ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ເອກະສານແປຈາກຂສ້ ອບທ່ີ ສອບເສງັ ນກັ ຮຽນຈາກ ພາສາໄທ, ຫວຽດນາມ ແລະ ຈນໃນຊ່ີ ທ່ີ ວ່ີ າ ຄະນດິ ສາດຍຸກສະໄໝໃໝີ່ ເຫຼມັ້ ທ II 4n2 + n + 4 − 2n = lni→m ( 4n2 + n + 4 − 2n)( 4n2 + n + 4 + 2n)   lim  4n2 + n + 4 + 2n n→ x2 + xy − 3x − y = m y2 + xy − 3y − x = m x + 2 + 2x + 5 + 2 2x2 + 9x +10  23 − 3x log22 x + 2mlog2 x + 6m − 5 = 0 x + m + 3− x = 2x + 5 ແປ ແລະ ແກໂ້ ດຍ : ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ສກົ ຮຽນ 2019 – 2020

ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ເອກະສານແປຈາກຂສ້ ອບທີ່ ສອບເສງັ ນກັ ຮຽນຈາກ ພາສາໄທ, ຫວຽດນາມ ແລະ ຈນໃນຊີ່ ທີ່ ວ່ີ າ ຄະນດິ ສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ີ ເຫຼມັ້ ທ II 4n2 + n + 4 − 2n = lni→m ( 4n2 + n + 4 − 2n)( 4n2 + n + 4 + 2n)   lim  4n2 + n + 4 + 2n n→ x2 + xy − 3x − y = m y2 + xy − 3y − x = m ກວດແກດ້ ວ້ ຍ : ປທ ຈນັ ທອນ ແກວ້ ມະນໄຊ ຊອ ປທ ເມງຄາ ແກວ້ ພູວງົ ຊອ ປຕ ສອນພນັ ລວນັ ນາ ຊອ ປຕ ວຽງມະນ ລາວຈູ ແປ ແລະ ແກໂ້ ດຍ : ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ສກົ ຮຽນ 2019 – 2020

ຄຳນຳ ເອກະສຳນແປຈຳກຂສ້ໍ ອບທ່ີ ສີ ອບສອບເສງັ ນກັ ຮຽນຈຳກພຳສຳໄທ, ຫວຽດນຳມ ແລະ ຈນີ ຫວົ ຂ້ໍ ຄະນດິ ສຳດຍຸກສະໄໝໃໝ່ີ ເຫມັ້ໍ ນ,ີ້ໍ ຖກື ຂຽນຂນື້ໍ ມຳເພ່ີ ອື ຈດຸ ປະສງົ ໃນກຳນຮຽນຮແ້ໍ ບບຂອງຄະນດິ ສຳດຍຸກສະໄໝ ໃໝ່ີ ທີ່ ສີ ຳມຳດເຮດັ ໃຫນໍ້ ກັ ສກຶ ສຳໄດມ້ໍ ກີ ຳນສກຶ ສຳຮບແບບກຳນແກ ້ໍ ແລະ ເຕກັ ນກິ ກຳນແກຕ້ໍ ່ີ ຳງໆໃຫມໍ້ ຄີ ວຳມເຂຳົ້ໍ ໃຈ ຫຳຍຂນື້ໍ ພອ້ໍ ມທງັ ມຂີ ະບວນກຳນແກຢໍ້ ີ່ ຳງລະອຽດ, ອີ່ ຳນເຂຳົໍ້ ໃຈງີ່ຳຍ ກະທດັ ຫດັ ສຳລບັ ບຸກຄນົ ທ່ີ ມີ ຄີ ວຳມຮພໍ້ ນືໍ້ ຖຳນ ທຳງຄະນດິ ສຳດ ແລະ ຍງັ ບີ່ ມປີ ະສບົ ກຳນຄວຳມຮທ້ໍ ຳງຄະນດິ ສຳດກສຳມຳດສກຶ ສຳຮຽນຮໄໍ້ ດ.ໍ້ ດ່ີ ງັ ນນັໍ້ , ຂຳໍ້ ພະເຈຳົ້ໍ ຈະນຳສະເໜກີ ຳນເນອືໍ້ ໃນກຳນຮຽນຮດ້ໍ ີ່ ງັ ນ.ີ້ໍ ບດົ ທີ 1 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮອ້ໍ ນັ ດບັ ຈຳນວນ ບດົ ທີ 2 ເວຳົ້ໍ ກີ່ ຽວກຳນຮຽນຮສໍ້ ມົ ຜນົ ໃຈກຳລງັ ບດົ ທີ 3 ເວຳົ້ໍ ກ່ີ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສໍ້ ມົ ຜນົ ໂລກຳລດິ ບດົ ທີ 4 ເວຳົ້ໍ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ບດົ ທີ 5 ເວຳົໍ້ ກ່ີ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ໂລກຳລດິ ບດົ ທີ 6 ເວຳົ້ໍ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສໍ້ ດໄຕມມມຕິ ິ ບດົ ທີ 7 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສໍ້ ມົ ຜນົ ໄຕມມມຕິ ິ ບດົ ທີ 8 ເວຳົໍ້ ກ່ີ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສ້ໍ ງັ ລວມເລກມມນກັ ຄດິ ບດົ ທີ 9 ເວຳົໍ້ ກີ່ ຽວກບັ ກຳນຮຽນຮສ້ໍ ງັ ລວມບດົ ເລກສງັ ຄະນດິ ເສ່ີ ງັ ເຂຳົ້ໍ ມະຫຳວທິ ະຍຳໄລຕ່ີ ຳງໆທີ່ ີ ຫວຽດນຳມ ດ່ີ ງັ ນນັໍ້ , ຕຳລຳເຫມັໍ້ ນຂີໍ້ ຽນມຳເພີ່ ອື ທະນຳກຳນຮຽນຮຂ້ໍ ອງນກັ ສກຶ ສຳເພີ່ ອື ນຳມຳປະຍຸກໃຊໃໍ້ ນກຳນຮຽນ - ກຳນສອນ ໂດຍທ່ີ ວົ ໄປ, ຢ່ີ ໃນຄອດຮຽນ ແລະ ຜທໍ້ ່ີ ສີ ນົ ໃຈຮຽນໂດຍທີ່ ວົ ໄປ. ເຖງິ ວ່ີ ຳຄະນດິ ສຳດຍຸກສະໄໝໃໝີ່ ຈະຂຽນມຳດເີ ທີ່ ຳົ ໃດກຕຳມກບ່ີ ປຳສະຈຳກຂຂຳດຕກົ ບກົ ຜ່ີ ອງໄດ,້ໍ ຖຳ້ໍ ຜ້ໍ ອີ່ ຳນ ຫື ຜທ້ໍ ີ່ ສີ ກຶ ສຳຕຳລຳຮຽນເຫມັ້ໍ ນແີ້ໍ ລວໍ້ ຍງັ ເຫນັ ຂຂຳດຕກົ ບກົ ຜ່ີ ອງຕີ່ ຳງໆກຂໃຫແໍ້ ຈງໍ້ ໃຫຜ້ໍ ຂ້ໍ ຽນຮບັ ຮນໍ້ ຳເພ່ີ ອື ຈະ ນຳມຳປບັ ປຸງ ແລະ ແກໄ້ໍ ຂໃຫຕໍ້ ຳລຳແບບຮຽນສະບບັ ນສີ້ໍ ມົ ບນຫຳຍຂນື້ໍ

ບດົ ທີ 1 ສາລະບານ ໜາ້ ບດົ ທີ 2 1 - 30 ບດົ ທີ 3 ອນັ ດບັ ຈານວນ 31 - 55 ບດົ ທີ 4 ສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 56 - 78 ບດົ ທີ 5 ສມົ ຜນົ ໂລກາລດິ 79 - 103 ບດົ ທີ 6 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ 104 - 129 ບດົ ທີ 7 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ໂລກາລດິ 130 - 157 ບດົ ທີ 8 ສູດໄຕມູມມຕິ ິ 158 - 185 ບດົ ທີ 9 ສມົ ຜນົ ໄຕມູມມຕິ ິ 186 - 208 ສງັ ລວມບດົ ເລກສງັ ຄະນດິ ເສັ່ ງັ ເຂາົ້ ມະຫາວທິ ະຍາໄລຕັ່ າງໆທ່ັ ຫີ ວຽດນາມ 209 - 220 ສງັ ລວມເລກມູມນກັ ຄດິ

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 1 ອນັ ດບັ ຈານວນ-ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ-ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ 1.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາສາມຈານວນທ່ົ ມີ ຜີ ນົ ບວກເທ່ົ າົ 124 ແມ່ົ ນສາມພດົ ທາອດິ ທົ່ ຢີ ່ົ ູລຽນກນັ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ພອ້ ມກນັ ນນັ້ ກົ່ ແມ່ົ ນພດົ ທີ 3,13,15 ຂອງອນັ ດບັ ທະວີ 2.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຕວົ ທະວີ q ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຮູວ້ ົ່ າ u1 = 3; u4 = 81 3.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim  4n 2 + n + 4 − 2n    n→0 4.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຮູວ້ ່ົ າ u1 = 8; u10 = 62 5.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ, un ການດົ ດວ້ ຍ u1 = 2 ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ເຂບເຂດຂອງ lim un un+1 = un + 2, n  1 6.ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກຂອງ 12 + 22 + 32 +... + (n −1)2 + n2 = ...? 7.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາພດົ ທົ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ u1 = 4 u + 2; n  1 un = +1 n 8.ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວີ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຮູວ້ ົ່ າ: u5 + u 2 = 36 u6 − u 4 = 48 9.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ, u1 = 2 + n;(n  N) un+1 = un 10.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim 3n + 5 1 n2 + n + n→ 11.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ, u1 = 2 un+1 = 3un ;(n  1) 12.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un = 4n +1. ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ S10 . 13.ຂຽນພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນ ບວກເຊົ່ ງິ ແຕົ່ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕົ່ ຫານ ຂາດໃຫ້ 4. 14.ຊອກຫາຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ບວກ ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un = 4n + 3. 5

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 15.ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un = 1+ 1 n . ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim u n n  n→0 16.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຕວົ ທະວີ d ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກສນິ້ ສຸດ, ຮູວ້ ່ົ າ ພດົ ທາອດິ ເທ່ົ າົ u1 = 10 ແລະ ພດົ ສຸດທາ້ ຍ u21 = 50 17.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim 4n2 +1 − n2 −1 n→ n +1 18.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ lim  1 −1 n. 2n n→    19.ສາມຈານວນສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ . ຖາ້ ເອາົ ພວກມນັ ລບົ ໃຫ້ 2,1, 7 ຕາມລາດບັ ແລວ້ ເຮາົ ຈະໄດອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາສາມ ຈານວນທົ່ ໄີ ດ້ 20.ສາມຈານວນບວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ົ າົ ກບັ 21 ແລະສາ້ ງເປນັ ໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຖາ້ ລບົ 1ຢ່ົ ູພດົ ທົ່ ໜີ ່ົ ງ, ຕົ່ ມ 1 ຢົ່ ູພດົ ທສີ ອງ ແລະ ຕ່ົ ມ 7 ເຂາົ້ ພດົ ທ່ົ ສີ າມເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝ່ົ ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ . ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ ສາມຈານວນທ່ົ ໄີ ດ້ 21.ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຮູວ້ ົ່ າ u1 = 4; u10 = 2048 22.ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກຂອງ 1+ 2 + 3 +...+ (n − 2) + (n −1) + n = ...? 23.ພຈິ າລະນາຄຸນລກັ ສະນະ ຂນ້ ຫຼ ແຮມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອບຂນັ້ ຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ u1 = 2 un+1 = un + 2; (n  N) 24. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ un ໂດຍ u25 − u16 = 36 ຄດິ ໄລ່ົ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. 25.ສາມພດົ ຕດິ ກນັ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ົ າົ 33 ສ່ົ ວນຜນົ ຄູນຂອງພວກມນັ ເທົ່ າົ 1287 ຈ່ົ ງົ ຊອກ ຫາສາມຈານວນນນັ້ . 26.ຮູຜ້ ນົ ບວກ n ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ຈານວນໜ່ົ ງ sn = 5n2 + 6n ຈົ່ ງົ ຊອກອນັ ດບັ ຈານວນ 27.ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ູນ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຮູວ້ ່ົ າ  u 5−u 2=6   u 6+ 3u =12 30. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ (un ) ການດົ ດວ້ ຍ  u1 = 2   un+1 = 2.un ,(n  1) 31. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ (un ) ການດົ ດວ້ ຍ  u1 = 1  un + 2  =u 2 , n  1 n +1 32. ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກ 6

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ s = 1 + 1 + 1 + ... + (n − 1 −1) + (n 1 n 1.2 2.3 2)(n −1) 33. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim sinn + 2.cosn x→ n 35. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim n2 sin n 2 +n+ x→ 36. ດວ້ ຍຄົ່ າໃດຂອງ a (0; ) ເຮາົ ຈະໄດອ້ ນັ ດບັ 1+ sin ;sin2 ;1+ sin 3 ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ 37. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim n3 − n + 4 n2 + 3n + 2 x→ 38. ຜນົ ບວກບນັ ດາພດົ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ ຈອ້ ມບົ່ ສນີ້ ສຸດ 56,ສວົ່ ນຜນົ ບວກຂອງບນັ ດາກາລງັ ສອງ ບນັ ດາພດົ ຂອງພວກມນັ ເທົ່ າົ 448 ຈົ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທາອດິ ແລະ ຄດິ ໄລ່ົ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ 39. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກມີ u 2 + u5 = 26 ຄດິ ໄລ່ົ n ພດົ ທາອດິ u 6 − u3 = 12 40. ຈົ່ ງົ ຂຽນພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນບວກເຊົ່ ງີ ແຕົ່ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕ່ົ ຫານຂາດ ໃຫ້ 3 ແລວ້ ເສດ 2 41. ຜນົ ບວກ n ພດົ ທາອດິ ຂອງໜ່ົ ງອນັ ດບັ ຈານວນແມ່ົ ນ sn = 3n −1 ອນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມົ່ ນໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ 42. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim 1+ 2 + 3 + ... + (n −1) + n x→ n2 + n +1 43. ສາມຈານວນບວກທົ່ ມີ ຜີ ນົ ບວກເທົ່ າົ 9 ແລະ ສາ້ ງເປນັ ໜົ່ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ຖາ້ ຮກັ ສາຄງົ ທ່ົ ຈີ ານວນທົ່ ໜີ ົ່ ງ ແລະ ຈານວນທ່ົ ສີ ອງ,ບວກສົ່ ເີ ຂາົ້ ຈານວນທ່ົ ສີ າມເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝົ່ ສາ້ ງເປນັ ໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ . ຊອກບນັ ດາຈານວນນນັ້ lim n2 + 2n + 4 + 2n 44. ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ x→ n −1 45.ຊອກຫາສາມພດົ ຕົ່ ເນ່ົ ອງກນັ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ຮູວ້ ົ່ າຜນົ ບວກຂອງພວກມນັ ເທົ່ າົ 70 ແລະ ຜນົ ຄນູ ຂອງ ພວກມນັ ເທົ່ າົ 8000. 46.ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim 2n + 3 x→ n +1 50.ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກຂອງ S =1.2 + 2.3 + 3.4 +... + (n − 2).(n −1) + (n −1).n 7

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບບດົ ທີ 1 ອນັ ດບັ ຈານວນ - ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ-ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ 1. ຊອກຫາສາມຈານວນທົ່ ມີ ຜີ ນົ ລວມເທົ່ າົ 124 ແມົ່ ນສາມພດົ ທາອດິ ທົ່ ຢີ ່ົ ູລຽນກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ພອ້ ມກນັ ນນັ້ ກແມົ່ ນພດົ ທ່ົ ີ 3, 13, 15 ຂອງອນັ ດບັ ທະວບິ ວກ. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ສູດອນັ ດບັ ທະວຄິ ູນແມົ່ ນ an = a1r n−1. ➢ ສູດອນັ ດບັ ທະວບິ ວກແມ່ົ ນ bn = b3 + (n − 3)r = a1 + (n − 3)r .  ເຊົ່ ງິ ການດົ ໃນ a1 = b3 , a2 = b13 , a3 = b15 ເຮາົ ໄດ.້ ຈາກ124 = 100 + 20 + 4 = 4  52 + 4  51 + 4 ທຽບກບັ an = a1r n−1 ເຮາົ ໄດ:້ a1 = 4 , r = 5 ສະນນັ້ : a1 = 4 , a2 = 20 , a3 = 100 ຕອບ: ສາມຈານວນແມົ່ ນ 4 , 20 , 100 . 2. ຊອກຫາຕວົ ທະວີ q ຂອງອນັ ດນັ ທະວຄີ ນູ , ເມອຮູວ້ ົ່ າ u1 = 3 , u4 = 81. ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສູດ: un = u1.q n−1 ເຮາົ ໄດ.້ u3 = 3.q 3 = 81 q3 = 27 q3 = 33 q=3 ຕອບ: ຕວົ ທະວແີ ມົ່ ນ q = 3.  3. ຊອກຫາຂອບເຂດ lim 4n2 + n + 4 − 2n . n→ ວທິ ຄີ ດິ 4n 2 + n + 4 − 2n = nli→m ( 4n 2 + n + 4 − 2n)( 4n 2 + n + 4 + 2n)   lim  4n2 + n + 4 + 2n n→     = nli→m n+8   4n 2 1 + n + 4  + 2n   4n 2 4n 2   = lim n + 8  n→ 2n + 2n  = lim n + 8  = 1 n→ 4n  4  ຕອບ: ສາມຈານວນແມົ່ ນ lim4n 2 − 1 . n→ 4 +n+ 4 2n = 4. ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທວີ ບີ ວກ ທ່ົ ມີ ີu1 = 8 , u10 = 62 . 8

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສູດ un = u1 + (n − 1)d ເຮາົ ໄດ.້ u10 = 8 + 9d  8 + 9d = 62 9d = 54 d =6 ສະນນັ້ un = 8 + (n − 1)  6 = 6n + 2ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ . 10 S10 = (6i + 2) = 3(10)(10 + 1) + 2(10) = 330 + 20 = 350 i =1 ຕອບ: ຜນົ ບວກຂອງ 10 ພດົ ທາອດິ ແມົ່ ນ S10 = 350. 5. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ (un ) ການດົ ດວ້ ຍ  u1 = 2  ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim u n .  = un + 2,n u n +1 1 n→ ວທິ ຄີ ດິ ຈາກຮູບແບບຂອງອນັ ດບັ  u1 = 2 1  = un + 2,n u n +1 un+1 = un + 2 u2 = 2 + 2 u3 = 2 + 2 + 2 u4 = 2 + 2 + 2 + 2 . . . un = 2 + 2+... + 2 n−1  n ຈາກນນັ້ ເຮາົ ສາມາດ lim 2 +2+... + 2 = 2 n→ n−1  n ຕອບ:ຂອບເຂດຂອງ lim u n = 2. n→ 6. ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກຂອງ S = 12 + 22 + 32 + .......... ..... + (n −1)2 + n2 . ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ້ S1 (n) = A0n3 + A1n2 + A2n + A3 ຈະໄດ:້ 9

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  A0 C 1 = C 0 3 2 3A0 = 1 A0 = 1 3  A0 C 2 + A1C 1 = C 1 3 2 2 3 1  + 2 A1 = 2  3 A1 = 1 2  A0 C 3 + A1C 2 + A2 C11 = C 2 3 2 2 1 + 1 + A2 =1 3 2 A2 = 1 6  A3 = 0 ➢ ສະນນັ້ S1 (n) = 1 n3 + 1 n2 + 1 n + 0 ເຮາົ ໄດ.້ 3 2 6 S1 (n) = 1 n3 + 1 n2 + 1 n 3 2 6 ( )S1 (n) n = 6 2n 2 + 3n + 1 S1 (n) = n (n + 1)(2n + 1) 6  S = 12 + 22 + 32 + .......... ..... + (n − 1)2 + n 2 = n (n + 1)(2n + 1) 6 ຕອບ: ສູດຂອງ12 + 22 + 32 + .......... ..... + (n − 1)2 + n 2 = n (n + 1)(2n + 1) . 6 7. ຊອກຫາພດົ ທົ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ  = u1 = 4 (n  1) . u n +1 un + 2 ວທິ ຄີ ດິ  u1 =4 (n  1) ສມົ ທຽບຈາກ: un+1 = un + 2 ໂດຍ u1 = 4 ເຮາົ ໄດ.້ u n +1 = un +2 un+1 = u n + 2  u2 = u1 + 2(2 − 1) u3 = u2 + 2 = u1 + 2 + 2 = u1 + 2(3 − 1) u4 = u3 + 2 = u1 + 2 + 2 + 2 = u1 + 2(4 − 1) . 10

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ . . un = u1 + 2(n − 1)  un = 4 + 2(n − 1) = 2n + 2 un = 2n + 2 ຕອບ: ພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງ un = 2n + 2 . 8. ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນໂດຍຮູວ້ ່ົ າ: u 5 − u2 = 36 u 6 − u4 = 48. ວທິ ຄີ ດິ ➢ຈາກສູດອນັ ດບັ : un = u1r n−1 ແທນສູດເຮາົ ໄດ.້ uu11rr54 + u1r = 36 − u1r 3 = 48 (( ))uu11rr3r3 +1 = 36 r2 −1 = 48 ( )(ur12r()u(r1r+)(1r)+r2−r + 1 = 36 1)(r − 1) = 48  r 2 (r − 1) = 4 r2 − r +1 3 r2 −r +1=3 r2 −r −2=0 (r + 1)(r − 2) = 0 r = −1 (r  )  r = 2  u1r 4 + u1r = 36 u1 (2)4 + 2u1 = 36 16u1 + 2u1 = 36 u1 = 2 ຕອບ: u1 = 2 , r = 2 . 9. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຂອງຈານວນ  = u1 = 2 N  ) ຊອກຫາພດົ ທ່ົ ວົ ໄປ. u n +1 un + n (n  ວທິ ຄີ ດິ un+1 = un + n  u2 = u1 + 1 u3 = u2 + 2 = u1 + 1 + 2 u4 = u3 + 3 = u1 + 1 + 2 + 3 . 11

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ . . un = u1 +1+ 2 + 3 + ......... + (n − 1) = u1 + n(n − 1) = 2 + n(n − 1) = n2 −n + 2 2 2 2 un = n2 −n + 2 2 ຕອບ: ພດົ ທ່ົ ວົ ໄປແມ່ົ ນ un = n2 −n + 2 . 2 10. ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim n 3n + 5 1 . 2+ n + n→ ວທິ ຄີ ດິ lim 3n + 5 = lim 3n = 0 n→ n 2 + n + 1 nn→ 2 ຕອບ: ຂອບເຂດ lim n 3n + 5 1 = 0 . 2+ n + n→ 11. ຊອກຫາພດົ ທົ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ  u1 = 2  1) . u n =1 = 3un (n ວທິ ຄີ ດິ  u1 = 2  1) u n =1 = 3un (n  un=1 = 3un u2 = 3u1 = 3(2) u3 = 3(3(2) = 2(3) 2 u4 = 2(3) 4−1 . . . un = 2.3n−1 ຕອບ: ພດົ ທ່ົ ວົ ໄປແມົ່ ນ un = 2.3n−1. 12. ໃຫພ້ ດົ ຂອງອນັ ດບັ un = 4n + 17 ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກຂອງ 10. ວທິ ຄີ ດິ n ຊອກຫາ Sn =  (4i + 17) = 2n(n + 1) + 17n ແທນ. i =1 10 S n =  (4i + 17) = 2(10)(10 + 1) + 17(10) = 220 + 170 = 390 i =1 ຕອບ: ຜນົ ບວກ 10 ພດົ ແມົ່ ນ S10 = 390. 13. ຂຽນພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນບວກເຊ່ົ ງິ ແຕ່ົ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕ່ົ ຫານຂາດໃຫ້ 4. 12

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ➢ ສງັ ເກດເຫນັ ວາທຸກໆຈານວນຫານຂາດໃຫ້ 4 ເນົ່ ອງຈາກຕວົ ທະວເີ ປນັ 4ເຮາົ ໄດ.້  ຖາ້ ເປນັ ອນັ ດນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມ່ົ ນ un = 4n .  ຖາ້ ເປນັ ອນັ ດນັ ດບັ ທະວຄີ ູນແມ່ົ ນ un = 4 n . 14. ຊອກຫາອນັ ດບັ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຂອງ un = 4n + 3 . ວທິ ຄີ ດິ  ການຊອກຫາອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຂອງ un = 4n + 3 ເຮາົ ສງັ ເກດຈາກຕວົ ສາປະສດິ ຂອງອນັ ດບັ ທົ່ ວົ ໄປແລວ້ ຈະ ໄດ:້ d = 4 . 15. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ un = 1 + 1 n ຄດິ ໄລົ່ ຂອງຂອບເຂດ lim1 + 1 n .  n n→ n ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກຂອບເຂດຂອງ lim1 + 1 n ເຮາົ ໄດ.້ n→ n  lim1 + 1  n lim n ln1+ 1 ........1() n→ n  = e n→  n  −n  lim n ln1 + 1  = lim n 2 (n + 1) = lim n = 1  (1). n→  n  n→ − 1 n→ n + 1 n2 lim1 + 1 n = e1 n→ n   lim1 + 1 n = e n→ n  ຕອບ: ຂອບເຂດຂອງ lim1 + 1 n = e . n→ n 16. ຊອກຫາຫາຕວົ ທະວີ d ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກບົ່ ສນີ້ ສຸດຮູວ້ ົ່ າພດົ ທາອດິ u1 = 10 ແລະ ພດົ ສຸດທາ້ ຍແມ່ົ ນ u21 = 50. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກພດົ ທົ່ ວົ ໄປເຮາົ ສງັ ເກດໄດຈ້ າກ un = u1 + (n − 1)d ເຮາົ ໄດ.້ u21 = u1 + (21− 1)d 10 + 20d = 50  d=2 ຕອບ: ຕວົ ທະວີ d = 2 . 17. ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim 4n 2 +1 − n2 −1 . n→ n +1 ວທິ ຄີ ດິ 13

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຈາກຂອບເຂດ lim 4n 2 +1 − n2 − 1 ເຮາົ ໄດ.້ n→ n +1 ( )( )lim 4n2 + 1 − n2 − 1 = lim 4n2 + 1 − n2 − 1 4n2 + 1 + n2 − 1 (( ))n→ n + 1 n→ (n + 1) 4n 2 + 1 + n 2 − 1 4n2 + 1 − n2 + 1 (( ))= lim n→ (n + 1) 4n 2 + 1 + n 2 − 1 = lim 3n 2 + 2 n→ 5n 2 + 5n = lim 3n 2 = 3 n→ 5n 2 5  lim 4n2 + 1 − n2 − 1 = 3 n→ n + 1 5 ຕອບ: ຄົ່ າຂອບເຂດຂອງ lim 4n 2 +1 − n2 −1 = 3 . n→ n +1 5 18. ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ nli→m n 2 1 − 1  . n  ວທິ ຄີ ດິ ຈາກຂອບເຂດ nli→m n 2 1 − 1  ເຮາົ ໄດ.້ n  nli→m n 1 − 1 =  2 1 − 1  n lim n  2 n→ 1   n   − 1 .2 1 . ln 2  n = nli→m n2   −1   n2   = nli→m 2 1 . ln 2  = ln 2 n ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງເຂດຂອບແມົ່ ນ nli→m n 2 1 − 1  = ln 2 . n  19.ສາມຈານວນສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຖາ້ ເອາົ ພວກມນັ ມາລບົ ໃຫ້ 2, 1, 7 ຕາມລາດບັ ແລວ້ ເຮາົ ໄດອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຈງົ ຊອກຫາສາມຈານວນນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ການດົ ໃຫ້u1, u2 , u3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ແລະ ການດົ ໃຫ້a1, a2 , a3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. 14

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ➢ ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ un = u1r n−1 ເຮາົ ໄດ.້  u1 u2 = u1r u3 = u1r 2 ➢ ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ:  a1 = u1 − 2 a2 = u2 −1 a3 = u3 − 7  a3 − a2 = a2 − a1 u3 − 7 − u2 + 1 = u2 − 1 − u1 + 2 u3 − 2u2 + u1 = 7  u1r 2 − 2u1r + u1 = 7 ( )u1 r 2 − 2r + 1 = 7 u1 (r − 1)2 = 7(1)  ur1 =7 =2 ➢ ຊອກຫາສາມພດົ ເຮາົ ໄດ.້  u1 = 7 u2 = 7(2) = 14 u3 = 7(2)2 = 28 ຕອບ: ສາມຈານວນແມ່ົ ນ 7 ,14, 28 . 20. ສາມຈາບວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ົ າົ 21 ແລະ ສາ້ ງເປນັ ໜົ່ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຖາ້ ລບົ 1 ໃນພດົ ທີ 1 , ຕມ 1 ໃນພດົ ທສີ ອງ ແລະ ຕມ 7 ຢ່ົ ູພດົ ທສີ າມເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝົ່ , ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຈົ່ ງົ ຊອກຫາສາມ ຈານວນທເີ ຄຍີ ໃຫ.້ ວທິ ຄີ ດິ ➢ ການດົ ໃຫ້u1, u2 , u3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ ແລະ ການດົ ໃຫ້a1, a2 , a3 ເປນັ ສາມຈານວນຂອງ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ➢ ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ an = a1 + (n − 1)d ເຮາົ ໄດ.້  a1 a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d = 14 − a1  a1 + a2 + a3 = 21  3a1 + 3d = 21 a1 + d = 7  d = 7 − a1.......... (1) a2 = 7 ➢ ຈາກສູດອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ: 15

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  u1 = a1 − 1 u2 = a2 +1 u3 = a3 + 7  u3 = u2 u2 u1 a3 + 7 = a2 + 1 a2 + 1 a1 − 1 (a3 + 7)(a1 − 1) = (a2 + 1) 2 (21 − a1 )(a1 − 1) = 82 (a1 − 21)(a1 − 1) + 64 = 0 a12 − 22a1 + 21 + 64 = 0 a12 − 22a1 + 85 = 0 (a1 − 5)(a1 − 17) = 0 a1 = 5  a1 = 17(a ) a1 = 5  (1) d =7−5=2  a3 =14 − 5 = 9 ຕອບ: ສາມຈານວນແມົ່ ນ 5 , 7 , 9 . 21.ຄດິ ໄລົ່ 10 ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຮູວ້ ່ົ າ u1 = 4 , u10 = 2048. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສຸດ: un = u1r n−1 ເຮາົ ໄດ.້ u10 = 4r 10−1 r 9 = 2048 4 r 9 = 512 r9 = 29 r=2 10 ➢ ຊອກຫາຜນົ ບວກ S10 = 4.2i ເຮາົ ໄດ.້ i =1 10 S10 = 4.2i = 4(211 − 2) = 8184 i =1 ຕອບ: ຜນົ ບວກຂອງສບິ ພດົ ທາອດິ S10 = 8184. 22. ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກຂອງ S = 1 + 2 + 3 + .......... .......... ..... + (n − 1) + n . ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ້ S1 (n) = A0 n 2 + A1n ຈະໄດ:້ 16

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  A0 C 1 = C10 2 2 A0 = 1 A0 = 1 2  A0 C 2 + A1C11 = C11 2 1  1  + A1 =1  2  A1 = 1 2 ➢ ສະນນັ້ S1 (n) = 1 n2 + 1 n ເຮາົ ໄດ.້ 2 2 S1 (n) = 1 n2 + 1 n 2 2 ( )S1 = 1 n2 (n) 2 +n S1 (n) = n(n + 1) 2  S = 1 + 2 + 3 + ......................... + (n − 1) + n = n(n + 1) 2 ຕອບ: ສູດຂອງ1 + 2 + 3 + .......... .......... ..... + (n − 1) + n = n(n + 1) . 2 23. ພຈິ າລະນາຄຸນລກັ ສະນະຂນ້ , ແຮມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອບຂນັ້ ຂອງອນັ ດນັ ຈານວນ  u1 = 2  un + 2,n N * u n +1 = ວທິ ຄີ ດິ un+1 = un + 2 u2 = 2 + 2 u3 = 2 + 2 + 2 u4 = 2 + 2 + 2 + 2 . . . . un = 2 +2+... + 2 n−1  n ➢ ເປນັ ອນັ ດນັ ຈານວນຂນ້ ທຕີ ນັ ລົ່ ຸມແມົ່ ນ ແລະ ຕນັ ເທົ່ ງິ :  ຕນັ ລົ່ ຸມແມົ່ ນ: lim 2 = 2 n→ 17

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  ຕນັ ເທງິ ແມ່ົ ນ: lim 2 + 2+... + 2 = 2 n→ n −1 ຕອບ: ເປນັ ອນັ ດນັ ຈານວນຂນ້ , ມຂີ ອບຂນັ້ ລ່ົ ຸມແມ່ົ ນ 2 ແລະ ມຂີ ອບຂນັ້ ເທງີ ແມ່ົ ນ 2 . 24. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ (un ) ໂດຍ u25 − u16 = 36ຄດິ ໄລ່ົ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສູດ: un = u1 + (n − 1)d ເຮາົ ໄດ.້ u25 = u1 + 24d u16 = u1 + 15d  u25 − u16 = 36 u1 + 24d − u1 − 15d = 36 9d = 36  d = 36 = 4 9 d =4 ຕອບ: ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມົ່ ນ d = 4 . 25. ສາມພດົ ຕດິ ຕ່ົ ກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກມຜີ ນົ ບວກເທ່ົ າົ ກບັ 33 , ສ່ົ ວນຜນົ ຄຸນຂອງມນັ ແມ່ົ ນ 1287 ຊອກຫາ ສາມພດົ ຈານວນນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ u1 u2 = u1 + d u3 = u1 + 2d  ສະນນັ້ ເຮາົ ໄດ.້  u1 + u2 + u3 = 33 u1 + u1 + d + u1 + 2d = 33 u1 + d = 11  d = 11 − u1 u3 = 22 − u1 u2 =11  u1u2u3 = 1287 11u1 (22 − u1 ) = 1287 u1 (22 − u1 ) = 117 u12 − 22u1 + 117 = 0 (u1 − 9)(u1 − 13) = 0 u1 − 9 = 0  u1 − 13 = 0 u1 = 9  u1 = 13(u1  )  u1 = 9  u3 = 22 − 9 =13 ຕອບ: ສາມຈານວນແມ່ົ ນ: 9 , 11 , 13. 18

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 26. ຮູວ້ ່ົ າຜນົ ບວກ n ພດົ ທາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ຈານວນໜົ່ ງ Sn = 5n 2 + 6n ຕວົ ທະວອີ ນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມ່ົ ນເທົ່ າົ ໃດ. ວທິ ຄີ ດິ ຊອກຫາພດົ ທົ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ an = Sn − Sn−1 . an = 5n2 + 6n − 5(n − 1)2 − 6(n − 1) an = 5n2 + 6n − 5n2 + 10n − 5 − 6n + 6 an = 4n + 1  ການຊອກຫາອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຂອງ un = 4n + 1ເຮາົ ສງັ ເກດຈາກຕວົ ສາປະສດິ ຂອງອນັ ດບັ ທ່ົ ວົ ໄປແລວ້ ຈະ ໄດ:້ d = 4 . ຕອບ: ຕວົ ທະວອີ ນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມ່ົ ນ d = 4 . 27. ການດົ ພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຂີ ອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຮູວ້ ົ່ າ uu65 − u2 =6 . + u3 = 12 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສູດ: un = u1 + (n − 1)d ເຮາົ ໄດ.້ uu65 − u2 =6 + u3 = 12  uu1 1++54dd+−uu1 1+−2dd =6 = 12  3d = 6 2u1 + 7d = 12  d=2 2u1 + 7d = 12  d = 2 u1 = −1 ຕອບ: ພດົ ທາອດິ u1 = −1 , d = 2 . 28. ສງັ ເກດຫວົ ຂລ້ ່ົ ຸມນ:ີ້ ຂໄ້ ດເ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຍອ້ ນຫຍງັ ?. 1.  u1 =1 0 4 2. U n = n 2 + 3n 3.  u1 =5 4. U n = 4 n u n= un + u n= 10u n ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ ່ົ (ີ 1)ເຮາົ ໄດ.້ 19

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  u1 = 10 4 u n= un +  un = un + 4 u2 = u1 + 4(2 − 1) u3 = u2 + 4 = u1 + 4(3 − 1) u4 = u3 + 4 = u1 + 4(4 − 1) . . . un = u1 + (n − 1)  4  d = 4 un = u1 + (n − 1)d ຕອບ: ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມົ່ ນຂ(້ 1) . 29. ສງັ ເກດຫວົ ຂລ້ ົ່ ຸມນ:ີ້ ຂໄ້ ດເ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຍອ້ ນຫຍງັ . 1. U n = 10n − 2 2.  u1 = 6 3. U n = n3 + 3n − 2 4.  u1 = 2 u n = un + 2 (n  1) u = 5u n +1 n ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ (ີ 4)ເຮາົ ໄດ.້  u1 = 2 n u = 5u n +1  u n+1 = 5u n u2 = 5u1 u3 = u1 53−1 u 4 = u1 54−1 u5 = u1 55−1 u6 = u1 56−1 . . . u n = u1 5n−1  r=5 u n = u1r n−1 ຕອບ: ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນແມົ່ ນຂ(້ 4) . 30. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ (un ) ການດົ ດວ້ ຍ  u1 = 2  ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim u n .  = 2un , (n u n +1 1) n→ ວທິ ຄີ ດິ ຈາກອນັ ດບັ ຈານວນ  u1 = 2  1) ເຮາົ ໄດ.້  = 2un , (n u n +1 20

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  u1 = 2  1)  = 2un , (n u n +1  un+1 = 2un u2 = 2 2 u3 = 2 2 2 u4 = 2 2 2 2 . . . un = 222 2 2.................... .....2 n  lim u n = lim 2 2 2 2 2.......... .......... ..... 2 =2 n→ n→ ຕອບ: ຂອບເຂດ lim u n = 2. n→ 31. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ (un ) ການດົ ດວ້ ຍ  = u1 = 1 (n  1) ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim u n . u un + 2 n +1 n→ 2 ວທິ ຄີ ດິ  = u1 = 1 (n  1) u n +1 un + 2 2 21

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  u n+1 = un + 2 2 u n+1 = 1 +1 2 un  u n+1 −a= 1 (u n − a)  bn = un − a  un = bn +a 2 u n+1 − a = 1 un − 1 a +1 2 2 a − 1 a +1=0 2 a = −2  bn+1 = 1 bn  b1 = u1 − (−2) = 3 2 b2 = 1 (3) 2 b3 = 3 1 3−1 2 b4 = 3 1  4−1  2 . . . bn = 3 1  n−1 2 ➢ ແທນຄນໃສ່ົ u n ເຮາົ ໄດ.້ un = bn + a un = 3 1  n−1 − 2  2 nli→m 3 1  n−1 2  2  ➢ ຄດິ ໄລົ່ ຂອບ lim u n = − = −2 n→ ຕອບ: ຂອບເຂດຂອງອນັ ດບັ lim u n = −2 . n→ 32. ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກ S =1+ 1 + 1 + .......... ...... + (n − 1 − 1) + (n 1 1.2 2.3 2)(n − 1)(n) ວທິ ຄີ ດິ ຈາກ S = 1 + 1 + 1 + .......... ...... + (n − 1 − 1) + (n 1 1.2 2.3 2)(n − 1)(n) 22

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ S =1 + 1 − 1  +  1 − 1  + .......... ...... +  n 1 2 − n 1  +  n 1 − 1   2   2 3  − − 1  −1 n  S = 2 − 1 = 2n − 1 nn ຕອບ: ຜນົ ບວກແມົ່ ນ S = 2n − 1 . n 33. ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim sin n + 2 cosn . n→ n ວທິ ຄີ ດິ ການຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim sin n + 2 cosn ເຮາົ ໄດ.້ n→ n lim sin n + 2 cosn = lim sin n + 2 lim cosn = lim 1 + 2 lim 1 = 0 + 2  0 = 0 n→ n n→ n n→ n n→ n n→ n  lim sin n + 2 cosn = 0 n→ n ຕອບ: ຂອບເຂດ lim sin n + 2 cosn = 0 . n→ n 34. ອນັ ດບັ ຈານວນໃດຕົ່ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວແີ ຮມ. ກ. U n = 3n ຂ. Un = n−3 ຄ. Un = n + 4 ງ. U n = n 2 + 2 n +1 n + 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ ົ່ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ U n = 3n  U1 = 3 U2 = 32 = 9 U3 = 33 = 27 U3 U2 U1  ບ່ົ ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ແຮມ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ ົ່ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = n−3 n +1  U1 = 1− 3 = −1 1+ 1 U2 = 2−3 = − 1 2 +1 3 U3 = 3−3 = 0 = 0 3+1 4 23

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ U4 = 4−3 = 1 4 +1 5 U5 = 5−2 = 3 = 1 5+1 6 2 U5 U4 U3 U2 U1  ບົ່ ແມົ່ ນອນັ ດບັ ແຮມ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ ່ົ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = n + 4 n + 2  U1 = 1 + 4 = 5 1 + 2 3 U2 = 2 + 4 = 6 2 + 2 4 U3 = 3 + 4 = 7 3 + 2 5 U3 U2 U1  ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ແຮມ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ ່ົ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = n4 + 2  U1 = 14 + 2 = 3 U 2 = 24 + 2 =18 U3 = 34 + 2 = 83 U3 U2 U1  ບົ່ ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ແຮມ ຕອບ: ຂທ້ ີ ຄ. 35. ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim sin n 2 . n→ n2 + n + ວທິ ຄີ ດິ lim sin n = lim 1 = lim 1 = 0 n→ n 2 + n + 2 n→ n 2 + n + 2 nn→ 2 ຕອບ: ຂອບເຂດ lim n2 sin n 2 = 0 . +n+ n→ 36. ດວ້ ຍຄົ່ າໃດຂອງ (0 ; )ເຮາົ ຈະໄດອ້ ນັ ດບັ 1 + sin , sin2  , 1 + sin 3 , ສາ້ ງເປນັ ອນັ ດບັ ວທິ ຄີ ດິ  ການດົ ໃຫ້u1 =1 + sin , u2 = sin2  , u3 =1 + sin3 .  u3 − u2 = u2 − u1 24

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ u1 = 1 + sin , u2 = sin2  , u3 = 1 + sin 3 1 + sin 3 − sin2  = sin2  − 1 − sin 2 cos2  + sin 3 + sin = 0 2 cos2  + 2 sin 2 cos = 0 2 cos2  + 4 sin cos2  = 0 2 cos2  (1 + 2 sin ) = 0 cos2  = 0  1 − 2 sin = 0  =  + 2k  sin = − 1 2 2  =  + 2k   = 7 + 2k 2 6 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ =  + 2k . 2 37. ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim n3 − n + 4 . n→ n 2 + 3n + 2 ວທິ ຄີ ດິ lim n3 − n + 4 = lim n3 = lim n =  n→ n 2 + 3n + 2 n→ n 2 n→ ຕອບ: ຂອບເຂດ lim n3 −n+4 =  . n2 + 3n + 2 n→ 38. ຜນົ ບວກບນັ ດາພດົ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນຈອ້ ມບ່ົ ສນິ້ ສຸດ 56, ສ່ົ ວນຜນົ ບວກຂອງບນັ ດາກາລງັ ສອງບນັ ດາພດົ ຂອງພວກມນັ ເທ່ົ າົ 448 , ຈົ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທາອດິ ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ູນ. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ການດົ ໃຫ້u1 ເປນັ ພດົ ທົ່ ໜີ ົ່ ງ ແລະ q ເປນັ ຕວົ ທະວຄີ ນູ .  ຜນົ ບວກບນັ ດາພດົ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນຈອ້ ມບົ່ ສນິ້ ສຸດ 56 ເຮາົ ໄດ:້ Sn1 = u1 = 56.......(1) . 1− q ຜນົ ບວກຂອງບນັ ດາກາລງັ ສອງບນັ ດາພດົ ຂອງພວກມນັ ເທ່ົ າົ 448 ເຮາົ ໄດ:້ S n2 = u12 = 448......(2) 1− q2 ຈາກສມົ ຜນົ ຂາ້ ງເທງິ ເຮາົ ສາມາດເຮດົ ໄດດ້ ່ົ ງັ ນ:ີ້ ຈາກ(1) ເຮາົ ໄດ້1u−1q = 56  u1 = 56(1 − q) ແທນໃສົ່ (2)ເຮາົ ໄດ.້ 25

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  u12 = 448 1− q2 (56(1 − q))2 = 448 1− q2 (1 − q) 2 = 1 1− q2 7 1−q = 1 1+ q 7 7 − 7q =1 + q 8q = 6 q = 3  (1) 4  u1 = 56(1 − q) u1 = 56(1 − 3) 4 u1 = 56 = 14 4 ຕອບ: ພດົ ທີ 1 ແມ່ົ ນ 14 ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ນູ ແມ່ົ ນ 3 . 4 39. ໃຫອ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກມີ uu26 + u5 = 26 ພດົ ທາອດິ . − u3 = 12 ຄດິ ໄລ່ົ ຜນົ ບວກ S n ວທິ ຄີ ດິ uu26 + u5 = 26 − u3 = 12  uu11 + d + u1 + 4d = 26 + 5d − u1 − 2d = 12 2u13+d 5d = 26 = 12 2u1 + 5(4) = 26  d =4  u1 = 3 d = 4 ➢ ຊອກຫາພດົ ທົ່ ວົ ໄປແມ່ົ ນ: un = u1 + (n − 1)  d = 3 + 4n − 4 = 4n − 1. nn  ➢ ຊອກຫາຜນົ ບວກ Sn = ui = (4n − 1) = 2n(n + 1) − n = 2n 2 + n . i=1 i=1 ຕອບ: ຜນົ ບວກ Sn = 2n2 + n . 40. ຂຽນພດົ ທ່ົ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ຂນ້ ລວມມບີ ນັ ດາຈານວນຖວ້ ນບວກເຊ່ົ ງິ ແຕົ່ ລະພດົ ຂອງມນັ ລວ້ ນແຕົ່ ຫານຂາດ ຂາດໃຫ້ 3 ເສດ 2. 26

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ➢ ສາລບັ ຂນ້ ມີ້ ຂີ ສ້ ງັ ເກດດົ່ ງັ ນ:ີ້ ຫານຂາດໃຫ້ 3 ແລວ້ ເສດ 2 ສະແດງວ່ົ າ: ຕວົ ທະວເີ ປນັ 3 ເພາະເປນັ ສາປະສດິ ຂອງ ຕວົ ຫານຂາດ ແລະ 2 ເປນັ ຕວົ ບວກເພ່ົ ມີ ເຕມີ ຂອງພດົ : un = 3n + 2 . ຕອບ: ພດົ ທົ່ ວົ ໄປແມົ່ ນ un = 3n + 2 . 41. ຜນົ ບວກ S n ພດົ ທາອດິ ຂອງໜົ່ ງອນັ ດບັ ຈານວນແມົ່ ນ Sn = 3n − 1 ອນັ ດບັ ຈານວນນແີ້ ມ່ົ ນໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ ໂດຍ. ວທິ ຄີ ດິ  ຊອກຫາ un = Sn − S n−1 = 3n − 1 − 3n−1 +1= 2 (3)n ເຮາົ ໄດ.້ 3 un = 2 (3)n = 2.3n−1 3 ຕອບ: u1 = 2 ແລະ ຕວົ ທະວແີ ມ່ົ ນ q = 3 . 42. ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim1 + 2 + 3 + .......... + (n − 1) + n n→ n2 + n +1 ວທິ ຄີ ດິ n(n + 1) 1 + 2 + 3 + .......... + (n − 1) + n = lim 2 lim n→ n2 + n + 1 n→ n2 + n + 1 lim 1 + 2 + 3 + .......... + (n − 1) + n = lim n 2 + n n→ n2 + n + 1 n→ 2n 2 + 2n + 2 = lim n2 = 1 n→ 2n 2 2 lim 1 + 2 + 3 + .......... + (n − 1) + n = 1 n→ n2 + n + 1 2 ຕອບ: ຂອບເຂດ lim 1 + 2 + 3 + .......... + (n − 1) + n = 1 . n2 + n +1 2 n→ 43. ສາມຈານວນບວກມຜີ ນົ ບວກເທົ່ າົ 9 ແລະ ສາ້ ງເປັນໜົ່ ງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ຖາ້ ຮກັ ສາຄງົ ທ່ົ ໃີ ນຈານວນທົ່ ໜີ ົ່ ງ ແລະ ຈານວນທສີ ອງ, ບວກ 4 ເຂາົ້ ໃນຈານວນທີ 3 ເຮາົ ຈະໄດສ້ າມຈານວນໃໝ່ົ ສາ້ ງເປນັ ໜ່ົ ງອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ, ຊອກຫາບນັ ດາຈານວນນນັ້ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສູດ: un = u1 + (n − 1)d ເຮາົ ໄດ.້  u1 u2 = u1 + d u3 = u1 + 2d = 6 − u1  u1 + u1 + d + u1 + 2d = 9 u2 = u1 + d = 3 ➢ຈາກການປົ່ ຽນແປງເຮາົ ໄດເ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. 27

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 6 − u1 + 4 = 3 3 u1  u1 (10 − u1 ) = 9 u12 − 10u1 + 9 = 0 (u1 − 1)(u1 − 9) = 0 u1 = 1  u1 = 9(u1 )  u1 = 1 ແທນໃຫ້u3 = 6 − 1 = 5 . ຕອບ: ສາມຈານວນ1 , 3 , 5 . 44. ຄດິ ໄລ່ົ ຂອບເຂດ lim n2 + 2n + 4 + 2n . n→ n −1 ວທິ ຄີ ດິ n2 + 2n + 4 + 2n = lim n2 1 + 2 + 4  + 2n 3n  n n2  lim = lim = 3 n→ n − 1 n→ n − 1 n→ n  lim n2 + 2n + 4 + 2n = 3 n→ n − 1 ຕອບ: ຂອບເຂດແມົ່ ນ lim n2 + 2n + 4 + 2n = 3. n→ n −1 45. ຊອກຫາສາມພດົ ຕົ່ ເນ່ົ ອງກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ , ຮູວ້ ່ົ າຜນົ ບວກຂອງມນັ ເທ່ົ າົ 70 ແລະ ຜນົ ຄູນຂອງພວກ ມນັ ແມ່ົ ນ 8000. ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສູດ: un = u1q n−1 ເຮາົ ໄດ.້  u1 u2 = u1q u3 = u1q 2 ➢ ຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ : u1 + u1q + u1q 2 = 70 ➢ ຜນົ ຄນູ ຂອງອນັ ດບັ : u1  u1q  u1q 2 = 8000  u13q3 = 8000  ສງັ ລວມເຮາົ ໄດ.້ 28

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ u1 (q 2 +q + 1) = 70  = 203 (u1 q)3  u1 (q 2 + q + 1) = 7 0  u1q = 20 u1 (q 2 + q + 1) = (1 0)(7)  u1q = (10)(2) uq1 = 10 = 2  u1 = 10 u2 = (10)(2) = 20 u3 = (10)(4) = 40 ຕອບ: ສາມຈານວນແມ່ົ ນ10 , 20 , 40. 46. ຄດິ ໄລົ່ ຂອບເຂດ lim 2n + 3 . n→ n +1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກຂອບເຂດ lim 2n + 3 = lim 2n = 2 n +1 n n→ n→ ຕອບ:ຂອບເຂດ lim 2n + 3 = 2 . n +1 n→ 47. ສງັ ເກດດບັ ຈານວນໃດຕ່ົ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ກ. U n = n 2 ຂ. Un = 1 ຄ. U n = 2n + 1 ງ. Un = 1 n2 n ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ ່ົ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = n2 u1 = 1 u2 = 4 u3 = 9 u4 =16  ບົ່ ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ ົ່ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = 1 n2 u1 = 1 u2 = 1 = 1 22 4 u3 = 1 = 1 32 9 29

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ງ. U n = 3n + 2  ບົ່ ແມົ່ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ ົ່ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ U n = 2n + 1 u1 = 3 u2 = 5 u3 = 7 u4 = 9  ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ ່ົ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = 1 n u1 = 1 u2 = 1 2 u3 = 1 3 u4 = 1 4  ບົ່ ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຕອບ: ຂທ້ ີ ຄ. 48. ສງັ ເກດດບັ ຈານວນໃດຕົ່ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ . ກ. U n = cosn ຂ. Un = n+2 ຄ. U n = (−1) n .n 2 n +1 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ ່ົ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ U n = cosn u1 = cos1 u2 = cos2 u3 = cos3 u4 = cos4  u1  u2  u3  u4  ບ່ົ ແມົ່ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ. ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ 30

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ un = n+2 n +1 u1 = 1+ 2 = 3 1+1 2 u2 = 2+2 = 4 2 +1 3 u3 = 3+2 = 5 3+1 4  u1  u2  u3  ບົ່ ແມົ່ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ . ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ U n = (−1) n .n 2 u1 = −1 u2 = 4 u3 = −9 u4 =16  ບົ່ ແມົ່ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ . ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ U n = 3n + 2 u1 = 5 u2 = 8 u3 =11 u4 =14  u1  u2  u3  u4  ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວຂີ ນ້ . ຕອບ: ຂທ້ ີ ງ. 49. ສງັ ເກດດບັ ຈານວນໃດຕົ່ ໄປນເີ້ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນູ . ກ. Un = 1 ຂ. U n = 4n + 3 ຄ. U n = 2 n ງ. U n = n 2 n ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ (ີ ກ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = 2 n u1 = 2 u2 =1 u3 = 2 3 u4 = 1 2 31

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  ບ່ົ ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ົ່ າຂທ້ (ີ ຂ)ເຮາົ ໄດ.້ U n = 4n + 3 u1 = 7 u2 =11 u3 =16 u4 =19  ບ່ົ ແມົ່ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ. ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ (ີ ຄ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = 2n u1 = 2 u2 = 22 = 4 u3 = 23 = 8 u4 = 24 =16  ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ➢ ຈາກສງັ ເກດຂາ້ ງເທງີິ ນເີ້ ຮາົ ສາມາດຢນຢນັ ໄດວ້ ່ົ າຂທ້ (ີ ງ)ເຮາົ ໄດ.້ Un = n2 u1 = 1 u2 = 4 u3 = 9 u4 =16  ບົ່ ແມ່ົ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ ຕອບ: ຂທ້ ີ ຄ. 50. ຄດິ ໄລົ່ ຜນົ ບວກ S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .......... ... + (n − 2)(n − 1) + (n − 1)n ວທິ ຄີ ດິ ➢ 1 (i 2 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) ສງັ ເກດຈາກ un = (n − 1)n ເຮາົ ໄດ້S = i =1 − i) = 6 − 2 S = 1 (i 2 − i) = n(n + 1)(2n + 1) − n(n + 1) i=1 6 2 S =  n(n + 1)  2n + 1 − 1  2  3  S =  n(n + 1)  2n − 2   2  3  S = n(n 2 − 1) 3  1.2 + 2.3 + 3.4 + .......... ... + (n − 2)(n − 1) + (n − 1)n = n(n 2 − 1) 3 32

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ1.2 + 2.3 + 3.4 + .......... ... + (n − 2)(n − 1) + (n − 1)n = n(n2 − 1) . 3 33

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 2 ສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 1.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x − 2.3x + 2 = m ມໃີ ຈຜນົ 2.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 6x = 2x ( ) ( )x x 3.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 + 3 + 2 − 3 = 4 4.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 5x = 6x + 2 5.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x = 3x +1 6.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2x+3 + 3 = m ມີ 2 ໃຈຜນົ xx 3+ 2 2 + 3− 2 2 = 6x ( ) ( )7.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 12.9x − 35.6x +18.4x = 0 9.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x+1+ 3−x −14.2 x+1+ 3−x + 8 = m ມໃີ ຈຜນົ 10.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x+ 1−x2 −8.3x+ 1−x2 + 4 = m ມໃີ ຈຜນົ 11.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2 −2x = 3 12.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x + 2 + 18 − 2x = 6 13.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 33−x = 12 14.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 6 = 3x 15.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2008x + 2006x = 2.2007x 16.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 125x + 50x = 23x+1 17.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x − 6.2x + 5 = m ມີ 1 ໃຈຜນົ 18.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2 −x − 2x+8 = 8 + 2x − x2 19.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2 +x − 22−x−x2 = 5 20.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4|x| − 2|x|+1 + 3 = m ມີ 2 ໃຈຜນົ xx 7+4 3 −3 2− 3 +2=0 ( ) ( )21.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 22.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ( ) ( )x + 2 x2 −x−5 = x + 2 x+10 23.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ( ) ( )2 x2 −1 = 5 x+1 24.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ x2.2x + 4x + 8 = 4.x2 + x.2x + 2x+1 25.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2(m −1).2x + 3m − 4 = 0 ມີ 2 ໃຈຜນົ ເພົ່ ອເຮດັ ໃຫ້ x1 + x2 = 3 26.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8 − x.2x − 23−x − x = 0 27.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2(m +1).2x + 3m −8 = 0 ມີ 2 ໃຈຜນົ 28.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x − 6.2x + 8 = 0 29.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 6x + 8 = 2x+1 = 4.3x 34

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 30.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x2+x + 21−x2 = 2(x+1)2 +1 31.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x2 − 2x2+2 + 6 = m ມີ 3 ໃຈຜນົ 32.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x2 − 4.3x2 + 8 = m ມີ ໃຈຜນົ x [−2;1] 33.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x+1 = 10 − x 34.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 22. 3+x −x − 5.2 + 23+x +1 x+4 = 0 ມໃີ ຈຜນົ 35.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x + (x −8).2x +12 − 2x = 0 36.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ (x + 4).9x − (x + 5).3x +1 = 0 37.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 34x = 43x 39.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8x − 7.4x + 7.2x+1 − 8 = 0 40.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x − 54 +3=m ມໃີ ຈຜນົ 3x 41.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2x+3 + 2 = m ມີ 1 ໃຈຜນົ 42.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x−1 = 4 43.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2x+1 = m ມໃີ ຈຜນົ 44.ຈົ່ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2x + 6 = m ມີ 1 ໃຈຜນົ 45.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x+3 + 3x−1 = 2x−1 + 3x 46.ຈ່ົ ງົ ຊອກຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x2 − 4.3x2 + 6 = m ມີ 2 ໃຈຜນົ x 5 x = 7.2x 5 + 3− ( ) ( )47.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ3+ 48.ຈົ່ ງົ ຊອກຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x − 4.3x + 2 = m ມີ 2 ໃຈຜນົ 49.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 9|x+1| = 272x−2 ( )50.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x2 + x2 − 7 .2x2 − 4x2 +12 = 0 35

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບບດົ ທີ 2 ສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 1. ຊອກຫາ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9 x − 2.3x + 2 = m ມໃີ ຈຜນົ x −1 , 2. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 9 x − 2.3x + 2 = m ເຮາົ ການດົ ໃຫ້ X = 3x ແທນ X 2 − 2X + 2 − m = 0 ຈາກເຂດການດົ −1 x  2  3−1  3x  32  1  X  9. 3  ຈາກສມົ ຜນົ X 2 − 2X + 2− m = 0 ເຮາົ ໃຫ້ X  1 t = X − 1  X = t + 1 ເຮາົ ໄດ.້ 3 3 3 (t + 1) 2 − 2(t + 1) + 2 − m = 0 33 (3t + 1) 2 − 6(3t + 1) + 18 − 9m = 0 9t 2 + 6t + 1 − 18t − 6 + 18 − 9m = 0 9t 2 − 12t + 12 − 9m = 0 t 2 − 4 t + 4 − 3m = 0 33 6 2 − 9(12 − 9m)  0  4 − 3m  0 4 − 3m  0   m 4  81m − 72  0 3  3m  0  4− m 4  m  8 3   m 9 4 3  m8 9  ຈາກສມົ ຜນົ X 2 − 2X + 2 − m = 0 ເຮາົ ໃຫ້ X  9  t = X − 9  X = t + 9 ເຮາົ ໄດ.້ (t + 9)2 − 2(t + 9) + 2 − m = 0 t 2 + 18t + 81 − 2t − 18 + 2 − m = 0 t 2 + 16t + 65 − m = 0 8 2 +m − 65  0  65 − m0 65 − m  0   65 − m  0  m − 1 0 65 − m0 m  65  1 m  65  m1 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ m 1. 2. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 6 x = 2 x . 36

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ➢ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້3x + 6 x = 2 x ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ົາຍກວົ່ າເຊົ່ ນັ : y = 3x + 6x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້  y= 2x  ຕອບ: ສງັ ເກດເຫນັ ວົ່ າສມົ ຜນົ ບ່ົ ມໃີ ຈຜນົ S =  . 3. ແກສ້ ມົ ຜນົ  2 + 3  x +  2 − 3  x = 4 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ  2 + 3  x +  2 − 3  x = 4 .  2 + 3  x +  2 − 3  x = 4  2+ 3  x +  1 =4 2 + 3  x  2 + 3 2x − 4 2 + 3  x + 1 = 0 37

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  2 + 3 2x − 4 2 + 3  x + 1 = 0  = 4−1=3  2 + 3  x = 2 + 3   2 + 3  x = 2 − 3  2 + 3  x =  2 + 3 2   2 + 3  x =  2 + 3 −2  x = 2  x = −2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = {−2 , 2}. 4. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 5 x = 6x + 2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້3x + 5x = 6x + 2 ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ົາຍກວົ່ າເຊົ່ ນັ : y = 3x + 5x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້   y = 6x + 2 ➢ ສງັ ເກດຈາກການຕດັ ກນັ ຂອງເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ຈດຸ ຕດັ ກນັ ສອງ ຈດຸ ທ່ົ ຈີ ດຸ x ແມົ່ ນ 0 , 1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 3x + 5x = 6x + 2 ແມົ່ ນ S = {0 , 1} . 5. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4 x = 3x + 1 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້4 x = 3x + 1 ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ົາຍກວົ່ າເຊ່ົ ນັ :  y y =4 x 1 ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້  = 3x  + 38

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ➢ ສງັ ເກດຈາກການຕດັ ກນັ ຂອງເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ຈດຸ ຕດັ ກນັ ສອງ ຈດຸ ທ່ົ ຈີ ດຸ x ແມ່ົ ນ 0 , 1 . ຕອບ: ໃຈຜນົ ຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 4 x = 3x + 1 ແມົ່ ນ S = {0 , 1} . 6. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x − 2 x+3 + 3 = m ມສີ ອງໃຈຜນົ x  1 , 3 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ ເຮາົ 4 x − 2 x+3 + 3 = m ການດົ ໃຫ້ X = 3x ແທນ X 2 − 8.X + 3 − m = 0 ຈາກເຂດການດົ 1  x  3  21  2 x  22  2  X  8 .  ຈາກສມົ ຜນົ X 2 − 8.X + 3 − m = 0 ເຮາົ ໃຫ້ X  2  t = X − 2  X = t + 2 ເຮາົ ໄດ.້ X 2 − 8.X + 3 − m = 0 (t + 2) 2 − 8(t + 2) + 3 − m = 0 t 2 + 4t + 4 − 8t − 16 + 3 − m = 0 t 2 − 4t + 15 − m = 0 t 2 − 4t + 15 − m = 0 15 − m  0  4 + m −15  0  15 − m  0  m 15   m 11   m  15  m 11  ຈາກສມົ ຜນົ X 2 − 8.X + 3 − m = 0 ເຮາົ ໃຫ້ X  8  t = X − 8  X = t + 8 ເຮາົ ໄດ.້ 39

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ X 2 − 8.X + 3 − m = 0 (t + 8) 2 − 8(t + 8) + 3 − m = 0 t 2 + 16t + 64 − 8t − 64 + 3 − m = 0 t 2 + 8t + 3 − m = 0 3−m0  16 + m − 3  0   3−m0 m3  m  −13   m3  m  −13 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມ່ົ ນ m 11. ( ) ( )7. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3 + 2 2 x + 3 − 2 x = 6x . ວທິ ຄີ ດິ ( ) ( )➢ຈາກສມົ ຜນົ 3 + 2 2 x = 6x ເຮາົ ໄດ.້ x 2 + 3− ( ) ( )3 + 2 2 x + 3 − 2 2 x = 6 x  3 + 2 2  x +  3 −2 2  x = 1 6 6 1 +  2x  −  2 x 6 2 + 2 1 =1 6 ➢ ການດົ ໃຫ້ 3 + 2 2 =1− 3− 2 2 ເຮາົ ໄດ.້ 6 6 3+ 2 2 =1− 3− 2 2 66 3+2 2 = 6−3+2 2 66 3+2 2 =3+2 2 66 ➢ ສະນນັ້ ເຮາົ ໄດ:້ 2x = 2 2x = 2 x =1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = {1} . 8. ແກສ້ ມົ ຜນົ 12.9 x − 35.6 x + 18.4 x = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 12.9 x − 35.6 x + 18.4 x = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 40

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 12.9 x − 35.6 x + 18.4 x = 0 12. 9  x − 35. 6  x + 18 = 0 4 2 12. 3 2x − 35. 3  x + 18 = 0 2 2  ການດົ ໃຫ້t = 3 ເຮາົ ໄດ.້ 2 12t 2 − 35t + 18 = 0 (4t − 9)(3t − 2) = 0 t=9  t=2 43  ແທນຄົ່ າຂອງ t =  3  x ເຮາົ ໄດ.້ 2  3  x = 9   3  x = 2 2 4 2 3  3  x =  3 2   3  x =  3 −1 2 2 2 2  x = 2  x = −1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = { − 1 , 2 } . 9. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x+1+ 3−x − 14.2 x+1+ 3−x + 8 = m ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ➢ຈາກສມົ ຜນົ 4 x+1+ 3−x − 14.2 x+1+ 3−x + 8 = m ເຮາົ ການດົ X = 2 x+1+ 3−x ເຊງິ ວົ່ າ −1 x  3ເຮາົ ໄດ.້ X 2 − 14X + 8 − m = 0 ການດົ ໃຫ້0  X1  X 2 ເຮາົ ໄດ.້ 7 2 + m − 8  0   8−m0 m + 41 0   8 − m  0 m  −41   m8  Sm = − 41 , 8  ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ Sm = − 41 , 8 . 10.ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9x+ 1−x2 − 8.3x+ 1−x2 + 4 = mມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ➢ຈາກສມົ ຜນົ 9x+ 1−x2 − 8.3x+ 1−x2 + 4 = mເຮາົ ການດົ X = 3x+ 1−x2 ເຊງິ ວ່ົ າ −1 x 1ເຮາົ ໄດ.້ X 2 − 8X + 4 − m = 0 ການດົ ໃຫ້0  X1  X 2 ເຮາົ ໄດ.້ 41

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 42 + m − 4  0   4−m0 m + 12  0   4 − m  0  m  −12   m4 Sm = − 12, 4 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ Sm = − 12, 4. 11. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 −2x = 3 . ວທິ ຄີ ດິ 2 x2 −2x = 3 x 2 − 2x − log2 3 = 0  = 1 + log2 3 x = 1 − 1 + log2 3  x = 1 + 1 + log2 3   S = 1 − 1 + log2 3 , 1 + 1 + log2 3  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S = 1 − 1 + log2 3 , 1 + 1 + log2 3 . 12. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x + 2 + 18 − 2x = 6 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 2x + 2 + 18 − 2x = 6 ເຂດການດົ 0  x  log2 18ເຮາົ ໄດ.້ 2x + 2 + 18 − 2x = 6 ( )2 2x + 2 + 18 − 2x = 62 20 + 2 36 + 16.2 x − 22x = 36 36 + 16.2 x − 22x = 8 36 + 16.2 x − 22x = 64 22x − 16.2 x + 28 = 0  = 82 − 28 = 64 − 28 = 36 2x = 2  . 2x =14 x = 1  x = log2 14  S =  1 , log2 14  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  1 , log2 14 . 13.ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 33−x = 12 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 3x + 33−x = 12 ຈະໄດ.້ 42

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 3x + 33−x = 12 3x + 27 =12 3x 32x − 12.3x + 27 = 0  = 62 − 27 = 36 − 27 = 9 3x = 6 − 3  3x = 6 + 3 3x = 3  3x = 9 3x = 31  3x = 32 x =1  x = 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S =  1 , 2 . 14. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x − 6 = 3x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 3x − 6 = 3x ເຮາົ ໄດ.້ 3x − 6 = 3x 32x − 3x + 6 = 0  = (−1) 2 − 4(6) = −23 0 ຕອບ: ສມົ ຜນົ ບົ່ ມໃີ ຈຜນົ S =  . 15. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2008x + 2009x = 2.2007x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 2008x + 2009x = 2.2007x ເຮາົ ທຽບກບັ ສມົ ຜນົ 8 x + 9 x = 2.7 x ເຮາົ ໄດ.້  8  x +  9  x = 2 ການດົ ໃຫ້t = 1 ເຮາົ ໄດ້ 7 7 7 (t + 1)x + (2t + 1)x = 2 ໃຫ້t +1= 2t +1=1ເຮາົ ໄດ.້ x +1= 2x +1 x=0 S = 0  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 0 . ວທິ ທີ ົ່ ສີ ອງ ການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງ: ➢ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້8 x + 9 x = 2.7 x ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງ່ົາຍກວົ່ າເຊົ່ ນັ : y =8x + 9x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້   y = 2.7 x 43

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ສງັ ເກດເຫນັ ຈດຸ ຕດັ ທົ່ ແີ ກົ່ ນ y ທົ່ ີ x = 0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 0 . 16. ແກສ້ ມົ ຜນົ 125x + 50x = 23x+1 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 125x + 50x = 23x+1 ເຮາົ ໄດ.້ 125x + 50x = 23x+1  125  x  50  x  23   23  + − 2= 0  5 3 +  5 2 − 2 = 0 2 2   5  x 1  5  2 x 2 5  x 2    2   2  2 − + + =0   5  x − 1 = 0 2  5  x =  5 0 2 2 x=0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = {0} . 17. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9 x − 6.3x + 5 = m ມີ 1 ໃຈຜນົ x 0,+. ວທິ ຄີ ດິ 44

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  ຈາກສມົ ຜນົ 9 x − 6.3x + 5 = m ເຊ່ົ ງິ x  0 ເຮາົ ການດົ 3x  1ເຊງິ ການດົ ໃຫ້ X = 3x ເຮາົ ໄດ.້ X 2 − 6X + 5 − m = 0 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ X  1 ເຮາົ ການດົ X  1  t = X − 1  X = t + 1ເຮາົ ໄດ.້ X 2 − 6X + 5 = m (t + 1)2 − 6(t + 1) + 5 − m = 0 t 2 + 2t + 1 − 6t − 6 + 5 − m = 0 t 2 − 4t − m = 0  m0  4 + m = 0   m0  m = −4 18. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 −x − 2 x+8 = 8 + 2x − x 2 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2 x2 −x − 2 x+8 = 8 + 2x − x 2 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 −x − 2 x+8 = 8 + 2x − x 2 2 x+8 − 2 x2 −x = x 2 − 2x − 8 ( )2 x+8 − 2 x2 −x = x 2 − x − (x + 8) x2 − 2x − 8 = 0 (x − 4)(x + 2) = 0 x+2=0  x−4=0 x = −2  x = 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = { − 2 , 4} . 19. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 +x + 22−x2 −x = 5 ເຮາົ ໄດ.້ ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 2 x2 +x + 22−x2 −x = 5 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 +x + 22−x2 −x = 5 2 2( x2 + x) − 5.2 x2 + x + 4 = 0 (2 x2 +x − 1)(2 x2 +x − 4) = 0 2x2+x −1 = 0  2x2+x − 4 = 0 2x2+x = 20  2x2+x = 22 x2 + x = 0  x2 + x − 2 = 0 x(x + 1) = 0  (x + 2)(x − 1) = 0 x = 0  x = −1  x = −2  x = 1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 0 , − 2 ,−1 ,1. 20. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x − 2 x +1 + 3 = m ມສີ ອງໃຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ 45

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ➢ ການດົ ໃຫ້ x 1ເຮາົ ມີ 2 x  2 ການດົ ໃຫ້ X = 2 x ເຮາົ ໄດສ້ ມົ ຜນົ ໃໝົ່ X 2 − 2X + 3 − m = 0 .  ຈາກເງົ່ອນໄຂ X  2  t = X − 2  x = t − 2 ເຮາົ ໄດ.້ (t + 2)2 − 2(t + 2) + 3 − m = 0 t 2 + 4t + 4 − 2t − 4 + 3 − m = 0 t 2 + 2t + 3 − m = 0 3−m0 m3 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  3 . ( ) ( )x x 21. ແກສ້ ມົ ຜນົ 7 + 4 3 − 3. 2 − 3 + 2 = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ( ) ( ) ຈາກສມົ ຜນົ 7 + 4 3 x − 3. 2 − 3 x + 2 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ ( ) ( )7 + 4 3 x − 3. 2 − 3 x + 2 = 0 ( ) ( )2x x 2 + 3 − 3. 2 − 3 + 2 = 0 ( ) ( )2 + 3 3x + 2 2 + 3 x − 3 = 0 ( ) ( ) ( ) 2 + 3 x − 1 2 + 2x 3 x + 3 = 0 3 + 2+ ( )2 + 3 x − 1 = 0 ( )x 2+ 3 −1=0 ( ) ( )x 0 2+ 3 = 2+ 3 x=0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = {0} . 22. ແກສ້ ມົ ຜນົ (x + 2) x2 −x−5 = (x + 2) x+10 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ (x + 2) x2 −x−5 = (x + 2) x+10 ເຮາົ ໄດ.້ ➢ ເງ່ົອນໄຂທໜີ ່ົ ງ: x + 2 = −1  x + 2 = 0  x + 2 = 1 x = −3  x = −2  x = −1 ➢ ເງົ່ອນໄຂທສີ ອງ: x2 − x − 5 = x + 10 x2 − 2x −15 = 0 (x − 5)(x + 3) = 0 x+3=0  x−5=0 x = −3  x = 5 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = { − 2, 3, − 1, 5}. 46

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 23. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 x2 −1 = 5x+1 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 2 x2 −1 = 5x+1 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 −1 = 5 x+1 x 2 − 1 = (x + 1) log2 5 x 2 − (log2 5)x − log2 10 = 0  = (log2 5) 2 + 4 log2 10 x = log2 5 − lo g 2 5 + 4 log2 10  x = log2 5 + log 2 5 + 4 log2 10 2 2 2 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  log 2 5 − log22 5 + 4 log2 10 , log2 5 + log 2 5 + 4 log2 10  .  2 2    2 24. ແກສ້ ມົ ຜນົ x 2 .2 x + 4x + 8 = 4x 2 + x.2 x + 2 x+1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ x 2 .2 x + 4x + 8 = 4x 2 + x.2 x + 2 x+1 ເຮາົ ໄດ.້ (2 x − 4)x 2 − (2 x − 4)x − 2(2 x − 4) = 0 (2 x − 4)(x 2 − x − 2) = 0 2 x − 4 = 0  (x + 1)(x − 2) = 0 x = 2  x = −1  x = 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = { − 1 , 2 }. 25. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x − 2(m − 1).2 x + 3m − 4 = 0 ມສີ ອງໃຈຜນົ x1 , x2 ເຮດັ ໃຫ້ x1 + x2 = 3 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4 x − 2(m − 1)x + 3m − 4 = 0 ເຊົ່ ງິ ມ:ີ x1 + x2 = 3  2 x1+x2 = 23  2 x1  2 x2 = 8 ເຮາ ໄດ.້ 3m − 4 = 8 3m = 8 − 4 3m = 4 m= 4 3 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ m = 4 . 3 26. ແກສ້ ມົ ຜນົ 8 − x.2 x + 23−x − x = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 8 − x.2 x + 23−x − x = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 47

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 8 − x.2 x + 23−x − x = 0 8 + 8 − x(2 x + 1) = 0 2x 8 2 x + 1  − x(2 x + 1) =0 2 x ( )2x + 1  8 − x  = 0  2x  ( )2x + 1  8 − x  = 0  2x  2x +1= 0  8 −x 2x  8 −x=0 2x x.2 x = 8 x.2 x = 2.2 2 x=2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = {2} . 27. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4x − 2(m + 1).2x + 3m − 8 = 0 ມສີ ອງໃຈຜນົ ມຄີ ວາມໝາຍຕົ່ າງກນັ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4 x − 2(m − 1).2 x + 3m − 8 = 0 ເຊ່ົ ງິ ການດົ ໃຫ້ X = 2 x , x  0  X  1  x = t + 1ເຮາົ ໄດ.້ X 2 − 2(m − 1) X + 3m − 8 = 0 (t + 1)2 − 2(m − 1)(t + 1) + 3m − 8 = 0 t 2 + 2t + 1 − 2(m − 1)t − 2(m − 1) + 3m − 8 = 0 t 2 − 2(m − 2)t + m − 5 = 0  m−50 m5 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  5 . 28. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4 x − 6.2 x + 8 = 0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4 x − 6.2 x + 8 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 4 x − 6.2 x + 8 = 0 (2 x − 2)(2 x − 4) = 0 2x − 2 = 0  2x − 4 = 0 2 x = 21  2 x = 22 x =1  x = 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S = {1,2} . 48

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 29. ແກສ້ ມົ ຜນົ 6 x + 8 = 2 x+1 + 4.3x ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 6 x + 8 = 2 x+1 + 4.3x ເຮາົ ໄດ.້ 6 x + 8 = 2 x+1 + 4.3 x 2 x3x − 2 x+1 = 4.3x − 8 2 x (3x − 2) = 4(3x − 2) 2 x (3x − 2) − 4(3x − 2) = 0 (2 x − 4)(3x − 2) = 0 2x = 4  3x = 2 2 x = 2 2  3 x = 3log3 2 x = 2  x = log3 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = { 2 , log3 2 }. 30. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x2 +x + 21−x2 = 2(x+1)2 + 1. ວທິ ຄີ ດິ 4 x2 + x + 21−x2 = 2 ( x+1)2 + 1 2 2x2 +2x + 21− x2 = 2 ( x+1)2 + 1 2 +2x2 +2x 2 = 2 x2 +2x+1 + 1 2 x2 23x2 +2x + 2 = 2 2x2 +2x+1 + 2 x2 23x2 +2x − 2 x2 = 2(2 2x2 +2x − 1) 2 (2x2 2x2 +2x − 1) = 2(2 2x2 +2x − 1) (2 x2 − 2)(2 2x2 +2x − 1) = 0 2x2 − 2 = 0  22x2+2x −1 = 0 x2 −1= 0  2x2 + 2x = 0 (x − 1)(x + 1) = 0  2x(x + 1) = 0 x = −1  x = 1  x = 0 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S = { − 1, 0 , 1} . 31. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 4 x2 − 2 x2 −2 + 6 = m ມສີ ໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 4 x2 − 2 x2 −2 + 6 = m ເຊ່ົ ງິ ການດົ ເຫນັ ວ່ົ າ: X = 2x2 ເຊົ່ ງິ X  0 ເຮາົ ມ.ີ 49

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ X 2 − 4X + 6 − m = 0 22 + m − 6  0  6−m0   6−m0  40  m6 m − 2  0  6 − m  0  4  0 m6 m  2  m  6  4  0 m6  2m6 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  2. 32. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 9 x2 − 4.3x2 + 8 = m ມໃີ ຈຜນົ ໃນ x − 2 , 1 . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 9 x2 − 4.3x2 + 8 = m ເຊົ່ ງິ ການດົ ເຫນັ ວ່ົ າ: X = 3x2 ເຊົ່ ງິ − 2  x 1 (− 2)2  x2 12 ເຮາົ ມ.ີ ເຮາົ ໄດ.້ x 2  4  x 2  1  2 x2  16  2 x2  2  X  2  X  16 . ➢ ຈາກສມົ ຜນົ X 2 − 4.X + 8 = m ໃນເງ່ົອນໄຂ X  2  t = X − 2  X = t + 2 ເຮາົ ໄດ.້ (t + 2)2 − 4.(t + 2) + 8 = m t 2 + 4t + 4 − 4t − 4 + 8 − m = 0 t2 +8−m=0 8−m0 m8 ➢ ຈາກສມົ ຜນົ X 2 − 4.X + 8 = m ໃນເງ່ົອນໄຂ X  16  t = X − 16  X = t + 16ເຮາົ ໄດ.້ (t + 16) 2 − 4.(t + 16) + 8 = m t 2 + 32t + 256 − 4t − 64 + 8 − m = 0 t 2 + 28t + 200 − m = 0  200 − m  0 m  200 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມ່ົ ນ m  200. 33. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x+1 = 10 − x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ເທກັ ນກິ ການແກສ້ ມົ ຜນົ ນີ້3x+1 = 10 − x ແກແ້ ບບການໃຊເ້ ສນັ້ ສະແດງງົ່າຍກວົ່ າເຊົ່ ນັ :  y=3 x +1 x ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງເຮາົ ໄດ.້  y =10  − 50