(3 - 1) sin (������������������������������������ ξ3) 35 . 3 cos−1 (− 1) 33 0.5 2 cos (������������������������������������ 3) 36 2 ������ = 2.09 5 3 0.8 tan (cos−1 6) 34 7 0.60 ������ = 5 ������ (������) = {3������������++������22,, ������ < 5 k 37 ������ ≥ 5 38 ������ + ������2 = 3������ + 2 ������ = 5 ������ + 25 = 15 + 2 ������ = 17 − 25 ������ = −8 2������ = 32������−2 2������ = 32������−2 ⇒ 2������ = 25(������−2) ������ = 5������ − 10 ⇒ ������ − 5������ = −10 −10 −4������ = −10 ⇒ ������ = −4 ⇒ ������ = 2.5 95
(3- 2) 44 sin2 ������ − cos2 ������ = 2 sin2 ������ sin ������ = ξ1 − cos ������ sin2 ������ + cos2 ������ = 1 : 45 45°, 30° = ������ sin 30° ≠ ξ1 − cos 30° (sin ������) ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������ 46 (cos ������) 47 96
(3- 2) cos2 ∝ + cos2 ������ = 1 ������, ������ 48 ������, ������ cos2 ∝ + cos2 ������ = cos2 ������ + cos2(90 − ������) = cos2 ������ + sin2 ������ =1 49 1 + cot2 ������ = csc2 ������ 1 + tan2 ������ = sec2 ������ 1 + cos2 ������ = csc2 ������ 1 + sin2 ������ = sec2 ������ sin2 ������ cos2 ������ sin2 ������ + cos2 ������ cos2 ������ + sin2 ������ = sec2 ������ sin2 ������ cos2 ������ = csc2 ������ 1 = csc2 ������ 1 ������ = sec2 ������ sin2 cos2 ������ csc2 ������ = csc2 ������ sec2 ������ = sec2 ������ 97
(3 - 2) 0 < ������ < ������ cos ������ 56 2 cos ������ cos2 ������ + sin2 ������ (A 1 − sin2 ������ cos ������ ( B cot ������ sin ������ (������ tan ������ csc ������ ( D 57 sin3 ������ cos ������ + cos3 ������ sin ������ = sin ������ cos ������ sin3 ������ cos ������ + cos3 ������ sin ������ = sin ������ cos ������ (sin2 ������ + cos2 ������) = sin ������ cos ������ (1) = sin ������ cos ������ 98
(3 - 2) 0° < ������ < 90° cos ������ = 2 sin ������ 50 csc ������ 51 3 cos ������ 52 4 + sin2 ������ = 1 9 sin2 ������ = 1 − 4 9 sin2 ������ = 5 9 ξ5 ∴ sin ������ = 3 90° < ������ < 180° cos ������ = − 3 5 9 + sin2 ������ = 1 25 sin2 ������ = 1 − 9 25 sin2 ������ = 16 25 4 sin ������ = 5 15 csc ������ = sin ������ = 4 270° < ������ < 360° sec ������ = 5 3 13 cos ������ = sec ������ = 5 99
(3 - 2) ������ 53 91 sin ������ = 18 = 2 ∴ ������ = ������ℎ. ������ sin−1 1 (2) = 30 sin4 ������ − cos4 ������ sin ������ cos ������ (1 + cot2 ������) 54 sin2 ������ − cos2 ������ ( 55 sin ������ cos ������ (1 + cot2 ������) (sin2 ������ + cos2 ������)(sin2 ������ − cos2 ������) = sin ������ cos ������ × csc2 ������ = sin2 ������ − cos2 ������ 1 = sin2 ������ + cos2 ������ = 1 = sin ������ cos ������ × sin2 ������ cos ������ = sin ������ = cot ������ 100
(3- 3) ������ ������ ������ ������ 29 sin (3 − ������) cos (3 + ������) − cos (3 − ������) sin (3 + ������) 30 ������ ������ = sin [(3 − ������) − (3 + ������)] ������ ������ = sin [3 − ������ − 3 − ������] = sin(−2������) cot ������, cot ������ cot(������ + ������) 1 cot(������ + ������) = tan(������ + ������) 1 = tan ������ + tan ������ 1 − tan ������ tan ������ 1 − tan ������ tan ������ = tan ������ + tan ������ = 1 − 1 ������ ∙ 1 ������ ∙ cot ������ cot ������ cot cot cot ������ cot ������ 1 1 cot ������ + cot ������ cot ������ cot ������ − 1 = cot ������ + cot ������ 101
