Physics 2

1.4 ศักย์ไฟฟา้ เมื่อนำประจุทดสอบ ไปวางไว้ในสนามไฟฟ้า ซึ่งอาจจะมีขนาดและทิศทางที่ไม่คงตัว !\" จะเกดิ แรงทางไฟฟา้ FE ขนาดเทา่ กับ กระทำต่อประจทุ ดสอบ ทำใหป้ ระจทุ ดสอบ เคลอ่ื นที่ ดว้ ยความเร่งในทิศของสนามไฟฟา้ ดังภาพท่ี 1.27 ซง่ึ งานทเี่ กดิ จากประจทุ ดสอบ เคลือ่ นที่จากจดุ ไปยงั จุด หาได้จาก B !\" \" (1.10) ∫WAB = − q0 E i dℓ A ภาพที่ 1.27 การเคล่ือนทขี่ องประจุ จากจุด ไปยงั จุด ตามเส้นทาง \"ℓ ภายใตส้ นามไฟฟา้ ท่มี ี ขนาดและทิศทางไม่คงตัว (Physics for Scientists and Engineers, 8 edition, Serway&Jewett; 712) 1.4.1 นิยามของศักย์ไฟฟา้ ศักย์ไฟฟ้าหรอื ความต่างศักย์ไฟฟ้า (electric potentail / potential ; ΔV ) เปน็ ปริมาณ สเกลาร์ มหี น่วยเปน็ โวลต์ หรือ จูลตอ่ คลู อมบ์ หมายถงึ งานทท่ี ำใหป้ ระจบุ วกขนาดหนงึ่ หน่วย เคล่ือนที่จากจดุ ไปยงั จดุ ∫ΔV = WAB B !\" d \"ℓ (1.11) E = − i q0 A เรียกจดุ วา่ จดุ อ้างองิ ถา้ เลื่อนจุด ไปทรี่ ะยะอนนั ต์ ( ) จะได้ B !\" \" (1.12) ΔV = − ∫ E i dℓ ∞ จากสมการ (1.12) ศักยไ์ ฟฟ้า คือ งานท่ีทำให้ประจบุ วกขนาดหนงึ่ หน่วย เคลอ่ื นที่จาก ระยะอนันต์ถึงจุด หรอื ความต่างศักยท์ ่จี ดุ เทยี บกับตำแหนง่ ทม่ี ศี ักย์ไฟฟา้ เปน็ ศนู ย์

1.4.2 ความตา่ งศักย์ไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ พิจารณาสนามไฟฟา้ ที่มีทศิ พงุ่ ลงในแนว จากจุด ไปยังจดุ ซ่ึงอยูห่ า่ งกนั เปน็ ระยะ ดงั ภาพท่ี 1.28 แลว้ ความต่างศกั ย์ไฟฟา้ ท่ีจดุ เทยี บกับจุด หาได้จาก ΔV = VB − VA = − Ed (1.13) เครอื่ งหมายลบ (-) แสดงวา่ จดุ อยู่ตำ่ กว่าจุด หรอื และสนามไฟฟ้า จะมที ิศชี้ไปในแนวท่ีมีค่าความต่างศักยม์ ีคา่ นอ้ ยเสมอ ภาพท่ี 1.28 การเคลื่อนประจบุ วก q0 จากจุด ไปยัง ไปตามแนวแกน −y ภายใตส้ นามไฟฟา้ ท่ี มีขนาดและมีทศิ ทางคงตวั (Physics for Scientists and Engineers, 8 edition, Serway&Jewett; 713) ตัวอยา่ งท่ี 1.17 จงหาขนาดของสนามไฟฟา้ ที่เกดิ จากการตอ่ แผน่ ตวั นำสองแผ่นซ่งึ วางขนานกนั และ อยูห่ ่างกนั 40.0 มิลลเิ มตร เข้าแบตเตอรข่ี นาด 12.0 โวลต์ วิธที ำ จาก ΔV = Ed จะได้ E = ΔV d = 12.0V 40.0 × 10−3m = 3.00 × 102 V m ตอบ สนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นตวั นำท้ังสอง คือ โวลต์ตอ่ เมตร

1.4.3 ศักย์ไฟฟา้ จากจุดประจุ ถา้ จดุ และ อยูห่ า่ งจากประจุ เปน็ ระยะ rA และ rB ตามลำดับ ดงั ภาพที่ 1.29 เม่อื ประจุ เลือ่ นจากจดุ ไปยงั จุด แล้วงานทีเ่ กิดขน้ึ (ความตา่ งศกั ยไ์ ฟฟา้ ) หาไดจ้ าก ΔV = VB − VA = − B !\" ⋅ d ℓ\" ซ่ึง !\" ke q rˆ ดังนนั้ จะได้ E E= r2 ∫ A !\" ⋅ d ℓ\" = ke q rˆ ⋅ d \"ℓ และเนอื่ งจาก rˆ มขี นาดเท่ากนั และ rˆ ⋅d\"ℓ = dℓcosθ เมื่อ θ E r2 คอื มมุ ระหวา่ ง rˆ และ dℓ\" และจากภาพท่ี 1.29 จะเหน็ ได้วา่ dℓcosθ = dr ดังน้ันจะได่้ ∫ΔV = VB − VA = − rB dr = keq 1 rB = keq − keq (1.14) r2 r rA rB rA keq rA ถ้าให้ rA อยู่หา่ งเปน็ ระยะอนันต์ จะได้ ศักยไ์ ฟฟา้ ทีจ่ ดุ มคี ่าเท่ากบั ศนู ย์ ( ) และศกั ยไ์ ฟฟา้ ที่จดุ คือ VB = keq ดงั นัน้ ศักย์ไฟฟา้ จึงเขียนอย่ใู นรปู ทัว่ ไปไดเ้ ปน็ rB ΔV = keq (1.15) r ถ้าตำแหน่งที่ต้องคำนวณหาศักย์ไฟฟ้านั้นอยู่ในสนามไฟฟ้าที่มีประจุหลายตัว ให้คำนวณหา ศกั ย์ไฟฟา้ แตล่ ะตวั แลว้ นำมาหาผลรวมแบบพชี คณติ โดยไมต่ อ้ งคำนึงถงึ ทศิ ทาง ภาพที่ 1.29 ความต่างศักยไ์ ฟฟา้ ระหวา่ งจุด A และ B เน่ืองจากประจุ q ซึง่ ขน้ึ กบั จุดเรม่ิ ตน้ และ จุดส้ินสดุ เทา่ น้นั (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 715)

ตวั อย่างท่ี 1.18 จากภาพท่ี 1.30 จงหาศกั ยไ์ ฟฟ้าท่ีจุด ซึ่งอยู่ท่ี (4.00, 0) เมตร ภาพที่ 1.30 ศักยไ์ ฟฟา้ ทีจ่ ุด P เนื่องจากประจุบวกและประจลุ บ (Physics for Science and Engineering, 9 edition, Serway ,754) วธิ ีทำ หาศกั ย์ไฟฟา้ ท่จี ดุ P จาก ΔV = ke ⎛ q1 + q2 ⎞ ⎝⎜ r1 r2 ⎠⎟ เมื่อ q1 = 2.00µC และ q2 = − 6.00µC r1 = 4.00 เมตร และ r2 = 3.002 + 4.002 = 5.00 เมตร จะได้ ΔV = ⎛ 8.99 × 109 N-m2 ⎞ ⎛ 2.00 × 10−6 C − 6.00 × 10−6 C ⎞ ⎜⎝ C2 ⎠⎟ ⎝⎜ 4.00m 5.00m ⎠⎟ = − 6.29 × 103 V ตอบ ความตา่ งศักย์ไฟฟา้ เทา่ กับ 6.29 ×103 โวลต์

ตวั อยา่ งท่ี 1.19 จุดประจสุ ี่ประจุ Q1 = +1.00nC Q2 = + 3.00nC Q3 = +1.50nC และ Q4 = − 2.00nC วางอยู่ที่มมุ ทั้งสขี่ องส่เี หล่ยี มจตั รัสทีม่ ีด้านแต่ละดา้ นยาว 0.200 เมตร จงหาศักยไ์ ฟฟ้าที่จดุ ซึ่งเป็นจุดกึง่ กลางของรปู ส่ีเหล่ียม ดงั ภาพที่ 1.31 ภาพท่ี 1.31 ศักยไ์ ฟฟา้ ทจ่ี ดุ กง่ึ กลาง P เนือ่ งจากประจทุ ่มี ุมของส่ีเหล่ยี มจตุรัส (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,768) วธิ ีทำ จุดประจทุ กุ ตวั อย่หู ่างจากจดุ เป็นระยะ r เทา่ ๆ กนั คอื ⎛⎝⎜ d ⎠⎟⎞ 2 ⎝⎛⎜ d ⎠⎞⎟ 2 ⎝⎜⎛ 0.200 ⎞⎟⎠ เมตร 2 2 2 r= + = 2 = 0.141 ศกั ย์ไฟฟา้ ที่จุด : ΔVP = keQ1 + keQ2 + keQ3 + keQ4 rrrr ( )= ke r Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ⎛ 8.99 × 109 N-m2 ⎞ ⎜⎝ C2 ⎠⎟ = (1.00 + 3.00 + 1.50 − 2.00) × 10−9 C 0.141 m = 223 V ตอบ ความตา่ งศกั ยไ์ ฟฟ้า เท่ากบั 223 โวลต์

1.4.4 ศกั ย์ไฟฟ้าจากประจุต่อเนอ่ื ง การหาศักย์ไฟฟ้ากรณีที่มีประจุจำนวนมากกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอภายในวัตถุนั้นๆ สามารถทำได้โดยการหาศักย์ไฟฟา้ dVi ทีอ่ ยูห่ ่างจากประจุ dqi เปน็ ระยะ ri ดังภาพท่ี 1.32 ได้เปน็ dV = ke dq (1.16) r ดงั นั้นศักย์ไฟฟา้ รวมทเี่ กิดจากประจทุ ี่กระจายตวั อย่างเนอื่ งจงึ หาไดจ้ าก ΔV = ke ∫ dq (1.17) r ภาพที่ 1.32 ศกั ย์ไฟฟ้าทจ่ี ุด P เนอื่ งจากประจุทีก่ ระจายตวั อยา่ งตอ่ เนอ่ื ง (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,756) เราสามารถหาความสมั พันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้า !\" และศักย์ไฟฟา้ ΔV ได้จากสมการ (1.11) E เราจะเห็นวา่ เราสามารถหาศกั ย์ไฟฟา้ ได้ถา้ หากเราทราบสนามไฟฟา้ ดังนน้ั ในทางกลับกัน ถา้ เรา ทราบศกั ย์ไฟฟ้า เราก็ย่อมจะหาคา่ สนามแมไ่ ฟฟา้ ไดเ้ ชน่ กัน จากสมการ (1.11) เราจะหาศกั ย์ไฟฟา้ dV ระหวา่ งจุดประจสุ องประจทุ ี่อยู่ห่างกัน dr ได้เปน็ !\" \" dV = − E ⋅ dr (1.18) ดงั นน้ั สนามไฟฟ้าในแนวแกน x จงึ หาไดจ้ าก dV = − Exdx หรือ Ex = − dV (1.19) dx ในขณะเดียวกนั ในแนวแกน y และ z ไดเ้ ป็น Ey = − dV และ Ez = − dV (1.20) dy dz

