วงจรไฟฟ้า 2

91 8.12 ทาซ้าแบบฝกึ หัดท้ายบท 8.12 พล๊อต vo(t) ทเ่ี วลา t > 0 จากวงจรดังภาพ 8.48 โดยใช้ PSpice ตอบ T1 = 0 VPWL T2 = 0.0001 V1 = 0 T3 = 5 V2 = 5 T4 = 5.0001 V3 = 5 V4 = 0 (ก) (ข) ภำพ 8.50 (ก) Schematics และ (ข) พลอ๊ ตสาหรบั แบบฝึกหัดทา้ ยบท ขอ้ ที่ 8.12

92 รำยกำรเอกสำรอ้ำงอิง Alexander, C. K. and Sadiku, N.O. M. (2009). Fundamental of Electric Circuit. (4th ed). New York, NY: McGraw-Hill. Hayt, W. H. Jr. and Kimmerly, J. E. (1993). Engineering Circuit Analysis. (5th ed). Singapore: McGraw-Hill. Peebles, Z. P. Jr. and Giuma A. T. (1991). Principles of Electrical Engineering. Singapore: McGraw- Hill. Rizzoni, G. (2003). Principles and Applications of Electrical Engineering. (4th ed). New York, NY: McGRAW-Hill. Steven, S. E. and William, O. G. (1993). Electrical Engineering : An Introduction. (2nd ed). Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. ธนากร นา้ หอมจนั ทร.์ (2554). ทฤษฎวี งจรไฟฟา้ . ปทุมธานี: มหาวทิ ยาลัยอีสเทิรน์ เอเชยี . อภนิ ันท์ อุรโสภณ. (2554). วงจรไฟฟ้า. กรงุ เทพฯ: สานักพมิ พ์ ดวงกมลพบั ลิชชงิ่ .

บทท่ี 9 ไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ 9.1 บทนำ จากบทท่ีผ่านมาได้อธบิ ายวิธีการวิเคราะหว์ งจรที่จากดั เฉพาะแหล่งจา่ ยไฟฟ้ากระแสตรง (dc) ซึ่งเป็น แหลง่ จ่ายไฟฟ้าชนิดคงท่ีหรือไม่ขึ้นอยู่กบั เวลา เพื่อให้เข้าใจถึงหลักและวิธีการวิเคราะห์วงจร โดยใชท้ ฤษฎีทาง วงจรไฟฟา้ ต่าง ๆ ในบทน้ีจะเป็นการเร่มิ ต้นการวิเคราะหว์ งจรไฟฟ้าในรปู แบบต่าง ๆ โดยมีแหลง่ จ่ายไฟฟา้ เป็น ชนิดท่ีเปล่ียนแปลงตามเวลาท้ังแหล่งจ่ายกระแสและแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า โดยเน้นการกระตุ้นวงจรไฟฟ้า ด้วยแหล่งจ่ายไฟฟ้าที่เปล่ียนแปลงตามเวลาแบบคล่ืนไซน์ หรือการกระตุ้นด้วยสัญญาณรูปไซน์ (Sinusoid) กระแสไฟฟ้ารูปไซน์โดยท่ัวไปมักใช้อ้างอิงกับกระแสสลับ (ac) ซ่ึงเป็นกระแสท่ีมีทั้งสัญญาณซีกบวกและลบ เปล่ียนแปลงตามเวลากลับไปกลับมา วงจรท่ีถูกขับด้วยแหล่งจ่ายกระแสหรือแรงดันไฟฟ้ารูปไซน์ เรียกว่า วงจรไฟฟ้ากระแสสลบั (ac circuit) เหตุผลที่ให้ความสาคัญกับสัญญาณรูปไซน์ เนื่องจากการส่งจ่ายพลังงานไฟฟ้าส่วนมากใช้กระแสสลับ ในการส่งจ่ายพลังงาน เพราะการสูญเสียพลังงานต่ากว่าการส่งจ่ายพลังงานไฟฟ้ากระแสตรง และมี ประสิทธภิ าพสงู กวา่ สามารถสง่ จา่ ยพลังงานไดใ้ นระยะไกล วงจรที่ถูกกระตุ้นด้วยสัญญาณรูปไซน์จะสร้างท้ังผลตอบสนองช่ัวขณะ (Transient response) และ ผลตอบสนองในสภาวะคงตัว (Steady-state response) จากท่ีได้อธิบายในบทท่ี 7 และ 8 พบว่า ผลตอบสนองช่ัวขณะจะมีขนาดลดลงและหายไปเม่ือเวลาผ่านไปโดยเหลือเพียงผลตอบสนองในสภาวะคงตัว ซ่ึงผลตอบสนองชั่วขณะมีขนาดน้อยมากเม่ือเทียบกับผลตอบสนองในสภาวะคงตัว ดังนั้นสามารถละท้ิง ผลตอบสนองช่ัวขณะในการวิเคราะห์วงจรที่ถูกกระตุ้นด้วยสัญญาณรูปไซน์ได้ เรียกว่า สภาวะคงตัวแบบไซน์ (Sinusoidal steady state) ในบทนี้จะอธิบายถึงไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ ความสัมพันธ์ของเฟสเซอร์ในองค์ประกอบทางไฟฟ้า อมิ พีแดนซ์และแอดมิตแตนซ์ กฎของเคอร์ชอฟฟ์ในโดเมนความถี่ การรวมค่าอิมพีแดนซ์ การวิเคราะห์สภาวะ คงตัวแบบไซนโ์ ดยใช้ PSpice และการประยุกตใ์ ช้ไซนซู อยด์และเฟสเซอร์ ตามลาดบั 9.2 ไซนซู อยด์ พจิ ารณาฟงั ก์ชนั แรงดันไฟฟ้ารปู ไซน์ (Sinusoid) ดงั สมการ (9.1) (9.1) v(t)  Vm sint V โดยที่ Vm คือ ขนาดของสญั ญาณรปู ไซน์  คอื ความถีเ่ ชิงมมุ (rad/s) t คือ คา่ อารก์ ิวเมนต์ (argument) ของสญั ญาณรูปไซน์

94 v(t) v(t) Vm Vm 0  2 3 4 t 0 T T 3T 2T t  Vm  Vm 2 2 (ก) (ข) ภำพ 9.1 กราฟของ Vmsint (ก) ในฟังก์ชนั ของ t และ (ข) ในฟงั กช์ ันของ t จากภาพ 9.1 สัญญาณรูปไซน์ ซ่ึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ (t) ดังแสดงในภาพ 9.1 (ก) และ ฟังก์ชันของเวลา (t) ดังแสดงในภาพ 9.1 (ข) โดยจะมีขนาดเท่ากันทุก ๆ คาบเวลา T จึงเรียกว่า T เป็นคาบ (period) ของสญั ญาณรูปไซน์ จากภาพ 9.1 จะพบวา่ T  2 หรอื T  2 (9.2)  เมื่อ v(t) มีขนาดเท่ากนั ทีท่ กุ ๆ คาบ T วินาที ถา้ แทน t ดว้ ย t + T ในสมการ (9.1) จะได้ v(t  T)  Vm sin(t  T )  Vm sin t  2  (9.3)     Vm sint  2   Vm sint  v(t) หรือ v(t  T)  v(t) (9.4) ขนาดของแรงดันไฟฟ้า v ท่ีเวลา t จะเท่ากนั กับท่ีเวลา t + T ดังน้ัน จึงเรียก v(t) ว่าเป็นฟังก์ชันคาบ (periodic function) คาบเวลา T ของฟังก์ชันคาบ คือ เวลาที่สัญญาณรูปไซน์สมบูรณ์ครบ 1 รอบ หรือจานวนเวลา ในหนว่ ย วนิ าท/ี รอบ ซง่ึ เรยี กวา่ ความถวี่ งรอบ (cyclic frequency) f ของสัญญาณรปู ไซน์ ดงั สมการ (9.5) f  1 (9.5) T จากสมการ (9.2) และ (9.5) ดงั นั้น   2f (9.6) เมื่อ  มีหน่วยเปน็ rad/s และ f มหี นว่ ยเปน็ Hz สมการโดยทั่วไปของสญั ญาณแรงดันรูปไซน์ แสดงดงั สมการ (9.7) v(t)  Vm sin(t ) (9.7)

95 โดยท่ี (t+ ) คือ อาร์กิวเมนต์ และ  คือ มุมเฟส ท้ังอาร์กิวเมนต์และมุมเฟสสามารถมีหน่วยเป็น เรเดยี นหรอื องศากไ็ ด้ ตวั อย่างสญั ญาณรูปไซน์ 2 ฟงั ก์ชนั ดงั สมการ (9.8) และภาพ 9.2 v1(t)  Vm sint และ v2 (t)  Vm sin(t ) (9.8) Vm v1  Vm sint  0  2 t  Vm v 2  Vm sin( t   ) ภำพ 9.2 สัญญาณรูปไซน์ท่ีมุมเฟสต่างกัน จากภาพ 9.2 จุดเร่ิมต้นของ v2 ได้เกิดข้ึนก่อนเวลาที่จะเริ่มต้นพิจารณา (t = 0) ซึ่งจะกล่าวได้ว่า v2 นาหน้า v1 อยู่  หรือ v1 ล้าหลัง v2 อยู่  ถ้า   0 จะเรียกว่า v1 และ v2 มีมุมเฟสต่างกัน (out of phase) และถ้า  = 0 จะเรยี กว่า v1 และ v2 มมี ุมเฟสร่วมกนั (in phase) โดยสัญญาณท้ังสองจะมีจุดเร่ิมต้น และจดุ สงู สุดทเี่ วลาเดียวกัน สัญญาณรูปไซน์สามารถแสดงความสัมพันธ์ได้ทั้งในรูปแบบของไซน์และโคไซน์ ในกรณีที่ต้องการ เปรียบเทียบสัญญาณ 2 ฟังก์ชันนิยมแสดงในรูปแบบเดียวกัน กล่าวคือ จะทาการเปรียบเทียบในรูปแบบของ ไซนห์ รอื โคไซน์ท้งั 2 ฟังกช์ นั การพิจารณาฟงั กช์ นั รูปไซน์ 2 ฟังก์ชันทาไดโ้ ดยใช้เอกลกั ษณ์ทางตรีโกณมติ ิ ดงั นี้ sin( A  B)  sin Acos B  cos AsinB (9.9) cos(A  B)  cos Acos B  sin AsinB โดยท่ี sin(t 180)   sint cos(t 180)   cost (9.10) sin(t  90)   cost cos(t  90)   sint สัญญาณระหว่างรูปแบบไซน์และโคไซน์สามารถแปลงได้โดยใช้ความสัมพันธ์ดังสมการ (9.10) หรือ สามารถแปลงรปู แบบได้ โดยใช้เทคนิคทางกราฟ ดังภาพ 9.3 แกนนอนจะแสดงขนาดของโคไซน์ และแกนตั้ง จะแสดงขนาดของไซน์ การวัดมุมระหว่าง 2 ฟังก์ชันค่าบวกจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ส่วนมุมค่าลบจะวดั ตามเข็ม นาฬิกา โดยอ้างอิงจากแกนนอน (แกน +cost) ตัวอย่างเช่น จากภาพ 9.3 (ก) ถ้าลบมุมเฟสไป 90o

