คณิตต้น

95 2.6 พน้ื ท่รี ปู หลายเหลย่ี ม การหาพ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ใชว ธิ ีแบง รูปหลายเหล่ียม เปนรูปสเี่ หลยี่ มยอยๆ แลว หาพ้ืนท่ี ของรปู แตล ะรูปนาํ ผลลัพธมารวมกนั แตบ างครงั้ อาจใชว ิธีตอ เติมรปู เพื่อใหเกิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลว นาํ มาหักลบกนั ดังตัวอยาง ตวั อยาง จงหาพ้นื ทรี่ ปู เหลยี่ มทแี่ รเงา วธิ ีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉากยอย 3 รูป คอื DEJC, FGKJ, ABKH จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนตเิ มตร พ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH = ( 2×6) + (1×4) + (3×10) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดังน้นั พ้ืนท่ีรูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร 2.7 พืน้ ทีร่ ปู วงกลม การหาพืน้ ที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบง ออกเปนสว นเลก็ ๆ แลว นําแตละสวนมาสลบั กัน ดัง รปู

96 จะเห็นไดว า ถายิ่งแบง สวนยอยใหมจี ํานวนมากขนึ้ รูปสีเ่ หลย่ี มท่ีไดจ ะมีรูปใกลเคียงกบั รปู สเ่ี หล่ยี มผนื ผา โดยมสี วนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ 1 (2πr) = πr 2 จากสตู ร พื้นท่ี ผืนผา = ฐาน × สงู = (πr)× r = πr 2 สูตร พืน้ ทวี่ งกลม = πr 2 เมอื่ π = 22 หรอื 3.14 โดยประมาณ 7 r แทนความยาวรัศมี ตวั อยา ง จงหาพื้นท่วี งกลมท่ีมีรศั มียาว 7 เซนติเมตร วธิ ที าํ พ้นื ทว่ี งกลม = πr 2 พน้ื ทีว่ งกลม = = 22 × 7 × 7 ตารางเซนตเิ มตร 7 154 ตารางเซนตเิ มตร

97 แบบฝก หัด 5 1. จงหาพืน้ ทส่ี ว นที่แรเงา ตัวเลขท่เี ขียนกาํ กับดา นมหี นวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทนจุด ศนู ยกลางของวงกลม 1

98 สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

99

100 เร่อื งที่ 4 การแกโ จทยปญหาเก่ียวกบั พน้ื ทใ่ี นสถานการณตางๆ ตัวอยาง ทีด่ ินรูปส่เี หลย่ี มผนื ผากวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทําถนนในที่ดินกวาง 1 วา โดยรอบถนนจะมีพ้นื ทก่ี ่ีตารางวา วธิ ีทํา พนื้ ท่ีทงั้ หมด = 12 × 20 พน้ื ทรี่ ูปใน = 240 ตารางวา พน้ื ทีถ่ นน ∴ พน้ื ทถ่ี นน = 10 × 18 = 180 ตารางวา = 240 – 180 = 60 ตารางวา ตวั อยาง หองๆ หนง่ึ 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตอ งการปกู ระเบ้อื งรูปส่เี หลย่ี มจตั ุรสั ซงึ่ มีความกวาง ดา นละ 25 เซนตเิ มตร จะตอ งใชก ระเบ้อื งก่แี ผน วธิ ที าํ หอ งหน่ึงมคี วามยาว 6.5 เซนตเิ มตร = 650 เซนตเิ มตร ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนตเิ มตร พื้นทีห่ อง = 400 × 650 = 260,000 เซนตเิ มตร พน้ื ที่กระเบอื้ ง = 25 × 25 = 625 ตารางเซนติเมตร ตอ งใชก ระเบ้ือง = 260,000 = 416 แผน ดังน้นั ตองใชกระเบื้อง 416 แผน 625

101 แบบฝกหัด 6 1. แผนผังบา นหลงั หนง่ึ มีลกั ษณะและขนาดดงั รปู ถา บริเวณท่แี รเงาตองการเทปูนซเี มนต โดยเสยี คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปนเมตร 2. ตองการตัดเสื้อตัวหนึ่งมลี ักษณะดังรูป จะตองใชผา กต่ี ารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่ กาํ หนดมหี นวยเปน เซนตเิ มตร

102 เรอื่ งท่ี 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก ในชีวิตประจําวันบางครั้งเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรือนาํ้ หนกั ของส่ิงตา งๆ แตไมสะดวกที่จะวัดสงิ่ ตางๆ เหลานน้ั เนื่องจากมขี อจํากัดบางประการ ตัวอยางเชน ตองการวัดความยาว และความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่ เหมาะสม ทําใหตองมีกี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความ เปนจรงิ บาง เราเรยี กวิธีการประมาณในลักษณะน้ีวา การคาดคะเน การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนาํ้ หนกั ของส่ิงตางๆ ผู คาดคะเนมักใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละครั้งอาจ ถกู ตองพอดี หรืออาจมขี อผิดพลาดเกิดข้ึนบางก็ได เราเรยี กขอ ผดิ พลาดนว้ี า ความคลาดเคลอื่ น และ ความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจากผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วัดไดจริง เชน คะเนวา หนงั สือเรยี นกวา ง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเมื่อ วดั จรงิ พบวา หนงั สอื เรยี นกวาง 14.6 เซนตเิ มตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร ดังนั้น คะเนความกวาง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0 เซนตเิ มตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนตเิ มตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9 เซนตเิ มตร สว นความหนาคาดคะเนไดถูกตองไมคลาดเคลื่อนเลย ) หมายเหตุ บางคร้ังอาจพบการใชสัญลกั ษณ ± ตามความคลาดเคลื่อน เชน เครื่องบรรจุนา้ํ ไดข วดละ 1,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร ± 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลว นํ้าดม่ื ท่ี บรรจขุ วดโดยเครอ่ื งน้จี ะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตร มากกวา หรอื นอ ยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรท่ีคลาดเคลือ่ นนไ้ี มเกิน 5 ลูกบาศก เซนติเมตร นั่นคือ นํ้าดื่มที่บรรจุขวดจะมีปริมาตรตั้งแต 995 ลูกบาศกเ ซนติเมตร ถงึ 1,005 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร

103 แบบฝกหดั 7 1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้ 1) ฟาใกลส วาง อากาศเยน็ สบาย ไกตวั ผูต ีปก และสง เสียงขัน มนี ํ้าคา งจบั ตามยอดหญา นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า 2) เมอ่ื อยูกลางแจงดวงอาทิตยอยตู รงศีรษะพอดี เงาของตัวเองอยบู นพ้นื ทยี่ ืนอยพู อดี นาจะ เปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า 3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรู ฟาสวางแลว แตยงั ไมเ ห็นพระอาทิตย ทอ งฟาขมุกขมัว อากาศหนาวเยน็ จดั นา จะเปนฤดู....................และควรจะเปน ชว งเดือน..................... 2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ ขนาดของสิ่งตอไปนี้ 1) ความยาวของคัตเตอร ก. 1.5 มลิ ลิเมตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร 2) นาํ้ หนกั ของมะพรา ว 1 ผล ก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตนั 3) ปริมาณของนม 1 กลอ ง ก. 4 ×5×12 เซนติเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟตุ 3 ค. 4 ×5×12 เมตร3 4) รถกระบะ 4.1 มีน้าํ หนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรมั ค. 1 ตนั 4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนติเมตร ข. 16 ฟตุ ค. 16 เมตร 4.3 ความยาว ก. 5 ฟตุ ข. 5 เมตร ค. 5 วา 4.4 ความสงู ก. 160 มิลลเิ มตร ข. 1,600 มลิ ลเิ มตร ค. 16,000 มิลลเิ มตร 5) เกาอี้นง่ั 5.1 กวาง ยาว สงู ก. 40 ×50×80 มลิ ลเิ มตร3 ข. 40 ×50×80 เซนตเิ มตร3 ค. 4 ×5×8 เมตร3 5.2 นาํ้ หนกั ก. 10 กโิ ลกรมั ข. 100 กโิ ลกรมั ค. 1 ตนั

104 3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบน ทางหลวงสายนต้ี ลอดเสน ทางดว ยอตั ราเรว็ 80-100 กิโลเมตรตอ ช่วั โมง (1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร (2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬิกา จะถึงแมสายในชวงใด (3) ถาตองการใหถ งึ แมส ายประมาณเทย่ี งวนั ท่ี 16 กันยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลา เทาไร 4. ลฟิ ตของโรงแรมแหงหน่ึงบรรทกุ ผูโดยสายไดเ ทย่ี วละไมเ กนิ 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมี ผูโดยสารเขา ลิฟตเพยี ง 8 คน ลฟิ ตจะมีเสยี งเตือน บางครง้ั มีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมม เี สียงเตือนยงั ใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย 5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กิโลเมตร ทาง หลวงสายมิตรภาพ (กรงุ เทพฯ-จังหวดั หนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ- จงั หวดั ตราด) 400 กโิ ลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสู จังหวัดหนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดว ยอตั ราเรว็ ในชว ง 90-100 กโิ ลเมตรตอ ช่ัวโมง จะใช เวลาประมาณกี่ชั่วโมง (2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬกิ า วันน้ี จะ ถึงจังหวัดนราธวิ าสเมอื่ ใด โดยใชอัตราความเรว็ 100 กิโลเมตรตอช่ัวโมง (3) ถาตองการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปจังหวัดตราดทางหลวงสายสุขุมวิท และถึงจังหวัด ตราดประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาใด เมื่อใชอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรตอ ชัว่ โมง (4) ใหนักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย

105 บทท่ี 6 ปริมาตรและพนื้ ท่ีผวิ สาระสําคัญ การหาพื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของ ปรซิ มึ พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน จะตอ งรกู ระบวนการคิด และการใชส ูตร เพื่อสะดวกในการคาํ นวณอนั จะเปนประโยชนต อ การ นําไปใชใ นชีวติ จริง ผลการเรียนรูทคี่ าดหวัง 1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา ปริมาตรและพน้ื ทผี่ วิ ของปริซึมได 2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรยี บเทยี บหนวย ความจุ หรอื หนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรือตา งระบบ และ เลอื กใชห นว ยการวัดเกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอ ยา งเหมาะสม 5. ใชความรเู กี่ยวกบั ปริมาตรและพืน้ ท่ีผวิ แกป ญหาในสถานการณตา งๆ ได 6. ใชการคาดคะเนเก่ียวกบั ปริมาตรและพืน้ ทผี่ ิวในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องท่ี 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพ้นื ท่ผี ิวและปริมาตรของปรซิ ึม เร่ืองท่ี 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก เร่ืองที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร เร่ืองท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ยี วกับปรมิ าตรและพ้ืนที่ผวิ เรื่องท่ี 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพืน้ ทีผ่ วิ

106 เรือ่ งที่ 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพน้ื ที่ผิวและปรมิ าตรของปรซิ มึ พน้ื ที่ผวิ และปรมิ าตรของปริซมึ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหนา ตดั (ฐาน) ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและ อยูใ นระนาบท่ขี นานกัน มีหนา ขา งเปน รปู สเ่ี หลีย่ มดานขนาน เรียกวา ปรซิ มึ สว นตา งๆ ของปรซิ มึ มีชอื่ เรียกดงั นี้ เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึมดังตัวอยาง ปรซิ มึ สเ่ี หลย่ี มผืนผา ปรซิ ึมสามเหลีย่ ม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู ปริซมึ หา เหลยี่ ม ปรซิ ึมหกเหล่ียม สตู ร การหาพ้ืนที่ผิวของปรซิ ึม = พื้นทผี่ วิ ขาง + พนื้ ที่ผิวหนาตัด ปริมาตรปริซึม = พื้นทฐ่ี าน x สงู

107 ตวั อยา ง 1 จงหาพนื้ ที่ผิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กาํ หนดความยาวทห่ี นว ยเปน เซนติเมตร วธิ ีทาํ พืน้ ท่ผี วิ ดา นขาง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตารางเซนตเิ มตร พนื้ ท่ีหนา ตัด = 2 ( 3 x 4) = 24 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ทผ่ี วิ ของปรซิ ึม = 70 + 24 = 94 ตารางเซนตเิ มตร ตัวอยา ง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวท่ีกาํ หนดใหม หี นวยเปน เมตร) วิธที าํ ปริมาตรปริซึม = พน้ื ที่ฐาน x สงู = (4 x 5) x 8 = 160 ลูกบาศกเมตร แบบฝกหดั ท่ี 1 จงหาพื้นทีผ่ วิ และปรมิ าตรของปริซมึ ตอไปนี้

108 เรอ่ื งท่ี 2 การหาปรมิ าตรและพ้นื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก ทรงกระบอก คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบ ท่ีขนานกัน ซง่ึ เมื่อตดั ทรงสามมติ ินี้ดว ยระนาบท่ีขนานกบั ฐานแลว จะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากัน ทุกประการกับฐานเสมอ พ้ืนทผ่ี วิ ของทรงกระบอก เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปน รปู สี่เหลี่ยมผืนผาทีม่ คี วามยาวเทา กบั เสน รอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก สูตร พน้ื ที่ผวิ ของทรงกระบอก = พ้ืนทผี่ ิวขาง + พ้ืนท่ีฐานทงั้ สอง = 2πrh + 2πr 2 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทน ความสูงของทรงกระบอก

109 ปริมาตรทรงกระบอก = พ้ืนท่ีฐาน x สงู จาก ปริมาตรของปริซึม = πr 2 h ปริมาตรทรงกระบอก สตู ร ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2 h ตัวอยางท่ี 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนตเิ มตร และสูง 10 เซนติเมตร ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทั้งสองจะตองใชกระดาษกี่ตาราง เซนตเิ มตร ข) กระปองใบน้มี ีความจุก่ลี ูกบาศกเซนตเิ มตร วธิ ที าํ ก) พ้ืนทฐ่ี านทง้ั หมด = 2πr 2 = 2 × 22 × 7 × 7 7 = 308 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สงู = 2πr × h พืน้ ทผ่ี ิวกระปอ ง = 2 × 22 × 7 ×10 7 = = 440 ตารางเซนตเิ มตร = 308 + 440 748 ตารางเซนตเิ มตร ข) ปริมาตร = พื้นท่ฐี าน x สงู = πr 2 h = 22 × 7 × 7 ×10 7 = 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร ดงั น้ัน ก. ตองใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร ข. กระปองมีความจุ 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร

110 แบบฝก หดั ท่ี 2 1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 นวิ้ และสงู 5 นว้ิ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. จงหาปรมิ าตรและพ้ืนท่ผี วิ ท้ังหมดของถังเกบ็ นํา้ รูปทรงกระบอกใบหนงึ่ ที่มรี ัศมีท่ีฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

111 เรื่องที่ 3 การหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ กรวยและทรงกลม 3.1 พืน้ ที่ผวิ และปรมิ าตรของพีระมิด พรี ะมิด คอื ทรงสามมิติทมี่ ฐี านเปนรปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูใ นระนาบเดียวกบั ฐาน และหนา ทุกหนา เปน รปู สามเหลีย่ ม ที่มีจุดยอดรว มกันทย่ี อดแหลม ลักษณะของพรี ะมดิ ตรง 1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. สันของพรี ะมิดตรงจะยาวเทากันทุกเสน 3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทา จะยาวเทากันทุกเสน 4. ปริมาตรของพีระมิด เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเทากับพีระมิด และมี สวนสูงเทากบั พรี ะมิด สูตร พื้นทผ่ี ิวขา งของพีระมดิ = 1 × ความยาวรอบฐาน x สงู เอยี ง 2 พ้ืนท่ีผวิ ทั้งหมดของพีระมดิ = พ้ืนท่ีผวิ ขา ง + พ้นื ทฐี่ าน ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พืน้ ที่ฐาน x สูง 3

112 ตวั อยางท่ี 3 พรี ะมิดฐานส่ีเหลย่ี มผืนผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของ พรี ะมิดเปน 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน 1. ความสูงเอียงดานกวาง a 2 = 122 + 92 =144 + 81 a 2 = 225 a =15 เซนตเิ มตร 2. ความสูงเอียงดานยาว c 2 = 52 + 12 2 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนตเิ มตร ตัวอยางท่ี 4 พรี ะมิดแหง หนึ่งมีฐานเปน รปู สี่เหลยี่ มจัตรุ ัส ยาวดา นละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และ สูงตรง 4 เมตร จงหาพน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมดิ วธิ ที าํ พนื้ ท่ผี วิ ขา งของพีระมิด = 1 × ความยาวรอบฐาน x สงู เอยี ง พนื้ ทฐ่ี าน 2 ดังนัน้ พนื้ ท่ผี ิวของพีระมดิ ปริมาตรของพีระมิด = 1 × (6x4) x 5 2 = 60 ตารางเมตร = 6x6 = 36 ตารางเมตร = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร = 1 × พน้ื ท่ีฐาน x สงู 3 = 1 × 36 x 4 3 = 48 ลูกบาศกเมตร

113 แบบฝก หัดที่ 3 1. จงหาปรมิ าตรและพ้นื ท่ผี ิวท้งั หมดของพีระมดิ ทส่ี งู 6 เซนติเมตร ฐานเปนรปู สเี่ หลย่ี มจัตรุ สั ยาว ดา นละ 16 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สงู เอยี ง 7.5 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

114 3.2 พนื้ ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของทรงกรวย กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ่ีมฐี านเปนรปู วงกลม มยี อดแหลมทไี่ มอยบู นระนาบเดยี วกับฐาน และเสนท่ตี อ ระหวางจุดยอดกบั จุดใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรียกเสนตรงนวี้ า “สงู เอยี ง” สงู ตรง สูงเอยี ง พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย การหาพ้นื ทผ่ี ิวเอียงของกรวย ทําไดโ ดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลว คล่แี ผอ อกจะเกดิ เปน รูปสามเหลี่ยมฐานโคง h สูตร พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย = πrl + πr 2 เมือ่ r เปนรัศมีของฐานกรวย l เปนความยาวของสูงเอียง ปริมาตรของกรวย ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธของ ปรซิ ึมกับพีระมดิ ทม่ี ีสวนสูงและพ้ืนท่ีฐานเทา กนั น่ันคอื

115 ปริมาตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับ 3 กรวย สตู ร ปริมาตรของกรวย = 1 × πr 2 h 3 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย h แทน ความสูงของกรวย ตวั อยา งท่ี 6 จงหาพ้ืนทผ่ี วิ และปรมิ าตรของกรวย ซงึ่ สงู 24 เซนตเิ มตร และเสน ผา นศูนยก ลาง 14 เซนตเิ มตร รัศมี = 14 = 7 เซนตเิ มตร วธิ ที ํา 2 หาความสูงเอียง (l) จาก  ABO l 2 = 242 + 7 2 = 576 + 49 = 625 l = 25 เซนตเิ มตร พ้นื ทผี่ ิวขาง = πrl พ้นื ทฐี่ าน = 22 × 7 × 25 = 7 = 550 ตารางเซนตเิ มตร = πr 2 = 22 × 7 × 7 7 154 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ที่ผิวทั้งหมด = พน้ื ท่ีผวิ ขา ง + พืน้ ท่ีฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของกรวย = 1 × πr 2 h 3 = 1 × 22 × 7 × 7 × 24 37 = 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร พน้ื ท่ผี ิวทัง้ หมด 704 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของกรวย 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร

116 แบบฝก หดั ท่ี 4 1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสน ผานศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนตเิ มตร มีเสน ผานศูนยก ลาง 8 เซนตเิ มตร (ตอบในรูป π) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว ทรงกระบอก 30 เซนตเิ มตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

117 3.3 พ้ืนท่ผี ิวและปริมาตรของทรงกลม ทรงกลม คอื ทรงสามมติ ทิ ี่มีผวิ โคงเรยี บ และจุดทุกจุดอยูบนผิวโคงอยหู า งจากจุดคงที่จดุ หน่ึงเปนระยะเทากนั จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม ระยะท่เี ทากนั เรยี กวา รศั มีของทรงกลม พนื้ ท่ีผิวของทรงกลม พ้ืนที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลม จาก พ้นื ทข่ี องรปู วงกลม = πr 2 ดงั น้ัน พน้ื ที่ผิวของทรงกลม = 4 πr 2 สูตร พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 4 πr 2 ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของครึ่ง วงกลมกับปริมาตรของกรวย ขอ กาํ หนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หนว ย 2) กรวยที่มีรัศมีเทากับครึ่งทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทา ของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2 r หนว ย

118 สตู ร ปริมาตรของทรงกลม = 4 πr 3 3 เม่อื แทน r รัศมีของทรงกลม ตัวอยางที่ 7 จงหาปรมิ าตรและพนื้ ท่ีผิวของลูกโลกพลาสตกิ ซง่ึ มีรัศมยี าว 7 เซนติเมตร วิธีทาํ พ้นื ทผ่ี ิวทรงกลม = 4 πr 2 = 4 × 22 × 7 × 7 7 = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรทรงกลม = 4 πr 3 3 = 4 × 22 × 7 × 7 × 7 37 = 4,312 3 = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

119 แบบฝกหัดที่ 5 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลกู บาศกเซนตเิ มตร จงหารัศมแี ละพน้ื ท่ีผวิ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. ทรงกลมมีพ้นื ทผี่ วิ 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. โลหะกลมลูกหน่งึ รศั มภี ายนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภายใน 7 เซนตเิ มตร จงหาปรมิ าตรเนอ้ื โลหะ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

120 เร่ืองที่ 4 การเปรยี บเทยี บหนว ยปรมิ าตร การตวง คือ การนําส่ิงทต่ี องการหาปริมาตรใสใ นภาชนะท่ีใชส ําหรบั ตวง หนว ยการตวง ท่ีนยิ มและใชก นั มาก คอื ลติ ร 1 ลติ ร = 1,000 มลิ ลิลิตร 1,000 ลติ ร = 1 กิโลลติ ร เมือ่ เทียบกับหนว ยปรมิ าตร หนว ยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงที่นิยมใชกันมาก คอื 1 ถัง = 20 ลติ ร (ทะนานหลวง) 1 เกวียน = 100 ถัง 1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร 1 เกวียน = 2,000 ลติ ร 1 ลติ ร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 10 มิลลิลติ ร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลติ ร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร 1 ลูกบาศกนวิ้ = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลกู บาศกน้ิว = 0.0164 ลติ ร 1 ลกู บาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกนิว้ 1 ลกู บาศกฟ ตุ = 28.32 ลติ ร 1 บารเ รล = 158.98 ลติ ร

121 ตัวอยางท่ี 1 อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง กวา ง 30 เซนตเิ มตร ยาว 50 เซนติเมตร และสูง 40 เซนตเิ มตร 1. อา งใบนจ้ี ุน้าํ ก่ลี ิตร 2. ถามนี ้ําบรรจุเต็มอาง และนาํ้ 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรมั จงหานํ้าหนักของ นาํ้ ในอางใบนี้ วิธที าํ 1. ปริมาตรของอางนํา้ = ความกวาง × ความยาว × ความสูง แทนคา ปริมาตรของอางน้ํา = 30 × 50 × 40 = 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เมอ่ื เทยี บกบั หนว ยปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติ ร 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 60,000 = 60 ลติ ร 1,000 2. น้าํ 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 1 กรมั นํ้า 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 60,000 กรมั = 60,000 = 60 กโิ ลกรมั 1,000 ตอบ 60 กโิ ลกรมั 4ตัวอยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตร สูง 5 เมตร คดิ เปน ปรมิ าตรของนาํ้ กล่ี ิตร วิธีทาํ ปริมาตร = πr2 h = 22 ×1.5 ×1.5 × 5 7 = 35.36 ลูกบาศกเมตร = 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร = 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เนอ่ื งจาก 1,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร = 1 ลติ ร ดังน้นั 35,360,000 ลกู บาศกเซนติเมตร = 35,360,000 = 35,360 ลติ ร 1,000

122 แบบฝก หัดที่ 6 1. สระแหง หนง่ึ เปน รูปสี่เหล่ียมผนื ผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถา ใชเ คร่อื งสบู นํา้ ออกจากสระไดนาทีละ 9,000 ลิตร จะตองใชเ วลาสูบนํ้าเทา ไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จนุ ้ํา 540 ลิตร ตองการปู กระเบอ้ื งภายในอา งดว ยแผนกระเบ้อื งรปู สเี่ หลีย่ มจัตุรสั ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชก ระเบอ้ื ง อยางนอ ยทสี่ ดุ เทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. นายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มลิ ลิลิตร ใชอ มปว นปากคร้ังละ 10 มลิ ลลิ ิตร วันละ 2 คร้ัง จะใชไดก่ีวัน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จุนํ้าไดกี่ลิตร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สงู 1.20 เมตร บรรจุนํา้ เตม็ ถัง ถาตอ งการตวงนา้ํ จากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดนํ้าทง้ั หมดกีแ่ กลอน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

123 เร่อื งที่ 5 การแกโ จทยปญ หาเกีย่ วกับปรมิ าตรและพื้นทีผ่ ิว ตัวอยาง ลังกระดาษบรรจุกลองซีดี วัดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตร และสูง 15 เซนตเิ มตร และบรรจุกลอ งซดี เี ตม็ ลังพอดี ลงั กระดาษน้มี ปี รมิ าตรเทา ไร และถา หยบิ กลอ ง ซดี อี อกมา 1 กลอ ง ซงึ่ มปี รมิ าตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดีจะหนาเทาไร วิธที าํ ลังกระดาษมีปริมาตร = พ้นื ทฐ่ี าน x สูง = (12 x 14) x 15 = 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร กลอ งซดี ี 1 กลอง มีปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x หนา 270 = (12 x 15) x หนา หนา = 270 กลอ งใสซีดมี คี วามหนา = 12 ×15 1.5 เซนตเิ มตร ลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตร ตวั อยาง นาํ้ ขนั ครง่ึ วงกลมรัศมี 3 น้ิว ตักนํ้าใสถ งั ทรงกระบอกทีม่ ีรศั มี 10 น้ิว และสงู 27 น้ิว กี่คร้ัง นาํ้ จงึ จะเตม็ ถงั วิธีทํา ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = 1 ของปริมาตรของทรงกลม 2 = 1 × 4 πr 3 23 = 1 × 4 ×π ×3×3×3 23 = 18 π ลูกบาศกน ิว้ ปริมาตรถังทรงกระบอก = πr 2 h = π ×102 × 27 = 2,700 π ลูกบาศกน้วิ จะตองตักนาํ้ = 2,700π ครัง้ ตอบ 18π = 150 คร้ัง 150 ครงั้

124 แบบฝกหดั ท่ี 7 1. ถังเกบ็ นาํ้ มนั ของปมแหง หนึ่งเปนรปู ทรงกลม มีเสน ผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่ง ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสน ผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นว้ิ ยาว 11 น้ิว หนา 5 นว้ิ ไปหลอมเปน ลูกปน ทรงกลม ขนาดรัศมี 1 นิ้ว จะหลอมไดกี่ลูก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

125 เร่ืองท่ี 6 การคาดคะเนเกย่ี วกับปรมิ าตรและพ้นื ทีผ่ ิว การคาดคะเนพื้นที่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณ และความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจ เพื่อใหใกลเคียงกับ พน้ื ทจ่ี ริงมากท่ีสุด หนวยพนื้ ที่ทน่ี ิยมใช คือ ตารางเซนติเมตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา (วา2) การคาดคะเนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ตวั อยา ง จงคะเนหาพนื้ ที่รูปหลายเหลย่ี มตอไปน้ี

126 วธิ ีคดิ ในบางคร้งั การหาพ้ืนท่ีรปู หลายเหล่ยี มตางๆ ทไี่ มไ ดระบหุ นวยความยาว เราอาจจะใช วธิ ีการสรางหนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพื้นท่ดี งั กลาว โดยกาํ หนด แทนพน้ื ท่ี 1 หนวย หรอื แทนพืน้ ท่ี 1 ตารางเซนตเิ มตร หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเมตร หรอื แทนพน้ื ท่ี 1 ตารางวา จากรูปภาพนับรปู ได 22 รูป ซงึ่ แทนพน้ื ท่ี 22 ตารางหนว ย ดงั นนั้ พน้ื ท่ีรปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนวย

127 บทท่ี 7 คูอันดบั และกราฟ สาระสําคัญ คอู ันดับ เปน การจบั ครู ะหวางสมาชิกสองตวั จากกลุม เพ่อื นําไปจดั ทํากราฟบนระนาบพกิ ัด หาปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุด ผลการเรียนรูทีค่ าดหวงั 1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดใหได 3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดที่กําหนดใหได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 คูอ ันดับ เร่ืองท่ี 2 กราฟของคูอ ันดับ เร่ืองท่ี 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช

128 เรือ่ งที่ 1 คูอ ันดบั คอู ันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม 2 กลมุ ท่ีมี ความสัมพนั ธภายใตเ ง่ือนไขทีก่ ําหนด เขยี นแทนดว ยสัญลักษณ (a , b) อา นวา คอู นั ดับเอบี เรียก a วา สมาชิกตวั หนา หรือสมาชิกตัวที่หนง่ึ และเรียก b วา สมาชิกตัวหลัง หรอื สมาชกิ ตัวที่สอง ดงั แผนภาพ เขยี นเปนคูอันดับไดดงั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48) หมายเหตุ คูอ ันดบั (1,a) ≠ (a,1) ถา กาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคูอันดับ 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อ เมื่อ a = x และ b = y เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12) ดงั นนั้ x = 5 และ y = 12 2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0) วิธที ํา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0 ดังน้ัน x = 3 และ y = 2

129 แบบฝก หัดที่ 1 1. จงเขยี นคอู ันดบั จากแผนภาพทก่ี าํ หนดให 2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขทก่ี าํ หนดให ตอไปน้ี ในแตล ะขอ ตอไปน้ี 1). 1). (x,y) = (4,3) …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 2). 2). (x,y) = (y,2) …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 3). …………………………………………… 3). (x,0) = (6,y) …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 4). (x+1,y) = (5,4) …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

130 เร่อื งที่ 2 กราฟของคอู ันดับ กราฟของคูอ ันดับเปนแผนภาพทีแ่ สดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึง่ กลับ สมาชิกของอีกกลุม หนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที่ ตาํ แหนง ของจดุ ทแ่ี ทนศนู ย (0) ซง่ึ เราเรยี กวา จดุ กาํ เนิด ดงั ภาพ เสน จาํ นวนในแนวนอน หรอื แกน X และเสน จาํ นวนในแนวตง้ั หรอื แกน Y อยูบนระนาบ เดยี วกนั และแบง ระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant) การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทีก่ ําหนดให

131 ตาํ แหนง ของจุด A คอื (1,2) ตาํ แหนง ของจุด B คอื (-2,3) ตาํ แหนง ของจุด C คอื (-3,-2) ตาํ แหนง ของจุด D คอื (2,-4) เรยี กจดุ ทแี่ ทนตําแหนง คูอนั ดับวากราฟของคูอนั ดบั และเรียกตาํ แหนงของคูอันดับวา พกิ ดั ตัวอยา ง กาํ หนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จดุ A, B, C, D อยูในจตุภาคใด วิธีทํา จดุ A = (-4,6) อยูในจตภุ าคที่ 2 จดุ B = (3,-5) อยูใ นจตุภาคที่ 4 จดุ C = (2,2) อยูในจตุภาคท่ี 1 จดุ D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคที่ 3

132 แบบฝก หดั ที่ 2 1. จงหาพกิ ดั ของจดุ A, B, C, D ในแตล ะขอ 1.1 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 1.2 ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

133 2. จงเขียนกราฟของคูอันดับในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0) 2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

134 เร่ืองที่ 3 การนาํ คูอ ันดบั และกราฟไปใช เราสามารถนาํ คูอนั ดับและกราฟไปใชในชีวิตประจําวันได ซึ่งจะกลา วในตัวอยางตอไปนี้ ตวั อยา งที่ 1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และรา คาน้ํ ามัน (บาท) ของวนั ที่ 5 เ ดือน มีนาคม ป 2552 4 ซึ่งมีราคาลิตรละ 19 บาท วธิ ที ํา 4 ราคาน้ํามนั (บาท) ปริมาณนํ้ามนั (ลติ ร) ตวั อยางท่ี 2 จากกราฟในตัว อยางที่ 1 จงต อบคําถามตอไ ปน้ี 4 (1) น้ํามนั 9 ลิตร ราคาเทาใด (2) เงนิ 209 บาท ซ้ือน้ํามันไดกีล่ ติ ร วิธีทาํ 4

135 (1) จากตาํ แหนง แสดงปรมิ าณนาํ้ มนั 9 ลติ ร ลากเสนตรงใหข นานกบั แกนตง้ั ไป ตดั กราฟและจากจุดทต่ี ดั กราฟลากเสน ตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงิน 171 บาท ดงั นัน้ นํา้ มัน 9 ลติ ร เปนราคา 171 บาท (2) จากตาํ แหนง แสดงราคานาํ้ มนั 209 ลติ ร ลากเสน ตรงใหข นานกบั แกนนอนไปตัดกราฟและ จากจดุ ทต่ี ัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลติ ร ดงั นน้ั เงิน 209 ลติ ร จะซ้ือนํ้ามันได 11 ลติ ร แบบฝกหัดที่ 3 กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ จงใชกราฟที่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้ 1.อนวุ ัฒนอ อกเดนิ ทางกอนอนุพันธก ชี่ วั่ โมง 4.อนวุ ัฒนอ อกเดนิ ทางนานเทา ไรจงึ จะหยดุ พกั ................................................................. ................................................................. 2.อนุพันธใชเ วลาเดนิ ทางกชี่ ั่วโมงจงึ ทนั อนุวัฒน 5.ตาํ แหนง ท่ีอนวุ ัฒนห ยุดพกั หางจากตําแหนงที่ อนุพนั ธอ อกเดินทางก่ีกิโลเมตร ................................................................. ................................................................. 3. อนุพนั ธเดินทางทันอนวุ ัฒนเมือ่ ทั้งสอง เดนิ ทางไดกก่ี ิโลเมตร .................................................................

136 บทท่ี 8 ความสมั พนั ธร ะหวา งรปู เรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิ สาระสําคัญ รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มีความสัมพันธกันเปนอยางมาก เหมาะที่จะนําไปใชใน การประดิษฐเปนรูปลูกบาศกและใชประโยชนในชีวติ ประจาํ วัน ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวัง 1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติที่กําหนดใหได 2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสาม มติ ทิ ่ีกาํ หนดใหได 3. วาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมติ ิทไ่ี ด จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนได ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจากการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ เร่ืองที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก

137 เรอื่ งท่ี 1 ภาพของรปู เรขาคณติ สองมิตทิ ่เี กิดจาการคล่ีรูปเรขาคณิตสามมติ ิ รูปเรขาคณิตมีสวนเกีย่ วของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตั้งแตอดีตจนถึงปจจุบัน สิ่งแวดลอมตางๆ ที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนีเ้ ราใชเรขาคณิตเพือ่ ทําความเขาใจหรืออธิบายสิ่งตางๆ รอบตวั เชน ในการสํารวจพ้นื ที่ สรางผังเมือง เปนตน ภาพของรูปเรขาคณิต รูปเรขาคณิต เปนรูปที่ประกอบดวย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนึง่ อยา ง ตวั อยางภาพเรขาคณิตสองมิติ ตัวอยางรูปเรขาคณิตสามมิติ จะเห็นวา รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติ มีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติ และสองมิติ

138 รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ รูปคลี่ของรปู เรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติใดๆ เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่สามารถ นํามาประกอบกันแลวไดทรงสามมิติ พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวย เทา กัน ซ่ึงเรา เรียกทรงส่เี หล่ียมมุมฉากน้ีวา “ลูกบาศก”

139 แบบฝก หัดที่ 1 1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ่ีมีรปู คลี่ดงั ตอ ไปนี้ 1. ……..………………………...…. 2. ….………………………………. 3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

140 2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปนี้

141 เรือ่ งที่ 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดานหนา ดา นขา ง หรอื ดานบนของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ นยิ มเขยี น 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวย ภาพท่ไี ดจากการมองทางดา นหนา ดา นขา ง และดานบน ดัง ตวั อยาง ตวั อยา ง จงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนที่เปนดานบน ดานหนา และดานขางของ ทรงสามมิติที่กําหนดใหตอไปนี้

142 วิธที าํ

143 แบบฝก หดั ที่ 2 จงเขียนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให

144 เรือ่ งท่ี 3 การวาดหรอื ประดิษฐรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบข้นึ จากลกู บาศก พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกตอไปนี้ จะเหน็ วา เมื่อเขยี นรูปเรขาคณติ สองมิติ แสดงภาพทไ่ี ดจ ากการมองดา นหนา ดานขาง และ ดา นบนดงั ภาพ จะเหน็ วาการเขียนรูปเรขาคณติ สองมติ ิ เพอื่ แสดงรูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ี่ประกอบขน้ึ จาก ลูกบาศก เราสามารถเขียนจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในดานที่มองทั้งสาม ดานดังภาพตอ ไปน้ี