دليل ثانوي ثانوي علمي

‫دليل المعلم‬ ‫الريا�ضيات‬ ‫ال�صف الثاني ع�شر‬ ‫الفرعان العلمي‪ ،‬وال�صناعي‬ ‫ي�سر إ�دارة المناهج والكتب المدر�سية ا�ستقبال آ�رائكم وملحوظاتكم على هذا الدليل عن طريق العناوين الآتية‪:‬‬ ‫ﻳﺴﺮ ﺇﺩﺍﺭﺓ ﺍﳌﻨﺎهﻫاتﺞ ﻭفﺍﻟ‪:‬ﻜ‪8‬ﺘ‪0‬ﺐ‪5‬ﺍ‪/‬ﳌ‪4‬ﺪﺭ‪30‬ﺳ‪7‬ﻴ‪1‬ﺔ ﺍ‪46‬ﺳﺘفﻘاﺒﺎك�ﻝ ﺁسﺭ‪:‬ﺍﺋ‪9‬ﻜ‪6‬ﻢ‪5‬ﻭ‪7‬ﻣ‪3‬ﻠ‪6‬ﺤ‪4‬ﻮﻇ�ﺎﺗص‪.‬ﻜبﻢ (ﻋﻠ‪30‬ﻰ‪9‬ﻫ‪1‬ﺬ)ﺍ ﺍاﻟلرﻜمﺘﺎز اﺏلبﻋرﻦيدﻃﺮيﻳ‪:‬ﻖ ﺍ‪8‬ﻟ‪1‬ﻌ‪1‬ﻨﺎ‪1‬ﻭﻳ‪1‬ﻦ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ�و بو�ساطة البريد ا إللكتروني‪E-mail: [email protected] :‬‬ ‫ﺃﻭ ﺑﻮﺳﺎﻃﺔ ﺍﻟﺒﺮﻳﺪ ﺍﻹﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻲ‪E-mail: Scientifi[email protected] :‬‬

‫قررت وزارة التربية والتعليم ا�ستخدام هذا الدليل في مدار�س المملكة الأردنية الها�شمية جميعها‪ ،‬بنا ًء على قرار‬ ‫مجل�س التربية والتعليم رقم ( ‪ ) 2018 /64‬تاريخ ‪2018/9/25‬م بد ًءا من العام الدرا�سي ‪2019‬م‪2020/‬م‪.‬‬ ‫الحقوق جميعها محفوظة لوزارة التربية والتعليم‬ ‫ع ّمـان ‪ -‬الأردن ‪� /‬ص ‪ .‬ب ‪1930‬‬ ‫رقم ا إليداع لدى دائرة المكتبة الوطنية‬ ‫(‪)2018/10/5536‬‬ ‫‪:ISBN 978-9957-84-853-8‬‬ ‫اللجنة الفنية المتخ�ص�صة ل إل�شراف على ت�أليف الدليل‬ ‫د‪ .‬معاذ محمود ال�ش��ياب‬ ‫�أ‪ .‬د‪ .‬ح�س��ن زارع هدي��ب‬ ‫ن��ف��ي��ن �أح����م����د ج��وه��ر‬ ‫د‪ .‬خولة �صالح �أبو الهيجاء‬ ‫وقام بت أ�ليفه كل من‪:‬‬ ‫�إب���راه���ي���م أ�ح���م���د ع��م��اي��رة‬ ‫د‪ .‬لانـــــا كمــــــــــال عرفــــة‬ ‫د‪ .‬حـ�سين ع�ســــكر ال�شرفات‬ ‫د‪ .‬يو�ســـف محمـــد �صبــح‬ ‫�أم�������ل ح�����س��ن��ي ال��خ��ط��ي��ب‬ ‫د‪� .‬أك�����رم ع����واد ال��دي��ات‬ ‫التحرير العلـمي‪ :‬نفين أ�حمد جوهر‬ ‫التحري��ر الفن��ي ‪� :‬أنـــــ�س خليــــــــل الجرابعــة‬ ‫التحريـــ��ر اللغوي ‪ :‬مي�س��ـــاء عمــر ال�ساري�سي‬ ‫الر�س��ـــــــــــــــم ‪ :‬ف�����اي�����زة ف����اي����ز ح�����داد‬ ‫الـتــــ�صـــمــــيــ��م ‪ :‬عم��ر �أحمـــــ��د أ�بوعليــان‬ ‫ا إلنــــــتــــــاج ‪� :‬س��ليمان أ�حم��د الخلايلة‬ ‫دقّـــق الطـــباعــة ‪ :‬د‪ .‬لان����ا ك���م���ال ع�رف�ة راجــــــــعــــــــها ‪ :‬ن���ف���ي���ن �أح����م����د ج��وه��ر‬ ‫‪1440‬هـ ‪2019 /‬م‬ ‫الطبعة ا ألولى‬

‫ال�صفحة‬ ‫قائمة المحتويات‬ ‫المو�ضـوع‬ ‫الفصل الدراسي الأول‬ ‫‪...................................................................................................................................‬المقدمة ‪7‬‬ ‫�إر�شادات التعامل مع الدليل ‪8 .........................................................................................................‬‬ ‫نموذج تحليل محتوى ‪10 .................................................................................................................‬‬ ‫نموذج خطة ف�صلية ‪11 ....................................................................................................................‬‬ ‫الوحدة ا ألولى‪ :‬النهايات والات�صال ‪15‬‬ ‫الف�صل الأول‪ :‬النهايات ‪19 ...............................................................................................................‬‬ ‫أ�و اًل ‪ :‬مفهوم ‪.........................................................................................................‬النهاية ‪19‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬نظريات النهايات ‪23 ..................................................................................................‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬نهايات اقترانات ك�سرية ‪28 .........................................................................................‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬نهايات اقترانات مثلثية ‪33 ..........................................................................................‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬الات�صال ‪38 ...............................................................................................................‬‬ ‫�أو اًل‪ :‬الات�صال عند نقطة ‪38 .................................................................................................‬‬ ‫ثان ًيا‪:‬الات�صال على فترة ‪43 ...................................................................................................‬‬ ‫�إجابات أ��سئلة الوحدة ا ألولى ‪47 ........................................................................................................‬‬ ‫الوحدة الثانية ‪ :‬التفا�ضل ‪55‬‬ ‫الف�صل الأول‪ :‬معدل التغير والم�شتقات ‪58 ..........................................................................................‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬معدل ‪............................................................................................................‬التغير ‪58‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬الم�شتقة الأولى ‪62 ......................................................................................................‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬الات�صال والا�شتقاق ‪67 ...............................................................................................‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق ‪72 ......................................................................................................‬‬ ‫�أولًا‪ :‬قواعد الا�شتقاق ‪72 ................................................................................................. 1‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬قواعد الا�شتقاق ‪76 ................................................................................................ 2‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬الم�شتقات العليا ‪82 .....................................................................................................‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬م�شتقات الاقترانات المثلثية ‪86 .....................................................................................‬‬

‫ال�صفحة‬ ‫المو�ضـوع‬ ‫خام�ًسا‪ :‬قاعدة ال�سل�سلة ‪90 ...................................................................................................‬‬ ‫�ساد�ًسا‪ :‬الا�شتقاق ال�ضمني ‪95 ...............................................................................................‬‬ ‫إ�جابات أ��سئلة الوحدة الثانية ‪100 .........................................................................................................‬‬ ‫الوحدة الثالثة ‪ :‬تطبيقات التفا�ضل ‪117‬‬ ‫الف�صل الأول‪ :‬تطبيقات هند�سية ‪.........................................................................................‬وفيزيائية ‪120‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬تطبيقات هند�سية ‪120 ....................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬تطبيقات فيزيائية ‪123 ....................................................................................................‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬المعدلات المرتبطة بالزمن ‪126 .........................................................................................‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬تطبيقات عملية على التفا�ضل ‪130 .......................................................................................‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬النقط الحرجة ‪130 .........................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬التزايد والتناق�ص ‪133 ....................................................................................................‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬القيم الق�صوى ‪137 .......................................................................................................‬‬ ‫راب ًعا‪.................................................................................................................... :‬التقعر ‪142‬‬ ‫خام�ًسا‪ :‬تطبيقات القيم ‪.......................................................................................‬الق�صوى ‪146‬‬ ‫إ�جابات �أ�سئلة الوحدة الثالثة ‪149 .........................................................................................................‬‬ ‫الفصل الدراسي الثاني‬ ‫الوحدة الرابعة ‪ :‬التكامل وتطبيقاته ‪163‬‬ ‫الف�صل الأول‪................................................................................................................. :‬التكامل ‪164‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬معكو�س الم�شتقة ‪164 .....................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬التكامل غير المحدود ‪168 ..............................................................................................‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬التكامل المحدود ‪173 ....................................................................................................‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬اقتران اللوغاريتم الطبيعي ‪178 .......................................................................................‬‬ ‫خام�ًسا‪ :‬م�شتقة وتكامل الاقتران ا أل�سي الطبيعي ‪182 .................................................................‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬طرائق التكامل ‪185 .......................................................................................................‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬التكامل بالتعوي�ض ‪185 ..................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬التكامل بالأجزاء ‪190 ...................................................................................................‬‬

‫ال�صفحة‬ ‫المو�ضـوع‬ ‫ثالثـًا‪ :‬التكامل بالك�سور الجزئية ‪194 ........................................................................................‬‬ ‫الف�صل الثالث‪ :‬تطبيقات على التكامل ‪199 ..............................................................................................‬‬ ‫�أولًا‪ :‬الم�ساحة ‪199 .................................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬المعادلات التفا�ضلية ‪205 ...............................................................................................‬‬ ‫�إجابات �أ�سئلة الوحدة الرابعة ‪208 .........................................................................................................‬‬ ‫الوحدة الخام�سة ‪ :‬القطوع المخروطية وتطبيقاتها ‪215‬‬ ‫الف�صل الأول‪ :‬القطوع المخروطية ‪218 ..................................................................................................‬‬ ‫�أولًا‪ :‬القطع المخروطي ‪218 ....................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬المحل الهند�سي ‪221 ......................................................................................................‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬معادلات القطوع المخروطية ‪224 ......................................................................................‬‬ ‫‪�.....................................................................................................................‬أولًا‪:‬الدائرة ‪224‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬القطع ‪.........................................................................................................‬المكافئ ‪228‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬القطع ‪.........................................................................................................‬الناق�ص ‪232‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬القطع ‪...........................................................................................................‬الزائد ‪238‬‬ ‫إ�جابات �أ�سئلة الوحدة الخام�سة ‪244 .....................................................................................................‬‬ ‫الوحدة ال�ساد�سة‪ :‬ا إلح�صاء والاحتمالات ‪255‬‬ ‫الف�صل ا ألول‪................................................................................................................ :‬ا إلح�صاء ‪258‬‬ ‫�أولًا‪.................................................................................................................. :‬الارتباط ‪258‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬معامل ارتباط بير�سون ‪...................................................................................‬الخطي ‪261‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬معادلة خط ‪...............................................................................................‬الانحدار ‪264‬‬ ‫الف�صل الثاني‪............................................................................................................ :‬الاحتمالات ‪267‬‬ ‫أ�ولًا ‪ :‬المتغير الع�شوائي ‪267 .....................................................................................................‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬توزيع ذي ‪....................................................................................................‬الحدين ‪271‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬العلامة ‪.......................................................................................................‬المعيارية ‪275‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬التوزيع ‪......................................................................................................‬الطبيعي ‪278‬‬ ‫�إجابات أ��سئلة الوحدة ال�ساد�سة ‪282 ......................................................................................................‬‬ ‫‪.............................................................................................................................‬قائمة المراجع ‪290‬‬ ‫‪5‬‬



‫المقدمة‬ ‫الحمد لله رب العالمين‪ ،‬وال�صلاة وال�سلام على ر�سوله الأمين‪ ،‬وعلى �آله و�صحبه �أجمعين‪.‬‬ ‫أ�خي المعلم‪�/‬أختي المعلمة‪،‬‬ ‫ي�سرنا �أن نقدم دليل المعلم إ�لى كتاب الريا�ضيات لل�صف الثاني ع�شر العلمي وال�صناعي‪،‬‬ ‫�آملين �أن يكون مر�ش ًدا لكم في تدري�س المفاهيم والمهارات الريا�ضية المت�ضمنة في الكتاب‬ ‫المدر�سي‪ ،‬وداع ًما في تقويم تعلم الطلبة؛ بما يحقق النتاجات التعلمية المطلوبة منه‪.‬‬ ‫ولعل من ا أل�س�س المهمة التي بني عليها هذا الدليل أ�نه أ�حد الركائز لتحقيق المنهاج‪ ،‬آ�ملين‬ ‫�أن يك��ون مر�ش�� ًدا ومور ًدا في تخطي��ط الدرو�س بما يتلاءم وم�ستويات الطلب��ة والبيئة ال�صفية‬ ‫و أ�ه��داف المبحث‪ ،‬كما ن أ�مل تحقيق التكامل بين النظري��ة والتطبيق؛ حيث ارتبط هذا الدليل‬ ‫بالمفاهي��م الواردة في كتاب الطالب عل��ى نحو مبا�شر وبالنتاج��ات التعليمية وا�ستراتيجيات‬ ‫التدري���س والتق��ويم‪ ،‬التي تن�سجم و أ�ه��داف المنه��ج‪ ،‬ومعاي�يره (‪ )NCTM ,2000‬العالمية‬ ‫للريا�ضي��ات للمحتويات والعمليات التي روعيت في أ�ثناء �إعداد الكتاب وت�أليفه‪ ،‬إ��ضافة إ�لى‬ ‫اهتمامه بتفعيل دور تكنولوجيا المعلومات والات�صالات بو�صفها أ�داة لتفعيل التعلم ا إليجابي‬ ‫تنفي ًذا وتقويمًا‪ ،‬كذلك روعي تو�ضيح الخطوات الرئي�سة في أ�ثناء تنفيذ خطة الدر�س‪ ،‬وهي‪:‬‬ ‫التمهيد للدر�س‪ ،‬ثم إ�جراءات تنفيذه‪ ،‬ومن ثم ختم الدر�س‪.‬‬ ‫ونحن إ�ذ ن�ضع هذا الدليل بين يديك‪ ،‬ف إ�ننا نقدم لك أ�مثلة واجتهادات تركز على أ�همية‬ ‫ا�ستيعاب المفاهيم أ�و اًل قبل الانطلاق إ�لى ا إلجراءات والخوازميات اللازمة للحلول‪ ،‬ولا نتوقع‬ ‫منك الوقوف عندها فح�سب‪ ،‬بل �أن تع ّدها منطل ًقا لتنمية خبرتك و�إبراز قدراتك الإبداعية‬ ‫في و�ضع البدائل والأن�شطة المتنوعة‪ ،‬و إ��ضافة الجديد بما يخدم المحتوى‪ ،‬وبناء �أدوات تقويم‬ ‫بمعايير جديدة ت�ستطيع عن طريقها تقويم تعلم طلبتك على نحو ف ّعال‪.‬‬ ‫والله ولي التوفيق‬ ‫‪7‬‬

‫�إر�شادات التعامل مع الدليل‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫نتاجات خا�صة يتوقع أ�ن يحققها الطلبة بعد انتهاء التعلم والتعليم‪ ،‬وتتميز ب�شموليتها وتنوعها‬ ‫(معارف‪ ،‬ومهارات‪ ،‬واتجاهات)‪ ،‬وتع ّد مرج ًعا للمعلم‪ ،‬إ�ذ يبنى عليها المحتوى‪ ،‬وهي الركيزة‬ ‫ا أل�سا�سية للمنهاج‪ ،‬وت�سهم في ت�صميم نماذج المواقف التعلمية المنا�سبة‪ ،‬وفي اختيار ا�ستراتيجيات‬ ‫التدري�س‪ ،‬وبناء أ�دوات التقويم المنا�سبة لها‪.‬‬ ‫عدد الح�ص�ص‬ ‫المدة الزمنية المتوقعة لتحقيق نتاجات التعلم‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي والأفقي‬ ‫التكامل الر�أ�سي يعني ربط المفهوم بمفاهيم �أخرى �ضمن م�ستويات المبحث نف�سه‪ ،‬أ�ما التكامل‬ ‫الأفقي فيعني الربط في المباحث الأخرى‪.‬‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫م�صادر تعليمية يمكن للطالب والمعلم الرجوع إ�ليها؛ بهدف زيادة معلوماتهما وخبراتهما‬ ‫والم�ساهمة في تحقيق النتاجات‪ ،‬وت�شمل‪ :‬كت ًبا‪ ،‬ومو�سوعات‪ ،‬ومواقع إ�نترنت‪ ،‬و�أقرا ً�صا مدمجة‪،‬‬ ‫ومقابلات �أ�شخا�ص‪� ...‬إلخ‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز الأ�سا�سية الواردة في الدر�س‪ ،‬ويجب التركيز عليها عند ت�صميم‬ ‫الموقف التعليمي‪.‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫المعارف والمهارات التي ترتبط بمو�ضوع الدر�س‪ ،‬التي تعلمها الطالب �ساب ًقا‪.‬‬ ‫ا�ستراتيجيات التدري�س‬ ‫الخطوات وا إلجراءات المنظمة التي يقوم بها المعلم وطلبته لتنفيذ الموقف التعليمي‪ ،‬وهي خطوات‬ ‫مقترحة يمكن للمع ّلم تطويرها �أو تغييرها بما يتلاءم وظروف الطلبة و إ�مكانات المدر�سة‪ ،‬مع مراعاة‬ ‫توظيف تكنولوجيا المعلومات والات�صالات (‪ )ICT‬عند الحاجة‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫�إجراءات تهدف �إلى تنظيم الموقف التعليمي و�ضبطه‪ ،‬لت�سهيل تنفيذ الدر�س بكفاءة‪ ،‬ومن �أمثلتها‬ ‫ما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ -1‬تنظيم جلو�س الطلبة (مجموعات‪ ،‬حلقة دائرية‪ ،‬حرف ‪.)... ،U‬‬ ‫‪ -2‬تهيئة البيئة ال�صفية ( إ�نارة كافية وتهوية ونظافة ‪.)...،‬‬ ‫‪ -3‬تهيئة ا ألدوات والمواد اللازمة لتنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫‪ -4‬إ�ثارة دافعية الطلبة للتعلم‪.‬‬ ‫‪ -5‬ا�ستخدام أ�وراق العمل و أ�دوات التقويم المنا�سبة والأن�شطة المت�ضمنة‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫معلومات �إثرائية موجزة‪ ،‬ذات علاقة بالمحتوى‪ ،‬مو ّجهة إ�لى المعلم والطالب بغية �إثراء المعرفة‬ ‫بالمحتوى؛ وهي غير مطلوبة من الطالب في امتحانات الثانوية العامة‪.‬‬ ‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫توقعات ألخطاء محتملة و�شائعة بين الطلبة والمجتمع‪ ،‬تتعلق بالمهارات والمفاهيم والقيم الواردة‪،‬‬ ‫مع تقديم معالجة لهذه الأخطاء‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫مجموع الأن�شطة وا أل�سئلة وا إل�ضافات في المحتوى‪ ،‬التي أ�عدت لتنا�سب احتياجات الطلبة وفق‬ ‫قدراتهم المتنوعة‪.‬‬ ‫ا�ستراتيجيات التقويم و أ�دواته‬ ‫الخطوات وا إلجراءات المنظمة التي يقوم بها المعلم �أو الطلبة لتقويم الموقف التعليمي‪ ،‬وقيا�س مدى‬ ‫تحقق النتاجات‪ ،‬وهي عملية م�ستمرة في �أثناء تنفيذ الموقف التعليمي‪ ،‬ويمكن تطويرها �أو بناء نماذج‬ ‫أ�خرى مت�شابهة ليجري تطبيقها بالتكامل مع �إجراءات تنفيذ الدر�س‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫نموذج تحليل محتوى‬ ‫المبحث‪ :‬الريا�ضيات‪.‬‬ ‫ال�صف‪ :‬الثاني ع�شر‪.‬‬ ‫ال�صفحات‪)217 – 152( :‬‬ ‫الفرع‪ :‬العلمي‬ ‫عدد الف�صول‪.)2( :‬‬ ‫عنوان الوحدة ‪ :‬تطبيقات التفا�ضل‪.‬‬ ‫المهارات الم�سائل‬ ‫التعميمات‬ ‫الرموز‬ ‫المفاهيم‬ ‫المحتوى‬ ‫والم�صطلحات‬ ‫‪---‬مم�يقمع�اصعل(صاد‪�1‬لاد)للةس–ةمها‪1‬ل)م�ايامل‪:‬صع�م‪1‬امس�و=سعدنلقديلا(اقلعت�نلرقساى‪1‬طن)ةال((قم��مسعاس�‪1‬ن–‪،‬سال�نلققلس(ا‪1‬طق�)ةتسر(ا‪)�1‬ن)س‪=،1‬ق‬ ‫‪-‬‬ ‫الف�صل الأول‪:‬‬ ‫‪--‬الم�س أ�لة (‪ )13‬في‬ ‫‪ --‬إ�يجاد معادلة المما�س‬ ‫عن النقطة (�س‪� ،1‬ص‪ )1‬هي‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫الم�سافة‪:‬‬ ‫ميل المما�س‪.‬‬ ‫تطبيقات هند�سية‬ ‫ال�صفحة (‪.)161‬‬ ‫عند نقطة‪.‬‬ ‫ف(ن)‬ ‫نقطة التما�س‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�أق�صى ارتفاع‪.‬‬ ‫وفيزيائية‪.‬‬ ‫‪--‬الم�سائل (‪َ،9 ،8‬‬ ‫‪--‬توظيف الم�شتقة‬ ‫ال�سرعة‬ ‫المعدل الزمني‪.‬‬ ‫أ�ولًا ‪ :‬تطبيقات‬ ‫الأولى في ح ّل م�سائل‬ ‫(�س – �س‪)1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ق‬ ‫=‬ ‫�ص‪1‬‬ ‫–‬ ‫�ص‬ ‫اللحظية‪ :‬ع(ن)‬ ‫النقط الحرجة‪.‬‬ ‫‪ )10‬في ال�صفحة‬ ‫(�س‪)1‬‬ ‫هند�سية‪.‬‬ ‫هند�سية‪.‬‬ ‫الت�سارع‬ ‫التزايد‪.‬‬ ‫ثانياً ‪:‬تطبيقات‬ ‫‪َ.)166(--‬‬ ‫‪--‬توظيف الم�سافة‪،‬‬ ‫‪--‬يكون مما�س منحنى الاقتران ق (�س) عموديًّا‬ ‫اللحظي‪:‬ت(ن)‬ ‫التناق�ص‪.‬‬ ‫وال�سرعة والت�سارع في‬ ‫على مما�س منحنى الاقتران هـ(�س) عند نقطة‬ ‫القيم الق�صوى‬ ‫فيزيائية‪.‬‬ ‫‪--‬الم�س أ�لة (‪)9‬‬ ‫ح ّل م�سائل عملية‪.‬‬ ‫‪------‬لاتملهقيـَققمام(ل(حطم(�ا�اعول��سسهرمس‪11‬سمام)‪1‬ل)اا)�م�(سعي×و�نسن=ااسدجهـ‪1‬و أل‪،‬ت(ظفد�ا‪.‬ت�قي�سسي‪1‬نصه‪1‬ـي‪)�،،)1‬مس‪،‬وا=ع إ�كوحاي‪-‬ذناايل‪1‬ثاكت�تاصن‪:‬فهجـاًرتاه‪.‬زااقلوي(مة�وسجم‪1‬ي)بل‪،‬‬ ‫المعدلات‬ ‫المحلية‬ ‫ثالثًا ‪ :‬المعدلات‬ ‫ال�صفحة (‪.)174‬‬ ‫‪--‬توظيف المعادلات‬ ‫الزمنية‪:‬‬ ‫القيم الق�صوى‬ ‫المرتبطة بالزمن‪.‬‬ ‫المرتبطة بالزمن في‬ ‫�ص‬ ‫المطلقة‪.‬‬ ‫‪--‬ال�س�ؤال (‪)3‬‬ ‫ح ّل م�سائل وتطبيقات‬ ‫ن‬ ‫الف�صل الثاني‪:‬‬ ‫�س‬ ‫التقعر‪.‬‬ ‫تطبيقات عملية‬ ‫ال�صفحة (‪َ.)178‬‬ ‫عملية‪.‬‬ ‫ن‬ ‫نقط الانعطاف‪.‬‬ ‫على التفا�ضل‪.‬‬ ‫‪--‬تحديد النقط الحرجة‬ ‫أ�ولًا ‪ :‬النقط‬ ‫‪--‬ال�س ؤ�الان (‪ )4 ،3‬في‬ ‫‪--‬ع (ن) = ف (ن)‬ ‫الحرجة‪.‬‬ ‫ال�صفحة (‪.)191‬‬ ‫لاقتران معطى‪.‬‬ ‫‪--‬ت(ن) = ع (ن) = ف (ن)‬ ‫ثالثًا ‪ :‬التزايد‬ ‫‪--‬تحديد فترات التزايد‬ ‫والتناق�ص‪.‬‬ ‫‪--‬ال�س�ؤال (‪َ)6‬‬ ‫والتناق�ص لاقتران‬ ‫‪--‬القواني��ن ال��واردة ف��ي الملح��ق (‪ )1‬ف��ي‬ ‫ال�صفحة‬ ‫معطى‪.‬‬ ‫ال�صفحتين (‪)216 ،215‬‬ ‫‪َ َ.)199(--‬‬ ‫‪--‬ا�ستخدام اختبار‬ ‫الم�شتقة ا ألولى في‬ ‫‪--‬التدريب (‪)5‬‬ ‫تحديد فترات‬ ‫ال�صفحة (‪َ.)206‬‬ ‫‪--‬التزايد والتناق�ص‪،‬‬ ‫والقيم الق�صوى ( إ�ن‬ ‫‪--‬ال�س ؤ�ال (‪)7‬‬ ‫ُو ِجدت) لاقتران‬ ‫ال�صفحةَ‬ ‫معطى‪.‬‬ ‫‪َ َ.)209(--‬‬ ‫‪--‬تحديد فترات التقعر‬ ‫‪--‬ال�س�ؤال (‪)9‬‬ ‫ألعلى ولأ�سفل‬ ‫ال�صفحة (‪.)210‬‬ ‫لاقتران ما با�ستخدام‬ ‫‪--‬ال�س�ؤال (‪)4‬‬ ‫الم�شتقة الثانية‪.‬‬ ‫ال�صفحة (‪.)211‬‬ ‫‪--‬ال�س ؤ�ال (‪ )8‬فرع‬ ‫(‪� )11‬صفحة‬ ‫(‪.)214‬‬ ‫‪ --‬تعريف التزايد والتناق�ص والثبات (كما ورد‬ ‫في ال�صفحة ‪.) 179‬‬ ‫‪ --‬النظرية الواردة في ال�صفحة (‪.)180‬‬ ‫‪(--‬علاقة ا�شارة الم�شتقة الأولى للاقتران ق‬ ‫بالتزايد و التناق�ص والثبات للاقتران ق)‪.‬‬ ‫‪--‬تعريف القيم الق�صوى ب�أنواعها (�صفحة‬ ‫‪.)186‬‬ ‫‪--‬نظرية(اختبارالم�شتقةالأولىللقيمالق�صوى) ‪--‬ا�ستخدام اختبار‬ ‫الم�شتقة الثانية لتعيين‬ ‫�صفحة (‪.)186‬‬ ‫القيم الق�صوى المحلية‬ ‫‪ --‬تعريف التقعر كما ورد في ال�صفحة (‪.)193‬‬ ‫‪ --‬نظرية (اختبارالتقعر) في ال�صفحة (‪.)193‬‬ ‫لاقتران معطى‪.‬‬ ‫‪ --‬اختبار الم�شتقة الثانية للقيم الق�صوى المحلية‬ ‫‪--‬توظيف القيم الق�صوى‬ ‫في ح ّل م�سائل عمليّة‪.‬‬ ‫في ال�صفحة (‪.)197‬‬ ‫‪10‬‬

