ເລຂາຊັ້ນຕົ້ນ

ມະຫາວທິ ະຍາໄລສະຫວັນນະເຂດ ຄະນະສຶກສາສາດ ພາກວຊິ າຄວູ ທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ ເລຂາຄະນິດຊັ້ນຕນັ້ Elementary Geometry ສາລັບນັກສຶກສາສາຂາ: ຄູຟຊີ ິກສາດ ລະບບ 12+4 ຮຽບຮຽງໂດຍ: ນາງ ວິໄລສະຫວັນ ເລອື ງລດິ ...................................... ກວດແກ້ໂດຍ: ອນິ ປນັ ພລິ າບຸດ.................................................... ກິ ກອງມະນີ.......................................................... ມະຫາວິທະຍາໄລສະຫວນັ ນະເຂດ ສກສກຶ ສາ 2022-2023

ຄຳນຳ ເອກະສຳນປະກອບກຳນສອນ ”ເລຂຳຄະນິດຊ້ັນຕ້ັນ” ເຫມ້ັ ນັ້ຜຂູ້ ຽນໄດູ້ຮຽບຮຽງຂັ້ນ, ໂດຍມຈຸດປະສງເພື່ອ ແນໃ່ ສ່ຮບໃຊ້ກູ ຳນຮຽນກຳນສອນໃນລະດບປະລນິ ຍຳຕ ສຳຍຄຟີຊິກສຳດ ລະບບປະລິນຍຳຕ 12+4 ປີ 4. ຜູ້ຂຽນໄດູ້ ຮວບຮວມ ແລະ ຮຽບຮຽງຂັ້ນມຳຈຳກເອກະສຳນ ແລະ ປມຶ້ ຄມ່ ທເ່ື ປັນພຳສຳລຳວ ແລະ ພຳສຳຕຳ່ ງປະເທດ ແລະ ມຳ ຈຳກກຳນສອບຖຳມຄຜູ້ມປະສບກຳນສອນໃນວິຊຳນໃນໄລຍະຜ່ຳນມຳ. ຈດຸ ປະສງຕ້ັນຕໍແຕລ່ ະເນ້ັອໃນປ້ຶມເຫັ້ມນ້ັ ແມ່ນເພອ່ື ເປນັ ບ່ອນອງ ແລະ ເປນັ ທິດທຳງອນໜື່ງໃຫູ້ແກ່ບນດຳຄ ສອນວິຊຳຄະນິດສຳດ ແລະ ນກສກສຳ ພູ້ອມດູ້ວຍຜ້ທູ ່ືມຄວຳມສນໃຈກ່ຽວກບວິຊຳເລຂຳຄະນດິ . ເນອັ້ ໃນສຳຄນຂອງປ້ຶມເຫ້ັມນັ້ ໄດ້ເູ ວັ້ຳເຖິງຄວຳມຮູ້ອນເປັນພັນ້ ຖຳນໃນວິຊຳເລຂຳຄະນິດບ່ໍວ່ຳຈະເປັນຄວຳມ ໝຳຍຂອງເມດ, ເສນ້ັ , ທອ່ ນຊື່, ຮບເລຂຳຕ່ຳງໆ, ກຳນສຳູ້ ງແຕູ້ມ, ກຳນຄດິ ໄລເ່ ນອ້ັ ທື,່ ບໍລິມຳດ,ກຳນຄິດໄລເ່ ວກເຕ, ກຳນພວພນລະຫວ່ຳງເລຂຳຄະນິດໜູ້ຳພຽງກບເລຂຳເວກເຕ, ກຳນສູ້ຳງແຕູ້ມຮບເລຂຳຕ່ຳງໆໂດຍກຳນໃຊູ້ ໂປຣ ແກຣມ The geometer's sketchpad ກບກຳນແກູ້ໄຂບນຫຳເລຂຳໜຳູ້ ພຽງ. ປຶ້ມເຫມ້ັ ນ້ັໄດູ້ຮຽບຮຽງຂັ້ນເປັນເທອ່ື ທຳອິດຂອງຜູ້ຂຽນ, ແນ່ນອນວ່ຳ ຍ່ອມມຂ້ໍຂຳດຕກບກຜ່ອງໃນບຳງຈຸດ ອຳດຈະເປັນເນອັ້ ໃນ ແລະ ຄຳສບ ຫ ສຳນວນ, ເພຳະສະນັນ້ ໃນນຳມຜູ້ຂຽນຂໍສະແດງຄວຳມຍິນດຮບເອຳຄຳຕຳນິຕິ ຊມ ແລະ ຂໍຂອບໃຈມຳຍງທ່ຳນເປນັ ຢ່ຳງສງຕໍ່ຄຳແນະນຳຂອງຜູອ້ ່ຳນທກຸ ໆທ່ຳນດູວ້ ຍຄວຳມຈິງໃຈ ເພື່ອຈະໄດູ້ປັບປຸງ ແລະ ແກູ້ໄຂເນ້ັອໃນທ່ືຍງບໍ່ທນຄບຖູ້ວນ ແລະ ແກູ້ໄຂເພື່ມເຕມໄປຕຳມວິວດທະນຳກຳນຂອງຍຸກສະໄໝໃຫູ້ຄບ ຖວູ້ ນສມບນ, ຂູ້ຳພະເຈ້ຳັ ຖວຳ່ ທຸກຄຳຄິດຄຳເຫນຂອງບນດຳທ່ຳນເປັນຂໍ້ມນອນມຄຸນຄ່ຳ ແລະ ເປັນກຳນຊ່ວຍປັບປຸງ ຄນຸ ນະພຳບກຳນສກສຳໃຫູ້ພດທະນຳຍງິື່ ໆຂັ້ນໄປ. i

ສຳລະບຳນ ໜຳູ້ ບດທ 1 ຄວຳມຮເູ້ ບອ້ັ ງຕນັ້ ກຽ່ ວກບເລຂຳຄະນດິ .................................................................................. 1 1. ຄວຳມສຳນກກ່ຽວກບແຜ່ນພຽງ, ເມດ, ເສັນ້ ຊື່, ເສນັ້ ຊຕ່ື ດກນ, ທ່ອນຊ່ື ເສັນ້ ທບຫກ ແລະ ມມ....... 1 2. ມມ ແລະ ຫວໜ່ວຍວດແທກມມ .............................................................................................. 5 3. ທ່ອນຊື່, ກຳນວດແທກທອ່ ນຊື່ ແລະ ກຳນຄຳນວນກຽ່ ວກບທອ່ ນຊ່ື ................................................. 13 ບດທ 2 ຮບສຳມແຈ .................................................................................................................. 25 1. ນຍິ ຳມ ແລະ ຄນຸ ລກສະນະ ...................................................................................................... 25 2. ຫກກຳນ ແລະ ຜນເນອ່ື ງຕ່ຳງໆ................................................................................................. 28 3. ກຳນຄິດໄລເ່ ນອ້ັ ທ່ື ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບສຳມແຈ ..................................................................... 33 ບດທ 3 ຮບສແື່ ຈ ..................................................................................................................... 37 1. ນິຍຳມ ແລະ ຄຸນລກສະນະ ...................................................................................................... 37 2. ຫກກຳນ ແລະ ຜນເນ່ອື ງຕ່ຳງໆ................................................................................................. 41 3. ກຳນຄິດໄລ່ເນ້ັອທື່ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບສ່ືແຈ.......................................................................... 45 ບດທ 4 ຮບຫຳຍແຈສະເໝ ແລະ ຮບວງມນ.................................................................................... 54 1. ນິຍຳມ ແລະ ຄຸນລກສະນະ ...................................................................................................... 54 2. ຫກກຳນ ແລະ ຜນເນື່ອງຕຳ່ ງໆ................................................................................................. 56 ບດທ 5 ບດເລກພສິ ດ ແລະ ບດເລກຄຳນວນເລຂຳຄະນດິ ................................................................... 63 1. ຈຸດພິເສດຕ່ຳງໆຂອງບດເລຂຳຄະນິດ ......................................................................................... 63 2. ບຳດກູ້ຳວພັ້ນຖຳນໃນກຳນແກ້ບູ ດເລກເລຂຳຄະນິດ ....................................................................... 63 3. ບດເລກພິສດ ແລະ ບຳດກູ້ຳວພນັ້ ຖຳນໃນກຳນແກບູ້ ດເລກເລຂຳຄະນິດ............................................. 65 ບດທ 6 ຮບຄຳູ້ ຍຄ ແລະ ຮບຄູ້ຳຍຄຂະໜຳນ .................................................................................... 67 1. ກຳນປ່ຽນຄູ້ຳຍຄຂະໜຳນ ........................................................................................................ 67 2. ຮບຄູ້ຳຍຄກນ ....................................................................................................................... 69 ii

ບດທ 7 ກຳນຜນປຽ່ ນຮບ............................................................................................................ 75 1. ກຳນຍູ້ຳຍຂະໜຳນ ................................................................................................................. 75 2. ກຳນເຄື່ິງຄ ........................................................................................................................... 76 3. ກຳນປິນ່ (ກຳນໝນຮອບ)....................................................................................................... 78 4. ໂອໂມໂຕຊ .......................................................................................................................... 80 ບດທ 8 ກຳນພວພນໄຕມມມຕິ ິໃນຮບສຳມແຈ,ຮບສແື່ ຈ ແລະ ຮບວງມນ.............................................. 88 1. ກຳນພວພນໄຕມມມິຕິຢ່ໃນຮບສຳມແຈ..................................................................................... 88 2. ກຳນພວພນໄຕມມມິຕິຢ່ໃນຮບສແື່ ຈ......................................................................................... 93 3. ກຳນພວພນໄຕມມມິຕິຢ່ໃນຮບວງມນ....................................................................................... 93 ບດທ 9 ຮບກອູ້ ນກຳງຫຳວ .......................................................................................................... 98 1. ນິຍຳມ ແລະ ຄຸນລກສະນະ ...................................................................................................... 98 2. ຫກເກນ............................................................................................................................ 103 3. ກຳນຄິດໄລເ່ ນັ້ອທື່ ແລະ ບລໍ ມິ ຳດຂອງຮບກຳງຫຳວ..................................................................... 105 ບດທ 10 ເລຂຳສະຖຳນ ............................................................................................................ 114 1. ມະໂນພຳບກ່ຽວກບເລຂຳສະຖຳນ ........................................................................................... 114 2. ກຳນນຳໃຊເູ້ ລຂຳສະຖຳນເຂ້ັຳໃນກຳນແຕູ້ມຮບ ........................................................................... 117 3. ບດເລກສູ້ຳງແຕູມ້ ແລະ ກຳນຄິດໄລ່ເລຂຳສະຖຳນ ...................................................................... 118 ບດທ 11 ບດເລກສຳູ້ ງແຕມູ້ ຮບ .................................................................................................. 127 1. ຄວຳມຮູ້ພັນ້ ຖຳນ ................................................................................................................. 127 2. ຄັນ້ ຄວູ້ຳວທິ ສູ້ຳງແຕູມ້ ຈດຸ ພິເສດຮບ ......................................................................................... 128 ບດທ 12 ຄວຳມຮເູ້ ບອັ້ ງຕນ້ັ ກຽ່ ວກບເວກເຕ.................................................................................. 133 1. ຄວຳມສຳນກກ່ຽວກບເວກເຕ................................................................................................. 133 2. ນຍິ ຳມເວກເຕ..................................................................................................................... 133 3. ກຳນບວກ ແລະ ລບເວກເຕ................................................................................................... 135 iii

4. ກຳນຄນຈຳນວນຈງິ ກບເວກເຕ............................................................................................... 137 5. ກຳນພວພນ ....................................................................................................................... 138 6. ຜນຄນສະກຳແລຂອງເວກເຕ ................................................................................................. 142 ບດທ 13 ເລຂຳຄະນດິ ໜຳູ້ ພຽງທສ່ື ະເໜດວູ້ ຍຮບເລຂຳຄະນດິ ເວກເຕ ................................................... 147 1. ນິຍຳມຂອງເວກເຕ............................................................................................................... 147 2. ຄຸນລກສະນະຂອງຮບເລຂຳໜູ້ຳພຽງທ່ສື ະເໜແບບເວກເຕ ............................................................ 147 3. ຂະໜຳດຂອງເວກເຕ............................................................................................................ 152 4. ຜນຄນສະກຳແລ ................................................................................................................. 153 ບດທ 14 ກຳນພວພນລະຫວຳ່ ງເລຂຳຄະນດິ ໜຳູ້ ພຽງກບເລຂຳຄະນດິ ແບບເວກເຕ................................... 161 1. ກຳນພວພນໃນຮບແບບຕ່ຳງໆ................................................................................................ 161 2. ບດເລກຕວຢ່ຳງພັ້ນຖຳນຈຳນວນໜ່ືງ ....................................................................................... 168 ບດທ 15 ໂປຣແກຣມ THE GEOMETER'S SKETCHPAD ກບກຳນແກໄູ້ ຂບນ ຫຳເລຂຳໜຳູ້ ພຽງ175 1. ປະຫວດ ແລະ ຄວຳມເປັນມຳກ່ຽວກບໂປຣແກຣມ The geometer's sketchpad .......................... 174 2. ຈດຸ ພິເສດ .......................................................................................................................... 174 3. ປະໂຫຍດກຳນໃຊູ້ໂປຣແກຣມ The geometer's sketchpad..................................................... 176 4. ຄວຳມຮເູ້ ບັ້ອງຕນັ້ ກ່ຽວກບກຳນໃຊູ້ໂປຣແກຣມ The geometer's sketchpad ............................... 177 5. ກຳນຕດິ ຕັງ້ ລະບບຊ໊ອບແວ .................................................................................................... 177 iv

vii ບດົ ທີ 1 ຄວາມຮເູ້ ບອ້ື ງຕືນ້ົ ກຽ່ ວກບັ ເລຂາຄະນດິ 1. ຄວາມສານກຶ ກຽ່ ວກັບແຜນ່ ພຽງ, ເມດັ , ເສ້ືັນຊ,ື່ ເສັນື້ ຊຕ່ື ັດກັນ, ທ່ອນຊ,່ື ເສນ້ັື ທບົ ຫັກ ແລະ ມມ 1.1 ແຜນ່ ພຽງ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວັນເຮົາເຄຍີ ເຫນັ ວດັ ຖຸ ທເ່ີື ປນັ ລັກສະນະແຜ່ນພຽງຢາ່ ງຫວຼ ງຫຼາຍ ເຊັນ່ : ໜາູ້ ໂຕະ, ໜູາ້ ກະດານດາ, ເພດານຫູອ້ ງຮຽນ, ໜູ້ານ້ໍາໜອງເວລາງຽບ (ບໍ່ມລີ ມົ ),... ສິື່ງຕ່າງໆເຫັ່າຼົ ນັື້ນ, ລວູ້ ນແຕ່ແມນ່ ສວ່ ນໜຶງື່ ຂອງໜູ້າພຽງ ໃນວິຊາເລຂາຄະນິດສາດ, ເພນື່ິ ນິຍາມແຜ່ນພຽງດັງ່ ນ:້ືີ ນຍິ າມ: ແຜນ່ ພຽງແມ່ນພືນ້ ລຽບທືີກ່ ວ້າູ ງຂວາງຢາ່ ງບໍມ່ ີຂອບເຂດ. ເພືິ່ນສນັ ຍາລກັ ແຜ່ນພຽງດ້ວູ ຍ P; P ຫຼ  ,… ສວ່ ນຫຼາຍເວລາແຕ້ມູ ແຜ່ນພຽງເຄີຍແຕູມ້ ເປນັ ຮບສີື່ແຈຂູ້າງຂະໜານ. ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ແຜນ່ ພຽງ P 1.2 ເມດັ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວັນເຮາົ ເຄຍີ ພົນເຫນັ ວດັ ຖຸທເື່ີ ປນັ ລກັ ສະນະເມດັ ຢ່າງຫຼວງຫຼາຍເຊັນ່ : ເມດັ ຜັກ, ເມັດເຂ້າືົ ປກ , ແກນ່ ໝາກແຕ່ງ, ... ໃຫູ້ສອງເສນ້ັື ຊື່ d ແລະ l , ເຮົາເຫນັ ວາ່ ຖາູ້ d ຕັດ l ແມ່ນພວກມັນຈະຕັດກັນຢ່ພຽງບ່ອນດຽວເທົ່ັານັນື້ , ບອ່ ນ ຕັດກັນດັ່ງກ່າວເອ້ີືນວາ່ ເມດັ . ນຍິ າມ: ເມັດແມ່ນເມດັ ທີບ່ື ໍ່ມຂີ ະໜານ ຫຼ ເມັດແມ່ນຈຸດທີ່ືຕັດກັນລະຫວ່າງສອງເສື້ນັ ຊຕ່ື າມໃຈ. ຕວົ ຢາ່ ງ 2: A ແມນ່ ເມັດຕັດກັນຂອງສອງເສນັື້ ຊື່ a ແລະ b. ສັນຍາລັກແທນເມດັ A ໄດູດ້ ັ່ງນີ້ື: 1

