รายวิชาคณิตศาสตร์ (พค21001)

45 10 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตยทจโาหญปกแาษกึศกันหใ1. งรตกอืชเยีสเหใาํทนักอตกูผาม รตมเ5.2 วายง่ึนหนสเกีอาํน รตมเ17.25 วายกอืชเ1) 1.5 ะลนาดวายงาวกนาดหใ าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูรนปเงาวามวลแอต่ีทกอืชเาํน รตมเ0.15 อตยอร รตมเ่ีกะลนาดวายะจวายนาด รตมเ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… มัรกลโิก4.4 ะลนัววลแย่ีลฉเมนขาํทชใ งุถ16 นวนาํจ มัรกลโิก9.35 กันหง่ึนหงุถลาตาํ้น2. นัว่ีกดมหง้ัทดไลาตาํ้นชใะจ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 32 ดานขสัรุตัจมย่ีลหเ่ีสปูรงอ้ืบเะรกาํน รตมเ9.6 วาย รตมเ4.8 งาวก าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูรงอห3. นผแ่ีกงอ้ืบเะรกชใงอตะจงอหูปาม รตมเิตนซเงาราต ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… ะลง้ัรคกันห ง้ัรคงอสปไยาขงบแ มัรก25.22 กีอม่ิพเอ้ืซ มัรก12.04 กันหง่ึนหงทแาํคงอทีม4. มัรก่ีกกีองอทอืลหเะจ นัก ๆาทเมัรก3.45 ะลงวกันห งว5 นวหแาํทปไาํนอืลหเ่ีท มัรก8.02 ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………

46 3 ่ีททบ งัลาํกกยขลเ ญัคาํสะราส a ยวดนทแนยีขเ ง้ัรค ๆ ยาลห ๆ าํ้ซนักวยีดเนวนาํจณูครากนทแนยีขเรากงอขณษกัลญัส n ดไรตสาศายทิวณรกญัสปูรนในวนาํจงดสแนยีขเรากะลแn งัลาํกกยa าวนาอ งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ่ีทนวนาํจนทแม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเนยีขเะลแยามหมาวคกอบ1. ดไหใดนหาํก ดไรตสาศายทิวณรกญัสปูรนในวนาํจงดสแนยีขเรากนใชใามงัลาํกกยขลเาํนะลแกอบ2. ดไม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเะลแ นักวยีดเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเงอขราหะลแณูครากยาบิธอ3. าหอ้ืนเยาขบอข งัลาํกกยขลเนยีขเรากะลแยามหมาวค1 ่ีทงอ่ืรเ รตสาศายทิวณรกญัสปูรนในวนาํจงดสแนยีขเราก2 ่ีทงอ่ืรเ ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเะลแนักวยีดเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเราหรากะลแณูคราก3 ่ีทงอ่ืรเ

47 งัลาํกกยขลเนยีขเรากะลแยามหมาวค1 ่ีทงอ่ืรเ นัก ๆาํ้ซ ณูครากกาจน้ึขดิกเ่ีทนวนาํจนทแนยีขเ ณษกัลญัสชใราก งึถยามห งัลาํกกยขลเ 4 มายินทบีมง่ึซ ่ีสงัลาํกกยมาส าวนาอ3 ยวดดไนทแนยีขเถรามาส3× 3× 3× 3 นชเ ง้ัรค ๆยาลห ้ีนงัด “a อืรหn” งัลาํกกย“a กวบม็ตเนวนาํจนทแn ะลแ ๆ ดในวนาํจนทแa าถ มายินทบ a × a × a × a =    a ×......  ยวดนทแนยีขเn” งัลาํก n    n นชเ งัลาํก้ีชขลเนปเn ะลแนาฐนปเa ีม่ีทงัลาํกกยขลเาวa กยีรเ n 4 × 4 × 4 × 4 × 4 นทแ4 5 งัลาํก้ีชขลเนปเ5 ีมะลแ นาฐนปเ4 ีม4 5 ่ีสงอขาหงัลาํกอืรห” าหงัลาํก่ีส“ อืรห” าหงัลาํกกย่ีส“ าวนาอ 4 ณษกัลญัส 5 ( ) 2− × ( ) 2− × ( ) 2− × ( ) 2− × ( ) 2− × ( ) 2− นทแ( ) 2− 6 งัลาํก้ีชขลเนปเ 6 ีมะลแ นาฐนปเ( ) 2− ีม( ) 2−6 งัลาํกอืรห” กหงัลาํกกยดมหง้ัทงอสบล“ าวนาอ ( ) 2− 6 ณษกัลญัสนักวยีดเงอนาํทนใ งอสบลงอขกห ้ีนปไอตงาราตาณราจิพงจ นวนาํจนทแ ณูครากงอขปูรนในยีขเ งัลาํก้ีชขลเ นาฐ งัลาํกกยขลเ 3 3 3 3×3×3 27 3 4 4 5 4×4×4×4×4 1,024 5 ( ) 2− 4 -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 1  1  2 1 2 1 × 1   2 2 2 4  2  )ง้ัรค) X×X×X…(y ง้ัรคx x y X×X×X…(y y ้ีนปไอตมาถาํคบอตงจ งายอวัต 3 งัลาํกกย 8 าวนาอ1. 8 าํทีธิว รไงายอาวนาอ1.8 3 3 นาฐนปเ10 ีม2. 10 นาฐนปเดในวนาํจีม2. 10 3 3 งัลาํก้ีชขลเนปเ5 ีม3. 11 งัลาํก้ีชขลเนปเดในวนาํจีม3. 11 5 5 5 ×5×5 บักาทเยามหมาวคีม4. 5 รไงายอยามหมาวคีม4. 5 3 3 าหงัลาํกกยดมหง้ัทาหบล(-5) าวนาอ5. ( ) 5− 5 รไงายอาวนาอ5. ( ) 5− 5

48 1 ่ีทดัหกฝบบแ ง้ัทมอรพ1 าวกกาม่ีทม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทงัลาํกกยขลเปูรนใ้ีนปไอตนวนาํจนยีขเงจ1. งัลาํก้ีชขลเะลแนาฐกอบ 1.1 25 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม 1.2 64 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม 1.3 169 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม 1.4 729 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม 1.5 -32 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม 1.6 -243 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม 1.7 0.125 = ……………………………….=………………………….. งัลาํก้ีชขลเนปเ.................................ะลแนาฐนปเ= …………………………. ีม ้ีนปไอตณษกัลญัสยวดนทแ่ีทนวนาํจนยีขเงจ2. 2.1 2 =…………………………………=……………………………… 8 2.2 ( ) 3− 4 =…………………………………=……………………………… 2.3 ( ) 3.0 5 =…………………………………=……………………………… 2.4 ( 02.0 ) =…………………………………=……………………………… 6 3 2.5   1   =…………………………………=………………………………  3  3 2.6   2   =…………………………………=………………………………  7  2.7 ( ) 5− 4 =…………………………………=……………………………… 2.8 2− =…………………………………=……………………………… 3 2.9   1  5 =…………………………………=………………………………   10  2.10 ( ) 5.0 6 =…………………………………=………………………………

49 รตสาศายทิวณรกญัสปูรนในวนาํจงดสแนยีขเราก2 ่ีทงอ่ืรเ A × 10 นปเปไว่ัทปูรีม รตสาศายทิวณรกญัสปูรนใูยอหใ ๆ กามาคีม่ีทนวนาํจนยีขเราก n ม็ตเนวนาํจนปเn ะลแ1 ≤ A < 10 อ่ืมเ ้ีนปไอตรตสาศายทิวณรกญัสปูรนใูยอหใ ๆ กามาคีม่ีทนวนาํจนยีขเรากาณราจิพ 1. 2,000 = 2 × 1,000 = 2 × 10 3 2. 800,000 = 8 × 100,000 = 8 × 10 5 รตสาศายทิวณรกญัสปูรนใูยอหใ600,000,000 นยีขเงจ1 ่ีทงายอวัต 600,000,000 = 6 × 100,000,000 าํทีธิว = 6 × 10 8 6 × 10 บอต 8 รตสาศายทิวณรกญัสปูรนใูยอหใ73,200,000 นยีขเงจ2 ่ีทงายอวัต 73,200,000 = 732 × 100,000 าํทีธิว = 7.32 × 100 × 100,000 = 7.32 × 10 × 10 2 5 = 7.32 × 10 7 นใูยอหในยีขเงจ รตมเ113,000,000 ณามะรปวายงาลกยนูศนาผนสเีมราสเวาด3 ่ีทงายอวัต รตสาศายทิวณรกญัสปูร รตมเ113,000,000 ณามะรปวายงาลกยนูศนาผนสเีมราสเวาด าํทีธิว 113,000,000 = 113 × 1,000,000 = 113 × 100 × 1,000,000 = 1.13 × 10 × 10 2 6 = 1.13 × 10 8 รตมเ1.13 × 10 บอต 8

50 2 ่ีทดัหกฝบบแ รตสาศายทิวณรกญัสปูรนใ้ีนปไอตนวนาํจนยีขเงจ1. 1. 400,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. 23,000,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. 639,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 4. 247,500,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… ณรกญัสปูรนใูยอหในยีขเงจ รตมเลโิก1,430,000,000 ณามะรปยติทาองวดกาจงาหูยอราสเวาด2. รตสาศายทิว 1,430,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… ดในวนาํจนทแ้ีนปไอตอขะลตแนใรตสาศายทิวณรกญัส3. 3.1 2 × 10 =……………………………………………………………… 6 =……………………………………………………………… 3.2 4.8 × 10 =……………………………………………………………… 13 =……………………………………………………………… 3.3 4.03 × 10 =……………………………………………………………… 9 =……………………………………………………………… 3.4 9.125 × 10 =……………………………………………………………… 5 =………………………………………………………………

