รายวิชาคณิตศาสตร์ (พค31001)

นาฐน้ืพูรมาวคะราสนยีรเอืสงันห รตสาศติณค าชิวยาร 31001คพ ยาลปนอตาษกึศมยธัมบัดะร . 2554)ศ.พ งุรปบัรปบับฉ( นาฐน้ืพน้ัขาษกึศรากบัดะรบบะรกอนาษกึศรากรตูสกัลห 2551 ชารกัศธทุพ ยัศายธัอมาตาษกึศรากะลแบบะรกอนาษกึศรากมิรสเงสนางกันาํส รากิธาษกึศงวรทะรกดัลปนางกันาํส รากิธาษกึศงวรทะรก

2 นาฐน้ืพูรมาวคะราสนยีรเอืสงันห 31001คพ รตสาศติณค าชิวยาร ยาลปนอตาษกึศมยธัมบัดะร . 2554ศ.พ งุรปบัรปบับฉ รากิธาษกึศงวรทะรกดัลปนางกันาํส. นศก นางกันาํส งอขนปเ์ิธทิสขิล 8/2555 ่ีทบัดาํลรากาชิวงาทราสกอเ

3

4 ญับราส านห 3 าํนาํค 4 ญับราส 5 อืสงันหชใรากาํนะนแาํค 6 ยาลปนอตาษกึศมยธัมบัดะร รตสาศติณคาชิวงารสงรคโ 7 รากนินเาํดรากะลแนวนาํจ1 ่ีททบ 21 ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเ2 ่ีททบ 35 ตซเ3 ่ีททบ 59 ลผุตหเหใราก4 ่ีททบ  71ชใปไาํนรากะลแิติมณกโีรตนวสารตัอ5 ่ีททบ  95ฑณัภติลผบบแกออรากะลแอืมงอ่ืรคเชใราก6 ่ีททบ 120 นตงอ้ืบเิติถส7 ่ีททบ 151 นปเะจานมาวค8 ่ีททบ 170 พีชาอนางนใรตสาศติณคงาทรากนวบะรกะษกัทชใราก9 ่ีททบ

5 นยีรเบบแชใรากาํนะนแาํค าษกึศมยธัมบัดะร31001) คพ (รตสาศติณค าชิวยาร นาฐน้ืพูรมาวคะราสนยีรเอืสงันห บบะรกอนาษกึศกันนปเ่ีทนยีรเูผบัรหาํส น้ึขาํทดัจ่ีทนยีรเอืสงันหนปเ ยาลปนอต รวคนยีรเูผ รตสาศติณค าชิวยาร นาฐน้ืพูรมาวคะราสนยีรเอืสงันหาษกึศรากนใ ้ีนงัดิตับิฏป ะลแงัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ญัคาํสะราสอขวัหนใจใาขเหใาชิวยารงารสงรคโาษกึศ1. าหอ้ืนเยาขบอข ดนหาํก่ีทมาตมรรกจิกาํทะลแ ดยีอเะลงายอทบะลตแงอขาหอ้ืนเดยีอเะลยาราษกึศ2. าษกึศปไบัลกรวคดิผบอตนยีรเูผาถ ดนหาํก่ีทมรรกจิกบอตวนแบักบอสจวรตวลแ ปไอตงอ่ืรเาษกึศะจ่ีทนอกจใาขเหใมหใน้ันาหอ้ืนเนใจใาขเมาวคาํทะลแ งอขจใาขเมาวคูรมาวคปุรสรากนปเอ่ืพเ งอ่ืรเะลตแงอขงอ่ืรเยาทมรรกจิกิตับิฏป3. งอ่ืรเะลตแนใาหอ้ืนเะลตแงอขมรรกจิกิตับิฏปรากะลแ ง้ัรคกีอๆน้ันงอ่ืรเนใาหอ้ืนเ บัดะระลแาชิวยารนในยีรเมวร่ีทๆนอ่ืพเะลแูรคบักบอสจวรตปไาํนถรามาสนยีรเูผ ดไนักวยีดเ อืค ทบ9 ีม้ีนมลเนยีรเบบแ รากนินเาํดรากะลแนวนาํจ1 ่ีททบ ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเ2 ่ีททบ ตซเ3 ่ีททบ ลผุตหเหใราก4 ่ีททบ ชใปไาํนรากะลแิติมนกโีรตนวสารตัอ5 ่ีททบ ฑณัภติลผบบแกออรากะลแอืมงอ่ืรคเชใราก6 ่ีททบ นตงอ้ืบเิติถส7 ่ีททบ นปเะจานมาวค8 ่ีททบ พีชาอนางนใรตสาศติณคงาทรากนวบะรกะษกัทชใราก9 ่ีททบ

6 รตสาศติณคาชิวยารงารสงรคโ ยาลปนอตาษกึศมยธัมบัดะร ญัคาํสะราส ะลยอระลแมยินศท นวสษศเ ขลเวัตะลแนวนาํจบักวย่ีกเจใาขเมาวคูรมาวคีม นตงอ้ืบเนปเะจานมาวคะลแ ิติถส ติณคาขรเ ดัวราก งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ะลยอระลแมยินศท นวสษศเ ขลเวัตะลแนวนาํจบักวย่ีกเงายอวัตกยอืรหุบะร1. ดไนตงอ้ืบเนปเะจานมาวคะลแ ิติถส ติณคาขรเ ดัวราก มยินศท นวสษศเบันนวนาํจบักวย่ีกเาหญปยทจโกแะลแณวนาํคดิคถรามาส2. ดไติณคาขรเ ดัวราก ะลยอร าหอ้ืนเยาขบอข รากนินเาํดรากะลแนวนาํจ1 ่ีททบ ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเ2 ่ีททบ ตซเ3 ่ีททบ ลผุตหเหใราก4 ่ีททบ ชใปไาํนรากะลแิติมนกโีรตนวสารตัอ5 ่ีททบ ฑณัภติลผบบแกออรากะลแอืมงอ่ืรคเชใราก6 ่ีททบ นตงอ้ืบเิติถส7 ่ีททบ นปเะจานมาวค8 ่ีททบ พีชาอนางนใรตสาศติณคงาทรากนวบะรกะษกัทชใราก9 ่ีททบ ูรนยีรเรากอ่ืส นางบใ1. นยีรเอืสงันห2.

7 1 ่ีททบ รากนินเาํดรากะลแนวนาํจ ญัคาํสะราส ะลแ ะยกรรตอนวนาํจ ะยกรรตนวนาํจ ยวดปไบอกะรปงิรจนวนาํจงอขงารสงรคโ1. ม็ตเนวนาํจ ดปิตับมสยวดปไบอกะรป ณูครากะลแกวบรากบักวย่ีกเ่ีทงิรจนวนาํจงอขิตับมส2. ิตับมสะลแณษกัลกอเีมราก สรอวเนิอีมราก ่ีทบัลสรากิตับมส มุลกนย่ีลปเรากิตับมส งจแกจแราก นักาทเาคีมรากนทแ“=” ยามหงอ่ืรคเชใะจนักาทเรากิตับมส3. “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” ยามหงอ่ืรคเชใะจนักาทเมไรากิตับมส4. ง่ึซณรูบมัสาคนทแ “ | |” ณษกัลญัสชใณรูบมัสาค5. x>0 าถx x= 0 าถx 0 = x< 0 าถ- x งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไงิรจนวนาํจบบะรนใ ๆ งาตนวนาํจงอขธนัพมัสมาวคงดสแ1. นวนาํจราหราก ณูคราก บลราก กวบรากกาจดิกเ่ีทธพัลลผาหะลแยามหมาวคยาบิธอ2. ดไงิรจ นักาทเมไราก นักาทเราก ณูคราก กวบรากบักวย่ีกเ่ีทงิรจนวนาํจงอขิตับมสยาบิธอ3. ดไชใปไาํนะลแ ดไงิรจนวนาํจงอขณรูบมสาคาหะลแงิรจนวนาํจงอขณรูบมัสาคบักวย่ีกเยาบิธอ4. าหอ้ืนเยาขบอข งิรจนวนาํจบบะรงอขธนัพมัสมาวค1 ่ีทงอ่ืรเ งิรจนวนาํจราหรากะลแ ณูคราก บลราก กวบรากงอขิตับมส2 ่ีทงอ่ืรเ นักาทเมไรากิตับมส3 ่ีทงอ่ืรเ ณรูบมัสาค4 ่ีทงอ่ืรเ