vii ໂດຍທ່ົວັ ໄປເພິນ່ື ເຄີຍໃຊູ້ຕວົ ອກັ ສອນໂຕພິມໃຫຍ່ເພ່ືອຊ້ີືບອກເຖງິ ເມັດເຊ່ັນ: ເມດັ A,O, P,... 1.3 ເສນ້ືັ ຊື່ ໃນຊີວິດປະຈາວັນເຮົາເຄີຍພົນເຫັນວັດຖຸທີື່ເປັນລັກສະນະເສູ້ນຊ່ືຢ່າງຫຼວງຫຼາຍເຊັ່ນ: ເສັື້ນຂອບໂຕະເກີດ ຈາກການຕັດກັນຂອງໜູ້າໂຕະ ແລະ ຝາດ້າູ ນຂູ້າງຂອງໂຕະ, ຕີນຝາຫອູ້ ງຮຽນແມນ່ ເສັນື້ ຕັດກັນຂອງຝາຫູ້ອງຮຽນ ແລະ ພນ້ື ຫູ້ອງຮຽນ,... ເສັື້ນຊື່ ແມ່ນກຸ່ມຂອງບັນດາເມັດທີ່ືຕ່ໍລຽນກນັ ໄປຕາມລວງດຽວກັນ ເຊິ່ືງຜ່ານສອງເມັດ (ຕ່າງກັນ) ທີື່ໃຫູ້ ກອ່ ນເຮາົ ສາມາດສູ້າງໄດູ້ພຽງແຕ່ເສນ້ັື ຊໜ່ື ງື່ຶ ແລະ ເສືັນ້ ຊດື່ ຽວເທາ່ັົ ນັື້ນ. ນຍິ າມ: ເສືນ້ັ ຊືແ່ ມນ່ ຮອຍຕັດກັນລະຫວ່າງສອງແຜ່ນພຽງທື່ີບ່ໍມີຂອບເຂດ ຫຼ ເສັນື້ ຊແື່ ມນ່ ກຸ່ມຂອງບນັ ດາເມັດທີ່ື ລຽນຕດິ ຕກໍ່ ັນຕາມແຖວຊ່ືບ່ໍສິືນ້ ສຸດ ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫູ້ເມັດ A ແລະ B ເຊງ່ືິ ໃນໜາູ້ ພຽງໜືຶ່ງ, ເມອ່ື ຂີດເສ້ນັື ຊື່ຜາ່ ນເມດັ A ແລະ B ເຮາົ ກື່ໄດູ້ເສ້ັນື ຊ່ື AB ເຊງິື່ ສັນຍະລກັ ດວູ້ ຍ: (AB) B A ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ເພິື່ນເຄີຍສັນຍາລກັ ເສັ້ນື ຊ່ືດວູ້ ຍສອງວິທຄີ : - ວທິ ີທີ 1 ໃຊູ້ຕົວອັກສອນຕົວດຽວ ເພອື່ ຊືີ້ບອກເສ້ືັນຊ່ເື ຊັນ່ : d , l ,  ,... - ວິທີທີ 2 ໃຊູ້ຕວົ ອັກສອນສອງຕວົ ເພ່ືອຊ້ີືບອກວາ່ ເສ້ັືນຊື່ນ້ືັນຜ່ານສອງເມັດດັ່ງກ່າວເຊນ່ັ (AB), (NM), (CD),… A BC N D M 1.3.1 ເຄິ່ງື ເສັືນ້ ຊື່ ຖູ້າວາ່ ເມັດ A ແບ່ງເສນ້ືັ ຊື່ xy ເປນັ ສອງພາກສວ່ ນ ແຕ່ລະພາກສວ່ ນນນ້ືັ ເຮົາເອີນ້ື ວາ່ : ເຄິືງ່ ເສັືນ້ ຊ່ື ສັນຍະລັກ ດວູ້ ຍ [Ax) ແລະ [Ay) ໂດຍ A ເອ້ືີນວາ່ : ເມັດເຄ້າົື 2

vii y x [Ax) B[Ay) 1.3.2 ທີ່ືຕັ້ືງສາພັດຂອງເສນ້ັື ຊື່  ສອງເສັືນ້ ຊຕ່ື ັດກັນ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວັນເຮົາເຄີຍພົນເຫນັ ວັດຖຸທເີື່ ປັນລັກສະນະເສູ້ນຊື່ຢ່າງຫຼວງຫຼາຍເຊັ່ນ: ສາຍໄຟສອງເສືນ້ັ ຕັດກນັ , ເສັື້ນທາງຊື່ສ່ືີແຍກ, ຂອບຂອງເພດານຕັດກັນ, ... ນຍິ າມ: ເສັ້ນື ຊຕ່ື ັດກັນແມນ່ ສອງເສືັນ້ ຊື່ທ່ບືີ ່ໍຂະໜານກັນ ຫຼ ສອງເສນ້ັື ຊ່ືຕັດກັນແມ່ນ ສອງເສ້ັືນຊ່ືທີື່ຢ່ໃນໜູ້າພຽງ ດຽວກນັ ແລະ ມີເມັດຮວ່ ມກນັ ພຽງເມັດດຽວເທັົ່ານ້ືັນ ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ຈງ່ັົ ແຕມູ້ l ບໍ່ຂະໜານ d ຫຼ  ສອງເສັື້ນຊຂື່ ະໜານກນັ ສອງເສື້ັນຊຂື່ ະໜານກັນແມ່ນ ສອງເສນັ້ື ຊທື່ ຢື່ີ ໃ່ ນໜູ້າພຽງດຽວກັນ ແລະ ບ່ໍຂະໜານກັນ  ສອງເສືນ້ັ ຊ່ືເຕງັ ກນັ ສອງເສນ້ືັ ຊເ່ື ຕັງກນັ ໝາຍເຖງິ ບັນດາເມດັ ຂອງເສັນ້ື ຊື່ທີ 1 ແມນ່ ເມດັ ຂອງເສືນ້ັ ຊ່ືທີ 2 1.3.3 ຫຼັກເຄາ້ືົ ກ່ຽວກັບເສ້ືນັ ຊື່ 1) ມເີ ສ້ືັນຊພື່ ຽງເສນ້ັື ດຽວເທ່ົັານັນ້ື ທີປ່ື າ່ ນຈຸດສອງຈຸດທກີື່ ານດົ ໃຫກູ້ ່ອນ 3

vii 2) ເສນືັ້ ຊື່ຈະມີລວງຍາວບ່ໍຈາກັດ ເຊງືິ່ ເຮົາສາມາດຕອ່ໍ ອກໄດູ້ທັງສອງຂູ້າງ. 3) ເສືັນ້ ຊສ່ື ອງເສນືັ້ ທືີຕ່ ດັ ກນັ ຈະຕັດກັນທືຈີ່ ດຸ ພຽງຈດຸ ດຽວເທ່າົັ ນ້ັນື . 4) ພາກສວ່ ນຂອງເສືັ້ນຊຂ່ື ດີ ຕໍ່ສອງຈຸດ (ສອງເມດັ ) ຢ່ແຜ່ນພຽງໃດຈະຕອູ້ ງນອນຢ່ໃນແຜ່ນພຽງນ້ືັນ. 5) ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ່ືທີື່ຕ່ໍສອງເມັດທີື່ໃຫູ້ກ່ອນ ຈະແມ່ນໄລຍະຫ່າງທີື່ນູ້ອຍທີື່ສຸດລະຫວ່າງສອງເມັດ ດ່ັງກ່າວ (ເອີ້ືນວ່າ ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງສອງເມດັ ). 1.4 ທອ່ ນຊື່ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວັນເຮົາເຄີຍພນົ ເຫນັ ວັດຖຸທເີື່ ປັນລກັ ສະນະທ່ອນຊື່ຢ່າງຫຼວງຫຼາຍເຊ່ນັ : ຂາໂຕະ, ຕ່ງັ ນັງ່ ຂອງ ນກັ ຮຽນ, ບກິ ຂຽນ, ບນັ ທດັ ,... ນຍິ າມ: ພາກສວ່ ນຂອງເສືນ້ັ ຊື່ທ່ີືຂດີ ຕ່ໍລະຫວາ່ ງສອງເມັດ ເຊິງື່ ສອງເມັດດງັ່ ກ່າວເອີນ້ື ວ່າ ສ້ືນົ ຂອງທ່ອນຊື່ນັື້ນ ສັນຍາ ລກັ AB, OM, PS,... ພາກສວ່ ນຂອງເສືນັ້ ຊ່ືໜ່ຶງື ເຊືິ່ງຮແູ້ ຕ່ສືນົ້ ດຽວຂອງມັນ, ເອນື້ ວາ່ ເຄງິ່ື ທອ່ ນຊື່ ສັນຍາລັກດ້ວູ ຍ NM ,JI ,  FH  , ... ຕວົ ຢາ່ ງ 6: ຈົັ່ງແຕູມ້ ທ່ອນຊຕ່ື າມໃຈ AB,OM AM BO  ຈັງົ່ ແຕູ້ມເຄງິ່ື ທອ່ ນຊ່ື NM , FH M N N M 1.5 ເສນືັ້ ທບົ ຫກັ ໃນຊີວດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄີຍພນົ ເຫນັ ວັດຖຸທືເ່ີ ປນັ ລັກສະນະເສັນື້ ທບົ ຫກັ ຢ່າງຫວຼ ງຫຼາຍເຊ່ນັ : ເສນື້ັ ຕດັ ກນັ ລະຫວາ່ ງສອງຝາຂອງຝາຫູ້ອງຮຽນ ແລະ ພນື້ ຫອູ້ ງຮຽນ, ເສ້ືັນຂອບຂອງໜາູ້ ໂຕະ, ... ນຍິ າມ: ສອງເສ້ນັື ເຄງ່ືິ ທ່ອນຊ່ື ທື່ີມີສົື້ນດຽວຂອງພວກມນັ ຮວ່ ມເມດັ ດຽວກັນ ແລະ ບ່ໍຂະໜານກນັ ເອ້ນີື ວ່າເສື້ນັ ທົບ ຫກັ . ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ຈົ່ງັ ແຕູມ້ AB,BC ຮວູ້ ່າ AB ບໍຂ່ ະໜານ BC 4

vii C B A 2.ມມ ແລະ ຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກມມ 2.1 ຄວາມໝາຍຂອງມມ ໃຫູ້ສອງເສັື້ນຊ່ື a ແລະ b ຕັດກັນຢ່ເມັດ O, ພາກສ່ວນຂອງແຜ່ນພຽງທີ່ືຢ່ລະຫວ່າງເຄິ່ືງເສັື້ນຊ່ື a ແລະ b ເຊ່ືິງເລ່ືມີ ຕົ້ນື ຈາກ O ເອນ້ືີ ວ່າ ມມ. ເມັດ O ເອ້ີືນວາ່ ເມດັ ຈອມ; ເຄື່ິງເສນັ້ື ຊ່ື a ແລະ b ທຢືີ່ ່ເບ້ອື ງດຽວກນັ ທຽບໃສ່ O ເອ້ນີື ວາ່ ຂາູ້ ງຂອງມມ. ເພິືນ່ ສນັ ຍະລັກມມຸ ດວູ້ ຍຕົວອັກສອນ ແລະ ເຄອ່ື ງໝາຍເຊ່ນັ : Aˆ , Bˆ , AOˆ B, , ຫອຼ ືນ່ ໆ. ສັນຍາ ລກັ ທີື່ສະແດງເຖິງມມແມນ່  ຫຼ ^ ເຊ່ນັ :  AOB ຫຼ AOˆ B ອາ່ ນວາ່ ມມ AOB ເຊືິ່ງມີຄວາມໝາຍວາ່ ມມດັ່ງກາ່ ວປະກອບດ້ວູ ຍສອງທອ່ ນຊື່ OA ແລະ OB . ຕວົ ຢ່າງ 8: ໃນຮບລຸ່ມນ້ືີມີບັນດາມມຕາ່ ງຄ:  ມມທີ 1 ແມ່ນມມ X'Oˆ Y  ມມທີ 2 ແມນ່ ມມ YOˆ X  ມມທີ 3 ແມ່ນມມ XOˆ Y'  ມມທີ 4 ແມນ່ ມມ Y'Oˆ X' 5

vii 2.1.1 ບນັ ດາມມພິເສດ ຄ່າຂອງມມ ມມ 0 0    90 ມມສນ   90 ມມແຫມຼ 90    180 ມມຸ ສາກ   180 ມມຫວາ 180    270 ມມພຽງ 270    360 ມມສວດ   360 ມມຫງ້ວູ ມ ມມເຕມັ 2.1.2 ມມເທາົັ່ ກນັ ນຍິ າມ: ມມທມືີ່ ີຄາ່ ວດັ ແທກເທາ່ັົ ກັນ, ເອນ້ືີ ວ່າ : ມມເທົ່ັາກັນ ຫັຼກເກນ: ຖູ້າເສັື້ນຊ່ືສອງເສນ້ັື ຕັດກັນແລູ້ວຂະໜາດຂອງມມຂູ້າມຈອມຈະຕູ້ອງເທ່ົັາກນັ . ຕວົ ຢາ່ ງ 9: ໃຫ້ຮູ ບຕາ່ ງໆລຸ່ມນ້:ືີ (ຮບ 1) (ຮບ 2) (ຮບ 3) ຈາກຮບ 1, 2 ແລະ 3 ເຮົາສງັ ເກດໄດູ້ດ່ັງນືີ:້ ໃນຮບທີ 1 ເຮົາໄດູ້ AOB=A'OBແລະ B'OA=BOA' ຍູ້ອນວາ່ ແມ່ນມມຂູ້າມຈອມເຊິງ່ື ກນັ ແລະກັນ. ໃນຮບທີ 2 ເຮາົ ໄດູ້ = ຍູ້ອນວາ່ ມມທັງສອງມີຂູ້າງຂະໜານກັນ. ໃນຮບທີ 3 ເຮົາໄດູ້ 1ˆ=2ˆ ຍູອ້ ນວາ່ ແມ່ນມມທີ່ືມີສອງຂ້າູ ງກງົ ກັນຂະໜານກັນ ແລະ ອກີ ຂູ້າງໜື່ງຶ ຮວ່ ມກນັ . - ມມຂູ້າມຈອມ 6

vii ເຮາົ ໄດູ້ 1ˆ  3ˆ ແລະ 2ˆ  4ˆ - ມມສະຫບຼັ ນອກ ເຮົາໄດູ້ 1ˆ  3ˆ ແລະ 2ˆ  4ˆ - ມມສະຫັບຼ ໃນ ເຮົາໄດູ້ 1ˆ  3ˆ ແລະ 2ˆ  4ˆ - ມມຊ້ອູ ນຂະໜານ ເຮົາໄດູ້ 1ˆ  4ˆ ແລະ 2ˆ  3ˆ 7

