ตำราฟิสิกส์เบื้องต้น

คํานาํ ตําราฟิสิกส์เบ้ืองต้นนี้ ได้รวบรวมและจัดทําขึ้นเพ่ือให้สอดคล้องกับกรอบรายวิชาหมวดวิชาเฉพาะ กลุ่มพ้ืนฐานวิชาชีพ ระดับปริญญาตรี และรองรับหลักสูตรต่าง ๆ ในกรอบมาตรฐานคุณวุฒิระดบั อุดมศึกษาแห่งชาติ เพ่ือใช้ประกอบการเรียนการสอนวิชาฟิสิกส์เบ้ืองต้น รหัสวิชา 0604100 โดยมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจในเน้ือหา สําหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลตะวันออก โดยได้แบ่งเน้ือหาในการเรียนการสอนไว้ 9 บท ได้แก่ บทนําและคณิตศาสตร์พื้นฐานที่ใช้ในวิชาฟิสิกส์ แรงและการเคล่ือนที่ งานและพลังงาน กลศาสตร์ของของไหล ปรากฎการณ์คลื่น แสงและเสียง ความร้อนและอุณหพลศาสตร์ ไฟฟ้าสถติ แมเ่ หล็กไฟฟ้า วงจรไฟฟ้าเบ้ืองตน้ และ ฟสิ กิ ส์เทคโนโลยี ตําราฟสิ กิ ส์เบือ้ งตน้ นไ้ี ด้รับการปรับปรุงอย่างต่อเน่ือง ต้ังแต่ปี พ.ศ. 2558 จนถึงปัจจุบัน ได้มีการอ้างอิงจากหนังสือและตําราท้ังในประเทศและต่างประเทศ ในการพิมพ์คร้ังน้ีผู้เขียนขอขอบคุณ ผศ.ดร.พนิดาหล่อวงศ์ตระกูล ที่ช่วยตรวจ และให้คําแนะนําในการแก้ไขข้อผิดพลาด อาจารย์วรีภรณ์ รัตนิสสัย ที่ให้คําแนะนําในเขียน คุณสุรบดินทร์ อุตมัง ผู้ช่วยในการจัดทํารูปภาพประกอบ และครอบครัวของผู้เขียน อันได้แก่ อาจารย์วิโรจน์ เครือภู่ ผศ.ดร.ผดุงศักดิ์ และ ผศ.ดร.ใจทิพย์ วานิชชัง ผู้คอยช้ีแนะ ให้คําปรึกษาในการจัดทําตาํ ราเล่มน้ี และบุตรชายที่เป็นกาํ ลังใจสําคญั ในการทาํ งานนใ้ี หส้ ําเร็จ ผู้เขียนหวังว่าตําราเล่มน้ีจะมีประโยชน์ต่อนักศึกษาและผู้ที่ใช้ศึกษา และส่งผลให้การเรียนการสอนรายวิชานี้มีประสิทธิภาพและมีคุณภาพย่ิงข้ึนต่อไป หากท่านที่นําไปใช้มีข้อเสนอแนะ ผู้เขียนยินดีรับฟังข้อคิดเห็นตา่ ง ๆ และขอขอบคุณมา ณ โอกาสนี้ เพียงขวญั เครือภู่ 3 มกราคม 2560

สารบัญ หนา้ เรือ่ ง 1 21บทที่ 1 บทนาํ และคณิตศาสตร์พนื้ ฐานทใี่ ชใ้ นวชิ าฟสิ ิกส์ 61บทท่ี 2 แรงและการเคลือ่ นท่ี 84บทที่ 3 งานและพลงั งาน 108บทที่ 4 กลศาสตรข์ องของไหล 131บทที่ 5 ความร้อนและอณุ หพลศาสตร์ 156บทที่ 6 ปรากฏการณ์คลืน่ แสงและเสียง 180บทท่ี 7 ไฟฟา้ สถิตและแมเ่ หลก็ ไฟฟา้ 213บทท่ี 8 วงจรไฟฟ้าเบ้ืองต้น 219บทที่ 9 ฟสิ กิ สเ์ ทคโนโลยี 220บรรณานกุ รรม 222ภาคผนวก ก ระบบหนว่ ยระหว่างชาติ 223ภาคผนวก ข ตวั ประกอบการเปล่ยี นหนว่ ย 225ภาคผนวก ค ความสมั พันธ์ทางคณติ ศาสตร์ทมี่ ปี ระโยชน์ 226ภาคผนวก ง คา่ คงตัวท่คี วรทราบ 227ภาคผนวก จ ตัวอกั ษรกรีก 229ภาคผนวก ฉ เฉลยแบบฝกึ หดัดชั นี

สารบัญรปู ภาพ รายการ หน้ารปู ที่ 1.1 เครือ่ งมอื ชว่ ยในการเปลย่ี นหนว่ ยผา่ น Google และแอพลเิ คชนั่ บนโทรศัพทม์ ือถอื 6รูปที่ 1.2 การแทนปรมิ าณเวกเตอรด์ ว้ ยลูกศร 7รปู ท่ี 1.3 การบวกเวกเตอรโ์ ดยวธิ ีการเขยี นรูปและสมบัตกิ ารสลบั ทขี่ องการบวกเวกเตอร์ 8รูปที่ 1.4 ผรูปลสรว่ีเหมลข่ยีอมงเดว้ากนเตขอนรา์นAข,อBงก,CารรแวลมะเวกDเตอร์ 8รปู ที่ 1.5 9รปู ที่ 1.6 การลบเวกเตอร์ 9รูปที่ 1.7 การแตกองค์ประกอบของเวกเตอร์ A 10รูปท่ี 1.8 การบวกเวกเตอรโ์ ดยใชว้ ิธีการเวกเตอรอ์ งค์ประกอบ 11รปู ท่ี 1.9 การหาทิศทางของผลคูณเวกเตอร์ โดยใช้กฎมือขวา 15รปู ท่ี 2.1 แสดงแผนภาพแทนแรง 22รูปท่ี 2.2 แสดงการรวมแรงและการแตกแรง 22รปู ที่ 2.3 แสดงความพยายามในการคงสภาวะเดมิ ของวตั ถุ 27รูปที่ 2.4 แสดงคแู่ รงกริ ยิ า-ปฏิกิริยาของวตั ถตุ า่ ง ๆ 29รปู ท่ี 2.5 ความแตกต่างระหว่างระยะทางและการกระจดั 34รปู ที่ 2.6 แกสารดหงเาสคน้ วทามางเรก็วาทร่เีเปคลล่อืี่ยนนทไป่แี บ( aบโ)ปขรอเจงควัตไทถลุท์แกี่ ลําะลตังเวั คแลป่ือรนตทา่ งี่แบๆบวงกลมดว้ ยอตั ราเรว็ คงตัว 43รปู ท่ี 2.7 47รูปที่ 2.8 แสดงผลของตาํ แหนง่ ท่ีแรงกระทาํ 52รปู ที่ 2.9 ทศิ ทางของทอร์กตามการใชก้ ฎมอื ขวา 52รูปท่ี 2.10 ลกู ต้มุ นาฬิกาอยา่ งง่าย 54  ทาํ ในทิศเดยี วกับการกระจัด s 62รูปท่ี 3.1 เมอ่ื แรงคงตวั F ทําในทิศทาํ มุม  กับการกระจดั s 63รูปที่ 3.2 เม่ือแรงคงตวั Fรปู ที่ 4.1 ขวดหาถ.พ. 86รูปที่ 4.2 หลกั การของเคร่ืองยนต์ไฮดรอลคิ โดยใชก้ ฎของปาสคาล 89รูปท่ี 4.3 มานอมิเตอร์แบบปลายเปิดและการอ่านคา่ ในหน่วย mmHg 91รปู ที่ 4.4 บารอมิเตอร์ปรอท 92รูปที่ 4.5 แสดงคา่ แรงลอยตวั เมื่อวตั ถุจมในของไหลในลกั ษณะตา่ ง ๆ 93รปู ท่ี 4.6 ไฮโดรมิเตอร์ 94รปู ที่ 4.7 การหาปริมาตรของวตั ถโุ ดยการแทนท่นี า้ํ 95รปู ท่ี 4.8 การหาความหนาแน่นสมั พทั ธข์ องวัตถโุ ดยการชั่งนา้ํ หนักในนาํ้ 96รูปท่ี 4.9 ลกั ษณะของน้าํ และปรอทในหลอดทดลอง 97รูปที่ 4.10 แสดงลกั ษณะการไหลที่ถกู จําแนกด้วยเลขเรย์โนลด์ 99รปู ท่ี 4.11 การไหลเมื่อพิจารณาโดยสมการความต่อเนือ่ งและสมการเบอร์นูลลี 100รปู ที่ 4.12 แสดงความเรว็ ของการไหลในทอ่ ของของไหลทม่ี ีความหนืด 101

สารบญั รูปภาพ (ต่อ)รายการ หนา้รปู ท่ี 5.1 การแบ่งมาตราสว่ นของอุณหภูมิ 109รูปท่ี 5.2 แสดงการเปลีย่ นแปลงเมอื่ นํา้ ได้รับความร้อน 111รูปที่ 5.3 การพาความร้อนแบบอิสระและการเกดิ ลม 117รูปที่ 5.4 การขยายตัวทางความรอ้ น 120รปู ท่ี 6.1 แสดงคลน่ื ตามขวางในเส้นเชอื ก และคล่นื ตามยาวในขดลวดสปรงิ 132รปู ท่ี 6.2 แสดงส่วนประกอบของคล่นื 132รปู ท่ี 6.3 แสดงการเกดิ คลืน่ เชิงซอ้ นจากคลนื่ 3 ขบวน 135รปู ที่ 6.4 แสดงการเกดิ บตี ส์ของคล่ืน 2 ขบวน 135รูปท่ี 6.5 แสดงความแตกตา่ งของค่าความยาวคลื่นระหวา่ งแหล่งกําเนดิ ท่ีอยูน่ งิ่ และเคล่อื นท่ี 136รปู ที่ 6.6 คล่นื น่งิ ในเสน้ เชือก 137รูปท่ี 6.7 คล่ืนนงิ่ ของอากาศในทอ่ 138รปู ที่ 6.8 การใช้หลักการสะทอ้ นของเสียง 142รปู ที่ 6.9 แสดงการเล้ียงเบนของเสียงจากวิทยอุ ้อมผา่ นกําแพงหอ้ ง 143รปู ท่ี 6.10 แสดงการเล้ยี งเบนของเสยี งจากกลองและเครอ่ื งเปา่ ของวงโยทวาธิต 143รูปท่ี 6.11 แสดงระดบั ความเขม้ เสยี งของเหตุการณต์ ่าง ๆ 145รปู ที่ 6.12 การมองเหน็ สี 147รปู ท่ี 6.13 การสะท้อนของแสง 148รูปที่ 6.14 การสะทอ้ นของแสงบนพ้ืนผวิ ท่ีตา่ งกนั 149รปู ท่ี 6.15 การหักเหของแสงเม่ือเดินทางผ่านตัวกลางต่างชนดิ 149รปู ที่ 6.16 การหักเหของแสงตามกฎของสเนลล์ 150รูปท่ี 6.17 การหกั เหของแสงตามกฎของสเนลล์ 150รูปท่ี 6.18 การกระจายของแสง 151รูปท่ี 7.1 แสดงขนาดและทิศของแรงคูลอมบ์ระหวา่ งประจุ 158รปู ที่ 7.2 ทศิ ของแรงทก่ี ระทําตอ่ ประจบุ วกและประจลุ บเมื่อวางในบรเิ วณท่มี ีสนามไฟฟา้ 160รปู ท่ี 7.3 ทศิ ของสนามไฟฟ้าทเี่ กดิ จากจุดประจุบวกและจุดประจุลบ 160รูปที่ 7.4 สนามไฟฟ้าเนือ่ งจากประจซุ ่ึงกระจายตัวต่อเน่ือง 161รปู ท่ี 7.5 การกําบงั ไฟฟ้าสถิต 161รปู ที่ 7.6 กรงฟาราเดย์ 162รูปท่ี 7.7 แสดงเสน้ แรงไฟฟ้าหรอื เสน้ สนามไฟฟา้ ของประจุท้ังสอง 163รูปท่ี 7.8 แสดงผวิ สมศักย์และเส้นแรงไฟฟา้ ที่เกิดข้ึนกบั ประจุ 165รปู ท่ี 7.9 แสดงแรงกระทาํ ที่เกดิ ข้นึ เมื่อตัวนําท่วี างในสนามแมเ่ หล็กมีกระแสไฟฟา้ ไหล 167รูปที่ 7.10 การใช้กฎมือขวาในการบอกทศิ ของแรงแมเ่ หลก็ 167รปู ที่ 7.11 เครอ่ื งคัดขนาดความเรว็ 168รปู ท่ี 7.12 กฎมอื ขวาสาํ หรับการหาทิศของสนามแม่เหล็กทเ่ี กิดขึน้ จากการไหลของกระแส 171

สารบัญรูปภาพ (ตอ่ ) หน้า รายการ 173 173รปู ท่ี 7.13 กลไกการเคล่ือนท่ขี องประจไุ ฟฟ้าในการเกิดฟา้ แลบและฟ้าผ่า 175รปู ที่ 7.14 ปรากฏการณแ์ สงเหนือ 180รูปที่ 7.15 รถไฟฟ้าพลังแม่เหล็ก 181รปู ที่ 8.1 แสดงค่ากระแสและแรงดันไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้ากระแสตรง 182รูปท่ี 8.2 แสดงคา่ กระแสและแรงดันไฟฟา้ ในวงจรไฟฟา้ กระแสสลบั 187รปู ท่ี 8.3 การเคลอื่ นที่ของอิเลก็ ตรอนอสิ ระในตวั นาํ 188รปู ที่ 8.4 ความสมั พันธ์ระหว่างกระแสไฟฟ้าและความต่างศักย์ 189รูปท่ี 8.5 อปุ กรณอ์ เิ ล็กทรอนกิ สท์ พ่ี บในวงจรไฟฟ้า 189รปู ที่ 8.6 ตัวต้านทานและสญั ลกั ษณใ์ นวงจร 190รูปที่ 8.7 ตวั เก็บประจชุ นิดต่าง ๆ และสญั ลกั ษณใ์ นวงจร 190รูปท่ี 8.8 ขดลวดเหนี่ยวนํา 191รปู ที่ 8.9 ไดโอดและสัญลกั ษณ์ในวงจร 191รปู ท่ี 8.10 ไดโอดเปลง่ แสง 191รปู ท่ี 8.11 ทรานซสิ เตอร์ 192รูปที่ 8.12 สญั ลักษณ์ในวงจรไฟฟา้ 196รปู ท่ี 8.13 การตอ่ ตัวต้านทานแบบอนกุ รมและแบบขนาน 197รูปที่ 8.14 วงจร RLC แบบอนุกรม 198รปู ที่ 8.15 แผนภาพเฟสของวงจร RLC แบบอนุกรม 199รปู ท่ี 8.16 วงจร RLC แบบขนาน 203รปู ท่ี 8.17 แผนภาพเฟสของวงจร RLC แบบขนาน 204รูปท่ี 8.18 เครอ่ื งมอื วัดทางไฟฟา้ 205รูปท่ี 8.19 การต่อแอมมเิ ตอรโ์ วลต์มิเตอร์ และโอห์มมิเตอรเ์ พอ่ื วดั ค่าทางไฟฟ้า 206รปู ที่ 8.20 เมนสวิตซ์ เบรกเกอร์ และ สะพานไฟ 214รปู ท่ี 8.21 ฟิวส์ชนดิ ต่าง ๆ 215รปู ที่ 9.1 ฟิสกิ ส์ในรถแทรกเตอร์ 215รูปที่ 9.2 การติดต้ังพัดลมระบายอากาศในโรงเรอื น 216รปู ที่ 9.3 ระบบให้นาํ้ อตั โนมัติรปู ท่ี 9.4 ระบบหมุนเวยี นนาํ้ ในบ่อปลา

สารบัญตารางรายการ หน้าตารางท่ี 1.1 หนว่ ยพนื้ ฐาน (base units) ในระบบหน่วย SI 4ตารางที่ 1.2 คาํ อุปสรรคต่าง ๆ ท่นี ิยมใชใ้ นระบบ SI 5ตารางที่ 2.1 แรงพืน้ ฐาน (Fundamental Forces) 23ตารางท่ี 2.2 แสดงคา่ สัมประสทิ ธคิ วามเสียดทานของพ้นื ผวิ ตา่ ง ๆ 26ตารางที่ 4.1 ความหนาแนน่ ของวัสดบุ างชนิด 85ตารางที่ 4.2 คา่ ความตงึ ผิวจากการทดลอง 98ตารางที่ 5.1 คา่ ประมาณของความจุความรอ้ นจาํ เพาะ 112ตารางท่ี 5.2 ความร้อนแฝงของการหลอมเหลวและการกลายเปน็ ไอ 114ตารางท่ี 5.3 สภาพนาํ ความร้อน 116ตารางที่ 5.4 สมั ประสิทธกิ ารขยายตวั ทางความรอ้ น 121ตารางที่ 6.1 การแบง่ เสียงดนตรีทางวิทยาศาสตร์ 140ตารางที่ 6.2 มาตรฐานความเข้มเสยี งของสถานประกอบการ 140ตารางที่ 6.3 อตั ราเร็วของเสียงที่ตวั กลางต่าง ๆ ทีอ่ ุณหภมู ิตา่ ง ๆ 141ตารางท่ี 6.4 ค่าอตั ราเรว็ แสงและดัชนหี ักเหของแสงในตวั กลางตา่ ง ๆ 147ตารางที่ 7.1 มวลและขนาดประจุไฟฟ้าของอนภุ าคพ้นื ฐาน 157ตารางท่ี 8.1 สภาพต้านทานทอี่ ุณหภูมหิ อ้ ง 20 oC 184ตารางที่ 8.2 สมั ประสทิ ธิอณุ หภมู ิของสภาพตา้ นทาน (ค่าประมาณใกลเ้ คียงอณุ หภมู หิ อ้ ง) (20oC)185ตารางท่ี 8.3 รหัสสีสําหรบั ตัวตา้ นทาน 189ตารางที่ 8.4 ปรมิ าณท่สี ําคญั กับวงจรไฟฟา้ กระแสสลับ 196

บทท่ี 1บทนาํ และคณติ ศาสตร์พืน้ ฐานทีใ่ ช้ในวิชาฟิสิกส์1.1 บทนํา 1.1.1 ฟิสกิ สแ์ ละววิ ฒั นาการของวิชาฟสิ กิ ส์ ฟสิ ิกสเ์ ปน็ ศาสตรห์ น่งึ ในวิชาด้านวิทยาศาสตร์กายภาพที่อาจกล่าวได้ว่าเป็นพื้นฐานของทุกสรรพสิ่ง เน่ืองจากฟิสิกส์เกิดจากการสังเกต และการทดลองเพื่อค้นคว้าหาความจริงในธรรมชาติ และเพื่ออธิบายความเป็นไปของปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น ขอบเขตของวิชาฟิสิกส์จึงครอบคลุมขอบเขตที่กว้างขวางมากไล่เรียงไปต้ังแต่การพิจารณาอนุภาคท่ีมีขนาดเล็กมาก ๆ ในระดับอะตอม วัตถุรอบตัวที่สามารถพบเห็นได้ ไปจนถึงจักรวาลท่ีมีขนาดกว้างใหญ่ไพศาล น่ันจึงส่งผลให้วิชาฟิสิกส์มีความเกี่ยวข้องกับศาสตร์ต่าง ๆ มากมายหลายด้านไม่ว่าจะเป็นด้านวิศวกรรม การแพทย์ เทคโนโลยี หรือวิทยาศาสตร์พ้ืนฐานด้านอ่ืน ๆ เช่น ดาราศาสตร์ ชีววทิ ยา เคมี ธรณวี ทิ ยา เป็นต้น ดว้ ยการนาํ เสนอแนวคิด สมการ ทฤษฎพี ้ืนฐาน หรือสมมติฐานเพียงไม่กข่ี อ้ แต่ก็เพียงพอที่จะสามารถอธิบายความเปน็ ไปของโลกรอบตวั ได้ ความเข้าใจโลกในเชิงฟิสิกส์ในปัจจุบันได้พัฒนามาจากนักฟสิ ิกส์ท่สี าํ คญั มากมาย เชน่ กาลเิ ลโอ นิวตนั แมกซ์เวลล์ ไอน์สไตน์ ฯลฯ ในยุคแรกการศึกษาในวิชาฟิสิกส์เน้นไปท่ีการค้นคว้าเพ่ือหาแนวคิด กฎเกณฑ์ และทฤษฎี ท่ีสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่พบเห็นกันได้ทั่วไป เช่น การเกิดลม ฝน ฟ้าแลป ฟ้าร้อง ฟ้าผ่าการเกิดกลางวันและกลางคืน ฯลฯ ซึ่งทฤษฎีนี้ถูกเรียกว่า ฟิสิกส์ยุคเก่า (Classical Physics) โดยสามารถแบ่งกลุ่มวิชาฟิสิกส์ยุคเก่าออกเป็นแขนงย่อย ๆ ซึ่งแยกจากกันอย่างชัดเจน คือ กลศาสตร์ (classicalmechanics) อุณหพลศาสตร์ (thermodynamics) แม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และ แสง(optics) ส่ิงที่น่าสนใจก็คือปรากฏการณ์ต่าง ๆ ท่ีฟิสิกส์ยุคเก่าสามารถอธิบายได้มักเป็นปรากฏการณ์ท่ีเก่ียวข้องกับวัตถุที่มีขนาดใหญ่ทั้งส้ิน ถึงแม้ในขณะนั้นจะยังไม่มีเคร่ืองมือวัดที่มีความละเอียดมากพอ แต่ก็มีทฤษฎีมากมายท่ีสามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ ได้อย่างถูกต้องและเป็นท่ียอมรับกันมาจนถึงปัจจุบัน ซ่ึงตอ่ มาแมจ้ ะมกี ารพัฒนาประดิษฐค์ ิดคน้ เครอื่ งมือท่ีมีประสทิ ธภิ าพสงู มาใชใ้ นการทดลองเพอ่ื พสิ ูจนท์ ฤษฎีตา่ ง ๆแตก่ ็ยังพบวา่ ทฤษฎฟี ิสิกสย์ คุ เก่าก็ยังคงใชอ้ ธบิ ายการทดลองต่าง ๆ ได้เปน็ อยา่ งดี การปฏิวัติที่สําคัญในวิชาฟิสิกส์เกิดขึ้นเม่ือทฤษฎีฟิสิกส์ยุคเก่าไม่สามารถที่จะอธิบายปรากฏการณท์ ่เี กิดขน้ึ ในการทดลองกบั วัตถขุ นาดเลก็ มาก ๆ ในระดับ โมเลกุล อะตอม และอนุภาคได้ดีพอ จึงเกิดการค้นพบ ฟิสิกส์ยุคใหม่ (Modern Physics) ข้ึนในช่วงปี ค.ศ. 1900 ซ่ึงสามารถแยกย่อยออกเป็นทฤษฎีที่สําคัญ 2 ทฤษฎี คือทฤษฎีควอนตัม (quantum mechanics) และ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ(special theory of relativity) ทฤษฎีควอนตัมช่วยให้เราสามารถอธิบายปรากฏการณ์ประหลาดที่เกิดข้ึนในการทดลองของวัตถุขนาดเลก็ ในระดบั อะตอมได้ ในขณะท่ที ฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษซ่ึงมีแนวคิดเก่ียวกับ ปริภูมิเวลา มวล และพลังงาน ช่วยให้เราสามารถอธิบายปรากฏการณ์ท่ีเกิดข้ึนกับวัตถุท่ีมีการเคล่ือนท่ีด้วยความเร็วสูงเทยี บเทา่ กับคา่ ความเร็วแสงได้ ค้นคว้าเพ่ิมเตมิ นกั ศึกษาลองศกึ ษาการคน้ พบของนกั ฟิสิกสผ์ ูย้ ่ิงใหญท่ งั้ 4 ท่านผู้มีบทบาทสาํ คญั ต่อการพฒั นาวิชาฟิสิกส์ ได้แก่ กาลเิ ลโอ นวิ ตัน แมกซ์เวลล์ และ ไอนส์ ไตน์

2 บทนําและคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานทใ่ี ชใ้ นวิชาฟสิ กิ ส์ 1.1.2 ฟสิ ิกส์อยใู่ กล้ตวั เราแค่ไหน ทาํ ไมตอ้ งเรียนฟิสิกส์ หากมองไปรอบ ๆ ตัว จะพบว่ามีปรากฏการณ์ทางธรรมชาติมากมายที่อธิบายได้ด้วยหลักการ ทางฟิสิกส์ เช่น การเกิดลมเนื่องจากความแตกต่างของความหนาแน่นของอากาศที่ร้อนและเย็น ทําให้เกิดการ เคลื่อนท่ีของมวลอากาศร้อนในลักษณะลอยข้ึน การเกิดฝนเนื่องจากการควบแน่นของไอน้ําในอากาศ การเกิด กลางวันกลางคืนเน่ืองจากการโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์อันเป็นผลมาจากแรงโน้มถ่วง ฯลฯ มีเครื่องมือ เครื่องใช้หลากหลายรูปแบบท่ีสร้างและพัฒนาขึ้นจากแนวคิดพื้นฐานทางฟิสิกส์ ไม่ว่าจะเป็น กระด้งฝัดข้าวซ่ึง จับประเด็นเร่ืองของแรงเสียดทานท่ีต่างกันของข้าวสารและข้าวเปลือกมาใช้ในการคัดแยกข้าวทั้งสองออกจาก กัน กระติ๊บข้าวเหนียวซึ่งช่วยคงอุณหภูมิของข้าวไว้ได้แต่ก็ยังมีการระบายไอช้ืนออกไปได้โดยที่ไม่ทําให้ข้าว เหนียวแฉะ ระหดั วดิ น้าํ ซ่ึงอาศัยพลงั งานลมมาทําให้ใบกนั หันหมุนและปั่นไฟเพ่ือสูบน้ํา หลอดไฟซ่ึงใช้หลักการ เร่ืองความต้านทานไฟฟ้ามาทําให้ไส้หลอดเกิดความร้อนขึ้นจนลุกสว่างและเปล่งแสง พัดลมซึ่งมีการออกแบบ ใบพัดตามหลักพลศาสตร์ของของไหล โทรทัศน์ซึ่งใช้หลักการแปลงพลังงานไฟฟ้ามาเป็นพลังงานแสงและส่ง สัญญาณคล่ืนไปกับคลื่นวิทยุ เตารีดและหม้อหุงข้าวซึ่งใช้หลักการแปลงพลังงานไฟฟ้าเป็นพลังงานความร้อน ตู้เย็นหรือเคร่ืองปรับอากาศซ่ึงใช้หลักการแปลงพลังงานไฟฟ้าร่วมกับกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์เพ่ือลด อณุ หภมู ขิ องสิ่งแวดล้อม เปน็ ตน้ ทําไมต้องเรียนฟิสิกส์ มักเป็นคําถามข้อแรกท่ีผุดข้ึนในหัวของนักเรียนนักศึกษาที่ต้องเรียนวิชานี้ เหตุผลข้อแรกก็คือ ฟิสิกส์เป็นวิชาพื้นฐานที่อาจกล่าวได้ว่าสําคัญท่ีสุดสาขาหน่ึงของวิทยาศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ทุกสาขาใช้หลักคิดทางฟิสิกส์ ต้ังแต่นักเคมีท่ีศึกษาโครงสร้างโมเลกุล จําเป็นต้องเข้าใจหลัก และธรรมชาติของอนุภาคมูลฐานในแต่ละโมเลกุล หรือการศึกษากลไกการเกิดปฏิกิริยา ก็จําเป็นต้องเข้าใจ หลักการทางอณุ หพลศาสตร์เพอ่ื วเิ คราะหว์ า่ กลไกใดสามารถเกิดขน้ึ ได้ ฯลฯ นักชีววิทยาท่ีศึกษาการสังเคราะห์ แสงของพืช พืชสามารถลําเลียงน้ําจากรากขึ้นมายังใบได้อย่างไรเม่ือมีแรงโน้มถ่วง แรงดันเกี่ยวข้องอะไรกับ กลไกน้ีบ้าง หรือการศึกษาการทํางานของระบบประสาทของสัตว์ซึ่งเต็มไปด้วยการเคล่ือนที่ของประจุไฟฟ้า (กระแสประสาท) นอกจากน้ีกลไกการแพร่ในเซลล์ ก็ยังสัมพันธ์กับความเข้มข้น หรือความหนาแน่นของเซลล์ ฯลฯ และคงไม่มีวิศวกรคนใดสามารถออกแบบหรือสร้างเครื่องมือที่มีประโยชน์ใด ๆ ได้โดยไม่ต้องเข้าใจ หลักการพื้นฐานทางฟิสิกส์ที่เก่ียวข้องก่อน ไม่ว่าจะเป็นงานก่อสร้างตึกอาคาร ยานยนต์ อากาศยาน ไฟฟ้า โทรคมนาคม ระบบอตั โนมัติ ฯลฯ เหตุผลอีกข้อก็คือการศึกษาฟิสิกส์เป็นการท้าทายความสามารถในการคิด การใช้ปัญญาอย่างมี เหตุมีผลในการแก้ปัญหา เพ่ือให้เข้าใจปรากฏการณ์ที่เกิดข้ึนในชีวิตประจําวัน ถ้าเราเคยสงสัยว่าทําไมท้องฟ้า จึงมีสีฟ้าในตอนกลางวัน แต่กลับเปล่ียนเป็นสีส้มแดงในตอนเย็น ทําไมจึงเกิดลมในวันที่อากาศร้อนจัด น้ําฝน มาจากไหน รุ้งกินน้ําเกิดขึ้นมาได้อย่างไร ฟ้าผ่าเกิดจากอะไร ทําไมดวงอาทิตย์จึงไม่ข้ึนทางทิศตะวันตก เรา สามารถหาคําตอบได้โดยใช้หลักการพ้ืนฐานทางฟิสิกส์ และจะเห็นว่าฟิสิกส์จัดเป็นความสําเร็จที่ย่ิงใหญ่ของ มนุษยชาตใิ นการแสวงหาคาํ ตอบเพอื่ ทําความเขา้ ใจโลกและสง่ิ รอบตวั คิดซักนดิ 1 นักศึกษาลองมองไปรอบ ๆ ตัวว่ามสี ่งิ ใดบา้ งท่มี ีความเกยี่ วข้องกับฟสิ ิกส์ และแต่ละอยา่ งเกี่ยวขอ้ งกับ ฟิสิกส์อย่างไร

การวดั และระบบหนว่ ย 3 1.1.3 ฟิสกิ สก์ บั การประยุกต์ดา้ นต่าง ๆ ฟิสิกส์มีความเก่ียวข้องเช่ือมโยงกับวิทยาศาสตร์ประยุกต์และเทคโนโลยีต่าง ๆ มากมายหลากหลายสาขา เนื่องจากมีบทบาทในการสร้างสรรค์สิ่งประดิษฐ์ที่สําคัญและวิทยาการใหม่ ๆ เช่น นักธรณีวิทยาใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ศึกษาแหล่งแร่ต่าง ๆ และศึกษาส่วนประกอบของโลก แพทย์ใช้ทฤษฎีฟิสิกส์สร้างเคร่ืองมือในการตรวจรักษาและวินิจฉัยโรค เช่น หูฟังทางการแพทย์ (stethoscope) ปรอทวัดไข้ เคร่ืองฉายรังสีเอ็กซ์ เคร่ืองอัลตราซาวด์ เครื่องมือผ่าตัดด้วยแสงเลเซอร์ ฯลฯ นักวิทยาศาสตร์การอาหารใช้ทฤษฎีฟิสิกส์เพ่ือคํานวณอายุการเก็บรักษาของผลิตภัณฑ์ ปัจจัยที่เกี่ยวข้องเช่น ความร้อน ความชื้น รวมถึงการออกแบบบรรจุภณั ฑเ์ พอื่ ชว่ ยรองรบั แรกกระแทกที่เกดิ ขึน้ ในการขนสง่ แม้จะเป็นศาสตร์ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้อง แต่ฟิสิกส์ก็ยังมีประโยชน์ทางอ้อมต่อด้านอื่น ๆ อีกด้วย เช่น ในทางโบราณคดีที่ต้องใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ในการทํานายอายุของส่ิงของเคร่ืองใช้ โครงกระดูก หรือจําลองการเดินของไดโนเสาร์ ในทางสถาปัตยกรรมท่ีต้องใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ในการออกแบบจัดวางอาคาร การรับแสง การถ่ายเทอากาศ รวมทั้งการเลือกใช้วัสดุที่ช่วยลดหรือเพิ่มความร้อนในจุดท่ีต้องการ ในทางศิลปศาสตร์ทตี่ ้องใชท้ ฤษฎีทางฟิสิกส์ในการปรับปรุงวัสดุท่ีใช้เขียนภาพ ในทางกีฬาท่ีต้องใช้ทฤษฎีทางฟิสิกส์ในการพัฒนารองเท้ากีฬาเพ่ือช่วยรองรับแรงกระแทกจากการวิ่ง ลดอาการบาดเจ็บท่ีอาจะเกิดข้ึนกับผู้สวมใส่ได้ ช้ินส่วนของจกั รยานซึง่ จะชว่ ยดงึ สมรรถนะของนกั กีฬาออกมาไดส้ งู ทีส่ ดุ ฯลฯ เนื่องจากประเทศไทยของเราเป็นประเทศเกษตรกรรม การศึกษาและพัฒนาเทคโนโลยีทางด้านเกษตรกรรมจึงมีบทบาทอย่างมากต่อการพัฒนาประเทศ เช่น ในทางพืชศาสตร์ มีการใช้ทฤษฎีทางฟิสิกส์ในการออกแบบระบบการให้นํ้าแบบอัตโนมัติ เคร่ืองมือในการเก็บเกี่ยวผลิตผลทางการเกษตร การเกษตรแบบแมน่ ยาํ สงู เครื่องวัดความหวาน เครอ่ื งวดั ความเปน็ กรด-ดา่ งของดนิ เครือ่ งตรวจวัดการสุกแก่ของผลไม้แบบไม้ทําลาย โรงเรือนควบคุมอุณหภูมิในการปลูกพืชเมืองหนาว เกษตรกรรมแนวด่ิง ฯลฯ ในทางสัตวศาสตร์ มีการใช้ทฤษฎีทางฟิสิกส์ในการออกแบบและสร้างโรงเรือนเล้ียงสัตว์ ระบบถ่ายเทอากาศ รางลําเลียงอาหารเคร่ืองวัดไขมันสันหลัง เครื่องรีดนมวัว ฯลฯ ในทางประมงมีการใช้ทฤษฎีทางฟิสิกส์ในการสร้างเรือ เครื่องตรวจหาวตั ถุใต้นา้ํ เครือ่ งควบคุมอุณหภมู ใิ นบ่อเลี้ยง เครอ่ื งให้อาหาร ระบบบ่อกรอง บ่อบาํ บดั ฯลฯ ในชีวิตประจาํ วันมนุษย์เราได้อาศัยเครื่องมือและทฤษฎีต่าง ๆ ทางฟิสิกส์มาช่วยให้การดํารงชีวิตสะดวกสบาย ปลอดภัย และรวดเร็วมากย่ิงขึ้น หากเราตระหนักถึงความสําคัญและทําความเข้าใจในฟิสิกส์ให้มากยงิ่ ขนึ้ ก็จะช่วยใหเ้ กิดการพฒั นานวัตกรรมใหม่ ๆ มาตอบสนองต่อความต้องการอนั ไม่มที ส่ี ้นิ สดุ ของมนษุ ย์1.2 การวัดและระบบหนว่ ย ฟิสิกส์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณที่มุ่งเน้นการทําความเข้าใจปรากฏการณ์ทางธรรมชาติการศึกษาในวิชาฟิสิกส์ส่วนใหญ่จึงมีพื้นฐานอยู่ท่ีการทดลอง การสังเกต และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อสร้างทฤษฎีใหม่ หรือรวบรวมทฤษฎีต่าง ๆ ท่ีมีอยู่แล้วเข้าด้วยกัน เพื่อให้สามารถนําไปใช้อธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ ได้ การวัดเป็นกลไกสําคัญท่ีจะบ่งชี้ถึงความสําเร็จหรือล้มเหลวของงาน หากทฤษฎีน้ันสอดคล้องกับผลการวัดท่ีได้ ทฤษฎีก็จะเป็นที่ยอมรับ แต่หากไม่สอดคล้องก็ต้องมีการต้ังทฤษฎีหรือทบทวนทฤษฎีกนั ใหม่ ซง่ึ จากทก่ี ล่าวมานีจ้ ะเหน็ ว่าการวัดมคี วามสาํ คัญอยา่ งมากตอ่ การศึกษาวิชาฟิสิกส์ 1.2.1 หนว่ ยวดั มาตรฐานสากล ในการวัดค่าปริมาณต่าง ๆ จําเป็นต้องทราบว่าจะวัดปริมาณใด และมีหน่วยวัดอะไร เพื่อให้การวัดมคี วามเทยี่ งตรงน่าเช่อื ถอื และเปน็ ทีย่ อมรับโดยทว่ั กนั จึงจาํ เป็นตอ้ งมกี ารตงั้ หน่วยวัดท่ีเป็นมาตรฐานเพ่ือใช้

4 บทนําและคณติ ศาสตร์พ้ืนฐานทีใ่ ชใ้ นวิชาฟสิ ิกส์เป็นเกณฑ์เปรียบเทยี บและเขา้ ใจตรงกนั โดยในปี ค.ศ. 1960 ไดม้ กี ารประชมุ ตกลงกันเพือ่ กาํ หนดระบบหน่วยระหว่างชาติ หรือ หน่วย SI (ย่อมาจากภาษาฝร่ังเศสว่า Système International) ซึ่งประกอบไปด้วยหน่วยพ้ืนฐาน หน่วยอนุพันธ์ และหน่วยเสริม ตารางที่ 1.1 แสดงหน่วยพ้ืนฐานของระบบหน่วย SI ทั้ง 7 หน่วย ซ่ึงจัดเปน็ หนว่ ยพืน้ ฐานของทุกปริมาณทางฟิสิกส์ ส่วนรายละเอียดเพ่ิมเติมเกี่ยวกับหน่วยอนุพันธ์และหน่วยเสริมดูไดใ้ นภาคผนวก กตารางท่ี 1.1 หนว่ ยพน้ื ฐาน (base units) ในระบบหน่วย SIปริมาณ เมตร ชือ่ หนว่ ย สัญลักษณ์ กิโลกรมัความยาว วินาที (meter) mมวล แอมแปร์ (kilogram) kgเวลา เคลวนิ (second) sกระแสไฟฟ้า โมล (ampere) Aอณุ หภมู ิ แคนเดลา (kelvin) Kปริมาณสาร (mole) molความเข้มของการสอ่ งสวา่ ง (candela) cd 1.2.2 มาตรฐานของความยาว มวล และเวลา มาตรฐานที่ดีจะต้องมีความแม่นยําและมีค่าคงท่ีแน่นอน ปริมาณพ้ืนฐานของการวัดคือ ความยาว มวล และเวลา จงึ ขอกล่าวถึงเฉพาะมาตรฐานของปริมาณพ้ืนฐานทั้ง 3 เทา่ น้นั มาตรฐานของความยาว กําหนดว่า ความยาว 1 เมตร คือระยะทางที่แสงเดินทางได้ในสญุ ญากาศ ในชว่ งเวลา 1/299,792,458 วนิ าที มาตรฐานนีก้ ําหนดข้นึ ในปี พ.ศ. 2526 มาตรฐานของมวล กําหนดว่า มวล 1 กิโลกรัม คือมวลของแท่งโลหะต้นแบบท่ีเป็นโลหะผสมของพลาตินัมและเออริเดียมชิ้นหนึ่งซึ่งเก็บรักษาไว้ท่ีสํานักงานชั่งตวงวัดระหว่างชาติท่ีเมือง Sèvres ประเทศฝร่ังเศส มาตรฐานนี้กําหนดข้ึนในปี พ.ศ. 2432 ซ่ึงอาจมีการเปลี่ยนแปลงการกําหนดมาตรฐานใหม่ในเร็วๆนี้เนื่องจากในการเกบ็ รักษากย็ งั คงพบว่ามวลมาตรฐานมคี ่าเปล่ียนแปลงไปอยบู่ ้างในระดบั ไมโครกรัม มาตรฐานของเวลา กําหนดว่า เวลา 1 วินาที คือช่วงเวลาท่ีอะตอมซีเซียม-133 แผ่รังสีจํานวน9,192,631,770 คาบ มาตรฐานนี้กําหนดขนึ้ ในปี พ.ศ. 2510 1.2.3 เลขบอกระดบั ขนาดและคําอุปสรรคในหนว่ ยเอสไอ ในการเขียนค่าของจํานวนบางครั้งจะพบว่าจําเป็นต้องเขียนตัวเลขที่มีจํานวนค่าสูงมาก ๆ หรือตํ่ามาก ๆ เช่น ระยะทางเฉล่ียจากโลกถึงดวงจันทร์ 380000000 m หรือ ค่าคงตัวของสเตฟาน-โบลต์ซมันน์0.0000000567 W/m2.K4 ซ่ึงการเขียนในรูปแบบน้ีนั้นเข้าใจได้ยาก การเขียนในรูปของเลขบอกระดับขนาดหรือ สัญกรกําลังสิบ จะช่วยให้การเขียนกะทัดรัดมากยิ่งข้ึน เช่น 3.8x108 m หรือ 5.67x10-8 W/m2.K4 หรืออาจเขียนในรูปท่ีมีคําอุปสรรคนําหน้า เช่น กิโล เซนติ เมกะ หรือ นาโน เป็นต้น รายการคําอุปสรรคท่ีนิยมใช้ในระบบ SI แสดงดังตารางท่ี 1.2 คําอุปสรรคเป็นคําที่นํามาเติมด้านหน้าหน่วยแล้วทําให้มีความหมายเหมือนมีตัวคูณเพ่ิมหรือคูณลด ทําให้หน่วยใหญ่ข้ึนหรือเล็กลง การใช้คําอุปสรรคทําให้แสดงค่าตัวเลขได้ชัดเจนขึ้น ไม่ต้องเขียนเลขศูนย์

การวัดและระบบหน่วย 5หรือจุดทศนิยมมากเกินจําเป็น และเราเรียกค่าตัวเลข 10 ยกกําลังต่าง ๆ ว่า เลขบอกระดับขนาด (order ofmagnitude) ตวั อยา่ งเชน่ 1 กิโลเมตร = 1 km = 103 m 1 เซนตเิ มตร = 1 cm = 10-2 m 1 ไมโครเมตร = 1 m = 10-6 mตารางที่ 1.2 คําอุปสรรคตา่ ง ๆ ทน่ี ิยมใช้ในระบบ SIตัวคณู คาํ อปุ สรรค สญั ลกั ษณ์ ตัวคูณ คําอุปสรรค สัญลกั ษณ์1012 เทระ (tera) T 10-3 m109 กิกะ (giga) G 10-6 มิลลิ (milli)106 เมกะ (mega) M 10-9 ไมโคร (micro) 103 กโิ ล (kilo) k 10-12 นาโน (nano) พิโค (pico) n p1.2.4 การเปลย่ี นหนว่ ย ในบางครั้งการคํานวณมีความจําเป็นต้องเปลี่ยนหน่วยจากระบบหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่งเน่ืองจากการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณจะต้องมีหน่วยเดียวกันเท่านั้น หากเราต้องการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ค่าในหน่วยน้ิวและเซนติเมตรจึงจําเป็นต้องมีการเปล่ียนหน่วย เช่น จากความยาวในหน่วยน้ิวไปเป็นเซนติเมตรก่อนตัวประกอบการเปลี่ยนหน่วยจึงเข้ามามีบทบาทสําคัญ (รายละเอียดของตัวประกอบการเปล่ยี นหนว่ ยดไู ดใ้ นภาคผนวก ข) เชน่ 1 mi = 1.609 km = 1609 m 1 ft = 0.3048 m = 30.48 cm 1 in. = 0.0254 m = 2.54 cm ขน้ั ตอนในการเปลย่ี นหน่วยสามารถสรปุ ไดเ้ ปน็ 3 ขนั้ ตอนดงั น้ี1. มองหน่วยเป็นปริมาณพีชคณิตซ่ึงสามารถตัดทอนกันได้ หากต้องการเปลี่ยนหน่วยให้นําปริมาณน้ันคูณกับตัวประกอบการเปลี่ยนหน่วย ซึ่งมีอัตราส่วนเป็น 1 ยกตัวอย่างเช่น เราทราบว่า 1 in. =2.54 cm ดังนั้นปริมาณ (1 in.)/(2.54 cm) มีค่าเป็น 1 และส่วนกลับของปริมาณนี้ (2.54 cm)/(1 in.) ก็มีค่าเป็น 1 เช่นกัน เราเรียกท้ังสองปริมาณนี้ว่า ตัวประกอบการเปล่ียนหน่วย ซ่ึงตัวประกอบเหล่านี้จะไม่ทําให้ความหมายทางฟสิ กิ สข์ องปริมาณนน้ั เปล่ยี นไป ในการหาค่าจํานวน 12 in. จึงทาํ ไดโ้ ดย 12 in. = (12 in.) (2.54 cm)  30.48 cm (1 in.) 2. ถ้าการเปลี่ยนหน่วยถูกต้อง หน่วยที่ไม่ต้องการจะหักล้างกันไป แต่ในทางกลับกันหากคูณตัวประกอบกําลังผิดคําตอบจะกลายเป็น 4.72 in.2/cm ซึ่งไม่ใช่หน่วยที่ต้องการ ดังน้ันเพื่อให้มั่นใจว่าการเปลี่ยนหน่วยถูกตอ้ งจาํ เป็นตอ้ งเขียนหนว่ ยทกุ ข้ันตอนการคํานวณ 3. เพือ่ เป็นการตรวจสอบให้ถามตนเองเสมอว่าคําตอบสมเหตุสมผลหรือไม่ คําตอบ 12 in. =30.48 cm นน้ั สมเหตุสมผลเน่อื งจากเซนติเมตรเปน็ หน่วยท่ีเลก็ กวา่ นิว้ จงึ มีค่าในหนว่ ยเซนตเิ มตรมากกวา่ นวิ้

6 บทนําและคณติ ศาสตร์พ้นื ฐานท่ีใช้ในวิชาฟิสิกส์ตวั อยา่ งท่ี 1.1 จงเปล่ียนเวลา 35 ชวั่ โมง ใหเ้ ป็นวินาทีวิธที าํ 35 h = (35 h) (3600 s)  126000 s (1 h) ดังนนั้ เวลา 35 ช่ัวโมง เทา่ กับ 126,000 วินาที ตอบตัวอยา่ งท่ี 1.2 ตามกฎหมายการขบั ขก่ี ําหนดความเรว็ ของรถยนตบ์ นทอ้ งถนนไวท้ ี่ความเร็ว 80 km/h จงเขียนปรมิ าณนใ้ี นหน่วยเมตร/วินาทีวิธีทาํ 80 km/h = (80 khm) (1000m) (1h)  22.22m/s (1km) (3600 s) ดังน้ัน ความเร็ว 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง เท่ากบั 22.22 เมตร/วินาที ตอบ ในปัจจุบันมีเทคโนโลยีมากมายท่ีเข้ามาช่วยในการเปลี่ยนหน่วยไม่ว่าจะเป็นแอพลิเคช่ันบนคอมพวิ เตอรอ์ ยา่ ง Google ท่ีเม่อื เรากรอกคา่ หน่วยทต่ี อ้ งการเปลย่ี นลงในช่องคน้ หา จะปรากฏเครือ่ งมือท่ีช่วยในการเปลี่ยนหน่วยข้ึนมาหรือแอพลิเคชันบนโทรศัพท์มือถือท่ีสามารถค้นหาและดาวน์โหลดมาใช้ได้ฟรีมากมาย ดังแสดงในรูปท่ี 1.1 หากนักศึกษามีความเข้าใจในหลักการ เครื่องมือเหล่านี้จะช่วยให้เรามีความสะดวกรวดเรว็ ในการเปลยี่ นหนว่ ยมากยิง่ ข้ึน รปู ที่ 1.1 เครือ่ งมือชว่ ยในการเปล่ียนหน่วยผ่าน Google และแอพลเิ คชน่ั บนโทรศัพทม์ อื ถอื

สเกลารแ์ ละเวกเตอร์ 71.3 สเกลาร์และเวกเตอร์1.3.1 ความหมายของปริมาณสเกลาร์ และปรมิ าณเวกเตอร์ปริมาณทางฟิสิกส์มีอยู่มากมายหลายประเภท ปริมาณบางประเภทก็มีใจความสมบูรณ์ได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียวพร้อมหน่วย ในขณะที่ปริมาณบางประเภทจําเป็นต้องมีการระบุทิศทางด้วยจึงจะได้ความหมายครบถ้วนสมบูรณ์ ปริมาณทางฟิสิกส์สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ (Scalar)และ ปริมาณเวกเตอร์ (Vector)ปริมาณสเกลาร์เป็นปริมาณท่ีมีเฉพาะขนาดเท่าน้ัน จึงสามารถบอกความหมายได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว ปริมาณประเภทนี้ได้แก่ เวลา อุณหภูมิ มวล ระยะทาง อัตราเร็ว ความหนาแน่น ประจุไฟฟ้าฯลฯ การคํานวณปริมาณสเกลาร์ใช้การดําเนินการของเลขคณิตแบบธรรมดาท่ัวไป ตัวอย่างเช่น มวล 5 kg +7 kg = 12 kg หรือ เวลา 3 x 5 s = 15 sปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณท่ีจําเป็นต้องมีทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ใจความครบถ้วน เช่นแรง การกระจัด นํ้าหนัก ความเร็ว โมเมนต์ สนามไฟฟ้า ฯลฯ ซึ่งการรวมปริมาณเวกเตอร์นั้นต้องใช้วิธีที่ต่างไปไม่สามารถใช้การดําเนนิ การของเลขคณติ แบบธรรมดาได้ ซง่ึ วธิ ีการจะกลา่ วถงึ ในหัวข้อถัดไปปรมิ าณเวกเตอรเ์ ปน็ ปรมิ าณทม่ี บี ทบาทสาํ คญั อยา่ งมากในวิชาฟิสิกส์เน่ืองจากปริมาณทางฟิสิกส์หลายค่า จาํ เปน็ ตอ้ งทราบท้ังขนาดและทศิ ทางจึงจะไดใ้ จความทค่ี รบถ้วน เรามักจะเขียนแทนปริมาณเวกเตอร์ด้วยลูกศรซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงและหัวลูกศรท่ีจะชี้ไปตามทิศทางของปริมาณเวกเตอร์น้ัน ความยาวของเส้นตรงจะแทนขนาดของเวกเตอร์ ในขณะท่ีหัวลูกศรจะแทนทิศทางของเวกเตอร์ ดังรูปท่ี 1.2 ส่วนสญั ลกั ษณข์ องเวกเตอร์นิยมทจ่ี ะใชอ้ ักษรย่อของปรมิ าณเวกเตอรน์ น้ั โดยพมิ พเ์ ป็นตัวหนา เช่น F , v, s เป็นต้น หรือหากเปน็ การเขียนดว้ ยมอื จะนยิ มเขยี นลกู ศรกาํ กบั ไว้เหนอื ตวั อกั ษรยอ่ เช่น F , v , s เปน็ ตน้การบอกขนาดของเวกเตอร์ จะใช้ตัวอักษรบางของตัวอักษรท่ีเป็นสัญลักษณ์ของเวกเตอร์น้ันเน่ืองจากเราถือว่าขนาดของเวกเตอร์เป็นปริมาณสเกลาร์และเป็นบวกเสมอ หรืออาจเขียนเส้นแนวด่ิงสองเส้น  กํากับอักษรตัวหนา (ค่าสัมบูรณ์) เช่น ขนาดของเวกเตอร์ F แทนด้วย F หรือ F หรือ F ซ่ึงในการวาดแผนภาพของเวกเตอร์ เรามักเทียบอัตราส่วนเหมือนกับการวาดแผนท่ี ตัวอย่างเช่น แรงขนาด 20 N แทนด้วยลูกศรยาว 5 cm น่ันคืออัตราส่วน 1cm : 4N หากผลรวมของแรงสามารถวัดความยาวได้ 7 cm เราสามารถบเดอียกวไกดนั ้ว่าแแตรห่งลากกพัาเรธวเน์ กทนั้เ่าตมกอีคันรา่ ขส์ 2ออ8งงตเวNวั กมเีขตนอารด์ เเชท่น่ากนัBแต่มCีทิศทาจงะตหรมงขาย้ามถกึงเันวกเรเตาสอารม์ทา่ีมรีทถั้งเขขียนนาดไดเท้ว่า่ากDันและมEีทิศโดทยาทง่ีผเเเเววคกลกกรลคือ่เเาตตูณงรออห์ขเรรมชอ์์ า่นงAAย(ล-3ดส1บA่วัง)จรนAะูปกแจาทจะระนใหเชททม้จศิ า่าําทยกนถ่ีตับวึงรน–เงวลกAกบันเคขตหูณ้าอมมรกา์ทับดยี่มเังถวีขรึงกูปนเเวทาตกดี่อเ1ยรต.า์2อจวระนเ์ทปหอี่ม็นมกีขาจ3นยาาถกดึงนเเทเี้หทว่ากา่าขกเกอตตับงอ้อเเรววง์ทกกกี่มเาเตตรีทออคิศรรูณท์์ ปาAAงรสิมแวานตแณ่ลมทเะีทาวมงกิศกีทเทตับิศาอเงทวรตกา์ดรงเ้วงตเยดกอปียันรวรข์เดิมก้าิมันามณกกซัับบส่ึง    -AA D E C 3  B A รปู ที่ 1.2 การแทนปรมิ าณเวกเตอร์ด้วยลูกศร

8 บทนําและคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานทีใ่ ช้ในวิชาฟสิ กิ ส์1.3.2 การรวมเวกเตอร์เม่ือนําเวกเตอร์สองตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์อีกปริมาณหน่ึง ซ่ึงจากที่ได้กล่าวมาแล้วในตอนต้นว่าเราไม่สามารถใช้การดําเนินการทางเลขคณิตแบบธรรมดาในการรวมปริมาณเวกเตอร์ได้เนื่องจากปริมาณเวกเตอร์น้ันมีท้ังขนาดและทิศทาง รูปที่ 1.3 แสดงการบวกเวกเตอร์โดยวิธีเขียนรูป โดยนําปริมาณเวกเตอร์ท่ีต้องการบวกกันมาเรียงต่อกันแบบหางลูกศรต่อหัวลูกศร ผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ หรือขเวอกงเเตวอกรเต์ลอัพรธ์ต์ ัวคสือดุ ลทูกา้ ศยรทซ่งึ่ีเรผิ่มลจลาัพกธจข์ ุดอเงรก่ิมาตร้นบหวกรืเอวหกาเตงลอูกร์ศAรขกอบังเวเวกกเตเตออรร์ต์ ัวBแรคกอื จเนวกถเึงตจอุดรส์ ุดCท้าดยังหสรมือกหารัวลูกศร     C  A   และ C    A (1.1) B Bจากรูปที่ 1.3 พบว่าเวกเตอร์ลัพธ์  มีค่าเท่ากันไม่ว่าจะใช้เวกเตอร์ตัวใดข้ึนก่อน จึงสรุปได้ว่า Cในการบวกเวกเตอร์น้ันจะใชเ้ วกเตอร์ใดขึ้นกอ่ นก็ได้ ซ่งึ แสดงว่าการบวกเวกเตอร์มสี มบัติตามกฎการสลับท่ี     A  B  B  A (1.2)  AB   B  C B C  A Aรปู ที่ 1.3 การบวกเวกเตอร์โดยวิธกี ารเขียนรูปและสมบัตกิ ารสลบั ทีข่ องการบวกเวกเตอร์มุมของรปู สเ่ี หเลมี่ย่ือมพดิจ้าานรขณนาาจนาทก่ีมรดีูปา้ทนี่ 1.A3 จแะลเะห็นBว่าเเปวน็กดเตา้ อนร์ล2ัพดธา้ ์ นCทไ่ี มมข่ ีขนนาานดกแันละดทังริศปู ททา่ีง1เ.ห4มนือนั่นหเปม็นาเยสค้นวทาแมยว่างขกอารงบส่เีวหกลเวีย่ กมเดตา้ อนรข์โดนยานวิธทีเีม่ขีดีย้านนรูปAอาแจลเขะียนBแบเปบน็ หดาา้งนลูก2ศดรต้าน่อทหไ่ีามงข่ลนูกศานรกก็ไนั ด้ โดยที่เวกเตอร์ลัพธ์คือเส้นทแยงมุม  C B  A รูปที่ 1.4 รปู สีเ่ หลีย่ มดา้ นขนานของการรวมเวกเตอร์จขผขานล้อกบาคคดวววขกราอเรมวะงกเเวขวเังตา้กใอเจตรทอ์ ่ีวรA่า์ ACBบวขกAนึ้ กอบั ยขBู่กนบั านขดกั นขศาอึกดงษขเAวาอกมงเกัตBAจอะรเแ์ ขล้าBะใจBผซดิ ่ึงAแอในลยคะู่เสวมมBาุมมอรวเะปา่ หน็ขวนจา่ รางิงดไขAมอ่เปงแเน็ลวะเกชเน่ตBอนรั้นด์ ้วCเยพรจาะะมขคี น่าาเดทขา่ อกงบันาย ก มีเงนิ 5 บาท นาย ข มีเงนิ 10 บาท ทั้งสองคนมีเงินรวมกนั 15 บาท แต่ถา้ นาย ก ออกแรง 5 นวิตนั นาย ข ออกแรง 10 นวิ ตัน สองคนออกแรงรวมกนั ไมใ่ ช่ 15 นวิ ตนั เสมอไป ตอ้ งดทู ่ีทิศทางของแรงดว้ ย

สเกลารแ์ ละเวกเตอร์ 9    B C A  B   B  A A C  D C D E D  E รูปที่ 1.5 ผลรวมของเวกเตอร์ A, B,C และ  Dรวมเวกเตอร์ ใAน,กBร,ณCีท่ีตแ้อลงะกาDรรวดมังเรวูปกทเตี่ 1อ.ร5์มซากึ่งจกะวเ่าห2็นวป่าผรลิมลาณัพธข์ค้ึนือไปEก็จะหใรชือ้หลเวักกกเตารอเรด์ ียEวกคันือดเวังกตเัวตออยร่า์ทง่ีลกาากรจากจุดตั้งต้นของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังจุดปลายของเวกเตอร์ตัวสุดท้าย โดยสามารถเขียนเวกเตอร์ใดข้ึนก่อนก็ได้ และเนื่องจากเราใช้ความยาวของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์ เราจึงสามารถวัดความยาวของเส้นตรงของเวกเตอรล์ พั ธ์ แลว้ เทยี บกลับเปน็ ขนาดของเวกเตอรไ์ ด้ขเวอกงเเตวอกรเตล์ บอรข์ทอกี่มงาีเรคBลรบื่อดเงงัวหรกมปู เตาทยอี่ 1ลร.บ์6หอรยือู่ดผ้าลนตห่านง้าขอเชง่นเวกAเตอBรA์ก็คหือมกาายรบถึงวกAเวกเตอBร์แบบหหรือน่ึงเวโกดเยตกอารร์ กAลับบทวิศกทกาับง    -  A B B รูปที่ 1.6 การลบเวกเตอร์ตัวอย่างท่ี 1.3 นายพรานเดินเท้าเขา้ ปา่ ไปทางทิศตะวนั ออก 5 km จากนน้ั จงึ มุ่งหนา้ ไปทางทิศเหนอื 10 kmจนพบกบั ลําธาร นายพรานอยหู่ ่างจากจดุ ต้ังตน้ เทา่ ไหร่ และหากเขาต้องการสง่ ขา่ วใหเ้ พอ่ื นของเขาเดินทางตามมาอย่างเร่งด่วน เขาตอ้ งบอกใหเ้ พอ่ื นเดินไปในทิศทํามมุ เทา่ ไหร่กับทศิ ตะวันออกและเดินไปเป็นระยะทางเทา่ ไร Bวิธที ํา กําหนดมาตราส่วนท่ีใชใ้ นการวาดแผนภาพ คือ 1 cm : 2 kmเม่ือทําการวาดแผนภาพ จะพบวา่ นายพรานอยหู่ ่างจากจุดต้ังตน้ 5.6 cmซึ่งเม่อื เทียบกบั อัตราสว่ นแล้วจะได้เปน็ 11.2 km Rและเมือ่ ทําการวดั มุม  จะได้ 63o 10 kmแตเ่ ม่อื ใชท้ ฤษฎขี องพธิ าโกรัส จะได้ว่าแทนคา่ R  OA 2  AB 2  A R  52  10 2 O 5 km R 11.18km tan  AB  10  2 OA 5   63.43oดังนน้ั นายพรานตอ้ งบอกใหเ้ พื่อนของเขาเดินไปในทิศทาํ มมุ 63.43 องศากบั ทิศตะวนั ออกเป็นระยะทาง 11.18 กโิ ลเมตร ตอบ

10 บทนาํ และคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานท่ีใช้ในวชิ าฟิสิกส์1.3.3 องคป์ ระกอบของเวกเตอร์และเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย การรวมเวกเตอร์โดยใช้แผนภาพตามท่ีกล่าวมาแล้วน้ันค่อนข้างมีขีดจํากัดเน่ืองจากการวาดเส้นและวัดค่าความยาวจากรูปมักให้ค่าความแม่นยําที่จํากัด โดยข้ึนอยู่กับปัจจัยหลายอย่างไม่ว่าจะเป็นทักษะการวาด ความแม่นยํา ขนาดของเส้น เพราะความคลาดเคลื่อนเพียงแค่ 1 mm ย่อมส่งผลต่อขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้ นอกจากนี้ยังยากต่อการพิจารณากรณีเวกเตอร์ในสามมิติ ดังนั้นวิธีที่จะช่วยให้การหาผลรวมของเวกเตอร์งา่ ยและใชไ้ ดท้ ั่วไป คือ วิธกี ารของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบ เม่ือเร่ิมพิจารณาองคป์ ระกอบของเวกตอร์ เราเรม่ิ ด้วยระบบแกนพิกัดฉาก จากรูปท่ี 1.7 เมื่อวาดอเAวงกyคเ์ปตครอือะรอก์ งอAคบ์ปโรดะAยกxใอหบ้หแขาลองะองเยวAู่ทกyี่จเตุดซอก่ึงรําต์ เั้งนAฉิดากOใกนันแเนโรดวายแสทกาี่มนAาyรx ถคแถือย้าอกเงวเควกก์ปเตเรตอะอรก์รอ์AบAขอทงําใเวนมกรุมเะกตนับอาแรบ์กAนxyxในอเแปอน็นกวเมแปุมก็นนเวxกจเแตะลอไดะร้์ความสมั พันธ์    A Ax Ay   (1.3)    cos  (1.4) Ax A (1.5)    sin  Ay Ayy   Ay A  xO  x รูปท่ี 1.7 การแตกองค์ประกอบของเวกเตอร์ A AxO ขนาดของเวกเตอร์  และมุม  ซึ่งแสดงทิศทางของเวกเตอร์  ในระนาบ xy สามารถ A Aเขยี นในรปู ของเวกเตอร์องค์ประกอบ  และ  ไดโ้ ดยการใช้ทฤษฎพี ิธาโกรสั Ax Ay   Ax2  A 2 (1.6) A y   tan1 A (1.7) y A xขอ้ ควรระวังสมการ (1.4) และ (1.5) จะใชไ้ ด้เม่ือเราวัดมุม  จากแกนบวก x เทา่ นั้น ถ้าโจทย์กาํ หนดมมุ ของเวกเตอร์มาให้โดยใชท้ ิศอา้ งอิงอื่น ความสัมพนั ธจ์ ะตา่ งไป

สเกลาร์และเวกเตอร์ 11 y By RB Ay A  O xAx Bx รูปที่ 1.8 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธกี ารเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบ การบวกเวกเตอร์ใด ๆ 2 เวกเตอร์ด้วยวิธีการเวกเตอร์องค์ประกอบทําได้โดยการกําหนดระนาบซึ่งเวกเตอร์ท้ังสองวางตัวอยู่และทําการแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบดังรูปที่ 1.8 จะได้องค์ประกอบของเวกเตอรล์ พั ธ์ Rx และ Ry ดงั สมการ R  A B (1.8) x xx R  A B (1.9) y yy การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอรล์ พั ธ์  สามารถหาได้ในทํานองเดียวกันกบั สมการท่ี (1.6) Rแเวลกะเต(อ1.ร7์จ)ํานนอวกนจเทาก่าในดี้กกา็ไรดห้เชาผ่นลเบมว่ือกใหขอ้ Rงเวเกปเ็นตอผรล์บ2วกเเววกกเเตตออรร์น์ขอี้สงามAาร,ถBข,Cยา,ยDอ,อEก,ไปใช้ใอนงกคา์ปรรหะากผอลบบขวอกงขอRงคือ R  A  B  C  D  E  (1.10) x x x x x x R  A  B  C  D  E  (1.11) y y y y y y  กรณีการบวกเวกเตอร์ในพิกัดสามมิติ เรAาzสใานมทารศิ ถขเอพง่ิมพแิกกัดนทง้ั zสามใซน่ึงทหิศาตข้ังนฉาาดกขกอับงระAนาไดบ้จxาyก ได้ A  เวกเตอร์ ใด ๆ จะมีองค์ประกอบ Ax , Ay และ A A2  A2  A2 (1.12) x yz และเพิม่ องคป์ ระกอบของเวกเตอรล์ ัพธ์  เพม่ิ เตมิ อกี หนง่ึ องค์ประกอบ R R  A  B  C  D  E  (1.13) z z z z z z การพิจารณาเวกเตอร์จะทําได้ง่ายขึ้นโดยการใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย เวกเตอร์หน่ึงหน่วยคือเวกเตอร์ขนาดเท่ากับ 1 และไม่มีหน่วย เวกเตอร์นี้มีหน้าท่ีช้ีทิศเท่าน้ัน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทําให้เรามีสัญลักษณ์ในการอธิบายเวกเตอร์องค์ประกอบได้สะดวกขึ้น โดยนิยมใส่เคร่ืองหมาย “หมวก” ( ^ ) ไว้บนสัญลกั ษณ์ของเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยเสมอ เพอื่ แยกเวกเตอร์นอ้ี อกจากเวกเตอร์ทัว่ ไป

12 บทนาํ และคณติ ศาสตร์พนื้ ฐานทใ่ี ช้ในวชิ าฟสิ กิ ส์ ในระบบพิกัดฉาก xyz เรานิยามเวกเตอร์หน่ึงหน่วย iˆ , ˆj และ kˆ แทนเวกเตอร์หน่ึงหน่วยใน   แนวแกนบวก x, y และ z จึงสามารถเขยี นเวกเตอร์ A , B และ R ในรปู ของเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยได้ดงั นี้   Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ A B  Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ (1.14)   ( Ax  Bx )iˆ  ( Ay  By ) ˆj  ( Az  Bz )kˆ R จากสมการจะเห็นว่าผลรวมของเวกเตอร์สามารถใช้วิธีการบวกและลบโดยวิธีทางพีชคณิตกับแต่ละเวกเตอร์องค์ประกอบได้ตัวอยา่ งที่ 1.4 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ซึ่งเกิดจากแรง 2 แรงขนาด 3 N และ 4 N กระทาํ ท่ีจดุ Oเปน็ มุม 50o   3N B     4 N A Aวธิ ที ํา ตั้งแกน X แกน Y จะเหน็ วา่ แรง อยบู่ นแกน XY แลว้ แตแ่ กน  Ax  4N Bแลไปะอยูบ่ นAแyกนX 0N จะได้ B ไมอ่ ย่บู นแกน XY จึงแตกแรง แกน Y Bx  Bcos  3cos50  1.93 N By  B sin  3sin 50  2.30 N หาผลรวมของแรงทางแกน X  Fx  Ax  Bx  4  1.93  5.93 N หาผลรวมของแรงทางแกน Y  Fy  Ay  By  0  2.30  2.30 N หาแรงลพั ธ์จากทฤษฎีปทิ าโกรสั R   Fx 2   Fy 2 แทนคา่ R  5.932  2.302  6.36 N หามมุ จากสูตร tan   Fy  2.30  0.39  Fx 5.93   tan1 0.39  21.20o ดงั นน้ั แรงลัพธ์มีขนาด 6.36 N ทาํ มมุ 21.20o กบั แนวระดับ ตอบ

สเกลาร์และเวกเตอร์ 13ตวั อยา่ งท่ี 1.5 จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธเ์ ม่อื แรงบนระนาบเดียวกนั 5 แรง คือ 12N 17N 14N 9N10N กระทําตอ่ วตั ถุทจ่ี ดุ A ดังรปู Y  F2   14 N  17 N F3 45 o 60 o  X 30 o F1  12 N   9N   10 N F4 F5วธิ ีทาํ ตง้ั แกน X แกน Y แลว้ แยกแรงท้งั หมดไปอยู่บนแกน X แกน Y หาผลรวมของแรงทางแกน X  Fx  F1x  F2x  F3x  F4xแทนค่า  Fx  12  17 cos 60  14 cos 45  9 cos 30  2.81 Nหาผลรวมของแรงทางแกน Y  Fy  F2 y  F3 y  F4 y  F5 yแทนค่า  Fy  17 sin 60  14 sin 45  9 sin 30  10  10.12 Nหาแรงลพั ธ์จากทฤษฎีปทิ าโกรสั R   Fx 2   Fy 2แทนค่า R  2.812  10.122  10.50 Nหามุมจากสูตร tan   Fy  10.12  3.60  Fx 2.81   tan1 3.60  74.48oดงั นั้น แรงลัพธ์มขี นาด 10.50 N ทาํ มุม 74.48o กับแนวระดบั ตอบตัวอย่างท่ี 1.6 กําหนดให้   4iˆ  2 ˆj  5kˆ ,   5iˆ  3 ˆj และ   2iˆ  ˆj  6kˆ จงหา A B Cก) ผลรวมของเวกเตอรท์ ัง้ สามน้ีข) จงหาขนาดของ A B C และ A  B  Cวธิ ีทาํ ก) หาผลรวมของเวกเตอร์จากสมการ (1.14)       4  5  2iˆ  2  3 1ˆj  5  6kˆ  11iˆ  kˆ A B C

14 บทนาํ และคณติ ศาสตร์พ้นื ฐานที่ใชใ้ นวิชาฟิสิกส์ ข) หาขนาดของเวกเตอร์จากสมการ (1.12) A  42  22  52  6.71 B  52   32  5.83 C  22 12   62  6.40 A  B  C  112  12  11.05 ดงั น้นั ผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสามคือ 11iˆ  kˆ และขนาดของ A B C และ A+B+C คือ 6.71, 5.83,6.40 และ 11.05 ตามลาํ ดบั ตอบ1.3.4 การคณู เวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์มีหลายแบบไม่วา่ จะเปน็ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ หรือ การคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ ซงึ่ ผลลัพธท์ ่ไี ดจ้ ะแตกตา่ งกนั ไป ดงั นี้  การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ เม่ือเราคูณปริมาณเวกเตอร์ A ด้วยปริมาณสเกลาร์ s จะได้เผวลกลเตัพอธร์เป์ล็นัพปธ์จริมะเาหณมเือวกนเตAอร์ทแี่มตีข่หนาากดเsป็นจเปําน็นว–น s เท่าของขนาดเวกเตอร์เดิม ถ้า s Aเปซ็นึ่ง+การทหิศาทรกา็งจขะอใชง้ เวกเตอร์ลัพธ์จะมีทิศทางตรงข้ามกับหลกั การเดยี วกนั การคูณเวกเตอร์ดว้ ยเวกเตอร์ จะขอแบง่ พิจารณาเปน็ 2 แบบ คือ การคณู แบบสเกลาร์ (Scalarproduct) และ การคูณแบบเวกเตอร์ (Vector product) การคูณแบบสเกลาร์ หรือ ผลคูณแบบดอต (Dot product) เป็นการคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์แสเลก้วลาไดร์ข้ผอลงลเัพวกธเ์เตปอ็นรป์ รAิมาแณลสะเกBลาซร์่ึงใมนมี กุมารระคหูณว่าแงบเวบกนเ้ีจตะอใรช์ท้เั้งคสรอื่องงเหปม็นาย “” ซAึ่งอ่าBนวจ่าะ“ไดดว้ อา่ ต” แทนผลคูณ ด้วย   A  B  AB cos   A B cos  (1.15) ข้อสังเกตที่สําคัญคือ เมื่อ   90o ค่า     0 หรืออาจกล่าวได้ว่า ผลคูณสเกลาร์ของ A Bเวกเตอร์ทตี่ ้งั ฉากกนั เปน็ ศูนยเ์ สมอ นอกจากน้ีผลคูณสเกลาร์ยังมีคุณสมบัติตามกฎการสลับที่ของการคูณ นั่นคือลําดับของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ไมส่ ําคญั A  B  B  A (1.16) เมอื่ พจิ ารณาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกดั ฉาก จะมีผลคูณสเกลารด์ งั นี้ iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 (1.17) iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0 ดังน้ันจึงสามารถเขียนผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์  และ B ในรูปของผลคูณของเวกเตอร์ Aองค์ประกอบไดเ้ ป็น   A B   Ax Bx  Ay By  Az Bz (1.18)

สเกลาร์และเวกเตอร์ 15 หรืออาจกล่าวได้ว่าผลคูณสเกลาร์คือผลบวกของผลคูณของแต่ละเวกเตอร์องค์ประกอบท่ีอยู่ในทศิ เดยี วกัน การคูณแบบเวกเตอร์หรือ ผลคูณแบบครอส (Cross product) เป็นการคูณเวกเตอร์สองเผวลกคเตณู อเรว์แกลเตว้ อไรด์ขผ้ อลงลเวพั กธเเ์ตปอ็นรป์ รAมิ าแณลเะวกBเตอซร์ึ่งใมนมี กุมารระคหูณวแ่าบงเบวนกเ้จี ตะอใชรท์เ้ ค้งั รสื่อองงหเปมน็าย“xด”ว้ ยซง่ึ Aอ่านวB่า “ครอส” แทน จะได้ว่า  B A   AB sin  nˆ (1.19) จากสมการ nˆ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซ่ึงมีทิศทางต้ังฉากกับระนาบของ  และ B โดย Aทิศทางของ nˆ สามารถหาไดโ้ ดยใช้กฎมอื ขวาดังรปู ท่ี 1.9 จากรูปที่ 1.9 พบว่าผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ เมื่อสลับลําดับการคูณ จะได้ผลที่มีขนาดเท่าเดิมแต่มที ศิ ทางกลบั ทิศกนั ดังสมการ A  B   B  A (1.20)   B  A A  B  A     B B A  รปู ที่ 1.9 การหาทศิ ทางของผลคูณเวกเตอร์ โดยใช้กฎมอื ขวา ข้อสังเกตที่สําคัญคือ เม่ือ   0o หรือ  180o ค่า   B  0 หรืออาจกล่าวได้ว่า ผลคูณ Aเวกเตอรข์ องเวกเตอรท์ ขี่ นานหรอื สวนกันเป็นศูนย์เสมอ และน่ันหมายถึง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดียวกันจะมคี า่ เปน็ เวกเตอร์ศูนย์ และเม่อื พจิ ารณาผลคณู เวกเตอร์ของเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยในระบบพิกดั ฉาก พบวา่ iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0 iˆ  ˆj  kˆ, ˆj  kˆ  iˆ, kˆ  iˆ  ˆj (1.21) ˆj  iˆ   kˆ, kˆ  ˆj   iˆ, iˆ  kˆ   ˆj ซง่ึ จากสมบัตขิ องผลคูณเวกเตอร์หนงึ่ หน่วยในระบบพิกัดฉากทีไ่ ด้ จะไดว้ ่า  B  ( Ay Bz  Az B y )iˆ  ( Az Bz  Ax Bx ) ˆj  ( Ax B y  Ay Bx )kˆ (1.22)A หรอื เขยี นผลคณู เวกเตอร์ในรปู ดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) ได้เปน็ A    iˆ ˆj kˆ (1.23) B Ax Ay Az Bx By Bz

16 บทนําและคณติ ศาสตร์พ้นื ฐานทีใ่ ช้ในวชิ าฟิสิกส์ตวั อยา่ งท่ี 1.7 ให้   3iˆ  4 ˆj  6kˆ และ   2iˆ  ˆj  8kˆ จงหาผลคณู แบบสเกลารแ์ ละผลคูณแบบ A Bเวกเตอรข์ องเวกเตอร์ท้ังสองนี้   วธิ ที ํา  ผลคูณแบบสเกลาร์ A  B  3iˆ  4 ˆj  6kˆ  2iˆ  ˆj  8kˆ   B  Ax Bx  Ay By  Az Bz  3 2  4 1  6  8 A  6  4  48   38   A  B kˆ iˆ ˆj - 6 34ผลคูณแบบเวกเตอร์   B  iˆ ˆj A 34 2 1 8 2 1 +   B   32iˆ 12 ˆj  3kˆ  8kˆ  6iˆ  24 ˆj A   B   38iˆ  36 ˆj  5kˆ Aดงั นน้ั ผลคูณแบบสเกลาร์ คือ -38 และผลคูณแบบเวกเตอร์ คอื  38iˆ  36 ˆj  5kˆ ตอบ1.4 คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานอ่นื ๆ เน่ืองจากวิชาฟิสิกส์เป็นวิชาท่ีเก่ียวข้องกับตัวเลข เพื่อให้การเรียนราบร่ืนนักศึกษาจึงควรมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ควบคู่ไปด้วยเพ่ือใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์ เช่น พีชคณิต เรขาคณิต ลอการิทึม การแก้สมการ สมการควอดราติก รูปสามเหล่ียม ตรีโกณมิติ ทฤษฎีบททวินาม อนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์ การหาพ้ืนท่ีและปรมิ าตร การคาํ นวณเปอร์เซ็นต์ รอ้ ยละ ฯลฯ รายละเอียดของสมการท่ีสําคัญแสดงไวใ้ นภาคผนวก ค การแก้ปัญหาโจทย์ในแบบฝึกหัดเป็นการตรวจสอบว่าเรามีความรู้ในเนื้อหาวิชามากน้อยเพียงใดจึงถือวา่ เปน็ การวดั ผลสมั ฤทธิในการเรียนอย่างหนง่ึ ความสามารถในการลําดับความคิดเพื่อแก้ปัญหา สามารถฝึกฝนได้และจะชว่ ยให้การแกป้ ัญหาโจทย์มีประสิทธิภาพมากข้นึ แนวคิดในการแก้ปัญหาโจทย์ฟิสิกส์เริ่มจากการพิจารณาโจทย์ว่าให้ข้อมูลใดบ้าง และถามหาสิ่งใด เขียนปริมาณเหล่านั้นในรูปของตัวแปร และพิจารณาตัวแปรได้จากโจทย์ว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร วาดแผนภาพเพ่ือให้มองภาพโจทย์ได้อย่างแจ่มชัด จากนั้นจึงพิจารณาว่ามีหลักการ หรือ สมการใดท่ีจําเป็นต้องใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์ เมื่อได้หลักการหรือสมการครบถ้วนแล้ว จะต้องสามารถแก้สมการเพ่ือหาตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหรือตัวแปรท่ีโจทย์ต้องการให้หาค่าให้ได้ และจบด้วยการตรวจสอบคําตอบ ว่ามีหน่วยถูกต้องหรือไม่ผลการคํานวณสมเหตสุ มผลหรอื ไม่ค้นควา้ เพ่มิ เตมินักศึกษาทบทวนคณิตศาสตร์พื้นฐานอื่น ๆ เพิ่มเติมจากแหล่งความรู้อื่น เพ่ือเตรียมความพร้อมในการศกึ ษาวชิ าฟสิ กิ สไ์ ดอ้ ยา่ งราบรนื่

คณิตศาสตร์พ้นื ฐานอ่นื ๆ 17 สรุปแนวคิดประจําบทที่ 1 วิชาฟิสิกส์เป็นศาสตร์ด้านวิทยาศาสตร์กายภาพที่เกิดจากการทดลองและค้นคว้า เพ่ือทําความเข้าใจ ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ และมีความสัมพันธ์เชื่อมโยงกับศาสตร์ต่าง ๆ มากมายหลากหลายด้าน ไม่ว่า จะเปน็ วทิ ยาศาสตร์พื้นฐาน วิศวกรรม การแพทย์ เทคโนโลยี หรือ เกษตรกรรม เราจําเป็นต้องศึกษาวิชาฟิสิกส์เนื่องจาก ฟิสิกส์เป็นพื้นฐานของศาสตร์หลาย ๆ ด้าน มีอุปกรณ์ เคร่ืองมือ เครื่องใช้ หรือเทคโนโลยีหลายชนิดสร้างข้ึนมาโดยอาศัยหลักการทางฟิสิกส์ นอกจากนี้วิชาฟิสิกส์ยังช่วย ฝึกกระบวนการคิด การค้นควา้ เพอื่ หาเหตุและผลมาเพอื่ ใช้ในการแก้ปญั หาต่าง ๆ การวัดมีความสําคัญอย่างมากต่อการศึกษาวิชาฟิสิกส์ หากผลจากการวัดสอดคล้องกับทฤษฎี ทฤษฎีนั้นก็ จะเป็นที่ยอมรับ แต่เน่ืองจากหน่วยในการวัดมีอยู่หลายระบบ ในแต่ละประเทศมีการใช้ระบบหน่วยวัดที่ แตกต่างกัน จึงต้องมีการต้ังระบบหน่วยระหว่างชาติ หรือ หน่วย SI ขึ้น ซ่ึงประกอบไปด้วยหน่วยพ้ืนฐาน 7 หน่วย หนว่ ยอนพุ นั ธซ์ ึง่ เกิดจากผลคณู หรอื หารของหนว่ ยพ้ืนฐาน และ หนว่ ยเสริม ปริมาณพ้ืนฐานของการวัด คือ ความยาว มวล และเวลา ซึ่งมีหน่วย SI คือ เมตร กิโลกรัม และ วินาที ตามลําดับ โดยเราสามารถเติมคําอุปสรรคด้านหน้าหน่วย หรือใช้ค่าเลขบอกระดับขนาด เพ่ือช่วยให้การ บอกปริมาณชดั เจนมากย่งิ ขนึ้ ปรมิ าณทางฟิสิกส์แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ซึ่งมีเพียงขนาดเท่าน้ันจึงสามารถบวกลบกันได้ ด้วยเลขคณิตแบบธรรมดา และ ปริมาณเวกเตอร์ซึ่งจําเป็นต้องมีท้ังขนาดและทิศทางจึงได้ใจความ ครบถ้วนสมบูรณ์จึงรวมกันตามกฎการบวกเวกเตอร์ โดยสามารถรวมเวกเตอร์ได้ทั้งวิธีการเขียนรูป และ วิธกี ารของเวกเตอร์องค์ประกอบ การรวมเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูปนั้นทําได้ 2 วิธี คือ วาดลูกศรเวกเตอร์แบบหางต่อหัว ผลลัพธ์ท่ีได้คือ ลูกศรท่ีวาดจากหางของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวสุดท้าย และ วาดลูกศรเวกเตอร์ แบบหางต่อหาง ผลลพั ธ์ท่ีไดค้ อื เส้นทแยงมุมของรูปสเี่ หลยี่ มดา้ นขนานทสี่ ร้างขึ้นจากลกู ศรทง้ั สอง  กBาxรรแวลมะเวกBเyตอครอื ์ดอ้วงยควป์ ิธรีกะากรอขบองขเอวงกเตBอรอ์องคงคป์ ์ประระกกออบบขอเงมผื่อลบAวxกเวแกลเตะอรA์ A yคือองค์ประกอบของ และ R    A  B คอื Rx  Ax  Bx และ R  A B y yy เราใช้เวกเตอร์หน่ึงหน่วยเพ่ือช่วยให้การรวมเวกเตอร์แบบองค์ประกอบง่ายย่ิงข้ึน เม่ือเวกเตอร์หน่ึงหน่วย iˆ , ˆj และ kˆ แทนเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยในแนวแกนบวก x, y และ z ผลรวมของเวกเตอร์สามารถใช้วิธีการ บวกและลบโดยวิธีทางพชี คณติ กับแตล่ ะเวกเตอร์องคป์ ระกอบไดเ้ ลย R  ( Ax  Bx )iˆ  (Ay  By ) ˆj  (Az  Bz )kˆ  การคูณแบบสเกลาร์เป็นการคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณของ A   และ  B มีนิยAามBแcลoะsสามารถเขยี AนใBนรcปู oขsององคป์ รแะลกะอบได้ดAงั น้ี  A A B B   Ax Bx  Ay By  Az Bz การคูณแบบเวกเตอร์เปน็ การคณู เวกเตอรส์ องเวกเตอรแ์ ล้ว ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นปริมาณเวกเตอร์ ผลคูณของ และ B มนี ยิ าม และสามารถเขยี นAในรปู Bขององคป์ AรBะกsอiบnไดด้ nˆงั น้ี  B A   ( Ay Bz  Az B y )iˆ  ( Az Bz  Ax Bx ) ˆj  ( Ax B y  Ay Bx )kˆ

18 บทนําและคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานท่ีใช้ในวิชาฟสิ กิ ส์ คําถาม Q1.1 จงยกตวั อยา่ งปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์จากสง่ิ รอบตัวมาอย่างละ 5 ชนดิQ1.2 แรงท่ีไม่เทา่ กนั 2 แรง สามารถรวมกันแลว้ เปน็ ศนู ย์ได้หรือไม่ จงอธิบายเหตผุ ลQ1.3 เป็นไปไดห้ รอื ไม่ที่ขนาดของเวกเตอรล์ พั ธจ์ ะน้อยกวา่ ขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของตวั มนั เองQ1.4 ปริมาณเวกเตอรท์ มี่ ขี นาดเทา่ กบั ศนู ย์แตม่ อี งค์ประกอบไมเ่ ป็นศูนยม์ จี ริงหรือไม่ จงอธบิ ายQ1.5 เวกเตอร์สองเวกเตอร์ท่ียาวต่างกันสามารถให้ผลบวกเวกเตอร์เป็นศูนย์ได้หรือไม่ ถ้าผลบวกเวกเตอร์ ของสามเวกเตอรจ์ ะเปน็ ศนู ย์ได้จะต้องมีข้อจํากัดเกี่ยวกับขนาดของเวกเตอร์ทั้งสามอย่างไร จงอธิบาย เหตผุ ลQ1.6 มีเวกเตอร์ 2 ตัวซ่ึงมีขนาด 4 และ 5 จงอธิบายว่าเม่ือใดบ้างที่ผลลัพธ์ของสองเวกเตอร์น้ีจะมีค่าเป็น 0, 1, 3, 5, 7 และ 9Q1.7 ในการเล่นเกมแข่งขันต่อยาว ผู้เล่นแต่ละคนจะต้องนําส่ิงของที่มีในตัวมาวางเรียงต่อกันให้ได้ยาวที่สุด จากขอ้ มูล ใครเป็นผู้ชนะ นางสาวดใี จ มเี สื้อคลมุ ยาว 40 นิว้ รองเท้ายาว 23 เซนตเิ มตร และเชือกผูกรองเท้ายาว 1.2 เมตร เด็กหญงิ พอเพียง มสี รอ้ ยคอยาว 15 น้วิ รองเทา้ ยาว 27 เซนตเิ มตร และเขม็ ขัดยาว 1.5 เมตร นายตน้ กลา้ มีผ้าพนั คอยาว 180 เซนติเมตร โทรศัพทม์ ือถอื ยาว 5 นวิ้ และไม้บรรทัดยาว 1 ฟุต แบบฝึกหัด 1.1 ฟาร์มโคนมแหง่ หน่งึ ผลติ นํ้านมได้วนั ละ 26 gal หากต้องการนํามาบรรจุใส่ขวดขนาด 200 cc เพอ่ื แบ่งขายจะได้นมวนั ละกีข่ วด1.2 จงเขยี นเลขเหล่านี้ใหอ้ ยู่ในรปู ของเลขบอกระดับขนาดก) 5789.6 ข) 0.00006789 ค) 8700057 ง) 23.451.3 จงเขียนปรมิ าณเหลา่ น้ใี หอ้ ยใู่ นหน่วยมาตรฐานก) 65.7 μm ข) 876 mg ค) 200 cc ง)105.8 oF1.4 รถยนต์คนั หน่งึ โฆษณาวา่ กนิ นํ้ามัน 20 km/L คา่ น้มี ขี นาดเท่ากบั กไ่ี มล์ต่อแกลลอน1.5 มอเตอรต์ ัวหนึ่งมีความถี่ 200 rpm อยากทราบวา่ ในเวลา 1 วินาที มอเตอร์ตวั น้ีจะหมุนไปกรี่ อบ1.6 ฉลากยาน้าํ แกไ้ อเขียนว่ามีปรมิ าตร 30 ml หากต้องรบั ประทานคร้ังละ 1 ช้อนชาจะรับประทานไดก้ คี่ รัง้1.7 ความหนาแน่นของตะกว่ั คอื 11.3 g/cm3จงหาคา่ นใ้ี นหนว่ ย kg/m31.8 ในหนึ่งวันทารกต้องรับประทานนมให้ได้อย่างน้อย 24 Oz. หากต้องการตวงน้ําต้มสุกไว้ใช้สําหรับชงนมจะตอ้ งเตรียมนาํ้ ต้มสุกไวอ้ ย่างนอ้ ยกซ่ี ีซี1.9 ลูกวัวตัวหนึ่งหลุดจากคอกว่ิงข้ามทุ่งไปทางทิศตะวันออก 3 km ก่อนจะเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงใต้อีก 2 km แล้วจึงลงใต้ไปอีก 4 km อยากทราบว่าลูกวัวตัวนี้อยู่ห่างจากคอกของมันเท่าใดและหากเจา้ ของฟารม์ ต้องการเรง่ รีบออกตามหาจะตอ้ งมุ่งหน้าไปทางทิศใด

คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานอื่น ๆ 191.10 การเดินทางจากมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลตะวันออกไปยังศูนย์การค้า Pacific Park Srirachaจะต้องขับรถไปตามเส้นทางดังรูปจงหาขนาดและทิศทางของการกระจัดระหว่างศูนย์การค้าและมหาวิทยาลัยดว้ ยวธิ ีเขยี นรูปและวิธขี ององคป์ ระกอบ และเปรยี บเทยี บวา่ ผลลัพธท์ ไี่ ดส้ อดคล้องกันหรือไม่ มทร.ตะวันออก 750 1km 2km 200 5km1.11 นักสํารวจออกเดินท่องไปในป่าทึบในเวลากลางดึกอันมืดมิด เขาเดินออกจากกระท่อม 50 ก้าวไปยังทิศตะวันออกเฉียงเหนือ จากน้ันเดินต่อไปอีก 70 ก้าวไปในทิศทํามุม 60 องศากับทิศตะวันตก และเดินลงไปทางทิศใต้อกี 30 กา้ ว สมมตใิ หแ้ ตล่ ะก้าวมีขนาดเท่ากัน จงเขียนรูปของเวกเตอร์ท้ังสาม และเพื่อท่ีจะช่วยไม่ให้เขาหลงปา่ จงหาการกระจดั ทจี่ ะนําเขากลบั ไปยังกระท่อมโดยใช้วิธขี ององคป์ ระกอบในการคํานวณ  1.12 กาํ หนดเวกเตอร์ A และ B ดังรูป จงใชว้ ิธีเขียนรปู และวธิ ขี ององค์ประกอบหาคาํ ขนาดและทศิ ทางของ      ก) A + B ข) A - B ค) 2 B - A y  15 m B  10 m 300 x A1.13 จงคาํ นวณหาองคป์ ระกอบตามแกน x และ y ของเวกเตอร์  ,  และ  y C D E  10 m C 350 300 400 x  7 m D E 16 m

20 บทนําและคณติ ศาสตร์พื้นฐานที่ใชใ้ นวชิ าฟสิ กิ ส์1.14 จงหาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ซึ่งแทนด้วยคู่ขององค์ประกอบ Ax = 5.6 cm และ Ay = 7.4 cm  1.15 จากข้อ 1.14 เมื่อ Bx = 3.2 cm และ By = -4.3 cm จงหาองค์ประกอบของผลบวกเวกเตอร์ A + Bขนาดและทิศทางของผลบวกเวกเตอร์ A + B1.16 จงเขียนเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยของเวกเตอรใ์ นข้อ 1.11 ในรปู ของเวกเตอร์หน่ึงหนว่ ย iˆ และ ˆj1.17 จงเขยี นเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยของเวกเตอรใ์ นขอ้ 1.13 ในรปู ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย iˆ และ ˆj  1.18 กาํ หนดเวกเตอร์ A  3 iˆ  ˆj 15 kˆ และ B  12 iˆ  3 ˆj  6kˆ จงหาก) ขนาดของแต่ละเวกเตอร์ข) ผลต่างของเวกเตอรใ์ นรปู เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยค) ขนาดของผลตา่ งเวกเตอร์ A - B  ง) วาดแผนภาพเพือ่ แสดงว่า A - B สอดคล้องกับขอ้ ค)   A B1.19 จากข้อ 1.18 จงหาผลคูณสเกลาร์และผลคณู เวกเตอร์ของเวกตอร์ และ และหามมุ ระหว่างเวกเตอรส์ องตัวนี้

บทท่ี 2แรงและการเคล่ือนที่การศึกษาฟิสิกส์นั้นเร่ิมต้นจากการพิจารณากลศาสตร์ยุคดั้งเดิมซึ่งอธิบายเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการเคล่ือนที่ของวัตถุที่สามารถพบเห็นได้ในชีวิตประจําวันและแรงที่ทําให้เกิดการเคลื่อนที่ ซึ่งหากระบบท่ีพิจารณาไม่ได้มีขนาดเล็กมากในระดับอะตอม หรือมีการเคล่ือนท่ีด้วยความเร็วสูงใกล้เคียงความเร็วแสงกลศาสตร์ยุคดัง้ เดิมยังคงสามารถใช้อธบิ ายปรากฏการณต์ า่ ง ๆ ในธรรมชาตไิ ด้อย่างดเี ยี่ยม2.1 มวลและแรง 2.1.1 นิยามของแรง แรง (Force) เกิดขึ้นจากการดึง (pull) หรือ ผลัก (push) วัตถุ เป็นอันตรกริยาระหว่างวัตถุสองชิ้น หรือระหว่างวัตถุกับส่ิงแวดล้อม เมื่อมีแรงมากระทํากับวัตถุหนึ่ง วัตถุน้ันสามารถได้รับผลกระทบ 4ประเภท คือ 1) วัตถุท่ีอยู่นิ่งอาจเริ่มเคล่ือนท่ี เช่น ใบไม้บนพ้ืนเมื่อมีแรงลมมาประทะจะเร่ิมเกิดการขยับและเคล่ือนไหว 2) ความเร็วของวัตถุที่กําลังเคลื่อนที่อยู่อาจเปลี่ยนแปลงไป เช่น ใบไม้ท่ีปลิวอย่างช้า ๆ ไปตามลมกลับปลิวได้เร็วขึ้นเม่ือถูกพัดลมเป่า 3) ทิศทางการเคล่ือนท่ีของวัตถุอาจเปล่ียนแปลงไป เช่น ใบไม้ที่ร่วงจากตน้ หากมแี รงลมมาประทะอาจทาํ ใหม้ นั เคลื่อนท่ไี ปตามทิศของลมแทนทจ่ี ะรว่ งหล่นลงในแนวดิ่งตรง ๆ หรือ 4)รูปร่างและขนาดของวัตถุอาจเปล่ียนแปลงไป เช่น การขยําใบไม้จนบิดเบ้ียวฉีกขาดหรือใบไม้แห้งท่ีแหลกละเอียด โดยผลกระทบจากแรงนั้นอาจเกิดผลกระทบเพียงอย่างเดียวหรอื หลายอย่างร่วมกนั ก็ได้ การท่ีเราออกแรงเตะลูกฟุตบอลนั้น เราสามารถกําหนดขนาดของแรงที่ใช้ในการเตะ รวมท้ังกาํ หนดทศิ ทางที่ต้องการให้ลูกฟุตบอลเคล่ือนที่ไปได้อีกด้วย แรงจึงเป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง หรือท่ีเรยี กว่า ปรมิ าณเวกเตอร์ ในการพิจารณาเวกเตอร์ของแรง จําเปน็ ต้องสนใจวา่ มขี นาดของแรงมากน้อยเพียงใด และทิศทางของแรงว่าเป็นการดึงหรือผลักไปในทิศทางใด หน่วยมาตรฐาน (SI Unit) ของขนาดของแรง คือ นิวตัน(Newton) หรือมีตัวย่อ คือ N ซึ่งสามารถนิยามปริมาณแรง 1 นิวตันได้ว่า แรงที่ทําให้วัตถุมวล 1 กิโลกรัมเคลอ่ื นทดี่ ้วยความเร่ง 1 เมตรต่อวนิ าทีกําลังสอง 1 N = 1 kg.m/s2 ในการศึกษาเร่ืองแรง สามารถใช้วิธีการเขียนแผนภาพแทนแรงได้ โดยกําหนดขนาดของแรงตามมาตราส่วนบนไม้บรรทัด และกําหนดทิศทางโดยการใช้มุมบนแกน XY ดังรูปท่ี 2.1 ค และ ง และหากมีแรงมากกว่า 1 แรงกระทาํ พรอ้ มกนั ทตี่ ําแหนง่ เดียวกนั ให้รวมแรงลัพธ์ทง้ั หมดเปน็ แรงเดยี วโดยใช้หลักการรวมแรงเหมือนกับการบวกลบเวกเตอร์ท่ีได้กล่าวมาแล้วในบทที่ 1 ส่วนในกรณีที่แรงที่กระทํามีทิศทางทํามุม สามารถใช้วิธีแตกเวกเตอร์องค์ประกอบเป็นแรงในแนวแกน X และแรงในแนวแกน Y ก่อนนําไปหาผลลัพธ์ตอ่ ไปดังรปู ที่ 2.2

22 แรงและการเคล่อื นที่ ออกแรงผลกั ออกแรงดงึ 35 20 ก) ข) 12 N 15 N 20 35 ค) ง) รปู ท่ี 2.1 แสดงแผนภาพแทนแรง F2 R F1 ก) y Fy F Fy x Fx Fx ข) ค) รูปท่ี 2.2 แสดงการรวมแรงและการแตกแรงข้อควรระวงัการกาํ หนดระบบพกิ ัดฉาก XY นน้ั ไม่จาํ เป็นวา่ แกน X ตอ้ งเป็นแกนราบและแกน Y ต้องเป็นแกนแนวดง่ิเสมอไป ให้พิจารณาจากการเคล่ือนที่ โดยกาํ หนดใหแ้ นวทเี่ กิดการเคลอื่ นที่เป็นแกน X หรือ Y จะทําให้ง่ายต่อการแก้ปญั หาโจทย์ y x Fy Fx

มวลและแรง 23 2.1.2 แรงประเภทต่าง ๆ แรงส่วนใหญ่ท่ีพบเห็นกันในชีวิตประจําวัน ไม่ว่าจะเป็นการออกแรงเพื่อผลักประตู การออกแรงเข็นรถเข็นในซุปเปอร์มาเก็ต การออกแรงดึงเพ่ือจูงสุนัข การออกแรงในการตอกตะปู หรือการออกแรงเพื่อยกสิ่งของ ล้วนแล้วแต่เป็นแรงท่ีเกิดข้ึนจากการสัมผัสกันระหว่างวัตถุ หรือที่เรียกว่า แรงสัมผัส (ContactForces) แรงอีกประเภทหน่ึงท่ีไม่เกี่ยวข้องกับการสัมผัสกันของวัตถุ ท่ีรู้จักกันในช่ือ แรงสนาม หรือ แรงพิสยั ไกล (Field Forces) เปน็ แรงระยะไกลซ่ึงสามารถส่งผลถึงกันได้โดยที่ไม่จําเป็นต้องสัมผัสกัน เกิดได้แม้ในอวกาศท่ีว่างเปล่า ตัวอย่างเช่น แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) ที่ส่งผลให้เกิดการเคลื่อนที่แบบตกอย่างอิสระ อันเนื่องมาจาก นํ้าหนัก (weight) ซ่ึงจะกล่าวถึงต่อไป แรงดึงดูดท่ีเกิดข้ึนระหว่างประจุบวกและประจุลบ หรอื แรงท่ที ําให้แทง่ แม่เหล็กสามารถดงึ ดดู เหลก็ ได้ ซ่ึงจะกล่าวถงึ อกี ครั้งในบทท่ี 7 โดยท่ัวไปแล้ว แรงสัมผัสและแรงสนามไม่ได้แยกจากกันอย่างชัดเจน ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาวัตถุสองชิ้นออกแรงกระทําต่อกันถือเป็นแรงสัมผัส แต่หากเราพิจารณาในระดับอะตอม แรงสัมผัสนี้ก็เกิดจากแรงสนามระหว่างอะตอมของวตั ถุทัง้ สองดว้ ย นอกจากแรงสองประเภทท่ีกล่าวมาแล้วยังมีการกําหนด แรงพื้นฐาน (Fundamental Forces)ในธรรมชาติ โดยแบ่งออกไดเ้ ป็น 4 ประเภท คือ 1. แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) เป็นแรงที่เกิดข้ึนโดยมวลของวัตถุ เป็นสาเหตุของการท่ีวัตถุมีน้ําหนัก เป็นสาเหตุที่ทําให้ดาวเคราะห์ต่าง ๆ โคจรรอบดาวแม่ เป็นสาเหตุท่ีทําให้วัตถุทุกชนิดร่วงตกลงสู่พื้นโลก ฯลฯ 2. แรงแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Force) เป็นแรงท่ีเกี่ยวข้องกับประจุไฟฟ้าและแม่เหล็ก เน่ืองจากในอะตอมของสสารทุกชนิดประกอบด้วยประจุท้ังบวกและลบ ดังนั้นอะตอมและโมเลกุลสามารถส่งแรงไฟฟ้ากระทําต่ออนุภาคอ่ืนได้ แรงสัมผัส จึงจัดเป็นแรงแม่เหล็กไฟฟ้าประเภทหน่ึง เนื่องจากเปน็ แรงที่เกดิ ข้ึนระหว่างอะตอม แรงแม่เหล็กไฟฟ้าจงึ นับวา่ เป็นแรงพ้ืนฐานท่ีมีความสําคัญอย่างมาก 3. แรงนิวเคลียร์อย่างอ่อน (Nuclear Weak Force) เป็นแรงท่ีเกิดจากการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี (Beta decay) และมีบทบาทสําคัญต่อปฏิกริยานิวเคลียร์ฟิชชั่น (Nuclear Fission) ในการสร้างพลงั งานของดวงอาทติ ย์ 4. แรงนิวเคลียร์อย่างแรง (Nuclear Strong Force) เป็นแรงภายในนิวเคลียสท่ีอัดอนุภาคมูลฐาน (โปรตอน) ให้รวมกันอยู่ในนิวเคลียสได้โดยไม่ถูกแรงผลักระหว่างประจุบวกของโปรตอนดันจนทําให้อะตอมนัน้ แตกออกตารางที่ 2.1 แรงพ้ืนฐาน (Fundamental Forces) ชนิดของแรง ความเข้มของแรง ระยะขอบเขตทพี่ จิ ารณา (m) 10-15แรงนิวเคลียรอ์ ย่างแรง 1 ไม่จาํ กดัแรงแมเ่ หลก็ ไฟฟา้ 1/137 10-18แรงนิวเคลียรอ์ ยา่ งอ่อน 10-6 ไมจ่ ํากัดแรงโนม้ ถว่ ง 6x10-39ทม่ี า: Hyperphysics, Georgia State University, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Forces/funfor.html ค้นเม่ือ 3 พฤษภาคม 2557

24 แรงและการเคลอื่ นที่ เนอ่ื งจากแรงนิวเคลียรอ์ ย่างอ่อนและแรงนิวเคลียรอ์ ย่างแรงเกดิ ขนึ้ ในระดับนวิ เคลยี ส จึงจดั เป็นแรงระยะส้นั ระดบั 10-15 m นน่ั คอื นอกเหนอื จากขอบเขตน้ีจะไม่เห็นผลของแรง กลศาสตร์ยุคด้ังเดิมจงึ สนใจเพียงแคแ่ รงโนม้ ถ่วงและแรงแมเ่ หล็กไฟฟ้าซง่ึ มีระยะอนันต์เท่าน้นั ตารางท่ี 2.1 แสดงข้อมูลความเขม้ ของแรงและระยะขอบเขตที่พิจารณา2.1.1 มวลและน้ําหนกั เม่ือกล่าวถึงตัวอย่างของแรงท่ีเป็นที่คุ้นเคยกันดีในชีวิตประจําวันทั่วไป คงหนีไม่พ้นแรงท่ีเรียกว่านํ้าหนัก (weight) ซ่ึงเป็นแรงท่ีเกิดจากแรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทําต่อวัตถุ (แต่หากวัตถุน้ีไปอยู่บนดาวดวงอน่ื ทไ่ี มใ่ ช่โลก นาํ้ หนักก็คอื แรงทีเ่ กิดจากแรงโน้มถ่วงทดี่ าวดวงน้นั กระทาํ ต่อวัตถุ) โดยท่ัวไป คําว่ามวล (mass)และน้ําหนัก (weight) มักมีการใช้ส่ือแทนส่ิงๆเดียวกันในชีวิตประจําวัน แต่ในทางฟิสิกส์แล้ว คําสองคํานี้แตกต่างกนั อย่างชดั เจน และผูเ้ รียนจําเปน็ ตอ้ งเขา้ ใจความแตกตา่ งของสองคําน้ี มวล (mass) ตวั ยอ่ m เปน็ สมบัตซิ ง่ึ แสดงความเฉื่อย (inertial) ของวัตถุ โดยจะบอกถึงค่าความต้านทานต่อการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ วัตถุย่ิงมีมวลมากย่ิงต้องใช้แรงมากในการทําให้เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง หรือหากใช้แรงเท่ากัน วัตถุที่มีมวลมากย่อมเคล่ือนท่ีได้ช้ากว่า (หรือมีความเร่งน้อยกว่า) มวลเป็นปรมิ าณสเกลาร์ มหี น่วยมาตรฐาน (SI Unit) คอื กโิ ลกรัม (kg) น้ําหนัก (weight) ตัวย่อ w เป็นแรงซึ่งเกิดจากความเร่งโน้มถ่วงท่ีกระทําต่อวัตถุ มีหน่วยมาตรฐาน (SI Unit) คือ นิวตัน (N) โดยหากพิจารณาการปล่อยวัตถุให้ตกอย่างอิสระในแนวด่ิง แรงสุทธิท่ีกระทําตอ่ วตั ถกุ ็คอื นาํ้ หนักของวัตถุมวล m คูณกับความเร่งโน้มถ่วง g นํ้าหนักเป็นปริมาณเวกเตอร์ ขนาดของนา้ํ หนักสามารถหาได้ตามสมการ (2.1) ส่วนทิศทางของน้ําหนักจะมีทิศพุ่งลงในแนวดิ่งสู่พ้ืนโลก (เราใช้ค่า g =9.8 m/s2 สาํ หรบั การพจิ ารณาปญั หาบนโลกถึงแมว้ า่ คา่ g จะมีการเปลี่ยนแปลงได้เล็กน้อยอันเน่ืองมาจากการหมนุ รอบตัวเองของโลก) w  mg (2.1) เม่อื w คือ นา้ํ หนกั (weight) ในหน่วย N คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg m คอื ความเร่งโนม้ ถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย gm/s2 มคี า่ ประมาณ 9.8 m/s2ตวั อย่างท่ี 2.1 สม้ โอมีนา้ํ หนกั 20 N ณ ตาํ แหน่งบนโลกซงึ่ มคี า่ g =9.8 m/s2 มวลของส้มโอเปน็ เท่าใด และทีต่ าํ แหน่งเดียวกัน จงหาน้ําหนักของลูกหมมู วล 15 kgวิธีทํา จากโจทย์กําหนดใหน้ าํ้ หนกั ของส้มโอ 20 N ซง่ึ คือตวั แปร w = 20 N และ g =9.8 m/s2 ถามหามวลของส้มโอซึง่ คอื ตวั แปร mจากข้อมูลเลือกใช้สมการ (2.1) w = mgแทนค่า 20 = m  9.8ดังนั้นมวลส้มโอ m = 2.04 kg ตอบจากนน้ั หานํา้ หนักของลกู หมูจากค่ามวล ซ่ึงคือตัวแปร m = 15 kg ดว้ ยสมการ (2.1) เช่นกนัแทนค่ามวลลูกหมู w = 15  9.8ดังนัน้ น้าํ หนกั ลูกหมู w = 147 N ตอบ

มวลและแรง 25ข้อมูลเพมิ่ เตมิแรงสัมผสั (Contact Forces) ทสี่ ําคญั ทง้ั 3 ชนิด1. แรงตั้งฉาก (normal force) หรือ แรง N เป็นแรงที่เกิดขึ้นจากการที่วัตถุสัมผัสกับพ้ืน โดยทศิ ทางของแรงจะตัง้ ฉากกับพ้ืนท่ีวัตถุนั้นสัมผัส สมการของแรง N มีค่าแตกต่างกันไป ไม่แน่นอนข้นึ กบั แตล่ ะสถานการณ์ เช่น กําแพง NN ผลกั เขา้ กับกาํ แพง F=mgcos mg N2. แรงเสียดทาน (friction force) หรือ แรง f เป็นแรงต้านท่ีเกิดจากการที่วัตถุสัมผัสกับพ้ืน โดย ทิศทางของแรงเสียดทานจะตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนท่ีของวัตถุ แรงเสียดทานมีค่าข้ึนอยู่กับ น้ําหนักของวัตถุและชนิดของพ้ืนผิวท้ังสอง ตามสมการ f  N นั่นคือ วัตถุที่มีน้ําหนักมาก จะส่งผลใหม้ ีคา่ แรงต้งั ฉาก (N) มาก แรงเสียดทานจึงมาก ส่วนค่าสัมประสิทธิความเสียดทาน (μ) จะมีค่าขึ้นอยู่กับชนิดของพ้ืนผิว ตารางที่ 2.2 แสดงค่าสัมประสิทธิความเสียดทานของพื้นผิว โดยจะใช้ค่าสัมประสิทธิความเสียดทานสถิตเม่ือพิจารณาแรงเสียดทานขณะวัตถุหยุดน่ิง และใช้ ค่าสัมประสิทธคิ วามเสียดทานจลนเ์ มอ่ื พจิ ารณาแรงเสยี ดทานขณะวัตถเุ คลื่อนท่ี N ผลัก แรงเสียดทาน3. แรงตงึ เชอื ก (tension force) หรือ แรง T เป็นแรงท่เี กิดขึ้นจากการดึงวัตถดุ ้วยเชอื กมีทศิ พ่งุ ออก จากวตั ถุ Tคดิ ซักนิด 2จากสมการความโน้มถ่วงสากล แรงโน้มถ่วงหรือแรงดึงดูดระหว่างมวลมีค่าข้ึนอยู่กับมวลและระยะห่างระหวา่ งมวลตามสมการ F  Gm1m2 r2เมื่อ G คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง มีค่า 6.673x10-11 Nm2/kg2 จงหาแรงดึงดูดระหว่าง โลกและดวงจันทร์และแรงดงึ ดูดระหว่างดนิ สอกับไม้บรรทดั ว่ามีคา่ เหมือน ใกลเ้ คยี ง หรอื แตกต่างกนั อย่างไรและจากเมื่อ w คือ นา้ํ หนกั (weight) ในหน่วย N

26 แรงและการเคล่ือนที่ตารางที่ 2.2 แสดงคา่ สัมประสิทธิความเสยี ดทานของพื้นผวิ ต่าง ๆชนดิ ของผิวสัมผัส สมั ประสทิ ธิความเสียดทานสถิต μs สัมประสิทธคิ วามเสียดทานจลน์ μkเหลก็ บนเหล็ก 0.74 0.57อลมู ิเนียมบนเหลก็ 0.61 0.47ทองแดงบนเหลก็ 053 0.36ทองเหลอื งบนเหลก็ 0.51 0.44สงั กะสบี นเหลก็ หลอ่ 0.85 0.21ทองแดงบนเหล็กหล่อ 1.05 0.29แก้วบนแกว้ 0.94 0.40ทองแดงบนแกว้ 0.68 0.53ยางบนผวิ คอนกรตี (แหง้ ) 1.00 0.80ยางบนผิวคอนกรตี (เปียก) 0.30 0.25ท่มี า: Young, Hugh D., and Freedman, Roger A. ฟสิ กิ สร์ ะดบั อุดมศกึ ษา เลม่ 1. แปลโดย ปยิ พงษ์ สทิ ธิคง.กรุงเทพฯ: เพยี ร์สนั เอ็ดดเู คช่ัน อินโดไชนา่ , 2547: หน้า 133.ขอ้ ควรระวงัมวลมคี ่าคงท่ีไม่วา่ จะอยู่ท่ใี ด ในขณะท่ีนา้ํ หนักจะเปล่ียนแปลงไปตามคา่ ความเรง่ โนม้ ถว่ ง g ของบริเวณน้ัน โลก ดวงจนั ทร์ ดาวพฤหัส ดวงอาทติ ย์มวล = 50 kg มวล = 50 kgนํ้าหนัก = 490 N นํา้ หนัก = 81 N มวล = 50 kg มวล = 50 kg น้าํ หนกั = 1246 N น้ําหนัก = 13715 N2.2 กฎการเคลื่อนทข่ี องนิวตนั เซอร์ไอแซค นิวตัน (พ.ศ. 2185 – 2070) เสนอกฎการเคล่ือนท่ีครั้งแรกในปี พ.ศ. 2230 โดยตีพิมพ์ลงในหนังสือช่ือ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica หรือท่ีรู้จักกันในนาม Principia กฎการเคล่อื นทขี่ องนิวตนั มี 3 ขอ้ จดั เป็นกฎพื้นฐานของการเคล่อื นท่ีของวัตถทุ กุ ชนดิ สามารถใช้วเิ คราะหผ์ ลของ

กฎการเคล่อื นทข่ี องนวิ ตนั 27แรงที่กระทําต่อวัตถุได้ วัตถุที่เคลื่อนที่ทุกชนิดจะต้องอยู่ในกฎข้อใดข้อหน่ึงในขอบเขตท่ีเรียกว่า กลศาสตร์ยุคดัง้ เดมิ (กลศาสตร์ทศ่ี กึ ษาวตั ถุที่มขี นาดใหญ่และมคี วามเรว็ น้อยมากเม่ือเทยี บกบั แสง)2.2.1 กฎการเคลอ่ื นทข่ี อ้ ที่ 1การท่ีหนังสือวางอยู่น่ิงบนโต๊ะ ไม่ใช่เพราะไม่มีแรงใดมากระทํา แต่เป็นเพราะมีแรงเสียดทานมาต้านการเคล่ือนท่ีไว้ จึงมองเห็นเหมือนอยู่น่ิง กฎการเคลื่อนที่ข้อท่ี 1 กล่าวว่า “วัตถุทุกชนิด จะดํารงอยู่ในสภาวะของตวั เอง ไม่ว่าจะหยุดนง่ิ หรอื เคล่ือนที่ดว้ ยความเรว็ คงท่ี จนกว่าจะมแี รงภายนอกมากระทําให้เปล่ียนสภาวะ”น่นั ก็คือ หากไมม่ แี รงภายนอกมากระทาํ หรือแรงสทุ ธิท่มี ากระทาํ ต่อวัตถเุ ป็นศนู ย์ วัตถุนั้นจะคงสภาวะเดิมต่อไป ความพยายามคงสภาวะเดิมของวัตถุ เรียกว่า ความเฉื่อย จึงมักเรียกกฎข้อนี้ว่า “กฎของความเฉอื่ ย (law of inertia)” ดังสมการ   0 (2.2) F เมือ่ F คือ แรง (Force) ในหน่วย N เมื่อไม่มีแรงใดกระทําต่อวัตถุ หรือมีแรงหลายแรงกระทําในลักษณะที่ผลบวกเวกเตอร์ของแรงเหล่านั้น (แรงลัพธ์) เป็นศูนย์ เราอาจพูดได้ว่าวัตถุน้ันอยู่ในสมดุล ซ่ึงในสภาวะสมดุล ถ้าวัตถุไม่อยู่น่ิงก็จะเคลื่อนทใี่ นแนวเส้นตรงด้วยความเร็วคงตวั รูปที่ 2.3 แสดงความพยายามในการคงสภาวะเดิมของวัตถุซ่ึงเป็นไปตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตันเม่อื รถไฟเริ่มเคล่อื นที่ ผู้โดยสารบนรถไฟซ่ึงเดิมเคยอยู่น่ิงพยายามจะคงสภาวะเดิมตัวจึงเสมือนเอนไปทางด้านหลัง ซึ่งกลับกันหากรถไฟที่กําลังแล่นอยู่นี้จอดลง ผู้โดยสารจะพยายามคงสภาวะเดิมซ่ึงกําลังเคลื่อนท่ีไปด้านหนา้ จึงมองเห็นคล้ายผู้โดยสารเอนไปทางด้านหนา้ การเคล่อื นทข่ี องรถไฟ แรงกระทํา ต่อ ผโู้ ดยสารรถไฟเร่ิมเรง่ ความเร็ว รถไฟเร่ิมเคล่ือนท่ี รถไฟหยุดนง่ิรูปที่ 2.3 แสดงความพยายามในการคงสภาวะเดิมของวัตถุทีม่ า: ดดั แปลงจาก http://physics.tutorvista.com/motion/newton-s-first-law-of-motion.html คน้ เม่ือ 3 พฤษภาคม 257

28 แรงและการเคลอ่ื นที่คิดซกั นดิ 3เพราะเหตุใดเวลาที่เกิดอุบัติเหตุรถชนกัน หากผู้ขับขี่ไม่คาดเข็มขัดนิรภัยผู้ขับข่ีอาจพุ่งทะลุกระจกหน้ารถออกไปได้ และเหตใุ ดการติดตัง้ เก้าอสี้ าํ หรบั ทารก (car seat) จงึ ตอ้ งตดิ ตัง้ ให้หันหน้าไปด้านหลังรถ 2.2.2 กฎการเคล่ือนท่ีข้อที่ 2 “เมื่อมีแรงลัพธ์ซ่ึงไม่เป็นศูนย์กระทําต่อวัตถุ วัตถุน้ันจะมีความเร่งเกิดข้ึนในทิศทางเดียวกันกับแรงลัพธ์” โดยขนาดของความเร่งจะเป็นปฏิภาคโดยตรงกับแรงลัพธ์และเป็นปฏิภาคผกผันกับมวลของวัตถุดังสมการ    ma (2.3) F เมือ่ F คือ แรง (Force) ในหนว่ ย N m คือ มวล (mass) ในหน่วย kg a คือ ความเร่ง (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 กฎข้อที่ 2 ของนิวตันเป็นกฎพ้ืนฐานของธรรมชาติท่ีให้ความสัมพันธ์พ้ืนฐานระหว่างแรงและการเคลือ่ นที่ ดังจะเห็นได้จากสมการว่าความเร่ง (หรืออัตราการเปล่ียนแปลงความเร็ว) ของวัตถุมีค่าข้ึนอยู่กับแรงสทุ ธิท่ีกระทาํ ต่อวตั ถหุ ารด้วยมวลของวัตถุ ยงิ่ ออกแรงกระทําตอ่ วัตถมุ ากวัตถุก็จะย่ิงเคล่ือนท่ีด้วยความเร่งมากกลับกันเมื่อวัตถุมีมวลมากย่อมส่งผลต่อการเคล่ือนท่ีด้วย ทําให้วัตถุท่ีมีมวลมากเคลื่อนท่ีด้วยความเร่งท่ีน้อยกวา่ วัตถทุ ่มี มี วลน้อย 2.2.3 กฎการเคล่อื นทขี่ ้อท่ี 3 แรงท่ีกระทําต่อวัตถุหน่ึงเป็นผลจากอัตรกิริยาของวัตถุนั้นกับวัตถุอ่ืนเสมอ แรงจึงเกิดข้ึนเป็นคู่หากเราออกแรงทุบโต๊ะเราย่อมรู้สึกถึงแรงที่โต๊ะกระทําต่อเรา หรือการที่เราสามารถยืนอยู่บนพ้ืนได้โดยไม่จมลงไปในพื้นก็เป็นเพราะนํ้าหนักของเราเป็นแรงท่ีกดพื้นไว้และในขณะเดียวกันพื้นก็ออกแรงโต้กลับยกเราไว้เช่นกัน จึงอาจกล่าวได้ว่า “แรงกระทําใด ๆ เม่ือเกิดข้ึนแล้วจะมีแรงปฏิกิริยาโต้ตอบขนาดเท่ากัน แต่มีทิศตรงข้ามเกดิ ขึ้นเสมอ” หรือทีเ่ รยี กว่า แรงคูก่ ริ ิยา-ปฏิกริ ยิ า (action-reaction force)   Faction   Freaction (2.4) เม่ือ  คือ แรงกริ ิยา (action force) ในหน่วย N Faction คอื แรงปฏิกิริยาโตต้ อบ (reaction force) Freaction ในหนว่ ย N จากรูปที่ 2.4 จะเห็นว่าในขณะที่เคร่ืองบินเคลื่อนที่จะมีการปล่อยลมร้อนออกไปทางด้านหลัง ซึ่งอากาศโดยรอบก็จะออกแรงต้านไว้โดยการผลักให้เคร่ืองบินเคลื่อนที่ไปด้านหน้า หรือในขณะท่ีเราว่ายนํ้า เราออกแรงวักนํ้าไปทางด้านหลัง นํ้าก็ออกแรงดันตัวเราให้เคลื่อนท่ีไปด้านหน้าเช่นกัน หรือการที่เราก้าวขาจากเรือเพอ่ื ขน้ึ ฝั่ง แรงปฏกิ ริ ิยาจะทําใหเ้ รือถกู ผลักใหเ้ คลือ่ นท่ีถอยห่างจากฝั่งได้ และเช่นเดียวกับการก้าวเดิน การทีเ่ รายา่ํ ลงไปบนพืน้ แล้วไม่จมลงไปกเ็ ปน็ เพราะพนื้ ออกแรงโต้ตอบยกเราไว้นนั่ เอง

ไอพน่ ไปดา้ นหลัง กฎการเคลือ่ นท่ขี องนิวตัน 29 กา้ วไปด้านหนา้ ดนั ให้เรอื ถอยหลังเครอ่ื งบนิ เคล่ือนไปข้างหน้าแรงกิริยา แรงปฏกิ ริ ิยา พ้นื โตก้ ลับ เท้าถบี พื้น รูปที่ 2.4 แสดงคู่แรงกิรยิ า-ปฏกิ ิรยิ าของวตั ถตุ ่าง ๆ 2.2.4 การประยุกต์กฎการเคลือ่ นทข่ี องนิวตัน กฎการเคล่ือนที่สามข้อของนิวตันเป็นกฎที่รวมหลักการพ้ืนฐานท้ังหมดที่เราต้องใช้ในแก้ปัญหาด้านกลศาสตร์ ความท้าทายอยู่กระบวนการวิเคราะห์ว่าควรใช้กฎข้อใดกับสถานการณ์ใด หากพิจารณาสถานการณ์สมดุล ไม่มีแรงสุทธิกระทําต่อวัตถุ สามารถเลือกใช้กฎข้อท่ีหนึ่ง แต่หากมีแรงสุทธิกระทําต่อวัตถุก็ต้องเลอื กพจิ ารณากฎข้อทสี่ อง นอกจากนี้ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุก็เป็นอีกจุดท่ีต้องพิจารณา หากวัตถุน้ันหยุดน่ิงไม่เคลื่อนท่ี หรือกําลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ให้เลือกใช้กฎข้อที่หนึ่ง แต่หากวัตถุนั้นกําลังเคลื่อนท่ีด้วยความเร่งกจ็ ําเป็นต้องใช้กฎขอ้ ท่ีสองในการพจิ ารณา เพ่ือช่วยในการแก้ปัญหาโจทย์ที่มีลักษณะที่ซับซ้อนมากข้ึน กลยุทธสําคัญในการแก้ปัญหาสามารถแบ่งได้เป็นขั้นตอนดังนี้ คอื 1. เขียนแผนภาพวัตถุ (free-body diagram) ซึ่งเป็นแผนภาพที่แสดงให้เห็นแรงท่ีกระทําต่อระบบท่ีจะ วิเคราะห์ โดยจะต้องเลอื กเขียนเฉพาะวตั ถุที่พิจารณา 2. เขียนรูปแรงต่าง ๆ ท่ีกระทําต่อวัตถุ เช่น แรงตึงเชือก แรงดึง แรงผลัก นํ้าหนัก แรงปฏิกิริยาของพื้น หรือแรงเสียดทาน (พึงระวัง ไม่เขียนแรงที่วัตถุน้ันกระทําต่อส่ิงอื่น เช่น แรงคู่ปฏิกิริยา) กําหนด ตัวอกั ษรหรอื คา่ ของแรงกาํ กับไว้พร้อมท้งั ลกู ศรแสดงทิศทางของแรง 3. กาํ หนดระบบพกิ ดั แกน XY เพ่อื สะดวกต่อการกําหนดทิศการเคลื่อนที่ โดยให้แกน X หรือแกน Y คือ แกนทเ่ี กดิ การเคลอ่ื นท่ีจะง่ายต่อการพจิ ารณา 4. แตกแรงท้งั หมดทีไ่ มเ่ ขา้ แกนท่ีกําหนด ให้คงเหลือแต่แรงในแกน XY เทา่ นน้ั 5. พจิ ารณาเขียนกฎขอ้ ท่ีหนึ่งของนิวตนั (สาํ หรับปัญหาที่ความเร่งเป็นศูนย์) หรือ กฎข้อท่ีสองของนิวตัน (สําหรับปัญหาที่มีความเร่ง) โดยพิจารณาแยกทีละแกน และแก้สมการเพื่อหาปริมาณที่ไม่ทราบค่า ตอ่ ไป

30 แรงและการเคลือ่ นที่ขอ้ ควรระวงัน้ําหนักของวตั ถมุ ที ศิ ทางลงตามแนวด่งิ เสมอ แรงปฏิกริ ิยาของพ้นื จะมีทศิ ตงั้ ฉากกับพืน้ ผวิ และแรงตึงเชือกพ่งุ ออกจากวัตถทุ ่พี จิ ารณาตัวอย่างที่ 2.2 กล่องใบหนึ่งมวล 20 kg วางอยู่บนพื้น สัมประสิทธ์ิความเสียดทานสถิตระหว่างพ้ืนกับกล่องมีค่า 0.3 ตอ้ งออกแรงดึง P อย่างนอ้ ยเท่าใดกลอ่ งจงึ จะเริม่ เคลื่อนที่วธิ ีทาํ y N Px P mg fโจทย์กําหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) วางนิ่งบนพ้ืน สัมประสิทธิความเสียดทานสถิตระหว่างพื้นกับกลอ่ ง 0.3 (  = 0.3) และถามหาแรงดงึ P ทีน่ ้อยทสี่ ดุ ท่ีทาํ ใหก้ ล่องเคลื่อนท่ีเร่ิมต้น โดยการวาดแผนภาพวัตถุ เขียนแรงเสียดทาน f น้ําหนัก mg และแรงต้ังฉาก N ลงในแผนภาพกําหนดแกนพิกดั xy และพิจารณาเลือกกฎของนวิ ตนัเน่อื งจากโจทย์ถามหาแรงน้อยที่สุดทก่ี ลอ่ งจะเรม่ิ เคลือ่ นท่ี น่นั คอื กล่องยงั ไมเ่ คลือ่ นที่ จึงเลือกใชก้ ฎขอ้ 1พจิ ารณาแกน x   =0 Fxแทนคา่ แรงในแกน x P  f =0แทนคา่ f   N ; P   N = 0 -------------------------(1)พิจารณาแกน y   =0 Fyแทนค่าแรงในแกน y N  mg = 0จะได้วา่ N = mg แทนคา่ ใน (1) P   mg = 0แทนค่า P = 0.3 209.8  58.8 Nดังน้นั หากต้องการให้กลอ่ งเคลื่อนที่ แรงดึงนอ้ ยท่ีสุดทีใ่ ชค้ ือ 58.8 N ตอบตัวอย่างที่ 2.3 หญิงผู้หน่ึงติดอยู่บนตึกช้ันสามในขณะท่ีเกิดเพลิงไหม้ จึงใช้ผ้าฉีกมัดกันเป็นเชือกเพื่อไต่ลงมาทางหนา้ ตา่ ง โดยเชอื กทนแรงตงึ ได้ 430N ตัวหญิงผู้น้ีหนัก 500N จงหาว่า ถ้าต้องการไต่ลงมาโดยเชือกไม่ขาดจะตอ้ งลงมาดว้ ยความเร่งเทา่ ไรวิธีทาํ จากโจทย์กําหนดแรงตึงเชือก 430 N (T = 430 N) น้ําหนักของหญิงผู้นี้ 500 N ( mg = 500 Nหรอื m = 51.02 kg) และตอ้ งการหาความเร่ง ( a )

กฎการเคลอื่ นทีข่ องนวิ ตัน 31 พจิ ารณาแผนภาพวัตถุ แรงทีก่ ระทาํ ต่อหญงิ ผนู้ ี้ คอื น้ําหนกั mg และแรงตงึ เชอื ก T โจทย์กล่าวถงึ ความเร่ง จึงใช้กฎขอ้ ท่ี 2 โดยเลอื กพิจารณาแกน y กอ่ น T   = ma mg Fy ตอบ แทนค่าแรงในแกน y T  mg = ma แทนคา่ 430  500 = 51.02 a จะได้ a = 1.37 m/s2 ดังน้นั ถ้าตอ้ งการไตล่ งมาโดยเชือกไม่ขาดต้องลงมาดว้ ยความเร่ง 1.37 m/s2ตัวอย่างที่ 2.4 จากตัวอย่างท่ี 2.2 ถ้ากล่องมวล 20 kg วางอยู่บนพ้ืนเอียง 30o ที่มี สัมประสิทธิความเสียดทาน 0.3 จะต้องออกแรง P เท่าใด (ในแนวขนานพน้ื ) เพอ่ื ดงึ ให้กล่องเคลื่อนทขี่ น้ึวิธที าํ P y xN P mgsin300 f 300 300 mg mgcos300 จากโจทย์กําหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) วางบนพ้ืนเอียง 30o ( = 30 o) สัมประสิทธิความเสียดทาน 0.3 (  = 0.3) วาดแผนภาพวัตถุ วาดแรงท้ังหมดท่ีเกิดขนึ้ กําหนดแกนพิกัด xy และเลอื กใช้กฎข้อที่ 1 เน่ืองจากถามหาแรงน้อยทีส่ ดุ ทใ่ี ช้ในการดงึ ให้กลอ่ งเคลื่อนที่ขึ้น (กล่องยังคงอยูน่ ่งิ ) พิจารณาแกน x   =0 Fx แทนคา่ แรงในแกน x P  f  mgsin300 = 0 แทนคา่ f   N ; P   N  mg sin300 = 0 -------------------------(1) พิจารณาแกน y   = 0 Fy แทนค่าแรงในแกน y N  mgcos300 =0 จะไดว้ า่ N = mg cos300 แทนคา่ ใน (1) P   mg cos300  mg sin300 =0 จดั รูป จะได้ P = mg ( cos300  sin300 ) แทนคา่ P = 209.8(0.3cos300  sin300 ) = 148.92 N ดงั นน้ั หากต้องการดึงใหก้ ล่องเคลื่อนทขี่ ึน้ ไปตามพื้นเอียงต้องใช้แรงอย่างนอ้ ย 148.92 N ตอบ

32 แรงและการเคลอ่ื นท่ีคดิ ซกั นดิ 4ในการใช้พ้ืนเอียงมาช่วยในการผ่อนแรง จากตัวอย่างที่ 2.4 เราพบว่าหากต้องการยกกล่องมวล 20 kgขนึ้ ไปวางบนทสี่ ูงจะต้องใช้แรง 196 N (20 kg x 9.8 m/s2) แต่หากใช้พ้ืนเอียงมาช่วยเราจะออกแรงเพียง149 N เท่านั้น ลองคิดต่ออีกซักนิดว่ามุมของพนื้ เอยี งควรจะมากหรือน้อยจึงช่วยผ่อนแรงไดม้ ากทสี่ ุดตัวอย่างที่ 2.5 จากตัวอย่างท่ี 2.2 ถ้ากล่องมวล 20kg วางอยู่บนพ้ืนที่มี สัมประสิทธิความเสียดทานจลน์ 0.3เมื่อออกแรงดึงวตั ถุใหเ้ คลื่อนท่ีไปบนพื้นดว้ ยความเร็วคงที่ โดยแรงทํามุม 37oกบั แนวระดบั แรงดึงมคี ่าเท่าใดวธิ ที ํา y N Psin370 370 P x 3P7c0os37P0 mg fจากโจทย์กําหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) สัมประสิทธิความเสียดทาน 0.3 (  = 0.3)และออกแรงดึงโดยแรงทํามุม 37 o กบั แนวระดบั ( = 37 o) วาดแผนภาพวตั ถุ วาดแรงท้งั หมดทีเ่ กิดขนึ้ กาํ หนดแกนพิกดั xy และเลือกใชก้ ฎข้อท่ี 1 เน่ืองจากระบุวา่ ความเร็วคงที่พิจารณาแกน x   =0 Fxแทนค่าแรงในแกน x Pcos370  f =0แทนคา่ f   N ; P cos370   N = 0 -------------------------(1)พจิ ารณาแกน y =แทนค่าแรงในแกน y   = 0 Fy 0 N  Psin370  mgจะไดว้ า่ N = mg  Psin370 แทนค่าใน (1) Pcos370   (mg  Psin370 ) =0 Pcos370   mg  Psin370 =0 P =  mg cos370   sin370แทนค่า P = 0.3 20 9.8 cos370  0.3sin 370 P = 60.35 Nดงั นั้นแรงดงึ ท่ีใชใ้ นการดึงให้กลอ่ งเคลื่อนทดี่ ว้ ยความเร็วคงที่ คือ 60.25 N ตอบ

กฎการเคลื่อนที่ของนวิ ตนั 33ตวั อย่างที่ 2.6 จากตวั อย่างที่ 2.5 หากเปล่ียนเป็นการผลักกล่องในทิศทํามุม 37oกับแนวระดับ จะต้องใช้แรงผลักเท่าใด มากหรอื นอ้ ยกวา่ แรงดึงวิธที าํ N Psin370 370 P P37co0 s37P0จากโจทย์กําหนดมวลของกล่อง 20 kg (m = 20 kg) สัมประสิทธิคmวาgมเสียดทาน f ( = 0.3)และออกแรงผลักโดยแรงทาํ มุม 37 o กบั แนวระดบั ( = 37 o) 0.3วาดแผนภาพวตั ถุ วาดแรงทัง้ หมดที่เกิดข้ึน กาํ หนดแกนพกิ ัด xy และเลอื กใช้กฎขอ้ ท่ี 1พิจารณาแกน x   =0 Fxแทนคา่ แรงในแกน x Pcos370  f =0แทนค่า f   N ; P cos370   N = 0 -------------------------(1)พิจารณาแกน y =แทนคา่ แรงในแกน y   = 0 Fy 0 N  Psin370  mgจะได้วา่ N = mg  Psin370 แทนคา่ ใน (1) Pcos370   (mg  Psin370 ) =0 Pcos370   mg  Psin370 =0 P =  mg cos370   sin370แทนคา่ P = 0.3 20 9.8 cos370  0.3sin 370 P = 95.13 Nดังนั้นแรงท่ีใชใ้ นการดึผลกั ใหก้ ล่องเคล่อื นทดี่ ว้ ยความเร็วคงที่ คอื 95.13 N ตอบจาก ท้ังสองตัวอย่าง จะพบว่า การดึงกล่องใช้แรง 60.35 N ในขณะที่การผลักใช้แรง 95.13 N นั่นก็คือการดึงกล่องจะใช้แรงน้อยกว่าการผลักในการทําให้กล่องเคล่ือนท่ี เนื่องมาจากแรงในการผลักส่วนหนึ่งจะไปเพิ่มแรงกดหรือเพิม่ คา่ แรงเสยี ดทานให้กับกล่องนัน่ เองค้นควา้ เพมิ่ เตมินกั ศกึ ษาลองศึกษาเพิม่ เติมเร่อื งเครอ่ื งกลผ่อนแรง เน่อื งจากเปน็ ตัวอยา่ งการประยุกต์ความรเู้ รอ่ื งแรงเข้ากับชวี ิตประจําวัน ตวั อยา่ งเครือ่ งกลผ่อนแรงไดแ้ ก่ คาน ลอ้ และเพลา พน้ื เอยี ง รอก ฯลฯ

34 แรงและการเคล่อื นท่ี2.3 การเคล่ือนท่ขี องวตั ถุ การกระจดั ความเร็ว ความเรง่ เม่ือได้ศึกษาทําความเข้าใจถึง มวล แรง และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันมาแล้ว ในหัวข้อนี้จะศึกษาถึงนยิ ามของการเคลือ่ นท่ี รวมท้งั นิยามของปริมาณทส่ี าํ คัญในการพิจารณาการเคลือ่ นท่ี เช่น การกระจัดความเร็ว และความเร่ง เพอื่ เปน็ พืน้ ฐานสาํ คัญตอ่ การศึกษาการเคลอ่ื นท่แี บบตา่ ง ๆ ทจ่ี ะกล่าวถงึ ในหวั ขอ้ ถัดไป การเคลอ่ื นท่ีเปน็ ผลมาจากการที่มีแรงมากระทําต่อวัตถุ ส่งผลให้วัตถุนั้นมีการเปล่ียนหรือเคล่ือนย้ายตําแหน่งไป เราพบเห็นการเคลื่อนท่ีในหลายรูปแบบในชีวิตประจําวันไม่ว่าจะเป็นการเดิน การว่ิง การจราจรบนทอ้ งถนน การเคล่อื นทขี่ องสง่ิ มีชวี ติ ต่าง ๆ บนโลก การวิ่งของสัตวส์ เี่ ท้า การบินของนก การกระโดดของกบ การว่ายน้ําของปลา หรือพิจารณาไปยังการโคจรของดวงดาวต่าง ๆ นอกโลก ซ่ึงก่อนที่เราจะทําความเข้าใจถึงการเคลื่อนที่ในลกั ษณะต่าง ๆ ไดน้ นั้ เราควรจะตอ้ งทาํ ความเขา้ ใจถงึ ปรมิ าณที่สาํ คญั ตอ่ การพิจารณาการเคลอ่ื นที่เสยี กอ่ น2.3.1 ระยะทางและการกระจดัเม่ือกล่าวถึงการเคล่ือนที่ คําสองคําที่มักถูกกล่าวถึงและมักมีความสับสนในการใช้งาน ซ่ึงส่งผลตอ่ การพิจารณาการเคล่ือนที่ นน่ั กค็ ือคาํ ว่า ระยะทาง และ การกระจัด ระยะทาง ( s) เปน็ ปรมิ าณสเกลาร์ ซ่ึงบอกระยะทางทีเ่ กิดการเคล่อื นท่ี หรอื ความยาวจากจุดตงั้ต้นเร่อื ยไปจนถงึ จดุ สดุ ทา้ ยทเี่ กิดการเคลอ่ื นท่ี ระยะทางมหี น่วย SI คอื เมตร (m) การกระจัด ( s ) เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งคือเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์บอกตําแหน่งที่ต่างกันของวัตถุขนาดของการกระจัด คือ ระยะทางท่ีวัดจากจุดตั้งต้นถึงจุดสุดท้ายโดยไม่สนใจเส้นทางการเคลื่อนท่ีทศิ ทางของการกระจดั จะชีจ้ ากจุดต้ังต้นไปยงั จุดสดุ ทา้ ย การกระจดั มีหนว่ ย SI คอื เมตร (m) เช่นเดยี วกัน s  s2  s1 (2.5)เมื่อ s คอื ระยะทาง (distance) หรือ การกระจดั (displacement) ในหน่วย mหากเราพิจารณาการเคลื่อนที่จากบ้านไปยังโรงพยาบาลตามรูปที่ 2.5 ก) เราพบว่าเส้นทาง A Bและ C มีระยะทางท่แี ตกตา่ งกนั เส้นทาง A นั้นมีระยะทางท่ีส้ันที่สดุ สว่ นเส้นทาง C มรี ะยะทางท่ียาวที่สุด แต่ทงั้ สามเส้นทางล้วนมีการกระจัดเทา่ กัน สว่ นรูปที่ 2.5 ข) แสดงค่าระยะทางและการกระจดั ที่แตกตา่ งกัน ก) ข) รปู ท่ี 2.5 ความแตกต่างระหวา่ งระยะทางและการกระจัด 2.3.2 อัตราเรว็ และความเร็ว เช่นเดียวกันกับในหัวข้อที่ผ่านมา อัตราเร็วและความเร็วเป็นปริมาณสองตัวที่มักถูกใช้งานคลา้ ยคลึงกัน แต่ปริมาณสองตัวน้ีแตกต่างกัน อัตราเร็ว ( v ) เป็นปริมาณสเกลาร์ คือ ระยะทางที่วัตถุเคล่ือนที่ได้ต่อหน่ึงหน่วยเวลา ในขณะที่ความเร็ว ( v )เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาณกระจัดเทียบกับเวลา ซ่ึงทง้ั สองปรมิ าณนี้ อัตราเรว็ และความเร็ว มหี นว่ ยเปน็ เมตรต่อวินาที (m/s) เชน่ เดยี วกัน

การเคล่ือนท่ีของวัตถุ การกระจดั ความเรว็ ความเร่ง 35 ในการพิจารณาความเร็วของวัถตุน้ัน หากต้องการทราบความเร็วเฉล่ียในช่วงเวลาหนึ่ง สามารถพจิ ารณาได้ตามสมการ (2.6) แตห่ ากต้องการพิจารณาความเรว็ ที่เวลาใด ๆ ใหใ้ ช้สมการ (2.7) ในการพจิ ารณา vav  s  s2  s1 (2.6) t t2  t1 vt   ds (2.7) dt เมอ่ื s คือ ระยะทาง (distance) หรือ การกระจดั (displacement) ในหนว่ ย m v คือ อัตราเร็ว (speed) หรอื ความเรว็ (velocity) ในหนว่ ย m/s t คอื เวลา (time) ในหนว่ ย s2.3.3 ความเร่ง ความเร่ง ( a ) เปน็ ปรมิ าณเวกเตอร์ คอื ความเร็วท่ีเปล่ียนไปเมื่อเทียบกับเวลามีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาทียกกําลังสอง (m/s2) โดยวัตถุอาจเคลื่อนท่ีเร็วขึ้น เคลื่อนท่ีช้าลง หรือเปลี่ยนทิศของความเร็วไป ก็สามารถเรียกว่าวัตถุมีความเร่งได้ ในกรณีท่ีวัตถุมีความเร็วลดลง ความเร่งจะมีค่าเป็นลบ หรือ เรียกว่าความหนว่ งมีหน่วยเป็น เมตรตอ่ วินาทยี กกาํ ลังสอง (m/s2) ในการพิจารณาความเร่งของวัถตุนั้น เช่นเดียวกับการพิจารณาความเร็ว หากต้องการทราบความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งๆ และความเร่งท่ีเวลาใด ๆ สามารถพิจารณาได้ตามสมการ (2.8) และ (2.9)ตามลําดับ aav  v  v2  v1 (2.8) t t2  t1 at  dv (2.9) dt เมือ่ a คือ ความเร่ง (acceleration) ในหน่วย m/s2 v คอื อตั ราเรว็ (speed) หรอื ความเรว็ (velocity) ในหนว่ ย m/s t คือ เวลา (time) ในหน่วย sตัวอย่างท่ี 2.7 นายสมชายซอ้ มวิ่งรอบสนามฟตุ บอลซง่ึ มเี สน้ รอบวง 400 เมตร ใช้เวลา 4 นาที จงหาอัตราเร็วเฉลีย่ และ ความเรว็ เฉล่ียในการว่งิวธิ ที ํา จากโจทยก์ าํ หนดเส้นรอบวง 400 เมตร ( s = 400 m และ s = 0 m) ใชเ้ วลา 4 นาที (t = 4x60s) ถามหาอตั ราเร็วเฉลี่ย ( v ) และความเร็วเฉลยี่ ( v )อัตราเร็วเฉลยี่ ในการว่ิง v = s= 400  1.67 m/s 4 60 tความเรว็ เฉลี่ยในการวงิ่ v = s = 0  0 m/s 4 60 tดงั นน้ั อัตราเร็วเฉลย่ี ในการวงิ่ คอื 1.67 m/s และความเรว็ เฉลีย่ ในการวง่ิ คือ 0 m/s ตอบ

36 แรงและการเคลอื่ นท่ีตวั อยา่ งที่ 2.8 ชายคนหนึ่งเดินทางจาก บ้านไปยังวดั และเดนิ ทางต่อไปยงั โรงพยาบาล จนไปถึงโรงเรยี น ใช้เวลานาน 55 นาที จงหาก) ระยะทาง และ การกระจดัข) อัตราเร็วเฉลีย่ และ ความเรว็ เฉล่ยีวิธีทาํ จากโจทย์กําหนดเวลา 55 นาที (t = 55x60 s)ก) ระยะทางคิดตามเสน้ ทางท่ีเคล่อื นท่ีระยะทาง = 200150300 = 650 mการกระจัดคิดจากจดุ เร่ิมต้นไปยงั จุดสดุ ทา้ ยการกระจดั = 250 mข) อัตราเรว็ เฉล่ีย = 650 55  60 = 0.20 m/sความเร็วเฉลีย่ = 250 55  60 = 0.08 m/sดังนั้นระยะทางคอื 650 m การกระจดั คอื 250 m อตั ราเร็วเฉล่ยี คือ 0.2 m/s และความเรว็ เฉลย่ีคือ 0.08 m/s ตอบ2.4 การเคลอ่ื นทแี่ บบตา่ ง ๆ การเคลื่อนท่เี ราพบเจอนนั้ มมี ากมายหลากหลายรปู แบบ ซง่ึ สามารถแบง่ ประเภทครา่ ว ๆ ได้ ดงั น้ี 1. การเคล่ือนที่แบบย้ายที่ : เป็นการเคล่ือนท่ีที่วัตถุย้ายตําแหน่งที่อยู่ เช่น รถว่ิง ลูกเทนนิสที่ลอยข้ามตาข่าย นกบิน ฯลฯ จัดเป็นการเคลื่อนท่ีท่ีพบเห็นได้บ่อยในชีวิตประจําวัน ซ่ึงแบ่งพิจารณาเป็น 2ประเภทคือการเคล่ือนที่ใน 1 มิติ คือ การเคล่ือนท่ีในแนวราบ หรือ การเคล่ือนท่ีในแนวดิ่ง และการเคล่ือนท่ีใน 2 มติ ิ เชน่ การเคลอ่ื นท่ีแบบโปรเจคไทล์ และ การเคล่ือนท่ีแบบวงกลม 2. การเคล่ือนท่ีแบบหมุน : เป็นการเคลื่อนท่ีในลักษณะท่ีเกิดการหมุนรอบแกนหรือจุดใดจุดหนึ่ง เช่น การหมุนของกังหันลม การหมุนของล้อ ฯลฯ ซึ่งมีทั้งความคล้ายคลึงและความแตกต่างกับการเคล่อื นท่ีแบบวงกลม 3. การเคลื่อนที่แบบส่ัน หรือ การเคล่ือนท่ีแบบเป็นคาบ : เป็นการเคล่ือนท่ีที่เกิดจากการส่ันหรือแกว่งกลับไปกลับมารอบจุดศูนย์กลางจุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลาเท่า ๆ กัน เช่น การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาการส่ันของสปริง การแกว่งของเรือที่ลอยตามกระแสคล่ืนในทะเล การชักเข้า-ออกของลูกสูบ การส่ันของเส้นลวดในเครอ่ื งดนตรปี ระเภทเครอ่ื งสาย การโลช้ ิงชา้ ฯลฯ ในบางครั้ง เราไม่สามารถจําแนกการเคล่ือนท่ีออกเป็นประเภทใดประเภทหน่ึงได้อย่างชัดเจนเพราะอาจเกิดการเคลื่อนท่ีหลายแบบพร้อมๆกัน ในหัวข้อน้ีจะขอกล่าวถึงเน้นไปที่การเคลื่อนท่ีแบบย้ายท่ีเท่านน้ั โดยจะกลา่ วถงึ การเคล่ือนที่แบบหมนุ และการเคล่อื นทแี่ บบสน่ั เพียงบางสว่ นเท่านัน้ รายละเอียดเชิงลึกสามารถไปศึกษาเพิม่ เติมจากแหล่งความรู้อนื่ ได้

การเคลอ่ื นทแี่ บบต่าง ๆ 37 2.4.1 การเคล่ือนท่ใี น 1 มิติ ในการศกึ ษาเรอ่ื งการเคลอ่ื นท่ี ระบบพกิ ัดมีความสําคัญมากในการบอกตาํ แหน่งของวตั ถุ โดยมักมกี ารกําหนดตําแหน่งอ้างอิงไว้ท่ีพิกัด (0,0) และบอกค่าตําแหน่งของวัตถุด้วยพิกัด x และ y สําหรับหัวข้อนี้จะพิจารณาการเคล่ือนที่ในแนวเส้นตรงเพียงแกนเดียวเท่าน้ัน โดยอาจะเลือกพิจารณาแกน x (การเคล่ือนท่ีในแนวราบ) หรือแกน y (การเคลอ่ื นท่ีในแนวดง่ิ ) ของระบบพิกดั ฉาก2.4.1.1 การเคลอ่ื นทใ่ี นแนวเสน้ ตรงแบบมคี วามเรง่การเคลื่อนท่ีในแนวเส้นตรงหากวัตถุเคลื่อนท่ีด้วยความเร็วคงตัวแสดงว่าวัตถุนั้นไม่มีความเร่ง แต่หากวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว เช่น มีความเร็วลดลง มีความเร็วเพิ่มข้ึน หรือมีการเปล่ียนทิศการเคลือ่ นที่ จะถอื วา่ วัตถนุ ้นั มคี วามเร่ง การเคล่ือนที่ด้วยความเร่งท่ีง่ายท่ีสุด คือ กรณีความเร่งคงตัว ซึ่งเกิดขึ้นได้บ่อยในธรรมชาติ ไม่ว่าจะเป็นการไถลลงตามพื้นเอียง การไถลบนพื้นระดับที่มีความฝืด การเบรกหรือเร่งเคร่อื งยนต์ หรอื การทีว่ ตั ถตุ กอยา่ งอสิ ระภายใตแ้ รงโน้มถว่ งทจ่ี ะกล่าวถงึ ในหวั ขอ้ ถดั ไปในการพิจารณาการเคล่อื นท่ี ตวั แปรทส่ี าํ คัญตอ่ การพิจารณานั้นมอี ยู่ 5 ตวั คือ ระยะทางหรือการกระจัด ( s ) อัตราเร็วหรือความเร็วในตอนที่เร่ิมพิจารณา (u) อัตราเร็วหรือความเร็วในตอนท้าย ( v )ความเรง่ ( a) และเวลา (t ) โดยมสี มการการเคลอ่ื นทด่ี งั น้ี v  u  at (2.10) s  (u  v) t (2.11) 2 s  ut  1 at 2 (2.12) 2 v2  u2  2as (2.13)เม่ือ s คอื ระยะทาง (distance) หรือ การกระจดั (displacement) ในหน่วย m u คือ อัตราเรว็ ต้น (initial speed) หรอื ความเร็วตน้ (initial velocity) ในหน่วย m/s v คือ อตั ราเรว็ ปลาย (final speed) หรือ ความเร็วปลาย (final velocity) ในหนว่ ย m/s a คือ ความเรง่ (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 t คอื เวลา (time) ในหนว่ ย sกลยทุ ธการแก้ปัญหา1. พิจารณาโจทย์ เขียนตัวแปรที่รู้ค่า เช่น s , u, v , a หรือ t โดยต้องระมัดระวังในเร่ืองของ ทศิ ทางด้วย อาจกําหนดใหเ้ วกเตอรท์ มี่ ที ศิ ทางในแกน +x หรือ +y มีคา่ เปน็ บวก แตห่ ากมที ิศตรง ข้ามให้มีค่าเป็นลบ และให้คอยมองหาตัวแปรที่แอบซ่อนอยู่ในรูปของข้อความ เช่น วัตถุเร่ิม เคลื่อนที่จากหยุดน่ิง คือ u  0 วัตถุเคลื่อนที่จนหยุด คือ v  0 หรือท่ีตําแหน่งสูงสุดของวัตถุ จะมี v  0 ฯลฯ2. หากปริมาณที่โจทยก์ าํ หนดไมไ่ ด้มีหน่วยอย่ใู นระบบหนว่ ย SI ให้เปล่ียนหน่วยให้เรยี บร้อย3. พิจารณาเลือกสมการ (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) ที่มีตัวแปรท่ีไม่ทราบค่าเพียงปริมาณ เดียวเท่าน้ัน เพ่ือใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์ ในบางคร้ังอาจต้องมีการแก้สมการสองสมการพร้อม กนั เพื่อหาปรมิ าณทไ่ี ม่ทราบคา่ สองคา่

38 แรงและการเคลื่อนที่ตัวอยา่ งที่ 2.9 รถยนตค์ ันหนึ่งเรม่ิ เคลอ่ื นทจ่ี ากหยดุ น่ิงไปไดท้ าง 200 m พบว่ามีความเร็วเป็น 35 m/s จงหาคา่ ความเรง่ ของรถ ถ้าถือวา่ ความเร่งมคี า่ คงท่ีตลอดวิธที ํา จากโจทยก์ ําหนดให้รถยนต์เริ่มเคลอ่ื นท่ีจากหยุดนง่ิ ( u = 0 m/s) ระยะทาง 200 m ( s = 200 m)ความเรว็ ปลายเปน็ 35 m/s (v = 35 m/s) และถามหาความเรง่ ของรถ ( a )สรุปไดว้ า่ ทราบคา่ ตัวแปร u , s , v และตอ้ งการหาค่าตวั แปร a จงึ เลือกใชส้ มการ (2.13)จาก v2 = u2  2asแทนค่า 352 = 02  (2a  200)จะได้ความเร่ง a = 3.06 m/s2ดงั น้ันความเรง่ ของรถ คือ 3.06 m/s2 ตอบตวั อยา่ งท่ี 2.10 ผูข้ บั รถยนต์คนั หน่งึ ขับมาด้วยความเร็ว 90 km/h เขาเห็นอุบตั ิเหตุข้างหน้าจงึ เหยียบเบรกเพ่อื ชะลอความเรว็ ปรากฏวา่ รถมคี วามเร็วลดลงเหลือ 42 km/h เม่อื ว่ิงไปได้อีก 95 m ถา้ สมมติว่ารถของเขาเคลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรง่ คงที่ตลอดหลังเหยียบเบรก จงหาวา่ ก) หลังเหยยี บเบรกรถมคี วามเรง่ เท่าไร ข) ช่วงเวลาทีร่ ถมคี วามเร็วลดลงดังกล่าวเปน็ เท่าไร ค) ถา้ รถยังคงเคล่ือนท่ีด้วยความเรง่ ในข้อ ก) จะใชเ้ วลาเทา่ ไรนับจากเร่ิมเบรกจนรถหยุด ง) ถา้ เกดิ เหตกุ ารณต์ ามข้อ ค) รถจะหยุดไดใ้ นระยะทางเทา่ ใดหลังจากเร่ิมเบรกวิธที าํ ก) จากโจทย์กาํ หนดความเรว็ ต้น 90 km/h (u = 90 km/h) ความเร็วปลาย 42 km/h (v = 42km/h) ระยะทาง 95 m ( s = 95 m) และถามหาความเร่งของรถ ( a )สรุปไดว้ า่ ทราบคา่ ตวั แปร u , v , s และตอ้ งการหาตัวแปร a จึงเลอื กใช้สมการ (2.13)แต่เน่ืองจากปรมิ าณที่กาํ หนดยงั ไม่อยใู่ นหนว่ ย SI จงึ ทาํ การแปลงหนว่ ยก่อน u= 90 km  1000 m  1h s  25 m/s h 1 km 3600 v= 42 km  1000 m  1h s  11.67 m/s h 1 km 3600จาก v2 = u2  2asแทนคา่ 11.67 2 = 252  (2a 95)ดังนั้นจะไดค้ วามเร่ง a=  2.57 m/s2 ตอบ ข) จากโจทยก์ าํ หนดความเร็วต้น 90 km/h ( u = 25 m/s) ความเรว็ ปลาย 42 km/h ( v = 11.67m/s) ระยะทาง 95 m ( s = 95 m) และถามหาช่วงเวลาท่ีรถมีความเรว็ ลดลง (t )

การเคล่ือนทแ่ี บบตา่ ง ๆ 39สรุปไดว้ ่าทราบค่าตวั แปร u , v , s และตอ้ งการหาตวั แปร t จงึ เลือกใชส้ มการ (2.11)จาก s = ( u  v ) t 2แทนคา่ 95 = ( 25  11.67 ) t 2ดงั นนั้ จะได้เวลา t = 5.18 s ตอบ ค) จากโจทย์กาํ หนดความเร็วต้น 90 km/h (u = 25 m/s) เบรกด้วยความเร่งจากขอ้ ( a = -2.57m/s2) จนรถหยดุ ( v = 0 m/s) และถามหาเวลานับจากเร่มิ เบรกจนหยุด (t )สรปุ ไดว้ ่าทราบคา่ ตัวแปร u , a , v และตอ้ งการหาตัวแปร t จึงเลอื กใชส้ มการ (2.10)จาก v = u  a tแทนคา่ 0 = 25 (2.57 t)ดงั นนั้ จะได้เวลา t = 9.73 s ตอบ ง) จากโจทย์กาํ หนดความเร็วต้น 90 km/h ( u = 25 m/s) เบรกด้วยความเรง่ จากขอ้ ก ( a = -2.57 m/s2) จนรถหยุด (v = 0 m/s) และถามหาระยะทางนับจากเร่มิ เบรกจนหยดุ ( s )สรปุ ไดว้ า่ ทราบค่าตัวแปร u a v และตอ้ งการหาตัวแปร s จงึ เลอื กใช้สมการ (2.13)จากสมการ (2.13) v2 = u2  2asแทนคา่ 02 = 252  (2 (2.57 s))ดงั นัน้ จะได้ระยะทาง s = 121.60 mตอบตัวอย่างท่ี 2.11 จากตัวอย่างที่ 2.3 ที่หญิงผู้หน่ึงติดอยู่บนตึกในขณะท่ีเกิดเพลิงไหม้ หากหญิงผู้นี้ไต่ลงด้วยความเรง่ ตามตัวอย่างท่ี 2.3 จงหาความเร็วของหญงิ ผูน้ ีเ้ ม่อื กระทบพน้ื เมอื่ หน้าต่างอยูส่ ูงจากพน้ื 10 mวธิ ที ํา จากโจทยก์ าํ หนดใหไ้ ตล่ งจากหยดุ นง่ิ (u = 0 m/s) ด้วยความเรง่ ตามตัวอย่างท่ี 2.3 ( a = -1.37m/s2) ระยะทาง 10 m ( s = 10 m) และถามหาความเร็วเมอ่ื กระทบพ้ืน ( v )สรุปไดว้ า่ ทราบคา่ ตัวแปร u , a , s และตอ้ งการหาตวั แปร v จงึ เลอื กใชส้ มการ (2.13)จาก v2 = u2  2asแทนค่า v2 = 02  (2 (1.37)  (10))ดงั น้นั จะไดค้ วามเร็ว v = 5.23 m/s ตอบ

40 แรงและการเคลอื่ นท่ี 2.4.1.2 การตกอย่างอิสระภายใตแ้ รงโนม้ ถว่ งของโลก การตกอยา่ งอิสระของวัตถุ เป็นอีกหนึ่งตัวอย่างของการเคล่ือนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงท่ี ในอดีตเคยมีความเช่ือว่าวัตถุท่ีหนักกว่าจะตกเร็วกว่าวัตถุท่ีเบา แต่แล้วการค้นพบของกาลิเลโอได้ทําลาย สมมติฐานน้ีท่ีว่ามวลของวัตถุไม่มีผลต่อการตกอย่างอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จากการศึกษาการ เคลื่อนท่ีของวัตถุที่ตกลงมาด้วยความแม่นยําสูง โดยตัดผลกระทบจากแรงต้านอากาศและการหมุนของโลก ออกไป พบว่าวัตถุทุกช้ินจะตกลงด้วยความเร่งในทิศทางลงเท่ากันหมดโดยไม่ขึ้นกับน้ําหนักของวัตถุ เราเรียก การเคล่ือนที่แบบน้ีว่า การตกอย่างอิสระ และเรียกความเร่งคงตัวของการตกอย่างอิสระนี้ว่า ความเร่งโน้ม ถว่ งของโลก ( g ) ซึ่งมคี า่ ประมาณ 9.8 m/s2 กลยทุ ธการแก้ปัญหา พิจารณาเลือกใช้สมการ (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) เช่นเดียวกับการเคลื่อนท่ีในแนวราบ แต่ให้ แทนค่า a ด้วย g  9.8 m/s2 (การแทนค่าติดลบเน่ืองจากความเร่งโน้มถ่วงมีทิศพุ่งลงเสมอ) และการ แทนคา่ เวกเตอรก์ ารกระจดั และความเร็วจะตอ้ งพจิ ารณาทิศทางของเวกเตอรด์ ้วย (เวกเตอร์ทิศขึ้นแทนค่า เปน็ บวก เวกเตอรท์ ศิ ลงแทนคา่ เป็นลบ) นอกจากน้ีพึงระวังข้อความที่อาจส่ือถึงปริมาณบางอย่างท่ีซ่อนไว้ เช่น ทีจ่ ดุ สงู สดุ จะมคี วามเรว็ เปน็ ศนู ย์ การปล่อยให้วตั ถตุ กอยา่ งอสิ ระคอื มีความเร็วตน้ เป็นศนู ย์ คน้ ควา้ เพ่ิมเตมิ นักศึกษาสามารถรบั ชมคลปิ VDO สาธติ การทดลองการตกอย่างอสิ ระภายใตแ้ รงโน้มถว่ งของโลกจากชอ่ ง BBC ได้โดยการสแกน QR code ดา้ นลา่ งน้ีตัวอย่างท่ี 2.12 วัตถุช้ินหนึ่งถูกปล่อยให้ตกลงมาในแนวด่ิงอย่างอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จงหาตําแหน่งและความเร็วของวตั ถุ หลังจากตกลงมาได้ 4 วินาทีวิธที ํา จากโจทยก์ าํ หนดใหว้ ตั ถถุ ูกปลอ่ ยให้ตกลงมาจากหยดุ น่งิ ( u = 0 m/s) ภายใต้แรงโนม้ ถ่วงของโลก( g = -9.8 m/s2) เวลา 4 วินาที ( t = 4 s) และถามหาตําแหน่ง ( s ) และความเร็ว ( v ) ของวัตถุสรุปได้วา่ ทราบค่าตัวแปร u , g , t และตอ้ งการหาตวั แปร s จงึ เลือกใช้สมการ (2.12)จาก s = ut  1 at 2 2แทนค่า s = 0  ( 1  ( 9.8)  4 2 ) 2ดงั นนั้ จะได้ตําแหนง่ s =  78.4 m ตอบ

การเคลื่อนทแ่ี บบต่าง ๆ 41หาตวั แปร v จึงเลือกใช้สมการ (2.10)จาก v = uatแทนคา่ v= 0  (9.8 4)ดงั นน้ั จะไดค้ วามเรว็ v =  39.2 m/s ตอบ หมายเหตุ ตําแหนง่ และความเรว็ มคี ่าตดิ ลบเนอ่ื งจากเป็นเวกเตอรช์ ีท้ ิศลงตัวอย่างที่ 2.13 ปล่อยลูกบอลลงมาจากดาดฟ้าตึก 60 เมตร จะใช้เวลานานเท่าใดจึงตกถึงพื้น และ ความเร็วตอนกระทบพืน้ เป็นเท่าไรวิธที าํ จากโจทย์กาํ หนดให้ลกู บอลถกู ปลอ่ ยใหต้ กลงมาจากหยุดนง่ิ ( u = 0 m/s) ภายใต้แรงโนม้ ถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) จากดาดฟ้าตกึ สงู 60 เมตร ( s = 60 m) และถามหาเวลา ( t ) และความเรว็ ( v )สรปุ ไดว้ า่ ทราบคา่ ตวั แปร u , g , s และต้องการหาตวั แปร t จงึ เลอื กใชส้ มการ (2.12)จาก s = ut  1 at 2 2แทนคา่  60 = 0  ( 1  (9.8)  t 2 ) 2ดังนน้ั จะไดเ้ วลา t = 12.24 s ตอบ ตอบหาตวั แปร v จงึ เลือกใชส้ มการ (2.10)จาก v2 = u2  2asแทนค่า v2 = 02  (2 (9.8)  (60))ดงั นนั้ จะได้ความเรว็ v =  34.29 m/sตัวอยา่ งที่ 2.14 ยงิ ปนื ขน้ึ ไปตรงๆตามแนวด่งิ จากหนา้ ผาแหง่ หน่งึ ดว้ ยความเรว็ 120 m/s จงหาว่าก) กระสนุ จะขน้ึ ไปไดส้ ูงสดุ เทา่ ไรจากจดุ ยงิ และใช้เวลานานเทา่ ไรข) ถา้ กระสุนตกถึงพืน้ ดนิ ในเวลา 26 s นบั จากเร่มิ ยิงหน้าผาสงู เทา่ ไรค) จงหาเวลาทก่ี ระสนุ มีความเร็ว 35 m/sวิธที ํา v=0m/s ก) ค)u=120m/s ข) t=26s

42 แรงและการเคล่อื นท่ีก) จากโจทย์กาํ หนดใหล้ กู ปืนถูกยิงขึน้ ไปจากหน้าผาด้วยความเรว็ 120 m/s ( u = 120 m/s) ถึงจดุ สงู สุด( v = 0 m/s) ภายใต้แรงโน้มถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) ถามหาระยะสูงสดุ ( s ) และเวลา ( t )สรุปไดว้ า่ ทราบคา่ ตวั แปร u , v , g และต้องการหาตัวแปร s จึงเลอื กใช้สมการ (2.13)จาก v2 = u2  2asแทนคา่ 0 = 1202  (2 (9.8)  s)ดังนั้นจะได้ระยะสูงสุด s = 734.69 m ตอบหาตวั แปร t จงึ เลอื กใช้สมการ (2.10)จาก v = u  a tแทนค่า 0 = 120  (9.8 t)ดงั นน้ั จะไดเ้ วลา t = 12.24 s ตอบข) จากโจทยก์ าํ หนดใหล้ ูกปืนถกู ยิงขน้ึ ไปจากหนา้ ผาด้วยความเร็ว 120 m/s (u = 120 m/s) ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ถ้ากระสนุ ตกถงึ พน้ื ในเวลา 26 s (t = 26 s) และถามหาความสงู หน้าผา ( s )สรปุ ได้วา่ ทราบค่าตัวแปร u , g , t และต้องการหาตัวแปร s จึงเลือกใช้สมการ (2.12)จาก s = ut  1 at 2 2แทนค่า s = (120  26)  ( 1  (9.8)  26 2 ) 2จะได้การกระจดั s = 192.4 mนน่ั คอื หน้าผาสงู 192.4 m ตอบค) จากโจทย์กาํ หนดให้ลกู ปืนถกู ยิงข้นึ ไปจากหน้าผาดว้ ยความเรว็ 120 m/s ( u = 120 m/s) ภายใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ที่ความเรว็ ปลาย 35 m/s (v = 35 m/s) และถามหาเวลา (t )สรปุ ได้ว่าทราบค่าตวั แปร u , g , v และต้องการหาตวั แปร t จงึ เลอื กใช้สมการ (2.10)จาก v = u  a tแทนคา่ 35 = 120  (9.8 t)ดังนนั้ จะได้เวลา t = 8.67 s ตอบ 2.4.2 การเคล่ือนทใี่ น 2 มิติ เมื่อได้ทําความเข้าใจการเคล่ือนท่ีใน 1 มิติมาแล้ว การพิจารณาการเคล่ือนที่ใน 2 หรือ 3 มิติเป็นปัญหาซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากโลกเรานั้นเป็นสามมิติการเคลื่อนท่ีจริงที่พบเห็นจึงไม่ได้เกิดขึ้นเพียงแค่เป็นเส้นตรงหรือเป็นระนาบเท่าน้ัน การจะทําความเข้าใจถึงเส้นทางโค้งของลูกบอลท่ีถูกเตะออกไป หรือวงโคจรของดาวตา่ ง ๆ จาํ เป็นตอ้ งขยายขอบเขตออกไปเป็นสองหรือสามมิติ โดยจะยังคงพิจารณาปริมาณเดิมอยู่

การเคลอ่ื นทแี่ บบต่าง ๆ 43น่ันก็คือ การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง แต่จะมีองค์ประกอบสองหรือสามองค์ประกอบ ไม่ได้มีทิศอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดยี วอีกต่อไป ซงึ่ เม่อื เราสังเกตจะพบว่าการเคลื่อนท่ีที่น่าสนใจหลายรูปแบบเกิดข้ึนในสองมิติหรือเกิดบนระนาบ ทฤษฎีเรื่องเวกเตอร์ท่ีเราเรียนกันไปในบทที่ 1 จึงเข้ามามีบทบาทสําคัญในการวิเคราะห์และแก้ปญั หาโจทย์ 2.4.2.1 การเคล่อื นทแี่ บบโปรเจคไทล์ โปรเจคไทล์หรือการเคล่ือนที่แบบวิถีโค้ง คือ การเคล่ือนท่ีในสองมิติของวัตถุซึ่งเป็นผลมาจากแรงโน้มถ่วงของโลกเกิดเป็นการเคลื่อนท่ีในแนวราบและแนวด่ิงไปพร้อมๆกัน เช่น การชูตบาส การกระโดดไกล การปลอ่ ยระเบดิ จากเครือ่ งบนิ การขว้างหรือปาสงิ่ ของ วิถขี องสายน้าํ ทพ่ี งุ่ ออกจากสายยาง ฯลฯ เราเรียกระนาบการเคลอ่ื นทีข่ องโปรเจคไทล์ว่าระนาบ xy โดยแกน x เปน็ การเคลอ่ื นทีใ่ นแนวราบ ส่วนแกน y เป็นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง แก่นสําคัญสําหรับการวิเคราะห์การเคล่ือนที่แบบโปรเจคไทล์ คือ เราสามารถพิจารณาแกน xและแกน y แยกอิสระจากกันได้ องค์ประกอบในแกน x จะมีความเร่งเป็นศูนย์ ในขณะที่องค์ประกอบในแกนy จะมีความเร่ง g = -9.8 m/s2 (พิจารณาแนวราบเคลื่อนท่ีด้วยความเร็วคงตัว ส่วนแนวด่ิงเคลื่อนท่ีด้วยความเร่งคงตวั ) vx  ux vy  0 vx  uxuy u vx  ux sy vx  ux  ux sx vy  uyรปู ท่ี 2.6 แสดงเส้นทางการเคลอ่ื นทแี่ บบโปรเจคไทลแ์ ละตัวแปรตา่ ง ๆรูปท่ี 2.6 แสดงเสน้ การเคลอ่ื นทแ่ี บบโปรเจคไทลแ์ ละตัวแปรต่าง ๆ ทพ่ี จิ ารณา ความเร็วตน้ uสามารถแยกองค์ประกอบเป็น ux และ u y คอื ux  u cos , u y  u sin  (2.14)เนื่องจากเราพิจารณาความเร็วต้นในแนวราบมีค่าคงตัวส่วนแนวด่ิงนั้นมีความเร่งคงตัว สมการที่ใช้ในการพิจารณาจึงมีความคล้ายคลึงกับสมการ (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) โดยแยกพิจารณาเป็นแกน x และ แกน y อสิ ระจากกัน โดยมีตวั แปรเวลาt เปน็ ตัวเชอ่ื มระหว่างสองแกน ดังนี้ vx  ux  u cos (2.15) sx  uxt  (u cos )t (2.16) v y  u y  gt  (u sin  )  gt (2.17)