‫الف�صل الدرا�سي ا ألول‬ ‫الخطة الفصلية‬ ‫المبحث‪ :‬الريا�ضيات‪.‬‬ ‫عنوان الوحدة ‪ :‬تطبيقات التفا�ضل‬ ‫ال�صف‪ :‬الثاني ع�شر‪.‬‬ ‫ال�صفحات‪ ) 214 – 152( :‬عدد الح�ص�ص‪7 :‬‬ ‫عدد الف�صول‪.)2( :‬‬ ‫الفترة الزمنية‪� / / :‬إلى ‪/ / :‬‬ ‫الفرع‪ :‬العلمي‬ ‫الت أ�مل الذاتي عن‬ ‫الأن�شطة‬ ‫التقويم‬ ‫ا�ستراتيجيات‬ ‫الموارد‬ ‫النتاجات التعلمية‬ ‫المحتوى‬ ‫الوحدة‬ ‫المرافقة‬ ‫التدري�س‬ ‫والتجهيزات‬ ‫الا�ستراتيجيات الأدوات‬ ‫(م�صادر التعلم)‬ ‫‪--‬ن�شاط (فكر ‪� -‬أ�شعر بالر�ضا عن‪... :‬‬ ‫‪--‬الملاحظة‪-- .‬قائمة الر�صد‪.‬‬ ‫‪--‬كتاب الطالب‪-- .‬التدري�س المبا�شر‬ ‫‪--‬يجد معادلة المما�س عند نقطة‪.‬‬ ‫الف�صل ا ألول‪:‬‬ ‫‪--‬التوا�صل‪�-- .‬سلم التقدير‬ ‫وناق�ش) �صفحة ‪......................‬‬ ‫‪--‬دليل المعلم‪-- .‬بفروعه‪.‬‬ ‫‪--‬تطبيقات هند�سية ‪--‬ي َح ُّل م�سائل هند�سية على الم�شتقة ا ألولى‪.‬‬ ‫(‪...................... .)172‬‬ ‫‪--‬مراجعة الذات‪ .‬العددي‪.‬‬ ‫‪�--‬أوراق العمل‪-- .‬حل الم�شكلات‬ ‫‪--‬ي َح ُّل م�سائل عملية على‬ ‫وفيزيائية‪.‬‬ ‫‪--‬ن�شاط (فكر ‪......................‬‬ ‫‪�--‬سجل و�صف‬ ‫‪ --‬أ��سئلة ثانوية عامة والا�ستق�صاء‪.‬‬ ‫‪--‬الم�سافة‪ ،‬وال�سرعة‪ ،‬والت�سارع‪.‬‬ ‫‪ --‬أ�ولًا ‪ :‬تطبيقات‬ ‫�سير التعلم‪.‬‬ ‫هند�سية‪.‬‬ ‫وناق�ش) �صفحة ‪...............‬‬ ‫‪� /‬سنوات �سابقة‪-- .‬التعلم في‬ ‫‪--‬يف�سر مفهوم المعدل الزمني‪.‬‬ ‫(‪.)185‬‬ ‫‪--‬ثانيًا ‪:‬تطبيقات فيزيائية‪-- .‬يوظف المعدلات المرتبطة بالزمن في ح ّل م�سائل ‪�--‬شبكة الانترنت‪ .‬مجموعات‪.‬‬ ‫‪ -‬التحديات التي واجهتني‬ ‫‪--‬تق�سيم الطلبة‬ ‫‪--‬موقع إ�دراك ‪--‬التعلم عن طريق‬ ‫وتطبيقات حياتية‪.‬‬ ‫‪--‬ثالثًا ‪ :‬المعدلات‬ ‫‪..................... :‬‬ ‫الى مجموعات‬ ‫المرتبطة بالزمن‪-- .‬يحدد النقط الحرجة لاقتران معطى‪.‬‬ ‫‪......................‬‬ ‫غير متجان�سة‪.‬‬ ‫للتعلم المدر�سي‪ .‬الن�شاط‪.‬‬ ‫الف�صل الثاني‪:‬‬ ‫‪......................‬‬ ‫‪--‬مناق�شة اوراق‬ ‫‪--‬التفكير الناقد‬ ‫‪--‬يحدد فترات التزايد والتناق�ص لاقتران معطى‪.‬‬ ‫‪...................‬‬ ‫العمل‬ ‫‪--‬تطبيقات عملية على ‪--‬ي�ستخدم اختبار الم�شتقة ا ألولى في تحديد فترات بفروعه‪.‬‬ ‫‪ -‬مقترحات التح�سين‪:‬‬ ‫‪--‬ح�ص�ص‬ ‫التزايد والتناق�ص‪ ،‬والقيم الق�صوى (�إن ُو ِجدت)‬ ‫التفا�ضل‪.‬‬ ‫‪......................‬‬ ‫في مختبر‬ ‫‪� --‬أولًا ‪ :‬النقط الحرجة‪ .‬لاقتران معطى‪.‬‬ ‫‪ --‬يتع ّرف مفهوم التقعر ونقط الانعطاف‪ ،‬وتحديد‬ ‫‪ --‬ثانيًا ‪ :‬التزايد‬ ‫الحا�سوب‪...................... .‬‬ ‫فترات التقعر لأعلى و أل�سفل لاقتران ما با�ستخدام‬ ‫والتناق�ص‪.‬‬ ‫‪--‬عر�ض مواقع ‪......................‬‬ ‫الكترونية ‪..................‬‬ ‫‪--‬ثالثًا ‪ :‬القيم الق�صوى‪ .‬الم�شتقة الثانية‪.‬‬ ‫‪--‬ي�ستخدم اختبار الم�شتقة الثانية لتعيين القيم الق�صوى‬ ‫‪--‬راب ًعا ‪ :‬التقعر‪.‬‬ ‫تعليمية‪.‬‬ ‫‪--‬خام�ًسا ‪ :‬تطبيقات على المحلية لاقتران معطى‪.‬‬ ‫‪--‬يوظف القيم الق�صوى في ح ّل م�سائل عملية‪.‬‬ ‫القيم الق�صوى‪.‬‬ ‫التاريخ‪:‬‬ ‫مدير المدر�سة‪ /‬الا�سم والتوقيع‪:‬‬ ‫معلومات عامة عن الطلبة ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫التاريخ‪:‬‬ ‫الم�شرف التربوي‪ /‬الا�سم والتوقيع‪:‬‬ ‫إ�عداد المعلم‪:‬‬



‫الف�صل الدرا�سي ا ألول‬



‫‪∫É°üJ’Gh äÉjÉ¡ædG‬‬ ‫ن�ش أ� علم التفا�ضل والتكامل لو�صف الكيفية التي تتغيرفيها‬ ‫ا أل�شياء‪ ،‬ويعتمد ك ٌّل من التفا�ضل والتكامل ب�صورة أ��سا�سية‬ ‫على مفهوم النهاية‪ .‬تتناول هذه الوحدة مفهومي النهايات‬ ‫والات�صال اللذين ي�شكلان مقدمة لعلم التفا�ضل‪.‬‬ ‫يتوقع من الطالب بعد نهاية هذه الوحدة �أن يكون قاد ًرا على‪:‬‬ ‫تعرف مفهوم النهاية‪.‬‬ ‫�إيجاد قيمة نهاية اقتران عند عدد بيان ًّيا‪.‬‬ ‫تعرف نظريات النهايات وتوظيفها لإيجاد قيمة النهاية عند عدد‪.‬‬ ‫إ�يجاد قيمة النهاية عند عدد لاقترانات ن�سبية وك�سرية ومت�شعبة‪.‬‬ ‫�إيجاد قيمة النهاية عند عدد لاقترانات مثلثية‪.‬‬ ‫تعرف مفهوم الات�صال عند نقطة‪ ،‬وعلى فترة‪.‬‬ ‫البحث في ات�صال اقتران عند نقطة‪ ،‬وعلى فترة‪.‬‬ ‫‪15‬‬

‫تهيئة الوحدة‬ ‫ال�س ؤ�ال ا ألول‪:‬‬ ‫جد ق(‪ )1.5‬لكل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫�س <‪1‬‬ ‫�س ≥‪1‬‬ ‫‪�6‬س ‪، 2 +‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪� - 9‬س‪، 2‬‬ ‫‪� - 9‬س‬ ‫‪ )2‬ق(�س)= [‪� - 10‬س ]‬ ‫‪ )3‬ق(�س)= �س‪�| +‬س| [‪� -5.1‬س ]‬ ‫�س‪1 - 4‬‬ ‫�س‪1 - 2‬‬ ‫ال�س ؤ�ال الثاني‪:‬‬ ‫حدد مجال ك ٍّل من الاقترانات ا آلتية‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬ق(�س) = |�س‪ )2 |5 -‬ل(�س) =‬ ‫‪ )3‬ك(�س) = ‪� - 16‬س‪ )4 2‬هـ(�س) =‬ ‫�س‪25 - 2‬‬ ‫‪ )6‬و(�س) =‬ ‫�س‪9 - 2‬‬ ‫‪ ) 5‬ع(�س) =‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫�س ‪ 3 -‬‬ ‫‪ )7‬ن(�س) = �س‪4 - 2‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫ال�س�ؤال الثالث‪:‬‬ ‫�أعد تعريف الاقترانات الآتية‪� ،‬ضمن مجال كل منها‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬ق(�س) = | �س‪� ، | 5 -‬س ح‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = | �س‪� ، |16 - 2‬س ح‬ ‫‪ )3‬ق(�س) = |�س| [�س‪� ، ] 1-‬س [‪] 3 ،2-‬‬ ‫‪16‬‬

‫ال�س ؤ�ال الرابع‬ ‫�أ) اكتب المقادير ا آلتية؛ ب�صورة لا يظهر فيها الجذر في المقام‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪� )2‬س ‪2 -‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫�س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� 3 )3‬س ‪ 1 -‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫�س ‪� + 1 -‬س ‪1 +‬‬ ‫�س‪� - 3‬س‪2‬‬ ‫ب) اكتب ما ي�أتي في �أب�سط �صورة ممكنة‪:‬‬ ‫�س‪1 - 3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫�س‪ � + 2‬س‪ 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪�5‬س ‪1 -‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ال�س ؤ�ال الخام�س‬ ‫يتكون هذا الفرع من ‪ 10‬فقرات من نوع الاختيار من متعدد‪ ،‬يلي كل فقرة �أربعة بدائل واحد فقط منها‬ ‫�صحيح‪� ،‬ضع دائرة حول رمز البديل ال�صحيح‪:‬‬ ‫‪ ،‬ف�إن مجال الاقتران ق هو‪:‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س) = ‪5‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫د) ح‪}1 { - +‬‬ ‫جـ) ح ‪ }1{ -‬‬ ‫ب ) ح‪ +‬‬ ‫�أ ) ح ‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪ ) 4‬معتم ًدا ال�شكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق‪،‬‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫ما مجال الاقتران ق؟‬ ‫‪٢- ٢ ¢S‬‬ ‫ب) [ ‪)∞ ،2‬‬ ‫�أ ) [ ‪ ] 2 ، 2-‬‬ ‫جـ) [ ‪ ] 2- ،∞ - ( ، )∞ ،2‬د ) ( ‪] 2- ،∞ -‬‬ ‫‪ )3‬إ�ذا كان ق(�س)= [�س‪ ، ]0.5 -‬ف�إن ق(‪ )1-‬ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) ‪ 0.5‬جـ) ‪ 0 .5-‬د ) ‪2-‬‬ ‫ب) �صف ًرا‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪ ) 2‬معتم ًدا ال�شكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ل‪ ،‬ما قيمة ل(‪)1‬؟‬ ‫∫)‪(¢S‬‬ ‫�أ ) �ص فر ب) ‪¢U 2‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫جـ) ‪ 2 -‬د ) ‪(¢S)¥ 3-‬‬ ‫‪١ ¢U ¢S‬‬ ‫‪٢- ٢ ¢S‬‬ ‫‪(¢S)¥n‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪2٥١٣٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪4‬‬

‫�إجابات التهيئة‬ ‫ال�س�ؤال ا ألول‬ ‫‪6 )3 8 )2 6.75 )1‬‬ ‫‪� )2‬س ≤ ‪] 4، 4-[ )3 9‬‬ ‫ال�س ؤ�ال الثاني‬ ‫‪)∞ ،3( ، )3 ،3-[ )5‬‬ ‫‪)∞،2[ )7‬‬ ‫‪ )1‬مجموعة الأعداد الحقي قية ‬ ‫‪ )4‬ح ‪ } 1 ،1- { -‬‬ ‫‪ )∞ ،5[ ، ]5- ،∞-( )6‬‬ ‫‪� ≤ 2- ،‬س < ‪1-‬‬ ‫‪� 3-‬س‬ ‫‪� ،‬س< ‪5‬‬ ‫‪� -5‬س‬ ‫ال�س ؤ�ال الثالث‬ ‫‪� ≤ 1- ،‬س < ‪0‬‬ ‫‪�2-‬س‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪5‬‬ ‫�س‪5-‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) =‬ ‫‪� ≤0 ،‬س < ‪1‬‬ ‫‪�-‬س‬ ‫‪ )3‬ق(�س) =‬ ‫‪� -16‬س‪� | ، 2‬س | ≤ ‪4‬‬ ‫‪� ≤ 1،‬س < ‪2‬‬ ‫ ‪0‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = �س‪� | ، 16 - 2‬س | > ‪4‬‬ ‫‪� ≤2 ،‬س < ‪3‬‬ ‫�س ‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ال�س ؤ�ال الرابع‬ ‫)‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫�أ) ‪)1‬‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪) ( 1 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫�س �س ‪- 1-‬‬ ‫‪� 3 +‬س‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪5 )3‬‬ ‫�س‪3- 2‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫‪� )2‬س‪� + 2‬س‪1+‬‬ ‫ب)‪� +1( - ) 1‬س‪ ) 2‬‬ ‫‪432‬‬ ‫ال�س�ؤال الخام�س‬ ‫جـ د د‬ ‫رقم الفقرة ‪1‬‬ ‫رمز الإجابة د‬ ‫‪18‬‬

‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫مفهوم النهاية‬ ‫الف�صل ا ألول‪ :‬النهايات‬ ‫أ�ول‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يتعرف مفهوم النهاية‪.‬‬ ‫‪- -‬يجد قيمة نهاية اقتران عند عدد بيان ًّيا‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي وا ألفقي‬ ‫‪- -‬خ�صائ�ص منحنيات الاقترانات‪( .‬ال�صفوف الثامن وحتى الحادي ع�شر)‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬النهاية‪ :‬ن �هــســــ←ـ�أا ق(�س)‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)14-8‬‬ ‫‪- -‬النهاية من جهة اليمين‪ :‬نهـــــــا ق(�س)‬ ‫�س← �أ ‪+‬‬ ‫‪- -‬النهاية من جهة الي�سار‪ :‬ن �هــســــ←ـ أ�ا‪-‬ق(�س)‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪�- -‬إج��راء العملي��ات على ا ألعداد الحقيقية‪ ،‬العملي��ات على الحدود والمقادير الجبري��ة‪ ،‬تحليل المقادير‬ ‫الجبرية‪ ،‬تحديد مجال ومدى الاقترانات الحقيقية جبر ًّيا وبيان ًّيا‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪ ،‬التفكير‬ ‫الناقد (التحليل)‪� ،‬أخرى (الر ؤ�و�س المرقمة)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة الطلبة في ما يلي‪ :‬مفهوم الاقتران‪ ،‬إ�يجاد قيم المجال والمدى من‬ ‫خلال التمثيل البياني‪ ،‬مجال ومدى الاقترانات الك�سرية‪.‬‬ ‫على اللوح‪ ،‬ور�سم منحناه على لوح الر�سم البياني‪ ،‬ثم‬ ‫�س‪1 - 2‬‬ ‫‪2 -2‬كتابة قاعدة الاقتران ق(�س) =‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫طرح ال�س�ؤال التالي‪:‬ما مجال الاقتران؟ لماذا ر�سمت حلقة على منحنى ق؟ ما �سلوك منحنى ق عندما‬ ‫تقترب قيم �س من العدد‪1‬من جهتي اليمين والي�سار؟‬ ‫‪19‬‬

