دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة ثانية ثانوي شعبة تسيير و اقتصاد

‫ﻓـﻬﺭﺱ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ƒ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ :06‬ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ƒ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ :07‬ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬‫ƒ ﻤﻠﺤﻕ ﻟﻠﻭﺤﺩﺓ ‪ : 06‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ƒ ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ‪Excel‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ :08‬ﺠﻤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ ،‬ﺠﻤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫ƒ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ :09‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ : 06‬ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻤﺎ ﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻭﻋﻨﺩﻩ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻔﺴﻴﺭ ﻭﺠﻭﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺃﺤﺩ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻪ ﻋﻨﺩ ﺘﻤﺜﻴل ﺩﺍﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪.‬‬‫‪ -‬ﺘﻔﺴﻴﺭ ﻭﺠﻭﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻪ ﻋﻨﺩ ﺘﻤﺜﻴل ﺩﺍﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫‪ /2‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﻭﻗﻔﺔ ﻤﻨﻬﺠﻴﺔ‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ )‪(1‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f ( x ) = x² :‬ﺍﻟﻘﻁﻊ‬‫ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫) ‪.(O,I,J‬‬ ‫‪ 1‬ﺃ‪ -‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x 106- 105- 107 109 1011‬‬ ‫‪x²‬‬‫ﺏ‪ -‬ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \"ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ\" ﺘﻌﻨﻲ \"ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ‪\"...‬‬‫ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ‬ ‫ﻴﺨﺹ‪:‬‬ ‫• ﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ ‪ x²‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪−‬‬ ‫• ﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ ‪ x²‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪+‬‬ ‫‪ 2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻤﻥ )‪ (C‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪x‬‬ ‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬

‫)‪(P‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4M‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 N2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ﺃ‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ] ‪[MH‬؟‬ ‫‪x -106 -105 107 109 1011‬‬ ‫‪x² 1012 1010 1014 1018 1022‬‬‫ﺏ‪ -‬ﻜﻴﻑ ﻴﻜﻭﻥ ﻭﻀﻊ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ H‬ﻭ ‪M‬‬ ‫• ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ −‬؟‬ ‫• ﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬؟‬ ‫ﻫل ﻫﺫﺍ ﻴﺅﻜﺩ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻨﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺃ‪ -‬ﻴﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪:‬‬‫• \"ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪\" \" −‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻭ ‪x‬‬ ‫ﺴﺎﻟﺏ\" ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜﻭﻥ \" ‪ x²‬ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻭ ‪ x²‬ﻤﻭﺠﺏ\"‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ﺍﻷﻭل‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪ x² ، −‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪+‬‬

‫• \"ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪\" \" +‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻭ ‪x‬‬‫ﻤﻭﺠﺏ\" ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜﻭﻥ \" ‪ x²‬ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻭ ‪ x²‬ﻤﻭﺠﺏ\"‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪ x² ، +‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪+‬‬‫‪ 2‬ﺃ‪ MH -‬ﻫﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (C‬ﻓﺈﻥ‬‫ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺇﺫﻥ‪MH = x² :‬‬‫ﺏ‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪ M : −‬ﺘﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬‫ﻭ\"ﺘﺒﺘﻌﺩ ﺇﻟﻰ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ\" ﻭ ‪\" M‬ﺘﺒﺘﻌﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ –ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻷﻋﻠﻰ\"‬‫* ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪ M : +‬ﺘﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ\"ﺘﺒﺘﻌﺩ ﺇﻟﻰ‬‫ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\" ﻭ ‪\" M‬ﺘﺒﺘﻌﺩ ﺇﻟﻰ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ –ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻷﻋﻠﻰ\"‬‫ﻭﻜﻠﺘﻰ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، MH‬ﺃﻱ ‪ ، x²‬ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺃﻱ ‪ x²‬ﻴﺅﻭل‬‫ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﺅﻜﺩ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻨﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫• \"‪ ...‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ \" +‬ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ \"‪...‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬‫ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭ‪...‬ﻤﻭﺠﺏ\"‬‫• \"‪ ...‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ \" −‬ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ \"‪...‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬‫ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭ‪...‬ﺴﺎﻟﺏ\"‬‫• ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ x² ، −‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪\" +‬‬‫∞‪lim x² = +‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬‫∞‪x→−‬‬‫• ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ x² ، +‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪\" +‬‬‫∞‪lim x² = +‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬‫∞‪x→+‬‬‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 02‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ )‪(2‬‬

‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪10 −50‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫‪− 10−30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻗﻴﻡ‬ ‫‪x‬‬‫‪ x‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ x‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ x‬ﻭﺘﻘﺩﻴﺭ ‪x‬‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬‫‪1‬‬ ‫ﻭﺘﻘﺩﻴﺭ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(A‬‬ ‫‪1030‬‬ ‫‪− 1020‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻗﻴﻡ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺘﻘﺩﻴﺭ ‪x‬‬ ‫ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻘﺩﻴﺭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(B‬‬ ‫‪ 2‬ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﻥ‪ ،‬ﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ‪:‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪x > 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪x < 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬

‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫‪− 10−30‬‬ ‫‪ 1‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪− 10−30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻗﻴﻡ‬ ‫‪10 −50‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ x‬ﺼﻐﻴﺭ‬ ‫‪1050‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ x‬ﻭﺘﻘﺩﻴﺭ ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪x‬‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﺘﻘﺩﻴﺭ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﻜﺒﻴﺭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻜﺒﻴﺭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(A‬‬ ‫‪1030‬‬ ‫‪10 −30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻗﻴﻡ‬ ‫‪− 1020‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 10−20‬‬ ‫ﻭﺘﻘﺩﻴﺭ ‪x‬‬ ‫ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻘﺩﻴﺭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(B‬‬‫‪ 2‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪ ، +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞ ‪ −‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻭﻴﻜﻭﻥ‬‫ﻗﺭﻴﺒﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ )ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ ( (B‬ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ‪.0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻨﺎﻥ‪:‬‬‫‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪، +‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪،−‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫• ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪ x > 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﺴﺎﻟﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ‪ x‬ﺼﻐﻴﺭﺍ‬‫ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ )ﻭﻩ\ﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺴﺎﻟﺏ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪\"−‬‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ ( (A‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ \"‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫‪x‬‬‫• ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪ x < 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ‪x‬‬‫ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻡ )ﺤﺴﺏ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺠﺩﺍ‬ ‫ﺠﺩﺍ‬ ‫ﻜﺒﻴﺭﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻭﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪\"+‬‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ ( (A‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ \"‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪، x < 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻨﺎﻥ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪، x > 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫• \"‪ ...‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ \"0‬ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ \"‪ ...‬ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ\"‬‫‪\"0‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪، +‬‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪x→+∞ x‬‬‫‪\"0‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞ ‪، −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫∞‪xx→−‬‬‫∞‪\"+‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ 0‬ﻭ ‪، x < 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪xx→0‬‬ ‫‪x<0‬‬

‫∞‪\"+‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ‪، x > 0‬‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪x→0 x‬‬ ‫‪x>0‬‬‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :3‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻷﺤﺩ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫• ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﺊ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪(0, I, J‬‬ ‫‪ 2‬ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪ ،‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪\" x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ∞ ‪ (C)\" ،\" −‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪\"........‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪\" x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ∞ ‪ (C)\" ،\" +‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪\"........‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪\" x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ (C)\" ،\" x > 0‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪\"........‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪\" x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ (C)\" ،\" x > 0‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪\"........‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ )‪) (C‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ(‬‫‪ • 2‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻤل ﺒـ \" ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ∞ ‪ \" −‬ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪ ،‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪ ،‬ﺃﻨﻨﺎ‬‫ﻨﻌﻤل \"ﺒﺎﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ\" ﻭﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬‫• ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ∞ ‪ −‬ﻴﻜﻭﻥ )‪ (C‬ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(1).........y = 0‬‬

‫• ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ∞ ‪ +‬ﻴﻜﻭﻥ )‪ (C‬ﻗﺭﻴﺒﺎ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(2).........y = 0‬‬‫• ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻤل ﺒﻘﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ x < 0‬ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﻌﻤل \"‬‫ﺒﺎﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ\"‬ ‫ﻭﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬‫‪y‬‬‫)‪6 (4‬‬‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫)‪3 (C‬‬‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬‫‪( 1 ) -1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬ ‫‪( 3 ) -6‬‬‫• ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ x < 0‬ﻴﻜﻭﻥ )‪ (C‬ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(3).........x = 0‬‬‫• ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ x > 0‬ﻴﻜﻭﻥ )‪ (C‬ﻗﺭﻴﺒﺎ‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(4).........x = 0‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻭﻀﻊ‬ ‫ﻭﻟﻠﺘﻐﻴﻴﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺭﺍﺠﻌﺔ ﻟﻜﻭﻥ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬‫ﻨﻘﻭل ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 0 = ε‬ﻫﻭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪. −‬‬‫ﺍﻟﻭﻀﻊ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺭﺍﺠﻌﺔ ﻟﻜﻭﻥ‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫ﻨﻘﻭل‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 0 = ε‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪. +‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻴﻥ‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻟﻜﻭﻥ‬ ‫ﺭﺍﺠﻌﺔ‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ‬ ‫ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﻥ‪ ،‬ﻨﻘﻭل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪xx→0‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 0 = ε‬ﻫﻭ‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻟﻜﻭﻥ‬ ‫ﺭﺍﺠﻌﺔ‬ ‫)‪(4‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ‬ ‫‪xx→0‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪x>0‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :4‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ )‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[∞‪ ]1,+‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪x −1‬‬‫ﻭ)‪ (D‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ A‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪A(x) = x :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪(0, I, J‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪6 (D‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫‪ 1‬ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ \"ﺍﻟﻌﻤﻠﻲ\" ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻫل‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪ +‬؟‬‫ﻤﺒﺭﺭﺍ‬ ‫ﺘﻌﻁﻲ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻫل‬ ‫))‪lim ( f (x) − A(x‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﻭل ؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﻭﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻌﻤﻠﻲ \"ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ\"‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫)‪ (D‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪+‬‬‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪A(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫[∞‪: ]1,+‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x −1‬‬‫∞ ‪ ، +‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻭﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﻴﻜﻭﻥ )‪ (x −1‬ﻤﻭﺠﺏ‬‫ﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻜﺒﻴﺭ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻜﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻩ\ﻩ‬ ‫ﺘﻔﺴﻴﺭ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫‪lim ( f (x) − A(x)) = 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫∞‪x→+‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺏ ﻤﻥ ∞ ‪ +‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ )‪ f (x‬ﻭ )‪ A(x‬ﻗﺭﻴﺒﺎ‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ )‪ (C‬ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ )‪ (D‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﺅﻜﺩ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬ ‫‪ /1‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‪:‬‬‫‪ λ‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺭﻤﺯﻴﻥ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ∞ ‪ x0 ، −‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻤﻔﺭﻭﺽ‪ ،‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭل ﺘﻌﺒﻴﺭ ﺁﺨﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل‬ ‫‪lim f (x) = λ‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪f‬‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪x‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻥ‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪) −‬ﺃﻭ‬ ‫∞ ‪f (x) ، −‬‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫)ﺃﻭ ‪( lim f = λ‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل [‪]− ∞, a‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪λ‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞ ‪( −‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪lim f (x) = λ‬‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫∞ ‪f (x) ، +‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ∞ ‪، −‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪) +‬ﺃﻭ‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪λ‬‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫)ﺃﻭ ‪( lim f = λ‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪λ‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪f‬‬ ‫‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞ ‪( +‬‬‫‪ x‬ﻴﺅﻭل‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪lim f (x) = λ‬‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻥ‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪→> xx00‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل [∞‪]a,+‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ∞ ‪، +‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪λ‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪f‬‬

‫ﺒﻘﻴﻡ ﺃﻜﺒﺭ‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪x0‬‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻥ‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‬ ‫‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ x0‬ﺒﻘﻴﻡ‬‫ﻤﻥ ‪، x0‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل [‪]x0 , a‬‬ ‫ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪x0‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ‬ ‫)ﺃﻭ ‪ λ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪x0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ‪f (x) ، x > x0‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪( x0‬‬ ‫ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل‬ ‫‪lim f (x) = λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ x0‬ﺒﻘﻴﻡ‬‫ﺇﻟﻰ ‪ x0‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪<→xx00‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪f‬‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪x0‬‬‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪، x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)ﺃﻭ ‪ λ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬‫)‪ f (x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪( x0‬‬ ‫[ ‪]a, x0‬‬ ‫‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)‪ (x0 > a‬ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‬ ‫‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪x0‬‬ ‫)ﺃﻭ ‪ λ‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻤﻥ ‪ x0‬ﻭ ‪، x < x0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪( x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪λ‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل‬ ‫‪lim f (x) = λ‬‬ ‫‪lim f (x) = λ‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪f (x) ، x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪→> xx00‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪λ‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫‪=λ‬‬ ‫)ﺃﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﻭ‪=λ‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪→< xx00‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ /2‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ( ‪:‬‬‫∞‪ lim x3 = −‬ﻭ ∞‪lim x3 = +‬‬ ‫∞‪ lim x² = +‬ﻭ ∞‪lim x² = +‬‬‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪lim x = +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ lim‬ﻭ ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ lim‬ﻭ ∞‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ∞‪−‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x>0‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫∞‪x→−‬‬‫‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ )ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ ( x‬ﻭ ‪ β‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺭﻤﺯﻴﻥ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ∞ ‪lim k = k ، −‬‬ ‫‪x→β‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‪:‬‬‫‪ β‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻭ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺭﻤﺯﻴﻥ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ∞ ‪ −‬ﻭ ‪ A‬ﻭ '‪ A‬ﻋﺩﺩﺍﻥ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ‪.‬‬ ‫• ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ‬ ‫= )‪lim f (x‬‬ ‫∞‪A A A +∞ −∞ +‬‬ ‫‪x→β‬‬‫ﻜﺎﻥ‬ ‫= )‪lim g(x‬‬ ‫∞ ‪A' + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ −‬‬ ‫‪x→β‬‬‫ﻓﺈﻥ‬ ‫= )‪lim f (x) + g(x‬‬ ‫'‪A + A‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫؟‬ ‫‪x→β‬‬

:‫• ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺠﺩﺍﺀ‬ +∞ +∞ −∞ 0 0‫ﺇﺫﺍ‬ lim f (x) = A A A A A x→β‫ﻭ ﻭ ﻭ ﻭ ﻜﺎﻥ‬ A>0 A>0 A<0 A<0 lim g(x) = A' + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ − ∞ − ∞ + ∞ x→β‫ﻓﺈﻥ‬ lim f (x).g(x) = A.A' + ∞ − ∞ − ∞ + ∞ + ∞ − ∞ + ∞ ‫؟ ؟‬ x→β :‫• ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻘﻠﻭﺏ‬‫ﺇﺫﺍ‬ lim f (x) = A 00 x→β +∞ −∞‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﻭ‬ A≠0 f (x) > 0 f (x) < 0‫ﻓﺈﻥ‬ lim g(x) = 1 00 x→β A +∞ −∞

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﻭﻀﻊ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻟﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫× )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪g(x‬‬‫• ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺤﻴﺙ ﻭﻀﻊ ؟ ﺘﺴﻤﻰ \"ﺤﺎﻻﺕ ﻋﺩﻡ‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ\" ﻷﻨﻪ ﻟﻴﺴﺕ ﻫﻨﺎﻙ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻋﺎﻤﺔ ﻭﻟﺫﺍ ﻴﻌﺎﻟﺞ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻷﻭﻀﺎﻉ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺤﻴﺙ‪f (x) = 3x² − 6x :‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪lim f (x‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‪:‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (x) = 3x² + (−6)x :‬‬‫)ﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫∞‪(1)...... lim 3x² = +‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‪3>0‬‬ ‫∞‪lim x² = +‬‬ ‫*‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ(‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪(2)......‬‬ ‫)‪lim (−6x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‪−6 < 0‬‬ ‫∞‪lim x = −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ(‬ ‫∞‪lim f (x) = +‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ‪:‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ‬ ‫ﻭ )‪(2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻭﻤﻥ‬ ‫∞‪x→−‬‬‫)ﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫∞‪(3).......... lim 3x² = +‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‪3>0‬‬ ‫∞‪lim x² = +‬‬ ‫*‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ(‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪(4)..........‬‬ ‫)‪lim (−6x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‪−6 < 0‬‬ ‫∞‪lim x = +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ(‬

‫ﻭﻤﻥ )‪ (3‬ﻭ )‪ (4‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻨﺎ ﺃﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺤﺎﻻﺕ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ )ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ(‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x²1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫×)‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪،x ≠ 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﺤﺴﺏ‬ ‫)‪(5)..... lim (−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ(‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪(6).....‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪(−2‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ‬ ‫ﻭ )‪(3‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫)ﻤﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3x²1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪(−2‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ(‬ ‫∞‪lim f (x) = +‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪lim g(x‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‪:‬‬ ‫‪x→3‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x>3‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪،x‬‬ ‫‪≠3‬‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ(‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫∞‪lim (x − 3) = +‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ(‬ ‫)ﻓﻲ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﻋﺩﻡ‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﺃﻤﺎﻡ‬ ‫ﻨﺤﻥ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim (2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x≠0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1 −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‪= 1‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim g(x) = 2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ(‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim(2x + 1) = 7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x>3‬‬ ‫‪x>3‬‬ ‫∞‪lim g(x) = +‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x>3‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ \"ﻤﻨﻬﺠﻴﺔ\"‪:‬‬‫ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﻴﺙ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ )∞ ‪(+‬‬‫ﺍﻵﺨﺭ ﺇﻟﻰ )∞ ‪ (−‬ﻨﺤﺎﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﺤﻴﺙ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻤﻠﻴﻥ‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪) +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞ ‪ ( −‬ﻭﺍﻟﻌﺎﻤل ﺍﻵﺨﺭ ﻻ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.0‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x).‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻓﻲ ﺠﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫)‪(x‬‬‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ )∞ ‪ (−‬ﻭ )‪ g(x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞ ‪، −‬‬ ‫ﻨﺤﺎﻭل ﺍﻹﺨﺘﺯﺍل ﻋﻠﻰ ﻜﻤﻴﺔ ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞ ‪. −‬‬

‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫) ‪(0, I, J‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ A‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = A‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻲ )‪ (C‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪+‬‬ ‫‪lim f (x) = A‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = a‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬‫ﺃﻭ‬ ‫∞‪lim f (x) = +‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫∞‪lim f (x) = −‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫∞‪lim f (x) = +‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x<a x>a x>a‬‬ ‫∞‪lim f (x) = −‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x<a‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = ax + b‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﺎﺌﻼ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺒﺠﻭﺍﺭ‬ ‫)∞ ‪(−‬‬ ‫‪lim ( f (x) − (ax + b)) = 0‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫}‪R − {3‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫‪(α )......... lim g(x) = 2‬‬ ‫ﺴﺎﺒﻕ‪،‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻭﺠﺩﻨﺎ‪،‬‬ ‫ﻟﻘﺩ‬ ‫∞‪x→+‬‬

‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫) ‪(C‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ‬ ‫‪(β‬‬ ‫‪).........lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x>3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬‫ﻤﻥ ) ‪ : (α‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = 2‬ﻫﻭ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺃﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(C‬‬‫ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪ +‬ﻤﻥ ) ‪ ، (β‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ \ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = 3‬ﻫﻭ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‬ ‫)‪. (C‬‬ ‫‪ 2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ h‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]5,+‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−3x‬‬ ‫‪+1+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪lim (x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= )‪h(x) − (3x + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x−5‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫ﺴﻤﻴﻨﺎ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪lim (h(x) − (−3x +1)) = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫)‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪ (0, I, J‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = −3x +1‬ﻫﻭ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪. +‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞ ‪ +‬ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞ ‪ −‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪، f (x) = 7x3 (3 ، f (x) = −3x² (2 ، f (x) = 5x² (1‬‬ ‫‪f (x) = −0,5x3 (4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞ ‪ +‬ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞ ‪ −‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪،‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪− 3x² +1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪f (x) = 3x − 200‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 (1‬‬ ‫‪6000‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(5 ، f (x) = −‬‬ ‫‪3x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪( )،‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪lim (−‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪lim (x‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪( )lim − 5x3 + 18x² − x 2 + 10‬‬ ‫∞‪x→−‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪lxi→m12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪− 4x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x→−2‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪2x −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x<4‬‬ ‫‪x > −2‬‬ ‫‪x <1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪( ) ( )،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪7x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x²‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪− 3x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8x²‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫)‪( )lim (19x² + 5x − 3‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪− 5x6‬‬ ‫‪+ x4‬‬ ‫‪− 3x²‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+ 5x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪− x²‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪3 − x²‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5x² − 3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪16 − x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻷﺸﻜﺎل )‪ (5) ،(4) ،(3) ،(2) ،(1‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ )‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→−2‬‬ ‫‪x→−2‬‬ ‫‪x<−2‬‬ ‫‪x>−2‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪Lim f (x), Lim f (x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬

‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫∞‪x→1 x→+‬‬ ‫‪x<1 x>1‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x→−2‬‬ ‫‪x→−2‬‬ ‫‪x<−2‬‬ ‫‪x>−2‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (5‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x), Lim f (x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫‪x>0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪(C) 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬‫)‪(C‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪(C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(2‬‬‫‪y‬‬‫‪7‬‬ ‫)‪(C‬‬‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(3‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬‫‪(C) 2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪2 (C‬‬‫‪1‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(5‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪ (0, I, J‬ﻭ)‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪ 1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻓﻲ ﻜل‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x² + 8x‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x² − 2x‬‬ ‫‪+1‬‬‫‪x=− 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ 2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻭ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺃﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪+‬‬‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪ −‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x² + 2x −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x² + 5x + 5‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪7x +8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 3x + 2‬‬

‫‪ 3‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﻫﻭ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪+‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞ ‪ −‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪+1−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪y = −x‬‬ ‫‪y = 5x +1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫)∆(‬ ‫ﻤﺴﺄﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x²‬‬ ‫‪−11x + 13‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪lim f (x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x>2 x<2‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x ∈ D ) x‬ﻭ ' ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( f‬‬ ‫ﺜﻡ ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ 4‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬

‫‪ 5‬ﻨﺴﻤﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ) ‪(0, I, J‬‬‫ﺃ‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ (C‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ )‪ (D‬ﻭ)∆( ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬‫ﺏ‪-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ )‪ (D‬ﻭ)∆( ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(C‬‬‫ﺕ‪-‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻪ ‪A‬‬‫ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ )‪(−1‬‬‫ﺙ‪-‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺒﺈﺘﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‪ (d ) ، (∆)، (D) :‬ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(C‬‬‫ﺝ‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )'‪ (C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x²‬‬ ‫‪−11x + 13‬‬ ‫‪x−2‬‬‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ‪ :‬ﻤﺨﻁﻁ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﺍﻟﺔ‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻗﺘﺭﺍﺡ ﺩﺭﺍﺴﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ )ﺒﺩﻭﻥ ﺘﺼﺤﻴﺢ(‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﻭﺍل‬ :1 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ lim f (x) = +∞ ، lim f (x) = +∞ /1 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = −∞ ، lim f (x) = −∞ /2 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = −∞ ، lim f (x) = +∞ /3 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = +∞ ، lim f (x) = −∞ /4 x→−∞ x→+∞ :2 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ lim f (x) = +∞ ، lim f (x) = +∞ /1 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = −∞ ، lim f (x) = +∞ /2 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = −∞ ، lim f (x) = −∞ /3 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = +∞ ، lim f (x) = −∞ /4 x→−∞ x→+∞ lim f (x) = −∞ ، lim f (x) = +∞ /5 x→−∞ x→+∞ :3 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ، lim (x² + 3x + 5) = +∞ x→+∞( )، x3 2 lim (− 5x² 8x 2)lim − − x² − 3x + = −∞ ، + − = −∞ x→−∞x→+∞ ( )lim − 5x3 +18x² − x 2 +10 = +∞ x→−∞

:4 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ، lim 3 + 5 2  = −∞ x→1 2x −  x<1lxi→m12 − 3x +1  = −∞ ، lim −7  = +∞ ، lim  − 3x + 2  = +∞ x² − 4x +  x→4 x+4  x→−2 2+ x  4 1 x<4 x>−2 :5 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬( ) ( )، 7x3 lim + 2x² − x −1 = −∞ ، lim x4 − 3x3 + 8x² − x −1 = +∞ x→−∞ x→+∞ ( )lim (19x² + 5x − 3) = −∞ 5x6 x4 3x² x→−∞ ، lim − + − = −∞ x→+∞ :6 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ، lim 5x + 8 = 5 ، lim 2x +5 = 2 ، lim  − 10  = 0 4x − 2 4 3x −1 3 x→+∞ x3 − x²  x→+∞ x→−∞ ، lim 5x² − 3x + 4 = lim 5 = 0 ، lim x3 + 5x = lim x = −∞ 16 − x4 x² 4x − x² x→+∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞ 3x + 2x 5 x 3+x lim = lim 2x² = +∞ x→−∞ x→−∞ :‫ﻗﺭﺍﺀﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ :7 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬Lim f (x) = −1, Lim f (x) = −1, Lim f (x) = −∞, Lim f (x) = +∞ /1x→−∞ x→+∞ x→−2 x→−2 x<−2 x>−2 Lim f (x) = −∞, Lim f (x) = +∞ /2 x→−∞ x→+∞Lim f (x) = −∞, Lim f (x) = −∞, Lim f (x) = +∞, Lim f (x) = +∞ /3x→−∞ x→1 x→1 x→+∞ x<1 x>1 Lim f (x) = 1, Lim f (x) = +∞, Lim f (x) = −∞ /4 x→−∞ x→−2 x→−2 x<−2 x>−2

‫∞‪Lim f (x) = −1, Lim f (x) = 1, Lim f (x) = −∞, Lim f (x) = +‬‬ ‫‪/5‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x<0 x>0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x²‬‬ ‫‪−11x + 13‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪ D /1‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫)‪ (x ∈ D‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(x − 2 ≠ 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪D = R − {2} :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻤﻥ ‪ D‬ﻟﻨﺎ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(3x‬‬ ‫‪5)(x‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3x²‬‬ ‫‪−11x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪= +‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 3x‬‬ ‫‪−5+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪x<2‬‬ ‫‪x<2‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 3x‬‬ ‫‪−5+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪x>2‬‬ ‫‪x>2‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻤﻥ ‪ D‬ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪(6x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫()‪11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 2) − (3x²‬‬ ‫‪−11x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪13‬‬ ‫‪(x − 2)²‬‬ ‫=‬ ‫‪3x² −12x +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(x − 2)²‬‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x²‬‬ ‫‪−12x +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‬ ‫‪x − 2)²‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻤﻥ ‪ D‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫ﻟﻤﺎ )‪ (x ∈ D‬ﻟﻨﺎ )‪ (x − 2 ≠ 0‬ﻭﻤﻨﻪ ‪(x − 2)² > 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﻫﻲ ﻤﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪3x² −12x + 9‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪3 +‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+ - -+‬‬‫‪3x² −12x + 9‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫ﻟﻤﺎ [∞‪ x ∈ ]− ∞,1]∪[3,+‬ﻟﻨﺎ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻟﻤﺎ }‪ x ∈ ]1,3]− {2‬ﻟﻨﺎ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬

‫∞‪x −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ /4‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫∞‪2 3 +‬‬ ‫‪f '(x) + - - +‬‬ ‫∞ ‪f (x) -4 +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−∞ −‬‬ ‫‪ /5‬ﺃ‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ (C‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ‪ (D) ،‬ﻭ)∆(‬‫ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫))‪ (C‬ﻴﻘﺒل‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪+∞, lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x→2‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x>2‬‬ ‫‪x<2 ‬‬ ‫ﻋﻤﻭﺩﻱ )‪ (D‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ‪( x = 2 :‬‬‫)∆(‬ ‫))‪ (C‬ﻴﻘﺒل‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x) −‬‬ ‫‪(3x‬‬ ‫)‪− 5‬‬ ‫=‬ ‫‪0 ‬‬ ‫ﻤﺎﺌل‬ ‫ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x) −‬‬ ‫‪(3x‬‬ ‫)‪− 5‬‬ ‫=‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ‪( y = 3x − 5 :‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (D‬ﻭ)∆( ﻫﻲ )‪ B(2,1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬‫) )‪ B(2,1‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟـ )‪ ( (C‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻟﻨﺎ‬ ‫‪( f (4 − x) + f (x) = 2 (4 − x)∈ D‬‬ ‫)‪ (x ∈ D‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(x ≠ 2‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(− x ≠ −2‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(4 − x ≠ 4 − 2‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(4 − x ≠ 2‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪((4 − x) ∈ D‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬‫‪=2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‪f (4 − x) + f (x) = 2 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ B(2,1) :‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟـ )‪(C‬‬‫ﺕ‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟـ ) ‪ (d‬ﺍﻟﻤﺎﺱ ﻟـ)‪ (C‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 1-‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪'(−1‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻊ‪:‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪f '(−1)(x +1) +‬‬ ‫)‪f (−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (−1) = −9‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15y‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫)‪14 (D‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-1-817-1-61-51-41-31-21-110-9-8-7-6-5-4-3-2--110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪A-9‬‬

‫ﻭﻗﻔﺔ ﻤﻨﻬﺠﻴﺔ‪:‬‬‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﺘﺒﺎﻉ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﺥ‪ :1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭﻴﺴﺘﺤﺴﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل‬ ‫ﻤﺠﺎل ﺃﻭ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻥ ‪. R‬‬‫ﺥ‪ :2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻁﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺤﺔ ﻟﻠﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻜل‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. D‬‬ ‫ﺥ‪ :3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻭﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ‪.‬‬‫ﺥ‪ :4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻥ ‪ D‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬ ‫ﻤﻥ ‪ D‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫ﺥ‪ :5‬ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ :07‬ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻤﻨﻅﻤﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻷﻁﻭﺍل ﺒﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻠﻤﺒﺱ ﺒﺎﻟﻭﺴﺎﺌﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻭﺘﺭﺠﻤﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻴﻥ ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ﻟﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻭﺘﺭﺠﻤﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺨﻁﻁﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻟﺴﻼﺴل ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺴﻼﺴل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻼﺘﻬﺎ‬ ‫‪ /2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ‬‫‪/4‬ﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪ :‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‬ ‫‪ /5‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﺕ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (a‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‪،‬‬ ‫ﻟﻌﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ‪.‬‬‫‪16‬‬ ‫‪25-30‬‬ ‫‪30-35‬‬ ‫‪35-40‬‬ ‫‪40-45‬‬ ‫‪45-50‬‬ ‫‪50-55‬‬ ‫‪55-60‬‬‫‪14‬‬‫‪12‬‬‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20-25‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(a‬‬‫‪ 1‬ﺇﺸﺭﺡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (a‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ‬ ‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻗﺼﺩ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻨﻐﻴﺭ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ (b‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫[‪ [20,25[ [25,35[ [35,45[ [45;60‬ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(b‬‬

‫ﺏ‪-‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻤﺜل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ‬‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ‬‫ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ \"ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\"‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺔ [‪ [20,25‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.4‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‪\" ،‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\" ﻤﺴﺘﻁﻴل \"ﻤﺒﻨﻲ\" ﻋﻠﻰ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ (a‬ﻫﻭ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫[‪ [20,25[ [25,30[ [30,35[ [35,40[ [40,45[ [45,50[ [50,55[ [55,60‬ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬‫‪ 4 13 12 9 5 3 2 2‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫ﺍﺕ‬‫‪ 2‬ﺃ‪ -‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻡ \"ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ\" ﻭﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻴﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ (b‬ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫[‪ [20,25[ [25,35[ [35,45[ [45;60‬ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪4 25 14‬‬ ‫‪7‬‬‫ﺏ‪ -‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ Q4 ,Q3,Q2 ,Q1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﻟﻤﻨﺸﺌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ [‪ [45,60[ ، [35,45[ ،[25,30[ ،[20,25‬ﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ h4 , h3 , h2 , h1‬ﺍﻹﺭﺘﻔﺎﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ‪ R4 , R3 , R2 , R1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ‬‫‪- R3 , R2 , R2 , R1‬ﻤﻘﺩﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ -‬ﻫﻲ‬‫)‪ h4 (60 − 45), h3 (45 − 35), h2 (35 − 25), h1(25 − 20‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬‫ﻭﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬‫‪h4 (25 −‬‬ ‫)‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪h3 (35 −‬‬ ‫)‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪h2 (45 −‬‬ ‫)‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪h1(60 −‬‬ ‫)‪45‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪( h1 = 4‬‬ ‫)ﻷﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻴﺄﺨﺫ‪:‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫=‬ ‫‪10h2‬‬ ‫=‬ ‫‪10h3‬‬ ‫=‬ ‫‪15h41‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪h2‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪h3‬‬ ‫=‬ ‫‪14‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪h4‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪h2‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫‪، h3 = 7‬‬ ‫‪، h4‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﻡ‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﻓﺮدان‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20-25‬‬ ‫‪25-35‬‬ ‫‪35-45‬‬ ‫‪45-60‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬‫ﺍﻟﺘ‬ ‫ﺤﻘﻕ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺇﺫﺍ ﻗﺩﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ‪:‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R1‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ،2‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R2‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ،12,5‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R3‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪، 7‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R4‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪3,5‬‬‫‪3,5‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪12,5‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒـ ‪ C4 ,C3 ,C2 ,C1‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﺒـ ‪ A1, A 2 , A 3 , A 4‬ﺇﻟﻰ ﺃﻁﻭﺍل ﻫﺫﻩ‬‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﺒـ ‪ n4 , n3, n2 , n1‬ﺇﻟﻰ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ C1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺫﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭل ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ hi‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ‪ Ci‬ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪:‬‬ ‫‪hi‬‬ ‫=‬ ‫‪ni‬‬ ‫×‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪i‬‬‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﻤﻥ ‪ 30‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‪ 18 :‬ﺒﻨﺘﺎ ﻭ‪ 12‬ﻭﻟﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﻋﻼﻤﺔ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪-8-8-9-9-9-10-10-11-11-11-13-13-14-16 :‬‬ ‫‪6-7-7-8‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ‪.5-8-13-11-11-11-15-12-12-14-14-15 :‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﺍﻭل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﺒﺭﺯ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ ﻭﺍﺤﺩ ﻴﻤﺜل‬‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻴﻤﺜل‬‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪.‬‬

‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭ ‪ y‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻭ ‪ x‬ﻤﻌﺩل‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻡ‪.‬‬‫‪ 3‬ﺇﺫﺍ ﻗﺭﺭ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﺃﻥ ﻴﻀﻴﻑ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻓﻜﻡ‬ ‫ﻴﺼﺒﺢ ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪.‬‬‫‪ 4‬ﺇﺫﺍ ﻗﺭﺭ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﺃﻥ ﻴﻀﺭﺏ ﻓﻲ ‪ 1,25‬ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻓﻜﻡ‬ ‫ﻴﺼﺒﺢ ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 6 7 8 9 10 11 13 14 16‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ) ‪(xi‬‬‫‪ 1 2 3 3 2 3 2 1 1‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ) ‪(ni‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ) ‪( fi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪5 8 11 12 13 14 15‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪1132122‬‬ ‫‪1132122‬‬ ‫‪12 12 12 12 12 12 12‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪:‬‬‫‪ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺎ‬ ‫ﺕ‬‫‪ 1 1 2 4 3 2 6 2 3 3 2 1‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍ‬‫ﺕ‬

‫ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬‫ﺕ‬ ‫‪ 2‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪n1x1 +‬‬ ‫‪n2 x2‬‬ ‫‪+ ........... + n p x p‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪+ n2‬‬ ‫‪+ ......... + nk‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3.8 + 3.9 + 2.10 + 3.11 + 2.13 +‬‬ ‫‪1.14‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.16‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪1+ 2+3+3+ 2+3+ 2+1+1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪) x = 10 :‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺒﺎﻵﻟﺔ(‬ ‫ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻨﺠﺩ‪ y = 11,75 :‬ﻭ ‪x = 10,7‬‬‫‪ 3‬ﺇﺫﺍ ﺃﻀﺎﻑ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺩل‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬‫)‪ x'=1.(6+2)+2.(7+2)+3.(8+2)+3.(9+2)+2.(101+82)+3.(11+2)+2.(13+2)+1.(14+2)+1.(16+2‬ﺃﻱ‬ ‫‪:‬‬‫‪x'=1.6+2.7+3.8+3.9+‬‬ ‫‪2.10+3.11+2.13+1.14+1.16+2(1+2+3+3+‬‬ ‫)‪2+3+2+1+1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻱ‪ x'= x + 2 :‬ﺃﻱ‪x'= 12 :‬‬‫ﺇ‪4‬ﺫﺍ ﻀﺭﺏ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻓﻲ ‪ 1,25‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻭﻟﻴﻜﻥ '‪y‬‬‫)‪y'=1(1,25.5‬‬ ‫)‪+1.(1,25×8‬‬ ‫)‪+3(1,25.11‬‬ ‫)‪+2(1,25×12‬‬ ‫)‪+1(1,25×13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2(1,25×14‬‬ ‫)‪+2(1,25×15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1,25‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3.11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.12 +‬‬ ‫‪1.13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.14‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺃﻱ‪ y'= 1,25 × y :‬ﺃﻱ‪y'= 14,6875 :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ‪ ،10‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ‪18‬‬ ‫ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ‪ 11،75‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻭﻻﺩ ‪12‬‬ ‫ﻤﻌﺩل ﺍﻟﻘﺴﻡ ‪ 10،7‬ﻋﺩﺩ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ‪12+18‬‬ ‫‪10,7‬‬ ‫=‬ ‫‪12.11,75 + 18.10‬‬ ‫ﻭﻨﻼﺤﻅ‪:‬‬ ‫‪12 + 18‬‬ ‫ﻤ‪2‬ﻥ ﺨﻼل )‪ (3‬ﻭ)‪(4‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺃﻀﻔﻨﺎ ‪ 2‬ﺇﻟﻰ ﻜل ﻋﻼﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺩل \"ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ\" ﻫﻭ )\"ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ\" ‪(2+‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻀﺭﺒﻨﺎ ﻜل ﻋﻼﻤﺔ ﻓﻲ ‪ 1،25‬ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻤﻌﺩل \"ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﻓﻲ\"‬ ‫‪1،25‬‬ ‫‪ 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3.8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3.9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.10 +‬‬ ‫‪3.11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.14‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.14‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫)ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ( ‪x = f1.x1 + f2.x2 + ........ + f p .x p‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺘﺒﺭﺯ ﺨﻭﺍﺹ ﻟﻠﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :3‬ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﺸﻜل ﻤﺸﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺩﺭﺴﺔ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻓﺭﻴﻘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺜﻡ ﻗﺎﻡ ﺒﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﺎﻤﺎﺕ‪-‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ‪ -‬ﻹﺭﻀﺎﺀ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻴﻘﻴﻥ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪165-167-168-171-174-175 : A‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪168-169-169-170-171-173 : B‬‬‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻘﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ A‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻘﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪. B‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ Vx‬ﻭ ‪ Vy‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪Vx‬‬ ‫=‬ ‫‪1(165−‬‬ ‫‪x)² +1(167−‬‬ ‫‪x)² +1(168−‬‬ ‫‪x)²‬‬ ‫‪+1(171−‬‬ ‫‪x)²‬‬ ‫‪+1(174−‬‬ ‫‪x)² +1(175−‬‬ ‫‪x)²‬‬ ‫‪6‬‬‫‪Vy‬‬ ‫=‬ ‫‪1(168 −‬‬ ‫‪y)²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2(169 −‬‬ ‫‪y)²‬‬ ‫‪+ 1(170 −‬‬ ‫‪y)²‬‬ ‫‪+ 1(171−‬‬ ‫‪y)²‬‬ ‫‪+ 1(173 −‬‬ ‫‪y)²‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺘﺠﺎﻨﺴﺎ ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ )ﺃﻭ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ( ﻨﺠﺩ‪y =170 :‬‬ ‫ﻭ ‪x = 170‬‬ ‫ﻭ‪Vx ≈ 13,33‬‬ ‫‪Vy ≈ 2,67‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪Vx‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Vy‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ Vx 3‬ﻫﻭ ﻤﺘﻭﺴﻁ \"ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ )ﺍﻟﻔـﻭﺍﺭﻕ ﺒﻴـﻥ ﻗﺎﻤـﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻔـﺭﻴـﻕ ‪ A‬ﻭ ‪\"( x‬‬ ‫‪ Vy‬ﻫﻭ ﻤﺘﻭﺴﻁ \"ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ )ﺍﻟﻔﻭﺍﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ B‬ﻭ ‪\"( y‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﻜﻭﻥ ‪ Vx‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ Vy‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺘﺸﺘﺕ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‬‫‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺘﺸﺘﺕ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪B‬‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ B‬ﺃﻜﺜﺭ ﺘﺠﺎﻨﺴﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪، A‬‬ ‫ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ Vx‬ﻴﺴﻤﻰ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ A‬ﻭ ‪ Vx‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬‫ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ ، A‬ﻭ ‪ Vy‬ﻭ ‪ Vy‬ﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 4‬ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﺴﺠﻠﺕ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﻟـ ‪ 35‬ﺸﺨﺼﺎ ﻴﺘﺎﺒﻌﻭﻥ ﻨﻭﻋﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‪-‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ‪ -‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪10 11 11 11 12 12 13 13 14 14 17 17 20 23 24 25 27 6‬‬ ‫‪32 32 35 36 37 38 38 38 40 41 42 46 46 46 47 50 50‬‬ ‫ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﻓﻕ ‪ 4‬ﻓﺌﺎﺕ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﺭ ‪ me‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ \" ‪ me‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﻤﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻋﻤﺎﺭ ‪50%‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\" me‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﺭ‪ Q1‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ \"‪ Q1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﻤﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻋﻤﺎﺭ ‪، 25%‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﻗل ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪\" Q1‬‬

‫ﻭﺍﻟﻌﻤﺭ ‪ Q3‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ \" ‪ Q3‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﻤﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻋﻤﺎﺭ ‪ 75%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﻗل ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪\" Q3‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ me‬ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻫﻭ ‪ 35‬ﻓﺈﻥ ‪ me‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﺘﺒﺘﻬﺎ ‪ 18‬ﻤﻨﻪ‪me = 30 :‬‬‫ﻤﻥ ‪ 35‬ﻫﻭ‬ ‫ﻭ ‪75%‬‬ ‫‪8,75‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫× ‪35‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 35‬ﻫﻭ‬ ‫‪25%‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪26,25‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪35‬‬ ‫×‬ ‫‪75‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ Q1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 9‬ﻤﻨﻪ‪Q1 = 14 :‬‬‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 27‬ﻤﻨﻪ‪) Q3 = 40 :‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ(‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻟﻸﺴﺌﻠﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺘﻜﻭﻥ‪:‬‬‫‪ me‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,5×35‬‬‫‪ Q1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,25 × 35‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,75×35‬‬‫‪ 2‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ [‪[10,14[,[14,30[,[30,40[,[40,50‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,25‬‬‫‪10 14‬‬ ‫‪30 40‬‬‫‪ Q1 2‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل ﻟﺴﻠﺴﺔ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ ﻭ ‪ Q3‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺴﻼﺴل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻼﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ \"ﻤﺩﺭﺝ\" ﻴﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﻭﻓﻕ ﻓﺌﺎﺕ ‪C1,C2 ,.......,Cp‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪ ،‬ﻨﺤﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‬‫ﺍﻷﻓﻘﻲ )ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل( ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺜﻡ ﻨﻨﺸﻲﺀ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﻤﺘﻼﺼﻘﺔ‬‫‪ R1R2 ,......, Rp‬ﻗﻭﺍﻋﺩﻫﺎ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ‬‫‪ C1,C2 ,.......,Cp‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﺒﺤﻴﺙ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ‪ R1R2 ,......, Rp‬ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ‬‫ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ‪ C1,C2 ,.......,C p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ .‬ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ‪R1R2 ,......, Rp‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ \"ﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ\"‬

‫ﺏ‪-‬ﻁﺭﻴﻘﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﻭﻓﻕ‬‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪ C1,C2 ,.......,Cp‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ n1, n2 ,......., np‬ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬‫‪ C1,C2 ,.......,Cp‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A1, A 2 ,......., A p‬ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫‪ C1,C2 ,.......,Cp‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﻌﺘﻤﺩ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ A1 = A 2 = ....... = A p‬ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‪\" :‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\"‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﻲﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ‪ Ci‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ ، ni‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ‪C1‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ‪.‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‪ :‬ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻓﺌﺔ‪ ،‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ Ck‬ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭل ‪) A k‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ(‬‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺅﺨﺫ ‪\" hi‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\" ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﻲﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ‪Ci‬‬‫‪( Ci‬‬ ‫ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﻭ ‪ni‬‬ ‫‪Ci‬‬ ‫ﻁﻭل‬ ‫‪Ai‬‬ ‫)ﺤﻴﺙ‬ ‫‪hi‬‬ ‫=‬ ‫‪ni‬‬ ‫×‬ ‫‪Ak‬‬ ‫ﻭﻓﻕ \"ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ\" ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Ai‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻔﺌﺔ ‪. Ci‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:1‬‬‫ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪ ،‬ﻗﺒل ﺍﻟﺸﺭﻭﻉ ﻓﻲ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪ ،‬ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﻁﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﻭﻭﺤﺩﺓ ﻁﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:2‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﻟﻠﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪...‬ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻊ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪.‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻤﺜل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻼﻤﺎﺕ ‪ 24‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‬‫ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫[‪[0,5‬‬ ‫[‪[5,9‬‬ ‫[‪[9,12‬‬ ‫[‪[12,18‬‬‫‪ 5 8 7 4‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‪.‬‬‫ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺫﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭل ﻫﻲ ‪ C3‬ﺤﻴﺙ [‪ [9,12‬ﻭﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ A3‬ﺒﺤﻴﺙ‪A3 = 12 − 9 :‬‬ ‫ﺃﻱ‪A 3 = 3 :‬‬‫ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫‪hi‬‬ ‫=‬ ‫‪ni‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪Ai‬‬‫ﺍﻟﻔﺌﺔ) ‪( Ci‬‬ ‫[‪[0,5‬‬ ‫[‪[5,9‬‬ ‫[‪[9,12‬‬ ‫[‪[12,18‬‬ ‫ﻁﻭل‬ ‫‪5−0 = 5‬‬ ‫‪9−5 = 4‬‬ ‫‪12 − 9 = 3 18 −12 = 6‬‬‫ﺍﻟﻔﺌﺔ) ‪( A i‬‬ ‫ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪5874‬‬‫ﺍﻟﻔﺌﺔ) ‪( ni‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫) ‪( hi‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ‬