ตำราฟิสิกส์เบื้องต้น

ฟิสกิ สเ์ บอื้ งตน้ เพียงขวญั เครือภู่ คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าชมงคลตะวนั ออก

คำนำ ตำรำฟิสิกส์เบ้ืองต้นน้ี ได้รวบรวมและจัดทำขึ้นเพ่ือให้สอดคล้องกับกรอบรำยวิชำหมวดวิชำเฉพำะ กลุ่มพ้ืนฐำนวิชำชีพ ระดับปริญญำตรี และรองรับหลักสูตรต่ำง ๆ ในกรอบมำตรฐำนคุณวุฒิระดับอุดมศึกษำแหง่ ชำติ เพื่อใชป้ ระกอบกำรเรียนกำรสอนวชิ ำฟิสิกส์เบอ้ื งต้น รหัสวิชำ 0604100 โดยมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีควำมรู้ควำมเข้ำใจในเนื้อหำ สำหรับนักศึกษำมหำวิทยำลัยเทคโนโลยีรำชมงคลตะวันออก โดยได้แบ่งเนอ้ื หำในกำรเรยี นกำรสอนไว้ 9 บท ได้แก่ บทนำและคณิตศำสตร์พ้ืนฐำนท่ีใช้ในวิชำฟิสิกส์ แรงและกำรเคลื่อนที่ งำนและพลังงำน กลศำสตร์ของของไหล ปรำกฎกำรณ์คลื่น แสงและเสียง ควำมร้อนและอุณหพลศำสตร์ ไฟฟ้ำสถติ แม่เหลก็ ไฟฟำ้ วงจรไฟฟ้ำเบื้องตน้ และ ฟิสกิ สเ์ ทคโนโลยี ตำรำฟิสกิ สเ์ บ้อื งต้นนี้ได้รบั กำรปรับปรุงอย่ำงต่อเนื่อง ต้ังแต่ปี พ.ศ. 2558 จนถึงปัจจุบัน ไดม้ ีกำรอ้ำงอิงจำกหนังสือและตำรำทั้งในประเทศและต่ำงประเทศ ในกำรพิมพ์คร้ังน้ีผู้เขียนขอขอบคุณ ผศ.ดร.พนิดำหล่อวงศ์ตระกูล ที่ช่วยตรวจ และให้คำแนะนำในกำรแก้ไขข้อผิดพลำด อำจำรย์วรีภรณ์ รัตนิสสัย ท่ีให้คำแนะนำในเขียน คุณสุรบดินทร์ อุตมัง ผู้ช่วยในกำรจัดทำรูปภำพประกอบ และครอบครัวของผู้เขียน อันได้แก่ อำจำรย์วิโรจน์ เครือภู่ ผศ.ดร.ผดุงศักด์ิ และ ผศ.ดร.ใจทิพย์ วำนิชชัง ผู้คอยชี้แนะ ให้คำปรึกษำในกำรจัดทำตำรำเลม่ น้ี และบุตรชำยท่เี ปน็ กำลังใจสำคญั ในกำรทำงำนนีใ้ หส้ ำเร็จ ผู้เขียนหวังว่ำตำรำเล่มนี้จะมีประโยชน์ต่อนักศึกษำและผู้ที่ใช้ศึกษำ และส่งผลให้กำรเรียนกำรสอนรำยวิชำนี้มีประสิทธิภำพและมีคุณภำพยิ่งข้ึนต่อไป หำกท่ำนท่ีนำไปใช้มีข้อเสนอแนะ ผู้เขียนยินดีรับฟังขอ้ คิดเห็นต่ำง ๆ และขอขอบคณุ มำ ณ โอกำสน้ี เพียงขวัญ เครือภู่ 3 มกรำคม 2560

สำรบัญ หนำ้ เรื่อง 1 21บทที่ 1 บทนำและคณติ ศำสตร์พื้นฐำนทใี่ ชใ้ นวิชำฟสิ ิกส์ 61บทที่ 2 แรงและกำรเคล่อื นที่ 84บทที่ 3 งำนและพลังงำน 108บทที่ 4 กลศำสตร์ของของไหล 131บทที่ 5 ควำมร้อนและอุณหพลศำสตร์ 156บทท่ี 6 ปรำกฏกำรณค์ ลน่ื แสงและเสียง 180บทที่ 7 ไฟฟำ้ สถิตและแม่เหล็กไฟฟำ้ 213บทที่ 8 วงจรไฟฟำ้ เบื้องต้น 219บทที่ 9 ฟิสิกส์เทคโนโลยี 220บรรณำนกุ รรม 222ภำคผนวก ก ระบบหน่วยระหว่ำงชำติ 223ภำคผนวก ข ตวั ประกอบกำรเปลีย่ นหนว่ ย 225ภำคผนวก ค ควำมสัมพนั ธ์ทำงคณติ ศำสตร์ทีม่ ปี ระโยชน์ 226ภำคผนวก ง คำ่ คงตวั ท่ีควรทรำบ 227ภำคผนวก จ ตวั อักษรกรีก 229ภำคผนวก ฉ เฉลยแบบฝึกหัดดัชนี

สำรบัญรูปภำพ รำยกำร หนำ้รปู ท่ี 1.1 เคร่ืองมอื ชว่ ยในกำรเปลยี่ นหนว่ ยผำ่ น Google และแอพลิเคช่ันบนโทรศัพท์มือถอื 6รปู ท่ี 1.2 กำรแทนปริมำณเวกเตอร์ด้วยลกู ศร 7รปู ที่ 1.3 กำรบวกเวกเตอร์โดยวิธกี ำรเขียนรูปและสมบตั ิกำรสลับทีข่ องกำรบวกเวกเตอร์ 8รูปท่ี 1.4 รผปูลสรวีเ่ หมลขี่ยอมงเดวำ้ กนเตขอนรำ์นAข,อBงก,CำรรแวลมะเวกDเตอร์ 8รปู ที่ 1.5 9รปู ท่ี 1.6 กำรลบเวกเตอร์ 9รูปที่ 1.7 กำรแตกองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ A 10รปู ที่ 1.8 กำรบวกเวกเตอร์โดยใชว้ ธิ กี ำรเวกเตอรอ์ งค์ประกอบ 11รปู ท่ี 1.9 กำรหำทศิ ทำงของผลคณู เวกเตอร์ โดยใช้กฎมอื ขวำ 15รูปที่ 2.1 แสดงแผนภำพแทนแรง 22รปู ท่ี 2.2 แสดงกำรรวมแรงและกำรแตกแรง 22รปู ที่ 2.3 แสดงควำมพยำยำมในกำรคงสภำวะเดมิ ของวัตถุ 27รปู ท่ี 2.4 แสดงคู่แรงกิริยำ-ปฏกิ ริ ยิ ำของวัตถตุ ่ำง ๆ 29รูปท่ี 2.5 ควำมแตกต่ำงระหว่ำงระยะทำงและกำรกระจัด 34รูปที่ 2.6 กแสำรดหงเำสค้นวทำมำงเรกว็ ำทรี่เเปคลลอ่ื่ียนนทไปแี่ บ( aบโ)ปขรอเจงควตัไทถลุท์แี่กลำะลตังเัวคแลป่อื รนตท่ำงี่แบๆบวงกลมดว้ ยอัตรำเร็วคงตวั 43รปู ท่ี 2.7 47รูปที่ 2.8 แสดงผลของตำแหนง่ ท่แี รงกระทำ 52รูปท่ี 2.9 ทศิ ทำงของทอรก์ ตำมกำรใช้กฎมือขวำ 52รปู ท่ี 2.10 ลูกตมุ้ นำฬิกำอยำ่ งง่ำย 54  ทำในทิศเดียวกบั กำรกระจัด s 62รูปที่ 3.1 เมอ่ื แรงคงตวั F ทำในทศิ ทำมุม  กบั กำรกระจดั s 63รปู ที่ 3.2 เมอื่ แรงคงตวั Fรูปที่ 4.1 ขวดหำถ.พ. 86รูปท่ี 4.2 หลักกำรของเคร่ืองยนตไ์ ฮดรอลิคโดยใช้กฎของปำสคำล 89รูปที่ 4.3 มำนอมิเตอร์แบบปลำยเปดิ และกำรอำ่ นคำ่ ในหน่วย mmHg 91รูปที่ 4.4 บำรอมิเตอร์ปรอท 92รปู ที่ 4.5 แสดงค่ำแรงลอยตัวเมือ่ วตั ถุจมในของไหลในลกั ษณะต่ำง ๆ 93รูปท่ี 4.6 ไฮโดรมเิ ตอร์ 94รปู ท่ี 4.7 กำรหำปรมิ ำตรของวัตถุโดยกำรแทนท่นี ้ำ 95รูปที่ 4.8 กำรหำควำมหนำแน่นสัมพัทธข์ องวัตถโุ ดยกำรชงั่ น้ำหนักในน้ำ 96รปู ท่ี 4.9 ลกั ษณะของน้ำและปรอทในหลอดทดลอง 97รปู ท่ี 4.10 แสดงลกั ษณะกำรไหลท่ถี ูกจำแนกดว้ ยเลขเรยโ์ นลด์ 99รปู ที่ 4.11 กำรไหลเมอ่ื พิจำรณำโดยสมกำรควำมต่อเนื่องและสมกำรเบอร์นูลลี 100รูปท่ี 4.12 แสดงควำมเร็วของกำรไหลในท่อของของไหลท่มี ีควำมหนืด 101

สำรบญั รปู ภำพ (ตอ่ )รำยกำร หนำ้รูปที่ 5.1 กำรแบ่งมำตรำสว่ นของอุณหภมู ิ 109รูปท่ี 5.2 แสดงกำรเปลีย่ นแปลงเมือ่ นำ้ ได้รบั ควำมร้อน 111รปู ท่ี 5.3 กำรพำควำมรอ้ นแบบอิสระและกำรเกดิ ลม 117รูปที่ 5.4 กำรขยำยตวั ทำงควำมร้อน 120รปู ที่ 6.1 แสดงคลื่นตำมขวำงในเส้นเชอื ก และคล่นื ตำมยำวในขดลวดสปรงิ 132รปู ท่ี 6.2 แสดงส่วนประกอบของคลน่ื 132รูปที่ 6.3 แสดงกำรเกิดคลนื่ เชิงซอ้ นจำกคลื่น 3 ขบวน 135รูปท่ี 6.4 แสดงกำรเกดิ บีตส์ของคลนื่ 2 ขบวน 135รปู ท่ี 6.5 แสดงควำมแตกตำ่ งของค่ำควำมยำวคลน่ื ระหวำ่ งแหลง่ กำเนดิ ท่ีอยนู่ งิ่ และเคลื่อนท่ี 136รปู ท่ี 6.6 คลน่ื นง่ิ ในเสน้ เชือก 137รูปที่ 6.7 คลน่ื น่ิงของอำกำศในท่อ 138รูปท่ี 6.8 กำรใช้หลกั กำรสะท้อนของเสยี ง 142รูปท่ี 6.9 แสดงกำรเล้ยี งเบนของเสยี งจำกวิทยุอ้อมผ่ำนกำแพงหอ้ ง 143รปู ที่ 6.10 แสดงกำรเลยี้ งเบนของเสียงจำกกลองและเคร่ืองเป่ำของวงโยทวำธติ 143รูปท่ี 6.11 แสดงระดับควำมเข้มเสยี งของเหตุกำรณ์ต่ำง ๆ 145รูปที่ 6.12 กำรมองเหน็ สี 147รูปท่ี 6.13 กำรสะทอ้ นของแสง 148รูปท่ี 6.14 กำรสะทอ้ นของแสงบนพนื้ ผวิ ท่ตี ำ่ งกัน 149รูปที่ 6.15 กำรหักเหของแสงเม่อื เดินทำงผำ่ นตวั กลำงต่ำงชนิด 149รปู ท่ี 6.16 กำรหักเหของแสงตำมกฎของสเนลล์ 150รูปที่ 6.17 กำรหักเหของแสงตำมกฎของสเนลล์ 150รูปที่ 6.18 กำรกระจำยของแสง 151รูปที่ 7.1 แสดงขนำดและทิศของแรงคลู อมบร์ ะหวำ่ งประจุ 158รูปที่ 7.2 ทศิ ของแรงท่กี ระทำต่อประจุบวกและประจุลบเม่ือวำงในบริเวณท่ีมีสนำมไฟฟ้ำ 160รูปท่ี 7.3 ทศิ ของสนำมไฟฟำ้ ที่เกิดจำกจุดประจบุ วกและจุดประจลุ บ 160รูปที่ 7.4 สนำมไฟฟำ้ เน่ืองจำกประจุซ่งึ กระจำยตวั ต่อเนื่อง 161รูปท่ี 7.5 กำรกำบังไฟฟำ้ สถติ 161รูปที่ 7.6 กรงฟำรำเดย์ 162รูปที่ 7.7 แสดงเสน้ แรงไฟฟ้ำหรอื เส้นสนำมไฟฟ้ำของประจุทง้ั สอง 163รูปท่ี 7.8 แสดงผวิ สมศักยแ์ ละเส้นแรงไฟฟ้ำที่เกิดข้นึ กบั ประจุ 165รูปที่ 7.9 แสดงแรงกระทำที่เกิดขึน้ เม่ือตวั นำที่วำงในสนำมแม่เหลก็ มีกระแสไฟฟำ้ ไหล 167รูปท่ี 7.10 กำรใช้กฎมือขวำในกำรบอกทศิ ของแรงแมเ่ หลก็ 167รปู ท่ี 7.11 เคร่อื งคัดขนำดควำมเรว็ 168รูปที่ 7.12 กฎมือขวำสำหรบั กำรหำทิศของสนำมแม่เหล็กทเ่ี กิดขน้ึ จำกกำรไหลของกระแส 171

สำรบญั รปู ภำพ (ตอ่ ) หนำ้ รำยกำร 173 173รูปท่ี 7.13 กลไกกำรเคล่ือนท่ีของประจไุ ฟฟ้ำในกำรเกดิ ฟำ้ แลบและฟ้ำผำ่ 175รปู ท่ี 7.14 ปรำกฏกำรณ์แสงเหนอื 180รปู ที่ 7.15 รถไฟฟ้ำพลังแม่เหลก็ 181รูปที่ 8.1 แสดงคำ่ กระแสและแรงดนั ไฟฟำ้ ในวงจรไฟฟำ้ กระแสตรง 182รปู ท่ี 8.2 แสดงค่ำกระแสและแรงดนั ไฟฟ้ำในวงจรไฟฟ้ำกระแสสลับ 187รูปท่ี 8.3 กำรเคล่ือนที่ของอิเล็กตรอนอิสระในตวั นำ 188รูปท่ี 8.4 ควำมสมั พันธร์ ะหว่ำงกระแสไฟฟำ้ และควำมตำ่ งศกั ย์ 189รูปท่ี 8.5 อปุ กรณ์อิเล็กทรอนิกสท์ ีพ่ บในวงจรไฟฟ้ำ 189รปู ที่ 8.6 ตวั ตำ้ นทำนและสัญลักษณใ์ นวงจร 190รปู ที่ 8.7 ตัวเก็บประจุชนดิ ต่ำง ๆ และสัญลักษณใ์ นวงจร 190รูปที่ 8.8 ขดลวดเหนย่ี วนำ 191รปู ที่ 8.9 ไดโอดและสญั ลักษณ์ในวงจร 191รปู ที่ 8.10 ไดโอดเปล่งแสง 191รปู ที่ 8.11 ทรำนซิสเตอร์ 192รปู ที่ 8.12 สญั ลักษณ์ในวงจรไฟฟำ้ 196รปู ที่ 8.13 กำรตอ่ ตัวต้ำนทำนแบบอนุกรมและแบบขนำน 197รปู ที่ 8.14 วงจร RLC แบบอนกุ รม 198รปู ที่ 8.15 แผนภำพเฟสของวงจร RLC แบบอนุกรม 199รูปที่ 8.16 วงจร RLC แบบขนำน 203รูปที่ 8.17 แผนภำพเฟสของวงจร RLC แบบขนำน 204รูปที่ 8.18 เครื่องมือวดั ทำงไฟฟำ้ 205รูปที่ 8.19 กำรต่อแอมมเิ ตอร์โวลตม์ ิเตอร์ และโอหม์ มเิ ตอร์เพอ่ื วดั ค่ำทำงไฟฟำ้ 206รูปท่ี 8.20 เมนสวิตซ์ เบรกเกอร์ และ สะพำนไฟ 214รปู ท่ี 8.21 ฟิวสช์ นดิ ตำ่ ง ๆ 215รูปที่ 9.1 ฟิสิกสใ์ นรถแทรกเตอร์ 215รปู ที่ 9.2 กำรตดิ ตงั้ พัดลมระบำยอำกำศในโรงเรือน 216รูปท่ี 9.3 ระบบให้นำ้ อตั โนมตั ิรปู ที่ 9.4 ระบบหมุนเวียนนำ้ ในบอ่ ปลำ

สำรบญั ตำรำงรำยกำร หนำ้ตำรำงท่ี 1.1 หนว่ ยพืน้ ฐำน (base units) ในระบบหน่วย SI 4ตำรำงท่ี 1.2 คำอปุ สรรคตำ่ ง ๆ ท่ีนยิ มใช้ในระบบ SI 5ตำรำงที่ 2.1 แรงพนื้ ฐำน (Fundamental Forces) 23ตำรำงท่ี 2.2 แสดงคำ่ สัมประสทิ ธิควำมเสียดทำนของพ้นื ผวิ ตำ่ ง ๆ 26ตำรำงที่ 4.1 ควำมหนำแนน่ ของวสั ดบุ ำงชนดิ 85ตำรำงที่ 4.2 ค่ำควำมตึงผวิ จำกกำรทดลอง 98ตำรำงท่ี 5.1 ค่ำประมำณของควำมจุควำมร้อนจำเพำะ 112ตำรำงที่ 5.2 ควำมรอ้ นแฝงของกำรหลอมเหลวและกำรกลำยเปน็ ไอ 114ตำรำงท่ี 5.3 สภำพนำควำมรอ้ น 116ตำรำงท่ี 5.4 สัมประสิทธกิ ำรขยำยตัวทำงควำมร้อน 121ตำรำงที่ 6.1 กำรแบ่งเสียงดนตรที ำงวิทยำศำสตร์ 140ตำรำงท่ี 6.2 มำตรฐำนควำมเข้มเสยี งของสถำนประกอบกำร 140ตำรำงท่ี 6.3 อตั รำเร็วของเสียงที่ตัวกลำงตำ่ ง ๆ ทีอ่ ุณหภมู ิตำ่ ง ๆ 141ตำรำงท่ี 6.4 คำ่ อัตรำเรว็ แสงและดชั นีหกั เหของแสงในตัวกลำงตำ่ ง ๆ 148ตำรำงที่ 7.1 มวลและขนำดประจุไฟฟำ้ ของอนภุ ำคพื้นฐำน 157ตำรำงท่ี 8.1 สภำพต้ำนทำนท่ีอุณหภูมหิ ้อง 20 oC 184ตำรำงท่ี 8.2 สมั ประสทิ ธิอณุ หภมู ขิ องสภำพต้ำนทำน (ค่ำประมำณใกลเ้ คียงอุณหภมู ิห้อง) (20oC)185ตำรำงท่ี 8.3 รหสั สีสำหรับตัวตำ้ นทำน 189ตำรำงที่ 8.4 ปริมำณที่สำคญั กบั วงจรไฟฟ้ำกระแสสลับ 196



บทท่ี 1บทนำและคณิตศำสตรพ์ น้ื ฐำนที่ใชใ้ นวิชำฟสิ ิกส์1.1 บทนำ 1.1.1 ฟิสิกส์และววิ ฒั นำกำรของวชิ ำฟิสกิ ส์ ฟิสิกส์เปน็ ศำสตร์หน่ึงในวิชำดำ้ นวิทยำศำสตร์กำยภำพท่ีอำจกล่ำวไดว้ ่ำเปน็ พืน้ ฐำนของทุกสรรพสิ่ง เนื่องจำกฟิสิกส์เกิดจำกกำรสังเกต และกำรทดลองเพื่อค้นคว้ำหำควำมจริงในธรรมชำติ และเพ่ืออธิบำยควำมเป็นไปของปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ที่เกิดขึ้น ขอบเขตของวิชำฟิสิกส์จึงครอบคลุมขอบเขตที่กว้ำงขวำงมำกไล่เรียงไปตั้งแต่กำรพิจำรณำอนุภำคท่ีมีขนำดเล็กมำก ๆ ในระดับอะตอม วัตถุรอบตัวท่ีสำมำรถพบเห็นได้ ไปจนถึงจักรวำลที่มีขนำดกว้ำงใหญ่ไพศำล น่ันจึงส่งผลให้วิชำฟิสิกส์มีควำมเก่ียวข้องกับศำสตร์ต่ำง ๆ มำกมำยหลำยด้ำนไม่ว่ำจะเป็นด้ำนวิศวกรรม กำรแพทย์ เทคโนโลยี หรือวิทยำศำสตร์พื้นฐำนด้ำนอ่ืน ๆ เช่น ดำรำศำสตร์ ชีววิทยำ เคมี ธรณีวทิ ยำ เป็นตน้ ดว้ ยกำรนำเสนอแนวคิด สมกำร ทฤษฎีพน้ื ฐำน หรอื สมมติฐำนเพียงไม่ก่ขี ้อ แต่กเ็ พียงพอทจี่ ะสำมำรถอธิบำยควำมเป็นไปของโลกรอบตวั ได้ ควำมเข้ำใจโลกในเชิงฟสิ ิกส์ในปัจจุบันไดพ้ ฒั นำมำจำกนักฟสิ กิ สท์ ส่ี ำคัญมำกมำย เช่น กำลิเลโอ นิวตนั แมกซเ์ วลล์ ไอน์สไตน์ ฯลฯ ในยุคแรกกำรศึกษำในวิชำฟิสิกส์เน้นไปที่กำรค้นคว้ำเพ่ือหำแนวคิด กฎเกณฑ์ และทฤษฎี ที่สำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติที่พบเห็นกันได้ทั่วไป เช่น กำรเกิดลม ฝน ฟ้ำแลป ฟ้ำร้อง ฟ้ำผ่ำกำรเกิดกลำงวันและกลำงคืน ฯลฯ ซ่ึงทฤษฎีนี้ถูกเรียกว่ำ ฟิสิกส์ยุคเก่า (Classical Physics) โดยสำมำรถแบ่งกลุ่มวิชำฟิสิกส์ยุคเก่ำออกเป็นแขนงย่อย ๆ ซึ่งแยกจำกกันอย่ำงชัดเจน คือ กลศาสตร์ (classicalmechanics) อุณหพลศาสตร์ (thermodynamics) แม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และ แสง(optics) สิ่งท่ีน่ำสนใจก็คือปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ท่ีฟิสิกส์ยุคเก่ำสำมำรถอธิบำยได้มักเป็นปรำกฏกำรณ์ท่ีเก่ียวข้องกับวัตถุท่ีมีขนำดใหญ่ท้ังสิ้น ถึงแม้ในขณะนั้นจะยังไม่มีเครื่องมือวัดท่ีมีควำมละเอียดมำกพอ แต่ก็มีทฤษฎีมำกมำยที่สำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ได้อย่ำงถูกต้องและเป็นที่ยอมรับกันมำจนถึงปัจจุบัน ซ่ึงต่อมำแม้จะมีกำรพฒั นำประดิษฐค์ ิดค้นเครื่องมือทีม่ ปี ระสิทธภิ ำพสูงมำใช้ในกำรทดลองเพ่ือพิสูจน์ทฤษฎีต่ำง ๆแตก่ ็ยงั พบว่ำทฤษฎีฟสิ กิ สย์ ุคเก่ำกย็ ังคงใช้อธบิ ำยกำรทดลองต่ำง ๆ ไดเ้ ปน็ อยำ่ งดี กำรปฏิวัติที่สำคัญในวิชำฟิสิกส์เกิดข้ึนเม่ือทฤษฎีฟิสิกส์ยุคเก่ำไม่สำมำรถที่จะอธิบำยปรำกฏกำรณ์ที่เกิดขึ้นในกำรทดลองกับวัตถขุ นำดเล็กมำก ๆ ในระดับ โมเลกุล อะตอม และอนุภำคได้ดีพอ จึงเกิดกำรค้นพบ ฟิสิกส์ยุคใหม่ (Modern Physics) ขึ้นในช่วงปี ค.ศ. 1900 ซ่ึงสำมำรถแยกย่อยออกเป็นทฤษฎีท่ีสำคัญ 2 ทฤษฎี คือทฤษฎีควอนตัม (quantum mechanics) และ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ(special theory of relativity) ทฤษฎคี วอนตัมช่วยให้เรำสำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ประหลำดที่เกิดขึ้นในกำรทดลองของวัตถขุ นำดเล็กในระดบั อะตอมได้ ในขณะท่ีทฤษฎสี ัมพัทธภำพพเิ ศษซงึ่ มีแนวคิดเกี่ยวกบั ปริภมู ิเวลำ มวล และพลังงำน ช่วยให้เรำสำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ท่ีเกิดขึ้นกับวัตถุท่ีมีกำรเคลื่อนท่ีด้วยควำมเร็วสูงเทียบเทำ่ กับค่ำควำมเร็วแสงได้ คน้ คว้ำเพมิ่ เตมิ นักศึกษำลองศึกษำกำรคน้ พบของนักฟสิ ิกสผ์ ยู้ ง่ิ ใหญท่ ั้ง 4 ท่ำนผมู้ บี ทบำทสำคญั ต่อกำรพัฒนำวชิ ำฟิสิกส์ ไดแ้ ก่ กำลิเลโอ นิวตัน แมกซเ์ วลล์ และ ไอน์สไตน์

2 บทนำและคณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนทใี่ ช้ในวชิ ำฟิสกิ ส์ 1.1.2 ฟสิ ิกส์อยู่ใกลต้ ัวเรำแค่ไหน ทำไมต้องเรียนฟสิ กิ ส์ หำกมองไปรอบ ๆ ตัว จะพบว่ำมีปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติมำกมำยที่อธิบำยได้ด้วยหลักกำร ทำงฟสิ ิกส์ เช่น กำรเกิดลมเนื่องจำกควำมแตกต่ำงของควำมหนำแน่นของอำกำศทรี่ ้อนและเย็น ทำให้เกิดกำร เคล่ือนที่ของมวลอำกำศร้อนในลักษณะลอยขน้ึ กำรเกิดฝนเน่ืองจำกกำรควบแน่นของไอน้ำในอำกำศ กำรเกิด กลำงวันกลำงคืนเนื่องจำกกำรโคจรของโลกรอบดวงอำทิตย์อันเป็นผลมำจำกแรงโน้มถ่วง ฯลฯ มีเครื่องมือ เครื่องใชห้ ลำกหลำยรูปแบบท่ีสร้ำงและพัฒนำข้ึนจำกแนวคิดพน้ื ฐำนทำงฟิสิกส์ ไม่ว่ำจะเปน็ กระด้งฝัดข้ำวซ่ึง จับประเด็นเรื่องของแรงเสียดทำนท่ีตำ่ งกันของข้ำวสำรและข้ำวเปลือกมำใช้ในกำรคัดแยกขำ้ วท้ังสองออกจำก กัน กระติ๊บข้ำวเหนียวซึ่งช่วยคงอุณหภูมิของข้ำวไว้ได้แต่ก็ยังมีกำรระบำยไอชื้นออกไปได้โดยที่ไม่ทำให้ข้ำว เหนียวแฉะ ระหัดวิดน้ำซ่งึ อำศยั พลังงำนลมมำทำให้ใบกันหันหมุนและปันนไฟเพอ่ื สบู น้ำ หลอดไฟซงึ่ ใช้หลักกำร เร่ืองควำมต้ำนทำนไฟฟ้ำมำทำให้ไส้หลอดเกิดควำมร้อนขึ้นจนลุกสว่ำงและเปล่งแสง พัดลมซึ่งมีกำรออกแบบ ใบพัดตำมหลักพลศำสตร์ของของไหล โทรทัศน์ซึ่งใช้หลักกำรแปลงพลังงำนไฟฟ้ำมำเป็นพลังงำนแสงและส่ง สัญญำณคลื่นไปกับคลื่นวิทยุ เตำรีดและหม้อหุงข้ำวซึ่งใช้หลักกำรแปลงพลังงำนไฟฟ้ำเป็นพลังงำนควำมร้อน ตู้เย็นหรือเคร่ืองปรับอำกำศซ่ึงใช้หลักกำรแปลงพลังงำนไฟฟ้ำร่วมกับกระบวนกำรทำงอุณหพลศำสตร์เพื่อลด อุณหภูมขิ องสง่ิ แวดลอ้ ม เปน็ ต้น ทำไมต้องเรียนฟิสิกส์ มักเป็นคำถำมข้อแรกท่ีผุดขึ้นในหวั ของนักเรียนนักศึกษำที่ต้องเรียนวิชำน้ี เหตุผลข้อแรกก็คือ ฟิสิกส์เป็นวิชำพื้นฐำนท่ีอำจกล่ำวได้ว่ำสำคัญที่สุดสำขำหนึ่งของวิทยำศำสตร์ นักวิทยำศำสตร์ทุกสำขำใช้หลักคิดทำงฟิสิกส์ ต้ังแต่นักเคมีท่ีศึกษำโครงสร้ำงโมเลกุล จำเป็นต้องเข้ำใจหลัก และธรรมชำติของอนุภำคมูลฐำนในแต่ละโมเลกุล หรือกำรศึกษำกลไกกำรเกิดปฏิกิริยำ ก็จำเป็นต้องเข้ำใจ หลกั กำรทำงอณุ หพลศำสตร์เพ่ือวิเครำะห์วำ่ กลไกใดสำมำรถเกดิ ข้ึนได้ ฯลฯ นักชีววทิ ยำที่ศึกษำกำรสังเครำะห์ แสงของพืช พืชสำมำรถลำเลียงน้ำจำกรำกขึ้นมำยังใบได้อย่ำงไรเม่ือมีแรงโน้มถ่วง แรงดันเก่ียวข้องอะไรกับ กลไกน้ีบ้ำง หรือกำรศึกษำกำรทำงำนของระบบประสำทของสัตว์ซ่ึงเต็มไปด้วยกำรเคล่ือนที่ของประจุไฟฟ้ำ (กระแสประสำท) นอกจำกน้ีกลไกกำรแพร่ในเซลล์ ก็ยังสัมพันธ์กับควำมเข้มข้น หรือควำมหนำแน่นของเซลล์ ฯลฯ และคงไม่มีวิศวกรคนใดสำมำรถออกแบบหรือสร้ำงเคร่ืองมือท่ีมีประโยชน์ใด ๆ ได้โดยไม่ต้องเข้ำใจ หลักกำรพ้ืนฐำนทำงฟิสิกส์ที่เก่ียวข้องก่อน ไม่ว่ำจะเป็นงำนก่อสร้ำงตึกอำคำร ยำนยนต์ อำกำศยำน ไฟฟ้ำ โทรคมนำคม ระบบอัตโนมัติ ฯลฯ เหตุผลอีกข้อก็คือกำรศึกษำฟิสิกส์เป็นกำรท้ำทำยควำมสำมำรถในกำรคิด กำรใช้ปัญญำอย่ำงมี เหตุมีผลในกำรแก้ปัญหำ เพ่ือให้เข้ำใจปรำกฏกำรณ์ที่เกิดข้ึนในชีวิตประจำวัน ถำ้ เรำเคยสงสัยว่ำทำไมท้องฟ้ำ จึงมีสีฟ้ำในตอนกลำงวัน แต่กลับเปลี่ยนเป็นสีส้มแดงในตอนเย็น ทำไมจึงเกิดลมในวันท่ีอำกำศร้อนจัด น้ำฝน มำจำกไหน รุ้งกินน้ำเกิดข้ึนมำได้อย่ำงไร ฟ้ำผ่ำเกิดจำกอะไร ทำไมดวงอำทิตย์จึงไม่ขึ้นทำงทิศตะวันตก เรำ สำมำรถหำคำตอบได้โดยใช้หลักกำรพ้ืนฐำนทำงฟิสิกส์ และจะเห็นว่ำฟิสิกส์จัดเป็นควำมสำเร็จท่ีย่ิงใหญ่ของ มนษุ ยชำติในกำรแสวงหำคำตอบเพ่ือทำควำมเข้ำใจโลกและสง่ิ รอบตวั คิดซักนดิ 1 นักศึกษำลองมองไปรอบ ๆ ตัววำ่ มีสงิ่ ใดบำ้ งท่ีมีควำมเกีย่ วขอ้ งกบั ฟิสิกส์ และแต่ละอย่ำงเกยี่ วข้องกบั ฟิสกิ สอ์ ย่ำงไร

กำรวดั และระบบหนว่ ย 3 1.1.3 ฟิสิกสก์ ับกำรประยุกต์ด้ำนต่ำง ๆ ฟิสิกส์มีควำมเก่ียวข้องเชื่อมโยงกับวิทยำศำสตร์ประยุกต์และเทคโนโลยีต่ำง ๆ มำกมำยหลำกหลำยสำขำ เน่ืองจำกมีบทบำทในกำรสร้ำงสรรค์ส่ิงประดิษฐ์ที่สำคัญและวิทยำกำรใหม่ ๆ เช่น นักธรณีวิทยำใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ศึกษำแหล่งแร่ต่ำง ๆ และศึกษำส่วนประกอบของโลก แพทย์ใช้ทฤษฎีฟิสิกส์สร้ำงเครื่องมือในกำรตรวจรักษำและวินิจฉัยโรค เช่น หูฟังทำงกำรแพทย์ (stethoscope) ปรอทวัดไข้ เครื่องฉำยรงั สีเอ็กซ์ เครอื่ งอัลตรำซำวด์ เครื่องมือผ่ำตดั ด้วยแสงเลเซอร์ ฯลฯ นักวทิ ยำศำสตร์กำรอำหำรใชท้ ฤษฎฟี ิสิกส์เพ่ือคำนวณอำยุกำรเก็บรักษำของผลิตภัณฑ์ ปัจจัยที่เกี่ยวข้องเช่น ควำมร้อน ควำมช้ืน รวมถึงกำรออกแบบบรรจภุ ณั ฑ์เพอ่ื ช่วยรองรบั แรกกระแทกทเ่ี กิดข้ึนในกำรขนสง่ แม้จะเป็นศำสตร์ท่ีดูเหมือนจะไม่เก่ียวข้อง แต่ฟิสิกส์ก็ยังมีประโยชน์ทำงอ้อมต่อด้ำนอื่น ๆ อีกด้วย เช่น ในทำงโบรำณคดีที่ต้องใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ในกำรทำนำยอำยุของสิ่งของเคร่ืองใช้ โครงกระดูก หรือจำลองกำรเดินของไดโนเสำร์ ในทำงสถำปัตยกรรมที่ต้องใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ในกำรออกแบบจดั วำงอำคำร กำรรับแสง กำรถ่ำยเทอำกำศ รวมท้ังกำรเลือกใช้วัสดุท่ีช่วยลดหรือเพ่ิมควำมร้อนในจุดทีต่ ้องกำร ในทำงศิลปศำสตร์ท่ตี ้องใช้ทฤษฎที ำงฟิสกิ สใ์ นกำรปรับปรงุ วัสดุท่ใี ชเ้ ขียนภำพ ในทำงกีฬำท่ตี ้องใชท้ ฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรพฒั นำรองเท้ำกีฬำเพื่อช่วยรองรับแรงกระแทกจำกกำรวิ่ง ลดอำกำรบำดเจ็บท่ีอำจะเกิดข้ึนกับผู้สวมใส่ได้ ชิ้นส่วนของจักรยำนซ่งึ จะช่วยดึงสมรรถนะของนกั กีฬำออกมำไดส้ ูงทีส่ ดุ ฯลฯ เนื่องจำกประเทศไทยของเรำเป็นประเทศเกษตรกรรม กำรศึกษำและพัฒนำเทคโนโลยีทำงด้ำนเกษตรกรรมจึงมีบทบำทอย่ำงมำกต่อกำรพัฒนำประเทศ เช่น ในทำงพืชศำสตร์ มีกำรใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรออกแบบระบบกำรให้น้ำแบบอัตโนมัติ เครื่องมือในกำรเก็บเกี่ยวผลิตผลทำงกำรเกษตร กำรเกษตรแบบแม่นยำสูง เครื่องวัดควำมหวำน เครื่องวัดควำมเป็นกรด-ด่ำงของดิน เคร่ืองตรวจวัดกำรสุกแก่ของผลไม้แบบไม้ทำลำย โรงเรือนควบคมุ อุณหภูมิในกำรปลูกพืชเมืองหนำว เกษตรกรรมแนวด่ิง ฯลฯ ในทำงสตั วศำสตร์ มกี ำรใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรออกแบบและสร้ำงโรงเรือนเลี้ยงสัตว์ ระบบถ่ำยเทอำกำศ รำงลำเลียงอำหำรเครื่องวัดไขมันสันหลัง เครื่องรีดนมวัว ฯลฯ ในทำงประมงมีกำรใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรสร้ำงเรือ เคร่ืองตรวจหำวัตถใุ ต้นำ้ เครอื่ งควบคมุ อณุ หภูมิในบ่อเล้ียง เครอ่ื งใหอ้ ำหำร ระบบบอ่ กรอง บ่อบำบดั ฯลฯ ในชีวิตประจำวันมนุษย์เรำได้อำศัยเคร่อื งมือและทฤษฎีต่ำง ๆ ทำงฟสิ ิกสม์ ำช่วยให้กำรดำรงชีวิตสะดวกสบำย ปลอดภัย และรวดเร็วมำกย่ิงขึ้น หำกเรำตระหนักถึงควำมสำคัญและทำควำมเข้ำใจในฟิสิกส์ให้มำกย่ิงขึ้นกจ็ ะชว่ ยให้เกดิ กำรพฒั นำนวัตกรรมใหม่ ๆ มำตอบสนองตอ่ ควำมตอ้ งกำรอนั ไม่มีท่สี นิ้ สุดของมนุษย์1.2 กำรวัดและระบบหนว่ ย ฟิสิกส์เป็นวิทยำศำสตร์เชิงปริมำณที่มุ่งเน้นกำรทำควำมเข้ำใจปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติกำรศึกษำในวิชำฟิสิกส์ส่วนใหญ่จึงมีพื้นฐำนอยู่ที่กำรทดลอง กำรสังเกต และกำรวิเครำะห์ทำงคณิตศำสตร์เพื่อสร้ำงทฤษฎีใหม่ หรือรวบรวมทฤษฎีต่ำง ๆ ท่ีมีอยู่แล้วเข้ำด้วยกัน เพื่อให้สำมำรถนำไปใช้อธิบำยปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ได้ กำรวัดเป็นกลไกสำคัญท่ีจะบ่งชี้ถึงควำมสำเร็จหรือล้มเหลวของงำน หำกทฤษฎีนั้นสอดคล้องกับผลกำรวัดที่ได้ ทฤษฎีก็จะเป็นท่ียอมรับ แต่หำกไม่สอดคล้องก็ต้องมีกำรต้ังทฤษฎีหรือทบทวนทฤษฎีกันใหม่ ซง่ึ จำกท่กี ลำ่ วมำน้จี ะเหน็ วำ่ การวัดมีควำมสำคญั อย่ำงมำกต่อกำรศึกษำวชิ ำฟิสกิ ส์ 1.2.1 หน่วยวดั มำตรฐำนสำกล ในกำรวดั ค่ำปริมำณตำ่ ง ๆ จำเป็นต้องทรำบว่ำจะวัดปริมาณใด และมีหน่วยวัดอะไร เพื่อให้กำรวัดมคี วำมเท่ยี งตรงน่ำเชื่อถือและเป็นท่ยี อมรับโดยทั่วกัน จงึ จำเปน็ ต้องมีกำรตัง้ หน่วยวดั ที่เป็นมำตรฐำนเพื่อใช้

4 บทนำและคณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟสิ ิกส์เปน็ เกณฑ์เปรียบเทียบและเข้ำใจตรงกัน โดยในปี ค.ศ. 1960 ไดม้ ีกำรประชุมตกลงกันเพ่ือกำหนดระบบหน่วยระหว่างชาติ หรอื หน่วย SI (ยอ่ มำจำกภำษำฝรั่งเศสว่ำ Système International) ซ่ึงประกอบไปด้วยหน่วยพื้นฐำน หน่วยอนุพันธ์ และหน่วยเสริม ตำรำงที่ 1.1 แสดงหน่วยพ้ืนฐำนของระบบหน่วย SI ท้ัง 7 หน่วย ซ่ึงจัดเปน็ หน่วยพนื้ ฐำนของทกุ ปริมำณทำงฟิสิกส์ ส่วนรำยละเอียดเพม่ิ เติมเกยี่ วกับหน่วยอนุพันธ์และหน่วยเสริมดูไดใ้ นภำคผนวก กตำรำงท่ี 1.1 หนว่ ยพนื้ ฐำน (base units) ในระบบหนว่ ย SIปริมำณ เมตร ชอื่ หน่วย สัญลกั ษณ์ กโิ ลกรมัควำมยำว วินำที (meter) mมวล แอมแปร์ (kilogram) kgเวลำ เคลวนิ (second) sกระแสไฟฟ้ำ โมล (ampere) Aอณุ หภูมิ แคนเดลำ (kelvin) Kปรมิ ำณสำร (mole) molควำมเข้มของกำรส่องสวำ่ ง (candela) cd 1.2.2 มำตรฐำนของควำมยำว มวล และเวลำ มำตรฐำนท่ีดจี ะต้องมคี วำมแม่นยำและมคี ่ำคงทีแ่ น่นอน ปรมิ ำณพืน้ ฐำนของกำรวดั คอื ควำมยำวมวล และเวลำ จงึ ขอกล่ำวถึงเฉพำะมำตรฐำนของปรมิ ำณพืน้ ฐำนท้ัง 3 เทำ่ น้ัน มำตรฐำนของควำมยำว กำหนดวำ่ ควำมยำว 1 เมตร คอื ระยะทำงท่ีแสงเดินทำงได้ในสญุ ญำกำศในชว่ งเวลำ 1/299,792,458 วินำที มำตรฐำนนกี้ ำหนดข้นึ ในปี พ.ศ. 2526 มำตรฐำนของมวล กำหนดว่ำ มวล 1 กิโลกรัม คือมวลของแท่งโลหะต้นแบบที่เป็นโลหะผสมของพลำตินัมและเออริเดียมช้ินหน่ึงซึ่งเก็บรักษำไว้ที่สำนักงำนช่ังตวงวัดระหว่ำงชำติที่เมือง Sèvres ประเทศฝร่ังเศส มำตรฐำนน้ีกำหนดขึ้นในปี พ.ศ. 2432 ซึ่งอำจมีกำรเปล่ียนแปลงกำรกำหนดมำตรฐำนใหม่ในเร็วๆนี้เน่ืองจำกในกำรเกบ็ รกั ษำกย็ งั คงพบว่ำมวลมำตรฐำนมีค่ำเปลย่ี นแปลงไปอยู่บ้ำงในระดบั ไมโครกรมั มำตรฐำนของเวลำ กำหนดว่ำ เวลำ 1 วินำที คือช่วงเวลำที่อะตอมซีเซียม-133 แผ่รังสีจำนวน9,192,631,770 คำบ มำตรฐำนนี้กำหนดข้นึ ในปี พ.ศ. 2510 1.2.3 เลขบอกระดบั ขนำดและคำอุปสรรคในหน่วยเอสไอ ในกำรเขียนค่ำของจำนวนบำงคร้ังจะพบว่ำจำเป็นต้องเขียนตัวเลขท่ีมีจำนวนค่ำสูงมำก ๆ หรือต่ำมำก ๆ เช่น ระยะทำงเฉล่ียจำกโลกถึงดวงจันทร์ 380000000 m หรือ ค่ำคงตัวของสเตฟำน-โบลต์ซมันน์0.0000000567 W/m2.K4 ซ่ึงกำรเขียนในรูปแบบนี้นั้นเข้ำใจได้ยำก กำรเขียนในรูปของเลขบอกระดับขนาดหรือ สัญกรกาลังสิบ จะช่วยให้กำรเขียนกะทัดรัดมำกยิ่งข้ึน เช่น 3.8x108 m หรือ 5.67x10-8 W/m2.K4 หรืออำจเขียนในรูปที่มีคาอุปสรรคนำหน้ำ เช่น กิโล เซนติ เมกะ หรือ นำโน เป็นต้น รำยกำรคำอุปสรรคท่ีนิยมใช้ในระบบ SI แสดงดงั ตำรำงท่ี 1.2 คำอุปสรรคเป็นคำที่นำมำเติมด้ำนหน้ำหน่วยแลว้ ทำให้มีควำมหมำยเหมือนมีตัวคูณเพ่ิมหรือคูณลด ทำให้หน่วยใหญ่ข้ึนหรือเล็กลง กำรใช้คำอุปสรรคทำให้แสดงค่ำตัวเลขได้ชัดเจนข้ึน ไม่ต้องเขียนเลขศูนย์

กำรวดั และระบบหนว่ ย 5หรือจุดทศนิยมมำกเกินจำเป็น และเรำเรียกค่ำตัวเลข 10 ยกกำลังต่ำง ๆ ว่ำ เลขบอกระดับขนาด (order ofmagnitude) ตวั อย่ำงเชน่ 1 กโิ ลเมตร = 1 km = 103 m 1 เซนติเมตร = 1 cm = 10-2 m 1 ไมโครเมตร = 1 m = 10-6 mตำรำงท่ี 1.2 คำอปุ สรรคต่ำง ๆ ที่นยิ มใชใ้ นระบบ SIตวั คณู คำอุปสรรค สญั ลักษณ์ ตัวคณู คำอุปสรรค สญั ลกั ษณ์1012 เทระ (tera) T 10-3 มลิ ลิ (milli) m ไมโคร (micro) 109 กิกะ (giga) G 10-6 นำโน (nano) n106 เมกะ (mega) M 10-9 พโิ ค (pico) p103 กโิ ล (kilo) k 10-121.2.4 กำรเปลยี่ นหนว่ ย ในบำงครั้งกำรคำนวณมีควำมจำเป็นต้องเปลี่ยนหน่วยจำกระบบหน่ึงไปเป็นอีกระบบหนึ่งเน่ืองจำกกำรเปรียบเทียบปริมำณ 2 ปริมำณจะต้องมีหน่วยเดียวกันเท่ำน้ัน หำกเรำต้องกำรเปรียบเทียบปริมำณ 2 ค่ำในหน่วยนิ้วและเซนติเมตรจึงจำเป็นต้องมีกำรเปล่ียนหน่วย เช่น จำกควำมยำวในหน่วยน้ิวไปเป็นเซนติเมตรก่อนตัวประกอบกำรเปล่ียนหน่วยจึงเข้ำมำมีบทบำทสำคัญ (รำยละเอียดของตัวประกอบกำรเปลีย่ นหน่วยดไู ด้ในภำคผนวก ข) เชน่ 1 mi = 1.609 km = 1609 m 1 ft = 0.3048 m = 30.48 cm 1 in. = 0.0254 m = 2.54 cm ข้ันตอนในกำรเปลี่ยนหนว่ ยสำมำรถสรุปไดเ้ ปน็ 3 ขนั้ ตอนดังน้ี1. มองหน่วยเป็นปริมำณพีชคณิตซึ่งสำมำรถตัดทอนกันได้ หำกต้องกำรเปล่ียนหน่วยให้นำปริมำณนั้นคูณกับตัวประกอบกำรเปล่ียนหน่วย ซึ่งมีอัตรำส่วนเป็น 1 ยกตัวอย่ำงเช่น เรำทรำบว่ำ 1 in. =2.54 cm ดังน้ันปริมำณ (1 in.)/(2.54 cm) มีค่ำเป็น 1 และส่วนกลับของปริมำณนี้ (2.54 cm)/(1 in.) ก็มีค่ำเป็น 1 เช่นกัน เรำเรียกทั้งสองปริมำณนี้ว่ำ ตัวประกอบการเปล่ียนหน่วย ซ่ึงตัวประกอบเหล่ำนี้จะไม่ทำให้ควำมหมำยทำงฟสิ กิ ส์ของปรมิ ำณนน้ั เปล่ียนไป ในกำรหำค่ำจำนวน 12 in. จึงทำได้โดย 12 in. = (12 in.) (2.54 cm)  30.48 cm (1 in.) 2. ถ้ำกำรเปลยี่ นหน่วยถูกตอ้ ง หน่วยที่ไม่ต้องกำรจะหักล้ำงกันไป แต่ในทำงกลับกันหำกคูณตัวประกอบกำลังผิดคำตอบจะกลำยเป็น 4.72 in.2/cm ซึ่งไม่ใช่หน่วยที่ต้องกำร ดังน้ันเพื่อให้มั่นใจว่ำกำรเปลย่ี นหนว่ ยถูกตอ้ งจาเปน็ ตอ้ งเขียนหนว่ ยทกุ ข้ันตอนการคานวณ 3. เพอื่ เปน็ กำรตรวจสอบให้ถำมตนเองเสมอว่ำคำตอบสมเหตสุ มผลหรือไม่ คำตอบ 12 in. =30.48 cm นน้ั สมเหตสุ มผลเน่ืองจำกเซนตเิ มตรเปน็ หน่วยทเ่ี ล็กกว่ำนวิ้ จงึ มีคำ่ ในหน่วยเซนตเิ มตรมำกกวำ่ นิว้

6 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ นื้ ฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟสิ ิกส์ตัวอย่ำงที่ 1.1 จงเปลยี่ นเวลำ 35 ชั่วโมง ให้เป็นวินำทีวธิ ที ำ 35 h = (35 h) (3600 s)  126000 s (1 h) ดงั นน้ั เวลำ 35 ชว่ั โมง เทำ่ กบั 126,000 วินำที ตอบตัวอย่ำงท่ี 1.2 ตำมกฎหมำยกำรขบั ข่ีกำหนดควำมเรว็ ของรถยนตบ์ นทอ้ งถนนไว้ท่คี วำมเร็ว 80 km/h จงเขียนปริมำณนใี้ นหนว่ ยเมตร/วนิ ำทีวิธที ำ 80 km/h = (80 km ) (1000 m) (1 h)  22.22 m/s h (1 km) (3600 s) ดงั นน้ั ควำมเร็ว 80 กโิ ลเมตร/ช่ัวโมง เทำ่ กับ 22.22 เมตร/วนิ ำที ตอบ ในปัจจุบันมีเทคโนโลยีมำกมำยที่เข้ำมำช่วยในกำรเปลี่ยนหน่วยไม่ว่ำจะเป็นแอพลิเคช่ันบนคอมพวิ เตอร์อยำ่ ง Google ทเี่ มื่อเรำกรอกคำ่ หนว่ ยที่ต้องกำรเปล่ียนลงในชอ่ งคน้ หำ จะปรำกฏเครอื่ งมือท่ีชว่ ยในกำรเปลี่ยนหน่วยขึ้นมำหรือแอพลิเคชันบนโทรศัพท์มือถือท่ีสำมำรถค้นหำและดำวน์โหลดมำใช้ได้ฟรีมำกมำย ดังแสดงในรูปที่ 1.1 หำกนักศึกษำมีควำมเข้ำใจในหลักกำร เคร่ืองมือเหล่ำนี้จะช่วยให้เรำมีควำมสะดวกรวดเร็วในกำรเปลี่ยนหนว่ ยมำกย่งิ ขน้ึ รปู ท่ี 1.1 เครื่องมือช่วยในกำรเปล่ียนหนว่ ยผำ่ น Google และแอพลเิ คชั่นบนโทรศัพทม์ ือถอื

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 71.3 สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 1.3.1 ควำมหมำยของปริมำณสเกลำร์ และปรมิ ำณเวกเตอร์ ปริมำณทำงฟิสิกส์มีอยู่มำกมำยหลำยประเภท ปริมำณบำงประเภทก็มีใจควำมสมบูรณ์ได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียวพร้อมหน่วย ในขณะที่ปริมำณบำงประเภทจำเป็นต้องมีกำรระบุทิศทำงด้วยจึงจะได้ควำมหมำยครบถ้วนสมบูรณ์ ปริมำณทำงฟิสิกส์สำมำรถแบง่ ออกได้เป็น 2 ชนิด คือ ปริมำณสเกลำร์ (Scalar)และ ปรมิ ำณเวกเตอร์ (Vector) ปริมาณสเกลาร์เป็นปริมำณท่ีมีเฉพำะขนาดเท่ำน้ัน จึงสำมำรถบอกควำมหมำยได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว ปริมำณประเภทน้ีได้แก่ เวลำ อุณหภูมิ มวล ระยะทำง อัตรำเร็ว ควำมหนำแน่น ประจุไฟฟ้ำฯลฯ กำรคำนวณปริมำณสเกลำร์ใช้กำรดำเนินกำรของเลขคณิตแบบธรรมดำทัว่ ไป ตวั อย่ำงเชน่ มวล 5 kg + 7kg = 12 kg หรือ เวลำ 3 x 5 s = 15 s ปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมำณที่จำเป็นต้องมีทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ใจควำมครบถ้วน เช่นแรง กำรกระจัด นำ้ หนกั ควำมเร็ว โมเมนต์ สนำมไฟฟ้ำ ฯลฯ ซ่ึงกำรรวมปรมิ ำณเวกเตอร์น้ันต้องใช้วธิ ีท่ีต่ำงไปไม่สำมำรถใชก้ ำรดำเนนิ กำรของเลขคณิตแบบธรรมดำได้ ซง่ึ วธิ กี ำรจะกล่ำวถงึ ในหวั ขอ้ ถดั ไป ปรมิ ำณเวกเตอร์เปน็ ปริมำณที่มีบทบำทสำคญั อยำ่ งมำกในวิชำฟิสิกส์เนื่องจำกปริมำณทำงฟิสกิ ส์หลำยคำ่ จำเปน็ ต้องทรำบทั้งขนำดและทิศทำงจึงจะได้ใจควำมที่ครบถว้ น เรำมักจะเขียนแทนปริมำณเวกเตอร์ด้วยลูกศรซ่ึงประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงและหัวลูกศรท่ีจะช้ีไปตำมทิศทำงของปริมำณเวกเตอร์นั้น ควำมยำวของเส้นตรงจะแทนขนำดของเวกเตอร์ ในขณะที่หัวลูกศรจะแทนทิศทำงของเวกเตอร์ ดังรูปท่ี 1.2 ส่วนสัญลักษณ์ของเวกเตอร์นยิ มที่จะใชอ้ กั ษรยอ่ ของปริมำณเวกเตอร์น้นั โดยพมิ พ์เปน็ ตัวหนำ เชน่ F, v, s เป็น  v s เปน็ ตน้ต้น หรอื หำกเป็นกำรเขียนด้วยมอื จะนยิ มเขยี นลกู ศรกำกบั ไว้เหนือตวั อกั ษรย่อ เช่น F , , กำรบอกขนำดของเวกเตอร์ จะใช้ตัวอักษรบำงของตัวอักษรท่ีเป็นสัญลักษณ์ของเวกเตอร์นั้นเน่ืองจำกเรำถือว่ำขนำดของเวกเตอรเ์ ป็นปริมำณสเกลำร์และเป็นบวกเสมอ หรืออำจเขียนเส้นแนวดิ่งสองเส้น  กำกับอักษรตัวหนำ (ค่ำสัมบูรณ์) เช่น ขนำดของเวกเตอร์ F แทนดว้ ย F หรือ F หรือ F ซ่ึงในกำรวำดแผนภำพของเวกเตอร์ เรำมักเทียบอัตรำสว่ นเหมือนกับกำรวำดแผนที่ ตัวอย่ำงเช่น แรงขนำด 20 N แทนด้วยลกู ศรยำว 5 cm นั่นคืออัตรำส่วน 1cm : 4N หำกผลรวมของแรงสำมำรถวัดควำมยำวได้ 7 cm เรำสำมำรถบเดอียกวไกดัน้วำ่ แแตร่หงลำกพักำเรธวน์เกทั้นเ่ำตมกอคี ันร่ำ์สข2ออ8งงตเNวัวกมเขี ตนอำรด์ เเทชำ่ ่นกนั Bแต่มCีทิศจทะำหงตมรำงยขถำ้ ึงมเกวันกเเตรำอสรำ์ทม่ีมำีทรถ้ังขเขนียำนดไเดท้ว่ำ่ำกันDและมEีทิศโดทยำทง่ีเผเเเวควกลกกรลคอื่เเำตตูณงรออห์ขรรเมอช์์ าง่AนAย(ล-ดส31บัง่ว)AจรนAะูปกจแำจะทระหนใเมชทท้จำ่ำิศำยกทนถับ่ีตวึงรนเ–งวลกAกบันเคตขหูณอำ้มมรกำ์ทยับดี่ถมเงั วึงีขรกเปูนวเทตกำอดี่เ1ตรย.อ์2ำจรวะน์ทเหอป่ีมมก็ีขนำจนยำ3ำถกดเึงนทเเที้หว่ำ่ำกำขกกเอตับตงอ้อเเวรวง์ทกกกเ่ีมำเตตรีทอคอิศรูณรท์ ์ ปำAAงรสิมแวแำตนลณ่มทะเีทำวมิศงกีทกทเิศตบั ำอทเงวรตำก์ดงรเ้วเงตดยกอียปันรวรข์เดกิม้ำิัมนำมณกกซัับบสึ่ง - 3 รปู ที่ 1.2 กำรแทนปริมำณเวกเตอรด์ ้วยลูกศร

8 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ ้ืนฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟสิ กิ ส์1.3.2 กำรรวมเวกเตอร์เม่ือนำเวกเตอร์สองตัวมำบวกกัน ผลลัพธ์ท่ีได้จะเป็นเวกเตอร์อีกปริมำณหน่ึง ซึ่งจำกที่ได้กล่ำวมำแล้วในตอนต้นว่ำเรำไม่สำมำรถใช้กำรดำเนินกำรทำงเลขคณิตแบบธรรมดำในกำรรวมปริมำณเวกเตอร์ได้เน่ืองจำกปริมำณเวกเตอร์นั้นมีท้ังขนำดและทิศทำง รูปท่ี 1.3 แสดงกำรบวกเวกเตอร์โดยวิธีเขียนรูป โดยนำปริมำณเวกเตอร์ทตี่ ้องกำรบวกกันมำเรียงต่อกันแบบหำงลูกศรต่อหัวลกู ศร ผลลัพธ์ของกำรบวกเวกเตอร์ หรือขเวอกงเเตวอกรเต์ลอัพรธ์ต์ ัวคสือุดลทูกำ้ ศยรทซี่ง่ึเรผ่ิมลจลำัพกธจข์ ุดอเงรก่ิมำตร้นบหวกรือเวหกำเตงลอูกร์ศAรขอกงับเวเวกกเตเตออรร์ต์ ัวBแรคกือจเนวถกึงเตจอุดรส์ ุดCท้ำดยังหสรมือกหำัวรลูกศร   และ   (1.1) C  AB C  B Aจำกรปู ท่ี 1.3 พบว่ำเวกเตอรล์ ัพธ์  มคี ำ่ เทำ่ กนั ไม่ว่ำจะใชเ้ วกเตอรต์ วั ใดขน้ึ กอ่ น จึงสรปุ ได้ว่ำใน Cกำรบวกเวกเตอรน์ ั้นจะใช้เวกเตอร์ใดขน้ึ กอ่ นก็ได้ ซึ่งแสดงว่ำกำรบวกเวกเตอรม์ ีสมบตั ิตำมกฎการสลับท่ี   AB  B A (1.2)รูปที่ 1.3 กำรบวกเวกเตอร์โดยวิธีกำรเขยี นรูปและสมบัติกำรสลบั ทีข่ องกำรบวกเวกเตอร์ เม่ือพิจำรณำจำกรูปท่ี 1.3 แจละะเห็นBว่ำเปเว็นกดเตำ้ นอร2์ลัพด้ำธน์ Cท่ีไมม่ขีขนนำำนดกแันละดทงั ิศรูปททำงี่ 1เห.4มืนอนั่นเหปม็นำเยสค้นวทำแมยว่งำมมุ ของรูปสเ่ี หลี่ยมด้ำนขนำนที่มีด้ำน  Aขกอำรงบสเ่ีวหกลเวยี่ กมเดต้ำอนรข์โดนยำนวิธทีเมี่ขีดียำ้นนรูปAอำแจลเขะียนBแบเปบน็ หดำ้ำงนลูก2ศดรต้ำน่อทห่ไีำมงลข่ ูนกศำนรกก็ไนั ด้ โดยที่เวกเตอร์ลัพธ์คอื เส้นทแยงมุม รปู ที่ 1.4 รปู สีเ่ หล่ยี มดำ้ นขนำนของกำรรวมเวกเตอร์ขขจเทำนอ้ ำ่กำคกคดวับวขรำอรขมะงนเผวขำลังด้ำบใขจวอทกงว่ีเเววำ่ กกเCเตตออรร์์AAABบBวกนขกกั ้ึนบั ศอขกึ ยนษกู่ำำดับมขขกั อนจงำะเดเวขขก้ำอเใตงจอผรAิด์อแBยลเู่ สะมซอB่งึ ใวน่ำแคขลวนะำำมมดมุเขปรอ็นะงหจเวรวกงิำ่ ไงเมต่เอAปรน็์ แCเชล่นะจนะB้ันมีคเดพ่ำ้วรยำะ AB  A  Bนำย ก มเี งิน 5 บำท นำย ข มเี งนิ 10 บำท ทั้งสองคนมเี งินรวมกัน 15 บำท แต่ถำ้ นำย ก ออกแรง 5 นิวตนั นำย ข ออกแรง 10 นิวตนั สองคนออกแรงรวมกันไมใ่ ช่ 15 นิวตันเสมอไป ต้องดทู ี่ทิศทำงของแรงดว้ ย

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 9 รูปที่ 1.5 ผลรวมของเวกเตอร์  และ  A, B,C Dรวมเวกเตอร์ ใAน,กBรณ,Cีที่ตแ้อลงะกำDรรวดมังเรวูปกทเต่ี 1อ.ร5์มซำึ่กงจกะวเ่ำห็น2วป่ำรผิมลำลณัพขธึ้น์คไือปกE็จะหใรชือ้หลเวักกกเำตรอเรด์ียEวกคันือดเวังกตเัวตออยร่ำ์ทงี่ลกำำกรจำกจุดต้ังต้นของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังจุดปลำยของเวกเตอร์ตวั สุดทำ้ ย โดยสำมำรถเขียนเวกเตอร์ใดขึ้นก่อนก็ได้ และเน่ืองจำกเรำใช้ควำมยำวของเส้นตรงแทนขนำดของเวกเตอร์ เรำจึงสำมำรถวัดความยาวของเส้นตรงของเวกเตอร์ลพั ธ์ แล้วเทียบกลับเป็นขนาดของเวกเตอรไ์ ด้ขเวอกงเเตวอกรเ์ลตบอขรอ์ทกงี่มำรีเBคลรบดื่อเงัวงรกหปู เมตทำอ่ี ย1รล.์ 6หบรอือยผู่ดล้ำตน่ำหงนข้ำองเเชว่นกเตAอร์กB็คือหกมำำรยบถวึงกเวAกเตอรB์แบ บหหรนือึ่งเวโดกยเตกอำรร์กAลับบทวิศกทกำับง - รปู ท่ี 1.6 กำรลบเวกเตอร์ตัวอยำ่ งท่ี 1.3 นำยพรำนเดินเท้ำเข้ำปำ่ ไปทำงทิศตะวันออก 5 km จำกนน้ั จงึ มงุ่ หนำ้ ไปทำงทศิ เหนือ 10 kmจนพบกบั ลำธำร นำยพรำนอยหู่ ่ำงจำกจุดตั้งตน้ เท่ำไหร่ และหำกเขำตอ้ งกำรส่งข่ำวใหเ้ พอ่ื นของเขำเดินทำงตำมมำอยำ่ งเร่งด่วน เขำต้องบอกใหเ้ พื่อนเดินไปในทิศทำมุมเท่ำไหร่กับทิศตะวันออกและเดินไปเปน็ ระยะทำงเทำ่ ไร Bวิธที ำ กำหนดมำตรำสว่ นที่ใชใ้ นกำรวำดแผนภำพ คือ 1 cm : 2 kmเมอ่ื ทำกำรวำดแผนภำพ จะพบว่ำนำยพรำนอยู่ห่ำงจำกจดุ ตง้ั ตน้ 5.6 cmซ่งึ เม่อื เทียบกับอตั รำส่วนแล้วจะได้เปน็ 11.2 km Rและเมื่อทำกำรวดั มมุ  จะได้ 63o 10 kmแต่เมื่อใช้ทฤษฎีของพธิ ำโกรสั จะไดว้ ่ำแทนคำ่ R  OA2  AB 2  A R  52  10 2 O 5 km R 11.18 km tan  AB  10  2 OA 5   63.43oดังนั้นนำยพรำนต้องบอกให้เพ่อื นของเขำเดนิ ไปในทิศทำมุม 63.43 องศำกับทิศตะวนั ออกเปน็ระยะทำง 11.18 กิโลเมตร ตอบ

10 บทนำและคณิตศำสตร์พ้นื ฐำนที่ใชใ้ นวชิ ำฟสิ กิ ส์1.3.3 องค์ประกอบของเวกเตอรแ์ ละเวกเตอร์หน่ึงหน่วย กำรรวมเวกเตอร์โดยใช้แผนภำพตำมท่ีกล่ำวมำแล้วนั้นค่อนข้ำงมีขีดจำกัดเน่ืองจำกกำร วำดเส้นและวัดค่ำควำมยำวจำกรูปมกั ใหค้ ่ำควำมแม่นยำที่จำกัด โดยข้ึนอยู่กับปัจจยั หลำยอย่ำงไม่ว่ำจะเป็นทักษะกำรวำด ควำมแม่นยำ ขนำดของเส้น เพรำะควำมคลำดเคลื่อนเพียงแค่ 1 mm ย่อมส่งผลต่อขนำดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้ นอกจำกน้ียังยำกต่อกำรพิจำรณำกรณีเวกเตอร์ในสำมมิติ ดังน้ันวิธีท่ีจะช่วยให้กำรหำผลรวมของเวกเตอร์งำ่ ยและใช้ไดท้ ัว่ ไป คอื วิธกี ำรของเวกเตอร์องค์ประกอบ เมือ่ เริ่มพิจำรณำองค์ประกอบของเวกตอร์ เรำเรมิ่ ด้วยระบบแกนพกิ ัดฉำก จำกรปู ที่ 1.7 เมื่อวำดเอAวงกyคเ์ปตครอือะรอก์ งอAคบ์ปโรดAะยxกใอแหบล้หขะำองงAอเยyวู่ทกซ่ีจเึ่งตุดตอ้ักงรฉำ์ ำเนกAิดกัในนOโแดเนรยำวทสแี่ ำกAมนxำ  รถแยกเวกเตอร์ A ในระนำบ xy ออกเป็นเว กเตอร์ A x และ คือองค์ประกอบของเวกเตอร์ ในแนวแกน  จะได้ y ถ้ำเวกเตอร์ A ทำมุมกับแกน x เป็นมุม ควำมสัมพนั ธ์   A  Ax  Ay (1.3)  (1.4) Ax  A cos (1.5)  Ay  A sin yy  xO x รปู ท่ี 1.7 กำรแตกองค์ประกอบของเวกเตอร์ AO ขนำดของเวกเตอร์  และมุม  ซึ่งแสดงทิศทำงของเวกเตอร์  ในระนำบ xy สำมำรถ A Aเขียนในรปู ของเวกเตอร์องคป์ ระกอบ  และ  ไดโ้ ดยกำรใช้ทฤษฎีพิธำโกรัส Ax Ay  Ax2  Ay2 (1.6) A   A (1.7) tan 1 y A xข้อควรระวงัสมกำร (1.4) และ (1.5) จะใช้ไดเ้ มื่อเรำวัดมมุ  จำกแกนบวก x เทำ่ นนั้ ถ้ำโจทย์กำหนดมุมของเวกเตอร์มำให้โดยใช้ทิศอ้ำงอิงอ่ืน ควำมสัมพนั ธจ์ ะตำ่ งไป

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 11 y  Ox รปู ท่ี 1.8 กำรบวกเวกเตอร์โดยใช้วธิ ีกำรเวกเตอรอ์ งค์ประกอบ กำรบวกเวกเตอร์ใด ๆ 2 เวกเตอร์ด้วยวิธีกำรเวกเตอร์องค์ประกอบทำได้โดยกำรกำหนดระนำบซ่ึงเวกเตอร์ท้ังสองวำงตัวอยู่และทำกำรแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบดังรูปที่ 1.8 จะได้องค์ประกอบของเวกเตอรล์ ัพธ์ Rx และ Ry ดังสมกำร R  A B (1.8) x xx R  A B (1.9) y yy กำรหำขนำดและทิศทำงของเวกเตอร์ลัพธ์  สำมำรถหำได้ในทำนองเดียวกนั กับสมกำรที่ (1.6) Rเแวลกะเต(1อ.ร7์จ)ำนนอวกนจเทำก่ำในดี้กกำ็ไรดห้เชำผ่นลเบมวื่อกใหขอ้ งRเวเกปเต็นอผรล์ บ2วเกวเกวเกตเอตรอ์นรี้ส์ขำอมงำรAถ,ขBย,Cำย,อDอ,กEไ,ปใช้ใอนงกคำ์ปรรหะำกผอลบบขวอกงขอRงคอื R  A  B C  D  E  (1.10) x xxx xx R  A  B C  D  E  (1.11) y yyy yy  กรณีกำรบวกเวกเตอร์ในพิกัดสำมมิติ เAรzำสในำทมิศำรขถอเงพพิ่มิกแัดกทนั้งสzำมในซทึง่ หิศำตขั้งนฉำำดกขกอับงระAนำไบดจ้ xำyก ได้ A  เวกเตอร์ ใด ๆ จะมีองค์ประกอบ Ax , Ay และ A A2  A2  A2 (1.12) x yz และเพม่ิ องคป์ ระกอบของเวกเตอรล์ ัพธ์  เพม่ิ เตมิ อกี หน่งึ องค์ประกอบ R R  A  B C  D  E  (1.13) z zzz zz กำรพิจำรณำเวกเตอร์จะทำได้ง่ำยข้ึนโดยกำรใช้เวกเตอร์หน่ึงหน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือเวกเตอร์ขนำดเท่ำกับ 1 และไม่มีหน่วย เวกเตอร์นี้มีหน้ำท่ีชี้ทิศเท่ำน้ัน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทำให้เรำมีสัญลักษณ์ในกำรอธิบำยเวกเตอร์องค์ประกอบได้สะดวกข้ึน โดยนิยมใส่เคร่ืองหมำย “หมวก” ( ^ ) ไว้บนสัญลักษณข์ องเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยเสมอ เพื่อแยกเวกเตอรน์ อี้ อกจำกเวกเตอร์ทั่วไป

12 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ น้ื ฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟิสิกส์ ในระบบพิกัดฉำก xyz เรำนิยำมเวกเตอร์หน่ึงหน่วย iˆ , ˆj และ kˆ แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน   แนวแกนบวก x, y และ z จึงสำมำรถเขยี นเวกเตอร์ A , B และ R ในรปู ของเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยได้ดังน้ี   Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ A   Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ (1.14) B   (Ax  Bx )iˆ  (Ay  By ) ˆj  (Az  Bz )kˆ R จำกสมกำรจะเห็นว่ำผลรวมของเวกเตอร์สำมำรถใช้วธิ ีกำรบวกและลบโดยวิธีทำงพีชคณิตกับแต่ละเวกเตอร์องคป์ ระกอบได้ตัวอยำ่ งท่ี 1.4 จงหำขนำดและทิศทำงของแรงลัพธซ์ ง่ึ เกิดจำกแรง 2 แรงขนำด 3 N และ 4 N กระทำทจี่ ดุ Oเป็นมมุ 50o  B  3N   A  4Nวธิ ีทำ ตงั้ แกน X แกน Y จะเห็นว่ำแรง  A อยู่บนแกน XY แลว้ แต่แกน  Ax  4 N Bแลไปะอยูบ่ นAแyกนX 0N จะได้ B ไม่อยู่บนแกน XY จึงแตกแรง แกน Y Bx  Bcos  3cos50  1.93 N By  Bsin   3sin 50  2.30 N หำผลรวมของแรงทำงแกน X  Fx  Ax  Bx  4 1.93  5.93 N หำผลรวมของแรงทำงแกน Y  Fy  Ay  By  0  2.30  2.30 N หำแรงลพั ธ์จำกทฤษฎปี ทิ ำโกรสั R   Fx 2   Fy 2 แทนค่ำ R  5.932  2.302  6.36 N หำมมุ จำกสูตร tan   Fy  2.30  0.39  Fx 5.93   tan1 0.39  21.20o ตอบ ดังน้ัน แรงลพั ธม์ ีขนำด 6.36 N ทำมุม 21.20o กับแนวระดับ

สเกลำร์และเวกเตอร์ 13ตัวอยำ่ งท่ี 1.5 จงหำขนำดและทศิ ทำงของแรงลัพธ์เมื่อแรงบนระนำบเดียวกนั 5 แรง คือ 12N 17N 14N 9N10N กระทำตอ่ วัตถุที่จุด A ดงั รปู  Y F3  14 N  F2  17 N 45o 60 o  X 30 o F1  12 N   F4  9N F5  10 Nวิธีทำ ตัง้ แกน X แกน Y แลว้ แยกแรงทั้งหมดไปอยบู่ นแกน X แกน Y หำผลรวมของแรงทำงแกน X  Fx  F1x  F2x  F3x  F4xแทนค่ำ  Fx  12  17 cos 60  14 cos 45  9 cos 30  2.81 Nหำผลรวมของแรงทำงแกน Y  Fy  F2y  F3y  F4y  F5yแทนค่ำ  Fy  17 sin 60 14 sin 45  9sin 30 10  10.12 Nหำแรงลพั ธ์จำกทฤษฎีปทิ ำโกรสั R   Fx 2   Fy 2แทนค่ำ R  2.812  10.122  10.50 Nหำมมุ จำกสูตร tan    Fy  10.12  3.60  Fx 2.81   tan1 3.60  74.48o ตอบดงั นน้ั แรงลพั ธม์ ีขนำด 10.50 N ทำมุม 74.48o กบั แนวระดบัตวั อยำ่ งท่ี 1.6 กำหนดให้   4iˆ  2 ˆj  5kˆ ,   5iˆ  3 ˆj และ   2iˆ  ˆj  6kˆ จงหำ A B Cก) ผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสำมนี้ข) จงหำขนำดของ A B C และ A B  Cวิธีทำ ก) หำผลรวมของเวกเตอร์จำกสมกำร (1.14)   4  5  2iˆ  2  3 1ˆj  5  6kˆ  11iˆ  kˆ A B C

14 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ ้นื ฐำนทใี่ ช้ในวิชำฟิสิกส์ข) หำขนำดของเวกเตอรจ์ ำกสมกำร (1.12) A  42  22  52  6.71 B  52   32  5.83 C  22 12   62  6.40 A  B  C  112  12  11.05ดังนน้ั ผลรวมของเวกเตอรท์ ้งั สำมคอื 11iˆ  kˆ และขนำดของ A B C และ A+B+C คือ 6.71, 5.83,6.40 และ 11.05 ตำมลำดับ ตอบ1.3.4 กำรคูณเวกเตอร์กำรคณู เวกเตอร์มหี ลำยแบบไม่ว่ำจะเป็นกำรคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลำร์ หรอื กำรคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ ซ่งึ ผลลพั ธท์ ่ีได้จะแตกตำ่ งกนั ไป ดังน้ี  Aการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ เม่ือเรำคูณปริมำณเวกเตอร์ ด้วยปริมำณสเกลำร์ s จะได้ผเวลกลเัพตอธ์เรป์ล็นัพปธร์จิมะำเหณมเืวอกนเตAอรแ์ทตี่ม่หีขำนกำดsเปเ็นปจ็นำน–วเนวกเsตอเทร่ำ์ลขัพอธง์จขะนมำีทดิศเวทกำเงตตอรรง์เขด้ำิมมกถับ้ำ s เป็น + ทิศทำงของ A ซึ่งกำรหำรก็จะใช้หลกั กำรเดียวกนัการคณู เวกเตอร์ดว้ ยเวกเตอร์ จะขอแบง่ พิจำรณำเป็น 2 แบบ คอื กำรคูณแบบสเกลำร์ (Scalarproduct) และ กำรคณู แบบเวกเตอร์ (Vector product)กำรคูณแบบสเกลำร์ หรือ ผลคูณแบบดอต (Dot product) เป็นกำรคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์สแเลก้วลำไดรข์้ผอลงลเัพวกธเ์เตปอ็นรป์ รAิมำแณลสะเกBลำซร์ึ่งใมนีมกมุ ำรระคหูณวแ่ำงบเวบกนเ้ีจตอะใรช์ท้เัง้คสรอื่องงเหปม็นำย “” ซAึ่งอ่ำBนวจ่ำะ“ไดด้วอ่ำต” แทนผลคูณ ดว้ ย  A  B  AB cos   A B cos  (1.15)ข้อสังเกตท่ีสำคัญคือ เม่ือ   90o ค่ำ  หรืออำจกล่ำวได้ว่ำ ผลคูณสเกลาร์ของ AB  0เวกเตอร์ทต่ี ั้งฉากกนั เปน็ ศูนย์เสมอนอกจำกนี้ผลคูณสเกลำร์ยังมีคุณสมบัติตำมกฎกำรสลับที่ของกำรคูณ น่ันคือลำดับของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ไมส่ ำคัญ   AB  B A (1.16)เม่ือพิจำรณำเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยในระบบพิกัดฉำก จะมีผลคูณสเกลำรด์ งั น้ี iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 (1.17) iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0ดังนั้นจึงสำมำรถเขียนผลคูณสเกลำร์ของเวกเตอร์  และ  ในรูปของผลคูณของเวกเตอร์ A Bองคป์ ระกอบไดเ้ ป็น  A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz (1.18)

สเกลำร์และเวกเตอร์ 15 หรืออำจกล่ำวได้ว่ำผลคูณสเกลำร์คือผลบวกของผลคูณของแต่ละเวกเตอร์องค์ประกอบที่อยู่ในทิศเดียวกัน กำรคูณแบบเวกเตอร์หรือ ผลคูณแบบครอส (Cross product) เป็นกำรคูณเวกเตอร์สองเผวลกคเตูณอเวร์แกลเตว้ อไรดข์ ้ผอลงลเวัพกธเต์เปอ็นรป์ รAิมำแณลเะวกBเตอซรงึ่์ ใมนมี กุมำรระคหูณวแ่ำบงเบวกนเ้ีจตะอใรชท์ เ้ ค้ังรสือ่องงหเปม็นำย“xด”้วยซ่งึ Aอ่ำนBวำ่ “ครอส” แทน จะได้วำ่  A B  AB sin  nˆ (1.19) จำกสมกำร nˆ เป็นเวกเตอร์หน่ึงหน่วยซ่ึงมีทิศทำงตั้งฉำกกับระนำบของ  และ  โดย A Bทศิ ทำงของ nˆ สำมำรถหำไดโ้ ดยใช้กฎมือขวำดงั รูปที่ 1.9 จำกรูปที่ 1.9 พบว่ำผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ เม่ือสลับลำดับกำรคูณ จะได้ผลที่มีขนำดเท่ำเดมิ แตม่ ที ศิ ทำงกลับทศิ กัน ดังสมกำร (1.20)   AB   B A   A B A   A  B   B  B A รูปที่ 1.9 กำรหำทศิ ทำงของผลคณู เวกเตอร์ โดยใช้กฎมือขวำ ข้อสังเกตท่ีสำคัญคือ เม่ือ   0o หรือ   180o ค่ำ  หรืออำจกล่ำวได้ว่ำ ผลคูณ AB  0เวกเตอรข์ องเวกเตอรท์ ข่ี นานหรือสวนกันเป็นศูนยเ์ สมอ และนั่นหมำยถึง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดยี วกันจะมคี ่าเปน็ เวกเตอร์ศูนย์ และเม่อื พจิ ำรณำผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในระบบพิกดั ฉำก พบวำ่ iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0 iˆ  ˆj  kˆ, ˆj  kˆ  iˆ, kˆ  iˆ  ˆj (1.21) ˆj  iˆ   kˆ, kˆ  ˆj   iˆ, iˆ  kˆ   ˆj ซ่งึ จำกสมบัติของผลคูณเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพกิ ัดฉำกทไี่ ด้ จะไดว้ ำ่  ( Ay Bz  Az By )iˆ  (Az Bz  Ax Bx ) ˆj  (Ax By  Ay Bx )kˆ (1.22)A B หรือเขียนผลคณู เวกเตอร์ในรปู ดเี ทอร์มิแนนต์ (determinant) ได้เป็น (1.23)   iˆ ˆj kˆ A B  Ax Ay Az Bx By Bz

16 บทนำและคณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนทใ่ี ช้ในวชิ ำฟสิ ิกส์ตวั อยำ่ งท่ี 1.7 ให้   3iˆ  4 ˆj  6kˆ และ   2iˆ  ˆj  8kˆ จงหำผลคูณแบบสเกลำรแ์ ละผลคณู แบบ A Bเวกเตอร์ของเวกเตอร์ทั้งสองนี้  A B   วิธีทำผลคูณแบบสเกลำร์  3iˆ  4 ˆj  6kˆ  2iˆ  ˆj  8kˆ   Ax Bx  Ay By  Az Bz  3 2  4 1  6  8 A B  A  B  6  4  48   38 kˆ iˆ ˆj - 6 34  iˆ ˆjผลคูณแบบเวกเตอร์ AB  3 4 2 1 8 2 1 +    32iˆ  12 ˆj  3kˆ  8kˆ  6iˆ  24 ˆj A B    38iˆ  36 ˆj  5kˆ A Bดงั นัน้ ผลคูณแบบสเกลำร์ คือ -38 และผลคณู แบบเวกเตอร์ คือ  38iˆ  36 ˆj  5kˆ ตอบ1.4 คณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนอนื่ ๆ เน่ืองจำกวิชำฟิสิกส์เป็นวิชำท่ีเก่ียวข้องกับตัวเลข เพื่อให้กำรเรียนรำบร่ืนนักศึกษำจึงควรมีพื้นฐำนทำงคณติ ศำสตร์ควบคไู่ ปด้วยเพ่ือใช้ในกำรแก้ปัญหำโจทย์ เช่น พีชคณิต เรขำคณติ ลอกำริทึม กำรแก้สมกำร สมกำรควอดรำติก รูปสำมเหล่ียม ตรโี กณมิติ ทฤษฎบี ททวินำม อนุพนั ธ์และปฏิยำนุพนั ธ์ กำรหำพ้ืนที่และปริมำตร กำรคำนวณเปอรเ์ ซน็ ต์ ร้อยละ ฯลฯ รำยละเอยี ดของสมกำรทส่ี ำคัญแสดงไวใ้ นภำคผนวก ค กำรแก้ปัญหำโจทย์ในแบบฝึกหดั เปน็ กำรตรวจสอบว่ำเรำมคี วำมรู้ในเนือ้ หำวิชำมำกน้อยเพียงใดจึงถอื ว่ำเป็นกำรวดั ผลสัมฤทธิในกำรเรียนอย่ำงหนึ่ง ควำมสำมำรถในกำรลำดบั ควำมคิดเพื่อแก้ปัญหำ สำมำรถฝกึ ฝนไดแ้ ละจะชว่ ยให้กำรแกป้ ัญหำโจทยม์ ปี ระสทิ ธิภำพมำกขน้ึ แนวคิดในกำรแก้ปัญหำโจทย์ฟิสิกส์เร่ิมจำกกำรพิจำรณำโจทย์ว่ำให้ข้อมูลใดบ้ำง และถำมหำสิ่งใด เขียนปริมำณเหลำ่ น้ันในรูปของตัวแปร และพิจำรณำตัวแปรได้จำกโจทย์ว่ำมีควำมสัมพันธ์กันอย่ำงไร วำดแผนภำพเพื่อให้มองภำพโจทย์ได้อย่ำงแจ่มชัด จำกน้ันจงึ พิจำรณำว่ำมีหลักกำร หรือ สมกำรใดท่ีจำเปน็ ต้องใช้ในกำรแก้ปัญหำโจทย์ เมื่อได้หลักกำรหรือสมกำรครบถ้วนแล้ว จะต้องสำมำรถแก้สมกำรเพ่ือหำตัวแปรท่ีไม่ทรำบค่ำหรือตัวแปรที่โจทย์ต้องกำรให้หำค่ำให้ได้ และจบด้วยกำรตรวจสอบคำตอบ ว่ำมีหน่วยถูกต้องหรือไม่ผลกำรคำนวณสมเหตุสมผลหรือไม่ค้นคว้ำเพิ่มเติมนักศึกษำทบทวนคณิตศำสตร์พื้นฐำนอ่ืน ๆ เพ่ิมเติมจำกแหล่งควำมรู้อ่ืน เพื่อเตรียมควำมพร้อมในกำรศกึ ษำวชิ ำฟสิ ิกสไ์ ด้อยำ่ งรำบรน่ื

คณิตศำสตร์พ้นื ฐำนอ่ืน ๆ 17 สรุปแนวคิดประจำบทท่ี 1 วิชำฟิสิกส์เป็นศำสตร์ด้ำนวิทยำศำสตร์กำยภำพที่เกิดจำกกำรทดลองและค้นคว้ำ เพื่อทำควำมเข้ำใจ ปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติ และมีควำมสัมพันธ์เชื่อมโยงกับศำสตร์ต่ำง ๆ มำกมำยหลำกหลำยดำ้ น ไม่ว่ำ จะเป็นวทิ ยำศำสตร์พื้นฐำน วิศวกรรม กำรแพทย์ เทคโนโลยี หรอื เกษตรกรรม เรำจำเป็นต้องศึกษำวิชำฟิสิกส์เน่ืองจำก ฟิสิกส์เป็นพ้ืนฐำนของศำสตร์หลำย ๆ ด้ำน มีอุปกรณ์ เครื่องมือ เครื่องใช้ หรือเทคโนโลยีหลำยชนิดสร้ำงขึ้นมำโดยอำศัยหลักกำรทำงฟิสิกส์ นอกจำกนี้วิชำฟิสิกส์ยังช่วย ฝกึ กระบวนกำรคิด กำรคน้ คว้ำเพ่อื หำเหตแุ ละผลมำเพ่อื ใชใ้ นกำรแกป้ ัญหำตำ่ ง ๆ กำรวดั มีควำมสำคัญอย่ำงมำกต่อกำรศึกษำวิชำฟิสิกส์ หำกผลจำกกำรวัดสอดคล้องกับทฤษฎี ทฤษฎีน้ันก็ จะเป็นที่ยอมรับ แต่เน่ืองจำกหน่วยในกำรวัดมีอยู่หลำยระบบ ในแต่ละประเทศมีกำรใช้ระบบหน่วยวัดท่ี แตกต่ำงกัน จึงต้องมีกำรต้ังระบบหน่วยระหว่ำงชำติ หรือ หน่วย SI ข้ึน ซึ่งประกอบไปด้วยหน่วยพื้นฐำน 7 หน่วย หน่วยอนุพนั ธ์ซึ่งเกดิ จำกผลคณู หรอื หำรของหน่วยพ้นื ฐำน และ หนว่ ยเสรมิ ปริมำณพ้ืนฐำนของกำรวัด คือ ควำมยำว มวล และเวลำ ซ่ึงมีหน่วย SI คือ เมตร กิโลกรัม และ วินำที ตำมลำดับ โดยเรำสำมำรถเติมคำอุปสรรคด้ำนหน้ำหน่วย หรือใช้ค่ำเลขบอกระดับขนำด เพ่ือช่วยให้กำร บอกปรมิ ำณชดั เจนมำกยง่ิ ข้ึน ปริมำณทำงฟิสิกส์แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ปริมำณสเกลำร์ซึ่งมีเพียงขนำดเท่ำน้นั จงึ สำมำรถบวกลบกันได้ ด้วยเลขคณิตแบบธรรมดำ และ ปริมำณเวกเตอร์ซ่ึงจำเป็นต้องมีท้ังขนำดและทิศทำงจึงได้ใจควำม ครบถ้วนสมบูรณ์จึงรวมกันตำมกฎกำรบวกเวกเตอร์ โดยสำมำรถรวมเวกเตอร์ได้ท้ังวิธีกำรเขียนรูป และ วิธีกำรของเวกเตอร์องค์ประกอบ กำรรวมเวกเตอร์โดยวิธีกำรเขียนรูปน้ันทำได้ 2 วิธี คือ วำดลูกศรเวกเตอร์แบบหำงต่อหัว ผลลัพธ์ท่ีได้คือ ลูกศรที่วำดจำกหำงของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวสุดท้ำย และ วำดลูกศรเวกเตอร์ แบบหำงต่อหำง ผลลัพธ์ทีไ่ ดค้ อื เส้นทแยงมุมของรปู ส่ีเหลย่ี มดำ้ นขนำนท่สี รำ้ งข้ึนจำกลูกศรท้ังสอง  กBำxรรแวลมะเวกBเyตอครอื ์ดอ้วงยควป์ ิธรีกะำกรอขบอขงอเวงกเBตออรง์อคงป์ คร์ปะรกะอกบอขบองเมผ่ือลบวAกxเวแกลเะตอAร์ y A คือองค์ประกอบของ และ   R  A B คือ Rx  Ax  Bx และ R  A B y yy เรำใช้เวกเตอร์หน่ึงหน่วยเพอ่ื ช่วยให้กำรรวมเวกเตอร์แบบองคป์ ระกอบง่ำยย่ิงข้ึน เมื่อเวกเตอร์หนึ่งหน่วย iˆ , ˆj และ kˆ แทนเวกเตอรห์ นึง่ หน่วยในแนวแกนบวก x, y และ z ผลรวมของเวกเตอรส์ ำมำรถใช้วิธีกำร บวกและลบโดยวธิ ีทำงพชี คณิตกับแตล่ ะเวกเตอร์องคป์ ระกอบได้เลย  R  (Ax  Bx )iˆ  (Ay  By ) ˆj  (Az  Bz )kˆ  A กำรคูณแบบสเกลำร์เป็นกำรคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นปริมำณสเกลำร์ ผลคูณของ   A และ B มีนิยำAมBแcลoะsสำมำรถเขยี AนใBนรcูปoขsององคป์ รแะลกะอบไดด้ Aงั นี้   B A B  Ax Bx  Ay By  Az Bz กำรคูณแบบเวกเตอร์เป็นกำรคูณเวกเตอรส์ องเวกเตอร์แลว้ ได้ผลลพั ธเ์ ปน็ ปริมำณเวกเตอร์ ผลคณู ของ  และ B มีนยิ ำม และสำมำรถเขยี นAในรปู Bขององคป์ AระBกsอiบnได้ดnังˆนี้   ( Ay Bz  Az By )iˆ  (Az Bz  Ax Bx ) ˆj  (Ax By  Ay Bx )kˆ A B

18 บทนำและคณิตศำสตรพ์ ้ืนฐำนทใ่ี ชใ้ นวชิ ำฟสิ ิกส์ คำถำม Q1.1 จงยกตวั อย่ำงปริมำณสเกลำร์ และปริมำณเวกเตอร์จำกสิง่ รอบตวั มำอยำ่ งละ 5 ชนดิ Q1.2 แรงทไ่ี ม่เท่ำกนั 2 แรง สำมำรถรวมกนั แลว้ เป็นศูนยไ์ ด้หรอื ไม่ จงอธิบำยเหตุผล Q1.3 เป็นไปได้หรือไมท่ ข่ี นำดของเวกเตอรล์ พั ธจ์ ะน้อยกวำ่ ขนำดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของตวั มันเอง Q1.4 ปรมิ ำณเวกเตอร์ทม่ี ีขนำดเทำ่ กบั ศูนยแ์ ตม่ ีองคป์ ระกอบไมเ่ ป็นศนู ย์มจี รงิ หรอื ไม่ จงอธบิ ำย Q1.5 เวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่ยำวต่ำงกันสำมำรถให้ผลบวกเวกเตอร์เป็นศูนย์ได้หรือไม่ ถ้ำผลบวกเวกเตอร์ ของสำมเวกเตอรจ์ ะเป็นศูนยไ์ ด้จะต้องมีข้อจำกัดเกยี่ วกับขนำดของเวกเตอร์ท้ังสำมอย่ำงไร จงอธบิ ำย เหตผุ ล Q1.6 มีเวกเตอร์ 2 ตัวซ่ึงมีขนำด 4 และ 5 จงอธิบำยว่ำเม่ือใดบ้ำงท่ีผลลัพธ์ของสองเวกเตอร์น้ีจะมีค่ำเป็น 0, 1, 3, 5, 7 และ 9 Q1.7 ในกำรเล่นเกมแข่งขันต่อยำว ผู้เล่นแต่ละคนจะต้องนำส่ิงของที่มีในตัวมำวำงเรียงตอ่ กนั ให้ไดย้ ำวท่ีสุด จำกขอ้ มลู ใครเป็นผู้ชนะ นำงสำวดีใจ มเี สอ้ื คลุมยำว 40 นว้ิ รองเท้ำยำว 23 เซนติเมตร และเชอื กผกู รองเท้ำยำว 1.2 เมตร เดก็ หญิงพอเพยี ง มีสรอ้ ยคอยำว 15 นวิ้ รองเทำ้ ยำว 27 เซนติเมตร และเขม็ ขัดยำว 1.5 เมตร นำยต้นกลำ้ มผี ้ำพนั คอยำว 180 เซนติเมตร โทรศัพท์มือถอื ยำว 5 นว้ิ และไม้บรรทดั ยำว 1 ฟตุ แบบฝึกหัด1.1 ฟำรม์ โคนมแห่งหนงึ่ ผลิตนำ้ นมได้วันละ 26 gal หำกต้องกำรนำมำบรรจุใส่ขวดขนำด 200 cc เพอื่ แบ่งขำยจะได้นมวนั ละกี่ขวด1.2 จงเขียนเลขเหล่ำน้ีให้อยู่ในรปู ของเลขบอกระดบั ขนำดก) 5789.6 ข) 0.00006789 ค) 8700057 ง) 23.451.3 จงเขียนปริมำณเหล่ำนีใ้ หอ้ ยู่ในหน่วยมำตรฐำนก) 65.7 µm ข) 876 mg ค) 200 cc ง)105.8 oF1.4 รถยนต์คนั หนงึ่ โฆษณำว่ำกนิ น้ำมัน 20 km/L คำ่ นี้มขี นำดเท่ำกบั ก่ีไมลต์ ่อแกลลอน1.5 มอเตอรต์ วั หนึ่งมีควำมถี่ 200 rpm อยำกทรำบว่ำในเวลำ 1 วินำที มอเตอรต์ ัวนีจ้ ะหมุนไปกี่รอบ1.6 ฉลำกยำนำ้ แก้ไอเขียนวำ่ มีปรมิ ำตร 30 ml หำกต้องรับประทำนครง้ั ละ 1 ช้อนชำจะรับประทำนได้กี่ครง้ั1.7 ควำมหนำแน่นของตะกั่วคือ 11.3 g/cm3จงหำค่ำนีใ้ นหน่วย kg/m31.8 ในหน่ึงวันทำรกต้องรับประทำนนมให้ได้อย่ำงน้อย 24 Oz. หำกต้องกำรตวงน้ำต้มสุกไว้ใช้สำหรับชงนมจะต้องเตรยี มนำ้ ต้มสกุ ไวอ้ ย่ำงน้อยกซ่ี ีซี1.9 ลูกวัวตัวหนึ่งหลุดจำกคอกวิ่งข้ำมทุ่งไปทำงทิศตะวันออก 3 km ก่อนจะเปล่ียนทิศทำงไปทำงทิศตะวันออกเฉียงใต้อีก 2 km แล้วจึงลงใต้ไปอีก 4 km อยำกทรำบว่ำลูกวัวตัวนี้อยู่ห่ำงจำกคอกของมันเท่ำใดและหำกเจำ้ ของฟำร์มตอ้ งกำรเรง่ รบี ออกตำมหำจะต้องม่งุ หน้ำไปทำงทิศใด

คณติ ศำสตร์พนื้ ฐำนอน่ื ๆ 191.10 กำรเดินทำงจำกมหำวิทยำลัยเทคโนโลยีรำชมงคลตะวันออกไปยังศูนย์กำรค้ำ Pacific Park Srirachaจะต้องขับรถไปตำมเส้นทำงดังรูปจงหำขนำดและทิศทำงของกำรกระจัดระหว่ำงศูนย์กำรค้ำและมหำวิทยำลัยดว้ ยวิธเี ขยี นรปู และวธิ ขี ององค์ประกอบ และเปรียบเทียบวำ่ ผลลัพธท์ ่ไี ด้สอดคล้องกันหรือไม่ มทร.ตะวนั ออก 750 1km 2km 200 5km1.11 นักสำรวจออกเดินท่องไปในป่ำทึบในเวลำกลำงดึกอันมืดมิด เขำเดินออกจำกกระท่อม 50 ก้ำวไปยังทิศตะวันออกเฉียงเหนือ จำกนั้นเดินต่อไปอีก 70 ก้ำวไปในทิศทำมุม 60 องศำกับทิศตะวันตก และเดินลงไปทำงทิศใต้อกี 30 ก้ำว สมมติให้แต่ละก้ำวมขี นำดเท่ำกนั จงเขียนรูปของเวกเตอร์ท้ังสำม และเพื่อท่ีจะชว่ ยไม่ให้เขำหลงปำ่ จงหำกำรกระจดั ท่จี ะนำเขำกลบั ไปยงั กระท่อมโดยใชว้ ธิ ขี ององคป์ ระกอบในกำรคำนวณ  1.12 กำหนดเวกเตอร์ A และ B ดังรปู จงใชว้ ิธเี ขียนรูปและวธิ ีขององคป์ ระกอบหำคำขนำดและทิศทำงของ   A   ก) A + B ข) - B ค) 2 B - A y  15 m B  10 m 300 x A1.13 จงคำนวณหำองคป์ ระกอบตำมแกน x และ y ของเวกเตอร์  ,  และ  y C D E  10 m C 350 300 x 400  7 m D  16 m E

20 บทนำและคณิตศำสตรพ์ น้ื ฐำนท่ีใชใ้ นวชิ ำฟิสกิ ส์1.14 จงหำขนำดและทศิ ทำงของเวกเตอรซ์ ึ่งแทนดว้ ยคู่ขององคป์ ระกอบ Ax = 5.6 cm และ Ay = 7.4 cm 1.15 จำกข้อ 1.14 เมื่อ Bx = 3.2 cm และ By = -4.3 cm จงหำองค์ประกอบของผลบวกเวกเตอร์ A +  Bขนำดและทิศทำงของผลบวกเวกเตอร์  +  A B1.16 จงเขียนเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยของเวกเตอร์ในข้อ 1.11 ในรปู ของเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ย iˆ และ ˆj1.17 จงเขยี นเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยของเวกเตอรใ์ นข้อ 1.13 ในรปู ของเวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย iˆ และ ˆj  1.18 กำหนดเวกเตอร์ A  3 iˆ  ˆj  15 kˆ และ B  12 iˆ  3 ˆj  6kˆ จงหำก) ขนำดของแตล่ ะเวกเตอร์ข) ผลต่ำงของเวกเตอร์ในรูปเวกเตอรห์ น่ึงหน่วย  ค) ขนำดของผลตำ่ งเวกเตอร์ A - B  ง) วำดแผนภำพเพ่ือแสดงว่ำ A - B สอดคล้องกับข้อ ค)   A B1.19 จำกข้อ 1.18 จงหำผลคูณสเกลำรแ์ ละผลคูณเวกเตอรข์ องเวกตอร์ และ และหำมุมระหวำ่ งเวกเตอร์สองตัวน้ี

บทท่ี 2แรงและกำรเคล่ือนท่ีกำรศึกษำฟิสิกส์น้ันเร่ิมต้นจำกกำรพิจำรณำกลศำสตร์ยุคดั้งเดิมซ่ึงอธิบำยเก่ียวกับควำมสัมพันธ์ระหว่ำงกำรเคลื่อนที่ของวัตถุที่สำมำรถพบเห็นได้ในชีวิตประจำวันและแรงที่ทำให้เกิดกำรเคลื่อนท่ี ซึ่งหำกระบบที่พิจำรณำไม่ได้มีขนำดเล็กมำกในระดับอะตอม หรือมีกำรเคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วสูงใกล้เคียงควำมเร็วแสงกลศำสตร์ยุคดงั้ เดิมยังคงสำมำรถใชอ้ ธิบำยปรำกฏกำรณ์ตำ่ ง ๆ ในธรรมชำติได้อย่ำงดเี ย่ยี ม2.1 มวลและแรง 2.1.1 นยิ ำมของแรง แรง (Force) เกิดขึ้นจำกกำรดึง (pull) หรือ ผลัก (push) วัตถุ เป็นอันตรกริยำระหว่ำงวัตถุสองชิ้น หรือระหว่ำงวัตถุกับส่ิงแวดล้อม เมื่อมีแรงมำกระทำกับวัตถุหน่ึง วัตถุนั้นสำมำรถได้รับผลกระทบ 4ประเภท คือ 1) วัตถุที่อยู่นิ่งอำจเร่ิมเคลื่อนที่ เช่น ใบไม้บนพื้นเม่ือมีแรงลมมำประทะจะเริ่มเกิดกำรขยับและเคล่ือนไหว 2) ควำมเร็วของวัตถุที่กำลังเคลื่อนท่ีอยู่อำจเปล่ยี นแปลงไป เช่น ใบไม้ทป่ี ลิวอย่ำงช้ำ ๆ ไปตำมลมกลับปลิวได้เร็วข้ึนเมื่อถูกพัดลมเป่ำ 3) ทิศทำงกำรเคล่ือนที่ของวัตถุอำจเปล่ียนแปลงไป เช่น ใบไม้ที่ร่วงจำกต้นหำกมแี รงลมมำประทะอำจทำให้มันเคล่อื นท่ีไปตำมทิศของลมแทนทจี่ ะร่วงหลน่ ลงในแนวด่ิงตรง ๆ หรอื 4)รูปร่ำงและขนำดของวัตถุอำจเปลี่ยนแปลงไป เช่น กำรขยำใบไม้จนบิดเบ้ียวฉีกขำดหรือใบไม้แห้งท่ีแหลกละเอียด โดยผลกระทบจำกแรงนนั้ อำจเกดิ ผลกระทบเพยี งอย่ำงเดียวหรอื หลำยอยำ่ งร่วมกันก็ได้ กำรที่เรำออกแรงเตะลูกฟุตบอลนั้น เรำสำมำรถกำหนดขนำดของแรงที่ใช้ในกำรเตะ รวมทั้งกำหนดทิศทำงที่ต้องกำรใหล้ ูกฟตุ บอลเคล่ือนท่ีไปได้อกี ด้วย แรงจงึ เปน็ ปรมิ ำณที่มีทัง้ ขนำดและทศิ ทำง หรือที่เรียกวำ่ ปรมิ าณเวกเตอร์ ในกำรพิจำรณำเวกเตอร์ของแรง จำเปน็ ตอ้ งสนใจว่ำมขี นำดของแรงมำกน้อยเพยี งใด และทิศทำงของแรงว่ำเป็นกำรดึงหรือผลักไปในทิศทำงใด หน่วยมำตรฐำน (SI Unit) ของขนำดของแรง คือ นิวตัน(Newton) หรือมีตัวย่อ คือ N ซึ่งสำมำรถนิยำมปริมำณแรง 1 นิวตันได้ว่ำ แรงท่ีทำให้วัตถุมวล 1 กิโลกรัมเคล่อื นท่ีด้วยควำมเรง่ 1 เมตรตอ่ วนิ ำทีกำลังสอง 1 N = 1 kg.m/s2 ในกำรศกึ ษำเรือ่ งแรง สำมำรถใช้วิธีกำรเขยี นแผนภำพแทนแรงได้ โดยกำหนดขนำดของแรงตำมมำตรำส่วนบนไม้บรรทัด และกำหนดทิศทำงโดยกำรใช้มุมบนแกน XY ดังรูปท่ี 2.1 ค และ ง และหำกมีแรงมำกกว่ำ 1 แรงกระทำพร้อมกันทีต่ ำแหน่งเดยี วกนั ให้รวมแรงลัพธ์ท้งั หมดเปน็ แรงเดียวโดยใชห้ ลักกำรรวมแรงเหมือนกับกำรบวกลบเวกเตอร์ที่ได้กล่ำวมำแล้วในบทที่ 1 ส่วนในกรณีที่แรงท่ีกระทำมีทิศทำงทำมุม สำมำรถใช้วิธีแตกเวกเตอร์องค์ประกอบเป็นแรงในแนวแกน X และแรงในแนวแกน Y ก่อนนำไปหำผลลัพธ์ตอ่ ไปดงั รปู ที่ 2.2

22 แรงและกำรเคลื่อนที่ ออกแรงผลกั ออกแรงดงึ 35 20 ก) ข) 12 N 15 N 20 35 ค) ง) รูปท่ี 2.1 แสดงแผนภำพแทนแรง F2 R F2 ก) y x ข) ค) รปู ท่ี 2.2 แสดงกำรรวมแรงและกำรแตกแรงขอ้ ควรระวงักำรกำหนดระบบพกิ ดั ฉำก XY น้ัน ไม่จำเปน็ ว่ำแกน X ตอ้ งเปน็ แกนรำบและแกน Y ต้องเปน็ แกนแนวดง่ิเสมอไป ให้พจิ ำรณำจำกกำรเคลอ่ื นท่ี โดยกำหนดใหแ้ นวทเ่ี กดิ กำรเคลอ่ื นทเ่ี ปน็ แกน X หรือ Y จะทำให้ง่ำยตอ่ กำรแกป้ ัญหำโจทย์ y x

มวลและแรง 23 2.1.2 แรงประเภทต่ำง ๆ แรงส่วนใหญ่ที่พบเห็นกันในชีวิตประจำวัน ไม่ว่ำจะเป็นกำรออกแรงเพื่อผลักประตู กำรออกแรงเข็นรถเข็นในซุปเปอร์มำเก็ต กำรออกแรงดึงเพ่ือจูงสุนัข กำรออกแรงในกำรตอกตะปู หรือกำรออกแรงเพ่ือยกส่ิงของ ล้วนแล้วแต่เป็นแรงท่ีเกิดข้ึนจำกกำรสัมผัสกันระหว่ำงวัตถุ หรือท่ีเรียกว่ำ แรงสัมผัส (ContactForces) แรงอีกประเภทหน่ึงที่ไม่เก่ียวข้องกับกำรสัมผัสกันของวัตถุ ที่รู้จักกันในช่ือ แรงสนาม หรือ แรงพิสยั ไกล (Field Forces) เป็นแรงระยะไกลซึง่ สำมำรถส่งผลถงึ กันได้โดยที่ไม่จำเปน็ ต้องสมั ผัสกัน เกดิ ได้แมใ้ นอวกำศท่ีว่ำงเปล่ำ ตัวอย่ำงเช่น แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) ท่ีส่งผลให้เกิดกำรเคล่ือนท่ีแบบตกอย่ำงอิสระ อันเน่ืองมำจำก นาหนัก (weight) ซึ่งจะกล่ำวถึงต่อไป แรงดึงดูดท่ีเกิดข้ึนระหว่ำงประจุบวกและประจุลบ หรอื แรงทที่ ำใหแ้ ทง่ แม่เหลก็ สำมำรถดงึ ดูดเหลก็ ได้ ซ่งึ จะกลำ่ วถงึ อีกคร้งั ในบทที่ 7 โดยท่ัวไปแล้ว แรงสัมผัสและแรงสนำมไม่ได้แยกจำกกันอย่ำงชัดเจน ยกตัวอย่ำงเช่น พิจำรณำวัตถุสองชน้ิ ออกแรงกระทำต่อกันถือเป็นแรงสัมผัส แต่หำกเรำพิจำรณำในระดับอะตอม แรงสัมผัสน้กี ็เกิดจำกแรงสนำมระหว่ำงอะตอมของวัตถุท้ังสองดว้ ย นอกจำกแรงสองประเภทที่กล่ำวมำแล้วยังมีกำรกำหนด แรงพืนฐาน (Fundamental Forces)ในธรรมชำติ โดยแบ่งออกไดเ้ ปน็ 4 ประเภท คอื 1. แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) เป็นแรงท่ีเกิดข้ึนโดยมวลของวัตถุ เป็นสำเหตุของกำรที่วัตถุมีนำ้ หนัก เป็นสำเหตุท่ีทำให้ดำวเครำะห์ต่ำง ๆ โคจรรอบดำวแม่ เป็นสำเหตุที่ทำให้วัตถุทุกชนิดร่วงตกลงสพู่ น้ื โลก ฯลฯ 2. แรงแม่เหล็กไฟฟ้ำ (Electromagnetic Force) เป็นแรงที่เก่ียวข้องกับประจุไฟฟ้ำและแม่เหล็ก เน่ืองจำกในอะตอมของสสำรทุกชนิดประกอบด้วยประจุทั้งบวกและลบ ดังนั้นอะตอมและโมเลกุลสำมำรถส่งแรงไฟฟ้ำกระทำต่ออนุภำคอ่ืนได้ แรงสัมผัส จึงจัดเป็นแรงแม่เหล็กไฟฟ้ำประเภทหน่ึง เนื่องจำกเป็นแรงทเี่ กดิ ขนึ้ ระหว่ำงอะตอม แรงแมเ่ หล็กไฟฟำ้ จงึ นบั ว่ำเป็นแรงพน้ื ฐำนท่ีมีควำมสำคัญอย่ำงมำก 3. แรงนิวเคลียร์อย่ำงอ่อน (Nuclear Weak Force) เปน็ แรงที่เกิดจำกกำรสลำยตัวของสำรกัมมันตรังสี (Beta decay) และมีบทบำทสำคัญต่อปฏิกริยำนิวเคลียร์ฟิชช่ัน (Nuclear Fission) ในกำรสร้ำงพลงั งำนของดวงอำทิตย์ 4. แรงนิวเคลียร์อย่ำงแรง (Nuclear Strong Force) เป็นแรงภำยในนิวเคลียสที่อัดอนุภำคมูลฐำน (โปรตอน) ให้รวมกันอยู่ในนิวเคลียสได้โดยไม่ถูกแรงผลักระหว่ำงประจุบวกของโปรตอนดันจนทำให้อะตอมนน้ั แตกออกตำรำงท่ี 2.1 แรงพืน้ ฐำน (Fundamental Forces) ชนิดของแรง ควำมเขม้ ของแรง ระยะขอบเขตท่ีพจิ ำรณำ (m)แรงนวิ เคลียร์อย่ำงแรง 1 10-15แรงแมเ่ หล็กไฟฟำ้ 1/137แรงนวิ เคลียร์อย่ำงออ่ น 10-6 ไมจ่ ำกัดแรงโนม้ ถว่ ง 6x10-39 10-18 ไมจ่ ำกัดท่มี ำ: Hyperphysics, Georgia State University, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Forces/funfor.html ค้นเม่ือ 3 พฤษภำคม 2557

24 แรงและกำรเคลื่อนที่ เน่ืองจำกแรงนวิ เคลียร์อยำ่ งอ่อนและแรงนวิ เคลียรอ์ ย่ำงแรงเกดิ ขน้ึ ในระดับนิวเคลยี ส จึงจัดเป็นแรงระยะสนั้ ระดบั 10-15 m นั่นคือนอกเหนือจำกขอบเขตน้จี ะไมเ่ ห็นผลของแรง กลศำสตรย์ ุคดง้ั เดมิ จึงสนใจเพียงแค่แรงโนม้ ถว่ งและแรงแม่เหลก็ ไฟฟำ้ ซ่ึงมีระยะอนนั ต์เท่ำนัน้ ตำรำงท่ี 2.1 แสดงข้อมูลควำมเขม้ ของแรงและระยะขอบเขตทพี่ จิ ำรณำ2.1.1 มวลและนำ้ หนกั เม่ือกล่ำวถึงตัวอย่ำงของแรงท่ีเป็นที่คุ้นเคยกนั ดีในชีวิตประจำวันทั่วไป คงหนีไม่พ้นแรงทเี่ รียกว่ำนาหนัก (weight) ซ่ึงเป็นแรงที่เกิดจำกแรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อวัตถุ (แต่หำกวัตถุน้ีไปอยู่บนดำวดวงอื่นทไี่ ม่ใช่โลก นำ้ หนักก็คอื แรงท่ีเกิดจำกแรงโน้มถ่วงทีด่ ำวดวงนน้ั กระทำต่อวัตถุ) โดยทั่วไป คำวำ่ มวล (mass)และนาหนัก (weight) มักมีกำรใช้สื่อแทนส่ิงๆเดียวกันในชีวิตประจำวัน แต่ในทำงฟิสิกส์แล้ว คำสองคำน้ีแตกตำ่ งกันอย่ำงชดั เจน และผ้เู รียนจำเป็นต้องเขำ้ ใจควำมแตกตำ่ งของสองคำนี้ มวล (mass) ตัวย่อ m เป็นสมบัติซ่งึ แสดงควำมเฉ่ือย (inertial) ของวัตถุ โดยจะบอกถึงค่ำควำมต้ำนทำนต่อกำรเปล่ียนสภำพกำรเคล่ือนท่ี วัตถุย่ิงมีมวลมำกยิ่งต้องใช้แรงมำกในกำรทำให้เคลื่อนท่ีด้วยควำมเร่ง หรือหำกใช้แรงเท่ำกัน วัตถุท่ีมีมวลมำกย่อมเคล่ือนที่ได้ช้ำกว่ำ (หรือมีควำมเร่งน้อยกว่ำ) มวลเป็นปรมิ ำณสเกลำร์ มีหนว่ ยมำตรฐำน (SI Unit) คอื กโิ ลกรมั (kg) นาหนัก (weight) ตัวย่อ w เป็นแรงซึ่งเกิดจำกควำมเร่งโน้มถ่วงท่ีกระทำต่อวัตถุ มีหน่วยมำตรฐำน (SI Unit) คือ นิวตัน (N) โดยหำกพิจำรณำกำรปล่อยวัตถุให้ตกอย่ำงอิสระในแนวดิ่ง แรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุก็คอื น้ำหนักของวัตถุมวล m คณู กบั ควำมเรง่ โน้มถ่วง g นำ้ หนักเป็นปริมำณเวกเตอร์ ขนำดของน้ำหนักสำมำรถหำไดต้ ำมสมกำร (2.1) ส่วนทิศทำงของน้ำหนักจะมที ิศพงุ่ ลงในแนวดิ่งสู่พื้นโลก (เรำใช้ค่ำ g =9.8 m/s2 สำหรับกำรพจิ ำรณำปญั หำบนโลกถึงแม้วำ่ คำ่ g จะมกี ำรเปลี่ยนแปลงได้เลก็ น้อยอันเน่อื งมำจำกกำรหมนุ รอบตัวเองของโลก) w  mg (2.1) เมอื่ w คอื นำ้ หนัก (weight) ในหน่วย N คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg m คอื ควำมเร่งโน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย gm/s2 มีคำ่ ประมำณ 9.8 m/s2ตวั อย่ำงท่ี 2.1 สม้ โอมีน้ำหนัก 20 N ณ ตำแหนง่ บนโลกซึ่งมีค่ำ g =9.8 m/s2 มวลของสม้ โอเป็นเท่ำใด และท่ีตำแหนง่ เดยี วกัน จงหำน้ำหนักของลูกหมูมวล 15 kgวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้น้ำหนักของส้มโอ 20 N ซงึ่ คอื ตัวแปร w = 20 N และ g =9.8 m/s2 ถำมหำมวลของสม้ โอซ่ึงคือตัวแปร mจำกข้อมูลเลอื กใช้สมกำร (2.1) w = mgแทนค่ำ 20 = m  9.8ดังนน้ั มวลส้มโอ m = 2.04 kg ตอบจำกน้นั หำน้ำหนกั ของลูกหมจู ำกคำ่ มวล ซึ่งคอื ตัวแปร m = 15 kg ดว้ ยสมกำร (2.1) เชน่ กนัแทนคำ่ มวลลกู หมู w= 15  9.8ดงั นน้ั น้ำหนักลูกหมู w = 147 N ตอบ

มวลและแรง 25ข้อมูลเพม่ิ เติมแรงสัมผัส (Contact Forces) ทีส่ ำคัญท้ัง 3 ชนิด1. แรงตงั้ ฉำก (normal force) หรอื แรง N เป็นแรงทเี่ กิดข้นึ จำกกำรทว่ี ตั ถุสัมผัสกบั พน้ื โดยทิศทำงของแรงจะตั้งฉำกกับพื้นท่ีวัตถุน้ันสัมผัส สมกำรของแรง N มีค่ำแตกต่ำงกันไป ไม่แน่นอนข้ึนกับแต่ละสถำนกำรณ์ เช่น กำแพง NN ผลักเขำ้ กบั กำแพง F=mgcos mg N2. แรงเสียดทำน (friction force) หรือ แรง f เป็นแรงต้ำนท่ีเกิดจำกกำรท่ีวัตถุสัมผัสกับพ้ืน โดย ทศิ ทำงของแรงเสียดทำนจะตรงขำ้ มกับทิศทำงกำรเคลื่อนท่ีของวัตถุ แรงเสียดทำนมีค่ำขึ้นอยู่กับ น้ำหนักของวัตถุและชนิดของพื้นผิวทั้งสอง ตำมสมกำร f  N นั่นคือ วัตถุท่ีมีน้ำหนักมำก จะส่งผลให้มีค่ำแรงต้ังฉำก (N) มำก แรงเสียดทำนจึงมำก ส่วนคำ่ สมั ประสิทธิควำมเสียดทำน (µ) จะมีค่ำข้ึนอยู่กับชนิดของพ้ืนผิว ตำรำงที่ 2.2 แสดงค่ำสัมประสิทธิควำมเสียดทำนของพ้ืนผิว โดยจะใช้ค่ำสัมประสิทธิควำมเสียดทำนสถิตเม่ือพิจำรณำแรงเสียดทำนขณะวัตถุหยุดนิ่ง และใช้ ค่ำสัมประสทิ ธิควำมเสยี ดทำนจลน์เม่ือพิจำรณำแรงเสยี ดทำนขณะวตั ถุเคล่ือนท่ี N ผลกั แรงเสยี ดทำน3. แรงตงึ เชือก (tension force) หรอื แรง T เปน็ แรงท่เี กิดขนึ้ จำกกำรดงึ วัตถดุ ้วยเชือกมที ศิ พงุ่ ออก จำกวัตถุ Tคดิ ซกั นดิ 2จำกสมกำรควำมโน้มถ่วงสำกล แรงโน้มถ่วงหรือแรงดึงดูดระหว่ำงมวลมีค่ำข้ึนอยู่กับมวลและระยะห่ำงระหว่ำงมวลตำมสมกำร F  Gm1m2 r2เมื่อ G คือค่ำคงตัวควำมโน้มถ่วง มีคำ่ 6.673x10-11 Nm2/kg2 จงหำแรงดึงดูดระหว่ำง โลกและดวงจันทร์และแรงดงึ ดูดระหว่ำงดนิ สอกับไมบ้ รรทดั ว่ำมีค่ำเหมอื น ใกล้เคยี ง หรือแตกตำ่ งกนั อยำ่ งไร และจำกเมื่อ w คอื นำ้ หนกั (weight) ในหนว่ ย N คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg คือ ควำมเร่งโน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วยm/s2 มีคำ่ ประมำณ 9.8 m/s2ตัวอยำ่ งท่ี 2.1 แรงดงึ ดดู ระหว่ำงโลกและลกู หมมู คี ำ่ เทำ่ ใด

26 แรงและกำรเคลื่อนท่ีตำรำงที่ 2.2 แสดงค่ำสัมประสทิ ธิควำมเสยี ดทำนของพนื้ ผิวต่ำง ๆชนดิ ของผิวสัมผัส สัมประสทิ ธิควำมเสียดทำนสถิต สมั ประสิทธคิ วำมเสยี ดทำนจลน์ µk µsเหลก็ บนเหลก็ 0.74 0.57อลูมเิ นยี มบนเหล็ก 0.61 0.47ทองแดงบนเหล็ก 053 0.36ทองเหลืองบนเหล็ก 0.51 0.44สงั กะสบี นเหล็กหล่อ 0.85 0.21ทองแดงบนเหล็กหลอ่ 1.05 0.29แกว้ บนแกว้ 0.94 0.40ทองแดงบนแกว้ 0.68 0.53ยำงบนผิวคอนกรีต (แห้ง) 1.00 0.80ยำงบนผิวคอนกรีต (เปยี ก) 0.30 0.25ที่มำ: Young, Hugh D., and Freedman, Roger A. ฟสิ ิกสร์ ะดับอุดมศกึ ษำ เล่ม 1. แปลโดย ปิยพงษ์ สิทธิคง.กรงุ เทพฯ: เพียร์สัน เอด็ ดเู คชั่น อนิ โดไชนำ่ , 2547: หน้ำ 133.ข้อควรระวงัมวลมคี ำ่ คงท่ีไม่ว่ำจะอยู่ทใ่ี ด ในขณะทน่ี ำ้ หนักจะเปลีย่ นแปลงไปตำมค่ำควำมเร่งโน้มถ่วง g ของบรเิ วณนน้ั โลก ดวงจนั ทร์ ดำวพฤหสั ดวงอำทิตย์มวล = 50 kg มวล = 50 kgนำ้ หนัก = 490 N น้ำหนกั = 81 N มวล = 50 kg มวล = 50 kg นำ้ หนกั = 1246 N น้ำหนัก = 13715 N2.2 กฎกำรเคลื่อนทีข่ องนิวตนั เซอร์ไอแซค นิวตนั (พ.ศ. 2185 – 2070) เสนอกฎกำรเคลอ่ื นทคี่ รงั้ แรกในปี พ.ศ. 2230 โดยตพี มิ พ์ลงในหนังสือช่ือ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica หรือท่ีรู้จักกันในนำม Principia กฎกำรเคล่อื นท่ขี องนิวตันมี 3 ข้อ จดั เปน็ กฎพื้นฐำนของกำรเคลอ่ื นทขี่ องวตั ถทุ ุกชนดิ สำมำรถใชว้ ิเครำะหผ์ ลของแรง

กฎกำรเคลื่อนท่ขี องนวิ ตัน 27ที่กระทำต่อวัตถุได้ วัตถุที่เคลื่อนที่ทุกชนิดจะต้องอยู่ในกฎข้อใดข้อหน่ึงในขอบเขตที่เรียกว่ำ กลศำสตร์ยุคดง้ั เดมิ (กลศำสตร์ท่ีศึกษำวัตถทุ ีม่ ีขนำดใหญแ่ ละมีควำมเร็วน้อยมำกเม่ือเทียบกบั แสง)2.2.1 กฎกำรเคลื่อนทีข่ ้อที่ 1กำรที่หนังสือวำงอยู่น่ิงบนโต๊ะ ไม่ใช่เพรำะไม่มีแรงใดมำกระทำ แต่เป็นเพรำะมีแรงเสียดทำนมำต้ำนกำรเคลื่อนท่ีไว้ จึงมองเห็นเหมือนอยู่นิ่ง กฎกำรเคลื่อนที่ข้อท่ี 1 กล่ำวว่ำ “วัตถุทุกชนิด จะดารงอยู่ในสภาวะของตวั เอง ไมว่ ่าจะหยดุ นง่ิ หรอื เคลื่อนท่ีด้วยความเร็วคงที่ จนกวา่ จะมแี รงภายนอกมากระทาให้เปลีย่ นสภาวะ”น่ันก็คอื หำกไมม่ ีแรงภำยนอกมำกระทำหรือแรงสทุ ธิทมี่ ำกระทำตอ่ วัตถุเป็นศนู ย์ วตั ถนุ น้ั จะคงสภำวะเดิมต่อไป ควำมพยำยำมคงสภำวะเดิมของวัตถุ เรียกว่ำ ควำมเฉ่ือย จึงมักเรียกกฎข้อน้ีว่ำ “กฎของความเฉอื่ ย (law of inertia)” ดงั สมกำร   0 (2.2) F เมอื่ F คือ แรง (Force) ในหน่วย N เมื่อไม่มีแรงใดกระทำต่อวัตถุ หรือมีแรงหลำยแรงกระทำในลักษณะที่ผลบวกเวกเตอร์ของแรงเหล่ำนั้น (แรงลัพธ์) เป็นศูนย์ เรำอำจพูดได้ว่ำวัตถุนั้นอยู่ในสมดุล ซ่ึงในสภำวะสมดุล ถ้ำวัตถุไม่อยู่น่ิงก็จะเคลื่อนทีใ่ นแนวเสน้ ตรงดว้ ยควำมเร็วคงตวั รูปที่ 2.3 แสดงควำมพยำยำมในกำรคงสภำวะเดิมของวัตถุซ่ึงเป็นไปตำมกฎข้อท่ี 1 ของนิวตันเมื่อรถไฟเร่ิมเคลื่อนที่ ผู้โดยสำรบนรถไฟซ่ึงเดิมเคยอยู่น่งิ พยำยำมจะคงสภำวะเดมิ ตวั จึงเสมือนเอนไปทำงด้ำนหลัง ซึ่งกลับกันหำกรถไฟท่ีกำลังแล่นอยู่น้ีจอดลง ผู้โดยสำรจะพยำยำมคงสภำวะเดิมซึ่งกำลังเคลื่อนท่ีไปดำ้ นหนำ้ จงึ มองเหน็ คลำ้ ยผูโ้ ดยสำรเอนไปทำงดำ้ นหน้ำ กำรเคลือ่ นท่ีของรถไฟ แรงกระทำ ตอ่ ผู้โดยสำรรถไฟเรม่ิ เร่งควำมเร็ว รถไฟเร่มิ เคลอื่ นท่ี รถไฟหยดุ น่งิรปู ที่ 2.3 แสดงควำมพยำยำมในกำรคงสภำวะเดิมของวตั ถุทม่ี ำ: ดดั แปลงจำก http://physics.tutorvista.com/motion/newton-s-first-law-of-motion.html ค้นเมื่อ 3 พฤษภำคม 257

28 แรงและกำรเคล่ือนที่คิดซกั นดิ 3เพรำะเหตุใดเวลำท่ีเกิดอุบัติเหตุรถชนกัน หำกผู้ขับขี่ไม่คำดเข็มขดั นิรภัยผู้ขบั ขี่อำจพุง่ ทะลุกระจกหน้ำรถออกไปได้ และเหตใุ ดกำรตดิ ต้ังเก้ำอส้ี ำหรบั ทำรก (car seat) จงึ ต้องติดต้ังให้หันหนำ้ ไปดำ้ นหลังรถ 2.2.2 กฎกำรเคล่ือนท่ขี ้อท่ี 2 “เมื่อมีแรงลัพธ์ซ่ึงไม่เป็นศูนย์กระทาต่อวัตถุ วัตถุน้ันจะมีความเร่งเกิดข้ึนในทิศทางเดียวกันกับแรงลพั ธ์” โดยขนำดของควำมเร่งจะเป็นปฏิภำคโดยตรงกับแรงลัพธ์และเป็นปฏภิ ำคผกผันกับมวลของวัตถุดังสมกำร    ma (2.3) F เม่ือ F คือ แรง (Force) ในหน่วย N m คือ มวล (mass) ในหน่วย kg a คือ ควำมเรง่ (acceleration) ในหน่วย m/s2 กฎข้อท่ี 2 ของนิวตันเป็นกฎพ้ืนฐำนของธรรมชำติที่ให้ควำมสัมพันธ์พ้ืนฐำนระหว่ำงแรงและกำรเคลอื่ นท่ี ดงั จะเห็นไดจ้ ำกสมกำรว่ำควำมเร่ง (หรืออัตรำกำรเปลยี่ นแปลงควำมเร็ว) ของวัตถุมีค่ำขนึ้ อยกู่ ับแรงสุทธิทก่ี ระทำต่อวัตถุหำรด้วยมวลของวัตถุ ยิ่งออกแรงกระทำตอ่ วตั ถุมำกวัตถุก็จะยงิ่ เคลือ่ นท่ีด้วยควำมเร่งมำกกลับกันเมื่อวัตถุมีมวลมำกย่อมส่งผลต่อกำรเคล่ือนท่ีด้วย ทำให้วัตถุท่ีมีมวลมำกเคล่ือนท่ีด้วยควำมเร่งที่น้อยกวำ่ วัตถุท่ีมีมวลนอ้ ย 2.2.3 กฎกำรเคลื่อนทีข่ ้อท่ี 3 แรงที่กระทำต่อวัตถุหนึ่งเป็นผลจำกอัตรกิริยำของวัตถุนั้นกับวัตถุอื่นเสมอ แรงจึงเกิดข้ึนเป็นคู่หำกเรำออกแรงทุบโต๊ะเรำย่อมรู้สึกถึงแรงท่ีโต๊ะกระทำต่อเรำ หรือกำรที่เรำสำมำรถยืนอยู่บนพื้นได้โดยไม่จมลงไปในพื้นก็เป็นเพรำะน้ำหนักของเรำเป็นแรงท่ีกดพ้ืนไว้และในขณะเดียวกันพื้นก็ออกแรงโต้กลับยกเรำไว้เช่นกนั จึงอำจกล่ำวได้วำ่ “แรงกระทาใด ๆ เมื่อเกิดขน้ึ แลว้ จะมแี รงปฏิกิริยาโต้ตอบขนาดเท่ากัน แต่มีทศิ ตรงขา้ มเกิดขนึ้ เสมอ” หรือทเี่ รียกว่ำ แรงคูก่ ริ ยิ ำ-ปฏกิ ริ ิยำ (action-reaction force)  (2.4) Faction   Freaction เมอื่ FFarcetaioctnionคคือือแแรรงงกปริ ฏิยำิกริ (aิยcำtโiตo้ตnอfบor(creea) cใtนioหnน่วfoยrcNe) ในหน่วย N จำกรูปที่ 2.4 จะเห็นว่ำในขณะท่เี ครื่องบนิ เคล่ือนทีจ่ ะมีกำรปล่อยลมร้อนออกไปทำงด้ำนหลัง ซ่ึงอำกำศโดยรอบก็จะออกแรงต้ำนไว้โดยกำรผลักให้เคร่ืองบินเคล่ือนท่ีไปด้ำนหน้ำ หรือในขณะท่ีเรำว่ำยน้ำ เรำออกแรงวักน้ำไปทำงด้ำนหลัง น้ำก็ออกแรงดันตัวเรำให้เคลื่อนที่ไปด้ำนหน้ำเช่นกัน หรือกำรท่ีเรำก้ำวขำจำกเรอื เพ่ือขึน้ ฝงัน แรงปฏกิ ิริยำจะทำใหเ้ รือถูกผลักให้เคลื่อนที่ถอยห่ำงจำกฝันงได้ และเช่นเดียวกบั กำรกำ้ วเดิน กำรท่ีเรำยำ่ ลงไปบนพ้ืนแล้วไม่จมลงไปกเ็ ปน็ เพรำะพนื้ ออกแรงโต้ตอบยกเรำไว้นั่นเอง

ไอพน่ ไปดำ้ นหลงั กฎกำรเคลื่อนที่ของนวิ ตัน 29 กำ้ วไปดำ้ นหน้ำ ดันให้เรอื ถอยหลงัเครื่องบินเคล่อื นไปขำ้ งหนำ้แรงกริ ิยำ แรงปฏกิ ิรยิ ำ พ้ืนโต้กลบั เท้ำถีบพน้ื รูปท่ี 2.4 แสดงคแู่ รงกริ ยิ ำ-ปฏิกิรยิ ำของวตั ถุตำ่ ง ๆ 2.2.4 กำรประยุกตก์ ฎกำรเคล่ือนท่ีของนิวตัน กฎกำรเคลื่อนที่สำมข้อของนิวตันเป็นกฎท่ีรวมหลักกำรพื้นฐำนทั้งหมดที่เรำต้องใช้ในแก้ปัญหำด้ำนกลศำสตร์ ควำมท้ำทำยอยู่กระบวนกำรวิเครำะห์ว่ำควรใช้กฎข้อใดกับสถำนกำรณ์ใด หำกพิจำรณำสถำนกำรณ์สมดุล ไม่มีแรงสุทธิกระทำต่อวัตถุ สำมำรถเลือกใช้กฎข้อที่หนง่ึ แตห่ ำกมีแรงสุทธกิ ระทำต่อวัตถุก็ต้องเลือกพิจำรณำกฎขอ้ ท่สี อง นอกจำกนี้ลักษณะกำรเคล่ือนที่ของวัตถุก็เป็นอีกจุดท่ีต้องพิจำรณำ หำกวัตถุนั้นหยุดน่ิงไม่เคลื่อนท่ี หรือกำลังเคล่ือนที่ด้วยควำมเร็วคงท่ี ให้เลือกใช้กฎข้อที่หนึ่ง แต่หำกวัตถุนั้นกำลังเคลื่อนที่ด้วยควำมเร่งก็จำเป็นต้องใชก้ ฎขอ้ ทส่ี องในกำรพิจำรณำ เพื่อช่วยในกำรแก้ปัญหำโจทย์ที่มีลักษณะที่ซับซ้อนมำกข้ึน กลยุทธสำคัญในกำรแก้ปัญหำสำมำรถแบง่ ไดเ้ ป็นขั้นตอนดงั นี้ คือ 1. เขียนแผนภำพวัตถุ (free-body diagram) ซ่ึงเป็นแผนภำพท่ีแสดงให้เห็นแรงที่กระทำต่อระบบท่ีจะ วเิ ครำะห์ โดยจะต้องเลือกเขยี นเฉพำะวัตถทุ พ่ี ิจำรณำ 2. เขียนรูปแรงต่ำง ๆ ที่กระทำต่อวัตถุ เช่น แรงตึงเชือก แรงดึง แรงผลัก น้ำหนัก แรงปฏิกิริยำของพื้น หรือแรงเสียดทำน (พึงระวัง ไม่เขียนแรงท่ีวัตถุนั้นกระทำต่อสิ่งอ่ืน เช่น แรงคู่ปฏิกิริยำ) กำหนด ตัวอกั ษรหรือคำ่ ของแรงกำกับไว้พร้อมทง้ั ลูกศรแสดงทิศทำงของแรง 3. กำหนดระบบพิกัดแกน XY เพอ่ื สะดวกตอ่ กำรกำหนดทิศกำรเคล่ือนที่ โดยให้แกน X หรือแกน Y คือ แกนที่เกดิ กำรเคลื่อนที่จะง่ำยตอ่ กำรพิจำรณำ 4. แตกแรงทง้ั หมดที่ไมเ่ ขำ้ แกนท่ีกำหนด ให้คงเหลือแตแ่ รงในแกน XY เท่ำน้นั 5. พจิ ำรณำเขียนกฎข้อท่ีหน่ึงของนิวตัน (สำหรับปญั หำท่ีควำมเร่งเป็นศนู ย์) หรือ กฎข้อที่สองของนิวตัน (สำหรับปัญหำที่มีควำมเร่ง) โดยพิจำรณำแยกทีละแกน และแก้สมกำรเพ่ือหำปริมำณที่ไม่ทรำบค่ำ ต่อไป

30 แรงและกำรเคลื่อนท่ีข้อควรระวังน้ำหนักของวตั ถุมีทิศทำงลงตำมแนวดิง่ เสมอ แรงปฏกิ ริ ิยำของพืน้ จะมีทศิ ตงั้ ฉำกกับพื้นผวิ และแรงตึงเชอื กพุ่งออกจำกวตั ถทุ ี่พจิ ำรณำตัวอย่ำงท่ี 2.2 กล่องใบหน่ึงมวล 20 kg วำงอยู่บนพื้น สัมประสิทธิ์ควำมเสียดทำนสถิตระหว่ำงพ้ืนกับกล่องมีค่ำ 0.3 ต้องออกแรงดึง P อยำ่ งนอ้ ยเทำ่ ใดกล่องจึงจะเร่ิมเคลื่อนที่วธิ ีทำ y N Px P mg fโจทยก์ ำหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) วำงนงิ่ บนพ้ืน สัมประสิทธคิ วำมเสยี ดทำนสถติ ระหว่ำงพ้นื กับกล่อง 0.3 (  = 0.3) และถำมหำแรงดึง P ที่น้อยท่สี ดุ ที่ทำให้กล่องเคล่ือนท่ีเร่ิมต้น โดยกำรวำดแผนภำพวัตถุ เขียนแรงเสียดทำน f น้ำหนัก mg และแรงต้ังฉำก N ลงในแผนภำพกำหนดแกนพิกดั xy และพิจำรณำเลอื กกฎของนวิ ตันเน่อื งจำกโจทยถ์ ำมหำแรงน้อยที่สุดที่กลอ่ งจะเริ่มเคลื่อนท่ี นน่ั คือกล่องยงั ไม่เคล่ือนที่ จงึ เลือกใช้กฎข้อ 1พจิ ำรณำแกน x  =0  Fxแทนคำ่ แรงในแกน x P  f =0แทนคำ่ f   N ; P   N = 0 -------------------------(1)พิจำรณำแกน y  =0  Fyแทนคำ่ แรงในแกน y N  mg = 0จะไดว้ ำ่ N = mg แทนค่ำใน (1) P   mg = 0แทนคำ่ P = 0.3 20  9.8  58.8 Nดงั นัน้ หำกตอ้ งกำรให้กลอ่ งเคลอ่ื นท่ี แรงดึงน้อยที่สุดทใ่ี ช้คอื 58.8 N ตอบตัวอย่ำงที่ 2.3 หญิงผู้หนึ่งติดอยู่บนตึกชั้นสำมในขณะที่เกิดเพลิงไหม้ จึงใช้ผ้ำฉีกมัดกันเป็นเชือกเพ่ือไต่ลงมำทำงหน้ำต่ำง โดยเชือกทนแรงตึงได้ 430N ตวั หญิงผู้น้ีหนัก 500N จงหำวำ่ ถ้ำต้องกำรไต่ลงมำโดยเชือกไม่ขำดจะต้องลงมำด้วยควำมเรง่ เทำ่ ไรวิธที ำ จำกโจทยก์ ำหนดแรงตงึ เชือก 430 N (T = 430 N) นำ้ หนกั ของหญงิ ผูน้ ้ี 500 N ( mg = 500 N หรือm = 51.02 kg) และตอ้ งกำรหำควำมเร่ง ( a )

กฎกำรเคลื่อนทข่ี องนิวตนั 31พจิ ำรณำแผนภำพวตั ถุ แรงทก่ี ระทำต่อหญิงผู้นี้ คอื นำ้ หนัก mg และแรงตึงเชือก Tโจทย์กล่ำวถึงควำมเร่ง จึงใช้กฎขอ้ ที่ 2 โดยเลือกพจิ ำรณำแกน y กอ่ น T  = ma mg ตอบ  Fyแทนคำ่ แรงในแกน y T  mg = maแทนคำ่ 430  500 = 51.02 aจะได้ a = 1.37 m/s2ดังนั้นถำ้ ต้องกำรไตล่ งมำโดยเชอื กไมข่ ำดต้องลงมำด้วยควำมเรง่ 1.37 m/s2ตัวอย่ำงท่ี 2.4 จำกตัวอย่ำงที่ 2.2 ถ้ำกล่องมวล 20 kg วำงอยู่บนพ้ืนเอียง 30o ท่ีมี สัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 จะตอ้ งออกแรง P เท่ำใด (ในแนวขนำนพ้นื ) เพ่ือดงึ ใหก้ ล่องเคล่อื นท่ีข้นึวธิ ีทำ P N P mgsin300 f 300 300 mg mgcos300 จำกโจทย์กำหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) วำงบนพ้ืนเอียง 30o ( = 30 o) สัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 (  = 0.3)วำดแผนภำพวัตถุ วำดแรงท้งั หมดที่เกิดขนึ้ กำหนดแกนพกิ ัด xy และเลือกใชก้ ฎข้อที่ 1 เนื่องจำกถำมหำแรงน้อยทสี่ ดุ ที่ใช้ในกำรดึงใหก้ ลอ่ งเคลื่อนท่ีข้นึ (กลอ่ งยังคงอยนู่ งิ่ )พิจำรณำแกน x  =0  Fxแทนคำ่ แรงในแกน x P  f  mg sin 300 = 0แทนคำ่ f   N ; P   N  mg sin 300 = 0 -------------------------(1)พจิ ำรณำแกน y  = 0  Fyแทนค่ำแรงในแกน y N  mg cos300 =0จะได้ว่ำ N = mg cos300 แทนคำ่ ใน (1) P   mg cos300  mg sin 300 =0จัดรูป จะได้ P = mg ( cos 300  sin 300 )แทนคำ่ P = 20 9.8(0.3cos300  sin 300 ) = 148.92 Nดงั นน้ั หำกต้องกำรดึงใหก้ ล่องเคล่อื นท่ีขนึ้ ไปตำมพื้นเอยี งต้องใชแ้ รงอย่ำงน้อย 148.92 N ตอบ

32 แรงและกำรเคล่ือนที่คดิ ซักนิด 4ในกำรใช้พื้นเอียงมำช่วยในกำรผ่อนแรง จำกตัวอย่ำงท่ี 2.4 เรำพบว่ำหำกต้องกำรยกกล่องมวล 20 kgขึน้ ไปวำงบนที่สูงจะต้องใช้แรง 196 N (20 kg x 9.8 m/s2) แต่หำกใช้พ้นื เอียงมำช่วยเรำจะออกแรงเพียง149 N เท่ำน้ัน ลองคิดตอ่ อกี ซกั นดิ ว่ำมุมของพน้ื เอยี งควรจะมำกหรือน้อยจึงชว่ ยผอ่ นแรงไดม้ ำกท่สี ดุตัวอย่ำงที่ 2.5 จำกตัวอย่ำงที่ 2.2 ถำ้ กล่องมวล 20kg วำงอยบู่ นพื้นท่ีมี สัมประสิทธิควำมเสียดทำนจลน์ 0.3เม่อื ออกแรงดงึ วตั ถใุ หเ้ คลื่อนที่ไปบนพ้นื ดว้ ยควำมเร็วคงที่ โดยแรงทำมุม 37oกับแนวระดับ แรงดงึ มีคำ่ เท่ำใดวิธีทำ y N Psin370 370 P x 3P7c0os37P0 mg fจำกโจทย์กำหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) สัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 (  = 0.3)และออกแรงดงึ โดยแรงทำมมุ 37 o กับแนวระดบั ( = 37 o) วำดแผนภำพวัตถุ วำดแรงท้ังหมดทเ่ี กิดขึ้น กำหนดแกนพกิ ดั xy และเลอื กใช้กฎข้อท่ี 1 เนอ่ื งจำกระบุวำ่ ควำมเรว็ คงท่ีพจิ ำรณำแกน x  =0  Fxแทนค่ำแรงในแกน x Pcos370  f =0แทนคำ่ f   N ; P cos 370   N = 0 -------------------------(1)พจิ ำรณำแกน y =แทนค่ำแรงในแกน y  = 0 0  Fy N  Psin 370  mgจะได้วำ่ N = mg  Psin 370 แทนค่ำใน (1) Pcos370   (mg  Psin 370 ) =0 Pcos370   mg  Psin 370 =0 P =  mg cos 37 0   sin 37 0แทนค่ำ P = 0.3 20 9.8 cos370  0.3sin 370 P = 60.35 Nดงั นน้ั แรงดงึ ทใ่ี ชใ้ นกำรดึงใหก้ ลอ่ งเคล่ือนทด่ี ้วยควำมเรว็ คงที่ คือ 60.25 N ตอบ

กฎกำรเคลื่อนทีข่ องนวิ ตัน 33ตัวอย่ำงที่ 2.6 จำกตวั อย่ำงท่ี 2.5 หำกเปล่ียนเป็นกำรผลักกล่องในทิศทำมุม 37oกับแนวระดับ จะต้องใช้แรงผลกั เท่ำใด มำกหรือน้อยกว่ำแรงดงึวธิ ที ำ N Psin370 370 P P3c7o0 s37P0จำกโจทย์กำหนดมวลของกล่อง 20 kg (m = 20 kg) สัมประสิทธิคmวำgมเสียดทำน f ( = 0.3) 0.3และออกแรงผลกั โดยแรงทำมุม 37 o กบั แนวระดับ ( = 37 o)วำดแผนภำพวตั ถุ วำดแรงทัง้ หมดท่เี กิดขน้ึ กำหนดแกนพกิ ัด xy และเลือกใชก้ ฎขอ้ ท่ี 1พิจำรณำแกน x  =0  Fxแทนคำ่ แรงในแกน x Pcos370  f =0แทนค่ำ f   N ; P cos 370   N = 0 -------------------------(1)พิจำรณำแกน y =แทนคำ่ แรงในแกน y  = 0 0  Fy N  Psin 370  mgจะได้วำ่ N = mg  Psin 370 แทนคำ่ ใน (1) Pcos370   (mg  Psin 370 ) =0 Pcos370   mg  Psin 370 =0 P =  mg cos 37 0   sin 37 0แทนคำ่ P = 0.3 20 9.8 cos370  0.3sin 370 P = 95.13 Nดังนั้นแรงทใี่ ชใ้ นกำรดึผลักให้กลอ่ งเคลอื่ นท่ีดว้ ยควำมเร็วคงท่ี คอื 95.13 N ตอบจำก ท้ังสองตัวอย่ำง จะพบว่ำ กำรดึงกล่องใช้แรง 60.35 N ในขณะที่กำรผลักใช้แรง 95.13 N นั่นก็คือกำรดึงกล่องจะใชแ้ รงน้อยกวำ่ กำรผลักในกำรทำให้กล่องเคลื่อนที่ เนื่องมำจำกแรงในกำรผลักส่วนหนึ่งจะไปเพ่ิมแรงกดหรือเพิม่ คำ่ แรงเสยี ดทำนให้กับกล่องน่ันเองค้นคว้ำเพมิ่ เติมนักศึกษำลองศึกษำเพมิ่ เตมิ เรือ่ งเคร่ืองกลผ่อนแรง เน่ืองจำกเปน็ ตัวอยำ่ งกำรประยุกต์ควำมรู้เรอ่ื งแรงเขำ้กับชีวติ ประจำวัน ตวั อยำ่ งเครอื่ งกลผ่อนแรงไดแ้ ก่ คำน ล้อและเพลำ พ้นื เอยี ง รอก ฯลฯ

34 แรงและกำรเคลื่อนท่ี2.3 กำรเคลอ่ื นทีข่ องวัตถุ กำรกระจดั ควำมเร็ว ควำมเรง่ เม่ือได้ศึกษำทำควำมเข้ำใจถึง มวล แรง และกฎกำรเคล่ือนท่ีของนิวตันมำแล้ว ในหัวข้อน้ีจะศกึ ษำถงึ นิยำมของกำรเคลื่อนที่ รวมทงั้ นยิ ำมของปริมำณท่ีสำคัญในกำรพิจำรณำกำรเคล่ือนท่ี เช่น กำรกระจัดควำมเรว็ และควำมเรง่ เพอื่ เป็นพืน้ ฐำนสำคญั ตอ่ กำรศึกษำกำรเคล่ือนทแี่ บบต่ำง ๆ ท่ีจะกลำ่ วถงึ ในหัวขอ้ ถัดไป กำรเคล่ือนท่ีเป็นผลมำจำกกำรท่ีมีแรงมำกระทำต่อวัตถุ ส่งผลให้วัตถุนั้นมีกำรเปลี่ยนหรือเคล่ือนย้ำยตำแหน่งไป เรำพบเห็นกำรเคลื่อนที่ในหลำยรูปแบบในชีวิตประจำวันไม่ว่ำจะเป็นกำรเดิน กำรวิ่ง กำรจรำจรบนทอ้ งถนน กำรเคล่อื นท่ีของสงิ่ มีชีวิตต่ำง ๆ บนโลก กำรวิ่งของสัตว์ส่ีเท้ำ กำรบนิ ของนก กำรกระโดดของกบ กำรว่ำยน้ำของปลำ หรือพิจำรณำไปยังกำรโคจรของดวงดำวต่ำง ๆ นอกโลก ซึ่งก่อนท่ีเรำจะทำควำมเข้ำใจถึงกำรเคลื่อนท่ีในลักษณะต่ำง ๆ ได้นน้ั เรำควรจะต้องทำควำมเขำ้ ใจถึงปริมำณทสี่ ำคญั ต่อกำรพิจำรณำกำรเคลื่อนที่เสยี ก่อน2.3.1 ระยะทำงและกำรกระจัดเม่ือกล่ำวถึงกำรเคล่ือนท่ี คำสองคำท่ีมักถูกกล่ำวถึงและมักมีควำมสับสนในกำรใช้งำน ซึ่งส่งผลต่อกำรพจิ ำรณำกำรเคล่อื นท่ี นนั่ กค็ อื คำวำ่ ระยะทำง และ กำรกระจดัระยะทาง ( s ) เป็นปริมำณสเกลำร์ ซง่ึ บอกระยะทำงทเ่ี กดิ กำรเคล่อื นที่ หรือ ควำมยำวจำกจุดตงั้ตน้ เรอ่ื ยไปจนถึงจุดสดุ ทำ้ ยที่เกิดกำรเคลื่อนที่ ระยะทำงมหี น่วย SI คือ เมตร (m) การกระจดั ( s ) เป็นปริมำณเวกเตอร์ ซึ่งคือเวกเตอร์ลัพธข์ องเวกเตอร์บอกตำแหนง่ ท่ีต่ำงกนั ของวัตถุขนำดของกำรกระจัด คือ ระยะทำงที่วัดจำกจุดต้ังต้นถึงจุดสุดท้ำยโดยไม่สนใจเส้นทำงกำรเคลื่อนท่ีทิศทำงของกำรกระจัดจะชจ้ี ำกจุดตัง้ ต้นไปยงั จุดสดุ ทำ้ ย กำรกระจัดมหี น่วย SI คอื เมตร (m) เชน่ เดียวกัน s     (2.5) s2 s1เมื่อ s คอื ระยะทำง (distance) หรือ กำรกระจดั (displacement) ในหน่วย mหำกเรำพิจำรณำกำรเคลื่อนท่ีจำกบ้ำนไปยังโรงพยำบำลตำมรูปที่ 2.5 ก) เรำพบว่ำเส้นทำง A Bและ C มรี ะยะทำงท่ีแตกต่ำงกัน เส้นทำง A นน้ั มรี ะยะทำงท่ีสั้นที่สดุ ส่วนเสน้ ทำง C มรี ะยะทำงทยี่ ำวท่สี ุด แต่ทง้ั สำมเสน้ ทำงล้วนมีกำรกระจดั เท่ำกัน สว่ นรูปท่ี 2.5 ข) แสดงคำ่ ระยะทำงและกำรกระจัดที่แตกต่ำงกัน ก) ข) รปู ท่ี 2.5 ควำมแตกตำ่ งระหว่ำงระยะทำงและกำรกระจดั 2.3.2 อัตรำเรว็ และควำมเร็ว เช่นเดียวกันกับในหัวข้อท่ีผ่ำนมำ อัตรำเร็วและควำมเร็วเป็นปริมำณสองตัวที่มักถูกใช้งำนคล้ำยคลึงกัน แต่ปริมำณสองตัวนีแ้ ตกต่ำงกัน อัตราเร็ว (v ) เป็นปริมำณสเกลำร์ คือ ระยะทำงท่ีวัตถุเคลอื่ นท่ีได้ต่อหน่ึงหน่วยเวลำ ในขณะท่ีความเร็ว ( v )เป็นปรมิ ำณเวกเตอร์ คือ กำรเปลี่ยนแปลงปริมำณกระจัดเทียบกบั เวลำ ซึง่ ทงั้ สองปริมำณนี้ อัตรำเรว็ และควำมเรว็ มีหนว่ ยเป็น เมตรต่อวนิ ำที (m/s) เช่นเดียวกัน

กำรเคลอื่ นทขี่ องวัตถุ กำรกระจดั ควำมเร็ว ควำมเร่ง 35 ในกำรพิจำรณำควำมเร็วของวัถตุน้ัน หำกต้องกำรทรำบควำมเร็วเฉล่ียในช่วงเวลำหนึ่ง สำมำรถพจิ ำรณำไดต้ ำมสมกำร (2.6) แตห่ ำกต้องกำรพจิ ำรณำควำมเร็วท่เี วลำใด ๆ ให้ใชส้ มกำร (2.7) ในกำรพิจำรณำ   s  s2  s1 (2.6) vav t t2  t1 (2.7) vt  ds dt เมอ่ื s คือ ระยะทำง (distance) หรือ กำรกระจัด (displacement) ในหนว่ ย m v คือ อัตรำเร็ว (speed) หรือ ควำมเรว็ (velocity) ในหนว่ ย m/s t คือ เวลำ (time) ในหน่วย s2.3.3 ควำมเร่ง ความเร่ง ( a ) เป็นปริมำณเวกเตอร์ คือ ควำมเรว็ ท่ีเปลี่ยนไปเมอ่ื เทยี บกบั เวลำมหี น่วยเป็น เมตรต่อวินำทียกกำลังสอง (m/s2) โดยวัตถุอำจเคล่ือนท่ีเร็วข้ึน เคล่ือนที่ช้ำลง หรือเปลี่ยนทิศของควำมเร็วไป ก็สำมำรถเรียกว่ำวัตถุมีควำมเร่งได้ ในกรณีท่ีวัตถุมีควำมเร็วลดลง ควำมเร่งจะมีค่ำเป็นลบ หรือ เรียกว่ำความหนว่ งมีหน่วยเป็น เมตรตอ่ วนิ ำทียกกำลังสอง (m/s2) ในกำรพิจำรณำควำมเร่งของวัถตุน้ัน เช่นเดียวกับกำรพิจำรณำควำมเร็ว หำกต้องกำรทรำบควำมเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลำหน่ึงๆ และควำมเร่งที่เวลำใด ๆ สำมำรถพิจำรณำได้ตำมสมกำร (2.8) และ (2.9)ตำมลำดบั aav  v     (2.8) t v2 v1 t2  t1 at  dv (2.9) dt เม่ือ a คือ ควำมเรง่ (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 v คอื อตั รำเร็ว (speed) หรือ ควำมเรว็ (velocity) ในหนว่ ย m/s t คือ เวลำ (time) ในหน่วย sตวั อยำ่ งท่ี 2.7 นำยสมชำยซอ้ มวิ่งรอบสนำมฟุตบอลซ่ึงมเี ส้นรอบวง 400 เมตร ใช้เวลำ 4 นำที จงหำอตั รำเร็วเฉล่ีย และ ควำมเร็วเฉลี่ยในกำรวงิ่วิธีทำ จำกโจทย์กำหนดเส้นรอบวง 400 เมตร ( s = 400 m และ s = 0 m) ใชเ้ วลำ 4 นำที (t = 4x60s) ถำมหำอัตรำเรว็ เฉลยี่ ( v ) และควำมเร็วเฉลี่ย ( v )อัตรำเรว็ เฉลี่ยในกำรว่งิ v = s= 400  1.67 m/s 4 60 tควำมเร็วเฉล่ียในกำรวง่ิ v = s = 0 0 m/s 4 60 tดังนั้น อตั รำเร็วเฉลีย่ ในกำรวงิ่ คอื 1.67 m/s และควำมเร็วเฉลี่ยในกำรวิ่งคือ 0 m/s ตอบ

36 แรงและกำรเคลื่อนท่ีตวั อยำ่ งที่ 2.8 ชำยคนหน่งึ เดนิ ทำงจำก บ้ำนไปยังวัด และเดนิ ทำงต่อไปยงั โรงพยำบำล จนไปถงึ โรงเรยี น ใช้เวลำนำน 55 นำที จงหำก) ระยะทำง และ กำรกระจัดข) อตั รำเรว็ เฉลี่ย และ ควำมเรว็ เฉล่ยีวิธีทำ จำกโจทยก์ ำหนดเวลำ 55 นำที (t = 55x60 s) ก) ระยะทำงคดิ ตำมเส้นทำงที่เคลื่อนท่ีระยะทำง = 200 150  300 = 650 mกำรกระจัดคดิ จำกจดุ เรม่ิ ตน้ ไปยังจุดสุดท้ำยกำรกระจัด = 250 mข) อัตรำเร็วเฉลย่ี = 650 = 55  60 0.20 m/sควำมเร็วเฉลย่ี = 250 55  60 = 0.08 m/sดงั น้ันระยะทำงคือ 650 m กำรกระจัดคือ 250 m อัตรำเร็วเฉล่ยี คือ 0.2 m/s และควำมเรว็ เฉลย่ีคอื 0.08 m/s ตอบ2.4 กำรเคลอ่ื นท่ีแบบต่ำง ๆ กำรเคลอื่ นทเ่ี รำพบเจอนน้ั มีมำกมำยหลำกหลำยรปู แบบ ซึ่งสำมำรถแบ่งประเภทคร่ำว ๆ ได้ ดงั น้ี 1. กำรเคล่ือนท่ีแบบย้ำยที่ : เป็นกำรเคลื่อนที่ที่วัตถุย้ำยตำแหน่งที่อยู่ เช่น รถวิ่ง ลูกเทนนิสท่ีลอยข้ำมตำข่ำย นกบิน ฯลฯ จัดเป็นกำรเคลื่อนท่ีที่พบเห็นได้บ่อยในชีวิตประจำวัน ซึ่งแบ่งพิจำรณำเป็น 2ประเภทคือกำรเคลื่อนที่ใน 1 มิติ คือ กำรเคลื่อนที่ในแนวรำบ หรือ กำรเคล่ือนที่ในแนวดิ่ง และกำรเคล่ือนท่ีใน 2 มิติ เชน่ กำรเคลื่อนทีแ่ บบโปรเจคไทล์ และ กำรเคล่อื นทแ่ี บบวงกลม 2. กำรเคล่ือนที่แบบหมุน : เป็นกำรเคล่ือนท่ีในลักษณะที่เกิดกำรหมุนรอบแกนหรือจุดใดจุดหนึ่ง เช่น กำรหมุนของกังหันลม กำรหมุนของล้อ ฯลฯ ซ่ึงมีท้ังควำมคล้ำยคลึงและควำมแตกต่ำงกับกำรเคลอื่ นท่ีแบบวงกลม 3. กำรเคล่ือนที่แบบส่ัน หรือ กำรเคลื่อนที่แบบเป็นคำบ : เป็นกำรเคลื่อนที่ที่เกิดจำกกำรสั่นหรือแกวง่ กลบั ไปกลับมำรอบจุดศูนย์กลำงจดุ ใดจุดหนึ่งในช่วงเวลำเท่ำ ๆ กนั เช่น กำรแกว่งของลูกต้มุ นำฬิกำกำรสั่นของสปริง กำรแกว่งของเรือที่ลอยตำมกระแสคลื่นในทะเล กำรชักเข้ำ-ออกของลูกสูบ กำรสั่นของเส้นลวดในเครื่องดนตรีประเภทเครอื่ งสำย กำรโล้ชิงช้ำ ฯลฯ ในบำงครั้ง เรำไม่สำมำรถจำแนกกำรเคลื่อนท่ีออกเป็นประเภทใดประเภทหน่ึงได้อย่ำงชัดเจนเพรำะอำจเกิดกำรเคลื่อนที่หลำยแบบพร้อมๆกัน ในหัวข้อน้ีจะขอกล่ำวถึงเน้นไปท่ีกำรเคลื่อนที่แบบย้ำยที่เทำ่ นนั้ โดยจะกลำ่ วถึงกำรเคลอ่ื นที่แบบหมนุ และกำรเคล่อื นทีแ่ บบส่ันเพยี งบำงสว่ นเท่ำนนั้ รำยละเอียดเชงิ ลึกสำมำรถไปศกึ ษำเพม่ิ เตมิ จำกแหล่งควำมร้อู ื่นได้

กำรเคลื่อนท่แี บบตำ่ ง ๆ 37 2.4.1 กำรเคลอื่ นท่ีใน 1 มติ ิ ในกำรศึกษำเรื่องกำรเคลื่อนที่ ระบบพกิ ัดมคี วำมสำคัญมำกในกำรบอกตำแหน่งของวัตถุ โดยมักมีกำรกำหนดตำแหน่งอ้ำงอิงไว้ท่ีพิกัด (0,0) และบอกค่ำตำแหน่งของวัตถุด้วยพิกัด x และ y สำหรับหัวข้อน้ีจะพิจำรณำกำรเคล่ือนท่ีในแนวเส้นตรงเพียงแกนเดียวเท่ำนั้น โดยอำจะเลือกพิจำรณำแกน x (กำรเคล่ือนท่ีในแนวรำบ) หรือแกน y (กำรเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง) ของระบบพกิ ัดฉำก2.4.1.1 กำรเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแบบมีควำมเร่งกำรเคล่ือนที่ในแนวเส้นตรงหำกวัตถุเคล่อื นท่ีด้วยควำมเรว็ คงตวั แสดงว่ำวัตถุนั้นไม่มีควำมเร่ง แต่หำกวตั ถมุ ีกำรเปลยี่ นแปลงควำมเร็ว เชน่ มคี วำมเร็วลดลง มคี วำมเร็วเพม่ิ ข้นึ หรอื มีกำรเปลีย่ นทิศกำรเคลื่อนที่จะถือว่ำวัตถุนั้นมีควำมเร่ง กำรเคลื่อนท่ีด้วยควำมเร่งท่ีง่ำยท่ีสุด คือ กรณีควำมเร่งคงตัว ซ่ึงเกิดขึ้นได้บ่อยในธรรมชำติ ไม่ว่ำจะเป็นกำรไถลลงตำมพ้ืนเอียง กำรไถลบนพ้ืนระดับท่ีมีควำมฝืด กำรเบรกหรือเร่งเคร่ืองยนต์หรือกำรท่วี ตั ถตุ กอย่ำงอสิ ระภำยใต้แรงโน้มถว่ งทจ่ี ะกลำ่ วถงึ ในหวั ข้อถดั ไปในกำรพจิ ำรณำกำรเคลือ่ นท่ี ตัวแปรที่สำคัญต่อกำรพจิ ำรณำนนั้ มอี ยู่ 5 ตัว คอื ระยะทำงหรอื กำรกระจัด ( s ) อัตรำเร็วหรือควำมเร็วในตอนที่เริ่มพิจำรณำ (u ) อัตรำเร็วหรือควำมเร็วในตอนท้ำย (v )ควำมเรง่ ( a ) และเวลำ (t ) โดยมสี มกำรกำรเคลอ่ื นทดี่ งั น้ี v  u  at (2.10) s  (u  v) t (2.11) 2 s  ut  1 at2 (2.12) 2 v2  u2  2as (2.13)เมอ่ื s คือ ระยะทำง (distance) หรือ กำรกระจัด (displacement) ในหน่วย m u คอื อัตรำเร็วต้น (initial speed) หรือ ควำมเรว็ ต้น (initial velocity) ในหน่วย m/s v คือ อตั รำเรว็ ปลำย (final speed) หรอื ควำมเร็วปลำย (final velocity) ในหน่วย m/s a คือ ควำมเร่ง (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 t คอื เวลำ (time) ในหน่วย sกลยุทธกำรแก้ปญั หำ1. พิจำรณำโจทย์ เขียนตัวแปรที่รู้ค่ำ เช่น s , u , v , a หรือ t โดยต้องระมัดระวังในเรื่องของ ทิศทำงด้วย อำจกำหนดใหเ้ วกเตอร์ที่มที ิศทำงในแกน +x หรือ +y มคี ำ่ เป็นบวก แต่หำกมที ิศตรง ข้ำมให้มีค่ำเป็นลบ และให้คอยมองหำตัวแปรที่แอบซ่อนอยู่ในรูปของข้อควำม เช่น วัตถุเร่ิม เคลื่อนที่จำกหยุดนิ่ง คือ u  0 วัตถุเคลื่อนท่ีจนหยุด คือ v  0 หรือที่ตำแหน่งสูงสุดของวัตถุ จะมี v  0 ฯลฯ2. หำกปริมำณที่โจทยก์ ำหนดไมไ่ ด้มีหนว่ ยอยูใ่ นระบบหนว่ ย SI ให้เปลี่ยนหนว่ ยให้เรียบร้อย3. พิจำรณำเลือกสมกำร (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) ท่ีมีตัวแปรที่ไม่ทรำบค่ำเพียงปริมำณ เดียวเท่ำนั้น เพื่อใช้ในกำรแก้ปัญหำโจทย์ ในบำงครั้งอำจต้องมีกำรแก้สมกำรสองสมกำรพร้อม กนั เพ่ือหำปริมำณท่ีไม่ทรำบคำ่ สองค่ำ4. ตรวจสอบคำตอบวำ่ สมเหตุสมผลหรอื ไม่

38 แรงและกำรเคลื่อนที่ตวั อยำ่ งที่ 2.9 รถยนตค์ ันหนงึ่ เริ่มเคล่ือนท่ีจำกหยดุ น่ิงไปไดท้ ำง 200 m พบว่ำมคี วำมเรว็ เปน็ 35 m/s จงหำคำ่ ควำมเรง่ ของรถ ถำ้ ถือวำ่ ควำมเร่งมคี ่ำคงท่ีตลอดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดใหร้ ถยนตเ์ ริ่มเคล่ือนท่ีจำกหยดุ น่งิ ( u = 0 m/s) ระยะทำง 200 m ( s = 200 m)ควำมเร็วปลำยเป็น 35 m/s ( v = 35 m/s) และถำมหำควำมเรง่ ของรถ ( a )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร u , s , v และตอ้ งกำรหำคำ่ ตวั แปร a จงึ เลอื กใชส้ มกำร (2.13)จำก v2 = u2  2asแทนคำ่ 352 = 02  (2a  200)จะได้ควำมเร่ง a = 3.06 m/s2ดงั น้นั ควำมเร่งของรถ คอื 3.06 m/s2 ตอบตัวอยำ่ งที่ 2.10 ผขู้ ับรถยนตค์ นั หนึ่งขับมำด้วยควำมเร็ว 90 km/h เขำเหน็ อุบัติเหตขุ ้ำงหน้ำจึงเหยยี บเบรกเพ่อื ชะลอควำมเรว็ ปรำกฏว่ำรถมคี วำมเร็วลดลงเหลือ 42 km/h เมอ่ื วงิ่ ไปได้อีก 95 m ถำ้ สมมตวิ ำ่ รถของเขำเคลอ่ื นที่ดว้ ยควำมเรง่ คงท่ีตลอดหลงั เหยียบเบรก จงหำว่ำ ก) หลังเหยียบเบรกรถมีควำมเร่งเทำ่ ไร ข) ชว่ งเวลำทร่ี ถมคี วำมเรว็ ลดลงดังกล่ำวเปน็ เทำ่ ไร ค) ถำ้ รถยังคงเคลื่อนที่ดว้ ยควำมเร่งในขอ้ ก) จะใชเ้ วลำเท่ำไรนับจำกเร่ิมเบรกจนรถหยุด ง) ถำ้ เกิดเหตุกำรณต์ ำมข้อ ค) รถจะหยุดได้ในระยะทำงเท่ำใดหลงั จำกเรม่ิ เบรกวธิ ีทำ ก) จำกโจทย์กำหนดควำมเรว็ ตน้ 90 km/h ( u = 90 km/h) ควำมเรว็ ปลำย 42 km/h (v = 42km/h) ระยะทำง 95 m ( s = 95 m) และถำมหำควำมเร่งของรถ ( a )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร u , v , s และตอ้ งกำรหำตวั แปร a จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.13)แตเ่ นอ่ื งจำกปรมิ ำณที่กำหนดยงั ไม่อยใู่ นหน่วย SI จงึ ทำกำรแปลงหนว่ ยกอ่ น u= 90 km  1000 m  1 h  25 m/s h 1 km 3600 s v = 42 km  1000 m  1 h  11.67 m/s h 1 km 3600 sจำก v2 = u2  2asแทนคำ่ 11.67 2 = 252  (2a 95)ดังน้นั จะไดค้ วำมเรง่ a =  2.57 m/s2 ตอบ ข) จำกโจทย์กำหนดควำมเร็วต้น 90 km/h (u = 25 m/s) ควำมเร็วปลำย 42 km/h (v = 11.67m/s) ระยะทำง 95 m ( s = 95 m) และถำมหำช่วงเวลำท่รี ถมีควำมเร็วลดลง ( t )

กำรเคลอื่ นท่แี บบต่ำง ๆ 39สรปุ ได้วำ่ ทรำบค่ำตัวแปร u , v , s และต้องกำรหำตวั แปร t จึงเลอื กใชส้ มกำร (2.11)จำก s = (u  v) t 2แทนค่ำ 95 = (25 11.67 ) t ตอบดังนนั้ จะได้เวลำ t= 2 5.18 s ค) จำกโจทยก์ ำหนดควำมเร็วต้น 90 km/h ( u = 25 m/s) เบรกด้วยควำมเร่งจำกข้อ ( a = -2.57m/s2) จนรถหยุด (v = 0 m/s) และถำมหำเวลำนับจำกเร่ิมเบรกจนหยดุ ( t )สรุปไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร u , a , v และตอ้ งกำรหำตวั แปร t จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.10)จำก v = u  a tแทนค่ำ 0= 25  (2.57 t)ดงั นน้ั จะได้เวลำ t = 9.73 s ตอบ ง) จำกโจทย์กำหนดควำมเรว็ ต้น 90 km/h ( u = 25 m/s) เบรกด้วยควำมเร่งจำกข้อ ก ( a = -2.57m/s2) จนรถหยดุ ( v = 0 m/s) และถำมหำระยะทำงนับจำกเรม่ิ เบรกจนหยดุ ( s )สรปุ ได้วำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร u a v และตอ้ งกำรหำตัวแปร s จึงเลือกใชส้ มกำร (2.13)จำกสมกำร (2.13) v2 = u2  2asแทนค่ำ 02 = 252  (2 (2.57 s))ดงั นั้นจะได้ระยะทำง s = 121.60 mตอบตัวอย่ำงท่ี 2.11 จำกตัวอย่ำงท่ี 2.3 ท่ีหญิงผู้หนึ่งติดอยู่บนตึกในขณะที่เกิดเพลิงไหม้ หำกหญิงผู้น้ีไต่ลงด้วยควำมเร่งตำมตวั อยำ่ งที่ 2.3 จงหำควำมเร็วของหญิงผูน้ ีเ้ มื่อกระทบพนื้ เมื่อหน้ำต่ำงอยู่สงู จำกพื้น 10 mวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ไต่ลงจำกหยุดนิง่ ( u = 0 m/s) ดว้ ยควำมเรง่ ตำมตัวอย่ำงท่ี 2.3 ( a = -1.37m/s2) ระยะทำง 10 m ( s = 10 m) และถำมหำควำมเรว็ เมื่อกระทบพื้น ( v )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบค่ำตัวแปร u , a , s และต้องกำรหำตวั แปร v จึงเลือกใชส้ มกำร (2.13)จำก v2 = u2  2asแทนค่ำ v2 = 02  (2 (1.37)  (10))ดงั นน้ั จะได้ควำมเร็ว v = 5.23 m/s ตอบ

40 แรงและกำรเคล่ือนท่ี 2.4.1.2 กำรตกอย่ำงอิสระภำยใต้แรงโน้มถ่วงของโลก กำรตกอย่ำงอิสระของวัตถุ เป็นอีกหนง่ึ ตัวอย่ำงของกำรเคลื่อนทใ่ี นแนวเส้นตรงด้วยควำมเรง่ คงท่ี ในอดีตเคยมีควำมเช่ือว่ำวัตถุที่หนักกว่ำจะตกเร็วกว่ำวัตถุท่ีเบำ แต่แล้วกำรค้นพบของกำลิเลโอได้ทำลำย สมมติฐำนนี้ท่ีว่ำมวลของวัตถุไม่มีผลต่อกำรตกอย่ำงอิสระภำยใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จำกกำรศึกษำกำร เคล่ือนที่ของวัตถุที่ตกลงมำด้วยควำมแม่นยำสูง โดยตัดผลกระทบจำกแรงต้ำนอำกำศและกำรหมุนของโลก ออกไป พบว่ำวัตถุทุกชิ้นจะตกลงด้วยความเร่งในทิศทางลงเท่ากันหมดโดยไม่ข้ึนกับน้าหนักของวัตถุ เรำเรียก กำรเคลื่อนท่ีแบบน้ีว่ำ การตกอย่างอิสระ และเรียกควำมเร่งคงตัวของกำรตกอย่ำงอิสระน้ีว่ำ ความเร่งโน้ม ถว่ งของโลก ( g ) ซ่งึ มคี ำ่ ประมำณ 9.8 m/s2 กลยุทธกำรแก้ปญั หำ พิจำรณำเลือกใช้สมกำร (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) เช่นเดียวกับกำรเคลื่อนที่ในแนวรำบ แต่ให้ แทนค่ำ a ด้วย g  9.8 m/s2 (กำรแทนค่ำติดลบเนื่องจำกควำมเร่งโน้มถ่วงมีทิศพุ่งลงเสมอ) และกำร แทนค่ำเวกเตอร์กำรกระจัดและควำมเรว็ จะตอ้ งพิจำรณำทิศทำงของเวกเตอรด์ ้วย (เวกเตอร์ทิศขนึ้ แทนค่ำ เป็นบวก เวกเตอรท์ ิศลงแทนคำ่ เป็นลบ) นอกจำกน้ีพึงระวงั ข้อควำมทอี่ ำจสือ่ ถงึ ปริมำณบำงอย่ำงท่ซี ่อนไว้ เช่น ทจี่ ุดสูงสดุ จะมีควำมเร็วเปน็ ศนู ย์ กำรปลอ่ ยใหว้ ตั ถตุ กอย่ำงอิสระคอื มีควำมเรว็ ต้นเป็นศูนย์ ค้นควำ้ เพมิ่ เตมิ นักศึกษำสำมำรถรบั ชมคลปิ VDO สำธติ กำรทดลองกำรตกอย่ำงอสิ ระภำยใต้แรงโนม้ ถ่วงของโลกจำกชอ่ ง BBC ได้โดยกำรสแกน QR code ด้ำนลำ่ งน้ีตัวอย่ำงที่ 2.12 วัตถุช้ินหน่ึงถูกปล่อยให้ตกลงมำในแนวดิ่งอย่ำงอิสระภำยใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จงหำตำแหนง่ และควำมเรว็ ของวตั ถุ หลงั จำกตกลงมำได้ 4 วินำทีวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดใหว้ ตั ถถุ กู ปล่อยให้ตกลงมำจำกหยุดนิ่ง ( u = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก (g = -9.8 m/s2) เวลำ 4 วนิ ำที (t = 4 s) และถำมหำตำแหนง่ ( s ) และควำมเรว็ ( v ) ของวตั ถุสรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร u , g , t และต้องกำรหำตัวแปร s จึงเลอื กใช้สมกำร (2.12)จำก s = ut  1 at2 2แทนค่ำ s = 0  (1  (9.8)  42 ) 2ดังน้ันจะไดต้ ำแหนง่ s =  78.4 m ตอบ

กำรเคลอ่ื นที่แบบตำ่ ง ๆ 41หำตวั แปร v จึงเลือกใชส้ มกำร (2.10)จำก v = uatแทนค่ำ v= 0  (9.8 4)ดังนนั้ จะไดค้ วำมเร็ว v =  39.2 m/s ตอบ หมำยเหตุ ตำแหน่งและควำมเรว็ มีคำ่ ตดิ ลบเนอ่ื งจำกเป็นเวกเตอรช์ ้ที ิศลงตัวอย่ำงท่ี 2.13 ปล่อยลกู บอลลงมำจำกดำดฟ้ำตึก 60 เมตร จะใชเ้ วลำนำนเท่ำใดจึงตกถึงพ้ืน และ ควำมเร็วตอนกระทบพนื้ เปน็ เท่ำไรวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดใหล้ ูกบอลถูกปลอ่ ยให้ตกลงมำจำกหยุดนิ่ง ( u = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก( g = -9.8 m/s2) จำกดำดฟ้ำตึกสงู 60 เมตร ( s = 60 m) และถำมหำเวลำ ( t ) และควำมเรว็ ( v )สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตวั แปร u , g , s และตอ้ งกำรหำตัวแปร t จงึ เลอื กใช้สมกำร (2.12)จำก s = ut  1 at2 2แทนคำ่  60 = 0  (1  (9.8) t 2 ) 2ดังน้นั จะได้เวลำ t s ตอบ = 12.24 ตอบหำตัวแปร v จึงเลือกใช้สมกำร (2.10)จำก v2 = u2  2asแทนค่ำ v2 = 02  (2 (9.8)  (60))ดังนั้นจะไดค้ วำมเรว็ v =  34.29 m/sตวั อยำ่ งท่ี 2.14 ยิงปืนขนึ้ ไปตรงๆตำมแนวดิ่ง จำกหนำ้ ผำแห่งหนึง่ ดว้ ยควำมเร็ว 120 m/s จงหำว่ำก) กระสุนจะขนึ้ ไปได้สงู สุดเท่ำไรจำกจดุ ยงิ และใชเ้ วลำนำนเท่ำไรข) ถำ้ กระสุนตกถงึ พ้นื ดนิ ในเวลำ 26 s นับจำกเรม่ิ ยิงหน้ำผำสูงเท่ำไรค) จงหำเวลำทก่ี ระสุนมคี วำมเรว็ 35 m/sวิธีทำ v=0m/s ก) ค)u=120m/s ข) t=26s

42 แรงและกำรเคลื่อนท่ีก) จำกโจทย์กำหนดใหล้ ูกปนื ถูกยงิ ขน้ึ ไปจำกหนำ้ ผำด้วยควำมเร็ว 120 m/s ( u = 120 m/s) ถึงจดุ สูงสดุ (v = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ถำมหำระยะสูงสดุ ( s ) และเวลำ (t )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร u , v , g และต้องกำรหำตัวแปร s จึงเลือกใชส้ มกำร (2.13)จำก v2 = u2  2asแทนค่ำ 0= 120 2  (2 (9.8)  s)ดังนั้นจะได้ระยะสงู สดุ s = 734.69 m ตอบหำตวั แปร t จึงเลือกใช้สมกำร (2.10)จำก v = u  a tแทนค่ำ 0= 120  (9.8 t)ดงั นนั้ จะไดเ้ วลำ t = 12.24 s ตอบข) จำกโจทย์กำหนดให้ลกู ปนื ถกู ยงิ ขึน้ ไปจำกหนำ้ ผำดว้ ยควำมเร็ว 120 m/s ( u = 120 m/s) ภำยใต้แรงโนม้ถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ถ้ำกระสนุ ตกถึงพืน้ ในเวลำ 26 s ( t = 26 s) และถำมหำควำมสงู หน้ำผำ ( s )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร u , g , t และตอ้ งกำรหำตัวแปร s จึงเลอื กใชส้ มกำร (2.12)จำก s = ut  1 at2 2แทนคำ่ s = (120  26)  (1  (9.8) 262 ) 2จะได้กำรกระจดั s = 192.4 mนัน่ คอื หน้ำผำสูง 192.4 m ตอบค) จำกโจทย์กำหนดใหล้ กู ปนื ถูกยงิ ข้ึนไปจำกหน้ำผำด้วยควำมเรว็ 120 m/s ( u = 120 m/s) ภำยใต้แรงโน้มถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) ที่ควำมเรว็ ปลำย 35 m/s ( v = 35 m/s) และถำมหำเวลำ (t )สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร u , g , v และต้องกำรหำตัวแปร t จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.10)จำก v = u  a tแทนคำ่ 35 = 120  (9.8 t)ดังนั้นจะได้เวลำ t = 8.67 s ตอบ 2.4.2 กำรเคล่อื นท่ีใน 2 มติ ิ เมื่อได้ทำควำมเข้ำใจกำรเคลอ่ื นท่ีใน 1 มติ มิ ำแล้ว กำรพิจำรณำกำรเคล่อื นทีใ่ น 2 หรือ 3 มติ ิ เป็นปัญหำซับซ้อนมำกขึ้น เนื่องจำกโลกเรำนั้นเป็นสำมมิติกำรเคล่ือนที่จริงท่ีพบเห็นจึงไม่ได้เกิดข้ึนเพียงแค่เป็นเส้นตรงหรือเป็นระนำบเท่ำนั้น กำรจะทำควำมเข้ำใจถึงเส้นทำงโค้งของลูกบอลท่ีถูกเตะออกไป หรือวงโคจรของดำวตำ่ ง ๆ จำเปน็ ต้องขยำยขอบเขตออกไปเป็นสองหรือสำมมิติ โดยจะยงั คงพิจำรณำปริมำณเดิมอยู่นั่นก็