‫‪3 -3‬تقديم مفهوم النهاية من خلال مناق�شة الجدول المبين في ال�صفحة (‪ ،)8‬والا�ستعانــة بالأ�شكال (‪-1‬‬ ‫‪ )3-1( ،)2-1( ،)1‬للتو�صل إ�لى التعميم الوارد في ال�صفحة (‪.)10‬‬ ‫‪4 -4‬كتابة التعميم على اللوح‪ ،‬ومناق�شة �شرط وجود النهاية عندما تقترب قيمة �س من عدد‪ ،‬وتو�ضيح أ�نه‬ ‫�إذا كانت النهاية موجودة عندما تقترب قيمة �س من عدد؛ فهذا لا يعني �أن يكون الاقتران معر ًفا عند‬ ‫ذلك العدد‪ ،‬و�إنما يجب �أن يكون معر ًفا في فترة مفتوحة ق�صيرة الطول تحوي ذلك العدد‪ ،‬و إ�ذا كان‬ ‫الاقتران معر ًفا عند عدد‪ ،‬فهذا لا يعني أ�ن النهاية موجودة عندما تقترب �س من ذلك العدد‪.‬‬ ‫‪5 -5‬مناق�شة مثال (‪ )1‬بم�شاركة الطلبة لتو�ضيح كيفية إ�يجاد النهاية من يمين عدد ومن ي�ساره‪ .‬طرح أ��سئلة‬ ‫على الطلبة للت أ�كد من فهمهم‪ ،‬مناق�شة الأمثلة (‪ )3 ،2‬لتعميق فهم الطلبة‪.‬‬ ‫‪6 -6‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات غير متجان�سة‪ ،‬وتكليفهم بحل تدريب (‪� )1‬صفحة ‪ ،15‬وتحديد فترة‬ ‫زمنية مقدارها ‪ 4‬دقائق إلنهاء المهمة‪.‬‬ ‫‪7 -7‬متابعة الطلبة وملاحظة حلولهم ومناق�شاتهم �ضمن المجموعات‪ ،‬وتعبئة �أداة التقويم وتقديم الدعم‬ ‫لهم بعد انتهاء الفترة الزمنية المخ�ص�صة‪ ،‬ثم تكليف المجموعات بعر�ض أ�عمالها ومناق�شتها على اللوح‪.‬‬ ‫‪8 -8‬ختم الدر�س بمراجعة الطلبة بالمفاهيم التي وردت في الدر�س من خلال توجيه ال�س�ؤال‪ :‬ماذا تعلمنا في‬ ‫هذا الدر�س؟ ( يمكن الا�ستعانة ب�أداة التقويم (‪.))3-1‬‬ ‫‪9 -9‬الا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة با�ستخدام ا�ستراتيجية الر�ؤو�س المرقمة‪ ،‬وهذه تعد بمثابة تغذية راجعة‬ ‫حول مدى امتلاك الطلبة للمفاهيم التي وردت في الدر�س‪.‬‬ ‫‪1010‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل الدر�س بع�ضها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬والآخر في الح�صة ال�صفية �ضمن‬ ‫مجموعات‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم لهم‪.‬‬ ‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬عدم التمييز بين قيمة النهاية عندما تقترب قيمة �س من عدد‪ ،‬و�صورة ذلك العدد في قاعدة اقتران‪.‬‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في إ�يجاد النهاية من جهة اليمين‪� ،‬أومن جهة الي�سار من خلال التمثيل البياني لمنحنى‬ ‫اقتران‪.‬‬ ‫‪- -‬يعت�بر بع���ض الطلبة أ�ن النهاية عن��د أ�طراف الفترة تك��ون موجودة‪ ،‬وعلاج ذل��ك بالتركيز على مفهوم‬ ‫النهاية‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫‪¢U‬‬ ‫علاج‪:‬‬ ‫‪٣ (¢S)¥‬‬ ‫معتم ًدا ال�شكل المجاورالذي يمثل منحنى الاقتران ق‪ ،‬ج‪U‬د‪¢‬كلاًّ مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪1 )1‬ق(‪(¢S)∫ ¢U)1‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫نهــــــــا‬ ‫‪(¢)S2)¥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١ ¢S‬‬ ‫�س←‪+1‬‬ ‫نهــــــــا ق(�س)‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫�‪٢‬س←‪٢- -1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )4‬نهـــــــا ق(�س)‬ ‫�س←‪2 11‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬ق(‪ )4 1)3 2 )2 3 = )1‬غير موجودة‬ ‫إ�ثــــــراء‪¢U :‬‬ ‫ي أ�تي‪:‬‬ ‫كلاًّ مما‬ ‫على الفترة [‪ )5 ،1-‬جد‬ ‫المعرف‬ ‫الاقتران‪¢U‬ق‬ ‫معتم ًدا‪U‬ال‪�¢‬شكل المجاور الذي يمثل منحنى‬ ‫‪(¢S)¥n‬‬ ‫‪1 )1‬ق(‪ ، )1‬ق(‪ ، )3‬ق(‪) 3.5‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪GC‬‬ ‫�‪Ü‬ص‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪`g‬‬ ‫‪`L `g‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪ )2‬ن�هـســــ←ـ‪٥‬ــ‪1٣‬ا‪٥+١‬ق(�س)‬ ‫ق(�س) ‪O‬‬ ‫‪ ٣)3‬نهــــــــا ق(�س)‬ ‫‪GC‬‬ ‫�س←‪2‬‬ ‫‪ )4‬ن�هسـ‪4‬ــــ←ــ‪4‬ا‪+‬ق(�س) ‪6 5‬‬ ‫‪ )5‬نهــــــــا ق(�س)‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫‪ )6‬نهــــــــا ق(�س ‪� )1 -‬س‬ ‫�س←‪+2‬‬ ‫‪ )7‬نهـــــــا ق(‪� - 3‬س)‬ ‫�س←‪-2‬‬ ‫‪ )7‬مجموعة قيم �أ التي تنتمي للفترة [‪ )5 ، 1-‬التي تجعل نهــــــا ق(�س) غير موجودة‬ ‫الحل‪� :‬س← أ�‬ ‫ق(‪� = ) 3.5‬صف ًرا‬ ‫‪ ) 1‬ق(‪ ، 3 = )1‬ق ( ‪، 1 = ) 3‬‬ ‫‪3 )5 1- )4‬‬ ‫‪ 2 )3 2 ) 2‬‬ ‫‪5 ، 3 ، 1 ،1- )8 3 )7 2 )6‬‬ ‫‪21‬‬

‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)1-1‬البند (‪ ،)1‬قائمة الر�صد (‪� ،)3-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)4-1‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫‪ )4‬ق(‪8 = )2‬‬ ‫‪ )3‬غير موجودة‪ .‬‬ ‫‪ 5 )2‬‬ ‫تدريب (‪)1‬‬ ‫‪3)4‬‬ ‫‪ 2 )3‬‬ ‫‪ )2‬غير موجودة ‬ ‫‪ 1 ) 1‬‬ ‫تدريب (‪)2‬‬ ‫‪ 2 ) 1‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪)1‬‬ ‫ح‬ ‫هـ و ز‬ ‫أ� ب جـ د‬ ‫رمز ال�س�ؤال‬ ‫الإجابة‬ ‫‪ 1 2 5‬غير موجودة ‪� 3- 6- 6-‬صفر‬ ‫‪)2‬‬ ‫د هـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ�‬ ‫رمز ال�س ؤ�ال‬ ‫�صفر‬ ‫�س≥‪4-‬‬ ‫ا إلجابة‬ ‫غير موجودة غير موجودة ‪2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ب) جـ [ ‪} 3 ، 2 ، 2- { ∪ )1، 1-‬‬ ‫�أ ) أ� (‪} 3 ، 2 ، 2- { ∪ )1،1-‬‬ ‫د ) ل= { ‪} 4 ، 3-‬‬ ‫جـ) ك= { ‪ } 1 ، 1-‬‬ ‫‪ ) 4‬با�ستخدام الجدول يمكن إ�يجاد النهاية‪:‬‬ ‫‪1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.00001 2.0001 2.001‬‬ ‫‪7.61 7.9601 7.996001 7.99960001‬‬ ‫‪8.00004 8.00040001 8.004001‬‬ ‫ومنه نهــــــــا ق(�س) = ‪8‬‬ ‫�س←‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫عدد الح�ص�ص �أربع ح�ص�ص‬ ‫نظريات النهايات‬ ‫الف�صل ا ألول‪ :‬النهايات‬ ‫ثان ًيا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يتعرف نظريات النهايات‪.‬‬ ‫‪- -‬يطبق نظريات النهايات‪.‬‬ ‫‪- -‬يجد نهاية اقتران القيمة المطلقة واقتران أ�كبرعدد �صحيح واقتران الجذر التربيعي عند قيمة عددية‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪- -‬خ�صائ�ص منحنيات الاقترانات في ال�صفوف الثامن وحتى الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫التكامل ا ألفقي‬ ‫‪- -‬برمجيات ر�سم الاقترانات‪ ،‬في كتاب الحا�سوب‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬نظريات النهايات‪.‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)25-15‬‬ ‫‪- -‬برمجيات ر�سم المنحنيات‪.‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‪:‬‬ ‫‪https://www.edraak.org/k12/‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬مفهوم النهاية‪ ،‬خوا�ص الاقترانات‪ :‬القيمة المطلقة‪ ،‬أ�كبر عدد �صحيح‪ ،‬الجذر التربيعي والجذر التكعيبي‪،‬‬ ‫وكثيرات الحدود‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪ ،‬التفكير‬ ‫الناقد (التحليل)‪� ،‬أخرى (الر ؤ�و�س المرقمة)‪.‬‬ ‫‪23‬‬

‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س من خلال ر�سم ال�شكل المجاور على‬ ‫اللوح‪.‬‬ ‫‪2 -2‬توجيه الأ�سئلة ا آلتية للطلبة‪:‬‬ ‫ (‪ )1‬ما ن�هســــــ←ـا‪1‬ق(�س)؟‬ ‫ (‪ ) 2‬ما قيمة ق(‪)1‬؟‬ ‫ (‪ )3‬هل يمكن �إيجاد ن�هســــــ←ـا‪1‬ق‪�(2‬س)‬ ‫‪3 -3‬الا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة‪ ،‬ثم تو�ضيح أ�همية الدر�س‬ ‫ب�أنه �سي�ساعدنا في حل ال�س ؤ�ال (‪.)3‬‬ ‫‪4 -4‬تقديم نظريات النهايات الواردة �صفحة (‪ ،)15‬مع‬ ‫ت أ�كيد �شرط توظيف النظريات‪ ،‬وهو �أن تكون النهاية موجودة لكل اقتران عند قيمة �س المبينة‪.‬‬ ‫‪5 -5‬مناق�شة مثال (‪ )1‬وحله للو�صول إ�لى التعميم الوارد �صفحة (‪.)16‬‬ ‫‪6 -6‬مناق�شة مثال (‪ )2‬وحله لتعميق فهم الطلبة على تطبيق نظريات النهايات‪.‬‬ ‫‪7 -7‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات‪ ،‬ثم تكليفهم بحل تدريب (‪ ،)1‬وتحديد فترة زمنية للمهمة‪.‬‬ ‫‪8 -8‬متابعة الحلول‪ ،‬وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪9 -9‬مناق�شة مثال (‪ )3‬لتقديم نهاية اقتران القيمة المطلقة‪ ،‬ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )2‬للت�أكد من‬ ‫امتلاكهم مهارة �إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة‪ ،‬و إ�يجاد النهاية عند قيمة �س المحددة‪.‬‬ ‫‪1010‬مناق�شة مثال (‪ )4‬وحله لتقديم نهاية اقتران أ�كبر عدد �صحيح‪ ،‬ثم مناق�شة فقرة (فكر وناق�ش) �صفحة‬ ‫(‪)19‬؛ لت�أكيد �أن قيمة النهاية لا تكون بالتعوي�ض المبا�شر بقاعدة الاقتران‪.‬‬ ‫‪1111‬مناق�شة مثال (‪ )5‬وحله لتو�ضيح إ�يجاد النهاية لاقتران الجذر التربيعي‪ ،‬مع الت أ�كيد �أن النهاية عند �صفر‬ ‫‪1‬‬ ‫تكون‬ ‫موجب‬ ‫زوجي‬ ‫عدد‬ ‫ن‬ ‫حيث‬ ‫‪،‬‬ ‫ن‬ ‫ق(�س)‬ ‫ال�صورة‬ ‫على‬ ‫التي‬ ‫والاقترانات‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫اقتران‬ ‫غير موجودة‪ ،‬وال�سبب �أن الاقتران لا يكون معر ًفا في فترة مفتوحة تحوي �صفره‪ ،‬ويمكن الا�ستعانة‬ ‫بر�سم منحنى الاقتران لتو�ضيح ذلك للطلبة‪.‬‬ ‫‪1212‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪)5‬؛ للت�أكد من امتلاكهم مهارة إ�يجاد نهاية اقتران الجذر التربيعي‪.‬‬ ‫‪1313‬مناق�شة مثال (‪ )6‬وحله‪ ،‬مع ت�أكيد أ�ن البحث في النهاية عن يمين نقطة الت�شعب وعن ي�سارها‪ ،‬ا�ستعن‬ ‫بال�شكل (‪ )14-1‬من الكتاب المدر�سي لتو�ضيح �أن النهاية موجودة وت�ساوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫‪1414‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ ،)6‬ومتابعة الحلول وتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪1515‬ختم الدر�س بمراجعة الطلبة بالمفاهيم التي وردت في الدر�س؛ عن طريق توجيه ال�س�ؤال‪ :‬ماذا تعلمنا في‬ ‫هذا الدر�س؟‬ ‫‪1616‬الا�ستماع إ�لى إ�جابات الطلبة‪ ،‬وهذه تعد تغذية راجعة حول مدى امتلاك الطلبة للمفاهيم التي وردت‬ ‫في الدر�س‪.‬‬ ‫‪1717‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل الدر�س‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪- -‬يمكن الا�ستعانة ببرمجيات ر�سم منحنيات الاقترانات‪ ،‬وتدريب الطلبة على ا�ستخدامها لتعميق فهمهم‬ ‫لخوا�ص المنحنيات و إ�يجاد النهايات‪.‬‬ ‫‪- -‬يمكن الح�صول على تلك البرمجيات من التطبيقات الموجودة على الهواتف الذكية (‪.)Play store‬‬ ‫‪- -‬رمز اقتران أ�كبر عدد �صحيح في تلك البرمجيات (‪.)floor‬‬ ‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫�أ ‪� -‬س‪،2‬‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في إ�عادة تعريف اقتران أ�كبر عدد �صحيح واقتران القيمة المطلقة‪.‬‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في تحديد مجال اقتران الجذر التربيعي على ال�صورة �أ ‪� -‬س �أو ال�صورة‬ ‫�أو ال�صورة �س‪� - 2‬أ‬ ‫‪- -‬يح�سب بع�ض الطلبة النهايات بطريقة خاطئة‪ ،‬كما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ‪� -‬س = �صف ًرا ؛ �إذ يقومون بالتعوي�ض المبا�شر دون درا�سة مجال الاقتران‪.‬‬ ‫نهـــــــا‬ ‫�س← أ�‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫(الحل‪ :‬غير موجودة)‬ ‫‪� - 8‬س ‬ ‫علاج‪ :‬جد نهـــــــا‬ ‫(الحل‪)9- :‬‬ ‫ ‬ ‫�س‪�| 2‬س ‪| 3 -‬‬ ‫�س←‪8‬‬ ‫�س ‪ 3 -‬‬ ‫�إثراء‪ :‬جد نهــــــــا‬ ‫�س←‪-3‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪�:‬سلم التقدير (‪ )1-1‬البند (‪ ،)2‬قائمة الر�صد (‪� ،)3-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)4-1‬‬ ‫‪25‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫‪15+‬‬ ‫‪2 4 )3‬‬ ‫تدريب (‪)1‬‬ ‫‪� )3‬صفر‬ ‫‪ 1 )2 16 )1‬‬ ‫‪ )4‬غير موجودة‬ ‫‪ 1 )3‬‬ ‫‪ )4 1 )3‬غير موجودة‬ ‫تدريب (‪)2‬‬ ‫الفترة ( ‪)3 ، 2‬‬ ‫‪� )2 8 ) 1‬صفر ‬ ‫تدريب (‪)3‬‬ ‫‪ )1‬غير موجودة ‪ )2‬غير موجود ة‬ ‫تدريب (‪)4‬‬ ‫‪ )1‬أ� مجموعة الأعداد ال�صحيحة �ص ‪ )2‬جـ‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة (‪)19‬‬ ‫العبارات �صحيحة ‪ .‬مثال نهــــــــا [�س] = ‪ 3‬نهــــــــا [�س] = ‪2‬‬ ‫�س←‪-3‬‬ ‫�س←‪+3‬‬ ‫تدريب (‪)5‬‬ ‫‪ ) 1‬النهاية غير موجودة؛ لأن الاقتران غير معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد (‪.)7‬‬ ‫‪ ) 2‬النهاية موجودة؛ وت�ساوي ‪ ، 2‬حيث �إ َّن الاقتران معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد (‪.)9‬‬ ‫‪ )3‬النهاية غير موجودة؛ ألن الاقتران غير معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد (‪.)5‬‬ ‫‪ ) 4‬النهاية موجودة وت�ساوي ‪ ، 24‬حيث �إ َّن الاقتران معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد ‪.7-‬‬ ‫تدريب (‪)6‬‬ ‫|�س ‪� = | 2 -‬صف ًرا‬ ‫ق(�س) = نهــــــــا‬ ‫نهــــــــا‬ ‫�س←‪+2‬‬ ‫�س←‪+2‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫[‪� - 6‬س ]‬ ‫ق(�س) = نهــــــــا‬ ‫نهــــــــا‬ ‫�س←‪-2‬‬ ‫�س←‪-2‬‬ ‫ومنه النهاية غير موجودة؛ ألن النهاية من اليمين لا ت�ساوي النهاية من الي�سار‪.‬‬ ‫تدريب (‪)7‬‬ ‫‪1 )1‬غير موجودة؛ لأن قيمة النهاية من اليمين ‪ 6‬وقيمتها من الي�سار ‪5‬‬ ‫‪2 )2‬غير موجودة؛ لأن قيمة النهاية من اليمين ‪ 2‬وقيمتها من الي�سار ‪3‬‬ ‫‪3 )3‬النهاية موجودة وت�ساوي ‪8‬‬ ‫نلاحظ �أنه إ�ذا كانت النهاية عند نقطة غير موجودة لاقترانين مختلفين‪ ،‬ف إ�ن نهاية ناتج جمع هذين‬ ‫الاقترانين لي�س من ال�ضروري �أن تكون غير موجودة عند النقطة نف�سها‪.‬‬ ‫‪26‬‬

‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪)1‬‬ ‫أ� ب جـ د هـ و‬ ‫�صفر‬ ‫‪43‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪10-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫أ� ب جـ د‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪121 12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫و ز حط‬ ‫د هـ‬ ‫ب جـ‬ ‫�أ‬ ‫�صفر غير موجودة غير موجودة �صفر غير موجودة �صفر‬ ‫�صفر �صفر �صفر‬ ‫‪ ) 4‬قيم جـ [‪)∞ ، 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ) 5‬جـ ( ‪)0 ، 5-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بما أ� َّن النهاية موجودة إ�ذن ‪�4 - 9‬أ = ‪ 3‬ومنه �أ =‬ ‫‪ )6‬‬ ‫‪� )7‬أ ) بفر�ض �ص= ‪�3‬س‪ ، 3-‬عندما تقترب �س من العدد ‪ 2‬تقترب �ص من العدد ‪3‬‬ ‫ومنه نهـــــــا ل(�ص)= ‪1‬‬ ‫�ص←‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1+2‬‬ ‫=‬ ‫ل(�س))‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫(‬ ‫نهـــــــا‬ ‫�أن‬ ‫ينتج‬ ‫النهاية‬ ‫بتوزيع‬ ‫ب)‬ ‫�س←‪2‬‬ ‫‪� )8‬أ ) بما أ� َّن الاقترانين مت�صلان؛ �إ ًذا يمكن توزيع النهاية‪ ،‬ومنه نهـــــــا (ق‪+‬ع)= ‪2‬‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫ب) نهـــــــا ( ق×ع) = ‪1‬‬ ‫= ‪) (6‬‬ ‫�س←‪2‬‬ ‫( افر�ض �ص= �س ‪)1 -‬‬ ‫‪ 2‬ق(�س ‪ + )1 -‬ع(�س)‬ ‫جـ) نهـــــــا‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫‪ )9‬بتوزيع النهاية ينتج أ� َّن‪ :‬نهـــــــــــا ل(�س)=‪7‬‬ ‫�س‪3-←2‬‬ ‫ومنه نهـــــــــا ( ق‪�( 2‬س) ‪2-‬ل(�س)) = ‪2 = 14-16‬‬ ‫�س←‪3-‬‬ ‫(نظرية الباقي)‬ ‫‪ )10‬ع(‪ 5 =)2‬‬ ‫نهـــــــا (‪3‬ع(�س) ‪�4 +‬س‪31 = 16 + 5×3 = ) 2‬‬ ‫�س←‪2‬‬ ‫‪27‬‬

‫الف�صل الأول‪ :‬النهايات‬ ‫عدد الح�ص�ص أ�ربع ح�ص�ص‬ ‫نهايات اقترانات ك�سرية‬ ‫ثال ًثا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يجد نهايات اقترانات ك�سرية‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪ - -‬مفهوم المرافق التربيعي والتكعيبي في ال�صف التا�سع ا أل�سا�سي‪.‬‬ ‫‪ - -‬تحليل كثيرات الحدود والق�سمة التركيبية ونظرية العامل والباقي في ال�صف الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬نهاية اقتران ك�سري‪ ،‬اقتران ن�سبي‪.‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)35-26‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‪:‬‬ ‫‪https://www.edraak.org/k12/‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬مفهوم النهاية‪ ،‬تحليل المقادير الجبرية‪ ،‬العمليات على الحدود والمقادير الجبرية‪ ،‬مفهوم المرافق التربيعي‬ ‫والمرافق التكعيبي‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي‪ ،‬ا أل�سئلة والأجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪-‬‬ ‫�شارك)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة الطلبة في الاقترانات الك�سرية‪ ،‬وتحليل المقادير الجبرية‪ ،‬والمرافق‬ ‫التربيعي والتكعيبي‪.‬‬ ‫‪2 -2‬مناق�شة الم�س أ�لة الواردة في مقدمة الدر�س‪ ،‬ور�سم ال�شكل(‪ )17-1‬على اللوح‪ ،‬وتو�ضيح أ�نه لا يمكن‬ ‫ا�ستخدام نظرية (‪ )2‬فرع (‪ )5‬من ال�صفحة (‪ )15‬في الكتاب المدر�سي إليجاد نهاية اقتران ك�سري؛‬ ‫أل َّن ناتج التعوي�ض المبا�شر يعطي �صف ًرا على �صفر‪ ،‬و يجب التخل�ص من و�ضع أ�ن يكون المقام �صف ًرا‪،‬‬ ‫وذلك من خلال كتابة الاقتران ب�صورة أ�خرى مكافئة؛ تمكننا من اخت�صار المقدار الذي يجعل المقام‬ ‫ي�ساوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪3 -3‬تو�ضيح �أنه يمكن اخت�صار المقدار (�س‪ )2-‬في كل من الب�سط والمقام؛ أل َّن قيمة �س تقترب من العدد ‪2‬‬ ‫ولا ت�ساوي ‪ ، 2‬والتحقق من �صحة الحل عن طريق مقارنة الحل الجبري مع التمثيل البياني‪.‬‬ ‫‪4 -4‬مناق�شة ا ألمثلة (‪ )6 ، 5 ،3 ، 2‬لتو�ضيح �صيغ أ�خرى لاقترانات ك�سرية ناتج التعوي�ض المبا�شر فيها‬ ‫يعطي �صف ًرا على �صفر‪ ،‬ونحتاج �إما لتوحيد المقامات �أو ال�ضرب بالمرافق التربيعي‪ ،‬أ�و التحليل إ�لى‬ ‫العوامل‪� ،‬أو ال�ضرب بالمرافق التكعيبي‪.‬‬ ‫‪5 -5‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات وتكليفهم بحل التدريبات (‪ ،)4 ،2‬ومتابعة الحلول وتقديم التغذية‬ ‫الراجعة‪.‬‬ ‫‪6 -6‬مناق�شة مثال (‪ )1‬لتو�ضيح فكرة �أنه �إذا كان التعوي�ض المبا�شر يعطي قيمة عددية على �صفر‪ ،‬ف إ� َّن النهاية‬ ‫في هذه الحالة غير موجودة‪ ،‬و تو�ضيح ذلك هند�س ًّيا من خلال مناق�شة �سلوك منحنى الاقتران عندما‬ ‫تقترب قيمة �س من العدد (‪ )1‬من جهتي اليمين والي�سار في ال�شكل (‪ ،)18-1‬ثم الو�صول إ�لى‬ ‫النتيجة الواردة في ال�صفحة (‪ )27‬من الكتاب المدر�سي‪.‬‬ ‫‪7 -7‬مناق�شة مثال (‪ )4‬لتدريب الطلبة على �إيجاد نهاية الاقترانات الك�سرية التي ب�سطها ومقامها اقتران الجذر‬ ‫التربيعي‪ ،‬مع تنبيه الطلبة �إلى �ضرورة درا�سة مجال كل من الب�سط والمقام إلمكانية دمج جذري الب�سط والمقام‪.‬‬ ‫‪8 -8‬مناق�شة فقرة (فكر وناق�ش) الواردة �صفحة (‪)30‬؛ لتنبيه الطلبة با ألخطاء المفاهيمية حول دمج جذري‬ ‫الب�سط والمقام‪ ،‬و�إجراء الاخت�صار ثم التعوي�ض‪.‬‬ ‫‪9 -9‬ختم الدر�س بمراجعة الطلبة بالمفاهيم التي وردت فيه من خلال توجيه ال�س ؤ�ال‪ :‬ماذا تعلمنا في هذا الدر�س؟‬ ‫‪1010‬الا�ستماع �إلى إ�جابات الطلبة‪ ،‬وهذه تعد تغذية راجعة حول مدى امتلاك الطلبة للمفاهيم التي وردت‬ ‫في الدر�س‪.‬‬ ‫‪1111‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل الدر�س بو�صفها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫معلومات إ��ضافية‬ ‫‪- -‬يمكن توجيه الطلبة إ�لى ا�ستخدام برمجيات ر�سم المنحنيات؛ لر�سم منحنيات الاقترانات ا آلتية‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،‬هـ(�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫�س ‪7 -‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫وا�سق�صاء �سلوك منحنى كل اقتران عندما تقترب قيمة �س من �صفر المقام من جهتي اليمين والي�سار‪،‬‬ ‫لتعميق فهم الطلبة حول قيمة النهاية لمقدار يكون ناتج التعوي�ض المبا�شر فيه على �صورة عدد على �صفر‪.‬‬ ‫‪- -‬عند تحليل العبارة ( �س‪�( =)4- 2‬س‪�( )2-‬س‪ ،)2+‬ي�سمى المقدار (�س‪ )2-‬مراف ًقا تربيع ًّيا للمقدار‬ ‫(�س‪ )2+‬والمقدار (�س‪ )2+‬مراف ًقا تربيع ًّيا للمقدار (�س‪)2-‬‬ ‫‪29‬‬

‫وعند تحليل العبارة (�س‪�( = )8 - 3‬س‪�( )2-‬س‪�2+ 2‬س‪ ،)4+‬ي�سمى المقدار (�س‪�2+ 2‬س‪ )4+‬مراف ًقا‬ ‫تكعيب ًّيا للمقدار (�س‪.)2-‬‬ ‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬يقوم بع�ض الطلبة باحت�ساب نهاية الاقترانات الك�سرية من خلال توحيد المقام �أو ال�ضرب بالمرافق التربيعي‬ ‫�أو التكعيبي دون الت أ�كد أ�ن ناتج التعوي�ض المبا�شر يعطي �صف ًرا على �صفر‪.‬‬ ‫‪- -‬الخط أ� في الإجراءات عند ال�ضرب بالمرافق التربيعي �أو التكعيبي أ�و توحيد المقامات‪.‬‬ ‫‪- -‬في الاقترانات الك�سرية التي ب�سطها ومقامها اقتران جذر تربيعي يدمج الطلبة الجذرين ويقومون بعملية‬ ‫الاخت�صار دون الانتباه �إلى البحث في مجال الب�سط ومجال المقام‪.‬‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في �إيجاد قيمة المقدار �س‪2‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫(‪)27-‬‬ ‫�س‪27 - 3‬‬ ‫علاج‪ :‬جد نهــــــــا‬ ‫�س‪�7 - 2‬س ‪ 12 +‬‬ ‫�س←‪3‬‬ ‫إ�ثراء‪ )1 :‬جد قيمة الثابت ب التي تجعل النهاية‪:‬‬ ‫(ب = ‪)3-‬‬ ‫ ‬ ‫موجودة‪.‬‬ ‫‪�4‬س‪ + 2‬ب �س ‪7 +‬ب ‪6 -‬‬ ‫‪�2‬س‪�5 - 2‬س‪3-‬‬ ‫(‪)384‬‬ ‫‪�2‬س‪128 - 3‬‬ ‫‪ )2‬جـــــد نهــــــــا‬ ‫�س ‪ 2 -‬‬ ‫�س←‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪ 48--‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )3‬جـــــد نهـــــــــا‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫�س←‪64‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬الورقة والقلم‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ )2-1‬البند (‪ ،)1‬قائمة الر�صد (‪� ،)3-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)4-1‬‬ ‫‪30‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫تدريب (‪)1‬‬ ‫(تحليل الب�سط والاخت�صار)‪.‬‬ ‫‪ 7- )1‬‬ ‫‪ ) 2‬غير موجود ة ( التعوي�ض المبا�شر ‪ 10‬على �صفر)‪.‬‬ ‫( تب�سيط المقدار والاخت�صار)‪.‬‬ ‫تدريب (‪)2‬‬ ‫( ال�ضرب في المرافق التربيعي للمقام ‪ ،‬التب�سيط ثم الاخت�صار)‪.‬‬ ‫‪ 225-0 )1‬‬ ‫‪ 12 ) 2‬‬ ‫(ال�ضرب في مرافق الب�سط التربيعي‪ ،‬تب�سيط ثم اخت�صار)‪.‬‬ ‫‪ 32 )3‬‬ ‫تدريب (‪)3‬‬ ‫‪ ( 2 ) 1‬دمج الجذر ثم التحليل والاخت�صار)‪.‬‬ ‫‪ ) 2‬غير موجودة ( لأ َّن الاقتران غير معرف على ي�سار العدد ‪.) 2‬‬ ‫تدريب (‪)4‬‬ ‫(ال�ضرب في المرافق التكعيبي للب�سط‪ ،‬تب�سيط ثم اخت�صار)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة (‪)33‬‬ ‫لأن قيمة النهاية من اليمين ت�ساوي ‪ ، 1‬وقيمتها من الي�سار ت�ساوي ‪ ، 1-‬ومنه النهاية غير موجودة‪.‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪)1‬‬ ‫�أ ) ‪ ( 18‬تحليل الب�سط بو�صفه فر ًقا بين مربعين والاخت�صار مع المقدار في المقام)‬ ‫( ال�ضرب بالمرافق التكعيبي للب�سط‪ ،‬تب�سيط ثم اخت�صار)‬ ‫ب) ‪ 16-‬‬ ‫( توحيد المقامات ثم التب�سيط والاخت�صار)‬ ‫جـ) ‪ 14-‬‬ ‫( �إعادة تعريف القيمة المطلقة ‪ ،‬ثم إ�خراج عامل م�شترك والاخت�صار)‬ ‫د ) ‪ 14‬‬ ‫( ال�ضرب في المرافق التربيعي ثم التب�سيط ‪ ،‬إ�خراج عامل م�شترك والاخت�صار)‬ ‫هـ ) ‪ 1112‬‬ ‫و ) غير موجودة ( تحليل المقدار (ما بداخل الجذر) للح�صول على القيمة المطلقة‪ ،‬ثم ح�ساب‬ ‫النهاية من يمين العدد ‪ 5‬ومن ي�ساره)‪.‬‬ ‫‪31‬‬

