دروس مادة الرياضيات للفصل الاول تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫™ ﻤﻘﺩﻤﺔ‬ ‫™ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ‬‫™ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫™ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻭﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺫﻫﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻌﻠﻡ ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺴﻴﻠﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺃﺩﺍﺓ ﻻﻜﺘﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ‪.‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻫﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺤﺼﺭ ﻤﻠﻤﺢ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺩﺭﺍﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬ ‫ﺘﻡ ﺒﻨﺎﺀ ﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻟﻠﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﺸﻌﺒﺔ ﺍﻟﺘﺴﻴﻴﺭ ﻭ ﺍﻗﺘﺼﺎﺩ‬ ‫ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﻴﻑ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬ ‫ﻭﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﻭل ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﻓﻲ ﺘﻌﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻴﺴﺎﻫﻡ ﻓﻲ ﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻭﻀﺎ ﻋﻥ‬‫ﺇﻋﻁﺎﺌﻬﺎ ﺠﺎﻫﺯﺓ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻴﻪ ﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ ﺒﺎﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﻴﺠﻌل ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻡ ﻴﺅﺜﺭ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﻟﻠﻤﺩﺭﺴﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﺃﻭ ﻟﻠﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﺘﺘﺒﻌﻬﺎ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺘﻬﻴﺊ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺒﻨﺘﺎﺌﺠﻪ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﻭ ﺃﻤﺜﻠﺔ‬‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﺤﻼ ﻤﻔﺼﻼ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﺴﻠﻁ ﺍﻷﻀﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻭ ﻤﻨﻬﺠﻴﺎﺕ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ /‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤ ّﺭﻥ ﻭ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻭﺍﻟﺘﻌﻤﻕ ﻗﻠﻴﻼ‬‫ﻭﻓﻲ ﻤﺅﺨﺭﺓ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﻠﻭل )ﺃﻭ ﻨﺘﺎﺌﺞ ( ﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺃﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻭ ﻤﺴﺎﺌل ﺇﺩﻤﺎﺠﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻬﻡ ﻤﻌﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ -‬ﻓﻬﻡ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻭﺘﻁﺒﻴﻘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪.g(x)=O‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻠﻰ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺃﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻋﻨﺩ ‪ f+‬ﺃﻭ‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪.f-‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻷﺤﺩ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬‫‪ -‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﻭﺠﻭﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل – ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ – g‬ﻭ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫)‪ g(x)=ax+b + V(x‬ﻭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ x‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪ x‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ x‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪1‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ƒ ﻜل \"ﺩﺍﻟﺔ\" ﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ \" ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ\" ﺃﻱ \" ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ƒ ﻭ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰƒ ‪.‬‬ ‫ƒ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻭ \"ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ƒ \" ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :1‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﺠﻭﺩ ﺤﻠﻭل ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪.‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻻﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ( C ) ، (1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o,i, j‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ( H) ، (2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫) ‪( :;u;v‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪01‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪02‬‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪(1‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ )‪.g(5) ، g(-2) ،g(5) ، g(-2‬‬‫‪ (2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، g(x)=1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ،‬ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-2,5‬ﺤﻼﻥ ﻭ ﺃﻋﻁ‬‫ﻭ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﺤل ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻷﺤﺩ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ‬‫‪ (3‬ﻫل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، g(x)=1,5‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ،‬ﺤﻠﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-2,5‬؟ ﻟﻤﺎﺫﺍ؟‬ ‫‪3‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫*ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪g(5)=3 ، g(-2)=-1 ، g(5)=3 ،g(-2)=-1 :‬‬‫‪ (2‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=1 :‬ﻫﻲ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫‪ y=1‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪ .‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=1‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ (C‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻓﺎﺼﻠﺘﺎﻫﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[-2,5‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ g(x)=1‬ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ ، [-2,5‬ﺤﻼﻥ ‪ ،‬ﻭﺩﺍﺌﻤﺎ ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪ ،‬ﺃﺤﺩ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ﻫﻭ ‪ 3‬ﻭ‬ ‫) ﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺼﺭ ﺘﺎﻡ(‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ﺍﻵﺨﺭ ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ 4‬ﻭ ‪5‬‬‫‪ (3‬ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=1,5‬ﺃﻱ ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-2,5‬ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=1,5‬ﻻ‬ ‫ﻴﻘﻁﻊ )‪ (H‬ﻓﻲ ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [-2,5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g(-2)=-1‬ﻭ ‪ g(5)=3‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ O‬ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪1-‬ﻭ ‪ 3‬ﺃﻱ ﺒﻴﻥ )‪ g(-2‬ﻭ‬‫)‪ g(5‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=O‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ (C‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ‪،‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[-‬‬ ‫]‪ 2,5‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)= O‬ﻟﻬﺎ ﺤﻠﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪.[-2,5‬‬‫ﻭ ﻟﻜﻥ ﺭﻏﻡ ﺃﻥ ‪ 1,5‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ )‪ g(-2‬ﻭ )‪ g(5‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=1,5‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ [-2,5‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﺭﺠﻊ ﺇﻟﻰ ﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ \"[-2,5‬ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻤﺭ\" ﻟﻴﺱ ﻓﻴﻪ ﺃﻱ \"‬ ‫ﺜﻘﺏ\"(‪(1)....‬‬ ‫ﺒﻴﻨﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ )‪ (H‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-2,5‬ﻟﻴﺱ\" ﺨﻁﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍ\" ‪(2)...‬‬ ‫ﻭ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﻭل )‪ (1‬ﻨﻘﻭل‪ :‬ﺍﻟﺩﺍل‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪. [-2,5‬‬ ‫ﻭ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭل )‪ (2‬ﻨﻘﻭل ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪.[-2,5‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺼﻭﺭﺓ ﻤﺠﺎل ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪.‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ )‪( o; i, j‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ)‪ (P‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪.y=x2‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪،‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫\"ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-2,1‬ﺒﺤﻴﺙ ‪\" y=x2‬‬ ‫*ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (P) (1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﻭ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻤﻌﺭﻭﻑ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(P‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 →i 1 2 3 4 5 6 7‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪ (2‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ )‪ (P‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[-‬‬ ‫]‪ 2,1‬ﻭ ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪.[0,4‬‬ ‫ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ƒ ﺤﺴﺏ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻪ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ :1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ\" ﻤﺭﺒﻊ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل > ‪ @-f,+f‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[-‬‬ ‫]‪.2,1‬‬ ‫ƒ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪ D‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ E‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ\" ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬‫ﻋﻨﺼﺭ ‪x‬ﻤﻥ ‪ E‬ﺒﺤﻴﺙ )‪ \" y=g(x‬ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ g(E‬ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺭﺓ ‪ E‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻭ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪ E‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ E‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )‪ g(E‬ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻭ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺇﺠﺎﺒﺘﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ (2‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ‪.g([-2,1])= [0,4] ،‬‬ ‫‪5‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ :3‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ) ﺃﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ( ﻋﻨﺩ ‪ ) +f‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ‪(-f‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ g(x)=-3x2+5x-3.‬ﻭ ‪g(x)=-5x3+8x2+2x+5‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪ +f‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪.-f‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=)‪h(x‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ h‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. h‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻋﻨﺩ ‪ -f‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪h‬ﻋﻨﺩ ‪.+f‬‬ ‫) ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ \" ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪ \"+f‬ﻴﻌﻨﻲ \" ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪ g(x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪(\"+f‬‬ ‫*ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪:+f‬‬‫‪ -3x2‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ -f‬ﻭ ‪ 5x-3‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ +f‬ﻤﻨﻪ ‪ ،‬ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪ ،+f‬ﻫﻨﺎﻙ \"ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ\" ﻟﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ )‪. g(x‬‬ ‫‪5x 3‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ }‪g(x)= -3x2(1+  3x 2   3x 2 ): ƒ-{0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪=-3x2(1‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ x2‬‬ ‫)‬ ‫‪ 3x :+f‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ +f‬ﻭ ‪ x2‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪+f‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪15‬‬‫ﻤﻨﻪ ) ‪3x  x 2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ - 3x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪ x 2‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪0‬‬ ‫‪(1-‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.1‬‬ ‫ﻭ ‪ -3x2‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ -f‬ﻤﻨﻪ )‪ g(x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.- f‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ g‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪limxÆ-3x2+5x-3‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪f - f :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ‪ lim‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻜﺫﻟﻙ ‪x o 3x2  5x  3 f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺩﺍﻭﻟﺔ ﺴﺎﺒﻘﺎ‬ ‫‪xloimf g(x) f‬‬‫ƒ ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ‪ ،‬ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪ ) -f‬ﻫﻨﺎﻙ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ(‪.‬‬ ‫‪8x2‬‬ ‫ﻨﺯﻴل ﻫﺫﻩ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ )‪.g(x‬‬ ‫‪ 5x3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪5‬‬‫‪g(x)=-5x‬‬ ‫ ‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪5x3‬‬ ‫‬ ‫‪ 5x3‬‬ ‫¸·‬ ‫}‪IR – {0‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫©‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪5 . ¨§1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫©‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪82 1‬‬‫ﻭ ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ x 3 : -f‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 5x 3 ، 0‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪0‬ﻭ ‪ 5x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪. 0‬‬‫‪ +f‬ﻤﻨﻪ )‪g(x‬‬ ‫‪ -5x3‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫ ‪¨§1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪ 5x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.+f‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. lim g f‬‬ ‫‪f‬‬‫‪-‬ﺃ‪ Dh -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪.g(x)z0‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=0‬ﺃﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. -3x2+5x-3=0‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪' = - 11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ '<0‬ﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=0‬ﺃﻱ ﺤل ﻓﻲ ƒ ‪.‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ƒ = ‪Dh‬‬‫‪ -‬ﺏ‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ g(x) : - f‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ + f‬ﻭ )‪ g(x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ - f‬ﻤﻨﻪ ﻫﻨﺎﻙ‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻋﻨﺩ ‪. -f‬‬ ‫‪7‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ g(x): +f‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ ) -f‬ﺒﻌﺩ ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ( ﻭ )‪g(x‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ -f‬ﻤﻨﻪ ﻫﻨﺎﻙ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، h‬ﻋﻨﺩ ‪ . -f‬ﻟﻨﺯﻴل ﻫﺘﻴﻥ ﺤﺎﻟﺘﻲ‬ ‫ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ ،‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫}‪: ƒ-{0‬‬ ‫ ‪ 5x3 §¨1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫ ‪3x2 §¨1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫©‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ‪5x¨§1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ‪3¨§1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ‪§¨1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫©‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪¹‬‬‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.1‬‬ ‫ﻭ ﻟﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ ) + f‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ‪(- f‬‬ ‫ ‪¨§1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫©‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ limf h f‬ﻭ ‪limf h f‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﻌﻤل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪:‬‬‫ ‪ limf x o -3x2  5x  3 limf x o -3x2‬‬‫‪   limf x o -5x3  8x2  2x  5 limf x o -3x2‬‬ ‫‪8‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪limf‬‬ ‫¨¨§©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ ‪5x 3‬‬ ‫ ‪8x2‬‬ ‫ ‪2x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫¸¸·‪¹‬‬ ‫‪limf‬‬ ‫§©¨¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5x 3‬‬ ‫¸‪¸·¹‬‬ ‫‪ 3x‬‬ ‫‪2  5x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪ – I‬ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪(1‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪، D‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ I‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل ﻭ ﻟﻴﻜﻥ) ‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪ o, i, j‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ) ’‪ ( C‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ) ‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ .I‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل » ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ « I‬ﻴﻌﻨﻲ » )’‪ ( C‬ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻤﺭ ﻟﻴﺱ ﻓﻴﻪ ﺃﻱ \"ﺜﻘﺏ\" « ‪ ،‬ﻭ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ﻋﻤﻠﻴﺎ ‪:‬‬ ‫» ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺘﻤﺭﻴﺭ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻘﻠﻡ ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ) ’‪ ( C‬ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﺭﻓﻊ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻘﻠﻡ ﻋﻥ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺃﻨﺠﺯ ﻓﻴﻬﺎ ) ‪. « ( C‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ƒ ﻤﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﻨﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﺭﺒﻊ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﻜﻌﺏ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪. [0 ;f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻘﻠﻭﺏ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [‪ ]- f ;0‬ﻭ [‪ ]0 ;+ f‬ﻭ ﻟﻜﻥ ﻟﻴﺴﺕ‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ‪.‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ » ﺠﺯﺀ ﺼﺤﻴﺢ« ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ E‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ƒ‪ E(x)،‬ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ x‬ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ 16‬‬ ‫‪2 )=1‬‬ ‫‪، E(3,5)=3‬‬ ‫( ‪E( 4 )=-5 ، E(5)=5 ، E‬‬‫ﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ » ﺠﺯﺀ ﺼﺤﻴﺢ« ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o, i, j‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 →i 1 2 3 4 5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ‪2‬ﻥ‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﺯﺀ ﺼﺤﻴﺢ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬‫[‪ [n,n+1‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ﻟﻜﻥ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ) ﻷﻨﻬﺎ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ [‪، [0 ;2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ﻤﺜﻼ(‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬ﻓﻲ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﺠﺩﻭل ﻴﺭﻤﺯ ﻟـ)‪ E(x‬ﺒـ )‪ int(x‬ﺃﻭ ﺒـ)‪ ent(x‬ﺃﻭ ﺒـ‬ ‫)‪.partEnt(x‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ( ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﺭﺒﻊ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\" ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪. [0 ;+f‬‬ ‫‪10‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﻘﻠﻭﺏ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ [‪ ]-f ;0‬ﻭ ﻋﻠﻰ [‪. ]0 ;+f‬‬ ‫‪(3‬ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪-‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ‪ ،‬ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:1‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ )ﺃﻭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ( ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ‪.‬‬‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻴﻌﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ n‬ﻭ ﺘﻭﺠﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ . an ،...... a1 ، a0‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪g(x)=anxn+an-1xn-1+…….+a2x2+a1x+a0‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ƒ‪:‬‬ ‫‪g(x)=anxn+an-1xn-‬‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻹﺼﻁﻼﺤﺎﻥ‪ ،‬ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫‪.1+…….+a2x2+a1x+a0‬‬ ‫ƒ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪.g(x)=a0 : n=0‬‬ ‫‪anxn+an-1xn-‬‬ ‫ƒ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : nt1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫‪ 1+…….+a2x2+a1x+a0‬ﻜل ﻗﻭﺓ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻷﺱ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺱ ‪ n‬ﻤﻜﺘﻭﺒﺔ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h ، g ،g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ ‪.‬‬ ‫‪ h(x)=-7 ، g(x)=5x3+8x2+9x-1 ، g(x)=3x+5‬ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫‪11‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ T‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ƒ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ T(x)=0‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻭ ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ\"‪.‬‬ ‫ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ an ،........، a1، a0‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪،‬‬ ‫ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪g(x)=anxn+an-1xn-1+………..+a1x+a0‬‬ ‫) ﻤﻊ ﺍﻻﺼﻁﻼﺡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪(1‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ an ،........، a1، a0‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪.g‬‬ ‫ƒ‬‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪، x o an1 x n1 ،.................، x o a1 x ، x o a0‬‬ ‫ƒ‬‫‪ x o an x n‬ﺘﺴﻤﻰ ﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ g‬ﻭ ‪ an ،........، a1، a0‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ nt1‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ p‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ nt p t 1:‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪. apz0‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪ P‬ﻴﺴﻤﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺩ ‪ x o a p x p‬ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪. g‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a0z0‬ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺩ ‪ x o a0‬ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ g‬ﻫﻲ ‪.0‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺩ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ،g‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺩ ﻫﻭ ‪.0‬‬ ‫ƒ‬‫ƒ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ g‬ﻟﻴﺱ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ،‬ﺩﺭﺠﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ g‬ﻫﻲ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺩﻩ – ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ –‬ ‫ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ‪.‬‬‫‪g(x)=-9x4+7x3- 2 x2+3x+7‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ƒ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪.‬‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ g‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ƒ‬‫‪. x o 9x4 ، x o 7x3 ، x o  2x2 ، x o 3x ، x o 7‬‬ ‫ﺩﺭﺠﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ g‬ﻫﻲ ‪.4‬‬ ‫ƒ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺘﺎﻥ ‪ \":‬ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ\" ‪ ،‬ﻟﻴﺴﺕ ﻟﻪ ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻲ ‪. N‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪ ،‬ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺘﺴﻤﻰ \" ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ƒ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.\" x‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:2‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬‫=)‪ F(x‬ﻫﻲ‬ ‫‪ 5x2  8x 1‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ } ‪ ƒ- {-1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‪:‬‬ ‫ƒ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ‪.‬‬ ‫ƒ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‪:‬‬ ‫ƒ ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ƒ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪g‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻓﺈﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل )‪ (gog) ،( g )، (g.g) ، (g+g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)= 3x  5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ 3x-5t0‬ﺃﻱ ‪xt 3‬‬ ‫‪55‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ g‬ﻫﻲ[‪ [ 3 ,+f‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ [‪[ 3 ,+f‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ R‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﺠﺫﺭ‬ ‫)‪g(x)=R(3x-5‬‬ ‫))‪ g(x)=R(A(x‬ﺤﻴﺙ‪ A‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x o 3x  5‬‬ ‫ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\"‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪13‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪g(x)= (RoA)(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪ A‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\"‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ƒ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ R‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪.ƒ+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪[ 3 ,+f‬‬ ‫‪(5‬ﺍﺼﻁﻼﺡ ﺤﻭل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﺍﺼﻁﻼﺡ ‪:‬‬‫ﻴﺼﻁﻠﺢ ﺃﹼﻨﻪ‪ :‬ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜل ﺴﻬﻡ ﻤﻨﺠﺯ \"ﺘﺤﺕ\" ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﻴﺩل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪(1‬ﻫﻭ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ƒ ‪.‬‬‫)‪(2‬ﻫﻭ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [‪ ]-f,-2‬ﻭ‬ ‫[‪]2,+f‬ﻭ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ‪.‬‬ ‫‪(6‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‬ ‫‪15‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.g‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. bta‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ g(1 :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬‫)ﺃﻱ)‪g(b)tOt g(a‬‬ ‫‪ O (2‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﺤﺼﻭﺭﺒﻴﻥ )‪ g(a‬ﻭ )‪g(b‬‬ ‫ﺃﻭ )‪( g(a)tOt g(b‬‬‫ﻓﺈﻨﻪ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ‪ ،‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ c‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ ) b‬ﺃﻱ ‪ (btct a‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪.g(c)=O g‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ƒ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪ \" :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ \"ﺤﻘﻴﻘﻲ\" ‪ c‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ‬‫‪ \" g(c)=O‬ﻴﻌﻨﻲ ‪ \":‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪، g(x)=O‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ، x‬ﻟﻬﺎ ﺤل ‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ‪ ،‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪a‬‬ ‫ﻭ ‪.\" b‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪1‬ﻴﻌﻁﻲ ﺘﻔﺴﻴﺭﺍ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬ﻟﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، (1)...... 2x3+x2+x+2=2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ƒ ‪ ،‬ﻟﻬﺎ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻷﻗل ﺤل \" ﻤﺤﺼﻭﺭ\" ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪.1‬‬ ‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)=2x3+x2+x‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ) ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ( ﻭ ‪ 0‬ﻭ ‪ 1‬ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ƒﻭ ‪ g(0)=0‬ﻭ‬‫‪ g(1)=4‬ﻭ ‪ 2‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ 4‬ﻤﻨﻪ ‪ 2‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ )‪ g(0‬ﻭ )‪ g(1‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=2‬ﺃﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ‪ ،‬ﺤل ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪.1‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺼﻭﺭﺓ ﻤﺠﺎل ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫‪16‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻥ )‪، g(I‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫ﻫﻲ ﻜﺫﺍﻟﻙ ﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻘﺩ ﻭﻀﺢ ﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ )‪ g(I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﻟﻠﻨﺸﺎﻁ ‪.2‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫) ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻌﻨﻲ ‪ :‬ﺇﻤﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺇﻤﺎ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪( I‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل )‪ g(I‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺤﻴﺙ‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪a<b‬‬ ‫[‪]-f ;a‬‬ ‫[‪] limf g ; lima g‬‬ ‫[ ‪] lima g; limf g‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل )‪ g(I‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪lim limg‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل )‪ g(I‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪lim limg‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫[‪]-f ;+f‬‬ ‫;‪] g‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫;‪] g‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫ƒ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍ‪f‬ﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠ‪f‬ﻰ‪I‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗ‪f‬ﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠ‪f‬ﻰ ‪I‬‬‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ‬ ‫]‪[a ;b‬‬ ‫])‪[g(a) ; g (b‬‬ ‫])‪[g(b) ;g(a‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬‫ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫[‪[a ;b‬‬ ‫ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫; )‪lim[g(a‬‬ ‫])‪lim] g ;g(a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫‪b‬‬ ‫]‪lim lim]a ;b‬‬ ‫])‪] g ;g(b‬‬ ‫; )‪[g(b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫‪a‬‬ ‫[‪]a ;b[ ] lima g ; limb g[ ] limb g ; lima g‬‬ ‫[‪[a ;+f‬‬ ‫;)‪lim[g(a‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫] )‪lim] g ;g(a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫[‪]a ;+f[ ] lima g ; limf g[ ] limf g ; lima g‬‬ ‫]‪]-f ;a‬‬ ‫])‪lim] g ;g(a‬‬ ‫; )‪lim[g(a‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪17‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ O‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل )‪. g(I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، g(x)=O‬ﺤﻴﺙ ‪x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺤل \"ﻭﺤﻴﺩ\"‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)=x3-3x2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻭ ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻙ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪x -f 0 2‬‬ ‫‪+f‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+f‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (*)..... x3-3x2=1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ƒ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )*(ﻫﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪g(x)=1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:g‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪(1).... g(x)d0 : ]-f ;0‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪(2).... -4d g(x)d0 : [ 0;2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ [2 ;+f‬ﻤﻨﻪ‬ ‫; )‪limg([-2 ;+f[ )=[ g(-2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫[‪g‬‬ ‫[‪g([-2 ;+f[ )=[-4 ;+f‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪18‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻤﻨﻪ ‪ 1‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل) [‪ g([-2 ;+f‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ‬‫ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=1‬ﺃﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )*( ﻟﻬﺎ ﺤل\" ﻭﺤﻴﺩ\"‪ D‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫[‪.[-2 ;+f‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ ، (2‬ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )*( ﺃﻱ ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ ]-f ;2‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ D‬ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺃﻋﻼﻩ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )*(‪.‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.D‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ﺃﻨﺠﺯ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ(‬ ‫‪X 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11‬‬‫‪g(x) 0,46513 0,56182 0,65974 0,75891 0,85933 1,0639 1,0639‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﻜل ﻫﺫﺍ‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x3-3x=1‬ﻟﻬﺎ ‪ ،‬ﻓﻲƒ ‪،‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ‪ D‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ D‬ﻫﻭ ﺒﺤﻴﺙ ‪ 3,10<D<3,11‬ﺇﺫﻥ ﻤﺩ ّﻭﺭ ‪D‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪ 10-1‬ﻫﻭ ‪. 3,1‬‬ ‫‪ II‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫ﻟﻘﺩ ﺘﻡ ﺍﻟﺘﻁﺭﻕ ﺇﻟﻰ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻭ‬‫ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺘﺘﻤﻴﻤﺎﺕ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ﻭ ﺤﻴﺙ – ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﻲ‪.‬‬‫)‪lixm0 (x o g(x)) lix0m (x o g(x)) limB (x o g(x‬‬ ‫ﻴﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‬‫‪ lixm0 g‬ﺃﻭ‬ ‫‪ lix0m g‬ﺃﻭ‬ ‫‪ limB g‬ﺃﻭ‬‫)‪lxiomx g(x‬‬ ‫)‪lxiomx g(x‬‬ ‫)‪lxiomB g(x‬‬ ‫ﺒﺩﻻ ﻤﻥ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫‪x x00‬‬ ‫‪x! x0‬‬ ‫‪19‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ (1‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪-‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪-‬‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ‪:‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻭ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪aok‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ao x‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a o ax n a o ax n‬‬ ‫ﻤﻊ ‪a>0‬‬ ‫ﻤﻊ ‪a<0‬‬‫‪limf g‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪10 +f +f -f‬‬‫‪limf g‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻻ ﺘﻭﺠﺩ‬ ‫‪ +f‬ﻟﻤﺎ ‪n‬‬ ‫‪ -f‬ﻟﻤﺎ ‪n‬‬ ‫ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫‪ -f‬ﻟﻤﺎ ‪n‬‬ ‫‪ +f‬ﻟﻤﺎ ‪n‬‬ ‫ﻓﺭﺩﻱ ﻓﺭﺩﻱ‬ ‫‪ xx‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻲ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪ -f‬ﻭ ﻋﻨﺩ ‪ + f‬ﻫﻤﺎ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ ،‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﺎﻥ ﻋﻨﺩ ‪ -f‬ﻭ ﻋﻨﺩ ‪ +f‬ﻟﻠﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪.g‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ xxx‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ F= Q‬ﺤﻴﺙ ‪ P‬ﻭ ‪ Q‬ﻜﺜﻴﺭﺍ ﺤﺩﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻓﺈﻥ‬‫ﻨﻬﺎﻴﺘﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻋﻨﺩ ‪ -f‬ﻭ ﻋﻨﺩ ‪ +f‬ﻫﻤﺎ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﺎﻥ ﻋﻨﺩ ‪ -f‬ﻭ ﻋﻨﺩ ‪ +f‬ﻟﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪Q.‬‬ ‫‪20‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪limf (x o 3x2 ) f limf (x o 5x7 ) f x‬‬ ‫‪limf (x o 5x4 ) f‬‬ ‫‪limf (x o 2x7 ) f ، limf (x o 8x3 ) f‬‬ ‫‪limf (x o 3x2  8x 1) limf (x o 3x2 ) xx‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪5x2  10x 1‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪3x2  x  2‬‬ ‫‪3x 2‬‬‫‪limf‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪limf (x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫)‬ ‫‪xxx‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪li0m‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪li0m‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫• ‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ xx‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﺃﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ\" ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\" ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﻴﺏ\"‬‫)‪ (sin‬ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ\" )‪ (cos‬ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، g‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫)‪lima g g(a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪7x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ} ‪ ƒ-{ 21‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ } ‪(-1) ƒ-{ 21‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ lim1 g g(1‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪g(1) 7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lim1 g 7‬‬ ‫‪(2‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ ،‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺠﺩﺍﺀ ‪ ،‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻭ‪ E‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﺃﻭ‪ +f‬ﺃﻭ ‪ - f‬ﻭ ‪ A‬ﻭ  ‪ A‬ﻋﺩﺩﺍﻥ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ƒ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬‫= ‪limB g‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪A A A -f +f‬‬ ‫‪+f‬‬ ‫‪-f‬‬‫= ‪limB g‬‬ ‫‪ A' +f -f -f +f‬ﻭ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪-f‬‬ ‫‪ A + A' +f -f -f +f‬ﻓﺈﻥ‬‫=)‪lim( g  g‬‬‫‪B‬‬ ‫ƒ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫‪22‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ A f -f‬ﻭ ‪ A‬ﻭ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪A‬ﻭ ‪A A‬ﻭ‬ ‫‪f00‬‬ ‫‪A >0‬‬ ‫‪>0 >0 +‬‬ ‫‪+‬‬‫= ‪limB g‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫‪fff‬‬ ‫ﻭ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪-+-‬‬ ‫‪+f -f f -f‬‬‫= ‪limB g‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺡﻉﺕ ‪f‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪A' +f -f‬‬ ‫‪-f +f f +f‬‬ ‫‪+‬‬‫=‬ ‫‪. A' +f -f‬‬ ‫‪A‬‬‫)‪lim( g.g‬‬ ‫‪B‬‬‫‪ A A f+‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ƒ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ‬‫‪= limB g‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺎﻻﺕ ﺤﻴﺙ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻻ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭ‬ ‫‪f+ f- f- f f f- f-‬‬ ‫‪++‬‬‫'‪ z0 f + >0 A‬ﻭ ﻜﺎﻥ‬ ‫'‪<0 A‬‬ ‫'‪>0 A‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f+ f-‬‬‫‪= limB g‬‬ ‫ﺃﻭ '‪A‬‬ ‫ﻭ '‪A‬‬ ‫ﻭ '‪A‬‬ ‫ﻭ '‪A‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ f-‬ﻭ '‪A‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫ﻭ '‪A‬‬‫‪ A 0 f+‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪f- f- f+‬‬ ‫ﺡﻉﺕ‬‫'‪= A‬‬‫(‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‬ ‫‪B‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺎﻻﺕ ﺤﻴﺙ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻲ ﺼﻔﺭ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪lim g =0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪23‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪A‬ﻭ‬ ‫‪ A +f +f -f‬ﻭ ‪ A‬ﻭ ‪ A‬ﻭ‬ ‫‪-f 0‬‬ ‫‪A >0 A >0 A <0‬‬‫= ‪limB g‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪g(x) g(x)z‬‬ ‫‪<0 0‬‬‫ﻭ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪A‬‬ ‫>)‪g(x‬‬ ‫<)‪g(x‬‬ ‫<)‪g(x‬‬ ‫>)‪g(x‬‬ ‫<)‪g(x‬‬ ‫>)‪g(x‬‬ ‫)*( )*(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)*(‬ ‫)*(‬ ‫)*(‬ ‫)*(‬ ‫)*(‬ ‫)*(‬ ‫ﺡ ﻉ ﺕ ‪+f‬‬ ‫‪>0‬‬‫‪limB g‬‬ ‫)*(‬‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪+f‬‬ ‫‪-f -f +f +f -f -f‬‬‫=‬‫(‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‬ ‫‪B‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)*( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ‪ ،‬ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪. E‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺡ ﻉ ﺕ ﻴﻠﺨﺹ \" ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ\" ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻋﺎﻤﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻭ ﺃﻨﻪ ﻴﺠﺏ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺡ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ )‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ(‪.‬‬ ‫ƒ ﻤﻠﺨﺹ ﻟﺤﺎﻻﺕ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻫﻲ ‪ +f‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻵﺨﺭ ﻫﻲ ‪.+f‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ﻫﻲ ‪ 0‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤل ﺍﻵﺨﺭ ﻫﻲ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪-f‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺠﺩﺍﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻫﻲ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪-f‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻫﻲ ‪0‬‬ ‫ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻲ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪-f‬‬ ‫ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻲ ‪0‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ h ، g ،g‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ ‪ 3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫)‪، g(x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫‪ Dh ، Dg ، Dg‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ h ، g ، g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫[‪Dh=ƒ-{-1 ;1} ، Dg=[0 ;+f[ ، Dg=[0 ;+f‬‬ ‫‪24‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪lim h‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪limf g‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪limf g‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‬ ‫‪1‬‬ ‫ƒ ﺤﺴﺎﺏ ‪: limf g‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ limf x o x f‬ﻭ ‪ f‬‬‫‪ limf x o x‬ﻨﺤﻥ ﺃﻤﺎﻡ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪،‬‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫¨¨§©‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫¸‪ 1·¸¹‬‬ ‫ﺃﺠل‪x>0‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫§¨¨©‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫¸·¸‪ 1¹‬‬ ‫‪x.‬‬ ‫¨§‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‪ 1‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪limf‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‪ 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪limf‬‬ ‫¨§‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪0 :‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪limf g‬‬ ‫ﻭ ‪ limf x o x f‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f‬‬‫ ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪ :‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺩﻭﺍل \"ﺠﺒﺭﻴﺔ\" ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﻴﺙ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ +f‬ﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻵﺨﺭ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪:+f‬‬‫ﻴﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ‪ ) +f‬ﺃﻭ ‪ (-f‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻟﻴﺴﺕ ‪ ) 0‬ﻫﻜﺫﺍ ﻓﻌﻠﻨﺎ‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪.( limf g‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻭ ﻨﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ) ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪ 2‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ(‪.‬‬ ‫ƒ ﺤﺴﺎﺏ ‪: limf g‬‬ ‫‪25‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪ limf x o x  x f‬ﻭ ‪ limf x o 2x 1 f‬ﻨﺤﻥ ‬ ‫ﺃﻤﺎﻡ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ [‪: ]0 ;+f‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪x§¨© 1 x 1¸·¹‬‬ ‫¨§‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫¸·‪©¨§ 1 x 1¹‬‬ ‫‪¨§ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪limf‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪limf‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‪ 1‬‬ ‫ﻭ ‪1‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪limf g‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ 2‬‬‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪:‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺩﻭﺍل \"ﺠﺒﺭﻴﺔ\" ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﺒﺴﻁ‬‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ +f‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ‪ -f‬ﻭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ +f‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ‪ ،-f‬ﺘﻘﻭﻡ ﺒﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺒﺴﻁ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ‪) +f‬ﺃﻭ ‪ (-f‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻤﻊ ﺇﺒﺭﺍﺯ ﻋﺎﻤل ﻤﺸﺘﺭﻙ ) ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪ (-f‬ﻟﻠﺒﺴﻁ ﻭ‬‫‪lim x o x2 1‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﻡ ﺜﻡ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﺨﺘﺯﺍل‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ƒ ﺤﺴﺎﺏ ‪lim h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim x o x2  3x  2 0‬ﻭ ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﺤﻥ ﺃﻤﺎﻡ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪26‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻭ )‪x2-3x+2=(x-1)(x-2‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪x2-1=(x-1)(x-1) Dh‬‬ ‫‪lim x o x 1‬‬ ‫) ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ (‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫)‪(x 1)(x  2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪(x 1)(x  1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim x o x 1 1‬ﻭ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim h‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪1‬‬‫ ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪:‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺩﻭﺍل \" ﺠﺒﺭﻴﺔ\" ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺤﻴﺙ ﻜل ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ :0‬ﻨﺤﻠل ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻬﻤﺎ ‪ 0‬ﻤﻊ‬ ‫ﺇﺒﺭﺍﺯ ﻋﺎﻤل ﻤﺸﺘﺭﻙ ) ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ‪ (0‬ﻟﻠﺒﺴﻁ‬ ‫ﻭ ﻟﻠﻤﻘﺎﻡ ﺜﻡ ﻨﺨﺘﺯل ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺒﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﺒﺭﻴﺔ\" ﻨﻘﺼﺩ ﺩﺍﻟﺔ \"ﻭﺴﻴﻠﺘﻬﺎ ﻟﺼﻨﻊ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺠﻤﻊ ‪ ،‬ﻀﺭﺏ ‪ ،‬ﻁﺭﺡ ‪ ،‬ﻗﺴﻤﺔ ‪ ،‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\"‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‪:‬‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ E‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪ -f‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪ D‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪ -f‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪ O‬ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪.-f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ limB x o g(x) α :‬ﻭ ‪liαm x o g(x) λ‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪ limB x o gg(x) λ :‬ﺃﻱ ‪limB g D g λ‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ g D g x :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫))‪g D gx g(g(x‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻻﺴﺘﻌﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩﺴﻲ ﻟﻠﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺴﻬل ﺠﺩﺍ‬ ‫‪27‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫\" ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ g(x) : E‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪\" D‬‬ ‫ﻭ \" ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ g(x) : D‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪\" O‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﺘﺭﺏ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ g(x) E‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ D‬ﻭ ﻤﻨﻪ))‪ g(g(x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ‪O‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :1‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)= x 2  3‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ ‪.‬‬‫‪   limf x o x‬‬ ‫ﻭ ‪f‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ limf x o x2  3 f :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪limf x o x2  3 f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)= x  x 2  3‬‬‫‪lim limf f‬‬ ‫ﻨﺤﻥ ﺃﻤﺎﻡ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻷﻥ ‪ x o x f‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ‪g‬‬ ‫‪ limf x o x2  3 f‬‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ [‪ ) ]-f ;0‬ﺴﻨﺠﻌل ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪:(- f‬‬ ‫‪  g(x) x  x2  3 x  x2  3‬‬ ‫‪x  x2 3‬‬ ‫‪ x2  x2  3 2‬‬ ‫‪x  x2 3‬‬‫ ‪limf x o‬‬ ‫‪x2  3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f :‬‬ ‫‪x  x2  3‬‬ ‫‪ limf x o x‬ﻭ ‪f‬‬ ‫‪28‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪limf  3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ limf x o x  x2  3 f‬ﻭ ‪ 3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪limf g 0‬‬ ‫‪(3‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ E‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ‪ +f‬ﺃﻭ ‪ -f‬ﻭ ‪ A‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭ ‪g‬ﻭ ‪.g‬‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ‪:‬‬‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪limg(x)dg(x) ،‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪g f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪limB g f‬‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ‪:‬‬‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪g (x)tg(x) E‬‬ ‫‪limB‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪g f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪limB g f‬‬‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪E‬‬ ‫‪limB‬‬ ‫‪g‬‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ limB g A‬ﻭ ‪A‬‬ ‫)‪g(x)th(x)tg(x‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪limB h A‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬ﺍﻻﺴﺘﻌﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩﺴﻲ ﻟﻠﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺴﻬل ﺠﺩﺍ ‪.‬‬ ‫ƒ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪g(x) E‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ‪ +f‬ﻭ )‪g(x)tg(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ g(x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪.+f‬‬ ‫‪29‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ƒ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪g(x) E‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ‪ -f‬ﻭ )‪g(x)tg(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ g(x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪.-f‬‬ ‫ƒ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ‬‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ E‬ﻜل ﻤﻥ )‪ g(x‬ﻭ )‪ g(x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ A‬ﻭ )‪g(x)th(x)tg(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ h(x‬ﻜﺫﻟﻙ ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪. A‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫ƒ ﻟﻨﺤﺴﺏ ‪ limf x o x  sin x‬ﻭ ‪limf x o x  sin x‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ƒ ‪-1dsin xd 1:‬‬ ‫‪x-1dx+sin xd x+1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪(1)…………x-1dx+sin x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(2)........... limf x o x 1 f‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل‬ ‫‪limf x o x  sin x f‬‬ ‫‪(3)................ x+1tx+sin x‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪(4).......... limf x o x  1 f‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ )‪ (3‬ﻭ )‪ (4‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ‬ ‫‪limf x o x  sin x f‬‬ ‫‪lim0‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸ )‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‬ ‫ƒ‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x2>0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪-1d‬‬ ‫¨§‪cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}‪ƒ-{0‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪30‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪(5).........  x 2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫§¨‪cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪d‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪   (6)...........‬‬ ‫‪lim lim0 0‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x o x 2 0 :‬‬ ‫ﻭ ‪x o x2 0‬‬‫‪lim0‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos( 1x‬‬ ‫·¸ )‬ ‫ﻤﻥ )‪ (5‬ﻭ )‪ (6‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ‪0 :‬‬ ‫©‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ) ‪ (V‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ o, i, j‬‬ ‫ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ Dg‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.g‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪D‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ ‪.‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ )x=D‬ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ( ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‬ ‫‪ (V‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ liαm g‬ﺃﻭ‬ ‫‪ liαm g‬ﺃﻭ ‪f‬‬ ‫‪ liαm g‬ﺃﻭ ‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪liαm g‬‬ ‫‪ liαm g‬ﺃﻭ ‪f‬‬ ‫‪ liαm g‬ﺃﻭ ‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:2‬‬ ‫‪31‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪E‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ ‪.‬‬‫‪-‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ )y=E‬ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل( ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫‪. limf g‬‬ ‫) ‪ (V‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪ +f‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪β :‬‬‫‪-‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y=E‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪ (V‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪ +f‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪. limf g β :‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:3‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻥ ﺜﺎﺒﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ az0‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )'( ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪.y=ax+b‬‬ ‫‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ)'( ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﺎﺌﻼ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪ (V‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪ +f‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪limf x o g(x)  (ax  b) 0‬‬ ‫‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ)'( ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﺎﺌﻼ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪ (V‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪ -f‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪limf x o g(x)  (ax  b) 0‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ 3‬ﺴﺎﺌﺩﺓ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ )‪M(x)=g(x)-(ax+b‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ )‪g(x) =ax+b+M(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ ، g(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻴﻡ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ ، Dg‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪g(x) =ax+b+M(x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪. az0‬‬‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=ax+b‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ –ﻤﺎﺌﻼ‪ -‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (V‬ﺒﺠﻭﺍﺭ‬ ‫‪ +f‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪. limf x o ϕ(x) 0‬‬‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=ax+b‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ –ﻤﺎﺌﻼ‪ -‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (V‬ﺒﺠﻭﺍﺭ‬ ‫‪ -f‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪limf x o ϕ(x) 0‬‬ ‫‪32‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺃﺸﻜﺎل ﺘﻭﻀﻴﺤﻴﺔ‬‫ﻓﻲ ﻜل ﺸﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ) ﺍﻟﻤﻨﺠﺯﺓ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺒﺭﻤﺠﻴﺔ » ‪( « SINQUANON‬‬ ‫) ‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o, i, j‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪5 (C‬‬ ‫)‪5 (C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 →i 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ )‪(2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ )‪( 1‬‬‫‪g(x)= 2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺪﺳﺘﻮﺭ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﺪﺳﺘﻮﺭ‬ ‫‪2‬‬‫ﻭﺍﻟﻟﺸﺪﻳﻜﻨﺎل )‪ li2m g f x(3:‬ﻭ ‪li2m g f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2  4x‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫)‪(x 1‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x=2‬ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﲎ )‪.(V‬‬ ‫‪ li1m g‬ﻭ‬ ‫ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪f x :‬‬‫‪ limf‬ﻭ‬ ‫‪¨§ x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¸·‬ ‫‪0x‬‬ ‫‪li1m g f‬‬ ‫©‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪limf‬‬ ‫¨§‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫·¸‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x=1‬ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫©‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﲎ )‪.(C‬‬‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=2x+1‬ﻫﻮ ﻟﻠﻤﻨﺤﲎ )‪(C‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬‫ﻣﻘﺎﺭ‪3‬ﺏ‪)3‬ﻣﺎﺋﻞ( ﲜﻮﺍﺭ ‪ +f‬ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ﲜﻮﺍﺭ‪. -f‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪4 (C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪-3 (3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪f(x-)5‬‬ ‫‪4 x2  3‬‬ ‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪2x  1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim g f x:‬ﻭ ‪lim g f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫) ‪(1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x= 2‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪.(C‬‬ ‫‪ limf g 2 x‬ﻭ ‪(*) limf g 2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=2‬ﻫﻭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪.+f‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=-2‬ﻫﻭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪.f-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪x 2 §¨1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‪1‬‬ ‫©‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪xz- 2‬‬ ‫)*( ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ xz0‬ﻭ‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫‪34‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x2 u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫‪4x u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ ‪2x(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪ ) g(x‬ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل(‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x : x>0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪2x‬‬‫‪limf g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪limf (x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪limf (x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫ﻭ‪0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪ g(x‬ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x : x<0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪limf g 2‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻴﺴﻤﻰ – ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ‪\" -‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺃﻓﻘﻲ\"‬‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻴﺴﻤﻰ‪-‬ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ‪ \" -‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ\" ﺃﻭ \"ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻋﻤﻭﺩﻱ\" ﺃﻭ‬ ‫\" ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺭﺃﺴﻲ\"‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪35‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫* ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ‪ Dg‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻓﻲ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ o, i, j‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺴﻁﺔ ‪ -. y=a x+b‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ Dg‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅﺍﺕ‬ ‫\" ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﺘﻘﻊ ﺘﺤﺕ ) ﺘﻤﺎﻤﺎ( )‪ \" (D‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )‪(I) a x+b>g(x‬‬ ‫\" ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ ) ﺘﻤﺎﻤﺎ( )‪ \" (D‬ﻤﻌﻨﺎﻩ‪(II) g(x)>a x+b‬‬ ‫\"‪ x‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻤﻊ )‪ \"(D‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪(III) g(x)=a x+b‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ‪.Dg‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ )‪ (I‬ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Dg‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ )‪ (II‬ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Dg‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ )‪(III‬‬ ‫) ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ (g(x)-a x+b‬ﺜﻡ ﺘﺭﺠﻤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪M0‬‬ ‫‪M4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫‪M3 →j‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 X-21 0 i→ X10 X21 3 4 5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﺸﺭﺡ ﻋﻠﻰ) ‪C‬ﻀﻭ(ﺀ ﺍﻟﺸﻜل ﺃﻋﻼﻩ‪:‬‬ ‫‪36 -3‬‬ ‫‪-4‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫))‪ M2(x1 ; g(x1‬ﻭ )‪ M1(x1 ; a x1+b‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ M2‬ﺘﺤﺕ ) ﺘﻤﺎﻤﺎ( ‪ M1‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M2‬ﺃﻗل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪. M1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ)‪.a x1+b> g(x1‬‬‫)‪ M3(x2 ;a x2+b‬ﻭ ))‪ M4(x2 ; g(x2‬ﻭ ‪ M4‬ﻓﻭﻕ ) ﺘﻤﺎﻤﺎ( ‪ M3‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M4‬ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪M3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪g(x2)>a x2+b‬‬ ‫))‪ M0(x0 ; g(x0‬ﻭ )‪ M4(x2 ; a x0+b‬ﺃﻥ ‪ M0‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻭ )‪g(x0)=a x0+b (D‬‬ ‫‪x3‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ g(x)= x  1‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ o, i, j‬‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﻭﻀﻌﻴﺔ )‪ (C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y=3x+2‬‬ ‫ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ g(x)-(3x+2‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ، Dg‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪. g‬‬ ‫ﻟﻨﺎ }‪ Dg=ƒ-{1‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪: Dg‬‬ ‫=)‪g(x)-(3x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3x2  2x  5‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻭ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬ ‫‪ 3x2  2x  5‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ -3x2+2x+5‬ﺜﻼﺜﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﻟﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(1)............. 3x2+2x+5=0-‬‬ ‫)‪'=22-4(-3)(5‬‬ ‫‪'=64‬‬ ‫‪ 2  64  2  64‬‬ ‫ﺤﻼ )‪ (1‬ﻫﻤﺎ )‪ 2(3‬ﻭ )‪2(3‬‬ ‫‪37‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﻫﻤﺎ ‪ -1‬ﻭ ‪3‬‬ ‫ﻭ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ g(x)-(3x+2‬ﻨﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ، Dg‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬‫‪x‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+f‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬‫‪-3x2+2x+5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬‫)‪g(x)-(3x+2‬‬ ‫‪38‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪g(-1)=3(-1)+2‬‬ ‫(‪;g‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=-1 =7‬‬ ‫‪5‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ -:‬ﻨﻘﻁ )‪(C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ[ ‪ ]-f ;-1[ ‰ ]1 ; 3‬ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ ) ﺘﻤﺎﻤﺎ( )‪(D‬‬ ‫‪5‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻁ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ [‪ ]-1 ;1[ ‰ ] 3 ; +f‬ﺘﻘﻊ ﺘﺤﺕ ) ﺘﻤﺎﻤﺎ( )‪(D‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ (C)ˆ(D)={A ;B} -‬ﺤﻴﺙ )‪ A(-1 ;1‬ﻭ)‪B( 3 ;7‬‬ ‫* ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﺃﻭ \"ﺃﻓﻘﻲ\" ‪ ،‬ﺘﻁﻠﺏ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ‪.‬‬ ‫‪39‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﻭ ‪ D‬ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.g‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬ ‫‪ g(x)=2x4-5x3+3 /1‬ﻭ [‪.D=]-f ;+f‬‬ ‫‪.D=]-f‬‬ ‫[‪;-2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ g(x)= 2x  3 x /3‬ﻭ [‪.D=[0 ;+f‬‬ ‫; ‪.D=]-f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‬ ‫ﻭ‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫‪ 3x  2 /4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(C) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o, i, j‬‬ ‫‪/1‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪. g(-1)، g(2)، g(0)، g(-2) :‬‬‫‪ /2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺩﻟﺔ‪ ، g(x)=0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ،‬ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-3 ;0‬ﺤﻼﻥ ﻭ ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻷﺤﺩ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ﻭ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﺤل ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ /3‬ﻋﻴﻥ )]‪، g([-3 ;2‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-3 ;2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪x -f‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+f‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪g(x) +f‬‬ ‫‪-f‬‬‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، g(x)=-5‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ƒ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻨﺴﻤﻴﻪ ‪ D‬ﻭ ﺃﻥ [‪.D[3 ;+f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫‪40‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-1 ;1‬ﺤﻴﺙ ‪ g(1-)=2 ،‬ﻭ‪ g(1)=-5‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ D‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪ [-1 ;1‬ﻭ ‪.g(D)=D3-5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫‪g(x)=1 :xt0‬‬ ‫‪ g‬ﻭ ‪ ، g‬ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪g(x)=-x :xt0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪g(x)=x :x<0‬‬ ‫‪g(x)=-1 :xd0‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪ (V1‬ﻭ )‪ (V2‬ﻤﻨﺤﻨﻴﻲ ‪g‬ﻭ ‪ ، g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o, i, j‬‬ ‫‪ /1‬ﺃﺭﺴﻡ ﻜﻼ ﻤﻥ )‪ (V1‬ﻭ )‪(V2‬؟‬ ‫‪/2‬ﺃ( ﻫل ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺤﺩﻩ ؟‬ ‫ﺏ(ﻫل ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺤﺩﻩ؟‬ ‫‪ /3‬ﺃ( ﺃﻜﺘﺏ ‪ g D g x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.x‬‬ ‫ﺏ(ﺃﺭﺴﻡ )‪ ،(G‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. g D g‬‬ ‫ﺠـ( ﻫل ‪ g D g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺤﺩﻩ؟‬ ‫‪ /4‬ﻤﺎ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﺨﺭﻭﺝ ﺒﻪ ﻜﺎﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-1 ;1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪g(x)= 1  x2  x‬‬ ‫‪ /1‬ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ؟‬ ‫ §¨ ‪.g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭ‬ ‫‪g‬‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻜﻼ‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪/2‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫[ ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪ /4‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-1 ;1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻭ ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻜﻼ‬ ‫‪33‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪.[  4 ; 4‬‬ ‫‪ /5‬ﻤﺎ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻪ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪41‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺤل‬ ‫[‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪(x)=1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻷﻗل‪.‬‬ ‫‪ /2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻨﻰ )‪ ،(V‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺯﻭﺩ‬ ‫ﺒﻤﻌﻠﻡ ‪ o,i, j‬ﺤﻴﺙ ‪ :‬‬ ‫)‪.g(x)=4x cos(x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬ ‫‪2x3‬‬ ‫‪ x2  5x 1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (V‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺯﻭﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o, i, j‬‬ ‫‪ /1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.g‬‬ ‫‪/2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪، lim g(x)  2x  1‬‬ ‫)‪، lim g(x) ، lim g(x) ، lim g(x) ، lim g(x‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪xo1 xo1 xof xof‬‬ ‫‪lim g(x)  2x 1‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪/3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ )‪ (V‬ﻟﻪ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻜل ﻤﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬ ‫=)‪g(x‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (V‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻓﻲ‬ ‫‪3 x2 1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺯﻭﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ . o, i, j‬‬ ‫‪ /1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.g‬‬ ‫‪ /2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪. lim g(x) ، lim g(x) ، lim g(x‬‬ ‫‪xo2‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪/3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ)‪ (V‬ﻟﻪ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪42‬‬

1 ‫اﻹرﺳﺎل‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫ ﺛﺎﻧﻮي‬3 :10 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ . ƒ ‫ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻤﻥ‬x ‫ﻟﻴﻜﻥ‬ : ‫ﺃﺤﺴﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ lim 2x 2  11x 5 /2 lim x 4  81 /1 x2  2x  15 x5  243 xo5 xo3 lim 2x2  4 x 1 /4 lim 2x  3  4x /3 3x  1  2 xof xof 2x  5  lim 2x  x2  3x /6  lim 2x  3  7x2  x /5 xof xof lim x2  3  3x 1 /8  lim 3x 1  9x2  1 /7 x 1 xo1 xoflim 2x2  7x  6  4x  5 /10 lim x  2  3x2  5x  2 /9xo1 x  3  x2  7x  4 xo2 2x2  3x 1  3 lim 3x  8  3sin(x)/12  lim 5x2  x  sin(x) /11 xof xof lim §¨  5 cos(x) ·¸ /14 lim 3 sin( x) /13 ©xof x 2 1 ¹ x 1 xof lim 2x  sin( x) /15 4x  cos( x) xof 43

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬ ‫‪ g(x)=2x4-5x3+3 /1‬ﻭ [‪.D=]-f ;+f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫‪.D=]-f‬‬ ‫[‪;-2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﺘﻤﺜﻠﺔ ﻓﻲ ‪]-f ;-2[‰]-‬‬ ‫[‪.2 ;2[‰]2 ;+f‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.D‬‬ ‫‪ g(x)= 2x  3 x /3‬ﻭ [‪.D=[0 ;+f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o 2x  3‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ [‪ ) [0 ;+f‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ(‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ [‪.[0 ;+f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3x  2 /4‬‬ ‫=)‪ g(x‬ﻭ ] ‪.D=]-f ; 3‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺘﺭﻜﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪44‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 2‬‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪. g(-1)، g(2)، g(0)، g(-2) :‬‬ ‫ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻨﺠﺩ‪ g(-2)=-2:‬ﻭ ‪ g(0)=2‬ﻭ ‪ g(2)=3‬ﻭ)‪g(-1‬‬‫‪ /2‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=0‬ﺤﻼﻥ ﻭ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻷﺤﺩﻫﻤﺎ ﻭ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺤل ﺍﻵﺨﺭ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪. [-3 ;0‬‬ ‫ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-3 ;2‬ﻭ )‪ (-3‬ﻭ ‪ 0‬ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪.[-3 ;2‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (V‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻤﺭﺘﻴﻥ ) ﺃﻱ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ( ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ 2‬ﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪.]-3 ;-2‬‬ ‫‪ /3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ )]‪:g([-3 ;2‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. [-3 ;2]=[-3 ;-2]‰[-2 ;2] :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) g‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ( ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪45‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫]‪ [-3 ;2‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ] )‪g([-3 ;2])=[ g(2) ; g(-3‬‬ ‫]‪=[-2 ;4‬‬ ‫‪ -‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪) g‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ( ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪ [-2 ;2‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪g([-2 ;2])=[ g(-2) ; g(2) ] :‬‬ ‫]‪=[-2 ;3‬‬ ‫]‪g([-3 ;2])= [-2 ;4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، g(x)=-5‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ƒ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻨﺴﻤﻴﻪ ‪ D‬ﻭ ﺃﻥ [‪D[3 ;+f‬‬ ‫‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ ]-f ;3‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )‪(-2‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻟﻴﺴﺕ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺤﻠﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪.[3 ;+f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ [3 ;+f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫]‪g([3 ;+f])=]-f ;1‬ﻭ]‪-5]-f ;1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ‪ D ،D‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪.[3 ;+f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ D‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[-1 ;1‬‬ ‫ﻭ ‪. g(D)=D3-5‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ‪. g(x)= g(x)-x3+5:‬‬‫‪ g x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ ) [-1 ;1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻭ‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ(‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ‪ g(-1)=8‬ﻭ ‪. g(1)=-1‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ‪ 0‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ 8‬ﻭ )‪. (-1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪:‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ D‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-1 ;1‬ﺒﺤﻴﺙ ‪g(D)=0 :‬‬ ‫ﻭ ‪ g(D)=0‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪g(D)-D3 +5=0:‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪.g(D)=D3 -5:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ D‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[-1 ;1‬‬ ‫ﻭ ‪.g(D)=D3 -5‬‬ ‫‪46‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫‪ /1‬ﺃﺭﺴﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ (C1) :‬ﻭ )‪.(C2‬‬ ‫‪ /2‬ﺃ( ﻫل ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺼﻔﺭ؟‬ ‫ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﻫل ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻤﺩ ﺼﻔﺭ ؟‬ ‫ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺼﻔﺭ‪.‬‬ ‫‪ /3‬ﺃ( )‪ g D g (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g D g (x) g(g(x)) :‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x>0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g D g (x) g(1) :‬‬ ‫‪=-1‬‬ ‫ﻭ ﻟﻤﺎ ‪ x>0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g D g (x) g(x) :‬‬ ‫‪=-1‬‬ ‫ﻭ ﻟﻤﺎ ‪ x=0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g D g (x) g(1) :‬‬ ‫‪=-1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. g D g (x) 1 :‬‬ ‫ﺏ( ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. g D g‬‬ ‫‪47‬‬