دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻫـ‬

‫ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪-‬ﺤﺴﺎﺏ ‪∫ ƒ(t)dt‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﺘﻔﺴﻴﺭﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﻨﺸﺎﻁﺎﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺎﻥ‬ ‫‪ - 1‬ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬‫‪ - 2‬ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫‪ - 3‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‬ ‫‪ - 4‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻐﻠﻕ‬ ‫‪ - 5‬ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ‬

‫ﻨﺸﺎﻁﺎﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :1‬ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫* ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺴﺅﺍﻻﻥ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ ƒ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f(x) = 5x2+3x-2‬‬ ‫‪ -1-‬ﻋﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺃﺼﻠﻴﺘﻴﻥ ‪ F‬ﻭ ‪ G‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ‪. ℜ‬‬ ‫‪-2-‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪ F(3)-F(1‬ﻭ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪ G(3)-G(1‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ؟‬ ‫ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻡ؟‬ ‫* ﺍﻟﺠﻭﺍﺒﺎﻥ‪:‬‬‫‪ -1-‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪ ) ℜ‬ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ( ﻤﻨﻪ‪ ƒ‬ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ‪. ℜ‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ F‬ﻭ ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ‪،ℜ‬‬‫= )‪G(x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪F (x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺃﺼﻠﻴﺘﺎﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫‪ -2-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫)‪G (3‬‬ ‫=‬ ‫‪5 .33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 .32‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2.3 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و‬ ‫)‪F (3‬‬ ‫=‬ ‫‪5 .33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 .32‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪G (1‬‬ ‫=‬ ‫‪5 .13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2.1 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪F (1‬‬ ‫=‬ ‫‪5 .13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 .12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪G (3) − G (1‬‬ ‫=‬ ‫‪73‬‬ ‫)‪ F (3‬ﻭ‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪F (1‬‬ ‫=‬ ‫‪73‬‬ ‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ‪G(3) − G(1) = F (3) − F (1) :‬‬‫ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ P‬ﻭ ‪ S‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺃﺼﻠﻴﺘﻴﻥ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ ، I‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ k‬ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ S(x)=P(x)+k: I‬ﻤﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪: I‬‬ ‫‪ S(a)=P(a)+k‬ﻭ‪.S(b)=P(b)+k‬‬ ‫)‪S(b)-S(a)=P(b)+k-(P(a)+k‬‬ ‫)‪S(b)-S(a)=P(b)-P(a‬‬ ‫ﻨﻌﻡ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻡ‪.‬‬

‫* ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻟﻘﺩ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ‬ ‫)‪ ، F(b)-F(a‬ﺤﻴﺙ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ، I‬ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. F‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ :2‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻐﻠﻕ‪.‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1-‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺍﻨﻪ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪+ ....... +‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫=‬ ‫‪n.(n‬‬ ‫‪+ 1)(2n‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= )‪. ƒ(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2-‬ﻟﺘﻜﻥ‪ ƒ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‪ ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪2‬‬‫‪.µ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫[‬ ‫‪F‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫])‪F (0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‪µ‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫‪ƒ‬ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻴﻥ‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ،‬ﻨﻀﻊ‬ ‫‪y0‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‪ƒ‬‬ ‫;⎟⎞ ‪0‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‪ƒ‬‬ ‫;⎟⎞ ‪1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫;⎟⎞ ‪ƒ⎜⎛ 2‬‬ ‫‪y4n‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‪ƒ‬‬ ‫⎟⎞ ‪4n‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪n‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪n‬‬ ‫⎠‪⎝n‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪n‬‬‫ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ yn‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ‪ y0 ; y1; y2 ;......; y4n :‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪yn‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫*ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1-‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﻨﺴﻤﻲ )‪ P(n‬ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪+ ....... +‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫=‬ ‫‪n.(n‬‬ ‫‪+ 1)(2n‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ƒ )‪ P(0‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ‪ 0=0‬ﻭ ﻫﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻨﻪ )‪ P(0‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.(1)....‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ P(m‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫‪+ 22 + ....... + m2‬‬ ‫=‬ ‫)‪m.(m + 1)(2m + 1‬‬ ‫ﺃﻱ ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻨﻪ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ )‪ P(m+1‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬‫)*(‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫‪+ 22‬‬ ‫‪+ ....... +‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(m + 1)2‬‬ ‫=‬ ‫)‪(m + 1).(m + 2)(2m + 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪02 +12 + 22 + ... + m2 + (m +1)2 = (02 +12 + 22 + ... + m2 ) + (m +1)2‬‬ ‫ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ‬ ‫ﻤﺎ‬ ‫ﺤﺴﺏ‬ ‫=‬ ‫‪m.(m + 1)(2m‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪+ (m‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪+ .......+‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪+ (m +1)2‬‬ ‫=‬ ‫‪m(m+1).(2m+1) + 6(m +1)2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪ m‬ﻋﺎﻤل ﻤﺸﺘﺭﻙ(‬ ‫=‬ ‫‪(m‬‬ ‫‪+1).(2m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪(m‬‬ ‫‪+1).(2m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﻟﻠﺘﻤﻌﻥ ﻓﻲ ﻤﺎ ﻨﺭﻴﺩ ﺍﻟﻭﺼﻭل ﺇﻟﻴﻪ)*(‪(m+ 2)(2m+3) = 2m2 + 4m+3m+ 6‬‬ ‫‪= 2m2 +7m+6‬‬ ‫‪02 + 12‬‬ ‫‪+ 22 + ....... + (m + 1)2‬‬ ‫=‬ ‫‪(m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1).(m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)(2m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ )‪ P(m‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ )‪ P(m+1‬ﻗﻀﻴﺔ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪.(2)....‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫‪02 +12 +22 +...+n2‬‬ ‫=‬ ‫)‪n.(n+1)(2n+1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪6‬‬‫ﻫﻲ‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪-2-‬ﺃ‪ -‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪F (4‬‬ ‫=‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ F (0) = 0‬ﻭ‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻘﻴﻢ‬ ‫‪yn‬‬ ‫=‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y1 + .... +‬‬ ‫‪y4n‬‬ ‫‪4n + 1‬‬‫‪ y0 ; y1;.......; yn‬هﻮ‬ ‫)‪(4n-0+4‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎡‬ ‫‪ƒ‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪0‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ƒ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ +‬‬ ‫‪ƒ ⎛⎜ 2 ⎟⎞ + .....‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎜⎛ ‪ƒ‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫⎤‬ ‫⎝‬ ‫‪4n +‬‬ ‫⎠‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠‬ ‫⎠‪⎝n‬‬ ‫⎠‪⎝n‬‬ ‫⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪1‬‬

‫⎛⎜‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎡‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪0‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎟⎞ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪4n‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤‬ ‫⎝‬ ‫‪n+‬‬ ‫⎠‬ ‫⎢‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫⎥‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎥⎦ ⎠‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎡‬ ‫‪1‬‬ ‫⎜⎝⎜⎛‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪22 +‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(4n)2‬‬ ‫⎥⎤⎦⎟⎠⎟⎞‬ ‫⎝‬ ‫‪4n +‬‬ ‫⎠‬ ‫⎢‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎣‬ ‫=) (‬‫⎜⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫⎠⎟⎞ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎝‬ ‫‪4n +‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪n2‬‬ ‫×‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫‪+ 22‬‬ ‫‪+ .......(4n)2‬‬‫ﺤﺴﺏ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﻭل‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪4n‬‬ ‫×‬ ‫‪(4n‬‬ ‫‪+ 1) ×[2(4n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎞⎟ ])‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪6‬‬ ‫⎠‬ ‫‪(4n‬‬ ‫‪+ 1)(2n2‬‬ ‫)‬ ‫‪yn‬‬ ‫=‬ ‫‪8n +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪yn‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim 1 = 0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪yn‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪nn→+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪yn‬‬ ‫‪=τ‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫‪ƒ‬ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪τ‬ﺃﻴﻥ‬ ‫=‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪× (F(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫))‪F (0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪-‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫)‪− 0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪.[0 ;4‬‬

‫ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ‪ ،‬ﻜل ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻭ ﻤﺠﺎل ‪ ،‬ﻤﻥ ﻤﺠﺎﻻﺕ ‪،ℜ‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل‪.‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ I‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫‪b‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ‪ a‬ﺇﻟﻰ ‪ b‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪∫. ƒ(x)dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪∫ ƒ(x)dx = F (b) − F (a) :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫‪ -‬ﺏ‪ -‬ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫ƒ \"ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻜﺎﻤل\" ﻴﺴﻤﻰ\" ﻤﻜﺎﻤﻠﺔ\"‪.‬‬ ‫ƒ ﻭ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺴﺎﺌﺩ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ƒ(x)dx‬ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻟﺤﺴﺎﺒﻪ‪∫.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ dx‬ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ ƒ(x)dx‬ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﻜﻭﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻴﺘﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ∫‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪. x‬‬ ‫‪b‬‬‫‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ ƒ(x)dx‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ x‬ﺒﺄﻱ ﺤﺭﻑ ﺁﺨﺭ ﻤﺜل ‪ ،.... t,u,v‬ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ∫‬ ‫‪a‬‬‫ﺍﻟﺤﺭﻭﻑ ‪ f،b،a‬ﺃﻭ ﺤﺭﻭﻑ ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﺩﺨل ﻓﻲ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺃﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‬ ‫‪a‬ﻭ‪.b‬‬‫) ‪ a‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺴﻔل ﻭ ‪ b‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ(‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻴﺴﻤﻴﺎﻥ ﺤﺩﻱ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪a‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ )‪ F(b)-F(a‬ﻴﻜﺘﺏ ‪ ،‬ﻓﻲ ﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ ‪.[F (x)]ba ،‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬

‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ J2، J1‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‪)dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3x + 1dx‬‬ ‫‪(3x 2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪∫ ∫J1‬‬‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬‫)‪ƒ1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ƒ1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪ƒ2 (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ g1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪3x + 1 :‬‬‫‪ ƒ1‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-3 ;-1‬ﻤﻨﻪ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ، J1‬ﻓﻲ‪ ، ℜ‬ﻤﻀﻤﻭﻥ‬‫‪ ƒ2‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;2‬ﻤﻨﻪ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ، J2‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻤﻀﻤﻭﻥ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪:‬‬‫‪F1(x) = x3 +‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F1‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-3 ;-1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [-3 ;-1‬‬‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F2‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;2‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪F2 (x) = 2 3x + 1 :‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [0 ;2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪J1=F1(-1)-F1(-3) •:‬‬ ‫)‪F1 (−3‬‬ ‫=‬ ‫‪(−3)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(−3)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(−3) :‬‬ ‫‪68‬‬ ‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ ،‬ﻨﺠﺩ ‪J1 = 3 :‬‬ ‫• )‪J2=F2(2)-F2(0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ F2 (2) = 2 3.2 + 1 :‬ﻭ ‪F2 (0) = 2 3.0 + 1‬‬ ‫‪J2 = 2 7 − 2‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ . I‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ I‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ‪: I‬‬

‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫• )‪ ∫ ƒ(x)dx = F (a) − F (a‬ﻤﻨﻪ ‪∫ ƒ(x)dx = 0‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪ab‬‬‫•• )‪ ∫ ƒ(x)dx = F (b) − F (a‬ﻭ )‪ ∫ ƒ(x)dx = F (a) − F (b‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫= ‪. ∫ ƒ(x)dx = − ∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪ab‬‬‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a<b‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ ƒ(x)≥0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [a ;b‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ ) [a ;b‬ﻷﻥ )‪ F ′(x) = ƒ(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ]‪[a ;b‬ﻤﻨﻪ ‪ F ′(x) ≥ 0‬ﻤﻥ ﺍﺠل‬ ‫ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ]‪.( [a ;b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a<b‬ﻴﻜﻭﻥ )‪ F(a)≤F(b‬ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ‪ F(b)-F(a)≥0‬ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ‪∫. ƒ(x)dx ≥ 0 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫•ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪∫. ƒ(x)dx = 0 ، a=b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a≤b‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ ƒ(x)≥0‬ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ]‪ [a ;b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪∫. ƒ(x)dx ≥ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪I‬‬ ‫‪a ba‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∫ ƒ(x)dx = 0 :‬ﻭ ‪∫ ƒ(x)dx = −∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪b aa‬‬ ‫‪(2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a≤b‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ ƒ(x)≥0‬ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[a ;b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ ) ƒ(x)dx ≥ 0‬ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل(∫‬ ‫‪a‬‬

‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ )‪ ، (O; i; j‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ )‪ (ua‬ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫‪ OACB‬ﺤﻴﺙ ‪ C ، B ، A :‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺒﺤﻴﺙ )‪ B(0 ;1) ، A(1 ;0‬ﻭ )‪. C(1 ;1‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ‪ ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ ,b a‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ ، I‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. a≤b‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ƒ(x)≥0‬ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [a ;b‬ﻓﺈﻥ ‪) A‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ )‪((ua‬‬‫ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cƒ‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻭ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺫﺍﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ‪ x=a‬ﻭ ‪ x=b‬ﻫﻲ ‪ ) A = ƒ(x)dx ≥ 0 :‬ﺍﻟﺸﻜل ﺃﺩﻨﺎﻩ ﻴﻭﻀﺢ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ (∫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪( Cf‬‬‫‪B1 C‬‬ ‫‪A‬‬‫‪→j 1 ua‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫‪x=b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 →i 1A‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺘﺎﻥ ‪:‬‬ ‫•ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪ D،‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ)‪ M(x ;y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬ ‫‪a≤x≤b‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪0≤y≤ƒ(x‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ﺍﻟﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﻭﻀﻭﻉ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﻨﺸﺎﻁ‬‫\" ﻴﺸﺭﺡ\" ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻭ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ\" ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﺨﺎﺹ\"‪.‬‬

‫ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺨﻁﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ ƒ‬ﻭ‪ g‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ α‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪b bb‬‬ ‫‪∫ [ƒ(x) + g(x)]dx = ∫ ƒ(x)dx + ∫ g(x)dx‬‬ ‫‪a aa‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫ﻭ ‪∫ [α.ƒ(x)]dx = α.∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺌﺩﺓ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ƒ(x)dx = F (b) − F (a) :‬ﺤﻴﺙ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ‪∫I‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ )‪ g(x)dx = G(b) − G(a‬ﺤﻴﺙ ‪ G‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪∫.I‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ S‬ﺤﻴﺙ ‪ S=F+G‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪ (ƒ+g‬ﻋﻠﻰ ‪.I‬‬ ‫ﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ P‬ﺤﻴﺙ‪ P= αF‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ αƒ‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∫ (ƒ + g)(x)dx = S(b) − S(a) :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪= (F + G)(b) − (F + G)(a‬‬ ‫)‪= F (b) + G(b) − F (a) − G(a‬‬ ‫))‪= (F (b) − F (a)) + (G(b) − G(a‬‬ ‫‪b bb‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∫ [g(x) + ƒ(x)]dx = ∫ ƒ(x)dx + ∫ g(x)dx‬‬ ‫‪a aa‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ‪∫ (α ƒ )( x)dx = P (b) − P (a ) :‬‬ ‫‪a‬‬

‫)‪= αF (b) − αF (a‬‬ ‫])‪= α[F (b) − F (a‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∫α ƒ(x)dx = α ∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [-3 ;2‬‬ ‫‪2 22‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ) (2x + ƒ(x))dx = 2xdx ƒ(x)dx :‬ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ(∫ ∫ ∫‬ ‫‪−3 −3 −3‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪G(x)=x2‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪xŠx2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪∫ 2xdx = G(2) − G(−2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪= (2)2 − (−3)2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∫ (2x + ƒ(x))dx = −5 + ∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪−3 −3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ƒ(x)dx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪x)dx‬‬‫ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ(‪∫ ∫.‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪ƒ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ‬ ‫)‬ ‫‪ -‬ﺏ‪ -‬ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ c،b ، a‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪b cb‬‬ ‫‪∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(x)dx + ∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪a ac‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺴﺎﺌﺩﺓ ‪ ،‬ﻟﺘﻜﻥ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫‪cb‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∫ ƒ(x)dx + ∫ ƒ(x)dx = [F (b) − F (a)] + [F (b)] − F (c)] :‬‬‫‪ac‬‬‫)‪= F (b) − F (a‬‬ ‫‪b‬‬‫‪= ∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪a‬‬‫‪b cb‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(x)dx + ∫ ƒ(x)dx‬‬‫‪a ac‬‬‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [-5 ;1‬‬‫‪01‬‬‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ ∫ ƒ(x)dx = 7‬ﻭ ‪∫ ƒ(x)dx = −2‬‬‫‪−3 0‬‬ ‫‪1 01‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(x)dx + ∫ ƒ(x)dx :‬‬ ‫‪−3 −3 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∫. ƒ(x)dx = 5‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬‫ﻭ ﻟﺘﻜﻥ‪ ƒ‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪a≤b(1‬‬‫‪ (2‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [a ;b‬ﻴﻜﻭﻥ )‪g(x)≤ƒ(x‬‬‫‪bb‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬‫‪∫ g(x)dx ≤ ∫ ƒ(x)dx‬‬‫‪aa‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻭ ﻓﺭﻀﻴﺎﺘﻪ ﺴﺎﺌﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a≤b‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ]‪. ƒ(x)-g(x)≥0[a ;b‬‬ ‫ﺃﻱ ‪.ƒ(x)+(-1)×g(x)≥0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ) ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل(‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪∫ [ƒ(x) + (−1) × g(x)]dx ≥ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫‪bb‬‬ ‫\"ﺨﻁﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل\"‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ‪∫ ∫ƒ(x)dx + (−1) × g(x)dx ≥ 0 :‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ‪∫ ∫ƒ(x)dx + (−1) g(x)dx ≥ 0 :‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪. ∫ ƒ(x)dx ≥ ∫ g(x)dx‬‬ ‫‪aa‬‬‫ﻤﺜﺎل‪:‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ )‪ (Cƒ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ )‪(O; i; j‬‬‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫= ‪ y‬ﻭ)∆(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪( Cf‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪0 i→ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫)∆(‬

‫ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﺎﻨﻴﺔ‪ ƒ:‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [2 ;4‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪: [2 ;4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ ∫ ∫4‬‬‫‪⎛⎜ −‬‬‫‪1‬‬ ‫‪2 ⎞⎟dx‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 1⎟⎞dx‬‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≤‬ ‫‪ƒ ( x)dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [2 ;4‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪H (x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ H‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪P(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ P‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫]‪.[2 ;4‬‬‫⎛⎜‬‫‪∫ ∫4‬‬‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 ⎞⎟dx‬‬ ‫=‬ ‫)‪P(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪P(2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1⎟⎞dx‬‬ ‫=‬ ‫‪H‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪H‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬‫‪2‬‬ ‫=)‪P(2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺎ ‪ H(4)=8:‬ﻭ ‪ H(2)=3‬ﻭ‬ ‫ﻭ‪3‬‬ ‫‪P(4)= 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪∫2 ≤ ƒ(x)dx ≤ 5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﻲ ‪: 1cm2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ƒ(x)dx‬ﻫﻭ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻅﻠل‪∫.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ ‪∫. ABCD‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1⎞⎟dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪∫. EFCD‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ‬ ‫ﺸﺒﻪ‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻐﻠﻕ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a<b‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ‪ ƒ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [a ;b‬‬‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ [a ;b‬ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ µ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪:‬‬ ‫‪∫µ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪b‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪ƒ ( x ) dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺴﺎﺌﺩﺓ ﻥ ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [a ;b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪. ƒ(x)≥0‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ) ‪ (Cƒ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ )‪ (O; i; j‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻤﻤﺎﺜﻼ ﻟﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪y‬‬‫‪u‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫) ‪(Cf‬‬‫‪→j ua‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x=b‬‬ ‫‪0 →i 1‬‬‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ƒ ( x)dx‬‬ ‫‪× ƒ(x)dx‬‬‫‪a‬‬‫= )‪∫ ∫µ(b − a‬‬‫ﻤﻨﻪ‬‫‪µ‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪b−a a‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ )‪. (ua‬‬ ‫‪b‬‬‫‪ ƒ(x)dx‬ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻅﻠل ﻭ )‪ µ(b − a‬ﻫﻲ ﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪∫. ABCD‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ‪ ƒ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ƒ(x) = 2x3 + x‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [1 ;4‬‬ ‫‪4‬‬‫ﻨﻌﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻋﻠﻰ∫‬ ‫‪ƒ ( x)dx‬‬ ‫‪ µ‬ﻭ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‬ ‫=‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫ ƒ ( x ) dx‬‬ ‫‪1‬‬‫]‪. [1 ;4‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪[1 ;4‬‬‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [1 ;4‬‬ ‫)‪F (x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪∫ ƒ(x).dx = F (4) − F (1) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪F (1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.14‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ F (4‬ﻭ‬ ‫=‬ ‫‪44‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪42‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 1 = 136‬‬ ‫=‪µ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪(136‬‬ ‫)‪− 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [1 ;4‬ﻫﻲ ‪.45‬‬

‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻟﻭﺭﻨﺯ‪ ،‬ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻟﻭﺭﻨﺯ ﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺠﻴﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻬﺎ‪:‬‬‫‪ -‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ )‪ (courbe de lorenz‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﻭ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ƒ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪ [0 ;1‬ﻭ ‪ ƒ(0)=0‬ﻭ‪.ƒ(1)=1‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ)‪ (σ‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻟﻠﻭﺘﺭ ‪ ،‬ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ)‪ (indice de Gini‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪δ‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ γ=1-2A‬ﺃﻴﻥ ‪ A‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪.x=1،x=0،y=0‬‬ ‫ﺸﻜل ﻭ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1B‬‬ ‫→‬ ‫‪→ Dc‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪→D‬‬ ‫‪A‬‬‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎞⎟ ‪A‬‬ ‫‪-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫)‪ = 2(S − A‬ﺤﻴﺙ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪.DAB‬‬ ‫‪ = 2 Ac‬ﺤﻴﺙ ‪ Ac‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.Dc‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫=‬ ‫‪Ac‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ‪ Dc‬ﺘﺴﻤﻰ \" ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺘﺭﻜﻴﺯ\" ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(σ‬‬‫‪ 0≤γ≤1‬ﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺘﺭﻜﻴﺯ‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ =‪γ‬‬‫ƒ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻭﺭﻨﺯ ﻭ ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ‪:‬‬‫*ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻭﺭﻨﺯ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺜﺭﻭﺍﺕ ﺒﻴﻥ ﺃﻓﺭﺍﺩ ﻤﺠﺘﻤﻊ ) ﻤﺜﻼ( ﻫﻭ ﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [0 ;1‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ]‪ ƒ(x) ، [0 ;1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺜﺭﻭﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻠﻭﻜﺔ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟـ ‪ 100x%‬ﺍﻷﻗل ﺜﺭﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺃﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ]‪.[0 ;1‬‬‫ﻭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ‪ ،‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫* ﻴﻜﺘﺏ ‪x‬ﻭ )‪ƒ(x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‪.‬‬ ‫• ‪ γ‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ‪ :0‬ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺜﺭﻭﺍﺕ ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﻭﻱ‪.‬‬ ‫• ‪ γ‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪ :1‬ﺃﻜﺜﺭﻴﺔ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻫﻲ ﺍﻷﻗل ﺜﺭﺍﺀﺍ‪.‬‬‫• ﻜل ﻤﺎ ﻜﺎﻥ‪ γ‬ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻜل ﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺜﺭﻭﺍﺕ \"ﻋﺎﺩﻻ\"‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻭ ﺍﻟﻁﻠﺏ ﻭ ﺍﻟﻔﺎﺌﺽ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ ﺤﻴﺙ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺘﺴﻭﻴﻕ ﻤﻨﺘﻭﺝ ﻤﺎ ‪.‬‬‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻭﻥ ﻤﺴﺘﻌﺩﻴﻥ ﻟﻠﺸﺭﺍﺀ ﺒﺴﻌﺭ ﻗﺩﺭﻩ )‪ d(x‬ﻟﻠﻭﺤﺩﺓ ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻀﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻭﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ xld(x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻁﻠﺏ\"‪.‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻭﻥ ﻤﺴﺘﻌﺩﻴﻥ ﻹﻨﺘﺎﺝ ﻜﻤﻴﺔ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ )‪ θ(x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫)‪ xl θ(x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ\"ﻋﺭﺽ\"‪.‬‬ ‫• ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻁﻠﺏ‪.‬‬ ‫ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‪.‬‬ ‫‪ :P‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‬ ‫‪ : Q‬ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‪.‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ ﻫﻭ ‪∫Sθ = (P − θ (x)).dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻭ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ﻫﻭ ‪∫Sd = (d (x) − P).dx :‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 01‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪∫2‬‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1)dx‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ (5x − 2)dx (1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪∫ ∫6‬‬ ‫‪−1⎜⎛ 5‬‬ ‫⎝‪−3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎟⎞dt‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2u − 3du‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪∫−1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪∫43‬‬ ‫‪3z‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2 dx‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z2 +1‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ∫‬ ‫‪α +2‬‬ ‫⎜⎝⎛⎜‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪⎞⎟⎠⎟dx‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫⎜⎛⎝⎜‪∫12‬‬ ‫‪2q 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4q‬‬ ‫‪+7‬‬ ‫‪⎟⎞⎟⎠dq‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪α‬‬ ‫‪α +1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪−α‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 02‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ )‪(Cƒ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪]0,5‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪;+‬‬ ‫‪(2x − 1)3‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪. (O, i; j‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪3 ( Cf‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ -1-‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ƒ(x)dx‬ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻪ‪∫.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-2-‬ﻫل ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ƒ(x)dx‬ﻴﻤﺜل ﻤﺴﺎﺤﺔ؟∫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 03‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪ ،1cm‬ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ )‪ (O, i; j‬ﺒﺤﻴﺙ ‪i = 1,5‬‬ ‫ﻭ ‪. j = 1,5‬‬‫‪ -1-‬ﺃﺤﺴﺏ‪ A1‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪D1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M(x ;y‬‬ ‫‪3≥x≥1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪⎜⎛ 1 x 2 + 1⎟⎞ ≥ y ≥ 0‬‬ ‫⎠ ‪⎝4‬‬‫‪ -2-‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ A2‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ D2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M(x ;y‬‬ ‫‪1≥x≥-1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪2x2 + x ≤ y ≤ 0‬‬‫‪ -3-‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ A3‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ D3‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M(x ;y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪2≥x≥0‬‬ ‫‪x2 ≥ y ≥ −1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 04‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ )‪(Cƒ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪(O, i; j‬‬‫‪. ƒ(x) = 2x − 5 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪]1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪;+‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪ƒ‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪( Cf‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪x=2 ، x=1,5‬‬ ‫ﻭ ‪. y=0‬‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 05‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪(C‬ﻭ)‪(δ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،ƒ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ ، ]-1 ;+‬ﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ ، ƒ′‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫)‪. (O, i; j‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪( C6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪-2‬‬‫‪ -1-‬ﺤﺩﺩ‪ ،‬ﻤﻌﻠﻼ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. ƒ′‬‬‫‪ -2-‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻭﻀﻴﺤﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 06‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ )‪(Cƒ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪ (O, i; j‬ﻭ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﻲ ‪. 1cm‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬‫) ‪( Cf‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫‪ -1-‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻜﺎﻤل ﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل‪.‬‬ ‫‪2‬‬‫‪-2-‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ƒ(x)dx‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M(x ;y‬ﻤﻥ)‪ (Cƒ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x≥1‬ﺘﺤﻘﻕ∫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪ y‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x ;y‬ﻤﻥ)‪ (Cƒ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x≤1‬ﺘﺤﻘﻕ ‪y = x2 + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﻭ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 07‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ E، D،C، B،A‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫⎛⎝⎜⎜‪−12‬‬ ‫‪3 − 5x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪4x2 +1‬‬ ‫∫‪2‬‬ ‫‪−∫2‬‬‫‪∫ ( )C‬‬‫=‬ ‫‪⎟⎟⎞⎠dx‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪⎞⎟dx‬‬ ‫⎝‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫⎠‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎝⎛⎜⎜‪−21‬‬ ‫‪3x2 − 2x − 8‬‬ ‫‪⎠⎟⎞⎟dx‬‬ ‫⎛⎜ ‪3‬‬ ‫‪3x2 + 5‬‬ ‫‪⎞⎠⎟⎟dx‬‬ ‫‪x2 + x + 7‬‬ ‫⎜⎝‪1,5‬‬ ‫‪∫ ∫E‬‬ ‫=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 − 5x + 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 08‬‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪ƒ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪x2 + 1 :‬‬ ‫‪ -1-‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. ƒ‬‬‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫‪≤3‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫]‪[-1 ;2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺃﻨﻪ‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪-2-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪∫.‬‬ ‫⎝⎜⎜⎛‪−21‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1 ⎟⎠⎞⎟dx‬‬ ‫ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل‬ ‫ﺤﺼﺭﺍ‬ ‫‪-3-‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 09‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ƒ (1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ƒ(x) = (3x + 4)5 :‬ﻭ ]‪I=[-1 ;1‬‬ ‫= )‪ƒ(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ]‪( )I=[-2 ;0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪ƒ‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫ﻭ ]‪I=[0 ;5‬‬ ‫= )‪ƒ(x‬‬ ‫‪6x + 3‬‬ ‫‪ƒ(3‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪3x2 + x + 1 :‬‬

‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ ƒ‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬‫= )‪ g(x‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cƒ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6 − 5x‬‬ ‫‪− x)3‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪. (O; i; j‬‬‫ﻭ )‪ (Cg‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪ ، (O; i; j‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل‪4cm:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ -1-‬ﺍﺜﺒﺕ )‪ (Cƒ‬ﺃﻥ ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ )‪.(Cg‬‬ ‫‪-2-‬ﺃﻨﺸﺊ )‪ (Cƒ‬ﻭ)‪.(Cg‬‬‫‪ -3-‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬‫)‪v(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪(12+‬‬ ‫‪5x).‬‬ ‫‪6 −5x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= )‪u(x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪(2 − x)2‬‬‫‪(Cƒ) -4-‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﺠﻭﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ ‪ A‬ﻭ)‪ (Cg‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﺠﻭﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ ‪. B‬‬‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻠﻌﻤﺎل ﺫﻭﻱ ﺍﻟﺭﻭﺍﺘﺏ ﺍﻷﻀﻌﻑ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ‬‫ﺒﺸﻜل ‪ %60‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺨﺼﺹ ﻟﻠﺭﻭﺍﺘﺏ ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺅﺴﺴﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪. B‬‬‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ)‪ (Cƒ‬ﻭ)‪ ، (Cg‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺡ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜﻤﻴﺔ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻭﻀﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻭﻕ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(0≤x≤4‬‬ ‫)‪d ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬‫ﻭ ﺃﻥ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻘﺒﻭل ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺇﻨﺘﺎﺝ ‪ x‬ﻭﺤﺩﺓ ﻫﻭ ‪θ (x) = (x + 1)2‬‬‫) ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﻫﻲ ‪10‬ﻁﻥ ﻭ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﻫﻲ ‪.( 100000DA‬‬ ‫‪-1‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ﻭ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ‪.‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‪:‬‬ ‫‪∫0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2)dx‬‬ ‫=‬ ‫‪⎡5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤‬ ‫‪0‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪(5x‬‬ ‫‪⎢⎣ 2‬‬ ‫⎦⎥‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= 0 − ( 5 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺤﺎﻭل ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﻌﺎﻤل ﻤﻌﻬﺎ ﺘﺘﻭﻓﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪ ،‬ﺘﻌﻨﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫‪ xl5x-2‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ [-1 ;0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻤﻀﻤﻭﻥ‪.‬‬‫‪∫−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)dt‬‬ ‫=‬ ‫‪⎡⎢⎣5t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1⎤ −1‬‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t ⎦⎥ −3‬‬ ‫‪t2‬‬‫‪−3‬‬ ‫=‬ ‫‪(−5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−15‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪68‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫× ‪dx = 5‬‬ ‫‪∫ ∫6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx /4‬‬ ‫‪2 2x − 3‬‬ ‫‪2 2 2x − 3‬‬ ‫‪[ ]6‬‬ ‫‪= 5 2x − 3 2‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪∫ ∫−1 x 2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫‪/6‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−2 −‬‬ ‫‪(−x‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪⎢⎡⎣−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 ⎤ −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x ⎥⎦ −2‬‬ ‫‪∫ ∫2 2q 2 + 4q + 7‬‬ ‫‪2 2q2 + 4q + 2 + 5‬‬ ‫‪dq /7‬‬ ‫‪1 q 2 + 2q + 1 dq = 1‬‬ ‫‪(q + 1) 2‬‬

= ∫2 2(q + 1) 2 + 5 dq (q + 1) 2 1 ∫= 2 + (q 5 )dq + 1) 2 (2 1∫2 2q 2 + 4q + 7 ⎢⎣⎡2q 5 ⎤ 2 + 1⎥⎦11 q 2 + 2q + 1 dq = − :‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ q = (2 2 − 5 ) − (2 − 5) 2 +1 2 = 11 − 3 2 2∫ ∫α +2 3x α +2 3x − 3α + 3α /8 dx = dxα +1 ( x − α)4 (x −α)4 α +1 ∫= α +2 3(x − α ) + 3α dx α +1 ( x − α ) 4 ∫= α +2 ⎝⎜⎜⎛ ( 3 ) 4 + 3α ⎠⎞⎟⎟dx α +1 −α (x −α)4 x = ⎡ 31 − α . ( 1 ) 3 ⎤ α +2 ⎢⎣− 2 × (x −α)2 −α ⎥⎦ α +1 x 4α + 9 = 8

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:2‬‬ ‫‪4‬‬‫‪/1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ƒ(x)dx‬ﻭ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻪ‪∫:‬‬ ‫‪3‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪]0,5 ;+‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻤﻀﻤﻭﻥ‪.‬‬‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪∫ (2x − 5 +‬‬ ‫‪−‬‬‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫‪∫ (2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 1)3‬‬ ‫‪3‬‬‫=‬ ‫⎡‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎤4‬‬ ‫⎢‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(2x − 1)2‬‬ ‫⎥‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦3‬‬ ‫‪2468‬‬ ‫=‬ ‫‪1225‬‬‫‪-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ƒ(x)≥ 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [3 ;4‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫‪ ƒ(x)dx‬ﻫﻭ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ ) (σƒ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪∫( ƒ‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪ y=0‬ﻭ ‪ x=3‬ﻭ‪.x=4‬‬ ‫‪3‬‬‫‪/2‬ﻫل ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ƒ(x)dx ≤ 0‬ﻴﻤﺜل ﻤﺴﺎﺤﺔ‪∫:‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ƒ(x)≤0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [1 ;3‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ) ƒ(x)dx ≤ 0‬ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ(∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ƒ(x)dx ≤ 0‬ﻻ ﻴﻤﺜل ﻤﺴﺎﺤﺔ‪∫.‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:3‬‬ ‫‪/1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪:A1‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜⎛⎜ ∫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫⎞⎟‪+ 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0 ⎞⎟dx‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫⎝⎝‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎠‬ ‫⎠‬ ‫=‬ ‫‪⎡1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎣⎢12‬‬ ‫⎤‬ ‫‪x⎥⎦1‬‬‫⎞⎟ ‪⎛⎜ 3 = i‬‬ ‫‪25 × 2 × 3‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺴﻡ‪ 2‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ‪:‬‬‫⎟ ‪⎜2‬‬ ‫‪62‬‬‫⎜‬ ‫⎟‬‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪j‬‬ ‫⎠‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺃﻱ‪. 2 :‬‬ ‫‪ /2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪:A2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪∫A2 = (−(2x2 + x))dx :‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ /3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪:A3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪∫A3 = (x2 − (−1))dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= ∫ (x2 + 1)dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:4‬‬‫ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (σƒ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪ x=1,5‬ﻭ‪ x=2‬ﻭ‪. y=0‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺘﻜﻥ‪ A‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ) ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ ‪.( µa‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ ]1 ;+‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [1,5 ;2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪A = ∫ (−ƒ(x))dx‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪∫2‬‬ ‫‪1 )dx‬‬ ‫‪= (−2x + 5 −‬‬ ‫‪1,5 x − 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1 )dx‬‬‫× ‪= ∫ (−2x + 5 − 2‬‬‫‪1,5 2 x − 1‬‬‫= ‪[ ]A‬‬‫‪− x2 + 5x − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x − 1 1,5‬‬‫)‪= (6 − 2 3) − ( 21 − 2 2‬‬ ‫‪4‬‬‫)‪= 3 − 2( 3 − 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫‪/1‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:ƒ′‬‬‫ﻨﺤﺴﺏ )‪ g(δ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻨﺤﻨﺎﻫﺎ )‪ (δ‬ﻭ ﻨﺴﻤﻲ )‪ g(c‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻨﺤﻨﺎﻫﺎ)‪.(C‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ g(c‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ ]-1 ;+‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ)‪ g(δ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪.]-1 ;+‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﺒﺩﻭ ﺃﻥ)‪ g(c‬ﻫﻲ‪ ƒ′‬ﻭ)‪ g(δ‬ﻫﻲ‪. ƒ‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ g(c):‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ [0 ;+‬ﻭ ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻡ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪.[0 ;+‬‬‫ﻓﺈﻨﻪ‪:‬ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ)‪ g(c‬ﻫﻲ ‪.ƒ‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺭﺡ ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪ (C):‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ′‬ﻭ)‪(δ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪.ƒ‬‬‫‪ /2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻭﻀﻴﺤﻬﺎ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ )‪ ، (ua‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ A‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫‪A = ∫ ƒ′(x)dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫(‪[ƒ‬‬ ‫)‪]x‬‬‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪= ƒ(1) − ƒ(0‬‬ ‫)‪= 3 − (−2‬‬ ‫‪=5‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:6‬‬ ‫‪/1‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻜﺎﻤل ﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪.[-1 ;2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫A = ƒ(x)dx‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪∫ ƒ(x)dx‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪x≥1‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻤﻥ)‪(σƒ‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ)‪M(x ;y‬‬ ‫‪-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁ)‪ M(x ;y‬ﻤﻥ)‪ (σƒ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x≤1‬ﺘﺤﻘﻕ ‪y = x2 + 1 :‬‬‫‪-‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪xlx2+1‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-1 ;1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻤﻀﻤﻭﻥ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪∫ ƒ(x)dx = ∫ (x2 + 1)dx‬‬ ‫‪−1 −1‬‬ ‫‪= [13 x3 + x]1−1‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪.E،D،C،B،A:‬‬ ‫‪∫A‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‪−1‬‬ ‫‪3x + 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪/1‬‬ ‫⎝‪−2‬‬ ‫‪5x2 + x +‬‬ ‫⎠‬‫ﻴﻜﻭﻥ‪.3x+10≥0‬‬ ‫‪[−‬‬ ‫‪10‬‬ ‫[∞‪;+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ℜ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪. 5x2+x+3≥0:‬‬ ‫‪3x + 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≥‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‪0 :‬‬ ‫‪[-2‬‬ ‫]‪;-1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬‫‪5x2 + x +‬‬ ‫→ ‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪. [-2 ;-1‬‬ ‫‪3x + 10‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪5x2 + x + 3‬‬

‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‪ A‬ﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫B = x2 + 3 /2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‪ ℜ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x2 + 3 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ]‪ [1 ;2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪x2 + 3 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x → x2 + 3‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[1 ;2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪∫ x2 + 3 ≥ 0 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪∫− x2 + 3 ≤ 0 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪) x2 + 3 ≤ 0 :‬ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ(∫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ B‬ﺴﺎﻟﺏ‪.‬‬ ‫‪∫C‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫⎜⎝⎛⎜‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 5x2‬‬ ‫‪⎞⎟⎟⎠dx‬‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3-5x2≥0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫⎡‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫⎤‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪⎢−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎥‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎡‬ ‫‪2;−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎤‬ ‫∪‬ ‫⎡‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥⎤‪;1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪⎢−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫‪5‬‬ ‫⎦‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎣‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪3-5x2≤0‬‬ ‫‪ -‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ [-2 ;1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪4x2+1>0 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪3 − 5x2‬‬ ‫≥‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫⎡‬ ‫;‪3‬‬ ‫⎤‪3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫‪4x2 +1‬‬ ‫‪⎢−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎥‬ ‫⎣‬ ‫‪5‬‬ ‫⎦‬ ‫‪3 − 5x2‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫⎡‬ ‫‪2;−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎤‬ ‫∪‬ ‫⎡‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥⎤‪;1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﻭ‬‫‪. 4x2 +1‬‬ ‫‪⎢−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫‪5‬‬ ‫⎦‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎣‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪3 − 5x2‬‬ ‫ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ C‬ﺍﻨﻁﻠﻘﺎ ﻤﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪. 4x2 +1‬‬ ‫‪∫D‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜ ‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪3x2 + 5‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪/4‬‬ ‫⎜⎝‪1,5‬‬ ‫‪− 5x + 4‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ D‬ﺴﺎﻟﺏ‪.‬‬ ‫‪∫E‬‬‫=‬ ‫⎝⎜⎛⎜‪−21‬‬ ‫‪3x2 − 2x − 8‬‬ ‫⎟⎠⎞⎟‬ ‫‪/5‬‬ ‫‪x2 + x + 7‬‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ E‬ﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬ ‫‪/1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:ƒ‬‬‫ﺒﺎﺘﺒﺎﻉ ﻤﺭﺍﺤل )ﺨﻁﻭﺍﺕ( ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ƒ‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪[-1‬‬ ‫]‪;2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻨﻪ‬ ‫‪/2‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫=‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫]‪;3‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤ]ﺘ)ﺯ‪0‬ﺍﻴ(ﺩ‪ƒ‬ﺓ ; )‪ƒ([-1 ;0])=[ ƒ(-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ]]‪03‬ﻋ;ﻠ;ﻰ‪ 132‬ﺍ‪[-‬ﻟ[ﻤ=ﺠﺎل‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻷﻥ ‪ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎ]ﻗ)‪0‬ﺼ(ﺔ‪ƒ([0 ;2])=[ ƒ(2) ; ƒ‬‬ ‫=‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫]‪;3‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ]]ﻋ‪32‬ﻠ;;ﻰ‪230‬ﺍ[ﻟ[ﻤﺠﺎ=ل‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻨﺠﺩ ﺃﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫‪ƒ(x) ≤ 3‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫]‪[-1 ;2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪∫2‬‬ ‫⎛⎝⎜⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎟⎞⎠⎟dx‬‬ ‫‪/3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺤﺼﺭ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪−1‬‬

‫→ ‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫]‪.[-1 ;2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[-1 ;2‬‬ ‫) ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺅﺍل(‬ ‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫‪ƒ(x) ≤ 3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪5‬‬ ‫)ﻷﻥ‪(x2≥ 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫‪x2 ƒ(x) ≤ 3x2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫≤‬ ‫‪3x2‬‬ ‫≤‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫≤‬ ‫‪x2‬‬ ‫≤‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫‪∫ ∫ ∫2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 dx‬‬ ‫≤‬ ‫⎛⎝⎜⎜‪−21‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞⎟⎟⎠dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x 2 dx‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪∫⎡ 1‬‬‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫⎜⎛⎝⎜‪−21‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪⎟⎠⎞⎟dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪⎡1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪⎣⎢ 3‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪−1‬‬‫‪⎣⎢15‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫3‬‬ ‫≤‬ ‫⎜⎛⎝⎜‪−21‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞⎠⎟⎟dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∫.‬‬ ‫⎜⎜⎝⎛‪−21‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞⎠⎟⎟dx‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺍﺴﺘﻨﺘﺠﻨﺎ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل‬ ‫‪2+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ƒ(x) = (3x + 4)5 /1‬ﻭ ]‪.I=[-1 ;1‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ ‪ M‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪: [-1 ;1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 4)5dx‬‬ ‫)‪1 − (−1‬‬‫=‬‫‪∫M‬‬ ‫‪(3x‬‬ ‫‪−1‬‬‫=∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫×‬ ‫‪3(3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4)5dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1 3‬‬

