ฟิสิกส์เบื้องต้น

ฟิสกิ สเ์ บอื้ งตน้ เพียงขวญั เครือภู่ คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าชมงคลตะวนั ออก

คำนำ ตำรำฟิสิกส์เบื้องต้นนี้ ได้รวบรวมและจัดทำข้ึนเพ่ือให้สอดคล้องกับกรอบรำยวิชำหมวดวิชำเฉพำะ กลุ่มพ้ืนฐำนวิชำชีพ ระดับปริญญำตรี และรองรับหลักสูตรต่ำง ๆ ในกรอบมำตรฐำนคุณวุฒิระดับอุดมศึกษำแหง่ ชำติ เพื่อใชป้ ระกอบกำรเรียนกำรสอนวชิ ำฟิสิกส์เบอ้ื งต้น รหัสวิชำ 0604100 โดยมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีควำมรู้ควำมเข้ำใจในเนื้อหำ สำหรับนักศึกษำมหำวิทยำลัยเทคโนโลยีรำชมงคลตะวันออก โดยได้แบ่งเนอ้ื หำในกำรเรยี นกำรสอนไว้ 9 บท ได้แก่ บทนำและคณิตศำสตร์พ้ืนฐำนท่ีใช้ในวิชำฟิสิกส์ แรงและกำรเคลื่อนที่ งำนและพลังงำน กลศำสตร์ของของไหล ปรำกฎกำรณ์คลื่น แสงและเสียง ควำมร้อนและอุณหพลศำสตร์ ไฟฟ้ำสถิต แม่เหล็กไฟฟำ้ วงจรไฟฟ้ำเบอื้ งตน้ และ ฟิสกิ สเ์ ทคโนโลยี ตำรำฟิสกิ สเ์ บ้อื งต้นน้ีได้รับกำรปรับปรุงอย่ำงต่อเนื่อง ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2558 จนถึงปัจจุบนั ไดม้ ีกำรอ้ำงอิงจำกหนังสือและตำรำทั้งในประเทศและต่ำงประเทศ ในกำรพิมพ์คร้ังนี้ผู้เขียนขอขอบคุณ ผศ.ดร.พนิดำหล่อวงศ์ตระกูล ที่ช่วยตรวจ และให้คำแนะนำในกำรแก้ไขข้อผิดพลำด อำจำรย์วรีภรณ์ รัตนิสสัย ท่ีให้คำแนะนำในเขียน คุณสุรบดินทร์ อุตมัง ผู้ช่วยในกำรจัดทำรูปภำพประกอบ และครอบครัวของผู้เขียน อันได้แก่ อำจำรย์วิโรจน์ เครือภู่ ผศ.ดร.ผดุงศักดิ์ และ ผศ.ดร.ใจทิพย์ วำนิชชัง ผู้คอยชี้แนะ ให้คำปรึกษำในกำรจัดทำตำรำเลม่ นี้ และบุตรชำยท่เี ปน็ กำลงั ใจสำคัญในกำรทำงำนนใ้ี ห้สำเร็จ ผู้เขียนหวังว่ำตำรำเล่มน้ีจะมีประโยชน์ต่อนักศึกษำและผู้ที่ใช้ศึกษำ และส่งผลให้กำรเรียนกำรสอนรำยวิชำนี้มีประสิทธิภำพและมีคุณภำพยิ่งขึ้นต่อไป หำกท่ำนท่ีนำไปใช้มีข้อเสนอแนะ ผู้เขียนยินดีรับฟังขอ้ คิดเห็นต่ำง ๆ และขอขอบคุณมำ ณ โอกำสน้ี เพียงขวัญ เครือภู่ 3 มกรำคม 2560

สำรบัญ หนำ้ เรื่อง 1 21บทที่ 1 บทนำและคณติ ศำสตร์พื้นฐำนทใี่ ชใ้ นวิชำฟสิ ิกส์ 61บทที่ 2 แรงและกำรเคล่อื นที่ 84บทที่ 3 งำนและพลังงำน 108บทที่ 4 กลศำสตร์ของของไหล 131บทที่ 5 ควำมร้อนและอณุ หพลศำสตร์ 156บทท่ี 6 ปรำกฏกำรณค์ ลน่ื แสงและเสียง 180บทที่ 7 ไฟฟำ้ สถิตและแม่เหล็กไฟฟำ้ 213บทที่ 8 วงจรไฟฟำ้ เบื้องต้น 219บทที่ 9 ฟิสิกสเ์ ทคโนโลยี 220บรรณำนกุ รรม 222ภำคผนวก ก ระบบหน่วยระหว่ำงชำติ 223ภำคผนวก ข ตวั ประกอบกำรเปลีย่ นหนว่ ย 225ภำคผนวก ค ควำมสัมพนั ธ์ทำงคณติ ศำสตร์ทีม่ ปี ระโยชน์ 226ภำคผนวก ง คำ่ คงตวั ท่ีควรทรำบ 227ภำคผนวก จ ตวั อักษรกรีก 229ภำคผนวก ฉ เฉลยแบบฝึกหัดดัชนี

สำรบญั รูปภำพ รำยกำร หนำ้รปู ท่ี 1.1 เคร่ืองมอื ชว่ ยในกำรเปลยี่ นหนว่ ยผำ่ น Google และแอพลิเคชนั่ บนโทรศัพท์มือถอื 6รปู ท่ี 1.2 กำรแทนปริมำณเวกเตอร์ด้วยลกู ศร 7รปู ที่ 1.3 กำรบวกเวกเตอร์โดยวิธกี ำรเขียนรปู และสมบตั ิกำรสลบั ท่ขี องกำรบวกเวกเตอร์ 8รูปท่ี 1.4 รผปูลสรวีเ่ หมลขี่ยอมงเดวำ้ กนเตขอนรำ์นAข,อBงก,CำรรแวลมะเวกDเตอร์ 8รปู ที่ 1.5 9รปู ท่ี 1.6 กำรลบเวกเตอร์ 9รูปที่ 1.7 กำรแตกองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ A 10รปู ที่ 1.8 กำรบวกเวกเตอร์โดยใชว้ ธิ กี ำรเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบ 11รปู ท่ี 1.9 กำรหำทศิ ทำงของผลคณู เวกเตอร์ โดยใช้กฎมือขวำ 15รูปที่ 2.1 แสดงแผนภำพแทนแรง 22รปู ท่ี 2.2 แสดงกำรรวมแรงและกำรแตกแรง 22รปู ที่ 2.3 แสดงควำมพยำยำมในกำรคงสภำวะเดิมของวัตถุ 27รปู ท่ี 2.4 แสดงคู่แรงกิริยำ-ปฏกิ ริ ยิ ำของวัตถตุ ่ำง ๆ 29รูปท่ี 2.5 ควำมแตกต่ำงระหว่ำงระยะทำงและกำรกระจัด 34รูปที่ 2.6 กแสำรดหงเำสค้นวทำมำงเรกว็ ำทรี่เเปคลลอ่ื่ียนนทไปแี่ บ( aบโ)ปขรอเจงควตัไทถลทุ ์แี่กลำะลตงั ัเวคแลปื่อรนตท่ำงีแ่ บๆบวงกลมดว้ ยอัตรำเร็วคงตวั 43รปู ท่ี 2.7 47รูปที่ 2.8 แสดงผลของตำแหนง่ ท่แี รงกระทำ 52รูปท่ี 2.9 ทศิ ทำงของทอรก์ ตำมกำรใช้กฎมือขวำ 52รปู ท่ี 2.10 ลูกตมุ้ นำฬิกำอยำ่ งง่ำย 54  ทำในทิศเดียวกบั กำรกระจดั s 62รูปที่ 3.1 เมอ่ื แรงคงตวั F ทำในทศิ ทำมุม  กบั กำรกระจดั s 63รปู ที่ 3.2 เมอื่ แรงคงตวั Fรูปที่ 4.1 ขวดหำถ.พ. 86รูปท่ี 4.2 หลักกำรของเคร่ืองยนตไ์ ฮดรอลิคโดยใช้กฎของปำสคำล 89รูปที่ 4.3 มำนอมิเตอร์แบบปลำยเปดิ และกำรอ่ำนคำ่ ในหน่วย mmHg 91รูปที่ 4.4 บำรอมิเตอร์ปรอท 92รปู ที่ 4.5 แสดงค่ำแรงลอยตัวเมือ่ วตั ถุจมในของไหลในลักษณะตำ่ ง ๆ 93รูปท่ี 4.6 ไฮโดรมเิ ตอร์ 94รปู ท่ี 4.7 กำรหำปรมิ ำตรของวัตถุโดยกำรแทนท่นี ้ำ 95รูปที่ 4.8 กำรหำควำมหนำแน่นสัมพัทธข์ องวัตถโุ ดยกำรชงั่ นำ้ หนกั ในนำ้ 96รปู ท่ี 4.9 ลกั ษณะของน้ำและปรอทในหลอดทดลอง 97รปู ท่ี 4.10 แสดงลกั ษณะกำรไหลท่ถี ูกจำแนกดว้ ยเลขเรยโ์ นลด์ 99รปู ที่ 4.11 กำรไหลเมอ่ื พิจำรณำโดยสมกำรควำมต่อเนื่องและสมกำรเบอร์นลู ลี 100รูปท่ี 4.12 แสดงควำมเร็วของกำรไหลในท่อของของไหลทมี่ ีควำมหนืด 101

สำรบญั รปู ภำพ (ตอ่ )รำยกำร หนำ้รูปที่ 5.1 กำรแบ่งมำตรำสว่ นของอุณหภมู ิ 109รูปท่ี 5.2 แสดงกำรเปลีย่ นแปลงเมือ่ นำ้ ได้รบั ควำมร้อน 111รปู ท่ี 5.3 กำรพำควำมรอ้ นแบบอิสระและกำรเกดิ ลม 117รูปที่ 5.4 กำรขยำยตวั ทำงควำมร้อน 120รปู ที่ 6.1 แสดงคลื่นตำมขวำงในเส้นเชือก และคล่นื ตำมยำวในขดลวดสปรงิ 132รปู ท่ี 6.2 แสดงส่วนประกอบของคลน่ื 132รูปที่ 6.3 แสดงกำรเกิดคลนื่ เชิงซอ้ นจำกคลื่น 3 ขบวน 135รูปท่ี 6.4 แสดงกำรเกดิ บีตส์ของคลนื่ 2 ขบวน 135รปู ท่ี 6.5 แสดงควำมแตกตำ่ งของค่ำควำมยำวคล่นื ระหวำ่ งแหลง่ กำเนดิ ท่ีอยนู่ งิ่ และเคลื่อนท่ี 136รปู ท่ี 6.6 คลน่ื นง่ิ ในเสน้ เชือก 137รูปที่ 6.7 คลน่ื น่ิงของอำกำศในท่อ 138รูปท่ี 6.8 กำรใช้หลกั กำรสะท้อนของเสยี ง 142รูปท่ี 6.9 แสดงกำรเล้ยี งเบนของเสยี งจำกวิทยุอ้อมผ่ำนกำแพงหอ้ ง 143รปู ที่ 6.10 แสดงกำรเลยี้ งเบนของเสียงจำกกลองและเคร่ืองเป่ำของวงโยทวำธติ 143รูปท่ี 6.11 แสดงระดับควำมเข้มเสยี งของเหตุกำรณ์ต่ำง ๆ 145รูปที่ 6.12 กำรมองเหน็ สี 147รูปท่ี 6.13 กำรสะทอ้ นของแสง 148รูปท่ี 6.14 กำรสะทอ้ นของแสงบนพนื้ ผวิ ท่ตี ำ่ งกัน 149รูปที่ 6.15 กำรหักเหของแสงเม่อื เดินทำงผำ่ นตวั กลำงต่ำงชนิด 149รปู ท่ี 6.16 กำรหักเหของแสงตำมกฎของสเนลล์ 150รูปที่ 6.17 กำรหักเหของแสงตำมกฎของสเนลล์ 150รูปที่ 6.18 กำรกระจำยของแสง 151รูปที่ 7.1 แสดงขนำดและทิศของแรงคลู อมบร์ ะหวำ่ งประจุ 158รูปที่ 7.2 ทศิ ของแรงท่กี ระทำต่อประจบุ วกและประจุลบเม่ือวำงในบริเวณท่ีมีสนำมไฟฟ้ำ 160รูปท่ี 7.3 ทศิ ของสนำมไฟฟำ้ ที่เกิดจำกจุดประจบุ วกและจุดประจลุ บ 160รูปที่ 7.4 สนำมไฟฟำ้ เน่ืองจำกประจุซงึ่ กระจำยตวั ต่อเนื่อง 161รูปท่ี 7.5 กำรกำบังไฟฟำ้ สถติ 161รูปที่ 7.6 กรงฟำรำเดย์ 162รูปที่ 7.7 แสดงเสน้ แรงไฟฟ้ำหรอื เส้นสนำมไฟฟ้ำของประจุทง้ั สอง 163รูปท่ี 7.8 แสดงผวิ สมศักยแ์ ละเส้นแรงไฟฟ้ำที่เกิดข้นึ กบั ประจุ 165รูปที่ 7.9 แสดงแรงกระทำที่เกิดขึน้ เม่ือตวั นำที่วำงในสนำมแม่เหลก็ มีกระแสไฟฟำ้ ไหล 167รูปท่ี 7.10 กำรใช้กฎมือขวำในกำรบอกทศิ ของแรงแมเ่ หลก็ 167รปู ท่ี 7.11 เคร่อื งคัดขนำดควำมเรว็ 168รูปที่ 7.12 กฎมือขวำสำหรบั กำรหำทิศของสนำมแม่เหล็กทเ่ี กิดขน้ึ จำกกำรไหลของกระแส 171

สำรบญั รปู ภำพ (ต่อ) หนำ้ รำยกำร 173 173รูปท่ี 7.13 กลไกกำรเคล่ือนท่ีของประจไุ ฟฟ้ำในกำรเกดิ ฟำ้ แลบและฟ้ำผ่ำ 175รปู ท่ี 7.14 ปรำกฏกำรณ์แสงเหนอื 180รปู ที่ 7.15 รถไฟฟ้ำพลังแม่เหลก็ 181รูปที่ 8.1 แสดงคำ่ กระแสและแรงดนั ไฟฟำ้ ในวงจรไฟฟำ้ กระแสตรง 182รปู ท่ี 8.2 แสดงค่ำกระแสและแรงดนั ไฟฟ้ำในวงจรไฟฟ้ำกระแสสลับ 187รูปท่ี 8.3 กำรเคล่ือนที่ของอิเล็กตรอนอิสระในตวั นำ 188รูปท่ี 8.4 ควำมสมั พันธร์ ะหว่ำงกระแสไฟฟำ้ และควำมตำ่ งศกั ย์ 189รูปท่ี 8.5 อปุ กรณ์อิเล็กทรอนิกสท์ ีพ่ บในวงจรไฟฟ้ำ 189รปู ที่ 8.6 ตวั ตำ้ นทำนและสัญลักษณใ์ นวงจร 190รปู ที่ 8.7 ตัวเก็บประจุชนดิ ต่ำง ๆ และสัญลักษณใ์ นวงจร 190รูปที่ 8.8 ขดลวดเหนย่ี วนำ 191รปู ที่ 8.9 ไดโอดและสญั ลักษณ์ในวงจร 191รปู ที่ 8.10 ไดโอดเปล่งแสง 191รปู ที่ 8.11 ทรำนซิสเตอร์ 192รปู ที่ 8.12 สญั ลักษณ์ในวงจรไฟฟำ้ 196รปู ที่ 8.13 กำรตอ่ ตัวต้ำนทำนแบบอนุกรมและแบบขนำน 197รปู ที่ 8.14 วงจร RLC แบบอนกุ รม 198รปู ที่ 8.15 แผนภำพเฟสของวงจร RLC แบบอนุกรม 199รูปที่ 8.16 วงจร RLC แบบขนำน 203รูปที่ 8.17 แผนภำพเฟสของวงจร RLC แบบขนำน 204รูปที่ 8.18 เครื่องมือวดั ทำงไฟฟำ้ 205รูปที่ 8.19 กำรต่อแอมมเิ ตอร์โวลตม์ ิเตอร์ และโอหม์ มเิ ตอร์เพอ่ื วัดค่ำทำงไฟฟ้ำ 206รูปท่ี 8.20 เมนสวิตซ์ เบรกเกอร์ และ สะพำนไฟ 214รปู ท่ี 8.21 ฟิวสช์ นดิ ตำ่ ง ๆ 215รูปที่ 9.1 ฟิสิกสใ์ นรถแทรกเตอร์ 215รปู ที่ 9.2 กำรตดิ ตงั้ พัดลมระบำยอำกำศในโรงเรือน 216รูปท่ี 9.3 ระบบให้นำ้ อตั โนมตั ิรปู ที่ 9.4 ระบบหมุนเวียนนำ้ ในบอ่ ปลำ

สำรบญั ตำรำงรำยกำร หนำ้ตำรำงท่ี 1.1 หนว่ ยพืน้ ฐำน (base units) ในระบบหน่วย SI 4ตำรำงท่ี 1.2 คำอปุ สรรคตำ่ ง ๆ ท่ีนยิ มใช้ในระบบ SI 5ตำรำงที่ 2.1 แรงพนื้ ฐำน (Fundamental Forces) 23ตำรำงท่ี 2.2 แสดงคำ่ สัมประสทิ ธิควำมเสียดทำนของพ้นื ผวิ ตำ่ ง ๆ 26ตำรำงที่ 4.1 ควำมหนำแนน่ ของวสั ดบุ ำงชนดิ 85ตำรำงที่ 4.2 ค่ำควำมตึงผวิ จำกกำรทดลอง 98ตำรำงท่ี 5.1 ค่ำประมำณของควำมจุควำมร้อนจำเพำะ 112ตำรำงที่ 5.2 ควำมรอ้ นแฝงของกำรหลอมเหลวและกำรกลำยเปน็ ไอ 114ตำรำงท่ี 5.3 สภำพนำควำมรอ้ น 116ตำรำงท่ี 5.4 สัมประสิทธกิ ำรขยำยตัวทำงควำมร้อน 121ตำรำงที่ 6.1 กำรแบ่งเสียงดนตรที ำงวิทยำศำสตร์ 140ตำรำงท่ี 6.2 มำตรฐำนควำมเข้มเสยี งของสถำนประกอบกำร 140ตำรำงท่ี 6.3 อตั รำเร็วของเสียงที่ตัวกลำงตำ่ ง ๆ ทีอ่ ุณหภมู ิตำ่ ง ๆ 141ตำรำงท่ี 6.4 คำ่ อัตรำเรว็ แสงและดชั นีหกั เหของแสงในตัวกลำงตำ่ ง ๆ 148ตำรำงที่ 7.1 มวลและขนำดประจุไฟฟำ้ ของอนภุ ำคพื้นฐำน 157ตำรำงท่ี 8.1 สภำพต้ำนทำนท่ีอุณหภูมหิ ้อง 20 oC 184ตำรำงท่ี 8.2 สมั ประสทิ ธิอณุ หภมู ขิ องสภำพต้ำนทำน (ค่ำประมำณใกลเ้ คียงอุณหภมู ิห้อง) (20oC)185ตำรำงท่ี 8.3 รหสั สีสำหรับตัวตำ้ นทำน 189ตำรำงที่ 8.4 ปริมำณที่สำคญั กบั วงจรไฟฟ้ำกระแสสลับ 196



บทท่ี 1บทนำและคณิตศำสตรพ์ ้นื ฐำนที่ใชใ้ นวชิ ำฟิสิกส์1.1 บทนำ 1.1.1 ฟิสิกส์และววิ ัฒนำกำรของวชิ ำฟิสกิ ส์ ฟิสิกส์เปน็ ศำสตร์หน่ึงในวิชำดำ้ นวิทยำศำสตรก์ ำยภำพท่ีอำจกล่ำวไดว้ ่ำเปน็ พืน้ ฐำนของทุกสรรพสิ่ง เนื่องจำกฟิสิกส์เกิดจำกกำรสังเกต และกำรทดลองเพ่ือค้นคว้ำหำควำมจริงในธรรมชำติ และเพ่ืออธิบำยควำมเป็นไปของปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ที่เกิดขึ้น ขอบเขตของวิชำฟิสิกส์จึงครอบคลุมขอบเขตที่กว้ำงขวำงมำกไล่เรียงไปตั้งแต่กำรพิจำรณำอนุภำคท่ีมีขนำดเล็กมำก ๆ ในระดับอะตอม วัตถุรอบตัวท่ีสำมำรถพบเห็นได้ ไปจนถึงจักรวำลที่มีขนำดกว้ำงใหญ่ไพศำล น่ันจึงส่งผลให้วิชำฟิสิกส์มีควำมเก่ียวข้องกับศำสตร์ต่ำง ๆ มำกมำยหลำยด้ำนไม่ว่ำจะเป็นด้ำนวิศวกรรม กำรแพทย์ เทคโนโลยี หรือวิทยำศำสตร์พื้นฐำนด้ำนอ่ืน ๆ เช่น ดำรำศำสตร์ ชีววิทยำ เคมี ธรณวี ทิ ยำ เป็นตน้ ดว้ ยกำรนำเสนอแนวคิด สมกำร ทฤษฎพี น้ื ฐำน หรอื สมมติฐำนเพยี งไม่ก่ขี ้อ แต่ก็เพียงพอทจี่ ะสำมำรถอธิบำยควำมเป็นไปของโลกรอบตัวได้ ควำมเข้ำใจโลกในเชิงฟสิ ิกส์ในปัจจุบันไดพ้ ฒั นำมำจำกนักฟสิ กิ สท์ ส่ี ำคัญมำกมำย เช่น กำลเิ ลโอ นิวตนั แมกซเ์ วลล์ ไอน์สไตน์ ฯลฯ ในยุคแรกกำรศึกษำในวิชำฟิสิกส์เน้นไปที่กำรค้นคว้ำเพ่ือหำแนวคิด กฎเกณฑ์ และทฤษฎี ที่สำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติท่ีพบเห็นกันได้ทั่วไป เช่น กำรเกิดลม ฝน ฟ้ำแลป ฟ้ำร้อง ฟ้ำผ่ำกำรเกิดกลำงวันและกลำงคืน ฯลฯ ซ่ึงทฤษฎีนี้ถูกเรียกว่ำ ฟิสิกส์ยุคเก่า (Classical Physics) โดยสำมำรถแบ่งกลุ่มวิชำฟิสิกส์ยุคเก่ำออกเป็นแขนงย่อย ๆ ซ่ึงแยกจำกกันอย่ำงชัดเจน คือ กลศาสตร์ (classicalmechanics) อุณหพลศาสตร์ (thermodynamics) แม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และ แสง(optics) สิ่งท่ีน่ำสนใจก็คือปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ที่ฟิสิกส์ยุคเก่ำสำมำรถอธิบำยได้มักเป็นปรำกฏกำรณ์ที่เก่ียวข้องกับวัตถุท่ีมีขนำดใหญ่ท้ังสิ้น ถึงแม้ในขณะนั้นจะยังไม่มีเครื่องมือวัดท่ีมีควำมละเอียดมำกพอ แต่ก็มีทฤษฎีมำกมำยที่สำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ได้อย่ำงถูกต้องและเป็นที่ยอมรับกันมำจนถึงปัจจุบัน ซึ่งต่อมำแม้จะมีกำรพฒั นำประดิษฐค์ ิดค้นเคร่ืองมือท่มี ีประสิทธิภำพสูงมำใช้ในกำรทดลองเพ่ือพิสูจน์ทฤษฎีต่ำง ๆแตก่ ็ยังพบว่ำทฤษฎีฟิสกิ สย์ ุคเก่ำกย็ ังคงใช้อธบิ ำยกำรทดลองต่ำง ๆ ไดเ้ ปน็ อย่ำงดี กำรปฏิวัติที่สำคัญในวิชำฟิสิกส์เกิดขึ้นเมื่อทฤษฎีฟิสิกส์ยุคเก่ำไม่สำมำรถท่ีจะอธิบำยปรำกฏกำรณ์ที่เกิดข้นึ ในกำรทดลองกับวัตถขุ นำดเล็กมำก ๆ ในระดับ โมเลกุล อะตอม และอนุภำคได้ดีพอ จึงเกิดกำรค้นพบ ฟิสิกส์ยุคใหม่ (Modern Physics) ข้ึนในช่วงปี ค.ศ. 1900 ซ่ึงสำมำรถแยกย่อยออกเป็นทฤษฎีท่ีสำคัญ 2 ทฤษฎี คือทฤษฎีควอนตัม (quantum mechanics) และ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ(special theory of relativity) ทฤษฎคี วอนตัมช่วยให้เรำสำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ประหลำดที่เกิดขึ้นในกำรทดลองของวัตถขุ นำดเล็กในระดบั อะตอมได้ ในขณะท่ีทฤษฎีสัมพัทธภำพพเิ ศษซงึ่ มีแนวคดิ เกี่ยวกบั ปริภูมิเวลำ มวล และพลังงำน ช่วยให้เรำสำมำรถอธิบำยปรำกฏกำรณ์ท่ีเกิดขึ้นกับวัตถุท่ีมกี ำรเคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วสูงเทียบเทำ่ กับค่ำควำมเร็วแสงได้ คน้ คว้ำเพมิ่ เตมิ นักศกึ ษำลองศึกษำกำรคน้ พบของนักฟสิ ิกสผ์ ยู้ ง่ิ ใหญ่ท้งั 4 ท่ำนผมู้ ีบทบำทสำคัญต่อกำรพัฒนำวชิ ำฟิสกิ ส์ ไดแ้ ก่ กำลิเลโอ นิวตัน แมกซเ์ วลล์ และ ไอน์สไตน์

2 บทนำและคณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนที่ใช้ในวิชำฟิสกิ ส์ 1.1.2 ฟสิ ิกส์อยู่ใกลต้ ัวเรำแค่ไหน ทำไมต้องเรียนฟสิ ิกส์ หำกมองไปรอบ ๆ ตัว จะพบว่ำมีปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติมำกมำยท่ีอธิบำยได้ด้วยหลักกำร ทำงฟสิ ิกส์ เช่น กำรเกิดลมเนื่องจำกควำมแตกต่ำงของควำมหนำแน่นของอำกำศท่รี ้อนและเยน็ ทำให้เกดิ กำร เคล่ือนที่ของมวลอำกำศร้อนในลักษณะลอยข้ึน กำรเกิดฝนเนื่องจำกกำรควบแน่นของไอน้ำในอำกำศ กำรเกิด กลำงวันกลำงคืนเนื่องจำกกำรโคจรของโลกรอบดวงอำทิตย์อันเป็นผลมำจำกแรงโน้มถ่วง ฯลฯ มีเครื่องมือ เครื่องใชห้ ลำกหลำยรูปแบบท่ีสร้ำงและพัฒนำข้ึนจำกแนวคิดพน้ื ฐำนทำงฟิสิกส์ ไม่ว่ำจะเป็น กระด้งฝัดขำ้ วซ่ึง จับประเด็นเรื่องของแรงเสียดทำนท่ีต่ำงกันของข้ำวสำรและข้ำวเปลือกมำใช้ในกำรคัดแยกขำ้ วทั้งสองออกจำก กัน กระติ๊บข้ำวเหนียวซึ่งช่วยคงอุณหภูมิของข้ำวไว้ได้แต่ก็ยังมีกำรระบำยไอช้ืนออกไปได้โดยที่ไม่ทำให้ข้ำว เหนียวแฉะ ระหัดวิดน้ำซ่งึ อำศยั พลงั งำนลมมำทำให้ใบกันหันหมุนและปั่นไฟเพอ่ื สบู น้ำ หลอดไฟซึง่ ใช้หลักกำร เร่ืองควำมต้ำนทำนไฟฟ้ำมำทำให้ไส้หลอดเกิดควำมร้อนข้ึนจนลุกสว่ำงและเปล่งแสง พัดลมซ่ึงมีกำรออกแบบ ใบพัดตำมหลักพลศำสตร์ของของไหล โทรทัศน์ซ่ึงใช้หลักกำรแปลงพลังงำนไฟฟ้ำมำเป็นพลังงำนแสงและส่ง สัญญำณคลื่นไปกับคลื่นวิทยุ เตำรีดและหม้อหุงข้ำวซ่ึงใช้หลักกำรแปลงพลังงำนไฟฟ้ำเป็นพลังงำนควำมร้อน ตู้เย็นหรือเคร่ืองปรับอำกำศซ่ึงใช้หลักกำรแปลงพลังงำนไฟฟ้ำร่วมกับกระบวนกำรทำงอุณหพลศำสตร์เพื่อลด อุณหภูมขิ องสง่ิ แวดลอ้ ม เปน็ ตน้ ทำไมต้องเรียนฟิสิกส์ มักเปน็ คำถำมข้อแรกท่ีผุดข้ึนในหัวของนักเรียนนักศึกษำที่ต้องเรียนวิชำนี้ เหตุผลข้อแรกก็คือ ฟิสิกส์เป็นวิชำพ้ืนฐำนท่ีอำจกล่ำวได้ว่ำสำคัญที่สุดสำขำหน่ึงของวิทยำศำสตร์ นักวิทยำศำสตร์ทุกสำขำใช้หลักคิดทำงฟิสิกส์ ต้ังแต่นักเคมีท่ีศึกษำโครงสร้ำงโมเลกุล จำเป็นต้องเข้ำใจหลัก และธรรมชำติของอนุภำคมูลฐำนในแต่ละโมเลกุล หรือกำรศึกษำกลไกกำรเกิดปฏิกิริยำ ก็จำเป็นต้องเข้ำใจ หลกั กำรทำงอณุ หพลศำสตร์เพ่ือวเิ ครำะห์วำ่ กลไกใดสำมำรถเกิดขึ้นได้ ฯลฯ นักชีววิทยำท่ีศึกษำกำรสงั เครำะห์ แสงของพืช พืชสำมำรถลำเลียงน้ำจำกรำกขึ้นมำยังใบได้อย่ำงไรเม่ือมีแรงโน้มถ่วง แรงดันเกี่ยวข้องอะไรกับ กลไกน้ีบ้ำง หรือกำรศึกษำกำรทำงำนของระบบประสำทของสัตว์ซึ่งเต็มไปด้วยกำรเคล่ือนท่ีของประจุไฟฟ้ำ (กระแสประสำท) นอกจำกน้ีกลไกกำรแพร่ในเซลล์ ก็ยังสัมพันธ์กับควำมเข้มข้น หรือควำมหนำแน่นของเซลล์ ฯลฯ และคงไม่มีวิศวกรคนใดสำมำรถออกแบบหรือสร้ำงเคร่ืองมือท่ีมีประโยชน์ใด ๆ ได้โดยไม่ต้องเข้ำใจ หลักกำรพ้ืนฐำนทำงฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องก่อน ไม่ว่ำจะเป็นงำนก่อสร้ำงตึกอำคำร ยำนยนต์ อำกำศยำน ไฟฟ้ำ โทรคมนำคม ระบบอัตโนมัติ ฯลฯ เหตุผลอีกข้อก็คือกำรศึกษำฟิสิกส์เป็นกำรท้ำทำยควำมสำมำรถในกำรคิด กำรใช้ปัญญำอย่ำงมี เหตุมีผลในกำรแก้ปัญหำ เพ่ือให้เข้ำใจปรำกฏกำรณ์ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน ถำ้ เรำเคยสงสัยว่ำทำไมท้องฟ้ำ จึงมีสีฟ้ำในตอนกลำงวัน แต่กลับเปลี่ยนเป็นสีส้มแดงในตอนเย็น ทำไมจึงเกิดลมในวันที่อำกำศร้อนจัด น้ำฝน มำจำกไหน รุ้งกินน้ำเกิดข้ึนมำได้อย่ำงไร ฟ้ำผ่ำเกิดจำกอะไร ทำไมดวงอำทิตย์จึงไม่ขึ้นทำงทิศตะวันตก เรำ สำมำรถหำคำตอบได้โดยใช้หลักกำรพ้ืนฐำนทำงฟิสิกส์ และจะเห็นว่ำฟิสิกส์จัดเป็นควำมสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ของ มนษุ ยชำติในกำรแสวงหำคำตอบเพ่ือทำควำมเข้ำใจโลกและสง่ิ รอบตวั คิดซักนดิ 1 นักศึกษำลองมองไปรอบ ๆ ตัวว่ำมีสงิ่ ใดบำ้ งท่ีมีควำมเก่ยี วข้องกบั ฟิสิกส์ และแต่ละอย่ำงเกี่ยวข้องกับ ฟิสกิ สอ์ ย่ำงไร

กำรวัดและระบบหน่วย 3 1.1.3 ฟิสกิ ส์กับกำรประยุกตด์ ้ำนต่ำง ๆ ฟิสิกส์มีควำมเก่ียวข้องเช่ือมโยงกับวิทยำศำสตร์ประยุกต์และเทคโนโลยีต่ำง ๆ มำกมำยหลำกหลำยสำขำ เนื่องจำกมีบทบำทในกำรสร้ำงสรรค์สิ่งประดิษฐ์ท่ีสำคัญและวิทยำกำรใหม่ ๆ เช่น นักธรณีวิทยำใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ศึกษำแหล่งแร่ต่ำง ๆ และศึกษำส่วนประกอบของโลก แพทย์ใช้ทฤษฎีฟิสิกส์สร้ำงเครื่องมือในกำรตรวจรักษำและวินิจฉัยโรค เช่น หูฟังทำงกำรแพทย์ (stethoscope) ปรอทวัดไข้ เครื่องฉำยรังสีเอ็กซ์ เคร่อื งอัลตรำซำวด์ เคร่ืองมอื ผ่ำตัดด้วยแสงเลเซอร์ ฯลฯ นักวิทยำศำสตรก์ ำรอำหำรใชท้ ฤษฎีฟิสิกส์เพ่ือคำนวณอำยุกำรเก็บรักษำของผลิตภัณฑ์ ปัจจัยท่ีเกี่ยวข้องเช่น ควำมร้อน ควำมชื้น รวมถึงกำรออกแบบบรรจภุ ัณฑ์เพอื่ ชว่ ยรองรับแรกกระแทกทเ่ี กิดขน้ึ ในกำรขนส่ง แม้จะเป็นศำสตร์ท่ีดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้อง แต่ฟิสิกส์ก็ยังมีประโยชน์ทำงอ้อมต่อด้ำนอ่ืน ๆ อีกด้วย เช่น ในทำงโบรำณคดีที่ต้องใช้ทฤษฎีฟิสิกส์ในกำรทำนำยอำยุของสิ่งของเครื่องใช้ โครงกระดูก หรือจำลองกำรเดินของไดโนเสำร์ ในทำงสถำปัตยกรรมที่ต้องใช้ทฤษฎีฟสิ ิกส์ในกำรออกแบบจดั วำงอำคำร กำรรับแสง กำรถ่ำยเทอำกำศ รวมทั้งกำรเลือกใช้วัสดทุ ี่ช่วยลดหรือเพิ่มควำมร้อนในจุดท่ตี ้องกำร ในทำงศิลปศำสตร์ท่ีต้องใช้ทฤษฎที ำงฟิสิกสใ์ นกำรปรับปรงุ วัสดุทใ่ี ช้เขียนภำพ ในทำงกีฬำที่ต้องใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรพฒั นำรองเท้ำกีฬำเพ่ือช่วยรองรับแรงกระแทกจำกกำรว่ิง ลดอำกำรบำดเจ็บที่อำจะเกิดข้ึนกับผู้สวมใส่ได้ ชิ้นส่วนของจกั รยำนซึง่ จะช่วยดงึ สมรรถนะของนกั กีฬำออกมำได้สงู ท่ีสดุ ฯลฯ เน่ืองจำกประเทศไทยของเรำเป็นประเทศเกษตรกรรม กำรศึกษำและพัฒนำเทคโนโลยีทำงด้ำนเกษตรกรรมจึงมีบทบำทอย่ำงมำกต่อกำรพัฒนำประเทศ เช่น ในทำงพืชศำสตร์ มีกำรใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรออกแบบระบบกำรให้น้ำแบบอัตโนมัติ เคร่ืองมือในกำรเก็บเก่ียวผลิตผลทำงกำรเกษตร กำรเกษตรแบบแม่นยำสูง เครื่องวดั ควำมหวำน เครอ่ื งวัดควำมเป็นกรด-ดำ่ งของดนิ เครื่องตรวจวัดกำรสุกแกข่ องผลไมแ้ บบไม้ทำลำย โรงเรือนควบคุมอุณหภูมิในกำรปลูกพืชเมืองหนำว เกษตรกรรมแนวด่ิง ฯลฯ ในทำงสตั วศำสตร์ มีกำรใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรออกแบบและสร้ำงโรงเรือนเลี้ยงสัตว์ ระบบถ่ำยเทอำกำศ รำงลำเลียงอำหำรเคร่ืองวัดไขมันสันหลัง เคร่ืองรีดนมวัว ฯลฯ ในทำงประมงมีกำรใช้ทฤษฎีทำงฟิสิกส์ในกำรสร้ำงเรือ เคร่ืองตรวจหำวตั ถใุ ตน้ ้ำ เครอื่ งควบคมุ อุณหภูมใิ นบ่อเล้ียง เครื่องใหอ้ ำหำร ระบบบอ่ กรอง บอ่ บำบดั ฯลฯ ในชีวิตประจำวนั มนุษย์เรำได้อำศยั เครอ่ื งมือและทฤษฎตี ่ำง ๆ ทำงฟสิ ิกส์มำช่วยให้กำรดำรงชีวิตสะดวกสบำย ปลอดภัย และรวดเร็วมำกยิ่งข้ึน หำกเรำตระหนักถึงควำมสำคัญและทำควำมเข้ำใจในฟิสิกส์ให้มำกยิง่ ขึ้นก็จะช่วยใหเ้ กิดกำรพฒั นำนวตั กรรมใหม่ ๆ มำตอบสนองต่อควำมตอ้ งกำรอันไม่มที ี่สนิ้ สดุ ของมนษุ ย์1.2 กำรวัดและระบบหนว่ ย ฟิสิกส์เป็นวิทยำศำสตร์เชิงปริมำณที่มุ่งเน้นกำรทำควำมเข้ำใจปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติกำรศึกษำในวิชำฟิสิกส์ส่วนใหญ่จึงมีพื้นฐำนอยู่ที่กำรทดลอง กำรสังเกต และกำรวิเครำะห์ทำงคณิตศำสตร์เพ่ือสร้ำงทฤษฎีใหม่ หรือรวบรวมทฤษฎีต่ำง ๆ ที่มีอยู่แล้วเข้ำด้วยกัน เพื่อให้สำมำรถนำไปใช้อธิบำยปรำกฏกำรณ์ต่ำง ๆ ได้ กำรวัดเป็นกลไกสำคัญท่ีจะบ่งชี้ถึงควำมสำเร็จหรือล้มเหลวของงำน หำกทฤษฎีน้ันสอดคล้องกับผลกำรวัดท่ีได้ ทฤษฎีก็จะเป็นท่ียอมรับ แต่หำกไม่สอดคล้องก็ต้องมีกำรต้ังทฤษฎีหรือทบทวนทฤษฎีกันใหม่ ซงึ่ จำกท่ีกล่ำวมำนจี้ ะเห็นว่ำการวดั มีควำมสำคญั อย่ำงมำกต่อกำรศกึ ษำวชิ ำฟิสกิ ส์ 1.2.1 หนว่ ยวัดมำตรฐำนสำกล ในกำรวัดค่ำปริมำณตำ่ ง ๆ จำเปน็ ต้องทรำบวำ่ จะวัดปริมาณใด และมีหน่วยวัดอะไร เพ่อื ใหก้ ำรวัดมีควำมเที่ยงตรงน่ำเชอ่ื ถือและเปน็ ทยี่ อมรับโดยทวั่ กัน จงึ จำเปน็ ต้องมีกำรตง้ั หน่วยวดั ท่ีเป็นมำตรฐำนเพ่ือใช้

4 บทนำและคณิตศำสตร์พ้ืนฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟิสกิ ส์เปน็ เกณฑ์เปรียบเทียบและเข้ำใจตรงกัน โดยในปี ค.ศ. 1960 ไดม้ กี ำรประชมุ ตกลงกันเพื่อกำหนดระบบหน่วยระหว่างชาติ หรอื หน่วย SI (ยอ่ มำจำกภำษำฝร่ังเศสว่ำ Système International) ซ่ึงประกอบไปด้วยหน่วยพื้นฐำน หน่วยอนุพันธ์ และหน่วยเสริม ตำรำงท่ี 1.1 แสดงหน่วยพ้ืนฐำนของระบบหน่วย SI ทั้ง 7 หน่วย ซึ่งจัดเปน็ หน่วยพ้นื ฐำนของทกุ ปริมำณทำงฟสิ ิกส์ ส่วนรำยละเอยี ดเพม่ิ เติมเก่ยี วกับหน่วยอนพุ ันธ์และหน่วยเสริมดูไดใ้ นภำคผนวก กตำรำงท่ี 1.1 หน่วยพนื้ ฐำน (base units) ในระบบหน่วย SIปริมำณ เมตร ชอ่ื หน่วย สัญลกั ษณ์ กโิ ลกรมัควำมยำว วินำที (meter) mมวล แอมแปร์ (kilogram) kgเวลำ เคลวนิ (second) sกระแสไฟฟำ้ โมล (ampere) Aอณุ หภูมิ แคนเดลำ (kelvin) Kปริมำณสำร (mole) molควำมเข้มของกำรส่องสว่ำง (candela) cd 1.2.2 มำตรฐำนของควำมยำว มวล และเวลำ มำตรฐำนทด่ี ีจะต้องมคี วำมแม่นยำและมีค่ำคงทแ่ี น่นอน ปริมำณพน้ื ฐำนของกำรวัดคอื ควำมยำวมวล และเวลำ จงึ ขอกล่ำวถึงเฉพำะมำตรฐำนของปรมิ ำณพน้ื ฐำนท้ัง 3 เทำ่ นน้ั มำตรฐำนของควำมยำว กำหนดวำ่ ควำมยำว 1 เมตร คือระยะทำงท่ีแสงเดินทำงได้ในสญุ ญำกำศในชว่ งเวลำ 1/299,792,458 วินำที มำตรฐำนนกี้ ำหนดข้ึนในปี พ.ศ. 2526 มำตรฐำนของมวล กำหนดว่ำ มวล 1 กิโลกรัม คือมวลของแท่งโลหะต้นแบบที่เป็นโลหะผสมของพลำตินัมและเออริเดียมช้ินหนึ่งซ่ึงเก็บรักษำไว้ท่ีสำนักงำนชั่งตวงวัดระหว่ำงชำติที่เมือง Sèvres ประเทศฝร่ังเศส มำตรฐำนน้ีกำหนดขึ้นในปี พ.ศ. 2432 ซึ่งอำจมีกำรเปล่ียนแปลงกำรกำหนดมำตรฐำนใหม่ในเร็วๆนี้เน่ืองจำกในกำรเก็บรกั ษำกย็ ังคงพบว่ำมวลมำตรฐำนมคี ำ่ เปลี่ยนแปลงไปอยบู่ ำ้ งในระดับไมโครกรมั มำตรฐำนของเวลำ กำหนดว่ำ เวลำ 1 วินำที คือช่วงเวลำที่อะตอมซีเซียม-133 แผ่รังสีจำนวน9,192,631,770 คำบ มำตรฐำนนี้กำหนดข้ึนในปี พ.ศ. 2510 1.2.3 เลขบอกระดับขนำดและคำอุปสรรคในหน่วยเอสไอ ในกำรเขียนค่ำของจำนวนบำงครั้งจะพบว่ำจำเป็นต้องเขียนตัวเลขท่ีมีจำนวนค่ำสูงมำก ๆ หรือต่ำมำก ๆ เช่น ระยะทำงเฉลี่ยจำกโลกถึงดวงจันทร์ 380000000 m หรือ ค่ำคงตัวของสเตฟำน-โบลต์ซมันน์0.0000000567 W/m2.K4 ซ่ึงกำรเขียนในรูปแบบนี้นั้นเข้ำใจได้ยำก กำรเขียนในรูปของเลขบอกระดับขนาดหรือ สัญกรกาลังสิบ จะช่วยให้กำรเขียนกะทัดรัดมำกย่ิงขึ้น เช่น 3.8x108 m หรือ 5.67x10-8 W/m2.K4 หรืออำจเขียนในรูปที่มีคาอุปสรรคนำหน้ำ เช่น กิโล เซนติ เมกะ หรือ นำโน เป็นต้น รำยกำรคำอุปสรรคที่นิยมใช้ในระบบ SI แสดงดงั ตำรำงที่ 1.2 คำอุปสรรคเป็นคำที่นำมำเติมด้ำนหน้ำหน่วยแลว้ ทำให้มีควำมหมำยเหมือนมีตัวคูณเพิ่มหรือคูณลด ทำให้หน่วยใหญ่ข้ึนหรือเล็กลง กำรใช้คำอุปสรรคทำให้แสดงค่ำตัวเลขได้ชัดเจนข้ึน ไม่ต้องเขียนเลขศูนย์

กำรวัดและระบบหนว่ ย 5หรือจุดทศนิยมมำกเกินจำเป็น และเรำเรียกค่ำตัวเลข 10 ยกกำลังต่ำง ๆ ว่ำ เลขบอกระดับขนาด (order ofmagnitude) ตวั อย่ำงเชน่ 1 กโิ ลเมตร = 1 km = 103 m 1 เซนติเมตร = 1 cm = 10-2 m 1 ไมโครเมตร = 1 m = 10-6 mตำรำงท่ี 1.2 คำอปุ สรรคต่ำง ๆ ที่นยิ มใชใ้ นระบบ SIตวั คณู คำอุปสรรค สัญลักษณ์ ตัวคณู คำอปุ สรรค สญั ลักษณ์1012 เทระ (tera) T 10-3 มิลลิ (milli) m ไมโคร (micro) 109 กิกะ (giga) G 10-6 นำโน (nano) n106 เมกะ (mega) M 10-9 พโิ ค (pico) p103 กโิ ล (kilo) k 10-121.2.4 กำรเปลยี่ นหนว่ ย ในบำงครั้งกำรคำนวณมีควำมจำเป็นต้องเปล่ียนหน่วยจำกระบบหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่งเน่ืองจำกกำรเปรียบเทียบปริมำณ 2 ปริมำณจะต้องมีหน่วยเดียวกันเท่ำน้ัน หำกเรำต้องกำรเปรียบเทียบปริมำณ 2 ค่ำในหน่วยนิ้วและเซนติเมตรจึงจำเป็นต้องมีกำรเปล่ียนหน่วย เช่น จำกควำมยำวในหน่วยนิ้วไปเป็นเซนติเมตรก่อนตัวประกอบกำรเปลี่ยนหน่วยจึงเข้ำมำมีบทบำทสำคัญ (รำยละเอียดของตัวประกอบกำรเปลีย่ นหน่วยดไู ด้ในภำคผนวก ข) เชน่ 1 mi = 1.609 km = 1609 m 1 ft = 0.3048 m = 30.48 cm 1 in. = 0.0254 m = 2.54 cm ข้ันตอนในกำรเปลี่ยนหนว่ ยสำมำรถสรปุ ไดเ้ ปน็ 3 ขนั้ ตอนดงั นี้1. มองหน่วยเป็นปริมำณพีชคณิตซ่ึงสำมำรถตัดทอนกันได้ หำกต้องกำรเปล่ียนหน่วยให้นำปริมำณนั้นคูณกับตัวประกอบกำรเปล่ียนหน่วย ซึ่งมีอัตรำส่วนเป็น 1 ยกตัวอย่ำงเช่น เรำทรำบว่ำ 1 in. =2.54 cm ดังน้ันปริมำณ (1 in.)/(2.54 cm) มีค่ำเป็น 1 และส่วนกลับของปริมำณนี้ (2.54 cm)/(1 in.) ก็มีค่ำเป็น 1 เช่นกัน เรำเรียกทั้งสองปริมำณนี้ว่ำ ตัวประกอบการเปล่ียนหน่วย ซึ่งตัวประกอบเหล่ำน้ีจะไม่ทำให้ควำมหมำยทำงฟสิ กิ ส์ของปรมิ ำณนน้ั เปล่ียนไป ในกำรหำค่ำจำนวน 12 in. จงึ ทำได้โดย 12 in. = (12 in.) (2.54 cm)  30.48 cm (1 in.) 2. ถ้ำกำรเปลยี่ นหน่วยถูกต้อง หน่วยที่ไม่ต้องกำรจะหักล้ำงกันไป แต่ในทำงกลับกันหำกคูณตัวประกอบกำลังผิดคำตอบจะกลำยเป็น 4.72 in.2/cm ซ่ึงไม่ใช่หน่วยที่ต้องกำร ดังนั้นเพ่ือให้ม่ันใจว่ำกำรเปลย่ี นหนว่ ยถูกตอ้ งจาเปน็ ตอ้ งเขียนหนว่ ยทกุ ขัน้ ตอนการคานวณ 3. เพอื่ เปน็ กำรตรวจสอบให้ถำมตนเองเสมอว่ำคำตอบสมเหตุสมผลหรือไม่ คำตอบ 12 in. =30.48 cm นน้ั สมเหตสุ มผลเน่ืองจำกเซนตเิ มตรเปน็ หน่วยทเ่ี ลก็ กวำ่ นว้ิ จงึ มคี ำ่ ในหนว่ ยเซนติเมตรมำกกวำ่ นิว้

6 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ นื้ ฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟสิ ิกส์ตัวอย่ำงที่ 1.1 จงเปลยี่ นเวลำ 35 ชั่วโมง ให้เป็นวินำทีวธิ ที ำ 35 h = (35 h) (3600 s)  126000 s (1 h) ดงั นน้ั เวลำ 35 ชว่ั โมง เทำ่ กบั 126,000 วินำที ตอบตัวอย่ำงท่ี 1.2 ตำมกฎหมำยกำรขบั ข่ีกำหนดควำมเรว็ ของรถยนตบ์ นทอ้ งถนนไว้ท่คี วำมเร็ว 80 km/h จงเขยี นปริมำณนใี้ นหนว่ ยเมตร/วนิ ำทีวิธที ำ 80 km/h = (80 km ) (1000 m) (1 h)  22.22 m/s h (1 km) (3600 s) ดงั นน้ั ควำมเร็ว 80 กโิ ลเมตร/ช่ัวโมง เทำ่ กับ 22.22 เมตร/วนิ ำที ตอบ ในปัจจุบันมีเทคโนโลยีมำกมำยที่เข้ำมำช่วยในกำรเปลี่ยนหน่วยไม่ว่ำจะเป็นแอพลิเคชั่นบนคอมพวิ เตอร์อยำ่ ง Google ทเี่ มื่อเรำกรอกคำ่ หนว่ ยที่ต้องกำรเปล่ียนลงในชอ่ งคน้ หำ จะปรำกฏเครอื่ งมอื ทชี่ ว่ ยในกำรเปลี่ยนหน่วยขึ้นมำหรือแอพลิเคชันบนโทรศัพท์มือถือท่ีสำมำรถค้นหำและดำวน์โหลดมำใช้ได้ฟรีมำกมำย ดังแสดงในรูปที่ 1.1 หำกนักศึกษำมีควำมเข้ำใจในหลักกำร เครื่องมือเหล่ำนี้จะช่วยให้เรำมีควำมสะดวกรวดเร็วในกำรเปลี่ยนหนว่ ยมำกย่งิ ขน้ึ รปู ท่ี 1.1 เครื่องมือช่วยในกำรเปล่ียนหนว่ ยผำ่ น Google และแอพลเิ คชั่นบนโทรศัพท์มือถอื

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 71.3 สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 1.3.1 ควำมหมำยของปริมำณสเกลำร์ และปรมิ ำณเวกเตอร์ ปริมำณทำงฟิสิกส์มีอยู่มำกมำยหลำยประเภท ปริมำณบำงประเภทก็มีใจควำมสมบูรณ์ได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียวพร้อมหน่วย ในขณะท่ีปริมำณบำงประเภทจำเป็นต้องมีกำรระบุทิศทำงด้วยจึงจะได้ควำมหมำยครบถ้วนสมบูรณ์ ปริมำณทำงฟิสิกส์สำมำรถแบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด คือ ปริมำณสเกลำร์ (Scalar)และ ปริมำณเวกเตอร์ (Vector) ปริมาณสเกลาร์เป็นปริมำณท่ีมีเฉพำะขนาดเท่ำน้ัน จึงสำมำรถบอกควำมหมำยได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว ปริมำณประเภทนี้ได้แก่ เวลำ อุณหภูมิ มวล ระยะทำง อัตรำเร็ว ควำมหนำแน่น ประจุไฟฟ้ำฯลฯ กำรคำนวณปริมำณสเกลำร์ใช้กำรดำเนินกำรของเลขคณิตแบบธรรมดำท่ัวไป ตัวอย่ำงเชน่ มวล 5 kg + 7kg = 12 kg หรอื เวลำ 3 x 5 s = 15 s ปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมำณท่ีจำเป็นต้องมีทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ใจควำมครบถ้วน เช่นแรง กำรกระจัด นำ้ หนัก ควำมเร็ว โมเมนต์ สนำมไฟฟำ้ ฯลฯ ซง่ึ กำรรวมปริมำณเวกเตอรน์ ้นั ต้องใช้วธิ ที ี่ต่ำงไปไม่สำมำรถใชก้ ำรดำเนินกำรของเลขคณิตแบบธรรมดำได้ ซ่ึงวธิ ีกำรจะกล่ำวถึงในหัวข้อถัดไป ปริมำณเวกเตอร์เป็นปริมำณทีม่ ีบทบำทสำคญั อย่ำงมำกในวิชำฟิสิกส์เน่ืองจำกปริมำณทำงฟิสกิ ส์หลำยค่ำ จำเป็นต้องทรำบท้ังขนำดและทิศทำงจงึ จะได้ใจควำมที่ครบถว้ น เรำมกั จะเขียนแทนปริมำณเวกเตอร์ด้วยลูกศรซ่ึงประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงและหัวลูกศรที่จะช้ีไปตำมทิศทำงของปริมำณเวกเตอร์น้ัน ควำมยำวของเส้นตรงจะแทนขนำดของเวกเตอร์ ในขณะท่ีหัวลูกศรจะแทนทิศทำงของเวกเตอร์ ดังรูปท่ี 1.2 ส่วนสญั ลักษณ์ของเวกเตอร์นยิ มท่จี ะใชอ้ ักษรย่อของปริมำณเวกเตอร์น้ัน โดยพมิ พ์เปน็ ตัวหนำ เชน่ F, v, s เป็น  v s เป็นตน้ตน้ หรอื หำกเป็นกำรเขียนด้วยมือจะนิยมเขียนลกู ศรกำกบั ไวเ้ หนือตวั อักษรยอ่ เช่น F , , กำรบอกขนำดของเวกเตอร์ จะใช้ตัวอักษรบำงของตัวอักษรท่ีเป็นสัญลักษณ์ของเวกเตอร์น้ันเน่ืองจำกเรำถือว่ำขนำดของเวกเตอร์เป็นปริมำณสเกลำร์และเป็นบวกเสมอ หรืออำจเขียนเสน้ แนวดิ่งสองเส้น  กำกับอักษรตัวหนำ (ค่ำสัมบูรณ์) เช่น ขนำดของเวกเตอร์ F แทนดว้ ย F หรือ F หรือ F ซ่ึงในกำรวำดแผนภำพของเวกเตอร์ เรำมักเทียบอัตรำส่วนเหมือนกบั กำรวำดแผนท่ี ตัวอย่ำงเชน่ แรงขนำด 20 N แทนด้วยลูกศรยำว 5 cm น่ันคืออัตรำส่วน 1cm : 4N หำกผลรวมของแรงสำมำรถวัดควำมยำวได้ 7 cm เรำสำมำรถเบดอยี กวไกดันว้ ่ำแแตรห่งลำกัพกำเรธวน์เกทัน้ เ่ำตมกอีคันร่ำ์สข2ออ8งงตเNววั กมเขี ตนอำรด์ เเทชำ่ ่นกันBแตม่ Cีทิศจทะำหงตมรำงยขถ้ำึงมเกวนั กเเตรำอสรำ์ทม่ีมำีทรถั้งขเขนยี ำนดไเดท้ว่ำ่ำกันDและมEีทิศโดทยำทง่ีเผเเเวควกลกกรลค่ือเเำตตูณงรออห์ขรรเมอช์์ าง่AนAย(ล-ดส31บัง่ว)AจรนAะูปกจแำจะทระหนใเมชททจ้ำ่ำิศำยกทนถับี่ตวึงรนเ–งวลกAกบันเคตขหูณอำ้มมรกำ์ทยับดี่ถมเงั วึงีขรกเูปนวเทตกำอดี่เ1ตรย.อ์2ำจรวะน์ทเหอป่ีมมก็ีขนำจนยำ3ำถกดเึงนทเเที้หว่ำ่กำำขกกเอตับตงอ้อเเรววง์ทกกกี่เมำเตตีทรอคอิศรูณรท์ ์ ำปAAงรสิมแวแำตนลณ่มทะเีทำวมิงศกีทกทเิศตบั ำอทเงวรตำก์ดงรเ้วเงตดยกอียปันรวรข์เดกิม้ำิมันำมณกกซัับบส่ึง - 3 รปู ท่ี 1.2 กำรแทนปริมำณเวกเตอรด์ ้วยลกู ศร

8 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ ้นื ฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟิสกิ ส์1.3.2 กำรรวมเวกเตอร์เม่ือนำเวกเตอร์สองตัวมำบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์อีกปริมำณหน่ึง ซึ่งจำกท่ีได้กล่ำวมำแล้วในตอนต้นว่ำเรำไม่สำมำรถใช้กำรดำเนินกำรทำงเลขคณิตแบบธรรมดำในกำรรวมปริมำณเวกเตอร์ได้เน่ืองจำกปริมำณเวกเตอร์นั้นมีท้ังขนำดและทิศทำง รูปท่ี 1.3 แสดงกำรบวกเวกเตอร์โดยวิธีเขียนรูป โดยนำปริมำณเวกเตอร์ทตี่ ้องกำรบวกกันมำเรียงต่อกันแบบหำงลูกศรต่อหวั ลกู ศร ผลลัพธ์ของกำรบวกเวกเตอร์ หรือขเวอกงเเตวอกรเต์ลอัพรธต์ ์ ัวคสือุดลทูกำ้ ศยรทซี่เง่ึ รผ่ิมลจลำัพกธจข์ ุดอเงรก่ิมำตร้นบหวกรือเวหกำเตงลอูกร์ศAรขอกงับเวเกวกเตเตออรร์ต์ ัวBแรคกือจเนวถกึงเตจอุดรส์ ุดCท้ำดยังหสรมือกหำรัวลูกศร   และ   (1.1) C  AB C  B Aจำกรปู ท่ี 1.3 พบว่ำเวกเตอรล์ พั ธ์  มีคำ่ เทำ่ กนั ไมว่ ่ำจะใชเ้ วกเตอรต์ วั ใดข้ึนก่อน จึงสรุปไดว้ ่ำใน Cกำรบวกเวกเตอรน์ ั้นจะใช้เวกเตอร์ใดขน้ึ กอ่ นก็ได้ ซ่ึงแสดงว่ำกำรบวกเวกเตอรม์ ีสมบตั ิตำมกฎการสลับท่ี   AB  B A (1.2)รูปที่ 1.3 กำรบวกเวกเตอร์โดยวิธีกำรเขียนรปู และสมบัติกำรสลบั ทข่ี องกำรบวกเวกเตอร์ เม่ือพิจำรณำจำกรูปท่ี 1.3 แจละะเห็นBว่ำเปเว็นกดเต้ำนอร2์ลัพดำ้ธน์ Cท่ไี มม่ขีขนนำำนดกแันละดทงั ิศรูปททำง่ี 1เห.4มืนอนั่นเหปม็นำเยสค้นวทำแมยว่ำงมมุ ของรูปส่ีเหลี่ยมด้ำนขนำนที่มีด้ำน  Aขกอำรงบสเ่ีวหกลเวยี่ กมเดต้ำอนรข์โดนยำนวิธทีเมี่ขีดียำ้นนรูปAอำแจลเขะียนBแบเปบน็ หดำ้ำงนลูก2ศดรต้ำน่อทหไ่ีำมงลข่ ูนกศำนรกก็ไันด้ โดยที่เวกเตอร์ลัพธ์คอื เส้นทแยงมุม รปู ท่ี 1.4 รปู สีเ่ หล่ยี มด้ำนขนำนของกำรรวมเวกเตอร์ขขจเทำนอ้ ำ่กำคกคดวับวขรำอรขมะงนเผวขำลังด้ำบใขจวอทกงี่วเเววำ่ กกเCเตตออรร์์AAABบBวกนขกกั ้ึนบั ศอขกึ ยนษกู่ำำดับมขขกั อนจงำะเดเวขขกำ้ อเใตงจอผรAดิ ์อแBยลู่เสะมซอBึง่ ใวน่ำแคขลวนะำำมมดุมเขปรอ็นะงหจเวรวกงิำ่ ไงเมต่เอAปร็น์ แCเชลน่ะจนะB้ันมีคเดพำ่ ้วรยำะ AB  A  Bนำย ก มเี งิน 5 บำท นำย ข มเี งนิ 10 บำท ทั้งสองคนมเี งินรวมกนั 15 บำท แต่ถำ้ นำย ก ออกแรง 5 นวิตนั นำย ข ออกแรง 10 นิวตนั สองคนออกแรงรวมกันไม่ใช่ 15 นิวตันเสมอไป ต้องดทู ่ีทิศทำงของแรงดว้ ย

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 9 รูปที่ 1.5 ผลรวมของเวกเตอร์  และ  A, B,C Dรวมเวกเตอร์ ใAน,กBรณ,Cีที่ตแ้อลงะกำDรรวดมังเรวูปกทเต่ี 1อ.ร5์มซำึ่กงจกะวเ่ำห็น2วป่ำรผิมลำลณัพขธึ้น์คไือปกE็จะหใรชือ้หลเวักกกเำตรอเรด์ียEวกคันือดเวังกตเัวตออยร่ำ์ทงี่ลกำำกรจำกจุดต้ังต้นของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังจุดปลำยของเวกเตอร์ตัวสุดท้ำย โดยสำมำรถเขียนเวกเตอร์ใดขึ้นก่อนก็ได้ และเน่ืองจำกเรำใช้ควำมยำวของเส้นตรงแทนขนำดของเวกเตอร์ เรำจึงสำมำรถวัดความยาวของเส้นตรงของเวกเตอร์ลพั ธ์ แล้วเทียบกลับเป็นขนาดของเวกเตอร์ได้ขเวอกงเเตวอกรเ์ลตบอขรอ์ทกงี่มำรีเBคลรบดื่อเงัวงรกหปู เมตทำอ่ี ย1รล.์ 6หบรอือยผู่ดล้ำตน่ำหงนข้ำองเเชว่นกเตAอร์กB็คือหกมำำรยบถวึงกเวAกเตอรB์แบ บหหรนือึ่งเวโดกยเตกอำรร์กAลับบทวิศกทกำับง - รูปท่ี 1.6 กำรลบเวกเตอร์ตัวอยำ่ งท่ี 1.3 นำยพรำนเดินเท้ำเข้ำปำ่ ไปทำงทิศตะวันออก 5 km จำกนนั้ จึงมงุ่ หนำ้ ไปทำงทศิ เหนือ 10 kmจนพบกบั ลำธำร นำยพรำนอยหู่ ่ำงจำกจุดต้ังตน้ เท่ำไหร่ และหำกเขำตอ้ งกำรส่งข่ำวให้เพ่อื นของเขำเดินทำงตำมมำอยำ่ งเร่งด่วน เขำต้องบอกใหเ้ พ่ือนเดินไปในทิศทำมุมเท่ำไหร่กับทิศตะวนั ออกและเดนิ ไปเป็นระยะทำงเทำ่ ไร Bวิธที ำ กำหนดมำตรำสว่ นที่ใชใ้ นกำรวำดแผนภำพ คอื 1 cm : 2 kmเมอ่ื ทำกำรวำดแผนภำพ จะพบวำ่ นำยพรำนอยหู่ ำ่ งจำกจุดตง้ั ตน้ 5.6 cmซ่งึ เม่อื เทียบกับอตั รำส่วนแล้วจะได้เปน็ 11.2 km Rและเมื่อทำกำรวดั มมุ  จะได้ 63o 10 kmแต่เมื่อใช้ทฤษฎีของพธิ ำโกรสั จะไดว้ ่ำแทนคำ่ R  OA2  AB 2  A R  52  10 2 O 5 km R 11.18 km tan  AB  10  2 OA 5   63.43oดงั นั้นนำยพรำนต้องบอกให้เพื่อนของเขำเดินไปในทิศทำมุม 63.43 องศำกับทิศตะวนั ออกเปน็ระยะทำง 11.18 กิโลเมตร ตอบ

10 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ ้นื ฐำนทใี่ ชใ้ นวชิ ำฟิสกิ ส์1.3.3 องคป์ ระกอบของเวกเตอร์และเวกเตอรห์ นึง่ หน่วย กำรรวมเวกเตอร์โดยใช้แผนภำพตำมท่ีกล่ำวมำแล้วน้ันค่อนข้ำงมีขีดจำกัดเนื่องจำกกำร วำดเส้นและวัดคำ่ ควำมยำวจำกรูปมักใหค้ ่ำควำมแมน่ ยำที่จำกัด โดยข้ึนอยู่กับปัจจัยหลำยอย่ำงไม่ว่ำจะเป็นทักษะกำรวำด ควำมแม่นยำ ขนำดของเส้น เพรำะควำมคลำดเคลื่อนเพียงแค่ 1 mm ย่อมส่งผลต่อขนำดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้ นอกจำกนี้ยังยำกต่อกำรพิจำรณำกรณีเวกเตอร์ในสำมมิติ ดังนั้นวิธีท่ีจะช่วยให้กำรหำผลรวมของเวกเตอร์งำ่ ยและใชไ้ ด้ท่วั ไป คือ วธิ กี ำรของเวกเตอร์องค์ประกอบ เม่ือเรม่ิ พิจำรณำองค์ประกอบของเวกตอร์ เรำเรมิ่ ด้วยระบบแกนพกิ ัดฉำก จำกรปู ท่ี 1.7 เม่ือวำดเอAวงกyคเ์ปตครอือะรอก์ งอAคบ์ปโรดAะยxกใอแหบล้หขะำองงAอเยyวู่ทกซ่ีจเึ่งตุดตอ้ักงรฉำ์ ำเนกAิดกัในนOโแดเนรยำวทสแี่ ำกAมนxำ  รถแยกเวกเตอร์ A ในระนำบ xy ออกเป็นเว กเตอร์ A x และ คือองค์ประกอบของเวกเตอร์ ในแนวแกน  จะได้ y ถ้ำเวกเตอร์ A ทำมุมกับแกน x เป็นมุม ควำมสัมพนั ธ์   A  Ax  Ay (1.3)  (1.4) Ax  A cos (1.5)  Ay  A sin yy  xO x รูปท่ี 1.7 กำรแตกองค์ประกอบของเวกเตอร์ AO ขนำดของเวกเตอร์  และมุม  ซ่ึงแสดงทิศทำงของเวกเตอร์  ในระนำบ xy สำมำรถ A Aเขียนในรปู ของเวกเตอร์องคป์ ระกอบ  และ  ได้โดยกำรใชท้ ฤษฎีพธิ ำโกรัส Ax Ay  Ax2  Ay2 (1.6) A   A (1.7) tan 1 y A xข้อควรระวงัสมกำร (1.4) และ (1.5) จะใช้ไดเ้ ม่ือเรำวัดมมุ  จำกแกนบวก x เท่ำนนั้ ถ้ำโจทย์กำหนดมุมของเวกเตอร์มำให้โดยใชท้ ิศอ้ำงอิงอ่นื ควำมสัมพนั ธจ์ ะตำ่ งไป

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 11 y  Ox รปู ที่ 1.8 กำรบวกเวกเตอร์โดยใช้วธิ ีกำรเวกเตอรอ์ งค์ประกอบ กำรบวกเวกเตอร์ใด ๆ 2 เวกเตอร์ด้วยวิธีกำรเวกเตอร์องค์ประกอบทำได้โดยกำรกำหนดระนำบซึ่งเวกเตอร์ท้ังสองวำงตัวอยู่และทำกำรแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบดังรูปที่ 1.8 จะได้องค์ประกอบของเวกเตอรล์ ัพธ์ Rx และ Ry ดังสมกำร R  A B (1.8) x xx R  A B (1.9) y yy กำรหำขนำดและทิศทำงของเวกเตอรล์ พั ธ์  สำมำรถหำไดใ้ นทำนองเดยี วกันกับสมกำรที่ (1.6) Rเแวลกะเต(1อ.ร7์จ)ำนนอวกนจเทำก่ำนใดี้กกำ็ไรดห้เชำผ่นลเบมวื่อกใขหอ้ งRเวเกปเต็นอผรล์ บ2วเกวเกวเกตเอตรอ์นรี้ส์ขำอมงำรAถ,ขBย,Cำย,อDอ,กEไ,ปใช้ใอนงกคำ์ปรรหะำกผอลบบขวอกงขอRงคอื R  A  B C  D  E  (1.10) x xxx xx R  A  B C  D  E  (1.11) y yyy yy  กรณีกำรบวกเวกเตอร์ในพิกัดสำมมิติ เAรzำสในำทมิศำรขถอเงพพิ่มิกแดั กทนัง้ สzำมในซท่งึ หิศำตขั้งนฉำำดกขกอับงระAนำไบดจ้ xำyก ได้ A  เวกเตอร์ ใด ๆ จะมีองค์ประกอบ Ax , Ay และ A A2  A2  A2 (1.12) x yz และเพม่ิ องคป์ ระกอบของเวกเตอรล์ ัพธ์  เพมิ่ เตมิ อกี หนงึ่ องคป์ ระกอบ R R  A  B C  D  E  (1.13) z zzz zz กำรพิจำรณำเวกเตอร์จะทำได้ง่ำยข้ึนโดยกำรใช้เวกเตอร์หน่ึงหน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือเวกเตอร์ขนำดเท่ำกับ 1 และไม่มีหน่วย เวกเตอร์น้ีมีหน้ำท่ีชี้ทิศเท่ำนั้น เวกเตอร์หน่ึงหน่วยทำให้เรำมีสัญลักษณ์ในกำรอธิบำยเวกเตอร์องค์ประกอบได้สะดวกขึ้น โดยนิยมใส่เครื่องหมำย “หมวก” ( ^ ) ไว้บนสัญลักษณ์ของเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยเสมอ เพื่อแยกเวกเตอรน์ อี้ อกจำกเวกเตอรท์ วั่ ไป

12 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ ้ืนฐำนทใ่ี ช้ในวิชำฟสิ ิกส์ ในระบบพิกัดฉำก xyz เรำนิยำมเวกเตอร์หน่ึงหน่วย iˆ , ˆj และ kˆ แทนเวกเตอร์หน่ึงหน่วยใน   แนวแกนบวก x, y และ z จึงสำมำรถเขียนเวกเตอร์ A , B และ R ในรปู ของเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยได้ดังนี้   Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ A   Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ (1.14) B   (Ax  Bx )iˆ  (Ay  By ) ˆj  (Az  Bz )kˆ R จำกสมกำรจะเห็นว่ำผลรวมของเวกเตอร์สำมำรถใช้วธิ ีกำรบวกและลบโดยวิธีทำงพชี คณิตกับแต่ละเวกเตอรอ์ งค์ประกอบได้ตัวอยำ่ งที่ 1.4 จงหำขนำดและทศิ ทำงของแรงลัพธ์ซึ่งเกิดจำกแรง 2 แรงขนำด 3 N และ 4 N กระทำทจี่ ดุ Oเปน็ มมุ 50o  B  3N   A  4Nวธิ ที ำ ตงั้ แกน X แกน Y จะเห็นว่ำแรง  A อย่บู นแกน XY แลว้ แต่แกน  Ax  4 N Bแลไปะอยูบ่ นAแyกนX 0N จะได้ B ไม่อย่บู นแกน XY จึงแตกแรง แกน Y Bx  Bcos  3cos50  1.93 N By  Bsin   3sin 50  2.30 N หำผลรวมของแรงทำงแกน X  Fx  Ax  Bx  4 1.93  5.93 N หำผลรวมของแรงทำงแกน Y  Fy  Ay  By  0  2.30  2.30 N หำแรงลพั ธ์จำกทฤษฎปี ิทำโกรัส R   Fx 2   Fy 2 แทนค่ำ R  5.932  2.302  6.36 N หำมุมจำกสตู ร tan   Fy  2.30  0.39  Fx 5.93   tan1 0.39  21.20o ตอบ ดงั นั้น แรงลัพธม์ ีขนำด 6.36 N ทำมุม 21.20o กบั แนวระดับ

สเกลำร์และเวกเตอร์ 13ตัวอยำ่ งท่ี 1.5 จงหำขนำดและทศิ ทำงของแรงลัพธ์เมื่อแรงบนระนำบเดียวกนั 5 แรง คือ 12N 17N 14N 9N10N กระทำตอ่ วัตถุที่จุด A ดงั รปู  Y F3  14 N  F2  17 N 45o 60 o  X 30 o F1  12 N   F4  9N F5  10 Nวิธีทำ ตัง้ แกน X แกน Y แลว้ แยกแรงทั้งหมดไปอยบู่ นแกน X แกน Y หำผลรวมของแรงทำงแกน X  Fx  F1x  F2x  F3x  F4xแทนค่ำ  Fx  12  17 cos 60  14 cos 45  9 cos 30  2.81 Nหำผลรวมของแรงทำงแกน Y  Fy  F2y  F3y  F4y  F5yแทนค่ำ  Fy  17 sin 60 14 sin 45  9sin 30 10  10.12 Nหำแรงลพั ธ์จำกทฤษฎีปทิ ำโกรสั R   Fx 2   Fy 2แทนค่ำ R  2.812  10.122  10.50 Nหำมมุ จำกสูตร tan    Fy  10.12  3.60  Fx 2.81   tan1 3.60  74.48o ตอบดงั นน้ั แรงลพั ธม์ ีขนำด 10.50 N ทำมุม 74.48o กบั แนวระดบัตวั อยำ่ งท่ี 1.6 กำหนดให้   4iˆ  2 ˆj  5kˆ ,   5iˆ  3 ˆj และ   2iˆ  ˆj  6kˆ จงหำ A B Cก) ผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสำมนี้ข) จงหำขนำดของ A B C และ A B  Cวิธีทำ ก) หำผลรวมของเวกเตอร์จำกสมกำร (1.14)   4  5  2iˆ  2  3 1ˆj  5  6kˆ  11iˆ  kˆ A B C

14 บทนำและคณติ ศำสตรพ์ ้นื ฐำนทใี่ ช้ในวิชำฟิสิกส์ข) หำขนำดของเวกเตอรจ์ ำกสมกำร (1.12) A  42  22  52  6.71 B  52   32  5.83 C  22 12   62  6.40 A  B  C  112  12  11.05ดังนน้ั ผลรวมของเวกเตอรท์ ้งั สำมคอื 11iˆ  kˆ และขนำดของ A B C และ A+B+C คือ 6.71, 5.83,6.40 และ 11.05 ตำมลำดับ ตอบ1.3.4 กำรคูณเวกเตอร์กำรคณู เวกเตอร์มหี ลำยแบบไม่ว่ำจะเปน็ กำรคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลำร์ หรอื กำรคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ ซ่งึ ผลลพั ธท์ ่ีได้จะแตกตำ่ งกนั ไป ดังน้ี  Aการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ เม่ือเรำคูณปริมำณเวกเตอร์ ด้วยปริมำณสเกลำร์ s จะได้ผเวลกลเัพตอธ์เรป์ล็นัพปธร์จิมะำเหณมเืวอกนเตAอรแ์ทตี่ม่หีขำนกำดsเปเ็นปจ็นำน–วเนวกเsตอเทร่ำ์ลขัพอธง์จขะนมำีทดิศเวทกำเงตตอรรง์เขด้ำิมมกถับ้ำ s เป็น + ทิศทำงของ A ซึ่งกำรหำรก็จะใช้หลกั กำรเดียวกนัการคณู เวกเตอร์ดว้ ยเวกเตอร์ จะขอแบง่ พิจำรณำเปน็ 2 แบบ คอื กำรคูณแบบสเกลำร์ (Scalarproduct) และ กำรคณู แบบเวกเตอร์ (Vector product)กำรคูณแบบสเกลำร์ หรือ ผลคูณแบบดอต (Dot product) เป็นกำรคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์สแเลก้วลำไดรข์้ผอลงลเัพวกธเ์เตปอ็นรป์ รAิมำแณลสะเกBลำซร์ึ่งใมนีมกมุ ำรระคหูณวแ่ำงบเวบกนเ้ีจตะอใรชท์ ้เัง้คสรอื่องงเหปมน็ ำย “” ซAึ่งอ่ำBนวจ่ำะ“ไดด้วอ่ำต” แทนผลคูณ ดว้ ย  A  B  AB cos   A B cos  (1.15)ข้อสังเกตท่ีสำคัญคือ เม่ือ   90o ค่ำ  หรืออำจกล่ำวได้ว่ำ ผลคูณสเกลาร์ของ AB  0เวกเตอร์ทต่ี ั้งฉากกนั เปน็ ศูนย์เสมอนอกจำกนี้ผลคูณสเกลำร์ยังมีคุณสมบัติตำมกฎกำรสลับท่ีของกำรคูณ น่ันคือลำดับของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ไมส่ ำคัญ   AB  B A (1.16)เม่ือพิจำรณำเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉำก จะมผี ลคณู สเกลำรด์ งั น้ี iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 (1.17) iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0ดังนั้นจึงสำมำรถเขียนผลคูณสเกลำร์ของเวกเตอร์  และ  ในรูปของผลคูณของเวกเตอร์ A Bองคป์ ระกอบไดเ้ ป็น  A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz (1.18)

สเกลำรแ์ ละเวกเตอร์ 15 หรืออำจกล่ำวได้ว่ำผลคูณสเกลำร์คือผลบวกของผลคูณของแต่ละเวกเตอร์องค์ประกอบท่ีอยู่ในทศิ เดยี วกัน กำรคูณแบบเวกเตอร์หรือ ผลคูณแบบครอส (Cross product) เป็นกำรคูณเวกเตอร์สองผเวลกคเตณู อเวรแ์กลเต้วอไรด์ขผ้ อลงลเวัพกธเตเ์ ปอ็นรป์ รAมิ ำแณลเะวกBเตอซรง่ึ์ ใมนมี กมุ ำรระคหูณวแำ่ บงเบวกนเ้ีจตะอใรช์ทเ้ คง้ั รส่อืองงหเปมน็ ำย“xด”ว้ ยซึง่ Aอ่ำนBวำ่ “ครอส” แทน จะได้ว่ำ  A B  AB sin  nˆ (1.19) จำกสมกำร nˆ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซ่ึงมีทิศทำงต้ังฉำกกับระนำบของ  และ  โดย A Bทศิ ทำงของ nˆ สำมำรถหำได้โดยใชก้ ฎมอื ขวำดงั รปู ท่ี 1.9 จำกรูปที่ 1.9 พบว่ำผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ เม่ือสลับลำดับกำรคูณ จะได้ผลที่มีขนำดเทำ่ เดิมแต่มีทศิ ทำงกลบั ทศิ กนั ดังสมกำร (1.20)   AB   B A   A B A   A  B   B  B A รปู ท่ี 1.9 กำรหำทิศทำงของผลคูณเวกเตอร์ โดยใช้กฎมือขวำ ข้อสังเกตท่ีสำคัญคือ เม่ือ   0o หรือ   180o ค่ำ  หรืออำจกล่ำวได้ว่ำ ผลคูณ AB  0เวกเตอรข์ องเวกเตอร์ท่ขี นานหรือสวนกันเป็นศูนย์เสมอ และนั่นหมำยถึง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดยี วกันจะมคี า่ เปน็ เวกเตอรศ์ ูนย์ และเมื่อพิจำรณำผลคณู เวกเตอรข์ องเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยในระบบพิกดั ฉำก พบวำ่ iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0 iˆ  ˆj  kˆ, ˆj  kˆ  iˆ, kˆ  iˆ  ˆj (1.21) ˆj  iˆ   kˆ, kˆ  ˆj   iˆ, iˆ  kˆ   ˆj ซ่งึ จำกสมบตั ขิ องผลคูณเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยในระบบพกิ ัดฉำกทไี่ ด้ จะไดว้ ่ำ  ( Ay Bz  Az By )iˆ  (Az Bz  Ax Bx ) ˆj  (Ax By  Ay Bx )kˆ (1.22)A B หรอื เขียนผลคณู เวกเตอรใ์ นรปู ดีเทอรม์ ิแนนต์ (determinant) ไดเ้ ปน็ (1.23)   iˆ ˆj kˆ A B  Ax Ay Az Bx By Bz

16 บทนำและคณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนทีใ่ ชใ้ นวชิ ำฟิสิกส์ตวั อยำ่ งท่ี 1.7 ให้   3iˆ  4 ˆj  6kˆ และ   2iˆ  ˆj  8kˆ จงหำผลคูณแบบสเกลำร์และผลคณู แบบ A Bเวกเตอร์ของเวกเตอร์ทั้งสองน้ี  A B   วิธีทำผลคูณแบบสเกลำร์  3iˆ  4 ˆj  6kˆ  2iˆ  ˆj  8kˆ   Ax Bx  Ay By  Az Bz  3 2  4 1  6  8 A B  A  B  6  4  48   38 kˆ iˆ ˆj - 6 34  iˆ ˆjผลคูณแบบเวกเตอร์ AB  3 4 2 1 8 2 1 +    32iˆ  12 ˆj  3kˆ  8kˆ  6iˆ  24 ˆj A B    38iˆ  36 ˆj  5kˆ A Bดงั นัน้ ผลคูณแบบสเกลำร์ คือ -38 และผลคณู แบบเวกเตอร์ คือ  38iˆ  36 ˆj  5kˆ ตอบ1.4 คณติ ศำสตร์พน้ื ฐำนอื่น ๆ เน่ืองจำกวิชำฟิสิกส์เป็นวิชำท่ีเก่ียวข้องกับตัวเลข เพื่อให้กำรเรียนรำบรื่นนักศึกษำจึงควรมีพื้นฐำนทำงคณติ ศำสตร์ควบค่ไู ปด้วยเพื่อใช้ในกำรแก้ปัญหำโจทย์ เช่น พีชคณิต เรขำคณิต ลอกำริทึม กำรแก้สมกำร สมกำรควอดรำติก รูปสำมเหลี่ยม ตรโี กณมิติ ทฤษฎีบททวินำม อนุพันธ์และปฏิยำนุพนั ธ์ กำรหำพ้ืนที่และปริมำตร กำรคำนวณเปอรเ์ ซน็ ต์ รอ้ ยละ ฯลฯ รำยละเอยี ดของสมกำรทสี่ ำคัญแสดงไวใ้ นภำคผนวก ค กำรแก้ปัญหำโจทย์ในแบบฝึกหดั เปน็ กำรตรวจสอบว่ำเรำมคี วำมรู้ในเนื้อหำวิชำมำกน้อยเพียงใดจึงถอื ว่ำเป็นกำรวดั ผลสัมฤทธิในกำรเรียนอย่ำงหนงึ่ ควำมสำมำรถในกำรลำดบั ควำมคิดเพื่อแก้ปัญหำ สำมำรถฝกึ ฝนไดแ้ ละจะชว่ ยให้กำรแกป้ ัญหำโจทยม์ ปี ระสทิ ธิภำพมำกข้นึ แนวคิดในกำรแก้ปัญหำโจทย์ฟิสิกส์เร่ิมจำกกำรพิจำรณำโจทย์ว่ำให้ข้อมูลใดบ้ำง และถำมหำสิ่งใด เขียนปริมำณเหลำ่ น้ันในรูปของตัวแปร และพิจำรณำตัวแปรได้จำกโจทย์ว่ำมีควำมสัมพันธ์กันอย่ำงไร วำดแผนภำพเพื่อให้มองภำพโจทย์ได้อย่ำงแจ่มชัด จำกน้ันจงึ พิจำรณำว่ำมีหลักกำร หรือ สมกำรใดที่จำเป็นต้องใช้ในกำรแก้ปัญหำโจทย์ เมื่อได้หลักกำรหรือสมกำรครบถ้วนแล้ว จะต้องสำมำรถแก้สมกำรเพ่ือหำตัวแปรท่ีไม่ทรำบค่ำหรือตัวแปรที่โจทย์ต้องกำรให้หำค่ำให้ได้ และจบด้วยกำรตรวจสอบคำตอบ ว่ำมีหน่วยถูกต้องหรือไม่ผลกำรคำนวณสมเหตุสมผลหรือไม่ค้นคว้ำเพิ่มเติมนักศึกษำทบทวนคณิตศำสตร์พื้นฐำนอ่ืน ๆ เพ่ิมเติมจำกแหล่งควำมรู้อ่ืน เพื่อเตรียมควำมพร้อมในกำรศกึ ษำวชิ ำฟสิ ิกส์ได้อยำ่ งรำบรนื่

คณิตศำสตร์พ้นื ฐำนอน่ื ๆ 17 สรุปแนวคิดประจำบทที่ 1 วิชำฟิสิกส์เป็นศำสตร์ด้ำนวิทยำศำสตร์กำยภำพที่เกิดจำกกำรทดลองและค้นคว้ำ เพ่ือทำควำมเข้ำใจ ปรำกฏกำรณ์ทำงธรรมชำติ และมีควำมสัมพันธ์เช่ือมโยงกับศำสตร์ต่ำง ๆ มำกมำยหลำกหลำยดำ้ น ไม่ว่ำ จะเป็นวทิ ยำศำสตรพ์ นื้ ฐำน วศิ วกรรม กำรแพทย์ เทคโนโลยี หรอื เกษตรกรรม เรำจำเป็นต้องศึกษำวิชำฟิสิกส์เน่ืองจำก ฟิสิกส์เป็นพื้นฐำนของศำสตร์หลำย ๆ ด้ำน มีอุปกรณ์ เคร่ืองมือ เคร่ืองใช้ หรือเทคโนโลยีหลำยชนิดสร้ำงขึ้นมำโดยอำศัยหลักกำรทำงฟิสิกส์ นอกจำกนี้วิชำฟิสิกส์ยังช่วย ฝึกกระบวนกำรคิด กำรค้นควำ้ เพ่ือหำเหตุและผลมำเพอ่ื ใช้ในกำรแก้ปัญหำต่ำง ๆ กำรวัดมีควำมสำคัญอย่ำงมำกต่อกำรศกึ ษำวิชำฟสิ ิกส์ หำกผลจำกกำรวัดสอดคล้องกับทฤษฎี ทฤษฎีนั้นก็ จะเป็นท่ียอมรับ แต่เน่ืองจำกหน่วยในกำรวัดมีอยู่หลำยระบบ ในแต่ละประเทศมีกำรใช้ระบบหน่วยวัดที่ แตกต่ำงกัน จึงต้องมีกำรตั้งระบบหน่วยระหว่ำงชำติ หรือ หน่วย SI ข้ึน ซ่ึงประกอบไปด้วยหน่วยพื้นฐำน 7 หน่วย หน่วยอนุพันธซ์ ่ึงเกดิ จำกผลคูณหรือหำรของหน่วยพน้ื ฐำน และ หน่วยเสริม ปริมำณพ้ืนฐำนของกำรวัด คือ ควำมยำว มวล และเวลำ ซ่ึงมีหน่วย SI คือ เมตร กิโลกรัม และ วินำที ตำมลำดับ โดยเรำสำมำรถเติมคำอุปสรรคด้ำนหน้ำหน่วย หรือใช้ค่ำเลขบอกระดับขนำด เพ่ือช่วยให้กำร บอกปรมิ ำณชดั เจนมำกยิง่ ขน้ึ ปริมำณทำงฟิสิกส์แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ปริมำณสเกลำร์ซึ่งมีเพียงขนำดเท่ำนน้ั จึงสำมำรถบวกลบกันได้ ด้วยเลขคณิตแบบธรรมดำ และ ปริมำณเวกเตอร์ซ่ึงจำเป็นต้องมีท้ังขนำดและทิศทำงจึงได้ใจควำม ครบถ้วนสมบูรณ์จึงรวมกันตำมกฎกำรบวกเวกเตอร์ โดยสำมำรถรวมเวกเตอร์ได้ท้ังวิธีกำรเขียนรูป และ วิธีกำรของเวกเตอร์องคป์ ระกอบ กำรรวมเวกเตอร์โดยวิธีกำรเขียนรูปน้ันทำได้ 2 วิธี คือ วำดลูกศรเวกเตอร์แบบหำงต่อหัว ผลลัพธ์ท่ีได้คือ ลูกศรที่วำดจำกหำงของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวสุดท้ำย และ วำดลูกศรเวกเตอร์ แบบหำงตอ่ หำง ผลลพั ธท์ ่ไี ด้คือเส้นทแยงมมุ ของรปู สีเ่ หลยี่ มดำ้ นขนำนท่สี รำ้ งขนึ้ จำกลกู ศรท้ังสอง  กBำxรรแวลมะเวกBเyตอครือ์ดอ้วงยคว์ปิธรีกะำกรอขบอขงอเวงกเBตออรง์อคง์ปคร์ปะรกะอกบอขบองเมผล่ือบวAกxเวแกลเะตอAร์ y A คือองค์ประกอบของ และ   R  A B คอื Rx  Ax  Bx และ R  A B y yy เรำใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยเพ่ือช่วยให้กำรรวมเวกเตอร์แบบองคป์ ระกอบง่ำยยง่ิ ข้ึน เม่ือเวกเตอร์หน่ึงหน่วย iˆ , ˆj และ kˆ แทนเวกเตอรห์ นง่ึ หน่วยในแนวแกนบวก x, y และ z ผลรวมของเวกเตอรส์ ำมำรถใช้วิธกี ำร บวกและลบโดยวธิ ที ำงพีชคณติ กับแตล่ ะเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบได้เลย  R  (Ax  Bx )iˆ  (Ay  By ) ˆj  (Az  Bz )kˆ  A กำรคูณแบบสเกลำร์เป็นกำรคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นปริมำณสเกลำร์ ผลคูณของ   A และ B มีนยิ ำAมBแcลoะsสำมำรถเขยี AนใBนรcูปoขsององค์ปรแะลกะอบได้ดAงั น้ี   B A B  Ax Bx  Ay By  Az Bz กำรคูณแบบเวกเตอร์เปน็ กำรคูณเวกเตอร์สองเวกเตอร์แลว้ ได้ผลลพั ธเ์ ป็นปรมิ ำณเวกเตอร์ ผลคณู ของ  และ B มีนยิ ำม และสำมำรถเขียนAในรปู Bขององค์ปAระBกsอiบnไดด้ nังˆนี้   ( Ay Bz  Az By )iˆ  (Az Bz  Ax Bx ) ˆj  (Ax By  Ay Bx )kˆ A B

18 บทนำและคณิตศำสตรพ์ ้ืนฐำนทใ่ี ช้ในวชิ ำฟสิ ิกส์ คำถำม Q1.1 จงยกตวั อย่ำงปริมำณสเกลำร์ และปรมิ ำณเวกเตอร์จำกสิง่ รอบตัวมำอยำ่ งละ 5 ชนดิ Q1.2 แรงทไ่ี ม่เท่ำกนั 2 แรง สำมำรถรวมกนั แลว้ เป็นศูนยไ์ ด้หรอื ไม่ จงอธบิ ำยเหตุผล Q1.3 เป็นไปได้หรือไมท่ ข่ี นำดของเวกเตอรล์ พั ธจ์ ะน้อยกวำ่ ขนำดของเวกเตอร์องค์ประกอบของตวั มันเอง Q1.4 ปรมิ ำณเวกเตอร์ทม่ี ีขนำดเทำ่ กบั ศูนยแ์ ต่มีองคป์ ระกอบไมเ่ ป็นศนู ย์มจี รงิ หรอื ไม่ จงอธบิ ำย Q1.5 เวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่ยำวต่ำงกันสำมำรถให้ผลบวกเวกเตอร์เป็นศูนย์ได้หรือไม่ ถ้ำผลบวกเวกเตอร์ ของสำมเวกเตอรจ์ ะเป็นศูนยไ์ ด้จะต้องมีข้อจำกัดเกยี่ วกับขนำดของเวกเตอร์ท้ังสำมอย่ำงไร จงอธบิ ำย เหตผุ ล Q1.6 มีเวกเตอร์ 2 ตัวซ่ึงมีขนำด 4 และ 5 จงอธิบำยว่ำเม่ือใดบ้ำงท่ีผลลัพธ์ของสองเวกเตอร์น้ีจะมีค่ำเป็น 0, 1, 3, 5, 7 และ 9 Q1.7 ในกำรเล่นเกมแข่งขันต่อยำว ผู้เล่นแต่ละคนจะต้องนำส่ิงของท่ีมีในตัวมำวำงเรียงต่อกนั ให้ไดย้ ำวท่ีสุด จำกขอ้ มลู ใครเป็นผู้ชนะ นำงสำวดีใจ มเี สอ้ื คลุมยำว 40 น้ิว รองเท้ำยำว 23 เซนติเมตร และเชอื กผกู รองเท้ำยำว 1.2 เมตร เดก็ หญิงพอเพยี ง มีสรอ้ ยคอยำว 15 นวิ้ รองเทำ้ ยำว 27 เซนติเมตร และเขม็ ขัดยำว 1.5 เมตร นำยต้นกลำ้ มผี ้ำพนั คอยำว 180 เซนติเมตร โทรศัพท์มือถอื ยำว 5 นว้ิ และไม้บรรทดั ยำว 1 ฟตุ แบบฝึกหัด1.1 ฟำรม์ โคนมแห่งหนงึ่ ผลิตนำ้ นมได้วันละ 26 gal หำกต้องกำรนำมำบรรจุใส่ขวดขนำด 200 cc เพอื่ แบ่งขำยจะได้นมวนั ละกี่ขวด1.2 จงเขยี นเลขเหล่ำน้ีให้อยู่ในรปู ของเลขบอกระดบั ขนำดก) 5789.6 ข) 0.00006789 ค) 8700057 ง) 23.451.3 จงเขียนปริมำณเหล่ำนีใ้ หอ้ ยู่ในหน่วยมำตรฐำนก) 65.7 µm ข) 876 mg ค) 200 cc ง)105.8 oF1.4 รถยนต์คนั หนงึ่ โฆษณำว่ำกนิ น้ำมัน 20 km/L คำ่ นี้มขี นำดเท่ำกบั ก่ีไมลต์ ่อแกลลอน1.5 มอเตอรต์ วั หนึ่งมีควำมถี่ 200 rpm อยำกทรำบว่ำในเวลำ 1 วินำที มอเตอรต์ ัวนีจ้ ะหมุนไปกี่รอบ1.6 ฉลำกยำนำ้ แก้ไอเขียนวำ่ มีปรมิ ำตร 30 ml หำกต้องรับประทำนคร้ังละ 1 ช้อนชำจะรับประทำนได้กี่ครง้ั1.7 ควำมหนำแน่นของตะกั่วคือ 11.3 g/cm3จงหำคำ่ นีใ้ นหน่วย kg/m31.8 ในหน่ึงวันทำรกต้องรับประทำนนมให้ได้อย่ำงน้อย 24 Oz. หำกต้องกำรตวงน้ำต้มสุกไว้ใช้สำหรับชงนมจะต้องเตรียมนำ้ ต้มสกุ ไวอ้ ย่ำงน้อยกซ่ี ซี ี1.9 ลูกวัวตัวหนึ่งหลุดจำกคอกวิ่งข้ำมทุ่งไปทำงทิศตะวันออก 3 km ก่อนจะเปล่ียนทิศทำงไปทำงทิศตะวันออกเฉียงใต้อีก 2 km แล้วจึงลงใต้ไปอีก 4 km อยำกทรำบว่ำลูกวัวตัวน้ีอยู่ห่ำงจำกคอกของมันเท่ำใดและหำกเจ้ำของฟำร์มตอ้ งกำรเรง่ รบี ออกตำมหำจะต้องม่งุ หน้ำไปทำงทิศใด

คณิตศำสตร์พนื้ ฐำนอน่ื ๆ 191.10 กำรเดินทำงจำกมหำวิทยำลัยเทคโนโลยีรำชมงคลตะวันออกไปยังศูนย์กำรค้ำ Pacific Park Srirachaจะต้องขับรถไปตำมเส้นทำงดังรูปจงหำขนำดและทิศทำงของกำรกระจัดระหว่ำงศูนย์กำรค้ำและมหำวิทยำลัยดว้ ยวิธเี ขยี นรปู และวธิ ขี ององค์ประกอบ และเปรียบเทยี บวำ่ ผลลัพธท์ ่ไี ด้สอดคลอ้ งกันหรือไม่ มทร.ตะวนั ออก 750 1km 2km 200 5km1.11 นักสำรวจออกเดินท่องไปในป่ำทึบในเวลำกลำงดึกอันมืดมิด เขำเดินออกจำกกระท่อม 50 ก้ำวไปยังทิศตะวันออกเฉียงเหนือ จำกนั้นเดินต่อไปอีก 70 ก้ำวไปในทิศทำมุม 60 องศำกับทิศตะวันตก และเดินลงไปทำงทิศใต้อกี 30 ก้ำว สมมติให้แต่ละก้ำวมขี นำดเท่ำกนั จงเขยี นรูปของเวกเตอรท์ ้ังสำม และเพ่ือท่ีจะช่วยไม่ให้เขำหลงปำ่ จงหำกำรกระจดั ท่จี ะนำเขำกลบั ไปยงั กระท่อมโดยใชว้ ธิ ขี ององคป์ ระกอบในกำรคำนวณ  1.12 กำหนดเวกเตอร์ A และ B ดังรปู จงใชว้ ิธเี ขียนรูปและวิธีขององคป์ ระกอบหำคำขนำดและทิศทำงของ   A   ก) A + B ข) - B ค) 2 B - A y  15 m B  10 m 300 x A1.13 จงคำนวณหำองคป์ ระกอบตำมแกน x และ y ของเวกเตอร์  ,  และ  y C D E  10 m C 350 300 x 400  7 m D  16 m E

20 บทนำและคณิตศำสตรพ์ น้ื ฐำนท่ีใชใ้ นวชิ ำฟิสกิ ส์1.14 จงหำขนำดและทศิ ทำงของเวกเตอรซ์ ึ่งแทนดว้ ยคู่ขององคป์ ระกอบ Ax = 5.6 cm และ Ay = 7.4 cm 1.15 จำกข้อ 1.14 เมื่อ Bx = 3.2 cm และ By = -4.3 cm จงหำองค์ประกอบของผลบวกเวกเตอร์ A +  Bขนำดและทิศทำงของผลบวกเวกเตอร์  +  A B1.16 จงเขียนเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยของเวกเตอร์ในข้อ 1.11 ในรปู ของเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ย iˆ และ ˆj1.17 จงเขยี นเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยของเวกเตอรใ์ นข้อ 1.13 ในรปู ของเวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย iˆ และ ˆj  1.18 กำหนดเวกเตอร์ A  3 iˆ  ˆj  15 kˆ และ B  12 iˆ  3 ˆj  6kˆ จงหำก) ขนำดของแตล่ ะเวกเตอร์ข) ผลต่ำงของเวกเตอร์ในรูปเวกเตอรห์ น่ึงหน่วย  ค) ขนำดของผลตำ่ งเวกเตอร์ A - B  ง) วำดแผนภำพเพ่ือแสดงว่ำ A - B สอดคล้องกับข้อ ค)   A B1.19 จำกข้อ 1.18 จงหำผลคูณสเกลำรแ์ ละผลคูณเวกเตอรข์ องเวกตอร์ และ และหำมุมระหวำ่ งเวกเตอร์สองตัวน้ี

บทท่ี 2แรงและกำรเคลื่อนท่ีกำรศึกษำฟิสิกส์น้ันเร่ิมต้นจำกกำรพิจำรณำกลศำสตร์ยุคด้ังเดิมซึ่งอธิบำยเกี่ยวกับควำมสัมพันธ์ระหว่ำงกำรเคลื่อนที่ของวัตถุท่ีสำมำรถพบเห็นได้ในชีวิตประจำวันและแรงท่ีทำให้เกิดกำรเคล่ือนที่ ซ่ึงหำกระบบที่พิจำรณำไม่ได้มีขนำดเล็กมำกในระดับอะตอม หรือมีกำรเคลื่อนท่ีด้วยควำมเร็วสูงใกล้เคียงควำมเร็วแสงกลศำสตร์ยุคดงั้ เดิมยังคงสำมำรถใช้อธิบำยปรำกฏกำรณต์ ำ่ ง ๆ ในธรรมชำตไิ ดอ้ ย่ำงดเี ยี่ยม2.1 มวลและแรง 2.1.1 นยิ ำมของแรง แรง (Force) เกิดขึ้นจำกกำรดึง (pull) หรือ ผลัก (push) วัตถุ เป็นอันตรกริยำระหว่ำงวัตถุสองชิ้น หรือระหว่ำงวัตถุกับสิ่งแวดล้อม เม่ือมีแรงมำกระทำกับวัตถุหนึ่ง วัตถุนั้นสำมำรถได้รับผลกระทบ 4ประเภท คือ 1) วัตถุที่อยู่น่ิงอำจเร่ิมเคลื่อนท่ี เช่น ใบไม้บนพ้ืนเม่ือมีแรงลมมำประทะจะเร่ิมเกิดกำรขยับและเคล่ือนไหว 2) ควำมเร็วของวัตถุท่กี ำลังเคล่ือนที่อยู่อำจเปลยี่ นแปลงไป เช่น ใบไม้ทป่ี ลิวอย่ำงช้ำ ๆ ไปตำมลมกลับปลิวได้เร็วขึ้นเม่ือถูกพัดลมเป่ำ 3) ทิศทำงกำรเคลื่อนที่ของวัตถุอำจเปล่ียนแปลงไป เช่น ใบไม้ที่ร่วงจำกต้นหำกมแี รงลมมำประทะอำจทำให้มันเคลื่อนท่ีไปตำมทิศของลมแทนท่ีจะร่วงหล่นลงในแนวดิ่งตรง ๆ หรือ 4)รูปร่ำงและขนำดของวัตถุอำจเปล่ียนแปลงไป เช่น กำรขยำใบไม้จนบิดเบ้ียวฉีกขำดหรือใบไม้แห้งที่แหลกละเอียด โดยผลกระทบจำกแรงน้นั อำจเกดิ ผลกระทบเพยี งอย่ำงเดยี วหรอื หลำยอย่ำงร่วมกนั กไ็ ด้ กำรท่ีเรำออกแรงเตะลูกฟุตบอลนั้น เรำสำมำรถกำหนดขนำดของแรงท่ีใช้ในกำรเตะ รวมท้ังกำหนดทิศทำงที่ต้องกำรให้ลูกฟตุ บอลเคลื่อนท่ีไปได้อีกด้วย แรงจงึ เปน็ ปรมิ ำณท่ีมีทงั้ ขนำดและทศิ ทำง หรือที่เรียกวำ่ ปรมิ าณเวกเตอร์ ในกำรพิจำรณำเวกเตอร์ของแรง จำเป็นต้องสนใจว่ำมขี นำดของแรงมำกน้อยเพยี งใด และทศิ ทำงของแรงว่ำเป็นกำรดึงหรือผลักไปในทิศทำงใด หน่วยมำตรฐำน (SI Unit) ของขนำดของแรง คือ นิวตัน(Newton) หรือมีตัวย่อ คือ N ซึ่งสำมำรถนิยำมปริมำณแรง 1 นิวตันได้ว่ำ แรงที่ทำให้วัตถุมวล 1 กิโลกรัมเคล่อื นท่ีด้วยควำมเรง่ 1 เมตรต่อวินำทีกำลังสอง 1 N = 1 kg.m/s2 ในกำรศึกษำเรือ่ งแรง สำมำรถใช้วิธีกำรเขียนแผนภำพแทนแรงได้ โดยกำหนดขนำดของแรงตำมมำตรำส่วนบนไม้บรรทัด และกำหนดทิศทำงโดยกำรใช้มุมบนแกน XY ดังรูปที่ 2.1 ค และ ง และหำกมีแรงมำกกว่ำ 1 แรงกระทำพร้อมกนั ทต่ี ำแหนง่ เดียวกนั ให้รวมแรงลพั ธ์ทงั้ หมดเป็นแรงเดียวโดยใชห้ ลักกำรรวมแรงเหมือนกับกำรบวกลบเวกเตอร์ที่ได้กล่ำวมำแล้วในบทที่ 1 ส่วนในกรณีท่ีแรงท่ีกระทำมีทิศทำงทำมุม สำมำรถใช้วิธีแตกเวกเตอร์องค์ประกอบเป็นแรงในแนวแกน X และแรงในแนวแกน Y ก่อนนำไปหำผลลัพธ์ตอ่ ไปดงั รปู ที่ 2.2

22 แรงและกำรเคลื่อนที่ ออกแรงผลกั ออกแรงดงึ 35 20 ก) ข) 12 N 15 N 20 35 ค) ง) รูปท่ี 2.1 แสดงแผนภำพแทนแรง F2 R F2 ก) y x ข) ค) รปู ท่ี 2.2 แสดงกำรรวมแรงและกำรแตกแรงขอ้ ควรระวงักำรกำหนดระบบพกิ ดั ฉำก XY น้ัน ไม่จำเปน็ ว่ำแกน X ตอ้ งเปน็ แกนรำบและแกน Y ต้องเปน็ แกนแนวดง่ิเสมอไป ให้พจิ ำรณำจำกกำรเคลอ่ื นท่ี โดยกำหนดใหแ้ นวทเ่ี กดิ กำรเคลอ่ื นทเ่ี ปน็ แกน X หรือ Y จะทำให้ง่ำยตอ่ กำรแกป้ ัญหำโจทย์ y x

มวลและแรง 23 2.1.2 แรงประเภทต่ำง ๆ แรงส่วนใหญ่ที่พบเห็นกันในชีวิตประจำวัน ไม่ว่ำจะเป็นกำรออกแรงเพื่อผลักประตู กำรออกแรงเข็นรถเข็นในซุปเปอร์มำเก็ต กำรออกแรงดึงเพื่อจูงสุนัข กำรออกแรงในกำรตอกตะปู หรือกำรออกแรงเพ่ือยกส่ิงของ ล้วนแล้วแต่เป็นแรงท่ีเกิดข้ึนจำกกำรสัมผัสกันระหว่ำงวัตถุ หรือที่เรียกว่ำ แรงสัมผัส (ContactForces) แรงอีกประเภทหน่ึงที่ไม่เก่ียวข้องกับกำรสัมผัสกันของวัตถุ ท่ีรู้จักกันในช่ือ แรงสนาม หรือ แรงพิสยั ไกล (Field Forces) เป็นแรงระยะไกลซึง่ สำมำรถส่งผลถงึ กันได้โดยที่ไมจ่ ำเปน็ ต้องสัมผัสกัน เกดิ ได้แมใ้ นอวกำศที่ว่ำงเปล่ำ ตัวอย่ำงเช่น แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) ท่ีส่งผลให้เกิดกำรเคล่ือนท่ีแบบตกอย่ำงอิสระ อันเน่ืองมำจำก นาหนัก (weight) ซึ่งจะกล่ำวถึงต่อไป แรงดึงดูดท่ีเกิดขึ้นระหว่ำงประจุบวกและประจุลบ หรอื แรงทที่ ำใหแ้ ทง่ แม่เหลก็ สำมำรถดึงดูดเหลก็ ได้ ซ่งึ จะกลำ่ วถึงอีกคร้งั ในบทท่ี 7 โดยท่ัวไปแล้ว แรงสัมผัสและแรงสนำมไม่ได้แยกจำกกันอย่ำงชัดเจน ยกตัวอย่ำงเช่น พิจำรณำวัตถุสองชน้ิ ออกแรงกระทำต่อกันถือเป็นแรงสัมผัส แต่หำกเรำพิจำรณำในระดับอะตอม แรงสัมผัสน้กี ็เกิดจำกแรงสนำมระหว่ำงอะตอมของวัตถุท้ังสองด้วย นอกจำกแรงสองประเภทที่กล่ำวมำแล้วยังมีกำรกำหนด แรงพืนฐาน (Fundamental Forces)ในธรรมชำติ โดยแบ่งออกไดเ้ ปน็ 4 ประเภท คอื 1. แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) เป็นแรงที่เกิดข้ึนโดยมวลของวัตถุ เป็นสำเหตุของกำรที่วัตถุมีนำ้ หนัก เป็นสำเหตุท่ีทำให้ดำวเครำะห์ต่ำง ๆ โคจรรอบดำวแม่ เป็นสำเหตุท่ีทำให้วัตถุทุกชนิดร่วงตกลงสพู่ ้ืนโลก ฯลฯ 2. แรงแม่เหล็กไฟฟ้ำ (Electromagnetic Force) เป็นแรงที่เก่ียวข้องกับประจุไฟฟ้ำและแม่เหล็ก เน่ืองจำกในอะตอมของสสำรทุกชนิดประกอบด้วยประจุท้ังบวกและลบ ดังนั้นอะตอมและโมเลกุลสำมำรถส่งแรงไฟฟ้ำกระทำต่ออนุภำคอ่ืนได้ แรงสัมผัส จึงจัดเป็นแรงแม่เหล็กไฟฟ้ำประเภทหน่ึง เนื่องจำกเป็นแรงทเี่ กดิ ขนึ้ ระหวำ่ งอะตอม แรงแมเ่ หล็กไฟฟำ้ จงึ นบั ว่ำเปน็ แรงพ้นื ฐำนท่ีมีควำมสำคญั อยำ่ งมำก 3. แรงนิวเคลียร์อย่ำงอ่อน (Nuclear Weak Force) เปน็ แรงที่เกิดจำกกำรสลำยตัวของสำรกัมมันตรังสี (Beta decay) และมีบทบำทสำคัญต่อปฏิกริยำนิวเคลียร์ฟิชชั่น (Nuclear Fission) ในกำรสร้ำงพลงั งำนของดวงอำทิตย์ 4. แรงนิวเคลียร์อย่ำงแรง (Nuclear Strong Force) เป็นแรงภำยในนิวเคลียสที่อัดอนุภำคมูลฐำน (โปรตอน) ให้รวมกันอยู่ในนิวเคลียสได้โดยไม่ถูกแรงผลักระหว่ำงประจุบวกของโปรตอนดันจนทำให้อะตอมนน้ั แตกออกตำรำงที่ 2.1 แรงพืน้ ฐำน (Fundamental Forces) ชนิดของแรง ควำมเขม้ ของแรง ระยะขอบเขตท่ีพิจำรณำ (m)แรงนวิ เคลียร์อย่ำงแรง 1 10-15แรงแมเ่ หล็กไฟฟำ้ 1/137แรงนวิ เคลียร์อย่ำงออ่ น 10-6 ไมจ่ ำกัดแรงโนม้ ถว่ ง 6x10-39 10-18 ไมจ่ ำกัดท่มี ำ: Hyperphysics, Georgia State University, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Forces/funfor.html ค้นเม่ือ 3 พฤษภำคม 2557

24 แรงและกำรเคลื่อนที่ เน่ืองจำกแรงนวิ เคลียร์อยำ่ งอ่อนและแรงนิวเคลยี ร์อย่ำงแรงเกิดขน้ึ ในระดบั นิวเคลยี ส จึงจดั เปน็แรงระยะสนั้ ระดบั 10-15 m นั่นคือนอกเหนือจำกขอบเขตนี้จะไมเ่ ห็นผลของแรง กลศำสตรย์ ุคดง้ั เดมิ จึงสนใจเพียงแค่แรงโนม้ ถว่ งและแรงแม่เหลก็ ไฟฟำ้ ซงึ่ มีระยะอนนั ต์เทำ่ น้ัน ตำรำงท่ี 2.1 แสดงข้อมูลควำมเขม้ ของแรงและระยะขอบเขตทพี่ จิ ำรณำ2.1.1 มวลและนำ้ หนกั เม่ือกล่ำวถึงตัวอย่ำงของแรงท่ีเป็นที่คนุ้ เคยกนั ดีในชีวิตประจำวันทั่วไป คงหนีไม่พ้นแรงทเ่ี รียกว่ำนาหนัก (weight) ซ่ึงเป็นแรงที่เกิดจำกแรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อวัตถุ (แต่หำกวัตถุน้ีไปอยู่บนดำวดวงอื่นทไี่ ม่ใช่โลก นำ้ หนักก็คอื แรงท่ีเกิดจำกแรงโน้มถ่วงท่ีดำวดวงนนั้ กระทำต่อวัตถุ) โดยทั่วไป คำวำ่ มวล (mass)และนาหนัก (weight) มักมีกำรใช้สื่อแทนสิ่งๆเดียวกันในชีวิตประจำวัน แต่ในทำงฟิสิกส์แล้ว คำสองคำนี้แตกตำ่ งกันอย่ำงชดั เจน และผ้เู รียนจำเป็นต้องเขำ้ ใจควำมแตกต่ำงของสองคำน้ี มวล (mass) ตัวย่อ m เป็นสมบัติซ่งึ แสดงควำมเฉอ่ื ย (inertial) ของวัตถุ โดยจะบอกถึงค่ำควำมต้ำนทำนต่อกำรเปลี่ยนสภำพกำรเคล่ือนท่ี วัตถุย่ิงมีมวลมำกยิ่งต้องใช้แรงมำกในกำรทำให้เคลื่อนท่ีด้วยควำมเร่ง หรือหำกใช้แรงเท่ำกัน วัตถุท่ีมีมวลมำกย่อมเคลื่อนท่ีได้ช้ำกว่ำ (หรือมีควำมเร่งน้อยกว่ำ) มวลเป็นปรมิ ำณสเกลำร์ มีหนว่ ยมำตรฐำน (SI Unit) คอื กโิ ลกรมั (kg) นาหนัก (weight) ตัวย่อ w เป็นแรงซ่ึงเกิดจำกควำมเร่งโน้มถ่วงท่ีกระทำต่อวัตถุ มีหน่วยมำตรฐำน (SI Unit) คือ นิวตัน (N) โดยหำกพิจำรณำกำรปล่อยวัตถุให้ตกอย่ำงอิสระในแนวดิ่ง แรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุก็คอื น้ำหนักของวัตถุมวล m คูณกบั ควำมเรง่ โน้มถว่ ง g น้ำหนักเป็นปริมำณเวกเตอร์ ขนำดของน้ำหนักสำมำรถหำไดต้ ำมสมกำร (2.1) ส่วนทิศทำงของน้ำหนักจะมที ิศพงุ่ ลงในแนวดิ่งสู่พื้นโลก (เรำใช้คำ่ g =9.8 m/s2 สำหรับกำรพจิ ำรณำปญั หำบนโลกถึงแม้วำ่ คำ่ g จะมีกำรเปลี่ยนแปลงได้เลก็ น้อยอันเน่อื งมำจำกกำรหมนุ รอบตัวเองของโลก) w  mg (2.1) เมอื่ w คอื นำ้ หนกั (weight) ในหนว่ ย N คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg m คอื ควำมเร่งโน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย gm/s2 มีคำ่ ประมำณ 9.8 m/s2ตวั อย่ำงท่ี 2.1 สม้ โอมีน้ำหนัก 20 N ณ ตำแหนง่ บนโลกซึ่งมคี ่ำ g =9.8 m/s2 มวลของสม้ โอเป็นเทำ่ ใด และท่ีตำแหนง่ เดยี วกัน จงหำน้ำหนักของลูกหมูมวล 15 kgวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้น้ำหนักของส้มโอ 20 N ซ่ึงคือตวั แปร w = 20 N และ g =9.8 m/s2 ถำมหำมวลของสม้ โอซ่ึงคือตัวแปร mจำกข้อมูลเลอื กใช้สมกำร (2.1) w = mgแทนค่ำ 20 = m  9.8ดังนน้ั มวลส้มโอ m = 2.04 kg ตอบจำกน้นั หำน้ำหนกั ของลูกหมจู ำกคำ่ มวล ซง่ึ คือตัวแปร m = 15 kg ดว้ ยสมกำร (2.1) เชน่ กันแทนคำ่ มวลลกู หมู w= 15  9.8ดงั นน้ั น้ำหนักลูกหมู w = 147 N ตอบ

มวลและแรง 25ข้อมูลเพิ่มเติมแรงสมั ผสั (Contact Forces) ทีส่ ำคัญทงั้ 3 ชนดิ1. แรงตงั้ ฉำก (normal force) หรือ แรง N เป็นแรงที่เกิดขน้ึ จำกกำรท่ีวัตถุสัมผัสกับพน้ื โดยทิศทำงของแรงจะตั้งฉำกกับพื้นท่ีวัตถุน้ันสัมผัส สมกำรของแรง N มีค่ำแตกต่ำงกันไป ไม่แน่นอนข้ึนกับแตล่ ะสถำนกำรณ์ เชน่ กำแพง NN ผลักเขำ้ กับกำแพง F=mgcos mg N2. แรงเสียดทำน (friction force) หรือ แรง f เป็นแรงต้ำนท่ีเกิดจำกกำรท่ีวัตถุสัมผัสกับพ้ืน โดย ทิศทำงของแรงเสียดทำนจะตรงขำ้ มกับทิศทำงกำรเคลื่อนท่ีของวัตถุ แรงเสียดทำนมีค่ำขึ้นอยู่กับ น้ำหนักของวัตถุและชนิดของพื้นผิวทั้งสอง ตำมสมกำร f  N น่ันคือ วัตถุที่มีน้ำหนักมำก จะส่งผลใหม้ ีคำ่ แรงตั้งฉำก (N) มำก แรงเสียดทำนจงึ มำก สว่ นค่ำสมั ประสิทธิควำมเสียดทำน (µ) จะมีค่ำข้ึนอยู่กับชนิดของพื้นผิว ตำรำงที่ 2.2 แสดงค่ำสัมประสิทธิควำมเสียดทำนของพ้ืนผิว โดยจะใช้ค่ำสัมประสิทธิควำมเสียดทำนสถิตเมื่อพิจำรณำแรงเสียดทำนขณะวัตถุหยุดนิ่ง และใช้ ค่ำสัมประสิทธิควำมเสียดทำนจลน์เมอื่ พิจำรณำแรงเสยี ดทำนขณะวตั ถเุ คล่อื นที่ N ผลกั แรงเสียดทำน3. แรงตึงเชือก (tension force) หรอื แรง T เป็นแรงท่ีเกิดขึน้ จำกกำรดงึ วตั ถดุ ้วยเชือกมที ศิ พงุ่ ออก จำกวตั ถุ Tคิดซกั นิด 2จำกสมกำรควำมโน้มถ่วงสำกล แรงโน้มถ่วงหรือแรงดึงดูดระหว่ำงมวลมีค่ำขึ้นอยู่กับมวลและระยะห่ำงระหวำ่ งมวลตำมสมกำร F  Gm1m2 r2เมื่อ G คือค่ำคงตวั ควำมโน้มถ่วง มีคำ่ 6.673x10-11 Nm2/kg2 จงหำแรงดึงดูดระหว่ำง โลกและดวงจันทร์และแรงดึงดดู ระหว่ำงดนิ สอกับไม้บรรทดั ว่ำมคี ำ่ เหมือน ใกล้เคียง หรือแตกต่ำงกนั อย่ำงไร และจำกเมื่อ w คือ นำ้ หนัก (weight) ในหน่วย N คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg คอื ควำมเร่งโน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วยm/s2 มคี ำ่ ประมำณ 9.8 m/s2ตวั อยำ่ งที่ 2.1 แรงดงึ ดดู ระหวำ่ งโลกและลกู หมูมีคำ่ เท่ำใด

26 แรงและกำรเคลื่อนท่ีตำรำงที่ 2.2 แสดงค่ำสัมประสทิ ธิควำมเสยี ดทำนของพนื้ ผวิ ต่ำง ๆชนดิ ของผิวสัมผัส สัมประสทิ ธิควำมเสียดทำนสถติ สมั ประสิทธคิ วำมเสยี ดทำนจลน์ µk µsเหลก็ บนเหลก็ 0.74 0.57อลูมเิ นยี มบนเหล็ก 0.61 0.47ทองแดงบนเหล็ก 053 0.36ทองเหลืองบนเหล็ก 0.51 0.44สงั กะสบี นเหล็กหล่อ 0.85 0.21ทองแดงบนเหล็กหลอ่ 1.05 0.29แกว้ บนแกว้ 0.94 0.40ทองแดงบนแกว้ 0.68 0.53ยำงบนผิวคอนกรีต (แห้ง) 1.00 0.80ยำงบนผิวคอนกรีต (เปยี ก) 0.30 0.25ที่มำ: Young, Hugh D., and Freedman, Roger A. ฟสิ ิกสร์ ะดบั อุดมศกึ ษำ เล่ม 1. แปลโดย ปิยพงษ์ สทิ ธิคง.กรงุ เทพฯ: เพียร์สัน เอด็ ดเู คชั่น อนิ โดไชนำ่ , 2547: หน้ำ 133.ข้อควรระวงัมวลมคี ำ่ คงท่ีไม่ว่ำจะอยู่ทใ่ี ด ในขณะทน่ี ำ้ หนักจะเปลีย่ นแปลงไปตำมค่ำควำมเร่งโน้มถ่วง g ของบรเิ วณนน้ั โลก ดวงจนั ทร์ ดำวพฤหสั ดวงอำทิตย์มวล = 50 kg มวล = 50 kgนำ้ หนัก = 490 N น้ำหนกั = 81 N มวล = 50 kg มวล = 50 kg น้ำหนัก = 1246 N นำ้ หนกั = 13715 N2.2 กฎกำรเคลื่อนทีข่ องนิวตนั เซอร์ไอแซค นิวตนั (พ.ศ. 2185 – 2070) เสนอกฎกำรเคลอ่ื นทคี่ รงั้ แรกในปี พ.ศ. 2230 โดยตพี มิ พ์ลงในหนังสือช่ือ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica หรือท่ีรู้จักกันในนำม Principia กฎกำรเคล่อื นท่ขี องนิวตันมี 3 ข้อ จดั เปน็ กฎพื้นฐำนของกำรเคลอ่ื นท่ขี องวัตถทุ ุกชนดิ สำมำรถใช้วิเครำะหผ์ ลของแรง

กฎกำรเคลื่อนท่ขี องนิวตนั 27ที่กระทำต่อวัตถุได้ วัตถุที่เคลื่อนที่ทุกชนิดจะต้องอยู่ในกฎข้อใดข้อหน่ึงในขอบเขตที่เรียกว่ำ กลศำสตร์ยุคดง้ั เดมิ (กลศำสตร์ท่ีศึกษำวัตถทุ ีม่ ีขนำดใหญ่และมีควำมเร็วน้อยมำกเม่ือเทียบกบั แสง)2.2.1 กฎกำรเคลื่อนทีข่ ้อที่ 1กำรที่หนังสือวำงอยู่น่ิงบนโต๊ะ ไม่ใช่เพรำะไม่มีแรงใดมำกระทำ แต่เป็นเพรำะมีแรงเสียดทำนมำต้ำนกำรเคลื่อนท่ีไว้ จึงมองเห็นเหมือนอยู่น่ิง กฎกำรเคลื่อนที่ข้อท่ี 1 กล่ำวว่ำ “วัตถุทุกชนิด จะดารงอยู่ในสภาวะของตวั เอง ไมว่ ่าจะหยดุ นง่ิ หรอื เคล่อื นทด่ี ้วยความเร็วคงที่ จนกวา่ จะมแี รงภายนอกมากระทาให้เปล่ียนสภาวะ”นน่ั ก็คอื หำกไมม่ ีแรงภำยนอกมำกระทำหรอื แรงสทุ ธิทม่ี ำกระทำตอ่ วัตถุเป็นศนู ย์ วตั ถนุ น้ั จะคงสภำวะเดิมต่อไป ควำมพยำยำมคงสภำวะเดิมของวัตถุ เรียกว่ำ ควำมเฉ่ือย จึงมักเรียกกฎข้อน้ีว่ำ “กฎของความเฉอื่ ย (law of inertia)” ดงั สมกำร   0 (2.2) F เมอื่ F คือ แรง (Force) ในหน่วย N เมื่อไม่มีแรงใดกระทำต่อวัตถุ หรือมีแรงหลำยแรงกระทำในลักษณะที่ผลบวกเวกเตอร์ของแรงเหล่ำนั้น (แรงลัพธ์) เป็นศูนย์ เรำอำจพูดได้ว่ำวัตถุน้ันอยู่ในสมดุล ซ่ึงในสภำวะสมดุล ถ้ำวัตถุไม่อยู่นิ่งก็จะเคลื่อนทีใ่ นแนวเสน้ ตรงดว้ ยควำมเรว็ คงตัว รูปที่ 2.3 แสดงควำมพยำยำมในกำรคงสภำวะเดิมของวัตถุซ่ึงเป็นไปตำมกฎข้อท่ี 1 ของนิวตันเมื่อรถไฟเร่ิมเคลื่อนที่ ผู้โดยสำรบนรถไฟซ่ึงเดมิ เคยอยู่น่งิ พยำยำมจะคงสภำวะเดมิ ตวั จึงเสมือนเอนไปทำงด้ำนหลัง ซึ่งกลับกันหำกรถไฟท่ีกำลังแล่นอยู่น้ีจอดลง ผู้โดยสำรจะพยำยำมคงสภำวะเดิมซึ่งกำลังเคล่ือนที่ไปดำ้ นหนำ้ จงึ มองเหน็ คลำ้ ยผูโ้ ดยสำรเอนไปทำงดำ้ นหนำ้ กำรเคลือ่ นท่ีของรถไฟ แรงกระทำ ต่อ ผู้โดยสำรรถไฟเรม่ิ เร่งควำมเร็ว รถไฟเร่มิ เคล่ือนท่ี รถไฟหยดุ น่งิรปู ที่ 2.3 แสดงควำมพยำยำมในกำรคงสภำวะเดิมของวัตถุทม่ี ำ: ดดั แปลงจำก http://physics.tutorvista.com/motion/newton-s-first-law-of-motion.html ค้นเม่อื 3 พฤษภำคม 257

28 แรงและกำรเคล่ือนที่คิดซกั นดิ 3เพรำะเหตุใดเวลำท่ีเกิดอุบตั ิเหตุรถชนกัน หำกผู้ขับขี่ไมค่ ำดเข็มขดั นิรภัยผู้ขบั ข่ีอำจพุ่งทะลุกระจกหน้ำรถออกไปได้ และเหตใุ ดกำรตดิ ต้ังเกำ้ อสี้ ำหรบั ทำรก (car seat) จึงตอ้ งติดตงั้ ใหห้ นั หน้ำไปด้ำนหลงั รถ 2.2.2 กฎกำรเคล่ือนทีข่ ้อท่ี 2 “เมื่อมีแรงลัพธ์ซ่ึงไม่เป็นศูนย์กระทาต่อวัตถุ วัตถุนั้นจะมีความเร่งเกิดขึ้นในทิศทางเดียวกันกับแรงลพั ธ์” โดยขนำดของควำมเร่งจะเป็นปฏิภำคโดยตรงกับแรงลัพธ์และเป็นปฏิภำคผกผันกบั มวลของวตั ถุดังสมกำร    ma (2.3) F เม่ือ F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg a คือ ควำมเร่ง (acceleration) ในหน่วย m/s2 กฎข้อท่ี 2 ของนิวตันเป็นกฎพ้ืนฐำนของธรรมชำติที่ให้ควำมสัมพันธ์พ้ืนฐำนระหว่ำงแรงและกำรเคลอื่ นท่ี ดงั จะเห็นไดจ้ ำกสมกำรว่ำควำมเร่ง (หรืออัตรำกำรเปล่ียนแปลงควำมเร็ว) ของวัตถุมีคำ่ ข้นึ อยกู่ ับแรงสุทธิทก่ี ระทำต่อวัตถุหำรด้วยมวลของวัตถุ ยิ่งออกแรงกระทำตอ่ วตั ถุมำกวตั ถุก็จะยงิ่ เคล่ือนทด่ี ้วยควำมเร่งมำกกลับกันเมื่อวัตถุมีมวลมำกย่อมส่งผลต่อกำรเคล่ือนที่ด้วย ทำให้วัตถุที่มีมวลมำกเคลื่อนที่ด้วยควำมเร่งท่ีน้อยกวำ่ วัตถุท่ีมีมวลนอ้ ย 2.2.3 กฎกำรเคลื่อนที่ข้อที่ 3 แรงที่กระทำต่อวัตถุหนึ่งเป็นผลจำกอัตรกิริยำของวัตถุนั้นกับวัตถุอ่ืนเสมอ แรงจึงเกิดขึ้นเป็นคู่หำกเรำออกแรงทุบโต๊ะเรำย่อมรู้สึกถึงแรงท่ีโต๊ะกระทำต่อเรำ หรือกำรที่เรำสำมำรถยืนอยู่บนพื้นได้โดยไม่จมลงไปในพื้นก็เป็นเพรำะน้ำหนักของเรำเป็นแรงที่กดพ้ืนไว้และในขณะเดียวกันพ้ืนก็ออกแรงโต้กลับยกเรำไว้เช่นกนั จึงอำจกล่ำวได้วำ่ “แรงกระทาใด ๆ เม่ือเกิดขึน้ แลว้ จะมีแรงปฏิกิรยิ าโต้ตอบขนาดเท่ากัน แต่มีทิศตรงขา้ มเกิดขนึ้ เสมอ” หรือทเี่ รียกว่ำ แรงคู่กริ ยิ ำ-ปฏกิ ิริยำ (action-reaction force)  (2.4) Faction   Freaction เมอื่ FFarcetaioctnionคคืออื แแรรงงกปริ ฏยิ ำิกิร(aิยcำtโiตo้ตnอfบor(creea) cใtนioหnน่วfoยrcNe) ในหนว่ ย N จำกรูปที่ 2.4 จะเห็นว่ำในขณะทเ่ี คร่ืองบินเคลื่อนทจี่ ะมีกำรปล่อยลมร้อนออกไปทำงด้ำนหลัง ซ่ึงอำกำศโดยรอบก็จะออกแรงต้ำนไว้โดยกำรผลักให้เครื่องบินเคลื่อนท่ีไปด้ำนหน้ำ หรือในขณะท่ีเรำว่ำยน้ำ เรำออกแรงวักน้ำไปทำงด้ำนหลัง น้ำก็ออกแรงดันตัวเรำให้เคล่ือนท่ีไปด้ำนหน้ำเช่นกัน หรือกำรท่ีเรำก้ำวขำจำกเรอื เพ่ือขึน้ ฝงั่ แรงปฏกิ ิริยำจะทำใหเ้ รือถูกผลักใหเ้ คลื่อนท่ีถอยห่ำงจำกฝ่ังได้ และเช่นเดียวกับกำรกำ้ วเดิน กำรท่ีเรำยำ่ ลงไปบนพ้ืนแล้วไม่จมลงไปกเ็ ปน็ เพรำะพนื้ ออกแรงโต้ตอบยกเรำไวน้ น่ั เอง

ไอพน่ ไปดำ้ นหลงั กฎกำรเคลื่อนท่ขี องนวิ ตนั 29 ก้ำวไปดำ้ นหน้ำ ดนั ใหเ้ รือถอยหลงัเครื่องบินเคล่อื นไปขำ้ งหน้ำแรงกริ ยิ ำ แรงปฏกิ ิรยิ ำ พ้ืนโตก้ ลบั เทำ้ ถีบพืน้ รูปที่ 2.4 แสดงคู่แรงกริ ยิ ำ-ปฏิกิรยิ ำของวัตถุต่ำง ๆ 2.2.4 กำรประยุกต์กฎกำรเคลอื่ นท่ีของนิวตัน กฎกำรเคลื่อนท่ีสำมข้อของนิวตันเป็นกฎท่ีรวมหลักกำรพ้ืนฐำนท้ังหมดที่เรำต้องใช้ในแก้ปัญหำด้ำนกลศำสตร์ ควำมท้ำทำยอยู่กระบวนกำรวิเครำะห์ว่ำควรใช้กฎข้อใดกับสถำนกำรณ์ใด หำกพิจำรณำสถำนกำรณ์สมดลุ ไม่มีแรงสุทธิกระทำต่อวัตถุ สำมำรถเลือกใช้กฎข้อที่หน่งึ แต่หำกมีแรงสุทธิกระทำต่อวัตถุก็ต้องเลือกพิจำรณำกฎขอ้ ทสี่ อง นอกจำกนี้ลักษณะกำรเคลื่อนที่ของวัตถุก็เป็นอีกจุดท่ีต้องพิจำรณำ หำกวัตถุน้ันหยุดนิ่งไม่เคลื่อนท่ี หรือกำลังเคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วคงท่ี ให้เลือกใช้กฎข้อท่ีหน่ึง แต่หำกวัตถุนั้นกำลังเคลื่อนท่ีด้วยควำมเร่งก็จำเป็นต้องใชก้ ฎขอ้ ทสี่ องในกำรพจิ ำรณำ เพ่ือช่วยในกำรแก้ปัญหำโจทย์ที่มีลักษณะที่ซับซ้อนมำกขึ้น กลยุทธสำคัญในกำรแก้ปัญหำสำมำรถแบง่ ได้เป็นขั้นตอนดงั น้ี คือ 1. เขียนแผนภำพวัตถุ (free-body diagram) ซ่ึงเป็นแผนภำพท่ีแสดงให้เห็นแรงท่ีกระทำต่อระบบท่ีจะ วเิ ครำะห์ โดยจะตอ้ งเลือกเขียนเฉพำะวัตถทุ พ่ี ิจำรณำ 2. เขียนรูปแรงต่ำง ๆ ท่ีกระทำต่อวัตถุ เช่น แรงตึงเชือก แรงดึง แรงผลัก น้ำหนัก แรงปฏิกิริยำของพ้ืน หรือแรงเสียดทำน (พึงระวัง ไม่เขียนแรงท่ีวัตถุนั้นกระทำต่อส่ิงอื่น เช่น แรงคู่ปฏิกิริยำ) กำหนด ตัวอกั ษรหรือคำ่ ของแรงกำกบั ไว้พรอ้ มท้งั ลูกศรแสดงทิศทำงของแรง 3. กำหนดระบบพิกัดแกน XY เพอื่ สะดวกตอ่ กำรกำหนดทิศกำรเคลื่อนที่ โดยให้แกน X หรือแกน Y คือ แกนที่เกดิ กำรเคล่ือนทจ่ี ะง่ำยตอ่ กำรพจิ ำรณำ 4. แตกแรงทง้ั หมดท่ไี ม่เข้ำแกนที่กำหนด ให้คงเหลือแตแ่ รงในแกน XY เทำ่ น้ัน 5. พจิ ำรณำเขียนกฎข้อที่หน่ึงของนิวตัน (สำหรับปญั หำท่ีควำมเร่งเป็นศนู ย์) หรือ กฎขอ้ ท่ีสองของนิวตัน (สำหรับปัญหำที่มีควำมเร่ง) โดยพิจำรณำแยกทีละแกน และแก้สมกำรเพื่อหำปริมำณที่ไม่ทรำบค่ำ ต่อไป

30 แรงและกำรเคลื่อนท่ีข้อควรระวังน้ำหนักของวตั ถุมีทิศทำงลงตำมแนวดิง่ เสมอ แรงปฏกิ ริ ิยำของพนื้ จะมีทศิ ตงั้ ฉำกกับพื้นผวิ และแรงตึงเชอื กพุ่งออกจำกวตั ถทุ ี่พจิ ำรณำตัวอย่ำงท่ี 2.2 กล่องใบหน่ึงมวล 20 kg วำงอยู่บนพื้น สัมประสิทธิ์ควำมเสียดทำนสถิตระหว่ำงพ้ืนกับกล่องมีค่ำ 0.3 ต้องออกแรงดึง P อยำ่ งนอ้ ยเทำ่ ใดกล่องจึงจะเร่ิมเคลื่อนที่วธิ ีทำ y N Px P mg fโจทยก์ ำหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) วำงนงิ่ บนพื้น สัมประสิทธคิ วำมเสยี ดทำนสถติ ระหว่ำงพ้นื กับกล่อง 0.3 (  = 0.3) และถำมหำแรงดึง P ที่น้อยท่สี ดุ ที่ทำให้กล่องเคล่ือนท่ีเร่ิมต้น โดยกำรวำดแผนภำพวัตถุ เขียนแรงเสียดทำน f น้ำหนัก mg และแรงต้ังฉำก N ลงในแผนภำพกำหนดแกนพิกดั xy และพิจำรณำเลอื กกฎของนวิ ตันเน่อื งจำกโจทยถ์ ำมหำแรงน้อยที่สุดที่กลอ่ งจะเริ่มเคลื่อนท่ี นน่ั คือกล่องยงั ไม่เคล่ือนที่ จงึ เลือกใช้กฎข้อ 1พจิ ำรณำแกน x  =0  Fxแทนคำ่ แรงในแกน x P  f =0แทนคำ่ f   N ; P   N = 0 -------------------------(1)พิจำรณำแกน y  =0  Fyแทนคำ่ แรงในแกน y N  mg = 0จะไดว้ ำ่ N = mg แทนค่ำใน (1) P   mg = 0แทนคำ่ P = 0.3 20  9.8  58.8 Nดงั นัน้ หำกตอ้ งกำรให้กลอ่ งเคลอ่ื นท่ี แรงดึงน้อยที่สุดทใ่ี ช้คอื 58.8 N ตอบตัวอย่ำงที่ 2.3 หญิงผู้หนึ่งติดอยู่บนตึกชั้นสำมในขณะที่เกิดเพลิงไหม้ จึงใช้ผ้ำฉีกมัดกันเป็นเชือกเพ่ือไต่ลงมำทำงหน้ำต่ำง โดยเชือกทนแรงตึงได้ 430N ตวั หญิงผู้น้ีหนัก 500N จงหำวำ่ ถ้ำต้องกำรไต่ลงมำโดยเชือกไม่ขำดจะต้องลงมำด้วยควำมเรง่ เทำ่ ไรวิธที ำ จำกโจทยก์ ำหนดแรงตงึ เชือก 430 N (T = 430 N) นำ้ หนกั ของหญงิ ผูน้ ้ี 500 N ( mg = 500 N หรือm = 51.02 kg) และตอ้ งกำรหำควำมเร่ง ( a )

กฎกำรเคลื่อนทข่ี องนิวตนั 31พจิ ำรณำแผนภำพวตั ถุ แรงทก่ี ระทำต่อหญิงผู้นี้ คอื นำ้ หนัก mg และแรงตึงเชือก Tโจทย์กล่ำวถึงควำมเร่ง จึงใช้กฎขอ้ ที่ 2 โดยเลือกพจิ ำรณำแกน y กอ่ น T  = ma mg ตอบ  Fyแทนคำ่ แรงในแกน y T  mg = maแทนคำ่ 430  500 = 51.02 aจะได้ a = 1.37 m/s2ดังนั้นถำ้ ต้องกำรไตล่ งมำโดยเชอื กไมข่ ำดต้องลงมำด้วยควำมเรง่ 1.37 m/s2ตัวอย่ำงท่ี 2.4 จำกตัวอย่ำงที่ 2.2 ถ้ำกล่องมวล 20 kg วำงอยู่บนพ้ืนเอียง 30o ท่ีมี สัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 จะตอ้ งออกแรง P เท่ำใด (ในแนวขนำนพ้นื ) เพ่ือดงึ ใหก้ ล่องเคล่อื นท่ีข้นึวธิ ีทำ P N P mgsin300 f 300 300 mg mgcos300 จำกโจทย์กำหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) วำงบนพ้ืนเอียง 30o ( = 30 o) สัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 (  = 0.3)วำดแผนภำพวัตถุ วำดแรงท้งั หมดที่เกิดขนึ้ กำหนดแกนพกิ ัด xy และเลือกใชก้ ฎข้อที่ 1 เนื่องจำกถำมหำแรงน้อยทสี่ ดุ ที่ใช้ในกำรดึงใหก้ ลอ่ งเคลื่อนท่ีข้นึ (กลอ่ งยังคงอยนู่ งิ่ )พิจำรณำแกน x  =0  Fxแทนคำ่ แรงในแกน x P  f  mg sin 300 = 0แทนคำ่ f   N ; P   N  mg sin 300 = 0 -------------------------(1)พจิ ำรณำแกน y  = 0  Fyแทนค่ำแรงในแกน y N  mg cos300 =0จะได้ว่ำ N = mg cos300 แทนคำ่ ใน (1) P   mg cos300  mg sin 300 =0จัดรูป จะได้ P = mg ( cos 300  sin 300 )แทนคำ่ P = 20 9.8(0.3cos300  sin 300 ) = 148.92 Nดงั นน้ั หำกต้องกำรดึงใหก้ ล่องเคล่อื นท่ีขนึ้ ไปตำมพื้นเอยี งต้องใชแ้ รงอย่ำงน้อย 148.92 N ตอบ

32 แรงและกำรเคล่ือนที่คดิ ซักนิด 4ในกำรใช้พื้นเอียงมำช่วยในกำรผ่อนแรง จำกตัวอย่ำงที่ 2.4 เรำพบว่ำหำกต้องกำรยกกล่องมวล 20 kgขึน้ ไปวำงบนที่สูงจะต้องใช้แรง 196 N (20 kg x 9.8 m/s2) แต่หำกใช้พ้นื เอียงมำช่วยเรำจะออกแรงเพียง149 N เท่ำน้ัน ลองคิดตอ่ อกี ซกั นดิ ว่ำมุมของพน้ื เอยี งควรจะมำกหรอื น้อยจึงชว่ ยผอ่ นแรงไดม้ ำกท่สี ดุตัวอย่ำงที่ 2.5 จำกตัวอย่ำงที่ 2.2 ถำ้ กล่องมวล 20kg วำงอยู่บนพ้ืนที่มี สัมประสิทธิควำมเสียดทำนจลน์ 0.3เม่อื ออกแรงดงึ วตั ถใุ หเ้ คลื่อนที่ไปบนพ้นื ดว้ ยควำมเร็วคงที่ โดยแรงทำมุม 37oกับแนวระดับ แรงดงึ มีคำ่ เท่ำใดวิธีทำ y N Psin370 370 P x 3P7c0os37P0 mg fจำกโจทย์กำหนดมวลของกล่อง 20 kg ( m = 20 kg) สัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 (  = 0.3)และออกแรงดงึ โดยแรงทำมมุ 37 o กับแนวระดบั ( = 37 o) วำดแผนภำพวัตถุ วำดแรงท้ังหมดทเ่ี กดิ ขึ้น กำหนดแกนพิกดั xy และเลอื กใช้กฎข้อท่ี 1 เนอ่ื งจำกระบุวำ่ ควำมเรว็ คงท่ีพจิ ำรณำแกน x  =0  Fxแทนค่ำแรงในแกน x Pcos370  f =0แทนคำ่ f   N ; P cos 370   N = 0 -------------------------(1)พจิ ำรณำแกน y =แทนค่ำแรงในแกน y  = 0 0  Fy N  Psin 370  mgจะได้วำ่ N = mg  Psin 370 แทนค่ำใน (1) Pcos370   (mg  Psin 370 ) =0 Pcos370   mg  Psin 370 =0 P =  mg cos 37 0   sin 37 0แทนค่ำ P = 0.3 20 9.8 cos370  0.3sin 370 P = 60.35 Nดงั นน้ั แรงดงึ ทใ่ี ชใ้ นกำรดึงใหก้ ลอ่ งเคล่ือนทด่ี ้วยควำมเรว็ คงที่ คือ 60.25 N ตอบ

กฎกำรเคลื่อนท่ีของนวิ ตัน 33ตัวอย่ำงที่ 2.6 จำกตวั อย่ำงท่ี 2.5 หำกเปล่ียนเป็นกำรผลักกล่องในทิศทำมุม 37oกบั แนวระดับ จะตอ้ งใช้แรงผลกั เท่ำใด มำกหรือน้อยกว่ำแรงดงึวธิ ที ำ N Psin370 370 P P3c7o0 s37P0จำกโจทย์กำหนดมวลของกล่อง 20 kg (m = 20 kg) สัมประสิทธิคmวำgมเสียดทำน f ( = 0.3) 0.3และออกแรงผลกั โดยแรงทำมุม 37 o กบั แนวระดับ ( = 37 o)วำดแผนภำพวตั ถุ วำดแรงทัง้ หมดท่เี กิดขน้ึ กำหนดแกนพิกดั xy และเลือกใชก้ ฎขอ้ ท่ี 1พิจำรณำแกน x  =0  Fxแทนคำ่ แรงในแกน x Pcos370  f =0แทนค่ำ f   N ; P cos 370   N = 0 -------------------------(1)พิจำรณำแกน y =แทนคำ่ แรงในแกน y  = 0 0  Fy N  Psin 370  mgจะได้วำ่ N = mg  Psin 370 แทนค่ำใน (1) Pcos370   (mg  Psin 370 ) =0 Pcos370   mg  Psin 370 =0 P =  mg cos 37 0   sin 37 0แทนคำ่ P = 0.3 20 9.8 cos370  0.3sin 370 P = 95.13 Nดังนั้นแรงทใี่ ชใ้ นกำรดึผลักให้กลอ่ งเคลอื่ นท่ีดว้ ยควำมเรว็ คงท่ี คือ 95.13 N ตอบจำก ท้ังสองตัวอย่ำง จะพบว่ำ กำรดึงกล่องใช้แรง 60.35 N ในขณะท่ีกำรผลักใช้แรง 95.13 N นั่นก็คือกำรดึงกล่องจะใชแ้ รงน้อยกวำ่ กำรผลักในกำรทำให้กล่องเคลื่อนท่ี เนื่องมำจำกแรงในกำรผลักส่วนหนึ่งจะไปเพ่ิมแรงกดหรือเพิม่ คำ่ แรงเสยี ดทำนให้กับกล่องน่ันเองค้นคว้ำเพมิ่ เติมนักศึกษำลองศึกษำเพมิ่ เตมิ เรือ่ งเคร่ืองกลผ่อนแรง เน่ืองจำกเป็นตวั อย่ำงกำรประยกุ ต์ควำมรู้เรือ่ งแรงเข้ำกับชีวติ ประจำวัน ตวั อยำ่ งเครอื่ งกลผ่อนแรงไดแ้ ก่ คำน ล้อและเพลำ พ้ืนเอียง รอก ฯลฯ

34 แรงและกำรเคลื่อนท่ี2.3 กำรเคลอ่ื นทีข่ องวตั ถุ กำรกระจัด ควำมเรว็ ควำมเร่ง เม่ือได้ศึกษำทำควำมเข้ำใจถึง มวล แรง และกฎกำรเคล่ือนที่ของนิวตันมำแล้ว ในหัวข้อนี้จะศกึ ษำถงึ นิยำมของกำรเคลื่อนท่ี รวมท้งั นยิ ำมของปริมำณท่สี ำคัญในกำรพิจำรณำกำรเคล่ือนที่ เช่น กำรกระจัดควำมเรว็ และควำมเรง่ เพอื่ เปน็ พื้นฐำนสำคัญตอ่ กำรศึกษำกำรเคลื่อนทแี่ บบต่ำง ๆ ท่จี ะกลำ่ วถงึ ในหัวขอ้ ถัดไป กำรเคล่ือนท่ีเป็นผลมำจำกกำรท่ีมีแรงมำกระทำต่อวัตถุ ส่งผลให้วัตถุน้ันมีกำรเปลี่ยนหรือเคล่ือนย้ำยตำแหน่งไป เรำพบเห็นกำรเคล่ือนที่ในหลำยรูปแบบในชีวิตประจำวันไม่ว่ำจะเป็นกำรเดิน กำรว่ิง กำรจรำจรบนทอ้ งถนน กำรเคล่อื นท่ีของสงิ่ มีชวี ิตต่ำง ๆ บนโลก กำรวิ่งของสัตว์สี่เท้ำ กำรบินของนก กำรกระโดดของกบ กำรว่ำยน้ำของปลำ หรือพิจำรณำไปยังกำรโคจรของดวงดำวต่ำง ๆ นอกโลก ซึ่งก่อนท่ีเรำจะทำควำมเข้ำใจถึงกำรเคลื่อนท่ีในลักษณะต่ำง ๆ ได้นน้ั เรำควรจะต้องทำควำมเขำ้ ใจถึงปริมำณที่สำคัญต่อกำรพิจำรณำกำรเคล่ือนที่เสยี ก่อน2.3.1 ระยะทำงและกำรกระจัดเม่ือกล่ำวถึงกำรเคลื่อนที่ คำสองคำท่ีมักถูกกล่ำวถึงและมักมีควำมสับสนในกำรใช้งำน ซึ่งส่งผลต่อกำรพจิ ำรณำกำรเคล่อื นท่ี น่นั กค็ อื คำวำ่ ระยะทำง และ กำรกระจดัระยะทาง ( s ) เปน็ ปริมำณสเกลำร์ ซง่ึ บอกระยะทำงท่เี กดิ กำรเคลอื่ นท่ี หรือ ควำมยำวจำกจุดตงั้ตน้ เรอ่ื ยไปจนถึงจุดสดุ ทำ้ ยที่เกดิ กำรเคลือ่ นที่ ระยะทำงมีหนว่ ย SI คอื เมตร (m) การกระจดั ( s ) เป็นปรมิ ำณเวกเตอร์ ซึ่งคือเวกเตอร์ลัพธข์ องเวกเตอร์บอกตำแหนง่ ที่ต่ำงกนั ของวัตถุขนำดของกำรกระจัด คือ ระยะทำงท่ีวัดจำกจุดต้ังต้นถึงจุดสุดท้ำยโดยไม่สนใจเส้นทำงกำรเคลื่อนที่ทิศทำงของกำรกระจัดจะชจ้ี ำกจุดต้งั ตน้ ไปยงั จดุ สดุ ทำ้ ย กำรกระจดั มหี น่วย SI คือ เมตร (m) เชน่ เดียวกนั s     (2.5) s2 s1เมื่อ s คือ ระยะทำง (distance) หรอื กำรกระจัด (displacement) ในหน่วย mหำกเรำพิจำรณำกำรเคล่ือนท่ีจำกบ้ำนไปยังโรงพยำบำลตำมรูปที่ 2.5 ก) เรำพบว่ำเส้นทำง A Bและ C มรี ะยะทำงท่ีแตกต่ำงกัน เส้นทำง A น้นั มรี ะยะทำงทสี่ น้ั ที่สุด ส่วนเสน้ ทำง C มีระยะทำงท่ียำวท่สี ุด แต่ทง้ั สำมเสน้ ทำงล้วนมีกำรกระจัดเท่ำกัน ส่วนรปู ที่ 2.5 ข) แสดงค่ำระยะทำงและกำรกระจัดทีแ่ ตกต่ำงกัน ก) ข) รปู ที่ 2.5 ควำมแตกต่ำงระหว่ำงระยะทำงและกำรกระจดั 2.3.2 อัตรำเรว็ และควำมเร็ว เช่นเดียวกันกับในหัวข้อที่ผ่ำนมำ อัตรำเร็วและควำมเร็วเป็นปริมำณสองตัวที่มักถูกใช้งำนคล้ำยคลึงกัน แต่ปริมำณสองตวั น้ีแตกต่ำงกัน อัตราเร็ว (v ) เป็นปริมำณสเกลำร์ คือ ระยะทำงท่ีวัตถุเคลอื่ นท่ีได้ต่อหน่ึงหน่วยเวลำ ในขณะท่ีความเร็ว ( v )เป็นปรมิ ำณเวกเตอร์ คือ กำรเปล่ียนแปลงปริมำณกระจัดเทียบกบั เวลำ ซึง่ ทงั้ สองปริมำณนี้ อตั รำเรว็ และควำมเร็ว มีหนว่ ยเป็น เมตรตอ่ วินำที (m/s) เช่นเดียวกัน

กำรเคลอื่ นทขี่ องวัตถุ กำรกระจดั ควำมเรว็ ควำมเรง่ 35 ในกำรพิจำรณำควำมเร็วของวัถตุนั้น หำกต้องกำรทรำบควำมเร็วเฉล่ียในช่วงเวลำหนึ่ง สำมำรถพจิ ำรณำไดต้ ำมสมกำร (2.6) แต่หำกต้องกำรพจิ ำรณำควำมเร็วท่เี วลำใด ๆ ให้ใชส้ มกำร (2.7) ในกำรพิจำรณำ   s  s2  s1 (2.6) vav t t2  t1 (2.7) vt  ds dt เมอ่ื s คอื ระยะทำง (distance) หรอื กำรกระจัด (displacement) ในหนว่ ย m v คอื อตั รำเรว็ (speed) หรอื ควำมเรว็ (velocity) ในหน่วย m/s t คอื เวลำ (time) ในหน่วย s2.3.3 ควำมเร่ง ความเร่ง ( a ) เป็นปริมำณเวกเตอร์ คอื ควำมเรว็ ท่ีเปลี่ยนไปเมอ่ื เทยี บกับเวลำมีหนว่ ยเป็น เมตรต่อวินำทียกกำลังสอง (m/s2) โดยวัตถุอำจเคล่ือนที่เร็วข้ึน เคล่ือนที่ช้ำลง หรือเปล่ียนทิศของควำมเร็วไป ก็สำมำรถเรียกว่ำวัตถุมีควำมเร่งได้ ในกรณีท่ีวัตถุมีควำมเร็วลดลง ควำมเร่งจะมีค่ำเป็นลบ หรือ เรียกว่ำความหนว่ งมีหน่วยเป็น เมตรต่อวินำทียกกำลงั สอง (m/s2) ในกำรพิจำรณำควำมเร่งของวัถตุน้ัน เช่นเดียวกับกำรพิจำรณำควำมเร็ว หำกต้องกำรทรำบควำมเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลำหนึ่งๆ และควำมเร่งท่ีเวลำใด ๆ สำมำรถพิจำรณำได้ตำมสมกำร (2.8) และ (2.9)ตำมลำดบั aav  v     (2.8) t v2 v1 t2  t1 at  dv (2.9) dt เม่ือ a คือ ควำมเร่ง (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 v คอื อตั รำเร็ว (speed) หรอื ควำมเรว็ (velocity) ในหน่วย m/s t คอื เวลำ (time) ในหน่วย sตวั อยำ่ งท่ี 2.7 นำยสมชำยซอ้ มวง่ิ รอบสนำมฟุตบอลซ่ึงมเี ส้นรอบวง 400 เมตร ใช้เวลำ 4 นำที จงหำอัตรำเร็วเฉล่ีย และ ควำมเร็วเฉลี่ยในกำรวงิ่วิธีทำ จำกโจทย์กำหนดเส้นรอบวง 400 เมตร ( s = 400 m และ s = 0 m) ใชเ้ วลำ 4 นำที (t = 4x60s) ถำมหำอัตรำเรว็ เฉลยี่ ( v ) และควำมเรว็ เฉลีย่ ( v )อัตรำเรว็ เฉลี่ยในกำรวงิ่ v = s= 400  1.67 m/s 4 60 tควำมเร็วเฉล่ียในกำรวิง่ v = s = 0 0 m/s 4 60 tดังนั้น อตั รำเร็วเฉลีย่ ในกำรวงิ่ คอื 1.67 m/s และควำมเร็วเฉลี่ยในกำรวิ่งคือ 0 m/s ตอบ

36 แรงและกำรเคลื่อนท่ีตวั อยำ่ งที่ 2.8 ชำยคนหนึง่ เดินทำงจำก บ้ำนไปยงั วัด และเดินทำงต่อไปยังโรงพยำบำล จนไปถึงโรงเรียน ใช้เวลำนำน 55 นำที จงหำก) ระยะทำง และ กำรกระจดัข) อตั รำเรว็ เฉลี่ย และ ควำมเร็วเฉล่ียวิธีทำ จำกโจทยก์ ำหนดเวลำ 55 นำที (t = 55x60 s) ก) ระยะทำงคดิ ตำมเสน้ ทำงท่ีเคลอ่ื นท่ีระยะทำง = 200 150  300 = 650 mกำรกระจัดคดิ จำกจุดเร่มิ ตน้ ไปยังจุดสุดทำ้ ยกำรกระจดั = 250 mข) อัตรำเร็วเฉลีย่ = 650 = 55  60 0.20 m/sควำมเร็วเฉล่ยี = 250 55  60 = 0.08 m/sดงั น้ันระยะทำงคอื 650 m กำรกระจัดคือ 250 m อตั รำเร็วเฉลย่ี คอื 0.2 m/s และควำมเร็วเฉลี่ยคอื 0.08 m/s ตอบ2.4 กำรเคลอื่ นทแ่ี บบต่ำง ๆ กำรเคลอื่ นทเ่ี รำพบเจอนัน้ มมี ำกมำยหลำกหลำยรปู แบบ ซึ่งสำมำรถแบ่งประเภทครำ่ ว ๆ ได้ ดงั น้ี 1. กำรเคลื่อนที่แบบย้ำยท่ี : เป็นกำรเคลื่อนท่ีที่วัตถุย้ำยตำแหน่งท่ีอยู่ เช่น รถว่ิง ลูกเทนนิสท่ีลอยข้ำมตำข่ำย นกบิน ฯลฯ จัดเป็นกำรเคลื่อนที่ท่ีพบเห็นได้บ่อยในชีวิตประจำวัน ซ่ึงแบ่งพิจำรณำเป็น 2ประเภทคือกำรเคลื่อนท่ีใน 1 มิติ คือ กำรเคลื่อนท่ีในแนวรำบ หรือ กำรเคล่ือนท่ีในแนวด่ิง และกำรเคลื่อนท่ีใน 2 มิติ เชน่ กำรเคลอ่ื นท่ีแบบโปรเจคไทล์ และ กำรเคลอื่ นท่แี บบวงกลม 2. กำรเคลื่อนท่ีแบบหมุน : เป็นกำรเคลื่อนที่ในลักษณะที่เกิดกำรหมุนรอบแกนหรือจุดใดจุดหนึ่ง เช่น กำรหมุนของกังหันลม กำรหมุนของล้อ ฯลฯ ซ่ึงมีทั้งควำมคล้ำยคลึงและควำมแตกต่ำงกับกำรเคลอื่ นท่ีแบบวงกลม 3. กำรเคล่ือนที่แบบส่ัน หรือ กำรเคล่ือนที่แบบเป็นคำบ : เป็นกำรเคล่ือนท่ีท่ีเกิดจำกกำรส่ันหรือแกวง่ กลบั ไปกลับมำรอบจุดศูนย์กลำงจุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลำเทำ่ ๆ กัน เช่น กำรแกว่งของลูกตุม้ นำฬิกำกำรสั่นของสปริง กำรแกว่งของเรือท่ีลอยตำมกระแสคลื่นในทะเล กำรชักเข้ำ-ออกของลูกสูบ กำรส่ันของเส้นลวดในเครื่องดนตรีประเภทเครอ่ื งสำย กำรโลช้ ิงช้ำ ฯลฯ ในบำงคร้ัง เรำไม่สำมำรถจำแนกกำรเคลื่อนท่ีออกเป็นประเภทใดประเภทหน่ึงได้อย่ำงชัดเจนเพรำะอำจเกิดกำรเคลื่อนที่หลำยแบบพร้อมๆกัน ในหัวข้อน้ีจะขอกล่ำวถึงเน้นไปท่ีกำรเคล่ือนที่แบบย้ำยที่เทำ่ นนั้ โดยจะกล่ำวถงึ กำรเคลื่อนทแ่ี บบหมนุ และกำรเคลื่อนท่แี บบสั่นเพียงบำงส่วนเท่ำนนั้ รำยละเอียดเชิงลึกสำมำรถไปศกึ ษำเพิม่ เติมจำกแหล่งควำมร้อู ื่นได้

กำรเคลื่อนท่แี บบตำ่ ง ๆ 37 2.4.1 กำรเคลอื่ นท่ีใน 1 มติ ิ ในกำรศึกษำเรื่องกำรเคลื่อนที่ ระบบพิกัดมคี วำมสำคัญมำกในกำรบอกตำแหน่งของวัตถุ โดยมักมีกำรกำหนดตำแหน่งอ้ำงอิงไว้ท่ีพิกัด (0,0) และบอกค่ำตำแหน่งของวัตถุด้วยพิกัด x และ y สำหรับหัวข้อน้ีจะพิจำรณำกำรเคล่ือนท่ีในแนวเส้นตรงเพียงแกนเดียวเท่ำน้ัน โดยอำจะเลือกพิจำรณำแกน x (กำรเคล่ือนท่ีในแนวรำบ) หรือแกน y (กำรเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง) ของระบบพกิ ัดฉำก2.4.1.1 กำรเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแบบมคี วำมเร่งกำรเคล่ือนที่ในแนวเส้นตรงหำกวตั ถุเคล่อื นที่ด้วยควำมเรว็ คงตวั แสดงว่ำวัตถุนั้นไม่มีควำมเร่ง แต่หำกวตั ถมุ ีกำรเปลยี่ นแปลงควำมเร็ว เชน่ มคี วำมเร็วลดลง มคี วำมเร็วเพม่ิ ขึน้ หรอื มีกำรเปลีย่ นทิศกำรเคลื่อนที่จะถือว่ำวัตถุนั้นมีควำมเร่ง กำรเคลื่อนท่ีด้วยควำมเร่งที่ง่ำยที่สุด คือ กรณีควำมเร่งคงตัว ซึ่งเกิดขึ้นได้บ่อยในธรรมชำติ ไม่ว่ำจะเป็นกำรไถลลงตำมพ้ืนเอียง กำรไถลบนพื้นระดับท่ีมีควำมฝืด กำรเบรกหรือเร่งเคร่ืองยนต์หรือกำรท่วี ตั ถตุ กอย่ำงอสิ ระภำยใต้แรงโน้มถว่ งทจ่ี ะกลำ่ วถงึ ในหวั ขอ้ ถดั ไปในกำรพจิ ำรณำกำรเคลือ่ นท่ี ตัวแปรที่สำคัญตอ่ กำรพจิ ำรณำนน้ั มีอยู่ 5 ตัว คอื ระยะทำงหรอื กำรกระจัด ( s ) อัตรำเร็วหรือควำมเร็วในตอนที่เริ่มพิจำรณำ (u ) อัตรำเร็วหรือควำมเร็วในตอนท้ำย (v )ควำมเรง่ ( a ) และเวลำ (t ) โดยมสี มกำรกำรเคลื่อนทดี่ งั นี้ v  u  at (2.10) s  (u  v) t (2.11) 2 s  ut  1 at2 (2.12) 2 v2  u2  2as (2.13)เมอ่ื s คือ ระยะทำง (distance) หรือ กำรกระจดั (displacement) ในหน่วย m u คอื อัตรำเร็วต้น (initial speed) หรอื ควำมเรว็ ต้น (initial velocity) ในหน่วย m/s v คือ อตั รำเรว็ ปลำย (final speed) หรอื ควำมเร็วปลำย (final velocity) ในหน่วย m/s a คือ ควำมเร่ง (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 t คอื เวลำ (time) ในหน่วย sกลยุทธกำรแก้ปญั หำ1. พิจำรณำโจทย์ เขียนตัวแปรท่ีรู้ค่ำ เช่น s , u , v , a หรือ t โดยต้องระมัดระวังในเรื่องของ ทิศทำงด้วย อำจกำหนดใหเ้ วกเตอร์ที่มีทศิ ทำงในแกน +x หรือ +y มคี ำ่ เป็นบวก แต่หำกมที ิศตรง ข้ำมให้มีค่ำเป็นลบ และให้คอยมองหำตัวแปรท่ีแอบซ่อนอยู่ในรูปของข้อควำม เช่น วัตถุเร่ิม เคลื่อนที่จำกหยุดนิ่ง คือ u  0 วัตถุเคลื่อนท่ีจนหยุด คือ v  0 หรือที่ตำแหน่งสูงสุดของวัตถุ จะมี v  0 ฯลฯ2. หำกปริมำณที่โจทยก์ ำหนดไมไ่ ด้มีหนว่ ยอยูใ่ นระบบหน่วย SI ให้เปลย่ี นหนว่ ยให้เรียบร้อย3. พิจำรณำเลือกสมกำร (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) ท่ีมีตัวแปรที่ไม่ทรำบค่ำเพียงปริมำณ เดียวเท่ำนั้น เพื่อใช้ในกำรแก้ปัญหำโจทย์ ในบำงครั้งอำจต้องมีกำรแก้สมกำรสองสมกำรพร้อม กนั เพ่ือหำปริมำณท่ีไม่ทรำบคำ่ สองคำ่4. ตรวจสอบคำตอบวำ่ สมเหตุสมผลหรือไม่

38 แรงและกำรเคลื่อนที่ตวั อย่ำงท่ี 2.9 รถยนตค์ ันหน่ึงเริ่มเคลื่อนทจ่ี ำกหยุดน่ิงไปได้ทำง 200 m พบว่ำมคี วำมเรว็ เปน็ 35 m/s จงหำคำ่ ควำมเรง่ ของรถ ถำ้ ถือวำ่ ควำมเรง่ มีค่ำคงท่ีตลอดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดใหร้ ถยนต์เร่ิมเคลอ่ื นท่จี ำกหยดุ น่ิง ( u = 0 m/s) ระยะทำง 200 m ( s = 200 m)ควำมเรว็ ปลำยเปน็ 35 m/s ( v = 35 m/s) และถำมหำควำมเรง่ ของรถ ( a )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร u , s , v และตอ้ งกำรหำคำ่ ตวั แปร a จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.13)จำก v2 = u2  2asแทนคำ่ 352 = 02  (2a  200)จะได้ควำมเร่ง a = 3.06 m/s2ดงั น้นั ควำมเร่งของรถ คือ 3.06 m/s2 ตอบตัวอย่ำงท่ี 2.10 ผขู้ ับรถยนตค์ นั หน่งึ ขบั มำด้วยควำมเร็ว 90 km/h เขำเหน็ อุบัติเหตขุ ้ำงหน้ำจึงเหยยี บเบรกเพ่อื ชะลอควำมเรว็ ปรำกฏว่ำรถมีควำมเรว็ ลดลงเหลือ 42 km/h เมอ่ื วงิ่ ไปได้อีก 95 m ถำ้ สมมตวิ ำ่ รถของเขำเคลือ่ นทดี่ ว้ ยควำมเรง่ คงท่ตี ลอดหลงั เหยยี บเบรก จงหำวำ่ ก) หลังเหยียบเบรกรถมีควำมเร่งเทำ่ ไร ข) ชว่ งเวลำทร่ี ถมคี วำมเรว็ ลดลงดงั กล่ำวเปน็ เท่ำไร ค) ถำ้ รถยังคงเคลื่อนที่ดว้ ยควำมเร่งในขอ้ ก) จะใชเ้ วลำเท่ำไรนับจำกเร่ิมเบรกจนรถหยุด ง) ถำ้ เกิดเหตุกำรณต์ ำมข้อ ค) รถจะหยุดไดใ้ นระยะทำงเท่ำใดหลงั จำกเรม่ิ เบรกวธิ ที ำ ก) จำกโจทย์กำหนดควำมเรว็ ตน้ 90 km/h ( u = 90 km/h) ควำมเรว็ ปลำย 42 km/h (v = 42km/h) ระยะทำง 95 m ( s = 95 m) และถำมหำควำมเร่งของรถ ( a )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร u , v , s และตอ้ งกำรหำตัวแปร a จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.13)แตเ่ นอ่ื งจำกปรมิ ำณท่ีกำหนดยงั ไม่อยใู่ นหน่วย SI จึงทำกำรแปลงหนว่ ยกอ่ น u= 90 km  1000 m  1 h  25 m/s h 1 km 3600 s v = 42 km  1000 m  1 h  11.67 m/s h 1 km 3600 sจำก v2 = u2  2asแทนคำ่ 11.67 2 = 252  (2a 95)ดังน้นั จะไดค้ วำมเรง่ a =  2.57 m/s2 ตอบ ข) จำกโจทย์กำหนดควำมเร็วตน้ 90 km/h (u = 25 m/s) ควำมเร็วปลำย 42 km/h (v = 11.67m/s) ระยะทำง 95 m ( s = 95 m) และถำมหำชว่ งเวลำท่ีรถมีควำมเร็วลดลง ( t )

กำรเคลื่อนที่แบบต่ำง ๆ 39สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร u , v , s และต้องกำรหำตวั แปร t จึงเลือกใชส้ มกำร (2.11)จำก s = (u  v) t 2แทนคำ่ 95 = (25 11.67 ) t ตอบดังนน้ั จะได้เวลำ t= 2 5.18 s ค) จำกโจทย์กำหนดควำมเรว็ ต้น 90 km/h ( u = 25 m/s) เบรกดว้ ยควำมเร่งจำกข้อ ( a = -2.57m/s2) จนรถหยดุ (v = 0 m/s) และถำมหำเวลำนบั จำกเริ่มเบรกจนหยดุ ( t )สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตัวแปร u , a , v และตอ้ งกำรหำตัวแปร t จงึ เลอื กใช้สมกำร (2.10)จำก v = u  a tแทนค่ำ 0= 25  (2.57 t)ดังนั้นจะได้เวลำ t = 9.73 s ตอบ ง) จำกโจทย์กำหนดควำมเรว็ ต้น 90 km/h ( u = 25 m/s) เบรกด้วยควำมเร่งจำกข้อ ก ( a = -2.57m/s2) จนรถหยดุ ( v = 0 m/s) และถำมหำระยะทำงนบั จำกเริ่มเบรกจนหยุด ( s )สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตัวแปร u a v และตอ้ งกำรหำตัวแปร s จึงเลือกใชส้ มกำร (2.13)จำกสมกำร (2.13) v2 = u2  2asแทนค่ำ 02 = 252  (2 (2.57 s))ดงั น้นั จะได้ระยะทำง s = 121.60 mตอบตัวอย่ำงท่ี 2.11 จำกตัวอย่ำงท่ี 2.3 ที่หญิงผู้หน่ึงติดอยู่บนตึกในขณะท่ีเกิดเพลิงไหม้ หำกหญิงผู้น้ีไต่ลงด้วยควำมเร่งตำมตวั อย่ำงท่ี 2.3 จงหำควำมเรว็ ของหญงิ ผูน้ ้ีเมอื่ กระทบพืน้ เมื่อหนำ้ ต่ำงอย่สู งู จำกพ้ืน 10 mวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ไตล่ งจำกหยุดนิง่ ( u = 0 m/s) ดว้ ยควำมเร่งตำมตัวอย่ำงที่ 2.3 ( a = -1.37m/s2) ระยะทำง 10 m ( s = 10 m) และถำมหำควำมเร็วเมื่อกระทบพื้น ( v )สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร u , a , s และตอ้ งกำรหำตัวแปร v จึงเลอื กใช้สมกำร (2.13)จำก v2 = u2  2asแทนคำ่ v2 = 02  (2 (1.37)  (10))ดังน้ันจะไดค้ วำมเรว็ v = 5.23 m/s ตอบ

40 แรงและกำรเคล่ือนท่ี 2.4.1.2 กำรตกอย่ำงอิสระภำยใต้แรงโนม้ ถ่วงของโลก กำรตกอย่ำงอิสระของวัตถุ เป็นอีกหนง่ึ ตัวอย่ำงของกำรเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงดว้ ยควำมเรง่ คงที่ ในอดีตเคยมีควำมเช่ือว่ำวัตถุที่หนักกว่ำจะตกเร็วกว่ำวัตถุท่ีเบำ แต่แล้วกำรค้นพบของกำลิเลโอได้ทำลำย สมมติฐำนน้ีที่ว่ำมวลของวัตถุไม่มีผลต่อกำรตกอย่ำงอิสระภำยใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จำกกำรศึกษำกำร เคล่ือนที่ของวัตถุที่ตกลงมำด้วยควำมแม่นยำสูง โดยตัดผลกระทบจำกแรงต้ำนอำกำศและกำรหมุนของโลก ออกไป พบว่ำวัตถุทุกชิ้นจะตกลงด้วยความเร่งในทิศทางลงเท่ากันหมดโดยไม่ข้ึนกับน้าหนักของวัตถุ เรำเรียก กำรเคลื่อนที่แบบนี้ว่ำ การตกอย่างอิสระ และเรียกควำมเร่งคงตัวของกำรตกอย่ำงอิสระน้ีว่ำ ความเร่งโน้ม ถว่ งของโลก ( g ) ซง่ึ มคี ำ่ ประมำณ 9.8 m/s2 กลยุทธกำรแกป้ ัญหำ พิจำรณำเลือกใช้สมกำร (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) เช่นเดียวกับกำรเคลื่อนที่ในแนวรำบ แต่ให้ แทนค่ำ a ด้วย g  9.8 m/s2 (กำรแทนค่ำติดลบเนื่องจำกควำมเร่งโน้มถ่วงมีทิศพุ่งลงเสมอ) และกำร แทนค่ำเวกเตอร์กำรกระจัดและควำมเรว็ จะต้องพิจำรณำทิศทำงของเวกเตอรด์ ้วย (เวกเตอร์ทิศขน้ึ แทนค่ำ เป็นบวก เวกเตอร์ทิศลงแทนคำ่ เป็นลบ) นอกจำกนี้พงึ ระวงั ข้อควำมท่อี ำจสอ่ื ถงึ ปริมำณบำงอย่ำงทซี่ ่อนไว้ เช่น ทจี่ ุดสงู สุดจะมีควำมเร็วเปน็ ศนู ย์ กำรปลอ่ ยให้วตั ถตุ กอย่ำงอสิ ระคอื มีควำมเรว็ ตน้ เป็นศูนย์ ค้นควำ้ เพิม่ เตมิ นักศึกษำสำมำรถรับชมคลปิ VDO สำธติ กำรทดลองกำรตกอย่ำงอสิ ระภำยใตแ้ รงโนม้ ถ่วงของโลกจำกช่อง BBC ได้โดยกำรสแกน QR code ด้ำนลำ่ งน้ีตัวอย่ำงที่ 2.12 วัตถุช้ินหน่ึงถูกปล่อยให้ตกลงมำในแนวด่ิงอย่ำงอิสระภำยใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จงหำตำแหนง่ และควำมเรว็ ของวตั ถุ หลงั จำกตกลงมำได้ 4 วนิ ำทีวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดใหว้ ตั ถถุ กู ปล่อยให้ตกลงมำจำกหยุดนิ่ง ( u = 0 m/s) ภำยใต้แรงโน้มถว่ งของโลก (g = -9.8 m/s2) เวลำ 4 วนิ ำที (t = 4 s) และถำมหำตำแหนง่ ( s ) และควำมเร็ว ( v ) ของวัตถุสรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร u , g , t และตอ้ งกำรหำตัวแปร s จงึ เลือกใช้สมกำร (2.12)จำก s = ut  1 at2 2แทนค่ำ s = 0  (1  (9.8)  42 ) 2ดงั นั้นจะไดต้ ำแหนง่ s =  78.4 m ตอบ

กำรเคลอ่ื นที่แบบตำ่ ง ๆ 41หำตัวแปร v จึงเลือกใชส้ มกำร (2.10)จำก v = uatแทนค่ำ v= 0  (9.8 4)ดงั นนั้ จะไดค้ วำมเร็ว v =  39.2 m/s ตอบ หมำยเหตุ ตำแหน่งและควำมเรว็ มีคำ่ ตดิ ลบเนอ่ื งจำกเป็นเวกเตอรช์ ้ที ิศลงตวั อย่ำงที่ 2.13 ปล่อยลกู บอลลงมำจำกดำดฟ้ำตึก 60 เมตร จะใชเ้ วลำนำนเท่ำใดจึงตกถึงพ้ืน และ ควำมเร็วตอนกระทบพืน้ เป็นเท่ำไรวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดใหล้ ูกบอลถูกปลอ่ ยให้ตกลงมำจำกหยุดนิ่ง ( u = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก( g = -9.8 m/s2) จำกดำดฟ้ำตึกสงู 60 เมตร ( s = 60 m) และถำมหำเวลำ ( t ) และควำมเรว็ ( v )สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร u , g , s และตอ้ งกำรหำตัวแปร t จงึ เลือกใช้สมกำร (2.12)จำก s = ut  1 at2 2แทนค่ำ  60 = 0  (1  (9.8) t 2 ) 2ดงั น้นั จะได้เวลำ t s ตอบ = 12.24 ตอบหำตัวแปร v จึงเลือกใช้สมกำร (2.10)จำก v2 = u2  2asแทนคำ่ v2 = 02  (2 (9.8)  (60))ดงั นน้ั จะไดค้ วำมเรว็ v =  34.29 m/sตัวอย่ำงท่ี 2.14 ยิงปืนขนึ้ ไปตรงๆตำมแนวดิ่ง จำกหนำ้ ผำแห่งหนึง่ ดว้ ยควำมเรว็ 120 m/s จงหำว่ำก) กระสนุ จะขนึ้ ไปได้สงู สุดเท่ำไรจำกจดุ ยงิ และใชเ้ วลำนำนเท่ำไรข) ถำ้ กระสนุ ตกถงึ พ้นื ดนิ ในเวลำ 26 s นับจำกเรม่ิ ยิงหน้ำผำสูงเท่ำไรค) จงหำเวลำทก่ี ระสุนมคี วำมเรว็ 35 m/sวิธีทำ v=0m/s ก) ค)u=120m/s ข) t=26s

42 แรงและกำรเคลื่อนท่ีก) จำกโจทยก์ ำหนดใหล้ ูกปนื ถูกยงิ ขน้ึ ไปจำกหนำ้ ผำดว้ ยควำมเรว็ 120 m/s ( u = 120 m/s) ถึงจดุ สงู สุด (v = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ถำมหำระยะสูงสดุ ( s ) และเวลำ (t )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร u , v , g และตอ้ งกำรหำตวั แปร s จงึ เลอื กใช้สมกำร (2.13)จำก v2 = u2  2asแทนค่ำ 0= 120 2  (2 (9.8)  s)ดังนั้นจะได้ระยะสงู สดุ s = 734.69 m ตอบหำตวั แปร t จึงเลือกใช้สมกำร (2.10)จำก v = u  a tแทนค่ำ 0= 120  (9.8 t)ดงั นนั้ จะไดเ้ วลำ t = 12.24 s ตอบข) จำกโจทย์กำหนดให้ลกู ปนื ถกู ยงิ ขึน้ ไปจำกหนำ้ ผำดว้ ยควำมเรว็ 120 m/s ( u = 120 m/s) ภำยใตแ้ รงโนม้ถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ถ้ำกระสนุ ตกถึงพนื้ ในเวลำ 26 s ( t = 26 s) และถำมหำควำมสูงหน้ำผำ ( s )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร u , g , t และตอ้ งกำรหำตัวแปร s จึงเลอื กใช้สมกำร (2.12)จำก s = ut  1 at2 2แทนคำ่ s = (120  26)  (1  (9.8) 262 ) 2จะได้กำรกระจดั s = 192.4 mนัน่ คือหน้ำผำสูง 192.4 m ตอบค) จำกโจทย์กำหนดใหล้ กู ปนื ถูกยงิ ข้ึนไปจำกหน้ำผำด้วยควำมเรว็ 120 m/s ( u = 120 m/s) ภำยใต้แรงโน้มถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) ที่ควำมเรว็ ปลำย 35 m/s ( v = 35 m/s) และถำมหำเวลำ (t )สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร u , g , v และต้องกำรหำตัวแปร t จงึ เลอื กใชส้ มกำร (2.10)จำก v = u  a tแทนคำ่ 35 = 120  (9.8 t)ดังนั้นจะได้เวลำ t = 8.67 s ตอบ 2.4.2 กำรเคล่อื นท่ีใน 2 มติ ิ เมื่อได้ทำควำมเข้ำใจกำรเคล่ือนที่ใน 1 มิติมำแล้ว กำรพจิ ำรณำกำรเคล่ือนที่ใน 2 หรอื 3 มิติ เป็นปัญหำซับซ้อนมำกขึ้น เน่ืองจำกโลกเรำนั้นเป็นสำมมิติกำรเคลื่อนท่ีจริงที่พบเห็นจึงไม่ได้เกิดข้ึนเพียงแค่เป็นเส้นตรงหรือเป็นระนำบเท่ำนั้น กำรจะทำควำมเข้ำใจถึงเส้นทำงโค้งของลูกบอลที่ถูกเตะออกไป หรือวงโคจรของดำวตำ่ ง ๆ จำเปน็ ต้องขยำยขอบเขตออกไปเปน็ สองหรือสำมมิติ โดยจะยังคงพิจำรณำปริมำณเดิมอยู่น่ันก็