ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ສາທາລະນະລດັ ປະຊາທປິ ະໄຕ ປະຊາຊນົ ລາວ ສນັ ຕພິ າບ ເອກະລາດ ປະຊາທປິ ະໄຕ ເອກະພາບ ວດັ ທະນະຖາວອນ ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ເອກະສານແປຈາກຂສ້ ອບທ່ີ ສອບເສງັ ນກັ ຮຽນຈາກພາສາ ໄທ, ຫວຽດນາມ ແລະ ຈນໃນຊີ່ ທ່ີ ວ່ີ າ ຄະນດິ ສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ີ ເຫມຼັ້ ທ II 4n2  n  4  2n  lnim ( 4n2  n  4  2n)( 4n2  n  4  2n)   lim  4n2  n  4  2n n x2  xy  3x  y  m y2  xy  3y  x  m x  2  2x  5  2 2x2  9x 10  23  3x log22 x  2mlog2 x  6m  5  0 x  m  3 x  2x  5 ແປ ແລະ ແກໂ້ ດຍ : ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ສກົ ຮຽນ 2019 – 2020

ສາທາລະນະລດັ ປະຊາທປິ ະໄຕ ປະຊາຊນົ ລາວ ສນັ ຕພິ າບ ເອກະລາດ ປະຊາທປິ ະໄຕ ເອກະພາບ ວດັ ທະນະຖາວອນ ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ເອກະສານແປຈາກຂສ້ ອບທ່ີ ສອບເສງັ ນກັ ຮຽນຈາກພາສາ ໄທ, ຫວຽດນາມ ແລະ ຈນໃນຊີ່ ທີ່ ວ່ີ າ ຄະນດິ ສາດຍຸກສະໄໝໃໝີ່ ເຫມຼັ້ ທ II 4n2  n  4  2n  lnim ( 4n2  n  4  2n)( 4n2  n  4  2n)   lim  4n2  n  4  2n n x2  xy  3x  y  m y2  xy  3y  x  m ກວດແກດ້ ວ້ ຍ : ປທ ຈນັ ທອນ ແກວ້ ມະນໄຊ ປທ ເມງຄາ ແກວ້ ພູວງົ ປຕ ວຽງມະນ ລາວຈູ ແປ ແລະ ແກໂ້ ດຍ : ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ສກົ ຮຽນ 2019 – 2020

ຄຳນຳ ເອກະສຳນແປຈຳກຂສ້ໍ ອບທ່ີ ສີ ອບສອບເສງັ ນກັ ຮຽນຈຳກພຳສຳໄທ, ຫວຽດນຳມ ແລະ ຈນີ ຫວົ ຂໍ້ ຄະນດິ ສຳດຍຸກສະໄໝໃໝ່ີ ເຫມັ້ໍ ນ,ີໍ້ ຖກື ຂຽນຂນືໍ້ ມຳເພ່ີ ອື ຈດຸ ປະສງົ ໃນກຳນຮຽນຮແ້ໍ ບບຂອງຄະນດິ ສຳດຍຸກສະໄໝ ໃໝ່ີ ທີ່ ສີ ຳມຳດເຮດັ ໃຫນໍ້ ກັ ສກຶ ສຳໄດມ້ໍ ກີ ຳນສກຶ ສຳຮບແບບກຳນແກ ໍ້ ແລະ ເຕກັ ນກິ ກຳນແກຕໍ້ ີ່ ຳງໆໃຫມໍ້ ຄີ ວຳມເຂຳົໍ້ ໃຈ ຫຳຍຂນື້ໍ ພອ້ໍ ມທງັ ມຂີ ະບວນກຳນແກຢໍ້ ີ່ ຳງລະອຽດ, ອ່ີ ຳນເຂຳົໍ້ ໃຈງ່ີຳຍ ກະທດັ ຫດັ ສຳລບັ ບຸກຄນົ ທ່ີ ມີ ຄີ ວຳມຮພໍ້ ນື້ໍ ຖຳນ ທຳງຄະນດິ ສຳດ ແລະ ຍງັ ບີ່ ມປີ ະສບົ ກຳນຄວຳມຮທ້ໍ ຳງຄະນດິ ສຳດກສຳມຳດສກຶ ສຳຮຽນຮໄໍ້ ດ.້ໍ ດ່ີ ງັ ນນັ້ໍ , ຂຳ້ໍ ພະເຈຳົ້ໍ ຈະນຳສະເໜກີ ຳນເນອື້ໍ ໃນກຳນຮຽນຮດ້ໍ ີ່ ງັ ນ.ີ້ໍ ບດົ ທີ 1 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮອໍ້ ນັ ດບັ ຈຳນວນ ບດົ ທີ 2 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກຳນຮຽນຮສ້ໍ ມົ ຜນົ ໃຈກຳລງັ ບດົ ທີ 3 ເວຳົ້ໍ ກ່ີ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສໍ້ ມົ ຜນົ ໂລກຳລດິ ບດົ ທີ 4 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ບດົ ທີ 5 ເວຳົໍ້ ກ່ີ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ໂລກຳລດິ ບດົ ທີ 6 ເວຳົ້ໍ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສໍ້ ດໄຕມມມຕິ ິ ບດົ ທີ 7 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສໍ້ ມົ ຜນົ ໄຕມມມຕິ ິ ບດົ ທີ 8 ເວຳົ້ໍ ກ່ີ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສ້ໍ ງັ ລວມເລກມມນກັ ຄດິ ບດົ ທີ 9 ເວຳົ້ໍ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສ້ໍ ງັ ລວມບດົ ເລກສງັ ຄະນດິ ເສີ່ ງັ ເຂຳົ້ໍ ມະຫຳວທິ ະຍຳໄລຕີ່ ຳງໆທ່ີ ີ ຫວຽດນຳມ ດ່ີ ງັ ນນັໍ້ , ຕຳລຳເຫມັ້ໍ ນຂີໍ້ ຽນມຳເພ່ີ ອື ທະນຳກຳນຮຽນຮຂ້ໍ ອງນກັ ສກຶ ສຳເພີ່ ອື ນຳມຳປະຍຸກໃຊໃ້ໍ ນກຳນຮຽນ - ກຳນສອນ ໂດຍທ່ີ ວົ ໄປ, ຢີ່ ໃນຄອດຮຽນ ແລະ ຜທໍ້ ີ່ ສີ ນົ ໃຈຮຽນໂດຍທ່ີ ວົ ໄປ. ເຖງິ ວີ່ ຳຄະນດິ ສຳດຍຸກສະໄໝໃໝີ່ ຈະຂຽນມຳດເີ ທີ່ ຳົ ໃດກຕຳມກບ່ີ ປຳສະຈຳກຂຂຳດຕກົ ບກົ ຜີ່ ອງໄດ,້ໍ ຖຳໍ້ ຜ້ໍ ອີ່ ຳນ ຫື ຜທ້ໍ ່ີ ສີ ກຶ ສຳຕຳລຳຮຽນເຫມັ້ໍ ນແີໍ້ ລວໍ້ ຍງັ ເຫນັ ຂຂຳດຕກົ ບກົ ຜີ່ ອງຕີ່ ຳງໆກຂໃຫແໍ້ ຈງໍ້ ໃຫຜໍ້ ຂໍ້ ຽນຮບັ ຮນ້ໍ ຳເພ່ີ ອື ຈະ ນຳມຳປບັ ປຸງ ແລະ ແກໄ້ໍ ຂໃຫຕໍ້ ຳລຳແບບຮຽນສະບບັ ນສີໍ້ ມົ ບນຫຳຍຂນື້ໍ

ບດົ ທີ 1 ສາລະບານ ໜາ້ ບດົ ທີ 2 ບດົ ທີ 3 ອນັ ດບັ ຈານວນ 1 - 30 ບດົ ທີ 4 ສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 31 - 55 ບດົ ທີ 5 ສມົ ຜນົ ໂລກາລດິ 56 - 78 ບດົ ທີ 6 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ 79 - 103 ບດົ ທີ 7 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ໂລກາລດິ 104 - 129 ບດົ ທີ 8 ສູດໄຕມມູ ມຕິ ິ 130 - 157 ບດົ ທີ 9 ສມົ ຜນົ ໄຕມມູ ມຕິ ິ 158 - 185 ສງັ ລວມບດົ ເລກສງັ ຄະນດິ ເສ່ັ ງັ ເຂາົ້ ມະຫາວທິ ະຍາໄລຕັ່ າງໆທັ່ ຫີ ວຽດນາມ 186 - 208 ສງັ ລວມເລກມມູ ນກັ ຄດິ 209 - 217

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 1 ອນັ ດບັ ຈານວນ-ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ-ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ 1.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາສາມຈານວນທົ່ ມີ ຜີ ນົ ບວກເທົ່ າົ 124 ແມ່ົ ນສາມພດົ ທາອດິ ທົ່ ຢີ ່ົ ູລຽນກນັ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ພອ້ ມກນັ ນນັ້ ກົ່ ແມົ່ ນພດົ ທີ 3,13,15 ຂອງອນັ ດບັ ທະວີ 2.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຕວົ ທະວີ q ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຮູວ້ ່ົ າ u1  3; u4  81 3.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim  4n2  n  4  2n  n0 4.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຮູວ້ ່ົ າ u1  8; u10  62 5.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ, un ການດົ ດວ້ ຍ u1  2 ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ເຂບເຂດຂອງ lim un un1  un  2, n  1 6.ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກຂອງ 12  22  32  ...  n 12  n2  ...? 7.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ u1  4 u  2; n  1 un  1 n 8.ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວີ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຮູວ້ ົ່ າ: u 5  u2  36 u 6  u4  48 9.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ, u1  2  n;n  N un1  un 10.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim 3n  5 1 n2  n  n 11.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ, uu1n  2 3u n ; n  1  1 12.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  4n 1. ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ S10 . ບວກເຊ່ົ ງິ ແຕົ່ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕ່ົ ຫານ 13.ຂຽນພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນ ຂາດໃຫ້ 4. 14.ຊອກຫາຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ບວກ ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  4n  3. 15.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  1  1 n . ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim u n n  n0 1

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 16.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຕວົ ທະວີ d ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກສນິ້ ສຸດ, ຮູວ້ ົ່ າ ພດົ ທາອດິ ເທ່ົ າົ u1  10 ແລະ ພດົ ສຸດທາ້ ຍ u21  50 17.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim 4n2 1  n2 1 n n 1 18.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim  1  n. 1 n   2n  19.ສາມຈານວນສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. ຖາ້ ເອາົ ພວກມນັ ລບົ ໃຫ້ 2,1, 7 ຕາມລາດບັ ແລວ້ ເຮາົ ຈະໄດອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາສາມ ຈານວນທົ່ ໄີ ດ້ 20.ສາມຈານວນບວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ົ າົ ກບັ 21 ແລະສາ້ ງເປນັ ໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຖາ້ ລບົ 1ຢ່ົ ູພດົ ທ່ົ ໜີ ົ່ ງ, ຕ່ົ ມ 1 ຢ່ົ ູພດົ ທສີ ອງ ແລະ ຕົ່ ມ 7 ເຂາົ້ ພດົ ທ່ົ ສີ າມເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝົ່ ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ ສາມຈານວນທ່ົ ໄີ ດ້ 21.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຮູວ້ ່ົ າ u1  4; u10  2048 22.ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກຂອງ 1 2  3  ...  n  2  n 1  n  ...? 23.ພຈິ າລະນາຄຸນລກັ ສະນະ ຂນ້ ຫຼ ແຮມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອບຂນັ້ ຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ u1  2 un1  un  2;(n  N) 24. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ un ໂດຍ u25  u16  36 ຄດິ ໄລ່ົ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. 25.ສາມພດົ ຕດິ ກນັ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກມຜີ ນົ ບວກເທົ່ າົ 33 ສົ່ ວນຜນົ ຄູນຂອງພວກມນັ ເທ່ົ າົ 1287 ຈົ່ ງົ ຊອກ ຫາສາມຈານວນນນັ້ . 26.ຮູຜ້ ນົ ບວກ n ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ຈານວນໜົ່ ງ sn  5n2  6n ຈົ່ ງົ ຊອກອນັ ດບັ ຈານວນ 27.ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ູນ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຮູວ້ ົ່ າ  u 5u26   u 6 3u 12 30. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  ການດົ ດວ້ ຍ  u1  2  u  2.un ,n  1 n 1 31. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  ການດົ ດວ້ ຍ 2

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  u1  1  un  2  u  2 ,n 1 n 1 32. ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກ s  1 1  1  ...   n  1 1  n 1 n 1.2 2.3 2n 1 33. ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim sinn  2.cosn x n 35. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim n 2 sinn 2 n x 36. ດວ້ ຍຄົ່ າໃດຂອງ a 0;  ເຮາົ ຈະໄດອ້ ນັ ດບັ 1 sin ;sin2 ;1 sin 3 ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ 37. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim n3  n  4 x n2  3n  2 38. ຜນົ ບວກບນັ ດາພດົ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ ຈອ້ ມບົ່ ສນີ້ ສຸດ 56,ສວົ່ ນຜນົ ບວກຂອງບນັ ດາກາລງັ ສອງ ບນັ ດາພດົ ຂອງພວກມນັ ເທົ່ າົ 448 ຈົ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທາອດິ ແລະ ຄດິ ໄລົ່ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ 39. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກມີ  u 2  u5  26 ຄດິ ໄລົ່ n ພດົ ທາອດິ  u 6  u3  12  40. ຈົ່ ງົ ຂຽນພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນບວກເຊ່ົ ງີ ແຕ່ົ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕ່ົ ຫານຂາດ ໃຫ້ 3 ແລວ້ ເສດ 2 41. ຜນົ ບວກ n ພດົ ທາອດິ ຂອງໜ່ົ ງອນັ ດບັ ຈານວນແມ່ົ ນ sn  3n 1 ອນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມົ່ ນໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ 42. ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim 1 2  3 ... n 1  n x n2  n 1 43. ສາມຈານວນບວກທົ່ ມີ ຜີ ນົ ບວກເທົ່ າົ 9 ແລະ ສາ້ ງເປນັ ໜົ່ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ຖາ້ ຮກັ ສາຄງົ ທ່ົ ຈີ ານວນທ່ົ ໜີ ່ົ ງ ແລະ ຈານວນທົ່ ສີ ອງ,ບວກສົ່ ເີ ຂາົ້ ຈານວນທ່ົ ສີ າມເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝ່ົ ສາ້ ງເປນັ ໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. ຊອກ ບນັ ດາຈານວນນນັ້ lim n2  2n  4  2n 44. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ x n 1 45.ຊອກຫາສາມພດົ ຕ່ົ ເນົ່ ອງກນັ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ຮູວ້ ົ່ າຜນົ ບວກຂອງພວກມນັ ເທົ່ າົ 70 ແລະ ຜນົ ຄນູ ຂອງ ພວກມນັ ເທ່ົ າົ 8000. 3

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 46.ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim 2n  3 x n 1 50.ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກຂອງ S  1.2  2.3  3.4  ...  n  2.n 1  n 1.n 4

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບບດົ ທີ 1 ອນັ ດບັ ຈານວນ - ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ-ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ 1. ຊອກຫາສາມຈານວນທີ່ ມີ ຜີ ນົ ລວມເທີ່ າົ 124 ແມີ່ ນສາມພດົ ທາອດິ ທີ່ ຢີ ່ີ ູລຽນກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ພອ້ ມກນັ ນນັ້ ກແມ່ີ ນພດົ ທີ່ ີ 3, 13, 15 ຂອງອນັ ດບັ ທະວບິ ວກ. ວທິ ຄີ ດິ  ສູດອນັ ດບັ ທະວຄິ ູນແມີ່ ນ an  a1r n1.  ສູດອນັ ດບັ ທະວບິ ວກແມີ່ ນ bn  b3  (n  3)r  a1  (n  3)r .  ເຊ່ີ ງິ ການດົ ໃນ a1  b3 , a2  b13 , a3  b15 ເຮາົ ໄດ.້ ຈາກ124  100  20  4  4  52  4  51  4 ທຽບກບັ an  a1r n1ເຮາົ ໄດ:້ a1  4 , r  5 ສະນນັ້ : a1  4 , a2  20 , a3  100 ຕອບ: ສາມຈານວນແມີ່ ນ 4 , 20 , 100 . 2. ຊອກຫາຕວົ ທະວີ q ຂອງອນັ ດນັ ທະວຄີ ູນ, ເມອື ຮູວ້ ີ່ າ u1  3 , u4  81. ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສູດ: un  u1.q n1 ເຮາົ ໄດ.້ u3  3.q 3  81 q 3  27 q3  33 q3 ຕອບ: ຕວົ ທະວແີ ມີ່ ນ q  3.  3. ຊອກຫາຂອບເຂດ lim 4n2  n  4  2n . n ວທິ ຄີ ດິ 4n 2  n  4  2n  nlim ( 4n 2  n  4  2n)( 4n2  n  4  2n)   lim  4n2  n  4  2n n      lim  n8  n  4n 2 1  n  4   2n   4n 2 4n 2    lim  n  8  n 2n  2n   lim  n  8   1 n 4n  4  ຕອບ: ສາມຈານວນແມ່ີ ນ lim 4n2  n  4  2n  1 . n 4 4. ຄດິ ໄລີ່ ຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທວີ ບີ ວກ ທີ່ ມີ ີu1  8 , u10  62 . 5

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສູດ un  u1  (n  1)d ເຮາົ ໄດ.້ u10  8  9d  8  9d  62 9d  54 d 6 ສະນນັ້ un  8  (n  1)  6  6n  2 ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ . 10 S10  (6i  2)  3(10)(10  1)  2(10)  330  20  350 i 1 ຕອບ: ຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ແມີ່ ນ S10  350 . 5. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un ການດົ ດວ້ ຍ  u1  2  1ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບເຂດ lim un .   un  2,n u n 1 n ວທິ ຄີ ດິ ຈາກຮູບແບບຂອງອນັ ດບັ  u1  2 1   un  2,n u n 1 un1  un  2 u2  2  2 u3  2  2  2 u4  2  2  2  2 . . . un  2 2...  2 n1  n ຈາກນນັ້ ເຮາົ ສາມາດ lim 2 2...  2  2 n n1  n ຕອບ:ຂອບເຂດຂອງ lim u n  2. n 6. ຄດິ ໄລ່ີ ຜນົ ບວກຂອງ S  12  22  32  ............... (n 1)2  n2 . ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ ້ S1 (n)  A0n3  A1n2  A2n  A3 ຈະໄດ:້ 6

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  A0 C 1  C 0 3 2 3A0  1 A0  1 3  A0 C 32  A1C 1  C 1 2 2 3 1   2 A1  2  3  A1  1 2  A0 C 3  A1C 2  A2 C11  C 2 3 2 2 1  1  A2 1 3 2 A2  1 6  A3  0  ສະນນັ້ S1 (n)  1 n3  1 n2  1 n  0 ເຮາົ ໄດ.້ 3 2 6 S1 (n)  1 n3  1 n2  1 n 3 2 6  S1 n (n)  6 2n 2  3n  1 S1 (n)  n n  12n  1 6  S  12  22  32  .......... ....  (n  1)2  n 2  n n  12n  1 6 ຕອບ: ສູດຂອງ12  22  32  ............... (n  1)2  n2  n n  12n  1 . 6 7. ຊອກຫາພດົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ   u1  4 (n  1) . u un  2 n 1 ວທິ ຄີ ດິ   u1 4 (n  1) ສມົ ທຽບຈາກ: un1  un  2 ໂດຍ u1  4 ເຮາົ ໄດ.້ u n 1 un 2 un1  un  2  u2  u1  2(2  1) u3  u2  2  u1  2  2  u1  2(3  1) u4  u3  2  u1  2  2  2  u1  2(4  1) . 7

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ . . un  u1  2(n  1)  un  4  2(n  1)  2n  2 un  2n  2 ຕອບ: ພດົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງ un  2n  2 . 8. ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນໂດຍຮູວ້ ່ີ າ: u 5  u2  36 u 6  u4  48 . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສູດອນັ ດບັ : un  u1r n1 ແທນສູດເຮາົ ໄດ.້ uu11rr54  u1r  36  u1r 3  48  uu11rr3r3 1  36 r2 1  48  ur12rur1r1rr2r  1  36 1r  1  48  r 2 (r  1)  4 r2 r 1 3 r2 r 13 r2 r 20 (r  1)(r  2)  0 r  1 r    r  2  u1r 4  u1r  36 u1 24  2u1  36 16u1  2u1  36 u1  2 ຕອບ: u1  2 , r  2 . 9.   u1  2 N ) ຊອກຫາພດົ ທີ່ ວົ ໄປ. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຂອງຈານວນ un1 un  n (n  ວທິ ຄີ ດິ un1  un  n  u2  u1  1 u3  u2  2  u1  1  2 u4  u3  3  u1  1  2  3 . 8

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ . . un  u1 1 2  3  ......... (n  1)  u1  n(n  1)  2  n(n  1)  n2 n  2 2 2 2 un  n2 n  2 2 ຕອບ: ພດົ ທ່ີ ວົ ໄປແມີ່ ນ un  n2 n  2 . 2 10. ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບເຂດ lim n 3n  5 1 . 2 n  n ວທິ ຄີ ດິ lim 3n  5  lim 3n  0 n n 2  n  1 n n 2 ຕອບ: ຂອບເຂດ lim 3n  5 1  0 . n2  n  n 11. ຊອກຫາພດົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ  u1  2  1) . u  3un (n n 1 ວທິ ຄີ ດິ  u1  2  1) u n 1  3un (n  un1  3un u2  3u1  3(2) u3  3(3(2)  2(3)2 u4  2(3) 41 . . . un  2.3n1 ຕອບ: ພດົ ທີ່ ວົ ໄປແມ່ີ ນ un  2.3n1 . 12. ໃຫພ້ ດົ ຂອງອນັ ດບັ un  4n  17 ຄດິ ໄລ່ີ ຜນົ ບວກຂອງ 10. ວທິ ຄີ ດິ n ຊອກຫາ Sn   (4i  17)  2n(n  1)  17n ແທນ. i 1 10 Sn   (4i  17)  2(10)(10  1)  17(10)  220  170  390 i 1 ຕອບ: ຜນົ ບວກ 10 ພດົ ແມ່ີ ນ S10  390 . 13. ຂຽນພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນບວກເຊ່ີ ງິ ແຕ່ີ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕ່ີ ຫານຂາດໃຫ້ 4. 9

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ  ສງັ ເກດເຫນັ ວາທຸກໆຈານວນຫານຂາດໃຫ້ 4 ເນີ່ ອື ງຈາກຕວົ ທະວເີ ປນັ 4ເຮາົ ໄດ.້  ຖາ້ ເປນັ ອນັ ດນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມ່ີ ນ un  4n .  ຖາ້ ເປນັ ອນັ ດນັ ດບັ ທະວຄີ ູນແມ່ີ ນ un  4n . 14. ຊອກຫາອນັ ດບັ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຂອງ un  4n  3 . ວທິ ຄີ ດິ  ການຊອກຫາອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຂອງ un  4n  3 ເຮາົ ສງັ ເກດຈາກຕວົ ສາປະສດິ ຂອງອນັ ດບັ ທີ່ ວົ ໄປແລວ້ ຈະ ໄດ:້ d  4 . 15. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  1  1  n ຄດິ ໄລ່ີ ຂອງຂອບເຂດ lim 1  1  n .  n  n n  ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກຂອບເຂດຂອງ lim 1  1 n ເຮາົ ໄດ.້ n n  lim 1  1  n lim n ln1 1 ........(1) n n   en  n  n  lim n ln1  1   lim n2 n  1  lim n 1  (1).  n n 1 n n 1 n n2 lim 1  1 n  e1 n n   lim 1  1 n  e n n  ຕອບ: ຂອບເຂດຂອງ lim 1  1 n  e. n n 16. ຊອກຫາຫາຕວົ ທະວີ d ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກບ່ີ ສນີ້ ສຸດຮູວ້ ່ີ າພດົ ທາອດິ u1  10 ແລະ ພດົ ສຸດທາ້ ຍແມີ່ ນ u21  50 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກພດົ ທ່ີ ວົ ໄປເຮາົ ສງັ ເກດໄດຈ້ າກ un  u1  (n  1)d ເຮາົ ໄດ.້ u21  u1  (21  1)d 10  20d  50  d2 ຕອບ: ຕວົ ທະວີ d  2 . 17. ຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດ lim 4n 2 1  n2 1 . n n 1 ວທິ ຄີ ດິ 10

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຈາກຂອບເຂດ lim 4n 2 1  n2  1 ເຮາົ ໄດ.້ n n 1   lim 4n2  1  n2  1  lim 4n2  1  n2  1 4n2  1  n2  1  n n  1 n n  1 4n 2  1  n 2  1 4n2  1  n2  1   lim n n  1 4n 2  1  n 2  1  lim 3n 2  2 n 5n 2  5n  lim 3n 2  3 n 5n 2 5  lim 4n 2  1  n 2  1  3 n n  1 5 ຕອບ: ຄ່ີ າຂອບເຂດຂອງ lim 4n 2 1  n2 1  3 . n n 1 5 18. ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບເຂດ nlim n 2 1  1  . n  ວທິ ຄີ ດິ ຈາກຂອບເຂດ nlim n 2 1  1 ເຮາົ ໄດ.້ n nlim n 2 1  1    2 1 1  n  lim   n n  1   n   1 .2 1 . ln 2  n  nlim n2   1   n2    nlim 2 1 . ln 2   ln 2 n ຕອບ: ຄີ່ າຂອງເຂດຂອບແມ່ີ ນ nlim n 2 1  1   ln 2 . n  19.ສາມຈານວນສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຖາ້ ເອາົ ພວກມນັ ມາລບົ ໃຫ້ 2, 1, 7 ຕາມລາດບັ ແລວ້ ເຮາົ ໄດອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຈງົ ຊອກຫາສາມຈານວນນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ ້u1, u2 , u3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ການດົ ໃຫ ້a1 , a2 , a3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. 11

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ un  u1r n1 ເຮາົ ໄດ.້  u1 u2  u1r u3  u1r 2  ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ:  a1  u1  2 a2  u2 1 a3  u3  7  a3  a2  a2  a1 u3  7  u2  1  u2  1  u1  2 u3  2u2  u1  7  u1r 2  2u1r  u1  7  u1 r 2  2r  1  7 u1 r  12  7(1)  ur1 7 2  ຊອກຫາສາມພດົ ເຮາົ ໄດ.້  u1  7 u2  7(2)  14 u3  7(2) 2  28 ຕອບ: ສາມຈານວນແມ່ີ ນ 7 ,14 , 28 . 20. ສາມຈາບວກມຜີ ນົ ບວກເທີ່ າົ 21 ແລະ ສາ້ ງເປນັ ໜີ່ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຖາ້ ລບົ 1 ໃນພດົ ທີ 1 , ຕມື 1 ໃນພດົ ທສີ ອງ ແລະ ຕມື 7 ຢີ່ ູພດົ ທສີ າມເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝີ່ , ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຈີ່ ງົ ຊອກຫາສາມ ຈານວນທເີ ຄຍີ ໃຫ.້ ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ ້u1, u2 , u3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ການດົ ໃຫ ້a1 , a2 , a3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ.  ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ an  a1  (n  1)d ເຮາົ ໄດ.້  a1 a2  a1  d a3  a1  2d  14  a1  a1  a2  a3  21  3a1  3d  21 a1  d  7  d  7  a1..........(1) a2  7  ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ: 12

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  u1  a1  1 u2  a2 1 u3  a3  7  u3  u2 u2 u1 a3  7  a2  1 a2  1 a1  1 (a3  7)(a1  1)  (a2  1) 2 (21  a1 )(a1  1)  82 (a1  21)(a1  1)  64  0 a12  22a1  21  64  0 a12  22a1  85  0 (a1  5)(a1  17)  0 a1  5  a1  17(a ) a1  5  (1) d 752  a3  14  5  9 ຕອບ: ສາມຈານວນແມີ່ ນ 5, 7 , 9 . 21.ຄດິ ໄລ່ີ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຮູວ້ ີ່ າ u1  4 , u10  2048 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສຸດ: un  u1r n1 ເຮາົ ໄດ.້ u10  4r 101 r 9  2048 4 r 9  512 r9  29 r2 10  ຊອກຫາຜນົ ບວກ S10  4.2i ເຮາົ ໄດ.້ i 1 10 S10  4.2i  4(211  2)  8184 i 1 ຕອບ: ຜນົ ບວກຂອງສບິ ພດົ ທາອດິ S10  8184 . 22. ຄດິ ໄລີ່ ຜນົ ບວກຂອງ S  1  2  3  .................... .... (n  1)  n . ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ ້ S1 (n)  A0n2  A1n ຈະໄດ:້ 13

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  A0 C 1  C10 2 2 A0  1 A0  1 2  A0 C 2  A1C11  C11 2 1  1   A1  1  2  A1  1 2  ສະນນັ້ S1 (n)  1 n2  1 n ເຮາົ ໄດ.້ 2 2 S1 (n)  1 n2  1 n 2 2  S1 1 n2 (n)  2 n S1 (n)  n(n  1) 2  S  1  2  3  .........................  (n  1)  n  n(n  1) 2 ຕອບ: ສູດຂອງ1  2  3  .........................  (n  1)  n  n(n  1) . 2 23. ພຈິ າລະນາຄຸນລກັ ສະນະຂນ້ , ແຮມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອບຂນັ້ ຂອງອນັ ດນັ ຈານວນ  u1  2  un  2,n N * u n 1  ວທິ ຄີ ດິ un1  un  2 u2  2  2 u3  2  2  2 u4  2  2  2  2 . . . . un  2 2...  2 n1  n  ເປນັ ອນັ ດນັ ຈານວນຂນ້ ທຕີ ນັ ລ່ີ ຸມແມ່ີ ນ ແລະ ຕນັ ເທີ່ ງິ :  ຕນັ ລ່ີ ຸມແມີ່ ນ: lim 2  2 n 14

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  ຕນັ ເທງິ ແມ່ີ ນ: lim 2 2...  2  2 n n 1 ຕອບ: ເປນັ ອນັ ດນັ ຈານວນຂນ້ , ມຂີ ອບຂນັ້ ລີ່ ຸມແມີ່ ນ 2 ແລະ ມຂີ ອບຂນັ້ ເທງີ ແມ່ີ ນ 2 . 24. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ un  ໂດຍ u25  u16  36 ຄດິ ໄລີ່ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສູດ: un  u1  (n  1)d ເຮາົ ໄດ.້ u25  u1  24d u16  u1  15d  u25  u16  36 u1  24d  u1  15d  36 9d  36  d  36  4 9 d 4 ຕອບ: ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມີ່ ນ d  4 . 25. ສາມພດົ ຕດິ ຕ່ີ ກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ີ າົ ກບັ 33 , ສ່ີ ວນຜນົ ຄຸນຂອງມນັ ແມີ່ ນ 1287 ຊອກຫາ ສາມພດົ ຈານວນນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ u1 u2  u1  d u3  u1  2d  ສະນນັ້ ເຮາົ ໄດ.້  u1  u2  u3  33 u1  u1  d  u1  2d  33 u1  d  11  d  11  u1 u3  22  u1 u2  11  u1u2u3  1287 11u1 (22  u1 )  1287 u1 (22  u1 )  117 u12  22u1  117  0 (u1  9)(u1  13)  0 u1  9  0  u1  13  0 u1  9  u1  13 u1    u1  9  u3  22  9  13 ຕອບ: ສາມຈານວນແມີ່ ນ: 9 , 11 , 13 . 15

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 26. ຮູວ້ ່ີ າຜນົ ບວກ n ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ຈານວນໜີ່ ງ Sn  5n2  6n ຕວົ ທະວອີ ນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມ່ີ ນເທ່ີ າົ ໃດ. ວທິ ຄີ ດິ ຊອກຫາພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ an  Sn  Sn1 . an  5n 2  6n  5(n  1)2  6(n  1) an  5n 2  6n  5n 2  10n  5  6n  6 an  4n  1  ການຊອກຫາອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຂອງ un  4n  1ເຮາົ ສງັ ເກດຈາກຕວົ ສາປະສດິ ຂອງອນັ ດບັ ທີ່ ວົ ໄປແລວ້ ຈະ ໄດ:້ d  4 . ຕອບ: ຕວົ ທະວອີ ນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມ່ີ ນ d  4 . 27. ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຮູວ້ ່ີ າ uu65  u2 6 .  u3  12 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສູດ: un  u1  (n  1)d ເຮາົ ໄດ.້ uu65  u2 6  u3  12  uu1 154dduu1 12dd 6  12  3d  6 2u1  7d  12  d2 2u1  7d  12  d  2 u1  1 ຕອບ: ພດົ ທາອດິ u1  1 , d  2 . 28. ສງັ ເກດຫວົ ຂລ້ ີ່ ຸມນ:ີ້ ຂໄ້ ດເ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຍອ້ ນຫຍງັ ?. 1.  u1  10 4 2. U n  n2  3n 3.  u1 5 4. U n  4n u n un  u n 10u n ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ ີ່ (ີ 1)ເຮາົ ໄດ.້ 16

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  u1  10 4 u n un   un  un  4 u2  u1  4(2  1) u3  u2  4  u1  4(3  1) u4  u3  4  u1  4(4  1) . . . un  u1  (n  1)  4  d  4 un  u1  (n  1)d ຕອບ: ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມີ່ ນຂ(້ 1) . 29. ສງັ ເກດຫວົ ຂລ້ ່ີ ຸມນ:ີ້ ຂໄ້ ດເ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຍອ້ ນຫຍງັ . 1. U n  10n  2 2.  u1  6 3. U n  n3  3n  2 4.  u1  2 u n  un  2 (n  1) u  5u n 1 n ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ (ີ 4)ເຮາົ ໄດ.້  u1  2 n u  5u n1  un1  5un u2  5u1 u3  u1 531 u4  u1 541 u5  u1 551 u6  u1 561 . . . un  u1 5n1  r5 un  u1r n1 ຕອບ: ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ ແມ່ີ ນຂ(້ 4) . 30. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  ການດົ ດວ້ ຍ  u1  2  ຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດ lim u n .   2un , (n u n 1 1) n ວທິ ຄີ ດິ ຈາກອນັ ດບັ ຈານວນ  u1  2  1) ເຮາົ ໄດ.້   2un , (n u n 1 17

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  u1  2  1)   2un , (n u n 1  un1  2un u2  2 2 u3  2 2 2 u4  2 2 2 2 . . . un  2 2 2 2 2.......... ......... .... 2  n  lim u n  lim 2 2 2 2 2.......... ......... .... 2 2 n n ຕອບ: ຂອບເຂດ lim u n  2. n 31. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un  ການດົ ດວ້ ຍ   u1  1 (n  1) ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບເຂດ lim u n . u un  2 n 1 n 2 ວທິ ຄີ ດິ   u1  1 (n  1) u n 1 un  2 2 18

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  u n1  un  2 2 u n1  1 u n 1 2  un1 a 1 u n  a  bn  un  a  un  bn a 2 u n1  a  1 u n  1 a 1 2 2 a  1 a 10 2 a  2  bn1  1 bn  b1  u1  (2)  3 2 b2  1 (3) 2 b3  3 1  31  2  b4  3 1  41 2 . . . bn  3 1  n1 2  ແທນຄນື ໃສີ່ un ເຮາົ ໄດ.້ un  bn  a un  3 1 n1  2 2 nlim 3 1  n 1   2    ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບ lim u n   2  2 n ຕອບ: ຂອບເຂດຂອງອນັ ດບັ lim u n  2 . n 32. ຄດິ ໄລ່ີ ຜນົ ບວກ S 1  1  1  ................  (n  1  1)  (n 1 1.2 2.3 2)(n  1)(n) ວທິ ຄີ ດິ ຈາກ S 1  1  1  ................  (n  1  1)  (n 1 1.2 2.3 2)(n  1)(n) 19

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ S  1  1  1    1  1   ................  1  1    1  1   2 2 3  n  2 n 1  n 1 n S  2  1  2n  1 nn ຕອບ: ຜນົ ບວກແມ່ີ ນ S  2n  1 . n 33. ຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດ lim sin n  2 cosn . n n ວທິ ຄີ ດິ ການຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດ lim sin n  2 cosn ເຮາົ ໄດ.້ n n lim sin n  2 cosn  lim sin n  2 lim cosn  lim 1  2 lim 1  0  2  0  0 n n n n n n n n n n  lim sin n  2 cosn  0 n n ຕອບ: ຂອບເຂດ lim sin n  2 cosn  0 . n n 34. ອນັ ດບັ ຈານວນໃດຕ່ີ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວແີ ຮມ. ກ. U n  3n ຂ. Un  n3 ຄ. Un  n  4 ງ. U n  n2  2 n 1 n  2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ ່ີ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  3n  U1  3 U2  32  9 U 3  33  27 U3 U2 U1  ບີ່ ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ແຮມ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ ີ່ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  n3 n 1  U1  13  1 11 U2  23   1 2 1 3 U3  33  0  0 31 4 20

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ U4  43  1 4 1 5 U5  52  3  1 51 6 2 U5 U4 U3 U2 U1  ບ່ີ ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ແຮມ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ ່ີ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  n  4 n  2  U1  1 4  5 1 2 3 U2  2  4  6 2  2 4 U3  3  4  7 3  2 5 U3 U2 U1  ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ແຮມ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ ່ີ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  n4  2  U1  14  2  3 U 2  24  2  18 U 3  34  2  83 U3 U2 U1  ບີ່ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ແຮມ ຕອບ: ຂທ້ ີ ຄ. 35. ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບເຂດ lim n2 sin n 2 . n n ວທິ ຄີ ດິ lim sin n  lim 1  lim 1  0 n n 2  n  2 n n 2  n  2 n n 2 ຕອບ: ຂອບເຂດ lim n2 sin n 2  0 . n n 36. ດວ້ ຍຄີ່ າໃດຂອງ 0 ; ເຮາົ ຈະໄດອ້ ນັ ດບັ 1  sin  , sin 2  , 1  sin 3 , ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ ້u1  1  sin  , u2  sin 2  , u3  1  sin 3 .  u3  u2  u2  u1 21

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ u1  1  sin  , u2  sin 2  , u3  1  sin 3 1  sin 3  sin 2   sin 2   1  sin  2 cos2   sin 3  sin   0 2 cos2   2 sin 2 cos  0 2 cos2   4 sin  cos2   0 2 cos2  (1  2 sin  )  0 cos2   0  1  2 sin   0     2k  sin    1 2 2     2k    7  2k 2 6 ຕອບ: ຄ່ີ າຂອງ    2k . 2 37. ໄລີ່ ຂອບເຂດ lim n3  n  4 . n n 2  3n  2 ວທິ ຄີ ດິ lim n3  n  4  lim n3  lim n   n n 2  3n  2 n n 2 n ຕອບ: ຂອບເຂດ lim n3 n4   . n2  3n  2 n 38. ຜນົ ບວກບນັ ດາພດົ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນຈອ້ ມບີ່ ສນິ້ ສຸດ 56, ສ່ີ ວນຜນົ ບວກຂອງບນັ ດາກາລງັ ສອງບນັ ດາພດົ ຂອງພວກມນັ ເທ່ີ າົ 448 , ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ູນ. ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ ້u1 ເປນັ ພດົ ທ່ີ ໜີ ່ີ ງ ແລະ q ເປນັ ຕວົ ທະວຄີ ູນ.  ຜນົ ບວກບນັ ດາພດົ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນຈອ້ ມບ່ີ ສນິ້ ສຸດ 56 ເຮາົ ໄດ:້ Sn1  u1  56.......(1) . 1 q ຜນົ ບວກຂອງບນັ ດາກາລງັ ສອງບນັ ດາພດົ ຂອງພວກມນັ ເທ່ີ າົ 448 ເຮາົ ໄດ:້ Sn2  u12  448......(2) 1 q2 ຈາກສມົ ຜນົ ຂາ້ ງເທງິ ເຮາົ ສາມາດເຮດົ ໄດດ້ ່ີ ງັ ນ:ີ້ ຈາກ(1) ເຮາົ ໄດ້1u1q  56  u1  56(1  q) ແທນໃສ່ີ (2)ເຮາົ ໄດ.້ 22

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  u12  448 1 q2 56(1  q)2  448 1 q2 (1  q) 2  1 1 q2 7 1q  1 1 q 7 7  7q 1  q 8q  6 q  3  (1) 4  u1  56(1  q) u1  56(1  3) 4 u1  56  14 4 ຕອບ: ພດົ ທີ 1 ແມ່ີ ນ 14 ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ນູ ແມີ່ ນ 3 . 4 39. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກມີ uu26  u5  26 Sn ພດົ ທາອດິ .  u3  12 ຄດິ ໄລີ່ ຜນົ ບວກ ວທິ ຄີ ດິ uu26  u5  26  u3  12  uu11  d  u1  4d  26  5d  u1  2d  12 2u13d 5d  26  12 2u1  5(4)  26  d 4  ud1  3  4  ຊອກຫາພດົ ທີ່ ວົ ໄປແມ່ີ ນ: un  u1  (n  1)  d  3  4n  4  4n  1 . nn   ຊອກຫາຜນົ ບວກ Sn  ui  (4n  1)  2n(n  1)  n  2n2  n . i1 i1 ຕອບ: ຜນົ ບວກ Sn  2n2  n . 40. ຂຽນພດົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນບວກເຊ່ີ ງິ ແຕີ່ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕີ່ ຫານຂາດ ຂາດໃຫ້ 3 ເສດ 2. 23

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ  ສາລບັ ຂນ້ ມີ້ ຂີ ສ້ ງັ ເກດດີ່ ງັ ນ:ີ້ ຫານຂາດໃຫ້ 3 ແລວ້ ເສດ 2 ສະແດງວ່ີ າ: ຕວົ ທະວເີ ປນັ 3 ເພາະເປນັ ສາປະສດິ ຂອງ ຕວົ ຫານຂາດ ແລະ 2 ເປນັ ຕວົ ບວກເພ່ີ ມີ ເຕມີ ຂອງພດົ : un  3n  2 . ຕອບ: ພດົ ທ່ີ ວົ ໄປແມ່ີ ນ un  3n  2 . 41. ຜນົ ບວກ Sn ພດົ ທາອດິ ຂອງໜີ່ ງອນັ ດບັ ຈານວນແມີ່ ນ Sn  3n 1ອນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມ່ີ ນໜ່ີ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນໂດຍ. ວທິ ຄີ ດິ  ຊອກຫາ un  Sn  S n1  3n  1  3n1 1 2 3n ເຮາົ ໄດ.້ 3 un  2 3n  2.3n1 3 ຕອບ: u1  2ແລະ ຕວົ ທະວແີ ມີ່ ນ q  3. 42. ຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດ 1 2  3  .......... (n  1)  n lim n2  n 1 n ວທິ ຄີ ດິ n(n  1) lim 1  2  3  .......... (n  1)  n  lim 2 n n2  n  1 n n2  n  1 lim 1  2  3  .......... (n  1)  n  lim n2  n n n2  n  1 n 2n 2  2n  2  lim n 2  1 n 2n 2 2 lim 1  2  3  .......... (n  1)  n  1 n n2  n  1 2 ຕອບ: ຂອບເຂດ lim 1  2  3  .......... (n  1)  n  1 . n2  n 1 2 n 43. ສາມຈານວນບວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ີ າົ 9 ແລະ ສາ້ ງເປນັ ໜ່ີ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຖາ້ ຮກັ ສາຄງົ ທ່ີ ໃີ ນຈານວນທີ່ ໜີ ່ີ ງ ແລະ ຈານວນທສີ ອງ, ບວກ 4 ເຂາົ້ ໃນຈານວນທີ 3 ເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝ່ີ ສາ້ ງເປນັ ໜ່ີ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຊອກຫາບນັ ດາຈານວນນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສູດ: un  u1  (n  1)d ເຮາົ ໄດ.້  u1 u2  u1  d u3  u1  2d  6  u1  u1  u1  d  u1  2d  9 u2  u1  d  3 ຈາກການປ່ີ ຽນແປງເຮາົ ໄດເ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. 24

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 6  u1  4  3 3 u1  u1 (10  u1 )  9 u12  10u1  9  0 (u1  1)(u1  9)  0 u1  1  u1  9(u1 )  u1  1 ແທນໃຫ ້u3  6  1  5 . ຕອບ: ສາມຈານວນ1 , 3 , 5 . 44. ຄດິ ໄລ່ີ ຂອບເຂດ lim n2  2n  4  2n . n n 1 ວທິ ຄີ ດິ n2  2n  4  2n  lim n 2 1  2  4   2n 3n  n n2  lim  lim  3 n n  1 n n  1 n n  lim n2  2n  4  2n  3 n n  1 ຕອບ: ຂອບເຂດແມ່ີ ນ lim n2  2n  4  2n  3. n n 1 45. ຊອກຫາສາມພດົ ຕ່ີ ເນ່ີ ອື ງກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຮູວ້ ່ີ າຜນົ ບວກຂອງມນັ ເທີ່ າົ 70 ແລະ ຜນົ ຄູນຂອງພວກ ມນັ ແມີ່ ນ 8000. ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສູດ: un  u1q n1 ເຮາົ ໄດ.້  u1 u2  u1q u3  u1q 2  ຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ : u1  u1q  u1q 2  70  ຜນົ ຄູນຂອງອນັ ດບັ : u1  u1q  u1q 2  8000  u13q3  8000  ສງັ ລວມເຮາົ ໄດ.້ 25

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ u1 (q 2 q  1)  70   20 3 u1 q3  u1 (q 2  q  1)  70  u1q  20 u1 (q 2  q  1)  (10)(7)  u1q  (10)(2) uq1  10  2  u1  10 u2  (10)(2)  20 u3  (10)(4)  40 ຕອບ: ສາມຈານວນແມ່ີ ນ10 , 20 , 40 . 46. ຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດ lim 2n  3 . n n 1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກຂອບເຂດ lim 2n  3  lim 2n  2 n 1 n n n ຕອບ:ຂອບເຂດ lim 2n  3  2 . n 1 n 47. ສງັ ເກດດບັ ຈານວນໃດຕີ່ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ກ. U n  n2 ຂ. Un  1 ຄ. U n  2n  1 ງ. Un  1 n2 n ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ ່ີ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  n2 u1  1 u2  4 u3  9 u4  16  ບ່ີ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ ່ີ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  1 n2 u1  1 u2  1  1 22 4 u3  1  1 32 9 26

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ງ. U n  3n  2  ບ່ີ ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ ່ີ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ U n  2n  1 u1  3 u2  5 u3  7 u4  9  ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ ່ີ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  1 n u1  1 u2  1 2 u3  1 3 u4  1 4  ບ່ີ ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຕອບ: ຂທ້ ີ ຄ. 48. ສງັ ເກດດບັ ຈານວນໃດຕ່ີ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ . ກ. U n  cosn ຂ. Un  n2 ຄ. U n  (1)n .n2 n 1 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ ່ີ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ U n  cosn u1  cos1 u2  cos2 u3  cos3 u4  cos4  u1  u2  u3  u4  ບ່ີ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນື .  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ 27

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ un  n2 n 1 u1  1 2  3 11 2 u2  22  4 2 1 3 u3  32  5 31 4  u1  u2  u3  ບ່ີ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ .  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ U n  (1) n .n 2 u1  1 u2  4 u3  9 u4  16  ບ່ີ ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ .  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ U n  3n  2 u1  5 u2  8 u3  11 u4  14  u1  u2  u3  u4  ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ . ຕອບ: ຂທ້ ີ ງ. 49. ສງັ ເກດດບັ ຈານວນໃດຕ່ີ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. ກ. Un  1 ຂ. U n  4n  3 ຄ. U n  2n ງ. U n  n2 n ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  2 n u1  2 u2 1 u3  2 3 u4  1 2 28

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  ບີ່ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ U n  4n  3 u1  7 u2  11 u3  16 u4  19  ບ່ີ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ .  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ີ່ າຂທ້ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  2n u1  2 u2  22  4 u3  23  8 u4  24  16  ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ  ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນື ຢນັ ໄດວ້ ່ີ າຂທ້ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ Un  n2 u1  1 u2  4 u3  9 u4  16  ບີ່ ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ຕອບ: ຂທ້ ີ ຄ. 50. ຄດິ ໄລ່ີ ຜນົ ບວກ S  1.2  2.3  3.4  .............  (n  2)(n  1)  (n  1)n ວທິ ຄີ ດິ  1 (i 2 n(n  1)(2n  1) n(n  1) ສງັ ເກດຈາກ un  (n  1)n ເຮາົ ໄດ້S  i 1  i)  6  2 S  1 (i 2  i)  n(n  1)(2n  1)  n(n  1) i1 6 2 S   n(n  1)  2n  1  1  2  3  S   n(n  1)  2n  2   2  3  S  n(n 2  1) 3  1.2  2.3  3.4  .......... ..  (n  2)(n  1)  (n  1)n  n(n2  1) 3 29

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ຄີ່ າຂອງ1.2  2.3  3.4  .......... ..  (n  2)(n  1)  (n  1)n  n(n2  1) . 3 30

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 2 ສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 1.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x  2.3x  2  m ມໃີ ຈຜນົ 2.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  6x  2x    x x 3.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2  3  2  3  4 4.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  5x  6x  2 5.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x  3x 1 6.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2x3  3  m ມີ 2 ໃຈຜນົ xx 3 2 2  3 2 2  6x    7.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 12.9x  35.6x 18.4x  0 9.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x1 3x 14.2 x1 3x  8  m ມໃີ ຈຜນົ 10.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x 1x2 8.3x 1x2  4  m ມໃີ ຈຜນົ 11.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2 2x  3 12.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x  2  18  2x  6 13.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  33x  12 14.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  6  3x 15.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2008x  2006x  2.2007x 16.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 125x  50x  23x1 17.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x  6.2x  5  m ມີ 1 ໃຈຜນົ 18.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2 x  2x8  8  2x  x2 19.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2 x  22xx2  5 20.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4|x|  2|x|1  3  m ມີ 2 ໃຈຜນົ xx 74 3 3 2 3 20    21.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 22.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ    x  2 x2x5  x  2 x10 23.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ    2 x21  5 x1 24.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ x2.2x  4x  8  4.x2  x.2x  2x1 25.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2m 1.2x  3m  4  0 ມີ 2 ໃຈຜນົ ເພ່ົ ອເຮດັ ໃຫ ້ x1  x2  3 26.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8  x.2x  23x  x  0 27.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2m 1.2x  3m  8  0 ມີ 2 ໃຈຜນົ 28.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x  6.2x  8  0 29.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 6x  8  2x1  4.3x 31

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 30.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x2x  21x2  2x12 1 31.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x2  2x22  6  m ມີ 3 ໃຈຜນົ 32.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x2  4.3x2  8  m ມີ ໃຈຜນົ x [2;1] 33.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x1  10  x 34.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 22. 3xx  5.2  23x1 x4  0 ມໃີ ຈຜນົ 35.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x  x  8.2x 12  2x  0 36.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ x  4.9x  x  5.3x 1  0 37.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 34x  43x 39.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8x  7.4x  7.2x1 8  0 40.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x  54 3  m ມໃີ ຈຜນົ 3x 41.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2x3  2  m ມີ 1 ໃຈຜນົ 42.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x1  4 43.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2x1  m ມໃີ ຈຜນົ 44.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2x  6  m ມີ 1 ໃຈຜນົ 45.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x3  3x1  2x1  3x 46.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x2  4.3x2  6  m ມີ 2 ໃຈຜນົ xx 3  5  3  5  7.2x    47.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 48.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x  4.3x  2  m ມີ 2 ໃຈຜນົ 49.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 9|x1|  272x2  50.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x2  x2  7 .2x2  4x2 12  0 32

