวิ ของเนอื้ เคก้ แต่ไมร่ วมฐานล่างของเคก้ ได้ดังตาราง ช่ือลูกค้า ปริมาตรของเนอ้ื เค้กโดยประมาณ พ้นื ท่ีผวิ ของเนอ้ื เคก้ (ลูกบาศก์เซนติเมตร) โดยประมาณ (ไมร่ วมฐานลา่ ง) คุณเป้ คุณออ้ น ( ) ( )π × 27—π0 2 × 2 × 27—π0 ≈ 8,697.11 (ตารางเซนติเมตร) คุณโจ ( )π × 3—20 2 × 14 ≈ 9,891 ( ) [ ( ) ( )]π × 27—π0 2 + 2π 27—π0 × 2 × 27—π0 π × 162 × 12 ≈ 9,646.08 ≈ 390.13 + 1,560.51 ≈ 1,950.64 ( ) [ ( ) ]π × 3—20 2 + 2π 3—20 × 14 ≈ 706.5 + 1,318.8 ≈ 2,025.3 π ×162 + (2π × 16 × 12) ≈ 803.84 + 1,205.76 ≈ 2,009.6 ดงั นัน้ เค้กของคณุ อ้อนจะไดเ้ น้ือเค้กมากทส่ี ุด และได้ครมี แต่งเคก้ มากทีส่ ุด ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น ขอ้ 1 นักเรยี นสามารถหาพน้ื ท่ผี วิ และปริมาตรของปรซิ ึมและทรงกระบอก ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั พน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอกในการแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 8 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดังน้ี ✤ หาปริมาตรของเนือ้ เคก้ ของลูกคา้ แตล่ ะคนถูกตอ้ ง ได้คนละ 1 คะแนน (รวม 3 คะแนน) ✤ หาพน้ื ท่ผี ิวของเค้กของลูกคา้ แต่ละคนถูกตอ้ ง ได้คนละ 1 คะแนน (รวม 3 คะแนน) ✤ บอกได้วา่ เคก้ ของคณุ อ้อนมเี น้ือเคก้ มากท่สี ุด ได ้ 1 คะแนน ✤ บอกไดว้ า่ เค้กของคณุ ออ้ นไดค้ รีมแต่งเคก้ มากทีส่ ุด ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

210 บทที่ 3 | ปริซึมและทรงกระบอก คูม่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3. กงุ้ ก้ังตอ้ งการท�ำ ตปู้ ลาเพ่ือตกแต่งมุมของหอ้ งรบั แขกท่ีบ้าน จึงร่างแบบตปู้ ลาทมี่ ลี ักษณะเป็นปรซิ ึมขนึ้ ดังรปู (4 คะแนน) h 68 ซม. 60 ซม. 1.2 ม. ถ้ากุ้งก้ังตอ้ งการใส่น้ำ�เพยี ง 75% ของความจุของตู้ปลา ก้งุ กงั้ ต้องเตรียมน�้ำ ไว้เพ่อื ใส่ตปู้ ลาก่ีลิตร แนวคิด ใหค้ วามสูงของฐานท่ีเปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก เท่ากบั h เซนติเมตร ดงั รูป จะได ้ h = √682 – 602 = 32 เซนตเิ มตร ดังนั้น ความจขุ องตปู้ ลาทรงปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉากเทา่ กบั ( )–21 × 60 × 32 × 120 = 115,200 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร เนื่องจากกุง้ กงั้ ตอ้ งการใสน่ �ำ้ เพยี ง 75% ของความจุของ ตูป้ ลาคดิ เปน็ ปรมิ าณน้ำ� 1—705–0 × 115,200 = 86,400 ลกู บาศก์เซนติเมตร หรอื 816,0,40000 = 86.4 ลิตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก 211 ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 1 นกั เรียนสามารถหาพื้นท่ผี วิ และปริมาตรของปริซมึ และทรงกระบอก ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั พน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอกในการแกป้ ญั หา เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้ ✤ หาความสงู ของฐานรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ✤ หาความจขุ องตู้ปลาถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ หาปริมาณนำ�้ (ลิตร) ท่ตี ้องใส่ถูกตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน 4. ทีน่ อนลกู ระนาด ปจั จบุ ันชาวต�ำ บลศรีฐาน อำ�เภอปา่ ตว้ิ จังหวดั ยโสธร ไดแ้ ปรรูปยางพาราท�ำ ไส้หมอนขิดและทีน่ อนลูกระนาด โดย ใชท้ อ่ พีวีซเี ปน็ แม่พมิ พ ์ ยางพาราทีผ่ ่านกรรมวิธตี ่าง ๆ จะมีลักษณะเหนียวนุม่ และทนทาน สามารถใชแ้ ทนนุ่นท่ีหายากได ้ นอกจากนี้ยางพารามคี วามคงทน ยืดหยนุ่ รกั ษางา่ ย ไมม่ ฝี ่นุ และทำ�ความสะอาดไดง้ ่าย ในการท�ำ ทน่ี อนลกู ระนาด 1 หลัง ซึ่งกวา้ งประมาณ 150 เซนตเิ มตร ยาว 180 เซนติเมตร จะใชท้ ่อพีวซี เี สน้ ผ่าน ศนู ย์กลางยาว 2 นิ้ว (2 น้วิ ยาวประมาณ 5 เซนตเิ มตร) สำ�หรับเป็นแม่พิมพ์ เพอ่ื ท�ำ ลอนลูกระนาด จากขอ้ มลู ข้างตน้ จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปน้ี 1) ถา้ ต้องการท�ำ ทน่ี อนลูกระนาด 1 หลัง จะต้องใช้ท่อพวี ซี ียาวเท่าใด และตอ้ งท�ำ ไส้ยางพาราอย่างมากกท่ี อ่ น (2 คะแนน) เน่อื งจากที่นอนลกู ระนาด 1 หลงั ยาวประมาณ 180 เซนติเมตร และท่อพีวีซมี ขี นาดเสน้ ผา่ นศูนย์กลางประมาณ 5 เซนตเิ มตร จะต้องใชท้ อ่ พีวซี ีทั้งหมด 180 ÷ 5 = 36 ท่อน ที่นอนลูกระนาด 1 หลัง กว้างประมาณ 150 เซนติเมตร จะไดว้ ่า ตอ้ งใชท้ ่อพีวซี ียาว 36 × 150 = 5,400 เซนตเิ มตร หรือ 54 เมตร ดังนั้น จะต้องใช้ทอ่ พวี ีซยี าว 54 เมตร และต้องท�ำ ไส้ยางพาราอยา่ งมาก 36 ทอ่ น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

212 บทท่ี 3 | ปรซิ มึ และทรงกระบอก คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 2) การท�ำ ลอนลูกระนาด 1 ลูก ใชย้ างพารากีล่ ูกบาศก์เซนตเิ มตรหรือประมาณกลี่ ติ ร (กำ�หนด p ≈ 3.14) (1 คะแนน) ลอนลกู ระนาด 1 ลกู ตอ้ งใชย้ างพาราประมาณ 3.14 × 2.52 × 150 ≈ 2,943.75 ลกู บากศเ์ ซนตเิ มตร หรอื ประมาณ 2.94 ลิตร 3) ทน่ี อนลกู ระนาด 1 หลัง ใช้ยางพาราประมาณกีล่ ติ ร ถา้ ยางพารา 3 ลติ ร เมอ่ื น�ำ มาแปรรปู จะมีน�้ำ หนักประมาณ 1 กโิ ลกรมั และยางพารา 1 กโิ ลกรมั ราคา 80 บาท ดงั นนั้ ทนี่ อนลกู ระนาด 1 หลงั จะมคี า่ ตน้ ทนุ เฉพาะยางพารา คิดเป็นเงินกีบ่ าท (3 คะแนน) เน่ืองจาก ทนี่ อนลูกระนาด 1 หลงั ต้องใช้ลอนลูกระนาดทงั้ หมด 36 ลกู คิดเปน็ ปริมาณยางพาราท่ีตอ้ งใช้ ทงั้ หมด 2.94 × 36 ≈ 105.84 ลิตร หรอื คิดเปน็ ยางพาราประมาณ 35.28 กิโลกรมั ซงึ่ มีราคาประมาณ 35.28 × 80 ≈ 2,822.40 บาท ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถหาพ้นื ทีผ่ วิ และปรมิ าตรของปรซิ ึมและทรงกระบอก ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั พน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอกในการแกป้ ญั หา เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบง่ ออกเปน็ ส่วน ๆ ดงั นี้ ข้อ 1) ✤ หาความยาวของทอ่ พวี ีซีที่ตอ้ งใชถ้ กู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ หาจำ�นวนท่อนของไส้ยางพาราทตี่ ้องใช้ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ข้อ 2) ✤ หาปริมาณยางพาราทตี่ อ้ งใช้สำ�หรบั ลอนลกู ระนาด 1 ลกู ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ข้อ 3) ✤ หาปรมิ าณยางพาราท่ตี ้องใชส้ ำ�หรบั ทำ�ท่ีนอนลกู ระนาด 1 หลงั ถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ✤ หาตน้ ทุนยางพาราถูกตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | ปรซิ ึมและทรงกระบอก 213 5. ใบไหนจุมากกว่า มีแก้วนำ้�สองใบ ดังภาพ แก้วใบท่ีหนึ่งวัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 6 เซนติเมตร วัดความสูงภายในแก้ว ได ้ 16 เซนตเิ มตร ส่วนแกว้ ใบทสี่ องวัดเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางภายในได้ 8 เซนติเมตร วดั ความสูงภายในแกว้ ได้ 9 เซนตเิ มตร แกว้ ทงั้ สองใบมีความหนา 2 มลิ ลิเมตรเทา่ กัน และกน้ แกว้ ทง้ั สองหนา 1 เซนตเิ มตรเทา่ กัน จากสถานการณข์ า้ งตน้ จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ 1) แกว้ ทงั้ สองใบมีความจตุ า่ งกันหรือไม่ อย่างไร (3 คะแนน) π × 32 × 16 = 144π ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร แนวคดิ ความจุของแกว้ ใบทีห่ นง่ึ เทา่ กับ π × 42 × 9 = 144π ลกู บาศก์เซนตเิ มตร และความจขุ องแก้วใบทีส่ องเท่ากบั ดังนัน้ แก้วท้งั สองใบมคี วามจเุ ท่ากัน 2) แก้วใบใดจะใช้วสั ดใุ นการท�ำ แกว้ มากกวา่ (3 คะแนน) แนวคดิ เน่ืองจากแก้วทั้งสองใบมคี วามหนา 2 มลิ ลิเมตร หรอื 0.2 เซนติเมตร และปรมิ าณของวสั ดุทีใ่ ชท้ �ำ แก้วเทา่ กบั ผลรวมของปริมาณวสั ดุสว่ นก้นแกว้ กับปริมาณ ของวัสดุด้านข้างของแกว้ จะได ้ ปริมาณของวัสดทุ ่ใี ชท้ �ำ แก้วใบท่ีหนงึ่ = [π × (3 + 0.2)2 × 1] + {[π × (3 + 0.2)2 × 16] – (π × 32 × 16)} = 10.24π + 163.84π – 144π = 30.08π ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร และ ปริมาณของวสั ดุทีใ่ ชท้ ำ�แกว้ ใบทส่ี อง = [π × (4 + 0.2)2 × 1] + {[π × (4 + 0.2)2 × 9] – (π × 42 × 9)} = 17.64π + 158.76π – 144π = 32.4π ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร ดงั นนั้ แกว้ ใบท่ีสองใชว้ ัสดุในการท�ำ แก้วมากกว่าแกว้ ใบท่ีหน่งึ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

