Calculus 1

33  ( 5) 3 x2 2  3cot  8. ∫ 7x + − −x+ dx  x5 x  ບດົ ທີ 2- ເຄາົ້ ຕາໍ ລາປົກກະຕິ ຮູບຮ່ າງ 2.1: ∫ ax2 + bx + c dx dx +e ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ x2 + 4x + 5 dx x −1 ບດົ ແກ:້ ∫ x2 + 4x + 5 dx = ∫  x + 5 + 10  dx x −1 x −1 = ∫ x 2 dx + 5∫ dx + ∫ 10 dx x −1 = x3 + 5x +10∫ 1 dx 3 x −1 = x3 + 5x +10∫ 1 d(x −1) 3 x −1 = 1 x3 + 5x +10ln x −1 + C . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 4x2 − x + 3 dx x +1 ບດົ ແກ:້ ∫ 4x2 − x + 3 dx = ∫  4x − 5 + 8  dx x +1 + x 1

34 = ∫ 4x dx − 5∫ dx + ∫ x 8 dx + 1 = 4. 1 x2 − 5x + 8∫ x 1 1 dx 2 + = 2x2 − 5x + 8∫ x 1 d (x +1) +1 = 2x2 − 5x + 8ln x +1 + C . ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 + 2x + 3 dx x −1 2. ∫ x2 − 4x + 5 dx x +1 3. ∫ 2x2 − x + 1 dx x+4 4. ∫ x2 + 2x +1 dx x +1 5. ∫ x2 +1 dx x+2 6. ∫ 3x 2 + 2x dx x +3 7. ∫ x2 + 3x + 5 dx 2x + 3 8. ∫ 5x2 − x + 5 dx 3x − 2 9. ∫ 3x2 − 2x + 7 dx −x + 5 10. ∫ 4x2 − 7x − 5 dx −2x +1

35 ຮູບຮ່ າງ 2.2: ∫ ax3 + bx2 + cx + d dx nx + m ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 2x3 − 5x2 + 3x + 1 dx x+ 2 ບດົ ແກ:້ ∫ 2x3 − 5x2 + 3x + 1 dx = ∫  2x2 − 9x + 21 + −41  dx x+ 2 x+2 = 2∫ x 2 dx − 9∫ x dx + ∫ −41 dx x+2 = x3 − 9. x2 − 41∫ x 1 2 dx 2. 2 + 3 = 2 x3 − 9 x2 − 41∫ x 1 d(x + 2) 3 2 + 2 = 2 x3 − 9 x2 − 41ln x + 2 + C . 32 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ x3 − x2 + 2x + 3 dx x −2 ∫ x3 − x2 + 2x + 3 dx = ∫  x2 + x + 4 + 11  dx x −2 x−2 = ∫ x 2 dx + ∫ x dx + ∫ 11 dx x−2 = 1 x3 + 1 x2 + 11∫ x 1 2 dx 3 2 − = 1 x3 + 1 x2 + 11∫ x 1 2 d ( x − 2) 3 2 − = 1 x3 + 1 x2 + 11ln x − 2 + C . 32 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x3 −3 dx x−2

36 2. ∫ 2x4 + 5x3 − x2 + 2x +1 dx x+2 3. ∫ x2 −1 dx x −1 4. ∫ x3 +8 dx x+2 x 3 − x2 + 5x + 1 x +4 5. ∫ dx 6. ∫ 2x32 + 3x2 − x −4 dx x−5 x 3 + 5x2 + x − 4 x+3 7. ∫ dx 8. ∫ 2x5 + 4x4 + x2 − x + 1 dx x − 2 9. ∫ x3 + 2x2 − x − 2 dx x −1 10. ∫ x3 + x2 − 4x + 2 dx x +2 11. ∫ 2x3 + 5x2 − x + 1 dx 2x − 3 12. ∫ −x3 + x2 − 3x − 2 dx 5x + 2 ຮູບຮ່ າງ 2.3: ∫ ax 2 dx + + bx c ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : x2 + bx =  x + b 2 −  b 2 x2 − bx =  x − b 2 −  b 2 2  2  2  2  ∫ 1 dx = 1 arct an x + C ∫ 1 d u ( x ) = 1 arct an u (x ) + C + a a a x2 a2 u ( x ) 2 + a 2 a ∫ a2 1 dx = 1 ln a+x +C ∫ − 1 d u (x) = 1 ln a + u(x) + C − x2 2a a−x 2a a − u(x) a2 u (x)2

37 ∫ x 2 1 a 2 dx = 1 ln x−a +C ∫ u ( 1 2 − a2 d u (x) = 1 ln u(x) − a +C − 2a x+a 2a u(x) + a x ) ແນະນາໍ ການຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ: ∫ ax 2 dx +c + bx ຖາ້ ວ່ າ ∆ > 0 ແມ່ ນ: ∫ ax 2 1 + c dx = ∫ a ( x − 1 x − x ) dx + bx x1 ) ( 2 = 1 ∫ ( x − x1 1 x − x ) dx a )( 2 = 1 x2 ) ∫  x 1 − x 1   − x1 − x2  dx a (x1 − = a ( 1 x )  ∫ x dx − ∫ x dx  x1 −  − x1 −x  2 2 = 1  ∫ d (x − x1 ) − ∫ d (x − x2 )  x1 −   a ( x2 ) x − x1 x − x2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = 1 x2 ) (ln x − x1 − ln x − x2 ) a (x1 − = a ( 1 x2 ) ln x − x1 + C. x1 − x − x2 ຖາ້ ວ່ າ ∆ = 0 ແມ່ ນ: ∫ ax 2 dx + c = ∫ a ( x 1 x0 )2 dx + bx − = 1 ∫ ( x 1 )2 dx a − x0 = 1 ∫ ( x − x0 )−2 d( x − x0 ) a ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u (x)α d u (x) = u ( x )α+1 + C α +1

38 = 1 . ( x − x0 )−2+1 + C a −2 + 1 = a ( −1 ) + C . x − x0 ຖາ້ ວ່ າ ∆ < 0 ແມ່ ນ: ∫ ax 2 dx + c = ∫ a  dx c  + bx + bx a x2 + a = 1 ∫ dx c a bx x2 + + aa =  x b 2  b  2 2  2 ນໍາໃຊສ້ ູດ x2 + bx + − = 1 ∫  dx a b 2  b 2     x + a  −  a  +c  2   2  a    = 1 ∫  b dx b 2 c a 2a 2 −  2a a x + + = 1 ∫  x b dx b2 c a 2a 2 − 4a 2 a + + = 1 ∫  x dx a + b 2 + −b2 + 4c 2a 4a 2 4a 2 = 1 ∫ dx a  x + b 2 + −b2 + 4ac 2a  4a 2

39 = 1 ∫ d x + b  a 2a  x + b 2 +  −b2 + 4ac 2 2a   4a 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = 1 arct an u(x) +C u ( x )2 + a2 a a 1  x + b  2a = arct an +C −b2 + 4ac −b2 + 4ac 4a2 4a2 2ax + b = 1 arct an 2a + C −b2 + 4ac −b2 + 4ac 2a 2a = 2a arct an 2ax + b + C . −b2 + 4ac −b2 + 4ac ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕິ ∫ x2 dx + 2 − 3x ບດົ ແກ:້ ∫ x2 dx + 2 = ∫ ( x − dx x − 1) − 3x 2)( = ∫  x 1 2 − x 1  dx  − − 1  = ∫ dx − ∫ dx x−2 x −1 (x − 2) (x −1) = ∫ d − ∫ d x−2 x −1 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = ln x − 2 − ln x −1 + C = ln x−2 + C. x −1

40 ຕວົ ຢ່ າງ 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາປົກກະຕິ ∫ x2 dx + − 6x 9 ບດົ ແກ:້ ∫ x2 dx + 9 = ∫ ( x dx − 6x − 3)2 = ∫ (x − )3 −2 d(x − 3) = ( x − 3)−2+1 + C −2 +1 = −1 + C . x−3 ຕວົ ຢ່ າງ 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາປົກກະຕິ ∫ x 2 dx + 1 +x ບດົ ແກ:້ ∫ x 2 dx + 1 = ∫  1 dx 1 +x 2 2 − 4 x + + 1 = ∫  dx 3 1 2 4 x + 2  + d  x + 1  2 ∫=  1 2  3 2 x + 2  +    2 d  x + 1  2 ∫=  1 2  3 2 x + 2 +    2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = 1 arct an u(x) +C u ( x )2 + a2 a a

= 1 x+1 41 arctan 2 + C 33 ບດົ ເຝຶກຫດັ 22 = 2 arctan 2x +1 + C . 33 ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (x − dx − 4) 6)(x 2. ∫ (x + dx − 2) 2)(x 3. ∫ (x − dx + 7) 4)(x 4. ∫ x dx 7) (x − 5. ∫ (x − dx − 2) 5)(x 6. ∫ x dx 5) (x + 7. ∫ (x − dx + 6) 8)(x 8. ∫ (x + dx − 4) 4)(x 9. ∫ (x dx + 8) − 1) ( x 10. ∫ (x − dx − 1) 2)(2x 11. ∫ (3x − dx + 3) 2)(x

42 12. ∫ (x + dx − 1) 5)(4x 13. ∫ (2x dx + 1) − 1) ( 3x 14. ∫ dx 3) 4x(2x − 15. ∫ x2 dx + 12 + 7x 16. ∫ x2 dx + 8x + 7 17. ∫ x2 dx + 40 + 13x 18. ∫ x2 dx + 21 + 10x 19. ∫ x2 dx + 42 + 13x 20. ∫ x2 dx + 10 − 7x 21. ∫ x2 dx 2 + 3x + 22. ∫ x2 dx +9 + 6x 23. ∫ x2 dx + 24 − 10x 24. ∫ x2 dx +7 − 8x 25. ∫ x2 dx + 25 − 10x 26. ∫ x2 dx + 36 + 15x 27. ∫ x2 dx + 36 − 13x 28. ∫ x2 dx +8 − 9x

43 29. ∫ x2 dx − x − 72 30. ∫ x2 dx − 35 − 2x 31. ∫ x2 dx −8 − 2x 32. ∫ x2 dx − 11 − 10x 33. ∫ x2 dx + 28 − 16x 34. ∫ x2 dx +4 − 4x 35. ∫ x2 dx +5 − 4x 36. ∫ x2 dx − 24 − 10x 37. ∫ x2 dx −3 − 2x 38. ∫ x2 dx − 15 − 14x 39. ∫ x2 dx − 15 + 2x 40. ∫ x2 dx + 35 − 12x 41. ∫ x2 dx − 63 − 2x 42. ∫ x2 dx +5 + 6x 43. ∫ x2 dx − 63 − 2x 44. ∫ x2 dx +5 + 6x 45. ∫ x2 dx − x − 42

44 46. ∫ x2 dx − x − 42 47. ∫ x2 dx −6 +x 48. ∫ x2 dx +1 + 2x 49. ∫ x2 dx + 45 + 14x 50. ∫ x2 dx + 100 − 29x 51. ∫ x2 + dx − 77 4x 52. ∫ x2 dx − 5x − 24 53. ∫ 5x2 dx −1 − 4x 54. ∫ (6x − dx + 5) 2)(2x 55. ∫ x2 dx + 36 − 13x 56. ∫ (2x dx − 36 − 1)2 57. ∫ x2 dx +3 − 7x 58. ∫ dx x2 − 4x 59. ∫ 4x 2 dx − 36x 60. ∫ 3x2 dx −1 +x 61. ∫ 4x 2 dx − 36x 62. ∫ 3x2 dx −1 +x

45 63. ∫ 2x2 dx − 12 − 5x 64. ∫ x2 dx −1 −x 65. ∫ 2x2 dx +5 − 11x 66. ∫ 2x2 dx + 12 + 20x 67. ∫ (5x − dx + 4) 2)(x 68. ∫ x2 dx −2 − 6x 69. ∫ 4x2 dx +9 − 12x 70. ∫(x dx −9 − 3)2 71. ∫ 2x2 dx −5 + 3x 72. ∫ x2 dx −2 − 5x 73. ∫ x2 dx − 75 − 10x 74. ∫ 5x2 dx +2 − 9x 75. ∫ x2 dx − 48 − 2x 76. ∫ x2 dx +5 − 7x 77. ∫ 3x2 dx + 25 − 20x 78. ∫ 5x2 dx − 21 − 8x 79. ∫ dx x x2 +

46 80. ∫ 2x dx 3x 2− 81. ∫ dx x2 + 4x 82. ∫ dx x2 − 2x 83. ∫ 5x dx 2x 2+ 84. ∫ dx 3 2x2 + 85. ∫ 16 dx 49 x2 − 86. ∫ dx x2 −1 87. ∫ 9x dx 16 2− 88. ∫ x2 dx +4 + 6x 89. ∫ x2 dx −7 + 6x 90. ∫ x2 dx − 91 + 6x 91. ∫ x2 dx +9 + 8x 92. ∫ x2 dx −9 − 2x 93. ∫ x2 dx −1 − 10x 94. ∫ x2 dx −6 + 10x 95. ∫ x2 dx −6 + 2x 96. ∫ x2 dx −3 − 4x

47 97. ∫ x2 dx −1 + 3x 98. ∫ x2 dx − 12 − 4x 99. ∫ 4x2 dx +3 − 4x 100. ∫ x2 dx −x−2 101. ∫ x2 dx − 3x −10 102. ∫ x2 dx − 5x + 6 103. ∫ x2 dx + x −12 104. ∫ x2 dx − 7x + 12 105. ∫ x2 dx − 4x −1 106. ∫ 2x2 dx + 7x + 2 107. ∫ 7x2 dx = 4x +1 108. ∫ x2 dx + 3x − 5 109. ∫ x2 dx −x−3 110. ∫ 4x2 dx − 2x − 3 111. ∫ x2 dx −x−2 112. ∫ x2 dx + 5x + 6 113. ∫ x2 dx + x −12

48 114. ∫ x2 dx + 2x − 3 115. ∫x dx +6 −5 x 116. ∫ x2 dx + 2x − 8 117. ∫ dx 7 −5x2 − 118. ∫ dx x 7x2 − 119. ∫ dx 1 3x2 2x x −1 − x3 −1 − x2 +x + 1 120. ∫ 3 dx 1 . (x −1)(x − 2) + (x 2 − 1) − (x − 2)(x − 3) − 3)(x ຮູບຮ່ າງ 2.4: ∫ (mx + n)dx ax2 + bx + c ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ∫ (mx + n)dx = ∫ ax 2 mx + c dx + ∫ ax 2 n + c dx + bx + bx ax2 + bx + c = m∫ ax 2 x + c dx + n∫ ax 2 1 + c dx + bx + bx = m ∫ ax 2 ax + c dx + n∫ ax 2 1 + c dx a + bx + bx = m ∫ ax + b−b dx + n∫ ax 2 1 + c dx a ax 2 + bx + c + bx = m ∫  ax +b c − ax 2 b + c  dx + n∫ ax 2 1 + c dx a  ax2 + bx + + bx  + bx = m ∫ ax +b c dx − m ∫ ax 2 b + c dx + n∫ ax 2 1 + c dx a ax2 + bx + a + bx + bx = m ∫ d(ax2 + bx + c) +  n − m  ∫ ax 2 1 + c dx a  a  + bx ax2 + bx + c

49 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = m ln ax 2 + bx + c +  n − m  ∫ ax 2 1 + c dx a  a  + bx ສໍາລບັ : ∫ ax2 1 + c dx ວທິ ແີ ກໃ້ ຫປ້ ະຕບິ ດັ ຕາມຮູບຮ່ າງ 1.1. + bx ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (x + 2)dx x2 − 5x + 6 ບດົ ແກ:້ ∫ (x + 2) dx = ∫ x2 − x + 6 dx + ∫ x2 − 2 + 6 dx +6 5x 5x x2 − 5x = 1 ∫ x2 2x + 6 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 − 5x 5x = 1 ∫ 2x − 5 + 5 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 6 5x = 1 ∫ 2x − 5 6 dx + 5 ∫ x2 − 1 + 6 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 2 5x 5x = 1 ∫ 2x − 5 6 dx + 9 ∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 2 5x (x2 − 5x + 6) = 1 ∫ d + 9 ∫ 1 dx 2 x2 − 5x + 6 2 ( x − 3)( x − 2 ) ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ∫  x 1 3 − x 1 2  dx 2 2  − −  = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ∫ x 1 3 dx − ∫ x 1 2 dx  2 2 − −  = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ∫ d(x − 3) − ∫ d(x − 2)  2 2  x−3 x−2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x)

50 = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ln x − 3 − ln x − 2  + C 2 2 = 1 ln x2 − 5x +6 + 9 ln x −3 + C. 2 2 x−2 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 x +1 3 dx − 7x − 2. ∫ 3x 2 x+3 + 5 dx + 9x 3. ∫ 2x 2 x −1 − 2 dx + 5x 4. ∫ 3x 2 x−3 + 1 dx + 7x 5. ∫ 5x 2 x+4 − 4 dx − 2x 6. ∫ x2 x+5 + 5 dx + 10x 7. ∫ x 2 x +7 − 1 dx − 6x 8. ∫ 4x x+8 + 1 dx 2 − 6x 9. ∫ x 2 1− x 21 dx − 4x − 10. ∫ x 2 2−x 10 dx +10x + 11. ∫ 3x 2 3−x − 5 dx + 2x 12. ∫ 5x 2 4−x + 2 dx + 8x 13. ∫ x 2 5 −x 5 dx + 2x − 14. ∫ 7 x 4−x − 1 dx 2 − 3x

51 15. ∫ x 2 2x +1 3 dx − 7x + 16. ∫ 6x 3x +2 6 dx 2+ 5x − 17. ∫ x 2 2x +1 3 dx − 7x + 18. ∫ 6x 3x +2 6 dx 2+ 5x − 19. ∫ 2x 1− 2x 12 dx 2 + 5x − 20. ∫ 3x 2 − 3x 2 dx 2 − 2x − 21. ∫ ( x 7 − 5x 25 dx − 3)2 − 22. ∫ 3x 2 − 3x 2 dx 2 − 2x − 23. ∫ x2 5 + 4x 72 dx + 6x − 24. ∫ x 12x + 5 dx 2 − 4x − 21 25. ∫ ( 2x + 3)2 7x − 2 4 ) ( x + 3) dx x + −( 26. ∫ 11x + 12 dx 121x 2 − 36 1 x +1 ∫ 2 27. 18x − 24 − 3x 2 dx 1x+2 ∫ 3 28. x 2 + 14x + 13 dx 29. ∫ x2 8x + 9 28 dx −12x − 30. ∫ x 2 13x + 5 dx − 22x + 120

52 ( )ຮູບຮ່ າງ 2.5: + + ... + ∫ anxn a x n−1 a0 dx n −1 ax + b ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x3 + 5x2 + x − 5 dx x+2 ບດົ ແກ:້ ∫ x3 + 5x2 + x − 5 dx = ∫  x2 + 3x − 5 + 5  dx x+2  +  x 2 = ∫ x 2dx + 3∫ x dx − 5∫ dx + 5∫ x 1 2 dx − = x3 + 3x 2 − 5x + 5∫ d(x + 2) 3 2 x−2 = x3 + 3x2 − 5x + 5ln x + 2 + C. 32 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫ x 2 − 7x − 3 x +1 1. dx ∫ 3x 2 + 9x + 5 x+3 2. dx ∫ 2x 2 + 5x − 2 x −1 3. dx ∫ 3x 2 + 7x + 1 x−3 4. dx ∫ 5x 2 −2 x − 4 x+ 4 5. dx ∫ x 2 + 10x + 5 x+5 6. dx 7. ∫ x2 − 6x − 1 dx x +7

53 8. ∫ 4x 2 − 6x + 1 dx x+8 9. ∫ 5x2 − x − 7 dx 2x + 3 10. ∫ 4x2 − x + 9 dx 5x +1 ∫11. 2x3 − x2 + 2x + 3 dx x−5 12. ∫ x 4+x+ 1 dx 2−x 13. ∫ x5 −x+ 5 dx x−7 ∫14. 2x3 − 5x2 − 2x − 5 dx 3x + 2 15. ∫ x3 − x + 2 dx 5x − 3 16. ∫ 5x3 + 2x + 7 dx 2x −9 ຮູບຮ່ າງ 2.6: ∫ ( x − m) ( x P ( x ) dx k )( x − r ) − n)(x − ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ ( x − m)( x P(x ) − k ) ( x − r ) = x A + x B n + x C k + D r − n)( −m − − x− x - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ P(x) = A(x − n)(x − k)(x − r) + B(x − m)(x − k)(x − r) + C(x − m)(x − n)(x − r) + D(x − m)(x − n)(x − k) - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງພະຫຸພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A,B,C,D ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  x A + x B + C + D r  dx  −m −n x−k x−  ບາດກາ້ ວ 3: ສະຫຸຼບ.

54 ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (x 3x − 8 3) dx − 2)(x − ບດົ ແກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ (x 3x − 8 3) = A + B x−2 x −3 − 2)(x − - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ 3x − 8 = A (x − 3) + B(x − 2) (x − 2)( x − 3) ( x − 2)(x − 3) 3x − 8 = A(x − 3) + B(x − 2) 3x − 8 = Ax − 3A + Bx − 2B 3x − 8 = (A + B) x + (−3A − 2B) - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງສອງພະຫຸພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ −A3+AB−=2B3 = −8 - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ A + B = 3 = −8 ⇔ A = 2, B = 1 −3A − 2B ສະແດງວ່ າ: (x 3x − 8 = 2 + 1 x−2 x −3 − 2)(x − 3) ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  x 2 2 + x 1 3  dx − − = ∫ x 2 2 dx +∫ x 1 3 dx − − = 2∫ x 1 2 d ( x − 2) + ∫ x 1 3 d ( x − 3) − − = 2ln x − 2 + ln x − 3 + C = ln (x − 2)2 + ln x − 3 + C = ln ( x − 2)2 x − 3  + C

55 ບາດກາ້ ວ 3: ດ່ ງັ ນນັ້ ∫ ( x 3x − 8 3) dx = ln ( x − 2 )2 x − 3  + C . − 2)(x − ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ ( x 2x − 3 2) dx −1)(x − 2. ∫ ( x − x+ 7 − 5) dx x 4)( 3. ∫ ( x 5x − 2 3) dx + 2)(x + 4. ∫ ( x + x x − 2) dx 1)( 5. ∫ ( x 7x − 3 4) dx − 3)(x − 6. ∫ ( x 8x + 9 1) dx − 7)(x + 7. ∫ ( 2x 2x −1 − 4) dx − 1) ( x 8. ∫ ( x − 3x − 5 − 2) dx 4)(5x 9. ∫ (3x 11x −6 − 7) dx + 2) (5x 10. ∫ ( 4x 7x − 12 − 5) dx 2x + 3)( 11. ∫ ( x − 1)( x + 5 ( x − 3) dx x − 2) 12. ∫ ( x − x2 +x+ 1 − 6 ) dx 4)( x − 5) (x 13. ∫ ( x + 2x2 − 5x + 3 + 4 ) dx x 2)( x + 3)(

56 14. ∫ ( x + x2 −x+ 6 + 5) dx 1)( x − 2) (x 15. ∫ ( x − 3) 8x + 7 x − 5) dx (x − 4)( 16. ∫ ( x − x2 − 5x + 9 + 2 ) dx 7)(x + 1) ( x 17. ∫ ( 2x 2x −1 − 4) dx − 1) ( x 18. ∫ ( x − 4 x3 − x2 + 5 − 3x ) dx )(5x − 2)(2 19. ∫ ( 3x + x2 + 5x + 6 − 3x ) dx 2)( 5x − 7) (2 20. ∫ ( 4x + 3 5x2 − x −1 + 11) dx )(2x − 5)(3x 21. ∫ x 2x 2 − 5x − 3 ) dx (x −1)(x + 2 22. ∫ ( x − 1) ( x x3 + 2 1) ( x + 2 ) dx − 2)(x + 23. ∫ x 5x2 + 6x +1 dx (x −2 )(x − 3) 24. ∫ ( 3x2 + 3x + 3 ) dx + 2 x −1)2 (x 25. ∫ ( x − 6x 2 + 18x x + 1) dx 1)3 ( x − 2)( 26. ∫ ( x2 − 3x + 2 dx x+ 1)4 (x + 3) ຮູບຮ່ າງ 2.7: ∫ ( x − k P (x ) dx + c ) + bx )( ax 2

57 ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ (x − P(x) bx + c) = x A + Bx +C c −m ax2 + bx + k)(ax2 + - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ P(x) = A(ax2 + bx + c) + (Bx + C)(x − m) - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງໄຕພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A,B,C ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  x A + Bx +C c  dx −m ax2 + bx + ບາດກາ້ ວ 3: ສະຫຸຼບ. ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (x2 + x x2 +1 − x + 1) dx + 1) ( x 2 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ (x2 x2 +1 −x + 1) = Ax + B + Cx + D x2 + x +1 x2 − x +1 + x +1)(x2 - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ x2 +1 = ( Ax + B)( x2 − x +1) + (Bx + D)(x2 + x + 1) (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) x2 + 1 = (Ax + B)(x2 − x + 1) + (Cx + D)(x2 + x + 1) x2 +1= (A + C)x3 + (−A + B + C + D)x2 + (A − B + C + D)x + B + D - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງສອງພະຫຸພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ A + C = 0 −AA−+BB++CC++DD==01 B + D = 1 - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາຄ່ າ A,B,C,D

58 A + C = 0 ⇔ A + C = 0 ⇔ A = C = 0 A−A−+BB++CC++DD==01  1 B = D = 1 B + D = 1 C + D = 2 2 BD B 0 − D = 1 + = 1 1   ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  2 +1 + 2  dx x2 +x x2 −x + 1   = 1 ∫  x2 1 +1 + x2 1 + 1  dx 2 +x −x = 1  ∫ x2 1 + 1 dx + ∫ x2 1 + dx  2 +x −x 1 = 1  ∫ x2 1 + 1 dx + ∫ x2 1 + dx  2 +x −x 1     = 1  ∫ 1 dx + ∫ 1 dx  2  2 +  2 2 +  2    x + 1  3   x − 1  3   2  2  2  2  = 1  ∫ d x + 1  + ∫ d  x − 1   2  + 2 3 −1 2 + 2 3    x + 1 2  2 2  x  2 2   2   2            ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u ( x) = 1 arct an u(x) + C u ( x )2 + a2 a a  x+1 − 1   ar tan 2 + x  = 1  1 1 arctan 2  + C 2  3 33 3  2 22 2 =  1 ar tan 2x + 1 + 1 arctan 2x − 1  + C  33 3 3 

59 = 1  ar tan 2x + 1 + arctan 2x −1  + C 3  3 3  ບາດກາ້ ວ 3: ດ່ ງັ ນນັ້ ∫ (x2 x2 +1 +1) dx = 1  ar tan 2x +1 + arctan 2x −1  + C . 3  3 3  + x +1)(x2 −x ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ ( x 2 + 3x 2x2 + 5 + x + 2) dx + 5)(x2 2. ∫ ( x x3 + 2x +1 3) dx 2+ 2 +1)(x 3. ∫ ( x2 + 2x + x−2 + 3x + 11) dx 7)(x2 4. ∫ ( x2 + x2 − 3x + 4) dx 5x + 7)(x2 5. ∫ ( x 2 − x + 2x3 − 1 4x + 12 ) dx − 7)(x2 6. ∫ ( x 2 + x3 − x +1 2 + 1) dx 2x + 2)(x 7. ∫ ( x2 + x x +1 x 2 + 5) dx + 2)( 8. ∫ ( x + 1) 4x − 3 + 5) dx (x2 − 3x 9. ∫ ( x + 1) ( 1 − x + 1) dx x2 10. ∫(x 1 −x +1) dx + 1) ( x 2 11. ∫(x x+2 + 7) dx − 2)(x2 12. ∫ (x2 x3 + 2x + 5 x + 9) dx + 5x + 7)(x2 +

60 13. ∫ (x2 − 2x 2x3 −1 − x + 5) dx + 3)(x2 14. ∫ (x2 − x3 − x + 5) dx . x + 2)(x ບດົ ທີ 3 - ເຄາົ້ ຕາໍ ລາອະປົກກະຕິ

61 ຮູບຮ່ າງ 3.1: ∫ dx ax2 + bx + c ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ∫ dx = ∫ dx + bx ax 2 + c  + b + c  a a a x2 x =1∫ dx a x2 + b x + c aa =1∫ dx b 2  b 2 a       x + a  −  a  +c  2 2  a    ∫= 1 dx a  x + b 2 −  b 2 + c 2a 2a a ∫= 1 dx a  x + b 2 − b2 + c 2a  4a 2 a 1 d  x + b  a 2a = ∫ 2 −b2 + 4ac  x + b  + 4a 2 2a ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u (x) + u (x)2 + k + C u ( x)2 + k = 1 ln x + b +  x + b 2 + −b2 + 4ac +C. a 2a 2a  4a 2 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ dx 2x2 − 5x + 6 ບດົ ແກ:້

62 ∫ dx = ∫ dx − 5x 2x 2 + 6 2 − 5 + 3 2 x2 x =1∫ dx 2 x2 − 5 x + 3 2 = 1 ∫ dx 2  5 2  5 2      x − 2  −  2  +3  2   2  ∫= 1 dx 2  x − 5 2 −  5 2 + 3 4 4 =1∫ dx 2  x − 5 2 − 25 + 3 4  16 = 1 ∫ dx 2  x − 5 2 + −25 + 48 4 16 1 d  x − 5  2 4 = ∫ 2  x − 5 + 23 4 16 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u (x) + u (x)2 + k + C u ( x)2 + k = 1 ln x − 5 +  x − 5 2 + 23 + C. 24 4  16 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ dx 4 − 6x − 3x2 ບດົ ແກ:້

63 ∫ dx = ∫ dx 6x − 4 − 3x2 3  4 − 2x − x 2  3 = 1 ∫ dx 3 4 − 2x − x2 3 =1∫ dx 3 4 − (2x + x2 ) 3 =1∫ dx 3 4 − (1 + x )2 − 1 3 =1∫ dx 3 4 +1− (1+ x)2 3 = 1 ∫ dx 3 7 − (1+ x)2 3 =1∫ d(1+ x) 3  7 2 − (1 + )2    3 x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = arcsin u (x) + C a2 − u ( x )2 a = 1 arcsin 1 + x + C 37 3 = 1 arcsin 3 (1+ x) + C . 37 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້

64 1. ∫ dx 4x2 −10x − 5 2. ∫ dx 2 2 x2 − 6x + 3 3. ∫ dx 2x2 + x + 3 4. ∫ dx 9x2 − 6x +1 5. ∫ dx 3x2 − 8x + 1 6. ∫ dx 7 − 8x −10x2 7. ∫ dx 5 −12x − 4 2 x2 8. ∫ dx 2x2 − 3x + 9 9. ∫ dx 3x2 − 5x + 4 10. ∫ 9−3 dx 2 x2 2x− ຮູບຮ່ າງ 3.2: ∫ (mx + n)dx ax2 + bx + c ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ∫ ( mx + n ) dx = ∫  mx dx + ax 2 n +  dx +  ax2 + bx + c + bx  ax 2 bx + c c =∫ ax 2 mx + dx + ∫ n dx + bx ax2 + bx + c c = m∫ ax 2 x + dx + n∫ 1 dx + bx ax2 + bx + c c

65 = m ∫ 2ax + dx + n ∫ 1 dx 2a ax2 + bx ax2 + bx + c c = m ∫ 2ax + b−b dx + n ∫ 1 dx 2a ax 2 + bx + c ax2 + bx + c  2ax + b − b  1  ax2 + bx + c + bx  dx ∫ ∫= m  +  dx + n ax2 + bx + c 2a ax 2 c = m ∫ 2ax +b dx − m ∫ ax 2 b + dx + n∫ 1 dx 2a ax2 + bx + 2a + bx ax2 + bx + c c c = m ∫ 2ax +b dx − mb ∫ ax 2 1 + dx + n∫ 1 dx 2a ax2 + bx + 2a + bx ax2 + bx + c c c = m ∫ 2ax +b dx +  n − mb  ∫ 1 dx 2a ax2 + bx +  2a  ax2 + bx + c c = m ∫ 2ax +b dx +  n − mb  ∫ 1 dx 2a ax2 + bx + 2a ax2 + bx + c c ( ) ( )∫ ∫= m −1  − mb  1 dx 2a 2a ax2 + bx + c 2d ax2 + bx + c + n   a x2 + b x + c a a ( )= m . − 1 +1 2 ∫2a ax 2 + bx + c + 1  n − mb  dx a 2a −1 +1  b 2  b 2 2      x + a  −  a  +c 2   2  a     ( )1 ax2 + bx + c 2 1   1 a ∫= m . + n − mb dx 2a 2a  b 2  b 2 2     x + a  −  a  +c  2   2  a    ∫= m 1  mb  dx a  2a  a ax2 + bx + c + n − 2 2    x + b −  b + c 2a 2a a

66 ∫= m 1  − mb  dx a 2a a ax2 + bx + c + n 2  x + b − b2 + c 2a 4a 2 a ∫= m 1  mb  dx a  2a  a ax2 + bx + c + n − 2   x + b − b2 + 4ac 2a 4a 2 4a 2 ∫= m 1  mb  d  x + b  a a 2a 2a ax2 + bx + c + n − 2 −b2 + 4ac  x + b  + 4a 2 2a =m ax2 + bx + c + 1  n − mb  ln x + b +  x + b 2 + −b2 + 4ac +C a a 2a 2a 2a  4a 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (11x + 3) dx 2x2 + 9x − 4 ບດົ ແກ:້ ∫ (11x + 3) dx = ∫ (11x + 3) dx + −4 2x2 9x 2 x2 + 9 x − 2  2 = 1 ∫ (11x + 3) dx 2 x2 + 9 x − 2 2     = 1 ∫  11x + 3  dx 2  x2 + 9 x − 2  2     = 1 ∫  11x + 3  dx 2  x2 + 9 x − 2 x2 + 9 x − 2  2 2

67 = 1 ∫ 11x dx + 1 ∫ 3 dx 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ x dx + 3 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ 2x dx + 3 ∫ 1 dx dx 2 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ 2x + 9 − 9 dx + 3 ∫ 1 dx 22 22 x2 + 9 x − 2 x2 + 9 x − 2 2 2 2  2x + 9 9   2−  = 11 ∫  2 dx + 3 ∫ 1 dx 22  x2 + 9 x − 2 9  2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 2 x − 2 2 2x + 9 9 2 = 11 ∫ dx − 11 ∫ 2 dx + 3 ∫ 1 dx x2 + 9 x − 2 22 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  99 1 dx + 3 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 2 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  99 1 dx + 12 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 42 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  87 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 2 2

68 d  x 2 + 9 x − 2  2 ∫ ∫= 11 dx − 87 1 dx 22 1 42  9 2  9 2  2 2 x2 + 9 x −  + 2  −  2  −2 2 x 2   2      = 11  x2 + 9 x − 2 − 1 d  x2 + 9 x − 2  − 87 1 dx 2  2 2 42 ∫ ∫2 2  x + 9 2 −  9 2 − 2 4  4   9 − 1 +1 2 2 x2 + x − 2 11 87 1 ∫= − dx 2 2 −1 +1 42 2  x + 9 − 81 − 2 2 4 16  x2  1   + 9 x − 2 2 d x + 9 2 4 11 87 ∫= − dx 22 1 42 2  x + 9 − 113 2 4 16  x2 1 d  x + 9  − 2 2 4 11∫= + 9x − 87 dx 2 2 42 2  + 9 − 113 x 4 16 = 11 x2 + 9 x − 2 − 87 ln  x + 9  +  x + 9 2 − 113 +C. 2 2 42  4   4  16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (5x −1)dx −3x2 + 8x + 4 ບດົ ແກ:້ ∫ (5x −1)dx = ∫ (5x −1)dx −3x2 + 8x + 4 3 −x2 + 8 x + 4  3 3

69 = 1 ∫ (5x −1)dx 3 −x2 + 8 x + 4 33     = 1 ∫  5x − 1  dx 3  −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4  33 3 3 = 5 ∫ x dx − 1 ∫ 1 dx 3 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 33 33 = −5 ∫ −2x dx − 1 ∫ 1 dx 2 3 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 − 8 dx − 1 ∫ 1 dx 2 3 33 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 3 33 33  −2x + 8 −8   3+  = − 5 ∫  3 dx − 1 ∫ dx 2 3  −x2 + 8 x + 4 8 4  3 −x2 + 8 x + 4 33 −x2 + 3 x + 3 33 = − 5 ∫ −2x + 8 dx − 5 ∫ − 8 dx −1∫ dx 2 3 3 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 23 −x2 + 8 x + 4 3 33 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 40 ∫ dx − 1 ∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 3 2 −x2 + 8 x + 4 63 33 33 33

70 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 40 ∫ dx − 6 ∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 6 3 2 −x2 + 8 x + 4 63 33 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 17 ∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 2 −x2 + 8 x + 4 33 33 33 5 d  −x2 + 8 x + 4  17 dx 3 3 =− ∫ dx + ∫ 2 3 −x2 + 8 x + 4 33   4 − x2 − 8 x 33 3 3 d  −x2 + 8 x + 4  ∫ ∫= − 5 3 3 17 dx + 23 1     2 33 2  2  −x2 + 8 + 4 8   8   3 x 3 4 − −  −    3 3   3   x 2  2  =− 5  −x2 + 8 x + 4 − 1 d  −x2 + 8 x + 4  + 17 dx 3 3  2 3 3 33 ∫ ∫2 3 4 −  − 8 2 −  8 2  3 x 6  6    =− 5  −x2 + 8 x + 4 − 1 d  −x2 + 8 x + 4  + 17 dx  3 3  2  3 3  33 ∫ ∫2 3 4 −  − 4 2 −  4 2  3 x 3 3    8 4 − 1 +1 3 3 2 −x2 + x + 5 17 dx ∫= − + 2 3 −1 +1 33 2 4 −  x − 4 + 16 2 3 3 9

71  1  2 5 −x2 + 8 x + 4 17 dx 3 3 ∫= − + 23 1 33 2 28 −  x − 4 2 9 3 5  8 4 2 ∫1 17 d  x − 4  3  3 3  33 3 =− − x 2 + x + +  28 2 −  x − 4 2  3  3    5  −x2 8x 4 1 17 x −4 3 3 3 33 3 =− + + 2 + arcsin + C  28 3  −x2 1 3x − 4 2 28 =− 5 + 8 x + 4  + 17 arcsin + C . 3 3 3 33 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (8x + 7)dx 4x2 + 16x − 3 2. ∫ (x + 4)dx x2 + 4x + 5 3. ∫ (x + 2)dx x2 + 2x + 2 4. ∫ (x −1)dx −x2 − 4x + 5 5. ∫ (5 − 4x)dx 3x2 − 2x + 1

72 6. ∫ (3x + 7)dx 2x2 − 5x −1 7. ∫ (8x −11)dx 9 − 6x − 4x2 8. ∫ (4 − 5x)dx 6 + 7x − 5x2 9. ∫ (7x − 4)dx x2 − 2x − 3 10. ∫ (9x − 5)dx . 2 − 4x − 4x2 ( )∫ຮູບຮ່ າງ 3.3: p xm a + bxn dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ - ຖາ້ ວ່ າ m +1 ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເຮາົ ວາງ a + bxn = ts ເຊ່ ງິ ວ່ າ s ແມ່ ນພຸດຂອງ p . n - ຖາ້ ວ່ າ m + 1 + p ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເຮາົ ວາງ ax−n + b = ts ເຊ່ ງິ ວ່ າ s ແມ່ ນພຸດຂອງ p . n ∫ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ 3 1 + 4 x dx x ບດົ ແກ:້  1 1 3 ∫ ∫3 1+ 4 x dx = −1 + x 1  dx 4 x2 x  ສະແດງວ່ າ:

73 m = − 1 , n = 1 , p = 1 , s = 3, a = 1, b = 1 243 m +1 = −1 +1 = 2 ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ n 2 1 4 1 ວາງ 1+ x 4 = t3 1 1+ x4 = t3 1 x4 =t3 −1 ( )x = t3 −1 4 ( )dx = d t3 −1 4 ( ) ( )dx = 4 t3 −1 ′ t3 −1 3 dt ( )dx = 12t2 t3 −1 3 dt ( )dx = 12t2 t3 −1 3 dt ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້  1 −1 1 3 2 −1 1  4 ∫ ∫ ( ) ( ) ( )x 2 + x dx =  t3 −1 4 t3 1 t3 −1 3 dt    3 .12t2 ( ) ( )∫= 12 t3 −1 −2 t3 t3 −1 3 dt = 12∫ t3 (t3 −1)dt = 12∫ (t6 − t3 )dt =  t7 − t4  +C 12 7 4  = 12 t7 − 3t4 + C 7 ( ) ( )= 12 7 3 1+ 4 x 7 3 1+ 4 x 4 −3 + C.

74 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫1. x 3 1 + x2 dx 2. ∫ x2 1 + x dx 3. ∫ x2 3 − x dx ∫( )1 4. x3 + 3 4 x5dx ∫5. x5 x3 + 1dx ∫6. x3 dx 3 x2 + 4 7. ∫ x − 4 dx x 8. ∫ dx x 1− x3 ∫ ∫ ∫ຮູບຮ່ າງ 3.4: a2 − b2x2 dx ; a2 + b2x2 dx ; b2x2 − a2 dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : sin2 x = 1− cos2 x cos2 x = 1− sin2 x 1 + tan 2 x = 1 1 + co t 2 x = 1 cos2 sin2 x x sin2 x = 1 − cos 2x cos2 x = 1 + cos 2x 2 2 d(sin x) = cos xdx d(cos x) = −sin xdx d ( tan x ) = dx d ( cot x ) = − 1 dx cos2 sin 2 x x ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 9 − x2 dx ບດົ ແກ:້ ວາງ x = 3cost cost = x 3

75 t = arccos x 3 ເຮາົ ມີ x = 3cost dx = d(3cost) dx = −3sin t dt ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 9 − x2 dx = ∫ 9 − (3cost)2 (−3sin tdt) = ∫ 9 − 9.cos2 t (−3sin t dt) = ∫ 9(1− cos2 t) (−3sin tdt) = ∫ 9.sin2 t (−3sin t dt) = ∫ 3.sin t (−3sin t dt) = −9∫ sin2 t dt = −9∫ 1 − cos 2t dt 2 = − 9 ∫ (1 − cos 2t )dt 2 = − 9 ∫ dt + 9 ∫ cos 2t dt 2 2 = − 9 ∫ dt + 9 ∫ cos 2t.2dt 2 2.2 = − 9 t + 9 ∫ cos 2t d ( 2t ) 2 4 = − 9 t + 9 sin 2t + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = arccos x 24 3 = − 9 arccos x + 9 sin  2 arccos x  + C . 2 3 4  3  ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ 1 dx x2 4 + x2 ບດົ ແກ:້ ວາງ x = 2 tan t

76 tan t = x 2 t = arctan x 2 ເຮາົ ມີ x = 2 tan t dx = d(2 tan x) dx = 2 dt cos2 t ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x2 1 dx = ∫ (2 tan t)2 1 ( )2 . 2 dt 4 + x2 4 cos2t + 2 tan t ∫= sin2 1 . 2 2t dt cos2 4+ cos 4. t ( 2 tan t )2 t ∫= cos2 t . 2 dt 4 sin2 t 4 + 4 tan2 t cos2t ( )∫= 1 dt 2sin2 t 4 1 + tan2 t = ∫ 1 dt 4sin2 t 1 cos2 t =∫ 1 1 dt 4sin2 t. cos t = ∫ cost dt 4sin2 t = 1 ∫ d(sin t ) 4 sin2 t = 1 ∫ sin 2 t d ( sin t ) 4 = 1 . sin−2+1 t + C 4 −2 + 1

= − 1 .sin−1 t + C 77 4 ບດົ ເຝິດຫດັ =− 1 +C 4sin t ເຮາົ ມ:ີ t = arctan x 2 = −  1  + C . arctan 4sin x 2 ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 − 9 dx x ∫ x3 2. dx 2 − x2 3. ∫ 1 dx x2 + 3 x 4. ∫ 1− x2 dx 5. ∫ 16 + x2 dx 6. ∫ x2 − 4 dx 7. ∫ 9 + x2 dx 8. ∫ 2 + x2 dx 9. ∫ 36 − x2 dx 10. ∫ 9 + x2 dx 11. ∫ x2 − 5 dx 12. ∫ 7 + x2 dx

78 ບດົ ທີ 4 - ເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ຮູບຮ່ າງ 4.1: ∫ R (sin x,cos x )dx ແນະນາໍ ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : t = tan x sin x = 2t 2 2 +t 1 x = arctan t 2 cos x = 1 − t 2 x = 2arctan t 1 + t 2 dx = d(2arctan t) dx = 2 dt + t2 1 a.x2 + b.x + c = a ( x − x )( x − x ) a.x2 + + =  + b 2 −  b 2 + 1 2  2a   2a  b.x c a.x c ∫ u2 1 a2 du = 1 arctan u + C ∫ u2 1 du = 1 ln u−a +C + a a − a2 2a u+a ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 1 + 1 dx c os x

79 ບດົ ແກ:້ +∫ ∫11 dx = 1 t2 . 2 dt cos 1− t2 1 + t2 x 1 + 1+ ∫= 1+ 1 . 2 2 dt +1− 1 +t t2 t2 1+ t2 =∫ 1 2 2 . 1+ t2 dt 1+ t2 = ∫dt = t + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = tan x 2 = tan x + C . 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫1+ 1 dx x− sin cos x ບດົ ແກ:້ +∫ ∫1 1 dx = 1 − 2 . 2 2 dt x− + 2 1 +t sin cos x 1 + 2t 2 − 1 t +t 1 t 1 ∫= + t2 + 1 − + t2 . 2 dt 2t 1 + t2 1 1 1+ t2 ∫= 2 1 . 2 2 dt + 1 +t 2t 2t 1+ t2 12 ( )∫= . dt t2 + t 1 + 2 2 t 1+ t2 ( )∫= 1 . 2 2 dt . t2 +t 2 +t 1 1+ t2

80 = ∫ 2 1 dt + t t = ∫ 1 1) dt t (t + = ∫  1 − t 1 1 dt  t + = ∫ 1 dt − ∫ 1 dt t + 1 t = ln t − ∫ 1 d ( t + 1) + t 1 = ln t − ln t +1 + C = ln t + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = tan x +1 2 t tan x = ln 2 + C. x +1 tan 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 4sin dx x x − 3cos ວທິ ແີ ກ:້ dx 2 dt x − 3cos 1+ t2 ∫ ∫4sin = − x 2t 3.1 + t 2 4. +t − 1 t 2 1 2 2 dt 1+ t2 ∫= 8t − 3 + 3t2 1+ t2 2 (1+ t2 )dt = ∫ (3t2 + 8t − 3) (1+ t2 ) = ∫ 3t 2 2 − dt + 8t 3

81 = ∫ (3t − 2 + 3) dt 1)(t = ∫[ 3 1) − 1 3) ]dt 5(3t − 5(t + = 3 ∫ 1 dt − 1 ∫ t 1 dt 5 3t − 1 5 + 3 = 1 ∫ 3t1− 1.3dt − 1 ∫ t 1 dt 5 5 + 3 = 1 ∫ 1 d (3t − 1) − 1 ∫ 1 d (t + 3) 5 3t −1 5 + 3 t = 1 ln 3t −1 − 1 ln t + 3 + C 55 = 1 ln 3t −1 + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = tan x 5 t+3 2 = 1 ln 3tan x −1 + C. 5 2 tan x + 3 2 ບດົ ເຝິດຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 1 dx x + sin 2. ∫ 3sin dx x x + 4cos 3. ∫ 1 dx x + cos 4. ∫ 3 − dx x 2 cos 5. ∫ 2 dx x + sin 6. ∫ 1 dx x − cos

82 7. ∫ 2sin dx 2x x + sin 8. ∫ sin dx x x + cos 9. ∫ sin dx x x − cos 10. ∫ 1 dx x − sin 11. ∫ 4 − dx x 3sin 12. ∫ 1 − dx x 5cos 13. ∫ 1 − dx sin x cos x + 14. ∫ 2sin dx cos x x− 15. ∫ 3 + dx x 2 cos 16. ∫ 1 − dx x 2sin ຮູບຮ່ າງ 4.2: ∫ sin Ax.sin Bx dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a. sin A .sin B = 1 cos ( A − B) − cos ( A + B) 2 b. sin (−α ) = −sinα c. cos(−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin 8x.sin 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin 8x sin 5x dx = ∫ 1 cos (8x − 5x ) − cos (8x + 5x )dx 2 = ∫ 1 [cos 3x − cos13x]dx 2