96 ค่าอาร์กิวเมนต์จาก cost จะเปล่ียนเป็น sint หรือ cos(t-90o) = sint และจากภาพ 9.3 (ข) ถ้าบวก หรือลบมมุ เฟสไป 180o กับอาร์กิวเมนต์ sint จะได้เป็น -sint หรอื sin(t  180o) = -sint  180  180  cos t  cost  90  sin t  sint (ก) cos(t - 90o) = sint (ข) sin(t + 180o) = -sint ภำพ 9.3 ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ เทคนิคทางกราฟสามารถนามาใช้ในการรวมสัญญาณรูปไซน์ 2 ฟังก์ชันได้ โดยฟังก์ชันท้ัง 2 จะต้องมี ความถ่ีเดียวกัน ตัวอย่างการรวมสญั ญาณรูปไซน์ซ่ึงสัญญาณแรกอยู่ในรูปแบบไซน์ คือ Acost และสัญญาณ ท่ีสองอยู่ในรูปแบบโคไซน์ คือ Bsint เมื่อ A และ B คือขนาดของสัญญาณ cost และ sint ตามลาดับ ดงั ภาพ 9.4 (ก) ผลรวมของสัญญาณทงั้ สองจะอยใู่ นรปู แบบโคไซน์ ซึง่ หาไดจ้ ากรปู สามเหลย่ี ม ดงั นี้ A  cos  t 4 5  0 53 .1  cost BC 3  sin t  sin  t (ก) (ข) ภำพ 9.4 (ก) การรวม Acost และ Bsint และ (ข) การรวม 3cost และ -4sint จากภาพ 9.4 (ก) จะได้ Acost  Bsint  C cos(t  ) (9.11) โดยท่ี C  A2  B2 ,   tan1 B (9.12) A ตวั อย่างดังภาพ 9.4 (ข) รวมสัญญาณ 3cost และ -4sint เข้าดว้ ยกัน จะได้ 3cost  4sint  5cos(t  53.1) (9.13) จากตัวอย่างการรวมสัญญาณโดยใช้เทคนิคทางกราฟ พบว่า มีความสะดวกและคล่องตัวกว่าการใช้ เทคนิคทางตรีโกณมิติโดยใช้สมการ (9.9) และ (9.10) แต่จะต้องไม่ลืมว่าทิศทางบวกของฟังก์ชันไซน์นั้นช้ีลง ด้านลา่ ง

97 ตวั อยำ่ ง 9.1 หาขนาด มมุ เฟส คาบเวลา และความถี่ ของฟังกช์ นั รปู ไซน์ ดงั นี้ v(t)  311cos(314t 10) V วธิ ีทำ จากฟังกช์ ันทีก่ าหนด ซึง่ จดั อยใู่ นรูปแบบ v(t)  Vm cos(t ) V ดังน้นั ขนาด Vm = 311 V มมุ เฟส  = 10o คาบเวลา T จาก  = 314 rad/s ดังนัน้ T = 2/ = 0.02 s ความถ่ี f = 1/T = 50 Hz ตวั อย่ำง 9.2 คานวณหามมุ เฟสระหว่างสญั ญาณสองฟงั กช์ นั ดงั นี้ v1  12cos(t  30) และ v2  9sin(t 10) วธิ ที ำ วิธีที่ 1: การเปรียบเทียบสัญญาณระหว่าง v1 และ v2 ควรจัดให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน ซึ่งในวิธีที่ 1 น้ี จะกาหนดใหอ้ ยใู่ นรปู แบบโคไซนท์ ่ีมขี นาดเปน็ บวก ดังนี้ จาก v1  12cos(t  30)  12cos(t  30 180) ดงั นน้ั v1  12cos(t 150)  12cos(t  210) (9.2.1) และ v2  9sin(t 10)  9cos(t 10  90) v2  9cos(t 100) (9.2.2) จากสมการ (9.2.1) และ (9.2.2) มุมเฟสของ v1 และ v2 ซึ่งเท่ากับ 210o และ –100o (หรือ 260o) ตามลาดับ จะเหน็ ได้วา่ มมุ ต่างเฟสระหว่างฟงั กช์ ันทั้งสองเท่ากับ 50o ซ่ึงสามารถเขียน v2 ได้เป็น v2  9cos(t 150  50)  9cos(t  260) (9.2.3) จากสมการ (9.2.1) และ (9.2.3) พบว่า v2 นาหนา้ v1 ไป 50o วิธที ี่ 2: เขียน v1 ให้อยใู่ นฟังก์ชันไซน์ ได้ดังนี้ v1  12cos(t  30)  12sin(t  30  90) v1  12sin(t  60)  12sin(t 10  50) (9.2.4) และ v2  9sin(t 10) (9.2.5) จากสมการ (9.2.4) และ (9.2.5) จะเหน็ ไดว้ ่า v1 ตามหลัง v2 อยู่ 50o หรอื v2 นาหน้า v1 ไป 50o

98 วธิ ที ่ี 3: ใชเ้ ทคนิคทางกราฟ จาก v1 และ v2 เขียนกราฟไดด้ ังภาพ 9.5  30 cos t v1 10 v2 sint ภำพ 9.5 สาหรับตวั อย่าง 9.2 จากภาพ 9.5 จะเห็นว่า มุมต่างเฟสระหว่าง v1 และ v2 เท่ากับ 50o (90o - 30o - 10o) ซึ่งเรียกได้ว่า v1 ตามหลัง v2 อยู่ 50o หรือ v2 นาหน้า v1 ไป 50o เช่นเดียวกบั วิธีที่ 1 และ 2 9.3 เฟสเซอร์ สญั ญาณรูปไซน์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบอยา่ งงา่ ย คือ รูปแบบเฟสเซอร์ (Phasor) โดยเฟสเซอร์ เขียนอยู่ในรูปของจานวนเชิงซ้อน สามารถนาไปดาเนินการทางคณิตศาสตร์ได้สะดวกกว่าการเขียนในรปู แบบ ของไซน์และโคไซน์ สามารถทบทวนพ้ืนฐานจานวนเชิงซ้อนได้ในภาคผนวก ข. จานวนเชงิ ซ้อน z สามารถเขยี นให้อยู่ในพกิ ัดฉาก (rectangular form) ได้ ดงั น้ี z  x  jy (9.14a) เม่ือ j = 1 x เป็นจานวนจริงของ z y เปน็ จานวนจนิ ตภาพของ z จานวนเชิงซ้อน z สามารถเขียนในพิกัดเชิงข้ัว (polar form) หรือเอกซ์โพเนนเชียล (exponential form) ได้ ดังน้ี z  r  re j (9.14b) เมื่อ r เป็นขนาดของ z และ  เปน็ มุมเฟสของ z (รูปแบบพิกัดฉาก) (9.15) ดงั น้นั โดยสรปุ แลว้ z สามารถเขียนได้ 3 รปู แบบ ดงั นี้ (รปู แบบพดั เชิงขัว้ ) z  x  jy z  r z  re j (รูปแบบเอกซ์โพเนนเชียล)

99 ความสมั พันธ์ของจานวนเชิงซ้อนระหวา่ งพิกัดฉากและพัดเชิงข้วั แสดงดงั ภาพ 9.6 Imaginary axis z 2j ry j 0 x Real axis j ภำพ 9.6 ความสัมพันธข์ องจานวนเชงิ ซ้อน z = x + jy = r จากภาพ 9.6 เม่ือแกน x แทนส่วนจานวนจริงและแกน y แทนส่วนจานวนจินตภาพของจานวน เชงิ ซ้อน z ในกรณีทท่ี ราบคา่ x และ y จะสามารถหา r และ  ได้จาก r x2  y2,   tan1 y (9.16a) x ในกรณีทที่ ราบคา่ r และ  จะสามารถหา x และ y ได้จาก x  r cos, y  r sin (9.16b) ดงั น้นั z จะเขยี นได้ ดังนี้ z  x  jy  r  re j  r(cos  j sin) (9.17) การดาเนนิ การทางคณติ ศาสตรช์ องจานวนเชิงซ้อน z ทาได้ดังสมการ (9.18) ถา้ z  x  jy  r z1  x1  jy1  r11 z2  x2  jy2  r22 การบวก: z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 ) (9.18a) การลบ: (9.18b) การคูณ: z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 ) (9.18c) การหาร: (9.18d) z1z2  r1r2(1 2 ) การเป็นส่วนกลับ: (9.18e) z1  r1 (1  2 ) z2 r2 1  1   z r การหารากที่สอง: z  r( / 2) (9.18f)

100 การเป็นสงั ยคุ เชิงซ้อน: z   x  jy  r   re j (9.18g) จากสมการ (9.18e) 1  j (9.18h) j การแสดงเฟสเซอรด์ ว้ ยเอกลกั ษณ์ของออยเลอร์มีสมการทว่ั ไป ดงั สมการ (9.19) e j  cos  j sin (9.19) เมื่อเปรียบเทียบรูปแบบเฟสเซอร์ในรูปแบบพิกัดฉากและเอกลักษณ์ของออยเลอร์ จะพบว่า cos และ sin คอื ส่วนจานวนจริงและสว่ นจานวนจินตภาพของจานวนเชงิ ซอ้ น ตามลาดบั ดงั สมการ (9.20) โดยที่ cos  Re(e j ) (9.20a) sin  Im(e j ) (9.20b) โดยที่ Re และ Im นน้ั ย่อมาจากสว่ นจานวนจริงและส่วนจานวนจินตภาพ ตามลาดบั (9.21) ตวั อยา่ งการแสดงฟังก์ชนั รปู ไซน์ v(t) = Vmcos(t+) ในรปู แบบเฟสเซอร์ได้ ดังนี้ (9.22) (9.23) v(t)  Vm cos(t )  Re(Vme j(t) ) หรอื v(t)  Re(Vme j e j t ) ดังนน้ั v(t)  Re(Ve j t ) โดยที่ V  Vme j  Vm (9.24) ดงั นนั้ V คอื การแสดงเฟสเซอร์ของ v(t) โดยเฟสเซอรเ์ ปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น ซง่ึ ประกอบด้วยขนาดและมุมเฟส Imaginary axis V Vm Leading direction   Real axis Lagging direction Im I ภำพ 9.7 แผนภาพเฟสเซอร์ของ V = Vm และ I = Im-

