ເລຂາຊັ້ນຕົ້ນ

vilaisavanh ບດົ ທີ 13 ເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງທສ່ືີ ະເໜດີ ້ວຍຮບູ ເລຂາຄະນດິ ເວກັ ເຕີ 1. ນຍິ າມ 1.1 ອາການບມໍ່ ທີ ດິ ແລະ ອາການມທີ ດິ ໃນວິຊາຟຊກິ ສາດ ແລະ ບນັ ດາອາການທືີ່ພວກເຮາົ ເຄຍີ ພົບເຫນັ ຫຼື ຮຽນຮູ້ເຊັນ່ : ອາການທື່ີບອກສະ ເພາະທາງດ້ານຂະໜາດ ຊ່ືິງສາມາດສະແດງດ້ວຍຈານວນຈິງເຊ່ັນ: ໄລຍະທາງ, ເນອ້ັື ທີ່ື, ອນຫະພມູ , ຄວາມດັນ, ມວນສານ ແລະ ຄວາມໄວເປັນຕ້ນົັ , ລວ້ ນແຕ່ແມ່ນອາການບ່ໍມີທິດ ຫຼື ອາການສະກາແລ (Scalar), ແຕ່ຍັງມີ ອາການອນື່ ອກີ ຫາຼ ຍຢາ່ ງ ທື່ີມີທັງຂະໜາດ ແລະ ທດິ ທາງ ເຊງ່ືິ ບໍ່ສາມາດສະແດງອອກດວ້ ຍຈານວນຈງິ ພຽງແຕ່ຄ່າ ດຽວໄດ້ເຊ່ນັ : ຄວາມໄວ, ຄວາມແຮງ, ແຮງດນັ , ໂມເມນັ ຕັມ (Momentum), ເປັນຕົັ້ນລ້ວນແຕ່ແມນ່ ອາການມີ ທດິ ຫຼື ເວກັ ເຕີ (Vector) 1.2 ນຍິ າມເວກັ ເຕີ ທອ່ ນຊືໜ່ ງ່ື ທ່ືີການດົ ລາດັບຂອງເມດັ ສັ້ນົ ເອ້ນີັ ວາ່ : ເວກັ ເຕີ, ເມດັ ສັົ້ນທາອດິ ເອັນ້ີ ວາ່ ເມດັ ຕນັົ້ , ເມັດສນ້ັົ ທ່ີືສອງເອ້ັນີ ວ່າ ເມັດປາຍ. ໂດຍທ່ັົວໄປເພື່ນິ ສັນຍາລກັ ເວັກເຕີດ້ວຍ AB,CD,... ຫືຼ a,b,... ຕົວຢ່າງ 1: AB (ຮູບ 1) ອ່ານວາ່ ເວກັ ເຕີ AB, ມີເມດັ ຕນ້ົັ ແມນ່ ເມດັ A ແລະ ເມດັ ປາຍແມນ່ ເມັດ B ເສັ້ນຊື່ (xy) ທ່ືີບັນຈ AB ເອັນ້ີ ວາ່ ແກນຂອງເວັກເຕີ AB . 2. ຄນລກັ ສະນະຂອງຮູບເລຂາໜ້າພຽງທສ່ີື ະເໜແີ ບບເວກັ ເຕີ 2.1 ເວກັ ເຕີທມ່ີື ີເມັດຕັົນ້ ແລະ ເມດັ ປາຍເຕງັ ກນັ ເອີ້ນັ ວາ່ : ເວກັ ເຕສີ ູນ. ສັນຍາລັກດວ້ ຍ 0 ຫືຼ 0. ຕວົ ຢ່າງ: AA  0  0. 2.2 ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື AB ເອີ້ນັ ວາ່ : ຄາ່ ຂາດຕວົ ຂອງ AB . ສັນຍາລັກດ້ວຍ AB  AB ດັງ່ ນ້ັນ, ໂມດນູ ຂອງເວັກເຕີໃດໆກຕ່ື າມຈະຕ້ອງແມນ່ ຈານວນໜງ່ື ທື່ີໃຫຍ່ກວ່າ ຫືຼ ເທ່ົາັ ກບັ ສູນ. ຄ່າຂາດຕວົ ຂອງເວັກເຕີສູນ ຈະເທົ່າັ ສນູ 0  0. 2.3 ເວກັ ເຕີທມ່ືີ ີຄ່າຂາດຕົວເທ່າົັ 1 ເອີ້ນັ ວ່າ: ເວກັ ເຕີຫົວໜວ່ ຍ. ສັນຍາລກັ ດ້ວຍ e,u, v ຫຼື i, j, k ເຊ່ງືິ e  u  v  i  j  k  1. 2.4 ຖ້າແກນຂອງສອງເວັກເຕີໃດໜື່ງເຕັງກນັ ຫຼື ຂະໜານກັນເພິືນ່ ເອີ້ັນວ່າ: ສອງເວກັ ເຕີນ້ນັ ພ້ອມລວງ ຫືຼ 147

vilaisavanh ພອ້ ມທິດ. ໃຫ້ສາມເສນ້ັ ຊ່ື a,b, c ຂະໜານກັນ (ຮບູ 2) AB ແລະ CD ເອນັີ້ ວ່າ: ພ້ອມທດິ ກັນ, ເພາະວາ່ ຖ້າເຮາົ ຍ້າຍຂະໜານ AB , ໂດຍໃຫ້ A ເຕັງກບັ C ຈະເຫນັ ວ່າ B ແລະ D ຢູ່ເບອື້ັ ງດຽວທຽບກບັ ເມດັ ຕນ້ັົ A ຫຼື C ສັນຍາລກັ AB  CD ອ່ານວ່າ AB ພ້ອມທິດກບັ CD . ສາລັບ CD ແລະ EF ເອັນີ້ ວ່າ: ຕ່າງທິດກັນ (ຫຼື ພ້ອມລວງ) ເພາະວ່າ ເມື່ອຍ້າຍຂະໜານ EF ໂດຍໃຫ້ E ເຕັງກັບ C ຈະເຫນັ ວາ່ ເມັດປາຍ D ແລະ F ຢູ່ຄົນລະ ເບັ້ອື ງທຽບກບັ ເມັດກົກ E ຫືຼ C ສນັ ຍາລກັ ດ້ວຍ CD  EF ອາ່ ນວາ່ CD ພອ້ ມລວງກັບ EF . ໝາຍເຫດ: ສາລບັ ເວັກເຕີ 0 ມີທິດ ແລະ ລວງຕາມໃຈ. 2.5 ສອງເວັກເຕີຈະເທາົ່ັ ກນັ ກຕ່ໍເມອ່ື ພວກມັນມີຄວາມຍາວເທົາ່ັ ກັນ ແລະ ພອ້ ມທດິ ກັນ. ຕວົ ຢ່າງ : ໃຫ້ເສ້ັນຊື່ m ເປນັ ແກນຂອງ MN, a ເປນັ ແກນຂອງ AB ເຊງ່ິື m a ແລະ MN  5u , AB  5u ເຮົາໄດ້ MN  AB . ໝາຍຄວາມວ່າ ເມອື່ ເຮົາຍ້າຍຂະໜານ MN ໂດຍໃຫ້ M ເຕງັ ກັບ A , ເວລານັ້ນ N ກໍ່ ຈະເຕັງກັບ B . ທັງໝົດນນັ້ ສະແດງໃຫ້ເຫນັ ວາ່ ສອງເວັກເຕີ MN ແລະ AB ເທາັົ່ ກນັ . ສັນຍາລກັ ດວ້ ຍ MN  AB . ໝາຍເຫດ: ກລະນເີ ວັກເຕີຢູ່ໃນວົງມົນເຊງິື່ ໄລຍະຫາ່ ງຂອງແຕລ່ ະເວັກເຕີເທົັ່າກບັ ລດັ ສະໝີຂອງວງົ ມົນນັ້ນເອງ ເຮົາ ຈະເຫນັ ວ່າ OP ແລະ OQ ບ່ໍເທົັ່າກນັ ຍ້ອນວາ່ OP ແລະ OQ ບພໍ່ ອ້ ມທດິ , ເຖິງວ່າ OP  OQ  R ກຕ່ໍ າມ, ບນັ ດາເວັກເຕີບພໍ່ ອ້ ມທິດ, ບພໍ່ ອ້ ມລວງເອນັີ້ ວ່າ: ບັນດາເວກັ ເຕີເສລີ. 2.6 ສອງເວກັ ເຕີມຄີ ວາມຍາວເທ່າົັ ກນັ ແຕ່ຕ່າງທິດ (ຫືຼ ພອ້ ມລວງ) ເພິ່ນື ເອີນ້ັ ວ່າ: ສອງເວັກເຕີກົງກັນຂາ້ ມ ຕວົ ຢາ່ ງ: ໃຫ້ເສັ້ນຊື່ m ເປນັ ແກນຂອງ MN, a ເປນັ ແກນຂອງ AB ເຊື່ງິ m a ໃນນັ້ນເຮາົ ມີ MN  3u , AB  3u ເຮາົ ໄດ້ MN  AB . ເມືອ່ ຍາ້ ຍຂະໜານ MN ໂດຍໃຫ້ M ເຕງັ ກບັ A , ເວລານ້ັນເມັດ N ກໍ່ຈະ ບນັ ຈຢູ່ເທງິ a ແຕ່ຢູ່ຕ່າງເບັ້ອື ງ ທຽບກັບເມັດ A ( ຫືຼ ເມັດ M ) ຫຼື ເວັົ້າໄດ້ອີກຢາ່ ງໜື່ງ ວ່າ N ແລະ B ເຄືິງ່ ຄືກັນ ທຽບກບັ ໃຈກາງເຄ່ິງື ຄື A . ທງັ ໝົດທ່ືີໄດ້ກ່າວມານັ້ນສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ ສອງເວກັ ເຕີ MN ແລະ AB ແມນ່ ສອງ 148

vilaisavanh ເວັກເຕີກົງກັນຂ້າມກັນ. ສນັ ຍາລັກດວ້ ຍ MN  AB . 2.7 ບນັ ດາເວັກເຕີ ເຊ່ືິງແກນຂອງພວກມນັ ພອ້ ມຂະໜານກບັ ໜ້າພຽງໜ່ືງເອັ້ີນວາ່ : ບັນດາເວັກເຕີຂ້ນັ ກັບ ໜ້າພຽງດຽວ. ຕວົ ຢາ່ ງ: ໃຫ້ຮບູ ສາມແຈ ABC, AM ແມ່ນເສນັ້ ຈອມກາງ. ຢູ່ສ່ວນແກ່ຍາວຂອງ MA ເຮາົ ວາງ AN  AM , ຜ່ານເມດັ N ຂີດເສັນ້ ຊ່ືຂະໜານກັບ BC , ເສັ້ນຊືນ່ ້ັີຕັດສວ່ ນແກຍ່ າວຂອງຂ້າງ BA ຢູ່ D ແລະ CA ຢູ່ E . ຜາ່ ນ ເມດັ M ຂດີ ເສນັ້ ຊື່ຂະໜານກບັ AB , ເສນັ້ ຊື່ນັຕີ້ ັດຂ້າງ AC ຢູ່ F ແລະ ED ຢູ່ K . ກ. ຈງົ່ັ ໃຫ້ຄາສງັ ເກດ ການພົວພັນລະຫວ່າງຄເູ່ ວັກເຕີຕໍ່ໄປນີັ້ BM ກັບ DK , BC ກັບ DE ແລະ AM ກບັ DK . ຂ. ໃຫ້ AB  6u, BC  8u, AM  5u ( u ແມນ່ ຫວົ ໜວ່ ຍລວງຍາວ) ຈົງ່ັ ຄິດໄລ່ລວງຍາວຂອງ MN, MK, EK ແລະ FM . ວທິ ີແກ້: ກ. + ສາລບັ ຄູ່ເວກັ ເຕີ BM ກັບ DK , ຕາມບົດເລກທີື່ໃຫ້ມາ ເຮົາໄດ້ DK BM , BD MK . ສະແດງວາ່ BMKD ເປັນຮູບສ່ືີແຈຂ້າງຂະໜານ ເຮົາມີ BM  DK ຫືຼ BM  DK ພ້ອມນເ້ັີ ຮົາກມີ BM ແລະ DK ພ້ອມທດິ ກນັ . ດງັ່ ນັ້ນ, ອງີ ຕາມ 2.5 ສອງເວກັ ເຕີນ້ັີເທ່ົັາກັນ BM  DK . + ສາລັບຄູ່ເວັກເຕີ BC ກັບ DE , ຕາມບົດເລກໃຫ້ມາເຮາົ ມີ BC DE. ສັງເກດ ABM ກັບ AND ແລະ ACM ກັບ AEN . ອີງຕາມຫັຼກເກນຕາແລດັ ໝນູ ໃຊ້ເຂາັ້ົ ໃນຮູບສາມແຈ ເຮົາຂຽນໄດ້: AM  AB  BM (1) ແລະ AM  AC  MC (2) AN AD DN AN AE NE ແຕ່ເຮົາມີ BM  MC ຈິງ່ື ໄດ້ BM  MC  DN  NE (3) ດງ່ັ ນັ້ນ, BC  DE ຫຼື BC  DE , ແຕ່ BC ແລະ DE ຕາ່ ງທິດ. ສະນ້ັນ, ອີງຕາມ 2.6 ສອງເວກັ ເຕີ BC ກບັ DE ກງົ ກນັ ຂາ້ ມກັນ BC  DE . 149