8 งิรจนวนาํจบบะรงอขธนัพมัสมาวค1 ่ีทงอ่ืรเ งิรจนวนาํจงอขงารสงรคโ1.1. งิรจนวนาํจ ะยกรรตนวนาํจ ะยกรรตอนวนาํจ นวสษศเ าํ้ซมยินศท ม็ตเนวนาํจ มยินศท นในยีขเ่ีทนวนาํจ าํ้ซมไบจูรมไ ฑณรกงอขปูร าวกยีรเอืรห ตูรอืรหการ นวนาํจ ยนูศ อืรหบันนวนาํจ บลม็ตเ กวบม็ตเนวนาํจ ะยกรรตอนวนาํจะลแะยกรรตนวนาํจยวดบอกะรป( Real number ) งิรจนวนาํจ นวสษศเะลแ าํ้ซมยินศท ม็ตเนวนาํจ ยวดบอกะรป( Rational number ) ะยกรรตนวนาํจ1. อืค ดินช3 นปเงบแง่ึซ ม็ตเนวนาํจ1. (N) บันนวนาํจอืรห(I ) กวบม็ตเนวนาํจ1.1 + + ∴ I = N = {1, 2, 3, …} {0} อืค วยีดเนวนาํจีม ยนูศม็ตเนวนาํจ1.2 - (I) บลม็ตเนวนาํจ1.3 - ∴ I = {-1, -2, -3, …} 3 5 3 นตนปเ, 3 , - นชเ นวสษศเ2. 4 4 7      6.0 , 1.0 2, 5.0 3 2 นชเ าํ้ซมยินศท3. ปูรนใดไนยีขเ ะยกรรตนวนาํจชใมไ่ีทนวนาํจอืค( irrational number ) ะยกรรตอนวนาํจ2. 1.414213… บักาทเาคีม2 นชเ าํ้ซมไมยินศท 1.7320508… บักาทเาคีม3 3.14159265… บักาทเาคีมπ 1.101 ณามะรปาคีม0.1010010001…

9 1 ่ีทดัหกฝบบแ อืรห ะยกรรตนวนาํจ ม็ตเนวนาํจ บันนวนาํจนปเดในวนาํจ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทนวนาํจ1. ะยกรรตอนวนาํจ ะยกรรตอนวนาํจ ะยกรรตนวนาํจ ม็ตเนวนาํจ บันนวนาํจ งิรจนวนาํจ อข 7 2 1) − , 9 − 5 , , 1 , 0 , 2 2 3 5 2) , 5 − 7 7 , 3 , 12 , 3 4 3) 2.01,0.666...,-13 , 4) 2.3030030003..., 5) −π ,− 1 , 6 , 2 ,− 5 . 7 3 3 2 12 1 6) 25 ,− 17 ,− , , 3 , 9 12 , π 5 2 จ็ทเอืรหงิรจนปเ้ีนปไอตมาวคอขาวาณราจิพงจ2. ะยกรรตนวนาํจนปเ1) 0.001001001001… ะยกรรตนวนาํจนปเ2) 0.110110110110… ะยกรรตนวนาํจนปเ3) 0.767667666766667… ะยกรรตนวนาํจนปเ4) 0.59999…. งิรจนวนาํจนปเ5) 0 ะยกรรตนวนาํจนปเมไาํ้ซมยินศทปูรนใดไนยีขเ่ีทนวนาํจ6)

10 งิรจนวนาํจราหรากะลแ ณูคราก บลราก กวบรากิตับมส2. นชเ ะณษกัลนในักอตาํทะรกาม ๆ ดใงิรจนวนาํจาํนราก อืค งิรจนวนาํจงอขิตับมส ่ีทธพัลลผีมวลแ น้ึขดนหาํก่ีทษศเิพะณษกัลยวดาํทะรกอืรห ราหราก ณูคราก บลราก กวบราก ้ีนงัดีม ราหรากะลแ ณูคราก บลราก กวบรากนใชใ่ีทิตับมส นักวยีดเงอนาํทอืรหะณษกัลนใน้ึขดิกเ ๆดใงิรจนวนาํจนปเa, b, c ดนหาํก งิรจนวนาํจงอขนักาทเรากิตับมส2.1 a = a นอทะสรากิตับมส b = a วลแa= b าถ รตามมสรากิตับมส a = c วลแb = c ะลแa = b าถ ดอทยาถรากิตับมส a + c = b + c วลแa = b าถ งาขงอสง้ัทนักาทเ่ีทนวนาํจยวดกวบรากิตับมส ac = วลแa = b าถ งาขงอสง้ัทนักาทเ่ีทนวนาํจยวดณูครากิตับมส bc ๆดใงิรจนวนาํจนปเc ะลแ a, b หใดนหาํกอ่ืมเ งิรจนวนาํจบบะรนใณูครากะลแกวบรากิตับมส2.2 กวบรากิตับมส2.2.1 a + ∈ R วลแb ∈R ะลแa ∈R าถ ดปิตับมส b a + b= b + ่ีทบัลสรากิตับมส a a + (b + ) c = a +( b +) c มุลกนย่ีลปเรากิตับมส 0 0 + a = a + 0 = a อืค กวบรากณษกัลกอเีมรากิตับมส ะลแa− อืค กวบรากสรอวเนิอีมa กวบรากสรอวเนิอีมรากิตับมส a อืค กวบรากสรอวเนิอีม− a  +a (−a ) = (−a ) + a = 0ดไะจ นปเa− ีมะจa งิรจนวนาํจอืคน่ัน กวบรากงอขสรอวเนิอ ณูครากิตับมส2.2.2 ab ∈ R วลแb ∈R ะลแa ∈R าถ ดปิตับมส ab= ba ่ีทบัลสรากิตับมส a (bc )= ab)( c มุลกนย่ีลปเรากิตับมส 1 1. a = a.1 = a อืค กวบรากณษกัลกอเีมรากิตับมส 1 ะลแ อืค ณูครากสรอวเนิอีมa ณูครากสรอวเนิอีมรากิตับมส 1 ) 1 aยามหมาวคีมมไ ะารพเ0 นวเกย( a อืค ณูครากสรอวเนิอีม0 a

11  1   1   a   =  a = 1 ; ≠a 0ดไะจ  a   a  1 นปเ ีมะจa งิรจนวนาํจ อืคน่ัน a ณูครากสรอวเนิอ a( b + c =) ab + ac งจแกจแรากิตับมส ( b + c) a = ba + ca ดไ้ีนปไอตทบีฎษฤทนจูสิพชใถรามาสงิรจนวนาํจงอขิตับมสกาจ กวบรากบัรหาํสกออดัตรากฎก1 ่ีททบีฎษฤท ๆดใงิรจนวนาํจนปเa, b, c อ่ืมเ a = b วลแa + c = b + c าถ b = c วลแa + b = a + c าถ ณูครากบัรหาํสกออดัตรากฎก2 ่ีททบีฎษฤท ๆดใงิรจนวนาํจนปเa, b, c อ่ืมเ a = b วลแc ≠ 0 ะลแac = bc าถ b = c วลแa ≠ 0 ะลแab = ac าถ ๆดใงิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ3 ่ีททบีฎษฤท a · 0 = 0 0 · a = 0 ๆดใงิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ4 ่ีททบีฎษฤท (-1)a = -a a(-1) = -a ๆดใงิรจนวนาํจนปเa, b อ่ืมเ5 ่ีททบีฎษฤท b = 0 อืรหa = 0 วลแab = 0 าถ ๆดใงิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ6 ่ีททบีฎษฤท a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

12 งิรจนวนาํจราหรากะลแบลราก งิรจนวนาํจบลราก• ๆดใงิรจนวนาํจนปเa, b อ่ืมเ มายินทบ a - b = a + (-b) b งอขกวบรากสรอวเนิอบักa งอขกวบลผ อืคa - b อืคน่ัน งิรจนวนาํจราหราก• b ≠ 0 อ่ืมเ ๆดใงิรจนวนาํจนปเa, b อ่ืมเ มายินทบ a = a(b ) − 1 b a b งอขณูครากสรอวเนิอบักa งอขณูคลผ อืค อืคน่ัน b

