วงจรไฟฟ้า 2

241 P1  P2  VLIL[cos(  30)  cos(  30)]  VLIL[cos cos 30  sin sin30  cos cos 30  sin sin30]   VLIL2sin30sin ดงั น้ัน P1  P2  VLIL sin (12.68) จาก 2sin30o = 1 เมอื่ เปรียบเทียบกับสมการ (12.68) และ (12.51) จะพบว่า ผลต่างของค่ากาลังไฟฟา้ ท่ีวัตต์ มเิ ตอร์ทง้ั 2 ตวั อ่านได้ คือ ค่าทีเ่ ปล่ียนแปลงไปตามกาลงั ไฟฟา้ รีแอกทีฟรวม หรอื QT  3(P1  P2 ) (12.69) จากสมการ (12.67) และ (12.69) ค่ากาลังไฟฟา้ ปรากฏรวมจะได้จาก ST  PT2  QT2 (12.70) หารสมการ (12.69) ดว้ ยสมการ (12.67) จะไดค้ ่าแทนเจนต์ของมมุ ค่าตวั ประกอบกาลังไฟฟ้า เปน็ tan  QT  3 P2  P1 (12.71) PT P2  P จากสมการ (12.71) สามารถหาค่าตัวประกอบกาลังไฟฟ้า pf ได้ จาก cos ดังนั้น จะพบว่า การ วัดค่ากาลังไฟฟา้ ในระบบไฟฟา้ 3 เฟส ดว้ ยวัตต์มเิ ตอร์ 2 ตวั สามารถหาค่ากาลงั ไฟฟ้าจริงรวม กาลังไฟฟ้า รี แอกทีฟรวม กาลังไฟฟ้าปรากฏรวม และค่าตัวประกอบกาลังไฟฟ้าได้ ตามสมการ (12.67) ถึง (12.71) และ สามารถหาคา่ กาลังไฟฟ้าเชงิ ซ้อนไดจ้ ากสมการ (12.67) และ (12.69) จามสมการข้างตน้ สามารถสรปุ ได้ว่า 1. ถ้า P2 = P1 เป็นโหลดความต้านทาน 2. ถ้า P2 > P1 เป็นโหลดความเหนี่ยวนาไฟฟา้ 3. ถ้า P2 < P1 เป็นโหลดความจไุ ฟฟา้ ถึงแม้ว่าผลการหาค่ากาลังไฟฟ้าข้างต้นจะหามาจากโหลดสมดุลต่อแบบวายก็ตาม สมการเหล่าน้ัน สามารถนาไปใช้หาค่ากาลังไฟฟ้าสาหรับโหลดสมดุลต่อแบบเดลตาได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม วิธีวัตต์มิเตอร์ 2 ตัว ไม่สามารถใช้วัดค่ากาลังไฟฟ้าสาหรับระบบไฟฟ้า 3 เฟส 4 สาย ที่มีกระแสไหลในสายนิวทรัลเป็นศูนย์ได้ แตส่ ามารถใช้วิธีวตั ต์มเิ ตอร์ 3 ตวั สาหรับการวดั ค่ากาลังไฟฟ้าในระบบไฟฟ้า 3 เฟส 4 สายได้ ตัวอย่าง 12.13 วัตต์มิเตอร์ 3 ตัว W1, W2 และ W3 ต่อเข้ากับเฟส a, b และ c ตามลาดับ สาหรับวัดค่า กาลังไฟฟ้ารวมที่โหลดดูดกลืน ถ้าโหลดท่ีต่อแบบวายไม่สมดุลตามตัวอย่าง 12.9 (ดูภาพ 12.27 ประกอบ) คานวณหา ก) ค่าทีว่ ัตต์มิเตอร์ท้ังสามอา่ นได้ และ ข) คา่ กาลงั ไฟฟ้ารวมท่ดี ูดกลืนโดยโหลด

242 วิธีทา ส่วนหน่ึงของโจทย์น้ีได้คานวณไปแล้วในตัวอย่าง 12.9 สมมุติว่าวัตต์มิเตอร์แต่ละตัวต่อเข้ากับระบบ ตามภาพ 12.36 I a W1  A  In VAN Z A  15 VCN I b  N Ic  ZC  6  j8  VBN W2  ZB  10  j5 C B W3 ภาพ 12.36 สาหรับตวั อยา่ ง 12.13 ก) จากตัวอยา่ ง 12.9 VAN  2200, VBN  220120, VCN  220 120 และ Ia  14.660, Ib  19.6793.44, Ic  22  66.78 กาลังไฟฟา้ ที่วัตตม์ ิเตอรแ์ ต่ละตัวอ่านได้ ดงั นี้ P1  Re[V AN Ia *]  VANIa cos(VAN Ia )  22014.66cos(0  0)  3,225.2 W P2  Re[VBNIb *]  VBNIb cos(VBN Ib )  22019.67cos(120  93.44)  3,870.71 W P3  Re[VCN Ic *]  VCNIc cos(VCN Ic )  22022cos(120  66.78)  2,897.92 W ข) กาลังไฟฟา้ รวมที่ดดู กลืนโดยโหลด คอื PT  P1  P2  P3  3,225.2 3,870.71 2,897.92  9,993.83 W ตรวจสอบคา่ กาลงั ไฟฟ้าทโี่ หลดดูดกลืนจากตวั ตา้ นทานแต่ละตัว ตามภาพ 12.36 ได้ดังนี้ PT  | Ia |2 (15) | Ib |2 (10) | Ic |2 (6)  14.662 (15) 19.672 (10)  222 (6)  3,223.73 3,869.08  2904  9996.82 W ซ่ึงเป็นค่าเดียวกนั กับการคานวณโดยวธิ ีวัตตม์ ิเตอร์ 3 ตวั

243 ตัวอย่าง 12.14 จากการวัดค่ากาลังไฟฟา้ ในระบบไฟฟา้ 3 เฟสดว้ ยวธิ ีใช้วตั ต์มิเตอร์ 2 ตวั อา่ นคา่ ได้จากวัตต์ มิเตอร์ P1 = 1560 W และ P2 = 2100 W เม่ือต่อวัตต์มิเตอร์เข้ากับโหลดแบบเดลตา ถ้าให้แรงดันไฟฟ้าไลน์ (แรงดันไฟฟ้าในสาย) เป็น 2100 V คานวณหา ก) ค่ากาลังไฟฟ้าเฉลี่ยต่อเฟส ข) ค่ากาลังไฟฟ้ารีแอกทีฟต่อ เฟส ค) คา่ ตวั ประกอบกาลงั ไฟฟ้า และ ง) คา่ อิมพแี ดนซ์ของแตล่ ะเฟส วธิ ที า ก) ผลรวมของกาลงั ไฟฟา้ เฉล่ยี จากวตั ต์มเิ ตอร์ จากโหลด 3 เฟสตอ่ แบบเดลตา PT  P1  P2  1560  2100  3660 W กาลงั ไฟฟา้ เฉลี่ยต่อเฟส จะได้ PP  1 PT  1220 W 3 (ข) กาลงั ไฟฟ้ารีแอกทฟี รวม คือ QT  3(P2  P1)  3(21001560)  935.3 VAR กาลงั ไฟฟา้ รแี อกทีฟต่อเฟส จะได้ QP  1 QT  311.77 W 3 ค) มมุ ของตัวประกอบกาลังไฟฟา้   tan1 QT  tan1 935.3  14.33 PT 3660 ดงั นั้น ตัวประกอบกาลังไฟฟ้า คอื cos  0.9689 (lagging) เน่ืองจาก QT เปน็ บวก pf จึงเปน็ แบบลา้ หลัง หรือ P2 > P1 ง) ค่าอิมพีแดนซ์ของแต่ละเฟส คือ ZP = ZP ซ่ึง  ของอิมพีแดนซ์ คือ  ของตัวประกอบกาลังไฟฟ้า pf น่ันคือ 14.33o ZP  VP IP เมื่อโหลดต่อแบบเดลตา ดังนั้น แรงดันไฟฟ้าที่เฟสมีค่าเท่ากับแรงดันไฟฟ้าในสาย จะได้ VP = VL = 220 V จากสมการ (12.46) Pp  VpIp cos  Ip  1220  5.723 A 220 0.9689 ดังนั้น ZP  VP  220  38.44  IP 5.723 และ ZP  38.4414.33  ตัวอย่าง 12.15 โหลดไฟฟ้าสามเฟสแบบสมดุลในภาพ 12.35 มีค่าอิมพีแดนซ์เป็น ZY = 8+j6  ต่อเฟสถ้า โหลดน้ตี ่ออย่กู ับแรงดนั ไฟฟา้ ไลน์ 208 V หาคา่ ท่ีวัตตม์ ิเตอร์ W1 และ W2 อา่ นได้ และหาคา่ PT และ QT วธิ ีทา ค่าอิมพแี ดนซต์ อ่ เฟส คอื ZY  8  j6  1036.87 

244 ดังน้ัน มุม pf คือ 36.87o เนื่องจากแรงดันไฟฟ้าไลน์ คือ VL = 208 V ดังนั้น กระแสไลน์หรือกระแสในสาย จะได้ IP  VP  208 / 3  12 A | ZY | 10 และ P1  VLIL cos(  30)  20812cos(36.87  30)  980.48 W P1  VLIL cos(  30)  20812 cos(36.87  30)  2478.1 W ดังน้ัน วัตต์มิเตอร์ตัวที่ 1 จะอ่านได้ 980.48 W และวัตต์มิเตอร์ตัวท่ี 2 จะอ่านได้ 2478.1 W เนื่องจาก P2 > P1 โหลดจงึ เป็นโหลดความเหน่ียวนาไฟฟา้ ซง่ึ เหน็ ไดช้ ัดเจนจากโหลด ZY ดังนนั้ PT  P1  P2  3.459 kW และ QT  3(P2  P1 )  3(1497.6)  2.594 kVAR 12.10.2 ตัวอยา่ งมาตรการการอนรุ กั ษ์พลงั งานไฟฟา้ ระบบไฟฟา้ 3 เฟส จากที่ได้อธิบายถึงวิธีการวัดค่ากาลังไฟฟ้า การคานวณค่ากาลังไฟฟ้า การคานวณค่าใช้จ่ายพลังงาน ไฟฟ้า คานวณค่าใช้จ่ายพลังงานไฟฟ้าจากหนังสือแจ้งค่าไฟฟ้าในหัวข้อที่ผ่านมาแล้ว ในหัวข้อน้ีจะเป็นการ ยกตัวอย่างแนวทางในการอนุรักษ์พลังงานไฟฟ้า เพื่อเป็นการลดใช้พลังงาน หรือใช้พลังงานไฟฟ้าอย่างมี ประสิทธภิ าพ แนวทางในการอนรุ ักษ์พลงั งานหรอื การใช้พลังงานเชงิ อนรุ ักษ์ที่สาคญั (Energy Vision, 2013) ไดแ้ ก่ 1. การใช้พลงั งานอยา่ งประหยัดและคุม้ คา่ โดยการสรา้ งค่านยิ มและจิตใตส้ านึกการใชพ้ ลังงาน 2 การใช้พลังงานอยา่ งรู้คุณค่าจะต้องมีการวางแผนและควบคุมการใชอ้ ย่างเต็มประสิทธิภาพและเกดิ ประโยชน์สูงสุดมีการลดการสูญเสียพลังงานทุกขั้นตอน มีการตรวจสอบและดูแลการใช้เครื่องใช้ไฟฟ้า ตลอดเวลา เพอ่ื ลดการรวั่ ไหลของพลงั งาน เป็นต้น 3. การใชพ้ ลังงานทดแทนโดยเฉพาะพลังงานที่ได้จากธรรมชาติ เช่น พลงั งานแสงอาทติ ย์ พลงั งานลม พลังงานน้า และอน่ื ๆ 4. การเลือกใช้เคร่ืองมือและอุปกรณ์ท่ีมีประสิทธิภาพสูง เช่น เคร่ืองใช้ไฟฟ้าเบอร์ 5 หลอดผอม ประหยดั ไฟ เป็นต้น 5. การเพิ่มประสิทธิภาพเชือ้ เพลิง เช่น การเปล่ียนแปลงโครงสร้างทาใหเ้ ช้อื เพลิงใหพ้ ลังงานได้มากขึน้ 6. การหมุนเวยี นกลบั มาใชใ้ หม่ โดยการนาวัสดุทชี่ ารุดนามาซ่อมใช้ใหม่ การลดการทิง้ ขยะท่ีไม่จาเป็น หรอื การหมุนเวยี นกลับมาผลิตใหม่ (Recycle) ตัวอย่างแนวทางการอนุรักษ์พลังงานไฟฟ้าที่เก่ียวข้องกับระบบไฟฟ้า 3 เฟส กรณีโรงสีข้าวแห่งหนึ่ง (หมายเหตุ อัตราคา่ พลังงาน พ.ศ. 2556) มดี งั นี้

245 มาตรการท่ี 1 1.1) ช่อื มาตรการ: เพ่ิมไซโลขา้ วกลอ้ งสาหรับขดั มันในช่วง off-peak 1.2) อุปกรณ์ท่ีปรบั ปรุง: ไซโล 1.3) จานวนอปุ กรณ์ท่ปี รับปรุง: 1 ชดุ 1.4) สาเหตุการปรับปรุง: เน่ืองจากโรงสีข้าวแห่งนี้มีกระบวนการขัดมันข้าวในช่วงเวลากลางวัน On Peak โดยมีค่าใช้จ่ายทาง ไฟฟ้าในกระบวนการดังกล่าวในอัตรา 3.6796 บาท/kWh ซ่ึงมีค่าที่สูงกว่าการขัดมันในช่วงเวลากลางคืน Off Peak ที่อัตรา 2.1760 บาท/kWh หากปรับเปล่ียนช่วงเวลาในการทางานจะสามารถลดค่าใช้จา่ ยทางไฟฟ้าใน กระบวนการดังกลา่ วได้ โดยเครือ่ งขดั มนั ใช้มอเตอร์ต้นกาลังขนาด 50 hp จานวน 2 เคร่ือง 40 hp จานวน 1 เครอื่ ง การเปลีย่ นชว่ งเวลาในการขัดมันเปน็ ชว่ ง Off Peak จะตอ้ งขยายความจุของไซโลเพ่ิมมากขึ้น โดยเพ่ิม ไซโลให้มคี วามจุที่ 40 ตัน เพ่ือรองรับการขดั มนั ในชว่ งเวลาดังกล่าว 1.5) รายละเอยี ดการดาเนินการปรับปรงุ 1. บนั ทกึ คา่ ใช้จ่ายพลังงานไฟฟา้ ก่อนการเปลย่ี นชว่ งเวลาขัดมัน 2. เพิ่มความจุไซโลเพ่ือรองรบั การขัดมนั ในช่วง Off Peak 3. ขัดมันในชว่ ง Off Peak 1.6) วิธีการตรวจสอบผลการประหยดั หลังปรับปรุง: ประเมนิ ผลประหยัด 1.7) แสดงวธิ กี ารคานวณประกอบ เคร่ืองขดั มันใชม้ อเตอรต์ ้นกาลงั ขนาด 50 hp จานวน 2 เครอ่ื ง 40 hp จานวน 1 เครื่อง ก่อนปรบั ปรุง (ขัดมันช่วงเวลา On Peak) ชวั่ โมงการเปดิ ใช้งาน 8 ช่วั โมง/วัน วันทางาน 300 วนั /ปี Load Factor เปอรเ์ ซ็นตก์ ารใชง้ าน 30 % หมายเหตุ : การขดั มนั ไมไ่ ด้ทาการขดั ตลอดชว่ งเวลาทางานเนอื่ งจากวัตถดุ ิบไมไ่ ดม้ ีเขา้ มาตลอดปี คดิ เป็นพลงั งานไฟฟ้าทีใ่ ช้ท้งั หมด = ((140x746) x 8 x 300 x 30 /100)/1,000 = 75,196.80 kWh/ปี ดา้ นค่าใชจ้ า่ ยกอ่ นปรบั ปรุง คา่ พลงั งานไฟฟา้ On Peak 3.6796 บาท/kWh

246 = 75,197x3.6796 = 276,694.15 บาท/ปี หลังปรับปรงุ (ขัดมันช่วงเวลา Off Peak) ชั่วโมงการเปดิ ใชง้ าน 8 ชัว่ โมง/วนั วันทางาน 300 วนั /ปี Load Factor เปอรเ์ ซน็ ต์การใชง้ าน 30 % คดิ เป็นพลงั งานไฟฟ้าทใ่ี ชท้ ั้งหมด = ((140x746) x 8 x 300 x 30 /100)/1,000 = 75,196.80 kWh/ปี ด้านค่าใช้จ่ายหลังปรับปรุง ค่าพลงั งานไฟฟา้ Off Peak 2.176 บาท/kWh = 75,197x2.176 = 163,628.24 บาท/ปี ประหยดั คา่ ใชจ้ า่ ยทางไฟฟ้า = 276,694.15-163,628.14 = 113,066 บาท/ปี สรุปมาตรการ ระยะเวลาดาเนนิ การ 1 เดือน เงินลงทนุ 30,000 บาท ผลประหยัดที่ได้ 113,066 บาท/ปี กโิ ลวตั ต์ช่ัวโมง/ปี - kWh - toe/ปี ระยะเวลาคนื ทนุ 0.27 ปี เปอร์เซน็ ต์การประหยัดพลงั งาน = (กาลงั ไฟฟ้าท่ปี ระหยดั ได้/กาลงั ไฟฟ้ารวมปี 2555)x100 - % มาตรการท่ี 2 2.1) ช่อื มาตรการ: ใช้ screw pump ทดแทน piston pump 2.2) อุปกรณ์ท่ปี รับปรงุ : screw pump ทดแทน piston pump

247 2.3) จานวนอุปกรณ์ท่ปี รับปรงุ : 3 ชุด 2.4) สาเหตุการปรบั ปรงุ : เน่ืองจากโรงสขี ้าวแหง่ นี้ ใช้เครื่องอัดอากาศแบบลูกสบู ขนาด 3 hp จานวน 1 เครอ่ื งและขนาด 5 hp จานวน 2 เคร่อื ง รวมจานวน 13 hp หรอื 10 kW ในการจา่ ยลมอดั ให้กับอุปกรณ์ตา่ งๆ ท่ีสาคัญในการผลิต ซง่ึ ในกระบวนการผลิตจาเป็นต้องใช้อากาศอัดในปริมาณมาก ปัจจุบันปริมาณลมจากเคร่ืองอัดอากาศไม่เพียงพอ ต่อการใชง้ าน รวมถึงความตอ้ งการขยายกาลงั การผลติ ในส่วนการคดั สขี องข้าวสารใน 2.5) รายละเอียดการดาเนนิ การปรบั ปรงุ 1. เกบ็ ขอ้ มลู พลังงานไฟฟา้ ของเครื่องอดั อากาศ 2. เลือกพกิ ดั เครอ่ื งอัดอากาศแบบสกรู 2.6) วธิ กี ารตรวจสอบผลการประหยัดหลงั ปรับปรุง: วิเคราะหผ์ ลประหยดั ของกาลังไฟฟ้า 2.7) แสดงวธิ กี ารคานวณประกอบ เครือ่ งอดั อากาศ สกรู 1 ชุด (11 kW) ลกู สบู 3 ชดุ (10 kW) กาลังไฟฟา้ ช่วงเคร่ืองอัดอากาศทางานชว่ งท่ี onload ( 85%) 9.35 8.50 kWonload กาลังไฟฟา้ ช่วงเครื่องอดั อากาศทางานช่วงที่ noload (22%) 2.42 0 kWnoload จานวนชั่วโมงทางานรวม 16 16 ชม./วัน ระยะเวลาท่ีเครอื่ งอดั อากาศทางานชว่ งท่ี onload (ชว่ั โมงตอ่ วัน) 8 13 tonload ระยะเวลาท่ีเคร่อื งอัดอากาศทางานช่วง noload (ช่ัวโมงต่อวนั ) 8 3 tnoload พลงั งานไฟฟ้ารวม (16 ชม.) Wt (1 วนั ) = [(Ponload x tonload)+(Pnoload x tnoload)] 94.16 110.50 kWh/วนั จานวนวนั ทางาน (วันในหนึง่ ปี) 300 300 วนั /ปี พลังงานไฟฟ้ารวม 28,248 33,150 kWh/ปี ราคาคา่ ไฟฟา้ เฉล่ยี 4.11 4.11 บาท/kWh คิดเปน็ ค่าใช้จ่าย 116,099 136,247 สามารถลดพลงั งานไฟฟ้าได้ (Wลูกสบู -Wสกรู) 4,902.00 - kWh/ปี ราคาค่าไฟฟา้ เฉลี่ย 4.11 - บาท/kWh คดิ เปน็ ค่าใช้จ่ายทปี่ ระหยดั ได้ 20,147 - บาท/ปี

248 สรปุ มาตรการ ระยะเวลาดาเนินการ 1 เดือน เงินลงทนุ 120,000 บาท ผลประหยัดทไ่ี ด้ 20,147 บาท/ปี กิโลวตั ตช์ ่ัวโมง/ปี 4,902 kWh/ปี 0.42 toe/ปี ระยะเวลาคืนทุน 6.0 ปี เปอรเ์ ซน็ ต์การประหยัดพลงั งาน 1.32 % มาตรการที่ 3 3.1) ชอ่ื มาตรการ: ปรบั ปรุง power factor 3.2) อปุ กรณ์ที่ปรบั ปรงุ : ตู้ MDB 3.3) จานวนอุปกรณ์ที่ปรบั ปรุง: 1 ชุด 3.4) สาเหตกุ ารปรับปรงุ : เน่ืองจากโรงสีข้าวแห่งนี้ มีการใช้งานหม้อแปลงไฟฟ้า จานวน 1 ชุด พิกัดติดต้ัง 500 kVA โดยไม่มี ติดตั้งอุปกรณ์ควบคุมและปรับปรุงตัวประกอบกาลังไฟฟ้า จึงทาให้เกิดค่าปรับในปี 2555 เป็นจานวนเงินถึง 18,952.15 บาท อกี ท้งั ทาใหเ้ กดิ ความสูญเสยี ในสายไฟฟ้าและขดลวดของหมอ้ แปลงไฟฟ้า 3.5) รายละเอยี ดการดาเนินการปรับปรุง 1. วดั คา่ ตวั ประกอบกาลงั ไฟฟ้าขณะใช้กาลังไฟฟ้าเต็มพกิ ัด 2. คานวณขนาดที่เหมาะสมของการติดตั้งชุดปรับปรุงตัวประกอบกาลังไฟฟ้าท้ังระบบเพ่ือให้ได้ค่าตวั ประกอบกาลงั ไฟฟ้าท่ี 0.95 3.6) วธิ กี ารตรวจสอบผลการประหยดั หลังปรับปรุง: ประเมนิ ผลประหยดั 3.7) แสดงวธิ กี ารคานวณประกอบ พกิ ัดหม้อแปลง 500 kVA กาลงั ไฟฟ้าสูญเสียในแกนเหล็ก (Core Loss) 1.05 kW กาลงั ไฟฟ้าสูญเสียในขดลวด (Copper Loss) 5.5 kW ระยะเวลาการใช้งาน 4,800 ชัว่ โมง/ปี

ค่าไฟฟ้าเฉลีย่ 4.11 249 ค่า power factor รวมปี 2555 18,952.15 กอ่ นปรบั ปรุง บาท/kWh กาลงั ไฟฟ้าใชง้ าน บาท ตวั ประกอบกาลงั (cos1) มุม 1 219.2 kW kVA1 0.72 Copper Loss 1 43.95 องศา หาขนาดคาปาซเิ ตอร์ จากสมการ = kW / cos 1 เลือกใชค้ าปาซเิ ตอรข์ นาด จานวน = 219.2 / 0.72 หลงั ปรับปรุง ปรบั ตงั้ คา่ ตัวประกอบกาลัง เท่ากับ 0.95 = 304.44 kVA kVA2 = Copper Loss at Full load x (kVA1 / kVArated)2 Copper Loss 2 = 5.5 x (304.44 /500)2 = 2.04 kW = kW x (tan1 - tan2) kVAR = 219.2 x [tan(43.95)-tan(18.19)] = 139.28 kVAR 50 kVAR 3 ตวั = kW / cos2 = 219.2 / 0.95 = 230.74 kVA = Copper Loss at Full load x (kVA2 / kVArated)2 = 5.5 x (230.74 /500) 2 = 1.17 kW

250 ผลการประหยัด กาลังไฟฟ้าสูญเสียลดลง = 2.04 - 1.17 = 0.87 kW พลังงานไฟฟ้าท่สี ูญเสียลดลง = 0.87 x 4,800 = 4,176 kWh/ปี = 15,034 MJ/ปี คดิ เปน็ เงนิ ท่ีประหยดั ได้ = 4,176 x 4.11 = 17,163 บาท/ปี รวมจานวนเงินที่ประหยดั ได้ = จานวนเงินท่ปี ระหยัดจากการปรับค่า pf + ค่า pf ทล่ี ดลง (ปี 55) = 36,116 บาท = 15,034 MJ/ปี สรปุ มาตรการ ระยะเวลาดาเนนิ การ 1 เดือน เงนิ ลงทุน 150,000 บาท ผลประหยัดทีไ่ ด้ 36,116 บาท/ปี กโิ ลวัตตช์ ัว่ โมง/ปี 4,176 kWh 0.35 toe/ปี ระยะเวลาคนื ทนุ 4.2 ปี เปอรเ์ ซน็ ต์การประหยัดพลงั งาน = (กาลังไฟฟา้ ท่ีประหยดั ได้/กาลงั ไฟฟ้ารวมปี 2555)x100 1.13 % มาตรการที่ 4 4.1) ชื่อมาตรการ: ใช้สายพานลาเลยี งทดแทนการใช้รถตกั /รถบรรทุกลาเลียงข้าวในการผลติ 4.2) อปุ กรณ์ท่ปี รับปรงุ : ติดต้งั สายพานลาเลยี ง (Conveyer) 4.3) จานวนอปุ กรณ์ท่ีปรบั ปรงุ : 1 ชดุ 4.4) สาเหตกุ ารปรับปรงุ :

251 ปัจจุบันโรงสีแห่งนี้เคลื่อนย้ายวัตถุดิบหลัก คือ ข้าวเปลือกหรือข้าวสารในกระบวนการผลติ โดยใช้รถ ตักหรือรถบรรทุกในการเคล่ือนย้าย ซ่ึงรถบรรทุกมีการใช้เชื้อเพลิงประเภทดีเซลเป็นจานวนมาก โดยในปี 2555 ใช้น้ามันดีเซลถึง 46,843 ลิตร โดยใช้งบประมาณถึง 1,405,299 บาท ซ่ึงใช้พลังงานถึง 511,810 เมกะ จูล ซ่ึงทาให้สิ้นเปลืองน้ามันเชื้อเพลิง จึงมีแนวคิดในการประหยัดพลังงานโดยลดการใช้น้ามันเชื้อเพลิงและใช้ ระบบ Conveyor มาทดแทน 4.5) รายละเอยี ดการดาเนนิ การปรับปรุง 1. เก็บข้อมูลของใช้จ่ายนา้ มันเช้อื เพลิง 2. ออกแบบระบบ Conveyor 4.6) วิธกี ารตรวจสอบผลการประหยดั หลงั ปรับปรงุ วิเคราะห์ผลประหยัดของปริมาณพลังงาน (เมกะจูล) ระหว่างค่าน้ามันเชื้อเพลิงท่ีลดลงโดยร่วม พจิ ารณากบั ค่าไฟฟ้าที่ใช้ในระบบ Conveyer 4.7) แสดงวิธกี ารคานวณประกอบ กอ่ นปรบั ปรุง คา่ ใชจ้ า่ ยนา้ มันเชื้อเพลิง = 1,405,299 บาท/ปี ราคาน้ามนั ดเี ซล = 30 บาท/ลติ ร ปริมาณน้ามนั ดีเซล = 1,405,299 / 30 = 46,843 ลิตร/ปี พลงั งานความร้อนของดเี ซล (ประสทิ ธภิ าพการเปลี่ยนพลังงานความร้อนเป็นพลงั งานกล 30%) = 46843 x 36.42 x 0.3 = 511,810 MJ/ปี หลังปรับปรุง กาลังไฟฟา้ จากมอเตอร์ Conveyor (46kW, h 80%) = 37 kW จานวนชัว่ โมงการทางานใน 1 วนั = 16 ช่วั โมง คดิ Load Factor 30 % เน่ืองจาก Conveyer ทางานได้อยา่ งต่อเน่อื งและรวดเรว็ กว่ารถบรรทกุ ซึ่งไมต่ ้องเดินเคร่ืองตลอดเวลา = 37 kW x 16 ชม. x 300 วนั x 0.3 พลังงานไฟฟา้ ที่ใช้ = 52,992 kWh/ปี

252 คดิ เป็นพลังงานความร้อน = 52,992 x 3.6 MJ/ปี = 190,771 บาท/kWh อตั ราคา่ ไฟฟ้าเฉลี่ย = 4.11 ค่าใชจ้ ่ายทางไฟฟ้า = 52,992 x 4.11 บาท/ปี = 217,797 ลิตร/ปี ค่าใชจ้ ่ายนา้ มนั เช้ือเพลงิ ทยี่ ังใช้อย่บู างส่วน (10%) = 4,684 บาท/ปี = 140,530 พลงั งานความร้อนของดีเซลท่ียงั ใช้อย่บู างสว่ น (10%) (ประสทิ ธภิ าพการเปลยี่ นพลังงานความรอ้ นเปน็ พลังงานกล 30%) = 4,684 x 36.42 x 0.3 พลงั งานความร้อนที่ลดลง = 51,177 MJ/ปี ผลประหยัดท่ีได้ = 511,810 – (51,177 + 190,771) ระยะเวลาคนื ทนุ = 269,861 MJ/ปี รวมเงินลงทุนทงั้ สน้ิ = 1,405,299 - 217,797 + 140,530 ระยะเวลาคืนทนุ สรปุ มาตรการ = 1,046,972 บาท/ปี เงนิ ลงทนุ ท้ังหมด ระยะเวลาดาเนินการ เงนิ ลงทุน / ผลประหยัด พลังงานความร้อนท่ลี ดลง = 1,800,000 บาท ผลประหยัดท่ีได้ ระยะเวลาคืนทุน = 1,800,000 / 1,046,972 เปอรเ์ ซน็ ต์การประหยัดพลงั งาน = 1.72 ปี 1,800,000 บาท 2 เดอื น = 269,861.31 MJ/ปี = 6.45 toe/ปี 1,046,972 บาท/ปี 1.72 ปี 2.58 %

253 12.10.3 แนวทางการอนุรักษ์พลงั งานในสถานศึกษา จากสถานการณ์ด้านการใช้พลังงานของประเทศไทย ต้ังแต่ปี พ.ศ. 2533 ถึง 2553 การใช้พลังงาน ของประเทศไทยเพิ่มขึ้นอย่างต่อเน่ือง ในอัตราเฉลี่ยรอ้ ยละ 4.4 ต่อปี ซึ่งในปี 2553 การใช้พลังงานขั้นสุดทา้ ย ประมาณ 71,000 พันตันเทียบเท่าน้ามันดิบ (ktoe) สูงถึง 2.32 เท่าของปี 2533 หากประเทศไทยมุ่งม่ันที่จะ ดาเนินมาตรการอนุรักษ์พลังงานตามข้อตกลงแถลงการณ์ร่วมนครซิดนีย์ ความเข้มการใช้พลังงานในภาพรวม ของประเทศไทยในปี 2573 จะต้องไมเ่ กิน 121,000 ktoe สถานศึกษาเป็นสถานที่หน่ึงที่มีการใช้พลังงานไฟฟ้าเป็นจานวนมาก ด้วยสภาพอากาศในปัจจุบันท่ีมี อุณหภูมิสูงข้ึนอย่างต่อเนื่องสถานศึกษาจึงมีการติดต้ังระบบปรับอากาศท้ังในหน่วยงานภายในและห้องเรียน เพื่อทาให้เกิดความสะดวกสบายระหว่างการจัดการเรียนการสอนทั้งนี้ กว่าร้อยละ 60 ของการใช้พลังงาน ไฟฟ้ารวมจะใช้ไปกับระบบปรับอากาศ ร้อยละ 15-20 จะใช้กับระบบส่องสว่าง ทั้งน้ี ขึ้นอยู่กับการใช้สอยใน แต่ละพ้ืนท่ี และเครื่องใช้ไฟฟ้าอ่ืน ๆ สาหรับประกอบการเรียนการสอนและการอานวยความสะดวกในการ ทางานจะใช้พลังงานประมาณร้อยละ 15-20 ในกรณีท่ีสถานศึกษามีขนาดใหญ่ใช้พลังงานไฟฟ้าเป็นจานวน มากกว่าที่กฎหมายกาหนด สถานศึกษานั้นจะถูกกาหนดให้เป็นอาคารควบคุมและจะต้องดาเนินการจัดการ การใช้พลังงานไฟฟ้าภายในสถานศึกษา ซึ่งจะช่วยให้การใช้พลังงานไฟฟ้ามีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น ลดการ นาเขา้ พลังงานจากตา่ งประเทศ และลดคา่ ใช้จา่ ยทางไฟฟา้ ในแต่ละเดอื นอีกดว้ ย การอนุรักษ์พลังงานในท่ีนี้มีความหมาย 2 นัย คือ 1) การประหยัดหรือการลดการใช้พลังงานที่ไม่ จาเป็น และ 2) การเพิ่มประสิทธิภาพการใช้พลังงานซึ่งหมายถึง การทางานท่ีได้ผลลัพธ์เท่าปกติแต่ใช้พลังงาน น้อยกว่าปกติไม่ว่าจะเป็นการส่องสว่าง การปรับอากาศและการระบายอากาศ การอนุรักษ์พลังงานมีส่วน สาคญั ในการเสริมสร้างความมั่นคงพลังงานของประเทศ การลดคา่ ใชจ้ ่ายการบรหิ ารจัดการภายในสถานศึกษา ตลอดจนการลดการปล่อยมลพิษและก๊าซเรือนกระจกซึ่งเป็นต้นเหตุของการเกิดภาวะโลกร้อนและการ เปล่ยี นแปลงสภาพภมู อิ ากาศ ค่าใช้จ่ายพลังงานไฟฟ้าคิดให้หน่วยกิโลวัตต์ช่ัวโมง ซึ่งคานวณมาจากพิกัดกาลังไฟฟ้าของ เคร่ืองใช้ไฟฟ้าในหน่วยกิโลวัตต์ และระยะเวลาการใช้งานในหน่วยชั่วโมง จากความหมายข้างต้นแนวทางการ อนรุ กั ษพ์ ลังงานในสถานศึกษาทาได้ 2 แนวทาง คือ 1) ใชเ้ ครื่องใช้ไฟฟ้าท่ีมีพิกดั กาลงั ต่าลงแต่ยังคงให้ผลลัพธ์ การทางานเท่าเดิม เพื่อลดปริมาณการใช้พลังงาน และ 2) ลดระยะเวลาการใช้งานที่ไม่จาเป็น เพื่อลดจานวน ชั่วโมงการทางาน ซ่ึงเม่ือดาเนินการอย่างใดอย่างหน่ึงตามแนวทางการอนุรักษ์พลังงานข้างต้นจะส่งผลให้เกิด การลดใช้พลงั งานไฟฟ้าได้ ตัวอย่างแนวทางการอนุรักษ์พลังงานภายในสถานศึกษา สาหรับระบบส่องสว่างภายในอาคาร ระบบ ปรับอากาศ และเครื่องใชไ้ ฟฟ้าและส่งิ อานวยความสะดวก (ธนากร น้าหอมจันทร์, 2560) แสดงดงั ตาราง 12.2

254 ตาราง 12.2 แนวทางมาตรการอนุรักษ์พลงั งานในสถานศึกษา มาตรการ เงินลงทุน ลดการ ลดเวลา เพ่มิ ประสิทธภิ าพ ใช้ การใช้งาน การทางาน ระบบสอ่ งสว่าง การทาความสะอาดหลอดไฟฟ้าและโคม พลงั งาน ไฟฟ้า กาหนดช่วงเวลาเปิด/ปดิ  ✓ การติดตงั้ สวติ ซ์กระตุก การลดจานวนหลอดไฟฟ้า  ✓  การใช้แสงธรรมชาติ ✓  การเปลยี่ นชนดิ บลั ลาสต์ ✓   การเปลย่ี นชนิดหลอดฟลูออเรสเซนต์ ✓ ✓  การใชอ้ ปุ กรณค์ วบคมุ การทางานแบบ อตั โนมัติ ✓/ ✓   ✓✓   ระบบปรับอากาศ ✓ ✓ กาหนดให้เปิดเคร่ืองปรับอากาศทีอ่ ุณหภูมิ ✓✓ 25 องศาเซลเซยี ส ✓ กาหนดชว่ งเวลาเปิด/ปดิ ทาความสะอาดเครือ่ งปรับอากาศ  ✓  ตดิ ตงั้ อปุ กรณเ์ สริม เปลย่ี นเป็นเครือ่ งปรบั อากาศ  ✓  ลดความรอ้ นจากภายนอก ✓  ✓ ✓✓  ✓ เครอ่ื งใช้ไฟฟ้าและสงิ่ อานวยความสะดวก ✓✓  ✓ เปล่ยี นชนดิ จอแสดงผลคอมพิวเตอร์ ✓/ ✓   ปดิ ปรนิ้ เตอร์ เครื่องถ่ายเอกสารเมอ่ื เลกิ ใช้ กาหนดเวลาและช้ันท่ีให้บริการลิฟท์ ✓✓  ✓ ติดตั้งอปุ กรณ์อัตโนมัตสิ าหรับบนั ไดเลือ่ น  ✓  กาหนดช่วงเวลาให้บริการรถไฟฟา้  ✓  ✓ ✓   ✓  หมายเหตุ: เงนิ ลงทนุ ✓ หมายถึง ใชเ้ งนิ ลงทุน  หมายถึง ไม่ใช้เงินลงทนุ และ ✓/ หมายถงึ มีทง้ั มาตรการท่ีใชแ้ ละไมใ่ ช้เงินลงทุน

255 12.11 บทสรปุ 1. ระบบไฟฟ้าหลายเฟส (Polyphase System) คือ ระบบไฟฟ้าท่ีมีแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ามากกว่า 1 ชุด และทกุ ชุดมีขนาดของแรงดันและความถ่เี ทา่ กัน แต่มมี มุ เฟสตา่ งกัน 2. ระบบไฟฟ้า 3 เฟส มีความสาคญั ดังนี้ 1) ระบบผลติ และส่งจ่ายกาลังไฟฟ้าเป็นระบบไฟฟ้า 3 เฟส 50 หรือ 60 เฮิรตซ์ สามารถเลือกใช้งานได้ท้ังแบบ 1 เฟส 2 เฟส หรอื 3 เฟส ซง่ึ เปน็ ความคุ้มคา่ ทางด้านเศรษฐศาสตร์ มากกว่าการผลิตและส่งจ่ายพลังงานเฉพาะเฟส 2) กาลังไฟฟ้าช่ัวขณะของระบบไฟฟ้า 3 เฟส สามารถทาให้มี ค่าคงที่ได้ และ 3) ระบบไฟฟ้า 3 เฟส ใช้จานวนเส้นลวดตัวนาน้อยกว่าระบบไฟฟ้า 1 เฟส เม่ือเปรียบเทียบท่ี กาลังไฟฟ้าในการส่งจ่ายเท่ากนั 3. ระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล คือ แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าจ่ายแรงดันท่ีมีขนาดและความถี่เท่ากันท้ัง 3 เฟส (แต่ละเฟสหา่ งกนั 120o) 4. ลาดับเฟส คือ ลาดับมุมเฟสซ่ึงแรงดันไฟฟ้าเฟสของแหล่งจ่ายไฟฟ้า 3 เฟสจ่ายออกมาเมื่อเทียบกับเวลา ลาดับเฟส abc (abc sequence) หรอื ลาดบั เฟสแบบบวก (positive sequence) ซง่ึ Van จะมมี ุมเฟสนา Vbn โดยที่ Vbn จะมีมุมเฟสนา Vcn และ Vcn จะมีมุมเฟสนา Van วนเป็นวงกลม และลาดับเฟส acb (acb sequence) หรือลาดับเฟสแบบลบ (negative sequence) ซง่ึ Van จะมมี ุมเฟสนา Vcn โดยท่ี Vcn จะมมี มุ เฟส นา Vbn และ Vbn จะมีมมุ เฟสนา Van วนเป็นวงกลม 5. โหลดสมดุลที่ตอ่ แบบวายหรอื เดลตา คือ โหลด 3 เฟสที่มีอิมพแี ดนซ์เทา่ กนั ท้งั 3 เฟส 6. การแปลงระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุลให้เป็นแบบ Y-Y แล้วทาการวิเคราะห์วงจรสมมูลเฟสเดียว จะช่วยให้ สามารถวิเคราะหร์ ะบบได้ง่ายขนึ้ ตาราง 12.1 เป็นตารางสรุปค่าแรงดันกบั กระแสไฟฟ้าในเฟสและในสายของ ระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล สาหรบั ระบบไฟฟ้า 3 เฟสท้ัง 4 แบบ 7. ผลรวมของกาลังไฟฟ้าช่ัวขณะในระบบไฟฟ้า 3 เฟส เป็นค่าคงท่ีและมีค่าเท่ากับกาลังไฟฟ้าเฉล่ียหรือ กาลงั ไฟฟา้ จริง 8. กาลังไฟฟา้ ทีโ่ หลดดูดกลนื โดยโหลด 3 เฟสสมดลุ ทั้งการตอ่ แบบ Y หรือ  หาได้ จาก กาลงั ไฟฟ้าท่ีโหลด Y หรือ  ต่อเฟส จะได้ กาลังไฟฟา้ จริงต่อเฟส Pp  VpIp cos กาลังไฟฟา้ รีแอกทีฟตอ่ เฟส Qp  VpIp sin กาลังไฟฟ้าปรากฏตอ่ เฟส Sp  VpIp กาลงั ไฟฟ้าเชงิ ซ้อนต่อเฟส Sp  Pp  jQp  VpI*p กาลังไฟฟ้ารวมท้งั 3 เฟส จะได้ดงั นี้

256 กาลงั ไฟฟ้าจริง P  P P P  3Pp  3VpIp cos  3VLIL cos abc กาลังไฟฟ้ารีแอกทฟี Q  3VpIp sin  3Qp  3VLIL sin กาลังไฟฟ้าเชงิ ซอ้ น S  3Sp  3VpI*p  3I p2 Z p  3Vp2 Z * p หรอื S  P  jQ  3VLIL โดยที่ Vp , Ip , VL , IL เป็นคา่ rms 9. ระบบไฟฟ้าสามเฟสแบบไม่สมดุลสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ระเบียบวิธีแรงดันโนดหรือระเบียบวิธีกระแส เมซ 10. PSpice สามารถใช้วิเคราะห์วงจรไฟฟ้าสามเฟสได้เชน่ เดยี วกับการวิเคราะหว์ งจรไฟฟา้ เฟสเดยี ว 11. กาลงั ไฟฟ้าจรงิ หรือเฉลี่ยรวมที่วดั ในระบบไฟฟา้ 3 เฟส สามารถวัดได้โดยใชว้ ัตตม์ เิ ตอร์ 2 ตวั สาหรบั ระบบ ไฟฟ้า 3 เฟส 3 สาย และใช้วัตต์มเิ ตอร์ 3 ตวั สาหรับระบบไฟฟา้ 3 เฟส 4 สาย 12. ระบบผลติ พลังงานไฟฟา้ จะตอ่ แบบวาย เน่ืองจากให้คา่ แรงดันในสายสงู กว่าการตอ่ แบบเดลตาถึง 3 เท่า ระบบจาหน่ายพลังงานไฟฟ้าจะต่อแบบเดลตา เน่ืองจากให้ค่ากระแสในสายมากกว่าการต่อแบบวายถึง 3 เทา่ 12.12 แบบฝึกหัดทา้ ยบท 12.1 ถา้ Vbn = 11030 V หา Van และ Vcn โดยสมมติให้เป็นลาดับเฟสแบบบวก ตอบ Van  110150 V Vcn  110  90 V 12.2 ระบบไฟฟา้ 3 เฟสสมดลุ แบบ Y – Y โดยมีอมิ พแี ดนซ์ในระบบ ดงั น้ี Zg = 0.4 + j0.3 , ZLine = 0.6 + j0.7  และ ZLoad = 24 + j19  กาหนดให้เป็นลาดับเฟสแบบบวก โดยท่ี Van = 12030 V หา ก) แรงดันไฟฟา้ ในสาย และ ข) กระแสไฟฟา้ ในสาย ตอบ ก) Va  207.8460 V Vb  207.84 60 V Vc  207.84180 V ข) Ia  3.74  8.65 A Ib  3.74 128.65 A Ic  3.74  248.65 A 12.3 แหลง่ จา่ ยไฟฟา้ 3 เฟสสมดลุ ลาดับเฟสแบบบวกต่อแบบ Y และโหลดสมดุลต่อแบบ  หากระแสเฟส และกระแสในสาย โดยท่ี VAB = 180-20 V และ Z = 2040  ตอบ IAB  9 60 A IBC  9 180 A ICA  960 A Ia  15.58  90 A Ib  15.58  210 A Ib  15.5830 A

257 12.4 โหลด 3 เฟสสมดุลต่อแบบ  มีค่า Z = 18 + j12  ต่อเฟส ต่อเข้ากับเคร่ืองกาเนิดไฟฟ้า 3 เฟส สมดุล  ลาดับเฟสแบบบวก Ia = 22.535 A หา IAB และ VAB ตอบ IAB 12.9965 A VAB  280.9798.69 V 12.5 ระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดลุ แบบ  – Y โดยท่แี รงดนั Vab = 24015 V และ ZY = 12 + j15  หา กระแสในสาย ตอบ Ia  7.21  66.34 A Ib  7.21 186.34 A Ic  7.2153.66 A 12.6 ระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุลแบบ Y – Y; Van = 12030 V, Ia = 3.74-8.65 A และ ZLoad = 30.6138.36  หากาลงั ไฟฟา้ เชิงซ้อนที่แหลง่ จา่ ยและโหลด ตอบ SSource  (1051 j840.9) VA SLoad  1007.19  j797.14 VA 12.7 มอเตอร์ไฟฟ้า 3 เฟส พิกัด 30 kW, pf 0.85 lagging ต่อเข้ากับแหล่งจ่าย 3 เฟสสมดุลโดยมี แรงดนั ไฟฟา้ ในสาย 440 V หากระแสไฟฟา้ ในสายของมอเตอร์ ตอบ IL  46.31 A 12.8 โหลด 3 เฟสสมดุล 2 ชุด ต่อเข้ากับสายส่ง 3 เฟส 840 Vrms, 60 Hz ดังภาพ12.37 โดยโหลด 1 ต่อ แบบ Y โดยมีอิมพีแดนซ์ ZY = 30 + j40  ต่อเฟส โหลด 2 เปน็ มอเตอรไ์ ฟฟา้ 3 เฟสสมดลุ พิกดั 45 kW pf 0.8 lagging กาหนดให้เป็นลาดับเฟสแบบบวก หา ก) กาลังไฟฟ้าเชิงซ้อนรวมท่ีโหลดทั้ง 2 ได้รับ ข) พิกัด kVAR ของ C แต่ละตัวท่ีต่อแบบ  เพ่ือให้ระบบเป็น unity power factor และ ค) กระแสในสายจาก แหล่งจา่ ยเม่ือระบบเปน็ unity power factor Balanced Balanced Load 1 Load 2 ตอบ ก) ภาพ 12.37 สาหรับแบบฝกึ หัดท้ายบทข้อที่ 12.8 ข) ค) ST  56.45 j47.27 kVA QC  15.75 kVAR IL  38.79 A

258 12.9 โหลด 3 เฟสไม่สมดุล แบบ  ดังภาพ 12.38 ได้รับแรงดันไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล 200 V ลาดับเฟสแบบ บวก หากระแสในสายโดยกาหนดให้ Vab เป็นแรงดนั อา้ งอิง Ia A 10  8   j5 16  j6  Ib C Ic B ภาพ 12.38 สาหรับแบบฝกึ หดั ทา้ ยบทข้อที่ 12.9 ตอบ Ia  18.05  41.06 A Ib  29.12 139.77 A Ic  31.8674.28 A 12.10 หากระแสในสายและกาลังไฟฟ้าจรงิ ท่โี หลดดดู กลืน จากวงจรดงั ภาพ 12.39 aA 220 0 Vrms  j5  10  220  120 Vrms b B j10  C c 220120 Vrms ภาพ 12.39 สาหรบั แบบฝกึ หัดท้ายบทข้อที่ 12.10 ตอบ Ia  6480.1 A Ib  38.1  60 A Ic  42.49135 A P  4.84 kW

259 12.11 ใช้ PSpice ทาซ้าแบบฝึกหัดท้ายบทข้อท่ี 12.10 ตอบ ACMAG = 220 AC = yes ACPHASE = -120 MAG = yes PHASE = yes ACMAG = 220 ACPHASE = 0 AC = yes MAG = yes PHASE = yes ACMAG = 220 AC = yes ACPHASE = 120 MAG = yes PHASE = yes ภาพ 12.40 Schematics สาหรบั แบบฝึกหัดท้ายบทข้อที่ 12.11 หากระแสในสาย Ia ; IPRINT1 FREQ IM(V_PRINT1) IP(V_PRINT1) 1.592E-01 6.400E+01 8.010E+01 Ib ; IPRINT2 FREQ IM(V_PRINT2) IP(V_PRINT2) 1.592E-01 3.811E+01 -6.000E+01 Ic ; IPRINT3 FREQ IM(V_PRINT3) IP(V_PRINT3) 1.592E-01 4.250E+01 -1.350E+02

260 ACMAG = 220 ACPHASE = -120 ACMAG = 220 AC = yes ACPHASE = 0 MAG = yes PHASE = yes ACMAG = 220 AC = yes AC = yes ACPHASE = 120 MAG = yes MAG = yes PHASE = yes PHASE = yes ภาพ 12.41 Schematics สาหรบั แบบฝกึ หดั ทา้ ยบทข้อที่ 12.11 หากระแสเฟส IAB ; IPRINT1 FREQ IM(V_PRINT1) IP(V_PRINT1) 1.592E-01 4.400E+01 9.000E+01 IBC ; IPRINT2 FREQ IM(V_PRINT2) IP(V_PRINT2) 1.592E-01 2.200E+01 3.000E+01 ICA ; IPRINT3 FREQ IM(V_PRINT3) IP(V_PRINT3) 1.592E-01 2.200E+01 6.000E+01 กาลงั ไฟฟา้ เชงิ ซอ้ นท่โี หลดไดร้ ับ SAB   j9680 VA SBC  j4840 VA SCA  4840 VA ผลรวมกาลงั ไฟฟ้าเชิงซอ้ นทโ่ี หลดไดร้ ับ S  SAB  SBC  SCA  4840 j4840 VA และ P  4840  4.84 kW

261 รายการเอกสารอ้างองิ Alexander, C. K. and Sadiku, N.O. M. (2009). Fundamental of Electric Circuit. (4th ed). New York, NY: McGraw-Hill. Energy Vision. (2013). ก า ร อ นุ รั ก ษ์ พ ลั ง ง า น . เ ข้ า ถึ ง เ ม่ื อ 1 9 กั น ย า ย น 2 5 5 9 , จ า ก http://www.energyvision.co.th/14238322/การอนุรักษ์พลงั งาน Hayt, W. H. Jr. and Kimmerly, J. E. (1993). Engineering Circuit Analysis. (5th ed). Singapore: McGraw-Hill. Peebles, Z. P. Jr. and Giuma A. T. (1991). Principles of Electrical Engineering. Singapore: McGraw- Hill. Rizzoni, G. (2003). Principles and Applications of Electrical Engineering. (4th ed). New York, NY: McGRAW-Hill. Steven, S. E. and William, O. G. (1993). Electrical Engineering : An Introduction. (2nd ed). Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. ธนากร น้าหอมจันทร์. (2554). ทฤษฎีวงจรไฟฟ้า. ปทมุ ธานี: มหาวิทยาลัยอสี เทิร์นเอเชีย. ธนากร น้าหอมจันทร์. (2560). การอนุรักษ์พลังงานในสถานศึกษา. วารสารวิชาการมหาวิทยาลัยอีสเทิร์น เอเชยี ฉบบั วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 11(1), 67-75. รายงานการจัดการพลังงาน สหกรณ์การเกษตรคลองหลวง จากัด. (2557). โครงการสาธิตระบบการจัด การพลังงานสาหรบั โรงงานอตุ สาหกรรมขนาดกลาง. อภินันท์ อุรโสภณ. (2554). วงจรไฟฟ้า. กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์ ดวงกมลพบั ลิชชิ่ง.

262

ภาคผนวก ก สมการเชิงเสน้ และเมทริกซผ์ กผัน ก.1 บทนา ในการวเิ คราะห์วงจรไฟฟ้าบ่อยคร้ังที่จะพบตัวแปรท่ีไม่ทราบคา่ อย่ใู นรูปของสมการเชิงเส้น ดังสมการ (ก.1) a11x1  a12 x2  a1n xn  b1 (ก.1) a21x1  a22 x2  a2n xn  b2    an1x1  an2 x2  ann xn  bn โดยท่ีตวั แปรที่ไม่ทราบค่า จานวน n ตวั x1 , x2 , … , xn ทีพ่ จิ ารณา จากสมการ (ก.1) สามารถเขยี น ใหอ้ ยู่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้ ดังน้ี a11 a12  a1n x1  b1  a21 a22  a2n  x2  b2         (ก.2) an1 an2  ann xn  bn  หรือ AX  B (ก.3) a11 a12  a1n  x1  b1  A  a21 a22  a2n  x  b2  เม่อื     , X   2  , B   (ก.4) an1 an2  ann  xn  bn  โดยท่ี A เป็นเมทรกิ ซ์จัตรุ สั ขนาด nn, X และ B เปน็ เมทริกซ์หลัก การแก้ปัญหาสมการ (ก.1) หรือ (ก.3) มีหลายระเบียบวิธีด้วยกัน ในหัวข้อนี้จะอธิบายเฉพาะกฎของ เครเมอร์ และเมทรกิ ซ์ผกผัน เท่านั้น ก.2 กฎของเครเมอร์ กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) สามารถใช้แก้ปัญหาสมการเชิงเส้น เพื่อหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟา้ ไดใ้ นหลายกรณี กฎของเครเมอร์การแกป้ ญั หาสมการ (ก.1) หรอื (ก.3) ได้ ดังน้ี x1  1 , x2  2 ,, xn  n (ก.5)    โดยที่  , 1, 2,  , n คอื ดีเทอรม์ แิ นนท์ ซึง่ หาได้จาก

264 a11 a12  a1n  b1 a12  a1n    a21 a22  a2n  1  b2 a22  a2n      ,     an1 an2  ann  bn an2  ann    (ก.6) a11 b1  a1n  b11 a12  b1  2  a21 b2  a2n  n  b21 a22  b2      , ,     an1 bn  ann  bn1 an2  bn  กฎของเครเมอรจ์ ะใชไ้ ด้เฉพาะกรณีท่ี   0 การหาคา่  ของเมทรกิ ซ์จตั รุ สั ขนาด 2  2 และ 3  3 ทาได้ ดังน้ี _ a11 a12   a21 a22  a11a22  a12a21 (ก.7) + (ก.8) ___ a11 a12 a13 a11 a12   a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 +a31 +a32 +  (a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 )  (a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12 ) สาหรับเมทริกซ์จัตรุ สั ท่มี ขี นาดใหญ่กว่า 3  3 จะทาได้โดยการกระจายโคแฟคเตอร์ ดงั นี้ ถ้ากาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ ขนาด [A]ij det(A)  A  ai1Ci1  ai2Ci2  ..... ainCin n เมอ่ื ใช้แถวที่ i ในการคานวณ (ก.9)  aijCij j1 และ det(A)  A  a1jC1j  a2 jC2 j  ..... anjCnj n เมือ่ ใช้หลกั ท่ี j ในการคานวณ (ก.10)   aijCij i1 โดยที่ Cij  (1)i j Mij ; เปน็ โคแฟคเตอร์ (cofactor) ของ aij

265 ซึ่ง Mij เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด (n-1) x (n-1) ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักท่ี j ของ A ออก และ | Mij | คือ ไมเนอร์ของ aij ตัวอยา่ ง ก.1 หาค่า x1 และ x2 จากสมการเชงิ เสน้ ท่กี าหนด โดยใช้กฎของเครเมอร์ 4x1  3x2  17,  3x1  5x2   21 วิธีทา จากสมการทก่ี าหนด เขยี นให้อยู่ในรูปเมทริกซไ์ ด้ ดงั น้ี 4  3  x1    17   3 5   x2   21 หาค่าดเี ทอรม์ แิ นนท์ได้ ดงั นี้   4 3  (45)  [(3)  (3)]  11 3 5 1  17 3  (175)  [(21)  (3)]  22  21 5 2  4 17  [4 (21)]  [(3) 17]   33 3  21 จะได้ x1  1  22  2  11 x2  2   33  3  11 ตวั อยา่ ง ก.2 หาคา่ x1 , x2 และ x3 จากสมการเชงิ เสน้ ทก่ี าหนด โดยใชก้ ฎของเครเมอร์ 25x1  5x2  20x3  50  5x1 10x2  4x3  0  5x1  4x2  9x3  0 วธิ ที า จากสมการทก่ี าหนด เขียนใหอ้ ย่ใู นรปู เมทริกซ์ได้ ดังนี้  25  5  20 x1  50  5 10 4  x2   0  5  4 9   x3   0  

266 หาคา่ ดีเทอร์มิแนนทไ์ ด้ ดังน้ี _ __ 25  5  20 25  5  20 25  5    5 10  4   5 10  4  5 10 5 4 9 5 4 9 5 4 +++  [(25)(10)(9)  (5)(4)(5)  (20)(5)(4)]  [(5)(10)(20)  (4)(4)(25)  (9)(5)(5)]  125 50  5  20 50  5  20 50_  5_ _ 0 10  4  0 10  4 0 10 + 1  0 4 9 0 4 9 0 4  + + [(50)(10)(9)  (5)(4)(0)  (20)(0)(4)]  [(0)(10)(20)  (4)(4)(50)  (9)(0)(5)]  3700 _ __ 25 50  20 25 50  20 25 50 5 0 4  5 0 4 5 0 2  5 0 9 5 0 9 5 0 ++ +  [(25)(0)(9)  (50)(4)(5)  (20)(5)(0)]  [(5)(0)(20)  (0)(4)(25)  (9)(5)(50)]  3250 _ __ 25  5 50 25  5 50 25 5 5 10 0  5 10 0 5 10 3  5 4 0 5 4 0 5 4 ++  [(25)(10)(0)  (5)(0)(5)  (50)(5)(4)] +  [(5)(10)(50)  (4)(0)(25)  (0)(5)(5)]  3500

267 จะได้ x1  1  3700  29.6  125 x2  2  3250  26  125 x3  3  3500  28  125 ตวั อย่าง ก.3 หา det(A) จากเมทริ กซ์ท่ีกาหนดให้  1  2 0 3 5 1 1 2 A   4 3 0 1   2 1  4 1 วิธที า จากเมทริกซ์ท่ีกาหนดให้เป็นเมทรกิ ซ์จตั ุรสั ขนาด 4  4 การหาดเี ทอร์มแิ นนท์ทาได้โดยการกระจาย โคแฟคเตอร์ ซ่ึงเลอื กหลกั ท่ี 3 ในการกระจายโคแฟคเตอร์ ดงั นี้  1  2 0 3 5 1 1 2 A   4 3 0 1   2 1  4 1 det(A)  (0)(cofactor of 0)  (-1)(cofactor of -1)  (0)(cofactor of 0)  (-4)(cofactor of - 4)  (-1)(C23 )  (-4)(C43 )  (-1)(-1)23 M23  (-4)(-1)43 M43 1 2 3 1 2 3  (-1)(-1) 4 3 1  (-4)(-1) 5 1 2 2 1 1 431  (-1)(-1)(44)  (-4)(-1)(22)  44  88  132

268 ก.3 เมทริ กซผ์ กผนั สมการเชิงเส้นตามสมการ (ก.3) สามารถแก้ปัญหาเพื่อหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าได้โดยใช้เมทริกซ์ ผกผัน (matrix inversion) จากสมการเมทริกซ์ AX = B จะสามารถหาค่า X ได้โดยทาเมทริกซ์ผกผันของ A ดังน้ี X  A1B (ก.11) เม่ือ A-1 คือ เมทริกซผ์ กผนั ของ A ซง่ึ A1A  AA1  I (ก.12) เม่อื I คอื เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ (identity matrix) ของ A A-1 หาได้ ดงั นี้ A 1  adj A เม่ือ det(A)  0 (ก.13) det A เม่ือ adjA คอื เมทรกิ ซ์ผกู พนั (adjoint matrix) ของเมทรกิ ซ์ A และ detA คือ |A| adjA หาไดจ้ ากเมทริกซ์สลบั เปล่ยี น (transpose matrix) ของโคแฟคเตอร์ A ถา้ A เป็นเมทริกซข์ นาด n  n จะหาเมทริกซ์ผูกพนั ได้ ดงั น้ี a11 a12  a1n  A  a21 a22  a2n      (ก.14) an1 an2  ann  โคแฟคเตอร์ของ A คือ c11 c12  c1n  C  cof (A)  c21 c22  c2n      (ก.15) cn1 cn2  cnn  และ adj (A)  [cij ]Tnn  [c ji ]nn (ก.16) โดยที่ Cij  (1)i j Mij (ก.17) ดงั นนั้ A 1  CT (ก.18) |A |

269 ตัวอยา่ ง ก.4 หาคา่ x1 , x2 , x3 และ x4 จากสมการเชิงเสน้ ทกี่ าหนด โดยวิธเี มทริกซผ์ กผนั x1  2x2  3x3  5x4  5 2x1  3x2  x3  2x4  0 x1  4x3  x4  0 x2  2x4  0 วิธีทา จากสมการทก่ี าหนด เขยี นใหอ้ ย่ใู นรูปเมทรกิ ซไ์ ด้ ดังนี้ 1  2  3 5  x1  5 2 3 1  2 x2  0 1 0 4 1  x3   0 0 1 0 2  x4  0 หรอื AX  B  X  A1B 1  2  3 5   x1  5 2 3 1 12,  x2 , 0 โดยที่ A  1 0 4 2  X   x3  B  0 0  x4 0 1 0 หา det(A) ดว้ ยวธิ ีการกระจายโคแฟคเตอร์ โดยเลือกแถวท่ี 4 เพื่อกระจายโคแฟคเตอร์ 1  2  3 5  2 3 1  2 A  1 0 4 1 0 1 0 2  det(A)  (1)(Co.a42 )  (2)(Co.a44 )  (1)(C42 )  (2)(C44 )  (1)(-1)42 M42  (2)(-1)44 M44 1 3 5 1 2 3  (1)(-1)6 2 1  2  (2)(-1)8 2 3  2 14 1 10 1  (1)(1)[47 - (-9)]  (2)(1)[10 - (-25)] det(A)  126

270 c11 c12  c1n  C  cof (A)  c21 c22  c2n  จาก     และ Cij  (1)i j Mij cn1 cn2  cnn  3 1 2 c11 (1)2 0 4 1  1 0 2 2 1 2 c12 (1)3 1 4 1  0 0 2 2 3 2 c13 (1)4 1 0 1  0 1 2 231 c14 (1)5 1 0 4  0 1 0 (1)3 2 3 5 c21 0 41  1 02 1 3 5 c22 (1)4 1 4 1  0 0 2 1 2 5 c23 (1)5 1 0 1  0 1 2 1 2 3 c24 (1)6 1 0 4  0 1 0 (1)4 2 3 5 c31 3 1 2  1 02

271 1 3 5 c32 (1)5 2 1 2  0 0 2 1 2 5 c33 (1)6 2 3 2  0 1 2 1 2 3 c34 (1)7 2 3 1  0 1 0 (1)5 2 3 5 c41 3 1 2  0 41 1 3 5 c42 (1)6 2 1 2  1 4 1 1 2 5 c43 (1)7 2 3 2  1 0 1 1 2 3 c44 (1)8 2 3 1  1 0 4  33 14 10 7   39 14 8  7 cof (A)   15  14 26 7  51 56 4 35  จาก adj (A)  [cij ]Tnn  [c ji ]nn  33 39 15  51  14 14  14 56  ดังนัน้ adj (A)  cof (A)T   10 8 26 4  7  7 7 35 

272 จะได้ A 1  1 adj (A)  1  33 39 15  51 det (  14 14  14 56   10 8 26 4 A ) 126  7 7 7 35  A1   0.2619 0.3095 0.1190  0.4048  0.1111 0.1111  0.1111 0.4444   0.0794  0.0635 0.2063 0.0317   0.0556  0.0556 0.0556 0.2778   0.2619 0.3095 0.1190  0.40485  0.1111 0.1111  0.1111 0.4444 0 X  A1B   0.0794  0.0635 0.2063 0.0317 0  0.0556  0.0556 0.0556 0.2778 0  1.3095   0.5556 X   0.3968  0.2278  ดังนั้น จะได้ X1 = 1.3095, X2 = -0.5556, X3 = -0.3968 และ X4 = 0.2278

273 ภาคผนวก ข จานวนเชงิ ซอ้ น ข.1 บทนา ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ได้แก่ การหาค่ากระแสไฟฟ้า แรงดันไฟฟ้า และกาลังไฟฟ้า โดยมากจะพบว่า ขนาดขององค์ประกอบต่าง ๆ ในวงจรจะเขียนอยู่ในรูปจานวนเชิงซ้อน (complex numbers) ดงั นนั้ การคานวณจานวนเชิงซ้อนจะมีความสาคัญสาหรบั การวิเคราะห์วงจรไฟฟา้ กระแสสลบั เป็น อย่างมาก หัวข้อน้ีเป็นการอธิบายพื้นฐานของจานวนเชิงซ้อน การคานวณจานวนเชิงซ้อน และกฎพื้นฐานท่ี จาเป็นสาหรับจานวนเชงิ ซ้อน ข.2 การแสดงจานวนเชงิ ซ้อน จานวนเชิงซ้อน z สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นระบบพกิ ัดฉาก (rectangular form) ได้ ดงั น้ี (ข.1) z  xjy โดยที่ j  1 , x คือ สว่ นจรงิ (real part) และ y คอื สว่ นจนิ ตภาพ (imaginary part) ของ z ดังน้ี x  Re(z) และ y  Im(z) (ข.2) จานวนเชิงซ้อน z บนระนาบเชงิ ซอ้ น แสดงดังภาพ ข.1 Im jy z r  Re x ภาพ ข.1 กราฟแสดงจานวนเชงิ ซอ้ น เมอ่ื j  1 ดงั น้ัน 1/ j   j (ข.3) j2  1 j3  j j2   j j4  j2  j2  1 j5  j j4  j  jn4  jn

274 จานวนเชิงซ้อน z สามารถเขียนให้อยู่ในระบบพิกัดเชิงข้ัว (polar form) ได้ โดย r คือ ขนาด (magnitude) และ  คือ มุม (angle) ดงั นี้ z  | z |   r (ข.4) เมื่อ r  x2  y2 ,   tan1 y x (ข.5.1) หรอื x  r cos , y  r sin (ข.5.2) ดงั นั้น z  x  j y  r  r cos  j r sin (ข.6) การแปลงจานวนเชิงซ้อนระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดเชิงข้ัว สามารถทาได้โดยใช้ สมการ (ก.5) พงึ ระมดั ระวังคา่ ของมุม  ซ่ึงสัมพนั ธ์กับจตุภาคทั้ง 4 ของระนาบ ถ้าสมมติให้ x และ y เปน็ ค่าบวก จะ ไดด้ ังนี้ z  x  j y,   tan1 y (1st Quadrant ) z  x  j y, x (2nd Quadrant ) z  x  j y y (3rd Quadrant ) zxjy   180  tan1 x (4th Quadrant ) tan1 y (ก.7) x   180    360  tan1 y x และจานวนเชงิ ซ้อน z สามารถเขยี นให้อยใู่ นระบบพิกัดชก้ี าลัง (exponential form) ได้ ดงั นี้ z  re j (ข.8) ซึ่งประกอบไปด้วย ขนาด r และ มมุ  เชน่ เดียวกับ ระบบพกิ ัดเชงิ ข้วั การแสดงจานวนเชงิ ซ้อนทัง้ 3 ระบบพิกัด แสดงได้ ดังน้ี z  x  j y, ( x  r cos , y  r sin ) Rectangular form z  r , Polar form (ข.9)  r  x2  y2 ,   tan1 y  z  re j ,  x  Exponentialform  r  x2  y2 ,   tan1 y   x  จากสมการ (ก.9) ระบบพิกัดที่ 1 และ 2 จะได้จากสมการ (ข.5) และ (ข.6) ในหัวข้อท่ี ข.4 จะอธบิ าย ถงึ สูตรของออยเลอร์ ซงึ่ จะพิสจู นใ์ หเ้ ห็นวา่ ระบบพิกัดชี้กาลงั มีคา่ เทา่ กับ 2 ระบบพกิ ดั แรก

275 ข.3 การดาเนนิ การทางคณิตศาสตร์ จานวนเชิงซ้อน z1  x1  j y1 และ z2  x2  j y2 จะเท่ากันก็ต่อเมื่อขนาดของจานวน จริง และจานวนจินตภาพของจานวนเชงิ ซ้อนทัง้ 2 เท่ากัน ดังน้ี x1  x2 , y1  y2 (ข.10) ค่าสังยุคเชิงซ้อน (complex conjugate) ของจานวนเชิงซ้อน z  x  j y กาหนดได้โดย แทน j ด้วย -j ดงั นี้ z   x  jy  r   re j (ข.11) กาหนดให้ z1  x1  j y1  r11 และ z2  x2  j y2  r22 การบวก และ การลบคา่ จานวนเชิงซ้อน มวี ธิ ีการคานวณ ดังน้ี z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 ) (ข.12) และ z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 ) (ข.13) การบวกและลบจานวนเชิงซ้อนเมื่ออยู่ในระบบพิกัดฉากจะทาได้โดยสะดวกกว่าระบบพิกัดเชิงข้ัว สาหรบั การคณู และหารจานวนเชงิ ซอ้ นจะทาไดโ้ ดยง่ายเมื่ออยู่ในระบบพิกัดเชงิ ขวั้ ดงั นี้ z1z2  r1r2(1 2 ) (ข.14) และ z1  r1 (1  2 ) (ข.15) z2 r2 สาหรับการคณู และการหารเม่อื จานวนเชงิ ซอ้ นอย่ใู นระบบพกิ ัดฉาก มีวิธีการคานวณ ดังน้ี z1z2  ( x1  j y1)( x2  j y2 ) (ข.16)  ( x1x2  y1y2 )  j ( x1y2 )( x2 y1) และ z1  ( x1  j y1)( x2  j y2 )  x1 x 2  y1 y2  j x2 y1  x1 y2 (ข.17) z2 ( x2  j y2 )( x2  j y2 ) x22  y22 x22  y22 ข.4 สตู รของออยเลอร์ สูตรของออยเลอร์ (Euler’s formula) มีความสาคัญต่อการหาผลลัพธ์ตัวแปรเชิงซ้อนเป็นอย่างมาก สตู รของออยเลอร์ไดจ้ ากการกระจายอนุกรมของ ex, cos และ sin ดังน้ี

276 ex  1 x  x2  x3  x4  (ข.18) 2! 3! 4! แทน x ดว้ ย j จะได้ e j  1 j  2  j3  4  (ข.19) สาหรับ cos และ sin แสดงดังนี้ 2! 3! 4! cos  1  2  4  6  (ข.20) 2! 4! 6! (ข.21) sin     3   5   7  3! 5! 7! จากสมการ (ข.20) และ (ข.21) จะได้ และ cos  j sin  1 j  2  j 3  4  j 5  (ข.22) จากสมการ (ข.19) และ (ข.22) จะพบว่า 2! 3! 4! 5! e j  cos  j sin (ข.23) สมการ (ข.22) เรียกว่า สูตรของออยเลอร์ ซ่ึงจานวนเชิงซ้อนที่อยู่ในระบบพิกัดช้ีกาลัง ดังสมการ (ข.8) เขียนในสตู รของออยเลอร์ได้ ดังน้ี cos  Re(e j ), sin  Im(e j ) (ข.24) โดยท่ี e j  cos2   sin2   1 แทน j ด้วย -j ในสมการ (ข.23) จะได้ e j  cos  j sin (ข.25) จากสมการ (ข.23) และ (ข.25) จะได้ (ข.26) (ข.27) cos  1 (e j  e j ) 2 และ sin  1 (e j  e j ) 2j

277 ภาคผนวก ค สตู รทางคณติ ศาสตร์ ค.1 บทนา ถึงแม่ว่าฟังก์ชันในเครื่องคานวณ หรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์สาเร็จรูปจะสามารถคานวณค่าสาหรับ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าได้อย่างรวดเร็ว แต่สูตรท่ีเตรียมไว้เหล่าน้ีมีไว้เพ่ืออานวยความสะดวกสาหรับคานวณ ด้วยมอื ในภาคผนวกนน้ี าเสนอสูตรทางคณติ ศาสตร์ที่จาเป็นต่อการวิเคราะหว์ งจรไฟฟ้าในหนงั สือเลม่ นี้ ค.2 สมการกาลังสอง (Quadratic Formula) รากของสมการกาลงั สอง ax2 + bx + c = 0 คือ x1 , x2  b b2  4ac 2a ค.3 เอกลักษณ์ ตรโี กณมิติ (Trigonometric Identities) sin(-x)   sin x cos(-x)  cosx sec x  1 , csc x  1 cosx sinx sin x 1 tan x  cosx , cot x  tanx sin(x  90)   cos x cos(x  90)   sin x sin(x  180)   sinx cos(x  180)   cos x cos2 x  sin2 x  1 a  b  c (law of sines) sin A sin B sin C (law of cosines) a2  b2  c2  2bc cos A tan(1/ 2)( A  B)  ab (law of tangents) tan(1/ 2)( A  B) ab

278 sin( x  y)  sin x cos y  cos x sin y cos( x  y)  cos x cos y  sin x sin y tan(x  y)  tanx  tan y 1 tanx tan y 2sin x sin y  cos( x  y)  cos( x  y) 2sin x cos y  sin( x  y)  sin( x  y) 2cos x cos y  cos( x  y)  cos( x  y) sin2x  2sin x cos x cos 2x  cos2 x  sin2 x  2 cos2 x 1  1  2 sin2 x tan2x  2tanx 1 - tan2x sin2 x  1 (1  cos 2x) 2 cos2 x  1 (1  cos 2 x ) 2 K1 cos x  K2 sin x  K12  K 2 cos x  tan1  K2  2 K1 e jx  cos x  j sin x (Euler' s formular) cos x  e jx  e jx 2 sin x  e jx  e jx 2j 1rad  57.296 ค.4 ฟงั กช์ นั ไฮเพอรโ์ บลิก (Hyperbolic Functions) sinh x  1 (ex  e x ) 2 cosh x  1 (ex  ex ) 2 tanh x  sinh x cosh x

279 coth x  1 tanh x csc hx  1 sinh x sec hx  1 cosh x sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y ค.5 อนพุ ันธ์ (Derivatives) ถ้า U = U(x), V = V(x) และ a = constant d ( aU )  a dU dx dx d (UV )  U dV V dU dx dx dx d  U  V dU U dV dx  V  dx dx  V2 d (aUn )  naU n1 dU dx dx d (aU )  aU ln a dU dx dx d (eU )  eU dU dx dx d (sinU)  cos U dU dx dx d (cos U)   sinU dU dx dx

280 ค.6 ปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขต (Indefinite Integrals) ถา้ U = U(x), V = V(x) และ a = constant  a dx  ax  c U dV  UV  V dU (integration by parts) Un1  C, Un dU  n1 n1  dU  lnU  C U aU  C,  aU dU  ln a a  0, a  1  eax dx  1 eax  C a eax  xeax dx  a2 (ax  1)  C  x2eax dx  eax (a2 x 2  2ax  2)  C a3 ln x dx  x ln x  x  C 1  sinax dx   a cos ax  C  cos ax dx  1 sin ax  C a x sin2ax  sin2 ax dx  2  4a  C  cos2 ax dx  x  sin2ax  C 2 4a 1  x sinax dx  a2 (sin ax  ax cos ax )  C  x cos ax dx  1 (cos ax  ax sin ax )  C a2 1  x2 sinax dx  a3 (2ax sin ax  2 cos ax  a2 x 2 cos ax )  C  x2 cos ax dx  1 (2ax cos ax  2 sin ax  a2 x 2 sin ax )  C a3

 eax sinbx dx  eax (a sin bx  b cos bx )  C 281 a2  b2 eax a2  b2  eax cos bx dx  a2  b2 (a cos bx  b sin bx )  C a2  b2 a2  b2  sinax sinbx dx  sin(a  b)x  sin(a  b)x  C, 2(a  b) 2(a  b) cos(a  b) x cos(a  b) x  sinax cos bx dx   2(a  b)  2(a  b)  C,  cos ax cos bx dx  sin(a  b)x  sin(a  b) x  C, 2(a  b) 2(a  b) dx 1 x  a2  x 2  a tan1 a  C  x 2dx 2  x  a tan1 x  C a2 x a dx 1 x 1 x  2a2  x2  a2  a tan1 a   C  (a2  x2)2   ค.7 ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต (Definite Integrals) ถา้ m และ n เปน็ จานวนเตม็ 2 sin axdx  0 0 2 cos axdx  0 0  0 sin2 axdx  0 cos2 axdx  2 0 sinmx sinnxdx  0 cos mx cos nxdx  0, m  n 0, m  n  even 0 sinmx cos nxdx   2m , m  n  odd m2  n2 2 0, mn sin mx sin nxdx   sin mx sin nxdx   mn 0  0 sin ax dx  0, / 2, a0 x  / 2, a0 a0

282 ค.8 กฏของโลปิตาล (L’Hopital’s Rule) ถา้ f(0) = 0 = h(0) ดงั น้นั lim f ( x)  lim f '( x) x0 h( x) x0 h' ( x) โดยที่ f’(x) และ h’(x) คอื อนุพันธ์ของ f (x) และ h (x) ตามลาดบั

283 ภาคผนวก ง PSpice Student Version ง.1 บทนา โปรแกรมคอมพิวเตอร์สาเร็จภาพใช้สาหรับการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าท่ีนิยมใช้กันอย่างกว้างขวาง คือ PSpice ซ่ึงโปรแกรมสาหรับจาลองเหตุการณ์ในวงจรไฟฟา้ รวมทั้งวงจรรวม (IC) โปรแกรม PSpice พัฒนาข้ึน โดย ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ในปี 1970 บนคอมพิวเตอร์ เมนเฟรม และไดถ้ ูกพัฒนาใหท้ างานบนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยบรษิ ัท microSIM และเร่ิมใชง้ านในปี ค.ศ. 1984 ปัจจุบันโปรแกรม PSpice ได้รับการพัฒนาโดยบริษัท OrCAD and cadence ซ่ึงสามารถใช้งานได้ หลากหลายระบบปฏบิ ัติการมากยงิ่ ขน้ึ และเปน็ ท่รี จู้ กั ในชือ่ OrCAD PSpice สถานศึกษาด้านวศิ วกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอรท์ ่ัวโลก มกี ารใชง้ าน PSpice ในด้านตา่ ง ๆ ดงั น้ี การ เรียนการสอนในชั้นเรียน โครงงานปฏิบัติการ และการวิจัยพัฒนา ซ่ึง PSpice จะช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมการ ทางานของอุปกรณ์ โครงข่าย และวงจรไฟฟ้าที่พิจารณาได้ เน่ืองจาก PSpice มีองค์ประกอบทางไฟฟ้าและ วงจรรวม รวมถึงเง่ือนไขการจาลองเหตุการณ์ท่ีครอบคลุมการวิจัยและพัฒนาทางด้านวงจรไฟฟ้า อิเลก็ ทรอนิกส์ และคอมพิวเตอร์ แต่สาหรับนักเรียน นักศึกษา หรือผู้สนใจท่ีจะจาลองเหตุการณ์ในวงจรไฟฟ้า ท่ีประกอบไปด้วยองค์ประกอบทางไฟฟ้าจานวนไม่มาก บริษัท OrCAD ได้ให้การสนับสนุนโดยมีบริการดาวน์ โหลดฟรีในช่อื โปรแกรมวา่ PSpice student version ปจั จบุ ันเป็นเวอรช์ นั 9.1 ง.2 เร่มิ ตน้ ใช้งาน PSpice หลังจากดาวน์โหลดและติดตั้งโปรแกรม PSpice ลงบนคอมพิวเตอร์แล้วเสร็จ การใช้งานโปรแกรม PSpice มี 3 ขั้นตอนหลัก ๆ คือ 1) วาดภาพวงจร 2) จาลองเหตุการณ์ของวงจร และ 3) แสดงผลการจาลอง เหตกุ ารณ์ของวงจร โดยเนือ้ หาในส่วนนี้จะนาเสนอการใช้งานโปรแกรม Schematics ของ PSpice เป็นอนั ดับ แรก หนา้ ต่างโปรแกรม Schematics แสดงดังภาพ ง.1 ก่อนท่ีจะเริ่มต้นวิเคราะห์วงจรโดยใช้ Schematics ควรเข้าใจความหมายของคาสั่งการใช้เมาส์ สาหรับดาเนินการบนหน้าต่างของโปรแกรม Schematics เสียก่อน โดยหนังสือเล่มน้ีจะใช้คาสั่งเหล่าน้ีตลอด ทั้งเลม่ สาสงั่ การใชเ้ มาส์ดาเนนิ การต่าง ๆ มีความหมาย ดังนี้ CLICKL : คลิกซ้ายเพื่อเลือกองคป์ ระกอบ CLICKR : คลกิ ขวาเพื่อยกเลกิ รปู แบบการทางาน DCLICKL : ดบั เบล้ิ คลกิ ซา้ ยเพอ่ื แกไ้ ของคป์ ระกอบทเ่ี ลือก หรอื จบการดาเนนิ การ DCLICKR : ดบั เบล้ิ คลกิ ขวาเพอ่ื ทาซา้ การดาเนนิ การกอ่ นหนา้ น้ี

284 CLICKLH : คลิกซ้ายค้างไว้และเคล่ือนท่ีเมาส์เพื่อเปลี่ยนตาแหน่งขององค์ประกอบ และปล่อยเมาส์ เมื่อองค์ประกอบอยใู่ นตาแหนง่ ทตี่ ้องการ DRAG : ลากเมาส์โดยไม่ตอ้ งคลิกเพ่ือเปล่ียนการดาเนินการกับองคป์ ระกอบอืน่ ภาพ ง.1 หนา้ ตา่ งโปรแกรม Schematics ภาพ ง.1 คือ หน้าต่างโปรแกรม Schematics ท่ีเปิดข้ึน โดยจะมีช่ือไฟล์เป็น Schematic1 p.1 การ สร้างวงจรบน Schematics มี 3 ข้ันตอน คือ 1) วางองค์ประกอบหรืออุปกรณ์ของวงจร 2) เชื่อมต่อแต่ละ อปุ กรณ์เขา้ ดว้ ยกนั (ตอ่ สายตัวนา) และ 3) เปลีย่ นแปลงหรอื แกไ้ ขคุณลักษณะของอปุ กรณ์ต่าง ๆ Get New Part ภาพ ง.2 การเลือกเมนกู ารเลอื กอุปกรณ์ (Draw/Get New Part)

285 ข้ันตอนที่ 1 วางอุปกรณ์ มลี าดับขน้ั การทางาน ดังน้ี 1. เลอื ก Draw/Get New Part (คลกิ ที่เมนู Draw และเมนยู ่อย Get New Part) หรือกดป่มุ Ctrl+G บนคีย์บอร์ด หรือเลือกไอคอน บนเมนูบาร์ ดังภาพ ง.2 2. ใช้แถบเลื่อนเพ่ือเลือกอุปกรณ์ท่ีจะวาง หรือพิมพ์ในช่อง Part Name ดังภาพ ง.3 และภาพ ง.4 แสดงตัวอย่างสัญลักษณ์ของอุปกรณ์ เช่น ตัวต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนา กราวนด์แอนาลอก และ แหลง่ จา่ ยอสิ ระ 3. คลิก Place & Close หรอื กดปุ่ม Enter บนคียบ์ อรด์ 4. DRAG อปุ กรณ์เคลือ่ นทไี่ ปวางในตาแหนง่ ท่ีต้องการ 5. CLICKR เพอื่ ยกเลิกการเคลอ่ื นท่อี ปุ กรณ์ ในกรณีทต่ี ้องการหมุนอปุ กรณ์ 90o จะทาไดโ้ ดย เลือกอุปกรณ์และคลิก Edit/Rotate หรือกด Ctrl+R และในกรณีทตี่ อ้ งการลบอุปกรณใ์ ห้เลือกอปุ กรณ์และคลิก Edit/Cut หรือกดปมุ่ Delete บนคีย์บอรด์ ภาพ ง.3 หนา้ ตา่ ง Part Browser Basic สาหรบั เลอื กอุปกรณ์

286 AGND ตวั ตา้ นทาน ตวั เก็บประจุ ตวั เหนย่ี วนา กราวนด์แอนาลอก VDC VAC VSIN VSRC (ก) (ข) (ค) (ง) แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟา้ IDC IAC ISIN ISRC (ก) (ข) (ค) (ง) แหล่งจ่ายกระแสไฟฟา้ ภาพ ง.4 อุปกรณ์พ้นื ฐานสาหรบั การวเิ คราะห์วงจร (ก) กระแสตรงเทา่ นนั้ (ข) กระแสสลบั เทา่ นั้น (ค) กระแสตรงหรือกระแสสลับ (ง) กระแสตรง กระแสสลับ หรือทรานเช้ยี นท์ ข้ันตอนท่ี 2 เชื่อมต่ออุปกรณ์เข้าด้วยกัน ทาได้โดย คลิก Draw/Wire หรือกดปุ่ม Ctrl+W จะปรากฏ เคอร์เซอร์ภาพดินสอข้ึนมาที่หน้าจอ Schematics ให้ DRAG เมาส์ไปยังขาของอุปกรณ์ท่ีต้องการจะเช่ือมต่อ แล้ว CLICKL จากนัน้ DRAG เมาสไ์ ปที่ขาของอปุ กรณ์อกี ตัวหนง่ึ แล้ว CLICKL เพ่อื เช่ือมตอ่ เม่ือต้องการยกเลิก การทางานให้คลิก CLICKR และหากต้องการลบให้คลิก Edit/Cut หรือกดปุ่ม Delete บนคีย์บอร์ด หลังจาก เช่ือมต่อสายตัวนาครบท้ังวงจรแล้วจะต้องกาหนดโนดอ้างอิงหรือโนดกราวนด์ของวงจร โดยการวางอุปกรณ์ AGND และเชอื่ มตอ่ เขา้ กับวงจร ขอ้ สังเกต ง.1 โนดที่มีต้ังแต่ 3 กิ่งขึ้นไป Schematics จะแสดงเครื่องหมาย • ขึ้นมาโดยอัตโนมัติ หากโนดใดที่มี ตั้งแต่ 3 ก่ิงข้ึนไป แตไ่ มม่ เี ครื่องหมาย • จะตอ้ งทาการตรวจสอบอีกคร้งั วา่ ทาการเชอ่ื มต่อครบถ้วนแลว้ R และ C ไมม่ ีการระบหุ นว่ ย ในขณะที่ L และแหล่งจ่ายทางไฟฟา้ มกี ารระบหุ นว่ ย

287 ข้ันตอนที่ 3 เปล่ียนแปลงหรือแก้ไขคุณลักษณะของอุปกรณ์ต่าง ๆ คือ การเปล่ียนชื่อหรือขนาดของ อุปกรณ์ ทาได้โดย DCLICKL ท่ีชื่อ หรือขนาดของอุปกรณ์น้ัน ๆ ตัวอย่างเช่น จากภาพ ง.4 ตัวต้านทาน R2 ขนาด 1k กรณีต้องการเปลี่ยนชื่อเป็น RX ทาได้โดยการ DCLICKL ที่ช่ือของ R2 ซึ่งจะปรากฏหน้าต่าง Edit Reference Designator ขึ้นมา ให้การพิมพ์ RX ลงในช่อง Package Reference Designator แล้วคลิกปุ่ม OK ดังภาพ ง.5 (ก) ชื่อของ R2 ก็จะเป็นเปลี่ยนเป็น RX กรณีต้องการจะเปล่ียนขนาดตัวต้านทาน R2 เป็น 5M ทาได้โดย DCLICKL ที่ขนาดของ R2 (1k) ซ่ึงจะปรากฏหน้าต่าง Set Attribute Value ข้ึนมา ให้พิมพ์ 1MEG ลงในช่อง Value แล้วคลิกป่มุ OK ดงั ภาพ ง.5 (ข) ขนาดของ R2 ก็จะเปน็ เปลย่ี นเปน็ 5MEG R X 5MEG (ก) (ข) ภาพ ง.5 (ก) เปลี่ยนช่ือจาก R2 เป็น RX (ข) เปล่ยี นขนาดจาก 1k เป็น 5M ข้อสังเกต ง.2 สัญลักษณ์ของคาอุปสรรค์ตามระบบ SI ของ mega (106) คือ M แต่ตัวอย่างได้ใช้ MEG แทน ทั้งน้ี เน่ืองจากโปรแกรม PSpice จะไม่พิจารณาตัวอักษรพิมพ์เล็กหรือพิมพ์ใหญ่ ทั้งนี้ตัวอักษร M หรือ m จะแทน สญั ลักษณข์ องคาอปุ สรรค์ milli (10-3) และ u หรอื U แทน micro (10-6) ตัวอย่าง ง.1 จากภาพ ง.6 วาดวงจรโดยใช้ Schematics 2  V1  _ 12 V V2 4   ภาพ ง.6 สาหรบั ตวั อย่าง ง.1

288 วิธีทา หลังจากเปิดโปรแกรม Schematics แล้ว จะปรากฏหน้าต่างโปรแกรม Schematics เช่นเดียวกับ หนา้ ต่าง ภาพ ง.1 จากน้นั ทาตามข้ันตอนตามหัวข้อ ง.2 ดงั น้ี การวางแหลง่ จา่ ยแรงดันไฟฟา้ ทาได้โดย 1. คลิก Draw/Get New Part (หรือกดป่มุ Ctrl+G) 2. พมิ พ์ VSRC ในหน้าตา่ ง Part Browser Basic 3. คลิก OK (หรือกดปุ่ม Enter) 4. DRAG อุปกรณไ์ ปวางในตาแหนง่ ที่ตอ้ งการบนหนา้ ต่างของ Schematics 5. CLICKL เพ่อื วาง VSRC และ CLICKR เมื่อวางแลว้ เสร็จ การวางตัวตา้ นทาน ทาไดโ้ ดย 1. คลกิ Draw/Get New Part. 2. พิมพ์ R ในหนา้ ต่าง Part Browser Basic 3. คลิก OK 4. DRAG ตวั ต้านทาน R1 ไปวางในตาแหนง่ ที่ตอ้ งการบนหน้าต่างของ Schematics 5. CLICKL เพ่อื วาง R1 6. CLICKL เพอ่ื วาง R2 และ CLICKR เมอ่ื วางแล้วเสรจ็ 7. DRAG R2 ไปวางในตาแหน่งท่ีต้องการ 8. Edit/Rotate (หรือกดป่มุ Ctrl+R) เพื่อหมนุ R2 จะไดด้ งั ภาพ ง.7 (ก) การเชอ่ื มตอ่ แตล่ ะอปุ กรณเ์ ขาดว้ ยกนั ทาไดโ้ ดย 1. คลิก Draw/Wire หรอื กดปุม่ Ctrl+W จะปรากฏเคอรเ์ ซอรภ์ าพดินสอขนึ้ มา 2. DRAG ดนิ สอไปที่ขาดา้ นบนของ V1 3. CLICKL เพอื่ ตอ่ สายไฟเขา้ ท่ขี าบนของ V1 4. DRAG ดินสอไปยังขาด้านซา้ ยของ R1 แล้ว CLICKL และทาจนครบทุกอปุ กรณ์ (ครบลูป หรือเมซ) CLICKR เพ่อื สิ้นสดุ ขนั้ ตอนการวาง การวางกราวนด์ ทาไดโ้ ดย 1. คลกิ Draw/Get New Part 2. พิมพ์ AGND ในหนา้ ต่าง Part Browser Basic

289 3. คลกิ OK 4. DRAG AGND ไปวางในตาแหนง่ ทตี่ อ้ งการ 5. CLICKL เพื่อวาง AGND และ CLICKR สน้ิ สดุ การทางาน จะได้ดงั ภาพ ง.7 (ข) การกาหนดขนาดของแหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟ้า V1 เป็น 12 V ทาได้โดย 1. DCLICKL บนสญั ลกั ษณข์ อง V1 เพอ่ื เปิดหนา้ ต่าง PartName 2. CLICKL ที่ DC = 3. พิมพ์ +12 (หรอื 12) ในชอ่ ง Value 4. คลิก Save Attr 5. คลกิ OK การกาหนดขนาดของตัวตา้ นทาน R1 เป็น 5k ทาไดโ้ ดย 1. DCLICKL ท่ีขนาดของ R1 โดยปกติโปรแกรมจะกาหนดค่าเริ่มต้นเป็น 1k เพื่อเปิดหน้าต่าง Set Attribute Value 2. พมิ พ์ 5k ลงในชอ่ ง Value 3. คลกิ OK การกาหนดขนาดของ R2 ทาเชน่ เดยี วกันกับ R1 จะไดด้ งั ภาพ ง.7 (ค) (ก) (ข) (ค) ภาพ ง.7 ภาพวาดบน Schematics ของวงจรตามภาพ ง.6 ง.3 การวิเคราะห์กระแสตรง การวิเคราะห์กระแสตรง (DC Analysis) เป็นการวิเคราะห์พื้นฐานท่ีสาคัญบน PSpice แบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ 1) การวิเคราะห์โนดกระแสตรง (DC Nodal Analysis) และ 2) การกวาดกระแสตรง (DC Sweep)

290 1. การวิเคราะห์โนดกระแสตรง คือ การวิเคราะห์หาค่าแรงดันไฟฟ้าท่ีโนด และกระแสไฟฟ้าที่กิ่งในวงจร การดูหรือพิจารณาค่า แรงดันไฟฟ้าท่ีโนด จะใช้ VIEWPOINT เช่ือมต่อเข้ากับโนดท่ีสนใจ และกระแสไฟฟ้าที่ก่ิงในวงจร จะใช้ IPROBE เช่ือมต่อเข้าไปในกิ่งที่สนใจ สัญลักษณ์ของ voltage VIEWPOINT และ current IPROBE แสดงดัง ภาพ ง.8 การวางอุปกรณ์ VIEWPOINT และ IPROBE ทาได้เช่นเดียวกับการวางตัวต้านทาน หรือแหล่งจ่าย แรงดันไฟฟา้ ตัวอย่างการวางอุปกรณ์ในวงจรแสดงดงั ภาพ ง.9 (ก) (ข) ภาพ ง.8 สญั ลกั ษณ์ของ (ก) voltage VIEWPOINT และ (ข) current IPROBE ภาพ ง.9 ตวั อยา่ งการวาง VIEWPOINT และ IPROBE ในวงจรภาพ ง.7 แหล่งจ่ายไม่อิสระหรือแหล่งจ่ายพ่ึงพิงสามารถเลือกนามาใช้ได้ด้วยวิธีเดียวกันกับดังท่ีกล่าวมาแล้ว สญั ลกั ษณ์ของแหลง่ จ่ายไม่อสิ ระ แสดงดงั ภาพ ง.10 (ก) (ข) (ค) (ง) ภาพ ง.10 สัญลกั ษณ์ของแหล่งจา่ ยไม่อสิ ระ (ก) แหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟ้าทค่ี วบคุมด้วยแรงดนั ไฟฟ้า (VCVS) E1 อัตราขยายเทา่ กับ E (ข) แหล่งจ่ายกระแสไฟฟา้ ที่ควบคมุ ด้วยกระแสไฟฟ้า (CCCS) F1 อัตราขยายเท่ากับ F