vii ຕວົ ຢາ່ ງ 10. ຈ່ົັງຊອກຄ່າຂອງ x ຕາມຮບແຕມູ້ ລຸ່ມນ:້ີື 1 40 1ˆ  40 180 ເຊິ່ືງວາ່ 1ˆ  x x x  40  180 x  180  40 ດ່ັງນ້ືັນ x 140 ກດິ ຈະກາ 1). ຈົ່ງັ ຊອກຫາ ADC ຕາມຮບລຸ່ມນ:້ືີ 2). ໃຫູ້ BO ເປັນເສ້ັນື ແບ່ງເຄງືິ່ ມມ ABC ແລະ CO ເປັນເສື້ັນແບງ່ ເຄິື່ງມມ ACB ຈັ່ງົ ຊອກຫາມມສວດ BOC ຮວູ້ ່າ A  100 ຕວົ ຢາ່ ງ 11. ຈັົງ່ ຊອກຜົນບວກມມໃນ ແລະ ມມນອກຂອງຮບສາມແຈ  ຜນົ ບວກມມໃນຂອງຮບສາມແຈ ຈະໄດູ້ Aˆ  Bˆ  Cˆ  Aˆ  Aˆ 1  Aˆ 2 ເພາະວ່າ Bˆ  Aˆ 1, Bˆ  Aˆ 2 Aˆ  Bˆ  Cˆ 180 ເຊືິ່ງວ່າ Aˆ  Aˆ 1  Aˆ 2 ປະກອບເປນັ ມມພຽງ ດັ່ງນນື້ັ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180  ຜນົ ບວກມມນອກຂອງຮບສາມແຈ 8

vii ເຮົາມ:ີ Aˆ  Aˆ 1  Bˆ  Bˆ 1  Cˆ  Cˆ 1  180 Aˆ  Aˆ 1  Bˆ  Bˆ 1  Cˆ  Cˆ 1  3.180  Aˆ 1  Bˆ 1  Cˆ 1  3.180  Aˆ  Bˆ  Cˆ Aˆ 1  Bˆ 1  Cˆ 1  540 180 Aˆ 1  Bˆ 1  Cˆ 1  360 ກດິ ຈະກາ 2: ໃຫູນ້ ກັ ສກຶ ສາແກ້ເູ ລກລມຸ່ ນ:້ືີ 1. ຈງ່ັົ ຊອກຜນົ ບວກມມໃນ ແລະ ມມນອກຂອງຮບສ່ືີແຈ 2. ຈ່ົັງຊອກຜົນບວກມມໃນ ແລະ ມມນອກຂອງຮບຫູ້າແຈ 3. ຈົັ່ງຊອກຜົນບວກມມໃນ ແລະ ມມນອກຂອງຮບຫົກແຈ 4. ຈັງົ່ ຊອກຜນົ ບວກມມໃນ ແລະ ມມນອກຂອງຮບ n ແຈ 5. ຈ່ງົັ ຊອກເສືັນ້ ເນັ່ງຈອມຂອງຮບ 4 ແຈມຈີ ກັ ເສືັນ້ 6. ຈ່ງັົ ຊອກເສ້ນັື ເນ່ງັ ຈອມຂອງຮບ 5 ແຈມຈີ ັກເສືນ້ັ 7. ຈົັ່ງຊອກເສັືນ້ ເນ່ັງຈອມຂອງຮບ 6 ແຈມີຈັກເສ້ນືັ 8. ຈັ່ົງຊອກເສັ້ືນເນັ່ງຈອມຂອງຮບ 7 ແຈມຈີ ກັ ເສັືນ້ 9. ຈົັ່ງຊອກເສນ້ັື ເນ່ັງຈອມຂອງຮບ n ແຈມີຈັກເສືັນ້ 2.2.3 ການແຕູ້ມສອງມຸມເທາົັ່ ກນັ . ສອງມມຸ ເທົ່ັາກັນໝາຍເຖິງສອງມມຸ ທ່ືີມຄີ ່າວັດແທກເທົາ່ັ ກນັ ແລະເມືອ່ ເອາົ ສອງມມຸ ມາວາງໃສ່ກນັ ພວກ ມນັ ຈະເຕັງກັນພດີ. ຕວົ ຢາ່ ງ 12. ການແຕ້ມູ ສອງມຸມເທັ່ົາກນັ ໃຫູ້ xOy ດັ່ງຮບແຕມູ້ , ຈງົ່ັ ແຕມູ້ x'O'y' ໂດຍການົດໃຫູ້ xOy  x'O'y' x ວທິ ີແຕູ້ມ: J  ຂັນ້ື ຕອນທີ 1: ຂີດທອ່ ນກ່ງົັ ທ່ືີມີໃຈກາງ O ລດັ ສະໝີຕາມໃຈ ເຊິ່ງື ຕດັ ສອງຂູ້າງຂອງມມຸ O y ທີື່ເມັດ I ແລະ J I 9

vii  ຂັ້ນື ຕອນທີ 2: ຮັກສາຄວາມຫ່າງຂອງຂາ O' K y' ວງົ ວຽນໄວູ້. ຈາກນືັນ້ ຂີດ [O'y') ແລະ ������ ຂີດທ່ອນກ່ັງົ ທມືີ່ ີໃຈກາງ O’, ມລີ ັດສະໝີ y [OI] ຕດັ [O'y') ຢ່ K y'  ຂັື້ນຕອນທີ 3: ໃຊູ້ວງົ ວຽນເພ່ືອແທກໄລຍະ IJ J O I L  ຂນືັ້ ຕອນທີ 4: ຂີດທອ່ ນກງົັ່ ທີ່ືມີໃຈກາງ O' ������ລດັ ສະໝີ IJ. ສອງທອ່ ນກ່ງັົ ຈະຕດັ K ກັນຢ່ເມດັ L  ຂັື້ນຕອນທີ 5: ຂດີ [O’L) ພວກເຮົາກ x' ຈະໄດູ້ມມຸ x̂'O'y'=x̂Oy L ທືີ່ຕູ້ອງການສາູ້ ງ O' K y' 2.2 ຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກມຸມ 2.2.1 ການວດັ ແທກມມທ່ືມີ ຫີ ວົ ໜວ່ ຍເປນັ ອົງສາ (degree) ຫວົ ໜ່ວຍຂອງມມເປັນອົງສາ ຍງັ ແບງ່ ຍ່ອຍເປັນລິບດາ ແລະ ຟີລບິ ດາ ໝາຍຄວາມວາ່ ໃນແຕລ່ ະ 1 ອງົ ສາ (1 ) ຈະແບງ່ ເປນັ ຫົວໜ່ວຍຍ່ອຍຄ 60 ລບິ ດາ ( 60' ) ແລະ ໃນແຕລ່ ະລບິ ດາ ຈະແບ່ງເປັນຫົວໜ່ວຍ ຍອ່ ຍຄ 60 ຟລີ ິບດາ ( 60'' ). 1 ອົງສາ ເທາ່ັົ ກບັ 60 ລິບດາ 1 ລິບດາ ເທາົັ່ ກບັ 60 ຟລີ ບິ ດາ ດັງ່ ນນ້ືັ 1 ອງົ ສາ ເທັົ່າກັບ 3600 ຟີລິບດາ ຕວົ ຢາ່ ງ 13. ຈັ່ົງປຽ່ ນມມ 20 10'15\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫົວໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ ວທິ ີແກູ້ 10 ລບິ ດາ  110 ອົງສາ 60  0.1667 ອົງສາ 15 ຟລີ ິບດາ  115 ອງົ ສາ 3, 600 10

vii  0.0042 ອງົ ສາ ດັງ່ ນ້ນັື 20 10'15\"  20  0.1667  0.0042  20.1709 ກດິ ຈະກາ 3: ໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແກູເ້ ອງ 1) ຈງ່ັົ ປ່ຽນມມ 25 15'20\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫົວໜວ່ ຍຂອງອົງສາ 2) ຈງັົ່ ປ່ຽນມມ 35 20'45\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫົວໜວ່ ຍຂອງອງົ ສາ 3) ຈົັ່ງປ່ຽນມມ 70 60'28\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫວົ ໜວ່ ຍຂອງອງົ ສາ 4) ຈົັ່ງປຽ່ ນມມ 75 40'37\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫົວໜວ່ ຍຂອງອົງສາ 5) ຈັົ່ງປຽ່ ນມມ 67 23'49\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫົວໜ່ວຍຂອງອົງສາ 2.2.2 ການວດັ ແທກມມເປນັ ຫວົ ໜວ່ ຍຣາດຽງ (radian) ມມ 1 ຣາດຽງ ຄມມທີື່ມີຂະໜາດເທັົ່າກັບມມທີື່ຈຸດສນກາງຂອງວງົ ມົນທື່ີຮອງຮບັ ດູ້ວຍສວ່ ນໂຄູ້ງທ່ຍືີ າວ ເທ່ັາົ ກັບລັດສະໝ.ີ ການຫາຂະໜາດຂອງມມທືີ່ຢ່ຈຸດສນກາງຂອງວົງມົນ ຈາກຮບເຮົາມີ  ເປນັ ມມທີ່ືຈຸດສນກາງຂອງວົງມນົ a ແທນຄວາມຍາວຂອງສວ່ ນໂຄງູ້ ທື່ີຮອງຮັບມມ r ແທນລດັ ສະໝີຂອງວງົ ມົນ 11

vii ມມ  ມີຂະໜາດ  a ຣາດຽງ r ມມຮອບຈຸດສນກາງຂອງວງົ ມນົ  ຄວາມຍາວຂອງເສ້ືັນຮອບວງົ ຂອງລດັ ສະໝີ ລດັ ສະໝີ  2r r  2 ຣາດຽງ ແລະມມຮອບຈຸດສນກາງຂອງວົງມົນ ເທົາັ່ ກັບ 360 ອົງສາ 360 ອົງສາ  2 ຣາດຽງ 180 ອົງສາ   ຣາດຽງ 1 ອົງສາ   ຣາດຽງ 180  0.0175 ຣາດຽງ 1 ຣາດຽງ  180 ອງົ ສາ   57.3 ອົງສາ ຕວົ ຢາ່ ງ 14. ຈັົງ່ ປຽ່ ນມມ 30 ອົງສາ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫວົ ໜວ່ ຍຂອງຣາດຽງ ວທິ ີແກູ້ ເນອື່ ງຈາກ ມມ 1 ອົງສາ   ຣາດຽງ 180 ມມ 30 ອງົ ສາ   30 ຣາດຽງ 180   ຣາດຽງ 6 ຕວົ ຢາ່ ງ 15. ຈົັ່ງປຽ່ ນມມ 315 ອງົ ສາ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫວົ ໜວ່ ຍຂອງຣາດຽງ ວິທແີ ກູ້ ເນືອ່ ງຈາກ ມມ 1 ອງົ ສາ   ຣາດຽງ 180 ມມ 315 ອົງສາ   315 ຣາດຽງ 180  7 ຣາດຽງ 4 ຕວົ ຢາ່ ງ 16. ຈງ່ັົ ປ່ຽນມມ  ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫວົ ໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ 5 ວິທແີ ກູ້ ເນືອ່ ງຈາກ ມມ 1 ອງົ ສາ   ຣາດຽງ 180 ມມ  ຣາດຽງ     ອົງສາ 5 180 5  36 ອງົ ສາ ຕວົ ຢາ່ ງ 17. ຈງ່ັົ ປ່ຽນມມ 7 ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງອົງສາ 6 ວິທີແກູ້ ເນອື່ ງຈາກ ມມ 1 ອງົ ສາ   ຣາດຽງ 180 12

vii ມມ 7 ຣາດຽງ    7 ອງົ ສາ 6 180 6  210 ອງົ ສາ ກດິ ຈະກາ 4: ໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແກ້ເູ ອງ 1) ຈງົັ່ ປ່ຽນມມ 75 ອົງສາ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫວົ ໜ່ວຍຂອງຣາດຽງ 2) ຈ່ງົັ ປຽ່ ນມມ 215 ອົງສາ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງຣາດຽງ 3) ຈງ່ັົ ປຽ່ ນມມ 12 ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ 3 4) ຈົັ່ງປ່ຽນມມ 25 40' ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫວົ ໜ່ວຍຂອງອົງສາ 5) ຈັງົ່ ປຽ່ ນມມ 6 ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ 5 2.2.3 ການວດັ ແທກມມດວູ້ ຍບນັ ທດັ ແທກມມ ຕົວຢ່າງ 16. ວັດແທກມມຸ xoy ດ້ວູ ຍບນັ ທັດແທກມຸມ. ວາງບນັ ທັດແທກມມຸ ໂດຍໃຫູ:້ - ໃຈກາງຂອງມນັ ເຕງັ ກບັ ຈອມຂອງມຸມ. - ຂູາ້ ງໜງຶື່ ຂອງມຸມເຕງັ ກັບຂດີ ໝາຍ 0° ຂອງບັນທດັ ແທກມຸມ. - ອາ່ ນຄ່າຂອງມມຸ ຢບ່ ັນທັດແທກມຸມ ເຊິື່ງເຕງັ ກບັ ຂູາ້ ງທີື່ສອງຂອງມຸມ. - ໃນກລະນີນີເື້ ຮົາໄດູ້ xoy  33 3. ທອ່ ນຊ,ື່ ການວັດແທກທອ່ ນຊື່ ແລະ ການຄານວນກຽ່ ວກບັ ທອ່ ນຊ່ື 3.1 ທ່ອນຊື່ ອງີ ຕາມຫຼກັ ເຄ້ົືາທີ 1 ຂອງເສືນ້ັ ຊ,ື່ ເຮົາຮູ້ວາ່ ເສືັນ້ ຊມື່ ີລວງຍາວບຈໍ່ າກດັ ; ການທເີ່ື ວືົ້າວ່າ ເສື້ນັ ຊ່ື AB ໝາຍ ເຖງິ ເສ້ັືນຊທ່ື ຜື່ີ າ່ ນເມັດ A ແລະ B ນິຍາມ: 1) ທອ່ ນຊ່ແື ມ່ນພາກສວ່ ນຂອງເສື້ັນຊ່ືທ່ືີຂີດຕ່ໍລະຫວ່າງສອງເມັດ, ເຊືິ່ງສອງເມັດດ່ັງກ່າວເອື້ີນວ່າ ສ້ືົນ ຂອງທ່ອນຊື່ນັນື້ . 2) ພາກສ່ວນຂອງເສັນື້ ຊື່ໜຶື່ງ, ເຊງ່ືິ ຮູ້ແຕສ່ ນືົ້ ດຽວຂອງມັນ ເອີື້ນວາ່ ເຄ່ິງື ທ່ອນຊື່. 13

vii 3.2 ນິຍາມຄາ່ ວດັ ແທກທ່ອນຊື່ ຄາ່ ວດັ ແທກທອ່ ນຊ່ື ແມ່ນຈານວນຈິງໜຶື່ງທຕື່ີ ອບສະໜອງບນັ ດາເງືອ່ ນໄຂດັ່ງລຸ່ມນ:ືີ້ 1) ຄາ່ ວັດແທກທ່ອນຊ່ືຕອູ້ ງບ່ແໍ ມນ່ ຈານວນລບົ ; 2) ຖາູ້ ສອງທ່ອນຊ່ເື ທັົາ່ ກັນ, ຄ່າວັດແທກຂອງພວກມັນຕອູ້ ງເທ່າັົ ກັນ; 3) ຖາູ້ ແບ່ງທອ່ ນຊື່ໜຶ່ືງອອກເປນັ ຫຼາຍທອ່ ນຊນ່ື ູ້ອຍໆ; ຄາ່ ວດັ ແທກຂອງທ່ອນຊືດ່ ັງ່ ກ່າວ ຕູ້ອງເທົັ່າຜົນ ບວກຂອງບນັ ດາຄາ່ ວດັ ແທກຂອງທອ່ ນຊື່ນູ້ອຍໆເຫຼົັ່ານື້ັນ. ເພນ່ິື ເຄີຍເອນື້ີ ຄ່າວດັ ແທກທ່ອນຊ່ືວາ່ ລວງຍາວທ່ອນຊື່. 3.3 ວທິ ວີ ດັ ແທກທອ່ ນຊ່ື ເພ່ືິນອງີ ໃສ່ຫຼກັ ເຄົາື້ ອາກຊີແມັດເພອື່ ສູ້າງວທິ ີວດັ ແທກທອ່ ນຊື່. 3.3.1 ຫກັຼ ເຄາື້ົ ອາກຊີແມດັ : ໃຫູ້ AB ແລະ CD ແມ່ນສອງທ່ອນຊື່, ເຊງ່ືິ AB>CD ຍາມໃດເຮາົ ກຊອກ ໄດູ້ຈານວນບວກ n ເພອື່ ໃຫູ້ nCD  AB. ຕວົ ຢາ່ ງ 17. ໃຫູ້ຮບ 24; AB>CD (ຕວົ ຈິງ AB=3CD ) ເຮາົ ສາມາດຊອກໄດູ້ຈານວນຖວູ້ ນບວກ n  3 ເພື່ອໃຫູ້ nCD  ABຄ ຖູາ້ n=3 ຈະໄດູ້ 3.CD=AB ຖູາ້ n=4 ຈະໄດູ້ 4.CD>AB;... 3.3.2 ວທິ ວີ ດັ ແທກທອ່ ນຊ່ື 14