(3- 3) A,B (31 d (������1, ������1) = (cos ������ , sin ������), (������2, ������2) = (cos ������ , sin ������) ������ = √(cos ������ − cos ������)2 + (sin ������ − sin ������)2 ������2 = (cos ������ − cos ������)2 + (sin ������ − sin ������)2 ������2 = (cos2 ������ − 2 cos ������ cos ������ + cos2 ������) + (sin2 ������ − 2 sin ������ sin ������ + sin2 ������) ������2 = cos2 ������ + sin2 ������ + cos2 ������ + sin2 ������ − 2 cos ������ cos ������ − 2 sin ������ sin ������ ������2 = 1 + 1 − 2 cos ������ cos ������ − 2 sin ������ sin ������ ������2 = 2 − 2 cos ������ cos ������ − 2 sin ������ sin ������ = 2 − 2 cos(������ − ������) A, B, C 33 ������������������ ������ + ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ . A, B, C . ������ = ������������°, ������ = ������������°, ������ = ������������° ������������������ ������ + ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������. ������������������������ + ������. ������������������������ + ������������. ������������������������ = ������������. ������������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = (������. ������������������������)(������. ������������������������)(������������. ������������������������) = ������������. ������������ 102
(3- 3) sin(60° + ������) cos ������ − cos(60° + ������) sin ������ ( 43 ξ3 1 2 ( ������ 2 ( ������ ξ3 (������ 2 ( ������ ξ3 cos ������ + 0.3 = 0 44 cot ������ ������ < ������ < 3������ 2 3 cos2 ������ + sin2 ������ = 1 cos ������ = −0.3 = − 10 , 9 + sin2 ������ = 1 100 ∴ sin2 ������ = 91 −ξ91 100 ⇒ sin ������ = 10 cos ������ cot ������ = sin ������ = cos ������ ÷ sin ������ −3 −ξ91 = 10 ÷ 10 3 3ξ91 == ξ91 91 103
(3- 3) cos2 ������ sec ������ csc ������ 35 sin ������ csc ������ − cos2 ������ 34 = cos2 ������ × 1 × 1 = sin ������ × 1 ������ − cos2 ������ cos sin sin ������ ������ = 1 − cos2 ������ = sin2 ������ cos ������ = sin ������ = cot ������ 0° < ������ < 90°, tan ������ = 1 sec ������ 36 cos ������ 37 2 tan2 ������ + 1 = sec2 ������ = 12 + 1 = sec2 ������ (2) 1 + 1 = sec2 ������ 4 ∴ sec2 ������ = 5 ⇒ sec ������ = ξ5 4 2 180° < ������ < 270°, sin ������ = − 2 3 cos2 ������ + sin2 ������ = 1 cos2 ������ + 4 = 1 9 cos2 ������ = 5 ⇒ cos ������ = −ξ5 93 104
(3- 3) 90° < ������ < 180° cot ������ = − 7 sec ������ 38 sin ������ 39 12 tan ������ 40 1 + cot2 ������ = csc2 ������ 1 + 49 = csc2 ������ 144 ∴ csc2 ������ = 193 ⇒∴ csc ������ = ξ193 144 12 270° < ������ < 360° cos ������ 3 4 cos2 ������ + sin2 ������ = 1 9 + sin2 ������ = 1 16 sin2 ������ = 7 ⇒ −ξ7 sin ������ = 16 4 0 < ������ < ������ 8 cos ������ − 5 = 0 2 8 cos ������ = 5 5 cos ������ = 8 cos2 ������ + sin2 ������ = 1 25 + sin2 ������ = 1 64 sin2 ������ = 39 ⇒ sin ������ = ξ39 64 8 sin ������ ξ39 5 ξ39 tan ������ = cos ������ ⇒= 8 ÷ 8 = 5 105
