ເລຂາຊັ້ນຕົ້ນ

vii 3. ການຄິດໄລເ່ ນອື້ ທື່ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບສແີື່ ຈ 3.1 ຮບສແືີ່ ຈສາກ ໃຫູ້ a ແມ່ນລວງຍາວ, b ແມນ່ ລວງກວາູ້ ງ, P ແມນ່ ລວງຮອບ ແລະ A ແມ່ນເນອ້ື ທື.່ີ ເຮາົ ໄດ:ູ້ P  2 (a  b) ແລະ A  a b ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ກະດານແຜນ່ ໜຶງ່ື ລວງກວູ້າງ ແລະ ລວງຍາວຂອງມັນແທກໄດູ້ 1,5m ແລະ 2, 4m ຕາມລາດບັ . ຈົັ່ງ ຊອກຫາລວງຮອບ ແລະ ເນ້ືອທືີ່ຂອງມນັ . ບດົ ແກ:ູ້ ຂ້ໍສມົ ມຸດ a=2,4mແລະ b=1,5m ຂໍ້ສະຫຸບຼ ຊອກຫາ P ແລະ A ອີງຕາມສດເຮາົ ໄດູ້: P  2 (a  b)  2 (2, 4 1,5)  7,8m A ab  2, 41,5  3, 6m2 ກດິ ຈະກາ 2: ໃຫນູ້ ກັ ສຶກສາແກເູ້ ອງ 1. ສວນຕອນໜງືຶ່ ເປັນຮບສີ່ືແຈສາກ ລວງຍາວແທກໄດູ້ 50 ແມັດ ແລະ ລວງກວູ້າງແທກໄດູ້ 30 ແມັດ ຈ່ົງັ ຊອກ ເນືອ້ ທ່ືີຂອງສວນດ່ງັ ກ່າວ? 2. ໃຫູ້ຮບສືແີ່ ຈສາກທີ່ືມີລວງຮອບເທ່ັົາ 40 ຊງັ ຕແີ ມັດ. ຈ່ັົງຊອກຫາ ລວງຍາວ ແລະ ລວງກວູ້າງ ດ່ັງລຸມ່ ນ້ື:ີ 3.2 ຮບຈະຕລຸ ດັ ໃຫູ້ a ແມນ່ ລວງຍາວຂອງຂູ້າງ, P ແມ່ນລວງຮອບ ແລະ A ແມ່ນເນ້ືອທືີ່. ເຮົາໄດ:ູ້ P  4 a  4a ແລະ A  aa  a2 45

vii ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ສວນຕອນໜ່ຶງື ເປນັ ຮບຈະຕລຸ ດັ ມີລວງຮອບເທາົ່ັ ກບັ 100m . ຈງັ່ົ ຊອກຫາຂາູ້ ງ ແລະ ເນອື້ ທີື່ຂອງສວນ ຕອນນັນ້ື . ບດົ ແກ:ູ້ ຂ້ໍສົມມດຸ P 100m ຂໍ້ສະຫບຼຸ ຊອກຫາ a ແລະ A ອີງຕາມສດເຮາົ ມ:ີ P  4a ຖອນໄດູ້ a  P  100  25m 44 A  a2  252  625m2 ກດິ ຈະກາ 3: ໃຫນູ້ ກັ ສຶກສາແກເູ້ ອງ 1. ຮບຈະຕຸລັດໜ່ງືຶ ທີື່ມີຂູ້າງ 5 ຊງັ ຕແີ ມັດ ຈົັງ່ ຊອກຫາເນອື້ ທ່ີື ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບຈະຕຸລັດດງັ່ ກ່າວ? 2. ໃຫູ້ຮບຈະຕລຸ ັດໜຶ່ືງທີ່ືມເີ ນອ້ື ທ່ືີ ເທົັ່າກບັ 49 ຕາແມດັ . ຈັງ່ົ ຄດິ ໄລ່ຂູ້າງ ແລະ ເສນັ້ື ເນ່ງັ ຈອມ? 3.3 ຮບດອກຈນັ ໃຫູ້ a ແມນ່ ລວງຍາວຂອງຂູ້າງ, D ແລະ d ແມ່ນສອງເສືັ້ນເນງັ່ ຈອມ, P ແມນ່ ລວງຮອບ ແລະ A ແມ່ນ ເນື້ອທື່.ີ ເຮາົ ໄດູ:້ P  4 a  4a ແລະ A  D d 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ຂາູ້ ງຂອງຮບດອກຈັນໜງ່ືຶ ແທກໄດູ້ 10cm, ສອງເສນືັ້ ເນງ່ັ ຈອມແທກໄດູ້ 12cm ແລະ 18cm . ຈງ່ັົ ຊອກຫາລວງຮອບ ແລະ ເນື້ອທີື່ຂອງມນັ . 46

vii ບດົ ແກ:ູ້ ຂໍ້ສົມມຸດ a 10cm , D 18cm ແລະ ຂ້ໍສະຫຸບຼ d 12cm ຊອກຫາ P ແລະ A ອີງຕາມສດເຮາົ ໄດູ:້ P  4 a  4a  410  40cm A Dd 2  1812  108cm2 2 ກດິ ຈະກາ 4: ໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແກເູ້ ອງ ໃຫູ້ຮບດອກຈນັ ABCD ຮູ້ວ່າ ເສັນ້ື ເນັງ່ ຈອມ AC=20cm ແລະ BD=12cm ຈງົັ່ ຊອກຫາເນືອ້ ທື່ີຂອງຮບ ດອກຈັນດັ່ງກາ່ ວ? 3.4 ຮບສແີື່ ຈຂາູ້ ງຂະໜານ ໃຫູ້ b ແມ່ນພືນ້ , a ແມ່ນຂູ້າງ ແລະ h ແມ່ນລວງສງ P ແມ່ນລວງຮອບ ແລະ A ແມນ່ ເນື້ອທີື່. ເຮາົ ໄດູ້: P  2 (a  b) ແລະ A  b h ຕວົ ຢາ່ ງ 5. ທາງເສັນື້ ໜຶງ່ື ຜ່ານທົັ່ງນາທເ່ີື ປນັ ຮບສ່ແືີ ຈສາກ (ດງ່ັ ຮບ). ຈ່ັງົ ຄດິ ໄລເ່ ນ້ອື ທ່ືີຂອງເສນ້ືັ ທາງ ແລະ ເນື້ອທີື່ຂອງ ນາທ່ືີເຫຼອຈາກການເຮັດທາງ. ບດົ ແກູ້: 47

vii ຮບສ່ືີແຈສາກມີ a  150m ແລະ b1  120m ຂໍ້ສົມມຸດ ຮບສແ່ືີ ຈຂູ້າງຂະໜານມີ h  120m ແລະ b2  6m ຂໍ້ສະຫຼຸບ ຄິດໄລ່ A1 ແລະ A2 + ກ່ອນອ່ນື ໝົດຕູອ້ ງຄິດໄລ່ເນອື້ ທີ່ືຂອງຮບສແ່ີື ຈສາກ ແລະ A2 . ຈາກຂ້ໍສົມມດຸ ເຮາົ ມີ: A  a b1 150m120m 18000m2 A2  b2  h  6m120m  720m2 ດງ່ັ ນັ້ນື ເຮົາຈະໄດູ້ A1  A  A2 18000m2  720m2 17280m2 ກດິ ຈະກາ 5: ໃຫນູ້ ກັ ສຶກສາແກເູ້ ອງ 1. ໃຫູ້ຮບສີື່ແຈຂາູ້ ງຂະໜານ ABCD ເຊງ່ິື AB=20cm , AD=10cm ແລະ AH=5cm ຈງັ່ົ ຊອກຫາເນອື້ ທື່ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບສແ່ືີ ຈຂູ້າງຂະໜານດ່ັງກາ່ ວ? 2. ໃຫູ້ຮບສແີື່ ຈຂາູ້ ງຂະໜານໜຶືງ່ ທີື່ມີເນ້ືອທເ່ືີ ທົັ່າ 50 ຊງັ ຕຕີ າແມັດ, ຮູ້ວາ່ ລວງສງເທົັາ່ 5 ຊັງຕແີ ມັດ. ຈັ່ົງຊອກຫາ ລວງຍາວ 3.5 ຮບຄາງໝ ຮບຄາງໝ ABCD ມີ b1ແມນ່ ພນ້ື ໃຫຍ,່ b2 ແມ່ນພ້ືນນອູ້ ຍ ແລະ h ແມນ່ ລວງສງ. ເຮົາໄດ:ູ້ P  AB  BC  CD  DA ແລະ A  (b1  b2 ) h 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 6. ຄິດໄລເ່ ນອື້ ທີ່ືຂອງຮບຄາງໝ ເມອື່ ຮູລ້ ວງຍາວຂອງສອງພື້ນ ແລະ ລວງສງແມ່ນ 12cm,8cm ແລະ 7cm ຕາມລາດບັ . ບດົ ແກ:ູ້ ຂໍ້ສົມມຸດ b2  8cm , b2  12cm ແລະ h  7cm ຂໍ້ສະຫຸບຼ ຄິດໄລ່ A 48

vii ຈາກຂ້ໍສົມມດຸ ເຮາົ ມີ: A  (b1  b2 ) h 2  (12  8) 7  70cm2 2 ກດິ ຈະກາ 6: ໃຫນູ້ ກັ ສຶກສາແກເູ້ ອງ 1. ໃຫູ້ຮບຄາງໝສາກ ດັ່ງຮບລຸມ່ ນ:້ີື ຈງ່ັົ ຊອກຫາ ຂູ້າງ HC ແລະ ເນ້ືອທີື່ຮບຄາງໝ ABCD 2. ໃຫູ້ຮບຄາງໝໜືງ່ຶ ທີ່ືມີພ້ືນໃຫຍເ່ ທາ່ົັ 2 ເທ່ືອຂອງພ້ືນນ້ອູ ຍ, ຮ້ວູ າ່ ພ້ນື ນູ້ອຍເທັ່ົາ 8 ຊງັ ຕແີ ມດັ ແລະ ລວງສງເທັົາ່ 6 ຊງັ ຕີແມັດ. ຈົງ່ັ ຊອກຫາເນອ້ື ທີື່ຂອງຮບດັງ່ ກ່າວ? 49

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈັງົ່ ຊອກຄາ່ ຂອງ x ແລະ y ໃນແຕ່ລະກລະນລີ ່ມຸ ນ:້ືີ  ຮບສແ່ີື ຈຂາູ້ ງຂະໜານ  ຮບສແີື່ ຈສາກ 2. ໃຫຮູ້ ບດອກຈັນ XYZW (ດງັ່ ຮບ) 50

vii 3. ຈົງ່ັ ຊອກຫາຄ່າຂອງ x ຈາກນື້ນັ ຊອກຫາພນ້ື ແລະ ພ້ນື ສະເລ່ຍທືີ່ຍັງບໍ່ທນັ ຮ.ູ້ 4. ຈງ່ົັ ສູ້າງແຕູ້ມຮບຕາມຂໍ້ມນຕາ່ ງໆລ່ມຸ ນືີ້: ກ. ໝາຍສາມເມັດ A, B ແລະ D ໂດຍວ່າ: AB  5cm, AD  4cm ແລະ BAD  70o . ຂ. ນາໃຊູ້ໄມ້ບູ ັນທັດ ແລະ ວົງວຽນ ເພອ່ື ສ້າູ ງເມດັ C ໂດຍໃຫູ້ຮບ ABCD ເປນັ ຮບສ່ແີື ຈຂູ້າງຂະໜານ. ຄ. ໂດຍບ່ໍຕູ້ອງໃຊູ້ໄມບູ້ ັນທັດແທກມຸມ, ຈ່ງັົ ການດົ ຄ່າຂອງມຸມຕ່າງໆຂອງຮບສື່ີແຈຂູ້າງຂະໜານ ABCD . 5. ສ້າູ ງຮບສືີແ່ ຈຂູ້າງຂະໜານ EFGH ເຊ່ງືິ I ແມນ່ ເມັດໃຈກາງໃນແຕລ່ ະກລະນລີ ່ມຸ ນ້ືີ: ກ. EF  8cm ແລະ FG  5cm ຂ. EF  8cm, EH  5cm ແລະ H  60o ຄ. EF  8cm, EH  4cm ແລະ EG  7cm 6. ສ້າູ ງຮບສີແື່ ຈສາກ ABCD ໃນແຕລ່ ະກລະນລີ ່ມຸ ນື້ີ: ກ. AB  7cm ແລະ BC  5cm ຂ. AB  8cm ແລະ ACD  35o ຄ. AD  5cm, DB  7cm ແລະ BDC  46o ງ. BC  9cm, AC  15cm ແລະ ACD  37o 7. ຈົງ່ັ ສູ້າງຮບດອກຈັນ EFGH ໃນແຕລ່ ະກລະນຕີ ່ໄໍ ປນີ້ື: ກ. EF  6cm ຂ. HF  8cm ແລະ EH  5cm ຄ. HF  8cm ແລະ HEF  76o 51

vii ງ. HF  8cm ແລະ EHG  70o 8. ຈົັງ່ ສູາ້ ງຮບຈະຕຸລດັ WIND ເມືອ່ ຮູ້ຂ້າູ ງຂອງມັນເທັົ່າກັບ 7cm . 9. ຈ່ງັົ ແຕມູ້ ຮບຄາງໝຕາມເງ່ືອນໄຂລມຸ່ ນ້ືີ ແລະ ໃຫຊູ້ ີແ້ື ຈງເຫດຜົນໃນກລະນີບສາມາດແຕ້ມູ ໄດູ້ ກ. ມີສອງມຸມສາກ. ຂ. ພື້ນທງັ ສອງສັນ້ື ກວ່າຂູ້າງ. ຄ. ສອງພື້ນເທັົາ່ ກນັ . ງ. ມມີ ມຸ ແຫມຼ ສາມມມຸ . P A 10. ຈ່ັງົ ຄິດໄລ່ ແລູ້ວຕມື່ ໃສຕ່ າຕະລາງລ່ມຸ ນ້ີື ໂດຍວາ່ : 1, 2m2 ກ. ຮບສແີື່ ຈສາກ ab 7m 4m 6cm 28cm 15dm ຂ. ຮບດອກຈັນ D d PA 24cm 10cm a 40dm 6m2 16cm 2, 4dm2 13cm 25dm 58cm ຄ. ຮບຈະຕລຸ ັດ a P A 800mm 80cm 81dm2 52

vii ງ. ຮບສີ່ືແຈຂູ້າງຂະໜານ b h AP 5cm a 30dm 13cm 1, 2cm 3cm 4,8m2 1000cm 12cm2 16cm ຈ. ຮບຄາງໝ ( m ແມ່ນພ້ືນສະເລ່ຍ) 3 7 b1 12 6,8 15 45 27 b2 8 3,2 15 9 3x h 7 6,1 3 9 5x A 112 300 90 12 36 m 14 12x 11. ເພ່ນິື ເຮດັ ທາງກວ້າູ ງ 2,5m ອ້ອູ ມສວນຕອນໜືງ່ຶ ທເີື່ ປັນຮບສີແື່ ຈສາກ ເຊງ່ືິ ລວງຍາວ ແລະ ລວງກວ້າູ ງ ຂອງ ສວນແທກໄດູ້ 50m ແລະ 30m . ຈ່ັົງຊອກຫາເນ້ອື ທື່ີຂອງທາງ ແລະ ເນ້ອື ທ່ືຂີ ອງສວນທີືຍ່ ັງເຫຼອ. 12. ເພິືນ່ ທາສີກາແພງສງ 2,5m ແລະ ຍາວ 40m ທງັ ສອງດູ້ານ. ກ. ເນອື້ ທ່ືີ ທ່ືຈີ ະຕູ້ອງທາສມີ ີທັງໝົດເທັ່ົາໃດ? ຂ. ຖາູ້ ວາ່ ສີຖັງໜ່ງືຶ ທາໄດູ້ 50m2 ເພນິື່ ຈະຕອູ້ ງໃຊູ້ສີທັງໝດົ ຈກັ ຖັງ? 13. ໂຮງພິມແຫ່ງໜຶືງ່ ຕ້ອູ ງການຜະລດິ ບັດອວຍພອນເປນັ ຮບສີ່ືແຈສາກ ໃຫູ້ມີເນ້ອື ທ່ືີ 66cm2 ແລະ ຍາວ 12cm . ຖາມວ່າລວງກວູ້າງຂອງບດັ ມເີ ທ່ັົາໃດ? 14. ຈົງ່ັ ຄດິ ໄລເ່ ນອື້ ທ່ືີຂອງຮບຄາງໝ GROS ຮູ້ວາ່ ເນອ້ື ທືີ່ຂອງຮບສແ່ືີ ຈສາກ GRAS ເທັ່າົ 828cm2 (ເບ່ິືງຕາມຮບ) 53

vii ບດົ ທີ 4 ຮບຫາຼ ຍແຈສະເໝີ ແລະ ຮບວງົ ມນົ 1. ນຍິ າມ ແລະ ຄນຸ ລກັ ສະນະ 1.1 ວງົ ມນົ ກ. ນຍິ າມ: ຖູາ້ ເມດັ A ປິນ່ ອອູ້ ມເມັດ O ໂດຍຮກັ ສາໄລຍະຫ່າງສະເໝີຈາກເມັດ O , ເມດັ A ເຄືອ່ ນທືຕ່ີ າມ ເສືນ້ັ ໜຶື່ງເອ້ືີນວາ່ : ວົງມົນ. - ເມດັ O ເອີ້ນື ວ່າ: ເມັດໃຈກາງ. - ໄລຍະແຕ່ O ຫາ A ເອີືນ້ ວ່າ: ລັດສະໝີ, ສັນຍາລກັ ດູ້ວຍຕົວອກັ ສອນ r, r  OA. ຂ. ຄນຸ ລກັ ສະນະ: ທຸກໆເມດັ ຂອງວົງມົນລູ້ວນແຕ່ຫ່າງກັນສະເໝີ ຈາກເມັດໃຈກາງຂອງພວກມັນ. 1.2. ມມແນບໃນວົງມົນ ຫັຼກເກນ ແລະ ຜນົ ເນອ່ື ງ 1: ມມໃຈກາງເທ່າັົ ສອງເທ່ືອມມແນບວງົ ມນົ ທ່ືີຮ່ວມທ່ອນກງົ ດຽວກນັ ຫກັຼ ເກນ ແລະ ຜົນເນ່ືອງ 2: ມມແນບເຄ່ິງື ວົງມນົ ແມ່ນມມສາກ ຫຼັກເກນ ແລະ ຜົນເນ່ືອງ 3: ສອງມມແນບທື່ີຮ່ວມທ່ອນກງົ ດຽວກນັ ເທາ່ົັ ກັນ  ພສິ ດຫຼັກເກນ 1: ພິສດ: ABˆC  1 AOˆC 2 ອງິ ຕາມ: Bˆ1  Cˆ  NOˆC  2Bˆ1  NOˆC Bˆ1  1 NOˆ C 1 2 ອງິ ຕາມ: Bˆ2  Aˆ  NOˆA  2Bˆ2  NOˆA Bˆ2  1 NOˆ A 2 2 54

vii ເອົາ 1  2 ຈະໄດ້:ູ Bˆ1  Bˆ2  1 NOˆ C  1 NOˆ A 2 2 Bˆ  1 (NOˆC  NOˆA) 2 ABˆ C  1 AOˆC 2 ດງັ່ ນືັນ້ , ABˆC  1 AOˆC 2 ຕວົ ຢ່າງ 1. ຈ່ງັົ ຊອກຫາມມສວດ BOˆC ຕາມຮບແຕູ້ມລຸ່ມນີ້ື  ເຮາົ ມີ ABˆC  1 AOˆC  2ABˆC  AOˆC  2 30  AOˆC  AOˆC  60 2 ຈະໄດູ້: BOˆ1C  306  AOˆ2C  BOˆ1C  360  60  300 ດັງ່ ນັ້ນື BOˆC  300 ກດິ ຈະກາ 1: ຈງ່ົັ ພິສດວາ່ ມມເສືັນ້ ຕດິ ເທົັາ່ ກບັ ເຄິງື່ ໜ່ຶືງມມໃຈກາງ 1.3 ແຜນ່ ມນົ ໜາູ້ ພຽງທ່ືີຢ່ໃນວງົ ມົນ ນັບທັງເສ້ນືັ ຂອງວົງມົນນ້ັນື ເອນ້ີື ວ່າ: ແຜນ່ ມນົ . - ເມັດ A ແລະ D ຢ່ໃນແຜ່ນມົນຍ້ອູ ນວ່າ OA  OD  r - ເມັດ B ຢ່ໃນແຜ່ນມນົ ຍ້ອູ ນວາ່ OB  r - ເມດັ C ຢນ່ ອກແຜນ່ ມນົ ຍູ້ອນວາ່ OC  r 1.4 ຮບຫາຼ ຍແຈສະເໝີ  ນຍິ າມ: ຮບຫຼາຍແຈສະເໝີໜຶືງ່ ແມ່ນຮບຫຼາຍແຈທ່ີືມີທກຸ ໆຂູ້າງເທົັ່າກນັ ແລະ ທກຸ ໆມຸມເທົ່ັາກນັ . ຖາູ້ ເຮົາແບ່ງວົງມນົ ໜ່ງືຶ ອອກເປນັ n ສ່ວນເທົັ່າກນັ ແລະ ຕໍບ່ ນັ ດາເມັດແບ່ງທີື່ລຽນກັນໃສ່ກັນ ເຮາົ ຈະໄດູຮ້ ບຫຼາຍ ແຈສະເໝີທື່ີມີ n ຂ້າູ ງແນບໃນວົງມນົ ດງັ່ ກາ່ ວ. ຖາູ້ ເຮົາແຕູ້ມບັນດາເສື້ນັ ຕິດກບັ ວົງມນົ ຜ່ານເມັດແບ່ງເຫົ່ຼັານນັື້ ເຮົາກຈ່ໍ ະໄດູ້ຮບຫຼາຍແຈສະເໝີທື່ມີ ີ n ຂາູ້ ງຕິດ ນອກວງົ ມນົ ດງັ່ ກ່າວ. ປີື້ນຄນ ບໍວ່ ່າຮບຫຼາຍແຈສະເໝີໃດ ກໍລ່ ້ວູ ນແຕ່ມີໜຶື່ງວົງມນົ ແນບ ແລະ ໜຶງື່ ວງົ ມົນຕດິ ໃນກັບມນັ .  ຄນຸ ລກັ ສະນະ: 55

vii - ເມດັ ໃຈກາງ ແລະ ລດັ ສະໝີຂອງວົງມົນແນບຮບຫຼາຍແຈສະເໝີ ກແມນ່ ເມດັ ໃຈກາງ ແລະ ລດັ ສະໝີ ຂອງຮບຫຼາຍແຈສະເໝນີ ້ືັນເອງ. - ໄລຍະຫ່າງແຕ່ເມັດໃຈກາງ ຫາແຕ່ລະຂູ້າງຂອງຮບຫຼາຍແຈສະເໝເີ ອືີ້ນວາ່ : ທອ່ ນສນສາກຂອງຮບ ຫາຼ ຍແຈສະເໝ.ີ - ສອງຮບຫຼາຍແຈສະເໝີ ທ່ືີມຈີ ານວນຂາູ້ ງເທ່າົັ ກນັ ຍາມໃດກຄູ້າຍຄກນັ . - ອັດຕາສວ່ ນລະຫວ່າງລວງຮອບຂອງພວກມັນເທ່ົັາກັບອດັ ຕາສ່ວນຂອງສອງລດັ ສະໝີ ຫຼວາ່ ເທ່ົາັ ກບັ ອັດຕາສ່ວນຂອງສອງທ່ອນສນສາກ. - ອດັ ຕາສ່ວນລະຫວາ່ ງເນື້ອທ່ືີຂອງພວກມນັ ເທ່ົັາກັບກາລງັ ສອງຂອງອັດຕາສວ່ ນຂອງສອງລັດສະໝີ ຫຼວ່າ ເທາົັ່ ກັບອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງສອງທ່ອນສນສາກ. 2. ຫຼັກເກນ ແລະ ຜນົ ເນອ່ື ງຕ່າງໆ 2.1 ເສນື້ັ ຕາ່ ງໆຂອງວົງມນົ - ເສັື້ນຊື່ທ່ີືຜ່ານເມັດໃຈກາງຂອງວົງມົນເອີນ້ື ວາ່ : ເສືັ້ນຜາ່ ນໃຈກາງ, ສນັ ຍາລກັ ດວູ້ ຍຕົວອກັ ສອນ d ເຊງິ່ື ວາ່ d  2R  AB . - ທ່ອນຊ່ືທ່ີຕື ່ລໍ ະຫວ່າງສອງເມດັ ຂອງວງົ ມນົ ເອ້ີືນວ່າ: ເສນັ້ື ເນ່ງັ ທ່ອນກັ່ົງ. [FG] ແມນ່ ເສັື້ນເນັ່ງທ່ອນກງ່ົັ . - ເສ້ືນັ ຊ່ືທ່ີືມີເມັດຮ່ວມກບັ ວົງມົນສອງເມັດເອ້ີືນວາ່ : ເສືັ້ນຕິດວົງມົນ. (DC) ແມນ່ ເສັື້ນຕັດວງົ ມົນ. - ເສນ້ັື ຊື່ທີ່ືມເີ ມັດຮ່ວມກບັ ວງົ ມົນພຽງເມັດດຽວເອື້ນີ ວາ່ : ເສືນັ້ ຕິດວົງມົນ. ເສັືນ້ ຊ່ື d ແມ່ນເສັ້ນື ຕິດວົງມນົ . - ສອງເມັດ C ແລະ D ແບ່ງວງົ ມນົ ອອກເປັນສອງສວ່ ນ, ແຕ່ລະພາກສ່ວນເອືີ້ນວາ່ : ທອ່ ນກົ່ັງ, ສັນຍາລກັ ດູ້ວຍ CD ອ່ານວ່າ: ທ່ອນກັ່ົງ CD . ສງິື່ ຄວນເອາົ ໃຈໃສ:່ - ເສ້ນັື ຜາ່ ນໃຈກາງແມ່ນເສ້ືນັ ເນັ່ງທອ່ ນກງ່ົັ ທີື່ຍາວສຸດຂອງວົງມົນ. - ເສນັື້ ຕດິ ຕືງ້ັ ສາກກັບລັດສະໝີຂອງວົງມົນ. 2.2 ແກນເຄງິື່ ຄ ແລະ ສນກາງເຄງິື່ ຄຂອງວົງມນົ ແລະ ແຜນ່ ມນົ - ວງົ ມນົ ແລະ ແຜນ່ ມົນ ມຫີ ຼາຍແກນເຄງິ່ື ຄ ເຊ່ືິງແມນ່ ເສນ້ັື ຜ່ານໃຈກາງຂອງມັນເອງ. - ມີໜືຶງ່ ສນກາງເຄງ່ືິ ຄ ເຊິງື່ ແມ່ນເມັດໃຈກາງຂອງມັນເອງ. 56

vii 2.3. ຮບຈະຕລຸ ດັ ແນບໃນວງົ ມນົ ກ. ຢາກສູ້າງຮບຈະຕລຸ ັດ ABCD ແນບໃນວົງມນົ , ເຮົາແຕູ້ມສອງເສັື້ນຜ່ານກາງ AC, BD ຕງືັ້ ສາກກັນ, ແລູ້ວຕ່ໍ ເມັດສ້ນົື A, B,C, D ໃສ່ກັນ. ຂ. ຢາກຄດິ ໄລ່ຂາູ້ ງຂອງຮບຈະຕລຸ ັດຕາມລັດສະໝີ R ຂອງວງົ ມນົ ແນບ, ເຮົາຈ່ົັງສງັ ເກດໃນຮບສາມແຈສາກ AOB ວາ່ : AB2  AO2  OB2  R2  R2  2R2 ດ່ັງນັື້ນ: AB  R 2 1, 414R. 2.4 ຮບຫກົ ແຈສະເໝີແນບໃນວງົ ມົນ ກ. ໃຫູ້ AB ເປັນຂ້າູ ງໜືງ່ຶ ຂອງຮບຫົກແຈສະເໝແີ ນບໃນວົງມົນ O . ຮບສາມແຈ AOB ເປນັ ຮບ ສາມແຈທ່ຽງ (OA  OB  R). ອກີ ຢ່າງໜ່ືຶງ ເຮົາມ:ີ AOB  360O  60O ເພາະສະນັນ້ື AOB ຈືງ່ິ ເປນັ ຮບ 6 ສາມແຈສະເໝີ ແລະ ເຮາົ ມີ AB  R. ເຮາົ ຍງັ ເວາົື້ ອີກຢ່າງໜ່ືຶງວ່າ: ຂ້າູ ງຂອງຮບຫົກແຈສະເໝີເທ່າົັ ກບັ ລັດສະໝີ ຂອງມນັ . ຂ. ຖູ້າເຮົາຢາກສູ້າງຮບຫກົ ແຈສະເໝແີ ນບໃນວງົ ມົນ, ຢ່ວົງມນົ ນ້ືັນ ເຮົາວາງບັນດາທ່ອນກັ່ົງທ່ືີມີເສືັນ້ ເນັງ່ ເທາັ່ົ ກັບ ລັດສະໝີຂອງວງົ ມົນດັງ່ ກາ່ ວ. 57

vii 2.5 ຮບສາມແຈສະເໝແີ ນບໃນວງົ ມນົ ກ. ເຮົາແບງ່ ວົງມນົ ໜືຶງ່ ອອກເປັນຫົກສວ່ ນເທົ່ັາກັນ, ແລວູ້ ຕເໍ່ ມັດແບ່ງຕ່າງໆຂູ້າມໜ່ງຶື ເມັດໃສກ່ ນັ , ເຮາົ ຈະໄດູ້ຮບສາມແຈສະເໝີ. ຂ. ຈງົ່ັ ເອົາໃຈໃສວ່ ່າ OBDC ເປັນຮບດອກຈັນ (OB  BD  DC  CO  R). ເຮາົ ຈະເຫັນໄດູ້ໂລດວາ່ OI  ID  R , ໝາຍຄວາມວາ່ : ແຕ່ລະຂູ້າງຂອງຮບສາມແຈສະເໝີແນບໃນວງົ ມນົ ຈະແບ່ງລັດສະໝທີ ື່ີຕື້ງັ ສາກ 2 ກບັ ມນັ ອອກເປັນສອງສວ່ ນເທາົັ່ ກັນ. ເພ່ືອຢາກຄິດໄລ່ຂູ້າງຂອງຮບສາມແຈສະເໝີ ຕາມລັດສະໝີ R ຂອງວົງມົນແນບ, ເຮົາຕູ້ອງອງີ ໃສ່ຮບສາມແຈ ສາກ ABD. ເຮົາມີ: AB2  AD2  BD2  4R2  R2  3R2 ດງັ່ ນນັ້ື : AB  R 3 1,732R. ສງ່ືິ ທຄ່ີື ວນເອາົ ໃຈໃສ:່ ຫງັຼ ຈາກໄດແູ້ ບ່ງວງົ ມົນອອກເປັນ 10 ສ່ວນເທັ່ົາກນັ ແລວູ້ - ຖາູ້ ເຮົາຕເ່ໍ ມັດແບ່ງຕ່າງໆໃສກ່ ັນ ເຮົາຈະໄດ້ຮູ ບສິບແຈສະເໝີ. - ຖາູ້ ເຮາົ ຕໍ່ເມັດແບ່ງຕ່າງໆຂູ້າມໜງ່ຶື ເມັດໃສ່ກັນ ເຮົາຈະໄດູ້ຮບຫູ້າແຈສະເໝີ. - ຖາູ້ ເຮາົ ຕເ່ໍ ມັດແບ່ງຕ່າງໆຂູ້າມສອງເມດັ ໃສ່ກັນ ເຮົາຈະໄດູ້ຮບດາວສບິ ຈອມສະເໝີ. - ຖູ້າເຮົາຕ່ໍເມັດແບ່ງຕ່າງໆຂູ້າມສາມເມດັ ໃສກ່ ນັ ເຮົາຈະໄດູ້ຮບດາວຫູ້າຈອມສະເໝີ. 2.6 ເນື້ອທີື່ ແລະ ລວງຮອບ ສດການນາໃຊ:ູ້ s .R2 ເຊງ່ືິ ວາ່ :   3.14 ລວງຮອບ: p  2.R d  2R R ແມນ່ ລດັ ສະໝີ d ແມນ່ ເສັື້ນພາໃຈກາງ ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ຈງັົ່ ຄິດໄລ່ລວງຮອບ ແລະ ເນອ້ື ທືີ່ຂອງຮບວົງມົນໜ່ືຶງທມີື່ ີເສນ້ືັ ພາໃຈກາງເທາັົ່ 12 cm. ວທິ ແີ ກ້:ູ ຊອກຫາລວງຮອບ p= ? ອີງຕາມສດ : p  2.R p  2.R  p .d  12  3.14  37.68 cm p  37.68 cm - ຊອກຫາເນ້ືອທື່ີ s = ? ອີງຕາມສດ s  .R2 s  .R2  3,14 62  3,14 6 6  113, 04 cm2 58

vii s 113, 04 cm2 ດງ່ັ ນືັນ້ , ເນອ້ື ທື່ີຂອງຮບວງົ ມນົ ແມ່ນ 113,04 cm2 ລວງຮອບຂອງຮບວົງມົນແມນ່ 37,68 cm ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ອ່າງນາໍ້ ພຸແຫ່ງໜງ່ືຶ ເປນັ ຮບວງົ ມົນ ມີເນືອ້ ທ່ີື 78,5 ������2. ຈງົ່ັ ຊອກຫາລັດສະໝີຂອງອາ່ ງດງ່ັ ກ່າວແມ່ນ ເທົ່າັ ໃດ? s  .R 2 ວິທີແກ:ູ້ ເຮາົ ມີ: s .R2 ຊອກຫາ R=? ອີງຕາມສດ 78,5 3,14.R2  R2  78,5  25 3,14 R2  25  R  25  5 m R  5 m ລດັ ສະໝີຂອງອ່າງແມນ່ 5 m. 2.7 ລວງຮອບ ແລະ ເນືອ້ ທຂີ່ື ອງວງົ ມົນ ຫຼ ແຜນ່ ມົນ ໃຫູ້ C ແມ່ນລວງຮອບ, A ແມນ່ ເນື້ອທີື່, r ແມ່ນລດັ ສະໝີ ແລະ d ແມ່ນເສືັ້ນຜ່ານໃຈກາງ ເຮົາໄດ:ູ້ C  2 r   d  ແລະ A   r2   d 2 4 ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ຈັງົ່ ຄິດໄລ່ລວງຮອບ ແລະ ເນ້ືອທືີ່ຂອງວົງມນົ ທີື່ມີເສື້ນັ ຜ່ານໃຈກາງ 15cm. ບດົ ແກ:ູ້ ອງີ ຕາມສດຊອກຫາລວງຮອບເຮົາມີ C  2 r   d   3,1415cm  47,1cm ເນືອ້ ທ່ີືຂອງວົງມົນມີສດແມນ່ : A   r2   d 2 4  3,1415cm15cm  176,625cm2 4 59

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈງົັ່ ຄດິ ໄລ່ແລວູ້ ຕ່ມື ໃສ່ຕາຕະລາງລຸມ່ ນື້:ີ 12,5 56,52 r7 d 240 C 8 A 25 2. ຈົັ່ງແຕູ້ມແຜ່ນມນົ ທີ່ືມເີ ມັດໃຈກາງ O ແລະ ລັດສະໝີ r  5cm , ໃຫູ້ທ່ອນຊ່ື OA  2cm, OB  5,8cm ແລະ OC  5cm . ຖາມວ່າ ເມັດ A, B,C ຢ່ໃນ ຫຼ ຢ່ນອກແຜ່ນມົນ? ຍູ້ອນຫຍງັ ? 3. ອີງຕາມຮບ, ຈົ່ງັ ບອກບັນດາ: ໃຈກາງຂອງວົງມົນ, ລດັ ສະໝີ,ເສັນ້ື ຜ່ານໃຈກາງ, ເສ້ນັື ຕດັ , ເສັ້ືນຕິດ ແລະ ເສນັື້ ເນງ່ັ ທອ່ ນກັົ່ງ. 4. ຈົັງ່ ຄິດໄລ່ເນ້ອື ທເື່ີ ຂດທາສີຂອງຮບລຸ່ມນ້ືີ ໂດຍເອົາ 1 ຕາກະໂລເທັ່ົາກບັ 1cm2 5. ຈົັ່ງແຕູມ້ ຮບຈະຕຸລັດ ABCD ທີືມ່ ີຂ້າູ ງເທັົ່າ 4cm ແລະ ສອງວງົ ມົນທີື່ມີເມັດໃຈກາງຢ່ A ແລະ C ດູ້ວຍລດັ ສະໝີ 4cm . ຈາກນັື້ນຄດິ ໄລເ່ ນ້ອື ທ່ີືຂອງເຂດທີ່ືສອງວົງມົນຕັດກັນ. 6. ໃຫຊູ້ ອກຄາ່ ວັດແທກມມໃນໜງ່ື ຂອງຮບ 20 ແຈສະເໝີ 7. ໃຫຊູ້ ອກຈານວນຂາູ້ ງຂອງຮບຫຼາຍແຈສະເໝີຮູ້ວ່າຄ່າວດັ ແທກມມໃນໜື່ງເທົ່ັາ 140 60

vii 8. ໃຫຊູ້ ອກຈານວນຂາູ້ ງຂອງຮບຫຼາຍແຈສະເໝີ ຮູ້ວາ່ ຜນົ ບວກມມໃນເທົັ່າ 1260 9. ຈັງົ່ ຊອກຜົນບວກມມໃນຂອງຮບ 10 ແຈສະເໝີ ແລະ ຮບ 17 ແຈສະເໝີ 10. ໃຫູ້ຊອກຄ່າວັດແທກມມນອກຂອງຮບ 15 ແຈສະເໝີ 11.ໃຫຊູ້ ອກຄາ່ ວັດແທກມມໃນໜງ່ື ຂອງຮບ 14 ແຈສະເໝີ 12. ໃຫູ້ AB ເປນັ ເສ້ືັນຜ່ານໃຈກາງຂອງຮບວງົ ມນົ ໂດຍມີ O ເປນັ ຈດຸ ໃຈກາງ, C ເປັນເສືນັ້ ຮອບວົງຂອງຮບ ວງົ ມນົ ດັງ່ ກ່າວໂດຍມີມຸມ CAˆB  26 ຈ່ງົັ ຊອກຂະໜາດຂອງມຸມ CBˆA? 13. ໃຫູ້ AB ເປນັ ເສ້ືນັ ຜ່ານໃຈກາງຂອງຮບວງົ ມນົ ໂດຍມີ O ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ, C ເປັນເສ້ັນື ຮອບວງົ ຂອງຮບວງົ ມນົ ດງັ່ ກາ່ ວໂດຍມມີ ມຸ CAˆB  2CBˆA ຈັງ່ົ ຊອກຂະໜາດຂອງມມຸ CBˆA? 14. ໃຫູ້ L, M ແລະ N ເປນັ ຈດຸ ຢ່ເສືັ້ນຮອບວົງມນົ ທມືີ່ ີ O ເປັນຈຸດໃຈກາງຮູ້ວາ່ ມຸມ MON  98 ຈັ່ົງ ຊອກຫາກມມຸ MLN ? 15.ໃຫູ້ L, M ແລະ N ເປນັ ຈຸດຢເ່ ສັື້ນຮອບວງົ ມນົ ທີື່ມີ O ເປນັ ຈດຸ ໃຈກາງຮູ້ວາ່ ມມຸ MLˆN  42 ຈັົ່ງຊອກ ຫາກມຸມ MOˆN ? 16. ໃຫູ້ຮບ A, B,C ແລະ D ເປນັ ຮບແນບໃນວງົ ມົນທ່ືີມີ O ເປນັ ຈຸດໃຈກາງ, AB ແລະ CD ຕດັ ກນັ ທີ່ືຈດຸ X ຮວູ້ າ່ ມຸມ AXˆD  92 ແລະ CBˆA  57 ຈັງ່ົ ຊອກຫາມຸມ DAˆ X ? 17. ໃຫູ້ ABCD ເປນັ ຮບສື່ີແຈແນບໃນວງົ ມົນ,ທີ່ືມີ O ເປັນຈຸດໃຈກາງ, ຮູ້ວ່າມຸມ ABˆC 108 ຈັົ່ງຊອກຫາ ມຸມ ADˆ C ? 18. ໃຫູ້ WXYZ ເປນັ ຮບສ່ືີແຈແນບໃນວງົ ມົນ, ທ່ືີມີ O ເປນັ ຈດຸ ໃຈກາງ ແລະ V ເປັນເສ້ນືັ ທ່ີືສາຍອອກຈາກ ເສ້ນັື XW ຮວູ້ ່າມມຸ XYˆZ  80 . ຈັງ່ົ ຊອກຫາມມຸ VWˆZ ? 19. ໃຫູ້ RS ແລະ RT ທມີື່ ີ O ເປນັ ຈຸດໃຈກາງ. ຮູ້ວາ່ ມຸມ SRT  40 ຈ່ັົງຊອກຫາມຸມ SUT ? 20. ໃຫູ້ຂະໜາດ ແລະ ຮບຮ່າງຂອງຮບດ່ັງລມຸ່ ນືີ້: ກ. ຈົ່ັງຄດິ ໄລ່ເນ້ືອທທີ ່ີືທາ່ ສີ?. ຂ. ຈັົ່ງຄິດໄລລ່ ວງລັດສະໝີຂອງຮບວງົ ມນົ ?. ຄ. ຈ່ັງົ ຄິດໄລລ່ ວງຮອບຂອງຮບສີື່ແຈສາກ?. 61

vii 21. ໃຫູ້ຮບວົງມົນຕດິ ໃນຮບຈະຕຸລັດ ເຊືິ່ງເສັ້ນື ພາໃຈກາງເທ່ັົາ 4 cm. ຈົັ່ງຊອກຫາ: ກ. ລວງຮອບຂອງຮບວົງມົນ ຂ. ເນືອ້ ທຂື່ີ ອງຮບຈະຕຸລດັ ພາກສວ່ ນທຍືີ່ ງັ ເຫຼອ 22. ວງົ ກບົ ປະຕຖກແບ່ງເປັນສອງສວ່ ນດັ່ງຮບລຸມ່ ນ:້ືີ ກ. ຈງ່ັົ ຊອກຫາເນອື້ ທ່ີືທງັ ໝດົ ຂອງວງົ ກບົ ປະຕ?. ຂ. ຈງັ່ົ ຊອກຫາລວງຮອບທງັ ໝດົ ວົງກົບປະຕ?. 23. ຈງ່ົັ ຄດິ ໄລ່ເນ້ອື ທີື່ທັງໝົດຂອງຮບເຮອນ ດງັ່ ຮບລມຸ່ ນ້ືີ: 62

vii ບດົ ທີ 5 ບດົ ເລກພສິ ດ ແລະ ບດົ ເລກຄານວນເລຂາຄະນດິ 1. ຈດຸ ພເິ ສດຕ່າງໆຂອງບົດເລກເລຂາຄະນດິ ການສກຶ ສາວຊິ າເລຂາຄະນິດ ມີລັກສະນະເດັນ່ ໃນເລ່ືອງຂອງການພິສດ ຫຼາຍກວາ່ ການຄານວນ ດງັ່ ນືັນ້ ຈືງຶ່ ນບັ ວາ່ ເປັນວິຊາພ້ນື ຖານຄະນິດສາດທືີ່ສາຄັນ ໂດຍທວ່ັົ ໄປແລູ້ວຂຄໍ້ ວາມທືີ່ຈະພິສດໃນທາງເລຂາຄະນດິ ຈະເປນັ ຂ້ໍຄວາມທ່ືີ ຈດັ ຢ່ໃນຮບ “ຖູ້າ……ແລວູ້ …….” ຫຼອາດຈະຂຽນເປັນປະໂຫຍກສນັ ຍາລັກທາງຕກັ ກະສາດໄດ້ເູ ປັນ \" p  q\" ແລະ ການພສິ ດຂ້ໍຄວາມດັງ່ ກາ່ ວໃນທາງຕກັ ກະສາດສາມາດພິສດໄດູ້ທັງທາງກົງ ແລະ ທາງອອູ້ ມ ແຕ່ໃນທາງ ເລຂາຄະນດິ ສ່ວນໃຫຍເ່ ຮົາຈະພິສດໃນແບບທາງກງົ ໂດຍຖວາ່ p ເປນັ ເຫດ ຫຼ ສງິື່ ທ່ກືີ ານົດໃຫູ້ ແລະ q ເປັນຜົນ ຫຼ ສືງິ່ ທີ່ືຕູ້ອງການພິສດ ສື່ງິ ທນີ່ື າມາອູ້າງອີງໃນການພິສດນນື້ັ ກຄ ຫັຼກການ, ນິຍາມ, ສັດຈະພົດ ແລະ ຫຼັກເກນ ທຮ່ີື ູ້ ມາກ່ອນ ໂດຍນາມາວເິ ຄາະຮ່ວມກບັ ສື່ິງການົດໃຫູ້ເພື່ອນາໄປສກ່ ານປະມວນຜົນວ່າ ຜນົ ຫຼສືງິ່ ທື່ີຕູອ້ ງພິສດນນືັ້ ເປັນຈິງ ເຊືງ່ິ ຖວາ່ ເປັນທກັ ສະທາງຄວາມຄິດທສີ່ື າ ຄັນ ແລະ ແນນ່ ອນທື່ີສຸດ ທັກສະດ່ງັ ກາ່ ວຈະໄດູ້ຮັບການສົງັ່ ເສີມ ແລະ ພັດທະນາຕູ້ອງໄດ້ອູ າໄສການເຝິກຝົນຢ່າງເປນັ ປະຈາ ບດົ ເລກເລຂາຄະນິດແມນ່ ການປະສົມປະສານລະຫ່ວາງລກັ ສະນະຮບປະທາ ແລະ ລັກສະນະນາມມະທາຢນ່ າ ກັນ. ລກັ ສະນະຮບປະທາໝາຍເຖງິ ມະໂນພາບໃດກຕາມມນັ ຈະບນັ ຈຸຮບປະທາຢ່ນາມະໂນພາບດ່ັງກາ່ ວ. ລກັ ສະນະ ນາມມະທາໝາຍເຖິງມະໂນພາບທ່ຍີື ັງບ່ໍທນັ ຫັນເປັນສັນຍາລັກທາງຄະນດິ ສາດເທອື່ . ຕວົ ຢາ່ ງ: ຫຼກັ ເກນ “ມຸມນອກ ຂອງຮບສາມແຈໜືງ່ຶ ເທັ່ົາຜນົ ບວກຂອງສອງມຸມໃນທ່ືບີ ໍ່ແປະກັບມັນ”. ລກັ ສະນະຮບປະທາຂອງມະໂນພາບນແ້ືີ ມນ່ : ການພວົ ພນັ ລະຫ່ວາງສອງມຸມໃນ ແລະ ມມຸ ນອກໃດໜ່ືງຶ ຂອງຮບສາມແຈຕາມໃຈໃດໆ. ລັກສະນະນາມມະທາຂອງ ມັນແມ່ນ: ຮບສາມແຈທວົ່ັ ໄປທ່ືີຍັງບ່ໍທນັ ໄດູ້ສນັ ຍາລກັ ທາງຄະນດິ ສາດ. ດັງ່ ນື້ນັ , ມນັ ສາມາດເປັນມຸມນອກໃດກໄດ.ູ້ ຕວົ ຢ່າງທືີ່ສະເໜີມານີ້ືສະແດງໃຫເູ້ ຫັນຈຸດພເິ ສດພ້ືນຖານຂອງບດົ ເລກເລຂາຄະນິດ. 2. ບາດກູ້າວພນື້ ຖານໃນການແກູ້ບດົ ເລກເລຂາຄະນດິ 2.1 ຈດຸ ມງຸ່ ໝາຍໃນການສອນເລຂາຄະນດິ ໃນການສອນເລຂາຄະນດິ ມີ 3 ປະການ ດ່ງັ ນ:ືີ້ ປະການທີ 1 ການເຝກິ ໃຫເູ້ ປັນຄນົ ມເີ ຫດຜນົ ການຮຽນວິຊາເລຂາຄະນິດບ່ວໍ າ່ ຈະເປນັ ການສາຫຼວດຫເຼ ລີມື່ ຕ້ນົື ດວູ້ ຍລະບົບສັດຈະພົດມກັ ຈະມີຜນົ ສບເນື່ອງຕິດຕາມມາເຊ່ງິື ບ່ໍຈາເປນັ ຕອູ້ ງສາຫວຼ ດຫຕຼ ້ືັງລະບົບໃໝ່ ເຮົາສາມາດ ພສິ ດຜົນເນື່ອງນນັື້ ເລຂາຄະນິດນຍິ ົມໃຊພູ້ ິສດເທງິ ຂ້ໍມນທືມີ່ ີຢ່ ເຊ່ືິງເປັນລກັ ສະນະທ່ືີຕູອ້ ງການໃຫູ້ຄົນມີເຫດຜນົ ຫຼາຍ ກວ່າເຊື່ອໂຊກລາງ ຫຼ ເດົາສມຸ່ ນອກຈາກນ້ີືພ້ືນຖານຂອງການພິສດເປັນຮາກຖານຂອງການຮຽນກົດໝາຍ ໃນການ ພສິ ດນັກຮຽນຕູ້ອງໄຈູແ້ ຍກໄດ້ວູ ່າອນັ ໃດເປນັ ເຫດ, ອນັ ໃດເປັນຜົນທຕ່ືີ ູ້ອງພິສດ ສວ່ ນໃດນາມາອູ້າງອງິ ໄດູ້. ຖູ້າ ນກັ ຮຽນສາມາດໄຈູ້ແຍກເຫດຜນົ ອອກໄດເູ້ ອງກນັບວ່າໜາູ້ ພໃຈໃນລະດັບ-ງຶື່ ແຕຖ່ ູ້າຈະມງຸ່ ຫວັງຈາກການຮຽນ ເລຂາຄະນິດຢາ່ ງເຕັມທື່ຈີ ະມ່ງຸ ເຝກິ ຄວາມສາມາດຕໍ່ໄປນີື:້ 1. ຄວາມສາມາດດູ້ານນີລະໄນ 2. ຄວາມສາມາດຍົກຕົວຢ່າງຄູ້ານ (counterexample) ສາລັບຂ້ໍຄວາມທື່ເີ ປັນເທັ 3. ສາມາດໃຫນູ້ ິຍາມທື່ຊີ ັດເຈນ ແລະ ຮັດກມຸ່ 4. ຮູ້ຈັກເງອ່ື ນໄຂທ່ີືຈາເປັນ ແລະ ເງ່ອື ນໄຂທືພ່ີ ຽງພ 63

vii 5. ສາມາດພິສດບາງແບບ ເຊນ່ັ ພິສດແບບແຈງກລະນີ (proof by cases) ແລະ ພສິ ດໂດຍເຮັດ ໃຫູເ້ ກດີ ຂໍ້ຂັດແຍູ້ງ (proof by contradiction) ເປັນຕນືົ້ 6. ໃຫູ້ຮູຈ້ ັກລະບບົ ສດັ ຈະພດົ , ບດົ ບາດ ແລະ ຄຸນຄ່າລະບບົ ສັດຈະພົດ. ປະການທີ 2 ເຝກິ ຄວາມສາມາດດາູ້ ນມຕິ ສິ າພນັ ສາມາດມອງເຫນັ ໂຄງສາູ້ ງຫຼຮບສາຄັນອອກຈາກ ຮບທຊ່ີື ັບຊູ້ອນ (field independent) ຫສຼ າມາດເບືິ່ງເຫັນວາ່ ຮບທ່ກີື ານົດໃຫເູ້ ປນັ ສວ່ ນໜຶື່ງຂອງຫຍັງແດ່ ຕະຫຼອດຈົນຈິນຕະນາການໃນເລື່ອງສົມມາດແບບຕ່າງໆທງັ ການເລື່ອນ, ການສະທູ້ອນ ແລະ ການໝນ ແລະ ຮັບຮູຄ້ ວາມຜດິ ປົກະຕິຂອງຮບ ເຊັ່ນ ຂຽນຂອບແກູ້ວຮບຊງົ ທກໍ່ ມົ ເປັນລກລກັ ບີື້ ບໍວ່ າ່ ຈະເບ່ງິື ມມໃດເປັນໄປ ບໍໄ່ ດູ້ທ່ືີຈະພົບຄວາມຫກັ ຂອງເສນ້ືັ ໂຄງູ້ ເທງິ ລະບົບເສືັ້ນເຄາົື້ ຄວາມສາມາດດູາ້ ນມິຕສິ າພັນນືໝ້ີ າຍລວມເຖິງ ການປະມານດ້ວູ ຍການເບິື່ງຮບຫຼສາຫຼວດຈັກກະວານຕ່າງໆຮອບຕົວເຮົາ ເປັນເລື່ອງທເ່ີື ດັກຄ້ນຸູ ເຄີຍ ແລະ ໃຫູ້ ຄວາມສນົ ໃຈຕາມທາມະຊາດຢ່ແລວູ້ ພຽງແຕ່ຂາດການຊນ້ືີ າທືດີ່ ີ ເຮດັ ໃຫພູ້ ັດທະນາບໍ່ເຖິງຂດີ ສຸດ ແລະ ທ່ີືພບົ ຢ່ໃນຊວີ ິດຈິງມັກເປັນສງືິ່ 3 ມິຕ.ິ ປະການທີ 3 ມພີ ນື້ ຖານສາລບັ ການນາໄປໃຊູ້ ທັງດູ້ານເທກັ ໂນໂລຍີທາງວທິ ະຍາສາດ, ກົນລະສາດ ແສງ, ສຽງ ແລະ ວິສະວະກາສາດ, ການອອກແບບທາງດູ້ານສັນຍາລກັ ແລະ ເຄອ່ື ງກົນ, ການສາຫຼວດ, ສະ ຖາປດັ ຕະຍະກາ, ຊ່າງໄມູ,້ ຊ່າງຕັດເສ້ືອ, ການເດນີ ເຮອ ເຊັ່ນ ໂຄງຮບສາມລຽ່ ມເປັນໂຄງທືີແ່ ຂງແຮງໃຊູ້ຍຶດ ເສົາກັບໂຄງທ່ີືຍັງບ່ໍສາເລດັ , ໂຄງຮບສແ່ືີ ຈປັບເປນັ ສາມແຈໃຊູອ້ ອກແບບຄມີ ລ໋ອກ, ການໃຊວູ້ ົງວຽນແລະເສນື້ັ ຊ່ອື ອກແບບສັນຍາລກັ ແລະ ຕົວອກັ ສອນ, ການໃຊູ້ມມໃນສ່ວນຂອງວງົ ມົນຊວ່ ຍໃຫູ້ເຮອບເ່ໍ ກີນຫນີ ເກີຍນ້ໍາ ໂດຍບ່ໍຕອູ້ ງແລນ່ ໃຫູ້ໄກຈາກຝັ່ງ ເປັນຕືນ້ົ . ນອກຈາກນືີ້ ເຮົາອາດໃຊ້ເູ ລຂາຄະນິດເປນັ ແບບຈາລອງອະທິບາຍຜ່ານມິຕທິ າງເລຂາຄະນິດ ເຊ່ນັ ເລກສ່ວນທາງພດຊະຄະນິດ ເຊັ່ນ (a + b)2 , (a + b + c)2 , a3 + b3 ແລະອນ່ື ໆ ແລະ ອາດໃຊູ້ເປັນສື່ກາງ ສາລັບການແກປູ້ ນັ ຫາທີື່ໃຊູ້ຫາຼ ຍໆຂໍ້ປະສົມກັນ ເຊັ່ນ ການຫາຄ່າມມຈາກຮບເປນັ ການປະສົມປະສານ ເລຂາຄະນດິ ກັບພດຊະຄະນດິ . 2.2 ປນັ ຫາການຮຽນການສອນເລຂາຄະນດິ ປນັ ຫາການຮຽນການສອນເລຂາຄະນດິ ທື່ີເຮດັ ໃຫນູ້ ັກຮຽນຮຽນເລຂາຄະນິດບ່ໄໍ ດ້ຜູ ົນດີມີດັງ່ ນີ້:ື 1. ອ່ານໂຈດແລ້ວູ ບ່ເໍ ຂ້ົືາໃຈຄວາມໝາຍຂອງໂຈດຫຼທິດສະດີນນືັ້ ໆ 2. ບສ່ໍ າມາດໄຈູ້ແຍກໂຈດໄດູ້ວ່າຂໍຄ້ ວາມຕອນໃດເປນັ ເຫດຫຼສິືງ່ ທກ່ືີ ານົດ ແລະ ຕອນໃດເປັນຜົນຫຼສື່ິງທີ່ື ຕູອ້ ງການພິສດ 3. ນັກຮຽນຍັງຂາດພືນ້ ຖານທາງເລຂາຄະນດິ ບາງປະການຈ່ຶືງບໍ່ສາມາດແກ້ປູ ັນຫາໄດູ້ 4. ບສໍ່ າມາດຫາແນວທາງການພິສດໄດູ້ 5. ບ່ໍຮ້ວູ ່າຈະເລມ່ີື ຕົື້ນຂຽນຫຍັງກອ່ ນ 6. ການລາດັບຂື້ັນຕອນຂອງການຂຽນພິສດຍັງບໍ່ຕເ່ໍ ນື່ອງ (ຂາູ້ ມໄປຂູ້າມມາ) 7. ຂຽນການພິສດວົກໄປວຽນມາບໄ່ໍ ດຈູ້ ຸດທື່ີຕູ້ອງການ 8. ໃຊູ້ວິທີທ່ອງຈາການພິສດ 9. ມຄີ ວາມສນົ ໃຈຕກ່ໍ ານຮຽນ ແລະ ການແກູ້ບດົ ເຝກິ ຫດັ ໜູ້ອຍເກນີ ໄປ 10. ບມ່ໍ ຄີ ວາມອົດທົນຕກໍ່ ານຂຽນການພິສດ 11. ເຮດັ ວຽກບເ່ໍ ປັນລະບບົ , ບ່ໍມີແບບແຜນ, ຟ້າວຟງ່ັ ຈນົ ຂາດຄວາມລະມັດລະວັງ 64

vii 12. ຂຽນຮບບໍຖ່ ກຕອູ້ ງ, ມກັ ຈະຂຽນຕາມຄວາມຄູຸນ້ ເຄີຍຫຼເຂ້ົືາຂູ້າງຕົນເອງ (ບ່ໍເປນັ ຮບທ່ວັົ ໆໄປ) 13. ສະຫຼຸບຜນົ ຫຼຂ້ໍອ້າູ ງອີງຈາກການເບ່ິງື ຮບຫຼຈາກການທດົ ລອງ 2.3 ບາດກາູ້ ວພນ້ື ຖານໃນການແກບູ້ ດົ ເລກເລຂາຄະນດິ ດະໄວ (Dwight, 1986 : 47)ໄດູ້ສະເໜແີ ນະວິທກີ ານທົັວ່ ໆໄປ ໃນການສອນນກັ ຮຽນໃຫູ້ສາມາດແກູ້ໂຈດ ປນັ ຫາຄະນິດສາດໄວູ້ 7 ຂ້ືັນຕອນດັງ່ ນ:້ືີ 1) ໃຫອູ້ ່ານຄາຖາມທັງໝົດຂອງໂຈດເພື່ອທາຄວາມເຂື້ົາໃຈ 2) ອ່ານທບົ ທວນອກີ ຄງ້ືັ ແລະລະບຸໃຫູ້ໄດູ້ວ່າ ໂຈດໃຫູ້ຫາຫຍງັ ແລະ ໃຫູ້ຂ້ໍມນຫຍັງແດ່ 3) ຫາຄວາມສາພນັ ລະຫວ່າງຂ້ໍມນທ່ືີຮ້ຄູ ່າ ແລະ ຂໍມ້ ນທືບ່ີ ໍ່ຮ້ຄູ ່າ 4) ຂຽນປະໂຫຍກສັນຍາລັກໃນການຫາຄາຕອບ 5) ຄານວນຫາຕົວເລກທເ່ີື ຮັດໃຫູປ້ ະໂຫຍກສັນຍາລກັ ເປນັ ຈິງ 6) ກວດຄນຄາຕອບທ່ີໄື ດູ້ 7) ໃຊູ້ຄາຫປຼ ະໂຫຍກສະແດງວິທີໃນການແກູ້ໂຈດປັນຫາ ສະຫບຼຸ ແລວູ້ ບາດກ້າູ ວພ້ນື ຖານໃນການແກູ້ເລຂາຄະນິດມີຄ: - ທາຄວາມເຂື້ົາໃຈຂອງບົດເລກໃຫູ້ເລກິ ເຊ່ືງິ , ເຂ້ືົາໃຈບັນດາເງືອ່ ນໄຂທືຮ່ີ ູແ້ ລູ້ວ ແລະ ເງືອ່ ນໄຂທ່ືີບ່ໍທນັ ຮູ້ ຂອງບົດເລກ - ໄຈູ້ແຍກສາຍພົວພັນລະຫວ່າງບັນດາເງ່ືອນໄຂທີື່ຮແູ້ ລວູ້ ແລະ ເງື່ອນໄຂທບ່ືີ ່ໍທັນຮູ້ - ບົດເລກຄິດໄລເ່ ລຂາຄະນດິ ຕູ້ອງມີຮບແຕູ້ມປະກອບ, ມີຂ້ໍສມົ ມຸດ ແລະ ຂສ້ໍ ະຫຸຼບທີ່ືຂຽນໄດ້ກູ ົງຕາມ ສັນຍາລັກຂອງຮບ-ເງອື່ ນໄຂທ່ີືໃຫູ້ມາ. - ວາງແຜນແກູ້ບດົ ເລກໝາຍເຖງິ ການປະສົມປະສານລະຫວາ່ ງຄວາມຮູ້ເກົັ່າທື່ີໄດູ້ຮຽນມາກ່ອນແລູວ້ ກບັ ບົດເລກທ່ກີື າລັງພິຈາລະນາຢ່ ເຊັ່ນ: ຫັກຼ ເຄ້ົືາ, ນຍິ າມ, ຫກຼັ ເກນ, ຄນຸ ລກັ ສະນະ, ບດົ ເຝກິ ຫັດຄູ້າຍຄ ຫຼ ບົດເລກຕວົ ຢ່າງຕ່າງໆ ເພືອ່ ຈະສົມທຽບວ່າອັນໃດທີື່ສອດຄ່ອງກບັ ບົດເລກ. - ປະຕິບັດການແກບູ້ ົດເລກຕາມແຜນທວ່ີື າງໄວູ້ - ບາດກູ້າວກວດຄນຜົນໄດູ້ຮັບ 3. ບດົ ເລກພິສດ ແລະ ບດົ ເລກຄານວນເລຂາຄະນິດ ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ຈງ່ົັ ພສິ ດ ມມນອກຂອງຮບສາມແຈໜງື່ຶ ເທ່າົັ ຜນົ ບວກຂອງສອງມມໃນທ່ບີື ໍ່ແປະກບັ ມນັ ພິສດ Aˆ +Bˆ =Cˆ 2 ອີງຕາມ Aˆ +Bˆ +Cˆ =180 ເຊິງື່ ວາ່ Cˆ =180o -Cˆ 2 Aˆ +Bˆ +180  Cˆ2  180 65

vii Aˆ +Bˆ -Cˆ 2 =0 ດັ່ງນື້ນັ Aˆ +Bˆ =Cˆ 2 ກດິ ຈະກາ 1: ໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແກເູ້ ອງ ຈງ່ົັ ພິສດຫກັຼ ເກນປີຕາກ a2 =b2 +c2 1. ນາໃຊວູ້ ິທີແບງ່ ສວ່ ນໃນຮບຈະຕລຸ ັດ 2. ນາໃຊວູ້ ິທີການຄານວນແບບເວກັ ເຕີ 3. ນາໃຊູ້ວິທກີ ານຄານວນໄຕມມມິຕິ 4. ໃຫູ້ຮບສີ່ແື ຈ ABCD , ເມັດ I ແລະ J ໂດຍວາ່ : BI= 1 AB ແລະ IJ=3AD ຈັ່ງົ ພິສດວາ່ ເມັດ 2 C, I ແລະ J ຮວ່ ມເສນື້ັ ຊ່ືດຽວກນັ . ຂແ້ໍ ນະນາ: ຈັົງ່ ຂຽນ IJ ແລະ IJ ຕາມ AB ແລະ AD 5. ຈ່ັົງພິສດຜນົ ບວກມມໃນຂອງຮບສາມແຈເທັົາ່ 180 6. ຈັົ່ງພສິ ດຜົນບວກມມນອກຂອງຮບສາມແຈເທັົ່າ 360 7. ຈົ່ງັ ພິສດ sin = c ເຊິ່ືງວ່າ c ແມນ່ ຂູ້າງເຊງ່ືິ ໜູາ້ ແລະ a ແມນ່ ຂາູ້ ງກົງສາກ a ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈດຸ ພິເສດຕ່າງໆຂອງບົດເລກເລຂາຄະນິດມີຄແນວໃດ? 2. ຈດຸ ມງຸ່ ໝາຍໃນການສອນເລຂາຄະນິດມີຄແນວໃດ? 3. ຈງ່ັົ ອະທບິ າຍສາເຫດທ່ີເື ຮັດໃຫນູ້ ກັ ຮຽນເລຂາຄະນິດບໄໍ່ ດູ້ຜົນດີມີຄແນວໃດ? 4. ບາດກູ້າວພ້ືນຖານໃນການແກບູ້ ົດເລກເລຂາຄະນດິ ມຄີ ແນວໃດ? 5. ຈງ່ັົ ພິສດວາ່ ມມແນບວງົ ມົນເທ່າັົ ເຄິືງ່ ໜ່ືຶງຂອງມມໃຈກາງ 6. ຈງ່ັົ ພິສດວາ່ ມມເສື້ັນຕິດເທາົ່ັ ກບັ ເຄ່ືງິ ໜ່ືຶງຂອງມມໃຈກາງ 7. ຈັົ່ງພິສດຜົນບວກມມໃນຂອງຮບ n ແຈເທາ່ັົ (n  2)180 8. ຈງ່ັົ ພິສດຜນົ ບວກມມນອກຂອງຮບ n ແຈເທ່ັົາ 360 9. ຈົັ່ງພິສດ tg= sin α cos α 10. ຈົ່ງັ ພິສດ cotg= cos α sin α 11. ຈົັ່ງພິສດ cos = b ເຊງືິ່ ວ່າ b ແມ່ນຂູ້າງເຊງ່ິື ໜູ້າ ແລະ a ແມນ່ ຂູ້າງກົງສາກ a 12. ຈົັ່ງພິສດ tg α= c ເຊ່ງິື ວ່າ c ແມນ່ ຂາູ້ ງເຊິງ່ື ໜູ້າ ແລະ b ແມ່ນຂູ້າງກົງສາກ b 13. ຈງົັ່ ພິສດ tg α= b ເຊ່ືງິ ວ່າ c ແມນ່ ຂູ້າງເຊືິງ່ ໜູ້າ ແລະ b ແມ່ນຂູ້າງກົງສາກ c 66

vii ບດົ ທີ 6 ຮບຄາູ້ ຍຄກນັ ແລະ ຮບຄາູ້ ຍຄຂະໜານ 1. ການປຽ່ ນຄູາ້ ຍຄຂະໜານ (Homothétic) ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ມີບາງເທ່ືອເຮົາຕູ້ອງການປ່ຽນແປງຂະໜາດຂອງຮບເລຂາຄະນິດຕ່າງໆ ໂດຍຮັກສາຮບຮ່າງ ລກັ ສະນະເດມີ ຂອງມັນ ເຊັນ່ ຕວົ ຢ່າງ ຂະຫຍາຍຮບໃຫູ້ໃຫຍ່ ຂື້ຶນ ຫຼ ຫຍໍ້ຮບໃຫ້ນູ ູ້ອຍລງົ , ແຕູ້ມແຜນທ່ີືຂອງທືີ່ດິນ ຫຼ ຂອງປະເທດໃດໜຶ່ງື ຕາມມາດຕາສ່ວນຕາ່ ງໆ ແລະ ອືນ່ ໆ. ສິງ່ື ເຫົາັຼ່ ນີ້ເື ຮົາຕອູ້ ງຮວູ້ ິທີປຽ່ ນແປງ ເຊິງື່ ເລືີ່ມແຕ່ຮບເດມີ ທີ່ື ໃຫກູ້ ອ່ ນ ແລວູ້ ຜນັ ປ່ຽນອອກເປັນຮບໃໝຄ່ ູ້າຍຄຂະໜານກບັ ມັນ ດູ້ວຍຂະໜາດໃຫຍ່ ກວ່ າ ຫຼ ນູ້ອຍກວ່ າ. 1.1 ຄນຸ ລກັ ສະນະທວ່ັົ ໄປຂອງຮບຄາູ້ ຍຄຂະໜານ. - ຮບທ່ີືໃຫູ້ມາແນວໃດ ເງົາຂອງມັນກເປນັ ແນວນືນັ້ ( ຮບສາມແຈ, ຮບຸ ສາມແຈທ່ຽງ..., ຮບຈະຕລຸ ັດ, ຮບ ສີແ່ື ຈຂູ້າງຂະໜານ..., ວົງມນົ , ຮບຫຼາຍແຈ...) - ການຮ່ວມເສືັ້ນຊດື່ ຽວກັນ, ອັດຕາສວ່ ນຂອງໄລຍະ, ການຂະໜານ, ການຕງ້ັື ສາກ ແລະ ມຸມ ຍັງຄົງຮກັ ສາ ໄວູ້ຄເກົ່ັາ. - ໃນສອງຮບຄ້າູ ຍຄຂະໜານ ບນັ ດາທອ່ ນຊື່ທກື່ີ ງົ ກັນແຕ່ລະຄເ່ ປນັ ອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ກັນ ແລະ ມຸມທກີື່ ົງ ກັນແຕ່ລະຄ່ເທັົ່າກນັ . 1.2 ບາງຕວົ ຢາ່ ງຂອງການປຽ່ ນຄາູ້ ຍຄຂະໜານ 1.2.1 ການປຽ່ ນຄາູ້ ຍຄຂະໜານຂອງທອ່ ນຊໜື່ ງື່ຶ ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ໃຫ້ທູ ່ອນຊ່ື AB ກອ່ ນ. ເຮາົ ເອົາເມັດ O ໃດໜືຶງ່ ເປນັ ໃຈກາງຂອງການປຽ່ ນຄູ້າຍຄຂະໜານ ແລະ ເອາົ k ເປນັ ອັດຕາສວ່ ນຂອງການປ່ຽນຄູ້າຍຄຂະໜານ. ພວກເຮົາຈັົ່ງແຕູ້ມຮບຄູ້າຍຄຂະໜານກບັ ທອ່ ນຊື່ AB . ບົດແກ້:ູ ຢາກໄດ້ແູ ນວນ້ນືັ ເຮາົ ຈົງ່ັ ຕເ່ໍ ມັດ O ກັບສອງເມດັ A, B ແລະ ຢເ່ ສ້ນືັ ຊື່ OA,OB ເຮາົ ວາງທອ່ ນຊື່ OA,OB ເຊງິ່ື ວາ່ : OA  OB  k , OA OB ທອ່ ນຊ່ື AB ນັນ້ື ແມ່ນຮບຄູ້າຍຄຂະໜານຂອງທ່ອນຊື່ AB . ຕາມຄວາມຈງິ ມັນກ່ໍເປນັ ແນວນ້ັືນແທ້,ູ ຖາູ້ 67

vii ເຮົາເອົາເມັດ M  ໃດໜື່ງຶ ຢ່ AB ແລະ ຕ່ໍ O ໃສ່ M  , ເສນືັ້ ຊ່ື OM  ຈະຕດັ ທອ່ ນຊ່ື AB ຢ່ເມດັ M ໃດໜຶງື່ . ໃນຮບສາມແຈ OAB, ຍອູ້ ນວ່າ OA  OB , ສະນ້ັືນ AB AB . OA OB ໃນຮບສາມແຈ OAM  , ຍ້ອູ ນວາ່ AM  AM , ສະນັືນ້ OM   OA , ດງັ່ ນັ້ນື OM   k (1). ອດັ ຕາ OM OA OM ສ່ວນ (1) ນີຢ້ື ງັ້ື ຢນວ່າເມັດ M  ຄາູ້ ຍຄຂະໜານກັບເມັດ M , ແຕ່ວ່າ M  ແມນ່ ເມັດຕາມໃຈຂອງທ່ອນຊ່ື AB . ເພາະສະນືນັ້ ເຮົາອາດຈະເວົາ້ື ໄດວູ້ າ່ ທກຸ ໆເມັດຂອງທ່ອນຊື່ AB ລວູ້ ນແຕໄ່ ດູ້ມາຈາກການປ່ຽນຄ້າູ ຍຄຂະໜານກນັ ຂອງທອ່ ນຊື່ AB . ດັ່ງນນັ້ື ຮບຄູ້າຍຄຂະໜານກບັ ທອ່ ນຊື່ AB ແມນ່ ທອ່ ນຊ່ື AB . ພອູ້ ມກນັ ນ້ັນື ເຮົາເຫັນວ່າ ຍ້ອູ ນ AB AB ດ່ງັ ນັ້ນື , ໃນຮບສາມແຈ AOB ເຮາົ ມ:ີ AB  OA  k . AB OA ລວມຄວາມວາ່ : ຮບຄູາ້ ຍຄຂະໜານກບັ ທ່ອນຊ່ືໜງຶື່ ທ່ີືໃຫກູ້ ອ່ ນ ແມ່ນທ່ອນຊື່ໃໝ່ຂະໜານກບັ ທ່ອນຊນື່ ້ັືນ: ອັດຕາສວ່ ນລະຫວ່າງທ່ອນຊື່ໃໝ່ ແລະ ທ່ອນຊ່ືທື່ີໃຫູ້ກອ່ ນ ເທ່ົັາກັບອັດຕາສ່ວນຂອງການປ່ຽນຄູ້າຍຄຂະໜານ. 1.2.2 ການປຽ່ ນຄູ້າຍຄຂະໜານຂອງຮບສາມແຈ ແລະ ຮບຫາຼ ຍແຈ ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ຈົັ່ງສາູ້ ງຮບຄູ້າຍຄຂະໜານກັບຮບສາມແຈ ABC ດວູ້ ຍອັດຕາສວ່ ນ k  3 ແລະ ເມັດ ໃຈກາງ O ຢ່ທາງໃນຮບສາມແຈ ABC . ບດົ ແກ້:ູ ຂີດຕ່ໍເມັດ O ກບັ A, B,C ແລະ ວາງສາມທ່ອນຊື່ OA  3.OA;OB  3.OB ແລະ OC  3OC ໃສ່ເສ້ັືນຊ່ື OA,OB,OC ຕາມລາດັບ. ຮບສາມແຈ ABC ແມ່ນຮບທີືຕ່ ູ້ອງສູ້າງ. ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ບດົ ເລກຄກບັ ຕົວຢາ່ ງ 1, ແຕ່ເອົາຈອມ A ເປັນໃຈກາງຂອງການປ່ຽນຄູ້າຍຄຂະໜານ. ບດົ ແກ:ູ້ ອງີ ຕາມວທິ ກີ ານລວມ ເຮົາກຂ່ໍ ີດຕໍ່ A ກັບຈອມຂອງຮບສາມແຈ, ແຕ່ວ່າໃຈກາງຂອງການປ່ຽນຄາູ້ ຍຄຂະໜານ ຫາກເຕັງກັບຈອມໜງຶື່ ແລູ້ວ, ສະນນ້ັື ເຮົາຈະຕູ້ອງຂີດຕ່ພໍ ຽງແຕ່ເມັດ A ໃສ່ B ແລະ C ເທາົ່ັ ນນ້ັື . ທ່ອນຊ່ື AB, AC 68

vii ແມນ່ ສອງຂູ້າງຂອງຮບສາມແຈນັ້ືນເອງ. ດວູ້ ຍເຫດນືັນ້ ເຮາົ ຈງ່ືິ ວາງທອ່ ນຊ່ື AB  3AB, AC  3AC ໃສ່ສວ່ ນ ຂີດຕ່ໍຂອງ AB ແລະ AC . ຮບສາມແຈ ABC ແມນ່ ຮບທຕ່ືີ ູ້ອງສູ້າງ. ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ຈ່ັົງສູາ້ ງຮບຄູາ້ ຍຄຂະໜານກບັ ຮບຫຼາຍແຈ ABCDE ດູ້ວຍອັດຕາສວ່ ນ k  2 ແລະ ໃຈກາງ O 5 ຢນ່ ອກຮບຫຼາຍແຈດງັ່ ກ່າວ. ບດົ ແກ:ູ້ ຕ່ໍໃຈກາງ O ກັບທຸກໆຈອມຂອງຮບຫຼາຍແຈທ່ືີໃຫກູ້ ່ອນ, ຫັຼງຈາກນນັື້ , ຢ່ທອ່ ນຊື່ OA,OB,OC,OD ແລະ OE ເຮາົ ວາງທ່ອນຊື:່ OA  2 OA;OB  2 OB;OC  2 OC;OD  2 OD ແລະ OE  2 OE . ຮບຫຼາຍແຈ 55 5 5 5 ABCDE ແມນ່ ຮບຄູ້າຍຄຂະໜານຂອງຮບຫຼາຍແຈທ່ືີໃຫກູ້ ່ອນ. ສ່ິືງທຄ່ືີ ວນເອາົ ໃຈໃສ:່ 1. ຍອູ້ ນວາ່ ທ່ອນຊື່ OA,OB,OC,... ລູວ້ ນແຕ່ໄດູ້ຖກປ່ຽນແປງດວູ້ ຍອັດຕາສ່ວນອັນດຽວກນັ , ເພາະສະ ນ້ືນັ ໃນ ພາກປະຕບິ ັດເຮົາອາດຈະໃຊູ້ກອມປາອັດຕາສວ່ ນພວົ ພນັ ເພ່ືອແຕູ້ມບນັ ດາເມັດ A, B,C,... . 2. ນາໃຊກູ້ ານປ່ຽນຄູ້າຍຄຂະໜານຂອງທອ່ ນຊື່ໜງ່ຶື ພວກເຮາົ ກອາດຈະສູ້າງຮບຫຼາຍແຈ ABCDE ຄດ່ງັ ນ້:ືີ ເອາົ ເມັດ A ຄູ້າຍຄຂະໜານກັບເມດັ A ດູວ້ ຍອັດຕາສວ່ ນ k  2 ແລວູ້ ຜາ່ ນເມັດ A ແຕູ້ມເສືັນ້ ຊື່ຂະໜານກບັ AB , 5 ເສືັນ້ ຊນ່ື ືນັ້ ຕັດເສັື້ນຊື່ OB ຢເ່ ມັດ B , ຜາ່ ນ B ແຕມູ້ ເສນ້ັື ຊ່ືຂະໜານກບັ BC , ເສ້ນືັ ຊ່ືນ້ືັນຕດັ ເສື້ັນຊື່ OC ຢ່ເມັດ C ໂດຍສບຕແໍ່ ນວນັ້ນື ຕ່ໍໄປເຮົາຈະໄດູ້ AB AB, BC BC, CD CD, DE DE ຮບຫາຼ ຍແຈ ABCDE ແມນ່ ຮບທ່ຕີື ູ້ອງສູ້າງ. 2. ຮບຄາູ້ ຍຄກນັ ນິຍາມ: ສອງຮບຕາມໃຈເອືນີ້ ວ່າຄາູ້ ຍຄກນັ ໃນເມື່ອໜງື່ຶ ໃນສອງຮບນືນ້ັ ຫາກເທ່ັົາກັບຮບຄ້າູ ຍຄຂະໜານ ຂອງຮບທີື່ສອງ. ໝາຍຄວາມວາ່ : ໃນຮບຄາູ້ ຍຄກນັ , ບນັ ດາຂູ້າງທື່ີກງົ ກັນແຕລ່ ະຄ່ເປັນອດັ ຕາສ່ວນພວົ ພັນກັນ ແລະ ບັນດາມຸມທ່ກີື ງົ ກນັ ແຕ່ລະຄເ່ ທັົ່າກັນ. ສນັ ຍາລກັ ເພອື່ ໝາຍເຖງິ ການຄູ້າຍຄກັນແມ່ນ ~ (ຕວົ ອກັ ສອນຕົື້ນໃນຄາສັບ Similis ຂອງພາສາລາຕນິ ເຊິືງ່ ມີ ຄວາມໝາຍວ່າ ຄາູ້ ຍຄ ). ຕວົ ຢາ່ ງ 5. △ABC ~ ໝາຍຄວາມວາ່ △ABC ມີຄວາມຄູ້າຍຄ △DEF 69

vii 2.1 ຮບສາມແຈຄາູ້ ຍຄກນັ . ນິຍາມ: ສອງຮບສາມແຈຄູ້າຍຄກັນກຕ່ໍ ່ເໍ ມື່ອບັນດາມຸມກງົ ກັນແຕລ່ ະຄ່ຂອງພວກມັນເທ່ັົາກນັ ແລະ ບັນດາ ຂູາ້ ງກົງກັນແຕ່ລະຄ່ຂອງພວກມນັ ເປນັ ອດັ ຕາສ່ວນພົວພັນກັນ. - ສອງຮບສາມແຈ ABC ແລະ MNP ມີ : ���̂��� = ���̂��� , ���̂��� = ���̂���, ���̂��� = ���̂��� ແລະ AB = AC = BC ດງັ່ ນ້ືນັ ສອງຮບສາມແຈ ABC ແລະ MNP ຄູ້າຍຄກັນ. MN MP NP ຫກັຼ ເກນ: ທກຸ ໆເສນັ້ື ຊື່ທ່ືີຂະໜານກບັ ຂູ້າງໜຶືງ່ ຂອງຮບສາມແຈ ຈະປະກອບກບັ ສອງຂູ້າງ ເປັນຮບສາມແຈ ໜງຶ່ື ທ່ີືຄູາ້ ຍຄກັບຮບສາມແຈເດີມ. - ຮບສາມແຈ ABC, ມີ (DE) // (BC) ຮບສາມແຈ ADE ແລະ ABC ຄູ້າຍຄກັນ. - ທຸກໆຮບສາມແຈທ່ືເີ ທ່າົັ ກັບຮບສາມແຈ ADE ລວູ້ ນແຕ່ຄູາ້ ຍຄກບັ ຮບສາມແຈ ABC. ຕວົ ຢາ່ ງ 6. ໃຫູຮ້ ບຄາງໝ ABCD ທືີ່ມພີ ນ້ື ນູ້ອຍ AB=28 mm ແລະ ພ້ືນໃຫ່ຍ CD=35 mm ຜ່ານເມັດ M ຢ່ ຂາູ້ ງ [AD] , ເພືນ່ິ ຂີດເສື້ນັ ຊ່ືຂະໜານກບັ ພືນ້ ຕັດ (BD) ຢ່ P ແລະ ຕັດຂູ້າງ [BC] ຢ່ N ຈັົງ່ ຄດິ ໄລລ່ ວງຍາວ MP, PN ແລະ MN ຮວູ້ ່າ ������������ = 3 ������������ , ������������ = 1 ������������. 4 4 70

vii ຮບຄາງໝ ABCD, AB=28 mm ຂ້ໍສມົ ມດຸ CD=35 mm, ������������ = 3 ������������ , ������������ = ຂ້ໍສະຫຼບຸ 4 1 ������������. 4 ຄດິ ໄລ່ MP, PN ແລະ MN - ຄິດໄລ່ MP ເຮາົ ມີຮບສາມແຈ DMP ແລະ DAB ຄ້າູ ຍຄກັນ, ຍູ້ອນ (MP) // (AB) ເຮົາໄດູ້ ������������ = ������������ ຫຼ ������������ = ������������ = 1 ������������ ������������ 28 4������������ 4 ຖອນໄດູ້ ������������ = 28 = 7������������ 4 - ຄດິ ໄລ່ PN ເຮົາມີຮບສາມແຈ BPN ແລະ BDC ຄ້າູ ຍຄກນັ , ຍູ້ອນ (PN) // (DC) ເຮາົ ໄດູ້ ������������ = ������������ ຫຼ ������������ = ������������ = 1 ������������ ������������ 35 4������������ 4 ຖອນໄດູ້ ������������ = 35 = 8,75������������ 4 - ຄິດໄລ່ MN MN=MP+PN=7+8,75=15,75 mm ຕວົ ຢາ່ ງ 7. ໃຫູ້ສອງຮບສາມແຈ ABC ແລະ DEF ໂດຍໃຫູ້ ������������ = ������������ ແລະ ���̂��� = ���̂��� ຈງົັ່ ຊແີ້ື ຈງວ່າສອງຮບສາມ ������������ ������������ ແຈ ABC ແລະ DEF ຄູ້າຍຄກນັ . ບົດແກູ້: ຂ້ໍສົມມດຸ ຮບສາມແຈ ABC ແລະ DEF ມີ ������������ = ������������ ຂໍ້ສະຫຸບຼ ������������ ������������ ແລະ ���̂��� = ���̂��� ຈ່ງັົ ຊ້ືີແຈງວ່າສອງຮບສາມແຈ ABC ແລະ DEF ຄາູ້ ຍຄກັນ. - ໃນຮບສາມແຈ DEF ເຮົາສູ້າງຮບສາມແຈ FA1B1 ໂດຍໃຫູ້ FA1=CA, FB1=CB - ໃນເມ່ອື ������������ = ������������ ເຮົາໄດູ້ ������������1 = ������������ ສະແດງວາ່ ������������1 = ������������1 ������������ ������������1 ������������ ������������ ������������ ������������ - ອງີ ຕາມຫກັຼ ເກນປື້ນີ ຂອງຕາແລັດ, ເຮົາໄດູ້ (A1B1) // (DB) ມມຸ ���̂���1 = ���̂��� ຈິື່ງຖອນໄດູ້ ���̂���1 = ���̂��� - ໃນເມ່ືອຮບສາມແຈ ABC ແລະ DEF ມີສາມມມຸ ກົງກນັ ເທາ່ົັ ກນັ ພວກມັນຈິືງ່ ຄູ້າຍຄກັນ. 71

vii 2.2 ກລະນຄີ ູ້າຍຄຂອງຮບສາມແຈ ສອງຮບສາມແຈຈະຄູ້າຍຄກັນກຕໍເ່ ມື່ອພວກມັນຕອບສະໜອງໜຶງ່ື ໃນ 3 ກລະນີລຸ່ມນືີ້: ກລະນທີ ີ 1: ຖ້າູ ສອງຮບສາມແຈມີມຸມໜືງຶ່ ເທັາົ່ ກັນ ແລະ ຂູາ້ ງຂອງມຸມນືັ້ນເປັນອັດຕາສ່ວນພວົ ພນັ ກນັ ແຕ່ລະຄແ່ ມ່ນ ສອງຮບສາມແຈນື້ນັ ຄູ້າຍຄກັນ ໝາຍຄວາມວາ່ : ���̂��� = ���̂���′, ������′������′ = ������′������′ ຮບສາມແຈ ABC ແລະ A’B’C’ ຄາູ້ ຍຄກນັ . ������������ ������������ ກລະນີທີ 2: ຖາູ້ ສອງຮບສາມແຈມີມຸມກງົ ກນັ ແຕລ່ ະຄເ່ ທ່ັົາກັນ ແມ່ນສອງຮບສາມແຈນ້ືັນຄູ້າຍຄກນັ ໝາຍຄວາມ ວ່າ: ���̂��� = ���̂���′, ���̂��� = ���̂���′ ຮບສາມແຈ ABC ແລະ A’B’C’ ຄູາ້ ຍຄກັນ. ກລະນີທີ 3: ຖູ້າສອງຮບສາມແຈມີສາມຂູ້າງກົງກັນແຕ່ລະຄ່ເປັນອັດຕາສວ່ ນພວົ ພນັ ກັນ ແມນ່ ສອງຮບສາມແຈນ້ນັື ຄູາ້ ຍຄກັນ ໝາຍຄວາມວາ່ : ������′������′ = ������′������′ = ������′������′ ຮບສາມແຈ ABC ແລະ A’B’C’ ຄູ້າຍຄກັນ. ������������ ������������ ������������ 72

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ໃຫູ້ຮບຫົກແຈສະເໝີ ABCDEF ຈ່ງົັ ສູ້າງແຕູ້ມຮບຄູາ້ ຍຄຂະໜານກັບມນັ ເຊ່ງິື ມເີ ມັດຄ້າູ ຍຄ S (ສັງເກດທງັ S ຢໃ່ ນ ແລະ ຢນ່ ອກຮບຫາຼ ຍແຈ) ແລະ ອັດຕາສ່ວນຄາູ້ ຍຄແມນ່ 8 3 2. ສອງຮບເທ່ັົາກນັ ແມ່ນຄູ້າຍຄກນັ ໄດູ້ບໍ່? ຍອູ້ ນຫຍັງ? 3. ໃນຮບສາມແຈ ABC; AB=5cm; AC=4cm ຢຂ່ ູ້າງ AB ວາງທອ່ ນຊື່ AD=8cm ແລະຢຂ່ ູ້າງ AC ວາງ ທ່ອນຊື່ AE=10cm ສອງຮບສາມແຈ ABC ແລະ ADE ຄູ້າຍຄກັນບ່ໍ? ຈົັ່ງພິສດສີ່ືເມັດ B,C, D, E ຢ່ໃນ ວົງມນົ ດຽວກນັ . 4. ໃຫູ້ຮບຄາງໝສາກ ABCD ສາກຢ່ A ແລະ D ( AB ເປັນພື້ນໃຫຍ່) ຈົ່ັງພິສດວ່າ: ຖູ້າເສັື້ນເນັ່ງຈອມ AC ເປັນຜນົ ຄນສະເລຍ່ ຂອງສອງພື້ນແລູ້ວ ມັນຕ້ືັງສາກກັບຂູ້າງ BC . 5. ໃນຮບສາມແຈ ABC; AB=16cm; AC=12cm ທ່ອນ AD ປະກອບຂາູ້ ງ BC ເປນັ ມມ ADˆ C=BAˆ C ຈັົງ່ ຄດິ ໄລລ່ ວງຍາວຂອງ DC . 6. ບັນດາຂູ້າງຂອງຮບສືແີ່ ຈໜ່ຶງື 10,15, 20, 25 ແລະ ມຮີ ບສແີ່ື ຈທີສອງຄູ້າຍຄກບັ ມນັ ເຊ່ືິງຜົນບວກຂູ້າງໃຫຍ່ສຸດ ແລະ ຂູ້າງນອູ້ ຍສດຸ ເທັາົ່ 28 . ຈົັ່ງຊອກຫາບນັ ດາຂາູ້ ງຂອງຮບສ່ືີແຈທີສອງ. 7. ໃຫູ້ສອງຮບຫຼາຍແຈຄູ້າຍຄກັນ ເຊິື່ງມີຂູ້າງໃຫຍ່ສຸດແມ່ນ 35 ແລະ 14 ຜົນລົບລະຫວ່າງລວງຮອບຂອງສອງ ຮບຫຼາຍແຈດັ່ງກາ່ ວເທັ່າົ ກັບ 60. ຊອກຫາລວງຮບຂອງແຕລ່ ະຮບຫຼາຍແຈດງັ່ ກ່າວ? 8. ໃນຮບຄາງໝໜຶ່ືງສອງພື້ນແມນ່ 16 ແລະ 2 , ສອງເສັ້ືນຊື່ຂະໜານກບັ ພື້ນ ແບງ່ ຮບຄາງໝດັ່ງກ່າວ ເປັນສາມ ຮບຄາງໝຄ້າູ ຍຄກນັ , ຈ່ັົງຊອກບັນດາພ້ືນທ່ືີບໍ່ຮູ້ຂອງຮບຄາງໝຕ່າງໆ 9. ໃຫູ້ສອງຮບວົງມົນ (OR) ແລະ (O'R') ດາດກັນຢ່ M . ແຕູ້ມສອງເສັ້ືນຕິດໄປຜ່ານ M ຕັດສອງວົງມົນຢ່ A, A' ແລະ B, B' ພິສດວາ່ : ສອງເສື້ັນເນ່ງັ AB ແລະ A'B' ຂະໜານກັນ ແລະ ຊອກຫາອັດຕາສວ່ ນຂອງມນັ . 10. ໃຫ້ສູ ອງວງົ ມົນຕິດກັນຢ່ M ແຕມູ້ ເສນ້ືັ ຕດັ ໜຶ່ງື ໄປຜ່ານ M ແລະຕດັ ສອງວງົ ມນົ ນນັື້ ຢ່ A ແລະ A' ສອງເສືັ້ນ ຕດິ ຂອງສອງວງົ ມົນດ່ັງກ່າວຢ່ A ແລະ A' ຈະເປັນແນວໃດ? 11. ໃຫູ້ຮ ບສາມແ ຈ ABC ,ໃຫູ້ເ ສັ້ືນຊ ່ືໜຶງ DE / / AB ຕັດ AB ຢ ່ D , AC ຕັດຢ ່ E, ຮ ູ້ ວ ່າ: AC  5cm, AE  3cm, BC  6cm ຈົ່ງັ ຊອກ DE  ? 12. ໃ ຫ ູ້ ຮ ບ ສ າ ມ ແ ຈ ABC ,ໃ ຫ ູ້ ເ ສ ັ ້ື ນ ຊ ່ື ໜ ຶ ງ DE / / AB ຕ ັ ດ AB ຢ ່ D , AC ຕ ັ ດ ຢ ່ E, ຮ ູ້ ວ ່ າ : AB  5cm, BD  3cm, BC  6cm ຈັ່ົງຊອກ DE  ? 13. ແບ່ງຂູ້າງໜຶ່ືງຂອງຮບສາມແຈອອກເປັນສາມສ່ວນເທົັ່າກັນແລູ້ວຜ່ານບັນດາເມັດດັ່ງກ່າວແຕູ້ມເສັື້ນຊຂ່ື ະໜານ ກັບພນ້ື .ຮູ້ວາ່ ພນື້ ຍາວ12cmຈັົ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງທອ່ ນຊື່ຂະໜານທຖີື່ ກຕດັ ດ້ວູ ຍສອງຂາູ້ ງຂອງຮບສາມແຈດ່ງັ ກ່າວ? 14. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC, AB  15cm, AC  20cm.ຢ່ຂູ້າງ AB ວາງທ່ອນຊ່ື AD 10cm ແລະ ຂູ້າງ AC ວາງ 73

vii ທ່ອນຊື່ AE 12cm. ຖາມວາ່ ຮບສາມແຈ ABC ADE ? ກລະນບີ ຄໍ່ ູ້າຍຄກັນ,ຖູ້າຢາກໃຫູ້ພວກມນັ ຄ້າູ ຍຄກັນແຕ່ ວ່າ AE 12cm ຄເກາົັ່ . ຖາມວ່າ: AD  ? 15. ໃນຮບສາມແຈ ABC, AC  12cm, BC  16cm. ທອ່ ນຊ່ື AD ໜືງ່ຶ ປະກອບກບັ ຂູ້າງມ BC ເປັນມມ ADC  BAC .ຈ່ງົັ ຄິດໄລ່ລວງຍາວຂອງທອ່ ນຊື່ DC ? 16. ເງາົ ຂອງຫຼກັ ທງຸ ໜຶງ່ື ແທກໄດູ້ 24,8m ໃນເວລາດຽວກັນນືນ້ັ ມຄີ ົນຜູ້ໜງື່ຶ ມລີ ວງສງ1,62m ແລະ ເງົາຂອງລາວ ແທກໄດູ້ 1,44m . ຈົັ່ງຊອກລວງສງຂອງຫັກຼ ທງຸ ມເີ ທັົ່າໃດ? 17. ໃຫູ້ຮບສາມແຈສາກ ABC ສາກຢ່ A .ລວງສງຂີດຈາກ A ຕັດ CB ຢ່ F , AC  10cm, BA  6cm ແລະ AB  5cm ຈົັ່ງຊອກ BF ແລະ FC 18. ເທງິ ໜອງແຫງ່ ໜງ່ຶື ດອກບົວພ້ນືົ ຂື້ນຈາກໜູ້ານ້ໍາ, 1 ຄບເມ່ອື ລົມພັດເຮັດໃຫູດ້ ອກບົວຍ້າູ ຍໄປ2ຄບ ແລະ ພດີ 2 ຕດິ ແປະກບັ ໜູ້ານໍ້າພດ.ີ ຖາມວາ່ ໜອງນ້ໍາເລກີ ເທົ້ືາໃດ? 19. ໄມູ້ໄຜລ່ າໜ່ຶືງຕງ້ືັ ຊ່ື ແລະ ສງ. 10cmມນັ ຫັກລງົ ແລະ ປາຍຂອງມນັ ພດີຈກຸ ັບພືນ້ ດນີ ແລະ ຫ່າງຈາກໜູ້າດີນ 3cm ຖາມວາ່ ແຕ່ຕນີ ຂອງຕ້ົືາໄມູ້ຮອດບ່ອນຫັກແມ່ນເທົ່ັາໃດ? 20. ຮບສາມແຈສາກຮບໜ່ຶືງມີຂູ້າງເທົ່ັາກບັ a, ຂູ້າງມສຸ າກເທ່ັົາກັບ b, c ແລະ ເສັ້ືນຈອມສາກທ່ກືີ ົງກບັ ຂ້າູ ງກົງສາກ h ຈັ່ົງພິສດວ່າ: ກ. bc  ah ຂ. 1  1  1 h2 b2 c2 21. ຈັງ່ົ ຊອກຫາ IE , CD ເມ່ືອຮູ້ວາ່ CI  2cm , DI  4cm , DB  10cm ແລະ EB  7cm ຕາມຮບແຕູ້ມລມຸ່ ນື້ີ 22. ໃຫູ້ AE  5cm , EE 1cm , ED  2cm , DD  1,5cm , CD  2,5cm, AC  6cm , BC  3cm ແລະ AB  3cm ຈ່ງົັ ຊອກຫາ ED , AD , CD , CC , BC ແລະ AB ຕາມຮບແຕ້ມູ ລຸ່ມນ:ີ້ື 23. ໃຫູ້ BC  5cm , AB  6cm , AC  4cm ແລະ BC  2cm ແລະ OC  8cm , OC  5cm , OB  4,5cm ແລະ OA  9cm ຈົັ່ງຊອກຫາ OB , OA , AB ແລະ AC ຕາມຮບແຕູມ້ ລຸ່ມນ້ີື 74

vii ບດົ ທີ 7 ການຜນັ ປຽ່ ນຮບ 1. ການຍູ້າຍຂະໜານ ນຍິ າມ: ການຍາູ້ ຍຂະໜານເທິງແຜນ່ ພຽງ ແມ່ນການຜນັ ປຽ່ ນທາງເລຂາຄະນດິ ທມື່ີ ີການຍາູ້ ຍເມດັ ທກຸ ເມັດໄປຕາມແຜນ່ ພຽງເທິງເວັກເຕີ ແລະ ເປນັ ໄລຍະທາງເທ່າັົ ກັນຕາມທ່ີືການົດ. ຄນຸ ລັກສະນະທສີ່ື າຄັນຂອງການຍາູ້ ຍຂະໜານມດີ ງັ່ ນ:້ືີ 1. ສາມາດຍູ້າຍຮບຕືົ້ນແບບເຕງັ ຮບທີ່ືໄດູ້ຈາກການຍູາ້ ຍຂະໜານໄດພູ້ ດີ. 2. ທ່ອນຊື່ທື່ີຕໍ່ລະຫວ່າງເມັດທີື່ກງົ ກນັ ຂອງຮບຕ້ືົນແບບ ແລະ ຮບທື່ີໄດູ້ຈາກການຍາ້ື ຍຂະໜານ ແຕ່ລະຄ່ ຈະຂະໜານກັນ ແລະ ຍາວເທາ່ັົ ກັນທກຸ ເສ້ືັນ. 3. ທ່ອນຊ່ືເທິງຮບຕນ້ືົ ແບບ ແລະ ຮບທີ່ືໄດູ້ຈາກການຍາູ້ ຍຂະໜານ ທ່ອນຊືນ່ ັືນ້ ຈະຂະໜານກັນ ແລະ ຍາວເທາັ່ົ ກນັ . ຕວົ ຢ່າງ: ການດົ ໃຫູ້ ∆ ������′������′������′ເປັນຮບທໄ່ືີ ດູ້ຈາກການຍູາ້ ຍຂະໜານ ∆ ������������������ ດວູ້ ຍ ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���⃗′ ດງ່ັ ຮບ ຈາກສງ່ືິ ທກືີ່ ານດົ ໃຫູ້ຈະໄດູ້ດງ່ັ ນືີ້: 1. ສາມາດຍູ້າຍ ∆ ������������������ ໄປເຕັງ (ທັບ) ∆ ������′������′������′ ໄດູ້ພດີ. 2. ̅���̅���̅���̅���̅′, ���̅̅���̅���̅���̅′ ແລະ ���̅̅���̅���̅���̅′ ຂະໜານກັນ ແລະ ຍາວເທ່ັົາກັນ. 3. ̅���̅���̅���̅��� ແລະ ���̅̅���̅′̅���̅���̅′ ຂະໜານກນັ ແລະ ຍາວເທົາັ່ ກນັ . ̅���̅���̅���̅��� ແລະ ̅���̅���̅′̅���̅���̅′ ຂະໜານກັນ ແລະ ຍາວເທ່າົັ ກນັ . ���̅̅���̅���̅��� ແລະ ���̅���̅′̅���̅���̅′ ຂະໜານກນັ ແລະ ຍາວເທ່ົັາກນັ . ໃນການບອກທິດ, ລວງ ແລະ ໄລຍະທາງຂອງການຍູ້າຍຂະໜານ ຈະໃຊູ້ເວັກເຕີເປນັ ໂຕການົດ ເຊງ່ືິ ການການົດ ເວັກເຕີຂອງການຍາູ້ ຍຂະໜານ ຈະໃຫູ້ເມດັ ເລ່ີືມຕືນ້ົ ຢ່ໃນ ຫຼ ຢ່ນອກຮບຕ້ືົນແບບກ່ໍໄດູ້. ຕວົ ຢ່າງ: ໃຫູ້ ∆ PQR ແລະໃຫູ້ A⃗⃗⃗⃗B⃗ ເປັນເວກັ ເຕີຂອງການຍູ້າຍຂະໜານຈະໄດູ້ ∆ P′Q′R′ ເປັນຮບຂອງ ການຍູ້າຍຂະໜານ ∆ PQR ດັ່ງຮບ 75

vii ຈາກຮບຈະເຫັນວາ່ : 1. ���⃗⃗���⃗⃗���⃗���⃗′, ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���⃗′ & ���⃗⃗���⃗⃗���⃗���⃗′ ລູວ້ ນແຕ່ຂະໜານ ກບັ ���⃗⃗���⃗⃗���⃗���. 2. ⃗���⃗���⃗⃗���⃗���⃗′ = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���⃗′ = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗���⃗′ = ⃗���⃗���⃗⃗���⃗��� 2. ການເຄງ່ິື ຄ ນຍິ າມ: ການເຄ່ືິງຄເທງິ ແຜນ່ ພຽງ ແມນ່ ການຜັນປຽ່ ນທາງເລຂາຄະນິດ ທີື່ມີເສື້ັນຊ່ືເປນັ ແກນເຄງ່ືິ ຄ. ໃຫູ້ ������ ເປນັ ແກນເຄິືງ່ ຄ, ເມດັ A ແລະ ເມດັ ������′ ເຄືິ່ງ ຄກນັ ທຽບໃສ່ ������, ທອ່ ນຊ່ື ���̅̅���̅���̅���̅′ ຕັດ ������ ຢ່ເມດັ E. ໃນກລະນີນີື້ ������������′ ⊥ ������ ແລະ E ເປນັ ເມດັ ກາງຂອງ A ແລະ ������′. ເມດັ B ຈະມີເມັດ ������′ ເປັນຮບທ່ືີໄດູ້ຈາກການເຄງ່ືິ ຄ. ເມດັ C ຈະມີເມັດ ������′ ເປັນຮບທື່ີໄດູ້ຈາກການເຄ່ງິື ຄ. ຂສ້ໍ ັງເກດ: 1. ຖູ້າເມັດ A ບ່ໍຢເ່ ທງິ ເສ້ືນັ ຊື່ l ແລວູ້ ເສື້ັນຊື່ l ຈະແບງ່ ເຄງິື່ ແລະ ຕ້ືງັ ສາກກບັ AA' . 2. ຖູາ້ ເມັດ C ຢ່ເທງິ ເສ້ນັື ຊ່ື l ແລ້ວູ ເມດັ C ແລະ ເມັດ C ' ຈະເປນັ ເມັດດຽວກັນ. ໝາຍເຫດ: ການຢນຢ່ໜູ້າແວ່ນພຽງຂະໜາດໃຫຍ່ ເຮດັ ໃຫ້ເູ ຫັນຮບເຕັມຕົວ. ຮບທືີ່ປະກົດໃນແວນ່ ກ່ໍແມນ່ ການ ເຄ່ືງິ ຄ ເຊື່ິງເປນັ ການຜັນປ່ຽນທາງເລຂາຄະນິດໂດຍມີແວ່ນເປັນແກນເຄ່ືິງຄ. 76

vii ຄນຸ ລກັ ສະນະທສີື່ າຄັນຂອງການເຄງື່ິ ຄມດີ ັ່ງນ:້ືີ 1. ສາມາດພກິ ຮບຕ້ນົື ແບບໃຫູ້ເຕງັ ຮບທີື່ໄດູ້ຈາກການເຄ່ືິງຄໄດູ້ພດີ. 2. ແກນເຄງິື່ ຄແບງ່ ເຄິງື່ ແລະ ຕັ້ງື ສາກກບັ ທ່ອນຊ່ືທື່ີເຊອື່ ມຕໍ່ລະຫວ່າງເມດັ ທກືີ່ ງົ ກັນ. 3. ທອ່ ນຊື່ທ່ືີເຊື່ອມຕເ່ໍ ມັດທີືກ່ ົງກນັ ເທິງຮບຕືນ້ົ ແບບກບັ ຮບທືີໄ່ ດູຈ້ າກການເຄື່ິງຄຂອງເມັດນັື້ນ ຈະຂະ ໜານກັນທກຸ ຄ່ ແລະ ບຈ່ໍ າເປັນຕູ້ອງຍາວເທ່ັົາກັນ. ສອງຮບເຄິງື່ ຄກັນທຽບໃສ່ແກນ ອາດຈະມີຈານວນແກນເຄງ່ືິ ຄບເ່ໍ ທົາ່ັ ກນັ ເຊັ່ນ: ABCD ເປນັ ຮບຈະຕລຸ ັດ ແລະ ເປນັ ຮບເຄງື່ິ ຄທຽບໃສແ່ ກນເຊ່ງິື ມີ 4 ແກນເຄ່ືງິ ຄ ນນ້ືັ ແມ່ນ AC, BD, EF ແລະ PQ . (ຮບ 1). ABC ເປັນຮບສາມແຈທ່ຽງ ແລະ ໃຫູ້ D ເປນັ ເມດັ ເຄື່ງິ ກາງຂອງ BC . ຈາກຮບ 2 ຖູ້າໃຫູ້ ABC ເປັນຮບຕືົນ້ ແບບແລ້ວູ ຈະໄດູ້ ACD ເປນັ ຮບທໄ່ືີ ດູ້ຈາກການເຄງິ່ື ຄໂດຍມີ AD ເປັນແກນເຄິງ່ື ຄ. (ຮບ 1) (ຮບ 2) ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ໃຫູ້ A' B 'C ' ເປນັ ຮບທີ່ືໄດູ້ຈາກການເຄືິງ່ ຄ ABC ດູ້ວຍແກນເຄື່ງິ ຄ l ດງ່ັ ຮບ ຈາກສື່ງິ ທີ່ກື ານົດໃຫູ້ຈະໄດູດ້ ັງ່ ນ:ື້ີ 77

vii 1. ສາມາດພກິ ABC ແລູ້ວຍາູ້ ຍໄປເຕງັ A' B 'C ' ໄດພູ້ ດ.ີ 2. ແກນເຄື່ິງຄ l ແບງ່ ເຄິງ່ື ແລະ ຕື້ງັ ສາກກັບ AA', BB ' ແລະ CC '. 3. AA', BB ' ແລະ CC ' ລວູ້ ນແຕ່ຂະໜານກັນ. ຈາກຕວົ ຢ່າງ 1 ຈະເຫັນວາ່ ເມ່ອື ການດົ ຮບຕ້ົນື ແບບ ແລະ ແກນເຄິງ່ື ຄຂອງການເຄ່ງິື ຄມາໃຫູ້ ເຮົາສາມາດຊອກ ຫາຮບທີ່ໄື ດ້ຈູ າກການເຄ່ງືິ ຄນື້ັນໄດູ.້ ໃນທາງກງົ ກນັ ຂູ້າມ ຖ້າູ ການົດຮບຕົ້ນື ແບບ ແລະ ຮບທ່ີໄື ດູຈ້ າກການເຄິືງ່ ຄມາ ໃຫແູ້ ລວູ້ ເຮົາຈະສາມາດຊອກແກນເຄິງ່ື ຄໄດູ້ເຊັນ່ : ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ໃຫູ້ A' B 'C ' ເປັນຮບທ່ືໄີ ດູຈ້ າກການເຄິືງ່ ຄ ABC ດັ່ງຮບ. ຈງ່ັົ ຊອກຫາແກນເຄງ່ືິ ຄ ຈາກຮບຈະໄດູ້ MN ເປັນແກນເຄິງ່ື ຄ 3. ການປນິ່ (ການໝນຮອບ) ນິຍາມ: ການໝນເທງິ ແຜນ່ ພຽງແມນ່ ການຜນັ ປ່ຽນທາງເລຂາຄະນດິ ທືີ່ມເີ ມັດ O ຄົງທເ່ືີ ປນັ ຈດຸ ໝນແຕ່ລະເມດັ P ເທິງແຜນ່ ພຽງ, ມເີ ມັດ P ' ເປັນຮບທ່ືີໄດູ້ຈາກການໝນເມດັ P ຮອບເມດັ O ຕາມທິດທາງທກີື່ ານົດດູ້ວຍມຸມ k ໂດຍທ:ືີ່ 1. ຖູ້າເມັດ P ບໍ່ແມ່ນເມັດ O ແລ້ວູ OP  OP ' ແລະ ຂະໜາດຂອງ POP ' ເທາ່ັົ ກັບ k . 2. ຖາູ້ ເມັດ P ເປັນເມດັ ດຽວກັນກບັ ເມດັ O ແລູ້ວ P ເປັນຈຸດໝນ. ຕວົ ຢາ່ ງ 3. ການໝນກລະນີຈຸດໝນຢ່ຮບຕົືນ້ ແບບການໝນກລະນຈີ ຸດໝນຢນ່ ອກຮບຕນົ້ື ແບບ 78

vii ຈະສງັ ເກດເຫັນວ່າການໝນມີຄຸນລກັ ສະນະທ່ີືສາຄນັ ດ່ັງນ:ີື້ 1. ສາມາດຍູ້າຍຮບຕົນື້ ແບບເຕັງຮບທີື່ໄດູ້ຈາກການໝນໄດູ້ພດ.ີ 2. ເມດັ ເທິງຮບຕື້ົນແບບ ແລະ ຮບທໄື່ີ ດຈູ້ າກການໝນເມດັ ນນືັ້ ແຕ່ລະຄ່ຈະຢ່ເທງິ ວງົ ມົນທືີມ່ ີຈດຸ ໝນເປນັ ຈຸດ ໃຈກາງ. ແຕວ່ ົງມນົ ເຫັຼ່ົານບ້ືີ ໍ່ຈາເປັນຕູອ້ ງມລີ ດັ ສະໝເີ ທາົ່ັ ກນັ . 3. ທ່ອນຊ່ືເທິງຮບຕ້ືົນແບບ ແລະ ຮບທ່ີືໄດູຈ້ າກການໝນທ່ອນຊື່ນ້ນັື ບໍ່ຈາເປັນຕອູ້ ງຂະໜານກັນທກຸ ຄ່. A' B 'C ' ເປນັ ຮບທ່ີືໄດູ້ຈາກການໝນ ABC ຮອບຈຸດໝນ O ຕາມທິດເຂັມໂມງດູວ້ ຍມຸມ k ( AOA'  BOB '  COC '  k) ຈະໄດູ້: 1. ສາມາດຍ້າູ ຍ ABC ໄປເຕັງ A' B 'C ' ໄດພູ້ ດ.ີ 2. ເມ່ືອຈຸດໝນ O ເປັນຈຸດໃຈກາງຂອງວງົ ມົນຈະໄດ້ວູ າ່ OA  OA',OB  OB ' ແລະ OC  OC ' ຫຼ ເວື້າົ ອກີ ຢ່າງໜງື່ຶ ວ່າ: ເມັດ A ແລະ A' ຢເ່ ທິງວົງມົນດຽວກັນ ເມັດ B ແລະ B' ຢເ່ ທິງວົງມົນດຽວກນັ ເມັດ C ແລະ C' ຢເ່ ທງິ ວງົ ມົນດຽວກນັ 3. OA  OB ແລະ OC ບໍຈ່ າເປນັ ຕູ້ອງຍາວເທົັ່າກນັ . + ຖາູ້ ວາ່ (x ', y ') ເປັນເມດັ ທືີ່ໄດູ້ຈາກການໝນເມັດ (x, y) ຮອບເມດັ O(0, 0) ຕາມທິດກົງກນັ ຂູ້າມການ ເດນີ ຂອງເຂັມໂມງດູ້ວຍມຸມ , ຈະໄດ:ູ້ 79

vii x '  (cos )x  (sin ) y   y '  (sin  )x  (cos ) y ຕວົ ຢາ່ ງ 4. ຈົັງ່ ຊອກຫາເມດັ ທ່ືີໄດູ້ຈາກການໝນເມັດ A(3, 4) ຮອບເມັດ O(0, 0) ຕາມທິດກງົ ກນັ ຂູ້າມການ ເດີນຂອງເຂັມໂມງດູ້ວຍມຸມ 45 ອົງສາ. ບົດແກູ:້ ໃຫູ້ (x ', y ') ເປັນເມດັ ທືີ່ໄດູ້ຈາກການໝນເມດັ A(3, 4) ຮອບເມດັ O(0, 0) ຕາມທິດທື່ີກງົ ກນັ ຂູ້າມ ການເດນີ ຂອງເຂັມໂມງດູ້ວຍມຸມ 45 ອງົ ສາ ໄດູ້: x '  (cos 45 )(3)  (sin 45 )(4)   y '  (sin 45 )(3)  (cos 45 )(4)  3 4  7 7 2 x '   2 2 22   3 4 1 2  y '   2 2 2 2 ດ່ງັ ນັນ້ື ,   7 2 , 2 ແມນ່ ເມັດທື່ີຊອກຫາ.  2 2  4. ໂອໂມເຕຊີ ນິຍາມ: ໃຫ້ເູ ມດັ  ແລະ ຈານວນຕ່າງສນ k . ເມັດ M ປຽ່ ນເປັນເມັດ M ' ໂດຍໃຊູ້ໂອໂມເຕຊີທີື່ມີ  ເປນັ ສນກາງ ແລະ ມີ k ເປນັ ອັດຕາສວ່ ນໂດຍວ່າ: M '  k M . M ' ເປັນໂອໂມເຕຊີຂອງເມດັ M  ເປນັ ໂອໂມເຕຊີຂອງເມັດ  ໝາຍເຫດ: ທງັ 3 ເມດັ ຄ ເມັດສນກາງຂອງການເຄິ່ືງຄ, ເມດັ ທ່ີືໃຫູ້ມາ ແລະ ເງາົ ຂອງມັນຢ່ເສນື້ັ ຊ່ືດຽວກັນ. + ເງາົ ຂອງທອ່ ນຊໂື່ ດຍໂອໂມເຕຊີ ການຂະຫຍາຍ k  1 ການຫຍ້ໍ k  1 k 1 A' 0 k 1 B A A ອດັ ຕາສ່ວນ A' ຫາຼ ຍກວາ່ ສນ B'  B' B  A' B '  k  AB A' B '  k  AB 80

vii ອັດຕາສ່ວນ k  1 1 k  0 A B' B ໜອູ້ ຍກວ່າສນ B A'   A' A' B '  (k)  AB A B' A' B '  (k)  AB + ຄນຸ ລກັ ສະນະຮວ່ ມກນັ ຂອງການຜນັ ປຽ່ ນ ໂດຍໃຊູ້ການຍູ້າຍຂະໜານ, ການເຄ່ິືງຄຂູ້າມແກນ, ການໝນຮອບ ຫຼ ໂອໂມແຕຊີ ເຮາົ ໄດ້:ູ ກ. ຮບທ່ີືໃຫູ້ມາແນວໃດ ເງົາຂອງມນັ ກເ່ໍ ປັນແນວນັ້ືນ (ຮບສາມແຈ, ຮບສາມແຈທ່ຽງ,..., ຮບຈະຕຸລັດ, ຮບສແ່ືີ ຈ ຂາູ້ ງຂະໜານ,..., ວງົ ມົນ, ຮບຫາຼ ຍແຈ,...). ຂ. ການຮ່ວມເສື້ັນຊ່ືດຽວກັນ, ອດັ ຕາສ່ວນຂອງໄລຍະ, ການຂະໜານ, ການຕັືງ້ ສາກ ແລະ ມມຸ ຍງັ ຄົງຮກັ ສາໄວູ້ ຄເກ່າົັ . + ອໂີ ຊເມຕີ ກ. ນຍິ າມ:  ການຜັນປ່ຽນທີື່ຮກັ ສາໄລຍະແມ່ນ ອີໂຊເມຕີ.  ອໂີ ຊເມຕີ ຮັກສາເນ້ອື ທີື່ ແລະ ຮກັ ສາບລິມາດ.  ການຍູ້າຍຂະໜານ, ການເຄິງື່ ຄຂູາ້ ມແກນ ແລະ ການໝນຮອບກ່ລໍ ູ້ວນແລວູ້ ແຕເ່ ປັນອີໂຊເມຕີ. ຖ້າູ ວາ່ A  A' ແລະ B  B ' , ເຮົາໄດູ້ A' B '  AB. ຂ. ຄນຸ ລກັ ສະນະສະເພາະ ໄລຍະ ເມດັ ບໍ່ປ່ຽນແປງ ເມັດພເິ ສດ ການຍູ້າຍຂະໜານ ອີໂຊເມຕີ ບໍມ່ ີເມັດໃດ (ຍົກເວ້ັືນ ເງາົ ຂອງເສັນ້ື ຊື່ກໍ່ເປັນ t A' B '  AB ກລະນີ u  0 ) ເສນືັ້ ຊຂ່ື ະໜານກັບເສນ້ືັ u ອີໂຊເມຕີ ທກຸ ເມັດຂອງແກນ  ຊ່ືນ້ນືັ A' B '  AB ເປັນເມດັ ບໍ່ປຽ່ ນແປງ ເສນື້ັ ຊຕື່ ັື້ງສາກກບັ ແກນ ການເຄືິງ່ ຄຂູ້າມແກນ  ແມນ່ ເງົາຂອງເສ້ືນັ ຕັ້ງື S ອໂີ ຊເມຕີ A' B '  AB ສາກເອງ ການໝນຮອບ r(; )  ເມດັ ດຽວເປນັ ເມັດບ ວງົ ມົນທ່ີືມີ  ເປນັ ເມັດ ປຽ່ ນແປງ (ຍກົ ເວ້ືັນແຕ່ ໃຈກາງມີ  ເປັນເງົາ  0) ຂອງມນັ ເອງ 81

vii ໂອໂມເຕຊີ A' B '  k  AB ໄລຍະ  ເມັດດຽວເປັນເມັດບ ເງົາຂອງເສືັນ້ ຊືກ່ ໍເ່ ປນັ h(; k) ຄນກບັ k ແລະ ເນືອ້ ທີຄື່ ນ ປຽ່ ນແປງ (ຍົກເວ້ືັນແຕ່ ເສັືນ້ ຊ່ືຂະໜານກບັ ເສນື້ັ ກັບ k 2 k 1) ຊືນ່ ືນ້ັ ຕວົ ຢາ່ ງ 5. ເພ່ືນິ ໃຫູ້ຮບຄາງໝ ABCD ເຊືງິ່ ໃນນນ້ັື I ເປນັ ເມັດເຄືິງ່ ກາງຂອງ  AB ແລະ J ເປນັ ເມັດເຄງືິ່ ກາງຂອງ CD . ເສນ້ືັ ເນັງ່ ຈອມ  AC ແລະ BD ຕດັ ກນັ ຢເ່ ມັດ  ເສັ້ນື ຊ່ື (AD) ແລະ (BC) ຕັດກນັ ຢເ່ ມດັ O. ຈ່ົງັ ພິສດວາ່ O, I,  ແລະ J ຢ່ເສນືັ້ ຊ່ືດຽວກັນ. ການວເິ ຄາະຄາໂຈດ: ໃນເມື່ອວ່າ ( AB) ແລະ (CD) ຂະໜານກັນເຮົາສາມາດນາໃຊູ້ຄນຸ ລັກສະນະຂອງຕາແລັດເຂ້ືົາໃນ ການແກບູ້ ນັ ຫາ ເຊິື່ງສະແດງອອກໃນການພວົ ພນັ ດູ້ານເວກັ ເຕ.ີ ທອ່ ນຊື່  AB ແລະCD ຂະໜານກນັ , ເຮົາ ສາມາດນາໃຊູ້ໂອໂມເຕຊ.ີ ວທິ ແີ ກູ:້ + ໃນໂອໂມເຕຊີ ເມັດທີເ່ື ປັນສນກາງ ແລະ ເມດັ ທີື່ໃຫູ້ມາພອູ້ ມເງາົ ຂອງມັນຢ່ເສັື້ນຊື່ດຽວກັນ. + ເພືອ່ ພິສດການຢເ່ ສື້ນັ ຊື່ດຽວກນັ ຂອງບນັ ດາເມັດທືີ່ໃຫມູ້ າ ເຮົາຕູ້ອງພິສດວາ່ ເມັດ I ມີເມັດ J ເປັນເງາົ ໃນໂອໂມເຕ ຊີທມີື່ ີ O ຫຼ  ເປັນສນກາງ. ບົດແກ:ູ້ ໃນເມ່ອື O (AD) ມັນປະກົດມີ k ທວ່ືີ າ່ OD  k OA ແລະ ໃນເມອື່ ວາ່ (AB) (DC) , ຢ່ເສນັ້ື ຊ່ື (OC) ເຮົາໄດ:ູ້ OC  k OB ດັງ່ ນັ້ນື , ອງີ ຕາມນິຍາມຂອງໂອໂມເຕຊີທີື່ມີ O ເປັນສນກາງ ແລະ ມີ k ເປັນອັດຕາສ່ວນ, ເຮາົ ໄດູ້: h(O; k) : A  D ແລະ B  C ດັ່ງນນ້ັື I ທື່ເີ ປນັ ເມັດເຄືງິ່ ກາງຂອງ  AB ມີ ເມດັ J ທືເ່ີ ປນັ ເມັດເຄ່ິືງກາງຂອງ DC ເປນັ ເງາົ . ເຮົາຖອນໄດູ້ວ່າ: OJ  k OI ; ດງ່ັ ນ້ນັື , ເມັດ O, I ແລະ J ຈິື່ງຢເ່ ສນ້ືັ ຊື່ດຽວກັນ. ໃນທານອງດຽວກນັ  (AC) ມນັ ປະກົດມີ k ' ທ່ີື ວາ່ C  k 'OA ແລະ ໃນເມື່ອວາ່ (AB) (DC) , ຢເ່ ສັືນ້ ຊ່ື  DB ເຮາົ ໄດູ້ D  k 'OB . ດັງ່ ນນັື້ , ອງີ ຕາມນິຍາມຂອງໂອໂມເຕຊີທີມື່ ີ  ເປັນສນກາງ ແລະ ມີ k ' ເປັນອັດຕາສວ່ ນ, ເຮົາໄດ້:ູ h(; k') : A  C ແລະ B  D ດ່ງັ ນນ້ັື I ທືີ່ ເປັນເມດັ ເຄ່ງືິ ກາງຂອງ  AB ມເີ ມັດ J ທື່ເີ ປນັ ເມດັ ເຄິືງ່ ກາງຂອງ DC ເປນັ ເງາົ . ເຮົາຖອນໄດູວ້ າ່ J  k 'I ; ດັ່ງນື້ນັ , ເມດັ , I ແລະ J ຈງືິ່ ຢເ່ ສນື້ັ ຊື່ດຽວກັນ. ດັ່ງນືນ້ັ , ເມດັ I ແລະ  ຈ່ືິງຢເ່ ສ້ືັນຊື່ (IJ) ດງ່ັ ນນ້ືັ , ເມດັ O, I,  ແລະ J ຈື່ິງຢ່ເສືັ້ນຊ່ດື ຽວກັນ. 82

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ໃຫູ້ຮບສີແ່ື ຈ ABCD ເປັນຮບຕືນ້ົ ແບບ ແລະ ຮບສແ່ີື ຈ ABCD ເປນັ ຮບທ່ີືໄດູ້ຈາກການຍູ້າຍຂະໜານຮບ ສແີື່ ຈ ABCD ເຊ່ງິື ມີເມດັ A'(7, 2) ເປນັ ຮບທ່ືີໄດູ້ຈາກການຍູ້າຍຂະໜານເມັດ A . ຈ່ົງັ ແຕ້ມູ ຮບສີື່ແຈ ABCD ພູ້ອມທັງຊອກຫາຕົວປະສານຂອງເມັດ B ',C ' ແລະ D '. 2. ຈ່ົັງຊອກຫາເນ້ືອທ່ີືໂດຍປະມານຂອງຮບທີ່ືການົດໃຫູ້. 83

vii 3. ຈາກຮບ ຈງັົ່ ໃຊູກ້ ານຍູ້າຍຂະໜານ ເພ່ອື ພິສດວ່າ ຮບສື່ີ ແຈຂູ້າງຂະໜານ ABCD ມເີ ນ້ອື ທີືເ່ ທົັ່າກັບເນືອ້ ທືີ່ ຂອງຮບສ່ືແີ ຈສາກ ABFE. 4. ໃຫູ້ AB CD ມີ EF ຕດັ AB ແລະ CD ຢເ່ ມດັ X ແລະ Y ຕາມລາດັບ. ຈ່ັົງໃຊກູ້ ານຍາູ້ ຍຂະໜານ ສະແດງວ່າ: EXB  EYD 5. ໃຫູ້ ABC ແລະ ແກນ X ເປັນແກນເຄິງື່ ຄ. ຈັ່ງົ ຊອກຫາ: ກ. ຕວົ ປະສານຂອງເມັດ A, B ແລະ C ເຊງື່ິ ເປນັ ຮບທີ່ໄື ດຈູ້ າກການເຄືິງ່ ຄ A, B ແລະ C ຂ. ABC ເຊິ່ງື ເປັນຮບທີື່ໄດູ້ຈາກການເຄ່ືິງຄ ABC. 84

vii 6. ຈງ່ັົ ຊອກຫາແກນເຄິງ່ື ຄຂອງການເຄງ່ິື ຄໃນແຕລ່ ະຂ້ໍຕໍ່ໄປນີື້ ກ. ຂ. ຄ. 85

vii 7. ຈົງ່ັ ຊອກຫາເມັດທີ່ືໄດູ້ຈາກການໝນເມັດຕ່ໍໄປນເ້ີື ທິງແຜນ່ ພຽງຮອບເມັດ O(0;0) ຕາມທດິ ກງົ ກັນຂູ້າມຂອງ ເຂັມໂມງດວູ້ ຍມຸມ 90 ອງົ ສາ: ກ. A(3; 4) ຂ. B(3; 2) ຄ. C(4; 1) ງ. D(4; 3) 8. ໃຫູ້ A(2; 2), B(5; 1), C(4; 5) ຈົງ່ັ ຊອກຫາຕວົ ປະສານຂອງ A, B,C ແລະ ABC ເຊື່ງິ ເປນັ ຮບທີື່ ໄດູ້ຈາກການໝນ ABC ຮອບເມັດເຄື້ົາ O(0;0) ປ້ນີື ທດິ ເຂັມໂມງດູ້ວຍມຸມທ່ີືມີຂະໜາດ 90 ອົງສາ. 9. ຈົງ່ັ ຊອກຫາຮບທ່ືີໄດູ້ຈາກການໝນຮບຕ່ໍໄປນ້ີືຮອບເມດັ P ຕາມທດິ ແລະ ຂະໜາດຂອງມຸມທກື່ີ ານົດໃຫູ້ ກ. ປ້ີືນທິດເຂມັ ໂມງ 75 ອງົ ສາ ຂ. ຕາມທດິ ເຂມັ ໂມງ 180 ອງົ ສາ ຄ. ປນ້ືີ ທິດເຂັມໂມງ 90 ອົງສາ ງ. ຕາມທດິ ເຂັມໂມງ 45 ອົງສາ 86

vii 10.ໃນການພິສດຕໍ່ໄປນີ້ື ຈັ່ງົ ບອກໃຫູ້ຮູ້ຂໍ້ມນ ແລະ ຫຼກັ ເກນທ່ີືນາໃຊູ້, ຈາກນ້ນັື ຈ່ັງົ ແຕູ້ມຮບແລ້ວູ ຂຽນ ຕື່ມໃສ່ ຂໍ້ສະຫບຸຼ ໃຫູ້ຄບົ ຖ້ວູ ນ. ໃນການເຄ່ືິງຄຂ້າູ ມແກນ (BC) , ເມັດ B ແລະ ເມດັ M ຂອງທ່ອນຊື່ BC  ເປັນເມັດບໍປ່ ່ຽນແປງ. ເພິື່ນເອືີນ້ E ເງາົ ຂອງເມດັ E ແລະ A ເງາົ ຂອງເມດັ A . S(BC)M  M , B  B,C  C, E  E ແລະ A  A. ໃນເມືອ່ ຮບສາມແຈ ABC ເປນັ ຮບສາມແຈທຽ່ ງເຮົາໄດູ້ AB  AC . ການເຄິື່ງຄຂູ້າມແກນຮັກສາໄລຍະ, ເຮົາ ໄດູ້ AB  AB ແລະ AC  AC ດັງ່ ນັ້ືນ, ຮບສືີແ່ ຈ ABAB ຈງ່ຶື ເປັນຮບດອກຈນັ ອັນເຮັດໃຫ້ເູ ຮົາຖອນໄດວູ້ າ່ (AC) ແລະ (BA) ຂະໜານກນັ . ໃນເມືອ່ (MF) ຕັ້ືງສາກກັບ (AC) ຢເ່ ມັດ F , ເສືນັ້ ຊື່ (MF) ກຕ່ໍ ງັ້ື ສາກກບັ (BA) . ການເຄິງື່ ຄຮັກສາການຕງ້ືັ ສາກ ແລະ (ME) ຕືັ້ງສາກກັບ  AB ຢເ່ ມດັ E , ເຮາົ ໄດູ້ (ME) ທີເື່ ປນັ ເງົາຂອງ (ME) ກຕັ້ງື ສາກກັບເງົາຂອງ  AB ໝາຍຄວາມວາ່ ແມນ່  AB ຢ່ເມັດ E , ເຮາົ ຖອນໄດູ້ວາ່ ເມັດ M , F ແລະ E ຢເ່ ສນ້ັື ຊື່ດຽວເພາະວ່າ..................................................................... ໃນເມອ່ື BH  ເປນັ ລວງສງຂອງຮບສາມແຈ ABC ແລະ ຮບສແີື່ ຈ BHFE ທີ່ືມີສາມມມຸ ສາກ ກເປັນຮບສືີແ່ ຈ ສາກ; ເຮົາໄດູ້ BH  EF , ແຕ່ EF  EM  MF ເພາະເມດັ E, M ແລະ F ຢເ່ ສນ້ືັ ຊ່ືດຽວກັນ. ນອກຈາກນນັື້ ຍງັ ເຫນັ ວາ່ EM  EM ອີງໃສກ່ ານເຄິື່ງຄຂູ້າມແກນ. ດງັ່ ນັືນ້ EF  EM  MF  EM  MF ເຮາົ ສະຫບຼຸ ໄດວູ້ ່າ...................................................... ++ ການສະແດງໂອໂມເຕຊີ ໂດຍໃຊູເ້ ວກັ ເຕ:ີ ໃນໂອໂມເຕຊີທ່ືີມເີ ມັດ  ເປັນສນກາງ ແລະ ມີອັດຕາສວ່ ນ k ນນ້ືັ , ເມັດ A ມີເມັດ B ເປນັ ເງົາ ແລະ ເຮາົ ໄດູ້ B  k A. 11. ຈົງ່ັ ສະແດງໂອໂມເຕຊີໃນແຕລ່ ະກລະນີຕ່ໍໄປນື້ີ ໂດຍໃຊູເ້ ວກັ ເຕີ: ກ. h(; 2), M  P ຂ. h(A;3), B  C ຄ. h(A; 3), C  D ແລະ M  N ງ. h(M; 5), A  B ແລະ B  C. 12. ຈງົັ່ ສະແດງການພວົ ພນັ ເວັກເຕີໃນແຕລ່ ະກລະນີຕ່ໍໄປນ້ືີ ດູວ້ ຍໂອໂມເຕຊ:ີ ກ. B  2A ຂ. AC  7 AB ຄ. BM  3 BC ງ. PR 10 PM 87

vii ບດົ ທີ 8 ການພົວພນັ ໄຕມມຸ ມຕິ ຢິ ໃ່ ນຮບສາມແຈ, ຮບສແ່ີື ຈ ແລະ ຮບວງົ ມນົ 1. ການພວົ ພນັ ໄຕມມມຕິ ໃິ ນຮບສາມແຈ 1.1. ການພວົ ພນັ ໄຕມມມຕິ ໃິ ນຮບສາມແຈສາກ ໃນຮບສາມແຈ ABC ເຊ່ືິງໃນນ້ັືນມມ Aˆ  90 , Bˆ  Aˆ  90 ແລະ a2  b 2 c2 ຫກັຼ ເກນ - ຊນິ ຂອງມມເທ່ົັາກບັ ຂ້າູ ງເຊິງ່ື ໜູ້າຫານໃຫູ້ຂູ້າງກງົ ສາກ. - ໂກຊິນຂອງມມເທົັ່າກບັ ຂ້າູ ງຕິດແປະຫານໃຫູ້ຂູ້າງກົງສາກ. - ຕັງຂອງມມເທັາ່ົ ກັບຂູ້າງເຊ່ງິື ໜູ້າຫານໃຫູ້ຂູ້າງຕິດແປະ. - ໂກຕັງຂອງມມເທ່າັົ ກັບຂູ້າງຕດິ ແປະໃຫູ້ຂູ້າງເຊ່ິືງໜາູ້ . - ເຊັກຂອງມມເທົ່ັາກບັ ຂູ້າງກົງສາກຫານໃຫູ້ຂູາ້ ງຕດິ ແປະ. - ໂກເຊັກຂອງມມເທາັ່ົ ກບັ ຂູ້າງກົງສາກຫານໃຫູ້ຂາູ້ ງເຊ່ງໜາູ້ . ດັ່ງນ້ັືນ, ຈາກຮບຂູ້າງເທືງ່ິ ເຮົາສາມາດຂຽນໄດູ້ດ່ັງນີື້ sin  c , cos  b , tg  c , ������������������������������ = ������ aa b ������ ������������������������ = 1 = ������ , ������������������������������������ = 1 = ������������������������ ������ ������������������������ ກດິ ຈະກາ 1 : 1. ຈງັົ່ ພິສດ sin  c ເຊ່ືິງວ່າ c ແມ່ນຂູ້າງເຊິງື່ ໜາູ້ ແລະ a ແມນ່ ຂູ້າງກົງສາກ a 2. ຈົ່ງັ ພິສດ cos  b ເຊິງ່ື ວາ່ b ແມນ່ ຂາູ້ ງຕິດແປະ ແລະ a ແມນ່ ຂູ້າງກງົ ສາກ a 3. ຈັົງ່ ພສິ ດ tg  c ເຊງືິ່ ວ່າ c ແມນ່ ຂູ້າງເຊິື່ງໜາູ້ ແລະ b ແມນ່ ຂູ້າງຕິດແປະ b 4. ຈງ່ັົ ພິສດ tg  b ເຊິື່ງວ່າ c ແມນ່ ຂູ້າງເຊືິ່ງໜູ້າ ແລະ b ແມນ່ ຂູ້າງຕິດແປະ c ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ສາກຢ່ A , AB  4cm ແລະ AC  3cm .ຈງ່ັົ ຊອກຫາ : sin , cos , tg , cotg , sec , co sec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮູ້ວ່າ Cˆ   , Bˆ   88

vii ວທິ ແີ ກູ້ : ຂ້ໍສົມມດຸ ໃຫູ້ສາມແຈ ABC , ສາກຢ່ A ຮູ້ວ່າ AB  4cm , AC  3cm , ຂ້ໍສະຫຼຸບ Cˆ   , Bˆ   cosec  ? , sin   ? , cos   ? , tg  ? , cotg  ? , sec   ? ແລະ co sec  ຊອກ BC ອິງຕາມ BC2  AB2  AC2 BC  4cm2  3cm2 BC  16cm2  9cm2 BC  25cm2 BC  5cm ຈະໄດູ້ : sin  AB  4cm  4 BC 5cm 5 cos  AC  3cm  3 BC 5cm 5 sec  BC  5cm  5 AC 3cm 3 cosec  BC  5cm  5 AB 4cm 4 tg  AB  4cm AC 3cm 89

vii cotg  AC  3cm  3 AB 4cm 4 sin   AC  3cm  3 , BC 5cm 5 cos   AB  4cm  4 BC 5cm 5 tg  AC  3cm  3 AB 4cm 4 cotg  AB  4cm  4 , AC 3cm 3 sec   BC  5cm  5 AB 4cm 4 cosec   BC  5cm  5 AC 3cm 3 ກດິ ຈະກາ 2: ໃຫູ້ຮບສາມແຈ MNP ສາກຢ່ M , MP  6cm ແລະ NM  7cm . ຈັົ່ງຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , co sec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮູ້ ວ່າ Pˆ   , Nˆ   ກດິ ຈະກາ 3 : ຈ່າົັ ງຊອກຂູ້າງ b , C , Cˆ , sinCˆ , cosCˆ , tgCˆ , cot gCˆ , secCˆ , cosecCˆ ໃນຮບສາມ ແຈສາກ ABC . ເມອ່ື ຮວູ້ ່າຂູ້າງກງົ ສາກ a  8cmແລະ ມມແຫຼມ Bˆ  30 1.2. ການພວົ ພນັ ໄຕມມມຕິ ໃິ ນຮບສາມແຈທວັ່ົ ໄປ 1.2.1 ຫກັຼ ເກນຕາລາຊິນ ໃນຮບສາມແຈທ່ວັົ ໄປ ABC ໃຫບູ້ ນັ ດາຂາູ້ ງທກີ ງົ ກບັ ມມ Aˆ , Bˆ , Cˆ ແມ່ນ a , b , c ຕາມລາດັບ ແລະ ຮູ້ ວາ່ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180 90

vii ຫກຼັ ເກນ ໃນຮບສາມແຈທັວົ່ ໄປ, ແຕ່ລະຂູ້າງ ແລະ ຊນິ ຂອງມມທີ່ກື ົງໜູ້າກບັ ມັນປະກອບເປັນອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ນາກນັ a Aˆ  b Bˆ  c sin sin sin Cˆ ກດິ ຈະກາ 4 : ຈງ່ົັ ພິສດວ່າ a Aˆ  b Bˆ  c sin sin sin Cˆ ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ຮູວ້ າ່ b  5cm , Bˆ  30 , Aˆ  45 ຈົັ່ງຊອກຫາ a ແລະ ມມ Cˆ ຂສ້ໍ ົມມຸດ ໃຫູ້  ABC ຮວູ້ າ່ b  5cm , Bˆ  30 , Aˆ  45 ຂສໍ້ ະຫຸຼບ ຊອກຫາ a  ? , c  ? ອງິ ຕາມສດ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180  Cˆ 180  Aˆ  Bˆ Cˆ  180  45  30  Cˆ  180  75 Cˆ  105 ດງັ່ ນນັື້ Cˆ 105 ອິງຕາມສດ a Aˆ  b  c sin sin Bˆ sin Cˆ 91

vii a Aˆ  b Bˆ sin sin ab sin 45 sin 30 a b 21 22 2a  2b 2 2a  2 2b a  2 5cm a  5 2cm ດັ່ງນ້ັືນ, a  5 2cm ແລະ Cˆ 105 ກດິ ຈະກາ 5: ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ຮູ້ວ່າ c  4cm , Cˆ  45 , Bˆ  30 ຈົັ່ງຊອກຫາ b , a ແລະ ມມ Aˆ 1.2.2 ຫກັຼ ເກນຕາລາໂກຊນິ ໃນຮບສາມແຈ ABC ເຮົາມີ a , b , c ແມນ່ ຂູ້າງຂອງຮບສາມແຈ ແລະ ມີ Aˆ , Bˆ , Cˆ ເຊ່ິງື ວ່າ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180 ຫກຼັ ເກນ ໃນຮບສາມແຈໜງືຶ່ ກາລັງສອງຂອງຂູ້າງໜ່ືຶງເທັ່າົ ກບັ ຜນົ ບວກລະຫວ່າງກາລງັ ສອງຂອງສອງຂູ້າງອ່ືນລບົ ອອກສອງ ເທອື່ ຜນົ ຄນຂອງສອງຂູ້າງນນ້ັື ກບັ ໂກຊິນຂອງມມທ່ືີປະກອບດວູ້ ຍສອງຂາູ້ ງດັງ່ກ່າວ. a2  b2  c2  2bc cos Aˆ b2  a2  c2  2ac cosBˆ c2  a2  b2  2ab cosCˆ ກດິ ຈະກາ 6 : ຈ່ງົັ ພິສດວ່າ: a2  b2  c2  2bc cos Aˆ b2  a2  c2  2ac cosBˆ c2  a2  b2  2ab cosCˆ 92

vii ຕວົ ຢາ່ ງ 3 : ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ມຂີ ູ້າງ a  2 , c  3cm ແລະ ມມ Bˆ  30 ຈົັ່ງຊອກຫາຂູ້າງຂອງ b? ຂ້ໍສົມມດຸ ໃຫູ້  ABC ຮູວ້ າ່ a  2cm , ຂ້ໍສະຫຼຸບ c  3 , Bˆ  30 ຊອກຫາ b  ? ອິງຕາມສດ b2  a2  c2  2ac cosBˆ    2 2 b2  2  3  2 2  3 cos 30 b2  2  3 2 2  3  3 2 b2  5  3 2 b 53 2 ດັ່ງນັື້ນ b  5  3 2 2. ການພວົ ພນັ ໄຕມມຢໃ່ ນຮບສແີື່ ຈ ເຮາົ ມ:ີ h  ADsin 3. ການພວົ ພນັ ໄຕມມມຕິ ໃິ ນຮບວງົ ມນົ 93

vii ເຮົາມ:ີ tg  sin cos cot g  cos sin ກດິ ຈະກາ 7: ຈ່ັົງພິສດວ່າ: tg  sin cos cot g  cos sin  ເຄອື່ ງໝາຍຂອງໄຕມມມຕິ ິ - ເຄື່ອງໝາຍຂອງຕາລາຊິນ sin - ເຄ່ືອງໝາຍຂອງຕາລາຊິນ cos 94