13 2 ่ีทดัหกฝบบแ นักาทเรากิตับมสชใยดโงาวงอชมิตเนยีรเูผหใ1. a +5 = ………………………………………………………..…………… วลแa = b าถ1. -3a = …………………………………………………………………..… วลแa = b าถ2. a =……………………………………………………….………… วลแa + 4 = b + 4 าถ3. a +1………………………………….…..……… วลแb +2 = c -5 ะลแa +1 = b +2 าถ4. 2 2 ( +1x ) =.…………………………………………… วลแx 2 + 2 +x 1 = ( +x ) 1 าถ5. 3 2x = ………………………………………………………….………… วลแx = y าถ6. 2 2 2 ( −x ) 1 = ……………………………………………….….……… วลแx + 1 = 2 x าถ7. 1 ( )= ……………………………………………….…………. วลแab = a + b าถ8. ab 2 มาตงิรจนปเ้ีนปไอตอขะลตแนใมาวคอขาวกอบงจ ๆดใงิรจนวนาํจนปเc ะลแ a , b หใดนหาํก2. ดใิตับมส 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) งิรจนวนาํจนปเ4) (8 X 9) 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc ณูครากงอขดปิตับมสอืรหกวบรากงอขดปิตับมสีมมไอืรหีม ้ีนปไอตอขะลตแนใหใดนหาํก่ีทตซเ3 . 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } งิรจนวนาํจงอขตซเ3) ะยกรรตนวนาํจงอขตซเ4) วัตงล3 ยวดราห่ีทนวนาํจงอขตซเ5)

14 ้ีนปไอตอขะลตแนใงิรจนวนาํจงอขกวบรากสรอวเนิอาหงจ4. 8 งอขกวบรากสรอวเนิอ1) - 5 งอขกวบรากสรอวเนิอ2) - 0.567 งอขกวบรากสรอวเนิอ3) 3 − 2 งอขณูครากสรอวเนิอ4) 1 งอขณูครากสรอวเนิอ5) 5 − 3

15 นักาทเมไรากิตับมส3. นในวส มิตเม่ิพเูรมาวคนปเอ่ืพเามนาผ่ีทงอ่ืรเนในักาทเรากิตับมสงอ่ืรเนวทบทนยีรเูผหใ น้ันาทเนักาทเมไรากิตับมสงอ่ืรเนนเะจ้ีนงอ่ืรเ นักาทเมไรากกยีรเ นักาทเมไรากนทแ > , < , ≥ , ≤ , ≠ ณษกัลญัสชใะจรตสาศติณคคยโะรป ” (Inequalities)รากมสอ“ าว b าวกยอนa งึถยามหa < b มายินทบ b าวกกามa งึถยามหa > b ๆดใงิรจนวนาํจนปเ a, b, c หใดนหาํก a > c วลแb > c ะลแa > b าถ ดอทยาถรากิตับมส1. a + c > b+ c วลแa > b าถ นักาทเ่ีทนวนาํจยวดกวบรากิตับมส2. บลงิรจนวนาํจะลแกวบงิรจนวนาํจ3. a > 0 อ่ืมเอต็ก กวบงิรจนวนาํจนปเa a < 0 อ่ืมเอต็ก บลงิรจนวนาํจนปเa ยนูศบักาทเมไ่ีทนักาทเนวนาํจยวดณูครากิตับมส4. ac > bc วลแc > 0 ะลแa > b าถ1 ่ีทีณรก ac < bc วลแc < 0 ะลแa > b าถ2 ่ีทีณรก a > b วลแa + c > b + c าถ กวบรากบัรหาํสกออดัตรากิตับมส5. ณูครากบัรหาํสกออดัตรากิตับมส6. a > b วลแc > 0 ะลแac > bc าถ1 ่ีทีณรก a < b วลแc < 0 ะลแac > bc าถ2 ่ีทีณรก มายินทบ b บักาทเอืรหาวกยอนa งึถยามหa ≤ b b บักาทเอืรหาวกกามa งึถยามหa ≥ b b < c ะลแa < b งึถยามหa < b < c b ≤ c ะลแa ≤ b งึถยามหa ≤ b ≤ c

16 (Interval) งวช นวนาํจนสเงอขง่ึนหนวสดในวสนปเ่ีทงิรจนวนาํจงอขตซเ งึถยามห งวช a < b ะลแ งิรจนวนาํจนปเ a, b หใดนหาํก งิรจนวนาํจงอขงวช3.1 (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } ดปเงวช1. [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } ดปงวช2. (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } ดปเง่ึรคงวช3. [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} ดปเง่ึรคงวช4. (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} งวช5. [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} งวช6. (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} งวช7. (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a} งวช8.

17 3 ่ีทดัหกฝบบแ )ๆดใงิรจนวนาํจนปเรปแวัตอ่ืมเ( นักาทเมไรากิตับมสกอบนยีรเูผหใ1. 2x <6 ……………………………………………………………….. วลแx < 3 าถ1. -2y < 14 ……………………………………………………………….. วลแy>7 าถ2. x+2 > 7 ………………………………………………………….. วลแx+1 > 6 าถ3. y< 2 ……………………………………………………………… วลแy+3 < 5 าถ4. x<y ………………………………………………………. วลแ7< y ะลแx< 7 าถ5. a+1 > 0 +1 …………………………………………………………. วลแa > 0 าถ6. b + (-2) < 0+(-2) …………………………………………………… วลแb< 0 าถ7. (-1)c < (-1)(-2) ……………………………………………………. วลแc> -2 าถ8. ้ีนปไอตงิรจนวนาํจงอขงวชงอขะณษกัลงดสแนวนาํจนสเชใงจ2. 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]

18 5) (2, ∞) 6) (-∞,4) 7) (0,8) 8) [-5,4)

19 ณรูบมสาค4. าคาณราจิพ นวนาํจนสเนบยนูศดุจกาจงาหะยะร งึถยามห งิรจนวนาํจงอขณรูบมัสาค -4 ะลแ4 งอขณรูบมัส – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 4 อืค 4 งอขณรูบมัสาค ยวนห0 4 กาจงาหูยอ4 4 อืค-4 งอขณรูบมัสาค ยวนห0 4 กาจงาหูยอ- 4 อมสเยนูศบักาทเอืรหาวกกามาคีมงอต ๆดใงิรจนวนาํจงอขณรูบมัสาค อืคน่ัน |-4| อืค– 4 งอขณรูบมัสาค|4| อืค4 งอขณรูบมัสาค นชเ| | อืคณรูบมัสาคนทแณษกัลญัส งิรจนวนาํจนปเ a หใดนหาํก มายินทบ ณรูบมัสาคงอขิตับมส4.1 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. x = x y y 4. | x - y | = | y - x | 2 2 5. | x | = x 6. | x + y | ≤ | x | +| y | | x + y | = | x | + | y | วลแxy > 0 าถ6.1 | x + y | < | x | + | y | วลแxy < 0 าถ6.2 กวบงิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ7. -a < x < a งึถยามห| x | < a -a ≤ x ≤ a งึถยามห| x | ≤ a กวบงิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ8. x > a อืรหx < -a งึถยามห| x | > a x ≥ a อืรหx ≤ -a งึถยามห| x | ≥ a

20 4 ่ีทดัหกฝบบแ 1) | x | ≥ 2 ........................................................................................................... อืค รากมสองอขบอตาํคตซเ -3 < X < 3 ..............................................................................................................อืค รากมสองอขบอตาํคตซเ .............................................................................................................อืค รากมสองอขบอตาํคตซเ -x ≥ -3 -2 อืรห-x ≤ -3 -2 –x ≥ 1 อืรห-x ≤-5 x ≤ -1 อืรห-x ≥ 5 .............................................................................................................อืค รากมสองอขบอตาํคตซเ