(3- 3) : sin ������ cos ������ (41 tan ������ + cot ������ = cos ������ + sin ������ sin ������ cos ������ tan ������ + cot ������ = cos ������ + sin ������ sin ������ cos ������ sin ������ + cos ������ = cos ������ + sin ������ cos ������ sin ������ cos ������ sin ������ sin ������ ∙ sin ������ + cos ������ ∙ cos ������ = cos ������ + sin ������ cos ������ + sin ������ = cos ������ + sin ������ sec ������ (sec ������ − cos ������) = tan2 ������ 42 sec ������ (sec ������ − cos ������) = tan2 ������ 1 ������ 1 ������ − cos ������) = tan2 ������ cos (cos 1 ������ − 1 = tan2 ������ cos2 sec2 ������ − 1 = tan2 ������ tan2 ������ = tan2 ������ 106
sin 15° . (3- 4) 27 . ξ3 1 cos 30° 22 : 28 1 sin ������ tan 2 ������ = 1 + cos ������ ∠������������������ ∠������������������ ������∠������������������ = 1 ������∠������������������ 2 1 ������������ ������������ sin ������ tan 2 ������ = ������������ = 1 + ������������ = 1 + cos ������ 107
(3- 4) 29 cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 cos 2������ cos ������ cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ sin ������ cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ cos ������ , sin ������ sin 2������ sin(������ + ������) 30 cos 2������ cos(������ + ������) sin 2������ = sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ = 2 sin ������ cos ������ cos 2������ = cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ = cos2 ������ − sin2 ������ 108
(3- 4) 31 2������ A ������ ������ 1 − 2 sin2 ������ = cos 2������ sin2 ������ 2 1 − 2 sin2 ������ = cos ������ 2 2 2������ ������ ������ ������ sin2 ������ = 1−cos ������ cos2 ������ 2 22 2 sin ������ = ±√1−cos ������ 22 2 cos2 ������ − 1 = cos 2������ 2 cos2 ������ − 1 = cos ������ 2 cos2 ������ = 1+cos ������ 22 cos ������ = ±√1+cos ������ 22 115 ft/s 32 d (������ = 32������������/������2). ������ = 45° ������ = 2������2 sin ������ cos ������ 2������2 sin ������ cos ������ ������2 sin 2������ ������ = ������ = ������ ������ ������ = 45° ������2 sin 2������ sin 2������ = 1 ������ 2������ = 90° 109
(3- 4) cos ������ = ξ3 0 < ������ < 90° tan ������ 43 2 − ξ3 ( A 2 2 ξ3 − 2 ( B ξ3 (C 3 44 ξ3 ( D ������ = 3 cos 1 ������ (C ������ = 3 cos 2������ ( A 2 ������ = 1 cos 1 ������ (D ������ = 1 cos 2������ (B 32 3 110
(3- 4) : ������������������������ ������ + ������������������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ ( ������������ ������������������������ ������ + ������������������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������ + ������������������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������ + ������������������ ������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = (������ − ������������������������ ������) + ������������������������ ������ (������������ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = (������ − ������������������������ ������) + ������������������������ ������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������������������������ ������ + ������������������������ ������ ������������������������ ������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������������������������ ������ + ������ ������ ÷ ������ ������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������������������������ ������ + ������������������������ ������ ������������������������ ������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������������������������ ������ + ������������������������ ������ 111
(3- 4) : (������������������ ������ − ������������������ ������)������ = ������ − ������ ������������������ ������ ������������������ ������ )35 (������������������ ������ − ������������������ ������)������ = ������ − ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ − ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = ������ − ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ − ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = ������ − ������ ������������������ ������ ������������������ ������ cos 210° 39 cos 210° = cos(180° + 30°) sin 135° 36 = cos 180 ° cos 30° − sin 180 ° sin 30° sin(180° − 45°) sin 45° = ξ2 −ξ3 2 =2 cos 105° 37 sin(−240°) 40 cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60 ° cos 45° − sin 60 ° sin 45° sin(−240°) = sin(30° − 270°) = sin 30 °cos 270° − cos 30° sin 270° ξ2 − ξ6 =4 ξ3 sin 285° 38 =2 cos(−120°) 41 sin(285°) = sin(360° − 75°) = sin 75° = sin(45° + 30°) cos(−120°) = cos(60° − 180°) = sin 45 °cos 30° + cos 45 °sin 30° = cos 60° cos 180° + sin 60° sin 180° −ξ6 − ξ2 −1 =4 =2 112
(3- 5) 31 ������° ≤ ������ ≤ ������������������° ; ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = ������������������ ������ . ������������������������ . ������������������������ 0 ≤ ������ ≤ 2������ ; sin 2������ < sin ������ 32 ������ < ������ < ������ 5������ < ������ < 2������ 3 3 sin 2������ < sin ������ sin 2������ − sin ������ < 0 2 sin ������ cos ������ − sin ������ < 0 sin ������ (2 cos ������ − 1) < 0 sin ������ , 2 cos ������ − 1 sin ������ (2 cos ������ − 1) 5������ < ������ < 2������, ������ < ������ < ������ 33 5������ < ������ < 2������, ������ < ������ < ������ 33 113
(3- 5) 33 . 34 . 35 0° ≤ ������ ≤ 360° 2 cos ������ = 0 ; 90°, 270° 114
(3- 5) 36 csc ������ = ξ2 , cot2 ������ + 1 = 2 cot2 ������ + 1 = 2 csc2 ������ = 2 csc ������ = ξ2 1 sin ������ = ξ2 ������ ������ = 4 csc ������ = ξ2 1 sin ������ = ξ2 ������ ������ = 4 115
(3- 5) sin ������ + cos ������ tan2 ������ = 0 47 3������ D 2������ C 7������ B 5������ A 4 4 2 0° < ������ < 360 csc ������ = −2ξ3 48 150° ( A 210° 330° ( C 3 120° ( B 240° 300° ( D 30° 60° 116
(3- 5) cos 165° = cos(120° + 45°) cos 165° 37 = cos 120 °cos 45° − sin 120 ° sin 45° sin 22 1° ( 38 − ξ6 − ξ2 =4 2 sin 45° = √1 − cos 45° 2 2 = √1 − √22 = √2 − ξ2 2 2 7������ 315° 7������ sin 8 = sin 2 sin 8 (39 = √1 − cos 315° ξ2 2 cos 315 ° = cos 45° = 2 = √2 − ξ2 2 117