214 บทที่ 3 | ปริซมึ และทรงกระบอก คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 3) ถ้าแกว้ แต่ละใบมีน้�ำ อยู่ 4 ใน 5 สว่ นของความสงู ภายในแก้ว แก้วใบใดจะมีน้ำ�มากกวา่ (3 คะแนน) แนวคดิ ( )ปริมาตรของนำ้�ในแก้วใบทีห่ นึ่ง เท่ากับ (π × 32) × –54 × 16 ≈ 115.2π ปริมาตรของน�ำ้ ในแกว้ ใบทีส่ อง เท่ากับ ( )(π × 42) × –54 × 9 ≈ 115.2π ดงั นน้ั แกว้ ทั้งสองใบมนี ้ำ�เท่ากัน ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถหาพืน้ ทผ่ี ิวและปริมาตรของปรซิ ึมและทรงกระบอก ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั พน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอกในการแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดงั น้ี ขอ้ 1) ✤ หาความจขุ องแกว้ แต่ละใบไดถ้ ูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน ✤ บอกได้วา่ แกว้ ท้งั สองใบมีความจุเทา่ กนั ได ้ 1 คะแนน ขอ้ 2) ✤ หาปริมาณวัสดทุ ี่ใชท้ ำ�แก้วแตล่ ะใบถกู ต้อง ได ้ 2 คะแนน ✤ บอกไดว้ ่าแก้วใบใดใช้วัสดุในการท�ำ มากกวา่ ได ้ 1 คะแนน ขอ้ 3) ✤ หาปริมาตรของน�้ำ ในแกว้ แต่ละใบถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน ✤ บอกได้ว่าแก้วใบใดมีนำ้�มากกว่า ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 215 บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต ในบทการแปลงทางเรขาคณติ น้ี ประกอบด้วยหัวขอ้ ยอ่ ย ดงั ต่อไปน้ี 4.1 การเล่อื นขนาน 4 ช่ัวโมง 4.2 การสะทอ้ น 4 ช่ัวโมง 4.3 การหมุน 4 ช่ัวโมง สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระ การวดั และเรขาคณติ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณติ และนำ�ไปใช้ ตัวช้วี ัด เขา้ ใจและใช้ความรู้เก่ยี วกบั การแปลงทางเรขาคณิตในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์และปญั หาในชีวิตจรงิ จุดประสงคข์ องบทเรียน นักเรียนสามารถ 1. อธบิ ายผลทีเ่ กิดจากการเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ รปู ตน้ แบบบนระนาบ 2. อธบิ ายส่ิงทเี่ กดิ ข้นึ หรอื ภาพทไ่ี ดจ้ ากการแปลงวา่ เกดิ จากการเลอ่ื นขนาน การสะท้อน หรือการหมนุ 3. นำ�การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมนุ มาประยุกต์ใชใ้ นการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวิตจริง ความเช่อื มโยงระหวา่ งตัวชีว้ ดั กบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น เนอ่ื งจากตวั ชวี้ ดั กลา่ วถงึ การเขา้ ใจและใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั การแปลงทางเรขาคณติ ในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หา ในชวี ติ จรงิ เพอื่ ใหก้ ารเรยี นรขู้ องนกั เรยี นในเรอ่ื งการแปลงทางเรขาคณติ สอดคลอ้ งกบั ตวั ชว้ี ดั นี้ ครคู วรจดั ประสบการณใ์ หน้ กั เรยี น สามารถ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

216 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 1. เขา้ ใจเกยี่ วกบั การแปลงทางเรขาคณติ ซงึ่ สะทอ้ นไดจ้ ากการทน่ี กั เรยี นสามารถอธบิ ายผลทเ่ี กดิ จากการเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ รปู ตน้ แบบบนระนาบ ตลอดจนอธบิ ายสงิ่ ทเี่ กดิ ขนึ้ หรอื ภาพทไ่ี ดจ้ ากการแปลงวา่ เกดิ จาก การเล่อื นขนาน การสะทอ้ น หรือการหมนุ 2. ใชค้ วามร้เู กี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในการแกป้ ัญหา ซงึ่ สะท้อนได้จากการที่นกั เรียนสามารถแกป้ ัญหา หรือ สถานการณต์ ่าง ๆ ที่เกี่ยวกบั การแปลงทางเรขาคณิต ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ 4.1 4.2 4.1 4.2 การเลื่อนขนาน การสะทอ� น การเล่ือนขนาน การสะท�อน แบบฝก� หดั 4.1 : แบบฝก� หดั 4.2 : แบบฝ�กหัด 4.2 : - 10–11 10–13 9–13 4.3 การหมนุ อ่ืน ๆ 4.3 การหมุน อ่นื ๆ - แบบฝ�กหดั ท�ายบท : - แบบฝ�กหัดทา� ยบท : 15–17 16 การแกป� ญ� หา การสอ่ื สารและ การสอ่ื ความหมาย ทางคณติ ศาสตร� 4.1 4.2 การคิด ทักษะและ 4.1 4.2 การเลอ่ื นขนาน การสะท�อน สรา� งสรรค� กระบวนการ แบบฝก� หดั 4.1 : กจิ กรรมลงเขา ทางคณิตศาสตร� การเชอ่ื มโยง กลบั เขา� เตน็ ท� 10–11 การเล่ือนขนาน การสะท�อน แบบฝก� หดั 4.1 : แบบฝ�กหัด 4.2 : 10–11 13 4.3 การหมนุ อนื่ ๆ การใหเ� หตุผล 4.3 การหมนุ อน่ื ๆ - แบบฝ�กหดั ทา� ยบท : ชวนคิด 4.14 แบบฝก� หัดท�ายบท : 16 17 4.1 4.2 การเลือ่ นขนาน การสะท�อน แบบฝก� หัด 4.1 : แบบฝ�กหัด 4.2 : 10–11 11–13 4.3 การหมนุ อ่ืน ๆ กจิ กรรมสำรวจ แบบฝก� หดั ทา� ยบท : การหมนุ 16–17 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 217 พฒั นาการของความรู้ ความรูพน้ื ฐาน ✤ การสรา้ งพ้ืนฐานทางเรขาคณิต ที่จำเปน ✤ สมบัติของเสน้ ขนาน ✤ ทฤษฎีบทพที าโกรัส ความรูท่ีสำคัญ ✤ การแปลงทางเรขาคณติ ทร่ี ปู ตน้ แบบและภาพทไ่ี ดจ้ ากการแปลงมรี ปู รา่ ง ในบทเรียน เหมอื นกนั และขนาดเทา่ กนั เสมอ ไดแ้ ก่ การเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ ✤ การเลือ่ นขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตทีม่ กี ารเล่อื นจุด ทกุ จดุ ไปบนระนาบตามแนวเส้นตรงในทิศทางเดยี วกันและเป็นระยะทาง เท่ากนั ตามทกี่ �ำ หนด ✤ การสะทอ้ นบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณติ ที่มเี สน้ ตรงตรึงเส้นหน่ึง เปน็ เสน้ สะท้อน และแตล่ ะจุดบนระนาบจะมจี ุดทเ่ี ปน็ ภาพทีไ่ ด้จากการ สะทอ้ นจดุ นั้น ซึ่งจดุ ท้งั สองจะอยบู่ นเสน้ ตรงทีต่ ั้งฉากกบั เสน้ สะท้อน และอย่หู ่างจากเสน้ สะทอ้ นเป็นระยะทางเท่ากนั ✤ การหมนุ บนระนาบเปน็ การแปลงทางเรขาคณิตทีม่ จี ดุ ตรงึ จดุ หนึ่งเปน็ จุดหมุน แต่ละจุดบนระนาบจะมีภาพทีไ่ ดจ้ ากการหมนุ ตามทศิ ทาง ขนาดของมุมจากจดุ หมนุ ตามที่กำ�หนด ความรใู นอนาคต ✤ ความเทา่ กันทกุ ประการ ✤ กราฟของฟังกช์ ันตา่ ง ๆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

218 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ลำ�ดับการจดั กจิ กรรมการเรียนรูข้ องบทเรียน อภิปรายความหมายของการแปลงทางเรขาคณิต รปู ตน้ แบบ และภาพท่ีไดจ้ ากการแปลง ท�ำ กิจกรรมส�ำ รวจการเลอ่ื นขนาน ฝกึ ปฏิบัตเิ ล่อื นขนานรปู ตน้ แบบด้วยเวกเตอร์ของการเลอื่ นขนานท่ีกำ�หนด อภิปรายเก่ียวกบั การเลื่อนขนานทพ่ี บเห็นในชีวติ ประจำ�วนั ท�ำ กจิ กรรมส�ำ รวจการสะทอ้ น ฝึกปฏบิ ตั สิ ะทอ้ นรูปตน้ แบบดว้ ยเสน้ สะท้อนทกี่ ำ�หนด อภิปรายการสะทอ้ นท่พี บเห็นในชวี ติ ประจ�ำ วนั ท�ำ กจิ กรรมสำ�รวจการหมุน ฝึกปฏบิ ัติการหมนุ รปู ต้นแบบรอบจดุ หมุนตามขนาดของมุมและทศิ ทางทก่ี �ำ หนด อภิปรายการหมุนท่พี บเหน็ ในชวี ิตประจ�ำ วนั สรปุ บทเรยี น ท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบทเพือ่ เติมเต็มความรู้ท่ีได้รบั จากบทเรยี น และพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรด์ ้วยแบบฝึกหัดทา้ ยบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 219 4.1 การเล่อื นขนาน (4 ช่ัวโมง) จดุ ประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการเล่ือนขนานบนระนาบ 2. หาภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนานรปู ตน้ แบบ 3. หาเวกเตอรข์ องการเล่อื นขนานเมื่อก�ำ หนดรูปต้นแบบและภาพทไี่ ด้จากการเลอื่ นขนาน 4. บอกพิกัดของจุดบนภาพที่ได้จากการเล่อื นขนานรปู ตน้ แบบทก่ี �ำ หนดให้ 5. บอกไดว้ า่ รปู คใู่ ดเปน็ รปู ตน้ แบบและภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน เมอื่ ก�ำ หนดรปู เรขาคณติ ทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการให้ 6. ใช้ความร้เู กีย่ วกบั การเลอื่ นขนานในการแกป้ ัญหา ความเข้าใจทคี่ ลาดเคลอ่ื น - สื่อท่ีแนะนำ�ใหใ้ ชใ้ นขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : สำ�รวจพิกัดในการเลอื่ นขนาน ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ น้ี เปน็ เรอ่ื งเกยี่ วกบั การเลอ่ื นขนานทม่ี งุ่ เนน้ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจความหมายและสมบตั ขิ องการเลอ่ื นขนานบนระนาบ ซ่ึงเป็นการแปลงเรื่องแรกที่นักเรียนได้เรียน นักเรียนควรที่จะสามารถหาภาพท่ีได้จากการเล่ือนขนาน หาเวกเตอร์ของ การเล่ือนขนาน และสามารถบอกได้ว่ารูปคู่ใดเป็นรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน รวมท้ังใช้ความรู้เก่ียวกับ การเล่อื นขนานในการแก้ปญั หา เพือ่ ให้เข้าใจเรื่องการเล่ือนขนาน แนวการจัดกจิ กรรมการเรยี นร้อู าจทำ�ได้ดังนี้ 1. ครยู กตวั อยา่ งของการแปลงทพ่ี บเหน็ ในชวี ติ ประจ�ำ วนั เพอื่ อภปิ รายกบั นกั เรยี นเกย่ี วกบั การเปลยี่ นแปลงของวตั ถุ ในเรื่อง ขนาด รปู รา่ ง ต�ำ แหน่ง หรอื ทิศทาง 2. ครูแนะนำ�ความหมายของการแปลงทางเรขาคณิต ให้รู้จักรูปต้นแบบ และภาพท่ีได้จากการแปลงทางเรขาคณิต รวมถึงสัญลักษณ์ตา่ ง ๆ ท่ีใชใ้ นเร่ืองการแปลง เชน่ P กบั Pʹ , AB กบั AʹBʹ , ABC กับ AʹBʹCʹ 3. ครูยกตัวอย่างสิ่งต่าง ๆ ในชีวิตจริง เช่น การปิด–เปิดประตูบานเล่ือน การเข็นรถยนต์ท่ีจอดอยู่ การดึงล้ินชัก เพอ่ื เชอ่ื มโยงใหเ้ หน็ การเลอ่ื นขนานทเ่ี กดิ ขน้ึ ในชวี ติ จรงิ แลว้ อาจใชค้ �ำ ถามในชวนคดิ 4.1 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 146 เพอื่ กระตุ้นใหน้ กั เรียนคิดและยกตัวอยา่ งการเลอ่ื นขนานอืน่ ๆ ท่พี บเหน็ ในชีวติ จริง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