‫=∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4)5dx‬‬ ‫)ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3(3x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎡ (3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4)5‬‬ ‫‪⎤1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫‪⎦ −1‬‬ ‫⎣‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(117648‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪= 3268‬‬ ‫‪.‬‬ ‫]‪I=[-2 ;0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪+ 3)4‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ M‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪0 − (−2‬‬ ‫‪+‬‬‫‪∫M‬‬ ‫=‬ ‫‪−2 (x2‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬‫=∫‬‫‪1‬‬ ‫‪01‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2 2‬‬ ‫)‪+ 3‬‬ ‫=∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫)‪+ 3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎡⎢−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪(x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3) 3‬‬ ‫‪⎤0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎣‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎥‬ ‫‪⎦ −2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪4‬‬ ‫⎝‬ ‫‪34‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪73‬‬ ‫⎠‬ ‫=‬ ‫‪− 334‬‬ ‫‪37044‬‬ ‫=‬ ‫‪− 167‬‬ ‫‪18522‬‬ ‫= )‪ ƒ(x‬ﻭ ]‪. I=[0 ;5‬‬ ‫‪6x +1‬‬ ‫‪3x2 + x + 1 /3‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ M‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ƒ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ƒ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫‪∫1 5‬‬ ‫‪6x + 1 dx‬‬ ‫‪3x2 + x +1‬‬‫‪M = 5−0 0‬‬ ‫=∫‬‫‪1‬‬‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6x +1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3x2 + x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=] [‬‫‪2‬‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫)‪− 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫‪ ƒ‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪ƒ(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6 − 5x‬‬ ‫‪− x)3‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ )‪ (Cf‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ‪:‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ]‪[0 ;1‬‬ ‫= )‪ƒ′(x‬‬ ‫)‪(2 − x)2(2 − 2x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(2 − x)6‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪(2 − x)2 > 0‬‬ ‫‪(2 − x)6 > 0‬‬ ‫‪(2 − 2x) ≥ 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪f ′(x)≥ 0‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋل ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ [0 ;1‬ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(0)=0‬ﻭ ‪f(1)=1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ (Cf‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ‪.‬‬ ‫* ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ )‪ (Cg‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ‪:‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[0 ;1‬‬

‫‪1.‬‬ ‫‪6 − 5x + x. 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫= )‪g′(x‬‬ ‫‪6 −5x‬‬ ‫‪6 −5x‬‬ ‫=‬ ‫‪2(6‬‬ ‫‪− 5x) + 5x‬‬ ‫‪2(6 −‬‬ ‫‪5x) 6 − 5x‬‬ ‫=‬ ‫‪2(6‬‬ ‫‪12 −‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫)‪− 5x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ )‪ (12-5x>0‬ﻭ )‪(6-5x>0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪g′(x)>0‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g(0)=0‬ﻭ ‪g(1)=1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ (Cg‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ‪.‬‬ ‫‪/2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﻜل ﻤﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬‫‪y‬‬‫‪1‬‬ ‫) ‪( Cf‬‬‫‪→j‬‬ ‫) ‪( Cg‬‬‫‪-2 -1 0 →i 1‬‬ ‫‪2x‬‬‫‪-1‬‬

‫‪/3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ u′‬ﻭ ‪v′‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﻭ ﻜﺫﺍ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. v‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪، [0 ;1‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫=‬ ‫)‪x(2 − x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪u ′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪1.(2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x)2 +‬‬ ‫‪(x − 1)(2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x).2‬‬ ‫‪(2 − x)4‬‬ ‫‪(2 − x)3‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪− x)4‬‬ ‫)‪v′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪⎢⎣⎡5‬‬ ‫⎛⎜)‪6 − 5x + (12 + 5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫⎦⎥⎤⎟⎠⎞‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪⎝2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪⎡10(6‬‬ ‫)‪− 5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25x‬‬ ‫⎤‬ ‫‪75‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪26‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪− 2 − 75x‬‬ ‫×=‬ ‫‪75 2 6 − 5x‬‬ ‫)‪= x = g(x‬‬ ‫‪6 − 5x‬‬ ‫‪ (Cf)/4‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﺠﻭﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ ‪. A‬‬ ‫ﻭ )‪ (Cg‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﺠﻭﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ ‪.B‬‬‫ﺃ( ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻠﻌﻤﺎل ﺫﻭﻱ ﺍﻟﺭﻭﺍﺘﺏ ﺍﻷﻀﻌﻑ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻴﺸﻜل ‪ %60‬ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺨﻔﺽ ﻟﻠﺭﻭﺍﺘﺏ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ‪ A‬ﻭ ‪. B‬‬ ‫* )‪ f(x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻟـ ‪ 100x%‬ﻭ ]‪x∈[0 ;1‬‬ ‫‪100×0,6%‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪100 × 60 %‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪60%‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x=0,6 :‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(0,6‬‬ ‫=‬ ‫‪0,6‬‬ ‫=‬ ‫‪0,6‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪(1,4) 3‬‬ ‫‪2,744‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻟـ)‪ f(0,6‬ﻫﻲ ‪. 0,219‬‬ ‫‪21,9‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻫﻲ ‪ ) 100‬ﻤﻘﺭﺒﺔ(‪.‬‬ ‫* ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻟـ )‪ g(0,6‬ﻫﻲ ‪. 0,347‬‬

‫‪34,7‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻫﻲ ‪) 100‬ﻤﻘﺭﺒﺔ(‬ ‫ﺏ( ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻤﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒـ )‪(Cf‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ γ1‬ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪γ1=1-2A1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ A1‬ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (D1‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(Cf‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪.x=1،x=0 ،y=0 :‬‬‫‪γ1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x)dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∫ ×‪=1− 2‬‬ ‫∫ ×‪=1− 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪γ1 = 1− 2 × ∫ u′(x)dx = 1− 2[u(x)]10 :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪γ1‬‬ ‫=‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2(0 −‬‬ ‫)‪− 1‬‬ ‫‪=1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﺒﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒـ)‪(Cg‬‬‫* ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﻤل ﺠﻴﻨﻲ ﻤﻊ ‪ 1‬ﻫل ﻫﻭ ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻨﻪ ﺃﻭ ﻫﻭ ﻀﻌﻴﻑ ﺠﺩﺍ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:11‬‬ ‫‪/1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‪:‬‬ ‫*ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‪:‬‬ ‫ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻁﻠﺏ‪.‬‬ ‫‪θ (x) = dx‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪0≤ x≤4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= (x +1)2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪(x +1)2‬‬ ‫‪0≤ x≤4‬‬ ‫‪(x +1)4 = 8‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪0≤ x≤4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ ) x = 4 8 −1‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺒﺎﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ‪(0,68‬‬

‫*ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ‪:‬‬‫ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ) ﺃﻱ ﻤﻥ ﺃﺠل‪( x = 4 8 −1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻫﻭ ‪( )θ 4 8 −1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪( ) ( )θ 4 8 −1 = 4 8 2 = 24 4 :‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺒﺎﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﻫﻲ ‪2,83 :‬‬‫‪/2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ﻭ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ ‪:‬‬ ‫*ﺤﺴﺎﺏ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ Sd‬ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Sd = ∫ (d (x) − p)dx‬‬ ‫‪0‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ q :‬ﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ)ﺃﻱ ‪( q = 4 8 −1‬‬ ‫ﻭ ‪ p‬ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ) ﺃﻱ ‪( p = 24 4‬‬‫‪Sd‬‬ ‫=‬ ‫‪q‬‬ ‫⎝⎛⎜⎜‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 24‬‬ ‫‪4 ⎞⎠⎟⎟dx‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫∫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= ⎣⎡⎢−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫⎤‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪4.x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪( )= − 8 − 24 4 4 8 −1 + 8‬‬ ‫‪48‬‬ ‫=) (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪84 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( )( )= 4 8 −1 4 83 − 4 82‬‬ ‫‪( )= 4 82 4 8 −1 2‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟـ‪ Sd‬ﻫﻲ ‪1,32‬‬

‫*ﺤﺴﺎﺏ ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ Sθ‬ﻓﺎﺌﺽ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Sθ = ∫ ( p −θ (x))dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪= ∫ (24 4 − (x +1)2 )dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= ⎡⎣⎢24‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)3‬‬ ‫‪0‬‬‫‪( )Sθ‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪1‬‬‫‪=4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8 −1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬‫=) (‬‫‪1‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪1‬‬‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪8 −3− 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 482‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=) (‬ ‫‪+‬‬ ‫‪24 8 − 3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟـ ‪ Sθ‬ﻫﻲ ‪.0,68‬‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪.‬‬ ‫ﺘﺩﺨل ﻓﻲ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻭ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺘﺘﻀﻤﻥ ﻟﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﺎﺕ‪.‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺃﻭ ﺤﻭﺍﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻴﺩﺨل‪ ‬ﻓﻴﻬﺎ‪ ln x ‬ﻭ ‪. xn  ‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﻭﺍل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪. lnou ‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‪logx،  e ، lnx:  ‬‬‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ ‪ lim ln x  = 0 ‬ﻭ ‪lim  x ln x = 0 ‬‬‫‪x®0  +‬‬ ‫‪x ® +¥ x ‬‬

‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﻨﺸﺎﻁﺎﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺎﻥ‬ ‫‪ - 1 ‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴ ‪ ‬ﺯ‪.‬‬ ‫‪ - 2 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ‪ ‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴ ‪ ‬ﺏ‪.‬‬ ‫‪ - 3 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪xgln[u(x)]. ‬‬‫‪ - 4 ‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ ﻟﻬﺎ‪. ‬‬ ‫‪ - 5 ‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‪.e   ‬‬ ‫‪ - 6 ‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻤﺭﺠﻌﻴ ‪ ‬ﺔ‪.‬‬ ‫‪ - 7 ‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨ ‪ ‬ﻲ‪.‬‬ ‫‪ - 8 ‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل \"ﻗﻭﻯ‪.\" ‬‬ ‫‪ -9 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭ ‪ ‬ﻱ‪.‬‬ ‫‪ - 10 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ‪a ‬‬ ‫‪ - 11 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ‪.a   ‬‬ ‫‪ - 12 ‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‪ ‬ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ‬ ‫‪ - 13 ‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻨﺸﺎﻁﺎﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺎﻥ‬‫‪ ‬ﺍﻟﺭﻤﺯ‪ ) ln ‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻟﻤﺴﺎﺕ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺃﻭ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ( ﻫﻭ ﺭﻤﺯ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ(‪.‬‬‫‪100000  100  1  0,007  0,0001 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺘﻭﺠﺩ ﻟﻪ ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫‪ ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ln ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ : 1 ‬ﺘﺨﻤﻴﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻟﻭ ﻭ ﺨﻭﺍﺹ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫*ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫‪ -1-   ‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‪ ln ‬ﻤﻥ ﺤﺎﺴﺒﺘﻙ ﻹﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺒﻭﻀﻊ ﻨﻌﻡ ﺃﻭ ﻻ ﻓﻲ ﻜل ﺨﺎﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻜل ﺴﻁﺭﻩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺒﺩﻭ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬؟‬ ‫‪ -2-   ‬ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪،‬‬ ‫‪ -‬ﺃ‪ -‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ )‪ ‬ﺴﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ‪( 10­ 3 ‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪0,05 ‬‬ ‫‪0,25 ‬‬ ‫‪1,75 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪7 ‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪0,2 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪2,5 ‬‬‫‪Ln(a× b) ‬‬ ‫‪Ln(a)+ln(b) ‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪2  100 ‬‬ ‫‪40 ‬‬ ‫‪900 ‬‬ ‫‪121,5 ‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪3  3,7 ‬‬ ‫‪0,025 ‬‬ ‫‪13,71 ‬‬ ‫‪1 ‬‬‫‪Ln(a× b) ‬‬ ‫‪900 ‬‬ ‫)‪Ln(a)+ln(b‬‬

‫‪A ‬‬ ‫‪2  100 ‬‬ ‫‪40 ‬‬ ‫‪900 ‬‬ ‫‪121,5 ‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪3  3,7 ‬‬ ‫‪0,025 ‬‬ ‫‪13,71 ‬‬ ‫‪1 ‬‬‫‪Ln(a× b) ‬‬ ‫‪900 ‬‬‫‪Ln(a)+ln(b) ‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺒﺩﻭ ﻟﻙ؟‬ ‫‪ ‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ln(1) ‬؟‬‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﻤﺎ ﺒﺩﻯ ﻟﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺎ‪ ،‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ‪a   ‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ ،‬ﻜﻴﻔﻲ‪:‬‬ ‫· ‪ ‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ‪ ln(a4 )  ، l n(a3  ) ، ln(a 2)   ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ‪.ln(a) ‬‬ ‫· ‪ ‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪ a ´ æç 1 ÷ö = 1 ‬ﻹﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ ln æç 1 ÷ö‬ﺒﺩﻻ‪ ‬ﻟﺔ‪ln(a) ‬‬ ‫‪è a ø è a ø‬‬ ‫‪( ) 2 ‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪  a = a ‬ﻹﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ ln(  a ) ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ‪. ln(a) ‬‬‫· ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪  ln æç a ÷ö‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪  ln(a) ‬ﻭ ‪  ln(b) ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  a ‬ﻭ ‪ b ‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ‬ ‫‪è b ø‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪-1-   ‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻴﻜﻤل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪0  ­0,001  ­0,5  ­1  ­100 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬‫ﻻ‬ ‫ﻻﻻ ﻻ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﺘﻭﺠﺩ ﻟﻪ ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫‪ ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ln ‬‬

‫‪A  2 ‬‬ ‫‪100 ‬‬ ‫‪40 ‬‬ ‫‪900 ‬‬ ‫‪121,5 ‬‬‫‪B  3 ‬‬ ‫‪3,7 ‬‬ ‫‪0,025 ‬‬ ‫‪13,71 ‬‬ ‫‪1 ‬‬‫‪Ln(a× b) ‬‬ ‫‪0,896 ‬‬ ‫‪5,914 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪900 ‬‬ ‫‪7,418 ‬‬ ‫‪0,896 ‬‬ ‫‪5,914 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪7,418 ‬‬‫‪Ln(a)+ln( ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪0 ‬‬‫‪100000  100 ‬‬ ‫‪1  0,007  0,0001 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻨﻌﻡ ﻨﻌﻡ‬ ‫ﺘﻭﺠﺩ ﻟﻪ ﻨﻌﻡ ﻨﻌﻡ ﻨﻌﻡ‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫‪ ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ln ‬‬ ‫‪ ‬ﻴﺒﺩﻭ ﻭ ﻜﺄﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻫﻲ ‪Â+*   ‬‬ ‫‪-2-   ‬‬ ‫‪-‬ﺃ ‪- ‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل‬‫‪A  0,05 ‬‬ ‫‪0,25  1,75  3  7 ‬‬ ‫‪3  2  5  2,5 ‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪0,2 ‬‬‫‪Ln(a× b) ‬‬ ‫‪­4,605 ‬‬ ‫‪­0,288  1,253  2,708  2,862 ‬‬‫‪Ln(a)+ln(b)  ­4,605 ‬‬ ‫‪­0,288  1,253  2,708  2,862 ‬‬ ‫ﻴﺒﺩﻭ ﻭ ﻜﺄﻨﻪ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪   a ‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩ‪ ‬ﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫)‪  ln 1 = ln æç900 ´ 1  ÷ö ln(a.b)=ln(a)+ln(b‬ﻤﻨﻪ‪(1) ....  ln(1)=0 ‬‬ ‫‪è 900 ø‬‬‫‪-‬ﺏ‪  -‬ﻨﻘﺒل ﺇﺫﻥ ﺃﻡ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻫﻲ ‪ Â+*   ‬ﻭ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪a   ‬ﻭ‪ b ‬ﻤﻥ‪Â+*   ‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‪ln(a´b)=ln(a)+ln(b) : ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ a ‬ﻋﻨﺼﺭ ﻜﻴﻔﻲ ﻤﻥ ‪.Â+*   ‬‬ ‫‪ a2  =a´a  · ‬ﻤﻨﻪ‪ ln(a2  )=ln(a´a) ‬ﻤﻨﻪ‪ln(a 2)  =ln(a)+ln(b) ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪( 2)  ...... ln(a2   )=2ln(a)  : ‬‬

.ln(a3 )  =ln(a2 )  +ln(a) ‫ﻤﻨﻪ‬l n(a3  )=ln(a2 ´a) ‫ﻤﻨﻪ‬  a3  =a 2´a ( 2ln(a) ‫ﺒـ‬ ln(a2 )   ‫ﻨﻌﻭﺽ‬ (1 ) ‫ )ﻤﻥ‬ln(a3 )  =2ln(a)+ln(a):  ‫ﻤﻨﻪ‬ (3 )............... ln(a3  )  =3ln(a)  ‫ﻤﻨﻪ‬  (4) ..... ln(a 4)  =4ln(a)  ‫ ﻨﺠﺩ‬، ‫ﻭ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬  é çèæ 1a  öø÷ùûú = ln(1 )   ‫ﻤﻨﻪ‬ a ´ æç 1 ö÷ = 1  ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  ·(a)..... lnëêa ´ è a øæ 1 ö æ 1 öln ç a ´  ÷ = ln( a ) + ln ç ÷ ‫ ﻭ‬ln(1)=0 ‫ﻭ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ‬ è a ø è a ø æ 1 öln( a ) + ln ç ÷ a:‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ) ( ﺘﺼﺒﺢ‬ è a ø æ 1 ö (5 )...... ln ç ÷ = - ln( a )  : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ èaø(b)..... ln((  a ) 2 ) = ln( a )  ‫ﻤﻨﻪ‬ (  a ) 2  = a  : ‫· ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬: ‫( ﺘﺼﺒﺢ‬b) ‫ ﻭ‬ln(  a ) 2  = 2 ln(  a )  ‫ﻭ‬  2 ln(  a ) = ln( a )  1  (6) ......  ln(  a ) = ln(a   )  : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 2  Â+*  ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍﻥ ﻤﻥ‬b ‫ﻭ‬ a ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬  · lnçæ a ÷ö = ln çæ a ´ 1 ÷ö è b ø è b ø = ln( a ) + ln çæ 1 ö÷ è b ø((5 ) ‫ = )ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ln( a) - ln( b )  ln çæ a ö÷ = ln( a ) - ln( b )  : ‫ﻤﻨﻪ‬ è b ø

