دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪ x‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪[ ]2 ) x 2 − 3 x + 4 ≡ 0 7 :‬‬ ‫]‪1) 3 x ≡ 4[7‬‬‫)‪3‬‬ ‫]‪ x ≡ 3[5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≡‬ ‫] ‪1 [6‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]n 2 − 3 n + 12 ≡ 0 n − 2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ‬ ‫‪ 2n‬ﻭ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬‬‫‪ (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]3 2 n − 2 n ≡ 0 7 :‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪[ ]9 2 p+1 − 2 2 p+1 ≡ 0 7 :‬‬ ‫‪ (4‬ﺤﺩﺩ ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪3 n ≡ 2 n [7 ] :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬‫ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻜﺘﻭﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﻭ‬‫‪1418 , 1989 , 1961‬‬ ‫ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. 4‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫ﺤﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 11‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪156728 , 8945 , 1010102 , 101415‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ A‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﺘﺏ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 7‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪A = 63x4‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ A‬ﻗﺎﺒﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 6‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪13‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻴﻜﺘﺏ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪17‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪N = 342 x :‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ N‬ﻗﺎﺒﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 12‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪14‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 4n‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬‬ ‫‪ – 2‬ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪ 13321 :‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪. 4‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ N‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪15‬‬‫ﻓﻲ ﺃﻱ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪122 × 103 = 13121 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪16‬‬ ‫ﻓﻲ ﺃﻱ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )1 3 2 2 = 2 1 0 5 4 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪17‬‬‫ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺠﻬﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪A = 302 ، B = 402‬‬‫ﻭ ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ A × B‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 9‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪. 7 5 5 8 3 :‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪18‬‬‫ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 12551‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﻤﺠﻬﻭل ﻋل ﺍﻟﺸﻜل ‪ 3 0 4 0 7‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪19‬‬‫ﺃﻨﺠﺯ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: 2‬‬‫‪1 0 1 0 1 1 + 1 0 0 1 1 1 , 11110 + 11111‬‬‫‪1111 × 1101‬‬ ‫‪, 10001 × 11100‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪20‬‬‫‪ a, b, c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ 1 < a ≤ b ≤ c‬ﻋﻴﻥ ‪ a, b, c‬ﻭ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ abc‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ a‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪ bc = 555‬ﻭ ‪. b + c = 46‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪: 3‬‬‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4 1 1 1 ≡ 1 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ] ‪[ ]( 4 1 1 1 )1830 ≡ (1 )1830 [3‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( 4 1 1 1 )1 8 3 0 ≡ 1 [3 ] :‬‬‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4 ≡ 1 [ 3 ] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )4 