220 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจการเลอ่ื นขนาน” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 146–149 โดยใหน้ กั เรยี นลงมอื ปฏบิ ตั ิ และสำ�รวจ เพ่ือหาความสัมพันธ์ของรูปต้นแบบและภาพท่ีได้จากการเลื่อนขนาน สร้างข้อความคาดการณ์ โดย อาศยั ค�ำ ตอบจากคำ�ถามทา้ ยกจิ กรรม จากนัน้ ครูและนกั เรียนร่วมกันอภปิ ราย เพ่อื ใหไ้ ด้ข้อสรปุ ว่า ขอ้ ความคาดการณท์ ่ไี ดเ้ ปน็ ไปตามสมบัติของ การเลอ่ื นขนาน และเรยี กทศิ ทางและระยะทางที่กำ�หนดในการเลอ่ื นขนานน้ัน วา่ เวกเตอร์ อย่างไรก็ตาม การใช้เวกเตอร์และสัญลักษณ์ของเวกเตอร์ในการบอกทิศทางและระยะทางของการเล่ือน ขนานในหัวขอ้ นี้ มีเจตนาเพยี งเพื่อบอกเง่อื นไขของการเล่อื นขนานรปู ต้นแบบเทา่ นั้น ครไู มจ่ ำ�เปน็ ตอ้ งให้ความรู้ เก่ยี วกบั เวกเตอรแ์ กน่ ักเรียนเกนิ กว่าทีก่ ลา่ วไวใ้ นหนงั สือเรียน 5. หลังจากทำ� “กิจกรรม : ส�ำ รวจการเลื่อนขนาน” แล้ว ครูอาจขยายแนวคดิ ของนักเรยี นในเร่อื งการเล่อื นขนาน โดย ใหน้ ักเรียนส�ำ รวจการเลื่อนขนานของกระดาษแขง็ รูปอืน่ ๆ เชน่ รูปสี่เหลีย่ มคางหมู ดงั น้ี “เลอื่ นกระดาษแขง็ รปู สเี่ หลย่ี มคางหมู ABCD ไปตามแนว DC AB เป็นระยะทาง 10 เซนติเมตร จากนนั้ เลอื่ นไปตามแนว B′C′ เป็นระยะทาง 7 เซนตเิ มตร ผลของการทำ�กิจกรรมจะเหมือนหรือ แตกตา่ งจากเดิมอย่างไร” AB ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายเพอื่ ใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ วา่ ไมว่ า่ รปู ตน้ แบบและเวกเตอรท์ ใ่ี ชใ้ นการเลอื่ นขนานจะ เปลีย่ นแปลงไปอยา่ งไร ภาพทไ่ี ด้จากการเลอ่ื นขนานจะเป็นไปตามสมบตั ิของการเล่อื นขนานเสมอ Dʺ Cʺ DC Aʺ Bʺ Dʹ Cʹ A B Aʹ Bʹ 6. ครูให้นักเรียนสังเกตเกี่ยวกับการหาภาพของรูปหลายเหล่ียมท่ีได้จากการเล่ือนขนาน โดยอาจใช้รูปต้นแบบท่ีมี จุดต่าง ๆ อยู่บนรูปน้ัน แล้วใช้แผ่นโปร่งใสลอกรูปต้นแบบพร้อมทั้งจุดต่าง ๆ บนรูปต้นแบบน้ัน จากน้ันเล่ือน แผ่นโปร่งใสดว้ ยเวกเตอร์ทก่ี ำ�หนด เพ่อื ใหน้ กั เรียนเห็นว่า ในการเล่ือนขนานทกุ ๆ จดุ บนรูปต้นแบบจะเคลอื่ น ไปบนระนาบพรอ้ ม ๆ กันด้วยเวกเตอร์เดยี วกนั แล้วแนะน�ำ นกั เรยี นวา่ โดยทว่ั ไป ถา้ ตอ้ งการเขียนภาพทีไ่ ดจ้ าก การเลื่อนขนานรูปหลายเหล่ียมใด สามารถทำ�ได้โดยเลื่อนขนานเฉพาะจุดยอดของรูปต้นแบบก็เพียงพอท่ีจะได้ ภาพจากการเลอ่ื นขนานรูปตน้ แบบนั้น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 221 7. ในการหาภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลอื่ นขนาน เมอ่ื ก�ำ หนดรปู ตน้ แบบและเวกเตอรบ์ นระนาบในระบบพกิ ดั ฉาก ดงั ตวั อยา่ ง ท่ี 3 และ 4 ในหนงั สือเรียน หน้า 154–155 ครคู วรใหน้ กั เรียนไดฝ้ กึ วเิ คราะห์เวกเตอรท์ ีโ่ จทยก์ �ำ หนดมาให้ โดย ดทู ่ีทิศทางและระยะทางตามแกน X และแกน Y วธิ นี ี้จะช่วยให้นกั เรยี นหาภาพของจุดที่ไดจ้ ากการเลื่อนขนาน ไดง้ า่ ยข้นึ ในการสอนเรอื่ งนี้ เมอ่ื ก�ำ หนดเวกเตอรเ์ ปน็ เสน้ เฉยี ง ครคู วรก�ำ หนดเวกเตอรใ์ หเ้ ปน็ เสน้ ทแยงมมุ ของตาราง บนระนาบในระบบพิกดั ฉากเทา่ นนั้ เพอื่ ความสะดวกในการระบุพิกดั ท่เี ปน็ จำ�นวนเตม็ 8. ครแู ละนกั เรยี นอภปิ รายรว่ มกนั เกย่ี วกบั การเลอื่ นขนานในระบบพกิ ดั ฉาก เมอ่ื ก�ำ หนดเวกเตอรข์ องการเลอื่ นขนาน ไปตามแนวแกน X และแกน Y เพอื่ ให้สามารถเขยี นความสมั พันธร์ ะหว่างพิกัดของจุดบนรูปต้นแบบกบั พิกดั ของ จดุ บนภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน และหาเวกเตอรข์ องการเลอ่ื นขนานได้ ซง่ึ ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 4.1 : สำ�รวจพกิ ัดในการเลื่อนขนาน” ในคู่มอื ครู หน้า 226 และคำ�ตอบท่ไี ด้จากชวนคดิ 4.3 และชวนคิด 4.4 ในคมู่ อื ครู หน้า 229 มาประกอบการอภปิ ราย 9. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันสนทนา พรอ้ มท้ังยกตวั อยา่ งของใช้ หรืออปุ กรณ์ที่ใชใ้ นชีวิตประจำ�วนั ท่ีมีการประยกุ ต์มา จากการเลอื่ นขนาน เช่น กลอ่ งใสเ่ ครอ่ื งมอื หรอื ชน้ั วางของบางแบบ ใชก้ ารเลอ่ื นขนานในการออกแบบการเลอ่ื นชน้ั ใสข่ องใหแ้ ตล่ ะชน้ั เหลอื่ มกัน เพอ่ื ความสะดวกตอ่ การหยิบของและสะดวกตอ่ การซอ้ นชั้นเกบ็ เป็นกลอ่ งดงั รปู งานออกแบบลวดลายตา่ ง ๆ เชน่ ลายผา้ ลวดลายเหลก็ ดดั ผอู้ อกแบบลวดลายจะสรา้ งรปู ตน้ แบบไวห้ นง่ึ รปู แลว้ ใช้รปู ต้นแบบทำ�ใหเ้ กดิ ภาพซำ้� ๆ กันตามแนวขนานในทิศทางทีต่ อ้ งการ ลายผ้า ลวดลายเหลก็ ดัด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

222 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 10. ครูอาจให้นักเรียนออกแบบลวดลายท่ีใช้การเล่ือนขนานและให้เสนอผลงาน เพ่ือพัฒนาความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ของ นักเรียน และใหเ้ ห็นประโยชน์ของการน�ำ ความรูใ้ นเรอ่ื งการเลอื่ นขนานไปประยุกต์ใชใ้ นชวี ิตจริง 11. ครแู นะน�ำ ใหน้ กั เรยี นเหน็ การประยกุ ตใ์ ชก้ ารเลอ่ื นขนานในสถานการณอ์ นื่ ๆ เชน่ การหาเสน้ ทางทสี่ น้ั ทสี่ ดุ ดงั ตวั อยา่ ง ที่ 6 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 160–161 โดยใชใ้ บงานทไ่ี ดจ้ ากการดาวนโ์ หลดในมมุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 160 เพ่ือสำ�รวจ สร้างแนวคิดเบ้ืองต้นและหลักการในการหาเส้นทางที่ส้ันที่สุด จากน้ันครูอาจถามคำ�ถามเพิ่มเติมว่า เมอ่ื หาเสน้ ทางทส่ี น้ั ทส่ี ดุ พบแลว้ ขนาดของมมุ ทถ่ี นนจากแตล่ ะต�ำ บลท�ำ กบั รมิ ฝง่ั แมน่ �ำ้ สมั พนั ธก์ นั อยา่ งไร เพราะเหตใุ ด และอาจใหน้ ักเรียนสำ�รวจด้วยว่าท�ำ ไมจงึ ตอ้ งสรา้ ง �XY ซึ่งควรได้ค�ำ ตอบวา่ เนอ่ื งจากตอ้ งการให้ดา้ น CB′ มคี วาม ยาวเท่ากับ DB และขนานกับ DB จึงตอ้ งเล่อื นไปเพอื่ ใหเ้ กิดรปู สีเ่ หลี่ยมด้านขนาน 12. ครคู วรใหน้ กั เรยี นท�ำ แบบฝกึ หดั 4.1 เพอ่ื ตรวจสอบความเขา้ ใจของนกั เรยี นและเสรมิ สรา้ งทกั ษะและกระบวนการทาง คณติ ศาสตร์ ส�ำ หรบั แบบฝกึ หดั 4.1 ขอ้ 9 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 165 เปน็ แบบฝกึ หดั เกย่ี วกบั การค�ำ นวณหาพนื้ ทโ่ี ดย ประมาณของรปู เรขาคณติ เพราะตอ้ งการใหน้ กั เรยี นไดเ้ หน็ การน�ำ สมบตั ขิ องการเลอ่ื นขนาน มาชว่ ยในการแกโ้ จทย์ ปญั หาทกี่ �ำ หนดให้ ซง่ึ มมุ มองหรอื แนวคดิ ในการค�ำ นวณหาพน้ื ทข่ี องนกั เรยี นแตล่ ะคนอาจแตกตา่ งกนั ครคู วรใหโ้ อกาส นักเรียนไดค้ ดิ อย่างอิสระ และแลกเปลย่ี นแนวคิดกบั เพ่ือนนักเรียนคนอืน่ ๆ ด้วย 13. สำ�หรับนักเรียนท่ีมีความสนใจเป็นพิเศษ ครูอาจให้นักเรียนทำ�โจทย์เพิ่มเติมที่ใช้ความรู้ในเร่ืองของกราฟและ ความสมั พนั ธ์เชงิ เส้นมาประกอบดว้ ย เช่น ก�ำ หนดจุด L(-3, -1) และ M(0, 2) มเี ส้นตรงทมี่ สี มการ y = x + 2 ผ่าน ดังรูป Y y=x+2 3 2M 1 -3 -2 -1 O 123 X -1 L -2 -3 ถ้าเล่ือนขนานจุด L และ M ไปทางขวา 2 หน่วย พิกัดของจดุ Lʹ และ Mʹ ซง่ึ เป็นภาพทไี่ ดจ้ ากการเล่อื นขนานจดุ L และ M เปน็ เทา่ ไร เสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด Lʹ และ Mʹ ควรจะมีสมการเป็นอะไร เพราะเหตใุ ด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 223 แนวคดิ ท่ีเป็นไปได้ Y y=x+2 3 Mʹ(2, 2) 2M 1 -3 -2 -1 O 1 23 X L -1 Lʹ(-1, -1) -2 y = x -3 พิกัดของจุด Lʹ และ Mʹ เป็น (-1, -1) และ (2, 2) ตามลำ�ดับ จะเห็นว่า จุดบนเส้นตรงที่ผ่านจุด Lʹ และ Mʹ มี พกิ ดั ท่หี นงึ่ (x) และพิกดั ที่สอง (y) ของแต่ละจดุ เท่ากัน ดงั นัน้ เสน้ ตรงน้จี ึงมสี มการเปน็ y = x สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

224 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรม : สำ�รวจการเลอ่ื นขนาน กจิ กรรมนี้ เป็นกจิ กรรมที่ตอ้ งการให้นกั เรียนสำ�รวจการเลอื่ นขนานรูปสามเหลีย่ มผ่านการปฏิบตั ิจรงิ แล้วร่วมกันสงั เกต ผลที่ได้จากการทำ�กิจกรรม แลกเปลี่ยนความคิดเห็นเกี่ยวกับข้อสังเกตที่ได้ โดยมีครูเป็นผู้ชี้แนะในระหว่างการทำ�กิจกรรม เพ่อื ใหน้ ักเรียนสามารถสรปุ สมบตั ขิ องการเล่อื นขนานได้ โดยมีสื่อ/อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดงั นี้ ส่ือ/อปุ กรณ์ 1. อุปกรณข์ องกิจกรรม : ส�ำ รวจการเลอ่ื นขนาน ในหนังสือเรยี น หน้า 146 2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หน้ ักเรียนจบั คู่กันท�ำ “กจิ กรรม : สำ�รวจการเลอ่ื นขนาน” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 146–149 ตามขนั้ ตอนการทำ� กจิ กรรมตอนท่ี 1 ขอ้ 1–3 โดยครอู าจแนะน�ำ การวางกระดาษแขง็ รปู สามเหลยี่ มบนกระดาษ A4 การสรา้ งรปู ตน้ แบบ และการเลื่อนขนาน 2. ใหน้ ักเรยี นวัดระยะห่างและสรา้ งส่วนของเส้นตรงตามขัน้ ตอนการท�ำ กิจกรรมตอนท่ี 1 ข้อ 4–6 แลว้ ให้นักเรียนแต่ละ คชู่ ว่ ยกนั ตอบคำ�ถามทา้ ยกิจกรรมตอนที่ 1 เมือ่ นกั เรยี นไดข้ อ้ สรุปของคำ�ถามทา้ ยกจิ กรรมแลว้ ครอู าจให้นกั เรียน แลกเปลย่ี นขอ้ สรุปทไี่ ด้ระหวา่ งคู่ 3. ให้นกั เรยี นท�ำ กจิ กรรมตอนที่ 2 และตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมตอนที่ 2 4. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปและอภิปรายคำ�ตอบที่ได้จากการสำ�รวจซึ่งจะได้ข้อสรุปที่สอดคล้องกับสมบัติของ การเล่ือนขนาน ทั้งนี้ครูอาจใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) จำ�ลองการเล่ือนขนานตาม “กจิ กรรม : ส�ำ รวจการเลอ่ื นขนาน” น้ี เพ่อื ท�ำ ความเข้าใจเพ่ิมเตมิ กบั นกั เรยี นทั้งชน้ั เรยี น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 225 เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจการเล่อื นขนาน คำ�ถามท้ายกิจกรรม ตอนที่ 1 1. มโี อกาสทบั กนั สนทิ เพราะรูปสามเหลย่ี มท้ังสองรูปสรา้ งมาจากรปู สามเหล่ียมรูปเดยี วกนั 2. เทา่ กนั 3. เท่ากนั 4. AAʹ และ CCʹ ขนานกัน เพราะส่วนของเสน้ ตรงสองเส้นนีม้ รี ะยะหา่ งเท่ากนั เสมอ (BC = BʹCʹ) หรือตอบว่า เพราะรูปสี่เหลย่ี ม AAʹCʹC เปน็ รปู สเ่ี หลีย่ มด้านขนาน เนื่องจาก AC = AʹCʹ และ AAʹ = CCʹ BBʹ และ CCʹ ขนานกนั เพราะสว่ นของเส้นตรงสองเสน้ น้มี รี ะยะห่างเท่ากนั เสมอ (BC = BʹCʹ) หรอื ตอบว่า เพราะรูปสี่เหลี่ยม BBʹCʹC เป็นรูปสเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน เนือ่ งจาก BC = BʹCʹ และ BBʹ = CCʹ DDʹ และ BBʹ ขนานกัน เพราะส่วนของเสน้ ตรงสองเสน้ นี้มรี ะยะหา่ งเท่ากนั เสมอ (จุด D อย่หู ่างจาก �BBʹ เทา่ กับท่ีจุด Dʹ อยู่หา่ งจาก �BBʹ ) หรือตอบว่า เพราะรปู สี่เหลยี่ ม BBʹDʹD เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน เนือ่ งจาก BD = BʹDʹ และ BBʹ = DDʹ ค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม ตอนท่ี 2 1. มีโอกาสทบั กันสนิท เพราะรูปสามเหลย่ี มทั้งสองรูปสร้างมาจากรปู สามเหล่ยี มรูปเดียวกัน 2. เท่ากนั 3. เท่ากนั 4. AA″ และ BB″ ขนานกัน เพราะรปู สเี่ หล่ยี ม ABB″A″ เปน็ รูปส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน (AB = A″B″ และ AA″ = BB″) BB″ และ CC″ ขนานกนั เพราะรปู สเ่ี หลยี่ ม BCC″B″ เปน็ รปู ส่เี หลยี่ มดา้ นขนาน (BC = B″C″ และ BB″ = CC″) DD″ และ BB″ ขนานกนั เพราะรูปสี่เหลย่ี ม DBB″D″ เป็นรปู ส่เี หลย่ี มดา้ นขนาน (DB = D″B″ และ DD″ = BB″) AB และ A″B″ ขนานกนั เพราะรูปสี่เหล่ียม AA″B″B เป็นรูปสี่เหลีย่ มด้านขนาน (AB = A″B″ และ AA″ = BB″) BC และ B″C″ ขนานกัน เพราะรูปส่ีเหล่ียม BCC″B″ เปน็ รูปส่เี หลย่ี มด้านขนาน (BC = B″C″ และ BB″ = CC″) CA และ C″A″ ขนานกัน เพราะรปู สีเ่ หล่ียม CAA″C″ เปน็ รปู สี่เหล่ียมด้านขนาน (CA = C″A″ และ CC″ = AA″) 5. ตวั อย่างคำ�ตอบ สว่ นของเส้นตรงท่ีเชื่อมระหว่างจุดท่สี มนยั กนั ค่อู นื่ ๆ ของ ∆ABC และ ∆A″B″C″ จะยาวเท่ากันและขนานกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

226 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : ส�ำ รวจพกิ ดั ในการเลือ่ นขนาน กิจกรรมน้ีเปน็ กจิ กรรมท่มี ุ่งให้นักเรียนขยายความรเู้ ก่ียวกบั การเลอื่ นขนานทเ่ี กิดขึ้นบนระนาบในระบบพิกดั ฉาก เพ่อื ให้ นักเรียนศึกษาความเปลี่ยนแปลงท่ีเกิดข้ึนกับพิกัดของจุดบนรูปต้นแบบกับพิกัดของจุดบนภาพท่ีได้จากการเล่ือนขนานด้วย เวกเตอรท์ ี่ก�ำ หนด โดยมสี ื่อ/อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังนี้ สอื่ /อปุ กรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : สำ�รวจพิกดั ในการเลื่อนขนาน ข้ันตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม 1. ครูใหน้ ักเรียนพิจารณาการเล่อื นขนานจดุ P ดว้ ย �MN ในใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : สำ�รวจพิกัดในการเลอื่ นขนาน เมอ่ื จดุ P เปลย่ี นต�ำ แหน่งไปตามท่ีก�ำ หนด แลว้ เติมคำ�ตอบลงในตาราง 2. ครใู หน้ กั เรยี นสงั เกตความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพกิ ดั ทหี่ นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ P กบั �MN แลว้ รว่ มกนั อภปิ รายขอั สงั เกต ทไ่ี ด้ 3. ครูอาจให้นักเรียนดาวน์โหลดเอกสารสำ�หรับใช้ GSP เพ่ือสร้างแบบจำ�ลองสำ�หรับกิจกรรม ได้ที่มุมเทคโนโลยี ในคู่มือครู หนา้ 227 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 227 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.1 : ส�ำ รวจพกิ ดั ในการเลอ่ื นขนาน ก�ำ หนดจดุ P และ �MN ของการเลือ่ นขนาน ดังรูป Y 4 2P -4 -2 O 24 X N(-2, -2)-2 M(-5, -4) -4 เมื่อจุด P เปลี่ยนตำ�แหน่งไป และมีพิกัดดังในตาราง จงเติมพิกัดของจุด P′ ที่ได้จากการเลื่อนขนานด้วย �MN ในตารางใหส้ มบูรณ์ จุด P พกิ ดั ทห่ี นึ่ง (x) 1 -1 3 0 -4 1 a พกิ ดั ท่ีสอง (y) 1 -1 1 -1 3 6 b จุด P′ พกิ ดั ทหี่ นงึ่ (x) พกิ ดั ท่ีสอง (y) เมื่อเติมพิกดั ของจุด P′ ในตารางแล้ว ให้ตอบคำ�ถามต่อไปนี้ 1. พกิ ัดท่ีหน่งึ (x) ของจดุ P และพิกดั ท่หี นงึ่ (x) ของจุด P′ สัมพนั ธก์ ับ �MN อย่างไร 2. พิกัดที่สอง (y) ของจดุ P และพิกัดทส่ี อง (y) ของจุด P′ สมั พนั ธ์กับ �MN อย่างไร มุมเทคโนโลยี นกั เรยี นสามารถดาวนโ์ หลดเอกสารสำ�หรบั ใช้ GSP สร้างแบบจำ�ลอง ทำ�กจิ กรรม : ส�ำ รวจพกิ ดั ในการเลอ่ื นขนาน ไดท้ ี่ ipst.me/10016 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

228 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : สำ�รวจพกิ ัดในการเลือ่ นขนาน จุด P พิกัดทห่ี น่งึ (x) 1 -1 3 0 -4 1 a พกิ ัดทส่ี อง (y) 1 -1 1 -1 3 6 b จดุ P′ พิกัดทีห่ น่ึง (x) 4 2 6 3 -1 4 a+3 พิกดั ที่สอง (y) 3 1 3 1 5 8 b+2 แนวคิด เน่ืองจาก �MN มีจุดเร่ิมต้นที่ M(-5, -4) และมีจุดส้ินสุดท่ี N(-2, -2) แสดงว่า จุด N อยู่ทางขวาของจุด M ตามแนวแกน X 3 หนว่ ย และอยูเ่ หนือขึ้นไปตามแนวแกน Y 2 หน่วย ดงั นน้ั จึงต้องเล่ือนจุดอน่ื ๆ ไปทางขวา 3 หน่วย และขึ้นบน 2 หนว่ ย 1. พิกดั ท่ีหนึง่ (x) ของจดุ P′ เท่ากับ พกิ ัดที่หน่งึ (x) ของจุด P บวกกบั ระยะตามแนวแกน X 3 หน่วย (โดยคดิ ทิศทาง) หรอื พกิ ัดที่หนึง่ (x) ของจดุ P′ เท่ากบั พิกัดท่ีหนึง่ (x) ของจุด P บวกกับ ผลลบของพิกดั ทีห่ น่งึ (x) ของ จดุ N ลบด้วย พกิ ัดที่หนึ่ง (x) ของจดุ M 2. พกิ ัดทส่ี อง (y) ของจุด P′ เท่ากบั พกิ ัดทีส่ อง (y) ของจุด P บวกกบั ระยะตามแนวแกน Y 2 หนว่ ย (โดยคดิ ทศิ ทาง) หรอื พิกดั ที่สอง (y) ของจุด P′ เทา่ กับ พิกัดทีส่ อง (y) ของจดุ P บวกกับ ผลลบของพิกัดทีส่ อง (y) ของ จดุ N ลบดว้ ย พิกดั ท่ีสอง (y) ของจุด M สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 229 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 4.1 มี เชน่ การเลื่อนบานหน้าตา่ ง การเคลื่อนท่ีของบนั ไดเลือ่ น การดึงลิน้ ชักโต๊ะหรือลิน้ ชกั ตเู้ ส้อื ผ้า ipst.me/10018 ชวนคดิ 4.2 ได้ผลเหมือนกัน ipst.me/10019 ชวนคิด 4.3 1. -4 ipst .me/ 100 20 2. เม่อื น�ำ คา่ ทไ่ี ดใ้ นข้อ 1 บวกเข้ากบั พิกดั ที่หนึง่ (x) ของจดุ A, B และ C จะพบว่าผลลพั ธท์ ไี่ ดจ้ ะเท่ากบั พิกดั ทีห่ นึ่ง (x) ของจดุ A′ , B′ และ C′ ตามลำ�ดบั 3. 2 4. เมือ่ น�ำ ค่าท่ีได้ในขอ้ 3 บวกเข้ากับพกิ ัดที่สอง (y) ของจดุ A, B และ C จะพบวา่ ผลลพั ธ์ที่ได้จะเทา่ กับ พิกัด ทส่ี อง (y) ของจดุ A′ , B′ และ C′ ตามลำ�ดบั ชวนคดิ 4.4 1. (-2, 1) 2. (8, 9) ipst.me/10021 ชวนคดิ 4.5 ถา้ ตอ้ งการหาต�ำ แหนง่ ทีจ่ ะสร้างสะพานทางดา้ นฝั่ง B ก่อน จะต้องให้ �YX เปน็ เวกเตอรท์ มี่ ขี นาด เทา่ กับความกวา้ งของแม่นำ�้ มที ิศทางจากฝั่ง A ไปยังฝงั่ B เลือ่ นขนานจดุ A ดว้ ย �YX ไดจ้ ดุ A′ ลาก ipst.me/10022 A′B ให้ตัดรมิ ฝัง่ แมน่ ำ�้ ฝ่งั B ให้จุดตดั คอื จดุ D และสร้าง CD ต้งั ฉากกับริมฝง่ั แมน่ ำ้�อกี ฝั่งหนึง่ ทจ่ี ุด C ซง่ึ ตำ�แหน่งที่จะสรา้ งสะพานทไ่ี ด้จะเปน็ ตำ�แหน่งเดียวกนั กบั ท่หี าได้ในตวั อยา่ งท่ี 6 ดงั รปู บา� นหนองโสน YA C Aʹ XD B บ�านท�าคอย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

230 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยมมุ เทคโนโลยี มุมเทคโนโลยี หนา้ 160 ipst.me/9059 เมอ่ื หาเสน้ ทางทสี่ น้ั ท่ีสุดพบแลว้ ขนาดของมุมท่ถี นนจากแต่ละหมู่บ้านท�ำ กับรมิ ฝ่งั แม่นำ�้ สัมพนั ธ์กนั อยา่ งไร ขนาดเท่ากัน หรอื ขนาดเกอื บเทา่ กนั (ขน้ึ อยกู่ บั คา่ ของมมุ ทว่ี ัดได้) ค�ำ ถาม 1 ตอบ คำ�ถาม 2 ระยะ EB′ เท่ากบั ระยะ FB หรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ ระยะ EB′ เทา่ กับระยะ FB เพราะว่า เม่อื ลากสว่ นของเส้นตรง BB′ แลว้ จะได้ BB′ และ EF ยาวเทา่ กันและ ขนานกนั (เลอื่ นขนานจดุ B ด้วย �MN และ �FE มขี นาดและทศิ ทางเดยี วกบั �MN) ดังนัน้ BB′EF เป็นรูปสเ่ี หล่ยี มด้านขนาน จะได ้ EB′ = FB (สมบัตขิ องรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน) ค�ำ ถาม 3 ท�ำ ไม AE + EF + FB จงึ มคี า่ นอ้ ยทส่ี ดุ ตอบ เพราะ AE + FB = AE + EB′ = AB′ ซ่ึง AB′ เป็นความยาวของส่วนของเสน้ ตรง และ EF เป็นความยาวของ สะพานซ่ึงมีคา่ คงตัว ดังน้นั AE + EF + FB มีค่าน้อยที่สดุ คำ�ถาม 4 ถนนจากหม่บู า้ น A ถงึ สะพาน กบั ถนนจากหมบู่ า้ น B ถงึ สะพาน ขนานกันหรือไม่ ตอบ ขนานกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 231 เฉลยแบบฝกึ หัด แบบฝึกหัด 4.1 1. 1) รูปสามเหล่ียมคู่ที่อาจเกิดจากการเล่ือนขนานด้วย �PQ คือ รูปสามเหล่ียมรูป 3 และ รูปสามเหลี่ยมรูป 5 โดยรูปสามเหลยี่ มรปู 3 เป็นรูปตน้ แบบ และรปู สามเหลีย่ มรปู 5 เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน 2) เวกเตอรม์ ที ศิ ทางข้ึนไปตามแนวตัง้ 6 หนว่ ย 3) ไม่มรี ูปสามเหลย่ี มทีเ่ ปน็ ภาพที่ได้จากการเลือ่ นขนานรปู สามเหลีย่ มรปู 2 ดว้ ยเวกเตอรท์ ่ีมีทศิ ทางไปทางขวาตาม แนวนอน 6 หนว่ ย 4) รปู สามเหลีย่ มรูป 4 เปน็ รปู ตน้ แบบ 2. รูป ก, ข และ ค เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนาน ABCD ดว้ ย �PQ, �RS และ �TU ตามลำ�ดับ ดังรูป Q P Aʹ Dʹ Dʹ R S Aʹ ก Cʹ ข Cʹ U T Bʹ Bʹ D AC B Aʹ Dʹ ค Cʹ Bʹ 3. 1) เวกเตอร์มที ิศทางไปทางขวาตามแนวนอน 5 หน่วย และลงไปตามแนวตัง้ 1 หนว่ ย หรือเวกเตอร์มที ศิ ทางลงไปตามแนวตงั้ 1 หนว่ ย และไปทางขวาตามแนวนอน 5 หนว่ ย 2) เวกเตอรม์ ที ิศทางไปทางซ้ายตามแนวนอน 5 หน่วย และลงไปตามแนวต้งั 3 หนว่ ย หรอื เวกเตอรม์ ที ศิ ทางลงไปตามแนวต้ัง 3 หนว่ ย และไปทางซา้ ยตามแนวนอน 5 หนว่ ย 4. จากรปู �MN มีจดุ เริ่มตน้ ทพี่ ิกดั (5, -1) และมจี ุดส้นิ สุดท่ีพกิ ัด (-1, -4) หมายความวา่ ต้องเลอ่ื นรปู ตน้ แบบไปทางซา้ ย ตามแนวแกน X 6 หนว่ ย และเลอ่ื นลงไปตามแนวแกน Y 3 หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

232 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 Y 4 P(4, 4) 2Q S(5, 2) Pʹ(-2, 1) (1, 2) R(4, 1) -6 Qʹ -4 -2 O 2 X (-5, -1) 46 Sʹ(-1, -1) Rʹ(-2, --22) M(5, -1) N(-1, -4) -4 การเลื่อนขนาน PQRS ดว้ ย �MN มขี ั้นตอนดงั นี้ 1. จากจดุ P(4, 4) เลอ่ื นจุด P ไปทางซา้ ยตามแนวแกน X 6 หนว่ ย และเล่ือนลงไปตามแนวแกน Y 3 หน่วย จะไดจ้ ุด P′ เปน็ ภาพท่ีไดจ้ ากการเลอ่ื นขนานจุด P และมีพกิ ัดเปน็ (-2, 1) 2. เลื่อนจดุ Q(1, 2), R(4, 1) และ S(5, 2) ในทำ�นองเดียวกนั กบั เลอ่ื นจุด P จะได้จดุ Q′, R′ และ S′ มพี ิกดั เป็น (-5, -1), (-2, -2) และ (-1, -1) ตามลำ�ดับ นั่นคอื จุด P′(-2, 1), Q′(-5, -1), R′(-2, -2) และ S′(-1, -1) เปน็ พกิ ัดของจุดยอดของภาพรูปส่เี หล่ยี มท่ไี ด้จาก การเลอ่ื นขนาน PQRS ด้วย �MN 5. Y C(-2, 7) 6 B(-8, 4) 4 A(-4, 2) 2 D(1, 3) Cʹ(7, 2) -10 -8 -6 -4 -2 O 2 468 10 X -2 (B1ʹ, -1) Aʹ(5, -3) Dʹ(10, -2) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 233 ให้ �AA′ เปน็ เวกเตอรข์ องการเลื่อนขนาน ABCD หมายความว่า ตอ้ งเลือ่ นรปู ต้นแบบไปทางขวาตามแนวแกน X 9 หน่วย และเลอื่ นลงไปตามแนวแกน Y 5 หนว่ ย การเล่อื นขนาน ABCD ด้วย �AA′ มขี ้นั ตอนดังน้ี 1. จากจุด B(-8, 4) เลอื่ นจดุ B ไปทางขวาตามแนวแกน X 9 หน่วย และเล่อื นลงไปตามแนวแกน Y 5 หนว่ ย จะ ไดจ้ ดุ B′ เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานจุด B และมีพิกดั เป็น (1, -1) 2. เลือ่ นจดุ C(-2, 7) และ D(1, 3) ในท�ำ นองเดยี วกันกับเลอ่ื นจดุ B จะได้จุด C′ และ D′ มีพิกัดเปน็ (7, 2) และ (10, -2) ตามลำ�ดบั นัน่ คอื จดุ B′ , C′ และ D′ มีพกิ ดั เป็น (1, -1), (7, 2) และ (10, -2) ตามล�ำ ดบั 6. Y Fʹ(80, 68) Dʹ(142, 68) Hʹ(18, 68) Aʹ Gʹ(40, 43) Eʹ Cʹ(135, 23) Iʹ(25, 23) (120, 43) O Bʹ(160, 0)X เนอ่ื งจาก เลอ่ื นจดุ A ไปทจ่ี ดุ ก�ำ เนดิ ดงั นน้ั ทกุ จดุ บนรปู หลายเหลย่ี ม ABCDEFGHI ตอ้ งเลอ่ื นไปทางขวาตามแนวนอน 80 หนว่ ย และเลอื่ นข้นึ ไปตามแนวต้ัง 33 หนว่ ย นัน่ คอื พิกัดท่หี นง่ึ (x) ของทกุ จดุ ต้องบวกดว้ ย 80 และพิกัดทสี่ อง (y) ของทกุ จดุ ต้องบวกดว้ ย 33 จะไดพ้ กิ ดั ดังนี้ B′(160, 0), C′(135, 23), D′(142, 68), E′(120, 43), F′(80, 68), G′(40, 43), H′(18, 68) และ I′(25, 23) Y 7. เนื่องจาก A′(-3, 2) เป็นภาพทไ่ี ด้จากการเล่ือนขนาน จดุ A(2, 2) Bʹ(0, 5) B(5, 5) ดังนน้ั เวกเตอร์ของการเลอ่ื นขนานมที ศิ ทางไปทางซา้ ย ตามแนวนอน 5 หนว่ ย 4 1) เมือ่ (1, -5) เป็นพิกัดของจดุ สิน้ สุดของเวกเตอร์ จะไดจ้ ดุ เรมิ่ ตน้ ของเวกเตอร์มีพิกัดเป็น (1 + 5, -5 + 0) หรอื (6, -5) Aʹ(-3, 2) 2 A(2, 2) X 2) เม่อื (x, y) เปน็ พิกดั ของจดุ เร่ิมต้นของเวกเตอร์ -4 -2 O 24 -2 จะไดจ้ ดุ สน้ิ สดุ ของเวกเตอรม์ พี กิ ดั เปน็ (x + (-5), y + 0) หรอื (x – 5, y) -4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

234 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ ค่มู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 8. เนื่องจากเลื่อนขนานจุด A(-3, -4) ไปทางซ้ายตามแนวแกน X 8 หน่วย แล้วขึ้นไปตามแนวแกน Y 6 หน่วย จะได้พิกดั ของจุด A′ คอื (-11, 2) Y พจิ ารณาระยะ AA′ จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้ 4 2 AA′2 = AC2 + CA′2 Aʹ(-11, 2) = 82 + 62 = 100 ดังน้นั AA′ = 10 -10 -8 -6 -4 -2 O 2X น่ันคอื ระยะหา่ งระหวา่ งจุด A กบั จุด A′ เทา่ กบั 10 หน่วย -2 C -4 A(-3, -4) 9. 1) 5 ซม. 5 ซม. 2 ซม. 2 ซม. 2 ซม. 1 ซม. 1 ซม. 1 ซม. 5 ซม. พ้ืนทโ่ี ดยประมาณของรปู เป็น 3 × 5 = 15 ตารางเซนตเิ มตร 2) B 4 ซม. C B 4 ซม. C 2 ซม. A D 2 ซม. D F E F E 2 ซม. พนื้ ทโ่ี ดยประมาณของรูปเป็น 2 × 4 = 8 ตารางเซนติเมตร 3) 3 ซม. 3 ซม. 3 ซม. 4 ซม. 4 ซม. พน้ื ทโ่ี ดยประมาณของรปู เป็น 3 × 4 = 12 ตารางเซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 235 4) 6 ซม. 6 ซม. 15 ซม. 15 ซม. พนื้ ทีโ่ ดยประมาณของรูปเปน็ 6 × 15 = 90 ตารางเซนติเมตร 10. 1) สรา้ งแบบจ�ำ ลองของสถานการณเ์ พอื่ หาตำ�แหน่งที่จะสรา้ งสะพานลอย ไดด้ งั น้ี (1) ให้ �EF เปน็ เวกเตอรท์ ีม่ ีขนาดเท่ากบั ความกว้างของแนวทางหลวง (2) เล่อื นขนานจดุ B เข้าหาแนวทางหลวงด้วย �EF ได้จดุ B′ (3) สรา้ ง AB′ ตดั ริมแนวทางหลวงดา้ นหมู่บา้ นวังเก่า ให้จุดตดั คอื D (4) สรา้ ง DC ต้งั ฉากกบั รมิ แนวทางหลวงอกี ฝ่ังหนงึ่ ทจ่ี ดุ C จะได้ จดุ C และจุด D เป็นต�ำ แหน่งทจี่ ะสรา้ งสะพานลอยตามตอ้ งการ หมู�บ�านวังเกา� A FD E Bʹ C B หมบ�ู า� นพฒั นา 2) ต�ำ แหน่งทส่ี รา้ งนี้ท�ำ ให้ไดเ้ ส้นทางทีส่ น้ั ที่สุด เพราะว่า BC = B′D ซ่ึง B′D และ DA อยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกัน ทำ�ให้ BC + CD + DA น้อยท่สี ุด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