51 ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเนปเะลแ นักวยีดเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเราหรากะลแณูคราก3. ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเอ่ืมเงัลาํกกยขลเณูคราก3.1 ้ีนปไอตนักวยีดเนวนาํจนปเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเณูครากาณราจิพ 2 × 2 = ( 2× 2× 2 ) ( 2×× 2× 2× 2 ) 4 3 = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 2 3+ 4 อืรห= 2 7 3 × 3 = (3× 3 ) (3×× 3× ) 3 2 3 = 3 × 3 × 3 × 3 ×3 5 3 2+ 3 อืรห= 3  1  3  1  2  1   1   1    1   1     ×   =   ×   ×    ×   ×     3   3   3   3   3    3   3    1   1   1   1   1  =   ×   ×   ×   ×    3   3   3   3   3   1  5  1    3 + 2 อืรห=    3   3  ปไนปเกวบม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีมะลแนักวยีดเนวนาํจนปเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเณูคราก ้ีนงัดงัลาํกกยขลเณูครากงอขิตับมสมาต a × = a m+ n กวบม็ตเนวนาํจนทแn ะลแm ๆ ดในวนาํจนทแa อ่ืมเ a m n

52 3 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตณษกัลญัสยวดนทแ่ีทนวนาํจนยีขเงจ1. 1.1 2 × =……………………………=………………………………… 6 5 2 1.2 2 × =……………………………=………………………………… 3 2 5 1.3 (2× ) 3 =……………………………=………………………………… 3 1.4 ( 75.0 ) =……………………………=………………………………… 2  − 1.5  1  2 × 3 =……………………………=………………………………… 2  3  1.6 ( 3×− ) 2 =……………………………=………………………………… 3  1.7  2  3 ×  5  4 =……………………………=…………………………………     5   2   1.8  1  6 ×  7  5 =……………………………=…………………………………     7   2   1.9 ( ) 5.0 3 1  4 =……………………………=…………………………………    2  1.10 ( 11− ) ( 11− ) =……………………………=………………………………… 2 3 งัลาํกกยขลเปูรนใ้ีนปไอตอขะลตแนในวนาํจงอขณูคลผนยีขเงจ2. 2.1 2 × 2 × 2 =……………………………=………………………………… 7 3 2 2.2 ( ) ( ) ( ) 333 ×− 3 − × − 5 =……………………………=……………………………… 2.3 5 × 625 ×5 =……………………………=………………………………… 2 2.4 121 × 11 ×11 =……………………………=………………………………… 2 2.5 ( ) ( ) ( ) 333 ×− 4 − 3 × − 7 =……………………………=………………………………

53 ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเอ่ืมเงัลาํกกยขลเราหราก3.2 นปเงัลาํก้ีชขลเีมยนูศบักาทเมไนาฐะลแนักวยีดเนวนาํจนปเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเราหราก m n m < ะลแm > n , m = n อ่ืมเ อืค ีณรก3 นปเาณราจิพะจa ÷ a งอขปูรนใกวบม็ตเนวนาํจ ้ีนงัดn กวบม็ตเนวนาํจนทแ m,n ยนูศชใมไ่ีท ๆ ดในวนาํจนทแ a อ่ืมเ1 a ÷a ่ีทีณรก m n ้ีนปไอตงัลาํกกยขลเราหรากาณราจิพm > n ะลแ 1. 2 5 = 2× 2× 2× 2× 2 2 2 2× 2 = 2× 2× 2 2 อืรห= 2 5− 3 2 2. 3 7 = 3× 3× 3× 3× 3× 3× 3 3 5 3× 3× 3× 3× 3 3 7− 5 อืรห= 3 2 3. ( ) 5− 8 = ( )( )( )( )( )( )( )( ) 55555555 −− − − − − − − ( ) 5− 3 ( )( )( ) 555 −− − = ( )( )( )( )( ) 55555 −− − − − ( ) 5− 8− 3 อืรห= ( ) 5− 5 มิดเนวนาํจนปเนาฐีม่ีทงัลาํกกยขลเนปเราหลผ าวน็หเะจนตงาขงัลาํกกยขลเราหรากกาจ งอขิตับมสมาตปไนปเง่ึซ ราหวัตงอขงัลาํก้ีชขลเยวดบล ง้ัตวัตงอขงัลาํก้ีชขลเบักาทเงัลาํก้ีชขลเะลแ ้ีนงัดงัลาํกกยขลเราหราก m > n ะลแ กวบม็ตเนวนาํจนทแ m , n ยนูศชใมไ่ีท ๆ ดในวนาํจนทแa อ่ืมเ m n a ÷ a = a m− n

54  5 ÷ธพัลลผาหงจ1 ่ีทงายอวัต 10 5 4 5 10 = 5 10− 4 าํทีธิว 5 4 = 5 6 5 บอต 6  ( ) 2.0 6 ÷ ( ) 2.0 3ธพัลลผาหงจ2 ่ีทงายอวัต ( ) 2.0 6 = ( ) 2.0 6− 3 าํทีธิว ( ) 2.0 3 = ( ) 2.0 3 = ( )( )( ) 2.02.02.0 = 008.0 008.0 บอต n m กวบม็ตเนวนาํจนทแ m , n ยนูศชใมไ่ีท ๆ ดในวนาํจนทแ a อ่ืมเ2 a ÷ a ่ีทีณรก 5 ÷ าณราจิพm = n ะลแ 4 5 4  5 4 = 5× 5× 5× 5ดไะจงัลาํกกยขลเงอขมายินทบชใาถ 5 4 5× 5× 5× 5 = 1 m n ดไะจm = n ่ีทีณรกนใa ÷ a = a m− n , a ≠ งัลาํกกยขลเราหรากงอขิตับมสชใงอลาถ o 5 4 = 5 4 4− 5 4 = 5 0 4 4 5 ÷ 5 = 1 าวดไารเ นตงาขวไงดสแ่ีทงัดงัลาํกกยขลเงอขมายินทบชใรากกาจตแ n m m = n ่ีทีณรกนใดไชใa ÷ a = a m− n งัลาํกกยขลเราหรากงอขิตับมสหใอ่ืพเ น้ันงัด ้ีนงัดa งอขมายินทบีมปไ ๆ ว่ัทีณรกนใ 5 = 1 หใงอตงึจยวด 0 0  a 0 = 1ยนูศชใมไ่ีท ๆ ดในวนาํจนทแa อ่ืมเ มายินทบ m ยวดm = n ่ีทีณรกนใงิรจนปเa ÷ a = a m− n , a ≠ าวน็หเะจ n o

55 3  7 × 7 5ธพัลลผาหงจ1 ่ีทงายอวัต 7 8 3 7 × 7 5 = 7 3+ 8 าํทีธิว 7 8 7 8 = 7 8 7 8 = 7 8 8− = 7 0 = 1 1 บอต n m กวบม็ตเนวนาํจนทแ m , n ยนูศชใมไ่ีท ๆ ดในวนาํจนทแ a อ่ืมเ3 a ÷a ่ีทีณรก 8 5 2 งัลาํกกยขลเงอขมายินทบชใาถ2 ÷ าณราจิพm < n ะลแ  2 5 = 2× 2× 2× 2× 2ดไะจ 2 8 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 1 2× 2× 2 = 1 2 3 n m m < n ่ีทีณรกนใa ÷ a = a m− n , ≠a 0 งัลาํกกยขลเราหรากงอขิตับมสชใงอลาถ ดไะจ 2 5 = 2 8 5− 2 8 = 2 3 − หใอ่ืพเน้ันงัด2 ÷ = 1 าวดไารเ นตงาขงัลาํกกยขลเงอขมายินทบชใรากกาจตแ 8 2 5 2 3 n m หใงอตงึจยวดm < n ่ีทีณรกนใดไชใa ÷ a = a m− n งัลาํกกยขลเราหรากงอขิตับมส 1 n ้ีนงัดa งอขมายินทบีมปไ ๆ ว่ัทีณรกนใ2 − 3 = − 2 3 กวบม็ตเนวนาํจนทแn ะลแยนูศชใมไ่ีท ๆ ดในวนาํจนทแa อ่ืมเ มายินทบ a = 1 − n a n

56 4 6 ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลัพธ 11 × 11 × 11 7 ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก 13 3 11 × 11 × 11 2 4 6 วิธีทํา 11 × 11 × 11 7 = 11 6+ 4+ 7 3 11 × 11 × 11 2 11 13+ 3+ 2 13 = 11 17 11 18 = 11 17− 18 = 11 1 − = 1 11 1 ตอบ 11

57 4 ่ีทดัหกฝบบแ ธพัลลผาหงจ1. 1.1 2 ÷ 9 2 2 1.2 3 ÷ 3 6 1.3 11 ÷ 11 3 6   1.4  1  4 ÷   1  2     5   5  1.5 ( 03.0 ) ( 03.0÷ ) 4 5 1.6 ( ) 8.0 5 ÷  4  7    5  1.7 (5 × 5 4 ) 5÷ 3 7 1.8 (7 × 7 ) 7÷ 6 4 1.9 13 × ( 13 ÷ 13 5 ) 4 2 m ≠ 0 อ่ืมเ1.10 (m ÷ m 7 ) m× 4 6 กวบม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเีม่ีทปูรนใ้ีนปไอตธพัลลผาหงจ2. 2.1 5 × 5 − 4 3 8 2.2 3 × 3 − 6 3 2 2.3 4 − 6 ÷ 4 6 2.4 2 × 2 − 1 ( ) 2− 0 2.5 ( ) 5.1 2 ( ) 5.1 3 ≠x 0 อ่ืมเ2.6 x ÷ 2 x 5 ≠a 0 อ่ืมเ2.7 (a × a ) (a ×÷ 0 a 5 ) 3 m ≠ 0 อ่ืมเ2.8 m − 7 m − 5

