Calculus 1

ບດົ ແກ ້ 1: f ′( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 f ′ (1) = lim f ( x) − f (1) − 1 x→1 x f ′ (1) = lim x7 − 17 = lim x7 −1 x − 1 x −1 x→1 x→1 f ′ (1) = lim x7 −1 x −1 x→1 ( )f ′(1) = lim (x −1) x→7 x6 + x5 + ... +1 x −1 ( )f ′(1) = lim x6 + x5 + ... +1 = 1+1+1+1+1+1+1 = 7 x→1 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(1) = 7 . ບດົ ແກ ້ 2: f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x0 ) − f ( x 0 ) 0 ∆x→0 ∆x f ′ (1) = lim f ( ∆x + 1) − f (1) ∆x→0 ∆x f ′(1) = lim (1 + ∆x )7 −17 ∆x→0 ∆x ′(1) = (1 + ∆x ) −1 (1 + ∆x )6 + (1 + ∆x )5 + ... + 1 f lim ∆x ∆x→0 f ′(1) = ∆x (1+ ∆x)6 + (1+ ∆x )5 + ... +1 lim ∆x ∆x→0 f ′(1) = lim (1 + ∆x )6 + (1 + ∆x )5 + ... + 1 = 1 +1+ 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 7 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(1) = 7 . ຕວົ ຢ່ າງ 9: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x10 . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ f ′( x ) f ′ ( x ) = lim f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x→0 ∆x f ′(x ) = lim (x + ∆x )10 − x10 ∆x→0 ∆x 48

f′(x) = lim ( x + ∆x) − x ( x + ∆x )9 .x0 +(x + ∆x)8 .x1 + ... + (x + ∆x )0 .x9  ∆x→0 ∆x f′(x) = lim ( x + ∆x )9 + (x + ∆x )8 .x + ... + x9  = x9 + x9 + ... + x9 = 10.x9 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f (x ) = x10 ⇒ f ′(x ) = 10x9 . ຕວົ ຢ່ າງ 10: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = c . ຄດິ ໄລ່ f ′( x ) f ′ ( x ) = lim f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x→0 ∆x f ′(x) = lim c−c = 0 ∆x ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f (x) = c ⇒ f ′( x) = 0 ຕວົ ຢ່ າງ 11: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = xn . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ f ′( x ) f ′ ( x ) = lim f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x→0 ∆x f ′(x) = lim (x + ∆x )n − xn ∆x→0 ∆x f′(x) = ( x + ∆x ) − x  ( x + )∆x n−1 .x0 +(x + )∆x n−2 .x1 + ... + (x + ∆x )0 .xn−1  lim ∆x ∆x→0 f ′(x) = lim ( x + )∆x n−1 .x 0 + (x + )∆x n−2 .x1 + ... + ( x + ∆x )0 .x n −1  ∆x→0 ( )f ′ x = xn−1 + xn−1 + ... + xn−1 = nxn−1 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ( x) = xn ⇒ f ′( x ) = nxn−1. ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x2 + 2x − 3 , f ′(2) = ? 2. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x100 , f ′(1) = ? 3. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = 3 x +1 , f ′(1) = ? 4. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = cos x , f ′(x) = ? 5. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 2x − 2 , f ′(3) = ? 6. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = sin x , f ′(x) = ? 7. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x + 2 , f ′(0) =? x − 2 49

8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = x3 − 2 , f ′(1) = ? ບດົ ທີ 6 ໃຊສ້ ູດ ເພ່ ອື ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ 6.1. ຜນົ ຕໍາລາພນຶ້ ຖານ ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = xn ( )y′ = xn ′ = nxn−1 y′ = (axn )′ = a (xn )′ = a.nxn−1 y = axn ເຊ່ ງິ ວ່ າ a ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ y′ = a′ = 0 y = a ເຊ່ ງິ ວ່ າ a ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ 50

y = x200 ( )y′ = x200 ′ = 200x200−1 = 200x199 y = x−10 ( )y′ = x−10 ′ = 10x−10−1 = −10x−11 3 y′ =  x 3 ′ = 3 x 3 −1 = 3 x 3−4 = 3 −1  4  4 4 y = x4 x4  4 4 4 1  ′ x−15 ′ = −15x−15−1 = −15x−16 ( )y′=  1  = y = x5 x15 y = −1 y′ =  −1 ′ = − 1 x −1 −1 = − 1 − −1−3 = − 1 x −4 x 3  3 3 3 x3 x  3 3 3 y = 1 ( )y′=  1 ′ = x12 ′ = 12x12−1 = 12x11 x−12  x−12  y = 3 x2 ( )y′ = 3 x2 ′ =  2 ′ =  2 ′ = 2 2 −1 = 2 2−3 = 2 −1  3   3  3 3 x x x x3 x  3 3 3 y= 1 y′ =  1 ′ =  1 ′ =  −1 ′ =  −1 ′ = − 1 − 1 −1 = − 1 −1−2 − 1 −3 x  x        2 2 2  1   x2   x2  x2 x2 x2 y=x x2 ( )y′ = (x)′ = x1 ′ = 1.x1−1 = 1.x0 = 1.1 = 1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ ( ) ( )y′ = 2x30 ′ = 2. x30 ′ = 2.30x30−1 = 60x29 y = 2x30 y = 1 x27 ( )y′=  1 x27 ′ = 1 x27 ′ = 1 .27x27−1 = 9x26 3  3  3 3 y = 5x ( )y′ = (5x)′ = 5 x1 ′ = 5.1.x1−1 = 5.1.x0 = 5.1.1 = 5 y = −3  −3 ′ = − 3  −3 ′ = 5. − 3 − 3 −1 = − 15 − −3−1 = − 15 −5  5x 2  x 2  5x 2 x2 x2 x2   2  2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ 51

y = 10 y′ = (10)′ = 0 y = 25 y′ = (25)′ = 0 y = −20 y′ = (−20)′ = 0 6.2. ຜນົ ເນ່ ອື ງ f (x) ± g(x)′ = f′(x) ± g′(x) ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = 2x3 + x2 − 5 y′ = (2x3 + x2 − 5)′ = (2x3 )′ + (x2 )′ − (5)′ = 6x2 + 2x f (x)=x3 + 2x + 5 f ′(x) =(x3 )′ +(2x)′ +( 5)′ =(x3 )′ +(2x)′ + ( 5)′ = 3x2 + 2 ( )g′( t ) = 2t4 − 3t2 + 5t + 1 ′ =8t3 − 6t + 5 g(t) = 2t4 − 3t2 + 5t + 1 f (x) = 1 x3 − 2x2 − x + 3 f ′( x ) =  1 x3 − 2x2 − x + 3′ = x2 − 4x −1  3 3 f ′(x) = ( x2 + 2x + 3)′ = 2x + 2 f (x) = x2 + 2x + 3 ( )f ′(x)= 8 x + 3x ′ =  8x 1 + 3x ′ = 4 +3 f (x) =8 x + 3x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ  2  x f ′(4) ແລະ f ′(9) f′(4) = 4 + 3 = 4 + 3 = 2 + 3 = 5 42 f ′(9) = 4 + 3 = 4 + 3 = 4 + 9 = 13 93 33 ບດົ ເຝຶກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = x100 2. f ( t ) = t−50 5 4. y = −1 3. y = x3 x3 5. y = 1 6. y = 1 x15 x −45 7. y = 1 8. y = x3 5x 1 9. y = 5x14 10. y = 15x 5 11. y = 4x 12. y = 30 13. y = 3x4 − 2x2 + 3 14. f ( t ) = a5 + 5a3 t2 − a t3 52

15. y = 5 + 4x − 7x3 16. f (t) = 1 t2 − 1 t5 25 17. f ( x ) = 1 x4 + 2 x3 − 3 x2 − 1 18. y = 15 x3 − 5x2 234 19. f ( t ) = 3 t4 − 2 t3 + 2t2 20. y = 3 x + 2 x −10 43 21. g ( t ) = 5a t3 − 3a2 t2 + 4a3 t − 5a4 22. g (r) = 1 r3 + 1 r2 − r − 2 34 23. ໃຫຕ້ ໍາລາ y = 7+x −x2. ຊອກຫາ y′(0), y′  1  , y′(1), y′(−10) 2 24. ໃຫຕ້ ໍາລາ y = 1 x3 + 1 x2 − 2x . ສໍາລບັ ໃດຂອງ x ສະຕອບສະໜອງ: 32 y′(x) = 0 y′(x) = − 2 y′(x) = 10 25. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x x + x. ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1) , f ′ 1  , f ′( 49) 4 26. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = x + x. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(4),f ′(16),f ′ 1  64 27. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x3 − 4 x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(9), f ′(100) 28. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 1 − 5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1), f ′(4), f ′(9) xx 29. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = 3 x − 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(8), f ′(27) x2 30. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = x 1 − 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(4),f ′(16) 2 x 31. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = 2 x + 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(4),f ′(25) x2 32. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 3 3 x + 5x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(8), f ′(75) 33. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x)= 1 + 1 − 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′ 1 ,f ′(1),f ′(2) 2 x x2 x3 6.3. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຜນົ ຫານ ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ 53

y = u ( x ) y′ =  u ( x ) ′ = u′(x).v(x) − v′(x).u (x) v ( x )  v ( x )  v2 (x)   y= a ເຊ່ ງິ ວ່ າ a y′ =  a ′ = −a.  v ( x )′   v2 (x) v(x)  v (x )  ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ y′ =  u (x ) ′ = u′( x )   y = u ( x) ເຊ່ ງິ ວ່ າ a a a a ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫຕ້ ໍາລາ y = 7 − x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ y′ 7 + x ບດົ ແກ:້ y′ =  7 − x ′ = (7 − x )′ (7 + x) − (7 + x )′ (7 − x) = −(7 + x) − (7 − x)  7 + x  (7 + x)2 (7 + x)2 = −7 − x − 7 + x = −14 . (7 + x)2 (7 + x)2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫຕ້ ໍາລາ y = 1− x3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ y′ 1+ x3 ບດົ ແກ:້ y′ =  1− x3 ′ = (1 − x3 )′ (1 + x3 ) − (1+ x3 )′ (1 − x3 ) = −3x 2 (1+ x3 ) − 3x2 (1 − x3 )  1+ x3  (1+ x3 )2 (1 + )x3 2 ( ) ( )= −3x2 − 3x5 − 3x2 + 3x5 = − 6x2 1+ x3 2 1+ x3 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫຕ້ ໍາລາ y = x2 + x− 2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ y′ ແລະ y′(0) x3 −1 ບດົ ແກ:້ ຊອກ y′ = ? y′ =  x2 + x− 2 ′ = ( x2 + x − 2)′ ( x3 −1) − (x3 −1)′ ( x2 + x − 2) x3 −1  ( x3 −1)2 = (2x + 1) ( x 3 −1) − 3x2 (x2 + x − 2) = x4 − 2x + x3 −1 − 3x4 − 3x3 + 6x2 ( x3 −1)2 ( x3 −1)2 54

= −2x 4 − 2x3 + 6x2 − 2x −1 ( x3 −1)2 ຊອກ y′(0) = ? y′(0) = −2(0)4 − 2(0)3 + 6(0)2 − 2(0) −1 = −1 = −1 (03 −1)2 ( −1)2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ 2 ( ( ) ) ( ) ( )y′2 ′ ′ y = x2 + 5  x2 + 5  = −2 x2 + 5 −2.2x = −4x =  x2 + 5 2 = x2 + 5 2 x2 + 5 2 y = −5  −5 ′ − −5 (1 − x )′  5 ( −1) −5 1− x 1− x   (1− x)2 y′ = = (1− x)2 = = (1− x)2 y = 12 y′ = 12 ′ = −12(2x + 3)′ = −12.2 = −24 2x + 3 2x + (2x + 3)2 3 (2x + 3)2 (2x + 3)2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = x3 +1 ( )y′ x3 +1 ′ = 3x2 2 =  x3 + 1 ′ = 22  2  y = x2 + 5x − 4 12 x2 + 5x − 4 ′ = 2x + 5 12 12 y = 2x4 − 5x3 + x +1 ( )y′=  x2 + 5x − 4 ′ = 8  12  2x4 − 5x3 + x +1 ′ = 8x3 −15x2 +1 88 ( )y′=  2x4 − 5x3 + x +1 ′ =  8  ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = 2x2 2. y = 1 + x − x 2 1+ x 1 − x + x 2 3.f (x) = x3 + x2 + x +1 4. f (x)= x2 x+2 3x 5. f ( x ) = x3 −1 6. f (x)= x2 + 2x 2x +1 x2 +1 55

7. f (x) = 1− x 8. f (x ) = 1 2x 1+ x − 2x 9. f (x)= 2x − 5 12. f (x) = x x 1 x2 − 3 + 13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = 3x −1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−1),f ′(1) x2 14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x−5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(2) 2x +3 15. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x2 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′ 1  , f ′ ( 2) x+ 2 16. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 6x +5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′ (1) , f ′ 1  1− 3x 2 17. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 5x2 − 2x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(0),f ′(1) 2x + 5 18. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 3x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′ − 1  ,f ′ 1  x −1 2 2 19. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = x + 6 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(2), f ′(3) x 20. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x +3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−1),f ′(1) x −1 ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = 7 2. f ( x ) = x 2 1 1− 2x 2+ 3. f (x)= 1 4. f ( x ) = 6 x3 +1 1− 2x 5. f ( x ) = − 1 3 2 6. y=− 4 −x 2x +1 7. f (x ) = 1 9 x 8. f ( x ) = 1 2 x 3 − −2 9. f (x)= 1 10. f (x)= 3 2x +1 x3 +1 11. f (x)= −9 2 12. f (x)= 4 2 3x − 5x + 13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x 2 8 3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(0),f ′(1) − 56

14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 6 2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′ (1) , f ′  1  . 4x − 3 ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = x3 − 2x2 − 3x + 2 12 2. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) =1− 3x 5 3. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x2 + 3x − 2 18 4. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = x3 + 5x2 − x − 3 20 5. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = x4 − x3 + 3x +1 15 6. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = 2x3 − 4x2 − 3x + 5 30 7. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x2 + 2x −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′ − 1  ,f ′  5  2 3 4 8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x3 + 2x2 − x +1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′  − 1  , f ′  3  4 2 2 6.4. ຜນົ ຕໍາລາຂອງການຄນູ u (x ).v(x )′ = u (x)′ .v( x) + u (x ).v (x)′ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫຕ້ ໍາລາ y =(2x +1)(1− 3x) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ y′ ບດົ ແກ:້ y′ = (2x +1)(1− 3x)′ =(2x +1)′ (1− 3x) + (1− 3x)′ (2x +1) = 2(1− 3x) − 3(2x +1) = 2 − 6x − 6x − 3 = −12x −1 = − (12x +1) ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫຕ້ ໍາລາ (y = x2 − 3x)(1− 2x) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ y′ ບດົ ແກ:້ y′ = ( x2 − 3x )(1− 2x )′ = (x2 − 3x)′ (1− 2x ) + (1− 2x )′ (x2 − 3x) =(2x − 3)(1− 2x) − 2( x2 − 3x ) = 2x − 4x2 − 3 + 6x − 2x2 + 6x = − 6x2 +14x − 3. ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫຕ້ ໍາລາ y = (1+ 2x − 4x2 )(3x +1) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ y′ 57

ບດົ ແກ:້ y′ = (1+ 2x − 4x2 )(3x +1)′ =(1+ 2x − 4x2 )′ (3x +1) + (3x +1)′ (1+ 2x − 4x2 ) ( )= (2 − 8x)(3x +1) + 3 1+ 2x − 4x2 = 6x + 2 − 24x2 − 8x + 3 + 6x −12x2 = −36x2 + 4x + 5. ຕວົ ຢ່ າງ 4: ໃຫຕ້ ໍາລາ (y = x2 − 6x + 3)(2x −1) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາ y′ ບດົ ແກ:້ y′= ( x2 − 6x + 3)(2x −1)′ =(x2 − 6x + 3)′ (2x −1)+ (2x −1)′ (x2 − 6x + 3) ( )=(2x − 6)(2x −1) + 2 x2 − 6x + 3 = 4x2 − 2x −12x + 6 + 2x2 −12x + 6 = 6x2 − 26x +12. . ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x)=(2x3 − 5)(4x + 3) 2. f ( x) =(2x − 3)(3x2 − 5x +1) 3. f (x) = 4x (2x2 −1) 4. f (x)=(3x + 6)(5x − 3) 5. f (x)=(x + 2)(x2 − 4) 6. f (x) =(9x2 − 6x)(2x +1) 7. f ( x) =(2x2 + 3)(x3 −1) 8. f (x) =(x − 5)(3x2 + 4x) 9. f (x) =(x2 − 3x +1)(2x − 6) 10. f (x) =(5x3 + 2)(2x − x3 ) 11. f (x) =(5x − 8)(2x + 3) 12. f (x) =(x4 −1)(1− x2 ) 13. f ( x) = 4x5 (2x2 − 5x + 3) 14. f (x) =(2x3 − 5)(4x + 3) 15. f (x) =(x2 − 5)(x2 + 2x +1) 16. f (x) =(2 − 3x)( x2 + 5x +1) 17. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = (x + 6)(3x − 2) . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(3),f ′(5) 18. ໃຫຕ້ ໍາລາ 19. . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−2), f ′(4) 58

20. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = 4x2 (x2 − 5). ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(0),f ′(1) 21. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) =( x3 +1)(x2 − 3x). ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−1), f ′(1) 22. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) =(3x2 − 2x)(5x + 4). ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−1), f ′(1) 23. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) =(7x − 2)(2x − 3x2 ) . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(2),f ′(3) 24. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) =  2x − 2   1 + 1  . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(1),f ′(2) x2 x x2 ( )25. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) =  1 −  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ f ′(−2),f ′(4) x + 3x  x x  . 6.5. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາຊອ້ ນໃນ un ( x)′ = n.u ( x )′ .un−1 ( x) ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y =(1 + x)5 y′ = (1 + x )5 ′ = 5(1+ x )′ (1+ )x 5 −1 = 5(1+ x )4 ( )y = x3 + 2x 0.2 0.2 ′  1 ′ 1 x3 + 2x ′ 1 −1 ( ) ( ) ( ) ( )y′=   5  5 5 y = (4x − 1)6  x3 + 2x = x3 + 2x = x3 + 2x ( )y = 3 − 5x2 7 ( )( )= 1 3x2 + 2 x3 + 2x −4 5 5 y′ = (4x − 1)6 ′ = 6(4x −1)′ (4x )−1 6−1 = 6(4)(4x −1)5 = 24(4x −1)5 ( ) ( ) ( ) ( )y′ ′ ′ =  3 − 5x2 7  = 7 3 − 5x2 3 − 5x2 7 −1 = 7 (−10x ) 3 − 5x2 6  ( )= −70x 3 − 5x2 6 y = (1 − 4x ) − 3 y′ = (1 − ) − 3 ′ = − 3 (1 − )′ (1 − )− 3 − 1 =  − 3  ( −4 ) (1 − ) − 3− 2 = (1 − )− 5 2 2  2 2 2 2 2 4x 4 x 4x 4x 6 4x y = (3x2 )5  5 ′ 5 3x2 + 1 ′ 5 −1 5 (6x ) 5−2 3  3  3 2 +1 3 + 1 2 = 10x +1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y′= + = + = 3x 2 1 3x 2 1 3 3x 2 3x 2 y = 1 (2x − 1)8 y′ =  1 ( 2x − 1)8 ′ = 1 .8(2x −1)′ (2x )−1 8 −1 = 2(2)(2x − 1)7 = 4(2x − 1)7  4  4 4 y = 2 (3x2 + 2)3 y′ =  2 ( 3x 2 + 2 )3 ′ = 2 .3(3x2 + 2)′ (3x2 + )2 3−1 = 2 ( 6x ) ( 3x 2 + 2)2 = 12x (3x2 + 2)2  3  3 3 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = (2x + 1)4 2. f (x) = (3 − x)3 3. f ( x) = (4x2 + 1)5 4. f (x) = (x2 − 2x)5 5. f ( x) = (3x + )4 0.12 6. f (x) = (7x2 −6x)6 59

7. f (x ) =(2x )+ 3 14 8. f (x) = (1− x)8 10. f (x ) =(2x )+ 3 −5 9. f (x) = (x4 − 2x)5 12. f (x ) = (10 + 6x − 5x2 )3 11. f (x ) = 1 (x2 + 3x −1)4 14. f (x) =(2x2 − 5)5 4 16. f (x) =(7x )− 2 −2 13. f (x) =(2x +1)4 15. f (x)  1 + 2 − 2 =  3x 3 1  x5 17. f (x) =  1 − 3x 0.24 18. f (x) = (1 − 3x ) 1 x  4 19. f (x) = 1 (x3 − x )6 20. f (x ) = 9( x2 + 6x − 7)8 3 21. f (x ) = 1 (x2 + 3x −1)4 22. f (x ) = 5(x2 + 2x )+ 3 14 4 23. f ( x ) = 2 (2x )+ 8 −1.25 24. f (x) = 3 (5−3x )4 3 2 25. f (x) =5(4x )−1 1 26. f (x) = 3 ( 3x + 6 )1 2 3 27. f (x ) = 1 (3− x2 )6 28. f ( x ) = 1 (1− 2x2 )18 2 3 6.6. ຜນົ ຕໍາອະປົກກະຕິ ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y= x ( )y′ = x ′ = 1 2x y = u(x) y′ =  u (x ) ′ = u (x)′ 2 u(x) y = n u(x) y′ =  n u (x)′ = u (x)′ n.n u ( x )n−1 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y=2 x ( )y′ = 2 x ′ = 2. 1 = 1 2x x 60

y=5 x ( )y′ = 5 x ′ = 5. 1 = 5 y=6 x 2x 2x ຕວົ ຢ່ າງ 2: ( )y′ = 6 x ′ = 6. 1 = 3 2x x ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = x2 +3 ( ) ( )y′ = x2 + 3 ′ = x2 + 3 ′ = 2x = x y = 2x +1 2 x2 + 3 2 x2 + 3 x2 + 3 y = 2 3x + 5 y = 5 x2 −1 ( )y′ =2x+1′= (2x +1)′ = 2= 1 2x +1 2x +1 ຕວົ ຢ່ າງ 3: 2 2x +1 2 ( )y′ = 23x+5′= 2. (3x + 5)′ = 3 3x + 5 2 3x +5 ( ) ( )y′ = 5 x2 −1 ′ =5. x2 −1 ′ = 5.2x = 5x 2 x2 −1 2 x2 −1 x2 −1 ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = 5 2x +1 ( )y′ = 5 2x +1 ′ = (2x +1)′ = 2 5 5 (2x + 1)5−1 5 5 (2x + 1)4 x2 −3 ′ = y = 7 x2 −3 ( ) ( )y′ = 7 x2 − 3 ′ = 2x 7 7 (x2 − 3)7−1 7 7 (x2 − 3)6 3x − x2 ′ = y = 3 3x − x2 ( ) ( )y′ = 3 3x − x2 ′ = 3 − 2x y = 7.4 1 − x3 3 3 (3x − x2 )3−1 3 3 (3x − x2 )2 ( ) ( )y′ = 7.4 1− x3 ′ = 7. 1− x3 ′ = − 21x3 ( ) ( )4 4 1− x3 4−1 4 4 1− x3 3 y = 10.5 x2 − 3x ( ) ( )y′ = 10.5 x2 − 3x ′ = 10. x2 − 3x ′ = 2(2x − 3) 5 5 (x2 − 3x)5−1 5 (x2 − 3x)4 ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x ) = 1 x − 6x 2. f (x) = 2x2 − x 4. f (x) = 1− x3 2 3. f (x) = 2x − x2 61

5. f (x)= x +3 − 2 6. f (x)= 1− x + 2x2 7. f (x) = 3x − 5x2 8. f (x )= x2 + 5x + 3 9. f (x) = x2 + 3x + 1− 2x2 10. f (x) = 3x + 2 + 1− x 11. f ( x ) = x3 − 2x2 + 5x + 2 12. f (x ) = 4 − x2 + 5x 13. f (x ) = 4x − x2 − 2 1− x3 14.f (x ) = x − x2 + 2x − 5 15. f (x ) = 1− x2 + 1 x2 16. f (x ) = 5x − 7x3 2 18. f (x) = 1+ 2 x 17. f (x) = 2x − x2 + 1− x 19. f (x ) = x2 − 2 20. f (x) = 2x + 1− 3x ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f ( x ) = 12 1− 3x3 2. f (x ) = 9 2x + 2x2 3. f (x ) = 13 x2 + 6x 4. f (x) = 8 x +1 5. f (x) = 5 1− x 6. f ( x) = 6 5x +14 7. f ( x ) = 11 4x + x2 8. f (x) = 3 x2 − 7x +1 9. f (x) = 7 1− 7x2 10. f ( x ) = 15 x3 − 2x + 5 11. f ( x) = 14 5x +12 12. f ( x ) = 8 2 − 9x2 13. f ( x) = 5 x2 + 3 x 14. f (x) = 3 2 − x +1 15. f (x) = 12 6x + 1− 8x 16. f (x) = 4 2x − x2 +1 ຜນົ ຕໍາລາໃຈກໍາລງັ : ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = a x ໃນນີ້ a ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ y′ = (ax )′ = ax .ln a y = au(x) y′ = au(x) ′ = u ( x )′ .au(x) .ln a y = ex ( )y′ = ex ′ = ex y = eu(x) y′ = eu(x) ′ = u ( x )′ .eu(x) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y′ = ( 3x )′ = 3x ln 3 y = 3x 62

y = 3t y′ = ( 3t )′ = 3t ln 3 y = 5x y′ = ( 5x )′ = 5x ln 5 y = 2.7x y′ = ( 2.7x )′ = 2.7x ln 7 y = 5.4x y′ = ( 5.4x )′ = 5.4x ln 4 y = 21y y′ = ( 21y )′ = 21y ln 21 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = 4x2 +5 ( ) ( )y′ = 4x2 +5 ′ = x2 + 5 ′ .4x2 .+5 ln 4 = 2 x .4x2+5.ln 4 y = 71 − x2 ( ) ( )y′ = 71− x2 ′ = 1 − x2 ′ .71−x2 .ln 7 = − 2x. 71−x2.ln 7 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y′ = (et )′ = et y = et y′ = (ey )′ = ey y = ey y′ = (ez )′ = ez y = ez y′ = (2.ex )′ = 2.ex y = 2ex y′ = (5.ex )′ = 5.ex y = 5ex y′ = (7.et )′ = 7.et y = 6et 63

ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ ( ) ( )y′ = ex2 +9 ′ = x2 + 9 ′ .ex2 +9 = 2 x.ex2 +9 y = ex2+9 y = e5x+3 ( ) ( )y′ = e5x + 3 ′ = 5x + 3 ′ .e5x+3 = 5.e5x+3 y = e5x−x2 ( ) ( ) ( )y′ = e5x −x2 ′ = 5x − x2 ′ . e5x −x2 = 5 − 2x .e5x −x2 ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x ) = 2x + 4x 2. f (x ) = 7x − 9x 3. f (x ) =8x + 6x ( )4. f x = 43x−2x2 ( )5. f x = 71− x3 ( )6. f x =121−2x2 7. f ( )x =153x+7 ( )8. f x = 65 + 3x+2 9. f ( x ) = 41+3 x ( )10. fx =122+ 1x3 ( )11. f x =18x2 +6x−5 3 ( )12. f x =134x2 +5 x ( ) 2x −1 1− x2 13. f x = 53x+5 ( )14. f x =81+x2 ( )15. f x = 2(2x+3)(5−4x) ( )16. fx = 7 − 93x−5 2−x ( )17. f x = 7 + 31 − x 2 + 4 + x2 ( )18. fx = 2 + 6x2 +5x x − x2 ( )19. f x = 4 + 2x3 +5x2 +1 x ( )20. fx =16 + 17x2 −2x +3 1− x + x3 ( ) ( )21. f x = 2 1−3x − 5x2 + 1+x2 22. f x =121+5x2 ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x ) = 2ex +1 ( )2. f x = ex3 −x2 +6 3. f ( x ) = x3 − 5ex ( )4. f x = e4x2 +3x−2 ( )5. f x = e 1 − 5x2 6. f ( x ) = e x+1 ( ) 1−x 8. f ( x ) = e 2x+1 7. f x = e2x+5 ( )9. f x = ex + e5x − 2 ( )10. f x = e3 x2+1 ( )11. f x = e(1−x)(1+2x) ( ) 1+x 12. f x = e1−x 64

6.7. ຜນົ ຕໍາລາຂອງໂລກາລດິ ພນຶ້ ເອີ ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = ln x y′ = (ln x )′ = 1 y = lnn x x y = ln u (x) y′ = (lnn x )′ = n .(ln )x ′ .lnn−1 x y = lnn u (x) y′ = ln u (x )′ = u (x )′ ຕວົ ຢ່ າງ 1: u(x) y′ = lnn u (x)′ = n.ln u (x)′ .lnn−1 u (x) ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = ln t y′ = (ln t )′ = 1 y = ln y t y′ = (ln y)′ = 1 y y = 5ln x y′ = (5.ln x)′ = 5. 1 = 5 y = 7 ln t ຕວົ ຢ່ າງ 2: xx y′ = (7.ln t)′ = 7. 1 = 7 tt ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = ln12 x ( )y′ = ′ = 12(ln x )′ ln12−1 x =  1  = 12 .ln11 x y = 5ln4 x ln12 x 12 x ln11 x x ( )y′ = ′ = 4.5(ln x )′ .ln4−1 x =  1  = 20 .ln3 5 ln 4 x 20  x  . ln 3 x x x 65

ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = ln (2x + 5) y′ = ln (2x + 5)′ = (2x + 5)′ = 2 5 y = 5ln (2 − 3x ) 2x + 2x + 5 y = 2ln (1− x2 ) y′ = 5.ln (2 − 3x )′ = (2 − 3x)′ = 5. 2 −3 = −15 ຕວົ ຢ່ າງ 4: − 3x 2 − 3x 5. 2 − 3x y′ = 2.ln (1− x2 )′ = (1− x2 )′ = 2.1−−2xx2 = −4x 1− x2 2. 1− x2 ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = ln5 ( x2 −1) ( ) ( ) ( )y′ = ln5 x2 −1 ′ = 5.ln x2 −1 ′ .ln5−1 x2 −1 x2 −1 ′ x2 −1 .ln4 ( ) ( ) ( )= 5. x2 −1 = 10x . ln 4 x2 −1 x2 −1 y = 2.ln10 (5x − 3) y′ = 2.ln10 (5x − 3)′ = 2.10.ln (5x − 3)′ .ln10−1 (5x − 3) = 20. (5x − 3)′ .ln9 (5x − 3) = 100 .ln9 ( 5x − 3) 5x − 3 5x − 3 ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຜນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = 3ln x + 5ln x 2. f (x) = 2 ln x − ln x 3. f (x) = 5ln x − 3 ln x 4.f (x ) = 1 ln x + 3x2 2 5. f ( x) = x − 1 ln x 6. f (x ) = 1 x4 + 5 ln x 3 4 7. f (x) = 2x + 3ln x 8. f (x) = 4ln x + 1 ln x 5 9. f (x) = 2 x2 − 5ln x 10. f (x ) = 1 x3 + 2ln x 11. f (x) = 2 + ln x 3 ln x 12. f (x ) =1− ln x ln x 13. f (x)= x2 + ln x 14. f ( x ) = 5 + 3ln x 2 + 5ln x 1− ln x 66

15. f (x)= 3− 2ln x 16. f (x) = ln x 1+ ln x x 17. f (x) =1+ x2 18. f ( x ) = 1 + 2ln x x + ln x ln x 20. f (x) =(2ln x + 3)(7 ln x +1) 19. f (x) =(1− ln x)(1+ 2ln x) 21. f (x )=(1− ln x)(1+ ln x ) 22.f (x) =(3ln x + 2)( x2 − 2ln x) 23. f (x) =(x + 2ln x )(1−3ln x) ( )25. f x = 42ln x+3 24.f (x) =(3ln x − 1)(2ln x + 3) ( )27. f x =14lnx−x ( )29. f x = 31−3ln x ( )26. f x = 51−2lnx ( )31. f x = 65ln x − x2 ( )33. f x = ex2 −3lnx ( )28. f x =155x +3lnx ( )35. f x = e3lnx+1 ( )37. f x = elnx+x ( )30. f x = 2x+lnx ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ( )32. f x = e4lnx−1 ( )34. f x = e3x− 2lnx ( )36. f x = ex2 +lnx ( )38. f x = e2 − 3lnx 1. y = ln19 x 2. y = x2 − 2 ln12 x 3. y = 5ln9 x 4. y = 3ln18 x − 2x 5. y = 3x2 + 5 ln14 x 6. y = 3 ln15 x + 12 ln4 x 7. y = 1 x5 − 1 ln3 x 8. y = ln12 x + 3 ln3 x 53 9. y = 2x2 − 2 ln16 x 10. y = 5ln5 x − 5 ln8 x ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = ln (2x −1) 2. f (x) = ln (1− 2x) 3.f (x) = ln (7x2 +1) 4. f (x) =ln (x2 +1) 5.f ( x) = ln (3x −1) 6. f ( x ) = ln x −1 x +1 7.f (x) = ln 2x − 1 8.f (x) =ln (2x +1)(1− x) x 10.f (x) = ln (x +1)(x − 2) 9.f (x ) = ln ( x2 +1)(1− 2x ) 11.f (x) = ln (2x3 + 3x −1) 12.f (x) = ln (5x2 −1) 67

13. f (x) = ln (4 − x + x2 ) 14.f (x) = ln (x2 + x − 2) 15. f (x) = ln ( x3 + 27) 16.f (x) = ln 5x +1 2x 17. f (x) = ln 1− x 18. f ( x ) = ln x2 +1 3x + 5 1− x2 19. f (x) = ln x 2 + 2x 20. f ( x ) = ln 9x2 +2 x +1 1− 2x 21. f (x) =ln (5x + 2)(7x −1) 22.f (x) =ln (1− 2x)(1− x) 23.f (x) = ln ( x2 +1)(2x − 3) 24.f (x) = ln (x3 + 3x +1)( x2 +1) ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = ln6 (x2 + 2x) 2.f (x ) = l8 ln12 (1− 2x3 ) 3. f ( x ) = 2 ln24 ( x2 − 2x ) 4.f (x ) = 1 x2 + 2ln3 (1+ 3x ) 2 5.f (x ) = ln4 (x3 +1) + 3 ln (2x +1) 6.f (x) =5ln9 (x3 +1) − 9ln5 x 7.f (x) = ln3 (1− 4x2 ) − ln2 (1+ 7x ) 8.f (x ) = ln17 (2x2 + 3) + 1 x5 5 9. f (x ) = 1 x3 − ln5 (1− 5x2 ) 10. f ( x ) = ln5 2x + ln3 3x 3 6.8. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາໂລກາລດິ : ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = log x y′ = (log x)′ = 1 a a x.ln a y = logna x ( )y′ = ′ = n.(loga )′ n −1 y = loga u (x) logna x x log a x y = logan u ( x ) y′ = loga u (x)′ = u (x )′ u (x).ln a y′ = logan u ( x )′ = n.loga u ( x )′ .logan−1 u ( x ) 68

ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y′ = (log x )′ = 1 y = log x 2 2 x.ln 2 y = log3 t y′ = (log3 t )′ = 1 y = 5.log4 x t.ln 3 y = 8.log6 y y′ = (5.log4 x )′ = 5. 1 4 = 5 4 ຕວົ ຢ່ າງ 2: x.ln x.ln ຕໍາລາ y′ = (8.log6 y)′ = 8. 1 6 = 8 6 y = log102 x y.ln y.ln ( )y = 4.log5 1− 2x2 ຜນົ ຕໍາລາ y = log7 (5x2 + 3) ( )y′ = ′ = 10(log2 )x ′ log10−12 = 1 log102 x x 10. ln . log9 x ຕວົ ຢ່ າງ 3: x 2 2 ຕໍາລາ = 10 . log 9 x y = log3 (3x +1) x ln 2 2 y = 4.log (1− 2x2 ) 5 y′ = 4.log5 (1 − 2x2 )′ = 4. (1 )− 2x2 ′ 5 = (1 −16 x 5 (1 − )2x2 .ln − 2x2 y = log7 (5x2 + 3) ).ln y′ = log7 (5x2 + 3)′ = (5x2 + 3)′ 7 = 10x 7 (5x2 + 3) ln (5x2 + 3)ln ຜນົ ຕໍາລາ y′ = log3 (3x + 1)′ = (3x + 1)′ 3 = (3x 3 (3x + 1).ln +1).ln 3 y′ =  4. log (1 − 2x2 )′ = (1− 2x2 )′ 5 = −16 x 5 5 4.(1− 2x2 ).ln (1− 2x2 ).ln y′ = log7 (5x2 + 3)′ = (5x2 + 3)′ 7 = 10x 7 (5x2 + 3)ln (5x2 + 3)ln 69

ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = log 14 (2x + 1) y′ = log314 ( 2x + 1)′ = 14 log3 ( 2x + 1)′ log 14−1 ( 2x + 1) 3 3 = 14. ( 2x 2 ln 3 . log313 ( 2 x + 1) = ( 2x 28 ln 3 . log313 ( 2x + 1) +1) + 1) y = 8log76 (1 − 5x ) y′ = 8 log 6 (1 − 5x )′ = 48 log7 (1 − 5x )′ log57 (1 − 5x) 7 = 48. (1 − −5 ln 7 . log75 (1− 5x) = − 240 7 .log75 (1− 5x) 5x ) (1− 5x)ln ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = log4 x − 1 x2 2. y =3log x − 3 log x 2 55 3. y = 2log9 x − 5 log7 x 4. y = 1 x3 + log6 x 3 5. y =8log x + 5log x 6. y = log x+ 1 38 1− x 3 log2 7. y = log5 x − log12 x 8. y = 1− 2 log7 x 2 + 3log x 2 9. y = (5 + log4 x )(2 − 3log9 x ) 10. y = (1+ log7 x )(1− 2 log15 x ) ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 2. f ( x ) = 7 log156 x 1. f ( x ) = log122 x 4. f ( x ) = 9 log22 x + 1 log5 x 3. f ( x ) = log924 x − 2 log724 x 25 7 5. f ( x ) = log10 x + 3 log16 x 6. f ( x ) = log125 x − log 15 x 4 15 2 7. f ( x ) =15 log 11 x + 3 log 18 x 8. f ( x ) = log 14 x − log1617 x 4 9 3 9. f ( x ) = 2 log 19 x − 3 log 14 x 10. f ( x ) = log122 x + 3 log 14 x 6 7 6 ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. (y = log12 x3 +1) 2. y = x3 + 2log5 ( x3 + 3x ) 70

3. y = 8 log15 (1− x3 ) 4. y = 1 x3 − (log14 2x2 −1) 3 5. y = log (1 − 5x 2 )+ 4 log (3x + 2) 6. y = log3 (4x + 3) 4 7 7. y = 1+ log7 (5x + 8) 8. y = log3 (2x + 5) + 1 log6 (3x − 4) − 2 9. y = (5 − log8 2x )(3 + log2 3x ) 10. y = (log3 4x + 9)(1− 2 log16 5x ) ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = log1517 (1 − 9x ) 2. y = 2log518 (2 − 3x2 ) ( )4. y = x2 + 3log1416 x3 +1 3. y = 1 − log245 (2x2 +1) 6. y = log37 (4x + 3) + 5log27 (1− x ) 5. y = 2x + log312 (6x + 5) 7. y = 1 x2 − 7 log 5 (2x + 3) 8. y = 23log1220 (1 − 9x ) − 5x3 2 9 6.9. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາຊນິ ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = sin x y′ = (sin x )′ = cos x y = sinn x ( )y′ = sinn x ′ = n.(sin x)′ .sinn−1 x y = sin u (x) y′ = sin u (x)′ = u (x)′ .cos u (x) y = sinn u ( x ) y′ = sinn u ( x )′ = n.sin u ( x )′ .sinn−1 u (x ) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = sin t y′ = (sin t )′ = cos t y = sin y y′ = (sin y)′ = cos y y = 2sin x y′ = (2sin x)′ = 2cos x y = 3sin t y′ = (3sin t )′ = 3cos t y = 7 sin y y′ = (7sin y)′ = 7 cos y ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ 71

y = sin12 x y′ = (sin12 x )′ = 12(sin x )′ sin12−1 x =12.cos x.sin11 x y = 15sin5 x ( )y′ = ′ =15 5(sin )′ sin 5−1  = 5 ( cos x )sin4  15sin5 x x x  15 x = 75.cos x.sin4 x ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຕວົ ຢ່ າງ ເຄາົ້ ຕໍາລາ y′ = sin (x2 +1)′ = (x2 +1)′ .cos(x2 +1) = 2x.cos(x2 +1) y =sin ( x2 +1) y′ = 4sin (1+ 2x)′ = 4(1+ 2x)′ cos(1+ 2x) = 8cos(1+ 2x) y = 4sin (1+ 2x) y′ = 2sin (1− x)′ = 2(1− x)′ cos(1− x) = −2cos(1− x) y = 2sin (1− x ) y = sin 2x y′ = (sin 2x )′ = (2x)cos 2x = 2.cos 2x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = sin9 2x ( )y′ = sin9 2x ′ = 9(sin 2x )′ sin9−1 2x = 9 (2x )′ cos 2x sin8 2x = 9(2 cos 2x )sin8 2x = 18cos 2x.sin8 2x y = 5sin4 (1 − 2x ) y′ = 5sin4 (1− 2x)′ = 5.4(sin (1− 2x))′ sin4−1 (1− 2x) = 20(1− 2x)′ .cos(1− 2x).sin3 (1− 2x) = 20(−2)cos(1− 2x )sin3 (1− 2x ) = − 40 cos(1− 2x ).sin3 (1− 2x ) ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = 5sin x 2.f (x) =1+ 2sin x 3.f (x ) = 1 x4 − sin x 4. f ( x ) = 3 + sin x 1− 2x 2 5. f ( x ) = 4 + 3sin x 6. f ( x ) = 2sin x −1 1− sin x sin x +1 72

7.f (x) =(sin x +1)(3sin x −1) 8.f (x) =(2sin x + 5)(1− 2sin x ) ( )9. f x = 51−sinx ( )10. f x = e1−2sinx ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = sin2012 x 2. y = 2 sin100 x 3. y = 5x −sin3 x 4. y = 1 x3 − 5sin4 x 3 5. y = 1 sin2 x − 3x2 2 6. y = sin5 x + 2sin3 x 8. y = 4x − 3sin14 x 7. y = 4sin6 x + 7 sin2 x 9. y = sin2 x + sin7 x 10. y = 2sin4 x − 5x ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = sin 3x 2. y = x2 − 2sin 5x 3. y = 6sin (1−12x2 ) 4. y =sin (x3 −1) − x 5. y = 1+ sin 7x 6. y = 1 − sin 3x 3− sin 4x 4 − sin 9x 7. y =(2sin 4x +1)(3x + 2) 8. y = (1− 2sin 5x )(sin 8x − 3) y = 69. 2− 3 sin x2 10. y = esin 4x y = 211. x2 −3sin 2 x 12. y = esin7x − 3 ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f ( x ) = sin209 2x 2. f ( x ) = 1 sin200 2x 3. f ( x ) =sin45 (1− 2x ) + 1 x4 2 4 4.f (x ) = 3x − 1 sin12 (1− x2 ) 5.f (x ) = sin15 (5x −1) 2 7.f (x ) = 5sin14 (4x − 3) 9.f ( x) = 2sin8 5x 6.f (x ) =3sin11 (2x2 +1) 8.f (x ) =sin18 (1− x3 ) 10.f ( x) = 6sin2 (6x + 5) 6.10. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາກດົ : ຕວົ ຢ່ າງ ເຄາົ້ ຕໍາລາ y = cos x y′ = (cos x)′ = − sin x y = cosn x ( )y′ = cosn x ′ = n.(cos x)′ .cosn−1 x 73

y = cos u ( x ) y′ = cos u (x)′ = − u (x)′ .sin u (x) y′ = cosn u (x ) y′ = cosn u ( x )′ = n.cos u ( x )′ .cosn−1 u (x ) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຕວົ ຢ່ າງ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ y′ = (cos t )′ = − sin t y = cos t y′ = (cos y)′ = −sin y y′ = (2cos x)′ = 2(cos x )′ = − 2sin x y = cos y y′ = (3cos t )′ = 3(cos t)′ = −3sin t y′ = (7 cos y)′ = 7(cos y)′ = − 7sin y y = 2cos x y = 3cos t y = 7 cos y ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = cos4 x ( )y′ = cos4 x ′ = 4(cos x)′ cos4−1 x = 4(−sin x)cos3 x y = 2cos20 x = −4sin x cos3 x . ( )y′ = 2cos20 x ′ = 40(cos x)′ cos20−1 x = 40(−sin x)cos19 x = −40sin x.cos19 x . ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y′ = (cos 2x)′ = −(2x)′ sin 2x = − 2sin 2x y = cos 2x y = 4cos5x y′ = ( 4 cos 5x )′ = 4 − (5x )′ sin 5x  = 4 ( − 5 sin 5x ) = − 20 sin 5x  y = cos(5x +1) y′ = cos(5x +1)′ = −(5x +1)′ sin (5x +1) = −5sin (5x +1) 74

ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ ( )y′ = cos3 2x ′ =3(cos 2x )′ cos3−1 2x = 3 −(2x )′ sin 2x  cos2 2x y′ = cos3 2x = 3(−2sin 2x )cos2 2x = − 6sin 2x.cos2 2x . y = 2cos2 5x ( )y′ = ′ = 2 ( )′ −1  2cos2 5x 2 cos 5x cos 2 5x  = 2 2  − (5x )′ sin 5x  cos 5x  = 2 2 ( −5 sin 5x ) cos 5x   = − 20sin 5x.cos5x = −10sin10x . ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = 2cos x 2. y = 2x − 4cos x 3. y = 2 cos x − 2x 4. y = cos x − 1 x2 2 5. y = 1 x3 − cos x 6. y = 3cos x 3 8. y = (1− cos x)(2 + cos x) 7. y = x2 + 2 cos x 9. y = 1+ cos x 10. y = cos x cos x 2 − cos x ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = cos2010 x 2. y = 2 cos2011 x 3. y = 1 x2 − cos12 x 4. y = cos11 x − 2x 2 5. y = cos2 x − cos3 x 6. y = x2 − 1 cos4 x 2 7. y = x2 − cos2 x 8. y = 2 cos3 x − x ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = cos5x 2. y = 9cos 2x 4. y = cos 1− 2x 3. y = 7 cos( x2 + x +1) 75

5. y = cos(1− 4x) − 1 x4 6. y = 1 x6 − 5cos(1+ 8x ) 2 3 7. y = x − cos(2x −1) 8. y = cos(x2 +1) + 2x 9. y = 1 x2 − cos(1− 2x) 10. y = cos 3x − 2 cos(1− 5x ) 2 ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = cos12 19x 2. y = 5cos7 2x 3. y = cos15 ( x2 − x +1) 4. y = cos14 ( x2 + 2x + 3) 5. y = 2cos20 ( x3 − 5x ) 6. y = cos12 (3 − x ) + 1 x2 7. y = 2x − cos14 (1+ 2x ) 2 8. y = 1 cos4 ( x2 + 2x ) − 5x2 2 6.11. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາຕງັ : ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y = tan (x)′ = 1 y = tan (x) cos2 (x) y = tann (x ) y′ = tann ( x )′ = n tan (x )′ tann−1 ( x) y = tan u ( x) y′ = tan u ( x )′ = u ( x )′ cos2 u (x) y = tann u (x) y′ = tann u (x)′ = n tan u ( x)′ tann −1 u ( x) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = tan t ( tan t )′ = 1 t cos2 y = tan y ( tan y)′ = 1 y y = 2 tan x cos2 (2 tan x )′ = 2 ( tan x )′ = 2. 1 x = 2 x cos2 cos2 76

y = 3tan t ( 3 tan t )′ =3( tan t )′ = 3. 1 t = 3 t y = 6 tan y cos2 cos2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: (6 tan y)′ = 6( tan y)′ = 6. 1 y = 6 y ຕໍາລາ cos2 cos2 y = tan10 x ຜນົ ຕໍາລາ y = tan7 x ( )y′ = ′ = 10( tan x )′ tan10−1 x =10. 1 y = 2 tan4 x tan10 x cos2 . tan 9 x y = 3tan5 x x y = 5 tan7 x = 10 . tan 9 x . ຕວົ ຢ່ າງ 3: cos2 ຕໍາລາ x y = tan 3x ( )y′ = tan7 x ′ = 7 (tan x)′ tan7−1 x = 7. 1 . tan6 x = 7 .tan6 x cos2 x cos2 x y = 2 tan 5x ( )y′ = ′ = 8( tan x )′ tan4−1 x = 1 . tan3 =8 y = tan (1− 2x) 2 tan4 x 8. cos2 x x cos2 . tan 3 x x ( )y = tan x2 + 3x −1 ( )y′ = ′ = 15 ( tan x )′ tan 5−1 =15. 1 = 15 . tan 4 y = tan (2x2 ) 3tan5 x x cos2 . tan 4 x cos2 x x x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ( )5 tan7 x ′ = 35( tan x )′ tan 7 −1 x = 35. 1 . tan 6 x = 35 . tan 6 x cos2 cos2 x x ຜນົ ຕໍາລາ y′ = (tan 3x)′ = ( 3x )′ = 3 cos2 3x cos2 3x y′ = ( 2 tan 5x )′ = 2 ( tan 5x )′ = 2. (5x )′ = 10 cos2 5x cos2 5x y′ = tan (1− 2x )′ = (1− 2x)′ = −2 2x) cos2 (1− 2x) cos2 (1− + 3x −1 ′ x2 + 3x −1 ( ) ( ( ) ) ( )y′ = tan x2 x2 + 3x −1 ′ = cos2 = 2x + 3 cos2 x2 + 3x −1 2x2 ′ cos2 2x2 ( ) ( ( ) ) ( )y′ = tan ′ = 2x2 = 4x cos2 2x2 ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ 77

y = tan5 2x y′ = tan5 2x ′ = 5( tan 2x )′ tg 5 −1 2x = 5  ( 2x )′  tan 4 2x y = 5 tan10 7x    cos2 2x  ( )y = tan20 x2 + 5 = 5  2  tan4 2x = 10 tan 4 2x . cos2 2x cos2 2x ( )y′ = ′ 5.10(tan 7x)′  ( 7x )′  = tan10−1 7x =   5 tan10 7x 50  cos2 7x  tan 9 7x = 50  7 7x  tan9 7x = 350 tan9 7x . cos2  cos2 7x ( ) ( ) ( )y′ = tan20 x2 + 5 ′ = 20 tan x2 + 5 ′ tan20−1 x2 + 5 ( ) ( ) ( ) ( )= 2x  20  x2 +5  tan19 x2 +5 = 40x . tan19 x2 +5  cos2  cos2 x2 + 5 ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = 4 tan x 2. y = 2 tan x −5x 3. y = 1 x3 − tan x 4. y = 1− tan x 3 1+ 2 tan x 5. y = 1 tan x x 6. y =(tan x + 3) tan x + tan 7. y =(1− tan x)(2 + tan x) 8. y = 71− tan x 9. y = e2 + tan x 10. y = 1− 3tan x ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = tan120 x 2. y = 3 tan20 x 3. y = tan4 x − 2 tan10 x 4. y = 5 tan3 x + 1 tan4 x 5. y = 1 tan4 x − 1 x5 2 45 6. y = tan2009 x + tan 2010 x 78

7. y = tan56 x + 1 x4 8. y = 7 tan5 x − x2 2 9. y = 1 tan6 x + 2 tan2 x 10. y = 4 tan7 x − x 3 ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ( )1. y = tan x2 +1 2. y = 2 tan (1 − 2x) ( )3. y = 2 tan 4x2 + 3 + tan 5x 4. y = tan 4x −3tan 5x 5. y = tan (7x +1) − tan (1 − x) 6. y = 5 tan 4x − 1 tan 5x 2 7. y = 1 tan 3x − tan x 3 8. y = 1 tan x + tan (7x +1) 10. y = 5 tan (2x − 7) − 1 tan 4x 2 2 ( )10. y = tan x2 + 3x + 5 ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 2. y =12 tan4 15x 1. y = tan5 17x ( )4. y = tan2 x3 − 3x + 5 ( )3. y = tan12 x2 + 3x +1 ( )6. y = tan5 x2 + x ( )5. y =12 tan9 x2 − 2x + 3 ( )7. y = tan7 5x2 + 3x 8. y = tan14  1 x 2 − 3x + 5  ( )9. y = tan3 2x3 + 7x + 4  2  ( )10. y = 2 tan12 1− 2x2 6.12. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາໂກຕງັ : ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = cot (x) y = cot (x )′ = − 1 x) y = cotn (x ) sin2 ( y′ = cotn ( x )′ = n cot ( x )′ cotn−1 ( x) y = cot u ( x) y′ = cot u ( x ) ′ = − u (x)′ sin2 u (x) y = cotn u (x ) y′ = cotn u ( x)′ = n cot u ( x)′ cotn−1 u ( x ) ຕວົ ຢ່ າງ 1: 79

ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ f ( y) = cot y f ′ ( y) = ( cot y)′ = − 1 y f (z) = cot z sin 2 f (x) = 2cot x f ′(z) = (cot z )′ = − 1 z f (x) = 3cot x sin 2 f ( y) = 6cot y f ′( x) = (2 cot x )′ = 2 ( cot x )′ = 2.  − 1 x  = − 2 x sin 2 sin 2 f ′( x ) = (3cot x )′ = 3(cot x )′ = 3 − 1 t  = − 3 t sin 2  sin 2 f ′(y) = ( 6 cot y)′ = 6 ( cot y)′ =  − 1 y  =− 6 y 6  sin 2  sin 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ ( )y′ = ′ = 10(cot x )′ cot10−1 x =10  − 1  9 y = cot10 x cot10 x  sin 2  cot x x y = cot7 x y = 2 cot4 x = −10 .cot9 x . y = 3cot5 x sin2 x ( )y′ = ′ = 7 (cot x )′ cot7−1 x =  −1  = −7 cot 7 x 7  sin2 x  cot 6 x sin 2 . cot 6 x x ( )y′ = ′ = 8(cot x )′ cot4−1 =  −1  = −8 2 cot4 x x 8  sin 2  cot 3 x sin 2 . cot 3 x x x ( )y′ = ′ = 15 ( cot x )′ cot5−1 =15  −1  cot 4 = −15 . cot 4 3cot5 x x sin2 x  x sin2 x x 80

y = 5cot7 x ( )y′ = ′ = 35 ( cot x )′ cot 7 −1 = − 1  cot6 = −35 .cot6 5 cot7 x x 35 sin 2  x sin2 x x ຕວົ ຢ່ າງ 3: x ຕໍາລາ ຜນົ ຕໍາລາ y = cot (3x) y′ = cot (3x )′ = − ( 3x )′ = − 3 sin2 (3x ) y = 2cot (5x) sin2 (3x ) y = cot (1− 2x) y′ = 2 cot (5x )′ = 2 cot (5x )′ = 2  ( 5x )′ )  = − sin 20 ) − sin2 (5x  ( )y = cot x2 + 3x −1  2 (5x y′ = cot (1− 2x )′ = − (1− 2x)′ = − sin 2 −2 2x) = sin 2 2 2x) sin2 (1− 2x) (1 − (1 − x2 + 3x −1 ′ sin2 x2 + 3x −1 ( ) ( ( ) ) ( )y′ = cot x2 + 3x −1 ′ = − =− 2x + 3 sin 2 x2 + 3x −1 y = cot  3x   ′  3x ′ 3 2 cot 2 y′ =  3x = − = − 2 2 sin 2  3x  sin 2  3x  2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຜນົ ຕໍາລາ ຕໍາລາ y′ = cot5 ( 2x )′ = 5 cot ( 2x )′ cot5−1 (2x) = 5  ( 2x )′  cot 4 (2x) y = cot5 (2x) −  sin2 2x  y = 5cot10 (7x) = 5 − 2 )  cot 4 (2x) = −10 ) . cot 4 ( 2x ) .   sin 2 ( 2x  sin2 (2 x y′ = 5cot10 (7x)′ = 5.10 cot (7x)′ cot10−1 (7x ) 81

= 50  − (7x)′ )  cot 9 ( 7 x ) = 50  −7 )  cot 9 ( 7x ) = −350 ) . cot 9 ( 7 x ) .  sin2 (7x       sin 2 (7 x  sin2 (7x ( )y = cot20 x2 + 5 ( ) ( ) ( )y′ = cot20 x2 + 5 ′ = 20 cot x2 + 5 ′ .cot20−1 x2 + 5 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )=−x2 +5′   −2x   5    cot19 20   cot19 x2 +5 = 20  x2 +5  sin 2 x2 + sin2 x2 + 5  ( ) ( )= −40x sin2 x2 + 5 . cot19 x2 +5 ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = x2 + 2 cot x 2. y = cot x + 1 x2 2 3. y = cot x + 2 cot x 4. y = 1− cot x cot x 5. y = 1+ cot x 6. y = e1+cot x 1− cot x ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = cot14 x 2. y = 1 cot15 x 3 1 4. y = 1 cot18 x 3. y = cot 5 x 9 5. y = 1 cot12 x 6. y = 2 cot100 x 4 ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. y = cot 5x 2. y = 1 cot (4x +1) ( )3. y = cot 2x3 +1 2 4. y = cot (1− 2x ) ( )5. y = 1 cot 1− 4x2 ( )6. y = 5cot x2 − x +1 2 ງ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 82

1. y = cot3 5x 2. y = 2cot5 (1− 2x) 3. y = cot10 4x 4. y = cot12 (1− x) 5. y = 1 cot14 ( x +1) 6. y = cot15 (2x + 5) 2 83

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ   ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 1 ເຫມຼັ້ 3 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2016

ຄໍານໍາ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫຼວງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ຂອບເຂດຂອງສາຍຈາໍ ນວນ, ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ, ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ , ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູຫວ່ າງ. ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກຄໍ ທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ 1 7 1. ຂອບເຂດຂອງສາຍຈາໍ ນວນ 10 2. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ 22 3. ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ 4. ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູຫວ່ າງ

1 1. ຂອບເຂດຂອງສາຍຈາໍ ນວນ 1.1. ນຍິ າມ ເຮາົ ເວາົ້ ວ່ າສາຍຈາໍ ນວນ {u } ມຂີ ອບເຂດແມ່ ນ L ກ່ ໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າສໍາລບັ ທຸກໆຈາໍ ນວນບອກε n (ε ແມ່ ນຈາໍ ນວນບວກທ່ ນີ ອ້ ຍທ່ ສີ ຸດຕາມໃ ຈ) ທ່ ໃີ ຫກ້ ່ ອນ, ປະກດົ ມຈີ າໍ ນວນທໍາມະຊາດ n ໃດໜ່ ງຶ 0 ເຊ່ ງິ ສໍາລບັ ທຸກໆ n > n ແມ່ ນ u − L < ε . 0n ໝາຍຄວາມວ່ າ: lim u n = L ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ ℕ / ∀n > n0 ⇒ un −L <ε n→∞ 1.2. ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ ເພ່ ອື ທາໍ ຄວາມເຂາົ້ ໃຈນຍິ າມຂອບເຂດຂອງສາຍຈາໍ ນວນ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫສ້ າຍຈາໍ ນວນ {un} ສໍາລບັ un = 2n +1 2n 1 u5 u4 u3 u2 u1 un 11 9 7 5 3 10 8 6 4 2 ສງັ ເກດ: - ທ່ ຕີ ງັ້ ຂອງ 1 ເມ່ ອື ບນັ ດາຈາໍ ນວນພດົ ເພ່ ມີ ຂນຶ້ ບນັ ດາເມດັ ຍ່ ງິ ຍບັ ເຂາົ້ ຫາເມດັ 1 - ເມ່ ອື n → +∞ ແມ່ ນ u → 1. n ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫສ້ າຍຈາໍ ນວນ {un} ສໍາລບັ u =1 n n 0 u5 u4 u3 u2 u1 un 1 11 1 1 5 43 2 ສງັ ເກດ: - ທ່ ຕີ ງັ້ ຂອງ 0 ເມ່ ອື ບນັ ດາຈາໍ ນວນພດົ ເພ່ ມີ ຂນຶ້ ບນັ ດາເມດັ ຍ່ ງິ ຍບັ ເຂາົ້ ຫາເມດັ 0 - ເມ່ ອື n → +∞ ແມ່ ນ un → 0 . ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫສ້ າຍຈາໍ ນວນ {un} ສໍາລບັ un =1 n n 1 10 100 1000 ... n → 1 un 0,1 0,01 0,001 ... ε > 0 ສໍາລບັ : ε = 0,1 u −L <ε n 1 < 0,1 n

2 1< 1 n 10 n > 10 , n0 = 10 ສໍາລບັ : ε = 0, 01 u <ε n 1 < 0,01 n 1< 1 n 100 n > 100, n = 100 0 ສໍາລບັ : ε = 0,001 un < ε 1 < 0,001 n 1< 1 n 1000 n > 10 00, n0 = 1000 . ຕວົ ຢ່ າງ 4: ໃຫ ້ un = n +1 . ຊອກຫາ n ? ໃນລະຫວ່ າງ 1 ແລະ un ນອ້ ຍກວ່ າ 1? n 100 ບດົ ແກ:້ 1 u5 u4 u3 u2 u1 un 4 3 2 65 3 2 54 ເຮາົ ມ:ີ ε = 1 100 un −1 < ε u −1 < 1 n 100 n +1−1 < 1 n 100 1< 1 n 100

3 n > 100, n = 100 . 0 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ໃຫ ້ u = (−1)n . ຊອກຫາ n ? ໃນລະຫວ່ າງ 0 ແລະ un ນອ້ ຍກວ່ າ 1 ? 1000 nn ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ ε = 1 1000 u −0 < 1 n 1000 (−1)n − 0 < 1 n 1000 1< 1 n 1000 n > 1000, n0 = 1000 . ຕວົ ຢ່ າງ 6: ໃຫ ້ u = 2n +1 . ຊອກຫາ n ? ໃນລະຫວ່ າງ 1 ແລະ u ນອ້ ຍກວ່ າ 1 ? n 2n n 50 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ ε = 1 50 un −1 < 1 50 2n +1 −1 < 1 2n 50 2n +1− 2n < 1 2n 50 1<1 2n 50 n > 25, n = 25. 0 1.3. ຫກຼັ ການ ເພ່ ອື ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດຂອບເຂດຂອງສາຍຈາໍ ນວນ lim u = L x→∞ n ບາດກາ້ ວ 1: ໃຫ້ ∀ε > 0 , ແກອ້ ະສມົ ຜນົ un − L < ε ⇒ n > g (ε ) ບາດກາ້ ວ 2: ເລອື ກ n = g (ε ) 0 ບາດກາ້ ວ 3: ສະຫຸຼບ: ∀ε > 0⇒ u − L < ε ⇒ n > n ∈ ℕ . ດ່ ງັ ນນັ້ lim u = L n 0 n→∞ n

4 1.1. ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມເພ່ ອື ພສິ ູດຂອບເຂດຂອງ lim u = L x→∞ n ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ພສິ ູດຂອບເຂດຂອງ lim 2n − 3 = 2 n +1 n→∞ ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ ∀ε > 0 un − L < ε 2n − 3 − 2 < ε n +1 2n − 3 − 2n − 2 < ε n +1 −5 < ε n +1 n 5 < ε +1 n + 1 > 5 ε n > 5 −1 ε ກໍານດົ : n0 = 5 −1 ε ເຮາົ ມີ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ / ∀n > n0 ⇒ un − 2 < ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim 2n − 3 = 2. n +1 n→∞ ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ພສິ ູດຂອບເຂດຂອງ lim n 2 = 1 3n + 3 n→∞ ບດົ ແກ:້ ໃຫ ້ ∀ε > 0 u −L <ε n n 2 − 1 < ε 3n + 3 3n − 3n − 2 < ε 3(3n + 2)

5 −2 <ε 9n + 6 2 6 < ε 9n + 9n + 6 > 2 ε 9n > 2 − 6 ε n > 2  1 − 3  9  ε  ກໍານດົ : n0 = 2  1 − 3 9 ε ເຮາົ ມີ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ / ∀n > n0 ⇒ un −1 <ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim n 2 = 1 . 3 3n + 3 n→∞ ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ພສິ ູດຂອບເຂດຂອງ lim 3n −1 = 3 n +1 n→∞ ບດົ ແກ:້ ໃຫ ້ ∀ε > 0 un − L < ε 3n −1 − 3 < ε n +1 3n − 3n −1− 3 < ε n +1 −4 < ε n +1 n 4 < ε +1 n +1 > 4 ε n > 4 − 1 ε ກໍານດົ : n0 = 4 −1 ε

6 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim 3n −1 = 3 . n +1 n→∞ ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ພສິ ູດຂອບເຂດຂອງ lim n = 1 2n +1 2 n→∞ ບດົ ແກ:້ ໃຫ ້ ∀ε > 0 u −L <ε n n − 1 < ε 2n +1 2 2n − 2n −1 < ε 2(2n +1) −1 2 <ε 4n + 1 2 < ε 4n + 4n + 2 > 1 ε n > 1  1 − 2  4 ε ກໍານດົ n0 = 1  1 − 2 4 ε ດ່ ງັ ນນັ້ : lim n 1 = 1. 2n + 2 n→∞ ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ພສິ ູດຂອບເຂດຂອງ lim 2n +1 = 2 nn→∞ ໃຫ ້ ∀ε > 0 u −L <ε n 2n +1 − 2 < ε n 2n +1− 2n < ε n

7 1 <ε n n > 1 ε ກໍານດົ n = 1 0 ε ດ່ ງັ ນນັ້ : lim 2n +1 = 2 . nn→∞ ບດົ ເຝຶກຫດັ 1 1.1. ຈ່ ງົ ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດບນັ ດາຂອບເຂດຂອງສາຍຈາໍ ນວນນລ່ ມູ ນີ້ 1.1.1. lim 2n −3 = 2 3n +5 3 n→∞ 1.1.2. lim n+2 = 1 4n −1 4 n→∞ 1.1.3. lim 5n +1 = 5 2n +5 2 n→∞ 1.1.4. lim n+2 = 1 4n −1 4 n→∞ 1.1.5. lim n − 2 =1 n + 3 n→∞ 1.1.6. lim 6n + 2 = 6 nn→∞ 2. ຂອບບເຂດຂອງຕາໍ ລາ 2.1. ນຍິ າມ ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0 / x − x < δ ⇒ f ( x) − L < ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim f (x ) = L 0 x→x0 ໝາຍຄວາມວ່ າ: lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / x − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε0 x→x0 2.2. ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ ເພ່ ອື ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດຂອບເຂດຂອງຕາໍ ລາ lim f ( x ) = L x→x0 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ພສິ ູດ lim(2x + 3) = 7 x→2 ບດົ ແກ:້ ໃຫ ້ ∀ε > 0 f (x)−L <ε

8 2x + 3 − 7 < ε 2x − 4 < ε 2x−2 <ε x−2 <ε 2 ກໍານດົ δ = ε 2 ເຮາົ ມີ ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0 / x − 2 < δ (ε ) ⇒ f (x ) − L < ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim f (x) = 7 x→2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ພສິ ູດ lim (3x − 5) = 1 x→2 ບດົ ແກ:້ ໃຫ ້ ∀ε > 0 f (x)−L <ε 3x − 5 −1 < ε 3x − 6 < ε 3x−2 <ε x−2 <ε 3 ກໍານດົ : δ (ε ) = ε 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim (3x − 5) = 1. x→2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫ ້ lim(2x + 3) = 5 ແລະ ε = 0,1. ຊອກຫາ δ (ε ) x→1 ບດົ ແກ:້ ໃຫ ້ ∀ε > 0 f (x)−L <ε 2x + 3 − 5 < ε 2x − 2 < ε 2 x −1 < ε x −1 < ε 2

9 1 ດ່ ງັ ນນັ້ : δ 1  = 10 = 1 .  10  2 20 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ຖາ້ ປະກດົ ມີ lim f (x ) = L ກ່ ໍຕ່ ໍເມ່ ອື ວ່ າ lim f (x ) = lim f (x ) = L x→x0 x → x 0− x → x 0+ ໝາຍຄວາມວ່ າ: lim f (x ) = lim f ( x) = L ⇔ lim f (x ) = L + x → x 0− x →x 0 x→x0 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫ ້ ( ) = x2 + 2 , x <1 f x  , x ≥1 2x + 1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ ( )( )lxi→m1−x2 + 2 =3 2x +1 =3 lxi→m1+ ສະແດງວ່ າ lim f (x) = lim f (x ) = 3. ດ່ ງັ ນນັ້ lim f (x) = 3. x →1− x →1+ x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫ ້ ( ) = 3x − 2 , x <1 f x  x ≥1 x + 4 , ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ lxi→m1− ( 3x − 2 ) =1 lxi→m1+ ( x + 4) =5 ສະແດງວ່ າ lim f (x ) ≠ lim f (x ) . ດ່ ງັ ນນັ້ lim f (x ) ບ່ ໍປະກດົ ມ.ີ x →1− x →1+ x→1 ບດົ ເຝຶກຫດັ 2 2.1. ຈ່ ງົ ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດຂອບເຂດລ່ ູມນີ້ 2.1.1. lim ( x + 2) = 0 x→−2 2.1.2. lim  1 x + 1 = 3  2 2 x→1 2.1.3. lim (2x − 3) = −9 x →−3 2.1.4. lim (2x + 5) = 6 x→1 2

10 2.1.5. lim (3x −1) = −3 x→− 2 3 2.1.6. lim ( x + 7) = 5 x→−2 2.2. ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມຊອກຫາ δ (ε ) 2.2.1. lim 4x2 −9 =0 ແລະ ε = 0, 01 2x +3 x→3 2 2.2.2. lim x2 = 4 ແລະ ε = 0, 01 x→2 2.2.3. lim x = 2 ແລະ ε = 0,1 x→4 2.2.4. lim 3 x = 3 ແລະ ε = 0,1 x →27 3. ການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ 3.1. ນຍິ າມ ນຍິ າມ 1: ຕໍາລາ f ( x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x ຖາ້ ວ່ າ lim f (x) = f ( x ) 0 0 x→x0 ນຍິ າມ 2: ຕໍາລາ f ( x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x ຖາ້ ວ່ າ lim f (x ) = lim f ( x) = f ( x )00 x →x − x → x 0+ 0 3.2. ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ພສິ ູດ f (x) = 5x + 4 ແມ່ ນຕໍາລາຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −2 . ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ flxi→m(−−2 (25)x=+54( −2) + 4= −10 + 4 = −6 = −6 ) = 5( + 4 = −10 +4 −2) ສະແດງວ່ າ lim (5x + 4) = f (−2) = −6 . ດ່ ງັ ນນັ້ f ( x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = −2. x→−2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ພສິ ູດວ່ າ f ( x ) = x ແມ່ ນຕໍາລາຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = a ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (a ) =a = lim x = a lxi→ma f (x) x→a ສະແດງວ່ າ lim f (x ) = f (a ) = a . ດ່ ງັ ນນັ້ f ( x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = a . x→−2

11 (x)  x2 + 5x − 6 ; x ≠1. ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງ f (x) x −1 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫ ້ f = ຢ່ ູເມດັ x = 1 7; x = 1 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມ:ີ f (1) = 7  lxi→m1 x2 + 5x − 6 = lim (x −1) (x + 6) = 7 x −1 (x −1) x→1 ສະແດງວ່ າ lim x2 + 5x − 6 = f (1) = 7. ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x −1 x→1 0; x < 0 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x2 ; 0 ≤ x < 1 −x2 + 4x − 4; x ≥ 1 . ສງັ ເກດການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາ f (x) ບດົ ແກ:້ • ສກຶ ສາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 0 ເຮາົ ມ:ີ ( )lfxi→m00− 0 = 02 = 0 =0 lxi→m0+ x 2 =0 ສະແດງວ່ າ lim f (x ) = lim f (x ) = f (0) = 0 . ດ່ ງັ ນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 0 . x →0− x →0+ • ສກຶ ສາ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1 ( )flxi→m11− = − (1)2 +4 (1) − 4 = −1 x2 = x− 1 4) = −1 (lxi→m1+ −x2 +4 ສະແດງວ່ າ lim f (x ) ≠ lim f (x ) . ດ່ ງັ ນນັ້ f ( x) ບ່ ໍຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ x = 1. x →1− x →1+