دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﺤﺴﺎﺏ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺠﻭﻡ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a . I‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻥ ‪ I‬ﺤﻴﺙ ‪a < b :‬‬‫‪(O‬‬ ‫;‬ ‫‪r‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‬ ‫ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪(C‬‬ ‫‪).‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬‫) ‪ ( D‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪y=0 , x=b , x=a‬‬‫ﺇﻥ ﺤﺠﻡ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﺘﻭﻟﺩ ﻋﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ D‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻤﻘﺩﺭ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﺠﻭﻡ ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ) (‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎡⎣ f‬‬ ‫‪( x )⎦⎤ 2 d x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪V=∫π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪f ( x ) = x 2 :‬‬‫‪ . ( O‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ ( D‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ‬ ‫;‬ ‫‪r‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪(C‬‬ ‫)‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪) (C‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ ( cm‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﻫﺎ‪:‬‬ ‫‪y = 0 , x = 1, x = 0‬‬‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ ‪ V‬ﺍﻟﻤﺘﻭﻟﺩ ﻋﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ D‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫‪(C) y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ ‪: V‬‬ ‫‪12‬‬‫‪V = ∫ π ⎣⎡ f ( x )⎦⎤ d x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪( )∫ ∫1‬‬‫‪V=π‬‬ ‫‪x 2 2 d x = π 1 x 4dx‬‬ ‫‪00‬‬‫‪V=π‬‬ ‫⎡‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪⎤1‬‬ ‫⎢‬ ‫‪5‬‬ ‫⎥‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦0‬‬‫‪V=π‬‬ ‫‪⎡ (1 )5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎤ ‪(0 )5‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫⎡‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪5‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪cm‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎦⎥‬‫=‪V‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫=)‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪4x3 + 1‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪+‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ).‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ) ‪ ( D‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪. y = 0 , x = 1 , x = 0 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﻟﺩ ﻋﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ) ‪ ( D‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬‫‪0,5‬‬ ‫‪0 0,5 1 1,5 2 x‬‬

‫‪ -2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V = ∫ π ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ 2 d x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 dx = π 0 12‬‬ ‫‪1‬‬‫‪V =π‬‬ ‫‪∫ ( ) ∫ ( )0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪12 x 2‬‬ ‫‪2 dx‬‬ ‫‪4x3 + 1‬‬ ‫‪4x3 + 1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12x 2‬‬ ‫‪π ⎡ −1 ⎤1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4x 3 + 1‬‬ ‫‪1 2 ⎣⎢ 4 x 3 + 1 ⎦⎥ 0‬‬‫‪∫ ( )V‬‬‫=‬ ‫‪2 dx‬‬ ‫=‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫⎛⎡‬ ‫‪−1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−1‬‬ ‫⎤⎞‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪12‬‬ ‫⎜⎝ ⎣⎢‬ ‫‪5‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪1‬‬ ‫⎦⎥ ⎠⎟‬ ‫‪12‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪5‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( ):‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎜‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻵﺘﻲ ‪∫ f (x) dx :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ‪ y1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﻭﻨﺩﺨل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪ (3‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ‬ ‫‪ (4‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺜﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪7‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺼﺎﺩﻕ ﺒﺎﻟﺯﺭ‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻠﻴﻪ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﻡ ﻨﻀﻐﻁ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻭ ﻨﺼﺎﺩﻕ ﺒـ‬ ‫ﻓﺘﻅﻬﺭ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻫﻭ ﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل‬ ‫‪ (6‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 2‬ﻭ ﻨﺼﺎﺩﻕ ﺒـ‬ ‫ﻓﺘﻅﻬﺭ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻫﻭ ﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل‬‫‪2‬‬‫ﻓﻨﺠﺩ ‪∫ f ( x ) d x = − 0 , 4 7 6 1 7 7 2 :‬‬‫‪1‬‬

‫‪( )1‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ‪ : 2‬ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬‫‪ x 2 − 1 dx‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ‪∫sinequanon‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻜﺘﺏ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‬ ‫‪ (3‬ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻓﺘﻅﻬﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ (5‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺃﺩﻨﺎﻩ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪Intégrale = -1,33333‬‬‫‪-1 0‬‬ ‫‪-1‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻭ ﺨﻁﺄ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ‪:‬‬ ‫‪b‬‬‫‪ (1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ f x dx‬ﻴﻤﺜل ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ) ( ∫‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. a ; b‬‬‫‪∫⎡ − 1 ⎤ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪x2‬‬‫‪⎣⎢ x ⎦⎥ − 2‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬‫‪b bb‬‬‫‪∫ ⎣⎡α f ( x ) + β g ( x )⎤⎦dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx (3‬‬‫‪a aa‬‬‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺘﺤﻘﻕ ‪ f x > 1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [0 ; 1‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫ f (x )dx > 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪( )∫ ∫x 2 + 2 dx > x 2dx (5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪( )∫1 x 4 + x 2 + 1 d x > 0 (6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ f (7‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1 ; 4‬‬‫‪43‬‬ ‫‪4‬‬‫‪1 ∫ f ( x )d x = ∫ f ( x )d x + ∫ f ( x )d x‬‬‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪∫a − b ≤ sin xdx ≤ b − a (8‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪∫ x5dx = 0 (9‬‬ ‫‪−α‬‬

‫‪aa‬‬ ‫‪∫ ∫x4dx = 2 x4dx (10‬‬ ‫‪−a 0‬‬ ‫‪3π 2π‬‬ ‫‪∫ sin xdx = ∫ sin xdx (11‬‬ ‫‪π0‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪∫ xf (x )dx = x ∫ f (x )dx (12‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪x2 − 1 2 :‬‬ ‫=‪x‬‬‫‪( ) ( )f‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ f x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪( ):‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 1)2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [−∞ ; − 1‬‬‫‪. y=0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪ -4‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪∫ ( )f x dx‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ s‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪, x = −3, x = −2 :‬‬

( )∫3 2 3 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ( x + 1) dx : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ‬ x2 + 2x (2 11 ( )∫ 1 − 4 x + x 3 dx (1 −1 ∫2 1 (4 ∫0 1 (3 dx 1 3x + 2 −1 x + 2dx∫1 2 e 2 x + e x 1dx (6 π (5 e2x + ex + ∫2 c o s x−1 0 (1 + sin x )2 d x3 x+2 π ∫2∫ ( )−4 x 2 + 4 x + 10 2 dx (8 3 sin x cos x dx (7 −π 2 2 2 π 0 ∫(10 4 tan x (9 dx ∫ cos3 xdx − π cos x 4 −π 4 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ‬ ∫1 x 1d x (2 π x+ 0 ∫ ( 2 x − 3 )cos xdx (1 π 2 π ∫2 (4 2 (3 x 2 cos xdx 0 ∫ ln xdx 1