(3- 5) 7������ cos 12 (40 cos 105° = cos(45° + 60°) = cos 45° cos 60° − sin 45° sin 60° − ξ6 + ξ2 =4 sin(270° − ������) = − cos ������ 41 sin(270° − ������) = = sin 270° cos ������ − cos 270° sin ������ = − cos ������ − 0 ∙ sin ������ = − cos ������ = cos(90° + ������) = − sin ������ 42 cos(90° + ������) = − sin ������ cos 90° cos ������ − sin 90° sin ������ = sin ������ 0 ∙ cos ������ − 1 ∙ sin ������ = − sin ������ − sin ������ = − sin ������ 118
(3- 5) cos(90° − ������) = sin ������ )43 cos(90° − ������) = sin ������ cos 90° cos ������ + sin 90° sin ������ = sin ������ 0. cos ������ + 1. sin ������ = sin ������ sin ������ = sin ������ sin(90° − ������) = cos ������ )44 sin(90° − ������) = cos ������ sin 90° cos ������ − cos 90° sin ������ = cos ������ 1. cos ������ − 0. sin ������ = cos ������ cos ������ = cos ������ v ������ ℎ = ������2 sin2 ������ 45 9.8 m/sec 2������ g )a ������2 sin2 ������ = ������2 tan2 ������ 2������ 2������ sec2 ������ ������2 sin2 ������ ������2 tan2 ������ 2������ = 2������ sec2 ������ ������2 sin2 ������ ������2 sin2 ������ = cos2 ������ 2������ 2������ 1 cos2 ������ ������2 sin2 ������ ������2 sin2 ������ == 2������ 2������ 119
(3- 5) 100m/s 80 ( ������ . (������������������)������ ������������������������ ������������ ������ = ������(������. ������) ≈ ������������������. ������������������ . ℎ(������) 46 [−5, ∞) [−5, ∞) 120
121
Conic Sections 4-1 4-2 4-3 4-4 122
������2 + 6������ − 4������ + 9 = 0 (4- 1) . (36 ������2 + 6������ = 4������ − 9 (������ − 3)2 = 4������ ������ = 1 37 38 . (������ − 5)2 = −8(������ + 2) ������ ������ = −2 (−2,5) ������ 123
(4- 1) ������ = 4 ������������ 2.4 39 .3 3 2y) ������2 = 4������������ , 3 ������ = 2 32 ( ) = 4������������ 2 9 4 = 4������������ 9 ������������ = 16 4 ������ = 3 ������������ 49 3 2.4 = 3 (16������) (2) 9 2.4 = 8������ 9 15 ∴ ������ = 8 × 2.4 = 32 4 × 15 15 4������ = 32 ������ ⇒ 4������ = 8 ������ ∴ ������2 = 15 ������ 8 124
(4- 1) (40 . ������ y ������ . ������ ������ ������ ������ ������ ������ 125
(4 - 1) 31 ������ 49 ������−14 A ������ 2.������2 1 ������ 2 ξ������2 D 3 ξ������3 B ������4 C 50 ������ = ������ A ������ = |������| B ������ = ξ������ C ������ = ������2 D 126
(4 - 1) log3 27������ 43 log4 16������ 42 log16 4 41 log3 33������ = 3������ log4 42������ = 2������ 11 log16 162 = 2 log3(−������) + log3(6 − ������) = 3 45 82������−1 = 2 ( 1 )−21 ( 44 log3(−������) + log3(6 − ������) = log3 33 16 (−������)(6 − ������) = 27 ������2 − 6������ − 27 = 0 23(2������−1) = −1 (������ − 9)(������ + 3) = 0 2(2−4) 2 ������ = 9 ������ = −3 = 2(2)2 = 23 6������ − 3 = 3 6������ = 6 ������ = 1 log3 ������ ≤ −3 46 log3 ������ ≤ log3 3−3 ������ ≤ 3−3 1 ������ ≤ 27 127
(4 - 1) ℎ(������) = 16 − 12 3 47 2������ + ℎ(−3) )a ℎ(6������) )b 12 ℎ(−3) = 16 − 2(−3) + 3 ℎ(10 − 2������) )c 12 = 16 − −6 + 3 12 = 16 − −3 = 16 − (−4) = 20 ℎ(6������) = 16 − 12 3 2(6������) + 12 = 16 − 12������ + 3 4 = 16 − 4������ + 1 ℎ(10 − 2������) = 16 − 2(10 12 + 3 − 2������) 12 = 16 − 20 − 4������ + 3 12 = 16 − 23 − 4������ 128