21 2 ่ีททบ ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเ ญัคาํสะราส งัลาํก้ีชขลเนปเn ะลแ นาฐนปเa ีมยดโn งัลาํกกยa าวนาอ1. a งอขn ่ีทการ าวนาออืรหa งอขn ่ีทฑณรก าวนาอ2. บักธนัพมัสมาวคีมะจะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเปูรนใูยอ่ีทงิรจนวนาํจ3. ้ีนปไอตงัดธนัพมัสมาวคมาต( root ) การ อืรหฑณรกงอขปูรนใูยอ่ีทงิรจนวนาํจ ะลแ กวบรากมายินทบชใยดโะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทนวนาํจ ราห ณูค บล กวบราก4. ม็ตเนวนาํจงอขงัลาํกกยขลเ ราห ณูค บล งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไะยกรรตอะลแะยกรรตนวนาํจงอขงาตกตแมาวคกอบะลแยามหมาวคยาบิธอ1. ะลแ ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเปูรนใูยอ่ีทงิรจนวนาํจบักวย่ีกเยาบิธอ2. ดไฑณรกปูรนใงิรจนวนาํจ ่ีทงิรจนวนาํจ ราหราก ณูคราก บลราก กวบรากกาจดิกเ่ีทธพัลลผาหะลแยามหมาวคยาบิธอ3. ดไฑณรกปูรนใงิรจนวนาํจะลแ ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเปูรนใูยอ าหอ้ืนเยาขบอข ะยกรรตอะลแะยกรรตนวนาํจ1 ่ีทงอ่ืรเ ฑณรกปูรนใงิรจนวนาํจ2 ่ีทงอ่ืรเ ะลแะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทนวนาํจ ราหราก ณูคราก บลราก กวบราก3 ่ีทงอ่ืรเ ฑณรกปูรนใงิรจนวนาํจ

22 ะยกรรตอนวนาํจะลแ ะยกรรตนวนาํจ1 ่ีทงอ่ืรเ ม็ตเนวนาํจนปเb ะลแa อ่ืมเa นวสษศเปูรนในทแนยีขเ่ีทนวนาํจ งึถยามห ะยกรรตนวนาํจ1.1 b นตนปเ าํ้ซมยินศท, นวสษศเ, ม็ตเนวนาํจ นชเ ะยกรรตนวนาํจนปเ่ีทนวนาํจ งายอวัต≠b 0 ะลแ a b ะลแa อ่ืมเ นวสษศเงอขปูรนใูยอหในยีขเถรามาสมไ่ีทนวนาํจ งึถยามห ะยกรรตอนวนาํจ1.2 b นชเ าํ้ซมไบบแมยินศทนปเ ้ีนปไอตนวนาํจยวดบอกะรปะยกรรตอนวนาํจb ≠ 0 ะลแม็ตเนวนาํจนปเ 1.235478936... 5.223322233322223333... ะยกรรตอนวนาํจะลแ ะยกรรตนวนาํจงาวหะรงาตกตแมาวค งาตกตแมาวค นวนาํจ ติณคชีพงาทาค มยินศท นวสษศเ ม็ตเนวนาํจ ดไาคาห่ีทติณคชีพงาทาค- บจูรมยินศท- นปเบอตาํคดไอืรห วัตงล าํ้ซบบแบจูรมยินศท- ีม ีม ะยกรรต นวสษศเ าคีม่ีทติณคชีพงาทาค- บจูรมไมยินศท- นชเ ะาพฉเ ีมมไ ีมมไ ะยกรรตอ นตนปเ, 2 , 3 , 5 e , π ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเ1.3 n a ×x a × a ×a…………….. × a งึถยามหa งัลาํกกยขลเมายิน วัตn กวบม็ตเนวนาํจนปเn ะลแ ๆ ดในวนาํจนปเa อ่ืมเ n งัลาํก้ีชขลเนปเn ะลแ นาฐ นปเa ีม่ีท งัลาํกกยขลเาวa กยีรเ 4 5 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 นชเ ้ีนงัด งัลาํกกยรากงอขฎกดไะจ กวบม็ตเนวนาํจนปเn ะลแm ดใงิรจนวนาํจนปเa, าถ b 1 a m b ⋅ = a m+ n ่ีทอขฎก n 2 ( ab) = a n b ่ีทอขฎก n n n 3 ( ) = a ่ีทอขฎก a m mn

23 กฎขอที่ 4 เมื่อ ≠x 0 a m = 1 ถา m = n b n = a m− n ถา m > n = 1 ถา n > m a n− m กฎขอที่ 5 เมื่อ ≠y 0  =  x  n x n     y  y n นิยาม a = 1 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากับศูนย 1 นิยาม a − n = เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากับศูนยและ n เปนจํานวนเต็มบวก a n

24 1 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตงัลาํกกยขลเงอขงัลาํก้ีชขลเะลแนาฐกอบงจ1. 3 .................................อืคงัลาํก้ีชขลเ.....................................อืคนาฐ1) 6 .................................อืคงัลาํก้ีชขลเ.................................อืคนาฐ2) ( 2.1 ) 5 − 0 ...................................อืคงัลาํก้ีชขลเ.................................อืคนาฐ3) ( 5− )  4)  1  3 .................................อืคงัลาํก้ีชขลเ.....................................อืคนาฐ  2  ้ีนปไอตงัลาํกกยขลเงอขาคาหงจ2. 5 1) ( 4− ) = ………………………. 2)  1  4 = ………………………..….    5 3 3) ( 2.1 ) = …………………………. 6 4) ( ) 3 = …………………………. ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเะลแยางงายอปูรนใูยอหใาํทงจ3. 1) ( ) = …………………………. 4 a 2 4 2) ( ) 5  = ………………………….   3      3)  2  4   5 = ………………………….     3     4) ( ) ) = …………………………. 3 5 ( 1.1 5) ( ) = …………………………. 5 − x − 2

25 ฑณรกปูรนใงิรจนวนาํจ2 ่ีทงอ่ืรเ n ่ีทการ งอ่ืรเูรมาวคยัศาอยดโดไาํทถรามาสะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเอ่ืมเงัลาํกกยขลเนยีขเราก ้ีนงัดมายินทบีมะลแ a ) ณษกัลญัสยวดนทแนยีขเง่ึซa ( งิรจนวนาํจงอข 1 าวกกาม่ีทกวบม็ตเนวนาํจนปเ n หใ มายิน งิรจนวนาํจนปเb ะลแa b n a = อ่ืมเอต็กb งอขn ่ีทการนปเa งายอวัต a = b อ่ืมเอต็กa = b n n 2 = 8 อ่ืมเอต็ก2 = 3 8 3 ( ) 3 =− 5 − 243 อ่ืมเอต็ก− 3 = 5 − 243 ูดาํทงอล 9 งอข2 ่ีทการนปเ9 = 33× 3 8 = ………….……………………….. 3 81 = …………………………………… 4 − = ……………………………………. 32 5 1 าวกกาม่ีทกวบม็ตเนวนาํจนปเn อ่ืมเ งิรจนวนาํจงอขn ่ีทการงอขิตับมส 1 1. ( ) aa = n n  a ≥a 0 อ่ืมเ 2.) a =  a n n ่ีคนวนาํจนปเn ะลแ<a 0 อ่ืมเ  || a ูคนวนาํจนปเ n ะลแ<a 0 อ่ืมเ3) ab = n a •n b n 4). n a = n a , ≠b 0 b n b

26 4 4 (-2) = 16 ะลแ1 2 = 16 งายอวัต 2 = 16 ะารพเ16 งอข4 ่ีทการนปเ2 4 (-2) = 16 ะารพเ16 งอข4 ่ีทการนปเ-2 4 -2 ะลแ2 อืค16 งอข4 ่ีทการ∴ 2 2 = 8 งายอวัต 3 2 = 8 ะารพเ8 งอข3 ่ีทการนปเ2 3 (-2) = -8 ะารพเ8 งอข3 ่ีทการนปเชใมไ -2 ตแ 3 2 อืค8 งอข3 ่ีทการ∴ a งอขn ่ีทการ าว a กยีรเะจ1 าวกกาม่ีทกวบม็ตเนวนาํจนปเn ะลแ งิรจนวนาํจนปเ a หใ มายิน n a งอขn ่ีทบัดนัอฑณรก อืรห 0≥ งอตa วลแูคนวนาํจนปเn าถ1. ่ีทยดโ งิรจนวนาํจนปเa วลแ่ีคนวนาํจนปเn าถ2 . ่ีทบัดนัอนปเาว“n” นยีขเ ฑณรก ยามหงอ่ืรคเ าวกยีรเ“ ” ยามหงอ่ืรคเ1. ุตหเยามห นชเ ฑณรก กยีรเa ปูรนในยีขเ่ีทงิรจนวนาํจ ๆ ดใงิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ2. n , 5 3 25 , − 64 3

27 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 25 = ………………………. 2) 64 = ………………………. 3) − 243 = ………………………. 5 3 4) − 125 = ………………………. 5) 3 8 = ………………………. 27 6) 16 = ………………………. 4 7) 125 = ………………………. 3 8) − = ………………………. 64 9) − = ………………………. 3 8 10) − = ………………………. 16 4 2. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย โดยใชสมบัติของ รากที่ n 1) 5 = ……………………..………… 2) 2 = ………………….……….. 3 2 3 3) ( 2)− 3 = ……………………………. 4) ( 2)− 5 =……………….……….. 3 5 5) ( 3)− 2 = ………………..…………… 5) ( 2)− 4 =……………………….. 4 6) 200 = …………………………… 7) 75 = …………………..………. 8) 240 = …………………………… 9) 45 = …………………..………. 3 3 10) 5 15 = …………….……………. 11) 81⋅ 3 32 = ……………………. 12) 4 = 4 = ……………………. 13) 3 5 = ………………………….. 9 9 8

28 ะลแะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทนวนาํจ ราหราก ณูคราก บลราก กวบราก3 ่ีทงอ่ืรเ ฑณรกปูรนใงิรจนวนาํจ ฑณรกปูรนใูยอ่ีทนวนาํจบลรากะลแ กวบราก3.1 รากนใงจแกจแรากิตับมส อืค กามชใรากีมะลแญัคาํส่ีทง่ึนหอข งิรจนวนาํจกวบรากงอขิตับมส งายอวัตงัด ยาลคนจพ กวบ งจแกจแรากงอขิตับมส1) x 53 + x = (3 + 5 )x = x 8 2) a 38 − a = (8 − 3 )a = a 5 ่ีทฑณรกปูรนใูยอ่ีทนวนาํจงอข บลราก กวบรากงอ่ืรเนใชใามาํนถรามาสารเ้ีนนชเรากีธิวยวด นวนาํจนปเฑณรกยามหงอ่ืรคเนใยาภูยอ่ีทนวนาํจ นักวยีดเบัดนัอฑณรกนปเง่ึซ” ยาลคนจพ“ าวกยีรเ นักวยีดเ 5 2 = 5× 2 ะลแ3 2 = 3× 2 าวบารทารเ 3 2 + 5 2 = (3× 2 ) (5×+ ) 2 น้ันงัด )งจแกจแรากิตับมส(3 += 5 ) 2 ( 8= 2 12 + 27 − 3 งอขาคาหงจ1 ่ีทงายอวัต 12 + 27 − 3 = 4× 3 + 9× 3 − 3 าํทีธิว = 2 3 + 3 3 − 3 = (2 + 3 − 1 ) 3 = 4 3 20 + 45 − 125 งอขาคาหงจ2 ่ีทงายอวัต 20 + 45 − 125 = 4 5 + 9 5 − 25 5 าํทีธิว = 2 5 + 3 5 − 5 5 = (2 + 3− 5 ) 5 = 0 5 = 0 3 20 + 2 18 − 45 + 8 งอขาคาหงจ3 ่ีทงายอวัต 3 20 + 2 18 − 45 + 8 = ( )( ) 523 + ( )( ) 232 − 3 5 + 2 2 าํทีธิว = 6 5 + 6 2 − 3 5 + 2 2 = 6 5 − 3 5 + 6 2 + 2 2 = 3 5 + 8 2

29 ฑณรกปูรนใูยอ่ีทนวนาํจราหรากะลแ ณูคราก3.2 ณูคราก าววาลก่ีทn ่ีทการงอข3 ่ีทอขิตับมสกาจ งิรจนวนาํจนปเ b ะลแ a อ่ืมเn ab = na • nb n n ∴ 2 3( 5 ( ) 8 ) 2 = 3⋅ 8 ⋅ 5⋅ 2 ่ีทงายอวัต

30 ราหราก าววาลก่ีทn ่ีทการงอข4 อขิตับมสชใ n a a b ≠ 0 อ่ืมเn b = n b าววาลก่ีทn ่ีทการงอข3 อขิตับมสชใอืรห = 2 นักวยีดเนวนาํจยวดนวสวัตะลแษศเวัตณูครากยวดาว่ีทิตับมสชใอืรห 20 5 ⋅ 100 10 = = = 5 5 5 = 2

31 3 ่ีทดัหกฝบบแ ยางงายอปูรนใูยอหใ้ีนปไอตนวนาํจาํทงจ 1) 8x 2 2) 256 4 3) 8y 6 3 4) − 32 5 5) 3 8 − 2 + 32 6) 3 5 ( 10 + 2 ) 5 2 3 7) 2a ⋅ 3 4a 3 8) 54 ⋅ 3 4

32 ะยกรรตนวนาํจนปเงัลาํกีม่ีทงัลาํกกยขลเ3.2 ะลแ1 าวกกาม่ีทม็ตเนวนาํจ นปเn งิรจนวนาํจนปเa อ่ืมเ มายินทบ าวดไะจn ่ีทการีมa 1 n a = n a 1 ่ีทงายอวัต 1 1 3 = 3 9 = 3 9 2 3 1 1 8 = 8 7 = 3 7 2 3 m าวดไะจาํ่ตงายอนวสษศเนปเ ะลแn > 0 ่ีทม็ตเนวนาํจนปเ a หใ มายินทบ n

33 4 ่ีทดัหกฝบบแ ยางงายอปูรนใูยอหใ้ีนปไอตนวนาํจาํทงจ1. 2 1) 8x …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3 2) 3 − 27 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2 3) ( 2 + 8 + 18 + 32) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. 5 − 32 2 6 4) 3 + 3 27 (64) 2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

34 2 1 5) 8 3 ⋅ 18 2 4 144 6 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

35 3 ่ีททบ ตซเ ญัคาํสะราส งายองาบิตับมสีมยดโ มุลกนปเนักมวร่ีท งอขง่ิส วตัส นค มุลก งึถยามหปไว่ัทยดโ ตซเ1. ะจตซเงอ่ืรเาษกึศรากนใ” กิชามส“ าวกยีรเารเตซเนใูยอ่ีทยาลหง้ัทง่ิสาดรรบะลแ นักมวร ตซเรอวเาพเะลแตซเบัส ธทัพมัสพภกอเ ตซเ ยวดปไบอกะรป ง่ึซ มหใตซเนปเดิกเหใอ่ืพเนักมวราํทะรกาม ๆ งาตตซเาํนราก อืค ตซเนบรากนินเาํดราก2. ตนมเีลพมอครากะลแ ตซเงาวหะรงาตลผ น่ัชคซเรอตเนิอราก นย่ีนเูยราก อืคีธิว 4 ดไาํท อืครากกัลหชใยดโน้ึขยางดไตซเบักวย่ีกเาณราจิพรากหใยวชะจ รอลเยออ – นนวเพาภนผแ3.  “U”ธทัพมัสพภกอเนทแาผนืผมย่ีลหเ่ีสปูรชใ3.1 าผนืผมย่ีลหเ่ีสนใยาภนยีขเะลแ“U” งอขกิชามสนปเ่ีท ๆ งาตตซเนทแีรงวอืรหมลกงวชใ3.2 งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไตซเบักวย่ีกเยามหมาวคยาบิธอ1. ดไตซเงอขงาตลผะลแ ตนมเีลพมอค น่ัชกซเรอตเนิอ นย่ีนเูยาหถรามาส2. ดไตซเงอขกิชามสาหรากบักวย่ีกเ่ีทาหญปกแชใปไาํนะลแตซเนทแพาภนผแนยีขเ3. าหอ้ืนเยาขบอข ตซเ1 ่ีทงอ่ืรเ ตซเงอขรากนินเาํดราก2 ่ีทงอ่ืรเ าหญปกแรากะลแรอลเยออ - นนวเพาภนผแ3 ่ีทงอ่ืรเ

36 (Sets) ตซเ1 ่ีทงอ่ืรเ ตซเงอขยามหมาวค1.1 รตสาศติณคงาทนจพินอืรหงอขง่ิส วตัส นค นปเะจาวมไ ๆงาตงอขง่ิสมุลก งึถยามห ตซเ ดไมุลกนใกิชามสุบะรง่ึซ นชเ ตซเ งายอวัตกย ยทไศทเะรปนใคินคทเยัลายทิวงอขตซเ1) ”มรรธณุค“ าวาํคนใะนชญัยพงอขตซเ2) ม็ตเนวนาํจงอขตซเ3) รคนลกสดัวหงัจนใาษกึศมยธัมบัดะรนยีรเงรโงอขตซเ4) นชเ น้ันตซเงอข” ( Element ) กิชามส“ าวตซเนใูยอ่ีทๆ งาตง่ิสกยีรเ ยทไศทเะรปนใคินคทเยัลายทิวตซเกิชามสนปเงอืมเนอดคินคทเยัลายทิว1) ”มรรธณุค“ าวาํคนใะนชญัยพตซเกิชามสนปเ” ร2) “ ม็ตเนวนาํจงอขกิชามสนปเ3) 5 ดัวหงัจนใาษกึศมยธัมบัดะรนยีรเงรโตซเกิชามสนปเายทิวฟไะมงดนยีรเงรโ4) รคนลกส ตซเนยีขเรากีธิว1.2 บบแ 2 ดไนยีขเตซเนยีขเราก บ็ลเงวยามหงอ่ืรคเนใงลตซเงอขวัตกุทกิชามสนยีขเยดโ ตซเงอขกิชามสงจแกจแบบแ1. น้ันวัตะลตแกิชามสงาวหะรน่ัค(,) คาภลุจยามหงอ่ืรคเชใะลแากกป A = {1, 2, 3, 4, 5} นชเงายอวัต B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} กอบะลแ ตซเงอขกิชามสนทแรปแวัตชใยดโ ตซเนใกิชามสงอขขไนอ่ืงเกอบบบแ2. ปแวัตงอขปูรนใกิชามสงอขิตับมส 5} บักาทเอืรหาวกยอนาคีม่ีทกวบม็ตเนวนาํจนปเA = { x | x นชเงายอวัต }ษฤกงัอาษาภนใะรสนปเB = { x | x }ม็ตเนวนาํจนปเC = {x | x ตซเณษกัลญัส ษฤกงัอาษาภรษกัอชใะจ ตซเงอขอ่ืชกยีรเรากอืรห ตซเนยีขเราก ปไ ๆ ว่ัทยดโ อืรหนยีขเอ่ืมเงิองาอรากนใกวดะสมาวคอ่ืพเ้ีนง้ัท นตนปเ A , B , C , . . . , Y , Z กแดไญหใพมิพวัต ก็ลเพมิพวัตษฤกงัอาษาภรษกัอชใยดโนยีขเะจตซเนใกิชามสบัรหาํส ปไอต ๆ น้ันตซเงึถวาลก

37  ∈ ( Epsilon)ณษกัลญัสอืค ตซเงอ่ืรเนใๆ อมสเูยอชใ่ีทง่ึนหงายอกีอณษกัลญัสีม กิชามสนปเ อืรห นใูยอ าวยามหมาวคนทแ 2 , 3 , 4 , 8 , 10 อืคกิชามสีมA ตซเ หใดนหาํก นชเ 2 ∈ A ยวดนทแนยีขเA นใูยออืรหA งอขกิชามสนปเ2 น้ันงัด 10 ∈ A ยวดนทแนยีขเA นใูยออืรหA งอขกิชามสนปเ10 นชเ ตซเงอขกิชามสนปเมไอืรห ูยอมไ“ ยามหมาวคนทแ ∉ ณษกัลญัสชใ 5 ∉ A ยวดนทแนยีขเA ตซเงอขกิชามสนปเมไ5 7 ∉ A ยวดนทแนยีขเA ตซเงอขกิชามสนปเมไ7 ตกเงัสอข ญัคาํสง่ิสนปเอืถมไกิชามสะลตแงอขบัดาํลงยีรเราก1. A = { a , b , c } นชเ B = { b , c , a } นักวยีดเตซเนปเB ตซเะลแA ตซเาวอืถ วยีดเง้ัรคงยีพเบันะจนักนอืมหเ่ีทกิชามสนวนาํจ ตซเงอขกิชามสนวนาํจบันราก2. ง้ัรค ๆ ยาลห นัก ๆ าํ้ซนยีขเะจมแงึถ 0 , 1 , 2 , 3 อืค วัต4 กิชามสนวนาํจีมA = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } นชเ นตนปเ ตซเงอขดินช1.3 ( Empty Set or Null Set ) งาวตซเ1.3.1 มายินทบ งาวตซเนทแ{ } อืรห Ø ณษกัลญัสชใ กิชามสีมมไ่ีทตซเ อืค งาวตซเ phi) าวนาอ กีรกรษกัอนปเ(φ } ยทไศทเะรปนใยารทลเะทอ่ืชนปเA = { x | x นชเ งายอวัต ยารทลเะทีมมไยทไศทเะรปกาจงอ่ืนเ งาวตซเนปเA น้ันงัด + x + 2 = x } ะลแB = { x | x ∈ I ดไวลแ2 บักกวบามาํน่ีทกวบม็ตเนวนาํจีมมไกาจงอ่ืนเ งาวตซเนปเB น้ันงัด กิชามสีมมไงึจB ตซเ งอเนัมวัต ) ยลเกิชามสีมมไ ( ยนูศบักาทเ กิชามสนวนาํจีมงาวตซเ1. ตกเงัสอข 2. 0 ≠ Ø วัต1 กิชามสนวนาํจีมะารพเ งาวตซเนปเมไ3. { 0 }

38 ( Finite Set ) ดักาํจตซเ1.3.2 มายินทบ ดไตซเนใกิชามสนวนาํจุบะรถรามาส่ีทตซเ อืค ดักาํจตซเ n(A) = 3 อืรห วัต3 กิชามสนวนาํจีมA = { 1 , 2 , {3} } นชเงายอวัต วัต100 กิชามสนวนาํจีม1 ≤ x ≤ 100 } ะลแม็ตเนวนาํจนปเB = { x | x อืรห n(B) = 100 งาวตซเนปเC น้ันงัด1 } บัก0 งาวหะรูยอ่ีทม็ตเนวนาํจนปเC = { x | x n(C) = 0 อืรห วัต0 กิชามสนวนาํจีม n(D) = 99 อืรห วัต 99 กิชามสนวนาํจีมD = { 1 , 2 , 3 , . . . ,99 } n(E) = 7 อืรห วัต7 กิชามสนวนาํจีม } หาดปัสง่ึนหนในัวนปเE = { x | x n(A) ยวดนทแนยีขเA ตซเงอขกิชามสนวนาํจ ุตหเยามห  ( Infinite Set )ตนันอตซเ1.3.3 มายินทบ อืคน่ัน ดักาํจมไกิชามสนวนาํจีม่ีทตซเอืรห( ดักาํจตซเชใมไ่ีทตซเ อืค ตนันอตซเ ) นอนนแดไกิชามสนวนาํจบันถรามาสมไ A = { -1 , -2 , -3 , … } นชเงายอวัต } บันนวนาํจนปเn อ่ืมเB = { x | x = 2n } งิรจนวนาํจนปเC = { x | x } บันนวนาํจนปเT = { x | x ตนันอตซเอืรหดักาํจตซเ งาวตซเนปเดใตซเ ้ีนปไอตตซเาณราจิพงจ งายอวัต ตนันอตซเ ดักาํจตซเ งาวตซเ ตซเ / นยีรเงรโกอนาษกึศรากนยีรเ่ีทูผงอขตซเ1. 2552 าษกึศรากป / ่ีคกวบม็ตเนวนาํจงอขตซเ2. / ยทไาษาภนใะรสงอขตซเ3. / วัตงล10 ยวดราห่ีทม็ตเนวนาํจงอขตซเ4. / / ยทไศทเะรปนใยารทลเะทงอขตซเ5.

39 ( Equal Set ) นักาทเ่ีทตซเ1.3.4 นักาทเนวนาํจะลแ นักวยีดเงายอกิชามสีมตซเงอสง้ัทอ่ืมเอต็กนักาทเะจตซเงอสตซเ A ตซเงอขวัตกุทกิชามส าวมาวคยามหA = B ยวดนทแนยีขเB ตซเบักาทเA ตซเ มายินทบ A ตซเงอขวัตกุทกิชามสนปเB ตซเงอขกิชามสะลแB ตซเงอขวัตกุทกิชามสนปเ B ตซเงอขวัตงาบกิชามสอืรหB ตซเงอขกิชามสนปเมไA ตซเงอขง่ึนหวัตดใวัตกิชามสาถ A ≠ B ยวดนทแนยีขเB ตซเบักาทเมไA ตซเA ตซเงอขกิชามสนปเมไ A = { 0 , { 1,2 } } นชเงายอวัต B = { { 2 ,1 } , 0 } A = B น้ันงัด  A = { 2 , 4 , 6 , 8 }หใดนหาํก งายอวัต 10 } าวกยอน่ีทูคขลเกวบม็ตเนวนาํจนปเB = { x | x A = { 2 , 4 , 6 , 8 } าํทีธิว 10 าวกยอน่ีทูคกวบม็ตเนวนาํจนปเB าณราจิพ  B = { 2 , 4 , 6 , 8 }ดไะจ A = B น้ันงัด C = { x | x – 8x + 15 = 0 } ะลแ A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } หใดนหาํก งายอวัต 2 2 x - 8x + 15 = 0 าณราจิพ าํทีธิว ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3 , 5 C = { 3 , 5 } A = B น้ันงัด  2 ∉ Cตแ2 ∈ A ะารพเ A ≠ C ตแ  2 ∉ Cตแ2 ∈ B ะารพเB ≠ C

40 ( Equivalent Set ) นักาทเบยีทเ่ีทตซเ1.3.5 กิชามสนวนาํจีมตซเงอสง้ัทอ่ืมเอต็กนักาทเบยีทเะจตซเงอสตซเ นักาทเบยีทเ่ีทตซเ นักาทเ าวมาวคยามหA ↔ B อืรหA ~ B ยวดนทแนยีขเB ตซเบักาทเบยีทเA ตซเ มายินทบ ีดอพดไง่ึนหอตง่ึนหูคบัจถรามาสB งอขกิชามสะลแA งอขกิชามส A = { 1 , 2 , 3 } นชเงายอวัต B = { 4 , 5 , 6 } B งอขกิชามสนวนาํจบักาทเA ตซเงอขกิชามสนวนาํจ าวน็หเะจ A ↔ B น้ันงัด C = { xy , ab } D = { 0 , 1 } นักาทเกิชามสนวนาํจะารพเC ~ D น้ันงัด นักาทเบยีทเดใูคตซเอืรห นักาทเดใูคตซเาว้ีนปไอตูคะลตแตซเาณราจิพงจ งายอวัต 2 x – 10x + 9 = 0 } ม็ตเนวนาํจนปเ1) A = { x / x B = { 1 , 9 } 2) C = { a , { b, c } , d } D = { 1 , 2 , { 3 } } 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = { 4 , 1 , 7 } าํทีธิว วัตกุทนักนอืมหเกิชามสะลแ นักาทเกิชามสนวนาํจีมะารพเA ∼ B ะลแ1) A = B วัตกุทนักนอืมหเมไูคะลตแกิชามสตแ นักาทเกิชามสนวนาํจีมะารพเ C ≠ D ตแ2) C ∼ D วัตกุทนักนอืมหเกิชามสะลแ นักาทเกิชามสนวนาํจีมะารพเE ∼ F ะลแ3) E = F ตกเงัสอข A ∼ B วลแA = B าถ1. ธทัพมัสพภกอเ1.3.6 B บักาทเงอตนปเาํจมไA วลแA ∼ B าถ2.

41 มายินทบ ดใน่ือง่ิส งึถวาลกมไะจาวนักงลกตอขีมยดโน้ึขดนหาํก่ีทตซเ อืค ธทัพมัสพภกอเ ธทัพมัสพภกอเ นทแ U ณษกัลญัสชใ ดนหาํก่ีทตซเงอขกิชามสกาจปไอืนหเกอน บันนวนาํจงอขตซเนปเ U หใดนหาํก นชเงายอวัต กิชามสงจแกจแบบแA ตซเนยีขเงจA = {x | x 2 = 4} ะลแ A = {2} บอต  U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}หใดนหาํก ูคนวนาํจนปเA ะลแ A = {2,4,6,8,10} บอต งิรจนวนาํจงอขตซเนปเน้ันธทัพมัสพภกอเาวอืถหใ ธทัพมัสพภกอเดนหาํกรากีมมไาถ ตกเงัสอข

42 1 ่ีทดัหกฝบบแ กิชามสงจแกจแบบแ้ีนปไอตตซเนยีขเงจ1. ”ส“ ะนชญัยพยวดนตน้ึขอ่ืชีม่ีทยทไศทเะรปนใดัวหงัจงอขตซเ1) ษฤกงัอาษาภนใะรสงอขตซเ2) กัลหมาสีม่ีทกวบม็ตเนวนาํจงอขตซเ3) 20 าวกยอนาคีม่ีทกวบูคนวนาํจงอขตซเ4) – 120 าวกยอนาคีม่ีทบลม็ตเนวนาํจงอขตซเ5) 15 } าวกยอนะลแ5 าวกกาม่ีทม็ตเนวนาํจนปเ6) { x|x 0 } บัก0 งาวหะรูยอ่ีทม็ตเนวนาํจนปเ7) { x|x ้ีนปไอตตซเงอขกิชามสนวนาํจกอบงจ2. 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 35 } งึถ10 งาวหะรูยอ่ีทกวบม็ตเนวนาํจนปเ3) C = { x|x 9 } าวกยอน่ีทกวบม็ตเนวนาํจนปเ4) D = { x|x ขไนอ่ืงเกอบบบแ้ีนปไอตตซเนยีขเงจ3. 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...} ตนันอตซเอืรหดักาํจตซเอืรหงาวตซเนปเ ้ีนปไอตตซเาณราจิพงจ4. ยทไาษาภนใะรสงอขตซเ1) 300 ะลแ21 งาวหะรูยอ่ีทม็ตเนวนาํจงอขตซเ2) x < 0 } ะลแม็ตเนวนาํจนปเ3) A = { x | x 2 } าวกยอน่ีทูคม็ตเนวนาํจนปเ4) B = { x | x x – 3 = 5 } ะลแ5) C = { x | x = 9 1 } าวกยอน่ีทบันนวนาํจนปเ6) A = { x | x 1 < x < 3 } ะาพฉเนวนาํจนปเ7) E = { x | x 4 < x < 5 } ม็ตเนวนาํจนปเ8) F = { x | x 2 x + 3x + 2 = 0 } บันนวนาํจนปเ9) B = { x | x } วัตงล5 ยวดราห่ีทม็ตเนวนาํจนปเ10) D = { x | x

43 นักาทเ่ีทตซเนปเ่ีทงาบดใตซเ้ีนปไอตตซเ5. 1) A = { 2,4,6,8,10 } 10 } งึถ2 กวบูคนวนาํจนปเB = {x| x 2) D = { 7,14,21,28,......343} 50 } าวกยอนาคีม่ีทบันนวนาํจนปเr ะลแE = {x|x = 7r n } ะลแn ะลแ3) F = { x|x =3n G = { 3,6,9} 4) Q = {4} x 2 = 16 } ะลแม็ตเนวนาํจนปเH = { x|x

44 ตซเงอขรากนินเาํดราก2 ่ีทงอ่ืรเ กแดไ ดินช4 ีมทแงอถหใจใาขเมาวคาํทะลแูรงอตนปเาํจ่ีทตซเงอขญัคาํส่ีทรากนินเาํดราก ตซเงอขนยีนเูยราก1. ตซเงอขน่ัชคซเรอตเนิอราก2. ตซเงอขทนมเีลพมอค3. ตซเงอขงาตลผ4.  “∪”ณษกัลญัสชใ ตซเงอขนยีนเูยราก2.1 (union) มวรลผอืรห กวบลผ าวกยีรเA ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } มายินทบ B ะลแA งอข B = {1 , 3 , 5 , 7} ะลแA = {0 , 1 , 2 , 3} าถ1. งายอวัต  A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}ดไะจ L = {1 , 2 , 3 , 4} ะลแ} กวบม็ตเนวนาํจนปเM = {x | x าถ2. งายอวัต  M ∪ L = Mดไะจ Z = {p , k , b} ะลแW = {a , s , d , f} าถ3. งายอวัต  W ∪ Z = {a , s , d , f , p , k , b}ดไะจ 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} งายอวัต  A ∪ B = {1,2,3,4,5}ดไะจ  “∩”ณษกัลญัสชใ นัชคซเรอตเนิอราก2.2 นักนอืมหเ่ีทลผอืรห ดัตลผ าวกยีรเA ∩ B = { x|x∈ A ∧ x∈B } มายินทบ B ะลแA งอข(intersection) B = {1 , 3 , 5 , 7} ะลแA = {0 , 1 , 2 , 3} าถ1. งายอวัต  A ∩ B = {1 , 3}ดไะจ L = {1 , 2 , 3 , 4} ะลแ} กวบม็ตเนวนาํจนปเM = {x | x าถ2. งายอวัต  M ∩ L = Lดไะจ

45 ตัวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได = { } / 2.3 คอมพลีเมนตของเซต ใชสัญลักษณ “ ” บทนิยาม ถา U เปนเอกภพสัมพัทธ คอมพลีเมนตของ A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิก ที่อยูใน ∪ แตไมอยูใน A เขียน A′ แทนคอมพลีเมนทของ A ดังนั้น A′ = { x | x ∉ A } ตัวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจํานวนคู} จะได = { x |x U และ x เปนจํานวนคี่ } 2.4 ผลตางของเซต ใชสัญลักษณ “ – ” บทนิยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ซึ่ง ไมเปนสมาชิกของเซต B ผลตางระหวางเซต A และ B เขียนแทนดวย A – B ซึ่ง A - B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B } ตัวอยาง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

46 ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจํานวนคูบวก} จะได U – C = {x|x เปนจํานวนคี่บวก} สมบัติของเซตที่ควรทราบ ให A,B และ C เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U สมบัติตอไปนี้เปนจริง 1) กฎการสลับที่ A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 2) กฎการเปลี่ยนกลุม A ∪ (B ∪ C ) (A ∪= ) B ∪ C A ∩ (B ∩ C ) (A ∩= ) B ∩ C 3) กฎการแจงแจง A ∪ (B ∩ C ) (A ∪= B ) (A ∪∩ C ) A ∩ (B ∪ C ) (A ∩= B ) (A ∩∪ C ) 4) กฎเอกลักษณ φ ∪ A = A ∪φ = A U ∩ A = A ∩ U = A ′ 5) A ∪ A = U 6) φ ′ = U และ ′ = φ U ′ A′ 7) ( ) = A 8) A ∪ A = A และ A ∩ A = A 9) A − B = A ∩ B′ 10) A ∩ φ = φ และ A ∪φ = A

47 แบบฝกหัดที่ 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A ∪ B ……………………………. 2). B ∪ A …………………………..…… 3). A ∩B ............................................. 4). B ∩ A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….…. 2). กําหนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A ∩ B ……………………………………………………………………………………… 2. B ∪ C ……………………………………………………………………………………… 3. B ∩ C …………………………………………………………………………………….… 4. A ∩ C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C′..………………………………………………………………………………..…………. 6. C ∩ ………………………………………………………………………………..…….. ′ A 7. C ∩ ..………………………………………………………………………………..…… B ′ 8. (A ……………………………………………….…………………………………

48 าหญปกแรากะลแรอลเยออ - นนวเพาภนผแ3 ่ีทงอ่ืรเ รอลเยออ - นนวเพาภนผแ3.1 กยีรเ น้ึขง่ิยนจเดัชตซเงาวหะรธนัพมัสมาวคบักวย่ีกเจใาขเหใยวชตซเนทแพาภนผแนยีขเราก นหอจ ษฤกงัอวาชรตสาศติณคกันกแิตรยีกเนปเอ่ืพเ รอลเยออ-นนวเงอขพาภนผแ าวตซเนทแพาภนผแ  (Leonard Eulerรอลเยออ ดรานอโลเ สิวสวาชรตสาศติณคกันะลแ.2377-2466) ศ.พ (John Venn นนวเ ตซเงาวหะรธนัพมัสมาวคงดสแอ่ืพเพาภนผแดิคูผนปเง่ึซ. 2250-2326) ศ.พ มยินตซเงาวหะรธนัพมัสมาวคงดสแอ่ืพเ (Venn-Euler) รอลเยออ-นนวเงอขพาภนผแนยีขเราก ตซเนทแ ๆ ดใดปปูรอืรห ีรงว มลกงวปูรชใะลแ (U) ธทัพมัสพภกอเนทแกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูรนยีขเ ้ีนงัดีม พาภนผแนยีขเรากงอข ๆ งาตะณษกัลU งอขตซเบัสนปเง่ึซ ๆงาต จใาขเนยีรเูผหใาํทะจน้ันวลแตซเนบรากนินเาํดรากบักชใามาํนอ่ืมเ รอลเยออ-นนวเพาภนผแง่ึซ ้ีนปไอตงายอวัตงัด น้ึขกามตซเนบรากนินเาํดรากงอ่ืรเนใ ดิกเ่ีทมหใตซเงอข ๆ งาตีณรกน็หเหใงดสแ รอลเยออ-นนวเงอขพาภนผแชใถรามาส(Union) นยีนเูย ้ีนงัด างเรแ่ีทนวสกาจดไ กาจ )นักาํ้ซมไอืรหนักาํ้ซ่ีทน้ืพีมะจาวมไตซเงอสง้ัทงอข่ีทน้ืพยาบะร(

49 (intersection) นัชกซเรอตเนิอ กาจดิกเ่ีทมหใตซเงอข ๆ งาตีณรกน็หเหใงดสแ รอลเยออ-นนวเงอขพาภนผแชใถรามาส ้ีนงัด างเรแ่ีทนวสกาจดไ  (Complement)ตนมเีลพมอค ยวดบอกะรป่ีทตซเ อืคA งอขตนมเีลพมอค U ธทัพมัสพภกอเงอขตซเบัสนปเA ตซเ หใดนหาํก ะลแ) มรพไอเ าวนาอ( ยวดนทแนยีขเA งอขกิชามสนปเมไตแ (U) ธทัพมัสพภกอเงอขกิชามส ้ีนงัด ดไA ตซเงอขตนมเีลพมอครากงดสแรอลเยออ-นนวเงอขพาภนผแชใจาอน้ึขดัชดไพาภงอมหใอ่ืพเ างเรแ่ีทนวส อืคA′ (Relative Complement or Difference) งาตลผ A - B กาจดิกเ่ีทมหใตซเงอข ๆ งาตีณรกน็หเหใงดสแ รอลเยออ-นนวเงอขพาภนผแชใถรามาส B) ตซเงอข่ีทน้ืพชใมไ่ีทA ตซเงอข่ีทน้ืพะาพฉเีสยาบะร( ้ีนงัด างเรแ่ีทนวสกาจดไ

50 ดักาํจตซเงอขกิชามสนวนาํจาหราก3.1 ดไะจนักมวรกิชามสีมมไB ะลแA ตซเาถ• n (A ∪ B) = n (A) + n (B) ดไะจนักมวรวัตงาบกิชามสีมB ะลแA ตซเาถ• n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) ตซเกิชามสนวนาํจงดสแพาภนใขลเวัต ปูรกาจาณราจิพ  1) n (A) = 16 2) n (B) = 18ดไะจ 2) n (A ∩ B) = 6 4) n (A ∪ B) = 28 / / 5) n ( A ) = 12 6) n ( B ) = 10 / / / 7) n (A ∩ B) = 22 8) n ( A ∪ B ) = 22 A ∩ B วัต12 กิชามสีมB วัต15 กิชามสีม A หใดนหาํก3 ่ีทงายอวัต A ∪ B งอขกิชามสนวนาํจาหงจ วัต7 กิชามสีม าํทีธิว n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A ∩ B ) = 7 n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) = 15 + 12 – 7 = 20 รตูสกาจ วัต20 บักาทเA ∪ B งอขกิชามสนวนาํจ น้ันงัด