Calculus 1

83 = 1 ∫ cos 3x dx − 1 ∫ cos13x dx 2 2 = 1 ∫ cos3x.3dx − 1 ∫ cos13x.13dx 6 26 = 1 ∫ cos 3x d (3x ) − 1 ∫ cos13x d (13x ) 6 26 = 1 sin 3x − 1 sin13x + C . 6 26 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin 3x.sin 9x dx ∫ sin 3x sin 9x dx = ∫ 1 cos (3x − 9x ) − cos (3x + 9x )dx 2 = ∫ 1 cos ( −6x ) − cos12x  dx 2 = 1 ∫ cos 6x dx − 1 ∫ cos12x dx 2 2 = 1 ∫ cos 6x .6dx − 1 ∫ cos12x. 12dx 12 24 = 1 ∫ cos 6x d(6x) − 1 ∫ cos12x d(12x) 12 24 = 1 sin 6x − 1 sin12x + C . 12 24 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin 2x.sin 3x dx 2. ∫ sin 3x.sin 2x dx 3. ∫ sin x.sin 2x dx 4. ∫ sin 2x.sin x dx 5. ∫ sin 7x.sin 5x dx 6. ∫ sin 5x.sin 7x dx 7. ∫ sin 7x sin 3xdx

84 8. ∫ sin 9x sin 7xdx 9. ∫ sin 2x sin 5xdx 10. ∫ sin 3x sin 9xdx ຮູບຮ່ າງ 4.3: ∫ cos Ax.cos Bx dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a. cos A.cos B = 1 cos ( A − B) + cos(A + B) 2 b. sin (−α ) = −sinα c. cos(−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos 4x cos x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos 4x cos x dx = ∫ 1 cos ( 4x − x) + cos(4x + x )dx 2 = ∫ 1 [cos 3x + cos 5x]dx 2 = 1 ∫ cos3x dx + 1 ∫ cos5x dx 2 2 = 1 ∫ cos 3x.3dx + 1 ∫ cos 5x.5dx 6 10 = 1 ∫ cos 3x d (3x ) + 1 ∫ cos 5x d (5x ) 6 10 = 1 sin 3x + 1 sin 5x + C . 6 10 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos 2x cos 7x dx ∫ cos 2x cos 7x dx = ∫ 1 cos ( 2x − 7x ) + cos ( 2x + 7x )dx 2 = ∫ 1 cos ( −5x ) + cos 9x  dx 2

85 = 1 ∫ cos 5x dx + 1 ∫ cos9x dx 2 2 = 1 ∫ cos5x.5dx + 1 ∫ cos9x.9dx 10 18 = 1 ∫ cos 5x d (5x ) + 1 ∫ cos 9x d (9x ) 10 18 = 1 sin 5x + 1 sin 9x + C . 10 18 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos 2x.cos3x dx 2. ∫ cos3x.cos 2x dx 3. ∫ cos x.cos 2x dx 4. ∫ cos 2x.cos x dx 5. ∫ cos 7x.cos5x dx 6. ∫ cos5x.cos 7x dx 7. ∫ cos 4x cos xdx 8. ∫ cos 2x cos xdx 9. ∫ cos3x cos 4xdx 10. ∫ cos5x cos12xdx ຮູບຮ່ າງ 4.4: ∫ sin Ax.cos Bx dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a. sin Ax.cos B = 1 sin (A − B) + sin (A + B) 2 b. sin (−α ) = −sinα c. cos(−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin 5x cos 3x dx ບດົ ແກ:້

86 ∫ sin 5x cos 3x dx = ∫ 1 sin (5x − 3x ) + sin (5x + 3x )dx 2 = ∫ 1 [sin 2x +sin 8x]dx 2 = 1 ∫ sin 2x dx + 1 ∫ sin 8x dx 2 2 = 1 ∫ sin 2x .2dx + 1 ∫ sin 8x .8dx 4 16 = 1 ∫ sin 2xd (2x ) + 1 ∫ sin 8x d (8x ) 4 16 = 1 (−cos 2x) + 1 (−cos8x) + C 4 16 = − 1 cos 2x − 1 cos8x + C. 4 16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin x cos 7x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin x cos 7x dx = ∫ 1 sin ( x − 7x ) + sin ( x + 7x)dx 2 = ∫ 1 sin ( −6x ) + sin 8x  dx 2 = − 1 ∫ sin 6x dx + 1 ∫ sin 8x dx 22 = −1 ∫ sin 6x 6dx + 1 ∫ sin 8x 8dx 12 16 = − 1 ∫ sin 6x .d ( 6x ) + 1 ∫ sin 8x.d (8x ) 12 16 = − 1 (−cos 6x) + 1 (− cos8x) + C 12 16 = 1 cos 6x − 1 cos8x + C . 12 16 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້

87 1. ∫ sin 7x cos 4x dx 2. ∫ sin12x cos8xdx 3. ∫ sin 2x cos5xdx 4. ∫ sin x cos 4xdx 5. ∫ cos 2x sin 3xdx 6. ∫ cos5x sin xdx 7. ∫ cos3x sin 4xdx 8. ∫ cos5x sin 7xdx ຮູບຮ່ າງ 4.5: ∫ sinn xdx ; ∫ cosn x dx ແນະນາໍ ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : sin2 x = 1 − cos2 x cos2 x = 1 − sin2 x sin2 x = 1 − cos 2x 2 cos2 x = 1 + cos 2x 2 sin3 x = −sin 3x + 3sin x 4 cos3 x = cos3x + 3cos x 4 ( )a + b n = C0na nb0 + C1na n b−1 1 + C 2 a n − 2b2 + .... + C a bn−1 1 n−1 + Cnna 0bn n n Cnk = n! k )! k!(n − m! = m(m −1)...2.1.0! 0! = 1 ແນະນາໍ ວທິ ຊີ ອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ sinn x dx ; ∫ cosn x dx - ຖາ້ ວ່ າ n ເປັນຈາໍ ນວນຄ່ ູແມ່ ນນໍາໃຊສ້ ູດຫຸຼດກາໍ ລງັ - ຖາ້ ວ່ າ n = 3 ແມ່ ນນໍາໃຊສ້ ູດຫຸດຼ ກໍາລງັ

88 - ຖາ້ ວ່ າ n ≥ 3 ເປັນຈາໍ ນວນຄກີ (n = 2p + 1) ແມ່ ນປະຕບິ ດັ ດ່ ງັ ນ:ີ້ ສໍາລບັ : ∫(sin x)n dx = ∫ (sin )x 2p+1 dx = ∫(sin x)2p . sin x dx = ∫(sin x)2p . sin x dx = ∫ (sin2 x)p . sin x dx = −∫ (1 − cos2 x )p (−sin x dx) = −∫ (1 − cos2 x )p . d (cos x ) = −∫ (1 − cos2 x )p . d (cos x ) = −∫ 1 + (−cos2 x )p . d (cos x ) ສໍາລບັ : ∫(cos x)n dx = ∫ (cos )x 2p+1 dx = ∫(cos x)2p . cos x dx = ∫(cos x)2p . cos x dx = ∫ (cos2 x )p . cos x dx = ∫ (1 − sin2 x )p d (sin x ) = −∫ 1 + (−sin2 x )p . d (sin x ) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos4 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos4 3x dx = ∫ (cos2 3x )2 dx = ∫  1+ cos 6x 2 dx 2  = 1 ∫ (1 + cos6x )2 dx 4 = 1 ∫ (1+ 2cos6x + cos2 6x) dx 4

89 = 1 ∫ 1 + 2 cos 6x + 1+ cos12x  dx 4 2 = 1 ∫ ( 2 + 4 cos 6x +1 + cos12x ) dx 8 = 1 ∫ ( 3 + 4 cos 6x + cos12x ) dx 8 = 1 ∫ 3dx + 1 ∫ 4 cos 6x dx + 1 ∫ cos12x dx 8 8 8 = 3 ∫ dx + 4 ∫ cos 6x dx + 1 ∫ cos12 dx 8 8 8 = 3 ∫ dx + 4 ∫ cos 6x .6dx + 1 ∫ cos12.12 dx 8 8.6 8.12 = 3 x + 4 ∫ cos 6x d (6x ) + 1 ∫ cos12x d (12x ) 8 48 96 = 3 x + 1 sin 6x + 1 sin12x + C . 8 12 96 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin4 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin4 5x dx = ∫ (sin2 5x )2 dx = ∫ 1− cos10x 2 dx 2  = 1 ∫ (1 − cos10x )2 dx 4 = 1 ∫ (1 − 2 cos10x + cos2 10x ) dx 4 = 1 ∫ 1 − 2 cos10x + 1 + cos 20x  dx 4 2 = 1 ∫ ( 2 − 4 cos10x + 1 + cos 20x ) dx 8 = 1 ∫ (3 − 4 cos10x + cos 20x ) dx 8 = 1 ∫ 3dx − 1 ∫ 4 cos10x dx + 1 ∫ cos 20x dx 8 8 8

90 = 3 ∫ dx − 4 ∫ cos10x dx + 1 ∫ cos 20x dx 8 8 8 = 3 x − 4 ∫ cos10x.10 dx + 1 ∫ cos 20x.20 dx 8 8.10 8.20 = 3 x − 4 ∫ cos10x d (10x ) + 1 ∫ cos 20x d ( 20x ) 8 8.10 8.20 = 3 x − 1 sin10x + 1 sin 20x + C . 8 20 160 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos6 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos6 x dx = ∫ (cos2 x)3 dx = ∫  1 + cos 2x 3 dx 2  = 1 ∫ (1 + cos 2x )3 dx 8 = 1 ∫ (1 + 3cos 2x + 3cos2 2x + cos3 2x )dx 8 = 1 ∫ 1 + 3cos 2x + 3.1 + cos 4x + cos 6x + 3cos 2x  dx 8 2 4 = 1 ∫  4(1 + 3cos 2x ) + 6(1 + cos 4x ) + cos 6x + 3cos 2x  dx 8  4 4 4  = 1 ∫ ( 4 + 12 cos 2x + 6 + 6 cos 4x + cos 6x + 3 cos 2x ) dx 32 = 1 ∫ (10 + 15 cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x ) dx 32 = 1 ∫10 dx + 1 ∫15cos 2x dx + 1 ∫ 6 cos 4x dx + 1 ∫ co6x dx 32 32 32 32 = 10 ∫ dx + 15 ∫ cos 2x dx + 6 ∫ cos 4x dx + 1 ∫ co6x dx 32 32 32 32 = 10 x + 15 ∫ cos 2x.2 dx + 6 ∫ cos 4x.4 dx + 1 ∫ co6x.6 dx 32 32.2 32.4 32.6

91 = 5 x + 15 ∫ cos 2x d ( 2x ) + 6 ∫ cos 4x d (4x ) + 1 ∫ co6x d (6x ) 16 64 128 192 = 5 x + 15 sin 2x + 3 sin 4x + 1 sin 6x + C . 16 64 64 192 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin9 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin9 5x dx = ∫ sin8 5x.sin 5x dx = − 1 ∫ (sin2 5x)4 (−5sin 5x dx) 5 = − 1 ∫ (1− cos2 5x)4 d(cos5x) 5 = − 1 ∫ (1 − 4cos2 5x + 6cos4 5x − 4cos6 5x + cos8 5x)d (cos5x ) 5 = − 1  cos 5x − 4 cos3 5x + 6 cos5 5x − 4 cos7 5x + 1 cos9 5x  + C . 5 3 5 7 9 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos13 2x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos13 2x dx = ∫ cos12 2x.cos 2x dx = 1 ∫ (cos2 2x )6 .2 cos 2x dx 2 = 1 ∫ (1− sin2 2x)6 d(sin 2x) 2 ∫ ( )= 1 1− 6sin2 2x +15sin4 2x − 20sin6 2x +15sin8 2x − 6sin10 2x + sin12 2x d (sin 2x) 2 = 1  sin 2x − 2 sin3 2x + 3 sin 5 2x − 20 sin7 2x + 5 sin9 2x − 6 sin11 2x + 1 sin13 2x  . 2  7 3 11 13  5.4. ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos6 4x dx 2. ∫ sin8 3x dx 3. ∫ sin11 7x dx

92 4. ∫ cos13 5x dx 5. ∫(2 − sin x)6 dx 6. ∫(3 + cos x)7 dx 7. ∫(1− 2sin x)5 dx 8. ∫(1+ cos3x)4 dx 9. ∫(3 + cos x)5 dx ຮູບຮ່ າງ 4.6: ∫ sinm x cosn x dx ແນະນາໍ ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : sin2 x = 1 − cos2 x cos2 x = 1 − sin2 x sin2 x = 1 − cos 2x 2 cos2 x = 1 + cos 2x 2 sin3 x = −sin 3x + 3sin x 4 cos3 x = cos3x + 3cos x 4 cos A.cos B = 1  cos ( A + B) + cos ( A − B) 2 sin A .sin B = 1 cos ( A − B) − cos ( A + B) 2 sin Ax.cos B = 1 sin (A −B) + sin(A + B) 2 d(sin x) = cos x dx d(cos x) = −sin x dx ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ sin3 x.cos−5 xdx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫sin3 x.cos−5 xdx = sin2 x.cos−5 x.sin xdx ( )∫= 1 − cos2 x cos−5 x.sin xdx

93 ( )∫= cos−5 x − cos−3 x sin xdx ∫ ∫= cos−5 x.sin xdx − cos−3 x.sin xdx = −∫ cos−5 xd(cos x) +∫ cos−3 xd(cos x) = − cos−5+1 x + cos−3+1 x + C −5 + 1 −3 +1 = − cos−4 x + cos−2 x + C −4 −2 = 1 − 1 +C 4cos4 x 2cos2 x ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin4 x.cos5 xdx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫sin4 x.cos5 xdx = sin4 x.cos4 x.cos xdx ( )∫= 2 sin4 x cos2 x .cos xdx ( )∫= sin4 x 1− sin2 x 2 d(sin x) ( )∫= sin4 x 1 − 2sin2 x + sin4 x d(sin x) ( )∫= sin4 x − 2sin6 x + sin8 x d(sin x) ( )∫= sin4 x − 2sin6 x + sin8 x d(sin x) = ∫ sin4 xd(sin x) − 2∫sin6 xd(sin x) + ∫sin8 xd(sin x) = sin4+1 x − 2. sin6+1 x + sin8+1 x + C 4 +1 6 +1 8+1 = sin5 x − 2sin7 x + sin9 x + C . 579 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin2 x cos4 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin2 x cos4 x dx = ∫ sin2 x cos2 x cos2 x dx = ∫(sin x cos x)2 cos2 x dx = ∫  2sin x cos x 2 cos2 x dx 2 

94 = 1 ∫ sin2 2x cos2 x dx 4 = 1 ∫  1 − cos 4x .1 + cos 2x  dx 4 2 2 = 1 ∫ (1 − cos 4x ) (1 + cos2x ) dx 16 = 1 ∫ (1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4x ) dx 16 = 1 ∫ 1 + cos 2x − cos 4x − 1 ( cos 6x + cos 2x ) dx 16 2 = 1 ∫  2(1 + cos 2x − cos 4x ) − cos 6x + cos 2x  dx 16  2 2  = 1 ∫ [2 + 2 cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x − cos 2x] dx 32 = 1 ∫ [2 + cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x ] dx 32 = 1 ∫ 2 dx + 1 ∫ cos 2x dx − 1 ∫ 2 cos 4x dx − 1 ∫ cos 6x dx 32 32 32 32 = 2 ∫ dx + 1 ∫ cos 2x.2 dx − 1 ∫ cos 4x .4dx − 1 ∫ cos 6x.6 dx 32 32.2 32.2 32.6 = 1 x + 1 ∫ cos 2x d ( 2x ) − 1 ∫ cos 4x d ( 4x ) − 1 ∫ cos 6x d (6x ) 16 64 64 192 = 1 x + 1 sin 2x − 1 sin 4x − 1 sin 6x + C . 16 64 64 192 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin10 3x cos5 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin10 3x cos5 3x dx = ∫ sin10 3x cos4 3x cos3x dx = 1 ∫ sin10 3x (cos2 3x )2 3cos3x dx 3 = 1 ∫ sin10 3x (1 − sin2 3x)2 d(sin 3x ) 3 = 1 ∫ sin10 3x (1 − 2sin2 3x + sin4 3x )d (sin 3x ) 3

95 = 1 ∫ (sin10 3x − 2sin12 3x + sin14 3x )d(sin 3x ) 3 = 1 sin11 3x − 2 sin13 3x + sin15 3x  + C . 3  11 13 15  ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin7 2x cos100 2x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin7 2x cos100 2x dx = ∫ sin7 2x cos100 2x dx = ∫ sin6 2x cos100 2x sin 2xdx ( )= ∫ sin2 2x 3 cos100 2x sin 2xdx = − 1 ∫ (1 − cos2 2x )3 cos100 2x (−2sin 2xdx ) 2 = − 1 ∫ (1 − cos2 2x)3 cos100 2x d(cos 2x ) 2 = − 1 ∫ (1 − 3cos2 2x + 3cos4 2x − cos6 2x)cos100 2x d (cos 2x ) 2 ( )= 1 d(cos 2x) − 2 ∫ cos100 2x − 3cos102 2x + 3cos104 2x − cos106 2x = − 1  cos101 2x − 3 cos103 2x + 3cos105 2x − cos107 2x  + C . 2  101 103 105 107  ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin9 5x cos111 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin9 5x cos111 5x dx = ∫ sin8 5x cos111 5x.sin 5x dx ( )= ∫ sin2 5x 4 cos111 5x.sin 5x dx = − 1 ∫ (1 − cos2 5x )4 cos111 5x.(−5sin 5x dx) 5 ( )= − 1 ∫ 1 − 4cos2 5x + 6cos4 5x − 4cos6 5x + cos8 5x 4 cos111 5x d(cos5x) 5 ( )= − 1 ∫ cos111 5x − 4cos113 5x + 6cos115 5x − 4cos117 5x + cos119 5x d (cos5x ) 5 = − 1  cos112 5x − 4 cos114 5x + 6 cos115 5x − 4 cos119 5x + cos120 5x  + C . 5  112 114 116 118 120 

96 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin6 3x cos8 3x dx 2. ∫ sin11 9x cos6 9x dx 3. ∫ cos9 2x sin15 2x dx ∫4. sin3 x cos10 xdx ∫5. cos3 xsin15 xdx ∫6. sin3 x cos−7 xdx ∫7. cos3 xsin−12 xdx ∫8. sin5 x cos20 xdx ∫9. cos5 xsin16 xdx ∫10. sin5 x cos−2 xdx ∫11. cos5 xsin−3 xdx 12. ∫sin3 xdx 13. ∫ cos3 xdx 14. ∫sin5 xdx 15. ∫ cos5 xdx ∫16. sin2 x cos2 xdx 17. ∫sin6 xdx 18. ∫ sin11 4x dx 7 cos3 4x 19. ∫(sin 5x + 2cos5x)3 dx 20. ∫(3sin x − 2cos x)4 dx

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ-ການສອນ ວຊິ າ ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 1 ເຫມຼັ້ ທີ 5 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄໍານໍາ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫຼວງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ການຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນ ແລະ ການຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ. ແຕ່ ລເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກໍຄທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ 1 14 ບດົ ທີ 1 - ການຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນ 14 ບດົ ທີ 2 - ການຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ 17 19 ຮູບຮ່ າງ 1.1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ P( x)eα xdx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ 21 ຮູບຮ່ າງ 2.2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ P(x)sinα x dx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ 22 ຮູບຮ່ າງ 2.3. ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ P (x)cosα x dx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ 25 ຮູບຮ່ າງ 2.4: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາພາກສ່ ວນ ∫ P (x )lnα x dx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ ຮູບຮ່ າງ 2.5: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ eα x sin β x dx ຮູບຮ່ າງ 2.6: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາພາກສ່ ວນ ∫ eα x cos β x dx

1 ບດົ ທີ 1 ການຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນ ທດິ ສະດ:ີ ຢາກຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ f (x)dx ດວ້ ຍຕວົ ປ່ ຽນແທນ, ເຮາົ ປະຕບິ ດັ ດ່ ງັ ນ:ີ້ ບາດກາ້ ວທີ 1: ວາງ t = ϕ (x) ບາດກາ້ ວ 2: ໝວດຄໍານວນ f (x)dx ຕາມ t ແລະ dt, ສມົ ມຸດວ່ າ f (x)dx = g (t)dt ບາດກາ້ ວ 3: ຄດິ ໄລ່ ∫ f (x)dx = ∫ g (t)dt = G (t) + C = G ϕ (x) + C ບາດກາ້ ວ 4: ດ່ ງັ ນນັ້ ∫ f (x)dx = G ϕ (x) + C . ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 1 dx 2x + 3 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ t = 2x + 3 ⇔ dt = d (2x + 3) ⇔ dt = 2dx ⇔ dx = dt 2 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 3 dx = ∫ 1. dt = 1 ∫ 1 dt = 1 ln t + C = 1 ln 2x + 3 + C 2x + t 2 2 t 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ∫ 1 3 dx = 1 ∫ 1 3 2dx = 1 ∫ 1 3 d ( 2x + 3) = 1 ln 2x + 3 + C. 2x + 2 2x + 2 2x + 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (2x +1)20dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ t = 2x +1 ⇔ dt = 2dx ⇔ dx = dt 2 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

2 ∫(2x + 1)20dx = ∫ t 20 dt = 1 ∫ t 20dt = t 21 + C = (2x +1)21 + C. 2 2 42 42 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ∫(2x + 1)20dx = 1 ∫(2x + )1 20 2dx = 1 ∫ (2x +1)20d (2x + 1) = (2x + )1 21 + C. 2 2 42 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 5 2 + 3x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ( )ວາງ t = 5 2 + 3x ⇔ t5 = 2 + 3x ⇔ d t5 = d (2 + 3x) ⇔ 5t4dt = 3dt ⇔ dx = 5t4 dt 3 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( )∫ 5 2 + 3x dx = ∫ t. 5t4 dt = 5 ∫ t 5dt = 5 t6 + C = 5 5 2 + 3x 6 +C. 3 3 18 18 ວທິ ແີ ກ ້ 2: 1 1 1 1 ( 2 + 3x ) 1 +1 3 3 5 3 1 5 ∫ 2+ = ∫ 2 + 3x = ∫ ( + ) ( + 3x) = +1 +C 5 3x dx 5 3dx 2 3x d 2 . 5 ( )=1 ( 2 + 3x ) 6 5 6 +C. 5 + = 18 5 2 + 3x . 6 C 3 5 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x x 1 dx 2+ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ t = x2 +1 ⇔ dt = 2xdx ⇔ xdx = dt 2 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x x 1 dx = 1 ∫ 1 dt = 1 ln t + C = (1 ln x2 + 1) + C. 2+ 2 t 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ∫ x = 1 ∫ 2x = 1 ∫ d (x2 +1) = 1 ln (x2 + 1) + C . x2 +1dx 2 x2 +1 dx 2 2 x2 +1

3 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x2 x3 + 5 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ t = x3 + 5 ⇔ dt = 3x2 dx ⇔ x2dx = dt 3 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ x3 + 5 dx = 1 1 1. 1 +1 2 3 2 3 t2 t2 t2 2 +C. ( )∫ ∫x2 + 3 dt = 3 1 +1 C = 9 + C = 9 x3 + 5 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: 1 +1 1 +1 2 2 +C = 1. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )x2 x3 + 5 dx = 1 x2 x3 + 5 3dx = 1 x3 + 5 x3 +5 33 1 x3 + 5 = 1. 3 1 +1 +C 3 1 +1 x3 + 5 2d 22 ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ e3cosx sin x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ t = 3cos x ⇔ dt = −3sin x dx ⇔ sin xdx = − dt 3 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ∫ ∫e3cosx sin x dx =et−dt  = −1 et dt = − 1 et + C = − 1 e3cosx + C  3  3 33 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ∫ ∫ ∫( ) ( )e3cosx sin x dx = − 1 e3cosx −3sin x dx = − 1 e3cosx d 3cos x = − 1 e3cosx + C . 3 33 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ ln 4 x dx x ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ t = ln x ⇔ dt = 1 dx x ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

4 ∫ ln 4 x dx = ∫ t 4dt = 1 t5 + C = 1 ln5 x + C x 5 5 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ∫ ln 4 x dx = ∫ ln 4 x d (ln x) = ln5 x + C . x 5 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ e2x dx ex +1 ວທິ ແີ ກ:້ ( ) ( )ວາງ t = ex +1 ⇔ t2 = ex +1 ⇔ d t2 = d ex +1 ⇔ 2tdt = exdx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( ) ( )∫ t2 −1 .2t dt  t3  ∫ ∫e2x dx = ex .exdx = t = 2∫ t2 −1 dt = 2  3 − t  + C = 2t t2 −3 +C ex +1 ex +1 3 ( )= 2 ex +1 ex − 2 + C . 3 ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1.1. f ( x) = 3x 7 − 3x2 1.2. f ( x) = 9x2 1− x3 ( )1.3. f (x) = 1 3 x 1+ x 1.4. f (x) = x 2x + 3 ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 1.1. f ( x) = 3x 7 − 3x2 F(x) = ∫ 3x 7 − 3x2 dx ( ) ( )ວາງ t = 7 − 3x2 ⇔ t2 = 7 − 3x2 ⇔ d t2 = d 7 − 3x2 ⇔ 2tdt = −6xdx ⇔ xdx = − tdt 3

ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ 5 ( )F(x) = ∫ − t 2dt = − t3 + C = − 7 − 3x2 7 − 3x2 + C . 3 3 1.2. f ( x) = 9x2 1− x3 F(x) = ∫ 9x 2dx 1− x3 ( ) ( )ວາງ t = 1− x3 ⇔ t2 = 1− x3 ⇔ d t2 = d 1− x3 ⇔ 2t dt = −3x2 dx ⇔ x2dx = − 2 tdt 3 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ F( x) = ∫ −6dt = −6t + C = −6 1− x3 + C . ( )1.3. f (x) = 1 3 x 1+ x ( )F(x) = ∫ 1 3 dx x 1+ x ( )ວາງ t = x ⇔ t2 = x ⇔ d t2 = dx ⇔ 2t dt = dx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( x ) = ∫ 2dt = − 1 +C=− 1 +C. +t 1+ x (1+ t )3 ( )F (1 )2 2 1.4. f (x) = x 2x + 3 F(x) = ∫ x + 3 dx 2x ວາງ t = 2x + 3 ⇔ t2 = 2x + 3 ⇔ x = t2 − 3 ⇔ dx = t dt 2 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ F(x) = 1 ∫(t2 − 3)dt = 1  t3 − 3t  + C = (x − 3) 2x + 3 + C . 2 2  3  3 2. ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນລ່ ຸມນ:ີ້

6 2.1. ∫ (1 x )2 dx + x2 2.2. ∫ dx ex − e−x 2.3. ∫ ln 2 x dx x 2.4. ∫ 3 1+ ln x dx x ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 2.1. ∫ (1 x 2 )2 dx +x ວາງ t = 1+ x2 ⇔ dt = 2xdx ⇔ xdx = dt 2 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x )2 dx = 1 ∫ dt = − 1 + C = − 1 x2 ) + C. 2 t2 2t (1+ x2 2 (1 + 2.2. ∫ dx = ∫ exdx ex − e−x e2x −1 ວາງ t = ex ⇔ dt = ex dx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e x dx = ∫ dt = 1 ∫  t 1 1 − t 1  dt = 1 ln t −1 +C = 1 ln ex −1 +C. e2x −1 t2 −1 2 − +1 2 t +1 2 ex +1 2.3. ∫ ln 2 x dx x ວາງ t = ln x ⇔ dt = dx x ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ln 2 x dx = ∫ t 2dt = t3 + C = ln3 x + C . x 3 3 2.4. ∫ 3 1+ ln x dx x

7 ວາງ t = 3 1 + ln x ⇔ t3 = 1+ ln x ⇔ 3t2dt = dx x ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3 1+ ln x dx = ∫ 3t3dt = 3 t4 + C = 3 (1+ ln x) 3 1+ ln x + C . x 44 3. ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນລ່ ຸມນ:ີ້ 3.1. ∫ cos x sin3 x dx 3.2. ∫ cos x + sin x dx sin x − cos x sin x cos x dx a2 sin2 x + b2 cos x ( )3.3. ∫ a2 ≠ b2 3.4. ∫ cos dx 2 x x sin ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 3.1. ∫ cos x sin3 x dx ວາງ t = sin x ⇔ dt = cos x dx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cos x sin3 x dx = ∫ t3 dt = t4 + C = sin 4 x + C. 4 4 3.2. ∫ cos x + sin x dx sin x − cos x ວາງ t = sin x − cos x ⇔ dt = cos x + sin x dx ⇔ 2dt = cos x + sin x dx 2 sin x − cos x sin x − cos x ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cos x + sin x dx = ∫ 2 dt = 2t + C = 2 sin x − cos x + C . sin x − cos x sin x cos x dx a2 sin2 x + b2 cos x ( )3.3. ∫ a2 ≠ b2 ( )ວາງ t = a2 sin2 x + b2 cos2 x ⇔ dt = a2 − b2 sin x cos x dx a2 sin2 x + b2 cos2 x

ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ 8 ∫ sin x cos x dx = 1 ∫ dt = t +C = a2 sin2 x + b2 cos2 x +C. a2 sin2 x + b2 cos x − b2 − b2 a2 − b2 a2 a2 3.4. ∫ cos dx 2 x = ∫ cos xdx x x sin cos2 x sin2 ວາງ t = sin x ⇔ dt = cos x dx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ dx ∫ cos xdx dt ∫  1 1 dt ∫ 1 1 1 1 dt x sin cos2 x sin2 1− t2  t2 1− t2  t2 2  1+ −1 ( )∫ 2 x = = ∫ t2 = + = + t − t cos x = −1 + 1 ln t +1 + C = −1 + 1 ln sin x +1 + C. t 2 t −1 sin x 2 sin x −1 4. ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນລ່ ຸມນ:ີ້ 4.1. ∫ x 1+ x2 dx 4.2. ∫ sin2 x cos3 x dx ∫4.3. e3sinx cos x dx 4.4. ∫ (3x + 2)10 dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 4.1. ∫ x 1+ x2 dx ວາງ t = x2 +1 ⇔ x2 = t2 −1 ⇔ xdx = tdt ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( )∫ x1+ x2 dx = ∫ t 2dt = t3 + C = x2 +1 3 3 + C. 3 ( )4.2. ∫ sin2 x cos3 x dx = ∫ sin2 x cos2 x cos x dx = ∫ sin2 x 1− sin2 x cos x dx ວາງ t = sin x ⇔ dt = cos xdx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )∫sin2 x t3 − t5 + C = sin3 x − sin5 x + C . 1− sin2 x cos x dx = ∫ t2 1− t2 dt = 3 5 35

9 ∫4.3. e3sinx cos x dx ∫ ∫ ∫ ( )e3sinx cos x dx = 1 e3sinx 3cos x dx = 1 e3sinxd 3sin x = 1 e3sinx + C . 333 4.4. ∫ (3x + 2)10 dx ∫ (3x + )2 10 dx = 1 ∫ (3x + )2 10 3dx = 1 ∫ (3x + )2 10 d (3x + 2) = (3x + 2)11 + C . 3 3 33 5. ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ F(x) ຂອງຕໍາລາ y = sin 2x 3 ເມ່ ອື F(0) = 0 ແມ່ ນ sin2 x + A. ln 1 + sin2 x ln 3 + sin2 x C. ln 1+ sin2 x B. 3 3 D. ln cos2 x ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ F(x) = ∫ sin 2xdx = ∫ d(sin2 x + 3) = ln sin 2 x + 3 + C sin2 x + 3 sin2 x + 3 ເຮາົ ມີ F(0) = 0 ⇔ ln 3 + C = 0 ⇔ C = −ln 3 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ F( x ) = ln sin2 x + 3 − ln 3 = ln 1+ sin2 x 3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຄໍາຕອບທ່ ຖີ ກື ຕອ້ ງແມ່ ນ C. ln 1+ sin2 x . 3 6. ເຄາົ້ ຕໍາລາ F(x) ຂອງຕໍາລາ y = cos xesinx ສໍາລບັ F(0) = 0 ເມ່ ອື ນນັ້ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ C ແມ່ ນ A. −1 B. 1 C. 0 D. e ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ F( x ) = ∫ cos xesinxdx = ∫ (esinxd sin x ) = esinx + C ເຮາົ ມີ F(0) = 0 ⇔ 1+ C = 0 ⇔ C = −1 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຄໍາຕອບທ່ ຖີ ກື ຕອ້ ງແມ່ ນ A. −1 7. ເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງຕໍາລາ f (x) = 2x ແມ່ ນ x2 +1

10 A. F(x) = ln  k (x2 +1) , k ∈ ℝ B. F(x) = ln k (x2 +1) , k > 0 C. F(x) = ln k (x2 +1) , k > 0 D. F(x) = (ln x2 + 1) k ≠0 , k ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ( )ເຮາົ ມີ 2x dx F(x) = ∫ 1+ x2 = ln x2 +1 + C = ln x2 +1 + ln k = ln k x2 +1  , k>0 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຄໍາຕອບທ່ ຖີ ກື ຕອ້ ງແມ່ ນ B. F(x) = ln k (x2 +1) , k > 0 . ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນນ:ີ້ 1.1. ∫ 3(4x − )1 20 dx 1.2. ∫ (1+ 3x)16 dx 1.3. ∫ (1− 2x)45 dx 1.4. ∫ ( x + )1 25 dx 1.5. ∫ 1 5 dx 1.6. ∫ (1 − 3x )1 dx − 3x 5 ∫1.7. 52x+5 dx 1.8. ∫ 1 2 dx 3x − 1.9. ∫ 5 x dx 1.10. ∫ (1− x )100 dx 1− 1.11. ∫ (5x + )1 18 dx 1.12. ∫ 1 dx 2x + 5 1.13. ∫ 7 dx 1.14. ∫ 1 12 dx x +1 − 5x 1.15. ∫ (3x + 2)10 dx 1.16. ∫ 1 15 dx − 4x 1.17. ∫ 9 dx 1.18. ∫ (1 + 5 )16 dx 7x +5 3x 1.19. ∫ (2x + )1 20 dx 1.20. ( )∫ ex +1 3exdx 1.21. ∫ 1 1 x dx 1.22. ∫ sin 2π x dx −e

1.23. ∫ sin25 x.cos x dx 11 1.24. ∫ cos14 x.sin x dx ∫1.25. sin xecosx dx ∫1.26. e3sinx cos x dx 1.27. ∫ cosx sin3x dx 1.28. ∫ cos12x sinx dx 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນນ:ີ້ ( )∫2.1. 2x2 −1 100 x dx ( )∫2.2. 2 5x2 −1 12 x dx 2.3. ∫ 1+ x2 x dx 2.4. ∫ (x2 )+ 2x + 5 10 (2x + 2) dx ( )∫2.5. 2x2 +1 12 xdx ( )∫2.6. 7x2 −1 14 3xdx ( )∫2.7. 4x2 + 7 12 5xdx 2.9. ( )∫ x2 + x +1 18 (2x +1) dx 2.8). ∫ ( x 2 + )7 5xdx 1 2.10. ( )∫ 3x2 − 2 12 x dx 2.11. ∫ x dx 2 2.12. ∫ 5x dx 3x2 + 1− x2 2.13. ∫ 3x dx 2.14. ∫ 1 x dx 2 x2 +1 − 2x 2.15. ∫ x dx 1 2.16. ∫ x2 dx 5x 2+ x3 + 2 2.17. ∫ x dx 2.18. ∫ 3x 2+ x2 dx 4x2 + 5 2.19. ∫ x sin (1− x2 )dx 2.20. ∫ x 2 − x2 dx 2.21. ∫ 5x sin (3x2 + 2)dx ( )2.22. ∫ 1 24 3x 1+ 2 x dx 2.23. ∫ x dx 2.24. ∫ 1 ( 2 + 5 ln x )15 dx 3 1− 3x2 x 2.25. ∫ 2x dx 2.26. ∫ sin x (1+ 2 cos x)20 dx 3 1+ 5x2 2.27. ∫ 1 ln14 x dx 2.28. ∫ cos x (1− sin x)18 dx x 2.29. ( )∫ 5x dx ∫2.30. 3x e2x2 +5 dx 2 − 5x2 −9 ∫ dx x dx 2.31. ( )∫2.32. 5 (1− 2x )2 4 x2 + 1 −3

12 2.33. ∫ (1 cos xdx )14 2.34. ∫ sin x dx + 2sin x 1+ 4 cos x ∫2.35. 32x2 +5 xdx 2.36. ( )∫ 8x2 x3 + 5 3 dx 2.37. ∫ 2 sin x dx 2.38. ∫ x x 1 dx cos4 x 2+ 2.39. ∫ x2 x3 + 5 dx ∫2.40. e3cosx s inx dx 2.41. ∫ ln 4 x dx 2.42. ∫ ln 2 x dx x x 2.43. ∫ 3 1+ ln x dx 2.44. ∫ x 1+ x2 dx x ∫ x ( )∫ x 21 2.45. (1 +x 2 )2 dx 2.46. 1− 2x2 dx 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນນ:ີ້ ( )4.1. ∫ 1 cos 1+ x dx 4.2. ∫ 1 sin x dx x x 4.3. ∫ 1 ln x dx ∫4.4. dx x ex + e−x 4.5. ∫ 1 sin ( ln x ) dx 4.6. ∫ x2 − 2x4 dx 2x ∫4.7. e2x dx 4.8. ∫ tan x dx ex − 2 cos3 x 4.9. ∫ cot x dx 4.10. ∫ sin2 x cos3 x dx sin3 x ∫ sin 2x ∫ dx 4.11. + cos 2x dx ( )4.12. 1 5 x 1− x

13 ບດົ ທີ 2 ການຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາພາກສ່ ວນ ທດິ ສະດ:ີ ເຮາົ ມຜີ ນົ ຕໍາຂອງຜນົ ຄູນ: (uv)′ = u′v + uv′ ⇔ d(uv) = du v + u dv dx dx dx ⇔ d (uv) = vdu + udv ⇔ ∫ d(uv) = ∫ vdu + ∫ udv ⇔ uv = ∫ vdu + ∫ udv ⇔ ∫ udv = uv − ∫ vdu ເອນີ້ ວ່ າສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສວ່ ນ. ຮູບຮ່ າງ 2.1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ P( x)eα xdx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ

14 ມີ 2 ວທິ ແີ ກ:້ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ duv==Pe(αxx ) ⇔  du = P′ ( x ) ⇔ dvu==α1p∫′ (exα)xdαxdx ⇔ dvu==α1p∫′(exα)xddx(α x) ⇔ dvu==eαpα ′x( x) dx  dx dx ∫ dv = ∫ eα x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ∫ p (x )eα xdx = p ( x ) . eα x − ∫ eα x .p′ ( x ) dx α α ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ p(x)eα xdx = ∫ P ( x ) d  eα x   α  ສະແດງວ່ າ: u = P(x) ; v = eα x α ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ∫ p ( x ) d  eα x  = p ( x ) . eα x − ∫ eα x .p′ ( x ) dx  α  α α ໝາຍເຫດ: ຖາ້ ວ່ າພະຫຸພດົ P(x) ມຂີ ນັ້ n ແມ່ ນເຮາົ ຈະໄດນ້ ໍາໃຊສ້ ູດເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ, n ເທ່ ອື . ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ xe xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x ⇔ d∫udv==dx∫ e x ⇔ du = dx   dv = e x dx dx v = ex ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ∫ xe xdx = xex − ∫ exdx = xex − ex + C = ex ( x −1) + C. ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ xe xdx = ∫ xd(ex ) ສະແດງວ່ າ: u = x ; v = ex ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້

15 ( )∫ xd ex = xex − ∫ exdx = xex − ex + C = ex (x −1) + C. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ xe3xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x ⇔ d∫udv==dx∫ e3xdx ⇔ dvu==13d∫xe3x ⇔ dvu==13d∫xe3x ⇔ dvu==13dex3x  dv = e3xdx 3dx d (3x ) ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ∫ ∫ ∫xe3xdx = 1 xe3x − 1 e3xdx = 1 xe3x − 1 e3x 3dx = 1 xe3x − 1 e3xd (3x) 33 3 3.3 39 = 3 xe3x − 1 e3x + C = e3x (3x −1) + C. 99 9 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ xe 3xdx = ∫ xd  e3x   3  ສະແດງວ່ າ: u = x ; v = e3x 3 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ xd  e3x  = xe3x ∫− e3x dx = xe3x − 1 ∫ e3x dx = xe3x − 1 ∫ e3 x 3 dx = xe3x − 1 ∫ e3 x d ( 3x )  3  3 3 3 3 3.3 3 9 3 = 3xe3x − 1 e3x + C = e3x (3x −1) + C. 99 9 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x2e5xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ∫ ∫( ) ∫ ∫ວາງ dvu==e525xxdx duv==xe2 5x dx ⇔ du = d x2 ⇔ dvu==152xed5xx 5dx ⇔ dvu==152xed5xx d (5x ) ⇔  dv = e 5x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ∫ ∫x2e 5xdx = x2e5x − 2 xe5xdx (1) 55

ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ: ∫ xe5xdx 16 u = x dudv==dx e 5x dvu==15dxe 5x 5dx dvu==15dxe 5x dvu==e5d5xx ∫ ∫ ∫ ∫ວາງ ⇔ ⇔ ⇔ d(5x) ⇔ dv = e 5 x dx dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ∫ ∫xe5xdx = xe5x − e5x dx = xe5x − 1 e5xd (5x ) = 5xe5x − 1 e5x = e5x (5x −1) (2) 55 5 25 25 25 25 ແທນ (2) ໃສ່ (1): ∫ ( )x2e 5xdx = x2e5x − 2 . e5x (5x −1) + C = 25x2e5x − 2e5x (5x −1) + C = e5x 25x2 −10x + 2 + C. 5 5 25 125 125 125 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ x2e 5xdx = ∫ x 2d  e5x   5  ສະແດງວ່ າ: u = x2 ; v = e5x 5 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້  e5x  x 2e5x e5x = x2e5x − 2 xe5xdx = x2e5x − 2  e5x   5  5 d 55 55 x d  5  2d∫ ∫ ( ) ∫ ∫x = − 5 x2 ∫ ∫=x 2e5 x − 2 xe5x − e5x  = x 2e5x − 2  xe5x − 1 e5 x d (5x )  5 5  5 5 dx  5 5  5 25  = x 2e5 x − 2  5xe5x − 1 e5x  + C = 25x 2e5x − 2e5x (5x −1) + C 5 5  25 25  125 125 ( )= e5x 25x2 −10x + 2 + C. 125 ຮູບຮ່ າງ 2.2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ P (x)sinα x dx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = P(x) ⇔ d∫udv==d∫sPin(xα)x dx ⇔ dvu==α1p∫′ (sxin)αdxx α dx ⇔ dvu==α1p∫′(sxin)αdxx d (α x)  dv = sin α x dx

17 ⇔ dvu==α1p∫′(sxin)αdxx d (α x) ⇔ dvu==−Pc′o(αsxα)dxx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ P ( x )sin α x dx = −P′( x ). cosα x + ∫ cosα x .P′ ( x ) dx α α ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ P(x)sinα x dx = ∫ P(x)d  − cosα x  α ສະແດງວ່ າ: u = P(x) ; v = − cosα x α ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ P ( x )sin α x dx = −P′( x ). cosα x + ∫ cosα x .P′ ( x ) dx α α ໝາຍເຫດ: ຖາ້ ວ່ າພະຫຸພດົ P(x) ມຂີ ນັ້ n ແມ່ ນເຮາົ ຈະໄດນ້ ໍາໃຊສ້ ູດເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ, n ເທ່ ອື . ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x sin xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x xdx ⇔ d∫udv==dx∫ sin x dx ⇔ du = dx dv = sin v = − cos x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x sin xdx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C. ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ x sin xdx = ∫ xd(−cos x) ສະແດງວ່ າ: u = x ; v = − cos x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x d (− cos x) = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x sin (2x +1)dx

18 ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ u = x ⇔ d∫udv==dx∫ sin (2x ⇔ dvu==12d∫xsin (2x +1) 2dx  dv = sin ( 2x + 1) dx + 1) dx ⇔ dvu==12d∫xsin ( 2x + 1) d (2x ) ⇔ dvu==−dcxos (2x + 1) 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x sin ( 2x + 1) dx = − x cos (2x + 1) + 1 ∫ cos ( 2x + 1) dx 2 2 = − x cos (2x + 1) + 1 ∫ cos (2x + 1) d ( 2x + 1) 4 2 = − x cos(2x +1) + sin (2x +1) + C . 24 ຮູບຮ່ າງ 2.3. ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ P(x)cosα x dx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = P(x) ⇔ d∫udv==d∫cPo(sxα)x dx ⇔ dvu==α1P∫′ (cxo)sdαxx α dx  dv = cos α x dx ⇔ dvu==α1P∫′(cxo)sdαxx d (α x) ⇔ dvu==siPnα′α(xx)dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ P ( x ) cosα x dx = P ( x ). sin α x − ∫ sin α x .P′ ( x ) dx α α ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ P (x )cosα x dx = ∫ P (x ) d  sinα x   α  ສະແດງວ່ າ: u = P(x) ; v = sinα x α ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້

19 ∫ P ( x ) cosα x dx = P ( x ). sin α x − ∫ sin α x .P′ ( x ) dx α α ໝາຍເຫດ: ຖາ້ ວ່ າພະຫຸພດົ P(x) ມຂີ ນັ້ n ແມ່ ນເຮາົ ຈະໄດນ້ ໍາໃຊສ້ ູດເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ, n ເທ່ ອື . ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x cos x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x ⇔ d∫udv==dx∫ cos x dx ⇔ du = dx   dv = cos xdx v = sin x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C . ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ x cos xdx = ∫ xd (sin x) ສະແດງວ່ າ: u = x ; v = sin x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x − ∫ sinx dx = x sin x + cos x + C . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x cos(2x −1)dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ u = x ⇔ d∫udv==dx∫ cos(2x −1)dx ⇔ dvu==12d∫xcos(2x −1) 2dx dv = cos(2x −1)dx ⇔ dvu==12d∫xcos (2x − 1) d ( 2x ) ⇔ dvu==sidnx( 2x −1) 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos ( 2x − 1) dx = x sin (2x −1) − 1 ∫ sin (2x − 1) dx 2 2 = x sin (2x −1) − 1 ∫ sin (2x − 1) d (2x −1) 4 2

20 = x sin (2x −1) + 1 cos(2x −1) + C . 24 ຮູບຮ່ າງ 2.4: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ພາກສ່ ວນ ∫ P (x)lnα x dx , ໃນນນັ້ P(x) ແມ່ ນພະຫຸພດົ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = lnα x ⇔ d∫ udv==d ∫( lPn(αxx) ) ⇔ du = 1 dx x dv = P(x)dx dx v = ∫ P(x)dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ p(x)lnα x dx = ∫ lnα x d P (x) ສະແດງວ່ າ: u = ln (α x) ; v = P(x) ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x ln x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: u = ln x d∫ udv==d∫( lxndxx) dvu==x2x12 dx ວາງ  = x dx ⇔ ⇔ dv ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x ln x dx = ln x. x2 − ∫ x2 . 1 dx = x2 ln x − 1 ∫ x dx = x2 ln x − 1 . x2 + C 2 2x 22 2 22 = 2x2 ln x − x2 + C = x2 (2 ln x −1) + C. 44 4 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ ∫ x ln x dx = ∫ ln x d  x2   2  ສະແດງວ່ າ u = ln x ; v = x2 2

21 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ln x d  x2  = ln x. x2 − ∫ x2 d (ln x) = x2 ln x − ∫ x2 .1 dx = x2 ln x − 1 ∫ x dx  2  2 2 2 2 x 2 2 = x2 ln x − 1 . x2 + C = 2x2 ln x − x2 + C = x2 (2 ln x −1) + C. 2 22 44 4 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ x ln (1− x)dx ວທິ ແີ ກ:້ u = ln (1− x) d∫udv==d∫lxnd(x1− x) dvu==x2x2 1 1 dx − ວາງ  ⇔ ⇔ dv = xdx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x ln (1− x ) dx = x2 ln (1− x) − 1 ∫ x2 dx = x2 ln (1− x) − 1 ∫  x +1+ 1 dx 2 x− 1 2 −1 2 2 x = x2 ln (1− x) − 1  x2 + x − ln (1− x )  + C = x2 ln (1− x) + 1 ln (1− x) − x2 − x + C. 2  2  2 4 2 2 2 ຮູບຮ່ າງ 2.5: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາພາກສ່ ວນ ∫ eα x sin β x dx ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ສາມາດເລອື ກວາງໄດ້ 2 ວທິ :ີ ( )ວທິ ີ dvu==β1α∫esαixndβx x.βdx 1: ວາງ duv==eαsixn β x dx ⇔ d∫ udv==d ∫ eα x β ⇔ sin x dx ⇔ dvu==β1α∫esαixndβx x.d (β x) ⇔ dvu==−αceoαsβxβdxx ວທິ ີ ວາງ u = sin β x ⇔ d∫ udv==d∫( sin βx ) ⇔ dvu==α1β∫ceoαsx β x dx ⇔ dvu==α1β∫ceoαsx β x dx 2:  eα x dx .α dx dv = eα x dx .d(α x ) ⇔ dvu==eααβxcos β x dx

22 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ I = ∫ e x sin x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ( )ວາງ duv==esxin x dx ⇔ d∫ udv==d∫ ex ⇔ dvu==−ecxodsxx sin x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ I = −ex cos x + ∫ ex cos x dx (1) ສໍາລບັ : ∫ ex cos x dx ( )ວາງ duv==ecx os x dx ⇔ d∫ udv==d∫ ex ⇔ dvu==sienx dx cos x x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ (2) ∫ ex cos x dx = ex sin x − ∫ ex sin x dx = ex sin x − I ເອາົ (2) ແທນໃສ່ (1) ເຮາົ ໄດ:້ ( )I = −ex cos x + ex sin x − I ( )I = −ex cos x + ex sin x − I 2I = −ex cos x + ex sin x 2I = ex (− cos x + sin x ) I = ex (− cos x + sin x) + C . 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ I = ∫ e x sin x dx = ∫ e xd (− cos x ) ສະແດງວ່ າ: u = e x ; v = − cos x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ I = −ex cos x + ∫ cos xd (ex )

23 I = −ex cos x + ∫ ex cos x dx I = −ex cos x + ∫ exd (sin x ) ( )I = −ex cos x + ex sin x − ∫ sin x d ex I = −ex cos x + ex sin x − ∫ ex sin x dx I = −ex cos x + ex sin x − I I = ex (− cos x + sin x) + C . 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ I = ∫ e 3x sin 5x dx ວທິ ແີ ກ:້ ( )ວາງ dvu==153∫es3ixnd5xx .5dx dvu==153∫es3ixnd5xx .d duv==es3xin 5x dx ⇔ d∫ udv==d∫ e3x ⇔ ⇔ (5x ) sin 5x dx ⇔ dvu==−3ceo53sxd5xx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ I = − e3x cos 5x + 3 ∫ e3x cos 5x dx (1) 5 5 ສໍາລບັ : ∫ e3x cos5x dx ( ) ( )ວາງ dvu==153∫ec3ox dsx5x.5 dx u = e3x ⇔ d∫ udv==d∫ e3x ⇔ d∫ udv==d e3x ⇔  cos cos dv = cos 5x dx 5x dx ∫ 5x dx ⇔ dvu==153∫ec3oxdsx5x.d (5 x) ⇔ dvu==si3ne553xxdx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e3x cos 5x dx = e3x sin 5x − 3 ∫ e3x sin 5x dx = e3x sin 5x − 3 I (2) 5 5 5 5 ເອາົ (2) ແທນໃສ່ (1) ເຮາົ ໄດ:້

24 I = − e3x cos 5x + 3  e3x sin 5x − 3 I  5 5  5 5  I = − 5e3x cos 5x + 3e3x sin 5x − 9 I 25 25 25 I + 9 I = e3x (− cos5x + sin 5x ) 25 25 34I = e3x (− cos5x + sin 5x ) I = e3x (3sin 5x − 5cos5x ) + C . 34 ຮູບຮ່ າງ 2.6: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ພາກສ່ ວນ ∫ eα x cos β x dx ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ສາມາດເລອື ກວາງໄດ້ 2 ວທິ :ີ ( )ວທິ ີ dvu==β1α∫ecαoxsdβx x.βdx 1: ວາງ duv==eαcox s β x dx ⇔ d∫ udv==d ∫ eα x β ⇔ cos x dx ⇔ dvu==β1α∫ecαoxsdβx x .d ( β x ) ⇔ dvu==sαinβeβα xdx x ວທິ ີ ວາງ u = cos β x ⇔ d∫ udv==d∫( cos βx ) ⇔ dvu==α1−∫βesαixn.αβ x dx 2:  eα x dx dx dv = eα x dx ⇔ dvu==α1−∫βesαixn.dβ(xαdxx) ⇔ dvu==eα−α xβ sin β x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ I = ∫ e x cos x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ( )ວາງ duv==ecx os x dx ⇔ d∫ udv==d ∫ ex ⇔ dvu==sienx dx cos x x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້

25 I = ex sin x − ∫ ex sin x dx (1) ສໍາລບັ : ∫ ex sin x dx ( )ວາງ duv==esxin x dx ⇔ d∫ udv==d ∫ ex ⇔ dvu==−ecxodsxx sin x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ (2) ∫ ex sin x dx = −ex cos x + ∫ ex cos x dx = −ex cos x + I ເອາົ (2) ແທນໃສ່ (1) ເຮາົ ໄດ:້ ( )I = ex sin x − −ex cos x + I I = ex sin x + ex cos x − I 2I = ex (sin x + cos x ) 2 I = ex (sin x + cos x) + C . 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ I = ∫ e x cos x dx = ∫ e xd (sin x ) ສະແດງວ່ າ: u = e x ; v = sin x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ I = ex sin x − ∫ sin x d (ex ) I = ex sin x − ∫ ex sin x dx I = ex sin x − ∫ ex d (− cos x ) ( )I = ex sin x − −ex cos x + ∫ cos x d ex  I = ex sin x − −ex cos x + ∫ ex cos x dx I = ex sin x − −ex cos x + I I = ex (sin x + cos x) + C . 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ I = ∫ e 3x cos 7x dx

26 ວທິ ແີ ກ:້ ( )ວາງ dvu==173∫ec3xodsx7x.7 dx duv==ec3xos 7x dx ⇔ d∫ udv==d ∫ e3x ⇔ cos 7 x dx ⇔ dvu==173∫ec3xodsx7x.d (7 x) ⇔ dvu==si3ne773xxdx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ I = e3x sin 7x − 3 ∫ e3x sin 7x dx (1) 7 7 ສໍາລບັ : ∫ e3x sin 7x dx ( )ວາງ dvu==713∫es3ixndx7 x .7dx dvu==713∫es3ixndx7x.d (7x) u = e3x ⇔ d∫ udv==d∫ e3x ⇔ ⇔  sin dv = sin 7x dx 7x dx ⇔ dvu==−3ceo3sx7d7xx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e3x sin 7x dx = − e3x cos 7x + 3 ∫ e3x cos 7x dx = − e3x cos 7x + 3 I (2) 7 7 7 7 ແທນຄ່ າ (2) ໃສ່ (1) ເຮາົ ໄດ:້ I = e3x sin 7x − 3  − e3x cos 7x + 3 I  7 7  7 7  I = 7e3x sin 7x + 3e3x cos 7x − 9 I 49 49 49 I + 9 I = 7e3x sin 7x + 3e3x cos 7x 49 49 49 58I = (7sin 7x + 3cos 7x )e3x I = e3x (7 sin 7x + 3cos 7x ) + C . 58 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ສມົ ມຸດວ່ າຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນ ∫ f (x)g(x )dx

(x) 27 g(x - ຖາ້ ວ່ າວາງ duv==f ) dx ບ່ ໍສາມາດແກໄ້ ດ.້ - ປ່ ຽນມາວາງ duv==gf( x) ) dx . (x ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນີ້ 1.1. ∫ (x2 )+ 2x −1 exdx 1.2. ∫ x2exdx 1.3. ∫ xe−xdx 1.4. ∫ (1− 2x )e3xdx 1.5. ∫ x2x dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 1.1. ຄດິ ໄລ່ ∫ (x2 )+ 2x −1 exdx ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==xe2x+d2xx −1 ⇔ dvu==e ( 2x + 2 ) dx x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (x2 + 2x )−1 exdx = ( x2 + 2x −1)ex − ∫ (2x + 2)ex dx = (x2 + 2x −1)ex − 2∫ ( x +1)ex dx (1) ສໍາລບັ : ∫ (x +1)ex dx ວາງ u = x +1 ⇔ du = dx   dv = ex dx v = ex ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ( x +1)ex dx = (x +1)ex − ∫ ex dx = (x +1) ex − ex = xex (2) ແທນ (2) ໃສ່ (1) ເຮາົ ໄດ:້

28 ( ) ( ) ( )∫ x2 + 2x −1 exdx == x2 + 2x −1 ex − 2xex + C = ex x2 −1 + C . 1.2. ຄດິ ໄລ່ ∫ x2exdx ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==xe2x ⇔ du = 2x dx  dx v = ex ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )∫ ∫x2exdx = x2ex − 2 xexdx = x2ex − 2 xex − ex + C = ex x2 − 2x + 2 + C. 1.3. ຄດິ ໄລ່ ∫ xe−xdx ບດົ ແກ:້ ວາງ u = x ⇔ du =dx   dv = e− x dx v = −e−x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ∫ ∫xe−xdx = −xe−x + e−x dx = −xe−x − e−x d (−x ) = −xe−x − e−x + C = − ( x +1) e−x + C. 1.4. ຄດິ ໄລ່ ∫ (1− 2x)e3xdx ບດົ ແກ:້ ວາງ u = 1− 2x ⇔ dvu==e3−3x2 dx  dv = e3x dx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ∫ ∫(1− 2x ) e3xdx = e3x (1− 2x ) + 2 e3x dx = e3x (1− 2x ) + 2 e3x d (3x ) = e3x (1− 2x ) + 2e3x + C. 33 39 39 1.5. ຄດິ ໄລ່ ∫ x2x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ u = x ⇔ dvu==l2ndxx2  dv = 2x dx

29 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x2x dx = x2x − ∫ 2x dx = x2x − 2x + C. ln 2 ln 2 ln 2 ln2 2 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 2.1. ∫ (x2 −1)sin x dx 2.2. ∫ x sin x dx 2 2.3. I = ∫ sin (ln x)dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 2.1. ຄດິ ໄລ່ ∫ (x2 −1)sin x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==xs2in− 1 dx ⇔ dvu==−2cxodsxx x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ (1) ∫ (x2 −1)sin x dx = −(x2 −1)cos x + 2∫ x cos x dx ສໍາລບັ : ∫ x cos x dx ວາງ u = x ⇔ du = dx dv = cos x dx v = sin x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x (2) ເອາົ (2) ແທນ (1) ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (x2 −1)sin x dx = −(x2 −1)cos x + 2( x sin x + cos x ) + C = −x2 cos x + 2x sin x + 3cos x + C. 2.2. ຄດິ ໄລ່ ∫ x sin x dx 2 ບດົ ແກ:້

30 ວາງ duv==xsin x dx ⇔ dvu==−d2xcos x 2 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x sin x dx = −2x cos x + 2∫ cos x dx = −2x cos x + 4∫ cos x d  x  = −2x cos x + 4 sin x + C. 2 2 2 2 2 2 2 2 2.3. ຄດິ ໄລ່ I = ∫ sin (ln x)dx ບດົ ແກ:້ u = sin (ln x) du = cos (ln x ) dx ວາງ  = dx ⇔ v = x x dv ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ I = x sin (ln x) − ∫ cos(ln x)dx (1) ສໍາລບັ : ∫ cos(ln x)dx u = cos ( ln x ) du = − sin (ln x ) dx v = x ວາງ  = dx ⇔ x dv ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ (2) ∫ cos(ln x)dx = x cos(ln x) + ∫ sin (ln x)dx = x cos(ln x) + I ເອາົ (2) ແທນໃສ່ (1): I = x sin (ln x ) − x cos (ln x) + I I = x sin (ln x) + x cos(ln x) − I 2I = x sin (ln x) + cos (ln x) I = x sin (ln x) − cos (ln x) + C . 2 3. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 3.1. ∫ x2 cos x dx

31 3.2. ∫ cos x ln (tan x)dx 3.3. ∫ x cos x dx sin2 x ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 3.1. ຄດິ ໄລ່ ∫ x2 cos x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==xc2os x dx ⇔ dvu==si2nxxdx ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x2 cos x dx = x2 sin x − 2∫ x sin x dx = x2 sin x − 2(−x cos x + sin x) + C = x2 sin x + 2x cos x − 2sin x + C . 3.2. ຄດິ ໄລ່ ∫ cos x ln (tan x)dx ບດົ ແກ:້ u = ln (tan x) du = 1 + tan2 x dx = dx tan x sin x cos x ວາງ  = cos x dx ⇔ v = sin x dv ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cos x ln ( tan x ) dx = sin x ln ( tan x ) − ∫ 1 dx = sin x ln ( tan x ) − ∫  1 π  dx cos x x+ 2 sin = sin x ln ( tan x ) − ∫ dx 2 sin  x + π  cos  x + π  2 4 2 4 ( ) cos  x + π  dx 2 4 = sin x ln tan x − ∫  x π   x π  2 sin 2 + 4 cos2 2 + 4 = ∫ cos x ln (tan x ) dx = sin x ln (tan x) − ln tan  x + π  + C .  2 4 

32 3.3. ຄດິ ໄລ່ ∫ x cos x dx sin2 x ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==xscions2 x dx ⇔ dvu==−dsxin1 x x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x cos x = −x + ∫ dx = −x +∫ dx = −x + ∫ dx x dx sin x sin x sin x 2sin x cos x sin x x cos 2 sin sin2 x 22 22 −x cos x dx −x x = sin x + ∫ 2 = sin x + ln 2 +C. x cos2 x tan 2 sin 22 4. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 4.1. ∫ x ln2 x dx 4.2. ∫ x ln x dx ( )4.3. ∫ ln x + 1+ x2 dx 4.4. ∫ x ln 1 + x dx 1 − x ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ 4.1. ຄດິ ໄລ່ ∫ x ln2 x dx ບດົ ແກ:້ duv==ln du = 2 ln x dx x 2 x x ວາງ ⇒ v 2 3 dx = x x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x ln2 x dx = 2 x x ln 2 x − 4 ∫ x ln x dx 3 3

33 duv==ln x du = 1 dx x x ວາງ ⇒ dx v 2 = 3 x x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x ln2 x dx = 2 x x ln 2 x − 4  2 x x ln x − 2 ∫ x dx  3 3 3 3 = 2x x ln 2 x − 4  2 x x ln x − 4 x x  + C 3 3 3 9 = 2x x ln 2 x − 4  2 x x ln x − 4 x x  + C 3 3  3 9  = 2x x  ln 2 x − 4 ln x + 8  + C . 3  3 9  4.2. ຄດິ ໄລ່ ∫ x ln x dx ບດົ ແກ:້ ວາງ duv==ln x dx ⇒ dvu==23x1xdxx x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x ln x dx = 2 x x ln x − 2 ∫ x dx 3 3 = 2 x x ln x − 4 x x + C 39 ( )4.3. ຄດິ ໄລ່ ∫ ln x + 1+ x2 dx ( )ວາງ u = ln x + ⇒ du = dx 1+ x2 1+ x2 dv = dx v = x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u dv = u v − ∫ v du ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )∫ln x + −∫ x dx 1+ x2 dx = x ln x + 1+ x2 1+ x2