คณิตต้น

145 ตวั อยา ง จงเขียนภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปสามมิติที่ กําหนดให พรอมทัง้ เขียนตัวเลขแสดงจาํ นวนลูกบาศกกํากับไวในตาราง เขยี นแสดงภาพทง้ั หมดไดด งั น้ี

146 แบบฝกหัดท่ี 3 จงจับคูภาพดานหนา ดา นขาง และดานบน ในแตล ะขอตอไปน้ีกับรปู เรขาคณิตสามมิติที่ กําหนดใหท างขวามือ โดยเลือกตวั อักษรท่กี าํ กบั ไวใ นรูปเรขาคณิตสามมิติ เขยี นเตมิ ลงในชอ งวาง บนขวาของแตละขอ

147

148 2. จงเขยี นภาพดานหนา ดา นขา ง และดา นบนของรูปเรขาคณิตสามมติ ิตอไปน้ี พรอมท้ังเขยี น จาํ นวนลูกบาศกก าํ กบั ไวใ นตารางสี่เหลยี่ มจตั ุรัส

149 บทที่ 9 สถติ ิ สาระสําคัญ 1. ขอ มูลเบอื้ งตนของสถิติ จะชว ยใหทราบขอเท็จจรงิ ทช่ี ัดเจนถกู ตอง ซึ่งจะเปนประโยชน สําหรับการวางแผนการดําเนินงาน และตัดสินใจปรับปรุงการดําเนินงานตามผลที่ไดนําเสนอขอมูล ไว 2. การนําเสนอขอมูล มีความมุงหมายเพื่อแสดงใหเห็นรายละเอียดของขอมูลไดงาย ชัดเจน และรวดเร็ว สามารถนําขอมูลไปใชประโยชนไดทันที ฉะนั้นการเลือกใชวิธีการนาํ เสนอขอ มลู ตอง ใหเหมาะสมกับลักษณะของขอมูลและการใชประโยชนเปนสําคัญ ผลการเรยี นรูท ค่ี าดหวงั 1. สามารถจัดเก็บรวบรวมขอมูลที่เหมาะสมได 2. สามารถนําเสนอขอมูลในรูปแบบที่เหมาะสมได 3. หาคากลางของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ 4. เลือกและใชคากลางของขอมูลที่กําหนดใหไดอยางเหมาะสม 5. อาน แปลความหมาย และวิเคราะหขอมูลจากการนําเสนอขอมูลที่กําหนดใหได 6. อภิปรายและใหขอคิดเห็นเกี่ยวกับขอมูลขาวสารทางสถิติที่สมเหตุสมผลได ขอบขา ยเน้ือหา การรวบรวมขอมูล เรื่องท่ี 1 การนําเสนอขอมูล เรื่องท่ี 2 การหาคากลางของขอมูล เร่ืองที่ 3 การเลือกใชคากลางของขอมูล เร่ืองที่ 4 การใชสถิติขอมูลและสารสนเทศ เร่ืองที่ 5

150 เรือ่ งที่ 1 การรวบรวมขอมลู 1.1 สถิติ คาํ วา สถติ ิ (Statistics) มาจากภาษาเยอรมันวา Statistik มีรากศัพทมาจาก Stat สถิติ หมายถึง ขอมูลหรอื สารสนเทศ หรือตัวเลขแสดงจาํ นวนหรือปรมิ าณของสิ่งตาง ๆ ที่ ไดร วบรวมไว สถิติ หมายถึง วิธีการที่วาดวยการเกบ็ รวบรวมขอมลู การนาํ เสนอขอมลู การวเิ คราะห ขอมูลและการตีความหมายขอมูล สถิติในความหมายนี้เปนทั้งวิทยาศาสตรและศิลปศาสตร เรียกวา \"สถิติศาสตร” สรุป สถติ ิ หมายถึง ศาสตรที่วาดว ยการเกบ็ รวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมลู และการวิเคราะห ขอมลู 1.2 การรวบรวมขอ มูล (Data Collection) 4 การรวบรวมขอมูล หมายถึง การนําเอาขอมูลตางๆ ท่ีผูอืน่ ไดเก็บไวแลว หรือรายงานไวใน เอกสารตางๆ มาทําการศึกษาวิเคราะหตอ 1.3 ประเภทของขอมลู 4 ขอ มูล หมายถึง ขอเท็จจริงเกี่ยวกบั ตัวแปรทส่ี าํ รวจโดยใชว ิธกี ารวัดแบบใดแบบหนึง่ 4 โดยทั่วไปจําแนกตามลักษณะของขอมูลไดเปน 2 ประเภท คือ 4 1) ขอมูลเชงิ ปริมาณ (Quantitative Data) คือ ขอมูลที่เปนตัวเลขหรือนํามาใหรหัสเปน ตัวเลข ซึ่งสามารถนําไปใชวิเคราะหทางสถิติได เชน อายุ นาํ้ หนัก สว นสูง 4 2) ขอ มลู เชงิ คณุ ภาพ (Qualitative Data) คอื ขอมูลทไ่ี มใ ชตัวเลข ไมไ ดม ีการใหร หัส ตัวเลขที่จะนําไปวิเคราะหทางสถิติ แตเปนขอความหรือขอสนเทศ เชน เพศ ระดับการศึกษา อาชีพ 1.4 แหลง ที่มาของขอมลู 4 แหลงขอมลู ท่ีสําคัญ ไดแ ก บคุ คล เชน ผใู หสัมภาษณ ผูกรอกแบบสอบถาม บคุ คลท่ถี กู 4 สังเกต เอกสารทกุ ประเภท และขอมูลสถติ ิจากหนว ยงาน รวมไปถงึ ภาพถา ย แผนที่ แผนภูมิ หรอื แมแตวัตถุ สง่ิ ของ ก็ถอื เปนแหลง ขอมลู ไดทง้ั ส้ิน โดยทั่วไปสามารถจัดประเภทขอมูลตาม แหลง ทีม่ าได 2 ประเภท คือ

151 4 1) ขอมลู ปฐมภูมิ (Primary Data) คอื ขอมลู ท่ผี วู จิ ยั เก็บข้ึนมาใหมเพ่ือ ตอบสนองวัตถุประสงคการวจิ ยั ในเร่ืองน้ันๆ โดยเฉพาะการเลอื กใชขอมูลแบบปฐมภมู ิ ผูว จิ ยั จะ สามารถเลือกเก็บขอมูลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกับวัตถุประสงค ตลอดจนเทคนิค การวิเคราะห แตมีขอเสียตรงที่สิ้นเปลืองเวลา คาใชจาย และอาจมีคุณภาพไมดีพอ หากเกิดความ ผิดพลาดในการเก็บขอมูลภาคสนาม 4 2) ขอ มูลทุติยภมู ิ (Secondary Data) คอื ขอมลู ตา งๆ ที่มผี เู ก็บหรือรวบรวมไว กอนแลว เพียงแตน ักวิจัยนาํ ขอ มูลเหลาน้ันมาศึกษาใหม เชน ขอ มลู สาํ มะโนประชากร สถติ ิจาก หนวยงาน และเอกสารทุกประเภท ชวยใหผูวิจัยประหยัดคาใชจาย ไมตองเสียเวลากับการเก็บขอมูล ใหม และสามารถศึกษายอนหลังได ทําใหทราบถึงการเปลี่ยนแปลงและแนวโนมการเปลย่ี นแปลง ของปรากฏการณที่ศึกษา แตจะมีขอจํากัดในเรื่องความครบถวนสมบูรณ เนื่องจากบางครั้งขอมูลที่ มีอยแู ลว ไมตรงตามวัตถปุ ระสงคข องเรื่องทีผ่ ูวิจัยศึกษา และปญหาเรื่องความนาเชื่อถือของขอมูล กอนจะนําไปใชจึงตองมีการปรับปรุงแกไขขอมูล และเก็บขอมูลเพมิ่ เตมิ จากแหลงอ่ืนในบางสว นที่ ไมส มบูรณ 1.4 วิธีการเกบ็ รวบรวมขอ มูล อาจแบง เปน วธิ ีการใหญๆ ได 3 วิธี คอื 4 4 1) การสงั เกตการณ (Observation) ทั้งการสังเกตการณแบบมีสวนรวม และการ สงั เกตการณแ บบไมมีสวนรวม หรืออาจจะแบงเปนการสงั เกตการณแบบมีโครงสราง และการ สังเกตการณแบบไมมีโครงสราง 4 2) การสมั ภาษณ (Interview) นิยมมากในทางสังคมศาสตร โดยเฉพาะการ สัมภาษณโดยใชแบบสอบถาม การสัมภาษณแบบเจาะลึก หรืออาจจะจําแนกเปนการสัมภาษณเปน รายบุคคล และการสัมภาษณเปนกลุม เชน เทคนิคการสนทนากลุม ซง่ึ นิยมใชก ันมาก 4 3) การรวบรวมขอ มูลจากเอกสาร เชน หนังสือ รายงานวิจัย วิทยานิพนธ บทความ สงิ่ พิมพต า งๆ เปน ตน 1.5 ข้นั ตอนการเกบ็ รวบรวมขอ มูล 4 1. การสมั ภาษณบุคคลทเี่ ก่ียวขอ ง 2. การบันทึกขอมูลจากจากบันทึกหรือเอกสารของหนวยงานตางๆ 3. การอานและศึกษาคนควา 4. การคนหาขอมูลจากอินเทอรเนต็ 5. การเขารวมในเหตุการณตางๆ 6. การฟง วิทยุและดโู ทรทศั น