2 0 0 7 ≡ (1 )2 0 0 7 [ 3 ] :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪4 2 0 0 7 ≡ 1 [ 3 ] :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪21954 = 4977 :‬‬ ‫= ‪( )21954‬‬‫‪22‬‬‫‪977‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 4 ≡ 1 3 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 4977 ≡ 1 3 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪[ ] [ ]21954 ≡ 1 [3 ] :‬‬‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 7 ≡ 1 3 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 7n ≡ 1 n 3 :‬ﺇﺫﻥ ‪7n ≡ 1[3] [ ] [ ]( ):‬‬‫ﻟﻜﻥ ]‪ 4 ≡ 1[3‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪4.7n ≡ 1[3] :‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 8 ≡ 2[3] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪4.7n − 8 ≡ −1[3] :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ −1 ≡ 2[3] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪4.7n − 8 ≡ 2[3] :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2018 ≡ 2 7‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]2018645 ≡ 2 7 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 2018645 ≡ 23 216 7 :‬ﺃﻱ ‪( ) [ ]( 2 0 1 8 )645 ≡ 8 216 [7 ] :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 8 ≡ 1[7] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( 2018)645 ≡ 1[7] :‬‬‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ]‪ 19 ≡ ( −2)[7‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪(19)522 ≡ ( −2)522 [7] :‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ 19 522 ≡ 8174 7‬ﻟﻜﻥ ‪[ ] [ ]( )8 ≡ 1 7 :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪(1)...(19)522 ≡ 1[7] :‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 23 ≡ 2 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]( )23 987 ≡ 2987 7 :‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 23 987 ≡ 23 329 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( ) ( ) [ ]( 2 3 )9 8 7 ≡ 8 3 2 9 [7 ] :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ 8 ≡ 1[7] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪(2)...( 23)987 ≡ 1[7] :‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪[ ]( ) ( )19 522 × 23 987 ≡ 1 7 : (2‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 8030 ≡ 1[7] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪(8030)1260 ≡ 1[7] :‬‬ ‫]‪ 863 ≡ 2[7‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪(863)1800 ≡ [ ]21800 7 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 863 1800 ≡ 23 600 7 :‬ﺃﻱ ‪[ ] ( ) [ ]( ) ( )863 1800 ≡ 8600 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ [ ]( )863 1800 ≡ 1 7 :‬ﻷﻥ ‪8 ≡ 1[7] :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪[ ]( ) ( )863 ×1800 8030 1260 ≡ 1 7 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪[ ]: 103n ≡ 1 37‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 103n ≡ 103 [ ]n 37 :‬ﺃﻱ ‪( )103n ≡ (1000)n [37] :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ 1000 ≡ 1[37] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪103n ≡ 1n [37] :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪103n ≡ 1[37] :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 1010 + 1020 + 1030‬ﻋﻠﻰ ‪: 37‬‬ ‫‪( )1010 + 1020 + 1030 = 1010 1 + 102 + 103‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 103 ≡ 1 37 :‬ﻭ ‪[ ] [ ]1010 ≡ 103×3+1 37‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 1010 ≡ 103×3 × 10 37 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]1010 ≡ 10 37 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( )[ ]1010 + 1020 + 1030 ≡ 10 1 + 102 + 1 37 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪( )[ ]1010 + 1020 + 1030 ≡ 10 1 + 103 + 10 37 :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ 1010 + 1020 + 1030 ≡ 21 37 :‬ﻷﻥ ‪[ ] [ ]103 ≡ 1 37 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪[ ]: n7 ≡ n 7‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 0 7‬ﻓﺈﻥ ‪ n7 ≡ 0 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ] [ ]n7 ≡ n 7 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 1 7‬ﻓﺈﻥ ‪ n7 ≡ 1 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ] [ ]n7 ≡ n 7 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 2 7‬ﻓﺈﻥ ‪ n7 ≡ 27 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ] [ ]n7 ≡ n 7 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 3 7‬ﻓﺈﻥ ‪ n7 ≡ 37 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ] [ ]n7 ≡ n 7 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 4 7‬ﻓﺈﻥ ‪ n7 ≡ 47 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]:‬‬ ‫]‪ n7 ≡ 16384[7‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ n7 ≡ 4[7] :‬ﺇﺫﻥ ‪n7 ≡ n[7] :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 5 7‬ﻓﺈﻥ ‪ n7 ≡ 57 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]:‬‬‫]‪ n7 ≡ 78125[7‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ n7 ≡ 5 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪n7 ≡ n[7] [ ]:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≡ 6 7‬ﻓﺈﻥ ‪[ ] [ ]n7 ≡ 67 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ n7 ≡ 279936[7] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪[ ]n7 ≡ 6 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]n7 ≡ n 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]n7 ≡ n 7‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪( ) [ ]: n n2 − 1 ≡ 0 3 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ]‪ n2 ≡ 0[3] : n ≡ 0[3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪n2 − 1 ≡ −1[3] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )n n2 − 1 ≡ 0[3] :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ]‪ n2 ≡ 1[3] : n ≡ 1[3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪n2 − 1 ≡ 0[3] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )n n2 − 1 ≡ 0[3] :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ]‪ n2 ≡ 1[3] : n ≡ 2[3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪n2 − 1 ≡ 0[3] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )n n2 − 1 ≡ 0[3] :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪( ) [ ]n n2 − 1 ≡ 0 3 :‬‬

‫‪ (3‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪[ ]3 × 52n+1 + 23n+1 ≡ 0 17 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 23n+1 = 23n.2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )23n+1 = 23 n × 2 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 23n+1 = 8n × 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ](1)...23n+1 ≡ 2 × 8n 17 :‬‬‫‪3 × 52n+1 = 3 × 52n × 5‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪( )= 15 × 52 n = 15 × ( 25 )n‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 15 ≡ −2[17] :‬ﻭ ]‪ 25 ≡ 8[17‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫]‪(2)...3 × 52n+1 ≡ −2 × 8n [17‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪[ ]3 × 52n+1 + 23n+1 ≡ 0 17 : (2‬‬ ‫‪ (4‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪[ ]32n+2 − 2n+1 ≡ 0 7 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 32n+2 = 32n × 32 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( )32n+2 = 32 n × 9 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 32n+2 = 9n × 9 :‬ﺃﻱ ‪32n+2 = 9n+1 :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 9 ≡ 2 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]32n+2 ≡ 2n+1 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪[ ]32n+2 − 2n+1 ≡ 0 7 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 7n‬ﻋﻠﻰ ‪: 9‬‬‫]‪70 ≡ 1[9] , 71 ≡ 7[9] , 72 ≡ 4[9] , 73 ≡ 1[9‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 73 ≡ 1 9 :‬ﻓﺈﻥ ‪ 73k ≡ 1 9 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪[ ] [ ]k‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 73k.7 ≡ 1.7 9 :‬ﺃﻱ ‪[ ] [ ]73k+1 ≡ 7 9 :‬‬ ‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪ 73k+1.7 ≡ 7 × 7 9‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪[ ] [ ]73k+2 ≡ 4 9 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 7n‬ﻋﻠﻰ ‪ 9‬ﻫﻲ ‪. 4،7،1:‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n = 3k‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪1 :‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n = 3k + 1‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪7 :‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n = 3k + 2‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪4 :‬‬

‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 56212 1954‬ﻋﻠﻰ ‪( ): 9‬‬‫‪= 71954‬‬ ‫‪1954‬‬‫‪[ ] [ ]( )56212‬‬‫‪9‬‬ ‫‪ 56212 = 7 9‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 1954 = 3 × 651 + 1 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]71954 ≡ 7 9 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]( )56212 1954 = 7 9 :‬‬‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]163n + 16n − 2 ≡ 0 9 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 16 ≡ 7 9 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪[ ] [ ]73n + 7n − 2 ≡ 0 9 :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 73n ≡ 1 9 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 7n − 1 ≡ 0 9 :‬ﺇﺫﻥ ‪[ ] [ ] [ ]7n ≡ 1 9 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ n = 3k :‬ﺤﻴﺙ ‪k ∈ ` :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 5n‬ﻋﻠﻰ ‪: 11‬‬‫]‪50 ≡ 1[11] ; 51 ≡ 5[11] ; 52 ≡ 3[11] ; 53 ≡ 4[11‬‬ ‫]‪54 ≡ 9[11] ; 55 ≡ 1[11‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 55 ≡ 1 11 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 55k ≡ 1 11 :‬ﺤﻴﺙ ‪[ ] [ ]k ∈ ` :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ ] [ ] [ ]، 55k+3 ≡ 4 11 ، 55k+2 ≡ 3 11 ، 55k+1 ≡ 5 11 :‬‬ ‫‪[ ]. 55k+4 ≡ 9 11‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺒﻭﺍﻗﻲ ﻫﻲ ‪ 9،4،3،5،1 :‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﻭ ﻫﻲ ‪:‬‬‫‪ 5k + 4 ، 5k + 3 ، 5k + 2 ، 5k + 1 ، 5k‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪: 11‬‬‫]‪30 ≡ 1[11] ; 31 ≡ 3[11] ; 32 ≡ 9[11] ; 33 ≡ 5[11‬‬‫]‪34 ≡ 4[11] ; 35 ≡ 1[11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 35 ≡ 1 11 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 35k ≡ 1 11 :‬ﺤﻴﺙ ‪[ ] [ ]k ∈ ` :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ ] [ ] [ ]، 55k+3 ≡ 5 11 ، 35k+2 ≡ 9 11 ، 35k+1 ≡ 3 11 :‬‬ ‫‪ . 55k+4 ≡ 4 11‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺒﻭﺍﻗﻲ ﻫﻲ‪ 4 ، 5 ، 9 ، 3 ، 1 :‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪[ ]n‬‬

‫ﻭ ﻫﻲ‪ 5k + 4 ، 5k + 3 ، 5k + 2 ، 5k + 1 ، 5k :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 5n − 3n‬ﻋﻠﻰ ‪: 11‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪5n − 3n ≡ 0[11] : n = 5k‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪5n − 3n ≡ 2[11] : n = 5k + 1‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪5n − 3n ≡ −6[11] : n = 5k + 2‬‬ ‫ﺃﻱ‪5n − 3n ≡ 5[11] :‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪5n − 3n ≡ −1[11] : n = 5k + 3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]5n − 3n ≡ 10 11 :‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪5n − 3n ≡ 5[11] : n = 5k + 4‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]5n − 3n − 16 ≡ 0 11 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 5n − 3n ≡ 16[11] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪5n − 3n ≡ 5[11] :‬‬ ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪k ∈ ` ، n ≡ 5k + 2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]3 x ≡ 4 7 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4 ≡ −3[7] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪3 x ≡ −3[7] :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 3 x + 3 ≡ 0 [7 ] :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪( ) [ ]3 x + 1 ≡ 0 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x + 1 ≡ 0 7 :‬ﻷﻥ ‪ 3 :‬ﻭ ‪ 7‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪[ ].‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x ≡ − 1 [7 ] :‬ﺃﻱ ‪x ≡ 6 [7 ] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x ≡ 7α + 6 :‬ﻤﻊ ] ∈ ‪. α‬‬ ‫‪(2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x 2 − 3 x + 4 ≡ 0[7] :‬ﻟﻜﻥ ‪−3 ≡ 4[7] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x 2 − 3 x + 4 ≡ 0 [7 ] :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x 2 + 4 x + 4 ≡ 0 [7 ] :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ( x + 2 )2 ≡ 0 [7 ] :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ ]x + 2 ≡ 0 7 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x ≡ − 2 [7 ] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x ≡ 5 [7 ] :‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ x = 7α + 5 :‬ﻭ ] ∈ ‪. α‬‬‫)‪ x ≡ 3 [5]...