แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง ตรีโกณมิติ

แผนการจดั การเรียนรู้ วชิ า คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ภาคเรียนที่ 1 ปีการศกึ ษา 2563 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 เร่อื ง ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ นายคเณศ สมตระกลู ตาแหน่ง ครู คศ.1 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร สานักงานเขตพน้ื ที่การศกึ ษามธั ยมศกึ ษาเขต 1 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

แผนการจดั กจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปการศึกษา 2563 หนวยการเรยี นรทู ี่ 1 เรื่อง ฟงกชันตรีโกณมติ ิ เวลา 1 ชั่วโมง ช่ือครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรยี นรทู ี่ 1 เรอื่ ง ทดสอบกอนเรียน เร่ือง ฟง กช นั ตรีโกณมิติ 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟงกช นั ตรีโกณมติ แิ ละลกั ษณะกราฟของฟง กช ันตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกป ญหา 2) แกส มการตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกปญหา 3) ใชกฎของโคไซนและกฎของไซนในการแกปญ หา 2. สาระสำคัญ การแกโ จทยปญหา เรื่อง ฟง กชนั ตรโี กณมติ ิ 3. ผลการการเรียนรูท่คี าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญ หาท่ีกำหนดใหได 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโ จทยปญ หาเรื่อง ฟงกช ันตรโี กณมติ ิ ได - ใชเ หตุผลในการแกโจทยป ญ หา - เช่อื มโยงความรูต างๆ ของคณิตศาสตรไ ด 3) ดา นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - มคี วามซื่อสตั ย สจุ ริต - มรี ะเบียบวนิ ยั - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผูเรยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคิด 4) ผลติ งานอยา งสรางสรรค

5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมเี หตุผล ปฏิบัตงิ านโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 3) เงอ่ื นไขคุณธรรม ปฏบิ ตั งิ านตามความสามารถท่ที ำได อยางพอเหมาะพอควร 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบทดสอบกอ นเรยี น เร่อื ง ฟง กช ันตรโี กณมติ ิ จำนวน 25 ขอ 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วิธกี ารวัดผล เครือ่ งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมิน ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบทดสอบกอ นเรียน นกั เรียนทำแบบฝกหดั 1. แกโจทยปญ หาที่ ถูกตองของแบบทดสอบ ถูกตองรอยละ 60 กำหนดใหได กอ นเรยี น ขึ้นไป ถือวา ผานเกณฑ ที่กำหนด ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น 1) แกโจทยป ญหาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ฟงกช ันตรีโกณมติ ิ ได คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ข้นึ ไป ถือวาผาน 2) ใชเหตผุ ลในการ การสงั เกต แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั แกโจทยป ญ หา ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวาผาน 3) เชื่อมโยงความรูตา งๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดับ ของคณิตศาสตรไ ด ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผา น

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผา น 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสังเกต แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 4) มีความซื่อสตั ย สุจริต การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึน้ ไป ถือวา ผา น แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขนึ้ ไป ถือวา ผาน 9. กิจกรรมการเรียนรู 1) ครูสนทนาทักทายกับนกั เรียน แจงวัตถปุ ระสงคกับเนื้อหาหลกั สูตรทีจ่ ะเรียน พรอ มแจง ระยะเวลาเรยี นและชีแ้ จงวธิ กี ารเรียนและวธิ ีการประเมินผลการเรยี น 2) ใหน ักเรียนทำแบบทดสอบกอนเรยี นเรื่อง ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ เพ่ือวดั ความรูพน้ื ฐานของนักเรยี น เปน เวลา 45 นาที 3) ครเู ฉลยคำตอบของงแบบทดสอบกอนเรยี นเร่ือง ฟงกช ันตรโี กณมิติ นกั เรยี นรวมคะแนน และครู เชค็ คะแนนท่ีนกั เรียนทำได เพอื่ นำขอ มลู ท่ไี ดไปใชในการจัดการเรียนการสอนในครงั้ ตอ ไป 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) แบบทดสอบกอนเรยี น เรอ่ื ง ฟงกชันตรีโกณมติ ิ จำนวน 25 ขอ

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรูคณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พิม่ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 หนวยการเรยี นรทู ่ี 1 เรื่อง ฟง กชันตรีโกณมติ ิ เวลา 1 ช่ัวโมง ช่อื ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรียนรทู ี่ 2 เร่อื ง การวัดความยาวสวนโคง และจดุ ปลายสวนโคง 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรียนรู 1) เขาใจการวดั ความยาวสว นโคง และการหาจดุ ปลายสว นโคง 2. สาระสำคัญ ถา P(x, y) เปน จุดปลายสวนโคง ของวงกลมหน่งึ หนว ย ทวี่ ดั จากจดุ (1, 0) ไปตามสวนโคงเปนระยะ θ หนว ย แลว 1) ถา θ < 0 จะวัดสวนโคง จากจดุ (1, 0) ทิศทางตามเข็มนาิกา 2) ถา θ = 0 จดุ ปลายสว นโคงคอื จดุ (1, 0) 3) ถา θ > 0 จะวดั สวนโคงจากจุด (1, 0) ทศิ ทางทวนเข็มนากิ า 3. ผลการการเรียนรทู ่คี าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจการวดั ความยาวสวนโคง และการหาจุดปลายสว นโคง 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยปญ หาเรื่อง การวัดความยาวสว นโคงและจุดปลายสว นโคง ได - ใชเ หตุผลในการวัดความยาวสวนโคงและการหาจุดปลายสว นโคง - เช่ือมโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สื่อสาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ยั - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรา งสรรค

5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมเี หตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชป ญ ญา 2) เงอื่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชิน้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หัด ที่ 1 เรื่อง การวัดความยาวสว นโคง และจุดปลายสวนโคง ขอ ที่ 1 - 13 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วิธกี ารวัดผล เครื่องมือวัดผล เกณฑก ารประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝกหดั ท่ี 1 ขอ นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. เขาใจการวดั ความ พิจารณาจากความ 1 -13 ถกู ตองรอ ยละ 60 ยาวสวนโคง และการหา ถูกตองของแบบฝกหัด ขึน้ ไป ถือวา ผา นเกณฑ จดุ ปลายสว นโคง ท่กี ำหนด ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดับ 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน การวัดความยาวสว นโคง ขึน้ ไป ถือวา ผา น และจดุ ปลายสว นโคง ได แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 2) ใชเ หตผุ ลในการวัด การสังเกต ขนึ้ ไป ถือวา ผา น ความยาวสวนโคง และ แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดับ การหาจุดปลายสว นโคง ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 3) เชอ่ื มโยงความรูตา งๆ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดบั ของคณิตศาสตรไ ด คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 4) ส่ือสาร สอ่ื การสงั เกต แบบประเมินผลดา น ความหมายทาง ทกั ษะ/กระบวนการ คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครอื่ งมือวัดผล เกณฑการประเมนิ ดา นคุณลักษณะอนั พึงประสงค (A) แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต คณุ ลักษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผา น 2) มีระเบยี บวินยั การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสงั เกต ประสงค ขนึ้ ไป ถือวา ผาน แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครูสนธนาทักทายนกั เรียน พูดคุยถงึ หวั ขอที่จะเรยี น 2) ครูตง้ั คำถามใหนักเรียนวา การวดั ความยาวสวนโคงและจุดปลายสว นโคง ทำไดอ ยางไรและมี หลักการอยา งไรในการหาจดุ ปลายสว นโคง เพือ่ ตรวจสอบความรขู องนกั เรยี น 3) ครเู ปดโอกาสใหนักเรียนคดิ พิจารณา และเสนอความคิด ขน้ั สอน 1) ครบู รรยายเก่ยี วกับ เรื่อง การวดั ความยาวสว นโคงและจุดปลายสวนโคง พรอ มยกตัวอยา งดังนี้ การวดั ความยาวของสว นโคง และหาจดุ ปลายของสว นโคงของวงกลมหนึ่งหนว ย Y (0, 1) ความยาวเสนรอบรปู ของวงกลมท่มี ีรศั มยี าว r หนวย คือ 2πr หนวย แลว O (1, 0) X ความยาวเสนรอบรปู ของวงกลมท่มี ีรศั มยี าว 1 หนวย เทากับ 2π หนวย ความยาวสวนโคง ครึ่งวงกลมเทากบั 2π = π หนว ย 2 2π (-1, 0) 4 π ความยาวสวนโคงเส้ยี ววงกลมเทา กบั = หนว ย 2 (0, -1) รปู ท่ี 1

Y (0, 1) ถา P(x, y) เปน จุดปลายสวนโคง ของวงกลมหน่ึงหนวย P(x, y) ทวี่ ัดจากจุด (1, 0) ไปตามสวนโคง เปนระยะ θ หนว ย แลว (-1, 0) O (1, 0) X 1. ถา θ < 0 จะวดั สว นโคงจากจดุ (1, 0) ทศิ ทางตามเขม็ นากิ า 2. ถา θ = 0 จุดปลายสวนโคง คอื จดุ (1, 0) 3. ถา θ > 0 จะวดั สวนโคงจากจดุ (1, 0) ทศิ ทางทวนเข็ม นาิกา (0, -1) ควอดรันตท่ี 2 Y รปู ท่ี 2 (-x, y) (0, 1) ควอดรนั ตท ี่ 1 (x, y) คา ของฟงกช นั ตรโี กณมติ ขิ องจำนวนจริง θ (-1, 0) (1, 0) X เมือ่ θ อยูในควอดรันตตา งๆ เมอื่ กำหนด (x, y) เปน จดุ ปลายสว นโคงที่ยาว θ หนว ย บนวงกลมหนง่ึ หนว ย ดังรปู ท่ี 3 (-x, -y) (x, -y) ควอดรนั ตท่ี 3 (0, -1) ควอดรันตท่ี 4 รูปที่ 3 กำหนด P(x, y) เปน จดุ กง่ึ กลางของสวนโคง AB เนือ่ งจากสวนโคง AB ยาว π หนว ย 2 ดงั นน้ั สว นโคง AP ยาวเทา กบั สวนโคง PB เทา กบั π หนวย จะไดคอรด PB ยาวเทากYับคอรด PA น่ันคอื PB = PA 4 B(0, 1) x2 + (y - 1)2 = (x - 1)2 + y2 P(x, y) x2 + y2 - 2y + 1 = x2 - 2x + 1 + y2 A(1, 0)X จะได x = y แต x2 + y2 = 1 เน่ืองจาก (x, y) เปนจดุ บนวงกลม ดังนั้น 2x2 = 1 รปู ที่ 4 Y x = 1 B(0, 1) ±2 จะได จดุ ปลายสวนโคง P(x, y) ดงั รปู ท่ี 5 A(1, 0)X รูปท่ี 5

Y Y B(0, 1) B(1, 0) P(x, y) A(1, 0)X A(1, 0)X M(x, -y) รปู ที่ 6 รปู ท่ี 7 กำหนด P(x, y) เปน จุดซึ่งทำใหส วนโคง AP ยาว π หนวย 6 เน่อื งจาก สวนโคง AB ยาว π หนวย ดังนนั้ สว นโคง PB ยาว π หนวย 2 3 ใหจดุ M สมมาตรกับจุด P โดยมีแกน X เปนแกนสมมาตรจะไดว าสว นโคง AM ยาว π หนว ย และจดุ M มีพิกัดเปน (x, -y) 6 ดงั นนั้ สวนโคง PM ยาว π หนว ย จะไดค อรด PM ยาวเทากับคอรด PB 3 น่ันคือ PM = PB y2 - (-y)2 = x2 + (y - 1)2 (y+ y)2 = x2 + y2 - 2y + 1 จะได 4y2 = x2 + y2 - 2y + 1 แต 4y2 = 1 - 2y + 1 เน่อื งจาก x2 + y2= 1 เปนจดุ บนวงกลม 4y2 + 2y - 2 =0 2(2y2 + y - 1) =0 2(2y - 1)(y + 1) = 0 y = 1 , -1 2 จะได จุดปลายสว นโคง P(x, y) ในแตละควอรนั ต ดังรูปท่ี 7

M(-x, y) Y Y B(0, 1) P(x, y) B(1, 0) A(1, 0)X A(1, 0)X รูปที่ 8 รูปท่ี 9 กำหนด P(x, y) เปนจดุ ซึง่ ทำใหสวนโคง AP ยาว π หนวย 3 เนือ่ งจาก สวนโคง AB ยาว π หนว ย ดงั นนั้ สวนโคง PB ยาว π หนวย 2 6 ใหจุด M สมมาตรกบั จุด P โดยมแี กน Y เปนแกนสมมาตรจะไดวาสวนโคง BM ยาว π หนวย และ จุด M มีพิกัดเปน (-x, y) 3 ดังน้ัน สวนโคง PM ยาว π หนว ย จะไดคอรด PM ยาวเทากับคอรด PA 3 น่ันคือ PM = PA x2 - (-x)2 = (x - 1)2 + y2 (x + x)2 = x2 + - 2x + 1 + y2 จะได 4x2 = x2 - 2y + 1 + y2 แต 4y2 = 1 - 2x + 1 เน่ืองจาก x2 + y2= 1 เปน จดุ บนวงกลม 4x2 + 2x - 2 =0 2(2x2 + x - 1) =0 2(2x - 1)(x + 1) = 0 x = 1 , -1 2 จะได จดุ ปลายสวนโคง P(x, y) ในแตล ะควอรนั ต ดงั รูปท่ี 9

Y P(0) = (1,X0) รูปที่ 10 กำหนด แทน พิกดั ของจุดปลายมุม ในกรณีท่ีมมุ มีขนาดใหญ เพื่อความสะดวกในการหาคา ในกรณีนี้จะนิยมแบง มุมเปน nπ ± θ เม่อื n เปนจำนวนเตม็ โดยเริ่มตนจาก nπ แลวนับตอดว ย ± θ ดงั ตวั อยา งท่ี 1 ตวั อยางที่ 1 จงหาพิกดั จุดปลายมุมตอไปน้ี วิธีทำ 1) P( 3π ) 2) P( 4π ) 2 3 17π 2009π 3) P( 6 ) 4) P(- 4 ) 1) P( 3π ) = P(π + π ) = (0, -1) หรือ P( 3π ) = P(2π - π ) = (0, -1) 2 2 2 2 2) P( 4π ) = P(π + π ) =  - 1 , - 3 3  2 2  3 3) P( 17π ) = P(3π - π ) =  - 1 , - 3 6  2 2  6 4) P(- 2009π ) = P(-502π - π ) =  2 , - 2 4  2 2  4

ขน้ั สรปุ 1) นกั เรยี นและครรู ว มกันสรปุ ความรทู ่ไี ดจ ากการเรยี น และเปดโอกาสใหนกั เรยี นซกั ถามปญหา หรือขอสงสัย 2) ครูใหนักเรียนทำแบบฝกหัดที่ 1 เรือ่ ง การวดั ความยาวสวนโคง และจดุ ปลายสว นโคง ขอที่ 1 - 13 ใหเ สร็จในชว งโมง แตหากนกั เรยี นทำไมเสรจ็ ในช่วั โมง ใหน กั เรยี นนำกลับไปทำเปนการบา นแลวรว ม เฉลยในช่วั โมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหนักเรยี นคนควาหาโจทยเ พมิ่ เตมิ จากแหลง เรยี นรูตางๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟงกชันตรีโกณมิติ

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรูคณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พิม่ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 หนวยการเรยี นรทู ่ี 1 เรื่อง ฟง กชันตรีโกณมติ ิ เวลา 1 ช่ัวโมง ช่อื ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรียนรูที่ 3 เร่อื ง การวัดความยาวสวนโคง และจดุ ปลายสวนโคง 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรียนรู 1) เขาใจการวดั ความยาวสว นโคง และการหาจดุ ปลายสว นโคง 2. สาระสำคัญ ถา P(x, y) เปน จุดปลายสวนโคง ของวงกลมหน่งึ หนว ย ทวี่ ดั จากจดุ (1, 0) ไปตามสวนโคงเปนระยะ θ หนว ย แลว 1) ถา θ < 0 จะวัดสวนโคง จากจดุ (1, 0) ทิศทางตามเข็มนาิกา 2) ถา θ = 0 จดุ ปลายสว นโคงคอื จดุ (1, 0) 3) ถา θ > 0 จะวดั สวนโคงจากจุด (1, 0) ทศิ ทางทวนเข็มนากิ า 3. ผลการการเรียนรทู ่คี าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจการวดั ความยาวสวนโคง และการหาจุดปลายสว นโคง 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญ หาเรื่อง การวัดความยาวสว นโคงและจุดปลายสว นโคง ได - ใชเ หตุผลในการวัดความยาวสวนโคงและการหาจุดปลายสว นโคง - เช่ือมโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สื่อสาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ยั - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรา งสรรค

5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบัติงานโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เงอื่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรยี น 2) ความสามารถในการสือ่ สาร 1) ความสามารถในการคดิ 3) ความสามารถในการแกปญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หัด ที่ 1 เร่ือง การวดั ความยาวสว นโคง และจดุ ปลายสวนโคง ขอ ที่ 14 - 26 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วิธกี ารวัดผล เครอ่ื งมอื วดั ผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 1 ขอ นกั เรียนทำแบบฝกหดั 1. เขา ใจการวัดความ พจิ ารณาจากความ 14 - 26 ถูกตองรอยละ 60 ยาวสว นโคง และการหา ถกู ตองของแบบฝกหัด ขึน้ ไป ถือวา ผา นเกณฑ จุดปลายสวนโคง ที่กำหนด ดานทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดับ 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน การวัดความยาวสว นโคง ขน้ึ ไป ถือวา ผา น และจดุ ปลายสวนโคง ได แบบประเมนิ ผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 2) ใชเหตุผลในการวัด การสังเกต ขน้ึ ไป ถือวาผา น ความยาวสวนโคง และ แบบประเมนิ ผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดับ การหาจดุ ปลายสวนโคง ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ขนึ้ ไป ถือวา ผาน 3) เชอ่ื มโยงความรูตางๆ การสงั เกต นกั เรียนไดคะแนนระดบั ของคณติ ศาสตรไ ด คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 4) สอื่ สาร ส่อื การสงั เกต แบบประเมินผลดา น ความหมายทาง ทักษะ/กระบวนการ คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมูล

ผลการเรียนรู วิธกี ารวดั ผล เครือ่ งมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดานคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค (A) แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คุณลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น 2) มรี ะเบยี บวินยั การสงั เกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรับผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 9. กิจกรรมการเรยี นรู ขนั้ นำ 1) ครเู ฉลยการบานท่มี อบหมายใหน กั เรียนในคาบท่ีแลว เพือ่ ตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน 2) ทบทวนเน้ือหาทไี่ ดเ รยี นในคาบท่ี 1 ตามตวั อยา งที่ 1 ดงั น้ี ตวั อยางท่ี 1 จงหาพิกดั จดุ ปลายมุมตอไปน้ี วิธีทำ 1) P( 3π ) 2) P( 4π ) 2 3 17π 2009π 3) P( 6 ) 4) P(- 4 ) 1) P( 3π ) = P(π + π ) = (0, -1) หรือ P( 3π ) = P(2π - π ) = (0, -1) 2 2 2 2 2) P( 4π ) = P(π + π ) =  - 1 , - 3 3  2 2  3 3) P( 17π ) = P(3π - π ) =  - 1 , - 3 6  2 2  6 4) P(- 2009π ) = P(-502π - π ) =  2 , - 2 4  2 2  4

ขั้นสอน 1) ครูใหนักเรียนจบั กลุมแลว ชว ยกันหาคำตอบแบบฝกหัดที่ 1 ขอที่ 14 - 26 และนำเสนอหนา ชนั้ เรยี น 2) ในระหวางท่นี ักเรียนชว ยกันคิดหาคำตอบแบบฝก หดั และนำเสนอหนาชน้ั เรียน ครูจะคอยใหค ำ ชี้แนะแกน ักเรยี น เพ่ือใหนักเรยี นมคี วามเขาใจท่ถี ูกตอง ขั้นสรุป 1) ครูและนักเรียนรว มกนั สรุปเรื่อง การวดั ความยาวสว นโคงและจดุ ปลายสว นโคง และเปด โอกาส ใหนกั เรยี นถามขอสงสยั ตางๆ 2) ครใู หนักเรียนนำเสนอแบบฝกหัดที่ 1 ขอท่ี 14 - 26 หากนักเรยี นนำเสนอไมเ สรจ็ ในช่วั โมง ครู จะใหนกั เรียนำเสนอตอในชวั่ โมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรยี นคนควา หาโจทยเพิม่ เตมิ จากแหลง เรยี นรูตา งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟง กช นั ตรโี กณมิติ

แผนการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู กลุมสาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พม่ิ เติม 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรูท่ี 1 เรอ่ื ง ฟงกชนั ตรีโกณมิติ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชื่อครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรียนรทู ี่ 4 เร่อื ง ฟงกชนั ไซนแ ละโคไซน 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟง กชันตรโี กณมิติ และนำไปใชใ นการแกปญหา 2. สาระสำคญั เมอื่ (x, y) เปน จุดปลายสว นโคง ทีย่ าว θ หนวย ฟงกช นั ไซน (sine) คอื เซตของคอู นั ดบั (θ, y) ฟง กช นั โคไซน (cosine) คือ เซตของคูอนั ดบั (θ, x) เมอ่ื (θ, y)∈sine จะได y = sineθ เขียนส้ันๆ วา y = sinθ (อานวา วายเทา กับไซนท ีตา) และ (θ, x)∈cosine จะได y = cosineθ เขยี นสัน้ ๆ วา x = cosθ (อา นวา เอกซเทากับคอสทตี า) กำหนดคา ของฟงกชันตรีโกณ โดยวงกลมหน่ึงหนว ย ซึง่ มีจุดศูนยก ลางอยูทีจ่ ดุ กำเนดิ เปนกราฟของ { }ความสัมพันธ (x, y)∈× x2 + y2= 1 จะไดว า -1≤ y ≤1 และ -1≤ x ≤1 ดังน้นั คา ของฟง กช นั ไซนและฟงกชนั โคไซนจะเปน จำนวนจริงตง้ั แต -1 ถงึ 1 ถา θ = 0 จดุ ปลายสวนโคงทีย่ าว 0 หนว ย คอื (1, 0) จะได sin0 = 0 และ cos0 = 1 เสนรอบวง ของวงกลมหนึง่ หนว ยยาว 2π หนว ย และจุด (1, 0), (0, 1) และ (0, -1) เปนจุดที่แบงเสนรอบวงของวงกลม ออกเปนสีส่ วนเทาๆ กนั โดยแตล ะสวนยาว π หนว ย คา ของ sinθ และ cosθ เม่อื θ= nπ โดยท่ี n เปน 2 2 nπ 2 จำนวนเต็มนน้ั หาไดจากพกิ ัดของจุดปลายสวนโคงที่ยาว หนว ย โดยวดั ในทศิ ทางทส่ี อดคลอ งกับ θ การหาคาของฟงกชันไซนและโคไซนของจำนวนจรงิ ลบ สามารถหาโดยอาศัยคา ของฟง กชันไซน และโคไซนของจำนวนจริงบวก โดย สมมุติ θ > 0 และ (x, y) เปนจุดปลายสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนว ยที่วดั จากจดุ (1, 0) ในทิศทางทวนเขม็ นาิกายาว θ หนวย และ (x, -y) ซ่ึงเปนภาพสะทอนของ (x, y) โดยมแี กน X เปนเสนสะทอ น จะเปนจุดปลายของสว นโคงวงกลมหนึ่งหนวยทีว่ ัดจากจดุ (1, 0) ในทิศทางตามเข็มนาิกา ยาว θ หนว ย แสดงวา (x, -y) เปน จุดปลายสว นโคงของวงกลมท่เี กดิ จากจำนวนจริง -θ จะไดวา x = cosθ, y = sinθ และ x = cos(-θ), y = sin(-θ) ดงั นน้ั cos(-θ) = cosθ และ sin(-θ) = -sinθ

เสนรอบวงของวงกลมหนึ่งหนวยมคี วามยาว 2π หนวย ดังนน้ั จุดปลายของสวนโคงบนเสนรอบวง ของวงกลมหนงึ่ หนว ยยาว 2nπ + θ หนวย จะเปน จดุ เดียวกบั จุดปลายของสว นโคงท่ียาว θ หนวย โดยท่เี มอ่ื n เปนจำนวนเต็มบวก จะวัดระยะในทิศทางทวนเข็มนาิกา n รอบ แตถา n เปนจำนวนเตม็ ลบ จะวดั ระยะ ในทิศทางตามเข็มนาิกา n รอบ จะไดวา sin(2nπ + θ) = sinθ และ cos(2nπ + θ) = cosθ วงกลมหนงึ่ หนวย มแี กน X และแกน Y เปน แกนสมมาตร การหาคาของฟง กช นั ไซนและโคไซนของ จำนวนจริงต้งั แต 0 ถึง 2π จงึ หาไดจ ากคา ของฟงกชันไซนและโคไซนข องจำนวนจริงตงั้ แต 0 ถงึ π จะสรุป ไดด ังนี้ 2 1) เม่ือจุดปลายสวนโคง ทีย่ าว θ หนวย อยใู นจตภุ าคท่ี 2  π <θ < π  ทำใหสามารถหา α π 2 ซึง่ 0 <α < 2 ที่ α=π-θ จะได sin(π - α) = sinα และ cos(π - α) = -cosα 2) เม่ือจุดปลายสว นโคง ทีย่ าว θ หนว ย อยใู นจตุภาคท่ี 3  π < θ< 3π  ทำใหส ามารถหา α 2 π ซง่ึ 0<α < ที่ α =π+θ จะได sin(π + α) = -sinα และ cos(π + α) = -cosα 2 3π 4) เม่ือจดุ ปลายสว นโคงทยี่ าว θ หนวย อยูใ นจตภุ าคท่ี 4  2 < θ < 2π  ทำใหสามารถหา α ซึง่ 0 <α < π ท่ี α = 2π - θ จะได sin(2π - α) = -sinα และ cos(2π - α) = cosα 2 3. ผลการการเรียนรูท ี่คาดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกชนั ตรโี กณมิติ และนำไปใชใ นการแกป ญหา 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโจทยปญ หาเรื่อง ฟงกชนั ไซนและโคไซน ได - ใชเ หตุผลในหาคาของฟงกชนั ไซนแ ละโคไซน - เชอ่ื มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ยั - มีความรบั ผิดชอบ

4. ดานคณุ ลกั ษณะของผูเรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลศิ วชิ าการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมเี หตุผล ปฏบิ ตั งิ านโดยใชค วามคดิ แกปญหาโดยใชปญญา 2) เงอื่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 2 เร่ือง ฟงกช ันไซนและโคไซน 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวัดผล เครอื่ งมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน แบบฝกหัดท่ี 2 ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ นักเรียนทำแบบฝกหดั 1. เขาใจฟงกช ัน ถูกตองของแบบฝกหดั ถกู ตองรอยละ 60 ตรีโกณมิติ และนำไปใช ข้นึ ไป ถือวา ผานเกณฑ ในการแกป ญ หา ท่ีกำหนด ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดับ 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ฟงกช นั ไซนแ ละโคไซน ข้ึนไป ถือวาผาน ได แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 2) ใชเหตผุ ลในหาคา ของ การสังเกต ขน้ึ ไป ถือวาผาน ฟง กช ันไซนแ ละโคไซน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 3) เชอื่ มโยงความรูตา งๆ การสังเกต แบบประเมินผลดาน ข้นึ ไป ถือวา ผาน ของคณิตศาสตรไ ด ทักษะ/กระบวนการ

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวัดผล เครอ่ื งมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ 4) สอ่ื สาร สือ่ การสังเกต แบบประเมินผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขึน้ ไป ถือวา ผา น คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดา นคุณลักษณะอนั พึงประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 2) มรี ะเบยี บวนิ ัย การสังเกต แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นธนาทักทายนกั เรียน พดู คยุ ถึงหัวขอท่จี ะเรียน 2) ครแู ละนักเรียนรวมกนั ทบทวนเรอื่ ง การวัดความยาวสวนโคงและจุดปลายสว นโคง ดังน้ี ถา P(x, y) เปนจุดปลายสวนโคงของวงกลมหนึง่ หนวย ทีว่ ดั จากจุด (1, 0) ไปตามสว นโคง เปน ระยะθ หนวย แลว 1) ถา θ < 0 จะวัดสวนโคงจากจุด (1, 0) ทิศทางตามเข็มนาิกา 2) ถา θ = 0 จดุ ปลายสวนโคงคอื จดุ (1, 0) 3) ถา θ > 0 จะวดั สว นโคงจากจุด (1, 0) ทิศทางทวนเขม็ นากิ า ขน้ั สอน 1) ครูบรรยายเกี่ยวกบั เรื่อง ฟงกชนั ไซนแ ละโคไซน พรอมยกตวั อยางดังนี้ บทนยิ าม 1 เมอ่ื (x, y) เปน จดุ ปลายสว นโคง ท่ยี าว θ หนว ย ฟง กช ันไซน (sine) คือ เซตของคูอนั ดับ (θ, y) ฟงกชนั โคไซน (cosine) คือ เซตของคูอันดับ (θ, x)

(θ, y)∈sine จะได y = sineθ เขียนสนั้ ๆ วา y = sinθ (อา นวา วายเทากับไซนทีตา) (θ, x)∈cosine จะได y = cosineθ เขียนส้ันๆ วา x = cosθ (อา นวา เอกซเทา กับคอสทตี า) ตวั อยางท่ี 2 จากบทนิยาม 1 จะไดวา ถา P 2π  =  - 1 , 3  แลว sin 2π = 3 และ cos 2π = - 1 3  2 2  3 2 3 2 ถา P(-π) = (-1, 0) แลว sin(-π) = 0 และ cos(-π) = -1 ถา P 7π  =  - 3 , - 1  แลว sin 7π = - 1 และ cos 7π =- 3 6  2 2  6 2 6 2 ถา P 4π  =  - 1 , - 3  แลว sin 4π = - 3 และ cos 4π = - 1 3  2 2  3 2 3 2 กำหนดคา ของฟง กช นั ตรีโกณ โดยวงกลมหน่งึ หนว ย ซงึ่ มจี ุดศูนยกลางอยทู ่จี ุดกำเนดิ เปนกราฟของ { }ความสัมพันธ (x, y)∈× x2 + y2= 1 จะไดวา -1≤ y ≤1 และ -1≤ x ≤1 ดงั น้นั คา ของฟงกชัน ไซนแ ละฟง กชนั โคไซนจ ะเปน จำนวนจรงิ ตั้งแต -1 ถงึ 1 นัน่ คือ เรนจของฟง กช ันไซนและฟง กช ันโคไซน คือ เซตของจำนวนจริงตัง้ แต -1 ถึง 1 และ โดเมนของฟงกช นั ทง้ั สองคอื เซตของจำนวนจริง จากสมการ x2 + y2 = 1 เนอ่ื งจาก y = sinθ และ x = cosθ จะไดค วามสัมพันธของ sinθ และ cosθ ดงั นี้ (cosθ)2 + (sinθ)2= 1 เมื่อ θ เปนจำนวนจริง หรือ cos2θ + sin2θ = 1 เมอ่ื θ เปนจำนวนจรงิ โดย cos2θ หมายถงึ (cosθ)(cosθ) จุดปลายสวนโคงท่ียาว θ หนว ย คือจุด (x, y) และจุดปลายสว นโคง ทย่ี าว -θ หนวย คอื จุด (x, -y) Y B(0, 1) P1 (x, y) A(1, 0X) P2 (x, -y) รปู ท่ี 11

จากจดุ P(x, y) และ P(x, -y) จะไดว า x = cosθ, y = sinθ และ x = cos(-θ), -y = sin(-θ) ดังนัน้ cos(-θ) = cosθ และ sin(-θ) = -sinθ cos(-θ) = cosθ sin(-θ) = -sinθ น่ันคอื ถา สามารถหาคาของฟงกชันไซนและโคไซนของจำนวนจรงิ ใดๆ ได ก็จะสามารถหาคาของ ฟง กช นั ไซนและฟง กชันโคไซนของจำนวนจรงิ ลบ ท่ีเปน ตวั ผกผันการบวกของจำนวนจริงบวกนัน้ ๆ ไดด วย ตัวอยางท่ี 3 จงหาคาของ sin - π  และ cos - π  วธิ ีทำ 6 6 เนอ่ื งจาก sin π  = 1 และ cos π  = 3 2 2 6 6 จะได sin - π  = -sin π  = - 1 และ cos - π  = cos π  = 3 2 2 6 6 6 6 เนือ่ งจากเสน รอบวงของวงกลมหนง่ึ หนว ยมคี วามยาว 2π หนวย ดงั นนั้ จุดปลายของสว นโคงบน เสนรอบวงของวงกลมหนง่ึ หนวยยาว 2nπ + θ หนวย จะเปนจุดเดียวกบั จดุ ปลายของสว นโคง ที่ยาว θ หนว ย โดยที่เมอื่ n เปนจำนวนเตม็ บวก จะวัดระยะในทิศทางทวนเข็มนาิกา n รอบ แตถา n เปน จำนวนเตม็ ลบ จะ วดั ระยะในทิศทางตามเขม็ นากิ า n รอบ จะไดวา sin(2nπ + θ) = sinθ cos(2nπ + θ) = cosθ ตัวอยา งท่ี 4 จงหาคาของ sin 25π  และ cos - 11π  วธิ ีทำ 4 3 25π sin 4  = sin 6π + π  4 = sin π  4 = 2 2 11π และ cos - 3  = cos -4π + π  3 1 2 = cos π  = 3

เมือ่ กำหนดจดุ ปลายสวนโคง ท่ียาว θ หนวย อยูในจตภุ าคท่ี 2  π < θ < π  Y 2 P(x, y) BO A(1, 0X) รูปท่ี 12 ให P′(x′, y′) เปนจดุ ปลายสวนโคง ทยี่ าว θ หนว ย ดงั น้ัน y′ = sinθ และ x′ = cosθ ให α = π - θ จะไดวา 0 < α < π 2 เนื่องจากสวนโคง AB ยาว π หนวย ดังน้นั สว นโคง P′B ยาว α หนว ย ใหจดุ P(x, y) เปน ภาพสะทอนของจุด P′(x′, y′) โดยมีแกน Y เปนเสนสะทอน จะไดวา สวนโคง AP ยาว α หนว ย และ y′= y, x′ = -x เนื่องจาก P(x, y) เปนจุดปลายสวนโคง ที่ยาว α หนวย ดังนัน้ y = sinα และ x = cosα แต y = y′ = sinθ = sin(π - α) และ -x = x′ = cosθ = cos(π - α) สรปุ ไดว า sin(π - α) = sinα เมอื่ 0 < α < π cos(π - α) = -cosα 2 π เมื่อ 0 < α < 2 ตัวอยา งท่ี 5 กำหนด sin π ≈ 13 จงหาคา ประมาณของ วิธีทำ 50 11π 12 11π 12 12 1) sin 2) cos 1) sin 11π = sin π - π  12 12 π = sin 12 13 ≈ 50

2) เน่ืองจาก sin2θ + cos2θ = 1 จะได sin2 π + cos2 π = 1 12 π 12 π cos2 12 = 1 - sin2 12 ≈ 1 -  13 2 50 2331 ≈ 2500 เนือ่ งจากจดุ ปลายสว นโคงทยี่ าว π วัดในทิศทางทวนเข็มนาิกาจะอยูในจตุภาคท่ี 1 12 ดังนัน้ cos π ≈ 2331 50 12 11π จะได cos 12 = cos π - π  12 = -cos π  12 ≈ - 2331 50 เม่อื กำหนดจดุ ปลายสวนโคงท่ยี าว θ หนว ย อยูในจตภุ าคที่ 3  π < θ < 3π  Y 2 M P(x, y) BO A(1, 0X) รูปท่ี 13 ให P′(x′, y′) เปนจุดปลายสว นโคงที่ยาว θ หนว ย ดังน้ัน y′ = sinθ และ x′ = cosθ ให α = θ - π จะไดว า 0 < α < π 2 เนอ่ื งจากสวนโคง AB ยาว π หนวย ดังนน้ั สวนโคง BP′ ยาว α หนวย

ใหจุด M เปน ภาพสะทอนของจุด P′(x′, y′) โดยมีแกน X เปน เสน สะทอน และจุด P(x, y) เปน ภาพสะทอนของจดุ M โดยมีแกน Y เปนเสน สะทอน จะไดวาสวนโคง AP ยาว α หนว ย และ y′= -y, x′ = -x เนอ่ื งจาก P(x, y) เปนจดุ ปลายสว นโคงทย่ี าว α หนว ย ดังนนั้ y = sinα และ x = cosα แต -y = y′ = sinθ = sin(π + α) และ -x = x′ = cosθ = cos(π + α) สรุปไดว า sin(π + α) = -sinα เม่ือ 0 < α < π cos(π + α) = -cosα 2 π เม่อื 0 < α < 2 ตวั อยางที่ 6 กำหนด sin π ≈ 17 จงหาคา ประมาณของ วธิ ที ำ 100 18 1) sin1198π 19π 2) cos 18 1) sin 19π = sin π + π  18 18 π = -sin 18 ≈ -11070 2) เน่อื งจาก sin2θ + cos2θ = 1 จะได sin2 π + cos2 π = 1 18 π 18 π cos2 18 = 1 - sin2 18 9711 ≈ 10000 เน่ืองจากจุดปลายสว นโคงท่ียาว π วดั ในทศิ ทางทวนเข็มนากิ าจะอยูในจตุภาคท่ี 1 18 ดังน้ัน cos π 9711 ≈ 100 18 11π จะได cos 12 = cos π + π  18 ≈ - 9711 100

เมอื่ กำหนดจุดปลายสวนโคง ทยี่ าว θ หนวย อยใู นจตุภาคท่ี 4  π < θ < 3π  Y 2 P(x, y) O A(1, 0X) รปู ที่ 14 ให P′(x′, y′) เปนจุดปลายสว นโคงท่ียาว θ หนว ย ดังน้ัน y′ = sinθ และ x′ = cosθ ให α = 2π - θ จะไดว า 0 < α < π 2 เน่อื งจากเสน รอบวงของวงกลมหนงึ่ หนว ยยาว 2π หนวย ดังนั้น สวนโคง P′A ยาว α หนวย ใหจดุ P(x, y) เปน ภาพสะทอนของจดุ P′(x′, y′) โดยมแี กน X เปนเสนสะทอ น จะไดว า สว นโคง AP ยาว α หนว ย และ y′= -y, x′ = x เน่อื งจาก P(x, y) เปน จดุ ปลายสว นโคงที่ยาว α หนวย ดงั นัน้ y = sinα และ x = cosα แต -y = y′ = sinθ = sin(2π - α) และ x = x′ = cosθ = cos(2π - α) สรุปไดว า sin(2π + α) = -sinα เมอื่ 0 < α < π cos(2π - α) = cosα 2 π เมื่อ 0 < α < 2

ตวั อยา งท่ี 7 จงหาคา ของฟง กชนั ไซนและโคไซนของ 11π วธิ ีทำ 6 11π sin 6 = sin 2π - π  π 6 = -sin 6 = - 1 2 11π cos 6 = cos 2π - π  π 6 = cos 6 = 3 2 ขั้นสรุป 1) นกั เรียนและครูรวมกนั สรุปความรู เรอื่ ง ฟงกชนั ไซนแ ละโคไซน ท่ีไดจ ากการเรียน และครเู ปด โอกาสใหนักเรยี นซักถามปญ หาหรือขอสงสยั 2) ครใู หนกั เรยี นทำแบบฝก หัดที่ 2 เร่ือง ฟง กช นั ไซนแ ละโคไซน ใหเ สร็จในชวงโมง แตหากนักเรยี น ทำไมเ สร็จในชว่ั โมง ใหน ักเรียนนำกลับไปทำเปนการบานแลว รวมเฉลยในชวั่ โมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหนักเรยี นคนควาหาโจทยเ พ่ิมเตมิ จากแหลง เรียนรูตางๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟงกชันตรีโกณมิติ

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลุม สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พ่ิมเติม 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรูท่ี 1 เร่ือง ฟง กชนั ตรโี กณมิติ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรยี นรูที่ 5 เรอ่ื ง ฟงกช ันตรีโกณมิติอื่นๆ 1. ผลการเรยี นรู/ มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกป ญหา 2. สาระสำคัญ สำหรับจำนวนจริง θ ใดๆ บทนยิ าม 1) tanθ = sinθ เมอ่ื cosθ ≠ 0 2) secθ = cosθ เมอื่ cosθ ≠ 0 3) cosecθ = 1 เม่อื sinθ ≠ 0 4) cotθ = cosθ เม่อื sinθ ≠ 0 1 sinθ cosθ sinθ จากบทนยิ าม จะไดวา { }1) โดเมนของฟง กช นั tan และ sec คือ  - x x= (2n + 1)π , n∈ 2 2) โดเมนของฟงกชนั cot และ cosec คือ  - {x x = nπ, n∈} 3) เรนจข องฟงกชัน tan และ cot คือ  4) เรนจของฟง กชนั sec และ cosec คอื  - {x -1 < x < 1} 3. ผลการการเรยี นรทู ่ีคาดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - เขาใจฟงกช นั ตรโี กณมิติ และนำไปใชใ นการแกป ญหา

2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยป ญ หาเร่ือง ฟงกชนั ตรีโกณมิตอิ ื่นๆ ได - ใชเ หตผุ ลในหาคา ของฟงกช นั ตรโี กณมิติอ่นื ๆ - เช่อื มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สอ่ื สาร สอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวินัย - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รยี นตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วิชาการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา งสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบตั ิงานโดยใชความคดิ แกปญหาโดยใชปญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัด ท่ี 3 เร่อื ง ฟง กชันตรีโกณมติ ิอ่ืนๆ 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วธิ ีการวดั ผล เครอ่ื งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน แบบฝกหัดท่ี 3 ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกชนั ถกู ตองของแบบฝกหัด ถกู ตองรอ ยละ 60 ตรีโกณมติ ิ และนำไปใช ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกป ญหา ทีก่ ำหนด

ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เคร่ืองมือวัดผล เกณฑการประเมนิ ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโจทยป ญหาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ฟง กชันตรโี กณมติ ิอน่ื ๆ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน แบบประเมินผลดา น 2) ใชเหตุผลในหาคา ของ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดับ ฟง กชนั ตรีโกณมิติอ่ืนๆ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน แบบประเมนิ ผลดา น ขึ้นไป ถือวาผา น 3) เชอื่ มโยงความรูตางๆ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ ของคณติ ศาสตรไ ด นักเรยี นไดคะแนนระดับ แบบประเมนิ ผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 4) ส่อื สาร ส่อื การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น ความหมายทาง นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน คณิตศาสตร และ ขึ้นไป ถือวาผาน นำเสนอขอมลู ดา นคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผา น 2) มีระเบียบวนิ ัย การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผาน 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นธนาทกั ทายนักเรยี น พดู คุยถงึ หัวขอ ที่จะเรียน 2) ครแู ละนักเรียนรว มกนั ทบทวนเรอื่ ง ฟงกช นั ไซนและโคไซน ตามตัวอยางท่ี 3 และ 4 ดงั นี้

ตัวอยางที่ 3 จงหาคา ของ sin - π  และ cos - π  วิธที ำ 6 6 เนอื่ งจาก sin π  = 1 และ cos π  = 3 2 2 6 6 จะได sin - π  = -sin π  = - 1 และ cos - π  = cos π  = 3 2 2 6 6 6 6 ตวั อยา งท่ี 4 จงหาคา ของ sin 25π  และ cos - 11π  วธิ ีทำ 4 3 25π sin 4  = sin 6π + π  4 = sin π  4 = 2 2 11π และ cos - 3  = cos -4π + π  3 = cos π  1 3 2 = ข้ันสอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกบั เร่ือง ฟงกชันตรโี กณมิติอืน่ ๆ พรอมยกตวั อยา งดงั น้ี บทนยิ าม 2 สำหรับจำนวนจริง θ ใดๆ 1. tanθ = sinθ เม่อื cosθ ≠ 0 2. secθ = cosθ เม่ือ cosθ ≠ 0 3. cosecθ = 1 เม่อื sinθ ≠ 0 4. cotθ = cosθ เม่ือ sinθ ≠ 0 1 sinθ cosθ sinθ

ฟงกชนั แทนเจนต (tangent function) เขียนแทนดวย tan (อานวา แทน) ฟง กช นั เซแคนต (secant function) เขยี นแทนดวย sec (อา นวา เซก) ฟง กช นั โคเซแคนต (cosecant function) เขียนแทนดวย cosec หรอื csc (อา นวาโคเซก) ฟงกช นั โคแทนเจนต (cotangent function) เขยี นแทนดวย cot (อา นวา คอต) จากบทนยิ าม 2 จะไดวา { }1. โดเมนของฟง กช นั tan และ sec คือ  - x x= (2n + 1)π , n∈ 2 2. โดเมนของฟงกชนั cot และ cosec คอื  - {x x = nπ, n∈} 3. เรนจของฟง กช ัน tan และ cot คอื  4. เรนจข องฟงกช ัน sec และ cosec คือ  - {x -1 < x < 1} จากบทนยิ าม 2 จะไดความสัมพันธร ะหวา งฟง กชันตรีโกณมติ ิ ดงั นี้ 1. cotθ = 1 เม่อื tanθ ≠ 0 tanθ เม่ือ cosθ ≠ 0 2. 1 + tan2θ = sec2θ 3. 1 + cot2θ = cosec2θ เมอ่ื sinθ ≠ 0 ตวั อยางที่ 8 จงหาคาของ tanπ และ secπ วิธที ำ tanπ = sinπ secπ = 1 cosπ cosπ 0 1 = -1 = -1 =0 = -1 ตัวอยางท่ี 9 จงหาคา ของ tan - 3π  และ sec  - 3π  วธิ ที ำ 2 2 (2n + 1)π , เนอื่ งจาก tanθ และ secθ จะไมน ยิ าม เมื่อ θ= 2 n∈ ดังนัน้ tan - 3π  และ sec - 3π  ไมนยิ าม 2 2

ตัวอยางท่ี 10 จงหาคา ของ cosec 5π และ cot 5π 2 2 csoins5522ππ วธิ ีทำ cosec 5π = 1 5π cot 5π = 2 2 2 sin ( )= 1 = ( )cos 2π + π 2 ( )sin sin 2π + π 2π + π 2 2 = 1 = sin π π = 2 = π sin 2 cos 2 1 0 = 1 1 =1 0 ตัวอยางท่ี 11 จงหาคา ของ cosec3π และ cot3π วธิ ีทำ เน่ืองจาก cosecθ และ cotθ จะไมนยิ าม เมอ่ื θ = nπ, n∈ ดงั นน้ั cosec3π และ cot3π ไมนยิ าม ตัวอยางที่ 12 จงหาคาของ sin π cos 5π + sin 4π cos π 6 3 5π 3 4π 6 6 3 วิธีทำ sin π cos + sin cos π = sin π cos π - π  + sin π + π cos π 3 6 3 6 3 6 = sin π  -cos π  - sin π cos π 3 6 3 6 = - 2sin π cos π 3 6 = (-2) 3  3 2  2  =  - 3  2

ขน้ั สรุป 1) นักเรยี นและครูรว มกนั สรุปความรู เร่อื ง ฟง กช นั ตรีโกณมติ ิอื่นๆ ทีไ่ ดจากการเรยี น และครูเปด โอกาสใหนักเรียนซกั ถามปญหาหรอื ขอสงสัย 2) ครใู หน ักเรยี นทำแบบฝกหดั ท่ี 3 เรื่อง ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิอน่ื ๆ ใหเสร็จในชวงโมง แตหากนักเรียน ทำไมเสร็จในชวั่ โมง ใหน ักเรียนนำกลับไปทำเปนการบา นแลว รวมเฉลยในช่ัวโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหน กั เรยี นคนควาหาโจทยเ พ่ิมเติมจากแหลงเรียนรูต า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟง กช นั ตรโี กณมิติ

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พม่ิ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปการศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรียนรทู ี่ 1 เรอื่ ง ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชือ่ ครูผูส อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรยี นรูท่ี 6 เร่อื ง ฟงกชันตรีโกณมติ ขิ องมุม 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) เขา ใจฟง กชนั ตรโี กณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกป ญ หา 2. สาระสำคญั ตารางแสดงคาของฟงกชนั ตรีโกณมติ ขิ องจำนวนจรงิ บางจำนวนเมือ่ 0 ≤θ ≤ π 2 θ sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ ไมน ยิ าม 0 0 1 0 ไมน ิยาม 1 3 π 1 33 2 23 2 23 3 1 6 2 21 22 3 π 22 3 0 4 π 31 23 322 3 3 2 π 1 0 ไมนยิ าม 1 ไมน ยิ าม 2 3. ผลการการเรียนรูท ค่ี าดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกป ญหา 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง ฟง กช ันตรีโกณมติ ิของมุม ได - ใชเ หตุผลในหาคา ของฟงกชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุม - เช่ือมโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล

3) ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินยั - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผเู รียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปนเลศิ วิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 4 เร่ือง ฟง กชนั ตรีโกณมิติของมุม ขอ 1 - 5 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝก หดั ท่ี 4 ขอที่ นักเรียนทำแบบฝกหัด 1. เขา ใจฟงกชนั ถูกตองของแบบฝกหัด 1-5 ถกู ตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิติ และนำไปใช ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกป ญ หา ท่กี ำหนด ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโจทยปญหาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ฟง กชันตรโี กณมิติของ ขึ้นไป ถือวา ผา น มุม แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 2) ใชเ หตุผลในหาคา ของ การสังเกต ขนึ้ ไป ถือวา ผา น ฟง กช นั ตรโี กณมติ ขิ อง มมุ

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวดั ผล เคร่อื งมือวัดผล เกณฑก ารประเมนิ 3) เชือ่ มโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมินผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดับ ของคณติ ศาสตรได ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ขนึ้ ไป ถือวาผา น 4) ส่ือสาร สอ่ื การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขึ้นไป ถือวา ผาน แบบประเมนิ คณิตศาสตร และ คุณลกั ษณะอนั พงึ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ประสงค คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน นำเสนอขอมลู แบบประเมิน ขน้ึ ไป ถือวาผา น คุณลักษณะอันพงึ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ดานคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) ประสงค คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวาผา น 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คณุ ลักษณะอนั พงึ นกั เรียนไดคะแนนระดับ ประสงค คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ข้นึ ไป ถือวาผาน 2) มรี ะเบียบวินยั การสังเกต 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ขั้นนำ 1) ครูสนธนาทักทายนักเรยี น พูดคุยถงึ หวั ขอท่จี ะเรยี น 2) ครแู ละนักเรยี นรว มกนั ทบทวนเรอ่ื ง ฟงกชนั ตรีโกณมิตอิ ่ืนๆ ดังนี้ บทนิยาม 2 สำหรับจำนวนจริง θ ใดๆ 1. tanθ = sinθ เมื่อ cosθ ≠ 0 2. secθ = cosθ เมือ่ cosθ ≠ 0 3. cosecθ = 1 เม่ือ sinθ ≠ 0 4. cotθ = cosθ เม่อื sinθ ≠ 0 1 sinθ cosθ sinθ

ฟงกช นั แทนเจนต (tangent function) เขยี นแทนดวย tan (อานวา แทน) ฟง กช นั เซแคนต (secant function) เขยี นแทนดว ย sec (อานวา เซก) ฟง กช ันโคเซแคนต (cosecant function) เขยี นแทนดว ย cosec หรือ csc (อานวา โคเซก) ฟงกชนั โคแทนเจนต (cotangent function) เขียนแทนดวย cot (อา นวา คอต) จากบทนิยาม 2 จะไดว า { }1. โดเมนของฟงกชนั tan และ sec คอื  - x x= (2n + 1)π , n∈ 2 2. โดเมนของฟง กช นั cot และ cosec คือ  - {x x = nπ, n∈} 3. เรนจข องฟง กช ัน tan และ cot คอื  4. เรนจข องฟงกช นั sec และ cosec คือ  - {x -1 < x < 1} ขั้นสอน 1) ครบู รรยายเก่ียวกบั เรื่อง ฟงกช ันตรโี กณมติ ิของมมุ พรอมยกตัวอยาง ดังน้ี หนวยในการวัดมมุ ทนี่ ยิ มคือ องศา โดยถือวา มมุ ทเ่ี กดิ จาการหมุนสวนของเสนตรงไปครบหนึ่งรอบมี ขนาด 360 องศา และแบงหนวยองศาออกเปน หนวยยอย คือ ลิปดา (' ) และฟล ิปดา (\") ดงั น้ัน 1o= 60′ และ 1′= 60′′ หนว ยวดั มมุ ทสี่ ำคญั อกี หนวยหน่ึงคือ เรเดียน (radian) r Or รปู ที่ 15 มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับดวยสว นโคงของวงกลมที่ยาวเทากับรัศมีของวงกลมนั้นเปน มมุ ทม่ี ีขนาด 1 เรเดยี น เนื่องจากวงกลมที่มีรัศมียาว r หนวย จะมีเสนรอบวงยาว 2πr หนวย ดังนั้นมุมที่จุดศูนยกลาง วงกลมซึง่ รองรบั ดวยสว นโคง ของวงกลมที่ยาว 2πr หนว ย จึ่งมขี นาด 2πr เรเดียน หรือ 2π เรเดียน และมุม r πr ที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่ยาว πr หนวย จะมีขนาด r เรเดียน หรือ π เรเดียน สำหรับมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หนวย ซึ่งรองรับดวยสวนโคงของวงกลมที่ยาว a หนวย จะมขี นาด a เรเดียน และถา ใหข นาดของมุมดงั กลาวเปน θ เรเดยี น จะได θ= a r r

เนื่องจากมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หนวย มีขนาด 2π เรเดียน หรือ 360 องศา ดงั น้นั 360 องศา = 2π เรเดียน หรอื 180 องศา = π เรเดยี น ดังน้ัน 1 องศา = π เรเดียน ≈ 0.01745 180 180 และ 1 เรเดียน = องศา ≈ 57.3o หรือ 57o18′ π จากความสัมพันธระหวางขนาดของมุมในหนวยองศาและหนวยเรเดียนที่กลาวมาขางตน จะไดวา เมือ่ ทราบขนาดของมุมในหนวยใดหนวยหนงึ่ แลวจะสามารถหาขนาดของมุมนัน้ ในอีกหนวยได ตัวอยางท่ี 13 มุมทม่ี ีขนาด 4 เรเดียน มีขนาดกีอ่ งศา 180 องศา วิธที ำ เนื่องจาก π เรเดยี น = องศา 4 × 180 ดงั น้ัน 4 เรเดียน = องศา π = = 4 x 180 = 3.1416 = 229.18 229o 10′48′′ 229o 11′ ตวั อยา งท่ี 14 มุมท่ีมีขนาด 82 องศา มขี นาดกเี่ รเดยี น π เรเดยี น วธิ ีทำ เนื่องจาก 180 องศา = เรเดยี น 82 × π เรเดียน ดงั นนั้ 82 องศา = 180 41π เรเดียน = 90 ตวั อยา งท่ี 15 จงหาคา ของ sin60o = π วิธีทำ เนื่องจาก 60 องศา 3 ดงั นน้ั sin60o = sin π 3 3 = 2

ตัวอยางท่ี 16 จงหาคา ของ sec(-405o) = sec(405o) วิธีทำ เนื่องจาก sec(-405o) = sec(360o + 45o) = sec(45o) 2 = 2 = 22 = 2 2 ขน้ั สรปุ 1) นักเรียนและครรู วมกันสรปุ ความรู เรือ่ ง ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิของมุม ที่ไดจากการเรียน และครู เปดโอกาสใหนักเรยี นซกั ถามปญหาหรอื ขอสงสยั 2) ครใู หนกั เรียนทำแบบฝกหัดที่ 4 เรอ่ื ง ฟงกช นั ตรโี กณมติ ิของมุม ขอท่ี 1 - 5 ใหเ สรจ็ ในชวงโมง แตหากนักเรียนทำไมเสรจ็ ในชัว่ โมง ใหน ักเรยี นนำกลบั ไปทำเปน การบานแลว รว มเฉลยในชวั่ โมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหน ักเรยี นคน ควา หาโจทยเพม่ิ เตมิ จากแหลงเรยี นรูต า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟงกชนั ตรีโกณมิติ

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พม่ิ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปการศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรียนรทู ี่ 1 เรอื่ ง ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชือ่ ครูผูส อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรยี นรูท่ี 7 เร่อื ง ฟงกชันตรีโกณมติ ขิ องมุม 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) เขา ใจฟง กชนั ตรโี กณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกป ญ หา 2. สาระสำคญั ตารางแสดงคาของฟงกชนั ตรีโกณมติ ขิ องจำนวนจรงิ บางจำนวนเมือ่ 0 ≤θ ≤ π 2 θ sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ ไมน ยิ าม 0 0 1 0 ไมน ิยาม 1 3 π 1 33 2 23 2 23 3 1 6 2 21 22 3 π 22 3 0 4 π 31 23 322 3 3 2 π 1 0 ไมนยิ าม 1 ไมน ยิ าม 2 3. ผลการการเรียนรูท ค่ี าดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ นการแกป ญหา 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง ฟง กช ันตรีโกณมติ ิของมุม ได - ใชเ หตุผลในหาคา ของฟงกชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุม - เช่ือมโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล

3) ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินยั - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผเู รียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปนเลศิ วิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 4 เร่ือง ฟง กชนั ตรีโกณมิติของมุม ขอ 6 - 7 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝกหดั ท่ี 4 ขอที่ นักเรียนทำแบบฝกหัด 1. เขา ใจฟงกชนั ถูกตองของแบบฝกหัด 1-5 ถกู ตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิติ และนำไปใช ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกป ญ หา ท่กี ำหนด ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโจทยปญหาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ฟง กชันตรโี กณมิติของ ขึ้นไป ถือวา ผา น มุม แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 2) ใชเ หตุผลในหาคา ของ การสังเกต ขนึ้ ไป ถือวา ผา น ฟง กช นั ตรโี กณมติ ขิ อง มมุ

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวัดผล เคร่ืองมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน 3) เช่อื มโยงความรูตา งๆ การสังเกต แบบประเมินผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ของคณิตศาสตรได ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ขน้ึ ไป ถือวาผา น 4) ส่อื สาร ส่อื การสงั เกต แบบประเมินผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ความหมายทาง คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ขนึ้ ไป ถือวา ผาน คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผาน 2) มีระเบยี บวนิ ัย การสังเกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรบั ผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรียนรู ขน้ั นำ 1) ครสู นธนาทกั ทายนักเรียน พูดคยุ ถงึ หัวขอทจี่ ะเรียน 2) ครแู ละนักเรียนรว มกันทบทวนความรูเ รอ่ื ง ฟง กชนั ตรโี กณมิติของมุม ดงั น้ี ตวั อยา งท่ี 15 จงหาคา ของ sin60o วิธีทำ เนอ่ื งจาก 60 องศา = π เรเดียน 3 ดังนัน้ sin60o = sin π 3 3 2 =

ตัวอยางที่ 16 จงหาคาของ sec(-405o) = sec(405o) วิธที ำ เนื่องจาก sec(-405o) = sec(360o + 45o) = sec(45o) 2 = 2 = 22 = 2 2 ขน้ั สอน 1) ครใู หน ักเรียนจบั กลุมกันชวยกันหาคำตอบแบบฝกหัดที่ 4 เร่ือง ฟงกชนั ตรีโกณมิติของมุม ขอ ที่ 6 - 7 และนำเสนอหนา ช้นั เรียน 2) ในระหวา งท่ีนักเรยี นชวยกนั คิดหาคำตอบแบบฝกหดั และนำเสนอหนา ช้นั เรยี น ครจู ะคอยใหค ำ ชแี้ นะแกนักเรียน เพื่อใหน ักเรยี นเกดิ ความเขา ใจท่ีถกู ตอง ขั้นสรุป 1) นักเรียนและครูรวมกันสรปุ ความรู เรอื่ ง ฟง กชันตรโี กณมิติของมุม ท่ีไดจ ากการเรียน และครู เปด โอกาสใหนักเรียนซกั ถามปญหาหรอื ขอสงสยั 2) ครูแนะนำใหน กั เรยี นคน ควาหาโจทยเพิ่มเตมิ จากแหลงเรยี นรตู า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสือเรียนรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟงกชันตรโี กณมิติ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พิ่มเตมิ 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ี่ 1 เรอ่ื ง ฟงกชันตรีโกณมิติ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่ือครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรียนรูท ี่ 8 เรือ่ ง กราฟของฟง กตรีโกณมติ ิ 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขา ใจลักษณะกราฟของฟง กชันตรีโกณมติ ิ 2. สาระสำคัญ ฟงกช ันตรโี กณมติ เิ ปน ฟงกชันทเ่ี ปนคาบ (periodic function) สามารถแบงแกน X ออกเปน ชวงยอย (subinterval) โดยแตละชวงยอ ยมคี วามยาวเทา กันและกราฟมลี ักษณะเหมือนกนั ความยาวของชวง ยอ ยท่สี น้ั ที่สุดเรียกวา คาบ (period) ของฟงกชัน สำหรบั ฟงกชันทเ่ี ปนคาบซง่ึ มีคาตำ่ สุดและคา สูงสุด เรียก คา ท่ีเทา กับคร่ึงหนึ่งของคาสงู สดุ ลบดวยคา ต่ำสดุ ของฟง กช ันนวี้ า แอมพลจิ ดู (amplitude) ลักษณะรวมของกราฟฟงกช ันตรโี กณมติ ิแตล ะฟงกช นั ดงั นี้ ฟงกชัน โดเมน คาบ แอมพลจิ ดู เรนจ y = Asin(Bx + C)  2π A [-1, 1] B A [-1, 1] y = Acos(Bx + C)  2π ไมมี B ไมม ี  { }y = Atan(Bx + C) ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) - (2n + 1)π π ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) 2 B  y = Acosec(Bx + C)  - {nπ} 2π B { }y = Asec(Bx + C) 2π - (2n + 1)π B 2 π y = Acot(Bx + C)  - {nπ} B

3. ผลการการเรียนรูทีค่ าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขา ใจลักษณะของกราฟฟงกชันตรโี กณมิติ 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญ หาเรื่อง กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ได - ใชเหตผุ ลในการวาดกราฟของฟงกช นั ตรโี กณมิติได - เชือ่ มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - ส่ือสาร สอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวินยั - มีความรับผิดชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผูเรียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏิบัตงิ านโดยใชความคิด แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเรยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 5 เรือ่ ง กราฟของฟงกชันตรโี กณมติ ิ ขอ 1

8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดา นความรู (K) แบบฝกหัดที่ 5 ขอที่ 1 นักเรียนทำแบบฝกหดั 1. เขาใจลกั ษณะของ พิจารณาจากความ ถกู ตองรอ ยละ 60 กราฟฟง กชันตรโี กณมิติ ถูกตองของแบบฝกหัด แบบประเมินผลดาน ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ทักษะ/กระบวนการ ทก่ี ำหนด ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) 1) แกโ จทยปญหาเร่ือง การสงั เกต แบบประเมินผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั กราฟของฟง กชนั ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ตรโี กณมติ ิ ได ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมินผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 2) ใชเ หตุผลในการวาด การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน กราฟของฟง กชนั ขึน้ ไป ถือวา ผา น ตรโี กณมติ ิได แบบประเมินผลดาน นักเรียนไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 3) เชื่อมโยงความรูตา งๆ การสงั เกต ขึ้นไป ถือวาผา น ของคณติ ศาสตรได แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอันพึง คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 4) สอื่ สาร สอ่ื การสงั เกต ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมิน ความหมายทาง คุณลกั ษณะอันพงึ นักเรียนไดคะแนนระดบั ประสงค คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน คณติ ศาสตร และ แบบประเมนิ ขึ้นไป ถือวา ผา น คณุ ลกั ษณะอันพึง นกั เรยี นไดคะแนนระดบั นำเสนอขอมลู ประสงค คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ขึ้นไป ถือวาผาน ดานคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต ขึ้นไป ถือวาผาน ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวินยั การสงั เกต 3) มคี วามรบั ผดิ ชอบ การสังเกต

9. กจิ กรรมการเรียนรู ข้นั นำ 1) ครูสนธนาทักทายนักเรยี น พูดคยุ ถึงหวั ขอทจี่ ะเรยี น 2) ครแู ละนักเรียนรวมกนั ทบทวนความรูเ รอื่ ง ฟง กช ันตรีโกณมติ ขิ องมุม ดังน้ี ตารางแสดงคา ของฟงกช ันตรีโกณมิตขิ องจำนวนจรงิ บางจำนวนเม่อื 0 ≤ θ ≤ π 2 θ sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ 0 0 1 0 ไมน ิยาม 1 ไมนิยาม π 1 33 2 23 3 2 23 3 6 2 2 2 2 1 2 21 π 31 3 23 2 3 4 22 3 3 π 1 0 ไมน ยิ าม 1 ไมน ยิ าม 0 3 π 2 ข้ันสอน 1) ครูบรรยายเกีย่ วกับ เรื่อง กราฟของฟงกช ันตรโี กณมิติ พรอมยกตัวอยา ง ดงั นี้ YY XX รปู ที่ 16 รูปท่ี 17 จากลกั ษณะกราฟ y = sin x สรปุ ไดด งั น้ี จากลักษณะกราฟ y = cos x สรปุ ไดด งั น้ี 1.กราฟเปนลกู คล่ืน ผานจุด (0, 0) 1. กราฟเปนลูกคลนื่ ไมผ า นจุด (0, 0) 2. โดเมนของฟงกช นั คือ  2. โดเมนของฟง กชนั คือ  3. เรนจของฟงกชันคือ [1, -1] 3.เรนจของฟงกช ันคือ [1, -1] น่นั คือ 4. คาบ คอื 2π 4. คาบ คอื 2π 5. แอมพลจิ ูด คอื 1 5. แอมพลิจดู คือ 1 5. แอมพลิจดู คอื 1

YY XX รูปที่ 18 รปู ที่ 19 จากลกั ษณะกราฟ y = cosec x สรุปไดดังน้ี จากลกั ษณะกราฟ y = tan x สรปุ ไดด งั น้ี 1. กราฟเปน ลูกคลนื่ ไมผานจุด (0, 0) 2. โดเมนของฟง กชนั คือ 1. กราฟเปน ลูกคล่ืน ผานจดุ (0, 0) {x x ≠ nπ, n∈ } 2. โดเมนของฟง กช ัน คือ 3. เรนจของฟงกช ันคือ (-∞, -1]∪[1, ∞] { }xx≠nπ + π , n∈ 4. คาบ คอื 2π 5. แอมพลจิ ูด คือ ไมมี 2 3. เรนจของฟงกชันคือ  Y 4. คาบ คอื π 5. แอมพลิจดู คือ ไมม ี Y XX รูปท่ี 20 รูปท่ี 21 จากลกั ษณะกราฟ y = sec x สรปุ ไดดงั นี้ จากลักษณะกราฟ y = cot x สรุปไดดังนี้ 1. กราฟเปน ลกู คลน่ื ไมผา นจุด (0, 0) 1. กราฟเปนลูกคล่นื ไมผานจุด (0, 0) 2. โดเมน คือ {x x ≠ nπ, n∈ } { }2. โดเมน คอื π x x ≠ nπ + , n∈ 3. เรนจคือ  2 4. คาบ คอื π 3. เรนจค ือ (-∞, -1]∪[1, ∞] 5. แอมพลจิ ดู คอื ไมม ี 4. คาบ คือ 2π 5. แอมพลิจดู คือ ไมมี

คาบ (period) หมายถึง ความยาวของแตละชวงยอยที่สั้นที่สุดและกราฟในแตละชวงยอยมี ลักษณะเหมือนกนั แอมพลิจูด (amplitude) หมายถึง คร่ึงหนง่ึ ของผลตา งระหวางคาสูงสดุ และคาต่ำสุดของฟงกช นั ตัวอยางท่ี 17 จงเขยี นกราฟของ y = sinx และ y = 2sinx ในระบบพิกัดฉากเดียวกนั พรอ มทัง้ หาจุดตัด แกน X โดเมน เรนจ คาบ และแอมพลิจดู ของฟง กช นั y = 2sinx วิธที ำ กำหนดคา x และหาคา y จาก y = sinx และ y = 2sinx ไดดงั ตาราง x -2π - 3π -π - π 0 π π 3π 2π 2 2 2 2 sinx 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 จากตารางสามารถเขียนกราฟไดดงั น้ี จากกราฟสรุปไดด ังนี้ 1. กราฟของ y = sinx และ y = 2sinx ตดั แกน X ทีจ่ ดุ เดยี วกนั คอื จุด (x, 0) เมอ่ื x∈{...,-2π, -π, 0, ... } 2. โดเมนของฟงกชัน y = 2sinx คอื  3. เรนจของฟงกชัน y = 2sinx คอื [-2, 2] 4. คาบของฟง กชัน y = 2sinx คอื 2π 5. แอมพลจิ ดู ของฟง กช ัน y = 2sinx คือ 2 - (-2) = 2 2