‫ز ) غير موجودة؛ (لأ َّن المقدار غير معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد ‪)1‬‬ ‫ح ) ‪ ( 3‬تحليل الب�سط ثم الاخت�صار)‬ ‫ط) ‪ ( 1 4‬دمج جذري الب�سط والمقام‪ ،‬تحليل ثم اخت�صار)‬ ‫ي ) غير موجودة ( إ�عادة تعريف اقتران �أكبر عدد �صحيح‪ ،‬وح�ساب النهاية عن يمين وي�سار العدد ‪)2.5‬‬ ‫ك) ‪ ( 1‬ال�ضرب في مرافق الب�سط ‪ ،‬تب�سيط ثم اخت�صار)‬ ‫‪5-‬‬ ‫‪ )2‬ب = ‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ )3‬أ�= ‪3‬‬ ‫‪( 1- )4‬كتابة المقدار في الب�سط على �صورة ‪�2 8‬س ‪� 8 -‬س ‪ ،‬ثم إ�خراج عامل م�شترك والاخت�صار)‬ ‫‪ ) 5‬ع= ‪13-‬‬ ‫‪ )6‬قيم �أ هي‪3 ، 2 :‬‬ ‫‪ ) 7‬ب= ‪1‬‬ ‫‪ )8‬جـ = ‪4‬‬ ‫‪32‬‬

‫الف�صل ا ألول‪ :‬النهايات‬ ‫عدد الح�ص�ص أ�ربع ح�ص�ص‬ ‫نهايات اقترانات مثلثية‬ ‫راب ًعا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫جا �س‬ ‫‪- -‬يتعرف نظرية نهـــــــا‬ ‫�س‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫‪- -‬يجد نهايات اقترانات مثلثية‪.‬‬ ‫‪- -‬يجد نهايات اقترانات ك�سرية تحوي �صي ًغا لاقترانات مثلثية‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪- -‬مفهوم طول قو�س الدائرة والمتطابقات المثلثية‪ ،‬قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا الخا�صة بالتقدير‬ ‫الدائري‪ ،‬ودائرة الوحدة والقيا�س الموجب وال�سالب للزوايا‪ ،‬وتحديد زاوية المرجع في ال�صف العا�شر و‬ ‫الحادي ع�شر‪ ،‬الفرع العلمي‪.‬‬ ‫‪- -‬كما ورد مفهوم الزوايا المتتامة والمتكاملة في ال�صف ال�سابع ا أل�سا�سي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬نهاية اقتران مثلثي‪.‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)44-36‬‬ ‫‪- -‬من�صة إ�دراك للتعلم المدر�سي‪:‬‬ ‫‪https://www.edraak.org/k12/‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬مفهوم النهاية‪،‬الاقترانات المثلثية‪،‬طول قو�س الدائرة‪ ،‬المتطابقات المثلثية‪ ،‬قيم الجيب وجيب التمام والظل‬ ‫للزوايا الخا�صة بالتقدير الدائري‪ ،‬الزوايا المتتامة والمتكاملة‪ ،‬دائرة الوحدة‪.‬‬ ‫‪33‬‬

‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي‪ ،‬ا أل�سئلة والأجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪-‬‬ ‫�شارك)‪( ،‬التعلم الجماعي التعاوني)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س عن طريق مراجعة الطلبة في الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫‪2 -2‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات ثم تكليفهم بحل الن�شاط الوارد في مقدمة الدر�س‪ ،‬ثم الا�ستماع إ�لى‬ ‫ا إلجابات من الطلبة للو�صول �إلى التعميم الوارد �صفحة (‪.)37‬‬ ‫‪3 -3‬مناق�شة مثال (‪ )1‬وحله بم�شاركة الطلبة ‪ ،‬ثم ا�ستخدام ال�شكل (‪ )24-1‬لبرهان �أن‬ ‫= ‪ ، 1‬مع مراعاة توجيه أ��سئلة للطلبة في كل خطوة للت�أكد من فهمهم‪.‬‬ ‫جا �س‬ ‫نهـــــــا‬ ‫�س‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫‪ 4 -4‬تكليف أ�كثر من طالب بمناق�شة ال�شكل (‪)22-1‬؛ لتنمية مهارات التوا�صل الريا�ضي لدى الطلبة‪.‬‬ ‫جا �س‬ ‫على اللوح‪ ،‬والتطرق إ�لى فقرة (فكر وناق�ش)‪� ،‬صفحة (‪)39‬؛‬ ‫�س‬ ‫‪5 -5‬كتابة النظرية‪:‬ن�هســــ←ـــ‪0‬ا‬ ‫لتو�ضيح �شروط النظرية‪.‬‬ ‫‪ 6 -6‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ ،)1‬مع متابعة الحلول وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪7 -7‬مناق�شة الطلبة بحل ا ألمثلة (‪ )7 ، 6 ،5 ، 4‬على اللوح مع تذكيرهم في المتطابقات المثلثية (والاطلاع‬ ‫على الملحق في كتاب الطالب)‪ ،‬وعر�ض الحل ب أ�كثر من طريقة ومناق�شته بم�شاركة الطلبة لتنمية مهارات‬ ‫التفكير الإبداعي لديهم‪.‬‬ ‫‪8 -8‬تكليف الطلبة بحل التدريبين (‪ )4 ، 3‬مع متابعة الحلول‪ ،‬واكت�شاف مواطن القوة وال�ضعف لديهم‪.‬‬ ‫‪9 -9‬تبيان �أنه في نهايات الاقترانات المثلثية‪ ،‬يوجد �أكثر من طريقة للحل‪ ،‬ومراعاة ا�ستقبال جميع الحلول‬ ‫من الطلبة ومناق�شتها على اللوح‪.‬‬ ‫‪1010‬ختم الدر�س بمراجعة الطلبة بالمفاهيم التي وردت في الدر�س؛ عن طريق توجيه ال�س ؤ�ال‪ :‬ماذا تعلمنا‬ ‫في هذا الدر�س؟‬ ‫‪1111‬الا�ستماع إ�لى �إجابات الطلبة‪ ،‬ثم مناق�شتهم لتعرف مدى امتلاك الطلبة للمفاهيم التي وردت في‬ ‫الدر�س‪.‬‬ ‫‪1212‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل الدر�س بو�صفها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة‬ ‫لهم‪.‬‬ ‫‪34‬‬

‫معلومات إ��ضافية‬ ‫‪- -‬الا�ستعانة بملحق الكتاب المدر�سي؛ لمراجعة المتطابقات المثلثية‪.‬‬ ‫‪- -‬تنبيه الطلبة إ�لى �أنه يمكن إ�يجاد النهاية ب�أكثر من طريقة‪ ،‬ولا يوجد طريقة واحدة للحل‪ ،‬ويف�ضل حل‬ ‫النهاية الواحدة على اللوح ب�أكثر من طريقة‪ ،‬ومناق�شة تلك الطرائق بم�شاركة الطلبة‪.‬‬ ‫‪- -‬يمكن توجيه الطلبة �إلى ا�ستخدام برمجية ر�سم منحنيات الاقترانات؛ للتحقق من �صحة الحل هند�س ًّيا عند‬ ‫إ�يجاد النهاية‪.‬‬ ‫�أخطاء �شائعة‬ ‫وعدم مراعاة �شروطها‪.‬‬ ‫جا �س‬ ‫نهـــــــا‬ ‫نظرية‬ ‫تطبيق‬ ‫في‬ ‫الطلبة‬ ‫بع�ض‬ ‫‪-‬يخطئ‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في اختيار المتطابقة المثلثية المنا�سبة لحل ال�س�ؤال؛ في حال تعدد �صورها مثل متطابقة‬ ‫جتـــا (‪�2‬س)‪.‬‬ ‫‪- -‬لتفادي وقوع الطلبة في تلك الأخطاء يمكن مناق�شة �شروط ا�ستخدام النظرية بم�شاركة الطلبة �أثناء تنفيذ‬ ‫الدر�س‪ ،‬وتدريبهم على ا�ستخدام المتطابقة بمناق�شة أ�مثلة كافية‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫(‪)1‬‬ ‫جا (�س ‪)π -‬‬ ‫ن�هســــ←ـــ‪π‬ا‬ ‫علاج‪ :‬جد ‪)1‬‬ ‫(�صفر)‬ ‫(�س ‪ )π -‬‬ ‫(غير موجودة)‬ ‫جا (�س ‪)π -‬‬ ‫(�س ‪ )π -‬‬ ‫نهـــــــا‬ ‫‪)2‬‬ ‫(‪)π‬‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫إ�ثراء‪ :‬جد ‪ )1‬نهـــــــا جا �س ‬ ‫�س←‪� 0‬س‪� + 3‬س‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س جا‬ ‫‪ )2‬نهـــــــا‬ ‫�س‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫�س ‪ 1 -‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬الورقة والقلم‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ )2-1‬البند (‪ ،)2‬قائمة الر�صد (‪� ،)3-1‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)4-1‬‬ ‫‪35‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة (‪)39‬‬ ‫جا ‪π4‬‬ ‫( لا تنطبق �شروط النظرية)‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪ ( 1 )2‬فر�ض �ص = �س‪)π -‬‬ ‫تدريب (‪)1‬‬ ‫‪ 73 ) 1‬‬ ‫‪2π )4‬‬ ‫‪ 9 ) 3‬‬ ‫تدريب (‪)2‬‬ ‫( ق�سمة جميع الحدود على �س ثم توزيع النهاية)‬ ‫�س‬ ‫تدريب (‪)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ا�ستخدام المتطابقة جتا�س= ‪ 2 - 1‬جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬‬ ‫أ� ‪ -‬ب‬ ‫جتا‬ ‫�أ ‪ +‬ب‬ ‫‪ 12‬ا�ستخدام المتطابقة ‪ :‬جا�أ ‪ +‬جاب= ‪ 2‬جا‬ ‫‪) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫طريقة �أخرى‪ :‬توزيع المقام ثم ا�ستخدام النظرية‬ ‫عامل ًا م�شتر ًكا ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫إ�خراج‬ ‫ثم‬ ‫‪� -‬س)‬ ‫ت‪21‬د) )ريب‪4π12(--‬ا)ا��سستتخخددااممااللممتتططااببققةةججتتاا��سس==جاجا((‪π2π2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� -‬س)‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫ا�ستخدام مبا�شر للنظرية‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 ) 2‬توزيع �س في المقام ثم توزيع النهاية‪.‬‬ ‫‪ 1 ) 3‬توزيع النهاية‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫في‬ ‫جا‪�5‬س‬ ‫�إلى‬ ‫الب�سط‬ ‫في‬ ‫وقتا‪�5‬س‬ ‫المقام‬ ‫في‬ ‫ظــا‪�2 2‬س‬ ‫�إلى‬ ‫الب�سط‬ ‫في‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ظتا‪2‬‬ ‫تحويل‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ )4‬‬ ‫المقام‪ ،‬ثم توزيع النهاية وا�ستخدام النظرية‪.‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪ 6- )5‬تعوي�ض قيمة ‪ 2‬جتا‪� 2‬س بــ ِـ (جتـا ‪�2‬س ‪ ،)1+‬ا�ستخدام المتطابقة‪.‬‬ ‫أ� ‪ -‬ب‬ ‫جا‬ ‫�أ ‪ +‬ب‬ ‫‪ -‬جتاب= ‪ 2-‬جا‬ ‫جتا�أ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ال�ضرب في مرافق الب�سط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )6‬‬ ‫‪ 1π- ) 7‬تعوي�ض مبا�شر‪.‬‬ ‫‪� ) 8‬صفر توزيع �س في المقام ثم توزيع النهاية وا�ستخدام النظرية‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫جتا‪2‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫جا‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫المتطابقتين‬ ‫ا�ستخدام‬ ‫ال�ضرب في مرافق الب�سط‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ )9‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جا‬ ‫‪� -‬س)= جتا �س‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪ 2 ) 10‬ال�ضرب في مرافق الب�سط ‪ ،‬ا�ستخدام المتطابقة ‪ + 1‬ظا‪� 2‬س = قا‪� 2‬س‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ 4‬ق�سمة جميع الحدود على �س‪ ، 2‬ثم توزيع النهاية‪.‬‬ ‫‪)11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )12‬‬ ‫‪� -‬س)= جا �س‬ ‫‪ ،‬جتا (‬ ‫‪ 2-‬ا�ستخدام المتطابقتين جتا‪�2‬س – حا‪� 2‬س = جتا‪�2‬س‬ ‫‪) 13‬‬ ‫النهاية‪.‬‬ ‫‪9-‬‬ ‫توزيع‬ ‫ثم‬ ‫المقام‪،‬‬ ‫ومرافق‬ ‫الب�سط‬ ‫مرافق‬ ‫في‬ ‫ال�ضرب‬ ‫‪16‬‬ ‫توزيع النهاية‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ )14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� -‬س)‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫ظا‬ ‫=‬ ‫ظتا�س‬ ‫المتطابقة‬ ‫ا�ستخدام‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)15‬‬ ‫‪ π )16‬ق�سمة الب�سط والمقام على �س ‪ ،‬ثم ا�ستخدام المتطابقة جا�س = جا(‪� - π‬س)‬ ‫النهاية‪.‬‬ ‫توزيع‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫تحليل‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪)17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ )18‬غير موجودة‪ ،‬ا�ستخدام المتطابقة جتا‪�2‬س = ‪ 2-1‬جا‪� 2‬س وح�ساب النهاية عن يمين العدد �صفر‬ ‫‪1‬‬ ‫وي�ساره‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بو�صفه عامل ًا م�شتر ًكا من المقام‪.‬‬ ‫‪ 3- )19‬ا�ستخدام المتطابقة جا�س = جا( ‪� - π 3‬س) ‪� ،‬إخراج‬ ‫‪ 1π )20‬ا�ستخدام المتطابقة ظا�س = ‪ -‬ظا(‪� - π 2‬س)‬ ‫أ� ‪ -‬ب‬ ‫�أ ‪ +‬ب‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )21‬جتـــا �أ ا�ستخدام المتطابقة جا�أ ‪ +‬جاب = ‪2‬جا‬ ‫‪� )22‬أ= ‪ 12‬ب= ‪1.5‬‬ ‫ا�ستخدام المتطابقة جا�س = جا(‪� - π‬س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )23‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪37‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬الات�صال‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫الات�صال عند نقطة‬ ‫أ�ول‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يتعرف �شروط ات�صال اقتران عند نقطة‪.‬‬ ‫‪- -‬يبحث في ات�صال اقتران عند نقطة‪.‬‬ ‫‪- -‬يتعرف نظريات الات�صال‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪- -‬حل �أنظمة المعادلات في ال�صفوف من ال�سابع وحتى الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫‪- -‬الاقتران الحقيقي‪ ،‬واقتران القيمة المطلقة و�أكبر عدد �صحيح في ال�صف الحادي ع�شر‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬الات�صال‪ ،‬الات�صال عند نقطة‪.‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)56-45‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‪:‬‬ ‫‪https://www.edraak.org/k12/‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬نهاية الاقتران عند نقطة‪،‬حل �أنظمة المعادلات‪ ،‬الاقتران الحقيقي‪ ،‬واقتران القيمة المطلقة و أ�كبر عدد �صحيح‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (العمل في الكتاب المدر�سي‪ ،‬ا أل�سئلة وا ألجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪-‬‬ ‫�شارك)‪ ،‬التفكير الناقد (التحليل)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫ ‪1 -‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة الطلبة في مفهوم النهاية‪.‬‬ ‫ ‪2 -‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات وتكليفهم بتنفيذ الن�شاط الوارد في مقدمة الدر�س‪ ،‬ومن خلاله التو�صل‬ ‫إ�لى مفهوم الات�صال‪.‬‬ ‫ ‪3 -‬مناق�شة الطلبة في �شروط ات�صال اقتران عند نقطة‪ ،‬وكتابة ال�شروط على اللوح‪.‬‬ ‫ ‪4 -‬تكليف أ�كثر من طالب بالتحدث عن �شروط ات�صال اقتران عند نقطة بلغته الخا�صة‪.‬‬ ‫ ‪5 -‬مناق�شة المثالين (‪ )2 ،1‬وت أ�كيد أ�همية تبرير الإجابة عن طريق ذكر �شروط الات�صال عند نقطة‪.‬‬ ‫‪38‬‬

‫‪6 -6‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات‪ ،‬وتكليفهم بحل تدريب (‪، )1‬وملاحظة الحلول وتقديم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫‪7 -7‬مناق�شة مثال (‪ )3‬وحله لتدريب الطلبة على البحث في ات�صال اقتران �أكبر عدد �صحيح‪ ،‬وتنبيه الطلبة‬ ‫إ�ل��ى �ضرورة إ�عادة تعريف الاقتران في فترة تحوي العدد الم��راد البحث في ات�صال الاقتران عنده‪ ،‬ومن‬ ‫خ�لال توجيه �أ�سئل��ة ع�صف ذهني يمكن ا�ست��دراج الطلبة للو�صول �إلى �أ َّن اق�تران أ�كبر عدد �صحيح‬ ‫يكون دائ ًما غير مت�صل عند نقط الت�شعب‪ ،‬ويمكن تو�ضيح ذلك من خلال ر�سم منحنى الاقتران‪.‬‬ ‫‪8 -8‬مناق�شة مثال (‪ )4‬وحله بم�شاركة الطلبة؛ لتدريب الطلبة على الا�ستفادة من �شروط الات�صال عند نقطة‬ ‫إليجاد الثوابت‪ ،‬ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )3‬ومتابعة الحلول وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪9 -9‬تقديم نظريات الات�صال وبرهان نظرية (‪ )2‬فرع (‪ ،)1‬مع التركيز على تو�ضيح �شروط توظيفها‪.‬‬ ‫‪1010‬مناق�شة فقرة (فكر وناق�ش) لتنبيه الطلبة �إلى �أن عك�س النظريات يكون غير �صحيح‪.‬‬ ‫‪1111‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )4‬للتحقق من قدرتهم على برهان النظريات‪ ،‬ومتابعة الحلول وتقديم‬ ‫التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1212‬مناق�شة مثال (‪ ،)5‬وحله بو�صفه تطبي ًقا على نظريات الات�صال‪ ،‬ويمكن التنويه إ�لى أ�نه يمكن حل المثال‬ ‫بطريقتين مختلفتين‪.‬‬ ‫‪1313‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )5‬في مجموعات‪ ،‬ومتابعة الحلول وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1414‬مناق�شة مثال (‪ )6‬وحله‪ ،‬لت أ�كيد أ�نه يمكن إ�يجاد قاعدة ق×ل والبحث في ات�صاله‪ ،‬و أ�نه لا يمكن تطبيق‬ ‫نظريات الات�صال في هذه الحالة‪ ،‬و�س ؤ�ال الطلبة عن ال�سبب وا�ستقبال �أكبر عدد ممكن من الإجابات‪،‬‬ ‫وت�شجيع الطلبة على تقديم تبرير إلجاباتهم‪.‬‬ ‫‪1515‬تكليف الطلبة بالتحدث عن �شروط ا�ستخدام نظريات الات�صال‪ ،‬ويمكن عمل خريطة مفاهيمية تلخ�ص‬ ‫هذه النظريات‪.‬‬ ‫‪1616‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )6‬في مجموعات‪ ،‬ومتابعة الحل وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1717‬ختم الدر�س من خلال �س�ؤال الطلبة عن ا ألمور التي تعلموها فيه‪.‬‬ ‫‪1818‬تكليف الطلبة بحل التمارين والم�سائل بو�صفها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬والآخر في الغرفة ال�صفية �ضمن مجموعات‬ ‫ثنائية‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم‪.‬‬ ‫معلومات إ��ضافية‬ ‫‪- -‬اقترانات الجذور التربيعية غير مت�صلة عند أ��صفارها؛ لأنها غير معرفة في جوار يحوي تلك ا أل�صفار‪.‬‬ ‫‪- -‬اقتران �أكبر عدد �صحيح يكون غير مت�صل عند نقط الت�شعب؛ لأنه لايحقق �شروط الات�صال عند تلك النقط‪.‬‬ ‫‪- -‬اقتران القيمة المطلقة يكون دائ ًما مت�صل ًا‪ ،‬ويمكن تو�ضيح ذلك للطلبة هند�س ًّيا من خلال ا�ستخدام‬ ‫برمجيات ر�سم المنحنيات‪.‬‬ ‫‪39‬‬

‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬يخط��ئ بع���ض الطلبة في البحث في ��شروط الات�صال عند نقطة‪ ،‬ويمكن معالج��ة ذلك من خلال مناق�شة‬ ‫�شروط الات�صال بم�شاركة الطلبة أ�ثناء تنفيذ الدر�س وكتابتها على اللوح‪.‬‬ ‫‪- -‬يعتقد بع�ض الطلبة �أ َّن الاقتران على ال�صورة ق(�س) = �أ ‪� -‬س ُيع ُّد مت�صل ًا عند �س= أ� ؛ حيث يمكن‬ ‫الا�ستعانة بر�سم المنحنى لتو�ضيح أ�نه مت�صل فقط من جهة الي�سار عند �س=�أ وهذا لا يعني أ�نه مت�صل عند‬ ‫�س= أ�‬ ‫‪- -‬عدم التحقق من �شروط نظريات الات�صال عند تطبيقها‪ ،‬ويمكن تدريب الطلبة على التحقق من �شروط‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫‪� ،‬س < ‪1‬‬ ‫�س‪2 + 2‬‬ ‫علاج‪ :‬إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫‪�2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق عندما �س=‪( 1‬غير مت�صل)‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪2 -‬‬ ‫‪3 - 6‬ب � س ‬ ‫إ�ثراء‪� :‬إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ≥ 1- ،‬س > ‪2-‬‬ ‫جـ �س‪� - 2‬أ �س ‪4 +‬‬ ‫‪� ≥ 1 ،‬س > ‪1-‬‬ ‫‪ - 6‬ب �س ‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫�أ �س‪ + 2‬جـ ‬ ‫مت�صل ًا فجد قيمة الثوابت �أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ( أ� = ‪ ، 1‬ب = ‪ ، 2‬جـ = ‪)3‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ )1-1‬البند (‪ ،)3‬قائمة الر�صد (‪� ،)3-1‬سجل و�صف �سير التعلم(‪.)4-1‬‬ ‫‪40‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫تدريب (‪)1‬‬ ‫ق مت�صل عند �س =‪4‬؛ لأن �شروط الات�صال متحققة‪.‬‬ ‫تدريب (‪)2‬‬ ‫‪� )1‬س تنتمي إ�لى مجموعة الأعداد ال�صحيحة‪.‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = [ ‪� 0.5‬س ‪ ، ]5+‬ق مت�صل عند �س= ‪ 1‬و غير مت�صل عند �س=‪2‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫تدريب (‪)3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬ب=‬ ‫‪7‬‬ ‫�أ=‬ ‫فكر وناق�ش‪� ،‬صفحة (‪)51‬‬ ‫‪ ) 1‬العبارة خاطئة؛ ألنه لي�س من ال�ضروري �أن يكون طرح اقترانين غير مت�صلين عند نقطة اقترا ًنا غير‬ ‫مت�صل عند النقطة نف�سها‪ ،‬مثال‪:‬‬ ‫ق(�س) = [�س ‪ ]1+‬غيــر مت�صــل عنــد �س= ‪ ، 0‬والاقـتران هـ(�س) = [�س] ‪ ،‬غير مت�صـــل عنــد‬ ‫�س= ‪ ، 0‬لكن ناتج طرحهما مت�صل عند �س= ‪0‬‬ ‫‪ )2‬العبارة خاطئة؛ لأن ق(�س) = �س ‪ ، 1 -‬كثير حدود مت�صل على مجموعة ا ألعداد الحقيقية‪ ،‬أ�ما‬ ‫�س ‪ 1 -‬فهو غير مت�صل عند �س=‪ 1‬؛ لأنه غير معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد ‪1‬‬ ‫تدريب (‪)5‬‬ ‫الطريقة ا ألولى‪ :‬ق×ل مت�صل لجميع قيم �س <‪1‬؛ لأنه على �صورة كثير حدود‪.‬‬ ‫ق×ل مت�صل لجميع قيم �س > ‪1‬؛ لأنه على �صورة كثير حدود‪.‬‬ ‫نهــــــــا ق×ل = نهــــــــا ق×ل= ‪3‬‬ ‫�س←‪-1‬‬ ‫�س←‪+1‬‬ ‫الطريقة الثانية‪ :‬ابحث في ات�صال ق وحده‪ ،‬ثم ابحث في ات�صال ل وحده‪ ،‬ثم ا�ستخدم النظرية ‪ 3‬الفرع ‪3‬‬ ‫تدريب (‪)6‬‬ ‫ ‬ ‫‪2-‬‬ ‫<‬ ‫�س‬ ‫≤‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(�س ‪1- × 3)5 -‬‬ ‫ق×هـ=‬ ‫‪11-‬‬ ‫<‬ ‫�س‬ ‫≤‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(�س ‪� × 3)5 -‬صفر‬ ‫ق× هـ غير مت�صل عند �س= ‪2-‬؛ لأنه لا يحقق �شروط الات�صال عند نقطة‪.‬‬ ‫ق×هـ مت�صل عند �س= ‪ 5‬؛ لأنه يحقق �شروط الات�صال عند نقطة‪.‬‬ ‫‪41‬‬

‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪ )1‬قيم �س التي عندها الاقتران ق غير مت�صل هي‪:‬‬ ‫�س= ‪ 5-‬؛ لأن النهاية لات�ساوي قيمة ال�صورة‪.‬‬ ‫�س= ‪ 1‬؛ ألن النهاية من اليمين لا ت�ساوي النهاية من الي�سار‪.‬‬ ‫�س= ‪ 4‬؛ لأن ق(‪ )4‬غير معرفة‪.‬‬ ‫‪ ) 2‬الاقتران ق غير مت�صل عند �س= ‪ ( 1.25‬تحقق �شروط الات�صال)‪.‬‬ ‫‪ ) 3‬الاقتران ق غير مت�صل عند �س=‪ 1‬لأنه غير معرف عند �س=‪1‬‬ ‫‪ )4‬الاقتران ق غير مت�صل عند �س=‪ ، 2‬لأنه غير معرف عند �س=‪2‬‬ ‫‪ ) 5‬الاقتران ق غير مت�صل عند �س= �صف ًرا؛ لأن النهاية من اليمين لا ت�ساوي النهاية من الي�سار‪.‬‬ ‫‪ )6‬الاقتران ل مت�صل عند �س= ‪ 3‬؛ لأنه يحقق �شروط الات�صال‪.‬‬ ‫‪ ) 7‬الاقتران ق غير مت�صل عند �س=‪ 2‬؛ ألن النهاية لا ت�ساوي قيمة ال�صورة‪.‬‬ ‫‪ )8‬الاقتران ك غير مت�صل عند �س= ‪2‬؛ لأن النهاية من اليمين لا ت�ساوي النهاية من الي�سار‪.‬‬ ‫‪ )9‬أ� = ‪2‬‬ ‫‪ )10‬الاقتران ل غير مت�صل عند �س= ‪ 1‬؛ لأن النهاية لا ت�ساوي ال�صورة‪.‬‬ ‫‪ )11‬الاقتران ق مت�صل عند �س= ‪ ( 2‬تحقق �شروط الات�صال)‬ ‫‪) 12‬ب = ‪7-‬‬ ‫‪ )13‬الاقتران ق مت�صل عند �س= ‪ ( ،3‬تحقق �شروط الات�صال)‪.‬‬ ‫‪ )14‬الاقتران ق غير مت�صل عند �س = ‪ ،1‬كذلك الاقتران هـ غير مت�صل عند �س = ‪ 1‬لذا؛ لا ن�ستطيع‬ ‫تطبيق نظريات الات�صال‪ .‬فنجد قاعدة (ق‪+‬هـ) (�س)‬ ‫ ‬ ‫‪� ،‬س < ‪1‬‬ ‫�س‪�2 + 2‬س ‪2 +‬‬ ‫ل(�س) = (ق‪+‬هـ) (�س) =‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫‪�3‬س‪ �2 + 2‬س ‬ ‫ومنه (ق‪+‬هـ) مت�صل عند �س = ‪ 1‬لأ ّن نهـــــــا ل(�س) = ل(‪)1‬‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫‪42‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬الات�صال‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫الات�صال على فترة‬ ‫ثان ًيا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يتعرف �شروط الات�صال على فترة‪.‬‬ ‫‪- -‬يبحث في ات�صال اقتران على فترة‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪- -‬الاقترانات الن�سبية‪ ،‬والاقترانات المثلثية‪ ،‬والاقتران الحقيقي‪ ،‬واقتران القيمة المطلقة‪ ،‬و أ�كبر عدد �صحيح‪،‬‬ ‫في ال�صف الحادي ع�شر الفرع العلمي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬الات�صال على فترة‪ ،‬ات�صال من جهة اليمين‪،‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)65-57‬‬ ‫ات�صال من جهة الي�سار‪.‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‪:‬‬ ‫‪https://www.edraak.org/k12/‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬الاقتران الحقيقي‪ ،‬واقتران القيمة المطلقة‪ ،‬و�أكبر عدد �صحيح ‪ ،‬النهايات‪ ،‬والات�صال عند نقطة‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (الأ�سئلة وا ألجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪،‬التفكيرالناقد(التحليل)‪.‬‬ ‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫ ‪1 -‬التمهيد للدر�س عن طريق مراجعة الطلبة في مفهوم الات�صال عند نقطة‪.‬‬ ‫ ‪2 -‬تق�سي��م الطلبة إ�ل��ى مجموعات غير متجان�س��ة‪ ،‬وتكليفهم بتنفي��ذ الن�شاط ال��وارد في مقدمة الدر�س؛‬ ‫للو�صول �إلى مفهوم الات�صال على فترة من جهة اليمين‪ ،‬ومن جهة الي�سار‪.‬‬ ‫‪3 -3‬مناق�شة ال�شكل(‪ )29-1‬بم�شاركة الطلبة للو�صول إ�لى مفهوم ات�صال على فترة‪.‬‬ ‫ ‪ 4 -‬إ�تاحة الفر�صة للطلبة للتحدث عن �شروط ات�صال اقتران على فترة مفتوحة‪ ،‬وفترة مغلقة وفترة ن�صف‬ ‫مفتوحة‪� ،‬أوفترة ن�صف مغلقة‪.‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪5 -5‬كتابة التعريف الوارد في ال�صفحة (‪ ،)58‬ثم مناق�شة الطلبة في ات�صال كثيرات الحدود والاقترانات الن�سبية‬ ‫على مجالها‪ ،‬ثم ات�صال الاقترانين الدائريين الجيب وجيب التمام ‪ ،‬ويمكن الا�ستعانة بالر�سم لتو�ضيح ذلك‪.‬‬ ‫‪6 -6‬توجيه �أ�سئلة حول نقط عدم الات�صال لاقتران الظل والقاطع وقاطع التمام‪ ،‬والا�ستماع إ�لى �إجابات‬ ‫الطلبة‪ ،‬و�إثارة النقا�ش والحوار‪.‬‬ ‫‪7 -7‬مناق�شة المثالين (‪ )2( ،)1‬لتعميق فهم الطلبة حول كيفية البحث في ات�صال الاقتران المت�شعب‪ ،‬ثم تكليف‬ ‫الطلبة بحل التدريبين (‪� )2( ،)1‬ضمن مجموعات ثنائية مع متابعة الحلول وتقديم الدعم والم�ساندة للطلبة‪.‬‬ ‫‪8 -8‬مناق�شة مثال (‪ )3‬مع ت أ�كيد أ� َّن اقترانات القيمة المطلقة تكون مت�صلة على مجالها‪ ،‬ثم تكليف الطلبة‬ ‫بحل تدريب (‪ ،)3‬ومتابعة الحلول ومناق�شتها على اللوح‪.‬‬ ‫‪9 -9‬مناق�شة مثال (‪)4‬؛ لتدريب الطلبة على الا�ستفادة من �شروط ات�صال اقتران على فترة لإيجاد الثوابت‪،‬‬ ‫ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )4‬ومتابعة الحلول وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1010‬ختم الدر�س من خلال توجيه ال�س�ؤال‪ :‬ماذا تعلمنا في هذا الدر�س؟‬ ‫‪1111‬الا�ستماع �إلى ا إلجابات‪ ،‬و�إتاحة الفر�صة لأكبر عدد من الطلبة للإجابة وتقبل جميع ا إلجابات‪.‬‬ ‫‪1212‬تكليف الطلبة بحل تمارين الكتاب واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم لهم‪.‬‬ ‫معلومات إ��ضافية‬ ‫‪- -‬يكون ق(�س) = �س ‪� -‬أ ‪ ،‬مت�صل ًا عند �س= أ� من اليمين‪ ،‬ولكنه غير مت�صل عند �س= أ� ‪.‬‬ ‫ن‪π‬‬ ‫‪- -‬يكون الاقتران غير مت�صل عند �أطراف الفترة المعرف عليها‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،‬ن= ‪000 ،5،3 ،1‬‬ ‫�س =‬ ‫هي‬ ‫عدم الات�صال‬ ‫نقط‬ ‫ف�إن‬ ‫= ظا�س؛‬ ‫ق(�س)‬ ‫كان‬ ‫‪�-‬إذا‬ ‫‪-‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪،5،3 ،1‬‬ ‫ن=‬ ‫‪،‬‬ ‫ن‪π‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫هي‬ ‫الات�صال‬ ‫عدم‬ ‫قــــا�س؛ ف إ�ن نقط‬ ‫ق(�س)=‬ ‫كان‬ ‫‪�-‬إذا‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - -‬إ�ذا كان ق(�س)= قتـــــا�س؛ ف�إن نقط عدم الات�صال هي �س= ن ‪ ، π‬ن= ‪... ، 2 ،1 ،0‬‬ ‫�أخطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في تحديد نقط عدم الات�صال لاقتران القاطع وقاطع التمام والظل‪.‬‬ ‫‪- -‬يخطئ بع�ض الطلبة في البحث في �شروط الات�صال للاقترانات المت�شعبة‪ ،‬عن طريق عدم التحقق من‬ ‫ات�صال الاقتران على كل فترة جزئية‪ ،‬كما في المثال الآتي‪:‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪� ،‬س < ‪1‬‬ ‫�س ‪ 1 -‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫‪�2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪- -‬تنبيه الطلبة �إلى أ� َّن ق مت�صل على الفترة (‪ ،}1-{ - )1 ،∞ -‬ومنه ق(�س) مت�صل على ح‪.}1،1-{-‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫∞))‬ ‫(ق‬ ‫‪2‬‬ ‫علاج‬ ‫�س ‪+‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫(‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مت�صل‬ ‫مت�صل ًا؟‬ ‫ق‬ ‫الاقتران‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫الفترة‬ ‫فما‬ ‫؛‬ ‫‪2‬‬ ‫�إذا كان ق(�س)=‬ ‫إ�ثراء‬ ‫‪� ≤ 2- ،‬س < ‪1‬‬ ‫| �س ‪�2 + |1 -‬س‬ ‫‪� ≤ 1 ،‬س ≤ ‪2‬‬ ‫[�س ] ‪� -‬س ‪ 2‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س)=‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق في الفترة [‪.] 2 ، 2-‬‬ ‫‪� )2‬أعط مثال ًا على اقتران يكون مت�صل ًا على (‪ )0 ،∞ -‬والفترة (‪ )∞ ، 0‬ولا يكون مت�صل ًا على ( ‪.)∞ ،∞ -‬‬ ‫الحل‪ )1 :‬ب إ�عادة تعريف الاقتران؛ انظر ال�شكل الآتي‪:‬‬ ‫‪� +1‬س‬ ‫‪� -1‬س‪2‬‬ ‫‪� -2‬س‪2‬‬ ‫‪2- 1 2 3‬‬ ‫‪ ) 1‬الاقتران مت�صل على كل فترة جزئية؛ لأنه على �صورة كثير حدود‪ ،‬وغير مت�صل عند �س= ‪، 2 ،1‬‬ ‫�أي مت�صل على الفترة [‪}1{ - ) 2 ،2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪) 2‬‬ ‫�س‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬الملاحظة‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬مراجعة الذات‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير العددي (‪ )1-1‬البند (‪ ،)4‬قائمة الر�صد (‪� ،)3-1‬سجل و�صف �سير‬ ‫التعلم(‪ ،)4-1‬اختبار نهاية الوحدة‪.‬‬ ‫‪45‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة (‪)59‬‬ ‫‪ ) 1‬العبارة �صحيحة ( نظرية)‬ ‫‪ ) 2‬العبارة غير �صحيحة؛ لأ َّن الاقترانات الن�سبية تكون غير مت�صلة عند �أ�صفار المقام‪.‬‬ ‫‪ ) 3‬العبارة �صحيحة‪.‬‬ ‫‪ ) 4‬العبارة �صحيحة‪ ،‬يمكن الا�ستعانة بالر�سم من خلال برمجية الر�سم‪.‬‬ ‫تدريب (‪)1‬‬ ‫ق مت�صل على الفترة [ ‪) 7 ، 3‬‬ ‫تدريب (‪)2‬‬ ‫ق مت�صل على مجموعة ا ألعداد الحقيقية ح‬ ‫تدريب (‪)3‬‬ ‫ق مت�صل على الفترة [ ‪] 0.9 ، 0.01‬‬ ‫تدريب (‪)4‬‬ ‫أ�= ‪ ، 10‬ب = ‪1‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪ )1‬الاقتران ق مت�صل على الفترة [ ‪] 2 ،2-‬‬ ‫‪ )2‬الاقتران ل مت�صل على الفترة [ ‪] 8 ، 10-‬‬ ‫‪ )3‬الاقتران ع مت�صل على ح ‪}3{ -‬‬ ‫‪ )4‬الاقتران ل مت�صل على الفترة ( ‪)∞ ،∞ -‬‬ ‫‪ ) 5‬الاقتران ع مت�صل على الفترة (‪)4 ،3‬‬ ‫‪ )6‬الاقتران ق مت�صل على الفترة [‪}4{ - ] 6 ، 0‬‬ ‫‪ ) 7‬هـ = ‪2.5‬‬ ‫‪ )8‬الاقتران ع مت�صل على ح ‪} 6 ، 4 ،2 { -‬‬ ‫‪ )9‬الاقتران ق مت�صل على الفترة [‪}0{ - ] 2 ،1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أ� >‬ ‫‪)10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪46‬‬

‫�إجابات أ��سئلة‬ ‫الوحدة ا ألولى‬ ‫‪)1‬‬ ‫ب) ‪ 2-‬جـ) ‪2‬‬ ‫�أ ) ‪2‬‬ ‫و ) { ‪} 4 ،2،0‬‬ ‫هـ) �أ = { ‪ } 2 ،0‬‬ ‫د)‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪17 )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )3‬جـ =‬ ‫‪� )4‬أ = ‪10-‬‬ ‫جـ) ‪ 12-‬‬ ‫‪� )5‬أ= ‪1-‬‬ ‫ز) ‪ 32‬‬ ‫د)‪4‬‬ ‫‪� )6‬أ ) = �صف ًرا ب) ‪1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ح)‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫و‬ ‫ هـ) ‪ 3 16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ي)‬ ‫ط) ‪ 4‬‬ ‫ ‪) 7‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ب=‬ ‫‪ ) 8‬ق غير مت�صل عند �س=‪2‬‬ ‫‪ )9‬ع غير مت�صل عند �س=‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )10‬ل مت�صل عند �س=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )11‬ع مت�صل على الفترة (‪.)2 ،1‬‬ ‫‪ )12‬هـ(�س) مت�صل لجميع قيم �س الحقيقية‪.‬‬ ‫‪ )13‬ق مت�صل على الفترة [‪} 1- { - ) 1 ،2-‬‬ ‫‪ )14‬الاقتران ل×هـ مت�صل على الفترة [‪) 2 ،0‬‬ ‫‪)15‬‬ ‫رقم الفقرة ‪10 9 8 7 6 5 4 3 2 1‬‬ ‫ا إلجابة ‪)2 ،1( 4- }1،3 { 5 9 0 }2، 0، 2- { 18 1 22‬‬ ‫ال�صحيحة ‪2‬‬ ‫رمز ا إلجابة جـ جـ ب د ب د جـ د جـ ب‬ ‫ال�صحيحة‬ ‫‪47‬‬

‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬التوا�صل‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪.)1-1‬‬ ‫ممتاز جيد ج ًّدا جيد متو�سط �ضعيف‬ ‫م�ؤ�شرات الأداء‬ ‫البند‬ ‫جيد ج ًّدا‪ :‬يبدي فه ًما‪ ،‬وقد يحتاج إ�لى الم�ساعدة‪.‬‬ ‫‪ 1‬مفهوم النهاية‬ ‫متو�سط‪ :‬يبدي فه ًما‪� ،‬ضعي ًفا ويحتاج �إلى الم�ساعدة‪.‬‬ ‫‪--‬يف�سرّ مفهوم نهاية اقتران عند نقطة‪.‬‬ ‫‪--‬يعبر عن النهاية با�ستخدام الرموز‪.‬‬ ‫‪--‬يجد النهاية من اليمين عند عدد‪.‬‬ ‫‪--‬يجد النهاية من الي�سار عند عدد‪.‬‬ ‫‪--‬يميز بين نهاية اقتران عند نقطة‪ ،‬وقيمة الاقتران‬ ‫عند تلك النقطة‪.‬‬ ‫‪ 2‬نظريات النهايات‬ ‫‪--‬يذكر �شروط تطبيق نظريات النهايات‪.‬‬ ‫‪--‬يطبق النظريات المنا�سبة لح�ساب النهايات‪.‬‬ ‫‪--‬يجد نهاية اقتران مت�شعب عند نقطة‪.‬‬ ‫ممتاز‪ :‬يبدي فه ًما عمي ًقا‪ ،‬ولا يحتاج إ�لى الم�ساع دة‪ .‬‬ ‫جيد‪ :‬يبدي فه ًما جزئ ًّيا‪ ،‬ويحتاج �إلى الم�ساعدة‪ .‬‬ ‫�ضعيف‪ :‬لا يبدي فه ًما‪ ،‬ويحتاج إ�لى الم�ساعدة‪.‬‬ ‫‪48‬‬