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪∫In = xn sin xdx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪. I1 , I0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪In+1‬‬ ‫;‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ ﺃﻭﺠﺩ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﺒﻴﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪. I3 , I2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪. f ( x ) = x :‬‬ ‫‪1 − x2‬‬‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪(O‬‬ ‫;‬ ‫‪r‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‬ ‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪ 2cm‬ﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪. 1cm‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪x = 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪g (x )= x3 − 1 , f (x )= x2 + 3‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻴﻴﻥ ) ‪ ( C f‬ﻭ ) ‪. ( C g‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ S‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻥ ‪( )C f‬‬ ‫ﻭ ) ‪ ( C g‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪x = 3 , x = 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= ) ‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪+ ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ (C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪( ).‬‬‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪ – 3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ s‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( )C f‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪y = 0 , x = 1 , x = e‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻤﺴﺎﺤﺔ ‪. s‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ –1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪ f x = 1 + cos x :‬ﻋﻠﻰ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; π‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ] [ ) (‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ ‪. ( cm‬‬ ‫‪ –2‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ) ‪ ( D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( )C f‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪y = 0 , x = π , x = 0 :‬‬ ‫‪ –3‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ D‬ﺤﺠﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ) (‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪f ( x ) = x 3 − x :‬‬‫‪ –1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ γ‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ) (‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬‫‪O‬‬‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ ‪( ). cm‬‬‫;‬‫‪i‬‬‫‪,‬‬‫‪j‬‬‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫‪ –2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪( )g ( x ) = a x 2 + b x + c 3 − x :‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [. −∞ ; 3‬‬ ‫‪ –3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ A‬ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( ) ( )γ‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪. y = 0 , x = 0 , x = 3 :‬‬ ‫‪ –4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺤﺠﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻭﻟﺩ ﻋﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ γ‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪ f ( x ) = ln x‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [. 0 ; +‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ –1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ (γ‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫‪ ( O‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ ‪. cm‬‬ ‫;‬ ‫‪r‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∫.‬‬ ‫‪4 ln x‬‬ ‫‪ –2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪ –3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪. [1; 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬ ‫=) ‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪( ).‬‬‫‪O‬‬‫;‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫) ‪ ( C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪ –1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ –2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ) ‪ ( C f‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫<‬ ‫‪α‬‬ ‫<‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ –3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ∆ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪( ) ( )0‬‬ ‫‪ –4‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ) (‬ ‫‪.‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ –5‬ﺃﻨﺸﺊ ∆ ﻭ ‪( ) ( ). C f‬‬ ‫‪ –6‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ) ‪ s (α‬ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬‫‪.y‬‬ ‫‪=4 ,x‬‬ ‫‪=α‬‬ ‫‪,y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪4x‬‬‫‪( ).‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ –7‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪Cm2 :‬‬‫‪s (α‬‬ ‫=)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−α 2 − 7α − 6 ln 3 + 20‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫‪ (1‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪:‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪[a ; b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪. ∫ f ( x )d x > 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ (2‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪:‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪0‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻟﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ] ‪. [− 2 ; 2‬‬ ‫‪ (3‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ‪:‬‬‫‪b bb‬‬‫‪∫ ⎡⎣ α f ( x ) + β g ( x )⎦⎤d x = ∫ α f ( x )d x + ∫ β g ( x )d x‬‬‫‪a aa‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪= α ∫ f ( x )d x + β ∫ g ( x )d x‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪ (4‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪ f ( x ) > 1‬ﺃﻱ ‪∫ f ( x ) dx > ∫ dx :‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪]1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪∫ f ( x ) dx >1 :‬‬ ‫∫‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x)dx‬‬ ‫>‬ ‫[‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪ (5‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪∫ ( ) ∫2 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x2 + 2 > x2‬‬ ‫‪x2 + 2 dx > x2dx‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ (6‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ‪:‬‬‫‪ x4 + x2 +1> 0‬ﻋﻠﻰ ‪ 0 ; 1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( ) [ ]∫1 x 4 + x 2 + 1 dx > 0 :‬‬‫‪0‬‬

‫‪ (7‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪34 4‬‬‫‪ ∫ f ( x )d x + ∫ f ( x )d x = ∫ f ( x )d x‬ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪.‬‬ ‫‪131‬‬ ‫‪ (8‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪b‬‬‫‪ −1 ≤ sin x ≤ 1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪−1(b − a ) ≤ ∫ sin xdx ≤ 1(b − a ) :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪∫a − b ≤ sin xdx ≤ b − a :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ (9‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x5‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪∫ x5dx = 0 :‬‬ ‫‪−α‬‬ ‫‪ (10‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x 4‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪αα‬‬ ‫‪∫ x 4dx = 2∫ x 4dx‬‬ ‫‪−α‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2π‬ﺩﻭﺭ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x a sin x‬‬ ‫‪ (11‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪3π π +2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪∫ sin xdx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx :‬‬ ‫‪π 0+π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (12‬ﺨﻁﺄ ﻷﻥ ‪ x :‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻭ ﻟﻴﺱ ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫‪ –1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ D f = x ∈ : x 2 − 1 ≠ 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪{ }D f = − {−1 ; 1} :‬‬‫[ ∞ ‪D f = ]− ∞ ; - 1 [ U ]− 1 ; 1 [ U ]1 ; +‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ –2‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ) ‪ f ( x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 1)2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪a ( x + 1 )2 + b ( x − 1 )2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪( x + 1 )2 ( x − 1 )2‬‬

x2 + 2x + 1 + b x2 − 2x + 1 2 ⎣⎡( x + 1 ) ( x − 1 )⎤⎦ 2 ( ) ( )f ( x ) = a f (x)= (a + b)x2 + (2a − 2b) x + a + b (x2 − 1) ⎧ a=b : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ⎧ a+b=1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ ⎪ ⎪ ⎨ 2a = 1 ⎨ 2 a − 2b = 0 ⎩⎪ a + b = 1 ⎪⎩ a + b = 1 11 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ⎧ a = 1 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ⎪⎪ 2 f (x )= 2 + 2 ⎨ (x (x 1 − 1 )2 − 1 )2 ⎪ b = 2 ⎪⎩ 11 f (x )= (x 2 + (x 2 : ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬-3 − 1 )2 + 1 )2 f (x ) = 1 × (x 1 + 1 × (x 1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 2 2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ − 1 )2 + 1 )2 g (x )= 1 × −1 + 1 × −1 +c 2 x −1 2 x +1 g (x )= 1 ⎡ −1 − x 1 ⎤ +c , c∈ 2 ⎢⎣ x − 1 + 1 ⎥⎦ −2 ∫ f ( x ) dx : ‫– ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‬4 −3 = ⎡ 1 × −1 − 1 × 1 ⎤ −2 ⎣⎢ 2 x −1 2 x + 1 ⎦⎥ − 3= ⎡ 1 × −1 − 1 × 1 ⎤ − ⎡ 1 × −1 − 1 1⎤ ⎢⎣ 2 −3 2 −2 + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 −3 − 1 2 − 3 + 1 ⎦⎥ = 1 + 1 − 1 − 1 = 4 + 12 − 3− 6 = 7 6 2 8 4 24 24

‫‪ – 5‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪f ( x ) > 0 :‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x2 − 1 2‬‬ ‫= ) ‪( )f ( x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪24 us‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪s = ∫ f ( x ) dx :‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪ :us‬ﺘﻌﻨﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )∫ 1 − 4 x + x 3 d x :‬‬ ‫‪−1‬‬‫=‬ ‫⎡‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪⎤1‬‬ ‫=‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎢‬ ‫‪4‬‬ ‫⎥‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪4‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎝⎜‬ ‫⎟⎠ ‪4‬‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦ −1‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪( ) ( )∫ ∫3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( x + 1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬‫‪1‬‬ ‫‪x2 + 2x‬‬ ‫=‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪x2 + 2x‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫=) (‬‫‪⎡1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3⎤3‬‬ ‫‪⎣⎢ 2‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 2 + 2x‬‬ ‫‪⎦⎥ 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(15 ) −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪(3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2dx‬‬ ‫=‬ ‫‪⎡⎣ ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤⎦‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪∫ ∫2 1‬‬ ‫‪22 3‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1 3x + 2dx = 3 1 2 3x + 2 dx‬‬ ‫=‬ ‫⎡‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪3‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2−2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

