(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.6

คูมือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 287 13. 1) สายการบนิ D ตรงเวลาทสี่ ุด และสายการบนิ J ไมต รงเวลามากทีส่ ดุ 2) สายการบิน I เกิดเหตุการณที่กระเปาเดินทางสูญหายมากที่สุด และสายการบิน A เกดิ เหตุการณท ก่ี ระเปา เดนิ ทางสูญหายนอ ยทส่ี ุด 3) ขอสรุปท่ีวา “สายการบิน J เกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสญู หายบอยกวาสายการบิน B ประมาณ 2 เทา” ไมเปนจริง เนื่องจากสายการบิน J มีจํานวนครั้งของการเกิด เหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายอยูระหวาง 7 – 8 คร้ังตอผูโดยสาร 1,000 คน แตสายการบิน B มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย อยรู ะหวาง 5 – 6 ครงั้ ตอ ผูโ ดยสาร 1,000 คน ดังนั้น สายการบิน J มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย มากกวา สายการบิน B ไมถ งึ 2 เทา 4) ขอสรุปที่วา “สายการบินท่ีเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายบอย มีแนวโนม ท่ีจะตรงเวลา” ไมเปนจริง โดยจากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อจํานวนคร้ังของ การเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายมากขึ้น รอยละของเที่ยวบินตรงเวลา จะมแี นวโนมลดลง ดังนั้น จํานวนคร้ังของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายและรอยละของ เทย่ี วบินตรงเวลามีความสมั พันธในทศิ ทางตรงกันขาม 14. ขอ มูลชุด ก คา เฉลี่ยเลขคณิต = 5(5) + 3(6) + 2(7) + 2(8) + 2(9) + 2(10) ขอมูลชุด ข 16 = 6.9375 มธั ยฐาน = 6 + 7 2 = 6.5 ฐานนยิ ม = 5 คาเฉล่ียเลขคณิต = 4(1) + 3(2) + 2(3) + 4 + 30 11 ≈ 4.55 มัธยฐาน = 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

288 คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 ฐานนยิ ม = 1 15. 1) ขอมลู ชดุ ก คาเฉล่ียเลขคณติ = 2 + 2(3) + 3(5) + 2(7) + 8 +10 + 2(14) +19 13 ≈ 7.85 มธั ยฐาน = 7 ฐานนยิ ม = 5 ขอมูลชุด ข คาเฉลี่ยเลขคณติ = 0.9 +1.2 +1.7 + 2.1+ 2.5 + 2.8 + 3.2 + 3.3 + 3.7 + 4.8 + 5.7 11 = 2.9 มธั ยฐาน = 2.8 ขอ มูลชดุ นี้ไมมฐี านนยิ ม ขอ มูลชดุ ค คา เฉลี่ยเลขคณติ = 59 + 73 + 82 + 87 + 87 + 90 6 ≈ 79.67 มัธยฐาน = 82 + 87 2 = 84.5 ฐานนยิ ม = 87 2) ขอ มูลชุด ก พสิ ยั = 19 − 2 = 17 ขอ มูลชดุ ก มี 13 ตัว เนือ่ งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนงที่ 13 +1 = 3.5 4 ดังนัน้ Q1 คอื คาเฉลยี่ เลขคณติ ของขอมูลในตาํ แหนง ที่ 3 และ 4 ซึง่ คอื 3+5 = 4 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 289 เน่ืองจาก Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(13 +1) = 10.5 4 ดังนนั้ Q3 คอื คา เฉล่ยี เลขคณติ ของขอมลู ในตําแหนงที่ 10 และ 11 ซงึ่ คอื 10 +14 = 12 2 จะได พสิ ยั ระหวา งควอรไทล = 12 − 4 = 8 ให xi แทนขอมลู ชดุ ก ตัวที่ i เมอ่ื i ∈{1, 2, 3, ... , 13} และ x แทนคาเฉล่ียเลขคณติ ของขอ มลู ชุด ก จาก 1) จะไดว า x ≈ 7.85 จากขอมูลชุด ก จะได xi xi − x ( xi − x )2 2 –5.85 34.22 3 –4.85 23.52 3 –4.85 23.52 5 –2.85 8.12 5 –2.85 8.12 5 –2.85 8.12 7 –0.85 0.72 7 –0.85 0.72 8 0.15 0.02 10 2.15 4.62 14 6.15 37.82 14 6.15 37.82 19 11.15 124.32 ∑13 ( xi − x )2 ≈ 311.66 i=1 ดังนนั้ สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชุด ก คอื 311.66 ≈ 5.10 13 −1 และความแปรปรวนของขอมลู ชดุ ก คือ 311.66 ≈ 25.97 12 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

290 คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 ขอ มลู ชดุ ข พิสยั = 5.7 − 0.9 = 4.8 ขอมลู ชดุ ข มี 11 ตวั เน่ืองจาก Q1 อยใู นตําแหนงที่ 11 + 1 = 3 ดังนนั้ Q1 = 1.7 4 และ Q3 อยูใ นตาํ แหนง ที่ 3(11 + 1) =9 ดังนนั้ Q3 = 3.7 4 จะได พิสยั ระหวางควอรไ ทล = 3.7 −1.7 = 2 ให yi แทนขอ มลู ชุด ข ตวั ที่ i เมอื่ i ∈{1, 2, 3, ... , 11} และ y แทนคา เฉล่ยี เลขคณติ ของขอ มลู ชุด ข จาก 1) จะไดว า y = 2.9 จากขอ มลู ชุด ข จะได yi yi − y ( yi − y )2 0.9 –2.0 4.00 1.2 –1.7 2.89 1.7 –1.2 1.44 2.1 –0.8 0.64 2.5 –0.4 0.16 2.8 –0.1 0.01 3.2 0.3 0.09 3.3 0.4 0.16 3.7 0.8 0.64 4.8 1.9 3.61 5.7 2.8 7.84 ∑11 ( yi − y )2 =21.48 i=1 ดงั น้นั สว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ มูลชุด ข คอื 21.48 ≈ 1.47 11 −1 และความแปรปรวนของขอ มูลชดุ ข คอื 21.48 = 2.15 10 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 