คณิตต้น

45 แบบฝกหดั ที่ 10 1. ใหนกั ศกึ ษาแกป ญหาโจทยต อไปน้ี 1) เชอื กยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนงึ่ ยาว 5.2 เมตร มาผกู ตอกันทําใหเสียเชือกตรง รอยตอ 0.15 เมตร นาํ เชือกทีต่ อ แลวมาวางเปนรปู สเี่ หล่ียมผนื ผา ใหด า นกวา งยาวดา นละ 1.5 เมตร ดา นยาวจะยาวดา นละกเ่ี มตร ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 2. น้ําตาลถุงหน่งึ หนัก 9.35 กิโลกรมั จํานวน 16 ถงุ ใชท าํ ขนมเฉลย่ี แลว วนั ละ 4.4 กิโลกรมั จะใชนํา้ ตาลไดทั้งหมดกว่ี ัน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 3. หองรปู สี่เหลย่ี มผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นาํ กระเบ้อื งรูปสเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสขนาด 32 ตารางเซนติเมตร มาปูหอ งจะตองใชก ระเบื้องกี่แผน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 4. มีทองคําแทงหนึง่ หนกั 12.04 กรัม ซื้อเพ่ิมอกี 25.22 กรัม แบง ขายไปสองครงั้ หนกั ครัง้ ละ 8.02 กรมั ที่เหลอื นําไปทําแหวน 5 วง หนกั วงละ 3.45 กรัมเทา ๆ กัน จะเหลือทองอีกก่ีกรมั ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………

46 บทท่ี 3 เลขยกกาํ ลงั สาระสําคัญ สญั ลักษณข องการเขยี นแทนการคูณจาํ นวนเดยี วกนั ซํา้ ๆ หลาย ๆ ครงั้ เขยี นแทนดว ย an อา นวา a ยกกําลัง n และการเขยี นแสดงจาํ นวนในรปู สัญกรณว ิทยาศาสตรได ผลการเรยี นรูทคี่ าดหวัง 1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่ กาํ หนดใหได 2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชใ นการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได 3. อธิบายการคณู และหารของเลขยกกาํ ลังทมี่ ีฐานเดียวกนั และเลขชกี้ าํ ลงั เปน จํานวนเต็มได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

47 เรอื่ งที่ 1 ความหมายและการเขยี นเลขยกกําลงั เลขยกกาํ ลัง หมายถึง การใชส ญั ลกั ษณ เขยี นแทนจาํ นวนทเ่ี กิดข้ึนจากการคูณ ซ้าํ ๆ กนั หลายๆ ครัง้ เชน 3× 3× 3× 3 สามารถเขยี นแทนไดด ว ย 34 อานวา สามยกกาํ ลังส่ี ซึ่งมีบทนิยาม ดงั นี้ บทนิยาม ถา a แทนจาํ นวนใด ๆ และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a กําลงั n” เขยี นแทนดว ย an = a×a×a×......×a n เรียก an วาเลขยกกําลงั ทมี่ ี a เปน ฐานและ n เปน เลขช้ีกาํ ลงั เชน 45 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4 45 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชกี้ ําลงั สัญลกั ษณ 45 อานวา “สย่ี กกําลังหา” หรือ “สกี่ ําลงั หา” หรือกําลังหา ของสี่ (− 2)6 แทน (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) (− 2)6 มี (− 2) เปน ฐาน และมี 6 เปนเลขชีก้ ําลงั ในทาํ นองเดียวกันสญั ลักษณ (− 2)6 อานวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง หกของลบสอง จงพจิ ารณาตารางตอ ไปน้ี เลขยกกาํ ลงั ฐาน เลขช้กี ําลงั เขยี นในรปู ของการคูณ แทนจาํ นวน 33 3 3 3×3×3 27 4 5 4×4×4×4×4 1,024 45 -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 2 1×1 (− 2)4 1 1 22  1 2 2 4 2 y X×X×X…(y ครงั้ ) x X×X×X…(y คร้งั ) xy ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้ วธิ ที ํา 1. 83 อา นวา 8 ยกกําลัง 3 1. 83 อา นวา อยางไร 2. 103 มี 10 เปน ฐาน 2. 103 มจี าํ นวนใดเปน ฐาน 3. 115 มี 5 เปน เลขช้กี าํ ลัง 3. 115 มีจาํ นวนใดเปน เลขช้กี าํ ลัง 4. 53 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5 4. 53 มีความหมายอยางไร 5. (− 5)5 อา นวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา 5. (− 5)5 อา นวา อยางไร

48 แบบฝกหดั ท่ี 1 1. จงเขียนจํานวนตอ ไปนี้ในรูปเลขยกกาํ ลงั ทมี่ ีเลขชก้ี าํ ลังเปนจํานวนเตม็ ที่มากกวา 1 พรอ มทั้ง บอกฐานและเลขชี้กําลัง 1.1 25 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขช้กี ําลัง 1.2 64 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.3 169 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขชี้กาํ ลัง 1.4 729 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชก้ี ําลัง 1.5 -32 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขช้ีกําลัง 1.6 -243 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.7 0.125 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชีก้ ําลัง 2. จงเขยี นจาํ นวนทแ่ี ทนดว ยสญั ลกั ษณตอไปน้ี 2.1 28 =…………………………………=……………………………… 2.2 (− 3)4 =…………………………………=……………………………… 2.3 (0.3)5 =…………………………………=……………………………… 2.4 (0.02)6 =…………………………………=……………………………… 2.5  1 3 =…………………………………=……………………………… 3 2.6  2 3 =…………………………………=……………………………… 7 =…………………………………=……………………………… =…………………………………=……………………………… 2.7 (− 5)4 2.8 − 23 2.9  1 5 =…………………………………=……………………………… 10  2.10 (0.5)6 =…………………………………=………………………………

49 เรอ่ื งที่ 2 การเขยี นแสดงจํานวนในรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตร การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยใู นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร มีรปู ท่ัวไปเปน A × 10n เม่ือ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเตม็ พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอ ยูใ นรูปสญั กรณว ทิ ยาศาสตรตอไปน้ี 1. 2,000 = 2 × 1,000 = 2 × 103 2. 800,000 = 8 × 100,000 = 8 × 105 ตวั อยางท่ี 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอ ยใู นรปู สัญกรณว ิทยาศาสตร วธิ ีทาํ 600,000,000 = 6 × 100,000,000 = 6 × 108 ตอบ 6 × 108 ตวั อยา งท่ี 2 จงเขยี น 73,200,000 ใหอยูใ นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร วธิ ที ํา 73,200,000 = 732 × 100,000 = 7.32 × 100 × 100,000 = 7.32 × 102 × 105 = 7.32 × 107 ตวั อยา งท่ี 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขยี นใหอ ยใู น รูปสัญกรณวิทยาศาสตร วธิ ที าํ ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร 113,000,000 = 113 × 1,000,000 = 113 × 100 × 1,000,000 = 1.13 × 102 × 106 = 1.13 × 108 ตอบ 1.13 × 108 เมตร

50 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงเขยี นจาํ นวนตอ ไปนใ้ี นรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตร 1. 400,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. 23,000,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. 639,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 4. 247,500,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กโิ ลเมตร จงเขียนใหอยใู นรปู สัญกรณ วิทยาศาสตร 1,430,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. สัญกรณวิทยาศาสตรใ นแตละขอตอไปนแ้ี ทนจาํ นวนใด 3.1 2 × 106 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.2 4.8 × 1013 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.3 4.03 × 109 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.4 9.125 × 105 =……………………………………………………………… =………………………………………………………………

51 3. การคูณและการหารเลขยกกาํ ลงั ท่มี ฐี านเดยี วกนั และเปน เลขชก้ี ําลังเปน จาํ นวนเตม็ 3.1 การคณู เลขยกกาํ ลงั เมื่อเลขชี้กําลงั เปน จาํ นวนเตม็ พจิ ารณาการคูณเลขยกกาํ ลังท่ีมฐี านเปน จํานวนเดยี วกนั ตอไปน้ี 23 × 24 = ( 2× 2× 2 )×( 2× 2× 2× 2 ) = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 27 หรือ 23+4 32 × 33 = (3× 3)× (3× 3× 3) = 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 35 หรอื 32+3  1 3 ×  1 2 =  1  ×  1  ×  1  ×  1  ×  1  3 3  3   3   3   3   3  =  1  ×  1  ×  1  ×  1  ×  1  3 3 3 3 3 =  1 5 หรือ  1 3 + 2 3 3 การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้ เมอ่ื a แทนจาํ นวนใด ๆ m และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก =am × an am+n

52 แบบฝก หดั ที่ 3 1. จงเขยี นจํานวนทีแ่ ทนดว ยสญั ลกั ษณตอ ไปนี้ 1.1 25 × 26 =……………………………=………………………………… 1.2 25 × 32 =……………………………=………………………………… 1.3 (2 × 3)3 =……………………………=………………………………… 1.4 (0.75)2 =……………………………=………………………………… 1.5  −12 × 32 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 3 1.6 (− 3× 2)3 1.7  2 3 ×  5 4 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 5 2 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 1.8  1 6 ×  7 5 7 2 1.9 (0.5)3  1 4 2 1.10 (−11)2 (−11)3 2. จงเขียนผลคูณของจาํ นวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกาํ ลงั =……………………………=………………………………… 2.1 22 × 23 × 27 2.2 (− 3)3 × (− 3)× (− 3)5 =……………………………=……………………………… 2.3 5 × 625 × 5 2 =……………………………=………………………………… 2.4 121 × 11 ×112 =……………………………=………………………………… 2.5 (− 3)4 × (− 3)3 × (− 3)7 =……………………………=………………………………

53 3.2 การหารเลขยกกาํ ลังเม่อื เลขช้กี าํ ลงั เปน จาํ นวนเตม็ การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน จํานวนเต็มบวกในรูปของ am ÷ an จะพจิ ารณาเปน 3 กรณี คือ เมอ่ื m > n , m = n และ m < n ดงั น้ี กรณีท่ี 1 am ÷ an เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศ นู ย m,n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้ 1. 25 = 2×2×2×2×2 22 2×2 2. 37 35 = 2×2×2 = 23 หรือ 25−2 = 3×3×3×3×3×3×3 3×3×3×3×3 = 3 2 หรอื 3 7−5 3. (− 5)8 = (− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5) (− 5)3 (− 5)(− 5)(− 5) = (− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5) = (− 5)5 หรอื (− )5 8−3 จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กาํ ลังของตัวตั้ง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ การหารเลขยกกําลังดังนี้ เมอ่ื a แทนจาํ นวนใด ๆ ทีไ่ มใ ชศ ูนย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n am ÷ an = am−n

54 ตวั อยางที่ 1 จงหาผลลพั ธ 510 ÷ 54 วิธีทํา 510 = 510−4 54 = 56 ตอบ 56 ตวั อยา งที่ 2 จงหาผลลัพธ (0.2)6 ÷ (0.2)3 วิธีทาํ (0.2)6 = (0.2)6−3 (0.2)3 = (0.2)3 = (0.2)(0.2)(0.2) = 0.008 ตอบ 0.008 กรณีท่ี 2 am ÷ an เมอื่ a แทนจาํ นวนใด ๆ ทไี่ มใ ชศนู ย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m = n พิจารณา 54 ÷ 54 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลังจะได 54 = 5× 5× 5× 5 54 5×5×5×5 =1 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = am−n , a ≠ o ในกรณีที่ m = n จะได =54 54−4 54 = 50 แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังดังที่แสดงไวขางตน เราไดวา 54 ÷ 54 = 1 ดังนนั้ เพื่อใหสมบัตขิ องการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = am−n ใชไ ดใ นกรณีที่ m = n ดวยจึงตองให 50 = 1 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ a0 ดงั น้ี บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศ ูนย a0 = 1 จะเหน็ วา am ÷ an = am−n , a ≠ o เปนจริงในกรณที ่ี m = n ดว ย

55 ตวั อยางท่ี 1 จงหาผลลพั ธ 73 × 75 78 วธิ ที ํา 73 × 75 = 73+8 78 78 = 78 78 = 78−8 = 70 =1 ตอบ 1 กรณีที่ 3 am ÷ an เม่อื a แทนจาํ นวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m < n พิจารณา 25 ÷ 28 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง จะได 25 = 2×2×2×2×2 28 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 =1 2×2×2 = 1 23 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = ,am−n a ≠ 0 ในกรณที ี่ m < n จะได 25 = 25−8 28 2 −3 = แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 25 ÷ 28 = 1 ดงั นั้นเพ่ือให 23 สมบัติของการหารเลขยกกําลัง =am ÷ an am−n ใชไ ดในกรณที ี่ m < n ดวยจงึ ตองให 2−3 = 1 ในกรณที ัว่ ๆ ไปมบี ทนยิ ามของ a−n ดงั น้ี 23 บทนยิ าม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศนู ยแ ละ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก a−n = 1 an

56 ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลพั ธ 116 ×114 ×117 ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก 1113 ×113 ×112 วิธีทาํ 116 ×114 ×117 = 116+4+7 1113 ×113 ×112 1113+3+2 = 1117 1118 = = 1117−18 = 11−1 ตอบ 1 1 11 11

57 แบบฝก หัดที่ 4 1. จงหาผลลัพธ 1.1 29 ÷ 22 1.2 36 ÷ 3 1.3 113 ÷116 1.4  1  4 ÷  1  2 5  5  1.5 (0.03)5 ÷ (0.03)4 1.6 (0.8)5 ÷  4 7 5 1.7 ( )53 × 54 ÷ 57 1.8 ( )76 × 7 ÷ 74 ( )1.9 132 × 134 ÷135 1.10 (m6 ÷ m7 )× m4 เมอ่ื m ≠ 0 2. จงหาผลลัพธตอ ไปน้ีในรูปทม่ี ีเลขชี้กําลังเปน จาํ นวนเต็มบวก 2.1 53 × 5−4 2.2 38 × 3−6 32 2.3 4−6 ÷ 4 2.4 26 × 2−1 (− 2)0 2.5 (1.5)2 (1.5)3 2.6 x2 ÷ x5 เมอ่ื x ≠ 0 2.7 (a3 × a)÷ (a0 × a5 ) เมอ่ื a ≠ 0 2.8 m −7 เมอ่ื m ≠ 0 m −5

58 บทท่ี 4 อัตราสว นและรอยละ สาระสําคัญ 1. อัตราสวนเปนการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณขน้ึ ไป จะมหี นว ยเหมอื นกนั หรอื ตา งกนั ก็ได 2. รอ ยละเปน อตั ราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนง่ึ ตอ 100 ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั 1. บอกและกาํ หนดอัตราสว นได 2. สามารถคาํ นวณสดั สว นได 3. สามารถหาคารอยละได 4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกย่ี วกับอัตราสว น สัดสว น และรอยละได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 อัตราสว น เรื่องท่ี 2 สดั สว น เร่ืองที่ 3 รอยละ เรื่องที่ 4 การแกโจทยป ญหาเกี่ยวกบั อัตราสว น สดั สว น และรอยละ

59 เร่ืองที่ 1 อัตราสว น อตั ราสว น (Ratio) ใชเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณ หรือมากกวา ก็ได โดยท่ีปรมิ าณ 2 ปรมิ าณท่นี ํามาเปรยี บเทยี บกันน้นั จะมหี นวยเหมือนกนั หรอื ตางกนั กไ็ ด บทนิยาม อัตราสว นของปริมาณ a ตอ ปริมาณ b เขยี นแทนดว ย a : b หรือ a b เรียก a วา จํานวนแรกหรือจํานวนท่หี นง่ึ ของอัตราสวน เรียก b วา จาํ นวนหลงั หรอื จาํ นวนทส่ี องของอัตราสว น (อตั ราสว น a : b หรอื a อานวา a ตอ b ) b การเขียนอัตราสว น มี 2 แบบ 1. ปริมาณ 2 ปริมาณมีหนว ยเหมอื นกัน เชน โตะ ตวั หนึง่ มีความกวาง 50 เซนตเิ มตร ยาว 120 เซนตเิ มตร เขยี นเปน อตั ราสว นไดว า ความกวางตอความยาวของโตะ เทากับ 50 : 120 2. ปริมาณสองปริมาณมีหนวยตางกัน เชน นมเปรีย้ ว 4 กลอง ราคา 23 บาท เขยี นเปน อตั ราสว นไดว า อัตราสวนของนมเปรี้ยวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4 : 23 ตัวอยางเชน ถาเปน ปริมาณที่มีหนว ยเหมอื นกัน อตั ราสวนจะไมมหี นว ยเขียนกํากับ เชน มานะหนกั 25 กโิ ลกรัม มานหี นกั 18 กโิ ลกรมั จะกลาววาอัตราสวนของน้ําหนักของมานะตอมานีเทากับ 25: 18 หรอื 25 18 ถา เปนปริมาณที่มหี นวยตางกัน อตั ราสวนจะตอ งเขียนหนวยแตล ะประเภทกาํ กบั ดวย เชน สดุ าสูง 160 เซนตเิ มตร หนกั 34 กโิ ลกรมั อัตราสวนความสูงตอน้ําหนักของสุดา เทากับ 160 เซนตเิ มตร : 34 กโิ ลกรมั

60 แบบฝก หดั ท่ี 1 1. จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้ 1). ระยะทางในแผนที่ 1 เซนติเมตร แทนระยะทางจริง 100 กโิ ลเมตร ……………………………………………………………………………………………... 2). รถยนตแ ลน ไดร ะยะทาง 200 กโิ ลเมตร ในเวลา 3 ชว่ั โมง ……………………………………………………………………………………………... 3). โรงเรียนแหงหน่ึงมคี รู 40 คน นกั เรียน 1,000 คน ……………………………………………………………………………………………... 4). อตั ราการเตนของหัวใจมนษุ ยเ ปน 72 คร้ังตอ นาที ……………………………………………………………………………………………... 2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด 1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตวั ทง้ั หมด 10,000 ฉบับ ถูก รางวัลเลขทาย 3 ตวั 4,000 ฉบบั และถูกรางวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ จงเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนตอไปนี้ 1) จาํ นวนทีถ่ ูกรางวัลที่ 1 ตอทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัวตอทัง้ หมด ……………………………………………………………………………………………... 3) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตวั ตอท้ังหมด ……………………………………………………………………………………………... 4) อัตราสวนของสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว ตอเลขทา ย 3 ตวั ……………………………………………………………………………………………... 3. พอ คา จดั ลกู กวาดคละสขี นาดเทา กนั ลงในขวดโหลเดยี วกนั โดยนบั เปน ชดุ ดงั น้ี “ลกู กวาดสแี ดง 3 เม็ด สเี ขยี ว 2 เม็ด สเี หลือง 5 เมด็ ” จงหา 1) อัตราสว นจาํ นวนลกู กวาดสแี ดงตอ ลกู กวาดทง้ั หมด ……………………………………………………………………………………………... 2) อตั ราสว นของจาํ นวนลกู กวาดสแี ดงตอลกู กวาดสเี หลอื ง ……………………………………………………………………………………………... 3) ถาสุมหยิบลูกกวาดขึ้นมาจากโหลจาํ นวน 5 เมด็ นา จะไดล ูกกวาดสใี ดมากที่สุด เพราะ เหตใุ ด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

61 อตั ราสว นที่เทา กัน การหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดให ทาํ ไดโ ดยการคูณหรือหารอัตราสว น ทง้ั ตวั แรกและตวั ทส่ี องดว ยจํานวนเดยี วกนั ตามหลกั การ ดังน้ี หลกั การคณู เมอ่ื คูณแตล ะจาํ นวนในอตั ราสว นใดดว ยจาํ นวนเดยี วกนั โดยทจ่ี าํ นวนนน้ั ไม เทากับศูนย จะไดอ ัตราสว นใหมที่เทา กบั อตั ราสวนเดิม นั่นคือ a = a × c = a × d เม่อื c ≠ 0 และ d ≠0 b b×c b×d หลกั การหาร เมอ่ื หารแตล ะจาํ นวนในอัตราสว นใดดว ยจาํ นวนเดยี วกนั โดยทจ่ี าํ นวนน้ันไม เทา กับศูนย จะไดอ ัตราสว นใหมเทากบั อตั ราสว นเดิม นั่นคอื a = a ÷ c = a ÷ d เม่ือ c ≠ 0 และ d ≠0 b b÷c b÷d ตวั อยาง จงหาอัตราสวนอีก 3 อตั ราสวนท่ีเทา กบั อัตราสวนทก่ี ําหนด วธิ ที าํ 3 : 4 หรือ 3 3× 4 12 == 4 4 × 4 16 3 3× 9 27 == 4 4 × 9 36 3 = 3×11 = 33 4 4 ×11 44 ดังน้ัน , , เปน อัตราสว นท่ีเทากับอัตราสว น 3 : 4 การตรวจสอบการเทา กนั ของอัตราสว นใดๆ ทําไดโดยใชลกั ษณะการคณู ไขว ไดโ ดยใชวธิ ดี งั น้ี เมอ่ื a , b, c และ d เปน จาํ นวนนบั 1) ถา a × d = b × c แลว a = c bd 2) ถา a × d ≠ b × c แลว a ≠ c bd

62 ตัวอยาง จงตรวจสอบวา อตั ราสว นในแตล ะขอ ตอไปน้ีเทา กนั หรือไม 1) 3 และ 5 46 2) 26 และ 39 30 45 1) พิจารณาการคณู ไขวข อง 3 และ 5 46 เน่ืองจาก 3× 6 = 18 4 × 5 = 20 ดงั นน้ั 3× 6 ≠ 4 × 5 น่นั คือ 3 ≠ 5 46 2) พิจารณาการคณู ไขวข อง 26 และ 39 30 45 เน่อื งจาก 26 × 45 = 1,170 30 × 39 = 1,170 ดงั นน้ั 26 × 45 = 30 × 39 นัน่ คือ 26 = 39 45 30 แบบฝกหดั ท่ี 2 1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง 2. จงเขียนอัตราสวนทเ่ี ทา กบั อัตราสวนทกี่ าํ หนดใหตอไปน้ีมาอีก 3 อัตราสว น 1) 2 = ............................................................................................................................... 3 2) 5 = ............................................................................................................................... 9

63 3. จงตรวจสอบวาอตั ราสว นตอ ไปน้ีเทากันหรอื ไม 4. จงทําใหอตั ราสว นตอไปนี้มีหนวยเดียวกันและอยใู นรปู อยา งงาย ตวั อยาง อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนติเมตร : 1.2 เมตร มีความหมายเหมือนกับ 50 เซนตเิ มตร : 1.2 x 100 เซนตเิ มตร ดังนั้น อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 : 120 หรอื 5 : 12 1) อตั ราสว นของจาํ นวนวนั ท่ีนาย ก. ทํางาน ตอ ชว่ั โมงที่นาย ข. ทํางาน เปน 2 วนั : 10 ชั่วโมง ดังน้นั อตั ราสว นเวลาทน่ี าย ก. ทาํ งาน ตอเวลาทนี่ าย ข. ทํางานเปน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน 200 เมตร : 1.5 กิโลเมตร ดังนั้น อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

64 อัตราสว นตอ เน่อื ง (อัตราสว นของจาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวน) ในสถานการณจริงทีเ่ กีย่ วกับชีวิตประจําวัน เรามักจะพบความสัมพันธของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เชน ขนมผิงบา นคุณยาย ใชส วนผสมดงั นี้ แปงขาวเจา 3 ถว ยตวง น้าํ กะทเิ ขม ขน 1 ถว ยตวง น้ําตาลมะพราว 1 ถว ยตวง 2 นน่ั คอื อตั ราสวนของจํานวนแปง ขาวเจาตอนา้ํ กะทเิ ปน 3 : 1 หรอื 6 : 2 อัตราสวนของจาํ นวนนาํ้ กะทติ อนาํ้ ตาลมะพรา วเปน 1 : 1 หรอื 2 : 1 2 อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้าํ ตาลมะพราวเปน 3 : 1 หรือ 6 : 1 หรือเขียนในรูป 2 อตั ราสว นของจาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวน ดงั น้ี อัตราสวนของแปงขา วเจา ตอ น้าํ กะทิ ตอ นา้ํ ตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 1 หรือ 6 : 2 : 1 2 ตัวอยาง หองเรียนหองหนึง่ มีอัตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสูงตอ ความยาวของหองเปน 1 : 2 จงหาอัตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสูงของหอง วิธีทาํ อัตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากับ 3 : 4 อตั ราสว นความสูง : ความยาวของหอง เทากับ 1 : 2 หรอื 1 x 2 : 2 x 2 เทากับ 2 : 4 นั่นคือ อัตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสูงของหอง เทากับ 3 : 4 : 2

65 แบบฝก หดั ที่ 3 1. พอ แบง เงนิ ใหล กู สามคนโดยกาํ หนด อตั ราสว นของจาํ นวนเงนิ ลกู คนโต ตอ คนกลาง ตอ คนเลก็ เปน 5 : 3 : 2 จงหาอตั ราสว นตอ ไปน้ี 1) อตั ราสวนจาํ นวนเงนิ ทลี่ ูกคนโตไดร ับตอลกู คนเลก็ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อตั ราสว นจาํ นวนเงินทลี่ กู คนเลก็ ไดร ับตอ ลูกคนกลาง ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3) อัตราสว นจาํ นวนเงนิ ท่ีลูกคนกลางไดร ับตอ เงนิ ทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 4) อัตราสวนจํานวนเงนิ ท่ลี ูกคนเล็กไดรับตอเงินทง้ั หมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2. เศรษฐีคนหนึ่งไดเขยี นพินัยกรรมไวก อ นจะเสียชีวิตวา ถา ภรรยาท่ีกาํ ลังต้งั ครรภคลอดลูกเปนชาย ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1 : 2 แตถา คลอดลูกเปนหญิง ใหแ บง เงนิ ในพนิ ัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1 เม่อื เศรษฐคี นนี้เสียชวี ติ ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญงิ 1 คน จงหาอัตราสว นของเงนิ ในพนิ ยั กรรม ของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตรหญิง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

66 เรื่องที่ 2 สัดสว น สดั สว นเปน การเขยี นแสดงการเทา กนั ของอัตราสว นสองอตั ราสว น เชน a : b = c : d หรือ a = c อา นวา เอตอบี เทา กับ ซีตอ ดี bd ตวั อยา งที่ จงหาคา m ในสดั สว น 3 = 5 m 12 วธิ ีท่ี 1 3 = 5 m 12 3 = 5× 3 (ทําเศษใหเทากับ 3 โดยคณู ดว ย 3 ) 5 5 m 12 × 3 5 3= 3 m 7.2 ดังนั้น m มีคาเทากับ 7.2 วธิ ที ี่ 2 3 = 5 m 12 3 = 5 (คณู ไขว) m 12 3×12 = m 5 ดงั น้ัน m= 7.2 1. จงเขยี นสดั สว นจากอตั ราสวนตอ ไปนี้ แบบฝกหดั ท่ี 4 1) 3 ตอ 4 เทากับ 6 ตอ 8 …………………………………………………….. 2) A ตอ 7 เทากับ 9 ตอ 27 …………………………………………………….. 3) 12 ตอ 10 เทากับ B ตอ 5 …………………………………………………….. 4) 5 ตอ 4 เทากับ 65 ตอ D …………………………………………………….. 2. จงหาคาตัวแปรจากสัดสวนทก่ี าํ หนดใหตอ ไปน้ี 1) A = 12 3 15 ……………………………………………………..……………………………………………… 2) 3 = 21 B 28 ……………………………………………………..………………………………………………

67 การแกโจทยป ญหาโดยใชสดั สวน ในชีวิตประจําวันเราจะพบสถานการณที่ตองแกไขปญหาโดยการใชหลักการคิดคาํ นวณ เชน กาํ หนดอัตราสว นของเคร่ืองดื่มโกโกส ําเรจ็ รปู 1 ถว ย ตอ ผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอน้ําตาล 1 ชอ นโตะ ตอนํา้ ตมสุก 1 ถวย เทา กบั 1 : 2 : 1 : 1 ถา มผี งโกโกท ้ังหมด 30 ชอนโตะ สมมติวา ชงเครื่องดื่มได A ถวย ใชนา้ํ ตาล B ชอนโตะ ครีมเทียม C ชอ นโตะ และนํา้ ตมสกุ D ถว ย ดงั นน้ั อัตราสว นของจํานวนถวยโกโกที่ชงไดต อจํานวนผงโกโก เทากับ 1 ถว ย ตอ 2 ชอน โตะ หรือ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ นน่ั คอื 1 : 2 = A : 30 หรอื 1 =A จะไดว า 2 30 1 x 30 = Ax2 A = 15 ดงั นนั้ ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเคร่ืองดม่ื ได 15 ถว ย ตัวอยาง ซื้อสม โอมา 3 ลูก ราคา 50 บาท ถามีเงิน 350 บาท จะซือ้ สม โอในอัตราเดมิ ไดก ่ีลกู วิธที ํา สมมติ มเี งนิ 350 บาท ซือ้ สมโอได A ลูก ราคาของสมโอ 50 บาท ซื้อได 3 ลกู จะไดว า A × 50 = 3 × 350 = Ä× 50 = 3× 350 50 50 A 21 จะซ้ือสม โอได 21 ลูก

68 แบบฝกหัดที่ 5 1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเ งินเทาไร ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มจี าํ นวนนกั ศึกษาหญงิ ตอ จาํ นวนนักศกึ ษาชาย เปน 5: 3 จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก เปน 7: 3 ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………

69 เร่ืองที่ 3 รอ ยละ ในชวี ติ ประจําวนั ผูเ รยี นจะเห็นวาเราเก่ยี วของกับรอยละอยเู สมอ เชน การซื้อขาย กาํ ไร ขาดทุน การลดหรือการเพิ่มทค่ี ดิ เปนรอยละ การคิดภาษีมลู คาเพิ่ม ฯลฯ คําวา รอยละ หรอื เปอรเ ซ็นต เปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณ หนง่ึ ตอ 100 เชน รอยละ 50 หรือ 50% เขยี นแทนดว ย 50:100 หรือ 50 100 รอยละ 7 หรือ 7% เขยี นแทนดว ย 7:100 หรอื 7 100 การเขยี นอัตราสว นใดใหอ ยูใ นรูปรอยละ จะตอ งเขยี นอัตราสวนนัน้ ใหอยใู นรูปทม่ี ีจาํ นวน หลงั อตั ราสว นเปน 100 ดังตวั อยางตอ ไปน้ี 4 = 80 = 80 % 5 100 0.2 = 2 = 20 = 20 % 10 100 การเขยี นรอยละใหเ ปน อัตราสว นทําไดโดยเขยี นอัตราสวนทมี่ จี ํานวนหลงั เปน 100 ดังตวั อยางตอ ไปน้ี 33% = 33 100 25.75 % = 25.75 = 2575 = 103 100 10000 400 ตัวอยาง จงเขยี น 3 ใหอยูในรปู รอยละ 7 วิธีทาํ วิธที ี่ 1 ทาํ ใหอ ัตราสว น 3 โดยมจี าํ นวนหลงั ของอัตราสว นเปน 100 7 100 300 3× 3= 7 =7 100 7 7× 100 7 ดังนัน้ 3 คดิ เปนรอยละ 300 หรือ 300 % 7 77 วธิ ีท่ี 2 สมมติ 3 = รอยละ A หรอื A 7 100 3 x 100 = Ax7 A= 3×100 = 300 77

70 การคํานวณเก่ียวกบั รอ ยละ ผูเ รยี นเคยคํานวณโจทยปญ หาเกย่ี วกบั รอยละมาแลวโดยไมไดใ ชสดั สว น ตอไปน้ีจะเปน การ นาํ ความรูเร่ืองสดั สว นมาใชคํานวณเกีย่ วกับรอยละ ซง่ึ จะพบใน 3 ลกั ษณะ ดงั ตวั อยา งตอ ไปน้ี 1. 25% ของ 60 เทากับเทาไร หมายความวา ถา มี 25 สว นใน 100 สว น แลวจะมีกี่สวน ใน 60 สว น ใหม ี a สว นใน 60 สว น เขยี นสัดสวนไดดงั น้ี a = 25 60 100 จะได a ×100 = 60 × 25 ดงั นน้ั a = 60 × 25 100 a = 15 นัน่ คือ 25% ของ 60 คอื 15 2. 9 เปน กเ่ี ปอรเซน็ ตข อง 45 หมายความวา ถามี 9 สว นใน 45 สว น แลวจะมีกส่ี ว น ใน 100 สว น ให 9 เปน x% ของ 45 x% หมายถึง x 100 เขยี นสดั สว นไดดงั น้ี 9 = x 45 100 จะได 9 ×100 = 45× x x = 9 ×100 45 ดงั นน้ั x = 20 นั่นคือ 9 เปน 20% ของ 45 3. 8 เปน 25% ของจํานวนใด หมายความวา ถามี 25 สว นใน 100 สว น แลว จะ มี 8 สว นในกส่ี ว น ให 8 เปน 25% ของ y เขยี นสดั สว นไดดงั น้ี 8 = 25 y 100 จะได 8×100 = y × 25 y = 8 ×100 25 ดงั นน้ั y = 32 น้ันคอื 8 เปน 25% ของ 32

71 แบบฝกหดั ที่ 6 1. จงแสดงวิธีหาคําตอบ 1) 15% ของ 600 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) 120% ของ 40 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3) 28 คิดเปนก่ีเปอรเซ็นต ของ 400 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 4) 1.5 เปน กเ่ี ปอรเซน็ ตข อง 6 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 5) 180 เปน 30 % ของจาํ นวนใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 6) 0.125 เปน 25% ของจาํ นวนใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

72 เรือ่ งที่ 4 การแกโ จทยปญหาเก่ียวกับอัตราสว น สดั สวน และรอยละ ใหน กั เรยี นพิจารณาตัวอยางโจทยปญหาและวิธีแกป ญ หาเกยี่ วกบั รอยละ โดยใชสดั สว น หรอื อตั ราสว น ตอไปนี้ ตัวอยาง 1 ในหมูบ านแหง หนึ่งมคี นอาศยั อยู 1,200 คน 6% ของจํานวนคนท่ีอาศยั อยูในหมูบ าน ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง จงหาจํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานแหงนี้ วิธีทาํ ใหจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง เปน s คน อัตราสวนของจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานตอจํานวนคนทั้งหมด เปน s 1,200 อัตราสวนดังกลา วคดิ เปน 6% = 6 100 เขยี นสดั สว นไดด งั น้ี s =6 1,200 100 จะได s ×100 = 1,200 × 6 ดงั น้ัน s = 1,200 × 6 100 s = 72 นนั่ คอื จํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปองเปน 72 คน ตอบ 72 คน ตัวอยา งที่ 2 โรงเรยี นแหง หนง่ึ มีนกั เรยี น 1,800 คน นักเรียนคนที่หนกั เกิน 60 กโิ ลกรมั มอี ยู 81 คน จง หาวา จาํ นวนนกั เรยี นทห่ี นกั เกนิ 60 กโิ ลกรมั คิดเปนก่ีเปอรเ ซน็ ตของจาํ นวนนกั เรยี นท้ังหมด วธิ ีทํา ใหจํานวนนกั เรยี นทห่ี นกั เกิน 60 กโิ ลกรมั เปน n% ของจาํ นวนนกั เรยี นทง้ั หมด เขยี นสดั สว นไดด งั น้ี n = 81 จะได 100 1,800 n ×1,800 = 100 × 81 ดังนั้น n = 100 × 81 1,800 n = 4.5 นน่ั คือ จาํ นวนนกั เรยี นทห่ี นกั เกนิ 60 กโิ ลกรัมคิดเปน 4.5% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด ตอบ 4.5 เปอรเ ซน็ ต

73 แบบฝก หัดท่ี 7 จงแสดงวิธีหาคําตอบ 1. นักศึกษา กศน. 500 คน สอบไดเ กรด 4 จาํ นวน 25% ของทง้ั หมด จงหาจาํ นวนนกั ศึกษาที่ สอบไดเ กรด 4 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2. โรงเรยี นแหง หนง่ึ มีนกั เรยี น 2,000 คน เปนชาย 40% ของทั้งหมด ในจาํ นวนนม้ี าจาก ตา งจงั หวัดรอยละ60 จงหา 1) จาํ นวนนกั เรยี นหญงิ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนนักเรียนชายที่ไมไดมาจากตางจังหวัดทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3. รานคาแหงหนึ่งประกาศลดราคาสินคาทุกชนิด รอยละ 20 ถา คณุ แมซอื้ เคร่ืองแกวมาไดรับ สว นลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลิตภัณฑน ้ันกอนลดราคาเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

74 4. แผนผงั สนามหญา แหง หนง่ึ กวา ง 5 เซนตเิ มตร ยาว 8 เซนติเมตร ใชมาตราสวน 1 เซนตเิ มตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนี้มีพื้นที่เทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 5. นกนอยฝากเงินไวกับธนาคารเปนเวลา 2 ป อัตราดอกเบ้ียรอยละ 3 ตอ ป คิดดอกเบีย้ ทบตน ทกุ 12 เดอื นและถกู หักภาษดี อกเบีย้ 15% ถา นกนอยฝากเงินไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะมี เงินในบัญชีเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 6. วีระซอื้ รถยนตมาคนั หนึ่งราคา 200,000 บาท นําไปขายตอไดกําไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงิน ทั้งหมดไปเลนหุนขาดทุนรอยละ 20 วีระจะมเี งินเหลอื จากการเลน หุน เทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

75 บทท่ี 5 การวัด สาระสําคัญ 1. การวดั ความยาวพื้นที่ ที่มีหนวยตางกันสามารถนํามาเปรียบเทียบกันได 2. เคร่ืองมอื การวัด ตองเลือกใชใหเ หมาะสมกับสิ่งทจี่ ะวัด 3. การคาดคะเนเกิดจากประสบการณของผูสังเกตเปนสําคัญ ผลการเรยี นรูท่ีคาดหวงั 1. บอกการเปรียบเทียบหนวยความยาวพื้นที่ในระบบเดียวกันและตางระบบได 2. เลอื กใชห นว ยการวัดเกย่ี วกบั ความยาวและพน้ื ทไ่ี ดอ ยา งเหมาะสม 3. แสดงการหาพน้ื ทขี่ องรูปเรขาคณิตได 4. สามารถแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพน้ื ที่สถานการณต าง ๆ ในชวี ติ ประจาํ วันได 5. อธิบายวิธีการคาดคะเนและนําวิธีการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาํ้ หนกั ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่ เรื่องท่ี 2 การเลือกใชห นว ยการวดั ความยาวและพื้นที่ เรื่องท่ี 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญ หาเกี่ยวกับพืน้ ท่ีในสถานการณตาง ๆ เรื่องที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาํ้ หนกั

76 เรอื่ งที่ 1 การเปรยี บเทยี บหนว ยความยาวและพื้นที่ การวดั การวัดเปนเรื่องที่มีความสําคัญ และจําเปนตอชีวิตประจําวันอยางมากในทุกยุคทุกสมัย ใน แตละถ่ินฐานแตละประเทศ จะมีหนว ยการวัดทแี่ ตกตางกันออกไป และเมื่อโลกเจริญกาวหนาทง้ั ดา นเทคโนโลยีและการสื่อสาร จึงมีความจําเปนที่ตองมีความชัดเจนของการสื่อสารความหมาย เกยี่ วกบั ปรมิ าณของการวัด หนว ยการวัด เพอื่ ใหเกดิ ความสะดวกในการนาํ มาเปรียบเทียบ และเพอื่ ประโยชนในการใชงาน โดยทั่วไปคนเรามักจะคุนเคยกับการวัด หมายถึง การชั่ง การตวง การวดั ความยาว การจบั เวลา เปน ตน ในความเปน จริงนน้ั การวัดมหี ลายอยา งเชน 1. การวดั ความยาว มหี นวยเปน มลิ ลิเมตร เซนติเมตร นว้ิ ฟุต เมตร กิโลเมตร 2. การวัดพนื้ ท่ี มีหนว ยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร 3. การช่ัง มีหนวยเปน กรัม ขดี ปอนด ตัน 4. การตวง มหี นว ยเปน ลูกบาศกเซนตเิ มตร ลติ ร ถงั 5. การวัดอณุ หภูมิ มหี นว ยเปน องศาเซลเซียส องศาฟาเรนไฮต 6. การวดั เวลา มหี นว ยเปน วินาที นาที ช่ัวโมง วัน ป 7. การวดั ความเร็วหรอื อตั ราเรว็ มีหนว ยเปน กโิ ลเมตร/ชว่ั โมง 1.1 การเปรยี บเทียบการวัดความยาว หนวยการวัดความยาวที่นิยมใชกันในประเทศไทย หนว ยการวัดความยาวในระบบองั กฤษ ฟตุ 12 น้วิ เทา กับ 1 หลา ไมล 3 ฟตุ เทา กบั 1 1,760 หลา เทากบั 1 หนว ยการวัดความยาวในระบบเมตริก 10 มิลลเิ มตร เทา กับ 1 เซนตเิ มตร 100 เซนตเิ มตร เทากบั 1 เมตร 1,000 เมตร เทากบั 1 กโิ ลเมตร หนวยการวัดความยาวในมาตรไทย 12 นวิ้ เทากับ 1 คบื 2 คบื เทา กบั 1 ศอก

77 4 ศอก เทา กับ 1 วา 20 วา เทา กับ 1 เสน 400 เสน เทากับ 1 โยชน กําหนดการเทยี บ 1 วา เทากบั 2 เมตร หนว ยการวดั ความยาวในระบบองั กฤษเทยี บกับระบบเมตรกิ ( โดยประมาณ ) 1 นว้ิ เทากับ 2.54 เซนตเิ มตร 1 หลา เทากบั 0.9144 เมตร 1 ไมล เทากับ 1.6093 กโิ ลเมตร ตัวอยา ง การเปรียบเทียบหนวยการวัดในระบบเดียวกันและตางระบบกัน 1. สดุ าสงู 160 เซนตเิ มตร อยากทราบวาสุดาสงู ก่ีเมตร เนอ่ื งจาก 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร และสดุ าสูง 160 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั สดุ าสงู 160 = 1.60 เมตร 100 2. ความกวางของรั้วบานดานติดถนนเปน 1.05 กโิ ลเมตร อยากทราบวาความกวางของรั้ว บา นดา นติดกบั ถนนเปนกเ่ี มตร เนอ่ื งจาก 1 กิโลเมตร เทา กบั 1,000 เมตร และรัว้ บา นกวาง 1.05 กโิ ลเมตร ดังนั้น ความกวางของรั้วบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร 1.2 การเปรยี บเทยี บการวดั พ้ืนท่ี หนวยการวดั พน้ื ท่ีทสี่ าํ คญั ท่ีควรรจู กั หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก 1 ตารางเซนตเิ มตร เทากบั 100 หรอื 102 ตารางมิลลิเมตร เทา กบั 10,000 หรอื 104 ตารางเซนตเิ มตร 1 ตารางเมตร เทากับ 1,000,000 หรือ 106 ตารางเมตร 1 ตารางกิโลเมตร ตารางนิ้ว ตารางนิ้ว 1 ตารางฟุต หนว ยการวดั พ้นื ท่ีในระบบอังกฤษ 1 ตารางหลา เทา กบั 144 หรอื 122 เทา กับ 9 หรอื 32 1 เอเคอร 1 ตารางไมล เทา กับ 4, 840 ตารางหลา หรอื 1 ตารางไมล เทา กับ 640 เอเคอร เทากบั 1, 7602 ตารางหลา

78 100 ตารางวา หนวยการวัดพนื้ ท่ใี นมาตราไทย 4 งาน เทากบั 1 งาน หรอื 400 ตารางวา เทา กับ 1 ไร เทา กบั 1 ไร 1 หนวยการวดั พื้นท่ีในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก 1 ตารางวา เทากบั 4 ตารางเมตร หรอื 1 1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร ไร เทากับ 1, 600 ตารางเมตร ตารางกิโลเมตร เทา กับ 625 ไร หนว ยการวดั พ้นื ทีใ่ นระบบอังกฤษกับระบบเมตรกิ ( โดยประมาณ ) 1 ตารางนิ้ว เทากบั 6.4516 ตารางเซนตเิ มตร 1 1 ตารางฟุต เทา กบั 0.0929 ตารางเมตร 1 1 ตารางหลา เทา กับ 0.8361 ตารางเมตร ตัวอยาง เอเคอร เทา กับ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร ) ตารางไมล เทา กบั 2.5899 ตารางกิโลเมตร 1. ท่ดี นิ 12.5 ตารางกิโลเมตร คิดเปนกีต่ ารางเมตร เนอื่ งจากพ้นื ท่ี 1 ตารางกโิ ลเมตร เทา กับ 106 ตารางเมตร ดงั น้นั พ้ืนที่ 12.5 ตารางกิโลเมตร เทากับ 12.5 x 106 = 1.25 x 107 ตารางเมตร ตอบ 1.25 x 107 ตารางเมตร 2. พ้ืนทชี่ น้ั ลา งของบานรูปส่เี หลย่ี มผนื ผา กวา ง 6 วา ยาว 12 วา ผูร บั เหมาปูพื้นคดิ คาปพู ้ืน ตารางเมตรละ 37 บาท จะตองเสียคาปูพื้นเปนเงินเทาไร พื้นที่ชั้นลางของบานมีความกวาง 6 วา ความยาว 12 วา ดงั น้ัน พน้ื ท่ีช้ันลางของบานมพี นื้ ที่เปน 6 x 12 = 72 ตารางวา พื้นที่ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร ถาคดิ พืน้ ทเ่ี ปนตารางเมตร พ้นื ที่ชั้นลางของบานมีพืน้ ที่เปน 72 x 4 = 288 ตารางเมตร ดงั น้ัน เสียคา ปพู ืน้ เปนเงิน 288 x 37 = 10, 656 บาท ตอบ 10, 656 บาท

79 แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเตมิ หนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้ 1) ไมอัดชนิดบางมีความหนาแผนละ 4 ......................................................................................... 2) สมุดปกออนมีความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................ 3) จังหวัดเชยี งใหมแ ละจังหวัดเลยอยูห า งกนั ประมาณ 1,600 ...................................................... 4) สนามฟุตบอลแหงหนึ่งมีความกวาง 45 …………… มีความยาว 90 ..................... และถาวิ่ง รอบสนามแหงนี้สามรอบ จะไดระยะทาง 1 ............................... 5) แผน ดสิ กม คี วามกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 ......................... 6) กระดาษ A4 มีพื้นที่ประมาณ 630 ......................................... 7) หองเรียนมีพ้นื ท่ีประมาณ 80 ................................................ 9) การวัดความยาวของที่ดินในประเทศไทยนิยมใชหนวยเปน ................... หรือ.................... และอาจบอกจาํ นวนพื้นที่ของที่ดินตามมาตราไทยเปน ..........................หรืออาจบอกโดยใช มาตรเมตริกเปน ........................ กไ็ ด 10) แมน้ําโขงชวงจังหวัดมุกดาหารมีความกวางประมาณ 200 ............................ 2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอ ง 1) พน้ื ท่ี 1 ไร เทา กับ ..................................... ตารางเมตร 2) พืน้ ท่ี 17 ตารางเมตร คิดเปน พนื้ ที่ .................................. ตารางเซนติเมตร 3) ทด่ี นิ 3,119 ตารางวา เทากับที่ดิน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา) 4) กระดาษแผนหนึ่งมพี ้ืนท่ี 720 ตารางนิ้ว กระดาษแผนนม้ี พี ้ืนท่ี ............................ ตารางฟุต 5) พื้นที่ 2 ตารางกโิ ลเมตร คดิ เปนพ้นื ท่ี .................... ตารางเซนตเิ มตร (ตอบในรปู A ×10n เมอ่ื 1 ≤ A < 10 และ n เปน จาํ นวนเตม็ ) 6) สวนสาธารณะแหง หน่ึงมีพน้ื ที่ 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงนีจ้ ะมพี นื้ ที่ .................... ตารางวา 7) ท่นี า 2,900,000 ตารางเมตร เทากับที่นา ................................ ตารางกิโลเมตร 8) โลหะแผนหน่ึงมีพนื้ ท่ี 3 ตารางฟุต โลหะแผนนจ้ี ะมีพ้นื ที่ ................... .. ตารางนิ้ว 9) พ้นื ที่ 9.5 ตารางวา จะเทากับ .......................... ตารางเมตร 10) ลุงสอนมที ดี่ นิ อยู 2 งาน 68 ตารางวา คดิ เปนพน้ื ที่ ..................... ตารางเมตร แลวถาลุงสอน ขายที่ดินไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลุงสอนจะไดรับเงิน ...................... บาท แสดงวาที่ดิน ของลุงสอน ราคาไรละ......................... บาท

80 3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวิธีทํา 1) สว นแหง หนงึ่ มีพน้ื ที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพนื้ ท่กี ไ่ี ร 2) พื้นที่ 25 ตารางฟตุ คิดพ้ืนทก่ี ต่ี ารางเซนตเิ มตร 3) ลุงแดงแบงที่ดินใหล ูกชาย 3 คน โดยแบงใหลูกชายคนโตได 2 ไร ลกู ชายคนกลาง 850 ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากท่สี ดุ 4) พืน้ ท่ี 5,625 ไร คิดเปนพ้ืนท่ี กีต่ ารางกิโลเมตร 5) สมเกียรตซิ ้อื โลหะแผน ชนิดหน่งึ 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผน ชนดิ เดยี วกนั 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท (กาํ หนด 1 หลา = 90 เซนตเิ มตร)

81 เรือ่ งที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัดความยาวและพนื้ ที่ การวัดความยาว หรือการวัดพืน้ ท่ี ควรเลอื กใชห นว ยการวดั ทเ่ี ปนมาตรฐาน และเหมาะสมกบั ส่งิ ทต่ี อ งการวัด เชน - ความหนาของกระเบื้องหรือความหนาของกระจก ใชหนวยวดั เปน \"มิลลิเมตร\" - ความยาวของกระเปาหรือความสูงของนักเรียน ใชหนวยวัดเปน \"เซนตเิ มตร\" - ความยาวของถนน ความสูงของตึก ใชหนวยวัดเปน \"เมตร\" - ระยะทางจากรุงเทพฯ ถึงนครศรีธรรมราช ใชหนวยวัดเปน \"กิโลเมตร\" แบบฝก หัดท่ี 2 1.จงเตมิ หนว ยการวัดทเ่ี หมาะสมลงในชองวาง 1.ความยาวของรั้วโรงเรียน ………………………………… 2.ความหนาของหนังสือ …………………………………. 3. ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม …………………………….. 4. นาํ้ หนกั ของแตงโม ………………………………………….. 5. เวลาทน่ี ักเรยี นใชในการว่ิงแขง ในระยะทาง 100 เมตร …………………….. 6. อณุ หภมู ิหอง ..................................... 7. พนื้ ทสี่ วน ...................................... 8. ปริมาณของน้ํา 1 เหยือก ...................................... 9. สว นสูงของนักเรียน ..................................... 10. น้ําหนักของขาวสาร 1 ถุง ....................................

82 เรอื่ งท่ี 3 การหาพ้ืนทีข่ องรูปเรขาคณติ 1. รปู สามเหล่ยี ม รปู สามเหลย่ี ม คอื รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด มาตง้ั ฉากกบั ฐาน หรือสว นตอของฐานจะเรียกเสนต้งั ฉากวาสวนสูง จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกาํ หนด BC เปน ฐาน เรยี ก A วา มุมยอด เรียก AD วา สว นสูง จากรูปที่ 1 รปู ที่ 2 รปู ท่ี 3 พน้ื ทรี่ ูปสเ่ี หลี่ยมผืนผา ABCD แตล ะรปู เทา กบั 12 ตารางหนวย และพืน้ ท่สี ามเหล่ียมแตล ะรปู เทากบั ครึง่ หนึ่งของพน้ื ท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผา จากสตู ร พืน้ ที่รูปส่เี หลี่ยมผนื ผา = ฐาน x สูง ดังนนั้ พื้นท่ีรูปสามเหลีย่ ม = 1 × ฐาน × สงู 2

83 ตัวอยา ง รปู สามเหลย่ี มรูปหนึง่ พ้นื ท่ี 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง กี่เซนตเิ มตร วธิ ที าํ ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนตเิ มตร สตู ร พ้ืนท่ี  = 1 × ฐาน × สูง 2 40 = 1 × 8 × h 2 40 × 2 = h 8 10 = h ดังนนั้ ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10 เซนตเิ มตร แบบฝกหดั 3 1. จงหาพ้นื ทสี่ วนท่แี รเงาของรปู ตอไปนี้ ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี หนว ยเปน หนว ยความยาว ....................................................................... .................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

84 2. รปู สามเหล่ียมหนง่ึ รูปมพี นื้ ท่ี 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง กเี่ ซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ ยาวของดาน A ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

85 4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี หนว ยเปน เซนติเมตร) 30 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. รปู ส่เี หลี่ยม 2.1 พน้ื ที่ของรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก บทนยิ าม รปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉาก คือ รปู สเ่ี หลยี่ มที่มมี มุ แตล ะมมุ เปน มมุ ฉาก รูปสีเ่ หล่ยี มมมุ ฉากมี 2 ชนดิ คอื ก) รูปสเี่ หล่ยี มจตั ุรสั เปนรูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากทีม่ ีดา นทกุ ดานยาวเทา กัน ข) รปู สเี่ หลย่ี มผนื ผา เปน รปู ส่เี หลีย่ มมมุ ฉากทีม่ ีดา นตรงขามยาวเทากัน ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ เทาๆ กัน แลวลากเสนเช่อื มจุดแบง ดังรปู

86 จากรูปตารางเล็กๆ ท่ีเกดิ จากแบงแตล ะรูป จะมีความกวาง 1 หนว ย และยาว 1 หนว ย คิด เปน พนื้ ท่ี 1 ตารางหนวย การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 สีเ่ หล่ียมมุมฉากรปู ที่ 1 มีดานกวาง 3 หนว ย ดา นยาว 3 หนวย เมอ่ื แบง แลว ไดจาํ นวนตาราง 9 ตาราง หรือมพี ื้นท่ี 9 ตารางหนว ย ส่ีเหลย่ี มมมุ ฉากรูปท่ี 2 มีดานกวาง 3 หนว ย ดา นยาว 4 หนวย เมอ่ื แบง แลว ไดจาํ นวนตาราง 12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนว ย การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว นนั่ คือ พ้ืนที่รูปส่ีเหลยี่ มมมุ ฉาก = ดา นกวา ง x ดา นยาว ในกรณที ่ีเปน รปู สี่เหล่ยี มจัตุรสั จะมีดานกวางเทากับดา นยาว นนั่ คือ พื้นทรี่ ูปสเี่ หลยี่ มมุมฉาก = ดา น x ดา น หรือ พ้ืนท่รี ูปสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉาก = (ดา น)2 ตวั อยาง จงหาพน้ื ท่ขี องรูปสเ่ี หลี่ยมตอไปนี้ วธิ ีทํา กวาง x ยาว (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา =

87 = 5x8 ตอบ = 40 ตารางหนวย ดงั นัน้ พ้ืนทีส่ ่เี หลีย่ มผนื ผา เทากับ 40 ตารางหนวย (ก) พ.ท. ส่เี หลย่ี มผนื ผา = ดา น x ดา น ตอบ = 4x4 = 16 ตารางเซนตเิ มตร ดงั นนั้ พ้ืนทีส่ ่ีเหลย่ี มผืนผา เทา กับ 16 ตารางเซนตเิ มตร (ก) พ.ท. สเ่ี หลยี่ มผืนผา = (2x3) + (4x7) ตอบ = 6 + 28 = 34 ตารางน้ิว ดังน้นั พนื้ ที่สเี่ หล่ียมผนื ผา เทา กบั 34 ตารางนวิ้ 2.2 พน้ื ท่ขี องรูปส่ีเหลี่ยมดา นขนาน บทนิยาม รูปสเ่ี หลี่ยมดานขนาน คอื รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู การหาพื้นทีข่ องรูปสเ่ี หลยี่ มดา นขนาน

88 ถา รปู สี่เหลี่ยมดา นขนาน ABCD กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ สงู DE จากรูปท่ี 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหต ้งั ฉากกบั AB ดงั รูปท่ี 2 เราสามารถ ใชพ้นื ทข่ี องรปู สามเหลีย่ มหาสูตรพ้นื ทข่ี องรปู ส่เี หลีย่ มดา นขนาน ABCD ไดด งั น้ี พ้ืนที่ของ ABCD เทากบั ผลบวกของพื้นท่ี  ABD และพ้นื ที่  CDB เนอ่ื งจาก พ้นื ท่ี  ABD เทากับ พน้ื ที่  CDB ดงั น้นั พ้นื ที่ ABCD = 2 เทาของพ้ืนที่  ABD = 2 ×  1 × a × b 2  สตู รพน้ื ที่ รปู ส่เี หลยี่ มดา นขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง รูปสเ่ี หล่ียมดานขนานที่มีดา นทุกดา นยาวเทากนั และมุมไมเปน มมุ ฉาก เรียกวา รปู สีเ่ หล่ียม ขนมเปยกปูน ในกรณเี ปน รปู สี่เหลี่ยมขนมเปย กปูน ถา ลากเสน ทแยงมุม แบง รปู สีเ่ หลยี่ มออกเปน รปู สามเหล่ยี มสองรปู และไดส ตู รดังน้ี สูตรพ้นื ท่ี ขนมเปยกปูน = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 ตัวอยา ง จงหาพ้นื ทข่ี องส่เี หล่ยี มดา นขนาน ABCD วิธที าํ รปู ส่เี หลย่ี มดา นขนาน = ฐาน × สงู ตอบ = AB × AB = 10 × 7 ตารางเซนติเมตร ดังน้ัน พ้นื ทีส่ เ่ี หลย่ี มดา นขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร 2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คอื รปู ส่เี หล่ยี มท่ีมีดานขนานกนั หน่ึงคูเ ทาน้นั

89 รปู สเ่ี หลยี่ มท้ังสามรูป แตละรูปมีดา นขนานกนั เพียง 1 คูเทา น้นั รปู สามเหลี่ยมทง้ั สามรูปจึง เปนสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสเ่ี หลย่ี มรูปที่ 2 มีดานทไ่ี มข นานกัน 1 ดาน ตัง้ ฉากกับดา นคขู นาน เรียกรูปส่ีเหลย่ี มคาง หมนู ี้วา สเี่ หล่ียมคางหมมู ุมฉาก รูปสี่เหลย่ี มรูปที่ 3 มดี า นทีไ่ มข นานกันยาวเทา กัน เรียกรูปสี่เหล่ยี มคางหมนู ีว้ า สี่เหลี่ยม คางหมูหนาจั่ว รปู ส่เี หลย่ี มคางหมู ABCD มดี า น AB ขนานกบั ดา น CD ลาก CE ใหต ้ังฉากกบั AB และลากเสนทแยงมุม AC ดงั รปู ที่ 2 กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB b แทนความยาวของดาน CD c แทนความสูง เราสามารถใชพ้ืนทขี่ องรปู สามเหล่ยี มหาสตู รพน้ื ทข่ี องรปู ส่เี หลย่ี มคางหมู ABCD ไดดงั น้ี พืน้ ที่ ABCD เทา กบั ผลบวกของ พนื้ ท่ี  ABC และพืน้ ท่ี  ACD จากพ้ืนท่ี  ABC = 1×a×c พ้นื ที่  ACD = 2 1 ×b×c ดงั นนั้ พนื้ ที่ ABCE = 2  1 × a × e +  1 × b × e = 1 × c × (a + b) 2  2  2 สตู ร พน้ื ท่ี คางหมู = 1 × สงู × ผลบวกดา นคูขนาน 2

90 ตัวอยาง จงหาพนื้ ท่ีของสีเ่ หล่ียม ABCD วิธีทาํ พื้นทีส่ ่ีเหลย่ี มคางหมู ABCD = 1 × สูง × ผลบวกดานคูขนาน 2 = 1 × DE × (AB + DC) 2 = 1 × 6 × (12 + 8) 2 = 3 × 20 ตารางเซนติเมตร ดังน้นั พื้นทส่ี ่เี หลีย่ มคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.4 พื้นทขี่ องส่เี หลีย่ มรปู วา ว บทนิยาม รปู สเี่ หลย่ี มรปู วาว คอื รปู สีเ่ หลี่ยมที่มีดา นประชดิ กันยาวเทา กนั สองคู เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปส่ีเหล่ยี มรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ แบง ครง่ึ ซึ่งกนั และกนั การหาพืน้ ท่รี ปู สี่เหลย่ี มรปู วา ว รปู สเ่ี หลย่ี มรูปวาว ABCD มี AB = AD และ BC = CD กาํ หนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E ทําให DE ต้ังฉากกบั AC BE ต้ังฉากกับ AC

91 เราสามารถใชพนื้ ท่ีรปู สามเหลย่ี มหาสูตรพน้ื ท่ีสเ่ี หลี่ยมรูปวา ว ABCD ไดด งั น้ี พืน้ ที่ ABCD เทา กบั ผลบวกของ พน้ื ท่ี  ACD และพื้นที่  ABC จาก  ABC = 1 × a ×  1 × b  ADC = 2 2  ดังนน้ั พนื้ ที่ ABCD = 1 × a ×  1 × b พืน้ ท่ี ABCD = 2 2  = = 1 × a ×  1 × b  +  1 × a ×  1 × b   2  2  2  2 1 × a ×  1 × b  +  1 × b  2 2   2 1 × a × b + b 2  2 2  1 ×a×b 2 สูตร พ้นื ท่ีส่ีเหล่ยี มรปู วา ว = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 ตวั อยา ง จงหาพ้นื ทีร่ ปู สีเ่ หล่ยี มรปู วา ว ABCD ท่ีมี BD =10 เซนติเมตร และ AC =12เซนตเิ มตร วิธที าํ พนื้ ทีร่ ปู วา ว = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 = 1 × AC × BD 2 = 1 ×12 ×10 ตารางเซนตเิ มตร 2 ดงั นั้น พน้ื ท่ีรูปสี่เหลย่ี มรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

92 2.5 พน้ื ทขี่ องรปู สี่เหล่ียมใดๆ รูปสเี่ หลย่ี มใดๆ เปนรปู ส่ีเหลีย่ มทีไ่ มเ ขา ลกั ษณะของรปู สเี่ หลยี่ มขา งตน การหาพื้นที่อาจทาํ ไดโดยลากเสนทแยงมุม แลวหาพ้นื ที่ของรปู สามเหล่ียมท่เี กดิ ข้นึ จากรปู สเ่ี หลี่ยม ABCD เปน รูปสี่เหลย่ี มใดๆ จากเสนทแยงมุม AC จากจดุ B ลากเสน BE ใหตง้ั ฉากกับ AC D ลากเสน DF ใหตง้ั ฉากกบั AC ซ่งึ เสน BE และ DF เรียกวา เสนก่ิง พืน้ ที่ ABCD เทากบั ผลบวกของ พนื้ ที่  ABC และพื้นท่ี  ADC จากพ้ืนท่ี  ABC = 1 × AC × BE พืน้ ที่  ABD = 2 1 × AC × DF ดังนนั้ พ้ืนท่ี ABCE = 2 =  1 × AC × BE  +  1 × AC × DF  2  2  ( )1 × AC × BE + DF 2 สตู ร พื้นที่ส่เี หลี่ยมใดๆ = 1 × ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง 2 ตัวอยาง จงหาพืน้ ทข่ี องรปู ส่ีเหล่ียม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสน กงิ่ DF = 7 เซนตเิ มตร และ EB = 5 เซนตเิ มตร วิธีทํา พ้ืนที่ ABCD = 1 × เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง 2 = 1 × AC × (BE + DF ) 2 = 1 ×10 × (7 + 5) ตารางเซนตเิ มตร 2 ดังน้นั พน้ื ท่ี ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

93 แบบฝกหัดท่ี 4

94 2. จงหาพ้นื ทสี่ ว นท่ีแรเงา ตวั เลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว เปน เมตร ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………