ππ ∫2 cos x ⎡ −1 ⎤ 2 1 1 = ⎣⎢ 1 + sin x ⎥⎦ 0 = − 2 +1= 2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬5 0 (1 + sin x )2 dx ∫ ( )2 2e 2x + ex 2 ex + − −1 2x + e 1d x = ⎣⎡ln e 2x + e x + 1 ⎦⎤ 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 ( ) ( )= l n e 4 + e 2 + 1 − l n e − 2 + c − 1 + 1 = ln e4 + e2 + 1 e −2 + e −1 + 1 π ∫ ∫π 3 sin x cos x dx = 3 2 2 sin x cos x dx : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬7 2 2 2 2 −π 2 2 −π 22 π = 3 2 sin xdx = 3 [ − c o s x ] 2 2 ∫ −π 2 = 3 [0 + 0]= 0 2 3 x+2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬8 ∫ ( )− 4 x 2 + 4 x + 1 0 2 d x −2 = ∫ ( ) ∫ ( )−4 x+2 3 x+2 x2 + 4 x + 10 x 2 + 4 x + 10 2dx 2dx + −2 −2 3 = ∫ ( ) ∫ ( )−4 −(x + 2) 2dx + x+2 x 2 + 4 x + 10 2dx x2 + 4 x + 10 −2 1 −2 13 2 −2 ∫ ( ) ∫ ( )= − 2 −4 2x + 4 2 dx + 2x + 4 x2 + 4 x + 10 x2 + 4 x + 10 2 dx= ⎡ −1 ⎛ x 2 + −1 + 10 ⎞ ⎤ −2 + ⎡1 × ⎛ x 2 + −1 + 10 ⎞⎤3 ⎣⎢ 2 ⎝⎜ 4x ⎠⎟ ⎦⎥ − 4 ⎣⎢ 2 ⎝⎜ 4x ⎠⎟ ⎦⎥ − 2 = ⎡ −1 × 1 − 1 × 1⎤ + ⎡1 × −1 + 1 × 1⎤ ⎣⎢ 2 6 2 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 31 2 6 ⎥⎦

= 1 − 1 − 1 + 1 = 1 − 1 − 1 12 20 62 12 6 20 62 = 310 − 93 − 60 = 157 1860 1860 ππ π ∫ ∫ ∫4tan xdx 4 sin x 4 − sin x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬9 cos x cos2 x dx = cos2 dx = − x − π − π − π 4 4 4 −1 ππ cos x ⎡1 = − ⎡ ⎤4 = ⎣⎢ co s x ⎤4 ⎢⎣ ⎦⎥ ⎥⎦ − π − π 4 4 = 1 − 1 = 1 − 1 =0 2 2 c o s π cos ⎛ − π ⎞ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2 2 00 ∫ ∫cos 3 xd x = cos x . cos 2 xd x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬10 −π −π 0 = ∫ cos x (1 − sin2 x)dx −π ( )∫= 0 c o s x − c o s x . s i n 2 x d x −π 1 π 1 2 3 3 3 = ⎡ s i n x − sin 3 x ⎤2 = ⎛ 1 − ⎞ − (0 − 0) = ⎢⎣ ⎦⎥ − π ⎝⎜ ⎟⎠ 4 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‬ π : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬1 ∫ (2 x − 3 )cos xdx π 2bb b∫ f ′(x )g (x )dx = ⎡⎣ f ( x ) . g ( x ) ⎦⎤ a − ∫ g′( x ) f ( x )dxaa g ( x ) = 2 x − 3 ‫ ﻭ‬f ′ ( x ) = co s x : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ g ′ (x ) = 2 ‫ ﻭ‬f ( x ) = sin x :‫ﻨﺠﺩ‬

ππ π ∫ (2x − 3)cos xdx = ⎡⎣( 2 x − 3 )sin x ⎤⎦ π − 2∫ sin xdx : ‫ﺇﺫﻥ‬ π 2π 22 = ⎣⎡ ( 2 x − 3 )sin x ⎤⎦ π − 2 [−cosx ]π π π 22 = ⎣⎡ ( 2 x − 3 )sin x + 2 cos x ⎤⎦ π π 2 = (−2 ) − (π − 3 ) = 1 − π ∫1 x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬2 dx 0 x +1bb b∫ f ′( x) g ( x)dx = ⎣⎡ f ( x ) . g ( x ) ⎦⎤ a − ∫ g′( x) f ( x)dxaa g (x ) = x ‫ ﻭ‬f ′(x ) = 1 : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ x+1 g ′ ( x ) = 1 ‫ ﻭ‬f ( x ) = 2 x + 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ ∫ ∫1 x 1d x = ⎣⎡ 2x x + 1 ⎦⎤ 1 − 1 2 x + 1d x x+ 0 0 0 11 = 2 2 − 2∫ ( x + 1)2dx 0 ⎡ 3 ⎤1 ⎢ ( + 1)2 ⎥ =2 2 − 2 ⎢ x ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎦0 ⎣ 2 =2 2 − ⎡4 (x + 1) x + 1 ⎤ 1 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0 =2 2 − 4 ⎣⎡ 2 2 + 2 ⎦⎤ = − 2 2 + 4 3 3 3 2 ∫ ln xdx : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬3 1bb b∫ f ′( x ) g ( x )dx = ⎣⎡ f ( x ) . g ( x ) ⎦⎤ a − ∫ g′( x ) f ( x )dxaa

g ( x ) = ln x ‫ ﻭ‬f ′ ( x ) = 1 : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ g ′ ( x ) = 1 ‫ ﻭ‬f ( x ) = x : ‫ﻨﺠﺩ‬ x 22 ]2 ∫ ln xdx = [x ln − ∫ 1d x x1 11 = [ x ln ]2 − [ x ]2 = [ x ln x − ]2 1 x1 x1 = ( 2 l n 2 − 2 ) − (1 l n 1 − 1 ) = 2 ln 2 − 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 π 2 ∫ x2 cos xdx 0bb b∫ f ′( x) g( x ) dx = ⎣⎡ f ( x ) . g ( x ) ⎦⎤ a − ∫ g′( x) f ( x)dxaa g ( x) = x2 ‫ ﻭ‬f ′( x) = cos x : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ g′( x) = 2x ‫ ﻭ‬f ( x) = sin x : ‫ﻨﺠﺩ‬ ππ 2 π2 ∫ ∫x2 ⎣⎡ x2 cos xdx = sin x ⎤⎦ 2 − 2 x sin xdx : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 0 00 π ∫= π2 − 2 x sindx 4 2 0 π 2 ∫: x sin xdx ‫ ﺤﺴﺎﺏ‬- 0 π 2b b ∫ f ′( x) g( x ) dx = ⎡⎣ f ( x).g( x) ⎦⎤ a − ∫ g′( x) f ( x) dx : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 0a g ( x ) = x ‫ ﻭ‬f ′( x) = sin x : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬

g′( x) = 1 ‫ ﻭ‬f ( x) = − cos x : ‫ﻨﺠﺩ‬ ππ 2 π2 [− x cos ]x ∫ ∫xsin = 2 + cos xdx xdx 0 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 00 0 + [sin ]x π =1 = 2 0 π ∫2 x 2 cos xdx = π2 − 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 4 0 5 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : I0 ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬1 π 2π ∫I 0 = sin [− cos ]2 1 xdx = x 0 = 0 π 2 ∫I 1 = x sin xd x : I1 ‫ ﺤﺴﺎﺏ‬- 0 bb b ∫ f ′( x) g ( x)dx = ⎡⎣ f ( x ) . g ( x ) ⎦⎤ a − ∫ g′( x) f ( x)dx : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ aa g ( x ) = x ‫ ﻭ‬f ′ ( x ) = sin x : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ g ′ ( x ) = 1 ‫ ﻭ‬f ( x ) = − c o s x : ‫ﻨﺠﺩ‬ ππ ∫ ∫2 π 2 [− ]2 : ‫ﺇﺫﻥ‬ x sin xdx = x cos x 0 + cos xdx = 1 00 I1 = 1 : ‫ﻭ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ‬ π 2 ∫In+1 = xn+1 sin xdx : In+1 ‫ ﻭ‬In ‫( ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﺒﻴﻥ‬2 0bb b∫ f ′(x )g (x )dx = ⎡⎣ f ( x ) . g ( x )⎤⎦ a − ∫ g′( x ) f (x )dxaa g (x ) = x n+1 ‫ ﻭ‬f ′ ( x ) = sin x : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬

g ′ ( x ) = ( n + 1 ) x n ‫ ﻭ‬f ( x ) = − c o s x : ‫ﻨﺠﺩ‬ ππ 2 π2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ∫ ∫x n + 1 s i n n+1 xdx = ⎡⎣ x cos x ⎦⎤ 2 − (n + 1) x n cos xdx 0 00 +1 π ⎛ ⎛ π ⎞ n π ⎞ 2 ⎜⎜⎝ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 2 ⎠⎟⎟ 0 cos 0 cos 0 (n 1) xn cos xdx ∫= − − + π 2 = − (n + 1 )∫ x n cos xdx 0 π 2 ∫ x n cos xdx : ‫ ﺤﺴﺎﺏ‬- 0 b f ′(x )g (x )dx = ⎣⎡ f ( x ) . g ( x ) ⎦⎤ b − b (x )dx : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ a ∫ ∫ g′(x) f aa g ( x ) = x n ‫ ﻭ‬f ′ ( x ) = co s x : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ g′ ( x ) = nx n−1 ‫ ﻭ‬f ( x ) = sin x : ‫ﻨﺠﺩ‬ ππ 2 π2 x n −1 sin xd x : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ sin ∫ ∫x n c o s x d x = ⎣⎡ x n x ⎤⎦ 2 − n 0 00 π ∫2 ⎛ π ⎞ n π ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 0 x n cos xdx = sin − 0− n .I n-1 : ‫ﺃﻱ‬ π ∫2 x n cos xdx = ⎛ π ⎞n − n I n-1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 0 I n+1 = − (n + 1 ) ⎡ ⎛ π ⎞n − ⎤ : ‫ﺇﺫﻥ‬ ⎢ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ n I n-1 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ I n+1 = − (n + 1 ) ⎛ π ⎞n + n (n + )1 I n -1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ : I3 ‫ ﻭ‬I2 ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬I2 = − 2 ⎛ π ⎞1 + 2I0 = −π + 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟

I3 = − 3 ⎛ π ⎞2 + 6I1 = − 3π 2 + 6 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 4 6 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ {D f = x ∈ : 1 − x 2 > 0 } : f ‫ – ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬1 x −∞ −1 1 +∞ 1− x2 -+ - D f = ]− 1 ; 1 [ : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ • lim f ( x ) = − ∞ lim f ( x ) = + ∞ > < x → −1 x→ 1 1× 1 − x2 − x × −2 x 1 − x2 1 − x2 f ′(x) = 1 − x2 + 2x f ′(x) = 1 − x2 ( )= 1 + x 2 1 − x2 1 − x2 1 − x2 ]− 1 ; 1[ ‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬f ′ ( x ) > 0 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ x −1 1 f ′(x ) + f (x) +∞ −∞

‫ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻ ﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪x = −1‬‬ ‫ﻭ ‪. x=1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 0,5‬‬ ‫‪ –2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪∫ ∫2 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬‫= ‪S = f (x )dx‬‬ ‫‪0 0 1 − x2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx = −‬‬ ‫‪∫ ∫1 2‬‬ ‫‪−2 x‬‬ ‫‪−2 x‬‬ ‫‪dx‬‬‫‪S =−2 0‬‬ ‫‪1 − x2‬‬ ‫‪0 2 1 − x2‬‬ ‫⎛‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞2‬‬ ‫⎞‬ ‫⎝⎜⎛‬ ‫⎟⎠⎞ ‪1 − ( 0 )2‬‬ ‫⎡‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎤2‬‬ ‫‪⎜−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎟‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫⎣‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎦0‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪−‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫⎛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞‬ ‫×‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫⎛‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫×‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫⎝⎜⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟⎟‬ ‫‪S = ⎜⎝⎜ −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟⎟‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( )S = 2 2 − 3 cm 2 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫‪ –1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ ( C f‬ﻭ ) ‪: ( C g‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1 2x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ –2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ ‪ ( C f ) :‬ﻭ ) ‪: ( C g‬‬ ‫‪g (x )− f (x )= x 3 − 1 − x 2 − 3 = x 3 − x 2 − 4‬‬ ‫) ‪= ( x − 2 )( x 2 + x + 2‬‬ ‫‪g(x)− f (x)= 0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ x − 2 = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 2 :‬ﻷﻥ ‪x2 + x + 2 > 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f ( x ) − g ( x ) > 0 :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x > 2 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ C f :‬ﺘﻘﻊ ﺘﺤﺕ ‪ C g‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل) ( ∞‪ 2; +‬ﻭ ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ ‪ C g‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل) ( [ ] ) (‬ ‫[‪]−∞;2‬‬ ‫‪ –3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 2;3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ C g :‬ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ ‪ C f‬ﻭﻤﻨﻪ ‪( ) ( ) [ ]:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S = ∫ ⎡⎣ g ( x ) − f ( x )⎦⎤d x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎡x4‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥‬‫=‬‫‪∫ ( )S‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫⎢‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫⎣‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎦2‬‬

S =⎢ ⎡ (3 )4 − (3 )3 − ⎤ − ⎡ 24 − 23 − 4 ( 2 )⎥⎤ ⎣⎢ ⎢ 4 3 4 3 4 (3 )⎥ ⎣ ⎦ ⎥⎦ S = 81 − 27 − 12 − 16 + 8 + 8 4 3 4 3 81 8 81 8 S = 4 − 9−4− 4+ 3 = 4 + 3 − 17 S = 243 + 32 − 204 = 71 ( u s ) 12 12 8 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : f ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-1 D f = { x ∈ : x > 0 ; 1 + lnx ≠ 0 } x = 1 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬l n x = − 1 : ‫ ﻤﻌﻨﺎﻩ‬1 + ln x = 0 e Df = ⎤ 0 ; 1⎡ U ⎤1 ; + ∞ ⎡ ⎦⎥ e ⎢⎣ ⎥⎦ e ⎣⎢( )lim f x = lim 1 = 0 > > 1 + ln x 0x→0 x→lim f (x) = lim 1 = −∞ <1 <1 1 + ln xx→ x→eelim f (x ) = lim 1 ln = +∞ >1 1> 1 + xx→ x→eelim f (x ) = lim 1 =0 x →+∞ 1 + ln xx →+∞ 1 − f ′(x) = x = −1 (1 + ln x )2 x (1 + ln x )2 ( )‫ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ‬f : ‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬f ′ x < 0 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ . ⎤ 0 ; 1⎡ ‫ ⎤ﻭ‬1 ; + ∞ ⎡ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ⎦⎥ e ⎣⎢ ⎦⎥ e ⎣⎢

‫‪x‬‬ ‫‪01‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪e‬‬‫) ‪f ′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫‪f (x) 0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪−‬‬‫‪ –2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ y = 0 , x = 1 : (C‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ –3‬ﺤﺼﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪: s‬‬‫<‪1‬‬ ‫‪x<e‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x )dx‬‬ ‫=‬ ‫‪∫e 1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∫‬ ‫‪1 1 + ln‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪ 0 < l n x < 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪1 < 1 + l n x < 2 :‬‬

‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x) < 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 + ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫≤)‪− 1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x )dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪1 (e‬‬ ‫)‪− 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫< )‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫<‬ ‫‪e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ (1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪D f = [0 ; π [ : f‬‬ ‫‪f (0 ) = 2 , f (π ) = 0‬‬‫‪ f ′ ( x ) = − sin x‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ sin x > 0 :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪] [0 ; +‬‬ ‫‪ x = π‬ﻓﺈﻥ ‪f ′( x) = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪f ′ ( x ) < 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x = 0 :‬ﺃﻭ‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪f ′(x) 0‬‬ ‫‪-0‬‬ ‫‪f (x) 2‬‬ ‫‪0‬‬

: ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ‬2 ππ S = ∫ f ( x )d x = ∫ (1 + c o s x )d x 00 S =[x + sin x ]π = π cm 2 0 : ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ‬3 π ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ 2 d xV=∫π0 ππ( )V = ∫ π (1 + c o s x )2 d x = π ∫ 1 + 2 c o s x + c o s 2 x d x00 ∫π ⎛ 1 + 2 cos x + 1 + cos 2 x ⎞ d x ⎜⎝ 2 ⎠⎟V= π 0 ∫π ⎛ 3 + 2 cos x + 1 co s 2 x ⎞ d x ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠V= π 0 V=π ⎡3 x + 2 sin x + 1 s in 2 x ⎤ ⎣⎢ 2 4 ⎥⎦ V = 3 π cm 3 2{: ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬D f = x ∈ : 3 − x ≥ 0} : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 10 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : f ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-1 D f = ]− ∞ ; 3 [ lim f ( x ) = lim x 3 − x = − ∞ x→ −∞ x→ −∞ lim f ( x ) = lim 3 − x = 0 < < x→3 x→3 f ′(x )= 3− x + x× 2 −1 3− x f ′(x) = 2(3 − x) − x = 6 − 3x 2 3− x 2 3− x x −∞ 2 3 -f ′(x) +

[2 ; 3 ] ‫] ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬− ∞ ]; 2 ‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ x −∞ 2 3f ′(x) 2 - + 0f (x ) −∞ : ‫ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒﺂﻟﺔ‬- ( )g ( x ) = a x 2 + b x + c 3 − x : c ‫ ﻭ‬b ‫ ﻭ‬a ‫– ﺘﻌﻴﻴﻥ‬2( )g ′ ( x ) = ( 2 a x + b ) 3 − x + a x 2 + b + x + c × −1 2 3− x g′( x ) = 2 (2ax + b )(3 − x ) − (ax 2 + bx + c ) 2 3− x g′( x ) = (4ax + 2b)(3 − x ) − ax2 − bx − c 2 3− x g′(x ) = 12ax − 4ax2 + 6b − 2bx − ax2 − bx − c 2 3− x

g′(x) = −5ax 2 + (12a − 3b ) x + 6b − c × 3− x 2(3 − x ) f g: ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻨﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬−5ax 2 + (12a − 3b ) x + 6b − c =x 6 − 2x −5ax 2 + (12a − 3b ) x + 6b − c = −2 x 2 + 6 x : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ⎧ a = 2 : ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ⎧ −5a = −2 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ⎪ − 3 5 ⎪ 3b = ⎪ 24 = 6 ⎨ 1 2 a − 6 ⎪ 5 b ⎨ ⎩⎪ 6 b − c = 0 ⎪ ⎪ c = 6b ⎩⎪ c = − 12 ‫؛‬ b = − 2 ‫؛‬ a= 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 5 5 5 g (x )= ⎛ 2 x2 − 2 x − 12 ⎞ 3 − x : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ⎜⎝ 5 5 5 ⎠⎟ : A ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ‬3 33 A = ∫ f (x )dx = ∫ x 3 − xdx 00 A = ⎡⎣ g (x ) ⎦⎤ 3 = g (3 ) − g (0 ) 0 ( )=2 2 5 32 − 3 − 6 3 − 3 − 3 (0 − 0 − 6) 3− 0A = 12 3 cm 2 5 ( )3 3 2 : ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ‬4 V = ∫ π f 2 ( x )dx = π ∫ dx x 3− x 00 33( )V = ∫ x 2 ( 3 − x ) d x = π ∫ − x 3 + 3 x 2 d x 00 3⎡ x4 ⎤ 3 ⎡⎛ −81 ⎞ ⎤ ⎢− 4 ⎥ ⎣⎢ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎥⎦∫V = π + x 3 =π + 27 − 0 0⎣ ⎦0 V = 27π cm 3 4

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪D f = ]0 ; + ∞ [ : f‬‬‫‪ lim f (x ) = 0‬ﻭ ∞ ‪lim f ( x ) = lim 1 ln x = −‬‬ ‫>‬ ‫>‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫‪x→ 0‬‬ ‫‪x→ 0‬‬ ‫= )‪f ′(x‬‬ ‫‪1 .x − lnx‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬‫‪ g ′ ( x ) = 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 1 − ln x = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ln x = 1 :‬ﺇﺫﻥ ‪x = e :‬‬ ‫‪0e‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪x‬‬‫‪1 − ln x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) ‪f ′(x‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ( e ) = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0e‬‬ ‫‪+-‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪−∞ e‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ‪ y = 0 ، x = 0 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺭﺒﻴﻥ ‪.‬‬

∫ ∫4 ln x = 4 1 (ln x )1 dx : ‫ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‬- dx 1 4 1x = ⎡ (ln x )2 ⎤ 4 = (ln 4 )2 − (ln 1 )2 = 2 (ln 2 )2 ⎢ ⎣⎢ 2 ⎥ 2 2 ⎦⎥ 1 : f ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬3α‫ ﻭﻤﻨﻪ‬α = ∫1 3 f ( x )d x ‫ﺃﻱ‬α = ∫1 4 f ( x )d x : ‫ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ 31 4−1 1 α = 1 × 2 (ln 2 )2 3 g (x )= 2 (ln 2 )2 : ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ g ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 3 12 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ D f = {x ∈ : x − 1 ≠ 0} : f ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-1 D f = ]− ∞ ; 1 [ U ]1 ; + ∞ [ : f lim f (x )= lim 1 x −1+ 1 ln x−1 4x → − ∞ 2 x → −∞ = lim 1 x −1+ 1 ln (− x + 1) 4 2 x → −∞ = lim (− x ⎡ 1 x − 1 ⎤ ⎢ x + 1 1 ln (− x + 1 )⎥ x → −∞ + 1 ) ⎢ 4 + 2 ⎥ = −∞ − −x +1 ⎥ ⎢ ⎣⎦lim f (x ) = lim 1 x −1+ 1 ln x −1 = −∞ < < 4 2x→ 1 x→ 1lim f (x ) = lim 1 x −1+ 1 ln x −1 = −∞ > > 4 2x→1 x → +∞lim f (x)= lim 1 x −1+ 1 ln x−1 = +∞ 4 2x→ +∞ x→ +∞f ′(x )= 1 + 1 1 = x −1+ 2 4 2× x −1 4(x − 1) f ′(x )= x+1 4 (x − 1)

‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪- 1 1 +‬‬ ‫‪- ++‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪- -+‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪+ -+‬‬ ‫) ‪f ′(x‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪] ]− ∞ ; − 1‬‬ ‫ﻭ ] ∞ ‪ ]1 ; +‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪]− 1 ; 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬‫) ‪f ′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪f (− 1‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪−∞ −∞ −‬‬ ‫‪f (− 1 ) − 0 , 9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(− 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1 ln (− x + 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪2 −x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫×‪−x −1‬‬ ‫) ‪ln (− x + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪−x +1‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x)−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫⎞‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪4‬‬ ‫⎟⎠‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪4x‬‬

‫ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪−‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫= ) ‪(x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ln (x − 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫×‪x −1‬‬ ‫) ‪ln (x − 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x −1‬‬‫‪lim‬‬ ‫⎡‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x)−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎤‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫⎞‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪4‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪+‬‬ ‫‪ – 2‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ) ‪ ( C f‬ﻴﻘﻁﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪:‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫⎡‬ ‫‪5‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫⎤‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪2‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫= ) ‪f (3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (3) 0,096‬‬ ‫‪f‬‬ ‫⎛‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪13‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2 ln 2‬‬ ‫‪:f‬‬ ‫⎛‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫⎛‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞‬ ‫‪− 0,17‬‬ ‫‪(3 ). f‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪⎤5‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ ‪ α‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪⎥⎦ 2‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪f (α ) = 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ C f‬ﻴﻘﻁﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪( ).‬‬ ‫‪ – 3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪y = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + f ( 0 ) :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= ) ‪′ (0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, f (0 )= -1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -4‬ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫‪(x)−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 ln‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x )−‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪−1 +‬‬ ‫‪2 ln‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x )−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−2 +‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ f ( x ) − y = 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ − 2 + ln x − 1 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ln x − 1 = 2 :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x − 1 = e2 :‬ﺇﺫﻥ‪ x − 1 = e 2 :‬ﺃﻭ ‪ x − 1 = − e 2‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ x = 1 + e2‬ﺃﻭ ‪x = 1 − e 2 :‬‬‫‪ f ( x ) − y < 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln x − 1 − 2 < 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ln x − 1 < 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬‫‪ x − 1 < e2 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ −e2 < x − 1 < e2 :‬ﺇﺫﻥ ‪1 − e2 < x < 1 + e2 :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ C f‬ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ ) ∆ ( ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ⎡⎣ ‪ ⎦⎤ 1 − e 2 ; 1 + e 2‬ﻭ ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻗﻪ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ) (‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ ⎤⎦ 1 + e 2 ; + ∞ ⎡⎣ :‬ﻭ ⎣⎡ ‪⎤⎦ − ∞ ; 1 − e 2‬‬ ‫‪ – 5‬ﺭﺴﻡ ) ∆ ( ﻭ ) ‪: ( C f‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬‫‪-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0‬‬ ‫‪2 4 6 8 10 12 14 x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬

: ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ‬6 S (α ) = 4 −f ( x )⎦⎤ d x ∫= 4 ⎛ 1 − 1 x − 1 ⎞⎠⎟d x α ⎜⎝ 2 ln ∫ ⎣⎡ y α S (α ) = 4 − ∫1 4 ln (x − 1 )d x ∫ 1d x 2α α S (α )= [ x ]4 − 1 4 ln ( x − 1)dx α 2 ∫ α = 4 − α − 1 4 ln ( x − 1)dx 2 ∫ α 4 ∫ ln ( x − 1 ) d x : ‫ﺍﻟﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‬ αb b b : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ a∫ f ′( x ) g ( x )d x = ⎣⎡ f ( x ).g ( x ) ⎤⎦ − ∫ g′(x ) f ( x )d xaa ( )g ( x ) = l n ( x − 1 ) ‫ ﻭ‬f ′ x = 1 : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ g′(x )= 1 ‫ﻭ‬ f (x )= x : ‫ﻨﺠﺩ‬ x −1 ∫ ∫4 4 4 x α α − ln ( x α − 1)dx = ⎣⎡ x ln ( x − 1 ) ⎤⎦ − x 1dx = 4 l n 3 − α l n (α − 1)− 4 x −1+1 x − 1 dx ∫ α = 4 ln 3 − α ln (α 4 1 x − 1 dx − 1)− ∫1 + α = 4 l n 3 − α l n (α − 1)− ⎡⎣ x + ln ( x − 1 ) ⎤⎦ 4 α = 4 l n 3 − α l n (α − 1 ) − ⎣⎡ 4 + l n 3 − α − l n (α − 1 )⎦⎤ : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ b ∫ ln ( x − 1 ) d x = 3 ln 3 − 4 − (α − 1 ) ln (α − 1 ) + α a : ‫ﺇﺫﻥ‬ S (α ) = 4−α − 1 ⎣⎡ 3 l n 3 − 4 − (α − 1 ) l n (α − 1 ) + α ⎤⎦ 2 S (α )= 6 − 3 α − 3 ln 3 + 1 (α − 1 ) ln (α − 1) us 2 2 2

( )S 1 : ‫ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬ (α )= 4 −α 2 − 7α − 6ln 3 + 20 1 α −1+ 1 ln (α − 1)= 0 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ f (α ) = 0 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 4 2 1 11 ln (α − 1)= 4−α :‫ﺃﻱ‬ 2 ln (α − 1)= 1− 4 α :‫ﺇﺫﻥ‬2 4 l n (α − 1)= 4−α : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 2 : ‫ ﻨﺠﺩ‬S (α ) ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ‬ S (α )= 6 − 3 α − 3 ln 3 + 1 (α − 1 )(4 − α ) 2 2 4 3 3 1 ( )S (α 2 2 4 )= 6− α − ln 3 + 4α − α 2 − 4 + α S (α ) = 1 (−α 2 − 7α − 6ln3 + 20) 4

‫ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤﺩ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪.‬‬‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﺴﺘﻭ ﻭﺒﻴﻥ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﻨﻘﻁ ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﺸﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ –1‬ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ) ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ(‪.‬‬ ‫‪ –2‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭ‪.‬‬ ‫‪ – 6‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ﺃﻭ ﻤﺴﺘﻭﻯ(‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬

‫ﺃﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬‫‪،‬‬ ‫‪A (1‬‬ ‫;‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ‬ ‫‪(O‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫)‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪;i,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫)‪D (α ; − 1 ) ، C (3 ; 1 ) ، B (2 ; − 2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. A B C‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ γ‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻘﻁﺭ ] ‪( ). [ A B‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ A B C D‬ﻤﺭﺒﻌﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( ). BC‬‬ ‫‪ -5‬ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ BC‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﺇﻟﻰ ‪( ). 10‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪2 ; 1) ،‬‬ ‫ﺍﻟ‪G‬ﻤ‪J‬ﺜﻠ‪JJ‬ﺙ‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫(‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪1; −2‬‬ ‫‪J J JG‬‬ ‫‪( )5‬‬ ‫= ‪AC‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪= 5‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪A B . A C = 1.( 2 ) + ( − 2 ) (1) = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ A‬ﻭ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ γ‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻘﻁﺭ ‪[ ] ( ): AB‬‬ ‫‪J J JG‬‬ ‫‪MB‬‬ ‫‪( ) ( )J J JG‬‬ ‫‪MA‬‬ ‫⊥‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪x; y‬‬ ‫‪JJGγ‬ﻫ‪J‬ﻲ ﻤ‪JG‬ﺠﻤ‪J‬ﻭ‪J‬ﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫ﺃﻱ ‪J J JG J J JG M A.M B = 0‬‬ ‫ﻟﻜﻥ‪M B ( 2 − x ; − 2 − y ) ، M A (1 − x ; − y ) :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪(1 − x ) ( 2 − x ) + ( − y ) ( − 2 − y ) = 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪2 − x − 2 x + x2 + 2 y + y2 = 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪x 2 − 3x + y 2 + 2y + 2 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(y‬‬ ‫‪+ 1 )2 − 1 + 2 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪+ (y‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4‬‬‫=‪R‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ABCD‬ﻤﺭﺒﻊ‪JJJG JJ:JG‬‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪=JJBJGD‬‬ ‫‪BD α −‬‬ ‫‪( )AC‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺭﺒﻌﺎ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪;1‬‬ ‫‪J J JJG‬‬ ‫)‪ AJJCJG ( 2JJ;1JG‬ﻭ‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ BD = AC‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ α − 2 = 2 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪α = 4‬‬ ‫‪ -4‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( ): BC‬‬ ‫‪J J JG‬‬ ‫;‬ ‫)‪3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪B C (1‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ‪ M x; y‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪( )JJJJG JJJG‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪ ( B C‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪BM // BC‬‬ ‫‪J J JJG‬‬ ‫‪−‬‬ ‫;‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻟﻜﻭﻥ‬ ‫‪BM (x‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪. 3( x − 2) − 1( y + 2) = 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ BC‬ﻫﻲ ‪( ). 3 x − y − 8 = 0‬‬ ‫‪ -5‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪: α‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ BC‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( ):‬‬‫= ‪DH‬‬ ‫‪3α + 1 − 8‬‬ ‫=‬ ‫‪3α − 7‬‬ ‫‪(3 )2 + (− 1 )2‬‬ ‫‪10‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪3 α − 7 = 1 0‬‬ ‫‪3α − 7‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ DH = 10‬ﻭﻤﻨﻪ ‪1 0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 3 α − 7 = 1 0‬ﺃﻭ ‪3α − 7 = −10‬‬ ‫‪α = −1‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪17‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪α= 3‬‬