58 4 ่ีททบ ะลยอระลแนวสารตัอ ญัคาํสะราส อืรห นักนอืมหเยวนหีมะจ ปไน้ึขณามิรป2 ณามิรปบยีทเบยีรปเรากนปเนวสารตัอ1. ดไ็กนักงาต 100 อต ง่ึนหณามิรปดใณามิรปบยีทเบยีรปเรากงดสแนวสารตัอนปเะลยอร2. งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไนวสารตัอดนหาํกะลแกอบ1. ดไนวสดัสณวนาํคถรามาส2. ดไะลยอราคาหถรามาส3. ดไะลยอระลแ นวสดัส นวสารตัอบักวย่ีกเ ๆงาตณรากนาถสนใาหญปยทจโกแถรามาส4. าหอ้ืนเยาขบอข นวสารตัอ1 ่ีทงอ่ืรเ นวสดัส2 ่ีทงอ่ืรเ ะลยอร3 ่ีทงอ่ืรเ ะลยอระลแ นวสดัส นวสารตัอบักวย่ีกเาหญปยทจโกแราก4 ่ีทงอ่ืรเ

59 นวสารตัอ1 ่ีทงอ่ืรเ 2 ณามิรป่ีทยดโ ดไ็กาวกกามอืรห ณามิรป2 ณามิรปบยีทเบยีรปเชใ(Ratio) นวสารตัอ ดไ็กนักงาตอืรห นักนอืมหเยวนหีมะจน้ันนักบยีทเบยีรปเามาํน่ีทณามิรป a อืรหa : b ยวดนทแนยีขเb ณามิรป อตa ณามิรปงอขนวสารตัอ มายินทบ b นวสารตัองอขง่ึนห่ีทนวนาํจอืรหกรแนวนาํจ าวa กยีรเ นวสารตัองอขงอส่ีทนวนาํจอืรหงัลหนวนาํจ าวb กยีรเ a b ) อตa าวนาอ อืรหa : b นวสารตัอ( b บบแ2 ีม นวสารตัอนยีขเราก นักนอืมหเยวนหีมณามิรป2 ณามิรป1. รตมเิตนซเ120 วาย รตมเิตนซเ50 งาวกมาวคีมง่ึนหวัตะตโ นชเ าวดไนวสารตัอนปเนยีขเ 50 : 120 บักาทเ ะตโงอขวายมาวคอตงาวกมาวค นักงาตยวนหีมณามิรปงอสณามิรป2. ทาบ23 าคาร งอลก4 วย้ีรปเมน นชเ าวดไนวสารตัอนปเนยีขเ 4 : 23 นปเ ทาบนปเาคารอตงอลกนปเวย้ีรปเมนงอขนวสารตัอ นชเงายอวัต นชเ บักาํกนยีขเยวนหีมมไะจนวสารตัอ นักนอืมหเยวนหีม่ีทณามิรปนปเาถ มัรกลโิก18 กันหีนาม มัรกลโิก25 กันหะนาม 25 อืรห25: 18 บักาทเีนามอตะนามงอขกันหาํ้นงอขนวสารตัอาววาลกะจ 18 นชเ ยวดบักาํกทภเะรปะลตแยวนหนยีขเงอตะจนวสารตัอ นักงาตยวนหีม่ีทณามิรปนปเาถ มัรกลโิก34 กันห รตมเิตนซเ160 งูสาดุส มัรกลโิก: 34 รตมเิตนซเ160 บักาทเ าดุสงอขกันหาํ้นอตงูสมาวคนวสารตัอ

60 1 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตมาวคอขกาจนวสารตัอนยีขเงจ1. รตมเลโิก100 งิรจงาทะยะรนทแ รตมเิตนซเ1 ่ีทนผแนใงาทะยะร1). ……………………………………………………………………………………………... งมโว่ัช3 าลวเนใ รตมเลโิก200 งาทะยะรดไนลแตนยถร2). ……………………………………………………………………………………………... นค1,000 นยีรเกัน นค40 ูรคีมง่ึนหงหแนยีรเงรโ3). ……………………………………………………………………………………………... ีทานอตง้ัรค72 นปเยษุนมจใวัหงอขนตเราการตัอ4). ……………………………………………………………………………………………... ดมหง้ัทนักงาตขลเยามหีมง่ึซ889748 นชเ กัลห6 ขลเนปเดวงะลตแลาบฐัรงบแนิกกาลส2. กูถ บับฉ10,000 ดมหง้ัทวัต2 ยาทขลเลัวงารกูถ่ีทกาลสีม้ีนดมหง้ัทนวนาํจนใ บับฉ1,000,000 บับฉ1 กีอ1 ่ีทลัวงารกูถะลแ บับฉ4,000 วัต3 ยาทขลเลัวงาร ้ีนปไอตนวนาํจบยีทเบยีรปเรากงดสแนวสารตัอนยีขเงจ ดมหง้ัทอต1 ่ีทลัวงารกูถ่ีทนวนาํจ1) ……………………………………………………………………………………………... ดมหง้ัทอตวัต3 ยาทขลเลัวงารกูถ่ีทนวนาํจ2) ……………………………………………………………………………………………... ดมหง้ัทอตวัต2 ยาทขลเลัวงารกูถ่ีทนวนาํจ3) ……………………………………………………………………………………………... วัต3 ยาทขลเอต วัต2 ยาทขลเลัวงารกูถ่ีทกาลสงอขนวสารตัอ4) ……………………………………………………………………………………………... งดแีสดาวกกูล“ ้ีนงัดดุชนปเบันยดโ นักวยีดเลหโดวขนใงลนักาทเดานขีสะลคดาวกกูลดัจาคอพ3. าหงจ” ด็มเ5 งอืลหเีส ด็มเ2 วยีขเีส ด็มเ3 ดมหง้ัทดาวกกูลอตงดแีสดาวกกูลนวนาํจนวสารตัอ1) ……………………………………………………………………………………………... งอืลหเีสดาวกกูลอตงดแีสดาวกกูลนวนาํจงอขนวสารตัอ2) ……………………………………………………………………………………………... ะารพเ ดุส่ีทกามดใีสดาวกกูลดไะจาน ด็มเ5 นวนาํจลหโกาจามน้ึขดาวกกูลบิยหมุสาถ3) ดใุตหเ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

61 นักาทเ่ีทนวสารตัอ นวสารตัอราหอืรหณูครากยดโดไาํท หใดนหาํก่ีทนวสารตัอบักาทเ่ีทนวสารตัอาหราก ้ีนงัด รากกัลหมาต นักวยีดเนวนาํจยวดงอส่ีทวัตะลแกรแวัตง้ัท มไน้ันนวนาํจ่ีทยดโ นักวยีดเนวนาํจยวดดในวสารตัอนในวนาํจะลตแณูคอ่ืมเ ณูครากกัลห มิดเนวสารตัอบักาทเ่ีทมหในวสารตัอดไะจ ยนูศบักาทเ d ≠0 ะลแc ≠ 0 อ่ืมเa = a × c = a × d อืคน่ัน b b× c b× d มไน้ันนวนาํจ่ีทยดโ นักวยีดเนวนาํจยวดดในวสารตัอนในวนาํจะลตแราหอ่ืมเ ราหรากกัลห มิดเนวสารตัอบักาทเมหในวสารตัอดไะจ ยนูศบักาทเ d ≠0 ะลแc ≠ 0 อ่ืมเa = a ÷ c = a ÷ d อืคน่ัน b b ÷ c b ÷ d งายอวัต ดนหาํก่ีทนวสารตัอบักาทเ่ีทนวสารตัอ3 กีอนวสารตัอาหงจ อืรห3 : 4 าํทีธิว 3 = 3× 4 = 12 4 4× 4 16 3 = 3× 9 = 27 4 4× 9 36 3 = 3× 11 = 33 4 4× 11 44 3 : 4 นวสารตัอบักาทเ่ีทนวสารตัอนปเ, , น้ันงัด ้ีนงัดีธิวชใยดโดไ วขไณูครากะณษกัลชใยดโดไาํท ๆดในวสารตัองอขนักาทเรากบอสจวรตราก บันนวนาํจนปเd ะลแa , b, c อ่ืมเ c a = วลแa × d = b× c าถ1) b d c a ≠ วลแa × d ≠ b× c าถ2) b d

62 มไอืรหนักาทเ้ีนปไอตอขะลตแนในวสารตัอาวบอสจวรตงจ งายอวัต 5 3 ะลแ1) 4 6 39 ะลแ2) 26 30 45 3 5 ะลแ งอขวขไณูครากาณราจิพ1) 4 6 3× = 18 กาจงอ่ืนเ 6 4× 5 = 20 3× 6 ≠ 4× 5 น้ันงัด 3 ≠ 5 อืคน่ัน 4 6 39 ะลแ26 งอขวขไณูครากาณราจิพ2) 30 45 26× 45 = 1,170 กาจงอ่ืนเ 30× = 1,170 39 26× 45 = 30× 39 น้ันงัด 26 = 39 อืคน่ัน 30 45 2 ่ีทดัหกฝบบแ งาราตนในิงเาคารมิตเงจ1 : 43 บักาทเทาบง่ึนหนิงเอตราลลอดนิงเนย่ีลปเกลแราการตัอาถ1. นวสารตัอ3 กีอาม้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทนวสารตัอบักาทเ่ีทนวสารตัอนยีขเงจ2. 2 1) = ............................................................................................................................... 3 5 2) = ............................................................................................................................... 9