ตวั อยา่ งที่ 1.20 จงหาศักย์ไฟฟ้าและศักยไ์ ฟฟ้าทีจ่ ดุ P ใดๆ บนแกน x ดังภาพท่ี 1.33 ถา้ ประจุ Q กระจายตวั อยา่ งสมำ่ เสมอด้วยความหนาแนน่ เชิงเส้น λ อยู่ในวงแหวนตวั นำรัศมี a ภาพที่ 1.33 ศกั ย์ไฟฟ้าท่ีจุด P เนือ่ งจากประจใุ นวงแหวนรัศมี a (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,759) วิธที ำ ระยะหา่ ง r ได้จาก r = a2 + x2 จาก ΔV = ke ∫ dq และ dq = λdℓ จะได้ Q = 2π aλ r จะได้ ∫ΔV = ke λdℓ เม่ือ x และ a เปน็ ค่าคงตัว a2 + x2 และความยาวของเสน้ รอบวงแหวนรศั มี a หาไดจ้ าก \"∫ dℓ = 2πa ดังนนั้ จะได้ ΔV = ke 2π aλ = keQ a2 + x2 x 1+ a2 x2 (ถา้ x >> a จะได้ a2 x2 → 0 จะได้ ΔV = keq x ) หาสนามไฟฟา้ จาก Ex = − dV ( )จะได้ d −1 dx Ex = − keQ dx a2 + x2 2 ⎛ 1 ⎞ keQ 3 (2x) = keQx ⎝⎜ 2 ⎟⎠ a2 + x2 ( )Ex = − − 2 3 ( )a2 + x2 2 ตอบ ศกั ย์ไฟฟา้ คือ keQ โวลต์ และสนามไฟฟา้ คือ keQx 3 นวิ ตันต่อคลู อมบ์ x 1+ a2 x2 ( )a2 + x2 2

ตัวอย่างที่ 1.21 แผน่ โลหะวงกลมรศั มี R มีประจกุ ระจายตวั อยา่ งสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่น σ แล้วจงหาศักย์ไฟฟ้าท่จี ดุ P ใดๆ บนแกน x ซึ่งต้งั ฉากกับจดุ ศนู ยก์ ลางของแผ่นโลหะ ดงั ภาพที่ 1.34 ภาพท่ี 1.34 ศักยไ์ ฟฟา้ ทจี่ ดุ P เนือ่ งจากแผน่ โลหะวงกลมรัศมี R (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,760) วิธที ำ หาจำนวนประจุ dq บนวงแหวนรศั มี r กว้าง dr ดงั ภาพท่ี 1.34 ได้เปน็ dq = σ dA = σ (2πrdr) = 2πσ rdr หาศกั ย์ไฟฟา้ ไดจ้ ากสมการ 1.16 : dV = kedq = ke2πσ rdr r2 + x2 r2 + x2 เราสามารถหาศักย์ไฟฟ้า ΔV ทจี่ ุด P ไดโ้ ดยการอนิ ทเิ กรตภายใต้ขอบเขต r = 0 ถึง r = R จะได้ R 2 rdr R )− 1 r2 + x2 2 keπσ r(r2 2 0 ∫= ∫= ΔV keπσ 2 + x dr 0 ⎡ (r 2 + x2 1 ⎤R ⎢ 1 2 ⎥ = keπσ )2 ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎦⎥r=0 = 2keπσ ⎢⎡⎣(R2 + x2 1 − x ⎤ ⎥⎦ )2 ตอบ ศกั ยไ์ ฟฟา้ เท่ากบั 2keπσ ⎡ R2 + x2 − x ⎤ โวลต์ ⎣ ⎦

ตวั อยา่ งท่ี 1.22 แทง่ โลหะตัวนำยาว ℓ วางอยู่ในแนวแกน x ถ้าภายในแท่งโลหะมีประจุ Q กระจายตวั อย่างสมำ่ เสมอด้วยความหนาแน่น λ แล้ว จงหาศักยไ์ ฟฟา้ ที่จดุ P ซ่งึ อยู่ในแนวแกน y และอยหู่ ่างจากปลายด้ายหนึง่ ของแท่งโลหะตัวนำ ดงั ภาพท่ี 1.35 ภาพที่ 1.35 ศักย์ไฟฟา้ ท่ีจุด P เนื่องจากประจใุ นลวดตวั นำตรงยาว ℓ (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,760) วธิ ีทำ หาศักย์ไฟฟ้าที่จุด P เนื่องจากประจุสว่ นย่อยๆ ของแทง่ โลหะไดจ้ าก dV = ke dq = ke λdx r a2 + x2 ดงั น้ันเราจะสามารถหาศักยไ์ ฟฟ้า ΔV ทีจ่ ุด P ไดโ้ ดยการอเิ นทิเกรตในช่วง x = 0 ถงึ x = ℓ ∫ΔV = ℓ keλdx เนื่องจาก ke และ λ = Q ℓ ป็นค่าคงตัว 0 a2 + x2 ดงั นั้น จะได้ ΔV = ∫ke Q ℓ dx ℓ 0 a2 + x2 ( )= Q ℓ Q ⎛ ℓ + a2 + ℓ2 ⎞ ke ℓ ln x+ a2 + x2 x=0 = ke ℓ ln ⎜⎝ a ⎠⎟ ตอบ ศกั ยไ์ ฟฟา้ เทา่ กบั ke Q ln ⎛ ℓ + a2 + ℓ2 ⎞ โวลต์ ℓ ⎜⎝ a ⎠⎟

1.5 ความจไุ ฟฟา้ และตัวเก็บประจุ ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงความจุไฟฟ้าและตัวเก็บประจุไฟฟ้า และการคำนวณค่าความจุไฟฟ้า ทเ่ี กิดจากการต่อตวั เก็บประจแุ บบอนุกรมและแบบขนาน 1.5.1 ความจไุ ฟฟ้า พิจารณาตวั นำสองชิ้นวางในสญุ ญากาศหรือตัวกลางท่เี ปน็ ฉนวนทางไฟฟา้ ดงั ภาพท่ี 1.36 ถ้าภายในตัวนำทงั้ สองมปี ระจไุ ฟฟ้าต่างชนิดกันในปริมาณทีเ่ ท่ากนั แล้ว เราจะเรียกตัวนำทง้ั สอง ทนี่ ำมารวมกันนนั้ ว่า “ตัวเกบ็ ประจุ (Capacitor)” และเรียกตัวนำแต่ละตัวว่า แผ่นโลหะ (plates) โดยท่ีสนามไฟฟ้าและศกั ย์ไฟฟา้ ระหว่างตวั นำทง้ั สองจะขึ้นอย่กู ับขนาดประจทุ สี่ ะสมอยู่ ในตัวนำซึ่งความต่างศักย์ไฟฟ้าระหวางตัวนำทั้งสองเป็นสัดส่วนโดยตรงกับปริมาณประจุ นั่นคือ Q α ΔV ซึ่งสามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้เป็น Q = CΔV ดังนั้นความจุไฟฟ้า (Capacitance ; C ) จึงนยิ ามไดจ้ าก อัตราส่วนระหวา่ งขนาดของประจไุ ฟฟ้าตอ่ ขนาดของ ความตา่ งศักยไ์ ฟฟา้ ของตวั นำทั้งสอง C= Q (1.21) ΔV ดังนนั้ ความจุไฟฟ้า C ในระบบหน่วยนานาชาติ (เอสไอ) มีหน่วยเปน็ ฟารดั (F ) นน่ั คือ 1F = 1C V เน่ืองจากฟารัดเป็นหนว่ ยที่มีขนาดใหญม่ าก แตต่ วั เก็บประจทุ ี่ใช้งานนัน้ จะมี ค่าความจุไฟฟา้ อยูใ่ นช่วงไมโครฟารัด (10−6F หรอื µF ) ถงึ ฟิโคฟารัด (10−12F หรอื pF ) เทา่ นน้ั ทัง้ น้คี ่าความจุไฟฟ้า C นัน้ เป็นค่าคงตัวทขี่ ้ึนกับรปู ทรงทางเรขาคณิตของตวั นำและ ชนดิ ของตัวกลางทอ่ี ยรู่ ะหวา่ งตวั นำซึง่ อาจเป็นสุญญากาศหรอื สารไดอิเลก็ ตริก ภาพท่ี 1.36 ตวั เก็บประจทุ ป่ี ระกอบดว้ ยสองตวั นำ (Physics for Science and Enginering ,9 edition, Serway ,778)

1.5.2 ตัวเกบ็ ประจแุ ละชนดิ ของตัวเก็บประจุ ตัวเก็บประจุ (capacitor) คือ อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่ทำหน้าที่เก็บประจุไฟฟ้า เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ หรอื ซึง่ ตัวเก็บแบบแผ่นตัวนำคขู่ นานนั้น จะประกอบด้วยแผ่นตัวนำสองแผ่นที่มีพื้นที่ วางห่างกันเป็นระยะ ดังภาพที่ 1.37 เมอ่ื ตอ่ แตล่ ะแผน่ เข้ากับแบตเตอร่จี นแผ่นตัวนำแต่ละแผน่ มปี ระจุเป็น และ ถ้าค่า มคี ่าน้อยมากๆ เมื่อเทียบกบั ขนาดของแผ่นตัวนำ แล้วสนามไฟฟ้าระหวางแผน่ ตวั นำคูข่ นาน มีค่าเท่ากับ σ ε0 เมอ่ื คอื ความหนาแน่นประจุต่อพื้นที่ q A ซึ่งเราจะสามารถหา สนามไฟฟา้ ได้จาก E = q ε0A และหาศักยไ์ ฟฟา้ ไดจ้ าก ΔV = qd ε0A ดงั นัน้ ความจุไฟฟา้ ของตัวเกบ็ ประจแุ บบแผน่ ตัวนำคขู่ นานจึงสามารถหาได้จาก (1.22) ภาพที่ 1.37 ตัวเก็บประจแุ บบแผน่ ตวั นำคู่ขนาน (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,778) ภาพท่ี 1.38(ก) แสดงตัวอย่างตวั เก็บประจุใชง้ านในวงจรไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิก ซึ่งเราจะแบง่ ตวั เก็บประจุ (capacitor) ออกไดเ้ ป็นสองประเภทใหญ่ๆ คอื ตวั เกบ็ ประจแุ บบมีข้วั (อเิ ลก็ โทรไลต)์ ดงั ภาพที่ 1.38(ข) และตวั เก็บประจแุ บบไม่มขี ว้ั (ไมลาร)์ ดังภาพที่ 1.38(ค)

(ก) (ข) (ค) ภาพที่ 1.38 ตัวอยา่ ง ก) ตวั เก็บประจชุ นิดตา่ งๆ ข) ตวั เก็บประจะชนิดมขี วั้ (อเิ ลก็ โทรไลต์) และ ค) ตวั เกบ็ ประจุชนิดไม่มีข้ัว (ไมลาร์) ตวั เก็บประจชุ นิดมีขั้วหรืออิเลก็ โทรไลต์ จะเขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ โดย เราสามารถอา่ นคา่ ของตวั เก็บประจุไดจ้ ากตวั เลขท่เี ขียนไวท้ างดา้ นขา้ งของตวั เกบ็ ประจไุ ดเ้ ลย และขว้ั ไฟฟ้าลบของตวั เกบ็ ประจสุ งั เกตไดจ้ าก เครือ่ งหมายลบ (ขาสน้ั ) ดังภาพที่ 1.38(ข) 1000µF 10V ตวั เกบ็ ประจขุ นาด 1000 ไมโครฟารดั ทนแรงดนั ไฟฟ้าสงู สดุ 10 โวลต์ 22µF 450V ตวั เก็บประจขุ นาด 22 ไมโครฟารดั ทนแรงดนั ไฟฟ้าสูงสุด 450 โวลต์ การอ่านค่าตวั เก็บประจุชนดิ ไม่มีขั้วหรือไมลาร์ ดังภาพที่ 1.38(ค) ซึ่งเราจะเหน็ ว่าทตี่ วั เกบ็ ประจุ จะมีตัวเลขสามตวั ติดกันน้นั (เช่น 154 275K และ 472 ) นนั้ สามารถทำได้โดยการอา่ นคา่ ของ ตวั เลขสองตวั ติดกนั และเลขตัวท่ีสามเป็นตัวพหคุ ูณ โดยมีหน่วยเปน็ พโิ คฟารดั อาทิเชน่ 154 อา่ นคา่ ได้เปน็ 150000 pF หรือ 0.15 ไมโครฟารดั 275K คอื 2700000pF หรือ 2.7 ไมโครฟารดั โดยท่ี K คอื ค่าคลาดเคลอ่ื น ±10% ( J = ±5% , M = ±20%) 472 คอื 4700 pF หรือ 0.0047 ไมโครฟารัด

ตวั อยา่ งที่ 1.23 แผน่ ตัวนำคขู่ นานสองแผ่นคนั่ กลางดว้ ยอากาศ วางห่างกัน 1.00 มลิ ลเิ มตร ถา้ ตอ้ งการใหม้ คี วามจไุ ฟฟ้า 1.00 ฟารดั จะตอ้ งใชแ้ ผ่นตัวนำทมี่ พี ืน้ ที่เท่าใด วิธีทำ จาก จะได้ = (1.00F)(1.00 × 10−3m) = 1.10 × 108 m2 8.90 × 10−12 C2 /Nm2 ตอบ พ้นื ที่ของแผน่ ตวั นำเท่ากับ 1.10 ×108 ตารางเมตร ตวั อย่างที่ 1.24 ตัวเก็บประจุอนั หน่งึ ประกอบด้วยตวั นำทรงกระบอกรศั มี a มปี ระจไุ ฟฟ้า Q กระจายตวั อย่างสม่ำเสมอ ดังภาพท่ี 1.39 ถา้ ตวั นำมคี วามยาว ℓ ถูกห่อหุม้ ด้วยตวั นำรศั มี b แลว้ จงหาความจุไฟฟ้าของตัวเกบ็ ประจทุ รงกระบอกดังกลา่ ว ภาพที่ 1.39 ตัวเกบ็ ประจุแบบทรงกระบอก (Physics 9 edition, Serway ,780) วิธที ำ หาความตา่ งศักยไ์ ฟฟ้าระหวา่ งตัวนำทรงกระบอกทัง้ สองอนั ได้จาก b !\" dr\" b E ∫ ∫ΔV = − ⋅ = − Er dr Vb − Va = aa เนื่องจากสนามไฟฟ้าในตวั นำทรงกระบอก E = 2keλ ดังน้นั จะได้ r ∫ΔV = b dr ⎛ b ⎞ − 2keλ a r = − 2 keλ ln ⎜⎝ a ⎟⎠ เมื่อ λ = Q ℓ และ C = Q จะได้ C = (2ke Q Q = ℓ ΔV ℓ)ln(b a) 2ke ln(b a) ตอบ คา่ ความจไุ ฟฟ่า้ เท่ากบั ℓ a) ฟารดั 2ke ln(b

1.5.3 การต่อตวั เก็บประจใุ นวงจรไฟฟ้า การต่อตัวเก็บประจุสองตัวหรือมากกว่าสองตัวในวงจรไฟฟ้านั้นสามารถทำได้สองแบบ คือการตอ่ แบบอนุกรมและการตอ่ แบบขนาน 1 การตอ่ ตวั เก็บประจุแบบอนกุ รม การต่อตวั เก็บประจแุ บบอนุกรม ดังภาพท่ี 1.40(ก) นั้นสามารถเขยี นเป็นวงจรไฟฟ้าสมมลู ซึง่ ประกอบดว้ ยตัวเกบ็ ประจหุ น่ึงตวั ตอ่ อยกู่ บั แหลง่ จ่ายไฟฟ้า ได้ดงั ภาพที่ 1.40(ข) โดยทง้ั นี้ ค่าความจไุ ฟฟ้ารวมหรอื ความจุไฟฟ้าสมมูล Ceq ของตัวเกบ็ ประจทุ ีต่ ่อกันแบบอนกุ รมนน้ั จะมี คา่ เทา่ กันทง้ั สองตัว นัน่ คือ Q1 = Q2 = Q และจากภาพท่ี 1.40(ก) จะเห็นว่า ศกั ย์ไฟฟา้ หรอื แรงดนั ไฟฟา้ ท่ีตกคร่อมตัวเกบ็ ประจุท้งั สองเป็น ΔV1 และ ΔV2 ตามลำดบั ดงั นัน้ จะได้ ศักย์ไฟฟ้ารวมหรือแรงดนั ไฟฟ้ารวม ΔVtot ได้เป็น Q1 = Q2 = Q ΔVtot = ΔV1 + ΔV2 (1.23) เมอ่ื C = Q ΔV จะได้ Q= Q1 + Q2 Ceq C1 C2 1 = 1+1 (1.24) Ceq C1 C2 ดงั น้ันการตอ่ ตัวเกบ็ ประจแุ บบอนุกรมจำนวน ตัวจงึ หาความจไุ ฟฟ้ารวมไดจ้ าก 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (1.25) Ceq C1 C2 C3 Cn (ก) (ข) ภาพท่ี 1.40 ก) การตอ่ ตวั เก็บประจุแบบอนกุ รม และ ข) วงจรไฟฟา้ สมมลู (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,784)

2 การต่อตวั เก็บประจแุ บบขนาน การต่อตัวเก็บประจุแบบอนุกรม ดังภาพท่ี 1.41(ก) นน้ั สามารถเขียนเป็นวงจรไฟฟา้ สมมลู ทป่ี ระกอบดว้ ยตวั เก็บประจุหนง่ึ ตัวตอ่ อยู่กับแหล่งจา่ ยไฟฟา้ ได้ดงั ภาพที่ 1.41(ข) โดยทง้ั น้ี ค่าแรงดนั ไฟฟ้าทต่ี กคร่อมตัวเก็บประจแุ ตล่ ะตวั จะมคี า่ เท่ากนั นน่ั คือ ΔV1 = ΔV2 = ΔV และหลังจากตอ่ แหล่งจ่ายไฟฟ้าในวงจร ตวั เก็บประจุไฟฟา้ C1 และ C2 จะมคี ่าความจุไฟฟ้า เป็น Q1 = C1ΔV1 และ Q2 = C2ΔV2 ตามลำดบั ซึง่ จะได้ค่าความจไุ ฟฟ้ารวม Qtot เป็น Qtot = Q1 + Q2 (1.26) ดงั น้นั จะได้ CeqΔV = C1ΔV + C2ΔV หรือ Ceq = C1 + C2 (1.27) ดงั นนั้ การต่อตวั เก็บประจแุ บบขนานจำนวน ตัว จงึ สามารถหาความจุไฟฟา้ รวมได้จาก Ceq = C1 + C2 +C3 + ... + Cn (1.28) (ก) (ข) ภาพท่ี 1.41 ก) การตอ่ ตวั เก็บประจแุ บบขนาน และ ข) วงจรไฟฟา้ สมมลู (Physics for Science and Enginering, 9 edition, Serway ,783)

ตวั อย่างที่ 1.17 ตัวเก็บประจุสองตวั ประกอบดว้ ย และ จงหาค่าความจไุ ฟฟา้ รวมของตัวเก็บประจุทัง้ สองต่อกนั แบบ ก) อนุกรม และ ข) ขนาน วธิ ีทำ ก) หาค่าความจุไฟฟา้ รวมของตัวเกบ็ ประจุที่ตอ่ แบบอนุกรม จาก 1 = 1+1 Ceq C1 C2 1 = 5.00 1 F + 10.0 1 F Ceq × 10−6 × 10−6 = 5.00 × 10−6 F + 10.0 × 10−6 F (5.00 × 10−6 F)(10.0 × 10−6 F) = 15.0 × 10−6 F 5.00 × 10−11F2 จะได้ Ceq = 5.00 × 10−11F2 1.50 × 10−5 F = 3.33 × 10−6 F = 3.33µF ข) หาคา่ ความจไุ ฟฟา้ รวมของตวั เกบ็ ประจุทีต่ ่อแบบขนาน จาก Ceq = C1 + C2 Ceq = 5.00 × 10−6 F + 10.0 × 10−6 F = 15.0 × 10−6 F = 15.0µF ตอบ ตัวเกบ็ ประจุต่อแบบอนกุ รมมคี า่ ความจไุ ฟฟา้ เทา่ กับ 3.33 ไมโครฟารัด ตัวเก็บประจตุ อ่ แบบขนานมคี า่ ความจุไฟฟา้ เท่ากบั 15.0 ไมโครฟารัด

1.6 สรุป บทสรปุ 1. ชนิดและคุณสมบตั ปิ ระจไุ ฟฟา้ 1.1 ประจไุ ฟฟ้าแบ่งออกเป็นสองชนิด คือ ประจบุ วกและประจุลบ 1.2 ประจุไฟฟ้าต่างชนิดกันจะดงึ ดูดกนั และประจุไฟฟา้ เหมอื นกนั จะผลกั กัน 1.3 ประจุไฟฟา้ พน้ื ฐานมีขนาด 1.6 ×10−19 คลู อมบ์ และไม่สามารถสรา้ งหรอื ทำลายได้ 1.4 แรงระหว่างประจขุ องอนภุ าคจะแปรผกผันกับระยะทางระหวา่ งประจุทัง้ สองกำลังสอง 2. กฎของคลู อมบ์ กฎของคลู อมบ์ คือ กฎทีใ่ ช้หาแรงทางไฟฟ้าระหว่างประจหุ ยุดนิ่งสองประจใุ ดๆ ซงึ่ อย่หู ่างกนั เป็นระยะ r โดยขนาดของแรงทางไฟฟา้ หาไดจ้ าก F = ke q1 q2 r2 เม่ือ q1 และ q2 คือ ขนาดของประจไุ ฟฟา้ และ ke ≈ 8.99 ×109 N-m2 C2 3. สนามไฟฟา้ !\" !\" !\" E E = F q0 สนามไฟฟ้า คือ แรงที่กระทำตอ่ ประจุทดสอบ q0 นั้นคอื ขนาดของสนามไฟฟา้ เนื่องจากจุดประจุ Q ทร่ี ะยะ r ใดๆ E = ke Q r2

เสน้ สนามไฟฟ้า คอื เส้นสมมติเพือ่ แสดงใหเ้ หน็ สนามไฟฟา้ ท่ีจดุ ใดๆ เวกเตอร์สนามไฟฟา้ คอื เสน้ โค้งตามเส้นสนามไฟฟา้ และจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าทีต่ ง้ั ฉากกบั พนื้ ผิวต่อหนงึ่ หนว่ ยพนื้ ที่ ของพนื้ ผิวหรือ ฟลกั ซไ์ ฟฟา้ เป็นสดั สว่ นโดยตรงกบั ความเข้มของสนามไฟฟ้า และสนามไฟฟ้า ภายในวตั ถุใดๆ มีค่าเปน็ ศนู ย์ 4. กฎของเกาส์ กฎของเกาส์ คือ กฎทอี่ ธบิ ายถงึ ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธผิ า่ นพืน้ ผวิ ปิดใดๆ มีค่าเทา่ กับประจสุ ุทธิใน พนื้ ผวิ นน้ั ๆ qin หารดว้ ยสภาพซมึ ซาบทางไฟฟา้ ในสุญญกาศ #∫ΦE = !\" i d !\" = qin E A ε0 5. ศกั ยไ์ ฟฟา้ ศักย์ไฟฟ้าหรอื ความต่างศกั ยไ์ ฟฟา้ ΔV เปน็ ปรมิ าณสเกลาร์ มีหนว่ ยเปน็ โวลต์ (จูลตอ่ คลู อมบ์ ) หมายถงึ งานทที่ ำให้ประจบุ วกขนาดหนงึ่ หน่วยเคลื่อนทีจ่ ากจดุ ไปยงั จุด WAB B !\" d \"ℓ E ∫ΔV = = − i q0 A ความต่างศกั ย์ไฟฟา้ ในสนามไฟฟา้ สม่ำเสมอ ΔV = VB − VA = − Ed 6. ความจุไฟฟ้าและตัวเกบ็ ประจุ 1. ความจไุ ฟฟ้า C = Q มหี นว่ ยเปน็ คลู อมบต์ อ่ โวลต์ (C V) หรอื ฟารดั (F) ΔV 2. ตัวเกบ็ ประจแุ บบแผน่ ตัวนำคู่ขนาน ประกอบด้วยแผน่ ตวั นำสองแผน่ ท่ีมพี น้ื ท่ี A วางหา่ งกนั เป็นระยะ d มีค่าความจุไฟฟ้า 3. ค่าความจุไฟฟา้ รวมของตวั เกบ็ ประจทุ ี่ตอ่ กันแบบอนุกรมจำนวน n ตัว 1 = 1 + 1 + 1 + ...+ 1 Ceq C1 C2 C3 Cn 4. คา่ ความจไุ ฟฟ้ารวมของตัวเก็บประจทุ ตี่ ่อกันแบบขนานจำนวน n ตัว Ceq = C1 + C2 + C3 + ... + Cn

แบบฝกึ แหบบดั ฝปึกหรดั บะทจที่ำ1บทท่ี 1 1) จงหาขนาดและชนิดของแรงของแรงระหว๋างประจทุ ี่วางอยู่หา่ งกันเป็นระยะ 90 ไมโครเมตร 1.1) และ 1.2) โปรตอนและอิเล็กตรอน 1.3) และ 2) ประจุ ขนาด ไมโครคูลอมบ์ วางอย่หู า่ งจากประจุ เปน็ ระยะ 10 มลิ ลเิ มตร ถา้ ประจุท้งั สองมีแรงกระทำระหวางกนั 180 นวิ ตนั แลว้ จงหาขนาดของประจุ 3) อนภุ าคมปี ระจไุ ฟฟา้ ชนดิ เดียวกนั และขนาดเท่ากันสองอนุภาควางอยูห่ า่ งกัน 3.00 เซนตเิ มตร มแี รงกระทำตอ่ กันขนาด 90.0 นวิ ตนั จงหาขนาดของประจุ ดงั กลา่ ว 4) จุดประจสุ ามประจวุ างอย่ใู นแนวแกน ดังภาพที่ 1.42 เมอื่ ประจุบวก วางอย่ทู ี่ จุดกำเนดิ ประจบุ วก วางอยหู่ ่างออกไปทางขวา เซนติเมตร ภาพที่ 1.42 สำหรับแบบฝกึ หัดขอ้ 4 4.1) จงหาตำแหนง่ ของประจุ ทท่ี ำใหแ้ รงลพั ธท์ กี่ ระทำบนประจุ เป็นศูนย์ 4.2) จงหาขนาดของประจุ ถา้ แรงระหวา่ งประจุ กับประจุ มขี นาดเทา่ กบั 10.0 นวิ ตนั 4.3) จงหาขนาดของแรงคูลอมบ์ ระหวา่ งประจุ กับ (ใช้ จากขอ้ 4.2) 5) จงหาขนาดของสนามไฟฟา้ ทีจ่ ดุ ซึง่ อยู่ห่างจากประจขุ นาด พโิ คคูลอมบ์เป็นระยะ 6.0 เซนติเมตร

6) ถา้ มีจดุ ประจุทั้งสามมีขนาดเท่ากนั คอื 5.00 นาโนคลู อมบ์ และระยะห่าง 50.0 ไมโครเมตร ดงั ภาพที่ 1.43 แล้วจงหาแรงลพั ธข์ นาดและทศิ ทางของแรงลพั ธท์ ี่กระทําบน ภาพท่ี 1.43 สำหรับแบบฝกึ หดั ขอ้ 6 7) ประจุ ไมโครคลู อมบ์ วางอยใู่ นแนวเดียวกันและหา่ งกนั ระยะ 30 เซนตเิ มตร จงหาสนามไฟฟ้าลัพธ์ขนาดและทิศทางของสนามไฟฟ้าลัพธ์ที่จุด P ซึ่งอยู่สูงจากจุดกึ่งกลางของ ประจุทัง้ สองเปน็ ระยะ 15 เซนตเิ มตร ดงั ภาพที่ 1.44 ภาพที่ 1.44 สำหรับแบบฝกึ หัดขอ้ 7 8) ประจุสองประจุ วางอยใู่ นแนวเดียวกนั หา่ งกนั เป็นระยะ 30 เซนตเิ มตร ดงั ภาพท่ี 1.45 ถ้า ไมโครคลู อมบ์ และ ไมโครคลู อมบ์ จงหาตำแหนง่ ทส่ี นามไฟฟ้าเป็นศนู ย์ ภาพที่ 1.45 สำหรับแบบฝกึ หัดขอ้ 8

9) แผน่ โลหะขนานหา่ งกัน 10.0 เซนติเมตร ใช้ทำตวั เก็บประจุทมี่ คี ่าความจุ 150 นาโนฟารดั ถ้าสนามไฟฟา้ ระหวา่ งแผน่ โลหะขนานเป็น 2.00x103 นิวตันต่อคูลอมบ์ และจงหาวา่ ตวั เกบ็ ประจุน้ี มีประจกุ ค่ี ูลอมบ์ 10) ตัวเก็บประจจุ ำนวน 6 ตัว ตอ่ กันดังภาพที่ 1.46 จงหา 10.1) คา่ ความจุไฟฟ้ารวม 10.2) ถ้าความตา่ งศักยไ์ ฟฟ้า ad เปน็ 90 โวลต์ จงศกั ยไ์ ฟฟา้ ที่ cd ภาพท่ี 1.46 สำหรบั แบบฝึกหัดข้อ 1



บทที่ 2 บทที่ 2 วงจ-ร&ไĆฟ!ฟ#Ĉา้ ก#รĊะแĆสĆต!รḆงĈแล#ะ&Ćก#ฏĊข&อĈงČโอหม์ +Ḇ- 2Ḅ/BĽČ \"+ḈČ ไฟฟา้ กระแสตรงและกฏของโอห์ม ในเอกสารบทที่ผ่านมาเป็นการอธิบายถึงคุณสมบัติของประจุไฟฟ้าและแรงทางไฟฟ้าของ ประจุไฟฟ้าท่หี ยดุ นิ่งอยูก่ ับที่ แต่ในบทนีเ้ ราจะศึกษาเก่ยี วกบั ประจุไฟฟ้าท่ีเคล่อื นทีผ่ ่านบรเิ วณใดๆ ใน ปริภูมิโดยจะเรียกอตั ราการเปล่ยี นแปลงประจซุ งึ่ เคลอ่ื นที่เหลา่ น้ันวา่ กระแสไฟฟ้าหรือไฟฟา้ ทั้งน้ี ไฟฟา้ ได้ถูกนำไปประยกุ ตใ์ ช้อยา่ งแผ่หลายในครวั เรอื น อาทิเช่น หมอ้ หุงข้าว ตูเ้ ย็น ทวี ี เตารดี เปน็ ต้น ดังนั้นเอกสารบทนี้จะอธิบายถึงนิยามของกระแสไฟฟ้า ความต้านทานไฟฟ้าและการต่อวงจรไฟฟ้า ตลอดจนการใชก้ ฎของโอห์มและกฎของเคริ ์ซฮออฟฟ์ในการวเิ คราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสตรง 2.1 กระแสไฟฟา้ ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาการไหลของประจุไฟฟ้าในวัตถุซึ่งจำนวนประจุไฟฟ้าที่ไหลในวัตถุนั้น จะขึ้นอยู่กับชนิดของวัตถุและศักย์ไฟฟ้าที่ตกคร่อมวัตถุนั้นๆ ซึ่งเมื่อไรก็ตามที่มีประจุสุทธิไหลผ่าน บรเิ วณใดบรเิ วณหนง่ึ ของวตั ถุ ดงั ภาพท่ี 2.1 แสดงประจบุ วกกำลังเคลื่อนทตี่ ้ังฉากกับพื้นทหี่ น้าตัด A จะเรยี กได้วา่ มี กระแสไฟฟ้า (Electric current ; I ) เกดิ ขึ้น ภาพท่ี 2.1 การเคลอ่ื นทีข่ องประจุผ่านพน้ื ที่หน้าตัด A (Physics for Science and Enginering , 9 edition, Serway ,809)

2.1.1 นยิ ามของกระแสไฟฟ้า กระแสไฟฟ้า คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงประจุที่ไหลผ่านพื้นที่หน้าตัดใดๆ นั่นคือ ถ้ามปี ระจไุ ฟฟา้ จำนวน ΔQ ไหลผา่ นพนื้ ท่หี น้าตัด A ในชว่ งเวลา Δt แล้ว กระแสไฟฟา้ เฉล่ยี (average current ; Iavg ) จะมีคา่ เทา่ กับประจทุ ่ีเคลื่อนที่ผา่ นพ้ืนทีต่ ่อหนงึ่ หน่วยเวลา Iavg = ΔQ (2.1) Δt ถ้าอัตราการไหลของประจุเปลี่ยนแปลงตามเวลาแล้วกระแสไฟฟ้าจะเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดว้ ยดังนัน้ เราจงึ นิยาม กระแสไฟฟา้ ขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous current ; I ) ไดจ้ าก การหาลมิ ติ ของกระแสเฉลยี่ เมื่อ Δt → 0 นนั่ คือ I = lim ΔQ = dQ (2.2) Δt→0 Δt dt ในระบบนานาชาติ (SI unit) กระแสไฟฟา้ มหี นว่ ยเป็น แอมแปร์ (A) ซ่งึ 1 A = 1 C/s น่ันคือ กระแสไฟฟ้า 1 แอมแปร์จะมีค่าเท่ากับประจุ 1 คูลอมบก์ ำลงั เคลื่อนที่ผ่านพนื้ ทผี่ ิวใน 1 วินาที ประจุท่ีเคลือ่ นทีผ่ ่านพ้ืนทใี่ ดๆ ดังภาพที่ 2.1 น้ันอาจเป็นได้ประจบุ วก ประจุลบ หรือท้งั สองชนดิ ทั้งนี้เพื่อให้ง่ายจะกำหนดให้กระแสไฟฟ้ามีทิศทางเดียวกับทิศการเคลื่อนที่ของประจุบวก ในขณะที่ กระแสไฟฟา้ ภายในวตั ถุที่เปน็ ตัวนำไฟฟา้ เชน่ ทองแดง หรอื อลมู ิเนยี ม นนั้ จะเป็นการเคลือ่ นทข่ี อง อิเล็กตรอนซึ่งเป็นประจุลบ ดังนั้นกระแสไฟฟ้าจึงมีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของ อเิ ลก็ ตรอน ท้ังน้เี พือ่ ใหเ้ ขา้ ใจร่วมกันเราจะกล่าวถึงการเคล่อื นทีข่ องประจุ (บวกหรอื ลบ) เหล่าน่ันวา่ เป็นการเคล่อื นทีข่ องประจพุ าหะ (charge carrier) 2.1.2 แบบจำลองของกระแสไฟฟา้ พิจารณากระแสไฟฟ้าในตวั นำทรงกระบอกที่มพี ้ืนทห่ี น้าตัด A ดงั ภาพที่ 2.2 เราจะเหน็ วา่ ตัวนำยาว Δx จะมปี รมิ าตรเทา่ กับ AΔx และถา้ ในตัวนำมีความหนาแนน่ ของประจพุ าหะ เคลื่อนที่ตอ่ หนึ่งหนว่ ยปริมาตรเปน็ n แล้วจะมจี ำนวนประจุพาหะในบรเิ วณนน้ั จะมีค่าเทา่ กบั nAΔx ดังนน้ั ประจไุ ฟฟ้ารวม ΔQ จงึ เป็น ΔQ = (nAΔx)q เม่อื q คือประจแุ ตล่ ะชนิด

ทั้งนถี้ ้าประจุพาหะเลอ่ื นทด่ี ้วยความเร็ว v!d ขนานไปกับแกนของทรงกระบอกแลว้ ระยะกระจัด สงู สดุ ตามแนวแกน x ในช่วงเวลา Δt จะเป็น Δx = vdΔt ดังนัน้ จะได้ ΔQ = (nAvdΔt)q (2.3) เมือ่ หารสมการ (2.3) ด้วย Δt แล้วจะได้กระแสไฟฟา้ เฉลยี่ เป็น I avg = ΔQ = nqAvd (2.4) Δt เรียกอตั ราเร็ว vd ว่า อตั ราเรว็ ลอยเลอื่ ย (drift speed) ภาพที่ 2.2 การเคลอื่ นทีข่ องประจุพาหะผา่ นพ้นื ทห่ี นา้ ตัด ในช่วงเวลา Δt (Physics for Scientists and Engineers, 9 edition, Serway&Jewett; 810) เพ่อื ความเขา้ ใจเก่ยี วกบั อตั ราเรว็ ลอยเลื่อน (drift speed) พจิ ารณาตัวนำที่มีอเิ ลก็ ตรอนเปน็ ประจุ พาหะดังภาพที่ 2.3 (ก) เมื่อไม่มีศักย์ไฟฟ้าตกคร่อมที่ปลายทั้งสองของตัวนำ (ไม่มีสนามไฟฟ้า) อิเล็กตรอนภายในตัวนำจะเคลื่อนที่แบบสุ่ม ซิกแซกไปมาไร้ทิศทางและเกิดการชนกันเองเหมือนกับ โE!ม\"เลกซลุ ่ึงขกอ่องใกห๊าเ้ ซกดิ ทแำรใงหทไ้ามง่มไฟีกฟระา้ แทสำไใฟหอ้ฟเิ้าลใ็กนตตรวั อนนำเคลื่อแนตถ่ทา้่ชี ใา้หลศ้ งักยดไ์ ้วฟยฟคา้วทาม่ตี เกรคว็ รลอ่ อมยตเลวั ื่อนนำจะ(dเกriดิftสนvาeมloไฟciฟtyา้ ) v!d !\" ในทิศทางทีต่ รงข้ามกับสนามไฟฟา้ E ดังภาพที่ 2.3(ข)

(ก) (ข) ภาพท่ี 2.3 ทิศทางการเคลื่อนทีข่ องประจุพาหะในตวั นำ เม่ือ ก) ไมม่ ีสนามไฟฟ้า ข) มีสนามไฟฟา้ (Physics for Scientists and Engineers, 9 edition, Serway&Jewett; 810) 2.1.3 ความหนาแนน่ ของกระแสไฟฟ้า ความหนาแนน่ ของกระแสไฟฟ้า J (Current density) คือปริมาณกระแสไฟฟา้ ทเี่ กิดจาก !\" การเคลื่อนที่ของประจุบวกเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกับสนามไฟฟ้า E ผ่านพื้นที่หน้าตัดของตัวนำ !\" การหาปริมาณกระแสไฟทไ่ี หลผ่านพน้ื ทเี่ ลก็ ๆ dA ซ่งึ มี dA เป็นเวกเตอรข์ องพ้ืนที่ มที ศิ พ่งุ ออก และต้ังฉากกับพ้ืนที่ dA น้นั ๆ หาไดจ้ าก I = !\" !\" ถ้ากระแสท่ไี หลผา่ นพ้ืนทห่ี นา้ ตดั A ∫ J ⋅dA ของตัวนำมคี วามสมำ่ เสมอ จะได้ความหนาแนน่ ของกระแสเป็น J= I (2.5) A ดงั น้นั ความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า จงึ มหี นว่ ยเปน็ แอมแปร์ต่อตารางเมตร ( ) และ จากสมการ (2.4) และสมการ (2.5) เราสามารถหาคา่ ความหนาแนน่ ของกระแสไฟฟ้าทีเ่ กดิ จาก การเคลื่อนทข่ี องประจบุ วกได้เป็น (2.6) J = neVd ตัวอย่างที่ 2.1 ถ้าให้กระแสไฟฟ้าขนาด 126 มิลลิแอมแปร์ แก่ลวดทองแดงเส้นหนึ่งที่มี เส้นผ่านศูนย์กลาง 40.0 มิลลิเมตร จงหาความหนาแน่นของกระแสและความเร็วลอยเลื่อนของ อิเลก็ ตรอนในลวดตวั นำเสน้ น้ี เมอ่ื กำหนดให้ในเส้นลวดมอี ิเลก็ ตรอนจำนวน อนุภาค

วธิ ที ำ พนื้ ท่ีหน้าตัดของลวด ⎛ d ⎞ 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ A = πr2 = π ⎛ 40.0 × 10−3 m ⎞ 2 ⎝⎜ 2.00 ⎠⎟ จะได้ A = 3.14 = 1.26 × 10−3 m2 หาความหนาแนน่ ของกระแส จาก J = I A จะได้ J = 126 × 10−3 A = 100 A m2 1.26 × 10−3m2 หาความเรว็ ลอยเลอ่ื นของอเิ ล็กตรอน จาก J = neVd จะได้ Vd = J= 100 A m2 = 1.25 m/s ne (5.00 × 1020 )(1.60 × 10−19 C) ตอบ ความหนาแน่นของกระแส 100 แอมปต์ อ่ ตารางเมตร ความเรว็ ลอยเลือ่ น 1.25 เมตรตอ่ วินาที

2.2 ความต้านทานไฟฟ้า ในหัวข้อน้ี เราจะอธิบายถึงสภาพต้านทานไฟฟ้าของวตั ถุตา่ งๆ แถบสีและคา่ ความต้านทาน 2.2.1 สภาพนำไฟฟา้ ความหนาแน่นกระแสไฟฟา้ ในตวั นำเป็นสัดส่วนโดยตรงกบั ขนาดของสนามไฟฟ้า นนั่ คอื เมอื่ คา่ คงตัว คอื สภาพนำไฟฟา้ (electrical conductivity) ของตวั นำ มีหน่วยเป็นซีเมนต่อเมตร ดงั นัน้ ถ้าให้กระแสไฟฟ้า แอมแปร์ ไหลผ่านลวดตวั นำท่ีมีพน้ื ทีห่ น้า ตดั ตารางเมตร ยาว เมตร และลวดมีความตา้ นทานไฟฟา้ โอห์ม เราจะได้ R= ℓ (2.7) σA หรือ ℓ (2.8) A R = ρ เมอื่ ρ = 1 คือ สภาพต้านทานไฟฟา้ (resistivity) มีหน่วยเป็น โอหม์ -เมตร σ สภาพต้านทานไฟฟ้าของวัสดุต่างมีความแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับชนิดของสสารและในโลหะ สภาพต้านทานจะแปรผันตามอุณหภูมิด้วย โดยค่าความต้านทานจะสูงขั้นเมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น ในขณะทีส่ ภาพตา้ นทานของวัสดทุ ีเ่ ป็นอโลหะจะมีคา่ ลดลงเมอ่ื อุณหภูมเิ พมิ่ ขน้ึ ตารางท่ี 2.1 คา่ สภาพตา้ นทานไฟฟา้ ของวตั ถุตา่ งๆ ทีอ่ ณุ หภูมิ 20 องศาเซลเซียส วัตถุ สภาพตา้ นทานไฟฟา้ ( ) วตั ถุ สภาพต้านทานไฟฟา้ ( ) เงนิ 1.62x10-8 พลาทนิ มั 1.06x10-7 ทองแดง 1.69x10-8 ตะก่ัว 2.10x10-7 อลมู ิเนียม 2.75x10-8 แมกานิส 4.82x10-7 ทังสเตน 5.25x10-8 ซิลิกอนบรสิ ุทธิ์ 2.5x103 เหล็ก 9.68x10-8 แกว้ 1010-1014 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 598)

ตัวอย่างท่ี 2.2 จงหาความต้านทานของลวดทองแดงเสน้ หนึ่ง มีเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง 14.0 ไมโครเมตร ยาว 150 เซนตเิ มตร ( สภาพความต้านทานของทองแดงที่ 20 0C เท่ากบั ) ⎛ d ⎞ 2 ⎛ 14.0 × 10 −6 m ⎞ 2 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2.00 ⎟⎠ วิธีทำ พนื้ ทีห่ น้าตดั ของลวด A = π = 3.14 = 1.54 × 10−10 m2 หาความตา้ นทาน จาก R = ρℓ A จะได้ R = (1.69 × 10 −8Ω-m) 1.50m m 2 = 165 Ω 1.54 × 10−10 ตอบ ความต้านทาน 165 โอหม์ ตัวอย่างที่ 2.3 ลวดนโิ ครมเสน้ หนงึ่ มีเส้นผ่านศนู ยก์ ลาง 0.32 มิลลเิ มตร ยาว 200 เซนตเิ มตร ถ้าลวดนิโครมมคี า่ สภาพตา้ นทานไฟฟ้า 1.0 ×10−6 โอห์ม-เมตร แลว้ จงหา ก) สภาพนำไฟฟา้ และ ข) ความต้านทานไฟฟ้า ของลวดนโิ ครม วธิ ีทำ ก) หาสภาพนำไฟฟ้า จาก σ = 1 = 1 ρ 1.0 × 10−6 Ω-m = 1.0 × 106 S-m ข) หาความต้านทานไฟฟ้าจาก R = ρ ℓ A R = (1.0 × 10−6 Ω-m) π 2.0m m)2 (3.2 × 10−4 = 6.2 Ω ตอบ สภาพตา้ นทานไฟฟ้า 1.0 ×106 ซเี มนต์-เมตร ความต้านทานไฟฟา้ 6.2 โอหม์

2.2.2 ตวั ตา้ นทาน ตวั ตา้ นทาน (Resistor) คอื อปุ กรณอ์ เิ ล็กทรอนกิ ทท่ี ำหน้าที่ตา้ นการไหลของกระแสไฟฟา้ หรือจำกัดปริมาณกระแสไฟฟ้าในวงจร เขยี นแทนด้วย R และค่าความต้านทานไฟฟา้ มหี นว่ ย เป็น โอหม์ ( ) ทง้ั นเี้ ราจะตัวต้านทานแบ่งออกเป็น 3 ประเภทใหญๆ่ ดังน้ี 1) ตวั ตา้ นทานชนิดค่าคงตัว (Fixed Value Resistor ) คอื ตัวตา้ นทานที่มคี ่าความตา้ นทาน คงตวั แน่นอน และนยิ มใช้มากในงานดา้ นอเิ ล็กทรอนิก แบ่งตามสารทีใ่ ชผ้ ลิตได้เป็น ตัวตา้ นทานชนิดคารบ์ อนผสม ตวั ตา้ นทานชนิดฟลิ ์มคารบ์ อน ตวั ตา้ นทานชนดิ ฟลิ ์มโลหะ ตัว ต้านทานชนดิ ไวรว์ าวด์ ตวั ต้านทานชนิดออกไซดข์ องโลหะ ตัวตา้ นทานชนิดแผน่ ฟิลม์ หนา ตวั อยา่ งดังภาพท่ี 2.4(ก) 2) ตวั ตา้ นทานชนิดปรบั คา่ ได้ ทงั้ นเ้ี ราสามารถเลือกค่าความตา้ นทานที่ตอ้ งการได้โดยการ หมุนทป่ี ุ่มปรบั คา่ ความต้านทาน ตัวอย่างดังภาพท่ี 2.4(ข) 3) ตัวต้านทานชนดิ พิเศษ ประกอบด้วย ตวั ตา้ นทานชนดิ เปลยี่ นตามอณุ หภูมิ (Thermistor) และตวั ตา้ นทานชนดิ เปลย่ี นตามความสวา่ ง (LDR) ตัวอยา่ งดงั ภาพที่ 2.4(ค) (ก) (ข) (ค) ภาพท่ี 2.4 ตวั ทานชนดิ ก) ค่าคงตวั ข) ปรบั ค่าได้ และ ค) พิเศษ 2.2.3 แถบสแี ละค่าความต้านทาน การอ่านคา่ ความต้านทานจากตัวตา้ นทานชนดิ 4 แถบสี จากภาพท่ี 2.5(ก) เราจะอา่ นค่า ของแถบสีตามตารางท่ี 2.2 โดยอา่ นค่าของสองแถบสแี รก (หมายเลข 1 ,2) ตดิ กนั เปน็ ตวั เลข และแถบสีตอ่ มา (หมายเลข 3) แทนจำนวนเลข 0 ที่อยู่ตอ่ จากสองแถบสีแรกหรอื ตวั คูณและ แถบสสี ดุ ท้าย (หมายเลข 4) แทนคา่ ความคลาดเคล่อื น ซง่ึ สว่ นใหญ่เป็นสีทอง(ค่าผดิ พลาด 5%) ซึ่งจะอย่หู า่ งจากแถบสอี ืน่ ๆ

การอา่ นคา่ ความต้านทานของตัวตา้ นทานชนดิ 5 แถบสี จากภาพท่ี 2.5 (ข) เราจะอา่ นค่า ของแถบสตี ามตารางที่ 2.2 โดยอา่ นค่าของสามแถบสีแรก (หมายเลข 1 ,2 , 3) ตดิ กนั เปน็ ตัวเลข และแถบสตี ่อมา (หมายเลข 4) แทนจำนวนเลข 0 ที่อยตู่ อ่ จากสามแถบสีแรกหรือ ตวั คณู และแถบสีสุดทา้ ย (หมายเลข 5) แทน คา่ ความคลาดเคลือ่ น (ก) (ข) ภาพที่ 2.5 ตัวต้านทานชนดิ ค่าคงตวั แบบ (ก) ส่แี ถบสี และ (ข) หา้ แถบสี ตารางท่ี 2.2 แถบสีและคา่ ของแถบสีของตัวตา้ นทาน คา่ ความคลาดเคล่อื น - รหสั สี ค่าของแถบ ตัวคณู ดำ 0 1 ± 1% นำ้ ตาล 1 10 ± 2% แดง 2 100 สม้ 3 1000 - เหลือง 4 10000 - เขียว 5 100,000 - นำ้ เงิน 6 1,000,000 - มว่ ง 7 - เทา 8 0.1 (ทอง) ± 5% (ทอง) ขาว 9 0.01(เงิน) ± 10% (เงิน)

ตัวอยา่ งที่ 2.4 จงหาค่าความต้านทานของตัวตา้ นทานชนิด 4 แถบสี น้ำตาล ดำ ดำ ทอง และ ตวั ตา้ นทานชนดิ 5 แถบสี นำ้ ตาล ดำ ดำ แดง น้ำตาล ดงั ภาพท่ี 2.6 (ก) (ข) ภาพท่ี 2.6 ตัวต้านทานชนดิ ค่าคงตวั แบบ ก) ส่แี ถบสี และ ข) ห้าแถบสี วธิ ที ำ ก) ตัวตา้ นทานชนิด 4 แถบ มแี ถบสี นำ้ ตาล ดำ ดำ ทอง ซ่ึงจะอา่ นคา่ ได้เปน็ 1 0 x 1 ±5% = 10 ±5% ดงั นนั้ จงึ มคี ่าความตา้ นทานอยู่ระหว่าง 9.5 ถึง 10.5 ข) ตวั ตา้ นทานชนิด 5 แถบ มีแถบสี น้ำตาล ดำ ดำ แดง นำ้ ตาล ซ่งึ จะอา่ นคา่ ไดเ้ ปน็ 1 0 0 x 100 ±1% 10,000 ±1% หรือ 10 K ±1% ซ่ึงจะมีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 9,900 ถงึ 10,100 2.3 กฎของโอห์ม จอรจ์ ซีมอน โอหม์ (Georg Simon Ohm ; 1787-1854) นกั วทิ ยาศาสตร์ชาวเยอรมันสรปุ ความสัมพันธ์ของความต่างศักย์ไฟฟ้ากับกระแสไฟฟ้าในตัวนำไว้ว่า กระแสไฟฟ้าจะแปรผันตรงกับ แรงดันไฟฟา้ ซึง่ ท่อี ณุ หภูมิคงท่ี “อัตราสว่ นระหว่างความต่างศักย์ท่ปี ลายทง้ั สองของตวั นำ และกระแสไฟฟ้าทีไ่ หลในตัวนำจะมีคา่ คงท”่ี โดยเขียนเปน็ สมการไดเ้ ปน็ ΔV = constant = R (2.9) I เมื่อ ΔV คอื ความต่างศักยไ์ ฟฟ้า มีหน่วยเปน็ โวลต์ (V) คือ กระแสไฟฟา้ มหี นว่ ยเป็น แอมแปร์ (A) คือ ความต้านทานไฟฟา้ มีหน่วยเป็น โอห์ม (Ω )

2.4 วงจรไฟฟา้ กระแสตรงอยา่ งงา่ ย ภาพที่ 2.7 แสดงวงจรไฟฟ้ากระแสตรงอย่างงา่ ยทีป่ ระกอบด้วยตัวตา้ นทานหน่งึ ตวั ต่ออยูก่ ับ แหล่งกำเนดิ ไฟฟ้ากระแสตรง อาทิเชน่ ถ่านไฟฟฉาย หรอื เบตเตอรี ทม่ี ีความตา่ งศกั ย์ไฟฟา้ ΔV ท้ังนีก้ ารตอ่ ตวั ตา้ นทานตั้งแต่สองตวั ขึน้ ไปในวงจรไฟฟา้ น้นั เราจะแบง่ ออกเปน็ 3 แบบ คอื การตอ่ ตวั ต้านทานแบบอนุกรม แบบขนานและแบบผสม ซง่ึ เราสามารถหาค่ากระแสไฟฟา้ ทไี่ หลในวงจรและ แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานแตล่ ะตัว ไดโ้ ดยใช้กฎของโอห์ม I = ΔV (2.10) R ภาพท่ี 2.7 วงจรไฟฟ้าอยา่ งง่ายประกอบด้วยตวั ตา้ นทานหนงึ่ ตัวและแหล่งจา่ ยไฟฟา้ กระแสตรง (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 601) 2.4.1 วงจรตัวตา้ นทานแบบอนกุ รม ตัวต้านทานสองตัวต่อกันแบบอนุกรมและต่ออยู่กับแหล่งจ่ายไฟฟ้ากระแสตรง ΔV ดังภาพที่ 2.8 กระแสไฟฟา้ ท่ใี หลผ่านตวั ต้านทานทั้งสองตวั จะมคี า่ เท่ากัน I โดยทแ่ี รงดนั ตก ครอ่ มตวั ตา้ นทาน R1 และ R2 เปน็ ΔV1 และ ΔV2 ตามลำดับ ซ่ึงจะได้ ΔV = ΔV1 +ΔV2 นนั่ คอื IReq = IR1 +IR2 ดังนั้น จะได้คา่ ความตา้ นทานรวม Req ของวงจร ดงั นี้ Req = R1 + R2 (2.11)

(ก) (ข) ภาพท่ี 2.8 ก) การต่อตวั ตา้ นทานแบบอนุกรมและแรงดนั ตกครอ่ มตวั ตา้ นทานและ ข)วงจรสมมลู (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 618) ภาพที่ 2.9 การตอ่ ตัวต้านทานแบบอนุกรมและแรงดนั ตกครอ่ มตัวต้านทานแต่ละตวั เนอ่ื งจากกระแสไฟฟ้า I ทีไ่ หลผา่ นตัวตา้ นทานแต่ละตวั ทตี่ ่อกนั แบบอนุกรม ดังภาพที่ 2.9 น้นั จะมคี ่าเท่ากัน แต่แรงดนั ไฟฟา้ ท่ตี กคร่อมตัวต้านทาน Ri แต่ละตวั นัน้ จะขึน้ อย่กู บั ค่าความ ตา้ นทาน ซึว่ หาคา่ ได้จาก ΔVi = IR เมอื่ ดงั นน้ั แรงดันไฟฟ้ารวม ΔVab จงึ หา i ได้จาก n (2.12) ∑ΔVab = ΔVi = ΔV1 + ΔV2 + ΔV3 + ... + ΔVn i=1 ซึ่งจะได้ว่า n ∑IReq = I Ri = IR1 + IR2 + IR3 + ... + IRn i=1 ดงั นน้ั ความตา้ นทานรวม Req จงึ หาไดจ้ าก (2.13) n ∑Req = Ri = R1 + R2 + R3 + ... + Rn i=1

ตวั อย่างท่ี 2.5 จากภาพท่ี 2.10 จงหา ก) ความตา้ นทานรวม และ ข) กระแสไฟฟา้ รวมทไี่ หลในวงจร ภาพท่ี 2.10 สำหรบั ตัวอยา่ งท่ี 2.5 (Physics 9 edition, J.D. Cutnell and K.W. Johnson, 607) วิธที ำ ก) หาค่าความต้านทานรวม จาก Req = R1 + R2 จะได้ Req = 3.0Ω + 6.0Ω = 9.0Ω ข) หากระแสไฟฟา้ รวมในวงจรจาก Ieq = ΔV Req จะได้ Ieq = 12.0V = 1.3 A 9.0Ω ตอบ ความต้านทานรวม เท่ากับ 9.0 โอห์ม และกระแสไฟฟ้าท่ไี หลวงจรเทา่ กับ 1.3 แอมแปร์ ตัวอยา่ งท่ี 2.6 จงหา ก) ความต้านทานรวม ข) กระแสไฟฟา้ ท่ไี หลในวงจรและ ค) แรงดันตกครอ่ ม ตวั ตา้ นทานแตล่ ะตัวของวงจรไฟฟ้าท่ีมตี วั ตา้ นทาน และ ต่อกันอยู่ แบบอนกุ รมและต่อกับแหลง่ จา่ ยไฟฟา้ กระแสตรงที่มีแรงดนั ไฟฟา้ ΔV = 12 โวลต์ วธิ ที ำ ก) ความตา้ นทานรวม จาก Req = R1 +R2 = 500Ω +1,500Ω = 2,000Ω ข) กระแสไฟฟา้ ทไ่ี หลในวงจร I = ΔV = 12V = 6.0 mA Req 2, 000Ω ค) แรงดนั ตกคร่อมตวั ต้านทาน R1 คือ ΔV1 = IR1 = (6.0mA)(500Ω) = 3.0 V แรงดนั ตกครอ่ มตัวต้านทาน R2 คอื ΔV2 = IR2 = (6.0mA)(1,500Ω) = 9.0 V ตอบ ความต้านทานรวม เท่ากับ 2,000 โอห์ม กระแสไฟฟา้ รวใในวงจรเทา่ กบั 6.0 มิลลิแอมป์ แรงดันตกคร่อมตวั ตา้ นทาน R1 และ R2 เท่ากับ 3.0โวลต์และ 6.0 โวลต์ ตามลำดับ

2.4.2 วงจรตวั ตา้ นทานแบบขนาน วงจรไฟฟ้าอย่างง่ายที่ประกอบด้วยตัวต้านทานสองตัวต่อกันแบบขนานและต่ออนุกรมกับ แหลง่ จ่ายไฟฟ้ากระแสตรง ΔV ดังภาพที่ 2.11 นัน้ แรงดันไฟฟา้ ที่ตกคร่อมตัวต้านทานทงั้ สอง จะมคี ่าเท่ากันคือ ΔV ดังน้นั จะได้ ΔV1 = ΔV2 = ΔV ในขณะทแ่ี ตก่ ระแสไฟฟ้าทใ่ี หลผ่าน ตัวต้านทานแตล่ ะตัวมคี ่าเปน็ I1 และ I2 และกระแสไฟฟา้ รวม I = I1 +I2 ดงั นั้นจะได้ ΔV = ΔV1 + ΔV2 ดงั นนั้ ความต้านทานรวม Req ของวงจรจงึ หาได้จาก Req R1 R2 1 = 1+1 (2.14) Req R1 R2 หรือ Req = R1R2 (2.15) R1 + R2 ภาพท่ี 2.11 การต่อตวั ต้านทานแบบขนานและกระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตัวต้านทานแตล่ ะตวั (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 621) กรณีที่ตัวต้านทานที่ต่อกันแบบขนานกันมากกว่าสองตัวขึ้นไปนั้นแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อม ตวั ต้านแตล่ ะตัวจะมคี ่าเทา่ กัน นั่นคือ ΔV1 = ΔV2 = ΔV3 = ΔV เนื่องจาก I = ΔV R และ I = I1 + I2 + In + ... + In จะได้ ΔV = ΔV + ΔV + ΔV + ...+ ΔV ดงั นัน้ จะได้ Req Req R1 R2 R3 Rn 1 = 1 + 1 + ...+ 1 (2.16) Req R1 R2 Rn

ตวั อย่างที่ 2.7 วงจรไฟฟา้ ประกอบดว้ ยตัวต้านทานขนาด 12 โอห์มและ 4.0 โอหม์ ต่อกันแบบขนาน และตอ่ กับแหล่งจ่ายไฟฟา้ ขนาด 6.0 โวลต์ ดงั ภาพที่ 2.12 แลว้ จงหากระแสไฟฟา้ I I1 และ I2 ภาพที่ 2.12 สำหรบั ตัวอยา่ งท่ี 2.7 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 621) วิธที ำ หาความตา้ นทานรวม จาก 1 = 1+1 = 1 + 1 จะไดค้ วามตา้ นทานรวม Req R1 R2 12Ω 4.0Ω Req = (12Ω)(4.0Ω) = 3.0Ω 12Ω +4.0Ω และเราสามารถหากระแสไฟฟ้า I ไดจ้ าก I = ΔV Req I = ΔV = 6.0V = 2.0A Req 3.0Ω เนือ่ งจากตา้ นทาน 12 โอหม์ และ 4.0 โอหม์ ตอ่ กนั อยแู่ บบขนาน ดงั น้ันแรงดันไฟฟ้าที่ตกครอ่ ม ตัวตา้ นทานท้งั สองจึงมีค่าเท่ากัน คอื 6.0 โวลต์ ดังนัน้ เราจึงหากระแสไฟฟ้า I1 และ I2 ได้ดังนี้ หากระแสไฟฟา้ I1 ได้จาก I1 = 6.0V = 0.50A 12Ω หากระแสไฟฟ้า I2 ได้จาก I2 = 6.0V = 1.5A 4.0Ω ตอบ กระแสไฟฟา้ I I1 และ I2 มคี ่าเทา่ กบั 2.0 0.50 และ 1.5 แอมแปร์ ตามลำดับ

ตัวอยา่ งท่ี 2.8 ตัวต้านทานสามตวั คือ R1 = 3.0Ω R2 = 6.0Ω และ R3 = 9.0Ω ตอ่ กนั แบบขนาน และต่ออยกู่ ับแหล่งจ่ายไฟฟ้าขนาด 18 โวลต์ ดังภาพท่ี 2.13 แล้ว จงหา ก) ความต้านทานรวม ข) กระแสไฟฟ้ารวม และ ค) กระแสไฟฟา้ ทีไ่ หลผ่านตัวตา้ นทานแต่ละตัว ภาพที่ 2.13 สำหรบั ตัวอย่างที่ 2.8 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 621) วธิ ีทำ ก) ความตา้ นทานรวม Req จาก 1 = 1 +1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 11 Req R1 R2 R3 3 6 9 18 จะได้ Req = 18 Ω = 1.6 Ω 11 ข) กระแสไฟฟ้ารวม I eq = ΔV = 18V = 11 A Req 1.6Ω ค) กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวต้านทาน R1 คือ I1 = ΔV = 18V = 6.0 A R1 3.0Ω กระแสไฟฟ้าทไี่ หลผ่านตัวต้านทาน R2 คือ I2 = ΔV = 18V = 3.0 A R2 6.0Ω กระแสไฟฟ้าทไี่ หลผ่านตวั ต้านทาน R3 คอื I3 = ΔV = 18V = 2.0 A R3 9.0Ω ตอบ ความต้านทานรวม คอื 1.6 โอหม์ กระแสไฟฟ้ารวมคือ 11 แอมแปร์ และกระแสไฟฟา้ ที่ไหล ผ่านตวั ต้านทาน R1 R2 และ R3 เทา่ กับ 6.0 3.0 และ 2.0 แอมแปร์ ตามลำดับ

2.4.3. วงจรตวั ตา้ นทานแบบผสม ภาพที่ 2.14 แสดงตวั อย่างการต่อตวั ต้านทานแบบผสม เราจะเห็นไดว้ า่ การตอ่ ตัวต้านแบบ ผสมเป็นการต่อตัวต้านทานทั้งแบบอนุกรมและแบบขนานรวมกันดังนั้นในการหาค่ากระแสไฟฟ้า แรงดันไฟฟ้านน้ั ทำไดโ้ ดยใชว้ ิธกี ารทัง้ สองวธิ ที ่ีกลา่ วขา้ งตน้ ภาพที่ 2.14 ตวั อยา่ งการต่อตวั ตา้ นทานแบบผสม และ ตวั อยา่ งที่ 2.9 ถ้ามตี ัวต้านทาน 4 ตวั คอื ตอ่ กันแบบผสม ดังภาพที่ 2.15 แลว้ จงหา ก) คา่ ความต้านทานรวมของวงจรไฟฟ้า ข) ถ้าแรงดนั ไฟฟา้ ตกคร่อมจดุ a และ b เปน็ ΔVab 12.0 โวลต์ แลว้ จงหาแรงดันไฟฟา้ ทีต่ กครอ่ ม จดุ c และ d ภาพท่ี 2.15 สำหรบั ตวั อย่างท่ี 2.9 วธิ ที ำ จากภาพท่ี 2.15 จะเห็นวา่ ตัวต้านทาน และ ต่อกันแบบขนานและต่ออนุกรมอยกู่ ับ และ ดังน้ันจึงสามารถเขียนวงจรใหมไ่ ดเ้ ป็น

เมอื่ Rcd หาได้จาก 1 = 1 +1 = 1 + 1 Rcd R2 R3 2.00kΩ 2.00kΩ จะได้ Rcd = 1.00kΩ ก) ความตา้ นทานรวม สามารถหาไดจ้ าก Req = R1 +Rcd + R4 = 4.00kΩ ข) หาแรงดนั ไฟฟ้า ΔVcd ได้จาก ΔVcd = IRcd เราสามารถหากระแสไฟฟา้ ท่ไี หลในวงจรได้จาก I = ΔV Req เมอื่ แรงดันไฟฟา้ ΔVab = 12 โวลต์ จะได้ I = 12.0V = 3.00mA 4.00kΩ ดงั นนั้ จะได้ ΔVcd = IRcd = (3.0mA)(1.0kΩ) = 3.00V ตอบ ความต้านทานรวม เทา่ กับ 4.00 กโิ ลโอหม์ และแรงดนั ไฟฟา้ ตกคร่อมจดุ c และ d เท่ากับ 3.00 โวลต์

2.5 กำลงั ไฟฟ้า ในการศึกษาเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสตรงนั้นนอกจากต้องการทราบค่าของกระแสไฟฟ้า ที่ไหลในวงจรและแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวต้านทานแต่ละตัวแล้ว เรายังต้องทราบถึงกำลังไฟฟ้าที่ ตัวต้านทานหรืออปุ กรณ์ทางไฟฟ้าตา่ งๆ อกี ด้วย กำลังไฟฟ้า (Electric Power; ) คอื งานทางไฟฟ้าต่อหนึ่งหนว่ ยเวลามีหนว่ ยเป็น วตั ต์ (W) เมือ่ ประจุ เคล่อื นท่ผี า่ นตวั นำทม่ี คี วามตา่ งศักย์ ΔV จะเกิดงาน ซ่ึง dw = ΔVdq ดงั น้นั จะได้ กำลังไฟฟา้ P = dw = ΔVdq = I ΔV qt qt P = I ΔV (2.17) และจากกฎของโอห์มจะได้ หรือ P = ΔV 2 (2.18) R ตวั อย่างที่ 2.10 วงจรไฟฟา้ กระแสตรงประกอบดว้ ย R1 = 50.0Ω และ ต่อกันแบบ อนุกรมและต่อเขา้ กับแหลง่ จ่าไฟฟา้ ขนาด 20 โวลต์ ดงั ภาพท่ี 2.16 จงหา ก) กระแสไฟฟ้ารวม และ ข) กำลงั ไฟฟ้ทต่ี วั ต้านทานแตล่ ะตวั ภาพที่ 2.16 สำหรบั ตวั อยา่ งท่ี 2.10 วธิ ีทำ ความต้านทานรวม Req = 50Ω +150Ω = 200Ω ก) กระแสไฟฟ้าท่ไี หลในวงจ ร I = ΔV = 20V = 0.10A Req 200Ω ข) กำลงั ไฟฟา้ ทีต่ วั ตา้ นทาน คอื = กำลังไฟฟ้าท่ีตัวตา้ นทาน คอื = ตอบ กระแสไฟฟร้ รวม 0.10 แอมแปร์ กำลงั ไฟฟา้ ท่ตี ัวต้านทานเทา่ กบั 0.50 และ 1.50 วัตต์

ตัวอยา่ งท่ี 2.11 วงจรไฟฟา้ กระแสตรงประกอบดว้ ยตัวต้านทานสต่ี วั ต่อกันแบบผสม ดงั ภาพท่ี 2.17 แล้วจงหา ก) ความตา้ นรวมและกระแสไฟฟ้ารวม ข) แรงดันไฟฟ้าตกครอ่ มตวั ต้านทาน 6.00 โอหม์ ค) กระแสไฟฟา้ ที่ไหลผา่ นตัวต้านทาน 3.00 โอห์ม ง) กำลงั ไฟฟ้าทต่ี ัวต้านทาน 3.00 โอหม์ ภาพที่ 2.17 สำหรบั ตัวอย่างที่ 2.11 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 642) วิธที ำ ก) ความตา้ นทานรวม Req = 2.00Ω + ⎝⎛⎜ (6.00Ω)(3.00Ω) ⎞⎟⎠ + 4.00Ω = 8.00 Ω 6.00Ω + 3.00Ω กระแสไฟฟา้ รวม I = ΔV = 18.0V = 2.25 A Req 8.00Ω ข) แรงดันไฟฟา้ ตกครอ่ มตัวต้านทาน 6.00 โอหม์ แรงดนั ตกคร่อมตัวตา้ นทาน 6.00Ω จะเทา่ กับแรงดนั ตกครอ่ มตวั ตา้ นทาน3.00Ω ตวั ตา้ นทาน 6.00Ω และ 3.00Ω ตอ่ กนั แบบขนาน ดังนั้นจะไดค้ วามตา้ นทาน เป็น 1= 1 + 1 R! 3.00Ω 6.00Ω R! = (3.00Ω)(6.00Ω) = 2.00Ω 3.00Ω + 6.00Ω และหาแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวตา้ นทาน 6.00 โอห์ม ไดจ้ าก ΔV = (2.25A)(2.00Ω) = 4.50V

ค) กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตัวต้านทาน 3.00 โอห์ม หากระแสไฟฟ้าท่ไี หลผา่ นตัวต้านทาน 3.00 โอหม์ ไดจ้ าก I= ΔV R จะได้ I = ΔV = 4.50V = 1.50 A R 3.00Ω ง) กำลังไฟฟ้าทต่ี วั ตา้ นทาน 3.00 โอห์ม หากำลงั ไฟฟ้าได้จาก P = IΔV หรอื P = I2R หรือ P=V2 R ดงั น้ันจะได้ กำลงั ไฟฟา้ P = IΔV = (1.50)(4.50) = 6.75 W หรือ P = I 2R = (1.50)2(3.00) = 6.75W หรือ P = ΔV 2 = (4.50)2 = 6.75 W R 3.00 ตัวอยา่ งท่ี 2.12จากวงจรไฟฟา้ กระแสตรง ดงั ภาพท่ี 2.18 จงหา ก) ความต้านรวมและกระแสไฟฟา้ รวม ข) แรงดนั ไฟฟา้ ตกคร่อมตวั ตา้ นทาน 6.0 โอห์ม ค) กระแสไฟฟา้ ทไี่ หลผา่ นตัวต้านทาน 6.0 โอหม์ ภาพที่ 2.18 สำหรบั ตัวอยา่ งท่ี 2.12 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 642)

วธิ ีทำ ก) ความตา้ นทานรวม จากภาพขา้ งบน 1= ⎡⎛ 3.0Ω 1 3.0Ω ⎞ + ⎛ 3.0Ω 1 3.0Ω ⎞ ⎤ จะได้ Rp = 3.0Ω Rp ⎣⎢⎝⎜ + ⎠⎟ ⎝⎜ + ⎠⎟ ⎦⎥ ดังน้นั จะได้ ความต้นทานรวม Req = 3.0Ω + Rp = 6.0Ω และกระแสไฟฟา้ รวม I = ΔV = 18V = 3.0A Req 6.0 ข) แรงดันไฟฟ้าตกครอ่ มตวั ต้านทาน 6.0 โอหม์ แรงดันไฟฟ้าทตี่ กคร่อมตวั ตา้ นทาน Rp : ΔVp = IRp = (3.0A)(3.0Ω) = 9.0V เน่อื งจากความต้านทางดา้ นบนและดา้ นลา่ งของ Rp จะมีค่าเทา่ กัน ( 3.0Ω + 3.0Ω = 6.0Ω ) ดังนน้ั กระแสไฟฟา้ ทไี่ หลในตวั ตา้ นแต่ละตวั ของ Rp : I 3.0Ω = ΔVp = 9.0V = 1.5A 6.0 6.0Ω แรงดันไฟฟา้ ท่ตี กคร่อมตัวตา้ นทาน 6.0Ω จงึ เปน็ ΔV6.0Ω = (1.5A)(3.0Ω) = 4.5V ค) กระแสไฟฟ้าทไ่ี หลผ่านตวั ตา้ นทาน 6.0 โอหม์ กระแสไฟฟา้ ท่ไี หลในตัวต้าน 6.0Ω : I 6.0 Ω = ΔV6.0 Ω = 4.5V = 0.72A 6.0 6.0Ω

2.6 การวเิ คระห์วงจรไฟฟ้ากฎของเคริ ช์ ฮอฟฟ์ เนื่องจากวงจรไฟฟ้าส่วนใหญ่มีความซับซ้อนสูงและกฎของโอห์มไม่สามารถนำมาใช้แก้ปัญหาได้ แตอ่ ย่างไรกต็ าม ชว่ งปี ค.ศ. 1824-1887 กุสตาฟ โรเบิรต์ เคิร์ชฮอฟฟ์ (Krichhoff) นกั วทิ ยาศาสตร์ ชาวเยอรมนั ได้คิดคน้ วิธีการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าที่เปน็ เครอ่ื ขา่ ยท่ซี ับซ้อนมแี หลง่ จา่ ยไฟฟา้ หลายๆ ชดุ และในเวลาตอ่ มามาได้ต้งั เป็นกฎเพ่ือใช้ในการวเิ คราะห์วงจรไฟฟา้ เรียกวา่ “กฎของเคิรช์ ฮอฟฟ”์ ซึ่งประกอบด้วยกฎสองข้อ คือกฎกระแสไฟฟา้ และกฎแรงดนั ไฟฟา้ 2.6.1 กฎกระแสของเคริ ช์ ฮอฟฟ์ กฎกระแสของเคิร์ชฮอฟฟ์ ( Kirchhoff’s Current Law) หรือเรียกวา่ KCL จะกลา่ วถึง ผลรวมของกระแสไฟฟา้ ท่ีไหลเขา้ และไหลออกทจ่ี ดุ ใดๆ ในวงจรไฟฟ้า มคี ่าเทา่ กบั ศูนย์ หรือ ผลรวมของกระแสไฟฟ้าทไ่ี หลเข้าทจี่ ดุ ใดๆ เท่ากับ ผลรวมกระแสไฟฟ้าที่ไหลออก หรือ (2.19) ตัวอย่างท่ี 2.13 จากภาพท่ี 2.19 จงหากระแสไฟฟา้ และ ภาพที่ 2.19 สำหรับตวั อย่างที่ 2.13 วิธีทำ พิจารณาจดุ A : I1 +I3 = I2 จะได้ I1 +2.0A = 3.0A I1 = 1.0 A พิจารณาจดุ B : I5 = I2 +I4 จะได้ I5 = 3.0A+1.0A = 4.0A ตอบ กระแสไฟฟ้า เท่ากับ 1.0 แอมแปร์ และ เทา่ กบั 3.0 แอมแปร์

2.6.2 กฎแรงดันของเคริ ช์ ฮอฟฟ์ กฎแรงดันของเคริ ช์ ฮอฟฟ์ ( Kirchhoff’s Voltage Law) หรอื เรียกวา่ KVL จะกลา่ วถึง ผลรวมของแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวต้านทานทั้งหมดภายในวงรอบมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือ ผลรวมของแรงดนั ที่ตกครอ่ มตวั ตา้ นทานทัง้ หมดจะมีค่าเท่ากบั แรงดนั ไฟฟ้าของแหลง่ จา่ ยไฟฟ้า n (2.20) ∑ ΔVi = 0 i=1 ตัวอย่างท่ี 2.14 จากวงจรไฟฟา้ กระแสตรง ดังภาพท่ี 2.20 จงหา ก) กระแสไฟฟา้ ทีไ่ หลในวงจร และ ข) แรงดนั ไฟฟา้ ทต่ี กคร่อมตัวต้านทานแต่ละตัว ภาพท่ี 2.20 สำหรบั ตัวอย่างที่ 2.14 วิธีทำ ก) กระแสไฟฟา้ ที่ไหลในวงจร จาก ΔVS1 + ΔVS2 = I(R1 + R2 + R3) 10V + 5.0V = I(10Ω + 5.0Ω + 5.0Ω) จะได้ I = 15V = 0.75A 20Ω ข) แรงดันไฟฟา้ ที่ตกครอ่ มตัวต้านทานแตล่ ะตวั แรงดันไฟฟา้ ทต่ี กครอ่ มตวั ตา้ นทาน 5.0Ω คือ ΔV5.0Ω = (0.75A)(5.0Ω) = 3.8V แรงดันไฟฟ้าทีต่ กคร่อมตวั ตา้ นทาน 10Ω คือ ΔV10Ω = (0.75A)(10Ω) = 7.5V ตอบ กระแสไฟฟ้า คอื 0.75 แอมแปร์ แรงดันตกคร่อมตัวต้านทาน คือ 3.8 โวลต์ และ 7.5 โวลต์

ตวั อยา่ งที่ 2.15 จงหากระแสไฟฟา้ ท่ีไหลผ่านตวั ต้านทานแตล่ ะตัวและแรงดนั ที่ตกครอ่ มตัวต้านทาน แตล่ ะตัวของวงจรไฟฟา้ ดงั ภาพท่ี 2.21 ภาพที่ 2.21 สำหรับตวั อย่างที่ 2.15 วธิ ีทำ กำหนดให้ คอื กระแสไฟฟา้ ท่ีไหลผ่านตัวต้านทาน ตามลำดับ และกำหนดวงลูป , พิจารณาวงลูป จะได้ ΔVS1 − ΔV1 − ΔV2 − ΔVS1 = 0 ΔVS1 − ΔVS1 = I1R1 − I2 R2 10 − 5.0 = 2.0I1 − 2.0I2 2.0I1 − 2.0I2 = 5.0 . ..........(A)

พจิ ารณาวงลปู จะได้ ΔVS2 − ΔV2 − ΔV3 = 0 ΔVS2 = ΔV2 + ΔV3 ...........(B) ΔVS2 = I2 R2 + I3R3 5.0 = 2.0 I2 + 5.0I3 พจิ ารณาทจ่ี ุด A จะได้ ดังนนั้ สมการ (Bฺ ) จึงเปน็ 5.0 = 2.0 I2 + 5.0I1 + 5.0I2 5.0I1 + 7.0 I2 = 5.0 ............(C) แกร้ ะบบสมการสองตัวแปรในสมการ (A) และ (C) I1 = 5 −2 = 35 + 10 = 45 = 1.9A 57 14 + 10 24 2 −2 57 I2 = 25 = 10 − 25 = − 15 = − 0.63A 55 14 + 10 24 2 −2 57 จะได้ I1 = 1.9A และ I2 = 0.63A (ทศิ ทางตรงขา้ มกับทกี่ ำหนด) และจาก จะได้ I3 = 1.9 − 0.63 = 1.3A ดังนน้ั จะได้ แรงดนั ตกครอ่ ม เทา่ กบั ΔV1 = I1R1 = (1.9A)(2.0Ω) = 3.8V แรงดนั ตกครอ่ ม เทา่ กบั ΔV2 = I2R2 = (0.63A)(2.0Ω) = 1.3V แรงดันตกครอ่ ม เทา่ กับ ΔV3 = I3R3 = (1.3A)(5.0Ω) = 6.5V

ตวั อย่างที่ 2.16 จากวงจรไฟฟ้าในภาพที่ 2.22 จงหากระแสไฟฟา้ I1 , I2 และ I3 ภาพที่ 2.22 สำหรบั ตัวอยา่ งที่ 2.16 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 643) วิธีทำ เนื่องจากเราไม่สามารถทำให้เป็นวงจรไฟฟ้าอย่างง่าย(วงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายและ ตัวต้านทานอย่างละ 1 ตวั ) ได้ ดังน้ัน เราตอ้ งใช้ กฎของเคริ ซ์ ฮอฟฟ์ โดยกำหนดวงลปู พิจารณาท่ีวงลปู บนของวงจรไฟฟ้ จะได้ 2.0I1 + 4.0I1 + 3.0I3 = 24 พจิ ารณาทวี่ งลูปล่างของวงจรไฟฟ้ จะได้ 6.0I1 + 3.0I3 = 24 ........(A) 1.0I2 + 5.0I2 − 3.0I3 = 12 .......(B) 6.0I2 − 3.0I3 = 12 และจาก KCL จะได้ I1 = I2 + I3 ดงั นั้นสมการ (1) จึงเป็น ........(C) 6.0I2 + 9.0I3 = 24 แกร้ ะบบสมการในสมการ (B) และ (C) จะได้ I2 = 2.5A และ I3 = 1.0A ดงั นน้ั จะได้ I1 = 3.5A