Higher Algebra

ເອກະສານປະກອບການສອນ ວຉິ າ: ພຶ຋ຉະຄະນ຋ິ ຉັ້ນສງູ ສາຊ ຄູຄະນ຋ິ ສາ຋ ລະບບົ 12+4 ປີ 3 ຮຽບຮຽງ ແລະ ພິມໂ຋ຊ: ປຌ ບນຸ ປນ ອນິ ທະວົງສາ ກວ຋ແກ້ໂ຋ຊ: 1. ປທ ຈນທອນ ແກ້ວມະນໄີ ຉ 2. ປທ ເມງີ ຄໍາ ແກ້ວພວູ ງົ 3. ຉອ ປຌ ສພຸ ນ ແສນສມົ ພອນ ສົກຮຽນ 2017-2018

ສາທາລະຘະລັດ ບະຊາທິບະໄຕ ບະຊາຊຘົ ລາວ ສຘັ ຕພິ ານ ເຬກະລາດ ບະຊາທບິ ະໄຕ ເຬກະພານ ວັດທະຘະຖາວຬຘ --------------------- ກະຊວງສກຶ ສາທິກາຘ ແລະ ກິລາ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງຘ້າໍ ທາ ເຬກະສາຘບະກຬນກາຘສຬຘ ພຶດຊະຄະຘິດຊ້ໍັຘສູງ Higher Algebra ອຽນອຽງໂດຍ: ບຕ ນຘຸ ບັຘ ຬິຘທະວົງສາ ຫຬ້ ງກາຘວທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ ສກົ ອຽຘ 2017-2018

຃າໍ ຌາໍ ຽຨກະ຦າຌພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄວລ຺ ຌຩີ້ັ ຼຍຩຼຄຂຌັ້ ມາ ຿ຈງມ຅ີ ຈຸ ມຸຄ້ັ ໝາງຽພື່ ຨເຆຽັ້ ຎຌຽຨກະ຦າຌຎະກຨຍ ກາຌຩຼຌ-ກາຌ຦ຨຌ ຂຨຄ຦າງ຃ູ຃ະຌຈິ ຦າຈ. ຎັມ້ ວລ຺ ຌຩີັ້ ຼຍຩຼຄຂຌັ້ ມາ຿ຈງຨຄີ ເ຦ື່ ຃ຨຈ຦ ຋່ື ແີ ຈກັ້ ໍາຌຈ຺ ແລ້ັ ຽຆື່ ຄິ ຎະກຨຍຈລ້ັ ງຽຌຨ້ັ ເຌ ຉກກະ຦າຈ, ມະ຿ຌພາຍຂຨຄກ່ື ຸມ, ກື່ ຸມ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ , ກາຌຎະ຦ມ຺ ພາງເຌ, ຋ຈິ ຦ະຈໝີ ລຈ, ລຄ຺ ຾ວລຌ, ຋່ື ຄ຺ , ຅ກກະລາຌຽລກຽຉ,ີ ກາຌຎະ຋ຍ຤ຽີ ຌ຾ຨ, ມາຉຣິ຦, ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ, ຋ຈິ ຦ະຈຣີ ຄ, ຃ື່ າ຦ະຽພາະ ຾຤ະ ຽລກຽຉ຦ີ ະຽພາະ, ພະວຸພຈ຺ ຾຤ະ ຽ຦ຈ຦່ື ລຌຎ຺ກກະຉ.ິ ຂາ້ັ ພະຽ຅າ຺້ັ ຏູຩັ້ ຼຍຩຼຄວລຄຢື່ າຄງ່ື ຄິ ລ່ື າຽຨກະ຦າຌວລ຺ ຌຨີ້ັ າຈ຅ະຽຎຌຎະ຿ວງຈຍ່ື ໍວົາງກໍໜຨ້ັ ງ ຿ຈງ຦ະຽພາະ ຾ມ່ື ຌຌກ຦ກຶ ຦າ຦າງ຃ູ຃ະຌຈິ ຦າຈ ລ຋ິ ະງາແ຤຃ູວລົ ຄຌາໍ້ັ ຋າ. ຽຊຄິ ຢື່ າຄເຈກຈໍ ີ ຨາຈຎາ຦ະ຅າກຍື່ແໍ ຈຂັ້ ໍຂັ້ າຈຉກ຺ ຍກ຺ ຏ່ື ຨຄ ຋າຄຈາັ້ ຌຽຌຨັ້ ເຌ ຾຤ະ ຊຨັ້ ງ຃າໍ ຦ໍາຌລຌ. ຦ະຌຌັ້ ຂາັ້ ພະຽ຅າ຺້ັ ວລຄຢ່ື າຄງ່ື ຄິ ລື່ າ຅ະແຈຩ້ັ ຍ຃ໍາຉໍາຌຉິ ຆິ ມ຺ ຅າກ຋່ື າຌຏູຨັ້ ່ື າຌ ຽພ່ື ຨຂາ້ັ ພະຽ຅າ຺້ັ ຅ະແຈຌ້ັ າໍ ຽຨາ຺ ຂຏໍັ້ ຈິ ພາຈແຎຎຍຎຸຄ຾ກແ້ັ ຂເວຈັ້ ຂີ ຌ້ັ ກລ່ື າຽກື່ າ຺ ເຌ຦ກ຺ ຩຼຌຉ່ື ແໍ ຎ.

ລາຣະຍາຌ ຍຈົ ຋ີ 1 ຉກັ ກະລາຈ ……………………………..………………………………………..……....1 1. ຃າໍ ມືຌມັຌ...............................................................................................................1 1.1 ຉ຤ົ ເຆໆ ວື ຠຎະໂ຦ງກ........................................................................................2 1.2 ຉາຉະຣາຄ຃ໆ າ຃຤າຠ຅ຄິ ຂວຄ຃ໍາມືຌມັຌ....................................................................2 1.3 ຌງິ າຠຉ຤ົ ເຆໆ ວື ຠຉໆ ໍ “ ແຣະ “.............................................................................3 1.4 ຌງິ າຠຉ຤ົ ເຆໆ ວື ຠຉໆ ໍ “ ຦ື “.................................................................................5 1.5 ຌງິ າຠຉ຤ົ ເຆໆ ວື ຠຉໆ ໍ “ ຦຤ື ໆ າ “..............................................................................6 1.6 ຌງິ າຠຉ຤ົ ເຆໆ ວື ຠຉໆ ໍ “ ຊາ໇ ຤ໆ າ...ແຣ຤໇ ... “................................................................7 1.7 ຌງິ າຠຉ຤ົ ເຆໆ ວື ຠຉໆ ໍ “ …ກຉໍ ໆ ໍເຠໆ ວື … “..................................................................9 1.8 ຌງິ າຠກາຌຎະຉເິ ລຈຂວຄ຃າໍ ມືຌມັຌ....................................................................10 2. ກາຌຆວກ຦າ຃ໆ າ຃຤າຠ຅ຄິ ຂວຄ຃ໍາມືຌມັຌຎະລຠົ .................................................................10 3. ຃ໍາມືຌມັຌ຋ຽຍເ຋ໆ າົ ກຌັ ..............................................................................................14 4. ຃າໍ ມືຌມັຌຊກື ຉະ຦ວຈ ແຣະ ຏຈິ ຉະ຦ວຈ.......................................................................17 4.1 ຃າໍ ມືຌມັຌຊກື ຉະ຦ວຈ……………..…………………………………………….17 4.2 ຃ໍາມືຌມັຌຏຈິ ຉະ຦ວຈ…………………………………………………………...19 5. ຎະໂ຦ງກເຎີຈ, ຉ຤ົ ຍຄົ ຎະຣຠິ າຌ ແຣະ ກາຌໃ຦ເ໇ ຦ຈຏຌົ ……………………………………….19 5.1 ຎະໂ຦ງກເຎີຈ……………………...…………………………………………...19 5.2 ຉ຤ົ ຍໆ ຄົ ຎະຣຠິ າຌ……………………….………………………………………..20 5.3 ກາຌຎະຉເິ ລຈຉ຤ົ ຍໆ ຄົ ຎະຣຠິ າຌ…………..………………………………………..22 5.4 ກາຌໃ຦ເ໇ ຦ຈຏຌົ …………….…………………………………………………..22 ຍຈົ ຋ີ 2 ຠະໂຌພາຍຂວຄກໆ ຠ…...………………………………………………………………....32 I. ຠະໂຌພາຍຂວຄກໆ ຠ………………..…………………………………………………….32 1 ກາຌລະເໜກີ ໆ ຠ…………………………...………………………………………32 2 ຆະຌຈິ ຂວຄກໆ ຠ……….…………………………………………………………..34 3 ກໆ ຠ຋ຽຍເ຋ໆ າົ ກຌັ ……………….…………………………………………………34 4 ກໆ ຠເ຋ໆ າົ ກຌັ …………………...………………………………………………….35 5 ວະຌກໆ ຠ…………………………………………………………………………35 6 ກໆ ຠພາກລໆ ຤ຌ…………………………………………………………………….36 7 ກໆ ຠ຅ກັ ກະ຤າຌ………………………………...…………………………………36

8 ກາຌໂຨຠ……………….……………………………………………………….36 9 ກາຌຉຈັ ຦ື ກາຌຨໆ ຤ຠ………..……………………………………………………37 10 ກາຌຣຍົ ຂວຄກໆ ຠ………………………………………………………………….38 11 ກາຌຉໆ ຠື ເຉຠັ ຂວຄ A ……………………………………………………………...38 12 ຏຌົ ຣຍົ ເ຃ໆ ຄິ ຃ຂື ວຄກໆ ຠ………………………………………….…………………..39 13 ກາຌຆວກ຦າ຅າໍ ຌ຤ຌວຄົ ຎະກວຍຂວຄກໆ ຠລຌີ໇ ລຈ……………….……………………..40 II. ຏຌົ ຃ູຌກາກເຉຆຽຌ………..………………………..……..……..................................43 ຍຈົ ຋ີ 3 ກໆ ຠ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ………………...………………………………………………………...48 ຍຈົ ຋ີ 4 ກາຌຎະລຠົ ພາງໃຌ ……...………………………………………………..………….....49 1. ກໆ ຠ຋ໆ ຎີ ະກວຍຈ຤໇ ງກຈົ ກາຌ຃າໍ ຌ຤ຌພາງໃຌ…………………………………………………49 2. ຃ຌຣກັ ລະຌະຂວຄກຈົ ກາຌ຃ໍາຌ຤ຌພາງໃຌ…………………………………………………..51 2.1 ກາຌໂຨຠໝໆ …ູ …………………………...……………………………………..51 2.2 ກາຌລຍັ ຎໆ ຽຌຍໆ ວຌ……………………………………………...……………….52 2.3 ວຄົ ຎະກວຍກາຄ…………………………………………………………………53 2.4 ວຄົ ຎະກວຍເ຃ໆ ຄິ ຃…ື …………………………………..…………………………54 2.5 ກາຌແ຅ກກຈົ …………………………………………………………………...55 3. ໂວໂຠຠວັ ກຟິຈ ແຣະ ວໂີ ຆຠວັ ກຟິຈຂວຄກຈົ ພາງໃຌ຅າກ E, ຦າ F,T  .........................55 3.1 ໂວໂຠຠວັ ກຟິຈ຅າກ E, ຦າ F,T  …………….......................................55 3.2 ວໂີ ຆຠວັ ກຟິຈ຅າກ E, ຦າ F,T  ……………...…………………………..58 ຍຈົ ຋ີ 5 ຋ຈິ ລະຈໝີ ຤ຈ……………...……………………………………………………...…...65 1. ຌງິ າຠໝ຤ຈ…………………………………………………………………………….65 ຍຈົ ຋ີ 6 ຤ຄົ ແ຦຤ຌ ແຣະ ຋ໆ ຄົ .................................................................................................73 1. ຤ຄົ ແ຦຤ຌ………………………………………………………….……………………73 2. ກາຌ຦າຌຂາຈໃຌ຤ຄົ ແ຦຤ຌ………………………………………………………………..77 3. ຋ໆ ຄົ ……………………………………………………...…………………………..…78 ຍຈົ ຋ີ 7 ຅ກັ ກະ຤າຌເ຤ກັ ເຉີ ……………...………...…..…………………………………...…...82 1. ຅ກັ ກະ຤າຌເ຤ກັ ເຉີ …………………….…...………................................…..…..…...82 2. ວະຌ຅ກັ ກະ຤າຌເ຤ກັ ເຉ…ີ ………………………………………………………………..84 3. ເວກະຣາຈ ແຣະ ຍໆ ໍເວກະຣາຈຣເີ ຌແວ……………………………...…...….........…..…….86

ຍຈົ ຋ີ 8 ກາຌຎະ຋ຍັ ຣເີ ຌແວ.................................................................................................88 1. ຌງິ າຠ……………………………………………...……...……...…..…….………....88 2. ລຠົ ຏຌົ ຣເີ ຌແວ…………………………………….…...……...……...…..…….……....91 3. ຨູຍຨໆ າຄຉໆ າຄ໅ຂວຄຣະຍຍົ ລຠົ ຏຌົ ຣເີ ຌແວ……….…...……...……...…..…….………….....93 4. ກາຌແກຣ໇ ະຍຍົ ລຠົ ຏຌົ ຣເີ ຌແວ ຈ຤໇ ງ຤຋ິ ໃີ ຆ໇ ຠາຉຢລິ ຂະ຦ງາງ (຤຋ິ ຣີ ຍຶ ຂວຄ ກາ຤ລ)໌ …………98 5. ກາຌແກຣ໇ ະຍຍົ ລຠົ ຏຌົ ຣເີ ຌແວ ຈ຤໇ ງ຤຋ິ ໃີ ຆ໇ ເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ ກຈົ ເກຌ ຃ຢາຠເຠ…ີ .......................105 ຍຈົ ຋ີ 9 ຠາຉຢລິ ………………………………………..……...…..…………...….................113 1. ຠາຉຢລິ …..…….....…..…………...……………………………………………….....113 2. ກາຌ຃ໍາຌ຤ຌ ຠາຉຢລິ …..…………...…………………………………………………..115 3. ຨູຍແຍຍຂວຄຠາຉຢລິ ……………....…….....…..……………....……………………....117 4. ກາຌຍ຤ກ ແຣະ ກາຌຣຍົ ຠາຉຢລິ ………………………………………………………….119 5. ກາຌ຃ູຌຠາຉຢລິ ກຍັ ລະກາແຣ ………………………………………………………….. 123 6. ກາຌ຃ຌູ ລວຄຠາຉຢລິ ……………………....…….....…..………......………………….125 7. ກາຌຏຌັ ຎໆ ຽຌ ຠາຉຢລິ ( Transformation de la Matrice )……………………………..130 8. ກາຌຆວກຠາຉຢລິ ຎິຌ໇ (Matrice Inverse).................................................................135 ຍຈົ ຋ີ 10 ເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ …………………………………………………………………………..145 1 ຌງິ າຠເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ ................................................................................................145 2 ກາຌ຃ຈິ ໄຣໆ ເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ ຂະໜາຈ 2 ແຣະ 3 ……………………………………………….145 3 ຃ຌຣກັ ລະຌະພຌື໇ ຊາຌຂວຄເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ ……………………………………………………151 4 ກາຌຂະ຦ງາງເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ ………………………………………………………………157 5 ລູຈຂະ຦ງາງເຈແຉກັ ຠຌີ ຄັ ………………………………………………………………..166 6 ກາຌຆວກຠາຉຢລິ ຎິຌ໇ ຈ຤໇ ງກາຌໃຆ໇ ວຈັ ຆ຤ຄ ( Adjoint )……………………………………169 ຍຈົ ຋ີ 11 ຋ຈິ ລະຈຢີ ຄັ ຂວຄຠາຉຢລິ ………………………………………………………………...182 1 ຌງິ າຠຢຄັ ຂວຄ ຠາຉຢລິ (Rang de la Matrice)…………………………………………182 2 ກາຌຆວກຢຄັ ຂວຄຠາຉຢລິ ………………………………………………………………..183 3 ກາຌຌາໍ ໃຆຢ໇ ຄັ ຂວຄຠາຉຢລິ ເຂາົ໇ ໃຌກາຌແກຣ໇ ະຍຍົ ລຠົ ຏຌົ ຣເີ ຌແວ……………………………..184 ຍຈົ ຋ີ 12 ກາຌ຃ຈັ ຅ວ໇ ຌຠາຉຢິ ຈ…………………………………………………………………..188 1 ຃ໆ າລະເພາະ ແຣະ ເ຤ກັ ເຉລີ ະເພາະ…………………………………………………………188

ຍຈົ ຋ີ 13 ພະ຦ພຈົ ແຣະ ເລຈລໆ ຤ຌຎົກກະຉ…ິ ……………………………………………………..190 1 ຉາໍ ຣາພະ຦ພຈົ ………………………………………………………………………….190 2 ກາຌ຦າຌພະ຦ພຈົ ຉາຠກາໍ ຣຄັ ຣຄົ (ແຍຍເວກີ ະຣຈິ )…………………………………………..190  x  a 3 ກາຌ຦າຌພະ຦ພຈົ ໃ຦຋໇ ະ຤ພີ ຈົ ຈ຤໇ ງ຤຋ິ ຨີ ວກເຌ…ີ ………………………….194 4 ເລຈລໆ ຤ຌຎົກກະຉິ ແຣະ ກາຌແງກເລຈລໆ ຤ຌຎົກກະຉເິ ຎັຌເລຈລໆ ຤ຌ…………………………..196

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 1 ຉກກະຘາຈ I. ຉກກະຘາຈ ຌງິ າຓ: ຉກກະຘາຈຽຎຌທຆິ າ຋ໃ ທີ ໃ າຈທໄ ງນົກຽນຈຏຌ຺ ຾ຖະ ງຄເຆຽໄ ຎຌຑາຘາ຋າຄຈາໄ ຌ຃ະຌຈິ ຘາຈ ຽຑໃ ບຘາໄ ຄ ກຈ຺ ຽກຌ, ຘາໄ ຄຘູຈ ຾ຖະ ຑຘິ ູຈຂ຃ໄ ທາຓ຋າຄຈາໄ ຌ຃ະຌຈິ ຘາຈ ຿ຈງບາແຘນົກຽນຈຏຌ຺ ຉາຓນົກຂບຄຉກ ກະຘາຈ. 1. ຃າດຌດຌ ຌງິ າຓ: ຃າດຌດຌ຾ຓໃ ຌຎະ຿ນງກ ນົ ຘາຌທຌ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ ນົ ຏຈິ ດໃ າຄເຈດໃ າຄໜໃ ຄຶ ຽຆໃ ຄິ ບາຈ຅ະ ຽຎຌຎະ຿ນງກຍບກຽຖໃ າ຺ ນົ ຎະ຿ນງກຎະຉຽິ ຘຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ: ຎະ຿ນງກ຋ໃ ຽີ ຎຌ຃າດຌດຌ.  “ ຌະ຃ບຌນທົ ຄທຼຄ຅ຌຽຎຌຽຓບຄນົທຄຂບຄ ຘາ຋າຖະຌະຖຈ ຎະຆາ຋ຎິ ະແຉ ຎະຆາຆຌ຺ ຖາທ ” ຓ຃ີ ໃ າ ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ.  “ ຎາຽຎຌຘຈຍກ຺ ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ .  “ ຅າຌທຌ຃ໃ ູ຋ຸກ຅າຌທຌນາຌຂາຈເນໄ 2 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ.  “ 17+8 = 25 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ.  “ 2+3 = 3-1 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ .  “ ເຌຎີ ຑຘ 2518 ຽກຈີ ຾ຏຌຈຌິ ແນທເຌຎະຽ຋ຈແ຋ ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ. ຘໃ ທຌຎະ຿ນງກ ນົ ຂ຃ໄ ທາຓ຋ໃ ຽີ ຎຌ຃າຊາຓ, ຃າຘໃ ຄ, ຃າບບໄ ຌທບຌ, ຃າຂປບໄ ຄ, ຃າບຸ຋າຌ, ຂນໄ າໄ ຓ, ນົ ຘະ຾ຈຄ຃ທາຓຎາຈຊະໜາ ຍໃ ຽຎຌ຃າດຌດຌ ຽຑາະທໃ າຽປາ຺ ຍໃ ຘາຓາຈເນ຃ໄ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌແຈໄ ຽຆໃ ຌທໃ າ ຍຌຈາຎະ຿ນງກຖໃ ຸຓຌຍີໄ ໃ ຽຎຌ຃າດຌດຌ:  10 ນາຌເນໄ 2 ແຈຽໄ ຋ໃ າ຺ ເຈ ?  ບບກແຎ຅າກຍໃ ບຌຌ.ີໄ  ດໃ າຖຓ຺ ກຌຽທຖາປຼຌໜຄຘ.  ກະຖຸຌາຎິຈຎະຉູ຾ຈໃ .  ຿ບໃ ງ! ຽປຈຏຈິ ບກີ ຾ຖທໄ .  ຂບໄ ງດາກຽຎຌຌກ຺ .  ຅ໃ ຄ຺ ຌໃ ຄຖຄ຺ . ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : 1. ຘຌງາຖກ຋ໃ ເີ ຆ຾ໄ ຋ຌຎະ຿ນງກຉໃ າຄໂ ຌງິ ຓ຺ ເຆຉໄ ທ຺ ບກຘບຌຑາຘາບກກຈິ ຉທ຺ ຑຓິ ຌບໄ ງຽຆໃ ຌ: p, q, r, s ຽຎຌຉຌ຺ໄ . 1

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 2. ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກຂບຄ຃າດຌດຌຘຌງາຖກຈທໄ ງ T ຓາ຅າກຑາຘາບຄກຈິ ຋ໃ ທີ ໃ າ “ True ” 3. ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ ຂບຄ຃າດຌດຌຘຌງາຖກຈທໄ ງ F ຓາ຅າກຑາຘາບຄກຈິ ຋ໃ ທີ ໃ າ “ False ” 1.1 ຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຎະ຿ນງກ ຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຎະ຿ນງກ ຘຌງາຖກ “ ຾ຖະ ”  “ ນົ ”  “ ນທົ ໃ າ ” xor “ ຊາໄ ທໃ າ........຾ຖທໄ …. ”  “ ກຉໃ ຽຓໃ ບ ”  “ ຍໃ ”  ນົ ~ 1.2 ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ ຃າດຌດຌເຌຉກກະຘາຈບາຈ຅ະຽຎຌ຃າດຌດຌຈຼທ ຋ໃ ຓີ ຑີ ຼຄ຾ຉໃ 1 ຃າດຌດຌ ນົ ຽຎຌ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຋ໃ ຎີ ະກບຍຈທໄ ງນົາງ຃າດຌດຌງໃ ບງ ນົ ນົາງບາ຿ຉຓ. ກາຌຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຾ຓໃ ຌແຈໄ ຅າກ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຾ຉໃ ຖະບາ຿ຉຓ ຾ຖະ ແຈ຅ໄ າກຌງິ າຓຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຉໃ . ຽຓໃ ບຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຋ຸກໂກຖະຌີ ຂບຄ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຉບໄ ຄແຈເໄ ຆຉໄ າຉະຖາຄ຋ໃ ຽີ ບຌີໄ ທໃ າ ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຌຌໄ .  ຘາຖຍ຃າດຌດຌຈຼທ p ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌ຅ະຓີ 2 ກ ຖະຌ຃ີ : T ນົ F. ຉາຉະຖາຄຖໃ ຸຓຌີໄ ຽບຌີໄ ທໃ າຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p.  ຊາໄ ທໃ າ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຓີ 2 ບາ຿ຉຓຽຆໃ ຌ p ຾ຖະ q ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຅ະຓີ 4 ຾ຊທຈໃ ຄຌ:ີໄ 2

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  ຊາໄ ທໃ າ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຓີ 3 ບາ຿ຉຓຽຆໃ ຌ p, q ຾ຖະ r ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຅ະຓີ 8 ຾ຊທຈໃ ຄຌ:ີໄ  ຊາໄ ທໃ າ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຓີ n ບາ຿ຉຓ ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຅ະຓີ 2n ຾ຊທ. 1.3 ຌງິ າຓຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຉໃ “ ຾ຖະ “ ຊາໄ ທໃ າ p ຾ຖະ q ຽຎຌ຃າດຌດຌ, “ p ຾ຖະ q “ ຂຼຌ຾຋ຌຈທໄ ງຘຌງາຖກ “ p  q “. ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p  q. ຾ຓໃ ຌ: p q pq TT T TF F FT F FF F ຂ຃ໄ ທຌຘຄຽກຈ: p  q ຓ຃ີ ໃ າ T ເຌກຖະຌຈີ ຼທຽ຋ໃ າ຺ ຌຌໄ ຃ p ຾ຖະ q ຖທໄ ຌ຾ຉໃ ຓ຃ີ ໃ າ T. ຉທ຺ ດໃ າຄ1: 2  3  5 ຾ຖະ 5  4 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 2  3  5 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຾຋ຌ 5  4 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T 3

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ q pq p T T T ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 2  3  5 ຾ຖະ 5  4 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ (T ) ຉທ຺ ດໃ າຄ2: 5  4  8 ຾ຖະ 6  9 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 5  4  8 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F q ຾຋ຌ 6  9 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T pq pq FT F ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 5  4  8 ຾ຖະ 6  9 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ ( F ) ຉທ຺ ດໃ າຄ3: 1 3  8 ຾ຖະ 7  2  12 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 1 3  8 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຾຋ຌ 7  2  12 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq pq TF F ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 1 3  8 ຾ຖະ 7  2  12 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ ( F ) ຉທ຺ ດໃ າຄ4: 1  3  2 ຾ຖະ 4  3  0 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 1  3  2 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F q ຾຋ຌ 4  3  0 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq pq FF F ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 1  3  2 ຾ຖະ 4  3  0 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ ( F ) ຽຓໃ ບ p ຾ຖະ q ຓກີ ະ຾ຘແຒຒາໄ ຈບກແຒ຅ໃ ຄຶ ຅ະປໃ ຸຄ. 4

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 1.4 ຌງິ າຓຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຉໃ “ ນົ “ ຊາໄ ທໃ າ p ຾ຖະ q ຽຎຌ຃າດຌດຌ, “ p ນົ q “ ຂຼຌ຾຋ຌຈທໄ ງຘຌງາຖກ “ p  q “. ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p  q ຾ຓໃ ຌ: p q pq TT T TF T FT T FF F ຂ຃ໄ ທຌຘຄຽກຈ: p  q ຓ຃ີ ໃ າ F ເຌກຖະຌຈີ ຼທຽ຋ໃ າ຺ ຌຌໄ ຃ p ຾ຖະ q ຖທໄ ຌ຾ຉໃ ຓ຃ີ ໃ າ F. ຉທ຺ ດໃ າຄ1: 2  5  7 ນົ 2  7 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 2  5  7 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຾຋ຌ 2  7 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T pq pq TT T ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 2  5  7 ນົ 2  7 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ (T ) ຉທ຺ ດໃ າຄ2: 3 6  18 ນົ 8  5  4 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 3 6  18 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຾຋ຌ 8  5  4 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq pq TF T ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 3 6  18 ນົ 8  5  4 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ (T ) ຉທ຺ ດໃ າຄ3: 6  7  1 ນົ 3  1 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 6  7  1 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F q ຾຋ຌ 3  1 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T pq pq FT T 5

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 6  7  1 ນົ 3  1 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ (T ) ຉທ຺ ດໃ າຄ4: 4 5  24 ນົ 3  6  8 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 4 5  24 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F q ຾຋ຌ 3  6  8 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq pq FF F ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 4 5  24 ນົ 3  6  8 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ ( F ) ຉທ຺ ດໃ າຄ5: ຾ຂທຄນທົ ຄຌາໄ ຋າດໃ ູເຌຎະຽ຋ຈຖາທ ນົ 3  6  9 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ ຾ຂທຄນທົ ຄຌາໄ ຋າດໃ ູເຌຎະຽ຋ຈຖາທ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຾຋ຌ 3  6  9 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T pq pq TT T ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ ຾ຂທຄນົທຄຌາໄ ຋າດໃ ູເຌຎະຽ຋ຈຖາທ ນົ 3  6  9 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ (T ) ຽຓໃ ບ p ນົ q ຓກີ ະ຾ຘແຒຒາໄ ຈບກແຒ຅ະປໃຸ ຄ. 1.5 ຌງິ າຓຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຉໃ “ ນົທໃ າ “ ຊາໄ ທໃ າ p ຾ຖະ q ຽຎຌ຃າດຌດຌ, ຃າດຌດຌ “ p ນທົ ໃ າ q “ ຂຼຌ຾຋ຌຈທໄ ງຘຌງາຖກ “ p xor q “. ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p xor q ຾ຓໃ ຌ: p q p xor q TT F TF T FT T FF F 6

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຂ຃ໄ ທຌຘຄຽກຈ: p xor q ຓ຃ີ ໃ າ T ເຌກຖະຌີ p ຾ຖະ q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຉໃ າຄກຌ. ຉທ຺ ດໃ າຄ: 3 6  18 ນທົ ໃ າ 8  5  4 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 3 6  18 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຾຋ຌ 8  5  4 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq p xor q TF T ຈໃ ຄຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 3 6  18 ນທົ ໃ າ 8  5  4 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ (T ) 1.6 ຌງິ າຓຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຉໃ “ ຊາໄ ທໃ າ...຾ຖທໄ ... “ ຊາໄ ທໃ າ p ຾ຖະ q ຽຎຌ຃າດຌດຌ, ຃າດຌດຌ “ຊາໄ ທໃ າ p ຾ຖທໄ q “ ຘຌງາຖກຈທໄ ງ “ p  q “. ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p  q ຾ຓໃ ຌ: p q pq TT T TF F FT T FF T ຂ຃ໄ ທຌຘຄຽກຈ: p  q ຓ຃ີ ໃ າ F ເຌກຖະຌຈີ ຼທຽ຋ໃ າ຺ ຌຌໄ ຃ ຽຓໃ ບ p ຓ຃ີ ໃ າ T ຾ຖະ q ຓ຃ີ ໃ າ F . ຉທ຺ ດໃ າຄ1: “ ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌຽຘຄແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຈີ ຾ຖທໄ ຃຅ູ ະເນຖໄ າຄທຌ ” ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກ ຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ ຌກປຼຌຽຘຄແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຈີ ຾ຖະ q ຾຋ຌ ຃ູ຅ະເນຖໄ າຄທຌ  ຽຓໃ ບ p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຽຓໃ ບ q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T pq pq TT T ຘະ຾ຈຄທໃ າ “ ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌຽຘຄແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຈີ ຾ຖທໄ ຃ູ຅ະເນຖໄ າຄທຌ ” ກຽຎຌຽນຈຏຌ຺ ຋ໃ ຊີ ກຉບໄ ຄ. 7

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  ຽຓໃ ບ p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຽຓໃ ບ q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq pq TF F ຘະ຾ຈຄທໃ າ “ ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌຽຘຄແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຈີ ຾ຖທໄ ຃ູຍໃ ເນຖໄ າຄທຌ ” ຌຽີໄ ຎຌຽນຈຏຌ຺ ຋ໃ ຏີ ຈິ .  ຽຓໃ ບ p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຽຓໃ ບ q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T pq pq FT T ຘະ຾ຈຄທໃ າ “ ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌຽຘຄຍໃ ແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຈີ ຾ຖທໄ ຃ູເນຖໄ າຄທຌ ” ກຽຎຌຽນຈຏຌ຺ ຋ໃ ຊີ ກຉບໄ ຄ.  ຽຓໃ ບ p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຽຓໃ ບ q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F pq pq FF T ຘະ຾ຈຄທໃ າ “ ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌຽຘຄຍໃ ແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຈີ ຾ຖທໄ ຃ູຍໃ ເນຖໄ າຄທຌ ” ກຽຎຌຽນຈຏຌ຺ ຋ໃ ຊີ ກຉບໄ ຄ. ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຊາໄ ທໃ າ 2  4  2 ຾ຖທໄ 2  3  4 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 2  4  2 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ (T ) q ຾຋ຌ 2  3  4 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ (T ) pq pq TT T ຘະຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ຊາໄ ທໃ າ 2  4  2 ຾ຖທໄ 2  3  4 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ T  . ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ຊາໄ ທໃ າ 2  3 ຾ຖທໄ 4  3  6 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 2  3 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ( F ) q ຾຋ຌ 4  3  6 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ( F ) 8

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ q pq p F T F ຘະຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ ຊາໄ ທໃ າ 2  3 ຾ຖທໄ 4  3  6 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ T  . 1.7 ຌງິ າຓຉທ຺ ຽຆໃ ບຓຉໃ “ …ກຉໃ ຽຓໃ ບ… “ ຊາໄ ທໃ າ p ຾ຖະ q ຽຎຌ຃າດຌດຌ, ຃າດຌດຌ “ p ກຉໃ ຽຓໃ ບ q “ ຘຌງາຖກຈທໄ ງ “ p  q “. ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p  q ຾ຓໃ ຌ: p q pq TT T TF F FT F FF T ຂ຃ໄ ທຌຘຄຽກຈ: p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຽຓໃ ບ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p ຾ຖະ q ຃ກຌ. ຉທ຺ ດໃ າຄ1: 4  5  9 ກຉໃ ຽຓໃ ບ 1 3  2 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 4  5  9 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ (T ) q ຾຋ຌ 1 3  2 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ (T ) pq pq TT T ຘະຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 4  5  9 ກຉໃ ຽຓໃ ບ 1 3  2 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ T  . ຉທ຺ ດໃ າຄ2: 4 1  6 ກຉໃ ຽຓໃ ບ 3  2  5 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ 4 1  6 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ( F ) q ຾຋ຌ 3  2  5 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ( F ) pq pq FF T ຘະຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ 4 1  6 ກຉໃ ຽຓໃ ບ 3  2  5 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ T  . ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ທຼຄ຅ຌດໃ ູເຌຎະຽ຋ຈແ຋ ກຉໃ ຽຓໃ ບ 1 2  4 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກຈໃ ຄກໃ າທ. 9

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ( F ) ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ ທຼຄ຅ຌດໃ ູເຌຎະຽ຋ຈແ຋ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ (T ) q ຾຋ຌ 1 2  4 pq F pq FT ຘະຌຌໄ ຎະ຿ນງກ “ ທຼຄ຅ຌດໃ ູເຌຎະຽ຋ຈແ຋ ກຉໃ ຽຓໃ ບ 1 2  4 ” ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ F  . 1.8 ຌງິ າຓກາຌຎະຉຽິ ຘຈຂບຄ຃າດຌດຌ ຊາໄ ທໃ າ p ຽຎຌ຃າດຌດຌ, ຎະຉຽິ ຘຈຂບຄ p ຾ຓໃ ຌ ຃າດຌດຌ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ກຄ຺ ກຌຂາໄ ຓກຍ p ຎະຉຽິ ຘຈຂບຄ p ຘຌງາຖກຈທໄ ງ “ p “ ນົ “ ~ p “ ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p ຾ຓໃ ຌ: p q TF FT ຉທ຺ ດໃ າຄ:  ຽຓໃ ບ p ຾຋ຌ “ 2 ຽຎຌ຅າຌທຌຎ຺ກກະຉິ “ ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T . ແຈ:ໄ p ໝາງຽຊຄິ “ 2 ຍໃ ຽຎຌ຅າຌທຌຎ຺ກກະຉິ “ ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F .  ຽຓໃ ບ p ຾຋ຌ “ 3  2  5 “ ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F . ແຈ:ໄ p ໝາງຽຊຄິ “ 3  2  5 “ ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T . 2. ກາຌຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ 2.1 ຿ຈງເຆຉໄ າຉະຖາຄ ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ p  q p  q ຾ກ:ໄ ຽປາ຺ ຘາຓາຈຎະຉຍິ ຈຉາຓຂຌໄ ຉບຌຖໃ ຸຓຌ:ີໄ ກ. ຉບໄ ຄປູ຅ໄ າຌທຌ຾ຊທຂບຄຉາຉະຖາຄ, ຽຆໃ ຄິ ກຖະຌຌີ ຓີໄ ີ 4 ຾ຊທ. ຂ. ຘາໄ ຄຊຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ p , p  q , p  q ຾ຖະ p  q p  q ຃. ຉໃ ຓ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ເຘໃ ຉາຉະຖາຄ຿ຈງບຄີ ເຘໃ ຌງິ າຓ pq p p  q p  q p  q p  q TT F F T T TF F F F F 10

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ FT T T F T F FF T F F ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຅ໃ ຄ຺ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q  r ຾ກ:ໄ ຽປາ຺ ຘາຓາຈຎະຉຍິ ຈຉາຓຂຌໄ ຉບຌຖໃ ຸຓຌ:ີໄ ກ. ຉບໄ ຄປູ຅ໄ າຌທຌ຾ຊທຂບຄຉາຉະຖາຄ, ຽຆໃ ຄິ ກຖະຌຌີ ຓີໄ ີ 8 ຾ຊທ. ຂ. ຘາໄ ຄຊຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ p  q ຾ຖະ p  q  r ຃. ຉໃ ຓ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ເຘໃ ຉາຉະຖາຄ຿ຈງບຄີ ເຘໃ ຌງິ າຓ pq r pq p  q  r T TT F T T TT T T F TF F F F TF T F T FT F F F FT T F T FF F F F FF F T ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ຅ໃ ຄ຺ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  p  r  p  r ຾ກ:ໄ ຽປາ຺ ຘາຓາຈຎະຉຍິ ຈຉາຓຂຌໄ ຉບຌຖໃ ຸຓຌ:ີໄ ກ. ຉບໄ ຄປູ຅ໄ າຌທຌ຾ຊທຂບຄຉາຉະຖາຄ, ຽຆໃ ຄິ ກຖະຌຌີ ຓີໄ ີ 8 ຾ຊທ. ຂ. ຘາໄ ຄຊຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ p  r , p  p  r, r , p  r ຾ຖະ p  p  r  p  r ຃. ຉໃ ຓ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ເຘໃ ຉາຉະຖາຄ຿ຈງບຄີ ເຘໃ ຌງິ າຓ p q r p  r p  p  r r p  r p  p  r  p  r TTT T T FF F TTF T T TT T TFT T T FF F TFF F F TT F FT T T T FF F FT F F T TF F FFT T T FF F 11

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ F T TF F FFF ຉທ຺ ດໃ າຄ4: ຅ໃ ຄ຺ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  p  r  p  q  r ຾ກ:ໄ ຽປາ຺ ຘາຓາຈຎະຉຍິ ຈຉາຓຂຌໄ ຉບຌຖໃ ຸຓຌ:ີໄ ກ. ຉບໄ ຄປູ຅ໄ າຌທຌ຾ຊທຂບຄຉາຉະຖາຄ, ຽຆໃ ຄິ ກຖະຌຌີ ຓີໄ ີ 8 ຾ຊທ. ຂ. ຘາໄ ຄຊຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ p  r , p  q p  p  r, p  q  r ຾ຖະ p  p  r p  q  r ຃. ຉໃ ຓ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ເຘໃ ຉາຉະຖາຄ຿ຈງບຄີ ເຘໃ ຌງິ າຓ p q r p  q p  r p  p  r p  q r p  p  r p  q  r TTT T T T T T TTF T F F F T TFT F T T T T T FF F T T T T FTT T T T T T FT F T F T F F FFT T T T T T FFF T F F T T 2.2 ຿ຈງເຆ຾ໄ ຏຌທາຈ ຽຓໃ ບດາກປູ຃ໄ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຘາຖຍກຖະຌເີ ຈໜໃ ຄຶ ບາຈ຅ະເຆ຾ໄ ຏຌທາຈຄໃາແຓ ໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  p  r ຽຓໃ ບກາຌຈ຺ ເນໄ p ຾ຖະ q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ ຾ຖະ r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ . ຾ກ:ໄ 12

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຈໃ ຄຌຌໄ p  p  r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ . ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q r  s ຽຓໃ ບກາຌຈ຺ ເນໄ p , q , r ຾ຖະ s ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ . ຾ກ:ໄ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q r  s ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ. ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q r  p  s ຽຓໃ ບກາຌຈ຺ ເນ຃ໄ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ p ຾ຖະ s ຊກ q ຾ຖະ r ຏຈິ . ຾ກ:ໄ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q r  p  s ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ. ຉທ຺ ດໃ າຄ4: ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅ິ າຖະຌາຎະ຿ນງກ p  s  p  q  r ຿ຈງເນ:ໄ p ຽຽ຋ຌ 42 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ q ຽຽ຋ຌ 43 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກິ 13

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ r ຽຽ຋ຌ 44 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກິ s ຽຽ຋ຌ 45 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ ຾ກ:ໄ p ຽຽ຋ຌ 42  16 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T q ຽຽ຋ຌ 43  64 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກິ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F r ຽຽ຋ຌ 44  256 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກິ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F s ຽຽ຋ຌ 45  1024 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T p  s    p  q   r  TT TF F T F T T ຈໃ ຄຌຌໄ p  s  p  q  r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ. 3. ຃າດຌດຌ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກຌ ຌງິ າຓ: ຽຓໃ ບ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ A ຾ຖະ B ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຃ກຌ຋ຸກໂກຖະຌີ ຽຑໃ ຌິ ທໃ າ A ຾ຖະ B ຋ຼຍ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌ ຾ຖະ ຘຌງາຖກ A  B ກຄ຺ ກຌຂາໄ ຓຽຑໃ ຌິ ທໃ າ A ຾ຖະ B ຍໃ ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກຌ ຾ຖະ ຘຌງາຖກ A B ຅າກຌງິ າຓແຈ:ໄ 1) p  p 9) p  q r  p  r q  r 10) p  q r  p  r q  r 2) p  q  q  p 3) p  q  q  p 11) p  p  p 4) p  q  q  p 12) p  T  p 13) p  F  F 5) p  q  r  p  q  r 14) p  T  T 6) p  q r  p  q  r 15) p  F  p 7) p  q r  p  r q  r 16) p  p  F 8) p  q r  p  r q  r 18) p  q  p  q 17) p  p  T 14

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 19) p  q  p  q 20) p  q  p  q 21) p  q  p  q ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກຍ p  q ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ pq pq p  q p q p  q TT T F F F TF T F F T F FT T F T F F FF F F T T T T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q ກຍ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຃ກຌ຋ຸກໂກຖະຌີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  p  q ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  p  q ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ p q pq p p  q F T TT T F F TF F T T FT T T T FF T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q ກຍ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຃ກຌ຋ຸກໂກຖະຌີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  p  q ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  p  q ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ 15

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ q pq p  q p  q p q p F T F T F F T TT F F F T T TF F T F T T FT T T FF T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q ກຍ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຃ກຌ຋ຸກໂກຖະຌີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  p  q ຉທ຺ ດໃ າຄ4: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  r  p  q  r ນົຍໃ . ຾ກ:ໄ p q r pq p  q r qr p  q  r TTT T T T T F F F TTF T T T T T T T T FT F T T T F F T T FF F T T T FT T T F T F FT F T FFT T FFF T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  r ກຍ p  q  r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຍໃ ຃ກຌ. ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  r  p  q  r ຉທ຺ ດໃ າຄ5: ເນໄ p ຾ຖະ q ຽຎຌ຃າດຌດຌ ຊາໄ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຉາຓຉາຉະຖາຄຖໃ ຸຓຌີໄ pq pq TT F TF F FT F FF T 16

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຾ຖທໄ ຎະ຿ນງກ p  q ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກຍຎະ຿ນງກເຈຉໃ ແຎຌ:ີໄ p  q , p  q ຾ກ:ໄ pq p  q p  q p  q TT TF FT F FT FT F FF FT F T FT ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  p  q 4. ຃າດຌດຌຊກຉະນບົ ຈ ຾ຖະ ຏຈິ ຉະນບົ ຈ 4.1 ຃າດຌດຌຊກຉະນບົ ຈ ຌງິ າຓ: ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຋ໃ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌຊກເຌ຋ຸກໂກຖະຌີ ຽຑໃ ຌິ ທໃ າ ຽຎຌ຃າດຌດຌຊກຉະນົບຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  p ຊກຉະນບົ ຈ ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ pq pq p  q p TT T TF F T FT F T FF F T T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ຋ຸກໂກຖະຌ.ີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  p ຊກຉະນົບຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  p  q ຊກຉະນົບຈ ນົຍໃ . ຾ກ:ໄ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ 17

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ pq p pq p  q p  q  p  q TT F T T T TF F F F T FT T T T T FF T T T T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ຋ຸກໂກຖະຌ.ີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  p  q ຊກຉະນົບຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  q  p ຊກຉະນົບຈ ນົຍໃ . ຾ກ:ໄ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ p q q p p  q q  p p  q  q  p TT F F T T T TF T F F F T FT F T T T T FF T T T T T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  q  p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ຋ຸກໂກຖະຌ.ີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  q  p ຊກຉະນບົ ຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ4: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q p q ຊກຉະນົບຈ ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ p q p  q p q p  q  p  q TT T FF T TF F FT T FT T TF F FF T TT T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q p q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຍໃ ຊກຉະນົບຈ ຾ຖະ ຍໃ ຏຈິ ຉະນົບຈ. 18

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 4.2 ຃າດຌດຌຏຈິ ຉະນບົ ຈ ຌງິ າຓ: ຃າດຌດຌຎະຘຓ຺ ຋ໃ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌຏຈິ ເຌ຋ຸກໂກຖະຌີ ຽຑໃ ຌິ ທໃ າ ຽຎຌ຃າດຌດຌຏຈິ ຉະນົບຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  q  p ຽຎຌ຃າດຌດຌຏຈິ ຉະນົບຈ ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ p q p  q p q  p p  q  q  p TT T F F F TF F F T F FT F T T F FF F T T F ຅າກຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  q  p ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ ຋ຸກໂກຖະຌ.ີ ຈໃ ຄຌຌໄ p  q  q  p ຏຈິ ຉະນົບຈ. ຉທ຺ ດໃ າຄ2:຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ p  q  p  q ຽຎຌ຃າດຌດຌຏຈິ ຉະນົບຈ ນຍົ ໃ . ຾ກ:ໄ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ pq pq pq p  q p  q TT TT TF TF T FT TF F FF FF F T ຅າກຉາຉະຖາຄຘຄຽກຈຽນຌທໃ າ p  q  p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຍໃ ຊກຉະນບົ ຈ ຾ຖະ ຍໃ ຏຈິ ຉະນົບຈ. 5. ຎະ຿ນງກຽຎີຈ, ຉທ຺ ຍຄ຺ ຎະຖຓິ າຌ ຾ຖະ ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ 5.1 ຎະ຿ນງກຽຎີຈ ຌງິ າຓ: ຎະ຿ນງກຽຎີຈ ຾ຓໃ ຌຎະ຿ນງກ຋ໃ ຓີ ຉີ ທ຺ ຎໃ ຼຌ ຾ຖະ ຘາຓາຈເນ຃ໄ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌແຈໄ ຽຓໃ ບປູ຃ໄ ໃ າຂບຄຉທ຺ ຎໃ ຼຌຽຆໃ ຌ:  ຽຑໃ ຌິ ຽຎຌຌກກາຌຽຓບຄ ຽຎຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ ຽຑາະທໃ າຓຉີ ທ຺ ຎໃ ຼຌ “ ຽຑໃ ຌິ ” ຽຓໃ ບ຾຋ຌ “ ຽຑໃ ຌິ ” ຈທໄ ງ ຍຸກ຃ຌ຺ ເຈໜໃ ຄຶ ຾ຖທໄ ຅ະຽຎຌ຃າດຌດຌ. 19

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  x  y  0 ຽຎຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ ຽຑາະທໃ າຓຉີ ທ຺ ຎໃ ຼຌ x ຾ຖະ y , ຽຓໃ ບ຾຋ຌ຃ໃ າ x ຾ຖະ y ຈທໄ ງ຅າຌທຌ຅ຄິ ເຈໂ຾ຖທໄ ຅ະຽຎຌ຃າດຌດຌ.  3x  2  1 ຽຎຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ ຽຑາະທໃ າຓຉີ ທ຺ ຎໃ ຼຌ x , ຽຓໃ ບ຾຋ຌ຃ໃ າ x ຈທໄ ງ຅າຌທຌ຅ຄິ ເຈໂ຾ຖທໄ ຅ະຽຎຌ຃າດຌດຌຽຆໃ ຌ: ຽຓໃ ບ຾຋ຌ x ຈທໄ ງ 0 ແຈໄ 0  2  1 ແຈ຃ໄ າດຌດຌ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ . ຽຓໃ ບ຾຋ຌ x ຈທໄ ງ 1ແຈໄ 3  2  1 ແຈ຃ໄ າດຌດຌ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ. ຽຓໃ ບ຾຋ຌ x ຈທໄ ງ 2 ແຈໄ 6  2  1 ແຈ຃ໄ າດຌດຌ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ . 5.2 ຉທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌ ເນໄ px ຽຎຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ຋ໃ ຓີ ຉີ ທ຺ ຎໃ ຼຌ x. ຉທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌເຌຉກກະຘາຈຓີ 2 ຉທ຺ ຃:  ຾ຖະ  ຽຆໃ ຄິ ຓ຃ີ ທາຓໝາງຈໃ ຄຌ:ີໄ x , px ໝາງຽຊຄິ px ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ ຘາຖຍ຋ຸກໂ຃ໃ າຂບຄຉທ຺ ຎໃ ຼຌ x . x , px ໝາງຽຊຄິ px ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ ຘາຖຍຍາຄ຃ໃ າຂບຄຉທ຺ ຎໃ ຼຌ x ນົ ຽທາ຺ໄ ບກີ ຾ຍຍ ໜໃ ຄຶ ທໃ າ ຓຍີ າຄ຃ໃ າຂບຄ x ຋ໃ ີ px  ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ. ຉທ຺ ດໃ າຄ: ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຂ຃ໄ ທາຓຉໃແຎຌ຿ີໄ ຈງເຆຉໄ ທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌ. 1) ຘາຖຍ຋ຸກໂ຃ໃ າຂບຄ x ຋ໃ ຽີ ປຈເນໄ x  0  x. 2) ຓຍີ າຄ຃ໃ າຂບຄ x ຋ໃ ຽີ ປຈເນໄ x 1  3. 3) ຘາຖຍ຋ຸກໂ຃ໃ າຂບຄ x ຾ຖະ ຓຍີ າຄ຃ໃ າຂບຄ y ຋ໃ ຽີ ປຈເນໄ x  y  0. 4) ຘາຖຍ຋ຸກໂ຃ໃ າຂບຄ x ຾ຖະ y ຋ໃ ຽີ ປຈເນໄ x  y  y  x. 5) ຓຍີ າຄ຃ໃ າຂບຄ x ຾ຖະ y ຋ໃ ຍີ ທກກຌແຈໄ 5. ທ຋ິ ຂີ ຼຌ: 1) x , x  0  x. 2) x , x 1  3. 3) x y , x  y  0. 4) x y , x  y  y  x. 5) x y , x  y  5. ຂຘໄ ຄຽກຈ: ຎະ຿ນງກຽຎີຈຓຉີ ທ຺ ຎໃ ຼຌ 2 ຉທ຺ ຅ະເຆຉໄ ທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌ 2 ຉທ຺ ຽຆຌກຌ, ກາຌບໃ າຌ຾ຓໃ ຌບໃ າຌຉາຓຖາ ຈຍ (ໜາໄ -ນົຄ). ຉທ຺ ດໃ າຄກາຌນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຉທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌ 20

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຎະ຿ນງກ຋ໃ ຓີ ຉີ ທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌຉໃແຎຌ:ີໄ 1) xx  2  3 , U  N 2) xx  2  2x , U  N ຾ກ:ໄ 1) ຅າກຎະ຿ນງກຽຎີຈ x  2  3 ຾຋ຌ x ຈທໄ ງ 1 ຅ະແຈ:ໄ 1 2  3 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F. ຈໃ ຄຌຌໄ xx  2  3 , U  N ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F. 2) ຅າກຎະ຿ນງກຽຎີຈ x  2  2x ຾຋ຌ x ຈທໄ ງ 1 ຅ະແຈ:ໄ 2  2  22 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T. ຈໃ ຄຌຌໄ xx  2  2x , U  N ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T. ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ເນໄ U  1 , 0 , 1 ຅ໃ ຄ຺ ນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ xyx  y  0 ຾ກ:ໄ ຊາໄ ເນໄ x  1 ຅ະແຈ:ໄ x1 y  0 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T. ຈໃ ຄຌຌໄ y  1. ຊາໄ ເນໄ x  0 ຅ະແຈ:ໄ x0  y  0 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T. ຈໃ ຄຌຌໄ y  0. ຊາໄ ເນໄ x  1 ຅ະແຈ:ໄ x1 y  0 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T. ຈໃ ຄຌຌໄ y  1. ຘະຌຌໄ ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ xyx  y  0 ຾ຓໃ ຌ T. ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ເນໄ U   2 ,1 , 0 , 1, 2 ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າຂເໄ ຈຖໃ ຸຓຌຓີໄ ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ.  1) x x3  x 1  2) x x2  4  3) x x  x 12  4) x x2  3x 18  0 ຾ກ:ໄ  1) x x3  x 1 ຽຓໃ ບ຾຋ຌ຃ໃ າຂບຄ x  2 ຅ະຽປຈເນໄ x3  x 1 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ F .  2) x x2  4 ຽຓໃ ບ຾຋ຌ຃ໃ າຂບຄ x  2 ຅ະຽປຈເນໄ x2  4 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ T .  3) x x  x 12 ຽຓໃ ບ຾຋ຌ຃ໃ າຂບຄ x  2 ຅ະຽປຈເນໄ x  x 12 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ F . 21

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  4) x x2  3x 18  0 ຅າກ x2  3x 18  0 x  6x  3  0 x  6 , x  3 ຽນຌທໃ າ  3 , 6  U ຈໃ ຄຌຌໄ ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ F . 5.3 ກາຌຎະຉຽິ ຘຈຉທ຺ ຍໃ ຄ຺ ຎະຖຓິ າຌ 1) ຎະຉຽິ ຘຈ x, px ຾ຓໃ ຌ x,px 2) ຎະຉຽິ ຘຈ x, px ຾ຓໃ ຌ x,px 3) ຎະຉຽິ ຘຈ xy,px, y ຾ຓໃ ຌ xy,px, y 4) ຎະຉຽິ ຘຈ xy,px, y ຾ຓໃ ຌ xy,px, y 5) ຎະຉຽິ ຘຈ xy,px, y ຾ຓໃ ຌ xy,px, y 6) ຎະຉຽິ ຘຈ xy,px, y ຾ຓໃ ຌ xy,px, y ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌ຅ໃ : 1) xpx Qx  xpx xQx ; x ຘາຓາຈຽຂາ຺ໄ ແຎເຌ \"  \" ແຈ.ໄ 2) xpx Qx  xpx xQx ; x ຍໃ ຘາຓາຈຽຂາ຺ໄ ແຎເຌ \"  \" ແຈ.ໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຎະຉຽິ ຘຈ “ ຌກປຼກ຋ຸກໂ຃ຌ຺ ແຈປໄ ຼຌຉກກະຘາຈ ” ຽຆໃ ຄິ ຂຼຌນງແໄ ຈຈໄ ໃ ຄຌີໄ x, px  x, px ຾ຖະ ໝາງ຃ທາຓທໃ າ ຓຌີ ກປຼຌຍາຄ຃ຌ຺ ຍໃແຈປໄ ຼຌຉກກະຘາຈ. 5.4 ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຽນຈຏຌ຺ ຎະກບຍຈທໄ ງຘບຄຑາກຘໃ ທຌ຃: ຂຘໄ ຓ຺ ຓຸຈຊາຌ ຾ຖະ ຂຘໄ ະນຸຍົ . ເນໄ A1 , A2 , A3,......An ຾ຖະ B ຾ຓໃ ຌຌຂຘໄ ະນຸົຍຂບຄຽນຈຏຌ຺ ໜໃ ຄຶ . ຘຌງາຖກຽນຈຏຌ຺ : A1   A2  ຂຘໄ ຓ຺ ຓຸຈຊາຌ ...  ...   An  ___  B ຂຘໄ ະນຸົຍ ນົ ຂຼຌຽຎຌ A1  A2  A3  ......  An   B ຌງິ າຓ: ຽຓໃ ບ຃າດຌດຌ A1  A2  A3  ......  An   B ຊກຉະນບົ ຈ ຽຑໃ ຌິ ທໃ າຽນຈຏຌ຺ ເຆແໄ ຈ,ໄ ເຌກຖະຌີ ກຄ຺ ກຌຂາໄ ຓ ຽຑໃ ຌິ ທໃ າຽຎຌຽນຈຏຌ຺ ຋ໃ ເີ ຆຍໄ ໃແຈ.ໄ 22

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຉທ຺ ດໃ າຄ1: ຅ໃ ຄ຺ ຘະ຾ຈຄທໃ າ຅າກຘບຄຂຘໄ ຓ຺ ຓຸຈຊາຌ: A1 : p  q, A2 : q, ຾ຖທໄ ຘະນຸຍົ ທໃ າ B : p ຽຎຌກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຋ໃ ເີ ຆແໄ ຈ.ໄ ຾ກ:ໄ ຑ຅ິ າຖະຌາ຃າດຌດຌ p  q  q  p ຽຎຌ຃າດຌດຌຊກຉະນບົ ຈ ນົ ຍໃ . ຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ p q p  q q p  q  q  p p p  q  q  p TT T F F FT TF F T F FT FT T F F TT FF T T T TT ຅າກຉາຉະຖາຄ ຅ະຽນຌທໃ າ຃າດຌດຌ p  q  q  p ຽຎຌ຃າດຌດຌ຋ໃ ຊີ ກຉະນບົ ຈ, ຅ໃ ຄຶ ຘະນຸົຍແຈທໄ ໃ າ ຽນຈຏຌ຺ ຋ໃ ກີ ໃ າທຓາຌຽີໄ ຎຌກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຋ໃ ເີ ຆແໄ ຈ.ໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅ິ າຖະຌາທໃ າ ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຉໃ ແຎຌເີໄ ຆແໄ ຈໄ ນົ ຍໃ . ຘຓ຺ ຓຸຈຊາຌ: 1) ຊາໄ ທໃ າ ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ ຾ຖທໄ ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ຅ະແຎນາ຋ໃ າຌໝ. 2) ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ແຎນາ຋ໃ າຌໝ. ຂຘໄ ະນຸຍົ : ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ A2 : q, ຾ຖທໄ ຘະນຸຍົ ທໃ າ B : p ຽຎຌກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຋ໃ ເີ ຆແໄ ຈ.ໄ ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ q ຾຋ຌ ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ແຎນາ຋ໃ າຌໝ ຈໃ ຄຌຌໄ , ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ບາຈຂຼຌເຌປູຍຘຌງາຖກແຈຈໄ ໃ ຄຌ:ີໄ p  q q  p ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q  q  p p q p  q p  q q p  q q  p TT T T T TF F F T FT T T F 23

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ T F T FF ຅າກຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຅ະຽນຌທໃ າ p  q  q  p ຍໃ ຊກຉະນບົ ຈ ຽຆໃ ຄິ ໝາງ຃າຓທໃ າ ຽນຈຏຌ຺ ຌເີໄ ຆຍໄ ໃແຈ.ໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ2: ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅ິ າຖະຌາທໃ າ ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຉໃ ແຎຌເີໄ ຆແໄ ຈໄ ນົ ຍໃ . ຘຓ຺ ຓຸຈຊາຌ: 1) ຊາໄ ທໃ າ ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ ຾ຖທໄ ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ຅ະແຎນາ຋ໃ າຌໝ. 2) ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ແຎນາ຋ໃ າຌໝ. ຂຘໄ ະນຸຍົ : ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ q ຾຋ຌ ຌາຄ ຑຖິ າຌແີ ຎນາ຋ໃ າຌໝໃ ຈໃ ຄຌຌໄ , ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ບາຈຂຼຌເຌປູຍຘຌງາຖກແຈຈໄ ໃ ຄຌ:ີໄ p q q p ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q q  p p q p  q p  q  q p  q q  p TT T T T TF F F T FT T T F FF T F T ຅າກຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຅ະຽນຌທໃ າ p  q q  p ຍໃ ຊກຉະນບົ ຈ ຽຆໃ ຄິ ໝາງ຃ທາຓທໃ າຽນຈຏຌ຺ ຌເີໄ ຆຍໄ ໃແຈ.ໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ3: ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅ິ າຖະຌາທໃ າ ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຉໃ ແຎຌເີໄ ຆແໄ ຈໄ ນົ ຍໃ . (຿ຈງເຆທໄ ຋ິ ຄີ ໃາແຓ)ໄ ຘຓ຺ ຓຸຈຊາຌ: 1) ຊາໄ ທໃ າ ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ ຾ຖທໄ ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ຅ະແຎນາ຋ໃ າຌໝ. 2) ຌາຄ ຑຖິ າຌີ ແຎນາ຋ໃ າຌໝ. 24

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຂຘໄ ະນຸົຍ: ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ ຾ກ:ໄ ເນໄ p ຾຋ຌ ຌາຄ ຑຖິ າຌຽີ ຎຌແຂໄ q ຾຋ຌ ຌາຄ ຑຖິ າຌແີ ຎນາ຋ໃ າຌໝໃ ຈໃ ຄຌຌໄ , ກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ບາຈຂຼຌເຌປູຍຘຌງາຖກແຈຈໄ ໃ ຄຌ:ີໄ p q q p ກາຌຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌທໃ າຽນຈຏຌ຺ ຌເີໄ ຆແໄ ຈໄ ນົ ຍໃ ຾ຓໃ ຌກາຌຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌທໃ າ p  q q  p ຍໃ ຊກຉະນບົ ຈ ຍໃ ? ຘຓ຺ ຓຸຈ ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q q  p ຾ຓໃ ຌ F ຅ະແຈ:ໄ ຋ຈິ ເຌກາຌ຃າຌທຌ ຍໃ ຑຍ຺ ຂ຃ໄ ຈ຾ງໃ ຄ ຽຆໃ ຄິ ຘະ຾ຈຄຂຘໄ ຓ຺ ຓຸຈ຋ໃ ທີ ໃ າ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q q  p ຓີ F , ໝາງ຃ທາຓທໃ າ ຽນຈຏຌ຺ ເຆຍໄ ໃແຈ.ໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ4: ຅ໃ ຄ຺ ຘະ຾ຈຄທໃ າ ຅າກຘບຄຂຘໄ ຓ຺ ຓຸຈຊາຌ. A1 : p  q A2 :  q ຾ຖທໄ ຘະນຸົຍທໃ າ ຽຎຌກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຋ໃ ເີ ຆແໄ ຈໄ B :  p ຿ຈງເຆທໄ ຋ິ ຄີ ໃາແຓ.ໄ ຾ກ:ໄ ຘຓ຺ ຓຸຈທໃ າ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q  q  p ຾ຓໃ ຌ F 25

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຑຍ຺ ຂ຃ໄ ຈ຾ງໃ ຄ ຽຆໃ ຄິ ຘະ຾ຈຄຂຘໄ ຓ຺ ຓຸຈ຋ໃ ທີ ໃ າ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ p  q  q  p ຓີ F ຍໃ ຊກຉບໄ ຄ, ໝາງ຃ທາຓທໃ າ p  q  q  p ຊກຉະນົບຈ ຾ຖະ ຽຎຌຽນຈຏຌ຺ ເຆແໄ ຈ.ໄ 26

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຍຈ຺ ຽຐິກນຈ 1 1. ຎະ຿ນງກຉໃ ແຎຌ຾ີໄ ຓໃ ຌ຃າດຌດຌ ນົ ຍໃ ? ຊາໄ ທໃ າ຾ຓໃ ຌເນຆໄ ບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌຑບໄ ຓ ? a. ຎະຽ຋ຈຖາທດໃ ູເຌ຋ະທຍີ ຽບຕີ ຍ຺ b. 43 ຾ຓໃ ຌ຅າຌທຌຎ຺ກກະຉິ c. ເຏກຌຌີໄ d. 2 + 3 = 6 e. ເຌຎີ ຃ຘ 1918 ຾ຓໃ ຌຎີຘຌິໄ ຘຸຈຂບຄຘຄ຺ ຃າຓ຿ຖກ຃ຄໄ ຋ໃ ີ 1 f. 0 ຽຎຌ຅າຌທຌ຅ຄິ g. ຅ໃ ຄ຺ ຌໃ ຄຖຄ຺ h. ກະຖຸຌາບບກແຎຽຊຈີ i. ຂບໄ ງດາກຽຎຌຑະຽບກ j. ຂບໄ ງດາກປຼຌຽກໃ ຄ k. ຉາຽທຌຂຌໄ ຋າຄ຋ຈິ ຉາຽທຌຉກ຺ l. 31 ຾ຓໃ ຌ຅າຌທຌຓຌູ m. ຎະຽ຋ຈຖາທຓີ 17 ຾ຂທຄ 1 ກາ຾ຑຄຌະ຃ບຌ n. ຋າໄ ທຉຸງໄ ຾ຉໃ ຄຄາຌຽຓໃ ບທຌຘຸກ຋ໃ ຏີ ໃ າຌຓາ o. 3 ຾ຖະ 4 ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌ p. ຌາຄບາຖຘິ າ຅ະ຾ຉໃ ຄຄາຌກຉຽຓໃ ບຖາທປຼຌ຅ຍ຺ q. ຊາໄ ຌກ຺ ຓນີ ຾ູ ຖທໄ ໜຉູ ບໄ ຄຓຎີ ິກ r. ຅ໃ ຄ຺ ຂະນງຌໝໃ ຌຑຼຌປຼຌໜຄຘ s. ຓຘີ ໃ ຄິ ຋ໃ ຓີ ຆີ ທີ ຈິ ຍາຄຆະຌຈິ ບາແຘດໃ ູຈາທບຄ຃າຌ t. ຎີຌຎີໄ ະຽ຋ຈຖາທ຅ະໜາທ u. Y ຃຅າຌທຌ຋ໃ ນີ ົາງກທໃ າ 12 ຾ຉໃ ຌບໄ ງກທໃ າ 20 2. ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຘຌງາຖກ຾຋ຌ຃າດຌດຌຖໃ ຸຓຌີໄ ຾ຖະ ຍບກ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄຓຌຑບໄ ຓ. ກ. ຄຽູ ນໃ າ຺ ຾ຖະ ຄ຅ູ ຄ຺ ບາຄຽຎຌຘຈຓຑີ ຈິ ຂ. 3  4 ນົ 3  4 ຃. ຊາໄ ທໃ າ 2 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ ຾ຖທໄ 4 ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກິ ຄ. ຊາໄ ທໃ າ 2  5  6 ຾ຖທໄ 2  6  12 3. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຖໃ ຸຓຌ.ີໄ ກ. ຊາໄ ທໃ າ 1 2  3 ຾ຖທໄ ຅ະແຈໄ 3  4  7 ຂ. 2  2  5 3  3  3 5  4  8 27

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຃. 2  2  5 3  3  3  5  4  8 4. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກຎະຉຽິ ຘຈຂບຄ຃າດຌດຌຉໃແຎຌີໄ ຾ຖທໄ ນາ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌ ຋ໃ ຽີ ຎຌຎະຉຽິ ຘຈຌຌໄ ກ. 4  8  5  7 ຂ. 2 ຍໃ ຽຎຌ຅າຌທຌ຅ຄິ ຃. ແກໃ ຽຎຌຘຈຎີກ ຄ. 23  80 5. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຽຓໃ ບກາຌຈ຺ ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຘາຖຍຍາຄ຃າດຌດຌຈໃ ຄຉໃແຎຌ:ີໄ ກ. p  q  r ຽຓໃ ບ q  r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຂ. p  q r  s ຽຓໃ ບ q  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຾ຖະ r  s ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຃. p  q  r ຽຓໃ ບ r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຄ. p  q  r  s ຽຓໃ ບ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຅. p  q  r ຽຓໃ ບ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຘ. p  q p  q ຽຓໃ ບ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຆ. p  q  r ຽຓໃ ບ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ງ. p  q  r  s ຽຓໃ ບ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຾ຖະ r  s ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຈ. p  q  r ຽຓໃ ບ q  r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຉ. p  q  r  s ຽຓໃ ບ p  q ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T ຾ຖະ r  s ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ F ຊ. p  q  r ຽຓໃ ບ q  r ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ T 6. ຅ໃ ຄ຺ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ຃າດຌດຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ ກ. p  q  r ຂ. p  q  r ຃. p  q  r  s ຄ. p  p  q  q ຅. p  p  q ຘ. p  q  q  p 7. ຅ໃ ຄ຺ ຌາເຆຉໄ າຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຽຑໃ ບກທຈຽຍໃ ຄິ ທໃ າ຃າດຌດຌຖໃ ຸຓຌ຋ີໄ ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກຌ ນົ ຍໃ . ກ. p  q ຂ. p  q ຃. p  q ຄ. p  q ຅. p  q p  q ຘ. p  q p  q ຆ. p  q  r ງ. p  q p  r 8. ຅ໃ ຄ຺ ຘາໄ ຄຉາຉະຖາຄ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຽຑໃ ບຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌທໃ າ຃າດຌດຌຖໃ ຸຓຌຊີໄ ກຉະນົບຈ, ຏຈິ ຉະນົບຈ ນົ ທໃ າຍໃ ຊກ ຉະນບົ ຈ. ກ. p  q q  p ຂ. p  q q  r  p  r ຃. p  q q  p ຄ. p  q r  s p  r  q  s ຅. p  q r  s q  s  p  r 9. ຅ໃ ຄ຺ ຑຘິ ູຈທໃ າ: ກ. p  q  p  q ຂ. p  q  p  q q  p ຃. p  p  p ຄ. p  p  p 28

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຅. p  p  q  p ຘ. p  q  q  p ຆ. p  q  r  p  q p  r ງ. p  q  p  q ຈ. p  q  p  q ຉ. p  q  r  p  p  r 10. ຎະ຿ນງກຉໃ ແຎຌຽີໄ ຎຌ຃າດຌດຌ ນົ ຎະ຿ນງກຽຎີຈ ນົ ຍໃ ຽຎຌ຋ຄ຃າດຌດຌ ຾ຖະ ຎະ຿ນງກຽຎີຈ. ກ. ຽຂາ຺ ກາຖຄປຼຌດໃ ູຆຌໄ ຓຈ຋ະງຓ຺ ຘກຶ ຘາຎີ຋ີ 5. ຂ. ຽຂາ຺ ກາຖຄ຅ະແຎຉະນົາຈຍໃ ຃. 8  4  12 ຄ. x2 1 ຅. x2  x  6  x  3x  2 11. ເນໄ px ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" 3  x  7 \" Rx ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ \" Gx , y ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ນາຌຂາຈເນໄ y \" Qx , y ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x  y  5 \" ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຎະ຿ນງກຉໃ ແຎຌຽີໄ ຎຌ຃າຽທາ຺ໄ . ກ. p4 ຂ. p4  Rx ຃. p2 R2 ຄ. Rx Rx ຅. Qy , x ຘ. Qx , y Qx , y ຆ. R10 ງ. Gx , y Qx , y ຈ. Q2 , Z  ຉ. p5 R5 Qx , y  px 12. ເນໄ px ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌ \" Qx ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຓ຃ີ ໃ າໜບໄ ງກທໃ າ 8 \" Rx ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ \" Sx ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌ຅າຌທຌຍທກ \" T y ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" y  1 \" ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຎະ຿ນງກຉໃ ແຎຌຈີໄ ທໄ ງຘຌງາຖກ. ກ. y ຓ຃ີ ໃ າຽຎຌຍທກ ຂ. y ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ ຃. x ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ າໜບໄ ງກທໃ າ 8 ຄ. x ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌ຋ໃ ຍີ ໃ ຓ຃ີ ໃ າໜບໄ ງກທໃ າ 8 ຅. ຊາໄ ທໃ າ x  1 ຾ຖທໄ x ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌຍທກ ຘ. y ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌຍທກ຋ໃ ຓີ ຍີ ໃ ຽ຋ໃ າ຺ 1 13. ເນໄ px ຾຋ຌຂ຃ໄ ທາຓ \" x ຽຎຌຌກ຺ \" Qx ຾຋ຌຂ຃ໄ ທາຓ \" x ຽຎຌບານາຌ \" ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌ຃າຽທາ຺ໄ ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈຉໃ ແຎຌ:ີໄ ກ. xpx Qx ຂ. xpx  Qx 29

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຃. xpx Qx ຂ. xpx  Qx 14. ເນໄ px ຾຋ຌຂ຃ໄ ທາຓ \" x ຽຎຌຆາທຌາ \" Qx ຾຋ຌຂ຃ໄ ທາຓ \" x ຉບໄ ຄຽປຈທຼກໜກ \" ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌ຃າຽທາ຺ໄ ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈຉໃ ແຎຌ:ີໄ ກ. xpx Qx ຂ. xpx  Qx ຃. xpx Qx ຂ. xpx  Qx 15. ເນໄ px ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌຆາທຌະ຃ບຌນທົ ຄທຼຄ຅ຌ \" Qx ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌ຃ຌ຺ ປກຘາຘໃ ຄິ ຾ທຈຖບໄ ຓ \" ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຘຌງາຖກ຾຋ຌ຃າດຌດຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ ກ. \" ຆາທຌະ຃ບຌນົທຄທຼຄ຅ຌ ຋ຸກ຃ຌ຺ ຽຎຌ຃ຌ຺ ປກຘາຘໃ ຄິ ຾ທຈຖບໄ ຓ \" ຂ. \" ຆາທຌະ຃ບຌນທົ ຄທຼຄ຅ຌ ຍາຄ຃ຌ຺ ຽຎຌ຃ຌ຺ ປກຘາຘໃ ຄິ ຾ທຈຖບໄ ຓ \" ຃. \" ຍໃ ຓຆີ າທຌະ຃ບຌນທົ ຄທຼຄ຅ຌ຅ກ຃ຌ຺ ເຈ ຽຎຌ຃ຌ຺ ປກຘາຘໃ ຄິ ຾ທຈຖບໄ ຓ \" 16. ເນໄ px ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌຌກປຼຌ \" Qx ຾຋ຌຎະ຿ນງກຽຎີຈ \" x ຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຘຌງາຖກ຾຋ຌ຃າດຌດຌຉໃ ແຎຌ:ີໄ ກ. \" ຌກປຼຌ຋ຸກ຃ຌ຺ ຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຂ. \" ຌກປຼຌຍາຄ຃ຌ຺ ຍໃ ຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຃. \" ຌກປຼຌຍາຄ຃ຌ຺ ຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຄ. \" ຍໃ ຓຌີ ກປຼຌ຃ຌ຺ ເຈຽຖງີ ຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຅. \" ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌຍາຄ຃ຌ຺ ຽຎຌຌກກຖິ າ຾ຖທໄ ຍາຄ຃ຌ຺ ຅ະຍໃ ຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຘ. \" ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌ຋ຸກ຃ຌ຺ ຽຎຌຌກກຖິ າ຾ຖທໄ ຌກປຼຌຍາຄ຃ຌ຺ ຅ະຽຎຌຌກກຖິ າ \" ຆ. \" ຊາໄ ທໃ າຌກປຼຌ຋ຸກ຃ຌ຺ ຽຎຌຌກກຖິ າ຾ຖທໄ ຌກກຖິ າຍາຄ຃ຌ຺ ຅ະຽຎຌຌກປຼຌ \" 17. ເນໄ Qx: x ຽຎຌຘຌິ ຃າໄ ຋ໃ ຓີ ຃ີ ຸຌຌະຑາຍຈີ Px: x ຽຎຌຘຌິ ຃າໄ ເໝໃ ກ. x , Px  Qx ຂ. x , Px Qx ຃. x , Px Qx ຄ. x , Px  Qx ຅າກຎະ຿ນງກຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ຌີໄ 1) ຅ໃ ຄ຺ ຂຼຌຎະ຿ນງກ຃າຽທາ຺ໄ ຾຋ຌຎະ຿ນງກຘຌງາຖກ 2) ຅ໃ ຄ຺ ຆບກກາຌຎະຉຽິ ຘຈ຋ໃ ຽີ ຎຌຘຌງາຖກ ຾ຖະ ຂຼຌຽຎຌຎະ຿ນງກ຃າຽທາ຺ໄ 18. ຅ໃ ຄ຺ ກທຈຘບຍຽຍໃ ຄິ ທໃ າກາຌເນຽໄ ນຈຏຌ຺ ຉໃ ແຎຌເີໄ ຆແໄ ຈໄ ນົ ເຆຍໄ ໃແຈໄ ກ. ຊາໄ ທໃ າຐ຺ຌຉກ຺ ຾ປຄຽຈໃ ຌີ ຅ະຎຼກ. ຐ຺ຌຉກ຺ . ຈໃ ຄຌຌໄ , ຽຈໃ ຌີ ຅ະຎຼກ ຂ. ຍຸຌຓ຅ີ ະຆະຌະເຌກາຌຉຓີ ທງກຉໃ ຽຓໃ ບຽຂາ຺ ນຌົິໄ ຘຸຈຐີຓ ຾ຖະ ຃ໃ ຾ູ ຂໃ ຄຂບຄຽຂາ຺ໄ ນົຌິໄ ຏຈິ ຑາຈ. ຍຸຌຓນີ ົຌິໄ ຘຸຈຐີຓ ຾ຉໃ ຍໃ ຆະຌະ. ຈໃ ຄຌຌໄ , ຃ໃ ູ຾ຂໃ ຄຂບຄຽຂາ຺ໄ ນົຌິໄ ຏຈິ ຑາຈ. 30

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຃. ຊາໄ ທໃ າກາຌຘຌ຅ບຌຉຈິ ຂຈ, ຖຈ຺ ຅ະຉບໄ ຄ຾ຖໃ ຌຆາໄ . ຊາໄ ທໃ າກາຌຘຌ຅ບຌຍໃ ຉຈິ ຂຈ ຾ຖະ ຖຈ຺ ຅ະຉບໄ ຄ຾ຖໃ ຌຍໃ ຆາໄ ຾ຖທໄ ຑູ຋ບຌ຅ະແຎ຿ປຄປຼຌ຋ຌຽທຖາ. ຑູ຋ບຌແຎ຿ປຄປຼຌ຋ຌຽທຖາ. ຈໃ ຄຌຌໄ , ກາຌຘຌ຅ບຌຍໃ ຉຈິ ຂຈ. 19. U   2, 1, 0, 1, 2  ຂເໄ ຈຖໃ ຸຓຌຊີໄ ກຉບໄ ຄ  a. x x3  x 1  c. x x2  4  b. x x  x 12  d. x x2  3x 18  0 20.ເນນໄ ທາຄກາຌຈ຺ ຃:  2 , 2 ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅ິ າຖະຌາຂ຃ໄ ທາຓຉໃ ແຎຌີໄ  a. x x  x2  x  x2 ຾ຖະ x  x2 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຏຈິ  b. x x2  x  6  0 ຓ຃ີ ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຊກ 21. ເນໄ U  1, 0 , 1  ຅ໃ ຄ຺ ຆບກ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ xy x  y  0  22. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກ຃ໃ າ຃ທາຓ຅ຄິ ຂບຄ x x  2  3  , U  N 31

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຍຈົ ຋ີ 2 ຓະເຌຑາຍຂຬຄກໄ ຓ I. ຓະເຌຑາຍຂຬຄກໄ ຓ ຃າໍ ວໄ າ ” ກໄ ຓ ” ເຈງ຋ໄ ວົ ໂຎ຿ລວ໅ ໝາງ຾ຊຄິ ກາຌເອຓ຾ຬາົ ສໄ ຄິ ຂຬຄຉໄ າຄໃ຾ຂາົ໅ ໂວຌ໅ າໍ ກຌ ຾ຆໄ ຄິ ຬາຈ຅ະ ຿ຓໄ ຌ຃ຌົ , ສຈ ຫຼື ວຈຊສໄ ຄິ ຂຬຄຉໄ າຄໃ ຾ຆໄ ຌ: ກໄ ຓຌກອຽຌຆາງວ຋ິ ະງາໂລ຃ຫູ ຼວຄຌາໍ໅ ຋າ຋ໄ ຾ີ ຎຌສະຓາຆກິ ຆາວໜໄ ຓ, ກໄ ຓຆາວໜໄ ຓຍາ໅ ຌເຑຌໂຆສະຫວໄ າຄ ຾ຓໄ ຬຼື ຄ ຿ລະ ຿ຂວຄຫຼວຄຌາໍ໅ ຋າ... ແຌກໄ ຓໜໄ ຄຶ ຬາຈ຅ະຓຬີ ຄົ ຎະກຬຍ ຫຼື ຍໄ ຓໍ ຬີ ຄົ ຎະກຬຍຂຬຄຓຌ, ຾ຑໄ ຌິ ສຌງາລກກໄ ຓຈວ໅ ງຉວົ ຬກສຬຌລາ຿ຉຄຉວົ ແຫງໄ ຾ຆໄ ຌ: A, B, C,… ຾ຑໄ ຌິ ສຌງາລກຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓຈວ໅ ງຉວົ ຬກສຬຌລາ ຿ຉຄຉວົ ຌຬ໅ ງ, ຉວົ ຾ລກ ຫຼື ຾຃ໄ ຬືຼ ຄໝາງຉໄ າຄໃ. ສໄ ວຌກໄ ຓ຋ໄ ຍີ ໄ ໍຓຬີ ຄົ ຎະກຬຍ຾ຬຌີ໅ ວໄ າກໄ ຓ຾ຎໄ ົາ ຿ລະ ສຌງາລກ  ຫຼື  . a  A ຬໄ າຌວໄ າ a ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ A b  B ຬໄ າຌວໄ າ b ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ B c  C ຬໄ າຌວໄ າ c ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ C d  C ຬໄ າຌວໄ າ d ຍໄ ຾ໍ ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ C 1) ກາຌສະ຾ໜກີ ໄ ຓ  ກາຌຂຽຌ຿ຍຍ຿຅ກດາງຬຄົ ຎະກຬຍ: ຿ຓໄ ຌກາຌຂຽຌຬຄົ ຎະກຬຍ຋ກຉວົ ຂຬຄກໄ ຓຌຌ໅ ລຄົ ແຌວຄົ ຎີກ ກາ   ຿ລະ ຂຌ໅ ລະຫວໄ າຄສະຓາຆກິ ຿ຉໄ ລະຉວົ ຈວ໅ ງ຾຃ໄ ຬືຼ ຄໝາງ຅ຈ “ , ” ຿ລະ ຬຄົ ຎະກຬຍຬຌ ຈຽວກຌຍໄ ແໍ ຫຂ໅ ຽຌຆາໍ໅ ກຌ຾ຆໄ ຌ: A  1 , 2 , 3 A   ວຌ຋ຈິ , ວຌ຅ຌ, ວຌຬຄ຃າຌ, ວຌຑຈ, ວຌຑະຫຈ, ວຌສກ, ວຌ຾ສາົ  C  a , e , i , o , u  N  1 , 2 , 3 , 4 , .......   ກາຌຂຽຌ຿ຍຍຍຬກ຾ຄໄຬຼື ຌໂຂ: ຾ຎຌກາຌຂຽຌ຿຋ຌສະຓາຆກິ ຂຬຄກໄ ຓຈວ໅ ງຉວົ ຎໄ ຽຌລຄົ ແຌວຄົ ຎີກກາ, ກາໍ ຌຈົ ຾ຄໄຬຼື ຌໂຂກໄ ຽວກຍຉວົ ຎໄ ຽຌຌຌ໅ ວໄ າຓສີ ໄ ຄິ ແຈ຿ຈໄ ຋ໄ ຾ີ ຎຌສະຓາຆກິ ຂຬຄກໄ ຓ ຿ລະ ແຆ຾໅ ຃ໄ ຬຼື ຄໝາງ “ / ” ຂຌ໅ ລະຫວໄ າຄຉວົ ຬກສຬຌ ຿ລະ ຾ຄໄຬຼື ຌໂຂ຾ຆໄ ຄິ ຬໄ າຌວໄ າ: “ ຾ຆໄ ຄິ ວໄ າ ” ຫຼື “ ເຈງວໄ າ ” ຾ຆໄ ຌ:  A  x / x  10 , x  2k , k  N  ຅ະໂຈ:໅ A  2 , 4 , 6 , 8   B  x / x ຅ະ຿ຓໄ ຌຆໄ ຂຼື ຬຄວຌແຌຬາ຋ຈິ  ຅ະໂຈ:໅ B   ວຌ຋ຈິ , ວຌ຅ຌ, ວຌຬຄ຃າຌ, ວຌຑຈ, ວຌຑະຫຈ, ວຌສກ, ວຌ຾ສາົ   C  x / x  N , x 1x  3  0  ຅ະໂຈ:໅ C   1  32

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ  ແຆ຿໅ ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ (Venn-Euler): ຾ຎຌກາຌສະ຾ໜກີ ໄ ຓຈວ໅ ງວຄົ ອຬຍ຾ຆໄ ຌ: ອູຍສໄ ຿ີ ຅ສາກ, ວຄົ ຓຌົ , ຿ຬຌລຍິ ,... ຉວົ ດໄ າຄ:  ຊາ໅ A ຿ລະ B ຾ຎຌກໄ ຓ຋ໄ ຍີ ໄ ຓໍ ສີ ະຓາຆກິ ອໄ ວຓກຌ AB U  ຊາ໅ A ຿ລະ B ຾ຎຌກໄ ຓ຋ໄ ຓີ ສີ ະຓາຆກິ ອໄ ວຓກຌຍາຄສໄ ວຌ AB U  ຊາ໅ A  B ຿ຉໄ A  B A B  ຊາ໅ A  B U A B U 33

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ 2) ຆະຌຈິ ຂຬຄກໄ ຓ: ເຈງຑ຅ິ າລະຌາ຅າກ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ, ກໄ ຓ຿ຍໄ ຄຬຬກ຾ຎຌສຬຄຆະຌຈິ ຃:ືຼ ກໄ ຓ ສຌິ໅ ສຈ ຿ລະ ກໄ ຓຍໄ ສໍ ຌິ໅ ສຈ.  ກໄ ຓສຌີິ໅ ສຈ: ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຋ໄ ສີ າຓາຈຌຍຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄຓຌໂຈ຋໅ ກຉວົ . ຉວົ ດໄ າຄ: A  1 , 3 , 5 , 7  B  a , e , i , o , u   ກໄ ຓຍໄ ສໍ ຌີິ໅ ສຈ: ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຋ໄ ຅ີ າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄຓຌຓຫີ ຼາງຍໄ ສໍ າຓາຈຌຍ. ຉວົ ດໄ າຄ: N  1 , 2 , 3, 4 , ......  3) ກໄ ຓ຋ຽຍ຾຋ໄ າົ ກຌ ຌງິ າຓ: ແຫກ໅ ໄ ຓ A ຿ລະ B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓສຌິ໅ ສຈ ຾ຓໄ ຬືຼ ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B ຾຋ໄ າົ ກຌ ຾ຑໄ ຌິ ວໄ າກໄ ຓ A ຋ຽຍ຾຋ໄ າົ ກຍກໄ ຓ B ຿ລະ ສຌງາລກ A  B. ຉວົ ດໄ າຄ1: A  1 , 3 , 5 , 7, 9  B  a , e , i , o , u  ຾ຫຌວໄ າ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ A ຿ລະ ຂຬຄ B ຾຋ໄ າົ ກຌ nA  nB  5 ຈໄ ຄຌຌ໅ : A  B. ຉວົ ດໄ າຄ2: A B ຾ຫຌວໄ າ: nA  nB  3 ກຂ 12 ຈໄ ຄຌຌ໅ : A  B. ຃3 U ຉວົ ດໄ າຄ3: A  x / x ຿ຓໄ ຌ຾ຈຬືຼ ຌຂຬຄໜໄ ຄຶ ຎີ  B  x / x ຿ຓໄ ຌຓຂືຼ໅ ຬຄໜໄ ຄຶ ຬາ຋ຈິ  ອູວ໅ ໄ າ: nA  12 nB  7 ຈໄ ຄຌຌ໅ : A  B. 34

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ 4) ກໄ ຓ຾຋ໄ າົ ກຌ ຌງິ າຓ: ຾ຓໄ ຬຼື A  B ຿ລະ ຓຬີ ຄົ ຎະກຬຍຬຌຈຽວກຌ ຾ຑໄ ຌິ ວໄ າກໄ ຓ A ຾຋ໄ າົ ກຍກໄ ຓ B ຿ລະ ສຌງາລກ A  B, ກຄົ ກຌຂາ໅ ຓ ຾ຑໄ ຌິ ວໄ າກໄ ຓ A ຍໄ ຾ໍ ຋ໄ າົ ກໄ ຓ B ຿ລະ ສຌງາລກ A  B. ຉວົ ດໄ າຄ1: A  1 , 2 , 3 , 4 , 5  B  1 , 5 , 3 , 4 , 2  C  1 , 3 , 5 , 6 ຅ະໂຈ:໅ A  B , A  C , B  C. ຉວົ ດໄ າຄ2: ຅ະໂຈ:໅ A  B , A  C , B  C. 5) ຬະຌກໄ ຓ ຌງິ າຓ: ຾ຓໄ ຬືຼ ຋ກໃຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ A ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ B ຾ຑໄ ຌິ ວໄ າ A ຾ຎຌຬະຌກໄ ຓຂຬຄກໄ ຓ B ຿ລະ ສຌງາລກຈວ໅ ງ A  B. ກລໍ ະຌກີ ຄົ ກຌຂາ໅ ຓ, A ຍໄ ໍ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ B ຿ລະ ສຌງາລກຈວ໅ ງ A  B.  ຉວົ ດໄ າຄ1: A  x / x  N, x2  4 B   4 ,  2 , 0 , 2 , 4 ໂຈ:໅ A  B. ຉວົ ດໄ າຄ2: ໂຈ:໅ C  B  A  ສໄຄິ ຋ໄ຃ີ ວຌ຾ຬາົ ແ຅ແສໄ :  ຋ກໃກໄ ຓ ລວ໅ ຌ຿ຉໄ ຾ຎຌຬະຌກໄ ຓຂຬຄຓຌ຾ຬຄ  ກໄ ຓ຾ຎໄ ົາ ຾ຎຌຬະຌກໄ ຓຂຬຄ຋ກໃກໄ ຓ  A  B  A  B B  A. 35

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ 6) ກໄ ຓຑາກສໄ ວຌ ຌງິ າຓ: ແຫກ໅ ໄ ຓ A ຾ຎຌກໄ ຓສຌິ໅ ສຈ. ກໄ ຓຑາກສໄ ວຌຂຬຄ A ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຂຬຄ຋ກໃຬະຌກໄ ຓຂຬຄ A. ຾ຑໄ ຌິ ສຌງາລກກໄ ຓຑາກສໄ ວຌຂຬຄ A ຈວ໅ ງ PA . PA  x / x  A. ຉວົ ດໄ າຄ: ແຫ໅ A  1 , B  a , b ຿ລະ C  1 , 2 , 3 . ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາ PA , nPA , PB , nPB , PC , nPC . ຿ກ:໅ PA   , 1 , nPA  2 PB   , a , b , a , b , nPB  4 PC   , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , nPB  8 ສຄ຾ກຈ຾ຫຌ຾ຓໄ ຬຼື nA  k , ຅ະໂຈ:໅ nPA  2k . 7) ກໄ ຓ຅ກກະວາຌ ຌງິ າຓ: ກໄ ຓ຋ໄ ກີ ວຓ຾ຬາົ ຬຄົ ຎະກຬຍ຋ກໃຉວົ ແຌ຾ຂຈ຋ໄ ຾ີ ອາົ ສກຶ ສາ ຓຆີ ໄ ວືຼ ໄ າ ກໄ ຓ຅ກກະວາຌ ຿ລະ ສຌງາລກ ຈວ໅ ງ U . ຉວົ ດໄ າຄ1: ຾ຓໄ ຬືຼ ສກຶ ສາກໄ ຽວກຍ຅າໍ ຌວຌຊວ໅ ຌຍວກ຿ຉໄ 1 ຾ຊຄິ 100 ໂຈ:໅ U  1 , 2 , 3 ,......., 100. ຉວົ ດໄ າຄ2: ກາໍ ຌຈົ ແຫ໅ U  1 , 2 , 3 , 4 B  x / x2  4 ຅າກ x2  4 ໂຈ໅ x  2 ຿ຉໄ ວໄ າ  2 U ຈໄ ຄຌຌ໅ B  2. ຉວົ ດໄ າຄ3: ກາໍ ຌຈົ ແຫ໅ U  1 , 0 , 1  C  x / x2  x  6  0 ຅າກ x2  x  6  0 ໂຈ໅ x  3 , x  2 ຿ຉໄ ວໄ າ  3 ,2 U ຈໄ ຄຌຌ໅ C   . ຉາຓ຿ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ ຾ຑໄ ຌິ ສະ຾ໜກີ ໄ ຓ຅ກກະວາຌຈວ໅ ງອູຍສໄ ຿ີ ຅ສາກ ຾ຆໄ ຌ ແຌຉວົ ດໄ າຄ຋ໄ ີ 2 ຾ອາົ ສາຓາຈ ສະ຿ຈຄຈວ໅ ງກໄ ຓ຅ກກະວາຌໂຈຈ໅ ໄ ຄຌ:ີ໅ 8) ກາຌເອຓ: ກາຌເອຓຂຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ ກໄ ຓ B ສຌງາລກຈວ໅ ງ A  B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຾ຆໄ ຄິ ຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ ຓຌ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ A ຫຼື ຂຬຄກໄ ຓ B . 36

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຉວົ ດໄ າຄ1: A  1 , 2 , 3 , 4 , 5 ຿ລະ B  2 , 4 , 6 , 8  ໂຈ:໅ A  B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 ຉວົ ດໄ າຄ2: ຉວົ ດໄ າຄ3: ໂຈ:໅ A  B  a, b , c , d ໂຈ:໅ A  B  1, 2 , a , b ສາຓາຈສະ຿ຈຄແຫ຾໅ ຫຌວໄ າ:  AA A  A  A  AU U  AB  BA  A  B C  A  B  C  A  A B  A  A  B ຿ລະ B  A  B 9) ກາຌຉຈ ຫຼື ກາຌອໄ ວຓ: ແຫສ໅ ຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B . A ຉຈ B ສຌງາລກຈວ໅ ງ A  B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຋ໄ ຬີ ຄົ ຎະກຬຍຂຬຄຓຌ຾ຎຌ ຬຄົ ຎະກຬຍອໄ ວຓຂຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B . A  B  x / x  A , x  B . ຉວົ ດໄ າຄ1: A  a , b , c , d , B  c , d , e , f  A  B  c , d ຉວົ ດໄ າຄ2: A  1 , 3 , 5  , B  2, 4 , 6  AB  37

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຉວົ ດໄ າຄ3: A  1 , 2 , 3  , B  1, 2 , 3 , 4 , 5 A  B  1 , 2 , 3 ສາຓາຈສະ຿ຈຄແຫ຾໅ ຫຌວໄ າ:  AU  A  A   AA A  AB  BA  A  B C  A  B  C  A  B  A ຿ລະ A  B  B  A  BC  A C B C  A  BC  A  C B  C 10) ກາຌລຍົ ຂຬຄກໄ ຓ ແຫສ໅ ຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B . A ລຍົ B ສຌງາລກຈວ໅ ງ A  B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຋ໄ ຬີ ຄົ ຎະກຬຍຂຬຄຓຌ຾ຎຌ ຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ A ຿ຉໄ ຍໄ ໍ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓ B . A  B  x / x  A , x  B . B  A  x / x  B , x  A. ຉວົ ດໄ າຄ1: A  1 , 2 , 3 , 8  , B  2 , 3 , 4 , 5 ໂຈ:໅ A  B  1 , 8 , B  A   4 , 5 ຃ຌລກສະຌະ:  A A  A  BC  A C B C  A  B  A  A B  A  A BA B . 11) ກາຌຉໄ ຓຼື ຾ຉຓຂຬຄ A ກໄ ຓຉໄ ຓຼື ຾ຉຓຂຬຄ A ຾ຆໄ ຄິ ສຌງາລກຈວ໅ ງ A' ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຋ໄ ເີ ອຓກຍ A ຾ຑໄ ຬືຼ ແຫໂ໅ ຈກ໅ ໄ ຓ຅ກກະວາຌ U , 38

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຿ຓໄ ຌ U  A ຫຼື ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຋ໄ ຬີ ຄົ ຎະກຬຍຂຬຄຓຌຍໄ ໍ຾ຎຌຂຬຄກໄ ຓ A ຿ຉໄ ຾ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ U . A'  A  U , A'  U  A , A'  x / x U , x  A ຉວົ ດໄ າຄ: ແຫ໅ A ຿ລະ B ຾ຎຌຬະຌກໄ ຓຂຬຄກໄ ຓ຅ກກະວາຌ U ເຈງວໄ າ U  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7  ; A   1 , 3 , 5  ; B   2 , 4 , 6  ໂຈ:໅ A'  2 , 4 , 6 , 7  B'  1 , 3 , 5 , 7  ສາຓາຈສະ຿ຈຄແຫ຾໅ ຫຌວໄ າ:   A' '  A   '  U ຿ລະ U '    A  B'  A'  B'  A  B'  A'  B' 12) ຏຌົ ລຍົ ຾຃ໄ ຄິ ຃ຂືຼ ຬຄກໄ ຓ ຏຌົ ລຍົ ຾຃ໄ ຄິ ຃ຂືຼ ຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B ຾ຆໄ ຄິ ສຌງາລກຈວ໅ ງ A  B ຿ຓໄ ຌ A B B  A ຫຼື A B A  B. ຉວົ ດໄ າຄ: ຅າກ຿ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌລໄ ຓຌີ໅ ຾ອາົ ໂຈ:໅ 39

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ A  B   a , c , d , g , AC   a , b , f , g , BC  b , c , d , f  ຃ຌລກສະຌະ:  ABB A  A  A  A A  A  B B  A  A  B A  B  A  B 13) ກາຌຆຬກຫາ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓສຌີ໅ ສຈ ຾ອາົ ສາຓາຈຆຬກຫາ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓສຌິ໅ ສຈໂຈຈ໅ ວ໅ ງ 2 ວ຋ິ ຃ີ :ຼື ແຆສ໅ ູຈ:  nA  B  nA nB nA  B  nA  B  C  nA nB nC nA  B  nA  C nB  C nA  B  C  nA  B  nA nA  B  n A'   nU  nA ຌາໍ ແຆ຿໅ ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ: ຉວົ ດໄ າຄ1: ຅າກກາຌສຬຍຊາຓຌກອຽຌ 40 ຃ຌົ ຑຍົ ວໄ າຓຌີ ກອຽຌ 21 ຃ຌົ ຓກຫຌຼິ໅ ກລິ າຍາຌ຾ຉະ, 19 ຃ຌົ ຓກຫຼຌິ໅ ກລິ າຍາຌສໄ ຄົ ຿ລະ 12 ຃ຌົ ຓກຫຌຼິ໅ ກລິ າ຋ຄສຬຄຎະ຾ຑຈຌ.ີ໅ ຊາຓວໄ າ: ກ. ຓ຅ີ ກ຃ຌົ ຓກຫຼຌິ໅ ກລິ າຍາຌ຾ຉະ ຫຼື ຍາຌສໄ ຄົ ? ຂ. ຓ຅ີ ກ຃ຌົ ຍໄ ໍຓກຫຼຌິ໅ ກລິ າ຋ຄສຬຄຎະ຾ຑຈ ? 40

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຃. ຓ຅ີ ກ຃ຌົ ຋ໄ ຓີ ກຫຌຼິ໅ ກລິ າຍາຌ຾ຉະ, ຿ຉໄ ຍໄ ຓໍ ກຫຌຼິ໅ ກລິ າຍາຌສໄ ຄົ ? ຿ກ:໅ U ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກອຽຌ຋ຄໝຈົ ຋ໄ ຊີ ກຼື ສຬຍຊາຓ A ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກອຽຌ຋ໄ ຓີ ກຫຼຌິ໅ ກລິ າຍາຌ຾ຉະ B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກອຽຌ຋ໄ ຓີ ກຫຼຌິ໅ ກລິ າຍາຌສໄ ຄົ ຅າກຂຓໍ໅ ູຌ ຾ອາົ ຓ:ີ nU   40 , nA  21 , nB  19 ຿ລະ nA  B  12 ຆຬກຫາ: ກ. nA  B  ......?  ຂ. n A  B'  ......? ຃. nA  B  ......? ຾ຓໄ ຬືຼ ແຆສ໅ ູຈ: ກ. nA  B  nA nB nA  B  21 19 12  28 ຈໄ ຄຌຌ໅ , ຓີ 28 ຃ຌົ ຋ໄ ຓີ ກຫຌຼິ໅ ຫຌຼິ໅ ກລິ າຍາຌ຾ຉະ ຫຼື ຍາຌສໄ ຄົ  ຂ. n A  B'  nU  nA  B  40  28  12 ຈໄ ຄຌຌ໅ , ຓີ 12 ຃ຌົ ຍໄ ໍຓກຫຼຌິ໅ ກລິ າ຋ຄສຬຄຎະ຾ຑຈຌີ໅ ຃. nA  B  nA nA  B  21 12 9 ຈໄ ຄຌຌ໅ , ຓີ 9 ຃ຌົ ຋ໄ ຓີ ກຫຌຼິ໅ ກລິ າຍາຌ຾ຉະ, ຿ຉໄ ຍໄ ໍຓກຫຌຼິ໅ ກລິ າຍາຌສໄ ຄົ 41

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຾ຓໄ ຬຼື ແຆ຿໅ ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ ກາຌຉໄ ຓຼື ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍແສໄ ຿ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ - ຉໄ ຓືຼ ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ A  B ກໄ ຬຌ - ຉໄ ຓືຼ ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ A  B - ຉໄ ຓຼື ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ B  A - ຉໄ ຓຼື ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ A  B' ຉວົ ດໄ າຄ2: ຓຌີ ກສກຶ ສາຓະຫາວ຋ິ ະງາໂລ 120 ຃ຌົ ຾ຆໄ ຄິ ຿ຉໄ ລະ຃ຌົ ຉຬ໅ ຄລຄົ ຋ະຍຽຌດໄ າຄໜຬ໅ ງ 1 ວຆິ າ. ຫຄຼ ຅າກ ລຄົ ຋ະຍຽຌ຿ລວ໅ ສຄ຾ກຈ຾ຫຌວໄ າ ຓຌີ ກສກຶ ສາລຄົ ຋ະຍຽຌອຽຌວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈ 60 ຃ຌົ , ຒີຆກິ ສາຈ 50 ຃ຌົ ຿ລະ ຾຃ຓສີ າຈ 72 ຃ຌົ , ຌກສກຶ ສາ຋ໄ ລີ ຄົ ຋ະຍຽຌອຽຌ຃ະຌຈິ ສາຈ ຿ລະ ຾຃ຓສີ າຈ 27 ຃ຌົ , ຾຃ຓສີ າຈ ຿ລະ ຒີຆກິ ສາຈ 30 ຃ຌົ , ຌກສກຶ ສາ຋ໄ ລີ ຄົ ຋ະຍຽຌອຽຌ຋ຄສາຓວຆິ າຓ2ີ 0 ຃ຌົ . ຊາຓວໄ າ ຓ຅ີ ກ຃ຌົ ຋ໄ ອີ ຽຌວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈຑຽຄວຆິ າ ຈຽວ, ຾ຓໄ ຬຼື ອູວ໅ ໄ າຓີ 15 ຃ຌົ ອຽຌ຿ຉໄ ວຆິ າຒີຆກິ ສາຈຑຽຄວຆິ າຈຽວ ? ຿ກ:໅ ກາໍ ຌຈົ ແຫ໅ U ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກສກຶ ສາ຋ຄໝຈົ A ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກສກຶ ສາ຋ໄ ລີ ຄົ ຋ະຍຽຌອຽຌວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈ B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກສກຶ ສາ຋ໄ ລີ ຄົ ຋ະຍຽຌອຽຌວຆິ າຒີຆກິ ສາຈ C ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຌກສກຶ ສາ຋ໄ ລີ ຄົ ຋ະຍຽຌອຽຌວຆິ າ຾຃ຓສີ າຈ ຅າກຂຓໍ໅ ຌູ ຾ອາົ໅ ຓ:ີ nA  60 , nB  50 , nC  72 nA  C  27 , nB  C  30 nA  B C  20 , nB  A C  15 ຆຬກຫາ: nA  B  C  .....? ສຄ຾ກຈ຅າກ຿ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ຾ອາົ ໂຈ:໅ nA  B C  28 42

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ II. ຏຌົ ຃ຌູ ກາກ຾ຉຆຽຌ  ຿ຐຈ: ຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓຉໄ າຄໃ຋ໄ ຂີ ຽຌແຌວຄົ ຾ລຍ ຿ລະ ຂຌ໅ ຈວ໅ ງ຾຃ໄ ຬຼື ຄໝາງ຅ຈ “ , ” ຾ຬຌີ໅ ວໄ າ ຿ຐຈ. ຉວົ ດໄ າຄ: ຿ຓໄ ຌຬຄົ ຎະກຬຍ຋ໄ ໜີ ໄ ຄຶ ຂຬຄ຿ຐຈ x , y x , y ຿ຓໄ ຌຬຄົ ຎະກຬຍ຋ໄ ສີ ຬຄຂຬຄ຿ຐຈ x , y ຌງິ າຓ: ສຬຄ຿ຐຈ຅ະ຾຋ໄ າົ ກຌ ຾ຓໄ ຬຼື ຬຄົ ຎະກຬຍ຋ໄ ດີ ໄ ູຉໍາ຿ໜໄ ຄຈຽວກຌ຾຋ໄ າົ ກຌ. a , b  c , d  ຾ຓໄ ຬຼື a  c , b  d.  ຏຌົ ຃ຌູ ກາກ຾ຉຆຽຌຂຬຄສຬຄກໄ ຓ: ແຫສ໅ ຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B ຏຌົ ຃ູຌກາກ຾ຉຆຽຌຂຬຄກໄ ຓ A ຿ລະ B ສຌງາລກ A  B ຿ຓໄ ຌກໄ ຓຂຬຄ຋ກໃ຿ຐຈ  x , y  , ຾ຆໄ ຄິ x  A , y  B. A  B  x , y  / x  A , y  B  ສໄ ຄິ ຋ໄ ຃ີ ວຌ຾ຬາົ ແ຅ແສໄ : 1. nA  B  nB  A   nAnB 2. ຊາ໅ A ຿ຓໄ ຌກໄ ຓແຈໜໄ ຄຶ ຿ລວ໅ A   ຿ລະ   A   ຉວົ ດໄ າຄ1: ແຫ໅ A  1 , 2  , B  a , b  ຅ໄ ຄົ ຆຬກ A  B , B  A  .....?  A  B  1 , 2a , b 1 , a , 1 , b , 2 , a , 2 , b  B  A a , b 1 , 2 a ,1 , a , 2 , b , 1 , b , 2 ຾ອາົ ສາຓາຈຆຬກຏຌົ ຃ູຌກາກ຾ຉຆຽຌເຈງແຆຉ໅ າຉະລາຄ຾ຆໄ ຌ:  A  B  .....? ຈໄ ຄຌຌ໅ : A  B  1 , a , 1 , b , 2 , a , 2 , b 43