دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ؛ﺍﺴﺘﻘﻼل ﺍﻷﺤﺩﺍﺙ‬ ‫ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻌﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻭ ‪ PPCM‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻟﻠﺴﻁﻭﺡ ‬

‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ؛ﺍﺴﺘﻘﻼل ﺍﻷﺤﺩﺍﺙ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1 -‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ‬‫‪ -2 -‬ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺘﻭﻅﻑ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ ،‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻬﺎ‬ ‫‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪ ،‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ‬ ‫‪ -3 -‬ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﻫﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -4 -‬ﺍﺴﺘﺨﺭﺍﺝ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻘﻭﺍﺌﻡ – ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﺎﺕ– ﺍﻟﺘﺒﺩﻴﻼﺕ–‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﺎﺕ‬ ‫‪ -5 -‬ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺩ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -6 -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﻼل ﺃﻭ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‬ ‫‪ -7 -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ‬ ‫‪ -8 -‬ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﻲ‬ ‫‪ -9 -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻟﻠﺴﺤﺏ ﺃﻭ ﺍﻹﻟﻘﺎﺀ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ - I‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ) ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ( ‪.‬‬ ‫‪ - II‬ﺍﻟﻌﺩ ‪:‬‬ ‫‪ - III‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -VI‬ﺩﺳﺘﻮﺭ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻯ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ‪ .‬ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻜﺭﻴﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪ :‬ﺒﻌﺩ ﻜل ﺴﺤﺏ ﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻗﺒل ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬‫ﻤﺎ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﻭﻥ ؟ ﻤﺎ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺤﺏ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪V‬‬‫•‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ‪2‬‬ ‫ﺘﻭﻀﻴﺢ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ‪:1‬‬

‫ﻋﻨﺩ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻨﺤﺼل ﺇﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ‪ R‬ﺃﻭ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ‪ V‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪( )p‬‬‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ‬ ‫‪8‬‬ ‫) ﻨﺴﺤﺏ ‪ 5‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 8‬ﻜﺭﺍﺕ (‬‫‪ ) p‬ﻨﺴﺤﺏ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 8‬ﻜﺭﺍﺕ () (‬‫‪V‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= 8 :‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ‪: 2‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺴﺤﺏ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﺇﻋﺎﺩﺘﻬﺎ ﻟﻠﻜﻴﺱ ﻨﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ‪.‬‬‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻓﻲ ﺃﻭل ﺴﺤﺒﺔ ﻫﻲ ‪ R‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻫﻲ ﺇﻤﺎ ‪ R‬ﺃﻭ ‪ V‬ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ‬ ‫‪( )pR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫ﺃﻱ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ‪ R‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻨﺎ ﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ‪. 1‬‬‫‪ pR‬ﺃﻱ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ‪ V‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻨﺎ ﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ‪( ). 1‬‬‫‪V‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= 8 :‬‬‫ﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻲﺀ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ ‪ V‬ﻓﻠﺩﻴﻨﺎ ‪ R‬ﺃﻭ ‪ V‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﻭﻥ ﺃﻱ ‪ R; R‬ﺃﻭ ‪( ) ( )V;V‬‬‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪34‬‬ ‫=‬ ‫‪17‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪: p1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪3‬‬‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪64‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪: p2‬‬

‫‪ - I‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ) ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ( ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻭﻗﻊ ﻨﺘﻴﺠﺘﻬﺎ ﺭﻏﻡ ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ‪ .‬ﻨﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﺒﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. Ω‬‬ ‫‪ -‬ﻜل ﺠﺯﺀ ‪ A‬ﻤﻥ ‪ Ω‬ﻴﺴﻤﻰ ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺍﺤﺘﻭﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺯﺌﻴﺔ ‪ A‬ﻤﻥ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺼﺭ ﻭﺤﻴﺩ ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﺩﻋﻰ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﻭﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻷﻜﻴﺩﺓ ﻫﻲ ‪ Ω‬ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ ﻫﻲ ∅ ‪.‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻓﺈﻥ ﺤﺎﺩﺜﺘﻬﺎ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻫﻲ ‪ A‬ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ Ω‬ﻤﺎ ﻋﺩﺍ‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪. A‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ‪ ،‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ A ∩ B‬ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻜل‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ Ω‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻜل ﻤﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻤﻌﺎ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A ∩ B‬ﺨﺎﻟﻴﺔ ﺃﻱ ∅ = ‪ A ∩ B‬ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻏﻴﺭ‬ ‫ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ‪ .‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A ∪ B‬ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﺃﻭ ‪ B‬ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ A‬ﻭ‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ B‬ﺃﻴﻀﺎ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ Ω = e1;e2;...;ei :‬ﺤﻴﺙ} {‬ ‫‪ ei ;...;e2;e1 :‬ﻫﻲ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺨﺎﺭﺝ ‪.‬‬‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻭ ﺇﺭﻓﺎﻕ ﺒﺎﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ‪ en;...;e2;e1‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ‬ ‫‪ pn;...; p2; p1‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ‪ en;...;e2;e1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻢ ‪Ω‬‬ ‫‪e1‬‬ ‫‪e2‬‬ ‫‪… en‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪... pn‬‬‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪: 1‬‬

‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ pn;...; p2; p1‬ﻤﻭﺠﺏ ﻓﻬﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ 0 ≤ pi ≤ 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪: 2‬‬ ‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ ﺇﺭﻓﺎﻗﻬﺎ ﺒﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ‪ Ω‬ﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻋﻠﻰ ‪. Ω‬‬ ‫‪ – 3‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻜل ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺃﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪{ }Ω = e1;e2;...;en‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ p1; p2;...; pn‬ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ‪ e1;e2;...;en‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪p2‬‬ ‫= ‪= ...‬‬ ‫‪pn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ m‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻬﺎ ‪( )p A‬‬‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫)‪p( A‬‬ ‫=‬ ‫‪m.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪: 3‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ p1 + p2 + ... + pn = 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪( )p Ω = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻨﻀﻊ ‪. p(∅) = 0 :‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻨﺯﻭﺩ ‪ Ω‬ﺒﺎﻻﺤﺘﻤﺎل ‪. p‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻓﺈﻥ ‪( )0 ≤ p A ≤ 1 :‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ∅ = ‪( )A ∩ B‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪p( A ∪ B) = p( A) + p( B) :‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﺘﻴﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫)‪p( A∪ B) = p( A) + p(B) − p( A∩ B‬‬

‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻓﺈﻥ ‪( ) ( )p A = 1 − p A :‬‬ ‫‪ p(Ω) = 1 -‬ﻭ ‪p(∅) = 0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﺠﺯﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪( )A ⊂ B B‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪. p( A) ≤ p( B) :‬‬ ‫ﺘﻌﺎﺭ ﻴﻑ ‪:‬‬‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻻﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ p . Ω = e1;e2;...;en :‬ﺍﺤﺘﻤﺎﻻ} {‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺎ ﻋﻠﻰ ‪p1; p2;...; pn ، Ω‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ‪ e1;e2;...;en‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻤل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪E = e1. p1 + e2 . p2 + ... + en . pn‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ V‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪V=(e1 − E )2 . p1 + (e2 − E )2 . p2 + ... + (en − E )2 . pn‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ S‬ﺤﻴﺙ ‪S = V :‬‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ V‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪V = e12 . p1 + e22 . p2 + ... + en2 . pn − E 2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﻤل ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻓﻲ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺃﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻁﺒﻊ ﻫﻲ ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ Ω‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪pi‬‬ ‫‪ – 5‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪ p .‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ‪. Ω‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻰ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ‪ X‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪. Ω‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬

‫‪ X‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪ X‬ﺃﻱ ‪{ }I= x1; x2;...; xn :‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ pi‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ‪ X‬ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ \" xi‬ﺃﻱ ‪( )X = xi‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪p1 + p2 + ... + pn = 1 :‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻫﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻗﻴﻤﺔ ‪ xi‬ﻤﻥ ‪ I‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪( )p X = xi‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 3‬‬‫‪ -‬ﺍﻷﻤل ﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪( )E X‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + .......... + xn pn :‬‬‫ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ V X‬ﺤﻴﺙ) (‬ ‫‪-‬‬‫‪V(X) =( x1 − E( X))2 p1 +( x2 − E( X))2 p2 +...+( xn − E( X))2 pn‬‬‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ σ X‬ﺤﻴﺙ‪( ) ( ) ( )σ X = V X :‬‬‫‪( )( ) ( )V X = e12 p1 + e22 p2 + ....... + en2 pn − E X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪:‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ pi = p( X = xi ) :‬ﻤﻥ ﺃﺠل }‪i ∈{1, 2,......, n‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:1‬‬‫ﻨﻘﺫﻑ ﻨﺭﺩﺍ ) ﺃﻭ ﺯﻫﺭ ﺍﻟﻨﺭﺩ ( ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻴﻑ ﻭﺠﻭﻫﻪ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪6‬‬‫ﻭ ﻨﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻨﺩ ﻭﻗﻭﻋﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ‪.‬‬‫‪ -‬ﻤﺎﺫﺍ ﻨﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ؟ ﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ؟‬‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻋﻜﺴﻴﺘﻴﻥ ؟‬‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ ‪ .‬ﻭ ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ‪.‬‬‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ﺃﻤل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ ،‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪ -‬ﻨﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ :‬ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ‪{ }Ω = 1, 2, 3,4,5,6 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻫﻲ ‪{6},{5},{4},{3},{2},{1} :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ 1;5‬ﻭ ‪ 2;3;4;6‬ﻫﻤﺎ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻋﻜﺴﻴﺘﻴﻥ ‪{ } { }.‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻱ ‪{ }A = 2;4;6‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﺃﻱ ‪{ }B = 1;3;5‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫)‪p(B‬‬ ‫‪=1−‬‬ ‫‪p( A) = 1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ :‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺠﻪ ﻫﻭ ‪ 6 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻴﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﻗﻴﻢ ‪Ω‬‬ ‫‪111111‬‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫‪666666‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻣﻞ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ‪:‬‬‫‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪70‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬‫=‪S‬‬ ‫=‪V‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪12 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪S 3,42 :‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻯ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻜﺭﻴﺎﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ‪ 3‬ﻜﺭﻴﺎﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 8‬ﻜﺭﻴﺎﺕ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 5‬ﻜﺭﻴﺎﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ‪.‬‬ ‫ﻨﺴﺤﺏ ﺒﻼ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ X‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻜﺭﺓ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻭ ﺒﻜل ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -3‬ﻭ ﺒﻜل ﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻭ ﺒﻜل ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. -1‬‬ ‫ﺇﻥ ‪ X‬ﻫﻭ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. X‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. X‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪p3‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬‫‪p4‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻫﻭ ‪:‬‬

‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪-3 1 -1‬‬ ‫) ‪p( X = xi‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪385‬‬ ‫‪20 20 20‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‪−3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‪−1‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪8−9+8−5‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪E ( X ) = 0,1 :‬‬ ‫=)‪E(X‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬‫(‪V‬‬ ‫)‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫‪2-0,1)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫)‪-3-0,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪(1-0,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫‪-1-0,1)2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪V‬‬ ‫)‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫×‬ ‫‪3, 61‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20‬‬ ‫×‬ ‫‪9, 61‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20‬‬ ‫×‬ ‫‪0,81 +‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪× 1,21‬‬ ‫ﺃﻱ ‪. V ( X) = 2,79 :‬‬ ‫)‪V(X‬‬ ‫=‬ ‫‪55, 8‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬ ‫‪ σ ( X ) = V ( X) = 2,79‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪σ ( X ) 1,67 :‬‬

‫‪ - II‬ﺍﻟﻌﺩ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻤﻌﻴﻥ ﻴﺘﻡ ﺒـ ‪ n1 :‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻭ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺜﺎﻥ ﻴﺘﻡ ﺒـ ‪ n2‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪ ، ... ،‬ﺜﻡ ﺇﺠﺭﺍﺀ‬‫ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ‪ k‬ﻴﺘﻡ ﺏ ‪ nk‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺠﺭﺍﺀﺍﺕ ﺘﺘﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺘﺎﺒﻊ ﺒـ ‪n1 × n2 × ... × nk‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻴﻘﺩﻡ ﻤﻁﻌﻡ ‪ 3‬ﺃﺼﻨﺎﻑ ﻤﻥ ﺍﻟﻠﺤﻡ ﻭ ﺼﻨﻔﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺴﺎﺀ ﻭ ‪ 4‬ﺃﺼﻨﺎﻑ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺎﻜﻬﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻭﺠﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﻁﻌﻡ ﺘﻘﺩﻴﻤﻬﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜل ﻭﺠﺒﺔ ﻤﻜﻭﻨﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﻟﺤﻡ ﻭ ﺤﺴﺎﺀﺍﺕ ﻭ ﻓﺎﻜﻬﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3‬ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻟﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﻠﺤﻡ ﻭ ﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﻟﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﺤﺴﺎﺀ ﻭ ‪ 4‬ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻟﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﻔﺎﻜﻬﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﻓﺈﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﺩﻡ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻤﻁﻌﻡ‬ ‫ﺍﻟﻭﺠﺒﺎﺕ ﻟﻠﺯﺒﺎﺌﻥ ﻫﻭ ‪ 3 × 2 × 4 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ‪ 24‬ﻭﺠﺒﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﻘﻭﺍﺌﻡ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻜﻡ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻜﻭﻨﺎ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻜﻭﻴﻨﻪ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪5 ، 4 ، 3 ، 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻜﻭﻨﺎ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻫﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ . abc‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4 :‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺭﻗﻡ‬ ‫ﺍﻵﺤﺎﺩ ‪ c‬ﻭ ‪ 4‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ‪b‬‬ ‫ﻭ ‪ 4‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻤﺌﺎﺕ ‪a‬‬‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺘﺎﺒﻊ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4 × 4 × 4 :‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻱ ‪43‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺸﻜﻴﻠﻬﺎ ﻫﻭ ‪ 64‬ﻋﺩﺩﺍ ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺫﺍﺕ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ‪.‬‬

‫ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a1 , a2 , ..., a p‬ﻴﺴﻤﻰ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺫﺍﺕ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﹰﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ E‬ﺤﻴﺙ) (‬ ‫‪ a1 , a2 , ..., a p :‬ﻫﻲ ﻋﻨﺎﺼﺭﻤﻥ ‪ E‬ﻟﻴﺴﺕ ﺠﻤﻴﻌﻬﺎ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﺍﺌﻡ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ‪ . a1 , a2 , ..., a p‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a1‬ﻤﻥ ‪ E‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )n‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a2‬ﻤﻥ ‪ ... E‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a p‬ﻤﻥ ‪ . E‬ﻭ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ‪ a1 , a2 , ..., a p‬ﻴﺘﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺘﺎﺒﻊ ﺒـ ‪ n × n × ... × n :‬ﺃﻱ ‪ :‬ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺍﺌﻡ ﺫﺍﺕ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﹰﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ E‬ﺫﺍﺕ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭ ﻫﻭ ‪. n p‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻜﻡ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻜﻭﻨﺎ ﻤﻥ ‪ 6‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺸﻜﻴﻠﻪ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪9, .....2,1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻫﻭ ‪ 96‬ﺃﻱ ‪ 531441 :‬ﻋﺩﺩﺍ‬ ‫‪ – 3‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪ . p ≤ n :‬ﻨﺴﻤﻰ ﺘﺭﺘﻴﺒﻪ ﺫﺍﺕ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺫﺍﺕ ‪n‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻜل ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺫﺍﺕ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﺔ ‪( ). a1,a2 ,...,a p‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a1‬ﻤﻥ ‪E‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n − 1‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a2‬ﻤﻥ ‪ ) E‬ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ (‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n − 2‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a3‬ﻤﻥ ‪E‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n − p − 1‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ a p‬ﻤﻥ ‪( )E‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ‪ a1 , a2 , ..., a p‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﻭ ‪:‬‬‫‪ n n − 1 n − 2 ... n − p + 1‬ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Anp‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﺎﺕ) ( ) ( ) (‬ ‫‪Anp = n( n − 1)( n − 2) × ...× ( n − p + 1) :‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻜﻡ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻜﻭﻨﺎ ﻤﻥ ‪ 6‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﺃﻱ ﻏﻴﺭ ﻤﻜﺭﺭﺓ ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺘﻜﻭﻴﻨﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪. 9 ، ... ، 2 ، 1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪a1a2a3a4a5a6 :‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a5‬ﻫﻭ ‪8‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a6‬ﻫﻭ ‪9‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a3‬ﻫﻭ ‪6‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a4‬ﻫﻭ ‪7‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a1‬ﻫﻭ ‪. 4‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a2‬ﻫﻭ ‪5‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺸﻜﻴﻠﻬﺎ ﻫﻭ ‪9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 60480 :‬ﻋﺩﺩﺍ ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﻟﺘﺒﺩﻴﻼﺕ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ .‬ﻨﺴﻤﻰ ﺘﺒﺩﻴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ E‬ﺫﺍﺕ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﹰﺍ ﻜل ﺘﺭﺘﻴﺒﺔ ﺫﺍﺕ ‪n‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪. E‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﺒﺩﻴﻼﺕ ﻫﻭ‪Ann = n( n − 1)( n − 2) ...( n − n + 1) :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Ann = n( n − 1)( n − 2) × ...× 1 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻜﻡ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻜﻭﻨﺎ ﻤﻥ ‪ 9‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺸﻜﻴﻠﻪ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪9 ، … ، 2 ، 1‬‬ ‫ﺩﻭﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻫﻭ ‪9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 362880 :‬ﻋﺩﺩﺍ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺭﻤﺯ ﻋﺎﻤﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ n n − 1 n − 2 × ... × 2 × 1‬ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ! ‪ n‬ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪n! = n( n − 1) × ...× 2 × 1‬‬ ‫ﺍﻟﺭﻤﺯ !‪ n‬ﻴﻘﺭﺃ ‪ n :‬ﻋﺎﻤﻠﻲ ‪.‬‬

‫ﻓﻤﺜﻼ ‪:‬‬‫‪6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ، 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24‬‬ ‫ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ‪ 1! = 1 :‬ﻭ ‪0! = 1‬‬ ‫= ‪Anp‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫! ‪n− p‬‬ ‫!‪( )Ann = n‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪A96‬‬ ‫=‬ ‫!‪9‬‬ ‫=‬ ‫!‪9‬‬ ‫=‬ ‫×‪9‬‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫×‪6‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫×‪4‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫!)‪− 6‬‬‫‪ A96 = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4‬ﺃﻱ‪A96 = 60480 :‬‬ ‫‪ – 5‬ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ) ‪ .( p ≤ n‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺫﺍﺕ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ‪ .‬ﻨﺴﻤﻰ ﺘﻭﻓﻴﻘﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ E‬ﻜل ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ‪ E‬ﻴﺸﻤل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪. E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪Anp‬‬ ‫‪ E‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪p‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﺎﺕ ﺫﺍﺕ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪(n −‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫!‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪n‬‬ ‫×!)‪p‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﻻ ﺘﺭﺘﺏ ﻋﻨﺎﺼﺭﻩ ﻭ ﻻ ﺘﻜﺭﺭ ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﺎﺕ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻤﻥ ‪ 40‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ ‪ .‬ﺃﺭﺍﺩﻭﺍ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ 3‬ﻤﻤﺜﻠﻴﻥ ﻟﻠﻘﺴﻡ ‪.‬‬ ‫ﺒﻜﻡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻴﺘﻡ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻫﻡ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﺇﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ 3‬ﻤﻤﺜﻠﻴﻥ ﻫﻭ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺠﺯﺀ ﻤﻜﻭﻥ ‪ 3‬ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻤﻥ ‪ 40‬ﻋﻨﺼﺭ ‪ .‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪C430‬‬ ‫=‬ ‫!‪40 × 39 × 38 × 37‬‬ ‫‪37!× 3 × 2 × 1‬‬ ‫× ‪40 × 39‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪C430‬‬ ‫=‬ ‫‪3×2‬‬ ‫=‬ ‫× ‪20 × 13‬‬ ‫‪38‬‬ ‫=‬ ‫‪9880‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻫﻨﺎﻙ ‪ 9880‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ 3‬ﻤﻤﺜﻠﻴﻥ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻘﺴﻡ ‪.‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ‪: Cnp‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪: Cnp‬‬ ‫‪Cnp‬‬ ‫=‬ ‫‪C n− p‬‬ ‫‪ Cnn = 1‬؛‬ ‫؛‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫؛‬ ‫‪C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪C p−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Cp‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪n − p ! p! :‬‬ ‫‪( )C‬‬ ‫=‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪C40 = 1‬‬ ‫‪C51 = 5‬‬ ‫‪C77 = 1‬‬ ‫‪C84 = C73 + C74‬‬ ‫‪C52‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ‪ Cnp‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪:‬‬‫‪p 0 1 2 3 … p-1 p … n-1 n‬‬‫‪n‬‬‫‪01000000000‬‬‫‪11100‬‬ ‫‪0‬‬‫‪21210‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪313310‬‬ ‫‪0‬‬‫‪p-1 1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬‫‪p1‬‬‫‪n-1 1‬‬ ‫‪CC p-1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪10‬‬‫‪n1‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 1‬ﻭ ﺫﻟﻙ‬ ‫ﻤﻥ ‪. Cn0 = 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺫﻟﻙ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻬﺎ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫ﻗﻁﺭ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪n‬‬‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻗﻪ ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪Cp‬‬ ‫‪ Cnp‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ -‬ﺃﻤﺎ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻓﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪Cp‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻴﻠﻲ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫‪C p−1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪Cnp‬‬ ‫=‬ ‫‪C p−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Cp‬‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺫﻟﻙ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻤﺎ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻓﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ‪, p > n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪n=5‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 100000‬‬ ‫‪1 110000‬‬ ‫‪2 121000‬‬ ‫‪3 133100‬‬ ‫‪4 146410‬‬ ‫‪5 1 5 10 10 5 1‬‬

‫ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ‪:‬‬‫‪( )a + b n = Cn0a bn−0 0 + Cn1a bn−1 1 + ..... + Cnnan−nbn‬‬ ‫=‪n‬‬ ‫‪i=n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪an−ibi‬‬ ‫ﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ‪( ) ∑.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪( ) ( )x + 2 5 = C50 x5−0‬‬‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x5−1 21‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C52‬‬ ‫‪x5−2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5−3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C54 x5−4 24‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C55 x5−5 25‬‬ ‫‪5‬‬‫‪( x + 2)5 = x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫ﺘﺴﺘﺨﺭﺝ‬ ‫‪C55‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C54‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C53‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C52‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C50‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ - III‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﺤﺩﺍﺙ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﻬﻴﺩ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ p‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ‪ A ، Ω‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪( )p A ≠ 0 :‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ B‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪( )pA B‬‬ ‫= )‪pA ( B‬‬ ‫)‪p(A∩ B‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫)‪p( A‬‬‫= )‪pA (Ω‬‬ ‫)‪p(Ω ∩ A‬‬ ‫=‬ ‫)‪p( A‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪p( A‬‬ ‫)‪p( A‬‬

‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ B2 , B1‬ﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪(pA B1 ∪ B2 ) = pA ( B1 ) + pA ( B2‬‬ ‫)‪p( A ∩ B) = p( B) × pB ( A) = p( A) × pA ( B‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬‫)‪ pA ( B) = p( B‬ﺃﻱ‪p( A ∩ B) = p( A). p( B) :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ ﻓﺈﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 6‬ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ‪. 7‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ‪ 7‬ﻭ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻓﺭﻗﻬﻤﺎ ‪. 3‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺘﺎﻥ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ‬‫ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻘﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺫﺍﺕ ‪ 6‬ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻭ ﻋﺩﺩﻫﺎ ‪:‬‬ ‫‪C62‬‬ ‫=‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫×!)‪2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪7‬‬ ‫}‪ A = {1,6},{2,5},{3,4‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺘﻬﺎ ﻫﻭ ‪{ }. 3‬‬ ‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ -2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪3‬‬‫}}‪ B = {{1,4},{2,5},{3,6‬؛ }}‪A ∩ B = {{2,5‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ B‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻫﻭ ‪:‬‬‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪:‬‬ ‫)‪PA ( B‬‬ ‫=‬ ‫)‪P(A∩ B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪P( A‬‬

‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫‪A‬‬ ‫∩‬ ‫)‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬‫‪PA‬‬ ‫(‬ ‫)‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬‫‪1‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ‪ 7‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻓﺭﻗﻬﻤﺎ ‪ 3‬ﻫﻭ ‪5‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻭﻋﺎﺀ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻜﺭﺍﺕ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 8‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ‬ ‫ﻨﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻴﻥ ) ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﻋﺎﺩﺓ (‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﺜﻡ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﺜﻡ ﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻭﻨﻴﻥ ﻤﻌﺎ‪.‬‬‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻭ ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ J1‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﺃﻭل ﺴﺤﺏ‬ ‫ﻭ ‪ V2‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﺃﻭل ﺴﺤﺏ‬ ‫ﻭ ‪ J2‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﺜﺎﻨﻲ ﺴﺤﺏ‬ ‫ﻭ ﻨﻔﺭﺽ ‪ V2‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﺜﺎﻨﻲ ﺴﺤﺏ‬

P ( J1 ∩ V2 ) = P ( J1 ) .PJ1 ( V2 ) = 4 × 8 = 8 12 11 33P ( V1 ∩ J2 ) = P ( V1 ) .PV1 (J2 ) = 8 × 4 = 8 12 11 33P( J1 ∩ J2 ) + P( V1 ∩ V2 ) = P( J1 ) .PJ1 ( J2 ) + P( V1 ) .PV1 ( V2 ) = 4 × 3 + 8 × 7 12 11 12 11 = 1 + 14 = 17 11 33 33

‫‪ -2‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺐ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺐ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫‪pJ1‬‬ ‫(‬ ‫‪J2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪p(J1∩J2) =p(J1)×pJ1(J2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪43 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 12 × 11 = 11‬‬ ‫‪12‬‬‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪J1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪pJ1‬‬ ‫(‬ ‫‪V2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪p(J1∩V2) =p(J1)×pJ1(V2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫×‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪33‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪V1‬‬ ‫(‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪p(V1∩J2) =p(V1)×pV1(J2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫×‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪33‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪v1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫(‬ ‫‪V2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪p(V1∩V2) =p(V1)×pV1(V2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫×‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪33‬‬

‫‪ -VI‬ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪ P .‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ‪. Ω‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ A1 , A2 , ..., An‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻜل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. Ω‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻫﻲ ‪{ }Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 :‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ C , B, A‬ﺤﻴﺙ ‪ \" A :‬ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﺃﻭﻟﻰ \"‬ ‫‪\" B‬ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \" 4‬؛ ‪ \" C‬ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﺃﻭ ‪\" 6‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪C = {1,6} , B = {4} , A = {2,3,5} :‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ A, B,C‬ﺤﻭﺍﺩﺙ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ ﻭ ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩﻫﺎ ﻫﻭ‬ ‫‪ . Ω‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ A, B,C‬ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. Ω‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪ ) :‬ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ (‬ ‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻻﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ P‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ‪ A1 , A2 , ..., An . Ω‬ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪( ). Ω‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﻥ ‪ Ω‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫) ‪P( A) = PA1 ( A).P( A1) + PA2 ( A).P( A2 ) + ... + PAn ( A).P( An‬‬ ‫ﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪{ }Ω = 1, 2, 3,4,5,6 :‬‬‫}‪A = {2,3,5‬‬ ‫‪ A, B,C‬ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬‫}‪B = {4‬‬‫}‪C = {1,6‬‬

‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ E = 3, 4, 5,6‬ﺒﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ‪{ }.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪( )P‬‬‫‪E‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪= 6 = 3 :‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ :‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬‫) ‪P ( E ) = PA ( E ).P ( A) + PB ( E ).P ( B) + PC ( E ).P (C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪(C‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪P( E ∩ A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫) ‪PA ( E‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬‫‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫(‬ ‫‪E‬‬ ‫∩‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ E ∩ A = {3,5} :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪P(E ∩ B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫‪PB‬‬ ‫)‪(E‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪E‬‬ ‫∩‬ ‫)‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻷﻥ ‪E ∩ B = {4} :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪p(E ∩C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪p(C‬‬ ‫= ) ‪pC ( E‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪E‬‬ ‫∩‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ E ∩ C = 6 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪{ }:‬‬ ‫‪6‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪p( E ) = pA ( E ). p( A) + p( E ). p( B) + pc ( E ) . p(C ) :‬‬

