ເລຂາຊັ້ນຕົ້ນ

vii - ເຄື່ອງໝາຍຂອງຕາລາຊນິ tg - ເຄືອ່ ງໝາຍຂອງຕາລາຊິນ cotg ກດິ ຈະກາ 8: 1. ຈົງັ່ ຊອກຫາ cos , tg , cotg , sec , cosec ຖູ້າວາ່ sin   5 ຢ່ສ່ວນທີ III 3 2. ຈັ່ົງຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , cosec ຖູາ້ ວ່າ sec   5 ຢສ່ ວ່ ນທີ II 3 95

vii ບົດເຝກິ ຫັດ 1. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ສາກຢ່ A , AB  4cm ແລະ BC  5cm ຈັງ່ົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , co sec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮວູ້ າ່ Cˆ   , Aˆ   2. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ MNP ສາກຢ່ P , MP  7cm ແລະ NP  9cm ຈັົ່ງຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , co sec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮວູ້ າ່ Mˆ   , Nˆ   3. ຈົັ່າງຊອກຂູ້າງ b , C , Cˆ , sinCˆ , cosCˆ , tgCˆ , cot gCˆ , secCˆ , cosecCˆ ໃນຮບສາມແຈສາກ ABC . ເມອື່ ຮູວ້ າ່ ຂູ້າງກົງສາກ a  5cm ແລະ ມມແຫຼມ Bˆ  45 4. ຈາັົ່ ງຊອກຂູ້າງ a , b , Cˆ , sinCˆ , cosCˆ , tgCˆ , cot gCˆ , secCˆ , cosecCˆ ໃນຮບສາມແຈສາກ ABC . ເມອ່ື ຮູ້ວາ່ ຂູ້າງກົງສາກ c  4cm ແລະ ມມແຫຼມ Aˆ  60 5. ຈັົ່າງຊອກຂູ້າງ c , a , Cˆ , sinAˆ , cosAˆ , tgAˆ , cot gAˆ , secAˆ , cosecAˆ ໃນຮບສາມແຈສາກ ABC . ເມອື່ ຮວູ້ າ່ ຂູ້າງກງົ ສາກ b  2cm ແລະ ມມແຫຼມ Bˆ  30 6. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ຮວູ້ າ່ a  3 , Cˆ  60 , Aˆ  45 ຈງ່ັົ ຊອກຫາ c ແລະ ມມ Bˆ 7. ໃຫ້ຮູ ບສາມແຈ ABC ຮວູ້ າ່ b  5cm , Cˆ  60 , Bˆ  30 ຈງ່ັົ ຊອກຫາ c , a ແລະ ມມ Aˆ 8. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ຮູ້ວາ່ a  5cm , Aˆ  60 , Bˆ  30 ຈງັ່ົ ຊອກຫາ c , b ແລະ ມມ Cˆ 9. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ຮວູ້ າ່ b 10 2cm , Aˆ  30 , Cˆ 105 ຈົັ່ງຊອກຫາ a ແລະ ມມ Bˆ 10. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ມຂີ ູ້າງ b  3cm , c  5cm ແລະ ມມ Aˆ  30 ຈັ່ົງຊອກຫາຂູ້າງຂອງ a  ? 11. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ມີຂູ້າງ c  3 , a  5cm ແລະ ມມ Bˆ  45 ຈົງັ່ ຊອກຫາຂູາ້ ງຂອງ b  ? 12. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ມຂີ ູ້າງ b  3 , a  12cm ແລະ ມມ Cˆ  60 ຈົງ່ັ ຊອກຫາຂູາ້ ງຂອງ c  ? 13. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ມີຂູ້າງ c  3 , b  12cm ແລະ a  2 3 ຈງົ່ັ ຊອກຫາ Aˆ , Bˆ ແລະ Cˆ 14. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ມຂີ ູ້າງ a  2 , C  8cm ແລະ b  8 ຈັ່ົງຊອກຫາ Bˆ , Aˆ ແລະ Cˆ 15. ຈົັ່ງຊອກຫາ sin , tg , cotg , sec , cosec ຖູ້າວ່າ cos   1 2 16. ຈັ່ົງຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec ຖ້າູ ວາ່ cosec   3 ແລະ    3 2 2 96

vii 17. ຈ່ັົງຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , cosec ຖ້າູ ວາ່ sec  4 ແລະ 0  3 2 18. ຈັົງ່ ຊອກຫາ sec 2 , cos 2 , tg2 , cotg 2 , cosec 2 ຖູ້າວ່າ sin  8 ແລະ 0  3 2 19. ຈົງ່ັ ຊອກຫາ sin 2 , cos 2 , tg2 , cotg 2 , cosec 2 ຖູ້າວ່າ sec 4 ແລະ    3 3 2 20. ຈງົັ່ ຄດິ ໄລ່ຄາ່ ໄຕມມລມຸ່ ນື້ີ: a. sin 7 e. cos 21 4 6 b. cos 11 f. sin 25 6 4 c. tg 9 g. sin15 4 h. cos 75 d. cot g 13 6 97

vii ບດົ ທີ 9 ຮບກອູ້ ນກາງຫາວ ຮບກ້ອູ ນຫາຼ ຍໜູາ້ ແມນ່ ຮບເລຂາຄະນິດກາງຫາວຮບໜງື່ຶ ເຊງ່ືິ ຖກຫູມຸ້ ຈອດດ້ວູ ຍ ບນັ ດາຮບຫຼາຍແຈ ເອີື້ນວ່າ: ໜາູ້ ຕາ່ ງໆຂອງຮບກູອ້ ນຫາຼ ຍໜູ້າ. ຂູ້າງຮວ່ ມຂອງສອງຂູ້າງແປະກັນເອ້ືີນວ່າ: ລຽ່ ມຂອງຮບກູ້ອນຫຼາຍໜູ້າ. ບັນດາ ໜ້າູ ຕາ່ ງໆທີື່ຕັດກັນຢ່ຈຸດໜ່ງືຶ ເອ້ນືີ ວ່າ: ຈອມຂອງມຸມຫຼາຍໜູ້າ ຫຼ ຈອມຂອງຮບກອູ້ ນຫຼາຍໜູາ້ . ທ່ອນຊ່ືຕໍ່ລະຫວາ່ ງ ຈອມທື່ີບຢ່ໍ ່ໜາູ້ ພຽງດຽວໃສ່ກັນເອນື້ີ ວາ່ : ເສັື້ນເນ່ັງຈອມ. ຈານວນໜູ້າຂອງຮບກູ້ອນຫຼາຍໜ້າູ ໜູອ້ ຍທີ່ືສດຸ ແມ່ນມີ 4 ໜູ້າ, ຖູ້າຕັດທກຸ ໆລ່ຽມຂອງມຸມສາມໜູ້າ ດູ້ວຍໜ້າູ ພຽງໜງ່ືຶ ຈະໄດູ້ຮບກູ້ອນຫຼາຍໜູ້າ. ການເອືນ້ີ ຊື່ຂອງຮບກອູ້ ນຫຼາຍໜູ້າແມ່ນເອືີນ້ ຕາມຈານວນໜູ້າ ຂອງມັນເຊັນ່ : ຮບກູ້ອນສື່ີໜ້າູ ( ຮບທາດສາມລຽ່ ມ ), ຮບກູ້ອນຫືາ້ ໜູ້າ ( ຮບທາດສືີ່ລຽ່ ມ ), ຮບກອູ້ ນຫົກໜູ້າ (ຮບກບັ ສາກ ຫຼ ຮບກອູ້ ນສາກ), ຮບກອູ້ ນເຈັດໜາູ້ ( ຮບທາດຫກົ ລຽ່ ມ ), . . . ນອກຈາກຮບກອູ້ ນຫາຼ ຍໜູ້າແລູ້ວເຮາົ ຍັງມບີ ັນດາ ຮບທໍ່ກົມ, ຮບຈວຍ ແລະ ຮບໜ່ວຍມົນ ຫຼ ກູອ້ ນມນົ . 1. ນິຍາມ ແລະ ຄນຸ ລກັ ສະນະ 1.1 ຮບທລໍ່ ຽ່ ມ ຮບທລໍ່ ່ຽມ ແມ່ນຮບກອູ້ ນທ່ີືມີສອງໜູ້າເປັນຮບຫຼາຍແຈເທັ່າົ ກນັ ແລະ ຂະໜານກັນເຊິື່ງເອ້ນີື ວາ່ : ພ້ືນ. - ABC ແລະ ������′B′C′ ແມ່ນ ພືນ້ . - ABB′A′ , B������C′B′ ແລະ CAA′C′ ແມ່ນ ໜ້າູ ຂູ້າງ. - ລຽ່ ມຂ້າູ ງ AA′ = BB′ = CC′ ແມນ່ ລວງສງ + ໜາູ້ ທ່ືີເປັນຮບສືີ່ແຈສາກເຊືງິ່ ມີຈານວນໜູ້າເທັ່ົາກັບຈານວນຂາູ້ ງຂອງພື້ນເອີນ້ື ວ່າ: ໜູ້າຂູ້າງ. ABB′A′ , B������C′B′ ແລະ CAA′C′ ແມນ່ ໜູ້າຂູ້າງ. ທກຸ ໆລ່ຽມຂູ້າງລູວ້ ນແຕ່ມີລວງຍາວເທ່ົັາກັນ ເຊງ່ືິ ເອືີ້ນວາ່ : ລວງສງຂອງ ຮບທໍ່ລ່ຽມ AA′ = BB′ = CC′ 98

vii ຮບແບຂອງຮບທລໍ່ ່ຽມ ຮບທໍ່ລ່ຽມທີ່ືພວກເຮົາມັກເຫັນ ແລະ ນາໃຊູ້ເຂ້າົື ໃນການຄົືນ້ ຄວ້າູ ມີ ຮບທ່ໍລ່ຽມເນີ້ືງ ແລະ ຮບທໍ່ລ່ຽມທ່ຽງ. ຮບທ່ໍ ລຽ່ ມທຽ່ ງ ແມນ່ ຮບທລ່ໍ ຽ່ ມທີື່ມີລ່ຽມຂ້າູ ງຕັືງ້ ສາກກບັ ພ້ນື , ບັນດາໜູ້າຂູ້າງລ້ວູ ນແຕເ່ ປັນຮບສ່ີືແຈສາກ, ລ່ຽມຂາູ້ ງ ທຸກໆລ່ຽມ ລູ້ວນແຕ່ເປນັ ລວງສງຂອງຮບທ່ໍລຽ່ ມທ່ຽງ ແລະ ໜູ້າຕັດລ້ືວນແຕ່ືເປນັ ໜູ້າ ຕດັ ຕນົ້ື ຕ. + ຮບທໍ່ລຽ່ ມທ່ຽງ ທື່ີມີພືນ້ ເປນັ ຮບຫຼາຍແຈສະເໝີເອນ້ີື ວ່າ: ຮບທໍ່ລ່ຽມສະເໝີ. + ການເອ້ືີນຊ່ືຂອງຮບທ່ໍລຽ່ ມນນັື້ ແມນ່ ເອີື້ນຕາມພືນ້ ຂອງຮບທ່ໍດັ່ງກ່າວເຊັ່ນ: ພືນ້ ເປັນຮບສາມແຈ, ສີື່ແຈ, ຫາູ້ ແຈ , … ກໍ່ເອນ້ືີ ວາ່ : ຮບທໍ່ສາມລ່ຽມ, ຮບທໍ່ສີື່ລ່ຽມ, ຮບທໍ່ຫ້າູ ລ່ຽມ, … 1.2 ຮບທາດລຽ່ ມ ຮບເລຂາຄະນິດໃນກາງຫາວທ່ືີມີພນ້ື ເປັນຮບຫຼາຍແຈໃດໜືງ່ຶ , ມີຈອມ (ຍອດແຫຼມ) ທີື່ບຢໍ່ ່ເທງິ ໜູ້າພຽງດຽວ ກັນກັບພື້ນ ແລະ ໜູ້າທຸກໜາູ້ ເປັນຮບສາມແຈທືີ່ມີຈຸດຮວ່ ມກນັ ຢ່ຈອມນັືນ້ ເອືນີ້ ວາ່ : ຮບທາດລຽ່ ມ (Pyramid). ຮບທາດລ່ຽມມີ 2 ລກັ ສະນະຄ: ຮບທາດລ່ຽມທ່ຽງ ແລະ ຮບທາດລ່ຽມເນີ້ງື ແຕ່ໃນບົດຮຽນ ເຮົາຈະເນ້ືັນສະ ເພາະ ຮບທາດລຽ່ ມທຽ່ ງ. 99

vii + ໃນຮບທາດລຽ່ ມໜຶ່ງື ຖູ້າພນື້ ເປັນຮບຫຼາຍແຈສະເໝີ ແລະ ລວງສງຮບທາດດ່ັງກາ່ ວຕງັື້ ສາກຢ່ຈດຸ ເຄ່ງືິ ກາງ ຂອງ ພ້ືນ ຮບທາດລ່ຽມນ້ືັນເອນ້ືີ ວ່າ: ຮບທາດລ່ຽມສະເໝີ. ໃນຮບທາດລ່ຽມສະເໝີ ລວູ້ ນແຕ່ມີທກຸ ໆລ່ຽມ ຂູ້າງເທົ່ັາກັນ, ບັນດາເສັນ້ື ຈອມສາກຂອງໜາູ້ ຂ້າູ ງລູ້ວນແຕ່ເທົາ່ັ ກັນ ແລະ ເອື້ນີ ວ່າ: ທອ່ ນສນສາກຂອງຮບທາດລ່ຽມສະເໝີ, ໜູ້າ ຂູ້າງຂອງຮບທາດລຽ່ ມສະເໝີ ລູວ້ ນແຕ່ເປນັ ຮບສາມແຈທ່ຽງ. + ການເອ້ີືນຊ່ືຂອງຮບທາດລ່ຽມ ແມນ່ ເອືີ້ນຕາມພນ້ື ຂອງຮບທາດລຽ່ ມດ່ັງກ່າວເຊັນ່ : ຮບທາດສາມລຽ່ ມ, ຮບທາດ ສີື່ລ່ຽມ, ຮບທາດຫາູ້ ລ່ຽມ, … ເປນັ ຮບແຜນ່ ມົນທ່ືີມີລດັ ສະໝີເທາັ່ົ ກນັ ແລະ ຢ່ 1.3 ຮບທກ່ໍ ົມ - ຮບທ່ໍກົມ ແມ່ນຮບທື່ີມີພື້ນເປນັ ຮບແຜ່ນມນົ , ທັງສອງພ້ືນ ໜາູ້ ພຽງທີ່ືຂະໜານກນັ . - ເສັື້ນໃຫູ້ກາເນດີ ຕັື້ງສາກກບັ ພ້ນື (������������′) ⊥ (������������) ລວງຍາວຂອງເສື້ັນໃຫູ້ກາເນດີ ແມນ່ ລວງສງຂອງຮບທໍ່ກົມ. 100

vii + ຮບແບຂອງຮບທໍ່ກມົ ປະກອບດູວ້ ຍ: - ຮບແຜ່ນມນົ ສອງຮບ ທີ່ືມີລດັ ສະໝີເທ່ົັາກນັ ເຊ່ິືງແມ່ນພນ້ື . - ຮບສືີ່ແຈສາກ ແລະ ເນ້ອື ທືີ່ຂອງຮບສີື່ແຈສາກ ແມ່ນເນ້ືອທ່ີືອູ້ອມຂູາ້ ງຂອງຮບທໍ່ກົມ. + ຮບທ່ໍກມົ ທີ່ືມີເສນ້ືັ ໃຫູ້ກາເນີດຕັື້ງສາກກັບພ້ນື ເພນ່ິື ເອີ້ືນວາ່ : ຮບທ່ໍກມົ ທ່ຽງ. ຮບທ່ໍກົມທ່ຽງອາດຈະເບິງ່ື ໃນແງ່ຮບ ກ້ອູ ນ ທີ່ືໄດູ້ຈາກການໝນຮບສີື່ແຈສາກ ໝນອູ້ອມຂູ້າງໜ່ຶືງຂອງມັນ. + ໜາູ້ ຕັດຜາ່ ນແກນຂອງຮບທ່ໍກມົ ແມນ່ ການຕດັ ຂູ້າງຮບທໍ່ກົມ ແລະ ໜູາ້ ພຽງທືີ່ຜ່ານແກນຂອງຮບທ່ໍກມົ . ແຜນ່ ພຽງທື່ີຜ່ານເສ້ືັນກາເນດີ ແລະ ຕັື້ງສາກກບັ ໜາູ້ ຕັດຜ່ານແກນ ແລະ ເສນື້ັ ກາເນດີ ນ້ືີຂອງທໍ່ກົມມຊີ ່ືວ່າ: ແຜ່ນພຽງຕິດ (ດາດ) ຮບທ່ໍກມົ . 1.4 ຮບຈວຍ ຮບເລຂາຄະນດິ ໃນກາງຫາວທີ່ືມີພ້ນື ເປັນຮບວງົ ມນົ ມີຈອມບຢ່ໍ ່ໜູາ້ ພຽງດຽວກບັ ພນື້ ແລະ ເສ້ືັນທີື່ຕ່ໍລະຫວາ່ ງ ຈອມ ແລະ ເມັດໃດໜຶ່ືງເທງິ ຂອບຂອງພນື້ ເປນັ ທ່ອນຊ່ືເອນືີ້ ວາ່ : ເສື້ນັ ໃຫື້ກາເນດີ . ກຸ່ມເສັື້ນໃຫູ້ກາເນດີ ແລະ ພື້ນເອືີນ້ ວ່າ: ຮບຈວຍ. ຮບຈວຍມີ 2 ລັກສະນະຄ: ຮບຈວຍທ່ຽງ ແລະ ຮບຈວຍເນງີື້ . 101

vii ຄວາມສາພັນຂອງຮບຈວຍ ແລະ ຮບວທີ ື່ີເປນັ ຮບແບຂອງມນັ ສງັ ເກດເຫັນວາ່ : ເສນັ້ື ໃຫູກ້ າເນີດຂອງຮບຈວຍ ເປນັ ລດັ ສະໝີຂອງຮບວີ, ລວງຮອບພືນ້ ຂອງຮບຈວຍ ເປັນລວງ ຍາວຂອງທອ່ ນກົງ່ັ ຂອງຮບວ.ີ 2������������������ 2������������ = 360° 1.5 ຮບໜວ່ ຍມນົ ແລະ ຮບກອູ້ ນມົນ + ຮບໜ່ວຍມນົ ມີເມດັ ໃຈກາງ ������ ແລະ ລັດສະໝີ ������ ແມ່ນກ່ມຸ ຂອງບນັ ດາເມັດຢ່ໃນກາງຫາວ ເຊືງ່ິ ໄລຍະຫາ່ ງຈາກເມັດ ������ ເທັາ່ົ ກັບ ������. + ຮບກ້ອູ ນມນົ ມີເມັດໃຈກາງ ������ ແລະ ລັດສະໝີ ������ ແມນ່ ກຸ່ມຂອງບັນດາເມດັ ຢ່ໃນກາງຫາວ ເຊືິງ່ ໄລຍະຫາ່ ງຈາກເມັດ ������ ໜອູ້ ຍກວາ່ ຫຼ ເທົັ່າກັບ ������. ຈາກຮບ: - E ເປນັ ເມັດໜງຶື່ ຂອງຮບກອູ້ ນມນົ ເພາະວາ່ : ������������ < ������. - B ເປນັ ເມັດໜຶ່ືງຂອງຮບກອູ້ ນມົນເພາະວ່າ: ������������ = ������ ແລະ ກໍ່ເປັນເມດັ ໜຶື່ງຂອງຮບໜ່ວຍມນົ . - A ບເໍ່ ປນັ ເມັດຂອງຮບໜວ່ ຍມົນ ແລະ ກອູ້ ນມົນເພາະວາ່ : ������������ > ������. 102

vii 2. ຫກັຼ ເກນ 2.1 ຮບທລໍ່ ຽ່ ມ ຫກຼັ ເກນ: ເນອ້ື ທ່ີືອອູ້ ມຂູ້າງຂອງຮບທ່ໍລ່ຽມທ່ຽງ ເທັົ່າກັບຜນົ ຄນລະຫວາ່ ງ ລວງຮອບພື້ນ ກບັ ລວງສງ. ພສິ ດ: ເນ່ອື ງຈາກໜູ້າຂ້າູ ງຂອງຮບທໍ່ລຽ່ ມທຽ່ ງເປນັ ຮບສືີ່ແຈສາກ ເຊ່ືງິ ຂູ້າງພ້ືນຂອງມັນແມນ່ a1, a2, a3, … , an ເປນັ ຂູ້າງຂອງຮບຫຼາຍແຈທີື່ປະກອບເປນັ ພນື້ ຂອງຮບທໍ່ລ່ຽມທ່ຽງ. ຈາກນີື້ ໄດູ້ເນອ້ື ທືີ່ອູ້ອມຂູ້າງຂອງຮບທ່ໍລຽ່ ມທ່ຽງແມ່ນ ������ອຂ = ������1ℎ + ������2ℎ + ������3ℎ + ⋯ + ������������ℎ = ������ℎ ເຊ່ືິງ ������ ແມ່ນ ລວງຮອບພ້ນື ຂອງຮບທ່ໍລຽ່ ມທ່ຽງ ������ ແມ່ນ ລວງສງຂອງຮບທ່ໍລຽ່ ມທ່ຽງ ຫກັຼ ເກນ 1: ເສື້ນັ ເນັງ່ ຈອມຂອງຮບກັບຕັດກັນຢ່ເມັດເຄິ່ງື ກາງຂອງພວກມນັ . ຫກັຼ ເກນ 2: ສາລັບຮບກບັ ສາກ, ກາລງັ ສອງຂອງເສ້ືນັ ເນ່ງັ ຈອມໃດໜື່ຶງ ເທົ່ັາຜົນບວກກາລງັ ສອງຂອງ ຂະໜາດຂອງພວກມັນ. ຫກຼັ ເກນເນອື່ ງ: ໃນຮບກບັ ສາກ, ທຸກໆເສນັື້ ເນັ່ງຈອມ ລ້ວູ ນແຕ່ເທາົັ່ ກນັ . 2.2 ຮບທາດລຽ່ ມ ຫກຼັ ເກນ 1: ຖູ້າເຮົາຕັດທາດລຽ່ ມດວູ້ ຍໜູ້າພຽງຂະໜານກັບພື້ນ 1. ໜາູ້ ພຽງນນື້ັ ຈະແບງ່ ລວງສງ ແລະ ລຽ່ ມຂູ້າງຕາ່ ງໆຂອງຮບທາດລ່ຽມເປັນບັນດາທອ່ ນຊ່ື ທ່ືີເປນັ ອັດຕາສ່ວນ ພົວພັນກັນ. ������1������1 = ������������1 = ������1������1 ������������ ������������ ������������ 2. ໜ້າູ ຕດັ ຈະເປັນຮບຫຼາຍແຈຄາູ້ ຍຄກບັ ພ້ືນ ∆������������������ ຄູາ້ ຍຄ ∆������1������1������1. 3. ອດັ ຕາສ່ວນລະຫວ່າງເນອ້ື ທີື່ຂອງໜູ້າຕັດກບັ ພື້ນ ເທັົ່າອັດຕາສວ່ ນລະຫວ່າງ ກາລັງສອງຂອງໄລຍະຫາ່ ງແຕ່ ຈອມ ຫາໜູ້າພຽງບັນຈຸໜາູ້ ຕັດ ແລະ ກາລງັ ສອງຂອງໄລຍະຫ່າງແຕ່ຈອມຫາພ້ນື . ������������1������1������1 = ������������12 ������������������������ ������������2 ຫກັຼ ເກນ 2: ຖາູ້ ວາ່ ສອງຮບທາດລຽ່ ມສງເທົັ່າກນັ ຖກຕັດດູ້ວຍໜ້າູ ພຽງຂະໜານກັບພ້ນື ແລະ ຫ່າງສະ ເໝຈີ າກຈອມ ເວລານີືອ້ ດັ ຕາສ່ວນລະຫວາ່ ງເນື້ອທີ່ືຂອງສອງໜູ້າຕັດ ເທົ່າັ ອັດຕາສວ່ ນລະຫວາ່ ງເນ້ອື ທ່ືີຂອງສອງພນ້ື . ຫກຼັ ເກນເນື່ອງ: ຖູາ້ ວ່າສອງຮບທາດລ່ຽມສງເທັາົ່ ກນັ ແລະ ມີພືນ້ ທຽບເທາ່ົັ ກັນ, ບນັ ດາໜ້າູ ຕັດທືີ່ຂະໜ ານກັບພນື້ ແລະ ຫ່າງສະເໝຈີ າກຈອມຂອງພວກມັນ ຈະທຽບເທັົ່າກນັ . 2.3 ຮບທກ່ໍ ົມ ຫກຼັ ເກນ: ແຜ່ນພຽງທືີ່ຕ້ງັື ສາກກັບແກນຂອງຮບທໍ່ກົມຈະຕຸລດັ ຂາູ້ ງຂອງມນັ ເປັນຮບວງົ ມນົ ທ່ືີເທ່າັົ ກບັ ພື້ນ. 103

vii ພສິ ດ: ສົມມຸດ ������ ແມ່ນແຜ່ນພຽງທີ່ືຕືັງ້ ສາກກບັ ແກນຂອງຮບທໍ່ກົມ (ເບງ່ືິ ຮບ) ແຜນ່ ພຽງນ້ີືຂະໜານ ກບັ ພ້ືນ. ດ່ັງນ້ືັນ, ເມື່ອຍູາ້ ຍຂະໜານຮອບຕັດໄປໃສ່ພື້ນກໍ່ຈະເຕງັ ກບັ ພນື້ ຫຼ ເທ່ັາົ ກບັ ພືນ້ . 2.4 ຮບຈວຍ ຫຼກັ ເກນ: ແຜ່ນພຽງທີ່ືຕ້ືງັ ສາກກບັ ແກນຂອງຮບຈວຍ ຈະຕັດຮບຈວຍເປັນແຜ່ນມນົ ເຊືງິ່ ມີໃຈກາງຢ່ ແກນຂອງມັນ. ພສິ ດ: ສມົ ມຸດ ������ ແມນ່ ແຜ່ນພຽງ ທີື່ຕັື້ງສາກກັບແກນຂອງຮບຈວຍ (ຄຮບ), ຖູ້າວ່າໃຊູ້ການປ່ຽນ ຮບແບບ ໂອໄມເຕຊີ ທຽບໃສ່ເມດັ ຈອມຂອງຮບຈວຍ, ປ່ຽນ ������ ດວູ້ ຍພື້ນຂອງຮບຈວຍ ໜາູ້ ຕັດຈະເຕງັ ກບັ ພື້ນພດີ. ສະແດງວາ່ ໜາູ້ ຕັດດັ່ງກ່າວເປັນແຜນ່ ມນົ ທມ່ີື ີໃຈກາງຢ່ແກນຂອງຮບຈວຍ. 3.5 ຮບໜວ່ ຍມນົ ແລະ ຮບແຜ່ນມົນ ຫຼກັ ເກນ: ຖູ້າວາ່ ໜູາ້ ພຽງໜຶື່ງຕດັ ຮບໜວ່ ຍມນົ ໜ່ືຶງ, ໜູ້າຕັດທືີ່ໄດູ້ຮບັ ນຕ້ືີ ູອ້ ງແມນ່ ວງົ ມົນ. ນອກຈາກນເີື້ ຮາົ ຍງັ ມີ: 104

vii 1. ໜູ້າພຽງຕັດຜາ່ ນໃຈກາງຂອງໜ່ວຍມົນ ຈະແບງ່ ໜາູ້ ໜ່ວຍມົນອອກເປັນສອງພາກສ່ວນເຄື່ງິ ຄກນັ ແລະ ເທາ່ັົ ກັນ. 2. ສອງວົງມນົ ໃຫຍ່ຂອງໜູ້າໜວ່ ຍມົນໜງຶ່ື , ທຜືີ່ າ່ ນໃຈກາງຂອງໜວ່ ຍມນົ ນນັ້ື ຈະຕດັ ກນັ ; ແຕ່ລະ ວົງມນົ ນ້ັືນຖກແບງ່ ອອກເປັນສອງສວ່ ນເທາ່ັົ ກັນ. 3. ໜູ້າພຽງໜ່ງືຶ ທ່ີືມີຈຸດໜງືຶ່ ແລະ ຈຸດດຽວຮວ່ ມກັບໜາູ້ ໜວ່ ຍມນົ ເອ້ືນີ ວ່າ: ໜ້າູ ຕດິ ຂອງໜາູ້ ມົນນ້ນັື . 4. ຖູ້າວ່າໜູ້າພຽງໜື່ງຶ ຫາກຕືັງ້ ສາກກບັ ລດັ ສະໝີຂອງໜາູ້ ໜ່ວຍມນົ ແລະ ຕີນຂອງເສັ້ືນຊື່ຕງ້ັື ສາກນືັ້ນ ຢໜ່ ູ້າໜວ່ ຍມົນ, ໜາູ້ ພຽງນັື້ນແມນ່ ໜູ້າຕິດຂອງໜ່ວຍມົນ. 3. ການຄິດໄລເ່ ນອ້ື ທ່ີື ແລະ ບລມິ າດຂອງຮບກາງຫາວ 3.1 ຮບທລໍ່ ຽ່ ມ + ເນ້ອື ທື່ີອອູ້ ມຂາູ້ ງ = ລວງຮອບຂອງພືນ້ x ລວງສງ ������ອຂ = ������ × ℎ ������ອຂ ແມ່ນ ເນອື້ ທື່ີອອູ້ ມຂູ້າງຂອງຮບທໍ່ລຽ່ ມ ������ ແມ່ນ ລວງຮອບພນ້ື ຂອງຮບທລໍ່ ຽ່ ມ ℎ ແມນ່ ລວງສງຂອງຮບທໍ່ລ່ຽມ + ເນ້ືອທື່ີທງັ ໝົດ = ເນ້ອື ທ່ີືອູອ້ ມຂູາ້ ງ + ສອງເທ່ືອເນອື້ ທີື່ພ້ືນ ������ທໝ = (������ × ℎ) + (2 × ������) ������ ແມ່ນ ເນື້ອທື່ີພ້ນື ຂອງຮບທໍ່ລຽ່ ມ + ບລມິ າດ = ເນ້ືອທີ່ືພື້ນ x ລວງສງ ������ = ������ × ℎ ຕວົ ຢາ່ ງ: ເພ່ືິນໃຫູ້ສາມອາ່ ງ ກ, ຂ, ຄ ທີື່ມີຂະໜາດບນັ ຈຸເທ່ັົາກນັ . 105

vii 1. ອ່າງ (ກ) ເປັນຮບກບັ ສາກ. ຈົງ່ັ ຊອກຫາບລມິ າດ. 2. ອ່າງ (ຂ) ເປນັ ຮບທ່ໍລ່ຽມ ທືີ່ມພີ ້ນື ເປນັ ຮບສາມແຈ. ຈ່ັງົ ຊອກຫາເນ້ອື ທື່ີພືນ້ ຂອງອາ່ ງ (ຂ) ແລະລວງສງ ຂອງພນື້ ທີື່ຕງ້ືັ ສາກກັບຂາູ້ ງທ່ືີມີລວງຍາວ 12,5 ������������. 3. ອ່າງ (ຄ) ເປນັ ຮບທໍ່ລ່ຽມ ທມີື່ ີພນື້ ເປັນຮບຫົກແຈ ເຊ່ິງື ມີເນ້ອື ທ່ີືພນ້ື 62,5 ������������2. ຈັງົ່ ຊອກຫາລວງສງ ຂອງອາ່ ງ (ຄ). ວິທີແກູ້: 1. ບລມິ າດຂອງອ່າງ (ກ) ������ = ������ × ������ × ℎ = 12,5 × 12,5 × 6,4 = 1000 ������������3 2. + ເນ້ອື ທີ່ືພນ້ື ຂອງອາ່ ງ (ຂ) ຈາກສດ ������ = ������ × ℎ , ເຮົາຖອນໄດູ້ ������ = ������ = 1000 = 50 ������������2 ℎ 20 ( ������ = 1000 ������������3 ຍ້ອູ ນວ່າ ໃນບົດເລກ ເພິນ່ື ໃຫູ້ສາມອາ່ ງ ກ, ຂ, ຄ ທ່ີືມີຂະໜາດບັນຈຸເທ່ັາົ ກັນ ) + ລວງສງຂອງພື້ນ ອາ່ ງ (ຂ) ທີື່ຕ້ງັື ສາກກບັ ຂູາ້ ງທີື່ມີລວງຍາວ 12,5 ������������. ຍູ້ອນວາ່ ພືນ້ ຂອງຮບທ່ໍລ່ຽມເປັນຮບສາມແຈ ສະນືັນ້ , ຈາກສດ ������ = 1 ������ × ℎ 2 ເຮົາຖອນໄດູ້ ℎ = 2������ = 2×50 = 8 ������������ ������ 12,5 3. ລວງສງຂອງອາ່ ງ (ຄ) ຈາກສດ ������ = ������ × ℎ , ເຮາົ ຖອນໄດູ້ ℎ = ������ = 1000 = 16 ������������ ������ 62,5 3.2 ຮບທາດລຽ່ ມ + ເນ້ອື ທີ່ືທງັ ໝົດຂອງທາດລ່ຽມ = ເນື້ອທີື່ອູ້ອມຂູ້າງ + ເນ້ອື ທີ່ືພນ້ື + ບລິມາດຂອງທາດລຽ່ ມ = 1 × ເນອ້ື ທື່ີພ້ນື × ລວງສງ 3 ຂຽນແທນດູ້ວຍ ������ = 1× ������ × ℎ 3 ຕວົ ຢາ່ ງ : ໃຫູ້ຮບທາດສາມລ່ຽມສະເໝີ ເຊ່ິງື ແຕ່ລະລ່ຽມມີລວງຍາວ 4 ������������ . ຈົັ່ງຊອກຫາເນ້ືອທ່ືີຂອງຮບທາດສາມ ລຽ່ ມສະເໝນີ ນ້ືັ . ວທິ ີແກູ້: ເຮາົ ສາມາດຊອກຫາເນ້ືອທີ່ືຂອງຮບທາດສາມລ່ຽມສະເໝີ ໂດຍການສັງເກດຮບ: 106

vii ເມອື່ ແບຮບອອກຈະໄດູ້ຮບສາມແຈສະເໝີ 4 ຮບ ເຊື່ງິ ແຕ່ລະຮບມີເນອ້ື ທີ່ືເທັ່າົ ກັນ ແລະ ເທ່ັາົ ກບັ 1 4× 4 = 4√3 ������������2 2× 2 √3 ເນອ້ື ທ່ືີອູອ້ ມຂູ້າງ ເທ່ັົາເນືອ້ ທ່ືີຂອງຮບສາມແຈສະເໝີ 3 ຮບ = 3 × 4√3 = 12√3 ������������2 ເນອ້ື ທີື່ທັງໝົດເທາັ່ົ ເນື້ອທ່ີືຂອງຮບສາມແຈສະເໝີ 4 ຮບ = 4 × 4√3 = 16√3 ������������2 ຕົວຢ່າງ 2: ທາດສລື່ີ ຽ່ ມ ພ້ືນເປນັ ຮບສ່ີືແຈສາກກວາູ້ ງ 6 ������������, ຍາວ 8 ������������ ແລະ ສງ 10 ������������ ໃຊູ້ສາລັບການທດົ ລອງເລອ່ື ງການກະຈາຍຂອງແສງ. ຖາມວາ່ ບລມິ າດຂອງທາດລຽ່ ມນ້ືີມີເທັົ່າໃດ? ວທິ ີແກູ້: ອີງຕາມສດ ບລິມາດຂອງທາດລຽ່ ມ = 1 × ເນອ້ື ທື່ີພ້ນື × ລວງສງ 3 ດັງ່ ນື້ັນ, ������ = 1 × (6 × 8) × 10 = 160 ������������3 3 3.3 ຮບທກ່ໍ ມົ + ເນືອ້ ທີື່ພນ້ື = ������ × ລດັ ສະໝີ × ລັດສະໝີ ������ = ������ × ������ × ������ = ������������2 + ເນ້ອື ທີື່ອູ້ອມຂູ້າງ = ລວງຮອບພນື້ × ລວງສງ ������ອຂ = 2������������ℎ + ເນ້ືອທີື່ທງັ ໝົດ = 2 × ເນ້ອື ທື່ີພ້ນື + ເນອ້ື ທືີ່ອູ້ອມຂູ້າງ ������ທໝ = 2������������2 + 2������������ℎ = 2������������(������ + ℎ) + ບລມິ າດ = ເນ້ືອທີ່ືພື້ນ × ລວງສງ ������ = ������������2ℎ ຕວົ ຢາ່ ງ: ອ່າງເກັບນໍ້າຂອງເຮອນຫຼັງໜງື່ຶ ເປັນຮບທ່ໍກົມ ມີລວງສງ 3������ ແລະ ມີລັດສະໝີພ້ືນເທົັ່າກັບ 1,5������ (ໃຫູ້ ������ = 3,14). ກ. ຈ່ັົງຊອກເນ້ືອທື່ີທັງໝດົ ຂອງອາ່ ງເກບັ ນໍ້າໜວ່ ຍນ້ັືນ (ບຄ່ໍ ດິ ໄລ່ເນືອ້ ທີ່ືຂອງຝາປິດ). ຂ. ເພິືນ່ ຖອກນ້າໍ ໃສ່ອ່າງເກັບນໍ້າໜ່ວຍນນືັ້ ຈົນເຕັມ. ຖາມວ່າ ບລມິ າດຂອງນາ້ໍ ໃນອ່າງມີຈັກແມັດກອູ້ ນ? 107

vii ວທິ ແີ ກ:ູ້ ກ. ເນື້ອທ່ີືທັງໝົດ (ບນ່ໍ ບັ ເນື້ອທື່ີຂອງຝາປດິ ) ຈາກສດຸ ������ທໝ = 2������������2 + 2������������ℎ + ເນ້ືອທ່ືີພື້ນຂອງອາ່ ງ ������ = ������ × ������ × ������ = ������������2 = 3,14 × 1,5 × 1,5 = 7,065 ������2 + ເນື້ອທ່ືີອູ້ອມຂູ້າງ ������ອຂ = 2������������ℎ = 2 × 3,14 × 1,5 × 3 = 28,26 ������2 ������ທໝ = 2������������2 + 2������������ℎ = 2 × 7,065 + 28,26 = 42,39 ������2 ຂ. ບລມິ າດຂອງນາ້ໍ ຈາດສດ ������ = ������������2ℎ = 3,14 × (1,5)2 × 3 = 21,195 ������3 3.4 ຮບຈວຍ + ເນືອ້ ທີ່ືພນື້ = ������ × ລດັ ສະໝີ × ລດັ ສະໝີ ������ = ������ × ������ × ������ = ������������2 + ເນ້ືອທືີ່ອອູ້ ມຂູ້າງ = ເຄງ່ືິ ໜຶງ່ື ລວງຮອບພນ້ື × ເສືັ້ນໃຫູ້ກາເນດີ ������ອຂ = ������������������ + ເນອື້ ທ່ືີທັງໝົດ = ເນືອ້ ທ່ີືພື້ນ + ເນອ້ື ທື່ີອ້ອູ ມຂູ້າງ ������ທໝ = ������������2 + ������������������ = ������������(������ + ������) + ບລມິ າດ = 1 × ເນື້ອທີື່ພ້ືນ × ລວງສງ 3 ������ = 1 ������������2ℎ 3 ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫູ້ຮບຈວຍທີ່ືມີເສື້ນັ ໃຫູ້ກາເນດີ ຍາວ 5 ������������ ແລະ ລດັ ສະໝພີ ນື້ 3 ������������. ຈັງ່ົ ຊອກຫາເນ້ືອທື່ີອູ້ອມຂູ້າງ ແລະ ເນອ້ື ທີື່ທງັ ໝົດຂອງຮບຈວຍນ.້ີື ວທິ ແີ ກ:ູ້ ຈາກສດ ������ອຂ = ������������������ = 3,14 × 3 × 5 = 47,1 ������������2 ຈາກສດ ������ທໝ = ������������2 + ������������������ = ������������(������ + ������) = 3,14 × 32 + 47,1 ������ທໝ = 75,36 ������������2 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຈວຍເຈຍູ້ ສາລບັ ໃສ່ນ້ໍາດມ່ື ສງປະມານ 9,4 ������������, ເສ້ນືັ ຜ່ານກາງຂອງປາກຈວຍຍາວ 7 ������������. ຈວຍອນັ ນ້ີື ບນັ ຈຸນ້ໍາໄດູ້ເທັາົ່ ໃດ? ວທິ ແີ ກ:ູ້ ຈາກສດ ������ = 1 ������������2ℎ 3 = 1 × 3,14 × (7)2 × 9,4 32 ������ ≅ 120,5 ������������3 ຕອບ: ຈວຍນີບື້ ັນຈຸນ້າໍ ໄດູ້ປະມານ 120,5 ������������3 108

vii 3.5 ຮບໜວ່ ຍມົນ ແລະ ຮບກູອ້ ນມົນ + ເນອ້ື ທີື່ຂອງຮບໜ່ວຍມນົ ທືີ່ມີລັດສະໝີ ������ ແມນ່ : ������ = 4������������2 + ບລິມາດຂອງຮບກູ້ອນມນົ ທ່ືີມລີ ັດສະໝີ ������ ແມ່ນ: ������ = 4 ������������3 3 ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຈົ່ງັ ຊອກຫາເນອ້ື ທ່ືີ ແລະ ບລມິ າດຂອງໜ່ວຍມົນ ທ່ີືມີລັດສະໝີແມ່ນ 5 ������������. ວທິ ແີ ກ:ູ້ + ເນ້ອື ທື່ີຂອງໜ່ວຍມົນ ຈາກສດ ������ = 4������������2 = 4 × 3,14 × 52 ������ = 314 ������������2 + ບລມິ າດຂອງກ້ອູ ນມນົ ຈາກສດ ������ = 4 ������������3 3 ������ = 4 × 3,14 × 53 3 ������ = 523,33 ������������3 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຖູ້າຈະຫ່ໍຼລກເປຕັງເຫັຼກ ທ່ີືມີເສັ້ືນຜ່ານໃຈກາງ 8 ������������ ຈານວນ 12 ລກ. ຈະຕູ້ອງໃຊູ້ເຫຼັກໃນການຫ່ໍຼເທ່າັົ ໃດ? ( ການົດ ������ = 3,14 ແລະ ລກເປຕງັ ຕ້ອູ ງເປັນກອູ້ ນມົນ ) ວທິ ແີ ກ:ູ້ ລກເປຕງັ ເປນັ ກ້ອູ ນມົນທມືີ່ ີລດັ ສະໝີແມນ່ ������ = 8 = 4 ������������ 2 ອີງຕາມສດ ������ = 4 ������������3 3 ������ = 4 × 3,14 × 43 3 ������ ≅ 267,95 ������������3 ດັ່ງນນັື້ , ໃນການຫ່ລໍຼ ກເປຕງັ ເຫັຼກຈານວນ 12 ລກ ຈະຕູ້ອງໃຊູ້ເຫັກຼ ປະມານ 12������ = 12 × 267,95 12������ = 3215,4 ������������3 109

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈັງົ່ ຊອກຫາເນື້ອທີື່ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮບທໍ່ລ່ຽມລຸ່ມນີ້ື ( ລວງຍາວທື່ີການດົ ແມ່ນ cm ) 2. ປບິ ນໍ້າມັນພດມີພ້ນື ເປນັ ຮບຈະຕຸລັດ ມີຂູ້າງວັດແທກໄດູ້ 30 cm, ປິບມີລວງສງ 55 cm. ບັນຈຸນາ້ໍ ມັນ ພດເຕັມປິບ ຖູ້າແບ່ງນໍາ້ ມັນພດໃສ່ຖົງ ຖົງລະ 0,75 ������ ຈນົ ໝົດ, ຈະໄດູ້ນໍ້າມນັ ພດຈກັ ຖົງ? 3. ອ່າງເກັບນໍ້າເປັນຮບກັບສາກຍາວ 12 m ແລະ ກວາູ້ ງ 10 m, ຖູ້າຕູ້ອງການເກັບນໍ້າໄວູ້ໃນອາ່ ງ 300 ������3 ລະດບັ ນໍາ້ ຈະຕ້ອູ ງສງຈາກພ້ືນອ່າງເທາ່ັົ ໃດ? 4. ຕູ້ອງການປັ້ນື ດນິ ໜຽວເປນັ ຮບທໍ່ລຽ່ ມ ທື່ີມີພນ້ື ເປນັ ຮບສາມແຈສະເໝີ ທ່ືີມຂີ ູ້າງເທົັ່າ 12 cm ແລະ ສງ 12 cm. ຖາມວາ່ ຈະຕອູ້ ງໃຊູ້ດິນໜຽວຫາຼ ຍເທັົາ່ ໃດ? 5. ຮບທ່ໍກົມໜືຶ່ງມີລດັ ສະໝີຂອງພືນ້ 3 cm ແລະ ລວງສງ 4 cm. ຈົ່ງັ ຄິດໄລ່ເນອື້ ທືີ່ອອູ້ ມຂູ້າງ ແລະ ເນືອ້ ທ່ືີ ທັງໝົດຂອງຮບທກໍ່ ມົ ນນືັ້ ? 6. ສະນໍາ້ ພຸໃນສວນສາທາລະນະເປັນຮບທໍ່ກົມ ເສື້ນັ ຜ່ານໃຈກາງແທກໄດູ້ 4 m, ລວງເລກິ ແຕ່ພ້ືນສະເຖງິ ຂອບ ສະແທກໄດູ້ 80 cm. ໃນມຝື້ ົນຕົກໜັກ ສະໜວ່ ຍນສ້ືີ າມາດບນັ ຈຸນໍາ້ ເຕັມໄດູ້ເທັ່ົາໃດ? 7. ຖັງເກບັ ນ້ໍາມັນເປນັ ຮບທ່ໍກມົ ຂະໜາດໃຫຍ່ ມີລດັ ສະໝຍີ າວ 3 m, ເກັບນ້າໍ ມັນໄດູ້ 1000 ບາເຣນ (Barel). ຖາມວ່າ ຖັງເກັບນາ້ໍ ມັນນືີ້ສງເທັ່າົ ໃດ? (ການດົ ໃຫູ້ 1 ������������������������������ ≈ 159 ������ ແລະ ������ = 3,14 ) 8. ຮບແບຂອງຮບທໍ່ກົມປະກອບດ້ວູ ຍສອງແຜນ່ ມົນ ທື່ີມີລັດສະໝີ 4 cm ແລະ ໜື່ງຶ ຮບສີື່ແຈສາກ ທ່ືີມີ ເນອື້ ທືີ່ 125,6 ������������2 ກ. ຈງ່ັົ ຊອກລວງສງຂອງຮບທກ່ໍ ົມ. ຂ. ຈງົ່ັ ແຕູ້ມຮບແບຂອງມັນ. 110

vii 9. ເຮອນຫັງຼ ໜຶ່ງື ໃຊູ້ນາ້ໍ ໂດຍສະເລຍ່ ມລື້ ະ 0,5 ������3. ຕູ້ອງການສູ້າງອ່າງເກບັ ນໍ້າຝນົ ທືີ່ເປັນຮບທກ່ໍ ົມ 4 ໜ່ວຍ ທືມ່ີ ີຂະໜາດເທັົ່າກນັ ເພືອ່ ເກັບນ້ໍາໄວູ້ໃຊູ້ໃນຊວ່ ງເວລາ 88 ມື້, ຖູ້າຕູອ້ ງການຖັງເກບັ ນາໍ້ ມລີ ວງສງ 3,5 m, ຈະຕອູ້ ງສາູ້ ງຖັງເກບັ ນາ້ໍ ໃຫູ້ມີເສັນ້ື ຜ່ານໃຈກາງຍາວຈກັ ແມດັ ? 10.ຈົັ່ງຕມື່ ຕາຕະລາງລ່ມຸ ນ:ື້ີ ໃນນື້ັນ ������, ������, ������ ໝາຍເຖງິ ລດັ ສະໝີ, ເນອ້ື ທີື່ ແລະ ບລມິ າດ ຂອງຮບໜວ່ ຍມົນ ຕາມລາດບັ . r 1m 6 cm 2,4 dm 0,7 m A V 11.ໃຫູ້ຮບໜ່ວຍມົນ ທ່ືີມີລດັ ສະໝີເທັົາ່ 1,5 cm ແລະ ຮບທກໍ່ ົມທືີ່ມເີ ສັນ້ື ຜ່ານໃຈກາງຂອງພ້ນື ເທາ່ົັ 2 cm ແລະ ມີລວງສງເທັ່ົາ 4,5 cm. ກ. ຈງ່ົັ ຊແ້ືີ ຈງວາ່ ບລມິ າດຂອງສອງຮບເທັົ່າກນັ ແລະ ເທ່ົັາກບັ 4,5������ ������������3 ຂ. ຈ່ງັົ ປຽບທຽບເນ້ອື ທື່ີຂອງໜູາ້ ໜວ່ ຍມນົ ແລະ ເນືອ້ ທີ່ືອູ້ອມຂາູ້ ງຂອງຮບທໍ່ກົມ. 12.ລກໂຍນນ້າໍ ໜັກໜວ່ ຍໜງຶື່ ເປນັ ຮບໜ່ວຍມົນ ມີເສື້ັນຜ່ານໃຈກາງຍາວ 18 cm. ລກໂຍນນ້ໍາໜັກໜ່ວຍນື້ີ ມີບລມິ າດເທັ່ົາໃດ? 13.ກະແລັມມີລກັ ສະນະເປັນຮບໜ່ວຍມນົ , ມີກະແລມັ ຊະນິດດຽວກນັ ສອງຈວຍ, ຈວຍທາອດິ ມກີ ະແລັມ 2 ໜ່ວຍ ແຕລ່ ະໜ່ວຍມີລັດສະໝີ 2,5 cm, ຈວຍທີື່ສອງມີກະແລມັ 3 ໜວ່ ຍ ແຕລ່ ະໜ່ວຍມີລັດສະໝີ 1,5 cm. ຖາມວ່າ ຈວຍໃດມກີ ະແລມັ ຫາຼ ຍກວ່າກັນ? 14.ໝາກບານເຕະໜ່ວຍໜງ່ືຶ ວດັ ແທກລວງຮອບນອກໄດູ້ 66 cm. ຖ້າູ ໝາກບານເຕະເຮດັ ດູວ້ ຍ ໜງັ ໜາ 0,5 cm, ຈະຕອູ້ ງສບລມົ ເຂ້ືົາໃນໝາກບານຈັກຊງັ ຕີແມັດກູອ້ ນ? 15.ຈົັ່ງພິຈາລະນາຮບທາດລ່ຽມທ່ີືມພີ ືນ້ ເປນັ ຮບສ່ີືແຈສາກ ແລູວ້ ຕອບຄາຖາມຕໍ່ໄປນ:ື້ີ 111

vii ກ. ຮບໃດເປັນພນື້ ຂອງຮບທາດລ່ຽມ? ຂ. ຮບທາດລຽ່ ມນື້ີມີຈັກໜາູ້ , ຈກັ ລຽ່ ມຂູາ້ ງ ແລະ ທກຸ ໆລ່ຽມຂູ້າງຍາວເທັົ່າກັນ ຫຼບໍ່? ຄ. ໜູ້າຂູ້າງຂອງຮບທາດລ່ຽມ ເປັນຮບສາມແຈຊະນິດໃດ? ງ. ໜ້າູ ຂູ້າງທກຸ ໜາູ້ ຂອງຮບທາດລຽ່ ມເທັ່ົາກັນທຸກຢ່າງ ຫຼບ່ໍ? ໜາູ້ ຄ່ໃດແດ່ທ່ີືເທັົາ່ ກັນທກຸ ຢ່າງ? 16. ຮບທາດສາມລຽ່ ມ ������. ������������������ ພືນ້ ເປັນຮບສາມແຈສະເໝີມີຂູ້າງຍາວ 4 cm, SA = 3 cm, ໃຫູ້ ລຽ່ ມຂາູ້ ງ ������������ ⊥ ������������, ������������ ⊥ ������������ ກ. ຈັົງ່ ແຕມູ້ ຮບແບຂອງຮບທາດລ່ຽມ. ຂ. ຈັ່ົງຊອກຫາເນ້ືອທື່ໜີ ູ້າຂາູ້ ງ SBC. ຄ. ຈົັ່ງຊອກຫາເນືອ້ ທ່ີືອູ້ອມຂາູ້ ງ. ງ. ຈົັງ່ ຊອກຫາເນື້ອທື່ີທງັ ໝົດ. 17. ຮບແບຕໍ່ໄປນເືີ້ ປັນຮບແບຂອງຮບທາດລຽ່ ມຊະນິດໃດ? 112

vii 18.ຈົັ່ງຊອກຫາເນອ້ື ທີື່ອູ້ອມຂູ້າງ, ເນ້ືອທ່ືີທັງໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮບທາດສ່ືີລ່ຽມ ທີື່ມີລວງສງ 12 cm ແລະ ພ້ນື ຂອງຮບທາດລຽ່ ມນ້ືີເປນັ ຮບສ່ີືແຈສາກ ກວາູ້ ງ 10 cm ແລະ ຍາວ 32 cm. 19.ໃຫູ້ຂາູ້ ງພ້ືນຂອງຮບທາດຫູາ້ ລ່ຽມສະເໝໜີ ືຶງ່ ຍາວ 6 cm ແລະ ເນືອ້ ທືີ່ອ້ອູ ມຂູ້າງເທົັ່າ 30 ������������2. ຈົັງ່ ຊອກ ຫາລວງຍາວຂອງລ່ຽມຂູ້າງ ແລະ ເນ້ືອທີ່ືທັງໝົດຂອງຮບທາດລຽ່ ມນ້ືີ. 20.ຮບທາດລ່ຽມສະເໝີໜ່ຶືງ ມລີ ວງສງ 4 cm, ລວງຮອບພື້ນແທກໄດູ້ 24 cm ແລະ ມເີ ນອ້ື ທ່ີືທງັ ໝົດ 96 ������������2. ຖາມວ່າ ຮບທາດລຽ່ ມນີື້ແມ່ນ ຮບທາດ 3 ລ່ຽມ ຫຼ ຮບທາດ 4 ລຽ່ ມ? 21.ຈວຍສງ 28 m ເສ້ືນັ ໃຫູ້ກາເນດີ ຍາວ 35 m ຈ່ັົງຊອກຫາ: ກ. ລັດສະໝຂີ ອງຈວຍ. ຂ. ລວງຮອບພື້ນຂອງຈວຍ. ຄ. ເນື້ອທ່ີືອອູ້ ມຂາູ້ ງຂອງຈວຍ. ງ. ເນ້ອື ທືີ່ທງັ ໝົດຂອງຈວຍ. ຈ. ບລມິ າດຂອງຈວຍ. 22. ຈງ່ົັ ຊອກຫາເສນ້ືັ ໃຫູ້ກາເນດີ ຂອງຈວຍ ເຊິື່ງມີເນື້ອທີ່ືທງັ ໝົດເທ່ັົາ 3256 ������������2 ແລະ ລດັ ສະໝີ ພື້ນຍາວ 14 cm. 23.ທຽນໄຂແຟນຊີສອງແບບ ແບບທາອດິ ເປັນທ່ໍກມົ ມີເສນ້ືັ ຜ່ານກາງຂອງພນ້ື 3 cm ແລະ ສງ 5 cm. ອກີ ແບບໜງ່ືຶ ເຮດັ ເປັນຈວຍສງ 6 cm ແລະ ມີລດັ ສະໝຂີ ອງພ້ືນຍາວ 2 cm. ຈງັົ່ ບອກວາ່ ທຽນໄຂແບບໃດໃຊູ້ເນອື້ ທຽນຫຼາຍກວາ່ ແລະ ຫາຼ ຍກວ່າເທາົັ່ ໃດ? 24.ນກັ ຮຽນ 50 ຄນົ ມີຈອກນາ້ໍ ເປັນຈວຍເຈຍູ້ ສາລບັ ໃຊູ້ນາ້ໍ ດື່ມ. ຈວຍສງ 10 cm, ເສນັື້ ຜ່ານກາງ ຂອງພ້ືນ ຍາວ 8 cm. ຖູ້ານກັ ຮຽນແຕ່ລະຄົນດື່ມນ້າໍ ບໍ່ເກນີ ສອງຈອກ. ນໍ້າດ່ືມ 20 ລິດ ຈະພຽງພສາລັບທກຸ ຄົນຫບຼ ໍ່? ຈງ່ັົ ອະທບິ າຍ. 113

vilaisavanh ບດົ ທີ 10 ເລຂາສະຖານ 1. ມະໂນພາບກຽ່ ວກບັ ເລຂາສະຖານ ໃນຊີວິດປະຈາວັນເຮົາເຄີຍພົບເຫັນລັກສະນະເລຂາສະຖານຢ່າງຫຼວງຫຼາຍເຊັນ່ ເສນັ້ ເນງ່ັ ຈອມ, ໜ້າບ່ຽງ, ເສັ້ນເນັງ່ ຊື່ຕ່າງໆ ແລະ ໜ້າຕັດຕ່າງໆຂອງຫ້ອງຮຽນ, ເຮອື ນ, ອາ່ ງນໍ້າ,... ຕົວຢາ່ ງ 1. ຈັ່ງົ ນບັ ຈານວນໜາ້ , ຈານວນຈອມ ແລະ ຈານວນລຽ່ ມ ຂອງບນັ ດາຮູບກ້ອນຫຼາຍໜ້າລມ່ ນ້ພັີ ອ້ ມທັງ ຂຽນໃສ່ຕາຕະລາງລ່ມນ້ີ:ັ ຊື່ຮູບກ້ອນຫາຼ ຍໜ້າ m d c M+d-c 1. ຮບູ ທາດສາມລຽ່ ມ 4 4 6 2 2. ຮບູ ທາດສີື່ລ່ຽມ 5 5 8 2 3. ຮບູ ທ່ໍສາມລ່ຽມ 5 6 9 2 4. ຮບູ ທໍ່ສີື່ລ່ຽມ 6 8 12 2 5. ຮບູ ທາດສ່ືີລ່ຽມກດ 6 8 12 2 6. ຮບູ ທາດຫົກລ່ຽມ 7 7 12 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ໃນຮບູ ທລໍ່ ຽ່ ມເຊິືງ່ ພື້ນັ ເປັນຮູບ 4 ແຈ, 5 ແຈ, 6 ແຈ,..., n ແຈ ເຮາົ ອາດແຕ້ມໄດເ້ ທ່ັົາໃດເສ້ັນເນັ່ງ ຈອມ? ຖາ້ ບໍ່ຈາກັດຈອມໜງ່ື ແຕມ້ ເສນ້ັ ເນ່ັງຈອມທັງໝົດຈກັ ເສນັ້ ? ວທິ ແີ ກ:້  ໃນຮູບທໍລ່ ່ຽມເຊືິງ່ ພນ້ັື ເປນັ ຮູບ 4 ແຈ ສາມາດແຕ້ມໄດ້ທງັ ໝດົ 4 ເສັ້ນເນງັ ຈອມທືີ່ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດັ່ງນ້:ັີ 114

vilaisavanh 4(4-3)=4.1=4 ເສນັ້  ວທິ ີສ້າງແຕ້ມຮູບ  ໃນຮູບທ່ລໍ ່ຽມເຊືິ່ງພນ້ັື ເປນັ ຮູບ 5 ແຈ ສາມາດແຕ້ມໄດ້ທງັ ໝດົ 10 ເສັ້ນເນງັ ຈອມທີື່ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດ່ງັ ນ:ັ້ີ 5(5-3)=5.2=10 ເສັ້ນ  ວທິ ີສ້າງແຕ້ມຮບູ  ໃນຮູບທໍ່ລ່ຽມເຊ່ືິງພນືັ້ ເປັນຮູບ 6 ແຈ ສາມາດແຕ້ມໄດ້ທັງໝດົ 18 ເສັ້ນເນັງຈອມທື່ີສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດັ່ງນ:້ັີ 6(6-3)=6.3=18 ເສັ້ນ  ວິທີສ້າງແຕ້ມຮູບ 115

vilaisavanh  ຜາ່ ນການຄດິ ໄລ່ເສ້ັນເນ່ັງຈອມຂອງຮູບທ່ໍ 4 ລ່ຽມ, 5 ລຽ່ ມ ແລະ 6 ລ່ຽມ ຂ້າງເທິງເຮົາສາມາດຄດິ ໄລ່ໄປຕາມຈາ ນວນແຈຂອງຮບູ ແລະ ໄດ້ສູດຄິດໄລເ່ ສ້ັນເນັງ່ ຈອມຂອງຮບູ ທໍ່ n ລຽ່ ມແມນ່ : n(n-3), n ເປັນຈານວນຖວ້ ນບວກ, ເຊງິື່ n  4 . ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ໃນຮບູ ທ່ໍລ່ຽມເຊິ່ງື ພັື້ນເປນັ ຮບູ ສີແື່ ຈ, ຫ້າແຈ, ຫກົ ແຈ,..., n ແຈ ເຮົາແຕ້ມໄດ້ຈກັ ໜ້າບ່ຽງ? ຖ້າບ່ໍຈາກດັ ຢລູ່ ່ຽມຂາ້ ງໜືງ່ ແຕ້ມໜາ້ ບ່ຽງທງັ ໝົດຈກັ ໜ້າບ່ຽງ? ວທິ ແີ ກ້:  ໃນຮູບທໍ່ 4 ລຽ່ ມ ເຊິງື່ ສາມາດແຕມ້ ໄດ້ 2 ໜ້າບ່ຽງ ທ່ືີສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດງັ່ ນັ:້ີ 4(4  3)  2 ໜ້າບ່ຽງ 2  ວິທສີ ້າງແຕ້ມຮບູ  ໃນຮູບທໍ່ 5 ລຽ່ ມ ເຊງ່ິື ສາມາດແຕມ້ ໄດ້ 5 ໜາ້ ບ່ຽງ ທື່ີສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດ່ງັ ນ້:ີັ 5(5  3)  5 ໜາ້ ບ່ຽງ 2  ວິທສີ ້າງແຕ້ມຮບູ  ໃນຮູບທ່ໍ 6 ລ່ຽມ ເຊ່ືິງສາມາດແຕ້ມໄດ້ 9 ໜາ້ ບ່ຽງ ທີື່ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດັງ່ ນີ້ັ: 6(6  3)  9 ໜ້າບ່ຽງ 2  ວທິ ສີ ້າງແຕ້ມຮູບ 116

vilaisavanh  ຜ່ານການຄິດໄລໜ່ ້າຂອງຮູບທ່ໍ 4 ລ່ຽມ, 5 ລຽ່ ມ ແລະ 6 ລຽ່ ມ ຂ້າງເທງິ ເຮົາສາມາດຂຽນສູດຄິດໄລ່ໜາ້ ບ່ຽງຂອງ ຮູບທ່ໍ n ລ່ຽມແມ່ນ: n(n  3) , n ເປັນຈານວນຖວ້ ນບວກ, ເຊືິງ່ n  4 . 2 2. ການນາໃຊເ້ ລຂາສະຖານເຂາ້ົັ ໃນການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ພ້ນືັ ຂອງຮບູ ທລ່ໍ ່ຽມເປນັ ຮບູ ດອກຈັນ ບັນດາເສັນ້ ເນ່ັງຈອມຂອງຮບູ ທລ່ໍ ຽ່ ມນັ້ນຍາວ 9cm ແລະ 15cm ລວງສງູ ເທັາົ່ 5cm ຈງ່ັົ ສ້າງແຕ້ມຮູບດັ່ງກ່າວ ວທິ ແີ ກ້ - ການສ້າງແຕມ້ ຮູບ ຂໍ້ສມົ ມດ ໃຫ້ຮບູ ທໍ່ 4 ລຽ່ ມທຽ່ ງ ABCD. A'B'C'D' ທມື່ີ ີຂ້າງ ຂ້ໍສະຫຼຸບ AC'  15cm, BD'  9cm,C'B'  5cm ຈັົງ່ ສ້າງແຕ້ມຮບູ ຕວົ ຢາ່ ງ 5. ໃຫ້ທໍ່ກົມໜືງ່ ທືີ່ມີລດັ ສະໝພີ ັ້ືນເທ່ົັາກບັ 30cm ລວງສູງເທາັົ່ 70cm ແລະ ໜ້າຕັດຂະໜານກັບແກນ ຫ່າງຈາກແກນ 10cm. ຈົັ່ງສ້າງແຕ້ມຮບູ ດັ່ງກາ່ ວ ວທິ ແີ ກ້ 117

vilaisavanh - ການສ້າງແຕມ້ ຮບູ ຂໍ້ສົມມດ ໃຫ້ຮູ້ r  30cm, h  70cm ໜ້າຕດັ ຂະໜານຫາ່ ງ ຂໍ້ສະຫຼຸບ ຈາກແກນ10cm ຈ່ັົງສ້າງແຕ້ມຮູບ ຕວົ ຢາ່ ງ 6. ຮບູ ທາດລ່ຽມສະເໝີທ່ີືມີຂ້າງເທົ່ັາ a ບນັ ດາລຽ່ ມຂ້າງກເທັົ່າ a , ໜາ້ ບ່ຽງ S ຈົັງ່ ສ້າງແຕ້ມຮບູ ດງ່ັ ກ່າວ ວທິ ແີ ກ້ - ການສ້າງແຕ້ມຮູບ ຂ້ໍສມົ ມດ ໃຫ້ຮບູ ທາດລຽ່ ມສະເໝຂີ ້າງພັ້ືນ a , ລ່ຽມຂ້າງ a ຂໍ້ສະຫຸຼບ ແລະ ໜ້າບ່ຽງ S ຈງ່ົັ ສ້າງແຕ້ມຮູບ 3. ບດົ ເລກສາ້ ງແຕມ້ ແລະ ການຄິດໄລເ່ ລຂາສະຖານ ຕວົ ຢາ່ ງ 7. ໃນຮູບກັບທ່ຽງລ່ຽມຂ້າງຂອງມນັ ຍາວ 9cm ບັນດາຂ້າງພັນື້ ຍາວ 7cm ແລະ 11cm ເສັ້ນເນງັ່ ຈອມ ຂອງພັື້ນເສນ້ັ ໜື່ງຍາວ 14cm. ຈງົັ່ ຊອກຫາລວງຍາວຂອງບນັ ດາເສັ້ນເນັ່ງຈອມຂອງຮູບດັ່ງກ່າວ? 118

vilaisavanh ວທິ ແີ ກ້ ຂ້ໍສົມມດ ໃຫ້ຮູບກັບທຽ່ ງ ABCD. A'B'C'D' AA'  9cm, AB  11cm, BC  7cm, BD  14cm ຂ້ໍສະຫຼບຸ ຊອກຫາ A'C  ?, BD'  ?  ຊອກເສັນ້ ເນ່ັງຈອມ AC ຂອງພ້ນືັ ABCD. A'B'C'D' ເຮາົ ມີ: AC2  AB2  BC2  112  72  121 49  170  AC  170 13,03cm  ຊອກຫາລວງຍາວຂອງເສນັ້ ເນັ່ງຈອມ A'C ໃນຮູບສາມແຈສາກ A' AC ເຮົາມ:ີ A'C2  A' A2  AC2  2  92  170  81170  251  A'C  251cm  ຊອກຫາລວງຍາວຂອງເສັ້ນເນັງ່ ຈອມ BD' ໃນຮູບສາມແຈສາກ BDD' ເຮົາມີ: BD'2  BD2  DD'2  142  92  196  81  277  BD'  277cm ດງັ່ ນັ້ນ ລວງຍາວຂອງບັນດາເສນັ້ ເນັງ່ ຈອມຮູບກັບແມ່ນ 251cm ແລະ 277cm ຕວົ ຢາ່ ງ 8. ໃຫ້ທ່ກໍ ົມໜ່ືງມີເສັ້ນຜ່າກາງພ້ືັນເທັ່ົາກັບ 30cm ລວງສູງເທົາ່ັ 70cm ແລະ ໜາ້ ຕັດຂະໜານກບັ ແກນ 119

vilaisavanh ຫ່າງຈາກແກນ 10cm. ຈງ່ົັ ຊອກບລິມາດຂອງທ່ກໍ ົມ ແລະ ເນືອັ້ ທີື່ໜ້າຕດັ ນນັ້ ? ວທິ ແີ ກ້ ຂ້ໍສມົ ມດ ໃຫ້ຮູ້ d  30cm, h  70cm ແລະ ໜາ້ ຕດັ ຂະໜ ານກັບແກນຫ່າງຈາກແກນ h 10cm ຂ້ໍສະຫຼບຸ ຊອກຫາ V  ? ແລະ ເນື້ັອທືີໜ່ າ້ ຕັດ S  ?  ຊອກຫາ V ຈາກສດູ ເຮົາມ:ີ V   r2h ເຮາົ ໄດ້: V  3,14302 .70  197820cm3 ດງ່ັ ນ້ັນ, ບລິມາດຂອງຮູບທໍກ່ ມົ ເທົ່າັ ກັບ 197820cm3  ຊອກຫາເນ້ັືອທີື່ໜ້າຕດັ S ຈາກສູດເຮາົ ມ:ີ S  h.AD  2ND AD  2ND.h - ຊອກຫາ ND  ? ຈາກສູດເຮົາມີ: ND2  O'D2  O'N 2  ND2  302 102  900 100  800  ND  800  400.2  20 2cm ຈະໄດ້ S  2 20 2 70  2800cm2 ດງັ່ ນັນ້ ເນືັ້ອທ່ີືໜ້າຕັດທເ່ໍ ທັົ່າ 2800cm2 ຕວົ ຢາ່ ງ 9. ຮບູ ຈວຍໜືງ່ ມີລວງສງູ h  20cm , ລັດສະໝີຂອງພນັື້ ເທ່ັົາ r  25cm ເພ່ືິນສ້າງໜ້າຕັດຜ່ານຈອມ ຂອງຮູບຈວຍໂດຍທີວື່ າ່ ໄລຍະຫ່າງແຕ່ໃຈກາງຂອງພ້ືັນເຖງິ ໜ້າຕັດ d  12cm . ຈງ່ົັ ຄິດໄລເ່ ນື້ອັ ທີື່ໜ້າຕັດນ້ັນ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮບູ ຈວຍ? ວທິ ແີ ກ້ 120

vilaisavanh ໃຫ້ຮວູ້ ່າ h  20cm, r  25cm ຂ້ໍສມົ ມດ ໄລຍະຫ່າງແຕ່ໃຈກາງຂອງພ້ືັນເຖິງໜ້າຕັດ d  12cm ຂໍ້ສະຫບຸຼ ຊອກຫາ ເນອືັ້ ທ່ືີໜ້າຕດັ S  ? ແລະ V  ?  ຊອກຫາ V ຈາກສດູ : V  1 B.h  1  r2h 33  V  1 3,14 (25)2  20 3  V  1 3,14 625 20 3  V  39250  13083,33cm3 3 ດ່ງັ ນ້ັນ, ບລິມາດຂອງຮບູ ຈວຍເທ່ັົາກບັ 13083,33cm3  ຊອກຫາເນື້ັອທ່ືີໜ້າຕດັ S ຈາກສດູ : S  PP  ABP  ACP  BC - ຊອກຫາ AB  ? ຮວູ້ ່າ AB  AC  AH  AB2  AH 2  AO2  r2  AB2  202  252  400  625  1025  AB  1025  32,01cm  AB  32, 01cm - ຊອກຫາ BC  ? ຮູວ້ າ່ BC  2IC ເຮາົ ໄດ້ IC2  CO2  d 2  252 122  625 144  481  IC  481  21,93  IC  21,93cm 121

vilaisavanh ຈາກ BC  2IC ເຮາົ ໄດ້ BC  2 21,93  43,86cm  BC  43,86cm  ຊອກ P ຈາກສູດ P  AB  BC  AC 2 ເຮົາໄດ້ P  32,01 43,86  32,01  53,94 2  P  53,94cm  ດງ່ັ ນນ້ັ ເນືອັ້ ທື່ີໜ້າຕັດ S ຈາກສດູ S  P P  ABP  ACP  BC S  53,9453,94  32,0153,94  32,0153,94  43,86 S  261486, 2  511,36cm2 ເນ້ັືອທີື່ໜ້າຕັດຂອງຮບູ ຈວຍເທ່ັົາກບັ S  511,36cm2 ຕວົ ຢາ່ ງ 10. ຮູບຈວຍໜ່ງື ມີລວງສງູ h  40cm , ລັດສະໝີຂອງພນ້ັື ເທ່ັົາ r  50cm ເພິ່ນື ສ້າງໜ້າຕັດຜ່ານຈອມ ຂອງຮູບຈວຍໂດຍທວີ່ື າ່ ໄລຍະຫ່າງແຕ່ໃຈກາງຂອງພັ້ືນເຖິງໜາ້ ຕັດ d  24cm . ຈງ່ົັ ຄິດໄລ່ ບລິມາດຂອງຮູບຈວຍ? ວທິ ແີ ກ້ ຂ້ໍສົມມດ ໃຫ້ຮ້ວູ າ່ h  40cm , r  50cm ຂ້ໍສະຫບຼຸ ໄລຍະຫ່າງແຕ່ໃຈກາງຂອງພັືນ້ ເຖງິ ໜ້າຕັດ d  24cm ຊອກຫາ V  ?  ຊອກຫາ V ຈາກສດູ : V  1 B.h  1  r2h 33  V  1 3,14 (50)2  40 3  V  1 3,14 2500 40 3 V  324000  104,66cm3 3 ດັງ່ ນ້ນັ , ບລິມາດຂອງຮູບຈວຍເທັົ່າກບັ 104, 66cm3 122

vilaisavanh ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ພັືນ້ ຂອງຮູບທ່ໍລ່ຽມເປນັ ຮູບດອກຈັນ, ບນັ ດາເສັ້ນເນັ່ງຈອມຂອງຮູບທ່ໍລ່ຽມນັ້ນຍາວ 9cm ແລະ 15cm ລວງສງູ ເທັົ່າ 5cm ຈ່ັງົ ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງພ້ືັນ? 2. ໃຫ້ຮ້ແູ ຕລ່ ະໜ້າຂ້າງຂອງຮູບຫົກລ່ຽມສະເໝເີ ປນັ ຮູບຈະຕລັດທ່ືີມີຂ້າງເທົ່ັາ a . ຈ່ງັົ ຊອກເນອ້ືັ ທ່ືີໜ້າບຽ່ ງນອ້ ຍ ສດ? 3. ໃຫ້ຮູບກັບທ່ຽງລຽ່ ມຂ້າງຂອງມັນຍາວ ບັນດາຂ້າງຂອງພື້ນັ ຍາວ 9cm ບນັ ດາຂ້າງຂອງພນ້ັື ຍາວ 7cm ແລະ 11cm ແລະ ເສ້ັນເນ່ັງຈອມຂອງພືນັ້ ເສັນ້ ໜືງ່ ຍາວ 14cm ຈົັ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງບນັ ດາເສ້ັນເນັ່ງຈອມຂອງຮບູ ດັງ່ ກາ່ ວ? 4. ໃຫຮ້ ູບກ້ອນສາກໜື່ງມີລ່ຽມຂ້າງເທ່ັົາກບັ 7cm ຈ່ັງົ ຊອກຫາເສັນ້ ເນັງ່ ຈອມຂອງຮູບກອ້ ນນນັ້ ? 5. ໃຫ້ຮູບກ້ອນສາກໜງື່ ມເີ ສັນ້ ເນັ່ງຈອມເທົັ່າ 15cm ຈົ່ັງຊອກລ່ຽມຂອງຮບູ ກອ້ ນສາກນັ້ນ? 6. ຜ່ານສາມສນ້ົັ ຕ່າງກນັ ຂອງສາມລ່ຽມທຮີ່ື ວ່ ມຈອມດຽວຂອງຮູບກ້ອນສາກ, ເພ່ນິື ສ້າງໜ້າພຽງໜ່ືງຕັດຮູບກ້ອນ ສາກນ້ນັ . ຈງັົ່ ຄດິ ໄລ່ມມູ ແຫມຼ ເຊ່ິືງໜ້າຕັດປະກອບກັບພື້ນັ ຂອງຮູບກອ້ ນສາກນນ້ັ ? 7. ໃຫ້ຮູບທໍ່ສາມລ່ຽມສະເໝີຂ້າງຂອງພນ້ັື ເທາົັ່ 3cm , ເສນ້ັ ເນັງ່ ຈອມຂອງໜ້າຂ້າງເທ່ົັາ 5cm ຈງ່ັົ ຊອກຫາລວງສູງ ຂອງຮູບທໍລ່ ່ຽມສະເໝນີ ັ້ນ 8. ຮບູ ທາດສ່ີືລ່ຽມສະເໝີມີຂ້າງພ້ັືນເທັົ່າ a ບນັ ດາລ່ຽມຂ້າງກເທ່ົັາ a ຈ່ັງົ ຊອກຫາເນອັື້ ທີ່ືຂອງໜາ້ ບ່ຽງ? 9. ໃຫຮ້ ້ລູ ວງສງູ ຮູບທາດຫົກລ່ຽມສະເໝີເທົັ່າ h, ແຕລ່ ະຂາ້ ງຂອງພືັ້ນເທັ່ົາ a . ຈັງ່ົ ຊອກຫາລ່ຽມຂ້າງ ແລະ ທ່ອນ ສູນສາກຂອງຮູບທາດລຽ່ ມດງ່ັ ກ່າວ? 10. ເພ່ືິນຕັດສອງຮູບທາດລ່ຽມທມື່ີ ີລວງສງູ ເທ່ັົາກັນດວ້ ຍໜ້າພຽງຂະໜານພນື້ັ ແລະ ຫ່າງຈາກຈອມດວ້ ຍໄລຍະເທັົ່າ ກັນ. ໃນຮບູ ທາດລ່ຽມທີໜື່ງມີເນອ້ັື ທ່ີພື ນັ້ື ເທ່ັົາ 8960cm2 ແລະ ເນື້ອັ ທໜ່ືີ ້າຕັດເທັ່ົາ 3500cm2 ຮບູ ທາດລ່ຽມທີ ສອງເປນັ ຮູບທາດລ່ຽມສະເໝີມຂີ ້າງພ້ັືນເທາ່ັົ 12cm. ຈງ່ັົ ຊອກຂ້າງຂອງໜ້າຕັດໃນຮູບທາດລ່ຽມທີສອງ? 11. ລວງສູງຂອງທາດສ່ລືີ ຽ່ ມກດສະເໝເີ ທົ່ັາ 63cm , ທອ່ ນສູນສາກເທັ່ົາ 65cm ແລະ ອັດຕາສວ່ ນຂອງສອງຂາ້ ງ ພືນ້ັ ເທ່ັົາ 3 . ຈັົ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງພື້ນັ ດງັ່ ກາ່ ວ? 7 12. ເນັອ້ື ທ່ືີຂອງພ້ັືນໃຫຍ່ ແລະ ພ້ນັື ນ້ອຍຂອງທາດລ່ຽມກດເທ່ົັາ ແລະ ຈງັ່ົ ພິສູດວ່າ ອັດຕາສວ່ ນລະຫວ່າງລວງສູງ ຂອງຮູບທາດລຽ່ ມກດ ແລະ ລວງສງູ ຂອງທາດລ່ຽມທ່ືີໃຫກ້ າເນີດຮູບທາດລ່ຽມກດນັ້ນເທ່າັົ 13. ຈັ່ງົ ຊອກຫາລວງສູງ ແລະ ທ່ອນສູນສາກຂອງຮູບທາດລ່ຽມ? ຕາມຮູບແຕ້ມລ່ມນ:ັີ້ ຮບູ ທາດລຽ່ ມສະເໝີ SABCD ມີ AB  BC  CD  DA  40cm ແລະ SABCD ມູມ SAO  60 123

vilaisavanh 14. ໃຫ້ຮູ້ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວ່າງສອງລ່ຽມຂ້າງຖດັ ກັນຂອງຮູບທ່ໍລ່ຽມເນ້ງີັ ເທົ່ັາ 3cm, 4cm, 5cm ແລະ 6cm. ເນອ້ືັ ທອືີ່ ້ອມຂ້າງເທັ່ົາ 216cm2. ຈງັ່ົ ຄດິ ໄລ່ລວງສູງຂອງຮບູ ທລ່ໍ ່ຽມນັນ້ ? 15. ໃຫ້ຮວູ້ ່າເນື້ອັ ທີອື່ ້ອມຂາ້ ງ, ເນັ້ອື ທື່ີທັງໝດົ ແລະ ລວງສູງຂອງຮູບກບັ ໜື່ງເທັ່ົາ 198cm2, 238cm2 ແລະ 11cm ຕາມລາດັບ. ຈ່ັົງຊອກ 2 ຂະໜາດຂອງພືັ້ນ? 16. ເນອັື້ ທອ່ືີ ້ອມຂ້າງຂອງຮູບທ່ໍລ່ຽມທ່ຽງໜືງ່ ແມ່ນ 3,90dm2 ສອງຂາ້ ງຕິດຕ່ໍກັນຂອງພືັ້ນແມ່ນ 0,5dm, 0,80dm ແລະ ມມູ ລະຫວ່າງສອງຂ້າງແມນ່ 60 . ຈງັ່ົ ຄດິ ໄລເ່ ນອ້ືັ ທື່ີທັງໝດົ ຂອງຮູບກັບນັ້ນ 17. ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກັບສາກໜງ່ື ປະກອບເປັນອນັ ດັບທະວີບວກ. ຜນົ ບວກເທ່າົັ 21dm ເນັອື້ ທີື່ທງັ ໝົດເທາ່ັົ 286dm2 ຈົັງ່ ຄດິ ໄລ່ຂະໜາດເຫົ່າຼັ ນນ້ັ ? 18. ຮູບທາດສ່ີືລ່ຽມສະເໝີໜງື່ ມລີ ່ຽມຂ້າງເທ່ັົາພນ້ືັ a . ຈ່ັົງຊອກຫາເນອື້ັ ທີື່ທັງໝົດຂອງຮູບທາດດ່ັງກາ່ ວ? 19. ຮບູ ທາດສືລ່ີ ່ຽມສະເໝີໜ່ງື ມີທອ່ ນສູນສາກເທັົ່າ 13cm ແລະ ລວງສູງເທາ່ັົ 12cm ຈົງັ່ ຊອກຫາເນື້ອັ ທື່ີທງັ ໝົດ ຂອງຮູບດັ່ງກ່າວ? 20. ຮວູ້ ່າຂ້າງພ້ືນັ ຂອງຮູບທາດ 6 ລ່ຽມສະເໝີແມ່ນ a ໜ້າຂ້າງປະກອບກັບພ້ນືັ ເປັນມູມ 60 ຈ່ັົງຄດິ ໄລ່ເນອ້ັື ທີື່ທັງ ໝດົ ຂອງຮບູ ທາດດ່ັງກ່າວ? 21. ໃຫຮ້ ູ້ບັນດາສອງຂາ້ ງຂອງສອງພືັ້ນຂອງຮບູ ທາດລຽ່ ມກດສະເໝີເທັົ່າ 6cm ແລະ 18cm ລຽ່ ມຂ້າງຂອງມັນຍາວ 10cm.ຈັົ່ງຄິດໄລເ່ ນືັ້ອທືອີ່ ້ອມຂ້າງຂອງມັນ? 22. ຈະຕອ້ ງຕດັ ຮູບທາດສາມລ່ຽມສະເໝີທື່ມີ ີລວງສງູ 28cm, ດ້ວຍໜາ້ ພຽວຂະໜານກັບພນື້ັ ແລະ ຫ່າງຈາກພນ້ັື ເທ່ົັາໃດເພື່ອໃຫເ້ ນັອ້ື ທອ່ີື ອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບທາດລ່ຽມໃໝເ່ ທັົ່າ 25 ຂອງເນອັ້ື ທ່ືີອ້ອມຂ້າງຂອງຮບູ ທາດລ່ຽມເດີມ? 49 23. ສມົ ມດວາ່ ຮູບທາດສື່ລີ ່ຽມກດສະເໝີໜ່ືງມລີ ວງສງູ 12cm, ສອງພ້ືນັ ຂອງມັນຂ້າງຫຼຸດລືນ່ ກັນ 10cm, ເນັ້ືອທືີ່ ທັງໝົດເທົັ່າ 512cm2. ຈົງັ່ ຊອກຫາລວງຍາວຂອງບນັ ດາຂ້າງພ້ັືນຂອງຮູບທາດສລ່ືີ ່ຽມກດນ້ັນ? 24. ສາມຂະໜາດຂອງຮບູ ກບັ ສາກໜື່ງປະກອບເປັນອັນດັບທະວຄີ ນູ ເຊິງື່ ມີຕວົ ທະວີເທັົາ່ 2, ບລມິ າດຂອງຮບູ ກບັ ນນັ້ ເທົ່ັາ 1728cm3 ຈ່ັົງຄດິ ໄລ່ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກບັ ນ້ັນ 25. ໃຫຮ້ ູບກັບທ່ຽງໜື່ງເຊື່ິງມູມແຫຼມຂອງພັ້ນື ແມ່ນ a ບັນດາຂ້າງຂອງພ້ັືນແມ່ນ a ແລະ b , ເສນັ້ ເນງ່ັ ຈອມສັ້ນ ຂອງຮູບກັບເທາ່ົັ ເສັ້ນເນງັ່ ຈອມຍາວຂອງພັ້ືນ ຈງົັ່ ຄິດໄລ່ບລມິ າດຂອງຮູບກນັ ນັ້ນ? 26. ສມົ ມດວາ່ ພນ້ັື ຂອງຮູບກບັ ໜງ່ື ເປນັ ຮູບດອກຈັນໜ້າບ່ຽງທັງສອງຕັງ້ ສາກກບັ ພືນ້ັ ແລະ ມີເນັ້ອື ທເ່ີື ທັ່ົາ 100cm2 ແລະ 105cm2. ສອງໜ້າບ່ຽງນນັ້ ຕັດກນັ ເປນັ ທອ່ ນຊ່ືທື່ີມລີ ວງຍາວເທ່ົັາ 10cm. ຈ່ົັງຄິດໄລ່ບລມິ າດ ແລະ ເນັ້ືອທືີ່ ອອ້ ມຂ້າງຂອງຮູບກບັ ? 27. ໃຫພ້ ນື້ັ ຂອງຮບູ ກັບທ່ຽງໜ່ືງເປັນຮູບດອກຈັນເຊ່ືງິ ມີເນ້ັືອທແ່ີື ມ່ນ B, ສອງໜ້າບ່ຽງມີເນືັ້ອທີເ່ື ທ່ັົາ S ແລະ S' . ຈງ່ັົ ຄດິ ໄລ່ບລິມາດຂອງຮູບກບັ ນ້ນັ ຕາມ B, S, S ' ? 28. ໃຫບ້ ລິມາດຂອງຮບູ ກບັ ສາກໜ່ງື ແມ່ນ V ພນ້ັື ຂອງມັນເປັນຮບູ ຈະຕລດັ ເຊງິື່ ມີຂ້າງເທັ່ົາ x ຈ່ັົງສະແດງເນັື້ອທື່ີທງັ 124

vilaisavanh ໝົດ S ຂອງຮບູ ກບັ ນນ້ັ ດວ້ ຍຕາລາໜືງ່ ຂອງ x. ຈັງົ່ ຄດິ ໄລ່ເນື້ອັ ທືດ່ີ ່ັງກ່າວເມື່ອ: ກ. x  25 , v  1000 3 ຂ. x  125, v 1000 ຄ. x  10, v  1000 ງ. ໃນກລະນສີ ດທ້າຍຮູບຮ່າງຂອງຮູບກັບມີອນັ ໃດພິເສດ? 29. ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກັບສາກໜ່ງື (ເພ່ືິນແທກທາງໃນ)ແມນ່ a  76mm, b  266mm, c  304mm ເພື່ິນ ເຮັດກ້ອນສາກນອ້ ຍດ້ວຍໄມ້ເພອື່ ຊອ້ ນໃສ່ທາງໃນຂອງຮູບກບັ ສາກນນ້ັ ຈະໄດ້ຈກັ ກ້ອນ?(ດວ້ ຍຈານວນໜ້ອຍກວາ່ ໝູ່) ແລະ ບລມິ າດກອ້ ນສາກນອ້ ຍນັນ້ ເທົາັ່ ໃດ? 30. ສມົ ມດວາ່ ຕ່ໍແຕ່ລະລຽ່ ມຂ້າງຂອງຮບູ ກອ້ ນສາກໜ່ງື ອອກຕື່ມ 2cm ບລມິ າດຂອງມັນຈະເພີື່ມຂ້ນັ 98cm3 ຈົງ່ັ ຄິດໄລ່ລຽ່ ມຂ້າງຂອງຮູບກ້ອນສາກນ້ອຍນນ້ັ ເທົັາ່ ໃດ? 31. ຄດິ ໄລ່ບລິມາດຂອງຮູບທາດລ່ຽມເຊິືງ່ ມີລວງສງູ 100cm , ຂ້າງຕ່າງໆຂອງພັື້ນເທົ່ັາ 20cm, 21cm ແລະ 29cm . 32. ຂ້າງພ້ັືນຂອງຮບູ ທາດສ່ືລີ ່ຽມສະເໝອີ ັນໜງ່ື ເທາ່ັົ a , ໜ້າຂ້າງປະກອບກບັ ພັນື້ ເປັນມູມ 45 ຈົງ່ັ ຄິດໄລ່ບລິມາດ ແລະ ເນອັ້ື ທີື່ທັງໝົດຂອງຮູບທາດນນ້ັ ? 33. ຈງັ່ົ ຄິດໄລ່ບລິມາດຂອງທາດສີ່ລື ່ຽມສະເໝີອັນໜື່ງຂ້າງພັນື້ ເທ່ົັາ a ແລະ ເນັ້ືອທີື່ອ້ອມຂ້າງເທັົ່າສອງເທື່ອເນ້ັືອທພ່ີື ື້ັນ 34. ລວງສູງຂອງຮູບທາດຫົກລ່ຽມສະເໝເີ ທັ່າົ h, ຂາ້ ງພ້ັືນ a. ທອ່ ນສູນສາກປະກອບກັບລວງສງູ ເປນັ ມູມ 30 ຈັ່ົງຊອກຫາເນັື້ອທອ່ີື ອ້ ມຂ້າງ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລ່ຽມນັ້ນ? 35. ບລມິ າດຂອງຮູບທາດສີື່ລ່ຽມສະເໜີໜືງ່ ຈະປ່ຽນແປງແນວໃດ: ກ. ເມື່ອລວງສງູ ແລະ ແຕລ່ ະຂ້າງຂອງພື້ນັ ເພ່ືີມຂັ້ນ n ເທື່ອ ຂ. ເມື່ອລວງສູງເພ່ີືມຂັ້ນ n ແຕວ່ າ່ ແຕ່ລະຂາ້ ງຫຸດຼ ລງົ n ເທ່ອື 36. ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລ່ຽມກດໜ່ືງເທົັ່າ 18135cm2 ພ້ນືັ ເປັນຮບູ ຫົກແຈສະເໝເີ ຊ່ິືງຂາ້ ງເທົັ່າ 17cm ແລະ 23cm ຈງັ່ົ ຄດິ ໄລ່ລວງສງູ ຂອງຮບູ ທາດລ່ຽມກດນັນ້ ? 37. ໃຫຮ້ ເູ້ ນ້ືັອທື່ຂີ ອງສອງພ້ັືນຂອງຮູບທາດລ່ຽມກດໜງ່ື ເທ່າັົ 254cm2 ແລະ 80cm2 ຮູບທາດລ່ຽມທີື່ໃຫ້ກາເນີດ ຮບູ ທາດລຽ່ ມກດນັນ້ ມີລວງສູງ 35cm. ຈັ່ງົ ຄດິ ໄລບ່ ລິມາດຂອງຮບູ ທາດລ່ຽມກດດັ່ງກາ່ ວ? 38. ໃຫ້ທໍກ່ ົມໜ່ງື ມີລດັ ສະໝີພືັນ້ ເທົ່ັາກບັ 20cm, ລວງສງູ ເທົາ່ັ 50cm ແລະ ໜ້າຕັດຂະໜານກັບແກນຫ່າງຈາກ ແກນ 10cm ຈົ່ງັ ຊອກບລມິ າດຂອງທ່ໍກົມ ແລະ ເນື້ອັ ທືີ່ໜ້າຕດັ ນັ້ນ? 39. ລດັ ສະໝີພັ້ືນຂອງຮູບທ່ໍກົມໜືງ່ ເທາ່ົັ 40mm, ລວງສູງຂອງມັນເທົັ່າ 39mm, ຈົັ່ງຊອກລວງຍາວຂອງເສັນ້ ເນງ່ັ ຈອມຂອງໜ້າຕັດທືີ່ຜາ່ ນແກນ, ບລິມາດ ແລະ ເນັືອ້ ທີື່ທັງໝົດ? 40. ສດາເປັນຮູບທໍ່ 6 ລ່ຽມສະເໝີຍາວ 18mm, ໜາ້ ກວາ້ ງ 4mm, ໄສ້ສມເີ ສນັ້ ຜ່ານກາງ 3,5mm, ມວນສານ 125

vilaisavanh ຈາເພາະຂອງໄມ້ 700kg / m3 ຖາມວ່າ ມວນສານຂອງໄມ້ຂອງສດາ 12 ໂຫຼມີເທາ່ັົ ໃດ? 41. ໝໍຕ້ ັົ້ມນໍ້າໜ່ວຍໜງື່ ເປນັ ຮບູ ທ່ໍກົມທ່ືີມລີ ວງສູງເທ່ັົາ 3,84m , ເສນັ້ ຜາ່ ນກາງຂອງພ້ືັນເທົັ່າ 0, 72m , ຖາ້ ຮ້ວູ ່າ ໜາ້ ຂອງໝຖ້ໍ ກື ວາມດນັ ຂອງອາຍນໍ້າ p  113104 N / m2 . ຖາມວ່າ ແຮງດນັ ຂອງນ້າໍ ທັງໝົດເທົັ່າໃດ? 42. ຖາ້ ເອົາແຜ່ນເຫກັຼ ເຮດັ ທຄໍ່ ວັນໜືງ່ ເປນັ ຮູບທໍ່ກົມສູງເທັົ່າ 18m ເສນັ້ ຜ່ານກາງຂອງພັນ້ື ເທາົັ່ 65cm ຖາມວ່າເຮົາ ຈະໃຊ້ເຫກັຼ ທັງໝດົ ເທ່ົາັ ໃດ m2 ເພອື່ ເຮດັ ທໍ່ຄວນັ ນັ້ນເມື່ອຮູ້ວ່າເຮາົ ຕ້ອງຕ່ືມເຫຼກັ 10% 43. ມີນໍາ້ 3, 6 ລດິ ເອົາໄປແບງ່ ໃສ່ຖັງສອງໜ່ວຍເປັນຮູບທ່ກໍ ມົ ຮູ້ວ່າຖັງໜວ່ ຍທສີ ອງໃສ່ໄດ້ຫາຼ ຍກວ່າຖັງໜ່ວຍທີ ໜື່ງ 0,36 ລິດ. ຖາມວາ່ ຖັງໜວ່ ຍທີໜ່ງື ມຂີ ະໜາດບັນຈຈກັ ລດິ ແລະ ຖງັ ໜ່ວຍທີສອງຂະໜາດບນັ ຈຈັກລິດ? 44. ຮູບຈວຍໜ່ງື ມລີ ວງສູງ h  20cm, ລັດສະໝີພ້ນືັ ເທ່າັົ r  25cm. ເພິ່ືນສ້າງໜ້າຕັດຜ່ານຈອມຂອງຮູບຈວຍ ໂດຍທືີ່ວ່າໄລຍະຫ່າງແຕ່ໃຈກາງຂອງພືນັ້ ເຖງິ ຂ້າງໜື່ງຂອງໜ້າຕັດຢູພ່ ້ນັື d  12cm. ຈັົງ່ ຄດິ ໄລເ່ ນັອ້ື ທຂືີ່ ອງໜ້າຕັດ ນນ້ັ ແລະ ບລິມາດຂອງຮບູ ຈວຍ? 45. ຮູບຈວຍໜື່ງມເີ ສັນ້ ໃຫ້ກາເນດີ l , ເນັ້ອື ທືີອ່ ອ້ ມຂາ້ ງເທ່ົັາ M . ຈົງ່ັ ຊອກຫາບລິມາດຂອງຮູບຈວຍນ້ັນ? 46. ຮູບຈວຍໜື່ງມີເສ້ັນໃຫ້ກາເນດີ l , ມູມປະກອບດ້ວຍເສັ້ນໃຫກ້ າເນດີ ແລະ ພນັ້ື ແມ່ນ a . ຈົັ່ງພິສູດວ່າເນື້ອັ ທື່ີທງັ ໝົດຂອງຮບູ ຈວຍເທ່ັົາ S  2l2 cos cos2  2 47. ຮບູ ຈວຍກດໜ່ືງສູງ 10cm, ລັດສະໝີຂອງພື້ັນເທັົ່າ 8cm ແລະ 10cm ເນັ້ອື ທີ່ືໜາ້ ຕັດໜງື່ ຂະໜານກັບພ້ັນື ເທັົາ່ ຄ່າສະເລຍ່ ລະຫວ່າງເນືັ້ອທື່ີພັ້ນື ຂອງຮູບຈວຍກດ. ຈງັົ່ ຊອກຫາໄລຍະຫ່າງແຕ່ໜ້າຕດັ ເຖິງພນ້ັື ນອ້ ຍຂອງຮູບຈວຍກດ ນັ້ນ? 48. ເມ່ືອຮວູ້ ່າລວງສງູ ໜື່ງຂອງຮູບຈວຍກດເທົາ່ັ ກບັ 3dm , ລດັ ສະໝີພນ້ືັ ລ່ມເທ່ັົາສອງເທ່ືອຂອງລັດສະໝີພນືັ້ ເທງິ , ເສັ້ນໃຫ້ກາເນີດ ແລະ ພື້ນັ ລມ່ ປະກອບເປນັ ມນູ 45 . ຈງົັ່ ຊອກຫາບລິມາດຂອງຮບູ ຈວຍກດ? 49. ຈັງ່ົ ຊອກບລິມາດ ແລະ ເນືອັ້ ທ່ີືຂອງໜ່ວຍມນົ ? ເຊື່ງິ ຮູວ້ າ່ ເສນ້ັ ຜ່ານໃຈກາງແມນ່ 14cm 50. ໃຫບ້ ລິມາດໜວ່ ຍມົນເທ່າັົ 800 cm3. ຈ່ງົັ ຊອກຫາລັດສະໝີ ແລະ ເນອ້ືັ ທືີຂ່ ອງໜວ່ ຍມນົ ນັນ້ ? 126

vilaisavanh ບດົ ທີ 11 ບດົ ເລກສາ້ ງແຕມ້ ຮບູ 1. ຄວາມຮູ້ພືັ້ນຖານ ວທິ ີສ້າງແຕມ້ ຮູບທເືີ່ ປນັ ພນືັ້ ຖານປະກອບມີຄື: 1.1 ປະເພດເສນ້ັ ຊື່ 1. ສາ້ ງທອ່ ນຊືໜ່ ື່ງທື່ີມີລວງຍາວໃຫ້ຮູ້ກອ່ ນ ຢເູ່ ສັນ້ ຊື່ໜ່ືງອັນແນນ່ ອນ. 2. ໃຫ້ຮຂູ້ ້າງໜງ່ື ຂອງມມ, ສ້າງແຕ້ມມມໜງ່ື ເທົາັ່ ກັບມມໜງື່ ທີື່ໃຫ້ກອ່ ນ. 3. ສາ້ ງເສນັ້ ແບ່ງເຄິງື່ ມມຂອງມມໜງື່ ທ່ືີໃຫ້ກອ່ ນ. 4. ສາ້ ງເສັ້ນກາງສາກຂອງທ່ອນຊື່ໜງື່ ທື່ີໃຫ້ກອ່ ນ. 5. ຊອກຫາເມັດເຄືງ່ິ ກາງຂອງທອ່ ນຊື່ໜ່ືງທື່ີໃຫ້ກອ່ ນ. 6. ຜ່ານເມັດໜືງ່ ທີື່ໃຫ້ກ່ອນ ສ້າງເສ້ັນຊື່ທືີ່ຕັ້ງສາກກັບເສນັ້ ຊ່ືທືີ່ໃຫ້ກ່ອນ. 7. ຜ່ານເມັດໜງ່ື ທີື່ໃຫ້ກ່ອນ ສ້າງເສນັ້ ຊື່ຂະໜານກັບເສັ້ນຊ່ືທໃືີ່ ຫ້ກ່ອນ. 8. ແບງ່ ທ່ອນຊືໜ່ ງ່ື ອອກເປນັ ຫຼາຍສ່ວນເທາ່ົັ ກັນ. 9. ສ້າງແຕມ້ ຮບູ ສາມແຈໜ່ງື ເມ່ືອໃຫ້ຮູ້ ສາມຂ້າງ ( ຂ ຂ ຂ ), ສອງມມ ແລະ ຂ້າງທີື່ຕດິ ກບັ ສອງມມ ນັ້ນ ( ມ ຂ ມ ), ສອງຂາ້ ງ ແລະ ມມທີື່ຢູ່ລະຫວ່າງກາງສອງຂ້າງນັ້ນ ( ຂ ມ ຂ ), ສອງມມ ແລະ ຂ້າງກງົ ກັບໜືງ່ ໃນສອງມມ ( ມ ມ ຂ ) ຫຼວື າ່ ສອງຂ້າງ ແລະ ມມທື່ີກົງກບັ ໜ່ງື ໃນຈານວນສອງຂ້າງນນັ້ ( ຂ ຂ ມ ). 10. ສ້າງແຕ້ມຮູບສາມແຈສະເໝີ ຫືຼ ຮບູ ຈະຕລັດ ເມ່ອື ໃຫ້ຮູ້ລວງຍາວຂອງຂາ້ ງໜງ່ື . 11. ສ້າງແຕ້ມຮູບສ່ືີແຈສາກ ເມອ່ື ໃຫ້ຮສູ້ ອງຂ້າງຕິດແປະກັນ. 12. ເອາົ ເສັນ້ ຊ່ໜື ື່ງທື່ີໃຫ້ກ່ອນເປັນຂ້າງ, ສ້າງແຕມ້ ມມ 60 ຫືຼ 30 1.2 ປະເພດວົງມນົ 13. ສາ້ ງແຕມ້ ວົງມົນແນບນອກຮບູ ສາມແຈທືີ່ໃຫ້ກ່ອນ. 14. ສ້າງແຕມ້ ວງົ ມນົ ແນບໃນຮູບສາມແຈທີື່ໃຫ້ກອ່ ນ. 15. ເອົາທອ່ ນຊໜື່ ງ່ື ທືີ່ໃຫ້ກອ່ ນເປັນລດັ ສະໝີແຕ້ມວົງມນົ ໜ່ືງ. 16. ແບ່ງເຄືິງ່ ທອ່ ນກັ່ງົ ໜງື່ ທືີ່ໃຫ້ກ່ອນ. 17. ຜາ່ ນເມດັ ໜ່ງື ທ່ືີໃຫ້ກອ່ ນຢູ່ວົງມົນໜງື່ ຫືຼ ຢູ່ນອກວງົ ມນົ , ສ້າງແຕ້ມເສັ້ນຕິດກັບວົງມນົ ນັນ້ . 18. ເອາົ ທອ່ ນຊໜ່ື ື່ງທື່ີໃຫ້ກອ່ ນເປັນເສັນ້ ເນງ່ັ ທອ່ ນກງ່ົັ , ສ້າງແຕ້ມທ່ອນກັ່ົງບັນຈມມທີ່ືໃຫ້ກ່ອນ. 1.3 ປະເພດທອ່ ນຊອື່ ດັ ຕາສວ່ ນ 127

vilaisavanh 19. ໃຫ້ 3 ທອ່ ນຊື່, ສ້າງແຕ້ມທອ່ ນຊື່ທ່ືີ 4 ຂອງອດັ ຕາສ່ວນລະຫວາ່ ງສາມທ່ອນຊືນ່ ນັ້ . 20. ແບງ່ ທ່ອນຊື່ໜງ່ື ທື່ີໃຫ້ກ່ອນອອກເປັນສອງສວ່ ນ ເຮດັ ແນວໃດໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຂອງມັນເທົັາ່ ອດັ ຕາ ສ່ວນພວົ ພັນຂອງສອງທ່ອນຊື່ທ່ືີໃຫ້ກອ່ ນ. 21. ສ້າງແຕ້ມທອ່ ນຊ່ືສະເລ່ຍເລກຄະນິດຂອງທອ່ ນຊື່ທື່ີໃຫ້ກ່ອນ. 1.4 ປະເພດເນອ້ັື ທື່ີ 22. ສ້າງແຕມ້ ຮູບຈະຕລດັ ເຮດັ ແນວໃດໃຫ້ເນືອັ້ ທີື່ຂອງມັນ ເທ່ັົາກບັ ຜນົ ບວກເນ້ອັື ທີ່ືຂອງສອງຮບູ ຈະຕ ລັດ ຫຼື ເຮດັ ແນວໃດໃຫ້ເນ້ືັອທີື່ຂອງມັນເທົັາ່ ຜົນລົບເນັ້ືອທື່ີລະຫວ່າງສອງຮບູ ຈະຕລັດທ່ືີໃຫ້ກອ່ ນ. 2. ຄ້ັົນຄວາ້ ວທິ ສີ ້າງແຕມ້ ຈດພິເສດຮູບ 2.1 ບາດກາ້ ວຂອງການແກບ້ ດົ ເລກສາ້ ງແຕມ້ ຮບູ ເວລາແກ້ບດົ ເລກກ່ຽວກບັ ການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ, ຕາມທາມະດາຕ້ອງດາເນນີ ໄປຕາມ 6 ບາດກ້າວດ່ັງຕ່ໍ ໄປນ:ີັ້ 1. ຂ້ໍສມົ ມດ: ຂຽນຫຍໍ້ເງອື່ ນໄຂຂອງບົດເລກທີື່ໄດ້ໃຫ້ຢາ່ ງຄົບຖ້ວນ (ເວ້າັົ ຢ່າງໜງ່ື ວາ່ : ຂຽນເງືອ່ ນໄຂຂອງ ຫົວບດົ ດວ້ ຍພາສາຄະນິດສາດ) 2. ຂ້ໍສະຫບຼຸ : ຄວນໃຫ້ຮແູ້ ຈງ້ ຮູບທຕື່ີ ້ອງການສ້າງແຕ້ມນັນ້ ແມນ່ ຮູບຫຍັງ ແລະ ມັນຕອບສະໜອງ ຢ່າງຄົບ ຖ້ວນ ແລະ ພຽງພກັບເງອື່ ນໄຂຂອງຫົວບົດ ຫຼບື ໍ່. 3. ວເິ ຄາະ: ສົມມດວາ່ ຮູບທືີ່ຕ້ອງການສ້າງນັ້ນ ເຮາົ ສ້າງໄດ້ແລວ້ , ກອ່ ນອ່ນື ຕ້ອງແຕມ້ ຮບູ ສາຮອງຄາ້ ຍໆກັບ ຮບູ ທື່ີຕອ້ ງການສາ້ ງແຕມ້ , ຖ້າເຫັນວ່າມຄີ ວາມຈາເປນັ ຕອ້ ງແຕ້ມບາງເສນັ້ ທື່ີມີສາຍພົວພນັ ຕ່ືມອີກ ຫງຼັ ຈາກນນັ້ ສງັ ເກດເບືິ່ງສາຍພົວພັນເຊິືງ່ ກັນ ແລະ ກນັ ລະຫວ່າງເງ່ອື ນໄຂທ່ືີໃຫ້ຮູ້ ກບັ ເງອື່ ນໄຂທບ່ືີ ໍ່ທັນຮ,ູ້ ບນົ ພືັນ້ ຖານນັນ້ ເຮາົ ຈ່ິືງ ເລືອກເອົາວທິ ີສ້າງແຕ້ມທ່ີືເໝາະສົມເພື່ອສາ້ ງແຕ້ມຮູບທື່ີເຮາົ ຕ້ອງການ. 4. ວທິ ີສ້າງແຕ້ມ: ເຮາົ ສະເໜີວິທິສ້າງແຕມ້ ເປນັ ລາດັບໄປແຕ່ຄວນເອົາໃຈໃສ່ວາ່ ອັນໃດແມນ່ ອີງຕາມຫັຼກເຄ້ັາົ , ອັນໃດແມ່ນອີງຕາມວິທີແຕມ້ ພ້ັືນຖານ, ບຄ່ໍ ວນສັບປົນຄນົ ເລກັນ. 5. ພສິ ດ: ພິສູດເບ່ງືິ ວາ່ ຮບູ ທື່ີເຮົາສ້າງແຕມ້ ໄດ້ນັ້ນມັນຄົບຖວ້ ນຕາມເງອື່ ນໄຂຂອງບດົ ເລກແລວ້ ຫືຼບ.ໍ່ 6. ວິພາກ: ສງັ ເກດເບືງ່ິ ວ່າສາຍພົວພນັ ລະຫວາ່ ງເງ່ືອນໄຂທີື່ໃຫ້ກອ່ ນ ກບັ ເງອື່ ນໄຂທີ່ືຕອ້ ງການຊອກຫາ, ໃນ ກລະນີໃດ ບດົ ເລກຈະແກບ້ ໄໍ່ ດ້, ກລະນໃີ ດບດົ ເລກຈະມີແຕ່ວິທີແກ້ອນັ ດຽວ ແລະ ກລະນໃີ ດບດົ ເລກມີຫາຼ ຍວິທີແກ້ ຫືບຼ ໍ່ການດົ ໄດ້. ຕວົ ຢາ່ ງ: ໃຫ້ຮລູ້ ວງຍາວຂອງເສ້ັນຈອມສາກ ແລະ ເສັ້ນຈອມກາງ ທືີ່ພ້ອມຂີດຈາກຈອມໜືງ່ ໃສ່ພັື້ນຂອງຮບູ ສາມແຈ ແລະ ຮູ້ຂ້າງໜງື່ ຂອງມນັ . ຈງ່ົັ ສ້າງແຕມ້ ຮບູ ສາມແຈນນ້ັ . ຂໍ້ສມົ ມດ: ລວງຍາວຂອງເສັນ້ ຈອມກາງ ma , ລວງຍາວເສ້ັນຈອມສາກ ha ແລະ ຂ້າງໜງ່ື ຂອງຮບູ ສາມແຈນ້ັນ 128

vilaisavanh ແມນ່ AC  b . ສະຫຸຼບ: ຈົ່ງັ ສ້າງແຕ້ມຮບູ ສາມແຈ ABC .  ວເິ ຄາະ: 1. ສົມມດວ່າ A' B 'C ' ເປັນຮູບສາມແຈທີ່ືເຮາົ ຕ້ອງການສາ້ ງແຕມ້ . 2. ເງື່ອນໄຂທືີ່ຮູ້ກອ່ ນແມນ່ A'C '  b, A' D '  ha, A' D 'C '  A' D ' E '  90 , A' E '  ma ສາຍ ພວົ ພນັ ທີື່ສາມາດຮູ້ໄດ້ຕ່ມື ອີກນ້ັນແມນ່ B ' E '  E 'C ' ( ເນອ່ື ງຈາກວາ່ A ' E ' ເປນັ ເສ້ນັ ຈອມກາງຂີດໃສ່ຂາ້ ງ B 'C ' ). 3. ເມື່ອເຮາົ ສັງເກດເບ່ິືງຮູບນັີ້ ຈະເຫັນໄດ້ວາ່ A' D'C ' ແລະ A' D ' E ' ມີສອງຂາ້ ງ ແລະ ມມໜື່ງໄດ້ ຮູ້ກອ່ ນ. ດັ່ງນນັ້ , ອງີ ຕາມວິທີສ້າງພນື້ັ ຖານ ເຮາົ ສາມາດສາ້ ງແຕ້ມໄດ້ ໝາຍຄວາມວ່າ ກອ່ ນອ່ນື ໝົດຕ້ອງສາ້ ງແຕມ້ ໜ່ືງໃນຈານວນສອງຮູບສາມແຈນັ້ີ, ຫງຼັ ຈາກນນັ້ ຈິື່ງດາເນີນສບື ຕ່ໍສາ້ ງສວ່ ນອື່ນໆ.  ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ : 1. ສ້າງ ACD ເຊ່ືິງມີ D  90 , AD  ha , AC  b 2. ແຕມ້ ທ່ອນກ່ົັງທມ່ີື ີເມັດ A ເປນັ ໃຈກາງ ma ເປັນລດັ ສະໝີ, ທອ່ ນກັົ່ງນັ້ີຕັດທອ່ ນຊື່ CD ( ຫືວຼ ່າ ຢສູ່ ວ່ ນ ຂີດຕ່ໍຍາວຂອງມັນ ) ຢູ່ເມັດ E . ຂີດຕໍ່ AE . 3. ຢູ່ທອ່ ນຊ່ື CD ( ຫືຼ ຢູ່ສ່ວນຂດີ ຕໍ່ຍາວຂອງມນັ ) ເລອື ກເອາົ ເມັດ B ເຮັດແນວໃດໃຫ້ EB  EC ຂີດຕໍ່ AB . 4. ດວ້ ຍເຫດນັ້ນ ABC ຈິື່ງແມນ່ ຮູບສາມແຈທືີ່ເຮາົ ຕ້ອງການສາ້ ງ.  ພສິ ດູ : 1. ຍ້ອນວ່າ EB  EC, AE  ma (ຕາມວິທີສ້າງແຕ້ມ 2 ແລະ 3) 2. ດ່ງັ ນັ້ນ, AE ເປັນເສນັ້ ຈອມກາງ ແລະ ເທ່າັົ ma (ນິຍາມເສັ້ນຈອມກາງຢູ່ໃນຮູບສາມແຈ) 3. ດ້ານໜງ່ື ເຮາົ ມີ ADC  90 , AD  ha (ຕາມວິທີສາ້ ງແຕມ້ 1) 4. ດງັ່ ນນັ້ , AD ເປັນເສັ້ນຈອມສາກ ແລະ ເທາ່ັົ ha (ນຍິ າມເສນັ້ ຈອມສາກຢໃູ່ ນຮບູ ສາມແຈ) 5. ນອກຈາກນັນ້ AC  b (ຕາມວິທີສ້າງແຕມ້ 1) 6. ສະນນັ້ , ABC ເປນັ ຮູບສາມແຈທເ່ືີ ຮົາຕ້ອງການສາ້ ງແຕມ້ .  ວພິ າກ: - ຖາ້ ວາ່ b  ha ຫືຼວ່າ b  ma  ha ຫຼວື າ່ ma  ha ບດົ ເລກນີັ້ຈະແກ້ບໄໍ່ ດ້. - ຖາ້ ວາ່ b  ha ພ້ອມກນັ ນັນ້ ma  ha ຮູບທື່ີຕ້ອງການສາ້ ງແຕມ້ ນັນ້ ຈະເປັນຮບູ ສາມແຈທ່ຽງ. 129

vilaisavanh - ຖາ້ ວ່າ b  ha ພອ້ ມກນັ ນ້ັນ ma  ha ຮບູ ທີ່ືຕອ້ ງການສ້າງແຕມ້ ນ້ນັ ຈະເປນັ ຮູບສາມແຈສາກ. - ຖ້າວາ່ ma  b  ha ບົດເລກມີສອງໃຈຜົນຮບູ ເພາະວາ່ ຖ້າເຮົາເອາົ A ເປນັ ໃຈກາງ ແລະ ma ເປນັ ລດັ ສະໝີ ແຕ້ມທອ່ ນກ່ງັົ ຕັດ CD ຢູ່ເມັດ E ' ອກີ . ວາງ E ' B  E 'C , ຢູ່ CD ເຮາົ ຈະມີ AB 'C ກແມນ່ ໃຈຜນົ ຮບູ ຂອງບົດເລກ. ຖ້າຫາກວ່າແກບ້ ດົ ເລກສາ້ ງແຕ້ມຮບູ ເວລາໃດເຮົາກຕ້ອງດາເນນີ ຄົບຕາມ 6 ບາດກ້າວທ່ີືກາ່ ວມານັນ້ , ເຮົາ ເຫນັ ວ່າມັນຍືດຍາວ ແລະ ເສຍເວລາ, ມີບາງຄາຖາມຈະຕ້ັງຂັ້ນວາ່ : ເຮາົ ຈະສາມາດປະບາດກ້າວໃດໜງື່ ໄດ້ບ?່ໍ ສາລັບບາດກ້າວ ສມົ ມດ, ສະຫຼບຸ ແລະ ວິທີສ້າງແຕ້ມຮບູ ແມນ່ ເດັດຂາດປະບໄໍ່ ດ້. ສາລບັ ການວິພາກ ພວກເຮົາຄວນ ເຂ້າັົ ໃຈວາ່ ມີບາງບດົ ເລກອາດຈະມີໃຈຜນົ ຮບູ , ແຕ່ກມີບາງບດົ ເລກອາດຈະບມ່ໍ ີໃຈຜົນຮູບ ດ່ັງນັ້ນ, ອາດຈະເວັົາ້ ລວມວ່າ ບຄ່ໍ ວນປະ. ສວ່ ນບາດກ້າວວເິ ຄາະເດຈະປະໄດ້ບ?່ໍ ເຮົາຂສະເໜີບດົ ຕົວຢາ່ ງຕໍ່ໄປນັ້ີ ເພອ່ື ພອ້ ມກັນສງັ ເກດ ເບິງ່ື ວ່າ ບາດກາ້ ວນຈ້ັີ ະປະໄດ້ຫຼບື ່ໍ? ຂສໍ້ ມົ ມດ: ຂ້າງກງົ ສາກຂອງຮູບສາມແຈສາກເທາັົ່ BC . ຂສໍ້ ະຫບຼຸ : ຊອກຫາເມດັ P ຢູ່ຂ້າງ BC ເຮດັ ແນວໃດໃຫ້ AP2  BP CP ວທິ ີສ້າງແຕ້ມ: ຜາ່ ນເມດັ A ແຕ້ມ (An)  BC, P  (An) BC ດ່ັງນັ້ນ, P ເປນັ ເມັດທີ່ືຕອ້ ງການຊອກຫາ. ພສິ ດູ : AP ແມນ່ ເສັ້ນຈອມສາກຂີດໃສ່ເສັ້ນກງົ ສາກຂອງຮູບສາມແຈສາກ. ດັງ່ ນ້ັນ, BP : AP  AP : CP  AP2  BP CP ຍອ້ ນວາ່ ເຮົາປະບາດກ້າວວິເຄາະ ດງັ່ ນນ້ັ , ບດົ ແກ້ນ້ບີັ ່ໍທັນຄົບຖ້ວນ ເພາະວ່າ ເມັດເຄ່ິືງກາງຂອງຂ້າງກງົ ສາກກຕອບສະໜອງກັບເງືອ່ ນໄຂຂອງຫົວບົດຄກື ັນ. ຕົວຈິງຄືແນວນນັ້ ແທ້ ຖ້າ ຫາກວ່າເຮົາວິເຄາະບດົ ເລກນ້ັີຄືດງັ່ ຕໍ່ໄປນ:ີັ້ ວເິ ຄາະ: 1. ສົມມດວ່າ P ແມນ່ ເມັດທຕີື່ ອ້ ງການຊອກຫາ. 2. (An)  D ( ແມ່ນວງົ ມນົ ແນບຮບູ ສາມແຈ ABC ) ເຮົາກມີ AP DP  BPCP (ຜນົ ຄູນລະຫວາ່ ງສອງທ່ອນຊື່ທ່ືີຖືກແບງ່ ອອກດ້ວຍເມັດພບົ ກນັ ຂອງສອງເສ້ນັ ເນັງ່ ທ່ອນກງົັ່ ຕ້ອງເທ່ັົາກນັ ) 3. ແຕ່ວ່າຕາມຂ້ໍສົມມດຂອງບົດເລກເຮົາຮວູ້ ່າ AP2  BP CP 4. ຈາກການສ້າງ 2 ແລະ 3 ເຮາົ ຖອນໄດ້ AP  PD ດ່ັງນັ້ນ, ຜ່ານຕົວຢ່າງນັີ້ ເຮົາສງັ ເກດເຫັນໄດ້ຢ່າງຈະແຈ້ງແລ້ວວາ່ ຖ້າປະບາດກ້າວວເິ ຄາະ ບດົ ເລກນມີັ້ ພີ ຽງແຕ່ໃຈຜນົ ດຽວ ໝາຍຄວາມວ່າ ມີແຕ່ກລະນີ P  0 - ຖ້າເຮົາມີບາດກ້າວວເິ ຄາະ ບດົ ເລກນີ້ຈັ ະມີສອງໃຈຜນົ ເຊ່ງິື ເຮາົ ມີເມັດ P ແລະ ເມັດ O ທ່ືີຕອບສະໜອງໄດ້ຢ່າງ ຄບົ ຖ້ວນ ແລະ ພຽງພຕາມເງືອ່ ນໄຂຂອງບດົ ເລກ. 130

vilaisavanh 2.2 ສັງລວມວທິ ວີ ເິ ຄາະບດົ ເລກສາ້ ງແຕ້ມຮບູ ເຮົາຂຮັບຮອງນາພວກທ່ານວ່າ ໃນການວເິ ຄາະບດົ ເລກສ້າງແຕມ້ ຮບູ ນ້ັີ ມນັ ບໍ່ມຫີ ກຼັ ການຕາຍຕວົ ແລະ ກວ້າງຂວາງແຕ່ຢ່າງໃດໝດົ ແຕ່ວ່າບາງຫກັຼ ການທື່ີເຮົາຈະສະເໜນີ ີຖ້ັ ືວາ່ ເຄີຍໄດ້ນາໃຊ້ຫຼາຍກວ່າໝູ່ໃນເວລາແກ້ບດົ ເຝິກຫັດສ້າງແຕ້ມຮບູ . ບາດກາ້ ວທີ 1: ເຮົາແຕ້ມຮູບທ່ີືຄາ້ ຍຄືກນັ ກັບຮບູ ທ່ືີເຮົາຕ້ອງການສ້າງແຕມ້ ເຖິງແມນ່ ວາ່ ຮູບນ້ັຈີ ະບຊ່ໍ ັດເຈນປານໃດກ ຕາມ, ແຕ່ມນັ ມີຜົນປະໂຫຍດດີ. ຜາ່ ນການສັງເກດຮູບດັງ່ ກາ່ ວ ເຮາົ ສາມາດຮູ້ໄດ້ວ່າ ທີື່ຕັງ້ ຂອງເສ້ັນ ແລະ ເມດັ ພ້ອມກັນນ້ັນກຮູ້ໄດ້ເຖິງສາຍພົວພັນລະຫວ່າງເສັ້ນ ແລະ ເມດັ ຄືແນວໃດອດີ ເຊັນ່ ວ່າ: ສອງທ່ອນຊ່ືໃດໜ່ືງເທາົັ່ ກັນ ຫຼື ຕັ້ງສາກນາກນັ ເມັດໃດທພີ່ື ອ້ ມຢູ່ເສ້ັນຊື່, ພ້ອມຢູ່ວົງມນົ ຜ່ານຮບູ ແຕມ້ ສາຮອງນ້ນັ ເຮາົ ສາມາດເຫັນໄດ້ໂລດ. ບາດກາ້ ວທີ 2: ໃນເມືອ່ ເຮົາແຕ້ມຮູບສາຮອງແລວ້ ເຮາົ ຕອ້ ງຈາແນກໃຫ້ແຈງ້ ເບື່ງິ ວາ່ ເງື່ອນໄຂໃດທື່ີໄດ້ຮູ້ກ່ອນແລ້ວ ແລະ ອັນໃດທບີ່ື ່ໍທັນຮູ້. ເງື່ອນໄຂ ຫຼື ສາຍພວົ ພນັ ໃດທ່ືີສາມາດຮູ້ໄດ້ແລວ້ ຄວນສະແດງດ້ວຍສີຕາ່ ງກັນ, ຖ້າເຮດັ ຄື ແນວນ້ນັ ໄດ້ ໃນເມື່ອເບ່ງືິ ຕາມຮູບສາຮອງຈະຮູ້ໄດ້ໂລດວາ່ ເສ້ນັ ຊື່ນັ້ນສັນ້ ຫຼື ຍາວ, ມມນ້ັນໃຫຍ່ ຫືຼ ນ້ອຍ, ລະຫວາ່ ງ ທ່ອນຊື່ ຫືຼ ລະຫວາ່ ງມມດວ້ ຍກັນ ມີສາຍພວົ ພນັ ກັນຄືແນວໃດ?. ບາດກາ້ ວທີ 3: ສງັ ເກດເບງ່ິື ຄກັ ໆວ່າ ຢູ່ໃນຮບູ ແຕມ້ ນ້ັນ ພາກສ່ວນໃດສາມາດສ້າງແຕ້ມກ່ອນ, ພາກສວ່ ນດງັ່ ກ່າວ ຕາມທາມະດາແມນ່ ຮູບສາມແຈ (ຖ້າຫາກມີ) ກ່ອນອືນ່ ເຮົາຕ້ອງສ້າງແຕ້ມຮູບນນ້ັ ສາກ່ອນ. ບາດກາ້ ວທີ 4: ພາຍຫຼັງທືີ່ຮັບຮບູ້ ນັ ຫາພືັ້ນຖານຂອງມັນແລ້ວ ເຮົາສືບຕໍ່ສ້າງແຕ້ມພາກສວ່ ນທ່ີືກຽ່ ວຂ້ອງເປນັ ລາດັບໄປ. ເປນັ ສ່ືງິ ແນ່ນອນແລວ້ ວ່າ ມຫີ ຼາຍໆບົດເລກສ້າງແຕ້ມຮບູ ບແ່ໍ ມນ່ ງາ່ ຍດາຍ ໃນເວລາວເິ ຄາະຈາຕ້ອງແຕມ້ ບາງ ເສັ້ນຊ່ືເພ່ມືີ ເຕມີ ຈືິ່ງຈະສະແດງໃຫ້ພວກເຮົາເຫັນໄດ້ເຖງິ ສາຍພວົ ພັນລະຫວ່າງເງ່ືອນໄຂທີ່ືຮູ້ແລ້ວ ແລະ ເງືອ່ ນໄຂທີ່ືບໍ່ ທັນຮູ້. ພິເສດແມນ່ ໃນກລະນຮີ ູ້ຜົນບວກ ຫືຼ ຜົນລົບຂອງສອງທ່ອນຊື່ ໃນເວລາວເິ ຄາະຕອ້ ງສ້າງຜນົ ບວກ ຫືຼ ຜນົ ລົບ ຄືແນວນັນ້ . 2.3 ສັງລວມວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ ໃນການສ້າງແຕ້ມຮູບເມອື່ ສັງລວມແລ້ວມຢີ ູ່ 10 ວທິ ີຄ:ື 1. ການສ້າງແຕ້ມຮູບໂດຍຖເື ອົາຮູບສາມແຈເປນັ ພ້ັືນຖານ. 2. ການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບໂດຍອາໄສເມດັ ພບົ ກັນຂອງເລຂາສະຖານ. 3. ສ້າງແຕມ້ ຮບູ ດ້ວຍວິທີຍາ້ ຍຂະໜານຮູບ. 4. ສ້າງແຕ້ມຮບູ ດ້ວຍວທິ ີປນ່ິ . 5. ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບດວ້ ຍວທິ ີພບັ . 6. ສາ້ ງແຕ້ມຮູບດວ້ ຍວິທີໝູນໃຊ້ຮບູ ຄາ້ ຍຄືກັນ. 7. ສ້າງແຕ້ມຮູບດ້ວຍວິທີເພີືມ່ ຫຼື ຫດຸຼ ເນ້ັອື ທືີ່. 131

vilaisavanh 8. ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບດ້ວຍສູດພດຊະຄະນິດ. 9. ສາ້ ງແຕ້ມຮູບດວ້ ຍວທິ ໝີ ນູ ໃຊ້ອັດຕາສວ່ ນຂອງທ່ອນຊື່. 10. ສ້າງແຕມ້ ຮູບດວ້ ຍວິທີຜັນປຽ່ ນເນັອື້ ໃນຂອງບດົ ເລກ. ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຜາ່ ນເມດັ ໜືງ່ ຢູ່ເສັນ້ ຊື່ (ຫຼື ຢູ່ນອກເສ້ັນຊື່) ທໃີື່ ຫ້ກ່ອນ. ຈົງັ່ ແຕ້ມເສັນ້ ຊື່ທີ່ືຕ້ັງສາກກັບເສ້ັນຊືນ່ ້ັນ. 2. ໃຫ້ເສ້ນັ ຊ່ື l ຄງົ ທີ ແລະ ເມດັ A, B ພອ້ ມຢູ່ເບອັ້ື ງໜື່ງທຽບໃສ່ເສັນ້ ຊນ່ື ນ້ັ . ຈົງ່ັ ຊອກຫາເມດັ P,Q ຢູ່ເສນັ້ ຊື່ l ເຮດັ ແນວໃດໃຫ້ PQ  n ( n ທອ່ ນຊື່ໜງື່ ໃຫ້ກອ່ ນ ) ແລະ AP  BQ 3. ຈົັ່ງສ້າງແຕມ້ ຮູບສາມແຈ ABC ເມ່ືອໃຫ້ຮູ້ລວງຍາວຂອງສາມຂາ້ ງເທົາ່ັ a,b, c. 4. ຈງ່ັົ ສ້າງແຕມ້ ຮບູ ສາມແຈ ABC ໃຫ້ຮູ້ລວງຍາວຂອງຂ້າງ b, c ແລະ ມມ B   5. ສ້າງແຕ້ມຮູບສາມແຈທຽ່ ງ ເມ່ືອໃຫ້ຮູ້ຜນົ ບວກລະຫວ່າງພນ້ັື ກັບຂ້າງໜື່ງ ແລະ ຮູ້ຄາ່ ວັດແທກຂອງມມພັນ້ື ໜງື່ ໆ. 132

vilaisavanh ບດົ ທີ 12 ຄວາມຮເູ້ ບອັ້ື ງຕນົັ້ ກຽ່ ວກບັ ເວກັ ເຕີ 1. ຄວາມສານກກຽ່ ວກບັ ເວກັ ເຕີ ບນັ ດາອາການທ່ືີເຄີຍພບົ ເຫນັ ຢາ່ ງຫວຼ ງຫາຼ ຍໃນຊີວິດປະຈາວັນຂອງພວກເຮາົ ຕາມທັດສະນະທາງດາ້ ນ ຄະນດິ ສາດ ແລວ້ ຖືກແບ່ງອອກເປນັ ສອງປະເພດຄ:ື ປະເພດທີ 1 ແມນ່ ບນັ ດາອາການທີ່ືສາມາດການົດເປັນຕວົ ເລກໄດ້ໂລດ ຖ້າວາ່ ຮູ້ຂະໜາດຂອງມນັ ເຊນັ່ : ລວງຍາວ ຂອງໂຕະເທ່າັົ 1,8 cm, ບລິມາດຂອງວັດຖຸໜຼ ງ່ື ເທາົັ່ 5 cm3 , ອນຫະພູມສະເລຍ່ ຂອງຕອນທ່ຽງມ້ັືນເີັ້ ທັົ່າກບັ 31 ,... ເພືິ່ນເອນີ້ັ ອາການປະເພດນີວັ້ ່າ ອາການສະກາແລ ຫຼື ອາການບ່ໍມີທິດ. ປະເພດທີ 2 ແມ່ນບັນດາອາການເຊື່ງິ ພວກເຮົາຈະການດົ ເປນັ ຕົວເລກໄດ້ ຖາ້ ຮູ້ ທິດທາງ ແລະ ຂະໜາດຂອງມນັ ເຊນັ່ ຄວາມໄວຂອງການເຄືອ່ ນທໜີ່ື ື່ງ, ຄວາມແຮງ, ອັດຕາເລ່ັງ,... ເພນືິ່ ເອ້ນັີ ອາການປະເພດນ້ັວີ າ່ ອາການເວັກເຕີ ຫືຼ ອາການມີທິດ. 2. ນິຍາມເວກັ ເຕີ ເວກັ ເຕແີ ມນ່ ທ່ອນຊື່ທືີໄ່ ດກ້ ານດົ ເມັດຕັ້ນົ , ເມັດປາຍ, ມຂີ ະໜາດ, ມລີ ວງ ແລະ ທິດ ໃນທ່ອນຊື່ OA ການດົ ເອົາເມັດ O ເປັນເມັດຕັ້ົນ ແລະ A ເປນັ ເມດັ ປາຍ ດ້ວຍການໃຊເ້ ຄື່ອງໝາຍລູກ ສອນ “ > ” ເພອ່ື ຊັ້ບີ ອກວ່າ: ເວກັ ເຕີ OA ມີ O ເປັນເມດັ ຕັນົ້ ແລະ A ເປນັ ເມັດປາຍ, ສັນຍາລັກດວ້ ຍ OA . ເສນັ້ ຊ່ື OA ເອັີນ້ ວາ່ ເສ້ນັ ຊື່ໃຫກ້ າເນີດ ຫືຼ ເສັນ້ ກາເນດີ ຂອງ OA ເພິືນ່ ສັນຍາລກັ a , b,e ເພື່ອຊ້ັີບອກເຖງິ ເວກັ ເຕີ a, ວັກເຕີ b, ເວກັ ເຕີ e  ສອງເວກັ ເຕີຂະໜານກັນແມນ່ ສອງເວັກເຕີຮວ່ ມລວງກນັ 133

vilaisavanh  ເວັກເຕເີ ທາົັ່ ກນັ ແມນ່ ສອງເວັກເຕີມຂີ ະໜາດເທ່ັົາກັນ, ມີລວງດຽວກັນ ແລະ ທດິ ດຽວກັນ  ສອງເວກັ ເຕີຕັດກັນແມ່ນສອງເວັກເຕບີ ຮໍ່ ່ວມລວງກັນ  ເວັກເຕກີ ົງກນັ ຂ້າມເຊື່ິງກັນແລະກນັ ແມນ່ ສອງເວັກເຕີຂະໜານເທ່ັົາກນັ , ມີລວງດຽວກນັ ແລະ ມີທິດຕາ່ ງກນັ . ເຮາົ ໄດ້: n  m ເຮົາໄດ້: AB  BA  ເວັກເຕເີ ທ່ັາົ ສູນແມ່ນເວກັ ເຕີທມີ່ື ີເມດັ ຕ້ນັົ ແລະ ເມດັ ປາຍເຕງັ ກັນ. O  ຂະໜາດ ຫືຼ ໂມດູນຂອງເວັກເຕແີ ມ່ນລວງຍາວຂອງທອ່ ນຊ່ືແຕ່ເມັດຕົັ້ນຫາເມດັ ປາຍ. 134

vilaisavanh ໃຫ້ເວກັ ເຕີ AB ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊື່ AB ເອັນ້ີ ວາ່ ໂມດນູ ຂອງ AB ສນັ ຍາລັກດ້ວຍ AB  ເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜວ່ ຍແມນ່ ເວກັ ເຕີທີື່ມີໂມດູນເທ່ົັາ 1 ຫົວໜ່ວຍວັດແທກ ເອນ້ີັ ວ່າ ເວັກເຕີຫົວໜວ່ ຍ AB ເອນີັ້ ວ່າ ເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜວ່ ຍ, ຍ້ອນວ່າ AB  1 3. ການບວກ ແລະ ລບົ ເວກັ ເຕີ 3.1 ການບວກເວກັ ເຕີ  ກລະນທີ ີ 1 ຈະໄດ້: BC  BA AC a bc  ກລະນທີ ີ 2 AC  AD  AB ຫືຼ AC  AB  BC ຫືຼ AC  AD  DC ຫືຼ AC  DC  BC  ກລະນທີ ີ 3 135

vilaisavanh ຈະໄດ້ a  b  c  d  e  f 3.2 ການລບົ ເວກັ ເຕີ ຈະໄດ້ : c  a  b ຈະໄດ້ : c  b  a ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ໃຫຮ້ ບູ ລ່ມນ້ີັ: 136

vilaisavanh ຈງົັ່ ຊອກຫາ:  1) a  b  c  ?  2) a  b  c  ?  3) d  a  e  ?  4) c  b  a  ?  5) a  e  d  ? ວທິ ແີ ກ້  1) a  b  c  d  c  m  2) a  b  c  a  e  m  3) d  a  e  b  e  c  4) c  b  a  e  a  m  5) a  e  d  m  d  c 4. ການຄນູ ຈານວນຈິງກບັ ເວກັ ເຕີ 1. P.a ຮວ່ ມທດິ ດຽວກັນກບັ a ຖາ້ ວ່າ P  0 2. P.a ປ້ີນທິດທາງກງົ ກນັ ຂາ້ ມ a ຖ້າວາ່ P  0 3. P.a  0 ຖາ້ ວ່າ P  0 ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ໃຫ້ a ຈງ່ັົ ສະແດງບັນດາເວັກເຕີລມ່ ນີັຕ້ າມ a 1. a 2. 3a 3. 4a 4. 1 a 3 ວທິ ແີ ກ:້ 1. a 137

vilaisavanh 2. 3a 3. 4a 4. 1 a 3 ກດິ ຈະກາ 1: ໃຫ້ a ຈົັ່ງສະແດງເວັກເຕລີ ມ່ ນຕີັ້ າມ a 1.  1 a 2 2. 2 a 3 3. 3 a 2 4.  4 a 3 5. 5 a 3 6.  2 a 3 5. ການພວົ ພນັ  GA   GB  0, ,   ເຊງິື່ ວ່າ G, A, B ນອນໃນທ່ອນດຽວກນັ G ເອີັ້ນວ່າ ເອນ້ີັ ວ່າ ເມດັ ບາລີຊັງ - ກລະນ:ີ ຖ້າສອງເວັກເຕີທມືີ່ ີ  ແລະ  ມເີ ຄືອ່ ງໝາຍຄືກນັ ເມັດບາລີຊງັ ຈະຢູ່ໃນທອ່ ນຊື່ - ກລະນີ: ຖາ້ ສອງເວັກເຕີທີືມ່ ີ  ແລະ  ມເີ ຄື່ອງຕ່າງກັນເມັດບາລີຊງັ ຈະຢ່ນູ ອກທ່ອນຊື່ 138

vilaisavanh ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ຈ່ັົງສະແດງເວັກເຕີລມ່ ນ້ັຕີ າມການພວົ ພັນ 1. AB   1 BC 2 2. NM  1 MP 3 ວທິ ແີ ກ:້ 1. AB   1 BC 2 2AB  BC 2AB  BC  0 BC  2AB  0 2. NM  1 MP 3 3NM  MP 3MN  MP  0 3MN  MP  0 ກດິ ຈະກາ 2: ຈົງັ່ ສະແດງເວກັ ເຕີລ່ມນີັຕ້ າມການພວົ ພັນ 1. AB  5 AC 2 2. PM  1 MQ 3 3. AB   4 BC 3 4. PM  2 MQ 3 141

vilaisavanh 5. AB   3 AC 4 ກດິ ຈະກາ 3: ຈົ່ັງຊອກຫາຕວົ ປະສານຕາມບົດເລກລ່ມນ້ັ:ີ 1. ໃຫ້ເມັດ P(1), Q(9) ຈ່ົັງຊອກຕົວປະສານ M ຮູ້ວາ່ PM  3 MQ 5 2. ໃຫເ້ ມັດ C(2), A(1) ຈັ່ງົ ຊອກຕວົ ປະສານ B ຮູ້ວ່າ AB   2 BC 5 3. ໃຫ້ເມັດ M (3), N(5) ຈງັົ່ ຊອກຕວົ ປະສານ I ຮູ້ວ່າ IM   4 IN 3 6. ຜນົ ຄນູ ສະກາແລຂອງເວກັ ເຕີ  1. a.b  1 4 22 ເຊ່ິງື ວາ່ a ແລະ b ຮວ່ ມລວງດຽວກນັ ab  ab 2. a.b  a . b ເຊິງ່ື ວ່າ a ແລະ b ຮວ່ ມລວງດຽວກັນ 3. a.b  0 ເຊງິື່ ວາ່ a ແລະ b ຕັ້ງສາກກນັ a.a  2  a 2 4. a 5. a.b  b.a 6. k a.b  ka.b  7. a b  c  ab  ac  8.  2  2 ab  2ab a b 2 22 9. a  b  a  b  2 a b   10.  2 2 ab ab  a b 11. u.v  u . v cos ຫືຼ AB.AC  AB AC cos ກດິ ຈະກາ 4: ໃຫ້ນັກສກສາແກ້ບົດເລກລມ່ ນ້ີັດ້ວຍຕົນເອງ 1. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC, AB  9cm, BC  4cm, AC  7cm ຈັ່ງົ ຄິດໄລ່ຜນົ ຄູນສະກາແລ AB.AC ແລະ ມູມປະກອບລະຫວາ່ ງ AB ແລະ AC. 2. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC, AB  9cm, BC  7cm ແລະມມູ ປະກອບລະຫວາ່ ງ BA ແລະ BC ເທາ່ັົ   60 ຈົ່ັງຊອກຫາ AC. 142

vilaisavanh ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ໃຫ້ຮູບ ຈ່ົັງຊອກຫາ:   a.  cd  e  a   b. a  e  m  c.  n  a  d c d.  p  d  c  e.  m  a  ba  f.  e  c  ab   g.  nb  e  m cd 2. ໃຫ້ a ຈ່ງັົ ສະແດງເວັກເຕີລມ່ ນີຕ້ັ າມ a 1. 2a 2. 4a 3. 3a 4. 1 a 4 5.  1 a 3 143

vilaisavanh 6. 3 a 5 7. 5 a 4 8.  5 a 3 9. 6 a 5 10.  4 a 5 3. ຈງ່ົັ ສະແດງເວັກເຕລີ ່ມນ້ັຕີ າມການພວົ ພນັ a. AB   1 BC 3 b. NM  1 MP 4 c. AB  5 AC 3 d. PM  2 MQ 5 e. AB   5 BC 4 f. PM  5 MQ 6 g. AB   5 AC 6 4. ໃຫ້ເມັດ P(2), Q(8) ຈງ່ົັ ຊອກຕົວປະສານ M ຮູ້ວາ່ PM  2 MQ 3 5. ໃຫ້ເມັດ C(1), A(9) ຈງ່ັົ ຊອກຕົວປະສານ B ຮວູ້ ່າ AB   3 BC 5 6. ໃຫ້ເມັດ M (4), N(6) ຈ່ງັົ ຊອກຕົວປະສານ I ຮູ້ວາ່ IM   5 IN 3 7. ໃຫ້ເມັດ N(4), M (14) ຈ່ງົັ ຊອກຕົວປະສານ O ຮູວ້ ່າ OM   3 NO 7 8. ໃຫເ້ ມັດ C(3), A(16) ຈງ່ັົ ຊອກຕວົ ປະສານ I ຮູ້ວ່າ IA   4 IC 7 9. ໃຫ້ເມັດ M (5), N(14) ຈົງ່ັ ຊອກຕົວປະສານ P ຮວູ້ າ່ PM   7 PN 5 144

vilaisavanh 10. ໃຫ້ເມັດ P(3), Q(10) ຈົງັ່ ຊອກຕວົ ປະສານ M ຮ້ວູ າ່ MP  5 MQ 8 11. ໃຫເ້ ມັດ C(2), A(12) ຈ່ັົງຊອກຕວົ ປະສານ B ຮູວ້ ່າ AB   2 BC 7 12. ໃຫ້ເມັດ P(5), Q(16) ຈ່ງົັ ຊອກຕົວປະສານ M ຮວູ້ ່າ PM  8 MQ 3 13. ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC, AB  8cm, BC  6cm, AC  7cm ຈົັ່ງຄິດໄລຜ່ ົນຄນູ ສະກາແລ AB.AC ແລະ ມູມປະກອບລະຫວາ່ ງ BA ແລະ BC . 14. ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC, BC  10cm, AC  5cm ແລະມມູ ປະກອບລະຫວາ່ ງ CB ແລະ CA ເທາ່ັົ   45 ຈັົ່ງຊອກຫາ AB. 15. ໃຫ້ຮູບສາມແຈ MNP, PM  5cm, NP  7cm, MN 10cm ຈົງັ່ ຄິດໄລ່ຜົນຄູນສະກາແລ PM.PN ແລະ ມູມປະກອບລະຫວາ່ ງ PN ແລະ PM . 16. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ SUY, YU  5cm, US  7cm ແລະມູມປະກອບລະຫວາ່ ງ US ແລະ UP ເທາ່ົັ   60 ຈັງ່ົ ຊອກຫາ YS. 17. ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ORQ, OR 10cm, QO 11cm, RQ  8cm ຈງ່ັົ ຄດິ ໄລ່ຜົນຄູນສະກາແລ QR.QO ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວ່າງ QR ແລະ QO. 18. ໃຫ້ຮູບສາມແຈ VKH, VK  2cm, HK  7cm ແລະມູມປະກອບລະຫວ່າງ KH ແລະ KV ເທາ່ັົ   60 ຈັ່ງົ ຊອກຫາ VH. 19. ຈັົ່ງແຕ້ມເວກັ ເຕຕີ ່ໄໍ ປນັ້ີ: 1. u  v 2. u  v 3. v  u 4. u  v 20. ຈົັງ່ ສ້າງແຕມ້ ເວກັ ເຕີຕ່ໍໄປນີັ້: 1. 1 u  v 2 2. u  1 v 2 3. 1 u  1 v 22 4. 2u  v 145

vilaisavanh 5. u  2v 6. 2u  v 7. 1 u  1 v 22 8. 2u  3v 9.  3 u  v 2 10. 3 u  2v 2 11. 1 u  1 v 42 12.  1 u  1 v 32 21. ໃຫ້ສາມເມັດ O, A ແລະ B ຈ່ງົັ ສ້າງເມັດ M , N ໂດຍວ່າ OM  ON  OA ແລະ OM  ON  OB 22. ໃຫ້ເມັດ A, B ແລະ C ຈ່ງົັ ຊແ້ີັ ຈງວ່າ u  MA  MB  2MC ທີື່ບ່ຂໍ ້ັນກັບເມັດ M. ຈົງັ່ ວາງເມັດ P,Q ແລະ R ໂດຍວ່າ AP  BQ  CR  u 23. ໃຫ້ BC  1 ຮູ້ວ່າ AB  u, AC  v ໂດຍວ່າ A ບຢ່ໍ ູ່ທ່ອນຊ່ື BC ຈ່ັົງຊອກຫາ AD ຕາມ u ແລະ v. BD 4 24. ໃຫ້ຮູບຈະຕລັດ ABCD, M ເປນັ ເມດັ ເຄື່ງິ ກາງ CD, N ເປັນເມດັ ເຄ່ງິື ກາງ BC ເຊງິື່ ວາ່ AM  u, AN  v ຈົັງ່ ຊອກຫາ AB ຕາມ u ແລະ v. 146