دليل أول ثانوي علمي

‫د) �صف ًرا‬ ‫‪ )2‬جا‪� 2‬س ‪ +‬جتا‪� 2‬س ت�ساوي‪:‬‬ ‫�أ) جا� س ب) جتا�س جـ ) ‪ 1‬‬ ‫‪� )3‬إذا كان جا�س = ‪ ، 0.8‬فما قيمة ظا�س؟‬ ‫‪4‬‬ ‫د)‬ ‫ب) ‪ 0 .36‬ج) ‪ 0.6‬‬ ‫أ�) ‪ 43‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� )4‬سلم طوله ‪ 10‬م ‪ ،‬يرتكز �إلى حائط عمودي‪� ،‬إذا كانت الم�سافة بين طرف ال�سلم ال�سفلي والحائط ‪ 6‬م‪،‬‬ ‫فما البعد بالأمتار بين الطرف العلوي لل�سلم وا ألر�ض؟‬ ‫�أ) ‪ 12‬ب) ‪ 6‬جـ) ‪ 5‬د) ‪8‬‬ ‫‪149‬‬

‫إجابات تهيئة الوحدة‬ ‫ال�س�ؤال ا ألول‪:‬‬ ‫�أ ) �س = ‪3‬‬ ‫ب) �س = ‪0 ،2- ،3-‬‬ ‫جـ) �س = ‪4 ،0‬‬ ‫د ) �س= ‪3‬‬ ‫هـ) �س= ‪2 ، 2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫ب) ‪ 32‬‬ ‫ال�س�ؤال الثاني‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫هـ) ‪ 21‬‬ ‫أ� ) ‪ 0.5‬‬ ‫د ) ‪ 2‬‬ ‫و ) �صفر‬ ‫ح) �صفر ‬ ‫ز ) ‪ 1‬‬ ‫ط)‪1‬‬ ‫‪5 )2‬‬ ‫ال�س�ؤال الثالث‪:‬‬ ‫‪0.6 )1‬‬ ‫ال�س�ؤال الرابع‪:‬‬ ‫‪� 13‬سم‬ ‫ال�س ؤ�ال الخام�س‪:‬‬ ‫رقم الفقرة ‪4 3 2 1‬‬ ‫رمز الإجابة جـ جـ د د‬ ‫‪150‬‬

‫عدد الح�ص�ص ‪4‬‬ ‫الف�صل ا ألول‪ :‬التقدير الدائري والقياس الستيني‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪ -‬يتعرف الزاوية في الو�ضع القيا�سي‪.‬‬ ‫‪ -‬ير�سم زاوية في الو�ضع القيا�سي وب�أو�ضاع مختلفة‪.‬‬ ‫‪ -‬يتعرف القيا�س ال�سالب والموجب للزوايا‪.‬‬ ‫‪ -‬يتعرف التقدير الدائري والقيا�س ال�ستيني‪.‬‬ ‫‪ -‬يحول الزوايا من التقدير الدائري إ�لى القيا�س ال�ستيني وبالعك�س‪.‬‬ ‫‪ -‬ي�ستخدم التقدير الدائري لإيجاد طول القو�س في الدائرة‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫‪ -‬التقدير الدائري‪ ،‬القيا�س ال�ستيني‪ ،‬راديان‪� ،‬ضلع الابتداء‪� ،‬ضلع الانتهاء‪ ،‬الو�ضع القيا�سي‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪ -‬الم�ستوى البياني في ال�صف ال�ساد�س‪.‬‬ ‫‪ -‬الزاوية وانواعها في ال�صف ال�سابع‪.‬‬ ‫‪ -‬القيا�س ال�ستيني للزاوية والن�سب المثلثية في ال�صفين التا�سع والعا�شر‪.‬‬ ‫‪ -‬زاوية المرجع في ال�صف العا�شر ‪.‬‬ ‫التكامل ا ألفقي‬ ‫‪ -‬ا�ستخدام الن�سب المثلثية في مو�ضوع تحليل المتجهات وال�ضرب النقطي وال�ضرب التقاطعي في مبحث‬ ‫الفيزياء في ال�صف الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪-‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)161 -154‬‬ ‫‪ -‬مفهوم الزاوية‪ ،‬الم�ستوى البياني‪.‬‬ ‫ا�ستراتجيات التدري�س‬ ‫‪ -‬التدري�س المبا�شر( العمل في الكتاب المدر�سي)‪ ،‬التعلم التعاوني(العمل في مجموعات)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫‪151‬‬

‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪ - 1‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة الطلبة فيما يلي‪ :‬مفهوم الزاوية‪ ،‬القيا�س ال�ستيني للزوايا‪.‬‬ ‫‪ - 2‬تقديم مفهوم الزاوية في الو�ضع القيا�سي من خلال ا�ستراتيجية المثال واللامثال حيث يتم ر�سم مجموعتين‬ ‫من الزوايا على اللوح‪ ،‬ا ألولى في الو�ضع القيا�سي‪ ،‬والثانية لي�ست في الو�ضع القيا�سي‪.‬‬ ‫( المجموعة الثانية)‬ ‫( المجموعة ا ألولى)‬ ‫‪ - 3‬طرح �أ�سئلة على الطلبة عن العلاقة بين �أ�شكال الزوايا في المجموعة ا ألولى(في الو�ضع القيا�سي)‪،‬‬ ‫والعلاقة بين �أ�شكال الزوايا في المجموعة الثانية(الو�ضع غير القيا�سي)‪ ،‬الا�ستماع إلجابات الطلبة مع‬ ‫مراعاة تبرير كل إ�جابة‪ ،‬ثم ا�ستدراج الطلبة �إلى تعريف الو�ضع القيا�سي للزاوية‪.‬‬ ‫‪ - 4‬كتابة التعريف على اللوح‪ ،‬وتكليف أ�كثر من طالب قراءته ب�صوت عال‪.‬‬ ‫‪ - 5‬تدريب الطلبة على ر�سم الزاوية في الو�ضع القيا�سي‪ ،‬وتحديد الربع الذي يقع فيه �ضلع الانتهاء من‬ ‫خلال مناق�شة مثال ‪ ، 1‬وتو�ضيح أ�نه قد ت�شترك أ�كثر من زاوية في �ضلع الانتهاء مثل الزاوية (‪،)530‬‬ ‫والزاوية (‪ ، )5330-‬و أ�ي زاوية تكتب على ال�صورة (‪ × 5360 + 530‬ن ) حيث ن عدد �صحيح‪.‬‬ ‫‪ - 6‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات غير متجان�سة وتكليفهم بحل تدريب(‪.)1‬‬ ‫‪ - 7‬متابعة الطلبة وملاحظة حلولهم ومناق�شاتهم �ضمن المجموعات‪.‬‬ ‫‪ - 8‬تعبئة أ�داة تقييم عمل المجموعات‪ ،‬وتقديم الدعم للطلبة‪.‬‬ ‫‪ - 9‬تكليف المجموعات بعر�ض أ�عمالها ومناق�شتها على اللوح‪.‬‬ ‫‪ -10‬ر�سم دائرة الوحدة على اللوح ثم تقديم مفهوم الراديان‪ ،‬وبيان الفرق بين القيا�س ال�ستيني‪ ،‬والتقدير‬ ‫الدائري في قيا�س الزوايا‪ ،‬وبيان كيفية التحويل بينهما من خلال مناق�شة المثالين (‪.)3( ،)2‬‬ ‫‪ -11‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )2‬للتحقق من فهمهم ‪ ،‬ومتابعتهم وتقديم الدعم و التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫‪152‬‬

‫‪ -12‬تقديم قانون طول القو�س في الدائرة بدلالة ن�صف القطر والزاوية المركزية من خلال تعريف الراديان‬ ‫ثم مناق�شة الطلبة في حل المثالين (‪)5(، )4‬؛ لتعميق فهمهم حول ا�ستخدام القانون‪.‬‬ ‫‪ -13‬مناق�شة الطلبة كيف يمكن ا�ستنتاج محيط دائرة ن�صف قطرها نق من خلال قانون طول القو�س‪.‬‬ ‫‪ -14‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )3‬على �شكل مجموعات‪.‬‬ ‫‪ -15‬ختم الدر�س من خلال توجيه ال�س ؤ�ال “ماذا تعلمنا اليوم”‪ ،‬وا�ستقبال �أكبر عدد ممكن من ا إلجابات‬ ‫(يمكن تكليف الطلبة بتعبئة نموذج و�صف �سير التعلم)‪.‬‬ ‫‪ -16‬تكليف الطلبة بحل التمارين والم�سائل (واجب بيتي) ومتابعتهم وتقديم الدعم و التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫هـ‬ ‫نق‪× 2‬هـ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -‬م�ساحة القطاع الدائري=‬ ‫‪2‬‬ ‫حيث هـ ‪:‬قيا�س زاوية القطاع بالتقدير الدائري‪.‬‬ ‫‪ -‬قيا�س الزاوية‪ ° 180‬بالتقدير الدائري هي ‪ π‬وهي تقري ًبا تعادل ‪.3.14‬‬ ‫‪ -‬العدد ‪ π‬عدد غير ن�سبي ‪ ،‬أ�ي �أنه عدد غير دوري وغير منت ٍه ‪ ،‬والقيمة ‪ 3.14‬قيمة تقريبية‪.‬‬ ‫‪ -‬يوجد ثلاثة أ�نظمة لقيا�س الزوايا‪:‬‬ ‫�أ ) النظام ال�ستيني‪ :‬وفيه تق�سم الدائرة إ�لى ‪ 360‬ق�سم‪ ،‬ي�سمى الجزء الواحد منها بالدرجة ال�ستينية ويرمز‬ ‫لها بالرمز( ‪ ، )°‬و تق�سم الدرجة إ�لى ‪ 60‬جز ًءا ي�سمى كل جزء فيها بالدقيقة ويرمز لها بالرمز (‪)/‬‬ ‫وتق�سم الدقيقة �إلى ‪ 60‬جزء ي�سمى كل جزء بالثانية ويرمز لها بالرمز (‪.)//‬‬ ‫درجة = ‪ 60‬دقيقة = ‪ 3600‬ثانية‪.‬‬ ‫ب) النظام المئوي وفيه تق�سم الدائرة إ�لى ‪ 400‬جزء‪ ،‬ي�سمى الجزء الواحد بالدرجة المئوية ‪ ،‬وتق�سم‬ ‫الدرجة المئوية الواحدة إ�لى ‪ 100‬جزء ي�سمى الجزء الواحد بالدقيقة المئوية‪ ،‬وتق�سم الدقيقة المئوية‬ ‫الواحدة الى ‪ 100‬جزء ي�سمى بالثانية المئوية‪.‬‬ ‫الدرجة المئوية = ‪ 100‬دقيقة مئوية = ‪ 10000‬ثانية مئوية‪.‬‬ ‫جـ) النظام الدائري‪ :‬تقا�س الزاوية بوحدة الراديان‪ ،‬والراديان هو الزاوية المركزية التي تح�صر قو�ًسا من‬ ‫دائرة طوله مطابق لطول ن�صف قطر تلك الدائرة‪.‬‬ ‫‪ -‬أ�ي زاوية مركزية بالراديان ت�ساوي‪ :‬الن�سبة بين طول القو�س المقابل لها ون�صف قطر الدائرة ‪.‬‬ ‫‪153‬‬

‫الأخطاء ال�شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في تحديد اتجاه دوران الزاوية �سواء كانت بالقيا�س الموجب �أو القيا�س ال�سالب‪.‬‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة عند �إيجاد طول القو�س في الدائرة ‪،‬حيث لا يحولون الزاوية المركزية �إلى التقدير‬ ‫الدائري‪.‬يمكن تفادي وقوع الطلبة في تلك الأخطاء من خلال التنبيه إ�ليها أ�ثناء تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ -‬ار�سم الزوايا الآتية في الو�ضع القيا�سي‪5120- ،5310 ،5200 ، 5130:‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫�إثراء‬ ‫‪ -‬جد زاوية بالقيا�س ال�سالب و�أخرى بالقيا�س الموجب لها نف�س �ضلع الانتهاء لكل من الزوايا ا آلتية‪:‬‬ ‫‪5655 ، 5340 ، 5660 ، 5130-‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ ‪ 52 30 + ، 5490- : 5130-‬‬ ‫‪5300 ، 560- : 5660‬‬ ‫ ‪ 5720 ، 520- :5340‬‬ ‫‪5195 ، 5165- :5655‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم ‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫أ�دوات التقويم ‪� :‬سلم التقدير العددي (‪ )1-4‬البند (‪ ،)1‬قائمة الر�صد (‪� ،)2-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)3-1‬‬ ‫‪154‬‬

‫إجابات الأسئلة والأنشطة‬ ‫‪ )3‬في الربع الثاني‬ ‫‪ )2‬ينطبق على محور ال�سينات ال�سالب‬ ‫التدريبات‬ ‫تدريب ‪1‬‬ ‫‪ )1‬الربع الأول‬ ‫‪π11‬‬ ‫جـ)‬ ‫ ‬ ‫ب) ‪ π 4‬‬ ‫ت‪1‬د)ر�أي)ب‪ π245‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‬ ‫ب) ‪ 5135‬‬ ‫‪� )2‬أ) ‪ 5210‬‬ ‫جـ) ‪51260‬‬ ‫تدريب ‪3‬‬ ‫‪� 12.56 = 3.14 ×4 = π 4‬سم‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫جـ) ‪5135-‬‬ ‫‪� )1‬أ) ‪ 5114.6‬ب) ‪ 52250‬‬ ‫‪π65‬‬ ‫جـ)‬ ‫ ‬ ‫ب) ‪ π1681‬‬ ‫ ‬ ‫‪π4-‬‬ ‫�أ)‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪� )3‬أ) الزاوية د ب هـ = ‪ 5120‬ب) الزاوية د ب جـ = ‪5140-‬‬ ‫‪ )4‬ل‪ – 2‬ل‪ π = π 33 - π 34 = 1‬م‬ ‫‪� 5 )5‬سم‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1π256‬‬ ‫�سم‬ ‫‪ )7‬طول القطر =‬ ‫‪ )8‬نعم يمكن ‪ ،‬هـ = ‪4‬راد‬ ‫‪ )9‬قيا�س الزوايا بالقيا�س ال�ستيني‪590 ، 554 ، 536 :‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫قيا�س الزوايا بالتقدير الدائري‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪155‬‬

‫عدد الح�ص�ص ‪5‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬قوانين الاقترانات المثلثية‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪ -‬يتعرف قوانين الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫‪ -‬يجد قيمة اقتران مثلثي لزاوية معطاة‪.‬‬ ‫‪ -‬يتعرف زاوية المرجع‪.‬‬ ‫‪ -‬يح�سب قيمة اقتران مثلثي با�ستخدام زاوية المرجع‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫‪ -‬الاقتران المثلثي‪ ،‬زاوية المرجع‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪ -‬مبرهنة فيثاغور�س في ال�صف الثامن‪.‬‬ ‫‪ -‬ت�شابه المثلثات في ال�صف التا�سع‪.‬‬ ‫‪ -‬الاقترانات المثلثية في ال�صف العا�شر‪.‬‬ ‫التكامل الأفقي‬ ‫‪ -‬ا�ستخدام الاقترانات المثلثية في تحليل المتجهات‪ ،‬وال�ضرب النقطي وال�ضرب التقاطعي في مبحث الفيزياء‬ ‫في ال�صف الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪ -‬الاقترانات المثلثية‪ :‬الجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل‪ ،‬القاطع‪ ،‬قاطع التمام‪.‬‬ ‫‪ -‬مبرهنة فيثاغور�س‪ ،‬ت�شابه المثلثات‪ ،‬قيمة الاقترانات المثلثية للزوايا الخا�صة والزوايا الربعية‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪-‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)174 -162‬‬ ‫ا�ستراتجيات التدري�س‬ ‫‪ -‬التدري�س المبا�شر( العمل في الكتاب المدر�سي‪ ،‬ا أل�سئلة والأجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (التعلم التعاوني‬ ‫الجماعي)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫‪156‬‬

‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪ - 1‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة الطلبة في الاقترانات المثلثية (الجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل‪ ،‬القاطع‪،‬‬ ‫قاطع التمام‪ ،‬وظل التمام) ويمكن ر�سم ال�شكل(‪ )6-4‬من الكتاب المدر�سي على اللوح وطرح‬ ‫ال�س ؤ�ال التالي‪ :‬ما قيمة كل مما يلي‪:‬‬ ‫جا�س‪ ،‬جتا�س‪ ،‬ظا�س‪ ،‬قا�س‪ ،‬قتا�س‪ ،‬ظتا�س؟‬ ‫‪ - 2‬ا�ستقبال الإجابات ومناق�شتها‪ ،‬وت�شجيع الطلبة على توجيه الأ�سئلة للمعلم ولزملائهم حول هذه‬ ‫الاقترانات‪.‬‬ ‫‪ - 3‬التطرق �إلى فقرة (فكر وناق�ش) �صفحة ‪ ،163‬وتنبيه الطلبة إ�لى الزوايا التي تكون عندها الاقترانات‬ ‫المثلثية (الظل‪ ،‬ظل التمام‪ ،‬القاطع ‪ ،‬قاطع التمام) غير معرفة‪.‬‬ ‫‪ - 4‬ر�سم دائرة الوحدة على اللوح لتقديم الزاوية في الو�ضع القيا�سي‪ ،‬و مناق�شة ال�شكل (‪)7-4‬من الكتاب‬ ‫المدر�سي لإثبات �أ َّن ا إلحداثي ال�سيني لنقطة تقاطع �ضلع الانتهاء للزاوية هـ في الو�ضع القيا�سي مع دائرة‬ ‫الوحدة هو جتاهـ ‪ ،‬و ا إلحداثي ال�صادي لنقطة تقاطع �ضلع الانتهاء للزاوية هـ في الو�ضع القيا�سي مع‬ ‫دائرة الوحدة هو جا هـ‪ .‬تنبيه الطلبة �إلى أ� َّن هذا التعميم غير �صحيح؛ �إذا لم تكن الدائرة دائرة وحدة‪.‬‬ ‫(ويمكن تذكير الطلبة أ�ن هذه المعلومات قد در�سوها �ساب ًقا في ال�صف العا�شر)‪.‬‬ ‫‪ - 5‬كتابة تعريف اقتران الجيب وجيب التمام على اللوح‪ ،‬ثم تكليف أ�كثر من طالب بالتحدث بلغته‬ ‫الخا�صة عن التعريف‪.‬‬ ‫‪ - 6‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات غير متجان�سة‪ ،‬وتكليفهم بحل ورقة العمل(‪ )1-4‬لا�ستنتاج المتطابقة‪:‬‬ ‫جـا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتـا‪ 2‬هـ = ‪1‬‬ ‫‪ - 7‬مناق�شة مثال (‪ )1‬لتدريب الطلبة على توظيف العلاقة‪ :‬جـا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتـا‪ 2‬هـ = ‪ 1‬إليجاد بع�ض الن�سب‬ ‫المثلثية �إذا علم أ�حدها‪ ،‬والتركيز على أ�نه يمكن حل المثال ب أ�كثر من طريقة ومناق�شة هذه الطرائق‬ ‫بم�شاركة الطلبة‪.‬‬ ‫‪ - 8‬تكليف الطلبة بمناق�شة تدريب (‪ )1‬وح ّل ِه؛ لقيا�س مدى فهمهم حول توظيف العلاقة‬ ‫جـا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتـا‪ 2‬هـ = ‪1‬؛ إليجاد بع�ض الن�سب المثلثية �إذا علم أ�حدها‪.‬‬ ‫‪ - 9‬مناق�شة مثال (‪ )2‬لتقديم فكرة �إيجاد ن�سب مثلثية إ�ذا علمت نقطة تقاطع �ضلع الانتهاء لزاوية مع‬ ‫دائرة‪ ،‬ولي�س من ال�ضروري �أن تكون هذه دائرة الوحدة‪.‬‬ ‫‪ -10‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )2‬لقيا�س قدرتهم على إ�يجاد ن�سب مثلثية؛ إ�ذا علمت نقطة تقاطع �ضلع‬ ‫الانتهاء لزاوية مع دائرة لي�ست دائرة الوحدة‪ ،‬متابعة حلول الطلبة وتقديم الدعم والتغذية الراجعة‬ ‫لهم‪.‬‬ ‫‪157‬‬

‫‪ -11‬ر�سم ال�شكل المجاور على اللوح ثم طرح ال�س�ؤال التالي‪:‬‬ ‫“هل يمكن �إيجاد الن�سب المثلثية للزاوية\"‪ \"5120‬؟‬ ‫‪ -12‬ا�ستقبال �إجابات الطلبة ثم تقديم مفهوم زاوية المرجع‪ ،‬وتقديم الأو�ضاع المختلفة لتلك الزاوية من‬ ‫خلال مناق�شة ال�شكل(‪ )11-4‬من الكتاب المدر�سي‪.‬‬ ‫‪ -13‬تنبيه الطلبة إ�لى �أن �إ�شارة الن�سب المثلية للزاوية في الو�ضع القيا�سي؛ تعتمد على الربع الذي يقع فيه‬ ‫�ضلع الانتهاء لهذه الزاوية‪ ،‬ويمكن الا�ستعانة بال�شكل (‪ )12-4‬من الكتاب لتو�ضيح ذلك‪.‬‬ ‫‪ -14‬مناق�شة مثال (‪ )3‬لتعميق فهم الطلبة حول إ�يجاد الن�سب المثلثية لزوايا في أ�و�ضاع مختلفة‪ ،‬وكيفية إ�يجاد‬ ‫زاوية المرجع‪ ،‬مع مراعاة توجيه الأ�سئلة في كل خطوة والا�ستماع إ�لى الإجابات وطرحها للنقا�ش‪.‬‬ ‫‪ -15‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )3‬لقيا�س قدرتهم على إ�يجاد زاوية المرجع‪ ،‬وتوظيفها إليجاد الن�سب المثلثية‪.‬‬ ‫‪ -16‬التطرق لمناق�شة فقرة \"فكر وناق�ش\" الواردة �صفحة ‪ 172‬لبيان أ�نه يمكن �إيجاد الن�سب المثلثية لزاوية‬ ‫يقع �ضلع الانتهاء لها في الربع الثاني بطريقتين‪.‬ثم توجيه �س�ؤال للطلبة‪“ :‬هل يمكن تعميم تلك الطريقة‬ ‫إ�ذا كان �ضلع الانتهاء يقع في الربع الثالث‪ ،‬أ�و الرابع”؟‬ ‫‪ -17‬الا�ستماع لإجابات الطلبة مع مراعاة تبرير كل إ�جابة وطرحها للنقا�ش إ�ن �أمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -18‬ختم الدر�س من خلال تكليف الطلبة بتعبئة نموذج �سجل و�صف �سير التعلم‪.‬‬ ‫‪ -19‬تكليف الطلبة بحل التمارين والم�سائل (واجب بيتي)‪ ،‬ومتابعة حلولهم وتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪ -‬اعتبر‪ ‬قدماء الم�صريين‪  ‬أ�ول من عمل بقواعد ح�ساب المثلثات؛ �إذ ا�ستخدموها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم‪.‬‬ ‫لكن قليلاً من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات‪ ،‬ويوجد لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة‪ ،‬منها ح�ساب‬ ‫الم�سافات والزوايا في إ�ن�شاء المباني والطرق وفي �صناعة المحركات و�أجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب‬ ‫الكرة‪ ،‬وكذلك وفي ح�ساب الم�سافات‪ ‬الجغرافية‪ ‬والفلك‪ ،‬وفي �أنظمة الا�ستك�شاف‪ ‬با ألقمار ال�صناعية‪.‬‬ ‫‪158‬‬

‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في إ�يجاد زاوية المرجع‬ ‫في ال�شكل المجاور‪ ،‬ويح�سبونها كما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪° 60 =° 210 – ° 270‬‬ ‫وفي ال�شكل المجاور قد يح�سبونها كما ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪560 = 5270 – 5330‬‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في تحديد إ��شارة الن�سب المثلثية في الأو�ضاع المختلفة للزاوية في و�ضعها القيا�سي‪.‬‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في ح�ساب الن�سب المثلثية لزاوية(هـ) يقطع �ضلع الانتهاء لها دائرة (لي�ست دائرة‬ ‫الوحدة) في نقطة (�س‪�،‬ص) ويعتبرون أ� َّن �س= جتاهـ ‪� ،‬ص= جاهـ‬ ‫‪ -‬يمكن تنبيه الطلبة لتلك ا ألخطاء النمطية أ�ثناء تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪� )1‬إذا كان جاهـ = ‪0.5‬؛ فجد قيمة جتاهـ‬ ‫‪ )2‬حدد الربع الذي يقع فيه �ضلع الانتهاء ثم جد زاوية المرجع لكل من الزوايا ا آلتية‪:‬‬ ‫‪5300 ، 5210 ، 5120‬‬ ‫‪ )3‬جد قيمة جتا ‪ ، 5150‬جا ‪5330‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬جتاهـ =‬ ‫‪ :5120 )2‬في الربع الثاني ‪ ،‬زاوية المرجع ‪560‬‬ ‫‪ : 5210‬في الربع الثالث ‪ ،‬زاوية المرجع ‪530‬‬ ‫‪ : 5300‬في الربع الرابع ‪ ،‬زاوية المرجع ‪560‬‬ ‫‪ )3‬جتا ‪ - = 5150‬جتا ‪32-- = 530‬‬ ‫جا ‪ - = 5330‬جا ‪0.5 - = 530‬‬ ‫‪159‬‬

‫‪ -‬هـ ) = ظتاهـ‬ ‫‪π‬‬ ‫�إثراء‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬أ�ثبت �أ َّن ظا(‬ ‫‪ )2‬أ�ثبت �أ َّن ‪ +1‬ظا‪ 2‬هـ = قا‪2‬هـ ‬ ‫‪ -‬هـ ) = قتاهـ‬ ‫‪π‬‬ ‫قــا(‬ ‫�أ َّن‬ ‫أ�ثبت‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )4‬إذا كان ‪2‬جتا هـ ‪ ، 0.7 = 0.1 +‬فجد قيمة ‪ 5 – 5 :‬حا‪2‬هـ‬ ‫= ظتاهـ‬ ‫جتا هـ‬ ‫=‬ ‫جا( ‪ - π 0.5‬هـ)‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫هـ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫جاهـ‬ ‫جتا( ‪ - π 0.5‬هـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬ظا(‬ ‫بتوحيد المقامات ينتج قا‪2‬هـ‬ ‫جا‪2‬هـ‬ ‫‪ +1 )2‬ظا‪ 2‬هـ = ‪+ 1‬‬ ‫جتا‪2‬هـ‬ ‫‪π‬‬ ‫هـ‬ ‫قتا‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ -‬هـ )‬ ‫‪2‬‬ ‫قــا(‬ ‫‪)3‬‬ ‫جاهـ‬ ‫‪ 5 – 5 )4‬حـا‪ 2‬هـ = ‪0.45 = 2)0.3 (5‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم ‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫�أدوات التقويم ‪� :‬سلم التقدير (‪ )1-4‬البند ‪ ،2‬قائمة الر�صد (‪� ،)2-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)3-1‬‬ ‫إجابات الأسئلة والأنشطة‬ ‫التدريبات‬ ‫تدريب ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ظاهـ=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ ،‬جتاهـ =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬جا هـ =‬ ‫‪5‬‬ ‫قاهـ =‬ ‫‪24‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫الحل الثاني �أن يكون �ضلع الانتهاء في الربع الثاني‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫ظا‬ ‫‪،‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ ،‬جتاهـ = ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬جاهـ =‬ ‫‪5-‬‬ ‫قاهـ =‬ ‫‪24‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪13‬‬ ‫تدريب ‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫قتاهـ =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬قاهـ =‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ ،‬ظتاهـ =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬ظاهـ =‬ ‫‪13‬‬ ‫جاهـ =‬ ‫‪160‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪- )3‬‬ ‫تدريب ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� )2 2 )1‬صفر‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ظاهـ=‬ ‫ب) قا هـ = ‪ 475 -‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪� )1‬أ) جاهـ = ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬جتا هـ =‬ ‫‪4‬‬ ‫د) جاهـ =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� )2‬أ ) جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪2‬هـ = ‪ 1‬بالق�سمة على جتا‪ 2‬هـ ينتج ‪ :‬ظا‪ 2‬هـ ‪ = 1 +‬قا‪ 2‬هـ‬ ‫ب) جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪2‬هـ = ‪ 1‬بالق�سمة على جا‪ 2‬هـ ينتج ‪ +1 :‬ظتا‪ 2‬هـ = قتا‪ 2‬هـ‬ ‫‪3‬‬ ‫) جا ‪ - = 5300‬جا ‪- = 560‬‬ ‫‪� )3‬أ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) جتا ‪ - = 5225‬جتا ‪- = 545‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 15‬‬ ‫= ‪ -‬ظا ‪ - = 5315‬ظا ‪1 - = 545‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جـ) ظـــا‬ ‫= ‪2-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬قا‬ ‫=‬ ‫‪π 2-‬‬ ‫قا‬ ‫=‬ ‫‪π 8-‬‬ ‫) قا‬ ‫د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -‬هـ )= جــــا هـ‬ ‫‪π‬‬ ‫ب) جتــــا (‬ ‫‪ -‬هـ ) = جتــــا هـ ‬ ‫‪π‬‬ ‫) جــــا (‬ ‫‪� )4‬أ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫د ) قتــــا (‪ + 5180‬هـ)= ‪ -‬قتا هـ‬ ‫‪ -‬هـــ ) = ظتـــا هــ ‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ) ظــــا (‬ ‫و ) جتــــا (‪ – π‬هـ ) = ‪ -‬جتا هـ‬ ‫هـ) ظـــتا( ‪ - 5360‬هـ) = ‪ -‬ظتاهـ ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪ )5‬عند المد ‪ :‬د = ‪ 11‬عندما قيمة جيب التمام ‪،1‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥- ٠‬‬ ‫عند الجزر ‪ :‬د= ‪ 5‬عندما قيمة جيب التمام ‪1-‬‬ ‫(انظر ال�شكل المجاور الذي يمثل منحنى‪:‬‬ ‫ن‬ ‫))‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫جتـــا‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫‪8‬‬ ‫د=‬ ‫‪٥ ١٠‬‬ ‫لاحظ أ� َّن �أكبر قيمة هي ‪ ، 11‬و�أ�صغر قيمة هي ‪5‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪161 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ظاهـ‬ ‫قتاهـ جاهـ‬ ‫)‬ ‫‪� )6‬أ‬ ‫ظتاهـ‬ ‫جتا‪2‬هـ) = ظاهـ‬ ‫‪–1‬‬ ‫×(‬ ‫قاهـ‬ ‫ب)‬ ‫‪π‬‬ ‫جاهـ‬ ‫جـ)‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫جاهـ ‪1 -‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫جا (‪-‬‬ ‫هـ)‬ ‫‪�)7‬ص= ‪ 5.5 + 13‬جتـا ‪ 750 =100× 7.5 = 5.5 – 13 = π‬علبة‪.‬‬ ‫= ‪ 125800 =1000 × 125.8‬قطعة‪.‬‬ ‫ت�كشح�اشنهزيروريراننني�أن�أ�‪:‬سووا�للن‪:‬س‪��=�::‬سسس‪111.6..7771+.++7777+222.7..4442=.==4‬ج‪6‬ـ‪66‬ــاجججــــــــااا‪=πππ66116420π66‬‬ ‫‪)8‬‬ ‫‪ 72400 =1000× 72.4‬قطعة‪.‬‬ ‫= ‪ 18970 =1000× 18.97‬قطعة‪.‬‬ ‫= ‪ 72400 =1000× 72.4‬قطعة‪.‬‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة ‪163‬‬ ‫لأ َّن هذه الزوايا جيب تمامها ي�ساوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة ‪171‬‬ ‫‪ )1‬حل الطالبة الثانية هو ال�صحيح ألنها ا�ستخدمت المتطابقة ‪ :‬جـا‪2‬هـ ‪ +‬جتـا‪2‬هـ = ‪ ،1‬أ� ّما ا ألولى فحلها‬ ‫خاطئ لأ َّنها وزعت المقام‪.‬‬ ‫‪ )2‬حل ها�شم �صحيح‪.‬‬ ‫‪162‬‬

‫عدد الح�ص�ص ‪5‬‬ ‫الف�صل الثالث‪ :‬اقترانات (الجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل)‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪ -‬ير�سم منحنى اقتران الجيب وجيب التمام والظل يدو ًّيا‪.‬‬ ‫‪ -‬ير�سم منحنى اقتران الجيب وجيب التمام والظل با�ستخدام التكنولوجيا‪.‬‬ ‫‪ -‬يجد مجال ومدى الاقتران المثلثي‪.‬‬ ‫‪ -‬يجد الدورة وال�سعة لاقتران مثلثي‪.‬‬ ‫‪ -‬ي�صف �سلوك منحنى اقتران المثلثي تحت ت�أثير التحويلات (الان�سحاب ا ألفقي والر�أ�سي)‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫‪ -‬دورة الاقتران‪� ،‬سعة الاقتران‪ ،‬الاقتران الدوري‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪ -‬الاقترانات المثلثية في ال�صفين التا�سع والعا�شر‪.‬‬ ‫التكامل ا ألفقي‬ ‫‪ -‬ا�ستخدام الاقترانات المثلثية في تحليل المتجهات‪ ،‬وال�ضرب النقطي وال�ضرب التقاطعي في مبحث الفيزياء‬ ‫في ال�صف الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪ -‬الاقترانات المثلثية‪ :‬الجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل‪- ،‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)186 -175‬‬ ‫‪ -‬برمجيات ر�سم المنحنيات‪ ،‬لوح الر�سم البياني‪.‬‬ ‫الن�سب المثلثية للزوايا الربعية والخا�صة‪.‬‬ ‫ا�ستراتجيات التدري�س‬ ‫‪ -‬التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي)‪ ،‬التعلم في مجموعات (التعلم التعاوني الجماعي)‪ ،‬التفكير الناقد‬ ‫(التحليل)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪ -1‬التمهيد للدر�س من خلال الن�شاط التالي‪ :‬ر�سم دائرة كبيرة على اللوح ثم توجيه �س ؤ�ال للطلبة \" أ�عط‬ ‫أ�مثلة على اقترانات مثلثية\"‪.‬‬ ‫‪ -2‬الا�ستماع �إلى �إجابات الطلبة‪ ،‬وتكليف أ�كثر من طالب بالتوجه إ�لى اللوح‪ ،‬وكتابة الإجابة داخل الدائرة‪.‬‬ ‫‪163‬‬

‫‪ - 3‬التنويه ب�أ َّن هدف الدر�س هو التمثيل البياني لثلاثة من هذه الاقترانات‪ ،‬وهي اقتران الجيب وجيب‬ ‫التمام والظل‪.‬‬ ‫‪ - 4‬مناق�شة مثال (‪ )1‬لتو�ضيح التمثيل البياني لاقتران الجيب �ضمن فترة محددة‪ ،‬وتنبيه الطلبة �إلى �أ َّنه يمكن‬ ‫�أن تبد أ� الفترة بزاوية غير ال�صفر كما في تدريب (‪ ،)1‬والاحتفاظ بالر�سم البياني أ�مام الطلبة للا�ستفادة‬ ‫منه في تقديم مثال (‪. )2‬‬ ‫‪ - 5‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات غير متجان�سة‪ ،‬وتكليفهم بحل تدريب (‪ )1‬مع المتابعة وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ - 6‬مناق�شة مثال (‪ ،)2‬ور�سم المنحنى على لوح الر�سم البياني‪ ،‬ثم �س ؤ�ال الطلبة عن �سلوك المنحنى �ضمن‬ ‫الفترة المعطاة ‪ ،‬وتوجيه ال�س ؤ�ال‪\" :‬قارن بين منحنى الاقتران ق في المثال (‪ )1‬مع هذا المنحنى\"‪ ،‬ومنه‬ ‫تقديم مفهوم الاقتران الدوري‪ ،‬ومفهوم ال�سعة والدورة وكتابة التعريف على اللوح‪ ،‬وتكليف �أكثر‬ ‫من طالب بالتحدث عن التعريف بلغته الخا�صة‪ ،‬ثم تنبيه الطلبة إ�لى �ضرورة إ�يجاد دورة الاقتران‪،‬‬ ‫و�سعته قبل التمثيل البياني؛ أل َّن ذلك ي�ساعد في ر�سم منحناه ‪.‬‬ ‫‪ - 7‬مناق�شة المثالين (‪)4( ،)3‬؛ لتعميق فهم الطلبة على إ�يجاد �سعة ودورة الاقتران المثلثي‪ ،‬ومن خلال‬ ‫الر�سم يمكن ا�ستدراج الطلبة على ا�ستنتاج قاعدة إ�يجاد دورة الاقتران المثلثي و�سعته‪.‬‬ ‫‪ - 8‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات‪ ،‬وتكليفهم بحل تدريب (‪ )2‬لتقييم فهمهم وقدرتهم على �إيجاد دورة‬ ‫و�سعة الاقتران‪.‬‬ ‫‪ - 9‬مناق�شة مثال (‪ )6‬لتدريب الطلبة على ر�سم منحنى اقتران الظل‪ ،‬ومناق�شة �سلوك منحنى الاقتران‬ ‫الانق‪2‬ت‪π‬ران‪،‬انت ا=لمثل‪1‬ثي‪،‬ة ب‪3‬ا‪�،‬ست‪،5‬خد‪.‬ا‪.‬م‪.‬ب‪.‬ر‪.‬م‪.‬ج‪.‬ي‪.‬ة‪ .‬إ�‪.‬ك‪.�.‬سل‪،‬‬ ‫أ�خرى‪.‬‬ ‫برمجية‬ ‫أ�ي‬ ‫�أو‬ ‫عندما تقترب قيم �س من‬ ‫‪-10‬‬ ‫تدريب الطلبة على ر�سم‬ ‫‪ -11‬تكليف الطلبة حل تدريب (‪ )3‬با�ستخدام برمجية ر�سم المنحنيات‪ ،‬ويمكن تنفيذ ذلك م�سب ًقا من‬ ‫قبل المعلم والاحتفاظ بن�سخ من الر�سم البياني للمنحنيات الثلاث‪ ،‬وعر�ضها على اللوح �أمام الطلبة‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ومقارنة المنحنيات الثلاثة وربطها بمعامل الاقتران‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫درجة‪ ،‬ولمعرفة مقدار‬ ‫‪ -12‬مناق�شة مثال (‪ )7‬وتو�ضيح ان�سحاب منحنى الاقتران �إلى الي�سار بمقدار‬ ‫الان�سحاب إ�يجاد قيمة �س التي تجعل الزاوية �صف ًرا‪ ،‬وا إل�شارة ال�سالبة في الناتج تعني ان�سحاب للي�سار‪،‬‬ ‫والموجبة تعني ان�سجاب لليمين‪.‬‬ ‫‪ -13‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )4‬مع المتابعة وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -14‬ختم الدر�س بتوجيه �س�ؤال” ماذا تعلمت في هذا الدر�س؟”‬ ‫‪ -15‬تكليف الطلبة بحل التمارين والم�سائل (واجب بيتي)‪ ،‬ومتابعة حلولهم وتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫‪164‬‬

‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪ -‬عند مقارنة منحنى الاقتران ق(�س) = أ� جا (ب �س ‪ +‬جـ) ‪ +‬ل ‪ ،‬بمنحنى الاقتران هـ (�س) = جا (ب �س)‪ ،‬ف إ�ن‪:‬‬ ‫(جـ) هي مقدار الان�سحاب لليمين أ�و للي�سار‪ ،‬و إ�ذا كانت إ��شارة (جـ) موجبة فهذا يعني أ� َّن الان�سحاب للي�سار‬ ‫بمقدار (جـ) وحدة‪ ،‬و�إذا كانت �إ�شارة (جـ) �سالبة فهذا يعني أ� َّن الان�سحاب لليمين بمقدار (جـ) وحدة‪.‬‬ ‫(ل) قيمة الان�سحاب ل ألعلى �أو للأ�سفل؛ �إذا كانت موجبة فهي ان�سحاب ل ألعلى‪ ،‬و�إذا كانت �سالبة فهي‬ ‫ان�سحاب ل أل�سفل‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ق(�س) = ‪ 5 +3‬جـــــا ( �س‪ ، )π +‬ان�سحاب ل ألعلى ‪ 3‬وحدات‪،‬و ان�سحاب للي�سار بمقدار ‪ π‬وحدة‪.‬‬ ‫‪ -‬عند ر�سم المنحنى با�ستخدام برمجية إ�ك�سل‪ ،‬تدريج محور ال�سينات قيم الزوايا بالتقدير الدائري حيث ‪:‬‬ ‫‪6.28 = π2‬‬ ‫‪، 3.14 = π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪1.57‬‬ ‫‪3.14‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬لر�سم منحنى اقتران الجيب وجيب التمام يمكن تكوين جدول بقيم الزوايا الربعية ثم ق�سمة هذه الزوايا على‬ ‫معامل الزاوية‪.‬‬ ‫ا ألخطاء ال�شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في اختيار الزوايا المنا�سبة عند ر�سم المنحنيات ‪ ،‬حيث لا ت�شمل كامل الفترة‬ ‫المعرف عليها الاقتران‪.‬‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في تحديد نوع التحويل الهند�سي لمنحنى الاقتران؛ حيث لا يميزون بين الان�سحاب‬ ‫الر�أ�سي والان�سحاب ا ألفقي‪.‬‬ ‫‪ -‬يمكن تفادي وقوع الطلبة في تلك الأخطاء؛ من خلال مناق�شتها في أ�ثناء تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ )1‬جد الدورة وال�سعة لكل من الاقترانات ا آلتية‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س ) = ‪ 2‬جــــا �س‬ ‫[‪ ]π 2 ،0‬يدو ًّيا‪ ،‬ثم تحقق من الحل با�ستخدام برمجية‬ ‫ب) ل(�س) = ‪ 3-‬جتا ‪�4‬س‬ ‫‪ )2‬ار�سم منحنى هـ(�س) = ‪ 2‬جا�س‪ ،‬حيث �س‬ ‫ر�سم المنحنيات‪.‬‬ ‫‪165‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س ) = ‪ 2‬جــــا �س ‪ ،‬الدورة ‪ ،π 2‬ال�سعة ‪2‬‬ ‫‪ ،‬ال�سعة ‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ )2‬ل(�س) = ‪ 3-‬جتا ‪�4‬س ‪ ،‬الدورة‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�ثراء‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س) = جـــا �س معر ًفا على الفترة [‪ ، ]π 2 ،0‬جرى عليه تحويل هند�سي‪ ،‬ب نِّي نوع التحويل‬ ‫الهند�سي المبين في القاعدة في كل مما ي�أتي ‪,‬ثم جد ال�سعة والدورة‪:‬‬ ‫�أ ) ‪ + 3-‬جا�س‬ ‫ب) ‪ +1‬جا ( �س‪)π +‬‬ ‫]‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫[‬ ‫) ‪� ،‬س‬ ‫‪π‬‬ ‫جـ) جا( �س ‪)π 2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬ار�سم منحنى الاقتران ق(�س) = ‪ 2-‬جتا(�س‪-‬‬ ‫‪ )3‬معتم ًدا ال�شكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق(�س) = جتا(�س‪ -‬أ�)‪ ،‬جد كلاًّ مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) �أ�صغرقيمة لـــ �أ‬ ‫ب) قيمة جـ‬ ‫جـ) إ�حداثيي النقطة د‬ ‫‪٠ ٥ ١٠‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫)‪،‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) ‪ ،‬و ل(�س) = جا(�س‬ ‫‪π‬‬ ‫ق(�س) = جا(�س‪-‬‬ ‫‪ )4‬قارن بين منحنى ك ٍّل من‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫وهـ(�س) = جا (�س‪-‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫جتا �س ‪.‬‬ ‫) ‪ ،‬و‪2‬منحنى ك (�س)‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪ + 3-‬جا�س ان�سحاب للأ�سفل ‪ 3‬وحدات‪ ،‬الدورة ‪ ،π 2‬ال�سعة ‪1‬‬ ‫ب) ‪ + 1‬جا ( �س‪ ،)π +‬ان�س‪S‬ح‪¢‬اب للأع‪2‬لى بمقدار وحدة وللي�سار ‪ π‬وحدة‪ ،‬الد‪S‬و‪¢‬رة ‪2،π 2‬ال�سعة‪1 :‬‬ ‫جـ) جا( �س ‪ :)π 2 -‬ان�سحاب لليمين بمقدار‪ ، π 2‬الدورة ‪ ،π2‬ال�سعة ‪1 :‬‬ ‫‪166‬‬

‫]‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫[‬ ‫) ‪� ،‬س‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ )2‬منحنى الاقتران ق(�س) = ‪ 2-‬جتا(�س ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬من ال�شكل الذي يمثل منحنى الاقتران ق(�س) = جتا(�س‪ -‬أ�)‪َ ،‬ت ِجد �أ َّن‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪=π-‬‬ ‫‪π7‬‬ ‫�أ) �أ�صغرقيمة لـــ �أ =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪π13‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫قيمة‬ ‫ب)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪)0 ،‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫جـ) إ�حداثيي النقطة د ‪( :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) = ‪ -‬جتا �س‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ )4‬جا(�س‪-‬‬ ‫) = جتا �س‬ ‫‪π23‬‬ ‫جا(�س‪-‬‬ ‫‪π25‬‬ ‫جا(�س‪-‬‬ ‫) = ‪ -‬جتا �س‬ ‫‪2‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم ‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫�أدوات التقويم ‪� :‬سلم التقدير (‪ )1-4‬البند (‪ ،)3‬قائمة الر�صد (‪� ،)2-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)3-1‬‬ ‫‪167‬‬

‫‪-2π -π‬‬ ‫‪π 2π‬‬ ‫إجابات الأسئلة والأنشطة‬ ‫التدريبات‬ ‫تدريب ‪1‬‬ ‫ال�شكل المجاور يمثل منحنى‬ ‫ق(�س) = جتا�س ‪،‬‬ ‫�س [ ‪]π2 ، π2-‬‬ ‫‪π 2π‬‬ ‫تدريب ‪2‬‬ ‫‪π 2π‬‬ ‫دورة الاقتران هي‪� ،π4 :‬سعة الاقتران = ‪5‬‬ ‫تدريب ‪3‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = جتا�س‪]π2 ،0 [ ،‬‬ ‫‪ )2‬هـ (�س) = ‪ 2‬جتا�س ‪،‬‬ ‫�س [ ‪]π2 ،0‬‬ ‫‪168‬‬

‫جتا�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬هـ (�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫�س [ ‪]π2 ، 0‬‬ ‫‪π 2π‬‬ ‫تدريب ‪4‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪ 3‬جتا‪�2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫�س [ ‪]π ، 0‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫جتا‬ ‫=‬ ‫ل(�س)‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π 4π‬‬ ‫�س [ ‪]π4 ، 0‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ )3‬هـ (�س) = ‪ 2‬جتا (�س‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫]‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫[‬ ‫�س‬ ‫‪-π2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 3π‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪169‬‬

‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪�)1‬أ ) الدورة‪ ، π2:‬ال�سعة ‪3 :‬‬ ‫‪ ،‬ال�سعة‪4 :‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫ب) الدورة‪:‬‬ ‫‪ ،‬ال�سعة‪2 :‬‬ ‫‪π32‬‬ ‫جـ) الدورة‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫[ ‪،0‬‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� )2‬أ ) ق(�س) = ‪ + 2‬جا‪�3‬س‪� ،‬س‬ ‫‪π π 3π 2π‬‬ ‫ب) ل(�س) = جتا (�س‪� ، )π +‬س [ ‪] π ،π -‬‬ ‫‪6363‬‬ ‫‪-π π‬‬ ‫جـ) و(�س)= ‪ 2‬جا�س ‪� ،‬س [ ‪] π2 ، 0‬‬ ‫‪π 3π 2π‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪170‬‬

‫) هـ(�س) = ‪ 4‬جا‪�2‬س ‪� ،‬س [ ‪] π2 ، 0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3π π 5π‬‬ ‫‪7π 2π‬‬ ‫‪4 44 4‬‬ ‫هـ) ك(�س)= جا(‪�2‬س‪� ، )π2+‬س [‪] 0 ، π -‬‬ ‫‪-π -3π‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫[ ‪] π 5 ،π‬‬ ‫) ‪� ،‬س‬ ‫‪π‬‬ ‫�س ‪-‬‬ ‫�س‬ ‫(‬ ‫جا‬ ‫‪5‬‬ ‫و) ع(�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 2π 3π 4π 5π‬‬ ‫‪171‬‬

‫‪ π‬وحدة لليمين لمنحنى الاقتران جتا �س‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) هو ان�سحاب لليمين بمقدار‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ )3‬جتا ( �س ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫ق(�س) = �أكبر قيمة للاقتران تقري ًبا هي‪� 32 :‬أ�صغر قيمة للاقتران تقري ًبا هي ‪14‬‬ ‫ال�سعة = ( أ�كبر قيمة – �أقل قيمة) ÷ ‪9 = 2‬‬ ‫ان�سحاب ل ألعلى بمقدار ‪ 31‬وحدة‬ ‫‪π‬‬ ‫ان�سحاب لليمين بمقدار تقريبي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫الاقتران المقترح‪ :‬ل(�س) = ‪9 + 31‬جا(�س ‪+‬‬ ‫‪� )5‬أ ) جـ ب) �أ جـ) ب‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة ‪184‬‬ ‫�أن �سعة الاقترانات تختلف‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة ‪184‬‬ ‫يكون �شكل الاقتران ل (�س) كما في ال�شكل ( ‪ ،) 25 - 4‬مع تغيير في �سعة الاقتران ل‪ ،‬حيث �إ َّن �سعته‬ ‫ت�ساوي ‪ ، 2‬بينما �سعة الاقتران ق ت�ساوي ‪1‬‬ ‫‪172‬‬

‫عدد الح�ص�ص ‪5‬‬ ‫الف�صل الرابع‪ :‬المعادلات والمتطابقات المثلثية‬ ‫�أو ًال‪ :‬المتطابقات المثلثية (‪)1‬‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪ -‬يتعرف المتطابقات المثلثية‪.‬‬ ‫‪ -‬يحلل متطابقات مثلثية؛ ت�شمل مجموع زاويتين والفرق بينهما‪.‬‬ ‫‪ -‬يحلل متطابقات مثلثية ت�شمل مثلي الزاوية ون�صفها‪.‬‬ ‫‪ -‬يبرهن متطابقات مثلثية ت�شمل مثلي الزاوية ون�صفها‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫‪ -‬متطابقة مثلثية ‪ ،‬زاوية مركبة‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪ -‬جمع الحدود والمقادير الجبرية في ال�صفين ال�سابع والثامن ‪.‬‬ ‫‪ -‬الم�سافة بين نقطتين وتحليل المقادير الجبرية في ال�صف التا�سع‪.‬‬ ‫‪ -‬الن�سب المثلثية في ال�صفين التا�سع والعا�شر‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪ -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)196 -187‬‬ ‫‪ -‬قوانين الن�سب المثلثية‪ ،‬الم�سافة بين نقطتين‪،‬‬ ‫العمليات على الحدود والمقادير الجبرية‪،‬‬ ‫تحليل المقادير الجبرية‪.‬‬ ‫ا�ستراتجيات التدري�س‬ ‫‪ -‬التدري�س المبا�شر (ا أل�سئلة وا ألجوبة‪ ،‬العمل في الكتاب المدر�سي)‪ ،‬التعلم في مجموعات (التعلم التعاوني‬ ‫الجماعي)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪ -1‬التمهيد للدر�س من خلال عر�ض بطاقات على اللوح‪ ،‬مكتوب عليها العبارات ا آلتية‪:‬‬ ‫جتا (‪� - 590‬س) = ‪................‬‬ ‫جــا ( ‪� – 590‬س ) = ‪، .........‬‬ ‫ظا (‪� - 590‬س) = ‪................‬‬ ‫‪� -2‬س ؤ�ال الطلبة عن قيمة كل ن�سبة مثلثية‪ ،‬ثم الا�ستماع إ�لى إ�جاباتهم وتكليفهم تبرير إ�جاباتهم من خلال‬ ‫تقديم أ�مثلة عددية‪.‬‬ ‫‪173‬‬

‫‪ - 3‬ت�شويق الطلبة �إلى الدر�س وتبيان أ�هميته من خلال توجيه ال�س ؤ�ال التالي‪“ :‬هل يمكن إ�يجاد قيمة الن�سب‬ ‫المثلثية ال�سابقة بطريقة �أخرى؟‬ ‫‪ - 4‬الا�ستماع �إلى �إجابات الطلبة؛ وتو�ضيح �أن هدف الدر�س لهذا اليوم هو إ�يجاد هذه الن�سب با�ستخدام‬ ‫متطابقات المجموع (الفرق) بين زاويتين‪.‬‬ ‫‪ - 5‬كتابة المتطابقات الواردة �صفحة ‪ 187‬من الكتاب على بطاقات كرتونية كبيرة م�سب ًقا‪ ،‬وعر�ضها أ�مام‬ ‫الطلبة‪ ،‬ومن خلالها تقديم مفهوم المتطابقة‪ ،‬والتمييز بينها وبين المعادلة‪ ،‬وكتابة التعريف على اللوح‪،‬‬ ‫وتو�ضيح �أن هذه المتطابقات مهمة ويجب حفظها وبرهنتها ‪.‬‬ ‫‪ - 6‬ر�سم ال�شكل (‪ )24-4‬على اللوح ‪ ،‬لبرهنة المتطابقة جتا (�أ ‪ -‬ب) = جتا أ� جتاب ‪+‬جا�أ جاب‪ ،‬مع‬ ‫مراعاة توجيه ا أل�سئلة للطلبة في كل خطوة‪ ،‬والا�ستماع �إلى إ�جاباتهم وتقديم التبرير‪.‬‬ ‫‪ - 7‬مناق�شة مثال (‪ )2‬لبرهنة المتطابقة جتا( أ� ‪+‬ب) = جتا�أ جتاب – جا�أ جاب ‪ ،‬مع مراعاة توجيه الأ�سئلة‬ ‫في كل خطوة و إ�ثارة النقا�ش والحوار والا�ستماع إ�لى �إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪ - 8‬تنبيه الطلبة إ�لى �أنه يمكن الا�ستفادة من المتطابقة‪ :‬جا�أ = جتا (‪ – 590‬أ�) في البرهان‪.‬‬ ‫‪ - 9‬تق�سيم الطلبة �إلى (‪ )3‬مجموعات وتكليف كل مجموعة ببرهنة فرع من تدريب (‪ )1‬ثم تكلف‬ ‫المجموعات بعر�ض أ�عمالها على اللوح‪ ،‬من قبل فرد في المجموعة يقوم باختياره قائ ًد المجموعة‪.‬‬ ‫‪ -10‬مناق�شة مثال (‪ )3‬لتقديم فكرة إ�يجاد الن�سب المثلثية لزوايا؛ دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة من خلال‬ ‫الا�ستفادة من المتطابقات المثلثية‪ ،‬مع مراعاة توجيه ا أل�سئلة للطلبة في كل خطوة للت�أكد من فهمهم ‪،‬‬ ‫والا�ستماع إلجاباتهم وطرحها للنقا�ش‪.‬‬ ‫‪ -11‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )2‬لقيا�س قدرتهم على �إيجاد الن�سب المثلثية دون ا�ستخدام الالة الحا�سبة‪،‬‬ ‫مع المتابعة وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -12‬مناق�شة مثال (‪ )4‬لتقديم فكرة إ�يجاد الن�سب المثلثية للزوايا المركبة بالا�ستفادة من المتطابقات المثلثية‬ ‫مع مراعاة توجيه الأ�سئلة في كل خطوة للتحقق من فهم الطلبة‪.‬‬ ‫‪ -13‬تكليف الطلبة حل تدريب (‪ )3‬للت أ�كد من فهمهم‪ ،‬ويمكن تق�سيمهم �إلى �ست مجموعات بحيث تحل‬ ‫كل مجموعتين فر ًعا من التدريب‪ ،‬ثم يكلف مندوب عن كل مجموعة بحل الفرع الخا�ص بمجموعته‬ ‫على اللوح‪ ،‬ويمكن مناق�شة حلول مختلفة �إن امكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -14‬كتابة المتطابقات الواردة �صفحة ‪ 192‬من الكتاب م�سب ًقا على بطاقات‪ ،‬وتعر�ض �أمام الطلبة‪ ،‬مع‬ ‫تو�ضيح أ�هميتها لجعل العمليات الح�سابية أ��سهل من خلال كتابة الجيب وجيب التمام لزاويتين على‬ ‫�شكل حا�صل �ضرب لحا�صل مجموع جيبين �أو جيبي تمام‪.‬‬ ‫‪ -15‬برهنة المتطابقة الأولى على اللوح بم�شاركة الطلبة‪ ،‬ثم تكليف الطلبة ببرهنة باقي المتطابقات في البيت‪.‬‬ ‫‪174‬‬

‫‪ -16‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )5‬في مجموعات لقيا�س قدرتهم على �إثبات �صحة المتطابقات المثلثية‪،‬‬ ‫مع المتابعة وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -17‬مناق�شة المثالين (‪ )6( ،)5‬لتدريب الطلبة على �إثبات متطابقات الزوايا فيها معلومة مع مراعاة توجيه‬ ‫ا أل�سئلة في كل خطوة والا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة وطرحها للنقا�ش‪.‬‬ ‫‪ -18‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )6‬لتقييم قدرتهم على �إثبات المتطابقات التي تحوي زوايا معلومة‪ ،‬مع‬ ‫المتابعة وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -19‬ختم الدر�س من خلال مراجعة الطلبة بالمفاهيم التي وردت في الدر�س ( يمكن ا�ستخدام الخريطة المفاهيمية)‪.‬‬ ‫‪ -20‬تكليف الطلبة بحل التمارين والم�سائل واجب بيتي‪ ،‬ومتابعة حلولهم وتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪ -‬الزاوية المركبة هي الزاوية التي نتجت عن جمع �أو طرح زاويتين ‪.‬‬ ‫‪ -‬المتطابقة هي علاقة �صحيحة لجميع قيم المتغير فيها‪ ،‬و إلثبات �صحة متطابقة يمكن البدء بالطرف ا أليمن‬ ‫وو�ضعه ب�صورة �أخرى مكافئة للح�صول على الطرف الأي�سر‪� ،‬أو يمكن البدء بالطرف ا ألي�سر وو�ضعه ب�صورة‬ ‫مكافئة �أخرى للح�صول على الطرف الأيمن‪� ،‬أو يمكن و�ضع الطرفين ب�صورة �أخرى مكافئة للح�صول على‬ ‫علاقة الت�ساوي‪.‬‬ ‫الأخطاء ال�شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في كتابة المتطابقات؛ نتيجة لعدم حفظها‪.‬‬ ‫‪ -‬يخلط بع�ض الطلبة بين المعادلة والمتطابقة‪.‬‬ ‫‪ -‬يخطئ بع�ض الطلبة في إ�ثبات �صحة المتطابقات؛ حيث يتعاملون معها وك أ�نها علاقة جبرية‪.‬‬ ‫‪ -‬يمكن تنبيه الطلبة �إلى تلك الأخطاء من خلال مناق�شتها �أثناء تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫إ�ذا كان جا�س = ‪ ، 0.8‬جتا �ص = ‪ ، 0.6‬فجد قيمة كل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جا( �س ‪� +‬ص) ‪ )2‬جا( �س ‪� -‬ص)‬ ‫‪ )3‬جتا( �س ‪� +‬ص) ‪ )4‬جتا( �س ‪� -‬ص)‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬جا (�س ‪� +‬ص) = ‪ )2 0 .96‬جا (�س ‪� -‬ص) = �صفر‬ ‫‪ )3‬جتا (�س ‪� +‬ص) = ‪ )4 0.2 8-‬جتا (�س ‪� -‬ص) = ‪1‬‬ ‫‪175‬‬

‫إ�ثراء‬ ‫أ�ثبت �صحة المتطابقات ا آلتية‪:‬‬ ‫= ‪ 2‬قا �س‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا �س‬ ‫‪)1‬‬ ‫جتا �س‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫جا‪� 4‬س ‪ -‬جتا‪� 4‬س‬ ‫‪ )2‬جا‪� 2‬س ‪ -‬جتا‪� 2‬س = ‪1‬‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫‪ )3‬ظا‪� 2‬س ‪ + 1+‬ظا �س قا�س = جتا‪� 2‬س‬ ‫جا‪� 2‬س ‪4 +‬جا �س ‪ + 3 3+‬جا �س‬ ‫‪)4‬‬ ‫= ‪ - 1‬جا�س‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫‪( )5‬جا�س‪ +‬جتا�س)‪( + 2‬جا�س – جتا�س)‪2 = 2‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫= ‪ 2‬قا �س‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا �س‬ ‫‪)1‬‬ ‫جتا �س‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫( توحيد المقامات ثم ا�ستخدام المتطابقة ( جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪ 2‬هـ = ‪ )1‬ثم الاخت�صار‬ ‫جا‪� 4‬س ‪ -‬جتا‪� 4‬س‬ ‫‪ )2‬جا‪� 2‬س ‪ -‬جتا‪� 2‬س = ‪( 1‬تحليل الب�سط ‪ -‬فرق بين مربعين ‪ -‬ثم الاخت�صار مع المقدار في المقام)‬ ‫(ا�ستخدام المتطابقة ظا‪�2‬س ‪ =1 +‬قا‪�2‬س ثم إ�خراج قا�س‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫‪ )3‬ظا‪�2‬س ‪ + 1+‬ظا �س قا�س =‬ ‫عاملاً م�شتر ًكا)‪.‬‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫( جا �س ‪)3 +‬‬ ‫=‬ ‫(جا �س ‪()3 +‬جا �س ‪)1+‬‬ ‫=‬ ‫جا‪� 2‬س ‪4 +‬جا �س ‪3 +‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪ - 1‬جا�س‬ ‫(‪ - 1‬جا�س) (‪ + 1‬جا�س)‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫‪( )5‬جا�س‪ +‬جتا�س)‪( + 2‬جا�س – جتا�س)‪2 = 2‬‬ ‫جا‪�2‬س ‪ +‬جتا‪�2‬س ‪2 +‬جا�س جتا�س ‪ +‬جا‪�2‬س ‪ +‬جتا‪�2‬س ‪2 -‬جا�س جتا�س = ‪2‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم ‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫أ�دوات التقويم ‪� :‬سلم التقدير (‪ )1-4‬البند (‪ ،)4‬قائمة الر�صد (‪� ،)2-1‬سجل و�صف �سير التعلم(‪.)3-1‬‬ ‫‪176‬‬

‫إجابات الأسئلة والأنشطة‬ ‫التدريبات‬ ‫تدريب ‪1‬‬ ‫‪ )1‬جا( ‪� + π‬س) = ‪ -‬جا�س‬ ‫البرهان ‪ :‬الطرف الأيمن‬ ‫الطرف الأي�سر‬ ‫= ‪ -‬جا�س =‬ ‫‪ -‬جا�س‬ ‫جا�س = ‪+ 0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا‬ ‫�س)= جا ‪ π‬جتا�س ‪+‬‬ ‫‪π+3π‬‬ ‫جا(‬ ‫‪� -‬س) = ‪ -‬جتا�س‬ ‫‪2‬‬ ‫جا(‬ ‫‪)2‬‬ ‫جا �س‬ ‫‪π3‬‬ ‫جتا‬ ‫جتا �س –‬ ‫‪π3‬‬ ‫جا‬ ‫�س) =‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫جا(‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا�س‬ ‫‪2‬‬ ‫–‪0‬‬ ‫= الطرف الأي�سر‬ ‫=‪-‬‬ ‫الطرف ا أليمن‪:‬‬ ‫= ‪ × 1-‬جتا�س‬ ‫‪ )3‬جتا(‪� – π‬س ) = ‪ -‬جتا�س‬ ‫البرهان ‪:‬‬ ‫الطرف ا أليمن‪ :‬جتا(‪� – π‬س) = جتا ‪ π‬جتا �س ‪ +‬جا ‪ π‬جا�س‬ ‫= ‪ ×1-‬جتا�س ‪ - = 0 +‬جتا �س = الطرف ا ألي�سر ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تدريب ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬جتا (‪ = ) 525 - 570‬جتا ‪ = 545‬‬ ‫‪ )2‬جتا‪ = 575‬جتا( ‪ = ) 560 - 5135‬جتا‪ 5135 5‬جتا ‪+ 560‬جا ‪ 5135‬جا ‪560‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ -‬جتا ‪ + 0.5 × 545‬جا ‪× 545‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 + 1-‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‬ ‫ظا ‪ + 560‬ظا ‪545‬‬ ‫‪ )3‬ظا ‪ = 5105‬ظا (‪ - 1 = ) 545 + 560‬ظا ‪ 560‬ظا ‪545‬‬ ‫‪1+3‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪3 - 1‬‬ ‫‪177‬‬

‫‪16‬‬ ‫تدريب ‪3‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪ )1‬جا (�س ‪� -‬ص) = جا�س جتا�ص – جتا�س حا�ص =‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ )2‬جتا(�س ‪� +‬ص)= جتا �س جتا�ص – جا�س جا�ص =‬ ‫‪65‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬ظا�ص =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬ظا �س =‬ ‫ظا �س ‪ -‬ظا �ص‬ ‫‪ )3‬ظا(�س ‪� -‬ص) =‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ + 1‬ظا �س ظا �ص‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪63‬‬ ‫تدريب ‪5‬‬ ‫�ص‬ ‫جا �س جتا�ص ‪ +‬جتا�س حا‬ ‫=‬ ‫جا (�س ‪� +‬ص)‬ ‫‪)1‬‬ ‫جتا �س جتا �ص‬ ‫جتا �س جتا �ص‬ ‫بتوزيع المقام والاخت�صار‬ ‫ = جا � س جتجات ا��صس‪+‬ج تاجتا��صس حا �ص‬ ‫ ‬ ‫ق�سمة جميع الحدود على جتا�س جتا�ص‬ ‫= ظا �س ‪ +‬ظا �ص‬ ‫ ‬ ‫�ص‬ ‫��صص)) = ججاتا� �سسجتجات ا�ص�ص‪ --‬ججاتا��سس جحاا‬ ‫جا (�س ‪-‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫�ص‬ ‫جتا (�س ‪+‬‬ ‫ظا �س ‪ -‬ظا �ص‬ ‫ ‬ ‫ = ‪ -1‬ظا �س ظا � ص‬ ‫تدريب ‪6‬‬ ‫جا ‪ + 575‬جا ‪ 515‬جا (‪ + )560-5135‬جا(‪)545 -560‬‬ ‫جتا ‪ - 515‬جتا ‪ = 575‬جتا (‪ - )545-560‬جتا (‪ )560-5135‬با�ستخدام القوانين‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫جــا‬ ‫د)‬ ‫جـ) �صفر‬ ‫‪3‬‬ ‫ب)‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )1‬أ) ‪0.5‬‬ ‫‪� )2‬أ ) جا ( ‪�3‬ص ‪�2 -‬س) ب) جا (�س ‪�2 +‬ص)‬ ‫د ) جا ( ‪�3‬س ‪�-‬س ) = جا‪�2‬س‬ ‫جـ) جتا ( �س ‪�3 -‬س) = جتا (‪�2-‬س) = جتا ‪�2‬س‬ ‫هـ ) جتا (‪�7‬ص ‪�3 +‬ص) = جتا ‪�10‬ص و ) ظا�س‬ ‫‪178‬‬

‫‪� )3‬أ ) جتا‪�3‬س = جتا (�س‪�2+‬س) = جتا�س جتا ‪�2‬س – جا�س جا ‪�2‬س‬ ‫= جتا�س جتا(�س‪�+‬س) – جا�س جا(�س‪�+‬س)‬ ‫= جتا�س (جتا�س جتا�س – جا�س جا�س) – جا�س ( جا�س جتا�س ‪ +‬جتا�س جا�س )‬ ‫= جتا‪� 3‬س ‪ -‬جتا�س جا‪� 2‬س –‪ 2‬جا‪� 2‬س جتا �س‬ ‫= جتا‪� 3‬س – ‪ 3‬جا‪� 2‬س جتا�س = الطرف الأي�سر‬ ‫‪�4‬س ‪�2 -‬س‬ ‫جتا‬ ‫‪�4‬س ‪�2 +‬س‬ ‫ب) جا‪�4‬س ‪ +‬جا‪�2‬س = ‪ 2‬جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بفك الأقوا�س‬ ‫= ‪ 2‬جا ‪�3‬س جتا �س‬ ‫جـ) (جتا�س ‪ +‬جا�س)‪( – 2‬جتا�س – جا�س)‪2‬‬ ‫= ‪ 4‬جا�س جتا�س‬ ‫جا�س – ‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‪ -1‬جا�س) (‪+1‬‬ ‫د‬ ‫جا �س‬ ‫جا �س‬ ‫توحيد المقامات‬ ‫‪ - 1‬جا‪� 2‬س‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫جا �س‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جا �س‬ ‫جتا �س جتا(‪ + 1‬جا�س) ‪ -‬جتا(‪ - 1‬جا�س)‬ ‫جتا �س‬ ‫هـ) ‪ - 1‬جا �س ‪ + 1 -‬جا �س =‬ ‫‪ - 1‬جا‪�2‬س‬ ‫‪2‬جا �س جتا �س‬ ‫= ‪2‬ظا �س‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫ظا‪�2‬س ‪ -‬ظا‪�2‬ص (ظا �س ‪ -‬ظا �ص) (ظا �س ‪ +‬ظا �ص)‬ ‫و ) ‪ - 1‬ظا‪�2‬س ظا‪�2‬ص = (‪ + 1‬ظا �س ظا �ص) * (‪ - 1‬ظا �س ظا �ص)‬ ‫= ظا (�س ‪� -‬ص) × ظا (�س ‪� +‬ص)‬ ‫ ‬ ‫ق�سمة جميع الحدود على جتا�س جتا�ص‬ ‫�ص‬ ‫��صص)) = ججاا��سس ججتتاا��ص ص‪-+‬جتجات ا��سسجحا ا‬ ‫جا(�س ‪+‬‬ ‫ز)‬ ‫�ص‬ ‫جا (�س ‪-‬‬ ‫ظا �س ‪ +‬ظا �ص‬ ‫ ‬ ‫= ظا �س ‪ -‬ظا �ص ‬ ‫‪179‬‬

‫‪� )4‬أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ = ‪ ، 5180‬ومنه �أ ‪ +‬ب = ‪ – 5180‬جـ‬ ‫جا (�أ ‪ +‬ب) = جا ( ‪ – 5180‬جـ) = جا جـ‬ ‫جا �أ جتاب ‪ +‬جتا�أ جاب = جاجـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬جتا ب =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬جاب =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬جتا �أ =‬ ‫‪1‬‬ ‫جا�أ =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3×3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1×1‬‬ ‫جاجـ =‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫ظا �أ ‪ +‬ظا ب‬ ‫‪ )5‬ظا (�أ ‪ +‬ب) = ‪ - 1‬ظا أ� ظا ب = ‪1‬‬ ‫ظا�أ ‪ +‬ظاب = ‪ – 1‬ظا�أ ظاب‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫× ظا ب‪ ،‬ومنه ظا ب =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ +‬ظا ب = ‪- 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫�أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ = ‪5180‬‬ ‫جـ = ‪� ( – 180‬أ ‪ +‬ب)‬ ‫ظا جـ = ظا (‪�( – 180‬أ ‪ +‬ب)) = ‪-‬ظا (�أ ‪ +‬ب)‬ ‫بال�ضرب التبادلي‬ ‫‪ -‬ظا�أ ‪ -‬ظاب‬ ‫ظا جـ =‬ ‫‪ - 1‬ظا�أ ظاب‬ ‫ظاجـ (‪ -1‬ظا�أ ظاب) = ‪ -‬ظا أ� – ظاب‬ ‫ظاجـ ‪ +‬ظا�أ ‪ +‬ظاب = ظا�أ ظاب ظاجـ‬ ‫‪180‬‬

‫‪� )7‬أ ) جا (�أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ) = جا (�أ ‪( +‬ب ‪ +‬جـ))‬ ‫= جا�أ جتا(ب ‪ +‬جـ) ‪ +‬جتا�أ جا(ب ‪ +‬جـ)‬ ‫= جا�أ (جتاب جتاجـ – جاب جاجـ) ‪ +‬جتا�أ (جاب جتاجـ ‪ +‬جتاب جاجـ)‬ ‫ب) جتا (�أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ) = جتا(�أ ‪( +‬ب ‪ +‬جـ))‬ ‫=جتا�أ جتا (ب ‪ +‬جـ) – جا�أ جا (ب ‪ +‬جـ)‬ ‫=جتا�أ (جتاب جتاجـ ‪ -‬جاب جاجـ) ‪ -‬جا�أ (جاب جتاجـ ‪ +‬جتاب جاجـ)‬ ‫= جتا�أ جتاب جتاجـ ‪ -‬جتا�أ جاب جاجـ ‪ -‬جا�أ جاب جتاجـ ‪ -‬جا�أ جتاب جاجـ‬ ‫جـ) ظا (�أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ) = ظا (�أ ‪( +‬ب ‪ +‬جـ))‬ ‫ظا ب ‪ +‬ظا جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ظا أ�‬ ‫ظا�أ ‪ +‬ظا (ب ‪+‬جـ)‬ ‫‪ - 1‬ظاب ظاجـ‬ ‫= ‪ - 1‬ظا�أ ظا(ب ‪+‬جـ)‬ ‫=‬ ‫ظا�أ (ظاب ‪ +‬ظاجـ)‬ ‫‪ )8‬ت = ‪ 7‬جا ‪ × 575‬ن‬ ‫‪ - 1‬ظاب ظاجـ‬ ‫‪-1‬‬ ‫= ‪ ×7‬جا ‪1 × 575‬‬ ‫= ‪ 0.96 ×7‬با�ستخدام ا آللة الحا�سبة‬ ‫= ‪6.72‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬يمكن حل الم�س�ألة بو�ضع جا (‪ = )575‬جا (‪)545 + 530‬‬ ‫‪181‬‬

‫عدد الح�ص�ص ‪5‬‬ ‫الف�صل الرابع‪ :‬المعادلات والمتطابقات المثلثية‬ ‫ثانيًا‪ :‬المتطابقات المثلثية (‪)2‬‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪ -‬يتعرف متطابقات مثلثية ل�ضعف الزاوية‪.‬‬ ‫‪ -‬يتعرف متطابقات مثلثية لن�صف الزاوية‪.‬‬ ‫‪ -‬يبرهن متطابقات مثلثية ل�ضعف الزاوية‪.‬‬ ‫‪ -‬يبرهن متطابقات مثلثية لن�صف الزاوية‪.‬‬ ‫‪ -‬يحل م�سائل م�ستخدما متطابقات مثلثية‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫‪ -‬متطابقة مثلثية‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪ -‬جمع الحدود والمقادير الجبرية في ال�صفين ال�سابع والثامن ‪ ،‬الم�سافة بين نقطتين وتحليل المقادير الجبرية في‬ ‫ال�صف التا�سع‪ ،‬الن�سب المثلثية في ال�صفين التا�سع والعا�شر‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪ -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪. )202 -197‬‬ ‫‪ -‬متطابقات مثلثية‪ ،‬قوانين الن�سب المثلثية‪ ،‬الم�سافة‬ ‫بين نقطتين‪ ،‬العمليات على الحدود والمقادير‬ ‫الجبرية وتحليلها‪.‬‬ ‫ا�ستراتجيات التدري�س‬ ‫‪ -‬التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي‪ ،‬ا أل�سئلة وا ألجوبة)‪ ،‬أ�خرى (الاكت�شاف الموجه) التعلم في‬ ‫مجموعات (المناق�شة)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫‪ -1‬التمهيد للدر�س من خلال عر�ض بطاقات على اللوح مكتوب عليها الن�سب المثلثية الآتية‪:‬‬ ‫ •جتا‪�2‬س ‪ ،‬جا‪�2‬س ‪ ،‬ظا‪�2‬س‬ ‫‪ -2‬توجيه ا أل�سئلة الآتية للطلبة‪:‬‬ ‫ •\"هل يمكن كتابة هذه الن�سب المثلثية ب�صورة �أخرى؟\"‬ ‫ •كيف يمكن الا�ستفادة من متطابقات مجموع زاويتين التي تعلمناها �ساب ًقا للح�صول على هذه ال�صورة؟‬ ‫‪182‬‬

‫‪ - 3‬الا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة وتو�ضيح �أن هدف الدر�س لهذا اليوم هو التعرف إ�لى متطابقات �ضعف الزاوية‪.‬‬ ‫‪ - 4‬كتابة المتطابقات الواردة �صفحة ‪ 197‬من الكتاب على بطاقات كرتونية كبيرة م�سب ًقا‪ ،‬وعر�ضها �أمام‬ ‫الطلبة ‪،‬وتو�ضيح أ�هميتها في ت�سهيل حل المعادلات المثلثية التي �سيتعلمها الطلبة في الدر�س التالي‪.‬‬ ‫‪ - 5‬برهنة المتطابقة الأولى ‪ :‬جتا‪�2‬س على اللوح مع مراعاة توجيه الأ�سئلة في كل خطوة والا�ستماع �إلى‬ ‫�إجابات الطلبة وطرحها للنقا�ش‪.‬‬ ‫‪ - 6‬تق�سيم الطلبة إ�لى‪ 4‬مجموعات‪ ،‬وتكليف المجموعة ا ألولى والثانية ببرهان المتطابقة جا‪�2‬س‪ ،‬والمجموعة‬ ‫الثالثة والرابعة برهان المتطابقة ظا‪�2‬س‪.‬‬ ‫‪ - 7‬متابعة عمل المجموعات وتقديم الم�ساعدة ‪ ،‬ثم توجيه كل مجموعة �إلى عر�ض حلها على اللوح‪ ،‬مع‬ ‫مراعاة تقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ - 8‬مناق�شة مثال (‪ )1‬لتو�ضيح ا�ستخدام متطابقات �ضعف الزاوية لإيجاد ن�سب مثلثية‪.‬‬ ‫‪ - 9‬تكليف الطلبة حل تدريب (‪ )1‬على �شكل مجموعات مع المتابعة‪ ،‬وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -10‬مناق�شة مثال (‪ )2‬لتو�ضيح كيف يمكن الا�ستفادة من متطابقات �ضعف الزاوية إليجاد قيمة ن�سب‬ ‫مثلثية دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة ‪ ،‬مع مراعاة توجيه الأ�سئلة في كل خطوة و�إثارة النقا�ش والحوار‬ ‫والا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة‪ .‬ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )2‬لقيا�س قدرتهم على إ�يجاد ن�سب‬ ‫مثلثية دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة‪.‬‬ ‫‪ -11‬طرح ال�س�ؤال ا آلتي على الطلبة‪“:‬كيف يمكن الا�ستفادة من متطابقات �ضعف الزاوية في كتابة جتا�س‬ ‫ب�صورة �أخرى؟”‬ ‫‪ ،‬ثم تكليفهم بحل‬ ‫�س‬ ‫‪ -12‬الا�ستماع �إلى �إجابات الطلبة ثم ا�ستدراجهم؛ للو�صول �إلى المتطابقة جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫تدريب (‪ )3‬مع المتابعة وتقديم الدعم والتغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -13‬مناق�شة مثال (‪ )3‬لتدريب الطلبة على توظيف ن�سب مثلثية معطاة؛ إليجاد ن�سب مثلثية �أخرى‪ ،‬ثم‬ ‫تإ�تمنخكجكتالالقيبيم�افاشلفةهاتدملمارثلط�الحطبسللةلبم(بةتن‪4‬دحو)رمليخلنتابلقرادب�هرلشن(يت‪:‬ةه‪4‬اابل)م‪.‬ت(كتط‪5‬ا)بطبقيلإةثقباظاعلت�ى‪�2‬سنصفو‪�،‬رةسم�أاعلخفمرركاىرعلةامت‪.‬ة تطاوبقجةيهظاا أل��‪2‬سسئلمةعفاليمتاكبعلةخوتطقوديةم‪،‬الوتاغلاذي�سةتالماراعج�إعلةى‪.‬‬ ‫‪-14‬‬ ‫ •توجيه �س�ؤال” ماذا تعلمنا اليوم؟” ثم الا�ستماع �إلى إ�جابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪-16‬‬ ‫ •تو�صية الطلبة إ�لى تعبئة نموذج �سجل �سير و�صف التعلم‪.‬‬ ‫ •ويمكن تنفيذ م�سابقة بين الطلبة‪.‬‬ ‫‪ -17‬تكليف الطلبة حل التمارين والم�سائل ( واجب بيتي)‪ ،‬ومتابعة حلولهم وتقديم التغذية الراجعة والدعم‬ ‫الازم لهم‪.‬‬ ‫‪183‬‬

‫معلومات إ��ضافية‬ ‫‪ -‬لا يوجد قاعدة محددة إلثبات �صحة المتطابقات‪ ،‬يوجد أ�كثر من طريقة لإثبات �صحة المتطابقة‪.‬‬ ‫‪ -‬يمكن تعميم متطابقات �ضعف الزاوية‪:‬‬ ‫جا‪�4‬س= ‪2‬جا‪�2‬س جتا‪�2‬س‬ ‫جا ‪�6‬س= ‪2‬جا‪�3‬س جتا‪�3‬س‬ ‫�أ‬ ‫�أ‬ ‫ب�شكل عام‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫�س جتا‬ ‫جا �أ �س = ‪2‬جا‬ ‫�س‬ ‫أ�‬ ‫جا‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫�أ‬ ‫جتا أ� �س = جتا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ�‬ ‫= ‪ 2 – 1‬جــــا‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫أ�‬ ‫= ‪2‬جتــــــا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ�‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬ظا‬ ‫ظا أ� �س =‬ ‫�س‬ ‫�أ‬ ‫‪ - 1‬ظا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الأخطاء ال�شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في كتابة المتطابقات نتيجة لعدم حفظها‪.‬‬ ‫‪ -‬يخطئ بع�ض الطلبة في �إثبات �صحة المتطابقات؛ حيث يتعاملون معها وك أ�نها معادلة‪.‬‬ ‫‪ -‬يمكن تنبيه الطلبة �إلى �ضرورة حفظ المتطابقات‪ ،‬ومناق�شة �إجراءات برهان �صحة متطابقة أ�ثناء تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫جد قيمة كل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪2 )1‬جا ‪ 515‬جتا ‪515‬‬ ‫‪ )2‬جتا‪ – 522.5 2‬جا‪522.5 2‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 )1‬جا ‪ 515‬جتا ‪ = 515‬جا ‪0.5 = 530‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬جتا‪ – 522.5 2‬جا‪ = 522.5 2‬جتا ‪= 545‬‬ ‫‪184‬‬

‫إ�ثـراء‬ ‫أ�ثبت �صحة ك ِّل متطابقة مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫= قا‪�2‬س ‪ -‬ظا‪�2‬س‬ ‫جتا �س ‪ -‬جا �س‬ ‫‪)1‬‬ ‫جتا �س‪ +‬جا �س‬ ‫= ظا �س‬ ‫جا‪� 2‬س‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ + 1‬جتا ‪�2‬س‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫جتا‪�2‬س ‪ +‬جا‪�2‬س ‪ -‬حا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫جتا �س ‪ -‬جا �س‬ ‫×‬ ‫جتا �س ‪ -‬جا �س‬ ‫‪)1‬‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫جتا �س ‪ -‬جا �س‬ ‫جتا �س ‪ +‬جا �س‬ ‫قا ‪�2‬س – ظا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫‪ - 1‬جا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫‪2‬جا �س جتا �س‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫‪ + 1 )2‬جتا‪�2‬س = ‪2 + 1‬جتا‪� 2‬س ‪ = 1 -‬ظا�س‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم ‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫أ�دوات التقويم ‪� :‬سلم التقدير (‪ )1-4‬البند (‪ ،)5‬قائمة الر�صد (‪� ،)2-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪ ،)3-1‬اختبار ق�صير‪.‬‬ ‫إجابات الأسئلة والأنشطة‬ ‫التدريبات‬ ‫‪1-‬‬ ‫تدريب ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬حيث �س بالربع الثاني �أو الثالث‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫كان‬ ‫إ�ذا‬ ‫‪ )1‬جا‪�2‬س = ‪2‬جا�س جتا�س‬ ‫‪ ،‬إ�ذا كانت �س في الربع الثاني‬ ‫‪1-‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪×2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8 2-‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪� ،‬إذا كانت �س في الربع الثالث‬ ‫‪1-‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪- ×2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪185‬‬

‫‪ )2‬جتا‪�2‬س = ‪ 2‬جتا‪�2‬س – ‪1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪×2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7-‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تدريب ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا‪530‬‬ ‫=‬ ‫‪515‬‬ ‫جتا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫تدريب ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫جتا�س‬ ‫‪ - 1‬جتا �س‬ ‫‪±‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تدريب ‪4‬‬ ‫ألن الزاوية في الربع الثاني‬ ‫‪4-‬‬ ‫جتا�س =‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‬ ‫جا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫جتــــا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 1‬جتا �س‬ ‫=‪±‬‬ ‫�س‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تقع في الربع ا ألول‪.‬‬ ‫�س‬ ‫ا إلجابة موجبة؛ لأ َّن الزاوية‬ ‫‪0.8 + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تدريب ‪5‬‬ ‫‪ - 1‬جتا �س‬ ‫×‬ ‫‪ - 1‬جتا �س‬ ‫‪±‬‬ ‫=‬ ‫جا ‪� 0.5‬س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫ظـــا‬ ‫‪ - 1‬جتا �س‬ ‫‪ + 1‬جتا �س‬ ‫جتا ‪� 0.5‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ - 1‬جتا�س‬ ‫‪±‬‬ ‫=‬ ‫جا �س‬ ‫‪186‬‬

‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪� )1‬أ ) جتا ‪ 550‬جتا ‪ - 510‬جا ‪ 550‬جا‪510‬‬ ‫= جتا (‪ = )510+ 550‬جتا ‪0.5 = 560‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) جتا‪ 570‬جتا ‪ + 525‬جا ‪ 570‬جا ‪525‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= جتا (‪ = ) 525 - 570‬جتا ‪= 545‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫جـ) جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ - 1‬جتا‬ ‫=‪±‬‬ ‫‪π‬‬ ‫د ) جا‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪- 1‬جاجتا‪π65π65‬‬ ‫(متطابقة ‪ /‬تدريب ‪)5‬‬ ‫=‪3 +2‬‬ ‫=‬ ‫‪π5‬‬ ‫هـ) ظا‬ ‫‪12‬‬ ‫ظا�س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ع‪ 2‬جا‪�2‬س‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫ع‪ 2‬جا‪�2‬س‬ ‫جـ‬ ‫بال�ضر ب في مرافق الب�سط‬ ‫جتا�س ‪ -‬جا�س‬ ‫=‬ ‫ظتا �س ‪1 -‬‬ ‫‪� )3‬أ ) الطرف ا أليمن‪:‬‬ ‫جا�س‬ ‫ظتا �س ‪1 +‬‬ ‫جتا�س ‪ +‬جا�س‬ ‫جا�س‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫‪ + 1‬جا‪�2‬س‬ ‫‪ - 1‬جتا ‪�2‬س ‪2 - 1( -1‬جا‪�2‬س)‬ ‫ب) الطرف الأي�سر‪ :‬جا ‪�2‬س = ‪2‬جا �س جتا �س‬ ‫‪2‬جا‪�2‬س‬ ‫ ‬ ‫= ‪2‬جا �س جتا �س = ظا �س‬ ‫‪187‬‬

‫‪2‬جا �س جتا �س‬ ‫=‬ ‫جا ‪�2‬س‬ ‫جـ) الطرف ا أليمن‪ :‬ظا‪�2‬س =‬ ‫جتا‪� 2‬س ‪ -‬جا‪�2‬س‬ ‫جتا ‪�2‬س‬ ‫بالق�سمة على جا �س جتا �س لجميع الأطراف‬ ‫‪2‬‬ ‫ظتا �س ‪ -‬ظا �س‬ ‫د ) الطرف الأيمن‪ 4 :‬جتا‪�2‬س‪2( -‬جا�س جتا�س )‪ 4 = 2‬جتا‪�2‬س – ‪ 4‬جا‪�2‬س جتا‪�2‬س‬ ‫= ‪4‬جتا‪�2‬س (‪ -1‬جا‪�2‬س ) = ‪4‬جتا‪�4‬س‬ ‫توحيد المقامات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هـ) الطرف ا ألي�سر‪ :‬ظتا �س ‪ +‬ظا �س =‬ ‫جا�س‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا�س‬ ‫جتا�س‬ ‫جا�س‬ ‫جا�س‬ ‫= جا �س جتا �س =‬ ‫قا�س‬ ‫‪ - 1‬جتاهـ‬ ‫×‬ ‫‪ - 1‬جتاهـ‬ ‫و ) الطرف ا أليمن ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬جتاهـ‬ ‫‪ + 1‬جتاهـ‬ ‫توزيع جا‪2‬هـ في المقام‬ ‫(‪ - 1‬جتاهـ)‪ 2 - 1 2‬جتاهـ ‪ +‬جتا‪2‬هـ‬ ‫= ‪ - 1‬جتا‪2‬هـ = جا‪2‬هـ‬ ‫= ( قتا هـ ‪ -‬ظتا هـ)‪2‬‬ ‫‪ + 1‬جتا �س‬ ‫*‬ ‫‪ + 1‬جتا �س‬ ‫‪±‬‬ ‫=‬ ‫جتا ‪�0.5‬س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫ز ) الطرف ا أليمن‪ :‬ظتا‬ ‫‪ + 1‬جتا �س‬ ‫‪ - 1‬جتا �س‬ ‫جا ‪�0.5‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ + 1‬جتا�س‬ ‫=‪±‬‬ ‫جا�س‬ ‫جـ‬ ‫= ظا‬ ‫جا جـ‬ ‫=‬ ‫جـ)‬ ‫جـ‬ ‫جـ * جتا‬ ‫‪2‬جا جـ جتا‬ ‫الأيمن‪1(:‬‬ ‫الطرف‬ ‫ح)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ + 1‬جتاجـ‬ ‫جتا‬ ‫‪+ 1( )1‬‬ ‫‪2 +‬جتا‪ 2‬جـ ‪-‬‬ ‫‪188‬‬

‫بال�ضرب التبادلى‪ ،‬ثم التب�سيط ينتج ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬ظا جـ‬ ‫‪ )4‬ظا ‪2‬جـ =‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ - 1‬ظا‪2‬جـ‬ ‫ظا‪ 2‬جـ ‪10 +‬ظاجـ ‪0 = 1 -‬‬ ‫ومنه قيم جـ هي‪104 ± 10- :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫) جتا ‪2‬هـ =‬ ‫‪� )5‬أ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24-‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬هـ‬ ‫ب) جا‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24-‬‬ ‫=‬ ‫جـ) ظا ‪2‬هـ‬ ‫‪7‬‬ ‫تقع في الربع الثاني)‬ ‫هـ‬ ‫( الزاوية‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫) جا‬ ‫د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫هـ ) جتا‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫) ظا‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‬ ‫جا‬ ‫أ�‬ ‫جا‬ ‫‪+‬‬ ‫ب‬ ‫جتا‬ ‫�أ‬ ‫جتا‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪-‬ب‬ ‫�أ‬ ‫(‬ ‫جتا‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪0.98‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬يمكن حل ال�س ؤ�ال بطريقة �أخرى؛ با�ستخدام متطابقة ن�صف الزاوية‪.‬‬ ‫‪189‬‬

‫عدد الح�ص�ص ‪4‬‬ ‫الف�صل الرابع‪ :‬المعادلات والمتطابقات المثلثية‬ ‫ثالثًا‪ :‬حل المعادلات المثلثية‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪ -‬يتعرف المعادلة المثلثية‪.‬‬ ‫‪ -‬يحل المعادلة المثلثية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪ -‬يحل المعادلة المثلثية جبر ًّيا‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫‪ -‬معادلة مثلثية‪ ،‬الحل الأولي‪ ،‬الحل العام‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪ -‬حل المعادلات ب�أنواعها في ال�صفوف من ال�ساد�س وحتى العا�شر‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪ -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)207 -203‬‬ ‫‪ -‬متطابقات مثلثية‪ ،‬قوانين الن�سب‬ ‫‪ -‬برمجيات ر�سم المنحنيات‬ ‫المثلثية‪ ،‬ر�سم المنحنيات‪.‬‬ ‫ا�ستراتجيات التدري�س‬ ‫‪ -‬التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي‪ ،‬الأ�سئلة والأجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (التعلم التعاوني‬ ‫الجماعي)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪ -1‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة الطلبة في مفهوم المعادلة‪ ،‬ومفهوم ح ّل المعادلة و�أنواع المعادلات‬ ‫التي وردت في ال�صفوف ال�سابقة؛ من خلال عر�ض خريطة مفاهيمية تحوي أ�نواع المعادلات التي‬ ‫تعلمها الطالب �ساب ًقا‪.‬‬ ‫‪ -2‬كتابة ال�س�ؤال ا آلتي على اللوح‪\" :‬ما قيمة �س حيث جا�س= ‪ 0.5‬؟\"‬ ‫‪ -3‬الا�ستماع �إلى إ�جابات الطلبة من خلال التخمين‪ ،‬للو�صول �إلى قيم �س‪ ،‬ثم تقديم مفهوم المعادلة المثلثية‬ ‫وحلها ‪.‬‬ ‫‪ -4‬كتابة تعريف المعادلة المثلثية على اللوح‪ ،‬وتكليف �أكثر من طالب بقراءة التعريف‪ ،‬وتحديد ال�شروط‬ ‫الواردة فيه‪ ،‬والتنويه �إلى الفرق بين المعادلة والمتطابقة‪.‬‬ ‫‪190‬‬

‫‪ - 5‬مناق�شة مثال (‪ )1‬لتقديم حل المعادلة المثلثية بيان ًّيا من خلال ر�سم منحنى جتا�س والم�ستقيم �ص= ‪0.5‬‬ ‫‪ ،‬ثم تو�ضيح أ�ن نقط تقاطع المنحنيين هي حل المعادلة المثلثية‪ ،‬يمكن طرح ال�س ؤ�ال التالي‪ “ :‬ما الزاوية‪/‬‬ ‫الزوايا التي يكون جيب تمامها ي�ساوي ‪ 0.5‬؟ ومنه يمكن تقديم الحل الجبري ا ألولي للمعادلة المثلثية‪،‬‬ ‫طرح ال�س�ؤال “ هل يوجد زوايا �أخرى غير ‪ ، 5120 ، 560‬يكون جيب تمامها ‪0.5‬؟ لا�ستدراج‬ ‫الطلبة للو�صول �إلى الحل العام للمعادلة المثلثية‪.‬‬ ‫‪ - 6‬ت أ�كيد ربط الحل العام للمعادلة المثلثية بدورة الاقتران‪.‬‬ ‫‪ - 7‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )1‬مع المتابعة وتقديم التغذية الراجعة‪ ،‬يمكن ا�ستخدام برمجيات ر�سم‬ ‫المنحنيات للح�صول على نتيجة �سريعة ودقيقة‪.‬‬ ‫‪ - 8‬مناق�شة المثالين (‪ )3( ،)2‬لتعميق فهم الطلبة حول حل المعادلة المثلثية و�إيجاد الحل الأولي و الحل العام‪.‬‬ ‫‪ - 9‬تكليف الطلبة بحل التدريبين (‪ )3( ،)2‬لتدريبهم على حل المعادلات المثلثية‪ ،‬مع المتابعة و تقديم‬ ‫التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪ -10‬تنبيه الطلبة عند حل تدريب ‪� 3‬إلى توحيد الزوايا‪.‬‬ ‫‪ -11‬مناق�شة المثالين (‪ )5( ،)4‬لتو�ضيح �صور �أخرى للمعادلات المثلثية‪ ،‬حيث يمكن ا�ستخدام المتطابقات‬ ‫للح�صول على �صورة مكافئة للمعادلة ثم حلها‪،‬وطرح حلول متعددة عند حل المعادلة المثلثية‬ ‫ومناق�شتها بم�شاركة الطلبة‪ ،‬لتو�ضيح أ�نه يوجد �أكثر من م�سار للحل‪.‬‬ ‫‪ -12‬تنبيه الطلبة عند مناق�شة مثال (‪ )4‬إ�لى �أنه يمكن تحويل جتا‪�2‬س �إلى ‪ 2 -1‬جا‪� 2‬س ‪ ،‬وبالتالي الو�صول‬ ‫�إلى نف�س النتيجة‪.‬‬ ‫‪ -13‬ختم الدر�س من خلال توجيه ال�س�ؤال \"ماذا تعلمنا اليوم؟\" والا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪ -14‬تعيين واجب بيتي من تمارين وم�سائل الكتاب‪ ،‬ومتابعة حلولهم وتقديم التغذية الراجعة والدعم الازم‬ ‫لهم‪.‬‬ ‫الأخطاء ال�شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخلط بع�ض الطلبة بين المعادلة والمتطابقة‪ ،‬ويمكن تنبيه الطلبة إ�لى �أ َّن المعادلة تحتاج �إلى حل‪� ،‬أما‬ ‫المتطابقة فتحتاج �إلى برهان‪.‬‬ ‫‪ -‬قد يقوم الطلبة بالاخت�صار بين طرفي المعادلة المثلثية كما في المثال الآتي‪:‬‬ ‫جا�س جتا�س = ‪ 0.5‬جا�س ؛ حيث يخت�صر الطلبة جا�س من طرفي المعادلة‪ ،‬وهذا خط أ� ‪.‬‬ ‫يمكن التنبيه �إلى تلك ا ألخطاء من خلال مناق�شتها أ�ثناء تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫‪191‬‬

‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ -‬حل المعادلات الآتية ‪:‬‬ ‫�أ ) جتا�س = ‪� ، 0.5‬س [‪]π2 ،0‬‬ ‫‪� ،‬س [‪]π2 ،0‬‬ ‫ب) ظا �س = ‪1‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π11‬‬ ‫�س=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س=‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�أ )‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫�س=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س=‬ ‫ب)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إ�ثـراء‬ ‫‪ -‬حل المعادلة الحل الأولي والعام ‪:‬‬ ‫‪3‬قا‪� 2‬س ‪ 5 -‬قا�س ‪0 = 2 -‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫( قا �س ‪ 3 ( )2 -‬قا�س ‪0 = )1 +‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫أ�و �س=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ومنه �س=‬ ‫جتا�س = ‪0.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم ‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أدوات التقويم ‪� :‬سلم التقدير (‪ )1-4‬البند (‪ ،)6‬قائمة الر�صد (‪� ،)2-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪،)3-1‬‬ ‫اختبار ق�صير‪.‬‬ ‫‪192‬‬

‫إجابات الأسئلة والأنشطة‬ ‫التدريبات‬ ‫تدريب‪2‬‬ ‫‪]π‬‬ ‫=[‪،π60‬‬ ‫�س‬ ‫‪0.5‬‬ ‫=‪π‬‬ ‫جتا ‪�2‬س‬ ‫�س‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�2‬س =‬ ‫‪π5‬‬ ‫ومنه �س =‬ ‫‪π5‬‬ ‫�أو ‪�2‬س =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�أت‪2‬ججوداارجيا���‪222‬سسس�ب‪2‬س‪==(3‬ج‪2‬ت‪0π‬اجتوا�من‪2‬سوه�من‪2‬س�ه–‪2‬س�–جسا==‪202�)1‬س=‪π‬و‪0‬م=نه‪�0‬س= ‪0‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪0.5‬‬ ‫=‬ ‫‪π22‬‬ ‫– ‪ 0 =)1‬ومنه جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪2‬جتا‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه �س =‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[‪ ]π ،0‬وهذه ترف�ض لأنها خارج الفترة‪.‬‬ ‫�س‬ ‫‪π10‬‬ ‫�س=‬ ‫ومنه‬ ‫‪π5‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫�أو‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪� )1‬أ ) جتا�س (جا�س‪0 = )0.5 -‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ�و �س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا�س = ‪ 0‬ومنه �س=‬ ‫�أو (جا�س‪ 0 = )0.5 -‬ومنه جا�س = ‪0.5‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�أو �س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�س=‬ ‫ب) (‪2‬جا�س جتا�س )‪ +2‬جتا‪�2‬س = ‪0‬‬ ‫‪ 4‬جا‪�2‬س جتا‪�2‬س ‪ +‬جتا‪�2‬س = ‪0‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫جتا‪�2‬س (‪4‬جا‪�2‬س ‪0 = ) 1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫أ�و �س =‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�إما جتا‪�2‬س = ‪ 0‬ومنه �س=‬ ‫أ�و ‪4‬جا‪�2‬س ‪ 0 = 1 +‬ترف�ض‬ ‫‪193‬‬

‫جـ) ‪ 2‬جتا‪� 2‬س ‪ + 1 -‬جتا �س ‪ 0 = 1 +‬‬ ‫‪ 2‬جتا‪� 2‬س ‪ +‬جتا �س = ‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫�أو �س =‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا�س (‪2‬جتا �س ‪0 = )1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�ما جتا �س = ‪ 0‬ومنه �س=‬ ‫�أو ‪2‬جتا �س ‪ 0=1+‬ومنه جتا�س = ‪0.5-‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫�أو �س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫�س=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ومنه جا�س = ‪±‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ) جا‪�2‬س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�أو �س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π7‬‬ ‫‪� ،‬س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫�أو �س=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫هـ ) جتا�س – ‪2‬جتا�س جا�س = ‪0‬‬ ‫جتا�س(‪2 – 1‬جا�س) = ‪0‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ،‬س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س=‬ ‫ومنه‬ ‫جتا�س = ‪0‬‬ ‫‪� ،‬س=‬ ‫‪1‬‬ ‫�أو جا�س =‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س=‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫توحيد الزوايا‬ ‫=‪0‬‬ ‫�س‬ ‫) جا�س‪ +‬جا‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ +‬جا‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬جا‬ ‫‪0 = )1 +‬‬ ‫�س‬ ‫(‪2‬جتا‬ ‫�س‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫=‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�أو‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 0‬ومنه‬ ‫‪2‬‬ ‫جا‬ ‫�إذن �س= ‪4+ 0‬ن ‪� π‬أو �س= ‪4 + π 2‬ن ‪π‬‬ ‫�أ‪0‬و�أو�و‪�2‬مسنسه=ج=تا‪2π�3π438‬س‪+‬‬ ‫�أ�وس �=‪22‬سجت‪4‬ا‪2�=π3‬س‪+4π32+‬ن‪=π1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬ن‬ ‫‪π‬‬ ‫‪194‬‬

‫=‪4‬‬ ‫جتا �س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫ز)‬ ‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫جتا �س‬ ‫فك الأقوا�س وال�ضرب التبادلي‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪ + 1(2‬جا �س) (‪2‬جتا �س ‪)1 -‬‬ ‫جتا�س (‪ + 1‬جا �س)‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنه‪ :‬جا�س = ‪� ، 1-‬س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫أ�و �س=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا�س = ‪ ، 0.5‬ومنه �س=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ح ) جتا‪�2‬س – جا‪� 2‬س ‪0 = 2 +‬‬ ‫‪ 2 – 1‬جا‪� 2‬س – جا‪� 2‬س ‪0 = 2 +‬‬ ‫‪3-‬جا‪� 2‬س ‪0 = 3 +‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫أ�و �س=‬ ‫‪2 +‬ن ‪، π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ومنه �س=‬ ‫جا‪� 2‬س = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جا �س = ‪1 ±‬‬ ‫‪� )2‬أ ) ‪2-‬جا‪� 2‬س – جا�س ‪0= 1 +‬‬ ‫ب) ظا�س = ‪1‬‬ ‫جـ)‪5‬قا‪� 2‬س ‪6-‬قا�س =‪0‬‬ ‫د ) قتا‪� 2‬س ‪3-‬قتا�س =‪0‬‬ ‫‪� )3‬أ ) لا يوجد حل‬ ‫ب) حلان ‪ ،‬في الربع الأول والثالث‪.‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جـ) لا يوجد حلول لأ َّن الظل مقلوب الظتا‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫أ�و هـ =‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫ومنه هـ =‬ ‫‪� )4‬أ ) بالق�سمة ينتج أ� َّن ظاهـ = ‪3‬‬ ‫ب) با�ستخدام المتطابقة جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪ 2‬هـ =‪1‬‬ ‫قيم ب هي‪2 ± :‬‬ ‫عندما‬ ‫ذلك‬ ‫ويكون‬ ‫المعادلة جبر ًّيا‬ ‫ي�ساوي حل‬ ‫ا‪�1‬لإس‪1‬حد==اث‪10‬ي‪2‬ال‪–�،‬سين‪0π‬ي‪2‬ل‪،‬نقجتاا‪π3‬ط‪3‬تقان‪،‬ط‪π‬ع‪35‬الم‪π‬نحنيين‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪] π2 ، 0‬‬ ‫‪� ،‬س [‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 = 1‬جتا‪ 3‬ن ‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دقيقة‬ ‫‪9‬‬ ‫ومنه ن =‬ ‫‪3‬ن ‪= π‬‬ ‫‪ ،‬ومنه‬ ‫‪π25‬‬ ‫جتا‪3‬ن ‪= π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�أو ‪3‬ن ‪= π‬‬ ‫دقيقة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬ومنه ن =‬ ‫‪9‬‬ ‫‪195‬‬

‫�إجابات �أ�سئلة الوحدة‬ ‫‪π‬‬ ‫ب)‬ ‫ ‬ ‫‪π5‬‬ ‫)‬ ‫‪� )1‬أ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ب) ‪5210‬‬ ‫‪� )2‬أ ) ‪ 18‬‬ ‫ب) ظتا‪ 2‬هـ‬ ‫‪� )3‬أ ) ‪ 1‬‬ ‫د ) جتا‪ 2‬هـ‬ ‫جـ) قــــا‪ 3‬هـ‬ ‫و ) – ظتاهـ‬ ‫هـ ) ‪2‬جتا‪ 2‬هـ‬ ‫ب) جا‪ 3‬هـ‬ ‫‪1‬‬ ‫جــا‪2‬هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )4‬أ )‬ ‫‪2 - 1‬جا‪ 2‬هـ‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫=‪1‬‬ ‫جاهـ‬ ‫جـ)‬ ‫جا‪ 2‬هـ ‪ -‬جا‪ 4‬هـ‬ ‫جاهـ‬ ‫ب) ‪π 2‬‬ ‫‪� )5‬أ ) ‪ π 0.16‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫ ‬ ‫‪π‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مت ًرا‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬جا ‪545‬‬ ‫=‬ ‫د‬ ‫ب)‬ ‫ ‬ ‫ع جا ‪�2‬س‬ ‫)‬ ‫‪� )6‬أ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ )7‬أ� ) افر�ض �ص = ‪ - 1‬جتا �س‬ ‫جا�س ‪� +‬ص‬ ‫×‬ ‫جا�س ‪� +‬ص‬ ‫=‬ ‫جا�س ‪ -‬جتا�س ‪1 +‬‬ ‫جا�س ‪� +‬ص‬ ‫جا�س ‪� -‬ص‬ ‫جا�س ‪ +‬جتا�س ‪1 -‬‬ ‫�إخراج عامل م�شترك (‪ -1‬جتا�س )‬ ‫جتا�س)‬ ‫(‪ - 1‬جتا�س) ‪- 1(2 +‬‬ ‫‪2‬جا�س‬ ‫‪:‬‬ ‫ينتج‬ ‫بالتب�سيط‬ ‫‪2-‬جتا�س (جتا�س ‪)1 -‬‬ ‫‪ - 1( 2‬جتا�س)(جا�س ‪ )1 +‬جا �س ‪1 +‬‬ ‫= ‪2 -‬جتا� س (جت ا�س ‪ = )1 -‬جتا �س‬ ‫افر�ض �ص= قا�س ‪1-‬‬ ‫ظا�س ‪ +‬قا�س ‪1 -‬‬ ‫ب)‬ ‫بالتب�سيط‬ ‫قتا�س ‪ -‬قا�س ‪1 +‬‬ ‫��صص ‬ ‫‪+‬‬ ‫ظا�س‬ ‫�ص‬ ‫ظا�س ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ظا�س‬ ‫*‬ ‫�ص‬ ‫ظا�س ‪-‬‬ ‫ ‬ ‫‪196‬‬

‫‪2‬قا�س (قا�س ‪2 + )1 -‬ظا�س(قا�س ‪)1 -‬‬ ‫‪ - 1(2-‬قا�س)‬ ‫= قا�س ‪ +‬ظا�س‬ ‫‪1‬‬ ‫= جتا‪�2‬س‬ ‫جا‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫جا‪�2‬س ‪ +‬جتا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫جـ)‬ ‫جا‪�2‬س جتا‪�2‬س‬ ‫= قا‪� 2‬س قتا‪� 2‬س‬ ‫د ) بفك ا ألقوا�س ينتج ‪:‬‬ ‫جا‪� 2‬س ‪ +‬جتا‪� 2‬س ‪ +‬جا �س جتا�س ‪ +‬جا‪� 2‬س ‪ -‬جا �س جتا�س ‪ +‬جتا‪� 2‬س = ‪2‬‬ ‫‪ - 1‬جتا‪�2‬س‬ ‫هـ ) ‪ - 1‬جتا�س = ‪ +1‬جتا�س‬ ‫و ) بفك الأقوا�س ينتج‪:‬‬ ‫ب‪( 2‬جتا‪� 2‬س ‪ +‬جا‪� 2‬س)( جتا‪� 2‬س ‪ +‬جا‪� 2‬س) = ب‪2‬‬ ‫ز ) جا ‪�8‬س= ‪ 2‬جا ‪�4‬س جتا ‪�4‬س = ‪ 4‬جا‪�2‬س جتا ‪�2‬س جتا ‪�4‬س‬ ‫= ‪ 8‬جا�س جتا �س جتا‪�2‬س جتا ‪�4‬س‬ ‫ح ) بفك ا ألقوا�س ‪:‬‬ ‫جتا‪� 2‬س ‪ +‬جا‪� 2‬س‪(4 +‬جتا‪� 2‬س ‪ +‬جا‪� 2‬س) = ‪5‬‬ ‫‪� )8‬أ ) ‪ 2‬جتا‪� 2‬س ‪ +‬جا�س ‪2-2 = 1-‬جا‪� 2‬س ‪ +‬جا�س ‪1-‬‬ ‫‪2‬جا‪� 2‬س – جا�س ‪0 = 1-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π11‬‬ ‫(‪2‬جا�س‪()1+‬جا�س‪0 = )1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪π7‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫‪+‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ومنه قيم �س هي‪:‬‬ ‫‪197‬‬

‫ب) ‪ – 2‬جا�س = ‪ 2‬جتا‪� 2‬س‬ ‫جا�س( ‪2‬جا�س‪0 = )1-‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪2‬ن ‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�أجوا �‪2‬سجا�=س‪1-0‬وم=نه‪�0‬وسم=نه‪�0‬س‪2=+‬ن‪ππ6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫‪+‬‬ ‫جـ) جا�س ‪ +‬جتا‪� 2‬س = ‪1‬‬ ‫‪ -‬جا‪� 2‬س ‪ +‬جا�س = ‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،π‬‬ ‫‪π2‬ن‬ ‫هي‪+ 0 :‬‬ ‫جا�س =‪ 0‬ومنه قيم �س‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 +‬ن‬ ‫‪2‬‬ ‫�س هي‪:‬‬ ‫�أو جا�س = ‪ 1‬ومنه قيم‬ ‫د ) قا‪� 2‬س – ظا‪� 4‬س = ‪1-‬‬ ‫‪ +1‬ظا‪� 2‬س ‪ -‬ظا‪� 4‬س = ‪1-‬‬ ‫( ‪ -‬ظا‪� 2‬س ‪ ( )2+‬ظا ‪� 2‬س ‪0 = )1+‬‬ ‫ظا‪� 2‬س = ‪ 1-‬ترف�ض‬ ‫�أربعة حلول مختلفة �أو �إجابات‪.‬‬ ‫ظا‪� 2‬س = ‪2‬‬ ‫ظا �س = ‪2 ±‬‬ ‫هـ ) ‪ 4‬جا�س = ‪ 4‬قتا�س‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫‪+‬‬ ‫قجيجاام‪���22‬سسسه–=يج‪:‬ت‪1‬ا�س‪=π2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫و‬ ‫‪ 2‬جا�س جتا�س – جتا �س = ‪0‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا�س( ‪2‬جا�س ‪0 = )1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا�س =‪ 0‬قيم �س هي‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪2 +‬ن ‪، π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫قيم هي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�أو جا�س =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪198‬‬