vii ສມົ ມຸດເຮົາຕ້ອູ ງການວດັ ແທກທ່ອນຊ່ື AB ຢເ່ ທິງເສືັນ້ ຊື່ XY ເຊ່ງືິ ເລອກເອົາທ່ອນຊື່ u ເປນັ ຫວົ ໜ່ວຍວດັ ແທກ, ເຮາົ ຕູ້ອງປະຕບິ ັດດງ່ັ ນີ: ແບງ່ ທ່ອນຊື່ u ອອກເປນັ 10n ສ່ວນນ້ອູ ຍເທົັ່າກັນ (n=1,2,3,...) ແຕລ່ ະທ່ອນຊື່ນູອ້ ຍໆດັງ່ ກາ່ ວ ເອືີນ້ ວາ່ ທອ່ ນຊ່ືຂືນັ້ n ( u ເອນີື້ ວ່າ ທ່ອນຊ່ືຂນື້ັ ສນ), ເທິງເສນັື້ XY , ເລື່ມີ ແຕ່ A ໄປທາງ B ເຮົາວາງບັນດາທອ່ ນຊື່ຂືນັ້ n ລຽນຕດິ ກັນ; ເອນືີ້ a0 ແມ່ນຈານວນບັນດາທ່ອນຊື່ຂັ້ືນ 0 ທີືປ່ ະກອບເຂື້ົາເປນັ ທ່ອນຊ່ື AC ຖກກັບເງືອ່ ນໄຂ: AC  AB ແຕ່ AC+u>AB ເອື້ີນວາ່ a1 ແມ່ນຈານວນບັນດາທ່ອນຊ່ືຂື້ັນ 1 ທວ່ີື າງລຽນຕິດໃນ CB ເພິື່ນໃຫູ້ (a1+1) ທ່ອນຊ່ືຂນັື້ 1 ດັງ່ ກາ່ ວ ປະກອນນາກັນເປນັ ທ່ອນຊື່ໃຫຍ່ກວ່າ CB; ເຮດັ ແນວນື້ນັ ຕໍ່ໆໄປເຮົາຈະໄດູ້ສາຍ ຈານວນບວກ a0,a1,...,an ; ໃນນນັື້ ນອກຈາກ a0 ແລູວ້ ຈານວນອື່ນລວູ້ ນແຕ່ບໍ່ໃຫຍກ່ ວາ່ 10. ຈານວນ d=a 0 + a1 + a2 +...+ an ແມ່ນລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື AB ທີືຕ່ ້ອູ ງການວັດແທກ. 10 102 10 ໝາຍເຫດ: ການໝາຍ AB - ໝາຍເຖິງທ່ອນຊ່ແື ຕ່ A ຫາ B ແລະພ້ອູ ມກນັ ນັ້ືນກໝາຍເຖງິ ລວງຍາວຂອງທອ່ ນ ນືັ້ນອກີ ດູ້ວຍ: AB=d(A,B) . 3.4 ອັດຕາສວ່ ນລະຫວາ່ ງສອງທອ່ ນຊື່ ອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງສອງທ່ອນຊື່ ທືີ່ມີຫວົ ໜ່ວຍວດັ ແທກດຽວກນັ ໝາຍເຖິງ ອດັ ຕາສວ່ ນ (ຫຼຜົນຫານ) ລະຫວາ່ ງ ຄາ່ ວັດແທກຂອງພວກມັນ. ອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງທ່ອນຊື່ AB ແລະ CD ຂຽນດູ້ວຍ AB . CD ຕວົ ຢາ່ ງ 18. ທອ່ ນຊື່ AB ມີຄ່າວັດແທກເທ່ັົາກບັ 3cm ; ທອ່ ນຊື່ CD ມີຄາ່ ວັດແທກເທ່ົັາກັບ 12cm ເຮາົ ຈະໄດູ:້ AB  3  1 . CD 12 4 ຜນົ ເນືອ່ ງ: 1) ອັດຕາສາວນລະຫວາ່ ງສອງທອ່ ນຊືບ່ ່ໍຂືຶນ້ ກັບການເລອກຫົວໜ່ວຍວັດແທກ; 2) ອດັ ຕາສວ່ ນລະຫວ່າງ AB ແລະ CD ຈະເທາ່ັົ ກບັ ລວງຍາວຂອງ AB ຖ້າູ ເລອກເອົາ CD ເປນັ ຫົວໜ່ວຍ ວດັ ແທກ. ຕວົ ຢາ່ ງ 19. 1. AB=5m;CD=15m; A'B' =5cm;C'D' =15cm ເຮາົ ຈະໄດູ້: CD = 15m =3 . ແລະ C'D' = 15cm =3; ດັ່ງນນືັ້ CD = C'D' =3 AB 5m A'B' 5cm AB A'B' 2. ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊື່ AB ເທົ່າັ ກັບ 12cm ; ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊື່ CD ເທ່ົັາກບັ 1cm ເລອກເອາົ CD ເປນັ ຫົວໜວ່ ຍວັດແທກ, ເຮາົ ຈະໄດູ້: AB = 12cm =12 CD 1cm 3.5 ອັດຕາພວົ ພນັ ຂອງທ່ອນຊື່ ທ່ອນຊື່ AB ແລະ CD ເອີ້ືນວ່າມອີ ັດຕາພົວພນັ ກັບສອງທ່ອນຊື່ A'B' ແລະ C'D' ຖູ້າວາ່ AB = A'B' . CD C'D' ຜນົ ເນອ່ື ງ: ຍູ້ອນວາ່ ອັດຕາສ່ວນຂອງທອ່ ນຊ່ື ແມນ່ ອດັ ຕາສວ່ ນລະຫວາ່ ງສອງຈານວນ (ຄ່າວັດແທກຂອງພວກ ມັນ). 15

vii ດ່ັງນັນື້ , ອັດຕາສ່ວນລະຫວາ່ ງທ່ອນຊື່ ກລູ້ວນແຕ່ມີຄຸນສົມບັດຄກນັ ກບັ ອດັ ຕາສ່ວນພົວພັນລະຫວ່າງຈານວນທາ ມະຊາດ. ເຊ່ັນ: ຖ້າູ a = c ເຮາົ ຈະໄດ:ູ້ a.d=b.c; a±c = b±d ແລະ a±c = b±d ; bd ab cd a+c = b+d ; a = b ;.... a-c b-d c d 3.6 ຜນົ ຄນສະເລຍ່ ຂອງທອ່ ນຊ່ື ໃຫູ້ທອ່ ນຊ່ື a, b ແລະ c ເຮາົ ເວື້າົ ວາ່ ທ່ອນຊ່ື b ແມ່ນຜົນຄນສະເລ່ຍຂອງທອ່ ນຊື່ a ແລະ c ຖູ້າວ່າ: a = b ຫຼ bc b2 =a.c . ຕວົ ຢາ່ ງ 20. ໃຫ້ເູ ສື້ັນຊື່ xy , ໃຫູ້ສເ່ືີ ມັດ A, B, C ແລະ D ເຊື່ງິ AB=4; BC=2; CD=2 . ເຮາົ ເຫນັ ວາ່ : AB2 =16=8.2=BC.CD ຫຼ BC = 8 = 4 = AB . ດັງ່ ນນືັ້ , ທ່ອນຊ່ື AB ເອ້ນືີ ວາ່ ຜນົ ຄນສະເລຍ່ AB 4 2 CD ຂອງທອ່ ນຊື່ BC ແລະ CD . 3.7 ການຄານວນກຽ່ ວກບັ ທອ່ ນຊື່ ຖູ້າວ່າ 3 ເມັດ A, B ແລະ C ຢ່ເສັ້ືນຊ່ືດຽວກັນຕາມລາດັບ ເພິ່ືນສາມາດການົດຜົນບວກລວງຍາວຂອງ [AB] ແລະ [BC] ໄດ້ດູ ງ່ັ ນີ້ື: AB+BC=AC ເພິືນ່ ຄນລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື AB ກບັ k ດວູ້ ຍການນາໃຊູ້ວງົ ວຽນເພ່ືອເອົາລວງຍາວດັ່ງກ່າວມາຕ່ໍໃສ່ກັນ k ເທ່ອື ຕວົ ຢາ່ ງ 21. ໃຫເູ້ ມດັ A, B ແລະ C ຢ່ເສັື້ນຊື່ດຽວກນັ ໂດຍທ່ວີື າ່ [AB]=3.5 cm ແລະ [BC]=4.7 cm. 1) ຈງ່ັົ ຄິດໄລ່ລວງຍາວຂອງ [AC] 2) ຈງ່ົັ ຄິດໄລ່ 5×[AC] ບົດແກູ້: ເຮົາຮ້:ູ [AB]=3.5 cm [BC]=4.7 cm [AC]=? 5×[AC]=? 1) ເຮາົ ມີ [AC]= [AB]+[BC] ເຮົາໄດູ້ [AC]= 3.5 cm+ 4.7 cm=8.2 cm 2) ເຮາົ ມີ 5×[AC]=5×8.2 cm=41 cm ກດິ ຈະກາ 5: ໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແກູເ້ ອງ ໃຫເູ້ ມັດ A, B ແລະ C ຢເ່ ສື້ນັ ຊື່ດຽວກນັ ໂດຍທີື່ວ່າ [AB]=5 cm ແລະ [BC]=6 cm. 16

vii 1) ຈັ່ງົ ຄດິ ໄລລ່ ວງຍາວຂອງ [AC] 2) ຈົ່ງັ ຄດິ ໄລ່ 3 ×[AC] 4 3.7.1 ໄລຍະຫາ່ ງລະຫວາ່ ງສອງເມດັ ໃນແກນ່ ຈານວນຈງິ ໃຫູ້ A(x1) ແລະ B(x2 ) ໃນແກ່ນຈານວນຈິງ ຈະໄດູ້ AB  d(A, B)  AB  x1  x2  x2  x1  x2  x1 ຕວົ ຢາ່ ງ 22. ຈ່ັງົ ຊອກໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງສອງເມດັ ລ່ມຸ ນືີ້: a. ໃຫູ້ A(2) ແລະ B(9) b. M( 48) ແລະ N( 147) ແກ້:ູ a. ອງິ ຕາມ AB  xB  xA  2  (9)  2  9  7 ດງ່ັ ນນ້ືັ AB  7 b.  ອິງຕາມ MN  xM  xN  48   147  16.3  49.3  4 3  7 3 11 3 ດງັ່ ນນ້ືັ MN  11 3 3.7.2 ເມດັ ເຄງ່ິື ກາງຂອງສອງເມດັ ໃຫູ້ A xA  ແລະ A xB  , C  xC  ເປັນເມັດເຄ່ືິງກາງ AB ເຮົາມີ: AC  CB 17

vii xC  xA  xB  xC 2xc  xA  xB  xc  xA  xB 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 23. ໃຫູ້ A(1 1) ແລະ B( 4 ) ຈງ່ັົ ຊອກເມັດ I ເປັນເຄງິ່ື ກາງຂອງ AB 23 ອິງຕາມ: xI  xA  xB 11  4  34  98  17 2 2 3 23 12 6 2 2 2 ດັ່ງນັນ້ື , I  17   12  3.7.3 ເມດັ ແບ່ງທ່ອນຊ່ໃື ນແກນຈານວນຈງິ ກ. ອດັ ຕາສວ່ ນທ່ອນຊ່ື ອັດຕາສ່ວນທ່ອນຊ່ແື ມນ່ ອັດຕາສວ່ ນລະຫວາ່ ງຫວົ ໜວ່ ຍອັນດຽວກນັ ຕວົ ຢາ່ ງ 24. 1. ໃຫູ້ AB  1 CD 3 2. ໃຫູ້ NM  3 SP 2 ຂ. ໃຫູ້ AxA  ແລະ B  xB  ທກຸ ໆເມັດ C  x C  ຕາມໃຈຈະແບງ່ ທ່ອນຊ່ື  AB ອອກເປນັ ອັດຕາສວ່ ນ AC CB ຕວົ ຢາ່ ງ 25. AC  2 ຈງົ່ັ ແຕູ້ມທອ່ ນຊື່ຕາມອັດຕາສ່ວນນືີ້ ໂດຍວ່າ A, B,C ຢເ່ ສື້ນັ ຊື່ດຽວກນັ . CB 5 ຫຼ ຕວົ ຢາ່ ງ 26. ໃຫູ້ A1 , B 3 ແລະ C 6 ຈົງັ່ ຊອກອັດຕາສວ່ ນ AC CB ແກູ້ : AC  xC  xA  6 1  5 CB xC  xb 6  3 3 ດັງ່ ນືັ້ນ AC  5 CB 3 ກດິ ຈະກາ 6. ໃຫນູ້ ກັ ສຶກສາແກູເ້ ລກລຸ່ມນ້ືີດວູ້ ຍຕນົ ເອງ 1. ໃຫູ້ N 4, M 8 ແລະ I 1 ຈງ່ັົ ຊອກອດັ ຕາສ່ວນ MI IN 18

vii 2. ໃຫູ້ A3 , B 4 ແລະ C 5 ຈັ່ງົ ຊອກອດັ ຕາສ່ວນ AC CB ຕວົ ຢາ່ ງ 27. ຈົັ່ງຊອກຕົວປະສານຂອງເມັດ C ທື່ີຢ່ຫວ່າງ A2 ແລະ B14 ຮູວ້ ່າ AC  1 CB 3 ຈາກ: AC  1  3AC  CB CB 3  3AC  CB 3 xC  xA   xB  xC 3xC  3xA  xB  xC 4xC  3xA  xB 4xC  32 14 4xC  20  xC  5 ດັ່ງນືັ້ນ, xC  5 ກດິ ຈະກາ 7. ໃຫນູ້ ັກສຶກສາແກູ້ເລກລມຸ່ ນ້ືີດູວ້ ຍຕົນເອງ 1) ຈ່ງັົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມັດ I ທຢື່ີ ນ່ ອກທ່ອນຊ່ື MN  , M 4 , N 2 ຮູ້ວາ່ MI  4IN 2) ຈົງັ່ ຊອກຕົວປະສານຂອງເມດັ K ທີື່ຢ່ນອກທ່ອນຊື່ PS , P 3 , N 7 ຮູວ້ ່າ PK  2 KS 5 3.8 ການຊອກຫາຈດຸ ເຄງືິ່ ກາງຂອງທອ່ ນຊດື່ ວູ້ ຍການນາໃຊວູ້ ງົ ວຽນ ໃນການຊອກຫາຈຸດເຄງື່ິ ກາງຂອງທອ່ ນຊ່ືນ້ັືນ ຖູ້າຫາກທ່ອນຊື່ດ່ງັ ກ່າວມີຫວົ ໜ່ວຍທືີ່ໃຫຍເ່ ຮາົ ກສາ ມາດໃຊູ້ ເຄື່ອງມການວດັ ໄດູ້ຫຼາຍຊະນິດເປນັ ຕນົື້ ແມ່ນ: ບັນທັດ, ເຊອກເມດັ ... ແຕ່ຖູ້າເປັນທ່ອນຊ່ືທ່ືີສັນື້ ເຊັນ່ ໃນປມ້ື ຂຽນ ການຊອກຫາເມັດເຄືິງ່ ກາງທື່ີມີປະສດິ ທພິ າບທ່ີືສດຸ ກ່ໍແມນ່ ການນາໃຊູ້ວງົ ວຽນ ຕວົ ຢາ່ ງ 28. ການດົ ຈດຸ ເຄິື່ງກາງຂອງ [AB] - ຂີດສອງທ່ອນກງັົ່ ທີ່ືມີໃຈກາງ A ແລະ B ດູ້ວຍລດັ ສະໝີຕາມໃຈທີ່ືຍາວກວາ່ ໃຈກາງ ແລະ ສນື້ັ ກວາ່ ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ.່ື ທງັ ສອງທ່ອນກ່ັງົ ຈະຕັດກນັ ຢ່ສອງເມັດ I ແລະ J. - ຂີດເສ້ືນັ ຊ່ືແຕ່ຈດຸ I ຫາ J ຕັດ [AB] ຢ່ເມັດ K ເຮາົ ກໄດູ້ ເມດັ K ເປັນເມັດ ເຄ່ິງື ກາງຂອງ [AB] ທີື່ຕູອ້ ງການຊອກ. 19

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈົັງ່ ບອກເສັນື້ ຊ່ືຢກ່ ້ໍາຂວານີື້ດູ້ວຍສອງ ວິທີເຊັນ່ xy ຫຼ (AC). 2. ຈ່ັົງບອກທກຸ ເຄື່ງິ ເສື້ນັ ຊື່ ແລະ ທອ່ ນ ຊ່ືຢ່ໃນຮບກາໍ້ ຂວາ (ຈ່ງັົ ບອກເຄິືງ່ ເສນືັ້ ຊື່ທືີ່ກົງກັນຂູ້າມກັນ). 3. ເຮາົ ສາມາດຂດີ ເສືນ້ັ ຊ່ໄື ດຈູ້ ັກເສື້ນັ ຜ່ານ ເມດັ ຢ່ຮບກ້ໍາຂວາມ ຕາມແຕ່ລະກລະນີ ລມຸ່ ນ້ື:ີ ກ. ຜາ່ ນເມດັ A ຂ. ຜາ່ ນເມັດ A, B ແລະ C ຄ. ເມດັ A ແລະ B ງ. ຜາ່ ນເມດັ A, C ແລະ D 4. ຈັງ່ົ ວາງເມັດ A, B ແລະ C ບຢ່ໍ ເ່ ສນືັ້ ຊ່ືດຽວກັນໃສເ່ ຈູ້ຍ ແລ້ວູ ຊອກເມດັ ເຄ່ງືິ ກາງຂອງ [AB], [BC] ແລະ [AC] ດູ້ວຍການພບັ ເຈູ້ຍ. 5. ຢ່ເທິງແກນຈານວນລຸ່ມນີ້ື ຈົງ່ັ ບອກ ຫຼ ໝາຍຕ່ືມ: ກ. ເມດັ ເຄື່ິງກາງຂອງ BF ແລະ ຂອງ BE ຂ. ເມັດສ້ນົື ຂອງທອ່ ນຊື່ທີ່ືມລີ ວງຍາວເທ່ັົາ 4 ຖູ້າວາ່ ເມັດສ້ົືນທີສອງແມ່ນ G ຄ. ເມັດທື່ມີ ີໄລຍະຫ່າງຈາກ B ເທ່ົາັ 3AC 6. ຈົ່ັງໃຊວູ້ ງົ ວຽນເພື່ອສ້າູ ງເມັດເຄືິງ່ ກາງຂອງທ່ອນຊື່ AB. 7. ຈ່ັົງວາງເມດັ A ຢ່ນອກເສັ້ືນຊື່ d ແລູ້ວໃຊູ້ບນັ ທັດສາກແຕູ້ມເສນືັ້ ຊ່ື d’ ແລະ d’’ ຜາ່ ນ A ຂະໜານ ແລະ ຕັງ້ື ສາກກບັ d ຕາມລາດັບ. 8. ຈງ່ັົ ວາງເມັດ k ຢທ່ ່ອນຊື່ MN, ແລວູ້ ຊອກຫາລວງຍາວ KN ຮ້ວູ ່າ: MN=9,35 cm ແລະ MK=5,6 cm. 9. ໃຫເູ້ ມັດ A, B, C, D, E ແລະ F ຢ່ເສືັ້ນຊື່ d ໂດຍວ່າ AB=CD=DE=2,8cm, AF=10,2cm; BC=EF. ຈງ່ັົ ຊອກຫາລວງຍາວ BC. 10. ຈ່ງັົ ວັດແທກມຸມລ່ມຸ ນືີ້ ຈາກນ້ນັື ຈດັ ລຽນມມຸ ທ່ືີມີຄ່າແຕ່ໜອູ້ ຍຫາຫຼາຍ 20

vii 11. ຈັົງ່ ປ່ຽນມມ 40 20'35\" ໃຫູ້ຢ່ໃນມມຫົວໜວ່ ຍຂອງອງົ ສາ 12. ຈົງ່ັ ປ່ຽນມມ 10 25' ໃຫຢູ້ ່ໃນມມຫົວໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ 13. ຈັ່ງົ ປ່ຽນມມ 18 16'20\" ໃຫູຢ້ ່ໃນມມຫົວໜວ່ ຍຂອງອງົ ສາ 14. ຈົັ່ງປ່ຽນມມ 22 17'45\" ໃຫຢູ້ ່ໃນມມຫົວໜວ່ ຍຂອງອົງສາ 15. ຈ່ງົັ ປຽ່ ນມມ 40 ອງົ ສາ ໃຫູຢ້ ່ໃນຫົວໜວ່ ຍຂອງຣາດຽງ 16. ຈົັ່ງປ່ຽນມມ 108 ອົງສາ ໃຫຢູ້ ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງຣາດຽງ 17. ຈັງົ່ ປຽ່ ນມມ 270 ອງົ ສາ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງຣາດຽງ 18. ຈັົ່ງປຽ່ ນມມ 90 ອົງສາ ໃຫຢູ້ ່ໃນຫົວໜວ່ ຍຂອງຣາດຽງ 19. ຈງັົ່ ປ່ຽນມມ 45 ອົງສາ ໃຫ້ຢູ ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງຣາດຽງ 20. ຈົັ່ງປ່ຽນມມ 60 ອງົ ສາ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງຣາດຽງ 21. ຈ່ງົັ ປຽ່ ນມມ 5 ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫວົ ໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ 5 21. ຈງ່ົັ ປຽ່ ນມມ  ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜ່ວຍຂອງອງົ ສາ 2 22. ຈງ່ັົ ປຽ່ ນມມ 14 ຣາດຽງ ໃຫູ້ຢ່ໃນຫົວໜວ່ ຍຂອງອົງສາ 12 23. ໃຫທູ້ ່ອນຊ່ື MA ຢເ່ ທງິ ເສ້ືັນຊື່  ; ຈາກເມັດ A ໄປຫາ M ເຮາົ ວາງທ່ອນຊື່ AB=2.MA; BC=MA; CD=3MA ແລະ ວາງທ່ອນຊ່ື DE=5.MA ຕາມທິດປີື້ນຄນ. ກ. ຊອກຫາລວງຍາວຂອງທ່ອນຊຂ່ື ູ້າງເທງິ ຖູ້າເລອກ u= MA ເປນັ ຫວົ ໜ່ວຍວັດແທກ 3 ຂ. ຊອກລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື MC ແລະ AD ຖູ້າເລອກທ່ອນຊື່ MD ເປນັ ຫົວໜ່ວຍວັດແທກ. ຄ. ຊອກຫາອັດຕາສວ່ ນລະຫວາ່ ງ AB ແລະ CD ; MB ແລະ MC . 21

vii 24. ຈະຕູ້ອງຂີດຕ່ໍທອ່ ນຊື່ AB=20cm ອອກຕ່ືມເທ່ົັາໃດ ເພ່ອື ໃຫູ້ AK = 3 . ( K ແມນ່ ເມັດສດຸ ທູ້າຍຂອງທອ່ ນຊ່ື KB 2 ທ່ີືຕໍ່ອອກຕ່ືມ) 25. K ແມ່ນເມັດແບ່ງທອ່ ນຊື່ AB ຕາມອັດຕາສ່ວນ K= 5 ; ຊອກຫາ AB ແລະ AB . 3 AK KB 26. ໃຫູ້ສາມເມັດ A, B, C ຢ່ໃນເສັນື້ ຊ່ືໜ່ງືຶ , ຮູວ້ ່າ CA =m . ຈັ່ົງຄິດໄລ່ BA ແລະ AB (ຈາແນກທັງສອງ CB BC AC ກລະນີ C ຢ່ໃນ ແລະ ຢ່ນອກທ່ອນຊ່ື AB ) 27. ໃຫທູ້ ່ອນຊ່ື AB=14cm ; C ແມ່ນເມັດໜຶງື່ ຢ່ໃນເສນັື້ ຊື່ AB ເຊ່ືງິ ຖກກັບເງ່ອື ນໄຂ CA = 5 . ຊອກຫາ CB 7 ບນັ ດາທ່ອນຊ່ື CA,CB,CO ເຊ່ງືິ O ແມ່ນກາງຂອງ AB (ຈາແນກທງັ ສອງກລະນີ C ຢ່ໃນ ແລະ ນອກທອ່ ນຊ່ື AB ). 28. ໃນເສນ້ືັ ຊ່ືໜງ່ືຶ , ໃຫູ້ສາມເມັດ A, B, C . O ແມ່ນເມດັ ກາງຂອງ AB . ຮວູ້ າ່ CA = 5 ແລະ CO=8. ຊອກ CB 9 ຫາ CA, CB ແລະ AB . 29. ຈົັ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງທ່ອນຊລ່ື ຸ່ມນີ້ື a) A(2) ແລະ B(-4) b) P 2 ແລະ S 32 c) F(125) ແລະ E(625) d) M(log3 243) ແລະ N(log41024) e) I 1 1  ແລະ O  3  8   4     f) K 192 ແລະ R 243 30. 3 ເມັດບລໍ່ ຽນຊ່ກື ນັ ,ຖາມວ່າມີຈກັ ເສນືັ້ ຊ່ື? 31. 4 ເມດັ ບໍລ່ ຽນຊືກ່ ນັ ມີຈກັ ເສັນື້ ຊ່ື? 32. 5 ເມດັ ບລໍ່ ຽນຊືກ່ ັນມຈີ ກັ ເສ້ນືັ ຊື່? 33. 6 ເມັດບລໍ່ ຽນຊື່ກນັ ຈະໄດູ້ຈກັ ເສ້ືັນຊື່? 34. ຈ່ັົງຊອກລວງຍາວຂອງທ່ອນຊື່ລມຸ່ ນືີ:້ ກ. ໃຫູ້ A2 , B 8 ແລະ C 6 ຈ່ົັງຊອກຫາອັດຕາສ່ວນ AC CB ຂ. ໃຫູ້ M 6 , N 2 ແລະ I 4 ຈົ່ງັ ຊອກຫາອັດຕາສວ່ ນ MI IN 35. ຈົັງ່ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມັດ C ທີ່ືຢ່ລະຫວ່າງ A4 ແລະ B 8 ຮູວ້ າ່ CB  2AC 36. ຈັງ່ົ ຊອກຕົວປະສານຂອງເມດັ I ທືີ່ຢ່ນອກ M 1 ແລະ N 9 ຮວູ້ າ່ IM  1 NI 5 37. ຈົງ່ັ ຊອກຕົວປະສານຂອງເມັດ I ທ່ືີຢ່ນອກທ່ອນຊື່  AB, A3 , B 6 ຮ້ວູ ່າ AI  2 IB 5 22

vii      38. ໃຫູ້ A 8 , B 18 ແລະ C 2 ຈງັົ່ ຊອກຫາອດັ ຕາສວ່ ນ AC CB 39. ໃຫູ້ A3 , B 1 ແລະ C 3 ຈງັ່ົ ຊອກຫາອັດຕາສ່ວນ AC CB 40. ຈັ່ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທື່ີຢລ່ ະຫວ່າງ A2 ແລະ B 4 ຮ້ວູ າ່ CB  2 AC 3 41. ຈົັ່ງຊອກຕົວປະສານຂອງເມັດ I ທີ່ືຢ່ນອກ M 3 ແລະ N 6 ຮວູ້ າ່ IB  1 AI 3 42. ຈົັ່ງຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ C ທີ່ືຢ່ລະຫວ່າງ A2 ແລະ B 6 ຮູວ້ າ່ CB  1 AC 4 43. ຈງ່ັົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມັດ I ທ່ີືຢ່ນອກ M 0 ແລະ N 7 ຮູວ້ າ່ IB  4 AI 3    44. ຈົັ່ງຊອກຕົວປະສານຂອງເມດັ C ທ່ືີຢລ່ ະຫວ່າງ A  2 ແລະ B 32 ຮ້ວູ ່າ CB  5 AC 3    45. ຈ່ັົງຊອກຕວົ ປະສານຂອງເມດັ I ທ່ືີຢນ່ ອກ M 3 ແລະ N 27 ຮວູ້ ່າ IB  2 AI 5 46. ໃຫູ້  AB  12cm ແລະ ເມັດ C ແມນ່ ເມັດໜືຶ່ງທື່ີຢ່ໃນເສື້ນັ ຊ່ື AB ເຊືງ່ິ ຖກຕອູ້ ງກບັ ເງື່ນຶ ໄຂ AC  5 BC 7 ຈ່ງັົ ຊອກຫາບນັ ດາທອ່ ນຊື່ CO , CB , AC , CB ແລະ OB ເຊ່ືງິ ວາ່ O ແມນ່ ເມດັ ໃຈກາງຂອງ AB 47. ໃຫູ້ AO ເປັນເສນ້ັື ແບ່ງເຄງືິ່ ມມ BAC ແລະ CO ເປນັ ເສນັ້ື ແບ່ງເຄື່ິງມມ ACB ຈົງັ່ ຊອກຫາມມຫວາ AOC ຮູວ້ ່າ Bˆ  80 48. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ເຊິື່ງວ່າ AB  AC ຮູວ້ ່າມມ Aˆ  70 ຈົງ່ັ ຊອກມມ Bˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Cˆ 49. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ເຊ່ງືິ ວ່າ BAˆC  30 , ABˆC  25 ແລະ AC  AD , D  AB ຈົ່ງັ ຊອກຫາ BCˆD 50. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ເຊືງ່ິ ວ່າ AB  BC ຮູ້ວາ່ ມມ Bˆ  70 ຈ່ງົັ ຊອກມມ Cˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Aˆ 51. ໃຫູ້ AO ເປັນເສນັ້ື ແບ່ງເຄິື່ງມມ BAˆ C ແລະ CO ເປນັ ເສັນ້ື ແບ່ງເຄື່ງິ ມມ ACˆB ຈົງ່ັ ຊອກຫາມມສວດ AOˆC ຮູ້ວາ່ Bˆ  120 52. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ເຊື່ິງວາ່ AB  BC ຮູ້ວາ່ ມມ Bˆ 110 ຈັງົ່ ຊອກມມ Cˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Aˆ 53. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ເຊິື່ງວາ່ AB  BC ຮູ້ວາ່ ມມ Bˆ  75 ຈງົ່ັ ຊອກມມ Cˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Aˆ 54. ໃຫູ້ AO ເປັນເສ້ນັື ແບ່ງເຄື່ງິ ມມ BAˆ C ແລະ CO ເປນັ ເສ້ນັື ແບ່ງເຄງືິ່ ມມ ACˆB ຈ່ັົງຊອກຫາມມຫວາ AOˆC ຮູ້ວາ່ Bˆ  110 55. ຈງົັ່ ຊອກ ACˆD  ? ຕາມຮບແຕູ້ມລຸ່ມນືີ້ 23

vii 56. ຈັ່ົງຊອກມມ C 57. ຈ່ັງົ ຊອກມມຸ C 58. ຈັ່ົງຊອກມມຸ ນອກ ACD? 59. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ເປັນມມສາກ ແລະ AD  BD  CDຈັ່ງົ ຊອກຫາມມຸ ADB ? 60. ໃຫູ້ ( AB) // (DE) . (FG) ເປັນເສືັ້ນແບງ່ ເຄື່ງີ ມມຸ CFE ແລະ (CG) ເປນັ ເສ້ືັນແບງ່ ເຄີື່ງມຸມ FCB . ຈັງ່ົ ຊອກມມຸ FGC ? 61. ໃຫູຮ້ ບສາມແຈ ABC ເຊ່ງິື ວາ່ AB  BC ຮູ້ວ່າມມ Bˆ  80 ຈົງ່ັ ຊອກມມ Cˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Aˆ 62. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ເຊງ່ິື ວ່າ AB  BC ຮ້ວູ ່າມມ Bˆ 120 ຈງ່ັົ ຊອກມມ Cˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Aˆ 63. ໃຫູຮ້ ບສາມແຈ ABC ເຊິງື່ ວ່າ AB  BC ຮ້ວູ າ່ ມມ Bˆ 140 ຈັ່ົງຊອກມມ Cˆ ແລະ ມມນອກຂອງມຸມ Aˆ 24