‫‪.‬‬ ‫)‪p(E‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪E‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻭ ﻜﺭﺘﺎﻥ ﺒﻴﻀﺎﻭﻴﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻜﺭﺘﻴﻥ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ) ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭ ﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ( ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﺸﺠﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺸﺠﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ V :‬ﻟﻜﺭﺓ ﺒﻴﻀﺎﺀ ‪ B ،‬ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ‪ R ،‬ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ‪.‬‬ ‫‪V‬‬ ‫= ) ‪pV1 ( V2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪pV1‬‬ ‫‪(B2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪V1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪pV1‬‬ ‫‪(R2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪( )pB1 V2‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪pB1‬‬ ‫‪(B2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪B1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪pB1‬‬ ‫‪(R2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪pR1‬‬ ‫‪( V2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪R1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪pR1‬‬ ‫‪(B2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪pR1‬‬ ‫‪(R2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﺍﻟﺴﺤﺐ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺐ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫)‪p( V2 ) = pV1 (V2 ) × P( V1) + pB1 (V2 ). p( B1) + pR1 (V2 ). p( R1‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪6+‬‬ ‫‪6+‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪90‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪27‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﺯﻫﺭﺘﻲ ﻨﺭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻴﻔﺘﻴﻥ ﻟﻭﻨﻬﻤﺎ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻭ ﺃﻭﺠﻪ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪. 6‬‬ ‫ﻨﺭﻤﻲ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻨﺭﺩﻴﻥ ﻭ ﻨﺴﺠل ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻴﻅﻬﺭﺍﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻌﻠﻭﻴﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ - 1‬ﻋﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺠﺩﻭل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺙ ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ : A‬ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻓﺭﺩﻴﻴﻥ‬ ‫‪ : B‬ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪. 7‬‬ ‫‪ : C‬ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪ : D‬ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻓﺭﺩﻱ ﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﺯﻭﺠﻲ ‪.‬‬ ‫‪B∩ D , B , D , A∩C , A∩B‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬‫ﺯﻫﺭﺓ ﻨﺭﺩ ﻤﺯﻴﻔﺔ ﺃﻭﺠﻬﻬﺎ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ . 6‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﻀﻌﻑ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ‬ ‫ﻓﺭﺩﻱ ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﺜﻡ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪. 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻜﺭﻴﺎﺕ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 6‬ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ‪ .‬ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ‬ ‫ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﺒﺤﻴﺙ ﺒﻌﺩ ﻜل ﺴﺤﺏ ﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﻜﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻗﺒل ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﻤﺨﻁﻁ ﻴﺒﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻷﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻡ ‪. 5‬‬‫‪ (3‬ﺃﻋﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻊ ﻋﺩﻡ ﺭﺩ ﺍﻟﻜﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻗﺒل ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﺼﻤﻡ ﻤﻜﻌﺏ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻭ ﻜﺘﺒﺕ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ 6, 5, 4, 3, 2,1‬ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﺃﻟﻘﻲ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺃﻓﻘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺎ ﻤﻊ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ‪Ω‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ ‪.‬‬

‫‪ – 3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫ﻨﺴﺤﺏ ﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 20‬ﻭﺭﻗﺔ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪. 20‬‬ ‫ﺃﻭﺠﺩ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﺭﺩﻴﺎ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﻤﻌﺎ ‪.‬‬‫‪ – 2‬ﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﻌﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺩﻭﻥ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻗﺒل ﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ – 3‬ﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺘﺎﻥ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﻌﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﻊ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻗﺒل ﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻤﻥ ‪ 10‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻡ ‪ 16‬ﺴﻨﺔ ﻭ ‪ 5‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻡ ‪ 17‬ﺴﻨﺔ ﻭ ‪ 20‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‬ ‫ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻡ ‪ 18‬ﺴﻨﺔ ‪ ،‬ﺃﺭﺍﺩﻭﺍ ﺘﺸﻜﻴل ﻟﺠﻨﺔ ﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻤﺎ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺴﻨﻬﻤﺎ ‪ 34‬ﺴﻨﺔ ‪.‬‬‫‪ – 3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻴﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺴﻨﻲ‬ ‫ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫‪Cnp‬‬ ‫=‬ ‫‪C p−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Cp‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‬ ‫ﺼﺤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫ﺜﻡ ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪.C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪Cn0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ ........ + Cnn‬‬ ‫‪= 2n‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪pCnp‬‬ ‫=‬ ‫‪nC‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n−1‬‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪Cn1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪nC‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﻨﺸﺭ ‪ a + b 100‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺤﺩ ‪( )a70 .b30‬‬

‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﺤﺩ ‪a41 × b59‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﺍﻨﺸﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ 1 + 1 n‬ﻭ ‪ 1 − 1 n‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪S1 = Cn0 + Cn1 + ... + Cnn‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫=‬ ‫‪Cn0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Cn2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Cn3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Cn5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬‫‪11‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪n! ≤ 2n−1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬‫ﻜﻡ ﻋﺩﺩﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺸﻜﻴﻠﻪ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1, 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 6 (1‬ﺃﺭﻗﺎﻡ‬ ‫‪ 6 (2‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‬ ‫‪ 6 (3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻭ ﻤﻀﺎﻋﻔﺔ ≥ ‪5‬‬ ‫‪ 3 (4‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻭ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻯ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ . 20‬ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻭ ﺒﻼ‬ ‫ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺭﻗﻤﻴﻬﻤﺎ ‪. 10‬‬‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺭﻗﻤﻴﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. 4‬‬‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺭﻗﻤﻴﻬﻤﺎ ‪ 10‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪. 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬‫ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﻭﺩ ﺼﻨﻌﺕ ﻤﺯﻴﻔﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻋﻨﺩ ﺭﻤﻴﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ A‬ﻀﻌﻑ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻵﺨﺭ ﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪. B‬‬ ‫‪ – 1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪p( A∩ B) , p( A ), p(B) , p( A‬‬

‫‪ – 3‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ A‬ﻴﻌﻁﻲ ﺭﺒﺢ ‪ 100‬ﺩﺝ ﻭ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ B‬ﻴﻌﻁﻲ ﺨﺴﺎﺭﺓ ‪50‬‬ ‫ﺩﺝ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺭﺒﺢ ﺃﻭ ﺍﻟﺨﺴﺎﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪X‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪X‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪X‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﺼﻨﻊ ﻹﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺜﻼﺠﺎﺕ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﻗﺴﺎﻡ ﺤﻴﺙ ﺘﺴﺎﻫﻡ ﺒـ ‪ 10 % 60% ، 30%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﺼﻨﻊ ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺼﻨﻌﺕ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻫﻲ ‪ 0, 90 , 0, 85 , 0, 75‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 4‬ﻜﺭﺍﺕ ﺴﻭﺩﺍﺀ ‪.‬‬ ‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﻴﺱ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭ ﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺘﺤﻘﻕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﺜﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ : A‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻭﻨﻴﻥ ﻤﻌﺎ ‪.‬‬ ‫‪ : B‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻟﻭﻥ ﻭﺍﺤﺩ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺘﺤﻘﻕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﺜﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺼﻔﺭﺍﺀ ‪.‬‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﺒﺤﻴﺙ ﺒﻌﺩ ﻜل ﺴﺤﺏ ﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻗﺒل‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺘﺤﻘﻕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﺜﻴﻥ ‪ C‬ﻭ ‪ D‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ : C‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻭﻨﻴﻥ ﻤﻌﺎ‬

‫‪ : D‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻟﻭﻥ ﻭﺍﺤﺩ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ‬ ‫ﻭ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺘﺤﻘﻕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﺜﻴﻥ ‪ C‬ﻭ ‪. D‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫‪D2‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺙ ‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻨﺭﺩﻴﻥ‬ ‫)‪(1;1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( 2;1‬‬ ‫‪ D1‬ﻭ ‪D2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( 3;1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪( 4;1‬‬ ‫‪23456‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪( 5;1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪( 6;1‬‬ ‫)‪(1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6‬‬ ‫)‪(3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6‬‬ ‫)‪(4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6‬‬ ‫)‪(5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6‬‬ ‫)‪(6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪:‬‬ ‫})‪A = {(1;1),(1;3),(1;5),(3;3),(3;5),(5;1),(5;3),(5;5‬‬‫‪B = { (2;6),(3;5),(3;6),(4;4),(4;5),(4;6),(5;3),(5;4),‬‬ ‫} )‪(5;5),(5;6),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6‬‬