‫ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ (‬ ‫‪GG‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل‪ G‬ﻜل ﺸ‪JG‬ﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ uG‬ﻭ ‪ vG‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴ‪G‬ﺘﻭﻱ‪. G‬‬ ‫‪ G G G G‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u ≠ 0‬ﻭ ‪ v ≠ 0‬ﻓﺈﻥ ‪u.v u . v cos u;v‬‬ ‫‪G G G G JG G‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u = 0‬ﺃﻭ ‪ v = 0‬ﻓﺈﻥ ‪G G u.v = 0 :‬‬ ‫* ﻴﺘﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. u . v = 0‬‬ ‫* ﻜل ﺸﻌﺎﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﻴﺴﻤﻰ ﺸﻌﺎﻉ) (‬ ‫ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻠﻤ‪JG‬ﺴ‪J‬ﺘﻘ‪J‬ﻴﻡ ‪G JJJG G ( )G . ∆G‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u = AB‬ﺤﻴﺙ ‪ u ≠ 0‬ﻭ ‪ v = AC‬ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟ‪G‬ﻠ‪J‬ﻨﻘ‪J‬ﻁ‪J‬ﺔ ‪JGC‬ﻋﻠ‪J‬ﻰ‪G AB J‬ﻓ‪J‬ﺈﻨ‪J‬ﻪ‪( ):J‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ AH z 0 AH‬ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪u . v = AJBJJ.GAHJJJG :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ AH‬ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ‪ G‬ﻓﻲ ﺍ‪G‬ﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪G Gu .JJvJG=J−JJAGB.AH :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻓ‪G‬ﻲ ﺍﻟﺤ‪G‬ﺎﻟﺘﻴ‪G‬ﻥ‪u . v = AB.AH :J‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ w ،GvG، u‬ﺜﻼﺜﺔ‪G‬ﺃﺸ‪G‬ﻌﺔ ﻭﻜﺎﻥ ‪ λ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺈ‪G‬ﻥ ‪ G G G:‬‬ ‫‪* u.v = v.u‬‬ ‫‪* λu.v λ u.v‬‬ ‫‪   G G JG G G G JG‬‬ ‫‪JG‬‬ ‫‪JG G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2u .v‬‬ ‫‪v‬‬‫‪* u. v  w u.v  u.w‬‬ ‫‪JG G 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪* u v‬‬‫‪GG‬‬ ‫‪uG 2‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪vG2‬‬ ‫‪GG GG‬‬ ‫‪uG 2‬‬ ‫‪G‬‬‫‪uv‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2u.v‬‬ ‫‪* uv . uv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪2‬‬‫*     ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪ v‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤ‪G‬ﺘﺠﺎﻨﺱ ﻓﺈﻥ ‪( ) ( ):‬‬‫;‪x′‬‬‫‪y′‬‬‫‪u‬‬ ‫‪x; y‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻭ‪G‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪ u.v = xx′ + yy′‬ﻭ ‪u = x2 + y2‬‬

‫‪G‬‬ ‫* ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺤﻴﺙ ‪ v a;b‬ﺸﻌﺎﻉ) ( ) (‬‫ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + by + c = 0‬ﺤﻴﺙ ‪ C‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬‫* ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪( )M x0; y0‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )ax + by + c = 0‬‬‫‪ax 0 + by 0 + c‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪a2 +b 2‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫‪ D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ M .‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪( ).‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M ′‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) (‬ ‫‪ D‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ M‬ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ ‪( ) ( ) ( ). D‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ D‬ﻓﺈﻥ ‪ M ′‬ﺘﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ‪( ). M‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ N‬ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ‪ P‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ N ′‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪( ) ( )P‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ N‬ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪( ) ( ). P‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ P‬ﻓﺈﻥ ‪ N ′‬ﺘﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ‪( ). N‬‬

‫ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﺃ( ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻫﻭ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﺘﻌﺭﻴﻔﻪ‪ G‬ﻓﻲ‪ G‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤﻠ‪G‬ﻬﻤﺎ ‪G .‬‬‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪ u.v = 0‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ ‪.‬‬‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫ﺏ( ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A, B,C‬ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﺭﺘﺒﻁﻴﻥ ﺨﻁﻴﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫‪GA, B,C‬ﺘ‪J‬ﻌﻴ‪J‬ﻥ‪ J‬ﻤ‪G‬ﺴ‪J‬ﺘ‪J‬ﻭﻴ‪J‬ﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ ) ‪JJJG JJJG . ( ABC‬‬‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪AB.JAJJCG J=JJAG B.JAJJCG .JcJoJsG( AB, AC ) :‬‬ ‫‪AB.AC = AB.AH‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ AB‬ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ A, B,C‬ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ‬ ‫ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨ‪G‬ﻰ‪ J‬ﻓ‪J‬ﺈﻨ‪J‬ﻪ ‪JJJG :‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪JJJG JJJG‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪AB.AC = AB.AC JJJG JJJG :‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻤﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ‪JJJG JJJG‬‬‫‪AB.AC = −AB.AC‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺝ( ﻤﺒﺭﻫﻨﺎ‪G‬ﺕ ‪JG G:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪Gw ،Gv ،JGu‬ﺜﻼ‪G‬ﺜﺔ ﺃﺸﻌﺔ‪JG‬ﻭﻜﺎﻥ ‪ kG‬ﻋ‪G‬ﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓ‪G‬ﺈﻥ‪ G G :G‬‬‫‪* u.v = v.u * u. v  w u.v  u.w‬‬ ‫‪     G G G G G‬‬ ‫‪* u. kv ku .v k u.v‬‬ ‫ﺩ( ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪JG:‬‬ ‫ﻜل ﺸﻌﺎﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ w‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺭﺘﺒﻁﻴﻥ ﺨﻁﻴﺎ‬ ‫ﻤﻥ ﻤﺴﺘﻭ ‪ P‬ﻴﺴﻤﻰ ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ‪( ) ( ). P‬‬

‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬  G G JG ‫ ﻨﻌﺘﺒﺭ‬O ; i , j , k ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ GG . v  xGc;Gyc; zc ، u x; y;z  ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ : ‫ﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬G‫ ﻓ‬vG ، u ‫ﺘﻌﻁﻰ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬ u.v xxc  yyc  zzc G G G JG : ‫* ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ uG xiG y jG zkJGv xci G yc j G zck JGG G G G JG   u.v xi  y j  zk xci  yc j  zck G G G JG G JG G JG JG JG xx c.i .i  xy JcGi .JGj  xz cGi JkG  x cyJGi .JjG  yy cJGj .JjG G GyzGcjJG.k G xJG cz i .k  yG cGz j .Gk G zJzG cJkG .k i. j i.k j.k 0 JG‫ﻭ‬G i.i j. j k.k 1 ‫ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ‬ u .v xx c  yy c  zz c : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ : ‫* ﻨﺘﺎﺌﺞ‬ JG 2 JG JG : ‫ﺃ( ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ‬ u u .u JG x .x  y .y  z .z c u 2 x 2  y 2  z 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬    JJJG‫ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬B x1; y 1;z 1 ،A x 0 ; y G0; z 0JG ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ (‫ﺏ‬ G   AB x1  x0; y1  y0; z1  z0 : ‫ ﻓﺈﻥ‬O;i, j, k ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ : ‫ ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬B ‫ ﻭ‬A ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ‬ A B  x 1  x 0 2   y 1  y 0 2   z 1  z 0 2

‫‪G G JG‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪O ; i , j G, k‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫‪ G‬‬ ‫‪GG‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎ‪G‬ﻥ‪Gv ، uG‬ﺤﻴ‪G‬ﺙ ‪. v 1;2;4 ، u1;3G;2‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ u.v‬؛ ‪ v.u‬؛ ‪. u‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ ‪u.v 1.1  3 2   2 4‬‬‫‪GG‬‬ ‫‪3‬‬‫‪v . u  1 1   2 3   4  2   3‬‬‫‪G‬‬‫‪u‬‬ ‫‪1 2  3 2   2 2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪O ;i, j,k‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪. B 2;3;5 ، A1;2;4‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻫﻲ ‪:‬‬‫‪A B 2  1 2   3  2 2  5  4 2‬‬ ‫‪AB 107‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭ‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻨﺴﻤﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪ P‬ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ z ، y ، x‬‬ ‫ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭﻟﻬﺎ ﻫﻲ ﻜل ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺎﺕ ‪ x; y; z‬ﺍﻟﺘﻲ ‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ‪ ) :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M x; y; z‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪   . ( P‬‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O ; i , j , k‬ﻟﻜل ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪ax  by  cz  d 0 :‬‬