152 แบบฝก หัดท่ี 1 4 1. ใหผูเ รียนพิจารณาขอความตอ ไปนี้แลว เขียนเครื่องหมาย  ลงในชอ งที่ตรงกับความคิดเหน็ ของ ผูเรยี น ขอ มูลสถิติ ขอ ท่ี ขอความ 4 44 เปน ไมเปน 44 1 แดงสงู 163 เซนตเิ มตร 4 4 2 นางสาวภิ าวมี สี ว นสดั เปน 35-24-36 4 4 3 นํา้ หนกั ของนักเรยี นทกุ คนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล 4 4 4 อณุ หภูมทิ ีจ่ งั หวดั ปทุมธานีวันน้ีวดั ได 25 องศาเซลเซยี ส 4 4 5 สมศรไี ดค ะแนน 15 คะแนน 4 4 4 ในการโยนเหรยี ญ 10 คร้ัง เกิดหวั 6 ครัง้ เกิดกอย 4 ครั้ง ได 6 อตั ราสวนที่จะเกิดหัว 6 4 10 7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท 4 4 8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162 เซนตเิ มตร 4 4 9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวชิ ยั 4 4 10 จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทึกคดี 4 4 อาชญากรรมแตละวันในแตละสถานีตํารวจ 2. ใหผเู รียนพจิ ารณาขอ มลู ในแตละขอตอไปน้ี แลว เขยี นเครือ่ งหมาย  ลงในชองที่ตรงกบั ความ 4 คดิ เหน็ ขอมูลสถิติ ขอ ท่ี ขอ ความ 4 4 4 ขอ มลู ขอ มูล 44 คุณภาพ ปรมิ าณ 1 สถติ ิคนไขแ ยกตามเชอ้ื โรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง 4 4 2 จํานวนครั้งของการโทรศัพททางไกลจากแตละเครื่องใน 4 4 สํานักงาน 10 เครื่อง ในวนั หนง่ึ 3 ผจู ัดการถูกสัมภาษณถ ึงจาํ นวนเปอรเ ซน็ ตข องเวลาทํางานทีใ่ ชใ น 4 4 การประชุม 4 เครื่องสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษัทใน 10 4 4 บรษิ ัท ไดร ะบุวา มียอดขายมากที่สุด

153 3. ใหผเู รยี นพิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ แลว เติมคําตอบลงในชองวา งตามความคดิ เห็นของผเู รียนวา 4 เปนขอมูลปฐมภมู ิ หรือทุติยภูมิ 1) รายงานประจําปของหนวยงานตางๆ 4 ……………………………………………………………………………………………………… 2) สํานักงานสถิติแหงชาติ ตองการเก็บสถิติผลผลติ ขาวทว่ั ประเทศ โดยการไปสมั ภาษณ 4 ชาวนา ……………………………………………………………………………………………………… 3) ศิรินภาไปขอขอมูลเกี่ยวกับจํานวนคนเกิด ตาย และยาย ซึ่งสํานักงานเทศบาลแหงหนึ่ง 4 ไดร วบรวมไว ……………………………………………………………………………………………………… 4) บรรณารกั ษห องสมดุ โรงเรยี นแหง หนง่ึ ไดส งั เกตและบันทึกการใชหองสมุดของ 4 นกั เรียนแตละวัน ……………………………………………………………………………………………………… 5) ครูคนหนึ่งตองการทราบวาหองสมุดของโรงเรียนมีนักเรียนใชมากหรือนอยเพียงใดใน แตล ะวนั จึงไปขอลอกขอ มูลจากบรรณารกั ษ ………………………………………………………………………………………………………

154 เรอื่ งที่ 2 การนาํ เสนอขอ มูล 4 การนําเสนอขอมูลเปนการนําขอมูลที่เก็บรวบรวมมาจากแหลงตา ง ๆ ซึ่งยงั ไมเปนระบบ มาจดั เปน หมวดหมูใหมีความสัมพันธเก่ียวขอ งกันตามวัตถปุ ระสงค เพ่ือสะดวกแกก ารอาน ทาํ ความเขาใจ การวิเคราะห และแปลความหมาย เพื่อประยุกตใชใ นชวี ติ ประจาํ วันตอไป การนําเสนอขอมูลแบงออกเปน 2 ประเภท ไดแ ก 4 1. การนําเสนอขอมูลอยางไมมีแบบแผน (informal presentation) หมายถึง การนาํ เสนอ 44 ขอมูลท่ไี มม ีกฎเกณฑ หรือแบบแผนท่แี นนอนตายตัว เปนการอธิบายลักษณะของขอมูลตามเนื้อหา ขอ มูล ท่ีนยิ มใชม สี องวธิ ีคือ การนําเสนอขอมูลในรูปบทความหรือขอความเรียง และการนําเสนอ ขอมูลในรูปบทความกึ่งตาราง - การนําเสนอขอมูลในรูปขอความ นิยมใชกับขอมูลที่มีจํานวนไมมากนัก เชน ใน 44 ปงบประมาณ 2552 กศน.บา นแพว ไดอ นมุ ัตใิ หนกั เรยี นระดับชนั้ มัธยมศึกษาตอนตนจบการศึกษา จาํ นวน 480 คน คดิ เปนรอยละ 92 อนมุ ัตใิ หนกั เรียนระดบั มัธยมศึกษาตอนปลายจบการศกึ ษา จาํ นวน 372 คน คดิ เปนรอยละ 95 - การนําเสนอขอมูลในรูปขอความกึ่งตาราง (Semi – tabular arrangement) คอื การนาํ เสนอ ขอมูล โดยแยกตัวเลขออกจากขอความ เพอ่ื ตองการใหเห็นตวั เลขทช่ี ดั เจนและเปรียบเทียบความ แตกตา งไดส ะดวกยง่ิ ข้นึ ตวั อยาง เชน บริษัทคอมพิวเตอรแหงหนึ่งมีจํานวนยอดขายประจําเดือน มกราคม 2553 ของลูกคา จําแนกตามภาคตาง ๆ ดังน้ี ภาค จาํ นวนยอดขาย ( พันเคร่อื ง ) เหนือ 210 กลาง 398 ตะวนั ออก 135 ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื 102 ใต 170 2. การนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน เปนการนําเสนอขอมูลที่มีกฎเกณฑ โดยแตละแบบ จะตองประกอบดวยช่ือเร่ือง สว นของการนาํ เสนอ และแหลง ทม่ี าของขอมูล การนําเสนอขอมูล อยางมีแบบแผน ประกอบดว ย การนําเสนอขอมลู ในรูปตาราง แผนภูมิรูปภาพ แผนภมู ิวงกลม (แผนภมู ิกง) แผนภูมิแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถี่ 2.1 การนาํ เสนอขอมลู ในรูปตาราง presentation) 4 การนําเสนอในรูปตาราง (Tabular ขอมูลตางๆ ที่เก็บรวบรวมมาไดเมือ่ ทํา 4 การประมวลผลแลวจะอยูในรูปตาราง เปนการนําเสนอขอมูลที่งาย และนิยมใชกันอยาง แพรหลาย เพราะมีความสะดวกและงายแกการนําไปวิเคราะหและแปลความหมายทางสถิติ

155 เปรยี บเทยี บการปรบั ราคานํ้ามันป 2521-2523 (ราคา : บาท / ลติ ร) ชนดิ น้ํามนั 2521 2522 2523 10 ม.ี ค. 31 ม.ค. 22 มี.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 มี.ค. เบนซินพิเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 - เบนซนิ ธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 - นา้ํ มันกา ด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70 ดีเซลหมุนเร็ว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50 ดเี ซลหมุนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27 น้าํ มันเตา 450 1.52 - - - - - - นํ้ามันเตา 600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 - น้ํามันเตา 1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 - นา้ํ มันเตา 1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 - ที่มา: ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย 2.2 การนาํ เสนอขอมลู ดว ยแผนภูมริ ูปภาพ 4 แผนภมู ิรปู ภาพ คอื แผนภูมิทีใ่ ชรปู ภาพแทนจาํ นวนของขอมลู ท่ีนําเสนอ เชน แผนภูมิ 44 รูปภาพคน รูปภาพคน 1 คน แสดงประชากรที่นําเสนอ 1 ลานคน เปน ตน การเขียนแผนภูมิรูปภาพ อาจกาํ หนดใหร ปู ภาพ 1 รูปแทนจํานวนสิ่งของ 1 หนว ย หรอื หลายหนว ยกไ็ ดรูปภาพแตละรูปตองมีขนาดเทากันเสมอ แผนภมู แิ สดงงานอดิเรกของนกั เรียนช้ัน ป. 6 ของโรงเรยี นแหง หน่ึง (สาํ รวจเมื่อวันที่ 19 มกราคม 2548) ปลูกตน ไม อา นหนงั สือ 1 ภาพ แทนจาํ นวนนกั เรยี น 15 คน วาดรปู เล้ยี งสัตว เลน กฬี า หมายเหตุ

156 2.3 การนาํ เสนอดว ยแผนภมู ิแทง (Bar chart) ประกอบดวยรูปแทง สเี่ หลย่ี มผนื ผา ซง่ึ แตละ แทงมีความหนาเทาๆ กัน โดยจะวางตามแนวตง้ั หรอื แนวนอนของแกนพกิ ดั ฉากกไ็ ด แผนภมู แิ ทง แบบทางเดยี ว เปนการนําขอมูลเพียงขอมูลเดียวมานําเสนอในรูปแบบของ แทง สีเ่ หลีย่ ม ตวั อยา ง แผนภูมิแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ ปรมิ าณ (ตนั ) ประเทศ แผนภูมิแทง แสดงการเปรียบเทยี บ เปน การนําขอ มลู ต้งั แต 2 ชดุ ขน้ึ ไปท่เี ปนเรื่องเดียวกัน นาํ มาเขยี นบนแกนคเู ดยี วกนั แลว ระบายสแี ทงส่เี หลย่ี มใหต างกนั เพอ่ื งายตอ การดู แลวอธบิ ายวาสี ใดแทนอะไร ตวั อยา ง แผนภูมแิ สดงการเปรียบเทียบยอดการขายแตล ะเดอื นของบรษิ ัทหน่ึง จํานวน (ลา นบาท)

157 2.4 การนําเสนอดว ยกราฟเสน (Line graph) เปน แบบท่ีรูจกั กนั ดีและใชก นั มากท่ีสุดแบบ หนง่ึ เหมาะสําหรับขอมลู ทอ่ี ยูในรปู ของอนกุ รมเวลา เชน ราคาขาวเปลือกในเดือนตางๆ ปริมาณ สินคา สงออกรายป เปนตน จากตาราง นําเสนอขอมลู ดว นกราฟเสน ดงั น้ี 2.5 การนําเสนอดวยรปู แผนภูมิวงกลม (Pie chart) เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆ ตามจํานวนชนิดของขอมูลที่จะนําเสนอ ตวั อยาง แผนภูมิวงกลมแสดงการใชท่ีดินทถี่ ือครอบ เพอ่ื การเกษตร พ.ศ. 2518 4

158 2.6 การนําเสนอขอ มลู ในรูปตารางแจกแจงความถ่ี ขอมูลที่เก็บรวบรวมมาไดนั้น ถามีจํานวนมากหรือซา้ํ กนั อยมู าก เมือ่ มาเรียงกนั หรือจดั ให อยเู ปน หมวดหมแู ลว จะชวยใหเ ราบอกรายละเอียดตางๆ หรือสรุปผลเกี่ยวกับขอมูลไดส ะดวกและ รวดเรว็ ข้ึน เชน 45 52 ในการชัง่ น้าํ หนกั ของนักเรยี น 40 คน หนวยเปน กโิ ลกรมั ปรากฏผลดังนี้ 42 57 44 46 41 48 50 51 42 43 42 45 43 42 40 50 41 47 60 50 46 42 42 53 46 55 45 41 50 44 41 40 45 59 44 49 50 39 ในทางสถติ เิ รียกวา ขอมลู ดบิ หรอื คะแนนดบิ หรอื คาจากสงั เกต เมอ่ื นาํ มาจัดเรยี งใหมให 4 เปนระบบโดยอาจเรียงจากมากไปหานอยหรือจากนอยไปหามาก แลว บนั ทกึ รอยขีด แสดงจาํ นวน คร้ังของขอมูลทเ่ี กดิ ขน้ึ ซา้ํ กันในตาราง จํานวนรอยขดี ทีน่ ับไดเ รียกวา ความถี่ของแตล ะขอ มูล ตารางทน่ี ําเสนอขอมูลในรูปแบบนี้เรียกวา ตารางแจกแจงความถี่ และวธิ กี ารจาํ แนกขอมลู 4 โดยการบนั ทกึ รอยขีดเพื่อหาคา ความถเ่ี รยี กวา การแจกแจงความถี่ การสรา งตารางแจกแจงความถ่ี ในกรณีทีข่ อ มลู ทเี่ ก็บรวบรวมมามจี ํานวนมากๆ และไมคอ ยซา้ํ กนั ถา จะเรียงลําดับจะเปน การเสียเวลาและสิ้นเปลืองมาก จึงกําหนดขอมูลเปนชวงๆ และหาความถี่ของชวงขอมูลนั้นๆ วิธีการสรางตารางแจกแจงความถี่ โดยจดั เปนอันตรภาคช้ันใหท กุ ๆ ชั้นมีความกวาง เทา กัน มวี ิธีการดังน้ี 1. หาพสิ ยั ของขอมูล พิสัย = ขอ มลู ท่ีมคี าสูงสดุ – ขอ มลู ท่มี คี าต่ําสดุ

159 2. กาํ หนดจาํ นวนชน้ั หรือกาํ หนดความกวา งของอันตรภาคชน้ั ขน้ึ มา - ถากําหนดจํานวนชั้นก็ใหหาความกวางของอันตรภาคชั้น ความกวางของอันตรภาคชั้น = พสิ ยั (เศษเทาไรปดขน้ึ เสมอ) จํานวนอันตรภาคชั้น - ถากําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นก็หาจํานวนชั้นไดจาก จาํ นวนอนั ตรภาคชั้น = พิสยั ความกวางของอันตรภาคชั้น (เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ) 3. เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถาเรียงคาจากนอยไปมาก ตอ งใหขอมูลท่ีมีคา ตาํ่ สุดในอันตรภาคช้ันแรก และขอมลู ท่มี คี า สงู สุดอยูในอนั ตรภาคช้ันสุดทา ย 4. นําขอมูลดิบมาใสในตารางโดยใชรอยขีด 5. รวมความถี่ตามรอยขีด 54 ตัวอยาง จากขอมูล 69 74 72 74 49 50 62 43 44 54 46 63 45 53 63 67 65 57 65 50 66 80 77 60 55 52 56 61 61 82 48 66 71 81 51 59 48 68 70 จงหา 1. พสิ ัย 2. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีทั้งหมด 6 ชน้ั 3. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นทุกชั้นเปน 8 ทุกชั้น

160 วิธีทํา 1. ขอมลู ทมี่ คี า สูงสดุ เปน 82 ขอ มลู ทมี่ คี าต่ําสุดเปน 43 ดงั นั้นพสิ ัย = 82 – 43= 39 ตอบ พสิ ัยเปน 39 2. โจทยกําหนดใหสรางตารางแจกแจงความถี่ทั้งหมด 6 ช้ัน จาํ นวนอันตรภาคชั้น = พิสัย ความกวางของอันตรภาคชั้น จาํ นวนช้ัน = 39 6 = 6.5 ≈7 ดังนั้นความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถา เอาขอมลู ทม่ี ีคาตํ่าสุดเปนตัว เริ่มตน และใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 จดั ไดดงั น้ี อนั ตรภาคช้นั รอยขดี ความถี่ 43-49 //// // 7 50-56 //// //// 9 57-63 //// /// 8 64-70 //// /// 8 71-77 //// 5 78-84 /// 3 รวม 40 จากตารางแจกแจงความถี่ขางตน มีคาตางๆ ที่ผูเรียนควรทราบอีก คือ 1. ขอบลาง คา ทนี่ อ ยทส่ี ุดของอนั ตรภาคชั้นนั้น + คาที่มากทีส่ ดุ ของอันตรภาคช้นั ทตี่ าํ่ กวา หนง่ึ 4 4 = ชน้ั 2 4 หรอื ขอบลาง = คา ที่นอ ยทส่ี ุดของอนั ตรภาคชน้ั ที่เราตองการ - 0.5 4

161 เชน ขอบลางของอัตรภาคชั้น 50-56 ไดแก 49.5 44 2. ขอบบน = คา ท่ีมากทสี่ ุดของอนั ตรภาคชน้ั น้ัน + คาทน่ี อยท่ีสดุ ของอันตรภาคช้ันที่สูงกวา หน่ึงชั้น 4 4 24 หรือ ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ + 0.5 4 เชน ขอบบนของอันตรภาคชั้น 50 - 56 = 56 − 57 = 56.5 หรือ ขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5 44 2 3. จุดกึ่งกลางชน้ั = ขอบลาง + ขอบบน (ของอันตรภาคชั้น) 4 4 2 4 เชน อนั ตรภาคช้ัน 50 – 56 มีขอบบน และขอบลา ง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลําดับ 4 ดังนัน้ จดุ กึ่งกลางชัน้ = 49.5 + 56.5 = 53 4 2

162 แบบฝกหดั ท่ี 2 4 1. แผนภมู ิรปู วงกลมแสดงรายไดข องหา งสรรพสนิ คา แหง หนง่ึ โดยเฉลย่ี ตอ วัน จาํ แนกตามแผนกตา งๆ จากแผนภมู ิจงตอบคําถามตอไปนี้ 1) รายไดจ ากแผนกเสอื้ ผาบุรุษ และแผนกเสื้อผาสตรีรวมกันมากกวาหรือนอ ยกวา รายไดจ ากแผนก เคร่ืองเขยี น แบบเรยี นอยูก ีเ่ ปอรเซน็ ต ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) รายไดจ ากแผนกใดนอยทส่ี ดุ และคดิ เปน รอยละเทา ไรของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) รายไดจ ากแผนกเสอื้ ผา สตรีคดิ เปนรอยละเทา ไรของรายไดจ ากแผนกเครื่องเขยี น แบบเรยี น ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) แผนกใดทม่ี ีรายไดมากเปนอันดับสอง และรายไดนั้นคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดทั้งหมด ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

163 2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของ ทางโรงเรียน เปนดังน้ี กลมุ สาระการเรยี นรู งบประมาณ จาํ นวนเปอรเ ซน็ ต ขนาดของมมุ ท่จี ุดศูนยกลาง (บาท) ของรปู วงกลม (องศา) คณิตศาสตร 35,000 35000 ×100 = 10.29 35000 × 360 = 37.06 วิทยาศาสตร 100,000 340000 340000 ภาษาตางประเทศ 48,000 ภาษาไทย 34,500 ศิลปะ 18,500 การงานอาชีพและเทคโนโลยี 40,500 สุขศึกษาและพลศกึ ษา 29,500 สังคมศึกษา ศาสนา และ 34,000 วฒั นธรรม รวม 340,000 3. จงเขียนแผนภูมิรูปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซ็นตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูป วงกลมที่คํานวณไดจากตารางขางตน

164 4. ใหผ ูเรยี นพิจารณากราฟเสนตอ ไปนี้ จากกราฟเสน จงตอบคําถามตอไปนี้ 4 1) ใน พ.ศ. ใดบา งทป่ี รมิ าณไมสักท่ีผลติ ไดม มี ากกวา ไมป ระดู 4 ............................................................................................................................................................. 4 2) ในพ.ศ. ใดท่ปี รมิ าณของไมส ักและไมป ระดทู ีผ่ ลิตไดต างกนั มากที่สดุ และตา งกนั ประมาณกี่ 4 ลูกบาศกเมตร ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4

165 3) ในชว ง พ.ศ. 2531 – 2533 ปรมิ าณไมสักและไมป ระดทู ่ผี ลิตไดมีลกั ษณะการเปลีย่ นแปลงเปน 4 อยา งไร และชนดิ ใดมกี ารเปลี่ยนแปลงมากกวา ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 4) ใน พ.ศ. 2532 ปรมิ าณไมสกั ท่ีผลติ ไดคิดเปนกี่เปอรเซ็นตข องปรมิ าณไมป ระดูท ีผ่ ลิตไดใ นป 4 เดยี วกนั (ตอบเปนคาประมาณของจํานวนเต็มหนวย) ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 5) ปรมิ าณไมประดูในปท ีผ่ ลิตไดม ากท่ีสุดและในปท ผี่ ลิตไดน อยท่สี ุดแตกตา งกันประมาณก่ี 4 ลูกบาศกเมตร ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4 ............................................................................................................................................................. 4

166 4. ตารางแสดงรายจับ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดอื นแรกของป พ.ศ. 2546 เปน ดังน้ี จากตารางจงนําเสนอขอมูลดวยกราฟเสน 4

167 เรือ่ งท่ี 3 การหาคากลางของขอมูล 4 การหาคากลางของขอมูลที่เปนตัวแทนของขอมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุป เร่ืองราวเกย่ี วกับขอมลู นั้นๆ จะชว ยทําใหเ กดิ การวิเคราะหข อ มลู ถกู ตอ งดีขึ้น การหาคากลางของ ขอ มูลมวี ิธหี าหลายวธิ ี แตล ะวิธมี ขี อดแี ละขอ เสีย และมีความเหมาะสมในการนําไปใชไมเหมือนกัน ขนึ้ อยกู บั ลกั ษณะขอ มลู และวตั ถุประสงคข องผใู ชข อ มูลนั้นๆ คากลางของขอมูลที่สําคัญ มี 3 ชนดิ คือ 1. คา เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetic mean) คือ คาที่ไดจากผลรวมของขอมูลทั้งหมด หารดวยจํานวน ขอมลู ทงั้ หมด ใชสัญลักษณ คือ x x = x1 + x2 + x3 + ...xn N X แทน ขอมูล N แทน จาํ นวนขอมลู ตัวอยา ง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้ 14 , 16 , 20 , 25 , 30 วิธที ํา คาเฉลย่ี เลขคณติ ของขอ มูลชดุ น้ี คือ 14 + 16 + 20 + 25 + 30 5 = 105 5 = 21 ตัวอยาง จากขอมูล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8 วิธีทํา คา เฉลีย่ เลขคณติ ของขอ มลู ชุดนี้ คือ 4 + 8 + 4 + 5 + 8 + 5 + 6 + 8 8 = 48 8 =6

168 2. มัธยฐาน (Median) คอื คา ทม่ี ตี าํ แหนงอยกู ง่ึ กลางของขอมลู ท้ังหมด เมอื่ ไดเรียงขอมลู ตามลาํ ดบั ไมว า จากนอ ย ไปมาก หรือจากมากไปนอย ใชสัญลกั ษณ Med หลักการคดิ 1) เรียงขอมูลที่มีอยูทั้งหมดจากนอยไปมาก หรือมากไปนอยก็ได 2) ตําแหนงมัธยฐาน คือ ตาํ แหนง ก่งึ กลางขอ มูล ดงั น้นั ตําแหนง ของมธั ยฐาน = N + 1 2 เมอ่ื N คือ จํานวนขอมูลทั้งหมด ตัวอยา ง จงหามธั ยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23 วธิ ที าํ 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40 2. หาตําแหนงของขอมูล จาก N + 1 2 จะได 11 + 1 = 6 2 ดังน้ัน มธั ยฐานอยูตําแหนงท่ี 6 มคี า เปน 15 ถาขอ มลู ชุดน้ันเปนจํานวนคู จะใชคา เฉลีย่ เลขคณิตของขอมูลคูที่อยูตรงกลางเปนมัธยฐาน ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมลู ตอไปน้ี 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17 วธิ ีทาํ 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50 2. หาตําแหนงของขอมูล จาก N + 1 2 จะได 14 + 1 = 7.5 2 มัธยฐานอยูระหวางตาํ แหนงที่ 7 และ 8 ดงั นน้ั มธั ยฐาน คือ 17 + 19 =18 2

169 3. ฐานนยิ ม (Mode) ฐานนิยมของขอมูลชุดหนึ่ง คือ ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในขอ มลู ชดุ นั้น หรืออาจกลา ววา ขอมลู ใดการซาํ้ กนั มากท่ีสดุ (ความถส่ี งู สดุ ) ขอมูลนั้นเปนฐานนิยมของขอมูลชุดนั้น และ ฐาน อาจจะไมมี หรือ มีมากกวา 1 คา กไ็ ด ตัวอยา ง จากขอมลู 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนยิ ม วธิ ีทาํ จากขอ มูลจะเหน็ วา มี 2 อยูหนึง่ ตัว มี 3 อยูส องตัว มี 4 อยสู ามตัว มี 5 อยหู นง่ึ ตัว มี 6 อยูสามตัว มี 7 อยหู นง่ึ ตัว มี 8 อยูหนึ่งตัว ขอ มูลทมี่ คี วามถส่ี งู สดุ ในท่ีนี้มี 2 ตวั คอื 4 และ 6 ซง่ึ ตา งก็มคี วามถี่เปน 3 ดงั น้ัน ฐานนยิ มของขอมลู ชุดนี้ คอื 4 และ 6

170 แบบฝก หดั ท่ี 3 1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉล่ยี เลขคณติ ฐานนิยม และมัธยฐาน คา เฉล่ยี เลขคณิต = ………………………………………………….\\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนยิ ม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คา เฉล่ียเลขคณติ = …………………………………………………. มธั ยฐาน คอื = …………………………………………………. ฐานนยิ ม คอื = …………………………………………………. 2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉล่ยี เลขคณิต ฐานนิยม และมธั ยฐาน คา เฉล่ยี เลขคณติ = ………………………………………………….\\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนยิ ม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลีย่ เลขคณติ = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = …………………………………………………. 3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉล่ยี เลขคณิต = ………………………………………………….\\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนยิ ม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉล่ียเลขคณิต = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนยิ ม คอื = ………………………………………………….

171 เรอื่ งที่ 4 การเลอื กใชค า กลางของขอ มูล ในการทีจ่ ะเลือกใชค า กลางคาใดนั้น ขึ้นอยกู บั จุดประสงคข องผใู ช ซึ่งคากลางท้งั สามมี สมบัตทิ แี่ ตกตางกนั ดังนี้ คา เฉลี่ยเลขคณิต ขอ เสยี 1. ถาขอมูลมีบางคาต่ําเกินไปหรือสูงเกินไป จะมผี ลตอ คาเฉลยี่ เลขคณติ จงึ ไมเหมาะสมที่ จะใช เชน รายไดข องพนกั งาน 5 คน เปนดังน้ี 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท 80,000 บาท 2. ถา ขอ มูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปด เชน นอยกวาหรือเทากับ มากกวาหรือเทากับ จะ คํานวณหาคา เฉลย่ี เลขคณติ ไมไ ด 3. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น ขอ ดี 1. มีประโยชนในการใชขอมูลจากตัวอยางอางอิงไปสูประชากร 2. สามารถคํานวณไดงายโดยใชคาที่ไดมาทุกจํานวน 3. มกี ารนาํ ไปใชในสถิติชั้นสูงมากกวา คา เฉลี่ยแบบอน่ื ๆ 4. สามารถเปรียบเทียบกับขอมูลชุดอื่นไดงาย ฐานนยิ ม ขอเสีย 1. บางครั้งหาฐานนิยมไมได 2. การคาํ นวณฐานนยิ มไมไ ดใชคาของขอมลู ทกุ ตัว จึงไมเปน ตวั แทนท่ีดีนกั 3. คา ฐานนยิ มไมค อ ยนิยมใชในสถติ ิชนั้ สงู ขอดี 1. เขาใจงายและคํานวณงาย 2. สามารถคํานวณจากกราฟได 3. เปนคากลางที่ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ 4. เมอ่ื มขี อมลู บางตัวเลก็ หรอื ใหญผดิ ปกติจะไมกระทบฐานนิยม 5. ใชไ ดด เี มอื่ จดุ ประสงคมุง ท่ีจะศกึ ษาสง่ิ ทเ่ี กดิ ขึ้นบอ ย หรอื ลกั ษณะทค่ี นชอบมากหรือมี คะแนนสว นใหญรวมกันอยู ณ คา ใดคาหน่งึ

172 6. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดสามารถหาฐานนิยมได มธั ยฐาน ขอเสีย 1. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น 2. สําหรับขอมลู ท่ีแจกแจงความถหี่ รือขอมูลทีจ่ ัดกลุมมธั ยฐานที่คํานวณไดจะไมใ ชค า ขอ มูลจริง ขอ ดี 1. คํานวณไดง า ยสําหรบั ขอมูลไมจ ัดกลมุ 2. ขอมูลบางคามีคาสูงหรือต่ําเกินไป ไมกระทบกระเทือนตอมัธยฐาน จึงเหมาะที่จะใชมัธย ฐานมากที่สุด 3. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดก็สามารถหามัธยฐานได แบบฝกหัดที่ 4 1. จากตารางใหนักเรียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม 2. จากตารางในขอ 1 ฐานนิยม คอื ........................................................................................

173 มธั ยฐาน คอื ....................................................................................... หาคาเฉลยี่ เลขคณติ ใหนกั เรียนเติมคาตา งๆ ลงในชองวางใหส มบูรณ คาเฉลี่ยเลขคณติ = …………………………………………….. = …………………………………………….. ดังนั้นคา เฉลีย่ เลขคณติ คอื ....................................................... 3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนัก (หนว ยเปนกโิ ลกรมั ) ของนกั เรยี น 60 คน

174

175 2) ฐานนิยมของน้ําหนักอยใู นชวงใด ............................................................................................................................................................. 4 3) โดยสว นใหญน กั เรยี นหนักอยใู นชว งใด ............................................................................................................................................................. 4 4) ถา เรยี งนาํ้ หนกั นอยที่สุดไปยงั นา้ํ หนกั มากที่สดุ จงหาตําแหนง ของมธั ยฐาน ............................................................................................................................................................. 4 5) นักเรียนคิดวา มธั ยฐานของน้ําหนักอยูในชวงใด ............................................................................................................................................................. 4 6) หาคา เฉลี่ยเลขคณติ ใหนกั เรียนเตมิ คาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ คาเฉลีย่ เลขคณติ = …………………………………………….. = …………………………………………….. ดงั นั้นคา เฉลยี่ เลขคณติ คอื .......................................................

176 เร่ืองที่ 5 การใชสถิติ ขอมูลสารสนเทศ 5.1 สถติ ใิ นชวี ิตประจําวนั ในชวี ิตประจาํ วนั ของคนเราน้นั สถติ ิมสี วนเกยี่ วขอ งอยูเสมอ เชน ในเรื่องเกยี่ วกับตวั นักเรยี น อาจจะมีการหาความสูงโดยเฉล่ยี หรือหานํา้ หนักโดยเฉลี่ย หรอื หาคะแนนเฉลย่ี หรือหาสว นสดั โดยเฉลย่ี ของนกั เรยี นทง้ั หอ งเรยี น เปน ตน ในเรื่องเกย่ี วกับครู-อาจารย ก็มีสถติ ิเกยี่ วกบั จาํ นวนครู-อาจารย ระดบั ผลการเรยี นของ นักเรียน จาํ นวนนักเรยี นทีต่ ิด 0, ร. มส. จาํ นวนนกั เรยี นท่ีสอบเขา มหาวทิ ยาลยั ไดใ นแตละรุน แต ละปและสถิตกิ ารทํางานในสถานที่ตางๆ ของนักเรยี นทจี่ บการศกึ ษาในแตล ะรุน เปน ตน ในเรื่องของขาวสาร สารสนเทศ จะเห็นวาในหนังสือพิมพ หรือในโทรทัศนจะมีตัวเลข แสดงใหเ หน็ ขอเท็จจรงิ ตา งๆ เชน สถติ ิเกี่ยวกบั การเปลี่ยนแปลงราคาหุน อาจจะนาํ เสนอในรปู แบบ ตา งๆ เชน นาํ เสนอในรูปตาราง นําเสนอในรูปแผนภูมแิ ทง นาํ เสนอในรปู แผนภูมิวงกลม หรือ นําเสนอในรูปกราฟเสน เปนตน ในเรื่องของแรงงาน ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนคนในกําลังแรงงาน เปอรเซ็นตของคนวางงาน รายไดแ ละสวสั ดกิ ารทค่ี นงานไดร บั เปน ตน ในเร่ืองเกี่ยวกับการกสิกรรม จะเห็นวาเกษตรกรตองมีการพัฒนาอยูเร่ือยๆ เชน การศกึ ษา ผลผลติ ขา วพนั ธุใหมเทยี บกับพันธุเดิม หรือการทดลองปลกู ออยในที่ดนิ ลักษณะตางๆ การปลกู มัน สําปะหลังแบบใดจึงจะเหมาะกับสภาพดินของตนเอง หรือการปลูกหมอนเลี้ยงไหมพันธุไหนดีกวา กนั จงึ จะไดใบหมอนที่มีคุณภาพทั้งยังเปนการประหยัดเวลาและแรงงาน ซึ่งสถิติมีสวนในการวาง แผนการ ทดลองและการวิเคราะหขอมูล ในเรื่องของการประกันชีวิต บริษัทประกันก็ตองมีสถิติของพนักงานหรือตัวแทน หรือ

177 ผูจัดการแตละฝาย หรือตาํ แหนง ทส่ี งู กวา หรอื สถิตยิ อดขายในแตล ะเดอื น หรือการปรับอตั ราการ ชําระเบีย้ ประกนั ท่ีมกี ารปรบั ปรงุ เปล่ยี นแปลง อาจจะแยกตามเพศ ตามอายุ ตามวงเงิน การกําหนด อัตราเบ้ียประกัน จะตอ งอาศัยขอ มลู ท่ผี า นมา สถิติมสี ว นในการคาํ นวณเบย้ี ประกันตามวธิ ีของการ ประกันภัย พรอมทั้งมีการเสนอในรูปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน ในเร่ืองเก่ียวกับธุรกิจการคา บรษิ ทั หางรา นหรือสรรพสินคา ตางๆ กม็ ีสถิตเิ ก่ียวกบั ยอดขาย สินคาในแผนกตา งๆ สถติ ิแสดงปริมาณสินคาที่ขายประเภทตางๆ สถิติยอดขายของพนักงานแตละ คน นอกจากนีส้ ถิติยงั ไปเก่ียวของกบั การรับประกนั อายุใชง านของสนิ คา สถติ ชิ ว ยในการกาํ หนด วธิ เี ก็บรวบรวมขอ มูลและการวิเคราะหข อมลู นอกจากน้สี ถติ กิ ็ยังมสี วนเกย่ี วของกับการควบคุม คุณภาพสินคา ที่ผลติ ดวย ในวงการแพทยก็มสี ถิติเกย่ี วกบั จาํ นวนแพทย พยาบาล จาํ นวนผูป วย จาํ แนกโรคตา งๆ สถติ ิการผลิตและจํานวนยาประเภทตางๆ จาํ นวนคนตายจําแนกตามสาเหตุของการตาย จํานวนผู บรจิ าคเลือดในแตล ะป เปนตน นอกจากนี้สถิติยังไมเกี่ยวของในการออกแบบ และการวางแผนการ ทดลอง การเกบ็ รวบรวมขอมูล การวเิ คราะหขอมลู เพื่อหาขอ สรปุ เกย่ี วกับการทดสอบประสิทธิผล ของยารักษาโรคชนิดตางๆ อีกดว ย ในเร่ืองของการบริหารงานขององคกรตางๆ อาทิ องคกรของรัฐ เชน ระดบั อําเภอก็มีสถิติ เกี่ยวกับประชากร ในแตล ะหมบู าน ในแตละตําบล สถิตเิ กี่ยวกับอาชพี ตา ง ๆ ผลผลิตแตละป การศึกษาของคนในแตละชุมชนเปนอยางไร จะจัดสรรงบประมาณไปใหแตละแหงมากนอย เพยี งใด สถติ ิมีสว นเกี่ยวของมาก นอกจากที่กลาวมาแลวขางตน สถติ ยิ ังไปเก่ยี วของกบั ชีวติ ประจาํ วันอีกหลายอยาง เชน การ สาํ รวจความคิดเห็นหรือโพล การรวมแสดงความคิดเหน็ โดยการสง sms ซ่งึ คดิ ออกมาในรูปรอ ยละ เหน็ ดวยไมเ หน็ ดวย นาํ เสนอผานหนา จอโทรทศั นเปน ประจํา สถิตเิ กยี่ วกบั นาํ้ ทวม ไรนาเสยี หายไป กี่ไร จะมมี าตรการอยางไรที่จะแกไข ในปตอไปซึ่งตองมีการเก็บรวบรวมขอมูลจากปที่ผานๆ มา หรอื สถติ คิ นใชบ ริการรถโดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถติ กิ ารเกิดอบุ ตั ิเหตบุ นทองถนน ซึง่ ขอ มลู เหลา นล้ี วนแตเก่ียวของกบั สถติ ิทั้งสน้ิ แบบฝกหดั ใหนักศึกษาอภิปรายหาขอมูลสารสนเทศที่เคยมีประสบการณ มา 4 – 5 ชนดิ

178 5.2 การใชข อ มลู สารสนเทศ การเลือกใชขอ มลู ในการตดั สินใจ เปน ส่งิ ทมี่ ปี ระโยชนมาก เพราะในการดํารงชีวิตของ คนเรามักเกี่ยวของกับเหตุการณตางๆ มากมาย จึงจําเปนตองอาศัยการตัดสินใจอยางมีระบบระเบียบ มหี ลกั มีเกณฑ และมีเหตผุ ล โดยนาํ ปจจยั ตา งๆ มาพจิ ารณากอนทจ่ี ะตัดสินใจ เพื่อใหไ ดทางเลือกที่ ดที ี่สดุ ซงึ่ ตอ งอาศัยทงั้ ความรู ประสบการณ ขอมูล ขาวสารตางๆ เปน สวนประกอบ เพ่ือไมใหเกิด ความผิดพลาดหรือโอกาสท่จี ะผดิ พลาดมนี อยทสี่ ดุ เชน การตัดสนิ ใจ การเลอื กสงิ่ ตาง ๆ การเลอื กซอ้ื สนิ คาอยางหนึ่ง 1. คุณภาพดี 2. ราคาไมแพงเกินไป 3. มีคนนิยมมาก 4. จําเปนตองใช 5. ชอบเปนชีวิตจิตใจ การเลอื กธนาคารเพอ่ื การออม 1. ธนาคารของรัฐบาล 2. ธนาคารใกลบาน 3. ธนาคารใกลที่ทํางาน 4. ใหผลประโยชนมาก 5. การไปมาสะดวก 6. ธนาคารทมี่ ีความมนั่ คงไม สั่นคลอน หรอื ไมมีขา วออกมา

179 ในทางไมสูดอี ยเู สมอๆ การลงทุนในกิจการอยางใดอยางหนึ่ง 1. เงินลงทุน 2. ผลผลิตที่ได 3. คุมคาแรงงานหรือไม 4. เปน ท่ีนยิ มหรือเปลา การเลือกชมรายการโทรทัศนชองตางๆ 1. รายการโปรด 2. เนอ้ื หาสาระดี 3. ใหความบันเทิง 4. การนําเสนอทันสมัย 5. มีประโยชนสามารถนําไป ประยกุ ตใชได 6. เพ่ือการลงทุน เชน หุน การเดินทาง รายงานขาวบอกวา มีรถติดท่ีถนนใดบา ง 1. อาจหลีกเลี่ยงเสนทางดังกลาว 2. รอจนกวา จะเดนิ รถสะดวกกอ น เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมื่อเดินทาง 1. อาจไมกลับในชวงเทศกาล ไปตางจังหวัด 2. อาจเลือกกลับหลังเทศกาล 1 – 2 วนั เปน ตน นอกจากนก้ี ารตดั สินใจยังมีความสําคัญในการประกอบธุรกิจตางๆ ทัง้ ธุรกิจขนาดเล็กและ ธุรกิจขนาดใหญ นักธุรกิจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายทีจ่ ะตองตัดสินใจอยูเ สมอ เชน ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทุน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกําหนดราคา ปญหาพนักงาน คาครองชีพ ปญหาดานการเงิน ซึ่งนักธุรกิจจะใชประสบการณหรือคําสั่งสอน อบรมจากพอแม บรรพบุรุษมาแกปญหาอยางเดียวไมได อาจจะเกิดความผิดพลาดได ดังนัน้ นกั ธรุ กจิ ควรใชข อมลู และวิธกี ารทางสถติ ิมาชว ยในการตดั สนิ ใจ สําหรับในระดับนีก้ ารเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจอาจจะเกี่ยวกับคากลางท่ีกลาวมาแลวดวย เชน ถาตองการกะประมาณรายไดของประชากรท้ังประเทศ ควรใชคากลาง คือ คาเฉล่ียเลขคณิต หรือ ประมาณจํานวนพลเมืองที่ชอบดูทีวีสีชอง 7 ควรเลือกใชคากลางฐานนิยม หรือถาขอมูลมีคาต่าํ และ คาสูงแตกตางกันมากควรตัดสินใจเลือกใชคากลางมัธยฐาน เปน ตน ในเรื่องนผ้ี ูเรยี นจะไดเ รยี นละเอยี ดในชนั้ สงู ตอไป

180 บทท่ี 10 ความนาจะเปน สาระสําคัญ 1. การนบั จาํ นวนผลลัพธท ่ีเกดิ จากการทดลองใด ๆ 2. ความนาจะเปน แสดงใหท ราบวา เหตกุ ารณใดเหตกุ ารณห น่ึงมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอย เพียงใด อันจะมปี ระโยชนตอ การตัดสนิ ใจในการดาํ เนนิ งานนน้ั ๆ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. หาความนา จะเปนของเหตุการณจากการทดลองสุม ทีผ่ ลแตล ะตวั มีโอกาสทีจ่ ะเกิดขน้ึ เทา ๆ กัน 2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล 3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจ ขอบขา ยเน้ือหา การทดลองสุมและเหตกุ ารณ เรื่องท่ี 1 ความนาจะเปนของเหตุการณ เรื่องท่ี 2 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆ ไปใช เรื่องที่ 3

181 เรอื่ งที่ 1 การทดลองสมุ และเหตกุ ารณ 1.1 การทดลองสมุ คือการกระทําที่เราทราบผลทั้งหมดทีอ่ าจจะเกดิ ข้ึนได แตเราไมทราบวา ผลลัพธใดจะ เกดิ ข้นึ เชน 1. โยนเหรยี ญ 1 อนั 1 ครง้ั ผลท่ีเกิดขึ้นไดมสี องอยาง คอื “ออกหวั ” หรอื “ออกกอ ย” จะได วา ผลท้งั หมดทีอ่ าจจะเกิดข้นึ คอื หวั และกอ ย 2. ทอดลกู เตา 1 ลกู 1 ครงั้ ผลท่เี กดิ ขนึ้ คือ การขนึ้ แตม ของหนาใดหนา หนึ่งของลกู เตา ซ่ึง มีทั้งหมด 6 หนา ไดแก 1, 2 , 3, 4, 5, 6 ตัวอยาง จงเขยี นผลทอี่ าจเกิดข้ึนไดท้งั หมดในการโยนเหรยี ญสบิ บาท 1 อัน และเหรยี ญหา บาท 1 อัน พรอมกัน วิธที ํา ในการโยนเหรยี ญ 1 อัน ผลท่อี าจเกดิ ขึ้นคอื หวั และกอ ย ถาให H แทนหวั ให T แทนกอ ย ในการหาผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมด จากการโยนเหรียญสิบบาท และโยนเหรียญหาบาท อยางละ 1 อัน อาจใชแผนภาพชว ยไดดังนี้ H

182 จากแผนภาพจะเห็นวา ถา เหรียญสบิ บาทออกหวั เหรยี ญหาบาทจะออกหัวหรือออกกอยก็ ได จึงไดผลท่ีอาจเกดิ จากการโยนทงั้ สองเหรียญเปน H,H กบั H,T ในทาํ นองเดียวกนั ถา เหรียญสบิ บาทออกกอ ย เหรยี ญหาบาทอาจจะออกหัวหรือออกกอยก็ ได จงึ ไดผลที่อาจเกิดจากการโยนเหรียญท้ังสองเปน T,H กับ T,T ฉะน้นั ถาเราใชค ูอันดับเขยี นผลทั้งหมดท่ีอาจเกิดข้ึนได โดยใหสมาชิกตัวทหี่ น่ึงของคู อนั ดบั แทนผลท่ีอาจเกิดขนึ้ จากเหรียญสิบบาท สมาชิกตัวที่สองของคอู ันดบั แทนผลท่ีอาจเกดิ ขึ้น จากเหรียญหาบาท จะได ผลทง้ั หมดทอ่ี าจจะเกิดข้ึน คือ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T) เราอาจเขียนแสดงผลในรูปตารางไดดงั น้ี แบบฝก หัดท่ี 1 1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง 1). โยนเหรียญสิบบาท 1 อนั ……………………………………………………………………………………………... 2). โยนเหรียญสิบบาทสองอันพรอมกัน ……………………………………………………………………………………………... 3). หยิบลูกปงปอง 2 ลกู พรอ มๆกัน จากกลองท่มี ีลกู ปง ปองสีเหลือง 3 ลูก สแี ดง 1 ลูก ……………………………………………………………………………………………...

183 2. จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลข 1 และ2 แลว มาโยน เหรียญบาท 1 อัน ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. 3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหยิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขตั้งแต 10 ถึง 20 ไว ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. 1.2 เหตกุ ารณ ในการทดลองสุมโยนเหรียญบาท 1 เหรียญและเหรียญหาสิบสตางค 1 เหรียญ นักเรียน ทราบแลววาผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลท่ี จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรยี ญ จะไดว า ผลทจ่ี ะเกดิ กอยอยา งนอย 1 เหรยี ญ คอื (H, T), (T, H) และ (T, T) เราเรียกผลทเ่ี ราสนใจจากการทดลองสุมวา เหตุการณ พิจารณาการหลับตาหยิบลูกบอล 1 ลกู จากถุงซง่ึ มีลกู บอลสีเขยี ว 4 ลูก คอื ข1, ข2, ข3 และ ข4 ดังน้นั จากการทดลองสุมคร้ังนจี้ ะเหน็ ไดว าจะหยิบลกู บอลครัง้ ใดกจ็ ะไดล ูกบอลสีเขยี วเสมอ ซ่งึ ผล ทัง้ หมดที่อาจจะเกดิ ข้ึนไดค อื ข1, ข2, ข3 และ ข4 และถา สนใจเหตกุ ารณ \"หยบิ ไดลกู บอลสีเขียว” จะไดวาเหตกุ ารณคือ ข1, ข2, ข3 และ ข4 จะเหน็ วา ผลทัง้ หมดทีอ่ าจเกิดขึ้นได และเหตกุ ารณท จ่ี ะหยิบไดล กู บอลสเี ขียวเปนผลชดุ เดยี วกนั เราเรียกเหตกุ ารณ \"หยบิ ไดลกู บอลสีเขยี ว\" จากการทดลองสุมคร้ังน้ีวา \"เหตกุ ารณท ่ี แนน อน\" และจากการทดลองสุมครัง้ นีจ้ ะเห็นวา เราไมอาจท่จี ะหยบิ ไดล ูกบอลสแี ดงไดเลย เราเรยี ก เหตุการณ \"หยบิ ไดล กู บอลสแี ดง\" จากการทดลองสมุ ครั้งนว้ี า \"เหตุการณที่เปน ไปไมไ ด”

184 ตัวอยา งเหตกุ ารณ ตัวอยา งที่ 1 หลับตาหยิบลูกบอล 1 ลกู จากกลองท่มี ลี กู บอลสแี ดง 1 ลกู สีขาว 1 ลกู และสีน้ํา เงนิ 1 ลกู จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ (1) หยบิ ไดล กู บอลสแี ดง (2) หยบิ ไดล ูกบอลทไี่ มใ ชส ีแดง วธิ ที าํ ผลท้ังหมดทอี่ าจเกิดข้นึ ไดจากการทดลองสุมคือ แดง ขาว และนํา้ เงนิ ดังน้นั จาํ นวนทง้ั หมดทอ่ี าจจะเกดิ ขน้ึ ไดเ ปน 3 (1) เหตุการณท่ีจะหยบิ ไดล ูกบอลสีแดง คอื แดง จํานวนผลท่ีเกดิ ในเหตกุ ารณน ้เี ปน 1 ฉะนนั้ ความนา จะเปน ของเหตุการณหยบิ ไดลกู บอลสีแดงเปน (2) เหตุการณที่จะหยิบไดลกู บอลท่ไี มใ ชสีแดง คือ หยบิ ได ขาว และ น้ําเงิน จํานวนผลที่เกดิ ขึ้นในเหตุการณเปน 2 ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยบิ ไดลกู บอลที่ไมใ ชสแี ดงเปน แบบฝก หัดท่ี 2 1. ทอดลกู เตา 1 ลกู 1 ครัง้ จงเขียน 1) ผลทง้ั หมดท่อี าจเกดิ ขึ้น …………………………………………………………………………………………… 2) เหตกุ ารณท่ไี ดแตมไมเกนิ 5 …………………………………………………………………………………………… 3) เหตกุ ารณทไ่ี ดแตมเปนจาํ นวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั ……………………………………………………………………………………………

185 2. ทอดลกู เตา 2 ลูกพรอมกัน 1 คร้งั จงเขยี น 1) ผลทัง้ หมดทีอ่ าจเกดิ ข้ึน …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) ผลรวมของแตม เปน 8 …………………………………………………………………………………………… 3) ผลรวมของแตมมากกวา 9 …………………………………………………………………………………………… 4) ผลรวมของแตม นอ ยกวา 4 …………………………………………………………………………………………… 5) ผลรวมของแตม หารดวย 2 ลงตวั …………………………………………………………………………………………… 6) ผลรวมของแตม นอยกวา 2 …………………………………………………………………………………………… 3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผูเรียนชอบ 2 สี ในจํานวน 5 สี คือ สขี าว สฟี า สีชมพู สี เขยี ว และสีเหลือง จงเขียน 1) ผลทงั้ หมดที่อาจเกิดข้ึน …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) เหตกุ ารณทีน่ ิตยาจะชอบสีฟาหรอื สีชมพู …………………………………………………………………………………………

186 เรอ่ื งท่ี 2 ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ พจิ ารณาการทดลองสมุ และเหตกุ ารณทส่ี นใจ ทอดลกู เตา 1 ลกู 1 ครั้ง ผลทง้ั หมดท่ีอาจเกดิ ขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซง่ึ มที ง้ั หมด 6 จาํ นวน 1). ถา เหตกุ ารณท ี่สนใจ คือ แตมหงายบนหนา ลูกเตา เปนจํานวนคู ซึ่งไดแ ก 2, 4, 6 จะเห็น ไดวา มี 3 จาํ นวน นนั่ คือ จาํ นวนผลทจ่ี ะเกิดในเหตุการณ เปน 3 เรากลา ววา ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณท่แี ตมหงายบนหนา ลูกเตาเปน จาํ นวนคู คือ 3 6 หรอื 1 2 2). ถาเหตกุ ารณท สี่ นใจ คือ แตม ท่หี งายบนหนาลูกเตา เปนจาํ นวนทน่ี อ ยกวา 3 ซ่งึ ไดแก 1, 2 จะเหน็ วา มที ง้ั หมด 2 จาํ นวน น่ันคือ จาํ นวนผลท่จี ะเกดิ ในเหตุการณเ ปน 2 เรากลา ววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนา ลกู เตาเปนจํานวนคู คือ 2 6 หรอื 1 3 จากทั้ง 2 เหตุการณท่กี ลาวมาเราสามารถเขียนใหอยูในรูปของตารางได ดังนี้ จากตัวอยา งทก่ี ลาวมาแลว ขางตน อาจจะสรุปเปนสูตรการหาความนา จะเปนของเหตุการณไดด ังนี้ ความนาจะเปน = จํานวนผลของเหตุการณท ี่สนใจ จาํ นวนเหตกุ ารณทง้ั หมดของการทดลองสมุ

187 ขอ ควรจํา 1. เหตุการณทแี่ นนอน คือ เหตุการณที่มคี วามนาจะเปน = 1 เสมอ 2. เหตุการณท ี่เปนไปไมได คือ เหตกุ ารณท ม่ี คี วามนาจะเปน = 0 3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมีคาไมต่ํากวา 0 และ ไมเกนิ 1 เสมอ 4. ในการทดลองหนึ่งสามารถทําใหเกิดผลที่ตองการอยางมีโอกาสเทากันและมีโอกาส เกดิ ได N สงิ่ และเหตุการณ A มีจํานวนสมาชิกเปน n ดงั นน้ั ความนา จะเปน ของ A คอื P(A) = n N

188 แบบฝกหัดท่ี 3 1. มสี ลาก 10 ใบ เขียนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอ ง ความนา จะเปน ทจี่ ะหยบิ ไดส ลากทเี่ ปนจํานวน ค่ีเทา ไร ……………………………………………………………………………………………………… 2. ใสลูกเตา 1 ลูกลงในถว ยแกว เขยาแลว เทออก จงหาความนา จะเปน ของเหตุการณท ขี่ ึน้ แตม 6 ……………………………………………………………………………………………………… 3. ถงุ ใบหนง่ึ มลี กู กวาดสแี ดง 5 เม็ด สเี หลือง 2 เม็ด แมวหยิบขึน้ รับประทาน 1 เม็ดโดยไมไ ดดู จงหาความนาจะเปนที่แมวจะหยบิ ไดล กู กวาดสแี ดง ……………………………………………………………………………………………………… 4. ความนา จะเปน ที่จะหยิบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สํารับเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 5. ความนา จะเปน ที่จะหยิบไดไ พสีดําจากไพ 1 สาํ รบั เปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 6. ทอดลกู เตา 2 ลกู พรอมกัน ความนา จะเปนทจ่ี ะทอดไดแ ตม รวมกนั เปน 7 คอื ขอใด ……………………………………………………………………………………………………… 7. ทอดลูกเตา 2 ลกู พรอมกนั ความนาจะเปนท่ีจะทอดไดแตม รวมกันไมเกนิ 1 คือขอใด ……………………………………………………………………………………………………… 8. ถาตองการถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวแนๆ จะตองซอื้ สลากกินแบงรฐั บาลกใี่ บ ……………………………………………………………………………………………………… 9. จากการทดลองโยนเหรยี ญหนง่ึ อนั 3 คร้งั ความนาจะเปนท่อี อกหวั 1 คร้ัง เปน เทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 10. ถาทอดลูกเตา ทส่ี มดุล 1 ลกู พรอ มกันกับโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ จงหาความนาจะเปนที่แตมบน ลกู เตา จะเปนแตมคู ………………………………………………………………………………………………………

189 เร่อื งที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆไปใช ในชวี ิตประจําวัน คนเราไดนําประโยชนจากความนาจะเปนมาใชอยูตลอดเวลา เพียงแต ไมไดเรยี กวาความนาจะเปน เทาน้ัน เชน ในเรื่องการซ้ือหวย หรือสลากกนิ แบง รฐั บาล จะเหน็ วา โอกาสที่จะถูกเลขทาย 2 ตัวมคี าเปน 1 ใน100 และโอกาสที่จะถกู รางวัลอืน่ ๆ ยง่ิ นอยลงตามลาํ ดบั นอกจากนี้ยังมีการคํานวณคาความนาจะเปนเพื่อประมาณคาอัตราการเกิดอุบัติเหตุ ในแต ละลักษณะของการกําหนดเบี้ยประกันภัยรถยนต หรือการคาดหมายผลการเลือกตง้ั การพยากรณ ตางๆ ทางธุรกิจ การทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑใหมจากโรงงาน ฯลฯ ซึ่งความนาจะเปนมีบทบาท สาํ คญั มาก ผเู รยี นจะไดเห็นประโยชนช ัดเจนขึ้นเม่ือเรียนตอในระดับสูงขึน้ ไป แบบฝก หัดที่ 4 จากโจทยตอไปนี้ใหน กั เรียนตอบวา ใครไดเ ปรยี บ 1. ใหนักเรยี นทําลูกบาศกห นง่ึ ลูกแลว เขยี นเลข 1 ท่หี นาหน่ึงของลูกบาศก เขยี นเลข 2 ที่หนา อีก สองหนา สวนอกี สามหนาที่เหลือเขยี น 3 ใชกตกิ าตอไปนีต้ ดั สนิ การแพ ชนะ เสมอ ในการโยน ลกู บาศกที่ทําขนึ้ นคี้ นละครงั้ 1) ผูเลนคนท่ีหนึ่งชนะถา เขาโยนลูกบาศกแลวหนา ที่เขยี นเลข 3 หงายขนึ้ และคแู ขงขัน ไดเ ลข 3 ดวย ผเู ลน คนท่ีสองชนะถา ไดเลขท่ตี ํ่ากวา 3 และผแู ขง ขันไดเ ลขท่ตี ่ํากวา 3 กรณอี ื่น ๆ ถอื วา เสมอกนั 2) ผเู ลนคนที่หนง่ึ ถาเขาโยนลูกบาศกแ ลว หนา ท่เี ขียนเลข 1 หงายขน้ึ และคแู ขง ขันได เลขท่ีตํ่ากวา 3 ผูเลนคนที่สองชนะ ถาเขาโยนลูกบาศกหงายหนาที่เขียนเลข 3 และคแู ขงขนั ไดเลข สงู กวา 1 กรณีอื่นถือวา เสมอกัน

190 เฉลยแบบฝกหัด

191 เฉลย บทท่ี 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเลอื กจาํ นวนเตม็ บวก จาํ นวนเตม็ ลบ และจาํ นวนเตม็ จากจาํ นวนตอไปน้ี - 1, 4 , 0, -3, 500 , 500 − 2 1000 250 จํานวนเตม็ บวก ประกอบดว ย 4 − 500 250 2 จํานวนเตม็ ลบ ประกอบดว ย -1 -3 − 500 250 จํานวนเตม็ ประกอบดวย -1, 4 , 0, -3, 2 2. จงเติมเครื่องหมาย < หรือ > เพือ่ ใหประโยคตอ ไปน้ีเปนจรงิ 1) -4 ............... <................. 3 2) -4 .............. <................. -3 3) -2 .............. >............... -5 4) 4................ >................ -2 5) 4................ >................. -8 3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก 1) -2, -8, -4, -15, -20, -7 ………-20, -15, -8, -7, -4, -2………………… 2) 4, -8, 0, -2, 16, -17 ………-17, -8, -2, 0, 4, 16 ……………………

192 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอ ยกวา ” หรือ “เทา กบั ” 1) คาสัมบูรณข อง (-3)..................เทากบั ...........คาสัมบูรณของ 3 2) จํานวนตรงขามของ (-4) ...........มากกวา..........................จาํ นวนตรงขามของ 4 3) จํานวนตรงขามของ 5 ...............นอ ยกวา ..........................จํานวนตรงขามของ -5 4) คาสัมบูรณของ A...........เทากบั ...................คา สัมบรู ณของ(-A) เม่ือA เปน จาํ นวนใดๆ 5) จํานวนตรงขามของ A .....นอ ยกวา ......จํานวนตรงขามของ (-A) เมอื่ A เปน จาํ นวนใดๆ 2. จงเติมเครื่องหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง 1) – (- 5) .....................=...........................5 2) จํานวนตรงขามของ 8 .................. <..................................8 3) จํานวนตรงขามของ (-8)................. >................................(-8) 4) − 25................. = ..................... − 25 5) − 20.................〉.......................(− 20) 6) − 25................〉.......................... − 5 7) จํานวนตรงขามของ (-2) .......................... <.........................จํานวนตรงขามของ(-7) 8) จํานวนตรงขามของ 32........................ >...............................จํานวนตรงขามของ 77

193 แบบฝก หดั ที่ 3 1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจาํ นวนทก่ี าํ หนดให โดยใชเ สน จาํ นวน 1. 3+2 2. (-3)+(-2) 3. 2+1 4. (-2)+(-1) 5. 5+ (-1) 6. (-1) +5 7. (-5) +3 8. 3 + (-5)

194 2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคาํ ตอบตอ ไปนใี้ หสัมบูรณ ผลบวกของ a กบั b ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คา สมั บรู ณของ a คาสมั บรู ณข อง b คา สัมบรู ณของ(a+b) เทา กนั หรือไมกบั a + b 1. 3+2 = 5 32 5 เทา กนั 2. (-3)+(-2) = -5 32 5 เทากัน 3. 2+1 = 3 21 3 เทากนั 4. (-2)+(-1) = -3 21 3 เทากัน 5. 5+ (-1) = 4 51 4 เทา กนั 6. (-1) +5 = 4 15 6 เทากนั 7. (-5) +3 = -2 53 2 เทากัน 8. 3 + (-5) = -2 35 2 เทากนั