C = {(2;2),(2;3),(2;5),(3;2),(3;3),(3;5),(5;2),(5;3),(5;5)}D ={ (1;2),(1;4),(1;6),(2;1),(2;3),(2;5),(3;2),(3;4),(3;6) (4;1),(4;3),(4;5),(5;2),(5;4),(5;6)(6;1),(6;3),(6;5) }A ∩ B = {(3;5),(5;3),(5;5)} D = { (1;1),(1;3),(1;5),(2;2),(2;4),(2;6),(3;1),(3;3),( 3;5) , ( 3;5) , ( 4; 2) , ( 4;4) , ( 4;6) , ( 5;1) , ( 5, 3) , (5;5),(6;2),(6;4),(6;6) }B = { (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1),(2;2), ( 2; 3) , ( 2;4) , ( 2;5) , ( 3;1) , ( 3; 2) , ( 3; 3) , ( 3, 4) , ( 5;1) (4;1),(4;2),(4;3),(5;1),(5;2),(6,1) }B ∩ D = { (1;1),(1;3),(1;5),(2;2),(2;4),(3;1),(3;3), (4;2),(5;1) } : ‫ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬-3 p( A) = 9 = 3 , p( B ) = 15 = 5 36 12 36 12 p(C ) = 9 = 3 , p ( D) = 18 = 1 36 12 36 2p( A ∩ C ) = 4 = 1 ‫؛‬ p( A ∩ B) = 3 = 1 36 9 36 12 ( )p B = 21 = 7 ( )‫؛‬p D = 18 = 1 36 12 36 2

‫‪( )p‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B∩D‬‬ ‫=‬ ‫‪36‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬‫‪ (1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ‪ Ω‬ﻫﻲ ‪{ }Ω = 1, 2, 3,4,5,6 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ Ω‬ﻓﺈﻥ ‪( )p Ω = 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( )p {1,2,3,4,5,6} = 1 :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪p({1,3,5} ∪ {2,4,6}) = 1 :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪p({1,3,5}) + p({2,4,6}) = 1 ( )... 1 :‬‬‫ﻷﻥ‪{2,4,6} ∩ {1,3,5} = ∅ :‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﻀﻌﻑ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫)}‪p({2,4,6}) = 2 p({1,3,5‬‬‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ p {1,3,5} = a :‬ﻨﺠﺩ ‪( ) ( )p {2,4,6} = 2a :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪a + 2a = 1 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬‫= )}‪p({2,4,6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= )}‪p({1,3,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ ﻫﻭ ‪ 3‬ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ‬

‫‪2‬‬ ‫ﻫﻭ ‪3‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪: 2‬‬ ‫‪( )p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫}‪{2, 4, 6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫= )}‪p({2} ∪ {4} ∪ {6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)}‪p({2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)}‪p({4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)}‪p({6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪p({2}) = p({4}) = p({6}) = h :‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3h‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪9‬‬‫‪({ })p‬‬ ‫‪1‬‬‫‪1, 3, 5‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ : 5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= 3 :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫}‪p({1‬‬ ‫}‪∪ {3‬‬ ‫)}‪∪ {5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪3‬‬‫)}‪p({1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)}‪p({3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)}‪p({5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪3‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪p({1}) = p({3}) = p({5}) = m :‬‬

‫=‪m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫= ‪3m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪9‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪1 . 3‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬

‫ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺤﺒﺔ ﺍﻷﻭﱃ‬‫‪2‬‬ ‫‪ – 2‬ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ‪:‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻫﻮ ‪6 × 6 = 36 :‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﺍﳌﻼﺋﻤﺔ ﻫﻮ ‪6 × 1 = 6 :‬‬‫‪1‬‬‫‪3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ‪:‬‬‫‪4‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬ ‫‪ –3‬ﺍﻟﺴﺤﺐ ﺩﻭﻥ ﺇﺭﺟﺎﻉ ‪:‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬ ‫ﳐﻄﻂ ﺍﻟﺴﺤﺐ ‪:‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬‫‪3‬‬‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬‫‪6‬‬‫‪21‬‬ ‫‪5‬‬‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬‫‪4‬‬‫‪6‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬

‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ‪6 × 5 = 30 :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ‪6 × 1 = 6 :‬‬ ‫=‪p‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ‪{ }Ω = 1, 2, 3,4,5,6 :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ p Ω = 1 :‬ﺃﻱ ‪( ):‬‬‫‪p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) = 1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1 :‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪p3‬‬ ‫=‬ ‫‪p4‬‬ ‫=‬ ‫‪p5‬‬ ‫=‬ ‫‪p6‬‬ ‫‪=α‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬‫ﻭ ‪p5 = 5α‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p1 = 1α :‬ﻭ ‪ p2 = 2α‬ﻭ ‪ p3 = 3α‬ﻭ ‪p4 = 4α‬‬ ‫‪p6 = 6α‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪α + 2α + 3α + 4α + 5α + 6α = 1 :‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪21α = 1 :‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪، p2‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪، p3‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪p4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪p5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪p6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ -3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)}‪p({2,3,5}) = p({2}) + p({3}) + p({5‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ – 4‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪: 5‬‬

‫‪p({5,6}) = p({5}) + p({6}) = p5 + p6‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﺭﺩﻴﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻭﺭﻗﺔ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﺯﻭﺠﻴﺎ ﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﺭﺩﻴﺎ ‪.‬‬‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪190‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﻤﻌﺎ ‪:‬‬ ‫‪20‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺴﺤﺏ ﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﺭﺩﻱ ﺃﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ‬ ‫ﻓﺭﺩﻱ ﻫﻭ ‪C110 × C110 = 100 :‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪190‬‬ ‫‪19‬‬‫‪ – 2‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﺩﻭﻥ ﺍﻹﻋﺎﺩﺓ ‪:‬‬ ‫‪A220 = 20 × 19 = 380‬‬‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺴﺤﺏ ﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﻓﺭﺩﻱ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ‬‫ﺃﻭ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﻋﺩﺩﻫﺎ ‪10 × 10 + 10 × 10 = 200 :‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪200‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪380‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪ – 3‬ﻋﺩﺩ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﺴﺤﺏ ﻭﺭﻗﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻤﻊ ﺍﻹﺭﺠﺎﻉ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪20 × 20 = 400‬‬‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ‪10 × 10 + 10 × 10 = 200 :‬‬‫ﻷﻥ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺃﻭ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪p3‬‬ ‫=‬ ‫‪200‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪35‬‬ ‫!‪35‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪35‬‬ ‫×!)‪− 2‬‬‫‪C325‬‬ ‫=‬ ‫!‪35 × 34 × 33‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫‪× 17‬‬ ‫=‬ ‫‪595‬‬ ‫‪33!× 2‬‬