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບບດົ ທີ 2 ສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 1. ຊອກຫາ m ເພື່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x  2.3x  2  m ມໃີ ຈຜນົ x 1 , 2. ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 9x  2.3x  2  m ເຮາົ ການດົ ໃຫ ້ X  3x ແທນ X 2  2X  2  m  0 ຈາກເຂດການດົ 1  x  2 31  3x  32  1  X  9 . 3  ຈາກສມົ ຜນົ X 2  2X  2  m  0 ເຮາົ ໃຫ ້ X  1 t  X  1  X  t  1 ເຮາົ ໄດ.້ 33 3 (t  1)2  2(t  1)  2  m  0 33 (3t  1)2  6(3t  1)  18  9m  0 9t 2  6t  1  18t  6  18  9m  0 9t 2  12t  12  9m  0 t 2  4 t  4  3m  0 33 6 2  9(12  9m)  0  4  3m  0 4  3m  0   m 4  81m  72  0 3  3m  0  4 m 4  m  8 3   m 9 4 3  m8 9  ຈາກສມົ ຜນົ X 2  2X  2  m  0 ເຮາົ ໃຫ ້ X  9 t  X  9  X  t  9 ເຮາົ ໄດ.້ (t  9)2  2(t  9)  2  m  0 t 2  18t  81  2t  18  2  m  0 t 2  16t  65  m  0 8 2 m  65  0  65  m0 65  m  0   65  m  0  m  1 0 65  m0 m  65  1  m  65  m1 ຕອບ: ຄື່ າຂອງ m ແມ່ື ນ m  1. 2. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  6 x  2 x . 33

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້3x  6x  2x ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ືາຍກວື່ າເຊື່ ນັ : y  3x  6x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້  y 2x  ຕອບ: ສງັ ເກດເຫນັ ວື່ າສມົ ຜນົ ບື່ ມໃີ ຈຜນົ S   . 3. ແກສ້ ມົ ຜນົ  2  3  x   2  3  x  4 . ວທິ ຄີ ດິ ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ  2  3  x   2  3  x  4 .  2  3  x   2  3  x  4  2 3  x   1 4 2  3  x  2  3 2x  4 2  3  x  1  0 34

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  2  3 2x  4 2  3  x  1  0   413  2  3  x  2  3   2  3  x  2  3  2  3  x   2  3 2   2  3  x   2  3 2  x  2  x  2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ື ນ S  {2 , 2}. 4. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  5x  6x  2 . ວທິ ຄີ ດິ ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້3x  5x  6x  2 ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ືາຍກວື່ າເຊື່ ນັ : y  3x  5x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້   y  6x  2  ສງັ ເກດຈາກການຕດັ ກນັ ຂອງເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ຈດຸ ຕດັ ກນັ ສອງ ຈດຸ ທ່ື ຈີ ດຸ x ແມ່ື ນ 0 , 1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 3x  5x  6x  2 ແມ່ື ນ S  {0 , 1} . 5. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x  3x  1. ວທິ ຄີ ດິ ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້4x  3x  1ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງື່າຍກວື່ າເຊື່ ນັ :  y y 4 x 1 ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້   3x   35

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  ສງັ ເກດຈາກການຕດັ ກນັ ຂອງເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ຈດຸ ຕດັ ກນັ ສອງ ຈດຸ ທື່ ຈີ ດຸ x ແມື່ ນ 0 , 1 . ຕອບ: ໃຈຜນົ ຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 4x  3x  1ແມ່ື ນ S  {0 , 1} . 6. ຊອກຫາຄື່ າຂອງ m ເພ່ື ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x  2 x3  3  m ມສີ ອງໃຈຜນົ x  1 , 3 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ ເຮາົ 4 x  2 x3  3  m ການດົ ໃຫ ້ X  3x ແທນ X 2  8.X  3  m  0 ຈາກເຂດການດົ 1  x  3  21  2 x  22  2  X  8 .  ຈາກສມົ ຜນົ X 2  8.X  3  m  0 ເຮາົ ໃຫ ້ X  2 t  X  2  X  t  2 ເຮາົ ໄດ.້ X 2  8.X  3  m  0 (t  2)2  8(t  2)  3  m  0 t 2  4t  4  8t  16  3  m  0 t 2  4t  15  m  0 t 2  4t  15  m  0 15  m  0  4  m  15  0  15  m  0  m  15   m  11   m  15  m  11  ຈາກສມົ ຜນົ X 2  8.X  3  m  0 ເຮາົ ໃຫ ້ X  8 t  X  8  X  t  8 ເຮາົ ໄດ.້ 36

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ X 2  8.X  3  m  0 (t  8)2  8(t  8)  3  m  0 t 2  16t  64  8t  64  3  m  0 t 2  8t  3  m  0 3m0  16  m  3  0   3m0 m3  m  13   m3  m  13 ຕອບ: ຄ່ື າຂອງ m ແມ່ື ນ m 11.    7. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3  2 2 x  3  2 x  6 x . ວທິ ຄີ ດິ    ຈາກສມົ ຜນົ 3  2 2 x  3  2 x  6 x ເຮາົ ໄດ.້    3  2 2 x  3  2 2 x  6x  3  2 2  x   3  2 2  x  1 6 6 1  2  2x  2  1  2 x 6 6  1  ການດົ ໃຫ ້ 3  2 2 1 3 2 2 ເຮາົ ໄດ.້ 6 6 3 2 2 1 3 2 2 66 32 2  632 2 66 32 2 32 2 66  ສະນນັ້ ເຮາົ ໄດ:້ 2x  2 2x  2 x 1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  {1} . 8. ແກສ້ ມົ ຜນົ 12.9 x  35.6 x  18.4 x  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 12.9 x  35.6 x  18.4x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 37

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 12.9 x  35.6 x  18.4 x  0 12. 9  x  35. 6  x  18  0 4 2 12. 3 2x  35. 3  x  18  0 2 2  ການດົ ໃຫ້t  3 ເຮາົ ໄດ.້ 2 12t 2  35t  18  0 (4t  9)(3t  2)  0 t9  t2 43  ແທນຄື່ າຂອງ t   3  x ເຮາົ ໄດ.້  2   3  x  9   3  x  2 2 4 2 3  3  x   3 2   3  x   3 1 2 2 2 2  x  2  x  1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ື ນ S  { 1 , 2 } . 9. ຊອກຫາຄ່ື າຂອງ m ເພ່ື ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x1 3x  14.2 x1 3x  8  m ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 4 x1 3x  14.2 x1 3x  8  m ເຮາົ ການດົ X  2 x1 3x ເຊງິ ວ່ື າ  1  x  3 ເຮາົ ໄດ.້ X 2  14X  8  m  0 ການດົ ໃຫ ້0  X1  X 2 ເຮາົ ໄດ.້ 7 2  m  8  0   8m0 m  41  0   8  m  0 m  41   m8  Sm   41 , 8  ຕອບ: ຄື່ າຂອງ m ແມ່ື ນ Sm   41 , 8 . 10.ຊອກຫາຄ່ື າຂອງ m ເພື່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x 1x2  8.3x 1x2  4  mມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 9x 1x2  8.3x 1x2  4  mເຮາົ ການດົ X  3x 1x2 ເຊງິ ວ່ື າ  1  x  1ເຮາົ ໄດ.້ X 2  8X  4  m  0 ການດົ ໃຫ ້0  X1  X 2 ເຮາົ ໄດ.້ 38

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 42  m  4  0   4m0 m  12  0   4  m  0  m  12   m4 Sm   12 , 4 ຕອບ: ຄ່ື າຂອງ m ແມ່ື ນ Sm   12 , 4. 11. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 2x  3 . ວທິ ຄີ ດິ 2x2 2x  3 x 2  2x  log 2 3  0   1  log 2 3 x  1  1  log 2 3  x  1  1  log 2 3   S  1  1  log 2 3 , 1  1  log 2 3  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S  1  1  log 2 3 , 1  1  log 2 3 . 12. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x  2  18  2 x  6 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2 x  2  18  2 x  6 ເຂດການດົ 0  x  log 2 18ເຮາົ ໄດ.້ 2 x  2  18  2 x  6  2 2 x  2  18  2 x  62 20  2 36  16.2 x  22x  36 36  16.2 x  22x  8 36  16.2 x  22x  64 22x  16.2 x  28  0   82  28  64  28  36 2 x  2  . 2 x  14 x  1  x  log 2 14  S   1 , log 2 14  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S   1 , log 2 14 . 13.ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  33x  12 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 3x  33x  12 ຈະໄດ.້ 39

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 3x  33x  12 3x  27  12 3x 32x  12.3x  27  0   62  27  36  27  9 3x  6  3  3x  6  3 3x  3  3x  9 3x  31  3x  32 x 1  x  2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S   1 , 2 . 14. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x  6  3x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 3x  6  3x ເຮາົ ໄດ.້ 3x  6  3x 32x  3x  6  0   (1)2  4(6)  23 0 ຕອບ: ສມົ ຜນົ ບ່ື ມໃີ ຈຜນົ S   . 15. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2008 x  2009 x  2.2007 x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2008 x  2009 x  2.2007 x ເຮາົ ທຽບກບັ ສມົ ຜນົ 8x  9x  2.7 x ເຮາົ ໄດ.້  8  x   9  x  2 ການດົ ໃຫ້t  1 ເຮາົ ໄດ້ 7 7 7 t  1x  2t  1x  2 ໃຫ້t  1  2t  1 1ເຮາົ ໄດ.້ x 1 2x 1 x0 S  0  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  0 . ວທິ ທີ ່ື ສີ ອງ ການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງ: ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້8x  9x  2.7 x ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ືາຍກວ່ື າເຊ່ື ນັ : y 8x  9x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້   y  2.7 x 40

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ສງັ ເກດເຫນັ ຈດຸ ຕດັ ທື່ ແີ ກື່ ນ y ທື່ ີ x  0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  0 . 16. ແກສ້ ມົ ຜນົ 125 x  50 x  23x1 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 125 x  50 x  23x1 ເຮາົ ໄດ.້ 125 x  50 x  23x1  125  x  50  x  23   23    2  0  5 3   5 2  2  0 2 2   5  x 1  5  2x 2 5  x 2    2   2 2     0   5  x  1  0 2  5  x   5 0 2 2 x0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ື ນ S  {0} . 17. ຊອກຫາຄື່ າຂອງ m ເພ່ື ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x  6.3x  5  m ມີ 1 ໃຈຜນົ x 0,. ວທິ ຄີ ດິ 41

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  ຈາກສມົ ຜນົ 9 x  6.3x  5  m ເຊື່ ງິ x  0 ເຮາົ ການດົ 3x  1ເຊງິ ການດົ ໃຫ ້ X  3x ເຮາົ ໄດ.້ X 2  6X  5  m  0 ເຊື່ ງິ ວື່ າ X  1 ເຮາົ ການດົ X  1  t  X  1 X  t  1ເຮາົ ໄດ.້ X 2  6X  5  m (t  1)2  6(t  1)  5  m  0 t 2  2t  1  6t  6  5  m  0 t 2  4t  m  0  m0  4  m  0   m0  m  4 18. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 x  2 x8  8  2x  x 2 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2 x2 x  2 x8  8  2x  x 2 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 x  2 x8  8  2x  x 2 2 x8  2 x2 x  x 2  2x  8  2 x8  2 x2 x  x 2  x  (x  8) x2  2x  8  0 (x  4)(x  2)  0 x20  x40 x  2  x  4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  { 2 , 4} . 19. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 x  22x2 x  5 ເຮາົ ໄດ.້ ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2 x2 x  22x2 x  5 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 x  22x2 x  5 2 2(x2 x)  5.2 x2 x  4  0 (2 x2 x  1)(2 x2 x  4)  0 2x2x 1  0  2x2x  4  0 2x2x  20  2x2x  22 x2  x  0  x2  x  2  0 x(x  1)  0  (x  2)(x  1)  0 x  0  x  1  x  2  x  1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  0 ,  2 ,1 ,1. 20. ຊອກຫາຄ່ື າຂອງ m ເພ່ື ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x  2 x 1  3  m ມສີ ອງໃຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ 42

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  ການດົ ໃຫ ້ x 1 ເຮາົ ມີ 2 x  2 ການດົ ໃຫ ້ X  2 x ເຮາົ ໄດສ້ ມົ ຜນົ ໃໝື່ X 2  2X  3  m  0 .  ຈາກເງ່ືອນໄຂ X  2  t  X  2  x  t  2 ເຮາົ ໄດ.້ (t  2)2  2(t  2)  3  m  0 t 2  4t  4  2t  4  3  m  0 t 2  2t  3  m  0 3m0 m3 ຕອບ: ຄື່ າຂອງ m ແມື່ ນ m  3 .    21. ແກສ້ ມົ ຜນົ 7  4 3 x  3. 2  3 x  2  0 . ວທິ ຄີ ດິ     ຈາກສມົ ຜນົ 7  4 3 x  3. 2  3 x  2  0 ເຮາົ ໄດ.້    7  4 3 x  3. 2  3 x  2  0    2  3 2x  3. 2  3 x  2  0    2  3 3x  2 2  3 x  3  0       2  3 x  1 2  3 2x  2  3 x  3  0  2  3 x  1  0  2  3 x  1  0    2  3 x  2 0 3 x0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ື ນ S  {0} . 22. ແກສ້ ມົ ຜນົ (x  2) x2 x5  (x  2) x10 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ (x  2) x2 x5  (x  2) x10 ເຮາົ ໄດ.້  ເງ່ືອນໄຂທໜີ ື່ ງ: x  2  1  x  2  0  x  2  1 x  3  x  2  x  1  ເງື່ອນໄຂທສີ ອງ: x 2  x  5  x  10 x 2  2x  15  0 (x  5)(x  3)  0 x30  x50 x  3  x  5 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  { 2, 3,  1, 5}. 43

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 23. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 1  5 x1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2 x2 1  5x1 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 1  5 x1 x 2  1  (x  1) log 2 5 x 2  (log 2 5)x  log 2 10  0   (log 2 5) 2  4 log 2 10 x  log 2 5  log 2 5  4 log 2 10  x  log 2 5  log 2 5  4 log 2 10 2 2 22 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  log 2 5  log 2 5  4 log 2 10 , log 2 5  log 2 5  4 log 2 10  .  2 2    2 2 24. ແກສ້ ມົ ຜນົ x 2 .2 x  4x  8  4x 2  x.2 x  2 x1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ x 2 .2 x  4x  8  4x 2  x.2 x  2 x1 ເຮາົ ໄດ.້ (2 x  4)x 2  (2 x  4)x  2(2 x  4)  0 (2 x  4)(x 2  x  2)  0 2x  4  0  x  1x  2  0 x  2  x  1  x  2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ື ນ S  {  1 , 2 }. 25. ຊອກຫາຄື່ າຂອງ m ເພື່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x  2(m  1).2 x  3m  4  0 ມສີ ອງໃຈຜນົ x1 , x2 ເຮດັ ໃຫ ້ x1  x2  3 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4 x  2(m  1)x  3m  4  0 ເຊ່ື ງິ ມ:ີ x1  x2  3  2 x1x2  23  2 x1  2 x2  8 ເຮາ ໄດ.້ 3m  4  8 3m  8  4 3m  4 m 4 3 ຕອບ: ຄ່ື າຂອງ m ແມື່ ນ m  4 . 3 26. ແກສ້ ມົ ຜນົ 8  x.2 x  23x  x  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 8  x.2 x  23x  x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 44

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 8  x.2 x  23x  x  0 8  8  x(2 x  1)  0 2x 8 2 x  1   x(2 x  1)  0 2 x  2x  1  8  x  0  2x   2x  1  8  x  0  2x  2x 1 0  8 x 2x  8 x0 2x x.2 x  8 x.2 x  2.22 x2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  {2} . 27. ຊອກຫາຄື່ າຂອງ m ເພ່ື ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x  2(m  1).2x  3m  8  0 ມສີ ອງໃຈຜນົ ມຄີ ວາມໝາຍຕື່ າງກນັ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4 x  2(m  1).2 x  3m  8  0 ເຊື່ ງິ ການດົ ໃຫ ້ X  2 x , x  0  X  1  x  t  1ເຮາົ ໄດ.້ X 2  2(m  1) X  3m  8  0 (t  1)2  2(m  1)(t  1)  3m  8  0 t 2  2t  1  2(m  1)t  2(m  1)  3m  8  0 t 2  2(m  2)t  m  5  0  m50 m5 ຕອບ: ຄ່ື າຂອງ m ແມ່ື ນ m  5 . 28. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x  6.2x  8  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4x  6.2x  8  0 ເຮາົ ໄດ.້ 4 x  6.2 x  8  0 (2 x  2)(2 x  4)  0 2x  2  0  2x  4  0 2 x  21  2 x  22 x 1  x  2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S  {1,2} . 45

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 29. ແກສ້ ມົ ຜນົ 6 x  8  2 x1  4.3x ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 6 x  8  2 x1  4.3x ເຮາົ ໄດ.້ 6 x  8  2 x1  4.3x 2 x3x  2 x1  4.3x  8 2 x (3x  2)  4(3x  2) 2 x (3x  2)  4(3x  2)  0 (2 x  4)(3x  2)  0 2x  4  3x  2 2 x  2 2  3 x  3log3 2 x  2  x  log 3 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມື່ ນ S  { 2 , log 3 2 } . 30. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x2 x  21x2  2(x1)2  1. ວທິ ຄີ ດິ 4 x2  x  21x2  2 ( x1)2  1 2 2x2 2x  21x2  2 ( x1)2  1 2 2x2 2x  2  2 x2 2x1  1 2 x2 23x2 2x  2  2 2x2 2x1  2 x2 23x2 2x  2 x2  2(2 2x2 2x  1) 2 x2 (2 2x2 2x  1)  2(2 2x2 2x  1) (2 x2  2)(22x2 2x  1)  0 2x2  2  0  22x22x 1  0 x2 1 0  2x2  2x  0 (x  1)(x  1)  0  2x(x  1)  0 x  1  x  1  x  0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S  { 1, 0 , 1} . 31. ຊອກຫາຄ່ື າຂອງ m ເພ່ື ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x2  2 x2 2  6  m ມສີ ໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 4 x2  2 x2 2  6  m ເຊື່ ງິ ການດົ ເຫນັ ວື່ າ: X  2x2 ເຊື່ ງິ X  0 ເຮາົ ມ.ີ 46