19

Fluid Mechanics เอกสารประกอบการสอน วชิ า กลศาสตรข์ องไหล (Fluid Mechanics) ธญั ดร ออกวะลา ภาควชิ าวศิ วกรรมชลประทาน คณะวศิ วกรรมศาสตรก์ าํ แพงแสน มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร์ วทิ ยาเขตกาํ แพงแสน พ.ศ. 2553 ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics คาํ นํา เอกสารฉบบั น้ีจดั ทาํ ขน้ึ เพ่อื ใชเ้ ป็นสอ่ื การเรยี นการสอนวชิ า กลศาสตรข์ องไหล ของนิสติ คณะวศิ วกรรมศาสตร์ กาํ แพงแสน มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร์ วทิ ยาเขตกาํ แพงแสน โดยเน้ือหาจะกลา่ วถงึ คุณสมบตั ทิ ส่ี าํ คญั ต่อการ วเิ คราะหท์ างดา้ นกลศาสตร์ พฤตกิ รรมของของไหลและตวั แปรต่างตา่ งๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั ของไหลทงั้ ในสภาวะหยดุ นิ่ง และเคล่อื นท่ี ซง่ึ เป็นพน้ื ฐานความรทู้ ส่ี าํ คญั ต่อการศกึ ษาดา้ นวศิ วกรรมศาสตร์ ทา้ ยน้ีผเู้ ขยี นขอกราบขอบพระคณุ บดิ า มารดา ครู อาจารยท์ กุ ทา่ น ทไ่ี ดป้ ระสทิ ธปิ ์ ระสาทวชิ าความรใู้ หก้ บั ผเู้ ขยี น จนสามารถนําความรเู้ หลา่ นนั้ มาเขยี นเป็นเอกสารฉบบั น้ี และขอกราบขอบพระคณุ รศ. สนั ติ ทองพาํ นกั ทใ่ี ห้ คาํ แนะนําอยา่ งดมี าโดยตลอด ทงั้ น้ีหากมขี อ้ ผดิ พลาดประการใด ผเู้ ขยี นขอน้อมรบั ไวแ้ ต่เพยี งผเู้ ดยี ว ธญั ดร ออกวะลา ภาควชิ าวศิ วกรรมชลประทาน คณะวศิ วกรรมศาสตรก์ าํ แพงแสน มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร์ ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics i สารบญั 1-1 1-1 บทท่ี 1 หลกั การพน้ื ฐาน และคุณสมบตั ขิ องของไหล (Basic concept and Fluid property) 1-1 1.1 บทนํา 1-2 1.2 มติ ิ (Dimension) 1-4 1.3 หน่วย (Unit) 1-5 1.4 นิยามของของไหล 1-5 1.5 คุณสมบตั ขิ องของไหล (Basic concept and Fluid property) 1-5 1.5.1 ความหนาแน่น (Density) 1-5 1.5.2 น้ําหนกั จาํ เพาะ (Specific weight) 1-6 1.5.3 ความถว่ งจาํ เพาะ (Specific gravity) 1-6 1.5.4 ปรมิ าตรจาํ เพาะ (Specific volume) 1-13 1.5.5 ความหนืด (Viscosity) 1-14 1.5.6 ความสามารถในการบบี อดั ตวั ของของไหล (Compressibility) 1.5.7 แรงตงึ ผวิ (Surface tension) 2-1 2-1 บทท่ี 2 ของไหลสถติ (Fluid static) 2-2 2.1 ความดนั (Pressure) 2-3 2.1.1 ความดนั ทจ่ี ุดใดๆ ในของไหล (Pressure at a point in fluid) 2-6 2.1.2 การเปลย่ี นแปลงความดนั ในของไหลสถติ (Variation of pressure in static fluid) 2-6 2.1.3 การวดั ความดนั (Measurement of Pressure) 2-8 2.1.4 หน่วยของความดนั (Pressure Units) 2-11 2.1.5 อุปกรณ์วดั ความดนั (Pressure gauge) 2-18 2.2 แรงดนั ของของไหลบนพน้ื ทผ่ี วิ เรยี บ (Pressure Force on a Plane Surface) 2-27 2.3 แรงดนั ของของไหลบนพน้ื ผวิ โคง้ (Pressure Force on a Curved Surface) 2-30 2.4 แรงลอยตวั (Buoyancy Force) 2.4.1 เสถยี รภาพการลอยตวั ของวตั ถุในของไหล 2-36 (Stability of Floating and Submerged Bodies) 2.5 การเปลย่ี นแปลงความดนั ของของไหลในภาชนะทเ่ี คลอ่ื นท่ี 2-36 (Variation of fluid pressure in moving container) 2.5.1 ความดนั ของของไหลในภาชนะทเ่ี คลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรง่ เชงิ เสน้ 2-42 (Fluid pressure in Linear moving container) 2.5.2 ความดนั ของของไหลในภาชนะทเ่ี คล่อื นทด่ี ว้ ยความเรว็ เชงิ มมุ (Fluid pressure in angular moving container) ธญั ดร ออกวะลา Contents

ii Fluid Mechanics บทท่ี 3 ทฤษฎกี ารไหลเบอ้ื งตน้ (Basic of flow theorem) 3-1 3.1 การจาํ แนกประเภทของการไหล (Flow classification) 3-2 3.2 การวเิ คราะหก์ ารไหลดว้ ยวธิ ปี รมิ าตรควบคมุ (Flow analysis with Control Volume method) 3-5 3.3 ทฤษฎกี ารเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ (Reynolds Transport Theorem) 3-7 3.4 สมการกฎการอนุรกั ษม์ วล (Mass Conservation) 3-11 บทท่ี 4 สมการพลงั งาน (Energy equation) 4-1 4.1 สมการพลงั งานของ Euler (Euler’s Energy equation) 4-1 4.2 สมการ Bernoulli (Bernoulli’s equation) 4-3 4.3 สมการพลงั งาน (Energy equation) 4-12 4.3.1 การสญู เสยี เฮดของการไหลในทอ่ (Head loss) 4-12 4.3.2 เครอ่ื งสบู (Pump) 4-21 4.3.3 กงั หนั (Turbine) 4-24 บทท่ี 5 สมการโมเมนตมั (Momentum equation) 5-1 5.1 สมการโมเมนตมั เชงิ เสน้ (Linearly Monentum Equation) 5-2 5.3 สมการโมเมนตมั กบั ปรมิ าตรควบคุมแบบเคล่อื นท่ี 5-14 (Momentum equation for moving control volume) บทท่ี 6 การไหลภายในทอ่ (Flow in Pressure Conduit) 6-1 6.1 พฤตกิ รรมของการไหลในทอ่ (Behavior of flow in pipe) 6-2 6.2 การไหลบรเิ วณปากทางเขา้ ของทอ่ (Entrance Flow Development) 6-3 6.3 การสญู เสยี พลงั งานหลกั (Friction head loss or Major loss) 6-5 6.3.1 คา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามเสยี ดทานของการไหลแบบราบเรยี บ 6-7 (Friction factor for larminar flow) 6.3.2 คา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามเสยี ดทานของการไหลแบบปนั่ ปว่ นในทอ่ ผนงั เรยี บ 6-9 (Friction factor for turbulent flow in smooth pipe) 6.3.3 คา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามเสยี ดทานของการไหลแบบปนั่ ปว่ นในทอ่ ผนงั หยาบ 6-12 (Friction factor for turbulent flow in rough pipe) 6.4 การสญู เสยี พลงั งานรอง (Minor loss) 6-14 Contents ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics iii บทท่ี 7 การไหลในทางน้ําเปิด (Open channel fFlow) 7-1 7.1 ประเภทของทางน้ําเปิด (Type of channel) 7-1 7.2 การจาํ แนกประเภทการไหลในทางน้ําเปิด (Open channel flow classification) 7-2 7.2.1 การจาํ แนกประเภทการไหลในทางน้ําเปิดโดยพจิ ารณาจากรปู แบบของการไหล 7-2 (Classified by flow pattern) 7.2.2 การจาํ แนกประเภทตามสภาวะของการไหล(Classified by stage of flow) 7-5 7.3 สมการพน้ื ฐานของการไหลในทางน้ําเปิด (Basic equation of open channel flow) 7-6 7.3.1 สมการตอ่ เน่ือง (Continuity Equation) 7-7 7.3.2 สมการพลงั งาน (Energy Equation) 7-8 7.3.3 สมการโมเมนตมั (Momentum Equation) 7-9 7.4 การวเิ คราะหก์ ารไหลแบบสม่าํ เสมอไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา (Steady Uniform Flow) 7-10 7.5 พลงั งานจาํ เพาะกบั การไหลแปรเปลย่ี นแบบฉบั พลนั แตไ่ มแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา 7-15 (Specific energy and steady rapidly varied flow) 7.6 โมเมนตมั ฟงั กช์ นั กบั การไหลแปรเปลย่ี นแบบฉบั พลนั แตไ่ มแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา 7-2 (Momentum function and steady rapidly varied flow) 8-1 บทท่ี 8 การวเิ คราะหม์ ติ ิ และความคลา้ ยคลงึ ทางชลศาสตร์ (Dimension analysis and Similarity) 8-1 8.1 การวเิ คราะหม์ ติ ิ (Dimension analysis) 8-2 8.1.1 มติ ิ และหน่วย (Dimension and Unit) 8-4 8.1.2 การวเิ คราะหม์ ติ โิ ดยวธิ ี บกั กง้ิ แฮมพาย (Dimension analysis by Buckingham Pi Theorem) 8-13 8.2 ความคลา้ ยคลงึ (Similarity) 8-13 8.2.1 การวเิ คราะหค์ วามคลา้ ยคลงึ (Similarity analysis) 8-15 8.2.2 ตวั แปรไรม้ ติ ทิ ส่ี าํ คญั ตอ่ การวเิ คราะหค์ วามคลา้ ยคลงึ (Dimensionless term in Similarity analysis) 8-18 8.2.3 การจดั ประเภทของกรณีศกึ ษา (Case study of similarity analysis) E-1 แบบฝึกหดั (Exercise) E-1 แบบฝึกหดั บทท่ี 1 E-3 แบบฝึกหดั บทท่ี 2 E-11 แบบฝึกหดั บทท่ี 3 E-13 แบบฝึกหดั บทท่ี 4 E-15 แบบฝึกหดั บทท่ี 5 E-17 แบบฝึกหดั บทท่ี 6 E-20 แบบฝึกหดั บทท่ี 7 E-21 แบบฝึกหดั บทท่ี 8 R-1 เอกสารอา้ งองิ A-1 ภาคผนวก ธญั ดร ออกวะลา Contents

iv Fluid Mechanics Contents ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-1 บทที่ 1 หลกั การพืน้ ฐาน และคณุ สมบตั ิของของไหล 1.1 บทนํา วชิ ากลศาสตรข์ องไหล (Fluid mechanics) เป็นการศกึ ษาเกย่ี วกบั พฤตกิ รรมของของไหลทส่ี ภาวะตา่ งๆ แรง ทข่ี องไหลกระทาํ ต่อสงิ่ แวดลอ้ ม รวมถงึ อทิ ธผิ ลของสง่ิ ต่างๆ ทม่ี ผี ลต่อของไหลทงั้ ทอ่ี ยนู่ ิ่งและเคล่อื นท่ี ซง่ึ การศกึ ษา พฤตกิ รรมของของไหลทอ่ี ยนู่ ่ิงเรยี กวา่ สถติ ยศ์ าสตรข์ องของไหล (Fluid Statics) และพฤตกิ รรมของของไหลทก่ี าํ ลงั เคล่อื นทเ่ี รยี กวา่ พลศาสตรข์ องของไหล (Fluid Dynamics) ในการศกึ ษาวชิ ากลศาสตรข์ องของไหลจาํ เป็นตอ้ งอาศยั ความรคู้ วามเขา้ ใจ หลกั การ และคุณสมบตั พิ น้ื ฐานท่ี เกย่ี วขอ้ งกบั ของไหล ไมว่ า่ จะอยใู่ นสถานะของเหลว หรอื ก๊าซ ซง่ึ หลกั การ และคุณสมบตั พิ น้ื ฐานทส่ี าํ คญั ต่อการ วเิ คราะหป์ ญั หาดา้ นกลศาสตรข์ องไหล มดี งั น้ี 1.2 มิติ (Dimensions) มติ ิ หมายถงึ คณุ สมบตั ทิ างกายภาพของสสาร ซง่ึ สามารถระบไุ ดใ้ นเชงิ ปรมิ าณ เชน่ ความยาว น้ําหนกั มวล แรง ฯลฯ เป็นตน้ ซง่ึ สามารถแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ประเภทคอื 1.2.1 มติ ปิ ฐมภมู ิ หรอื มติ พิ น้ื ฐาน (Primary Dimensions or Basic Dimensions) มติ ปิ ฐมภมู ิ หมายถงึ มติ ขิ องตวั แปรพน้ื ฐานทไ่ี มส่ ามารถแยกเป็นมติ อิ ่นื ไดอ้ กี และไมข่ น้ึ อยกู่ บั มติ อิ ่นื ๆ ซง่ึ เป็นคา่ ทบ่ี อกถงึ ปรมิ าณทท่ี ส่ี สารแสดงออกมาโดยตรง ในวชิ ากลศาสตรข์ องของไหลจะใชม้ ติ พิ น้ื ฐาน 4 ตวั ดงั น้ี - มวล (Mass) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื M - ความยาว (Length) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื L - เวลา (Time) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื T - อุณหภมู ิ (Temperature) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื  1.2.2 มติ ทิ ตุ ยิ ภมู ิ (Secondary Dimensions) มติ ทิ ตุ ยิ ภมู ิ เป็นมติ ทิ เ่ี กดิ จากการรวมกนั ของมติ ปิ ฐมภมู ิ ซง่ึ ตวั แปรจะแสดงคา่ มติ ติ ามทถ่ี กู กาํ หนดขน้ึ จาก นิยาม หรอื ทฤษฎี เชน่ ปรมิ าตร เกดิ จาก ความกวา้ ง (L)  ความยาว (L)  ความสงู (L) ดงั นนั้ ปรมิ าตร จงึ มมี ติ เิ ป็น L3 หรอื ความเรว็ คอื ระยะทางทเ่ี ปลย่ี นไป (L) ตอ่ หน่ึงหน่วยเวลา (T) ดงั นนั้ ความเรว็ จงึ มมี ติ เิ ป็น L/T เป็นตน้ ตวั อยา่ งมติ ทิ ุตยิ ภมู แิ สดงดงั ตารางท่ี 1.2 ตวั อยา่ งท่ี 1.1 จงหามติ ขิ อง แรง (F) วธิ ที าํ จากกฏการเคล่อื นทข่ี อง นิวตนั F = ma มมี ติ เิ ป็น LT-2 m (มวล) มมี ติ เิ ป็น M a (ความเรง่ ) ดงั นนั้ F (แรง) จงึ มมี ติ เิ ป็น MLT-2 Ans จากตวั อยา่ งท่ี 1 จะเหน็ ไดว้ า่ แรง (F) เป็นมติ ทิ ุตยิ ภมู ิ แต่ในบางครงั้ เราอาจวเิ คราหโ์ ดยกาํ หนดใหแ้ รง เป็นมติ ปิ ฐมภมู กิ ไ็ ด้ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-2 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 1.2 จงหามติ ขิ อง ความเรว็ รอบ และความเรว็ เชงิ มมุ Ans วธิ ที าํ - ความเรว็ รอบ คอื จาํ นวนรอบของการหมนุ ต่อหน่ึงหน่วยเวลา จาํ นวนรอบ ไมม่ มี ติ ิ มติ ขิ องเวลาคอื T ดงั นนั้ มติ ขิ องความเรว็ รอบ (N) คอื T-1 Ans - ความเรว็ เชงิ มมุ คอื มมุ ทเ่ี ปลย่ี นแปลงไปตอ่ หน่ึงหน่วยเวลา มมุ ทเ่ี ปลย่ี นแปลง ไมม่ มี ติ ิ มติ ขิ องเวลาคอื T ดงั นนั้ มติ ขิ องความเรว็ เชงิ มุม () คอื T-1 จากตวั อยา่ งท่ี 1.2 จะเหน็ ไดว้ า่ ความเรว็ รอบ และความเรว็ เชงิ มมุ มมี ติ เิ ทา่ กนั ซง่ึ หมายความวา่ ตวั แปร ทม่ี มี ติ เิ ดยี วกนั อาจมคี วามหมายไมเ่ หมอื นกนั กไ็ ด้ 1.3 หน่วย (Unit) หน่วย หมายถงึ ลกั ษณะนามทใ่ี ชร้ ะบุถงึ ปรมิ าณของมติ ทิ แ่ี สดงออกมา ซง่ึ ทวั โลกไดม้ กี ารกาํ หนดระบบหน่วย ในการวดั ขน้ึ มาหลายระบบ แต่ระบบหน่วยสากลทน่ี ิยมใชม้ ากทส่ี ดุ ในปจั จบุ นั มี 2 ระบบ คอื - System International Unit หรอื ทเ่ี รยี กวา่ “ระบบ SI” ตวั ยอ่ SI - British Gravitational System หรอื ทเ่ี รยี กวา่ “ระบบองั กฤษ” ตวั ยอ่ BG ในเอกสารการฉบบั น้ีจะใชร้ ะบบ SI เป็นหลกั ซง่ึ หน่วยของมติ ปิ ฐมภมู ิ และทุตยิ ภมู ิ แสดงดงั ตารางท่ี 1.1 และ ตารางท่ี 1.2 ตามลาํ ดบั ตารางท่ี 1.1 หน่วยของมติ ปิ ฐมภมู ขิ องระบบ SI และ BG ตารางท่ี 1.2 ตงั อยา่ งหน่วย ของมติ ทิ ุตยิ ภมู ิ Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-3 ตวั อยา่ งท่ี 1.3 จงหาหน่วยของ แรง วธิ ที าํ จากกฎของ Newton F = ma แรงในทน่ี ้ีมหี น่วยเป็น N (Newton) m (มวล) มมี ติ เิ ป็น M มหี น่วยเป็น kg a (ความเรง่ ) มมี ติ เิ ป็น LT-2 มหี น่วยเป็น m/s2 F (แรง) มมี ติ เิ ป็น MLT-2 มหี น่วยเป็น kg m/s2  1 N = 1 kg m/s2 Ans Prefixes Prefixes คอื คาํ นําหน้าทน่ี ํามาใสไ่ วด้ า้ นหน้าของหน่วย เพอ่ื หลกี เลย่ี งความไมส่ ะดวกในการใชง้ านตวั เลขทม่ี ี ขนาดใหญ่มากๆ หรอื เลก็ มากๆ เชน่ 2.5 กิโลเมตร (km) เทา่ กบั 2103 หรอื 2,000 เมตร (m) ซง่ึ กโิ ล หรอื สญั ลกั ษณ์ k มคี า่ เทา่ กบั 103 1.5 มินลิเมตร (mm) เทา่ กบั 1.510-3 หรอื 0.0015 เมตร (m) ซง่ึ มนิ ลิ หรอื สญั ลกั ษณ์ m (ตวั หน้า) มคี า่ เทา่ กบั 10-3 ตารางท่ี 1.3 ช่อื สญั ลกั ษณ์ และคา่ ของ Prefixes ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-4 Fluid Mechanics 1.4 นิยามของของไหล ของไหล (Fluid) หมายถงึ สสารทส่ี ามารถเปลย่ี นรปู รา่ งไดอ้ ยา่ งต่อเน่ือง เมอ่ื ถกู กระทาํ ดว้ ยแรงเคน้ เฉอื น ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ เมอ่ื ใดทม่ี แี รงเคน้ เฉือนมากระทาํ ของไหลจะเกดิ การขยบั ตวั และเปลย่ี นรปู รา่ งไป เชน่ เมอ่ื เทของไหล ลงในภาชนะ ของไหลจะเปลย่ี นแปลงรปู รา่ งอยา่ งตอ่ เนืองไปชวั่ ขณะหน่ึง เป็นเพราะรปู รา่ งของของไหลในขณะนนั้ ไม่ สอดคลอ้ งกบั รปู รา่ งของภาชนะ จงึ ทาํ ใหเ้ กดิ แรงเคน้ เฉอื นขน้ึ ภายในของเหลว กระบวนการปรบั ตวั น้ีจะดาํ เนินต่อเน่ือง ไปจนกระทงั่ แรงเคน้ เฉอื นหายไป ซง่ึ กค็ อื สภาวะทข่ี องไหลมรี ปู รา่ งเหมอื นกบั ภาชนะ บรเิ วณผวิ สมั ผสั ระหวา่ งของไหล กบั ภาชนะจะมแี ต่แรงเคน้ ตงั้ ฉากเทา่ นนั้ หรอื กลา่ วอกี นยั หน่ึงคอื ในขณะทข่ี องไหลเคล่อื นทจ่ี ะตอ้ งมแี รงเคน้ เฉอื น เกดิ ขน้ึ ในทางตรงกนั ขา้ ม หากของไหลไมม่ กี ารเคลอ่ื นท่ี ทส่ี ภาวะนนั้ จะไมม่ แี รงเคน้ เฉอื นกระทาํ อยเู่ ลย ของไหลสามารถคงรปู อย่ไู ด้ในสองสถานะ ของเหลว (Liquid) - มรี ปู รา่ งไมแ่ น่นอน เปลย่ี นแปลงไดต้ ามภาชนะทบ่ี รรจุ แต่จะมขี อบเขตแบง่ ระหวา่ งตวั มนั เองกบั ของไหลอ่นื อยา่ งชดั เจน เรยี กวา่ “ผวิ อสิ ระ” (Free surface) ตวั อยา่ งเชน่ ถา้ นําของเหลวทบ่ี รรจุอยใู่ นภาชนะ แลว้ ตงั้ ไวบ้ นโลก ของเหลวชนิดนนั้ จะมผี วิ อสิ ระทแ่ี บง่ ระหวา่ งตวั มนั เองกบั อากาศ และผวิ อสิ ระนนั้ จะวางตวั ในแนวราบ เสมอ นอกจากน้ีของเหลวยงั มคี ุณสมบตั ทิ ย่ี ากต่อการบบี อดั เน่ืองจากระยะหา่ งระหวา่ งโมเลกุลคอ่ นขา่ งน้อย (มากกวา่ ของแขง็ แตน่ ้อยกวา่ ก๊าซ) กา๊ ซ (Gas) – มรี ปู รา่ งไมแ่ น่นอน เปลย่ี นแปลงไดต้ ามภาชนะทบ่ี รรจุ โดยมลี กั ษณะแพรก่ ระจายไปทวั่ ภาชนะ ไมม่ ผี วิ อสิ ระ และถกู บบี อดั ไดง้ า่ ยกวา่ ของเหลว เน่ืองจากมรี ะยะหา่ งระหวา่ งโมเลกุลมากกวา่ ของเหลว รปู ท่ี 1.1 ความแตกตา่ งระหวา่ งของเหลวกบั ก๊าซ Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-5 1.5 คณุ สมบตั ิของของไหล การศกึ ษาวชิ ากลศาสตรข์ องของไหล จะตอ้ งทราบคณุ สมบตั พิ น้ื ฐานบางประการของของไหล เพอ่ื นําไปใชเ้ ป็น ตวั แปรต่างๆ ในการคาํ นวณ หรอื วเิ คราะหป์ ญั หาทางดา้ นกลศาสตร์ 1.5.1 ความหนาแน่น (Density or Mass Density) ความหนาแน่น หมายถงึ มวลของของไหล (mass) ในหน่ึงหน่วยปรมิ าตร (Volume) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทน คอื “  ” (อ่านวา่ โร – rho) ρ  Mass  m : หน่วยของความหนาแน่นคอื กก./ลบ.ม. (kg/m3) Volume  ความหนาแน่นของของไหลจะไมค่ งท่ี โดยจะเปลย่ี นแปลงไปตามอุณหภมู แิ ละความดนั เชน่ ทอ่ี ุณหภมู ิ 4OC ความดนั 1 บรรยากาศ น้ําในสถานะของเหลวจะมคี วามหนาแน่นเทา่ กบั 1,000 กก./ลบ.ม. (W) ซง่ึ เป็น สภาวะทน่ี ้ํามคี วามหนาแน่นมากทส่ี ดุ เมอ่ื เทยี บกบั ทอ่ี ุณหภมู ิ และความดนั อ่นื ๆ 1.5.2 น้ําหนักจาํ เพาะ (Specific Weight) น้ําหนกั จาํ เพาะ หมายถงึ น้ําหนกั เน่ืองจากแรงโน้มถว่ งของของไหล (Weight) ในหน่ึงหน่วยปรมิ าตร (Volume) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทนคอื “  ” (อ่านวา่ แกมมา่ – gamma) γ Weight  mg  g : หน่วยของน้ําหนกั จาํ เพาะคอื นิวตนั /ลบ.ม. (N/m3) Volume  เชน่ เดยี วกบั ความหนาแน่น น้ําหนกั จาํ เพาะของของไหลจะไมค่ งท่ี โดยจะเปลย่ี นแปลงไปตามอุณหภมู แิ ละ ความดนั เชน่ ทอ่ี ุณหภมู ิ 4OC ความดนั 1 บรรยากาศ น้ําในสถานะของเหลวบนโลกจะมนี ้ําหนกั จาํ เพาะเทา่ กบั 9,810 นิวตนั /ลบ.ม. (W) ซง่ึ เป็นสภาวะทน่ี ้ํามนี ้ําหนกั จาํ เพาะมากทส่ี ดุ เมอ่ื เทยี บกบั ทอ่ี ุณหภมู ิ และความดนั อ่นื ๆ 1.5.3 ความถ่วงจาํ เพาะ (Specific Gravity) ความถ่วงจาํ เพาะ หมายถงึ อตั ราสว่ นระหวา่ งแรงดงึ ดดู ทส่ี นามแรงโน้มถว่ ง กระทาํ กบั ของเหลวชนิดนนั้ เทยี บกบั น้ําอุณหภมู ิ 4 OC ความดนั 1 บรรยากาศ ทม่ี ปี รมิ าตรเทา่ กนั สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทนคอื “ S ” หรอื “ SG ” SG  W  γ  ρg  ρ : ความถว่ งจาํ เพาะไมม่ หี น่วย Ww γw ρwg ρw ดงั นนั้ คา่ ความถ่วงจาํ เพาะของน้ําทอ่ี ุณหภมู ิ 4OC ความดนั 1 บรรยากาศ จงึ มคี า่ เทา่ กบั 1 ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-6 Fluid Mechanics 1.5.4 ปริมาตรจาํ เพาะ (Specific Volume) ปรมิ าตรจาํ เพาะ หมายถงึ ปรมิ าตรของของไหล (Volume) ต่อหน่ึงหน่วยมวล (mass) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทน คอื “  ”  Volume    1 : หน่วยของปรมิ าตรจาํ เพาะคอื ลบ.ม./กก. (m3/kg) Mass M ρ 1.5.5 ความหนืด (Viscosity) เน่ืองจาก ของไหล คอื สสารทส่ี ามารถเปลย่ี นรปู รา่ งไดอ้ ยา่ งต่อเน่ือง (Deformation) หากพจิ ารณาของไหล เป็นกอ้ นอนุภาค เมอ่ื ถกู กระทาํ ดว้ ยแรงเคน้ เฉือน (shear stress) อนุภาคของไหลแต่ละชนิด จะมคี วามสามรถใน การตา้ นทานการเปลย่ี นแปลงรปู รา่ งต่างกนั ซง่ึ เป็นผลมาจากแรงยดึ เหน่ียวระหวา่ งอนุภาค และการแลกเปลย่ี น โมเมนตมั ระหวา่ งอนุภาคของของไหลนนั้ ความสามารถในการต้านทานการเปลีย่ นรปู รา่ งอนั เนือ่ งมาจาก แรงเค้นเฉือนน้ีเราเรียกว่า “ความหนืด” (Viscosity) ในการเคลอ่ื นทข่ี องของไหล แรงเคน้ เฉือนจะเกดิ ขน้ึ จากแรงเสยี ดทาน (Friction) ระหวา่ งอนุภาคของของ ไหลดว้ ยกนั เอง เมอ่ื พจิ ารณากอ้ นอนุภาคของของไหล ดงั รปู ท่ี 1.2 จะเหน็ ไดว้ า่ แรงเคน้ เฉอื นทเ่ี กดิ ขน้ึ จะแปรผนั กบั “แรงยดึ เหน่ียวระหวา่ งอนุภาค” (Cohesion Force) รปู ท่ี 1.2 การเปลย่ี นรปู รา่ งของของไหลอนั เน่ืองมาจากแรงเคน้ เฉือน จากรปู ท่ี 1.2 เมอ่ื พจิ ารณาอนุภาคของของไหลทม่ี คี วามเรว็ ดา้ นลา่ ง (AD) เทา่ กบั V ดา้ นบน (BC) มี ความเรว็ เทา่ กบั V+v ดงั นนั้ ความเรว็ ผวิ ดา้ นบนและดา้ นลา่ งแตกต่างกนั เทา่ กบั v ท่ี เวลา t = 0 รปู รา่ งของ อนุภาคจะมลี กั ษณะดงั รปู ABCD และเมอ่ื เวลาเปลย่ี นไป t = t อนุภาคจะมรี ปู รา่ งเปลย่ี นแปลงไปเป็นรปู A’B’C’D’ พจิ ารณาทม่ี มุ  tan δ  δa δy δa แต่เน่ืองจากมมุ  มขี นาดเลก็ มาก ดงั นนั้   tan δ  δβ  δy และเน่ืองจากระยะทาง = ความเรว็ เวลา จะได้ δa  δvδt จงึ ทาํ ให้ Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-7 δβ  δvδt  δβ  δv --------- (1.1) δt δy δβ δy δt เรยี กวา่ Rate of shear strain (อตั ราการเปลย่ี นแปลงความเครยี ดเฉือนเทยี บกบั เวลา) ซง่ึ จะมคี า่ แปรผนั โดยตรงกบั Shear stress (ความเคน้ เฉอื น) ซง่ึ จะไดว้ า่ δβ  τ หรอื τ  δv --------- (1.2) δt δy จากความสมั พนั ธข์ า้ งตน้ สามารถสรปุ ไดว้ า่ Shear stress ทเ่ี กดิ ขน้ึ สามารถคาํ นวณไดจ้ าก τ  μ dv  --------- (1.3)  dy  สมการท่ี 1.3 เป็นสมการสาํ หรบั หาความเคน้ เฉอื นของของไหล ทม่ี พี ฤตกิ รรมเป็นไปตามกฎของนิวตนั หรอื เรยี กสมการน้ีวา่ สมการความหนืดของนิวตนั (Newton’s equation of viscosity) โดยท่ี  (อา่ นวา่ mu) คอื คา่ สมั ประสทิ ธิ ์ ความหนืดไดนามกิ ส์ (Dynamic Viscosity) หรอื ความหนืดสมั บรู ณ์ (Absolute Viscosity) ซง่ึ มมี ติ ิ เป็น FL-2T และมหี น่วยคอื N s / m2 หรอื lb sec / ft2 จากสมการความหนืดของนิวตนั จะเหน็ ไดว้ า่ ถา้ อุณหภมู คิ งทค่ี วามสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแรงเคน้ เฉือน กบั dv/dy จะมลี กั ษณะเป็นเสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั เทา่ กบั  ดว้ ยเหตุน้ีเราจงึ สามารถสรปุ ไดว้ า่ สาํ หรบั ของไหลมคี า่ ความหนืด สงู จะตอ้ งใชแ้ รงเคน้ เฉือนมากเพอ่ื ทจ่ี ะทาํ ใหเ้ กดิ การเปลย่ี นแปลงรปู รา่ ง รปู ท่ี 1.3 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง  กบั (dv/dy) สาํ หรบั ของไหลนิวโทเนียน คา่ ความหนืดสมั บรู ณ์ เป็นคุณสมบตั เิ ฉพาะตวั ของของไหล โดยจะแปรเปลย่ี นไปตามอุณหภมู ิ กลา่ วคอื ของไหลทม่ี สี ถานะเป็นของเหลว เมอ่ื อุณหภมู สิ งู ขน้ึ ความหนืดสมั บรู ณ์จะลดลง เป็นเพราะเมอ่ื อุณหภมู สิ งู ขน้ึ แรง ยดึ เหน่ียวระหวา่ งอนุภาคของของเหลวจะลดลง สว่ นของไหลในสถานะก๊าซ อนุภาคมกี ารเคลอ่ื นไหวมากขน้ึ เมอ่ื อุณหภมู สิ งู ขน้ึ จงึ ทาํ ใหโ้ อกาสในการชนกนั ของอนุภาคมมี ากขน้ึ ซง่ึ เป็นสาเหตุใหค้ า่ ความหนดื สงู ขน้ึ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-8 Fluid Mechanics รปู ท่ี 1.4 ความหนืดสมั บรู ณ์ (Absolute Viscosity) ของของไหลทอ่ี ุณหภมู ติ ่างๆ ในบางครงั้ คา่ ความหนืดอาจแสดงในรปู ของอตั ราสว่ นระหวา่ ง ความหนืดสมั บรู ณ์ ต่อ ความหนาแน่น ซง่ึ เรยี กวา่ ความหนืดคเิ นมาตกิ (Kinematic Viscosity) โดยมสี ญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทนคอื  (อา่ นวา่ “นิว”)  --------- (1.4)  ความหนืดคเิ นมาตกิ มมี ติ เิ ป็น L2/T และมหี น่วยคอื m2/s หรอื ft2/sec Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-9 รปู ท่ี 1.5 ความหนืดคเิ นมาตกิ (Kinematic Viscosity) ของของไหลทอ่ี ุณหภมู ติ ่างๆ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-10 Fluid Mechanics สาํ หรบั ของไหลทม่ี พี ฤตกิ รรมเป็นไปตามสมการความหนืดของนิวตนั หรอื ของไหลทม่ี คี วามหนืดคงทเ่ี มอ่ื ไมว่ า่ dv/dy จะเปลย่ี นแปลงเทา่ ไรนนั้ เราจะเรยี กของไหลชนิดนนั้ วา่ ของไหลนิวโทเนียน (Newtonian fluid) สว่ นของไหลทม่ี พี ฤตกิ รรมไมเ่ ป็นไปตามสมการความหนืดของนิวตนั หรอื ของไหลทม่ี คี วามหนืดไมค่ งท่ี เมอ่ื dv/dy เปลย่ี นแปลงไปนนั้ เราจะเรยี กของไหลชนิดนนั้ วา่ ของไหลนอนนิวโทเนียน (Non-Newtonian fluid) ซง่ึ สามารแบง่ ไดเ้ ป็น 3 ประเภทดงั น้ี 1) ของไหลประเภทไดลาแทน (Dilatant fluid) ความหนืดจะเพม่ิ ขน้ึ เมอ่ื แรงเคน้ เฉือนเพม่ิ ขน้ึ 2) ของไหลประเภทสโู ดพลาสตกิ (Pseudoplastic fulid) ความหนืดจะลดลง เมอ่ื แรงเคน้ เฉอื นเพมิ่ ขน้ึ 3) ของไหลประเภทพลาสตกิ (Plastic fluid) พฤตกิ รรมจะเหมอื นของแขง็ ในระยะเรม่ิ ตน้ แต่เม่อื ถกู แรง เคน้ เฉือนกระทาํ จนถงึ จดุ คราก (yield) คุณสมบตั จิ ะเปลย่ี นเป็นของไหลแบบ Newtonian รปู ท่ี 1.6 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง  กบั (dv/dy) สาํ หรบั ของไหลประเภทตา่ งๆ Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-11 ตวั อยา่ งท่ี 1.4 จากรปู แผน่ plate เคลอ่ื นทอ่ี ยใู่ นรางทบ่ี รรจุของไหลทม่ี คี า่ ความหนืด เทา่ กบั  จงหาขนาดของ แรงฉุด (F) ทท่ี าํ ให้ plate เคลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรว็ เทา่ กบั v (สมมตใิ หก้ ารกระจายความเรว็ เป็นเสน้ ตรง) วธิ ที าํ พจิ ารณาการกระจายตวั ของความเรว็ เป็นเสน้ ตรง ไดด้ งั น้ี จากรปู จะได้ dv  Δv  v  0  v dy Δy a  0 a τ  μ dv   τ  μ v   dy  a จาก F =  A โดยท่ี A = พน้ื ทร่ี บั  (ขอ้ น้ีมี 2 ดา้ น) A = 2 (2b × b) = 4b2 จาก F = t A F  μ v   4b2   F  4vb2 Ans a  a ตวั อยา่ งท่ี 1.5 จากรปู เป็นลกั ษณะของการไหลในทางน้ํา เปิด มกี ารกระจายตวั ของความเรว็ เป็นรปู parabola ความเรว็ สงู สดุ ทผ่ี วิ น้ําวดั ได้ 6 m/s ความลกึ ของน้ําเทา่ กบั 3 m จงหาความเคน้ เฉือนทเ่ี กดิ ขน้ึ บรเิ วณทอ้ งน้ํา วธิ ที าํ รปู ทวั่ ไปของสมการ Parabola คอื (v-k) = C(y-h)2 ; เมอ่ื (h,k) คอื จุดยอดของ parabola จากรปู จุดยอดของ parabola อยทู่ ผ่ี วิ น้ํา y = 0 ; v = 6  h=0m k = 6 m/s (v-6) = C(y-0)2 แทนคา่ ได้ พจิ ารณาทท่ี อ้ งน้ํา y = 3 ; v = 0 แทนคา่ จะได้ (0-6) = C(3)2  C = -(6/9) = -(2/3) จะไดส้ มการการกระจายตวั ของความเรว็ ทค่ี วามลกึ ต่างๆ ดงั น้ี v  6  2 y2 3  dv   4 y ทท่ี อ้ งน้ํา y=3  dv   4  3  4 s 1 dy 3 dy 3 จาก  =  = (9×10-5 m2/s)×(1000 kg/m3) = 0.009 kg/s m (หรอื N s/m2) จาก τ  μ dv  = (0.009 Ns/m2)(4 s-1) = 0.036 N/m2 Ans  dy  ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-12 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 1.6 ระบบเพลามขี นาด และทศิ ทางการเคลอ่ื นทด่ี งั รปู ถา้ กระบอกเพลาเคลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรว็ 1 ม./ วนิ าที และเพลาเคลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรว็ 2 ม./วนิ าที จงหาแรงทก่ี ระทาํ กบั เพลา (สมมตใิ หก้ ารกระจายตวั ของ ความเรว็ มลี กั ษณะเป็นเสน้ ตรง) วธิ ที าํ พจิ ารณาจาก    dv   V dv b kg Ns      SGW  sm  หรอื m2  8104 0.91,000  0.72    V   0.72 3  4.32 kN b 0.0005 m2 F  A  DL  4.32 0.05  0.20 = 135.7 N Ans Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-13 1.5.6 ความสามารถในการบีบอดั ตวั ของของไหล (Compressibility) ในสภาพความเป็นจรงิ สสารทุกชนิดจะมคี วามยดื หยนุ่ นนั่ หมายความวา่ สสารสามารถขยายตวั หรหื ดตวั ภายใตส้ ภาวะทแ่ี ตกตา่ งกนั ซง่ึ ในของไหล เมอ่ื ถกู บบี อดั (มกี ารเปลย่ี นแปลงความดนั ) ปรมิ าตรของของไหลจะ เปลย่ี นแปลงไป สง่ ผลใหค้ วามหน้าแน่นเปลย่ี นแปลงตามไปดว้ ย ความสามารถในการเปลย่ี นแปลงปรมิ าตรน้ีถกู เรยี กวา่ Compressibility ซง่ึ เป็นคุณสมบตั เิ ฉพาะตวั ของของไหลแตล่ ะชนิด โดยจะเปรยี บไดก้ บั คา่ ความยดื หยนุ่ ในของแขง็ (Modulus) แตใ่ นของเหลวนนั้ คา่ ความยดื หยนุ่ (ความสามารถในการบบี อดั ตวั ) จะอยใู่ นรปู ของคา่ “Bulk Modulus” (k) โดยหาไดจ้ าก k   dp  --------- (1.5) d   เมอ่ื dp = การเปลย่ี นแปลงความดนั d = การเปลย่ี นแปลงปรมิ าตร  = ปรมิ าตร ในวชิ ากลศาสตรข์ องของไหล หากพจิ ารณาความสามารถในการบบิ อดั ตวั ของของไหล เราจะสามารถ จาํ แนกของไหลออกเป็น 2 ประเภทคอื - ของไหลทบ่ี บี อดั ตวั ไมไ่ ด้ หรอื บบี อดั ตวั ไดน้ ้อยมาก (Incompressible fluid) เมอ่ื มกี าร เปลย่ี นแปลงของความดนั ความหนาแน่นของของไหลประเภทน้ีจะมกี ารเปลย่ี นแปลงน้อยมาก จนสามารถละทง้ิ ได้ ของไหลประเภทน้ีสว่ นใหญ่อยใู่ นสถานะ ของเหลว - ของไหลทบ่ี บี อดั ตวั ได้ (Compressible fluid) คอื ของไหลทม่ี คี วามหนาแน่นไมค่ งทเ่ี มอ่ื ความดนั เปลย่ี นแปลงไป ของไหลประเภทน้ีสว่ นใหญ่อยใู่ นสถานะ ก๊าซ รปู ท่ี 1.7 ความแตกต่างระหวา่ ง Incompressible fluid กบั Compressible fluid ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-14 Fluid Mechanics 1.5.7 แรงตึงผิว (Surface tension) แรงตงึ ผวิ คอื แรงทเ่ี กดิ จากการปรบั สภาพสมดลุ ของแรงยดึ เหน่ียวระหวา่ งอนุภาคของของเหลวทอ่ี ยู่ บรเิ วณผวิ หรอื แรงทเ่ี กดิ ขน้ึ บรเิ วณขอบของผวิ อสิ ระของของเหลวกบั วตั ถุทอ่ี ยตู่ ดิ กนั ซง่ึ จะเกดิ กบั ของไหลทอ่ี ยใู่ น สถานะของเหลวเทา่ นนั้ Fs  σLw --------- (1.5) = แรงตงึ ผวิ (N) เมอ่ื Fs  = ควานตงึ ผวิ หรอื หน่วยแรงตงึ ผวิ (N/m) = (แรงตงึ ผวิ ต่อความยาวขอบผวิ อสิ ระ) Lw = ความยาวเสน้ ขอบผวิ อสิ ระ (m) รปู ท่ี 1.8 ตวั อยา่ งปรากฏการณ์ทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั แรงตงึ ผวิ เหตใุ ด ฐานของหยดน้ํากบั หยดปรอทท่ีอย่บู นพืน้ จึงแตกต่างกนั รปู ท่ี 1.9 ลกั ษณะรปู รา่ งของหยดปรอท และน้ํา ทอ่ี ยบู่ นพน้ื เพอ่ื ใหเ้ ขา้ ใจถงึ เหตุผล จงึ จาํ เป็นตอ้ งกลา่ วถงึ แรงอกี 2 ชนิดคอื แรงยดึ ตดิ (A) คอื แรงยดึ เหน่ียวระหวา่ งอนุภาคของไหล กบั ผนงั ภาชนะ แรงเช่อื มแน่น (C) คอื แรงยดื เหน่ียวระหวา่ งอนุภาคของของไหลดว้ ยกนั เอง โดยผวิ ของไหลจะตงั้ ฉากกบั ทศิ ทางของผลรวมของแรงทงั้ 2 เสมอ พจิ ารณาอนุภาคทข่ี อบของผวิ อสิ ระหากแรงเช่อื มแน่นมคี า่ น้อย แรงยดึ ตดิ มาก แรงรวมจงึ มที ศิ ทางเฉเขา้ หาภาชนะดงั รปู 1.10 (ก) สง่ ผลใหม้ มุ สมั ผสั () จงึ มคี า่ น้อย เชน่ เดยี วกบั หยดน้ํา แรงเช่อื มแน่นมคี า่ น้อย ใน ขณะเดยี วกนั แรงยดึ ตดิ มคี า่ มาก ฐานของหยดจงึ มลี กั ษณะแผก่ ระจายออกเมอ่ื สมั ผสั กบั พน้ื ผวิ วตั ถุ Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 1-15 รปู ท่ี 1.10 ลกั ษณะการเกดิ แรงบรเิ วณขอบของผวิ อสิ ระ   ในทางตรงกนั ขา้ ม หากแรงเช่อื มแน่นมคี า่ มาก แรงยดึ ตดิ น้อย ผลรวมของแรงทงั้ สองจะมที ศิ ทางเฉเขา้ หา ของไหลดงั รปู 1.10 (ข) จงึ สง่ ผลใหม้ มุ สมั ผสั () จะมคี า่ มาก เชน่ เดยี วกบั หยดปรอท ซง่ึ มคี า่ แรงเช่อื มแน่นสงู มาก รปู รา่ งของหยดจงึ มลี กั ษญะจบั ตวั เป็นเมด็ ไดด้ กี วา่ น้ํา เหตใุ ด ขนาดหยดของของไหลจึงเลก็ กว่าฟองของของไหลนัน้ เสมอ รปู ท่ี 1.11 ลกั ษณะของแรงทเ่ี กดิ แรงบรเิ วณขอบของหยด และฟอง กาํ หนดให้ P คอื ความดนั ภายใน หยด หรอื ฟอง Pa คอื ความดนั ภายนอก หยด หรอื ฟอง r คอื รศั มขี อง หยด หรอื ฟอง พจิ ารณาผลรวมของแรงทเ่ี กดิ ขน้ึ กบั หยดของไหล ดงั รปู ท่ี 1.11 (ก) จะไดว้ า่    Fs = P r 2  Pa r 2  2r = P  Pa  r 2 2 r  --------- (1.6) P  Pa  พจิ ารณาผลรวมของแรงทเ่ี กดิ ขน้ึ กบั ฟองของไหล ดงั รปู ท่ี 1.11 (ข) ถา้ ใหค้ วามหนาของผวิ ฟองมคี า่ น้อย มาก รศั มภี ายในประมาณกบั รศั มภี ายนอก หรอื เทา่ กบั r จะไดว้ า่    Fs = P r 2  Pa r 2  22r = P  Pa  r 2 4 r  --------- (1.7) P  Pa  จากสมการท่ี 1.6 และ 1.7 จะเหน็ ไดว้ า่ ถา้ ผลตา่ งของความดนั ภายในกบั ภายนอกมคี า่ เทา่ กนั รศั มขี อง ฟองจะมากกวา่ หยดถงึ 4 เทา่ หรสื ามารถสรปุ ไดว้ า่ ขนาดของฟองของของไหลจะใหญ่กวา่ หยดของของไหลเสมอ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Property

1-16 Fluid Mechanics Capillarity เป็นปรากฏการณ์ทางธรรมชาตทิ ข่ี องไหลในบรเิ วณทส่ี มั ผสั กบั วตั ถุจะยกตวั สงู ขน้ึ หรอื ลดต่าํ ลง ซง่ึ เป็นผลมาจากอทิ ธพิ ลของแรงตงึ ผวิ ปรากฏการณ์น้ีจะเกดิ ขน้ึ บรเิ วณชอ่ งวา่ งแคบๆ เชน่ หลอดขนาดเลก็ ๆ หรอื ชอ่ งวา่ งระหวา่ งเมด็ ดนิ เป็นตน้ รปู ท่ี 1.12 ปรากฏการณ์ Capillarity กรณีของหลอดกลม h  2cos  --------- (1.8) r เมอ่ื r = เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางหลอด และ  = มมุ สมั ผสั ระหวา่ งผนงั กบั ผวิ อสิ ระของของเหลว ตารางท่ี 1.4 คณุ สมบตั ขิ องน้ําทอ่ี ุณหภมู ติ า่ งๆ Fluid Property ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-1 บทท่ี 2 ของไหลสถิต ของไหลสถติ (Fluid Statics) คอื ของไหลทอ่ี ยนู่ ่ิง ไมม่ กี ารไหล และไมม่ กี ารเคล่อื นทร่ี ะหวา่ งชนั้ ของของไหล ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ จะไมเ่ กดิ ผลเน่ืองจากแรงเคน้ เฉอื นระหวา่ งอนุภาคของของไหล ดงั นนั้ อนุภาคของของไหลจงึ ไดร้ บั ผลกระทบจากความดนั และแรงโน้มถ่วงของโลกเทา่ นนั้ ในบทน้ีจะเป็นการศกึ ษาถงึ พฤตกิ รรมพน้ื ฐานของความดนั ในของไหลสถติ เชน่ แรงดนั ของของไหลทก่ี ระทาํ กบั โครงสรา้ งต่างๆ แรงทก่ี ระทาํ กบั วตั ถุทล่ี อยอยใู่ นของไหล หรอื แรงดนั ของของไหลทก่ี ระทาํ กบั ผนงั ภาชนะในกรณีท่ี ภาชนะมกี ารเคล่อื นท่ี เป็นตน้ ซง่ึ จะเป็นประโยชน์ต่อการวเิ คราะหป์ ญั หาดา้ นวศิ วกรรมตา่ งๆ ตอ่ ไป 2.1 ความดนั (Pressure) ความดนั หมายถงึ แรงทก่ี ระทาํ ในหน่ึงหน่วยพน้ื ท่ี (มติ คิ อื FL-2 หรอื ML-1T-2) ดงั นนั้ ถา้ dF คอื แรงทก่ี ระทาํ บนพน้ื ทเ่ี ลก็ ๆ dA บนพน้ื ท่ี A ความดนั จะมคี า่ เป็น P  dF --------- (2.1) dA แต่ถา้ ความดนั ทก่ี ระทาํ มคี า่ สม่าํ เสมอเทา่ กนั ทงั้ พน้ื ท่ี A ความดนั จะมคี า่ เป็น P  F --------- (2.2) A หน่วยของความดนั ในระบบ SI คอื นิวตนั /ตารางเมตร (N/m2) รปู ท่ี 2.1 ลกั ษณะของความดนั ทก่ี ระทาํ บนพน้ื ท่ี ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-2 Fluid Mechanics 2.1.1 ความดนั ที่จดุ ใดๆ ในของไหล (Pressure at a point in fluid) หากพจิ ารณากอ้ นของไหลรปู ลมิ่ สามเหลย่ี มขนาดเลก็ มากในของไหลทอ่ี ยนู่ ่ิงไมม่ กี ารเคล่อื นท่ี และไมม่ กี าร ไหล ดงั แสดงในรปู ท่ี 2.2 รปู ท่ี 2.2 แรงตา่ งๆ ทก่ี ระทาํ กบั กอ้ นของไหลของไหล จากสมการการเคล่อื นทข่ี อง นิวตนั F  ma พจิ ารณาเฉพาะในทศิ ทางตามแนวแกน Y จะไดว้ า่ Py dxdz  Pdxdlsin = 12 dxdydzay หากพจิ ารณาจากกอ้ นวตั ถุ dlsin  dz ดงั นนั้ Py dxdz  Pdxdz = 12 dxdydzay Py  P = 12 dyay เน่ืองจากลม่ิ มขี นาดเลก็ มาก จงึ ทาํ ให้ dy มคี า่ เขา้ ใกล้ 0 สง่ ผลให้ 12 dyay  0 ในทส่ี ดุ จะได้ Py  P --------- (2.3) ในทาํ นองเดยี วกนั หากพจิ ารณาเฉพาะในทศิ ทางตามแนวแกน Z จะไดว้ า่ Pz dxdy  Pdxdlcos   12 dxdydz = 12 dxdydzaz หากพจิ ารณาจากกอ้ นวตั ถุ dlcos  dy ดงั นนั้ Pz dxdy  Pdxdy  12 dxdydz = 12 dxdydzaz = 12 dzaz  12 dz Pz  P เน่ืองจากลมิ่ มขี นาดเลก็ มาก จงึ ทาํ ให้ dy มคี า่ เขา้ ใกล้ 0 สง่ ผลให้ 12 dzaz  0 ในทส่ี ดุ จะได้ Pz  P --------- (2.4) จากสมการท่ี 2.3 และ 2.4 สามารสรปุ ไดว้ า่ “ในของไหลทีอ่ ย่ใู นสภาพหยดุ นิ่งไม่มีการไหล ทีจ่ ดุ ใดๆ ความดนั ของของไหลจะมีขนาดเท่ากนั ในทุกทิศทาง” ซง่ึ หลกั การน้ีเรยี กวา่ กฎของปาสคาล (Pascal’s law) ความ ดนั น้ีเรยี กวา่ “Static Pressure” Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-3 2.1.2 การเปลี่ยนแปลงความดนั ในของไหลสถิต (Variation of pressure in static fluid) พจิ ารณากอ้ นอนุภาคของไหลทรงลกู บาศกท์ ม่ี ขี นาดเลก็ มากดงั รปู 2.3 กาํ หนดใหค้ วามดนั ทจ่ี ุดศนู ยถ์ ่วงมคี า่ เทา่ กบั P และเน่ืองจากไมม่ กี ารไหล ดงั นนั้ แรงทเ่ี กย่ี วของจงึ มเี พยี งแรงทเ่ี กดิ จากความดนั และแรงโน้มถ่วงเท่านนั้ รปู ท่ี 2.3 แรงดนั ทก่ี ระทาํ บนระนาบต่างๆ ของของไหล หากพจิ ารณาเฉพาะแกน Y ผลรวมของแรงภายนอกจะเทา่ กบั δFy   p  p δy δxδz   p  p δy δxδz  y 2   y 2  δFy   p δxδyδz --------- (2.5) y ในลกั ษณะเดยี วกบั แกน Y หากพจิ ารณากบั แกน X จะ ได้ δFx   p δxδyδz --------- (2.6) x --------- (2.7) p δFz   z δxδyδz จากสมการท่ี 2.5 2.6 แลδะF2s.7เδมFอ่ื xพiจิ ารณδFาyผลj รวมδแFรzงkภายนอกในรปู เวกเตอร์ จะไดว้ า่ δFs   p i  p j  p k δxδyδz --------- (2.8)  x y z  พจิ ารณาการเปลย่ี นแปลงความดนั ในรปู เวกเตอร์ จะไดว้ า่ p   p i  p j  p k  --------- (2.9)  x y z  จากสมการท่ี 2.8 และ 2.δ9Fดs งันนั้ ผลรวpมขδอxงδแyรδงภzายนอกทงั้ 3 แกนจะมคี า่ เทา่ กบั --------- (2.10) ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-4 Fluid Mechanics พจิ ารณาน้ําหนกั ของกอ้ น- δน้ําwใkนรปู เวกเγตอδรx์ จδะyไδดz้ k --------- (2.11) --------- (2.12) จากสมการการเคลอ่ื นทข่ีδอFงs นิวตwนั k F  ma a --------- (2.13) xyz แทนคา่ สมการ 2.10 และ2.11pในδสxδมกyδารzท่ี2.1γ2δxδyδzk  ρδxδyδza  p  γk  ρa สมการท่ี 2.13 เรยี กวา่ “สมการการแปรผนั ความดนั ของของไหลทเ่ี คล่อื นทด่ี ว้ ยความเรง่ ในกรณีทไ่ี มเ่ กดิ แรง เคน้ เฉอื นภายในของไหล” ในกรณีทม่ี คี วามเรง่ แตไ่ มม่ คี วามเคน้ เฉือนคอื ของไหลมคี วามเรง่ แตไ่ มม่ กี ารไหล ตวั อยา่ งเชน่ ของไหลทอ่ี ยใู่ นภาชนะทเ่ี คลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรง่ เป็นตน้ ในกรณขี องไหลไมม่ กี ารเคลอ่ื นทแ่ี ละไมม่ กี ารไหล (ภาชนะไมเ่ คล่อื นท)่ี ความเรง่ จะเทา่ กบั 0 สมการ 2.13 จะ เปลย่ี นเป็น  p  γk = 0   p i  p j  p k   k = 0 --------- (2.14)  x y z  พจิ ารณาเฉพาะแกน X จะได้  p i   0 --------- (2.15) x พจิ ารณาเฉพาะแกน Y จะได้  p j   0 --------- (2.16)  y  จากสมการท่ี 2.15 และ 2.16 จะเหน็ ไดว้ า่ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของความดนั เมอ่ื เทยี บกบั ระยะทางตามแกน X และ Y จะเทา่ กบั 0 ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ ไมม่ กี ารเปลย่ี นแปลงความดนั ในแนวระดบั หรอื สามารถกลา่ วอกี นยั หน่ึงวา่ “ในของไหลทีร่ ะดบั เดียวกนั จะมีความดนั เท่ากนั ” Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-5 หากพจิ ารณาในแนวแกน Z จะได้  p k   γk z dP dz   --------- (2.17) จากสมการท่ี 2.17 จะเหน็ ไดว้ า่ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของความดนั เมอ่ื เทยี บกบั ระยะทางตามแกน Z จะไม่ เทา่ กบั 0 ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ มกี ารเปลย่ี นแปลงความดนั ในแนวดงิ่ หรอื สามารถกวา่ วอกี นยั หน่ึงวา่ “ในของไหลที่ ระดบั ต่างกนั ความดนั จะไม่เท่ากนั ” รปู ท่ี 2.4 ความแตกต่างของความดนั ระหวา่ งจุดสองจุด การหาความแตกตา่ งของความดนั ระหวา่ งจดุ สองจดุ ทาํ ไดโ้ ดย จากสมการท่ี 2.17 dP  dz P2 z2  dP =    dz P1 z1 P2-P1 = -(z2-z1) P  z --------- (2.18) จากสมการท่ี 2.18 แสดงวา่ ในของไหลความดนั จะเพม่ิ สงู ขน้ึ เมอ่ื z เป็น ลบ หรอื คา่ ระดบั ต่าํ ลง ในทาง ตรงกนั ขา้ ม ความดนั จะลดต่าํ ลงเมอ่ื z เป็น บวก หรอื คา่ ระดบั เพมิ่ ขน้ึ จากผลทไ่ี ดส้ ามารถอธบิ ายปรากฏการณ์ทพ่ี บ เหน็ ในชวี ติ ประจาํ วนั ไดต้ วั อยา่ งเชน่ เมอ่ื เราเดนิ ทางขน้ึ ทส่ี งู ความดนั ภายนอกรา่ งกายจะลดต่าํ ลง อากาศภายในแกว้ หู ซง่ึ มคี วามดนั มากกวา่ จะดนั แกว้ หอู อกดา้ นนอกทาํ ใหเ้ รารสู้ กึ หอู ่อื หรอื เมอ่ื เราวา่ ยน้ําแลว้ ดาํ ลงไปในน้ําความดนั ภายนอกรา่ งกายจะเพม่ิ ขน้ึ แกว้ หจู ะถกู ดนั เขา้ ภายใน เน่ืองจากอากาศภายในแกว้ หมู คี วามดนั ต่าํ กวา่ ทาํ ใหเ้ รารสู้ กึ หอู ่อื เชน่ กนั ดว้ ยเหตุน้ีเอง ในงานดา้ นวศิ วกรรม จงึ มคี วามจาํ เป็นอยา่ งยงิ่ ทจ่ี ะตอ้ งเขา้ ใจถงึ พฤตกิ รรมของความดนั และแรง ต่างๆ ทจ่ี ะเกดิ ขน้ึ เน่ืองจากความดนั ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-6 Fluid Mechanics 2.1.3 การวดั ความดนั (Measurement of Pressure) การวดั ความดนั ของของไหล มมี าตรฐานทใ่ี ชก้ นั ทวั่ ไปอยู่ 2 มาตรฐานคอื - ความดนั สมั บรู ณ์ (Absolute pressure) คอื ความดนั ทเ่ี ปรยี บเทยี บกบั ความดนั ศนู ยส์ มั บรู ณ์ (absolute zero pressure) หรอื ความดนั ทเ่ี ปรยี บเทยี บกบั ทส่ี ญู ญากาศ ดงั นนั้ ความดนั สมั บรู ณ์จงึ มคี า่ เป็นบวกเสมอ - ความดนั เกจ หรอื ความดนั มาตร (Gauge Pressure) คอื ความดนั ทเ่ี ปรยี บเทยี บกบั ความดนั บรรยากาศ ณ จดุ ใดจุดหน่ึง ซง่ึ โดยทวั่ ไปจะเปรยี บเทยี บกนั ความดนั บรรยากาศท่ี ระดบั น้ําทะเลปานกลาง (mean sea level : MSL) หรอื กาํ หนดใหค้ วามดนั บรรยากาศทร่ี ะดบั น้ําทะเลปานกลาง มคี า่ เทา่ กบั 0 รปู ท่ี 2.5 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งระดบั ความสงู กบั ความดนั สมั บรู ณ์ และความดนั เกจ 2.1.4 หน่วยของความดนั (Pressure Units) เน่ืองจากความดนั คอื แรงต่อหน่ึงหน่วยพน้ื ท่ี ดงั นนั้ หน่วยของความดนั จงึ อยใู่ นรปู หน่วยของแรง ตอ่ หน่วย ของพน้ื ท่ี เชน่ ในระบบ SI ความดนั จะมหี น่วยเป็น นิวตนั ต่อตารางเมตร (N/m2) นอกจากน้ีความดนั ยงั สามารถระบไุ ด้ ในอกี หลายลกั ษณะดงั น้ี - ระบบ SI หน่วยของความดนั คอื ปาสคาล (Pa) ซง่ึ มคี า่ เทา่ กบั นิวตนั ต่อตารางเมตร (N/m2) เมตรของน้ํา หรอื มลิ ลเิ มตรปรอท (m of water ; mm.Hg) บาร์ (bar) ซง่ึ มคี า่ เทา่ กบั 105 นิวตนั ตอ่ ตารางเมตร (105 N/m2) - ระบบ BG หน่วยของความดนั คอื ปอนด์ / ตารางน้ิว (psi = lb / in2) ฟุตของน้ํา หรอื น้ิวของปรอท (ft of water ; in.Hg) * สว่ นหน่วย atm มาจากคาํ วา่ หน่วยความดนั บรรยากาศมาตรฐาน (Standard atmospheric pressure) คอื หน่วยทม่ี ชี ว่ งกวา้ งเทา่ กบั คา่ เฉลย่ี ของความดนั บรรยากาศทร่ี ะดบั น้ําทะเลปานกลาง ดงั นนั้ ทร่ี ะดบั น้ําทะเลปานกลางจงึ มคี วามดนั เทา่ กบั 1 atm (1.013105 N/m2) 1 atm = 1.013105 N / m2 (Pa) = 14.7 lb / in2 (psi) = 1.013 bar (1bar = 105Pa) = 760 mm.Hg = 29.9 in. Hg = 10.33 m of Water = 33.9 ft of Water Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-7 ตวั อยา่ งท่ี 2.1 จากรปู ถงั ทรงกระบอกใบหน่ึงบรรจขุ อเหลว 2 ชนิดอยภู่ ายใน จงหา - ความดนั เกจทก่ี น้ ถงั และทค่ี วามลกึ 0.5 ม. - ความดนั สมั บรู ณ์ทก่ี น้ ถงั และทค่ี วามลกึ 0.5 ม. กาํ หนดใหค้ วามดนั อากาศ Pa = 1 atm วธิ ที าํ พจิ ารณาจากรปู P1 = P2+w(h1-h2) P2 = Pa = Pa+oil(h2-0) 1 atm = 1.013 105 N/m2  P2 = (1.013 105) +(0.85w)(0.3-0) = 103801.6 N/m2 ความดนั สมั บรู ณ์ทก่ี น้ ถงั P1 = 103801.6 +w(0.4) Ans P1 = 107725.6 N/m2 Ans P3 = P2+w(h3-h2) = 103801.6+w(0.2) ความดนั สมั บรู ณ์ทค่ี วามลกึ 0.5 m P3 = 105763.6 N/m2 = 107725.6-101300 ความดนั เกจทก่ี น้ ถงั = 6425.6 N/m2 Ans ความดนั เกจทค่ี วามลกึ 0.5 ม. = 105763.6-101300 = 4463.6 N/m2 Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-8 Fluid Mechanics 2.1.5 อปุ กรณ์วดั ความดนั (Pressure gauge) 2.1.5.1 บารอมเิ ตอร์ (Barometer) บารอมเิ ตอร์ เป็นอุปกรณ์วดั ความดนั “บรรยากาศ” ซง่ึ อาศยั หลกั การของการเปลย่ี นแปลงความ ดนั ของของไหล มหี ลกั การทาํ งานดงั รปู ท่ี 2.6 โดยบรรจขุ องไหลในหลอดปลายปิดดา้ นหน่ึงดา้ นและคว่าํ ปลาย ดา้ นทเ่ี ปิดลงในของเหลว (สว่ นใหญ่มกั จะใชข้ องเหลวทม่ี คี วามหนาแน่นสงู เชน่ ปรอท) จากนนนั้ จะเกดิ โพลง สญู ญากาศขน้ึ ดา้ นบนของปลายดา้ นปิด ซง่ึ ความดนั ต่าํ มากจนเกอื บเป็นศนู ย์ จงึ ทาํ ใหข้ องไหลบรเิ วณนนั้ กลายเป็นไอเพอ่ื เพม่ิ ความดนั (ความดนั ไอ) ใหก้ บั ชอ่ งวา่ งดงั กลา่ วจนกระทงั่ ความดนั ภายในหลอดสมดุลกบั ความดนั อากาศภายนอก เน่ืองจากในชว่ งเรม่ิ ตน้ ของปรากฏการณ์ โพลงสญู ญากาศไมม่ อี ะไรอยเู่ ลย จงึ ทาํ ให้ คา่ ทว่ี ดั ไดน้ นั้ คอื ความดนั สมั บรู ณ์ (absolute pressure) รปู ท่ี 2.6 บารอมเิ ตอรอ์ ยา่ งงา่ ย จากรปู Pair = Pv+ปรอท h แตเ่ น่ืองจากปรอทมี Pv = 0.000023 lb/in2 ซง่ึ ถอื วา่ น้อยมาก ดงั นนั้ Pair = ปรอท h --------- (2.19) บางครงั้ อาจบอกคา่ ความดนั อยใู่ นรปู ของความสงู ของปรอท (มลิ ลเิ มตรปรอท : mm.Hg) นนั่ หมายความวา่ จะตอ้ งนําคา่ ความสงู ทร่ี ะบไุ ปคณู กบั น้ําหนกั จาํ เพาะของปรอทจงึ จะไดค้ า่ ความดนั 2.1.5.2 มาโนมเิ ตอร์ (Manometer) มาโนมเิ ตอร์ เป็นอุปกรณ์วดั ความดนั ทอ่ี าศยั หลกั การของการความแตกตา่ งระหวา่ งความดนั ของของไหลในภาชนะกบั อากาศภายนอกภาชนะเชน่ เดยี วกบั barometer แตจ่ ะแตกตา่ งกนั ตรงทค่ี วมดนั ทว่ี ดั ไดจ้ ะเป็นความดนั เกจ (gauge pressure) เน่ืองจากมานอรม์ เิ ตอร์ มหี ลายแบบ ในทน่ี ้ีจะยกตวั อยา่ งเพยี ง 3 แบบคอื Fluid Static รปู ท่ี 2.7 ปิโซมเิ ตอร์ มาโนมเิ ตอรร์ ปู ตวั U และมาโนมเิ ตอรแ์ บบเอยี ง ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-9 - ปิโซมเิ ตอร์ (Piezometer) เป็นอุปกรณ์วดั ความดนั ทม่ี หี ลกั การงา่ ยทส่ี ดุ คอื นําทอ่ ทม่ี ปี ลายเปิดสอู่ ากาศ ไปตดิ ตงั้ ณ จดุ ทต่ี อ้ งการวดั ความดนั ดงั รปู ท่ี 2.7 (ก) ความดนั เกจทจ่ี ดุ A มคี า่ เทา่ กบั PA = h --------- (2.20) ความดนั สมั บรู ณ์ทจ่ี ุด A มคี า่ เทา่ กบั PA = Pair+h --------- (2.21) - มาโนมเิ ตอรร์ ปู ตวั U (U-tube Manometer) ดว้ ยหลกั การของ Piezometer หากจุดทต่ี อ้ งการวดั ความดนั มคี า่ ความดนั สงู และความหนาแน่นของของเหลวต่าํ จะทาํ ใหค้ า่ ความสงู (h) ทอ่ี า่ นไดท้ ค่ี า่ สงู มาก ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ หลอดวดั ความดนั ทใ่ี ชจ้ ะตอ้ งมคี วามยาวมากขน้ึ ตามไปดว้ ย ขอ้ จาํ กดั ดงั กลา่ วสามารถ แกไ้ ขไดโ้ ดย ดดั แปลงทอ่ วดั ความดนั ใหเ้ ป็นรปู ตวั U และใสข่ องเหลวทม่ี คี ่าความหนาแน่นสงู กวา่ ไวใ้ น หลอด ของเหลวดงั กลา่ วเรยี กวา่ Gage Fluid (เชน่ ปรอท) ซง่ึ จะทาํ ใหค้ า่ h ทอ่ี ่านไดไ้ มส่ งู มากนกั ตวั อยา่ งดงั รปู ท่ี 2.7 (ข) ความดนั เกจทจ่ี ดุ A มคี า่ เทา่ กบั PA = 2h2-1h1 --------- (2.22) ความดนั สมั บรู ณ์ทจ่ี ุด A มคี า่ เทา่ กบั PA = Pair+2h2-1h1 --------- (2.23) - มาโนมเิ ตอรแ์ บบเอยี ง (Incline Tube Manometer) เป็น manometer ทด่ี ดั แปลงใหส้ ามารถอ่านคา่ ความ ดนั ไดล้ ะเอยี ดมากขน้ึ โดยการเอยี งหลอดวดั ความดนั ตวั อยา่ งดงั รปู ท่ี 2.7 (ค) ความดนั เกจทจ่ี ดุ A มคี า่ เทา่ กบั PA = 2(L sin)-1h1 --------- (2.24) ความดนั สมั บรู ณ์ทจ่ี ดุ A มคี า่ เทา่ กบั PA = Pair+2(L sin)-1h1 --------- (2.25) 2.1.5.3 มาตรวดั บดู อง (Bourdon gauge) เป็นมาตรวดั ความดนั เกจ ทม่ี สี ว่ นประกอบสาํ คญั คอื ทอ่ โลหะ กลวงหน้าตดั รปู วงรี ดดั โคง้ เป็นรปู สว่ นหน่ึงของวงกลม ปลายดา้ นหน่ึงปิดปลอ่ ยเป็นอสิ ระ และ เช่อื มตอ่ กบั กลไกบงั คบั เขม็ ทห่ี น้าปดั สว่ นปลายอกี ดา้ นตรงึ แน่น และเช่อื มตอ่ กบั จดุ ทต่ี อ้ งการวดั ความดนั เมอ่ื ความดนั เพมิ่ ทอ่ วงรจี ะพยายามเบง่ ตวั ทาํ ใหป้ ลายอสิ ระเคลอ่ื นทท่ี าํ ใหเ้ ขม็ ทห่ี น้าปดั ขยบั ไปยงั ตาํ แหน่งทบ่ี อกคา่ ของความดนั รปู ท่ี 2.8 การทาํ งานของมาตรวดั บดู อง ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-10 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 2.2 จากรปู จงหาความดนั ทจ่ี ุด B เมอ่ื ความดนั ทจ่ี ดุ A มคี า่ เทา่ กบั 25 mm-Hg (ระยะมหี น่วยเป็น m) วิธีทาํ 1 mm-Hg = (110-3 m.)SGHgw = 0.00113.69810 = 133.4 Pa พจิ ารณาความดนั ทจ่ี ุด A PA = 25 mm.Hg = 25133.4 = 3335.4 Pa = 3.34 kPa หาความดนั ทจ่ี ุด B PB = PA + (0.15) w + (0.30) HG - (0.45) Oil = 3335.4 + (0.15) (9810) + (0.30) (13.69810) - (0.45) (0.809810) = 41.31103 Pa = 41.31 kPa Ans ตวั อยา่ งท่ี 2.3 หลอดรปู ตวั U บรรจุของเหลว 3 ชนิด คอื น้ํา น้ํามนั และของเหลวชนิดหน่ึงทไ่ี มร่ จู้ กั (Unknown fluid) ระดบั ของของเหลวทงั้ สามชนิดมลี กั ษณะดงั รปู จงหาความหนาแน่นของ ของเหลวดงั กลา่ ว วธิ ที าํ 0.045W + 0.015 – 0.035 – 0.015W – 0.005Oil = 0 (0.045-0.015)W – 0.005(0.8)W + (0.015-0.035)  = 0 (0.03-0.004) W = 0.02  = 1.3W  = (/g) = (1.3W)/g = 1.3W = 1.3(1,000) = 1,300 kg/m3 Ans Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-11 2.2 แรงดนั ของของไหลบนพืน้ ที่ผิวเรียบ (Pressure Force on a Plane Surface) ในหวั ขอ้ ทผ่ี า่ นมาเราไดก้ ลา่ วถงึ ความดนั ของของไหลสถติ (Static Pressure) ซง่ึ เป็นหน่วยแรงตอ่ หน่ึงหน่วย พน้ื ท่ี ดงั นนั้ หากมพี น้ื ทห่ี รอื พน้ื ทม่ี ารองรบั ความดนั ดงั กลา่ ว จะเกดิ หน่วยแรงกระจายตวั ทวั่ ทงั่ พน้ื ท่ี และจากกฎทว่ี า่ ความดนั ทจ่ี ดุ ใดๆ จะมขี นาดเทา่ กนั ทกุ ทศิ ทาง หากพจิ ารณาอนุภาคของน้ําทต่ี ดิ กบั พน้ื ทร่ี บั ความดนั ดงั รปู ท่ี 2.9 จะเหน็ ไดว้ า่ ความดนั ในทุกทศิ ทางจะหกั ลา้ งกนั หมด ยกเวน้ ในทศิ ทต่ี งั้ ฉากพน้ื ท่ี ซง่ึ ดา้ นหน่ึงอนุภาคของของไหลตดิ กบั อนุภาคของของไหลขา้ งเคยี งทาํ ไหค้ วามดนั ยงั คงมอี ยู่ สว่ นอกี ดา้ นตดิ กบั พน้ื ทซ่ี ง่ึ จะไมม่ คี วามดนั ในทศิ ตรงกนั ขา้ มมา หกั ลา้ ง ดว้ ยเหตุน้ีจงึ ทาํ ใหค้ วามดนั ทีก่ ระทาํ กบั พ้ืนทีจ่ ะมีทิศทางตงั้ ฉากและพ่งุ เข้าหาพ้ืนทีร่ บั แรงเสมอ รปู ท่ี 2.9 ความดนั ทก่ี ระทาํ กบั อนุภาคของไหลทต่ี ดิ กบั พน้ื ผวิ รบั แรง เมอ่ื ความดนั กระทาํ กบั พน้ื ทผ่ี วิ เรยี บ ผลรวมของหน่วยแรงทก่ี ระจายตวั อยทู่ วั่ ทงั้ พน้ื ทจ่ี ะเรยี กวา่ แรงดนั (Pressure Force : FR) ซึง่ จะมีทิศทางตงั้ ฉากและพ่งุ เข้าหาพ้ืนทีร่ บั แรงตามทศิ ทางของความดนั และตาํ แหน่งท่ี แรงดนั กระทาํ นนั้ จะอยทู่ ่ี จดุ ศนู ยก์ ลางความดนั (Center of Pressure : CP) จากรปู ท่ี 2.10 พจิ ารณาแรงทก่ี ระทาํ กบั ระนาบผวิ เรยี บ ทม่ี ขี นาดพน้ื ทเ่ี ทา่ กบั A ทาํ มมุ  กบั ผวิ น้ํา เมอ่ื X คอื ระยะในแนวราบ สว่ น Y คือระยะทีว่ ดั จากผิวน้ําตามแนวทีข่ นานกบั ระนาบของพ้ืนทีร่ บั แรง และ h คือความลึก หรอื ระยะในแนงดิง่ รปู ท่ี 2.10 แรงดนั ของของไหลทก่ี ระทาํ กบั ระนาบผวิ เรยี บ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-12 Fluid Mechanics กาํ หนดให้ จุด C คอื จุดศนู ยถ์ ่วงของระนาบ (Centroid of Surface) จดุ CP คอื จุดศนู ยก์ ลางของความดนั (Center of Pressure) หรอื ตาํ แหน่งของแรงกระทาํ yC คอื ตาํ แหน่งของจดุ ศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี โดยวดั ตามแนวแกน Y yP คอื ตาํ แหน่งของจดุ ศนู ยก์ ลางความดนั โดยวดั ตามแนวแกน Y hC คอื ความลกึ ของจุดศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี (วดั ในแนวดงิ่ ) hP คอื ความลกึ ของจดุ ศนู ยก์ ลางความดนั (วดั ในแนวดงิ่ ) พจิ ารณาแรงทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ทเ่ี ลก็ ๆ บนพน้ื ทร่ี บั แรง dF  γ  h dA แรงกระทาํ ทงั้ หมดจงึ มคี า่ เทา่ กบั FR   dF   γ  h dA A จากรปู h = y sin FR   γ  y  sinθ  dA A FR  γsinθ ydA A แต่เน่ืองจาก  ydA  ycA (โมเมนตข์ องพน้ื ทร่ี อบแกน X) A  แรงดนั ของของไหลบนพ้ืนทีจ่ ะมีค่าเท่ากบั FR  γycAsinθ จากรปู hc = yc sin FR  γhcA --------- (2.26) การหาตาํ เหน่งทแ่ี รงดนั กระทาํ โดยพจิ ารณาจากผวิ น้ําไปตามแนวแกน Y (yR) พจิ ารณาโมเมนตท์ จ่ี ุด O ของแรงรอบแกน X FRyP =  ydF A =  y  γ  h dA A =  γ  y2  sinθ  dA A  γ  y2  sinθ  dA yP = A FR  γ  y2  sinθ  dA A = γ  A  yc  sinθ  y2dA A yP = --------- (2.27) Ay c --------- (2.28) แต่เน่ืองจาก  y2dA  Ix (โมเมนตค์ วามเฉ่ือย) ดง้ นนั้ จะไดว้ า่ A IX yP = Ay c Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-13 พจิ ารณาการหาโมเมนตค์ วามเฉ่อื ยรอบแกน X (IX) ในกรณีทแ่ี กนอา้ งองิ ไมผ่ า่ นจุดศนู ยถ์ ว่ งของพน้ ท่ี IX = IXC  Ay 2 --------- (2.29) c เมอ่ื IXC คอื โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกน X ทผ่ี า่ นจุดศนู ยถ์ ่วงของพน้ื ท่ี แรงดนั ทีก่ ระทาํ กบั พ้ืนทีจ่ ะอย่หู ่างจากแกน X เท่ากบั yP = Ixc  Ay 2 c Ay c yP  yc  Ixc --------- (2.30) Ay c รปู ท่ี 2.11 พกิ ดั โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของพน้ื ทร่ี อบแกนต่างๆ การหาตาํ เหน่งทแ่ี รงดนั กระทาํ โดยพจิ ารณาจากระยะหา่ งจากแกน Y พจิ ารณาโมเมนตท์ จ่ี ดุ O ของแรงรอบแกน Y FRxP =  xdF A =  x  γ  h  dA A =  γ  xy  sinθ  dA A  γ  xy  sinθ  dA xP = A FR  γ  xy  sinθ  dA A = γ  A  yc  sinθ  xydA A xP = --------- (2.31) Ay c แต่เน่ืองจาก  xydA  Ixy (โมเมนตค์ วามเฉ่อื ย XY) และเมอ่ื พจิ ารณาการหาโมเมนตค์ วามเฉ่อื ยรอบ A แกน XY (IXY) ในกรณที แ่ี กนอา้ งองิ ไมผ่ า่ นจุดศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี Ixy  Ixyc  Axcyc Ixyc  Axcyc xP = Ay c ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-14 Fluid Mechanics แรงดนั จะอยหู่ า่ งจากแกน Y เทา่ กบั xP  Ixyc  xc --------- (2.32) Axc (ในกรณที พ่ี น้ื ทร่ี บั แรงเป็นรปู ทรงสมมาตรตามแนวแกน Y : Ixyc = 0) ในกรณที ค่ี วามดนั กระจายตวั สม่าํ เสมอเทา่ กนั ทงั้ พน้ื ท่ี เขน่ ความดนั ในภาชนะทบ่ี รรจุก๊าซ ความดนั ในแตล่ ะจุด จะแตกตา่ งกนั ไมม่ ากจนถอื วา่ ไมม่ คี วามแตกตา่ ง หรอื ในกรณีทพ่ี น้ื ทร่ี บั แรงจมในของเหลว และแรงวางตวั ในแนวราบ ความดนั จะกระจายตวั เทา่ กนั ทงั้ พน้ื ท่ี ดงั รปู ท่ี 2.12 รปู ท่ี 2.11 ลกั ษณะของความดนั ทก่ี ระจายตวั สม่าํ เสมอบนพน้ื ผวิ รบั แรง เมอ่ื พจิ ารณาจากสมการท่ี 2.2 ถา้ ความดนั กระจายตวั สม่าํ เสมอ จะไดว้ า่ --------- (2.33) FR  PA รปู ท่ี 2.13 ต่าํ แหน่งของแรงพน้ื ทผ่ี วิ เรยี บในกรณีความดนั กระจายตวั สม่าํ เสมอ การหาตาํ เหน่งทแ่ี รงดนั กระทาํ  ydF พจิ ารณาโมเมนตท์ จ่ี ดุ O ของแรงรอบแกน X FRyP = A =  yPdA เน่ืองจาก P คงท่ี และ FR=PA ดงั นนั้ จะไดว้ า่ A yP = P ydA A PA Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-15  ydA yP  A A --------- (2.34)  ydA จากสมการท่ี 2.34 จะเหน็ ไดว้ า่ เทอมของ A A กค็ อื ระยะจากแกน X ถงึ จดุ ศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี ดงั นนั้ yP  yc --------- (2.35) ในทาํ นองเดยี วกนั พจิ ารณาโมเมนตท์ จ่ี ุด O ของแรงรอบ Y FRxP =  xdF A P xdA =A xP PA  xdA xP  A A --------- (2.36)  xdA จากสมการท่ี 2.36 จะเหน็ ไดว้ า่ เทอมของ A A กค็ อื ระยะจากแกน y ถงึ จดุ ศนู ยถ์ ่วงของพน้ื ท่ี ดงั นนั้ xP  xc --------- (2.37) ซง่ึ จากสมการ 2.35 และ 2.37 สามารถสรปุ ไดว้ า่ “ตาํ แหน่งของแรงดนั ในกรณีทีค่ วามดนั กระจายตวั สมาํ่ เสมอจะอย่ทู ีจ่ ดุ ศนู ยถ์ ่วงของพ้ืนทีร่ บั แรง” ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-16 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 2.4 ประตนู ้ําขนาด 1.2 m  1.8 m ถกู ตดิ ตงั้ ในลกั ษณะดงั รปู โดยปลายดา้ นหน่ึงยดึ ตดิ กบั บานพบั สว่ น ปลายอกี ดา้ นหน่ึงถกู ดงึ ดว้ ยแรง F เพอ่ื ไมใ่ หน้ ้ําไหลออก จงหาขนาดของแรง P (ไมค่ ดิ น้ําหนกั ของบานประต)ู วธิ ที าํ จาก FR = hCA hC = 3.9 sin 60O A = 1.2  1.8 = 3.38 m = 2.16 m2 FR = W(3.38)(2.16) = 98103.38 2.16 = 71,621 N = 71,621 kN จาก yP  Ixc  yc ; Ixc  bd3  1.2  1.8 3  0.583 m4 Ay c 12 12 yP  0.583  3.9  3.97 m 2.16  3.9 MHinge = 0 0.97FR = (1.8F) F = (0.97FR)/1.8 = (0.9771621)/1.8 = 38,596 N Ans Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-17 ตวั อยา่ งท่ี 2.5 ประตนู ้ํารปู วงกลมขนาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง 1.0 m มมี วล 1,500 kg มกี ารตดิ ตงั้ ในลกั ษณะดงั รปู จงหาความลกึ ของชนั้ น้ํามนั สงู สดุ (h) ทท่ี าํ ใหป้ ระตนู ้ําเปิดออกพอดี เมอ่ื ความถ่วงจาํ เพาะ ของน้ํามนั เทา่ กบั 0.9 วธิ ที าํ พจิ ารณาจากการกระจายตวั ของความดนั บนพน้ื ทร่ี บั แรง แลว้ แยกการคาํ นวณออกเป็นสองสว่ นในลกั ษณะดงั รปู แรงดนั F = F1+F2 แรง F1 เกดิ จากความดนั ทก่ี ระจายตวั สม่าํ เสมอ P = Oilh ดงั นนั้ F1 จงึ มคี า่ เทา่ กบั F1   OilhA  0.9  12 h W  0.7069h W ---- (1) 4 ตาํ แหน่งทแ่ี รง F1 กระทาํ อยทู่ จ่ี ดุ ศนู ยถ์ ่วงของพน้ื ทร่ี บั แรง  yP1  D  1.0  0.5 m ---- (2) 2 2 แรง F2 เป็นแรงทเ่ี กดิ จากความดนั ของน้ํา ดงั นนั้ F2 หาไดจ้ าก F2  WhC2A   0.6   1.02  W  0.2356 w ---- (3) 2 4 1.0 3 ( hC2  yC2 sin  2  5   0.3 m) ตาํ แหน่งทแ่ี รง F2 กระทาํ อยทู่ จ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางความดนั yP2  yC2  IXC2 yC2A  IXC2 เน่ืองจาก yC2  1.0  0.5 m และ  D4   1.04  0.0491 m4 2 64 64 0.0491 0.5  0.625m ---- (4)  yP2      0.5 4 1.02  เมอ่ื พจิ ารณาความสมดุลของประดใู นขณะทป่ี ระตกู าํ ลงั เปิดออกพอดี MO  0  F1yP1  F2yP2  aW  0 0.7069hW 0.5  0.2356W 0.625 = 0.41,5009.81 0.353h + 0.147 = 0.6 ---- (5) แกส้ มการท่ี (5) จะได้ h = 1.283 Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-18 Fluid Mechanics 2.3 แรงดนั ของของไหลบนพืน้ ผิวโค้ง (Pressure Force on a Curved Surface) เน่ืองจากความดนั จะมที ศิ ตงั้ ฉากกบั พน้ื ทเ่ี สมอ ซง่ึ ในกรณที พ่ี น้ื ทร่ี บั แรงมพี น้ื ผวิ โคง้ ทศิ ทางของความดนั จะมี การเปลยี่ นแปลงอยา่ งต่อเนือ่ งไปตามพน้ื ผวิ ทโี่ คง้ ไปมา ดงั ตวั อยา่ งในรปู ท่ี 2.14 ดว้ ยเหตุน้ีทาํ ใหก้ ารวเิ คราะหค์ า่ ของ แรงดนั โดยตรงนนั้ จงึ ทาํ ไดย้ าก รปู ท่ี 2.14 ลกั ษณะทศิ ทางของความดนั ทเ่ี กดิ ขน้ึ บนพน้ื ผวิ โคง้ หลกั ในการวเิ คราะหแ์ รงดนั ทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ทผ่ี วิ โคง้ นนั้ สามารถทาํ ใหง้ า่ ยขน้ึ ไดโ้ ดย พิจารณาแรงทีก่ ระทาํ กบั ก้อนของไหลทีโ่ อบล้อมด้วยพ้ืนผิวโค้งนัน้ และจะต้องแยกพิจารณาเป็น แรงในแนวราบ (FH) กบั แรงใน แนวดิง่ (FV) ดงั ตวั อยา่ งในรปู ท่ี 2.15 รปู ท่ี 2.15 แรงทก่ี ระทาํ กบั กอ้ นของไหลทถ่ี กู โอบลอ้ มดว้ ยพน้ื ผวิ โคง้ AB จากรปู ท่ี 2.15 กอ้ นของไหล abc ถกู โอบลอ้ มดว้ ยสว่ นโคง้ abfd ดงั รปู 2.15 (ก) เน่ืองจากกอ้ นของไหล จมอยู่ ในของไหล ดงั นนั้ จะเกดิ แรง F1 กระทาํ บนระนาบ aced แรง F2 กระทาํ บนระนาบ bcef และแรงดงึ ดดู ของโลกกระทาํ ท่ี จดุ ศนู ยถ์ ่วงของกอ้ นของไหล ดงั รปู ท่ี 2.15 (ค) หากพจิ ารณาความสมดุลของกอ้ นของไหลจะไดว้ า่ ผลรวมของแรงในแนวราบตอ้ งเทา่ กบั 0 FX  0 Fx = F1 เมอ่ื Fx คอื แรงทพ่ี น้ื ผวิ โคง้ กระทาํ กบั กอ้ นของไหลในแนวราบ และ F1 คอื แรงดนั ทก่ี ระทาํ บนพน้ื ทผ่ี วิ เรยี บดา้ น acde ดงั นนั้ แรงทข่ี องไหลกระทาํ กบั พน้ื ผวิ โคง้ นนั้ คอื แรงปฏกิ ริ ยิ าของแรง Fx ซง่ึ หมายความวา่ แรงดนั ในแนวราบ (FH) ทีข่ องไหลกระทาํ กบั พ้ืนผิวโค้งกค็ ือ แรงดนั บนพ้ืนทีผ่ ิวเรียบของภาพฉายบนระนาบ yz (F1) หรอื พน้ื ทด่ี า้ น aced ในรปู ท่ี 2.15 (ข) และ รปู ท่ี 2.16 Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-19 รปู ท่ี 2.16 ระนาบรบั แรงในแนวราบของกอ้ นของไหลทถ่ี กู โอบลอ้ มดว้ ยพน้ื ผวิ โคง้ ในทาํ นองเดยี วกนั ผลรวมของแรงในแนวดง่ิ ตอ้ งเทา่ กบั 0 FY  0 Fy = F2 + W เมอ่ื Fy คอื แรงทพ่ี น้ื ผวิ โคง้ กระทาํ กบั กอ้ นของไหลในแนวดง่ิ W น้ําหนกั ของกอ้ นของไหลทถ่ี กู ปิดลอ้ มดว้ ย พน้ื ผวิ โคง้ และ F1 คอื แรงดนั ทก่ี ระทาํ บนพน้ื ทผ่ี วิ เรยี บดา้ น bcef ดงั นนั้ แรงทข่ี องไหลกระทาํ กบั พน้ื ผวิ โคง้ นนั้ คอื แรง ปฏกิ ริ ยิ าของแรง Fy ซง่ึ หมายความวา่ แรงดนั ในแนวดิง่ (FV) ทีข่ องไหลกระทาํ กบั พ้ืนผิวโค้งคือผลรวมของแรงดนั บนพ้ืนทีผ่ ิวเรียบของภาพฉายบนระนาบ xy (F2) หรอื พน้ื ทด่ี า้ น bcef กบั น้ําหนักของก้อนของไหลทีถ่ กู ปิ ดล้อม ด้วยพ้ืนผิวโค้ว (W) ดงั รปู ท่ี 2.15 (ค) และ รปู ท่ี 2.17 รปู ท่ี 2.17 ระนาบรบั แรงในแนวดง่ิ ของกอ้ นของไหลทถ่ี กู โอบลอ้ มดว้ ยพน้ื ผวิ โคง้ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-20 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 2.6 ประตนู ้ําโคง้ บานหน่ึง กวา้ ง 4 ม. มรี ศั มคี วามโคง้ 2 ม. วางตวั ในลกั ษณะดงั รปู จงหาขนาด และ ตาํ แหน่งของแรงในแนวราบ และแนวดงิ่ ขนาด และทศิ ทางของแรงลพั ธ์ ทน่ี ้ํากระทาํ กบั ประตนู ้ํา วธิ ที าํ พจิ ารณาแรงทก่ี ระทาํ กบั กอ้ นของไหล ABC ดงั รปู กอ้ นของไหลอยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั นนั้  FX  0 FX = F1 F1 คอื แรงดนั ทท่ี าํ กบั พน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มผวิ เรยี บดา้ น AC ดงั นนั้ F1  WhCAAC A AC  24 8 m2 : hC  2.5   2   3.5 m 2 F1 = W 3.58 = 28W FX = 28W  แรงแนวราบทข่ี องไหลกระทาํ กบั ประตนู ้ํา (FH) คอื แรงปฏกิ ริ ยิ าของ FX FH = 28W  = 274.68 kN Ans ตาํ แหน่งของแรงในแนวราบจาก yP  I  yc A ACy c  yC  hC  2.5   2   3.5 m : AAC  2 4  8 m : IXC  4  23 2 12  4  23   12 yP    3.5  3.60 m จากผวิ น้ํา Ans 83.5  FY  0 FY = F2 + W F2 คอื แรงดนั ทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มผวิ เรยี บ BC ดงั นนั้ F2  PBCABC PBC  2.5W : ABC  2 4  8 m2  F2  2.5W 8  20W  Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-21 ตาํ แหน่งทแ่ี รง F2 กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ่วงของพน้ื ท่ี BC  x2  2 1 m จากจดุ C 2 W คอื น้ําหนกั ของน้ํารปู ¼ ทรงกระบอก   W = 1  4  22  4W = 4W  ตาํ แหน่งทแ่ี รง W กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ่วงของกอ้ นน้ํา ABC  x3  4 2  8  0.85 m จากจุด C 3 3     ดงั นนั้ Fy  = 20W   4W  = 20  4W เน่ืองจากแรงในแนวดง่ิ ทข่ี องไหลกระทาํ กบั พน้ื ผวิ โคง้ (FV) คอื แรงปฏกิ ริ ยิ าของ Fy ดงั นนั้  FV  20  4W  = 319.48 kN Ans การหาตาํ แหน่งของแรง FV วเิ คราะหไ์ ดจ้ าก โมเมนตท์ เ่ี กดิ จาแรง FV จะตอ้ ง เทา่ กบั โมเมนตท์ เ่ี กดิ จาก F2 และ W รวมกนั FV  x = F2 1  W0.85 x = 20W 1  4W 0.85 20  4W x = 0.94 m จากจดุ C Ans ขนาดของแรงลพั ธห์ าไดจ้ าก F = FH2  FV2 = 28W 2  20W  4W 2 = 421.33 kN Ans ทศิ ทางของแรงรวมหาไดจ้ าก tan = FV = 20  4W FH 28 W  = 49.31O Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-22 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 2.7 ประตนู ้ําโคง้ บานหน่ึง กวา้ ง 4 ม. มรี ศั มคี วามโคง้ 2 ม. วางตวั ในลกั ษณะดงั รปู จงหาขนาด และตาํ แหน่งของแรงในแนวราบ และแนวดงิ่ ขนาด และทศิ ทางของแรง ทน่ี ้ํากระทาํ กบั ประตนู ้ํา วธิ ที าํ พจิ ารณาแรงทก่ี ระทาํ กบั กอ้ นของไหล ABC ดงั รปู กอ้ นของไหลอยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั นนั้  FX  0 FX = F1 F1 คอื แรงดนั ทท่ี าํ กบั พน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มผวิ เรยี บดา้ น AC ดงั นนั้ F1  WhCAAC A AC  24 8 m2 : hC  2.5   2   3.5 m 2 F1 = W 3.58 = 28W FX = 28W  แรงแนวราบทข่ี องไหลกระทาํ กบั ประตนู ้ํา (FH) คอื แรงปฏกิ ริ ยิ าของ FX FH = 28W  = 274.68 kN Ans ตาํ แหน่งของแรงในแนวราบจาก yP  I  yc A ACy c  yC  hC  2.5   2   3.5 m : AAC  24 8 m : IXC  4  23 2 12  4  23   12 yP    3.5  3.60 m จากผวิ น้ํา Ans 83.5  FY  0 FY = F2 - W F2 คอื แรงดนั ทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มผวิ เรยี บ BC ดงั นนั้ F2  PBCABC PBC  4.5W : ABC  2 4  8 m2  F2  4.5W 8  36W  ตาํ แหน่งทแ่ี รง F2 กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี BC  x2  2 1 m จากจดุ C 2 W คอื น้ําหนกั ของกอ้ นของไหล ABC ซง่ึ ในการคาํ นวณโดยตรงทาํ ไดย้ าก แตถ่ า้ พจิ ารณาจากรปู จะเหน็ ไดว้ า่ Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-23 W4 คอื น้ําหนกั ของกอ้ นน้ํา ADBC 16W  W4 = 2 2 4W = ตาํ แหน่งทแ่ี รง W4 กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ่วงของกอ้ นน้ํา ADBC x4  2  1 m จากจุด B 2 W5 คอื น้ําหนกั ของกอ้ นน้ํา ADB    W5 = 1  4  22  4 W = 4W  ตาํ แหน่งทแ่ี รง W5 กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ่วงของกอ้ นน้ํา ADB x5  4 2  8  0.85 m จากจุด B 3 3   ดงั นนั้ Fy  = 36W  16W  4W  = 20  4W เน่ืองจากแรงในแนวดง่ิ ทข่ี องไหลกระทาํ กบั พน้ื ผวิ โคง้ (FV) คอื แรงปฏกิ รยาของ Fy ดงั นนั้  FV  20  4W  = 319.48 kN Ans การหาตาํ แหน่งของแรง FV วเิ คราะหไ์ ดจ้ าก โมเมนตท์ เ่ี กดิ จาแรง FV จะตอ้ งเทา่ กบั โมเมนตท์ เ่ี กดิ จาก F2 W4 และ W5 รวมกนั FV  x = F21 W4 1  W50.85 20  4W x = 36W 1 16W 1  4W 0.85 X = 36 16  40.85 20  4 = 0.942 m จากจดุ B Ans ขนาดของแรงลพั ธห์ าไดจ้ าก F = FH2  FV2 F = 28W 2  20W  4W 2 = 421.33 kN Ans ทศิ ทางของแรงรวมหาไดจ้ าก tan = FV = 20  4W FH 28 W  = 49.31O Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-24 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 2.8 ประตนู ้ําโคง้ AB กวา้ ง 4 ม. มรี ศั มคี วามโคง้ 2 ม. วางตวั ในลกั ษณะดงั รปู จงหาขนาด และทศิ ทางของแรง F ทเ่ี กดิ ขน้ึ กบั จุดรองรบั B โดยไมค่ ดิ น้ําหนกั ของประตู วธิ ที าํ พจิ ารณาความดนั และแรงทก่ี ระทาํ กบั กอ้ นของไหล ABC แรงทก่ี ระทาํ กบั ประตใู นแนวราบเกดิ จากแรงดนั F1 F1 = WhCA hC  2.5  1  3.5 m ; A  2  4  8 m2 F1 = W 3.58 = 28W  I ตาํ แหน่งท่ี F1 กระทาํ คอื yP  A ACyc  yc yC  hC  3.5 m ; I 23  4  2.667 m4 12  2.667  yP  83.5  3.5  3.60 m จากผวิ น้ํา หรอื F1 กระทาํ ต่าํ กวา่ จุด A เทา่ กบั 1.1 m แรงทก่ี ระทาํ กบั ประตใู นแนวดง่ิ เกดิ จาก F2 – W F2 คอื แรงดนั น้ําทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ผวิ เรยี บ BC ดงั นนั้ F2  PBCA = 36W  F2 = 4.5W 8 ตาํ แหน่งท่ี F2 กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี BC : x2 = 1.0 m จากจุด C W คอื น้ําหนกั ของกอ้ นน้ํา ABC  W = W  1   22  4 = 4W  4 4 2 ตาํ แหน่งท่ี W กระทาํ อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ว่ งของกอ้ นน้ํา ABC : x3 = 3  0.85 m จากจุด C เน่ืองจากประตอู ยใู่ นสภาวะสมดุดดงั นนั้ ผลรวมของโมเมนตร์ อบจุด A จะตอ้ งเทา่ กบั 0 1.1F1  1.0F2 = 0.85W  2.0F = 1.128W  1.036W  0.854W  2.0F = F 56.12W F = 2 275.26 kN Ans Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา