INDUKSI MATEMATIKA
Notasi Sigma Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
1) Notasi sigma adalah i adalah indeks atau penunjuk penjumlahan Penulisan bentuk penjumlahan ke dalam bentuk sederhana 3) Sifat-sifat notasi sigma: yang dilambangkan dengan ������ ������������ = u1+ u2 + u3 + …+ un ������=������ 2) Bentuk umum : ������ ������ = n.c (c = konstanta) a1+ a2 + a3 + … an = ������ ������������ ������=������ ������=������ ������ ������ ∙ ������������ = c ������ ������������ dibaca i penjumlahan suku- ������=������ ������=������ suku ai untuk i = 1 sampai dengan i = n ������ ������������ ± ������������ = ������ ������������ ± ������ ������������ ������=������ ������=������ ������=������ i = 1 adalah batas bawah penjumlahan ������ ������������ = ������+������ ������������−������ ������=������ ������=������ ������ ������ = ((b – a) + 1)c , dengan ������=������ i = n adalah batas atas c adalah konstanta dan a < b penjumlahan ������ ������������ = ������−������ ������������+������ ������=������ ������=������−������ ai adalah suku penjumlahan ������ ������������ = ������+������ ������������−������ yang ke-i atau variable ������=������ ������=������+������ berindeks Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 CONTOH SOAL 4 Hitunglah nilainya ������ ������������ Hitunglah nilainya ������ ������������ − ������ ������=������ ������=������ = (1)2 + (2)2 + (3)2 + (4)2 = ������ ������������ – ������ ������ = 2 ������ ������ – ������ ������ ������=������ ������=������ ������=������ ������=������ = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 = 2((1 + 2 + 3 + 4) – (4 . 5) CONTOH SOAL 2 = 20 – 20 = 0 Hitunglah nilainya ������ ������ CONTOH SOAL 5 ������=������ Tulislah dalam notasi sigma dari =5+5+5+5+5+5 bentuk penjumlahan : ������ ������������ = 6 . 5 = 30 ������=������ ������ ������ ������ ������������ ������ + ������ + ������������ + … … + ������������������ CONTOH SOAL 3 = ������ + ������ + ������ + …+ ������������ Hitunglah nilainya ������ ������������ ������+������ ������ ������+������ ������ ������+������ ������ ������������+������ ������ ������=������ =3 ������ ������ = 3(1 + 2 + 3 + 4) = ������������ ������ ������=������ ������=������ ������+������ ������ = 3.10 = 30 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 CONTOH SOAL 7 Tulislah dalam notasi sigma dari Ubahlah ������������ ������������ + ������ menjadi ������=������ bentuk penjumlahan : ������ ������������ ������=������ bentuk sigma dengan batas −2, 1, 6, 13, 22,⋯, 397 bawah 7 ! = (12 − 3) + (22 − 3) + (32 − 3) + = ������������−������ ������(������ + ������) + ������ (42 − 3) + … + (202 − 3) ������=������−������ = ������������ ������������ − ������ = ������ ������������ + ������������ + ������ = ������������ ������������ − ������������ ������=������ ������=������ ������=������ CONTOH SOAL 7 Ubahlah ������ ������������ + ������ menjadi ������=������ bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! = ������+������ ������(������ − ������) + ������ ������=������ = ������������ ������������ − ������������ + ������ = ������������ ������������ − ������������ ������=������ ������=������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Membuktikan Kebenaran Rumus Deret dengan Induksi Matematika Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Definisi dan Prosedur 2) Anggap bahwa untuk n = k, Induksi Matematika rumus atau teorema adalah benar. (langkah induksi) Induksi matematika adalah 3) Karena untuk n = k, rumus sebuah metode deduktif yang atau teorema sudah benar digunakan sebagai pembuktian maka perlu dibuktikan pernyataan benar atau salah. bahwa untuk n = k + 1, rumus atau teorema juga Untuk membuktikan benar (kesimpulan). kebenaran dari induksi matematika, ada tiga Jenis Induksi Matematika langkah yang diperlukan, yaitu: Deret 1) Membuktikan bahwa rumus Pembagian atau teorema benar untuk n = 1 (langkah dasar) Pertidaksamaan Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli. Langkah Kedua : Langkah Pertama : Asumsikan n = k benar Akan ditunjukkan n = 1 benar 2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N 2n = n(n + 1) maka 2(1) = 1(1 + 1) Langkah Ketiga 2 = 2. Jadi, P(1) benar Akan ditunjukkan n = k + 1 juga benar, yaitu Dari asumsi : 2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1) Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : 2 + 4 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 2 + 4 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 + 4 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) . Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 Buktikan Sn = 1 + 3 + 5 +7 +…+ (2n – 1) = n2 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1 Langkah Pertama : Langkah Kedua Akan ditunjukkan n = 1 benar Asumsikan bahwa n = k benar, (2n – 1) = n2 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2k – 1) = k2 (2(1) – 1) = 12 Langkah Ketiga 1 = 1. Jadi, P(1) benar Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar Dari asumsi : 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2k – 1) = k2 Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : 1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 k2 + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 difaktorkan (k + 1)2 = (k + 1)2. Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 3 Buktikan : 1 + 2 + 22 + … + 2n = 2n + 1 – 1 untuk semua bilangan bulat non-negatif n. Langkah Kedua Langkah Pertama : Asumsikan bahwa n = k benar, 1 + 2 + 22 + … + 2k = 2k + 1 – 1 Akan ditunjukkan n = 0 benar 2n = 2n + 1 – 1 20 = 20 + 1 – 1 1 = 2 – 1 maka 1 = 1. Jadi, P(0) benar Langkah Ketiga : Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : 1 + 2 + 22 + … + 2k + 2k +1 = 2(k + 1) + 1 – 1 = 2 k + 2 – 1 1 + 2 + 22 + … + 2k + 2k +1 = (1 + 2 + 22 + … + 2k) + 2k +1 Gunakan sifat 1 + 2 + 22 + … + 2k + 2k +1 = (2k + 1 – 1) + 2k +1 x + x = 2x 1 + 2 + 22 + … + 2k + 2k +1 = 2 . 2k + 1 – 1 Gunakan sifat 1 + 2 + 22 + … + 2k + 2k +1 = 2k + 1 + 1 – 1 am . an = am + n 1 + 2 + 22 + … + 2k + 2k +1 = 2k + 2 – 1 . Jadi, n = (k + 1) benar
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 4 Buktikan : 13 + 23 + 33 + ⋯ + n3 = 1 n2 (n + 1)2 4 Langkah Pertama : Langkah Kedua Akan ditunjukkan n = 1 benar Asumsikan bahwa n = k benar, n3 = 1 n2 (n + 1)2 13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 = 1 k2 (k + 1)2 4 4 13 = 1 12 (1 + 1)2 Langkah Ketiga 4 Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar 1 = 1. Jadi, P(1) benar Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : Gunakan sifat 13 + 23 + 33 + ⋯+ k3 + (k + 1)3 = 1 (k + 1)2 (k + 1 + 1)2 distributif 4 13 + 23 + 33 + ⋯+ k3 + (k + 1)3 = 1 k2 (k + 1)2 + (k + 1)3 difaktorkan 4 = (k + 1)2 (������������ + (k + 1))= (k + 1)2 (���4��������� + (������������������ + ���4���)) = (k + 1)2 4 = 1 (k + 1)2(k + 2)2 Jadi, n = (k + 1) benar + ������)������) ((������ 4 4 = 1 (k + 1)2(k + 1 + 1)2 4
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 5 ������ ������ ������ ������ ������+������ ������ Buktikan : ������∙������ + ������∙������ + ������∙������ + ⋯ + ������ = ������+������ Langkah Kedua Langkah Pertama : Asumsikan bahwa n = k benar, Akan ditunjukkan n = 1 benar ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������ ������ = ������ ������∙������ ������∙������ ������∙������ ������+������ ������+������ ������ ������+������ ������+������ ������ ������+������ ������+������ + + + ⋯ + = ������ 1 1 2 = 2 . Jadi, P(1) benar Langkah Ketiga Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : ������ + ������ + ������ + ⋯ + ������ + ������ = ������+������ = ������+������ ������∙������ ������∙������ ������∙������ ������ ������+������ (������+������) ������+������ ������+������+������ ������+������ ������ + ������ + ������ + ⋯ + ������ + ������ = ������ + ������ difaktorkan ������+������ (������+������) ������+������ ������∙������ ������∙������ ������∙������ ������ ������+������ (������+������) ������+������ = ������ ������+������ + ������ = ������������+������������+������ = (������+������)(������+������) ������+������ ������+������ (������+������) ������+������ ������+������ ������+������ ������+������ ������+������ = (������+������) Jadi, n = (k + 1) benar ������+������
CONTOH SOAL 6 ������ ������������ ������ ������+������ ������ ������=������ ������ Langkah Kedua Buktikan : = Langkah Pertama : Asumsikan bahwa n = k benar, Akan ditunjukkan n = 1 benar ������ ������������ ������ ������+������ ������ ������ ������+������ ������ 13 = ������ ������+������ ������ ������=������ ������ ������ = i3 = ������ Langkah Ketiga 1 = 1. Jadi, P(1) benar Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : ������ ������������ + ������+������ ������������= (������+������) ������+������ ������ ������=������ ������=������+������ ������ ������ ������������ + ������+������ ������������ = ������ ���+������+��� 1������ )2������(+���4������(��� ������++(���������������������)���������+=���4���)()k=d+i(fak1k)t+2or(1k���4���a)������2n+(((������k+���������+���������)���1���))) ������=������ ������=������+������ = (k = (k + 1)2(k + 2)2 = (k + 1)(k + 2) 2 ������������ 2 Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Induksi Matematika pada Pembagian Induksi Matematika pada Ketaksamaan Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 5n + 3 habis dibagi 4. Langkah Kedua : Langkah Pertama : Asumsikan n = k benar sehingga Akan ditunjukkan n = 1 benar 5k + 3 habis dibagi 4 5n + 3 = 51 + 3 maka = 8 (habis dibagi 4) Langkah Ketiga Jadi, P(1) benar Akan ditunjukkan n = k + 1 juga benar, yaitu Dari asumsi : 5k + 3 habis dibagi 4 (5 x 3) – 12 = 3 5k + 1 + 3 = 5 . 5k + 3 = 5 (5k + 3) – 12 habis dibagi 4 12 habis dibagi 4 Maka : 5 (5k + 3) – 12 habis dibagi 4 Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 Buktikan dengan induksi matematika bahwa : n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli. Langkah Pertama : Langkah Kedua Akan ditunjukkan n = 1 benar Asumsikan bahwa n = k benar, n3 + 2n = (1)3+ 2(1) = 3 (habis k3 + 2k habis dibagi 3 dibagi 3). Jadi, P(1) benar Langkah Ketiga Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar Dari asumsi : k3 + 2k habis dibagi 3 (k + 1)3 + 2(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3) = (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) habis dibagi 3 habis dibagi 3 Maka : (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3) habis dibagi 3 Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 Buktikan dengan induksi bahwa: (5n+1 − 4n − 5) habis dibagi 16. Langkah Pertama : Langkah Kedua Akan ditunjukkan n = 1 benar 5n+1 − 4n − 5 = 51+1 − 4(1) − 5 Asumsikan bahwa n = k benar, = 16 (habis dibagi 16) 5k+1 − 4k − 5 habis dibagi 16 Jadi, P(1) benar Langkah Ketiga Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar Dari asumsi : 5k+1 − 4k − 5 habis dibagi 16 5(k + 1)+1 − 4(k + 1) − 5 = 5 . 5k + 1 − 4k − 4 − 5 = 5 . 5k + 1 − 4k − 5 − 4 = 5 (5k + 1 − 4k − 5) − 4 + 16k + 20 = 5 (5k + 1 − 4k − 5) + (16k + 16) habis dibagi 16 habis dibagi 16 Maka : 5 (5k + 1 − 4k − 5) + (16k + 16) habis dibagi 16 Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 4 Buktikan dengan induksi matematika bahwa: (an − bn) habis dibagi (a − b) Langkah Kedua Langkah Pertama : Asumsikan bahwa n = k benar, ak − bk habis dibagi (a − b) Akan ditunjukkan n = 1 benar an − bn = a1 − b1 = a – b (habis Langkah Ketiga dibagi a – b) Jadi, P(1) benar Buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar Dari asumsi : ak − bk habis dibagi a – b a(k + 1) − b(k +1) = a . ak − b . bk = a(ak − bk) − b . bk + a . bk = a(ak − bk) + bk (a − b) habis dibagi a – b habis dibagi a – b Maka : a(ak − bk) + bk (a − b) habis dibagi a – b Jadi, n = (k + 1) benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa : 3n > 2n Langkah Kedua : Langkah Pertama : Asumsikan n = k benar sehingga 3k > 2k Akan ditunjukkan n = 1 benar Langkah Ketiga 3n > 2n = 31 > 21 = 3 > 2 Jadi, P(1) benar Akan ditunjukkan n = k + 1 juga benar, yaitu Dari asumsi : 3k > 2k adalah benar 3k + 1 > 2k + 1 3k + 1 = 3 . 3k 3k + 1 > 3 . 2k karena 3k > 2k 3k + 1 > 2 . 2k karena 3 > 2 3k + 1 > 2k + 1 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Jadi, n = (k + 1) benar
CONTOH SOAL 6 Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n Langkah Pertama: Langkah Ketiga: Akan ditunjukkan Akan ditunjukkan n = (k + 1) juga n = (2) benar benar, yaitu 3n > 1 + 2n 32 > 1 + 2 . 2 Dari asumsi : 3k > 1 + 2k, k ≥ 2 9 > 5 (benar) adalah benar Jadi, P(1) benar 3k+1 > 1 + 2(k + 1) 3k+1 > 2k + 3 3k+1 = 3(3k) Langkah Kedua: 3k+1 > 3(1 + 2k) (karena 3k > 1 + 2k) Asumsikan : 3k+1 > 3 + 6k n=(k) benar, yaitu 3k+1 > 3 + 2k (karena 6k > 2k) 3k > 1 + 2k, k ≥ 2 3k+1 > 1 + 2 + 2k 3k+1 > 1 + 2(k + 1) Jadi, n = (k + 1) juga benar Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
PROGAM LINEAR
SMAK SANTA MARIA MALANG Matematika SMA kelas XI IIN SETYAWATI,S.Pd Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Program linear suatu metode untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala- kendala yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel suatu pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajad satu (tidak mengandung fungsi :polynomial, trigonometri,logaritma,atau eksponensial) Sistem Pertidaksamaan Linear: Gabungan dari dua atau lebih dari pertidaksamaan linear Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 3x + 2y ≤ 6 ! Langkah Penyelesaian : gambarkan terlebih dahulu garis 3x + 2y = 6 titik potong dengan sumbu x y = 0 maka 3x + 2y = 6 maka 3x + 2(0) = 6 → 3x = 6 → x = 2 . Titik potong : (2,0) titik potong dengan sumbu y x = 0 dan maka 3x + 2y = 6 maka 3(0) + 2y = 6 → 2y = 6 → y = 3 Titik potong (0,3) Hubungkan kedua titik potong tersebut Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
(0,3) (2,0) garis Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Tempat kedudukan : 3x + 2y ≤ 6 Pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik (0,0). Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat :3x + 2y = 3(0) + 2(0) = 0 ≤ 6 Ternyata memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhi syarat (yang dimaksud) adalah di titik-titik yang berada pada titik (0,0) berada (seperti terlihat pada gambar berikut ) Nb : yang diarsir adalah daerah yang salah sehingga daerah penyelesaian berupa daerah yang kosong (bersih) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
(0,3) DP (2,0) garis Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Gambarkan tempat kedudukan (daerah) x 5 Sb y garis Daerah Penyelesaian X=5 Sb X
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Gambarkan tempat kedudukan (daerah) y – 3 Sb y Daerah Sb X Penyelesaian garis y=–3
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Gambarkan tempat kedudukan (daerah) : x 0 , y 0 , 3x + 2y 12 Langkah Penyelesaian : gambarkan terlebih dahulu garis 3x + 2y = 12 titik potong dengan sumbu x y = 0 maka 3x + 2y = 12 maka 3x + 2(0) = 12 → 3x = 12 → x = 4 . Titik potong : (4,0) titik potong dengan sumbu y x = 0 dan maka 3x + 2y = 12 maka 3(0) + 2y = 12 → 2y = 12 → y = 6 Titik potong (0,6) Hubungkan kedua titik potong tersebut
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Langkah menggambar (0,6) HP (4,0) garis
Tunjukkan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y 6, 3x + 8y 24 untuk x, y R Langkah-langkah penyelesaian : Arsirlah daerah yang tidak memenuhi x ≥ 0 Arsirlah daerah yang tidak memenuhi y 0 Gambar garis x + y = 6, kemudian arsirlah daerah yang tidak memenuhi x + y 6 x 0 6 Koordinatnya : y 6 0 (0,6) dan (6,0) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Langkah-langkah penyelesaian : Gambar garis 3x + 8y = 24 , kemudian arsirlah daerah yang tidak memenuhi 3x + 8y 24 x 0 8 Koordinatnya : y 3 0 (0,3) dan (8,0) Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang merupakan irisan keempat penyelesaian pertidaksamaan di atas seperti gambar di bawah ini : Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati (0,6) x≥0 (0,3) HP y 0 (6,0) (8,0) 3x + 8y ≤ 24 y≥0 x+y≤6
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati KESIMPULAN Gradien negative (m < 0) Gradien positif (m > 0) maka garis condong ke maka garis condong ke kanan kiri g : ax + by ≤ ab g : ax + by ≤ ab Y Y g ag a HP HP X b OX Ob
g:y=k g:x=k Y y x=k Himpunan HP Penyelesaian X≥0 Y≥0 y=k O XO X Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
SMAK SANTA MARIA MALANG Menentukan sistem pertidaksamaan dari suatu daerah penyelesaian Matematika SMA kelas XI IIN SETYAWATI,S.Pd Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Sumbu Y (0,a) RUMUS : NB : dibalik (b,0) Sumbu X Garis lurus Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
(0,a) Arsiran ke atas maka tanda pertidaksamaan ≤ maka rumusnya : ax + by ≤ ab (b,0) NB : Arsiran adalah daerah yang bernilai salah. garis (0,a) Arsiran ke bawah maka tanda pertidaksamaan ≥ maka rumusnya ax + by ≥ ab (b,0) garis Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 1 (0,2) (3,0) garis Karena arsiran ke atas maka pertidaksamaannya adalah : 2x + 3y ≤ 6
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 2 (0,2) Karena arsiran ke bawah maka pertidaksamaannya adalah : x + 2y ≥ 4 (4,0) garis
CONTOH SOAL 3 Jadi sistem (0,4) pertidaksamaannya : x 0 HP 2������ + 3������ ≤ 4 ������ ≥ 0 ������ ≥ 0 Karena arsiran ke atas maka pertidaksamaannya adalah : 2x + 3y ≤ 4 (6,0) y0 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
(0,6) Jadi sistem pertidaksamaannya : 3������ + 8������ ≤ 24 ������ + ������ ≤ 6 ������ ≥ 0 ������ ≥ 0 (0,3B) HP x≥0 D (6,0) (8,0) y≥0 3x + 8y ≤ 24 x+y≤6 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
SMAK SANTA MARIA MALANG Model Matematika Matematika SMA kelas XI IIN SETYAWATI,S.Pd Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Model matematika suatu rumusan matematika (dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari penafsiraan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika. Fungsi Sasaran: adalah bentuk ax + by yang hendak dioptimalkan (dimaksimumkan atau diminimumkan). Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Masalah 1: Seorang pedagang akan membuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung 200 gram dan mentega 25 gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis B digunakan bahan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Jika bahan yang tersedia 3 kg tepung dan 1,1 kg mentega. Tentukan : Model matematikanya Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Misalkan roti A = x dan roti B = y Jenis roti Tepung Mentega A 200 gr 25 gr B 100 gr 50 gr Persediaan 3 kg = 3000 gr 1,1kg =1100 gr Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Model matematika : Roti A : 200x + 100y ≤ 3000 : 2x + y ≤ 30 Roti B : 25x + 50y ≤ 1100 : x + 2y ≤ 44 Banyak roti A adalah x 0 Banyak roti B adalah y ≥ 0 Dengan demikian model matematika yang diperoleh dari rumusan masalah di atas adalah : 2x y 30 x 2 y 44 x0 y 0 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Masalah 2: Suatu perusahaan mebel ingin membuat dua jenis meja, yaitu meja tulis dan meja makan. Untuk membuat meja-meja itu diperlukan 3 tahapan pekerjaan, yaitu: tahap I (pemasahan), tahap II (pemasangan), dan tahap III (pengecatan). Berdasarkan pengalaman beberapa tahun dalam memproduksi meja ini diperoleh fakta sebagai berikut: Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212