‫‪ ‬ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ :2 ‬ﺘﺨﻤﻴﻨﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ln ‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫‪-  1-   ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪  (C ) ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ) ln ‬ﺭﺴﻡ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺒﺭﻤﺠﻴﺔ‪((sinequanon) ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪ ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. ( O ; i ; j ) ‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2  ( t ) ‬‬‫‪­4 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪( C ) ‬‬ ‫‪4  x ‬‬ ‫®‪j‬‬ ‫‪2  3 ‬‬ ‫‪0  ®i   1 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬ ‫‪ -‬ﺃ‪ -‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪،‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻨﻙ ﺃﻥ ﺘﺨﻤﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ‪:‬‬ ‫· ‪ ‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬؟‬ ‫‪  lim ln  · ‬ﻭ ‪ lim ln ‬؟‬ ‫‪0  +¥‬‬‫‪-‬ﺏ ‪- ‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪،‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  ln(x)=1 ‬ﺤﻴﺙ ‪ x ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪ Â‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻭ ﺃﻋﻁ‬ ‫ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺤل‪.‬‬ ‫‪-2-   ‬‬‫‪-‬ﺃ‪  -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪  a ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭ ﻜﺎﻥ ‪  I ‬ﻤﺠﺎﻻ ﺒﺤﻴﺙ ‪ aÎI ‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ¦ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ I ‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ‪lim çæ h ®  f ( a + h ) - f ( a ) ÷ö‬‬ ‫‪0  è h  ø‬‬ ‫)‪ ‬ﺃﻱ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ ( lim  f ( a + h ) - f ( a ) ‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ‪l.‬‬ ‫‪h®  0 h ‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ؟‪lf f‬‬‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻟﻘﺩ ﺃﻨﺠﺯﺕ ﺍﻟﺠﺩ‪ ‬ﺍﻭل ‪ (IV)، (  III)،  (II)  ، (I) ‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﻜل ﺠﺩﻭل‬ ‫‪ ‬ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ‪ ، 10­ 5 ‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﺒﺭﻤﺠ ‪ ‬ﺔ‪.‬‬

h  ­0,003  ­0,002  ­0,001  0  0,001  0,002  : I  ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ln0(,5  +  h)  -ln0(,  5)   2,0060  2,0040  2,0020  1,9980  1,9960  0,003  h  2  1  0  0  1  1,9940  2  h  ­0,003  ­0,002  ­0,001  : II ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل‬  0,50038  0,50025  0,50013  0 ln2( +  h )  -ln2()    h  h  0,001  0,002  0,003  0,49988  0,49975  0,49963 ln2( +  h)  -ln2()    h  h  ­0,003  ­0,002  ­0,001  : III ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل‬  0,10002  0,10001  0,10001  0 ln1( 0+  h  )  -ln1( 0)  h  h  0,001  0,002  0,003  0,09999 ln1( 0+  h)  -ln1( 0)  0,10000  0,09999  : IV  ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل‬  h  ­0,001  0  10,05034  h  ­0,003  ­0,002  10,153069  10,10135 ln0(,1 +  h)  -ln0(, 1 )  h 

‫‪h  0,001 ‬‬ ‫‪0,002 ‬‬ ‫‪0,003 ‬‬ ‫‪9,90131 ‬‬ ‫‪9,85293 ‬‬‫‪ln(0, 1   + h)  - ln(0  , 1 )   9,95033 ‬‬‫‪h ‬‬‫‪ ‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪  (I) ‬؟ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ (II) ‬؟ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ (III ) ‬؟ﻓﻴﻤﺎ‬ ‫‪ ‬ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪(IV) ‬؟‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻨﻙ ﺃﻥ ﺘﺨﻤﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﻴﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ؟‬ ‫ﻭ ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻤﺎﺸﻰ ﻤﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ؟‬ ‫*ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪-1-   ‬ﺃ‪ -‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺨﻤﻥ‪:‬‬ ‫· ‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.Â+*   ‬‬ ‫· ‪ lim ln = -¥‬ﻭ ‪. lim ln = +¥‬‬ ‫‪+ ¥ 0 ‬‬‫‪-‬ﺏ‪  -‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  ln(x)=1 ‬ﻫﻲ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪  (C ) ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪  (d) ‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫‪ y=1 ‬ﻭ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺭﻯ ﺃﻥ‪ (C) ‬ﻭ‪ (d) ‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺒﻴﻥ‪   2,75 ‬ﻭ‪.2,5‬‬‫ﻤﻨﻪ‪ :‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩ‪ ‬ﻟﺔ ‪ ln(x)=1 ‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻭﺃﻥ ‪ ‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪.]2,5 ;2,75[ ‬‬ ‫‪-2-   ‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ¦‪l‬‬ ‫‪ lim‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫‪æ‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫‪® ‬‬ ‫‪f  ( a  + h )  -‬‬ ‫‪f  ( a )  ö‬‬ ‫‪ -‬ﺃ ‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫‪ç‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫÷‬ ‫‪0  è‬‬ ‫‪ø‬‬‫‪ ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ a ‬ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ¦ ‪ ‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ a ‬ﻭﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ‪l l. ¦¢(a)= ‬‬ ‫‪-‬ﺏ ‪-‬‬ ‫· ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل‪:‬‬‫‪ ‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤ ‪ ‬ﻥ ‪(1) ...\"2 ‬‬ ‫‪ln(0, 5   +h)  -ln(0 , 5  )  ‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪\" :(I) ‬ﻜل ﻤﺎ ﺍﻗﺘﺭﺒﺕ ﻗﻴﻡ‪ h ‬ﻤﻥ‪ 0 ‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪h ‬‬‫‪ ‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤ ‪ ‬ﻥ‪(2 )...\" 0,5‬‬ ‫‪ln(2 + h)  - ln(2 )  ‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ \":(II) ‬ﻜل ﻤﺎ ﺍﻗﺘﺭﺒﺕ ﻗﻴﻡ‪ h ‬ﻤﻥ‪ 0 ‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪h ‬‬‫‪ ‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤ ‪ ‬ﻥ‪(3 )...\"0  ,1‬‬ ‫‪ln(10 + h)  - ln(1 0)  ‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪\":(III) ‬ﻜ‪ ‬ل ﻤﺎ ﺍﻗﺘﺭﺒﺕ ﻗﻴﻡ‪ h ‬ﻤﻥ‪ 0 ‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪h ‬‬‫‪ ‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ‪(4 )...\" 10 ‬‬ ‫‪ln(0, 1   +h)  -ln(0 ,1  )  ‬‬‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ \":(IV) ‬ﻜل ﻤﺎ ﺍﻗﺘﺭﺒﺕ ﻗﻴﻡ‪ h ‬ﻤﻥ‪ 0 ‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪h ‬‬

‫· ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻨﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﻤ ‪ ‬ﻥ‪ limçæh   ®l n0(, 5  +  h)  -ln0(, 5 )  ö÷=2 :(1  ) ‬ﻤﻨﻪ‪ ln ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪0,5 ‬‬ ‫‪0 è h  ø‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ‪(A)  ln¢(0,5)=2 ‬‬‫ﻤﻥ‪ ln: ( 2)  ‬ﻗ‪ ‬ﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪ 2 ‬ﻭ ‪(B)  ln¢(2)=0,5 ‬‬‫ﻤﻥ‪ ln :(3  )  ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪ 10 ‬ﻭ ‪(C)  ln¢(10)=0,1 ‬‬‫ﻤﻥ‪ ln :( 4)  ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪ 0,1 ‬ﻭ ‪(D)  ln¢(0,1)=10 ‬‬ ‫ﺘﺨﻤﻴﻥ ﺁﺨﺭ‪:‬‬ ‫‪1  1 ‬‬‫‪ ‬ﻤﻥ‪  ln ¢( 0,  5)  = : (A) ‬ﻭ ﻤﻥ‪ln ¢( 2 ) = : (B) ‬‬ ‫‪2  0, 5   ‬‬ ‫‪1  1 ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ‪  ln ¢(1  0)  = : (C) ‬ﻭ ﻤﻥ‪. ln ¢( 0, 1  )  = : (D) ‬‬ ‫‪0, 1    10 ‬‬‫ﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﻓﻲ ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ( ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﻋﻠﻴﻪ‪C‬‬‫‪ ‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  ln ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻭ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ ln¢‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬‫‪ ‬ﻋﻠﻰ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ln ¢( x ) = 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ‪  (t) ‬ﻫﻭ ﻤﻤﺎﺱ ‪  (C) ‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪    A(1 ;0) ‬ﻭ)‪  B(0 ;1‬ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪(t) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻫﻭ‪.1 ‬‬ ‫‪(-1)  - 0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻫﻭ‬ ‫‪0 - 1 ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻫﻭ ‪،‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪  ln ‬ﻋﻨﺩ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪  A ‬ﺇﺫﻥ ‪ ln¢(1)=1 ‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟ ‪ ‬ﻲ‪:‬‬‫‪ ln ¢(1  )  = 1 ‬ﻭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺘﺘﻤﺎﺸﻰ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪.‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ ‬ﺒﻌﺩ ﻜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻨﺭﻓﻊ ﺍﻟﺴﺘﺎﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪:‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ‪ ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤ ‪ ‬ﺔ‪ 1‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬‫) ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ‪ ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪]0 ;+¥[ ‬ﻤﻨﻪ ﻫﻲ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ‪ ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  ]0 ;+¥[ ‬ﻫﻨﺎﻙ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬‫‪  0 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻭ ﻭﺤﺩﺍﻨﻴﺘﻬﺎ ﻤﻀﻤﻭﻨﺎﻥ( ﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺴﻨﺘﻭﺴﻊ‬‫‪ ‬ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺘﻠﺘﺤﻕ ﺒـ ‪ \" :‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ\"‪.‬‬