101 เนื่องจากเฟสเซอร์เป็นปริมาณเชิงซ้อนที่มีท้ังขนาดและมุมเฟส หรือทิศทาง ซึ่งคล้ายคลึงกับเวกเตอร์ การแสดงเฟสเซอร์จะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ตัวหนาเช่นเดียวกับการแสดงเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น V = Vm และ I = Im- ดงั ภาพ 9.7 ภาพวาดทแ่ี สดงแทนเฟสเซอร์ เรียกวา่ แผนภาพเฟสเซอร์ (Phasor diagram) ข้อสงั เกต 9.1 1. การแสดงเฟสเซอร์จะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ตวั หนาเชน่ เดยี วกับการแสดงเวกเตอร์ 2. จากสมการ (9.21) ถึง (9.23) จะเห็นว่าการแสดงเฟสเซอร์จากฟังก์ชันรูปไซน์นั้น จะแสดงจาก ฟังก์ชันในรูปแบบโคไซน์ได้โดยสะสวก ในกรณีที่เป็นรูปแบบไซน์จะต้องทาการแสดงให้อยู่ในรูปแบบโคไซน์ เสยี ก่อน ซ่งึ ในการแสดงเฟสเซอรจ์ ากฟังก์ชนั รูปแบบโคไซนท์ าไดโ้ ดยใชข้ นาดและมุมเฟส การแสดงเฟสเซอรจ์ ากสัญญาณรปู ไซน์สรปุ ไดด้ งั สมการ (9.25) v(t)  Vm cos(t )  V  Vm (9.25) (Time-domainrepresenta tion) (Phasor -domainrepresenta tion) จากสมการ (9.25) จะเห็นว่า ถ้ากาหนดให้ v(t) = Vmcos(t+) ซ่ึงเป็นฟังก์ชันรูปแบบโคไซน์ สามารถแสดงเป็นเฟสเซอร์ได้โดยนาเอาขนาด (Vm) และเฟส () ของ v(t) มาจัดให้อยู่ในรูป V = Vm ในกรณีท่ีฟังก์ชันรูปไซน์ที่กาหนดอยู่ในรูปแบบไซน์สามารถแสดงเป็นเฟสเซอร์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น i(t) = Imsin(t+) สามารถแสดงเป็นเฟสเซอร์ได้ คือ I = Im( - 90o) ซ่ึงในการแปลงจากโดเมนของเวลา เป็นโดเมนของเฟสเซอร์จะละท้ิงอารก์ ิวเมนต์ t ในการแสดงเฟสเซอร์จากฟังก์ชันรูปไซน์ การแสดงเฟสเซอร์ ของกระแสและแรงดันไฟฟ้าแสดงดงั ตาราง 9.1 ตำรำง 9.1 การแปลงสัญญาณรูปไซน์กับเฟสเซอร์ กำรแสดงโดเมนเวลำ กำรแสดงเฟสเซอรโ์ ดเมน Vm cos(t ) Vm Vm sin(t ) Vm  90 Im cos(t ) Im Im sin(t  ) Im  90 จากสมการ (9.25) และตาราง 9.1 พบว่า แฟคเตอร์ความถี่ (หรือเวลา) ejt ถูกตัดออกไป ซึ่ง  เปน็ ค่าคงท่ี จึงไมม่ ีการแสดงความถ่ีในโดเมนของเฟสเซอร์ แต่การตอบสนองของวงจรยงั คงขึ้นอยู่กับ  (2 f) ด้วยเหตุนโ้ี ดนเมนของเฟสเซอร์ จงึ เรียกวา่ โดเมนของความถี่

102 จากสมการ (9.23) และ (9.24) v(t) = Re(Vejt) = Vmcos(t+) ดงั นน้ั dv  Vm sin(t )  Vm cos(t   90) dt ดังนั้น dv  Re(Vme j te j e j90 )  Re( j Ve j t ) (9.26) dt จากสมการ (9.26) ซึ่งแสดงให้เห็นวา่ อนุพันธ์ของ v(t) ในโดเมนของเวลา จะแปลงไปอยใู่ นโดเมนของ เฟสเซอร์หรือโดเมนของความถ่ไี ด้เป็น jV ดังนี้ dv  j V (9.27) dt (Phasor -domain) (Time-domain) ในทานองเดียวกันอินทิกรัลของ v(t) ในโดเมนของเวลา จะแปลงไปอยู่ในโดเมนของเฟสเซอร์หรือ โดเมนของความถีไ่ ด้เปน็ V/j ดังนี้  v dt  V (9.28) j (Time-domain) (Phasor -domain) จากสมการ (9.27) พบว่า สามารถแทนการอนุพันธ์สัญญาณ v(t) เทียบกับเวลาได้ โดยการคูณ แฟคเตอร์ j เข้ากับ V ในโดเมนของเฟสเซอร์ และจากสมการ (9.28) พบว่า สามารถแทนการอินทิกรัล สญั ญาณ v(t) เทยี บกับเวลาได้ โดยการคูณแฟคเตอร์ 1/j เขา้ กับ V ในโดเมนของเฟสเซอร์ ขอ้ สงั เกต 9.2 ความแตกตา่ งระหว่าง v(t) และ V มีดังนี้ 1. v(t) เป็นสัญญาณแรงดันไฟฟ้าชั่วขณะหรือในโดเมนของเวลา ส่วน V เป็นโดเมนของความถ่ีหรือ โดเมนของเฟสเซอร์ 2. v(t) ข้นึ อยู่กบั เวลา ส่วน V ไมข่ น้ึ อยกู่ บั กบั เวลา 3. v(t) เปน็ จานวนจรงิ เสมอ ส่วน V เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น ตวั อยำ่ ง 9.3 หาจานวนเชิงซอ้ น จาก ข) (2  j5)  2045 ก) (2045  24 30)1/2 (2  j4)(3  j5) 

103 วธิ ที ำ ก) (2045  24 30)1/2 ใช้วิธีการแปลงจากพกิ ัดเชิงข้วั (polar form) เปน็ พกิ ดั ฉาก (rectangular form) ได้ดงั น้ี 2045  20(cos 45 j sin45)  14.14 j14.14 และ 2430  24[cos(30)  j sin(30)]  20.78 j12 ดังน้นั 2045 2430  34.92 j2.14  34.983.50 จะได้ (2045  24 30)1/2  5.911.75 ข) ใช้วิธีการแปลงจากพิกัดเชิงข้ัวเป็นพิกัดฉาก เช่นเดียวกับตัวอย่าง 9.3 ก) แล้วทาการบวก สังยุค คูณและ หาร ไดด้ งั น้ี (2  j5)  2045  (2  j5)  (34.92  j2.14) (2  j4)(3  j5)  (2  j4)(3  j5)  36.92  j2.86  37.03  4.42 14  j22 26.07122.47  1.42126.89 ตวั อยำ่ ง 9.4 แปลงสัญญาณรปู ไซนท์ ีก่ าหนดให้อยูใ่ นรปู เฟสเซอร์ จาก ก) i  5cos(100t 25) A ข) v  -12sin(50t  60) V วิธีทำ ก) i  5cos(100t 25)  I  525 A ข) จาก – sinA = cos(A+90o) v  12sin(50t  60)  12cos(50t  60 90) ฉะนน้ั v  12cos(50t 150)  V  12150 V ตัวอยำ่ ง 9.5 หาสัญญาณรูปไซน์จากเฟสเซอร์ ก) V  j6e j30 ข) I  5  j8 วิธที ำ ก) จาก j = 190o ฉะน้ัน V  j6e j30  j6  30  (190)(6  30)  69030  660 V v(t)  6cos(t  60) V ข) I  5  j8  9.4357.99 i(t)  9.43cos(t 57.99) A

104 ตวั อย่ำง 9.6 หาผลรวมของ i1(t)  12cos(t  20) A, i2 (t)  4sin(t 60) A วิธีทำ I1  1220 จาก i2 (t)  4sin(t 60)  4cos(t 6090)  4cos(t 150) ดงั นน้ั I2  4150 ถ้า i  i1  i2 ดังนั้น I  I1  I2  1220  4150  (11.27  j4.10)  (3.46  j2)  7.81 j2.10 I  8.0815.05  i(t)  8.08cos(t 15.05) A ตัวอย่ำง 9.7 หา i(t) จาก 5i  2 di  4 i dt  24cos(4t  60) A dt วิธีทำ จาก i(t) ในโดเมนของเวลาที่โจทย์กาหนด ซ่ึงมีการอนุพันธแ์ ละอินทิกรัลสญั ญาณ i ทาการแปลงให้อยู่ ในโดเมนของเฟสเซอร์โดยใช้สมการ (9.27) และ (9.29) จะได้ 5i  2 di  4 i dt  24cos(4t  60)  5I  2 jI  4I  2460 dt j ซง่ึ  = 4 จะได้ I(5  j8  j)  2460 I  2460  2460  2.33  0.94 A 5 j9 10.2960.94 แปลงใหอ้ ย่ใู นโดเมนของเวลา ไดด้ งั นี้ i(t)  2.33cos(4t 0.94) A 9.4 ควำมสมั พนั ธ์ทำงเฟสเซอร์ในองค์ประกอบทำงไฟฟำ้ จากที่ได้อธิบายเกี่ยวกับการแปลงสัญญาณแรงดนั และกระแสไฟฟ้าจากโดเมนของเวลาใหอ้ ยู่ในโดเมน ของความถ่ีหรือเฟสเซอร์แลว้ ในหัวข้อน้ีจะแสดงความสัมพันธ์ของแรงดันและกระแสไฟฟ้าระหว่างโดเมนของ เวลาและโดเมนของเฟสเซอรใ์ นองคป์ ระกอบทางไฟฟ้า เช่น R, L และ C เพ่อื เป็นพนื้ ฐานตอ่ การวเิ คราะห์วงจร R, L และ C ในโดเมนของเฟสเซอร์ในบทต่อไป ซ่ึงในการวเิ คราะห์วงจรในโดเมนของเฟสเซอรจ์ ะยึดถือข้วั ของ แรงดันและทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าที่องค์ประกอบทางไฟฟ้าตามข้อกาหนดเคร่ืองหมายแบบพาสซีฟ เชน่ เดยี วกบั การวิเคราะห์ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรง

105 iI   vR VR   v iR V  IR (ก) (ข) ภำพ 9.8 ความสัมพันธ์ v และ i ของตวั ต้านทาน ใน (ก) โดเมนของเวลา (ข) โดเมนของความถ่ี ตัวอย่าง ตัวต้านทาน R ถ้ามีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน i = Im cos(t+) A ดังภาพ 9.8 จะสามารถหา แรงดนั ตกครอ่ ม R ได้จากกฎของโอหม์ ดังนี้ เฟสเซอร์ของ v จะได้ v  iR  RIm cos(t ) (9.29) จากเฟสเซอร์ของกระแสไฟฟ้า i V  RIm (9.30) ดงั นั้น I  Im (9.31) V  RI แผนภาพเฟสเซอรแ์ สดงความสัมพันธ์ระหวา่ งแรงดันและกระแสไฟฟ้าท่ีตัวต้านทาน แสดงดังภาพ 9.9 ซ่ึงเป็นไปตามกฎของโอห์มเช่นเดียวกับในโดเมนของเวลา และแสดงให้เห็นว่ามุมเฟสของแรงดันและ กระแสไฟฟา้ มมี มุ เฟสร่วมกัน (in phase) Im V I  Re 0 ภำพ 9.9 แผนภาพเฟสเซอร์ของตวั ต้านทาน สาหรับตัวเหน่ียวนาไฟฟ้า L ถ้ามีกระแสไฟฟ้าท่ีไหลผ่าน i = Im cos(t+) ดังภาพ 9.10 แรงดัน ตกครอ่ ม L จะหาได้จาก v  L di  LIm sin(t ) (9.32) dt จาก –sinA = cos(A+90o) จะได้ v  LIm cos(t   90) (9.33)

106 iI   vL VL   v  L di V  j LI dt (ก) (ข) ภำพ 9.10 ความสัมพนั ธ์ v และ i ของตัวเหนย่ี วนา ใน (ก) โดเมนของเวลา (ข) โดเมนของความถี่ เฟสเซอร์ของแรงดันไฟฟ้า v จะได้ V  LIme j( 90)  LIme je j90  LIm  90 (9.34) (9.35) จากเฟสเซอรข์ องกระแสไฟฟ้า i I  Im และ e j90  j ดังนัน้ V  jLI แผนภาพเฟสเซอร์แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันและกระแสไฟฟ้าท่ีตัวเหน่ียวนาไฟฟ้า แสดงดัง ภาพ 9.11 ซึง่ แสดงให้เหน็ ว่ามมุ เฟสของกระแสไฟฟ้าลา้ หลงั (lagging) มุมเฟสของแรงดนั ไฟฟ้าอยู่ 90o Im  V I  Re 0 ภำพ 9.11 แผนภาพเฟสเซอร์ของตวั เหนย่ี วนา (I ล้าหลัง V อยู่ 90o) สาหรับตัวเก็บประจุไฟฟ้า C ถ้ามีแรงดันไฟฟ้าท่ีตกคร่อม v = Vm cos(t+) ดังภาพ 9.12 จะ สามารถหากระแสท่ีไหลผา่ น C ได้จาก i  C dv (9.36) dt

107 ดงั นนั้ I  jCV  V  I (9.37) jC iI  v CV C  i  C dv I  jCV dt (ข) (ก) ภำพ 9.12 ความสมั พนั ธ์ v และ i ของตวั เก็บประจุ ใน (ก) โดเมนของเวลา (ข) โดเมนของความถ่ี แผนภาพเฟสเซอร์แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันและกระแสไฟฟ้าที่ตัวเก็บประจุไฟฟ้า แสดงดัง ภาพ 9.13 ซง่ึ แสดงใหเ้ ห็นวา่ มุมเฟสของกระแสไฟฟ้านาหน้า (leading) มุมเฟสของแรงดันไฟฟ้าไป 90o Im  I V  Re 0 ภำพ 9.13 แผนภาพเฟสเซอร์ของตัวเก็บประจุ (I นาหนา้ V ไป 90o) จากความสัมพันธ์ของกระแสและแรงดันไฟฟ้าในโดเมนของเวลาและความถ่ี ขององค์ประกอบทาง ไฟฟา้ R, L และ C สามรถสรุปความสัมพันธ์ไดด้ ังตาราง 9.2 ตำรำง 9.2 สรปุ ความสมั พันธ์ของกระแสและแรงดนั ไฟฟา้ องค์ประกอบทำงไฟฟ้ำ โดเมนของเวลำ โดเมนควำมถ่ี V  RI R v  Ri V  jLI L v  L di dt C i  C dv V  I dt jC

108 ตัวอย่ำง 9.8 ถ้าแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า v = 24cos(50t + 30◦) จ่ายให้กับ L 0.2 H หากระแสไฟฟ้า ในสภาวะคงตัวทไี่ หลผ่าน L วธิ ีทำ จาก L V  jLI เมอ่ื  = 50 rad/s จะได้ V  2430 V จากกฎของโอหม์ I  V  2430  2430  2.4  60 A jL j 50  0.2 1090 แสดงในโดเมนเวลา จะได้ i(t)  2.4cos(50t 60) A 9.5 อมิ พแี ดนซแ์ ละแอดมติ แตนซ์ จากความสมั พันธ์ระหว่างกระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟา้ ที่องค์ประกอบทางไฟฟ้า ดังน้ี V  IR, V  jLI, V  I (9.38) jC ซงึ่ สามารถเขยี นเป็นอัตราสว่ นระหว่างเฟสเซอรข์ องแรงดนั และกระแสไฟฟา้ ได้ ดงั น้ี V  R, V  jL, V  1 (9.39) I I I jC จากสมการ (9.39) ซง่ึ จะไดค้ วามสมั พันธ์ตามกฎของโอห์มสาหรับองคป์ ระกอบทางไฟฟ้าตา่ ง ๆ ดังน้ี Z  V or V  ZI (9.40) I เมื่อ Z คือ อิมพีแดนซ์ (Impedance) เป็นปริมาณท่ีข้ึนอยู่กับความถ่ี มีหน่วยเป็นโอห์ม โดยมี ส่วนกลับ คือ Y แอดมิตแตนซ์ (Admittance) สามารถสรปุ ความสมั พนั ธไ์ ด้ ดงั ตาราง 9.3 ตำรำง 9.3 อิมพแี ดนซแ์ ละแอดมติ แตนซ์ขององคป์ ระกอบทางไฟฟ้าแบบพาสซีฟ องคป์ ระกอบ อมิ พีแดนซ์ แอดมิตแตนซ์ R L ZR Y  1 C R Z  jL Y 1 jL Z  1 Y  jC jC

109 จากตาราง 9.3 ค่าอิมพีแดนซ์ของ ZL = jL และ ZC = -j/C เมื่อพิจารณาความถี่อย่างสุดข้ัวใน วงจรไฟฟ้าที่มีความเป็นไปได้ คือ f = 0 และ  จะพบว่า เม่ืออยู่ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรง (f = 0) ZL = 0 และ ZC   ซ่ึงเป็นไปตามที่ได้อธิบายไว้ในบทท่ี 6 กล่าวคือ ตัวเหนี่ยวนาจะเสมือนลัดวงจรและตัวเก็บ ประจุจะเสมือนเปิดวงจรในวงจรไฟฟ้ากระแสตรง และในกรณีท่ี f   (กรณีแหล่งจ่ายไฟฟ้าความถ่ีสูง) ZL   และ ZC = 0 ซ่ึงแสดงให้เห็นว่า ในวงจรความถ่ีสงู ตัวเหนี่ยวนาจะเสมือนเปิดวงจรและตัวเก็บประจุ จะเสมือนลัดวงจร กรณคี วามถ่สี ุดขวั้ ทั้งสองของ L และ C แสดงดงั ภาพ 9.14 L Short circuit at dc C Open circuit at dc Open circuit at Short circuit at high frequency high frequency (ก) ตวั เหน่ียวนาไฟฟ้า (ข) ตวั เก็บประจุไฟฟา้ ภำพ 9.14 วงจรสมมลู ในวงจรไฟฟา้ กระแสตรงและวงจรความถส่ี ูง อมิ พีแดนซเ์ ปน็ ปริมาณเชงิ ซ้อน ซงึ่ สามารถเขยี นความสมั พันธใ์ นรปู แบบพิกัดฉากได้ ดังน้ี Z  R  jX (9.41) โดยท่ี R = Re(Z) คือ ความต้านทาน และ X = Im(Z) คือ รีแอกแตนซ์ (reactance) ซ่ึงรีแอกแตนซ์ X เป็นได้ทั้งค่าบวกและลบ โดยกรณีรีแอกแตนซ์เป็นแบบการเหน่ียวนาไฟฟ้า; L จะมีค่าเป็นบวก และกรณี รแี อกแตนซเ์ ป็นแบบการเก็บประจไุ ฟฟ้า; C จะมีค่าเป็นลบ ดังน้ัน จะกล่าวได้ว่า อิมพีแดนซ์ Z = R + jX เป็นอิมพีแดนซ์แบบการเหน่ียวนาไฟฟ้า หรือแบบล้าหลัง (lagging) ซึ่งมุม เฟสของกระแสกระแสล้าหลงั แรงดนั ไฟฟา้ และ อิมพีแดนซ์ Z = R - jX เป็นอิมพีแดนซ์แบบการเก็บประจุไฟฟ้า หรือแบบนาหน้า (leading) เนอื่ งจากมมุ เฟสของกระแสนาหน้าแรงดันไฟฟ้า รแี อกแตนซ์ มหี น่วยเป็น โอหม์ เช่นเดยี วกับอิมพแี ดนซ์ความต้านทาน อมิ พีแดนซ์สามารถเขียนในรูปแบบพิกัดเชิงข้วั ได้ ดังนี้ Z  | Z |  (9.42) จากสมการ (9.41) และ (9.42) Z  R  jX  | Z |  (9.43) โดยท่ี |Z|  R2  X2 ,   tan1 X (9.44) R และ R  | Z | cos , X  | Z | sin (9.45)

110 ในบางครง้ั การวิเคราะห์วงจรอาจใชแ้ อดมติ แตนซเ์ พอื่ ความสะดวกในการวิเคราะห์ โดยแอดมิตแตนซ์ (Admittance; Y) ขององค์ประกอบทางไฟฟ้า คือ ส่วนกลับของอิมพีแดนซ์ (Z) มีหน่วยเป็น ซีเมนส์ (siemens; s) หรืออัตราส่วนระหว่างเฟสเซอร์ของกระแสไฟฟ้าท่ีไหลผ่านและเฟสเซอร์ของแรงดันไฟฟ้าตก ครอ่ มองคป์ ระกอบนน้ั ดงั สมการ (9.46) Y  1  I (9.46) Z V แอดมิตแตนซเ์ ปน็ ปรมิ าณเชิงซ้อน สามารถเขียนในรูปแบบพกิ ดั ฉากได้ ดงั น้ี Y  G  jB (9.47) เม่ือ G =Re(Y) คือ ความนาไฟฟ้า (conductance) และ B =Im(Y) คือ ซัสเซปแตนซ์ (susceptance) ทั้ง แอดมติ แตนซ์ ความนาไฟฟ้า และซัสเซปแตนซ์ มหี นว่ ยเป็น ซเี มนส์ (หรือ mhos) จากสมการ (9.41) และ (9.47) จะพบว่า G  jB  1 (9.48) R  jX หรือ G  jB  R 1 jX  R  jX  R  jX (9.49)  R  jX R2  X2 ดงั น้นั G  R2 R X 2 , B   R2 X X 2 (9.50)   จากสมการ (9.50) จะพบว่า G  (1/R) เหมือนในวงจรตัวต้านทาน แต่ถ้าในกรณีท่ี X = 0 จะทาให้ G = 1/R ตัวอย่ำง 9.9 หา v(t) และ i(t) จากวงจรดังภาพ 9.15 i 4 vs  12cos(4t  10) V  0.2 F v  ภำพ 9.15 สาหรับตัวอย่าง 9.9 วิธที ำ จากแรงดันไฟฟา้ ที่แหลง่ จ่าย vs = 12cos(4t+10o) V โดยท่ี  = 4 rad/s ดงั นน้ั Vs  1210 V

111 อิมพแี ดนซ์มีคา่ เป็น Z  4  1  4  1  4  j1.25  jC j 4  0.2 จากกฎของโอห์ม ดงั นัน้ I  V  1210  2.8627.35 A Z 4.19 17.35 และ V  IZC  I  2.8627.35  3.57  62.65 V jC 0.890 จากเฟสเซอรข์ องกระแสไฟฟ้า I และแรงดันไฟฟา้ V สามารถแปลงใหอ้ ยใู่ นโดเมนของเวลาได้ ดงั น้ี i(t)  2.86cos(4t  27.35) A (9.9.1) และ v(t)  3.57cos(4t 62.65) V (9.9.2) จาก i(t) และ v(t) ตามสมการ (9.9.1) และ (9.9.2) จะพบว่า มุมเฟสของกระแสไฟฟ้า i(t) นาหน้ามุมเฟสของ แรงดันไฟฟ้า v(t) ไป 90o ซึ่งเป็นไปตามองค์ประกอบทางไฟฟ้าในวงจร จากตัวอย่างน้ีเป็นวงจร RC อนุกรม โดยอิมพีแดนซ์ Z จะมีค่าเป็น R – jXC ซ่ึงเป็นอิมพีแดนซ์แบบการเก็บประจุไฟฟ้า หรือแบบนาหน้า ส่งผลให้ มมุ เฟสของกระแสนาหน้าแรงดันไฟฟ้า 9.6 กฏของเคอรช์ อฟฟ์ในโดเมนควำมถ่ี การวเิ คราะห์วงจรในโดเมนความถี่ โดยใช้กฎของเคอรช์ อฟฟ์ทั้ง KVL และ KCL ทาได้ดงั น้ี สาหรับ KVL ถ้ากาหนดให้ v1, v2, . . . , vn คือ แรงดันรอบลูปปิด ดงั น้ัน v1  v2  ... vn  0 (9.51) ในสภาวะคงตัวของสัญญาณรูปไซน์แต่ละค่าแรงดันไฟฟ้าสามารถแสดงในรูปแบบโคไซน์ได้ จาก สมการ (9.51) จะได้เป็น Vm1 cos(t 1)  Vm2 cos(t 2 )  .... Vmn cos(t n )  0 (9.52) จดั รูปสมการใหม่ได้เปน็ หรือ Re(Vm1e j1 e jt )  Re(Vm2e j2 e jt )  .... Re(Vmne jn e jt )  0 (9.53) ถา้ กาหนดให้ Re[(Vm1e j1 e jt )  (Vm2e j2 e jt )  .... (Vmne jn e jt )]  0 (9.54) ดงั นั้น Vk  Vmke jk โดยที่ Re[(V1  V2  ... Vn )e jt ]  0 e jt  0

112 ดงั นั้น V1  V2  ... Vn  0 (9.55) จากสมการ (9.55) ซึ่งก็คือ KVL ในรูปแบบของเฟสเซอรน์ ัน่ เอง สาหรับ KCL ในรูปแบบของเฟสเซอร์ ถ้ากาหนดให้ i1, i2, . . . , in เป็นกระแสที่ไหลเข้าหรือไหลออก พ้นื ทปี่ ดิ ในโครงขา่ ยไฟฟา้ ทเ่ี วลา t ดงั นน้ั i1  i2  ... in  0 (9.56) ถ้า I1, I2, . . . , In เป็นเฟสเซอรข์ องกระแสสัญญาณรูปไซน์ i1, i2, . . . , in จะได้ I1  I2  ... In  0 (9.57) จากสมการ (9.57) ซงึ่ กค็ ือ KCL ในรูปแบบของเฟสเซอรน์ ั่นเอง จากที่ได้อธบิ ายกฎของเคอร์ชอฟฟ์ในโดเมนของความถี่หรือโดเมนของเฟสเซอร์ ซ่งึ จะช่วยให้สามารถ คานวณหรือวิเคราะห์วงจรได้ง่ายขึ้น สาหรับการรวมค่าอิมพีแดนซ์ในโดเมนความถ่ีจะอธิบายในหัวข้อถัดไป และการใชร้ ะเบยี บวธิ ีวิเคราะหว์ งจร รวมท้งั การใช้ทฤษฎวี งจรจะอธิบายในบทที่ 10 9.7 กำรรวมคำ่ อิมพีแดนซ์ พิจารณาภาพ 9.16 อมิ พแี ดนซ์ N ตัวต่ออนุกรมกัน กระแสไฟฟา้ I ท่ีไหลผ่านอิมพีแดนซ์แตล่ ะตัวจะมี ค่าเท่ากนั ใช้ KVL รอบลูป I Z1 Z2 ZN  V1   V2   VN  V Z eq ภำพ 9.16 อมิ พแี ดนซ์ N ตัวตอ่ อนุกรม จะได้ V  V1  V2  ... VN  I(Z1  Z2  ... ZN ) (9.58) อิมพแี ดนซ์สมมลู ทข่ี วั้ อนิ พุต หาไดโ้ ดยใชก้ ฎของโอห์ม ดงั น้ี Z eq  V  Z1  Z2  ... ZN I หรอื Zeq  Z1  Z2  ... ZN (9.59) จากสมการ (9.59) พบว่า ค่าอิมพีแดนซ์สมมูลของอิมพีแดนซ์ N ตัวต่ออนุกรมกัน มีค่าเท่ากับผลรวมของ ผลบวกอมิ พแี ดนซ์แตล่ ะตวั เข้าดว้ ยกัน เช่นเดียวกับการรวมคา่ ความต้านทานสมมลู ในวงจรตัวต้านทานอนกุ รม

113 ถา้ N = 2 ดงั ภาพ 9.17 I Z1  V1   V2 V  Z2 ภำพ 9.17 วงจรการแบง่ แรงดนั ไฟฟา้ กระแสที่ไหลผา่ นอิมพีแดนซ์ Z1 และ Z2 คือ I  V (9.60) Z1  Z2 (9.61) โดยท่ี V1 = Z1I และ V2 = Z2I ดงั นน้ั V1  Z1 V และ V2  Z2 V Z1  Z2 Z1  Z2 จากสมการ (9.61) ซง่ึ กค็ ือ วิธกี ารแบง่ แรงดนั ไฟฟา้ สาหรบั อมิ พแี ดนซ์ N ตัวตอ่ ขนานกัน ดังภาพ 9.18 I  I1 I2 IN ZN I V Z1 Z2  Z eq ภำพ 9.18 อมิ พแี ดนซ์ N ตวั ต่อขนานกนั ใช้ KCL ทโ่ี นดดา้ นบนจะได้ I  I1  I2  IN  V 1  1  1  (9.62) Z1 Z2 ZN อิมพีแดนซส์ มมลู จะหาไดจ้ าก 1  I  1  1  1 (9.63) Zeq V Z1 Z2 ZN และแอดมติ แตนซส์ มมูลจะได้ ดังน้ี Yeq  Y1  Y2  YN (9.64) จากสมการ (9.64) แอดมติ แตนซ์สมมูลของวงจรจะหาไดจ้ ากการบวกแอดมิตแตนซ์แต่ละตัวเข้าดว้ ยกัน

114 ถ้า N = 2 ดงั ภาพ 9.19  I1 I2 I V Z1 Z2  ภำพ 9.19 วงจรการแบง่ กระแสไฟฟ้า อิมพีแดนซ์สมมลู จะหาไดจ้ าก Z eq  1  1  1  Z1Z2 (9.65) Yeq Y1  Y2 1/ Z1  1/ Z2 Z1  Z2 โดยที่ V  IZeq  I1Z1  I2Z2 กระแสที่ไหลในอิมพแี ดนซ์ Z1 และ Z2 จะได้ ดงั นี้ I1  Z2 I และ I2  Z1 I (9.66) Z1  Z2 Z1  Z2 จากสมการ (9.66) ซง่ึ กค็ ือ วธิ กี ารแบ่งกระแสไฟฟ้า สาหรับการแปลงรูปโครงข่ายระหว่างแบบวายกับแบบเดลตา ตามภาพ 9.20 ทาได้โดยใช้สมการ (9.67) และ (9.68) ได้ดงั น้ี การแปลงโครงขา่ ยแบบ Y- การแปลงโครงขา่ ยแบบ  -Y Za  Z1Z2  Z2Z3  Z3Z1 Z1  ZbZc Z1 Za  Zb  Zc Zb  Z1Z2  Z2Z3  Z3Z1 (9.67) Z2  ZcZa (9.68) Z2 Za  Zb  Zc Zc  Z1Z2  Z2Z3  Z3Z1 Z3  ZaZb Z3 Za  Zb  Zc ในกรณีทเ่ี ป็นโครงขา่ ยแบบ -Y สมดุล สมการ (9.67) และ (9.68) จะเปลีย่ นเปน็ Z  3ZY , ZY  1 Z  (9.69) 3

115 a Zc b Z1 Z2 n Zb Za Z3 c ภำพ 9.20 การแปลงโครงข่ายระหวา่ งแบบ Y และ  ตัวอย่ำง 9.10 หาอินพตุ อมิ พีแดนซ์ของวงจรดงั ภาพ 9.21 ถา้ กาหนดให้วงจรทางานที่  = 20 rad/s 5 mF 10  Zin  20 mF 0.1 H 4 ภำพ 9.21 สาหรบั ตวั อยา่ ง 9.10 วธิ ที ำ กาหนดให้ Z1 = อมิ พีแดนซ์ของ C 5 mF Z2 = อมิ พแี ดนซ์ของ C 20 mF ที่ต่ออนกุ รมกบั R 4  Z3 = อิมพแี ดนซข์ อง R 10  ทตี่ อ่ อนกุ รมกบั L 0.1 H ดงั นัน้ Z1  1  1   j10  jC j 20  5 103 Z2  1  4  4 1  4  j2.5  jC j 20  20 103 Z3  10  jL  10  j200.1  10  j2  อนิ พุตอมิ พแี ดนซ์ จะได้ Zin  Z1  (Z2 // Z3 )   j10  (4  j2.5)(10  j2) 14  j0.5

116   j10  (45  j17)(14  j 0.5)   j10  3.25  j1.09  142  0.52 ดงั น้นั Zin  3.25 j11.09  ตวั อยำ่ ง 9.11 หา vo(t) จากวงจรดงั ภาพ 9.22 50  24cos(2t 15) V  4 H 5 mF vo  ภำพ 9.22 สาหรับตวั อย่าง 9.11 วิธีทำ การวิเคราะห์วงจรในโดเมนของความถี่ ทาได้โดยแปลงวงจรท่ีอยู่ในโดเมนของเวลาจากภาพ 9.22 ให้ อยใู่ นโดเมนของเฟสเซอร์ ดงั ภาพ 9.23 โดยมวี ธิ กี ารแปลง ดังนี้ vs  24cos(2t 15) V  Vs  2415 V;   2 4 H  jL  j24  j8  5 mF  1  1   j100  jC j 2  5 103 50  24 15  j8   j100 Vo  ภำพ 9.23 สาหรับตัวอย่าง 9.11 ถ้ากาหนดให้ Z1 = อมิ พีแดนซข์ อง R 50  Z2 = อมิ พีแดนซข์ อง L 5 H และ C 10 mF ทีต่ อ่ ขนานกนั

117 ดงั นน้ั Z1  50  Z2  j8 // j100  j8  ( j100)  j8.69  j8  ( j100) จากวิธกี ารแบ่งแรงดัน จะได้ Vo  Z1 Z2 Vs  50 j8.69 (2415)  Z2  j8.69  (0.1780.15)(2415)  4.0895.15 V และแปลงกลบั ไปสู่โดเมนของเวลา ได้ดงั น้ี vo (t)  4.08cos(2t  95.15) V ตวั อยำ่ ง 9.12 หากระแสไฟฟา้ I จากวงจรดังภาพ 9.24 2  j4  I 5 j4  b 8 c a  j3 j6  10030 8 ภำพ 9.24 สาหรบั ตวั อยา่ ง 9.12 วิธีทำ จากวงจรดังภาพ 9.24 โครงข่ายแบบเดลตาที่โนด a, b, และ c สามารถแปลงรูปไปสู่โครงข่ายแบบ วายได้ โดยใช้สมการ (9.68) จะไดว้ งจรดงั ภาพ 9.25 Z an n Z cn I 5 a Z bn 10030 bc j6   j3 8 ภำพ 9.25 สาหรับตัวอย่าง 9.2

118 โดยที่ Z an  j4(2  j4)  4(4  j2)  (1.6  j0.8)  j4 2  j4 8 10 Zbn  j4(8)  j3.2  10 Zcn  8(2  j4)  (1.6  j3.2)  10 อมิ พีแดนซร์ วมทขี่ วั้ แหล่งกาเนิดจะได้ Z  5  Zan  (Zbn  j6  8) //(Zcn  j3)  5  (1.6  j0.8)  [(8  j9.2) //(1.6  j6.2)]  6.6  j 0.8  (12.1948.99)(6.40  75.52) 9.6  j3 Z  12.19  j4.57  13.01  20.55  และ I  V  10030  7.6850.55 A Z 13.01  20.55 9.8 กำรประยกุ ต์ใช้ไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ การประยุกต์ใชง้ านวงจรทาง ac ในหัวข้อน้ีจะอธบิ ายถึง วงจรบริดจ์ทาง ac (ac Bridge) ซ่ึงมีรปู แบบ วงจรและหลักการทางานคล้ายกบั บริดจ์แบบวตี สโตนสาหรับการวัดค่าความต้านทาน ตามท่ีอธิบายไว้ในหัวข้อ ท่ี 4.9.2 ซึ่งวงจรบริดจ์ทาง ac ใช้สาหรับการวัดค่าความเหน่ียวนาไฟฟ้า L ของตัวเหน่ียวนาหรือค่าความจุ ไฟฟา้ C ของตวั เก็บประจุ การวัดค่า L และ C จาเป็นต้องใช้แหล่งจ่ายสัญญาณและมิเตอร์สาหรับวัดสัญญาณทาง ac (แอมมเิ ตอร์หรือโวลตม์ ิเตอร์) แทนการใช้กลั ป์วานอมิเตอร์ ดงั ภาพ 9.26 Z1 Z3 Vs  AC meter   Z 2 V1 V2 Zx  ภำพ 9.26 วงจรบรดิ จ์ทาง ac โดยท่ัวไป

119 จากภาพ 9.26 วงจรบริดจ์จะสมดุลเม่ือไม่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านมิเตอร์ ac ซ่ึงหมายความว่า V1 = V2 เมื่อใช้ หลกั การแบ่งแรงดันไฟฟ้าตามสมการ (9.61) จะได้ V1  Z1 Z2 Vs  V2  Zx Vs (9.70)  Z2 Z3  Zx ดังนนั้ Z2  Zx  Z2Z3  Z1Z x (9.71) Z1  Z2 Z3  Zx หรอื Zx  Z3 Z2 (9.71) Z1 สมการ (9.71) เป็นสมการในสภาวะบริดจ์ทาง ac ดังภาพ 9.26 สมดุล ซึ่งจะคล้ายกับสมการ (4.19) วงจร บริดจ์แบบวตี สโตนสาหรบั วัดค่าความต้านทาน แต่แทนค่าความตา้ นทาน R ด้วยค่าอิมพแี ดนซ์ Z นั่นเอง วงจรบริดจ์ทาง ac ท่ีเจาะจงใช้สาหรับวัดค่า L และ C แสดงดังภาพ 9.27 โดยท่ี Lx และ Cx คือ ค่าของตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้าและตัวเก็บประจุไฟฟ้าท่ีต้องการวัด ตามลาดับ ส่วน Ls และ Cs คือ ค่าของตัว เหน่ียวนาไฟฟ้าและตัวเก็บประจุไฟฟ้ามาตรฐาน หรือค่าที่ทราบค่าแน่นอน ในการวัดค่าจะทาโดยการปรับค่า R1 และ R2 จนบรดิ จส์ มดุล จากสมการ (9.71) จะได้ Lx  R2 Ls (9.72) และ Cx  R2 Cs (9.73) R1 R1 จากภาพ 9.27 สมการ (9.72) และ (9.73) พบว่า การสมดุลของบริดจ์น้ัน ไม่ข้ึนอยู่กับความถี่ f ของ แหล่งจา่ ยสญั ญาณ Vs R1 R 2 R1 R2 AC AC meter meter L s Lx Cs Cx Vs Vs   (ก) (ข) ภำพ 9.27 วงจรบริดจ์ท่ีเจาะจง (ก) ใช้วัดคา่ L และ (ข) ใช้วดั ค่า C

120 9.10 บทสรุป 1. สญั ญาณรปู ไซนเ์ ป็นสัญญาณทีอ่ ยู่ในโดเมนของเวลา มีรปู แบบทั่วไปในฟงั ก์ชันไซน์ ดงั น้ี v(t)  Vm sint V โดยท่ี Vm คือ ขนาดของสัญญาณรูปไซน์  = 2f คอื ความถ่ีเชิงมุม (rad/s) (t+) คอื ค่าอาร์กิวเมนต์ (argument) ของสัญญาณรูปไซน์ และ คือ  มุมเฟส ทั้ง อาร์กวิ เมนตแ์ ละมมุ เฟสอาจมีหนว่ ยเปน็ เรเดยี นหรอื องศาก็ได้ 2. เฟสเซอร์เป็นจานวนเชิงซ้อนที่ใช้แสดงขนาดและมุมเฟสของสัญญาณรูปไซน์ การแสดงเฟสเซอร์ จากสญั ญาณรูปไซน์ สรปุ ได้ดังน้ี v(t)  Vm cos(t )  V  Vm (Time-domainrepresenta tion) (Phasor -domainrepresenta tion) 3. ความสัมพันธ์ระหว่างกระแสและแรงดันไฟฟ้าท่ีองค์ประกอบทางไฟฟ้า ถา้ กาหนดให้แรงดนั ไฟฟ้า ท่ีตกคร่อม v(t) = Vm cos(t+v) และกระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ น i(t) = Im cos(t+i) จะพบว่า 3.1 ถ้าองค์ประกอบเปน็ ตัวตา้ นทาน i = v เรยี กวา่ มุมเฟสร่วมกนั (in phase) 3.2 ถา้ องคป์ ระกอบเปน็ ตวั เหน่ยี วนา i ล้าหลัง v อยู่ 90o เรยี กว่า มุมเฟสลา้ หลงั (lagging) 3.3 ถ้าองคป์ ระกอบเปน็ ตวั เกบ็ ประจุ i นาหนา้ v ไป 90o เรยี กว่า มุมเฟสนาหน้า (leading) 4. อิมพีแดนซ์ Z ของวงจรไฟฟ้าเป็นอัตราสว่ นระหวา่ งเฟสเซอร์ของแรงดันไฟฟ้า V ท่ีตกคร่อม และ เฟสเซอรข์ องกระแสไฟฟ้า I ทีไ่ หลผ่านองค์ประกอบนนั้ Z  V  R()  jX () I โดยที่ R = Re(Z) คือ ค่าความตา้ นทาน และ X = Im(Z) คอื รแี อกแตนซ์ (reactance) ถ้า Z = R + jX เป็นอมิ พีแดนซแ์ บบการเหนี่ยวนาไฟฟ้า หรอื แบบลา้ หลัง Z = R - jX เปน็ อมิ พีแดนซ์แบบการเก็บประจไุ ฟฟ้า หรือแบบนาหน้า สาหรับแอดมิตแตนซ์ Y เปน็ สว่ นกลบั ของอมิ พแี ดนซ์ Z Y  1  I  G()  jB() Z V เม่ือ G =Re(Y) คือ ความนาไฟฟ้า (conductance) และ B =Im(Y) คือ ซัสเซปแตนซ์ (susceptance) ท้ัง แอดมติ แตนซ์ ความนาไฟฟ้า และซัสเซปแตนซ์ มีหน่วยเป็น ซีเมนส์ (หรอื mhos)

121 5. กฎพ้ืนฐาน เช่น กฎของโอห์ม และกฎของเคอร์ชอฟฟ์ สามารถนามาใช้ในการวิเคราะห์วงจร ac ได้เชน่ เดยี วกับในวงจร dc 6. การรวมคา่ อิมพีแดนซส์ มมูลสาหรบั อิมพีแดนซ์อนุกรมทาได้โดยการบวกคา่ อิมพีแดนซ์แต่ละตัวเข้า ด้วยกนั ขณะที่วงจรขนานทาได้โดยการบวกค่าแอดมิตแตนซ์แตล่ ะตวั เขา้ ดว้ ยกัน 7. การแปลงรูปโครงข่ายระหวา่ งแบบวายกบั แบบเดลตา ทาไดด้ ังน้ี การแปลงโครงข่ายแบบ Y- การแปลงโครงข่ายแบบ  -Y Za  Z1Z2  Z2Z3  Z3Z1 Z1  ZbZc Z1 Za  Zb  Zc Zb  Z1Z2  Z2Z3  Z3Z1 Z2  ZcZa Z2 Za  Zb  Zc Zc  Z1Z2  Z2Z3  Z3Z1 Z3  ZaZb Z3 Za  Zb  Zc ในกรณที เี่ ป็นโครงข่ายแบบ -Y สมดุล สมการข้างตน้ จะเปล่ยี นเป็น Z  3ZY , ZY  1 Z  3 8. อิมพีแดนซ์สาหรับองค์ประกอบทางไฟฟ้า หาได้จาก ตัวต้านทาน ZR = R ตัวเหน่ียวนา ZL = jXL = jL และตวั เกบ็ ประจุ ZC = -jXC = 1/jC 9. ตวั อย่างการประยกุ ตใ์ ชท้ าง ac ในบทน้ยี กตวั อยา่ งวงจรบรดิ จท์ าง ac 9.11 แบบฝึกหัดทำ้ ยบท 9.1 หาขนาด (Im), มมุ เฟส (), ความถเ่ี ชิงมมุ (), คาบเวลา (T) และความถ่ี (f) จาก i(t)  5sin(4t  60) A ตอบ Im  5 A  = -60   12.56 rad/s T  0.5 s f  2 Hz 9.2 หามุมเฟสระหวา่ ง i1   4sin(377t  25) A และ i2  5cos(377t  40) A ตอบ i1 lead i2  155

122 9.3 หาจานวนเชิงซอ้ นจาก ก) [(5  j2)(1  j4)  560] * และ ข) (10  j5)  340  1030 -3  j4 ตอบ ก) 15.50  j13.67 ข) 8.3  j2.21 9.4 แปลงสญั ญาณรูปไซน์ใหอ้ ยู่ในรูปเฟสเซอร์ จาก ก) v  -7cos(2t  40) และ ข) i  4sin(10t 10) ตอบ ก) V  7220 V ข) I  4 80 A 9.5 หาสญั ญาณรูปไซน์จากเฟสเซอร์ ก) V  1030 V และ ข) I  j(5  j12) A ตอบ ก) v(t)  10cos(t  210) V และ ข) i(t)  13cos(t  22.61) A 9.6 ถ้าv1(t)  10sin(t  30) V และv2 (t)  20cos(t  45) V หา V  v1(t)  v2 (t) ตอบ v  10.56cos(t  30.94) V 9.7 หา v(t) จาก 2 dv  5v  10 v dt  20cos(5t  30) โดยใช้เฟสเซอร์ dt ตอบ v(t)  2.12cos(5t  87.99) V 9.8 ถ้าแรงดันไฟฟ้า v = 6 cos(100t - 30◦) V จ่ายให้กับตัวเก็บประจุ ขนาด C 50 F หากระแสไฟฟ้า ทไี่ หลผา่ น C ในสภาวะคงตวั ตอบ i(t)  30cos(100t  60) mA 9.9 หา v(t) และ i(t) จากวงจรดงั ภาพ 9.28 i 4 v s  5 sin 10 t V  0.2 H V  ภำพ 9.28 สาหรบั แบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อที่ 9.9 ตอบ v(t)  2.22cos(10t  26.56)  2.22sin(10t  63.44) V i(t)  1.11cos(10t 116.56)  1.11sin(10t  26.56) A

123 9.10 หาอนิ พตุ อิมพีแดนซ์ของวงจร ถ้ากาหนดใหว้ งจรทางานท่ี  = 10 rad/s จากวงจรดังภาพ 9.29 2 mF 20  2H Zin  4 mF 50  ภำพ 9.29 สาหรับแบบฝึกหัดท้ายบทข้อที่ 9.10 ตอบ Zin  32.37  j73.76  9.11 หา vo(t) จากวงจรดังภาพ 9.30 0.5 H 10cos(10t  75) V 10  1 F  20 Vo  ภำพ 9.30 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อท่ี 9.11 ตอบ vo (t)  7.11cos(10t  60) V 9.12 หากระแส I จากวงจรดงั ภาพ 9.31 I 300 V j4   j3 8 j5  5 10   j2 ภำพ 9.31 สาหรับแบบฝกึ หัดท้ายบทข้อท่ี 9.12 ตอบ I  V  300  6.363.81 A ZT 4.710  3.810

124 รำยกำรเอกสำรอ้ำงอิง Alexander, C. K. and Sadiku, N.O. M. (2009 ). Fundamental of Electric Circuit. (4th ed). New York, NY: McGraw-Hill. Hayt, W. H. Jr. and Kimmerly, J. E. (1993). Engineering Circuit Analysis. (5th ed). Singapore: McGraw-Hill. Peebles, Z. P. Jr. and Giuma A. T. (1991). Principles of Electrical Engineering. Singapore: McGraw-Hill. Rizzoni, G. (2003). Principles and Applications of Electrical Engineering. (4th ed). New York, NY: McGRAW-Hill. Steven, S. E. and William, O. G. (1993). Electrical Engineering : An Introduction. (2nd ed). Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. ธนากร นา้ หอมจันทร.์ (2554). ทฤษฎวี งจรไฟฟ้า. ปทมุ ธานี: มหาวิทยาลัยอสี เทริ น์ เอเชยี . อภินนั ท์ อรุ โสภณ. (2554). วงจรไฟฟ้า. กรุงเทพฯ: สานกั พิมพ์ ดวงกมลพับลิชช่งิ .

บทที่ 10 การวเิ คราะห์วงจรในสภาวะคงตวั ไฟฟา้ กระแสสลับ 10.1 บทนา จากบทท่ี 9 ที่ได้อธิบายถึงการวิเคราะห์วงจรในสภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสสลับ โดยใช้เฟสเซอร์ในการ วิเคราะห์วงจร ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสามารถใช้กฎพ้ืนฐาน ได้แก่ กฎของโอห์ม และกฎของเคอร์ชอฟฟ์ มาใช้ใน การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้ โดยในบทนี้จะแสดงให้เห็นการใช้ระเบียบวธิ ีวิเคราะหว์ งจร และทฤษฎี วงจร มาชว่ ยในการวเิ คราะหว์ งจรไฟฟา้ กระแสสลับ การวิเคราะหว์ งจรไฟฟา้ กระแสสลบั มขี ้ันตอนในการวเิ คราะห์ 3 ขนั้ ตอน ดังน้ี 1. แปลงองคป์ ระกอบทางไฟฟ้าของวงจรให้อย่ใู นโดเมนของความถหี่ รือเฟสเซอร์ 2. วิเคราะหว์ งจรโดยใช้ระเบยี บวิธีวิเคราะหว์ งจร และทฤษฎีวงจร 3. แปลงผลลัพธ์ทีไ่ ด้จากโดเมนของเฟสเซอร์ใหอ้ ยูใ่ นโดเมนของเวลา กรณีที่โจทย์กาหนดค่าขององค์ประกอบต่าง ๆ ของวงจรมาในโดเมนของความถี่แล้ว จะสามารถ วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับโดยเรมิ่ จากข้ันตอนที่ 2 ซ่ึงสามารถทาได้เช่นเดียวกับการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า กระแสตรง แต่ในกรณีวงจรไฟฟ้ากระแสสลับน้ัน ค่าขององค์ประกอบต่าง ๆ ในวงจรจะอยู่ในรูปจานวน เชงิ ซ้อน ในบทน้ีจะอธิบายถึงการวิเคราะห์วงจรกระแสสลับในสภาวะคงตัวโดยใช้ ระเบียบวิธีแรงดันโนด ระเบียบวิธีกระแสเมซ ทฤษฎีการทับซ้อน การแปลงแหล่งจ่าย วงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน วงจรออปแอมป์ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ การวิเคราะห์วงจรในสภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสสลับโดยใช้ PSpice และการประยุกต์ใช้การวเิ คราะหว์ งจรในสภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสสลับ ตามลาดับ 10.2 ระเบียบวธิ ีแรงดันโนด การวิเคราะห์วงจร ac ด้วยระเบียบวิธีแรงดันโนด จะใช้กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ และกฎของโอห์ม เข้ามาชว่ ยในการวิเคราะห์วงจร เช่นเดยี วกับการวิเคราะหว์ งจร dc ดงั ตวั อย่าง 10.1 และ 10.2 ตัวอย่าง 10.1 หา ix โดยใช้ระเบยี บวิธีแรงดันโนด จากวงจรดังภาพ 10.1 10  0.5 H 5cos 4t A ix 2ix 1H 0.1 F ภาพ 10.1 สาหรับตวั อย่าง 10.1

126 วธิ ีทา ข้ันตอนที่ 1: จากภาพ 10.1 แปลงให้อยใู่ นโดเมนความถ่หี รอื เฟสเซอร์ ซ่งึ แสดงดงั ภาพ 10.2 โดยที่ 5cos4t A  50 A,   4 0.5 H  jL  j2  1 H  jL  j4  0.1 F  1   j2.5  jC 50 A 10  V1 j2  V2 j4    4 rad/s Ix  j2.5  2I x ภาพ 10.2 สาหรับตัวอยา่ ง 10.1 ข้ันตอนที่ 2: วิเคราะหว์ งจร จากภาพ 10.2 ใช้ KCL ท่โี นด V1; 50  V1  V1  V2  j2.5 j2 หรือ  j0.1V1  j0.5V2  5 (10.1.1) KCL ท่โี นด V2; 2I x  V1  V2  V2 (10.1.2) j2 j4 (10.1.3) โดยท่ี Ix  V1  j2.5 ดงั นัน้ j0.3V1  j0.75V2  0 จากสมการ (10.1.1) และ (10.1.2) จะได้  j0.1 j0.5 V1   5  j0.3 j0.75V2  0 ดเี ทอรม์ ิแนนท์สมการ (10.1.3) จะได้    j0.1 j0.5  0.225 j0.3 j0.75

127 1  5 j0.5  j3.75, 2   j0.1 5   j1.5 0 j0.75 j0.3 0 V1  1  j3.75  16.6690 V  0.225 V2  2   j1.5  6.66  90 V  0.225 ดงั นั้น Ix  V1  16.6690  6.66180 A  j2.5 2.5  90 ขน้ั ตอนท่ี 3: แปลงผลลพั ธท์ ี่ได้ให้อยใู่ นโดเมนของเวลา จะได้ ix (t)  6.66cos(4t  180) A ตัวอย่าง 10.2 หา V1 และ V2 จากวงจรดังภาพ 10.3 1230 V V1 4  V2 40 A j6   j3  12  ภาพ 10.3 สาหรับตัวอยา่ ง 10.2 วิธีทา จากภาพ 10.3 โนด V1 และ V2 คอื ซูเปอรโ์ นด แสดงดงั ภาพ 10.4 Supernode V1 V2 40 A j6  j3 12  ภาพ 10.4 สาหรับตวั อยา่ ง 10.2 จากภาพ 10.4 KCL ท่ซี ูเปอร์โนด; 4  V1  V2 3  V2 j6 j 12

128 หรอื 48   j2V1  (1 j4)V2 (10.2.1) โดยแรงดันท่ีซูเปอรโ์ นด V1  V2 1230 (10.2.2) แทนสมการ (10.2.2) ใน (10.2.1) จะได้ 48  24  60  (1  j2)V2  V2  18.63  33.44 V ดงั น้ัน V1  V2 1230  26.27  9.32 V 10.3 ระเบยี บวิธกี ระแสเมซ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยระเบียบวิธีกระแสเมซ จะใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ และกฎของโอห์ม เข้ามาชว่ ยในการวเิ คราะหว์ งจร ดงั ตวั อยา่ ง 10.3 และ 10.4 ตวั อย่าง 10.3 หา Io โดยใช้ระเบียบวิธกี ระแสเมซ จากวงจรดงั ภาพ 10.5 4 30 A Io I3  j2 j10  1260 V I2 8 I1  j2 ภาพ 10.5 สาหรบั ตวั อยา่ ง 10.3 วธิ ีทา KVL เมซ I1; (8  j10  j2)I1  ( j2)I2  j10I3  0 (10.3.1) (10.3.2) KVL เมซ I2; (4  j2  j2)I2  ( j2)I1  ( j2)I3  1260  0 (10.3.3) จากเมซ I3 ซง่ึ I3 = 3 A แทนในสมการ (10.3.1) และ (10.3.2) จะได้ (8  j8)I1  j2I2  j30 j2I1  (4  j4)I2  6  j16.39

129 จาก (10.3.3) จะได้ 8  j8 j2 I1    j30  (10.3.4)  j2 4  j4I2  6  j16.39 ดเี ทอรม์ ิแนนทส์ มการ (10.3.4) จะได้   8 j8 j2  32(1 j)(1 j)  4  68 j2 4  j4 2  8  j8 j30   23.06 j179.01  180.4897.34 j2 6  j16.39 I2  2  180.4897.34  2.6597.34 A  68 ดงั นน้ั Io  I3  I2  3 - 2.6597.34  4.23  38.19 A ตัวอย่าง 10.4 หา Vo โดยใช้ระเบียบวธิ ีกระแสเมซ จากวงจรดังภาพ 10.6  j4  40 A 6 j5  8 100 V  j2  30 A Vo  ภาพ 10.6 สาหรับตัวอยา่ ง 10.4 วิธที า จากภาพ 10.6 เมซ I3 และ I4 คือ ซูเปอร์เมซ แสดงดงั ภาพ 10.7 A Supermesh  j8 I3 I4 5 50 A 8 j5  I1  j2  30 A Vo I2 100 V  ภาพ 10.7 สาหรับตัวอย่าง 10.4

130 KVL เมซ I1; I1  3 A (10.4.1) KVL เมซ I2; 10  j3I2  j2I1  j5I4  0 (10.4.2) (10.4.3) หรอื  j2I1  j3I2  j5I4  10 (10.4.4) KVL ซเู ปอรเ์ มซ; (8  j8)I3  8I1  (5  j5)I4  j5I2  0 (10.4.5) KCL ที่โนด A; I3  I4  5 แทนสมการ (10.4.1) ใน (10.4.2) และแทนสมการ (10.4.1), (10.4.4) ใน (10.4.3) จะได้ j3I2  j5I4  j6  j5I2  (13  j3)I4  16  j40 จาก (10.4.5) จะได้  j3  j5 I2    j6   j5 13  j3I4   16  j40 ดีเทอรม์ ิแนนทส์ มการ (10.4.6) จะได้  j3  j5  (9  j39)  (25)  16  j39  j5 13  j3 2  j6  j5  (18  j78)  (200  j80) 16  j40 13  j3  218  j2 I2  2  218  j2  5.1767.17 A  16  j39 Vo   j2(I1  I2 )   j2(3  5.1767.17)  9.72 11.87 V 10.4 ทฤษฎกี ารทบั ซอ้ น ทฤษฎีการทับซ้อนสามารถใช้ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้เช่นเดียวกับในวงจรไฟฟ้า กระแสตรง ดงั แสดงในตัวอยา่ ง 10.5 และ 10.6

131 ตวั อยา่ ง 10.5 หา Io โดยใช้ทฤษฎีการทับซอ้ น จากวงจรดงั ภาพ 10.8 4 60 A Io  j2 1290 V j10  8  j2 ภาพ 10.8 สาหรบั ตัวอย่าง 10.5 วิธีทา จากภาพ 10.8 มีแหล่งจา่ ย 2 ชดุ ดงั น้ัน Io  I'o  I'o' (10.5.1) กาหนดให้ I’o และ I’’o คอื กระแส Io จากแหล่งจ่ายแรงดันและกระแส ตามลาดบั I’o หาไดจ้ ากภาพ 10.9 4 I ' o j10   j2 1290 V 8  j2 ภาพ 10.9 สาหรับตัวอยา่ ง 10.5 ให้ Z  ( j2) //(8  j10)  0.25  j2.25  ดงั นน้ั I’o จะเท่ากบั I'o   4  j12 Z   4.25 j12  1.40  j1.40 A (10.5.2) j2   j4.25 I’’o หาได้จากภาพ 10.10

132 4 60 A I '' 8 o I3  j2 j10  I2 I1  j2 ภาพ 10.10 สาหรบั ตัวอย่าง 10.5 KVL เมซ I1; (8  j8)I1  j2I2  j10I3  0 (10.5.4) (10.5.5) KVL เมซ I2; j2I1  (4  j4)I2  j2I3  0 (10.5.6) KVL เมซ I3; I3  6 A (10.5.7) แทนสมการ (10.5.6) ในสมการ (10.5.5) จะได้ (10.5.8) j2I1  (4  j4)I2  j12  0 หรือ I1  (2  j2)I2  6 แทนสมการ (10.5.6) และ (10.5.7) ในสมการ (10.5.4) จะได้ (8  j8)[(2  j2)I2  6]  j60  j2I2  0 หรอื I2  108  j48  3.17  j1.40 A 34 ดงั นัน้ I'o'  I2  3.17  j1.40 A จากสมการ (10.5.1), (10.5.2) และ (10.5.8) จะได้ Io  I'o  I'o'  (1.40  j1.40)  (3.17  j1.40)  1.77 A

ตัวอย่าง 10.6 หา vo โดยใช้ทฤษฎกี ารทบั ซ้อน จากวงจรดังภาพ 10.11 133 12 V 2 H 1 4 12 V 2sin5t A vo  0.1 F 10cos2t V ภาพ 10.11 สาหรบั ตวั อย่าง 10.6 วธิ ีทา จากภาพ 10.11 วงจรประกอบด้วย 3 แหล่งจ่าย ฉะน้นั vo  v1  v2  v3 v1 หาไดจ้ ากภาพ 10.12 ดังน้ี 1 4  v1  ภาพ 10.12 สาหรับตวั อยา่ ง 10.6  v1  1 1 4 (12)  12 V  หา v2 ได้จากภาพ 10.13 ดังนี้ j4  1 4  v2   j5 100 V ภาพ 10.13 สาหรบั ตวั อยา่ ง 10.6 10cos2t V  100 V,   2 rad/s 2 H  jL  j4  0.1 F  1   j5  jC

134 จากภาพ 10.13 จะได้ Z   j5 // 4  2.439  j1.951  ดงั น้ัน V2  1 1 Z (100)  100  2.5329.56 V  3.439  j1.951 หรือ v2  2.53cos(2t  29.56) V หา v3 ได้จากภาพ 10.14 ดงั น้ี j10  1 4  v3   j2 2  90 A ภาพ 10.14 สาหรบั ตัวอย่าง 10.6 2sin5t V  290 V,   5 rad/s 2H  jL  j10  0.1F  1   j2  jC จากภาพ 10.14 เมื่อพิจารณาแรงดนั ตกคร่อมตัวต้านทาน R 1  หรอื v3 ซง่ึ เป็นผลตอบสนองจากแหล่งจ่าย กระแสไฟฟ้า 2sin5t A แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า 10cos2t V และแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรง 12 V จะ ถูกปดิ โดยการลัดวงจร และจะพบว่าไม่มีกระแสไฟฟ้าไหลผา่ นตวั ต้านทาน R 1  จะได้ V3  0 V ดงั น้นั vo (t)  12  2.53cos(2t  29.56) V 10.5 การแปลงแหล่งจา่ ย การแปลงแหลง่ จา่ ยในวงจรไฟฟ้า ac สามารถแปลงได้เชน่ เดยี วกบั ในวงจรไฟฟ้า dc ดงั น้ี Vs  ZsIs  Is  Vs (10.1) Zs

135 ZS a a V S I S Z S b VS b VS  Z SIS ZS IS  ภาพ 10.15 การแปลงแหล่งจา่ ย ตัวอย่าง 10.7 หา Vx ด้วยวธิ กี ารแปลงแหล่งจา่ ย จากวงจรดงั ภาพ 10.16 5  4   j13  1590 V j4   2 Vx 3  ภาพ 10.16 สาหรับตวั อย่าง 10.7 วิธที า จากภาพ 10.16 แปลงแหลง่ จ่ายแรงดนั เป็นแหล่งจ่ายกระแสได้ ดงั ภาพ 10.17 โดยท่ี Is  1590  390  j3 A 5 4   j13  IS  j3 A j4   5 2 Vx 3  ภาพ 10.17 สาหรบั ตวั อย่าง 10.7 จากภาพ 10.17 จะได้ Z1  5 //(3  j4)  5(3  j4)  2.5  j1.25  8 j4 และจากภาพ 10.17 แปลงแหลง่ จ่ายกระแสเป็นแหลง่ จา่ ยแรงดันจะได้ ดังภาพ 10.18 โดยที่

136 Vs  IsZ1  j3(2.5  j1.25)   3.75 j7.5 V 2.5  j1.25  4   j13  VS 3.75 j7.5 V  2 Vx  ภาพ 10.18 สาหรับตวั อย่าง 10.7 จากภาพ 10.18 จะหา Vx ได้ ดังนี้ Vx  2  2.5  2 4  j13 (3.75  j7.5)  1.15170.67 V j1.25  10.6 วงจรสมมลู ของเทวินินและนอร์ตัน ทฤษฎีของเทวินนิ และนอร์ตันสามารถใชว้ ิเคราะหว์ งจร ac ได้เช่นเดยี วกบั ในวงจร dc โดยวงจรสมมูล ของเทวินินและนอร์ตนั ในโดเมนของเฟสเซอร์ แสดงดังภาพ 10.19 และ 10.20 โดยมคี วามสัมพันธ์ ดังนี้ VTh  ZNIN , ZTh  ZN (10.2) Linear a Z Th a Circuit  VTh b b ภาพ 10.19 วงจรสมมูลของเทวนิ นิ a a ZN Linear  IN b Circuit b ภาพ 10.20 วงจรสมมลู ของนอรต์ ัน

137 ตวั อยา่ ง 10.8 หาวงจรสมมูลเทวินินท่ีข้วั a-b จากวงจรดงั ภาพ 10.21 4 d  j6 220 60 V e ab c 8 j12  f ภาพ 10.21 สาหรบั ตัวอยา่ ง 10.8 วธิ ีทา จากภาพ 10.21 หา ZTh ไดโ้ ดยลดั วงจรแหลง่ จ่ายแรงดนั ดังภาพ 10.22 f,d f,d 8  j6 4  j12  ab  e Z Th c ภาพ 10.22 สาหรบั ตัวอย่าง 10.8 เมื่อ Z1   j6 // 8   j68  2.88  j3.84  8 j6 Z2  4 // j12  j12  4  3.6  j1.2  4  j12 ดงั นั้น ZTh จะเทา่ กบั ZTh  Z1  Z2  6.48  j2.64  หา VTh ไดจ้ ากวงจรดงั ภาพ 10.23 เมือ่ I1  22060 A, I2  22060 A 8  j6 4  j12 หา VTh โดย KVL เมซ bcdeab จะได้ VTh  4I2  ( j6)I1  0 หรอื VTh  4I2  j6I1  88060  132060  90 4  j12 8  j6

138 d 22060 V  j6 I1 I2 4 e ab c 8  VTh  j12  f ภาพ 10.23 สาหรับตัวอยา่ ง 10.8 ดงั น้นั VTh  69.62 11.56  132186.86   62.85  j29.71  69.51 - 154.69 V จากวงจรดังภาพ 10.21 จะไดว้ งจรสมมลู ของเทวินิน ดงั ภาพ 10.24 Z Th a 6.48  j2.64  VTh b 69.51 154.69 V ภาพ 10.24 สาหรบั ตัวอย่าง 10.8 ตัวอยา่ ง 10.9 หาวงจรสมมูลเทวินนิ ที่ข้ัว a-b จากวงจรดงั ภาพ 10.25 4 j4  a 120 A Io 0.2Io 2  j2 b ภาพ 10.25 สาหรับตัวอย่าง 10.9 วธิ ที า หา VTh ไดจ้ ากวงจรดังภาพ 10.26 KCL โนด 1; 12  Io  0.2Io  Io  10 A

139 V1 0.2Io V2 a Io 4  j4  0.2Io  120 A 2 j2 I VTh  b ภาพ 10.26 สาหรบั ตวั อย่าง 10.9 KVL เมซ I;  Io (2  j2)  0.2Io (4  j4)  VTh  0 หรือ VTh  10(2  j2)  2(4  j4)  12  j28 V ดงั น้นั VTh  30.46  66.80 V (10.9.1) หา ZTh ไดจ้ ากวงจรดังภาพ 10.27 4  j4  VS a Io  0 .2 Io VS 2 j2 IS  60 A b ภาพ 10.27 สาหรบั ตัวอยา่ ง 10.9 จากภาพ 10.27 KCL โนด Vs; 6  Io  0.2Io  Io  5 A KVL เมซ Io; Vs  Io (4  j4  2  j2)  5(6  j2) V ดงั นน้ั Z Th  Vs  5(6  j2)  5  j0.33  (10.9.2) Is 6 จากสมการ (10.9.1) และ (10.9.2) สามารถสรุปได้ว่า วงจรสมมูลของเทวินินของภาพ 10.25 คือ มีแหล่งจ่าย แรงดนั ของเทวนิ ิน VTh ขนาด 30.46-66.80o V และอิมพแี ดนซส์ มมูลของเทวินนิ ZTh ขนาด 5 + j0.33 

140 ตัวอยา่ ง 10.10 หา Io โดยใช้ทฤษฎขี องนอรต์ นั จากวงจรดงั ภาพ 10.28 a 4  50 A Io 8  j2 20  5090 V 10  j20  j4  b ภาพ 10.28 สาหรบั ตวั อยา่ ง 10.10 วธิ ีทา จากภาพ 10.28 หา ZN ไดจ้ ากวงจรดังภาพ 10.29 ซง่ึ ZN  4  a 4  ZTh 8  j2 10  j4  b ภาพ 10.29 สาหรบั ตัวอย่าง 10.10 หา IN ได้ จากวงจรดงั ภาพ 10.30 I2 I3 Supermesh I2 50 A a 4 IN 8  j2 I3 10  5090 V I1 j4  b ภาพ 10.30 สาหรับตวั อยา่ ง 10.10