vii ບດົ ທີ 2 ຮບສາມແຈ 1. ນິຍາມ ແລະ ຄນຸ ລັກສະນະ ໂດຍທວັົ່ ໄປແລວູ້ ຮບສາມແຈຈະມີຢ່ 2 ປະເພດໃຫຍ່ໆດວູ້ ຍກນັ ຄ: ຮບສາມແຈທັ່ວົ ໄປ ແລະ ຮບສາມແຈທ່ີືມີຄຸນ ລັກສະນະສະເພາະ. 1.1 ຮບສາມແຈທວົັ່ ໄປ ຮບສາມແຈທວ່ັົ ໄປ ແມ່ນຮບສາມແຈທືີ່ມີ ສາມຂູ້າງຂອງມນັ ບເ່ໍ ທັ່າົ ກນັ ແລະ ສາມມມຸ ຕາ່ ງກັນ. 1.2 ຮບສາມແຈທມືີ່ ີຄຸນລກັ ສະນະສະເພາະ 1.2.1 ຮບສາມແຈສາກ ຮບສາມແຈສາກ ແມນ່ ຮບສາມແຈທມືີ່ ີໜຶ່ງື ມຸມສາກ. ຂູ້າງທກີ່ື ງົ ກນັ ຂູ້າມກັບມມຸ ສາກ ເອນືີ້ ວ່າ ຂາູ້ ງກງົ ສາກ ແລະ ສອງຂູ້າງທີ່ຢື ່ຕິດກັບມຸມສາກ ເອື້ນີ ວາ່ ຂູ້າງມຸມສາກ.  ຫຼັກເກນທື່ີກ່ຽວຂູ້ອງກັບຮບສາມແຈສາກ. ໃນຮບສາມແຈສາກໜືຶ່ງ ລວງຍາວຂອງເສ້ນັື ຈອມກາງທ່ືີຂີດຈາກຈອມສາກ ຈະເທ່ັົາເຄິື່ງໜງ່ຶື ຂອງ ຂູ້າງກງົ ສາກ. ຮບສາມແຈສາກທມີື່ ີສອງຂູ້າງມຸມສາກເທາ່ັົ ກັນເອ້ນືີ ວາ່ : ຮບສາມແຈສາກທ່ຽງ. ວງົ ມນົ ແນບນອກຮບສາມແຈສາກ ມີຂາູ້ ງກົງສາກເປນັ ເສືັ້ນຜາ່ ນໃຈກາງ. ຫຼັກເກນປີຕາກ:ໃນຮບສາມແຈສາກໜງຶື່ ກາລງັ ສອງຂອງຂາູ້ ງກົງສາກເທັົ່າກັບຜົນບວກລະຫວ່າງ ກາລັງສອງຂອງສອງຂູ້າງມຸມສາກ. ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ຈັ່ງົ ແຕມູ້ ຮບສາມແຈສາກ ABC, ສາກຢ່ A. ຮວູ້ ່າ AB = 6 cm ແລະ AC=8cm. ຈາກນ້ືັນຈົ່ັງ ຊອກຫາລວງຍາວຂອງລັດສະໝີຂອງວງົ ມນົ ແນບຮບສາມແຈສາກດ່ງັ ກ່າວ. 25

vii ບົດແກ້:ູ ຂໍ້ສົມມຸດ ABC ເປນັ ຮບສາມແຈສາກຢ່ A ຮູ້ວ່າ ຂໍ້ສະຫຼບຸ AB = 6 cm ແລະ AC=8cm ແຕູມ້ ຮບ ∆ ABC,ຊອກລັດສະໝີຂອງວງົ ມນົ ແນບຮບ ∆ ABC  ວິທີສາູ້ ງແຕູມ້ - ວາງ [Ax) ຕງືັ້ ສາກກບັ [Ay) ຈາກນັື້ນວາງ B ∈ [Ax) ແລະ C∈[Ay) ໂດຍວາ່ [AB]=6cm ແລະ [AC]=8cm - ຂີດ [BC] ເຮົາໄດູ້ ຮບ ∆ ABC, ສາກຢ່ A ທຕືີ່ ອູ້ ງການສູາ້ ງ.  ຊອກລດັ ສະໝີຂອງວົງມນົ ເຮາົ ວາງ I ເປັນເມັດເຄ່ືິງກາງຂອງ [BC] ອີງຕາມຫກັຼ ເກນເຮາົ ຈະມີ [AI]= [BC] (*) 2 ໃນຮບ ∆ ABC, ສາກຢ່ A ອີງຕາມຫກັຼ ເກນປີຕາກເຮາົ ມ:ີ BC2=AB2+AC2 ແທນຄ່າໃສ່ເຮາົ ຈະໄດູ້ BC2=62+82=36+64=100 ຖອນໄດູ້ BC=±√100=10 ເອາົ ແຕ່ສະເພາະຄ່າບວກຍອູ້ ນ BC ແມ່ນທອ່ ນຊ່ື, ນາຄ່າໄປແທນໃສ່ (∗) ເຮາົ ກໄດູ້: [AI]= [BC] = 10cm =5cm 2 2 ຕອບ: ລັດສະໝີຂອງວງົ ມນົ ແນບຮບສາມແຈສາກ ABC, ສາກຢ່ A ມີລວງຍາວເທັົ່າກບັ 5cm 1.2.2 ຮບສາມແຈທຽ່ ງ ຮບສາມແຈທ່ຽງ ແມ່ນຮບທມ່ືີ ີ 2 ຂູ້າງເທັ່ົາກັນ ແລະ ສອງມຸມພື້ນມີຄ່າວັດແທກເທັົ່າກນັ . ມໜີ ືຶ່ງແກນ ເຄິື່ງຄ ເຊື່ງິ ແມນ່ ເສັນ້ື ກາງສາກຂອງພນ້ື . ໃນຮບສາມແຈທ່ຽງMONເຮົາມີ: OI ແມນ່ ແກນເຄ່ືິງຄ ເຮົາໄດູ້: [IM]=[IN], [MO]=[ON] ແລະ ÔMI=ÔNI 26

vii  ການແຕມູ້ ຮບສາມແຈທຽ່ ງ ການແຕູມ້ ຮບສາມແຈທ່ຽງໂດຍທັວ່ົ ໄປມີຂັນື້ ຕອນດ່ັງນ:ື້ີ 1. ວາງທ່ອນຊື່ທື່ີເປນັ ພື້ນຂອງຮບສາມແຈທ່ຽງ 2. ຂດີ ສອງທ່ອນກັົ່ງທ່ືີມີສອງສນົື້ ຂອງທ່ອນຊື່ ເປັນຈດຸ ໃຈກາງ ແລະ ມີລັດສະໝີເທົັາ່ ກັນ ທງັ ສອງທ່ອນກັງົ່ ຈະຕດັ ກນັ ຢ່ເມັດໜ່ຶືງ. 3. ຕ່ໍເມັດຕດັ ຂອງສອງທ່ອນກ່ງົັ ໃສ່ສອງສ້ົືນ ຂອງທ່ອນຊື່ເຮາົ ກ່ໍໄດູ້ຮບສາມແຈທ່ຽງທື່ີ ຕ້ອູ ງການສູ້າງ 1.2.3 ຮບສາມແຈສະເໝີ ຮບສາມແຈສະເໝີ ແມ່ນຮບສາມແຈທ່ີືມີ 3 ຂູ້າງເທົ່າັ ກນັ , ມີ 3 ມມຸ ໃນມຄີ າ່ ເທົັ່າກັນ ແລະເທົ່ັາ 60° ແລະ ມີ 3 ແກນເຄ່ືິງຄ ເຊ່ິືງແມ່ນເສັື້ນກາງສາກຂອງທງັ ສາມຂາູ້ ງ, ເສືນັ້ ຈອມກາງຂອງຮບສາມແຈສະເໝີເປນັ ໄດູ້ທງັ ເສັື້ນ ຈອມສາກ, ກາງສາກ ແລະ ເສືັນ້ ແບ່ງເຄ່ືິງມຸມ. ໃນຮບສາມແຈສະເໝີ ������������������ ມີ: [������������] = [������������] = [������������] . ������������, ������������, ������������ ເປັນແກນເຄງ່ືິ ຄ ���̂��������������� = ̂������������������ = ̂������������������ = 60° 27

vii ໝາຍເຫດ: ການສູາ້ ງແຕູ້ມຮບສາມແຈສະເໝີ ແລະ ການແຕ້ມູ ຮບສາມແຈທ່ຽງ ແມ່ນມວີ ທິ ີການຄູ້າຍຄກນັ ຄ: ວິທີ 1 ແມ່ນຄກບັ ຕວົ ຢ່າງການສູ້າງແຕູມ້ ຮບສາມແຈທຽ່ ງຂູາ້ ງເທງິ , ສວ່ ນວທິ ີ 2 ແມ່ນເຮົາວາງຂູ້າງແລ້ວູ ຈຶື່ງແທກມຸມພນື້ ຕາມຄນຸ ລັກສະນະຂອງແຕລ່ ະຮບ. ເຊິື່ງຕ່ໍໄປນຈີ້ື ະສະເໜີການສູ້າງແຕ້ມູ ຮບສາມແຈສະເໝີໃນກລະນທີ ືີ່ວັດແທກມມຸ . ຕວົ ຢາ່ ງ 2. ຈງົ່ັ ສູາ້ ງແຕູມ້ ຮບສາມແຈສະເໝີ MNP ເມ່ອື ຮລູ້ ວງຍາວຂອງຂູ້າງແທກໄດູ້ 6cm. ວິທີສູ້າງແຕູ້ມ: 1. ວາງ [MN]=6 cm 2. ວາງ N̂Mx=M̂Ny=60° ເຊິງ່ື [Mx)∩[Ny)=P ເຮາົ ກໄໍ່ ດູ້ຮບສາມແຈສະເໝີ MNP ທີ່ືຕ້ອູ ງການສູ້າງ. 2. ຫຼກັ ເກນ ແລະ ຜນົ ເນອ່ື ງຕ່າງໆ 2.1 ເສນືັ້ ຊທ່ື ສ່ືີ າຄນັ ໃນຮບສາມແຈ. ເສື້ັນຊທື່ ືີ່ສາຄນັ ໃນຮບສາມແຈປະກອບມີ 4 ເສນ້ືັ ຄ: ເສນື້ັ ຈອມກາງ, ເສັ້ືນຈອມສາກ, ເສື້ັນກາງສາກ ແລະ ເສັນື້ ແບ່ງເຄ່ງິື ມຸມ. 2.1.1 ເສນືັ້ ຈອມກາງ. ໃນຮບສາມແຈໜ່ຶງື ເສ້ືນັ ຊື່ທຂີ່ື ີດຈາກຈອມໄປຜ່ານຈດຸ ເຄືງ່ິ ກາງຂອງຂາູ້ ງເຊ່ືິງໜູ້າກັນເອນີື້ ວາ່ : ເສື້ນັ ຈອມກາງ ສາມເສືັ້ນຈອມກາງຂອງຮບສາມແຈຕັດກັນຢ່ເມດັ ໜຶງ່ື ແລະ ເມດັ ນນັ້ື ເອີື້ນວາ່ : ຈດຸ ຖວ່ ງໜັກ.  ການແຕູມ້ ເສ້ນືັ ຈອມກາງ ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຈ່ັົງແຕ້ມູ ເສນ້ືັ ຈອມກາງທຂີ່ື ີດຈາກຈອມ A ຂອງຮບສາມແຈ ABC ວທິ ີແຕູມ້ : 28

vii - ຊອກຈດຸ ເຄງ່ືິ ກາງຂອງ [BC] ໂດຍ ການຂີດສອງທ່ອນກັົງ່ ທືີ່ມໃີ ຈກາງ B ແລະ C ດ້ວູ ຍລັດສະໝີຕາມໃຈທືີ່ ຍາວກວາ່ ໃຈກາງ ແລະ ສ້ນືັ ກວາ່ ລວງຍາວຂອງ [BC] ທງັ ສອງທ່ອນ ກັງ່ົ ຈະຕດັ ກນັ ຢ່ສອງເມດັ I, J. - ຂດີ ເສ້ນືັ ຊື່ຜ່ານສອງຈຸດ I, J ຕັດ [BC] ຢ່ K ເຊງ່ິື ແມນ່ ຈດຸ ເຄິງ່ື ກາງຂອງ [BC] ເອງ. - ຂດີ [AK] ເຮົາກໍ່ໄດູ້ ເສັນ້ື ຈອມ ກາງທີື່ຂີດຈາກຈອມ A ຂອງຮບ ສາມແຈ ABC ທີື່ຕູ້ອງການສ້າູ ງ. 2.1.2 ເສື້ນັ ຈອມສາກ. ໃນຮບສາມແຈໜຶືງ່ ເສນ້ືັ ຊ່ືທ່ືີຂີດຜ່ານຈອມລງົ ຕ້ືັງສາກກັບຂູ້າງເຊ່ງິື ໜູາ້ ກນັ ເອືີ້ນວາ່ : ເສັນ້ື ຈອມສາກ. ສາມ ເສືນັ້ ຈອມສາກຂອງຮບສາມແຈຕດັ ກັນຢ່ເມັດໜ່ືງຶ ເຊິງ່ື ເມັດນ້ືັນເຮົາເອີ້ືນວ່າ: ຈດຸ ອ໊ອກໂຕຊັງເຕີ (ORTHOCENTRE) ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ໃຫູ້ຮບສາມແຈ OPQ , ຈົງ່ັ ແຕມູ້ ເສັນື້ ຈອມສາກທີື່ຂີດຈາກຈອມ P. ວິທີສູ້າງແຕມູ້ : - ຫງັຼ ຈາກທ່ືີການົດຮບສາມ ແຈ OPQ ໄດູ້ແລ້ວູ ນາບນັ ທດັ ສາກມາແປະລົງເທິງ ຮບໂດຍໃຫູ້ຂູ້າງມຸມສາກທີ 1 ຕດິ ແປະກບັ ຈອມ P ແລະຂູາ້ ງມຸມສາກທີ 2 ຕດິ ແປະກັບຂູ້າງ [OQ] (ຂາູ້ ງເຊິງ່ື ໜູ້າກບັ ຈອມ) ເຮົາກໄດູ້ຈດຸ I ຂອງມຸມສາກທ່ືຢີ ່ຂູ້າງ [OQ]. 29

vii - ຂດີ [PI] ເຮົາກໄດູ້ເສືັ້ນຈອມສາກທີື່ຂດີ ຈາກຈອມ P ທືີ່ຕອູ້ ງການສ້າູ ງ. 2.1.3 ເສື້ັນກາງສາກ. ເສື້ັນຊທ່ື ຕື່ີ ງັື້ ສາກກັບຈຸດເຄ່ງິື ກາງຂອງທອ່ ນຊື່ໜ່ງຶື ເອີືນ້ ວາ່ : ເສນ້ືັ ກາງສາກຂອງທ່ອນຊື່ນ້ນັື . ສາມເສັື້ນ ກາງສາກຂອງຮບສາມແຈຕັດກັນຢ່ເມັດໜຶ່ືງ ເຊິ່ືງເມັດນັື້ນຢ່ຫ່າງສະເໝີຈາກທັງສາມຈອມຂອງຮບສາມແຈ ແລະ ພວກເຮາົ ເອ້ືີນເມດັ ດ່ງັ ກາ່ ວວາ່ : ຈຸດໃຈກາງຂອງວງົ ມນົ ແນບຮບສາມແຈນນືັ້ .  ການແຕ້ມູ ເສ້ືັນກາງສາກ. ຢາກແຕມູ້ ເສ້ັນື ກາງສາກຂອງ [MN] ເຮາົ ປະຕິບດັ ຕາມຂນື້ັ ຕອນດັງ່ ນ:້ືີ - ຂີດສອງທອ່ ນກົັ່ງທມີ່ື ີໃຈກາງ M ແລະ N ລດັ ສະໝີຕາມໃຈ (ໃຫຍ່ກວາ່ ເຄ່ືິງໜ່ືງຶ ຂອງທ່ອນຊ່ື) ທງັ ສອງທອ່ ນກງ່ັົ ຈະຕດັ ກນັ ຢ່ສອງຈຸດ. - ນາໃຊູ້ບັນທັດຍາວເພອື່ ຂີດທັງສອງຈດຸ ຕັດກັນໃສ່ກັນເຮົາກໍ່ໄດູ້ເສັນ້ື ດງັ່ ກ່າວນັື້ນເປນັ ເສ້ນືັ ກາງສາກຂອງ [MN] ທ່ີືຕູ້ອງການສາູ້ ງ. 30

vii 2.1.3 ເສນ້ັື ແບງ່ ເຄງືິ່ ມມຸ . ເສັືນ້ ແບງ່ ເຄືິງ່ ມມຸ ແມ່ນເສັື້ນຊື່ທີື່ແບງ່ ມຸມໜື່ງຶ ອອກເປັນສອງມຸມທ່ືີເທັົາ່ ກນັ ເຊືງ່ິ ເສ້ືນັ ແບງ່ ເຄືງ່ິ ມມຸ ກແມ່ນ ແກນເຄືງ່ິ ຄຂອງມຸມນນືັ້ ເອງ. ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ໃຫູ້ [OA) ແມ່ນເສ້ືັນແບ່ງເຄງິື່ ມຸມຂອງ������̂������������ເຮາົ ກໄດູ້: x̂OA=ÂOy  ການແຕູມ້ ເສນືັ້ ແບງ່ ເຄິງື່ ມຸມ ຕວົ ຢາ່ ງ 6: ຈັົງ່ ແຕູ້ມເສື້ນັ ແບງ່ ເຄິື່ງມຸມຂອງ ���̂��������������� ວທິ ີສູ້າງແຕ້ມູ : - ຂດີ ທ່ອນກັ່ົງທ່ືີມີໃຈກາງ O ລດັ ສະໝີຕາມໃຈຕັດສອງຂູ້າງຂອງມມຸ ຢ່ເມດັ I ແລະ J - ຂດີ ສອງທ່ອນກງ່ັົ ທ່ືີມີໃຈກາງ I ແລະ J ແລະ ມີລັດສະໝີເທົັ່າກນັ (ບໃໍ່ ຫູ້ຫດຼຸ ເຄ່ງິື ໜືຶ່ງຂອງລດັ ສະໝີໃນ ຂນ້ືັ ຕອນທາອດິ ) ທງັ ສອງທ່ອນກງັ່ົ ຕດັ ກນັ ຢ່ເມດັ K 31

vii - ຂີດ [OK) ເຮົາກໄດູ້ເສັື້ນແບງ່ ເຄື່ງິ ມຸມ ÂOB ທ່ືີຕ້ອູ ງການສາູ້ ງ 2.2 ການສາູ້ ງແຕູມ້ ຮບສາມແຈ. ຮບສາມແຈໜືງ່ຶ ໆ ແມ່ນປະກອບດ້ວູ ຍ 3 ຂ້າູ ງ, 3 ມຸມ. ດັ່ງນນັື້ , ການສູ້າງແຕ້ມູ ຮບສາມແຈນັື້ນຢ່າງໜູອ້ ຍ ຕູ້ອງຮຢູ້ ່ 3 ກລະນດີ ູ້ວຍກນັ ເຊງື່ິ ໃນທີນື່ ີ້ືພວກເຮາົ ຈະມາຮຈູ້ ກັ ກັບການສູ້າງແຕ້ມູ ຮບສາມແຈໃນ 3 ກລະນດີ ູ້ວຍກັນຄ: 2.2.1 ກລະນຮີ ສູ້ າມຂາູ້ ງ (ຂ, ຂ, ຂ) ຮລູ້ ວງຍາວຂອງທັງສາມຂູ້າງ. ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ຈົັ່ງສູາ້ ງຮບສາມແຈ ������������������ ເມອ່ື ຮູ້ [AB]=6cm , [AC]=5cm ແລະ [BC]=7cm. ວິທີສູ້າງແຕູ້ມ: - ວາງ [AB]=6cm ( ຫຼ ຈະວາງທອ່ ນຊື່ໃດກ່ອນກໍ່ໄດູ້ ) - ຂດີ ສອງທ່ອນກງ່ັົ ທືີ່ມີໃຈກາງ A ແລະ B, ມີລັດສະໝີ 5cm ແລະ 7cm ຕາມລາດບັ . ທງັ ສອງ ທອ່ ນກ່ງົັ ຈະຕດັ ກນັ ຢ່ຈຸດ C. - ຂດີ ຕ່ໍ C ຫາ A ແລະ B ເຮາົ ກໄດູ້ຮບສາມແຈ ABC ທີ່ືຕອູ້ ງການສູ້າງ. 2.2.2 ກລະນຮີ ສູ້ ອງຂູ້າງໜງ່ືຶ ມມຸ (ຂ, ມ, ຂ) ສາູ້ ງຮບສາມແຈໜງື່ຶ ເມອື່ ຮູ້ສອງຂາູ້ ງ ແລະ ມມຸ ທື່ີຢ່ລະຫວ່າງສອງຂູ້າງນືນ້ັ . ຕວົ ຢາ່ ງ 8: ຈັ່ງົ ສູ້າງແຕູ້ມຮບສາມແຈ HOT ໂດຍວາ່ HT=5cm,OH=6cm, Hˆ =55 . ວທິ ີສູ້າງແຕູ້ມ: - ສາູ້ ງມຸມ XHˆ Y=55o - ວາງເມັດ O ແລະ T ຢ່ HX ແລະ HY ຕາມລາດບັ ໂດຍວ່າ HO=6cm ແລະ HT=5cm - ຂີດຕ່ໍ O ຫາ T ຈະໄດູ້ຮບສາມແຈ HOT ທີຕ່ື ້ອູ ງການສູ້າງ. 32

vii 2.2.3 ກລະນຮີ ສູ້ ອງມມຸ ໜຶ່ງື ຂາູ້ ງ (ມ, ຂ, ມ) ສູ້າງຮບສາມແຈໜືງ່ຶ ເມ່ືອຮູ້ຂູ້າງໜງ່ືຶ ແລະ ສອງມມຸ ທ່ີແື ປະກັບມັນ. ຕວົ ຢາ່ ງ 9: ຈງ່ັົ ສູ້າງແຕມູ້ ຮບສາມແຈ WIN ໂດຍວ່າ IN=7cm, ˆI=36 ແລະ Nˆ =60 ວິທສີ ູ້າງແຕູ້ມ: - ສູ້າງທອ່ ນຊ່ື IN=7cm - ສາູ້ ງມຸມ xˆIN=36 ແລະ ມຸມ yNˆ I=60 - Ix ຕັດ Ny ຢ່ເມດັ W ເຮາົ ໄດູ້ຮບສາມແຈWIN ທື່ີຕູ້ອງການສູ້າງ. 3. ການຄິດໄລເ່ ນອ້ື ທີ່ື ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບສາມແຈ ຮບສາມແຈ ABC ມພີ ື້ນແມ່ນ b ແລະ h ແມນ່ ລວງສງ ເຮາົ ໄດ:ູ້ P  AB  BC  CA ແລະ A  b h 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 10. ຈ່ງັົ ຄດິ ໄລ່ເນື້ອທີື່ຂອງຮບສາມແຈ CAT . ຮູ້ວ່າຂູ້າງພນ້ື CT=25cm ແລະ ລວງສງ h 10cm ບດົ ແກ້:ູ ຂ້ໍສມົ ມຸດ b=CT=25cm ແລະ h 10cm ຂໍ້ສະຫຼບຸ ຄິດໄລ່ A=? ຈາກຂ້ໍສົມມຸດ ເຮົາມີ: A= b×h = 25cm×10cm =125cm2 22 A=125cm2 ຕວົ ຢາ່ ງ 11. ໃຫູ້ຮບສາມແຈ ABC ທ່ືີມີເນ້ືອທືີ່ແມ່ນ 60 cm2 , BC= 15 cm. ຈງ່ັົ ຊອກຫາ: - ລວງສງ AH ຂອງຮບສາມແຈດ່ັງກ່າວ. - ເນອ້ື ທີື່ຂອງ MBC ,ຮູ້ວ່າ M ເປນັ ເມັດເຄ່ືງີ ກາງຂອງ AH. 33

vii ວທິ ແີ ກູ້: ເຮາົ ມ:ີ S  60 cm2 BC= 15 cm AM = MH - ຊອກຫາ ລວງສງ AH =? ຈາກສດເນ້ືອທືີ່ s  BC  AH 2 60  15  AH  120  15  AH  AH 120  8cm 2 15 ເຮາົ ໄດູ້ ລວງສງຂອງຮບ ABC ແມນ່ AH  8cm . - ຊອກເນອ້ື ທີ່ື ຮບ MBC ຈາກຮບສາມແຈ MBC ຈະໄດູ້ S  BC  MH (1) 2 - ຊອກ MH = ? ຈະໄດູ້ AH  AM  MH ເຊ່ືິງວ່າ: AM  MH AH  2MH  MH  AH  8  4cm 22 ເຮົາໄດູ້ MH  4cm ແທນໃສ່ (1) ຈະໄດູ້ S  BC  MH  15  4 30 cm2 22 ດັງ່ ນ້ັືນ, ເນອ້ື ທືີ່ຂອງຮບ MBC ແມ່ນ 30 cm2 . ຕວົ ຢາ່ ງ 12. ໃຫູ້ຮບສາມແຈສະເໝີ ທີື່ມີຂູ້າງເທ່າັົ 5 cm ຈັ່ງົ ຊອກຫາເນອ້ື ທີ່ື ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບສາມແຈ ດັ່ງກ່າວ?. ວທິ ແີ ກູ້: ຮູ້ວ່າ: h5 3 , a= 5 cm 2 - ຊອກຫາເນ້ືອທ່ີື s = ? ຈາກສດ s  BC  AB 2 ຈະໄດູ້ s  25 3 4 - ຊອກຫາລວງຮອບ p= ? ຈະໄດູ້ p  a  a  a  5  5  5  15cm p  15 cm 34

vii  ການພວົ ພນັ ໄຕມມມຕິ ໃິ ນຮບສາມແຈສາກ  sin   b c  cos  a c  tan   b a  cot an  a b ຕວົ ຢາ່ ງ 13. ໃຫູ້ຮບສາມແຈສາກ ABC ສາກຢ່ມມຸ A , ຮູ້ວາ່ ຂູ້າງ AB= 4 cm ແລະ ມມຸ   45 .ຈງັົ່ ຄດິ ໄລ່ ຂາູ້ ງ AC , BC . ວທິ ີແກ້:ູ ເຮາົ ມີ: AB= 4 cm   45 ຊອກຫາ ຂາູ້ ງ BC=? ຈາກ sin   AB BC sin   AB  BC  AB  4  4 8 8 2 4 2 cm BC sin  sin 45 2 22 2 ດັ່ງນ້ືັນ, ຂ້າູ ງ BC= 4 2 cm . - ຊອກຂູ້າງ AC= ? cos  AC  AC  cos  BC  cos45  4 2  2  4 2  2 4  4cm BC 2 ດັ່ງນ້ືັນ, ຂູ້າງ AC= 4 cm. 35

vii ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ເພື່ິນສາມາດແຕູມ້ ຮບສາມແຈທືີ່ມີຂາູ້ ງລຸ່ມນ້ືີໄດູ້ຫຼບໍ່? ຍ້ອູ ນຫຍງັ ? ກ. 5, 6 ແລະ 10 ຂ. 5, 6 ແລະ 11 ຄ. 5, 6 ແລະ 12 ງ. 7, 7 ແລະ 7 2. ໃຫູຮ້ ບສາມແຈ ABC ສາກຢ່ A . ຈົັງ່ ການດົ ເມັດຕດັ ກນັ ຂອງສາມເສັນື້ ກາງສາກ ແລະ ເມດັ ຕັດກັນຂອງສາມ ເສນື້ັ ຈອມສາກຂອງມນັ ແລວູ້ ໃຫູ້ຂໍ້ສັງເກດ. 3. ໃນຮບສາມແຈທ່ຽງ ABC(AB=AC) . ສອງເສ້ືັນກາງສາກທ່ືີຂດີ ຈາກຈອມ B ແລະ C ຕັດກັນຢເ່ ມັດ I . ຈງ່ັົ ຊືີ້ ແຈງວາ່ : ເສັື້ນແບ່ງເຄ່ງືິ ມຸມ Aˆ ຜາ່ ນ I . 4. ໃຫູຮ້ ບສາມແຈ ABC , M ແມນ່ ເມັດເຄິງ່ື ກາງຂອງ BC . ເສນັື້ ຊ່ືຜ່ານເມດັ M ແລະ ຂະໜານກັບ AC ຕດັ AB ຢ່ K; ຂະໜານ AB ຕດັ AC ຢ່ N . ຈົັງ່ ຊືີ້ແຈງວ່າ: AM, KC ແລະ BN ຕັດກັນຢເ່ ມັດໜ່ງຶື I . 5. ຈງັ່ົ ສູ້າງຮບສາມແຈ ABC ເມອື່ ຮວູ້ າ່ : ກ. AB=6cm, AC=4cm ແລະ AC=8cm ຂ. AB=5cm, Aˆ =60 ແລະ Bˆ =45 ຄ. AB=5cm, AC=8cm ແລະ Bˆ =35 ງ. AC=7cm AC  7cm ແລະ Aˆ =Cˆ =80 6. ຈັງົ່ ຄິດໄລ່ ແລູ້ວຕື່ມໃສ່ຕາຕະລາງລຸມ່ ນີື້: (ຮບສາມແຈ) bhA 50cm 2,5dm 50cm 1,8m2 24cm 6dm2 7. ໃນຮບສາມແຈ ABC , M ແມນ່ ເມດັ ເຄ່ິງື ກາງຂອງຂາູ້ ງ BC . ຈ່ງົັ ພິສດວາ່ ເນອື້ ທືີ່ຂອງຮບສາມແຈ AMB ເທ່າົັ ເນ້ືອທ່ີືຂອງຮບສາມແຈ AMC ແລະ ເທ່ົັາເຄິ່ງື ໜ່ງືຶ ຂອງເນືອ້ ທ່ືີຂອງຮບສາມແຈ ABC . 36

vii ບດົ ທີ 3 ຮບສແື່ີ ຈ 1. ນິຍາມ ແລະ ຄນຸ ລກັ ສະນະ 1.1 ຮບສ່ແີື ຈຂາູ້ ງຂະໜານ  ນິຍາມ: ຮບສືີແ່ ຈຂູ້າງຂະໜານ ແມ່ນຮບສືີ່ແຈທມື່ີ ີຂາູ້ ງເຊ່ິງື ໜູ້າຂະໜານກນັ ຕາມແຕ່ລະຄ່.  ຄນຸ ລກັ ສະນະ: 1. ສອງເສ້ນັື ເນັ່ງຈອມຂອງຮບສ່ືີແຈຂູ້າງຂະໜານ ຕດັ ກັນຢ່ເມັດເຄງິ່ື ກາງຂອງແຕ່ລະເສ້ນືັ 2. ສອງຂາູ້ ງເຊືິງ່ ໜູ້າກນັ ເທ່ັົາກນັ ຕາມແຕ່ລະຄ່. 3. ມມຸ ເຊງ່ືິ ໜູ້າກນັ ເທັົ່າກນັ ຕາມແຕ່ລະຄ່. 1.2 ຮບສແື່ີ ຈສາກ  ນຍິ າມ: ຮບສແ່ີື ຈສາກ ແມນ່ ຮບສ່ີແື ຈຂູ້າງຂະໜານ ເຊ່ິງື ທຸກມມຸ ຂອງມນັ ລວູ້ ນແຕ່ເປັນມຸມສາກ. A=B=C=D=90o 37

vii  ຄນຸ ລກັ ສະນະ: 1. ສອງເສນືັ້ ເນັ່ງຈອມມີລວງຍາວເທົັ່າກນັ . 2. ວງົ ມນົ ທ່ືີມີຈຸດໃຈກາງ ແລະ ລດັ ສະໝີ OA ຜາ່ ນຈອມ A,B,C ແລະ D. ວງົ ມນົ ດັ່ງກາ່ ວເປັນ ວົງມົນແນບນອກຮບສີແື່ ຈສາກ ABCD . 3. ຮບສ່ີືແຈສາກມີສອງແກນເຄງ່ິື ຄ IJ ແລະ KL ເຊິງື່ ແມນ່ ເສນັື້ ກາງສາກຂອງຂູ້າງເຊງິື່ ໜູ້າກນັ , ທງັ ສອງແກນຕງ້ັື ສາກກັນ ແລະ ຕັດຢ່ເມັດດຽວກນັ ກບັ ເມດັ ຕດັ ກັນຂອງສອງເສ້ືັນເນັງ່ ຈອມ. 4. IJ  KL,OI=OJ ແລະ OK=OL 1.3 ຮບດອກຈນັ  ນິຍາມ: ຮບດອກຈນັ ແມ່ນຮບສືີ່ແຈຂູ້າງຂະໜານ ເຊືງິ່ ທງັ ສື່ີຂູ້າງລູ້ວນແຕ່ມີລວງຍາວເທັົ່າກນັ .  ຄນຸ ລກັ ສະນະ: 1. ສອງເສັ້ືນເນ່ງັ ຈອມຕັືງ້ ສາກກນັ (AC)  (BD) 2. ເສື້ັນເນງ່ັ ຈອມເປັນເສນື້ັ ແບງ່ ເຄື່ງິ ມຸມ A1=A2 =C1=C2 ແລະ B1=B2 =D1=D2 3. ມີສອງແກນເຄິ່ງື ຄເຊືິ່ງແມ່ນສອງເສ້ືັນເນ່ັງຈອມຂອງມັນ. (AC) ແລະ (BD) ແມ່ນສອງແກນເຄງ່ືິ ຄ. 4. ມສີ ນກາງເຄງ່ືິ ຄ O ເຊ່ິງື ແມນ່ ເມັດຕັດກນັ ຂອງສອງເສືັນ້ ເນັ່ງຈອມ. 38

vii 1.4 ຮບຈະຕລຸ ດັ  ນຍິ າມ: ຮບຈະຕຸລດັ ແມ່ນຮບສແືີ່ ຈສາກ ເຊງິ່ື ທັງສື່ີຂາູ້ ງລູວ້ ນແຕ່ມີລວງຍາວເທ່າົັ ກນັ .  ຄນຸ ລກັ ສະນະ: - ສອງເສືນັ້ ເນ່ັງຈອມຕງືັ້ ສາກກັນ ແລະ ມລີ ວງຍາວເທົັ່າກນັ . (AC)  (BD) ແລະ AC=BD,OA=OB=OC=OD . - ມີສ່ແືີ ກນເຄິື່ງຄເຊ່ງິື ແມ່ນສອງເສ້ືັນເນັ່ງຈອມ ແລະ ສອງເສັນື້ ກາງສາກ ຂອງຂູ້າງເຊງ່ືິ ໜາູ້ . (AC),(BD),(IJ) ແລະ (KL) ແມ່ນສືີ່ແກນເຄງິື່ ຄຂອງຮບຈະຕຸລັດ ABCD . - ມີສນກາງເຄ່ືິງຄຢ່ເມັດຕດັ ກນັ ຂອງສອງເສື້ັນເນັງ່ ຈອມ ແລະ ສອງເສັ້ືນກາງສາກ ຂອງສອງຂູາ້ ງ ເຊືງິ່ ໜູ້າກັນ. ໝາຍຄວາມວ່າ O ແມ່ນສນກາງເຄິງື່ ຄຂອງມັນ. 1.5 ຮບຄາງໝ  ນິຍາມ: ຮບສ່ແີື ຈເຊື່ງິ ຂາູ້ ງຄ່ໜືງ່ຶ ຂອງມັນຂະໜານກັນ ເອືນ້ີ ວາ່ : ຮບຄາງໝ.  ປະເພດຂອງຮບຄາງໝ: ກ. ຮບຄາງໝທວ່ັົ ໄປ - ບໍ່ມີຂາູ້ ງໃດເທົາ່ັ ກັນ. - ບມ່ໍ ີມຸມໃດເປັນມຸມສາກ. ຂ. ຮບຄາງໝທຽ່ ງ 39

vii - ສອງຂູາ້ ງທືີບ່ ່ໍຂະໜານກນັ ເທ່າົັ ກນັ . - ສອງມມຸ ພນື້ ເທັ່ົາກນັ . ຄ. ຮບຄາງໝສາກ - ມີໜືງຶ່ ມມຸ ສາກ.  ຄນຸ ລກັ ສະນະ: - ຮບຄາງໝທ່ຽງເຊງ່ິື ເປນັ ຮບຄາງໝຊະນິດໜ່ງຶື ມີຄຸນລກັ ສະນະເພ່ືມີ ເຕີມວ່າ ມມທພີື່ ນ້ື ມີຂະໜາດ ເທາັົ່ ກັນ. - ຮບສີືແ່ ຈຮບໜື່ຶງຈະເປັນຮບຄາງໝກຕໍເ່ ມືອ່ ມມທ່ີືຢ່ຕິດກັນລວມເປນັ ມມປະກອບສອງມມສາກ (180 ອງົ ສາ) ຈານວນສອງຄ່ ເງ່ອື ນໄຂອກີ ຢ່າງໜ່ືຶງທື່ີສາຄັນແລະພຽງພຄ ເສນັື້ ເນງັ ຈອມມມຕັດ ກນັ ດວູ້ ຍອັດຕາສວ່ ນຂອງຄວາມຍາວເທົາ່ັ ກນັ (ຄ່ານືີເ້ ປນັ ຄ່າດຽວກບັ ອດັ ຕາສວ່ ນລະຫວ່າງດູ້ານຄ່ ຂະໜານ). - ເສນ້ືັ ຊ່ືທືີ່ລາກຜ່ານຈຸດເຄ່ງືິ ກາງຂອງດູ້ານຄ່ຂະໜານທັງສອງແບງ່ ເຄືງິ່ ເນື້ອທີື່ຂອງຮບຄາງໝ. - ຖາູ້ ຮບຄາງໝ ABCD ເເບ່ງເປັນຮບສາມແຈສຮ່ືີ ບດ້ວູ ຍເສື້ັນແບ່ງເຄ່ງືິ ມມ AC ແລະ BD ເຊືິງ່ ຕັດກັນທ່ີືຈຸດ O ດງ່ັ ນນືັ້ ເນ້ືອທ່ີືຂອງ ΔAOD ເທັາ່ົ ກບັ ເນ້ືອທີື່ຂອງ ΔBOC ແລະ ຜນົ ຄນ ຂອງເນ້ືອທີື່ລະຫວ່າງ ΔAOD ກັບ ΔBOC ເທາົ່ັ ກັບຜົນຄນຂອງເນ້ືອທີື່ລະຫວ່າງ ΔAOB ກັບ ΔCOD ອັດຕາສວ່ ນຂອງເນື້ອທ່ືີຂອງຮບສາມແຈແຕລ່ ະຄ່ທ່ືີຢ່ຕິດກັນຈະເທ່ົັາກັບອັດຕາສວ່ ນ ຂອງຄວາມຍາວຂອງດູາ້ ນຄ່ຂະໜານ 40

vii - ຄວາມຍາວຂອງເສນ້ືັ ແບງ່ ເຄື່ງິ ມມ p, q ເທັາ່ົ ກບັ ( a, b ຄຄວາມຍາວຂອງດູ້ານຄ່ຂະໜານ) p= ab2 -a2b-ac2 +bd2 b-a ab2 -a2b-ad2 +bc2 q= b-a - ການົດໃຫູ້ ເປນັ ຮບຄາງໝທີ່ືມີຈຸດຍອດ ລຽນຕາມລາດບັ ແລະ ດູ້ານຄ່ຂະໜານກັບ; ໃຫູ້ ເປັນ ຈຸດຕັດຂອງເສ້ັືນແບງ່ ເຄິື່ງມມ ແລະ ໃຫູກ້ ບັ ເປັນຈດຸ ໜງື່ຶ ທື່ີຢເ່ ທງິ ດູ້ານ ກັບ ຕາມລາດບັ ເຊງືິ່ ເຮັດ ໃຫູ້ ຂະໜານກບັ ດູ້ານຄ່ຂະໜານ ກບັ ; ຈະໄດ້ວູ ່າ ຄ ຄ່າສະເລຍ່ ຂອງກບັ ນື້ັນຄ 1 = 1  1 + 1  FG 2  AB DC  1.6 ແຜນວາດຂອງຮບສແືີ່ ຈ 2. ຫຼັກເກນ ແລະ ຜນົ ເນອ່ື ງຕ່າງໆ 2.1 ສນຸ ກາງເຄງືິ່ ຄຂອງຮບສແ່ືີ ຈຂາູ້ ງຂະໜານ ຮບສແີ່ື ຈຂູ້າງຂະໜານມໜີ ຶ່ງື ສນກາງເຄື່ງິ ຄ ເຊື່ິງແມ່ນເມັດຕັດກນັ ຂອງສອງເສນ້ັື ເນັ່ງຈອມຂອງມນັ . ເມດັ O ແມນ່ ສນກາງເຄງ່ືິ ຄຂອງຮບສແ່ີື ຈຂູ້າງຂະໜານ ABCD . 41

vii 2.2 ພນື້ ສະເລຍ່ ແລະ ມມຸ ໃນຂອງຮບຄາງໝ - ພນ້ື ສະເລຍ່ ຂອງຮບຄາງໝ ເທັ່ົາເຄືິ່ງໜຶງ່ື ຂອງຜົນບວກລະຫວ່າງສອງ ພນ້ື . WXYZ ແມນ່ ຮບຄາງໝເຊິງື່ MN ແມ່ນພ້ນື ສະເລ່ຍຂອງມັນ ເຮົາໄດ:ູ້ MN= WX+YZ 2 - ໃນຮບຄາງໝ ABCD,AB//CD ເຮົາໄດູ້: A+D=B+C=180o ແລະ A+B+C+D=360o 2.3 ການສາູ້ ງຮບສແີ່ື ຈ ຕວົ ຢາ່ ງ 1. ຈງັົ່ ສູ້າງຮບສີ່ືແຈຂູ້າງຂະໜານ ABCD ໂດຍວາ່ : AB=7cm, AD=4cm ແລະ AC=10cm . ບົດແກ:ູ້ ຂ້ໍສມົ ມດຸ AB=7cm, AD=4cm , AC=10cm . ຂ້ໍສະຫຼຸບ ສູ້າງຮບສແີ່ື ຈຂູ້າງຂະໜານ ABCD ວທິ ສີ າູ້ ງ: -ສາູ້ ງທ່ອນຊື່ AB=7cm -ສູ້າງສອງທ່ອນກງັ່ົ ທື່ີມີເມັດໃຈກາງຢ່ A ແລະ B ລັດສະໝີເທັ່ົາ 10cm ແລະ 4cm , ສອງທ່ອນກ່ົັງຕັດ ກັນຢເ່ ມັດ C . 42

vii -ສູ້າງສອງທ່ອນກັ່ງົ ທ່ືີມເີ ມັດໃຈກາງຢ່ A ແລະ C ລັດສະໝເີ ທາົ່ັ 4cm ແລະ 7cm , ສອງທອ່ ນກງ່ັົ ຕດັ ກັນຢ່ ເມດັ D . -ຂີດຕ່ໍ B ຫາ C , C ຫາ D ແລະ D ຫາ A ຈະໄດູ້ຮບສ່ືີແຈຂູ້າງຂະໜານ ABCD ທ່ຕີື ູ້ອງການສູ້າງ. ກດິ ຈະກາ 1: ແບງ່ ນັກຮຽນອອກເປນັ ກຸ່ມແລວູ້ ໃຫູ້ແຕລ່ ະກຸ່ມສູ້າງແຕູ້ມຮບສືີແ່ ຈຕາມຂ້ໍມນທືໄ່ີ ດູ້ລມຸ່ ນ:ີ 1) ຈງັົ່ ສູ້າງຮບສືແີ່ ຈສາກ ABCD ໂດຍວາ່ : AB=8cm ແລະ BC=5cm 2) ສາູ້ ງຮບດອກຈັນ EFGH ໂດຍວ່າລວງຍາວຂອງຂູ້າງໜ່ຶງື ຂອງມນັ ເທ່ົັາ 4cm ແລະ E=60o 3) ສູ້າງຮບຈະຕຸລດັ ABCD ທ່ືມີ ີຂູ້າງເທົັ່າກບັ 5cm . ບດົ ແກູ້ 1) ສູ້າງຮບສ່ືີແຈສາກ ABCD ໂດຍວາ່ : AB=8cm ແລະ BC=5cm ຂ້ໍສມົ ມດຸ AB=8cm ແລະ BC=5cm ຂ້ໍສະຫບຸຼ ສູ້າງຮບສີແື່ ຈສາກ ABCD ວທິ ສີ າູ້ ງ: - ສູ້າງທອ່ ນຊື່ AB=8cm . - ສາູ້ ງເຄງືິ່ ເສືນັ້ ຊ່ື [Bx)  AB , ວາງເມັດ C ຢ່ [Bx) ໂດຍວ່າ BC=5cm . - ສ້າູ ງເຄິງ່ື ເສນ້ືັ ຊື່ [Cy)  BC ຢ່ທືີເ່ ມັດ C . - ວາງເມດັ D ຢ່ [Cy) ໂດຍວ່າ CD=8cm - ຂີດຕ່ໍ D ຫາ A ຈະໄດຮູ້ ບສ່ແືີ ຈສາກ ABCD ທີືຕ່ ູອ້ ງການສູາ້ ງ. ບດົ ແກູ້ 2) ສູ້າງຮບດອກຈັນ E=60o ໂດຍວ່າລວງຍາວຂອງຂູ້າງໜ່ຶືງຂອງມັນເທ່ົັາ 4cm ແລະ E=60o 43

vii ຂ້ໍສົມມຸດ EF=FG=GH=HE=4cm ແລະ E=60o ຂໍ້ສະຫບຸຼ ສູ້າງຮບດອກຈັນ E=60o ວທິ ສີ າູ້ ງ: - ສົມມຸດ XEY=60o . - ຂີດທ່ອນກງ່ົັ ທີ່ືມີເມັດໃຈກາງຢ່ E ດວູ້ ຍລັດສະໝີ 4cm . ທອ່ ນກ່ັງົ ຕັດ [EX) ແລະ [EY) ຢ່ F ແລະ H ຕາມລາດບັ . - ຂີດສອງທ່ອນກ່ັົງທີື່ມເີ ມັດໃຈກາງຢ່ F ແລະ H ດວູ້ ຍລດັ ສະໝີ 4cm . ສອງທ່ອນກງ່ົັ ຕດັ ກັນຢ່ເມັດ G. - ຂດີ ຕ່ໍ F ຫາ G ແລະ G ຫາ H ຈະໄດູ້ຮບດອກຈັນທື່ີຕ້ອູ ງການສູ້າງ. ບດົ ແກູ້ 3) ສູ້າງຮບຈະຕຸລດັ ABCD ທມື່ີ ີຂູ້າງເທົ່ັາກັບ 5cm . ຂໍ້ສົມມຸດ AB=BC=CD=DA=5cm ຂໍ້ສະຫຸຼບ ສາູ້ ງຮບຈະຕລຸ ັດ ABCD ວທິ ສີ າູ້ ງ: - ສາູ້ ງມຸມສາກ XAY - ຂີດທອ່ ນກັ່ງົ ທີື່ມີເມັດໃຈກາງຢ່ A ດູ້ວຍລັດສະໝີ 5cm . ທ່ອນກງ່ັົ ຕດັ [Ax) ແລະ [Ay) ຢ່ B ແລະ D ຕາມລາດບັ . - ຂດີ ສອງທ່ອນກັົ່ງທີ່ືມີເມັດໃຈກາງຢ່ B ແລະ D ດູ້ວຍລັດສະໝີ 5cm . ສອງທ່ອນກັ່ງົ ຕັດກນັ ຢເ່ ມດັ C . - ຂດີ ຕ່ໍ C ຫາ B ແລະ C ຫາ D ຈະໄດູ້ຮບຈະຕລຸ ດັ ທ່ືີຕູ້ອງການສູ້າງ. 44