(4 - 1) ������ sin ������ + cos ������ sin ������ cos ������ = 1 48 2 (sin ������ + cos ������)2 = sin2 ������ + 2 sin ������ cos ������ + cos2 ������ = (������������������2������ + cos2 ������) + 2(sin ������ cos ������) 1 = 1 + 2 × (2) = 1+1= 2 sin ������ + cos ������ = ξ2 129
(-1, 3) (4- 2) 37 48 ������2 + ������2 = 1 , ������2 + ������2 = 1 38 ������ ������+������ ������+������ ������ ������ > 0 ������2 = ������ ������2 = ������ + ������ ������ = ±ξ������ (0, ±ξ������) ������2 ������2 + =1 ������ ������ + ������ ( ±ξ������, 0) ������2 ������2 ������ + ������ + ������ = 1 130
(4- 2) ������2 + ������2 = 1 ������2 ������2 ������ = ������������������ ������ + ������ = 12, ������ = 35������ 39 ������ = ������������������ ������ = 35������ 35������ = ������������������ ∴ ������������ = 35, ������ + ������ = 12 → ������ = 12 − ������ ������(12 − ������) = 35 ������2 − 12������ + 35 = 0 (������ − 5)(������ − 7) = 0 ������ = 7 ������ = 5 ������2 ������2 ������2 ������2 47 + 25 = 1 , 25 + 49 = 1 ������ − ������ = 5, ������ = 24������ 40 ������ = ������������������ ������ = 24������ 24������ = ������������������ ∴ ������������ = 24, ������ − ������ = 5 → ������ = 5 + ������ ������(5 + ������) = 24 ������2 + 5������ − 24 = 0 (������ + 8)(������ − 3) = 0 ������ = −8 ������ = 3 ������2 ������2 , ������2 ������2 9 + 64 = 1 64 + 9 = 1 131
(4- 2) ℎ > 0, ������ < 0 41 (������ − ℎ)2 + (������ − ������)2 = ������2 [ ℎ − ������ , ℎ + ������] (������ − 4)2 + (������ − 5)2 = 82 [−4,12] ������������ [4 − 8,4 + 8] . 42 ba ������ = ξ������2 + ������2 c ba ������ = ������ ������ 132
(4- 2) 6 M 10 K ( 53 2ξ34 ( D KK 10 ( C 8(B 6 (A . 54 27 ������2 + ������2 = 1 ( ������ 15 ������2 + ������2 = 1 ( ������ 56.25 182·25 13.5 7·5 ������2 + ������2 = 1 ( ������ ������2 + ������2 = 1 ( ������ 7.5 13.5 182·25 56.25 133
(4- 2) : ������ = 3������2 − 24������ + 50 43 3������2 − 24������ = ������ − 50 3(������2 − 8������) = ������ − 50 3(������2 − 8������ + 16 − 16) = ������ − 50 3(������ − 4)2 = ������ − 50 + 48 (������ − 4)2 = 1 (������ − 2) 3 11 4������ = 3 → ������ → 12 (4,2) (4,2 1 ) 12 ������ = 23 12 ������ = 4 134
(4- 2) : ������ = −������������������ + ������������ − ������������ 44 −2������2 + 5������ = ������ + 10 −2(������2 + 2.5������ + 1.5625 − 1.5625) = ������ + 10 −2(������ + 1.25)2 = ������ + 6.875 (������ + 1.25)2 = −1 (������ + 55 2 8) −1 −1 4������ = 2 ⇒ ������ = 8 5 55 (4 · − 8 ) 5 −56 (4 · − 8 ) −27 ������ = 4 5 ������ = 4 135
(4- 2) ������ = 5������2 − 10������ + 9 (45 5(������2 − 2������) = ������ − 9 5(������2 − 2������ + 1 − 1) = ������ − 9 5(������ − 1)2 = ������ − 9 + 5 5(������ − 1)2 = ������ − 4 (������ − 1)2 = 1 (������ − 4) 5 1 4������ = 5 1 ������ = 20 (������, ������) (������. ������������, ������) ������ = 3.95 ������ = 1 .0 ≤ ������ ≤ 2������ ������ sin������ = cos������(46 ������ = 45 → ������ : cos������ tan������ = 1 4 ������ = 225 → 5������ 4 136