63 มไอืรหนักาทเ้ีนปไอตนวสารตัอาวบอสจวรตงจ3. ยางงายอปูรนใูยอะลแนักวยีดเยวนหีม้ีนปไอตนวสารตัอหใาํทงจ4. รตมเ: 1.2 รตมเิตนซเ50 นปเะตโงอขวายมาวคอตงาวกมาวคนวสารตัอ งายอวัต บักนอืมหเยามหมาวคีม รตมเิตนซเ: 1.2 x 100 รตมเิตนซเ50 5 : 12 อืรห50 : 120 นปเะตโงอขวายมาวคอตงาวกมาวคนวสารตัอ น้ันงัด งมโว่ัช: 10 นัว2 นปเ นางาํท. ข ยาน่ีทงมโว่ัชอต นางาํท. ก ยาน่ีทนัวนวนาํจงอขนวสารตัอ1) นปเนางาํท. ข ยาน่ีทาลวเอต นางาํท. ก ยาน่ีทาลวเนวสารตัอ น้ันงัด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... : 1.5 รตมเ200 นปเนยีรเงรโปไนาบกาจงาทะยะรอต ดาลตปไนาบกาจงาทะยะรงอขนวสารตัอ2) นปเนยีรเงรโปไนาบกาจงาทะยะรอต ดาลตปไนาบกาจงาทะยะรงอขนวสารตัอ น้ันงัด รตมเลโิก ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

64 )นวนาํจ ๆ ยาลหนวนาํจงอขนวสารตัอ( งอ่ืนเอตนวสารตัอ ๆ ยาลหนวนาํจงอขธนัพมัสมาวคบพะจกัมารเ นัวาํจะรปติวีชบักวย่ีกเ่ีทงิรจณรากนาถสนใ ้ีนงัดมสผนวสชใ ยายณุคนาบงิผมนข นชเ นวนาํจ งวตยวถ3 าจเวาขงปแ งวตยวถ1 นขมขเิทะกาํ้น งวตยวถ1 วารพะมลาตาํ้น 2 6 : 2 อืรห3 : 1 นปเิทะกาํ้นอตาจเวาขงปแนวนาํจงอขนวสารตัอ อืคน่ัน 1 2 : 1 อืรห1 : นปเวารพะมลาตาํ้นอติทะกาํ้นนวนาํจงอขนวสารตัอ 2 1 ปูรนในยีขเอืรห6 : 1 อืรห3 : นปเวารพะมลาตาํ้นอตาจเวาขงปแนวนาํจงอขนวสารตัอ 2 ้ีนงัด นวนาํจ ๆ ยาลหนวนาํจงอขนวสารตัอ 1 6 : 2 : 1 อืรห3 : 1 : นปเ วารพะมลาตาํ้นอต ิทะกาํ้นอตาจเวาขงปแงอขนวสารตัอ 2 อตงูสมาวคะลแ3 : 4 นปเงอหวายมาวคอตงาวกมาวคงอขนวสารตัอีมง่ึนหงอหนยีรเงอห งายอวัต งอหงอขงูสมาวค : วายมาวค: งาวกมาวคงอขนวสารตัอาหงจ1: 2 นปเงอหงอขวายมาวค 3 : 4 บักาทเ งอหงอขวายมาวค: งาวกมาวคนวสารตัอ าํทีธิว 1 x 2 : 2 x 2 อืรห1 : 2 บักาทเ งอหงอขวายมาวค: งูสมาวคนวสารตัอ 2 : 4 บักาทเ งอหงอขงูสมาวคอต วายมาวคอตงาวกมาวคนวสารตัอ อืคน่ัน 3 : 4 : 2 บักาทเ

65 3 ่ีทดัหกฝบบแ ดนหาํกยดโนคมาสกูลหในิงเงบแอพ1. ้ีนปไอตนวสารตัอาหงจ5 : 3 : 2 นปเก็ลเนคอต งาลกนคอต ตโนคกูลนิงเนวนาํจงอขนวสารตัอ ก็ลเนคกูลอตบัรดไตโนคกูล่ีทนิงเนวนาํจนวสารตัอ1) ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... งาลกนคกูลอตบัรดไก็ลเนคกูล่ีทนิงเนวนาํจนวสารตัอ2) ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ดมหง้ัทนิงเอตบัรดไงาลกนคกูล่ีทนิงเนวนาํจนวสารตัอ3) ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ดมหง้ัทนิงเอตบัรดไก็ลเนคกูล่ีทนิงเนวนาํจนวสารตัอ4) ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ยาชนปเกูลดอลคภรรคง้ัตงัลาํก่ีทายรรภาถ าวติวีชยีสเะจนอกวไมรรกยันิพนยีขเดไง่ึนหนคีฐษรศเ2. งิญหนปเกูลดอลคาถตแ1 : 2 นปเยาชรตุบอตายรรภงอขนิงเนวสารตัอนปเมรรกยันิพนในิงเงบแหใ ติวีชยีสเ้ีนนคีฐษรศเอ่ืมเ2 : 1 นปเงิญหรตุบอตายรรภงอขนิงเนวสารตัอนปเมรรกยันิพนในิงเงบแหใ มรรกยันิพนในิงเงอขนวสารตัอาหงจ นค1 งิญห นค1 ยาชนปเ ดฝแกูลดอลคายรรภาวฏการปงล งิญหรตุบอต ยาชรตุบอตายรรภงอข ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

66 นวสดัส2 ่ีทงอ่ืรเ นวสารตัองอสนวสารตัองอขนักาทเรากงดสแนยีขเรากนปเนวสดัส c ีดอตีซ บักาทเ ีบอตอเ าวนาอa = อืรหa : b = c : d นชเ b d 3 = 5 นวสดัสนใm าคาหงจ ่ีทงายอวัต m 12 1 3 = 5 ่ีทีธิว m 12 3 5× 3 ) ยวดณูคยดโ3 บักาทเหใษศเาํท3 = 5 ( m 12× 3 5 5 3 = 3 m 2 . 7 7.2 บักาทเาคีมm น้ันงัด 2 3 = 5 ่ีทีธิว m 12 )วขไณูค3 = 5 ( m 12 3 ×12 = m 5 m= 7.2 น้ันงัด 4 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตนวสารตัอกาจนวสดัสนยีขเงจ1. 8 …………………………………………………….. อต6 บักาทเ4 อต1) 3 27 …………………………………………………….. อต9 บักาทเ7 อต2) A 5 …………………………………………………….. อตB บักาทเ10 อต3) 12 D …………………………………………………….. อต65 บักาทเ4 อต4) 5 ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทนวสดัสกาจรปแวัตาคาหงจ2. 1) A = 12 3 15 ……………………………………………………..……………………………………………… 2) 3 = 21 B 28 ……………………………………………………..………………………………………………

67 นวสดัสชใยดโาหญปยทจโกแราก ณวนาํคดิครากกัลหชใรากยดโาหญปขไกแงอต่ีทณรากนาถสบพะจารเนัวาํจะรปติวีชนใ นชเ ลาตาํ้นอต ะตโนอช 2 กโกโงผอต ยวถ1 ปูรจ็รเาํสกโกโม่ืดงอ่ืรคเงอขนวสารตัอดนหาํก 1 : 2 : 1 : 1 บักาทเ ยวถ1 กุสมตาํ้นอต ะตโนอช1 ะตโนอช30 ดมหง้ัทกโกโงผีมาถ กุสมตาํ้นะลแ ะตโนอชC มยีทเมีรค ะตโนอชB ลาตาํ้นชใ ยวถ A ดไม่ืดงอ่ืรคเงช าวิตมมส ยวถD นอช2 อต ยวถ1 บักาทเ กโกโงผนวนาํจอตดไงช่ีทกโกโยวถนวนาํจงอขนวสารตัอ น้ันงัด ะตโนอช30 อต ยวถA อืรห ะตโ 1 : 2 = A : 30 อืคน่ัน 1 = A อืรห 2 30 1 x 30 = A x 2 าวดไะจ A = 15 ยวถ 15 ดไม่ืดงอ่ืรคเงชะจ ะตโนอช 30 กโกโงผ น้ันงัด กูล่ีกดไมิดเารตัอนใอโมสอ้ืซะจ ทาบ350 นิงเีมาถ ทาบ50 าคาร กูล3 ามอโมสอ้ืซ งายอวัต กูล A ดไอโมสอ้ืซ ทาบ350 นิงเีม ิตมมส าํทีธิว กูล 3 ดไอ้ืซ ทาบ50 อโมสงอขาคาร A × 50 = 3 × 350 าวดไะจ Ä × 50 = 3× 350 50 50 A = 21 กูล 21 ดไอโมสอ้ืซะจ

68 5 ่ีทดัหกฝบบแ รไาทเนิงเดไะจ ลผ15 อกะละม ยาขาถ ทาบ50 าคาร ลผ3 อกะละมยาข1. ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ยาชาษกึศกันนวนาํจอตงิญหาษกึศกันนวนาํจีม นค400 ดมหง้ัทาษกึศกันีมง่ึนหงหแ.นศก2. นค่ีกงิญหาษกึศกันะลแนค่ีกยาชาษกึศกันีม าวาหงจ5: 3 นปเ ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ก็ลเนคกูลงบแนวสอตตโนคกูลงอขงบแนวสงอขนวสารตัอยดโ นคงอสกูลหใกดรมงบแอพ3. บัรดไนคะลตแ่ีทงบแนวสาหงจ ทาบ80,000 ก็ลเนคกูลาวกกามนิงเดไตโนคกูลาถ7: 3 นปเ ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………

69 ะลยอร3 ่ีทงอ่ืรเ รไาํก ยาขอ้ืซราก นชเ อมสเูยอะลยอรบักงอขวย่ีกเารเาวน็หเะจนยีรเูผ นัวาํจะรปติวีชนใ ฯลฯ ม่ิพเาคลูมีษาภดิคราก ะลยอรนปเดิค่ีทม่ิพเรากอืรหดลราก นุทดาข ณามิรปดใณามิรปบยีทเบยีรปเรากงดสแนวสารตัอนปเ ตน็ซเรอปเ อืรห ะลยอร าวาํค นชเ100 อตง่ึนห 50 อืรห50:100 ยวดนทแนยีขเ50% อืรห50 ะลยอร 100 7 อืรห7:100 ยวดนทแนยีขเ7% อืรห7 ะลยอร 100 นวนาํจีม่ีทปูรนใูยอหใน้ันนวสารตัอนยีขเงอตะจ ะลยอรปูรนใูยอหใดในวสารตัอนยีขเราก ้ีนปไอตงายอวัตงัด100 นปเนวสารตัองัลห 4 = 80 = 80% 5 100 2 20 2 . 0 = = = 20% 10 100 100 นปเงัลหนวนาํจีม่ีทนวสารตัอนยีขเยดโดไาํทนวสารตัอนปเหใะลยอรนยีขเราก ้ีนปไอตงายอวัตงัด 33% = 33 100 25.75 % = 25 . 75 = 2575 = 103 100 10000 400 3 ะลยอรปูรนใูยอหใ นยีขเงจ งายอวัต 7 3 100 นปเนวสารตัองอขงัลหนวนาํจีมยดโ นวสารตัอหใาํท1 ่ีทีธิว าํทีธิว 7 100 3× 300 3 = 7 = 7 7 100 100 7× 7 3 300 % อืรห300 ะลยอรนปเดิค น้ันงัด 7 7 7 3 A อืรหA ะลยอร= ิตมมส2 ่ีทีธิว 7 100 3 x 100 = A x 7 A = 3× 100 = 300 7 7

70 ะลยอรบักวย่ีกเณวนาํคราก รากนปเะจ้ีนปไอต นวสดัสชใดไมไยดโวลแามะลยอรบักวย่ีกเาหญปยทจโณวนาํคยคเนยีรเูผ ้ีนปไอตงายอวัตงัด ะณษกัล3 นใบพะจง่ึซ ะลยอรบักวย่ีกเณวนาํคชใามนวสดัสงอ่ืรเูรมาวคาํน นวส่ีกีมะจวลแ นวส100 นในวส25 ีมาถ าวมาวคยามห รไาทเบักาทเ60 งอข1. 25% นวส60 นใ นวส60 นในวสa ีมหใ a = 25 ้ีนงัดดไนวสดัสนยีขเ 60 100  ×a 100 = 60× 25ดไะจ 60× 25 =a 100 =a 15 น้ันงัด 15 อืค60 งอข25% อืคน่ัน นวส่ีกีมะจวลแ นวส45 นในวส9 ีมาถ าวมาวคยามห45 งอขตน็ซเรอปเ่ีกนปเ2. 9 นวส100 นใ 45 งอขx% นปเ 9 หใ x งึถยามหx% 100 9 = x ้ีนงัดดไนวสดัสนยีขเ 45 100  ×1009 = 45 × xดไะจ 9× 100 =x 45 =x 20 น้ันงัด 45 งอข20% นปเ9 อืคน่ัน ะจวลแ นวส100 นในวส25 ีมาถ าวมาวคยามห ดในวนาํจงอข25% นปเ3. 8 นวส่ีกนในวส8 ีม y งอข25% นปเ 8 หใ 8 = 25 ้ีนงัดดไนวสดัสนยีขเ y 100  8× 100 = y × 25ดไะจ 8× 100 y = 25 =y 32 น้ันงัด 32 งอข25% นปเ8 อืคน้ัน

71 6 ่ีทดัหกฝบบแ บอตาํคาหีธิวงดสแงจ1. รไาทเบักาทเ600 งอข1) 15% ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... รไาทเบักาทเ40 งอข2) 120% ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 400 งอข ตน็ซเรอปเ่ีกนปเดิค3) 28 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 6 งอขตน็ซเรอปเ่ีกนปเ4) 1.5 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ดในวนาํจงอข30 % นปเ5) 180 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ดในวนาํจงอข25% นปเ6) 0.125 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

72 ะลยอระลแ นวสดัส นวสารตัอบักวย่ีกเาหญปยทจโกแราก4 ่ีทงอ่ืรเ นวสดัสชใยดโ ะลยอรบักวย่ีกเาหญปกแีธิวะลแาหญปยทจโงายอวัตาณราจิพนยีรเกันหใ ้ีนปไอต นวสารตัออืรห นาบูมหนใูยอยัศาอ่ีทนคนวนาํจงอข6% นค 1,200 ูยอยัศาอนคีมง่ึนหงหแนาบูมหนใ1 งายอวัต ้ีนงหแนางงรโนในางาํท่ีทนางนคนวนาํจาหงจ งอปะรกดระปบัสนางงรโนในางาํท าํทีธิว นคs นปเ งอปะรกดระปบัสนางงรโนในางาํท่ีทนคนวนาํจหใ s นปเ ดมหง้ัทนคนวนาํจอตนางงรโนในางาํท่ีทนคนวนาํจงอขนวสารตัอ , 1 200 6 %6 = นปเดิควาลกงัดนวสารตัอ 100 s = 6 ้ีนงัดดไนวสดัสนยีขเ , 1 200 100  ×s 100 = , 1 200× 6ดไะจ , 1 200× 6 =s 100 =s 72 น้ันงัด นค72 นปเงอปะรกดระปบัสนางงรโนในางาํท่ีทนางนคนวนาํจ อืคน่ัน นค72 บอต 2 ่ีทงายอวัต งจ นค 81 ูยอีมมัรกลโิก60 นิกเกันห่ีทนคนยีรเกัน นค1,800 นยีรเกันีมง่ึนหงหแนยีรเงรโ ดมหง้ัทนยีรเกันนวนาํจงอขตน็ซเรอปเ่ีกนปเดิค มัรกลโิก60 นิกเกันห่ีทนยีรเกันนวนาํจ าวาห าํทีธิว ดมหง้ัทนยีรเกันนวนาํจงอขn% นปเ มัรกลโิก60 นิกเกันห่ีทนยีรเกันนวนาํจหใ n = 81 ้ีนงัดดไนวสดัสนยีขเ 100 , 1 800  ×n , 1 800 = 100× 81ดไะจ 100× 81 =n , 1 800 =n 5 . 4 น้ันงัด ดมหง้ัทนยีรเกันนวนาํจงอข4.5% นปเดิคมัรกลโิก60 นิกเกันห่ีทนยีรเกันนวนาํจ อืคน่ัน ตน็ซเรอปเ4.5 บอต

73 7 ่ีทดัหกฝบบแ บอตาํคาหีธิวงดสแงจ ่ีทาษกึศกันนวนาํจาหงจ ดมหง้ัทงอข25% นวนาํจ4 ดรกเดไบอส นค. 500 นศก าษกึศกัน1. 4 ดรกเดไบอส ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... กาจาม้ีนนวนาํจนใ ดมหง้ัทงอข40% ยาชนปเ นค2,000 นยีรเกันีมง่ึนหงหแนยีรเงรโ2. าหงจ60 ะลยอรดัวหงัจงาต งิญหนยีรเกันนวนาํจ1) ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ดมหง้ัทดัวหงัจงาตกาจามดไมไ่ีทยาชนยีรเกันนวนาํจ2) ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... บัรดไามวกแงอ่ืรคเอ้ืซมแณุคาถ20 ะลยอร ดินชกุทาคนิสาคารดลศากะรปง่ึนหงหแาคนาร3. รไาทเาคารดลนอกน้ันฑณัภติลผยาขาคารดปาคนาราวาหงจ ทาบ250 ดลนวส ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

74 1 นวสารตามชใ รตมเิตนซเ8 วาย รตมเิตนซเ5 งาวกง่ึนหงหแาญหมานสงัผนผแ4. รไาทเ่ีทน้ืพีม้ีนงหแาญหมานสาวาหงจ รตมเ: 50 รตมเิตนซเ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... นตบทย้ีบเกอดดิค ปอต3 ะลยอรย้ีบเกอดารตัอ ป2 าลวเนปเราคานธบักวไนิงเกาฝยอนกน5. ีมะจ ป2 บรค ทาบ 10,000 วไนิงเกาฝยอนกนาถ15% ย้ีบเกอดีษาภกัหกูถะลแนอืดเ12 กุท รไาทเีชญับนในิงเ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... นิงเาอเามอต20 ะลยอรรไาํกดไอตยาขปไาํน ทาบ200,000 าคารง่ึนหนัคามตนยถรอ้ืซะรีว6. รไาทเนุหนลเรากกาจอืลหเนิงเีมะจะรีว20 ะลยอรนุทดาขนุหนลเปไดมหง้ัท ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

75 5 ่ีททบ ดัวราก ญัคาํสะราส ดไนักบยีทเบยีรปเามาํนถรามาสนักงาตยวนหีม่ีท ่ีทน้ืพวายมาวคดัวราก1. ดัวะจ่ีทง่ิสบักมสะามหเหใชใกอืลเงอต ดัวรากอืมงอ่ืรคเ2. ญัคาํสนปเตกเงัสูผงอขณรากบสะรปกาจดิกเนเะคดาคราก3. งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไบบะรงาตะลแนักวยีดเบบะรนใ่ีทน้ืพวายมาวคยวนหบยีทเบยีรปเรากกอบ1. มสะามหเงายอดไ่ีทน้ืพะลแวายมาวคบักวย่ีกเดัวรากยวนหชใกอืลเ2. ดไติณคาขรเปูรงอข่ีทน้ืพาหรากงดสแ3. ดไนัวาํจะรปติวีชนใ ๆ งาตณรากนาถส่ีทน้ืพบักวย่ีกเาหญปยทจโกแถรามาส4. ดานข งาทะยะร าลวเนเะคดาครากนใชใปไรากีธิวาํนะลแนเะคดาครากีธิวยาบิธอ5. กันหาํ้น าหอ้ืนเยาขบอข ่ีทน้ืพะลแวายมาวคยวนหบยีทเบยีรปเราก1 ่ีทงอ่ืรเ ่ีทน้ืพะลแวายมาวค ดัวรากยวนหชใกอืลเราก2 ่ีทงอ่ืรเ ติณคาขรเปูรงอข่ีทน้ืพาหราก3 ่ีทงอ่ืรเ ๆ งาตณรากนาถสนใ่ีทน้ืพบักวย่ีกเาหญปยทจโกแราก4 ่ีทงอ่ืรเ กันหาํ้น ดานข งาทะยะร าลวเนเะคดาคราก5 ่ีทงอ่ืรเ

76 ่ีทน้ืพะลแวายมาวคยวนหบยีทเบยีรปเราก1 ่ีทงอ่ืรเ ดัวราก นใ ยัมสกุทคุยกุทนใกามงายอนัวาํจะรปติวีชอตนปเาํจะลแ ญัคาํสมาวคีม่ีทงอ่ืรเนปเดัวราก ง้ัทานหวากญิรจเกลโอ่ืมเะลแ ปไกออนักงาตกตแ่ีทดัวรากยวนหีมะจ ศทเะรปะลตแนาฐน่ิถะลตแ ยามหมาวคราสอ่ืสรากงอขนจเดัชมาวคีมงอต่ีทนปเาํจมาวคีมงึจ ราสอ่ืสรากะลแียลโนโคทเนาด อ่ืพเะลแ บยีทเบยีรปเามาํนรากนใกวดะสมาวคดิกเหใอ่ืพเ ดัวรากยวนห ดัวรากงอขณามิรปบักวย่ีกเ นางชใรากนในชยโะรป บัจราก วายมาวคดัวราก งวตราก ง่ัชราก งึถยามห ดัวรากบักยคเนุคะจกัมารเนคปไว่ัทยดโ นชเงายอยาลหีมดัวรากน้ันงิรจนปเมาวคนใ นตนปเ าลวเ รตมเลโิก รตมเ ตุฟ ว้ิน รตมเิตนซเ รตมเิลลิม นปเยวนหีม วายมาวคดัวราก1. รไ นาง รตมเงาราต าวงาราต นปเยวนหีม ่ีทน้ืพดัวราก2. นัต ดนอป ดีข มัรก นปเยวนหีม ง่ัชราก3. งัถ รติล รตมเิตนซเกศาบกูล นปเยวนหีม งวตราก4. ตฮไนรเาฟาศงอ สยีซเลซเาศงอ นปเยวนหีม ิมูภหณุอดัวราก5. ป นัว งมโว่ัช ีทาน ีทานิว นปเยวนหีม าลวเดัวราก6. งมโว่ัช/รตมเลโิก นปเยวนหีม ว็รเารตัออืรหว็รเมาวคดัวราก7. วายมาวคดัวรากบยีทเบยีรปเราก1.1 ยทไศทเะรปนในักชใมยิน่ีทวายมาวคดัวรากยวนห ษฤกงัอบบะรนใวายมาวคดัวรากยวนห ตุฟ1 บักาทเ ว้ิน12 าลห1 บักาทเ ตุฟ3 ลมไ1 บักาทเ าลห1,760 กิรตมเบบะรนใวายมาวคดัวรากยวนห รตมเิตนซเ1 บักาทเ รตมเิลลิม10 รตมเ1 บักาทเ รตมเิตนซเ100 รตมเลโิก1 บักาทเ รตมเ1,000 ยทไรตามนใวายมาวคดัวรากยวนห บืค1 บักาทเ ว้ิน12 กอศ1 บักาทเ บืค2

77 าว1 บักาทเ กอศ4 นสเ1 บักาทเ าว20 นชยโ1 บักาทเ นสเ400 รตมเ2 บักาทเ าว1 บยีทเรากดนหาํก ) ณามะรปยดโ( กิรตมเบบะรบักบยีทเษฤกงัอบบะรนใวายมาวคดัวรากยวนห รตมเิตนซเ2.54 บักาทเ ว้ิน1 รตมเ0.9144 บักาทเ าลห1 รตมเลโิก1.6093 บักาทเ ลมไ1 นักบบะรงาตะลแนักวยีดเบบะรนใดัวรากยวนหบยีทเบยีรปเราก งายอวัต รตมเ่ีกงูสาดุสาวบารทกายอ รตมเิตนซเ160 งูสาดุส1. รตมเิตนซเ160 งูสาดุสะลแ รตมเ1 บักาทเ รตมเิตนซเ100 กาจงอ่ืนเ รตมเ160 = 1.60 งูสาดุส น้ันงัด 100 ว้ัรงอขงาวกมาวคาวบารทกายอ รตมเลโิก1.05 นปเนนถดิตนาดนาบว้ัรงอขงาวกมาวค2. รตมเ่ีกนปเนนถบักดิตนาดนาบ รตมเลโิก1.05 งาวกนาบว้ัระลแ รตมเ1,000 บักาทเ รตมเลโิก1 กาจงอ่ืนเ รตมเ1.05 x 1,000 = 1,050 นปเนาบว้ัรงอขงาวกมาวค น้ันงัด ่ีทน้ืพดัวรากบยีทเบยีรปเราก1.2 กัจูรรวค่ีท ญัคาํส่ีท่ีทน้ืพดัวรากยวนห กิรตมเบบะรนใ่ีทน้ืพดัวรากยวนห รตมเิลลิมงาราต10 อืรห100 บักาทเ รตมเิตนซเงาราต1 2 4 รตมเิตนซเงาราต10 อืรห10,000 บักาทเ รตมเงาราต1 6 รตมเงาราต10 อืรห1,000,000 บักาทเ รตมเลโิกงาราต1 ษฤกงัอบบะรนใ่ีทน้ืพดัวรากยวนห 2 ว้ินงาราต12 อืรห144 บักาทเ ตุฟงาราต1 2 ว้ินงาราต3 อืรห9 บักาทเ าลหงาราต1 าลหงาราต4, 840 บักาทเ รอคเอเ1 รอคเอเ640 บักาทเ ลมไงาราต1 2 าลหงาราต1, 760 บักาทเ ลมไงาราต1 อืรห

78 ยทไารตามนใ่ีทน้ืพดัวรากยวนห นาง1 บักาทเ าวงาราต100 รไ1 บักาทเ นาง4 รไ1 บักาทเ าวงาราต400 อืรห กิรตมเบบะรบักบยีทเยทไารตามนใ่ีทน้ืพดัวรากยวนห รตมเงาราต4 บักาทเ าวงาราต1 รตมเงาราต400 บักาทเ นาง1 รตมเงาราต1, 600 บักาทเ รไ1 อืรห รไ625 บักาทเ รตมเลโิกงาราต1 ) ณามะรปยดโ( กิรตมเบบะรบักษฤกงัอบบะรนใ่ีทน้ืพดัวรากยวนห รตมเิตนซเงาราต6.4516 บักาทเ ว้ินงาราต1 รตมเงาราต0.0929 บักาทเ ตุฟงาราต1 รตมเงาราต0.8361 บักาทเ าลหงาราต1  )รไ( 2. 529 รตมเงาราต4046.856 บักาทเ รอคเอเ1 รตมเลโิกงาราต2.5899 บักาทเ ลมไงาราต1 งายอวัต รตมเงาราต่ีกนปเดิค รตมเลโิกงาราต12.5 นิด่ีท1. 6 รตมเงาราต10 บักาทเ รตมเลโิกงาราต1 ่ีทน้ืพกาจงอ่ืนเ 12.5 x 10 บักาทเ รตมเลโิกงาราต12.5 ่ีทน้ืพน้ันงัด 6 รตมเงาราต= 1.25 x 10 7 7 รตมเงาราต1.25 x 10 บอต น้ืพูปาคดิคน้ืพูปามหเบัรูผ าว12 วาย าว6 งาวกาผนืผมย่ีลหเ่ีสปูรนาบงอขงาลน้ัช่ีทน้ืพ2. รไาทเนิงเนปเน้ืพูปาคยีสเงอตะจ ทาบ37 ะลรตมเงาราต าว6 งาวกมาวคีมนาบงอขงาลน้ัช่ีทน้ืพ าว12 วายมาวค าวงาราต6 x 12 = 72 นปเ่ีทน้ืพีมนาบงอขงาลน้ัช่ีทน้ืพ น้ันงัด รตมเงาราต4 บักาทเ าวงาราต1 ่ีทน้ืพ นปเ่ีทน้ืพีมนาบงอขงาลน้ัช่ีทน้ืพ รตมเงาราตนปเ่ีทน้ืพดิคาถ รตมเงาราต72 x 4 = 288 ทาบ288 x 37 = 10, 656 นิงเนปเน้ืพูปาคยีสเ น้ันงัด ทาบ10, 656 บอต

79 1 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตมาวคอขบักมสะามหเหใ่ีทน้ืพยวนหอืรหวายมาวคยวนหมิตเงจ1. 4 ......................................................................................... ะลนผแานหมาวคีมงาบดินชดัอมไ1) 4 ................................ านห24...................... วาย16.5 ..................... งาวกมาวคีมนออกปดุมส2) 1,600 ...................................................... ณามะรปนักงาหูยอยลเดัวหงัจะลแมหใงยีชเดัวหงัจ3) ง่ิวาถะลแ90 ..................... วายมาวคีม45 …………… งาวกมาวคีมง่ึนหงหแลอบตุฟมานส4) 1 ............................... งาทะยะรดไะจ บอรมาส้ีนงหแมานสบอร 3 ......................... านหะลแ9.4 ........................... วาย9 ................... งาวกมาวคีมกสิดนผแ5) 630 ......................................... ณามะรป่ีทน้ืพีมA4 ษาดะรก6) 80 ................................................ ณามะรป่ีทน้ืพีมนยีรเงอห7) ....................อืรห................... นปเยวนหชใมยินยทไศทเะรปนในิด่ีทงอขวายมาวคดัวราก9) ชใยดโกอบจาออืรห.......................... นปเยทไารตามมาตนิด่ีทงอข่ีทน้ืพนวนาํจกอบจาอะลแ ดไ็ก........................ นปเกิรตมเรตาม 200 ............................ ณามะรปงาวกมาวคีมราหาดกุมดัวหงัจงวชงขโาํ้นมแ10) งอตกูถหใดนหาํก่ีทงาวงอชนใงลาํคมิตเงจ2. รตมเงาราต..................................... บักาทเ รไ1 ่ีทน้ืพ1) รตมเิตนซเงาราต.................................. ่ีทน้ืพนปเดิค รตมเงาราต17 ่ีทน้ืพ2) )าวงาราต นาง รไนปเบอต............................... ( นิด่ีทบักาทเ าวงาราต3,119 นิด่ีท3) ตุฟงาราต............................ ่ีทน้ืพีม้ีนนผแษาดะรก ว้ินงาราต720 ่ีทน้ืพีมง่ึนหนผแษาดะรก4) A 10× n ปูรนใบอต( รตมเิตนซเงาราต.................... ่ีทน้ืพนปเดิค รตมเลโิกงาราต2 ่ีทน้ืพ5) )ม็ตเนวนาํจนปเn ะลแ1 ≤ A < 10 อ่ืมเ ่ีทน้ืพีมะจ้ีนงหแะณราธาสนวสวลแ าวงาราต22 นาง 2 รไ5 ่ีทน้ืพีมง่ึนหงหแะณราธาสนวส6) าวงาราต.................... รตมเลโิกงาราต................................ าน่ีทบักาทเ รตมเงาราต2,900,000 าน่ีท7) ว้ินงาราต................... .. ่ีทน้ืพีมะจ้ีนนผแะหลโ ตุฟงาราต3 ่ีทน้ืพีมง่ึนหนผแะหลโ8) รตมเงาราต.......................... บักาทเะจ าวงาราต9.5 ่ีทน้ืพ9) นอสงุลาถวลแ รตมเงาราต..................... ่ีทน้ืพนปเดิค าวงาราต68 นาง 2 ูยอนิด่ีทีมนอสงุล10) นิด่ีทาวงดสแ ทาบ...................... นิงเบัรดไะจนอสงุล ทาบ875 ะลรตมเงาราต ปไนิด่ีทยาข ทาบ......................... ะลรไาคาร นอสงุลงอข

80 าํทีธิวงดสแมอรพ ้ีนปไอตมาถาํคบอตงจ3. รไ่ีก่ีทน้ืพนปเดิค รตมเงาราต4,800 ่ีทน้ืพีมง่ึนหงหแนวส1) รตมเิตนซเงาราต่ีก่ีทน้ืพดิค ตุฟงาราต25 ่ีทน้ืพ2) 850 งาลกนคยาชกูล รไ 2 ดไตโนคยาชกูลหใงบแยดโ นค3 ยาชกูลหในิด่ีทงบแงดแงุล3) ดุส่ีทกามนิด่ีทงบแนวสดไรคใาวบารทกายอ รตมเงาราต 3,000 ดไก็ลเนคยาชกูละลแ าวงาราต รตมเลโิกงาราต่ีก ่ีทน้ืพนปเดิค รไ5,625 ่ีทน้ืพ4) นผแะหลโอ้ืซกึนมส ทาบ456 าคาร รตมเงาราต3 ง่ึนหดินชนผแะหลโอ้ืซิตรยีกเมส5) ทาบ่ีกะลรตมเงาราต นักาวกกูถดไอ้ืซรคใาวบารทกายอ ทาบ567 าคาร าลหงาราต4 นักวยีดเดินช )รตมเิตนซเ= 90 าลห1 ดนหาํก(

81 ่ีทน้ืพะลแวายมาวคดัวรากยวนหชใกอืลเราก2 ่ีทงอ่ืรเ บักมสะามหเะลแ นาฐรตามนปเ่ีทดัวรากยวนหชใกอืลเรวค ่ีทน้ืพดัวรากอืรห วายมาวคดัวราก นชเ ดัวรากงอต่ีทง่ิส \"รตมเิลลิม\" นปเดัวยวนหชใ กจะรกงอขานหมาวคอืรหงอ้ืบเะรกงอขานหมาวค- \"รตมเิตนซเ\" นปเดัวยวนหชใ นยีรเกันงอขงูสมาวคอืรหาปเะรกงอขวายมาวค- \"รตมเ\" นปเดัวยวนหชใ กึตงอขงูสมาวค นนถงอขวายมาวค- \"รตมเลโิก\" นปเดัวยวนหชใ ชารมรรธีรศรคนงึถ ฯพทเงุรกาจงาทะยะร- 2 ่ีทดัหกฝบบแ งาวงอชนใงลมสะามหเ่ีทดัวรากยวนหมิตเงจ1. ………………………………… นยีรเงรโว้ัรงอขวายมาวค1. …………………………………. อืสงันหงอขานหมาวค2.  ……………………………..มหใงยีชเงึถ ฯพทเงุรกกาจงาทะยะร3. ………………………………………….. มโงตแงอขกันหาํ้น4. …………………….. รตมเ100 งาทะยะรนใงขแง่ิวรากนใชในยีรเกัน่ีทาลวเ5. ..................................... งอหิมูภหณุอ6. ...................................... นวส่ีทน้ืพ7. ...................................... กอืยหเ1 าํ้นงอขณามิรป8. ..................................... นยีรเกันงอขงูสนวส9. .................................... งุถ1 ราสวาขงอขกันหาํ้น10.

82 ติณคาขรเปูรงอข่ีทน้ืพาหราก3 ่ีทงอ่ืรเ มย่ีลหเมาสปูร1. นปเง่ึนหนาดดในาดหใดนหาํกอ่ืมเ มุมมาสมุม นาดมาสนาดีม่ีทดปปูร อืค มย่ีลหเมาสปูร ดอยมุมกาจงรตนสเกาลาถะลแ ดอยมุมนปเะจนาฐบักมาขงรตูยอ่ีทมุมวลแ มย่ีลหเมาสปูรงอขนาฐ งูสนวสาวกาฉง้ัตนสเกยีรเะจนาฐงอขอตนวสอืรห นาฐบักกาฉง้ัตาม นาฐนปเBC ดนหาํกหใABC มย่ีลหเมาสปูรกาจ ดอยมุม าวA กยีรเ งูสนวส าวAD กยีรเ ยวนหงาราต12 บักาทเปูระลตแABCD าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพ3 ่ีทปูร2 ่ีทปูร1 ่ีทปูรกาจ าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพงอขง่ึนหง่ึรคบักาทเปูระลตแมย่ีลหเมาส่ีทน้ืพะลแ งูสx นาฐ= าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพ รตูสกาจ 1 งูส × นาฐ= × มย่ีลหเมาสปูร่ีทน้ืพ น้ันงัด 2

83 งูสมาวคีมะจ รตมเิตนซเ8 วายนาฐีมะลแ รตมเิตนซเงาราต40 ่ีทน้ืพง่ึนหปูรมย่ีลหเมาสปูร งายอวัต รตมเิตนซเ่ีก รตมเิตนซเh มย่ีลหเมาสงอขงูสมาวคหใ าํทีธิว 1 งูส × นาฐ = × ่ีทน้ืพ รตูส 2 1 40 = × 8 × h 2 40 × 2 = h 8 10 = h รตมเิตนซเ10 บักาทเมย่ีลหเมาสงอขงูสมาวค น้ันงัด 3 ่ีทดัหกฝบบแ ีมะลแ นาดงอขวายมาวคนปเอืถวไนาดบักาํกนยีขเ่ีทขลเวัต ้ีนปไอตปูรงอขางเรแ่ีทนวส่ีทน้ืพาหงจ1. วายมาวคยวนหนปเยวนห ....................................................................... .................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

84 งูสมาวคีมะจ รตมเิตนซเ12 วายนาฐีม รตมเิตนซเงาราต90 ่ีทน้ืพีมปูรง่ึนหมย่ีลหเมาสปูร2. รตมเิตนซเ่ีก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. มาวคาหงจ ปูรงัดนาดงอขวายมาวคดนหาํกะลแ กาฉมุมนปเBAC มุมีมABC กาฉมุมมย่ีลหเมาส3. A นาดงอขวาย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

85 ีมดนหาํก่ีทวายมาวค( ปูรมาตดานขีมง่ึซ มย่ีลหเมาสปูรกาฉมไงอขางเรแ่ีทนวสงอข่ีทน้ืพาหงจ4. )รตมเิตนซเนปเยวนห 30 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. มย่ีลหเ่ีสปูร2. กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ2.1 กาฉมุมนปเมุมะลตแมุมีม่ีทมย่ีลหเ่ีสปูร อืค กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูร มายินทบ อืค ดินช2 ีมกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูร สัรุตัจมย่ีลหเ่ีสปูร) ก นักาทเวายนาดกุทนาดีม่ีทกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูรนปเ าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูร) ข นักาทเวายมาขงรตนาดีม่ีทกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูรนปเ

86 ๆนวสนปเกออวายนาดะลแงาวกนาดงบแยดโ ๆ งาราตนปเกออกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูรงบแาถ ปูรงัดงบแดุจมอ่ืชเนสเกาลวลแ นัก ๆาทเ ดิค ยวนห1 วายะลแ ยวนห1 งาวกมาวคีมะจ ปูระลตแงบแกาจดิกเ่ีท ๆก็ลเงาราตปูรกาจ ยวนหงาราต1 ่ีทน้ืพ นปเ 1 ่ีทปูรกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสงอขน้ืพาหราก งาราตนวนาํจดไวลแงบแอ่ืมเ ยวนห3 วายนาด ยวนห3 งาวกนาดีม1 ่ีทปูรกาฉมุมมย่ีลหเ่ีส ยวนหงาราต9 ่ีทน้ืพีมอืรห งาราต9 งาราตนวนาํจดไวลแงบแอ่ืมเ ยวนห4 วายนาด ยวนห3 งาวกนาดีม2 ่ีทปูรกาฉมุมมย่ีลหเ่ีส ยวนหงาราต12 ่ีทน้ืพีมอืรห งาราต12 วายนาดะลแงาวกนาดงอขณูคลผกาจดไณวนาํคถรามาส วาลกงัด่ีทน้ืพาหราก วายนาดx งาวกนาด= กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพ อืคน่ัน วายนาดบักาทเงาวกนาดีมะจ สัรุตัจมย่ีลหเ่ีสปูรนปเ่ีทีณรกนใ นาดx นาด= กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพ อืคน่ัน 2 )นาด= ( กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพ อืรห ้ีนปไอตมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพาหงจ งายอวัต

87 าํทีธิว วายx งาวก= าผนืผมย่ีลหเ่ีส. ท.พ) ก( = 5 x 8 ยวนหงาราต= 40 บอต ยวนหงาราต40 บักาทเ าผนืผมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ น้ันงัด นาดx นาด= าผนืผมย่ีลหเ่ีส. ท.พ) ก( = 4 x 4 รตมเิตนซเงาราต= 16 บอต รตมเิตนซเงาราต16 บักาทเ าผนืผมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ น้ันงัด = (2x3) + (4x7) าผนืผมย่ีลหเ่ีส. ท.พ) ก( = 6 + 28 ว้ินงาราต= 34 บอต ว้ินงาราต34 บักาทเ าผนืผมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ น้ันงัด นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ2.2 ูคงอสนักนานขมาขงรตนาดีม่ีทมย่ีลหเ่ีสปูร อืค นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูร มายินทบ

88 นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพาหราก มาวคนทแb ะลแAB นาดงอขวายมาวคนทแa ดนหาํกABCD นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูราถ DE งูส ถรามาสารเ2 ่ีทปูรงัดAB บักกาฉง้ัตหใDE กาละลแBD มุมงยแทนสเกาล1 ่ีทปูรกาจ ้ีนงัดดไABCD นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพรตูสาหมย่ีลหเมาสปูรงอข่ีทน้ืพชใ  CDB ่ีทน้ืพะลแ ABD ่ีทน้ืพงอขกวบลผบักาทเABCD งอข่ีทน้ืพ  CDB ่ีทน้ืพ บักาทเ ABD ่ีทน้ืพ กาจงอ่ืนเ  ABD ่ีทน้ืพงอขาทเABCD = 2 ่ีทน้ืพ น้ันงัด  b = ×  1 ×  2  × a  2  งูสมาวคx นาฐงอขวายมาวค= นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูร ่ีทน้ืพรตูส มย่ีลหเ่ีสปูร าวกยีรเ กาฉมุมนปเมไมุมะลแนักาทเวายนาดกุทนาดีม่ีทนานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูร นูปกยปเมนข ปูรนปเกออมย่ีลหเ่ีสปูรงบแ มุมงยแทนสเกาลาถ นูปกยปเมนขมย่ีลหเ่ีสปูรนปเีณรกนใ ้ีนงัดรตูสดไะลแ ปูรงอสมย่ีลหเมาส มุมงยแทนสเงอขณูคลผ= 1 × นูปกยปเมนข ่ีทน้ืพรตูส 2 ABCD นานขนาดมย่ีลหเ่ีสงอข่ีทน้ืพาหงจ งายอวัต าํทีธิว

89 งูส× นาฐ= นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูร = AB × AB รตมเิตนซเงาราต= 10 × 7 บอต รตมเิตนซเงาราตABCD = 70 นานขนาดมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ น้ันงัด ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ2.3 น้ันาทเูคง่ึนหนักนานขนาดีม่ีทมย่ีลหเ่ีสปูรอืค ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูร มายินทบ งึจปูรมาสง้ัทมย่ีลหเมาสปูร น้ันาทเูค1 งยีพเนักนานขนาดีมปูระลตแ ปูรมาสง้ัทมย่ีลหเ่ีสปูร ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสนปเ งาคมย่ีลหเ่ีสปูรกยีรเ นานขูคนาดบักกาฉง้ัต นาด1 นักนานขมไ่ีทนาดีม2 ่ีทปูรมย่ีลหเ่ีสปูร กาฉมุมูมหงาคมย่ีลหเ่ีส าว้ีนูมห มย่ีลหเ่ีส าว้ีนูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูรกยีรเ นักาทเวายนักนานขมไ่ีทนาดีม3 ่ีทปูรมย่ีลหเ่ีสปูร ว่ัจานหูมหงาค AB บักกาฉง้ัตหใCE กาลCD นาดบักนานขAB นาดีมABCD ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูร 2 ่ีทปูรงัดAC มุมงยแทนสเกาละลแ AB นาดงอขวายมาวคนทแa ดนหาํก CD นาดงอขวายมาวคนทแb งูสมาวคนทแc ้ีนงัดดไABCD ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพรตูสาหมย่ีลหเมาสปูรงอข่ีทน้ืพชใถรามาสารเ

90  ACD ่ีทน้ืพะลแ ABC ่ีทน้ืพ งอขกวบลผ บักาทเABCD ่ีทน้ืพ  ABC = 1 × a × c ่ีทน้ืพกาจ 2  ACD = 1 × b × c ่ีทน้ืพ 2 ABCE =  1 ×   e +  1 ×  1 c × (a + ) b ่ีทน้ืพ น้ันงัด  × b  × a  e = ×  2   2  2 1 นานขูคนาดกวบลผ × งูส= × ูมหงาค ่ีทน้ืพ รตูส 2 ABCD มย่ีลหเ่ีสงอข่ีทน้ืพาหงจ งายอวัต าํทีธิว นานขูคนาดกวบลผ × งูสABCD = 1× ูมหงาคมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ 2 = 1 × DE × (AB + DC ) 2 = 1 × 6 × (12 + ) 8 2 รตมเิตนซเงาราต= 3 × 20 รตมเิตนซเงาราตABCD = 60 ูมหงาคมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ น้ันงัด วาวปูรมย่ีลหเ่ีสงอข่ีทน้ืพ2.4 ูคงอสนักาทเวายนักดิชะรปนาดีม่ีทมย่ีลหเ่ีสปูร อืค วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูร มายินทบ ะลแ กาฉมุมนปเนักดัตมุมงยแทนสเ าวบพะจ วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูรงอขมุมงยแทนสเกาลอ่ืมเ นักะลแนักง่ึซง่ึรคงบแ

91 วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพาหราก BC = CD ะลแAB = AD ีมABCD วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูร AC มุมงยแทนสเงอขวายมาวคนทแa ดนหาํก BD มุมงยแทนสเงอขวายมาวคนทแb E ดุจ่ีทนักดัตBD ะลแAC มุมงยแทนสเ AC บักกาฉง้ัต DE หใาํท AC บักกาฉง้ัตBE ้ีนงัดดไABCD วาวปูรมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพรตูสาหมย่ีลหเมาสปูร่ีทน้ืพชใถรามาสารเ  ABC ่ีทน้ืพะลแ ACD ่ีทน้ืพ งอขกวบลผ บักาทเABCD ่ีทน้ืพ  b  ABC = 1 × a ×  1  กาจ  × 2  2   ADC = 1 × a ×  1   b  × 2  2    ABCD = 1 × a ×  1  b    + 1 × a ×  1  b ่ีทน้ืพ น้ันงัด  ×  ×     2  2    2  2     ABCD = 1 × a ×  1  +  1  b ่ีทน้ืพ  ×  b  × 2    2   2   = 1 × a × b + b   2 2    2 = 1 × a × b 2 มุมงยแทนสเงอขณูคลผ= 1 × วาวปูรมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ รตูส 2

92 รตมเิตนซเAC = 12 ะลแ รตมเิตนซเBD = 10 ีม่ีทABCD วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพาหงจ งายอวัต าํทีธิว มุมงยแทนสเงอขณูคลผ= 1 × วาวปูร่ีทน้ืพ 2 = 1 × AC × BD 2 รตมเิตนซเงาราต= 1 × 12 × 10 2 รตมเิตนซเงาราตABCD = 60 วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูร่ีทน้ืพ น้ันงัด ๆดใมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ2.5 าํทจาอ่ีทน้ืพาหราก นตงาขมย่ีลหเ่ีสปูรงอขะณษกัลาขเมไ่ีทมย่ีลหเ่ีสปูรนปเ ๆดใมย่ีลหเ่ีสปูร น้ึขดิกเ่ีทมย่ีลหเมาสปูรงอข่ีทน้ืพาหวลแ มุมงยแทนสเกาลยดโดไ AC มุมงยแทนสเกาจ ๆดใมย่ีลหเ่ีสปูรนปเABCD มย่ีลหเ่ีสปูรกาจ AC บักกาฉง้ัตหใBE นสเกาลB ดุจกาจ AC บักกาฉง้ัตหใDF นสเกาลD ง่ิกนสเ าวกยีรเDF ะลแBE นสเง่ึซ  ADC ่ีทน้ืพะลแ ABC ่ีทน้ืพ งอขกวบลผ บักาทเABCD ่ีทน้ืพ  ABC = 1 × AC × BE ่ีทน้ืพกาจ 2  ABD = 1 × AC × DF ่ีทน้ืพ 2 ABCE =  1 × BE  +  1 × DF   ่ีทน้ืพ น้ันงัด  × AC  × AC   2   2  = 1 × AC × (BE + DF ) 2

93 1 ง่ิกนสเงอขวายมาวคงอขกวบลผ × มุมงยแทนสเงอขวายมาวค= × ๆดใมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพ รตูส 2 ะลแ รตมเิตนซเDF = 7 ง่ิกนสเ รตมเิตนซเAC = 10 ีมABCD มย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพาหงจ งายอวัต รตมเิตนซเEB = 5 าํทีธิว ง่ิกนสเงอขวายมาวคงอขกวบลผ × มุมงยแทนสเABCD = 1× ่ีทน้ืพ 2 = 1 × AC × (BE + DF ) 2 รตมเิตนซเงาราต= 1 × 10 × (7 + ) 5 2 รตมเิตนซเงาราตABCD = 60 ่ีทน้ืพ น้ันงัด 4 ่ีทดัหกฝบบแ

94