vilaisavanh + ສາລັບຄູ່ເວກັ ເຕີ AM ກບັ DK , ເຮົາສັງເກດໄດ້ວ່າ ແກນຂອງ AM ກັບ DK ຕັດກນັ ຢູ່ເມັດ N ດັງ່ ນັ້ນ, ສອງເວັກເຕີດັ່ງກ່າວບພໍ່ ້ອມທດິ ແລະ ບພໍ່ ອ້ ມລວງ ຫຼື AM ກັບ DK ແມນ່ ສອງເວັກເຕີເສລີ. ຂ. + ຄດິ ໄລ່ MN  ? ເຮົາມີ AM  NA  5u ຕາມບດົ ເລກໃຫ້ມາ ເຮົາໄດ້: MN  2MA ຫຼື MN  2 MA  25u 10u ດັ່ງນັ້ນ, MN 10u + ຄດິ ໄລ່ MK  ? ຕາມການສງັ ເກດ ເຮາົ ມີ MK  BD ຍ້ອນວ່າ BDKM ເປັນຮູບສື່ີແຈຂ້າງຂະໜານ ແຕ່ BD  2AB ຫຼື ວາ່ MK  BD ແລະ BD  2 AB ເຮົາຈະໄດ້ ດ່ງັ ນັ້ນ, MK 12u + ຄິດໄລ່ EK  ? ຕາມການສງັ ເກດຢູ່ຂ້ໍ ກ. ເຮາົ ມ:ີ EN  ND  DK  BM ຫຼື EN  ND  DK  BM ດງ່ັ ນັ້ນ, EK  3 BM ແຕ່ເຮາົ ມີ BM  1 BC ຕາມບດົ ເລກໃຫ້ຮູ້ວາ່ BC  8u ຈງ່ືິ ໄດ້ BM  4u ສະນັ້ນ, 2 EK 12u. + ຄດິ ໄລ່ FM  ? ສງັ ເກດໃນ ABC , ເຮົາມີ MF AB ຈື່ງິ ໄດ້: FMC ຄ້າຍຄືກັບ ABC ( F  A, M1  B ແມນ່ ມມຮ່ວມ) ດ່ັງນ້ັນ, FM  CM  CF (4) AB CB CA ເຮົາມີ AB  6u, BC  8u, CM  4u ຈາກ (4) ເຮາົ ໄດ້: FM CM FM  4u  1   ສະນນັ້ , FM  3u AB CB 6u 8u 2 2.8 ຕົວປະສານເວັກເຕີໃນລະບບົ ເສັນ້ ເຄາ້ັົ ຕງັ້ ສາກ ຢູ່ໃນລະບບົ ເສັ້ນເຄົ້ັາຕັ້ງສາກ oxy ໃຫ້ເວັກເຕີ AB ເຊິື່ງວ່າເມດັ A(x1, y1) ແລະ B(x2, y2 ) 150

vilaisavanh ໃຫ້ OE1 ແລະ OE2 ແມນ່ ເວັກເຕພີ ັືນ້ ຖານ (ເວັກເຕີຫວົ ໜວ່ ຍ) ທ່ີືມີໂມດູນເທົັ່າ 1. ຖາ້ ວາ່ OE1 ແລະ OE2 ບຮ່ໍ ວ່ ມລວງກບັ AB ເຮົາສາມາດຂຽນພາຍໃຕຮ້ ູບຮ່າງ OA  x1OE1  y1OE2 OB  x2 OE1  y2 OE2 ຈາກ AB  OB OA ເຮົາໄດ້ AB  (x2  x1)OE1  ( y2  y1)OE2 ໝາຍຄວາມວາ່ ຄູ່ຈານວນ (x2  x1) ແລະ (y2  y1) ແມນ່ ຕວົ ປະສານຂອງ AB ເພືນ່ິ ຂຽນ AB  x2  x1; y2  y1 ຫຼື AB   x2  x1; y2  y1  ຫືຼ AB   x2  x1   y2  y1     ສດູ ການຊອກຫາຕວົ ປະສານຂອງເວກັ ເຕີ ໃຫ້ A xA, yA  ແລະ B  xB , yB  ດັ່ງນນ້ັ , AB  xB  xA, yB  yA ກດິ ຈະກາ 2 : ຈົງັ່ ຊອກຕົວປະສານຂອງເວກັ ເຕລີ ່ມນັີ້: 151

vilaisavanh a. A3,6 ແລະ B 8, 2 ຈັົງ່ ຊອກຫາ AB    b. N 72, 75 ແລະ M 98, 108 ຈ່ັງົ ຊອກຫາ MN c. Q log3 243,log4 256 ແລະ  ຈັົ່ງຊອກຫາ RQ R  log8 128, log1 652   5 d. P log2 27, log316 ແລະ U log2 81, log3128 ຈັງົ່ ຊອກຫາ PU 3. ຂະໜາດຂອງເວກັ ໃຫ້ A xA, yA  ແລະ B  xB , yB  ອງິ ຕາມຫກັຼ ເກນປຕາກ ເຮົາມ:ີ 2 2 BC 2 AB  AC  AB 2   xB  xA 2   yB  yA 2 AB   xB  xA 2   yB  yA 2 ດ່ັງນັ້ນ AB   xB  xA 2   yB  yA 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 1 : ຈງັົ່ ຊອກຂະໜານຂອງເວກັ ເຕີ MN ຕາມເງ່ືອນໄຂລ່ມນ:້ັີ a. M 4, 3 ແລະ N 5, 6    b. N  3, 2 ແລະ M  12,  18 ວທິ ແີ ກ:້ a. M 4, 3 ແລະ N 5, 6 152

vilaisavanh ອງິ ຕາມສູດ MN   xN  xM 2   yN  yM 2 MN  5  42  6  32 MN  92  32 MN  81 9 MN  99 ດງັ່ ນນ້ັ MN  9,94    b. N  3, 2 ແລະ M  12,  18 ອິງຕາມສູດ MN   xN  xM 2   yN  yM 2    2 2 MN   3  12  2  18    2 2 MN   3  2 3  2  3 2    2 2 MN  3  4 2 MN  3 32 MN  62 ດ່ງັ ນ້ັນ MN  7,8 4. ຜນົ ຄນູ ສະກາແລ 1. u  v  v u 2. u v  w  u  v  u  w 3. mu v   mu v  u mv  4. u  v  x1x2  y1 y2 5. u u  u 2 6. u  v  x1x2  y1y2  0 ຈະໄດ້ u ຕ້ັງສາກ v ເຊິ່ືງວ່າ u  0 , v  0 7. ຖ້າວາ່ x1y2  x2 y1  0 ຈະໄດ້ u ຂະໜານ v 153

vilaisavanh 8. i i  i2  1 , j  j  j2  1, i  j  0 ແລະ j i  0 9. u  v  u  v cos ຫືຼ AB  AC  AB AC cos ກດິ ຈະກາ 3 : 1. ຈົງັ່ ຄດິ ໄລ່ u v ຖາ້ u  4i  4 j , v  5i ແລະ ມມູ ປະກອບສ້າງລະຫວ່າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v ເທົັ່າ 45 2. ການົດໃຫ້ u v  4 ແລະ u  2 , v  4 ຈົັງ່ ຊອກຫາມູມປະກອບສ້າງລະຫວ່າງເວັກເຕີ u ແລະ v 3. ໃຫ້ A1,1 , B 5,1 ແລະ C 5, 4 ຈັງ່ົ ຊອກ ມູມປະກອບລະຫວາ່ ງເວກັ ເຕີ BA ແລະ BC , ມູມ ປະກອບລະຫວ່າງເວັກເຕີ AB ແລະ AC ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວາ່ ງເວັກເຕີ CA ແລະ CB 154

vilaisavanh ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ສງັ ເກດເບງື່ິ ຮບູ ແຕ້ມເຫ່າັົຼ ນັີ້ແລວ້ ບອກທດິ ແລະ ລວງຂອງສອງເວັກເຕີ 2. ຈົ່ັງຄິດໄລ່ຕວົ ປະສານຂອງບັນດາເວັກເຕີ AB,CD, EF,GH. ຖາ້ A(2;3), B(1; 4),C(0; 2), D(3;0), E(2;3), F(1; 2),G(3; 2), H (4; 2) 1. A10,5 ແລະ B 6, 1 ຈ່ົັງຊອກຫາ AB    2. N 48, 80 ແລະ M 147, 125 ຈ່ງົັ ຊອກຫາ MN    3. S 144, 121 ແລະ O 225, 196 ຈັ່ງົ ຊອກຫາ SO 4. Q log4 1024, log5 3125 ແລະ  ຈັ່ງົ ຊອກຫາ MN R  log4 256, log1 1024   4 5. P log3 256, log4 3125 ແລະ  ຈງັ່ົ ຊອກຫາ PU U  log1 243, log64 625  3  6. ຈ່ົັງຂຽນຕວົ ປະສານຂອງເວກັ ເຕີຕາມຮູບແຕ້ມລ່ມນ້ີ:ັ 155

vilaisavanh 156

vilaisavanh 157

vilaisavanh 158

vilaisavanh 7. ຈ່ົງັ ຊອກຂະໜານຂອງເວກັ ເຕີ MN ຕາມເງອື ນໄຂລມ່ ນີ້ັ a. M 2, 1 ແລະ N 3, 4    b. N 3 2,2 3 ແລະ M  50, 48 c. M 2, 5 ແລະ N 5, 7    d. Q  log1 1024, log1 729  ແລະ R  log5 625, log1 216  4 3  6    e. N 4 5, 5 6 ແລະ M  180,  150 8. ຈງັ່ົ ຊອກຂະໜານຂອງເວັກເຕລີ ່ມນີັ:້ a. MN 2, 3  b. AB  9, 8 c. AB  3i  2 2 j d. u  log100i  log2 8 j e. v   log3 27i  log4 64 j  f. v  15, 34 g. u  log8 512,  log7 2401 9. ຈງ່ົັ ຄິດໄລ່ u v ຖາ້ u  2i  3 j , v  4i  4 j 10. ການົດໃຫ້ u v  3 2 ແລະ u  3 , v  2 . ຈງົ່ັ ຊອກຫາມູມປະກອບສ້າງລະຫວ່າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v 11. ຈົງ່ັ ຄດິ ໄລ່ u v ຖາ້ u  5 , v  3 ແລະ ມູມປະກອບສ້າງລະຫວາ່ ງເວັກເຕີ u ແລະ v ເທົາ່ັ 30 12. ຮູ້ວ່າ u v 10 ຖ້າ u  2x , v  1 ແລະ ມູມປະກອບສາ້ ງລະຫວ່າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v ເທ່ົັາ 60 ຈົ່ງັ 3 ຊອກຫາຄ່າຂອງ x 13. ຖາ້ ວ່າ u v  3 , u  2i  3 j , v  3i  yj ຈັ່ົງຊອກຄາ່ ຂອງ y 14. ໃຫ້ A1,1 , B 4,1 ແລະ C 4,5 ຈງ່ົັ ຊອກ ມູມປະກອບລະຫວາ່ ງເວກັ ເຕີ BA ແລະ BC , ມມູ 159

vilaisavanh ປະກອບລະຫວາ່ ງເວກັ ເຕີ AB ແລະ AC ແລະ ມູມປະກອບລະຫວ່າງເວກັ ເຕີ CA ແລະ CB 15. ໃຫ້ A1, 2 , B 1, 4 ແລະ C 4,1 ຈງ່ົັ ຊອກ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ຜນົ ບວກມມູ ໃນ ຂອງຮບູ ສາມແຈ. 16. ໃຫ້ A1,1 , B 4, 4 ແລະ C 4,1 ຈ່ົງັ ຊອກ ລວງຮອບຂອງຮບູ ສາມແຈ ABC ແລະ ຜນົ ບວກມູມໃນ ຂອງຮບູ ສາມແຈ 17. ໃຫ້ A2, 2 , B 3, 4 ແລະ C 1,5 ຈົງັ່ ຊອກ ລວງຮອບຂອງຮບູ ສາມແຈ ABC ແລະ ຜນົ ບວກມມູ ໃນຂອງຮູບສາມແຈ 18. ຈ່ົັງກວດເບງ່ິື ວ່າເວກັ ເຕີລ່ມນ້ີັ ຄູ່ໃດຂະໜານກັນ ແລະ ຄໃູ່ ດຕັ້ງສາກກັນ ພ້ອມທງັ ໃຫ້ເຫດຜນົ a. u  2i  4 j ແລະ v  8i  4 j b. AB3, 5 ແລະ CD6,10 c. u  2i  3 j ແລະ v  2i  6 j    d. AB 5, 3 ແລະ AC 6, 10 e. u  3i  4 j ແລະ v   3i  3 j 4 160

vilaisavanh ບດົ ທີ 14 ການພວົ ພນັ ລະຫວາ່ ງເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງກບັ ເລຂາຄະນດິ ແບບເວກັ ເຕີ 1. ການພວົ ພນັ ໃນຮບູ ແບບຕ່າງໆ. 1.1 ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວາ່ ງສອງເມດັ . ຫັຼກເກນ: ກາລັງສອງຂອງໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງສອງເມດັ ຕາມໃຈໃນແຜນ່ ພຽງ ເທົັ່າຜົນບວກລະຫວາ່ ງ ກາລງັ ສອງຂອງຜນົ ລບົ ຂອງສອງຕວົ ປະສານ. ໃຫ້ A(x1; y1) ແລະ B(x2; y2 ) d 2 ( A; B)  (x2  x1)2  ( y2  y1)2 ຫຼື d ( A; B)  (x2  x1)2  ( y2  y1)2 ຜາ່ ນເມັດ A ເຮາົ ຂດີ ເສນັ້ ຂະໜານກບັ ແກນ Ox ແລະ ຕັ້ງສາກກບັ ແກນ Oy ຢູເ່ ມດັ M(0; y1) . ຜ່ານເມດັ B ຂີດ ເສນັ້ ຊືທ່ ີ່ືຂະໜານກັບແກນ Oy ແລະ ຕງ້ັ ສາກກບັ ແກນ Ox ຢເູ່ ມດັ N(x2;0) ສອງເສ້ນັ ຊດື່ ັ່ງກ່າວຕດັ ກນັ ຢເູ່ ມັດ K(x2; y1) . ດັ່ງນັ້ນ,  AK   BK  ເຮົາເຫນັ ວ່າ B ແລະ K ມີຕວົ ປະສານນອນອັນດຽວກັນຄື x2 , A ແລະ K ມຕີ ວົ ປະສານຕັ້ງອັນດຽວກນັ ຄື y1 ດັ່ງນັນ້ , ອງີ ຕາມສູດໄລຍະຫາ່ ງລະຫວ່າງສອງເມດັ ເທິງແກນຈານວນເຮົາຈະໄດ:້ d( A; K)  AK  x2  x1 d(B; K)  BK  y2  y1 AKB ແມນ່ ຮູບສາມແຈສາກ, ສາກຢູ່ K ອີງຕາມຫຼກັ ເກນປຕາກເຮົາຈະໄດ້: 161

vilaisavanh AB 2  AK 2  BK 2  AB 2  AK 2  BK 2  AB  (x2  x1)2  ( y2  y1)2 (1) ຕົວຢາ່ ງ: ຈ່ັົງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງສອງເມັດລມ່ ນີັ້: 1. A(5;3) ແລະ B(2; 8) 2. A(3 2; 2) ແລະ B(0;3 2) ວທິ ແີ ກ້ 1: ອີງຕາມສູດ (1) ເຮົາຈະໄດ້ d(A; B)  AB  ((2)  (5))2  (8  3)2  32  (11)2  9 121  130  d(A; B)  130 ວິທແີ ກ້ 2: ອງີ ຕາມສູດ (1) ເຮົາຈະໄດ້ d(A; B)  AB  (0  (3 2))2  (3 2  2)2  (3 2)2  (4 2)2  18  32  50 5 2  d(A; B)  5 2 1.2 ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວາ່ ງເມດັ ຫາເສນ້ັ ຊື່ ນຍິ າມ: ໄລຍະຫ່າງຈາກເມດັ ໜ່ງື ຫາເສັ້ນຊື່ໜ່ືງໃນແຜນ່ ພຽງ ແມ່ນຄວາມຍາວຈາກເມັດດັ່ງກ່າວຫາ ເສ້ັນຊື,່ ເຊືງ່ິ ຄວາມຍາວດັງ່ ກ່າວຈະຕ້ອງຕງ້ັ ສາກກບັ ເສັ້ນຊນ່ື ັນ້ . ໃນແຜນ່ ພຽງ Oxy ສົມມດວາ່ ໃຫເ້ ມັດ M1(x1; y1) ແມ່ນເມັດຕາມໃຈຢູ່ນອກເສນ້ັ ຊື່ L . L ແມນ່ ເສັນ້ ຊື່ທືີ່ໃຫກ້ ່ອນ ແລະ ເວັກເຕີ PQ ແມນ່ ເວັກເຕຕີ ັ້ງສາກຂອງເສນັ້ ຊື່ L ເຊງິື່ ວ່າ PQ(A; B) ແລະ ໝາຍດ້ວຍ r ແມ່ນລວງຍາວຂອງເວກັ ເຕີ PQ ສະນນັ້ r  A2  B2 . ຈາກນ້ເັີ ຮົາຈະຊອກຫາໄລຍະຫາ່ ງຈາກເມັດ M1(x1; y1) ຫາເສັ້ນຊື່ L : Ax  By  C  0 162

vilaisavanh ສົມມດວ່າ ເມັດ M1(x1; y1) ຢູ່ນອກເສັນ້ ຊ່ື L : Ax  By  C  0 ເຮົາຂີດເສ້ັນແຕ່ເມັດ M1 ຫາ M ແລະ ຕັ້ງສາກກັບເສັນ້ ຊື່ L , ເຮົາໄດ້ MM1  L ໄລຍະຫາ່ ງແຕ່ເມັດ M1 ຫາ L ແມ່ນລວງຍາວຂອງ MM1 ແລະ MM1 PQ ເຊິງ່ື PQ ແມ່ນເວກັ ເຕີຕງັ້ ສາກກັບ L ເວັກເຕີ MM1 ອາດຈະມີທິດດຽວ ຫຼື ຕ່າງທດິ ກບັ PQ , ສະນັ້ນ: (PQ, MM1)  PQ  MM1 cos 0  rd ເຊິງື່ ວາ່ MM1  d ຫືຼ (PQ, MM1)  PQ  MM1 cos180  rd ໝາຍຄວາມວ່າ (PQ, MM1)  rd (2) ອີກປະການໜ່ງື ເຮົາມີ PQ  ( A; B), MM1  (x1  x; y1  y) ດັງ່ ນັ້ນ (PQ, MM1)  A(x1  x)  B( y1  y)  Ax1  By1  C  ( Ax  By  C) ຍ້ອນວ່າເມດັ M (L) ດັງ່ ນນັ້ , Ax  By  C  0 ຈາກຜນົ ໄດ້ຮັບເຮົາໄດ້ (PQ, MM1)  Ax1  By1  C (3) ສມົ ທຽບ (2) ກັບ (3), ເຮາົ ຈະໄດ້ rd  Ax1  By1  C ຈາກນເັ້ີ ຮາົ ຮູວ້ າ່ d ແມນ່ ໄລຍະຫາ່ ງແຕເ່ ມດັ M1(x1; y1) ຫາເສັນ້ ຊື່ L ຈະຕ້ອງເປນັ ຄ່າບວກ. ດັງ່ ນ້ນັ , ເຮາົ ຖອນໄດ້ d  Ax1  By1  C (4) A2  B2 ໝາຍເຫດ: ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດເຄັ້ົາ ຂອງລະບົບເສັ້ນເຄັາົ້ ຕັ້ງສາກ ຫາ ເສນັ້ ຊື່ L : Ax  By  C  0 ແມ່ນ: 163

vilaisavanh C (5) d A2  B2 ຕົວຢາ່ ງ: ຈົງັ່ ຊອກໄລຍະຫ່າງແຕ່ເມັດ (1;2) ຫາເສັ້ນຊື່ L : 3x  4y 10  0 . ວິທແີ ກ້: ເຮົາມີ M1(1; 2), A  3, B  4, C  10 ອງີ ຕາມສູດ (4) ເຮົາໄດ້: d  3.1 4.2 10  15  15  3 . 32  (4)2 25 5 1.3 ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວາ່ ງສອງເສນັ້ ຊື່ ນຍິ າມ 1: ສອງເສ້ນັ ຊ່ືຂະໜານກນັ ແມນ່ ສອງເສັນ້ ຊທ່ື ່ືີມີສາປະສິດຂອງ x ແລະ ສາປະສດິ ຂອງ y ອນັ ດຽວກັນ. ນິຍາມ 2: ໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງສອງເສນັ້ ຊ່ືຂະໜານກັນເທາ່ັົ ກບັ ລວງຍາວ ຂອງເສນ້ັ ຊຕ່ື ້ັງສາກ ລະຫວ່າງສອງເສັນ້ ຊດື່ ັງ່ ກ່າວ. ໃຫ້ສອງເສ້ັນຊື່ຂະໜານກັນ L1 L2 L1 : Ax  By  C  0 L2 : Ax  By  D  0 ສມົ ມດໃຫ້ເມັດ M1(x1; y1) ຕາມໃຈຢເູ່ ສ້ັນຊື່ L1 , ຖ້າຢາກຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງເສັນ້ ຊື່ L1 ຫາ ເສນ້ັ ຊື່ L2 ແມ່ນພວກເຮົາຊອກຫາໄລຍະຫ່າງແຕເ່ ມດັ M1 ຫາເສນັ້ ຊ່ື L2 ໂດຍທີວື່ ່າຈາກເມັດ M1 ຢູ່ເສັ້ນຊ່ື L1 ເຮົາ ຂີດເສັ້ນຊື່ໜງື່ ທີື່ຕງ້ັ ສາກກບັ ເສ້ັນຊ່ື L2 ຢູ່ເມັດ M 2 (x2; y2 ) ໝາຍຄວາມວາ່ ພວກເຮາົ ໄດ້ M1M2   L2 ແລະ M 2M1  L1 . ເຮາົ ໄດ້ d (L1; L2 )  d (M1; M2 ) 164

vilaisavanh  d (L1; L2 )  M1M 2 ,M1  L1 ແລະ M 2  L2 ອງີ ຕາມສູດ (4) ເຮົາໄດ:້ d(M1; M2)  Ax1  By1  D (6) A2  B2 ແຕ່ຍອ້ ນວ່າ M1(x1; y1)  L1 . ດັງ່ ນັ້ນ, ຕວົ ປະສານຂອງມັນຕ້ອງຕອບສະໜອງສົມຜນົ ຂອງເສັ້ນຊື່ L1 ໝາຍ ຄວາມວ່າ Ax  By  C  0  Ax  By  C ແທນໃສ່ (6) ເຮົາໄດ້: C  D d (M1; M 2 )  A2  B2 CD ຫຼື d (M1; M 2 )  A2  B2 CD (7)  d (L1; L2 )  A2  B2 ສູດ (7) ແມນ່ ສູດຄິດໄລໄ່ ລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງສອງເສ້ນັ ຊື່ຂະໜານກນັ . ຕວົ ຢ່າງ: ຈົັງ່ ຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງສອງເສັ້ນຊື່ທື່ີຂະໜານກັນ. L1 : 6x  8y  4  0 L2 : 3x  4 y  5  0 ວິທແີ ກ້: ຈາກເງອື່ ນໄຂຂອງບົດເລກເຮົາມີ L1 L2 L1 : 6x  8y  4  0 L2 : 3x  4 y  5  0 ເຮາົ ປ່ຽນສາປະສິດຂອງ x ແລະ y ໃນສມົ ຜນົ ຂອງ L1 ໃຫເ້ ທັ່າົ ກັນກັບສາປະສິດຂອງ x ແລະ y ໃນສົມຜນົ ຂອງ L2 ຈະໄດ:້ L1 : 6x  8y  4  0  L1 : 3x  4 y  2  0 L2 : 3x  4 y  5  0 ສະນັນ້ ເຮົາໄດ້ A  3, B  4,C  2 ແລະ D  5 ດ່ັງນັ້ນ, ອງີ ຕາມສູດ (7) ເຮົາໄດ:້ d (L1; L2 )  2  (5)  7 32  42 5 1.4 ການພວົ ພນັ ລະຫວາ່ ງເສນັ້ ຊ່ື ແລະ ວງົ ມນົ + ເສັນ້ ຕັດ ແລະ ເສັ້ນຕິດວງົ ມົນ 165

vilaisavanh  ເສນ້ັ ຕິດວງົ ມົນ ແມນ່ ເສ້ນັ ຊື່ທືີ່ຕັດວົງມນົ ພຽງເມັດໜ່ງື ແລະ ເມັດດຽວເທັາ່ົ ນນັ້ ເຊ່ງືິ ເອ້ັີນ ເມດັ ນນັ້ ວາ່ : ເມັດຕິດ. ຈາກຮູບ ເສັນ້ ຊື່ (d ) ເປັນເສັ້ນຕິດວົງມນົ ທືີ່ມີເມັດໃຈກາງ O ຢູ່ ເມັດ A , ເມດັ A ແມ່ນເມັດຕິດ.  ເສ້ັນຕັດວງົ ມນົ ແມນ່ ເສັ້ນຊື່ທຕືີ່ ັດວງົ ມນົ ຢູ່ສອງເມັດ.ຈາກຮູບ ເສັ້ນຊື່ (d1) ເປນັ ເສັ້ນ ຕັດວງົ ມນົ ທີ່ມື ເີ ມັດໃຈກາງ O ຢ່ເູ ມັດ M ແລະ ເມດັ N . ໝາຍເຫດ: ເສັນ້ ລັດສະໝີຂອງວົງມນົ ຕ້ັງສາກກັບເສ້ັນຕິດວົງມົນທມີື່ ີເມັດໃຈກາງ O : (OA)  (d). + ໄລຍະຫ່າງຈາກເມດັ ໜ່ືງທຢີື່ ູ່ນອກວົງມົນຫາເມັດຕດິ ກບັ ວງົ ມນົ . ໃຫ້ວົງມນົ C1 ທື່ມີ ີສົມຜນົ (x  h)2  ( y  k)2  r2 ແລະ ເມັດ P(x1, y1) ຢູ່ນອກວົງມນົ . ໃຫ້ T ເປນັ ເມດັ ຕິດ, ເນ່ືອງຈາກວາ່ ລັດສະໝຂີ ອງວງົ ມົນຕັງ້ ສາກກບັ ເສ້ັນຕິດເຮົາໄດ້: PI 2  PT 2  TI 2  PT 2  PI 2  TI 2 166

vilaisavanh ແຕ່ PI 2  (x1  h)2  ( y1  k)2 ແລະ TI 2  r 2 ຈື່ງໄດ້ PT  (x1  h)2  ( y1  k)2  r2 ຖາ້ ວົງມນົ C1 ມີສມົ ຜົນ x2  y2  Ax  By  C  0; A, B, C ເຮົາໄດ້ PT  x12  y12  Ax1  By1  C ຕົວຢ່າງ 1: ໃຫຮ້ ູບວງົ ມົນໜື່ງທືີ່ມີສມົ ຜນົ (x  3)2  ( y  2)2  25ແລະ P(4; 5) ແມນ່ ເມັດທີ່ືຢນູ່ ອກວົງມົນ. ຜ່ານເມດັ P ເພ່ືນິ ຂີດເສນັ້ ຕດິ ກບັ ວງົ ມົນຢູ່ເມັດ Q . ຈັງ່ົ ຄດິ ໄລລ່ ວງຍາວ PQ . ບົດແກ:້ ຈາກສມົ ຜົນ (x  3)2  ( y  2)2  25 ເຮົາໄດ້ PQ  (4  3)2  (5  2)2  25  25  5 PQ  5 ຕົວຢ່າງ 2: ໃຫ້ P(7;6) ແມ່ນເມັດໜ່ງື ທ່ືີຢູ່ນອກວົງມົນທືີ່ມີສົມຜົນ x2  y2  2x  4 y  2  0 ຜ່ານເມັດ P ເພ່ິືນຂີດເສັນ້ ຕດິ ກບັ ວງົ ມົນຢູເ່ ມດັ Q . ຈ່ັົງຄິດໄລລ່ ວງຍາວ PQ . ບົດແກ:້ ຈາກສມົ ຜນົ x2  y2  2x  4 y  2  0 ເຮາົ ໄດ້ PQ  72  62  2(7)  4(6)  2  73 PQ  73 + ການຊອກສົມຜນົ ຂອງເສ້ັນຊື່ທຜີ່ື ່ານຈດຕັດຂອງສອງວົງມນົ . ໃຫ້ C1 ແລະ C2 ເປັນວົງມນົ ທື່ມີ ີສົມຜົນດັງ່ ນີັ້: C1 : x2  y2  Ax  By  C  0 C2 : x2  y2  Dx  Ey  F  0 ຖາ້ ວົງມນົ C1 ແລະ C2 ຕດັ ກນັ ຢູ່ສອງເມດັ , ສມົ ຜົນຂອງເສນ້ັ ຊື່ທືີ່ຜ່ານຈດຕັດກນັ ນັ້ນສາມາດຊອກໄດ້ ດງ່ັ ນ:ັ້ີ (x2  y2  Ax  By  C)  (x2  y2  Dx  Ey  F )  0 Ax  By  C  Dx  Ey  F  0 (A  D)x  (B  E) y  (C  F)  0 ຕວົ ຢ່າງ: ຈົັງ່ ຊອກສົມຜົນຂອງເສ້ນັ ຊ່ືທ່ີືຜ່ານຈດຕັດກັນຂອງວງົ ມົນ C1 ແລະ C2 ທ່ືີມີສົມຜົນ x2  y2  4x  6 y  9  0 ແລະ x2  y2  6x  2 y 15  0 ຕາມລາດັບ. ບົດແກ້: ສມົ ຜົນຂອງເສນ້ັ ຊື່ທືີ່ຜາ່ ນຈດຕດັ ກັນຂອງສອງວົງມົນແມ່ນ: (x2  y2  4x  6 y  9)  (x2  y2  6x  2 y 15)  0 4x  6y  9  6x  2y 15  0 2x  4y  24  0 167

vilaisavanh 2. ບົດເລກຕວົ ຢາ່ ງພນ້ັື ຖານຈານວນໜງ່ື ບົດເລກທີ 1: ຈງົັ່ ຊອກຫາສົມຜນົ ຂອງເສນັ້ ຊື່ທຂີື່ ະໜານ ແລະ ຫາ່ ງຈາກເສັນ້ ຊ່ື 2x  3y 1  0 ດວ້ ຍ ຄວາມຍາວເທາັ່ົ 13 . ວທິ ແີ ກ້: ສມົ ມດ L1 : Ax  By  C  0 ແມນ່ ສົມຜົນຂອງເສນ້ັ ຊ່ືທ່ພີື ວກເຮົາຕອ້ ງການ L2 : 2x  3y 1  0 M1(x1; y1)  (L1) ແມ່ນເມັດຕາມໃຈ. ດັ່ງນັ້ນ, ໃນເວລານັ້ີ ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວ່າງເສັ້ນຊ່ື L1 ຫາ L2 ແມ່ນເທັ່ົາກັບໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງເມັດ M1 ຫາ L2 , ໝາຍຄວາມວ່າ: d (L1; L2 )  d (M1; L2 )  13 (*) ແຕ່ ອງີ ຕາມ (4) ເຮົາໄດ:້ d  d (M1; L2 )  2x1  3y1 1  2x1  3y1 1 (**) 22  32 13 ຈາກ (*) ແລະ (**) ເຮົາໄດ້ 2x1  3y1 1  13 13  2x1  3y1 1  13  (2x1  3y1 1)  13 ເນືອ່ ງຈາກວາ່ ເມັດ M1(x1; y1) ແມນ່ ເມັດຕາມໃຈຂອງເສັ້ນຊື່ L1 . ດັ່ງນັນ້ , ຈາກສມົ ຜນົ ສດທ້າຍ ພວກ ເຮາົ ໄດ້ສົມຜົນຂອງເສ້ັນຊື່ທ່ີຕື ້ອງການຊອກຫາແມນ່ : 2x  3y 14  0 ຫືຼ 2x  3y 12  0 ບດົ ເລກທີ 2: ຈັົ່ງຊອກຫາສົມຜົນຂອງເສັ້ນຊື່ L ທຢີ່ື ູ່ລະຫວາ່ ງສອງເສັນ້ ຊ່ືຂະໜານ L1 : 2x  3y  2  0 ແລະ L2 : 6x  9y  21  0 ດ້ວຍໄລຍະຫ່າງຈາກ L ຫາ L1 ເທົັ່າສາມເທືອ່ ໄລຍະຫາ່ ງຈາກ L ຫາ L2 . ວທິ ີແກ້: ອີງຕາມນິຍາມສົມຜົນເສນ້ັ ຊ່ື L ທຕ່ືີ ້ອງຂຽນແມ່ນ L : 2x  3y  C  0 ຍອ້ ນວ່າເສັ້ນຊ່ື L L1 ແລະ L L2 ໝາຍຄວາມວາ່ ຢາກຊອກສົມຜົນເສ້ັນຊື່ L ໄດຕ້ ້ອງຊອກຄາ່ ຂອງ C . ເຮົາມ:ີ L1 : 2x  3y  2  0 L2 : 6x  9 y  21  0  L2 : 2x  3y  7  0 L: 2x 3y C  0 ອງີ ຕາມສູດ (7) ເຮົາໄດ:້ C2 ແລະ C  21 d (L; L1)  22  32 d (L; L2 )  22  32 ອີງຕາມເງື່ອນໄຂຂອງບົດເລກເຮົາໄດ້: 168

vilaisavanh d (L; L1)  3d (L; L2 )  C  2  3 C  21 13 13  C  2  3 C  21  C  2  3(C  21) (1) C  2  3(C  21)  C  2  3C  63  2C  65  C  65 2 (2) C  2  3(C  21)  C  2  3C  63  4C  61  C  61 4 ແທນຄ່າຂອງ C ເຮາົ ຈະໄດ້: L : 2x  3y  65  0 ຫຼື L : 2x  3y  61  0 ແມນ່ ສົມຜົນຂອງເສັ້ນຊື່ທື່ີພວກເຮົາຕ້ອງການຊອກຫາ. 24 ບດົ ເລກທີ 3: ໃຫ້ຮູບສີື່ຫຽ່ຼ ມທືເ່ີ ມັດຈອມແມ່ນ A(0;0), B(5; 1),C(4; 2) ແລະ D(1;3) . 1. ຈງັົ່ ພິສດູ ວາ່ ຮບູ ສີື່ແຈ ABCD ແມນ່ ຮບູ ສ່ືີແຈຂ້າງຂະໜານ. 2. ຈົ່ັງຊອກໄລຍະຫາ່ ງແຕ່ຂ້າງ  AB ຫາຂ້າງ CD ວິທີແກ້: 1. ກອ່ ນອືນ່ ພວກເຮາົ ຕ້ອງພິສູດວ່າ ຄວາມຊັນຂອງສອງເສັ້ນຊ່ືທືີ່ຜ່ານເມັດ A ແລະ B , ຜ່ານເມັດ C ແລະ D ເທ່ັົາກນັ . ຈາກນັີ້ຈະໄດ້ວ່າ  AB CD ແລະ ສາປະສິດງ່ຽງຂອງສອງເສ້ັນຊື່ທີ່ຜື ່ານເມັດ A ແລະ D , ຜ່ານເມັດ B ແລະ C ເທ່ັົາກນັ . ຈາກນກັ້ີ ຈະໄດ້ວ່າ  AD BC. 169

vilaisavanh ອີງຕາມສູດສົມຜົນເສັ້ນຊື່ຜ່ານສອງເມດັ ເຮົາມີ: y  y1  y2  y1 (x  x1 ) , ເຊງື່ິ ໃນນີ້ັຄວາມຊັນ x2  x1 k  y2  y1 , ເຮາົ ໄດ້: x2  x1 + ສມົ ຜນົ ເສນ້ັ ຊື່ທີື່ຜ່ານເມດັ A ແລະ B: y  0  1 0 (x  0) 50  y1x 5  k1   1 5 + ສົມຜນົ ເສັນ້ ຊື່ທ່ືີຜ່ານເມດັ C ແລະ D : y  2  3  2 (x  4) 1 4  y  2   1 (x  4) 5  k2   1 5 ດ່ງັ ນນ້ັ , k1  k2 1 ຈາກຜນົ ໄດ້ຮບັ ເຮາົ ໄດ້  AB CD 5 + ສມົ ຜົນເສັ້ນຊ່ືທ່ືີຜ່ານເມດັ A ແລະ D : y  0  3  0 (x  0) 1 0  y  3x  k3  3 170