(4- 2) sin������ = 1 + cos������ (47 sin������ − cos������ = 1 sin2������ − cos2������ − 2sin������cos������ = 1 1 − 2������������������������cos������ = 1 −2sin������cos������ = 0 2sin������cos������ = 1 sin2������ = 0 2������ = 360 ������ = 180 → ������ 2������ = 180 ������ ������ = 90 → 2 2sin2������ + 3sin������ + 1 = 0 (48 (2������inθ + 1)(sin������ + 1) = 0 2������������������������ = −1 −1 sin������ = 2 11������ ������ = 360 − 30 = 330 → 6 7������ ������ = 180 + 30 = 210 → 6 sin������ = −1 3������ 270 → 2 137
(4- 2) ������−1 ������(������) = ������ − 2 (49 ������ + 3 ������ − 2 ������ = ������ + 3 ������ − 2 ������ = ������ + 3 → ������ − 2 = ������������ + 3������ ������ − ������������ = 3������ + 2 ������(1 − ������) = 3������ + 2 3������ + 2 ������ = 1 − ������ ������−1(������) = 3������ + 2 1 − ������ ������ ≠ 1 ������(������) = ξ5 − ������ (50 ������ = ξ5 − ������ ������ = √5 − ������ (0, ∞) ������2 = 5 − ������ ������ = 5 − ������2 ������−1(������) = 5 − ������2 ������(������) = ξ������2 − 9 (51 138
(4- 2) ������(������) = − (1)������ + 3 52 3 (−∞, ������) 139
(4- 3) (34 ������2 ������2 − =1 5 15 ������, s , ������ ������������2 = −������������2 − ������ 35 ������������ = 0 a ������ 2 ������ = 0 ������ = 0 ������ ������ = 0 ������2 ������������ > 0 b s r ������ ������ > 0 . ������ = ������ C ������ = ������ 1 ������������ < 0 d s r rs<0 140
)(4- 3 36 ������1 P P ������1 (0, 9) , ������2(0, -9 37 ������2 P 6 ������2 ������2 − =1 9 72 )38يتشكل القطع الزائد المتطابق الساقين عندما a = bعند كتابة المعادلة على الصورة القياسية .برهن أن الاختلاف المركزي لكل قطع زائد متطابق الساقين هو . ξ2 بما أن القطع الزائد متساوي الساقين فإن ������ = b ������������ = ������������ + ������������ ������ = ������ ������������ = ������������ + ������������ أن وبما ������������������ ������������ = ������ = ������ξ������ وبما أن ������ = ������فإن ������ ������ξ������ ������ = ������ = ξ������ لذا فإن الاختلاف المركزي للقطع الزائد المتساوي الساقين هو ξ������ 141
(4- 3) 39 . k,h c ������2 ������2 ������2 = ������2 − ������2 ������ x 142
(4- 3) (������)2 − (������)2 = 1 47 45 ������ = 4 ������, ������ = − 4 ������ ( ������ ( ������ 55 ( ������ ( ������ 55 ������ = 4 ������, ������ = − 4 ������ ������ = 1 ������, ������ = − 1 ������ 44 ������ = 1 ������, ������ = − 1 ������ 55 48 (������+1)2 − (������−1)2 = 1 41 ������ = 2 , ������ = 1 ������ 1 = ������ = 2 1 ������ − 1 = ± 2 (������ + 1) 143
(4- 3) : (������ − 8)2 (������ − 2)2 = 1 (40 ������2 (������ + 5)2 + 64 + 49 = 1 ( 41 81 (������ − 2)2 (������ + 5)2 16 + 36 = 1 ( 42 80 ft/s 43 a ℎ = −16������2 + 80������ + 5 t b 80 ℎ = −32������ + 80 ⇒ −32������ + 80 = 0 ⇒ ������ = 32 = 2.5 ∴ ℎ = −16(2.5)2 + 80(2.5) + 5 = 105 ⟸ ������ = 2.5 2.5 2.5 × 2 = 5 144
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161