دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ‪: 1‬‬‫ﺃﻨﺸﺊ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫ﻭ ‪U0 = 0‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ ‪:‬‬‫ﻭﻨﺤﻭل ﻋﻤل ﺍﻵﻟﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ‪Seq :‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺈﺩﺨﺎل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ﻭﻨﺩﺨل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫‪ (3‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻭﺍﻀﺢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (4‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻭﻨﺤﺭﻙ‬ ‫‪ (5‬ﻨﻀﻌﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺒﺯﺭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‬ ‫ﻟﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻤﺠﻴﺔ ‪ sinequanon‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫‪U‬‬ ‫‪0 = −3‬‬ ‫⎪‬ ‫‪=1+ 1‬‬ ‫‪⎩⎨⎪U‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻤﻸ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﺎﺕ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺎﻓﺫﺓ‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﻗﻴﻡ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻅﻬﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻤﻥ ‪ U0‬ﺇﻟﻰ ‪. U14‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﻴﻅﻬﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻊ ﻜﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺌﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬‫‪u0‬‬ ‫‪-1 u 1 u 3‬‬ ‫‪u2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 1‬‬‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ √ ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ × ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪:‬‬‫‪ (1‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺨﺎﺼﻴﺔ ) ‪ p ( n‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ) ‪p ( k‬‬ ‫ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪. p ( k + 1‬‬‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ) ‪ p ( n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n = 0‬ﻭ ‪n = 1‬‬ ‫ﻭ ‪ n = 2‬ﻓﻬﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬‫ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻫﻭ ﻨﻤﻁ ﻤﻥ ﺃﻨﻤﺎﻁ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻟﻼﺴﺘﺩﻻل ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻌﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫‪(3‬‬ ‫ﺴﺎﻟﺏ ‪n‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪(5‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ u n‬ﺤﻴﺙ ‪ u n = 4 n − 3 :‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪( ).‬‬‫⎧‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪4un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪n ≥ 0 :‬‬‫⎨‬ ‫‪u‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬‫⎩‬ ‫=‬ ‫ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ (6‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Vn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ un = an + b :‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ) (‬ ‫ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ a‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪b‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪1000‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎞n‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪840‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ‬ ‫‪ l i m‬ﻏﻴﺭ‬ ‫⎛‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n‬‬ ‫‪ (9‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ‪:‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪10‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪40000‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫∞‪n→ +‬‬‫‪ Vn‬ﻭ ‪ u n‬ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=)‪vn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (11‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(12‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪499‬‬ ‫=‬ ‫‪1 − 4100‬‬ ‫‪(13‬‬ ‫‪1−4‬‬

‫‪3+‬‬ ‫‪5+‬‬ ‫‪7+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪(2 n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=)‪1‬‬ ‫‪(2 n‬‬ ‫) ‪+ 4 )(n‬‬ ‫‪(14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (15‬ﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (16‬ﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪l i m 1 = 0 (17‬‬ ‫∞ ‪nn → +‬‬ ‫‪ (18‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺏ ‪un = an − b :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻭ ‪ b ≠ 0‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ u n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪( ).‬‬‫⎛‬ ‫‪1 ⎞n‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪ (19‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫=‬ ‫⎝⎜‬ ‫⎠⎟ ‪3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ u n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪( ).‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪l‬‬ ‫≠‬ ‫‪0 , lim‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ (20‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 2‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪1 − 3 + 5 − 7 + ... + (− 1 )n − 1 . (2 n − 1 ) = n (− 1 )n − 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 3‬‬‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x a sin x : f‬‬‫= ) ‪f (n ) ( x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪nπ‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 4‬‬ ‫=)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x2 + 1‬‬‫ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫) ‪pn (x‬‬ ‫‪x 2 + 1 n+1‬‬‫= ) ‪( )f (n ) ( x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ pn x‬ﻫﻭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ‪( )n ≥ 1 ، n‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 5‬‬‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ un+1 = un‬ﻭ ‪( )u0 = 10‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ . un‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟) (‬ ‫‪ – 2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪. un ≥ 1 :‬‬ ‫‪ -3‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ – 4‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 6‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬‫⎧‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪u1 + u2 = 15‬‬‫⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 1 33‬‬‫⎨‬ ‫‪u1 + u2 = 40‬‬‫⎩⎪‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪ u0 , u1 , u2‬ﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. r‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪∑. Sn = ui :‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 7‬‬‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ us = 1000, u1 = 250 :‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )q‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪. q > 0 :‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪. q‬‬‫‪123‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(2‬‬‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪. S n = 2 2 + 2 2 + 2 2 + . . . . . . . . + 2 2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪sn‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫‪(4‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪:‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫× ‪2 . 2 . 2 × ...‬‬‫= ‪( ) ( ) ( ) ( )p n‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 8‬‬ ‫‪ un‬ﻭ ‪ vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪n>1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪ln n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ) ‪ (u n‬ﻭ ) ‪. ( v n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(l i m‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪vn‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪ – 3‬ﻫل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ‪ un‬ﻭ ‪ vn‬ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ؟) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 9‬‬ ‫‪ un‬ﻭ ‪ vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( ):‬‬ ‫) ‪ V n = L n ( n + 1 ) , U n = L n ( n‬ﺤﻴﺙ ‪. n > 0 :‬‬ ‫‪ - 1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ un‬ﻭ ‪( ) ( ). vn‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(l i m‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪vn‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪ -3‬ﻫل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ‪ un‬ﻭ ‪ vn‬ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 10‬‬ ‫‪θ0 ≤ θ‬‬ ‫≤‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ‬ ‫‪2‬‬‫⎪⎧‬ ‫‪u‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪2 cosθ‬‬ ‫‪un‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ), n ≥ 0 :‬‬‫⎨‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 2+‬‬‫⎩⎪‬ ‫‪+1‬‬‫‪ -1‬ﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪ u0 , u1, u2 , u3‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪( )cos 2θ = 2cos2 θ -1 .θ‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪s‬‬ ‫⎛‬ ‫‪θ‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2n‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ – 3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( ):‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ). vn‬‬ ‫‪ – 4‬ﺃﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ).‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 11‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬ ‫⎧‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫∈‪, u‬‬ ‫⎪‬ ‫= ‪un+1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪3 + 2un‬‬ ‫⎪⎩‬ ‫‪2 + un‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪. u1 , u2 , u3 , u4 :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪un > 0 :‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﻨﺤﻭ) (‬ ‫≤ ‪un‬‬ ‫‪ – 3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪3 :‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( )un‬‬‫‪Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪3 :‬‬ ‫‪ – 5‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ) (‬ ‫‪un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃ – ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ) ‪ ( v n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. q‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﺏ – ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 12‬‬ ‫‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﻭ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪ un+1 = α un + 3 :‬ﻤﻥ) (‬ ‫ﺃﺠل ∈ ‪n‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ α0‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ) (‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬‫‪ – 2‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ . α ≠ α0‬ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ u0‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ un‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ – 3‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪ un‬ﻟﻴﺴﺕ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭ ﻻ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ) (‬ ‫‪( )Vn = β un + δ‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪, n ≥ 0 :‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ β‬ﻭ ‪ δ‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻜﻭﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )q‬‬‫‪v‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪n‬‬

‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪. α‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ δ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ α‬ﻭ ‪β‬‬‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ).‬‬‫‪v‬‬ ‫ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 13‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( )u0 = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪un+1 = un + 2n+1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪: S n‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫– ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ). un‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 14‬‬‫‪⎧⎪ u0 = − 2‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ), n ≥ 0 :‬‬‫⎨‬‫‪⎪⎩ u n + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2 + un‬‬‫‪ -1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪2 − un ≥ 0‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪n‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪. un ≥ 0 :‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‪( ).‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 15‬‬‫‪ un (1‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0 = 60‬ﻭ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪( ):‬‬ ‫‪un+1 − un = un × 0,06 , n ≥ 0‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ) (‬

‫‪n‬‬ ‫ﺏ – ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪∑Sn = ui :‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺒﻠﻎ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺒﻠﺩ ‪ 600‬ﻤﻠﻴﻭﻥ ﻨﺴﻤﺔ ﻴﻭﻡ ‪ 1‬ﺠﺎﻨﻔﻲ ﺴﻨﺔ ‪. 2000‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﻠﺩ ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺴﻨﻭﻴﺎ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪60 0 0‬‬ ‫ﻜﻡ ﺴﻴﺼﻴﺭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ‪ 1‬ﺠﺎﻨﻔﻲ ﺴﻨﺔ ‪. 2007‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 16‬‬ ‫‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ .‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬ ‫⎧‬ ‫‪u0 = 1 ,‬‬ ‫‪u1 = 2‬‬ ‫⎨‬ ‫‪− λ un‬‬ ‫⎩‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪( λ + )1 u n + 1‬‬ ‫‪,n ≥ 0‬‬ ‫ﻭ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Vn‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( )Vn+1 = un+1 − un , n ≥ 0 :‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ‪ Vn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭ ‪( ). λ‬‬‫‪Sn = V0 + V1 + ... + Vn-1‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭ ‪ λ‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ .‬ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪Sn = un − 1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭ ‪. λ‬‬ ‫‪ – 3‬ﻨﻀﻊ ‪ . λ = 3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬‫‪S‬‬ ‫‪′‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪ .‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪Sn′‬‬ ‫=‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪u12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪u2‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫‪n‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠـــﻭل‬ ‫‪. × (4‬‬ ‫‪× (3‬‬ ‫‪× (2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪. √ (8‬‬ ‫‪× (7‬‬ ‫‪√ (6‬‬ ‫‪× (1‬‬ ‫‪. √ (12‬‬ ‫‪× (11‬‬ ‫‪√ (10‬‬ ‫‪√ (5‬‬‫‪. × (16‬‬ ‫‪× (15‬‬ ‫‪√ (14‬‬ ‫‪× (9‬‬‫‪. √ (20‬‬ ‫‪√ (19‬‬ ‫‪× (18‬‬ ‫‪√ (13‬‬ ‫‪√ ( 17‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ‪( ): p n‬‬ ‫‪1 − 3 + 5 − 7 + ... + (−1)n .( 2n − 1) = n( )−1 n−1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ‪( )p 11 = 1 ( − 1 )0 = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬‫‪p (k ) : 1 − 3 + 5 − 7 + ... + (− 1)k−1 (2k − 1) = k (− 1)k−1‬‬‫) ‪p (k + 1 ) : 1 − 3 + 5 − 7 + ... + (− 1 )k −1 (2 k − 1‬‬ ‫‪+ (− 1 )k .(2 k + 1 ) = (k + 1 )(− 1 )k‬‬‫) ‪1 − 3 + 5 − 7 + ... + (− 1 )k −1 . (2 k − 1 ) + (− 1 )k . (2 k + 1‬‬ ‫) ‪= k (− 1 )k −1 + (− 1 )k (2 k + 1‬‬ ‫) ‪= k (− 1 )k −1 + (− 1 )k −1 × (− 1 )(2 k + 1‬‬ ‫)‪= (−1)k−1 [k − 2k − 1] = (−1)k−1 (− k − 1‬‬ ‫)‪= − (−1)k−1 (k + 1) = (−1)k (k + 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p k + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪( ). n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬

‫= ) ‪f (n) ( x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪in‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪nπ‬‬ ‫⎞‬ ‫‪:‬‬ ‫) ‪p (n‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬‫‪f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪s‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎞‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫) ‪p (1‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ′ ( x ) = co s x :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p (1 ) :‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪( )p ( k + 1‬‬ ‫= ) ‪f (k ) ( x‬‬ ‫‪sim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫⎞‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪:‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( )(k +1) x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+ 1)π‬‬ ‫⎞‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫= ) ‪f (k ) ( x‬‬ ‫‪sim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬‫= ) ‪( )f ((k + 1 ) x‬‬ ‫= ) ‪′ (x‬‬ ‫⎛‬ ‫‪kπ‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪f (k‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪s‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎞‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎛‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+ 1 )π‬‬ ‫⎞‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪( ).‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ) ‪ p ( n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫) ‪pn ( x‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ) ‪: p ( n‬‬ ‫‪x 2 + 1 p+1‬‬ ‫= ) ‪( )f (n ) ( x‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪: p (1‬‬ ‫‪−2 x‬‬ ‫‪−2 x‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪x 2 + 1 1+1‬‬ ‫= ) ‪( ) ( )f (1) ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p1 ( n ) = − 2 x‬ﻭ ﻫﻭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ) ‪ p ( k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪p ( k + 1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪p k ( x ) :‬‬ ‫‪x 2 + 1 k+1‬‬ ‫‪p (k ):‬‬ ‫= ) ‪( )f (k ) ( x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ pk x :‬ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ‪( ). k + 1‬‬

( )( ) ( )f (k +1) x = p(k ): pk+1 x : ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‬ x2 + 1 k+2 pk (x ) :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x 2 + 1 k+1 ( )f (k ) ( x ) = : ‫) ( ﻭ ﻤﻨﻪ‬f (k + 1) ( x ) = f k ′ ( x ) : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ k+1 - (k + 1).2 x k . pk ( x )′ (x) =( ) ( ) ( ) ( )f kpk′ ( x ) .x2 + 1 x2 + 1 ⎡ x2 + 1 ⎤k +1 2 ⎣⎢ ⎥⎦x2 + 1( ) (( ))= k ⎡⎣ p ′ ( x ). x2 + 1 − 2 ( k + 1 ) x pk ( x )⎦⎤ k x 2 + 1 2k+2( ( ) )=p ′ ( x ) . x2 + 1 − 2(k + 1) x. pk ( x ) k x 2 + 1 2k+2−k−2 (k + 1) xpk (x ) − p ′ ( x ) x 2 + 1 k+2 k( )= ( ) ( )k − 1 : ‫ ﻫﻲ‬pk′ x ‫ ﻓﺈﻥ ﺩﺭﺠﺔ‬k ‫ ﻫﻲ‬pk x ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺩﺭﺠﺔ‬ ( )k + 1 : ‫ ﻫﻲ‬xpk x ‫ﻭ ﺩﺭﺠﺔ‬( )k + 1 :‫ ﻫﻲ‬-2( k + 1) xpk ( x ) -p′k ( x ) . x2 + 1 ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺩﺭﺠﺔ‬( )(pk+1 x) = 2( k + 1) xpk ( x ) − pk′ ( k ) . x2 + 1 : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬( ) ( ) ( ( ) ). ‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬p k + 1 : ‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬f (k+1) x= pk+1 x : ‫ﻨﺠﺩ‬ x2 + 1 k+2 ( ). n ‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬p n ‫ﺇﺫﻥ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬‫‪2,5‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1,5‬‬ ‫‪1‬‬‫‪0,5‬‬‫‪-0,5 0‬‬ ‫‪0,5 1 1,5 2 2,5 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 1‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ‪( )Un ≥ 1 : p n‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪ U 0 ≥ 1 : p ( 0‬ﻭ ﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪U0 = 10 :‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ) ‪ p( k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ )‪p( k + 1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪( )p k : Uk ≥ 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪( )p k + 1 : Uk+1 ≥ 1 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Uk ≥ 1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Uk ≥ 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ Uk+1 ≥ 1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ‪( ):‬‬ ‫= ‪( ) ( )U n − U n‬‬‫= ‪U n+1 − U n‬‬ ‫‪Un −Un‬‬ ‫‪Un + Un‬‬ ‫‪Un + Un‬‬ ‫=) (‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= Un‬‬ ‫‪1 − Un‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Un + Un‬‬ ‫‪Un + Un‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ Un ≥ 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪ 1 − Un ≤ 0 :‬ﻭ ‪ Un > 0‬ﻭ ‪ Un > 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ Un+1 − Un ≤ 0‬ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ‪( ).‬‬

‫‪ – 4‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪( )1‬‬ ‫‪ Un > 1‬ﻓﺈﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪-5‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=l‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ‬ ‫ﻟﻤﺎ ∞‪ n + 1 → +∞ : n → +‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻭﻥ‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ l = l :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ l2 = l :‬ﺃﻱ ‪l2 − l = 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ l l − 1 = 0 :‬ﺃﻤﺎ ‪ ) l = 0 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻷﻥ ‪( )( Un ≥ 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﺃﻭ ‪l = 1 :‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 6‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ Un‬ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪( )U0 + U2 = 2U1 :‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U0 + U1 + U2 = 15 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪ 3U1 = 15 :‬ﺇﺫﻥ‪U1 = 5 :‬‬‫⎧‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫‪U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬‫⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪33‬‬‫⎨‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫⎨‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪40‬‬‫‪⎩⎪ U 0‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫⎪⎩‬ ‫‪U2‬‬ ‫⎧‬ ‫‪U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪+ U2‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫⎨‬ ‫‪U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫×‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫⎪‬ ‫‪U0‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫⎩‬ ‫⎨‬ ‫‪U‬‬ ‫‪+ U2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫⎪⎩‬ ‫‪0 .U 2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ U0 ,U2 :‬ﻫﻤﺎ ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2 − 10 x + 16 = 0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆ = (1 0 )2 − u (1 6 ) :‬ﺃﻱ ‪∆ = 36 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x1 = 2 :‬ﻭ ‪ x2 = 8‬ﺇﺫﻥ ‪ U0 = 2 :‬ﻭ ‪U2 = 8‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪r = U1 − U0 = 5 − 2 = 3 :‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ‪Sn = U0 + U1 + ... + Un : Sn‬‬

‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 ) (U 0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪Un‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ n + 1‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪(3n +‬‬ ‫)‪4)(n + 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 7‬‬ ‫‪ -1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ : q‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪U5 = U1 × q4‬‬ ‫‪q4‬‬ ‫=‬ ‫‪1000‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪q4 = U5 :‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ q4 = 4 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ q2 = 2 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪. q = 2 :‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪Sn = 22 + 22 + 22 + ... + 2 2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪2 + ... +‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )2 +‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ Sn :‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺤﻴﺙ ‪q = 2 :‬‬ ‫‪1− 2 n‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪1− 2‬‬ ‫= ‪( )S n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪1 − qn‬‬ ‫=‬ ‫‪1− q‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫⎡‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎤‬ ‫‪⎣⎡ 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎦⎤ ‪2‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎥⎦‬ ‫⎤⎦ ‪2‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫×‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫‪⎡⎣ 1‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )2 × ⎣⎢⎡1 −‬‬‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪⎡⎣1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤⎦ ‪2‬‬ ‫‪2 ⎢⎡⎣1 −‬‬ ‫⎤‪n‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫⎦⎥‬‫= ‪Sn‬‬ ‫‪1− 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ‪:‬‬ ‫⎡‬ ‫‪2 ⎜⎝⎛ 1 −‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎞⎠⎟‬ ‫⎤‬ ‫‪( ) ( )lim‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪1+‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪2 = +‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪ – 4‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪: pn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫× ‪2 × ...‬‬‫= ‪( ) ( ) ( ) ( )pn‬‬

‫‪2 =1 + 2 + 3 + ... + n‬‬ ‫‪(1 + n )n‬‬ ‫= ‪( ) ( )p n‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 8‬‬ ‫‪ – 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ Un‬ﻭ ‪( ) ( ): Vn‬‬‫‪U n+1 − U n‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−2n + 2 (n +‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Un+1 − Un > 0 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬‫‪V‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪ln(n) − Ln(n + 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ln(n +‬‬ ‫)‪ln(n‬‬ ‫)‪ln(n + 1).ln(n‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪+‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫=‬ ‫)‪ln(n + 1).ln(n‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ n > 1 :‬ﻓﺈﻥ‪ ln(n) > 0 :‬ﻭ ‪Ln( n + 1) > 0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n‬‬ ‫⎞‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪n+‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪V‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−2‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎜‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫⎝‬ ‫‪U n − Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫⎟‬ ‫=‬ ‫⎠‬ ‫‪ – 3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ﻷﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ‪ Vn‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ) ( ) (‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪Un − Vn‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 9‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ U n‬ﻭ ‪( ) ( ): Vn‬‬ ‫‪U n+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪ln(n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪ln ( n‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪n‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪L‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪n + 1 > 1 :‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪n‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ Un+1 − Un > 0 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪Vn+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪ln (n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)−‬‬ ‫‪ln (n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= )‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞‬ ‫‪n‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪L‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪Vn+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪V‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ – 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ‪:‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪(U n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪⎡⎣ln ( n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln ( n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤⎦) ‪2‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n+‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎞‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪n+‬‬ ‫⎠⎟ ‪2‬‬ ‫⎜‬ ‫⎜⎝‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎟‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫=‬ ‫⎜ ‪lim ln‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‬ ‫∞ ‪⎜n → +‬‬ ‫⎛‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫⎟‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪n‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎜‬ ‫‪n‬‬ ‫⎟‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎜ ‪ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫⎟‬ ‫‪⎜1+‬‬ ‫⎠‪⎝ n‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﻴﻥ ﻷﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺘﺎﻥ ﻤﻌﺎ ‪.‬‬

. 10 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫– ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‬1U1 = 2+ U0 = 2+ 2 ⎛ 2 cos2 θ − 1 ⎞ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ = 2 + 4 co s 2 θ − 2 = 4 c o s 2 θ = 2 c o s θ 2 2 2 0 ≤ θ ≤ π : ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ θ > 0 ‫ﻭ‬ co s θ > 0 : ‫ﻷﻥ‬ 2 4 2 2U2 = 2 + U1 = 2+ 2 cos θ = 2 + 2 ⎛ 2 co s 2 θ − 1 ⎞ 2 ⎝⎜ 4 ⎠⎟ = 4 × c o s 2 θ = 2 cos θ = 2 co s θ 4 4 22U3 = 2+U2 = 2 + 2 c o s θ = 2 c o s θ = 2 cos θ 4 8 23 U n = 2 c o s ⎛ θ ⎞ : p (n ) ‫ – ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ‬2 ⎜⎝ 2n ⎟⎠ .‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬p ( 0 ) ‫ ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻭﻤﻨﻪ‬U 0 = 2 c o s θ : p ( 0 ) ‫ ﻨﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ‬- p(k ):U k = 2 c o s ⎛ θ ⎞ : ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ‬ ⎜⎝ 2k ⎟⎠p(k + 1) : U k+1 = 2 cos ⎛ θ ⎞ ⎝⎜ 2k+1 ⎠⎟U k+1 = 2+ Uk = 2 + 2 co s ⎛ θ ⎞ ⎝⎜ 2k ⎟⎠U k+1 = 2 + 2 ⎛ 2 co s 2 θ − 1 ⎞ = 4 cos2 θ = 2 cos θ ⎝⎜ 2 k +1 ⎟⎠ 2k+1 2 k +1 0≤θ ≤ π : ‫ﻟﻜﻭﻥ‬ cos θ > 0 : ‫ﻷﻥ‬ 2 2 k +1 ( ) ( ). n ‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬p n : ‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬p k + 1 ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ lim 2n = 0 : ‫ﻷﻥ‬ lim Vn = lim θ =0 -3 n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2n ( )Un = 2cos Vn : Un ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻘﺎﺭﺏ‬-4

‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺏ ﻨﺤﻭ ‪. 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 11‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 2U 0‬‬ ‫=‬ ‫‪3− 2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2 + U0‬‬ ‫‪2−1‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 2U 1‬‬ ‫=‬ ‫‪3+ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 + U1‬‬ ‫‪2+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 + 2U 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪2+ U2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪U3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪U4‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 2U 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪38‬‬ ‫=‬ ‫‪71‬‬ ‫‪2 + U3‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪( )Un > 0 : p n‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪ U 1 > 0 : p (1‬ﻭﻫﻲ ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻭﻤﻨﻪ ‪ p 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ p k‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﺈﻥ ‪ p k + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪( )p k :Uk > 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪( )p k + 1 : Uk+1 > 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Uk+1 > 0‬‬ ‫‪3 + 2U k‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪Uk > 0‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪2 + Uk‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ .‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ p n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ) ( ). n‬‬ ‫‪U n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 2U n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2+ Un‬‬‫ﻨﺤﻭ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ Un > 0 :‬ﻓﺈﻥ ‪ 2 + Un ≠ 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ Uk+1 :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪ - 3‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ) ‪U n ≤ 3 : p ( n‬‬

‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ U0 ≤ 3 : n = 0‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪U0 = −1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ p 0 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪( )p ( k + 1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪p ( k ) : U k ≤ 3 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪p ( k + 1 ) : U k + 1 ≤ 3 :‬‬‫‪U k+1 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 2U k‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2U k‬‬ ‫‪−2 3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Uk‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2+ Uk‬‬ ‫‪2 + Uk‬‬‫‪( ) ( ) ( )= 2 U k −‬‬ ‫‪3 + 3−Uk‬‬ ‫‪3 = 2 Uk −‬‬ ‫‪3 ≤ 3 Uk −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2+ Uk‬‬ ‫‪2+ Uk‬‬ ‫=) () (‬ ‫‪Uk − 3 2−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2+ Un‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ U k ≤ 3‬ﻓﺈﻥ ‪ U k − 3 ≤ 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪U k +1 − 3 ≤ 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪U k + 1 ≤ 3 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p ( k + 1 ) :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻤﻨﻪ ‪ p ( n ) :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪ – 5‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪( ):‬‬‫‪Vn+1‬‬ ‫=‬ ‫‪U n+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 2U n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪U n+1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 + Un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 + 2U n‬‬ ‫‪2 + Un‬‬ ‫‪= 3 + 2U n − 2 3 − U n 3‬‬ ‫‪3 + 2U n + 2 3 + U n 3‬‬ ‫‪(2 −‬‬ ‫‪) ( )3‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪(3 2 −‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫=(‬ ‫‪Un + 3 − 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 Un −‬‬ ‫‪(3 2 +‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪) ( )3 U n + 3 + 2 3 2 + 3 U n +‬‬ ‫‪( )2 −‬‬ ‫‪3 ⎡⎣U n −‬‬ ‫‪3 ⎤⎦ = 2 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.Vn‬‬ ‫‪3 ⎣⎡U n +‬‬ ‫‪3 ⎤⎦ 2 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪( )2 +‬‬

(2 − 3 )(2 − 3 ) : ‫ﺇﺫﻥ‬( ) ( )Vn+1 = 2 + 3 2 − 3 .Vn ( )2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 2− 3 : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬Vn+1 = 4 − 3 .Vn ( )2Vn+1 = 2 − 3 .Vn ( )V n + 1 = 7 − 4 3 V n : ‫ﺇﺫﻥ‬ ( )q = 7 − 4 3 ‫ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬Vn ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ V0 = U0 − 3 = −1 − 3 : ‫ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ U0 + 3 −1 + 3−1 −(( ))(( )) ( )V 0 =3−1 −3−1 + 3 −1 − 3 = 1+ 3 = 4+ 2 3 1− 3 −2 V0 = −2 − 3 : lim Vn ‫ﺏ– ﺤﺴﺎﺏ‬( ) ( )Vn = V0 .q n = − 2 + 3 7 − 4 3 n n→ +∞( )( )limVn ⎡ n⎤ ⎣⎢ ⎥⎦n→ +∞ = lim − 2+ 3 7−4 3 n→ +∞ ( ) ( )= lim − 2 + 3 2 − 3 2n = 0 n→ +∞ 0 < 2 − 3 < 1 : ‫ﻷﻥ‬ : lim Un ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬ n→+∞( )Vn U n + 3 = Un − 3 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ Vn = Un − 3 Un + 3 UnVn + Vn 3 = Un − 3 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ : ‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬UnVn − Un = −Vn 3 − 3 : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪−‬‬ ‫)‪3 (Vn + 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪U n (Vn − 1) = −‬‬ ‫)‪3 (Vn + 1‬‬‫= ‪Un‬‬ ‫‪Vn − 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3 (Vn +‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪3 :‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪Vn − 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 12‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ : α0‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪( ):‬‬ ‫‪Un+1 − Un = r‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( )Un+1 − Un = αUn + 3 − Un = Un α − 1 + 3 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ α − 1 = 0 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪α = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ Un+1 − Un = 3 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪. α = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 3‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪( ). α = 1 :‬‬ ‫‪ – 2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪α ≠ 1 :‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ Un‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪( ):‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Un+1 = Un : n‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ αUn + 3 = Un :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪( )α − 1 Un = −3 :‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻓﺈﻥ ‪( )U0 = Un :‬‬ ‫=‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪α −1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫=‬ ‫‪α −1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪ – 3‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ‪: q = α‬‬ ‫‪( )Vn+1 = βUn+1 + δ = β αUn + 3 + δ‬‬‫‪= αβUn + 3β + δ‬‬ ‫‪= αβUn + αδ − αδ + 3β + δ‬‬ ‫‪= α (β U n + δ ) − αδ + 3β + δ‬‬

‫‪= α Vn − αδ + 3β + δ‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ −αδ + 3β + δ = 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪δ (1 − α ) = −3β :‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫=‬ ‫‪−β‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪q=α‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫=‬ ‫‪−3β‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪1−α‬‬ ‫‪1−α‬‬‫‪ -‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ Vn‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﺎ ‪ − 1 < q < 1‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )−1 < α < 1 :‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪n→+‬‬‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(Vn‬‬ ‫‪−δ‬‬ ‫)‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Vn = β Un + δ :‬‬ ‫‪β‬‬‫‪( )lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= −δ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn − δ‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 13‬‬ ‫‪ – 1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: Sn‬‬ ‫‪ Sn‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n+1‬ﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q = 2‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎡‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪n+1‬‬ ‫⎤‬ ‫⎢‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎥‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪ – 2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ Un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪U1 = U0 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U 2 = U1 + 22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U 3 = U 2 + 23‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U n−1 = U n−2 + 2 n−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U n = U n−1 + 2n‬‬

‫‪Un‬‬ ‫‪= U0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻁﺭﻓﺎ ﻟﻁﺭﻑ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫⎡‬ ‫‪−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤ ‪⎞n+1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ Un = Sn :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪2 ⎢1‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪( ): Un‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫=‬ ‫⎡‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤ ‪⎞ n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim 2 ⎢1 −‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎥‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎣⎢ ∞ ‪n → +‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪ - 4‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ) ‪: (Un‬‬‫‪U n+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U‬‬ ‫=‬ ‫⎡‬ ‫‪−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤ ‪⎞n+2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎡‬ ‫‪−‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤ ‪⎞n+1‬‬ ‫‪2 ⎢1‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫⎥‬ ‫‪2 ⎢1‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫⎥‬ ‫‪n‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫⎦⎥‬ ‫⎣⎢‬ ‫⎢⎣‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n+2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n+1‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n+1‬‬ ‫⎡‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎦⎤⎥ ‪1‬‬ ‫=‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞ n+1‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪2‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪ Un+1 − Un > 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪ Un :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 14‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪( )2 − Un ≥ 0 : p n‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2 − U0 ≥ 0 : n = 0‬ﺃﻱ‪ 4 ≥ 0 :‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 0 :‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( ): p k + 1‬‬ ‫‪p(k): 2 −Uk ≥ 0‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪p (k + 1 ): 2 − U k+1 ≥ 0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2 − Uk ≥ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Uk ≤ 2 :‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 2 + Uk ≤ 4 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪2 + U k ≤ 2 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Uk+1 ≤ 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪2 − Uk+1 ≥ 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ). n‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻥ ‪Un ≥ 0 :‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪( )p n : Un ≥ 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪U1 ≥ 0 : n = 1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U1 = 2 + U0 = 2 − 2 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪ p 1 :‬ﻤﺤﻘﻘﺔ‪( ).‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪( )p k : Uk ≥ 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪( )p k + 1 : Uk+1 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Uk ≥ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Uk + 2 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ Uk + 2 ≥ 0 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. Uk+1 ≥ 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪( ). n‬‬ ‫‪ – 2‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪( ):‬‬‫= ‪U n+1 − U n‬‬ ‫⎡⎣ = ‪2 + U n − U n‬‬ ‫‪2 + U n − U n ⎤⎦ 2 + U n + U n‬‬ ‫‪2+ Un + Un‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 + Un + Un‬‬ ‫‪2 + Un + Un‬‬ ‫‪−U 2‬‬ ‫‪+ Un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆ = 9 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Un = 2 :‬ﺃﻭ ‪ Un = −1‬ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫‪−U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪− (Un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2)(Un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪)(Un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪U n+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‪− Un )(Un + 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2 + Un + Un‬‬

‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ 2 − Un ≥ 0 :‬ﻭ ‪ Un ≥ 0‬ﻓﺈﻥ‪Un+1 − Un ≥ 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪( ).‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻘﺎﺭﺏ ‪( ): Un‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2 − Un ≥ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Un ≤ 2 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Un‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 15‬‬ ‫‪ (1-I‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Un+1 − Un = Un × 0,06 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Un+1 = Un + Un × 0, 06 :‬‬ ‫)‪Un+1 = Un (1 + 0,06‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Un+1 = 1,06 × Un :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ Un :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). q = 1, 06‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ Un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪: n‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Un = U0 × qn :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( ). Un = 60. 1,06 n :‬‬ ‫‪ (3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬ ‫‪Sn = U0 + U1 + ... + Un‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪U0‬‬ ‫×‬ ‫‪1 − qn+1‬‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬ ‫×‬ ‫)‪1 − (1,06‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪1 − 1,06‬‬‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫× ‪60‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪(1, 0 6 )n+1‬‬ ‫=‬ ‫× ‪60‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪(1, 0 6 )n+1‬‬ ‫‪0,06‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪100‬‬‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪6000‬‬ ‫×‬ ‫⎡‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪)n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪6‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪1000‬‬ ‫×‬ ‫‪⎣⎡1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫⎦‬

‫‪ - II‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ Un‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ Un+1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪n + 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪Un+1 = Un + Un × 100 :‬‬ ‫‪Un+1 = Un + Un × 0,06‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ Un+1 = 1, 06.Un :‬ﻭ ﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Un = 60 1,06 n :‬ﺤﻴﺙ ‪( )U0 = 60 :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2000‬ﺒﺎﻟﻤﻼﻴﻴﻥ ‪.‬‬‫‪. U7‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‪ 2007‬ﻫﻭ ‪U7‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ U7 = 60(1,06)7 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪90, 22 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2007‬ﻫﻭ ﺤﻭﺍﻟﻲ ‪ 90,22‬ﻤﻠﻴﻭﻥ ﻨﺴﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 16‬‬ ‫‪ – 1‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ) ‪ ( V n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬‫‪( )Vn+1 = U n+ 2 − U n+1 = λ + 1 U n+1 − λ U n − U n+1‬‬‫‪= λUn+1 − λUn ( )= λ U n + 1 − U n = λ Vn‬‬‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )q = λ‬‬‫‪Vn‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪Vn+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ Vn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭ ‪: λ‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Vn =V0 .qn , V0 =U1-U0 = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. Vn = λ n :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: Sn‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫× ‪V0‬‬ ‫‪1 − qn‬‬ ‫=‬ ‫‪1− λn‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1− q‬‬ ‫‪1− λ‬‬ ‫ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪S n = U n − 1 :‬‬

V0 = U 1 − U 0 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ V1 = U 2 − U 1 V2 = U 3 − U 2 M V n-2 = U n −1 − U n − 2 V n -1 = U n − U n − 1 V0 + V1 + ... + Vn−1 = U n − U 0 : ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻁﺭﻓﺎ ﻟﻁﺭﻑ ﻨﺠﺩ‬ Un = 1− λn + 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ Sn = U n − 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 1− λ S ′ : ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ n S ′ = U 2 + U 2 + ... + U2 0 1 n−1 n Un = 1 − 3n + 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ Un = 1− λ +1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 1− 3 1− λ 1 1 : ‫ ﺃﻱ‬U n 1 + 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ ( )U n 2 2 2 = − + .3 n = − 1 − 3n ( )1 Un = − 2 1 + 3n( ) ( ) ( )S⎛1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2 2 ⎛ 1 ⎞2 2 ′ = ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 1 + 30 + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 1 + 31 + ... + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 1 + 3n−1 n( ) ( )S 1 ⎡ 2⎤ 1 ⎡ 2⎤′ = 4 ⎣⎢ 1 + 2.3 0 + 30 ⎦⎥ + 4 ⎢⎣ 1 + 2 .3 1 + 31 ⎦⎥ + ...n ( )... + 1 ⎡ 2⎤ 4 ⎣⎢ 1 + 2 .3 n−1 + 3 n−1 ⎦⎥ ( )S 1 ′ = 4 [ 1+ 1+ ... + 1 + 2 3 0 + 3 1 + ... + 3 n −1 n ( )+ 30 + 3 2 + ... + 3 2(n−1) ⎤ ⎦ S ′ = 1 ⎡ + 2× 1 − 3n + 1 − 32n ⎤ 4 ⎢n 1− 3 ⎥ n ⎣ 1− 32 ⎦ = 1 ⎡ − 1 + 3n + 1 − 3 2n ⎤ 4 ⎢n ⎥ ⎣ −8 ⎦

‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪−1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2n‬‬ ‫⎤‬ ‫‪4‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫⎦⎥‬‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 32n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎤‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪8‬‬ ‫⎦⎥ ‪8‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪: n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫⎞‬ ‫=‬ ‫‪225‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫⎠⎟‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ، 32n + 8.3n − 7209 = 0 :‬ﺒﻭﻀﻊ ‪ 3n = t :‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪ t 2 − 8t − 7209 = 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ t = 81 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪3n = 81 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. n = 4 :‬‬

‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻲ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺴﻁﺢ ﻤﻌﻁﻰ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻲ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺠﻭﻡ ﻟﻤﺠﺴﻤﺎﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻲ ﻟﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﺸﻁﺔ‪.‬‬ ‫– ﺘﻌﺭﻴﻑ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ‪.‬‬ ‫– ﺍﻟﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‪.‬‬ ‫– ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‪.‬‬ ‫– ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺠﻭﻡ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬

‫ﺃﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪f ( x ) = x − 1 :‬‬‫ﻭﺤﺩﺓ) (‬ ‫‪f‬‬ ‫∆‬ ‫‪ – 1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬‫⎛‬ ‫‪O‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫⎞‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬‫⎝⎜‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪;i‬‬ ‫‪,j‬‬ ‫ﺍﻟﻁﻭل ‪. cm‬‬‫‪ – 2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪ M ( x ; f ( x )) , N ( x ; 0 ) , A (1 ; 0‬ﻤﻥ ) ∆ ( ﺤﻴﺙ ‪x‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪.1‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ A N M‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪( )s x‬‬ ‫ﺏ – ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ s‬ﻭ ‪g‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ π f 2‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪G‬‬‫ﺩ – ﺃﺤﺴﺏ ﺤﺠﻡ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﺘﻭﻟﺩ ﻋﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ s x‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ) ‪ . V ( x‬ﻤﺎﺫﺍ) (‬ ‫ﺘﺴﺘﻨﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ∆ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( ): f‬‬ ‫)) ‪M ( x ; f ( x‬‬ ‫) ‪A (1;0 ) N ( x ; 0‬‬ ‫‪ -2‬ﺃ( ﺤﺴﺎﺏ ‪( ): s x‬‬‫= ) ‪s (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫أي ‪− 1 )2‬‬ ‫= ) ‪s (x‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪.N M‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪− 1 ).f‬‬ ‫) ‪(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪s (x‬‬ ‫‪⎛1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪⎝⎜ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل‬ ‫ﺏ( ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ :1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪f f‬‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪g‬‬ ‫=) ‪g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x+λ‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ g (1 ) = 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=) ‪g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪ s x = g x‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ s‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( ) ( ). f‬‬ ‫ﺝ( ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ π f 2‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪f 2(x) = x2 − 2x + 1‬‬ ‫ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ G1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f 2‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬‫‪G‬‬ ‫= ) ‪ G 1 ( x‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ π f 2‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x+λ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪G‬‬ ‫= ) ‪(x‬‬ ‫‪π x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ G = πG1‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺩ ( ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺠﻡ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ s x‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻴﻨﺘﺞ ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﻗﺎﻋﺩﺘﻪ ‪ f x‬ﻭ) ( ) (‬ ‫=)‪V (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 .h‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ‪x − 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=)‪V (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎣⎡‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x )⎤⎦ 2 . f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫= )‪V (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎡⎣‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x )⎤⎦ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( )V‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x3 − 3x2 + 3x − 1‬‬ ‫=)‪V (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﺤﺠﻡ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﺘﻭﻟﺩ ﻋﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ s x‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻫﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( )π f 2‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪: 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫⎛‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫⎞‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫⎜⎝‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪[0 ; 1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪f ( x ) = x 2 :‬‬‫‪ A‬ﻤﺴﺎﺤﺔ) (‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﻨﺭﻴﺩ‬ ‫⎛‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫⎞‬ ‫‪ ،‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪Cf‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ‬ ‫⎜⎝‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬‫ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ‪x = 0 :‬‬ ‫ﻭ ‪x=1‬‬‫ﻨﻘﺴﻡ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [0 ; 1‬ﺇﻟﻰ ‪ n‬ﺠﺯﺀﺍ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻜل ﺠﺯﺀ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ n ∈ ∗ 1‬ﻜﻤﺎ) (‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺒﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ‪.‬‬‫‪32‬‬‫‪n2‬‬‫‪22‬‬‫‪n‬‬‫‪1‬‬‫‪n‬‬ ‫‪1 2 3b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nn n‬‬‫‪ Vn‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ l‬ﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ un‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﺍﺓ ﻓﻲ ‪ l‬ﻭ ﻨﺴﻤﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻭﻱ ‪. l‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ un ≤ A ≤ Vn :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬‫‪ (4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪12 +‬‬ ‫‪22 +‬‬ ‫‪32 +‬‬ ‫‪42 +‬‬ ‫‪..... +‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫=‬ ‫)‪n (n + 1)(2 x + 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n V ul i m‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪ (5‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ gλ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪. A‬‬ ‫‪ (6‬ﺍﺤﺴﺏ ) ‪ . gλ (1) − g ( 0‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﺨﻤﻴﻨﻙ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪(n ) : 1 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪..... +‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )(2n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫> )‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n = 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 02 = 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ p 0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ) (‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ) ‪ p ( k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪p ( k + 1‬‬ ‫‪ p ( k ) : 1 2 +‬ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪22 +‬‬ ‫‪.... +‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫=‬ ‫‪k (k‬‬ ‫‪+ 1 )(2 k‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪6‬‬‫‪p (k‬‬ ‫= ‪+ 1 ) : 1 2 + 2 2 + ... + k 2 + (k + 1 )2‬‬ ‫) ‪(k +1 )(2k +1 )(2k + 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪+22‬‬ ‫‪+...k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+1)2‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫( )‪+1‬‬ ‫‪2k‬‬ ‫)‪+1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+1)2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫⎤⎦) ‪( k + 1 ) ⎣⎡ k ( 2 k + 1 ) + 6 ( k + 1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪(k +1 )(2 k 2 + 7 k + 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )(k‬‬ ‫‪+ 2 )(2 k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p n :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ). n‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ un‬ﻭ ‪: Vn‬‬

Un = 1 . 1 + 1 + 22 + 1 . 1 + ... + 1 . ( n −1 )2 n n2 n n2 n n3 n n2 ( )1 U n = n3 1 + 2 2 + 3 2 + ... + (n − 1 )2 Un = 1 ⎡(n − 1)n(2n − 1)⎤ ⎢ ⎥ n3 ⎣ 6 ⎦ Un = (n − 1 )(2n − 1) : ‫ﺇﺫﻥ‬ 6n2 Vn = 1 . 12 + 1 . 22 + .... + 1 . ( n −1 )2 + 1 . n 2 n n2 n n2 n n2 n n 2 Vn = 12 ⎡⎣ 1 2 + 2′2 + ..... + n 2 ⎦⎤ n3 Vn = 12 ⎛ n (n + 1)(2n + 1) ⎞ : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ⎜ ⎟ n 3 ⎝ 6 ⎠ Vn = n (2n + 1) 6n2 : lim Vn ‫ﻭ‬ lim u n : ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬3 n→ +∞ n → +∞lim u = lim (n − 1)(2n − 1) = lim 2n2 − 3n + 1 6n2n→ +∞ n n→ +∞ 6n2 n→ +∞ = lim 2n2 = 2 = 1 6n2 6 3 n→ +∞ lim un = 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 3 n→ +∞( )l i mn→ +∞V = lim n 2n + 1 = lim 2n2 + n = lim 2n2 = 2 6n2 6n2 6n2 6 n n→ +∞ n→ +∞ n→ +∞ lim V = 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 3 n→ +∞ n : A ‫( ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻗﻴﻤﺔ‬4 lim V = 1 ‫ﻭ‬ lim u n = 1 ‫ﻭ‬ U n ≤ A ≤ Vn : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 3 3 n→ +∞ n n→ +∞ A= 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 3

‫‪ (5‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ gλ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( x ) = x 2 :‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ gλ‬ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫= )‪gλ ( x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+λ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ (6‬ﺤﺴﺎﺏ ‪g λ (1 ) − g λ ( 0 ) :‬‬‫‪g λ (1 ) −‬‬ ‫= ) ‪g λ (0‬‬ ‫⎛‬ ‫‪(1 )3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫⎞‬ ‫⎛‬ ‫‪(0 )3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫⎞‬ ‫⎜⎜⎝‬ ‫‪⎟⎠⎟ −‬‬ ‫⎝⎜⎜‬ ‫⎟⎟⎠‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ‪ :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ) ‪ g λ (1 ) − g λ ( 0‬ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ‪ λ‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ) ‪ g λ (1 ) − g λ ( 0‬ﻴﻤﺜل‬‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ) (‬‫ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ‪ . x = 1 ، x = 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪g λ (1 ) − g λ ( 0 ) = A :‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a . I‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻜﻴﻔﻴﺎﻥ ﻤﻥ ‪ . I‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻭ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺃﺼﻠﻴﺘﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ I‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬‫‪ λ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪g ( x ) = h ( x ) + λ :I‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g (b ) − g (a ) = ⎣⎡h (b ) + λ ⎦⎤ − ⎣⎡h (a ) + λ ⎤⎦ :‬‬ ‫) ‪= h (b ) − h (a‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ g b − g a‬ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ) ( ) (‬ ‫ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ a :‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ⎦⎤) ‪ ⎣⎡ g ( b ) − g ( a‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ‪ a‬ﺇﻟﻰ ‪ b‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪. g (b ) − g (a ) = ∫ f ( x )d x :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪( ) ∫b‬‬ ‫ﻴﻘﺭﺃ ‪ \" : f ( x ) dx‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ‪ a‬ﺇﻟﻰ ‪\" f x dx :≥ b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ f x dx :‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺒﺩﻴل ‪ x‬ﺒﺄﻱ ﺤﺭﻑ ﺁﺨﺭ ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ‪∫ ( )a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ f‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩل ﺃﺸﻴﺎﺀ ﻤﻌﻴﻨﺔ ‪.‬‬ ‫‪b bb‬‬ ‫ﻓﻨﻜﺘﺏ ‪∫ f ( x )d x = ∫ f (t )d t = ∫ f ( z )d z :‬‬ ‫‪a aa‬‬‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬‫∫‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x )dx‬‬ ‫=‬ ‫‪g (b) −‬‬ ‫= )‪g (a‬‬ ‫⎡⎣‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫⎦⎤‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺎﺩﺓ ‪:‬‬‫‪a‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻵﺘﻲ ‪∫ ( )x2 − 4 x + 5 dx :‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x2 − 4 x + 5 : f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫∈‪λ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫‪x 3 − 4x + 5‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪⎡⎣ g‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫⎦⎤)‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪(2) −‬‬ ‫‪g‬‬ ‫) ‪(1‬‬ ‫‪1‬‬‫=‬ ‫‪⎡1‬‬ ‫‪(2 )3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2 (2 )2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤⎦⎥) ‪5 ( 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪⎡1‬‬ ‫‪(1 )3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2 (1 )2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫)‬ ‫⎤‬ ‫‪⎣⎢ 3‬‬ ‫‪⎢⎣ 3‬‬ ‫⎥⎦‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪− 8 + 10 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪2− 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‪−1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪g ( x ) = ∫ f (t )dt‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ a ، I‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻥ ‪ . I‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪g(x) = ∫ f (t)d :‬‬ ‫‪a‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪: I‬‬ ‫) ‪g ( x ) = h( x ) − h(a‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( )g′ x = h′ x : I‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g (a ) = h (a ) − h (a ) = 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ g‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪a‬‬

‫ﺨﻭﺍﺹ‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ c, b, a‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪cbc‬‬ ‫‪∫ f (x )d x = ∫ f (x )d x + ∫ f (x )d x‬‬ ‫‪a ab‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻨﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻬﺎ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪ . I‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪c, b, a‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫))‪g (c) − g (a) = (g (c) − g (b)) + (g (b) − g (a‬‬ ‫‪c cb‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx :‬‬ ‫‪a ba‬‬ ‫‪bbc‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx :‬‬ ‫‪aab‬‬ ‫ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬ ‫‪aaa‬‬ ‫ﺃ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = b = c :‬ﻴﻜﻭﻥ ‪∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx :‬‬ ‫‪aaa‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪∫ f ( x ) d x = 0 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ c = a‬ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪a ba‬‬ ‫‪∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx‬‬ ‫‪aab‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪0 = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx :‬‬ ‫‪ab‬‬

‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 2‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ‪ .‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ‬ ‫‪bb‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∫ ∫λf ( x )dx = λ f ( x )dx :‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪ . I‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ λ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻫﻲ ‪λ g‬‬‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬‫‪∫ λf‬‬ ‫‪(x )d x‬‬ ‫=‬ ‫‪⎡⎣ λ g‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫⎦⎤‬ ‫=‬ ‫‪λg‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪)−‬‬ ‫‪λg‬‬ ‫) ‪(a‬‬‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪= λ (g (b) − g (a)) = λ ∫ f ( x)dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 3‬‬ ‫‪ f2 , f1‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪b bb‬‬ ‫‪∫ ⎡⎣ f 1 ( x ) + f 2 ( x )⎦⎤d x = ∫ f 1 ( x ) d x + ∫ f 2 ( x ) d x‬‬ ‫‪a aa‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫‪ f2 , f1‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬ﻟﺘﻜﻥ ‪g2 , g1‬‬ ‫ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺼﻠﻴﺘﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f2 , f1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ . I‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∫ ⎡⎣ f1 ( x ) +‬‬ ‫= ‪f 2 ( x )⎦⎤dx‬‬ ‫‪⎡⎣ g1 ( x ) +‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫⎦⎤)‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f 2 + f 1‬ﻫﻲ ‪ g 2 + g 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪b‬‬‫⎤⎦)‪∫ ⎡⎣f 1 (x ) + f 2 (x )⎦⎤ dx= ⎣⎡g1 (b ) + g 2 (b )⎦⎤ - ⎣⎡g1 (a) + g 2 (a‬‬‫‪a‬‬ ‫⎤⎦) ‪= ⎡⎣ g 1 ( b ) − g 1 ( a )⎤⎦ + ⎣⎡ g 2 ( b ) − g 2 ( a‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪= ∫ f 1 ( x )d x + ∫ f 2 ( x )d x‬‬ ‫‪aa‬‬

‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 4‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a . I‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪. a ≤ b :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a; b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪[ ]:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪. ∫ f ( x )dx ≥ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻷﻥ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪.g‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a ≤ b‬ﻓﺈﻥ ‪ g a ≤ g b‬ﺃﻱ ‪( ) ( )g (b ) − g (a ) ≥ 0 :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪∫ f ( x)dx ≥ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a;b‬ﻓﺈﻥ ‪∫ ( ) [ ]f x dx ≤ 0 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪[ ]( ) ( )f1 x ≤ f2 x : a;b‬‬‫‪bb‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ f2 , f1‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪ a;b‬ﻓﺈﻥ ‪∫ ∫ [ ]( ) ( )f1 x dx ≤ f2 x dx :‬‬‫‪aa‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 5‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ . I‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻥ ‪a. I‬‬ ‫ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬ ‫‪ m‬ﻭ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ‪m ≤ f ( x ) ≤ M :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪m (a − b) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) :‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺤﻴﺙ ‪a < b :‬‬‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪0≤ f (x) ≤ M‬‬ ‫‪b‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪ 0 ≤ f ( x )dx ≤ M (a − b ) :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪∫. b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ m ≤ f x ≤ M :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻭ ‪( )a‬‬‫ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻥ ‪ I‬ﺤﻴﺙ ‪ a < b :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪:‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪∫ mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ Mdx‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬‫‪∫[mx]b ≤ f ( x)dx ≤ [ Mx]b‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪a‬‬‫‪b‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪m (b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) :‬‬ ‫‪a‬‬‫ﺠـ( ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 0 ≤ f ( x ) ≤ M :‬ﻓﺈﻥ ‪− M ≤ f ( x ) ≤ M :‬‬ ‫ﻤﻥ )ﺃ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a < b :‬‬ ‫‪b‬‬‫)‪− M (b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: b < a :‬‬ ‫‪a‬‬‫) ‪−M (a − b ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (a − b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪−M (a − b ) ≤ −∫ f ( x )dx ≤ M (a − b ) :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪−M (a − b ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (a − b ) :‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪∫ f ( x )dx ≤ M b − a :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪ f ( x ) = 1 :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 1 ; 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. ln 3‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻨﺘﺠﺎ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x )dx‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ‪−‬‬ ‫ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ] ‪. [1 ; 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪1 ≤ x ≤ 3 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x)≤ 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫≤‪3‬‬‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫≤ )‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x)dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪1(3‬‬ ‫)‪− 1‬‬‫‪3‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬‫‪∫2‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x )dx‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬‫‪3‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln 1‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫‪[ln‬‬ ‫‪]x‬‬‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫≤ ‪ln 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‬‫‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﺎﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺘﺎﻥ ‪ f ′‬ﻭ ‪ g′‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻥ ‪. I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ t‬ﻤﻥ ‪: I‬‬ ‫) ‪( f .g )′ ( t ) = f ′ ( t ) .g ( t ) + f ( t ) .g′ ( t‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪∫ ( f × g )′ ( t ) d t = ∫ ⎡⎣ f ′ ( t ) . g ( t ) + f ( t ) . g ′ ( t )⎦⎤ d t‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬‫⎡⎣‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫⎦⎤‬ ‫=‬ ‫∫‬ ‫‪f ′(t).g (t )dt‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∫‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(t ).g′(t )dt‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∫f‬‬ ‫‪′ (t‬‬ ‫‪).g‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫‪)dt‬‬ ‫=‬ ‫‪⎡⎣f‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫‪).g‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫)‬ ‫⎤⎦‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∫f‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫‪) .g ′(t‬‬ ‫‪)dt‬‬ ‫‪aa‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﻭ ﺫﻟﻙ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺃﺴﻬل ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻭﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻭل ‪.‬‬‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪2‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪ g‬ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪f ( x ) = x sin x‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫= ) ‪∫g ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin tdt‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪xx‬‬ ‫‪x‬‬‫∫‬ ‫‪g ′ (t ) .s (t )d t‬‬ ‫=‬ ‫‪⎣⎡ g‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫‪) .s‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫)‬ ‫⎦⎤‬ ‫‪π‬‬ ‫‪− ∫ s ′ (t ) g (t )d t‬‬‫‪π 2π‬‬‫‪22‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ g′( t ) = sin t :‬ﻨﺠﺩ ‪g( t ) = −cost :‬‬ ‫‪ s (t ) = t‬ﻧﺠ ﺪ ‪s ′ (t ) = 1‬‬ ‫ﻭﺒﻭﻀﻊ‪:‬‬

‫‪xx‬‬ ‫∫‬ ‫‪t sintdt‬‬ ‫=‬ ‫[‬ ‫‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪]x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∫ −costdt‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π 2π‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‬ ‫[‬ ‫‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪]x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫[‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪]x‬‬ ‫=‬ ‫‪[−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪]x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪[−x‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫]‬ ‫‪−‬‬ ‫‪⎡⎣⎢−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎤‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∫ t sin tdt = − x cos x + sin x − 1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ] ‪ ( C ) .[a ; b‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‪f‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬‫ﻤﻥ) (‬‫‪D‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫) ‪ ( C‬ﻫﻭ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪ .‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺃﺴﻔل‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫‪,‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪ (C‬ﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪x = a :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻭ‪x = b‬‬ ‫‪∫ f (x )dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫‪o‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪i‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ (1‬ﻴﻌﺭﻑ ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻴﻥ ) ‪ ( x ; y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ a ≤ x ≤ b‬ﻭ)‪0 ≤ y ≤ f (x‬‬‫‪ (2‬ﺘﻌﻁﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻭ ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺸﻌﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﺤﻴﺙ) (‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫‪r‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫) ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ ‪( cm‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪. f ( x ) = x 2 + 4 :‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪( )O‬‬ ‫;‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫) ‪ ( C‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬‫ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪y=0 , x=1 , x=0‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 0 ; 1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪[ ]:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪A = ∫ f (x )dx = ∫ ( x 2 + 4)dx‬‬ ‫‪00‬‬‫‪( )g‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+ 4x + c‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫⎡‬ ‫‪x3‬‬ ‫⎤‬ ‫‪1‬‬ ‫⎢‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫⎣‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫×‪3‬‬ ‫‪2cm 2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪⎦0‬‬ ‫⎛⎡‬ ‫‪(1 )3‬‬ ‫⎞‬ ‫⎛‬ ‫‪03‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(0‬‬ ‫)‬ ‫⎞‬ ‫⎤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫⎢‬ ‫⎝⎜⎜‬ ‫‪+‬‬ ‫⎜‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎟‬ ‫⎥‬ ‫‪0‬‬ ‫×‬‫‪A‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 (1 ) ⎟⎟⎠ −‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫⎛‬ ‫‪13‬‬ ‫⎞‬ ‫×‬ ‫‪6cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫‪A = 26cm 2‬‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪ . a < b :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﻭ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [a ; b‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪[a ; b‬‬ ‫‪α >0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ g ( x ) = α :‬ﺤﻴﺙ‬‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻰ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﺘﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺃﺴﻔل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻭ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫ﺃﺴﻔل ‪ C g‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻭ ﺘﻌﻁﻲ) ( ] [‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪∫α‬‬ ‫‪b−a a‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪f ( x ) d x :‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪y=α‬‬ ‫)‪(Cg‬‬ ‫‪Oa‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪f ( x ) = x 2 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪. [0 ; 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]0 ; 2‬‬‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪ f‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [0 ; 2‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪ α‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( x )dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2dx‬‬ ‫‪2−0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬‫=‬‫‪∫ ∫α‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1 ⎡ x3 ⎤2‬‬ ‫=‬ ‫‪1 ⎡ 23‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎤ ‪03‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎦0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎦‬

‫=)‪g(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻓﺈﻥ] [‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( )f‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪y = 0 , x = b , x = a :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f (x )dx‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪∫ f (x )dx‬‬ ‫‪∫−‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪∫ ( )1 b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪x dx :‬‬ ‫‪b−a a‬‬‫ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ‬ ‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺤﻴﺙ ﻤﻥ] [‬‫‪ f ( x ) > g ( x ) : a;b‬ﻓﺈﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻥ ‪ C f‬ﻭ ‪( ) [ ]( )Cg‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ‪ x = b , x = a :‬ﺘﻌﻁﻰ ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪∫ f ( x )dx − ∫ g ( x )dx‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪ g ( x ) = x − 3 , f ( x ) = x 2 − 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ ‪( cm‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( )C f‬‬

‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪y = 0 , x = 0 , x = − 2 :‬‬ ‫ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪A1‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻥ ‪( )C f‬‬ ‫ﻭ ) ‪ ( C g‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪x = 2 , x = 1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪A2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1A1 0‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪ f‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ ⎡⎣ −‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ (3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: A1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ⎤⎦ ‪2 ; 0‬‬ ‫‪A1 = ∫ f ( x )dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2‬‬‫‪A1 = ∫ ( x 2 − 2 )d x‬‬ ‫‪0‬‬

2⎡ 3 ⎤ ( ) (A1 ⎡ x3 ⎤ − - 2 ⎥ ⎡ 03 ⎤ ⎢ 3 ⎥ 3 -2 ⎥ ⎢ 3 ⎥ = ⎣ - 2 x = ⎢ - )3 ⎥⎦ - ⎣ -2 (0 ) ⎢ ⎦0 ⎣⎢ ⎦ A1 = 43 cm 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ A1 = −2 3 + 2 3 3 3 : A2 ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬4 [ ]f ( x ) > g ( x ) : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬1 ; 2 ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ 22 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ A2 = ∫ f (x )dx − ∫ g ( x )dx 11 22 = ∫ ( x2 − 2)dx − ∫ ( x − 3)dx 11 ⎡ x3 ⎤ 2 ⎡ x2 ⎤ 2 ⎢ 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎣ − 2 x − ⎣ − 3 x ⎦1 ⎦3= ⎡ ( 2)3 -2( 2 ⎤ - ⎡ (1)3 -2 ⎤ - ⎡ ( 2)2 -3 ( ⎤ + ⎡ (1)2 -3 ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ 3 )⎥ ⎢⎣ 3 (1)⎥ ⎣⎢ 2 2)⎥ ⎢⎣ 2 (1)⎥ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎦⎥ ⎥⎦ A2 = ⎛ 8 − 4 − 1 + 2 − 2 + 6 + 1 − 3 ⎞ c m 2 : ‫ﺇﺫﻥ‬ ⎝⎜ 3 3 2 ⎟⎠ : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ A2 = 11 c m 2 : ‫ﺃﻱ‬ A2 = ⎛7 + 1 − 1 ⎞ cm 2 6 ⎜⎝ 3 2 ⎠⎟