BA102 คณิตศาสตร์ธุรกิจ ป.ตรี

BA102 คณติ ศาสตร์ธุรกจิ Mathematics for Business 1

คาอธิบายรายวชิ า • ระบบสมการ อสมการ การแก้สมการ อสมการ และ การประยกุ ต์โจทย์สมการ การหาอนพุ นั ธ์และการ ประยกุ ต์เพื่อหาคา่ สงู สดุ คา่ ต่าสดุ อินทกิ รัลและการ ประยกุ ต์ใช้ธรุ กิจ เมตริกซ์และดีเทอร์มแิ นนต์ การแก้ สมการโดยใช้เมตริกซ์และดีเทอร์มแิ นนต์ การคานวณ ดอกเบีย้ การคดิ ราคาสนิ ค้าแบบผอ่ นชาระ การตงั้ ราคา ขาย 2

เนือ้ หารายวชิ า • ทบทวนก่อนเรียน • บทท่ี 1 ระบบจานวนจริง • บทท่ี 2 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร • บทท่ี 3 เมตริกซ์และดเี ทอร์มแิ นนซ์ • บทท่ี 4 ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตวั แปร • บทท่ี 5 ดอกเบยี ้ เชิงเด่ียว • บทท่ี 6 ดอกเบยี ้ ทบต้น • บทท่ี 7 สนิ ค้าผอ่ นชาระ • บทท่ี 8 การตงั้ ราคาขาย 3

ทบทวนพนื้ ฐานก่อนเรียน 4

5

บทท่ี 1 ระบบจานวนจริง Real Number 6

ระบบจานวนจริง 7

ระบบจานวนจริง • ระบบจำนวนจริง ประกอบไปด้วย 1. จำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถเขียนให้อยใู่ นรูปเศษสว่ นได้ และทศนิยมไม่รู้จบ 2. จำนวนตรรกยะ สามารถเขียนเป็ นเศษสว่ นได้ ทศนิยม ปกติ หรือทศนิยมไม่รู้จบแบบซา้ จำนวนจริง จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ 8

ระบบจานวนจริง • 1. จำนวนอตรรกยะ หมายถงึ จานวนที่ไมส่ ามารถเขยี นให้อยู่ ในรูปเศษสว่ นของจานวนเตม็ หรือทศนิยมซา้ ได้ ตัวอย่ำง เขยี นเป็นเศษสว่ นไมไ่ ด้ เชน่ √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซงึ่ มีคา่ 3.14159265... ทศนิยมไมร่ ู้จบแบบไมซ่ า้ เช่น 0.112123123412345.... 9

ระบบจานวนจริง • 2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จานวนที่สามารถเขียนให้อยใู่ นรูป เศษสว่ นของจานวนเตม็ หรือทศนยิ มซา้ ได้ ตวั อยา่ งเชน่ ทศนิยมไม่รู้จบแบบซา้ 10

ระบบจานวนจริง • จำนวนตรรกยะ ประกอบไปด้วย 1. จำนวนตรรกยะท่ไี ม่ใช่จำนวนเตม็ 2. จำนวนเตม็ จำนวนตรรกยะ จำนวนไม่เตม็ จำนวนเตม็ 11

ระบบจานวนจริง • จำนวนตรรกยะ ประกอบไปด้วย 1. จำนวนตรรกยะท่ไี ม่ใช่จำนวนเตม็ หมายถึง จานวนที่ สามารถเขียนให้อยใู่ นรูปเศษสว่ นหรือทศนิยมซา้ ได้ แตไ่ ม่เป็ นจานวนเตม็ ตวั อยา่ งเช่น 0.5 มีคา่ เทา่ กบั 2. จานวนเต็ม หมายถึง จานวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เม่ือกาหนดให้ I เป็นเซตของจานวนเตม็ 12

ระบบจานวนจริง • ระบบจำนวนเตม็ จานวนเต็มยงั สามารถแบง่ ได้อีกเป็น 3 ประเภท ด้วยกนั 13

ระบบจานวนจริง • 1. จำนวนเตม็ ลบ หมายถึง จานวนที่เป็ นสมาชิกของเซต I - โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็ นเซตของจานวนเตม็ ลบ • 2. จำนวนเตม็ ศูนย์ (0) • 3. จำนวนเตม็ บวก หมายถงึ จานวนท่ีเป็ นสมาชกิ ของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เม่ือ I+ เป็ นเซตของจานวนเตม็ บวก 14

ระบบจานวนจริง • จำนวนเตม็ บวก เรียกได้อีกอยา่ งวา่ \"จำนวนนับ\" ซง่ึ เขียนแทนเซต ของจานวนนบั ได้ด้วยสญั ลกั ษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...} 15

ระบบจานวนจริง • ระบบจำนวนเชงิ ซ้อน นอกจากระบบจานวนจริงท่ีกลา่ วมาข้างต้น แล้ว ยงั มีจานวนอีกประเภทหนง่ึ ซง่ึ ได้จากการแก้สมการตอ่ ไปนี ้ 16

ระบบจานวนจริง • ระบบจำนวนเชงิ ซ้อน จะเห็นได้วา่ “ไม่สามารถจะหาจานวนจริงใดท่ียกกาลงั สองแล้วมี คา่ เป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจานวนอ่ืนๆ ในลกั ษณะนีว้ า่ “จำนวนจนิ ต ภำพ”และเรียก i วา่ \"หน่ึงหน่วยจนิ ตภำพ\" เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ i • ยเู นียนของเซตจานวนจริงกบั เซตจานวนจินตภาพ คอื \" เซตจำนวน เชิงซ้อน \" (Complex numbers) จานวนจริง จานวนจินต ภาพ 17

ระบบจานวนจริง R : Real Number • จานวนใดๆ ก็ตามท่ีอยใู่ นเส้นจานวน เรียกวา่ จานวนจริง • คา่ ที่อยรู่ ะหวา่ งจานวนเตม็ เชน่ 0.5, 0.25 จะถือวา่ เป็ นจานวนจริง • √-1 ไม่ใชจ่ านวนเต็ม ไมใ่ ชจ่ านวนจริง เรียกวา่ จานวนเชิงซ้อน 18

สัญลกั ษณ์แทนเซตจานวน • สัญลกั ษณ์ แทนเซตของจานวน – เซตของจานวนจริง สัญลกั ษณ์ R N – เซตของจานวนนับ สัญลกั ษณ์ I I+ – เซตของจานวนเตม็ สัญลกั ษณ์ I- I0 – เซตของจานวนเต็มบวก สัญลกั ษณ์ Q – เซตของจานวนเตม็ ลบ สัญลกั ษณ์ Q' – เซตของจานวนเตม็ ศูนย์ สัญลกั ษณ์ – เซตของจานวนตรรกยะ สัญลกั ษณ์ – เซตของจานวนอตรรกยะ สัญลกั ษณ์ 19

คุณสมบตั ขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรเท่ำกันของจำนวนจริง กาหนด a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ 1. สมบัตกิ ำรสะท้อน a = a 2. สมบัตกิ ำรสมมำตร ถ้า a = b แล้ว b = a 3. สมบัตกิ ำรถ่ำยทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4. สมบตั กิ ำรบวกด้วยจำนวนท่เี ท่ำกัน ถ้า a = b แล้ว a+c=b+c 5. สมบตั กิ ำรคูณด้วยจำนวนท่เี ท่ำกัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc 20

คุณสมบัตขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรบวกในระบบจำนวนจริง กาหนด a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ปิ ิ ดกำรบวก a + b เป็ นจานวนจริง 2. สมบัตกิ ำรสลับท่ขี องกำรบวก a + b = b + c 3. สมบัตกิ ำรเปล่ยี นกลุ่มกำรบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c 4. เอกลักษณ์กำรบวก 0 + a = a = a + 0 นนั่ คอื ในระบบจานวนจริงจะมี 0 เป็ นเอกลกั ษณ์การบวก 5. อินเวอร์สกำรบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a นนั่ คือ ในระบบจานวนจริง จานวน a จะมี -a เป็ นอินเวอร์สของการบวก 21

คุณสมบตั ขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง กาหนดให้ a, b, c, เป็ นจานวนจริงใดๆ 1. สมบัตปิ ิ ดกำรคูณ ab เป็ นจานวนจริง 2. สมบตั กิ ำรสลับท่ขี องกำรคูณ ab = ba 3. สมบัตกิ ำรเปล่ียนกลุ่มของกำรคูณ a(bc) = (ab)c 4. เอกลักษณ์กำรคูณ 1 · a = a = a · 1 นน่ั คอื ในระบบจานวนจริง มี 1 เป็ นเอกลกั ษณ์การคณู 5. อนิ เวอร์สกำรคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 นน่ั คือ ในระบบจานวนจริง จานวนจริง a จะมี a-1 เป็ นอิน เวอร์สการคณู ยกเว้น 0 22

คุณสมบัตขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง กาหนดให้ a, b, c, เป็นจานวนจริงใดๆ 6. สมบตั กิ ำรแจกแจง a( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca จากสมบตั ิของระบบจานวนจริงที่ได้กลา่ วไปแล้ว สามารถนามา พิสจู น์เป็ นทฤษฎีบทตา่ งๆ ได้ดงั นี ้ 23

คุณสมบัตขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง กาหนดให้ a, b, c, เป็นจานวนจริงใดๆ 6. สมบตั กิ ำรแจกแจง a( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca จากสมบตั ิของระบบจานวนจริงที่ได้กลา่ วไปแล้ว สามารถนามา พิสจู น์เป็ นทฤษฎีบทตา่ งๆ ได้ดงั นี ้ 24

คุณสมบตั ขิ องจานวนจริง • สมบัตกิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง ทฤษฎีบทท่ี 1 กฎกำรตดั ออกสำหรับกำรบวก เมื่อ a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c 25

คุณสมบตั ขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง ทฤษฎีบทท่ี 2 กฎกำรตดั ออกสำหรับกำรคูณ เม่ือ a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c 26

คุณสมบตั ขิ องจานวนจริง • สมบตั กิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง ทฤษฎบี ทท่ี 3 เมื่อ a เป็ นจานวนจริงใดๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎีบทท่ี 4 เมื่อ a เป็ นจานวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a 27

คุณสมบัตขิ องจานวนจริง • สมบัตกิ ำรคูณในระบบจำนวนจริง ทฤษฎีบทท่ี 5 เมื่อ a,b เป็นจานวนจริงใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎบี ทท่ี 6 เม่ือ a เป็นจานวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab เราสามารถนิยามการลบและการหารจานวนจริงได้โดยอาศยั สมบตั ขิ องการ บวกและการคณู ในระบบจานวนจริงท่ีได้กลา่ วไปแล้วข้างต้น 28

คุณสมบัตขิ องจานวนจริง • สมบัตกิ ำรลบในระบบจำนวนจริง กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ a- b = a + (-b) นน่ั คอื a - b คอื ผลบวกของ a กบั อนิ เวอร์สการบวกของ b 29

คุณสมบตั ขิ องจานวนจริง • สมบัตกิ ำรหำรในระบบจำนวนจริง กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 = a(b-1) นนั่ คือ คอื ผลคณู ของ a กบั อินเวอร์สการคณู ของ b 30

เส้ นจานวน 31

เส้ นจานวน 32

ช่วงของจานวนจริง กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริง และ a < b 33

ช่วงของจานวนจริง กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริง และ a < b 34

ช่วงของจานวนจริง กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริง และ a < b ช่วงอนันต์ 35

ช่วงของจานวนจริง กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริง และ a < b ช่วงอนันต์ 36

ทาแบบทดสอบหลงั เรียน 37

อสมการตวั แปรเดยี ว 38

การแก้อสมการตวั แปรเดียว วธิ ีกำรแก้อสมกำร 1. ให้ย้ายตวั แปรมาไว้ข้างเดยี วกนั 2. ถ้ามีวงเลบ็ ให้ถอดวงเลบ็ ออก 3. ถ้ามเี ศษสว่ นให้กาจดั สว่ น (โดยใช้ ครน. คณู ตลอด) * ข้อควรระวัง ถ้าจานวนลบ มา คณู หรือ หาร จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการเป็ นตรงข้าม 39

การแก้อสมการตวั แปรเดยี ว 1. ถ้าเอาจานวน “ลบ” “คณู ” หรือ “หาร” เข้าทงั้ 2 ข้าง ของอสมการ ต้อง “กลบั ทิศ” เครื่องหมาย EX1. 1+3 > 2+1 4 >3 EX2. 3 >= 2 >= (-1) 2 (-1) 3 <= -2 -3 40

การแก้อสมการตัวแปรเดยี ว 2. ถ้ากลบั เศษสว่ นต้องกลบั ทิศของของเครื่องหมายของอสมการด้วย EX3. 10 > 6 2 2 กลบั ทศิ เคร่ืองหมาย 2 <2 10 6 41

การแก้อสมการตัวแปรเดียว 3. การยกกาลงั สองทงั้ สองด้านของอสมการ ต้องแนใ่ จวา่ เป็นบวกอยทู่ งั้ 2 ด้าน ถ้านาจานวนลบมา “คณู ” หรือ “หาร” ต้องเปลีย่ นเคร่ืองหมายของอสมการเป็น ตรงข้าม EX4. จงแก้อสมกำร -5x+1 <= 21 -5x <= 21 - 1 -5x <= 20 ย้าย -5 ไปหาร เปล่ยี นทิศเครื่องหมาย x >= 20 -5 x >= - 4 42

การแก้อสมการตวั แปรเดียว EX5. จงแก้อสมกำร > 3x + 12 4x - 5 12 + 5 4x – 3x> > 17 x <= -x + 11 EX6. จงแก้อสมกำร -x + 11 3(x – 3) <= 11 + 9 3x – 9 <= <= 20 3x + x <= 20 4x X 4 <= 5 X 43

ค่าสัมบูรณ์ Absolute Value ค่ำสัมบูรณ์ คือ ระยะท่จี ำนวนนัน้ อยู่ห่ำงจำก 0 บน เส้นจำนวน สัญลักษณ์ | a | Ex. |4| = 4 |-4| = 4 4 หน่วย 4 หน่วย 04 -4 0 44

สมการ “สมกำรต้องมเี คร่ืองหมำย = เสมอ” การหาผลเฉลยของสมการ โดยทว่ั ไปแล้ว ต้องการหาคา่ ของตวั ทไ่ี มท่ ราบคา่ (unknowns) ซง่ึ อาจจะปรากฏในสมการ เพียง 1 ตวั หรือมากกวา่ นนั้ ก็ได้ ซง่ึ เรามกั เรียกตวั ไม่ทราบคา่ วา่ ตวั แปร (variables) สาหรับการแก้สมการอย่ำงง่ำยทาได้โดย ต้องการให้ทงั้ ซ้ายและขวาของสมการสมดลุ กนั แล้วพยายามจดั รูปให้ ตวั แปรทเ่ี ราต้องการเหลอื อยเู่ พียง 1 ตวั และ อีกข้างหนงึ่ ของสมการเป็นตวั เลขท่ีเราต้องการ 45

การแก้สมการตัวแปรเดยี ว EX1. 2x - 3 =0 2x = 0 + 3 x =3 2 EX2. 2 – 3x = 5 -3x = 5 - 2 x =3 -3 x = -1 46

การแก้สมการตวั แปรเดยี ว EX3. 2x - 3 = 4 + x 2x - x = 4 + 3 x =7 EX4. 2 + 3x = 4 + 6x 3x - 6x = 4 - 2 -3x = 2 x =2 -3 47

บทท่ี 2 ระบบสมการ 48

ระบบสมการ 49

• เราเรียกหลายๆ สมการ ท่ีเก่ียวข้องกบั ตวั แปร ชดุ เดยี วกนั และมีผลเฉลยร่วมกนั วา่ ระบบสมการ (a system of equations) 50