(1‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≡‬ ‫) ‪1 [6 ]...( 2‬‬‫ﻤﻥ )‪َ x = 5α + 3 : (1‬ﻭ ] ∈ ‪ α‬ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪[ ]5α + 3 ≡ 1 6 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪5α ≡ −2[6] :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 5 ≡ −1[7] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪5α ≡ −α[6] :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ −α ≡ −2[6] :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪α ≡ 2[6] :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ α = 6β + 2 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪x = 5(6β + 2) + 3 :‬‬‫ﺇﺫﻥ‪β ∈ ] ، x = 30β + 13 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]n2 − 3n + 12 ≡ 0 n − 2 :‬‬‫‪n2 − 3n + 12 = n2 − 2n − n + 12‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪= n(n − 2) − n + 2 + 10‬‬‫‪= n(n − 2) − (n − 2) + 10‬‬‫‪= (n − 1)(n − 2) + 10‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪(n − 1)( n − 2) ≡ 0[n − 2] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪n2 − 3n + 12 ≡ 10[n − 2] :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ n2 − 3n + 12 ≡ 0[n − 2] :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪10 ≡ 0[n − 2] :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ n − 2 :‬ﺘﻘﺴﻡ ‪ . 10‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪{ }n − 2 ∈ 1 ; 2 ; 5 ; 10 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪n ∈{3 ; 4 ; 7 ; 12} :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ – 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬‫]‪20 ≡ 1[7] ; 21 ≡ 2[7] ; 22 ≡ 4[7] ; 23 ≡ 1[7‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 23 ≡ 1 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 23α ≡ 1 7 :‬ﻭ ‪[ ] [ ] [ ]23α+1 ≡ 2 7‬‬

‫ﻭ ‪ 23α+2 ≡ 4 7‬ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪[ ].‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬‫]‪30 ≡ 1[7] ; 31 ≡ 3[7] ; 32 ≡ 2[7] ; 33 ≡ 6[7‬‬‫]‪34 ≡ 4[7] ; 35 ≡ 5[7] ; 36 ≡ 1[7‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 36 ≡ 1 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]36β ≡ 1 7 :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 36β+1 ≡ 3 7 :‬ﻭ ‪ 36β+2 ≡ 2 7‬ﻭ ‪[ ] [ ] [ ]36β+3 ≡ 6 7‬‬‫ﻭ ‪ 36β+4 ≡ 4 7‬ﻭ ‪ 36β+5 ≡ 5 7‬ﺤﻴﺙ ‪ β‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪[ ] [ ].‬‬‫‪ -2‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪[ ]32n − 2n ≡ 0 7 :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )32n = 9n :‬‬ ‫‪n‬‬‫= ‪32n‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 9 ≡ 2 7 :‬ﻓﺈﻥ ‪[ ] [ ]9n ≡ 2n 7 :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 32n ≡ 2n 7 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ ] [ ]32n − 2n ≡ 0 7 :‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪[ ]92 p+1 − 22 p+1 ≡ 0 7 :‬‬ ‫ﺃﻱ‪( ) [ ]32 2 p+1 − 22 p+1 ≡ 0 7 :‬‬‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ 2 p + 1 = n :‬ﻨﺠﺩ ‪[ ]32n − 2n ≡ 0 7 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ﻤﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪.‬‬‫‪ -4‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]3n ≡ 2n 7 :‬‬ ‫ﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 23α ≡ 1 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ 23α 2 ≡ 12 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪[ ] ( ) [ ] [ ]26α ≡ 1 7 :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ 26α+1 ≡ 2 7 :‬؛ ‪ 26α+3 ≡ 1 7 26α+2 ≡ 4 7‬؛] [ ] [ ] [‬ ‫‪ 26α+4 ≡ 2 7‬؛ ‪[ ] [ ]26α+5 ≡ 4 7‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ 3n ≡ 2n 7 :‬ﻓﺈﻥ‪ n = 6 p :‬ﺤﻴﺙ‪[ ]. p ∈ ` :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬‫‪ -‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﻱ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪: 4‬‬‫‪1961 = 490 × 4 + 1‬‬ ‫* ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 1961‬‬‫‪490 = 122 × 4 + 2‬‬‫‪122 = 30 × 4 + 2‬‬‫‪30 = 7 × 4 + 2‬‬‫‪7 = 1×4+ 3‬‬‫‪1= 0×4+1‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 1961‬ﻴﻜﺘﺏ ‪4 132221 :‬‬‫‪1989 = 497 × 4 + 1‬‬ ‫* ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 1989‬‬‫‪497 = 124 × 4 + 1‬‬‫‪124 = 31× 4 + 0‬‬‫‪31 = 7 × 4 + 3‬‬‫‪7 = 1×4+ 3‬‬‫‪1= 0×4+1‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 1989‬ﻴﻜﺘﺏ ‪4 1 3 3 0 1 1 :‬‬‫‪1418 = 202 × 7 + 4‬‬ ‫* ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 1418‬‬‫‪202 = 28 × 7 + 6‬‬‫‪28 = 4 × 7 + 0‬‬‫‪4= 0×7+ 4‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 1418‬ﻴﻜﺘﺏ ‪4 4 0 6 4 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ‪:‬‬‫‪1961 = 1× 40 + 2.41 + 2.42 + 2.43 + 3.44 + 1.45‬‬ ‫‪( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 1 + 2 22 1 + 2 22 2 + 2 22 3 + (1 + 2) 22 4 + 1. 22 5‬‬ ‫‪= 20 + 23 + 25 + 27 + 28 + 29 + 210‬‬‫‪= 1.20 + 1.23 + 1.25 + 1.27 + 1.28 + 1.29 + 1.210‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 1961‬ﻴﻜﺘﺏ ‪1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 :‬‬ ‫‪1418 = 4.40 + 6.41 + 0.42 + 4.43‬‬ ‫‪( ) ( )= 2 2 + 2 + 2 2 . 2 2 + 2 2 . 2 2 3‬‬

‫‪= 22 + 23 + 24 + 28‬‬ ‫‪= 1.22 + 1.23 + 1.24 + 1.28‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 1418 :‬ﻴﻜﺘﺏ ‪100011100 2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺤﻭل ‪ A = 101415‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪:‬‬‫‪A = 1.5 0 + 4.51 + 1.5 2 + 0.5 3 + 1.54‬‬‫‪A = 1 + 20 + 25 + 625‬‬‫‪A = 671‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪ 671‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: 11‬‬ ‫‪671 = 61× 11 + 0‬‬ ‫‪61 = 5 × 11 + 6‬‬ ‫‪5 = 0 × 11 + 5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 671‬ﻴﻜﺘﺏ ‪56011 :‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺤﻭل ‪ B = 1010102‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻯ ‪:‬‬ ‫‪B = 0.20 + 1.21 + 0.22 + 1.23 + 0.24 + 1.25 = 42‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪ 42‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: 11‬‬ ‫‪42 = 3 × 11 + 9‬‬ ‫‪3 = 0 × 11 + 3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 42‬ﻴﻜﺘﺏ ‪3911‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ 8945‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: 11‬‬ ‫‪8945 = 813 × 11 + 2‬‬ ‫‪813 = 73 × 11 + 10‬‬ ‫‪73 = 6 × 11 + 7‬‬ ‫‪6 = 0 × 11 + 6‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 8945‬ﻴﻜﺘﺏ ‪ 67α211‬ﺤﻴﺙ ‪α = 10 :‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ C = 156728‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪:‬‬

‫‪C = 2.80 + 7.81 + 6.82 + 5.83 + 1.84‬‬ ‫‪= 2 + 56 + 384 + 2560 + 4096‬‬ ‫‪= 7098‬‬ ‫ﻨﺤﻭل ‪ C‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: 11‬‬ ‫‪7098 = 645 × 11 + 3‬‬ ‫‪645 = 58 × 11 + 7‬‬ ‫‪58 = 5 × 11 + 3‬‬ ‫‪5 = 0 × 11 + 5‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ C‬ﻴﻜﺘﺏ ‪. 537311 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪A = 63 x47 : x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪0 ≤ x ≤ 6 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ A‬ﻴﻜﺘﺏ ‪A = 4.70 + x.71 + 3.72 + 6.73 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪A = 4 + x.7 + 3.72 + 6.72 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 7 ≡ 1[6] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 72 ≡ 1[6] :‬ﻭ ]‪73 ≡ 1[6‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ A ≡ 4 + x + 3 + 6[6] :‬ﺃﻱ ‪A ≡ 1 + x[6] :‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ A ≡ 0[6] :‬ﻓﺈﻥ ‪1 + x ≡ 0[6] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x ≡ −1[6] :‬ﺃﻱ ‪ x ≡ 5[6] :‬ﻷﻥ ‪−1 ≡ 5[6] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 5 :‬ﻷﻥ ‪. 0 ≤ x ≤ 6 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪13‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪N = 342 x17 : x‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ N‬ﻴﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪N = x.170 + 2.171 + 4.172 + 3.173‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 0 ≤ x ≤ 16 :‬ﻭ ‪N = x + 2.171 + 4.172 + 3.173‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 17 ≡ 5[12] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪172 ≡ 55 [12] :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 172 ≡ 1 12 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪173 ≡ 5[12] [ ]:‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪N ≡ x + 1 0 + 4 + 1 5 [1 2 ] :‬‬ ‫‪ N ≡ x + 29 12‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪[ ]N ≡ x + 5 [1 2 ] :‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ N ≡ 0 12 :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪[ ]x + 5 ≡ 0 [1 2 ] :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ x ≡ −5[12] :‬ﺃﻱ ‪x ≡ 7[12] :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 12α + 7 :‬ﻭ ` ∈ ‪α‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ 0 ≤ x ≤ 16 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪0 ≤ 12α + 7 ≤ 16 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ −7 ≤ 12α ≤ 9 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪−0,58 ≤ α ≤ 0,75 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ α = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. x = 7 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪14‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 4n‬ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬ ‫‪[ ]4 0 ≡ 1 [7 ] ; 4 1 ≡ 4 [7 ] ; 4 2 ≡ 2 [7 ] ; 43 ≡ 1 7‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ 43α ≡ 1 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 43α+1 ≡ 4 7 :‬ﻭ ‪[ ] [ ] [ ]43α+2 ≡ 2 7‬‬ ‫‪ – 2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ N‬ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪N = 1.40 + 2.41 + 3.42 + 3.43 + 1.44 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪N ≡ 1 + 2 ( 4 ) + 3 ( 2 ) + 3 (1 ) + ( 4 )[7 ] :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ N ≡ 22[7] :‬ﺇﺫﻥ ‪N ≡ 1[7] :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻫﻭ ‪. 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪15‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ x‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪( ) ( )2.x0 + 2.x1 + 1.x2 × 3.x0 + 0.x1 + 1.x2‬‬ ‫‪( )= 1.x0 + 2.x1 + 1.x2 + 3.x3 + 1.x4‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x ≥ 4 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )2 + 2x + x2 3 + x2 = 1 + 2x + x2 + 3x3 + x4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪6 + 2x2 + 6x + 2x3 + 3x2 + x4 = 1+ 2x + x2 + 3x3 + x4‬‬

‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪− x3 + 4 x2 + 4 x + 5 = 0 :‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 5‬ﺤل ﺨﺎﺹ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬‫‪( x − 5)(− x2 − x − 1) = 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺇﻤﺎ ‪ x − 5 = 0 :‬ﺃﻭ ‪− x2 − x − 1 = 0 :‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪− x2 − x − 1 = 0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆ = −3 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ‪ .‬ﺇﺫﻥ ‪. x = 5 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪16‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ x‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬‫‪( )2 + 3.x + 1.x2 2 = 4 + 5x + 0.x2 + 1.x3 + 2.x4‬‬ ‫‪( )x2 + 3x + 2 2 = 4 + 5x + x3 + 2x4‬‬‫‪x4 + 6 x3 + 13 x2 + 12 x + 4 = 4 + 5 x + x3 + 2 x4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪− x4 + 5 x3 + 13 x2 + 7 x = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪( )x − x3 + 5x2 + 13x + 7 = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ − x3 + 5 x2 + 13 x + 7 = 0 :‬ﻷﻥ ‪x ≥ 6 :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪ 7‬ﺤل ﺨﺎﺹ ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬‫‪( x − 7)(− x2 − 2x − 1) = 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺇﻤﺎ ‪ x − 7 = 0 :‬ﺃﻭ ‪− x2 − 2 x − 1 = 0 :‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪− x2 − 2 x − 1 = 0 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆ = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ x0 = −1‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x = 7 :‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪x ≥ 5 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪17‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ x‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ‪:‬‬ ‫‪A = 2.x0 + 0.x1 + 3.x2 = 2 + 3 x2‬‬ ‫‪B = 2.x0 + 0.x1 + 4.x2 = 2 + 4 x2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ‪A B = ( 2 + 3 x 2 ) ( 2 + )4 x 2 :‬‬

‫‪AB = 4 + 8 x2 + 6 x2 + 12 x4‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪AB = 4 + 14x2 + 12x4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ‪:‬‬‫‪AB = 3.90 + 8.91 + 5.92 + 5.93 + 7.94‬‬‫‪AB = 3 + 72 + 405 + 3645 + 45927‬‬ ‫‪AB = 50052‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪12 x4 + 14 x2 + 4 = 50052 :‬‬ ‫‪12x4 + 14x2 − 50048 = 0‬‬‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ x2 = y :‬ﻨﺠﺩ ‪12 y2 + 14 y − 50048 = 0 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆′ = 7 2 + 50048 × 12 :‬ﺃﻱ‪( )∆ ′ = 6 0 0 6 2 5 = ( 7 7 5 )2 :‬‬‫) ﻤﺭﻓﻭﺽ (‬ ‫‪y1‬‬ ‫=‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪− 775‬‬ ‫=‬ ‫‪−782‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪+ 775‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪y = 64 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪64‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x2 = 64 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. x = 8 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪18‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ x‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ‪:‬‬‫‪12551 = 7.x0 + 0.x1 + 4.x2 + 0.x3 + 3.x4‬‬ ‫‪12551 = 7 + 4 x 2 + 3 x4, x ≥ 8‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪3 x 4 + 4 x 2 − 1 2 5 4 4 = 0 :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ y = x2 :‬ﻨﺠﺩ ‪3 y 2 + 4 y − 1 2 5 4 4 = 0 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆′ = ( 2)2 − ( −12544)( 3) = 37636 = (194)2 :‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫=‬ ‫‪−2 − 194‬‬ ‫=‬ ‫‪−196‬‬ ‫)ﻤﺭﻓﻭﺽ(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x2 = 64 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. x = 8 :‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪−2 + 194‬‬ ‫=‬ ‫‪64‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪19‬‬ ‫ﺍﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪2101011‬‬ ‫‪211110‬‬‫‪+ 2100111‬‬ ‫‪+ 211111‬‬ ‫‪= 21010010‬‬ ‫‪= 2111101‬‬ ‫‪21111‬‬ ‫‪210001‬‬‫‪× 21101‬‬ ‫‪× 211100‬‬ ‫‪1111‬‬ ‫‪00000‬‬ ‫‪0000 .‬‬ ‫‪00000 .‬‬ ‫‪1111 .‬‬ ‫‪10001 .‬‬ ‫‪1111 .‬‬ ‫‪10001 .‬‬ ‫‪10001 .‬‬ ‫‪211000011‬‬ ‫‪2111011100‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪20‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ a , b , c‬ﺜﻡ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪: abc‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪b + c = 46 ، bc = 555 :‬‬ ‫‪(1)...‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪6 + 4a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.c‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5a + 5a‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ` ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪x2 − (6 + 4a ) x + 5a2 + 5a + 5 = 0‬‬‫ﺃﻱ ‪(2)... x2 − 2( 3 + 2a) x + 5a2 + 5a + 5 = 0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )∆′ = ( 3 + 2a)2 − 5a2 + 5a + 5 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪∆′ = −a2 + 7a + 4 :‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻘﺒل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪∆′ ≥ 0‬‬ ‫ﻤﻤﻴﺯ ‪ ∆′‬ﻫﻭ ‪∆a = 49 + 16 = 65 :‬‬‫‪a1‬‬ ‫=‬ ‫‪−7 −‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪، a2‬‬ ‫=‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪65‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ ∆′‬ﻟﻪ ﺠﺫﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