الرياضيات العلمي - الصف الثاني عشر

Ω2018/ `g1439 »YÉæ°üdGh »ª∏©dG ø«YôØ∏d ô°ûY »fÉãdG ∞°üdG ∫h’C G »°SGQódG π°üØdG äÉ«°VÉjôdG

ô°TÉæq dG º«∏©àdGh á«HôàdG IQGRh á«°SQóªdG ÖàµdGh ègÉæªdG IQGOEG :á«JB’G øjhÉæ©dG ≈∏Y ÜÉàµdG Gòg ≈∏Y ºµFGQGB h ºµJɶMÓe ∫ÉÑ≤à°SG á«°SQóªdG ÖàµdGh ègÉæªdG IQGOGE ô°ùj 11118 :…ójôÑdG õeôdG (1930) .Ü.¢U 4637569 :¢ùcÉa 4617304/508 :∞JÉg E-mail: [email protected] :»fhôàµd’E G ójôÑdG ≈∏Y hCG

᫪°TÉ¡dG á«fOQC’G áµ∏ªªdG ¢SQGóe ™«ªL »a ÜÉàµdG Gòg ¢ùjQóJ º«∏©àdGh á«HôàdG IQGRh äQôb »°SGQódG ΩÉ©dG øe GAk óH Ω2017/1/17 ïjQÉJ Ω2017/2 ºbQ º«∏©àdGh á«HôàdG ¢ù∏ée QGôb ≈∏Y Ak ÉæH .Ω2018 / 2017 º«∏©àdGh á«HôàdG IQGRƒd áXƒØëe É¡©«ªL ¥ƒ≤ëdG (1930) Ü . ¢U – ¿OQ’C G / ¿ÉªY áq«æW(ƒ2dG0áÑà1µ7ŸG I/ô3FGO/i1ó5d ´6Gó9jE’)G ºbQ ISBN: 978 – 9957 – 84 – 771–5 :øe πc ÜÉàµdG Gòg ∞«dCÉJ ≈∏Y ±ô°TGC π`````«`````MQ ˆG ó```Ñ`Y ó`````ª``MGC .O.GC (É°kù«FQ) Ö`jó`g ´QGR ø```°ùM .O.GC ÜÉ``«``°``û``dG Oƒ```ª```ë```e PÉ````©````e .O á`````©`HÉ`HQ ó```ª`ë`e ˆG ó``Ñ``Y .O.GC :øe πc ¬Ø«dCÉàH ΩÉbh Iô``jÉ``ª``Y ó````ª````MGC º````«````gGô````HEG á```````aô```Y ∫É`````ª`````c É`````````f’ .O äÉ``aô``°``û``dG ô``µ``°``ù``Y ø``«``°``ù``M .O í``Ñ``°``U ó```ª```ë```e ∞```°```Sƒ```j .O Ö``«``£``î``dG »```æ```°```ù```M π`````````eCG ô```gƒ```L ó``````ª``````MCG Ú````#````f ô``gƒ``L ó````ª````MGC Ú```#```f :»ª`∏©dGôjôëàdG ¿É«∏Y ƒ````HGC ó``ª``MCG ô`ª`Y : º`````°`````Sô`````dG ¿É``«``∏``Yƒ``HGC ó```ª```MGC ô``ª``Y : º``«``ª``°``ü``à``dG »°ùjQÉ°ùdG ô`ª`Y AÉ`°`ù`«`e : …ƒ¨∏dG ôjôëàdG ¿Gƒ``£``Y ó```ª```MGC Ö```````jOGC : ô``jƒ``°``ü``à``dG ∂«∏«©°UƒHGC ¿Éª«∏°SøªMôdGóÑY.O : êÉ``````à``````f’E G Ö`æ`°`T ƒ`````HCG OGƒD ``````a AGó`````f : »`æ``ØdG ôjôëàdG ô`gƒ`L ó``ª``MGC Ú``#``f : É¡````````©````````LGQ Ö«£îdG »æ°ùM π```eCG :á``YÉÑ```£dG≥```qbO Ω2017 /`g1438 ≈dh’C G á©Ñ£dG Ω2018 ¬àYÉÑW äó«YGC

‫ال�ضف`ح`ة‬ ‫ال`م``````و�ض`````و´‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻲ ا ول‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫الوحدة الأولى‪ :‬النهايات والت�ضال‬ ‫‪15‬‬ ‫‪26‬‬ ‫الف�ضل ا ألول‪ :‬النهايات‬ ‫‪36‬‬ ‫�أو ًلا ‪ :‬م‪¡Ø‬و‪� Ω‬لن¡اية‬ ‫‪45‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬ن¶ريات �لن¡ايات‬ ‫‪45‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬ن¡ايات �ق‪�Î‬نات ‪ö�c‬ية‬ ‫‪57‬‬ ‫ر�ب ًعا‪ :‬ن¡ايات �ق‪�Î‬نات مث∏ثية‬ ‫‪66‬‬ ‫الف�ضل الثاني‪ :‬الت�ضال‬ ‫‪72‬‬ ‫�أو ًلا‪� :‬لات�سا∫ ‪Y‬ند نقطة‬ ‫ثان ًيا‪�:‬لات�سا∫ ‪ ≈∏Y‬ف‪IÎ‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪74‬‬ ‫أا�ضئلة الوحدة‬ ‫‪82‬‬ ‫‪93‬‬ ‫الوحدة الثانية ‪ :‬التفا�ضل‬ ‫‪102‬‬ ‫‪102‬‬ ‫الف�ضل ا ألول‪ :‬م©دل الت¨‪ Ò‬وا‪ûŸ‬ضتقات‬ ‫‪110‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬معد∫ �لت¨‪Ò‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪124‬‬ ‫ثانيـًا‪� :‬لم‪û‬ستقة �لاأول≈‬ ‫‪131‬‬ ‫ثالثـًا‪� :‬لات�سا∫ و�لا‪T‬ستقا‪¥‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪148‬‬ ‫الف�ضل الثاني‪ :‬قواعد ال‪T‬ضتقا‪¥‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬قو�‪Y‬د �لا‪T‬ستقا‪1 ¥‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬قو�‪Y‬د �لا‪T‬ستقا‪2 ¥‬‬ ‫ثالثـًا‪� :‬لم‪û‬ستقات �لع∏يا‬ ‫ر�ب ًعا‪ :‬م‪û‬ستقات �لاق‪�Î‬نات �لمث∏ثية‬ ‫خام�ًسا‪ :‬قا‪Y‬د‪� I‬ل�س∏�س∏ة‬ ‫�سا‪ً�O‬سا‪� :‬لا‪T‬ستقا‪� ¥‬ل†س‪ª‬ن»‬ ‫أا�ضئلة الوحدة‬

‫الوحدة الثالثة ‪ :‬تطبيقات التفا�ضل ‪152‬‬ ‫الف�صل ا ألول‪ :‬تطبيقات هند�سية وفيزيائية ‪154‬‬ ‫أ�ولًا‪ :‬تطبيقات هند�سية ‪154‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬تطبيقات فيزيائية ‪162‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬المعدلات المرتبطة بالزمن ‪167‬‬ ‫الف�صل الثاني‪ :‬تطبيقات عملية على التفا�ضل ‪175‬‬ ‫�أولًا‪ :‬النقط الحرجة ‪175‬‬ ‫ثانيـًا‪ :‬التزايد والتناق�ص ‪179‬‬ ‫ثالثـًا‪ :‬القيم الق�صوى ‪185‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬التقعر ‪192‬‬ ‫خام�ًسا‪ :‬تطبيقات القيم الق�صوى ‪200‬‬ ‫�أ�سئلة الوحدة ‪211‬‬ ‫ملحق (‪ :)1‬قوانين ريا�ضية مهمة ‪215‬‬ ‫‪4‬‬

‫ب�سم �ˆ �لرحمن �لرحيم‬ ‫ن�سع بين أ�يديكم كتاب �لريا�سيات لل�سف �لثا‪ Ê‬ع�ضر للفرعين �لعلمي و�ل�سناعي‪� ،‬لذي‬ ‫ُ�أ ِع َّدت ‪‬توياته ب�سكل ين�سجم مع �لتطور�ت و�لتغير�ت في ‪‬تلف �لمجالات‪ ،‬ومعايير �لعمليات‬ ‫و�لمحتوى �لعالمية‪ ،‬مثل‪:‬حل �لم�ساألة‪ ،‬و�لتبرير و�لبرهان‪ ،‬و�لربط‪ ،‬و�لتو��سل‪ ،‬و�لتمثيل‪ ،‬و�لنمذجة‪.‬‬ ‫� ‪r‬ع ُت ِم َدت ‪W‬ر�ئق ريا�سية ‪‬تلفة في تقد‪� Ë‬لمحتوى �لريا�سي‪ ،‬كالا�ستقر�‪ ،A‬وح ‪q‬ل �لم�سكلات‪،‬‬ ‫بالاإ�سافة �إلى تقد‪� Ë‬لم�سائل و�لتمارين �لتي تنمي مهار�ت �لتو��سل‪ ،‬و�لتفكير �لريا�سي‪ ،‬و ُح َّلت‬ ‫�لعديد من �لتمارين و�لم�سائل �لريا�سية باأك‪ Ì‬من ‪W‬ريقة; ما يك�سب �لطلبة مرونة �لتفكير‪.‬‬ ‫هذ� وقد ” �لتركيز في �لكتاب على تقد‪� Ë‬لمفهوم �لريا�سي من خلال �لر�سوم و�ل أا�سكال‬ ‫والاأل‪ƒ‬ان‪ ،‬مم� ي‪ù‬ص�عد على تثبي‪ â‬ا‪Ÿ‬فه‪ Ωƒ‬وم‪ô‬اع�ة أا‪�‰‬ط ت©ل‪ º‬ال‪£‬لبة ا‪îŸ‬تلفة‪.‬‬ ‫تقع مادة �لكتاب في �ست وحد�ت مو‪R‬عة على ف�سلين در��سيين‪ ،‬حيث ي�سم �لف�سل �لاأول‬ ‫ثلا‪ ç‬وحد�ت هي‪� :‬لنهايات و�لات�سال‪ ،‬و�لتفا�سل‪ ،‬و تطبيقات �لتفا�سل‪.‬‬ ‫أ�ما �لف�سل �لدر��سي �لثا‪ Ê‬فيت�سمن ثلا‪ ç‬وحد�ت هي‪� :‬لتكامل وتطبيقاته‪ ،‬و�لقطوع‬ ‫�لمخرو‪W‬ية‪ ،‬و�لاإح�سا‪ A‬و�لاحتمالات‪.‬‬ ‫ون�س أال �ˆ �أن نكون قد وفقنا في تقد‪� Ë‬لمعرفة �لعلمية بطريقة من ‪q‬ظمة تنظي ًما منطق ًاّيا ونف�س ًّايا‪،‬‬ ‫�لاأمر �لذي ُي�سهم في فهمها و�لتم ‪q‬كن من مهار�تها‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫ن�ساأ علم �لتفا�سل و�لتكامل لو�سف �لكيفية �لتي تتغيرفيها �لاأ�سيا‪ ،A‬ويعتمد ك ‪w‬ل من �لتفا�سل‬ ‫و�لتكامل ب�سورة أ��سا�سية على مفهوم �لنهاية‪ .‬تتناول هذه �لوحدة مفهومي �لنهايات و�لات�سال‬ ‫�للذين ي�سكلان مقدمة لعلم �لتفا�سل‪.‬‬ ‫‪6‬‬

.ájÉ¡ædG Ωƒ¡Øe ±ô©J .É«v fÉ«H OóY óæY ¿GÎbG ájÉ¡f ᪫b OÉéjGE .OóY óæY ájÉ¡ædG ᪫b OÉéjE’ É¡Ø«XƒJh äÉjÉ¡ædG äÉjô¶f ±ô©J .áÑ©°ûàeh ájöùch á«Ñ°ùf äÉfGÎb’ OóY óæY ájÉ¡ædG ᪫b OÉéjEG .á«ã∏ãe äÉfGÎb’ OóY óæY ájÉ¡ædG ᪫b OÉéjEG .IÎa ≈∏Yh ,á£≤f óæY ∫É°üJ’G Ωƒ¡Øe ±ô©J .IÎa ≈∏Yh ,á£≤f óæY ¿GÎbG ∫É°üJG ‘ åëÑdG 7

‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ ا ول‬ ‫‪Limits‬‬ ‫تتعرف مفهوم �لنهاية‪.‬‬ ‫تجد قيمة نهاية �قتر�ن عند عدد بيان ًّايا‪.‬‬ ‫تتعرف نظريات �لنهايات وتوظفها لاإيجاد قيمة �لنهاية عند عدد‪.‬‬ ‫تجد قيمة �لنهاية عند عدد لاقتر�نات ن�سبية وك�ضرية ومت�سعبة‪.‬‬ ‫تجد قيمة �لنهاية عند عدد لاقتر�نات مثلثية‪.‬‬ ‫‪Concept of Limit‬‬ ‫أو ًﻻ ‪ájÉ¡ædG Ωƒ¡Øe‬‬ ‫�إذ� كان ق(�ص) = ��صص‪ ، 11--2‬فما مجال �لاقتر�ن ق‪ ،‬وهل يمكن �لتنبو‪ D‬ب�سلوك �لاقتر�ن ق‬ ‫عندما تقترب قيم �ص من �لعدد ‪1‬؟‬ ‫تعلمت �سابقا إ�يجاد مجال �لاقتر�ن �لن�سبي‪ ،‬فمجال �لاقتر�ن ق(�ص) = ��صص‪ 11--2‬هو ح ‪ ،{1}-‬لماذ�؟‬ ‫يمكن در��سة �سلوك �لاقتر�ن ق عندما تقترب قيم �ص من �لعدد ‪ ،1‬من خلال در��سة �÷دول �ل آاتي‪:‬‬ ‫�ص ‪0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1‬‬ ‫ق(�ص) ‪ 2.0001 2.001 2.01 2.1‬غير معرفة ‪1.9 1.99 1.999 1.9999‬‬ ‫لاحظ أ�نه كلما �قتربت قيم �ص من �لعدد ‪ 1‬من جهة �ليمين ( أ�ي �ص>‪ ،)1‬فاإ َّن قيم ق(�ص)‬ ‫تقترب من �لعدد ‪ ،2‬ويعبر عن ذلك بالرمو‪ :R‬ن�صهــــ←ـــ‪1‬ـ‪+‬ا ق (�ص) = ‪2‬‬ ‫و ُتقر أ�‪ :‬نهاية �لاقتر�ن ق(�ص) عندما تقترب قيم �ص من �لعدد ‪ 1‬من جهة �ليمين ت�ساوي ‪. 2‬‬ ‫‪8‬‬

‫وكلما �قتربت قيم �ص من �لعدد ‪ 1‬من جهة �لي�سار (�أي �ص<‪ ،)1‬ف إان قيم ق(�ص) تقترب أ�ي�سا من‬ ‫�لعدد ‪ ،2‬ويعبر عن ذلك بالرمو‪ :R‬ن�هصــــ←ــ‪1‬ـ‪-‬ا ق (�ص) = ‪2‬‬ ‫�ل�سكل (‪)1-1‬‬ ‫و ُتقر أ�‪ :‬نهاية �لاقتر�ن ق(�ص) عندما تقترب قيم �ص من �لعدد ‪1‬‬ ‫من جهة �لي�سار ت�ساوي‪.2‬‬ ‫وفي حالة ن�هصــــ←ــ‪1‬ــ‪+‬ا ق (�ص) = ن�هصــــ←ـــ‪1‬ـ‪-‬ا ق (�ص) ‪ ،‬نقول إ� َّن نهاية‬ ‫ق(�ص) عندما تقترب قيم �ص من �لعدد ‪1‬موجودة وت�ساوي ‪2‬‬ ‫ويعبر عن ذلك بالرمو‪ :R‬ن�هـصــــ←ـــ‪1‬ا ق (�ص) = ‪،2‬‬ ‫و�ل�سكل (‪ )1-1‬يو�سح منحنى �لاقتر�ن ق(�ص)‪.‬‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫لماذ� ر�سمت حلقة على منحنى �لاقتر�ن ق في �ل�سكل (‪)1-1‬؟‬ ‫�ل�سكل (‪)2-1‬‬ ‫ولتحديد نهاية �قتر�ن عندما تقترب قيم �ص من‬ ‫عدد حقيقي مثل أ� من جهة �لي�سار‪ ،‬فاإ َّنه من �ل�ضروري‬ ‫�أن يكون �لاقتر�ن مع ‪q‬ر ًفا عند أ� من جهة �لي�سار على‬ ‫فترة مفتوحة ق�سيرة �لطول على �ل�سورة ( أ� ‪ -‬جـ‪ ،‬أ� )‪،‬‬ ‫�نظر �ل�سكل (‪.)2-1‬‬ ‫�ل�سكل (‪)3-1‬‬ ‫ولتحديد نهاية �قتر�ن عندما تقترب قيم �ص من‬ ‫‪9‬‬ ‫عدد حقيقي مثل أ� من �ليمين‪ ،‬فاإ َّنه من �ل�ضروري‬ ‫أ�ن يكون �لاقتر�ن مع ‪q‬ر ًفا عند أ� من �ليمين على فترة‬ ‫مفتوحة ق�سيرة �لطول على �ل�سورة ( أ� ‪ ،‬أ� ‪ +‬جـ)‪،‬‬ ‫�نظر �ل�سكل(‪.)3-1‬‬

‫�ل�سكل (‪)4-1‬‬ ‫ول إايجاد نهاية �قتر�ن عندما تقترب قيم �ص‬ ‫من عدد حقيقي مثل أ� ف إا َّنه من �ل�ضروري أ�ن‬ ‫يكون �لاقتر�ن مع ‪q‬ر ًفا على فترة مفتوحة ق�سيرة‬ ‫�لطول على �ل�سورة ( أ� – جـ ‪� ،‬أ ‪ +‬جـ )‪ ،‬وتحوي‬ ‫�لعدد �أ‪ ،‬حيث جـ عدد حقيقي �سغيرج اًّد�‪،‬‬ ‫(ولي�ص من �ل�ضروري أ�ن يكون �لاقتر�ن مع ‪q‬ر ًفا‬ ‫عند �لعدد أ� نف�سه)‪� .‬نظر �ل�سكل (‪.)4-1‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫�إذ� كانت ‪ :‬ن�صهــــ← أ�ــ‪+‬ا ق(�ص) = ن�هصـــــ←�أــ‪-‬ا ق(�ص) = ل‪ ،‬حيث أ� ‪ ،‬ل أ�عد�د حقيقية‪ ،‬ف إا َّن‪:‬‬ ‫ن�هصـــــ←ــأ�ا ق(�ص) موجودة‪ ،‬وتكون ن�صهــــ←ــ�أـا ق(�ص) = ل‬ ‫و�إذ�كانت ن�صهــــ← أ�ــ‪+‬ـا ق(�ص) ≠ ن�هصــــ←ـ�أــ‪-‬ا ق(�ص) ‪ ،‬فــ إا َّن ن�هـصـــــ←ـ�أـا ق(�ص) غير موجودة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫معتم ًد� �ل�سكل (‪� )5-1‬لذي يمثل منحنى �لاقتر�ن ل‬ ‫�لمعرف على ح‪ ،‬جد‪:‬‬ ‫ن�صهــــ←ـــ‪2‬ـا ل (�ص)‬ ‫�ل�سكل (‪)5-1‬‬ ‫الحل‬ ‫من خلال �ل�سكل(‪ )5-1‬لا بد من إ�يجاد �لنهاية عن يمين �لعدد ‪ 2‬وي�ساره (لماذ�؟)‬ ‫�سف ًر�‬ ‫=‬ ‫ق(�ص)‬ ‫نهــــــــا‬ ‫ن�هصــــ←ــ‪2‬ــ‪+‬ا ق(�ص) = ‪، 5‬‬ ‫�ص←‪-2‬‬ ‫غير موجودة‪.‬‬ ‫�إذن ن�هصـــــ←ـــ‪2‬ا ق(�ص)‬ ‫‪،‬‬ ‫ق(�ص)‬ ‫نهــــــــا‬ ‫ق(�ص) ≠‬ ‫ن�صهــــ←ــ‪2‬ـ‪+‬ـا‬ ‫بما �أ َّن‬ ‫�ص←‪-2‬‬ ‫‪10‬‬

‫ال�شكل (‪)6-1‬‬ ‫معتم ًدا ال�شكل(‪ )6-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ق ‪،‬‬ ‫جد ك اًّل مما ي�أتي إ�ن �أمكن ذلك‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�هســــ←ـــ‪2‬ــ‪+‬ا ق (�س)‬ ‫‪ )2‬ن�سهــــ←ـــ‪2‬ــ‪-‬ا ق (�س)‬ ‫‪ )3‬ن�سهــــ←ـــ‪2‬ــا ق (�س)‬ ‫‪ )4‬ق (‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫معتم ًدا ال�شكل (‪ )7-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ك‪ ،‬جد ك ّاًل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�سهــــ←ـــ‪1‬ــا ك (�س)‬ ‫‪ )2‬ن�سهــــ←ـــ‪0‬ــا ك (�س)‬ ‫ال�شكل (‪)7-1‬‬ ‫‪ )3‬ن�سهــــ←ــ‪-‬ـــ‪2‬ا ك (�س)‬ ‫‪ )4‬ن�سهــــ←ــ‪-‬ـــ‪1‬ـ‪-‬ا ك (�س)‬ ‫‪ )5‬ن�سهــــ←ــ‪-‬ـــ‪1‬ا ك (�س)‬ ‫تح ّقق �شرط النهاية‬ ‫الحل‬ ‫لأ َّن النهاية من اليمين لا ت�ساوي النهاية من الي�سار‬ ‫‪ 1 )1‬‬ ‫تح ّقق �شرط النهاية‬ ‫‪ )2‬غير موجودة ‬ ‫لماذا؟‬ ‫‪� )3‬صف ر ‬ ‫لماذا؟‬ ‫‪ 1- )4‬‬ ‫‪ 1- )5‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪3‬‬ ‫معتم ًد� �ل�سكل(‪ )8-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ل)�س) = ‪� -‬س ‪ ،‬جد ك ًّال مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫‪� )1‬نصهـــ←ــ‪0‬ــ‪+‬ا ل(�ص)‬ ‫‪� )2‬نصهـــ←ــ‪0‬ــ‪-‬ا ل(�ص)‬ ‫‪� )3‬نصهـــ←ـــ‪0‬ـا ل(�ص)‬ ‫‪� )4‬نصهـــ←ـــ‪1‬ـا ل(�ص)‬ ‫‪� )5‬نصهـــ←ـــ‪-‬ـ‪1‬ا ل(�ص)‬ ‫�ل�سكل (‪)8-1‬‬ ‫الحل‬ ‫لاحظ أ� َّن مجال �لاقتر�ن ل هو‪� :‬ص ≤ �سفر‪ ،‬لماذ�؟‬ ‫�لاقتر�ن غير مع َّرف على فترة مفتوحة على يمين �ل�سفر‪.‬‬ ‫‪ )1‬غير موجودة‬ ‫�لاقتر�ن مع َّرف على فترة مفتوحة على ي�سار �ل�سفر‪.‬‬ ‫‪� )2‬سفر‬ ‫�لاقتر�ن غير مع َّرف على فترة مفتوحة حول �ل�سفر‪.‬‬ ‫�لاقتر�ن غير مع َّرف على فترة مفتوحة حول �لعدد ‪.1‬‬ ‫‪ )3‬غير موجودة‬ ‫‪ )4‬غير موجودة‬ ‫�لاقتر�ن مع َّرف على فترة مفتوحة حول �لعدد ‪ 1-‬و�لنهاية‬ ‫من �ليمين ت�ساوي �لنهاية من �لي�سار‪.‬‬ ‫‪1 )5‬‬ ‫بالاعتماد‪2‬على �ل�سكل (‪� )9-1‬لذي يمثل منحنى‬ ‫الاقتران ق ا‪ ±ôَّ ©Ÿ‬على ‪ ،ì‬جد ك اًّل مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫‪� )1‬نصهــ←ــ‪1‬ا ق(�ص)‬ ‫‪� )2‬نصهــ←ـــ‪-‬ـا‪ 1‬ق(�ص)‬ ‫‪ )3‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ا ق(�ص)‬ ‫�ل�سكل (‪)9-1‬‬ ‫‪� )4‬نصهــ←ــ‪2‬ــ‪-‬ا ق(�ص)‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫تحد‪ ç‬إ�لى ‪R‬ملائك ب�سكل عام عن �لحالات �لتي تكون فيها �نصهــ←ــأ�ا ق(�ص) غير موجودة‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪ )1‬معتم ًد� �ل�سكل (‪ )10-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ق ا‪ ±ô©Ÿ‬على ‪ ، ì‬جد ك ًّال مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫ق(�ص)‬ ‫نهـــــــا‬ ‫)‬ ‫�أ‬ ‫�ص←‪+6‬‬ ‫ب) ن�هصـــ←ــ‪6‬ــ‪-‬ا ق(�ص)‬ ‫جـ) ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا ق(�ص)‬ ‫�ل�سكل (‪)10-1‬‬ ‫د ) �نصهــ←ـــ‪-‬ــ‪2‬ا ق (�ص)‬ ‫هـ ) �نصهــ←ـــ‪-‬ــ‪8‬ــ‪+‬ا ق(�ص)‬ ‫و ) �نصهــ←ـــ‪-‬ــ‪8‬ــ‪-‬ا ق(�ص)‬ ‫‪ ) R‬ق(‪)8-‬‬ ‫ح) ن�هصـــ←ــ‪0‬ــ‪1‬ا ق(�ص)‬ ‫‪ )2‬معتم ًد� �ل�سكل (‪� )11-1‬لذي يمثل منحنى �لاقتر�ن ل(�ص) = �ص ‪4 +‬‬ ‫جد ك اًّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) مجال �لاقتر�ن ل‬ ‫ب) ن�صهـــ←ـــ‪−‬ــ‪4‬ا‪+‬ل(�ص)‬ ‫نهــــــــا ل(�ص)‬ ‫جـ)‬ ‫�ص← ‪-4−‬‬ ‫�ل�سكل (‪)11-1‬‬ ‫د ) �نصهــ←ـــ‪−‬ــ‪4‬ا ل(�ص)‬ ‫هـ ) �نصهــ←ــ‪0‬ــا ل(�ص)‬ ‫‪13‬‬

‫‪ )3‬معتم ًد� �ل�سكل (‪ )12-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ع‪ ،‬جد ك ًّال مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) مجموعة قيم �أ حيث‪:‬‬ ‫ن�هصــــ←ـ أ�ـاع(�ص) =‪1‬‬ ‫�ل�سكل (‪)12-1‬‬ ‫ب) مجموعة قيم جـ حيث‪:‬‬ ‫�نصهـــ←ــجـــ‪+‬اع (�ص) =‪1‬‬ ‫جـ) مجموعة قيم ك حيث‪:‬‬ ‫�نصهـــ←ــكاع(�ص) غير موجودة‬ ‫د ) مجموعة قيم ل حيث‪:‬‬ ‫�نصهـــ←ــلاع(�ص) = �سف ًر�‬ ‫‪� ،‬ص �ص‬ ‫‪�2‬ص ‪1 +‬‬ ‫‪ )4‬إ�ذ� كان ل(�ص) =‬ ‫‪� ،‬ص �ص‪ ،‬حيث �ص مجموعة �ل أاعد�د �ل�سحيحة‬ ‫�ص‪4 + 2‬‬ ‫فجد �نصهـــ←ــ‪2‬ا ل(�ص)‬ ‫‪14‬‬

‫‪Theorems of Limits‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ ‪äÉjÉ¡ædG äÉjô¶f‬‬ ‫ق(�ص)‬ ‫نهـــــــــا‬ ‫فجد‬ ‫‪،‬‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‪4‬‬ ‫=‬ ‫ق(�ص)‬ ‫كان‬ ‫�إذ�‬ ‫�ص ←‪-1‬‬ ‫تعلمت في �لدر�ص �ل�سابق �إيجاد قيمة �لنهاية لاقتر�ن عند عدد بيان ًاّيا‪ ،‬وفي هذ� �لدر�ص �ستتعلم‬ ‫إ�يجاد قيمة نهاية �قتر�ن عند عدد جبر اًّيا با�ستخد�م نظريات �لنهايات‪.‬‬ ‫‪(1)ájô¶f‬‬ ‫‪� )1‬إذ� كان �أ‪ ،‬ب عددين حقيقيين‪ ،‬وكان ق(�ص) = ب لك ‪u‬ل �ص ∍ح‪ ،‬فاإ َّن‪ :‬ن�هصــــ←ـ�أـاق(�ص) = ب‬ ‫‪� )2‬إذ� كانت �أ ح ‪ ،‬ن عدد �سحيح موجب‪ ،‬وكان ق(�ص) = �صن‪ ،‬فاإ َّن‪:‬‬ ‫ن�صهـــ←ـ أ�ـاق(�ص) = �أن‬ ‫‪(2)ájô¶f‬‬ ‫�إذ� كان ق ‪ ،‬هـ �قتر�نين‪ ،‬حيث أ�‪ ،‬ب‪،‬جـ ‪ ،‬م �أعد�د حقيقية وكان‪:‬‬ ‫ن�هصـــ←ــأ�ا ق(�ص) = ب ‪ ،‬ن�هصــــ←ـ�أا هـ (�ص) = جـ ‪ ،‬ف إا َّن‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ـأ�ـا ق(�ص) ‪ +‬هـ (�ص) = ن�صهـــ←ـ أ�ـا ق(�ص) ‪ +‬ن�هصـــ←ــأ�ا هـ (�ص) = ب ‪ +‬جـ( )‬ ‫‪ )2‬ن�صهـــ←ـ أ�ـا ق(�ص) ‪ -‬هـ (�ص) = ن�هصــــ←ـ�أا ق(�ص) ‪ -‬ن�هصـــ←ــ�أا هـ (�ص) = ب ‪ -‬جـ( )‬ ‫‪ )3‬ن�هصـــ←ــ�أا م ق(�ص) = م * ن�هصـــ←ــ�أا ق(�ص) = م * ب‬ ‫‪ )4‬ن�صهـــ←ـ أ�ـا ق(�ص) * هـ (�ص) = ن�هصــــ←ـ�أا ق(�ص) * ن�هصــــ←ـ أ�ا هـ (�ص) = ب * جـ( )‬ ‫�سف ًر�‬ ‫≠‬ ‫جـ‬ ‫حيث‬ ‫‪،‬‬ ‫ب‬ ‫=‬ ‫�نصهــ←ـ�أـا ق(�ص)‬ ‫=‬ ‫ق(�ص)‬ ‫‪ )5‬ن�صهـــ←ـأ�ا‬ ‫جـ‬ ‫�نصهــ←ـ�أـا هـ (�ص)‬ ‫هـ (�ص)‬ ‫‪ )6‬ن�هصـــ←ــ�أا ن ق(�ص) = ن ن�صهـــ←ـ�أاق(�ص) = ن ب ‪) ،‬ب‪û‬شرط ب> �سفر �إذ� كان ن عد ًد� ‪R‬وج اًّيا)‬ ‫‪15‬‬

‫‪1‬‬ ‫�إذ� كان ق(�ص) = �ص‪� + 3‬ص‪ ، 5 + 2‬فجد ك ًّال مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪)2‬‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ق(�ص)‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ا ق(�ص) = ن�هصــــ←ــ‪2‬ا ( �ص‪� + 3‬ص‪)5 + 2‬‬ ‫= ن�صهـــ←ــ‪2‬ا �ص‪ + 3‬ن�هصـــ←ــ‪2‬ا �ص‪ + 2‬ن�هصــــ←ـا‪5 2‬‬ ‫=‪5+4+8‬‬ ‫= ‪17‬‬ ‫= ‪5 +22 + 32‬‬ ‫‪ )2‬ق (‪)2‬‬ ‫=‪5+4+8‬‬ ‫= ‪ 17‬ماذ� تلاحظ؟‬ ‫إ�ذ� كان ق �قتر�ن كثير حدود ‪ ،‬فاإ َّن‪ :‬ن�هصـــ←ـ�أا ق(�ص) = ق ( أ� )‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫أ�عط مثا ًلا يبين �أ َّن �لعبارة �ل آاتية غير �سحيحة‪:‬‬ ‫{ إ�ذ� كان ق( أ� ) = ل ‪ ،‬فاإ َّن‪ :‬ن�هصـــ←ـ�أـا ق(�ص) = ل ‪z‬‬ ‫�ص‪5 + 2‬‬ ‫‪ )2‬ن�هصـــ←ـــ‪−‬ــ‪1‬ا‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص‪1 + 4‬‬ ‫جد ك ّاًلا من �لنهايات �ل آاتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪3‬ـا ‪� -‬ص ‪3 +‬‬ ‫‪ )3‬ن�صهــــ←ـ‪2‬ـا (�ص‪� )1+‬ص‪21 + 2‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ـــ‪3‬ا ‪� -‬ص ‪� = 3 +‬نصهــ←ـــ‪3‬ــا ‪� * 1 -‬نصهــ←ـــ‪3‬ـا �ص ‪3 +‬‬ ‫‪16‬‬

‫نظريات النهايات‬ ‫= ‪ * 1-‬ن�سهـــ←ــ‪3‬ا (�س ‪) 3 +‬‬ ‫= ‪6 - = 6 * 1-‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ن�سهـــ←ـــ‪-‬ـ‪1‬ا (�س‪)5 + 2‬‬ ‫=‬ ‫�س‪5 + 2‬‬ ‫‪ )2‬ن�سهـــ←ـــ‪-‬ـ‪1‬ا‬ ‫‪2‬‬ ‫ن�سهـــ←ـــ‪-‬ـ‪1‬ا (�س‪)1 + 4‬‬ ‫�س‪1 + 4‬‬ ‫‪� )3‬نسهــ←ــ‪2‬ا (�س ‪� )1+‬س‪ = 2 1+ 2‬ن�سهـــ←ــ‪2‬ا (�س ‪ * )1+‬ن�سهـــ←ــ‪2‬ا �س‪21+ 2‬‬ ‫ = ‪15 = 5 * 3‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = ‪�2‬س ‪ ،‬هـ (�س) = �س‪� + 3‬س ‪ ،‬فجد ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫(�س)‬ ‫ق‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪1‬ا‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪� )1‬نسهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا ق(�س ) ‪ +‬هـ (�س ) * �س ( ) ‬ ‫(�س)‬ ‫هـ‬ ‫‪ )3‬ن�هســــ←ـ‪1‬ا ق(�س) ‪ 3 +‬هـ (�س) ‪) (15 +‬‬ ‫‪ )2‬ن�هســـ←ــ‪3‬ا⏐�س‪⏐4 - 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد كالًّ مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�سهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ا⏐�س‪⏐4 - 2‬‬ ‫‪ )4‬ن�هســـ←ــ‪1‬ـا⏐�س‪⏐4 - 2‬‬ ‫‪ )3‬ن�سهـــ←ــ‪2‬ا⏐�س‪⏐4 - 2‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ن�سهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ا⏐�س‪ = ⏐ 4 - 2‬ن�هســـ←ــ‪3‬ــ‪-‬ا (�س‪5 = 4 - 9 = )4 - 2‬‬ ‫‪ )2‬ن�هســـ←ــ‪3‬ا⏐�س‪ = ⏐4 - 2‬ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا (�س‪5 = )4 - 2‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪ )3‬لا بد من �إيجاد النهاية عن يمين العدد ‪ 2‬وي�ساره‪( ،‬لماذا؟)‬ ‫�نسهــ←ــ‪2‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ن�هســـ←ــ‪2‬ــ‪+‬ا (�س‪� = )4 - 2‬صف ًرا‬ ‫�نسهــ←ــ‪2‬ــ‪-‬ا ق(�س) = ن�هســـ←ــ‪2‬ـ‪-‬ا (‪� - 4‬س‪� = ) 2‬صف ًرا‬ ‫وبما �أن ن�سهـــ←ــ‪2‬ـ‪-‬ـا ق(�س) = ن�سهـــ←ــ‪2‬ـ‪+‬ا ق(�س) = �صف ًرا‬ ‫∴ ن�سهــ‪2‬ـ←ـ‪2‬ـا⏐�س‪� =⏐4 - 2‬صف ًرا‬ ‫‪ )4‬ن�سهـــ←ــ‪1‬ا⏐�س‪ = ⏐4 - 2‬ن�سهـــ←ـ‪1‬ـا ( ‪� - 4‬س‪3 = )2‬‬ ‫‪ )2‬ن�سهـــ←ــ‪6‬ــ‪1‬ا⏐�س ‪⏐16 -‬‬ ‫جد ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�هســــ←ـ‪0‬ا⏐�س ‪⏐8 -‬‬ ‫‪ )3‬ن�سهـــ←ــ‪4‬ا⏐�س‪⏐16 - 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جد ن�هســـ←ــ‪4‬ـا [‪� 0.5‬س]‬ ‫الحل‬ ‫أ�عد تعريف [ ‪� 0.5‬س] دون ا�ستخدام رمز أ�كبر عدد �صحيح في فترة تحوي العدد ‪4‬‬ ‫‪� ≤0 ، 0‬س < ‪2‬‬ ‫[‪� 0.5‬س] = ‪� ≤2 ، 1‬س < ‪4‬‬ ‫‪� ≤4 ، 2‬س < ‪6‬‬ ‫‪18‬‬

‫لا بد من إ�يجاد �لنهاية عن يمين �لعدد ‪ 4‬وعن ي�ساره‪( ،‬لماذ�؟)‬ ‫�نصهــ←ــ‪4‬ــ‪+‬ـا [‪� 0.5‬ص] = ‪ ، 2‬ن�هصـــ←ــ‪4‬ـ‪-‬ا [‪� 0.5‬ص] = ‪1‬‬ ‫بما أ�ن ن�صهـــ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا [‪� 0.5‬ص] ≠ ن�صهـــ←ــ‪4‬ـ‪-‬ا [‪� 0.5‬ص]‬ ‫∴ ن�صهـــ←ــ‪4‬ا [‪� 0.5‬ص] غير موجودة‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫قامت �سارة بحل �لمثال �ل�سابق كما ياأتي‪:‬‬ ‫�نصهــ←ــ‪4‬ا [‪� 0.5‬ص] = [‪2 = ]2[ = ]4 *0.5‬‬ ‫ناق�ص مع ‪R‬ملائك �ل أاخطا‪� A‬لتي �رتكبتها �سارة في ح ‪u‬لها للمثال‪.‬‬ ‫‪ )2‬ن�هصـــ←ــ‪5‬ـ‪.‬ــ‪1‬ـا [‪�2 - 4‬ص]‬ ‫جد ك اًّلا من �لنهايات �ل آاتية‪:‬‬ ‫‪ )4‬ن�هصــــ←ــ‪4‬ا [‪� 0.25‬ص ]‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪1‬ا [�ص ‪]2 -‬‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪1‬ـ‪.‬ـا‪�[ 0‬ص ‪]1 +‬‬ ‫�إذ� كان ق(�ص) = [‪� - 2‬س ] ‪ ،‬ف أ�ج‪ Ö‬عن ك ٍّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪)1‬جد قيم �أ �لتي تجعل ن�هصـــ←ـ�أـا ق(�ص) غير موجودة‬ ‫‪)2‬جد قيم جـ �لتي تجعل ن�هصـــ←ــجــا ق(�ص) = ‪1-‬‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫ب ‪u‬ين �إذ� كانت �لعبار�ت �ل آاتية �سحيحة �أم لا‪ ،‬مب ‪q‬ر ًر� إ�جابتك من خلال تقد‪ Ë‬أ�مثلة‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ـأ�ــ‪+‬ا [�ص ] = أ� ‪ ،‬حيث �أ عدد �سحيح‪.‬‬ ‫‪ )2‬ن�صهـــ←ـأ�ــ‪-‬ا [�ص ] = �أ – ‪ ، 1‬حيث أ� عدد �سحيح ‪.‬‬ ‫‪19‬‬

‫�ل�سكل (‪)13-1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جد ن�صهـــ←ــ‪4‬ا �ص – ‪4‬‬ ‫الحل‬ ‫لابد من �إيجاد مجال �لاقتر�ن‬ ‫لاحظ أ� َّن �لاقتر�ن مع َّرف‬ ‫على �لفترة [‪)∞ ، 4‬‬ ‫�نظر �ل�سكل (‪.)13-1‬‬ ‫ق مع َّرف على يمين �لعدد ‪4‬‬ ‫�نصهــ←ــ‪4‬ــ‪+‬ا �ص – ‪� = 4 - 4 = 4‬سف ًر�‬ ‫ق غير مع َّرف على ي�سار �لعدد ‪4‬‬ ‫�نصهــ←ــ‪4‬ــ‪-‬ا �ص – ‪ 4‬غير موجودة‬ ‫∴ ن�هصـــ←ــ‪4‬ـا �ص – ‪ 4‬غير موجودة‬ ‫لماذ�؟‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫�أعط مثا ًلا على �قتر�ن مثل ق(�ص) بحيث تكون ق(‪ )1‬معرفة‪ ،‬لكن‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪1‬ـا ق(�ص) غير موجودة‬ ‫‪� )2‬نصهـــ←ـ‪9‬ـا �ص ‪7 -‬‬ ‫جد ك اًّلا من �لنهايات �ل آاتية‪:‬‬ ‫‪� )4‬نصهــ←ــ‪-‬ــ‪7‬ـا �ص‪25 - 2‬‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪7‬ـا �ص‪7 -‬‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪5‬ا �ص‪25 - 2‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪ ،‬فجد ن�هســــ←ــ‪0‬ا ق(�س)‪ ،‬ثم جد ق(‪.)0‬‬ ‫�س ≥‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�س <‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫| �س |‬ ‫�إذا كان ق(�س) = ‪� -‬س‬ ‫الحل‬ ‫بما �أ َّن الاقتران ق يغير قاعدته عند �س = ‪ ، 0‬فلا بد من البحث في النهاية عن يمين العدد �صفر‬ ‫وعن ي�ساره‬ ‫ن�هســـ←ــ‪0‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ن�سهـــ←ــ‪0‬ـ‪+‬ـا | �س | = �نسهــ←ــ‪0‬ــ‪+‬ــا �س = ‪0‬‬ ‫ال�شكل (‪)14-1‬‬ ‫�نسهــ←ــ‪0‬ــ‪-‬ـا ق(�س) = ن�هســـ←ــ‪0‬ــ‪-‬ـا ‪� -‬س = ‪0‬‬ ‫بما أ�ن ن�هســـ←ــ‪0‬ـ‪+‬ا ق(�س) = ن�هســــ←ـ‪0‬ــ‪-‬ا ق(�س) =‪0‬‬ ‫∴ ن�هســــ←ـا‪ 0‬ق(�س) = �صف ًرا‬ ‫ق(‪� = )0‬صف ًرا‬ ‫انظر ال�شكل (‪ )14-1‬الذي يبين منحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫�س ≥‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫| �س ‪| 2 -‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫�س <‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫[ ‪� - 6‬س ]‬ ‫فجد ن�هســـ←ــ‪2‬ا ق(�س)‬ ‫‪21‬‬

‫إ�ذ� كان ق(�ص) = [�ص ‪ ، ]5 +‬ل(�ص) = [‪� - 4‬س] ‪ ،‬فجد ك اًّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪ )2‬ن�هصـــ←ــ‪1‬ا ل(�ص)‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ‪1‬ا ق(�ص)‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪1‬ا ق(�ص) ‪ +‬ل(�ص)( )‬ ‫ماذ� تلاحظ؟‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫تحد‪ ç‬إ�لى ‪R‬ملائك عن ملاحظاتك �لتي تو�سلت �إليها من خلال حلك لتدريب (‪.)7‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪� )1‬إذ� كان ق(�ص) = �ص‪� – 2‬ص – ‪ ، 6‬ل(�ص) = �ص‪� 2– 2‬ص – ‪ ، 3‬فجد ك ًّال مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫أ� ) ن�صهـــ←ــ‪1‬ـا ق(�ص) ‪ +‬ل(�ص)( )‬ ‫ب) ن�صهـــ←ــ‪1‬ا ق(�ص)×ل(�ص)‬ ‫د ) ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ( ل(�ص))‪4‬‬ ‫ل (�ص)‬ ‫جـ) ن�هصـــ←ــ‪1‬ـا‬ ‫ق (�ص)‬ ‫ل (�ص)‬ ‫) ن�صهـــ←ـ‪−‬ــ‪1‬ـا‬ ‫و‬ ‫هـ) ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ‪ – 1 3‬ل(�ص)‬ ‫ق (�ص)‬ ‫‪ )2‬إ�ذ� كانت ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ‪2‬ع(�ص) = ‪ ، 10‬ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ‪3‬ل(�ص) ‪ ، 7 = 1+‬فجد ك اًّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫ب) ن�صهـــ←ــ‪2‬ـا ع‪�( 3‬ص) – ل‪�( 2‬ص)( )‬ ‫أ� ) ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ‪2‬ع(�ص) ‪ +‬ل(�ص)( )‬ ‫د ) ن�هصـــ←ــ‪2‬ـا ع‪�( 2‬ص) ‪ -‬ل‪�( 2‬ص)( )‬ ‫ل (�ص)‬ ‫جـ) ن�هصـــ←ــ‪2‬ــا‬ ‫ع (�ص)‬ ‫ب) �نصهـــ←ـ‪5‬ــ‪-‬ـا | �ص‪| 25 – 2‬‬ ‫‪ )3‬جد ك اًّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) ن�هصـــ←ــ‪5‬ــ‪+‬ـا | �ص‪| 25 – 2‬‬ ‫د ) �نصهـــ←ـ‪8‬ــا | �ص‪| 64 – 2‬‬ ‫جـ) ن�هصــــ←ــ‪2‬ـ‪-‬ـا | �ص – ‪| 2‬‬ ‫هـ ) ن�صهـــ←ــ‪-‬ــ‪4‬ا [�ص ‪]2 -‬‬ ‫و ) ن�هصـــ←ــ‪1‬ـا �ص [�ص] ‪� | +‬ص |( )‬ ‫ح) ن�صهـــ←ــ‪1‬ـا ‪� -1‬ص‪2‬‬ ‫‪� ) R‬نصهــ←ــ‪5‬ــ‪-‬ا ‪� - 5‬ص‬ ‫ط ) �نصه```←``‪� �2``-‬س‪�4+ 2‬ص‪4+‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪ )4‬جد قيم جـ التي تجعل ن�هســـ←ــجـــا ‪� – 6‬س غير موجودة‪.‬‬ ‫‪ )5‬إ�ذا كان ق(�س)= [‪�0.2‬س]‪ ،‬فجد قيم جــ التي تجعل ن �هـســـ←ــجــا [‪�0.2‬س] = ‪1-‬‬ ‫�س‪� 4 - 2‬أ ‪� ،‬س ≥‪3‬‬ ‫‪� )6‬إذا كان ق(�س) = [ ‪� - 6‬س ] ‪� ،‬س <‪3‬‬ ‫وكانت ن�هســـ←ــ‪3‬ـا ق(�س) موجودة ‪ ،‬فجد قيمة الثابت �أ‪.‬‬ ‫‪ )7‬معتم ًدا ال�شكل (‪ ) 15-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ل‪ ،‬جد ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫أ� ) ن�سهـــ←ــ‪2‬ـا ل(‪� 3‬س – ‪) 3‬‬ ‫( إ�ر�شاد‪ :‬افر�ض �ص = ‪�3‬س ‪)3 -‬‬ ‫ال�شكل (‪)15-1‬‬ ‫ب) ن�سهـــ←ــ‪2‬ا �س ‪+‬ل (�س)( )‬ ‫‪ )8‬معتم ًدا ال�شكل(‪ ،)16-1‬الذي يمثل منحنيي الاقترانين ق‪،‬ع ‪،‬جد ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ال�شكل (‪)16-1‬‬ ‫�أ ) ن�هســــ←ــ‪1‬ا ق(�س) ‪ +‬ع(�س)( )‬ ‫ب) ن�سهـــ←ــ‪2‬ـا ق(�س) ×ع(�س)( )‬ ‫‪24‬‬

‫جـ) ن�سهـــ←ــ‪1‬ـا ‪ 2‬ق( �س‪ + )1-‬ع(�س)( )‬ ‫‪� )9‬إذا كان ق كثير حدود يمر بالنقطة (‪ ،) 4، 3-‬وكانت ن�سهـــ←ــ‪-‬ــ‪3‬ـا �س ‪ -‬ل(�س) = ‪) (10-‬‬ ‫فجد ن�هســـ←ــ‪-‬ــ‪3‬ا ق‪�( 2‬س) ‪ 2 -‬ل(�س)( )‬ ‫‪ )10‬إ�ذا كان ع كثير حدود باقي ق�سمته على (�س‪ )2-‬ي�ساوي‪ ، 5‬فجد‬ ‫ن�هســــ←ــ‪2‬ـا (‪3‬ع(�س) ‪� 4 +‬س‪) 2‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪ájô°ùc äÉfGÎbG äÉjÉ¡f‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‬ ‫‪Limits of Fractional Functions‬‬ ‫�ص‪8 - 3‬‬ ‫�ل�سكل( ‪ )17-1‬يمثل منحنى ق(�ص) =‬ ‫�ص ‪2 -‬‬ ‫جد ك اًّل مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ـا ق(�ص) بيان ّاًيا‪.‬‬ ‫‪ )2‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ـا ق(�ص) جبر ًّايا‪.‬‬ ‫�ل�سكل (‪)17-1‬‬ ‫تعلمت في �لدر�ص �ل�سابق �إيجاد نهاية �قتر�ن عند نقطة جبر ًّايا با�ستخد�م نظريات �لنهايات‪،‬‬ ‫وفي هذ� �لدر�ص �ستتعلم �إيجاد نهاية �قتر�نات ك�ضرية‪.‬‬ ‫ولاإيجادن �هـصـــ←ـــ‪2‬اق(�ص)في�لم�ساألة�لمو ‪�q‬سحةبد�ية�لدر�ص‪،‬لان�ستطيع��ستخد�م�لنظرية�‪ÿ‬ا�سةبح�ساب‬ ‫نهاية خار‪ ê‬ق�سمة �قتر�نين (لماذ�؟)‬ ‫ح ‪u‬لل �لب�سط لمحاولة �خت�سار �لمقد�ر (�ص – ‪ )2‬للتخل�ص من �لح�سول على �سفر في �لمقام عند‬ ‫تطبيق نظرية (‪ )2‬فرع (‪ ،)4‬كما ي أاتي‪:‬‬ ‫لماذ�؟‬ ‫(�ص ‪�( )2-‬ص‪�2 + 2‬ص‪)4+‬‬ ‫= ن�صهـــ←ــ‪2‬ــا‬ ‫�ص‪8 - 3‬‬ ‫ن�هصـــ←ـــ‪2‬ـا‬ ‫(�ص ‪)2 -‬‬ ‫�ص ‪2 -‬‬ ‫�نصهـــ←ـــ‪2‬ـا ( �ص‪� 2 + 2‬ص ‪12 = ) 4+‬‬ ‫هل يمكنك �لتحقق من �سحة �لحل؟ كيف؟‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫لماذ� يمكن �خت�سار �لمقد�ر(�ص ‪ )2-‬في �لب�سط مع �لمقد�ر(�ص ‪ )2-‬في �لمقام عند إ�يجاد �لنهاية؟‬ ‫‪26‬‬

‫‪1‬‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫�ص ‪1-‬‬ ‫جد ن�هصــــ←ــ‪1‬ا‬ ‫الحل‬ ‫لاحظ أ� َّن ن�صهـــ←ـــ‪1‬ـا (�ص‪� = )1-‬سف ًر�‬ ‫�ل�سكل (‪)18-1‬‬ ‫وعليه لا يمكن ��ستخد�م �لنظرية �‪ÿ‬ا�سة بح�ساب نهاية‬ ‫خار‪ ê‬ق�سمة �قتر�نين (لماذ�؟)‬ ‫ولا يمكن أ�ي�سا �إجر�‪� A‬خت�سار للتخل�ص من �لمقد�ر‬ ‫(�ص‪ ،)1-‬لماذ�؟‬ ‫وبالتا‹ فاإ َّن �لنهاية هنا غير موجودة‪.‬‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫=‬ ‫ق(�ص)‬ ‫�لاقتر�ن‬ ‫منحنى‬ ‫يمثل‬ ‫�لذي‬ ‫(‪)18-1‬‬ ‫�ل�سكل‬ ‫�نظر‬ ‫�ص ‪1-‬‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫�ص ‪1-‬‬ ‫=‬ ‫ق(�ص)‬ ‫�لاقتر�ن‬ ‫منحنى‬ ‫�سلوك‬ ‫عن‬ ‫لزملائك‬ ‫تحد‪ç‬‬ ‫(‪)18-1‬‬ ‫بال�سكل‬ ‫بالا�ستعانة‬ ‫عندما تقترب قيم �ص من �لعدد ‪ 1‬من جهتي �ليمين و�لي�سار‪.‬‬ ‫‪áé«àf‬‬ ‫�إذ� كانت ن�صهـــ←ـأ�ـا ق(�ص) = ل ‪ ،‬حيث ل عدد حقيقي ‪ ،‬ل ≠‪ ، 0‬ن �هـصـــ←ـ�أا هـ (�ص) = �سف ًر� ‪،‬‬ ‫ق(�ص)‬ ‫غير موجودة‬ ‫هـ (�ص)‬ ‫ف إا َّن �نصهـــ←ـ�أـا‬ ‫�ص‪1 +2‬‬ ‫جد ك ًاّلا من �لنهايات �لاآتية‪:‬‬ ‫�ص ‪3 -‬‬ ‫‪ )2‬ن�هصــــ←ــ‪3‬ــا‬ ‫�ص‪�3 + 2‬ص ‪10-‬‬ ‫‪)1‬ن�صهــــ←ـ‪-‬ــ‪5‬ـا‬ ‫�ص ‪5 +‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫�‪-‬س‪4‬‬ ‫جد ن�هســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫الحل‬ ‫لا ن�ستطيع تطبيق نظرية حا�صل ق�سمة اقترانين إليجاد النهاية‪ ،‬لماذا؟‬ ‫ويمكن تب�سيط المقدار من خلال توحيد المقامات كما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪-� + 41‬س‪� +14‬س‬ ‫‪� + 4-‬س ‪4 +‬‬ ‫= ن�هســـ←ـــ‪0‬ا‬ ‫ن�هســـ←ـــ‪0‬ا‬ ‫‪� + 4-( 4‬س ) * �س‬ ‫�س‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪� + 4-( 4‬س ) * �س‬ ‫�س)‬ ‫‪1‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫=‬ ‫‪+ 4-(4‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫جد ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا �س�س‪3 -36-+‬‬ ‫الحل‬ ‫لا ن�ستطيع تطبيق نظرية حا�صل ق�سمة اقترانين‪ ،‬لماذا؟‬ ‫يمكن تب�سيط المقدار من خلال ال�ضرب بمرافق الب�سط كما ي�أتي‪:‬‬ ‫�س ‪3 + 6 +‬‬ ‫�س�س‪* 3 -36-+‬‬ ‫ن�هســـ←ـــ‪3‬ا‬ ‫�س ‪3 + 6 +‬‬ ‫�س ‪9 - 6 +‬‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا‬ ‫(�س ‪� ()3 -‬س ‪)3 + 6 +‬‬ ‫‪)3+‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا‬ ‫(�س‪� ()3 -‬س‪6 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا‬ ‫‪6‬‬ ‫�س ‪3 + 6 +‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪1‬‬ ‫جد ك ًّال من النهايات لاآتية‪:‬‬ ‫‪25 -‬‬ ‫)‬ ‫�س‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ )1‬ن�هســـ←ــ‪5‬ا ( �‪2‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪ )2‬ن�هســـ←ــ‪2‬ا‬ ‫�س ‪6 - 34 +‬‬ ‫‪ )3‬ن�هســـ←ــ‪0‬ا �س‪-� 1 + 2‬س‪�2- 1 2‬س‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جد ك ًاّل من النهايات لاآتية‪:‬‬ ‫�س‪25 - 2‬‬ ‫‪ )2‬ن�سهـــ←ــ‪5‬ـا‬ ‫�س‪25 - 2‬‬ ‫‪ )1‬ن�سهـــ←ــ‪5‬ــ‪+‬ـا‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬لا ن�ستطيع تطبيق نظرية حا�صل ق�سمة اقترانين إليجاد النهاية‪ ،‬لماذا؟‬ ‫في هذه الحالة لابد من إ�يجاد مجال المقدار (لماذا؟)‬ ‫مجال الب�سط هو‪ :‬الفترة [ ‪ ، )∞ ، 5‬والفترة (‪]5- ، ∞ -‬‬ ‫مجال المقام هو‪ :‬الفترة [ ‪)∞ ، 5‬‬ ‫إ�ذن مجال المقدار هو‪ :‬الفترة ( ‪ ( )∞ ، 5‬لماذا ُو ِ�ض َع رمز الفترة المفتوحة عند العدد ‪ 5‬؟)‬ ‫انظر ال�شكل(‪)19-1‬‬ ‫مجال (�س‪)25 - 2‬‬ ‫مجال (�س‪)5 -‬‬ ‫ال�شكل (‪)19-1‬‬ ‫‪29‬‬

QGó≤ŸG ájÉ¡f OÉéjGE øµÁ Gòd ;5 Oó©dG ÚÁ ≈∏Y ¿Éaô©e ΩÉ≤ŸGh §°ùÑdG øe Óv c ¿v GC ßM’ §≤a 5 Oó©dG ÚÁ øY ôcòJ 25 - 2¢S É+`5```←```¡¢Sf ¿PEG 5 - ¢S 0< ¢U , 0< ¢S âfÉc GPEG :¿s EÉa 25 - 2¢S É+`5```←```¢¡Sf = ¢S = ¢S 5 - ¢S ¢U ¢U (5 -¢S) (5 +¢S) 10 = 5 - ¢S É+``5```←```¢¡Sf = ?GPÉŸ ,IOƒLƒe ÒZ 25 - 2¢S É`5```←```¢¡Sf (2 5 - ¢S ¿GÎb’G ≈æëæe ÚÑj …òdG (20-1) πµ°ûdG ô¶fG (20-1) πµ°ûdG 25 - 2¢S = (¢S)¥ 5 - ¢S ¢ûbÉfh ôµa ?IOƒLƒe ÒZ 25 - 2¢S É``5``←````¢¡Sf GPÉŸ öqù`a (20-1) πµ°ûdÉH áfÉ©à°S’ÉH (1 5 - ¢S :»JÉC j ɪc 25 - 2¢S É-``5``←````¢¡Sf ˆGóÑY óLhCG (2 5 - ¢S 25 - 2¢S É`-``5```←``¡¢fS = 25 - 2¢S É-``5```←``¡¢fS 5 - ¢S 5 - ¢S 10 = (5-¢S) (5+¢S) É-``5```←```¢¡Sf = 5 - ¢S .ÜGƒ°üdG ÖàcG ºK ¬∏q M ‘ ÉC £ÿG ∞°ûàcG 30

‫جد ك ًاّل من النهايات لاآتية‪:‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫‪ )2‬ن �هـســــ←ــ‪2‬ا‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫‪ )1‬ن�هســـ←ـــ‪2‬ـ‪+‬ا‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‪�2 - 4‬س‪1 + 2‬‬ ‫جد ن�هســـ←ـــ‪1‬ـا‬ ‫�س‪1- 3‬‬ ‫الحل‬ ‫ح�سب نظرية العامل ف إ� َّن المقدار(�س – ‪ )1‬عام ٌل من عوامل الب�سط ‪ ،‬و عام ٌل من عوامل المقام ‪،‬‬ ‫يمكن تحليل الب�سط با�ستخدام الق�سمة الطويلة �أو الق�سمة التركيبية كما ي�أتي‪:‬‬ ‫�س‪� 2‬س �س‪0‬‬ ‫�س‪� 4‬س‪3‬‬ ‫‪1 0 2-‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪1- 1- 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0 1- 1 -‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫�إذن‪� ،‬س‪� 2 – 4‬س‪�( = 1 + 2‬س‪� ( )1-‬س‪� + 3‬س‪� – 2‬س‪)1 -‬‬ ‫ومنه ن�هســــ←ـ‪1‬ـا �س‪-� 4‬س‪-�23‬س‪1 +12‬‬ ‫(�س‪�( )1-‬س‪� + 3‬س‪� - 2‬س ‪)1 -‬‬ ‫= ن�هســـ←ـــ‪1‬ـا‬ ‫(�س‪�( )1-‬س‪� + 2‬س ‪)1+‬‬ ‫(�س‪� + 3‬س‪� - 2‬س ‪)1 -‬‬ ‫= ن�سهـــ←ـــ‪1‬ا‬ ‫(�س‪� + 2‬س ‪)1 +‬‬ ‫= �صف ًرا (لماذا؟)‬ ‫‪31‬‬

‫تذكر‬ ‫‪6‬‬ ‫�أ‪ – 3‬ب‪ ( = 3‬أ� ‪ -‬ب)(�أ‪ + 2‬أ�ب ‪ +‬ب‪) 2‬‬ ‫‪� 3‬س ‪2 -‬‬ ‫جد ن�هســـ←ــ‪8‬ــا‬ ‫أ�‪ + 3‬ب‪�( = 3‬أ ‪ +‬ب)(�أ‪ - 2‬أ�ب ‪ +‬ب‪) 2‬‬ ‫�س ‪8 -‬‬ ‫الحل‬ ‫ا�ضرب ك ًّال من الب�سط والمقام بالمقدار ( ‪� 3‬س‪� 3 2 + 2‬س ‪) 4 +‬‬ ‫‪� 3‬س ‪2 -‬‬ ‫∴ ن�سهـــ←ــ‪8‬ا‬ ‫�س ‪8 -‬‬ ‫‪� 3‬س‪� 3 2 + 2‬س ‪4 +‬‬ ‫×‬ ‫‪� 3‬س ‪2 -‬‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪8‬ـا‬ ‫‪� 3‬س‪� 3 2 + 2‬س ‪4 +‬‬ ‫�س ‪8 -‬‬ ‫‪)4 +‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪8 -‬‬ ‫(�س ‪()8 -‬‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪8‬ـا‬ ‫‪� 3‬س‪3 2 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4+4+4‬‬ ‫( ُح َّل المثال(‪ )6‬بطريقة �أخرى من خلال فر�ض ‪� 3‬س = �ص )‬ ‫‪� 3‬س ‪2 - 1 +‬‬ ‫جد ن�هســـ←ــ‪7‬ـا‬ ‫�س ‪7-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫�س‪�4 + 2‬س ‪4 +‬‬ ‫جد ن�هســـ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا‬ ‫�س ‪2+‬‬ ‫تذ َّكر‬ ‫�س‪�4 + 2‬س ‪4 +‬‬ ‫الحل‬ ‫�س‪�| = 2‬س|‬ ‫�س ‪2+‬‬ ‫�نسهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا‬ ‫|�س ‪|2 +‬‬ ‫نهـــــــا‬ ‫=‬ ‫(�س ‪2)2 +‬‬ ‫نهـــــــا‬ ‫=‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫�س←‪2-‬‬ ‫�س←‪2-‬‬ ‫‪32‬‬

‫لا بد من إ�يجاد �لنهاية عن يمين �لعدد ‪ 2-‬وعن ي�ساره‪ ،‬لماذ�؟‬ ‫|�ص ‪| 2 +‬‬ ‫�نصهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ــ‪+‬ا‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫= ن�صهـــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ـ‪+‬ا‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫|‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‬ ‫|‬ ‫�نصهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ــ‪-‬ا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‬ ‫�ل�سكل (‪)21-1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪� -‬ص ‪2 -‬‬ ‫= �نصهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ــ‪-‬ا‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫غير موجودة‬ ‫|�ص ‪| 2 +‬‬ ‫�إذن ن�هصـــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ـا‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫|�ص ‪|2 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫�نظر �ل�سكل (‪� )21-1‬لذي يمثل منحنى �لاقتر�ن ق(�ص) =‬ ‫|�ص ‪| 2 +‬‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫�ص ‪2 +‬‬ ‫غير موجودة؟‬ ‫�ل�سكل (‪ )21-1‬ثم ف�‪q‬ضر لماذ��نصهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ـا‬ ‫�در�ص‬ ‫‪33‬‬

‫‪ )1‬جد ك اًّلا من �لنهايات �لاآتية‪:‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪� 3‬ص‬ ‫ب) نهــــــا‬ ‫(�ص ‪81 - 2)1 +‬‬ ‫) نهـــــــا‬ ‫أ�‬ ‫�ص‬ ‫‪-4‬‬ ‫(�ص‪)8-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص←‪8‬‬ ‫�ص←‪8‬‬ ‫‪�3| - 5‬ص‪| 1+‬‬ ‫د ) ن�صهـــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ن�صهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�ص‪8 + 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� +‬ص)‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫�ص‪�10 - 2‬ص ‪25 +‬‬ ‫و ) ن�صهـــ←ــ‪5‬ـا‬ ‫‪� - 6‬ص �ص‪1 +‬‬ ‫هـ) �نصهـــ←ـ‪3‬ــا‬ ‫�ص ‪5 -‬‬ ‫‪� 3 - 9‬ص‬ ‫�ص‪�3 + 3‬ص ‪4 -‬‬ ‫ح ) ن�صهـــ←ــ‪1‬ـا‬ ‫�ص‪1 - 2‬‬ ‫‪ ) R‬ن�هصـــ←ــ‪1‬ـا‬ ‫�ص‪1 - 2‬‬ ‫�ص ‪1 -‬‬ ‫‪�2‬ص‪�2[-‬ص]‬ ‫ي ) �نصهــ←ــ‪5‬ـ‪.‬ـا‪2‬‬ ‫�ص‪49 - 2‬‬ ‫ط ) ن�صه```←``‪�+`7‬‬ ‫‪�4‬ص‪25 - 2‬‬ ‫�ص ‪7 -‬‬ ‫‪� + 1‬ص‪� - 1 - 2‬ص‪2‬‬ ‫ك ) ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫‪،4= 5‬‬ ‫ق(�ص) ‪+‬‬ ‫‪� )2‬إذ� كان ق كثير حدود‪ ،‬وكانت ن�هصــــ←ــ‪3‬ا‬ ‫�ص ‪3-‬‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪3‬ــا ق(�ص) – ‪�2‬ص ‪ 3 +‬ب = ‪ ، 7‬فجد قيمة �لثابت ب‪) (.‬‬ ‫‪34‬‬

‫= ‪ ، 1‬فجد قيمة ك ٍّل من الث�بتين اأ ‪ ،‬ب‪.‬‬ ‫�أ�ص‪2 + 2‬ب �ص ‪2 +‬‬ ‫‪� )3‬إذ� كانت ن�هصـــ←ــ‪1‬ـا‬ ‫�ص ‪1-‬‬ ‫(‪�)64‬ص ‪�8 -‬ص‬ ‫‪ )4‬جد ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪�8 - 1‬ص‬ ‫‪� ،‬ص ≥ ع‬ ‫�ص‪27 - 3‬‬ ‫‪ )5‬إ�ذ� كان ل(�ص) =‬ ‫‪� ،‬ص < ع‬ ‫‪�2‬ص‪�6 +2‬ص ‪18 +‬‬ ‫�ص ‪5 +‬‬ ‫فجد قيمة �لثابت ع �لتي تجعل ن�هصـــ←ـــعا ل(�ص) موجودة‪.‬‬ ‫�ص‪5 + 2‬‬ ‫‪ )6‬إ�ذ� كان ق(�ص) =‬ ‫�ص‪�5 - 2‬ص ‪6 +‬‬ ‫فجد قيم �أ �لتي تجعل ن�هصــــ←ــ�أـا ق(�ص) غير موجودة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬ب=‬ ‫�ص‪�2 + 2‬ص ‪3 -‬‬ ‫= ‪، 8‬وكانت ن�صهـــ←ـ‪1‬ـا‬ ‫ق(�ص) ‪6 -‬‬ ‫‪ )7‬إ�ذ� كانت �نصهـــ←ـ‪1‬ــا‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(�ص) ‪6 -‬‬ ‫�ص ‪1-‬‬ ‫فجد قيمة �لثابت ب‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(�ص)‬ ‫هـ‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫وكانت‬ ‫حدود‪،‬‬ ‫كثير‬ ‫هـ‬ ‫كان‬ ‫إ�ذ�‬ ‫‪)8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫�نصهـــ←ـ‪0‬ـا هـ (�ص) ‪ 3 + 5 -‬جـ =‪ ، 2‬فجد قيمة �لثابت جـ‪) (.‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪á«ã∏ãe äÉfGÎbG äÉjÉ¡f‬‬ ‫راﺑ ًﻌﺎ‬ ‫‪Limits of Trigonometric Functions‬‬ ‫معتم ًد� �ل�سكل ( ‪� )22-1‬لذي يمثل منحنى‬ ‫جــا�ص‬ ‫�ص‬ ‫ق(�ص) =‬ ‫ما ن�هصــــ←ــ‪0‬ا ق(�ص)؟‬ ‫�ل�سكل (‪)22-1‬‬ ‫تعلمت �ساب ًقا إ�يجاد نهايات �قتر�نات ك�ضرية‪ ،‬وفي هذ� �لدر�ص �ستتعلم �إيجاد نهايات �قتر�نات‬ ‫مثلثية‪.‬‬ ‫�در�ص �ل�سكل (‪ ، )23-1‬ثم أ�جب عما يليه‪:‬‬ ‫�ل�سكل (‪)23-1‬‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ‪π‬ـا جا�ص =‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪π‬ـا جتا�ص =‬ ‫‪ )2‬جا ‪= π‬‬ ‫‪ )5‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا ظـا �ص =‬ ‫‪ )4‬جتا ‪= π‬‬ ‫‪ )6‬ظا ‪= 0‬‬ ‫ماذ� تلاحظ؟‬ ‫‪36‬‬

‫من خلال إ�جابتك عما �سبق يمكن �لتو�سل �إلى ما ياأتي‪:‬‬ ‫‪ ،π‬ن= ‪{000 ، 5 ، 3 ،1‬‬ ‫ن‬ ‫ح‪} -‬‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ�أـا جا�ص = جا �أ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬ن�هصـــ←ــ�أـا جتا�ص= جتا �أ‬ ‫‪� )3‬نصهــ←ــأ�ـا ظا�ص = ظا أ� ‪ ،‬أ�‬ ‫‪1‬‬ ‫جد ن�هصــــ←ــ‪0‬ا ( جا�ص ‪ +‬جتا�ص )‬ ‫الحل‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا ( جا�ص ‪ +‬جتا�ص ) = ن�هصــــ←ـ‪0‬ا جا �ص ‪ +‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا جتا�ص (نظريات �لنهايات)‬ ‫=‪1=1+0‬‬ ‫�ل�سكل (‪ )24-1‬يمثل د�ئرة �لوحدة‪ ،‬لاحظ أ� َّن ر�أ�ص‬ ‫�لز�وية �ص في �لو�سع �لقيا�سي يقع على مركز �لد�ئرة‪،‬‬ ‫و‪W‬ول �لقو�ص(ل) �لمقابل لها يمثل قيا�سها بالتقدير �لد�ئري‬ ‫(لماذ�؟)‪ ،‬و�لاإحد�ثي �ل�سادي لنقطة تقا‪W‬ع �سلع �نتهائها‬ ‫مع �لد�ئرة يمثل جا�ص (لماذ�؟)‪ ،‬كلما �سغر قيا�ص �لز�وية �ص‬ ‫�ل�سكل (‪)24-1‬‬ ‫فاإ َّن ‪W‬ول �لقو�ص(ل) ≈ ‪W‬ول �لعمود �أي �أ َّن‪:‬‬ ‫�ص ≈ جا�ص‪ ،‬وبذلك ف إا َّن‪:‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫جــا�ص‬ ‫ن�هصــــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�ص‬ ‫جــا�ص‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫�ص‬ ‫بالا�ستعانة بال�سكل(‪ )22-1‬تحد‪� ç‬إلى ‪R‬ملائك عن �سلوك منحنى ق(�ص) =‬ ‫عندما تقترب قيم �ص من �لعدد �سفرمن جهة �ليمين ومن جهة �لي�سار‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫‪ájô¶f‬‬ ‫= ‪ ، 1‬حيث �ص ‪�R‬وية بالتقدير �لد�ئري‪.‬‬ ‫جــا�ص‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‬ ‫= ‪ ، 1‬حيث �ص ‪�R‬وية بالتقدير �لد�ئري‪.‬‬ ‫�ص‬ ‫ن �هـصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جــا�ص‬ ‫‘ هذا ال‪µ‬تا‪� ,Ü‬ضن©تمد قيا�‪ ¢‬الزوايا ‪H‬التقدير الدائر…‪ ,‬ما‪ ⁄‬ي‪o‬ذكر ‪P ÒZ‬ل∂‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ظـا�ص‬ ‫جد ك اًّلا من �لنهايات �لاآتية‪:‬‬ ‫�ص‬ ‫‪ )2‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫جــا‪�3‬ص‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪�5‬ص‬ ‫�ص‬ ‫الحل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬وعندما �ص ← ‪ ، 0‬ف إا َّن �ص ←‪ ، 0‬ومنه‪:‬‬ ‫�إذن �ص =‬ ‫‪� )1‬فر�ص �أ َّن ‪� 3‬ص = �ص ‪،‬‬ ‫جـا�ص‬ ‫ن�هصـــــ←ا‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫جــا�ص‬ ‫= ن�هصــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جــا‪�3‬ص‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�ص‬ ‫‪5‬‬ ‫�ص‬ ‫‪�5‬ص‬ ‫‪3‬‬ ‫‪*5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× ‪=1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫حل ا‪NB‬ر‬ ‫‪�3‬ص‬ ‫*‬ ‫جــا‪�3‬ص‬ ‫= ن�هصــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جــا‪�3‬ص‬ ‫ن�صهـــ←ـ‪0‬ا‬ ‫‪�5‬ص‬ ‫‪�3‬ص‬ ‫‪�5‬ص‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫*‬ ‫جــا‪�3‬ص‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪�3‬ص‬ ‫ظـا�ص‬ ‫‪� )2‬نصهـــ←ـا‪0‬‬ ‫�ص‬ ‫جا �ص‬ ‫= ن�هصـــ←ــ‪0‬ا جـ�تاص�ص‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫*‬ ‫جــا�ص‬ ‫ن�هصـــ←ـا‪0‬‬ ‫=‬ ‫جتا�ص‬ ‫�ص‬ ‫‪38‬‬

‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫من خلال در��ستك مثال(‪ )2‬م�ذا تت‪ƒ‬ق™ اأن تك‪ƒ‬ن قيمة ك ٍّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫�ص‬ ‫جــا أ��ص‬ ‫ظا أ��ص‬ ‫‪ )2‬ن�هصــــ←ـا‪0‬‬ ‫ب �ص‬ ‫ن�صهــــ←ـ‪0‬ا‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪áé«à`f‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫ظــا�ص‬ ‫‪� )1‬نصهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�ص‬ ‫�سف ًر�‬ ‫‪ ،‬حيث �أ ‪ ،‬ب أ�عد�د حقيقية ‪ ،‬ب ≠‬ ‫�أ‬ ‫=‬ ‫جــا أ��ص‬ ‫‪ )2‬ن�هصــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫ب‬ ‫ب �ص‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�3‬ص‬ ‫جد ن�صهــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جــا�ص‬ ‫�نصهــ←ــ‪0‬ـا ‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫=‪3‬‬ ‫جـا�ص‬ ‫�نصهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫= ن�هصــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪�3‬ص‬ ‫ن�هصــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‬ ‫جـا�ص‬ ‫جــا�ص‬ ‫�ص‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫�كت�سف �‪ÿ‬طاأ في ما ياأتي‪ ،‬و�كتب �ل�سو�ب‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫جــا‪�4‬ص‬ ‫�نصهــ←ــ‪π‬ـا‬ ‫‪5‬‬ ‫‪�5‬ص‬ ‫جـا(�ص‪)π -‬‬ ‫جد ك ًّالا من �لنهايات �ل آاتية‪:‬‬ ‫(�ص‪)π -‬‬ ‫جـا‪�7‬ص‬ ‫‪ )2‬ن�هصــــ←ـــ‪π‬ا‬ ‫‪� 3‬ص‬ ‫‪ )1‬ن�هصــــ←ـ‪0‬ا‬ ‫جا| �ص |‬ ‫‪ )4‬ن�صهــــ←ــ‪2π‬ا‬ ‫‪�9‬ص‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‬ ‫ظـا�ص‬ ‫‪39‬‬

‫‪4‬‬ ‫�سجـجـــاا‪��4‬سس‪--‬ظ‪2‬ا�‪5‬س�س‬ ‫جد ن�سهــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫الحل‬ ‫بق�سمة حدود المقدار على �س ‪ ،‬حيث �س ←‪ 0‬تت�ضمن �س ≠ �صف ًرا فتكون‪:‬‬ ‫ظا�‪5‬س�س‬ ‫�س �جـسا �س ‪-‬‬ ‫ظا ‪�5‬س‬ ‫جـا �س ‪-‬‬ ‫= ن�سهــــ←ـ‪0‬ـا‬ ‫‪�2‬س‬ ‫جـا‪�4‬س‬ ‫�نسهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫جـا‪�4‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫�س‬ ‫(نظريات النهايات)‬ ‫�نسهـــ←ــ‪0‬ا جا �س ‪ -‬ن�هســــ←ــ‪0‬ا ظا �‪5‬س�س‬ ‫=‬ ‫ن�هســــ←ــ‪0‬ا جا �‪4‬س�س ‪ -‬ن�هســــ←ــ‪0‬ـا ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫‪5-0‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫�س ‪ -‬جــا ‪�3‬س ‪ +‬ظا ‪�5‬س‬ ‫جد ن�سهــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪�3‬س ‪ -‬ظا‪�2‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ - 1‬جتا ‪� 2‬س‬ ‫ن�سهــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جد‬ ‫‪�3‬س‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫لا ن�ستطيع ا�ستخدام نظريات النهايات ‪ ،‬لماذا؟‬ ‫‪2 -1( - 1‬جا‪� 2‬س)‬ ‫�س‬ ‫‪ - 1‬جتا ‪2‬‬ ‫( جتا‪�2‬س= ا ‪ 2 -‬جا‪�2‬س)‬ ‫‪�3‬س‪2‬‬ ‫ن�هســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫=‬ ‫‪�3‬س‪2‬‬ ‫�نسهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫جا �س‬ ‫ن�سهــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫×‬ ‫جا �س‬ ‫× ن�سهــــ←ـ‪0‬ـا‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬جا‪� 2‬س‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�3‬س‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‪=1*1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬

‫جتا‪ - 0‬جتا‪�2‬ص‬ ‫ُح َّل مثال (‪ )5‬بطريقة أ�خرى‬ ‫‪�3‬ص‪2‬‬ ‫‪ - 1‬جتا ‪� 2‬ص‬ ‫=‬ ‫‪�3‬ص‪2‬‬ ‫إ�ر�ساد ‪:‬‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫ناق�ص مع ‪R‬ملائك ‪W‬ريقة �أخرى ثالثة لحل مثال (‪)5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫جتا ‪� 6‬ص ‪ -‬جتا ‪� 4‬ص‬ ‫جد ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫لا ن�ستطيع ��ستخد�م نظريات �لنهايات‪ ،‬لماذ�؟‬ ‫�أ َّن‪:‬‬ ‫تجد‬ ‫‪� 2-‬ص )‬ ‫جا( �ص‬ ‫)‬ ‫�ص‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‬ ‫جا(‬ ‫‪2-‬‬ ‫با�ستخد�م �لقانون‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا�ص – جتا�ص=‬ ‫‪2-‬جا ‪�5‬ص جا �ص‬ ‫= ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جتا ‪�6‬ص ‪ -‬جتا ‪�4‬ص‬ ‫�نصهــ←ــ‪0‬ــا‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫جا�ص‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ــا‬ ‫×‬ ‫جا ‪� 5‬ص‬ ‫‪� 2-‬نصهـــ←ـ‪0‬ـــا‬ ‫=‬ ‫�ص‬ ‫�ص‬ ‫= ‪1 × 5 × 2-‬‬ ‫= ‪10-‬‬ ‫جد ك اًّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫حا ‪�8‬ص ‪ +‬جا ‪� 4‬ص‬ ‫‪� )2‬نصهــ←ــ‪0‬ــا‬ ‫‪ - 1‬جتا �ص‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�ص‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪7‬‬ ‫جا�ص ‪ -‬جتا�ص‬ ‫ن�صهـــ←ـــ‪π‬ـا‬ ‫جد‬ ‫‪π‬‬ ‫�ص‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫الحل‬ ‫لا ن�ستطيع ��ستخد�م نظريات �لنهايات‪( .‬لماذ�)‬ ‫بال�ضرب بمر�فق �لمقد�ر جا�ص – جتا�ص‬ ‫× جا�ص ‪ +‬جتا�ص‬ ‫جا�ص ‪ -‬جتا�ص‬ ‫= ن�صهـــ←ـــ‪π‬ــا‬ ‫جا�ص ‪ -‬جتا�ص‬ ‫ن�هصـــ←ــــ‪π‬ـا‬ ‫جا�ص ‪ +‬جتا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫�ص‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫جا‪�2‬ص ‪ -‬جتا‪�2‬ص‬ ‫= ن�صهـــ←ـــ‪π‬ــا‬ ‫(�ص ‪( )π4 -‬حا�ص‪ +‬جتا�ص)‬ ‫(جتا‪�2‬ص=جتا‪�2‬ص – جا‪�2‬ص)‬ ‫‪ -‬جتا‪�2‬ص‬ ‫= ن�صهـــ←ـــ‪π‬ــا‬ ‫((��صص‪π4---‬ج‪)4π‬ا)(((‪π2‬جحاا�‪�-‬صص‪+�+2‬صجج)تتاا��صص))‬ ‫= ن�هصــــ←ـــ‪π‬ا‬ ‫‪� -‬ص ))‬ ‫‪π‬‬ ‫(جتا�ص=جا(‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�خر�‪ 2 ê‬عام ًلا م�ستر ًكا‬ ‫= ن�صهـــ←ـــ‪π‬ـا (�ص ‪4π--‬جا)‪((2‬جا‪�π4‬ص‪+� -‬صج)تا�ص)‬ ‫�ص‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫�ص‬ ‫�فر�ص‬ ‫‪1‬‬ ‫ن�صهـــ←ـــ‪π‬ا‬ ‫*‬ ‫�ص)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬جا�‪2‬ص(‪-π4‬‬ ‫= ن�صهـــ←ـــ‪π‬ـا‬ ‫‪4‬‬ ‫(جا �ص‪ +‬جتا�ص)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪*2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫�جتصا‪π2-‬‬ ‫‪ )2‬ن�هصــــ←ـ‪1‬ـا‬ ‫جد ك ّاًل مم� ي�أتي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ـــ‪2‬ـ‪π‬ـا �جصتا‪�-‬ص‪2π‬‬ ‫‪42‬‬

‫جد النه�ية ا‪£Ÿ‬ل‪ƒ‬بة في ك ٍّل من التم�‪Q‬ين من )‪� )1‬إلى (‪: )21‬‬ ‫جا �ص‬ ‫�ص ‪ +‬ظا‪�2‬ص ‪-‬‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪)2‬‬ ‫حا ‪�8‬ص‬ ‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‬ ‫‪�6‬ص‬ ‫‪ )4‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا ‪� 7‬ص‪ 3‬ظتا‪�2( 2‬ص) قتــــا (‪�5‬ص)( )‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا (قا�ص ‪ +‬ظا ‪�5‬ص)‬ ‫‪ - 1‬جتا�ص‬ ‫ن �هـصـــ←ـا‪0‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪�4‬ص ‪2 -‬جتا‪�2‬ص‬ ‫جتا‬ ‫‪+1‬‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪)5‬‬ ‫�ص جا �ص‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫ظا �ص ‪ -‬جا �ص‬ ‫ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪)8‬‬ ‫جتا�ص‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪)7‬‬ ‫�ص‬ ‫‪�2‬ص ‪π -‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫قا(‪�2‬ص)‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪)10‬‬ ‫‪ - 1‬جا �ص‬ ‫‪ )9‬ن�صهـــ←ـــ‪π‬ـا‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫( ‪�2- π‬ص)‪2‬‬ ‫‪ )12‬ن�صهـــ←ـــ‪π‬ـا حتا‪��2‬صص‪--‬ج‪π4‬ـا‪� 2‬ص‬ ‫‪�2‬ص‪� + 2‬ص ظا‪�2‬ص‬ ‫‪ )11‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جا ‪�2‬ص‬ ‫‪ )14‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ا ‪�3‬ص(ظتا ‪�2‬ص ‪ +‬قتا ‪�3‬ص)‬ ‫‪ -1‬جتا ‪�6‬ص‬ ‫‪ )13‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫جتا ‪�8‬ص ‪1 -‬‬ ‫�ص جـا �‪π‬ص‬ ‫‪ )16‬ن�هصـــ←ــ‪1‬ـا‬ ‫ظتا �ص‬ ‫‪ )15‬ن�هصـــ←ـــ‪π‬ـا‬ ‫�ص ‪1 -‬‬ ‫‪�2 - π‬ص‬ ‫‪43‬‬

‫‪�2‬ص ‪ -‬جا �ص‬ ‫ن�صهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪)18‬‬ ‫جا ( �ص ‪)4 +‬‬ ‫‪ )17‬ن�صهـــ←ــ‪-‬ـا‪4‬‬ ‫‪ -1‬جتا ‪�2‬ص‬ ‫�ص‪16 -2‬‬ ‫�ص ‪2 -‬‬ ‫‪ )20‬ن�هصـــ←ــ‪2‬ا‬ ‫‪ )19‬ن�صهـــ←ــ‪3‬ــ‪π‬ا �‪3‬صجـا‪�-‬ص‪π‬‬ ‫ظا‪� π‬ص‬ ‫)‬ ‫�ص‬ ‫‪-‬‬ ‫�ص‬ ‫جتا(‬ ‫)‬ ‫�ص ‪� +‬ص‬ ‫( إ�ر�ساد‪ :‬جا�ص ‪ +‬جا �ص= ‪ 2‬جا(‬ ‫جا �ص ‪ +‬حا �أ‬ ‫ن�هصـــ←ـــ‪-‬ـ�أا‬ ‫‪)21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص ‪� +‬أ‬ ‫= ‪ 6‬فجد قيمة كل من �لثابتين أ� ‪ ،‬ب ‪.‬‬ ‫ظا ‪� 3‬ص‬ ‫= ن�هصــــ←ـا‪0‬‬ ‫جـ‪2‬ا��أص�ص‬ ‫‪ )22‬إ�ذ� كانت ن�صهـــ←ـ‪0‬ا‬ ‫ب �ص ‪� -‬ص‬ ‫‪ ،‬فجد ن�هصـــ←ــ‪0‬ـا ق(�ص)‬ ‫جا (‪� 2 - π 2‬ص)‬ ‫‪ )23‬إ�ذ� كان ق(�ص) =‬ ‫‪�5-‬ص‬ ‫‪44‬‬

‫اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ContCinounittinyuity Continuity at a point .IÎa ≈∏Yh á£≤f óæY ¿GÎbG ∫É°üJG ±ô©àJ .IÎa ≈∏Yh á£≤f óæY ¿GÎbG ∫É°üJG ‘ åëÑJ á£≤f óæY ∫É°üJ’G ‫أو ًﻻ‬ :¬«∏J »àdG á∏Ä°SC’G øY ÖLCG (25-1) πµ°ûdG Gók ªà©e (25-1) πµ°ûdG 45

‫‪ )1‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ا ق(�ص) = ‪ ، ......................‬ق(‪............................... = )2‬‬ ‫‪ )2‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ا ل(�ص) = ‪ ، ......................‬ل(‪............................... = )2‬‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ا ع(�ص) = ‪ ، .....................‬ع(‪................................= )2‬‬ ‫‪ )4‬ن�صهـــ←ــ‪2‬ا ك(�ص) =‪ ، ......................‬ك(‪................................= )2‬‬ ‫ماذ� تلاحظ؟ أ� ‪t‬ي �لاقتر�نات كان منحناه غير منقطع (مت�سل) على فترة مفتوحة تحوي �لعدد ‪2‬؟‬ ‫في مثل هذه �لحالة نقول �إ َّن �لاقتر�ن ك اق‪Î‬ا¿ مت�ضل عند �ص = ‪ ، 2‬بينما نقول �إ َّن ك ّاًلا من �لاقتر�نات‬ ‫ق ‪ ،‬ل‪ ،‬ع ‪ ÒZ‬مت‪�q‬ضل (منف�سل) عند �ص=‪2‬‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫تحد‪ ç‬بل¨تك ا‪U�ÿ‬صة عن �شروط ات�ص�ل اقتران عند نق‪£‬ة‪.‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫يك‪ƒ‬ن الاقتران ق مت�صل عند �س= أا ‪ ،‬إاذا ‪M‬قق ال‪û‬شروط ال ‪B‬اتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق مع َّرف عند �ص= �أ ‪ ،‬أ�ي أ� َّن ق( أ� ) موجودة كعدد حقيقي‪.‬‬ ‫‪ )2‬ن�صهـــ←�أـــا ق(�ص) موجودة‪.‬‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ← أ�ــا ق(�ص) = ق( أ� )‬ ‫‪46‬‬

‫‪1‬‬ ‫معتم ًدا ال�شكل (‪ )26-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ق‪ ،‬ما قيم �س التي يكون عندها ق اقترا ًنا غير‬ ‫مت�صل‪ ،‬مع ذكر ال�سبب ؟‬ ‫ال�شكل (‪)26-1‬‬ ‫الحل‬ ‫�س‪ ، 4- = 1‬لأن ن�سهـــ←ــ‪-‬ـ‪4‬ا ق(�س) غير موجودة‪.‬‬ ‫�س‪ ، 2 = 2‬لأن ن�سهـــ←ــ‪2‬ا ق(�س) غير موجودة‪.‬‬ ‫�س‪ ، 4 = 3‬لأن ق غير معرف عند �س= ‪4‬‬ ‫‪ ،‬فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س = ‪2‬‬ ‫‪� ،‬س <‪2‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ،‬س ≥‪2‬‬ ‫‪� - 2‬س‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫�س ‪6 -‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ق(�س) معرف عند �س= ‪ ، 2‬ق(‪4- = )2‬‬ ‫‪ )2‬ابحث في نهاية ق عن يمين العدد ‪ 2‬وي�ساره‪ ،‬لماذا؟‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪2‬ـ‪+‬ا ق(�س) = ن �هـســــ←ــ‪2‬ا‪�( +‬س ‪4- = )6 -‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(�س‬ ‫ن�هســــ←ـ‪2‬ــ‪-‬ا‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪� -2‬س‬ ‫ن�هســـ←ــ‪2‬ــ‪-‬ا‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪2‬ـ‪-‬ا‬ ‫‪47‬‬

‫بما أ� َّن ن�هســـ←ــ‪2‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ن�هســــ←ــ‪2‬ـ‪-‬ا ق(�س) = ‪4-‬‬ ‫∴ ن �هـســـ←ــ‪2‬ا ق(�س) موجودة وت�ساوي ق(‪)2‬‬ ‫∴ ق مت�صل عند �س= ‪2‬‬ ‫‪� ،‬س ≠ ‪4-‬‬ ‫‪|4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫|‬ ‫=‬ ‫�إذا كان ق(�س)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫فابحث في ات�صال ق عند �س= ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = [ ‪�0.5‬س ‪ ، ]4 -‬فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س= ‪7‬‬ ‫الحل‬ ‫�أعد تعريف الاقتران ق دون كتابة رمز أ�كبر عدد �صحيح في فترة تحوي العدد ‪7‬‬ ‫لاحظ �أن ق(�س) = ‪ 1-‬في الفترة [‪ ، )8 ،6‬و�أن ‪)8 ،6[ 7‬‬ ‫ابحث في �شروط الات�صال عند �س = ‪7‬‬ ‫ق معرف عند �س= ‪ ، 7‬حيث �إ َّن‪ :‬ق(‪1- = )7‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪7‬ـ‪+‬ا ق(�س) = ن�هســــ←ــ‪7‬ـ‪-‬ا ق(�س)= ‪1-‬‬ ‫بما �أ َّن ن�سهـــ←ــ‪7‬ـا ق(�س) = ق(‪)7‬‬ ‫∴ ق(�س) مت�صل عند �س = ‪7‬‬ ‫‪48‬‬