‫‪G‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n a;b;c‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ .‬‬‫ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ axG by  cz  d 0‬ﺤﻴﺙ ‪ c, b, a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﺴﺕ ﺠﻤﻴﻌﻬﺎ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻊ ‪ n a;b;c‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ ‪ .‬‬ ‫‪ d‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪. O‬‬ ‫‪G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪O ;i, j,k‬‬‫‪   A α ;β ;γ‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪  P‬ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻌﺎﻉ  ‪; b G; c‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭ ‪ n‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪   :‬‬ ‫;‪x‬‬‫‪P‬‬ ‫‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪y; z‬‬ ‫ﺍﻟﻨ‪G‬ﻘﻁﺔ‪JJG‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪JJ‬‬ ‫‪AM .n 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪a  x  α   b  y  β   c  z  γ  0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a x  b y  c z   α a  β b  γ c  0 :‬‬‫ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax  by  cz  d 0‬ﺤﻴﺙ ‪d αa βb  γc‬‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O; i , j, k‬‬ ‫ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ‪z 0 :‬‬ ‫‪ G G‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪O ; i , j‬‬‫ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ‪y 0 :‬‬ ‫‪ G JG‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪O ;i,k‬‬ ‫ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ‪x 0 :‬‬ ‫‪ G JG‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪O ; j , k‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ﺃﻭ ﻤﺴﺘﻭﻱ (‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ) ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪   ( P‬‬‫ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ @ ‪ > M H‬ﺤﻴﺙ ‪ H‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ) ﺃﻭ ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ . ( P‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪G : 1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ P‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻭ ‪ n‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ ‪ .‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ :‬‬ ‫‪J J JJG G‬‬‫‪ M H‬ﺤﻴﺙ ‪ H‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ‪ . P‬‬ ‫‪A M .n‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ JJJJG G JJJG JJJJG G:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AM .n AH  HM .n :‬‬ ‫‪JJJG G JJJJG G‬‬ ‫‪JJJJG JG JJJJG JG AH .nJJJHG MG .n‬‬ ‫‪HM .n‬‬ ‫‪J J J JG G‬‬ ‫‪ AM .n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪AH .n‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪0 :‬‬ ‫‪J J J JG G‬‬ ‫‪J J J JG G‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪H M .n H M . n . c o s H M ; n :‬‬ ‫‪ JJJJG G‬‬ ‫‪G JJJJG G‬‬ ‫‪HM .n HM . n .cos HM ;n‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪ JJJJG G‬‬ ‫‪ J J J JG G‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ cos HM;n 1 :‬ﺃﻭ‬‫‪cos H M ;n‬‬ ‫‪JJJJG G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪JJJJG G‬‬ ‫‪H M .n‬‬‫‪MH‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪H M .n H M . n :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪JJJJG G‬‬ ‫‪A M .n‬‬ ‫‪MH‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪G :‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪G G JG‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬ ‫‪O ;i, j,k‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ ‪ M α ; β ; γ‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ :‬‬‫‪ ax  by  cz  d 0‬ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪. a α  b β  c γ  d :‬‬ ‫‪a2  b2  c2‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪G :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ، n a ;b ;c‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A x0; y0; z0‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪     . P‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ax0 JJbJyJG0 G cz0  d 0‬ﻭﻤﻨﻪ  ‪d ax0  by0  cz0‬‬ ‫‪AM .n‬‬ ‫‪MH‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪JJJJG G‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ‪ . P‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪AM .n a α  x0   bβ  y0   c γ  z0  :‬‬‫ ‪JJJJGaGα  bβ  cγ  ax0  by0  cz0‬‬‫‪AM .n aα  bβ  cγ  d‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪a 2  b 2  c 2 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪MH‬‬ ‫‪aα  bβ  c γ  d‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪a2  b2  c2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0; 1; 2‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪   :‬‬ ‫‪2x  y  4z  12 0‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ‪ . P‬‬‫‪M H 2 0    1   4 2   1 2‬‬ ‫‪1  8  12‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2 2   1 2  4 2‬‬ ‫‪4  1  16‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪MH 21 :‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪ A, B,C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪AB .AC‬‬ ‫‪16 ، AC 8 ، AB 4‬‬ ‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺤﺴﺏ ﻗﻴﺴﺎ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫‪AB,AC‬‬ ‫‪ .‬‬‫‪J J JG J J JG 2‬‬ ‫‪J J JG J J JG‬‬‫ ‪AB  AC‬‬ ‫‪AB  AC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪:‬‬‫‪JJJG JJJG 2 JJJG JJJG 2‬‬‫ﻭ ‪AB  AC  AB  AC‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪.‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪1) M A 2  M B 2‬‬ ‫‪AB 2‬‬‫‪2) MA2  MB 2‬‬ ‫‪1 AB2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪3) MA  MB‬‬ ‫‪1 AB2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﺤﻴﺙ ‪AC 11 ، BC 9 ، AB 7 :‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺃﻗﻴﺎﺴﺎ ﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻭﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪.‬‬‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ . M x, y, z‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪3JG، M‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴ‪G‬ﺎﺕ‪ G‬ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪2 ، MG1 JG‬‬ ‫‪G‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ‪ O ; i , j‬ﻭ ‪ O ; i , k‬ﻭ ‪     O ; j , k‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M6 ، M5 ، M4‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﻜل‬ ‫‪JG‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪O ;k‬‬ ‫‪O; j‬‬ ‫‪O ;i‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪     .‬‬ ‫ﻭ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫‪ ABCDEFGH‬ﻤﻜﻌﺏ ﻁﻭل ﻜل ﻤﻥ‪G‬ﺤ‪J‬ﺭ‪J‬ﻭﻓ‪J‬ﻪ ‪JJJG JJJG .JJaJG‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴ‪JG‬ﺏ‪J‬ﻜ‪J‬ل ﻤ‪JG‬ﻥ‪J‬ﺍﻟ‪J‬ﺠﺩﺍﺀﺍ‪G‬ﺕ‪J‬ﺍﻟ‪J‬ﺴ‪J‬ﻠﻤﻴ‪JG‬ﺔ ﺍ‪J‬ﻟﺘ‪J‬ﺎﻟﻴﺔ ‪ AJBJ.JGAJHJJG:‬ﻭ ‪AB.CD‬‬ ‫ﻭ ‪ AB.BC‬ﻭ ‪ AB.DF‬ﻭ ‪. AB.AG‬‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O;i, j, k‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A, B,C , D, E‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪A1;0;0 , B0;1;0 , C 0;0;1 , D1;1;1 , E 1;1;1‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ ABC‬ﻭﺤﻴﺩ ‪ .‬‬ ‫‪ -‬ﻫل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ED‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪   . ABC‬‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘ‪G‬ﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﻌﺎﻤﺩ‪ G‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ u5;2; x‬ﻭ ‪. v 1;6;1‬‬ ‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O; i , j , k‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻷﺸﻌﺔ ‪:‬‬‫§‬‫‪ JG‬‬‫‪9‬‬‫;‬ ‫‪6‬‬ ‫;‬ ‫‪2‬‬ ‫·‬ ‫ﻭ‬ ‫‪G‬‬ ‫§‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫‪6‬‬ ‫;‬ ‫‪9‬‬ ‫·‬ ‫ﻭ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪§6‬‬ ‫;‬ ‫‪7‬‬ ‫;‬ ‫‪6‬‬ ‫·‬‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪v‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬‫‪w‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪¨©JG1 1‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ O;u, v, w‬ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻟﻠﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺍﻟﺫ‪G‬ﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪   A 4;4;4‬‬ ‫ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ . u 1;2;1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