Physics 2

ภาพท่ี 4.7(ก) แสดงเครื่องกำเนดิ ไฟฟ้ากระแสตรง (D.C generator) จะเหน็ ได้ว่า มสี ่วน ประกอบคล้ายกับเครื่องกำเนิดไฟ้ฟ้ากระแสสลับ เว้นแต่ขั้วไฟฟ้าที่สัมผัสและวงแหวนหมุน ซึ่งมีเพียงวงเดียวแต่แบ่งออกเป็นสองส่วน ซึ่งเรียกว่า คอมมูเตเตอร์มีแรงดันเหมือนกันเสมอ ดังนนั้ กระแสไฟฟา้ ท่เี กดิ ขึ้นจงึ เปน็ ไฟฟ้ากระแสตรง ดงั ภาพที่ 4.7(ข) (ก) (ข) ภาพท่ี 4.7 ก) แผนภาพไดอะแกรมเครอื่ งกำเนิดไฟฟา้ กระแสตรง และ ข) แรงเคล่อื นไฟฟา้ ซ่งึ เป็น ฟงั กช์ นั ของเวลา (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;702) ตวั อยา่ งที่ 4.3 เคร่อื งกำเนดิ ไฟฟ้าสลบั เคร่ืองหนง่ึ ประกอบขดดลวด จำนวน 80.0 รอบซึ่งแต่ละรอบ มีพ้ืนทห่ี นา้ ตดั เทา่ กนั 0.025 ตารางเมตร และขดลวดมีความต้านทาน 10.0 โอหม์ ถ้าขดลวดดงั กลา่ ว หมุนด้วยความถค่ี งตวั 50 เฮริ ซ์ ภายใต้สนามแมเ่ หลก็ คงตัวสมำ่ เสมอ 0.500 เทสลา แลว้ จงหา ก) แรงเคลือ่ นไฟฟ้าเหนี่ยวนำสูงสดุ ข) กระแสเหน่ยี วนำสูงสดุ เมอ่ื ตอ่ กบั ตัวนำท่ีมีความตา้ นทานตำ่ วิธีทำ โจทยก์ ำหนด N = 80.0 รอบ และ A = 0.025 m2 ก) แรงเคล่อื นไฟฟา้ เหน่ยี วนำสูงสุดในขดลวด จาก ε = ωNBA และ ω = 2π f จะได้ ε = 2π (50.0 Hz)(80.0)(0.500T)(0.025m2 ) ข) กระแสเหน่ยี วนำสูงสุด : εImax = max = 314V = 3.14 A 10Ω R ตอบ แรงเคล่อื นไฟฟ้าเหนีย่ วนำสูงสุด คอื 314 โวลต์ กระแสเหนีย่ วนำสูงสดุ คือ 3.14 แอมแปร์

4.2.2 การเหน่ยี วนำตนเอง พจิ ารณาวงจรไฟฟา้ ท่ีประกอบดว้ ย สวติ ซ์ S ตัวต้านทาน R และแหล่งกำเนิดไฟฟา้ ε ดังภาพท่ี 4.8 เม่ือเราปิดสวติ ซ์ S จะเกิดกระแสไฟฟ้าไหลในวงจรซ่ึงกระแสจะไมเ่ ปลยี่ นจาก 0 เป็น ε R ในทนั ทที ันใด แตจ่ ะค่อยๆ เพิ่มขนึ้ ตามเวลา กระแสไฟฟา้ ทเี่ พ่ิมข้ึนตามเวลาจะทำให้ เกิดการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์แม่เหล็กด้วยซึ่งจะก่อให้เกิดการเหนี่ยวนำในทิศตรงข้ามกับการไหล ของกระแสไฟฟา้ จากแหล่งกำเนดิ ทำให้กระแสไฟฟ้าคอ่ ยๆ เพ่ิมขึ้น ปรากฎการณน์ ้ี เรยี กว่า การเหนี่ยวนำตนเอง (self-inductance) ภาพที่ 4.8 วงจรการเหน่ียวนำตนเอง (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;705) ค่าแรงเคลอื่ นไฟฟา้ จากการเหนยี่ วนำตนเอง εL จะเปน็ แปรผนั ตรงกับอัตราการเปลีย่ นแปลง กระแสไฟฟา้ ตอ่ เวลา ซง่ึ ขดลวดโซลินอยดแ์ ละขดลวดทอรอยด์จำนวน N รอบน้ัน คา่ แรงเคล่ือน ไฟฟ้าจะเปน็ ไปตามสมการ εL = − L ΔI = − L dI (4.10) Δt dt เม่ือ L คอื คา่ ความเหนี่ยวนำตนเอง (self-inductance) มหี นา่ ยเป็น เวเบอร์ตอ่ แอมแปร์ (Wb/A) หรือ เฮนรี (Henry; H) ซ่ึง เป็นค่าคงตัวและข้ึนอยู่กับรูปร่างของขดลวดตัวนำ โดยท่ี 1.0H = 1.0V⋅s A จากแรงเคลือ่ นไฟฟ้าเหน่ยี วนำของฟาราเดย์ จะได้คา่ เหนี่ยวนำตนเอง เป็น εL = − L ΔI = − N ΔΦB ดงั น้ันจะได้ Δt Δt (4.11)

เม่ือ และขนาดของสนามแม่เหล็กจากขดลวดโซลินอยด์ หาไดจ้ าก B = µ0nI = µ0 I N (4.12) ℓ เม่ือ n = N ℓ คือ จำนวนรอบตอ่ ความยาว และ N คอื จำนวนรอบของขดลวดทง้ั หมด ตวั อยา่ งท่ี 4.4 ขดลวดโซลนิ อย์ 300 รอบ ยาว 0.250 เมตร มพี นื้ ท่หี นา้ ตัด 4.00 ×10−4 ตารางเมตร จงหา ก) ค่าการเหนีย่ วนำตนเองของขดลวดโซลินอย์ ข) แรงเคล่อื นไฟฟ้าเหน่ียวนำของขดลวดโซลนิ อยด์ เม่ืออัตราการลดลงของกระแสในขดลวด ต่อเวลาเปน็ 50.0 แอมแปรต์ อ่ วนิ าที วิธที ำ ก) หาค่าการเหนีย่ วนำตนเองโจทย์ จาก L = N ΦB เมือ่ I และสนามแมเ่ หลก็ ของขอลวดโซลนิ อยด์ B = µ0 I N ℓ ดงั น้ันจะได้ L = µ0N2 A ℓ = ⎛ 4π × 10−7 T⋅m ⎞ (300)2 ⎛ 4.00 × 10−4 m2 ⎞ ⎝⎜ A ⎠⎟ ⎜⎝ 0.250 ⎠⎟ = 1.81 × 10−4 H = 0.181 mH ข) หาแรงเคล่ือนไฟฟา้ เหนย่ี วนำของขดลวดโซลนิ อยด์ ได้จาก εL = − L ΔI Δt และโจทย์ กำหนดให้ และจาก ก) εL = ( − 1.81 × 10 −4 H ) ⎛ −50.0 A ⎞ ดังน้นั จะได้ ⎜⎝ s ⎟⎠ ตอบ ค่าเกนยี่ วนำ 0.181มลิ ลเิ ฮนรี และแรงเคลอ่ื นไฟฟ้าเหยยี่ วนำ 9.05 มิลลโิ วลต์

4.2.3 วงจรอนุกรมอารเ์ อล วงจรไฟฟา้ ท่มี ีขดลวดโซลนิ อยด์จะมคี า่ การเหนีย่ วนำตนเอง ซ่งึ ปอ้ งกันไมใ่ หก้ ระแสไฟฟ้า ในวงจรเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างทันที่ทันใดและอุปกรณ์ทางไฟฟ้าใดๆ ในวงจรไฟฟ้ามีค่า การเหน่ยี วนำสูงๆ เราเรยี กอปุ กรณ์ทางไฟฟ้านั้นว่า “ ตัวเหนีย่ วนำ (Inductor) ” เขยี นแทน ด้วยสญั ลักษณ์ วงจรไฟฟ้าอยา่ งง่ายประกอบดว้ ยตวั ตา้ นทาน R ตอ่ อยู่กับแหลง่ จา่ ยไฟฟ้ากระแสตรงทีม่ ี แรงเคลอ่ื นไฟฟา้ ε ดงั ภาพท่ี 4.9(ก) จากกฎแรงดนั ของเคริ ์ซฮอฟฟ์ จะได้ ε + ΔVR = 0 เมือ่ แรงดนั ตกคร่อมตัวต้านทาน ΔVR = − IR ดังนัน้ จะได้ ε − IR = 0 (ก) (ข) ภาพท่ี 4.9 วงจรไฟฟ้าประกอบด้วยแหลง่ กำเนดิ ไฟฟา้ กระแสตรงต่ออยู่กบั ก) ตัวต้านทาน R และ ข) ตวั เหน่ียว L (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;708) ภาพท่ี 4.9(ข) แสดงวงจรไฟฟ้าอย่าง่ายซงึ่ ประกอบดว้ ยตัวเหนีย่ วนำ L หน่ึงตัวต่ออยู่กับ แหลง่ จา่ ยไฟฟา้ กระแสตรง เมื่อเราปิดสวิตซ์ S แรงเคลือ่ นไฟฟา้ ที่ตกคร่อมตัวเหนยี่ วนำในวงจร จะมคี า่ เปน็ εL = − L dI (4.13) dt พจิ ารณาวงจรอนุกรมอาร์เอล ( RL series circuit) ซง่ึ ประกอบด้วยแหลง่ จา่ ย ไฟฟ้ากระแสตรง ε ตวั ตา้ นทาน และตวั เหน่ยี วนำ ตอ่ กันแบบอนุกรม ดังภาพที่ 4.10 เมื่อเราปิดสวิตซ์จะมีกระแสไฟ้าไหลในวงจร แตจ่ ะกระแสไฟใ้ นวงจรไมเ่ พิ่มเปน็ ในทนั ทีทันใด แต่จะคอ่ ยๆ เพิ่มข้ึน และจากกฎแรงดันของเคิร์ซฮอฟฟ์ จะได้ ε − IR − L dI = 0 (4.14) dt เมื่อ คอื กระแสไฟฟา้ ในวงจรซง่ึ ข้ึนกบั เวลา

สมการ (4.14) เป็นสมการเชงิ อนุพนั ธส์ ามญั เชิงเส้นอันดบั หนง่ึ ซงึ่ เราสามารถจดั รปู ใหม่ ไดเ้ ป็น dI = ε − IR เมือ่ R, L และ ε เปน็ คา่ คงตวั ดงั นัน้ จะได้ dt L dI = dt (4.15) ε − IR L อินทิเกรตสมการ (4.11) ท้ังสองข้างด้วยเงอ่ื นไขขอบเขต 1 I (t ) d(ε − IR) 1 t dt R 0 ε − IR ∫ ∫− = L0 ln ε − RI(t) − ln ε = − R t L ln ε − RI (t ) = − Rt L ε I(t) = ε ⎛⎝⎜1 − e− R t ⎞ L ⎟⎠ R เม่ือกระแสสูงสดุ Imax = ε R ดงั นนั้ จะไดก้ ระแสไฟฟ้า ณ เวลา t ใดๆ เปน็ I(t) = I ⎛ 1 − e− R t ⎞ (4.16) ⎜⎝ L ⎟⎠ max กรณีท่ี t = L R จะได้ ( )I (t ) = Imax 1 − e−1 = 0.632Imax เรียก t = L R = τ วา่ คา่ คงตัวเวลา (time constant) หมายถึง เวลาที่กระแสในวงจรเพมิ่ ขนึ้ เปน็ 0.632 หรอื เท่าของกระแสสงู สุด Imax ดงั แสดงในภาพที่ 4.10 (ข) (ก) (ข) ภาพที่ 4.10 ก) วงจรอนกุ รมอารเ์ อล และ ข) การเพ่มิ ขึ้นของกระแสในวงจร (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;708)

ตัวอยา่ งท่ี 4.5 วงจรอนกุ รม RL ประกอบดว้ ย แบตเตอรี 12.6 โวลต์ ตัวต้านทาน 0.150 โอหม์ และขดลวดเหนย่ี วนำ 30.0 มิลลเิ ฮนรี จงหา ก) คา่ คงตัวของเวลา τ (time constant) ของวงจร ข) กระแสไฟฟา้ ณ เวลา t = τ ค) แรงดนั ตกครอ่ มตวั ตา้ นทาน ณ เวลา t = 0 และ t = τ ง) กระแสไฟฟ้า ณ เวลา t = 2τ วธิ ีทำ ก) หาค่าคงตวั ของเวลา τ จาก τ = L R จะได้ ข) หากระแสไฟฟา้ ณ t = τ จาก I (t ) = 0.632Imax และ Imax = ε R จะได้ Imax = 12.6V = 84.0A 0.150Ω และ I(τ ) = (0.632)(84.0A) = 53.1 A ค) หาแรงดนั ตกครอ่ มตัวตา้ นทาน ณ t = 0 และ t = τ จาก ΔVR = IR ณ เวลา จะยงั ไม่มกี ระแสไฟฟา้ ไหลในวงจร ดังนน้ั I(0) = 0 จะได้ ΔVR(t = 0s) = (0A)(0.150Ω) = 0 ณ t = τ มกี ระแสไฟฟ้าไหลในวงจร I(τ ) = 53.1 A จะได้ ΔVR(t = τ ) = (53.1A)(0.150Ω) = 7.97V ง) หากระแสไฟฟา้ ณ เวลา t = 2τ จาก I(t) = I ⎛ 1 − e− R t ⎞ ⎜⎝ L ⎟⎠ max เมอ่ื t = 2τ = 2L R ( )จะได้ I(t = 2τ ) = (84.0A) 1− e−2 = 72.7A ตอบ ค่าคงตัวของเวลา คือ 0.200 วินาที กระแสไฟฟา้ คือ 53.1 แอมแปร์ คา่ แรงดันไฟฟ้า คอื 7.97 โวลต์ กระแสไฟฟา้ คือ 72.7 แอมแปร์

4.3 วงจรไฟฟา้ กระแสสลับ 4.3.1 แหลง่ กำเนดิ ไฟฟ้ากระแสสลบั แหล่งกำเนดิ ไฟฟา้ กระแสสลับ คอื แหลง่ กำเนดิ ทม่ี ีแรงดนั ไฟฟ้าเปลย่ี นแปลงตามเวลา t เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ โดยมีแรงดนั ไฟฟา้ เป็นไปตามสมการ Δvs = ΔVmax sinωt (4.17) เมอื่ Δv คือ แรงดันไฟฟา้ กระแสสลับ ณ เวลา t ใดๆ ΔVmax คือ แรงดันไฟฟา้ สงู สดุ ω คือ ความถ่ีเชิงมมุ ซงึ่ ω = 2π f = 2π T 4.3.2 ตวั ตา้ นทานในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พิจารณาวงจรไฟฟ้ากระแสสลับซึ่งประกอบด้วยแหล่งกำเนิดไฟฟ้าและตัวต้านทานหนึ่งตัว ดังภาพที่ 4.11(ก) เราสามารถหาคา่ แรงดนั ไฟฟา้ ทต่ี กครอ่ มตวั ต้านทาน ΔvR และกระแสไฟฟา้ ทไ่ี หลผ่านตัวตา้ นทานได้ iR ณ เวลา t ใดๆ ไดด้ ังนี้ ΔvR (t ) = ΔVmax sinωt (4.18) และจากกฎของโอหม์ ΔvR = iRR ดังนั้นจะได้ iR = ΔVmax sinωt R iR (t ) = Imax sinωt (4.19) เมื่อ Imax = ΔVmax คือ กระแสไฟฟ้าสงู สดุ R ความสมั พันธร์ ะหวา่ งกระแสไฟฟา้ iR และแรงดันไฟฟา้ vR ซ่ึงเปลย่ี นแปลงตามเวลาเวลา ดงั ภาพที่ 4.11(ข) แสดงให้วา่ กระแสไฟฟา้ และแรงดันมีคา่ สูงสดุ มเี ฟสตรงกัน (in phase) คอื มลี ักษณะการเพิม่ ขึน้ และลดลงเหมือนกนั ณ เวลาเดียวกันและจากภาพที่ 4.12(ก) จะเห็น ว่ากระแสไฟฟา้ iR จะมคี า่ เฉลี่ยเปน็ ศนู ย์เนอื่ งจากกระแสไฟฟ้าในหน่งึ คาบเวลาในทศิ ทางบวก มคี ่าเท่ากับกระแสไฟฟ้าในทศิ ทางลบในขณะที่กำลงั ไฟฟ้าของตัวต้านทาน P = i2R และ จากภาพที่ 4.12(ข) จะเหน็ วา่ กระแสไฟฟ้ากำลังสองสองเเฉล่ยี จะเทา่ กับครึ่งหนึ่งของกระแส ไฟฟ้าสูงสุดกำลังสอง (i2 )av = I1 2 ดังนั้น รากที่สองของกระแสไฟฟ้ากำลังสองเฉลี่ย 2 max (root mean square ; rms ) Irms = (i2 )av ดังน้ันจะได้

I rms = I max = 0.707Imax (4.20) 2 (4.21) และจะไดค้ ่ารากท่สี องของแรงดนั ไฟฟา้ กำลังสองเฉลี่ย ΔVrms เป็น ΔVrms = ΔVmax = 0.707ΔVmax 2 (ก) (ข) ภาพที่ 4.11 ก) ตวั ตา้ นทานตอ่ กบั แหลง่ กำเนดิ ไฟฟา้ กระแสสลบั และข) กระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟา้ ทีต่ วั ตา้ นทาน (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;724) ภาพที่ 4.12 ก) การเปล่ยี นแปลงตามเวลาของกระแสไฟฟ้าทไ่ี หลผ่านตวั ตา้ นทาน และ ข) ความสัมพนั ธร์ ะหว่างกระแสไฟฟ้ากำลังสองเฉล่ียกบั กระแสไฟฟา้ สูงสดุ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;725)

ตัวอย่างท่ี 4.6 จงหา ΔVrms และ Irms ของตวั ตา้ นทานขนาด 100 โอห์ม เมอื่ วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ท่ีมแี หล่งกำเนดิ ไฟฟ้าเปน็ Δvs = 200sin(50t) วิธีทำ หา ΔVrms จาก ΔVrms = ΔVmax 2 จะได้ ΔVrms = 200V = 141V 2 หา Irms จาก ΔIrms = ΔVrms R จะได้ Irms = 141V = 1.41A 100 ตอบ ΔVrms เทา่ กบั 141 โวลต์ และ Irms เท่ากับ 1.41 แอมแปร์ 4.3.3 ตวั เหน่ยี วนำในวงจรไฟฟา้ กระแสสลับ วงจรไฟฟ้ากระแสสลบั ซง่ึ ประกอบดว้ ยแหล่งกำเนดิ ไฟฟา้ Δvs = ΔVmax sinωt ตอ่ อยูก่ ับ ตัวเหนย่ี วนำ L ดังภาพท่ี 4.13(ก) จะได้แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตวั เหนีย่ วนำ ΔvL ΔvL = εL = − L dIL (4.22) dt และจากกฎแรงดันของเคริ ซ์ ฮอฟฟ์ จะได้ Δvs + ΔvL = 0 ดงั นั้น L dIL = ΔVmax sinωt (4.23) dt (4.24) หากระแสไฟฟา้ ทไ่ี หลผ่านตวั เหนย่ี วนำ iL ไดด้ ังนี้ dI L = ΔVmax sin(ωt )dt L อินทิเกรตสมการ (4.24) ดว้ ยเง่อื นไข t = 0 , i(t = 0) = 0 ∫ ∫iL dI L 0 = ΔVmax t sin(ωt )dt L0

จะได้ iL (t ) = − ΔVmax cos(ωt ) (4.25) ωL (4.26) (4.27) และความต้านทานของตวั เหนยี่ วนำ (inductive reactance) XL XL = ω L และจาก cosωt = − sin ⎛⎝⎜ ω t − π ⎞ ดงั น้นั จะได้ 2 ⎠⎟ iL (t ) = I max sin ⎛ ω t − π ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ เม่ือ Imax = ΔVmax คอื กระแสไฟฟ้าสงู สดุ ท่ีไหลผา่ นตัวเหนีย่ วนำ XL จากสมการ (4.27) จะเห็นไดว้ า่ กระแสไฟฟา้ ท่ไี หลผ่านตัวเหนยี่ วนำ iL จะมเี ฟสตามหลัง แรงดันไฟฟ้าจากแหล่งกำเนิดอยู่ 90 องศา (π 2 ) โดยสามารถเขยี นกราฟความสมั พันธ์ระหว่าง กระแสไฟฟ้า iL กับแรงดนั ไฟฟ้า Δvs ซ่ึงเปล่ยี นแปลงตามเวลา t ไดเ้ ป็นดังภาพที่ 4.13(ข) (ก) (ข) ภาพที่ 4.13 ก) ตัวเหนย่ี วนำตอ่ กับแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลบั และ ข) กระแสไฟฟา้ และแรงดนั ไฟฟา้ ทต่ี วั เหนยี่ วนำ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;728, 729)

ตัวอย่างท่ี 4.7 วงจรไฟฟ้ากระแสสลับประกอบดว้ ยแหล่งกำเนดิ ไฟฟ้าท่มี ีคา่ แรงดนั เฉลย่ี 150 โวลต์ ความถี่ 60.0 เฮริ ์ซ ตอ่ กบั ตัวเหน่ยี วนำที่มคี า่ เหนยี่ วนำ 25.0 มิลลเิ ฮนรี แล้ว จงหา ก) ความต้านทานของตวั เหน่ียวนำ XL ข) กระแสไฟฟ้าเฉลย่ี Irms ในวงจร ค) ถ้าความถข่ี องแหล่งกำเนิดเปลย่ี นไปเป็น 60.0 เมกะ เฮริ ตซ์ แลว้ จงหา ความต้านทานของตัวเหนยี่ วนและกระแสไฟฟา้ เฉล่ยี ในวงจร วิธที ำ ก) หาคา่ ความตา้ นทานของตัวเหน่ยี วนำ XL จาก XL = ω L = 2π fL จะได้ XL = 2π (60.0Hz)(2.50 × 10−2 H) = 9.42Ω ข) หาคา่ กระแสไฟฟ้าเฉลยี่ Irms จาก Irms = ΔVrms XL จะได้ I rms = 150V 9.42Ω = 15.9A ค) ถา้ ความถข่ี องแหล่งกำเนิดเปล่ยี นเป็น 60.0 ×106 Hz จะได้ ความต้านทานของตวั เหนยี่ วนำ XL = 2π (60.0 ×106 Hz)(2.50 ×10−2 H) = 942Ω ดงั นนั้ กระแสไฟฟา้ เฉลีย่ I rms = 150V 942Ω = 0.159 A = 159 mA ตอบ ความต้านทานของตวั เหนี่ยวนำ 9.42 โอหม์ กระแสไฟฟา้ เฉลย่ี 15.9 แอมแปร์ ความตา้ นทานของตัวเหนี่ยวนำ 942 โอหม์ กระแสไฟฟา้ เฉลย่ี 159 มิลลิแอมแปร์

4.3.4 ตวั เกบ็ ประจุในวงจรไฟฟา้ กระแสสลับ พจิ ารณาวงจรไฟฟา้ กระแสสลับทปี่ ระกอบดว้ ยแหลง่ กำเนิดไฟฟ้า Δvs = ΔVm sinωt ต่ออยู่ กับตวั เกบ็ ประจุ (capacitor) ดงั ภาพที่ 4.14(ก) เราจะหาประจไุ ฟฟ้าภายในตวั แก็บประจุไดจ้ าก Q = CΔvs และจะมกี ระแสไฟฟา้ ที่ไหลผา่ นตวั เกบ็ ประจุ iC = dQ ดังน้ันจะได้ dt iC = d ( C Δvs ) = C d ΔVm sin (ω t ) dt dt iC = CΔVmω cos(ωt ) (4.28) จาก cos ω t = sin ⎛ ω t + π ⎞ และกำหนดให้ Imax = ω CΔVmax ดังนนั้ จะได้ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ iC (t) = I maxω sin ⎛ ω t + 1 ⎞ (4.29) ⎝⎜ 2 ⎠⎟ (4.30) ดังนัน้ จะได้ XC = 1 ωC เรยี ก วา่ ความต้านทานของตวั เก็บประจุ (capacitive reactance) จากสมการ (4.29) จะเห็นได้ว่า กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำจะมีเฟสนำหน้า แรงดันไฟฟา้ จากแหลง่ กำเนิด อยู่ 90 องศา (π 2 ) โดยสามารถเขยี นกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง กระแสไฟฟ้า iC กบั แรงดันไฟฟ้า Δvs ซึ่งเปล่ียนแปลงตามเวลา t ได้เปน็ ดงั ภาพท่ี 4.14(ข) (ก) ( ข) ภาพที่ 4.14 ก) ตัวเกบ็ ประจุตอ่ กบั แหลง่ กำเนิดไฟฟา้ กระแสสลับ และ ข) กระแสไฟฟา้ และแรงดนั ไฟฟ้าท่ตี ัวเก็บประจุ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;727)

ตวั อยา่ งท่ี 4.8 วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ประกอบด้วยแหล่งกำเนิดไฟฟา้ ทีม่ คี ่าแรงดนั เฉล่ีย 150 โวลต์ ความถี่ 60 เฮิรตซ์ ต่อกับตวั เก็บประจุ ขนาด 8.00 ไมโครฟารดั จงหา ก) ค่าความต้านทานของตัวเกบ็ ประจุ และกระแสไฟฟ้าเฉล่ยี ข) กระแสไฟฟ้าเฉลย่ี เม่ือความถ่ีแหล่งกำเนดิ เปลี่ยนไปเปน็ 120 เฮรริ ์ซ วิธที ำ ก) ค่าความต้านทานของตัวเก็บประจุ และกระแสไฟฟ้าเฉลี่ย หาค่าความตา้ นทานของตัวเกบ็ ประจุ จาก XC = 1 = 1 ωC 2π fC จะได้ XC = 1 = 332Ω 2π (60.0Hz)(8.00 × 10−6 F) หาค่ากระแสไฟฟ้าเฉลี่ยจาก I rms = ΔVrms จะได้ XC I rms = 150V = 0.452A 332Ω ข) กระแสไฟฟ้าเฉลีย่ เมอ่ื ความถแ่ี หลง่ กำเนดิ เปลีย่ นเป็น 120 Hz ค่าความตา้ นทานของตวั เก็บประจุ XC = 1 = 1 ωC 2π fC จะได้ XC = 1 = 166Ω 2π (120Hz)(8.00 × 10−6 F) หาคา่ กระแสไฟฟ้าเฉลย่ี จาก I rms = ΔVrms XC จะได้ I rms = 150V = 0.904 A 166Ω ตอบ

4.4 วงจรอนุกรมไฟฟา้ กระแสสลับ 4.4.1 วงจรอนุกรมอาร์เอลซี พิจารณาวงจรอนุกรมอารเ์ อลซี (RLC series circuit) ประกอบดว้ ย แหล่งกำเนดิ ไฟฟา้ Δvs = ΔVmax sinωt ตัวต้านทาน ตวั เหนีย่ วนำ และตวั เกบ็ ประจุ ดงั ภาพท่ี 4.15 และกฎแรงดันของเคริ ซ์ ฮอฟฟ์ จะได้ Δvs = ΔvR +ΔvL +ΔvC ซึ่งจะไดก้ ระแสไฟฟา้ (i ) แรงดนั ไฟฟ้าตกคร่อมตวั ตา้ นทาน (ΔvR ) แรงดนั ตกครอ่ มตัวเหน่ยี วนำ ( ΔvL ) และ แรงดันตกครอ่ มตัวเก็บประจุ (ΔvC ) ดงั ภาพท่ี 4.16 ภาพที่ 4.15 วงจรอนุกรมอารเ์ อลซี (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;730) ภาพที่ 4.17(ก) แรงดันตกคร่อมตวั เกบ็ ประจุ ΔVC มีเฟสตามแรงดนั ตกครอ่ มตัวต้านทาน ΔVR อยู่ 90 องศา (π 2 ) ในขณะที่แรงดนั ตกคร่อมตวั เหนย่ี วนำ ΔVL มเี ฟสนำแรงดันตกคร่อม ตัวต้านทาน ΔVR อยู่ 90 องศา และภาพที่ 4.17(ข) แสดงการหาแรงดันสงู สดุ ΔVmax และ มมุ เฟส φ โดยการบวกแรงดนั ΔVL , ΔVC และ ΔVR แบบเวกเตอร์ ซึ่งจะได้ ΔVmax = ΔVR2 + (ΔVL − ΔVC )2 (4.31) (4.32) และ tanφ = ΔVL − ΔVC ΔVR

จากกฎของโอหม์ ΔVRmax = ,ImaxR ΔVLmax = Imax XL และ ΔVCmax = Imax XC เมอ่ื Imax คอื กระแสไฟฟา้ สงู สดุ ทใี่ หลในวงจรอนุกรมอาเอลซี ดงั นั้นสมการ (4.31) จงึ เปน็ ΔVmax = Imax R2 + (XL − XC )2 = ImaxZ (4.33) กำหนดให้ Z = R2 + (XL − XC )2 (4.34) เรียกวา่ Z ว่า ความต้านทานเชิงซอ้ น (impedance) ซึง่ มีความสัมพันธก์ บั ความตา้ นทาน ของ ตวั ตา้ นทาน ตวั เหนย่ี วนำและตวั เกบ็ ประจุ ดงั ภาพท่ี 4.17(ค) กำลังไฟฟา้ เฉล่ยี ของวงจร ไฟฟ้ากระแสสลับ Pav = IrmsΔVrms cosφ (4.35) และเรียก cosφ วา่ เพาเวอร์เฟกเตอร์ i(t ) = Imax sinωt ΔvR (t ) = ΔVRmax sinωt = ImaxR sinωt ΔvL (t) = ΔVLmax cosωt = I max X L sin ⎛ ω t + π ⎞ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ΔvC (t ) = − ΔVC max cosωt = I max XC sin ⎛ ω t − π ⎞ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ภาพท่ี 4.16 เฟสของวงจรอนกุ รมอารเ์ อลซี (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;730)

(ก) (ข) (ค) ภาพที่ 4.17 ก) แผนภาพเฟสเซอร์ของวงจรอนุกรมอารเ์ อลซี ข) การบวกเฟสเซอรแ์ บบเวกเตอร์ และ ค) ความสมั พนั ธ์ระหว่างความตา้ นทานเชงิ ซอ้ นและค่ารีแอคแตนซ์ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;731) ตวั อย่างที่ 4.9 วงจรอนกุ รม RLC ประกอบดว้ ยแหล่งกำเนดิ ไฟฟ้าท่มี ีค่าแรงดนั สูงสุด 150 โวลต์ ความถ่ี 60 เฮริ ตซ์ ต่อกบั ตัวตา้ นตา้ นขนาด 425 โอหม์ ตัวเหน่ยี วนำขนาด 1.25 เฮนรี และ ตวั เก็บประจุ ขนาด 3.50 ไมโครฟารดั ดงั ภาพท่ี 4.18 จงหา ก) ความต้านทานของตวั เหนยี่ วนำ ความต้านทานของตวั เก็บประจุ และความต้านทานเชิงซอ้ น ข) กระแสไฟฟ้าสูงสุดทไี่ หลในวงจร ค) มมุ เฟสระหวา่ งแรงดนั ไฟฟา้ กบั กระแสไฟฟ้า ง) แรงดันไฟฟ้าสูงสุดและแรงดันไฟฟ้า ณ เวลาใดๆ ท่ีตกคร่อมตวั ต้านทาน ตวั เหน่ยี วนำ และ ตัวเก็บประจุ และ จ) กำลังไฟฟา้ เฉลี่ย ภาพที่ 4.18 สำหรับตัวอย่างท่ี 4.9

วธิ ีทำ ก) ความต้านทานของตัวเหนย่ี วนำ ความตา้ นทานของตัวเกบ็ ประจุ และความตา้ นทานเชิงซอ้ น ความตา้ นทานของตัวเหน่ียวนำ XL = ω L = 2π fL จะได้ ความต้านทานของตัวเกบ็ ประจุ XC = 1 = 1 จะได้ ωC 2π fC ความต้านทานเชงิ ซ้อน จะได้ ข) กระแสไฟฟ้าสูงสุด จาก I max = ΔVmax Z จะได้ I max = 150V 513Ω ค) มุมเฟสระหว่างแรงดนั ไฟฟ้ากบั กระแสไฟฟ้า จะได้ = 345.8! เนอ่ื งจากคา่ ความตา้ นทานของตัวเกบ็ ประจุมคี า่ มากกว่าความต้านทานของตวั เหน่ยี วนำ ง) แรงดันไฟฟา้ สงู สดุ และแรงดนั ณ เวลาใดๆ ของตวั ต้านทาน ตวั เหนีย่ วนำ และตวั เกบ็ ประจุ แรงดนั ไฟฟ้าสงู สุดmทต่ี กครอ่ มตัวต้านทาน ΔVRmax = ImaxR จะได้ ΔVR = (0.292A)(425Ω) = 124 V แรงดนั ไฟฟ้า ณ เวลาใดๆ ΔvR = ΔVR sinωt = 124 sin(120πt)

แรงดันไฟฟา้ สูงสดุ ของตัวเหนีย่ วนำ ΔVLmax = ImaxXL จะได้ ΔVL = (0.292A)(471Ω) = 138 V แรงดันไฟฟ้า ณ เวลาใดๆ ΔvL = ΔVL sinωt = 138sin(120πt) แรงดนั ไฟฟ้าสงู สุดของตวั เกบ็ ประจุ ΔVCmax = ImaxXC จะได้ ΔVC = (0.292A)(758Ω) = 221 V แรงดนั ไฟฟา้ ณ เวลาใดๆ Δvc = − ΔVCmax sinωt = − 221sin(120πt) ดังนั้นจะได้ แรงดนั ไฟฟ้ารวม Δveq : Δveq = ΔvR +ΔvL +ΔvC = 124V+138V+221V = 484 V จ) หากำลงั ไฟฟา้ เฉล่ีย Pav จาก Pav = IrmsΔVrms cosφ เมอ่ื ΔVrms = ΔVmax = 150V = 106 V 2 2 และ และจาก φ = − 34.0! จะได้ cosφ = 0.829 Pav = (0.206A)(106V)(0.829) = 18.1W ตอบ ความต้านทานของตัวเหนีย่ วนำและตัวเก็บประจุ คอื 471 โอห์ม และ 758 โอหม์ ความตา้ นทานเชงิ ซ้อน คอื 513 โอห์ม กระแสไฟฟา้ สูงสดุ ที่ไหลในวงจร คอื 292 มลิ ลแิ อมแปร์ มุมเฟสระหวา่ งแรงดันไฟฟ้ากบั กระแสไฟฟา้ คือ 345.8 องศา แรงดันไฟฟา้ สงู สุด คือ 484 โวลต์ และแรงดนั ไฟฟ้าท่ตี กครอ่ มตวั ต้านทาน ตวั เหน่ยี วนำและ ตวั เก็บประจุ ณ เวลาใดๆ คอื 124 โวลต์ 138 โวลต์ และ 221 โวลต์ ตามลำดับ กำลงั ไฟฟา้ เฉลี่ย คือ 18.1 วัตต์

4.4.2 ความถเี่ รโซแนนต์ ความตา้ นเชิงซ้อน Z ของวงจรอารเ์ อลซีอนุกรมจะมคี ่านอ้ ยที่สดุ เปน็ Z = R เมอื่ เกิด การเรโซเนนต์ (หรือการกำทอน หรือการส่นั พ้อง) ซ่ึงกระแสไฟฟา้ ท่ไี หลในวงจรมีค่าสงู สดุ และ โดยทวั้ ไปกระแสไฟฟ้าเฉลยี่ Irms ในวงจรอนุกรมอาร์เอลซี หาได้จาก Irms = ΔVrms = ΔVrms (4.36) Z R2 + (XL − XC )2 จากสมากร (4.36) จะเห็นวา่ ความตา้ นเชงิ ซอ้ นของวงจรมีค่านอ้ ยทสี่ ุด เม่อื XL = XC น้นั คอื Z = R กำหนดให้ f0 คือ ความถ่เี รโซแนนต์ (resonance frequency) ดังนัน้ จะได้ 2π f0L = 1 นั่นคอื 2π f0C f0 = 1 (4.37) 2π LC ความถ่ีเรโซเนนต์ คือ ความถีท่ สี่ อดคล้องกบั ความถธ่ี รรมชาติ (natural frequency) ตวั อย่างที่ 4.10 จงหาความถเี่ รโซเนนต์ของวงจรอนกุ รม RLC ซึง่ ประกอบด้วย แหลง่ กำเนดิ ไฟฟ้า ที่มีแรงดันไฟฟา้ เฉลี่ย 220 โวลต์ ตวั ต้านตา้ นขนาด 150 โอห์ม ตัวเหนี่ยวนำขนาด 20.0 มิลลิเฮนรี และตัวเกบ็ ประจุขนาด 100 ไมโครฟารดั วิธีทำ ตอบ ความถเ่ี รโซเนนต์ คือ 113 เฮริ ตซ์ ์ ตวั อย่างที่ 4.11 วงจรอนกุ รม ประกอบด้วยแหลง่ กำเนิดไฟฟ้าทีม่ ีคา่ แรงดันเฉลยี่ 20 โวลต์ มคี วามถ่เี ชงิ มมุ 5.0 กิโลเฮริ ์ซ ตอ่ กบั ตัวตา้ นตา้ น 150 โอห์ม ตัวเหนี่ยวนำ 40 มลิ ลิเฮนรี จงหาขนาด ของตวั เก็บประจทุ ีท่ ำให้กระแสไฟฟา้ ในวงจรมีคา่ สูงสดุ วธิ ีทำ กระแสไฟฟ้าในวงจรจะมคี า่ สูงสดุ เมื่อเกดิ การเรโซเนนต์ จาก ดังนน้ั จะได้ 1 = 1.0µF 40 × 10−3H (5.0 × 103Hz)2 ( )C = ตอบ ขนาดของตวั เก็บประจุ เทา่ กับ 1.0 ไมโครฟารดั

4.5 คลนื่ แมเ่ หลก็ ไฟฟา้ 4.5.1 สมการแมกซเ์ วลล์ เจมส์ เคริ ก์ แมกซเ์ วล์ (James Clerk Maxwell) นกั ฟสิ ิกส์ชาวสกอ๊ ต (1831-1879) อธบิ าย คล่นื แมเ่ หลก็ ไฟฟา้ (electromagnetic wave) ดว้ ยสมการพื้นฐาน 4 สมการ ดงั น้ี 1. กฎของเกาส์สำหรบั ไฟฟา้ “ฟลักซไ์ ฟฟา้ สทุ ธิ์ ΦE ท่ผี ่านผวิ ปดิ ใดๆ ซงึ่ ล้อมรอบประจุ จะมีค่าเท่ากบั ประจุสทุ ธิ qin หารดว้ ยสภาพยอมของสุญญากาศ ε0 ” #∫ΦE = !\" !\" qin (4.38) E⋅dA = ε0 2) กฎของเกาสส์ ำหรบั แมเ่ หลก็ “ฟลกั ซแ์ มเ่ หลก็ ΦB ทีพ่ ุ่งเข้าพืน้ ที่ผิวปิดใดๆ จะมีคา่ เท่ากบั ฟลกั ซแ์ มเ่ หล็กทพ่ี งุ่ ออกจากพน้ื ทผี่ วิ ปิดนนั้ ๆ ดงั นน้ั ฟลกั ซ์แม่เหล็กสุทธจิ ึงเทา่ กับ ศนู ย”์ ΦB = #∫ !\" ⋅ d !\" = 0 (4.39) B A 3) กฎเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ “แรงเคลือ่ นไฟฟา้ เหนยี่ วนำ ε มีคา่ เทา่ กับอัตราการเปลี่ยน ฟลกั ซแ์ ม่เหลก็ ต่อเวลาโดยทีส่ นามไฟฟ้าจะมที ิศต้านการเปล่ียนแปลงฟลักซ์แมเ่ หล็ก” ε = #∫ !\" ⋅ d \" = − dΦB (4.40) E S dt 4) กฎกระแสของแอมแปรแ์ ละแมกซ์เวลล์ “สนามแมเ่ หลก็ รอบๆ ตวั นำใดๆ ทก่ี ระแสไฟฟ้า ไหลผา่ นจะขน้ึ อยู่กับปรมิ าณกระแสไฟฟา้ ลัพธ์ (I +Id ) ทไี่ หลผา่ นตวั นำนนั้ ๆ” #∫ !\" \" = µ0 I + µ0ε0 dΦE (4.41) dt B⋅dS เมอื่ กฎของแอมแปร์ #∫ !\" ⋅ \" = µ0 I B dS และกฎกระแสกระจดั ของแมกแวลล์ Id = µ0ε0 dΦE dt ทั้งนใี้ นหัวข้อ 4.4.2 จะแสดงใหเ้ หน็ วา่ สมการ(4.36) และ (4.37) เมือ่ นำมารวมกันแล้ว จะได้ สมการทสี่ ามารถอธิบายไดท้ ้งั สนามไฟฟ้า สนามแมเ่ หล็ก และคลน่ื แสงทกี่ ำลงั เคลื่อนท่ี ในสญุ ญากาศ (ไมม่ ีประจุไฟฟา้ และกระแสไฟฟ้า ) ผลเฉลยของท้ังสองสมการ จะแสดงให้เหน็ วา่ ความเรว็ ของคลน่ื แม่เหล็กไฟฟา้ ดังน้นั แมกซแ์ วลล์ จึงสรุปว่า คลืน่ แสง คอื การแผร่ ังสแี มเ่ หล็กไฟฟา้

4.5.2 สมการคล่ืนแม่เหล็กไฟฟา้ ในระนาบ เพราคะลวา่ื่นแสมนเ่ หามลไ็กฟไฟฟา้ฟา้ E!\"(elแeลctะrสoนmาaมgแnมeแ่ tหicลก็wa!B\"veจ)ะสเป่นั น็ในคทลศิืน่ ตทาี่ตมงั้ ขฉวาากงก(นั trซaงึ่ nกsันvแeลrsะeกนัwเaสvมeอ) และต้ังฉากกับทศิ ของการเคลอื่ นที่ของคล่นื ดงั แสดงในภาพที่ 4.19 ภาพที่ 4.19 คล่นื แม่เหล็กไฟฟา้ กำลังเคล่อื นทไ่ี ปตามแกน โดยที่ สนามไฟฟา้ มที ศิ ไปตามแนวแกน และสนามแม่เหลก็ มีทศิ ไปตามแนวแกน (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;743) จากสมการ(4.41) เม่อื คล่นื แมเ่ หล็กไฟฟา้ กำลังเคล่อื นทอี่ ยูใ่ นสญุ ญากาศ จะได้ #∫ !\" \" = µ0ε0 dΦE (4.42) dt B⋅dS เน่อื งจากสนามไฟฟา้ !\" และสนามแมเ่ หลก็ !\" เป็นฟังก์ชนั ของตำแหนง่ และเวลา E B และความสมั พันธร์ ะหวา่ งสนามไฟฟ้าและสนามแมเ่ หลก็ เป็นดงั นี้ !\" !\" ∂E = ∂B ∂x − ∂t (4.43) !\" !\" ∂B = ∂E ∂x − µ0ε 0 ∂t (4.44) เม่อื µ0 = 4π ×10−7 T-m A คอื คา่ สภาพซมึ ซาบได้ทางแมเ่ หล็กในสญุ ญากาศ และ ε0 = 8.854 ×10−12 C2 N-m2 คือ ค่าสภาพยอมทางไฟฟา้ ในสุญญากาศ

นำสมการ (4.43) หา อนุพันธ์ย่อยเทยี บ !\" !\" !\" ∂2 E ∂ ⎛ ∂B ⎞ ∂ ⎛ ∂B ⎞ ∂x2 = − ∂x ⎜⎝ ∂t ⎠⎟ = − ∂t ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ (4.45) แทนสมการ (4.44) ใน (4.45) จะได้ !\" !\" ∂2 E ∂2 E ∂x2 = µ0ε0 ∂t 2 (4.46) ในทำนองเดยี วกัน จะได้ !\" !\" B B ∂2 = µ0ε0 ∂2 (4.47) ∂x2 ∂t 2 !! ∂2 y 1 ∂2 y จะเห็นไดว้ า่ สมการ (4.46) และ (4.47) คอื สมการคลน่ื ตามขวาง ∂x2 = c2 ∂t 2 ดังนั้นจะได้ c= 1 (4.48) µ0ε0 เมือ่ แทน µ0 = 4π × 10−7 T-m A และ ε0 = 8.854 × 10−12 C2 N-m2 จะได้ ซึง่ เป็นคา่ ทเ่ี ทา่ กับความเร็วของแสงในสุญญากาศ ดงั นนั้ จงึ สรปุ ได้วา่ แสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เน่อื งจากสมการ (4.46) และ (4.47) เป็นสมการเชงิ อนพุ ันธส์ ามญั อนั ดับสอง ดงั น้นั ผลเฉลยของท้งั สองสมการจงึ อยู่ในรปู ของฟงั กช์ นั คลื่นไซนูไซดอล (sinusoidal wave) ซึง่ เรา สามารถเขยี นผลเฉลย แสดงขนาดของสนามไฟฟ้า E และขนาดของสนามแม่เหล็ก B ซ่งึ เปน็ ฟงั กช์ นั ของตำแหน่ง x และเวลา t ได้เป็น E(x,t) = E0 cos(kx − ωt) (4.49) B(x,t) = B0 cos(kx − ωt) (4.50) เมอ่ื E0 และ B0 คือ ขนาดของสนามไฟฟ้าและสนามแมเ่ หล็กสูงสดุ ตามลำดับ k = 2π คือ เลขคลืน่ (wave number) เมอื่ λ คือ ความยาวคลืน่ (wavelength) λ ω = 2π f คือ ความถ่ีเชิงมุม (angular frequency) และ คอื ความถ่ีของคล่นื

อัตราส่วนระหวา่ ง ω และ k มคี ่าเทา่ กบั ความเรว็ ของคลื่นแมเ่ หล็กไฟฟา้ c (4.51) ω = 2π f = f = c k 2π λ λ อนุพันธย์ อ่ ยสมการ (4.49) เทียบ x ไดเ้ ปน็ ∂ E(x,t) = − kE0 sin(kx − ωt) ∂x อนพุ ันธ์ย่อยสมการ (4.50) เทยี บ t ได้เป็น ∂ B(x,t) = ω B0 sin(kx − ωt) ∂t และนำไปแทนในสมการ (4.43) จะได้ kE0 = ω B0 E0 = ω = c (4.52) B0 k ตวั อยา่ งท่ี 4.12 คล่นื แมเ่ หลก็ ไฟฟา้ มคี วามถ่ี 40.0 เมกะเฮริ ์ซ เคล่อื นทีอ่ ยูใ่ นสญึ ญากาศในทศิ ทาง จงหา ก) ความยาวคลนื่ และคาบของคลน่ื ข) สนามแม่เหล็กและทศิ ทาง เมื่อสนามไฟฟ้าสงู สุด มีคา่ เท่ากับ 750 นวิ ตันต่อคลู อมบ์ ค) สมการเวกเตอรแ์ สดงสนามไฟฟ้าและสนามแมเ่ หล็กของคล่ืน วิธที ำ ก) ความยาวคล่ืน λ= c และ f ดังนั้น จะได้ λ = 3.00 × 108 m/s = 7.50m 4.00 × 107 s−1 คาบของคลื่น T = 1 จะได้ f ข) สนามแม่เหลก็ เมือ่ สนามไฟฟา้ สงู สดุ มีค่าเท่ากบั 750 นิวตนั ต่อคูลอมบ์ จาก E0 = c และ E0 = 750 N/C B0 จะได้ B0 = E0 = 750N/C = 2.50 × 10−6 T c 3.00 × 108 m/s เนือ่ งจากสนามไฟฟา้ !\" และสนามแม่เหล็ก !\" มีทศิ ตั้งฉากซึง่ กันและกนั !\" E !\" B E B เมื่อ มีทศิ ทางตามแกน แล้ว จะมีทิศทางตามแกน

ค) สมการเวกเตอร์สนามไฟฟา้ และสนามแม่เหล็กของคล่ืน จาก E(x,t) = E0 cos(kx − ωt) และ B(x,t) = B0 cos(kx − ωt) เมือ่ k = 2π = 2π = 0.838rad/m λ 7.50m และ ω = 2π f = 2π (4.00 × 107 Hz) = (8.00π × 107 rad/s) ดังนั้นจะได้สมการเวกเตอร์สนามไฟฟ้าและเวกเตอร์สนามแม่เหล็ก เป็น E(x,t) = 750 cos(0.838x − 8.00π × 107 t) jˆ N/C B(x,t) = 2.50 × 106 cos(0.838x − 8.00π × 107 t)kˆ T 4.5.3 สเปกตรมั คล่ืนแมเ่ หล็กไฟฟา้ คลืน่ แม่เหลก็ ไฟฟา้ แบ่งออกเป็น 7 ชว่ งความถ่ี ดังนี้ 1) แคลื่นวิทยุ (Radio waves) คือ คล่นื ท่มี ีความถปี่ ระมาณ 2 - 3 เฮิรตซ์ จนถึงประมาณ 109 เฮริ ตซ์ (ความยาวคลืน่ ระหวา่ ง 0.10 เมตรถึง >104 เมตร) เปน็ คล่ืนทใ่ี ชร้ บั -ส่ง สัญญาณวทิ ยุ โทรทศั น์ และ สามารถสรา้ งความถีช่ ว่ งนไ้ี ด้จากวงจรอิเลก็ ทรอนกิ ส์ 2) คลืน่ ไมโครเวฟ (Micro waves) คือคลนื่ ทม่ี ี ความถอี่ ย่รู ะหว่าง 109 เฮริ ตซ์ จนถึง 3x1011 เฮริ ตซ์ (ความยาวคลืน่ ประมาณ 0.3 เมตร ถงึ 10-4 เมตร) เป็นคลื่นสั้นท่ี เหมาะใชท้ ำเรดารแ์ ละใช้ศึกษาอะตอม-โมเลกลุ ของสสารหรือประยกุ ตเ์ ปเ็ ตาไมโครเวฟ 3) คลื่นอนิ ฟราเรดหรอื คล่นื ใตแ้ ดง (Infrared waves : IR) คอื คลน่ื ท่มี ีความถปี่ ระมาณ 3x1011 - 4x1014 เฮริ ตซ์ (ความยาวคลื่น 10-3 เมตร ถงึ 7.0x10-7 เมตร) คล่นื ช่วงน้จี ะ ทำให้โมเลกุลของวัตถุสั่นมากขึ้นเป็นผลทำให้วัตถุมีอุณหภูมิสูงขึ้น นักวิทยาศาสตร์ใช้ ความถช่ี ว่ งนีม้ าสร้างเครือ่ งมอื วัด ตัวอยา่ งเช่น IR photography IR-spectroscopy 4) คลนื่ ทสี่ ามารถมองเหน็ ได้ด้วยตา (Visible light) คอื คลนื่ ทีม่ คี วามถ่ีประมาณ 4x1014 – 8x1014 เฮิรตซ์ (ความยาวคล่นื ประมาณ 400 นาโนเมตร ถงึ 700 นาโนเมตร) ความถ่ชี ว่ งนเ้ี กิดจากการจัดเรยี งตัวของอะตอม และโมเลกุลในสสาร มนุษย์มองเหน็ วตั ถุ เป็นสีต่างๆ กนั ต้ังแตส่ แี ดง จนไปถึงสมี ว่ ง

5) คล่นื อลั ตาไวโอเลตหรอื รงั สเี หนอื ม่วง (Ultraviolet waves) หรือเรยี กวา่ รังสยี วู ี (UV) คือ คลื่นทม่ี ีความถี่ประมาณ 8x1014 – 3x1017 เฮริ ตซ์ (ความยาวคล่นื ประมาณ 4x10-7 เมตร ถึง 6x10-10 เมตร) คล่นื ช่วงนส้ี ่วนใหญไ่ ดร้ บั จากดวงอาทติ ยแ์ ละ ถ้าได้รับมากเกนิ ไปจะเป็นอนั ตรายต่อสิ่งมชี ีวิต แต่ฆา่ เชอ่ื โรค 6) รังสีเอกซ์ (X-Rays) คือ คล่นื ทีม่ คี วามถ่ีประมาณ 1016–1020 เฮิรตซ์ (ความยาวคลื่น 10-8 -10-12 เมตร) เป็นคลื่นท่ีมีพลงั งานสงู สามารถใช้รักษามะเร็งและใชใ้ นการ วเิ คราะหโ์ ครงสรา้ งอะตอมของสสาร 7) รังสีแกมมา (Gamma Rays) คือ คลื่นที่มีความถี่มากกว่า 1018 เฮิรตซ์ (ความยาวคลื่น 10-10 เมตร -10-14 เมตร)เป็นรังสีที่เกิดจากการแผ่รังสีของสาร กัมมันตรังสีและเครื่องปฎิกรณ์ปรมาณูมีอำนาจทะลุทะลวงสูง สามารถฆ่าเชื้อโรคได้ ทำลายเซลลม์ ะเร็งได้ ภาพที่ 4.20 สเปกตรมั ของคล่นื แม่เหล็กไฟฟ้า (College Physics, 9 edition. Serway ;747)

4.6 สรุป บทสรุป 1 แรงเคล่อื นไฟฟา้ เหน่ยี วนำ กฎเหนย่ี วนำของฟาราเดย์ (Faraday’s law of Induction) แรงเคล่อื นไฟฟ้าเหนยี่ วนำทเ่ี กดิ จากการพันลวดตัวนำ N รอบ ε = − N dΦB dt เม่อื ฟลักซ์แมเ่ หล็ก (magnetic flux) !\" !\" ΦB = ∫ B ⋅ d A = BA cosθ 2 เคร่ืองกำเนดิ ไฟฟ้า การหมุนของขดลวดตัวนำภายใต้สนามแม่เหล็กจะทำให้เกิดแรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำ ε = − N dΦB เมอ่ื ΦB = BAcosθ และขดลวดหมนุ ดว้ ยอัตราเร็วเชิงมุม ω รอบ dt แกนท่ตี ั้งฉากกบั สนามแม่เหล็ก แล้วจะมแี รงเคลอ่ื นไฟฟ้าเหนี่ยวนำ ε = ω NBAsin(ωt) แรงเคลือ่ นไฟฟ้าเหน่ียวนำสงู สุด ε = ωNBA 3 การเหน่ียวนำตนเอง

εL = − L ΔI = − L dI Δt dt ความเหน่ยี วนำ ขนาดของสนามแม่เหลก็ จากขดลวดโซลนิ อยด์ B = µ0nI = µ0 I N ℓ เมอื่ n = N ℓ คอื จำนวนรอบตอ่ ความยาว และ N คือ จำนวนรอบของขดลวดท้งั หมด 4 วงจรอนุกรมอาร์เอล I(t) = I max ⎛ 1 − e− Rt ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ L เมื่อ t = L R จะได้ I(t) = 0.632Imax เรยี ก t = L R = τ ว่า คา่ คงตัวเวลา (time constant) หมายถงึ เวลาท่กี ระแสในวงจรเพ่ิมขึน้ เป็น 0.632 หรือ เทา่ ของกระแสสงู สุด Imax 5 ตัวตา้ นทานในวงจรไฟฟา้ กระแสสลบั

ΔvR (t ) = ΔVmax sinωt และ iR (t ) = Imax sinωt เม่อื Imax = ΔVmax R ΔVrms = ΔVmax = 0.707ΔVmax 2 I rms = I max = 0.707Imax 2 6 ตวั เหนีย่ วนำในวงจรไฟฟา้ กระแสสลับ iL (t ) = I max sin ⎛ ω t − π ⎞ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ เมอ่ื I max = ΔVmax XL ความตา้ นทานของตวั เหนี่ยวนำ (inductive reactance) XL = ω L 7 ตวั เกบ็ ประจุในวงจรไฟฟา้ กระแสสลบั

iC (t) = I maxω sin ⎛ ω t + 1 ⎞ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ เม่ือ Imax = ωCΔVmax ความต้านทานของตวั เกบ็ ประจุ (capacitive reactance) XC = 1 ωC

8 วงจรอนกุ รมอาร์เอลซี i(t ) = Imax sinωt ΔvR (t ) = ΔVRmax sinωt = ImaxR sinωt ΔvL (t) = ΔVLmax cosωt = I max X L sin ⎜⎝⎛ ω t + π ⎠⎞⎟ 2 ΔvL (t) = − ΔVC max cosωt = I max XC sin ⎛ ω t − π ⎞ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ΔVmax = ΔVR2 + (ΔVL − ΔVC )2 และ tanφ = ΔVL − ΔVC ΔVR ความต้านทานเชงิ ซอ้ น (impedance) Z = R2 + (XL − XC )2

กำลงั ไฟฟา้ เฉล่ียของวงจร ไฟฟา้ กระแสสลบั Pav = IrmsΔVrms cosφ และเรียก cosφ ว่า เพาเวอร์เฟกเตอร์ ความถเี่ รโซแนนต์ (resonance frequency) f0 = 1 2π LC 9. คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า c= 1 µ0ε0 µ0 = 4π × 10−7 T-m A ε0 = 8.854 × 10−12 C2 N-m2 E(x,t) = E0 cos(kx − ωt) B(x,t) = B0 cos(kx − ωt) E =c B เมือ่ k = 2π และ ω = 2π f λ



แบบฝึกหดั บทที่ 4 แบบฝกึ หัดประจำบทท่ี 4 1) ขดลวดตัวนำวงกลมรัศมี 25.0 เซนติเมตร วางอยใู่ นระนาบ อยูใ่ นบรเิ วณทส่ี นามแมเ่ หล็ก สม่ำเสมอ 360 มลิ ลิเทสลา โดยมที ิศทางไปทางแกน จงหา 1.1) ฟลักซ์แม่เหล็กที่พุ่งผ่านขดลวด เมื่อขดลวดหมุนรอบแกน ในทิศตามเข็มนาฬิกา จนทำมุม 45 องศากับแกน 1.2) อัตราการเปล่ยี นแปลงของฟลักซ์แมเ่ หลก็ ที่พงุ่ ผา่ นขดลวด 1.3) ถ้าเดมิ ขดลวดทำมมุ 45 องศา กับสนามแมเ่ หลก็ จงหาฟลักซแ์ มเ่ หลก็ ที่พุ่งผา่ นขดลวด เม่ือขดลวดหมุนไปอีก 30 องศา ! 1.4) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของฟลักซ์แมเ่ หล็กทีพ่ งุ่ ผา่ นขดลวดจากมมุ 45 องศา เป็น 75 องศา 2) ขดลวดตวั นำขอเป็นรูปส่ีเหล่ยี มจตั ุรัสยาวดา้ นละ 1.80 เซนตเิ มตร จำนวน 25 รอบ ซง่ึ แตล่ ะรอบ มพี ืน้ ที่หน้าตัดเทา่ กนั และมคี วามตา้ นทาน 0.350 โอห์ม ถ้าให้สนามแมเ่ หลก็ ท่มี ขี นาดคตัว ในทิศทางต้งั ฉากกบั ขดลวด แลว้ จงหา 2.1) แรงเคลือ่ นไฟฟ้าเหนีย่ วนำในขดลวด ขณะทีส่ นามแม่เหล็กท่ีพุง่ ผา่ นขดลวด เปลี่ยนแปลง จาก 0.500 เทสลา เปน็ 0.200 เทสลา ภายใน 0.600 วนิ าที 2.2) ขนาดของกระแสเหนย่ี วนำในขดลวดตัวนำ 3) เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสลบั ประกอบดว้ ยขดดลวดตัวนำ 8 รอบ ซึ่งแต่ละรอบมีพ้ืนท่ีหน้าตดั เท่ากนั เปน็ 0.090 ตารางเมตร ขดลวดมคี วามตา้ นทาน 12.0 โอห์ม ถา้ ขดลวดดังกลา่ วหมุนด้วยความถี่ 60.0 เฮิรซ์ ภายใตส้ นามแม่เหลก็ คงท่ี 0.500 เทสลา แล้ว จงหา 3.1) แรงเคล่ือนไฟฟา้ เหนย่ี วนำสูงสดุ 3.2) กระแสเหน่ียวนำสงู สดุ เม่ือต่อกบั ตัวนำที่มคี วามต้านทานต่ำ 3.3) แรงเคล่ือนไฟฟ้าเหนีย่ วนำและกระแสเหนย่ี วนำท่ีเปน็ ฟังกช์ ันกบั เวลา ! 4) เคร่ืองกำเนดิ ไฟฟ้าสลบั มแี รงดันไฟฟา้ สงู สดุ 301 โวลต์และขดลวดแต่ละรอบมพี ืน้ ที่หนา้ ตดั เท่ากัน 0.100 ตารางเมตรมีความต้านทาน 16.0 โอห์ม ถา้ ขดลวดดงั กล่าวหมุนดว้ ยความถ่ี 40.0 เฮริ ซ์ ภายใตส้ นามแมเ่ หล็กคงที่ 0.600 เทสลา แลว้ จงหา 4.1) จำนวนรอบของขดลวดตวั นำ

4.2) กระแสเหนยี่ วนำสูงสดุ ในขดลวด 5) วงจรไฟฟ้าอนกุ รมอนั หนึ่ง ประกอบดว้ ย แบตเตอรี 12.6 โวลต์ ตวั ตา้ นทานขนาด 0.350 โอหม์ และตัวเหนย่ี วนำ จงหา 5.1) กระแสไฟฟ้าในวงจร เมื่อเวลาผา่ นไปนานมาก ( t >>τ ) 5.2) กระแสไฟฟ้าและแรงดันตกครอ่ มตัวต้านทาน ณ t =τ 5.3) ค่าความเหน่ยี วนำ ถ้าวงจรมีค่าคงตวั เวลา เท่ากบั 0.130 วินาที ( ) 6) จากภาพที่ 4.21 จงหาคา่ คงตวั เวลา (time constant) ของวงจร (ก) (ข) ภาพท่ี 4.21 สำหรบั แบบฝึกหัดขอ้ 6 7) วงจรไฟฟา้ อนกุ รมประกอบดว้ ย และ จงหา 7.1) คา่ คงตัวเวลา (time constant) ของวงจร 7.2) กระแสฟา้ ในวงจร หลงั จากปิดสวิตซ์ S เปน็ เวลา 7.3) กระแสไฟฟ้าสงู สดุ 7.4) ระยะเวลาท่ีกระแสในวงจร เป็น 80.0% ของกระแสสงู สุด 8) วงจรอนุกรมอาร์เอลซีประกอบด้วย แหล่งกำเนิดไฟฟ้าที่มีค่าแรงดันสูงสุด 150 โวลต์ ความถี่ 60.0 เฮิรซ์ ต่ออยูก่ ับตวั ตา้ นตา้ น 250 โอห์ม ตัวเหนย่ี วนำ 0.600 เฮนรี และ ตัวเกบ็ ประจุ 3.50 ไมโครฟารัด จงหา 8.1) ความตา้ นทานของตวั เหนยี่ วนำ ตวั เก็บประจุ และความตา้ นทานเชงิ ซอ้ น 8.2) กระแสไฟฟ้าสูงสุดทไี่ หลในวงจร 8.3) มมุ เฟสระหว่างแรงดนั ไฟฟ้ากบั กระแสไฟฟ้า 8.4) แรงดนั ไฟฟ้าสูงสดุ ของตวั ต้านทาน ตวั เหนยี่ วนำ และตวั เก็บประจุ

9) วงจรอนุกรมอาร์เอลซีประกอบด้วยแหล่งกำเนิดไฟฟ้าที่มีค่าแรงดันสูงสุด 325 โวลต์ ความถี่ 60.0 เฮิรซ์ ต่ออยูก่ บั ตัวต้านตา้ น 175 โอหม์ ตัวเหนยี่ วนำ 500 มิลลเิ ฮนรี และ ตัวเกบ็ ประจุ 22.5 ไมโครฟารดั ดังภาพท่ี 4.22 จงหา 9.1) ความต้านทานเชิงซอ้ น 9.2) กระแสไฟฟา้ สงู สดุ ทไี่ หลในวงจร 9.3) มมุ เฟสระหวา่ งแรงดันไฟฟา้ กับกระแสไฟฟ้า 9.4) แรงดันไฟฟา้ สูงสุดของตัวตา้ นทาน ตวั เหนย่ี วนำ และตวั เก็บประจุ ภาพท่ี 4.22 สำหรบั แบบฝกึ หดั ข้อ 9 10) คล่ืนแมเ่ หล็กไฟฟา้ มีความถ่ี 20.0 เฮริ ์ซ เคลอ่ื นท่อี ยใู่ นสญุ ญากาศในทิศทาง จงหา 10.1) ความยาวคลื่นและคาบของคล่นื 10.2) สนามไฟฟ้าและทิศทาง เมื่อสนามแมเ่ หล็กสงู สุด มีค่าเทา่ กับ 0.50 ไมโครเทสลา 10.3) สมการเวกเตอรแ์ สดงสนามไฟฟา้ และสนามแมเ่ หล็กของคล่ืน

บทท่ี 5 บทที่ 5 แสงเชิงเรขาคณติ ĊČĎḐČȄEḈCḄḒ ĎḌȄḈCÈ 5 แสงเชงิ เรขาคณติ แสง (light) เปน็ คลื่นแมเ่ หล็กไฟฟ้าชนดิ หนึ่ง มีความยาวคล่ืนประมาณ 400-700 นาโนเมตร ซ่งึ เป็นยา่ นที่มองเห็นด้วยตาเปลา่ โดยเห็นเปน็ สมี ว่ ง น้ำเงนิ เขยี ว เหลือง ส้ม และแดง นอกจากน้ี แสงจะเคลื่อนที่ในสุญญากาศด้วยความเร็วประมาณ 3.0 ×108 เมตรต่อวินาที โดยที่แสงจะมี คุณสมบตั เิ ชิงเรขาคณิตสองประการ คือ การสะท้อน (reflection) และการหกั เห (refraction) และ มคี ณุ สมบตั ิเชิงกายภาพสามประการ คือ การเลย้ี วเบน (diffraction) การแทรกสอด (interference) และการโพราไรซ์ (polarization) ในเอกสารบทนี้จะกล่าวถึงเฉพาะสมบัติเชิงเรขาคณิตเท่านั้น

นอกจากน้ีเรายงั ไดอ้ ธิบายถงึ การเกิดภาพจากการหักเห การเกิดภาพกระจกเงาราบ การเกิดภาพ กระจกโค้งนูน กระจกโคง้ เวา้ และเลนสบ์ าง 5.1 ธรรมชาติของแสง เพ่อื ให้ง่ายในการเขา้ ใจถงึ การสะท้อนและการหักเหของคล่ืนแสง เราจะใชร้ ังสี แทน ทิศทาง การเคลื่อนที่หน้าคลื่นซึ่งในตัวกลางใดหนึ่งๆ แสงจะเดินทางเป็นเส้นตรง แต่ถ้าแสงเดินทางจาก ตัวกลางหนึ่งไปยังอีกตัวกลางหนึ่ง ณ บริเวณรอยต่อของตัวกลางทั้งสองนั้นจะเกิดปรากฎการณ์ การสะท้อนและการหักเหขึ้น โดยรังสีสะท้อนจะอยู่ในตัวกลางเดียวกับรังสีของแสงที่ตกกระทบ ในขณะที่ รังสีของแสงที่เดินทางเข้าไปยังอีกตัวตัวกลางหนึ่งจะเกิดการหักเหของรังสีของแสงเบนไป จากเส้นทางเดมิ ดงั แสดงในภาพท่ี 5.1 (ก) (ข) ภาพที่ 5.1 ก) โมเดลการสะท้อนและการหักเหของแสง และ ข) แสงเดินทางตกกระทบแท่งแกว้ ลูไซด์ แลว้ เกดิ การสะทอ้ นและเกิดการหักเห (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;766) 5.1.1 การสะทอ้ นของแสง เมื่อแสงเดินทางตกกระทบรอยต่อของตัวกลางสองชนิดแล้วแสงบางส่วนหรือทั้งหมดจะ เกิดสะทอ้ นกลับมายังตัวกลางเดมิ ดงั ภาพท่ี 5.2(ก) ไมว่ า่ ผิวของตวั กลางจะราบเรียบหรือขรุขระ ดังภาพท่ี 5.2(ข) ก็ตาม การสะท้อนของแสงจะเป็นไปตามกฎการสะท้อน ดังน้ี 1. รังสตี กกระทบและรงั สีสะท้อนจะอยใู่ นระนาบเดียวกันเสมอ 2. มุมตกกระทบ θ1 จะมคี ่าเทา่ กับมมุ สะท้อน θ1′ เสมอ (θ1 = θ1′ )

(ก) (ข) ภาพที่ 5.2 ก) โมเดลการสะท้อนของแสง ข) การสะทอ้ นของแสงเมื่อตกกระทบผิวราบเรยี บและ พนื้ ผวิ ขรขุ ระ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;763, 764) ตวั อยา่ งท่ี 5.1 กระจกสองอันวางทำมมุ กัน 120 องศา ถา้ รังสตี กกระทบกระจก M1 ด้วยมมุ 65 องศา ดงั ภาพท่ี 5.3 แลว้ จงหามมุ สะท้อนทีก่ ระจก M2 ภาพท่ี 5.3 สำหรับตัวอยา่ งที่ 5.1 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;763, 765) วิธีทำ 1) หามุม θref จากกฎการสะทอ้ น จะได้ θref = θinc = 65! 2) หามุม φ จาก φ = 90! − θref จะได้ φ = 90! − 65! = 25! 3) หามมุ α จาก มมุ ภายในสามเหล่ียม φ + α +120! = 180! จะได้ α = 180! − 120! − 25! = 35! 4) หามุม βinc จาก βinc = 90! − α จะได้ βinc = 90! − 35! = 55!

5) หามุม βref จากกฎการสะท้อน จะได้ βref = βinc = 55! ตอบ มุมสะท้อน เท่ากบั 55 องศา 5.1.2 การหักเหของแสง เมื่อรังสีของแสงเดินทางจากตัวกลางโปร่งแสงหนึ่งไปถึงบริณเวณรอยต่อตัวกลางโปร่งแสง อกี ตวั กลางหนึ่ง ดังภาพท่ี 5.1(ก) รังสสี ่วนหนึ่งจะสะท้อนกลับมายงั ตวั กลางเดิม (ดังหวั ข้อ 5.1.1) และรังสีของแสงส่วนหนึ่งจะทะลุผ่านเข้าไปยังอีกตัวกลางหนึ่ง แต่แนวของรังสีจะเบนไปจาก แนวเดิม เปน็ มุม θ2 และเรียกวา่ มุมหกั เห ซึ่งจะข้นึ อยกู่ ับสมบตั ิของตวั กลางโปรง่ แสงท้งั สอง และมมุ ตกกระทบ ดงั น้ี sinθ2 = v2 = คา่ คงตวั (5.1) sinθ1 v1 เมื่อ v1 และ v2 คือ ความเรว็ ของแสงในตวั กลางที่ 1 และตวั กลางท่ี 2 ตามลำดบั และ มมุ หกั เห θ2 เป็นมุมทีว่ ดั จาก เสน้ ปกติ (normal line) เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางซึ่งเป็นวัสดุที่ทำให้แสงมีอัตราเร็วสูงไปยังตัวกลางที่ทำจากวัสดุ ซ่ึงทำให้แสงมีอตั ราเรว็ ตำ่ แลว้ มมุ หกั เห θ2 จะมีคา่ นอ้ ยกว่ามมุ ตกกระทบ θ1 นัน่ คอื รังสหี กั เห จงึ เบนเข้าหาเส้นปกติ ดงั ภอาพัตรทาี่ เร5ว็.4ข(อกง)แแสตงใ่ถน้าสแญุ สงญเดากนิ าทศางจากตวั กลางที่ทำใหแ้ สงมอี ัตราเรว็ ต่ำ ไปยงั ตวั กลางทท่ี ำให้แสงมีคอวัตารมาเเรรว็ ็วสขูงอแงลแ้วสมงุมในหตกั ัวเหกลθา2งใดจๆะมีค่ามากกวา่ มมุ ตกกระทบ θ1 น่นั คอื รงั สีหักเหจึงเบนออกจากเส้นปกติ ดงั แสดงในภาพที่ 5.4(ข) (ก) (ข)

ภาพที่ 5.4 การหักเหของแสง เมอ่ื ก) แสงเดินทางจากอากาศเขา้ สูแกว่้ ข) แสงเดินทางจากแกว้ เข้าสู่อากาศ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;766) 5.2 ดรรชนหี ักเหและกฎของการหกั เห ในหัวขอ้ น้เี ราจะอธิบายถึงการความหมายและการหาคา่ ดัชหกั ของวตั ถุ การกระเจิงของแสงเมื่อ คลื่นแสงเดนิ ทางผ่านปริซมึ และปรากฏการณก์ ารสะทอ้ นกลบั หมด 5.2.1 ดรรชนหี ักเหและกฎของสเนล ดรรชนหี กั เห (refraction index , n ) คือ คา่ ทบ่ี อกถึง ความหนาแน่นของวัตถนุ ้นั ๆ และเราสามารถหาค่าดรรชนีหักเหของตัวกลางใดๆ ได้โดยนิยามจากอัตราส่วนของความร็วของ แสงในสญุ ญากาศต่อความเร็วแสงในตัวกลาง นัน้ ๆ n= speed of ligh in vacuum = c (5.2) speed of ligh in a medium v จากสมการ (5.2) จะเหน็ ได้วา่ ดรรชนหี ักเหไม่มหี น่วยและมคี ่ามากกวา่ หรอื เท่ากับ 1 เสมอ เนอื่ งจาก v < c และดรรชนหี กั เหของอากาศจะเท่ากบั 1 ในขณะทดี่ รรชนหี กั เหของวตั ถุตา่ งๆ เป็นดังตารางที่ 5.1 เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางหนึ่งไปยังอีกตัวกลางหนึ่ง ความถี่จะคงตัวไม่เปลี่ยนแปลง เพือ่ อธิบายใหเ้ ข้าใจไดง้ ่ายถงึ เหตผุ ลวา่ ทำไมความถีข่ องคล่ืนจึงมคี า่ คงตัว พจิ ารณาภาพที่ 5.5 เม่ือหนา้ คลื่นของแสงเคลอื่ นท่ผี ่านจดุ A ในตัวกลางตัวกลาง 1 ดว้ ยความถคี่ งตัว ไปตกกระทบ รอยตอ่ ระหวา่ งตวั กลางกลางที่ 1 และตวั กลางที่ 2 และความถ่ีของหน้าคล่ืนท่ีจดุ สงั เกต B ในตัวกลางที่ 2 จะต้องมีค่าเท่ากับความถี่ของหน้าคลื่นที่ผ่านจุดสังเกต A ในตัวกลางที่ 1 ถ้าหน้าคล่นื ของทงั้ สองตวั กลางมีความถี่ไมเ่ ท่ากันแล้วบรเิ วณรอยต่อของตัวกลาง หนา้ คลน่ื จะถูก ทำลายหรือถูกสร้างขึ้นใหม่ แต่ปรากฎว่าหน้าคลื่นของทั้งสองตัวกลางยังคงมีความถี่คงตัว ดังนัน้ จึงสรปุ ได้วา่ รงั สแี สงในตัวกลางทั้งสองมีคา่ ความถ่ที ีเ่ ท่ากัน ตารางที่ 5.1 ค่าดรรชนีหักเหของวตั ถตุ า่ งๆ เม่อื วดั ในสญุ ญกาศท่ี นาโนเมตร วัตถุ ดรรชนหี ักเห ( ) วตั ถุ ดรรชนีหักเห ( ) ของแข็ง ท่ี 20 องศา ของเหลว ที่ 20 องศา

เพชร 2.42 คาร์บอนซัลไฟล์ 1.63 เซอรค์ อน 1.92 เบนซนี 1.50 แก้วฟลนิ ท์ 1.66 ไกลเซอรนี 1.47 โชเดียมคลอไรด์ 1.54 คารบ์ อนเตรทะคลอไรด์ 1.46 แกว้ คราวน์ 1.52 เอทลิ แอลกอฮอล์ 1.36 โพลสี ไตลีน 1.49 นำ้ 1.33 ฟิวส์ควอซท์ 1.46 กา๊ ซ ท่ี 0 องศา ฟลูออไรด์ 1.43 คารบ์ อนไดออกไซด์ 1.00 น้ำแขง็ (น้ำ 0 องศา) 1.31 อากาศ 1.00 กำหนดใหด้ รรชนหี ักของตัวกลางที่ 1 และ 2 เปน็ n1 = c v1 และ n2 = c v2 ตามลำดับ และจาก v = f λ จะได้ v1 = f λ1 และ v2 = f λ2 เนื่องจาก v1 ≠ v2 ดังน้ัน λ1 ≠ λ2 ภาพที่ 5.5 แสงเดินทางผา่ นตวั กลาง 1 ไปยังตวั กลาง 2 ด้วยอตั ราเร็วท่ลี ดลง (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;767) ความสมั พันธ์ระหว่างดรรชนหี กั เหกับความยาวคล่ืนหาไดจ้ าก v1 = f λ1 = λ1 ซงึ่ จะได้ v2 f λ2 λ2 λ1 = v1 = c n1 = n2 (5.3) λ2 v2 c n2 n1 ดงั น้นั จะได้ λ1n1 = λ2n2 (5.4)

จากสมการ (5.4) ถา้ ตัวกลาง 1 เป็นสญุ ญากาศจะมีดรรชนีหักเหเทา่ กับ 1 และความยาวคล่นื λ0 แล้วดรรชนหี กั เห n ในตวั กลางใดๆ ซง่ึ มคี วามยาวคลืน่ เป็น λn จงึ หาไดจ้ าก n = λ0 (5.5) λn เม่ือแสงเดนิ ทางจากสญุ ญกาศ n1 ไปยงั ตัวกลางโปรงแสง n2 ความยาวคล่นื ของแสง λ จะลดลง ดงั แผนภาพไดอะแกรม ในภาพที่ 5.6 ภาพท่ี 5.6 ไดอะแกรมแสดงการลดลงของความยาวคลนื่ เม่ือแสงเดินจากตวั กลางที่มดี รรชนีหกั เห ต่ำไปยังตวั กลางท่ีมดี รรชนหี ักเหสูงกว่า (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;768) จากสมการ (5.2) จะได้ n1 sinθ1 = n2 sinθ2 (5.6) วิลล์บรอร์ด สเนลล์ (Willebrord Snell ; 1591 -1626) ไดก้ ารทดลองเพ่ือยนื ยันสมการ (5.6) ดังน้ันจึงเรียกสมการ (5.6) วา่ กฎของสเนลล์ (Snell’s law of refraction) ตวั อยา่ งท่ี 5.2 แสงจากหลอดโซเดยี มซงึ่ มีความยาวคลื่น 589 นาโนเมตร เดนิ ทางผา่ นอากาศไป ตกกระทบ บนผิวราบเรยี บของกระจกซ่ึงทำจากแกว้ คราวน์ ดว้ ยมมุ ตกกระทบ 30 องศา กบั เสน้ ปกติ ดงั ภาพท่ี 5.7 จงหา (ก) มมุ หกั เหภายในกระจก θ2 (ข) มุมหักเห θ3 แสงเดินทางจากกระจกไปยังอากาศ (ค) มมุ หักเห θ3 เมือ่ เปลี่ยนจากอากาศเป็นน้ำ

ภาพท่ี 5.7 สำหรับตวั อยา่ งที่ 5.2 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;768) วธิ ีทำ (ก) หามุมหกั เหภายในกระจกคราวน์ θ2 จาก กฎของสเนลล์ n1 sinθ1 = n2 sinθ2 จากตารางที่ 5.1 พบว่า n1 = 1.00 (อากาศ) และ n2 = 1.52 (กระจกคราวน์) ดงั น้ัน sinθ2 = n1 sinθ1 = 1.00 sin(30.0!) ซ่งึ จะได้ n2 1.52 θ2 = sin−1(0.329) = 19.2! (ข) หามุมหกั เห θ3 แสงเดินทางจากกระจกคราวน์ไปยังอากาศ n1 sinθ1 = n2 sinθ2 ดังนน้ั sin θ 3 = n2 sinθ2 = 1.52 sin(19.2!) = 0.500 ซึ่งจะได้ n3 1.00 θ3 = sin−1(0.500) = 30.0! (ค) หามมุ หกั เห θ3 เม่อื เปล่ยี นจากอากาศเปน็ นำ้ โดยใชว้ ธิ กี ารตามข้อ 2 แตเ่ ปลี่ยนคา่ n3 จะได้ sinθ3 = n2 sinθ2 = 1.52 sin(19.2!) = 0.376 n3 1.33 ดงั นนั้ จะได้ θ3 = sin−1(0.376) = 22.1!

ตอบ มุมหักเหภายในกระจก θ2 เทา่ กับ 19.2 องศา มุมหกั เห θ3 แสงเดินทางจากกระจกไปยังอากาศ เทา่ กับ 30.0 องศา มุมหกั เห θ3 เม่ือ เปล่ียนจากอากาศเปน็ น้ำ เทา่ กบั 22.1 องศา ตัวอย่างที่ 5.3 แสงความยาวคล่ืน 589 นาโนเมตร เดินทางจากสุญญกาศไปตกกระทบฟิวสค์ วอตซ์ ซ่ึงมีดรรชนหี ักเห 1.46 แล้ว จงหา (ก) ความเร็ว (ข) ความยาวคลื่น และ(ค) ความถข่ี องแสงในฟวิ สค์ วอตซ์ วธิ ที ำ (ก) หาความเร็วของแสง จาก v = c n v = 3.00 × 108 m/s = 2.05 × 108 m/s 1.46 (ข) หาความยาวคล่ืน จาก λn = λ0 n λn = 5.89nm = 404nm 1.46 (ค) หาความถขี่ องแสง จาก f = cλ f= 3.00 × 108 m/s = 5.09 × 1014 Hz 5.89 × 10−7 m ตอบ ความเร็ว เทา่ กับ 2.05 ×108 เมตรต่อวินาที ความยาวคลื่นและความถ่ขี องแสงในฟวิ สค์ วอตซ์ เทา่ กบั 404 นาโนเมตร และ 5.09 ×1014 เฮริ ตซ์

5.2.2 ปรซิ ึมและการกระเจิงของแสง ดรรชนีหักเหของวัตถุ นอกจากจะมีค่าแตกต่างกันตามชนิดวัตถุแล้วดรรชนีหักเหยังขึ้นกับ ความยาวคลื่นของแสงที่ตกกระทบ ซึ่งเราจะเรียกการเปลี่ยนค่าดรรชนีหักเหของตัวกลาง ตามความยาวคลน่ื วา่ การกระเจิง (dispersion) (ข) (ก) (ค) ภาพที่ 5.8 ก) การเปล่ียนคา่ ของดรรชนหี ักเหของวัตถตุ ามความยาวคลน่ื แสง ข) รงั สีหักเหของแสง เม่ือผ่านปรซิ ึม และ ค) การหกั เหของแสงขาวเมอื่ เคล่อื นทผ่ี า่ นปรซิ มึ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;771) ภาพท่ี 5.8(ก) แสดงการเปลี่ยนแปลงของคา่ ดรรชนหี ักเหของกระจกคราวน์ อครลิ คิ และ ฟิวส์คราวนต์ ามความยาวคลน่ื ของแสงทเ่ี ปลี่ยนแปลงในช่วง 400 - 700 นาโนเมตร โดยดรรชนีหักเห จะมีค่าลดลงเมอื่ ความยาวคล่นื เพ่ิมขน้ึ น่นั คอื เมอ่ื แสงเดินทางจากอากาศเขา้ ไปยงั วัตถใุ ดๆ แล้ว แสงสมี ว่ ง (λ ≈ 400nm ) มมี ุมหกั เหมากกว่าสีแดง ( λ ≈ 700nm ) และเพ่ือความเขา้ ใจถงึ การกระ เจิงของแสงที่เกิดขึ้น พิจารณาเหตุการณ์เมื่อรังสีของแสงที่มีความยาวคลื่นค่าเดียวตกกระทบปริซึม ทางดา้ นซ้ายและทะลุผ่านออกไปทางดา้ นขวา รงั สที ีท่ ะลผุ ่านปริซมึ จะเบนไปจากแนวเดิมเปน็ มุม δ ดังภาพที่ 5.8(ข) และถ้าแสงขาว (แสงทป่ี ระกอบความยาวคลนื่ ต่างๆ ยา่ นทตี่ ามองเหน็ ) ตกกระทบ ปริซมึ ดังภาพที่ 5.8(ค) แล้ว แสงทก่ี ระเจิงออกมาอกี ดา้ นหนง่ึ ของปรซิ ึมจะมสี เปกตรัมของแสงสตี ่างๆ ดังภาพที่ 5.9 เพราะวา่ แสงแตล่ ะสมี ีความยาวคลื่นไม่เท่ากนั มุมเบ่ยี งเบนจึงไม่เท่ากนั โดยแสงสแี ดง มมี ุมเบยี่ งเบนน้อยที่สดุ ในขณะท่แี สงสมี ว่ งมีมุมเบีย่ งเบนมากทส่ี ุด

ภาพท่ี 5.9 แสดงสเปกตรมั ของแสงขาวที่เดินทางผา่ นปริซมึ แล้วเกิดการกระเจิงออกมา เป็นสีต่างๆ ทีม่ ีความยาวคลน่ื เรียงจากมากไปหานอ้ ย ดงั น้ี แดง ส้ม เหลอื ง เขยี ว น้ำเงนิ และม่วง ภาพท่ี 5.9 การเจิงของแสงขาวท่ตี กกระทบปริซมึ (College Physics, 9 edition. Serway ;772) ตวั อยา่ งท่ี 5.4 ลำแสงตกกระทบปริซึมซึ่งทำจากแก้วอันหนึ่ง ดว้ ยมุมตกกระทบ θ1 = 30! ดงั ภาพท่ี 5.10 ถ้าดรรชนีของแก้วสำหรบั แสงสมี ว่ ง เป็น 1.80 แล้ว จงหา ก) มุมหักเห θ2 ข) มุมตกกระทบ φ2 ค) มุมหักเห φ1 ง) ระยะท่แี สงเบี่ยงเบนไปจากแนวเดิม Δy ภาพที่ 5.10 สำหรับตัวอย่างที่ 5.4 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;773)

วธิ ที ำ (ก) หามุมหกั เห θ2 มุมหกั เหระว่างอากาศกบั แกว้ จากกฎของสเนลล์ n1 sinθ1 = n2 sinθ2 1.00sin(30.0)! = 1.80sinθ2 จะได้ θ2 = sin −1 ⎛ 0.500 ⎞ = 16.1! ⎝⎜ 1.80 ⎟⎠ (ข) หามุมตกกรทบ φ2 มมุ ตกกระทบหกั ระวา่ งแก้วกับอากาศ หามมุ β จาก β +θ2 = θ1 ( มมุ ทะแยง) จะได้ β = 30.0! −16.1! = 13.9! หามุม α จากผลบวกของมมุ ถายในสามเหล่ยี มเทา่ กบั 180! จาก β +α + 90! = 180! จะได้ α = 180! − 90! − 13.9! = 76.1! ดังนน้ั จะได้มุมตกกระทบ φ2 = 90! − α = 90! − 76.1! = 13.9! (ค) มมุ หกั เห φ1 มมุ หักเห เมอ่ื แสงเดินทางออกจากปรซิ ึมสู่อากาศ จากกฎของสเนลล์ n1 sinφ2 = n2 sinφ2 1.80sin(13.9)! = 1.00sinφ1 ดงั นั้นจะได้ φ1 = sin−1 (0.432) = 25.6! (ง) หาระยะทีแ่ สงเบย่ี งเบนไปจากแนวเดิม Δy จาก tan β = Δy เมอ่ื Δx = 6.00cm Δx จะได้ Δy = Δx tan β = (6.00cm)tan(13.9!) = 1.48 cm ตอบ มุมหกั เห θ2 เท่ากบั 16.1 องศา และมุมตกกระทบ φ2 เทา่ กบั 13.9 องศา มมุ หกั เห φ1 เทา่ กับ 25.6 องศา และระยะทีแ่ สงเบย่ี งเบนไปจากแนวเดมิ เท่ากบั 1.48 เซนติเมตร

5.2.3 การสะทอ้ นกลับหมด การสะท้อนกลับหมดภายในเกิดขึ้นเมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหสูงไปยัง ตวั กลางทม่ี ดี รรชนีหกั เหตำ่ กวา่ พิจารณาภาพท่ี 5.11 เมอ่ื รงั สีของแสงเดินทางจากตัวกลาง 1 ไปถงึ บรเิ วณรอยตอ่ ระหว่างตัวกลาง 1 และตวั กลาง 2 โดยท่ี n1 > n2 แล้วจะมคี วามเป็นไปได้ที่ แสงจะเดนิ ทางไปในทิศทางตามรงั สหี มายเลข 1 ถึงหมายเลข 5 ในภาพที่ 5.11(ก) จะเห็นวา่ จะมีมมุ ตกกระทบมุมหน่งึ ซึ่งเราจะเรยี กวา่ มมุ วกิ ฤต θc (critical angle) ท่ีทำใหม้ มุ หกั เห ขนานไปกบั รอยตอ่ ของตัวกลาง (θ2 = 90! ) ตามรงั สีหมายเลข 4 ดงั ภาพท่ี 5.11(ข) และ เม่อื มุมตกกระทบมีขนาดโตกวา่ มุมวกิ ฤต θc รังสจี ะสะทอ้ นกลบั อยา่ งสมบรู ณ์ภายในตัวกลาง ตามรงั สีหมายเลข 5 เราสามารถหามุมวกิ ฤต θc ไดจ้ ากกฎของสเนลล์ n1 sinθ1 = n2 sinθ2 โดยแทน θ1 =θc และ θ2 = 90! ดังนน้ั จะได้ n1 sinθc = n2 sin 90! = n2 sinθc = n2 (5.7) n1 สมการ (5.7) จะเกิดข้ึนได้ก็ต่อเมือ่ n1 > n2 เพราะการสะทอ้ นกลบั หมดจะเกิดข้นึ เม่ือ แสงเดนิ ทางจากตวั กลางทีด่ รรชนหี กั สงู ไปยงั ตดวกลางดรรชนีหกั เหตำ่ เทา่ นนั้ แตถ่ า้ n1 < n2 แลว้ จะทำใหส้ มการ (5.7) มี sinθc >1 ซึง่ เป็นไปไมไ่ ด้ เพราะ sinθ มคี า่ มากที่สุดเท่ากับ 1 ถ้าตวั กลาง 2 เปน็ อากาศ แล้วมมุ วิกฤตของวตั ถทุ ่ีมดี รรชนีสูงจะมขี นาดเล็กกว่ามมุ วกิ ฤตของ วัตถุทมี่ ีดรรชนหี ักเหต่ำ ตวั อยา่ งเชน่ เพชร ซ่งึ มดี รรชนหี กั เห n = 2.42 จะมีมมุ วิกฤต θc = 24! ในขณะที่แต่ กระจกคราวน์ ซึ่งมดี รรชนีหกั เห n =1.52 มีมมุ วิกฤต θc = 41! (ก) (ข) ภาพที่ 5.11 ก) แสงเดนิ ทางจากตัวกลางดรรชนหี กั เห n1 ไปยงั n2 เมอ่ื n1 > n2 ข) การสะท้อนกลับหมด (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;777)

ตัวอยา่ งที่ 5.5 ก) จงหามุมวกิ ฤตทีบ่ ริเวณรอยต่อระหวา่ งนำ้ กับอากาศ ข) จากภาพท่ี 5.12 และใชค้ ำตอบ จาก ก) ทำนายการมองเห็นของปลาทว่ี า่ ยอย่ใู นสระนำ้ มองไปยงั ผิวนำ้ ดว้ ยมุม 40.0! , 48.6! และ 60.0! และ ค) ถา้ เปลีย่ นจากนำ้ เป็นของเหลวใสทมี่ ดี รรชนีหกั เหสูงกวา่ ดรรชนีของน้ำ แลว้ มมุ วิกฤตท่รี อยตอ่ ของของเหลวกบั อากาศจะเปน็ อย่างไร เม่อื เทยี บกับมุมในขอ้ ก) ภาพที่ 5.12 สำหรับตวั อยา่ งที่ 5.5 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ;778) วิธที ำ (ก) หามุมวกิ ฤตท่บี ริเวณรอยต่อระหวา่ งน้ำกับอากาศ จาก sinθc = n2 n1 เม่อื ดรรชนหี ักเหของนำ้ n1 = 1.33 และดรรชนหี กั เหของอากาศ n2 = 1.00 จะได้ sinθc = 1.00 1.33 = 0.750 θc = sin−1(0.750) = 48.6! ข) ทำนายการมองเหน็ ของปลาทว่ี ่ายอยู่ในน้ำ มองไปยงั ผิวน้ำด้วยมุม 40.0! , 48.6! และ 60.0! ทม่ี ุม 40.0! ลำแสงจากใต้น้ำจะเกดิ การหกั เหขึน้ ท่ผี ิวนำ้ และทะลผุ ่านไปยังอากาศด้านบน ตามกฎของสเนลล์ ดังน้ันปลาจงึ สามารถมองเห็นวัตถทุ อี่ ย่ใู นอากาศได้ และมมี มุ หกั เหในอากาศ ( )เป็น θ2 = sin−1 1.33sin 40.0! = 58.7! ทีม่ ุม 48.6! ซงึ่ เปน็ มุมวกิ ฤต ลำแสงจากใตน้ ำ้ จะเกดิ การหกั เหที่ผวิ น้ำโดยลำแสงจะขนานไป กบั ผิวน้ำ ไมส่ ามารถทะลผุ า่ นไปยงั อากาศด้านบนได้ ปลาจึงไม่สามารถมองเห็นวัตถุในอากาศได้ และทม่ี มุ 60.0! ซ่งึ เป็นมมุ ทีม่ ีขนาดโตกว่ามมุ วกิ ฤต ลำแสงจากใต้น้ำจะเกดิ การสะท้อนกลบั หมด ไปยงั กน้ ของสระน้ำ ค) ถ้าเปลี่ยนจากน้ำเป็นของเหลวที่มีดรรชนีหักเหสูงกว่าดรรชนีของน้ำแล้วมุมวิกฤตจะมีขนาด ลดลง เพราะ มมุ วิกฤตจะมีขนาดลงลง เมอ่ื ดรรชนีหักเหสงู ข้ึน

5.3 การเกดิ ภาพจากกระจก ในสองหัวข้อแรกทผ่ี ่านมาของบทน้ี เราไดอ้ ธบิ ายเก่ียวกบั ธรรมชาติและคุณมบัติต่างๆ ของแสง แตใ่ นหัวนี้เราจะอธบิ ายถึงการเกดิ ภาพ ลกั ษณะของภาพ (ภาพจรงิ หวั กลบั ภาพเสมือนหัวต้ัง) กำลงั ขยายของกระจกเงาราบ กระจกโค้งนูนและกระจกโค้งเวา้ รวมถึงท่มี าของสูตรทีใ่ ชใ้ นการคำนวณ และเครอ่ื งหมาย พรอ้ มตวั อย่างการนำสูตรไปประยุกต์ใชโ้ ดยจะประกอบดว้ ยหวั ขอ้ ตา่ งๆ ดังนี้ 5.3.1 กระจกเงาราบ พจิ ารณาวัตถุแบบจุดวางอยูท่ ี่ตำแหนง่ O ดา้ นหนา้ กระจกเงาราบโดยอยู่ห่างเปน็ ระยะ p ดงั ภาพท่ี 5.13(ก) เรียกระยะ p ว่า ระยะวัตถุ เม่อื รังสีของแสงจากวัตถแุ บบจุดตกกระทบบน กระจกเงาราบจะเกิดการสะท้อนของรังสีของแสงออกมาจากกระจกโดยรังสีของแสงที่สะท้อนออก มาน้ันจะแผข่ ยายลอู่ อก แต่อย่างไรกต็ ามก็จะไปปรากฎ ภาพ อยูท่ ่ดี ้านหลงั ของกระจกเงาราบที่ ตำแหน่ง I โดยอยหู่ า่ งออกไปเป็นระยะ q ซ่งึ จะเรยี กระยะ q ว่า ระยะภาพ โดยระยะภาพ จะเทา่ กับระยะวัตถุ ( p = q ) และจากภาพที่ 5.13(ก) จะเหน็ ว่า แนวรงั สีของแสงท่ีสะท้อนออก มาจากกระจกน้นั ไม่ตดั กันที่ด้านหนา้ ของกระจก แต่อยา่ งไรกต็ าม ถา้ เราลากเสน้ ประตามแนวรังสี สะทอ้ นไปทางด้านหลงั ของกระจก จะพบว่าแนวของเส้นประเหลา่ น้ันจะไปไปตดั กนั ทต่ี ำแหน่ง I ทำใหเ้ กดิ เป็นภาพขึ้นและเรยี กภาพท่ีเกดิ ขึ้นว่า ภาพเสมือน (virtual image) (ก) (ข) ภาพที่ 5.13 การเกิดภาพจากการสะท้อนทกี่ ระจกเงาราบของ ก) จุดวัตถุ และ ข) วัตถมุ ีขนาด (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 791)