‫‪ – 2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺴﻨﻴﻬﻤﺎ ‪ 34‬ﺴﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻁﺭﺍﺌﻕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ‪C110 × C210 + C52 = 210 :‬‬ ‫) ﺃﻱ ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻤﺭﻩ ‪ 16‬ﺴﻨﺔ ﻭ ﺁﺨﺭ ‪ 18‬ﺴﻨﺔ ﺃﻭ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ﻋﻤﺭ ﻜل‬ ‫ﻤﻨﻬﻤﺎ ‪ 17‬ﺴﻨﺔ ( ‪.‬‬ ‫‪210 6‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ‪595 = 17 :‬‬ ‫‪ – 3‬ﻗﻴﻡ ‪ X‬ﻫﻲ ‪36, 35, 34, 33, 32 :‬‬ ‫‪p[ X‬‬ ‫=‬ ‫]‪32‬‬ ‫=‬ ‫‪C120‬‬ ‫=‬ ‫‪45‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪p[ X‬‬ ‫=‬ ‫= ]‪33‬‬ ‫‪C110 × C51‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪p[ X‬‬ ‫=‬ ‫]‪34‬‬ ‫=‬ ‫‪C110‬‬ ‫‪× C210 +‬‬ ‫‪C52‬‬ ‫=‬ ‫‪210‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪p[ X‬‬ ‫=‬ ‫= ]‪35‬‬ ‫‪C51‬‬ ‫×‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪p[ X‬‬ ‫=‬ ‫]‪36‬‬ ‫=‬ ‫‪C220‬‬ ‫=‬ ‫‪190‬‬ ‫=‬ ‫‪38‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪119‬‬‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪36‬‬‫‪p 9 10 42 20 38‬‬ ‫‪119 119 119 119 119‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ‪:‬‬‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪32 × 9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪34 × 42‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪35 × 20‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪36 × 38‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪288‬‬ ‫‪330‬‬ ‫‪1428‬‬ ‫‪700‬‬ ‫‪1368‬‬ ‫‪4114‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪119‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪. E ( X ) 34,57 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬

V ( 32-35 ) 2 × 9 + ( 33-35 ) 2 × 10 + ( 34-35 )2 × 42 119 119 119+ ( 35-35) 2 × 20 + ( 36-35 ) 2 × 38 119 119 V 81+40+42+0+38 119 201 V 119 V 1,7 : ‫ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‬- σ= V σ 1,3 . 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ Cnp = C p−1 + Cp : ‫ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‬ ‫ﺼﺤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ - n−1 n−1C p−1 + Cp = ( n − 1) (n − 1)! p − 1) + [n (n− 1)! n−1 n−1 p( p − 1)!( p]!. p! −1− (n − 1)! (n − 1)! = (n − p)!.( p − 1)! + (n − p)!. p!= (n − p) (n − 1)! p − 1) + (n − p (n − 1)! p − 1) .(n − p − 1)!.( − 1)!. p( = (n − 1)!. p + (n − 1)!.(n − p) (n− p).(n − p − 1)! p( p − 1) = (n − 1)![ p+ n− p] = n(n − 1)! = n! (n − p! (n − p)! p! p)! (n − p)! p! = C p n : ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬

x2 − C p x + C p−1 .Cnp−1 = 0 n n−1( )∆ = 2 4Cnp−−11 p −Cnp − .C n−1( )∆ = Cnp 2 − 4C p−1 .Cnp−1 n−1( )∆ = 2C p−1 + Cp − 4Cnp−−11 .C p n−1 n−1 n−1( ) ( )∆ =2 2C p−1 + 2C p−1 .Cnp−1 + Cp − 4Cnp−−11 .C p n−1 n−1 n−1 n−1 ( ) ( )∆ = 2 p 2 C p−1 − 2Cnp−−11 .C n−1 + Cp n−1 n−1 ( )∆ = 2 C p−1 − Cp n−1 n−1 : ‫ > ∆ ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ‬0 ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬( )x1= C p − C p−1 − Cp = C p−1 + Cp − C p−1 + Cp n n−1 n−1 n−1 n−1 2 n−1 n−1 2 x1 = Cp :‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ n−1x2 = C p − C p−1 − C p = C p−1 + Cp + C p−1 − Cp n n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 2 2 x2 = C p−1 :‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ n−1 { }S = p−1 Cp , C n−1 n−1 . 8‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ C 0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n : ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻨﺒﺭﻫﻥ‬ – 1 n( )a + b n = Cn0a bn−0 0 + Cn1a bn−1 1 + ... + Cnnan−nbn : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ : ‫ ﻨﺠﺩ‬a = b = 1 ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ (1 + 1)n = C 0 + Cn1 + ... + C n n n

C 0 + Cn1 + ... + C n = 2n : ‫ﺇﺫﻥ‬ n n : ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ‬ p( n) : C 0 + Cn1 + ... + C n = 2n n n ‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬C00 = 20 : n = 0 ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل‬- ( ) ( )p k + 1 ‫ ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ‬p k ‫ ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ‬- p(k) : Ck0 + Ck1 + ... + C k = 2k k ( )p C0 C1 C k+1 2k+1 k +1 : k +1 + k +1 + ... + k +1 = C0 = Ck0 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ‬ k +1 C1 = Ck0 + C 1 k +1 k C2 = Ck1 + Ck2 k +1 Ck = C k−1 + C k k +1 k k C k+1 = C k + C k+1 k +1 k k : ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻁﺭﻓﺎ ﻟﻁﺭﻑ ﻨﺠﺩ‬C0 + C1 + ... + C k+1 = 2C 0 + 2C 1 + ... + 2Ckk + C k+1 k +1 k +1 k +1 k k k ( )= 2 Ck0 + Ck1 + ... + Ckk + 0 = 2.2k = 2k+1 ( ) ( )n ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬p n ‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬p k + 1 ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ pC p = nC p−1 : ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺇﺜﺒﺎﺕ‬ – 2 n n−1 pCnp = p× (n − n! p! = p× (n − n! p − 1)! p)!× p)! p( = (n − n! p − 1) ! ...(1) p)!(

nCnp−−11 = n. ( n − 1) − ( n − 1)! !.( p − 1) ! = ( n n( n − 1) 1) ! ( p − 1) − p)!.( p− = (n − n! p − 1) ! ...( 2) p)!.( pCnp = nC p−1 : ( 2) ‫ﻭ‬ ( 1) ‫ﻤﻥ‬ n−1 : S ‫ – ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬3 S = 1.C 1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nC n n n : ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ‬ S = n.Cn0−1 + nCn1−1 + C2 + ... + nC n−1 n−1 n−1 S = n Cn0−1 + nC 1 + C2 + ... + nCnn−−11  n−1 n−1 S = n.2n−1 : 1 ‫ﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل‬ . 9‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 100 p=100 Cp .a100− p p 100 ( ) ∑a + b = .b p=0 : a30 .b30 ‫ ﻤﻌﺎﻤل‬- 100 − p = 70 : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬-   p = 30 p = 30 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ C 30 : ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤل ﻫﻭ‬ 100 100 − p = 41 a41 × b59  : ‫ﺇﺫﻥ‬ : ‫ ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﺤﺩ‬-  p = 59 p = 59 : ‫ﺇﺫﻥ‬ . 60 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺩ ﻫﻲ‬

. 10‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ n p=n n− p p p=n Cnp . Cnp ∑ ∑( ) ( ) ( )1 + 1= 1 1 = p=0 p=0 2 = C 0 + C 1 + ... + C n n n n1)n ( −1)  n p=n (1)n− p .(−1) p∑(1 + = 1 + = Cnp p=0 ∑ ( ) ( )p=n p= Cnp −1 = Cn0 − C 1 + Cn2 − ... + −1 n Cnn np=0 Cn0 1 Cn2 −1 n Cnn ( )0= − C n + − ... + : ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ‬ S1 = (1 + 1)n = 2n ( ) ( )S1 =C0 + C 2 + ... + C 1 + Cn3 + ... n n n S1 = S2 + S3( ) ( )0 = 0 C n + C 2 + ... − Cn1 + Cn3 + ... n 0 = S2 − S3  S2 + S3 = 2n : ‫ﺇﺫﻥ‬  S2 − S3 =0  2S2 = 2n : ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ‬S3 = 2n−1 : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ S2 = 2n−1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ S2 = 2n : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 . 11‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ( )pn : 1 ≤ 1 : ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‬ n! 2n−1

‫ﺃﻱ ‪1 ≤ 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: n = 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1! ≤ 20‬‬ ‫‪ -‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬ ‫)‪p(k‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪2k −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫!)‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪2k‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪k ≥ 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ k + 1 ≥ 2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( k + 1) : k ! ≥ 2.k ! :‬‬‫‪(1)... (k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥ !)‪1‬‬ ‫! ‪2.k‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫! ‪2.k‬‬ ‫!)‪+ 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ k ! ≤ 2k−1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪2k ! ≤ 2.2k−1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( 2 ) ...‬‬ ‫! ‪2.k‬‬ ‫≤‬ ‫‪2k‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪: ( 2‬‬ ‫‪(k + 1)! ≤ 2k‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p n :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ‪ 6‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ abcdef‬ﺤﻴﺙ ‪a ≠ 0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 10 :‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻨﻬﺎ ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ‪ a‬ﻓﻠﺩﻴﻨﺎ ‪ 9‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬‫ﻷﻥ ‪ a ≠ 0 :‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻫﻭ ‪9 × 109 :‬‬

‫‪ – 2‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ‪ 6‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻭ ﻫﻲ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪ abcdef :‬ﺤﻴﺙ ‪a ≠ 0‬‬ ‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻜل ﺒﻤﺎ ﻓﻴﻬﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻤل ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪:‬‬‫‪10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 :‬‬ ‫!‪10‬‬ ‫‪A160‬‬ ‫ﺃﻱ !)‪ (10 − 6‬ﺃﻱ‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻫﻭ ‪151200 :‬‬‫ﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ abcdef‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺫﺍﺕ ‪ 5‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻭ ﻋﺩﺩﻫﺎ ‪ A95‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪A95‬‬ ‫=‬ ‫‪(9‬‬ ‫!‪9‬‬ ‫=‬ ‫×‪9‬‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫×‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫!)‪− 5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪A95 = 15120 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺫﺍﺕ ‪ 6‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪A160 − A95 = 136080‬‬ ‫‪ – 3‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ‪ 6‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻭ ﻤﻀﺎﻋﻔﺔ ﻟـ ‪ 5‬ﻭ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪abcde0‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ a ≠ 0 abcde5‬ﺃﻱ ﺭﻗﻡ ﺁﺤﺎﺩﻫﺎ ﺇﻤﺎ ‪ 0‬ﺃﻭ ‪( )5‬‬ ‫ﻭ ﻋﺩﺩﻫﺎ ‪9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 2 :‬‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ) ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 9‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ a‬ﻭ ‪ 10‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ b‬ﻭ ‪ C‬ﻭ‬ ‫‪ d‬ﻭ ‪ e‬ﻭ ‪ 2‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪( f‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻫﻭ ‪18 × 104 = 180000 :‬‬ ‫‪ – 4‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ‪.‬‬‫ﻭ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ abc :‬ﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0 :‬ﻭ ‪{ }c ∈ 1, 3,5,7,9‬‬‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻜل ﺒﻤﺎ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻤل ‪ 0‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 8 × 9 × 5‬ﺃﻱ ‪360‬‬ ‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ abc :‬ﻫﻭ ‪ 8 × 5 :‬ﺃﻱ ‪40‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻭ ﻓﺭﺩﻴﺔ‬ ‫ﻫﻭ ‪360 − 40 = 320 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﺤﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ‪20 − 2 !× 2! :‬‬ ‫‪( )C‬‬ ‫=‬ ‫‪= 190‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. 10‬‬ ‫}}‪A = {{1,9},{2,8},{3,7},{4,6‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪190‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪: 4‬‬‫‪B = { {1,5},{2,6},{3,7},{4,8},{5,9},{6;10},‬‬‫‪{7,11} ,{8,12} ,{9,13} ,{10,14} ,{11,15} ,‬‬‫} }‪{12,16},{13,17},{14,18},{15,19},{16,20‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪190‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪( ): pB A‬‬ ‫‪pB‬‬ ‫(‬ ‫‪A‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪A∩ B‬‬ ‫)‬ ‫)‪p(b‬‬‫(‪{ }p‬‬ ‫‪1‬‬‫‪A‬‬ ‫∩‬ ‫)‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪190‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫=‪A∩ B‬‬ ‫}‪{3, 7‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫‪pB‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪190‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪19‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪190‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪190‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ‪{ }Ω = A, B :‬‬ ‫‪ p(Ω) = 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪p( A) + p( B) = 1‬‬

‫ﻟﻜﻥ ‪ p( A) = 2 p( B) :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪3 p( B) = 1 :‬‬ ‫= )‪p( A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫= )‪p(B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )p‬‬‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ )‪: p( A ∩ B‬‬ ‫)‪p( A∪ B) = p( A) + p(B) − p( A∩ B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∩‬ ‫)‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪p( A ∩ B) = 0‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫‪ -2‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬ ‫‪100 -50‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪: X‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪50‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪200 −‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬‫)‪V(X‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(100‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪50)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪−50‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪50)2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪+ 10000‬‬‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪( 2500‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(10000‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬‫‪V ( X) = 5000‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪σ ( X ) 70,7 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪σ ( X ) = V ( X) :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫‪( )p C1‬‬ ‫‪=0,3‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺜﻼﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪( )p C2‬‬ ‫ﺃﻱ‪=0,6 :‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺜﻼﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪( )p C3‬‬ ‫ﺃﻱ‪=0,1 :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺜﻼﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ ‪ F‬ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺍﻨﺘﺠﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪pC1 ( F ) = 0,75‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ ‪ F‬ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺍﻨﺘﺠﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪pC2 ( F ) = 0,85‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ ‪ F‬ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺍﻨﺘﺠﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪pC3 ( F ) = 0,90‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺜﻼﺠﺔ ‪ F‬ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ‪:‬‬‫) ‪p( F) = pC1 ( F) × p(C1) + pC2 ( F) × p(C2 ) + pC3 ( F) × p(C3‬‬ ‫‪= 0,75 × 0,3 + 0,85 × 0,6 + 0,90 × 0,1 = 0,822‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ R‬ﻟﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ N‬ﻟﻜﺭﺓ ﺴﻭﺩﺍﺀ ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻫﻭ ‪A130 = 720 :‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻭﻗﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﺙ ‪ A‬ﻫﻲ ‪:‬‬‫)‪( R;R;V);( R;V;R);(V;R;R);(V;V;R);(V;R;V);( R;V;V‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﻫﻭ ‪:‬‬‫‪3.C62‬‬ ‫×‬ ‫‪C41‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3.C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪120‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫‪576‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪576‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺩﺙ ‪: A‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻭﻗﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﺙ ‪: B‬‬ ‫‪ R; R; R ; V;V;V‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻠﺤﺼﻭل) ( ) (‬

‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪144‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ B‬ﻫﻭ ‪ C63 + C43 = 144 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪720‬‬ ‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪R‬‬‫‪4‬‬‫‪10‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪8‬‬