291 ขอ มลู ชดุ ค พสิ ัย = 90 − 59 = 31 ขอมลู ชดุ ค มี 6 ตัว เน่อื งจาก Q1 อยูใ นตาํ แหนงท่ี 6 +1 = 1.75 4 ดังนนั้ Q1 อยรู ะหวา งขอมลู ในตําแหนงท่ี 1 และ 2 ซ่งึ มีคา อยรู ะหวาง 59 และ 73 ในการหา Q1 จะใชก ารเทยี บบญั ญัติไตรยางศ ดงั น้ี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงท่ี 1 และ 2 มีตําแหนงตางกัน 2 −1 =1 มีคาตางกัน 73 − 59 =14 จะไดวาตาํ แหนง ตา งกนั 1.75 −1 =0.75 มีคา ตา งกัน 0.75×14 = 10.5 1 ดังนน้ั Q1 =59 +10.5 =69.5 เนอ่ื งจาก Q3 อยูในตําแหนง ที่ 3(6 +1) = 5.25 4 ดังนัน้ Q3 อยูระหวางขอมลู ในตําแหนงท่ี 5 และ 6 ซ่ึงมีคา อยูระหวาง 87 และ 90 ในการหา Q3 จะใชการเทยี บบัญญัติไตรยางศ ดังนี้ เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 มีตําแหนงตางกัน 6 − 5 =1 มีคาตางกัน 90 − 87 =3 จะไดว าตาํ แหนงตางกนั 5.25 − 5 =0.25 มีคา ตางกัน 0.25× 3 = 0.75 1 ดงั น้นั Q3 =87 + 0.75 =87.75 จะได พิสยั ระหวา งควอรไ ทล = 87.75 − 69.5 = 18.25 ให zi แทนขอ มลู ชุด ค ตวั ที่ i เมื่อ i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} และ z แทนคาเฉล่ียเลขคณิตของขอ มลู ชุด ค จาก 1) จะไดว า z ≈ 79.67 จากขอ มูลชุด ค จะได zi zi − z ( zi − z )2 59 –20.67 427.25 73 –6.67 44.49 82 2.33 5.43 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

292 คมู ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 zi zi − z ( zi − z )2 87 7.33 53.73 87 7.33 53.73 90 10.33 106.71 ∑6 ( zi − z )2 ≈ 691.34 i=1 ดงั น้ัน สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ค คอื 691.34 ≈ 11.76 6 −1 และความแปรปรวนของขอ มลู ชดุ ค คือ 691.34 ≈ 138.27 5 3) ขอ มลู ชดุ ก มสี มั ประสิทธิ์การแปรผัน คือ 5.10 ≈ 0.65 7.85 ขอ มูลชดุ ข มสี มั ประสทิ ธิก์ ารแปรผนั คือ 1.47 ≈ 0.51 2.9 และขอมูลชดุ ค มสี มั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผัน คือ 11.76 ≈ 0.15 79.67 เนือ่ งจากขอ มูลชดุ ก มีสมั ประสทิ ธ์ิการแปรผนั มากกวาขอมูลชดุ ข และ ค ดังนน้ั ขอ มูลชดุ ก มีการกระจายมากทส่ี ดุ 16. ให a, b, c และ d แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทย คณิตศาสตร ภาษาอังกฤษ และ คอมพวิ เตอรของศิรวิ ทิ ย ตามลําดบั เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทยเทากับ 21.5 คะแนน นั่นคอื a + b = 21.5 จะได a + b =43 − − −(1) 2 เน่ืองจากคา เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของวชิ าภาษาอังกฤษและคอมพิวเตอรเ ทา กับ 28.5 คะแนน น่ันคอื c + d = 28.5 จะได c + d =57 − − −(2) 2 จาก (1) และ (2) จะได a + b + c + d =100 ดังน้นั คาเฉล่ยี เลขคณติ ของคะแนนสอบทงั้ ส่วี ิชานี้คือ 100 = 25 คะแนน 4 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 293 17. เนือ่ งจากคา เฉลย่ี เลขคณิตของอายนุ กั เรยี น = ผลรวมของอายขุ องนักเรยี น จาํ นวนนกั เรยี น จะได ผลรวมของอายนุ กั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 3 =15×60 =900 ป ผลรวมของอายนุ ักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 =17×50 = 850 ป ผลรวมของอายนุ ักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 =18× 40 =720 ป ดังนน้ั คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายนุ กั เรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 3 – 5 ของโรงเรียนแหงน้ีคอื 900 + 850 + 720 ≈ 16.47 ป 60 + 50 + 40 18. 1) การหาเกรดเฉล่ียคือการหาคาเฉล่ียเลขคณิตถวงน้ําหนัก โดยที่ขอมูลคือเกรดของ แตล ะวชิ าและนํ้าหนกั ของแตละขอมลู คือหนวยกิตของแตละวชิ า ดงั น้นั เกรดเฉลย่ี = ผลรวมของผลคณู ของหนวยกติ และเกรดของแตล ะวิชา ผลรวมของหนว ยกติ จากผลการเรียนภาคเรียนสุดทายของนักเรียนคนนี้จะสามารถหาผลรวมของผลคูณ ของหนวยกติ และเกรดของแตล ะวิชา และผลรวมของหนว ยกติ ไดดงั น้ี ชือ่ วชิ า หนวยกติ เกรด หนวยกิต × เกรด ภาษาไทย 6 1.0 3.5 3.5 คณิตศาสตร 6 1.0 3 3 สงั คมศกึ ษา 6 0.5 4 2 พระพุทธศาสนา 6 0.5 4 2 ศลิ ปะ 5 0.5 3 1.5 เครอื ขายและโครงงานคอมพิวเตอร 0.5 2.5 1.25 ภาษาองั กฤษ 6 1.0 4 4 เสรมิ ทกั ษะภาษาไทย 2 1.0 3.5 3.5 วทิ ยาศาสตรเพ่ิม 2 0.5 2 1 ชีวิตกับสขุ ภาพ 3 0.5 4 2 กฬี ากับสขุ ภาพ 3 0.5 4 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

294 คูม ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 ชอ่ื วิชา หนวยกิต เกรด หนว ยกิต × เกรด ภาษาญ่ีปนุ 6 3.0 4 12 ภาษาองั กฤษเพ่ือการส่อื สาร 6 0.5 3.5 1.75 ภาษาองั กฤษเพ่อื การอา น – เขยี น 6 1.0 4 4 ภาษาอังกฤษรอบรู 6 1.0 4 4 รวม 13.0 - 47.5 ดังน้ัน เกรดเฉล่ียของภาคเรียนสุดทายของนักเรยี นคนนค้ี อื 47.5 ≈ 3.65 13.0 2) เน่ืองจาก เกรดเฉลีย่ ของ 5 ภาคเรยี น = ผลรวมของผลคูณของหนวยกติ และเกรดเฉล่ียของแตล ะภาคเรียนจาํ นวน 5 ภาคเรียน ผลรวมของหนว ยกติ ของทง้ั 5 ภาคเรยี น จะได ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตล ะภาคเรียนจาํ นวน 5 ภาคเรียน 3.75 = 75.0 ดังน้ัน ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน 5 ภาคเรยี น คอื 3.75× 75.0 =281.25 เน่อื งจากเกรดเฉลีย่ ของทง้ั 6 ภาคเรียน = ผลรวมของผลคณู ของหนวยกติ และเกรดของแตละวชิ าของภาคเรยี นที่ 6 + ผลรวมของผลคณู ของหนว ยกติ และเกรดเฉลีย่ ของแตล ะภาคเรยี นจํานวน 5 ภาคเรียน ผลรวมของหนว ยกิตของทงั้ 6 ภาคเรยี น ดงั นน้ั เกรดเฉลี่ยของทงั้ 6 ภาคเรยี นของนักเรยี นคนน้ีคือ 47.5 + 281.25 ≈ 3.74 13.0 + 75.0 19. สมมติวาขอ มูลชดุ นเี้ มอ่ื เรียงจากมากไปนอยคือ a, b, c, d, e เน่อื งจากขอมูล 2 ตัวสดุ ทา ย คือ 102 และ 99 ตามลาํ ดบั จะได d = 102 และ e = 99 เนื่องจากคาเฉลยี่ เลขคณิตของจาํ นวนเต็ม 5 จาํ นวนนี้ คอื 360 จะได a + b + c +102 + 99 = 360 5 = 1,599 a+b+c สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 295 a = 1,599 − b − c เนือ่ งจากขอ มลู ชดุ น้เี รยี งจากมากไปนอยคือ a, b, c, 102, 99 ดังนนั้ a มีคา มากท่ีสดุ ที่เปน ไปได เม่ือ b= c= 102 จะได a = 1,599 −102 −102 = 1,395 ดังนน้ั คา ที่มากทสี่ ดุ ทีเ่ ปนไปไดของขอ มลู ชดุ น้ีคือ 1,395 20. สมมตวิ าขอมูลชุดนเ้ี มอ่ื เรยี งจากนอยไปมากคือ a, b, c, d, e เน่อื งจากมัธยฐานของขอ มูลชดุ นค้ี ือ 5 จะได c = 5 เนือ่ งจากพสิ ัยของขอมูลชดุ นค้ี ือ 5 จะได e − a =5 นนั่ คือ e= a + 5 เนื่องจากคา เฉลยี่ เลขคณติ ของขอมูลชุดน้คี ือ 5 จะได a + b + 5 + d + (a + 5) = 5 5 2a + b + d = 15 ถา a ≥ 4 จะได b + d ≤ 7 ซงึ่ เปนไปไมได เนอื่ งจาก 4 ≤ b ≤ d ดงั นน้ั a < 4 เน่ืองจากฐานนยิ มของขอ มลู ชดุ นค้ี ือ 5 ดงั นน้ั ขอ มูลทม่ี คี า เทา กับ 5 จะตอ งมีความถ่อี ยางนอย 2 ถา b= d= 5 จะได 2a = 5 ดงั น้นั a = 2.5 ซงึ่ เปน ไปไมไ ด เนอ่ื งจาก a เปนจาํ นวนเต็ม ดังนน้ั จะมีเพยี งตัวใดตัวหนึ่งใน b และ d ทีเ่ ทา กบั 5 กรณี 1 b = 5 เนอ่ื งจาก a < 4 จะไดว า a อาจเปน 1, 2 หรือ 3 สมมติวา a = 1 เนือ่ งจาก e= a + 5 จะได e = 6 และเนอ่ื งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15 จะได d = 8 ซ่ึงเปน ไปไมไ ด เนื่องจาก d ≤ e สมมตวิ า a = 2 เนือ่ งจาก e= a + 5 จะได e = 7 และเนอ่ื งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15 จะได d = 6 ดังนัน้ 2, 5, 5, 6, 7 เปนชุดขอ มูลหนง่ึ ท่เี ปน ไปได สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

296 คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 สมมติวา a = 3 เนอ่ื งจาก e= a + 5 จะได e = 8 และเนอื่ งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15 จะได d = 4 ซึง่ เปน ไปไมไ ด เน่อื งจาก b ≤ d กรณี 2 d = 5 เนื่องจาก a < 4 จะไดวา a อาจเปน 1, 2 หรอื 3 สมมติวา a = 1 เน่ืองจาก e= a + 5 จะได e = 6 และเน่อื งจาก d = 5 และ 2a + b + d =15 จะได b = 8 ซึง่ เปนไปไมได เนือ่ งจาก b ≤ c สมมตวิ า a = 2 เน่ืองจาก e= a + 5 จะได e = 7 และเนือ่ งจาก d = 5 และ 2a + b + d =15 จะได b = 6 ซง่ึ เปน ไปไมได เน่ืองจาก b ≤ c สมมตวิ า a = 3 เนอื่ งจาก e= a + 5 จะได e = 8 และเน่ืองจาก d = 5 และ 2a + b + d =15 จะได b = 4 ดงั นนั้ 3, 4, 5, 5, 8 เปน ชุดขอ มูลหนึง่ ทีเ่ ปน ไปได ดงั นน้ั ชุดของขอ มลู ที่เปน ไปไดท้ังหมด คือ 2, 5, 5, 6, 7 และ 3, 4, 5, 5, 8 21. 1) เรียงขอ มูลจากนอ ยไปมาก ไดด งั น้ี 30 65 67 75 75 78 80 85 90 92 125 ขอ มูลชดุ นี้มี 11 ตวั เน่อื งจาก Q1 อยูในตาํ แหนง ท่ี 11+1 = 3 ดงั นนั้ Q1 = 67 4 Q2 อยูใ นตําแหนง ที่ 2(11+1) = 6 ดงั นน้ั Q2 = 78 4 และ Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(11 + 1) = 9 ดงั นน้ั Q3 = 90 4 ดังน้ัน ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลท่ี 2 และควอรไทลท่ี 3 ของขอมูลชุดน้ี คือ 67, 78 และ 90 ชิน้ ตามลาํ ดบั สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 297 2) พสิ ยั ของขอมลู ชดุ นี้ คอื 125 − 30 =95 ชน้ิ พสิ ยั ระหวางควอรไ ทลของขอ มูลชุดน้ี คือ 90 − 67 =23 ชิน้ เน่ืองจากเม่ือพิจารณาผลตางของขอมูล 2 ตัวใด ๆ จะไดวาสวนใหญแลวขอมูลไมได ตางกันมากถึง 95 ช้ิน โดยผลตางของขอมูลจะใกลเคียงกับพิสัยระหวางควอรไทล ที่คาํ นวณได ซึ่งเทา กับ 23 ช้นิ ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลเหมาะสําหรับใชอธิบายการกระจายของขอมูลชุดนี้ มากกวาพสิ ยั 3) เนื่องจา=ก P25 Q=1, P50 Q2 และ P75 = Q3 ดังน=น้ั P25 6=7, P50 78 และ P75 = 90 เนื่องจาก P90 อยใู นตําแหนงที่ 90 (11 + 1) = 10.8 100 ดังน้ัน P90 อยรู ะหวา งขอมูลในตําแหนงท่ี 10 และ 11 ซงึ่ มคี าอยูร ะหวาง 92 และ 125 ในการหา P90 จะใชการเทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ ดังนี้ เนือ่ งจากขอ มูลในตาํ แหนง ที่ 10 และ 11 มตี าํ แหนงตา งกัน 11−10 =1 มคี า ตางกนั 125 − 92 =33 จะไดว า ตาํ แหนง ตางกัน 10.8 −10 =0.8 มคี าตางกัน 0.8×33 = 26.4 1 ดงั นัน้ P90 =92 + 26.4 =118.4 ดังน้ัน เปอรเซ็นไทลท่ี 25 เปอรเซ็นไทลที่ 50 เปอรเซ็นไทลที่ 75 และเปอรเซ็นไทลที่ 90 ของขอมลู ชดุ นี้ คือ 67, 78, 90 และ 118.4 ชิน้ ตามลําดบั 22. 1) จากขอ มลู สามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบไดด ังนี้ นกั กฬี าบาสเกตบอลชาย นกั กฬี าบาสเกตบอลหญิง 15 3 4 7 16 0 1 3 6 7 8 8 8 9 6 5 17 0 1 1 2 2 4 5 9 8 5 3 1 0 0 0 18 1 2 8 8 6 5 5 5 0 0 19 6 20 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

298 คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 2) จากแผนภาพในขอ 1) จะเห็นวาขอมูลความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายและหญิง ไมม ขี อมลู ใดทม่ี ีคาแตกตา งจากขอมลู ตวั อ่นื ในแตล ะชดุ มาก ดงั นนั้ จงึ ควรใชค า เฉลยี่ เลขคณิตเปน ตวั แทนของขอมูลแตล ะชดุ 3) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายคือ 3,759 = 187.95 20 เซนตเิ มตร จะไดวา มนี ักกีฬาบาสเกตบอลชายทีส่ ูงมากกวา คาเฉล่ียเลขคณิตอยู 11 คน ดังน้ัน นักกีฬาบาสเกตบอลชายท่ีสูงมากกวาคาเฉล่ียเลขคณิตคิดเปนรอยละ 11 ×100 =55 ของจํานวนนกั กีฬาบาสเกตบอลชายท้ังหมด 20 23. เนือ่ งจากขอ มลู ทก่ี ําหนดในโจทยเปน ขอ มลู ของตัวอยาง ให xi และ yi แทนเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 1 และ หอง 2 คนที่ i เมอ่ื i ∈{1, 2, 3, ... , 10} ตามลาํ ดบั x และ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวันของ นักเรียนหอ ง 1 และหอ ง 2 ท่สี มุ มา ตามลําดบั และ sx และ sy แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวัน ของนักเรียนหอง 1 และหอง 2 ที่สมุ มา ตามลาํ ดบั จะได= x 3=54 35.4 และ=y 5=01 50.1 10 10 จากขอ มูล จะได xi xi − x ( xi − x )2 0 –35.4 1,253.16 20 –15.4 237.16 30 –5.4 29.16 42 6.6 43.56 35 –0.4 0.16 82 46.6 2,171.56 54 18.6 345.96 28 –7.4 54.76 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 299 xi xi − x ( xi − x )2 0 63 –35.4 1,253.16 27.6 761.76 และ ∑10 ( xi − x )2 =6,150.4 i=1 yi yi − y ( yi − y )2 45 –5.1 26.01 40 –10.1 102.01 62 11.9 141.61 10 –40.1 1,608.01 24 –26.1 681.21 15 –35.1 1,232.01 30 –20.1 404.01 60 9.9 98.01 95 44.9 2,016.01 120 69.9 4,886.01 ∑10 ( yi − y )2 =11,194.9 i=1 =ดงั น้ัน sx 6,150.4 ≈ 26.1=4 และ sy 11,194.9 ≈ 35.27 10 −1 10 −1 ดงั น้ัน สัมประสทิ ธิ์การแปรผนั ของเวลาท่ใี ชใ นการอานหนังสอื ในหน่งึ วนั ของนักเรยี นหอ ง 1 คือ 26.14 ≈ 0.74 35.4 และสัมประสิทธ์ิการแปรผันของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวันของนักเรียนหอง 2 คือ 35.27 ≈ 0.70 50.1 เน่ืองจากสัมประสิทธ์ิการแปรผันของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวันของนักเรียน หอ ง 1 มากกวา นักเรียนหอ ง 2 ดังนั้น เวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนท่ีสุมมา 10 คน จากหอง 1 มีการ กระจายมากกวาเวลาท่ใี ชใ นการอานหนังสือในหน่งึ วันของนักเรียนทสี่ ุมมา 10 คน จากหอง 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

300 คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 24. 1) มธั ยฐานของจาํ นวนลกู เกดท่ีใสใ นขนมปง แตล ะอนั ของรา นท่ี 1 คือ 30 เมด็ และมธั ยฐานของจํานวนลูกเกดท่ใี สในขนมปง แตละอันของรา นที่ 2 คือ 31 เมด็ 2) จากแผนภาพกลอ งของรา นที่ 1 จะได Q3 = 31 ดังน้ัน ขนมปงจากรานที่ 1 ท่ีมีจํานวนลูกเกดนอยกวา 31 เม็ด คิดเปนรอยละ 75 ของ ขนมปง ทซ่ี อ้ื จากรานที่ 1 ทง้ั หมด 3) จากแผนภาพกลองของรานที่ 2 จะไดวาควอรไทลท่ี 3 ของจํานวนลูกเกดท่ีใสใน ขนมปง แตละอันทซี่ ื้อจากรา นที่ 2 คือ 33 เม็ด 4) อรรถฤทธ์ิควรซ้ือขนมปงลกู เกดจากรานที่ 1 เนื่องจากเม่ือพิจารณาจากแผนภาพกลอง จะเห็นวาแผนภาพกลอ งของรานที่ 1 มีความกวางนอยกวารา นที่ 2 มาก ดังน้นั จํานวนลกู เกดในขนมปงแตล ะอนั ของรานที่ 1 ใกลเคยี งกันมากกวา รานที่ 2 5) อรรถฤทธิ์ควรซื้อขนมปงลูกเกดจากรานท่ี 2 เนื่องจากมีจํานวนขนมปงของรานที่ 2 ประมาณรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกดมากกวาขนมปงของรานท่ี 1 นอกจากนี้ ยังมีแนวโนมสูงวามีจํานวนขนมปงของรานท่ี 2 ไมถึงรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกด นอ ยกวา ขนมปง ของรานท่ี 1 25. วธิ ที ่ี 1 สมมตคิ าขนมของมานี ชใู จ และปติ คือ a, b และ c บาท ตามลําดับ เนอ่ื งจากคา เฉล่ียเลขคณิตของคาขนมของทงั้ สามคน คือ 50 บาท และสวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคา ขนมของทัง้ สามคน คอื 0 บาท จะได (a − 50)2 + (b − 50)2 + (c − 50)2 = 0 3 (a − 50)2 + (b − 50)2 + (c − 50)2 =0 แตเน่ืองจาก (a − 50)2 ≥ 0, (b − 50)2 ≥ 0 และ (c − 50)2 ≥ 0 จะได (a − 50)2 = (b − 50)2 = (c − 50)2 = 0 a − 50 = b − 50 = c − 50 = 0 ดังนัน้ a = b = c = 50 สมมติคาขนมของมานะคือ d บาท เนื่องจากคา เฉลีย่ เลขคณิตของคาขนมของท้ังสค่ี น คือ 45 บาท จะได 50 + 50 + 50 + d = 45 4 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 301 d = 30 ดังนั้น สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคาขนมของทัง้ ส่ีคน คอื (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท 4 วิธที ่ี 2 เน่อื งจากสวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคา ขนมของทงั้ สามคน คือ 0 บาท จะไดวาทง้ั สามคนไดคาขนมจากผูปกครองเทา ๆ กนั และเนื่องจากคาเฉลยี่ เลขคณติ ของคา ขนมของท้ังสามคนคือ 50 บาท ดังน้ัน มานี ชูใจ และปติ ไดค า ขนมจากผูป กครองคนละ 50 บาท สมมตคิ าขนมของมานะคือ d บาท เน่อื งจากคา เฉลย่ี เลขคณิตของคาขนมของท้ังสค่ี น คือ 45 บาท จะได 50 + 50 + 50 + d = 45 4 d = 30 ดังน้นั สว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคา ขนมของทงั้ สี่คน คือ (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท 4 26. 1) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ที่สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวา สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชดุ ข ดงั นนั้ ขอ มูลชุด ก ควรมีความแตกตา งในชุดขอ มลู มากกวา ขอ มลู ชุด ข คาํ ตอบมีไดห ลากหลาย เชน ใหขอมูลชดุ ก ประกอบดวย 1, 2, 5, 8, 9 และขอมลู ชุด ข ประกอบดว ย 11, 12, 13, 14, 15 จะได คาเฉลีย่ เลขคณติ ของขอ มลู ชดุ ก คือ 1+ 2 + 5 + 8 + 9 = 5 5 คา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอมลู ชดุ ข คอื 11+12 +13 +14 +15 = 13 5 สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ มูลชดุ ก คือ (1− 5)2 + (2 − 5)2 + (5 − 5)2 + (8 − 5)2 + (9 − 5=)2 10 ≈ 3.16 5 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

302 คูม อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 และสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ (11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2 5 ≈ 1.41 จะเห็นวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ขอ มลู ชดุ ข 2) เน่ืองจากสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดเปน 0 ก็ตอเม่ือขอมูลทุกตัวมีคา เทากัน แตจากโจทย กําหนดใหขอ มูลแตละชดุ ประกอบดว ยจํานวนเต็มที่แตกตางกนั ดังนน้ั ไมม โี อกาสท่สี วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ มลู แตละชดุ จะเปน 0 3) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ท่ีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทา กบั สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ มูลชุด ข ดังนั้น ผลบวกของกําลังสองของผลตางของขอมูลใด ๆ กับคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูล ทั้งสองชุดตองเทากนั คําตอบมีไดหลากหลาย เชน ใหขอมูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 3, 4, 5 และขอมูล ชดุ ข ประกอบดว ย 11, 12, 13, 14, 15 จะได คา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ มูลชุด ก คอื 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 3 5 คาเฉลย่ี เลขคณิตของขอมลู ชุด ข คือ 11+12 +13 +14 +15 = 13 5 สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ก คอื (1− 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)2 = 2 5 และสว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คอื (11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2 5 จะเห็นวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากับสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ขอมลู ชุด ข สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 303 27. เน่ืองจากคาเฉลีย่ เลขคณิตของขอมูลชดุ นีเ้ ทา กับ 3 จะได 1+ 2 + x + 3 + 3 + y + 6 = 3 7 x+ y = 6 y = 6−x เน่อื งจากสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนเ้ี ทา กับ 47 7 จะได (1− 3)2 + (2 − 3)2 + ( x − 3)2 + (3 − 3)2 + (3 − 3)2 + ( y − 3)2 + (6 − 3)2 = 4 7 77 ( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 2 ( x − 3)2 + ((6 − x) − 3)2 = 2 ( x − 3)2 + (3 − x)2 = 2 ( x − 3)2 + ( x − 3)2 = 2 ( x − 3)2 = 1 x − 3 =−1 หรือ x − 3 =1 ดังน้นั x = 2 หรอื x = 4 เนอ่ื งจากขอ มลู ชุดนเ้ี รียงจากนอยไปมากคือ 1, 2, x, 3, 3, y, 6 จะได x = 2 เนอ่ื งจาก y= 6 − x จะได y = 4 28. สมมตวิ า ขอมูลท่บี ันทกึ ถูกตองจํานวน 19 ตัว คือ x1, x2,  , x19 เนือ่ งจากคา เฉล่ยี เลขคณติ ของขอ มูลชดุ ที่มีขอ มลู ท่บี ันทึกผดิ 1 ตวั เทา กับ 10 จะได 19 = 10 ∑ xi + 8 i=1 20 19 ∑ xi = 192 i=1 เนอ่ื งจากสวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชุดทม่ี ขี อ มลู ที่บันทกึ ผดิ 1 ตวั เทา กับ 2 จะได ∑19 ( xi −10)2 + (8 −10)2 i=1 = 2 20 −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

304 คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 ∑19 ( xi −10)2 = 72 i=1 19 ∑ xi +12 ดังนั้น คาเฉลย่ี เลขคณิตทีถ่ กู ตองของขอ มลู ชดุ นี้ คือ 1=92 +12 10.2 i ==1 20 20 และความแปรปรวนทถ่ี ูกตอ งของขอ มูลชดุ น้ี คือ ∑19 ( xi −10.2)2 + (12 −10.2)2 19 ( ( xi − 10 ) − 0.2)2 + 3.24 i =1 ∑ = i=1 20 −1 19 ( )∑19 ( xi −10)2 − 0.4( xi −10) + 0.04 + 3.24 = i=1 19 )−=10 2 − 0.4 i191=( xi −10)  + i191 ∑ ∑ ∑19 ( xi (0.04) + 3.24 == i 1 19 72 − 0.4 19 =xi  + 0.4 i191  ( 0.04) = i 1  ∑ ∑= 10 + 19 + 3.24 19 = 72 − 0.4(192) + 0.4(190) + 0.76 + 3.24 19 ≈ 3.96 29. 1) ไมถูกตอง เน่ืองจากคะแนนสอบของสมชายตรงกับ P30 หมายความวามีนักเรียน ประมาณรอยละ 30 ท่ีไดคะแนนนอ ยกวาสมชาย 2) โดยท่ัวไปแลวไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมหญิงตรงกับ P40 หมายความวา มนี ักเรียนประมาณรอยละ 60 ทไี่ ดคะแนนมากกวาสมหญงิ 30. 1) เนอ่ื งจากผทู ่สี อบผา นจะตองไดคะแนนไมตํ่ากวารอยละ 70 ของคะแนนเตม็ ดังนน้ั ผูทีส่ อบผา นจะตอ งไดค ะแนนมากกวา หรือเทากับ 70 ×80 =56 คะแนน 100 จากขอมูล จะไดวาถาใชเกณฑในการสอบผานนี้ คะแนนตํ่าสุดของผูท่ีสอบผานคือ 59 คะแนน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 305 2) เรียงขอ มลู จากนอ ยไปมาก ไดด ังนี้ 25 26 38 38 41 44 59 62 69 72 เนือ่ งจาก P70 อยใู นตาํ แหนงที่ 70(10 +1) = 7.7 100 ดงั นน้ั ถาใชเ กณฑในการสอบผานน้ี คะแนนต่ําสดุ ของผทู ส่ี อบผา นคอื 62 คะแนน 31. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดด ังนี้ 84 112.2 142.5 164 197.5 214.2 220.9 224.7 229.1 299.4 320.6 365.2 392.4 423.2 เนื่องจาก P87 อยใู นตําแหนงท่ี 87(14 +1) = 13.05 100 ดงั นัน้ P87 อยูระหวา งขอมูลในตําแหนง ท่ี 13 และ 14 ซ่งึ มีคาอยรู ะหวา ง 392.4 และ 423.2 ในการหา P87 จะใชก ารเทียบบัญญตั ไิ ตรยางศ ดังน้ี เนือ่ งจากขอ มูลในตาํ แหนงท่ี 13 และ 14 มตี าํ แหนงตางกัน 14 −13 =1 มีคาตา งกนั 423.2 − 392.4 =30.8 จะไดวา ตําแหนง ตางกนั 13.05 −13 =0.05 มีคา ตา งกนั 0.05× 30.8 = 1.54 1 ดงั น้นั P87 = 392.4 +1.54 = 393.94 จะไดวาปริมาณนํ้าฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 87 มีปริมาณนํ้าฝน นอ ยกวาคอื 393.94 มิลลิเมตร 2) เน่ืองจาก P40 อยูในตาํ แหนง ท่ี 40(14 +1) =6 จะไดว า P40 = 214.2 100 ดังน้ัน ปริมาณน้ําฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 60 มีปริมาณนํ้าฝน มากกวา คอื 214.2 มลิ ลเิ มตร 32. 1) เน่อื งจาก Q2 อยใู นตาํ แหนง ที่ 2(40 +1) = 20.5 จะได Q2 = 65 4 ดงั น้นั คะแนนที่มีนักเรียนประมาณคร่งึ หนึง่ ของช้ันไดคะแนนตา่ํ กวา คอื 65 คะแนน สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

306 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 2) เนื่องจาก Q3 อยใู นตําแหนงที่ 3(40 +1) = 30.75 จะได Q3 = 78 4 ดังนน้ั คะแนนที่มีนักเรยี นประมาณหนงึ่ ในสขี่ องชัน้ ไดค ะแนนสงู กวาคอื 78 คะแนน 3) เน่อื งจาก P60 อยใู นตําแหนง ที่ 60(40 +1) = 24.6 100 ดังน้ัน P60 อยรู ะหวางขอ มลู ในตําแหนงท่ี 24 และ 25 ซง่ึ มีคาอยรู ะหวาง 69 และ 74 ในการหา P60 จะใชการเทยี บบัญญตั ิไตรยางศ ดังน้ี เนือ่ งจากขอ มูลในตําแหนง ท่ี 24 และ 25 มตี าํ แหนงตางกัน 25 − 24 =1 มคี าตางกนั 74 − 69 =5 จะไดวา ตาํ แหนงตา งกนั 24.6 − 24 =0.6 มคี า ตางกนั 0.6× 5 = 3 1 ดังน้นั P60 = 69 + 3 = 72 จะไดวาคะแนนทม่ี นี กั เรยี นประมาณหกในสบิ ของชั้นไดค ะแนนต่ํากวา คือ 72 คะแนน 4) เนือ่ งจาก P25 อยูใ นตําแหนงท่ี 25(40 +1) = 10.25 100 ดังนั้น มีนักเรียนทไี่ ดคะแนนนอ ยกวาเปอรเซน็ ไทลท ่ี 25 อยู 10 คน จะไดวาจํานวนนักเรียนท่ีตองเขารวมกิจกรรมพัฒนาทักษะการคิดอยางมีวิจารณญาณ คือ 10 คน 33. 1) มธั ยฐานและคา สูงสุดของอัตราเรว็ สูงสดุ ในการเคลือ่ นท่ีของสัตวป า คอื 40 และ 70 ไมล ตอ ชว่ั โมง ตามลําดบั มัธยฐานและคาสูงสุดของอัตราเร็วสูงสุดในการเคล่ือนที่ของสัตวเล้ียงคือ 38 และ 49 ไมลต อช่ัวโมง ตามลําดบั 2) พิสัยระหวางควอรไทลของอัตราเร็วสูงสุดในการเคล่ือนที่ของสัตวปาคือ 45 − 25 =20 ไมลตอชว่ั โมง พสิ ยั ระหวา งควอรไทลของอัตราเรว็ สงู สุดในการเคลือ่ นทข่ี องสัตวเล้ียงคอื 40 − 30 =10 ไมลตอ ชวั่ โมง 3) จากแผนภาพกลอง จะไดวามีสัตวปาประมาณรอยละ 75 ท่ีมีอัตราเร็วสูงสุดในการ เคล่ือนท่นี อ ยกวา 45 ไมลตอช่ัวโมง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 307 ดังนั้น จึงสามารถสรุปไดวาสัตวปาสวนใหญมีอัตราเร็วสูงสุดในการเคล่ือนท่ีนอยกวา 49 ไมลต อชวั่ โมง 34. 1) คาตํ่าสุด มัธยฐาน และคาสูงสุดของจํานวนคร้ังของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอ ยกวา คา ตา่ํ สดุ มธั ยฐาน และคาสงู สุดของจาํ นวนครงั้ ของการดาวนโ หลดแอปพลเิ คชัน B ตามลําดับ 2) พิสัยระหวางควอรไทลของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอยกวา พิสยั ระหวางควอรไ ทลข องจาํ นวนครงั้ ของการดาวนโหลดแอปพลิเคชนั B 35. 1) เมือ่ พิจารณาจากคาตํา่ สดุ ของดชั นคี วามสขุ ของประเทศที่สุมมาจากแตละทวปี จะไดวาแผนภาพกลอง (1), (2) และ (3) แสดงดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจาก ทวีปเอเชยี อเมริกา และยุโรป ตามลําดบั 2) เรียงคาต่ําสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดงั น้ี อเมริกา เอเชีย ยุโรป เรียงมัธยฐานของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดงั นี้ เอเชยี ยุโรป อเมรกิ า เรียงคาสูงสุดของดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดด งั น้ี เอเชยี อเมรกิ า ยโุ รป 3) ทวีปอเมริกามีการกระจายของดัชนีความสุขมากที่สุด เพราะแผนภาพกลองมี ความกวา งมากทสี่ ดุ 4) เม่ือพิจารณาเฉพาะประเทศที่สุมมา ทวีปยุโรปมีดัชนีความสุขมากที่สุด เน่ืองจาก ดัชนีความสุขอยูในชว ง 5.195 – 7.537 และแผนภาพกลองมีความกวางนอย แสดงวา ขอมูลทั้งหมดเกาะกลุมกันอยูในชวงดังกลาว นอกจากนี้คาสูงสุดของดัชนีความสุข ของประเทศที่สุมมาจากทวีปยุโรปยังมากกวาอีกสองทวีป และคาต่ําสุดของดัชนี ความสุขของประเทศท่สี มุ มาจากทวีปยโุ รปกม็ ากกวา อกี สองทวปี สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

308 คมู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 36. 1) เนื่องจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทล ท่ี 90 แสดงวามีผูเขาสอบที่ไดคะแนนนอยกวาเพลงรพิณประมาณ 90% ของ ผูเขา สอบท้ังหมด ดงั น้นั สามารถสรปุ ไดวา เพลงรพณิ ไดค ะแนนมากกวา ผเู ขาสอบสวนใหญ 2) ขอสอบท่ีใชในการวัดผลครั้งน้ีนาจะยากเกินไปสําหรับผูเขาสอบสวนใหญ เนื่องจาก มีผูเขาสอบมากถึง 90% ของผูเขาสอบท้ังหมดท่ีไดคะแนนนอยกวา 28 คะแนน จากคะแนนเตม็ 100 คะแนน 3) เนือ่ งจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 90 ดังน้ัน มีผูเขาสอบท่ีไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณประมาณ 10% ของผูเขาสอบท้ังหมด ซึง่ เทา กบั 10 × 6=21,519 62,151.9 ≈ 62,152 คน 100 4) เปน ไปไมไ ด โดยจากขอ 3) มผี เู ขาสอบประมาณ 62,152 คน ที่ไดคะแนนมากกวา เพลงรพิณ จะไดวา มีผูเขาสอบประมาณ 621,519 − 62,152 −1 =559,366 คน ที่ไดคะแนนนอยกวา เพลงรพณิ สมมติวาผูเ ขา สอบทุกคนท่ไี ดคะแนนนอ ยกวาเพลงรพิณไดค ะแนนเทา กนั คือ 27 คะแนน และผูเขาสอบทุกคนที่ไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณไดคะแนนเทากันคือ 100 คะแนน จะไดวา คา สูงท่ีสุดท่ีเปนไปไดข องคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ (559,366× 27) + 28 + (62,152×100) ≈ 34.3 คะแนน ซึ่งนอยกวา 38 คะแนน 621, 519 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 309 บรรณานุกรม กฤษณะ เนียมมณี. (2562). คณิตศาสตรการเงินในชีวิตประจําวัน. สืบคนเมื่อ 21 พฤศจิกายน 2562, จ า ก https://www.mebmarket.com/ebook-101208-ค ณิ ต ศ า ส ต ร ก า ร เ งิ น ในชีวติ ประจําวนั สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2559). Microsoft ® Excel ® 2016 MSO (16.0.4266.1001) 32-bit [โ ป ร แ ก ร ม ค อ ม พิ ว เ ต อ ร ]. Redmond, WA: Microsoft Corporation. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 3 เลม 1 ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด กลุมสาระการเรียนรูค ณติ ศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง การศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด กลุมสาระ การเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพรา ว. สํานักงานราชบัณฑิตยสภา. (2561). พจนานุกรมศัพทสถิติศาสตร ฉบับราชบัณฑิตยสภา (พมิ พค ร้งั ท่ี 2). กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พแ หงจฬุ าลงกรณมหาวทิ ยาลัย. Encyclopedia Titanica. Encyclopedia Titanica: Titanic Facts, History and Biography. Retrieved August 1, 2019, from https://www.encyclopedia-titanica.org International GeoGebra Institute. Quartile1 Command. Retrieved August 1, 2019, from https://wiki.geogebra.org/en/Quartile1_Command Kaggle. Titanic: Machine Learning from Disaster. Retrieved August 1, 2019, from https://www.kaggle.com/c/titanic Weiss, N. A. (2017). Introductory Statistics (10th ed). Essex, England: Pearson Education Limited. สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 คณะผูจัดทาํ ท่ีปรกึ ษา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี ศ. ดร.ชูกจิ ลมิ ปจํานงค คณะผจู ดั ทาํ คมู ือครู นายประสาท สอา นวงศ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี รศ. ดร.สมพร สตู นิ นั ทโ อภาส สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี รศ. ดร.สริ พิ ร ทพิ ยค ง สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวจนิ ตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นายสเุ ทพ กติ ตพิ ิทักษ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวจําเริญ เจียวหวาน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี ดร.อลงกรณ ตงั้ สงวนธรรม สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี วาท่รี อ ยเอก ดร.ภณัฐ กว ยเจริญพานิชก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางภญิ ญดา ดาํ ดว ง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.จณิ ณวัตร เจตนจ รงุ กจิ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี รศ. ดร.กัลยา วานชิ ยบ ัญชา ขาราชการบํานาญ รศ. ดร.พาชิตชนัต ศริ ิพานิช สถาบนั บัณฑิตพฒั นบริหารศาสตร ผศ. ดร.จุฑาภรณ สนิ สมบูรณท อง มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร รศ. ดร.ณฐั กาญจน ใจดี จฬุ าลงกรณม หาวิทยาลยั รศ. ดร.สญั ญา มิตรเอม มหาวทิ ยาลัยธรรมศาสตร นางนงนุช ผลทวี โรงเรยี นทับปดุ วิทยา จงั หวดั พงั งา คณะบรรณาธกิ าร จฬุ าลงกรณมหาวิทยาลยั รศ. ดร.สุพล ดุรงคว ัฒนา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวอมั ริสา จนั ทนะศริ ิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวปฐมาภรณ อวชัย สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นายพัฒนชยั รวิวรรณ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 311 ฝา ยสนบั สนุนวชิ าการ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวเบญจพรรณ กวเี ลิศพจนา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดร.จฬุ าลกั ษณ แกวหวงั สกลู สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นายกฤษณะ ปอมดี มหาวิทยาลัยสงขลานครนิ ทร วทิ ยาเขตหาดใหญ นางสาวปย าภรณ ทองมาก ดร.พรฑิตา ทิวทศั น ออกแบบปก บรษิ ัท พิงค บลู แบล็ค แอนด ออเรจน จาํ กัด สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



สถาบนั สง� เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ� ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร