Calculus 1

( ) 34 = x ln x + 1+ x2 − 1+ x2 + C . 4.4. ຄດິ ໄລ່ ∫ x ln 1 + x dx 1 − x ບດົ ແກ:້ ວາງ u = ln 1+ x ⇒ dvu==x2122−dxx2 1− x dv = xdx ຈາກສູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x ln 1 + x dx = x2 ln 1 + x − ∫ x2 dx = x2 ln 1 + x + ∫  + 1 − 1  1 − x 2 1 − x 2 1 − x 1  dx 1− x2 2(x −1) 2(x +1) = x2 ln 1 + x + x + 1 ln x −1 +C. 2 1 − x 2 x +1 5. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 5.1. I = ∫ xe 2x sin (2x +1)dx 5.2. I = ∫ xexsin 2x dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 5.1. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ xe 2x sin (2x +1)dx ບດົ ແກ:້ duv==xe2 du = dx  ວາງ x sin ( 2x + 1) dx ⇒ v = e2x 2 sin ( 2x + 1) − 2 cos ( 2x + 1)  4 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I = xe2x sin (2x + 1) − cos ( 2x + 1) − 1 ∫ e2x sin (2x + 1) − cos ( 2x +1) dx 2 2 = xe2x sin (2x + 1) − cos ( 2x + 1) − 1  e2x (2sin (2x + 1) − 2 cos ( 2x + 1) )  2 2  4 − e2x ( 2 sin ( 2x + 1) + 2 cos ( 2x + 1))  + C  4 

35 = xe2x (sin (2x +1) − cos (2x +1)) − e2x cos (2x +1) + C . 22 5.2. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ xexs in 2x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ u = x ⇒ dvu==edxx( )  sin 2x − 2 cos 2x dv = ex sin 2x dx 5 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I = xex (sin 2x − 2 cos 2x) − 1 ∫ ex (sin 2x − 2 cos 2x ) dx 5 5 = xex (sin 2x − 2 cos 2x ) + ex (3sin 2x + 4 cos 2x ) + C . 5 10 6. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 6.1. I = ∫ xe x cos x dx 6.2. I = ∫ 3x cosx dx 6.3. I = ∫ 1 + s inx ex dx 1 + cosx 6.4. I = ∫ 25e3x cos 4x dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 6.1. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ xe x cos x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ u = x ⇒ dvu==edx x(sin )  x+ cos x dv = ex cos x dx 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I = xex (sin x + cos x) − 1 ∫ ex (sin x + cos x ) dx 2 2 = xex (sin x + cos x) − 1 ∫ ex sin x dx + ∫ ex cos xdx 2 2

36 = x (sin x+ cos x) − 1 ex (sin x− cos x) + ex (sin x+ cos x )  + C 2 2  2 2    = ex ( x sin x + x cos x − sin x ) + C . 2 6.2. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ 3x cosx dx ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==3cx os x dx ⇒ dvu==si3nx ln 3 dx x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I = 3x sin x − ln 3∫ 3x sin x dx ວາງ duv==3sxin x dx ⇒ dvu==−3cxolsnx3dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )I = 3x sin x − ln 3 −3x cos x + ln 3∫ 3x cos x = 3x sin x − ln 3 −3x cos x + ln 3.I I = 3x (sin x + ln 3 cos x) + C . 3 1 + ln2 6.3. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ 1 + s inx e x dx 1 + cosx ບດົ ແກ:້ I = ∫ 1 + s inx ex dx = ∫ ex dx + ∫ sin x ex dx 1 + cosx 1+cosx 1+cosx ວາງ u = sin x ⇒ du = dx 1+ cos x 1+ cos x dv = ex dx v = ex ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I= ∫ ex dx + ex sin x − ∫ ex dx 1+cosx 1+ cos x 1+cosx = ex sin x + C. 1+ cos x

37 6.4. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ 25e3x cos 4x dx = ∫25 e3x cos 4x dx = 25I1 ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==ec3xos 4x dx ⇒ dvu==si3ne443xxdx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I1 = e3x sin 4x − 3 ∫ e3x sin 4x dx 4 4 ວາງ duv==es3xin 4x dx ⇒ dvu==−3ceo3sx44dxx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I1 = e3x sin 4x − 3  − e3x cos 4x + 3 ∫ e3x  4 4  4 4 cos 4xdx  I1 = e3x sin 4x − 3  − e3x cos 4x + 3 I1  4 4  4 4  I1 = e3x ( 4 sin 4x + 3cos 4x) 25 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ມ:ີ I = 25I1 = e3x (4sin 4x + 3cos 4x ) + C . ການນາໍ ໃຊສ້ ູດ: ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx ເຊ່ ງິ ວ່ າ G (x) = ∫ g(x)dx ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ຊອກຫາ f ′(x) ບາດກາ້ ວ 2: ຊອກຫາ G (x) = ∫ g(x)dx ບາດກາ້ ວ 3: ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g (x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ xexdx ບດົ ແກ:້

38 ເລອື ກວາງ gf ((xx ) = x ⇒f′(x) = 1 = ex ) = ex ⇒ G (x) = ∫ exdx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ xexdx = xex − ∫ exdx = xex − ex + C = ex ( x −1) + C . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ xe2xdx ບດົ ແກ:້ ວາງ gf ((xx)) = x ⇒f′(x) = 1 dx =1 ∫ e2x d ( 2x ) = 1 e2x = 2 2 e2x ⇒G (x)= ∫ e2x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ x 1 ex − ∫ 1 e2 x dx = 1 xe2x − 1 ∫ e 2 x d ( 2 x ) = 1 xe2x − 1 e2x + C = 1 e2 x  x − 1  +C. 2 2 2 4 24 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x ln xdx ບດົ ແກ:້ f (x) = ln x ⇒f′(x) = 1 x ວາງ g (x) x⇒G(x)=∫ 1 = x dx = 2 x2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x 2 ln x ∫ 1 1 1 x2 ln x 1 ∫ 1 x2 ln x − 1 . x2 2 2 x 2 2 2 22 x ln xdx = − x 2 . .dx = − x dx = +C = 1 x2 ln x − x2 +C= 1 x2  ln x− 1  + C. 2 4 2  2  ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x ln 2x dx ບດົ ແກ:້ f (x) = ln 2x ⇒f′(x) = 1 x ວາງ g (x) x⇒G(x)=∫ 1 = x dx = 2 x2

39 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ∫ ∫x ln 2x dx = x2 ln 2x − 1 x2. 1 .dx = x2 ln 2x − 1 x dx = 2x2 ln 2x − x2 + C = 1 x2 (2 ln 2x −1) + C. 2 2x 22 4 44 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x sin xdx ບດົ ແກ:້ ວາງ fg((xx)) = x ⇒f′(x) = 1 ∫ sin xdx =− cos x = sin x ⇒ G (x) = ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C. ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x sin 5x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ fg((xx ) = x ⇒f′(x )= 1 = ∫ sin 5xdx = 1 ∫ sin 5x d (5x ) = − 1 cos 5x ) = G( 5 5 sin 5x ⇒ x) ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x sin 5x dx = x  − 1 cos 5x  − ∫  − 1 cos 5x .1.dx =− 1 x cos5x + 1 ∫ cos5xdx 5 5 5 5 = − 1 x cos 5x + 1 ∫ cos 5x d (5x ) = − 1 x cos 5x + 1 sin 5x + C. 5 25 5 25 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x cos x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ gf ((xx ) = x ⇒f′(x) =1 ∫ cos x dx = sin x ) = cos x ⇒ G (x)= ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C. ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x cos(2x) dx ບດົ ແກ:້

40 ວາງ gf ((xx ) = x ⇒f′ (x) =1 ) = ∫ cos 2x dx = 1 ∫ cos 2x d (2x) = 1 sin 2x ) = cos 2x ⇒G(x 2 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos(2x) dx = x sin 2x − 1 ∫ sin 2xdx = x sin 2x − 1 ∫ sin 2x dx 2 2 2 2 = x sin 2x − 1 ∫ sin 2x d (2x) = x sin 2x + 1 cos 2x + C. 2 4 2 4 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ສມົ ຸດວ່ າຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ f (x)g(x)dx - ຖາ້ ວ່ ານໍາໃຊ້ ∫ f (x)g(x)dx = f (x)G (x) − ∫ G (x)f ′(x)dx ເຊ່ ງິ ວ່ າ G (x) = ∫ g(x)dx ບ່ ໍສາມາດແກໄ້ ດ.້ - ປ່ ຽນນໍາໃຊ້ ∫ f (x)g(x)dx = g(x) F(x) − ∫ F(x)g′(x)dx ເຊ່ ງິ ວ່ າ F(x) = ∫ f (x)dx . ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ xe4xdx 2. ∫ x sin 3xdx ∫3. xe−2xdx 4. ∫ x sin10x dx 5. ∫ x2 ln xdx 6. ∫ x cos 23x dx 7. ∫ x5 ln 2x dx 8. ∫ x cos x dx 2 9. ∫ ln x dx 10. ∫ ln15x dx 11. ∫ x (x − )5 12 dx 12. ∫ −x xe 2 dx 13. ∫ x ( x − )5 12 dx 14. ∫ −x xe 2 dx

41 15. ∫ 5xe9x dx 16. ∫ 2x ln (x2 +1)dx 17. ∫ x3 sin x dx 18. ∫ x3 cos xdx 19. ∫ e−2x cos3xdx 20. ∫ cos(ln x)dx