Calculus 1

12  3x − 2 − 1 ; x ≠1 x −1 . ຕວົ ຢ່ າງ 5: ໃຫ ້ f (x) =  ພສິ ູດ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. 3  2 ; x =1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (1) =3 −2 − 1 2 −1 lxi→m1 3x x ( )( )lim ( )x→1 3x − 2 − 1 = lim 3x − 2 −1 3x − 2 +1 x −1 x →1 (x −1) 3x − 2 +1 ( )3x − 2 2 − (1)2 = ( )3x − 2 2 − (1)2 ( ) ( )=lim lim ( x − 1) 3x − 2 +1 ( x − 1) 3x − 2 +1 x→1 x →1 ( )3(x −1) 3 =3 = lim (x −1) = lim 3x − 2 +1 2 3x − 2 + 1 x→1 x→1 ສະແດງວ່ າ lim 3x − 2 −1 = f (1) = 3 . ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x→1 x −1 2  3 3x + 5 − 2  x −1 (x) ; x ≠1 ພສິ ູດ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. . ຕວົ ຢ່ າງ 6: ໃຫ ້ f =  1 ; x =1  4 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (1) =1 − 2 4 lxi→m1 3 3x + 5 x −1

13 ( ) ( )lim  3 3x + 5 2 + 2 3 3x + 5 + 4 ( )x→1  3 3x + 5 − 2 3 3x + 5 − 2 x −1 = lim ( −1)  2 + 2 3 3x + 5 + 4  x→1 x 3 3x + 5 ( )3 3x + 5 3 − (2)3 ( )=lim ( x − 1)  3 3x + 5 2 + 2 3 3x + 5 + 4 x→1  3x + 5 − 8 3 3x + 5 2 + 2 3 3x + 5 + 4 ( )=lim( x − 1)   x→1 3 (x −1) lim( )= (x −1)  3 3x + 5 2 + 2 3 3x + 5 + 4 x→1  3 = 3 =1 3 3x + 5 2 + 2 3 3x + 5 + 4 12 4 ( )= lim x→1 3 3x + 5 − 2 = (1) = 1 ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x −1 4 ສະແດງວ່ າ lim f . x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ໃຫ ້ f (x) =  4x + 1− 3 ; x ≠ 2. ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) x − 2 m ; x = 2 ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 2 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (2) = m  lxi→m2 4x +1 − 3 x−2 ( )( )lim ( )x→2 4x + 1 − 3 = lim 4x +1 − 3 4x +1 + 3 x − 2 x→2 (x − 2) 4x +1 + 3 ( )4x +1 2 − (3)2 ( )4x +1 2 − (3)2 ( ) ( )=lim = lim ( − ) 4x +1 + 3 ( − ) 4x +1 + 3 x→2 x 2 x→2 x 2

14 4x +1−9 4(x −2) 4x +1 ( ) ( )=lim ( − 2) = lim (x − 2) + 4x +1 + 3 x→2 x 3 x→2 = lim 4 = 2 x→2 4x + 1 + 3 3 ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 2 ກໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ lim 4x + 1 − 3 = f (2 ) x→2 x − 2 ສະນນັ້ : m = 2 3 ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 2 ເມ່ ອື m = 2 . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຊອກຫາຄ່ າຂອງ a, b ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = −2 sinx; x ≤ −π x < π a sinx + b ; − 2 π<  22  x≥π cosx ; 2 f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = ± π 2 ບດົ ແກ:້ • ສກຶ ສາຕໍາລາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = − π 2 ເຮາົ ມ:ີ   − π  = −2 sin  − π  = 2 sin π = 2.1 = 2 f 2 x = 2 2  x = ( ) ( ) lim fx π − lim − −2sin x = 2 . → 2  → π  − x − 2 ( ) ( ) lim fx + lim + a si n x + b = −a + b → π  → π  − 2 x − 2 ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = − π ກໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ 2 ( ) ( )lim f  − π  − x = lim f x = f  2  = 2 → π  → π + x − 2 x − 2 

15 ສະນນັ້ : −a + b = 2 (1) • ສກຶ ສາຕໍາລາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = π 2 ເຮາົ ມ:ີ   π  = cos π = 0 f  2  2 b =  0 cosx = ( )ເຮາົ ມ:ີ limx→ π + + 2   limx→ π − a s inx a + b 2  ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = π ກໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ 2 ( ) ( )lim f  π  + x = lim f x = f 2 = 0 → π  → π − x 2 x 2  ສະນນັ້ : a + b = 0 (2) ຈາກສມົ ຜນົ (1) ແລະ (2) ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ a−a++bb==02 ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ a−a++b b= 2 (1) ⇒ a = −1 =0 (2) b = 1 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ( x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = ± π ເມ່ ອື a = −1; b = 1. 2  sin x ; x≠0  x ຕວົ ຢ່ າງ 9: ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) = ຢ່ ູເມດັ x = 0 1; x = 0 ບດົ ແກ:້  (0) = 1 f   lim sin x =1 x x→0+  lim sin x = −1  −x x→0− ສະແດງວ່ າ lim f (x) ≠ lim f (x) . ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ( x) ບ່ ໍຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 0 . x→0+ x→0−

16 1 ; x ≠1 1 ຕວົ ຢ່ າງ 10: ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) = + e 1 ຢ່ ູເມດັ x = 1 x−1 1; x = 1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ   f (1) = 1 ( ) ( )lxi→m1+ 1 1 = 0 ⇒ lim f x ≠ lim f x +e x −1 x →1+ x →1− 1  lim 1 1 =1  x→1− +e x −1 1 ສະແດງວ່ າ lim f (x) ≠ lim f (x) . ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ( x) ບ່ ໍຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x→0+ x→0−  2sin2 x + sin x −1 ; x≠π  2 sin 1 6 ຕວົ ຢ່ າງ 11: ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) = −3; 2 x −3 sin x + x=π 6 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ flxi→mπ6π622ss=inin−22x3x−+3ssiinnxx−+11 2 sin2 x + sin x −1 2 (sin x +1)  sin x − 1 2sin2 x − 3sin x +1 2 (sin x −1)  2  lim = lim  sin x − 1  x→π x→π 2 6 6 = lim sin x +1 = π +1 = 1 +1 = 3 = −3 sin x −1 sin −1 −1 2 x→π 2 −1 6 6 1 π sin 62 2 ສະແດງວ່ າ lim 2 sin2 x + sin x −1 = f  π  = −3 . ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x=π 2sin2 x − 3sin x +1  6  6 x→π 6

17 f (x) 1 − cos ax , x ≠ 0 ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູມດັ x = 0 . x2 ຕວົ ຢ່ າງ 12: ຊອກ a ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ = 2a − 2, x = 0 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (0) = 2a − 2 cos ax 1− lxi→m0 x2 2 sin2 ax  ax 2  ax 2 1 − cosax 2  sin   sin  lim = lim = 2 lim  x 2  = 2 lim  2 2  x→0    ax  xx→0 2 x2 x→0  x→0  .  a 2  = 2. 1 = a2 . 42 a2 ເພ່ ອື ໃຫ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 0 ກໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ lim f (x) = f (0) x→0 ສະນນັ້ : a2 = 2a − 2 2 a2 − 4a − 4 = 0 (a − 2)2 = 0 a=2 ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 0 ເມ່ ອື a = 2 . ຕວົ ຢ່ າງ 13: ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) = cos πx , x ≤1 2 ໃນ ℝ .  x −1 , x > 1 ບດົ ແກ:້ 1co−sxπ2;x ; − 1≤ x ≤ 1 x < −1 f (x ) = x −1 ; x > 1  • ສກຶ ສາຕໍາລາ f (x) ຢ່ ູເມດັ x = 1

18  (1) = cos π .1 = cos π =0 f lxi→m1+ 2 2 lxi→m1− =0 ເຮາົ ມ:ີ (x −1) =0 cos π x 2 ສະແດງວ່ າ lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 0 . ດ່ ງັ ນນັ້ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x→1+ x→1− • ສກຶ ສາຕໍາລາ f (x) ຢ່ ູເມດັ x = −1 ເຮາົ ມ:ີ  (−1) = π ( −1) = cos  − π  = π = 0 f cos  2  cos  2 2 xl→im−1+ πx =0  lim cos = −2 x→−1− 2 (1− x) ສະແດງວ່ າ lim f (x) ≠ lim f (x). ຕໍາລາ f ບ່ ໍຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −1 x→−1+ x→−1− ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງ ∀x ≠ −1. ຕວົ ຢ່ າງ 14: ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) = lim n 1 + x2n ໃນ ℝ . n→+∞ ບດົ ແກ:້ f ( x ) = 1; − 1 ≤ x ≤1 x > 1  ; x < −1 ∨  x2 • ສກຶ ສາຕໍາລາ f (x) ຢ່ ູເມດັ x = 1 ເຮາົ ມ:ີ ( )flxi→m11+ =1 1 x2 = lxi→m1− 1=1 ສະແດງວ່ າ lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 1. ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x→1+ x→1− • ສກຶ ສາຕໍາລາ f (x) ຢ່ ູເມດັ x = −1 ເຮາົ ມ:ີ

19 ( )fxl→im−−1+11 =1 =1 xl→im−1− x 2 =1 ສະແດງວ່ າ lim f (x) = lim f (x) = f (−1) = 1. ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −1. x→−1+ x→−1− ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນ ℝ .  3 3x + 2 +1; x +1 ຕວົ ຢ່ າງ 15: ຊອກ m ເພ່ ອື ໃຫ້ f (x) = x ≠ −1 ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −1. m ; x = −1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (−1) = m  lxi→m−1 3 3x + 2 +1 x +1 ( )( )lim ( )x→−1 3 3x + 2 +1 3 3x + 2 + 1 3 (3x + 2)2 − 3 3x + 2 + 1 x +1 (x + 1) 3 (3x + 2)2 − 3 3x + 2 + 1 = lim x→−1 ( )3 3x + 2 3 + (1)3 ( )= lim ( )x→−1 x + 1 3 (3x + 2)2 − 3 3x + 2 + 1 3 (x +1) ( )= lim ( )x→−1 x + 1 3 (3x + 2)2 − 3 3x + 2 + 1 = lim 3 = 1 ( )x→−1 3 3x + 2 2 − 3 3x + 2 + 1 ເພ່ ອື ໃຫ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −1 ກໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ lim f (x) = f (−1) = 1 x→−1 ສະນນັ້ : m = 1 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −1 ເມ່ ອື m = 1.

20  3 2x −1 − 3 3x −2 x −1 ຕວົ ຢ່ າງ 16. ຊອກ m ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = ; x ≠1 ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນ ℝ m ; x = 1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (1) = m  lxi→m1 3 2x −1 − 3 3x −2 x −1 3 2x −1 − 3 3x − 2  3 2x −1 − 1 3 3x − 2 − 1  x −1 x −1 x −1  lim = lim  − = L +L 1 2 x→1 x→1 3 2x −1 −1 x −1 ສໍາລບັ : L = lim 1 x→1 ( )( )3 2x −1 −1 3 (2x −1)2 + 3 2x −1 +1 ( )= lim x→1 (x −1) 3 (2x −1)2 + 3 2x −1 + 1 ( )3 2x −1 3 − (1)3 ( )= lim ( )x→1 x −1 3 (2x −1)2 + 3 2x −1 + 1 2 (x −1) ( )= lim ( )x→1 x −1 3 (2x −1)2 + 3 2x −1 + 1 = lim 2 = 2 ( )x→1 3 3 2x −1 2 + 3 2x −1 +1 3 3x − 2 −1 x −1 ສໍາລບັ : L = lim 2 x→1 ( )( )3 3x − 2 −1 3 (3x − 2)2 + 3 3x − 2 +1 ( )= lim x→1 (x −1) 3 (3x − 2)2 + 3 3x − 2 + 1

21 ( )3 3x − 2 3 − (1)3 ( )= lim ( )x→1 x −1 3 (3x − 2)2 + 3 3x − 2 + 1 3 (x −1) ( )= lim ( )x→1 x −1 3 (3x − 2)2 + 3 3x − 2 + 1 = lim 3 = 1. ( )x→1 3 3x − 2 2 + 3 3x − 2 + 1 3 2x −1 − 3 3x − 2 2 −1= −1 x −1 3 3 ເຮາົ ໄດ:້ lim =L +L = 1 2 x→1 ເພ່ ອື ໃຫ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1 ກໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ lim f (x) = f (1) x→1 ສະນນັ້ : m = − 1 3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນ ℝ ເມ່ ອື m = − 1 . 3 ບດົ ເຝຶກຫດັ 3 3.1. ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕາໍ ລາ f ( x ) ຢ່ ູເມດັ x = a ລ່ ູມນ:ີ້ 3.1.1. f (x) = 3x − 4 , a = 2 3.1.2. f (x) = x 1 2 , a=2 + 3.1.3. f (x)= 1 a =1 x2 +1, 3.1.4. f (x) = x, x < −2 , a = −2 2x, x ≥ −2 3.1.5. f (x)= x−2 , x ≠ 2; a =2 x−2 2x +1, x < 3 3.1.6. f (x) = 3, 3 ≤ x ≤ 5 , a = 3, a = 5 x − 2, x ≥ 5 3.2. ຊອກ a ເພ່ ອື ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = e x, x < 0 ≥ 0 ຕ່ ໍເນ່ ອື ງ a + x , x

22 3.3. ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງບນັ ດາຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ 3.3.1. f (x) = 1 , x ≠ −1 ແລະ f ( −1) (1+ x)2 3.3.2. f (x ) = x sin 1 , x ≠ 0, f (0) = 0 x 3.3.3. f (x) = −1 , x ≠ 0, f (0) = 0 e x2 3.4. ສງັ ເກດການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງຕາໍ ລາ (x) = x ln x2 , x ≠ 0 f  a , x=0 4. ການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຢ່ ູຫວ່ າງ 4.1. ນຍິ າມ ນຍິ າມ 1: ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ (a ; b) ຖາ້ ວ່ າ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູທຸກໆເມດັ x ຂນຶ້ ກບັ (a ; b) . ນຍິ າມ 2: ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ [a ; b] ຖາ້ ຕອບສະໜອງ 3 ເງ່ອື ນໄຂລ່ ູມນ:ີ້ - ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ (a ; b) - ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງເບອື້ ງຂວາຢ່ ູເມດັ a ເຊ່ ນັ lim f (x ) = f (a ) x→a+ - ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງເບອື້ ງຊາ້ ຍຢ່ ູເມດັ b ເຊ່ ນັ lim f (x ) = f (b) x→b− 4.2. ຫກຼັ ເກນ ຫກຼັ ເກນ 1: ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ [a; b] ແລະ ຕອບສະໜອງ f (a ) < k < f (b) ຫຼື f (b) < k < f (a ): ສມົ ຜນົ f ( x) = k ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວ່ າງ (a; b) . ຫກຼັ ເກນ 2: ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ [a;b] ແລະ ຕອບສະໜອງ f (a ).f (b) < 0 : ສມົ ຜນົ f (x ) = 0 ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວ່ າງ (a; b) . 4.3. ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ພສິ ູດສມົ ຜນົ x5 + 7x4 − 3x2 + x + 2 = 0 ມໃີ ຈຜນົ ບດົ ແກ:້ ວາງ f ( x ) = x5 + 7x4 − 3x2 + x + 2 , f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນ ℝ ເຮາົ ມີ f (0) = 2 > 0 ແລະ f (−10) = (−10)5 + 7 (−10)4 + 3(−10)2 −10 + 2 < 0

23 ສະແດງວ່ າ f (−10).f (0) < 0 . ດ່ ງັ ນນັ້ , ສມົ ຜນົ f (x ) = 0 ມໃີ ຈຜນົ x ∈(−10; 0). ຕວົ ຢ່ າງ 2: ພສິ ູດວ່ າສມົ ຜນົ x5 − x − 2 = 0 ມໃີ ຈຜນົ x ∈ (1, 2) ແລະ ຕອບສະໜອງ 0 ເງ່ອື ນໄຂ x > 9 8 0 ບດົ ແກ:້ ວາງ f (x) = x5 − x − 2, x ∈[1; 2] ເຮາົ ມີ f (1) = −2 < 0 ແລະ f (2) = 32 − 2 − 2 = 28 > 0 ສະແດງວ່ າ f (1).f (2) < 0 , ເຮາົ ໄດສ້ ມົ ຜນົ x5 − x − 2 = 0 ມໃີ ຈຜນົ x ∈(1, 2) . 0 ເພ່ ອື ຕອບສະໜອງເງ່ອື ນໄຂ x0 > 9 8 : ເຮາົ ມີ x5 − x − 2 = 0 00 x5 = x + 2 a1 .a 2 ...a n 00 ນໍາໃຊສ້ ູດ a1 + a2 + ... + an ≥ n x0 + 2 > 2 2x0 x5 > 2 2x 00 x10 > 4(2x ) 00 x9 >8 0 x0 ≥ 9 8 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ພສິ ູດສໍາລບັ ທຸກໆຄ່ າຂອງ m ສມົ ຜນົ x3 + mx −1 = 0 ມໃີ ຈຜນົ x > 0 ເລອື້ ຍໆ ບດົ ແກ:້ ວາງ f (x ) = x3 + mx −1, ຕໍາລາ f ແມ່ ນຕໍາລາຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ [0; ∞) ເຮາົ ມີ f (0) = −1 < 0 ແລະ lim f (x ) = lim x3 = +∞ x→+∞ x→+∞ ດ່ ງັ ນນັ້ , ສມົ ຜນົ f (x ) = 0 ມໃີ ຈຜນົ x ∈(0; ∞) . ຕວົ ຢ່ າງ 4: ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f ( x) = 4 − x2 ໃນຫວ່ າງ [−2; 2] ບດົ ແກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ສກຶ ສາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ (−2; 2) ສມົ ມຸດໃຫ ້ a ∈(−2; 2) ເຮາົ ຈະໄດ:້ • f (a) = 4−a2

24 • lim 4 − x2 = 4 − a2 x→a ສະແດງວ່ າ lim 4 − x2 = f (a ) = 4 − a2 ⇒ ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ a x→a ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ (−2; 2) . ບາດກາ້ ວ 2: ສກຶ ສາຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງເບອື້ ງຂວາຢ່ ູເມດັ −2 ເຮາົ ມີ f (−2) = 4 − (−2)2 = 4 − 4 = 0 ເຮາົ ມີ lim f ( x) = lim 4 − x2 = 4 − (−2)2 = 4 − 4 = 0 x → −2+ x → −2+ ສະແດງວ່ າ lim 4 − x2 = f (−2) = 0 ⇒ ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງເບອື້ ງຂວາຢ່ ູເມດັ −2 . x → −2+ ບາດກາ້ ວ 3: ສກຶ ສາຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງເບອື້ ງຊາ້ ຍຢ່ ູເມດັ 2 ເຮາົ ມີ f (2) = 4 − 22 = 4 − 4 = 0 ເຮາົ ມີ lim f (x ) = lim 4 − x2 = 4 − 22 = 4 − 4 = 0 x→2− x →2− ສະແດງວ່ າ lim 4 − x2 = f (2) = 0 ⇒ ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງເບອື້ ງຂວາຢ່ ູເມດັ −2 x→2− ດ່ ງັ ນນັ້ , ຕໍາລາ f ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ [−2; 2]. ຕວົ ຢ່ າງ 5: ພສິ ູດວ່ າສມົ ຜນົ x3 − 3x2 + 2 = 0 ມສີ າມໃຈຜນົ ໃນຫວ່ າງ (−1; 3) ບດົ ແກ:້ ວາງ f (x) = x3 − 3x2 + 2 ເຮາົ ມ:ີ f (−1) = −2; f (0) = 2 ⇒ ∃x ∈(−1; 0) : f (x ) = 0 11 f (0) = 2; f (2) = −2 ⇒ ∃x ∈(0; 2) : f (x ) = 0 22 f (2) = −2; f (3) = 2 ⇒ ∃x ∈(2; 3) : f (x ) = 0 33 ດ່ ງັ ນນັ້ , ສມົ ຜນົ x3 − 3x2 + 2 = 0 ມສີ າມໃຈຜນົ ໃນຫວ່ າງ (−1; 3) . ບດົ ເຝຶກຫດັ 4 4.1. ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) = x2 x+2 ໃນຫວ່ າງ ( −1, 3) − 2x −8 4.2. ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x ) = x − 2 ໃນຫວ່ າງ [−2; + ∞)

25 4.3. ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ (x) = x2 ; 0 ≤ x < 2 ໃນຫວ່ າງ [1;3) f  2 − x; x ≥ 2 −x; x < 0 4.4. ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x ) = x ; x > 0 ໃນຫວ່ າງ (−∞; + ∞) 2; x = 0 x2 + 4; x < −1 4.5. ສກຶ ສາການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x ) = x + 6 ; −1 ≤ x < 3 ໃນຫວ່ າງ [−2; 5) 3x −1; x ≥ 3 4.6. ສງັ ເກດເບ່ ງິ ຕໍາລາ f : [0 , 2] → ℝ ເຊ່ ງຶ f (x) = 22x−,x0, ≤ x ≤1 2 ຕ່ ໍເນ່ ອື ງບໍ? 1 < x≤ 4.7. ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງສະເໝຂີ ອງບນັ ດາຕໍາລາ f (x) = x , x ∈[−1; 1] 4 − x2 4.8. ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງສະເໝຂີ ອງບນັ ດາຕໍາລາ f ( x ) = ex cos 1 , x ∈(0; 1) x 4.9. ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງສະເໝຂີ ອງບນັ ດາຕໍາລາ f (x ) = x , x ∈[1; + ∞) 4.10. ສງັ ເກດເບ່ ງິ ສມົ ຜນົ 2sin 3x +10 cos 5x = 0 ມໃີ ຈຜນົ ຈາໍ ນວນຈງິ ບ່ ໍ?

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 1 ເຫມຼັ້ 4 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄໍານາໍ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ເຄາົ້ ຕໍາລາພນຶ້ ຖານ; ເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕ;ິ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ອະປົກກະຕິ ແລະ ເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງຕໍາໄຕມູມມຕິ .ິ ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກໍຄທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ ບດົ ທີ 1 - ເຄາົ້ ຕໍາລາພນື້ ຖານ 1 1 ຮູບຮ່ າງ 1.1: ∫ xm dx 2 ຮູບຮ່ າງ 1.2: ∫ a xm dx 3 ຮູບຮ່ າງ 1.3: ∫ 1 dx 4 x 5 ຮູບຮ່ າງ 1.4: ∫ a dx 9 x 16 ຄຸນລກັ ສະນະ 1.5: ∫ f (x) ± g (x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx 19 20 ຮູບຮ່ າງ 1.6: ∫ u (x )m dx 21 22 ຮູບຮ່ າງ 1.7: ∫ 1 dx 24 24 u(x) 26 27 ຮູບຮ່ າງ 1.8: ∫ ax dx 28 29 ຮູບຮ່ າງ 1.9: ∫ au(x) dx 31 32 ຮູບຮ່ າງ 1.10: ∫ ex dx 34 ຮູບຮ່ າງ 1.11: ∫ eu(x)dx 34 ຮູບຮ່ າງ 1.12: ∫ sin x dx ຮູບຮ່ າງ 1.3: ∫ sin u (x) dx ຮູບຮ່ າງ 1.4: ∫ cos x dx ຮູບຮ່ າງ 1.5: ∫ cos u ( x) dx ຮູບຮ່ າງ 1.16: ∫ tan x dx ຮູບຮ່ າງ 1.7: ∫ tan u (x) dx ຮູບຮ່ າງ 1.18: ∫ co t x dx ຮູບຮ່ າງ 1.19: ∫ co t u (x ) dx ບດົ ທີ 2 - ເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕິ ຮູບຮ່ າງ 2.1: ∫ ax 2+ bx + c dx dx +e

ຮູບຮ່ າງ 2.2: ∫ ax3 + bx2 + cx + d dx 35 nx + m 37 ຮູບຮ່ າງ 2.3: ∫ ax2 dx +c + bx 49 ຮູບຮ່ າງ 2.4: ∫ (mx + n)dx 53 ax2 + bx + c 54 ( )ຮູບຮ່ າງ 2.5: + + ... + 58 ∫ anxn a x n−1 a0 dx 62 n −1 62 ax + b 66 74 ຮູບຮ່ າງ 2.6: ∫ ( x − m ) ( x P ( x ) dx k )( x − r) 76 − n)(x − 80 80 ຮູບຮ່ າງ 2.7: ∫ ( x − k P (x ) dx + c ) 84 + bx 85 )( ax 2 87 89 ບດົ ທີ 3 - ເຄາົ້ ຕໍາລາອະປົກກະຕິ 94 ຮູບຮ່ າງ 3.1: ∫ dx ax2 + bx + c ຮູບຮ່ າງ 3.2: ∫ (mx + n)dx ax2 + bx + c ( )∫ຮູບຮ່ າງ 3.3: p xm a + bxn dx ∫ ∫ ∫ຮູບຮ່ າງ 3.4: a2 − b2x2 dx ; a2 + b2x2 dx ; b2x2 − a2 dx ບດົ ທີ 4 - ເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ຮູບຮ່ າງ 4.1: ∫ R (sin x,cos x)dx ຮູບຮ່ າງ 4.2: ∫ sin Ax.sin Bx dx ຮູບຮ່ າງ 4.3: ∫ cos Ax.cos Bx dx ຮູບຮ່ າງ 4.4: ∫ sin Ax.cos Bx dx ຮູບຮ່ າງ 4.5: ∫ sinn xdx ; ∫ cosn x dx ຮູບຮ່ າງ 4.6: ∫ sinm x cosn x dx

1 ບດົ ທີ 1- ເຄາົ້ ຕາໍ ພນຶ້ ຖານ ຮູບຮ່ າງ 1.1: ∫ xm dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ ∫1 x2009 dx = x 2009+1 + C = x 2010 + C 2009 +1 2010 2 ∫ x12 dx = x12+1 + C = x13 + C 12 +1 13 3 ∫ x dx = x1+1 + C = x2 + C 1+1 2 x m+1 (m ≠ −1) ∫ xm dx = m +1 + C ∫ ∫4 = x 0+1 dx = x0dx 0+1 + C = x + C 5 ∫ dy = y + C 6 ∫ dz = z + C 7 ∫ dt = t + C 8 ∫ ds = s + C ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x78dx 1 2. ∫ x 4dx 3. ∫ 5 x dx 4. ∫ 7 x4 dx ∫5. 11 x −5 dx 6. ∫ x3dx 7. ∫ x dx 8. ∫  x 1 3 dx 2

2 ຮູບຮ່ າງ 1.2: ∫ a xm dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 5x9 dx = 5 x9 dx = 5. x10 + C = x10 + C 10 2 ∫ ∫1 2 ∫ ∫2x7 dx = 2 x7 dx = 2. x8 + C = x8 + C ∫ a xm dx = a∫ x m dx = a. x m+1 + C (m ≠ −1) 3 84 m +1 ∫ ∫8x5 dx = 8 x5 dx = 8. x6 + C = 4x6 + C 4 63 ∫ ∫7x3 dx = 7 x3 dx = 7. x4 + C = 7x4 + C 44 5 ∫ 3x dx = 3∫ x dx = 3. x2 +C = 3x 2 +C 2 2 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 2x78dx 1 2. ∫ 5x 4dx 3. ∫ 7 5 x dx 4. ∫12 7 x4 dx 5. ∫1511 x−5 dx 6. ∫ 3x3dx 7. ∫ 6 x dx 8. ∫ 9  x 1 3 dx 2 ຮູບຮ່ າງ 1.3: ∫ 1 dx x

3 ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 1 dy = ln y + C y 2 ∫ 1 dz = ln z + C z ∫ 1 dx = ln x + C 3 ∫ 1dt = ln t + C x t 4 ∫ ds = ln s + C s 5 ∫ dα = ln α +C α ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫  7x4 + 1  dx x 2. ∫  1 − 6 x3  dx x 3. ∫  1 + 25 t  dt t 4. ∫  z −7 + 1  dz z 5. ∫  8 t −5 − 1  dt t 6. ∫  2 x3 − 1  dx x 7. ∫  5 3 x2 + 1  dx x 8. ∫  y 1 −5 + 1  dy 3 y  ຮູບຮ່ າງ 1.4: ∫ a dx x

4 ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ ∫ a dx = a.ln x + C 1 ∫ 2 dy = 2∫ 1 dy =2 ln y + C x yy 2 ∫ 5 dz = 5∫ 1 dz = 5ln z + C zz 3 ∫ 1 dt = 1 ∫ 1dt = 1 ln t + C 2t 2 t 2 4 ∫ ds = 1 ∫ ds = 1 ln s + C 3s 3 s 3 5 ∫ 7dα = 7∫ dα = 7 ln α +C α α ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫  2x5 + 4  dx x 2. ∫  3 − 7 x4  dx 2x 3. ∫  1 + 5 2   t t −2  dt 4. ∫  5 + 3  dz z −2 7z 5. ∫  12 1 − 3  dt  t −6 7t  6. ∫  x5 − 1  dx 2x 7. ∫  1 + 1   x3 5x  dx 8. ∫  y 1 −3 + 2  dy 2 5y 

5 ຄຸນລກັ ສະນະ 1.5: ∫ f (x) ± g(x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (x2 + 3x + 7) dx ບດົ ແກ:້ ∫ (x2 + 3x + 7)dx = ∫ x2dx + 3∫ x dx + 7∫ dx = 1 x3 + 3 x2 +7x +C. 32 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫  x+ 1 − 3 dx  5x ບດົ ແກ:້ ∫  x+ 1 − 3  dx = ∫  x 1 +1   5x   2 1 −3 dx x5 = ∫  x 1 + x − 1 − 3 dx 2 5 = ∫ x 1 dx + ∫ −1 dx − 3∫ dx 2 x5 1 +1 −1 + 1 = x2 x5 1 +1 + −1 − 3x + C 25 + 1 34 = x 2 + x5 −3x + C 34 25 = 2 x 3 + 5 x 4 − 3x + C. 2 5 34 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (2x3 −5x2 + 7x + 3) dx ບດົ ແກ:້ ∫ (2x3 −5x2 + 7x + 3) dx = 2∫ x3dx −5∫ x2dx + 7∫ x dx + 3∫ dx = 2. x4 − 5. x3 + 7 x2 + 3x + C 4 32

6 = 1 x4 − 5 x3 + 7 x2 + 3x + C. 232 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫  x + 1 2 dx  3x  ບດົ ແກ:້ ( )∫x + 1 2 dx = ∫  x 2 + 2. x. 1 +  1 2  dx  3x   3x  3x      x2 + 1 1 + 1  x3 2  dx = ∫  2.x 2 . 1 x3 = ∫  x + 1−1 + −2  dx 2.x 2 3 x3 = ∫  x + 1 + x − 2  dx 3 2.x 6 1 + ∫ −2 dx = ∫ x dx + 2∫ x6 dx x3 = x2 1 +1 −2 +1 2 x3 + 2. x 6 + −2 + C 1 +1 63 + 1 71 = 1 x2 + 2. x 6 + x3 + C 2 71 63 = 1 x2 + 12 x 7 + 1 6 3x 3 + C. 27 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (5x2 + 7x −1)dx ບດົ ແກ:້ ∫ (5x2 + 7x −1)dx =5∫ x2 dx + 7∫ x dx − ∫ dx = 5. x3 + 7. x2 − x + C 32

7 = 5 x3 + 7 x2 − x +C. 32 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 5 3 x + 1 dx ບດົ ແກ:້ () 1 ∫ 5 3 x + 1 dx = 5∫ x3 dx + 5∫ dx 1 +1 = 5. x3 + 5x + C 1 +1 3 4 = 5x3 + 5x + C 4 3 = 15 4 + 5x + C. x3 4 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (5x2 + 7x −1)dx ບດົ ແກ:້ ∫ (x3 − 2x2 − x + 5)dx = ∫ x3dx − 2∫ x2dx − ∫ x dx + 5∫ dx = x4 − 2. x3 − x2 + 5x + C 4 32 = 1 x4 − 2 x3 − 1 x2 + 5x + C. 432 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 3 x + 2 x dx ບດົ ແກ:້ ( )1 1 ∫ 3 x + 2 x dx = ∫ x3 dx + 2∫ x 2 dx 1 +1 1 +1 = x 3 + 2. x 2 + C 1 +1 1 +1 32

8 43 = x3 + x2 +C 43 32 = 3 x 4 + 2 3 + C . 3 x2 43 ຕວົ ຢ່ າງ 9: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ x4 + 2x3 − x2 + 2x − 1 dx x2 ບດົ ແກ:້ ∫ x4 + 2x3 − x2 + 2x − 1 dx = ∫  x4 + 2x3 − x2 + 2x − 1 dx x2  x2 x2 x2 x2 x2 = ∫  x2 + 2x −1 + 2 − x −2 dx x = ∫ x2dx + 2∫ x dx − ∫ dx + 2∫ 1dx − ∫ x−2dx x = x3 + 2x2 −x + 2 ln x − x −1 +C 3 2 −1 = x3 + x2 − x + 2 ln x + 1 + C. 3x ຕວົ ຢ່ າງ 10: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x2 + 3x + 2 dx x ບດົ ແກ:້ ∫ x2 + 3x + 2 dx = ∫  x2 + 3x + 2  x  x x x dx = ∫  x + 3 + 2 dx x = x2 + 3x + 2ln x + C. 2 ບດົ ເຝິກຫດັ

9 ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫ (2x3 + 4x2 + x − 2) dx 2. ∫ (x3 + x2 + 5)dx ( )3. ∫ x − 1 2 dx ( )4. 2 ∫ 2+ 3 x dx 5. ∫ (x3 + 5x2 +1) dx 6. ∫  1 x2 − 5x + 1  dx 2 3 7. ∫ (3x2 + 5x + 7) dx 8. ∫  3 x − 1  7 x  dx 9. ∫  3 x + 2  dx  x  10. ∫ (x2 − 3x + 2) dx ຮູບຮ່ າງ 1.6: ∫ u ( x )m dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ u ( x )m dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ u (x )m d u ( x ) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u (x)m d u (x) = u ( x )m+1 +C m +1 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ (2x )+1 15 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x +1 du = (2x +1)′ dx

10 du = 2 dx du = 2dx dx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫(2x )+ 1 15 dx = ∫ u15. du = 1 ∫ u15du = 1 ∫ u15du = 1 u16 + C = u16 + C = (2x )+ 1 16 + C. . 2 2 2 2 16 32 32 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x +1) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (2x )+1 15 dx = 1 ∫ (2x )+1 15 2dx = 1 ∫ (2x )+1 15 d (2x +1) = (2x )+1 16 + C. 22 32 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ( )∫ 2x2 −1 100 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 −1 du = (2x2 −1)′ dx du = 4x dx du = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )∫ 2x2 −1 100 x dx = ∫ u100 . du = 1 ∫ u100du = 1 . u101 + C = 2x2 −1 101 + C. 44 4 101 404 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x2 −1) = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ 2x2 −1 100 x dx = 1 ∫ 2x2 −1 100 4x dx = 1 ∫ 2x2 −1 100 d 2x2 −1 = 2x2 −1 101 + C. 44 404 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ (1− )2x 50 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1− 2x du = d (1− 2x) du = −2dx dx = du −2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (1 − )2x 50 dx = ∫ u 50 . du = − 1 ∫ u50du = − 1. u 51 + C = − (1− 2x )51 + C. −2 2 2 51 102 ວທິ ແີ ກ ້ 2:. ເຮາົ ມ:ີ d (1− 2x) = −2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (1− )2x 50 dx = −1 ∫ (1− )2x 50 (−2dx) = −1 ∫ (1− 2x)50d (1− 2x) 22 = −1 . (1 − 2x )50+1 + C = −1. (1− 2x )51 + C = − (1− 2x )51 + C . 2 50 + 1 2 51 102 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3 3x + 2 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 3x + 2 du = d (3x + 2) du = 3dx dx = du 3 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

12 1 +1 4 1 du 1 1 1. u3 +C 1. u3 +C ∫ 3 3x + 2 dx = ∫ ( 3x + 2 )1 dx = ∫ u 3 . = .∫ u 3 du = 3 1 +1 = 3 1 .4 3 3 3 3 3 = 4 +C = (3x )+ 2 4 + C. 3 u3 44 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x + 2) = 3dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ + = 1 ∫ + = 1 ∫ (3x + )1 d (3x + 2) = 1 ( )3x + 2 1 +1 + 3 3 3 23 3 3x 2 dx 3 3x 2 .3dx . C 3 1 +1 3 = 1 . ( 3x )+ 2 4 +C = 1 .(3x + )4 +C = (3x + )4 + C. 3 23 23 34 3 1 .4 4 3 3 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 1+ x2 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1+ x2 du =d(1+ x2 ) du = 2xdx xdx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ 1 +1 3 3 ∫ 1+ x2 x dx = ∫ u . du = 1 ∫ u 1 du = 1. u2 +C = 1.u2 +C= 1. u2 +C 2 2 2 1 +1 23 2 1 .3 2 2 2 2 3 x2 +1 2 + C. ( )3 = u2 +C = 33 ວທິ ແີ ກ ້ 2:

13 ເຮາົ ມ:ີ d (1+ x2 ) = 2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )d 1+ x2 1 +1 1+ x2 x dx = 1 ∫ 1 (1 ) 1 =1. x +12 2 2 ∫ 2 1+ x2 .2x dx = ∫ + x 2 +C 2 2 1 +1 2 = 1 (x2 )3 +C= 1 (x2 )3 + C = (x2 )3 + C. . +1 2 . +1 2 +1 2 23 2 1 .3 3 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3(4x − )1 20 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 4x −1 du =d (4x −1) du = 4dx dx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3(4x )−1 20 dx = 3∫ u20. du = 3 ∫ u20du = 3 . u21 + C = 3 . u21 + C = 1 . u21 + C 44 4 21 4 3.7 47 = u21 + C = (4x )−1 21 + C. 20 28 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (4x −1) = 4dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3(4x )−1 20 dx = 3 ∫ (4x )−1 20 4dx = 3 ∫ (4x )−1 20 d (4x −1) = 3 . (4x )−1 21 + C 44 4 21 = 3 (4x −1)21 +C= 1 (4x −1)21 +C= (4x − )1 21 + C. . . 28 4 3.7 47 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2(5x2 )−1 12 x dx

14 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 5x2 −1 du =d(5x2 −1) du = 10x dx xdx = du 10 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2(5x2 )−1 12 x dx = 2∫ u12. du = 2 ∫ u12du = 1 . u13 + C = (5x2 )−1 13 + C. 10 10 5 13 65 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (5x2 −1) = 10xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2(5x2 )−1 12 x dx = 2 ∫ (5x2 )−1 12 10x dx = 2 ∫ (5x2 )−1 12 d (5x2 −1) 10 10 = 1 . (5x2 )−1 13 + C = (5x2 )−1 13 + C. 5 13 65 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ (x2 + 2x + )5 10 (2x + 2) dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x2 + 2x + 5 du = d ( x2 + 2x + 5) du = (2x + 2)d x ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ( x2 + 2x + )5 10 (2x + 2) dx = ∫ u10du = u11 + C = ( x2 + 2x + )5 11 + C. 11 11 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d ( x2 + 2x + 5) = (2x + 2)dx

15 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫(x2 + 2x + )10 (2x + 2 ) dx = ∫(x2 + 2x + )10 d(x2 + 2x + 5 ) dx = (x2 + 2x + )11 + C. 5 5 5 11 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫ (x + )1 25 dx 2. ∫ (1− 2x )45 dx 3. ∫ (1+ 3x)16 dx 4. ∫ (7x2 )−1 14 3xdx 5. ∫ (x2 +1)7 5xdx 6. ∫ (x2 + x + )1 18 (2x +1)dx 7. ∫ (1− x )100 dx 8. ∫ (5x + )1 18 dx 9. ∫ (2x2 + )1 12 xdx 10. ∫ (4x2 + )7 12 5xdx ຮູບຮ່ າງ 1.7: ∫ 1 dx u(x) ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ u 1 ) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ u 1 ) d u ( x ) (x (x - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u 1 ) d u ( x ) = ln u(x) +C (x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 1 dx 2x + 5 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x + 5

16 du = d (2x + 5) du = 2dx dx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 dx = ∫ 1 . du = 1 ∫ 1 du = 1 ln u +C = 1 ln 2x +5 + C. 2x + 5 u2 2 u 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x + 5) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 5 dx = 1 ∫ 1 5 2dx = 1 ∫ 1 5 d ( 2x + 5) = 1 ln 2x + 5 + C. 2x + 2 2x + 2 2x + 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ x 7 dx +1 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x +1 du = d (x +1) du = dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 7 dx = 7∫ 1 du = 7 ln u + C = 7 ln x +1 + C. x +1 u ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d ( x +1) = dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x 7 dx = 7∫ 1 d(x + 1) = 7 ln x +1 + C. +1 x +1 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3x 1 2 x dx 2+ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 3x2 + 2

17 du = d(3x2 + 2) du = 6xdx xdx = du 6 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 2 x dx = ∫ 1 . du = 1 ∫ 1 du = 1 ln u + C = 1 ln 3x 2 + 2 + C. 3x2 + u6 6 u 6 6 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x2 + 2) = 6xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 2 x dx = 1 ∫ 1 2 .6x dx = 1 ∫ 1 2 d (3x2 + 2) = 1 ln (3x2 + 2) + C. 3x2 + 6 3x2 + 6 3x2 + 6 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 1 1 2 5x dx −x ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1− x2 du = d (1− x2 ) du = −2xdx xdx = du −2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 1 2 5x dx = 5∫ 1 . du = 5 ∫ 1 du = − 5 ln u + C = − 5 ln 1− x2 + C. −x u −2 −2 u 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (1− x2 ) = −2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 5x dx = 5 ∫ 1 (−2xdx) = 5 ∫ 1 d(1− x2 ) = 5 ln 1 − x 2 + C. −x −2 −x −2 −x −2 1 2 1 2 1 2 ບດົ ເຝິກຫດັ

ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 18 1. ∫ 1 2 dx ຕວົ ຢ່ າງ 3x − ∫1 2x dx = 2x + C 2. ∫ x 1 1 3x dx 2+ ln 2 3. ∫ 9 5 dx ∫2 3x dx = 3x + C 7x + ln 3 4. ∫ 5x 1 1 xdx 2+ 5. ∫ x3 1 2 x 2dx + 6. ∫ 15 dx 1− 4x 7. ∫ 1 2x 2 dx −x 8. ∫ 5 x dx 1− 9. ∫ 1 1 2 x dx − 2x 10. ∫ 5x 1 1 xdx 2+ 11. ∫ 5 dx 1− 3x 12. ∫ 12 dx 1− 5x ຮູບຮ່ າງ 1.8: ∫ ax dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ ax dx = ax + C ln a

19 ∫3 5x dx = 5x + C ln 5 ∫4 7x dx = 7x + C ln 7 ∫5 6x dx = 6x + C ln 6 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫15x dx 2. ∫  1 x − 3x  dx 2 3. ∫ (7x − 3x2 )dx 4. ∫ (9x + 5x ) dx 5. ∫ (12x − 6x ) dx 6. ∫  1 + 4x  dx 2x ຮູບຮ່ າງ 1.9: ∫ au(x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ au dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ au(x) d u ( x ) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ au(x) d u (x) = a u(x) +C ln a ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2x2 +1 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x2 +1 du =d( x2 +1) du = 2xdx xdx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

20 ∫ 2x2 +1 xdx = ∫ 2t. du = 1 ∫ 2udu = 1 . 2u + C = 2x2 +1 + C. 22 2 ln 2 ln 4 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d ( x2 +1) = 2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( )∫ ∫ ∫2x2 +1 xdx = 1 1 2x2 +1 2x2 +1 2x2 +1.2 xdx = 1 2 dx2 +1 x2 +1 = . + C = + C. 22 2 ln 2 ln 4 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ 51−2x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1− 2x du = d(1− 2x) du = −2dx dx = du −2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 51−2x dx = ∫ 5u . du = 1 ∫ 5u du = 1 5u + C = −5u + C = − 51−2 x + C. −2 −2 −2 . ln 5 ln 25 ln 25 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (1− 2x) = −2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 51−2x dx = 1 ∫ 51−2x ( −2dx ) = 1 ∫ 51−2x d (1− 2x) = 1 51−2x + C = − 51− 2 x + C. −2 −2 −2 . ln 5 ln 25 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫14x+1 dx 2. ∫121−x dx ∫3. 82x2 +1 3xdx 4. ∫164x + 3 dx

21 ∫5. 191−5x2 xdx 6. ∫151−x2 xdx ຮູບຮ່ າງ 1.10: ∫ ex dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 5ex dx = 5∫ ex dx = 5ex + C 2 ∫ eu du = eu + C ∫ ex dx = ex + C 3 ∫ 2eu du = 2∫ eu du = 2eu + C 4 ∫ et dt = et + C 5 ∫ 3et dt = 3∫ et dt = 3et + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫12ex dx 2. ∫ (x − ex )dx 3. ∫ (2ex +1)dx 4. ∫ (1−3ex )dx 5. ∫ (x4 + 2ex )dx ( )6. ∫ 2ex + 3ex dx ຮູບຮ່ າງ 1.11: ∫ eu(x)dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ eu(x)dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ eu(x) d u ( x ) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ eu(x) d u ( x ) = eu(x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ e12x+1 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 12x +1

22 du = d (12x +1) du = 2d x dx = du 12 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e12x+1 dx = ∫ eu . du = 1 ∫ eudu = 1 eu + C = 1 e12x+1 + C. 12 12 12 12 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (12x +1) = 12dx ( )∫ ∫ ∫e12x+1 dx = 1 e12x+1 .12dx = 1 e d12x+1 12x +1 = 1 e12x+1 + C. 12 12 12 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ e3x2 −2 5xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 3x2 − 2 du = d(3x2 − 2) du = 6xdx xdx = du 6 ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e3x2 −2 5xdx = ∫ eu 5. du = 5 ∫ eudu = 5 eu + C = 5 e3x2−2 + C. 66 6 6 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x2 − 2) = 6xdx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ມ:ີ ∫ ∫ ∫ ( )e3x2 −2 5xdx = 5 e3x2 −2 6xdx = 5 e d3x2 −2 3x2 − 2 = 5 e3x2−2 + C. 66 6 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້

23 ∫1. e1 −15x dx ∫2. 2e1−x3 x2dx ∫3. e4x+3dx ∫4. e1−2x2 xdx ∫5. 4e4−5x3 x2dx 6. ∫ e1−x 2dx ຮູບຮ່ າງ 1.12: ∫ sin x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2sin x dx = 2 ∫ sin x dx = 2(− cos x) + C = − 2cos x + C 2 ∫ sin t dt = − cos t + C ∫ sin x dx = − cos x + C 3 ∫ 3sin t dt =3∫ sin t dt =3(− cos t) + C = − 3cos t + C 4 ∫ sin u du = − cos u + C 5 ∫ 7sin u du = 7 ∫ sin u du = 7(− cos u) + C = − 7 cos u + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 4sin x dx 2. ∫ (1− 2sin x)dx 3. ∫ (x + 3sin x)dx 4. ∫ (sin x − 2x)dx

24 5. ∫ (2 + 5sin x)dx 6. ∫ (1− sin x)dx ຮູບຮ່ າງ 1.13: ∫ sin u ( x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ sin u ( x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ sin u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ sin u (x) d u (x) = −cos u ( x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ sin (2x) dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x du =d(2x) du = 2dx dx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ sin (2x)dx = ∫ sin u. du = 1 ∫ sin u du = − 1 cos u + C = − 1 cos(2x) + C. 22 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ sin ( 2x ) dx = 1 ∫ sin ( 2x ) 2dx = 1 ∫ sin ( 2x ) d (2x ) = − 1 sin ( 2x ) + C. 2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3sin ( x2 +1) xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x2 +1 du = d( x2 +1) du = 2xdx xdx = du 2

25 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫3sin (x2 +1) xdx = 3∫sin u. du = 3 ∫sin udu = − 3 cos u + C = − 3 cos(x2 +1) + C. 22 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (x2 +1) = 2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3sin (x2 +1) xdx = 3 ∫ (sin x2 +1) 2xdx = 3 ∫ sin (x2 +1)d (x2 + 1) = − 3 (cos x2 + 1) + C. 2 2 2 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin 5x dx 2. ∫ 5sin (1− 2x)dx 3. ∫ sin (4x +1)dx 4. ∫ sin (2x2 + 3) xdx 5. ∫ 2sin (3x2 − 7) xdx 6. ∫ sin 5x dx ຮູບຮ່ າງ 1.14: ∫ cos x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2cos x dx = 2 ∫ cos x dx = 2sin x + C 2 ∫ cos t dt = sin t + C ∫ cos x dx =sin x + C 3 ∫ 3cos t dt =3∫ cos t dt =3sin t + C 4 ∫ cos u du = sin u + C 5 ∫ 5cos u du =5∫ cos u du = 5sin u + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້

26 1. ∫ 3cos x dx 2. ∫ (2cos x + 1)dx 3. ∫ (3cos x − x)dx 4. ∫  x2 − 1 cos x  xdx 2 5. ∫ (9cos x − 1) dx 6. ∫ (1− cos x)dx ຮູບຮ່ າງ 1.15: ∫ cos u (x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ cos u ( x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ cos u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ cos u (x) d u (x) = sin u (x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ cos8x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 8x du = d(8x) du = 8dx dx = du 8 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cos 8x dx = ∫ cos u. du = 1 ∫ cos u du = 1 sin u + C = 1 sin 8x + C. 8 8 8 8 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (8x) = 8dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

27 ∫ cos 8x dx = 1 ∫ cos 8x.8dx = 1 ∫ cos 8xd (8x ) = 1 sin (8x ) + C. 8 8 8 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 5cos(2x2 + 3) xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 + 3 d (2x2 + 3) = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫5cos(2x2 + 3) xdx = 5∫ cos u du = 5 ∫ cos u du = 5 sin u + C = 5 sin (2x2 + 3) + C. 44 4 4 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x2 + 3) = 6xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 5cos(2x2 + 3) xdx = 5 ∫ cos(2x2 + 3) .4xdx = 5 ∫ cos(2x2 + 3)d (2x2 + 3) 44 = 5 sin (2x2 + 3) + C. 4 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos5x dx 2. ∫ 2cos(1− x)dx 3. ∫ 1 cos ( x + 1) dx 2 4. ∫ cos  1 x2 − 3  xdx 2 5. ∫ cos(2x3 + 7) x2dx 6. ∫ cos(1− 5x2 ) xdx

28 ຮູບຮ່ າງ 1.16: ∫ tan x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2 tan x dx = 2 ∫ tan x dx = − 2ln cos x + C 2 ∫ tan u du = − ln cos u + C ∫ tan x dx = − ln cos x + C 3 ∫ 3tan u du =3∫ tan u du = − 3ln cos u + C 4 ∫ tan y dy = − ln cos y + C 5 ∫ 5 tan y dy =5∫ tan y dy = −5ln cos y + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (2sin x − cos x + 5 tan x)dx 2. ∫ (2cos x − 3tan x)dx 3. ∫  3 + 3sin x − 5 tan x  dx 2x7 4. ∫  tan y − y2 + 2 − 1  dy  y  5. ∫  9 tan t + 1 t  dt  2  6. ( )∫ 2ex + e2x+3 − 3 tan x dx ຮູບຮ່ າງ 1.17: ∫ tan u (x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ tan u (x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ tan u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ tan u (x) d u (x) = − ln cos u (x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ tan 5x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1:

29 ວາງ u = 5x du = d(5x) du = 5dx dx = du 5 ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ tan 5x dx = ∫ tan u. du = 1 ∫ tan u du = − 1 ln cos u + C = − 1 ln cos 5x + C. 5 5 5 5 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (5x) = 5dx ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ tan 5x dx = 1 ∫ tan 5x.5dx = 1 ∫ tan 5x d (5x ) = − 1 ln cos 5x + C. 5 5 5 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2x tan (2x2 +1)dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 +1 du = d (2x2 +1) du = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x tan (2x2 +1)dx = 2∫ tan u. du = 1 ∫ tan u.du = − 1 ln cos u + C 42 2 = − 1 ln cos (2x2 +1) + C. 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (2x2 +1) = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x tan (2x2 +1) dx = 1 ∫ 4x tan (2x2 +1)dx = 1 ∫ tan (2x2 +1)d (2x2 +1) 22

30 = − 1 ln cos (2x2 +1) + C . 2 ບດົ ຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ tan (2x − 3)dx 2. ∫ 5 tan (1− 2x)dx 3. ∫ x tan (1− 2x2 ) dx 4. ∫ 3x tan (12 − 5x2 )dx 5. ∫ 2 tan y + tan (3y + 2) dy 6. ∫[3cos 2t − sin 3t + 5 tan 5t]dt 7. ∫  1 − e2x−3 + 5x tan ( x2 −1) dx  x  ( 5) 3 x2 −1 dx 2 x 8. ∫ tan 7x + − ຮູບຮ່ າງ 1.18: ∫ cot x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2cot x dx = 2 ∫ cot x dx = 2ln sin x + C 2 ∫ cot u du = ln sin u + C ∫ cot x dx = ln sin x + C 3 ∫ 3cot u du =3∫ cot u du =3ln sin u + C 4 ∫ cot y dy = ln sin y + C 5 ∫ 5cot y dy =5∫ cot y dy = 5ln sin y + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (cos x − 3sin x + 5cot x)dx 2. ∫ (sin x − 3cot x)dx

31  x − 5 cot x  dx  3. ∫   3 x5  4. ∫  cot x − 1  dy x −7 5. ∫ (e5u−4 − 7 cot u ) du ( )6. ∫ 2x − 3ex + x − 2cot x dx ຮູບຮ່ າງ 1.19: ∫ co t u (x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ co t u (x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ co t u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ cot u (x) d u (x) = ln sin u (x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ cot 5x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 5x du = d(5x) du = 5dx dx = du 5 ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cot 5x dx = ∫ cot u. du = 1 ∫ cot u du = 1 ln sin u + C = 1 ln sin 5x + C. 5 5 5 5 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (5x) = 5dx ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cot 5x dx = 1 ∫ cot 5x.5dx = 1 ∫ cot 5x d (5x) = 1 ln sin 5x + C 55 5 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2x cot (2x2 +1) dx

32 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 +1 du = d (2x2 +1) du = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x cot (2x2 +1)dx = 2∫ cot u. du = 1 ∫ cot u.du = 1 ln sin u + C 42 2 = 1 ln sin (2x2 +1) + C. 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (2x2 +1) = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x cot (2x2 +1)dx = 1 ∫ 4x cot (2x2 +1)dx = 1 ∫ cot (2x2 +1)d (2x2 +1) 22 = 1 ln sin (2x2 +1) + C . 2 ບດົ ຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cot (5x + 3)dx 2. ∫ 2cot (2 − 5x)dx 3. ∫ 5x cot (1− x2 )dx 4. ∫ 7x cot (1− 2x2 )dx 5. ∫ cot y − y cot (3y2 + 2) dy 6. ∫[cos3t − sin 2t + 5cot 5t]dt ( )7.  1 −1  ∫  x −5 − xe2x2−3 − 2x cot x2  dx