vilaisavanh + ສົມຜົນເສັນ້ ຊ່ືທື່ີຜາ່ ນເມດັ B ແລະ C : y 1  2 1 (x  5) 45  y 1  3(x  5)  k4  3 ດງ່ັ ນນັ້ , k3  k4  3 ຈາກຜນົ ໄດ້ຮບັ ເຮາົ ໄດ້  AD BC 2. ຈາກຜົນໄດ້ຮັບໃນຂທໍ້ ືີ່ 1, ເຮາົ ມີສມົ ຜນົ ເສ້ັນຊືແ່ ມ່ນ: L1 : y   1 x  x  5 y  0 ແມນ່ ເສນັ້ ຊ່ືຜ່ານເມດັ A ແລະ B 5 L2 : y  2   1 ( x  4)  x  5 y  30  0 ແມນ່ ເສນ້ັ ຊື່ຜ່ານເມດັ C ແລະ D 5 ດງັ່ ນັ້ນ, ອງີ ຕາມ (7) ເຮົາມີ A  1, B  5,C  0, D  30 ເຮົາໄດ້ d  30  0  30 12  52 26 171

vilaisavanh ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈງ່ັົ ສະແດງບັນດາເມດັ ຕາ່ ງໆລ່ມນ້ັເີ ທງິ ແຜນ່ ພຽງ ໃນລະບົບເສັ້ນເຄັົ້າຕັງ້ ສາກ ແລະ ຊອກຫາໄລຍະຫາ່ ງ ລະຫວ່າງສອງເມດັ ໃນແຕ່ລະຂ້ໍ ກ. (2; 4) ແລະ (3;1) ຂ. (5; 4) ແລະ (2; 3) ຄ. (4; 2) ແລະ (3;8) ງ. (5; 2) ແລະ (7; 5) 2. ໃຫ້ຮບູ ສ່ືີແຈຮູບໜ່ືງທີ່ືມຈີ ອມແມ່ນ A(3; 1), B(3;1),C(1; 4) ແລະ D(1;3) . ຈົັ່ງຊອກຫາລວງຮອບ ຂອງຮບູ ສ່ີືແຈ ABCD . 3. ກ. ໃຫເ້ ມັດ A(6; y) ແລະ B(1; 4) ຈົງ່ັ ຊອກຫາ y ຖາ້ ວາ່ ໄລຍະຫາ່ ງແຕ່ A ຫາ B ເທົັາ່ 74 ຂ. ໃຫ້ເມັດ A(2; 4) ແລະ B(x;3) ໄລຍະຫ່າງແຕ່ A ຫາ B ເທາ່ົັ ກັບ 13 ຈງົັ່ ຊອກຫາຄ່າຂອງ x 4. ຈັ່ົງຊອກໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດເຄົ້ັາ ຫາເສ້ັນຊື່ L : 5x 12y  26  0 . 5. ຈງ່ັົ ຊອກຫາໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດຫາເສັນ້ ຊື່ທືກີ່ ານົດດ້ວຍສົມຜົນລ່ມນ:ີັ້ ກ. ຈາກເມດັ (5;1) ຫາເສ້ັນຊື່ 3x  2y  5  0 ຂ. ຈາກເມດັ (2;3) ຫາເສັ້ນຊ່ື 3x  4y  2  0 ຄ. ຈາກເມັດ (4; 2) ຫາເສນ້ັ ຊື່ 11x  6y  5  0 ງ. ຈາກເມັດ (6;0) ຫາເສັ້ນຊ່ື 9x 12y  7  0 6. ຈ່ົັງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງສອງເສ້ັນຊ່ືຂະໜານກນັ ລ່ມນີັ້: ກ. 3 2x  2y  5  0 ແລະ 3 2x  2y  3  0 ຂ. 7x  2y  3  0 ແລະ 7x  2y  4  0 ຄ. 3x  5y  4  0 ແລະ 9x 15y 10  0 ງ. 1 x  2 y  6  0 ແລະ 1 x  2 y  1  0 25 283 7. ຈ່ັງົ ຊອກຫາເສ້ນັ ຊື່ຂະໜານ ແລະ ຫ່າງຈາກເສັ້ນຊື່ 3x  8y 1  0 ເທົັາ່ 5. 1. ຈ່ັົງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງສອງເມັດລ່ມນີັ້: a. A   1 ,  1  ແລະ B  3 ,  2  2 3   2 3  b. M   1 ,  2  ແລະ P  3 ,  1   2 3   4 6  172

vilaisavanh    c. Q 147, 162 ແລະ R 147, 200    d. A log5 3125,ln 3 e ແລະ B ln 4 e,log4 4096 e. Y log4 6400, log5 7500 ແລະ B log4 100, log5 60 f. M log7 3430,  log6 20 ແລະ O log7 10,  log6 5220 2. ໃຫເ້ ມັດ A6, y ແລະ B 1, 4 ຈ່ງັົ ຊອກຄ່າຂອງ y ໄລຍະຫ່າງແຕ່ A ຫາ B ເທົັ່າ 74 3. ໃຫເ້ ມັດ A2, 4 ແລະ B  x,3 ຈັ່ງົ ຊອກຄ່າຂອງ x ໄລຍະຫ່າງແຕ່ A ຫາ B ເທາັົ່ 13 4. ຈົງ່ັ ສະແດງວາ່ ຮູບສາມແຈ ABC ເຊື່ງິ ມີຈອມຕາມທືກ່ີ ານດົ ໃຫ້ໃນແຕລ່ ະຂໍ້ລມ່ ນ້ີແັ ມນ່ ຮູບສາມແຈທ່ຽງ a. A2, 2, B6,6 ແລະ C 2, 2 b. A2, 4, B5,1 ແລະ C 6,5 c. A2,1, B2, 3 ແລະ C 6,5 5. ຈງ່ັົ ຊອກຫາເນັ້ືອທີື່ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ທີື່ມຕີ ວົ ປະສານຕາມຈອມຕໍ່ໄປນັ້:ີ a. A0,9, B4, 1 ແລະ C 3, 2 b. A3, 2, B2,3 ແລະ C 0, 4 c. A10,5, B3, 2 ແລະ C 0, 5 d. A1, 2, B4, 2 ແລະ C 3,5 e. A0, 1, B3, 2 ແລະ C 4,3 f. A3, 3, B1,3 ແລະ C 2, 2 6. ຈງ່ັົ ຊອກຫາເນັ້ືອທີ່ືຂອງຮບູ ຫາຼ ຍແຈທ່ີືມີເມັດຈອມຕ່ໍໄປນີັ:້ a. A2,0, B0, 1 , C 2, 2 ແລະ D 3, 4 b. A2,0, B0, 1 , C 2, 2 ແລະ D 3, 4 c. A1,1, B3, 2, C 2, 2 ແລະ D 5,0 d. A1,3, B4, 1 ,C 2, 3 , D 2, 4 ແລະ E 4,1 173

vilaisavanh e. A2, 3, B3, 4 ,C 3,5 , D 2, 2 ແລະ E 5, 4 7. ຈງ່ັົ ຊອກຫາໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດຫາເສ້ັນຊ່ືທີການົດດວ້ ຍສົມຜນົ ລ່ມນີ້:ັ a. ເມັດ N 3,1 ຫາເສ້ນັ ຊື່ L : 2x  4y  3  0 b. ເມັດເຄົັ້າຫາເສັ້ນຊື່ L : 3x  7 y  2  0 c. ເມດັ A5,1 ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 3x  2y  5  0 d. ເມັດ B 2,3 ຫາເສັ້ນຊື່ L : 3x  4y  2  0 e. ເມັດ O 4, 2 ຫາເສນັ້ ຊ່ື L :11x  6y  5  0 f. ເມັດU 6, 0 ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 9x 12y  7  0 8. ຈງົ່ັ ຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວາ່ ງສອງເສັ້ນຊື່ຂະໜານກັນລມ່ ນັ:້ີ a. L1 : 3 2x  2 y  5  0 ແລະ L2 : 3 2x  2 y  3  0 b. L1 : 7x  2 y  3  0 ແລະ L2 : 7x  2 y  4  0 c. L1 : 3x  5y  5  0 ແລະ L2 : 9x 15y  8  0 d. L1 : 2x  4 y  6  0 ແລະ L2 : 6x 12 y 10  0 e. L1 : 1 x  1 y  9  0 ແລະ L2 : 1 x  1 y  3  0 2 3 4 6 9. ໃຫ້ສົມຜນົ ວົງມົນທື່ີມເີ ມກັ ໃຈກາງ C 2,1 ແລະ ມີສົມຜົນເສນັ ຊ່ືຕິດກບັ ວງົ ມົນແມນ່ L : 2x  3y 12  0 ຈັົງ່ ຂຽນສົມຜນົ ຂອງວົງມົນດງັ່ ກ່າວ?. 10. ໃຫ້ສົມຜນົ ວງົ ມນົ ທີມເີ ມັດໃຈກາງ I 2, 1 ແລະ ສົມຜົນເສັ້ນຊື່ 4x  3y 12  0 ຫາ່ ງຈາກວງົ ມນົ ເທາົັ່ 7 ຈງ່ົັ ຂຽນສົມຜນົ ຂອງວົງມົນດັງ່ ກາ່ ວ?. 5 10. ໃຫ້ສົມຜົນວງົ ມນົ ທີມເີ ມັດໃຈກາງ I 2, 1 ແລະ ສົມຜົນເສ້ັນຊ່ື 2x  3y  9  0 ຈັົ່ງຊອກຫາໄລຍະຫາ່ ງ ລະຫວ່າງເມັດໃຈກາງຂອງວົງມນົ ຫາເສ້ັນຊື.່ 11. ໃຫ້ສົມຜົນວງົ ມົນທີື່ມີເມັດໃຈກາງ I 3, 2 , ລັດສະໝີເທັ່າົ 3 ແລະ ສມົ ຜົນເສັ້ນຊື່ 4x  3y 12  0 ຈົັ່ງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງວງົ ມນົ ຫາເສ້ັນຊື.່ 174

vilaisavanh ບດົ ທີ 15 ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad ກບັ ການແກໄ້ ຂບນັ ຫາເລຂາໜາ້ ພຽງ 1. ປະຫວດັ ແລະ ຄວາມເປນັ ມາກຽ່ ວກບັ ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ເປັນໂປຣແກຣມຄະນິດສາດຜະລິດຈາກປະເ ທດ ສະຫະລັດອາເມລິກາ ເປັນໂປຣແກຣມທີ່ືມີປະສິດທິພາບໂປຣແກຣມໜື່ງ ສາມາດນາໄປໃຊ້ໃນວິຊາຄະນິດສາດໄດ້ ຫຼາຍວິຊາ ເຊັ່ນ ວິຊາເລຂາຄະນິດ, ພດຊະຄະນິດ, ໄຕມູມມິຕິ ແລະ ແຄນຄູລັສ ໂປຣແກຣມ GSP ເປັນສື່ເທັກໂນ ໂລຍີທີື່ຊ່ວຍໃຫ້ຜູ້ຮຽນມີໂອກາດຮຽນຄະນິດສາດໂດຍການສ້າງອົງຄວາມຮູ້ດ້ວຍຕົນເອງ (Constructivist Approach) ແລະເປັນການຮຽນໂດຍເນັ້ນຜູ້ຮຽນເປັນສາຄັນ (Learner-Centered Learning) ໂປຣແກຣມ GSP ເປນັ ສ່ທື ືຊ່ີ ່ວຍໃຫ້ຜູ້ຮຽນພັດທະນາທກັ ສະຂອງການນກພາບ (Visualization) ທັກສະຂອງຂະບວນການແກ້ ປັນຫາ (Problem Solving Skills) ນອກຈາກນີັ້ ການໃຊ້ ໂປຣແກຣມ GSP ໃນການຮຽນການສອນ ຄະນິດສາດເປນັ ການບູລະນາການສາລະທ່ືີກຽ່ ວຂ້ອງກບັ ຄວາມຮູ້ຄະນດິ ສາດ ແລະ ທັກສະດ້ານເທກັ ໂນໂລຍເີ ຂົັ້າດ້ວຍ ກັນເຮັດໃຫ້ຜູ້ຮຽນມີໂອກາດພັດທະນາທາງດ້ານ ພາສາ, ຕັກກະສາດ, ດ້ານມິຕິສາພັນ ແລະ ດ້ານສິລະປະ ດ້ວຍ ເຫດຜົນດັ່ງກ່າວ ໂປຣແກຣມ GSP ຈ່ືງໄດ້ຮັບລາງວັນຍອດຍຽ້ ມຫຼາຍໆລາງວນັ ເປັນຕັນ້ົ ແມ່ນ Best Educational Software of All Time ຈ າ ກ Stevens Institute of Technology Survey of Mentor Teachers ແ ລ ະ Most Valuable Software for Students ຈາກ National Survey of Mathematics Teachers, USA. GSP ເປັນໂປຣແກຣມທີື່ຄູສາມາດນາໄປໃຊ້ເປັນເຄື່ອງມືເພື່ອຊ່ວຍໃຫ້ການຮຽນການສອນຄະນິດສາດມີ ປະສິດທິພາບແລະໜ້າສົນໃຈຫຼາຍ ສາມາດນາພາບເຄື່ອນໄຫວ (Animation) ມາໃຊ້ອະທິບາຍເນືັ້ອໃນທີື່ຍາກໆ ເຊັ່ນ ທິດສະດີທາງຄະນິດສາດ (ເລຂາຄະນິດ, ພດຊະຄະນິດ, ໄຕມູມມິຕິ ແລະ ແຄນຄູລັສ), ຟຊິກ (ກົນລະສາດ ແລະ ອ່ືນໆ) ໃຫ້ເປັນຮບູ ປະທາ ໃຫນ້ ັກຮຽນໄດ້ຮຽນຮູ້ ແລະ ເຂັົ້າໃຈງ່າຍ ແລະ ໂປຣແກຣມຍັງເນັ້ນໃຫ້ຜູ້ຮຽນເຝິກ ປະຕບິ ັດດວ້ ຍຕນົ ເອງໄດ.້ ນອກຈາກນີ້ັ ຍງັ ສາມາດນາໄປໃຊ້ໃນການຈັດກດິ ຈະກາການຮຽນການສອນວິຊາອື່ນໆໄດ້ ອກີ ເຊ່ນັ ວທິ ະຍາສາດ, ສລິ ະປະ ຢ່າງບ່ໍມີຂ້ໍຈາກດັ ໃນເນື້ັອຫາການແບງ່ ເຄງ່ືິ ສວ່ ນຂອງເສ້ນັ ຊ່,ື ຮູບແບບເດີມນັກຮຽນ ຈະໃຊ້ໄມ້ບັນທັດວັດແທກຄວາມຍາວຫຼືໃຊ້ວົງວຽນແບ່ງເຄິ່ືງເສັ້ນຊື່ ໂດຍຕັ້ງຕົັ້ນທີ່ືຈດເລີ່ືມຕົັ້ນຂອງເສັ້ນຊື່ ກາງ ວົງວຽນໃຫ້ກາຍຈດເຄິ່ືງກາງແລ້ວແຕມ້ ເສັ້ນໂຄ້ງ ຈາກນັ້ນຕັ້ງຕົັ້ນທີື່ຈດສິັ້ນສດຂອງເສັ້ນຊື່ອີກເບື້ັອງແລ້ວລາກເສັ້ນ ໂຄ້ງດ້ວຍວິທີດຽວກັນເພື່ອຫາຈດຕັດກັນ ເປັນຈດເຄິື່ງກັນຂອງເສັ້ນຊື່ ຫາກໃຊ້ໂປຣແກຣມ GSP ກໃຊ້ວິທີການ ແບງ່ ເຄິ່ງື ເສັນ້ ຊ່ືໂດຍຍດຫຼກັ ການດຽວກັນ ໄດຄ້ ືກັນ ໄດລ້ ົງມປື ະຕິບດັ ເຊນ່ັ ກັນແຕໄ່ ດຜ້ ນົ ໄວກວ່າຫາຼ ຍ. 2. ຈດພິເສດ ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad ຫືຼ GSP ແມ່ນຫຍງັ ? 175

vilaisavanh ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad ຫຼື GSP ສາລບັ ການຮຽນ-ການສອນຄະນິດສາດເປັນການ ບູລະນາການທີື່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄວາມຮູ້ທາງດ້ານຄະນິດສາດ ແລະ ທັກສະທາງດ້ານເທັກໂນໂລຊີເຂົັ້າກັນ ເຮັດໃຫ້ຜູ້ ຮຽນມໂີ ອກາດພດັ ທະນາດ້ານສະຕິປັນຍາເຊັ່ນ: ດ້ານພາສາ, ດ້ານຕກັ ກະສາດ, ດ້ານມິຕິສາພນັ ແລະ ດ້ານວິລະປະ. ໂປຣແກຣມ GSP ມີລັກສະນະເປັນ ໂປຣແກຣມໃຊ້ສະເພາະດ້ານ (Dynamic software) ທີ່ືຊ່ວຍໃຫ້ຜູ້ ຮຽນມີໂອກາດຮຽນຄະນິດສາດ ໂດຍການສ້າງແນວຄວາມຄິດໃໝ່ໆ ຫຼືສ້າງຄວາມຄິດລວມຍອດຕ່າງໆ ທາງດ້ານ ຄະນິດສາດໄດ້ດ້ວຍຕົນເອງ. ເນື່ອງຈາກວ່າໃນເວລາໃຊ້ໂປຣແກຣມ GSP ຜູ້ຮຽນຈະສາມາດສ້າງຕົວແບບ ຄະນິດສາດ (Mathematical Model) ທີ່ືເຮັດໃຫ້ເກີດມີການເຄື່ອນໄຫວທາງດ້ານເລຂາຄະນິດ ແລະ ຜູ້ໃຊ້ຈະ ສາມາດມີປະຕິສາພັນໂຕ້ຕອບກັບໂປຣແກຣມໄດ້, ໂປຣແກຣມ GSP ສາມາດນາມາໃຊ້ສ້າງຮູບເລຂາຄະນິດທື່ີ ເຄື່ອນໄຫວໄດ້ ເຊິ່ືງມັນຈະຊ່ວຍເຮັດໃຫ້ການຊອກຫາຄນລັກສະນະຕ່າງໆ ທາງເລຂາຄະນິດໄດ້ ໂດຍທີ່ືຜູ້ຮຽນ ສາມາດສາຫວຼ ດ, ຕງ້ັ ຂ້ໍສັງເກດ, ຄາດເດົາ ແລະ ຊອກຫາເຫດຜນົ ເພອື່ ມາຢີ້ງັ ຢນື ແນວຄວາມຄິດຂອງຕນົ ເອງໄດ້ ເຮັດ ໃຫເ້ ກີດຈິນຕະນາການໃນການຄນັ້ົ ຄວ້າຊອກຫາເຫດຜົນ ເປນັ ການເພ່ີມື ພູນຄວາມຮູ້ໃຫ້ກັບຜູ້ຮຽນ ແລະ ພັດທະນາ ຄວາມຄິດລວມຍອດກ່ຽວກັບເນືັ້ອໃນບົດຮຽນຕ່າງໆ ໃນວິຊາຄະນິດສາດເຊັ່ນ: ວິຊາເລຂາຄະນິດ, ວິຊາພດຊະ ຄະນດິ , ວຊິ າໄຕມມມິຕິ ແລະ ວຊິ າວເິ ຄາະຄະນິດ ໄດ້ເປນັ ຢ່າງດີ. ນອກຈາກນັ້ີ ສາລບັ ຜູ້ສອນເອງ ກສາມາດນາເອົາ ໂປຣແກຣມ GSP ມາຊ່ວຍໃນການສ້າງສື່ການຮຽນ-ການສອນ ເຮດັ ໃຫ້ມີບັນຍາກາດໃນການຮຽນ ສົັ່ງເສີມໃຫ້ມີ ການນາສະເໜີແນວຄວາມຄິດລວມຍອດທາງດ້ານຄະນິດສາດ, ຄວາມຄິດລິເລີ່ືມສ້າງສັນ ຕະຫຼອດຮອດມີການນາ ສະເໜີທື່ຕີ ືນ່ ເຕ້ັນ ແລະ ໜາ້ ສນົ ໃຈ ເຊງື່ິ ເຮດັ ໃຫ້ຜູ້ຮຽນເກີດມີຄວາມສນົ ໃຈ ແລະ ມກີ ານຖາມ-ຕອບ ໂດຍການໃຫ້ ຜູ້ຮຽນຕັງ້ ຂ້ໍສມົ ມດຂອງເຫດການ ແລະ ຊອກຫາຂ້ໍສະຫບຼຸ ໃນເວລາຮຽນ ຫືຼ ໃນຊວ່ ງເວລາທ່ືີໄດ້ນາສະເໜີ ເຊ່ິືງຂອບ ເຂດຂອງການນາໃຊ້ໂປຣແກຣມນ້ີກັ ່ໍຂນັ້ ກັບຈິນຕະນາການຂອງຜູ້ຮຽນເອງ. 3. ປະໂຫຍດການໃຊໂ້ ປຣແກຮມ GSP 1. ໃຊ້ສ້າງຕົວແບບເຊີງຄະນິດສາດທີື່ມີປະຕສິ າພັນໄດ້ຫຼາກຫຼາຍຕັ້ງແຕ່ການຄົັ້ນຫາໃນລະດັບພືນັ້ ຖານເຊ່ືງິ ກ່ຽວກບັ ຮູບຮ່າງ ແລະ ຈານວນໄປຈົນເຖິງຮບູ ແຕມ້ ຂ້ັນສງູ ທ່ືີມີຄວາມຊບັ ຊ້ອນ ແລະ ເຄອື່ ນໄຫວໄດ.້ 2. ເຮັດໃຫນ້ ັກຮຽນໄດ້ຮບັ ຄວາມຮູ້ຈາກການຮຽນ ເຝກິ ການໃຊເ້ ວລາຫວາ່ ງໃຫເ້ ກີດປະໂຫຍດ. 3. ນັກຮຽນມທີ ັກສະຂະບວນການໃນການແກປ້ ັນຫາໂດຍໃຊ້ ໂປຣແກຮມ GSP. 4. ນັກຮຽນມີທກັ ສະຂະບວນການໃນການເຮັດວຽກເປນັ ກ່ມ, ການຊ່ວຍເຫອຼື ເຊງືິ່ ກນັ ແລະ ກັນ ແລະ ທັກ ສະຂະບວນການຄດິ . 5. ນັກຮຽນເກີດຄວາມຄິດສ້າງສັນໃນການເຮັດວຽກຫຼືຜະລິດຊິ້ັນງານໂດຍໃຊ້ ໂປຣແກຮມ GSP ແລະ ສາມາດນາໄປສ້າງຊັິ້ນງານໄດ້ຈິງ ເຊນັ່ ການຈກັ ສານລາຍຕາ່ ງໆ ໂດຍໃຊ້ ໂປຣແກຮມ GSP ອອກແບບ ນາໄປເປັນ ຜະລດິ ຕະພັນ ສ້າງລາຍໄດອ້ ກີ ທາງໜືງ່ . 6. ນັກຮຽນຮຈູ້ ັກບລູ ະນາການໃນເລືອ່ ງຕ່າງໆ ເພ່ອື ນາມາປັບໃຊ້ກັບຕົວເອງໄດ້. 176

vilaisavanh 4. ຄວາມຮເູ້ ບອ້ັື ງຕ້ົນັ ກຽ່ ວກບັ ການໃຊໂ້ ປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ເປັນລະບົບຊອບແວທີື່ໃຊ້ສາລັບສ້າງ, ສາຫຼວດ ແລະ ການວິເຄາະສງືິ່ ຕ່າງໆທືີ່ກຽ່ ວກັບເນອືັ້ ໃນຄະນິດສາດຫຼາຍດ້ານ, ໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ເປນັ ສເື່ ທກັ ໂນໂລຍີ ທືີ່ຊວ່ ຍໃຫ້ຜູ້ຮຽນມີໂອກາດຮຽນຮູ້ຄະນິດສາດ ໂດຍການສ້າງອົງຄວາມຮູ້ດ້ວຍຕົນເອງ (Constructivist Approach) ເປນັ ສ່ືທືຊີ່ ວ່ ຍໃຫ້ຜູ້ຮຽນພັດທະນາທກັ ສະການນກພາບ (Visualization) ທັກສະ ຂອງຂະບວນການແກ້ປັນຫາ ( Problem Solving Skills) ນອກຈາກນັ້ກີ ານໃຊໂ້ ປຮແກຮມ GSP ໃນການຮຽນ ການສອນຄະນິດສາດເປນັ ການບູລະນາການເນັອ້ື ໃນທ່ກືີ ່ຽວຂ້ອງກັບຄວາມຮູ້ຄະນິດສາດ ແລະ ທັກສະດ້ານເທັກໂນ ໂລຍີເຂົ້ັາດ້ວຍກັນ ເຮັດໃຫ້ຜູ້ຮຽນມີໂອກາດພັດທະນາທາງດ້ານ: ພາສາ, ຕັກກະສາດ, ມິຕິສາພັນ ແລະ ດ້ານສິລະ ປະ. 5. ການຕິດຕ້ງັ ໂປຣແກຣມ GSP.06 th  ການຕິດຕັ້ງໂປຣແກຣມ GSP.06 th ສາລບັ Window 1. ດາວໂຫຼດໄຟສາລັບຕິດຕັງ້ ໂປຣແກຣມ GSP.06 th ຈາກເວບໄຊ https://gspbeta.ipst.ac.th 2. ເປດໄຟ GSP.06 th ເພອ່ື ຕດິ ຕ້ັງໂປຣແກຣມ 177

vilaisavanh 3. ກົດປ່ມ Next 4. ຍອມຮບັ ຂ້ຕໍ ົກລົງການໃຊງ້ ານໂປຣແກຣມ ແລວ້ ກົດປມ່ Next 5. ກົດປ່ມ Install 178

vilaisavanh 6. ຕິດຕງ້ັ ໂປຣແກຣມສາເລດັ Finish  ການຕດິ ຕງ້ັ ໂປຣແກຣມ GSP.06 th ສາລບັ macOS 1. ດາວໂຫດຼ ໄຟສາລບັ ຕິດຕັງ້ ໂປຣແກຣມ GSP.06 th ຈາກເວບໄຊ https://gspbeta.ipst.ac.th 2. ເປດໄຟ GSP.06 th.dmg ເພອ່ື ຕິດຕ້ງັ ໂປຣແກຣມ 179

vilaisavanh 3. ລາກໂປຣແກຣມ GSP.06 th ໄປທືີ່ Application 4. ເອີັ້ນໂປຣແກຣມໄດ້ຈາກ Launchpad  ການລງົ ທະບຽນໄລເຊນັ ໂປຣແກຣມ GSP.06 th 1. ເຂົັ້າສູ່ລະບົບເວບໄຊ https://gspbeta.ipst.ac.th 180

vilaisavanh 2. ເປດໂປຣແກຣມ GSP.06 th ທຕ່ີື ິດຕງ້ັ ໄວ້ໃນຄອມພວິ ເຕີ 3. ນາ Client code ຫືຼ Client file ທີ່ືໄດ້ຈາກໂປຣແກຣມໄປລງົ ທະບຽນເທິງເວບໄຊ 3.1 ລົງທະບຽນດວ້ ຍ Client code 3.1.1 ຄັດລອກໂຄດ໊ ຈາກຊອ່ ງ Client code 3.1.2 ນາໂຄ໊ດທື່ີໄດ້ໄປພມິ ລົງໃນເວບໄຊທືີ່ເມນູ Licenses > Code register 3.1.3 ກດົ ປມ່ ລງົ ທະບຽນ 3.2 ລົງທະບຽນດວ້ ຍ Client file (.client) 181

vilaisavanh 3.2.1 ກດົ ປມ່ Save client file 3.2.2 ເປດເວບໄຊແລວ້ ໄປທີເ່ື ມນູ Licenses -> File register 3.2.3 ກົດປ່ມເລອື ກໄຟ ແລວ້ ເລືອກ Client file ທື່ີບນັ ທກໄວ້ 3.2.4 ກົດປ່ມລົງທະບຽນ 4. ຫຼງັ ຈາກລົງທະບຽນສາເລດັ ຈະຢູ່ທ່ເີື ມນູ Licenses -> Registered licenses ສະແດງລາຍການທືີ່ລງົ ທະບຽນ ໄວທ້ ງັ ໝົດ 5. ນາໂຄ໊ດໄຟ License ໄປໃສ່ໃນໂປຣແກຣມ GSP5.06th 5.1 ໃຊ້ License code ແລະ Email 5.1.1 ຄັດລອກ License code ແລະ Email ໄປໃສ່ໃນໂປຣແກຣມ 182

vilaisavanh 5.1.2 ກົດ Submit 5.2 ໃຊ້ License file (.license) 5.2.1 ກດົ ປ່ມ Download 5.2.2 ກົດປມ່ Browse license file ແລວ້ ເລອື ກ License file ທີື່ ໄວ້ download 6. ໃຊງ້ ານໂປຣແກຣມ GSP5.06th ເບອ້ັື ງຕນ້ັົ 183

vilaisavanh ແນະນາ The Geometer’s Sketchpad (GSP) The Geometer’s Sketchpad (GSP) ເປນັ ຊ໊ອບແວສາຫຼວດເຊງີ ຄະນິດສາດ ເລຂາຄະນິດແບບໄດນາ ມກິ (Dynamic Geometry) ທ່ືີໃຊ້ສ້າງຮູບເລຂາຄະນິດທີເື່ ຄ່ືອນໄຫວໄດ້ເຊງ່ືິ ນາໄປສູ່ການຄົ້ັນຫາຄນລກັ ສະນະ ຕ່າງໆ ທາງເລຂາຄະນິດໂດຍຜູ້ໃຊ້ຊ໊ອບແວນ້ີັສ້າງຮູບຂນັ້ ແລ້ວສາມາດສາຫວຼ ດ ຕັ້ງຂໍ້ຄາດເດົາ ແລະສືບເສາະກວດຄັົນ້ ເພ່ືອຍນື ຢັນເຫດຜົນຂອງຕົນເອງ ເຮດັ ໃຫ້ເກີດຈນິ ຕະນາການໃນການຄັ້ົນຄວ້າຫາເຫດຜນົ ເພືອ່ ເພີ່ືມພູນຄວາມຮູ້ ຕະຫຼອດຈນົ ເຮດັ ໃຫເ້ ກດີ ຄວາມຄົງທນົ ທາງການຮຽນຮ.ູ້ GSP ສາມາດນາໄປປະກອບການຮຽນການສອນໄດຫ້ ຼາກຫຼາຍເນັ້ືອຫາທາງຄະນິດສາດເຊັ່ນ ເສັ້ນຊ່ື ແລະ ມູມ ການສ້າງ ຄວາມເທົາັ່ ກັນທກປະການ ທິດສະດປີ ທາໂກຣັດ ເສ້ັນຂະໜານ ຄວາມຄ້າຍຄື ວົງມົນ ນອກຈາກນ້ັີຍງັ ສາມາດນາໄປໃຊ້ໃນເລື່ອງຂອງໄຕມູມມິຕິ ເວກັ ເຕີ ເລຂາວິເຄາະ ຟຊິກສາດ ການຂຽນແບ ແລະ ອ່ນື ໆ. ເມື່ອເປດໂປຣແກຣມ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ຈະພົບຄາວ່າ The Geometer’s Sketchpad ຢ່ກູ າງໜ້າຕາ່ ງ ຄິກຼ ເມັົ້າໜ່ງື ຄັ້ງເພື່ອລບຂຄ້ໍ ວາມ ຄາວາ່ The Geometer’s Sketchpad ໜາ້ ຕາ່ ງຂອງ GSP ຈະປະກດົ ຂນ້ັ ດ່ງັ ຮບູ ເຄື່ອງມືຂອງ GSP 184

vilaisavanh ກ່ອງເຄອື່ ງມື ເມນຄູ າສັງ່ ແບບຮ່າງ ເລື່ອນຈພາບ ແຖບບອກໜ້າ ກ່ອງເຄ່ອື ງມເື ຄອື່ ງມືລກູ ສອນ ເຄອື່ ງມລື ູກສອນເປນັ ເຄື່ອງທືທືີ່ໃຊເ້ ລອື ກ ຫຼື ບເ່ໍ ລອື ກອອ໊ ກເຈກັ ໃຊເ້ ຄື່ອນທີື່ຫລືຼ າກອ໊ອບເຈກັ ເຄ່ືອງມື ລກູ ສອນປະກອບດ້ວຍ  ໃຊ້ເຄອ່ື ງມລື ູກສອນເລື່ອນຂະໜານ ເລອື່ ນອ໊ອບເຈັກໄປເປັນໄລຍະທາງຫຼືໃນທດິ ທາງ ໃດໆ ໂດຍທ່ືີຂະໜາດມູມແລະຮບູ ຮ່າງຍັງຄືເກາ່ົັ  ໃຊເ້ ຄື່ອງມລື ກູ ສອນໝູນ ໝນູ ອ໊ອບເຈກັ ຮອບຈດເຄ່ືິງກາງ ເຊ່ືງິ ຈະເຮັດໃຫມ້ ູມຂອງອ໊ອບ ເຈກັ ປຽ່ ນ ໂດຍທື່ີຂະໜາດແລະໄລຍະທາງຈາກຈດໃຈກາງຍັງຄງົ ເດີມ 185

vilaisavanh  ໃຊເ້ ຄອື່ ງມລື ູດສອນຫຍໍ້/ຂະຫຍາຍ ຫຍ້ໍ/ ຂະຫຍາຍອອ໊ ບເຈກັ ໂດຍສາພັນກັບຈດໃຈກາງ ເຊງື່ິ ຈະເຮັດໃຫ້ອອ໊ ບເຈກັ ນ້ອຍລົງຫຼືໃຫຍ່ຂນັ້ ໂດຍທືີ່ມມູ ແລະຮູບຮ່າງຍັງຄົງເດີມ ເຄອ່ື ງມລື ງົ ຈດ ໃຊ້ເຄອື່ ງມຈື ດ ໃນການສາ້ ງຫຂຼື ຽນຈດ ຈດເທງິ ເສ້ັນທາງ ແລະ ຈດຕັດ ເຄ່ືອງມແື ຕ້ມວງົ ມົນ ໃຊ້ເຄືອ່ ງມືວົງວຽນໃນການສ້າງວງົ ມົນທີື່ການດົ ດວ້ ຍຈດສອງຈດ ຄື ຈດໃຈກາງກັບຈດທີືວ່ ົງມົນຜ່ານ ຈດ ທີືສ່ ອງນ້ບັີ າງຄ້ັງເອນ້ັີ ວາ່ ຈດລດັ ສະໝີ ເພາະເປັນຈດທີ່ກື ານດົ ລດັ ສະໝີວົງມົນ ເຄື່ອງມືແຕມ້ ເສນັ້ ໃນແນວຕັ້ງ ໃຊເ້ ຄື່ອງມືຂຽນເສັນ້ ໃນແນວຕັ້ງສາ້ ງອ໊ອບເຈກັ ທີ່ືເປັນເສນັ້ ໃນແນວຕັ້ງຄື ສ່ວນຂອງເສ້ັນຊື່ ລັງສີ ແລະ ເສນັ້ ຊ່ື ແຕ່ລະອອ໊ ບເຈັກທ່ີືສ້າງໂດຍເຄື່ອງມນື ້ັກີ ານດົ ດ້ວຍຈດສອງຈດ ເຄືອງມືພິມຂ້ໍຄວາມ ໃຊເ້ ຄອ່ື ງມືສ້າງຂຄໍ້ ວາມ ເຮັດວຽກຕ່າງໆກບັ ປ້າຍ ແລະ ອ໊ອບເຈັກອນື່ ທືີ່ສະແດງຂໍ້ຄວາມ ເຄ່ືອງມືການດົ ເອງ ໄອຄອນເຄອື່ ງມກື ານົດເອງໃຊ້ໃນການົດ ແລະ ໃຊ້ເຄືອ່ ງມກື ານດົ ເອງ ເຄື່ອງມືການດົ ເອງເປັນເຄື່ອງມືທີ່ືເຮົາສ້າງຂັ້ນເອງຫຼືມຜີ ູ້ອື່ນສ້າງໃຫ້ ເມື່ອສ້າງແລວ້ ກສາມາດນາມາໃຊ້ສ້າງ ຮູບຕ່າງໆ ໄດ້ໃນລັກສະນະດຽວກບັ ເຄື່ອງມື ວງົ ວຽນ ສາ້ ງວົງມົນຈາກຈດສນູ ກາງ ແລະ ຈດທກ່ືີ ານດົ ລດັ ສະໝີ ສ່ິືງທືີ່ ເຄ່ອື ງມືການດົ ເອງສ້າງຂັນ້ ຈະມີຄວາມຊັບຊອ້ ນພຽງໃດກໄດ້ ຕົວຢ່າງເຊ່ນັ ເຮົາອາດການົດເຄອ່ື ງມືສາລັບສ້າງສິ່ືງທືີ່ບໍ່ ຊັບຊ້ອນຫຼາຍ ເຊັ່ນ ສາ້ ງເສັ້ນແບງ່ ເຄງື່ິ ແລະຕັງ້ ສາກກບັ ສ່ວນຂອງເສ້ັນຊື່ທືີກ່ ານົດໃຫ້ ສາ້ ງວົງມົນນ້ອຍອ້ອມຮູບສາມ 186

vilaisavanh ແຈທ່ືີການົດໃຫ້ ສ້າງສີື່ແຈຈະຕລັດຈາກຈດຍອດສອງຈດທືີ່ຕິດກັນ ຫຼືອາດການົດເຄື່ອງມືທ່ືີສັບຊ້ອນຂ້ັນສາລັບສ້າງ ເສັນ້ ສາຜັດກຣາບຂອງຕາລາເຊັ່ນ ທີືຈ່ ດໃດໆສ້າງແຟຣັກທັດຫືເຼ ທສເລຊັນທື່ີສັບຊ້ອນ ເປັນຕົ້ັນ. ເຄ່ືອງມືການົດເອງ ຈະໃຊຈ້ ັກເທ່ອື ກໄດ້ ໃຊ້ໃນລັກສະນະແບບຮ່າງກໄດ້ບ່ຈໍ າກັດ ເນືອ່ ງຈາກເຮາົ ສາມາດສ້າງເຄື່ອງມືແບບໃດກໄດ້ ແລະ ຈານວນເທາົັ່ ໃດກໄດຕ້ າມຕ້ອງການ ຈື່ງອາດກາ່ ວໄດວ້ າ່ ເຄອື່ ງມຂື ອງ Sketchpad ສາ້ ງເພື່ີມໄດ້ບໍ່ຈາກັດ.  ການສາ້ ງຮບູ ເລຂາຄະນດິ ແບບງ່າຍດາຍ ທືກີ່ ່ອງເຄ່ືອງມືທາງຊ້າຍຂອງໜ້າຈຈະມປີ ່ມເຄອື່ ງມືສາ້ ງຈດໃຫ້ຊີ້ເັ ມ້ັົາໄປທີື່ປ່ມນັນ້ ແລ້ວຄຼິກເພື່ອເລືອກໃຊເ້ ຄ່ອື ງມື ລາກເມ້າັົ ໄປທ່ືີເຮັດວຽກບ່ອນຕາແໜ່ງທຕື່ີ ້ອງການສ້າງຈດ ແລວ້ ຄິຼກເມ້ົັາເພ່ືອ ວາງຈດບ່ອນນນັ້ ໄດ້ຈດຕາມຕອ້ ງການ  ສາ້ ງວງົ ມນົ ນັເ້ີ ປັນຕວົ ຢ່າງການສ້າງຮູບວົງມົນໃຫຈ້ ດໃຈກາງຢູ່ທີື່ຈດ A ແລະ ເສັນ້ ຮອບວງົ ຕັດຜ່ານຈດ B ຊ້ເັີ ມ້ັົາທ່ປີື ່ມສ້າງວງົ ມນົ ແລ້ວຄຼກິ ເພອ່ື ເລອື ກໃຊ້ເຄືອ່ ງມື 187

vilaisavanh ຄິຼກເມາົັ້ ໄປຫາພນ້ັື ທເ່ືີ ຮັດວຽກບອ່ ນຕາແໜງ່ ທີື່ຕ້ອງການສ້າງຈດໃຈກາງຂອງວົງມົນ ຄຼິກ ລາກເມາັົ້ ໄປຕາແໜງ່ ທ່ີືຕ້ອງການໃຫເ້ ກີດຮູບວງົ ມົນເຮາົ ກຈະໄດ້ຮູບທ່ຕີື ້ອງການ  ການສາ້ ງສວ່ ນຂອງເສນັ້ ຊ່ື ທີື່ກ່ອງເຄ່ືອງມືທາງດ້ານຊ້າຍຂອງໜ້າຈ ຈະມີປ່ມເຄ່ືອງມືສ້າງ ເສນ້ັ ໂດຍແບງ່ ອອກເປັນເຄອື່ ງມື ເຄ່ືອງມືສ້າງເສັ້ນຊື່ ເຄື່ອງມືສ້າງລງັ ສີ ເຄື່ອງມືສ້າງສວ່ ນຂອງເສ້ນັ ຊື່ 188

vilaisavanh ຊີເ້ັ ມ້ົັາໄປທ່ືີປມ່ ສ້າງ ລາກເມ້ັົາໄປຫາພືນ້ັ ທ່ີືເຮັດວຽກບ່ອນຕາແໜງ່ ທື່ີ ສວ່ ນເສັ້ນຊື່ ແລ້ວຄຼກິ ຕອ້ ງການສ້າງເສັ້ນ ແລ້ວຄກຼິ ເມ້ົັາຄ້ງັ ໜງື່ ຈະ ເພື່ອເລືອກໃຊເ້ ຄືອ່ ງມື ປະກົດຈດປາຍ ຂອງສວ່ ນເສນ້ັ ຊ່ືຂ້ັນ ລາກເມັົ້າໄປຫາຕາແໜງ່ ທີື່ຕ້ອງການວາງຈດປາຍອີກປາຍຂອງ ສວ່ ນເສນັ້ ຊື່ ແລ້ວຄກຼິ ເມ້ັົາເພ່ືອວາງຈດປາຍ ເຮົາກຈະໄດ້ສວ່ ນເສັ້ນ ຊື່ກົງກບັ ຕາແໜງ່ ທຕືີ່ ອ້ ງການ  ການສາ້ ງລງັ ສີ ຊເ້ັີ ມັົ້າໄປທ່ືີປມ່ ລງັ ສີ ແລວ້ ຄິຼກ ເພື່ອເລືອກໃຊ້ 189

vilaisavanh ລາກເມົັ້າໄປພືນ້ັ ທ່ືີເຮັດວຽກບ່ອນ ຕ າແໜ່ງທີ່ືຕ້ອງການສ້າງຈ ດ ປາຍຂອງລັງສີ ແລວ້ ຄິຼກເມັົ້າໜື່ງ ຄັ້ງ ຈະເກີດຈດປາຍຂອງລັງສີ ຂັ້ນ  ການສາ້ ງເສນັ້ ຊື່ ລາກເມາ້ົັ ໄປຕາແໜງ່ ທີ່ືຕ້ອງການໃຫເ້ ສັນ້ ລງັ ສີສ້າງລາກ ຜ່ານ ຈາກນນັ້ ຄກຼິ ເມ້ົັາໜື່ງຄງັ້ ເພອ່ື ວາງຈດ (ເຮົາເອັີນ້ ຈດນັ້ີ ວ່າ ຈດບງັ ຄັບລັງສ)ີ ຈະໄດ້ເສ້ນັ ລັງສຕີ າມຕອ້ ງການ ຊ້ເັີ ມັ້ົາໄປປມ່ ສ້າງເສ້ັນຊື່ ແລ້ວຄຼກິ ເພອື່ ເລອື ກໃຊ້ເຄື່ອງມື 190

vilaisavanh ລາກເມັົາ້ ໄປຫາພັື້ນທື່ີເຮັດວຽກ ບ່ອນຕາແໜ່ງທີ່ືຕ້ອງການສ້າງ ຈດປາຍຂອງເສັ້ນຊື່ ແລ້ວຄຼິກ ເມົັ້າໜ່ືງຄັ້ງ ຈະເກີດຈດປາຍ ຂອງເສ້ັນຊນ່ື ນັ້ ລາກເມົັາ້ ໄປຕາແໜງ່ ທີື່ຕອ້ ງການໃຫເ້ ສັ້ນຊນ່ື ນັ້ ລາກ ຜ່ານ ຈາກນັ້ນຄິຼກເມົັ້າໜ່ງື ຄັງ້ ເພື່ອວາງຈດ(ເຮາົ ເອັ້ີນ ຈດນວັ້ີ ່າ ຈດບງັ ຄັບເສັ້ນຊື)່ ຈະໄດເ້ ສ້ັນຊື່ກົງກັບຕາແ ໜງ່ ທືີ່ຕ້ອງການ  ການໃສຊ່ ກ່ື ບັ ວດັ ຖຼຸ 1. ຄກິຼ ປ່ມສ້າງຂ້ໍຄວາມລູກສອນຈະປ່ຽນເປນັ ຮູບມື 2. ຄກິຼ ເມົັ້າໄປຈດປາຍທັງສອງ ຈະເປັນການໃສ່ຊ່ືໃຫ້ກັບຈດ 3. ຄຼິກເມົັ້າໄປທເ່ືີ ສັນ້ ຈະເປນັ ການໃສ່ຊ່ືໃຫ້ກັບເສນັ້ ນັ້ນ 191

vilaisavanh  ການປຽ່ ນຊວື່ ດັ ຖຼຸ 1. ດບັ ເບນ້ັີ ຄກຼິ ເທິງຊຂ່ື ອງຈດທ່ືີຕອ້ ງການຈະປ່ຽນ ໃນທືນ່ີ ້ັີ ດບັ ເບນ້ີັ ຄິຼກເທງິ ອັກສອນ A 2. ຈະປະກົດໜ້າຕາ່ ງຂັ້ນມາ ໃນຊ່ອງ Label ຈະເຫນັ ຊື່ຈດເດີມຢູ່ 3. ພິມຊ່ືໃໝ່ຕາມຕ້ອງການ ໃນທື່ີນັີ້ຄື C 4. ກົດ OK ຈະປະກົດຊືຈ່ ດໃໝ່ຕາມທີື່ເຮົາຕັ້ງ  ການສາ້ ງເສນັ້ ຂະໜານ ລອງມາສ້າງເສ້ນັ ຊ່ືຂະໜານສ່ວນຂອງເສ້ນັ ຊື່ທກືີ່ ານົດຜ່ານ A 1. ເລອື ກຈດທືຕ່ີ ອ້ ງການໃຫເ້ ສ້ນັ ຂະໜານ ທີືເ່ ຮົາຈະສາ້ ງລາກຜ່ານ ໃນທີືນ່ ້ັີຄຈື ດ A 2. ເລອື ກເສັນ້ ທ່ືຕີ ້ອງການໃຫ້ເສ້ັນໃໝ່ທ່ີື ສ້າງມາຂະໜານ 192

vilaisavanh 3. ກົດປມ່ ເມນູ ສ້າງ ເລ່ືອນເມ້ັົາມາ ທຄືີ່ າສ່ງັ ເສນັ້ ຂະໜານ ແລ້ວຄິຼກ ເມົັາ້ ເພື່ອເລືອກຄາສ່ງັ ຈະໄດເ້ ສັ້ນຊ່ືຂະໜານສ່ວນຂອງ ເສ້ນັ ຊ່ຜື ່ານຈດທື່ີເຮົາຕອ້ ງການ  ການວດັ ຄວາມຍາວສວ່ ນຂອງເສນັ້ ຊື່ 2 1 ເລືອກສວ່ ນຂອງເສ້ັນຊື່ທີື່ຈະວັດຄວາມຍາວ ບອ່ ນແຖບຄາສງັ່ ເລອື ກຄາສ່ັງ ການ ວດັ ແລວ້ ເລອື ກຄາສັ່ງ ຄວາມຍາວ 193

vilaisavanh 3 ຈະປະກົດການວດັ ຂນັ້ ມາທັນທີ  ການວດັ ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວາ່ ງຈດ 1 2 ເລອື ກຈດທຕີ່ື ້ອງການວດັ ໄລຍະຫ່າງ ເທິງແຖບຄາສງ່ັ ເລືອກຄາສັ່ງ ການວດັ ແລວ້ ເລອື ກຄາສ່ັງ ໄລຍະຫາ່ ງ 194

vilaisavanh 3 ຈະປະກົດຜົນການວດັ ຂັ້ນມາທັນທີ  ການສາ້ ງຈດເຄງິ່ື ກາງ 1 2 ເລືອກເສັ້ນທຕ່ືີ ້ອງການສ້າງຈດເຄ່ືງິ ກາງ ເທງິ ແທບຄາສັ່ງ ເລືອກຄາສ່ັງ ສ້າງ ແລວ້ ເລືອກຄາສງັ່ ຈດເຄງ່ືິ ກາງ 195

vilaisavanh 3 ຈະໄດ້ຈດເຄິງື່ ກາງເທງິ ສວ່ ນ ຂອງເສ້ັນຊ່ືຕາມທີ່ືຕ້ອງການ  ການສາ້ ງຈດຕດັ 1 2 ເລືອກສ່ວນຂອງເສນັ້ ຊທື່ ່ີື ເທງິ ແທບຄາສັ່ງ ເລືອກຄາສງັ່ ຕ້ອງການສາ້ ງຈດຕັດ ສາ້ ງ ແລວ້ ເລືອກຄາສັງ່ ຈດຕດັ 196