236 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 11. สร้างแบบจำ�ลองของสถานการณเ์ พือ่ หาตำ�แหนง่ ท่จี ะสร้างสะพานแตล่ ะสะพาน ได้ดงั นี้ 1) ให้ �MN และ �PO เปน็ เวกเตอร์ทม่ี ขี นาดเทา่ กับความกวา้ งของถนนซ่งึ เปน็ ทางพเิ ศษ และความกวา้ งของแม่น้ำ� ตามลำ�ดบั ดงั รปู 2) เลือ่ นขนานจุด C เขา้ หาถนนด้วยเวกเตอร์ �MN ไดจ้ ดุ C′ 3) เลอื่ นขนานจุด D เข้าหาแมน่ ้ำ�ด้วยเวกเตอร์ �PO ได้จดุ D′ 4) สร้าง C′D′ ตดั รมิ ถนนด้านตรงข้ามกับหม่บู า้ น C ทีจ่ ุด F และตัดรมิ ฝั่งแมน่ �ำ้ ดา้ นตรงขา้ มกับหมบู่ ้าน D ทจ่ี ุด G 5) สรา้ ง FE ตัง้ ฉากกับรมิ ถนนดา้ นหมูบ่ ้าน C ที่จดุ E 6) สรา้ ง GH ต้งั ฉากกบั ริมฝง่ั แมน่ ้�ำ ดา้ นหมบู่ ้าน D ทจี่ ดุ H จะได้ จุด E และ จดุ F เป็นต�ำ แหนง่ ทจี่ ะสรา้ งสะพานข้ามถนนด้านหมบู่ ้าน C จุด G และ จดุ H เปน็ ตำ�แหนง่ ทีจ่ ะสร้างสะพานข้ามแม่น�ำ้ ด้านหมู่บ้าน D ตามต้องการ ดังรปู C M E Cʹ ทางพิเศษ NF Dʹ OG D แมน� ำ้ H P ตำ�แหน่งที่สร้างสะพานทั้งสองน้ีทำ�ให้ได้เส้นทางรวมท่ีส้ันท่ีสุด เพราะว่า CE = C'F และ HD = GD′ ซ่ึง C′F, FG และ GD′ อยู่ในแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั ท�ำ ให้ CE + EF + FG + GH + HD น้อยทส่ี ุด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 237 4.2 การสะทอ้ น (4 ช่วั โมง) จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการสะทอ้ นบนระนาบ 2. หาภาพท่ีได้จากการสะท้อนรูปตน้ แบบ 3. หาเสน้ สะท้อนของการสะทอ้ นเมอื่ กำ�หนดรูปตน้ แบบและภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ น 4. บอกพิกัดของจุดบนภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ นรปู ตน้ แบบท่ีก�ำ หนดให้ 5. บอกไดว้ า่ รูปคใู่ ดแสดงการสะท้อน เมือ่ ก�ำ หนดรปู เรขาคณิตท่เี ท่ากันทุกประการให้ 6. ใชค้ วามรูเ้ กี่ยวกับการสะท้อนในการแกป้ ญั หา ความเขา้ ใจทีค่ ลาดเคล่ือน - สือ่ ที่แนะนำ�ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ - ขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้ เป็นเรื่องเก่ียวกับการสะท้อน ท่ีมุ่งให้นักเรียนเข้าใจความหมายและสมบัติของการสะท้อนบนระนาบ ซ่ึงเป็น การแปลงเรอ่ื งทส่ี องทน่ี กั เรยี นไดเ้ รยี น นกั เรยี นควรทจ่ี ะสามารถหาภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ น หาเสน้ สะทอ้ น และสามารถบอกไดว้ า่ รปู คใู่ ดแสดงการสะทอ้ น รวมทงั้ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั การสะทอ้ นในการแกป้ ญั หา เพอื่ ใหเ้ ขา้ ใจเรอ่ื งการสะทอ้ น แนวการจดั กจิ กรรม การเรียนรูอ้ าจทำ�ได้ดังน้ี 1. ครูนำ�เข้าสู่บทเรียนด้วยการสนทนาและให้นักเรียนอภิปรายเก่ียวกับภาพหรือเงาของวัตถุที่เกิดจากการสะท้อน ในนำ้�วา่ อาจเหมือนหรอื แตกตา่ งจากของจรงิ เน่อื งจากผวิ นำ�้ อาจไมร่ าบเรียบและไม่ใสเหมอื นกระจกเงา 2. ครใู หน้ ักเรียนท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจการสะท้อน” ในหนังสือเรยี น หน้า 168–171 โดยให้นกั เรียนลงมอื ปฏบิ ัติ และส�ำ รวจ เพื่อหาความสมั พันธ์ของรูปต้นแบบและภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ น สร้างข้อความคาดการณ์ โดยอาศยั คำ�ตอบจากค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม จากนนั้ ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันอภปิ ราย เพือ่ ให้ได้ข้อสรปุ วา่ ข้อความคาดการณ์ ทไี่ ด้เปน็ ไปตามสมบัตขิ องการสะทอ้ น 3. ครทู บทวนความหมายของแกนสมมาตร และอธบิ ายลกั ษณะของรปู สมมาตรบนเสน้ จากนน้ั ยกตวั อยา่ งรปู เรขาคณติ แบบต่าง ๆ เพื่อให้นักเรียนสรุปได้ว่า รูปสมมาตรบนเส้นแต่ละรูปอาจมีจำ�นวนแกนสมมาตรไม่เท่ากัน และ รูปสมมาตรบนเส้นเป็นรูปที่สร้างได้โดยใช้ความรู้เรื่องการสะท้อน จากน้ันใช้ ชวนคิด 4.6 ในหนังสือเรียน หน้า 173 เพื่อตรวจสอบความเข้าใจเก่ยี วกับจ�ำ นวนแกนสมมาตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

238 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 4. ครชู ใี้ หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ การหาภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นของรปู หลายเหลย่ี มกส็ ามารถท�ำ ไดใ้ นท�ำ นองเดยี วกนั กบั การ หาภาพที่ได้จากการเล่อื นขนาน กลา่ วคือ หาเฉพาะจดุ ทเี่ ป็นภาพสะทอ้ นของจดุ ยอดของรปู ตน้ แบบ กเ็ พียงพอที่ จะเขียนภาพทไี่ ด้จากการสะทอ้ นของรปู ตน้ แบบได้ 5. ในการหาเส้นสะท้อนของการสะท้อน ครูให้นักเรียนช่วยกันวิเคราะห์และอธิบายการสร้างเส้นสะท้อนว่าจะทำ� อย่างไรได้บ้าง ครแู นะน�ำ ใหน้ ักเรียนวเิ คราะห์ยอ้ นกลับจากความหมายของการสะท้อน ซ่ึงนักเรยี นอาจตอบไดว้ า่ ถ้าให้เป็นไปตามความหมายของการสะทอ้ นจะตอ้ งหาเสน้ ทแ่ี บง่ ครง่ึ และตง้ั ฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มระหวา่ ง จดุ ทส่ี มนยั กนั 6. ในบทนจ้ี ะก�ำ หนดเสน้ สะทอ้ นบนระนาบในระบบพกิ ดั ฉากใหเ้ ปน็ เสน้ ตรงซงึ่ อาจเปน็ แกน X หรอื แกน Y เสน้ ตรง ทข่ี นานกบั แกน X หรอื ขนานกับแกน Y ก่อน สว่ นการก�ำ หนดเป็นเส้นเฉียงน้ันจะกำ�หนดใหเ้ ปน็ เส้นทแยงมมุ ของตารางบนระนาบ และจะกำ�หนดรูปต้นแบบและภาพที่ได้เป็นรูปเรขาคณิตท่ีนักเรียนสามารถบอกพิกัดท่ีมี สมาชิกเปน็ จ�ำ นวนเตม็ ได้ 7. ครูใชต้ วั อย่างท่ี 2 ในหนังสือเรยี น หนา้ 175 อภิปรายกับนกั เรียนว่า รูปเรขาคณิตทก่ี ำ�หนดใหม้ ีความสัมพนั ธ์กัน ในลกั ษณะของการสะท้อนหรือไม่ และช้ีใหน้ กั เรียนเห็นประเดน็ ดงั นี้ ✤ ถ้ามีสว่ นของเส้นตรงท่เี ชอื่ มระหวา่ งจุดคู่ท่ีสมนัยกนั ไมข่ นานกนั จะสามารถสรุปได้ทันทวี ่าไม่เป็นรูปทเี่ กิด จากการสะท้อน ✤ ถา้ สว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มระหวา่ งจุดคทู่ สี่ มนยั กนั นน้ั ขนานกนั ยงั ไม่เพยี งพอทีจ่ ะสรปุ วา่ เปน็ รปู ที่เกดิ จาก การสะท้อน ต้องหาเส้นสะท้อนใหไ้ ดด้ ้วย 8. หลงั จากทน่ี กั เรยี นไดศ้ กึ ษาการสะทอ้ นขา้ มแกน Y จากตวั อยา่ งท่ี 3 และชวนคดิ 4.7 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 176 แลว้ ครอู าจตง้ั ค�ำ ถามเพม่ิ เตมิ เกย่ี วกบั การส�ำ รวจการสะทอ้ นขา้ มแกน X ส�ำ หรบั นกั เรยี นทม่ี คี วามสนใจเปน็ พเิ ศษ ดงั น้ี Y 4 A B2 -2 O X -2 24 C -4 ก�ำ หนด ΔABC และใหแ้ กน X เปน็ เสน้ สะทอ้ น ดงั รปู จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 239 1. จุด A′, B′ และ C′ ซึง่ เป็นภาพที่ได้จากการสะทอ้ นจุด A, B และ C จะมพี กิ ัดเป็นอะไร 2. ถา้ พิกดั ของจุด B เป็น (-3, -1) แล้วพกิ ัดของจดุ B′ จะเป็นอะไร 3. ถา้ จดุ C และจดุ C′ เปน็ จดุ เดยี วกนั แลว้ พกิ ดั ของจดุ C จะเปน็ อะไร 4. ถา้ พกิ ดั ของจุด A เปน็ (x, y) แล้วพกิ ดั ของจดุ A′ จะเป็นอะไร 5. ข้อความคาดการณแ์ สดงความสัมพันธ์ระหว่างพกิ ดั ท่หี นงึ่ และพกิ ดั ท่ีสองของจุดใด ๆ บนรปู ตน้ แบบ กบั พกิ ัดที่หนง่ึ และพกิ ดั ท่สี องของจุดทีไ่ ด้จากการสะทอ้ นจุดนนั้ เม่อื ให้แกน X เป็นเสน้ สะท้อน จะเขียนได้อยา่ งไร ค�ำ ตอบจากคำ�ถามเพิม่ เติมเปน็ ดงั น้ี 1. A′(2, -3), B′(-2, -2) และ C′(4, 1) 2. พกิ ดั ของจุด B′ คอื (-3, 1) 3. พกิ ัดของจุด C ทท่ี ำ�ให้ จดุ C และจดุ C′ เปน็ จดุ เดยี วกัน คือ (x, 0) 4. พิกดั ของจดุ A′ คือ (x, -y) 5. ตัวอยา่ งคำ�ตอบ พิกดั ทีห่ นึ่ง (x) ของจดุ บนภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น = พกิ ดั ที่หนง่ึ (x) ของจุดบนรปู ต้นแบบทีส่ มนยั กัน พกิ ัดท่สี อง (y) ของจุดบนภาพที่ไดจ้ ากการสะทอ้ น = - พกิ ดั ที่สอง (y) ของจดุ บนรูปตน้ แบบทีส่ มนยั กัน 9. ครูอาจให้นกั เรยี นทำ� “กิจกรรม : ส�ำ รวจการสะท้อนแกน X” ในมุมเทคโนโลยี เพอื่ เตรียมความพรอ้ มกอ่ นท่ีจะท�ำ ตวั อย่างที่ 4 ในหนงั สือเรียน หน้า 177 10. ครูให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : ลงเขากลับเข้าเต็นท์” ในหนังสือเรียน หน้า 183 โดยใช้ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต The Geometer’s Sketchpad (GSP) สร้างแบบจำ�ลองเพือ่ หาเสน้ ทางทส่ี ้นั ทส่ี ดุ 11. ครูอาจสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับการนำ�ความรู้เร่ืองการสะท้อนมาใช้ประโยชน์ในงานบางอย่าง เช่น ทำ�กล้อง สลับลาย ท้ังนี้ ครูอาจทำ�กล้องสลับลายไว้เป็นสื่อการเรียนการสอนและเป็นตัวอย่างให้นักเรียนได้เห็นลวดลายที่ได้ จากการสะทอ้ น และอาจให้นกั เรยี นลองทำ�กลอ้ งสลับลายอย่างง่ายก็ได้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

240 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กิจกรรม : สำ�รวจการสะท้อน กจิ กรรมนี้ เปน็ กิจกรรมท่ตี อ้ งการใหน้ ักเรียนส�ำ รวจการสะท้อนรูปสามเหลยี่ มผา่ นการปฏบิ ตั จิ ริง แล้วรว่ มกันสังเกตผลที่ ได้จากการทำ�กิจกรรม แลกเปลี่ยนความคิดเห็นเกี่ยวกับข้อสังเกตท่ีได้ โดยมีครูเป็นผู้ช้ีแนะในระหว่างการทำ�กิจกรรม เพ่ือให้ นกั เรยี นสามารถสรุปสมบัตขิ องการสะทอ้ นได้ โดยมสี ่ือ/อุปกรณ์ และข้ันตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดังนี้ ส่ือ/อุปกรณ์ 1. อุปกรณข์ องกจิ กรรม : สำ�รวจการสะทอ้ น ในหนงั สอื เรียน หนา้ 168 2. ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ครใู หน้ กั เรยี นจบั คกู่ นั ท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจการสะทอ้ น” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 168–170 ตามขน้ั ตอนการท�ำ กจิ กรรม ตอนที่ 1 ข้อ 1–5 โดยครอู าจแนะนำ�การวางกระดาษแขง็ รปู สี่เหล่ียมบนกระดาษ A4 การสร้างรูปตน้ แบบ และ การพลกิ กระดาษแข็งรูปส่เี หลย่ี ม ABCD ให้ดา้ น AB แนบตรงตำ�แหนง่ เดมิ 2. ใหน้ ักเรยี นแต่ละคูช่ ่วยกันตอบค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรมตอนท่ี 1 ในหนังสือเรียน หนา้ 169 เม่ือนักเรยี นได้ขอ้ สรุปของ ค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรมแลว้ ครอู าจให้นกั เรยี นแลกเปลี่ยนข้อสรุปทีไ่ ดร้ ะหวา่ งคู่ 3. ใหน้ ักเรียนท�ำ กจิ กรรมตอนท่ี 2 โดยครูอาจแนะน�ำ การวัดขนาดของมมุ ทอี่ าจตอ้ งต่อความยาวแขนของมุมเพือ่ ชว่ ยใน การวดั ดว้ ยโพรแทรกเตอร์ รวมทงั้ ความคลาดเคลอ่ื นจากการวดั ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงและขนาดของมมุ ทอ่ี าจ เกิดขึ้นได้ จากนั้นใหน้ กั เรยี นตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมตอนที่ 2 4. ให้นักเรียนทำ�กิจกรรมตอนท่ี 3 เป็นรายบุคคล ให้นักเรียนแต่ละคนใช้ด้านของรูปส่ีเหล่ียมที่แตกต่างกันแนบกับ เสน้ ตรง จากนนั้ ใหน้ กั เรยี นเขยี นขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งสว่ นของเสน้ ตรงทเี่ ชอื่ มระหวา่ ง จดุ ท่ีสมนัยกันของรปู สามเหลยี่ มท้ังสองรปู กับเสน้ สะท้อน 5. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปและอภิปรายคำ�ตอบท่ีได้จากการสำ�รวจซึ่งจะได้ข้อสรุปที่สอดคล้องกับสมบัติของ การสะทอ้ น ท้ังน้ี ครูอาจใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) จ�ำ ลองการสะท้อนตาม “กจิ กรรม : ส�ำ รวจการสะท้อน” นี้ เพ่ือท�ำ ความเขา้ ใจเพิ่มเตมิ กบั นักเรียนทงั้ ชน้ั เรียน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 241 เฉลยคำ�ถามท้ายกจิ กรรม : สำ�รวจการสะท้อน เฉลยคำ�ถามทา้ ยกจิ กรรม ตอนท่ี 1 1. ยาวเทา่ กนั เพราะสร้างมาจากรปู สามเหลย่ี มรูปเดยี วกนั 2. ไม่มีโอกาสทับกันสนิท เหตุผลมีได้หลากหลาย เช่น การเรียงของจุดยอดของรูปสามเหล่ียมทั้งสองรูปมีทิศทาง ตรงกนั ขา้ ม 3. ต้องพลิกรปู ใดรปู หนึง่ กอ่ น เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม ตอนท่ี 2 1. เป็น เพราะจากกจิ กรรมข้อ 8 จะได้ว่า PE = EP′, QF = FQ′ และ RG = GR′ 2. เท่ากัน และ เทา่ กับ 90° 3. ขนานกนั เพราะขนาดของมุมภายในท่อี ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัดรวมกันได้ 180° เฉลยค�ำ ถามท้ายกิจกรรม ตัวอย่างค�ำ ตอบ ส่วนของเส้นตรงที่เช่ือมระหว่างจุดที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมท้ังสองรูปจะต้ังฉากกับเส้นสะท้อน และเส้นสะท้อนจะ แบง่ คร่งึ สว่ นของเสน้ ตรงนั้น ทำ�ให้จดุ ทีส่ มนัยกันมีระยะหา่ งจากเส้นสะท้อนเท่ากัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

242 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณิต ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรม : ลงเขากลับเข้าเต็นท์ กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ส่งเสริมให้นักเรียนสามารถใช้เทคโนโลยีในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ กล่าวคือ ใช้ซอฟต์แวร์ เรขาคณติ พลวัต เช่น ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad สร้างแบบจำ�ลองเพ่อื ส�ำ รวจหาเสน้ ทางทีส่ ้นั ท่ีสุด หรือครอู าจ สรา้ งแบบจ�ำ ลองตามขนั้ ตอนเพอ่ื แสดงบนจอภาพหนา้ ชน้ั เรยี น แลว้ ใหน้ กั เรยี นมาเลอื่ นต�ำ แหนง่ ของจดุ C เพอื่ หาต�ำ แหนง่ ทก่ี อ้ ง แวะทลี่ �ำ ธารและท�ำ ใหไ้ ดเ้ สน้ ทางทสี่ นั้ ทสี่ ดุ ขนึ้ อยกู่ บั บรบิ ทของโรงเรยี น โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้ สื่อ/อปุ กรณ์ ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนอ่านโจทย์จากสถานการณ์ตาม “กิจกรรม : ลงเขากลับเข้าเต็นท์” ในหนังสือเรียน หน้า 183 เพื่อให้ นักเรยี นท�ำ ความเข้าใจปัญหาว่าโจทย์ต้องการให้หาอะไร และโจทยก์ ำ�หนดอะไรมาใหบ้ ้าง 2. ใหน้ กั เรียนใช้ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad สรา้ งแบบจ�ำ ลองตามขั้นตอนการท�ำ กจิ กรรมข้อ 1–4 3. ให้นักเรียนเลื่อนตำ�แหน่งของจุด C ซ่ึงเป็นตำ�แหน่งที่ก้องแวะท่ีลำ�ธาร สังเกตว่าเกิดอะไรขึ้นบ้าง พร้อมทั้งให้ร่วม อภปิ รายว่าการเล่ือนตำ�แหน่งของจดุ C เกิดการเปลีย่ นแปลงอะไรบ้าง และมีความหมายอย่างไร 4. ใหน้ กั เรยี นวัดความยาวของส่วนของเสน้ ตรง PC และส่วนของเสน้ ตรง QC พรอ้ มท้ังหาผลบวกของระยะทางทงั้ สอง ตามขัน้ ตอนการทำ�กิจกรรมข้อ 5–6 จากนั้นใหน้ กั เรยี นเลอื่ นต�ำ แหน่งของจดุ C อีกคร้ัง สงั เกตผลบวกของระยะทาง ทงั้ สองว่าจะส้นั ท่ีสุดเม่อื จุด C อยทู่ ตี่ ำ�แหน่งใด 5. ให้นกั เรียนวดั ขนาดของมุม PCA และมมุ QCB พรอ้ มสงั เกตว่าเมอ่ื ผลบวกของระยะทางท้ังสองสนั้ ที่สดุ ขนาดของ มุมท้งั สองจะสัมพันธก์ ันอยา่ งไร และให้นักเรียนรว่ มกันอภปิ รายวา่ หากเราต้องการหาตำ�แหนง่ ของจดุ C ซง่ึ ท�ำ ให้ได้ เสน้ ทางท่ีสน้ั ทีส่ ุด สามารถใช้ความรู้เรือ่ งใด อยา่ งไร 6. ครูแนะนำ�ให้นกั เรยี นสร้างจุด G ท่ีเป็นต�ำ แหน่งซึง่ ทำ�ให้ไดเ้ ส้นทางนั้นสั้นท่ีสุด ตามขัน้ ตอนการทำ�กจิ กรรมขอ้ 9–12 พรอ้ มทั้งให้นกั เรียนอภิปรายคำ�ตอบของกรอบค�ำ ถามร่วมกนั 7. ครใู หน้ กั เรยี นลองเปลย่ี นต�ำ แหนง่ ของจดุ P และจดุ Q แลว้ สงั เกตดวู า่ ต�ำ แหนง่ ของจดุ C ทที่ �ำ ใหไ้ ดเ้ สน้ ทางนน้ั สนั้ ทสี่ ดุ ยงั คงเปน็ จดุ G ท่ไี ดจ้ ากการสร้างในข้อ 6 เช่นเดมิ หรอื ไม่ 8. ครซู ักถามนักเรยี นเกย่ี วกบั ความรู้ทางคณิตศาสตร์ทใี่ ช้ในการแก้ปัญหานี้ และอภปิ รายเพ่อื ทำ�ความเขา้ ใจเพ่มิ เติมกับ นกั เรียน 9. ครูและนักเรียนรว่ มกันสรุปผลการแก้ปญั หาตามการท�ำ กิจกรรมนี้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 243 เฉลยกิจกรรม : ลงเขากลบั เข้าเต็นท์ คำ�ถาม เมอ่ื ลากจุด C ไปจนกระทั่งไดร้ ะยะทางที่คิดวา่ นอ้ ยที่สดุ อยากทราบวา่ PˆCA และ QˆCB สมั พนั ธก์ นั อยา่ งไร ตอบ PˆCA และ QˆCB มคี ่าใกลเ้ คยี งกันมาก ค�ำ ถาม ทำ�ไม PQ′ จงึ เป็นเส้นทางสั้นท่สี ดุ จากจุด P ถึงจุด Q′ ตอบ เพราะในบรรดาเส้นทเี่ ชื่อมระหวา่ งจุด 2 จดุ สว่ นของเส้นตรงเป็นเสน้ ทีส่ ้ันทสี่ ดุ คำ�ถาม เพราะเหตใุ ด เม่อื ลากจดุ C ไปที่จดุ G แล้วผลบวกของความยาวของ PC และ QC จึงน้อยทสี่ ดุ ตอบ PC + CQ = PG + GQ′ = PQ′ และ PQ′ เป็นเส้นทางทสี่ ้ันทสี่ ดุ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

244 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 4.6 1. จำ�นวนแกนสมมาตรของรูปหลายเหลยี่ มด้านเทา่ มุมเทา่ จะเท่ากับจ�ำ นวนจุดยอดหรือจ�ำ นวนดา้ น ipst .me/ 100 23 2. วงกลมมแี กนสมมาตรมากมายนบั ไมถ่ ว้ น 3. รปู ก ไม่มีแกนสมมาตร รปู ข มแี กนสมมาตร 2 เส้น รูป ค มีแกนสมมาตร 5 เส้น รูป ง มีแกนสมมาตร 10 เสน้ รูป ก รูป ข รูป ค รูป ง ชวนคิด 4.7 1. (-2, 3) ipst .me/ 100 24 2. (0, y) 3. (-x, y) 4. ตัวอยา่ งคำ�ตอบ พกิ ดั ที่หน่ึง (x) ของจดุ บนภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ น = - พกิ ดั ทีห่ น่ึง (x) ของจุดบนรปู ต้นแบบทีส่ มนัยกนั พิกดั ท่สี อง (y) ของจดุ บนภาพท่ไี ด้จากการสะทอ้ น = พกิ ดั ทสี่ อง (y) ของจดุ บนรปู ต้นแบบทสี่ มนัยกนั ชวนคิด 4.8 (อาจใช้ GSP ชว่ ยในการส�ำ รวจเพื่อสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์) 1. ห่างจากแกน X 1 หน่วย เหนอื แกน X ipst .me/ 100 25 2. พิกัดท่สี อง (y) ของจุด A′ มีการเปล่ียนแปลง เมอื่ เทียบกับพิกัดที่สอง (y) ของจุด A และเปลีย่ นแปลงไป 2 หน่วย 3. x′ = x, y′ = -y + 2(ระยะที่เสน้ ตรง หา่ งจากแกน X ) (เสน้ ตรง อยู่เหนอื แกน X ระยะทเี่ ส้นตรง หา่ งจากแกน X ใช้จ�ำ นวนบวก เส้นตรง อยใู่ ตแ้ กน X ระยะทเ่ี สน้ ตรง ห่างจากแกน X ใช้จำ�นวนลบ) 4. ความสัมพันธ์ยังคงเหมือนเดมิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 245 ชวนคดิ 4.9 1. พกิ ัดทหี่ นงึ่ (x) ของจดุ ยอดของ ∆ABC เทา่ กบั พกิ ัดทส่ี อง (y) ของจุดยอดทส่ี มนัยกนั ของ ∆A′B′C′ และ ipst .me/ 1002 6 พิกดั ทีส่ อง (y) ของจุดยอดของ ∆ABC เทา่ กับพิกัดทีห่ นึ่ง (x) ของจดุ ยอดทสี่ มนยั กนั ของ ∆A′B′C′ 2. (y, x) ชวนคิด 4.10 ตัวอย่างค�ำ ตอบ ipst .me/ 100 27 1. ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ นกราฟของสมการ y = x โดยมแี กน Y เปน็ เส้นสะทอ้ น จะตัง้ ฉากกับกราฟของ สมการ y = x ท่ีจดุ ก�ำ เนิด 2. ภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ นกราฟของสมการ y = x โดยมแี กน X เปน็ เส้นสะท้อน จะต้ังฉากกับกราฟของ สมการ y = x ทจ่ี ุดก�ำ เนิด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

246 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยมุมเทคโนโลยี มุมเทคโนโลยี หน้า 176 (กิจกรรม : สำ�รวจการสะทอ้ นข้ามแกน Y) ipst.me/9060 คำ�ถาม 1 จากพกิ ัดของจดุ A ที่ก�ำ หนดให้ จงเติมพิกดั ของจุด A′ ลงในตารางใหส้ มบูรณ์ พิกดั ของจดุ A (-2, 5) (-3, -7) (0, -4) (6, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) พกิ ัดของจดุ A′ (8, 0) (4, -3) (-8, 0) (-4, -3) ตอบ (-2, 5) (-3, -7) (0, -4) (6, 1) (5, -3) พิกดั ของจุด A พกิ ัดของจดุ A′ (2, 5) (3, -7) (0, -4) (-6, 1) (-5, -3) ค�ำ ถาม 2 ถา้ พกิ ัดของจุด A เปน็ (a, b) แล้วพิกัดของจุด A′ จะเป็นอะไร ตอบ พิกัดของจดุ A′ จะเป็น (-a, b) ค�ำ ถาม 3 จากการสำ�รวจการสะทอ้ นข้ามแกน Y ใหน้ ักเรยี นเขียนความสัมพันธ์ระหวา่ งพิกัดที่หน่ึง (x) และพิกัดท่สี อง (y) ของจุด A กับ พิกัดที่หนงึ่ (x) และพิกดั ทีส่ อง (y) ของจดุ A′ ตอบ พกิ ัดท่หี นึ่ง (x) ของจดุ A′ = - พิกดั ทห่ี นงึ่ (x) ของจดุ A พกิ ัดทสี่ อง (y) ของจุด A′ = พกิ ดั ทีส่ อง (y) ของจดุ A มุมเทคโนโลยี หนา้ 177 (กิจกรรม : ส�ำ รวจการสะท้อนขา้ มแกน X) ipst.me/9061 คำ�ถาม 1 จากพิกดั ของจุด A ที่ก�ำ หนดให้ จงเติมพกิ ดั ของจดุ A′ ลงในตารางใหส้ มบรู ณ์ พิกัดของจดุ A (-2, 5) (-3, -7) (0, -4) (6, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) พิกัดของจุด A′ (8, 0) (4, -3) (8, 0) (4, 3) ตอบ (-2, 5) (-3, -7) (0, -4) (6, 1) (5, -3) (-2, -5) (-3, 7) (0, 4) (6, -1) (5, 3) พิกัดของจุด A พกิ ดั ของจุด A′ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | การแปลงทางเรขาคณติ 247 คำ�ถาม 2 ถ้าพกิ ัดของจุด A เปน็ (a, b) แลว้ พกิ ดั ของจุด A′ จะเป็นอะไร ตอบ พิกัดของจดุ A′ จะเปน็ (a, -b) ค�ำ ถาม 3 จากการส�ำ รวจการสะท้อนขา้ มแกน X ใหน้ กั เรียนเขยี นความสมั พันธร์ ะหว่างพิกัดที่หนึง่ (x) และพกิ ดั ทส่ี อง (y) ของจุด A กับ พิกดั ท่หี น่ึง (x) และพกิ ดั ท่สี อง (y) ของจดุ A′ ตอบ พกิ ัดทหี่ นงึ่ (x) ของจดุ A′ = พกิ ดั ทหี่ นงึ่ (x) ของจดุ A พกิ ัดทีส่ อง (y) ของจดุ A′ = - พกิ ัดทส่ี อง (y) ของจุด A มมุ เทคโนโลยี หนา้ 178 (กิจกรรม : ส�ำ รวจการสะท้อนข้ามเสน้ ตรงท่ขี นานกบั แกน X) ipst.me/9062 คำ�ถาม 1 จากพกิ ัดของจดุ A ที่กำ�หนดให้ จงเติมพกิ ัดของจุด A′ ลงในตารางใหส้ มบูรณ์ พกิ ดั ของจดุ A (-2, 5) (-3, -4) (0, 5) (2, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) พิกัดของจุด A′ ตอบ (-2, 5) (-3, -4) (0, 5) (2, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) (-2, -7) (-3, 2) (0, -7) (2, -3) (5, 1) (8, -2) (4, 1) พิกดั ของจดุ A พกิ ัดของจุด A′ คำ�ถาม 2 พกิ ดั ทห่ี น่ึง (x) ของจดุ A กบั พกิ ดั ทีห่ นึ่ง (x) ของจุด A′ เหมือนกันหรือตา่ งกนั อย่างไร ตอบ เหมอื นกนั ค�ำ ถาม 3 พิกดั ท่ีสอง (y) ของจุด A กับพกิ ัดทสี่ อง (y) ของจุด A′ เหมือนกนั หรอื ตา่ งกนั อย่างไร ตอบ มที ง้ั เหมอื นกนั และตา่ งกนั โดยทผ่ี ลบวกของพกิ ดั ทส่ี อง (y) ของจดุ A กบั พกิ ดั ทส่ี อง (y) ของจดุ A′ มคี า่ เทา่ กบั -2 คำ�ถาม 4 พกิ ดั ใดของจดุ A กบั จุด A′ ทีน่ ่าจะมีความสมั พันธก์ ับสมการของเส้นตรง : y = -1 และสัมพนั ธก์ นั อย่างไร ตอบ คำ�ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น ✤ พิกัดท่ีสอง (y) ของจุด A กับพิกัดท่ีสอง (y) ของจุด A′ มีความสัมพันธ์กับ สมการของเส้นตรง : y = -1 โดยที่ผลบวกของพกิ ดั ท่ีสอง (y) ของจุด A กับพกิ ัดทส่ี อง (y) ของจุด A′ มคี า่ เทา่ กับสองเท่า ของคา่ y ของสมการ y = -1 ✤ พกิ ัดทีส่ อง (y) ของจดุ A′ เท่ากบั สองเท่าของค่า y ของสมการ y = -1 ลบดว้ ย พกิ ัดที่สอง (y) ของจุด A สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

248 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ค�ำ ถาม 5 จากความสมั พนั ธ์ทีค่ าดเดาในค�ำ ถาม 4 ถ้าพิกดั ของจดุ A เป็น (a, b) และ เสน้ ตรง มสี มการเปน็ y = -1 แล้ว พกิ ัดทีห่ นึ่ง (x) ของจดุ A′ คอื พิกดั ที่สอง (y) ของจดุ A′ คือ ตอบ พิกัดท่หี นึ่ง (x) ของจดุ A′ คือ a พิกัดท่สี อง (y) ของจุด A′ คือ -b + 2(-1) ค�ำ ถาม 6 จากค�ำ ถาม 5 ถ้าสมการเสน้ ตรง เปล่ียนเปน็ y = 1 แล้วพิกดั ท่ีหน่งึ (x) และพกิ ดั ทสี่ อง (y) ของจุด A′ จะ เปล่ียนแปลงอย่างไร ตอบ เปลยี่ นแปลงดังน้ี พกิ ดั ท่หี นง่ึ (x) ของจดุ A′ คือ a และ พกิ ัดทส่ี อง (y) ของจุด A′ คือ -b + 2(1) ค�ำ ถาม 7 ถ้ากำ�หนดให้จดุ A(x, y) เป็นรปู ต้นแบบ เส้นตรง : y = a เป็นเส้นสะท้อน และจุด A′(x′, y′) เป็นภาพท่ไี ด้ จากการสะท้อนจุด A แลว้ จะได้วา่ x′ = y′ = ตอบ x′ = x y′ = -y + 2a มมุ เทคโนโลยี หน้า 178 (กิจกรรม : สำ�รวจการสะทอ้ นขา้ มเส้นตรงที่ขนานกบั แกน Y) ipst.me/9063 คำ�ถาม 1 จากพิกัดของจดุ A ท่กี ำ�หนดให้ จงเตมิ พิกดั ของจดุ A′ ลงในตารางใหส้ มบรู ณ์ พิกดั ของจุด A (-2, 5) (-3, -4) (0, 5) (2, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) พิกดั ของจดุ A′ ตอบ (-2, 5) (-3, -4) (0, 5) (2, 1) (5, -3) (8, 0) (4, -3) พกิ ดั ของจดุ A พกิ ัดของจุด A′ (6, 5) (7, -4) (4, 5) (2, 1) (-1, -3) (-4, 0) (0, -3) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | การแปลงทางเรขาคณิต 249 คำ�ถาม 2 พิกดั ทห่ี นงึ่ (x) ของจุด A กบั พิกัดที่หนึ่ง (x) ของจดุ A′ เหมอื นกนั หรือตา่ งกนั อยา่ งไร ตอบ มที ง้ั เหมอื นกนั และตา่ งกนั โดยทผ่ี ลบวกของพกิ ดั ทห่ี นง่ึ (x) ของจดุ A กบั พกิ ดั ทห่ี นง่ึ (x) ของจดุ A′ มคี า่ เทา่ กบั 4 คำ�ถาม 3 พิกัดทสี่ อง (y) ของจุด A กบั พิกัดทสี่ อง (y) ของจดุ A′ เหมอื นกันหรอื ต่างกันอยา่ งไร ตอบ เหมือนกัน ค�ำ ถาม 4 พกิ ัดใดของจุด A กับจุด A′ ทีน่ ่าจะมคี วามสัมพันธ์กับ สมการของเสน้ ตรง : x = 2 และสมั พันธก์ ันอย่างไร ตอบ ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น ✤ พกิ ดั ที่หน่งึ (x) ของจุด A กับพกิ ัดทห่ี นง่ึ (x) ของจดุ A′ มคี วามสัมพันธ์กบั สมการของเสน้ ตรง : x = 2 โดยที่ผลบวกของพิกัดท่ีหนึ่ง (x) ของจุด A กับพิกัดท่ีหน่ึง (x) ของจุด A′ มีค่าเท่ากับสองเท่าของค่า x ของสมการ x = 2 ✤ พิกดั ทหี่ น่งึ (x) ของจดุ A′ เทา่ กบั สองเท่าของคา่ x ของสมการ x = 2 ลบด้วย พิกัดท่ีหนงึ่ (x) ของจดุ A ค�ำ ถาม 5 จากความสัมพันธท์ คี่ าดเดาในค�ำ ถาม 4 ถ้าพิกัดของจุด A เป็น (a, b) และ เส้นตรง มีสมการเปน็ x = 2 แลว้ พิกดั ที่หน่งึ (x) ของจุด A′ คือ พิกดั ท่ีสอง (y) ของจดุ A′ คอื ตอบ พิกัดท่ีหน่ึง (x) ของจดุ A′ คอื -a + 2(2) พกิ ดั ทสี่ อง (y) ของจดุ A′ คือ b คำ�ถาม 6 จากคำ�ถาม 5 ถ้าสมการเส้นตรง เปลี่ยนเป็น x = -2 แล้ว พิกัดที่หนึ่ง (x) และพิกัดท่ีสอง (y) ของจุด A′ จะเปล่ียนแปลงอยา่ งไร ตอบ เปลีย่ นแปลงดังน้ี พิกัดทห่ี นง่ึ (x) ของจุด A′ คือ -a + 2(-2) และ พิกดั ทส่ี อง (y) ของจดุ A′ คือ b คำ�ถาม 7 ถา้ ก�ำ หนดใหจ้ ดุ A(x, y) เปน็ รปู ต้นแบบ เสน้ ตรง : x = a เปน็ เสน้ สะทอ้ น และจดุ A′(x′, y′) เป็นภาพทไ่ี ดจ้ าก การสะท้อนจดุ A แลว้ จะได้วา่ x′ = ตอบ y′ = x′ = - x + 2a y′ = y สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี