دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫‪G G JG‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫‪O ;i, j,k‬‬‫‪ .‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ  ‪  P c‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ  ‪F  2 ; 4 ; 4‬‬‫ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪  4 x  6 y  5 z  3 0 :‬‬ ‫‪G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬‫‪O ;i, j,k‬‬‫‪ .‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫‪ -‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ Pc‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‬‫‪ A 1;1;2‬ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪   2x  3 y  z 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪. C 0;2;1 ، B 3;1;0 ، A1;1;1‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ C‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ . AB‬‬‫‪   G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪13‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O;i, j, k‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ 5 x  y  3z  1 0 :‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. A0;1;3‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A 0;1;3‬ﻭ ‪   . P‬‬‫‪   G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪14‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O;i, j, k‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪، A 1;2;1‬‬ ‫‪D1;1;9 ، C 2;0;1 ، B0;1;1‬‬‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ C ، B ، A‬ﺘﻌﻴﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ ‪ . ABC‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ D‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ . ABC‬‬‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪15‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O;i, j, k‬ﻨﻌﺘﺒﺭ‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪D3;1;2 ، C 0;5;1 ، B 2;3;0 ، A5;2;4‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺤل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M x; y; z‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪. 2MA2  MB2  MC 2  MD2 20 :‬‬

‫‪ G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪16‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O;i, j, k‬ﻨﻌﺘﺒﺭ‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁ  ‪ . C 1;0;4 ، B 3;  1; 4  ، A  1; 2;  1‬‬‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪JG‬ﺍﻟ‪J‬ﻨﻘ‪J‬ﻁ‪ M x; yJ;JzJJG‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤ‪JG‬ﻤﺎ‪J‬ﻴ‪J‬ﻠﻲ‪ JJJ:JG‬‬‫‪JAJJMG J.JBJCJG 10 (2‬‬ ‫‪BM .AC 0 (1‬‬‫‪MB.MC 0 (4‬‬ ‫‪AM 2  BC 2‬‬ ‫‪100 (3‬‬ ‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪. M A . M B B C 2 (5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪17‬‬ ‫‪ ABCDEFGH‬ﻤﻜﻌﺏ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻁﻭل ﺤﺭﻓﻪ ‪. m‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍ‪G‬ﻟ‪J‬ﺠ‪J‬ﺩﺍ‪J‬ﺀﺍ‪G‬ﺕ‪J‬ﺍﻟ‪J‬ﺴ‪J‬ﻠﻤﻴﺔ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪JJJG JJJG :‬‬ ‫‪HJJBJG.BJJAJG (2‬‬ ‫‪JAJJHG J.BJJFG (1‬‬ ‫‪AE.BG (4 AB.AO (3‬‬‫‪ G G G JG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪18‬‬‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. i 1 ، D;i, j, k‬‬‫‪ ABCDEFGH‬ﻤﻜﻌﺏ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻁﻭل ﺤﺭﻓﻪ ‪ . m ! 1 m‬‬‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀ‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ‪.‬‬‫‪1) DC .DG‬‬ ‫‪2) AG .EC‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪3)AB.AO‬‬ ‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪J J J G J J JG‬‬‫‪4 ) A B .B G‬‬ ‫‪5 ) H F .G C‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــﻭل‬  JJJG JJJG 1 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : A B , A C ‫ ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﺴﺎ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ‬-1J J JG J J JG  J J JG J J JGA B .A C J J JG J J JG AB . AC .cos AB , AC 16  J J JG J J JG 4 u 8.cos A B , A C  J J JG J J JG 16 ‫ﺇﺫﻥ‬ cos A B , A C 32  JJJG JJJG 1 ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 2 cos AB, AC J J JG J J JG J J JG J J JG 2π AB, AC AB , AC 3  4 π ‫ﺃﻭ‬ 2kπ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 3  2kπ  k ]J J JG J J JG 2 J J JG J J JG 2 : ‫ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬-2A B JJJGA CJJJG  A B  A C JJJG JJJGAB2  2AB.AC  AC 2  AB2  2AB.AC  AC 2 2AB2  2AC 2 216  264 160J J JG J J JG 2 J J JG J J JG 2A B  A C JJJG AJJBJG A C JJJG JJJGAB2  AJCJJG2 JJ2JGAB.AC  AB2  2AB.AC  AC 24AB.AC 416 64

2 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ > @. AB ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬I ‫ﻟﺘﻜﻥ‬    MA2  MB2 AB2 ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬1 JJJG JJG 2 JJJG JJG 2 AB2 MI  IA  MI  IB    JJJG JJG 2 JJJG JJG 2 AB2 MI  IA  MI  IA AB2 JJJG JJG JJJG JJGMI 2  2MI .IA  IA2  MI 2  2MI .IA  IA2 2MI 2  2IA2 AB2 2MI 2 AB2  2IA2 ·2 2MI2 AB 2  2 § AB ¹¸ ¨© 2 2MI 2 AB2  1 AB 2 1 AB2 2 2 1 AB2 MI2 4> @.AB‫ﺃﻱ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬ 1 AB ‫ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬ I ‫ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ M ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ 2 1 AB2 MA2  MB2 2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬2    JJJG JJG M I  IA 2 JJJG JJG 2 1 AB2 M I  IB 2  J J JG J JG J J JG J JG 1 AB2M I 2  IA 2  2 M I .IA  M I 2  2 M I .IA  IA 2 2 J J JG J JG 1 A B 2 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ J J JG J JG 1 AB2 M I .IA 8 4 M I .IA 2 J JG J J JG  1 AB 2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ IA .IM 8  : ‫ ﻓﻴﻜﻭﻥ‬IA ‫ ﻋﻠﻰ‬M ‫ ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ‬H ‫ﻨﻔﺭﺽ‬

JJG JJJG  1 A B 2 : ‫ﺇﺫﻥ‬ JJG JJJG JJG JJJGIA .IH 8 IA .IM IA .IH IH 2 IA :‫ ﻭﻤﻨﻪ‬I A . I H 1 A B 2 : ‫ﺇﺫﻥ‬ AB 2 2 1 A B : ‫ﺃﻱ‬ IH AB : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ IH AB 2 . H ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬AB ‫ ﻫﻲ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ‬M ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ JJJG JJJG MA.MB 1 AB2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬3 4   J J JG J JG J J JG J JG 1 AB2 M I  IA M I  IB 4   JJJG JJG J JJG J JG 1 AB2 M I  IA M I  IA 4 MI 2  IA2 1 AB2 4 1 MI 2 IA2  4 AB2 MI 2 § 1 A B ·2  1 A B 2 1 AB 2 ¨© 2 ¸¹ 4 2. 2 AB ‫ ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬I ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ 2  JJJG 3 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ BC 2 JJJG JJJG 2 BA  AC  JJJG BC 2 JJJG JJJG 2 AC  AB BC 2 J J JG 2  JJJG JJJG  J J JG 2 AC 2AC .AB AB J J JG J J JG B C 2 A C 2  A B 2  2 A C . A B . c o s A C . A B  J J JJG J J JG 8 1 1 2 1  4 9  2 .1 1 .7 c o s A C , A B  J J JG J J JG 8181  170 170  154 cos A C , A B  J J JG J J JG  154.cos A C , A B  J J JG J J JG 89 154 cos A C , A B

‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪cos AC , AB‬‬ ‫‪ J J JJG J J JG‬‬ ‫‪154‬‬ ‫‪ c o s A C , A B  0 , 5 7 8‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ Aˆ  54,7q :‬‬ ‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪ 54,7q‬‬ ‫‪AC ,AB‬‬‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ‪AC 2 BA2  BC 2  2 BA.BC .cos Bˆ :‬‬ ‫ˆ‪121 49  81  2.7.9cos B‬‬ ‫‪1‬‬‫ˆ‪cos B‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ 9‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪2.7.9cos Bˆ :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ Bˆ  85,9q :‬ﻟﻜﻥ ‪Aˆ  Bˆ  Cˆ 180q :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ Cˆ 180q  Aˆ  Bˆ :‬ﺃﻱ ‪Cˆ 180q -54,7q -85,9q :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. Cˆ  39,4q :‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪: S‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪S  1 .9.7.sin 85,9q‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪.BA.sin‬‬ ‫ˆ‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﻭﺤﺩﺓ ﻤﺴﺎﺤﺔ ( ‪S  31, 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪: M3 ، M2 ، M1‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪M3 o; y;z  ، M2  x;o;z  ، M1  x; y;o :‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪: M6 ، M5 ، M4‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪M 6 o;o;z  ، M5 o; y;o ، M4  x;o;o :‬‬

5 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ JJJG JJJG AB.BC .cos π : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ‬ AB.BC 2JJJG JJJG a.a.o 0AB.CD AB.CD.cos π a.a.1 a2 JJJG JJJG AB. AHJJJG JJJG AB.AH .cosJJπ2JG 0 JJJGAB.AG AB.AG.cos AB, AG AG2 AB2  BC 2 : ‫ﻟﻜﻥ‬AG a 2 : ‫ ﺃﻱ‬AG 2 a 2  a 2 2a 2 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬JJJG JJJG a2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬AB. AG a.a 2 .cos π a.a 2. 2 4 2JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AB.DF DC.DF DC.DF .cos DC, DFJJJG JJJG DF AG a 2 : ‫ﻟﻜﻥ‬AB.DF : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ a.a 2 cos π a2 4 6 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬  JJJG : ‫ ﻭﺤﻴﺩ‬ABJCJJG ‫ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬-1JJJG AC 1;0;1 ،JAJJGB JJJ1G;1;0 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬AB ‫ﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ﻜﻭﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬J‫ﻟﻴ‬JJAG C ‫ ﻭ‬AB ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬AC ‫ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬  . ABC ‫ﻭﺤﻴﺩﺍ‬JJ‫ﻭﻴﺎ‬JG‫ ﺘﺸﻜل ﻤﺴﺘ‬A, B,C ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ED 2;2;2JJJG: ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  ? ABC ‫ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ED ‫ﻫل‬

‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪JEJDJG .JAJJBG 21  21  2u 0 0‬‬ ‫‪ED.ACJJJG2JJJG1  2u 0  2JJ1JG 0‬‬‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ ED‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ ABC‬ﻭﻤﻨﻪ ﻓﻬﻭ‬ ‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ . ABC‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫‪u.v 51  2.6  x 1‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪: x‬‬ ‫‪5GG12  x 7  xG G‬‬ ‫ﻴﺘﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪u.v 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 7  x 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x 7 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪ G G JG 8‬‬ ‫ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ‪ O;u, v, w‬ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺎ ‪:‬‬ ‫‪JG G G‬‬ ‫ﺍﻷﺸﻌﺔ ‪ w ، v ، u‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﻭﺍﻤل ‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫§‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪9‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪1 :‬‬ ‫‪v‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫‪G‬‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪7‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪JG‬‬ ‫§‬ ‫‪9‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪w‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫·‬ ‫‪u‬‬ ‫§‬ ‫‪2‬‬ ‫·‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪7‬‬ ‫·‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫·‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫§·‬ ‫‪9‬‬ ‫·‬ ‫‪0‬‬ ‫‪u .v‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫©¨ ¸‪¹‬‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪0‬‬‫‪JG JG‬‬ ‫‪0‬‬‫‪u .w‬‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫·‬ ‫‪u‬‬ ‫§‬ ‫‪9‬‬ ‫·‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪7‬‬ ‫§·‬ ‫‪6‬‬ ‫·‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫§·‬ ‫‪2‬‬ ‫·‬‫‪G JG‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫¨© ¸‪¹‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫¨© ¸‪¹‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪¸¹‬‬‫‪v .w‬‬ ‫§‬ ‫‪2‬‬ ‫·‬ ‫‪u‬‬ ‫§‬ ‫‪9‬‬ ‫·‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪6‬‬ ‫§·‬ ‫‪6‬‬ ‫·‬ ‫‬ ‫§‬ ‫‪9‬‬ ‫§·‬ ‫‪2‬‬ ‫·‬ ‫©¨‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫©¨ ¸‪¹‬‬ ‫‪11‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫¨©‬ ‫‪11‬‬ ‫¨© ‪¸¹‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¸¹‬‬

‫‪JG G G‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻷﺸﻌﺔ ‪ wG ،JvG ، u‬ﻟ‪G‬ﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﻭﺍﻤل ﻭﻁﻭﻴﻠﺔ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 1‬ﻭﻫﻲ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﻤﺜﻨﻰ‬ ‫ﻤﺜﻨﻰ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ O;u, v, w‬ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎﺀ ‪ .‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ : P‬‬ ‫‪ P‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M JJxJ;JGy;Gz‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺤﻴﺙ ‪   :‬‬‫‪G JJJJG AM .u 0‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪u1;2;1 ، AM  x  4; y  4;z  4 :‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪1 x  4  2 y  4  1z  4 0 :‬‬ ‫‪x 4 2y 8 z 4 0‬‬ ‫‪x 2y  z 8 0‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ . P‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪G  : Pc‬‬‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ u 4;6G;5‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ P‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ P‬ﻭ ‪       Pc‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪ u‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ‪ . Pc‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ Pc‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪  4 x  6 y  5 z  c 0 :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ F  Pc‬ﻓﺈﻥ ‪  4  2   6 4   5 4   c 0‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ c 12‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ Pc‬ﻫﻲ ‪  4 x  6 y  5 z  1 2 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪G  : Pc‬‬‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ n2;3;1‬ﻋﻤﻭﺩ‪G‬ﻱ‪ J‬ﻋﻠﻰ  ‪.  P‬‬‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ nc a;b;c‬ﻋﻤﻭﺩ‪G‬ﻱ ﻋﻠﻰ‪   . Pc JG‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪JG P‬ﻭ ‪ PcG‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ nc‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ ‪   .‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪2a  3b  c 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪n.nc 0‬‬

‫‪JJJG JG‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Pc‬ﻴ‪JG‬ﺸ‪J‬ﻤ‪J‬ل ‪ OJG‬ﻭ ‪ A‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ nc‬ﻭ ‪ OA‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ ‪ .‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ nc.OA 0‬ﺇﺫﻥ ‪ o.a  1.b  3.c 0‬ﺃﻱ ‪b 3c‬‬‫‪­2a  8c 0‬‬ ‫‪­2a  3b  c‬‬ ‫‪0‬‬‫®‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫®‬‫¯‬ ‫‪b‬‬ ‫‪3c‬‬ ‫¯‬ ‫‪b 3c‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪3c‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪4c :‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ c 1‬ﻓﻨ‪JG‬ﺠﺩ ‪ a 4 :‬ﻭ ‪b 3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ nc 4;3;1‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪   Pc‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭ ‪. O‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ Pc‬ﻫﻲ ‪ ) 4 x  3 y  z 0 :‬ﻷﻨﻪ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ ( O‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬ ‫‪C 0;2;1 ، B3;1;0 ، A1;1;1‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ C‬ﻭ ‪ : AB‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟ‪G‬ﻌ‪J‬ﻤ‪J‬ﻭﺩ‪J‬ﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴ‪G‬ﺘ‪J‬ﻘﻴ‪J‬ﻡ‪ AB J‬‬ ‫‪JJJG JJJG AC 1;3;0 ، AB 2;2;1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪A B . A C 2 1   2 3   1 .0 4 :‬‬ ‫‪J J JG J J JG‬‬ ‫‪J J JG J J J G‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ‪A B . A H :‬‬ ‫‪A B .A C‬‬ ‫‪A B .A H‬‬ ‫‪2 2  2 2   1 2 . A H‬‬ ‫‪9 . AH 3AH‬‬ ‫‪AH‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 AH‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪4 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪3 :‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ACH‬ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ H‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AC 2 AH 2  CH 2 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪CH 2 AC 2  AH 2 :‬‬‫‪AH 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪AC 2‬‬ ‫‪12  32  02‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪10‬‬ ‫‪9،‬‬

‫‪CH‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪ CH 2‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‬ ‫‪16‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪9 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪13‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ d‬ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ : P‬‬‫‪d‬‬ ‫ ‪5 0   1  3  3‬‬ ‫‪10 10 35‬‬ ‫‪2 35‬‬ ‫‪5 2   1 2  3 2‬‬ ‫‪35 35‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪14‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ A, B,C‬ﺘﻌﻴ‪JG‬ﻥ‪J‬ﻤ‪J‬ﺴﺘﻭ ﻭﺤﻴﺩ ‪JJJG :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AC J3J;JG 2;2 ، AB 1;3;2 :‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪J J JG‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AB‬‬‫ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ ‫ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A, B,C‬ﺘﻌﻴﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ  ‪.  A B C‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪:  A B C‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ M  x; y; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ  ‪.  ABC‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ABC‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ax  by  cz  d  0 :‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ  ‪ A ABC‬ﻓﺈﻥ )‪a  2b  c  d 0 . . . (1‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ  ‪ B  ABC‬ﻓﺈﻥ )‪b  c  d 0 . . .(2‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ  ‪ C  ABC‬ﻓﺈﻥ )‪2a  c  d 0 . . . (3‬‬ ‫ﻨﻁﺭﺡ )‪ (3‬ﻤﻥ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ b  2a 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪b 2a :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪5a  c  d 0 . . . (4) :‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3a  2d‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ )‪ (3‬ﻭ )‪ (4‬ﻨﺠﺩ ‪0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‬ ‫‪c‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺽ ‪ b‬ﻭ ‪ d‬ﺒﻘﻴﻤﺘﻴﻬﻤﺎ ﻓﻲ )‪ (2‬ﻓﻨﺠﺩ ‪0 :‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪ 2ay‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ ‪0 :‬‬

a § x  2 y  7 z  3 · 0 ©¨ 2 2 ¸¹ 2 x  4 y  7z  3 0 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 2 x  4 y  7z  3  0 : ‫ ﻫﻲ‬ABC ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬  : d ‫ ﻭﻟﺘﻜﻥ‬ABC ‫ ﻭ‬D ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ‬-d 2 1   4 1   7 9   3 66 2 2  4 2  7 2 69 d 66 69 22 69 69 23 15 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ JJJG : M ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺤل ﺍﻟﻨﻘﻁ‬JJJG ، MJJAJJG5  x;2  y;4  z  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬MB 2  x;3  y;z J J JJG M D 3 x;1  y;2  z  ، MC  x;5  y;1  zMA2 5  x 2  2  y2  4  z 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬MA2 25  10x  x2  4  4 y  y2  16  8z  z2x 2  y 2  z 2  10x  4y  8z  45MB2 2  x2  3  y2  z2 4  4x  x2  9  6y  y2  z2 x2  y2  z2  4x  6 y  13MC 2  x2  5  y2  1  z2 x2  25  10 y  y2  1  2z  z2 x2  y2  z2  10 y  2z  26MD2 3  x2  1  y2  2  z2 x2  y2  z2  6x  2 y  4z  14

2MA2  MB2  MC 2  MD2 20 : ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬   2 x2  y2  z2 10x4y 8z 45  x2  y2  z2 4x6y13 x2  y2 z2 10y2z 26 x2  y2 z2 6x2y4z 14 20x2  y2  z2  10 x  10 y  18z  55 0 : ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ x  52  25   y  52  25  z  92  81  55 0 x  52   y  52  z  92 76  IM 2 76 : ‫ ﻓﻴﻜﻭﻥ‬I 5;5;9 ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ ﻭﻨﺼﻑ‬I ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻫﻲ ﺴﻁﺢ ﻜﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ R 2 19 . R 76 ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ‬ 16 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬JJJG JJJJG : ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬JAJCJG 2;2;3 ، BJJMJJG x  3; y  1;z  4 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬JJJG BC 2;1;0 ، AJJMJJG x  1; y  2;z  1MB 3  x;1  y;4  z ، MC 1  x; y;4  z J J JG M A  x  1 ;  y  2 ;  z  1  JJJJG JJJG 1) BM .AC 0 x  3u 2   y  1u 2  z  4u 3 0 2x  6  2 y  2  3z  12 0 JJJG2x  2 y  3z JJ2J0G 0 . AC ‫ ﺃﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ﺍﻟﻨﺎﻅﻤﻲ‬AC ‫ ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ‬B ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻭ ﻴﺸﻤل‬

JJJJG JJJG 2)AM .BC 10  x  12   y  21  z  1u 0 10 2x  2  y  12 0 2x  y  14 J0JJG . BC ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻭ ﺸﻌﺎﻋﻪ ﺍﻟﻨﺎﻅﻤﻲ‬ 3) A M 2  B C 2 100  x  12   y  22  z  12  22  12 100  x  12   y  22  z  12 95 . JRJJG JJ9J5JG ‫ ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬A ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﻜﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ 4) MB.MC 0 3  x1  x  1  y y  4  z4  z 0 3  4x  x2  y  y2  16  8z  z2 0 x2  y2  z2  4x  y  8z  19 0 x  2 2  § y  1 ·2  1  z  4 2  16  19 0 ©¨ 2 ¸¹ 4 x  2 2  § y  1 ·2  z  4 2 16  19  1 ©¨ 2 ¸¹ 4 x  2 2  § y  1 ·2  z  4 2 13 ©¨ 2 ¹¸ 4 J J JG J J JG . ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺨﺎﻟﻴﺔ‬ 5 ) M A .M B BC 2x  13  x   y  21  y  z  14  z §©¨ 2 2  12  02 ¸¹·2x 2  2x  3  y 2  y  2  z 2  5z  4 5x  1 2  1 § y  1 ·2  1  § z  5 ·2  25 1 5 ¨© 2 ¸¹ 4 ©¨ 2 ¹¸ 4

x  1 2  § y  1 ·2  § z  5 ·2 5  2  13 ¨© 2 ¹¸ ©¨ 2 ¸¹ 2x  1 2  § y  1 ·2  § z  5 ·2 1 ¨© 2 ¹¸ ©¨ 2 ¹¸ 2 2 ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ‬ ω § 1; 1 ; 5 · ‫ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ ‫ﻜﺭﺓ‬ ‫ﺴﻁﺢ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ 2 ¨© 2 2 ¹¸ J J J G J J JG 17 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ A H .B F : ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬1 J J J G J J JG J J J G J J JJG A H .B F A H .D H J J JG J J JG  H A . H D J JJG JJJG H A.H D .cos H A; H D ‫ﻭ‬H A H D m ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ HD 2  AD 2 2m 2 m2  J J JG J J JG cos π 2‫ﻭ‬ 4 cos H A .H D 2 J J JG J J JG m 2 .m . 2 m 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ AH .BF JJ2JG JJJG : HB.BA ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬2  : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬A ‫ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬AB ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬H ‫ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ‬ J J JG J J JG J J JG J J JG H B .B A  B A .B H  B A .B A  m .m  m 2 J J JG JJ JG ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬3 : A B .A O I O I > @  AB A B JG‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻤﻨﺘﺼﻑ‬ ‫ﻓﺘﻜﻭﻥ‬J J ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ JG JJ A B . A O A B . A I m . m m 2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ J2J JG J J2JG  : A EJ .JBJGGJ J‫ﺏ‬JG‫( ﺤﺴﺎ‬4 J J JG J J JG J J JG J J JG A E .B G B F .B G B F .B G .cos B F ; B G m .m 2. 2 m2 2 18 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬

G G JG D;i, j,k  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ D o;o;o  ; A m;o;o  ; B m;m;o  C o; m ; o  ; E m ; o; m  ; F m ; m ; m  G o;m ;m  ; H o;o; m  ; O § m ; m ; m · ©¨ 2 2 2 ¹¸JJJG JJJG JJJG : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‬AG m;m;m  ; DG o;m;m  ; DC o;m;o JAJJOJJGJG§¨© JJJG JJJG m ; m ; m · ; ; 2 2 2 ¹¸ AB o;m;o  EC m;m;m  JJJG JJJGGC o;o;m  ; HF m;m;o  ; BG m;o;m  J J JG J J JG J J JG J J JG : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ 1) DC .DG m 2 2) AG .EC m2 JJJG JJJG m2 JJJG JJJG 3) AB.AO 4) AB.BG 0 2 J J J G J J JG 5 ) H F .G C 0

‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ Z‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻴﻘﺴﻡ ﺁﺨﺭ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺒﺘﻭﻅﻴﻑ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﺸﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻻﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪.Z‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬

‫ﺃﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ B‬ﻋﻠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪ .H‬ﻭ ﻗﺎﻋﺩﺘﻬﺎ ﻤﺭﺒﻌﺔ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ ‪. L‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ H‬ﻭ‪ L‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻊ ‪. L < H‬‬ ‫ﻨﺭﻴﺩ ﻤﻸ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ‪ B‬ﺒﻤﻜﻌﺒﺎﺕ ﺤﺭﻑ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ‪ a) a‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ( ﺩﻭﻥ ﺘﺭﻙ ﺃﻱ ﻓﺭﺍﻍ ‪.‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ L = 240‬ﻭ ‪H = 380‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. a‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. a‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪: a‬‬ ‫ﻴﺘﻡ ﻤﻸ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺒﺎﻟﻤﻜﻌﺒﺎﺕ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪H‬‬ ‫ﻭ ‪ L‬ﻤﻌﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻫﻲ ‪PGCD (H ; L) :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪a = PGCD (380 ; 240 ) :‬‬ ‫‪ 240 = 24 × 3 × 5‬ﻭ ‪380 = 22 × 5 × 19‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪P G C D ( 3 8 0 ; 2 4 0 ) = 2 2 × 5 = 2 0 :‬‬‫‪ (2‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻫﻲ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 20‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻫﻲ ‪5 ، 10 ، 20 :‬‬ ‫‪. 1،2،4،‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ α‬ﺃﻨﻪ ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ‬‫‪x = αq‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻴﻀﺎ ﺃﻥ ‪ x‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ α‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ‪. α / x‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 2007‬ﻷﻥ ‪2 0 0 7 = 3 × 6 6 9 :‬‬ ‫)‪ (2-‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 1954‬ﻷﻥ ‪1 9 5 4 = ( - 2 ) ( - 9 7 7 ) :‬‬ ‫‪ 1‬ﻴﻘﺴﻡ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 0‬ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬‫‪ 5‬ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ‪ 1962‬ﻷﻨﻪ ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ‪. 1962 = 5q :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 1‬‬ ‫‪ γ , β , α‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ α‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ β‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ β‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ γ‬ﻓﺈﻥ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. γ‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ β‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q1‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. (1) . . . β = q1α :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ β‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ γ‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪q2‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪(2) . . . γ = q2β :‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ γ = (q2q1 )α :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪q‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ (q = q2 . q1 ) γ = qα :‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﻲ ‪ α :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. γ‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬‫‪ x , β , α‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ α‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. βx‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪q1‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪. x = αq1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ βx = (αβ) q1 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ βx = αq‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ α :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. βx‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 3‬‬ ‫‪ x , β , α‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ α‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ αβ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. βx‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪q‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ x = αq :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪βx = (αβ)q :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪βx = (αβ)q :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ αβ :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. βx‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 4‬‬ ‫‪ y , x , b , a , α‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ α‬ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻘﺴﻡ ‪ax = by :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )‪ (1‬ﻓﺈﻥ ‪ α‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ ax‬ﻭ ‪. by‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ q1‬و ‪ q2‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪ ax = αq1‬ﻭ ‪ by = αq2‬ﺇﺫﻥ ‪ax + by = αq1 + αq2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ ax + by = α(q1 + q2 ) :‬ﺒﻭﻀﻊ‪q1 + q2 = q :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪ ax + by = αq :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ α :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. ax + by‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 5‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ‪.‬‬ ‫‪ a‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ b‬ﻭ ‪ b‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ a‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ a = b‬ﺃﻭ ‪. a = -b‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ a‬ﺘﻘﺴﻡ ‪ b‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k1‬ﺒﺤﻴﺙ ‪b = a . k1 :‬‬ ‫‪ b‬ﺘﻘﺴﻡ ‪ a‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k 2‬ﺒﺤﻴﺙ ‪b = a . k 2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪b = b . k1k 2 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ k1 . k1 = 1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺇﻤﺎ ‪ k1 = 1‬ﻭ ‪k 2 = 1‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ k1 = -1‬ﻭ ‪k 2 = -1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ a = b :‬ﺃﻭ ‪a = -b‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻗﺎﺴﻤﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ‪ Z‬ﻫﻤﺎ ‪ 1‬ﻭ ‪. -1‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﻗﺎﺴﻤﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ‪ Z‬ﻫﻤﺎ ‪ 1‬ﻭ ‪. -1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪Z‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﺩﻴﺔ ﻓﻲ ` ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺤﻴﺙ ‪ b ≠ 0‬ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ‬ ‫)‪ (q ; r‬ﺤﻴﺙ‪ r , q :‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ a = bq + r :‬ﻭ ‪. 0 ≤ r < b‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻫﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪r‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ a – r :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻭ ‪0 ≤ r < b‬‬ ‫‪a - r = qb‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r<b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= bq + r‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪≤ r<b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻻﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪: Z‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ b‬ﻭ‪ a‬ﺤﻴﺙ ‪ b ≠ 0‬ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺤﻴﺩﺓ‬‫‪a = bq + r‬‬ ‫)‪ a ) ، (q ; r‬ﻭ‪ r‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ( ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r<b‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ )ﺴﺒﻕ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ( ‪.‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < 0‬ﻓﺈﻥ ‪ -a > 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ )‪(q′ ; r′‬‬

‫‪-a = bq′ + r′‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r′ < b‬‬‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r′ = 0 :‬ﻓﺈﻥ ‪ a = b (-q′) :‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪.‬‬‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : r′ ≠ 0‬ﻓﺈﻥ ‪a = b (-q′) - r′‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ a = b (-q′) - b + b - r′ :‬ﺃﻱ‪a = b (-q′ - 1) + b - r′ :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ 0 < r′ < b :‬ﻭﻤﻨﻪ‪-b < -r′ < 0 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ‪ 0 < b - r′ < b :‬ﺒﻭﻀﻊ‪ b - r′ = r :‬ﻭ ‪-q′ - 1 = q‬‬ ‫‪a = bq + r‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r<b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬‫‪2007 = 208 × 9 + 135 : b = 208 , a = 2007‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ r = 135 :‬و ‪q = 9‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬‫‪-1830 = 54 (-34) + 6 : b = 54 , a = -1830‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ q = -34 :‬و ‪r = 6‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 3‬‬ ‫‪b = 166 , a = -1518‬‬‫‪-1815 = 166(-10) + 144‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ q = -10 :‬و ‪r = 144‬‬

‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬‫ﺃ‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. Da‬‬‫‪ D1 = 1‬؛ ` = ‪{ }D0‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﺜﻼ ‪:‬‬‫}‪D28 = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:1‬‬‫‪ Da x‬ﻏﻴﺭ ﺨﺎﻟﻴﺔ ﻷﻥ ‪ 1 ∈ Da‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. a‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:2‬‬ ‫‪ Da‬ﺘﻘﺒل ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻨﺼﺭ ﻭﻫﻭ ‪ a‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. a ≠ 0‬‬‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻤﺸﺘﺭﻜﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﻘﺴﻤﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ Da ∩ Db‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. Da,b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪{ }D30,25 = 1 , 5‬‬‫‪ Da,0 = Da‬ﺤﻴﺙ‪a ≠ 0 :‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬‫ﺠـ‪ -‬ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ Da,b .‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ‪ .‬ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻨﺼﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Da,b‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ‬‫ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. PGCD (a ; b) :‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪PGCD (30 ; 25) = 5 :‬‬

‫ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ PGCD (a ; b) = 1‬ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ‬ ‫ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪ PGCD(28 , 9) = 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪َ 28‬ﻭ ‪ 9‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬‫ﺩ ‪ -‬ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻨﻔﺭﺽ ‪a > b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= bq‬‬ ‫‪+ r0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪≤ r0‬‬ ‫‪<b‬‬‫ﻜل ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻫﻭ ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ bq‬ﺃﻱ ﻴﻘﺴﻡ ‪ r0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻭ ﻗﺎﺴﻡ ﻤﺸﺘﺭﻙ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ b‬ﻭ ‪. r0‬‬‫ﻜل ﻗﺎﺴﻡ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ b‬ﻭ ‪ r0‬ﻫﻭ ﻗﺎﺴﻡ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ bq‬ﻭ ‪ r0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻫﻭ ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪a‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻓﻬﻭ ﻗﺎﺴﻡ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪. b‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Da,b = Db,r0 :‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r0 = 0‬ﻓﺈﻥ ‪Da,b = Db,0 = Db :‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. b‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : r0 ≠ 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ b = r0q1 + r1 :‬؛ ‪0 ≤ r1 < r0‬‬ ‫‪D = Db,r0 r0 ,r1‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪D = Da,b r0 ,r1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r1 = 0‬ﻓﺈﻥ ‪Da,b = Dr0 :‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r1 ≠ 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻤﺎ ﺴﻴﻕ ‪:‬‬‫‪ Da,b = Db,r0‬ﻭ ‪a = bq + r0 , r0 < b‬‬‫‪ D = Db,r0 r0 ,r1‬ﻭ ‪b = r0 . q1 + r1 , r1 < r0‬‬‫‪r0 = r1 . q2 + r2‬‬ ‫‪, r2 < r1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪D = Dr0 ,r1‬‬ ‫‪r1 ,r2‬‬ ‫‪#‬‬

‫‪rp = rp+1 . qp+2 + rp+2‬‬ ‫‪, rp+2 < rp+1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪D = Drp ,rp+1‬‬ ‫‪rp+1 ,rp+2‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻭﺍﻗﻲ ‪rp+2 , . . . , r1 , r0‬‬‫ﺘﺤﻘﻕ ‪b > r0 > r1 > . . . > rp+2 > . . . :‬‬‫ﻓﺈﻨﻪ ﺒﻌﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ‪ b‬ﻗﺴﻤﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ ‪ ،‬ﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻕ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ r‬ﻫﻭ ﺁﺨﺭ ﺒﺎﻕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Da,b = Db,r0 = . . . = Dr,0 = Dr :‬‬‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ . r‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫‪ r‬ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻨﺼﺭ ﻓﻲ ‪Dr‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ PGCD (a ; b) = r :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:1‬‬‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻫﻭ ﺁﺨﺭ ﺒﺎﻕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻟﻠﻘﺴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺠﺯﺓ ﻓﻲ ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻗﺎﺴﻤﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:1‬‬‫ﻋﻴﻥ )‪ PGCD (1260 ; 440‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪D1260,440‬‬ ‫‪1260 = 440 × 2 + 360‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪440 = 380 × 1 + 60‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪380 = 60 × 6 + 20‬‬ ‫‪60 = 20 × 3 + 0‬‬ ‫‪PGCD (1260 ; 440) = 20‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪{ }D1260,440 = D20 = 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 :‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪1954 , 2008‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻨﺒﺤﺙ ﺃﻭﻻ ﻋﻥ )‪PGCD (2008 ; 1954‬‬ ‫‪2008 = 1954 × 1 + 54‬‬ ‫‪1954 = 54 + 36 + 10‬‬ ‫‪54 = 10 × 5 = 4‬‬ ‫‪10 = 4 × 2 + 2‬‬ ‫‪4=2 × 2+0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PGCD (2008 ; 1954) = 2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪{ }D2008,1954 = D2 = 1 , 2 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:3‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 18641‬ﻭ ‪ 783‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ )‪: PGCD (18641 , 783‬‬‫‪18641 = 783 × 23 + 632‬‬‫‪783 = 632 × 1 + 151‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪PGCD (18641 , 783) = 1 :‬‬‫‪632 = 151 × 4 + 28‬‬‫‪151 = 28 × 5 + 11‬‬‫‪28 = 11 × 2 + 6‬‬‫‪11 = 6 × 1 + 5‬‬‫‪6=5 × 1+1‬‬‫‪5=1 × 5+0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ 18641‬ﻭ ‪ 783‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:3‬‬ ‫‪ λ , b , a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‪.‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪PGCD (λa ; λb) = λPGCD (a ; b) :‬‬

: ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ PGCD(a ; b) = rn ‫ﻨﻔﺭﺽ‬a = bq + r0 , r0 < bb = r0q1 + r1 , r1 < r0r0 = r1q2 + r2 , r2 < r1 #rn-2 = rn-1qn + rn , rn < rn-1rn-1 = rn . qn+1 + 0 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬λa = (λb) q0 + λr0 , λr0 < λbλb = (λr0 ) q1 + λr1 , λr1 < λr0λr0 = (λr1 ) q2 + λr2 , λr2 < λr1 #λrn-2 = (λrn-1 ) qn + λrn , λrn < λrn-1λrn-1 = (λrn ) qn+1 + 0 P G C D ( λ a ; λ b ) = λ r n : ‫ﺇﺫﻥ‬P G C D ( λ a ; λ b ) = λ P G C D ( a ; b ) : ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ : 4 ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬‫ ﻗﺎﺴﻡ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻬﻤﺎ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬c ، ‫ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‬B , aPG C D (a ; b ) = c . P G C D a ; b  c c  : ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ : ‫ ﻨﺠﺩ‬b = c . b′ ‫ و‬a = c . a′ : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬P G C D (a ; b ) = P G C D (c a ′ ; c b ′)= c × P G C D (a ′ ; b ′)= c× PGCD a ; b  c c 

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 5‬‬ ‫‪ c , b , a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ‪.‬‬ ‫‪a = C . a′‬‬ ‫‪ P G C D ( a ; b ) = C‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. b′‬‬ ‫‪ P G C D ( a ′ ; b ′ ) = 1‬‬ ‫‪a = c . a′‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ P G C D ( a ; b ) = c‬ﻓﻬﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪b′‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪P G C D ( a ; b ) = P G C D ( c . a ′ ; c . b ′ ) :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪c = c . PGCD (a′ ; b′) :‬‬ ‫= )‪P G C D (a′ ; b′‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a = c . a′‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪b′‬‬ ‫‪ P G C D ( a ′ ; b ′ ) = 1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺤﻴﺙ ‪P G C D ( a ; b ) = 1 2‬‬ ‫ﻭ ‪a + b = 120‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪a = 12a′‬‬‫‪‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ P G C D ( a ; b ) = 1 2‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪12b′‬‬‫‪ P G C D (a ′ ; b ′) = 1‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ a + b = 120‬ﻭﻤﻨﻪ ‪12a′ + 12b′ = 120 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 12(a′ + b′) = 120 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a′ + b′ = 10 :‬‬ ‫‪ a = 1 x‬ﻭ ‪ b′ = 9‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ a = 12 :‬ﻭ ‪b = 108‬‬ ‫‪ b′ = 7 a′ = 3 x‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ a = 36 :‬ﻭ ‪b = 84‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﻫﻤﺎ ‪ 12‬ﻭ ‪ 108‬ﺃﻭ ‪ 36‬ﻭ ‪. 84‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪x y - 2 x - 4 y + 8 = 1 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪x 2 - y 2 = 4 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 37‬ﻜﺎﻥ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪ q‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪. 11q + 7‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. a‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪b ≠ 0‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ b3‬ﻭﺠﺩﻨﺎ ﺍﻟﺤﺎﺼل ‪ q‬ﻭ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ‪. r‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺤﺎﺼل ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪. b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ a .‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q‬ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ n‬ﻋﻠﻰ ‪. a‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ‪ q′‬ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ q‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻓﺈﻥ ‪ q′ :‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ n‬ﻋﻠﻰ ‪. ab‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻋﻠﻰ ‪ 110‬ﻜﺎﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺭﺒﻊ ﺤﺎﺼﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪a × b = 2 5 0 0 :‬‬ ‫ﻭ ‪P G C D (a ; b) = 10‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪. b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪a 2 - b 2 = 5760 :‬‬ ‫ﻭ ‪ P G C D (a ; b ) = 1 2‬ﻭ ‪a < b‬‬

‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ 2a2 + 3b2 = 3500‬ﻭ ‪P G C D (a ; b ) = 1 0‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪. b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬ ‫ﺃﺭﻀﻴﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜل ﻤﺤﻴﻁﻬﺎ ‪ 7080 cm‬ﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ a‬ﻭﻋﺭﻀﻬﺎ‪ .b‬ﻨﺭﻴﺩ ﺘﺒﻠﻴﻁﻬﺎ ﺒﺒﻼﻁﺎﺕ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ‬‫ﺍﻟﺸﻜل ﺤﻴﺙ ﻁﻭﻟﻬﺎ ﻭﻋﺭﻀﻬﺎ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎﻥ ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻁﻭل ﻭ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪. 60‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﻭ‪y‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪xy - 2x - 4y + 8 = 10 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x (y - 2) - 4 (y - 2) = 10 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪(y - 2) (x - 4) = 10 :‬‬‫‪ x - 4 = 1 x‬ﻭ ‪ y - 2 = 10‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 5‬ﻭ ‪. y = 12‬‬ ‫‪ x - 4 = 2 x‬ﻭ ‪ y - 2 = 5‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 6‬ﻭ ‪. y = 7‬‬ ‫‪ x - 4 = 10 x‬ﻭ ‪ y - 2 = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 14‬ﻭ ‪. y = 3‬‬ ‫‪ x - 4 = 5 x‬ﻭ ‪ y - 2 = 2‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 9‬ﻭ ‪. y = 4‬‬‫‪ x - 4 = -1 x‬ﻭ ‪ y - 2 = -10‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 3‬ﻭ ‪. y = -8‬‬ ‫‪ x - 4 = -2 x‬ﻭ ‪ y - 2 = -5‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 2‬ﻭ ‪. y = -3‬‬ ‫‪ x - 4 = -10 x‬ﻭ ‪ y - 2 = -1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = -6‬ﻭ ‪. y = 1‬‬‫‪ x - 4 = -5 x‬ﻭ ‪ y - 2 = - 2‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = -1‬ﻭ ‪. y = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪x2 - y2 = 40 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ ( x - y) (x + y) = 40 :‬ﺤﻴﺙ ‪x - y < x + y :‬‬ ‫‪ x - y = 1 (1‬ﻭ ‪ x + y = 40‬ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ 2 x = 41 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪ x - y = 2 (2‬ﻭ ‪ x + y = 20‬ﻭ ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪. 2 x = 22 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 11 :‬ﻭ ‪. y = 9‬‬ ‫‪ x - y = 4 (3‬ﻭ ‪ x + y = 10‬ﻭﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪2 x = 14 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 7 :‬ﻭ ‪. y = 3‬‬ ‫‪ x - y = 5 (4‬ﻭ ‪ x + y = 8‬ﻭﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪) 2 x = 13 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ(‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪: a‬‬ ‫‪a = 37q + 11q + 7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪11q + 7 < 37‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫‪-7 ≤ 11q < 30‬‬ ‫‪ 0 ≤ 11q + 7 < 37‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫≤‬ ‫<‪q‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪-0 ,6 3 ≤ q < 2 ,7 2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪q ∈ {0 ; 1 ; 2} :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪a = 7 : q = 0‬‬‫‪a = 103‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ a = 37 + 11 + 7 : q = 1‬ﺃﻱ ‪a = 55‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ a = 37(2) + 11 × 2 + 7 : q = 2‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﻟﻠﻌﺩ ‪ a‬ﻫﻲ ‪. 103 , 55 , 7 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺎﺼل ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪. b‬‬‫‪ a = b ( b 2 q ) + r‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ a = b 3 q + r‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r < b3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r < b3‬‬‫‪r = bq1 + r1‬‬ ‫ﻨﺠﺭﻱ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ r‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪0 ≤ r1 < b‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪= b(b 2q) +‬‬ ‫‪bq1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪≤ r1 < b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪= b(b 2q +‬‬ ‫)‪q1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪≤ r1 < b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ r1‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻭ ‪ b2q + q1‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬‫‪q = bq′ + r′‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪n = aq + r‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r′‬‬ ‫≤‬ ‫‪b-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r‬‬ ‫≤‬ ‫‪a-1‬‬ ‫‪n = a (bq′ + r′) + r‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪n = (ab)q′ + ar′ + r‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 0 ≤ r′ ≤ b - 1‬ﻓﺈﻥ ‪0 ≤ ar′ ≤ a(b - 1) :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪0 ≤ ar′ + r ≤ a(b - 1) + a - 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪0 ≤ ar′ + r ≤ ab - a :‬‬ ‫‪0 ≤ ar′ + r < ab‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ab - a < ab :‬‬ ‫)‪n = (ab) . q′ + (ar′ + r‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪ar′ + r < ab‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ n‬ﻋﻠﻰ ‪ ab‬ﻫﻭ ‪. q′‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ .‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ r‬ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻭ ‪ q‬ﺤﺎﺼﻠﻬﺎ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ a = 1 1 0 × q + q 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫<‬ ‫‪110‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ q2 < 110‬ﻓﺈﻥ ‪q < 10,48 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪q ∈ {0 ; 1 ; . . . ; 10} :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ )‪a = q(110 + q‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪ (1‬ﻟﻤﺎ ‪ a = 0 : q = 0‬؛ ‪ (2‬ﻟﻤﺎ ‪a = 111 : q = 1‬‬‫‪ (3‬ﻟﻤﺎ ‪ a = 224 : q = 2‬؛ ‪ (4‬ﻟﻤﺎ ‪a = 339 : q = 3‬‬‫‪ (5‬ﻟﻤﺎ ‪ a = 456 : q = 4‬؛ ‪ (6‬ﻟﻤﺎ ‪a = 575 : q = 5‬‬‫‪ (7‬ﻟﻤﺎ ‪ a = 696 : q = 6‬؛ ‪ (8‬ﻟﻤﺎ ‪a = 819 : q = 7‬‬

‫‪ (9‬ﻟﻤﺎ ‪ a = 944 : q = 8‬؛ ‪ (10‬ﻟﻤﺎ ‪a = 1071 : q = 9‬‬ ‫‪ (11‬ﻟﻤﺎ ‪a = 1200 : q = 10‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 10a′‬ﻭ ‪b = 10b′‬‬ ‫ﻤﻊ ‪ a′‬و ‪ b′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ a × b = 2500‬ﻭﻤﻨﻪ ‪10a′ . 10b′ = 2500 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a′ . b′ = 25‬‬ ‫‪ a′ = 1 x‬ﻭ ‪ b′ = 25‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ a = 10‬ﻭ ‪b = 250‬‬ ‫‪ a′ = 25 x‬ﻭ ‪ b′ = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ a = 250‬ﻭ ‪b = 10‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪: b‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 12 a′ :‬ﻭ ‪ b = 12 b′‬ﻤﻊ ‪ a′‬و ‪ b′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a < b :‬ﻓﺈﻥ ‪a′ < b′ :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪a2 - b2 = 5760 :‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪(12a′)2 - (12b′)2 = 5760 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(12)2 a′2 - b′2  = 5760 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪(144 a′2 - b′2  = 5760 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a′2 - b′2 = 40 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(a′ - b′) (a′ + b′) = 40 :‬‬ ‫‪ x‬ﻟﻤﺎ ‪ a′ - b′ = 1 :‬ﻭ ‪ a′ + b′ = 40‬ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪2a′ = 41‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻟﻤﺎ ‪ a′ - b′ = 2 :‬و ‪ a′ + b′ = 20‬ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ ﻧﺠﺪ ‪2a′ = 22‬‬ ‫‪ x‬وﻡﻨﻪ ‪ a′ = 11 :‬وﻋﻠﻴﻪ ‪. b′ = 9 :‬‬ ‫إذن ‪b = 12 × 9 = 108 , a = 12 × 11 = 132 :‬‬

‫‪ x‬ﻟﻤﺎ ‪ a′ - b′ = 4‬ﻭ ‪ ، a′ + b′ = 8‬ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪2a′ = 14 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a′ = 7 :‬و ‪b′ = 3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪b = 12 × 3 = 36 , a = 12 × 7 = 84 :‬‬‫‪ x‬ﻟﻤﺎ ‪ a′ - b′ = 5 :‬و ‪ a′ + b′ = 8‬ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪2a′ = 13 :‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪: b‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 10a′ :‬ﻭ ‪ b = 10b′‬ﺤﻴﺙ ‪ a′‬و ‪ b′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪2(10a′)2 + 3(10b′)2 = 3500 :‬‬ ‫‪1 0 2  2 a ′ 2 + 3 b ′ 2  = 3 5 0 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2a′2 + 3b′2 = 35‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3b′2 = 35 - 2a′2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪a′2‬‬ ‫≤‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 35 - 2a′2 ≥ 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a′ ≤ 4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫≤ ‪a′‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ 3b′2 = 33 : a′ = 1 x‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ b′2 = 11 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ‪.‬‬‫‪ 3b′2 = 27 : a′ = 2 x‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ b′2 = 9 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪b′ = 3 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ a = 20 :‬ﻭ ‪b = 30‬‬ ‫‪ 3b′2 = 17 : a′ = 3 x‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺭﻓﻭﺽ‪.‬‬ ‫‪ 3b′2 = 3 : a′ = 4 x‬ﻭﻤﻨﻪ ‪b′2 =1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪b′ = 1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a = 40 :‬ﻭ ‪. b = 10‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬ ‫ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁ ﻫﻭ ‪3540‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. a + b = 3540‬‬‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ a′‬ﻁﻭل ﺍﻟﺒﻼﻁﺔ ﻭ ‪ b′‬ﻋﺭﺽ ﺍﻟﺒﻼﻁﺔ ﻭ ﻫﻤﺎ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎﻥ ﻓﻬﻤﺎ ﺇﺫﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺒﻼﻁﺎﺕ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻁﻭل ﻭ ﺍﻟﻌﺭﺽ ‪. 60‬‬‫‪a = 60 a′‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬ ‫‪b′‬‬‫‪ a′‬ﻭ ‪ b′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ .‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪60 a′ + 60 b′ = 3540 :‬‬‫ﺃﻱ‪ 60(a′ + b′) = 3540 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a′ + b′ = 59 :‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪a′ = b′ + 1 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪b′ + 1 + b′ = 59 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 2b′ = 58 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪b′ = 29‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a′ = 30 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪b = 60 × 29 , a = 60 × 30 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. b = 1760 , a = 1800 :‬‬

‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ] ﻭ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ]‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻨﺸﺭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭﻓﻕ ﺃﺴﺎﺱ‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬‫ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ α‬ﺇﻟﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪.β‬‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﺸﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ – I‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ – II‬ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬

‫ﺃﺸﻁﺔ‬ ‫‪ -‬ﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺤﻴﺙ ‪n ≥ 2 :‬‬‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺤﻴﺙ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪ x ) 1‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ (‪.‬‬‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x p‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪p ≥ 0‬‬‫ﻋﻠﻰ ‪( )n2‬‬ ‫‪2008‬‬ ‫‪2007‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﻓﺈﻥ ‪ x − 1 :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ n‬ﺃﻱ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪k‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ x − 1 = kn :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x = kn + 1 :‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x p‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪: 1‬‬‫‪ -‬ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x0 = 1 : p = 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪ x0‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪. 1‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x p‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪1‬‬ ‫ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x p+1‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪1‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x p‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﻓﺈﻥ‪ x p − 1 :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪n‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ q1‬ﺒﺤﻴﺙ‪x p − 1 = q1n :‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ x p = q1n + 1 :‬ﻟﻜﻥ‪x p+1 = x p .x :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪x p+1 = (q1n + 1) .( kn + 1) :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x p+1 = q1kn2 + q1n + kn + 1 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪( )x p+1 − 1 = q1kn + q1 + k n :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x p+1 − 1 :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪. n‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x p+1‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪. 1‬‬‫ﻋﻠﻰ ‪( ): 2‬‬ ‫‪2008‬‬‫‪2007‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2007‬ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪. 1‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2007 2008‬ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪( ). 1‬‬

‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ n ،‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪. 1‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ ) x − y‬ﺃﻱ‬ ‫‪ x − y‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪. ( n‬‬ ‫ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ‪[ ]x ≡ y n :‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪ x‬ﺘﻭﺍﻓﻕ ‪ y‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪. n‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 7 ≡ 4 3 (1‬ﻷﻥ‪ 7 − 4 = 3 :‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪[ ]. 3‬‬ ‫‪ 7 ≡ 1 3 (2‬ﻷﻥ‪ 7 − 1 = 6 :‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪[ ]. 3‬‬ ‫‪ 10 ≡ 10 8 (3‬ﻷﻥ‪ 10 − 10 = 0 :‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪[ ]. 8‬‬ ‫‪ ( − 3 9 ) ≡ − 5 [ 2 ] (4‬ﻷﻥ‪ − 3 9 − ( − 5 ) = − 3 4 :‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪.2‬‬ ‫‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪1‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]x ≡ x n :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻭﺍﻀﺢ ﻟﻜﻭﻥ ‪ 0 ، x − x = 0‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪n‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ x‬ﻭ ‪: y‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≡ y[n] :‬ﻓﺈﻥ ‪y ≡ x[n] :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x ≡ y n :‬ﻓﺈﻥ ‪ x − y :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ n‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ] [‬ ‫ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x − y = kn :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪y − x = ( −k ) n :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ y − x :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ n‬ﺇﺫﻥ‪[ ]y ≡ x n :‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪ x, y, z :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ [ ]x ≡ y n :‬ﻭ ]‪ y ≡ z[n‬ﻓﺈﻥ ‪x ≡ z[n] :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬

‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ]‪ x ≡ y[n‬ﻭ ]‪ y ≡ z[n‬ﻓﺈﻥ ‪ x − y :‬ﻭ ‪y − z‬‬‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ n‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x − y = pn :‬ﻭ‬ ‫‪y − z = qn‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ x − z = p + q n :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x − z :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪( )n‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪x ≡ z[n] :‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪ a, b, x, y :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≡ y[n] :‬ﻭ ]‪ a ≡ b[n‬ﻓﺈﻥ‪. x + a ≡ y + b[n] :‬‬ ‫‪ (5‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪a, x, y :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ [ ]x ≡ y n :‬ﻓﺈﻥ‪. x + a ≡ y + a[n] :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x ≡ y n :‬ﻭ ‪ a ≡ a n‬ﻤﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪[ ] [ ]1‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ 4‬ﻓﺈﻥ‪[ ]. x + a ≡ y + a n :‬‬ ‫‪ (6‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪a, b, x, y :‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≡ [ ]y n :‬ﻭ ]‪ a ≡ b[n‬ﻓﺈﻥ‪a.x ≡ by[n] :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ x ≡ y n :‬ﻭ ‪ a ≡ b n‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ] [ ] [‬‫‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ‪ x − y = p.n :‬ﻭ ‪a − b = qn‬‬‫‪ax − by = ax − bx + bx − by‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪= (a − b) x + ( x − y)b‬‬‫‪= qnx + pnb‬‬‫‪= (qx + pb) n‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ ax − by :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ n‬ﺇﺫﻥ‪[ ]. ax ≡ by n :‬‬ ‫‪ (7‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪: a, x, y :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≡ y[n] :‬ﻓﺈﻥ ‪ax ≡ ay[n] :‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x ≡ y n :‬ﻭ ‪ a ≡ a n‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ )‪[ ] [ ]. (1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ 7‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]ax ≡ ay n‬‬ ‫‪ (8‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ . λ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≡ y [ n ] :‬ﻓﺈﻥ‪. λ x ≡ λ y [λ n ] :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ x ≡ y n :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ p‬ﺤﻴﺙ‪[ ]x − y = pn :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ λ ( x − y ) = λ p n :‬ﺃﻱ ‪λ x − λ y = p ( λ n ) :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ λx − λy :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪λn‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪λ x ≡ λ y [λ n ] :‬‬ ‫‪ (9‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ . p‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≡ y n :‬ﻓﺈﻥ‪[ ] [ ]. x p ≡ y p n :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: p ≥ 1‬‬‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : p = 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≡ y n‬ﻓﺈﻥ ‪ x ≡ y n :‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ] [ ] [‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫‪-‬‬‫ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ k + 1‬ﺃﻱ ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≡ y n :‬ﻓﺈﻥ‪[ ]x k ≡ y k [n] :‬‬‫ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ] ‪ x ≡ y [ n‬ﻓﺈﻥ ‪x k + 1 ≡ y k + 1 [ n ] :‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ] ‪ x ≡ y [ n‬ﻓﺈﻥ ‪ x k ≡ y k [ n ] :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪[ ]xk .x ≡ yk . y n : 6‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x k + 1 ≡ y k + 1 n :‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪[ ].‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪p‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p = 0‬ﻭ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫] ‪ x ≡ y [n‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ] ‪ x 0 ≡ y 0 [n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬‫‪ r ) (10‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ ( n‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬‫‪  a ≡ r [n ] ‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r‬‬ ‫<‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : x < n‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻫﻭ ‪x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ ) x ≡ x n‬ﺼﺤﻴﺢ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪[ ](1‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : x ≥ n‬ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪n‬‬‫‪x − r = nq‬‬ ‫‪ x = nq + r‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‬ ‫‪r‬‬ ‫<‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪x ≡ r [n] :‬‬‫‪ (11‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ a ≡ 0 n :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ a‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪[ ]n‬‬‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﺒﺩﻴﻬﻲ ﻓﺈﻥ ﻜﺎﻥ ‪ a ≡ 0 n‬ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪[ ]n‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪. n‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2007 2008 :‬ﻋﻠﻰ ‪( ): 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2007 ≡ 1 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ )‪[ ](9‬‬‫‪( ) [ ] [ ]2007 2008 ≡ 1 2‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪( )2 0 0 7‬‬ ‫‪≡ 12 00 8‬‬ ‫‪2008‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪ . 7‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 1962‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬‬‫‪ -2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪12.23n+1 + 212n + 10 :‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬ ‫]‪20 ≡ 1[7] ; 21 ≡ 2[7] ; 22 ≡ 4[7] ; 23 ≡ 1[7‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ 23 ≡ 1 7‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‪ 9‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪[ ]:‬‬ ‫‪ 23 p ≡ 1 7‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪[ ]. p‬‬ ‫ﻟﻜﻥ‪ 2 ≡ 2 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ 23 p.2 ≡ 1.2 7 :‬ﺇﺫﻥ‪[ ] [ ] [ ]23 p+1 = 2 7 :‬‬

‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪ 22 ≡ 4 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ] [ ]23 p.22 ≡ 1.4 7 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪[ ]23 p+2 ≡ 4 7 :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻤﺎ ‪[ ]2n ≡ 1 7 : n = 3 p :‬‬‫ﻭ ﻟﻤﺎ ‪2n ≡ 2[7] : n = 3 p + 1 :‬‬‫ﻭ ﻟﻤﺎ ‪2n ≡ 4[7] : n = 3 p + 2 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 21962‬ﻋﻠﻰ ‪: 7‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 1962 = 3 × 654 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪1962 = 3 p :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪[ ]21962 ≡ 1 7 :‬‬‫‪ -2‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪[ ]12.23n+1 + 10.212n + 8 ≡ 0 7 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 12 ≡ 5 7 :‬ﻭ ‪[ ] [ ]23n+1 ≡ 2 7‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪[ ]12.23n+1 ≡ 2 × 5 7 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ [ ](1)... 12.23n+1 ≡ 3 7 :‬ﻷﻥ ‪10 ≡ 3[7] :‬‬‫‪[ ] ( )23n ≡ 1 7‬‬ ‫‪23n‬‬ ‫‪4‬‬‫= ‪ 212n‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﻓﺈﻥ‪ 2 3 n 4 ≡ (1 )4 [7 ] :‬ﺃﻱ‪( )( 2 )... 2 12 n ≡ 1 [7 ] :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ‪[ ]12.23n+1 + 212n + 10 ≡ 4 + 10 7 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪[ ]. 12.23n+1 + 212n + 10 ≡ 0 7 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ‬ ‫‪ – 1‬ﻨﺸﺭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭﻓﻕ ﺃﺴﺎﺱ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺤﻴﺙ ‪. x ≥ 2‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ N‬ﻴﻜﺘﺏ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪N = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ a0 , a1 , a2 , ..., an :‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪( a n ≠ 0 ) x‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. x = 1 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1954‬ﺍﻟﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪1954 = 1.10 3 + 9.10 2 + 5.101 + 4‬‬ ‫‪1954 = 4 + 5.101 + 9.10 2 + 1.10 3‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 47‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪47 = 23 × 2 + 1‬‬ ‫‪23 = 11 × 2 + 1‬‬ ‫‪11 = 5 × 2 + 1‬‬ ‫‪5 = 2× 2+ 1‬‬ ‫‪2 = 1× 2 + 0‬‬ ‫‪1= 0×2+1‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 47‬ﻴﻜﺘﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﻫﻜﺫﺍ ‪1 0 1 1 1 1 2‬‬ ‫ﻭ ﻴﻘﺭﺃ ﻭﺍﺤﺩ ﺼﻔﺭ ﻭﺍﺤﺩ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 3‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2007‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪8‬‬

‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪2007 = 250 × 8 + 7‬‬ ‫‪250 = 31 × 8 + 2‬‬ ‫‪31 = 3 × 8 + 7‬‬ ‫‪3 = 0×8+ 3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2007‬ﻴﻜﺘﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪8‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪3 7 2 7 8 :‬‬ ‫‪ – 2‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺩﺩ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: x‬‬ ‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺤﻴﺙ ‪ N . x ≥ 2 :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N < x‬ﻓﺈﻥ ‪ N‬ﻴﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪. N = a 0 :‬‬ ‫ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: x‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N = x‬ﻓﺈﻥ‪N = 0 + 1 . x :‬‬ ‫ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪ N = 0 1 :‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪. x‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N > x‬ﻓﺈﻥ ‪ N‬ﻴﻨﺸﺭ ﻭﻓﻕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ x‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪N = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻴﻜﺘﺏ ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍ ‪N = a n a n − 1 . . . a 1 a 0 x :‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺭﺓ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪. x‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪ x‬ﺘﻤﺜل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﺭﻤﺯ ﺨﺎﺹ ﺒﻪ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﻫﻭ ‪ x‬ﻭ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. x‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N‬ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 10‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪N = a 0 + a 1 + 1 0 + a 2 .1 0 2 + ... + a n 1 0 n‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ N‬ﻴﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪N = anan−1 ...a1a0 :‬‬ ‫ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ‪ N = anan−1 ...a1a0 10‬ﻭ ﺫﻟﻙ ﻟﻜﺜﺭﺓ ﺍﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫‪ –3‬ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ x‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪:‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﺍﻟﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪3‬‬‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ . N = 2 0 0 2 0 1 2 3 :‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪N = 2 .3 0 + 1 .3 1 + 0 .3 2 + 2 .3 3 + 0 .3 4 + 0 .3 5 + 2 .3 6‬‬ ‫‪N = 2 + 3 + 0 + 45 + 0 + 0 + 1458‬‬ ‫‪N = 1517‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ α‬ﺇﻟﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪: β‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 10‬ﺴﻬل ﺍﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ﻭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻓﻴﻪ ﺴﻬﻠﺔ ﻭ ﻟﻬﺫﺍ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ α‬ﻭ ﻨﺭﻴﺩ ﺃﻥ ﻨﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ‬ ‫ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ β‬ﻓﻨﻘﻭﻡ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ ) 10‬ﻜﻤﺎ ﺴﺒﻕ (‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪β‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ‪ N‬ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪2‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ . 111011012 :‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. 5‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪: 10‬‬‫‪N = 1 .2 0 + 0 .2 1 + 1 .2 2 + 1 .2 3 + 0 .2 4 + 1 .2 5 + 1 .2 6 + 1 .2 7‬‬‫‪N = 1 + 4 + 8 + 32 + 64 + 128‬‬‫‪N = 237‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪: 5‬‬ ‫‪237 = 47 × 5 + 2‬‬ ‫‪47 = 9 × 5 + 2‬‬ ‫‪9 = 1× 5 + 4‬‬ ‫‪1= 0× 5+ 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ N‬ﻴﻜﺘﺏ ‪14225 :‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﻟﺩﻯ ﺍﻟﺒﺸﺭ ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻪ ﻋﺸﺭﺓ ‪،‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻓﻬﻲ ‪. 9،8،7،6،5،4،3،2،1،0 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﻟﺩﻯ ﺍﻵﻻﺕ ﻭ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻫﻲ ‪. 1،0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ ، 8‬ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ‪7،6،5،4،3،2،1،0 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ ، 11‬ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ‪:‬‬ ‫‪ ) α ، 7،6،5،4،3،2،1،0،8،9‬ﺤﻴﺙ ‪. ( α = 10 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ ، 12‬ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ‪:‬‬ ‫‪ β ، α ،7،6،5،4،3،2،1،0،8،9‬ﺤﻴﺙ ‪ α = 10 :‬ﻭ ‪. β = 11‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1954‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. 12‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪1954 = 162 × 12 + 10‬‬ ‫‪162 = 13 × 12 + 6‬‬ ‫‪13 = 1 × 12 + 1‬‬ ‫‪1 = 0 × 12 + 1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1954‬ﻴﻜﺘﺏ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 12‬ﻫﻜﺫﺍ ‪:‬‬ ‫‪ 1 1 6 α 1 2‬ﺤﻴﺙ ‪α = 10 :‬‬ ‫‪ -5‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫‪ N‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﻜﺘﺏ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺘﻌﺩﺍﺩ ﺫﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪: 10‬‬ ‫‪N = anan−1...a2a1a0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪N = a 0 + a 1 .1 0 + a 2 .1 0 2 + ... + a n 1 0 n :‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 1 0 p ≡ 0 [2 ] :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ p‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪N ≡ a 0 [2 ] :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ N ≡ 0 [ 2 ] :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪a 0 ≡ 0 [ 2 ] :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪a 0 ∈ {0 , 2 , 4 , 6 , 8 } :‬‬‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10 p ≡ 0 5 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ p‬ﻭ] [‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ‪N ≡ a 0 [5 ] :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ N ≡ 0 [5 ] :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ a 0 ≡ 0 [5 ] :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪a 0 ∈ {0 , 5} :‬‬

‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10 p ≡ 0 4 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ p‬ﺤﻴﺙ] [‬ ‫‪ p ≥ 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]N ≡ a0 + a1.10 4 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ N ≡ 0 4‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪[ ] [ ]a1a0 ≡ 0 4 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺭﻗﻡ ﺍﻵﺤﺎﺩ ﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. 4‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 25‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ : :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10 p ≡ 0 25 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل] [‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ p‬ﺤﻴﺙ‪ p ≥ 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪[ ]N ≡ a0 + a1.10 25 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ N ≡ 0 25‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪[ ] [ ]a1a0 ≡ 0 25 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺭﻗﻡ ﺍﻵﺤﺎﺩ ﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. 25‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10 p ≡ 1 3 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪[ ]p‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ p ≥ 1 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]N ≡ 0 3 :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(a0 + a1 + ... + an ) ≡ 0[3] :‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 9‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10 p ≡ 1 9 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ p‬ﺤﻴﺙ ‪ p ≥ 1 :‬ﻭ] [‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ‪N ≡ 0 [9 ] :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( a0 + a1 + ... + an ) ≡ 0[9] :‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ : 11‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 1 0 p ≡ − 1 [1 1 ] :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p‬ﻓﺭﺩﻴﺎ‬ ‫ﻭ ] ‪ N ≡ 1 [1 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p‬ﺯﻭﺠﻴﺎ ‪ .‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪N ≡ 0 [1 1 ] :‬‬‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(−1)n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫≡‬ ‫]‪0 [1 1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫‪ 4 . 7 n − 8‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪: 3‬‬ ‫‪4 1 1 1 1830‬‬ ‫‪( ), 2 1 9 5 4 , 4 2 0 0 7 ,‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻻﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬‫‪( ) ( )8 6 3 1 8 0 0 × 8 0 3 0 1 2 6 0 , 1 9 5 2 2 × 2 3 9 8 7 , 2 0 1 8 6 4 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﻜﻭﻥ ‪[ ]1 0 3 n ≡ 1 3 7 :‬‬‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1010 + 1020 + 1030 :‬ﻋﻠﻰ ‪. 37‬‬‫]‪1) n7 ≡ n[7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫] ‪2 ) (n n 2 − 1 ) ≡ 0 [3‬‬ ‫‪4) 32n+2 − 2n+1 ≡ 0 7‬‬‫‪[ ] [ ]3 ) 3 × 5 2 n + 1 + 2 3 n + 1 ≡ 0 1 7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 7n‬ﻋﻠﻰ ‪. 9‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ ( 5 6 2 1 2 )1 9 5 4‬ﻋﻠﻰ ‪.9‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪ n‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ‪:‬‬‫] ‪1 6 3n + 1 6 n − 2 ≡ 0 [9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬‫ﺍﺩﺭﺱ ‪ ،‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 5n‬ﻭ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 11‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪5n − 3n‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ . 11‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪ n‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪:‬‬ ‫] ‪5 n − 3 n − 1 6 ≡ 0 [1 1‬‬