คณิตปลาย

หนังสือเรยี นสาระความรูพ ืน้ ฐาน รายวชิ า คณิตศาสตร (พค31001) ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย หลักสตู รการศกึ ษานอกระบบระดบั การศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551 สาํ นกั งานสง เสรมิ การศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอธั ยาศยั สาํ นกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธกิ าร กระทรวงศกึ ษาธิการ หามจําหนา ย หนังสือเรียนเลม น้ีจัดพมิ พด วยเงนิ งบประมาณแผน ดินเพื่อการศึกษาตลอดชีวติ สาํ หรบั ประชาชน ลขิ สิทธ์ิ เปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวชิ าการลาํ ดบั ท่ี 12 /2554

หนงั สือเรยี นสาระความรูพ้ืนฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร (พค31001) ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย ลิขสทิ ธ์ิเปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวิชาการลําดับที่ 12/2554

คํานาํ สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย ไดดําเนินการจัดทํา หนังสือเรียน ชุดใหมนี้ข้ึน เพื่อสําหรับใชในการเรียนการสอนตามหลักสูตรการศึกษานอกระบบ ระดับการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551 ทีม่ ีวัตถุประสงคในการพัฒนาผูเ รียนใหมีคุณธรรม จริยธรรม มีสติปญญาและศักยภาพในการประกอบอาชีพ การศึกษาตอ และสามารถดํารงชีวิตอยูใน ครอบครัว ชุมชน สังคมไดอยางมีความสุข โดยผูเ รียนสามารถนําหนังสือเรียนไปใช ดวยวิธีการศึกษา คนควาดวยตนเอง ปฏิบัติกิจกรรมรวมทั้งแบบฝกหัดเพื่อทดสอบความรูความเขาใจในสาระเนื้อหา โดยเมื่อศึกษาแลวยังไมเขาใจ สามารถกลับไปศึกษาใหมได ผูเ รยี นอาจจะสามารถเพิ่มพูนความรูหลังจาก ศึกษาหนังสือเรียนน้ี โดยนําความรูไปแลกเปล่ียนกับเพื่อนในชั้นเรียน ศึกษาจากภูมิปญญาทองถิ่น จากแหลงเรียนรแู ละจากสื่ออื่นๆ ในการดําเนินการจัดทําหนังสือเรียนตามหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษา ขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551 ไดรับความรวมมือที่ดีจากผูทรงคุณวุฒิและผูเ กี่ยวของหลายทานที่คนควา และเรียบเรียงเน้ือหาสาระจากสื่อตางๆ เพ่ือใหไดส่ือท่ีสอดคลองกับหลักสูตร และเปนประโยชน ตอผูเ รียนที่อยูน อกระบบอยางแทจริง สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย ขอขอบคุณคณะที่ปรึกษา คณะผูเรียบเรียง ตลอดจนคณะผูจัดทําทุกทานท่ีไดใหความรวมมือดวยดี ไว ณ โอกาสน้ี สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย หวังวาหนังสือเรียน ชุดนีจ้ ะเปนประโยชนในการจัดการเรียนการสอนตามสมควร หากมีขอเสนอแนะประการใด สํานักงาน สงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย ขอนอมรับไวดวยความขอบคุณยิ่ง สํานกั งาน กศน.

สารบัญ 1 คาํ นาํ 15 คาํ แนะนาํ การใชหนงั สอื โครงสรา งวิชาคณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 29 บทท่ี 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทท่ี 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ 53 บทท่ี 3 เซต บทท่ี 4 การใหเหตผุ ล 65 บทท่ี 5 อตั ราสวนตรีโกณมิติและการนําไปใช บทท่ี6 การใชเครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ 89 บทท่ี 7 สถิตเิ บื้องตน บทท่ี 8 ความนาจะเปน 114 เฉลยแบบฝกหัด 145 เฉลยบทที่ 1 เฉลยบทที่ 2 164 เฉลยบทที่ 3 165 เฉลยบทที่ 4 171 เฉลยบทที่ 5 175 เฉลยบทที่ 6 180 เฉลยบทที่ 7 184 เฉลยบทที่ 8 195 205 214

คําแนะนาํ การใชแ บบเรียน หนังสอื เรียนสาระความรูพ ้นื ฐาน รายวชิ า คณิตศาสตร (พค 31001) ระดับมัธยมศึกษาตอน ปลาย เปน หนงั สือเรยี นท่จี ัดทาํ ข้ึน สาํ หรบั ผเู รียนท่ีเปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษาหนังสอื เรยี นสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร ผูเรียนควรปฏบิ ัติดังน้ี 1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวังและ ขอบขายเนื้อหา 2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด แลวตรวจสอบกับแนวตอบกิจกรรมที่กาํ หนด ถาผเู รยี นตอบผดิ ควรกลบั ไปศึกษา และทําความเขาใจในเน้ือหานั้นใหมใหเ ขา ใจกอนท่ีจะศึกษาเรอื่ งตอไป 3. ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมทา ยเรื่องของแตล ะเร่ือง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ เน้อื หาในเร่ืองน้ันๆอกี ครงั้ และการปฏบิ ัตกิ จิ กรรมของแตละเน้อื หาในแตละเรื่อง ผเู รียนสามารถนาํ ไปตรวจสอบกับครแู ละเพ่ือนๆท่รี วมเรียนในรายวิชาและระดับ เดยี วกนั ได แบบเรียนเลม น้มี ี 8บทคือ บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การใหเ หตุผล บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกนมิติและการนําไปใช บทท6ี่ การใชเครื่องมอื และการออกแบบผลติ ภณั ฑ บทที่ 7 สถิติเบื้องตน บทที่ 8 ความนาจะเปน

โครงสรา งรายวชิ าคณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย สาระสําคัญ มคี วามรคู วามเขาใจเกย่ี วกบั จํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนยิ มและรอ ยละ การวัด เรขาคณิต สถิติ และความนาจะเปนเบื้องตน ผลการเรยี นรทู ี่คาดหวงั ๑. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนยิ มและรอ ยละ การวดั เรขาคณิต สถิติ และความนาจะเปนเบื้องตนได ๒. สามารถคิดคาํ นวณและแกโจทยปญ หาเก่ียวกับจํานวนนบั เศษสวน ทศนิยม รอยละ การวดั เรขาคณิตได ขอบขา ยเน้ือหา บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การใหเ หตุผล บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกนมิติและการนําไปใช บทที6่ การใชเ ครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ บทที่ 7 สถติ เิ บอ้ื งตน บทที่ 8 ความนาจะเปน ส่อื การเรียนรู 1. ใบงาน 2. หนังสอื เรยี น

1 บทที่ 1 จํานวนและการดาํ เนินการ สาระสําคัญ 1. โครงสรางของจํานวนจรงิ ประกอบไปดวย จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ และ จาํ นวนเตม็ 2. สมบตั ขิ องจํานวนจริงทีเ่ ก่ียวกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดวยสมบัตปิ ด สมบัตกิ ารเปลยี่ นกลมุ สมบตั กิ ารสลับที่ การมีอนิ เวอรส การมีเอกลักษณและสมบัติ การแจกแจง 3. สมบัติการเทากันจะใชเครื่องหมาย “=” แทนการมีคาเทากัน 4. สมบัติการไมเทากันจะใชเครื่องหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คาสัมบรู ณใชส ญั ลักษณ “ | |” แทนคาสัมบรู ณซ ง่ึ x ถา x >0 x = 0 ถา x = 0 - x ถา x < 0 ผลการเรยี นรูท่คี าดหวงั 1. แสดงความสัมพันธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจริงได 2. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคูณ การหารจาํ นวน จรงิ ได 3. อธิบายสมบัตขิ องจํานวนจริงที่เกยี่ วกับการบวก การคูณ การเทากัน การไมเทากนั และนาํ ไปใชไ ด 4. อธิบายเกี่ยวกับคาสัมบูรณของจํานวนจริงและหาคาสมบูรณของจํานวนจริงได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 ความสัมพันธของระบบจํานวนจริง เร่ืองท่ี 2 สมบตั ขิ องการบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนจรงิ เรื่องท่ี 3 สมบัติการไมเทากัน เร่ืองท่ี 4 คา สมั บรู ณ

2 เรื่องที่ 1 ความสมั พนั ธข องระบบจาํ นวนจริง 1.1. โครงสรา งของจาํ นวนจรงิ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนอตรรกยะ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนท่ีเขยี นใน ทศนิยม จาํ นวนเตม็ ทศนิยมซาํ้ เศษสว น ไมร ูจบไมซ า้ํ รูปของกรณฑ หรือเรียกวา จาํ นวนนบั หรือ ศนู ย จาํ นวน รากหรือรูต จาํ นวนเตม็ บวก เตม็ ลบ จาํ นวนจรงิ ( Real number ) ประกอบดวยจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ 1. จาํ นวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดว ย จํานวนเตม็ ทศนิยมซํ้า และเศษสว น 1. จํานวนเต็ม ซึ่งแบงเปน 3 ชนิด คือ 1.1 จาํ นวนเตม็ บวก (I+) หรอื จาํ นวนนบั (N) ∴ I+ = N = {1, 2, 3, …} 1.2 จํานวนเต็มศูนย มีจาํ นวนเดียว คือ {0} 1.3 จาํ นวนเตม็ ลบ (I-) ∴ I- = {-1, -2, -3, …} 2. เศษสว น เชน 3 , 3 3 , - 5 เปน ตน 4 47 3. ทศนิยมซา้ํ เชน 0.6 , 0.12 , 0.532 2. จาํ นวนอตรรกยะ ( irrational number ) คือจํานวนที่ไมใชจ าํ นวนตรรกยะ เขยี นไดใ นรปู ทศนยิ มไมซ้ํา เชน 2 มีคา เทา กบั 1.414213… 3 มีคา เทา กับ 1.7320508… π มีคาเทากับ 3.14159265… 0.1010010001… มีคาประมาณ 1.101

3 แบบฝกหดั ที่ 1 1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนจ้ี าํ นวนใดเปน จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือ จาํ นวนอตรรกยะ ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ 1) − 9,− 7 ,5 2 , 2,0,1 23 2) 5,−7 7 ,3,12, 5 34 3) 2.01,0.666...,-13 , 4) 2.3030030003..., 5) − π ,− 1 , 6 , 2 ,−7.5 33 2 6) 25,−17,− 12 , 9,3,12, 1 π 52 2. จงพจิ ารณาวา ขอความตอ ไปนี้เปนจริงหรอื เท็จ 1) 0.001001001001…เปน จํานวนตรรกยะ 2) 0.110110110110… เปน จํานวนตรรกยะ 3) 0.767667666766667… เปน จาํ นวนตรรกยะ 4) 0.59999…. เปน จาํ นวนตรรกยะ 5) 0 เปน จาํ นวนจรงิ 6) จํานวนทเ่ี ขียนไดใ นรปู ทศนยิ มซํา้ ไมเปน จาํ นวนตรรกยะ

4 2. สมบตั กิ ารบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนจรงิ สมบตั ิของจํานวนจรงิ คือ การนาํ จํานวนจรงิ ใด ๆ มากระทาํ ตอ กันในลกั ษณะ เชน การบวก การลบ การคณู การหาร หรือกระทาํ ดวยลกั ษณะพิเศษท่ีกําหนดขน้ึ แลวมีผลลัพธที่ เกิดขึ้นในลักษณะหรือทํานองเดยี วกนั สมบัตทิ ใ่ี ชใ นการบวก การลบ การคูณ และการหาร มีดังน้ี 2.1 สมบตั กิ ารเทา กนั ของจํานวนจริง กาํ หนด a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ สมบัติการสะทอน a=a สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากันทั้งสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c สมบัตกิ ารคณู ดวยจํานวนท่ีเทากนั ท้ังสองขา ง ถา a = b แลว ac = bc 2.2 สมบตั ิการบวกและการคูณในระบบจาํ นวนจรงิ เมอ่ื กําหนดให a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ 2.2.1 สมบัติการบวก สมบตั ปิ ด ถา a ∈R และ b ∈R แลว a + b ∈ R สมบัติการสลับที่ a+b= b+a สมบัติการเปล่ียนกลุม a + (b + c) = (a + b) + c สมบัติการมเี อกลกั ษณก ารบวก คือ 0 0+a = a+0 = a สมบัติการมีอินเวอรสการบวก a มอี ินเวอรส การบวก คอื − a และ − a มอี ินเวอรส การบวก คอื a จะได a + (−a) = (−a) + a = 0 นนั่ คือจาํ นวนจริง a จะมี − a เปน อนิ เวอรส ของการบวก 2.2.2 สมบตั กิ ารคูณ ถา a ∈R และ b ∈R แลว ab ∈ R สมบตั ปิ ด ab = ba สมบัติการสลับที่ a(bc) = (ab)c สมบัติการเปลี่ยนกลมุ 1. a = a .1 = a สมบัติการมีเอกลักษณการบวก คือ 1 สมบัติการมอี นิ เวอรส การคณู a มอี นิ เวอรส การคณู คือ 1 และ (ยกเวน 0 เพราะ 1 ไมมีความหมาย) a 0 1 มอี นิ เวอรสการคูณ คือ a a

5 สมบตั กิ ารแจกแจง จะได a  1  =  1 a = 1 ; a ≠ 0 a a นัน่ คือ จํานวนจรงิ a จะมี 1 เปน a อินเวอรสการคูณ a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca จากสมบัติของจํานวนจริงสามารถใชพิสูจนทฤษฎีบทตอ ไปนไี้ ด ทฤษฎบี ทท่ี 1 กฎการตัดออกสําหรบั การบวก เมอ่ื a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 2 กฎการตัดออกสําหรบั การคูณ เมอ่ื a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 3 เม่ือ a เปน จาํ นวนจริงใดๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎบี ทท่ี 4 เมื่อ a เปน จาํ นวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เม่อื a, b เปน จาํ นวนจริงใดๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎบี ทท่ี 6 เมือ่ a เปน จาํ นวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

6 การลบและการหารจํานวนจรงิ • การลบจาํ นวนจรงิ บทนิยาม เมอ่ื a, b เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ a - b = a + (-b) นั่นคอื a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอรสการบวกของ b • การหารจาํ นวนจรงิ บทนิยาม เมอ่ื a, b เปน จาํ นวนจริงใดๆ เมอ่ื b ≠ 0 a = a( b−1) b น่นั คอื a คือ ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคูณของ b b

7 แบบฝกหัดท่ี 2 1. ใหผเู รยี นเติมชองวา งโดยใชสมบตั ิการเทากัน 1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..…………… 2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..… 3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….………… 4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..……… 5. ถา x2 + 2x +1 = (x +1)2 แลว (x +1)2 = .…………………………………………… 6. ถา x = 3 y แลว 2x = ………………………………………………………….………… 2 7. ถา x2 +1 = 2x แลว (x −1)2 = ……………………………………………….….……… 8. ถา ab = a + b แลว 1 (ab)= ……………………………………………….…………. 2 2. กาํ หนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนี้เปนจริงตาม สมบัตใิ ด 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) 4) (8 X 9) เปน จาํ นวนจรงิ 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc 3 . เซตทก่ี าํ หนดใหในแตละขอ ตอไปนี้ มีหรือไมมีสมบัติปดของการบวกหรือสมบัติปดของการคูณ 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } 3) เซตของจาํ นวนจรงิ 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ 5) เซตของจาํ นวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั

8 4. จงหาอินเวอรสการบวกของจํานวนจรงิ ในแตล ะขอ ตอไปน้ี 1) อินเวอรสการบวกของ 8 2) อนิ เวอรส การบวกของ - 5 3) อนิ เวอรส การบวกของ - 0.567 4) อินเวอรสการคณู ของ 3 − 2 5) อนิ เวอรส การคณู ของ 1 5− 3

9 3. สมบัตกิ ารไมเ ทา กนั ใหผ เู รียนทบทวนเรอื่ งสมบตั ิการเทากนั ในเรื่องทผี่ า นมาเพือ่ เปน ความรูเ พิ่มเติม สว นใน เร่ืองนจ้ี ะเนน เร่ืองสมบัติการไมเ ทา กนั เทานน้ั ประโยคคณิตศาสตรจะใชส ัญลักษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทากัน เรยี กการไมเ ทากนั วา “อสมการ” (Inequalities) บทนิยาม a < b หมายถึง a นอ ยกวา b a > b หมายถึง a มากกวา b กาํ หนดให a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ 1. สมบัตกิ ารถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตั ิการบวกดวยจํานวนที่เทา กนั ถา a > b แลว a + c > b+ c 3. จาํ นวนจรงิ บวกและจาํ นวนจรงิ ลบ a เปนจาํ นวนจริงบวก กต็ อเมื่อ a > 0 a เปน จํานวนจรงิ ลบ กต็ อเมือ่ a < 0 4. สมบัตกิ ารคณู ดว ยจาํ นวนเทากันทไี่ มเทา กับศนู ย กรณีที่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณีที่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. สมบัตกิ ารตดั ออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 6. สมบตั กิ ารตัดออกสําหรับการคณู กรณีท่ี 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีที่ 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b บทนิยาม a≤b หมายถึง a นอ ยกวา หรอื เทากบั b a≥b หมายถึง a มากกวาหรอื เทากับ b a<b<c หมายถึง a < b และ b < c a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

10 ชว ง (Interval) ชวง หมายถึง เซตของจาํ นวนจริงที่เปน สว นใดสวนหนึง่ ของเสน จาํ นวน 3.1 ชว งของจาํ นวนจรงิ กาํ หนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ a < b 12 1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ชวงครึ่งเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ชวงครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} 5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

11 แบบฝกหัดท่ี 3 1. ใหผูเรยี นบอกสมบัตกิ ารไมเ ทากนั (เม่ือตวั แปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ) 1. ถา x < 3 แลว 2x <6 ……………………………………………………………….. 2. ถา y>7 แลว -2y < 14 ……………………………………………………………….. 3. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 ………………………………………………………….. 4. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 ……………………………………………………………… 5. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y ………………………………………………………. 6. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 …………………………………………………………. 7. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) …………………………………………………… 8. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) ……………………………………………………. 2. จงใชเสนจํานวนแสดงลักษณะของชวงของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]

12 5) (2, ∞ ) 6) (- ∞ ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4)

13 4. คา สมบรู ณ คา สมั บรู ณข องจํานวนจรงิ หมายถึง ระยะหา งจากจดุ ศูนยบ นเสนจํานวน พิจารณาคา สมั บูรณของ 4 และ -4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยูหา งจาก 0 4 หนวย คาสัมบูรณข อง 4 คือ 4 - 4 อยหู า งจาก 0 4 หนวย คา สัมบูรณของ -4 คอื 4 น่ันคือ คา สัมบูรณของจํานวนจรงิ ใดๆ ตองมีคา มากกวา หรือเทากับศนู ยเ สมอ สัญลักษณแ ทนคาสมั บรู ณค อื | | เชน คาสมั บรู ณของ 4 คือ |4| คาสัมบูรณของ – 4 คือ |-4| บทนยิ าม กําหนดให a เปน จํานวนจรงิ 4.1 สมบตั ิของคา สมั บรู ณ 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. x = x yy 4. | x - y | = | y - x | 5. | x |2 = x2 6. | x + y | ≤ | x | +| y | 6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y | 7. เมอ่ื a เปน จาํ นวนจรงิ บวก | x | < a หมายถึง -a < x < a | x | ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a 8. เมอ่ื a เปน จาํ นวนจรงิ บวก | x | > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | x | ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรอื x ≥ a

14 1) | x | ≥ 2 แบบฝก หัดท่ี 4 เซตคําตอบของอสมการ คอื ................................................................................................................... -3 < X < 3 เซตคําตอบของอสมการ คอื ................................................................................................................... เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ................................................................................................................... -x ≤ -3 -2 หรอื -x ≥ -3 -2 -x ≤ -5 หรอื –x ≥ 1 -x ≥ 5 หรือ x ≤ -1 เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ...................................................................................................................

15 บทท่ี 2 เลขยกกําลงั ทีม่ ีเลขชก้ี าํ ลงั เปนจาํ นวนตรรกยะ สาระสําคัญ อานวา a ยกกําลงั n โดยมี a เปน ฐาน และ n เปนเลขช้กี ําลงั 1. 2. อานวา กรณฑท ี่ n ของ a หรืออา นวา รากท่ี n ของ a 3. จํานวนจรงิ ที่อยูใ นรปู เลขยกกาํ ลังทีม่ เี ลขชก้ี ําลังเปน จํานวนตรรกยะจะมีความสมั พันธกบั จาํ นวนจรงิ ที่อยูในรูปของกรณฑหรอื ราก ( root ) ตามความสัมพันธดังตอไปนี้ และ 4. การบวก ลบ คณู หาร จาํ นวนท่ีมีเลขชกี้ าํ ลังเปนจาํ นวนตรรกยะโดยใชบทนิยามการบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกาํ ลงั ของจํานวนเตม็ ผลการเรียนรูทค่ี าดหวงั 1. อธิบายความหมายและบอกความแตกตางของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะได 2. อธิบายเก่ียวกบั จํานวนจริงที่อยูในรูปเลขยกกําลงั ท่มี เี ลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ และ จํานวนจริงในรูปกรณฑได 3. อธบิ ายความหมายและหาผลลพั ธท เี่ กิดจากการบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนจรงิ ท่ี อยูในรปู เลขยกกาํ ลงั ท่มี ีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ และจํานวนจรงิ ในรูปกรณฑได ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 จํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เร่ืองท่ี 2 จํานวนจริงในรปู กรณฑ เรื่องท่ี 3 การบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนทม่ี ีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะและ จาํ นวนจรงิ ในรปู กรณฑ

16 เร่อื งท่ี 1 จํานวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ 1.1 จาํ นวนตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทเ่ี ขยี นแทนในรปู เศษสว น a เมอ่ื a และ b เปน จาํ นวนเตม็ b และ b ≠ 0 ตัวอยา ง จาํ นวนท่เี ปนจํานวนตรรกยะ เชน จํานวนเตม็ , เศษสว น , ทศนิยมซ้าํ เปนตน 1.2 จาํ นวนอตรรกยะ หมายถงึ จํานวนที่ไมสามารถเขียนใหอยใู นรูปของเศษสวน a เม่ือ a และ b b เปน จาํ นวนเตม็ และ b ≠ 0 จาํ นวนอตรรกยะประกอบดวยจาํ นวนตอ ไปน้ี เปนทศนิยมแบบไมซา้ํ เชน 1.235478936... 5.223322233322223333... ความแตกตางระหวา งจาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ จํานวน จาํ นวนเตม็ เศษสวน ความแตกตาง คาทางพีชคณิต ตรรกยะ มี มี ทศนยิ ม อตรรกยะ - คาทางพีชคณิตที่หาคาได ไมมี ไมมี - ทศนยิ มรจู บ ลงตัว หรือไดคําตอบเปน - ทศนยิ มรูจบแบบซาํ้ เศษสว น - ทศนิยมไมร ูจบ - คาทางพีชคณิตที่มีคา เฉพาะ เชน 2, 3, 5,π ,e เปน ตน 1.3 เลขยกกําลงั ทม่ี ีเลขชีก้ าํ ลงั เปนจาํ นวนเตม็ นิยามเลขยกกําลัง an หมายถึง a ×x a × a ×a…………….. × a n ตวั เมอื่ a เปนจาํ นวนใด ๆ และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก เรยี ก an วาเลขยกกาํ ลงั ทีม่ ี a เปน ฐาน และ n เปนเลขช้ีกาํ ลงั เชน 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ถา a,b เปน จาํ นวนจรงิ ใด m และ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดกฎของการยกกําลัง ดังนี้ กฎขอ ท่ี 1 =a m ⋅ b n a m+n กฎขอที่ 2 (ab)n = a nbn กฎขอ ท่ี 3 ( ) =am n a mn

17 กฎขอที่ 4 เม่ือ x ≠ 0 am = 1 ถา m = n bn = a m−n ถา m > n =1 ถา n > m กฎขอท่ี 5 a n−m เมอ่ื y ≠ 0  x  n = xn y yn นิยาม a = 1 เมอ่ื a เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ทไี่ มเทา กบั ศูนย นิยาม a−n = 1 เมอ่ื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ท่ไี มเทากบั ศนู ยแ ละ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก an

18 แบบฝก หัดท่ี 1 1. จงบอกฐานและเลขชก้ี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปน้ี 1) 63 ฐานคือ.....................................เลขชี้กาํ ลังคอื ................................. 2) (1.2) −5 ฐานคือ.................................เลขช้ีกําลงั คือ................................. 3) ( − 5)0 ฐานคือ.................................เลขช้ีกาํ ลังคือ................................... 3 4)  1 ฐานคือ.....................................เลขชกี้ ําลังคอื ................................. 2 2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี 1) ( − 4)5 = ………………………. 4 2)  1 = ………………………..…. 5 3) (1.2)3 = …………………………. 4) ( 3)6 = …………………………. 3. จงทําใหอยใู นรปู อยางงายและเลขช้ีกําลงั เปน จาํ นวนเตม็ 1) (a2 )4 = …………………………. ( )2)  5 3 4 = …………………………. = …………………………. 3)  4  5 = ………………………….    2   3  4) ( )(1.1)5 3 ( )5) x−2 −5 = ………………………….

19 เรื่องท่ี 2 จํานวนจริงในรปู กรณฑ การเขียนเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะสามารถทําไดโดยอาศัยความรูเรื่อง รากที่ n ของจํานวนจริง a ( ซง่ึ เขียนแทนดวยสญั ลกั ษณ a ) และมบี ทนยิ ามดงั น้ี นยิ าม ให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 a และ b เปน จาํ นวนจรงิ a เปนรากท่ี n ของ b ก็ตอ เมอ่ื an = b ตวั อยา ง กต็ อเม่ือ a=n b an = b 2=3 8 ก็ตอ เม่ือ 23 = 8 − 3 = 5 − 243 กต็ อเม่ือ (− 3)5 = −243 ลองทาํ ดู 9 = 3×3 3 เปนรากที่ 2 ของ 9 3 8 = ………….……………………….. 4 81 = …………………………………… 5 −32 = ……………………………………. สมบตั ขิ องรากท่ี n ของจาํ นวนจรงิ เมอ่ื n เปนจาํ นวนเต็มบวกท่ีมากกวา 1 1 n a = an ( )1. a เมอ่ื a ≥ 0  เมอื่ a < 0 และ n เปน จาํ นวนค่ี 2.) n an =  a 3) n ab เมื่อ a < 0 และ n เปนจํานวนคู | a | = n a•n b 4). n a = n a ,b≠0 b nb

20 ตัวอยาง 1 24 = 16 และ (-2)4 = 16 2 เปน รากท่ี 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16 -2 เปนรากที่ 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16 ∴รากท่ี 4 ของ 16 คือ 2 และ -2 ตวั อยา ง 2 23 = 8 2 เปน รากที่ 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8 แต -2 ไมใ ชเปน รากที่ 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8 ∴รากท่ี 3 ของ 8 คือ 2 นยิ าม ให a เปน จาํ นวนจรงิ และ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 จะเรียก n a วา รากที่ n ของ a หรือ กรณฑอันดบั ที่ n ของ a โดยท่ี 1. ถา n เปน จาํ นวนคูแลว a ตอ ง ≥ 0 2. ถา n เปน จาํ นวนค่ีแลว a เปน จาํ นวนจรงิ หมายเหตุ 1. เครื่องหมาย “ ” เรียกวา เคร่ืองหมาย กรณฑ เขียน “n” วา เปน อันดบั ท่ี 2. เมอ่ื a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ จํานวนจริงท่ีเขยี นในรูป n a เรียก กรณฑ เชน 5, 3 25, 3 − 64

21 แบบฝก หัดที่ 2 1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 25 = ………………………. 2) 64 = ………………………. 3) 5 −243 = ………………………. 4) 3 −125 = ………………………. 5) 8 = ………………………. 3 27 6) 4 16 = ………………………. 7) 3 125 = ………………………. 8) −64 = ………………………. 9) 3 −8 = ………………………. 10) 4 −16 = ………………………. 2. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีใหอยูใ นรูปอยา งงาย โดยใชสมบัติของ รากที่ n 1) 52 = ……………………..………… 2) 3 23 = ………………….……….. 3) 3 (−2)3 = ……………………………. 4) 5 (−2)5 =……………….……….. 5) (−3)2 = ………………..…………… 5) 4 (−2)4 =……………………….. 6) 200 = …………………………… 7) 75 = …………………..………. 8) 3 240 = …………………………… 9) 45 = …………………..………. 10) 5 15 = …………….……………. 11) 3 81⋅ 3 32 = ……………………. 12) 4 = 4 = ……………………. 13) 5 = ………………………….. 3 99 8

22 เร่ืองท่ี 3 การบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนท่ีมเี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะและ จาํ นวนจริงในรปู กรณฑ 3.1 การบวก และการลบจํานวนทอ่ี ยูในรูปกรณฑ สมบัติของการบวกจํานวนจริง ขอหนึ่งที่สําคัญและมีการใชมาก คือ สมบัติการแจกแจงในการ บวก พจนคลา ย ดังตัวอยาง 1) 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x สมบัติของการแจกแจง 2) 8a − 3a = (8 − 3)a = 5a ดวยวิธีการเชน นเ้ี ราสามารถนาํ มาใชในเร่ืองการบวก การลบ ของจาํ นวนที่อยใู นรปู กรณฑที่ เรยี กวา “พจนคลาย” ซึ่งเปนกรณฑอ ันดบั เดยี วกัน จํานวนที่อยภู ายในเครือ่ งหมายกรณฑเ ปน จํานวน เดยี วกนั เราทราบวา 3 2 = 3× 2 และ 5 2 = 5× 2 ( ) ( )ดังนั้น 3 2 + 5 2 = 3× 2 + 5× 2 = (3 + 5) 2 (สมบตั กิ ารแจกแจง) =8 2 ตัวอยางท่ี 1 จงหาคา ของ 12 + 27 − 3 วธิ ที ํา 12 + 27 − 3 = 4 × 3 + 9 × 3 − 3 ตวั อยา งที่ 2 จงหาคาของ = 2 3+3 3− 3 = (2 + 3 −1) 3 = 43 20 + 45 − 125 วธิ ีทํา 20 + 45 − 125 = 4 5 + 9 5 − 25 5 = 2 5+3 5−5 5 = (2 + 3 − 5) 5 =0 5 =0 ตัวอยางท่ี 3 จงหาคาของ 3 20 + 2 18 − 45 + 8 วธิ ที าํ 3 20 + 2 18 − 45 + 8 = (3)(2) 5 + (2)(3) 2 − 3 5 + 2 2 = 6 5+6 2−3 5+2 2 = 6 5−3 5+6 2+2 2 = 3 5+8 2

23 3.2 การคูณ และการหารจํานวนท่อี ยูใ นรูปกรณฑ การคูณ จากสมบตั ขิ อที่ 3 ของรากที่ n ท่กี ลา ววา n ab = n a • n b เม่ือ n a และ n b เปน จาํ นวนจริง ∴ ตัวอยางท่ี 2 (3 8)(5 2) = 3⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 2

24 การหาร ใชส มบัตขิ อ 4 ของรากท่ี n ที่กลาววา n a = n a เมอ่ื b ≠ 0 nb b หรือใชสมบตั ขิ อ 3 ของรากที่ n ทีก่ ลา ววา =2 หรือใชส มบัติท่ีวา ดวยการคูณตัวเศษและตวั สวนดว ยจํานวนเดียวกัน = 20 ⋅ 5 = 100 = 10 5 55 =2

25 จงทาํ จาํ นวนตอไปนีใ้ หอ ยใู นรูปอยางงาย แบบฝกหัดที่ 3 1) 8x2 2) 4 256 3) 3 8y 6 4) 5 − 32 5) 3 8 − 2 + 32 6) 3 5( 10 + 2 5) 7) 3 2a 2 ⋅ 3 4a 8) 3 54 ⋅ 3 4

26 3.2 เลขยกกาํ ลงั ท่ีมีกําลงั เปนจาํ นวนตรรกยะ บทนิยาม เมอื่ a เปน จาํ นวนจรงิ n เปน จาํ นวนเตม็ ทีม่ ากกวา 1 และ a มีรากท่ี n จะไดว า 1 an = n a ตวั อยา งท่ี 1 1 1 93 = 3 9 32 = 3 1 1 73 = 3 7 82 = 8 บทนิยาม ให a เปน จาํ นวนเต็มที่ n > 0 และ m เปน เศษสว นอยา งตา่ํ จะไดวา n

27 แบบฝกหัดท่ี 4 1. จงทําจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย 1) 8x2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) 3 3 − 27 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3) ( 2 + 8 + 18 + 32)2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. 4) 5 −32 + 26 3 27 3 (64) 2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

28 21 5) 8 3 ⋅ 18 2 4 144 6 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

29 บทท่ี 3 เซต สาระสําคัญ 1. เซต โดยท่วั ไปหมายถึง กลมุ คน สตั ว สิ่งของ ที่รวมกันเปน กลมุ โดยมีสมบตั ิบางอยา ง รว มกัน และบรรดาสงิ่ ทั้งหลายที่อยใู นเซตเราเรยี กวา “ สมาชิก” ในการศึกษาเรื่องเซตจะ ประกอบไปดว ย เซต เอกภพสมั พทั ธ สบั เซตและเพาเวอรเซต 2. การดําเนินการบนเซต คือ การนาํ เซตตา ง ๆ มากระทํารวมกันเพอื่ ใหเ กิดเปน เซตใหม ซึ่ง ทาํ ได 4 วิธีคือ การยเู นย่ี น การอินเตอรเซคชนั่ ผลตางระหวางเซต และการคอมพลีเมนต 3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชว ยใหก ารพิจารณาเกย่ี วกบั เซตไดงายขน้ึ โดยใชห ลกั การคอื 3.1 ใชรปู สี่เหลีย่ มผนื ผาแทนเอกภพสมั พัทธ “U” 3.2 ใชวงกลมหรือวงรีแทนเซตตาง ๆ ที่เปนสมาชิกของ “U” และเขียนภายในสีเ่ หลี่ยมผนื ผา ผลการเรียนรูท ี่คาดหวัง 1. อธิบายความหมายเกี่ยวกับเซตได 2. สามารถหายูเนย่ี น อินเตอรเซกชัน่ คอมพลเี มนต และผลตางของเซตได 3. เขียนแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแกปญหาที่เกี่ยวกับการหาสมาชิกของเซตได ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 เซต เร่ืองท่ี 2 การดาํ เนนิ การของเซต เร่ืองท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญหา

30 เร่อื งที่ 1 เซต (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลมุ สิ่งของตางๆ ไมวาจะเปน คน สัตว สิ่งของหรือนิพจนทางคณิตศาสตร ซงึ่ ระบุ สมาชิกในกลมุ ได ยกตวั อยา ง เซต เชน 1) เซตของวิทยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) เซตของพยัญชนะในคําวา “คณุ ธรรม” 3) เซตของจาํ นวนเตม็ 4) เซตของโรงเรียนระดับมัธยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร เรียกส่งิ ตาง ๆทอ่ี ยใู นเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตน้ัน เชน 1) วิทยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวิทยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) “ร” เปนสมาชิกเซตพยัญชนะในคําวา “คณุ ธรรม” 3) 5 เปนสมาชิกของจํานวนเต็ม 4) โรงเรียนดงมะไฟวิทยาเปนสมาชิกเซตโรงเรียนระดับมัธยมศึกษาในจังหวัด สกลนคร 1.2 วธิ ีการเขียนเซต การเขยี นเซตเขยี นได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บ ปกกาและใชเครื่องหมายจุลภาค (,) คน่ั ระหวางสมาชิกแตละตวั น้ัน ตัวอยางเชน A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต โดยใชตัวแปรแทนสมาชิกของเซต และบอก สมบัติของสมาชิกในรูปของตัวแป ตัวอยางเชน A = { x | x เปนจํานวนเตม็ บวกที่มีคานอยกวาหรอื เทากับ 5} B = { x | x เปน สระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ } สญั ลกั ษณเซต โดยทั่ว ๆ ไป การเขยี นเซต หรอื การเรียกช่อื ของเซต จะใชอักษรภาษาอังกฤษ ตวั พิมพใหญไดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปนตน ทง้ั น้ีเพอื่ ความสะดวกในการอางอิงเมอื่ เขียนหรือ กลาวถึงเซตนน้ั ๆ ตอ ไป สําหรับสมาชกิ ในเซตจะเขยี นโดยใชอ ักษรภาษาองั กฤษตัวพิมพเ ล็ก

31 มสี ญั ลกั ษณอ กี อยางหนงึ่ ท่ใี ชอ ยเู สมอ ๆในเร่ืองเซต คือสัญลกั ษณ ∈ ( Epsilon) แทนความหมายวา อยใู น หรอื เปนสมาชิก เชน กําหนดให เซต A มีสมาชิกคือ 2 , 3 , 4 , 8 , 10 ดงั นนั้ 2 เปนสมาชิกของ A หรืออยูใ น A เขยี นแทนดว ย 2 ∈ A 10 เปนสมาชิกของ A หรืออยใู น A เขยี นแทนดว ย 10 ∈ A ใชสัญลกั ษณ ∉ แทนความหมาย “ไมอยู หรือไมเปนสมาชิกของเซต เชน 5 ไมเปนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 5 ∉ A 7 ไมเปนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 7 ∉ A ขอ สงั เกต 1. การเรียงลําดับของแตล ะสมาชิกไมถือเปน ส่ิงสาํ คญั เชน A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถอื วาเซต A และเซต B เปนเซตเดยี วกนั 2. การนับจาํ นวนสมาชิกของเซต จํานวนสมาชิกทเี่ หมือนกนั จะนับเพยี งครัง้ เดยี ว ถึงแมจะเขียนซ้ํา ๆ กัน หลาย ๆ ครงั้ เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจํานวนสมาชิก 4 ตวั คือ 0 , 1 , 2 , 3 เปน ตน 1.3 ชนดิ ของเซต 1.3.1 เซตวา ง ( Empty Set or Null Set ) บทนิยาม Ø หรือ { } แทนเซตวา ง เซตวาง คอื เซตที่ไมมีสมาชิก ใชสัญลกั ษณ (φ เปน อกั ษรกรกี อานวา phi) ตวั อยา ง เชน A = { x | x เปนชื่อทะเลทรายในประเทศไทย } ดงั นนั้ A เปนเซตวาง เนื่องจากประเทศไทยไมมีทะเลทราย B = { x | x ∈ I+ และ x + 2 = x } ดังน้นั B เปนเซตวาง เนื่องจากไมมีจํานวนเต็มบวกที่นํามาบวกกับ 2 แลว ได ตัวมนั เอง เซต B จึงไมมีสมาชิก ขอ สังเกต 1. เซตวางมีจํานวนสมาชิก เทากับศนู ย ( ไมมีสมาชิกเลย ) 2. 0 ≠ Ø 3. { 0 } ไมเปนเซตวาง เพราะมีจํานวนสมาชิก 1 ตวั

32 1.3.2 เซตจาํ กดั ( Finite Set ) บทนิยาม เซตจาํ กัด คือ เซตที่สามารถระบุจํานวนสมาชิกในเซตได ตวั อยา งเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจํานวนสมาชิก 3 ตัว หรือ n(A) = 3 B = { x | x เปน จาํ นวนเต็มและ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชิก 100 ตัว หรือ n(B) = 100 C = { x | x เปน จาํ นวนเต็มที่อยรู ะหวา ง 0 กบั 1 } ดังนน้ั C เปน เซตวา ง มีจํานวนสมาชิก 0 ตวั หรือ n(C) = 0 D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชิก 99 ตัว หรือ n(D) = 99 E = { x | x เปน วันในหน่ึงสปั ดาห } มีจํานวนสมาชิก 7 ตัว หรือ n(E) =7 หมายเหตุ จํานวนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย n(A) 1.3.3 เซตอนนั ต ( Infinite Set ) บทนิยาม เซตอนันต คือ เซตท่ไี มใชเ ซตจํากดั ( หรือเซตทีม่ ีจํานวนสมาชิกไมจํากัด น่ันคอื ไมส ามารถนบั จาํ นวนสมาชิกไดแ นน อน ) ตวั อยา งเชน A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เม่ือ n เปน จาํ นวนนบั } C = { x | x เปน จาํ นวนจริง } T = { x | x เปน จาํ นวนนับ } ตวั อยาง จงพิจารณาเซตตอไปนี้ เซตใดเปน เซตวาง เซตจาํ กดั หรือเซตอนนั ต เซต เซตวา ง เซตจํากดั เซตอนนั ต 1. เซตของผูที่เรยี นการศึกษานอกโรงเรียน / / / ปการศึกษา 2552 2. เซตของจํานวนเต็มบวกคี่ 3. เซตของสระในภาษาไทย / 4. เซตของจาํ นวนเตม็ ทห่ี ารดว ย 10 ลงตวั 5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

33 1.3.4 เซตทเ่ี ทา กนั ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเทา กนั กต็ อเม่ือท้ังสองเซตมีสมาชิกอยางเดียวกัน และจํานวนเทากัน บทนิยาม เซต A เทา กับเซต B เขยี นแทนดว ย A = B หมายความวา สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกทุกตัวของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชิกทุกตัวของเซต A ถาสมาชิกตวั ใดตัวหน่งึ ของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรือสมาชิกบางตัวของเซต B ไมเปนสมาชิกของเซต A เซต A ไมเ ทา กบั เซต B เขยี นแทนดว ย A ≠ B ตวั อยางเชน A = { 0 , { 1,2 } } B = { { 2 ,1 } , 0 } ดงั นน้ั A = B ตัวอยาง กาํ หนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกเลขคูที่นอยกวา 10 } วิธที าํ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เปนจํานวนเตม็ บวกคูท ี่นอ ยกวา 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดงั น้นั A = B ตัวอยาง กาํ หนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2– 8x + 15 = 0 } วิธที าํ พจิ ารณา x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3,5 C = {3,5} ดังนั้น A = B แต A ≠ C เพราะ 2 ∈ A แต 2 ∉ C B ≠ C เพราะ 2 ∈ B แต 2 ∉ C

34 1.3.5 เซตท่ีเทียบเทากัน ( Equivalent Set ) เซตที่เทียบเทากัน เซตสองเซตจะเทียบเทากันก็ตอเมื่อทั้งสองเซตมีจํานวนสมาชิก เทากนั บทนิยาม เซต A เทียบเทากับเซต B เขยี นแทนดว ย A ~ B หรือ A ↔ B หมายความวา สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจบั คูห น่งึ ตอหน่ึงไดพอดี ตวั อยางเชน A = { 1 , 2 , 3 } B = {4,5,6} จะเห็นวา จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับจํานวนสมาชิกของ B ดังน้นั A ↔ B C = { xy , ab } D = {0,1} ดังน้นั C ~ D เพราะจํานวนสมาชิกเทากัน ตัวอยา ง จงพจิ ารณาเซตแตละคูตอไปนวี้ า เซตคใู ดเทา กัน หรือเซตคใู ดเทียบเทา กัน 1) A = { x / x เปนจาํ นวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 } B = {1,9} 2) C = { a , { b, c } , d } D = {1,2,{3}} 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = {4,1,7} วิธีทาํ 1) A = B และ A ∼ B เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว 2) C ∼ D แต C ≠ D เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน แตส มาชกิ แตละคูไมเหมือนกนั ทุกตวั 3) E = F และ E ∼ F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว ขอสงั เกต 1. ถา A = B แลว A ∼ B 2. ถา A ∼ B แลว A ไมจาํ เปนตอ งเทากับ B

35 1.3.6 เอกภพสัมพทั ธ บทนิยาม เอกภพสัมพทั ธ คอื เซตทกี่ ําหนดขนึ้ โดยมขี อตกลงกันวาจะไมก ลาวถึง สิง่ อน่ื ใด นอกเหนอื ไปจากสมาชกิ ของเซตท่กี าํ หนด ใชส ญั ลกั ษณ U แทน เอกภพสัมพัทธ ตวั อยา งเชน กาํ หนดให U เปน เซตของจาํ นวนนบั และ A = {x | x2 = 4 } จงเขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = {2} กาํ หนดให U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} และ A เปน จาํ นวนคู ตอบ A = {2,4,6,8,10} ขอ สงั เกต ถาไมม กี ารกาํ หนดเอกภพสมั พัทธ ใหถ อื วา เอกภพสัมพทั ธนน้ั เปน เซตของจาํ นวนจริง

36 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยทมี่ ีช่อื ขนึ้ ตน ดว ยพยัญชนะ “ส” 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ 3) เซตของจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก 4) เซตของจาํ นวนคบู วกที่มีคา นอยกวา 20 5) เซตของจํานวนเต็มลบที่มีคานอ ยกวา – 120 6) { x|x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 5 และนอ ยกวา 15 } 7) { x|x เปนจาํ นวนเต็มทอ่ี ยูระหวา ง 0 กับ 0 } 2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 3) C = { x|x เปน จํานวนเต็มบวกทอี่ ยูระหวาง 10 ถึง 35 } 4) D = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกท่ีนอยกวา 9 } 3. จงเขยี นเซตตอ ไปนแ้ี บบบอกเงอ่ื นไข 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...} 4. จงพจิ ารณาเซตตอไปน้ี เปน เซตวา งหรือเซตจาํ กดั หรือเซตอนันต 1) เซตของสระในภาษาไทย 2) เซตของจํานวนเตม็ ที่อยรู ะหวา ง 21 และ 300 3) A = { x | x เปน จาํ นวนเต็มและ x < 0 } 4) B = { x | x เปนจาํ นวนเต็มคูท่นี อ ยกวา 2 } 5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 } 6) A = { x | x เปน จาํ นวนนับทน่ี อ ยกวา 1 } 7) E = { x | x เปน จาํ นวนเฉพาะ 1 < x < 3 } 8) F = { x | x เปน จาํ นวนเต็ม 4 < x < 5 } 9) B = { x | x เปน จาํ นวนนับ x2 + 3x + 2 = 0 } 10) D = { x | x เปน จาํ นวนเต็มทห่ี ารดว ย 5 ลงตวั }

37 5. เซตตอไปน้เี ซตใดบางท่เี ปน เซตที่เทา กัน 1) A = { 2,4,6,8,10 } B = {x| x เปนจาํ นวนคูบวก 2 ถงึ 10 } 2) D = { 7,14,21,28,......343} E = {x|x = 7r และ r เปนจํานวนนับท่มี คี า นอ ยกวา 50 } 3) F = { x|x =3n และ n และ n } G = { 3,6,9} 4) Q = {4} H = { x|x เปน จาํ นวนเตม็ และ x2= 16 }

38 เร่อื งที่ 2 การดาํ เนนิ การของเซต การดําเนินการที่สําคัญของเซตที่จําเปนตองรูและทําความเขาใจใหถองแทมี 4 ชนดิ ไดแก 1. การยเู นยี นของเซต 2. การอนิ เตอรเซคชน่ั ของเซต 3. คอมพลีเมนทของเซต 4. ผลตางของเซต 2.1 การยเู นียนของเซต ใชส ญั ลกั ษณ “ ∪ ” บทนิยาม A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } เรียกวา ผลบวก หรือผลรวม (union) ของ A และ B ตวั อยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M ∪ L = M ตวั อยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W ∪ Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตวั อยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} จะได A ∪ B = {1,2,3,4,5} 2.2 การอนิ เตอรเ ซคชัน ใชสญั ลักษณ “ ∩ ” บทนิยาม A ∩ B = { x|x∈ A ∧ x∈B } เรยี กวา ผลตัด หรือผลทีเ่ หมอื นกนั (intersection) ของ A และ B ตวั อยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A ∩ B = {1 , 3}

39 ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M ∩ L = L ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได = { } 2.3 คอมพลีเมนตข องเซต ใชสัญลักษณ “ / ” บทนิยาม ถา U เปน เอกภพสัมพัทธ คอมพลีเมนตของ A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิก ท่ีอยูใน ∪ แตไมอยูใน A เขยี น A′ แทนคอมพลีเมนทของ A ดงั นั้น A′ = { x | x ∉ A } ตวั อยา ง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตวั อยา ง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จาํ นวนคู} จะได = { x |x U และ x เปนจาํ นวนค่ี } 2.4 ผลตา งของเซต ใชส ัญลักษณ “ – ” บทนยิ าม ผลตางระหวา งเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ซงึ่ ไมเปนสมาชิกของเซต B ผลตา งระหวางเซต A และ B เขยี นแทนดว ย A – B ซึ่ง A - B = { x | x ∈ A ∧x∉B}

40 ตวั อยาง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7} ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จาํ นวนคบู วก} จะได U – C = {x|x เปน จาํ นวนคบ่ี วก} สมบตั ิของเซตท่ีควรทราบ ให A,B และ C เปน สบั เซตของเอกภพสัมพัทธ U สมบตั ิตอ ไปน้ีเปน จริง 1) กฎการสลับที่ A∪B = B∪ A A∩B = B∩ A 2) กฎการเปลยี่ นกลมุ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B)∩ C 3) กฎการแจงแจง A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (A ∩ C) 4) กฎเอกลักษณ φ ∪ A = A∪φ = A U ∩ A = A∩U = A 5) A ∪ A′ = U 6) φ′ = U และ U ′ = φ 7) (A′)′ = A 8) A ∪ A = A และ A ∩ A = A 9) A − B = A ∩ B′ 10) A ∩φ = φ และ A ∪φ = A

41 แบบฝกหัดที่ 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A ∪ B ……………………………. 2). B ∪ A …………………………..…… 3). A ∩ B ............................................. 4). B ∩ A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….…. 2). กาํ หนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A ∩ B ……………………………………………………………………………………… 2. B ∪ C ……………………………………………………………………………………… 3. B ∩ C …………………………………………………………………………………….… 4. A ∩ C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C′..………………………………………………………………………………..…………. 6. C′ ∩ A ………………………………………………………………………………..…….. 7. C′ ∩ B ..………………………………………………………………………………..…… 8. (A ……………………………………………….…………………………………

42 เร่อื งท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญ หา 3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร การเขียนแผนภาพแทนเซตชวยใหเขาใจเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางเซตชัดเจนยิ่งขึ้น เรยี ก แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน-ออยเลอร เพอ่ื เปน เกยี รติแกนักคณิตศาสตรชาวองั กฤษ จอหน เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนกั คณิตศาสตรช าวสวสิ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซึง่ เปน ผคู ดิ แผนภาพเพื่อแสดงความสัมพันธร ะหวางเซต การเขยี นแผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) เพอ่ื แสดงความสมั พนั ธระหวา งเซตนยิ ม เขยี นรปู สเ่ี หลย่ี มมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ (U) และใชรูปวงกลม วงรี หรือรปู ปด ใด ๆ แทนเซต ตางๆ ซึ่งเปนสับเซตของ U ลกั ษณะตา ง ๆ ของการเขียนแผนภาพ มีดงั น้ี ซง่ึ แผนภาพเวนน-ออยเลอร เมอ่ื นํามาใชกบั การดําเนนิ การบนเซตแลว นั้นจะทาํ ใหผูเรียนเขาใจ ในเรื่องการดําเนินการบนเซตมากขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้ ยเู นยี น (Union) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณีตาง ๆ ของเซตใหมท ่ีเกิด จาก ไดจากสว นทแ่ี รเงา ดงั น้ี (ระบายพื้นที่ของทั้งสองเซตไมวาจะมีพื้นที่ซ้ํากนั หรือไมซาํ้ กนั )

43 อินเตอรเซกชนั (intersection) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหน็ กรณีตาง ๆ ของเซตใหมทีเ่ กิดจาก ไดจากสวนทีแ่ รเงา ดังนี้ คอมพลีเมนต (Complement) กาํ หนดให เซต A เปน สบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ U คอมพลเี มนตข อง A คือ เซตทป่ี ระกอบดวย สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไมเปนสมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย (อา นวา เอไพรม) และ เพอื่ ใหมองภาพไดชัดขน้ึ อาจใชแ ผนภาพของเวนน-ออยเลอรแ สดงการคอมพลเี มนตข องเซต A ได ดงั น้ี A′ คอื สว นท่แี รเงา ผลตาง (Relative Complement or Difference) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเ หน็ กรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท ี่เกิดจาก A - B ไดจ ากสว นทแ่ี รเงา ดงั น้ี (ระบายสีเฉพาะพื้นที่ของเซต A ทีไ่ มใชพื้นทขี่ องเซต B)

44 3.1 การหาจํานวนสมาชกิ ของเซตจาํ กัด • ถา เซต A และ B ไมมีสมาชิกรวมกันจะได n (A ∪ B) = n (A) + n (B) • ถา เซต A และ B มีสมาชิกบางตัวรวมกันจะได n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18 2) n (A ∩ B) = 6 4) n (A ∪ B) = 28 5) n ( A/ ) 6) n ( B / ) = 12 = 10 7) n (A ∩ B)/ = 22 8) n ( A/ ∪ B/ ) = 22 ตวั อยา งที่ 3 กาํ หนดให A มีสมาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตัว A ∩ B มีสมาชิก 7 ตัว จงหาจํานวนสมาชิกของ A ∪ B วธิ ที ํา n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A ∩ B ) = 7 จากสูตร n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดงั น้ัน จาํ นวนสมาชิกของ A ∪ B เทา กบั 20 ตวั